ZÁKLADY ROBOTIKY Denavit-Hartenbergova transformace Ing. Josef Černohorský, Ph.D.
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Z ákladní ot ázky pro tento blok? Základní otázky Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Lze použít nějaký definiční vztah, abych nemusel provádět několikrát homogenní transformaci, rozšiřovat matice o posuny a ty přepočítávat přes matice rotace? • Jak „snadno“ vyřešit přímou úlohu kinematiky?
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Souvislost s angul árním robotem angulárním Denavit Hartenberg
T = T⋅ T⋅ T⋅ T⋅ T⋅ T
0 6
Krok za krokem
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
• Na čem závisí hodnoty T
Několik poznámek Příkládek
– Na rozměrech jednotlivých ramen (konstanty) – Úhlech natočení jednotlivých os (proměnné)!!!
Příklad 2D Příklad 3D
http://www.servosystems.com/staubli_rx130.jpg
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Popis DH konvence Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Lze přejít mezi dvěma souřadnými systémy pomocí rotace v rámci obecné osy a posunu v jejím směru a rotací podél druhé osy a posunu v jejím směru • Výhoda je ve známém definičním vztahu a nemusíme provádět složité násobení matic • Přechod mezi dvěma systémy rotací a translací kolem dvou os
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Demonstrace DH konvence Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
http:/www.edu.jnc.kr/image/2010/05/57383485769ab34
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Demonstrace DH konvence (krok 1) Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Nalezneme osy kinematických dvojic • Nalezneme společné normály (osu mimoběžek) sousedních os http:/www.edu.jnc.kr/image/2010/05/57383485769ab34 (upraveno)
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Demonstrace DH konvence (krok 2) Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Označíme významné body Oi-1, Oi´, Oi-1 • Označíme vzdálenosti ai-1, di, ai http:/www.edu.jnc.kr/image/2010/05/57383485769ab34 (upraveno)
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Demonstrace DH konvence (krok 3) Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Osu Zi položíme do osy i+1 • Osa Xi je podloužením ai (kladně od i do i+1) • Yi volíme tak, aby systém byl pravotočivý http:/www.edu.jnc.kr/image/2010/05/57383485769ab34 (upraveno)
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Demonstrace DH konvence (krok 4) Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Totéž provedeme v ose i http:/www.edu.jnc.kr/image/2010/05/57383485769ab34(upraveno)
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Demonstrace DH konvence (krok 5) Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Provedeme rotaci kolem osy Zi-1 o úhel υi tak, aby osy Xi-1 a Xi měli stejnou orientaci
http:/www.edu.jnc.kr/image/2010/05/57383485769ab34(upraveno)
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Demonstrace DH konvence (krok 6) Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Provedeme posun podél osy Zi-1 o di tak, aby osy Xi-1 a Xi´ splynuly
http:/www.edu.jnc.kr/image/2010/05/57383485769ab34(upraveno)
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Demonstrace DH konvence (krok 7) Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Provedeme posun podél osy Xi o ai do bodu Oi
http:/www.edu.jnc.kr/image/2010/05/57383485769ab34(upraveno)
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Demonstrace DH konvence (krok 7) Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Provedeme rotaci podél osy Xi o αi, aby osy Zi-1 a Zi splynuly
http:/www.edu.jnc.kr/image/2010/05/57383485769ab34(upraveno)
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Sestav íme tabulku DH parametr ů Sestavíme parametrů Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Tabulka DH parametrů, rZ,pZ,pX,Rx
číslo členu i, ϑi , d i , ai , α i
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Vyj ádření Hartenbergovy matice Vyjádření Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
⎡cϑi ⎢ sϑ RZ = ⎢ i ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎡1 ⎢0 PX = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
− sϑi cϑi 0 0
0 0⎤ ⎡1 0 ⎢0 1 0 0⎥⎥ PZ = ⎢ ⎢0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ 0 1⎦ ⎣0 0
0 0 ai ⎤ ⎡1 0 ⎢0 cα 1 0 0 ⎥⎥ i RX = ⎢ ⎢ 0 sα i 0 1 0⎥ ⎥ ⎢ 0 0 1⎦ ⎣0 0
0⎤ 0 ⎥⎥ 1 di ⎥ ⎥ 0 1⎦ 0 0
0 − sα i cα i 0
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
Ti = Rz (ϑi ) ⋅ Pz (d i ) ⋅ Px (ai ) ⋅ Rx (α i )
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Výsledn á transforma ční matice Výsledná transformační Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
Ti = Rz (ϑi ) ⋅ Pz (d i ) ⋅ Px (ai ) ⋅ Rx (α i ) ⎡cϑi ⎢ sϑ i i ⎢ i −1T = ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− sϑi ⋅ cα i cϑi ⋅ cα i sα i
sϑi ⋅ sα i − cϑi ⋅ sα i cα i
0
0
ai ⋅ cϑi ⎤ ⎥ ai ⋅ sϑi ⎥ di ⎥ ⎥ 1 ⎦
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Zjednodu šení - vysv ětlení Zjednodušení vysvětlení Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
αi,ai ϑi di
Konstrukční parametry Proměnná v případě rotační kinematické dvojice, konstatntní pro posuvnou kinematickou dvojici Proměnná v případě posuvné kinematické dvojice, konstatntní pro rotační kinematickou dvojici
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
N ěkolik pozn ámek Několik poznámek Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Je-li to možné volíme tak, abychom vynulovali nějaký parametr • Dva po sobě rovnoběžné klouby, lze polohu příčky zvolit • Pro posuvné klouby lze polohu osy zvolit (doporučuji inženýrské řešení, vůči nule osy)
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Omezen Omezeníí Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Je nutné dodržet předepsaný postup pro zavedení souřadných systémů! • Proto je nutné volit orientaci v kinematických dvojicích tak, aby bylo možné ji zachovat
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
P říklad rotace kolem Z a posun v X Příklad Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D
Z
A
Z
A
Příklad 3D
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Postup Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• • • •
Rotace kolem Z „υ“ 1 υ Posun v Z o „0“,d=0 Posun v X o „a“ Rotace kolem X „0“, alfa = 0
⎡cϑi ⎢ sϑ i i ⎢ i −1T = ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
0
− sϑi ⋅ cα i
sϑi ⋅ sα i
cϑi ⋅ cα i sα i
− cϑi ⋅ sα i cα i
0
0
a
0
ai ⋅ cϑi ⎤ ⎥ ai ⋅ sϑi ⎥ di ⎥ ⎥ 1 ⎦
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Výsledn á transforma ční matice Výsledná transformační Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
⎡cϑi ⎢ sϑ i i ⎢ i −1T = ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 ⎡cϑi ⎢ sϑ i i ⎢ i −1T = ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− sϑi ⋅ cα i cϑi ⋅ cα i sα i
sϑi ⋅ sα i − cϑi ⋅ sα i cα i
0
0
− sϑi cϑi 0 0
0 ai ⋅ cϑi ⎤ 0 ai ⋅ sϑi ⎥⎥ 1 0 ⎥ ⎥ 0 1 ⎦
ai ⋅ cϑi ⎤ ai ⋅ sϑi ⎥⎥ di ⎥ ⎥ 1 ⎦
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Ov ěření Ověření Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
Ti = Rz (ϑi ) ⋅ Pz (d i ) ⋅ Px (ai ) ⋅ Rx (α i ) ⎡cϑi ⎢ sϑ Ti = ⎢ i ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− sϑi
⎡cϑi ⎢ sϑ Ti = ⎢ i ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− sϑi
cϑi 0 0
cϑi 0 0
0 0 ⎤ ⎡1 0 0⎥⎥ ⎢⎢0 ⋅ 1 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 1 ⎦ ⎣0
0 0 1 0
0⎤ ⎡1 0⎥⎥ ⎢⎢0 ⋅ ⎥ 0 ⎢0 ⎥ ⎢ 1 ⎦ ⎣0
0 0 0 ⎤ ⎡1 1 0 0⎥⎥ ⎢⎢0 ⋅ 0 1 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 1 ⎦ ⎣0
0 1 0 0
0 0 ai ⎤ ⎡1 0 1 0 0 ⎥⎥ ⎢⎢0 cα i ⋅ 0 1 0 ⎥ ⎢0 sα i ⎥ ⎢ 0 0 1 ⎦ ⎣0 0
0 ai ⎤ ⎡cϑi 0 0 ⎥⎥ ⎢⎢ sϑi = ⎥ ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢ 0 1⎦ ⎣ 0
− sϑi cϑi 0 0
0 − sα i cα i 0
0 ai ⋅ cϑi ⎤ 0 ai ⋅ sϑi ⎥⎥ 1 0 ⎥ ⎥ 0 1 ⎦
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
P říklad plo šný Příklad plošný Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Zavést souřadné systémy • Stanovit parametry
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
P říklad plo šný Příklad plošný Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
člen υi di ai αi 1
υ1 0 a1 0
2
υ2 0 a2 0
3
υ3 0 a3 0
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
P říklad plo šný Příklad plošný Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D
člen υi di ai αi 1
υ1 0 a1 0
2
υ2 0 a2 0
3
υ3 0 a3 0
⎡cϑi ⎢ sϑ Ti = ⎢ i ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− sϑi cϑi 0 0
0 ai ⋅ cϑi ⎤ 0 ai ⋅ sϑi ⎥⎥ 1 0 ⎥ ⎥ 0 1 ⎦
Příklad 3D
⎡cϑ1 ⎢ sϑ T =⎢ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− sϑ1 0 a1 ⋅ cϑ1 ⎤ ⎡cϑ2 cϑ1 0 a1 ⋅ sϑ1 ⎥⎥ ⎢⎢ sϑ2 ⋅ 0 1 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 0 1 ⎦ ⎣ 0
− sϑ2 cϑ2 0 0
0 a2 ⋅ cϑ2 ⎤ ⎡cϑ3 0 a2 ⋅ sϑ2 ⎥⎥ ⎢⎢ sϑ3 ⋅ 1 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 1 ⎦ ⎣ 0
− sϑ3 cϑ3 0 0
0 a3 ⋅ cϑ3 ⎤ 0 a3 ⋅ sϑ3 ⎥⎥ 1 0 ⎥ ⎥ 0 1 ⎦
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
P říklad plo šný Příklad plošný Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
⎡cϑ1 ⎢ sϑ T =⎢ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− sϑ1 0 a1 ⋅ cϑ1 ⎤ ⎡cϑ2 cϑ1 0 a1 ⋅ sϑ1 ⎥⎥ ⎢⎢ sϑ2 ⋅ 0 1 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 0 1 ⎦ ⎣ 0
− sϑ2 cϑ2 0 0
0 a2 ⋅ cϑ2 ⎤ ⎡cϑ3 0 a2 ⋅ sϑ2 ⎥⎥ ⎢⎢ sϑ3 ⋅ 1 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 1 ⎦ ⎣ 0
− sϑ3 cϑ3 0 0
0 a3 ⋅ cϑ3 ⎤ 0 a3 ⋅ sϑ3 ⎥⎥ 1 0 ⎥ ⎥ 0 1 ⎦
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
P říklad prostorový RRP Příklad Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Zavést souřadné systémy (Z osy do osy kin. dvojic, X prodloužení spojnice mimoběžek) • Stanovit parametry
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
P říklad prostorový RRP Příklad Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
• Ukázka zavedení souřadných systémů • Proměnné υ1, υ2,d3
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
P říklad prostorový RRP Příklad Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek
člen υi di
ai
αi
1
υ1 d1 0
-90°
2
υ2 d2 0
90°
3
0
0
Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
d3 0
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Nedosazen á DH matice Nedosazená Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
⎡cϑi ⎢ sϑ i i ⎢ i −1T = ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− sϑi ⋅ cα i
sϑi ⋅ sα i
cϑi ⋅ cα i sα i 0
− cϑi ⋅ sα i cα i 0 člen 1 2 3
υi υ1 υ2 0
ai ⋅ cϑi ⎤ ⎥ ai ⋅ sϑi ⎥ di ⎥ ⎥ 1 ⎦ di d1 d2 d3
ai 0 0 0
αi -90° 90° 0
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Dosazen Dosazeníí 1 Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
člen 1 2 3
υi υ1 υ2 0
di d1 d2 d3
⎡cϑ1 ⎢ sϑ 1 1 ⎢ 0T = ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
ai 0 0 0
αi -90° 90° 0
0 0
− sϑ1 + cϑ1
−1 0
0 0
⎡cϑi ⎢ sϑ i ⎢ i i −1T = ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
− sϑi ⋅ cα i cϑi ⋅ cα i
sϑi ⋅ sα i − cϑi ⋅ sα i
sα i
cα i
0
0
0 ⎤ c(−90) = 0 ⎥ 0 ⎥ s(−90) = −1 d1 ⎥ ⎥ 1⎦
ai ⋅ cϑi ⎤ ai ⋅ sϑi ⎥⎥ di ⎥ ⎥ 1 ⎦
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Dosazen Dosazeníí 2 Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
člen 1 2 3
υi υ1 υ2 0
di d1 d2 d3
⎡cϑ2 ⎢ sϑ 2 2 ⎢ 1T = ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
ai 0 0 0
αi -90° 90° 0
0 sϑ2 0 − cϑ2 1 0
0 0
⎡cϑi ⎢ sϑ i ⎢ i i −1T = ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
0⎤ ⎥ 0⎥ d2 ⎥ ⎥ 1⎦
− sϑi ⋅ cα i cϑi ⋅ cα i
sϑi ⋅ sα i − cϑi ⋅ sα i
sα i
cα i
0
0
c(90) = 0 s (90) = 1
ai ⋅ cϑi ⎤ ai ⋅ sϑi ⎥⎥ di ⎥ ⎥ 1 ⎦
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Dosazen Dosazeníí 3 Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
člen 1 2 3
υi υ1 υ2 0
di d1 d2 d3
⎡1 ⎢0 3 ⎢ = T 2 ⎢0 ⎢ ⎣0
ai 0 0 0
αi -90° 90° 0
⎡cϑi ⎢ sϑ i ⎢ i i −1T = ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
0⎤ ⎥ 0⎥ 0 1 d3 ⎥ ⎥ 0 0 1⎦
0 0 1 0
− sϑi ⋅ cα i cϑi ⋅ cα i
sϑi ⋅ sα i − cϑi ⋅ sα i
sα i
cα i
0
0
c(0) = 1 s (0) = 0
ai ⋅ cϑi ⎤ ai ⋅ sϑi ⎥⎥ di ⎥ ⎥ 1 ⎦
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Výsledek Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
člen 1 2 3
υi υ1 υ2 0
⎡cϑ1 ⎢ sϑ 1 3 ⎢ T = 0 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
di d1 d2 d3
ai 0 0 0
0 0
− sϑ1 + cϑ1
−1
0
0
0
αi -90° 90° 0
⎡cϑi ⎢ sϑ i ⎢ i i −1T = ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
0 ⎤ ⎡cϑ2 0 ⎥⎥ ⎢⎢ sϑ2 ⋅ d1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 1⎦ ⎣ 0
− sϑi ⋅ cα i cϑi ⋅ cα i
sϑi ⋅ sα i − cϑi ⋅ sα i
sα i
cα i
0
0
0 sϑ2 0 − cϑ2 1
0
0
0
0 ⎤ ⎡1 0 ⎥⎥ ⎢⎢0 ⋅ d 2 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 1 ⎦ ⎣0
ai ⋅ cϑi ⎤ ai ⋅ sϑi ⎥⎥ di ⎥ ⎥ 1 ⎦
0⎤ 0 ⎥⎥ 0 1 d3 ⎥ ⎥ 0 0 1⎦
0 0 1 0
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Výsledek Denavit Hartenberg Krok za krokem Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
⎡cϑ1 ⎢ sϑ 1 3 ⎢ T = 0 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
0 0
− sϑ1 + cϑ1
−1
0
0
0
⎡cϑ1 ⋅ cϑ2 ⎢ sϑ ⋅ cϑ 1 2 3 ⎢ T = 0 ⎢ − sϑ2 ⎢ ⎣ 0
0 ⎤ ⎡cϑ2 0 ⎥⎥ ⎢⎢ sϑ2 ⋅ d1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 1⎦ ⎣ 0
− sϑ1 cϑ1 ⋅ sϑ2 cϑ1 sϑ1 ⋅ sϑ2 0
cϑ2
0
0
0 sϑ2 0 − cϑ2 1
0
0
0
0 ⎤ ⎡1 0 ⎥⎥ ⎢⎢0 ⋅ d 2 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 1 ⎦ ⎣0
0⎤ 0 ⎥⎥ 0 1 d3 ⎥ ⎥ 0 0 1⎦
0 0 1 0
d 3 ⋅ cϑ1 ⋅ sϑ2 − d 2 ⋅ sϑ1 ⎤ d 3 ⋅ sϑ1 ⋅ sϑ2 + d 2 ⋅ cϑ1 ⎥⎥ ⎥ d 3 ⋅ cϑ2 + d1 ⎥ 1 ⎦
Denavit Hartenbergova transformace Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření
Pod ěkování Poděkování Denavit Hartenberg Krok za krokem
Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247
Několik poznámek Příkládek Příklad 2D Příklad 3D
Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
