Úvod do mechatroniky, robotiky

´ Uvod do mechatroniky, robotiky a syst´ em˚ uˇ r´ızen´ı pohybu

ˇ Martin Goubej, Martin Svejda, Miloˇs Schlegel Katedra Kybernetiky Západoˇceská univerzita v Plzni

Skriptum pro studenty doktorsk´ ych program˚ u v oboru automatické ˇr´ızen´ı Kvˇeten 2012

Abstrakt

C´ılem tohoto textu je poskytnout vˇseobecn´ y pˇrehled problematiky návrhu systém˚ u automatického ˇr´ızen´ı pro mechatronické aplikace. V u ´vodu jsou nast´ınˇeny z´ akladn´ı okruhy problém˚ u, dále je podán struˇcn´ y pˇrehled typick´ ych aplikac´ı. Druh´ a kapitola je vˇenov´ ana detailn´ımu popisu obecného systému ˇr´ızen´ı pohybu. Je definov´ ana u ´loha ˇr´ıdic´ıho systému a jeho ˇclenˇen´ı do dvou základn´ıch vrstev gener´ atoru trajektorie a regulátoru pohybu. Pro obˇe tyto u ´rovnˇe je uveden pˇrehled problém˚ u spojen´ ych s jejich návrhem. Pozornost je venov´ ana zejména problematice generován´ı trajektorie. Popsány jsou v praxi nejˇcastˇejˇs´ı u ´lohy ˇr´ızen´ı pohybu v jedné ose, synchronizovaného pohybu s elektronickou vaˇckou a koordinovaného pohybu ve v´ıce osách. Diskutovány jsou moˇznosti pouˇzit´ı po ˇcástech polynomiáln´ıch a racionáln´ıch interpolac´ı ˇ sen je problém flukve formˇe spline funkc´ı pro definici trajektori´ı pohybu. Reˇ tuac´ı rychlosti posuvu zp˚ usoben´ y nepˇrirozenou parametrizac´ı interpolaˇcn´ı funkce. V z´ avˇeru kapitoly jsou uvedeny základn´ı pˇr´ıstupy k ˇreˇsen´ı problému ˇcasovˇe optim´ aln´ıho ˇr´ızen´ı pro v´ıceosé systémy. Tˇret´ı kapitola je pojata jako obecn´ y u ´vod do robotiky se zamˇeˇren´ım na pr˚ umyslové robotické manipulátory. V u ´vodu jsou prezentovány základn´ı ˇ sen je problém urˇcen´ı pˇr´ıstupy k modelov´ an´ı a popisu pohybu robot˚ u. Reˇ polohov´ ych z´ avislost´ı manipulátor˚ u a metody pro v´ ypoˇcet pˇr´ımé a inverzn´ı kinematické u ´lohy. Srovnávány jsou sériové a paraleln´ı architektury manipul´ ator˚ u. Dalˇs´ı ˇc´ ast kapitoly je vˇenována diferenciáln´ı kinematice a ˇreˇsen´ı pohybov´ ych z´ avislost´ı rychlost´ı a zrychlen´ı pro sériové a paraleln´ı manipul´ atory. Pozornost je dále vˇenována singulárn´ım polohám. V závˇeru jsou prezentov´ any numerické metody pro ˇreˇsen´ı u ´loh inverzn´ı kinematiky manipul´ ator˚ u.

Skriptum slouˇz´ı jako doplˇ nkov´ y text pro studenty doktorsk´ ych program˚ u v oboru automatického ˇr´ızen´ı na Katedˇre Kybernetiky s c´ılem poskytnout vˇseobecn´ yu ´vod do rozs´ ahlé problematiky návrhu mechatronick´ ych systém˚ u. Detaily jednotliv´ ych metod a algoritm˚ u, pˇr´ıpadnˇe pˇr´ıklady konkrétn´ıch aplikac´ı lze nalézt v literatuˇre, jej´ıˇz v´ yˇcet je uveden v seznamu referenc´ı.

vi

Obsah Seznam obr´ azk˚ u

xi

1 Mechatronika - oblast aplikac´ı vloˇ zen´ eho ˇ r´ızen´ı

1

ˇ ızen´ı pohybu v mechatronick´ 2 R´ ych syst´ emech ´ 2.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7

2.2

Senzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3

Aktu´ atory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4

Elektrické pohony jako aktuátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.5

Automatick´ a regulace v systémech ˇr´ızen´ı pohybu . . . . . . . . . . . . .

17

2.5.1

Gener´ ator trajektorie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.5.2

Regul´ ator pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Robotické manipul´ atory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.6.1

Struktura robotick´ ych manipulátor˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ R´ızen´ı pohybu robotick´ ych manipulátor˚ u . . . . . . . . . . . . .

25

CNC obr´ abˇec´ı systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3 Generov´ an´ı trajektorie pohybu ˇ ızen´ı pohybu v jedné ose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 R´ ˇ 3.1.1 Casovˇ e optim´ aln´ı pohyb z bodu do bodu . . . . . . . . . . . . . .

33

2.6

2.6.2 2.7

3.1.2 3.2 3.3

27

33 34

Spojit´ y pohyb po zadané trajektorii . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Synchronizovan´ y pohyb - elektronické vaˇcky a pˇrevodovky . . . . . . . .

47

3.2.1

Syntéza profilu elektronické vaˇcky . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Koordinovan´ y pohyb ve v´ıce osách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.3.1

Souˇradné systémy a jejich transformace . . . . . . . . . . . . . .

53

3.3.2

Druhy pohybu u v´ıceos´ ych systém˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . .

56

vii

OBSAH

3.3.3

Metody interpolace pro popis trajektori´ı pohybu . . . . . . . . .

58

3.3.4

Omezen´ı fluktuac´ı zp˚ usoben´ ych nepˇrirozenou parametrizac´ı . . . ˇ Casovˇ e optim´ aln´ı pohyb podél zvolené trajektorie . . . . . . . . .

71

3.3.5

´ 4 Uvod do robotiky

76 91

4.1

Robotika jako v´ yznamn´ y obor mechatroniky . . . . . . . . . . . . . . . .

91

4.2

Robotické manipul´ atory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

4.3

C´ıle pr´ ace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

4.4

Pouˇzité architektury manipul´ ator˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5

4.4.1

Antropomorfn´ı manipulátor se sférick´ ym zápˇest´ım (AM+SZ) . . 101

4.4.2

Paraleln´ı plan´ arn´ı manipulátor (PPM) . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4.3

Paraleln´ı sférické z´ apˇest´ı (PSZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Kinematika manipul´ ator˚ u: Modelován´ı, polohové závislosti . . . . . . . . 106 4.5.1

Reprezentace obecného pohybu v robotice . . . . . . . . . . . . . 107 4.5.1.1

4.5.2

4.6

Reprezentace polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5.1.2 Reprezentace rychlosti a zrychlen´ı . . . . . . . . . . . . 114 ´ Umluvy pro popis kinematiky manipulátor˚ u . . . . . . . . . . . . 116 4.5.2.1

Denavit-Hartenbergova u ´mluva (D-H) . . . . . . . . . . 116

4.5.2.2

Khalil-Kleinfingerova u ´mluva (K-K) . . . . . . . . . . . 120

Polohové z´ avislosti manipul´ ator˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.6.1

Pˇr´ım´ y kinematick´ y problém pro sériové manipulátory . . . . . . 128

4.6.2

Inverzn´ı kinematick´ y problém pro sériové manipulátory . . . . . 131 4.6.2.1

Pˇr´ımé analytické ˇreˇsen´ı jednoduch´ ych architektur manipul´ ator˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.6.2.2

Specializované metody pro ˇreˇsen´ı konkrétn´ıch variant architektur manipulátor˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.6.2.3 4.7

Metody pro ˇreˇsen´ı obecn´ ych architektur manipulátor˚ u . 143

Paraleln´ı manipul´ atory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.7.1

Dekompozice paraleln´ıho mechanismu na nezávislé uzavˇrené kinematické ˇretˇezce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.7.2

4.7.1.1

Pˇr´ım´ y kinematick´ y problém . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.7.1.2

Inverzn´ı kinematick´ y problém

. . . . . . . . . . . . . . 152

Dekompozice paraleln´ıho mechanismu na sériové manipulátory . 153

viii

OBSAH

4.8

4.9

4.7.2.1

Inverzn´ı kinematick´ y problém

. . . . . . . . . . . . . . 155

4.7.2.2

Pˇr´ım´ y kinematick´ y problém . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Kinematika manipul´ ator˚ u: Závislosti rychlost´ı a zrychlen´ı . . . . . . . . 186 4.8.1

Z´ avislosti rychlosti pro sériové manipulátory . . . . . . . . . . . 188

4.8.2

Z´ avislosti zrychlen´ı pro sériové manipulátory . . . . . . . . . . . 194

4.8.3

Z´ avislosti rychlosti a zrychlen´ı pro paraleln´ı manipulátory . . . . 200

4.8.4

Singul´ arn´ı polohy manipulátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Numerick´ y pˇr´ıstup ˇreˇsen´ı kinematiky manipulátor˚ u . . . . . ´ pro neredundantn´ı manipulátory . . . . . . . . 4.9.1 IKU ´ pro redundantn´ı manipulátory . . . . . . . . . . 4.9.2 IKU ´ pro polohy manipulátoru v bl´ızkosti singularit . 4.9.3 IKU 4.9.4

. . . . . . . 207 . . . . . . . 209 . . . . . . . 211 . . . . . . . 214

Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

5 Z´ avˇ er

221

Literatura

223

ix

OBSAH

x

Seznam obr´ azk˚ u 1.1

Mechatronika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Aplikace mechatronick´ ych systém˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Aktivn´ı tlumen´ı vibrac´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

Hardware in the loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1

Struktura systému ˇr´ızen´ı pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2

Inteligentn´ı senzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3

11

2.4

Pohony a aktu´ atory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Urovnˇ e ˇr´ıdic´ıho systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

Struktura regul´ atoru pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.6

25

2.7

Sériov´ a a paraleln´ı struktura robotick´ ych manipulátor˚ u. . . . . . . . . . ˇ ızen´ı robotick´ R´ ych manipulátor˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8

CNC obr´ abˇec´ı systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.1

ˇ Casovˇ e optim´ aln´ı pohyb v jedné ose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2

Pohyb po spojité trajektorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.3

B´ azové funkce pro kvintick´ y uniformn´ı B-spline . . . . . . . . . . . . . .

45

3.4

Elektronick´ a vaˇcka a pˇrevodovka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.5

Camedit - editor vaˇckov´ ych profil˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.6

Souˇradné systémy v´ıceosého stroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.7

Pohyby v´ıceos´ ych systém˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.8

Pohyby typu Multi-point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ ızen´ı s´ıly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R´

57 58

3.10 Konstrukce B-spline bázov´ ych funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.11 Dvourozmˇern´ a NURBS funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.9

xi

17

28

´ ˚ SEZNAM OBRAZK U

3.12 NURBS interpolace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

3.13 Korekˇcn´ı polynomi´ aln´ı funkce pro NURBS . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

3.14 Generov´ an´ı profilu posuvu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ 3.15 Casovˇ e optim´ aln´ı profil posuvu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ 3.16 Casovˇ e optim´ aln´ı pohyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 85

4.1

Pouˇz´ıvané typy kloub˚ u (zleva P, R, U, S) . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

4.2

Prvn´ı sériov´ y pr˚ umyslov´ y manipulátor Unimate . . . . . . . . . . . . . .

96

4.3

Pravdˇepodobnˇe prvn´ı paraleln´ı manipulátor Jamese Gwinnetta . . . . .

97

4.4

Goughova-Stewartova platforma (1954) a Stewartova platforma (1965) .

98

4.5

Nejzn´ amˇejˇs´ı typy pr˚ umyslov´ ych manipulátor˚ u . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.6

Antropomorfn´ı manipul´ ator se sférick´ ym zápˇest´ım . . . . . . . . . . . . 102

4.7

Paraleln´ı plan´ arn´ı manipul´ ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.8

Paraleln´ı sférické z´ apˇest´ı

4.9

Vyuˇzit´ı paraleln´ıho sférického zápˇest´ı (PM) v pr˚ umyslové aplikaci. . . . 105

88

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.10 Transformace souˇradn´ ych systém˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.11 Simulaˇcn´ı schémata generov´ an´ı polohy s.s. F2 vzhledem k s.s. F1 (parametr (0) oznaˇcuje poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınky integrátor˚ u) . . . . . . . . . . . . 115 4.12 D-H u ´mluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.13 Zaveden´ı souˇradn´ ych systém˚ u pro AM+SZ dle D-H u ´mluvy . . . . . . . 119 4.14 D-H u ´mluva vedouc´ı na nejednoznaˇcnost v definici souˇradn´ ych systém˚ u pˇri pouˇzit´ı na rozvˇetvené kinematické ˇretˇezce . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.15 K-K u ´mluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.16 Khalil-Kleinfingerova u ´mluva pro rozvˇetvené kinematické ˇretˇezce . . . . 125 4.17 Zaveden´ı souˇradn´ ych systém˚ u pro AM+SZ dle K-K u ´mluvy . . . . . . . 127 4.18 Princip kompenzac´ı manipul´ atoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.19 Pˇr´ım´ a kinematick´ au ´loha pro SM+SZ (model v SimMechanicsu) . . . . 130 4.20 Translaˇcn´ı ˇc´ ast AM+SZ (zaveden´ı s.s. dle D-H u ´mluvy, viz Pˇr´ıklad 4.1) 132 ´ pro plan´ 4.21 IKU arn´ı sériov´ y manipulátor typu RR . . . . . . . . . . . . . . 133 ´ pro translaˇcn´ı ˇcást AM+SZ . . . . . . . . . . . . . . 135 4.22 Moˇzn´ a ˇreˇsen´ı IKU ´ sférické z´ 4.23 IKU apˇest´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 ´ pro kinematick´ 4.24 Dvˇe moˇzn´ a ˇreˇsen´ı IKU y ˇretˇezec PSZ . . . . . . . . . . . 137 4.25 Sférické z´ apˇest´ı (obecn´ y pˇr´ıpad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

xii


4.26 Paraleln´ı manipul´ atory a jejich reprezentace pomoc´ı planárn´ıho grafu s urˇcen´ım poˇctu nez´ avisl´ ych uzavˇren´ ych kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u (podtrˇzen´ı oznaˇcuje aktivn´ı klouby manipulátoru) . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.27 Princip rozpojen´ı uzavˇreného kinematického ˇretˇezce . . . . . . . . . . . 150 4.28 Paraleln´ı manipul´ atory a jejich reprezentace pomoc´ı planárn´ıho grafu (staticky neurˇcené uzavˇrené kinematické ˇretˇezce) . . . . . . . . . . . . . 154 ˇ sen´ı IKU ´ obecného paraleln´ıho manipulátoru . . . . . . . . . . . . . . 155 4.29 Reˇ 4.30 Coupler curve Σ (ˇcernˇe) a kˇrivka Γ odpojeného kinematického ˇretˇezce PPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.31 3RRR plan´ arn´ı paraleln´ı manipulátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.32 Plan´ arn´ı 4-ramenn´ y mechanismus (coupler manipulátoru) . . . . . . . . 164 4.33 Coupler curve - kˇrivka Γ (ˇcervenˇe) a kˇrivka Σ (ˇcernˇe) s vyznaˇcenou polohou koncového efektoru 3RRR planárn´ıho paraleln´ıho manipuláˇ arkovanˇe jsou vyznaˇceny trajektorie pohybu ramen planárn´ıho toru. C´ ´ 168 4-ramenného mechanismu. Obrázek demonstruje 6 r˚ uzn´ ych ˇreˇsen´ı PKU. 4.34 Moˇzné kombinace kinematick´ ych ˇretˇezc˚ uu ´plného neredundantn´ıho plan´ arn´ıho paraleln´ıho manipulátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.35 Delta robot, CAD model (vlevo) a skuteˇcn´ y v´ yrobek firmy Abb. . . . . 172 4.36 Nejzn´ amˇejˇs´ı zjednoduˇsené architektury (mechanismy) prostorov´ ych paraleln´ıch manipul´ ator˚ u SSM, TSSM a jeho speciáln´ı pˇr´ıpad MSSM. . . . 173 4.37 Dekompozice TSSM mechanismu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.38 Ekvivalence mezi PSZ a TSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 √ p 4.39 Odvozen´ı matice rotace Rbi , ρ1 = 33 a1 , kC i O e k = ρ21 + (v − di )2 . . . 176 √

4.40 Pr˚ useˇc´ık koul´ı Ki a Ke definuj´ıc´ı kruˇznice ki , ρ2 = 33 a2 . . . . . . . . . 176 ˇ sen´ı PKU ´ pro PSZ, ˇcervenˇe jsou vyznaˇceny moˇzné trajektorie pˇr´ıpoj4.41 Reˇ n´ ych bod˚ u D i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.42 Speci´ aln´ı pˇr´ıpady SSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 4.43 Odvozen´ı rychlosti z˙ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 4.44 Projekce rychlost´ı v kinematickém ˇretˇezci PSZ (u je jednotkov´ y smˇerov´ y vektor aktu´ ator˚ u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4.45 Sériové singul´ arn´ı polohy AM+SZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 4.46 Paraleln´ı singul´ arn´ı polohy PSZ, vektory O e D i b × C i D i b jsou lineárnˇe z´ avislé (leˇz´ı v jedné rovinˇe se vzájemn´ ym pootoˇcen´ım o 23 π) . . . . . . . 206

xiii


4.47 PSZ souˇcasnˇe v sériové i paraleln´ı singulárn´ı poloze, α = β = γ = 0, n´ avrhové parametry ξ jsou odliˇsné od pˇredchoz´ıho pˇr´ıpadu, vektory (O e D i b × C i D i b ) jsou line´ arnˇe závislé, vektory C i D i a u jsou kolmé . . 206 4.48 Prostory generované vlastn´ımi vektory jakobiánu J . . . . . . . . . . . . 209

xiv

1

Mechatronika - oblast aplikac´ı vloˇ zen´ eho ˇ r´ızen´ı Název

mechatronika“ byl poprvé pouˇzit v roce 1969 japonsk´ ym inˇzen´ yrem firmy ” Yaskawa, kter´ a vyr´ ab´ı elektrické servopohony a dalˇs´ı automatizaˇcn´ı techniku. Mechatronika sjednocuje principy mechaniky, elektroniky, optiky, informatiky a automatického ˇr´ızen´ı za u ´ˇcelem konstruov´ an´ı jednoduˇsˇs´ıch, u ´ˇcinnˇejˇs´ıch a spolehlivˇejˇs´ıch systém˚ u. (viz [1, 2, 3, 4]) Integrovan´ y elektrick´ y pohon, pr˚ umyslov´ y robot, automobilov´ y ABS systém, pevn´ y disk, digit´ aln´ı fotoapar´ at jsou vhodné pˇr´ıklady takov´ ych systém˚ u, nebot’ obsahuj´ı mechanické, elektronické, v´ ypoˇcetn´ı a ˇr´ıdic´ı komponenty a dosahuj´ı dˇr´ıve nev´ıdan´ ych moˇznost´ı. Mezi vˇsemi discipl´ınami mechatroniky (viz obr.1) má v´ yjimeˇcné postaven´ı technick´ a kybernetika a speci´ alnˇe automatické ˇr´ızen´ı (Control Systems), které dodáv´ a mechatronick´ ym systém˚ um skryt´ y d˚ umysl. To se projevuje postupn´ ym pˇrechodem od mechanick´ ych funkc´ı k funkc´ım realizovan´ ym elektronick´ ymi programovateln´ ymi prostˇredky, které je nahrazuj´ı v dokonalejˇs´ı podobˇe a nebo jsou dokonce zcela nové, mechanicky nerealizovatelné. Zaˇrazen´ım senzor˚ u, aktuátor˚ u a pokroˇcil´ ych algoritm˚ u zpˇetnovazebn´ıho ˇr´ızen´ı do mechanick´ ych soustav lze totiˇz ”mˇenit”zákony mechaniky a t´ım docilovat dramatického zv´ yˇsen´ı kvality mechatronického produktu. Napˇr´ıklad zaˇrazen´ım piezo-senzor˚ u a aktu´ ator˚ u a zaveden´ım pˇr´ısluˇsné zpˇetné vazby lze zv´ yˇsit tuhost pruˇzn´ ych mechanick´ ych soustav nebo ekvivalentnˇe zmˇenit jejich vlastn´ı frekvence kmitán´ı. Takov´ a (skryt´ a) modifikace dynamiky m˚ uˇze b´ yt vnˇejˇs´ım pozorovatelem interpretována pouze jako podivuhodn´ a zmˇena fyzikáln´ıch zákon˚ u. Takovéto systémy jsou ˇcasto naz´ yvány aktivn´ımi mechanickými soustavami [3], protol’e zmˇeny mechanick´ ych vlastnost´ı

1

ˇ ´ ˇ´ 1. MECHATRONIKA - OBLAST APLIKAC´ I VLOZEN EHO R IZEN´ I

p˚ uvodnˇe pasivn´ıho systému je zde dosal’eno aktivn´ım p˚ usoben´ım nˇejakého pomocného zdroje energie.Tˇesn´ a vazba mezi komunitou odborn´ık˚ u pracuj´ıc´ıch v oboru automatického ˇr´ızen´ı a mechatronikou je vyj´ adˇrena také zaloˇzen´ım nového ˇcasopisu Mechatronics (Elsevier Ltd.) v roce 1991 ˇcleny spoleˇcnosti IFAC (International Federation of Autoˇ matic Control). Casopis publikuje kvalitn´ı pˇr´ıspˇevky s orientac´ı na praktické aplikace. Jeho souˇcasn´ y impaktn´ı faktor je 1.434. Pˇredpokládá se, ˇze autory pˇr´ıspˇevk˚ u budou jak pˇr´ısluˇsn´ıci akademické obce tak odborn´ıci z praxe. Dalˇs´ım ˇspiˇckov´ ym ˇcasopisem v této oblasti je Transaction on Mechatronics vydávan´ y následuj´ıc´ımi spoleˇcnostmi IEEE Industrial Electronic Society, IEEE Robot´ıce and Automation Society a ASME Dynamic and Control Division.

Obr´ azek 1.1: Mechatronika - jednotlivé obory a discipl´ıny

Kl´ıˇcové problémy souˇcasné mechatroniky jsou vyvolány snahou zv´ yˇsit kvalitu uˇzitn´ ych vlastnost´ı mechatronick´ ych produkt˚ u, kvalitu jejich implementace a jednoduchost provozován´ı a u ´drˇzby. K zlepˇsen´ı uˇzitn´ ych vlastnost´ı je obvykle tˇreba rozˇs´ıˇrit a zkvalitnit soubor senzor˚ u (virtu´ aln´ıch senzor˚ u) a akˇcn´ıch ˇclen˚ u ˇr´ıdic´ıho systému, vyvinout a implementovat nové pokroˇcilé algoritmy ˇr´ızen´ı s vestavˇen´ ymi funkcemi automatického naladˇen´ı parametr˚ u a autokalibrac´ı, automatick´ ym uˇcen´ım, diagnostikou a komunikac´ı. Pro rychlou a kvalitn´ı implementaci potˇrebujeme v´ yvojové nástroje pro návrh, simulaci a implementaci mechanické i ˇr´ıdic´ı ˇc´ asti systému a v´ ykonn´ y hardware (DSP, FPGA, PLC, PAC). Koneˇcnˇe pro snazˇs´ı provozován´ı a u ´drˇzbu potˇrebujeme kvalitn´ı interface ˇclovˇek-stroj a kompatibiln´ı komunikaci. D˚ uleˇzité je aby jednotlivé ˇcásti systému vytváˇrely synergetick´ y efekt.

2

Obr´ azek 1.2: Aplikace mechatronick´ ych syst´ em˚ u - pˇrehled podle R. Isermanna [3]

Oblast mechatroniky pokr´ yvá ˇsiroké spektrum aplikac´ı od spotˇrebn´ı elektroniky pˇres stroj´ırenstv´ı, energetiku, automobilov´ y pr˚ umysl aˇz po dopravu a letectv´ı (viz Obr. 1.2). V dalˇs´ı ˇc´ asti u ´vodu se pokus´ıme struˇcnˇe charakterizovat nˇekteré v´ yznamnˇejˇs´ı oblasti mechatroniky, kter´ ym je v posledn´ı dobˇe vˇenována pozornost. Poznamenejme vˇsak, ˇze tento v´ ybˇer je velmi omezen´ y a subjektivn´ı. Detailn´ı pˇrehled mechatronick´ ych systém˚ u jako inovativn´ıch produkt˚ u s vestavˇen´ ym ˇr´ıdic´ım systémem lze nalézt napˇr. v publikac´ıch [1, 3, 4]. D´ ale uved’me nˇekolik typick´ ych aplikac´ı mechatroniky demonstruj´ıc´ı koncepty vloˇzeného ˇr´ızen´ı a simultánn´ıho inˇzen´ yrstv´ı.

Mikro a nano elektromechanick´ e syst´ emy (MEMS, NEMS) V souˇcasné dobˇe doch´ az´ı téˇz k dramatickému pokroku v oblasti mikrosenzor˚ u a mikroaktu´ ator˚ u zaloˇzen´ ych na technologi´ıch MEMS/NEMS (mikro/nano electro mechanical systems). V poˇc´ ateˇcn´ı f´ azi kolem roku 1990 existovaly individuáln´ı sn´ımaˇce v jednom ˇcipu, napˇr´ıklad automobilov´ y havarijn´ı detektor pro airbag nebo tlakov´ y senzor pro spalovac´ı motory. Na poˇc´ atku nového tis´ıcilet´ı jiˇz existovaly integrované v´ıcenásobné senzory s CAN nebo dalˇs´ımi typy komunikac´ı na kartˇe s tiˇstˇen´ ymi spoji. Pozdˇeji v této podobˇe byly k dispozici jednotky pro dynamické ˇr´ızen´ı vozidla (VDC-vehicle dynamic

3


control), stabilizaci vozidla (ESP-electronic stability program) a monitorován´ı tlaku v pneumatik´ ach (TPMS- tire pressure monitoring system). Aˇckoliv velikost takov´ ych jednotek nen´ı obvykle vˇetˇs´ı neˇz krabiˇcka cigaret v posledn´ı dobˇe pokraˇcuje dalˇs´ı proces miniaturizace. Snaha je celé tyto obvody integrovat do jednoho ˇcipu. V této podobˇe jiˇz existuj´ı MEMS akcelerometry, gyroskopy a téˇz celé 3-osové inerciáln´ı mˇeˇr´ıc´ı jednotky (IMU- 3-axis inertial measurement unit).

Pr˚ umysl motorov´ ych vozidel (Automotive industry) Jedno z kl´ıˇcov´ ych odvˇetv´ı pr˚ umyslu, kde mechatronické systémy nalezly ˇsiroké uplatnˇen´ı. Ne´ upln´ y seznam aplikac´ı zde obsahuje: elektronické ˇr´ızen´ı v´ ykonu, aktivn´ı ˇr´ızen´ı automobilu, automatické pˇrevodovky, mechatronické brzdové systémy (ABS, ESP, EHB, EMB), ”drive-by-wire”systémy, regulace rychlosti j´ızdy a odstupu, aktivn´ı odpruˇzen´ı, trakˇcn´ı ˇr´ızen´ı vlak˚ u, elektro-hydraulické brzdˇen´ı, vstˇrikovac´ı systémy pro dieselové a plynové motory.

Aktivn´ı tlumen´ı vibrac´ı mechanick´ ych soustav Vlivem r˚ uzn´ ych pˇr´ıˇcin doch´ az´ı k neˇz´ adouc´ımu vybuzen´ı vlastn´ıch frekvenc´ı mechanick´ ych soustav. C´ılem aktivn´ıho tlumen´ı vibrac´ı je bud’ modifikace bud´ıc´ı s´ıly tak, aby k vybuzen´ı vlastn´ıch m´ od˚ u v˚ ubec nedoˇslo anebo potlaˇcen´ı vibrac´ı zpˇetnou vazbou. V prvém pˇr´ıpadˇe je bud´ıc´ı sign´ al nejprve tvarován takzvan´ ym vstupn´ım tvarovac´ım filtrem, kter´ y potlaˇc´ı vˇsechny frekvence odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ım frekvenc´ım buzené soustavy. Takov´ ym zp˚ usobem m˚ uˇzeme napˇr´ıklad zabránit neˇzádouc´ım kmit˚ um bˇremene zavˇeˇseného na lanˇe port´ alového jeˇr´ abu. Poˇzadovaná rychlost v ose x a y je nejprve zpracována vhodn´ ym vstupn´ım tvarovac´ım filtrem a teprve poté poslána na vstup regulátoru rychlosti pˇr´ısluˇsné osy. V´ ysledek je pˇrekvapuj´ıc´ı, po ukonˇcen´ı pohybu je bˇremeno v klidu bez neˇzádouc´ıch rezidu´ aln´ıch vibrac´ı. V druhém pˇr´ıpadˇe je m´ısto kompenzaˇcn´ıho ˇr´ızen´ı pouˇzito zpˇetnovazebn´ı ˇr´ızen´ı. Pruˇzn´ a mechanická konstrukce mus´ı nyn´ı b´ yt dovybavena souborem ˇcidel (akcelerometr˚ u), akˇcn´ıch ˇclen˚ u (napˇr. piezoaktuátor˚ u) a ˇr´ıdic´ı jednotkou s vhodn´ ymi algoritmy ˇr´ızen´ı. Jejich návrh je netriviáln´ı záleˇzitost a je zaloˇzen na metodách pˇriˇrazen´ı p´ ol˚ u, line´ arn´ım optimáln´ım regulátoru (LQR), metodˇe H∞ , metodˇe ˇr´ızen´ı v klouzavém reˇzimu, rekonstrukci stavu lineárn´ıho systému (Kalman˚ uv filtr) atd. Jako pˇr´ıklad uved’me potlaˇcen´ı torzn´ıch vibrac´ı hˇr´ıdele obrábˇec´ıho stroje stavovou zpˇetnou vazbou (obr.4). Poznamenejme, ˇze vyznaˇcené u ´hly natoˇcen´ı stejnˇe jako pˇr´ısluˇsné

4

u ´hlové rychlosti nemus´ı b´ yt nutnˇe pˇr´ımo mˇeˇritelné, ale je moˇzné m´ısto nich pouˇz´ıt jejich odhad pˇr´ısluˇsn´ ym rekonstruktorem stavu.

Obr´ azek 1.3: Aktivn´ı tlumen´ı vibrac´ı - ˇr´ızen´ı pohybu pruˇzné hˇr´ıdele

Metoda ”Hardware in the loop”(HWIL) Bˇehem posledn´ıch desetilet´ı doˇslo k obrovskému zv´ yˇsen´ı v´ ypoˇcetn´ıho v´ ykonu procesor˚ u a v d˚ usledku toho k masivn´ımu vyuˇz´ıván´ı poˇc´ıtaˇcové simulace bˇehem vˇsech fáz´ı v´ yvoje nov´ ych stroj˚ u a zaˇr´ızen´ı. Souˇcasnˇe bylo zavedeno hojné vyuˇz´ıván´ı pˇr´ıstupu hardware-inthe-loop jako levnˇejˇs´ı varianty v´ yvoje sloˇzit´ ych inˇzen´ yrsk´ ych systém˚ u. HWIL simulace je simulace v re´ alném ˇcase, kde jedna ˇcást systému je simulována numericky a druhá ˇcást (obvykle sloˇzitˇejˇs´ı a obt´ıˇznˇejˇs´ı pro numerickou simulaci) je vloˇzena v reálné hardwarové podobˇe. Tato efektivn´ı technika naˇsla svoje uplatnˇen´ı pˇredevˇs´ım v rychlém návrhu prototyp˚ u (rapid prototyping) a testován´ı nov´ ych komponent. Jako ilustrace tohoto pˇr´ıstupu a softwarov´ ych n´ astroj˚ u vhodn´ ych pro tento u ´ˇcel je uveden propagaˇcn´ı obrázek viz obr. materi´ al˚ u firmy Humusoft. O dvou podle naˇseho soudu d˚ uleˇzit´ ych oblastech mechatroniky, kter´ ymi se téˇz inˇ v Plzni, FAV, KKY), tj. o ˇr´ızen´ı pohybu a tenzivnˇe zab´ yv´ a pracoviˇstˇe autor˚ u (ZCU robotice bude podrobnˇeji pojednáno v následuj´ıc´ıch kapitolách tohoto textu.

5


Obr´ azek 1.4: Hardware in the loop - princip simulace s vyuˇzit´ım softwarov´ ych nástroj˚ u Matlab a hardwaru dSpace

6

2

ˇ ızen´ı pohybu R´ v mechatronick´ ych syst´ emech 2.1

´ Uvod

Problematika ˇr´ızen´ı pohybu je jedn´ım z kl´ıˇcov´ ych odvˇetv´ı v oblasti mechatronick´ ych systém˚ u a objevuje se v celé ˇradˇe aplikac´ı, od robotiky, pr˚ umyslov´ ych v´ yrobn´ıch linek, pˇres dopravu, letectv´ı aˇz po bio-medic´ınské aplikace a kosmick´ y v´ yzkum. Základn´ım principem je propojen´ı mechanick´ ych komponent s elektronick´ ymi prvky a pˇridán´ı inteligence ve formˇe ˇr´ıdic´ıho systému. Toto spojen´ı pˇrináˇs´ı zv´ yˇsen´ı spolehlivosti a v´ ykonu celého zaˇr´ızen´ı, redukci n´ aklad˚ u na v´ yrobu a u ´drˇzbu a moˇznosti implementace zcela nov´ ych pokroˇcil´ ych funkc´ı a vlastnost´ı. Tak jako v ostatn´ıch oblastech mechatroniky doch´ az´ı v systémech ˇr´ızen´ı pohybu k propojen´ı nˇekolika r˚ uzn´ ych vˇedn´ıch obor˚ u a technick´ ych discipl´ın (pohony a v´ ykonová elektronika, senzorika, teorie ˇr´ızen´ı, programován´ı a informatika). Z´ akladn´ı struktura je zobrazena na schématu (2.1). Systém vyuˇz´ıvá nejr˚ uznˇejˇs´ı senzory k z´ısk´ an´ı informac´ı o aktuáln´ım stavu urˇcit´ ych fyzikáln´ıch veliˇcin (poloha, rychlost, zrychlen´ı, s´ıla), které jsou nezbytné k jeho ˇr´ızen´ı. Takov´ yto senzor m˚ uˇze b´ yt bud’ fyzické mˇeˇr´ıc´ı zaˇr´ızen´ı, ve formˇe nˇejakého pˇrevodn´ıku nebo senzor virtuáln´ı - rekonstruktor stavu, kter´ y odhaduje hodnoty neznám´ ych veliˇcin, jejichˇz mˇeˇren´ı nen´ı pˇr´ımo dostupné. Na z´ akladˇe u ´daj˚ u ze senzor˚ u jsou vypoˇcteny potˇrebné akˇcn´ı zásahy, které jsou realizov´ any pomoc´ı akˇcn´ıch ˇclen˚ u - aktuátor˚ u. Funkci aktuátoru vykonáv´ a nejˇcastˇeji line´ arn´ı nebo rotaˇcn´ı pohon napojen´ y na mechanismus stroje a v´ ysledkem je pohyb mechanick´ ych ˇc´ ast´ı systému. Kl´ıˇcovou roli zde hraje ˇr´ıdic´ı systém. Kvalita

7

ˇ´ ´ ´ 2. R IZEN´ I POHYBU V MECHATRONICKYCH SYSTEMECH

ROZHRANÍ OBSLUHY Parametrizace, ovládání, vizualizace

ŘÍDICÍ SYSTÉM

SENZORY

AKTUÁTORY Pohyb aktuátoru

Poloha, rychlost, síla

PRACOVNÍ MECHANISMUS STROJE

Obr´ azek 2.1: Struktura syst´ emu ˇ r´ızen´ı pohybu

pouˇzit´ ych algoritm˚ u z´ asadn´ım zp˚ usobem ovlivˇ nuje funkci a v´ ykon celého zaˇr´ızen´ı. Jiˇz pˇri návrhu konstrukce je tˇreba br´ at zˇretel na zp˚ usob propojen´ı mechanick´ ych prvk˚ u s ostatn´ımi komponentami systému, na zam´ yˇslenou funkci celého zaˇr´ızen´ı a pˇredevˇs´ım na moˇznosti z hlediska jeho ˇr´ızen´ı. Jako pˇr´ıklad lze uvést problematiku návrhu robotick´ ych manipul´ ator˚ u, kde kinematika robotu rozhoduje o jeho dynamick´ ych vlastnostech, velikosti a tvaru pracovn´ıho prostoru, poˇctu a typu pouˇzit´ ych akˇcn´ıch ˇclen˚ u, moˇznostech v provádˇen´ı pohyb˚ u a dalˇs´ıch u ´kon˚ u atd. Nelze tedy od sebe oddˇelit proceduru návrhu mechanické ˇc´ asti od v´ ybˇeru elektrick´ ych a elektronick´ ych komponent a vytváˇren´ı algoritm˚ u v ˇr´ıdic´ım systému, ale vˇsechny tyto oblasti je tˇreba zohlednit jiˇz v poˇcáteˇcn´ı fázi vzniku nového zaˇr´ızen´ı. Teprve d˚ usledné uplatˇ nován´ı princip˚ u tzv. simult´ ann´ıho inˇzenýrstv´ı, kdy n´ avrh jednotliv´ ych subsystém˚ u prob´ıhá souˇcasnˇe s respektován´ım vˇsech vzájemn´ ych vztah˚ u a vazeb, lze dos´ ahnout synergického efektu, kdy v´ ysledn´ y produkt má vyˇsˇs´ı hodnotu nebo funkˇcnost neˇz pouhá suma jeho ˇcást´ı.

2.2

Senzory

Senzory zajiˇst’uj´ı mˇeˇren´ı aktu´ aln´ıch u ´rovn´ı veliˇcin, potˇrebn´ ych pro ˇr´ızen´ı systému. Podle vykonávané funkce je lze rozdˇelit do n´ asleduj´ıc´ıch kategori´ı [1, 2, 3, 5, 6, 7]:

8

positional value Electronic type label

General tolerances to DIN ISO 2768-m Dimensional drawing SRM50, spring mounting plate Ø 66 B

46 ±0.5

36.6 ±0.5

10

34 23 ±0.3

Max. fitting space

3.2 +0.1

51.8 ±0.4

60 -0.3

2.2 Senzory

65.5 -0.2

0.5

7.4 7.6

max. Ø 47

Ø8 f7 Ø5.5 h7 9.46 2° ±3 l M4

9.5

In case of stranded exit Stranded cab length approx 200 mm with earthing

55.8

A

General tolerances to DIN ISO 2768-m PIN and wire allocation PIN

Signal

Colour of Wires

Explanation

1

Us

red

Supply voltage 7 … 12 V

2

GND

blue

Ground connection

3

REFSIN

brown

Process data channel

4

REFCOS

black


5

Data +

grey or yellow

RS-485-parameter channel

8

+ COS

pink


Obr´ azek 2.2: Inteligentn´ı senzory se s´ eriovou6 komunikac´ ı –- Sin/cosgreen enkod´ er StegData or purple RS-485-parameter channel 7 + SIN white Process data channel mann, 3-os´ y akcelerometr Bosch Caution: To ensure proper function, the screen connection strand (200 mm) MUST be connected. It is included in the supply.

Senzory polohy

Us and GND are internally connected to the screen by capacitors of 2.2 nF.

Accessories Pouˇz´ıvaj´ı se v aplikac´ ıch, kdy je vyˇzadováno pˇresné polohován´ı pracovn´ıho mechanismu. Screening: Connection technology The encoder housing for the integrated encoder is connecFixing technology ˇ Cidlo je ˇcasto integrov´ ano pˇr´ımo do tˇela vlastn´ıho pohonu kde napˇr´ıkladteduto the elektronicky motor, via the torque support. The connection Programming tool

space is thus screened via the motor housing such that, wi

hin the connection space, unscreened connection strands komutovan´ ych elektrick´ ych motor˚ u zajiˇst’uje správnou funkci proudové/momentov´ e recan be used.

gulaˇcn´ı smyˇcky. Nejˇcastˇeji je pouˇz´ıván resolver nebo optick´ y sn´ımaˇc polohy. Resolver of view "B" funguje jako polohov´ y transformátor s primárn´ım Direction a sekund´ arn´ım vinut´ım. Primárn´ı

ˇcást je buzena harmonick´ ym napˇet´ım o vysoké frekvenci. Vlivem zmˇeny vzájemné in6 SICK-STEGMANN dukˇcnosti mezi obˇ ema vinut´ımi pˇri otáˇcen´ı rotoru je pak vyhodnocován u ´hel natoˇcen´ı

z pr˚ ubˇehu napˇet´ı na sekund´ arn´ı ˇcásti. Resolvery b´ yvaj´ı doplnˇeny integrovan´ ym obvodem, tzv. R/D pˇrevodn´ıkem (resolver-to-digital), kter´ y zprostˇredkovává informaci o absolutn´ı poloze v digit´ aln´ım formátu s pˇresnost´ı 10-12 bit˚ u. Optické sn´ımaˇce pracuj´ı na principu vys´ılaˇce a pˇrij´ımaˇce svˇetelného signálu, kter´ y procház´ı optickou mˇr´ıˇzkou. Stˇr´ıd´ an´ı matn´ ych a propustn´ ych oblast´ı pˇri otáˇcen´ı mˇr´ıˇzky zp˚ usobuje zmˇeny napˇet´ı v d˚ usledku zmˇeny mnoˇzstv´ı detekovaného svˇetla. Vyhodnocen´ım dvou navzájem f´ aˇ zovˇe posunut´ ych sign´ al˚ u ve tvaru obdéln´ıkov´ ych pulz˚ u lze urˇcit smˇer otáˇcen´ı. Cidla se vyr´ ab´ı jako absolutn´ı (jedno i v´ıceotáˇcková) nebo inkrementáln´ı. Rozliˇsen´ı dneˇsn´ıch optick´ ych sn´ımaˇc˚ u je ˇr´ adovˇe 10-13 bit˚ u na otáˇcku. Jeˇstˇe vyˇsˇs´ı pˇresnosti dosahuj´ı tzv. sin/cos enkodéry, kde sign´ al sn´ımaˇce má tvar dvou navzájem posunut´ ych harmonick´ ych funkc´ı. Vhodn´ ym interpolaˇcn´ım algoritmem lze pak odhadovat aktuáln´ı polohu i rychlost s vˇetˇs´ım rozliˇsen´ım. V aplikac´ıch s menˇs´ımi nároky na pˇresnost lze vyuˇz´ıt jednoduché magnetické sn´ımaˇce s Hallovo sondami, které detekuj´ı pˇribl´ıˇzen´ı magnetu ˇ upevnˇeného na rotor. Rozliˇsen´ı je v´ yraznˇe menˇs´ı neˇz u optick´ ych sn´ımaˇc˚ u. Cidla um´ıstˇen´ a v jednotliv´ ych pohonech stroje lze kromˇe vlastn´ıho ˇr´ızen´ı motor˚ u vyuˇz´ıt také

9

12-20


k odmˇeˇrován´ı polohy celého stroje. U v´ıceos´ ych systém˚ u (roboty, manipulátory, obrábˇec´ı stroje) je moˇzné polohu jednotliv´ ych os pˇrevést kinematickou transformac´ı na polohu koncové efektoru, kter´ a m´ a b´ yt ˇr´ızena. Nev´ yhodou uvedeného zp˚ usobu mˇeˇren´ı je kumulace vˇsech nepˇresnost´ı v mechanické konstrukci stroje, coˇz m˚ uˇze m´ıt za následek odchylku koncové polohy od skuteˇcné hodnoty. Pro zv´ yˇsen´ı pˇresnosti se tedy v nˇekter´ ych aplikac´ıch pˇrid´ avaj´ı dodateˇcná ˇcidla pro pˇr´ımé odmˇeˇrován´ı polohy efektoru. V tomto pˇr´ıpadˇe se uˇz´ıvaj´ı napˇr. lineárn´ı inkrementáln´ı sn´ımaˇce, laserové nebo magnetostrikˇcn´ı senzory. Senzory rychlosti Informace o aktu´ aln´ı rychlosti posuvu nebo otáˇcen´ı je pouˇz´ıvána na nejniˇzˇs´ı u ´rovni ˇr´ızen´ı pohybu jednotliv´ ych aktu´ ator˚ u. V dneˇsn´ı dobˇe se vˇetˇsinou nepouˇz´ıvá speciáln´ı sn´ımaˇc (dˇr´ıve napˇr. tachodynamo), ale rychlost je vypoˇctena z pr˚ ubˇeˇzného mˇeˇren´ı polohy nˇekter´ ym z v´ yˇse uveden´ ych senzor˚ u. Jednou z moˇznost´ı je prosté diferencován´ı signálu polohy, coˇz vˇsak pˇrin´ aˇs´ı vznik chyby v podobˇe kvantizaˇcn´ıho ˇsumu a zesilován´ı poruch mˇeˇren´ı vyskytuj´ıc´ıch se v oblasti vysok´ ych frekvenc´ı. Vypoˇctená rychlost tedy b´ yvá dodateˇcnˇe zpracov´ ana, nejˇcastˇeji frekvenˇcn´ım filtrem typu doln´ı propust. Alternativn´ım zp˚ usobem je pouˇzit´ı vhodného interpolaˇcn´ıho algoritmu, kter´ y napˇr´ıklad aproximuje nˇekolik posledn´ıch vzork˚ u polohy vhodnou hladkou funkc´ı nebo pouˇzit´ı rekonstruktoru stavu. Senzory zrychlen´ı Tyto sn´ımaˇce se pouˇz´ıvaj´ı nejˇcastˇeji u mobiln´ıch aplikac´ı (ˇr´ızen´ı pohybu autonomn´ıch robot˚ u, systémy j´ızdn´ı stability u automobilu atd.). Pracuj´ı na principu akcelerometr˚ u, které ve spojen´ı s vhodn´ ym vyhodnocovac´ım obvodem ˇr´ızen´ ym mikroprocesorem dokáˇz´ı vypoˇc´ıtat zrychlen´ı ve tˇrech os´ ach v prostoru. Kromˇe pˇr´ımého mˇeˇren´ı zrychlen´ı je lze vyuˇz´ıt také napˇr´ıklad pro detekci specifick´ ych událost´ı jako signalizace otˇres˚ u, volného pádu apod. Senzory s´ıly a momentu Taktiln´ı ˇcidla pracuj´ıc´ı na principu tenzometru se ˇcasto vyuˇz´ıvaj´ı v aplikac´ıch robotiky, kde stroj pˇrich´ az´ı do pˇr´ımého kontaktu s okoln´ım prostˇred´ım (pˇrekáˇzky, obsluha, kontatkn´ı operace s obr´ abˇen´ ymi souˇc´ astmi...).

10

2.3 Aktu´ atory

Obr´ azek 2.3: Line´ arn´ı piezoaktu´ ator, elektrick´ y synchronn´ı servomotor s frekvenˇ cn´ım mˇ eniˇ cem

Doplˇ nkov´ e senzory Tyto senzory zprostˇredkov´ avaj´ı informace o veliˇcinách jako teplota, tlak, pr˚ utok atd., které pˇr´ımo nesouvis´ı s ˇr´ızen´ım pohybu, ale vyuˇz´ıvaj´ı se napˇr´ıklad v nadˇrazeném bezpeˇcnostn´ım systému pro oˇsetˇren´ı havarijn´ıch stav˚ u stroje. V oblasti v´ yroby senzor˚ u pˇrevaˇzuje v posledn´ı dobˇe snaha integrovat veˇskeré nutné zaˇr´ızen´ı vˇcetnˇe elektroniky do jednoho m´ısta, pokud moˇzno na jeden ˇcip. V´ ysledkem jsou tzv. inteligentn´ı nebo smart senzory. Vˇsechny operace zpracován´ı mˇeˇreného sign´ alu jako filtrace ˇsumu, linearizace, korekce driftu a hystereze nebo autokalibrace prob´ıhaj´ı uvnitˇr ˇcidla a na v´ ystupu je jiˇz informace v digitáln´ı formˇe pˇrenáˇsená do ˇr´ıdic´ıho systému po nˇekteré ze standardn´ıch komunikaˇcn´ıch sbˇernic. Fyzick´ y senzor nˇekteré z mˇeˇren´ ych veliˇcin b´ yvá ˇcasto nahrazen ˇcidlem virtuáln´ım v podobˇe rekonstruktoru stavu z d˚ uvod˚ uu ´spory náklad˚ u na instrumentaci nebo v pˇr´ıpadech kdy instalace ˇcidla nen´ı prakticky realizovatelná. Ke slovu pak pˇricházej´ı techniky filtrace a odhadu stavu [8, 9, 10, 11, 12].

2.3

Aktu´ atory

Aktu´ atory v mechatronick´ ych systémech pln´ı funkci ˇr´ızen´ ych elektromechanick´ ych mˇeniˇc˚ u. Jejich u ´ˇcelem je na z´ akladˇe vstupn´ıch ˇr´ıd´ıc´ıch elektrick´ ych signál˚ u pˇrevádˇet energii z nˇejakého zdroje (vˇetˇsinou elektrického, pneumatického nebo hydraulického) na mechanick´ y pohyb ve formˇe s´ıly, momentu, u ´hlu, polohy apod. Podle principu funkce lze aktu´ atory rozdˇelit do tˇr´ı z´ akladn´ıch kategori´ı [3]:

11


1. Elektromagnetick´ e aktu´ atory - Základn´ım principem jejich funkce je interakce dvou magnetick´ ych pol´ı mezi pevnou a pohyblivou ˇcást´ı pohonu. Do této skupiny patˇr´ı elektrické motory (stejnosmˇerné, stˇr´ıdavé synchronn´ı a asynchronn´ı, krokové, sp´ınané reluktanˇcn´ı...) nebo pohony pracuj´ıc´ı na principu elektromagnetu. Elektrické pohony prodˇelaly v posledn´ıch tˇriceti letech bouˇrliv´ y v´ yvoj pˇredevˇs´ım d´ıky pokroku v oblasti polovodiˇc˚ u, mikroprocesorové techniky a automatického ˇr´ızen´ı. Protoˇze maj´ı dominantn´ı postaven´ı v oblasti robotiky a obrábˇec´ıch stroj˚ u,na které je zamˇeˇrena tato pr´ ace, je jim n´ıˇze vˇenována zvláˇstn´ı sekce. 2. Pneumatick´ e a hydraulick´ e aktu´ atory - Pracuj´ı na principu stlaˇceného pracovn´ıho média ve formˇe vzduchu nebo hydraulického oleje, které je pˇrivádˇeno pˇres regulaˇcn´ı ventily do pracovn´ıho prostoru pohonu, kde vytvoˇren´ y tlak uvád´ı do pohybu p´ıst nebo jin´ y podobn´ y mechanismus. Problémem pneumatick´ ych aktuátor˚ u je stlaˇcitelnost vzduchu, kter´ a pˇrináˇs´ı obt´ıˇze pˇri pˇresné regulaci s´ıly nebo rychlosti/polohy p´ıstu. Proto se ˇcasto vyuˇz´ıvaj´ı pro provádˇen´ı pohyb˚ u, u kter´ ych nen´ı d˚ uleˇzit´ y samotn´ y pr˚ ubˇeh trajektorie ale pouze dosaˇzen´ı dvou koncov´ ych pozic (jednoduché manipul´ atory, z´ akl´ adac´ı stroje, u ćhopové efektory robot˚ u). Doplnˇen´ım aktu´ atoru o odmˇeˇrov´ an´ı tlaku v pracovn´ı komoˇre a pˇr´ısluˇsnou regulaci lze dosáhnout plynulého polohov´ an´ı p´ıstu, pˇresto pneumatické servopohony nedosahuj´ı kvalit pohon˚ u elektrick´ ych. Tˇemito neduhy netrp´ı hydraulické pohony, kde lze dos´ ahnout pˇresného polohov´ an´ı d´ıky pˇr´ımé u ´mˇernosti mezi vysunut´ım válce a objemem hydraulického média. Uplatnˇen´ı naleznou v aplikac´ıch, kde je potˇreba vyvinout velké s´ıly, napˇr´ıklad v hydraulick´ ych lisech, brzdách, v´ ykonov´ ych robotech, stavebn´ıch stroj´ıch apod. Nev´ yhodou hydraulick´ ych a pneumatick´ ych aktuátor˚ u je drah´ y provoz a u ´drˇzba, velké v´ ykonové ztráty a nutnost pouˇzit´ı hydraulického agreg´ atu nebo kompresoru pro dodávku pracovn´ıho média. 3. Nekonvenˇ cn´ı aktu´ atory - Pracuj´ı na odliˇsném fyzikáln´ım principu neˇz pˇredchoz´ı dvˇe skupiny. Patˇr´ı sem napˇr´ıklad magnetostrikˇcn´ı mikroaktuátory, které vyuˇz´ıvaj´ı zmˇenu struktury pevného materiálu pˇri p˚ usoben´ı magnetického pole. Dalˇs´ım pˇr´ıkladem jsou piezoelektrické motory, které vyuˇz´ıvaj´ı obráceného piezoelektrického jevu. Po pˇriloˇzen´ı napˇet´ı na piezokeramick´ y materiál docház´ı k jeho deformaci. Zapojen´ım velkého poˇctu tˇechto element˚ u za sebe vzniká pˇri buzen´ı vhodn´ ym harmonick´ ym sign´ alem postupná vlna, která se mechanicky pˇrenáˇs´ı na

12

2.4 Elektrick´ e pohony jako aktu´ atory

pohyblivou ˇc´ ast motoru. V´ ysledkem je rotaˇcn´ı nebo lineárn´ı pohyb. Nˇekdy b´ yvaj´ı oznaˇcov´ any jako ultrazvukové motory, protoˇze docház´ı k mechanick´ ym vibrac´ım v oblasti ultrasonick´ ych frekvenc´ı (aˇz stovky kHz). Pˇrestoˇze posuny jednotliv´ ych piezoelement˚ u jsou velmi malé (ˇrádovˇe mikrometry), lze d´ıky vysoké frekvenci dos´ ahnout velké rychlosti posuvu. V´ yhodou tˇechto aktuátor˚ u jsou velmi malé rozmˇery, coˇz je pˇredurˇcuje pro pouˇzit´ı v mikroelektromechanick´ ych systémech. ˇ Casto jsou vyuˇz´ıv´ any napˇr. v optick´ ych zaˇr´ızen´ıch pro zaostˇrován´ı ˇcoˇcky v mikroskopech, fotoapar´ atech, kamerách apod. Dalˇs´ı pouˇzit´ı je v mikro-teleoperaˇcn´ıch systémech, kde lidsk´ y operátor provád´ı pomoc´ı speciáln´ıho haptického rozhran´ı d´ alkovˇe ˇr´ızen´ y pohyb napˇr´ıklad pˇri medic´ınsk´ ych operac´ıch. Tak jako u senzor˚ u je i v oblasti aktuátor˚ u obecn´ ym trendem decentralizace a vytv´ aˇren´ı inteligentn´ıch pohon˚ u s vloˇzen´ ym ˇr´ızen´ım, které jsou schopny samostatnˇe pracovat jako pohonné jednotky. Veˇskeré funkce nutné pro ˇr´ızen´ı pohybu jsou integrovány uvnitˇr pohonu, kter´ y komunikuje s nadˇrazen´ ym systémem pomoc´ı rychlé sériové sbˇernice (dnes nejˇcastˇeji komunikace a protokoly na bázi pr˚ umyslového ethernetu). Precizn´ı ˇr´ızen´ı pohybu negativnˇe ovlivˇ nuje cel´ a ˇrada faktor˚ u, které se vyskytuj´ı v reáln´ ych aplikac´ıch: neline´ arn´ı a ˇcasovˇe promˇenné poruchy ve formˇe tˇren´ı nebo zátˇeˇzného momentu, v˚ ule a hystereze v ˇr´ızen´ ych mechanismech, zmˇena dynamiky stroje v závislosti na aktuáln´ım pracovn´ım bodu, koneˇcné rozliˇsen´ı senzor˚ u, n´ızká mechanická tuhost konstrukce atd.

2.4

Elektrick´ e pohony jako aktu´ atory

Elektrické pohony nach´ azej´ı v systémech ˇr´ızen´ı pohybu ˇsiroké uplatnˇen´ı. D´ıky své univerz´ alnosti, moˇznostem ˇsk´ alován´ı v´ ykonu a dynamick´ ym vlastnostem z hlediska regulace pˇrevaˇzuj´ı v poˇctu aplikac´ı nad ostatn´ımi typy aktuátor˚ u (viz [13, 14, 15]). V´ yhody elektropohon˚ u lze shrnout v nˇekolika bodech: ˇ • Sirok´ y rozsah v´ ykon˚ u, od nˇekolika mW napˇr. u mikro elektromechanick´ ych systém˚ u aˇz po des´ıtky kW ve velk´ ych manipulátorech • Velk´ y rozsah moment˚ u (ˇrádovˇe mNm aˇz stovky Nm) a otáˇcek (jednotky aˇz statis´ıce ot´ aˇcek za minutu) • Schopnost velmi pˇresného polohován´ı s vyuˇzit´ım ˇcidel zpˇetné vazby s vysok´ ym rozliˇsen´ım

13


• N´ızká u ´roveˇ n hluku, neprodukuj´ı ˇzádné zplodiny • Vysok´ au ´ˇcinnost, n´ızké ztr´ aty naprázdno, vysoká krátkodobá pˇret´ıˇzitelnost • Moˇznost ˇctyˇr-kvadrantového provozu, tedy schopnost rekuperovat elektrickou energii v obou smˇerech ot´ aˇcen´ı • Dlouh´ a ˇzivotnost (ˇr´ adovˇe des´ıtky let) - u modern´ıch bez´ udrˇzbov´ ych elektronicky komutovan´ ych pohon˚ u d´ ana v podstatˇe ˇzivotnost´ı loˇzisek • Snadn´ y pˇr´ıvod elektrické energie ze s´ıtˇe nebo baterie Pod pojmem elektrick´ y pohon se rozum´ı kromˇe vlastn´ıho motoru cel´ y soubor dalˇs´ıch prvk˚ u, které dohromady tvoˇr´ı ned´ıln´ y celek. Motor mus´ı b´ yt buzen v´ ykonov´ ymi obvody, které v potˇrebném mnoˇzstv´ı pˇrivádˇej´ı elektrickou energii ze s´ıtˇe nebo baterie a pˇr´ıpadnˇe zajiˇst’uj´ı jej´ı rekuperaci. V pˇr´ıpadˇe stejnosmˇern´ ych motor˚ u je to nejˇcastˇeji ˇctyˇrkvadrantov´ y pulsn´ı zdroj, u stˇr´ıdav´ ych motor˚ u trojfázov´ y napˇet’ov´ y stˇr´ıdaˇc se stejnosmˇern´ ym meziobvodem. Pro speciáln´ı typy motor˚ u (krokové, reluktanˇcn´ı) jsou to zvláˇstn´ı obvody urˇcené pro dan´ y typ motoru. Dále je pohon vybaven elektronick´ ym ˇr´ıdic´ım systémem ve formˇe jednoˇcipového mikropoˇc´ıtaˇce nebo signálového procesoru, kter´ y na základˇe u ´daj˚ u ze zpˇetnovazebn´ıch ˇcidel provád´ı regulaci základn´ıch veliˇcin momentu, ot´ aˇcek a polohy. Poˇzadované hodnoty tˇechto veliˇcin mohou b´ yt zadávány z nadˇrazeného ˇr´ıd´ıc´ıho systému, kter´ y zajiˇst’uje napˇr´ıklad generován´ı trajektorie pohybu v ˇcase. V tomto pˇr´ıpadˇe funguje pohon pouze jako v´ ykonov´ y modul, kter´ y provád´ı povely zadávané nadˇrazen´ ym systémem. V posledn´ı dobˇe vˇsak mezi v´ yrobci pˇrevaˇzuje snaha integrovat veˇskerou inteligenci pohonu do jednoho zaˇr´ızen´ı - servomˇeniˇce, jehoˇz funkce lze snadno programovat, parametrizovat a pˇrizp˚ usobit konkrétn´ı aplikaci pomoc´ı dodávaného v´ yvojového prostˇred´ı. Zvl´ aˇstn´ı problematikou je potom ˇr´ızen´ı pohybu ve v´ıce osách, kdy je nutné zajistit spr´ avnou synchronizaci vˇsech pohon˚ u pˇri vykonáván´ı koordinovaného pohybu. Dalˇs´ı souˇc´ ast´ı pohonu jsou potom pomocné elektrické prvky jako jistiˇce, stykaˇce, relé, které zajiˇst’uj´ı bezpeˇcné pˇripojen´ı k elektrické s´ıti. Motor b´ yvá ˇcasto s pracovn´ım mechanismem stroje spojen pˇres pˇrevodovku, která umoˇzn ˇuje pˇrizp˚ usoben´ı potˇrebn´ ych ot´ aˇcek a momentu. Stejnosmˇ ern´ e motory jsou historicky nejstarˇs´ı elektrické stroje a v dneˇsn´ı dobˇe jsou ve velké m´ıˇre nahrazov´ any motory stˇr´ıdav´ ymi. V minulosti byly hojnˇe vyuˇz´ıvány

14

2.4 Elektrick´ e pohony jako aktu´ atory

v mechatronick´ ych systémech s nutnost´ı pˇresného ˇr´ızen´ı pohybu kv˚ uli sv´ ym velmi dobr´ ym regulaˇcn´ım vlastnostem a relativn´ı jednoduchosti ˇr´ıd´ıc´ıch a bud´ıc´ıch obvod˚ u. Z´ akladn´ım konstrukˇcn´ım prvkem tˇechto pohon˚ u je komutátor - mechanické zaˇr´ızen´ı, které zajiˇst’uje udrˇzov´ an´ı kolmé polohy mezi rotorov´ ym a statorov´ ym magnetick´ ym tokem. V systémech ˇr´ızen´ı pohybu je pouˇz´ıvána nejˇcastˇeji konstrukce s permanentn´ımi magnety ve statoru a pohyblivou kotvou s vinut´ım, na které se pomoc´ı kartáˇc˚ u pˇrivád´ı proud ze zdroje. Kv˚ uli kluznému kontaktu kartáˇci s rotorem stroje vˇsak docház´ı k jejich postupnému opotˇreben´ı, proto je nutné obˇcasné ˇciˇstˇen´ı pˇr´ıpadnˇe v´ ymˇena. V m´ıstˇe dotyku s vinut´ım kotvy také docház´ı pˇri velk´ ych rychlostech a zat´ıˇzen´ı k jiskˇren´ı, které má za n´ asledek vznik elektromagnetického ruˇsen´ı, zkracuje ˇzivotnost motoru a m˚ uˇze zp˚ usobit zkrat. Z tˇechto d˚ uvod˚ u se jiˇz stejnosmˇerné motory prakticky nepouˇz´ıvaj´ı a jsou nahrazov´ any modern´ımi stˇr´ıdav´ ymi pohony. Asynchronn´ı motory vyuˇz´ıvaj´ı principu elektromagnetické indukce. Ve statoru je uloˇzeno tˇr´ıf´ azové vinut´ı, které je napájené harmonick´ ym napˇet´ım ze s´ıtˇe nebo ˇr´ızeného frekvenˇcn´ıho mˇeniˇce. Rotor je vyroben ve formˇe válcové klece, která se sklád´ a z nˇekolika kovov´ ych tyˇc´ı, jeˇz jsou na konci vodivˇe spojeny. V d˚ usledku fázového posunu mezi napˇet´ımi v jednotliv´ ych fáz´ıch vzniká toˇcivé magnetické pole, které prot´ıná vodiˇce rotoru. V tˇech se vlivem zmˇeny magnetického pole indukuje proud a vzniká sekundárn´ı magnetické pole, které reaguje na pole statoru vznikem toˇcivého momentu. Toto magnetické pole a t´ım i krout´ıc´ı moment vzniká pouze pokud relativn´ı rychlost otáˇcen´ı mezi statorov´ ym polem a pohybuj´ıc´ı se kotvou je nenulová. Otáˇcky motoru jsou tedy vˇzdy niˇzˇs´ı neˇz frekvence nap´ ajec´ıho napˇet´ı, vzniká tzv. skluz a rychlost otáˇcen´ı je asynchronn´ı v˚ uˇci nap´ ajec´ı frekvenci. Tyto pohony vynikaj´ı pˇredevˇs´ım svoj´ı spolehlivost´ı, kter´ a je d´ ana jejich robustn´ı konstrukc´ı. V dˇr´ıvˇejˇs´ı dobˇe byly vyuˇz´ıvány hlavnˇe v jednoduch´ ych aplikac´ıch, kde se nevyˇzadovalo pˇresné ˇr´ızen´ı momentu, otáˇcek nebo polohy. S rozvojem polovodiˇc˚ u, v´ ykonové elektroniky, mikroprocesorové techniky a s pˇr´ıchodem nov´ ych metod automatického ˇr´ızen´ı (vektorové ˇr´ızen´ı, pˇr´ımé ˇr´ızen´ı momentu, viz napˇr. [15]) doˇslo k velkému rozˇs´ıˇren´ı tˇechto pohon˚ u, které nyn´ı sv´ ymi dynamick´ ymi vlastnostmi pˇredˇc´ı dˇr´ıve pouˇz´ıvané stejnosmˇerné motory. Synchronn´ı motory s permanentn´ımi magnety tvoˇr´ı v souˇcasné dobˇe technologickou ˇspiˇcku v oblasti systém˚ u ˇr´ızen´ı pohybu. Svou dynamikou, vysok´ ym pomˇerem v´ ykonu k hmotnosti, moˇznostmi krátkodobého pˇret´ıˇzen´ı, rozsahem a pˇresnost´ı regulace nebo velk´ ym rozbˇehov´ ym momentem pˇredˇc´ı vˇsechny ostatn´ı typy pohon˚ u. Speciáln´ı

15


proveden´ı skˇr´ınˇe motoru, nejˇcastˇeji s vlastn´ım chlazen´ım, a jeho vnitˇrn´ı uspoˇrádán´ı umoˇzn ˇuj´ı doc´ılit velmi kompaktn´ıho tvaru s mal´ ym momentem setrvaˇcnosti rotoru. V´ yhodou je pouˇzit´ı permanentn´ıch magnet˚ u, um´ıstˇen´ ych na rotoru. Ty zaruˇcuj´ı trvalé vybuzen´ı magnetického pole, které je okamˇzitˇe k dispozici a nemus´ı b´ yt vytváˇreno zprostˇredkovanˇe indukc´ı jako v pˇr´ıpadˇe asynchronn´ıho motoru. Rozˇs´ıˇren´ı tˇechto pohon˚ u opˇet umoˇznil rozvoj v oblasti v´ ykonové elektrotechniky a modern´ıch metod regulace. Zp˚ usob ˇr´ızen´ı se liˇs´ı od velk´ ych synchronn´ıch stroj˚ u, které jsou vyuˇz´ıvány jako generátory v elektr´ arn´ ach nebo velké motory v nˇekter´ ych provozech, kdy se rotor otáˇc´ı synchronnˇe s frekvenc´ı s´ıtˇe a mˇen´ı se pouze zátˇeˇzn´ yu ´hel v závislosti na zat´ıˇzen´ı. Regulovan´ y servopohon s vektorov´ ym ˇr´ızen´ım pracuje v tzv. ventilovém reˇzimu, kdy ˇr´ıdic´ı systém neust´ ale vyhodnocuje okamˇzitou polohu rotoru a tedy orientaci jeho magnetického pole a ˇr´ıd´ı nap´ ajen´ı statoru tak, aby v´ ysledn´ y prostorov´ y vektor statorového pole byl trvale kolmo orientovan´ y na pole rotoru. V podstatˇe tedy elektronika nahrazuje mechanick´ y komut´ ator pouˇz´ıvan´ y u stejnosmˇern´ ych motor˚ u. Synchronn´ı servomotory se vyuˇz´ıvaj´ı v aplikac´ıch s nejvyˇsˇs´ımi n´ aroky na pˇresné ˇr´ızen´ı pohybu, napˇr´ıklad v robotice nebo CNC obr´ abˇec´ıch stroj´ıch. Krokov´ e motory se vyznaˇcuj´ı speciáln´ı konstrukc´ı statoru s vynikl´ ymi póly, na kter´ ych jsou um´ıstˇeny c´ıvky vytv´ aˇrej´ıc´ı magnetické pole. Rotor je vybaven bud’ permanentn´ımi magnety nebo obsahuje rovnˇeˇz vyniklé póly z feromagnetického materiálu. V druhém pˇr´ıpadˇe vznik´ a toˇciv´ y moment v d˚ usledku tzv. reluktanˇcn´ıho jevu, kdy se magnetick´ y obvod statoru a rotoru snaˇz´ı zaujmout polohu s nejmenˇs´ım magnetick´ ym odporem. Takov´ yto aktu´ ator se oznaˇcuje jako sp´ınan´ y reluktanˇcn´ı motor. Postupn´ ym pˇrep´ınán´ım jednotliv´ ych c´ıvek doch´ az´ı ke krokován´ı - pootoˇcen´ı motoru o urˇcit´ y definovan´ yu ´hel (ˇr´ adovˇe 100-20000 krok˚ u na otáˇcku). Postupné pˇrep´ınán´ı vinut´ı zajiˇst’uje zvláˇstn´ı elektronick´ y obvod. V´ yhodou tˇechto motor˚ u je jednoduchá a levná konstrukce a moˇznost provozu bez zpˇetnovazebn´ıho ˇcidla. Nev´ yhodou je vyˇsˇs´ı hluˇcnost a pulzován´ı momentu, coˇz vypl´ yv´ a z jejich diskrétn´ıho zp˚ usobu pohybu. Dynamické vlastnosti jsou nav´ıc znaˇcnˇe z´ avislé na zat´ıˇzen´ı a v urˇcit´ ych reˇzimech m˚ uˇze docházet k vynecháván´ı krok˚ u nebo nestabiln´ımu chodu. Tyto motory se uplatˇ nuj´ı v zaˇr´ızen´ıch typu skener˚ u nebo tiskáren, k pohonu jednoduch´ ych robot˚ u a k ˇr´ızen´ı pohybu levnˇejˇs´ıch obrábˇec´ıch stroj˚ u.

16

2.5 Automatick´ a regulace v syst´ emech ˇ r´ızen´ı pohybu

PROGRAM STROJE

OPERÁTOR

posloupnost příkazů, logické řízení

ovládání GENERÁTOR TRAJEKTORIE

žádaná trajektorie pohybu v čase

MONITOROVÁNÍ DIAGNOSTIKA bezpečnost

REGULÁTOR POHYBU zpětná vazba

řízení výkonových členů

SENZORY,AKTUÁTORY PRAC.MECHANISMUS

´ Obr´ azek 2.4: Urovnˇ eˇ r´ıdic´ıho syst´ emu

2.5

Automatick´ a regulace v syst´ emech ˇ r´ızen´ı pohybu

Z pohledu funkc´ı, které v systémech ˇr´ızen´ı pohybu obstarává ˇr´ıdic´ı systém, lze v nˇem obsaˇzené algoritmy rozdˇelit do nˇekolika základn´ıch u ´rovn´ı: • Nejniˇ zˇ s´ı u ´ roveˇ nˇ r´ızen´ı - regul´ ator pohybu - Na této u ´rovni prob´ıhá ˇr´ızen´ı jednotliv´ ych aktu´ ator˚ u a v´ ykonov´ ych ˇclen˚ u na základˇe pokyn˚ u z vyˇsˇs´ıch vrstev systému. Regul´ ator pohybu ˇreˇs´ı problémy spojené se stabilizac´ı, sledován´ım referenˇcn´ıch trajektori´ı pohybu, potlaˇcen´ım poruch, kompenzac´ı nelinearit v mechanickém obvodu atd. • Vyˇ sˇ s´ı u ´ roveˇ nˇ r´ızen´ı - gener´ ator trajektorie - Tato vrstva na základˇe pokyn˚ u od oper´ atora nebo podle pˇredem naprogramované posloupnosti operac´ı vytv´ aˇr´ı ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh poˇzadovaného pohybu. Poˇzadavky na vykonávan´ y pohyb se liˇs´ı podle konkrétn´ı aplikace. M˚ uˇze se jednat o ˇzádost o pˇresun manipulátoru z jednoho bodu do druhého, pohyb robotického ramene po urˇcité kˇrivce v prostoru nebo zapoˇcet´ı obr´ abˇen´ı pˇri konstantn´ı ˇrezné s´ıle. Poˇzadovan´ y pohyb m˚ uˇze b´ yt reprezentov´ an jako funkce zrychlen´ı, otáˇcek, polohy nebo momentu/s´ıly v ˇcase.

17


ˇ adané hodnoty jednotliv´ Z´ ych veliˇcin jsou pak pˇredávány modulu regulátoru pohybu, kter´ y mus´ı zajistit co nejpˇresnˇejˇs´ı vykonán´ı naplánovan´ ych trajektori´ı pomoc´ı jednotliv´ ych aktu´ ator˚ u systému. • Monitorov´ an´ı a diagnostika - Tato u ´roveˇ n ˇreˇs´ı otázky bezpeˇcnosti provozu celého zaˇr´ızen´ı. Jej´ı souˇc´ ast´ı b´ yv´ a systém detekce chyb a havarijn´ıch stav˚ u (v´ ypadek senzoru, aktu´ atoru nebo zdroje energie, kolize s pˇrekáˇzkou v prostoru, u ńik provozn´ı kapaliny atd.). Pokroˇcilé metody detekce chyb zaloˇzené na modelu systému a odhadov´ an´ı kritick´ ych pˇr´ıznak˚ u z mˇeˇren´ı vstupn´ıch a v´ ystupn´ıch signál˚ u umoˇzn ˇuj´ı vyhodnocovat zmˇeny v chován´ı systému jeˇstˇe pˇred vznikem havarijn´ıch stav˚ u a bezpeˇcn´ ym odstaven´ım minimalizovat pˇr´ıpadné ˇskody (viz napˇr. [16]).

2.5.1

Gener´ ator trajektorie

´ Ulohy vyskytuj´ıc´ı se pˇri n´ avrhu této vrstvy ˇr´ızen´ı lze rozdˇelit do nˇekolika základn´ıch skupin: • Pl´ anov´ an´ı trajektorie v prostoru s pˇ rek´ aˇ zkami - Tyto u ´lohy se typicky vyskytuj´ı u aplikac´ı mobiln´ıch robot˚ u. Robot je vybaven senzory s omezen´ ym dosahem, které umoˇzn ˇuj´ı detekci pˇrekáˇzek v neznámém prostˇred´ı. C´ılem je pˇresun z poˇcáteˇcn´ı do c´ılové polohy v co nejkratˇs´ım ˇcase nebo pˇri nejmenˇs´ı ujeté vzdálenosti bez kolize s nˇekterou z pˇrek´ aˇzek [17, 18]. Uplatˇ nuj´ı se zde pˇredevˇs´ım metody strojového vn´ım´ an´ı a umˇelé inteligence, protoˇze analytické ˇreˇsen´ı vˇetˇsinou nen´ı moˇzné nalézt. Tato pr´ ace je zamˇeˇrena na pr˚ umyslové aplikace, kde pracovn´ı prostor je bud’to bez pˇrek´ aˇzek nebo s pˇrekáˇzkami pˇredem urˇcen´ ymi. Tvar trajektorie v prostoru je tedy vˇetˇsinou pˇredem zadán v programu stroje. • Generov´ an´ı trajektorie pohybu s ohledem na fyzick´ e omezen´ı jednotliv´ ych aktu´ ator˚ u - Kaˇzd´ y pohon jakoˇzto reálné zaˇr´ızen´ı nem˚ uˇze vykonávat libovoln´ y pohyb, jeho konstrukc´ı je omezena maximáln´ı rychlost, zrychlen´ı nebo moment/s´ıla. Dalˇs´ı omezen´ı plynou z vlastn´ı konfigurace stroje. Pˇriliˇs prudké akˇcn´ı zásahy mohou zp˚ usobit poˇskozen´ı nebo nadmˇerné opotˇreben´ı nˇekter´ ych mechanick´ ych prvk˚ u konstrukce. Gener´ ator mus´ı respektovat tato omezen´ı a jeho v´ ystupem mus´ı b´ yt na daném zaˇr´ızen´ı fyzikálnˇe realizovateln´ y pohyb [19, 20, 21, 22]).

18


ˇ • Casovˇ e optim´ aln´ı pohyb pod´ el zvolen´ e trajektorie - V nˇekter´ ych u ´lohách (napˇr. manipul´ atory typu pick-and-place, vysokorychlostn´ı CNC obrábˇen´ı) m˚ uˇze b´ yt poˇzadov´ ano proveden´ı pohybu v co moˇzná nejkratˇs´ım ˇcase. Toto vede na u ´lohy ˇcasovˇe optim´ aln´ıho ˇr´ızen´ı s omezen´ım jak na vstup tak na stav systému [23, 24, 25, 26, 27]. • Tlumen´ı rezidu´ aln´ıch vibrac´ı mechanick´ e konstrukce - Pˇr´ıliˇs razantn´ı pohyb m˚ uˇze vybudit mechanickou ˇcást stroje na jeho rezonanˇcn´ıch frekvenc´ıch, pokud nen´ı zajiˇstˇena dostateˇcná tuhost konstrukce. Vznikaj´ıc´ı vibrace mohou m´ıt za n´ asledek zhorˇsen´ı kvality regulace nebo i poˇskozen´ı zaˇr´ızen´ı. Vhodn´ ym tvarov´ an´ım trajektorie pohybu pomoc´ı speciáln´ıch tvarovac´ıch filtr˚ u lze tyto neˇzádouc´ı kmity omezit [28, 29, 30, 31, 32]. Problém tlumen´ı vibrac´ı obecnˇe zasahuje i do vrstvy regul´ atoru pohybu (napˇr. pˇri aktivn´ı zpˇetnovazebn´ı kompenzaci). • Navazov´ an´ı r˚ uzn´ ych trajektori´ı - Od operátora nebo z nadˇrazeného systému m˚ uˇze pˇrij´ıt povel k vykonán´ı nového pohybu jeˇstˇe v dobˇe, kdy pˇredchoz´ı pohyb nebyl dokonˇcen. Gener´ ator mus´ı za bˇehu zajistit plynulé pˇreplánován´ı trajektorie (tzv. blending, viz [33]). • Synchronizovan´ y pohyb ve dvou a v´ıce os´ ach - elektronick´ e vaˇ cky a pˇ revodovky - Elektronická pˇrevodovka nahrazuje jej´ı mechanick´ y protˇejˇsek, c´ılem ˇr´ıdic´ıho systému je udrˇzovat konstantn´ı pomˇer otáˇcek mezi dvˇema pohony, z nichˇz jeden je ˇr´ızen nezávisle (pomyslná vstupn´ı strana pˇrevodovky) a druh´ y odvozuje sv˚ uj pohyb na základˇe pohybu prvn´ıho (v´ ystup pˇrevodovky). D˚ uvodem nasazen´ı m˚ uˇze b´ yt sn´ıˇzen´ı náklad˚ u oproti sloˇzitému mechanickému pˇrevodu nebo obt´ıˇznˇe realizovatelné fyzické propojen´ı mezi dvˇema pohony na vˇetˇs´ı vzdálenost. Zobecnˇen´ım je potom aplikace elektronické vaˇcky, kdy nam´ısto konstantn´ıho pomˇeru rychlost´ı je trvale udrˇzována závislost polohy ˇr´ıd´ıc´ı (master) a ˇr´ızené (slave) osy. C´ılem je nahradit mechanické vaˇcky, které pˇrenáˇs´ı pohyb centráln´ı (královské) hˇr´ıdele na pracovn´ı mechanismus. Toho se vyuˇz´ıvá u stroj˚ u s velk´ ym poˇctem pomocn´ ych pohon˚ u, které je nutno vzájemnˇe synchronizovat a ˇr´ıdit jejich rychlost (textiln´ı, tiskaˇrské, znaˇckovac´ı a ˇrezac´ı stroje). Závislost os master-slave (tzv. vaˇckov´ y profil) se zad´ av´ a nejˇcastˇeji pomoc´ı geometrické kˇrivky bud’to ruˇcnˇe, nebo pˇrepoˇcten´ım z tvaru mechanické vaˇcky, která má b´ yt nahrazena ve vhodném

19


softwarovém n´ astroji. Kˇrivka, která popisuje vaˇckov´ y profil by mˇela b´ yt hladká alespoˇ n v prvn´ıch dvou derivac´ıch pro plynulé vykonán´ı pohybu bez silov´ ych ráz˚ u, d˚ uleˇzit´ a je také spojitost tˇechto derivac´ı na okraj´ıch pro zajiˇstˇen´ı plynulého periodického pohybu. Pˇri v´ ypoˇctu vaˇckov´ ych profil˚ u nacházej´ı uplatnˇen´ı metody polynomi´ aln´ı interpolace a teorie spline kˇrivek [34, 35, 36, 37, 38]. V´ yhodou elektronické vaˇcky je moˇznost snadné zmˇeny funkce stroje prostou u ´pravou vaˇckového profilu v programu a vyˇsˇs´ı pˇresnost regulace, která se nezhorˇsuje opotˇreben´ım mechanické vaˇcky. • Koordinovan´ y pohyb v prostoru u syst´ em˚ u s vˇ etˇ s´ım poˇ ctem aktu´ ator˚ u Pohyb v prostoru m˚ uˇze b´ yt realizován nejr˚ uznˇejˇs´ımi zp˚ usoby, od nejjednoduˇsˇs´ıho pohybu po pˇr´ımce nebo ˇc´ asti kruˇznice aˇz po prostorové spline kˇrivky, které umoˇzn ˇuj´ı dostateˇcnˇe obecné tvarován´ı trajektorie [37, 39, 40]. Na stranˇe uˇzivatele je pohyb zad´ av´ an obvykle v souˇradnic´ıch koncového efektoru stroje (pr˚ ubˇeh pozice a orientace). Uvnitˇr gener´ atoru trajektorie je ovˇsem nutné provést kinemaˇ sen´ı kinematick´ tickou transformaci na pohyby jednotliv´ ych d´ılˇc´ıch pohon˚ u. Reˇ ych transformac´ı je jednou ze z´ akladn´ıch u ´loh robotiky [19, 20, 41, 42]. Ve snaze sjednotit uˇzivatelské rozhran´ı pˇri práci se systémy ˇr´ızen´ı pohybu vydala organizace PLCopen sdruˇzuj´ıc´ı pˇredn´ı svˇetové v´ yrobce ˇr´ıdic´ıch systém˚ u normu Motion Control, kter´ a m´ a usnadnit programován´ı a zajistit kompatibilitu mezi jednotliv´ ymi v´ yrobci hardwaru [33]. Tato norma definuje podobu funkˇcn´ıch blok˚ u pro ˇr´ızen´ı pohybu, jejich vstupy, v´ ystupy a poˇzadované chován´ı pˇri pouˇzit´ı z pohledu uˇzivatele. Zab´ yvá se pouze ˇcást´ı pro generov´ an´ı trajektorie, vrstva regulátoru pohybu je jiˇz závislá na konkrétn´ım hardwaru a pouˇzit´ ych aktuátorech. Samostatnou oblast´ı jsou v tomto smˇeru CNC obrábˇec´ı stroje, jejichˇz programován´ı je jiˇz delˇs´ı dobu standardizov´ ano pouˇzit´ım normovaného jazyka, tzv. G-kódu, pro popis jednotliv´ ych operac´ı pˇri obr´ abˇen´ı. T´ımto je zajiˇstˇena kompatibilita se softwarem pro poˇc´ıtaˇcovou konstrukci a modelov´ an´ı a vzniká koncept poˇc´ıtaˇcové podpory v´ yroby (CAM - Computer aided manufacturing) [39, 40, 43, 44]. Problému generov´ an´ı trajektorie je vˇenována tˇret´ı kapitola této práce, kde jsou detailnˇeji rozebr´ any jednotlivé v praxi typické u ´lohy.

20


GENERÁTOR TRAJEKTORIE Žádaná trajektorie pohybu v čase

Regulátor polohy

v*

Regulátor otáček

i*

buzení motoru Regulátor proudu/momentu

M

proud - i otáčky - v poloha - s

REGULÁTOR POHYBU Obr´ azek 2.5: Sch´ ema regul´ atoru pohybu jedn´ e osy - kaskádn´ı struktura

2.5.2

Regul´ ator pohybu

Modul regul´ atoru pohybu zajiˇst’uje správné sledován´ı referenˇcn´ıch trajektori´ı vypoˇcten´ ych v gener´ atoru. Tato ˇc´ ast pracuje vˇzdy se zpˇetnou vazbou od aktuáln´ıch hodnot polohy, rychlosti pˇr´ıpadnˇe s´ıly nebo momentu. Zpˇetná vazba je nutná pro zajiˇstˇen´ı minim´ aln´ı odchylky od poˇzadovan´ ych hodnot i pˇri p˚ usoben´ı vnˇejˇs´ıch poruch, nepˇresnostem v modelu systému atd. V oblasti regulace elektrick´ ych pohon˚ u se ustálila kaskádn´ı struktura, kter´ a je vyuˇz´ıv´ ana ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u. Skládá se ze tˇr´ı hierarchicky ˇrazen´ ych regulaˇcn´ıch smyˇcek proudu, otáˇcek a polohy (Obr. 2.5). Nejvnitˇrnˇejˇs´ı smyˇcka ˇr´ıd´ı proud motoru ovl´ ad´ an´ım v´ ykonov´ ych ˇclen˚ u pohonu. Proud je pˇri konstantn´ım buzen´ı magnetického pole pˇr´ımo u ´mˇern´ y kroutic´ımu momentu a t´ım i zrychlen´ı. Dalˇs´ı smyˇcka v poˇrad´ı jiˇz ˇr´ıd´ı ot´ aˇcky pohonu a zadává poˇzadovanou hodnotu regulátoru proudu. Posledn´ı smyˇcka slouˇz´ı k regulaci polohy a v´ ystupem je tentokrát ˇzádaná hodnota rychlosti. V´ yhoda takto zapojené kaskádn´ı struktury je v minimalizaci zpoˇzdˇen´ı mezi p˚ usob´ıc´ı poruchou a mˇeˇren´ ym v´ ystupem. Vnitˇrn´ı proudová smyˇcka zajiˇst’uje regulaci momentu a potlaˇcuje pˇredevˇs´ım poruchy p˚ usob´ıc´ı v elektrickém obvodu motoru, tj. napˇr. zmˇeny odporu a indukˇcnosti vlivem oteplen´ı statorového vinut´ı, zpˇetné elektromotorické napˇet´ı p˚ usob´ıc´ı proti zdroji nebo pokles napˇet´ı na zdroji nebo v meziobvodu v´ ykonového ˇclenu. Rychlostn´ı smyˇcka kompenzuje poruchu zp˚ usobenou vnˇejˇs´ım zátˇeˇzn´ ym momentem a zmˇeny v mechanick´ ych parametrech ˇr´ızeného systému (napˇr.

21


zmˇena hmotnosti/momentu setrvaˇcnosti systému pˇri uchopen´ı bˇremene, nelineárn´ı pr˚ ubˇeh tˇren´ı v prac. mechanismu). Polohová smyˇcka pak zajiˇst’uje pˇresnost polohován´ı i pˇri p˚ usoben´ı vˇsech v´ yˇse zm´ınˇen´ ych poruch. Dalˇs´ı v´ yhodou kaskádn´ı struktury je moˇznost jednoduchého zahrnut´ı omezen´ı na maximáln´ı otáˇcky a proud/moment pohonu. Jednotlivé regulaˇcn´ı smyˇcky je nav´ıc moˇzné ladit ruˇcnˇe na základˇe provádˇen´ ych experiment˚ u a to postupnˇe od proudové, pˇres rychlostn´ı aˇz po polohovou. Mezi kl´ıˇcové problémy n´ avrhu regul´ atoru pohybu patˇr´ı: • V´ ybˇ er vhodn´ eho algoritmu pro zpˇ etnovazebn´ı ˇ r´ızen´ı - V pr˚ umyslu se u velk´ ych v´ yrobc˚ u servotechniky ust´ alilo pouˇz´ıván´ı lineárn´ıch regulátor˚ u typu PID. D˚ uvodem je jejich masové rozˇs´ıˇren´ı v oblasti ˇr´ızen´ı proces˚ u a t´ım i lety provˇeˇrené univerz´ aln´ı algoritmy ˇr´ızen´ı, relativnˇe snadné ladˇen´ı malého poˇctu parametr˚ ua obecné povˇedom´ı o tˇechto regul´ atorech a jejich vlastnostech v inˇzen´ yrské praxi. Ve speci´ aln´ıch pˇr´ıpadech jsou vˇsak nahrazovány sloˇzitˇejˇs´ımi algoritmy nelineárn´ıho, prediktivn´ıho nebo adaptivn´ıho ˇr´ızen´ı [45, 46, 47, 48], do regulace pohybu pronikaj´ı i techniky umˇelé inteligence ve formˇe neuronov´ ych s´ıt´ı nebo fuzzy logiky [49, 50]. Tyto pokroˇcilé techniky ˇcasto pˇrináˇsej´ı zv´ yˇsen´ı v´ ykonu a kvality ˇr´ızen´ı pro konkrétn´ı aplikaci, zat´ım se vˇsak nedoˇckaly vˇetˇs´ıho rozˇs´ıˇren´ı, protoˇze nenab´ızej´ı univerz´ aln´ı ˇreˇsen´ı pro ˇsiroké spektrum u ´loh, které se vyskytuj´ı v systémech ˇr´ızen´ı pohybu. • Sledov´ an´ı referenˇ cn´ı trajektorie - Modul regulátoru mus´ı zajistit co nejpˇresnˇejˇs´ı sledov´ an´ı referenˇcn´ıch hodnot pˇredávan´ ych generátorem trajektorie ve formˇe poˇzadovaného pr˚ ubˇehu polohy, rychlosti, zrychlen´ı nebo s´ıly. • Kompenzace nelinearit v mechanick´ eˇ c´ asti syst´ emu - Typick´ y mechatronick´ y systém obsahuje celou ˇradu nelineárn´ıch prvk˚ u. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt statická charakteristika (napˇr. pˇrevod napˇet´ı na s´ılu u elektromagnetického nebo pneumatického aktu´ atoru), neline´ arn´ı pr˚ ubˇeh tˇren´ı, v˚ ule v kloubech a pˇrevodovkách, hystereze v pracovn´ım mechanismu atd. Vˇsechny tyto faktory maj´ı negativn´ı vliv na kvalitu regulace a ˇr´ıd´ıc´ı systém je mus´ı vhodn´ ym zp˚ usobem eliminovat nebo alespoˇ n dostateˇcnˇe potlaˇcit. Uplatˇ nuj´ı se metody dopˇredné kompenzace, ditheringu, neline´ arn´ıho ˇr´ızen´ı s klouzav´ ym reˇzimem nebo adaptivn´ı metody ˇr´ızen´ı [45, 51].

22

2.6 Robotick´ e manipul´ atory

• Zajiˇ stˇ en´ı robustnosti v˚ uˇ ci p˚ usob´ıc´ım poruch´ am a zmˇ en´ am v parametˇ ıdic´ı systém ˇcasto pracuje v podm´ınkách neurˇcitosti - na sysrech syst´ emu - R´ tém p˚ usob´ı vnˇejˇs´ı poruchy (napˇr. reakˇcn´ı s´ıly pˇri obrábˇen´ı nebo interakci s prostˇred´ım, p˚ usoben´ı gravitace), ˇcasto se mˇen´ı parametry systému (zmˇena hmotnosti/momentu setrvaˇcnosti pˇri manipulac´ıch s bˇremenem, obecnˇe nelineárn´ı dynamika u sloˇzit´ ych v´ıceos´ ych systém˚ u). Na vˇsechny tyto zmˇeny mus´ı regulátor pohybu adekv´ atnˇe reagovat a zajistit pˇrijatelnou kvalitu ˇr´ızen´ı a sledován´ı referenˇcn´ıho pohybu. • Tlumen´ı mechanick´ ych vibrac´ı - Pˇri návrhu mechatronick´ ych systém˚ u vznikaj´ı protich˚ udné poˇzadavky na vlastnosti mechanické konstrukce. Na jedné stranˇe je vyˇzadov´ ana dostateˇcná robustnost a tuhost s c´ılem omezit vibrace, na druhé stranˇe snaha minimalizovat rozmˇery a náklady na materiál, sn´ıˇzit setrvaˇcné hmoty atd. Odlehˇcov´ an´ı konstrukce pˇrináˇs´ı problémy se vznikem vibrac´ı vybuzen´ ych pohybem stroje. Mechanickou tuhost je moˇzné zv´ yˇsit implementac´ı vhodného algoritmu ˇr´ızen´ı. Rozliˇsuje se pasivn´ı tlumen´ı bez zpˇetné vazby, kdy regulátor je doplnˇen o vhodn´ y frekvenˇcn´ı filtr typu pásmové zádrˇze, kter´ y zabraˇ nuje vybuzen´ı mechanické konstrukce na kritick´ ych slabˇe tlumen´ ych frekvenc´ıch [29, 30, 31, 32, 52, 53]. Do systému nen´ı dodávána ˇzádná dodateˇcná energie pro potlaˇcen´ı vibrac´ı. Pˇredpokladem je znalost modelu systému a jeho rezonanˇcn´ıch frekvenc´ı. Pokud se dynamika systému mˇen´ı v ˇcase je ˇcasto nutné vyuˇz´ıt technik pˇrep´ınán´ı mezi v´ıce regul´ atory (gain-scheduling) nebo adaptivn´ıho ˇr´ızen´ı [54]. Pˇri aktivn´ım tlumen´ı je pˇr´ımo vyuˇz´ıv´ ana zpˇetná vazba bud’to z fyzick´ ych senzor˚ u nebo z rekonstruktoru stavu a je navrˇzen vhodn´ y kompenzátor, kter´ y ovlivˇ nuje dynamiku uzavˇrené smyˇcky s c´ılem stabilizovat systém a zatlumit vibrace v celém urˇcitém rozsahu frekvenc´ı [46, 54, 55, 56]. Kompenzátor dodává do systému energii z vnˇejˇs´ıho zdroje a pˇri ˇspatné funkci hroz´ı nestabilita.

2.6

Robotick´ e manipul´ atory

V oblasti pr˚ umyslové v´ yroby docház´ı k neustálému zvyˇsován´ı poˇzadavk˚ u na produktivitu, pˇresnost a bezpeˇcnost celého technologického procesu. Tento trend vede ke st´ ale ˇcastˇejˇs´ımu nasazov´ an´ı automatizovan´ ych v´ yrobn´ıch zaˇr´ızen´ı, jejichˇz d˚ uleˇzitou souˇcást´ı se st´ avaj´ı roboty a manipul´ atory. Robotizovaná pracoviˇstˇe nahrazuj´ı lidskou s´ılu pˇri

23


opakovaném prov´ adˇen´ı monot´ onn´ıch u ´kol˚ u s d˚ urazem na rychlost, pˇresnost a efektivnost. D˚ uleˇzit´ ym aspektem je také moˇznost práce ve ˇskodlivém nebo ˇzivotu nebezpeˇcném prostˇred´ı. Problematice robotiky je vˇenov´ ana dlouhá ˇrada publikac´ı, která pokr´ yvá vˇsechny moˇzné oblasti této discipl´ıny od n´ avrhu a optimalizace mechanické konstrukce, pˇres modelován´ı a identifikaci po ˇr´ızen´ı a programován´ı [19, 20, 41, 42, 57]. Tato práce je zamˇeˇrena na n´ avrh algoritm˚ u pro ˇr´ızen´ı pohybu, proto je dále uveden pouze velmi struˇcn´ y pˇrehled z´ akladn´ıch pojm˚ u. Podle vykon´ avané ˇcinnosti lze roboty rozdˇelit do nˇekolika základn´ıch skupin: 1. Teleoper´ atory - Do této skupiny patˇr´ı manipulátory dálkovˇe ovládané ˇclovˇekem. Jejich funkc´ı je pˇren´ aˇset, pˇr´ıpadnˇe zesilovat pohyb lidského operátora. Uplatˇ nuj´ı se pˇri nebezpeˇcn´ ych manipulac´ıch ve stavaˇrstv´ı, v medic´ınsk´ ych operac´ıch, pˇri práci ve vesm´ıru nebo ˇskodlivém prostˇred´ı. 2. Jedno´ uˇ celov´ e manipul´ atory s pevn´ ym programem - Jednoduché automatizované manipul´ atory ve formˇe dopravn´ık˚ u, podavaˇc˚ u, bal´ıc´ıch stroj˚ u apod. Zmˇena jejich funkce zpravidla vyˇzaduje podstatn´ y zásah do konstrukce celého systému. V´ yhodou je jednoduchost, spolehlivost a n´ızké poˇrizovac´ı náklady. 3. Univerz´ aln´ı pr˚ umyslov´ e manipul´ atory - Tyto stroje se vyznaˇcuj´ı univerzáln´ı pouˇzitelnost´ı pro celou ˇradu u ´kon˚ u pˇri pr˚ umyslové v´ yrobˇe, napˇr´ıklad manipulaci s materi´ alem, obr´ abˇen´ı, obloukovém a bodovém svaˇrován´ı, brouˇsen´ı, lakován´ı, osazov´ an´ı a kompletaci stroj˚ u, paletizaci atd. Funkci robotu lze snadno zmˇenit u ´pravou jeho programu. 4. Adaptivn´ı roboty - Tyto stroje se vyznaˇcuj´ı vyˇsˇs´ı u ´rovn´ı ˇr´ızen´ı, která umoˇzn ˇuje automatickou zmˇenu programu na základˇe aktuáln´ıho stavu okol´ı z´ıskaného z informac´ı od senzor˚ u s c´ılem splnit poˇzadovanou kvalitu ˇcinnosti podle nˇejakého kritéria. Pˇr´ıkladem mohou b´ yt mobiln´ı roboty pro pr˚ uzkum vesm´ırn´ ych tˇeles. 5. Kognitivn´ı roboty - Tyto stroje se vyznaˇcuj´ı schopnost´ı autonomn´ı interakce s prostˇred´ım a projevem vysokého stupnˇe umˇelé inteligence. Základn´ımi znaky jsou schopnosti nalezen´ı optim´ aln´ı varianty pro splnˇen´ı urˇcitého c´ıle, uˇcen´ı se ze zkuˇsenost´ı, pˇrizp˚ usobivost okoln´ım podm´ınkám, schopnost predikce ad. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt humanoidn´ı robot ASIMO nebo armádn´ı nákladn´ı robot Big Dog.

24


Obr´ azek 2.6: S´ eriov´ a a paraleln´ı struktura - manipulátory KUKA, ABB

Tato pr´ ace je zamˇeˇrena pˇredevˇs´ım na pr˚ umyslové manipulátory, kde je ˇr´ızen´ı pohybu kl´ıˇcov´ ym problémem n´ avrhu celého zaˇr´ızen´ı a jsou zde kladeny nejvyˇsˇs´ı nároky na pˇresnost, rychlost a vlastn´ı pr˚ ubˇeh pohybu. U adaptivn´ıch a kognitivn´ıch robot˚ u pˇrevaˇzuj´ı metody umˇelé inteligence, strojového vn´ımán´ı, autonomn´ıho rozhodován´ı atd. Prov´ adˇen´ı pohybu je zde pouze druhotn´ ym projevem vyˇsˇs´ıho rozhodovac´ıho systému, kter´ y slouˇz´ı ke splnˇen´ı urˇcitého c´ıle. Pˇresto jsou systémy ˇr´ızen´ı pohybu nezbytnou souˇcást´ı ve vˇsech aplikac´ıch robot˚ u jakoˇzto základn´ı prvek pˇri interakci s okoln´ım prostˇred´ım.

2.6.1

Struktura robotick´ ych manipul´ ator˚ u

Robotick´ y manipul´ ator se zpravidla skládá z nˇekolika základn´ıch ˇcást´ı. Prvn´ı je pevn´ a nepohybliv´ a ˇc´ ast, z´ akladna manipul´ atoru, která urˇcuje základn´ı souˇradn´ y systém stroje. Na tu jsou postupnˇe upevnˇena ramena manipul´ atoru vykonávaj´ıc´ı vlastn´ı pohyb celého robotu. Ramena jsou navzájem propojena pomoc´ı kloub˚ u, jejichˇz druh a poˇcet urˇcuje rozsah prov´ adˇeného pohybu a poˇcet stupˇ n˚ u volnosti (napˇr. prismatick´ y, rotaˇcn´ı, sférick´ y atd.). Klouby mohou b´ yt pohánˇené aktuátory ve formˇe lineárn´ıch nebo rotaˇcn´ıch pohon˚ u, potom se mluv´ı o kloubech aktivn´ıch. Opakem jsou pasivn´ı klouby, které pouze vymezuj´ı rozsah pohybu dvou sousedn´ıch ramen. Spojen´ı vˇsech ramen a

25


kloub˚ u vytv´ aˇr´ı kinematickou strukturu manipulátoru. Posledn´ı ˇcást´ı je koncový efektor ve formˇe vhodného pracovn´ıho n´ astroje, kter´ y pˇricház´ı do kontaktu s okoln´ım prostˇred´ım. D˚ uleˇzit´ ym parametrem manipul´ atoru je tvar a velikost pracovn´ıho prostoru, kter´ y je definován jako mnoˇzina vˇsech dosaˇziteln´ ych pozic koncového efektoru, pˇri omezen´ıch dan´ ych konstrukc´ı robotu. Natoˇcen´ı nebo vysunut´ı jednotliv´ ych aktuátor˚ u urˇcuje tzv. vektor kloubových souˇradnic Θ, v´ ysledná poloha a orientace koncového efektoru potom vektor zobecnˇených souˇradnic X. Jednou z kl´ıˇcov´ ych u ´loh robotiky je potom nalezen´ı kinematick´ ych transformac´ı mezi kloubov´ ymi a zobecnˇen´ ymi souˇradnicemi. ´ Uloha pˇr´ımé kinematiky spoˇc´ıv´ a v nalezen´ı transformace X = G(Θ), pˇrevádˇej´ıc´ı natoˇcen´ı jednotliv´ ych kloub˚ u na souˇradnice efektoru. K n´ı opaˇcná u ´loha inverzn´ı kinematiky, Θ = G−1 (X), hled´ a opaˇcnou transformaci ze zobecnˇen´ ych souˇradnic do kloubov´ ych. V závislosti na kinematické struktuˇre je ˇcasto nemoˇzné naj´ıt poˇzadovanou transformaci analyticky z d˚ uvodu sloˇzit´ ych neline´ arn´ıch vztah˚ u a je nutné pˇristoupit napˇr. k nˇekteré z numerick´ ych metod. Dalˇs´ım stupnˇem je pak ˇreˇsen´ı u ´loh diferenciáln´ı kinematiky, která ˇreˇs´ı pˇrevod rychlost´ı a zrychlen´ı mezi kloubov´ ymi a zobecnˇen´ ymi souˇradnicemi. Pˇri znaˇcné sloˇzitosti kinematick´ ych transformac´ı, které je nutné derivovat podle ˇcasu, vznikaj´ı velmi komplikované v´ yrazy. Pro implementaci tˇechto transformac´ı do ˇr´ıdic´ıho systému je ˇcasto nutné kv˚ uli vysok´ ym v´ ypoˇcetn´ım nárok˚ um pˇristoupit k vhodné aproximaci nebo pouˇzit´ı numerick´ ych metod. Podle tvaru kinematické struktury lze manipulátory dˇelit do dvou základn´ıch skupin (viz obr. 2.6). S´ eriov´ e manipul´ atory vznikaj´ı postupn´ ym napojován´ım ramen a kloub˚ u. Kinematick´ a struktura m´ a tvar otevˇreného ˇretˇezce. V´ yhodou tohoto uspoˇrádán´ı je relativnˇe jednoduˇsˇs´ı ˇr´ızen´ı pohybu a jednoduchost samotné mechanické konstrukce. D´ıky tomu jsou dnes tyto manipul´ atory v praxi nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ı. Nev´ yhodou je niˇzˇs´ı pˇresnost polohov´ an´ı koncového efektoru vlivem superpozice vˇsech mechanick´ ych odchylek jednotliv´ ych pohybov´ ych prvk˚ u a celkovˇe niˇzˇs´ı tuhost konstrukce pˇri zat´ıˇzen´ı. Paraleln´ı manipul´ atory maj´ı uzavˇrenou kinematickou strukturu, kdy koncov´ y efektor je souˇcasnˇe pˇripojen na v´ıce neˇz jedno rameno. V´ yhodou paraleln´ı struktury je vyˇsˇs´ı pˇresnost d´ıky pr˚ umˇerov´ an´ı mechanick´ ych chyb jednotliv´ ych prvk˚ u a vyˇsˇs´ı tuhost vlivem rozloˇzen´ı z´ atˇeˇze na vˇetˇs´ı poˇcet ramen. Vhodn´ ym návrhem konstrukce lze sn´ıˇzit celkovou hmotnost oproti sériovému uspoˇrádán´ı pˇri stejném uˇziteˇcném zat´ıˇzen´ı. Nev´ yhodou paraleln´ıch robot˚ u je sloˇzitˇejˇs´ı ˇr´ızen´ı vlivem komplikovan´ ych kinematick´ ych transformac´ı mezi pohyby koncového efektoru a jednotliv´ ych aktuátor˚ u. Konstrukˇcn´ı

26


problém m˚ uˇze pˇredstavovat geometricky omezen´ y rozsah pouˇziteln´ ych kloub˚ u, coˇz vede k horˇs´ımu pomˇeru velikosti pracovn´ıho prostoru vzhledem k celkovému objemu stroje. Tak jako v ostatn´ıch oblastech mechatroniky je d˚ uleˇzit´ ym aspektem pˇri konstrukci robot˚ u d˚ usledné uplatˇ nov´ an´ı princip˚ u simultánn´ıho návrhu jednotliv´ ych ˇcást´ı stroje. Zvolen´ a kinematick´ a struktura, rozmˇery jednotliv´ ych ramen a typy pouˇzit´ ych kloub˚ u ovlivˇ nuj´ı velikost a tvar pracovn´ıho prostoru, nosnost robotu a moˇznosti jeho ˇr´ızen´ı. D˚ uleˇzité jsou pˇredevˇs´ım silové a pohybové závislosti mezi efektorem a jednotliv´ ymi pohony robotu a moˇznost v´ yskytu tzv. singulárn´ıch poloh, kdy pˇri urˇcité konfiguraci jednotliv´ ych kloub˚ u m˚ uˇze doch´ azet ke ztrátˇe ˇriditelnosti celého systému. Ke slovu pˇricházej´ı metody tzv. optim´ aln´ıho n´ avrhu manipulátoru, kdy v prostoru parametr˚ u (délky ramen, jejich vz´ ajemné rozm´ıstˇen´ı atd.) je hledána konfigurace maximalizuj´ıc´ı urˇcité kritérium optimality (napˇr. velikost pracovn´ıho prostoru). Z podstaty problému toto vede obecnˇe na neline´ arn´ı optimalizaci s nelineárn´ımi omezen´ımi, kterou nen´ı moˇzné ˇreˇsit analyticky a ˇcasto se pˇristupuje na nejr˚ uznˇejˇs´ı numerické metody zaruˇcuj´ıc´ı pouze suboptimáln´ı ˇreˇsen´ı ve formˇe lok´ aln´ıho maxima/minima dané kriteriáln´ı funkce.

2.6.2

ˇ ızen´ı pohybu robotick´ R´ ych manipul´ ator˚ u

Struktura ˇr´ıdic´ıho systému robotu odpov´ıdá obecnému schématu na obr. 2.4 a naznaˇcenému rozdˇelen´ı do tˇr´ı z´ akladn´ıch vrstev: Regul´ ator pohybu zajiˇst’uje správné provádˇen´ı pohybu zadávaného generátorem trajektorie. U jednoduch´ ych manipulátor˚ u se m˚ uˇze jednat o pohyb v jedné translaˇcn´ı ˇci rotaˇcn´ı ose, univerz´ aln´ı manipulátory jsou vˇsak zpravidla konstruovány jako v´ıceosé a je nutné ˇreˇsit spr´ avnou koordinaci vˇsech pohon˚ u robotu. Podle zp˚ usobu ˇr´ızen´ı se rozliˇsuj´ı dvˇe odliˇsné strategie. Pˇri decentralizovaném ˇr´ızen´ı je poˇzadovan´ y pohyb efektoru inverzn´ı kinematickou transformac´ı pˇreveden na d´ılˇc´ı pˇr´ıspˇevky jednotliv´ ych aktuátor˚ u a kaˇzd´ y z nich je potom ˇr´ızen jako nezávislá jednotka. Vzájemné interakce jednotliv´ ych smyˇcek jsou u ´plnˇe zanedb´ any a uvaˇzovány jako p˚ usob´ıc´ı porucha, pˇr´ıpadnˇe mohou b´ yt kompenzov´ any dopˇrednou nebo zpˇetnou vazbou ze znalosti dynamického modelu systému. V´ yhodou je jednoduˇsˇs´ı struktura regulátoru, která vˇsak pˇri zanedbán´ı ˇcásti dynamiky systému vyˇzaduje vyuˇzit´ı technik robustn´ıho nebo adaptivn´ıho ˇr´ızen´ı pro zajiˇstˇen´ı kvalitn´ıho sledov´ an´ı referenˇcn´ıho pohybu [45, 46, 47]. V´ ysledkem je n nezávisle

27


Generátor trajektorie

požadovaná trajektorie koncového efektoru

Inverzní kinematická úloha

požadovaná trajektorie aktuátorǔ

Regulátor

síly (momenty) aktuátorǔ

Manipulátor

měření kloubových souřadnic

Generátor trajektorie

požadovaná trajektorie koncového efektoru

síly (momenty) aktuátorǔ

Regulátor

Přímá kinematická úloha

Manipulátor měření kloubových souřadnic

ˇ ızen´ı robotick´ Obr´ azek 2.7: R´ ych manipul´ ator˚ u - v prostoru kloubov´ ych a zobecnˇen´ ych souˇradnic

ˇr´ızen´ ych polohov´ ych smyˇcek jednotliv´ ych aktuátor˚ u. Druh´ ym pˇr´ıstupem je centralizované ˇr´ızen´ı, pˇri kterém je uvaˇzov´ an kompletn´ı dynamick´ y model systému vˇcetnˇe vazeb mezi jednotliv´ ymi aktu´ atory. V´ ystupem regulátoru jsou pak poˇzadované hodnoty s´ıly nebo momentu jednotliv´ ych pohon˚ u stroje. Bohuˇzel, i v´ yrazné zjednoduˇsen´ı popisu systému (uvaˇzov´ an´ı soustavy v´ azan´ ych dokonale tuh´ ych tˇeles, zanedbán´ı nelinearit jako tˇren´ı a v˚ ule v jednotliv´ ych kloubech) vede na velmi komplikované nelineárn´ı dynamické modely a t´ım komplexn´ı a v´ ypoˇcetnˇe n´ aroˇcné nelieárn´ı algoritmy ˇr´ızen´ı. V praxi se pak ukazuje, ˇze vzhledem k omezené platnosti pouˇzitého dynamického modelu nemus´ı b´ yt obecnˇe v´ ysledek lepˇs´ı neˇz u decentralizovaného pˇr´ıstupu [19, 57]. Gener´ ator trajektorie (interpol´ ator) vytváˇr´ı ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh poˇzadovaného pohybu na základˇe pokyn˚ u oper´ atora nebo programu stroje a provád´ı kinematické transformace mezi prostory kloubov´ ych a zobecnˇen´ ych souˇradnic. Rozliˇsuj´ı se dva základn´ı pˇr´ıstupy. Pˇri ˇr´ızen´ı v prostoru kloubových souˇradnic je poˇzadovan´ y pohyb efektoru pˇrevádˇen inverzn´ı kinematickou transformac´ı na pohyby jednotliv´ ych aktuátor˚ u, které jsou ve formˇe referenˇcn´ıch hodnot pˇred´ any modulu regulátoru. V´ yhodou je, ˇze regulátor pohybu nemus´ı ˇreˇsit v´ ypoˇcetnˇe n´ aroˇcné kinematické transformace, regulaˇcn´ı smyˇcky mohou bˇeˇzet s menˇs´ı periodou vzorkován´ı, coˇz vede na pˇresnˇejˇs´ı sledován´ı pohybu. Nev´ yhodou je nemoˇznost kompenzace mechanick´ ych nepˇresnost´ı v konstrukci manipulátoru, které mohou zp˚ usobit odchylku koncového efektoru od poˇzadované trajektorie. Tento problém ˇreˇs´ı metody ˇr´ızen´ı v prostoru zobecnˇených souˇradnic, kdy regulátoru pohybu jsou pˇred´ av´ any pˇr´ımo referenˇcn´ı souˇradnice efektoru. Regulátor potom vyuˇz´ıvá pro sledován´ı zpˇetnou vazbu od skuteˇcné polohy efektoru mˇeˇrené doplˇ nkov´ ymi ˇcidly

28

2.7 CNC obr´ abˇ ec´ı syst´ emy

Obr´ azek 2.8: CNC obr´ abˇ ec´ı syst´ emy - tˇr´ıosá frézka, soustruh

a t´ım dok´ aˇze kompenzovat pˇr´ıpadné mechanické odchylky. Instalace dodateˇcné instrumentace vˇsak v praxi ˇcasto nen´ı moˇzná. Senzory efektoru je moˇzné nahradit blokem pˇr´ımé kinematické transformace, ˇc´ımˇz ovˇsem odpadá hlavn´ı v´ yhoda této metody, nav´ıc se do zpˇetnovazebn´ı smyˇcky regulátoru zanáˇs´ı v´ ypoˇcetnˇe nároˇcná u ´loha transformace souˇradnic, coˇz vede ke zhorˇsen´ı kvality ˇr´ızen´ı. Typické u ´lohy generován´ı trajektorie jsou uvedeny v dalˇs´ı kapitole pr´ ace. Pro u ´roveˇ n monitorov´ an´ı a diagnostiky plat´ı vˇsechny principy uvedené pro obecn´ y pˇr´ıpad na zaˇc´ atku kapitoly.

2.7

CNC obr´ abˇ ec´ı syst´ emy

Stejnˇe jako v ostatn´ıch technick´ ych discipl´ınách pronikaj´ı principy mechatroniky také do oblasti strojn´ı v´ yroby. Rozvoj poˇc´ıtaˇcové techniky, informaˇcn´ıch systém˚ u, elektroniky a nov´ ych metod automatického ˇr´ızen´ı vedl k zaˇclenˇen´ı ˇc´ıslicového ˇr´ıdic´ıho systému do obr´ abˇec´ıch stroj˚ u [39, 40, 43, 44]. Tato inovace pˇrinesla zásadn´ı zv´ yˇsen´ı produktivity v´ yroby a zcela nové funkˇcn´ı vlastnosti, které byly pomoc´ı systém˚ u pˇredchoz´ı generace nedosaˇzitelné. Pevn´ a logika daná zapojen´ım v´ ykonov´ ych obvod˚ u byla nahrazena poˇc´ıtaˇcov´ ym ˇr´ıdic´ım systémem se snadnou zmˇenou programu, coˇz umoˇznilo vyrábˇet r˚ uzné d´ıly stejnou technologi´ı (tzv. pruˇzná automatizace), zkrátily se v´ yrobn´ı ˇcasy, zlepˇsila se pˇresnost a opakovatelnost, zjednoduˇsila se obsluha stroje atd. D˚ uleˇzit´ ym aspektem je v´ yvoj CAD/CAM softwaru s integrovanou podporou konstrukce a v´ yroby, kter´ y v dneˇsn´ı dobˇe umoˇzn ˇuje ze strojn´ıho v´ ykresu automaticky generovat program pro vlastn´ı obrábˇen´ı.

29


Neustále se zvyˇsuj´ıc´ı n´ aroky na kvalitu a rychlost v´ yroby vedou kromˇe v´ yvoje potˇrebného hardware také k dokonalejˇs´ım a komplikovanˇejˇs´ım algoritm˚ um ˇr´ızen´ı. Problémy spojené s generov´ an´ım a sledov´ an´ım trajektorie pohybu nab´ yvaj´ı na d˚ uleˇzitosti pˇredevˇs´ım d´ıky poˇzadavku vysoké pˇresnosti pohybu (dnes ˇrádovˇe des´ıtky aˇz jednotky mikrometr˚ u), kter´ a je v´ yraznˇe vyˇsˇs´ı oproti ostatn´ım pr˚ umyslov´ ym aplikac´ım mechatronick´ ych systém˚ u. Poˇzadavky na rychlost a kvalitu jsou do znaˇcné m´ıry protich˚ udné. Zkracován´ı pracovn´ıch cykl˚ u stroje volá po metodách ˇcasovˇe optimáln´ıho ˇr´ızen´ı, rychlejˇs´ı pohyb ovˇsem znamen´ a vyˇsˇs´ı poˇzadovanou ˇs´ıˇrku pásma aktuátor˚ u. Ta m˚ uˇze b´ yt obt´ıˇznˇe dosaˇziteln´ a vzhledem k omezenému rozliˇsen´ı zpˇetnovazebn´ıch ˇcidel, neustále p˚ usob´ıc´ım poruch´ am ve formˇe ˇrezné s´ıly pˇri obrábˇen´ı nebo pot´ıˇzemi s buzen´ım vibrac´ı v konstrukci stroje. Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe robot˚ u jsou nasazovány robustn´ı nebo adaptivn´ı regul´ atory [21, 22, 45, 46]. Zvyˇsován´ı pˇresnosti také vede na nutnost pouˇz´ıván´ı dokonalejˇs´ıch metod k popisu pr˚ ubˇehu pohybu. Dˇr´ıve uˇz´ıvané lineárn´ı a kruhové interpolace jsou dnes nahrazov´ any sloˇzitˇejˇs´ımi prostorov´ ymi kˇrivkami jako napˇr. Beziérovy, B-spline nebo nejobecnˇejˇs´ı NURBS funkce [58]. Tyto polynomiáln´ı a racionáln´ı interpolace vyˇsˇs´ıch ˇr´ ad˚ u vedou na hladk´ y pr˚ ubˇeh pohybu bez neˇzádouc´ıch nespojitost´ı, ˇc´ımˇz pˇrisp´ıvaj´ı k dosaˇzen´ı vysoké kvality obrábˇen´ı bez nutnosti dodateˇcné povrchové u ´pravy. Mechanickou strukturu lze form´ alnˇe popsat stejn´ ym zp˚ usobem jako u robotick´ ych manipulátor˚ u, liˇs´ı se pouze terminologie uˇz´ıvaná pro pojmenován´ı jednotliv´ ych prvk˚ u stroje. Nam´ısto z´ akladny se tedy napˇr´ıklad mluv´ı o suportu, koncov´ y efektor je naz´ yván nástrojem. Stejnˇe jako u robot˚ u se stroj skládá z nˇekolika ramen spojen´ ych klouby, které urˇcuj´ı rozsah pohybu, velikost a tvar pracovn´ıho prostoru. Podle poˇctu os, které mohou b´ yt pˇri obrábˇen´ı souˇcasnˇe v ˇcinnosti lze rozdˇelit obrábˇec´ı stroje do nˇekolika skupin [44]: • Jednoos´ e - napˇr. jedno´ uˇcelové vrtaˇcky • Dvouos´ e - frézky, soustruhy, ˇrezán´ı laserem, plazmou nebo vodn´ım paprskem • Tˇ r´ıos´ e - tˇr´ıos´ a kulov´ a frézka, souˇradnicová vrtaˇcka • Pˇ etios´ e - tˇr´ıos´ a frézka s moˇznost´ı volby orientace nástroje • V´ıceos´ e - obr´ abˇec´ı centra

30

2.7 CNC obr´ abˇ ec´ı syst´ emy

Poˇcet ˇr´ızen´ ych os vyjadˇruje konstrukˇcn´ı vyspˇelost stroje, která urˇcuje rovnˇeˇz sloˇzitost tvar˚ u, které je moˇzné vyrobit. Obecn´ ym trendem posledn´ı doby je v´ yvoj v´ıceos´ ych v´ıceprofesn´ıch obr´ abˇec´ıch center, které umoˇzn ˇuj´ı napˇr´ıklad postupnˇe soustruˇzit, frézovat, tepelnˇe opracov´ avat pomoc´ı laseru, mˇeˇrit, brousit a to na jedno upnut´ı obrobku. ˇ ıdic´ı systém lze opˇet rozdˇelit do tˇr´ı základn´ıch u R´ ´rovn´ı: Regul´ ator pohybu zajiˇst’uje správné provádˇen´ı pohybu zadávaného vyˇsˇs´ı vrstvou ˇr´ızen´ı, podle typu stroje v jedné nebo v´ıce osách. U draˇzˇs´ıch systém˚ u je ˇcasto pouˇz´ıváno pˇr´ımé odmˇeˇrov´ an´ı n´ astroje pro zajiˇstˇen´ı vyˇsˇs´ı pˇresnosti polohován´ı. Jako aktuátory jsou dnes ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u pouˇzity elektrické synchronn´ı servomotory, u levn´ ych zaˇr´ızen´ı krokové motory. Zat´ımco u vˇetˇsiny robotick´ ych manipulátor˚ u vypl´ yvá sloˇzitost ˇr´ızen´ı z jejich silnˇe neline´ arn´ı dynamiky závislé na aktuáln´ı konfiguraci, u obrábˇec´ıch stroj˚ u je to ˇrezn´ a s´ıla, kter´ a zpˇetnˇe p˚ usob´ı na jednotlivé aktuátory pˇri kontaktu nástroje s materi´ alem. C´ılem je tedy návrh robustn´ıch regulátor˚ u schopn´ ych preciznˇe sledovat zadan´ y pohyb. Gener´ ator trajektorie lze rozdˇelit na dva menˇs´ı subsystémy. CNC j´ adro vyhodnocuje program stroje zadan´ y v normalizovaném jazyku, tzv. G-kódu, kter´ y se stal celosvˇetovˇe uzn´ avan´ ym standardem pro programován´ı CNC stroj˚ u a respektuj´ı ho vˇsichni pˇredn´ı v´ yrobci tˇechto systém˚ u. Program stroje má strukturovanou formu posloupnosti pˇr´ıkaz˚ u, které slouˇz´ı k urˇcen´ı pr˚ ubˇehu procesu obrábˇen´ı. Zaˇc´ıná obvykle definic´ı souˇradného systému stroje a d˚ uleˇzit´ ych vztaˇzn´ ych bod˚ u, od kter´ ych je v dalˇs´ım pr˚ ubˇehu obr´ abˇen´ı odvozov´ an vlastn´ı pohyb nástroje (nulov´ y bod obrobku, nástrojového drˇzáku, nástroje atd.). N´ asleduje popis geometrick´ ych drah nástroje, kter´ y definuje ˇzádan´ y pr˚ ubˇeh pohybu (pracovn´ı posuv napˇr. lineárn´ı, kruhovou nebo spline interpolac´ı nebo rychloposuv pˇri naj´ıˇzdˇen´ı do nové polohy bez kontaktu s obrobkem). Souˇcást´ı programu jsou také servisn´ı pˇr´ıkazy napˇr´ıklad pro v´ ymˇenu nástroje, zapnut´ı chlazen´ı apod. Pˇr´ıkazy interpretované v j´ adru systému jsou pˇredávány modulu interpol´ atoru, jehoˇz u ´kolem je generovat ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh trajektorie pohybu nástroje pro regulátor. Základn´ı u ´lohou interpol´ atoru je dodrˇzet plynulost pohybu pˇri pojezdu nástroje po zadané dráze (v literatuˇre oznaˇcov´ ano jako feedrate control - viz [21, 22, 37]. Jakékoliv v´ yrazné fluktuace nebo nespojitosti v pr˚ ubˇehu rychlosti, zrychlen´ı nebo derivaci zrychlen´ı (jerku) mohou zp˚ usobit viditelnou ztrátu kvality obrábˇené souˇcásti. Dalˇs´ım problémem nespojitého pohybu je moˇznost saturace aktuátor˚ u a vybuzen´ı kmitav´ ych strukturáln´ıch

31


mód˚ u konstrukce stroje. Tento problém nastává zejména u sloˇzitˇejˇs´ıch prostorov´ ych kˇrivek vyˇsˇs´ıch ˇr´ ad˚ u, které nejsou pˇrirozenˇe parametrizovány vzhledem k délce vytyˇceného oblouku (parametr kˇrivky nez´ avis´ı lineárnˇe na délce ujeté dráhy v prostoru). Dalˇs´ı d˚ uleˇzitou u ´lohou je ˇcasov´ a optimalizace pr˚ ujezdu zadan´ ymi drahami (v literatuˇre pojem feedrate optimization). Form´ alnˇe se tato u ´loha neliˇs´ı od ˇcasovˇe optimáln´ıho ˇr´ızen´ı robotick´ ych manipul´ ator˚ u, c´ılem je opˇet v minimáln´ım ˇcase vykonat zadan´ y pohyb pˇri respektován´ı vˇsech kinematick´ ych a dynamick´ ych omezen´ı dan´ ych konstrukc´ı stroje. Vzhledem ke komplexnosti a nelinearitˇe u ´lohy neexistuje obecné analytické ˇreˇsen´ı a je nutné hledat suboptim´ aln´ı ˇreˇsen´ı, ˇcasto s pomoc´ı numerick´ ych metod nebo nejr˚ uznˇejˇs´ıch heuristik. Interpol´ ator d´ ale ˇreˇs´ı kinematické transformace mezi zobecnˇen´ ymi souˇradnicemi nástroje a kloubov´ ymi souˇradnicemi aktuátor˚ u, oproti robotick´ ym manipulátor˚ um pˇrib´ yvá nutnost poˇc´ıtat dr´ ahové korekce nástroje (skuteˇcn´ y pohyb koncového bodu se liˇs´ı od trajektorie napl´ anované v CNC programu o offset zp˚ usoben´ y aktuáln´ım nástrojem v nástavci). Vrstva monitorov´ an´ı a diagnostiky opˇet zajiˇst’uje bezpeˇcnostn´ı funkce, nav´ıc vykonává u ´lohy logického ˇr´ızen´ı, komunikace s obsluhou atd.

Shrnut´ı Systémy ˇr´ızen´ı pohybu se objevuj´ı v celé ˇradˇe technick´ ych aplikac´ı mechatroniky. Kl´ıˇcovou roli zde hraje n´ avrh ˇr´ıdic´ıho systému a v nˇem implementovan´ ych algoritm˚ u, které ˇ zásadn´ım zp˚ usobem ovlivˇ nuj´ı funkˇcnost zaˇr´ızen´ı jako celku. R´ıdic´ı systém je ˇcasto dˇelen do dvou u ´rovn´ı. Gener´ ator trajektorie plánuje pohyb v prostoru s c´ılem minimalizovat vhodné kritérium kvality (napˇr. celkov´ y ˇcas pohybu) pˇri splnˇen´ı vˇsech kladen´ ych omezen´ı. Regulátor pohybu zajiˇst’uje spr´ avné sledován´ı naplánované trajektorie pˇri p˚ usoben´ı vnˇejˇs´ıch poruch a neurˇcitostech v modelu systému.

32

3

Generov´ an´ı trajektorie pohybu V pˇredchoz´ı kapitole byla popsána obecná struktura systému ˇr´ızen´ı pohybu, u ´loha jeho ˇ ıdic´ı systém byl podle vykojednotliv´ ych ˇc´ ast´ı a vz´ ajemné vazby d´ılˇc´ıch subsystém˚ u. R´ návan´ ych funkc´ı rozˇclenˇen do tˇr´ı základn´ıch u ´rovn´ı. Tato kapitola se detailnˇe vˇenuje vrstvˇe gener´ atoru trajektorie, uvedeny jsou metody návrhu pro typické u ´lohy vyskytuj´ıc´ı se v praxi.

3.1

ˇ ızen´ı pohybu v jedn´ R´ e ose

Jednoosé ˇr´ızen´ı pohybu se uplatˇ nuje u jednoduˇsˇs´ıch zaˇr´ızen´ı (dopravn´ıky, zakladaˇce, balic´ı stroje, jednoduché manipulátory a obrábˇec´ı stroje) pˇr´ıpadnˇe u pomocn´ ych pohon˚ u sloˇzitˇejˇs´ıch stroj˚ u (vˇretena obrábˇec´ıch stroj˚ u, ventilátory, ˇcerpadla, odstˇredivky...). Vyuˇzit´ı najde také u v´ıceos´ ych systém˚ u pro pohyby z bodu do bodu, kdy nezáleˇz´ı na tvaru trajektorie efektoru/n´ astroje a jednotlivé osy je moˇzné ˇr´ıdit nezávisle na sobˇe (napˇr. rychloposuvy u obr´ abˇec´ıch stroj˚ u). Podle vykonávaného pohybu lze tyto u ´lohy rozdˇelit do dvou z´ akladn´ıch skupin: • Diskr´ etn´ı pohyb z bodu do bodu - V tomto pˇr´ıpadˇe je ˇr´ızena poloha jedné osy stroje z poˇc´ ateˇcn´ıho bodu do koncového. Pˇri provádˇen´ı pohybu nen´ı d˚ uleˇzit´ y vlastn´ı pr˚ ubˇeh trajektorie, ale pouze dosaˇzen´ı koncového bodu v prostoru. Pˇrirozen´ ym praktick´ ym poˇzadavkem je pak proveden´ı pohybu v co nejkratˇs´ım ˇcase pˇri respektov´ an´ı fyzik´ aln´ıch omezen´ı dan´ ych konstrukc´ı stroje, konkrétnˇe omezen´ı na maxim´ aln´ı rychlost (dáno pouˇzit´ ymi aktuátory a pˇrevodovkami) a zrychlen´ı (maxim´ aln´ı moment/s´ıla aktuátor˚ u a setrvaˇcné hmoty pohybuj´ıc´ıch se ˇcást´ı). To

33

´ ´ 3. GENEROVAN I TRAJEKTORIE POHYBU

vede na formulaci u ´lohy ˇcasovˇe optimáln´ıho ˇr´ızen´ı systému s dvˇema integrátory pˇri omezen´ı na stav a ˇr´ızen´ı. V´ ysledkem je obdéln´ıkov´ y profil zrychlen´ı, lichobˇeˇzn´ıkov´ y pr˚ ubˇeh rychlosti a profil polohy ve tvaru S-kˇrivky s jedn´ım inflexn´ım bodem (Obr. 3.1). V praxi ovˇsem m˚ uˇze nastat problém s vybuzen´ım kmitav´ ych strukturáln´ıch m´ od˚ u mechanické konstrukce stroje vlivem prudk´ ych zmˇen s´ıly nebo momentu aplikovaného aktu´ atorem v d˚ usledku nespojitosti zrychlen´ı v generované trajektorii. Pro hladˇs´ı pr˚ ubˇeh pohybu je tedy vhodné omezit rovnˇeˇz velikost derivace zrychlen´ı (jerku). Nalezen´ı ˇcasovˇe optimáln´ıho ˇreˇsen´ı pro tuto u ´lohu je ovˇsem netrivi´ aln´ı problém a v praxi se ˇcasto pˇristupuje k suboptimáln´ım aproximac´ım pomoc´ı vhodn´ ych u ´prav trajektorie pohybu. Jednoduˇsˇs´ı variantou u ´lohy je pak ˇr´ızen´ı ot´ aˇcek, kdy gener´ ator zajiˇst’uje plynulé naj´ıˇzdˇen´ı na poˇzadovanou hodnotu po ramp´ ach nebo S-kˇrivkách s definovanou strmost´ı. • Spojit´ y pohyb po zadan´ e trajektorii - V urˇcit´ ych pˇr´ıpadech m˚ uˇze vzniknout poˇzadavek na proveden´ı pohybu podle pˇresnˇe definované trajektorie v ˇcase. Podle aplikace je uˇzivatelem zad´ ana mnoˇzina koincidenˇcn´ıch bod˚ u, tedy poˇzado´ vané hodnoty polohy, rychlosti nebo zrychlen´ı v ˇcase. Ukolem ˇr´ıdic´ıho systému je tyto body proloˇzit vhodnou interpolaˇcn´ı funkc´ı umoˇzn ˇuj´ıc´ı generován´ı trajektorie v re´ alném ˇcase. Nejjednoduˇsˇs´ım ˇreˇsen´ım je pouˇzit´ı lineárn´ı nebo polynomiáln´ı interpolace. Poˇzadavek hladkého pr˚ ubˇehu polohy, rychlosti, zrychlen´ı a také derivace zrychlen´ı vede na nutnost pouˇzit´ı polynom˚ u vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u, které vˇsak pˇri vˇetˇs´ım poˇctu bod˚ u koincidence vykazuj´ı nepˇrirozené zvlnˇen´ı s velk´ ym mnoˇzst´ım ˇ sen´ım je pouˇzit´ı po ˇc´ inflex´ı. Reˇ astech polynomiáln´ı interpolace spline funkcemi. V tomto pˇr´ıpadˇe je v´ ysledn´ a trajektorie tvoˇrena nˇekolika segmenty, z nichˇz kaˇzd´ y lze popsat polynomem urˇcitého stupnˇe, nav´ıc je zaruˇcena spojitost derivac´ı v navazovac´ıch bodech mezi segmenty. Dalˇs´ı moˇznost´ı je vyuˇzit´ı aproximaˇcn´ıch spline kˇrivek [34, 35, 37], které sice vedou na chybu interpolace v zadan´ ych bodech, umoˇzn ˇuj´ı ovˇsem v´ yrazn´ ym zp˚ usobem redukovat poˇcet potˇrebn´ ych parametr˚ u, coˇz m˚ uˇze b´ yt v´ yhodné pˇri velkém mnoˇzstv´ı koincidenˇcn´ıch bod˚ u.

3.1.1

ˇ Casovˇ e optim´ aln´ı pohyb z bodu do bodu

´ Ulohu t-optim´ aln´ıho ˇr´ızen´ı pohybu v jedné ose pˇri omezen´ı na maximáln´ı rychlost a zrychlen´ı je formulov´ an n´ asleduj´ıc´ım zp˚ usobem. Pohyb mechanického systému lze po-

34

ˇ ızen´ı pohybu v jedn´ 3.1 R´ e ose

psat line´ arn´ım dynamick´ ym modelem druhého ˇrádu ve stavové reprezentaci zaveden´ım vektoru stavu obsahuj´ıc´ım postupnˇe polohu a rychlost (x(t) = [s(t) v(t)]T ):

x(t) ˙ = y(t) = x0 = xf

=

s(t) ˙ v(t) ˙

0 1 = 0 0 s(t) 1 0 v(t) s(0) x(0) = v(0) s(tf ) x(tf ) = v(tf )

s(t) v(t)

+

0 1

u(t)

(3.1) (3.2) (3.3) (3.4)

kde ˇr´ızen´ı u(t) je aktu´ aln´ı zrychlen´ı, x0 je vektor poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek, xf poˇzadovan´ y koncov´ y stav systému. C´ılem je nalézt takové ˇr´ızen´ı, které pˇrevede systém z libovoln´ ych poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek x0 do stavu xf v minim´ aln´ım ˇcase tf . Jedná se tedy o u ´lohu ˇcasovˇe optimáln´ıho ˇr´ızen´ı s voln´ ym ˇcasem a pevn´ ym koncem, které minimalizuje funkcionál Z tf J= 1 dt = tf

(3.5)

t0

pˇri souˇcasném respektov´ an´ı omezen´ı na ˇr´ızen´ı a stav systému − vmax < v(t) < vmax

(3.6)

−dmin < u(t) < amax

(3.7)

kde dmin a amax je maxim´ aln´ı pˇr´ıpustná decelerace a zrychlen´ı systému, vmax je maximáln´ı rychlost. Speci´ aln´ım pˇr´ıpadem u ´lohy je pak pohyb z klidu do klidu, kdy okrajové podm´ınky maj´ı tvar x0 = [s0 0]T , xf = [sf 0]T . Pˇrestoˇze pohyb z klidu do klidu je v praxi nejˇcastˇejˇs´ı u ´lohou, generátor mus´ı umˇet ˇreˇsit také obecn´ y pˇr´ıpad kv˚ uli implementaci funkc´ı m´ıch´ an´ı pohyb˚ u (blending), kdy od operátora nebo z programu stroje pˇrijde poˇzadavek na nov´ y pohyb jeˇstˇe pˇred dokonˇcen´ım toho pˇredchoz´ıho. V tomto pˇr´ıpadˇe je nutné pˇrepl´ anovat trajektorii z nenulov´ ych poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek. Podle Pontrjaginova principu minima [59] mus´ı ˇcasovˇe optimáln´ı ˇr´ızen´ı nab´ yvat zadan´ ych mezn´ıch hodnot. Podle um´ıstˇen´ı okrajov´ ych podm´ınek ve stavovém prostoru mohou nastat dva pˇr´ıpady:

35


1. Optim´ aln´ı trajektorie systému nenaruˇsuje omezen´ı na maximáln´ı rychlost, ˇr´ızen´ı u(t) pak nab´ yv´ a na ˇcasovém intervalu tf pouze dvou mezn´ıch hodnot −dmin a amax . 2. Trajektorie dosahuje maxim´ aln´ı dovolené rychlosti, ˇr´ızen´ı u(t) oproti pˇredchoz´ımu pˇr´ıpadu obsahuje nav´ıc interval nulové akcelerace. V obou pˇr´ıpadech je nav´ıc nutné podle okrajov´ ych podm´ınek rozliˇsit, zda ˇr´ızen´ı bude zaˇc´ınat fáz´ı zrychlen´ı nebo zpomalen´ı. Nalezen´ı optimáln´ıho ˇr´ızen´ı potom spoˇc´ıvá ve v´ ypoˇctu pˇrep´ınac´ıch ˇcas˚ u, ve kter´ ych akcelerace mˇen´ı hodnotu. Tyto ˇcasy lze z´ıskat ˇreˇsen´ım soustavy polynomi´ aln´ıch rovnic [60, 61]. Pˇri modifikaci u ´lohy zaveden´ım omezen´ı na derivaci zrychlen´ı je nutné model sysˇ ızen´ı systému u(t) pak odpov´ıdá jerku, jehoˇz tému (3.1) rozˇs´ıˇrit o dalˇs´ı integr´ ator. R´ mezn´ı hodnoty je tˇreba dodefinovat k omezen´ım (3.6) a (3.7). Takto formulovaná u ´loha je jiˇz velmi komplikovan´ a a z literatury nen´ı známo jej´ı analytické ˇreˇsen´ı. V praxi se pˇri implementaci gener´ ator˚ u trajektorie obvykle pˇristupuje k suboptimáln´ımu ˇreˇsen´ı, které spoˇc´ıvá ve v´ ypoˇctu jednoduˇsˇs´ı varianty pro systém s dvˇema integrátory a dodateˇcnou u ´pravou v´ ysledné trajektorie. Takovou u ´pravou m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad zaˇrazen´ı dynamického filtru prvn´ıho ˇr´ adu s pˇrenosem F (s) =

1 τ s+1

s vhodnˇe volenou ˇcasovou konstantou

τ , která omezuje velikost jerku a urˇcuje rychlost nábˇehu na maximáln´ı hodnoty zrychlen´ı a zpomalen´ı. To m´ a pˇr´ızniv´ y vliv na hladk´ y pr˚ ubˇeh pohybu, omezuje se nebezpeˇc´ı saturace aktu´ ator˚ u a vybuzen´ı mechanick´ ych vibrac´ı v pracovn´ım mechanismu. Nev´ yhodou je promˇenn´ a hodnota jerku v z´ avislosti na tvaru trajektorie, jeho exponenciáln´ı pr˚ ubˇeh s poˇc´ ateˇcn´ı ˇspiˇckou a asymptotick´ y pr˚ ubˇeh trajektorie vlivem nekoneˇcné impulsn´ı funkce filtru, z ˇcehoˇz vypl´ yv´ a nutnost vyhodnocen´ı konce pohybu. Dalˇs´ı moˇznost´ı je u ´prava pr˚ ubˇehu akcelerace omezen´ım strmosti nábˇehu v pˇrep´ınac´ıch ˇcasech, pˇr´ıpadnˇe náhrada schodovitého pr˚ ubˇehu zrychlen´ı vhodnou hladkou funkc´ı (napˇr. harmonickou). Trajektorii je potom obvykle nutné pˇr´ısluˇsn´ ym zp˚ usobem pˇrepoˇc´ıtat tak, aby koncov´ y stav odpov´ıdal zadané poˇzadované hodnotˇe. Alternativn´ı pˇr´ıstup je prezentov´ an v publikaci [60]. Autoˇri zde pˇredkládaj´ı hypotézu, ˇze optim´ aln´ı ˇr´ızen´ı pro u ´lohu se tˇremi integrátory s omezen´ım na stav a vstup nab´ yvá tvaru bang-null-bang“, kdy se postupnˇe na sedmi intervalech stˇr´ıdaj´ı mezn´ı a ” nulové hodnoty odpov´ıdaj´ıc´ı derivaci zrychlen´ı. Tato hypotéza umoˇzn ˇuje pˇrevést optimalizaˇcn´ı problém na ˇreˇsen´ı soustavy polynomiáln´ıch rovnic. Podle hodnot okrajov´ ych

36


podm´ınek mohou b´ yt opˇet ve v´ ysledné trajektorii aktivována tˇri r˚ uzná omezen´ı na maxim´ aln´ı rychlost, zrychlen´ı a zpomalen´ı, nav´ıc je tˇreba ˇreˇsit dvˇe varianty ˇr´ızen´ı s poˇcáteˇcn´ı akcelerac´ı nebo zpomalen´ım. Proto je v´ ysledkem ˇsestnáct soustav rovnic o sedmi nezn´ am´ ych (pˇrep´ınac´ı ˇcasy), které jsou ˇreˇseny pouˇzit´ım metody Gröbnerov´ ych báz´ı [62]. Za v´ ysledek je pak povaˇzov´ ano kladné reálné ˇreˇsen´ı s nejmenˇs´ı hodnotou celkového ˇcasu tf . Pro praktickou implementaci je tˇreba algoritmus vhodnˇe upravit pro zajiˇstˇen´ı numerické stability a oˇsetˇren´ı mezn´ıch stav˚ u kdy pro zadané okrajové podm´ınky neexistuje pˇri dan´ ych omezen´ıch ˇz´ adné ˇreˇsen´ı u ´lohy. Tyto problémy jsou diskutovány v publikaci [63]. ´ Ulohu lze snadno modifikovat pro ˇr´ızen´ı rychlosti/otáˇcek, kdy v modelu (3.1) odpad´ a jeden integr´ ator odpov´ıdaj´ıc´ı stavu polohy. Rozˇs´ıˇren´ y problém s omezen´ım na jerk pak form´ alnˇe odpov´ıd´ au ´loze s dvˇema integrátory (3.1) pˇri pouhém pˇredefinován´ı vektoru stavu (x(t) = [v(t) a(t)]T ). Obr´ azek 3.1 ukazuje v´ ysledky simulaˇcn´ıho experimentu, kter´ y srovnává ˇctyˇri r˚ uzné ´ strategie pro pl´ anov´ an´ı trajektorie pˇri ˇr´ızen´ı pohybu v jedné ose. Ukolem gener´ atoru bylo napl´ anovat ˇcasovˇe optimáln´ı trajektorii pohybu z klidu do klidu z poˇc´ ateˇcn´ıch podm´ınek x0 = [0 0 0]T do koncového stavu xf = [1 0 0]T pˇri omezen´ıch vmax = 0.5, amax = dmax = 1, jmax = 5, kde jmax je maximum derivace zrychlen´ı. V kaˇzdém sloupci je postupnˇe shora zobrazen pr˚ ubˇeh polohy, rychlosti, zrychlen´ı a jerku. Prvn´ı sloupec odpov´ıd´ a algoritmu (3.1) bez omezen´ı na jerk, druh´ y sloupec suboptim´ aln´ımu ˇreˇsen´ı s pouˇzit´ım tvarovac´ıho filtru prvn´ıho ˇrádu, tˇret´ı generátoru s harmonick´ ym pr˚ ubˇehem zrychlen´ı a posledn´ı sloupec optimáln´ımu ˇreˇsen´ı pro rozˇs´ıˇren´ y model s omezen´ım na jerk podle [60]. Z v´ ysledk˚ u je vidˇet, ˇze prvn´ı strategie dosahuje nejkratˇs´ıho ˇcasu pohybu (tf = 2.5s), vzhledem k neomezenému jerku v pˇrep´ınac´ıch bodech (pro schodovit´ y pr˚ ubˇeh zrychlen´ı nekoneˇcná hodnota) ovˇsem vzniká nebezpeˇc´ı vybuzen´ı mechanick´ ych vibrac´ı a saturace aktuátor˚ u pˇri sledován´ı takto naplánované trajektorie. Ostatn´ı strategie dosahuj´ı m´ırnˇe delˇs´ıch ˇcas˚ u pˇri hladˇs´ım pr˚ ubˇehu pohybu s omezenou derivac´ı zrychlen´ı.

37

Zrychleni[m/s2]

Rychlost[m/s]

Poloha[m]


1

1

1

1

0.8

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

0.4

0.2

0.2

0.2

0.2

0

0

0

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

0

3

0.5

0.5

0.5

0.5

0.4

0.4

0.4

0.4

0.3

0.3

0.3

0.3

0.2

0.2

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

0.1

0

0

0

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

0

3

1

1

1

1

0.5

0.5

0.5

0.5

0

0

0

0

−0.5

−0.5

−0.5

−0.5

Jerk[m/s3]

−1

0

1

2

3

−1

0

1

2

−1

3

0

1

2

3

−1

5

5

5

5

0

0

0

0

−5

0

1

2

3

−5

0

1

2

−5

3

0

1

2

3

−5

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

t[s]

ˇ Obr´ azek 3.1: Casovˇ e optim´ aln´ı pohyb v jedn´ e ose - srovnán´ı ˇctyˇr strategi´ı ˇr´ızen´ı

3.1.2

Spojit´ y pohyb po zadan´ e trajektorii

V tomto pˇr´ıpadˇe je uˇzivatelem zad´ ana mnoˇzina uzlov´ ych (koincidenˇcn´ıch) bod˚ u ve formˇe uspoˇr´ adan´ ych dvojic: {ti , di } ; i = 0..n.

(3.8)

kde prvky ti maj´ı v´ yznam ˇcasové znaˇcky, prvky di jsou poˇzadované okamˇzité hodnoty polohy, rychlosti nebo zrychlen´ı v pˇr´ısluˇsn´ ych ˇcasov´ ych okamˇzic´ıch. C´ılem je nalézt vhodnou interpolaˇcn´ı funkci ϕ (t), která má následuj´ıc´ı vlastnosti: • Funkce splˇ nuje interpolaˇcn´ı podm´ınky dané vstupn´ımi daty : ϕ (ti ) = di ; i = 0..n

38

(3.9)


s, v, a

Position

Pos2 Pos3 Pos4

Pos1

0

Acceleration Time

Velocity

dT1

dT2 deltaTime dT1 dT2 dT3 dT4

dT3

dT4 absPos Pos1 Pos2 Pos3 Pos4

Obr´ azek 3.2: Pohyb po spojit´ e trajektorii - pˇr´ıklad interpolace uˇzivatelsk´ ych dat zadan´ ych tabulkou

• Funkce vyhovuje okrajov´ ym podm´ınkám ve tvaru d d d2 d2 ϕ (0) = v0 , ϕ (tn ) = v1 , 2 ϕ (0) = a0 , 2 ϕ (tn ) = a1 dt dt dt dt

(3.10)

Tedy prvn´ı dvˇe derivace odpov´ıdaj´ıc´ı funkc´ım pro rychlost a zrychlen´ı mus´ı b´ yt m´ıt na zaˇc´ atku a konci profilu pohybu pˇresnˇe definovanou hodnotu. Tento poˇzadavek vych´ az´ı z praktické potˇreby pˇri zad´ av´ an´ı vykonávaného pohybu, napˇr´ıklad jestliˇze uˇzivatel zad´ a poˇzadovan´ y ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh polohy, pak na zaˇcátku a konci trajektorie mus´ı m´ıt interpolaˇcn´ı funkce nulovou rychlost a zrychlen´ı, ˇc´ımˇz se doc´ıl´ı fyzikálnˇe realizovatelného pohybu osy z klidu do klidu. Jestliˇze je zadáván profil rychlosti, pak je rozumné poˇzadovat nulové zrychlen´ı na poˇcátku a konci trajektorie. Nenulová poˇcáteˇcn´ı rychlost nebo zrychlen´ı m˚ uˇze m´ıt za n´ asledek vznik regulaˇcn´ı odchylky pˇri vykonáván´ı pohybu a vybuzen´ı velk´ ych silov´ ych ráz˚ u na mechanickou ˇcást ˇr´ızeného systému. Pˇri nenu-

39


lové koncové rychlosti nebo zrychlen´ı pak vzniká problém s nutnost´ı uvést systém do klidového stavu po dokonˇcen´ı pl´ anovaného pohybu. Z praktick´ ych d˚ uvod˚ u je vhodné v´ yˇse uvedené matematické podm´ınky doplnit dalˇs´ımi poˇzadavky •

Rozumné“ chov´ an´ı interpolaˇcn´ı kˇrivky mezi zadan´ ymi uzlov´ ymi body. Silnˇe zvl” nˇená kˇrivka pˇredepsan´ a polynomem vysokého ˇrádu m˚ uˇze pˇresnˇe procházet zadan´ ymi body, avˇsak pro popis poˇzadovaného pohybu nen´ı pouˇzitelná.

• Mal´ y poˇcet parametr˚ u kˇrivky, v ideáln´ım pˇr´ıpadˇe menˇs´ı neˇz poˇcet vstupn´ıch dat. • Tvar funkce vhodn´ y pro generován´ı trajektorie v reálném ˇcase. Tento bod u ´zce souvis´ı s pˇredchoz´ım poˇzadavkem. Kˇrivka mus´ı b´ yt popsána jednoduch´ ym pˇredpisem s mal´ ym poˇctem parametr˚ u tak, aby okamˇzité hodnoty mohly b´ yt snadno a rychle vyˇc´ısleny v re´ alném ˇcase. • Moˇznost dodateˇcnˇe ovlivnit pr˚ ubˇehy derivac´ı funkce ϕ (t), pˇri zachován´ı platnosti interpolaˇcn´ıch podm´ınek. To je d˚ uleˇzité napˇr´ıklad v pˇr´ıpadech, kdy implicitnˇe vypoˇcten´ a kˇrivka pro dr´ ahu pˇrekraˇcuje maximáln´ı dovolené hodnoty v rychlosti nebo zrychlen´ı a uˇzivatel m˚ uˇze poˇzadovat modifikaci tvaru kˇrivky v tˇechto problémov´ ych ˇc´ astech. Z v´ yˇse uveden´ ych praktick´ ych poˇzadavk˚ u vypl´ yvá, ˇze nejvhodnˇejˇs´ım zp˚ usobem proloˇzen´ı zadan´ ych dat pro generov´ an´ı trajektori´ı pohybu je pouˇzit´ı po ˇcástech polynomiáln´ı interpolaˇcn´ı funkce. Volba dostateˇcnˇe vysokého stupnˇe polynomu zajiˇst’uje hladk´ y pr˚ ubˇeh vyˇsˇs´ıch derivac´ı polohy (vˇcetnˇe jerku), coˇz je d˚ uleˇzité z hlediska buzen´ı mechanick´ ych vibrac´ı. Pˇr´ıliˇs vysok´ y ˇr´ ad polynomu ovˇsem vede na pˇreparametrizované kˇrivky s nevhodn´ ym tvarem vlivem velkého poˇctu inflex´ı a lokáln´ıch extrém˚ u. Jako ideáln´ı se jev´ı polynom p´ atého stupnˇe, kter´ y vykazuje hladk´ y pr˚ ubˇeh tˇr´ı derivac´ı (spojit´ y pr˚ ubˇeh ˇctyˇr derivac´ı) a z tˇechto d˚ uvod˚ u je velmi ˇcasto uˇz´ıvan´ y pro popis trajektori´ı pohybu [34, 36, 37]. V dalˇs´ım textu jsou struˇcnˇe popsány tˇri základn´ı pˇr´ıstupy syntézy interpolaˇcn´ıch funkc´ı pro generov´ an´ı pohybu. Detailn´ı odvozen´ı metod vˇcetnˇe implementace je moˇzné nalézt ve v´ yzkumné zpr´ avˇe [64] nebo publikaci [65].

40


Interpolace kvintick´ ym polynomem V tomto pˇr´ıstupu je pro mnoˇzinu n + 1 uˇzivatelem zadan´ ych koincidenˇcn´ıch bod˚ u (3.8) vypoˇctena kˇrivka s n vnitˇrn´ımi segmenty, z nichˇz kaˇzd´ y je popsán polynomem pátého stupnˇe ve formˇe: ϕk (u) = a5k u5 + a4k u4 + a3k u3 + a2k u2 + a1k u + a0k ; k = 1..n, u ∈< 0, 1 >

(3.11)

kde parametr u je zaveden z d˚ uvod˚ u numerické stability pˇri hledán´ı hodnot koeficient˚ u polynom˚ u pro jednotlivé segmenty. Hodnota u = 0 odpov´ıdá poˇcáteˇcn´ımu bodu segmentu kˇrivky, u = 1 potom koncovému. ych segmentech, C´ılem je nalézt takové hodnoty koeficient˚ u aik pro polynomy v jednotliv´ aby v´ ysledn´ a kˇrivka pˇresnˇe interpolovala zadaná data. Uzlové body zadané uˇzivatelem definuj´ı okrajové body kaˇzdého segmentu, coˇz lze zapsat ve zvolené nezávislé promˇenné u takto: ϕk (0) = dk−1 = dk0 ; ϕk (1) = dk = dk1

(3.12)

Ze vztahu (3.12) dost´ av´ ame 2n podm´ınek. Pro kompletn´ı parametrizaci interpolaˇcn´ı funkce je vˇsak tˇreba urˇcit celkem 6n koeficient˚ u polynom˚ u v jednotliv´ ych segmentech, zb´ yv´ a tedy doplnit 4n vztah˚ u, aby v´ ysledná kˇrivka byla dána jednoznaˇcnˇe. Tyto dopln ˇuj´ıc´ı podm´ınky lze z´ıskat definován´ım pr˚ ubˇehu rychlosti a zrychlen´ı v ˇcasov´ ych okamˇzic´ıch zadan´ ych uzlov´ ymi body. Derivován´ım polynomu (3.11) podle ˇcasu dostáváme vztah pro funkci rychlosti vk (t) uvnitˇr k-tého segmentu kˇrivky (t ∈< tk−1 , tk >): 5a5k u4 + 4a4k u3 + 3a3k u2 + 2a2k u + a1k dϕk (u (t)) vk (t) = = dt tk − tk−1 1 , ϕ0k (u) . ; k = 1..n, u ∈< 0, 1 > fnk

(3.13)

kde fnk je faktor vznikaj´ıc´ı v d˚ usledku normalizace nezávislé promˇenné (ˇcasu) na interval < 0, 1 > v promˇenné u uvnitˇr kaˇzdého segmentu kˇrivky. Podobn´ ym zp˚ usobem lze odvodit vztah pro zrychlen´ı uvnitˇr segmentu ak (t): 20a5k u3 + 12a4k u2 + 6a3k u + 2a2k d2 ϕk (u) du 2 ak (t) = = . du2 dt (tk − tk−1 )2 1 , ϕ00k (u) . 2 ; k = 1..n, u ∈< 0, 1 > fnk

41

(3.14)


Ze vztah˚ u (3.13) a (3.14) dostaneme 4 doplˇ nkové podm´ınky pro kaˇzd´ y segment na poˇcáteˇcn´ı a koncovou rychlost a zrychlen´ı:

ϕ0k (0) = v(tk−1 )fnk = vk0

(3.15)

ϕ0k (1) = v(tk )fnk = vk1 2 ϕ00k (0) = a(tk−1 )fnk = ak0 2 ϕ00k (1) = a(tk )fnk = ak1

kde v(tk−1 ), v(tk ) jsou uˇzivatelem zadané poˇzadované rychlosti, a(tk−1 ), a(tk ) poˇzadovaná zrychlen´ı v krajn´ıch bodech segment˚ u kˇrivky. Celkem tedy dostáváme 6 rovnic pro 6 koeficient˚ u polynomu 5.ˇr´ adu v kaˇzdém segmentu kˇrivky, která je jiˇz jednoznaˇcnˇe urˇcena. Dosazen´ım interpolaˇcn´ıch podm´ınek (3.12) a podm´ınek na vyˇsˇs´ı derivace (3.15) do vztah˚ u pro polynomy (3.11),(3.13),(3.14) dostáváme pro kaˇzd´ y k − t´ y segment soustavu lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic, jejichˇz ˇreˇsen´ım jsou hodnoty koeficient˚ u polynomu popisuj´ıc´ıho kˇrivku v daném segmentu. Tento zp˚ usob v´ ypoˇctu interpolaˇcn´ı funkce umoˇzn ˇuje uˇzivateli kromˇe samotn´ ych uzlov´ ych bod˚ u zadávat také pr˚ ubˇeh dvou derivac´ı, ˇc´ımˇz je moˇzné interaktivnˇe tvarovat v´ yslednou trajektorii pohybu. Tato metoda vˇsak nen´ı vhodná pˇri velkém poˇctu zadan´ ych koincidenˇcn´ıch bod˚ u, kdy pˇresn´ y pr˚ ubˇeh dvou derivac´ı m˚ uˇze b´ yt apriori jen velmi tˇeˇzko urˇcen. Pro tato pˇr´ıpady se hod´ı dalˇs´ı dvˇe metody interpolace. Kvintick´ a spline interpolace Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe se v´ ysledná kˇrivka skládá z n segment˚ u mezi jednotliv´ ymi koincidenˇcn´ımi body zadan´ ymi uˇzivatelem, kde kaˇzd´ y segment je popsán polynomem p´ atého stupnˇe ve tvaru (3.11). Na rozd´ıl od pˇredchoz´ı metody nezadává uˇzivatel pr˚ ubˇeh vyˇsˇs´ıch derivac´ı kˇrivky v uzlov´ ych bodech, ale koeficienty polynom˚ u jsou urˇceny z tzv. spline podm´ınek na spojitost prvn´ıch ˇctyˇr derivac´ı v navazovac´ıch bodech. Zadané uzlové body urˇcuj´ı 2n interpolaˇcn´ıch podm´ınek pro pr˚ ubˇeh polohy v kaˇzdém k-tém segmentu: ϕk (0) = dk−1 = dk0 , ϕk (1) = dk = dk1 ; k = 1, ..., n

42

(3.16)


Z pˇredpisu (3.16) lze pˇr´ımo vypoˇc´ıtat hodnoty koeficient˚ u a0k = dk ; k = 1, ..., n. Poˇzadavek na rovnost prvn´ıch ˇctyˇr derivac´ı polohy ve vnitˇrn´ıch navazovac´ıch bodech kˇrivky d´ av´ a dalˇs´ıch 4(n − 1) podm´ınek. Opˇet je nutné násoben´ı faktorem fnk u vyˇsˇs´ıch derivac´ı kv˚ uli normalizaci segmentu na interval < 0, 1 > v promˇenné u:

1 fnk 1 ϕ00k (1) 2 fnk 1 ϕ000 k (1) 3 fnk 1 ϕIV k 4 (1) fnk ϕ0k (1)

k

1 fnk+1 1 = ϕ00k+1 (0) 2 fnk+1 1 = ϕ000 k+1 (0) 3 fnk+1 1 = ϕIV k+1 (0) 4 fnk+1 = ϕ0k+1 (0)

(3.17)

= 1, ..., n − 1

(3.18)

Celkem dost´ av´ ame 6n−4 rovnic pro 6n neznám´ ych koeficient˚ u polynom˚ u 5. ˇrádu v jednotliv´ ych segmentech. Zb´ yv´ a tedy urˇcit dalˇs´ı 4 okrajové podm´ınky v krajn´ıch bodech kˇrivky. Pro interpolaci ˇcasového profilu polohy vypl´ yvaj´ı tyto podm´ınky z poˇzadavku na fyzik´ alnˇe realizovateln´ y pohyb z klidu do klidu, tedy na nulovou rychlost a zrychlen´ı v poˇc´ ateˇcn´ım a koncovém bodu kˇrivky, coˇz lze zapsat:

ϕ01 (0) = 0, ϕ001 (0) = 0

(3.19)

ϕ0n (1) = 0, ϕ00n (1) = 0 Vztahy (3.16)-(3.19) jiˇz jednoznaˇcnˇe urˇcuj´ı hledanou interpolaˇcn´ı kˇrivku, jej´ıˇz parametry lze z´ıskat ˇreˇsen´ım uvedené soustavy rovnic. V´ ysledkem v´ ypoˇctu je hladká trajektorie pohybu se spojit´ ymi ˇctyˇrmi derivacemi polohy s pˇrirozen´ ym pr˚ ubˇehem a minimáln´ı kˇrivost´ı. Pˇri vˇetˇs´ım mnoˇzstv´ı uzlov´ ych bod˚ u z˚ ust´ av´ a ovˇsem problém s velk´ ym poˇctem parametr˚ u (pro n + 1 zadan´ ych bod˚ u je kˇrivka urˇcena 6n koeficienty polynom˚ u v jednotliv´ ych segmentech). Pro tyto pˇr´ıpady je vhodné pouˇz´ıt metody zaloˇzené na aproximaˇcn´ıch spline kˇrivkách.

43


Aproximaˇ cn´ı B-spline funkce Z d˚ uvod˚ u uveden´ ych v pˇredchoz´ı ˇc´ asti je moˇzné vyuˇz´ıt dalˇs´ı metodu popisu trajektorie pohybu, tentokr´ at ve formˇe jednorozmˇerné uniformn´ı kvintické aproximaˇcn´ı B-spline kˇrivky, která je plnˇe urˇcena n´ asleduj´ıc´ımi parametry: • Poˇctem segment˚ u kˇrivky N, na které je rovnomˇernˇe rozdˇelen ˇcasov´ y interval < 0, tn > ze zadan´ ych vstupn´ıch dat (3.8). • Vektorem ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚ u P , kter´ y obsahuje (N + 5) prvk˚ u. Protoˇze poˇzadujeme jednorozmˇernou funkci, ˇr´ıd´ıc´ı body jsou reálné konstanty. V kaˇzdém d´ılˇc´ım subintervalu o délce

tn N

je potom v´ ysledná funkce generována jin´ ym

polynomem 5.ˇr´ adu, pˇriˇcemˇz v hraniˇcn´ıch bodech mezi segmenty je zaruˇcena spojitost aˇz do ˇctvrté derivace (derivace jerku). Funkˇcn´ı hodnotu v k − tm segmentu (pro k = 1, 2, .., N ) vymezuj´ıc´ım oblast kˇrivky pro ˇcas < tk−1 = (k − 1) tNn , tk = k tNn > lze vyjádˇrit následuj´ıc´ım vztahem:

ϕk {t (u)} =

6 X

Ni (u) pi+k−1

(3.20)

tn ,0≤u≤1 N

(3.21)

i=1

t (u) = tk−1 + u.

Vztah (3.20 ) tedy ˇr´ık´ a, ˇze v kaˇzdém segmentu je funkˇcn´ı hodnota kˇrivky urˇcena lineárn´ı kombinac´ı ˇsesti ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚ u pi a zat´ım neurˇcen´ ych bázov´ ych funkc´ı Ni . Kaˇzd´ y segment je tedy ovlivˇ nov´ an pouze lok´ alnˇe ˇsesti ˇr´ıd´ıc´ımi body a dva sousedn´ı segmenty maj´ı vˇzdy 5 ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚ u spoleˇcn´ ych, coˇz spolu s tvarem bázov´ ych funkc´ı zaruˇcuje poˇzadovanou spojitost mezi ˇc´ astmi kˇrivky. Lze dok´ azat, ˇze pro uniformn´ı parametrizaci jsou bázové funkce stejné pro vˇsechny segmenty, pouze posunuté o interval B-spline je lze zapsat v polynomi´ aln´ım tvaru (obr. 3.3):

44

tn N

[35, 38]. Pro kvintick´ y


0.7 N1 N2 N3 N4 N5 N6

0.6

0.5

N(u)

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 u

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Obr´ azek 3.3: Bázové funkce pro kvintick´ y uniformn´ı B-spline

N1 (u) = (1 − u)5 /120 N2 (u) = (5u5 − 20u4 + 20u3 + 20u2 − 50u + 26)/120 N3 (u) = (−10u5 + 30u4 − 60u2 + 66)/120 N4 (u) = (10u5 − 20u4 − 20u3 + 20u2 + 50u + 26)/120 N5 (u) = (−5u5 + 5u4 + 10u3 + 10u2 + 5u + 1)/120 N6 (u) = u5 /120

(3.22)

kde parametr polynom˚ u u prob´ıhá v kaˇzdém segmentu v intervalu < 0, 1 >, jak je pops´ ano ve vztahu (3.21). Rovnice (3.20) a (3.22) lze pˇrepsat do maticového tvaru. Pro kaˇzd´ y k − t´ y segment potom plat´ı:

45


   T u5 −1 5 −10 10 −5 1 pk  5   pk+1  u4  −20 30 −20 5 0  3       u  1  −10 20 0 −20 10 0     .  pk+2  ϕk {t (u)} =  2  . .  20 −60 20 10 0    u  120  10  pk+3  u   −5 −50 0 50 5 0   pk+4 1 26 66 26 1 0 1 pk+5 = Uk .M.Pk ; u < 0, 1 > 

    =    (3.23)

kde Uk je parametrick´ y vektor, M je bázová matice a Pk je vektor ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚ u pˇr´ısluˇsn´ ych danému segmentu. Tvar (3.23) je v´ yhodn´ y pro generován´ı trajektorie pohybu v reálném ˇcase, protoˇze vektor vznikl´ y souˇcinem M.Pk lze pˇredpoˇc´ıtat pro vˇsechny segmenty kˇrivky a v kaˇzdém kroku algoritmu je pronásobit prvn´ımi pˇeti mocninami parametru u nam´ısto sloˇzitˇejˇs´ıho vyˇc´ıslován´ı bázov´ ych polynom˚ u podle vztah˚ u (3.22). Pˇredpis pro funkce rychlosti, zrychlen´ı a jerku lze potom z´ıskat jednoduˇse derivován´ım vztahu (3.23) podle ˇcasu:

sk (t) = ϕk {t (u)} = Uk .M.Pk dUk dϕk {t (u)} N= M.Pk .N vk (t) = du du d2 ϕk {t (u)} 2 d2 Uk ak (t) = N = M.Pk .N 2 du2 du2 d3 ϕk {t (u)} 3 d3 Uk jk (t) = N = M.Pk .N 3 du3 du3

(3.24) (3.25) (3.26) (3.27)

Násoben´ı mocninami poˇctu segment˚ u kˇrivky N vypl´ yvá z pˇredpisu (3.21) a vˇety o derivaci sloˇzené funkce. Syntéza aproximaˇcn´ı kˇrivky pak vede na optimalizaˇcn´ı problém nalezen´ı hodnot (N +5) ˇr´ıdic´ıch bod˚ u pi kˇrivky ϕ (t) sloˇzené z N segment˚ u takov´ ym zp˚ usobem, aby byla n P minimalizov´ ana suma kvadr´ at˚ u rezidu´ı (ϕ (ti ) − di )2 → min. Volba poˇctu segment˚ u i=0

N je narozd´ıl od pˇredchoz´ıch metod nezávislá na poˇctu uˇzivatelem zadan´ ych uzlov´ ych bod˚ u. To umoˇzn ˇuje nalézt optim´ aln´ı kompromis mezi sloˇzitost´ı kˇrivky a pˇresnost´ı interpolace. Ze vztahu (3.20) je vidˇet, ˇze pr˚ ubˇeh kˇrivky závis´ı lineárnˇe na ˇr´ıd´ıc´ıch bodech, lze ´ tedy pouˇz´ıt metodu line´ arn´ıch nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. Ulohu je ovˇsem nutné upravit pro pˇresné splnˇen´ı okrajov´ ych podm´ınek na zaˇcátku a konci trajektorie (3.10), coˇz lze ˇreˇsit

46

3.2 Synchronizovan´ y pohyb - elektronick´ e vaˇ cky a pˇ revodovky

1

3

0.8

2.5

0.6

Slave poloha

Poloha slave

2

1.5

p (u) 3

0.4

0.2

1

pn(u)

p2(u)

0

p1(u)

0

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Poloha master

0.6

0.7

0.8

0.9

−0.2

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Master poloha

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Obr´ azek 3.4: Zdvihov´ a z´ avislost - elektronická pˇrevodovka a vaˇcka

metodou Lagrangeov´ ych multiplikátor˚ u. Tento problém je v´ıce rozebrán v dalˇs´ı sekci vˇenované synchronizovanému pohybu a elektronick´ ym vaˇckám. Hlavn´ı v´ yhoda pouˇzit´ı aproximaˇcn´ı B-spline kˇrivky je v moˇznosti volby poˇctu segment˚ u. D´ıky optimalizaˇcn´ımu algoritmu je pak moˇzné napˇr´ıklad pro zadanou maximáln´ı nebo stˇredn´ı kvadratickou chybu interpolace v uzlov´ ych bodech naj´ıt kˇrivku s minimáln´ım poˇctem parametr˚ u, coˇz je v´ yhodné pˇri velkém mnoˇzstv´ı zadan´ ych koincidenˇcn´ıch bod˚ u. Vˇsechny uvedené metody je moˇzné modifikovat pro uˇzivatelem zadan´ y poˇzadovan´ y profil rychlosti nebo zrychlen´ı. Princip ˇreˇsen´ı z˚ ust´ avá totoˇzn´ y a mˇen´ı se pouze ˇreˇsené soustavy rovnic.

3.2

Synchronizovan´ y pohyb - elektronick´ e vaˇ cky a pˇ revodovky

Synchronizované ˇr´ızen´ı pohybu je vyˇzadováno ve specifick´ ych aplikac´ıch s velk´ ym poˇctem pomocn´ ych pohon˚ u, jejichˇz pohyb je nutné sjednotit pro správnou funkci zaˇr´ızen´ı (textiln´ı, tiskaˇrské, znaˇckovac´ı, balic´ı, ˇrezac´ı stroje, nav´ıjeˇcky), pˇr´ıpadnˇe pro prov´ adˇen´ı sloˇzitého vz´ ajemnˇe z´ avislého pohybu dvou os (manipulátory). Dˇr´ıve byl problém synchronizace ˇreˇsen mechanicky pomoc´ı centráln´ı (královské) hˇr´ıdele, jej´ıˇz pohyb byl pomoc´ı pˇrevod˚ u a vaˇcek rozv´ adˇen v rámci stroje. Dnes jsou mechanické vaˇcky nahrazoˇ ıdic´ı systém trvale udrˇzuje synchronizaci mezi vány jejich elektronick´ ym protˇejˇskem. R´ nez´ avisle ˇr´ızenou (master) osou, která ˇcasto urˇcuje celkovou rychlost práce stroje, a závisl´ ymi pohyby podˇr´ızen´ ych (slave) os. Pohyb podˇr´ızen´ ych os je definován tzv. zdvihovou z´ avislost´ı, kter´ a vyjadˇruje vztah mezi polohami master-slave (3.4). Master osa m˚ uˇze b´ yt definov´ ana jako fyzick´ y pohon stroje nebo virtuáln´ı generátor bˇeˇz´ıc´ı uvnitˇr

47


ˇr´ıdic´ıho systému. Speci´ aln´ım pˇr´ıpadem vaˇcky je elektronická pˇrevodovka, kdy zdvihová závislost má podobu pˇr´ımky, jej´ıˇz smˇernice urˇcuje poˇzadovan´ y pˇrevodov´ y pomˇer. V´ yhodou elektronick´ ych vaˇcek je snadná zmˇena programu stroje, ladˇen´ı parametr˚ u za bˇehu, spolehlivé a pˇresné ˇr´ızen´ı pohybu. Dále je odstranˇena nev´ yhoda mechanick´ ych vaˇcek, které mˇen´ı svoji zdvihovou z´ avislost vlivem opotˇreben´ı materiálu.

3.2.1

Synt´ eza profilu elektronick´ e vaˇ cky

Formálnˇe se u ´loha syntézy vaˇckového profilu neliˇs´ı od generován´ı ˇcasového profilu pro pohyb v jedné ose zm´ınˇeného v pˇredchoz´ı sekci. Uˇzivatel opˇet zadává mnoˇzinu uzlov´ ych bod˚ u ve formˇe uspoˇr´ adan´ ych dvojic (3.8), které maj´ı ovˇsem v tomto pˇr´ıpadˇe význam zdvihové z´ avislosti, tedy vztahu mezi polohou/natoˇcen´ım master a slave osy. Opˇet je hledána vhodn´ a interpolaˇcn´ı kˇrivka odpov´ıdaj´ıc´ı vstupn´ım dat˚ um, na kterou jsou kladeny stejné poˇzadavky z hlediska hladkosti trajektorie. Odliˇsn´ y je pouze poˇzadavek na okrajové podm´ınky profilu, kter´ y mus´ı b´ yt uzavˇrený. Hodnoty vyˇsˇs´ıch derivac´ı interpolaˇcn´ı kˇrivky mus´ı b´ yt shodné na zaˇcátku a konci profilu pro moˇznost periodického vykonáván´ı pohybu (master osa se pohybuje konstantn´ı rychlost´ı urˇcuj´ıc´ı rychlost stroje a podˇr´ızené slave osy vykon´ avaj´ı periodick´ y pohyb podle zadané závislosti), coˇz lze pro prvn´ı dvˇe derivace zapsat:

d d d2 d2 ϕ (0) = ϕ (tn ) = v0 , 2 ϕ (0) = 2 ϕ (tn ) = a0 dt dt dt dt

(3.28)

Samotn´ y v´ ypoˇcet interpolaˇcn´ı kˇrivky potom prob´ıhá stejn´ ym zp˚ usobem jako u ˇcasového profilu pro jednu osu a lze uˇz´ıt vˇsechny metody zm´ınˇené v pˇredchoz´ı sekci. Oˇ setˇ ren´ı okrajov´ ych podm´ınek u aproximaˇ cn´ı kˇ rivky Okrajové podm´ınky (3.28) lze pro prvn´ı dvˇe zm´ınˇené metody interpolace (kvintick´ y polynom a spline kˇrivka) snadno implementovat u ´pravou algoritmu popsaného v pˇredchoz´ı sekci. Pro aproximaˇcn´ı B-spline kˇrivku je vˇsak nutné modifikovat postup v´ ypoˇctu. Jednoduché ˇreˇsen´ı optimalizaˇcn´ıho problému nalezen´ı polohy ˇr´ıdic´ıch bod˚ u s pouˇzit´ım metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u totiˇz obecnˇe vede na chybu interpolace v okrajov´ ych bodech trajektorie. To m˚ uˇze b´ yt neˇz´ adouc´ı, protoˇze rozd´ılné hodnoty vyˇsˇs´ıch derivac´ı na

48

3.2 Synchronizovan´ y pohyb - elektronick´ e vaˇ cky a pˇ revodovky

zaˇc´ atku a konci kˇrivky vedou na nespojitosti v periodicky vykonávaném pohybu. Algoritmus je nutné modifikovat pro zajiˇstˇen´ı pˇresného splnˇen´ı okrajov´ ych podm´ınek, coˇz lze zajistit napˇr´ıklad uˇzit´ım metody Lagrangeov´ ych multiplikátor˚ u. Ze zadan´ ych uzlov´ ych bod˚ u (3.8) lze sestavit maticovou soustavu rovnic ve tvaru:

Y = Φ.P

(3.29)

kde Y je vektor dat di o dimenzi (n + 1) × 1, Φ je matice regresor˚ u dimenze (n + 1) × (N + 5), kterou lze sestavit z pˇredpisu pro B-spline, P je vektor o délce (N + 5) odpov´ıdaj´ıc´ı hledan´ ym ˇr´ıdic´ım bod˚ um kˇrivky. Okrajové podm´ınky na kˇrivku lze zapsat maticovˇe: ξ = L.P

(3.30)

kde ξ je vektor poˇzadovan´ ych hodnot polohy, rychlosti a zrychlen´ı (celkem 6 podm´ınek), matice L urˇcuje vliv ˇr´ıdic´ıch bod˚ u P na pr˚ ubˇeh trajektorie v krajn´ıch bodech. C´ılem je tedy ˇreˇsit optimalizaˇcn´ı problém nalezen´ı hodnot ˇr´ıdic´ıch bod˚ u kˇrivky, které minimalizuj´ı souˇcet ˇctverc˚ u odchylek v zadan´ ych uzlov´ ych bodech pˇri souˇcasném splnˇen´ı okrajov´ ych podm´ınek (3.30), coˇz vede na modifikované kritérium ve tvaru

J=

1 (Y − ΦP )T (Y − ΦP ) + ΛT (LP − ξ) 2

(3.31)

kde Λ je sloupcov´ y vektor Lagrangeov´ ych multiplikátor˚ u o délce 6 (poˇcet okrajoˇ sen´ı optimalizaˇcn´ıho problému pak spoˇc´ıvá v nalezen´ı extrému v´ ych podm´ınek). Reˇ funkce (3.31), tedy poloˇzen´ım parciáln´ıch derivac´ı podle vektoru ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚ u a vektoru Lagrangeov´ ych multiplik´ ator˚ u rovn´ ych nule. Po u ´pravˇe dostaneme:

∂J ∂P T ∂J ∂ΛT

= ΦT ΦP + ΦT Y + LT Λ = 0

(3.32)

= LP − ξ = 0

(3.33)

Pˇredchoz´ı dvˇe rovnice lze spojit do jedné maticové soustavy:

49


ΦT Φ LT L 0

P Λ

=A

P Λ

=

ΦT Y ξ

(3.34)

ˇ sen´ım soustavy line´ Reˇ arn´ıch rovnic (3.34) je vektor ˇr´ıdic´ıch bod˚ u pro v´ ysledn´ y vaˇc´ kov´ y profil. Uloha m˚ uˇze b´ yt v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech ˇspatnˇe podm´ınˇená a pro v´ ypoˇcet je nutné pouˇz´ıt vhodnou numerickou metodu (napˇr. v´ ypoˇcet s pouˇzit´ım SVD rozkladu a pseudoinverze, viz [64]). Generov´ an´ı trajektorie pohybu podle vaˇ ckov´ eho profilu Interpolaˇcn´ı/aproximaˇcn´ı kˇrivka z´ıskaná nˇekterou z popsan´ ych metod vyjadˇruje závislost os master-slave, kterou lze zapsat: 4

ss (t)=ϕ (sm (t)) = fs (sm (t))

(3.35)

kde ss (t) je ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh dr´ ahy pro slave osu, sm (t) je dráha ˇr´ıd´ıc´ı master osy. Tento vztah jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazuje polohu slave osy v závislosti na poloze master osy v ˇcase. Pro udrˇzen´ı synchronizace pohybu je vˇsak nutné vypoˇc´ıtat rovnˇeˇz funkˇcn´ı závislosti pro rychlost a zrychlen´ı. Pouˇzit´ım vˇety o derivaci sloˇzené funkce dostaneme: vs (t) =

d d d d 4 ss (t) = f (sm (t)) = f (sm (t)) sm (t) = fv (sm (t)) vm (t) dt dt dsm dt

(3.36)

kde funkce vs (t) je ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh rychlosti slave osy, vm (t) je rychlost master osy a funkce fv (sm (t)) je form´ alnˇe shodná s profilem rychlosti z´ıskan´ ym v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe pˇri v´ ypoˇctu ˇcasové trajektorie. Pro funkci zrychlen´ı plat´ı: 2

as (t) =

d d d2 2 ss (t) = 2 f (sm (t)) vm (t) + f (sm (t)) am (t) 2 dt dsm dsm

4

2 = fa (sm (t)) vm (t) + fv (sm (t)) am (t)

(3.37) (3.38)

kde as (t) je ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh zrychlen´ı slave osy, am (t) je zrychlen´ı master osy a funkce fa (sm (t)) odpov´ıd´ a profilu zrychlen´ı. Ze vztah˚ u (3.36) a (3.38) je vidˇet, ˇze pro udrˇzen´ı synchronizace mus´ı být zn´ am´ a okamˇzit´ a rychlost a zrychlen´ı master osy. Pokud je cel´ y systém ˇr´ızen centrálnˇe, pak jsou

50

3.3 Koordinovan´ y pohyb ve v´ıce os´ ach

Obr´ azek 3.5: CamEdit - editor vaˇckov´ ych profil˚ u

tyto hodnoty k dispozici a nen´ı problém je z´ıskat z blok˚ u generátoru pohybu aktuálnˇe pouˇz´ıvaného pro pohyb master osy. Jakmile je ovˇsem pohyb master osy ˇr´ızen zvenˇc´ı a dostupn´ a je napˇr´ıklad pouze jej´ı poloha, je nutné hodnoty rychlosti a zrychlen´ı vhodn´ ym zp˚ usobem odhadovat. V praxi b´ yvá syntéza vaˇckov´ ych nebo ˇcasov´ ych profil˚ u podpoˇrena vhodn´ ym uˇzivatelsk´ ym n´ astrojem s grafick´ ym rozhran´ım (GUI), které je integrováno do v´ yvojového prostˇred´ı k dané HW platformˇe ˇr´ıdic´ıho systému. Takov´ y nástroj umoˇzn ˇuje interaktivn´ı zad´ av´ an´ı, u ´pravy a vyhodnocován´ı pr˚ ubˇeh˚ u definovan´ ych trajektori´ı a jejich automatick´ y export do programu stroje. Na obr. 3.5 je ukázka takového GUI vyvinutého v r´ amci v´ yzkumného projektu MPO [64].

3.3

Koordinovan´ y pohyb ve v´ıce os´ ach

Koordinovan´ y pohyb je vyˇzadován ve sloˇzitˇejˇs´ıch aplikac´ıch u zaˇr´ızen´ı s vˇetˇs´ım poˇctem os, typicky u robotick´ ych manipulátor˚ u a CNC obrábˇec´ıch stroj˚ u, kde vyvstávaj´ı

51


poˇzadavky na komplikovanˇejˇs´ı prov´ adˇené u ´kony. Tˇemto dvˇema hlavn´ım oblastem je vˇenováno velké mnoˇzstv´ı literatury, coˇz vypl´ yvá z jejich d˚ uleˇzitosti pro technickou praxi [19, 20, 39, 40, 41, 42, 43, 44]. Zaj´ımav´ ym fenoménem je, ˇze pˇrestoˇze je problematika ˇr´ızen´ı pohybu v obou pˇr´ıpadech velmi podobná, dˇel´ı se dostupné materiály do dvou smˇer˚ u robotiky a CNC ˇr´ızen´ı. Aˇckoliv se ˇcasto ˇreˇs´ı stejné problémy, je pouˇz´ıvána odliˇsná terminologie a liˇs´ı se také pˇr´ıstupy k ˇreˇsen´ı. Metody robotiky vycházej´ı pˇreváˇznˇe z matematicky formulovan´ ych problém˚ u, které ˇcasto vedou na optimalizace podle nejr˚ uznˇejˇs´ıch kritéri´ı. Dosaˇzen´ y optim´ aln´ı“ v´ ysledek je ovˇsem nˇekdy v praxi naprosto ” nepouˇziteln´ y (napˇr. v´ ypoˇcetn´ı n´ aroˇcnost algoritmu, kter´ y nelze nasadit v reálném ˇcase, nevhodn´ y pr˚ ubˇeh trajektorie pohybu pro proveden´ı robotem nebo pˇredpoklad u ´plné ´ znalosti dynamického modelu systému, kter´ y nikdy nen´ı splnˇen). Ulohy CNC ˇr´ızen´ı jsou naopak motivov´ any technickou prax´ı a vycház´ı z reáln´ ych problém˚ u vznikaj´ıc´ıch v pr˚ umyslov´ ych aplikac´ıch. Sp´ıˇse neˇz optimalita ˇreˇsen´ı v matematickém slova smyslu je d˚ uleˇzit´ y dosaˇzen´ y v´ ysledek (kvalita obrábˇeného povrchu, rozumn´ y celkov´ y ˇcas cyklu stroje, jeho opotˇreben´ı...). Nev´ yhodou tohoto stroj´ırenského“ pˇr´ıstupu m˚ uˇze b´ yt pˇr´ı” liˇsná konzervativnost nˇekter´ ych ˇreˇsen´ı, které lze s pouˇzit´ım vhodného matematického aparátu vylepˇsit. Obˇe tyto oblasti se pak liˇs´ı i z pohledu uˇzivatele v´ ysledného zaˇr´ızen´ı. Zat´ımco v CNC ˇr´ızen´ı existuje pomˇernˇe standardizovaná forma programován´ı ve formˇe normalizovaného G-k´ odu [39], pak u robotick´ ych manipulátor˚ u se vyskytuje celá ˇrada programovac´ıch jazyk˚ u, které se liˇs´ı podle jednotliv´ ych v´ yrobc˚ u [41]. Ve snaze sjednotit oba tyto svˇety vydala organizace PLCOpen sdruˇzuj´ıc´ı pˇredn´ı v´ yrobce v oblasti automatizaˇcn´ı techniky normu pro systémy ˇr´ızen´ı pohybu Motion Control [33]. Jej´ı souˇc´ ast´ı je i sekce vˇenovaná koordinovanému pohybu, která popisuje jednotn´ y zp˚ usob programov´ an´ı a funkˇcn´ı vlastnosti, které by mˇel v´ıceos´ y systém splˇ novat. Vlastn´ı implementace tˇechto funkc´ı je pak jiˇz ponechána na v´ yrobci konkrétn´ıho zaˇr´ızen´ı. Tato norma je jiˇz za p´ ar let své existence v praxi respektována a vˇetˇsina velk´ ych firem jiˇz zahrnuje definované funkce do sv´ ych v´ yvojov´ ych prostˇred´ı. Právˇe kv˚ uli ˇsirokému uplatnˇen´ı v praxi poslouˇzila také jako pˇredloha pro definici základn´ıch okruh˚ u problém˚ u spojen´ ych s ˇr´ızen´ım pohybu, které jsou popsané v této práci.

52

2.1 Coordinate System and kinematic transformation

The essence of a trajectory is the coordinated motion of two or more axes from a starting point to a target point via defined path with a specified path velocity. As path one can think of a straight line, a circular movement, or via a splin function. The definition of a path– or any position information - in space requires a coordinate system. Within thi specification three coordinate systems are defined: ACS MCS PCS

Axis related Machine related 3.3 Koordinovan´ y pohyb ve v´ıce os´ ach Product or Workpiece related

Y'

Z'

y´

PCS

Souřadnice produktu/programu

X'

kartézská transformace

Z MCS

X

Y ACS

1

Souřadnice stroje kinematické transformace

Souřadnice aktuátorů

Pohony stroje 3 2

Figure 2: Overview of the coordinate systems and transformations Obr´ azek 3.6: Souˇ radn´ e syst´ emy v´ıceos´ eho stroje - definice podle [33]

ACS: Axes Coordinate System – actual position of the physical axis (after homing). 3.3.1 Souˇ radn´ e syst´ emy a jejich transformace MCS: Machine Coordinate System – Cartesian coordinate system with the origin is a fixed position relative to th Ve v´ıceos´ em syst´ emu Coordinate jsou obvykleSystem” definováor ny “Base tˇri r˚ uzn´ e souˇradné System”). systémy (viz obr. with 3.6). Cartesian buil machine. (Sometimes called “World Coordinate (Note: machines, MCS may be identical to ACS, or mapped via a trivial transformation). The coordinate system from th radn´ y is syst´ em to produktu/programu (PCS) je kartézsk´ a soustava a conversion). physical multipleSouˇ axes ACS linked the MCS via a kinematic transformation (forward anddefinovan´ backward vzhledem k prostˇred´ı, se kter´ ym pˇricház´ı stroj do kontaktu (napˇr. obrábˇená nebo mon-

PCS: The real work piece can have rotationjeho or shift MCS ecoordinate even might be moving relativ tovan´ a souˇ c´ ast). D˚ uavodem pouˇzto it´ıthe je snadnˇ jˇs´ı zp˚ usob system popisuorpoˇ zadovan´ e trato the MCS coordinate system, and often one wants to describe the trajectory independent from the machine situation jektorie nez´ avisle aktu´ aln´ımua stavu (konfiguraci) stroje a jeho souˇradn´ eho To map these two worldspohybu (MCS to PCS andnavice versa), cartesian or cylindrical transformation is normally done. Th syst´ Ten m˚ uˇzcan e b´ ybe t vzhledem k PCS definov´ an staticky pomoc´ ı operac´ ı translace a coordinate system ofemu. the product called PCS – Product Coordinate System (or “Program Coordinate System” in CNC world). There cannebo be more than one PCS transformation applicable at the same time. In this case the ENUM t rotace dynamicky, jestliˇ ze jsou tyto dvˇe soustavy souˇ radnic v pohybu. specify the coordinate system (CS) has to be extended. A PCS can be a static or a dynamic transformation. Souˇ radn´ y syst´ em stroje (MCS) nˇekdy naz´ yvan´ y základn´ı nebo svˇetov´ y systém

In order to specify aradnic point je orsv´ orientation in space a positionˇcalways has(z´ toakladna/suport be related to a manipul´ coordinate system. By mean souˇ az´ an s pevnou nepohyblivou ást´ı stroje atoru of transformations this position can be transformed to other coordinate systems. Within this specification, functio nebo V tomto souˇradn´ em syst´ emu je definováof n pohyb koncového efektoru nebo blocks are defined forrobotu). these transformations, hiding the complexity these transformations to the programmer in it nástroje, tedymotion jeho pozice a pˇr´ıpadnˇ e orientace v prostoru robotice prostor day to day use. All multi axes commands are related to only one of the(vcoordinate systemszobecat the same time. nˇených souˇradnic). Vzhledem k PCS je vázán obvykle kartézskou transformac´ı pˇres

The example below demonstrates how a point P, which is situated on a 2D workpiece (red trapezoid), can be describe TC2 - Task Force Motion Control Part 4 – Coordinated Motion

December 3, 2008 V 1.0 53

© PLCopen – 2007 - 2008 page 13/ 119


operace translace a rotace, se soustavou souˇradnic aktuátor˚ u potom pomoc´ı kinematické transformace. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech m˚ uˇze b´ yt souˇradn´ y systém stroje ztotoˇznˇen s jedn´ım ze dvou zb´ yvaj´ıc´ıch, pˇr´ıpadnˇe je vázán pouze triviáln´ı lineárn´ı transformac´ı (napˇr. odliˇsné poˇrad´ı os). Souˇ radn´ y syst´ em aktu´ ator˚ u (ACS) odpov´ıdá polohám/natoˇcen´ı jednotliv´ ych pohon˚ u stroje (uzlové souˇradnice v robotice), které vzájemnˇe koordinovan´ ym pohybem vytváˇr´ı poˇzadovanou trajektorii efektoru. Mezi ACS a MCS jsou definovány kinematické transformace (pˇr´ım´ a a inverzn´ı, viz. kapitola 2). Pro jednoduché konfigurace stroj˚ u mohou b´ yt tyto transformace trivi´ aln´ı, napˇr´ıklad pro tˇr´ıos´ y kartézsk´ y robot ACS a MCS spl´ yvaj´ı. Pro sloˇzitˇejˇs´ı kinematické struktury vˇsak ˇcasto vycházej´ı velmi komplikované vztahy, které nemus´ı b´ yt analyticky ˇreˇsitelné, coˇz b´ yvá ˇcast´ ym problémem u inverzn´ı kinematiky pro sériové manipul´ atory a pˇr´ımé kinematiky u paraleln´ıch. V takov´ ych pˇr´ıpadech je nutné pˇristoupit k numerickému v´ ypoˇctu, coˇz pˇrináˇs´ı problémy s konvergenc´ı, v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnost´ı atd. Kart´ ezsk´ e transformace P CS ↔ M CS Pˇrechod mezi dvˇema kartézsk´ ymi systémy souˇradnic je moˇzné plnˇe popsat pomoc´ı operac´ı translace a rotace [57]. Uvaˇzujeme-li systém souˇradnic CS0 definovan´ y poˇcátkem a kartézsk´ ym systémem os O0 − x0 y0 z0 , pak pozici libovolného bodu p1 v jiném systému souˇradnic CS1 : O1 − x1 y1 z1 lze pˇrevést pomoc´ı transformace: p0 = o01 + R01 p1

(3.39)

kde o01 jsou souˇradnice poˇc´ atku v´ ychoz´ı soustavy souˇradnic CS1 v soustavˇe CS0 a R01 je rotaˇcn´ı matice definuj´ıc´ı orientaci CS1 v˚ uˇci CS0 . Rotaˇcn´ı matice R je definov´ ana jako posloupnost tˇr´ı elementárn´ıch operac´ı rotace kolem jedné osy souˇradného systému: 

 r11 r12 r13 R = R(α, β, γ) =  r21 r22 r23  r31 r32 r33

(3.40)

kde α, β, γ jsou u ´hly natoˇcen´ı kolem zvolen´ ych os. Existuj´ı r˚ uzné zp˚ usoby v´ ybˇeru os, podle kter´ ych je postupnˇe prov´ adˇena rotace, v praxi se ustálil systém RP Y (Roll-PitchYaw), kter´ y vych´ az´ı z popisu pohybu uˇz´ıvaného v aeronautice a má v´ yznam postupné

54


rotace kolem os z, y, x. V robotice je rovnˇeˇz uˇz´ıván systém Eulerov´ ych u ´hl˚ u, které jsou definov´ any poˇrad´ım rotac´ı z, y 0 , z 00 , tedy rotac´ı kolem osy z, dalˇs´ı rotac´ı kolem novˇe vzniklé osy y 0 a tˇret´ı rotac´ı kolem následnˇe vzniklé osy z 00 . Z vlastnosti ortogonality rotaˇcn´ı matice plyne inverzn´ı transformace k (3.39) mezi souˇradn´ ymi systémy: p1 = (R01 )T p0 − (R01 )T o01

(3.41)

Z d˚ uvodu kompaktnˇejˇs´ıho z´ apisu se ˇcasto zavád´ı tzv. homogenn´ı souˇradnice ve tvaru ¯ = [p 1]T a k nim pˇr´ısluˇsn´ p a homogenn´ı transformaˇcn´ı matice 0 R1 o01 0 A1 = 0T 1

(3.42)

Pomoc´ı homogenn´ıch souˇradnic a matice (3.42) lze pak transformaci souˇradnic zapsat jednoduˇse vztahem p¯0 = A01 p¯1

(3.43)

−1 p¯1 = (A01 ) p¯0

(3.44)

Kinematick´ e transformace M CS ↔ ACS Kinematické transformace slouˇz´ı k pˇrechodu mezi souˇradnicemi aktuátor˚ u, které lze popsat jako vektor natoˇcen´ı nebo vysunut´ı v jednotliv´ ych kloubech stroje   θ1   Θ =  ... 

(3.45)

θn a vektorem souˇradnic stroje, které definuj´ı polohu p a orientaci φ koncového efektoru/n´ astroje: X=

p φ

(3.46)

´ Uloha pˇr´ımé kinematiky pak spoˇc´ıvá v nalezen´ı transformace X = G(Θ), opaˇcná u ´loha inverzn´ı kinematiky ˇreˇs´ı pˇrechod Θ = G−1 (X). Kromˇe jednoduch´ ych pˇr´ıpad˚ u b´ yvá nalezen´ı tˇechto transformac´ı velmi komplikované, kv˚ uli nelinearitˇe vypl´ yvaj´ıc´ı z podstaty ˇ problému. Casto nen´ı moˇzné nalézt analytické ˇreˇsen´ı, coˇz komplikuje pˇr´ıpadnou imˇ sen´ı kinematick´ plementaci tˇechto v´ ypoˇct˚ u do ˇr´ıdic´ıho systému. Reˇ ych transformac´ı je jednou ze z´ akladn´ıch u ´loh robotiky a tomuto problému je vˇenována celá ˇrada publikac´ı [19, 20, 41, 42, 57].

55

a circular movement, or a spline function. The path via which the new commanded position is reached is important. For example, this is essential if a workpiece is being processed. Further, the path velocity of the TCP can be controlled directly. Contrary to joint interpolated movements the process of the position of each axis is determined by the desired path and the inverse kinematic transformation. The applicable Function Blocks as specified herein are: • MC_MoveLinearAbsolute • MC_MoveLinearRelative • MC_MoveCircularAbsolute • MC_MoveCircularRelative ´ ´ 3. GENEROVAN I TRAJEKTORIE POHYBU • MC_MovePath The figure below illustrates the differences between different types of movement by means of a theoretical machine. y

poloha jedné osy

poloha efektoru v rovině

E

S x

t

Figure 5: Different types of movements Obr´ azek 3.7: Pohyby v´ıceos´ ych syst´ em˚ u - rozdˇelen´ı podle tvaru trajektorie, modˇre MC_MoveDirect (black), MC_MoveLinear and MC_MoveCircular (blue) pˇr´ıkruhov´ a interpolace, zelenˇe line´ arn´ı, ˇcernˇe pohyb(green) PTP. Vlevo pohyb efektoru, vpravo and typical positions of one of the axis of the machine participating in the movement klad odpov´ıdaj´ıc´ıho pohybu jedné osy [33]

Uˇzivatel systému obvykle definuje poˇzadované pohyby v souˇradnic´ıch stroje nebo produktu a jednotlivé transformace jsou pˇred n´ım skryty. Tento pˇr´ıstup umoˇzn ˇuje jednoduˇsˇs´ı programov´ an´ı, rychlejˇs´ı uveden´ı do provozu a pˇrináˇs´ı abstrakci vlastn´ıch funkc´ı vykonávan´ ych zaˇr´ızen´ım od matematického aparátu, kter´ y je potˇrebn´ y pro jejich reali-

TC2 - Task Force Motion Control Part 4 – zaci. Coordinated Motion

3.3.2

December 3, 2008 V 1.0

© PLCopen – 2007 - 2008 page 16/ 119

Druhy pohybu u v´ıceos´ ych syst´ em˚ u

Podle tvaru trajektorie v prostoru lze provádˇené pohyby rozdˇelit do ˇctyˇr základn´ıch skupin: Pohyb z bodu do bodu (PTP - Point-to-point) - Podobnˇe jako u diskrétn´ıho pohybu v jedné ose nez´ aleˇz´ı v tomto pˇr´ıpadˇe na tvaru trajektorie pohybu v prostoru, d˚ uleˇzité je pouze dosaˇzen´ı spr´ avné koncové polohy v co nejkratˇs´ım ˇcase (rychloposuvy u obrábˇec´ıch stroj˚ u, manipul´ atory typu pick-and-place, osazovac´ı stroje, souˇradnicová vrtaˇcka apod.). Tento pˇr´ıpad odpov´ıd´ a ˇcern´ ym kˇrivkám na obr. (3.7). Plánován´ı pohybu lze ˇreˇsit oddˇelenˇe pro kaˇzd´ y aktu´ ator systému pomoc´ı metod zm´ınˇen´ ych v pˇredchoz´ı sekci. Pokud uˇzivatel poˇzaduje synchronn´ı zastaven´ı ve vˇsech osách stroje souˇcasnˇe, je nutné pˇrizp˚ usobit vˇsechny pohyby nejpomalejˇs´ı ose (aktuátoru s nejdelˇs´ım ˇcasem pˇresunu z klidu do klidu pˇri dan´ ych omezen´ıch), coˇz lze snadno realizovat zmˇenou ˇcasového mˇeˇr´ıtka. Pˇri tomto druhu pohybu je tˇreba m´ıt na pamˇeti, ˇze pohyb efektoru v prostoru nen´ı pˇresnˇe definov´ an, hroz´ı tedy kolize s pˇr´ıpadn´ ymi pˇrekáˇzkami.

56

axes. With single axes the commanded position is always reached. Just the velocity at the time when the commanded position is reached (or passed) can be changed according to the input parameter BufferMode. With interpolated motion control several types of blending can be thought of, depending on the application and process. Therefore new types of blending have to be introduced for interpolated motion control. The input parameter for blending might vary due to the kind of interpolation method applied. So this input is supplier specific. The type of inserted curve that modifies the original path (the ‘contour curve’) is not part of this specification and can be defined by the supplier specific input parameter for blending.

3.3 Koordinovan´ y pohyb ve v´ıce os´ ach Buffered without Blending p2 p3

Aborting p2

p3

Blending p2

p3

p4

Trajectory of TCP p1

p1

p1

Speed of TCP t

t

t

Figure Trajectories process of Velocity in principlenahoˇ of two Obr´ azek 3.8:6:Pohyby typuand MP - pˇr´ıklady m´ıchán´ ı pohybu, re trajektorie efektoru consecutive motion commands in three modes v prostoru, dole rychlost posuvu v ˇcase

2.4.2

Overview of Buffer Modes

Pohyb po the spojit´ e dr´ aze (CP Continuous V tomto pˇr´ıpadˇ e je pˇ redeFor axes group motions same buffer modes - are used as forpath) single- axis motions (ENUM of type MC_BUFFER_MODE). psána spojit´ a trajektorie v kartézsk´ ych souˇradnic´ıch stroje nebo produktu, v pˇr´ıpadˇe sloˇzitˇejˇs´ıch kinematick´ yDescription ch struktur se nav´ıc pˇridávaj´ı souˇradnice pro popis orientace MC_BUFFER_MODE Aborting Start FBdanou immediately (default efektoru. Stroj mus´ı sledovat trajektorii v mode) prostoru a nav´ıc ˇr´ıdit rychlost posuvu Buffered Start FB after current motion has finished koncového bodu. Ta m˚ uˇze velocity b´ yt konstantn´ ı (´ ulohy aˇsen´ıoflaku, BlendingLow The is blended with the jako lowestnan´ velocity both brouˇ FBs sen´ı, svaˇroBlendingPrevious velocitymˇ iseblended with velocity ofethe first a FB ván´ı) pˇr´ıpadnˇe se m˚ uˇzThe e plynule nit (napˇ r. u ´the loha ˇcasovˇ optim´ ln´ıho pˇrejezdu po BlendingNext The velocity is blended with velocity of the second FB dané trajektorii pˇri manipulaci s bˇ remenem). Pohyby spojit´ dráze nuj´ı naBlendingHigh The velocity is blended with highest po velocity ofeboth FBsse uplatˇ Table 2: Overview of Buffer Modes pˇr´ıklad v u ´loh´ ach s pˇrek´ aˇzkami v prostoru, kde se pohybuje efektor nebo u obrábˇec´ıch For details refer to Chapter 77 - Details of Blending and Buffering of Movements. No. 0 1 2 3 4 5

stroj˚ u, kde zadan´ a trajektorie pˇr´ımo urˇcuje konturu obrábˇené souˇcásti. Pohyby po spoTC2 - Task Force © PLCopen 2008ˇreˇsit jitéMotion dr´ azeControl jsou nejn´ aroˇcnˇejˇs´ı zDecember hlediska 3,ná2008 vrhu algoritm˚ u ˇr´ızen´ ı, protoˇz–e2007 je tˇr- eba Part 4 – Coordinated Motion V 1.0 page 17/ 119

generov´ an´ı vhodn´ ych interpolaˇcn´ıch funkc´ı (nejˇcastˇeji lineárn´ı nebo kruhová interpolace, viz zelené a modré kˇrivky na obr. (3.7), pˇr´ıpadnˇe sloˇzitejˇs´ı spline funkce), v´ ypoˇcty kinematick´ ych transformac´ı souˇradnic a souˇcasnˇe zajistit plynul´ y pohyb efektoru pˇri omezen´ıch dan´ ych jednotliv´ ymi pohony stroje. Pohyb mezi v´ıce body (MP - Multipoint) - V souˇradnic´ıch stroje nebo produktu je definov´ ano v´ıcero bod˚ u, mezi nimiˇz se pohybuje koncov´ y efektor. Trajektorie mezi jednotliv´ ymi body mohou b´ yt typu PTP nebo CP, vykonávan´ y pohyb m˚ uˇze b´ yt v jednotliv´ ych bodech zastaven nebo plynule navázán, potom se opˇet mluv´ı o m´ıchán´ı pohybu (blending), viz pˇr´ıklad pr˚ ujezdu po pˇr´ımce mezi tˇremi body (obr. 3.8 - vlevo pˇreruˇsen´ı pohybu, uprostˇred se zastaven´ım v kaˇzdém bodˇe, vpravo plynul´ y pˇrechod). Tento zp˚ usob zad´ av´ an´ı pohybu se velmi ˇcasto pouˇz´ıvá pˇri programován´ı robotick´ ych manipul´ ator˚ u. V programu je obvykle definována mnoˇzina bod˚ u a zp˚ usob pr˚ ujezdu

57


mezi nimi (napˇr. line´ arn´ı nebo kruhová interpolace, se zastaven´ım nebo s plynul´ ym pˇrechodem). Kontaktn´ı pohyby pˇ ri interakci s prostˇ red´ım - Ve specifick´ ych u ´loh´ ach m˚ uˇze vyvstat poˇzadavek na pˇresné ˇr´ızen´ı s´ıly, kterou stroj p˚ usob´ı na své okol´ı (montáˇzn´ı linky, osazovac´ı stroje, leˇstˇen´ı nebo brouˇsen´ı, ˇr´ızen´ı ˇrezné s´ıly pˇri obr´ abˇen´ı). Efektor je potom vˇetˇsinou osazen vhodn´ ym taktiln´ım ˇcidlem, které poskytuje informace o s´ıle v m´ıstˇe kontaktu s prostˇred´ım. Na rozd´ıl od problému sledov´ an´ı trajektorie v prostoru, kdy je vyˇzadov´ ana maxim´ aln´ı tuhost systému (v ide´ aln´ım pˇr´ıpadˇe nekoneˇcn´ a penalizace odchylky v poloze) je pˇri ˇr´ızen´ı s´ıly ide´ aln´ı tuhost nulová

ˇ ızen´ı s´ıly Obr´ azek 3.9: R´

(efektor p˚ usob´ı zadanou silou nez´ avisle na jeho poloze). Je ovˇsem nutné si uvˇedomit, ˇze v reálném svˇetˇe je vˇzdy s´ıla v m´ıstˇe dotyku doprov´ azen´ a deformac´ı jak ˇcidla (tenzometru) tak vlastn´ıho prostˇred´ı. V´ ysledn´ a zpˇetn´ a vazba pˇrivedená z taktiln´ıho ˇcidla se tedy ve skuteˇcnosti uzav´ırá opˇet od polohy efektoru a dynamické vlastnosti celé soustavy stroj-prostˇred´ı do znaˇcné m´ıry z´ avis´ı na mechanick´ ych charakteristikách obou ˇcást´ı. Pro tyto u ´ˇcely se pouˇz´ıvaj´ı r˚ uzné hybridn´ı zp˚ usoby ˇr´ızen´ı, které kombinuj´ı zpˇetnou vazbu od s´ıly, polohy a rychlosti efektoru. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt tzv. impedanˇcn´ı ˇr´ızen´ı, které se snaˇz´ı vynutit soustavˇe robot-koncov´ y bod-prostˇred´ı pˇredepsanou mechanickou impedanci s definovan´ ym koeficientem tuhosti a tlumen´ı [19, 46, 66, 67].

3.3.3

Metody interpolace pro popis trajektori´ı pohybu

Pro popis pohyb˚ u po spojité dr´ aze lze vyuˇz´ıt nejr˚ uznˇejˇs´ı interpolaˇcn´ı funkce. U jednoduˇsˇs´ıch manipul´ ator˚ u jsou to nejˇcastˇeji lineárn´ı a kruhové interpolace (pˇr´ıpadnˇe jejich kombinace), kv˚ uli jednoduché parametrizaci a menˇs´ı v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnosti algoritm˚ u v generátoru. V n´ aroˇcn´ ych aplikac´ıch s velk´ ymi poˇzadavky na pˇresnost a hladkost pohybu (CNC obr´ abˇen´ı) pak pˇrich´ azej´ı ke slovu sloˇzitˇejˇs´ı interpolace vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u, v posledn´ı dobˇe pˇredevˇs´ım spline funkce. Interpolaˇcn´ı funkce b´ yvá nejˇcastˇeji zadána

58


v parametrickém tvaru ve formˇe: X = f (u) ; u ∈ hu0 , u1 i

(3.47)

kde X je vektor souˇradnic v operaˇcn´ım prostoru (souˇradnice stroje nebo produktu), pro definici pozice efektoru bude obsahovat kartézské souˇradnice pozice p = [x y z]T , u sloˇzitejˇs´ıch kinematick´ ych konfigurac´ı stroje nav´ıc dalˇs´ı prvky pro urˇcen´ı orientace (viz rotaˇcn´ı matice v sekci vˇenované souˇradn´ ym systém˚ um). Funkce f (u) je zadána takov´ ym zp˚ usobem, ˇze poˇc´ ateˇcn´ı bod trajektorie odpov´ıdá parametru u = u0 a jeho postupn´ ym zvˇetˇsov´ an´ım je dosaˇzeno pohybu po dané trajektorii aˇz do koncového bodu pro parametr u = u1 . Z hlediska generován´ı trajektorie pohybu lze rozdˇelit interpolaˇcn´ı funkce do dvou z´ akladn´ıch skupin. Pˇrirozenˇe parametrizované kˇrivky jsou definovány takov´ ym zp˚ usobem, ˇze hodnota parametru u závis´ı lineárnˇe na délce oblouku vytyˇceného na intervalu < u0 , u >, coˇz je v´ yhodné kv˚ uli poˇzadavku na plynulé generován´ı pohybu (napˇr. rovnomˇern´ y r˚ ust parametru u odpov´ıdá pohybu po definované trajektorii s konstantn´ı teˇcnou rychlost´ı). Do této skupiny funkc´ı patˇr´ı lineárn´ı a kruhov´ a interpolace. Sloˇzitˇejˇs´ı kˇrivky b´ yvaj´ı ovˇsem nepˇrirozenˇe parametrizované, tedy rychlost pohybu po dané trajektorii je vázána na rychlost zmˇeny parametru u nelineárnˇe. Tento problém nast´ av´ a napˇr´ıklad u spline interpolac´ı, pro které je nutné hledat vhodné transformaˇcn´ı funkce pˇrev´ adˇej´ıc´ı poˇzadovanou polohu (a pˇr´ıpadnˇe dalˇs´ı vyˇsˇs´ı derivace) na spr´ avnou odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotu parametru kˇrivky u. Line´ arn´ı interpolace Nejjednoduˇsˇs´ım zp˚ usobem definice trajektorie je pohyb po pˇr´ımce v rovinˇe nebo prostoru. Uvaˇzujeme-li poˇc´ ateˇcn´ı pozici p0 = [x0 y0 z0 ]T a koncov´ y bod p1 = [x1 y1 z1 ]T , potom lze pohyb po pˇr´ımce zapsat v parametrickém tvaru: p(u) = p0 + au; u ∈< 0, 1 >

(3.48)

kde a = [(x1 − x0 ) (y1 − y0 ) (z1 − z0 )]T je vektor s orientac´ı p0 → p1 a délkou p odpov´ıdaj´ıc´ı vzd´ alenosti mezi krajn´ımi body l = (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 + (z1 − z0 )2 , u je promˇenn´ y parametr, kter´ y pro u = 0 odpov´ıdá poˇcáteˇcn´ımu a u = 1 koncovému bodu. Pohyb je pˇrirozenˇe parametrizovan´ y, tzn. dráha ujetá mezi poˇcáteˇcn´ım a koncov´ ym bodem je line´ arnˇe z´ avisl´ a na parametru pˇr´ımky. Pro generován´ı pohybu v reálném ˇcase

59


pak zb´ yvá naj´ıt vhodn´ y algoritmus nebo funkci ft popisuj´ıc´ı pr˚ ubˇeh parametru u a t´ım i polohu na zvolené pˇr´ımce v ˇcase, tedy urˇcit závislost u(t) = ft (t)

(3.49)

K tomu lze vyuˇz´ıt algoritmy pro ˇr´ızen´ı pohybu v jedné ose popsané v pˇredchoz´ı ˇcásti pˇri formáln´ım pˇredefinov´ an´ı promˇenné pro polohu s(t) = u(t) a zaveden´ım okrajov´ ych podm´ınek s(t0 ) = 0, s(tf ) = 1. Pro okamˇzitou rychlost a zrychlen´ı v ˇcase potom plat´ı: dp (u (t)) dt d2 p (u (t)) dt2

du = av (t) dt d2 u = a(t) = a 2 = aa (t) dt = v(t) = a

(3.50) (3.51)

kde v(t) a a(t) jsou okamˇzité hodnoty rychlosti a zrychlen´ı v algoritmu pro pohyb v jedné ose, které souvis´ı se skuteˇcnou rychlost´ı a zrychlen´ım ve smˇeru p0 → p1 podle vztahu vp0 →p1 (t) =k v(t) k= lv(t)

(3.52)

ap0 →p1 (t) =k a(t) k= la(t)

(3.53)

Vztahy (3.52) a (3.53) lze vyuˇz´ıt k nastaven´ı omezen´ı na maximáln´ı rychlost, zrychlen´ı a zpomalen´ı (vmax , amax , dmax ) v algoritmu generátoru. Kruhov´ a interpolace Dalˇs´ı moˇznost´ı pro popis trajektorie koncového bodu v prostoru je pohyb po kruˇznici. Norma PLCOpen definuje tˇri moˇzné zp˚ usoby jej´ıho zadán´ı: • Tˇ ri body v prostoru - uˇzivatel specifikuje poˇcáteˇcn´ı a koncov´ y bod trajektorie plus nav´ıc bod, kter´ ym mus´ı stroj projet. T´ım je jednoznaˇcnˇe urˇcena kruˇznice v prostoru. • Dva body a stˇ red - uˇzivatel zadá stˇred kruˇznice a okrajové body trajektorie. Dalˇs´ım voliteln´ ym parametrem je v´ ybˇer jednoho ze dvou pˇr´ıpustn´ ych smˇer˚ u pohybu. • Krajn´ı body a orientace - uˇzivatel zadá okrajové body a nav´ıc vektor jehoˇz orientace je kolm´ a na rovinu poˇzadované kruˇznice a jehoˇz délka odpov´ıdá polomˇeru.

60


Obecn´ y pohyb po kruˇznici v prostoru dává pomˇernˇe komplikované vztahy, které lze vˇsak v´ yraznˇe zjednoduˇsit vhodnou volbou souˇradného systému. Uvaˇzujeme-li obecnou kruˇznici v prostoru se zn´ amou polohou stˇredu, polomˇerem a orientac´ı (splnˇeno pro vˇsechny v´ yˇse popsané zp˚ usoby zadán´ı) zadanou v souˇradnic´ıch stroje nebo produktu, pak m˚ uˇzeme definovat nov´ y kartézsk´ y systém s poˇcátkem ve stˇredu kruˇznice, osou x orientovanou od stˇredu k poˇca´teˇcn´ımu bodu pohybu, osou z paralelnˇe s osou kruˇznice a orientac´ı podle ˇz´ adaného smˇeru pohybu a pravidla pravé ruky. V tomto souˇradném systému lze pohyb po kruˇznici vyjádˇrit v parametrickém tvaru:   r cos(sf u/r) p(u) =  r sin(sf u/r)  ; u ∈< 0, 1 > 0

(3.54)

kde r je polomˇer kruˇznice a sf je délka oblouku kruˇznice vytyˇcená poˇcáteˇcn´ım a koncov´ ym bodem. Pro generov´ an´ı trajektorie lze opˇet vyuˇz´ıt algoritmy pro jednu osu zadefinov´ an´ım s(t) = u(t). Pro okamˇzitou rychlost pohybu potom plat´ı:   − sin(sf u/r) dp(u(t)) du = v(t) =  cos(sf u/r)  .sf = asf v(t) dt dt 0 k v(t) k = sf v(t)

(3.55) (3.56)

kde a je jednotkov´ y vektor s orientac´ı teˇcny ke kruˇznici v daném bodˇe. Teˇcné zrychlen´ı at m´ a stejn´ y smˇer a velikost danou vztahem k at (t) k= at (t) = sf

dv(t) = sf a(t) dt

(3.57)

Pohyb je pˇrirozenˇe parametrizovan´ y a dráha ujetá v oblouku je lineárnˇe závislá na parametru u. Vztahy (3.54-3.57) lze opˇet snadno vyuˇz´ıt k nastaven´ı maximáln´ı rychlosti a teˇcného zrychlen´ı/zpomalen´ı v algoritmu generátoru pro pohyb v jedné ose. Spojen´ı line´ arn´ı a kruhové interpolace se ˇcasto vyuˇz´ıvá pro tzv. hélickou interpolaci, pˇri které dvˇe osy vykon´ avaj´ı pohyb po kruˇznici a tˇret´ı po pˇr´ımce. Superpozic´ı tˇechto dvou pohyb˚ u vznik´ a prostorov´ a ˇsroubovice, ˇcehoˇz lze vyuˇz´ıt napˇr´ıklad pˇri obrábˇen´ı závit˚ u. NURBS interpolace Line´ arn´ı a kruhové interpolace umoˇzn ˇuj´ı vykonávat pouze základn´ı druhy pohyb˚ u, které jsou pro sloˇzitˇejˇs´ı manipul´ atory nebo obrábˇec´ı stroje nedostaˇcuj´ıc´ı. Z toho d˚ uvodu se

61


u modern´ıch zaˇr´ızen´ı uplatˇ nuj´ı interpolace spline funkcemi, z nichˇz nejobecnˇejˇs´ım druhem jsou neuniformn´ı racion´ aln´ı B-spline kˇrivky (NURBS). Za vznikem teorie NURBS funkc´ı stála potˇreba naj´ıt vhodn´ y n´ astroj pro popis sloˇzit´ ych prostorov´ ych kˇrivek a povrch˚ u uˇz´ıvan´ ych pˇri konstruov´ an´ı stroj˚ u, uplatnˇen´ı nalezly také v oblastech poˇc´ıtaˇcové grafiky a animace [37, 38, 58]. V dneˇsn´ı dobˇe je jiˇz podpora NURBS mezi pˇredn´ımi v´ yrobci CAD/CAM softwaru pro poˇc´ıtaˇcovou podporu konstrukce a v´ yroby povaˇzována za standard. Logick´ ym navazuj´ıc´ım krokem je pak implementace tˇechto funkc´ı do obrábˇec´ıch stroj˚ u, kde slouˇz´ı k popisu drah nástroj˚ u pˇri vlastn´ım procesu obrábˇen´ı. Tento pˇr´ıstup vede na eliminaci ztr´ aty pˇresnosti oproti dˇr´ıve uˇz´ıvané technice náhrady vˇsech drah lineárn´ımi nebo kruhov´ ymi segmenty, dalˇs´ı d˚ uleˇzitou v´ yhodou je u ´spora v délce programu stroje. Pˇrestoˇze nezbytn´ a teorie je známá jiˇz zhruba od poloviny minulého stolet´ı, doch´ az´ı k pronik´ an´ı NURBS funkc´ı do systém˚ u ˇr´ızen´ı pohybu teprve v posledn´ıch letech. D˚ uvodem je vˇetˇs´ı v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnost algoritm˚ u, která bránila nasazen´ı v reálném ˇcase v ˇr´ıdic´ıch systémech pˇredchoz´ıch generac´ı a nedostatek potˇrebn´ ych metod z oblasti teorie ˇr´ızen´ı pro ˇreˇsen´ı problém˚ u spojen´ ych s uvádˇen´ım tˇechto princip˚ u do praxe. NURBS kˇrivky jsou dvoj´ım zobecnˇen´ım uniformn´ıch B-spline funkc´ı popsan´ ych v pˇredchoz´ıch sekc´ıch. Prvn´ı zobecnˇen´ı spoˇc´ıvá v moˇznosti neuniformn´ı parametrizace tzv. uzlového vektoru, kter´ y urˇcuje oblast vlivu jednotliv´ ych ˇr´ıdic´ıch bod˚ u na tvar kˇrivky. Druhé zobecnˇen´ı je v zaveden´ı v´ ahových koeficient˚ u, které pˇridávaj´ı dalˇs´ı stupeˇ n volnosti moˇznost´ı plynule ˇr´ıdit m´ıru pˇrimykán´ı kˇrivky k jednotliv´ ym ˇr´ıdic´ım bod˚ um bez nutnosti mˇenit jejich polohu. V´ yhody tohoto zobecnˇen´ı jsou v moˇznosti popisu kˇrivek, které nelze vytv´ aˇret standardn´ımi metodami (napˇr. kuˇzeloseˇcky) a v intuitivn´ım tvarován´ı kˇrivky z uˇzivatelského pohledu. Kaˇzdá NURBS kˇrivka je po ˇc´ astech racionáln´ı funkce, která je jednoznaˇcnˇe urˇcena: • Stupnˇem kˇrivky p, kter´ y ud´ av´ a ˇra´d bázov´ ych funkc´ı, které popisuj´ı pr˚ ubˇeh kˇrivky v jednotliv´ ych segmentech. Z d˚ uvodu poˇzadavk˚ u na hladk´ y pr˚ ubˇeh pohybu formulovan´ ych v pˇredchoz´ı sekci se pro generován´ı trajektorie pouˇz´ıvaj´ı nejˇcastˇeji kvintické polynomy. Se stupnˇem je spojen také ˇr´ ad kˇrivky k = p + 1, kter´ y udává kolik ˇr´ıdic´ıch bod˚ u se aktivnˇe pod´ıl´ı na generován´ı libovolného bodu kˇrivky. • Uzlovým vektorem - posloupnost´ı vzestupnˇe ˇrazen´ ych reáln´ ych ˇc´ısel ve tvaru U = {u0 , u1 , ..., up+n } (kde n + 1 je poˇcet ˇr´ıdic´ıch bod˚ u), která udává tvar bázov´ ych

62


funkc´ı a t´ım urˇcuje oblast kˇrivky, kterou ovlivˇ nuj´ı jednotlivé ˇr´ıd´ıc´ı body. Pokud je interval mezi jednotliv´ ymi prvky vektoru konstantn´ı (ui+1 − ui = konst., ∀i), jedn´ a se o uniformn´ı B-spline. Obecnˇe vˇsak m˚ uˇze b´ yt interval mezi prvky promˇenn´ y nebo i nulov´ y (v´ıcenásobn´ y prvek v uzlovém vektoru). Neuniformn´ı parametrizace m˚ uˇze b´ yt zvolena napˇr´ıklad na základˇe vzdálenost´ı jednotliv´ ych ˇr´ıdic´ıch bod˚ u, ˇc´ımˇz se lze pˇribl´ıˇzit k pˇrirozené parametrizaci délkou oblouku. Násoben´ı prvk˚ u uzlového vektoru má za následek lokáln´ı sn´ıˇzen´ı spojitosti kˇrivky, ˇcehoˇz se vyuˇz´ıv´ a napˇr´ıklad pˇri vytváˇren´ı ostr´ ych roh˚ u jinak hladké kˇrivky. Prvn´ı p + 1 prvky b´ yvaj´ı voleny jako nulové, d´ıky ˇcemuˇz kˇrivka vycház´ı pˇr´ımo z prvn´ıho ˇr´ıdic´ıho bodu, podobnˇe posledn´ıch p + 1 ˇclen˚ u je voleno jednotkov´ ych pro pˇresnou shodu konce kˇrivky s posledn´ım ˇr´ıdic´ım bodem. • B´ azovými funkcemi, které závis´ı na stupni spline kˇrivky a hodnotách prvk˚ u uzlového vektoru a jsou definovány rekurzivnˇe jako ( 1, ui ≤ u < ui+1 Ni,1 (u) = ; i = 0..n 0 jinak ui+p+1 − u u − ui Ni,p (u) = Ni,p−1 (u) + Ni+1,p−1 (u) ui+p − ui ui+p+1 − ui+1

(3.58)

kde Ni,p je i − t b´ azov´ a funkce stupnˇe p. Jedná se v podstatˇe o rekurzivnˇe opakovanou operaci line´ arn´ı interpolace (viz obr. 3.10 pro báze do stupnˇe 2). • Vektorem ˇr´ıdic´ıch bod˚ u (ˇr´ıdic´ım polygonem) P = {P0 , P1 , ..., Pn } - ˇr´ıdic´ı body ovlivˇ nuj´ı tvar v´ ysledné funkce a jejich dimenze urˇcuje dimenzi kˇrivky. Pro popis trajektorie pohybu v prostoru m˚ uˇze b´ yt trojrozmˇerná pro urˇcen´ı pozice a ˇsestirozmˇern´ a pro pln´ y popis orientace (tˇri u ´hly rotaˇcn´ı matice). • Vektorem v´ ahových koeficient˚ u W = {w0 , w1 , ..., wn }, které udávaj´ı m´ıru vlivu jednotliv´ ych ˇr´ıdic´ıch bod˚ u na tvar kˇrivky. Vlastn´ı funkci lze potom definovat v parametrickém tvaru pˇredpisem: n P

Φ (u) =

Ni,p (u) Pi wi

i=0 n P

= Ni,p (u) wi

n X i=0

i=0

63

Ri,p (u) Pi ; u ∈ h0..1i

(3.59)


Ni,p

Ni,0

p=0

Ni+1,0(u*)

1

Ni,0(u*)

0 0

Ni,p 1

ui

1 ui+1 u* u, parametr krivky Ni+1,1

Ni,1

p=1

Ni,1(u*)

Ni+1,1(u*)

0 0

Ni,p 1

1

p=2 Ni,2 Ni,2(u*)

0 0

u*

ui

ui+p

ui+p+1 1

Obr´ azek 3.10: Konstrukce B-spline bázov´ ych funkc´ı

Zmˇeny pr˚ ubˇehu funkce lze doc´ılit: 1. Zmˇenou polohy ˇr´ıdic´ıho bodu 2. Zmˇenou v´ ahy ˇr´ıdic´ıho bodu 3. Pouˇzit´ım v´ıcen´ asobného ˇr´ıdic´ıho bodu - vˇetˇs´ı pˇrimykán´ı k násobnému bodu 4. Zmˇenou stupnˇe kˇrivky - vyˇsˇs´ı stupeˇ n znamená obecnˇe hladˇs´ı pr˚ ubˇeh a vzdalován´ı od vrchol˚ u ˇr´ıdic´ıho polygonu Obrázek 3.11 ukazuje pˇr´ıklad dvourozmˇerné NURBS kˇrivky a vliv zmˇeny polohy nebo váhy ˇr´ıdic´ıho bodu na jej´ı tvar.

64


Chapter 2. Literature Review

8 Změna váhy, wi

Změna polohy řídicího bodu, Pi

P6

P6 P7 w6 =

P5 P4 P1‘

P7 P5 P4

P8

P8

P3

P3

P2

P2

Y

Y P0 X

100 3 1 0.3 0

P1

P0 X

P1

Figure 2-3. Shape modification of a NURBS curve using control points and weights. [5] Obr´ azek 3.11: 2D NURBS kˇ rivka - pˇr´ıklad zmˇeny tvaru [58]

are equal, then the splines are G1 continuous. Segments are G 2 continuous if they share a Pro popis trajektorie pohybu vypl´ yvá z vlastnost´ı bázov´ ych funkc´ı definovan´ ych pˇred-

common center of curvature at the boundary. At the least, G 2 continuity is required to pisem (3.58) nˇekolik d˚ uleˇzit´ ych vlastnost´ı: achieve smooth motion in CNC machining. Parametric derivative continuity, denoted as C n • B´ azové funkce jsou spline funkcemi, v navazovac´ıch bodech mezi jednotliv´ ymi

continuity where (v n bodech is the order of the derivative, is a special of geometric continuity segmenty kdy parametr je roven prvku uzlovéhocase vektoru) je tedy zajiˇ swhen the parameterization is with the distance traveled along toolpath, which is tˇena spojitost prvn´ıch p − 1respect derivac´to ı (kromˇ e pˇr´ıpad˚ u s násobn´ ymi the prvky uzlového vektoru). also known as arc-length parameterization. In the case of arc-length parameterization for 2 toolpaths, continuity necessary, however when is not paraarc-length • KaˇzC d´ y ˇr´ıdic´ ı bod Pi isovlivˇ nuje tvar funkce pouze lokáthe lnˇe atoolpath to na intervalu

metru u G ∈ 2hucontinuity i , ui+p i parameterized, is sufficient and is much more flexible than parametric

continuity constraints [6] interpolaˇ [7]. • Funkˇ cn´ı hodnota cn´ı funkce leˇz´ı v konvexn´ım obalu p + 1 ˇr´ıdic´ıch bod˚ u pˇr´ısluˇsej´ıc´ıch danému segmentu.

Formulating a NURBS curve involves obtaining a knot vector, weights, and control Pro generov´ an´ı for bod˚ u na kˇrivce libovolné hodnoty parametruthe u se v praxi ˇcasto vypoints, whereas power basispropolynomial representations, only unknowns are the uˇz´ıv´ a tzv. Cox-De Boor algoritmus, kter´ y je v´ ypoˇcetnˇ e efektivn´ a numericky ı algebraic coefficients. Cubic and quintic polynomial splines haveı been heavily stabiln´ investigated. variantou vztah˚ u (3.59) a (3.58). Opakovan´ ym dosazen´ım rekurentn´ıch vztah˚ u pro b´ a-

Wang and Yang [8] developed a spline curve fitting algorithm that starts by obtaining a zové funkce do pˇredpisu samotné kˇrivky a vyuˇzit´ı skuteˇcnosti o lokáln´ım vlivu ˇr´ıdic´ıch

chordal-length parameterized cubic spline; then based on the cubic spline finds a nearly arcbod˚ u lze postupnˇe pˇrej´ıt na v´ ypoˇcet báz´ı nultého stupnˇe, které lze snadno vyˇc´ıslit [58].

C 2 continuity. Wang uet∈al.hu[9] furthered length parameterized quintic spline (NAPQS) with Pˇredpis pro libovoln´ y bod na kˇrivce ˇrádu k pro parametr u na intervalu l , ul+1 ) lzetechnique potom zapsat ve tvaru: this to produce approximately arc-length parameterized C 3 quintic interpolatory

splines (AAP C 3 QIS) by utilizing an iteration to optimize the parameterization and adding a third derivative continuity condition. Later, Erkorkmaz and Altintas [10] formulated and 65


(k−1)

Φ (u) = Pl

(u); u ∈< ul , ul+1 )

(3.60)

kde  j−1  1 − αj wi−1 P (j−1) (u) + αj wij−1 P (j−1) (u) (j) i−1 i wj i i wij Pi (u) = i  Pi j−1 wij (u) = 1 − αij wi−1 + αij wij−1 αij

=

u − ui ui+k−j − ui

;j>0 ;j=0

(3.61) (3.62) (3.63)

Vztahy (3.60-3.63) popisuj´ı geometrick´ y zp˚ usob konstrukce B-spline funkce, kdy se vyuˇz´ıvá vlastnost´ı uzlového vektoru s n´ asobn´ ymi prvky. Lze dokázat, ˇze pˇri k-n´ asobnˇe opakovaném vloˇzen´ı parametru u, pro kter´ y je hledán bod na kˇrivce, do uzlového vektoru a dopoˇcten´ı pˇr´ısluˇsného poˇctu ˇr´ıdic´ıch bod˚ u, které generuj´ı stejnou p˚ uvodn´ı kˇrivku, docház´ı ke stavu, kdy vˇsechny b´ azové funkce kromˇe jediné maj´ı v zadaném parametru u nulovou hodnotu a kˇrivka tedy mus´ı procházet pˇresnˇe posledn´ım vloˇzen´ ym ˇr´ıdic´ım bodem. Tento algoritmus tedy ukazuje vztah mezi analytick´ ym a geometrick´ ym vyjádˇren´ım B-spline/NURBS kˇrivky. Interpolace uˇ zivatelsk´ ych dat NURBS kˇ rivkou V´ yˇse popsan´ a obecn´ a NURBS kˇrivka je aproximaˇcn´ı funkc´ı, která kromˇe poˇcáteˇcn´ıho a koncového bodu (pˇri v´ yˇse popsaném zp˚ usobu volby uzlového vektoru) neprocház´ı body ˇr´ıdic´ıho polygonu. V praxi je ovˇsem velmi ˇcastá u ´loha nalezen´ı vhodné funkce, která interpoluje nebo aproximuje uˇzivatelem zadaná data. Tento problém byl jiˇz popsán v pˇredchoz´ıch sekc´ıch vˇenovan´ ych pohybu v jedné ose a elektronick´ ym vaˇckám. V pˇr´ıpadˇe koordinovan´ ych pohyb˚ u ve v´ıce osách se u ´loha zobecˇ nuje pro n-rozmˇern´ y prostor souˇradnic a sloˇzitˇejˇs´ı tvar NURBS funkce. Podle zp˚ usobu prokl´ ad´ an´ı datov´ ych bod˚ u lze rozdˇelit metody syntézy do dvou skupin. Na interpolaˇcn´ı funkci je kladen poˇzadavek pˇresné shody se zadan´ ymi datov´ ymi body. V oblasti ˇr´ızen´ı pohybu je vhodná pˇredevˇs´ım pro vytváˇren´ı trajektori´ı pohybu robotick´ ych manipul´ ator˚ u, protoˇze umoˇzn ˇuje generovat hladkou prostorovou kˇrivku z relativnˇe malého poˇctu uˇzivatelem zadan´ ych bod˚ u. Ty mohou b´ yt vloˇzeny a vizualizovány interaktivnˇe ve vhodném softwarovém nástroji nebo je lze zadat napˇr´ıklad v uˇc´ıc´ım se“ reˇzimu, kdy je manipul´ ator postupnˇe naveden operátorem do jednotliv´ ych ”

66


poloh, kter´ ymi m´ a bˇehem pohybu proj´ıt. Tyto polohy jsou uloˇzeny jako datové body reprezentuj´ıc´ı pozici a orientaci efektoru a slouˇz´ı k v´ ypoˇctu interpolaˇcn´ı funkce. Aproximaˇcn´ı funkce neprocház´ı pˇresnˇe zadan´ ymi body, ale sleduje jejich pr˚ ubˇeh s urˇcitou chybou. Tento zp˚ usob tvorby trajektorie je vhodn´ y pˇri velkém poˇctu datov´ ych bod˚ u, které mohou obsahovat chybu mˇeˇren´ı (opakován´ı pohybu robotem podle trajektorie zachycené kamerou nebo jin´ ym sn´ımaˇcem polohy, uˇzivatelem zadan´ y pohyb z tabletu nebo nˇejakého vstupn´ıho zaˇr´ızen´ı). V tomto pˇr´ıpadˇe nen´ı ˇzádouc´ı sledovat pˇresnˇe vˇsechny body ale zachytit základn´ı tvar celé trajektorie. Dalˇs´ım zp˚ usobem dˇelen´ı interpolaˇcn´ıch a aproximaˇcn´ıch metod je na globáln´ı a lokáln´ı algoritmy. Glob´ aln´ı metody hledaj´ı jednu funkci pro celou sadu vstupn´ıch dat, zat´ımco metody lok´ aln´ı dˇel´ı trajektorii na jednotlivé segmenty s rozd´ıln´ ymi geometrick´ ymi charakteristikami (napˇr. v´ ykres strojn´ı souˇcásti obsahuj´ıc´ı ˇcásti kruˇznic a elips spojené pˇr´ımkov´ ymi u ´seky s ostr´ ymi rohy, které nelze popsat jednou hladkou kˇrivkou). Pro kaˇzd´ y segment je hled´ ana odliˇsná interpolaˇcn´ı nebo aproximaˇcn´ı funkce a nav´ıc jsou vˇetˇsinou kladeny podm´ınky na geometrickou spojitost v navazovac´ıch bodech mezi jednotliv´ ymi ˇc´ astmi (nejˇcastˇeji spoleˇcn´ y navazovac´ı bod, teˇcna, pˇr´ıpadnˇe stˇred kˇrivosti v tomto bodu). Glob´ aln´ı metody jsou vhodné pro popis trajektori´ı manipulátor˚ u typu pick-and-place, roboty pro kompletaci, osazován´ı, brouˇsen´ı a dalˇs´ı pomocné práce, kde nez´ aleˇz´ı na pˇresném tvaru zadané trajektorie a pohyby m˚ uˇze zadat programátor robotu nebo uˇzivatel. Lok´ aln´ı metody se hod´ı pro popis obrábˇen´ı u CNC stroj˚ u, kde je ˇcasto vyˇzadov´ ano napojov´ an´ı pohyb˚ u s rozd´ıln´ ymi geometrick´ ymi charakteristikami, pˇriˇcemˇz záleˇz´ı na pˇresném pr˚ ubˇehu dané trajektorie. V tomto pˇr´ıpadˇe vykonává aproximaˇcn´ı a interpolaˇcn´ı algoritmy vˇetˇsinou pˇr´ısluˇsn´ y CAD/CAM software pro poˇc´ıtaˇcovou podporu konstrukce a v´ yroby. Problémem vˇsech algoritm˚ u syntézy NURBS funkc´ı je neexistence jednoznaˇcného ˇreˇsen´ı. Pro mnoˇzinu zadan´ ych vstupn´ıch dat existuje nekoneˇcnˇe mnoho interpolaˇcn´ıch nebo aproximaˇcn´ıch funkc´ı, z nichˇz je nutné vybrat prakticky pouˇzitelnou variantu. V literatuˇre existuje velké mnoˇzstv´ı globáln´ıch i lokáln´ıch metod, z nichˇz kaˇzdá má sv´ a specifika, v´ yhody a nev´ yhody. Pˇri nevhodné kombinaci vstupn´ıch dat a urˇcité metody m˚ uˇze doj´ıt k neoˇcek´ avan´ ym v´ ysledk˚ um, které byt’ matematicky správné nemus´ı odpov´ıdat pˇredstavˇe uˇzivatele. Pˇrehledn´ y popis základn´ıch metod uˇz´ıvan´ ych v souˇcasnosti je pod´ an v publikaci [58].

67


Jako pˇr´ıklad uved’me variantu syntézy glob´ aln´ı interpolaˇcn´ı funkce, která má praktick´ y v´ yznam pro popis trajektorie robotick´ ych manipulátor˚ u a lze ji formulovat následovnˇe. Pro uˇzivatelem zadanou mnoˇzinu datov´ ych bod˚ u bl´ıˇze nespecifikované dimenze d (závis´ı na kinematice stroje) Q = {Qk }; k = 0, 1, .., n

(3.64)

je tˇreba nalézt uzlov´ y vektor U, ˇridic´ı polygon P, a vektor váhov´ ych koeficient˚ u W tak, aby byly splnˇeny podm´ınky interpolace Φ(uk ) = {Qk }; ∀k

(3.65)

Z pˇredpisu (3.59) je vidˇet, ˇze obecn´ a NURBS funkce je nelineárn´ı vzhledem k váhov´ ym koeficient˚ um vektoru W , coˇz vede na problematické ˇreˇsen´ı interpolaˇcn´ı u ´lohy. Vˇetˇsina metod tedy pouˇz´ıv´ a neracion´ aln´ı variantu B-spline funkce, která odpov´ıdá volbˇe shodn´ ych váhov´ ych koeficient˚ u wi = 1; ∀i. Z d˚ uvodu poˇzadavku na hladk´ y pohyb a spojitost vyˇsˇs´ıch derivac´ı generované trajektorie je vhodné pouˇz´ıt kvintick´ y spline, tedy zvolit stupeˇ n p = 5. Dalˇs´ı nezn´ amou jsou ˇr´ıdic´ı body kˇrivky, které lze z´ıskat ˇreˇsen´ım d soustav (n + 1) × (n + 1) nyn´ı jiˇz line´ arn´ıch rovnic z podm´ınky (3.65): Qk = Φ(uk ) =

n X

Ni,p (uk ) Pi ; k = 0, ..., n

(3.66)

i=0

kde ˇr´ıdic´ı body pˇredstavuj´ı n + 1 neznám´ ych promˇenn´ ych. K plnému urˇcen´ı soustavy (3.66) zb´ yvá zavést uzlov´ y vektor a hodnoty parametru uk , ve kter´ ych má funkce odpov´ıdat zadan´ ym dat˚ um. Nejˇcastˇejˇs´ım zp˚ usobem volby uk je tzv. chord´ alov´ a parametrizace, kter´ a rozdˇeluje pˇr´ıpustn´ y interval parametru u ∈< 0, 1 > na d´ılˇc´ı segmenty na základˇe Euklidovské vzd´ alenosti mezi jednotliv´ ymi datov´ ymi body, ˇc´ımˇz se snaˇz´ı pˇribl´ıˇzit ide´ alu pˇrirozené parametrizace délkou oblouku. Oznaˇc´ıme-li d jako celkovou délku od prvn´ıho k posledn´ımu datovému bodu d=

n X

kQk − Qk−1 k2

(3.67)

k=1

pak hodnoty uk lze volit podle pˇredpisu uk = uk−1 +

kQk − Qk−1 k2 ; k = 1, ..., n − 1 d

(3.68)

u0 = 0 un = 1 (3.69)

68


Kromˇe parametrizace (3.68) by mˇel pro pˇrirozen´ y tvar interpolaˇcn´ı funkce respektovat rozm´ıstˇen´ı datov´ ych bod˚ u a jejich vzájemnou vzdálenost také uzlov´ y vektor U, kter´ y urˇcuje oblasti vlivu jednotliv´ ych ˇr´ıdic´ıch bod˚ u na pr˚ ubˇeh funkce. K tomu lze pouˇz´ıt algoritmus pr˚ umˇerov´ an´ı popsan´ y v [58], podle kterého jsou prvky uzlového vektoru voleny n´ asledovnˇe u0 = u1 = ... = up = 0; um−p = ... = um = 1; uj+p =

1 p

j+p−1 X

ui ; j = 1, ..., n − p

(3.70) (3.71)

i=j

tedy kaˇzd´ a hranice segmentu uzlového vektoru je z´ıskána zpr˚ umˇerován´ım pˇr´ısluˇsn´ ych p y podle chordálové parametrizace (3.68) odpov´ıdá rozm´ıstˇen´ı hodnot parametru uk , kter´ datov´ ych bod˚ u. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno v´ yˇse, vypoˇctená kˇrivka nemus´ı pˇresnˇe odpov´ıdat pˇredstavˇe uˇzivatele o tvaru v´ ysledné trajektorie. Zmˇeny lze dosáhnout nˇekolika zp˚ usoby 1. Ruˇcn´ı u ´prava interpolaˇcn´ı funkce vypoˇctené algoritmem (3.66-3.71) zmˇenou polohy ˇr´ıdic´ıch bod˚ u nebo u ´pravou váhov´ ych funkc´ı. V tom pˇr´ıpadˇe ovˇsem doch´ az´ı lok´ alnˇe k poruˇsen´ı podm´ınek interpolace datov´ ych bod˚ u. Pro v´ıcerozmˇerné souˇradnice je manu´ aln´ı u ´prava ˇr´ıdic´ıch bod˚ u obt´ıˇzná z hlediska pˇredstavy uˇzivatele o vlivu ˇr´ıdic´ıch bod˚ u a sloˇzitosti vizualizace pr˚ ubˇehu vlastn´ı interpolaˇcn´ı funkce. ´ ech této metody tedy do znaˇcné m´ıry závis´ı na kvalitˇe a pˇrehlednosti vhodUspˇ ného softwarového n´ astroje pro vytváˇren´ı a u ´pravu trajektori´ı. 2. Pˇrid´ an´ı dalˇs´ıch datov´ ych bod˚ u pro pˇresnˇejˇs´ı specifikaci ˇzádané trajektorie. Tento pˇr´ıstup umoˇzn ˇuje dodateˇcnˇe tvarovat interpolaˇcn´ı funkci v problematick´ ych ˇc´ astech, které neodpov´ıdaj´ı zam´ yˇslenému pr˚ ubˇehu. Pˇridán´ım nˇekolika dalˇs´ıch datov´ ych bod˚ u lze vˇetˇsinou u ´spˇeˇsnˇe upravit tvar v´ ysledné trajektorie do poˇzadovaného pr˚ ubˇehu. 3. Rozˇs´ıˇren´ım popsaného algoritmu o specifikaci derivace spline funkce (vektor teˇcen) v datov´ ych bodech, coˇz vede na podobnou soustavu lineárn´ıch rovnic nav´ıc s dodateˇcn´ ymi podm´ınkami na derivace. T´ımto zp˚ usobem lze ovlivnit chován´ı funkce v okol´ı vstupn´ıch dat. Zadáván´ı vektor˚ u derivac´ı v datov´ ych bodech je ovˇsem problematické uˇz v trojrozmˇerném prostoru, natoˇz v obecn´ ych ˇsesti rozmˇerech ˇ pˇri plném popisu pozice a orientace. Casto se vyuˇz´ıvá pˇredepsán´ı hodnot derivace

69


3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0

−0.5

−0.5

−1 −1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

−1 −1

3

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 1

1

0.5

0.5

0

0

−0.5

−0.5

−1 −1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

−1 −1

3

Obr´ azek 3.12: 2D NURBS interpolace - pˇr´ıklady pouˇzit´ı, ˇcervenˇe zadané datové body, teˇckovanˇe s kˇr´ıˇzky naznaˇcen ˇr´ıdic´ı polygon kˇrivky

funkce pouze v poˇc´ ateˇcn´ım a koncovém bodu, kde b´ yvá pro uˇzivatele snadnˇejˇs´ı formulovat zam´ yˇslen´ y tvar trajektorie (poˇcáteˇcn´ı a koncov´ y smˇer pohybu).

Pˇr´ıklad pouˇzit´ı popsané metody ilustruje obrázek 3.12 pro pˇr´ıpad dvourozmˇerné NURBS funkce interpoluj´ıc´ı zadané datové body. V´ ysledná kˇrivka m˚ uˇze pˇredstavovat napˇr´ıklad trajektorii pohybu manipul´ atoru v rovinˇe pˇri obj´ıˇzdˇen´ı pˇrekáˇzek. Prvn´ı funkce vlevo nahoˇre splˇ nuje podm´ınky interpolace uˇzivatelsk´ ych dat, na zaˇcátku a konci vˇsak obsahuje zvlnˇen´ı, které je neˇz´ adouc´ı. Lze ho odstranit manuáln´ı u ´pravou polohy ˇr´ıdic´ıch bod˚ u (nahoˇre vpravo), pˇrid´ an´ım dalˇs´ıch datov´ ych bod˚ u pro pˇresnˇejˇs´ı specifikaci trajektorie v problematick´ ych ˇc´ astech (vlevo dole) nebo pouˇzit´ım varianty algoritmu s pˇredepsan´ ymi okrajov´ ymi derivacemi (vpravo dole, vektory derivac´ı oznaˇceny ˇsipkou).

70


3.3.4

Omezen´ı fluktuac´ı zp˚ usoben´ ych nepˇ rirozenou parametrizac´ı

V´ yˇse zm´ınˇené metody d´ avaj´ı návod jak konstruovat parametricky vyjádˇrené funkce, které popisuj´ı trajektorii pohybu v prostoru (trojrozmˇerném pˇri popisu pozice a ˇsestirozmˇerném vˇcetnˇe orientace). Pro ˇr´ızen´ı pohybu v reálném ˇcase je vˇsak nav´ıc nutné urˇcit ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh pohybu po zvolené trajektorii, tedy v kaˇzdém okamˇziku vzorkován´ı vypoˇc´ıtat aktu´ aln´ı hodnoty polohy, pˇr´ıpadnˇe rychlosti a zrychlen´ı, které jsou pˇredány modulu regul´ atoru jako referenˇcn´ı veliˇciny pro sledován´ı. Pro danou trajektorii v parametrickém tvaru je tedy tˇreba urˇcit závislost X(t) = Φ(u(t)) = Φ(f (t)); t = k.Ts

(3.72)

kde X jsou zobecnˇené souˇradnice stroje v operaˇcn´ım prostoru, Φ je obecná parametrick´ a funkce popisuj´ıc´ı danou trajektorii pohybu a Ts je perioda vzorkován´ı. Algortimy vytv´ aˇrej´ıc´ı ˇcasovou posloupnost funkce f (t) b´ yvaj´ı oznaˇcovány jako gener´ ator posuvu (z anglického feedrate control ), protoˇze generuj´ı hodnoty parametru u na základˇe uˇzivatelem zadan´ ych pˇr´ıkaz˚ u posuvu po zvolené trajektorii. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt ˇcasovˇe optim´ aln´ı pˇrejezd pˇri manipulac´ıch s materiálem nebo pr˚ ujezd zadanou konstantn´ı rychlost´ı v teˇcném smˇeru pˇri obr´ abˇen´ı. Pro pˇrirozenˇe parametrizované kˇrivky (lineárn´ı, kruhová interpolace) plat´ı lineárn´ı závislost mezi pˇr´ırustkem parametru u a délkou opsaného oblouku (dráhy) v kaˇzdém okamˇziku vzorkov´ an´ı. Gener´ ator posuvu lze pro tyto pˇr´ıpady snadno implementovat pomoc´ı algoritm˚ u pro pohyb v jedné ose popsan´ ych na zaˇcátku kapitoly. U sloˇzitejˇs´ıch interpolac´ı vyˇsˇs´ıho ˇrádu po ˇcástech polynomiáln´ımi funkcemi, mezi které patˇr´ı obecné NURBS kˇrivky a vˇsechny jejich speciáln´ı pˇr´ıpady, vˇsak tato lineárn´ı závislost neplat´ı. Pˇri konstantn´ım pˇr´ırustku parametru u docház´ı podél trajektorie pohybu k fluktuac´ım délky opsaného oblouku a vyˇsˇs´ıch derivac´ı v teˇcném smˇeru vlivem mˇen´ıc´ı se geometrie kˇrivky. To m˚ uˇze pˇri generován´ı trajektorie zp˚ usobovat nerovnomˇern´ y chod stroje, zv´ yˇsené opotˇreben´ı akˇcn´ıch ˇclen˚ u a mechanick´ ych komponent systému a degradaci kvality ˇr´ızen´ı. V pˇr´ıpadˇe obrábˇec´ıch stroj˚ u se tyto fluktuace viditelnˇe podepisuj´ı na povrchu obr´ abˇen´ ych souˇcást´ı, mohou vést i k poˇskozen´ı nástroje nebo obrobku. Pˇri implementaci algoritm˚ u interpolátoru je tedy d˚ uleˇzité zachytit funkˇcn´ı závislost mezi dr´ ahou ujetou po kˇrivce a hodnotou jej´ıho parametru.

71


Metody zaloˇ zen´ e na aproximaci Taylorov´ ym rozvojem Pˇredpokládejme obecnou parametrickou funkci popisuj´ıc´ı pozici koncového efektoru/nástroje v trojrozmˇerném kartézském systému souˇradnic 

 x(u) Φ(u) =  y(u)  ; u ∈< 0, 1 > z(u)

(3.73)

Oznaˇc´ıme li jako s(u(t)) funkci popisuj´ıc´ı dráhu opsanou obloukem z poˇcáteˇcn´ıho bodu kˇrivky do aktu´ aln´ıho m´ısta trajektorie pˇr´ısluˇsné parametru u(t) a okamˇzitou rychlost pohybu V (t) v daném m´ıstˇe, potom plat´ı následuj´ıc´ı vztahy ds du ds = . dt du dt V (t) V (t) V (t) =q = ds k Φ0 (u) k dy 2 dx 2 dz 2 du ( du ) + ( du ) + ( du )

V (t) = ⇒

du dt

=

(3.74) (3.75)

Z pˇredchoz´ıch vztah˚ u tedy plyne z´ avislost mezi parametrick´ ym pˇredpisem kˇrivky, zmˇenou parametru u v ˇcase a rychlost´ı pohybu po kˇrivce V (t). Jestliˇze V (t) bude obecná funkce poˇzadované rychlosti, kter´ a je daná aktuáln´ım programem stroje nebo pˇr´ıkazem uˇzivatele/oper´ atora, pak je teoreticky moˇzné z´ıskat pr˚ ubˇeh parametru kˇrivky v ˇcase u(t). Vztah (3.75) je ovˇsem pro obecné funkce V (t) a Φ(u) analyticky obt´ıˇznˇe ˇreˇsiteln´ y, proto se pˇristupuje k aproximac´ım, nejˇcastˇeji pomoc´ı Taylorova rozvoje, na jehoˇz principu je zaloˇzena cel´ a ˇrada metod pro interpolaci prostorov´ ych kˇrivek v reálném ˇcase [68, 69, 70, 71]. V kaˇzdém okamˇziku vzorkov´ an´ı tk je moˇzné funkci u(tk ) = uk rozloˇzit v ˇradu pomoc´ı Taylorova rozvoje do tvaru uk+1 = uk +

du d2 u T 2 Ts |u=uk + 2 s |u=uk +R(uk ) dt dt 2

(3.76)

kde Ts je perioda vzrorkov´ an´ı a v´ yraz R(uk ) pˇredstavuje zanedbané ˇcleny vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u. Dosazen´ım vztahu (3.75) a jeho druhé derivace podle ˇcasu do rozvoje (3.76) dostáváme pˇredpis pro v´ ypoˇcet parametru kˇrivky na základˇe aktuáln´ı poˇzadované rychlosti V (tk ) a zrychlen´ı A(tk ) = uk+1

dV (tk ) dt

v teˇcném smˇeru

V (tk ) 1 = uk + Ts + k Φ0 (uk ) k k Φ0 (uk ) k

Φ0 (uk )T Φ00 (uk )V (tk )2 Ts2 A(tk ) − (3.77) k Φ0 (uk ) k3 2

72


Z pˇredpisu (3.77) je vidˇet, ˇze pˇri pouˇzit´ı Taylorova rozvoje 2.ˇrádu je potˇreba v kaˇzdém kroku algoritmu poˇc´ıtat prvn´ı dvˇe derivace interpolaˇcn´ı funkce Φ(u), coˇz je pˇri pouˇzit´ı obecn´ ych NURBS kˇrivek v´ ypoˇcetnˇe velmi nároˇcné vzhledem k nutnosti ˇreˇsit rekurzivn´ı vztahy pro vyˇc´ıslen´ı b´ azov´ ych funkc´ı a jejich derivac´ı. Proto se nˇekdy pˇristupuje k aproximaci rozvojem prvn´ıho ˇrádu v oblastech s velk´ ym polomˇerem kˇrivosti, kde jsou vyˇsˇs´ı ˇcleny rozvoje zanedbatelné. Kromˇe v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnosti tˇechto metod je dalˇs´ı nev´ yhodou nevyhnuteln´ a akumulace numerick´ ych chyb vlivem rekurzivn´ıho sˇc´ıtán´ı pˇri zanedb´ an´ı vyˇsˇs´ıch ˇclen˚ u. Metody zaloˇ zen´ e na polynomi´ aln´ı korekˇ cn´ı funkci Alternativn´ım ˇreˇsen´ım je zachycen´ı závislosti mezi délkou opsaného oblouku s a parametrem kˇrivky u pomoc´ı polynomiáln´ı funkce vysokého ˇrádu [21, 37]: u(s) = p(s) = a0 + a1 s + a2 s2 + a3 s3 + a4 s4 + a5 s5 + ...

(3.78)

Polynom p(s) by mˇel b´ yt opˇet alespoˇ n kvintick´ y, pro zajiˇstˇen´ı hladkosti pohybu aˇz do derivace zrychlen´ı (jerku). Problémem m˚ uˇze b´ yt zachytit závislost délky oblouku a parametru jedin´ ym polynomem pro celou kˇrivku se sloˇzitou geometri´ı. Zvyˇsován´ı ˇrádu polynomu nepˇrin´ aˇs´ı dobré v´ ysledky, protoˇze vede podobnˇe jako pˇri interpolaci dat na nepˇrirozené zvlnˇen´ı s velk´ ym poˇctem lokáln´ıch extrém˚ u. Tento problém lze ˇreˇsit dˇelen´ım kˇrivky na menˇs´ı segmenty, z nichˇz kaˇzd´ y má vlastn´ı korekˇcn´ı polynom [37]. Mezi polynomy z jednotliv´ ych segment˚ u pak nav´ıc plat´ı spojitost jeho vyˇsˇs´ıch derivac´ı, pro bezr´ azov´ y pˇrechod mezi jednotliv´ ymi ˇcástmi kˇrivky pˇri generován´ı trajektorie, podobnˇe jako u v´ ypoˇct˚ u interpolaˇcn´ıch spline kˇrivek. Pro syntézu korekˇcn´ı funkce je nutné poˇc´ıtat délku kˇrivky L1,2 na urˇcitém intervalu jej´ıho parametru parametru podle vztahu Z u2 r Z u2 Z u2 dx dy dz ds du = ( )2 + ( )2 + ( )2 du = k Φ0 (u) k du; u1 ≤ u ≤ u2 L1,2 = du du du du u1 u1 u1 (3.79) Vztah (3.79) nelze bohuˇzel pro obecnou NURBS funkci ˇreˇsit analyticky a je nutné pˇristoupit k numerickému v´ ypoˇctu. V publikaci [71] je navrˇzen adaptivn´ı algoritmus pro numerick´ y v´ ypoˇcet s definovanou chybou. Oznaˇc´ıme-li integrand ze vztahu (3.79) jako f (u) =k Φ0 (u) k a zadefinujeme novou hodnotu parametru u3 leˇz´ıc´ı uprostˇred

73


intervalu u1 , u2 jako u3 =

u1 +u2 2 ,

pak aplikac´ı Simpsonova pravidla dostaneme pˇredpis

pro v´ ypoˇcet integr´ alu (3.79) ve formˇe L1,2 =

u2 − u1 (f (u1 ) + 4f (u3 ) + f (u2 )) 6

(3.80)

V dalˇs´ım kroku algoritmu je vyhodnoceno Simpsonovo pravidlo na dvou poloviˇcn´ıch subintervalech L1,3 a L3,2 a jejich souˇcet je porovnán s hodnotou pro jeden interval L1,2 podle vztahu =k L1,3 + L3,2 − L1,2 k Lze dokázat, ˇze maxim´ aln´ı chybu integrace lze vyˇc´ıslit podle vztahu max =

(3.81) 10 .

Uvedené

dˇelen´ı intervalu se pak v dalˇs´ıch kroc´ıch opakuje tak dlouho, dokud dosaˇzená chyba nen´ı menˇs´ı neˇz pˇredem zadan´ a hodnota max . Pro integrand f (u) se spojitou ˇctvrtou derivac´ı na daném intervalu (splnˇeno pro kvintickou NURBS funkci), lze libovolné pˇresnosti doc´ılit v koneˇcném poˇctu dˇelen´ı [71]. Aplikujeme-li tento algoritmus na celou kˇrivku, tedy pro 0 ≤ u ≤ 1, pak postupn´ ym sˇc´ıtán´ım délek oblouk˚ u jednotliv´ ych segment˚ u vznikl´ ych dˇelen´ım interval˚ u dostaneme mnoˇzinu uspoˇr´ adan´ ych dvojic {ui , si }; i = 1, .., ns , která udává závislost parametru ui a délky oblouku opsaného z poˇc´ ateˇcn´ıho bodu kˇrivky si = L0,ui s definovanou pˇresnost´ı max . Posledn´ı dvojice pak oznaˇcuje celkovou délku kˇrivky. Takto z´ıskané dvojice {ui , si } lze pouˇz´ıt jako koincidenˇcn´ı body pro syntézu korekˇcn´ıho polynomu. Podobnˇe jako v sekci 3.1.2 vˇenované syntéze interpolaˇcn´ı kˇrivky pro popis trajektorie pohybu lze v tomto pˇr´ıpadˇe sestavit soustavu lineárn´ıch rovnic ve tvaru u = Φ.Θ kde u je vektor parametr˚ u ui odpov´ıdaj´ıc´ı koincidenˇcn´ım bod˚ um, Φ je matice regresor˚ u vyˇc´ıslen´ a z pˇredpisu korekˇcn´ıho polynomu (??) a hodnot délek oblouku si a Θ je hledan´ y vektor koeficient˚ u korekˇcn´ı polynomiáln´ı funkce u(s). Tuto soustavu rovnic lze ˇreˇsit metodou line´ arn´ıch nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. Po v´ ypoˇctu korekˇcn´ı funkce je moˇzné vyhodnotit pˇresnost ˇreˇsen´ı napˇr´ıklad v´ ypoˇctem stˇredn´ı kvadratické chyby M SE oproti vstupn´ım dat˚ um {ui , si } podle vztahu M SE =

ns X (ui − u bi )2 i=1

ns

(3.82)

kde u bi je predikce parametru z´ıskan´ a z korekˇcn´ı funkce. Jestliˇze dosaˇzená pˇresnost nevyhovuje, je zdvojn´ asoben poˇcet interval˚ u kˇrivky a pro kaˇzd´ y segment je navrˇzen jin´ y

74


Korekcni fce u(s)

1.6 1.4 1.2

1

0.5

0

1

du(s)/ds

y[m]

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3 4 5 Delka opsaneho oblouku pro danou trajektorii s [m]

6

7

1.5

0.8 0.6 0.4

1 0.5 0

0.2 2

5 d u(s)/ds

0

2

−0.2 −0.4 −0.5

0

0.5

1 x[m]

1.5

2

0 −5 −10

2.5

V(t) pozadovana V(t) s korekci V(t) bez korekce

1.2

Rychlost posuvu po trajektorii v tecnem smeru V(t) [m/s]

Rychlost posuvu po trajektorii v tecnem smeru V(t) [m/s]

1.4

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4 t[s]

5

6

7

8

V(t) pozadovana V(t) s korekci V(t) bez korekce

1.01

1.005

1

0.995

0.99

1

1.5

2

2.5

3

3.5 t[s]

4

4.5

5

5.5

6

Obr´ azek 3.13: Korekˇ cn´ı polynomi´ aln´ı funkce pro NURBS - kˇrivka v rovinˇe, korekˇcn´ı polynom a jeho dvˇe derivace, rychlost posuvu pˇri generován´ı trajektorie s korekˇcn´ı funkc´ı a bez n´ı

korekˇcn´ı polynom. Pro zajiˇstˇen´ı hladkého pˇrechodu mezi segmenty je nutné dodefinovat okrajové podm´ınky na rovnosti vyˇsˇs´ıch derivac´ı korekˇcn´ı funkce v navazovac´ıch bodech mezi jednotliv´ ymi polynomy. Ty lze z´ıskat v´ ypoˇctem diferenciáln´ıch pˇr´ırustk˚ u parametru v˚ uˇci opsanému oblouku v aktuáln´ım m´ıstˇe dané trajektorie podle podm´ınek: du(s) 1 d2 u(s) −Φ0 (u)T Φ00 (u) 00 = p0 (s) = , = p (s) = ds k Φ0 (u) k ds2 k Φ0 (u) k4

(3.83)

Optimalizaˇcn´ı problém pak lze ˇreˇsit metodou Lagrangeov´ ych multiplikátor˚ u, která je pops´ ana v zaˇc´ atku kapitoly. V´ yhodou metod zaloˇzen´ ych na korekˇcn´ı funkci je moˇznost off-line zpracován´ı jiˇz ve fázi parametrizace trajektorie. Pˇri vlastn´ım generován´ı pohybu v reálném ˇcase je pak v kaˇzdém okamˇziku vyhodnocována pouze jedna polynomiáln´ı funkce oproti sloˇzitému vyˇc´ıslov´ an´ı vyˇsˇs´ıch derivac´ı parametrické funkce u Taylorova rozvoje, nav´ıc nedoch´ az´ı ke kumulov´ an´ı numerick´ ych chyb. Obr´ azek 3.13 ukazuje pˇr´ıklad pouˇzit´ı korekˇcn´ıch polynom˚ u na dvourozmˇernou trajektorii popsanou NURBS funkc´ı. Vlevo nahoˇre je trajektorie pohybu v rovinˇe, pro kterou je v´ yˇse popsanou metodou navrˇzena polynomiáln´ı korekˇcn´ı funkce zajiˇst’uj´ıc´ı reparametrizaci kˇrivky s c´ılem omezit fluktuace pˇri generován´ı pohybu. Z´ıskaná funkce

75


je sloˇzená ze sedmi polynom˚ u sedmého ˇrádu se spoleˇcn´ ymi dvˇema derivacemi v navazovac´ıch bodech a popisuje z´ avislost parametru kˇrivky na poˇzadovaném posuvu po dané trajektorii. Vlevo dole je srovn´ an´ı pr˚ ubˇeh˚ u poˇzadované a skuteˇcné rychlosti posuvu podél zvolené trajektorie bez korekˇcn´ı funkce a s jej´ım pouˇzit´ım. Pr˚ ubˇeh rychlosti je z´ıskán generátorem ˇcasovˇe optim´ aln´ıho pohybu v jedné ose s omezen´ım na rychlost, zrychlen´ı a jerk popsaném v u ´vodu kapitoly. Z obrázk˚ u je vidˇet, ˇze korekˇcn´ı funkce sn´ıˇzila u ´roveˇ n fluktuac´ı v rychlosti posuvu po kˇrivce z cca 25% na hodnotu 0.3%. Maximáln´ı odchylka od poˇzadované rychlosti je pˇribliˇznˇe 3mm/s. Pˇresnost je moˇzné dále zvyˇsovat pouˇzit´ım sloˇzitˇejˇs´ı korekˇcn´ı funkce s vˇetˇs´ım poˇctem segment˚ u, pˇr´ıpadnˇe doplnˇen´ım generátoru trajektorie o iteraˇcn´ı algoritmus, kter´ y dále zpˇresˇ nuje odhad správné hodnoty parametru kˇrivky v kaˇzdém okamˇziku vzorkován´ı [21]. Korekˇcn´ı polynom v tomto pˇr´ıpadˇe slouˇz´ı pro vypoˇcten´ı poˇc´ ateˇcn´ıho odhadu, kter´ y je dále zpˇresˇ nován nˇekolika iteracemi pomoc´ı Newtonovo metody. Hladk´ y pr˚ ubˇeh pohybu bez neˇz´ adouc´ıch fluktuac´ı zp˚ usoben´ ych nepˇrirozenou parametrizac´ı trajektorie pˇrin´ aˇs´ı jednoznaˇcnˇe zv´ yˇsen´ı kvality ˇr´ızen´ı, které se projevuje plynulejˇs´ım chodem stroje, niˇzˇs´ı u ´rovn´ı vybuzen´ ych mechanick´ ych vibrac´ı a v pˇr´ıpadˇe obrábˇec´ıch stroj˚ u vyˇsˇs´ı kvalitou obr´ abˇen´ ych souˇcást´ı.

3.3.5

ˇ Casovˇ e optim´ aln´ı pohyb pod´ el zvolen´ e trajektorie

V pˇredchoz´ıch ˇc´ astech pr´ ace byly pops´ any r˚ uzné metody popisu trajektori´ı pro v´ıceosé systémy a zp˚ usoby generov´ an´ı sloˇzit´ ych funkc´ı, které nejsou pˇrirozenˇe parametrizovány délkou oblouku a vyˇzaduj´ı dodateˇcné algoritmy pro zajiˇstˇen´ı hladkého pr˚ ubˇehu pohybu. Pˇrirozen´ ym poˇzadavkem, kter´ y m˚ uˇze vyvstat v pr˚ umyslov´ ych aplikac´ıch, je minimalizace doby pracovn´ıho cyklu stroje, coˇz vede na problém generován´ı ˇcasovˇe optimáln´ıho pohybu po zadané trajektorii s dan´ ymi konstrukˇcn´ımi omezen´ımi napˇr´ıklad v podobˇe maximáln´ıho momentu, rychlosti nebo zrychlen´ı jednotliv´ ych aktuátor˚ u. Motivac´ı pro takov´ y poˇzadavek m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad pˇresun materiálu robotem typu pick and place v co nejkratˇs´ım ˇcase nebo minimalizace doby obrábˇen´ı u CNC stroje. Problém omezen´ı dan´ ych jednotliv´ ymi aktuátory stroje je nutné v praxi ˇreˇsit i v u ´lohách, které nevyˇzaduj´ı ˇcasovˇe optim´ aln´ı pohyb. Poˇzadavek na fyzikáln´ı realizovatelnost pohybu se m˚ uˇze totiˇz kdykoliv dostat do rozporu s aktuáln´ım vykonávan´ ym pˇr´ıkazem zadan´ ym obsluhou. Jako pˇr´ıklad uved’me poˇzadavek rovnomˇerného pohybu s urˇcenou rychlost´ı posuvu po zvolené dr´ aze. Vlivem mˇen´ıc´ı se geometrie sledované trajektorie

76


a v z´ avislosti na aktu´ aln´ı kinematické konfiguraci stroje pˇri vykonáván´ı pohybu m˚ uˇze v urˇcitém okamˇziku doj´ıt k poruˇsen´ı dan´ ych omezen´ı na pohyb aktuátor˚ u (pˇrekroˇcen´ı maxim´ aln´ı rychlosti, zrychlen´ı nebo momentu). V tomto okamˇziku nelze dále pokraˇcovat v pohybu, protoˇze pro dalˇs´ı sledován´ı zadané trajektorie by stroj musel vykonat ´ fyzicky nerealizovateln´ y pohyb. Ulohou ˇr´ıdic´ıho systému, konkrétnˇe interpolátoru, kter´ y plánuje ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh pohybu, je oˇsetˇren´ı tˇechto chybov´ ych stav˚ u, tedy doˇcasné zpomalen´ı rychlosti posuvu na takovou mez, která umoˇzn´ı fyzicky realizovat zadan´ y pohyb. Z uvedeného pˇr´ıkladu vypl´ yv´ a, ˇze libovoln´ y pohyb v´ıceosého systému po zadané trajektorii lze ch´ apat jako problém ˇcasovˇe optimáln´ıho ˇr´ızen´ı nav´ıc s omezen´ımi na pr˚ ubˇeh pohybu v operaˇcn´ıch souˇradnic´ıch. Obecn´ y problém ˇcasovˇe optimáln´ıho ˇr´ızen´ı pro v´ıceosé systémy nen´ı v souˇcasné dobˇe kromˇe nejjednoduˇsˇs´ıch pˇr´ıpad˚ u uspokojivˇe vyˇreˇsen. Jeho obt´ıˇznost vypl´ yvá ze silnˇe neline´ arn´ıch vztah˚ u vystupuj´ıc´ıch jak v kinematick´ ych tak dynamick´ ych modelech. Zat´ımco omezen´ı na pohyb jsou kladena na jednotlivé pohony, pak v´ ysledkem algoritmu mus´ı b´ yt rychlost posuvu podél zvolené trajektorie efektoru, z ˇcehoˇz vypl´ yvá nutnost ˇreˇsit neline´ arn´ı optimalizaˇcn´ı problém s nelineárn´ımi omezen´ımi, pro kter´ y vˇetˇsinou neexistuje analytické ˇreˇsen´ı. V´ ysledkem jsou nejr˚ uznˇejˇs´ı suboptimáln´ı metody vyuˇz´ıvaj´ıc´ı r˚ uzn´ ych heuristik a numerick´ ych ˇreˇsen´ı. Pro nasazen´ı pˇri CNC obrábˇen´ı pˇrevládaj´ı v literatuˇre metody vycházej´ıc´ı z kinematického modelu systému. Veˇskerá omezen´ı jsou kladena na rychlost a jej´ı derivace v uzlovém nebo operaˇcn´ım prostoru odkud jsou transformována na limitn´ı hodnoty pr˚ ubˇehu posuvu po zadané trajektorii v ˇcase [21, 22, 37]. Tento pˇr´ıstup je do znaˇcné m´ıry ovlivnˇen decentralizovanou strukturou ˇr´ıdic´ıho systému, která je pouˇzita ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u. Kaˇzd´ y pohon je ˇr´ızen vlastn´ım osov´ ym modulem zajiˇst’uj´ıc´ım sledován´ı referenˇcn´ı trajektorie vypoˇctené interpolátorem. Celková dynamika systému a vzájemné vazby mezi osami nejsou v u ´rovni plánován´ı trajektorie uvaˇzovány. Kvalitu sledován´ı lze ovlivnit nepˇr´ımo nastaven´ım jednotliv´ ych omezen´ı v generátoru pˇr´ıpadnˇe modifikac´ı vrstvy regul´ atoru ve formˇe algoritm˚ u robustn´ıho ˇr´ızen´ı, dopˇredné kompenzace tˇren´ı, omezen´ı vibrac´ı apod. Jako zásadn´ı se ukázal poˇzadavek generovat trajektorie s omezen´ ym jerkem na jednotliv´ ych aktuátorech. V oblasti v´ yzkumu robotick´ ych manipulátor˚ u pˇrevaˇzuje snaha uchopit exaktnˇe problém ˇcasovˇe optim´ aln´ıho ˇr´ızen´ı zaveden´ım kompletn´ıho dynamického modelu systému.

77


Prvn´ı publikované pr´ ace uk´ azaly, ˇze obecn´ y n-rozmˇern´ y problém lze pˇrevést na jednoduˇsˇs´ı u ´lohu ˇr´ızen´ı systému druhého ˇrádu s nelineárn´ımi omezen´ımi na stav a ˇr´ızen´ı. Pro jednoduˇsˇs´ı variantu u ´lohy, kter´ a zahrnuje omezen´ı na maximáln´ı moment jednotliv´ ych aktuátor˚ u, byly vyvinuty efektivn´ı algoritmy ˇreˇs´ıc´ı plánován´ı pohybu [23, 24, 25]. V´ ysledné trajektorie se vˇsak z´ ahy uk´ azaly jako nevhodné pro nasazen´ı v praktick´ ych u ´lohách z d˚ uvodu prudk´ ych zmˇen akˇcn´ıch zásah˚ u jednotliv´ ych aktuátor˚ u, coˇz vedlo na problémy se sledov´ an´ım v regulaˇcn´ı u ´rovni, buzen´ım vibrac´ı, zv´ yˇsen´ ym opotˇreben´ım mechanick´ ych ˇc´ ast´ı stroje apod. Snaha produkovat trajektorie s hladk´ ym pr˚ ubˇehem pohybu vedla k rozˇs´ıˇren´ı u ´lohy o omezen´ı na rychlost zmˇeny momentu (ekvivalent k omezenému jerku). Toto rozˇs´ıˇren´ı dramaticky zkomplikovalo cel´ y problém, kter´ y vˇetˇsina stávaj´ıc´ıch metod ˇreˇs´ı numericky [26, 27, 72]. Formulace probl´ emu Pr˚ ubˇeh trajektorie pohybu v souˇradnic´ıch operaˇcn´ıho prostoru je popsán parametrickou funkc´ı ve tvaru X = Φ (u) ; u ∈ h0, 1i

(3.84)

C´ılem ˇcasovˇe optim´ aln´ıho ˇr´ızen´ı nalezen´ı takové funkce popisuj´ıc´ı pr˚ ubˇeh parametru trajektorie v ˇcase u = f (t); f (0) = 0, f (t1 ) = 1

(3.85)

která minimalizuje celkov´ y ˇcas t1 potˇrebn´ y k vykonán´ı daného pohybu podél zadané trajektorie pˇri respektov´ an´ı vˇsech kladen´ ych omezen´ı: Z u(t)

t1

dt; C(t) ≤ 0

minJ =

(3.86)

0

kde C(t) je mnoˇzina obecnˇe neline´ arn´ıch omezen´ı, která mohou b´ yt specifikována jak v operaˇcn´ım prostoru tak v souˇradnic´ıch aktuátor˚ u a vycházej´ı z fyzikáln´ıch limit˚ u dan´ ych konstrukc´ı stroje nebo z technologick´ ych d˚ uvod˚ u. Základn´ı podm´ınkou je omezen´ı maximáln´ı rychlosti jednotliv´ ych aktuátor˚ u, kterou lze zapsat |

dθi |=| θ˙i |≤ vimax ; i = 1..n dt

(3.87)

kde n je poˇcet aktu´ ator˚ u stroje a θi pˇredstavuje translaˇcn´ı nebo rotaˇcn´ı rychlost pˇr´ısluˇsného pohonu, kter´ a je limitov´ ana jednak jeho konstrukc´ı, dále pˇr´ıpadnˇe pouˇzit´ ymi

78


pˇrevodovkami. Dalˇs´ı fyzik´ aln´ı omezen´ı vypl´ yvá z maximáln´ı s´ıly nebo momentu, kterou je aktu´ ator schopen p˚ usobit na pracovn´ı mechanismus stroje | Ti |≤ Timax ; i = 1..n

(3.88)

Pro vyhodnocen´ı vlivu omezen´ı (3.88) na pr˚ ubˇeh pohybu je obvykle nutné znát dynamick´ y model systému, kter´ y je pro sloˇzit´ y v´ıceos´ y stroj obt´ıˇzné z´ıskat kv˚ uli nelinearitám ˇ v podobˇe tˇren´ı, hystereze a v˚ ule v pˇrevodovkách apod. Casto b´ yvá nahrazeno vhodn´ ym maxim´ aln´ım zrychlen´ım jednotliv´ ych aktuátor˚ u (které je na maximáln´ı moment vázáno momentem setrvaˇcnosti z´ atˇeˇze): |

d2 θi |=| θï |≤ amax ; i = 1..n i dt2

(3.89)

Pro hladk´ y pr˚ ubˇeh pohybu je dále vhodné omezit derivaci zrychlen´ı - jerk, kter´ y reprezentuje frekvenˇcn´ı spektrum akˇcn´ıch zásah˚ u p˚ usob´ıc´ıch na mechanick´ y systém v podobˇe s´ıly nebo momentu. Pˇr´ıliˇs vysoké hodnoty (pˇr´ıpadnˇe nekoneˇcné pro nespojit´ y pr˚ ubˇeh zrychlen´ı) mohou vybudit kmitavé módy zp˚ usobené koneˇcnou tuhost´ı konstrukce stroje. |

... d3 θi |=| θi |≤ jimax ; i = 1..n dt3

(3.90)

Dalˇs´ı poˇzadavky mohou b´ yt kladeny na pr˚ ubˇeh pohybu v operaˇcn´ım prostoru. Z technologick´ ych d˚ uvod˚ u m˚ uˇze b´ yt ˇzádouc´ı omezit rychlost posuvu, zrychlen´ı nebo jerku v teˇcném smˇeru pohybu po zadané trajektorii (napˇr. velikost ˇrezné s´ıly pˇri obr´ abˇen´ı, maxim´ aln´ı vhodn´ a rychlost pro nanáˇsen´ı laku atd.): ds(t) | = | V (t) |≤ Vmax dt d2 s(t) | | = | A(t) |≤ Amax dt2 d3 s(t) | | = | J(t) |≤ Jmax dt3 |

(3.91) (3.92) (3.93)

Metody zaloˇ zen´ e na kinematick´ em modelu - metoda nejhorˇ s´ıho pˇ r´ıpadu Kritérium minim´ aln´ıho ˇcasu popsané funkcionálem (3.94) lze pˇreformulovat s pouˇzit´ım vztahu pro polohu na dané trajektorii a rychlost´ı posuvu Z minJ = s(t)

0

l

ds(t) dt

1 ds; C(t) ≤ 0 V (t)

79

= V (t) na tvar (3.94)


kter´ y ˇr´ıká, ˇze pˇrejezdu v co nejkratˇs´ım ˇcase lze dosáhnout maximalizac´ı rychlosti posuvu podél dané trajektorie. Stejnˇe jako ˇrada dalˇs´ıch metod pro generován´ı ˇcasovˇe optimáln´ıch trajektori´ı pracuje ve dvou kroc´ıch. Nejdˇr´ıve je urˇcen vhodn´ y profil funkce popisuj´ıc´ı pr˚ ubˇeh posuvu, tzv. modulaˇcn´ı strategie, která redukuje dimenzi optimalizaˇcn´ıho problému na koneˇcnou hodnotu. V druhém kroku jsou optimalizovány parametry zvoleného profilu s c´ılem minimalizovat dobu pohybu pˇri dan´ ych omezen´ıch. Metoda nejhorˇs´ıho pˇr´ıpadu byla vyvinuta pro rychlou a efektivn´ı implementaci algoritm˚ u pro vysokorychlostn´ı obr´ abˇen´ı u CNC stroj˚ u [73] a d´ıky své jednoduchosti a v´ ypoˇcetn´ı nen´ aroˇcnosti je ˇcasto nasazována v praxi. Základn´ım principem je rozdˇelen´ı dané trajektorie na d´ılˇc´ı segmenty, pˇriˇcemˇz pro kaˇzdou ˇcást jsou vyhodnocena omezen´ı na maximáln´ı rychlost posuvu V (t) vypl´ yvaj´ıc´ı ze vˇsech limit˚ u specifikovan´ ych jak v uzlovém, tak operaˇcn´ım prostoru. Po vyhodnocen´ı vˇsech omezen´ı je vhodnou modulaˇcn´ı strategi´ı vypoˇcten pr˚ ubˇeh posuvu v ˇcase. Princip metody lze snadno demonstrovat na pˇr´ıpadu tˇr´ıosého kartézského manipulátoru. Operaˇcn´ı a uzlov´ y prostor (souˇradné systémy stroje a aktuátor˚ u) v tomto pˇr´ıpadˇe spl´ yvaj´ı a nen´ı nutné ˇreˇsit vz´ ajemné kinematické transformace, coˇz celou u ´lohu v´ yraznˇe zjednoduˇsuje. Pohyb aktu´ ator˚ u v jednotliv´ ych osách stroje je pro danou naplánovanou trajektorii pˇr´ımo pops´ an parametrickou funkc´ı 

 x(u) X(u) =  y(u)  = Φ(u) z(u)

(3.95)

Pro vyhodnocen´ı vlivu omezen´ı rychlosti, zrychlen´ı a jerku jednotliv´ ych aktuátor˚ u na rychlost je tˇreba postupnˇe derivovat vztah (3.95) podle ˇcasu: dX ˙ = dΦ ds = Φs V (t) =X dt ds dt 2 d X ¨ = Φs A(t) + Φss V (t)2 =X dt2 d3 X ... = X = Φs J(t) + 3Φss A(t)V (t) + Φsss V (t)3 dt3

(3.96) (3.97) (3.98) (3.99)

kde V (t), A(t), J(t) je rychlost posuvu, zrychlen´ı a jerk v teˇcném smˇeru a Φs , Φss , Φsss jsou prvn´ı tˇri geometrické derivace dané trajektorie, které lze postupn´ ym derivován´ım

80


sloˇzen´ ych funkc´ı vyj´ adˇrit vztahy Φs = Φss = Φsss = Hodnoty derivac´ı

du ds

dΦ du du ds dΦ d2 u d2 Φ du 2 + ( ) du ds2 du2 ds dΦ d3 u d2 Φ d2 u du d3 Φ du 3 + 3 + ( ) du ds3 du2 ds2 ds du3 ds

(3.100) (3.101) (3.102)

lze pˇri pouˇzit´ı metody korekˇcn´ıho polynomu vyˇc´ıslit pˇr´ımo z hod-

not derivac´ı korekˇcn´ı funkce, ˇc´ımˇz se dále zjednoduˇsuje v´ ypoˇcet. Uvedené vztahy lze vyuˇz´ıt ke stanoven´ı maximáln´ı moˇzné rychlosti posuvu V (t), pˇri které nedojde k poruˇsen´ı ˇzádn´ ych omezen´ı na aktuátory stroje. Z d˚ uvodu rychlosti v´ ypoˇctu jsou tato omezen´ı vyˇsetˇrována pouze bodovˇe na vhodnˇe volen´ ych m´ıstech trajektorie (lze volit adaptivnˇe napˇr´ıklad podle mˇen´ıc´ı se kˇrivosti). Ze vztahu (3.96) lze urˇcit tˇri nerovnosti pro maximáln´ı rychlost posuvu dané omezen´ım maximáln´ı rychlosti aktu´ ator˚ u z nichˇz je vybr´ ana nejmenˇs´ı hodnota, která vyhovuje vˇsem omezen´ım zároveˇ n v Vmax ≤ min{

vimax }; i = 1, 2, 3 |Φsi |

(3.103)

kde vimax jsou maxim´ aln´ı rychlosti jednotliv´ ych os Φsi je pˇr´ısluˇsn´ y ˇrádek vektoru prvn´ı geometrické derivace trajektorie. Podobnˇe lze odvodit omezen´ı rychlosti posuvu vlivem maxim´ aln´ıho zrychlen´ı vˇsech aktuátor˚ u ze vztahu (3.97): s amax − |Φsi |Amax a i Vmax ≤ min{ }; i = 1, 2, 3 |Φssi |

(3.104)

kde za hodnotu teˇcného zrychlen´ı A(t) byla dosazena nejhorˇs´ı moˇzn´ a varianta Amax specifikovan´ a jako omezen´ı v operaˇcn´ım prostoru pˇri návrhu stroje (3.92). Pokud je omezen´ı Amax menˇs´ı neˇz maximáln´ı hodnoty zrychlen´ı vˇsech os, coˇz je v praxi vˇzdy splnˇeno, je v´ ysledkem v´ yrazu (3.104) vˇzdy kladná hodnota pro rychlost posuvu po kˇrivce. Jako posledn´ı zb´ yv´ a vyhodnotit vliv omezen´ı jerku aktuátor˚ u na rychlost pohybu, za nezn´ amé veliˇciny A(t) a J(t) jsou opˇet dosazeny nejhorˇs´ı moˇzné hodnoty Amax , Jmax :

3 |Φsssi |Vij

j Vmax ≤ min{Vij }; i = 1, 2, 3

(3.105)

+ 3|Φssi |Amax Vij + (|Φsi |Jmax − jimax )

(3.106)

Hodnoty Vij jsou z´ısk´ any ˇreˇsen´ım tˇr´ı kubick´ ych rovnic, které opˇet pro podm´ınku jimax > Jm ax maj´ı alespoˇ n jedno kladné ˇreˇsen´ı. V´ ysledné omezen´ı na rychlost posuvu je z´ıskáno kombinac´ı vˇsech tˇr´ı omezen´ı dan´ ych aktuátory v´ ybˇerem minimáln´ı hodnoty podle

81


58

V(t), [mm/sec]

Chapter 4. Jerk Limited Feedrate Modulation

...

.

9 99 9 F1 F2 F3 F4

9 999 F5 F6F7F8 ...

Prediktivní okénko

t [s]

Hranice segmentů křivky Omezení na rychlost posuvu daná aktuátory Kinematicky kompatibilní profil

9 Ověřená část profilu předaná generátoru

Figure 4-5. Implementation of feed modulation strategy with a look-ahead window. Obr´ azek 3.14: Generov´ an´ı profilu posuvu - prediktivn´ıho okénko

kinematically compatible solution may not be achievable by simply modulating the vztahu feed, acceleration, or jerk values. In such circumstances, the real-time commanded v

a

j

≤ min{V , Vmax } (3.107) to max , Vmax interpolator needs to back-trackVmax through the planned feed values and perform adjustment

the earlier NCeblocks, order to yieldpro a kinematically profile for the current Na základˇ omezenín ı (3.107) je pak kaˇzd´ y segmentcompatible modulovánafeed rychlost posuvu takov´ ym zp˚ usobem, Hence, aby nedoˇ lo k pˇrekroˇcen´ ı tétoismeze. Jako vhodnou modulaˇ cn´ı strategii trajectory segment. aslook-ahead buffer implemented for this purpose as shown in lze 4-5. zvolit napˇr´ıklad po ˇc´ astech konstantn´ı profil jerku J(t) podobn´ y ˇcasovˇe optimáln´ımu Figure ˇr´ızen´ı v jedné ose.

When the desired feedrate of a segment provided by the NC programmer or an Uveden´ y algoritmus lze pouˇz´ıt jak pro off-line plánován´ı trajektorie, kdy je cel´ y po-

optimization routine is incompatible, a bisection method findsvariantˇ a kinematically feasible hyb pˇredpoˇ c´ıt´ an dopˇ redu jeˇstˇe pˇred jeho zapoˇsearch cet´ım, tak v on-line e d´ıky n´ızk´ ym feedv´ efficiently. The feeds the previous nextpoˇ segment are eithers tzv. fixedprediktivn´ or free, ım where ypoˇcetn´ım n´ arok˚ um. Vof tomto pˇr´ıpadˇe jeand pohyb c´ıtán v pˇ redstihu enkem, e vyhodnocuje profil posuvusegment. a postupnˇ ho uklád´ a do pamˇ eti,feed free ok´ means thatkter´ it is set equal to the feedrychlosti of the current Ineforward planning, the ´ odkud je pˇred´ av´ an modulu gener´ reáln´ em ˇcase. is Ukolem prediktivof the previous segment is fixed andatoru the trajektorie feed of thev next segment generally free. The n´ıho okénka je napl´ anov´ an´ı tzv. kinematicky kompatibiln´ıho profilu, kter´ y zaruˇcuje, ˇze

exception is when the desired feed of the next segment is lower than the test feed f mid , in v kaˇzdém segmentu trajektorie lze zmˇenit rychlost posuvu pˇri splnˇen´ı vˇsech omezen´ı

which case the feed of the next segment fixed at itsydesired Fk +1na . Similar rules v segmentu n´ asleduj´ ıc´ım a z´ aroveˇ n lzeis napl´ anovan´ pohyb level, realizovat dostupn´ e zb´ yapply vaj´ıc´ı drázeplanning do koncov´ bodu (viz k poruˇ sen´ eto podm´by ınky, stroj for backward ineho reverse. The 3.14). rangePokud of thedojde search space isı t´ bounded zero at the bud’to ejede koncov´ y bod nebo mus´ ı b´ yt v posledn´ ım segmentu e pˇrekroˇ eno nˇ ebottom, andpˇrthe desired feedrate Fk at the top. The search algorithmnutnˇ bisects thecfeed search které z urˇcen´ ych omezen´ı na pr˚ ubˇeh pohybu. V tom pˇr´ıpadˇe je nutné provést zpˇetn´ y

space iteratively, as shown in Figure 4-6, until a feasible solution is found within a specified v´ ypoˇcet od koncového bodu nebo bodu, ve kterém doˇslo k poruˇsen´ı omezen´ı a opravit

tolerance Ftol . cThe of iterations required to find the newe rychlosti. compatible feed within the dˇr´ıve vypoˇ ten´ ynumber profil posuvu sn´ıˇzen´ım maxim´ aln´ ı dosaˇ ziteln´ Uvedenou lze pouˇ z´ıt iEquation pro obecnou kinematickou strukturu systému. Pro specified tolerancemetodu can be found with (4.24). známé vztahy mezi uzlov´ ym a operaˇcn´ım prostorem X = G(Θ), Θ = G−1 (X), lze

n = round [log 2 ( Fk / Ftol )] + 1

82

(4.24)


u ´lohu pˇreformulovat transformac´ı trajektorie pohybu do souˇradnic aktuátor˚ u, kde jiˇz lze vyhodnotit vliv jednotliv´ ych omezen´ı na pr˚ ubˇeh profilu posuvu. Vyjádˇren´ım závislosti rychlosti aktu´ ator˚ u na rychlosti posuvu dostaneme vztah −1 ˆ ˙ = dG dΦ V (t) = dΦ V (t) Θ dX ds ds

(3.108)

ˆ = G−1 (Φ) z˚ Ze srovn´ an´ı vztah˚ u (3.108) a (3.96) je vidˇet, ˇze po substituci Φ ustávaj´ı v platnosti vˇsechny z´ avislosti mezi rychlost´ı posuvu, rychlost´ı aktuátor˚ u a jejich vyˇsˇs´ıch derivac´ı (3.96-3.98) a stejn´ y je i v´ ypoˇcet omezen´ı popsan´ y nerovnostmi (3.103-3.107). Komplikuje se vˇsak vyhodnocen´ı geometrick´ ych derivac´ı, které mus´ı pro obecn´ y pˇr´ıpad zahrnovat také diferenci´ aln´ı zmˇeny v konfiguraci stroje dané jeho kinematickou strukturou: ˆs = Φ ˆ ss = Φ ˆ sss = Φ

dG−1 dΦ dX ds d2 G−1 dΦ 2 dG−1 d2 Φ ( ) + dX2 ds dX ds2 3 −1 d G dΦ 3 d2 G−1 dΦ d2 Φ dG−1 d3 Φ ( ) + 3 + dX3 ds dX2 ds ds2 dX ds3

(3.109) (3.110) (3.111)

Pro v´ ypoˇcet geometrick´ ych derivac´ı je tedy nutné v kaˇzdém bodu poˇc´ıtat hodnotu Jakobi´ anu

dG−1 dX

a jeho dvou derivac´ı, coˇz m˚ uˇze b´ yt pro sloˇzitejˇs´ı kinematické struktury

ˇcasovˇe velmi n´ aroˇcné, analytické ˇreˇsen´ı nav´ıc ˇcasto nen´ı k dispozici a je nutné pouˇz´ıt vhodnou numerickou metodu. Dalˇs´ım problémem obecného pˇr´ıpadu je, ˇze nerovnosti (3.104) a (3.106) nemus´ı m´ıt pro uvaˇzovan´ y nejhorˇs´ı pˇr´ıpad pˇri dosazen´ı maxim´ aln´ıch hodnot Amax a Jmax kladné ˇreˇsen´ı pro maximáln´ı hodnotu posuvu. Jin´ ymi slovy pro obecnou kinematiku stroje nelze zaruˇcit, ˇze v libovolném m´ıstˇe trajektorie bude existovat kladn´ a rychlost posuvu, pˇri které lze akcelerovat nebo decelerovat s maximáln´ımi hodnotami zrychlen´ı a jerku v teˇcném smˇeru, aniˇz by bylo poruˇseno nˇekteré z omezen´ı aktu´ ator˚ u. Lze vˇsak dokázat, ˇze pˇri volbˇe A(t) = J(t) = 0 existuje v libovolném bodu kladn´ a rychlost, kterou se lze podél zvolené trajektorie pohybovat. Algoritmus pl´ anov´ an´ı lze pak upravit pro oˇsetˇren´ı tˇechto m´ıst, která je potˇreba proj´ıˇzdˇet konstantn´ı rychlost´ı bez zrychlen´ı nebo zpomalen´ı. Zvláˇstn´ı vyj´ımku pak pˇredstavuj´ı singul´ arn´ı body stroje, ve kter´ ych geometrické derivace nab´ yvaj´ı nekoneˇcn´ ych hodnot vlivem k nekoneˇcnu konverguj´ıc´ım hodnotám Jakobiánu a jeho derivac´ı. Návrh samotného manipul´ atoru stejnˇe jako volba tvaru trajektorie v operaˇcn´ım prostoru tedy mus´ı respektovat moˇznost v´ yskytu tˇechto singularit, kter´ ym je tˇreba se vyhnout.

83


V´ yhodou uvedené metody je mal´ a v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnost, která ji pˇredurˇcuje pro pouˇzit´ı v on-line gener´ atorech trajektorie jak pro roboty tak obrábˇec´ı stroje. V´ ypoˇcetn´ı nároky ovˇsem stoupaj´ı se sloˇzitˇejˇs´ı kinematikou stroje, coˇz m˚ uˇze komplikovat jej´ı nasazen´ı. Nev´ yhodou m˚ uˇze b´ yt pˇr´ıliˇsn´ a konzervativnost naplánovan´ ych profil˚ u posuvu pˇri uvaˇzován´ı nejhorˇs´ı kombinace nezn´ am´ ych veliˇcin. Existuj´ı r˚ uzné heuristické strategie, které se snaˇz´ı tuto nev´ yhodu odstranit nahrazen´ım nejhorˇs´ıho pˇr´ıpadu skuteˇcn´ ymi aktuáln´ımi hodnotami podle zvolené modulaˇcn´ı strategie, coˇz umoˇzn ˇuje dosáhnout kratˇs´ıch ˇcas˚ u pr˚ ujezdu, ovˇsem za cenu delˇs´ı doby v´ ypoˇctu trajektorie [37]. Z pˇr´ısnˇe matematického hlediska nen´ı v´ ysledn´ y profil ˇcasovˇe optimáln´ı. Omezen´ı daná aktuátory jsou nav´ıc vyhodnocov´ ana bodovˇe, v m´ıstech mezi tˇemito testovac´ımi body pak m˚ uˇze teoreticky pˇri ˇspatnˇe zvoleném intervalu dˇelen´ı doj´ıt k poruˇsen´ı omezuj´ıc´ıch podm´ınek. Gradientn´ı metody se spline funkcemi Dalˇs´ı skupina metod pouˇz´ıv´ a obecnˇejˇs´ıch pr˚ ubˇeh˚ u profilu posuvu, obl´ıbené jsou po ´ ˇcástech polynomi´ aln´ı spline funkce [21, 22, 37]. Uloha je pak pˇrevedena na nelineárn´ı optimalizaˇcn´ı problém, kter´ y je ˇreˇsen nˇekterou ze standardn´ıch numerick´ ych metod. Pˇr´ıkladem gradientn´ı metody je postup vyuˇz´ıvaj´ıc´ı kvintické spline profily s minimáln´ım pr˚ ubˇehem jerku [21]. Hledan´ a funkce posuvu po kˇrivce v ˇcase (s = s(t)) mus´ı splˇ novat tyto podm´ınky: • Funkce proch´ az´ı mnoˇzinou koincidenˇcn´ıch bod˚ u dan´ ych dvojicemi {Si , Ti }; i = 1, ..., n, kde Si je délka oblouku v jednotliv´ ych segmentech kˇrivky a Ti jsou pˇr´ısluˇsné doby pr˚ ujezdu mezi hraniˇcn´ımi body • Funkce s(t) m´ a spojité alespoˇ n tˇri derivace • Je minimalizov´ an integr´ al ˇctverce tˇret´ı derivace v pr˚ ubˇehu pohybu: J =

R t ... 2 s 0 [ (t)] dt

Minimalizace jerku v´ ysledného profilu posuvu má za c´ıl omezit prudké zmˇeny zrychlen´ı a t´ım dos´ ahnout kvalitnˇejˇs´ıho sledován´ı naplánované trajektorie v regulaˇcn´ı vrstvˇe systému. Bylo uk´ az´ ano, ˇze ˇreˇsen´ı popsaného u ´lohy vede na kvintickou interpolaˇcn´ı spline funkci, jej´ıˇz parametry lze z´ıskat minimalizac´ı kvadratického kritéria s vazbov´ ymi podm´ınkami ve tvaru rovnosti, lze tedy pouˇz´ıt v´ yˇse nˇekolikrát zm´ınˇenou metodu Lagrangeov´ ych multiplik´ ator˚ u.

84


ˇ Obr´ azek 3.15: Casovˇ e optim´ aln´ı profil posuvu - kvintická spline funkce s minimáln´ım jerkem [21]

C´ılem syntézy ˇcasovˇe optimáln´ıho profilu je pak nalezen´ı takov´ ych hodnot ˇcas˚ u Ti , které minimalizuj´ı celkovou dobu pohybu pˇri splnˇen´ı vˇsech dynamick´ ych omezen´ı dan´ ych v uzlovém a operaˇcn´ım prostoru, které lze zapsat ve formˇe nerovnost´ı (viz 3.87-3.93): min J = Ti

n X Ti = TP ; C(t) ≤ 0, 0 ≤ t ≤ TP

(3.112)

i=1

Jedn´ a se o optimalizaˇcn´ı problém s lineárn´ım kritériem a nelineárn´ımi omezen´ımi (vzhledem k parametr˚ um Ti ), kter´ y lze ˇreˇsit nˇekterou ze znám´ ych numerick´ ych metod jako napˇr´ıklad sekvenˇcn´ı kvadratické programován´ı [74]. Nelineárn´ı optimalizaˇcn´ı problém je v tomto pˇr´ıpadˇe pˇreveden na sekvenci subproblém˚ u, kdy v kaˇzdé kroku algoritmu je hled´ ano minimum kvadratického modelu u ´ˇcelové funkce pro linearizovaná omezen´ı. V´ ysledkem tohoto lok´ aln´ıho ˇreˇsen´ı je pak smˇer postupu v prostoru parametr˚ u ke globáln´ımu ˇreˇsen´ı p˚ uvodn´ı u ´lohy. V´ yhodou tˇechto metod je pouˇzit´ı obecnˇejˇs´ı polynomiáln´ı funkce pro popis profilu posuvu oproti standardn´ım modulaˇcn´ım strategi´ım (napˇr. v´ yˇse zm´ınˇená po ˇcástech konstantn´ı funkce jerku), coˇz umoˇzn ˇuje dosaˇzen´ı kratˇs´ıch ˇcas˚ u pr˚ ujezdu. Nev´ yhodou jsou vysoké v´ ypoˇcetn´ı n´ aroky, které vypl´ yvaj´ı z nutnosti v´ ypoˇctu gradientu u ´ˇcelové funkce v˚ uˇci parametr˚ um profilu

∂C(t) ∂T

na vhodnˇe zvolené mnoˇzinˇe testovac´ıch bod˚ u podél dané

85


trajektorie. Srovn´ avac´ı studie uv´ ad´ı doby v´ ypoˇctu optimáln´ıho profilu ˇrádovˇe v jednotkách aˇz des´ıtk´ ach minut na osobn´ım poˇc´ıtaˇci pr˚ umˇerného v´ ykonu pro v´ ysledn´ y pohyb trvaj´ıc´ı nˇekolik vteˇrin [21, 37]. Gradientn´ı metody jsou tedy vhodné sp´ıˇse pro off-line plánován´ı trajektori´ı pro CNC obr´ abˇen´ı, kde nen´ı nutné mˇenit program za bˇehu stroje. Z matematického hlediska nen´ı zaruˇcena konvergence ke globáln´ımu ˇcasovˇe optimáln´ımu ˇreˇsen´ı. Metody zaloˇ zen´ e na dynamick´ em modelu V´ıceos´ y manipul´ ator s n stupni volnosti lze pˇri zanedbán´ı pruˇznosti jednotliv´ ych ˇcást´ı modelovat jako soustavu tuh´ ych tˇeles. Pouˇzit´ı metody Lagrangeov´ ych rovnic vede na nelineárn´ı soustavu diferenci´ aln´ıch rovnic druhého ˇrádu, kterou lze zapsat v maticovém tvaru: ¨ +Θ ˙ T C(Θ)Θ ˙ + G(Θ) = T − Fc sgn(Θ) ˙ − Fv Θ ˙ M(Θ)Θ

(3.113)

kde Θn×1 je vektor uzlov´ ych souˇradnic, M(Θ)n×n je pozitivnˇe definitn´ı matice setrvaˇcnosti, kter´ a ud´ av´ a moment setrvaˇcnosti v kaˇzdém kloubu vzhledem k aktuáln´ı konfiguraci a vz´ ajemn´ y vliv zrychlen´ı mezi jednotliv´ ymi klouby, C(Θ)n×n×n je tenzor zdánliv´ ych setrvaˇcn´ ych a Coriolisovo sil, které p˚ usob´ı na kaˇzd´ y kloub vlivem nenulov´ ych rychlost´ı jednotliv´ ych ramen manipulátoru, G(Θ)n×1 je vektor gravitace popisuj´ıc´ı u ´ˇcinky gravitaˇcn´ı s´ıly a Tn×1 je vektor moment˚ u/sil jednotliv´ ych aktuátor˚ u, kter´ y leˇz´ı i i v zadaném intervalu Tmin ≤ Ti ≤ Tmax . Posledn´ı dva ˇcleny na pravé stranˇe pˇredstavuj´ı

nekonzervativn´ı s´ıly zp˚ usobené mechanick´ ym tˇren´ım v jednotliv´ ych kloubech - Fv a Fc jsou diagonáln´ı matice dimenze n × n a urˇcuj´ı m´ıru viskózn´ıho a Coulombovo tˇren´ı. Podobnˇe jako u metody nejhorˇs´ıho pˇr´ıpadu lze pohyb po trajektorii Φ(s) zadané v operaˇcn´ım prostoru pˇrevést do uzlov´ ych souˇradnic pomoc´ı inverzn´ı kinematické transformace ˆ Θ = G−1 (Φ(s)) = Φ(s) ˆ ˆ s V (t) ˙ = dΦ s˙ = Φ Θ ds 2ˆ ˆ ¨ = d Φ s˙ 2 + dΦ s¨ Θ 2 ds ds

(3.114) (3.115) (3.116) (3.117)

86


Zanedb´ ame-li mechanické tˇren´ı v kloubech, lze dosazen´ım tˇechto vztah˚ u do dynamického modelu manipul´ atoru z´ıskat soustavu n diferenciáln´ıch rovnic druhého ˇrádu [23] ve tvaru: m(s)¨ s + c(s)s˙ 2 + g(s) = T

(3.118)

kde m(s), c(s), g(s) jsou vektory dimenze n × 1 s prvky závisl´ ymi na dynamice systému a aktu´ aln´ı konfiguraci stroje vyjádˇrené pozic´ı na zadané trajektorii: ˆ Φˆs m(s) = M(Φ) T

(3.119)

ˆ Φˆs + M(Φ) ˆ Φˆss c(s) = Φˆs C(Φ)

(3.120)

g(s) = G(Φˆs )

(3.121) (3.122)

Ze vztahu (3.118) jiˇz lze vyhodnotit vliv omezen´ı maximáln´ıho momentu jednotliv´ ych aktu´ ator˚ u na pˇr´ıpustné hodnoty zrychlen´ı posuvu s¨: Timin ≤ mi (s)¨ s + ci (s)s˙ 2 + gi (s) ≤ Timax

(3.123)

Cel´ y optimalizaˇcn´ı problém lze tedy pˇrevést na u ´lohu ˇr´ızen´ı systému s dvˇema integr´ atory a neline´ arn´ım omezen´ım na stav a ˇr´ızen´ı: s¨ = u(t)

(3.124)

L(s, s) ˙ ≤ u ≤ U (s, s) ˙

(3.125)

kde U, L jsou horn´ı a spodn´ı hranice pˇr´ıpustného intervalu akcelerace po dané trajektorii z´ıskané pr˚ unikem vˇsech omezen´ı dan´ ych aktuátory. Jestliˇze je tento interval prázdn´ y (L > U ), pak pro aktu´ aln´ı rychlost a pozici neexistuje ˇzádná kombinace moment˚ u/sil v jednotliv´ ych kloubech, kter´ a by zajistila udrˇzen´ı synchronizace s naplánovanou trajektori´ı. Pro kaˇzd´ y bod trajektorie lze dále ze vztahu (3.123) urˇcit maximáln´ı rychlost posuvu s, ˙ pˇri kterém meze pro zrychlen´ı spl´ yvaj´ı v jedinou hodnotu (L = U ). Toto dynamické omezen´ı spolu s limity na maximáln´ı rychlost jednotliv´ ych aktuátor˚ u urˇcuj´ı nejvyˇsˇs´ı pˇr´ıpustnou rychlost posuvu. ˇ sen´ım v´ Reˇ yˇse zm´ınˇené u ´lohy je ˇr´ızen´ı typu bang-bang, které podle Pontrjaginova principu minima nab´ yv´ a krajn´ıch hodnot pˇr´ıpustného intervalu, pˇr´ıpadnˇe bang-singularbang ve speci´ aln´ıch pˇr´ıpadech tzv. singulárn´ıch bod˚ u (zde v jiném kontextu neˇz singu´ lárn´ı body kinematiky, viz [24]). Ulohou algoritmu plánován´ı pohybu je pak nalezen´ı

87

defined by L(s, 9) and U(s, B). However, according to Eq. 2.17 the trajectory must lie in the admissible set where L(s, 8 ) 5 U(s, 9) (unshaded area on Fig. 2.1). The boundary of this set is called velocity limit curve and is defined by equation


ˇ azek 3.16: Casovˇ e point optim´ aln´ı there pohyb -only trajektorie v rovinˇe s−s, ˙ vlevo jedno pˇrepnut´ı Figure 2.2: Obr´ Obtaining the switching when one. bounds Figure 2.1: Velocity is limit curve the admissible region in the phase plane. Switching bez omezen´ı rychlostipoints posuvu, vpravo s omezen´ ımand a tˇr5'3) emi when pˇrep´ınac´ body [23] occur (points S1, $2, theımi trajectory switches from the acceleration to the

deceleration. urve bounds the subset of the phase plane t o which the trajectory must belong if the lator is t o follow the path without violating actuator constraints. The trajectory is only rep´ınac´ ıch bod˚ u urˇ ıcÁccording ıch intersect f´ aze akcelerace a decelerace pod´ dan´ e trajektorie. ubˇeh within the admissible t oit.Eq. 2.20 wethe should find ealcan trajectory that liesPr˚ entirely d t o be tangent t opˇ velocity limit curve, itcuj´ cannot Therefore algorithm set, satisfies the tangency constraint at each point and has the property mulated as: pohybu systému (3.125) lze zobrazit ve stavové rovinˇe s− s, ˙ coˇz usnadˇ nuje ˇreˇsen´ı, jelikoˇz that the velocity at each point is greater than the velocity on any other admissible trajectory. The switching points obˇeforward okrajov´ e podm´ jsou tˇechto rand adnic´ ıchswitches pevn´ e between (narozd´the ıl odacceleration volného konce Integrate Eq. 2.22 starting atınky the (so,BO) Eq. 2.23 backward willinitial occurvpoint where thesouˇ trajectory and deceleration (points $1, arting a t ( sj, Bj ) t o obtain segments F and B, respectively (Fig. 2.3). If the two intersect S 2 and 5 3 on Fig. 2.1). v pˇr´ıpadˇe ˇcasové oblasti). V nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıpadˇe pohyb obsahuje jednu akceleraˇcn´ı efore intersecting the velocity limit curve there is onlyfirst one the switching pointthere and is weonly found Consider case when one switching point (Fig. 2.2). We know that the ˇ maximum a jednu deceleraˇ cn´ı f´ atrajectory zi (Obr. 3.16 vlevo). Cas pˇrepnut´ıacceleration lze z´ıskat dopˇ a zpˇetnou . Otherwise proceed t o Step 2. starts with the andrednou then switches to maximum deceleration. This suggests that we should integrate the equation ychthe podm´ ınek limit (s0 , s˙curve ˙ ft )(sly a nalezen´ ım pr˚ useˇc´ıku tˇechto dvou tra0 , sf , sa Suppose that theintegrac´ segmentı zFokrajov´ intersects velocity B1). After that is violated so the switching point is somewhere on the interval [so, sl]. oint the Eq. 2.17jektori´ ı ve fázové rovinˇe. Pokud je pˇri integraci v jednom ze smˇer˚ u dosaˇzeno maximáln´ı et's pick s E [so,sl] and integrate Eq. 2.23 forward in time starting a t the point on F danéforward dynamick´ ymi(Fig. a kinematick´ omezen´ mus´ ı v´ yinitial slednáandtrain time starting with theymi initial point ımi, (so, 9,) (the final velocity need not be which correspondsrychlosti t o s. Oneposuvu of the following can happen 2.3): necessarily O), and the equation jektorie obsahovat vˇetˇs´ı poˇ cet curve pˇrepnut´ mezi pˇr´ıpustn´ The trajectory will intersect the velocity limit a t sı = s; (curve 1 onym Fig.ˇr´ızen´ 2.3).ım (Obr. 3.16 vpravo). 5 = L(s,S) (2.23) s was too big, since any admissible acceleration a t s; will force the konstantn´ı nebo obThis means that ´ Uloha se komplikuje pokud omezen´ ı na maxim´ a ln´ ı moment nejsou backward in time starting with the final state (sf,Sf). The switching point is given by the manipulator t o leave the path. intersection of thea two last maximáln´ı rychlosti nen´ı souvisl´ (m˚ utrajectories. ˇze nastat pˇri uvaˇzován´ı tˇren´ı v kloubech). The trajectory intersects the horizontal line S = B j (curve 2 on Fig. 2.3). This means The algorithm that gives the switching points in the general case also uses the idea of that s was too small: could s forfunkˇ some > 0 so that the trajectory Bylo dokáwe záno, ˇze increase pokud jsou cn´ıE z´ aand vislosti kloubov´ ch souˇ radnic a jejich derivac´ ı integrating forward backward in ytime with the maximum acceleration or the maximum starting on F a t s 6 would still not intersect the velocity limit curve and which deceleration. Velocity limit curve determines when to switch. As already said, the velocity na give parametru trajektorie pot oˇc´ aEq. stech analytické, pak existuje koneˇcn´ y poˇcet pˇrepnut´ı 2.20. would obviously shorter time according

+

a ispˇrtangent i realizaci pohybu vˇzdy aalespoˇ jeden atorreaches v saturaci [25]. V´ ypoˇcetnˇe The trajectory t o the velocitybude limit curve t somenpoint (s2,aktu´ i z ) and the horizontal line B = if afterwards (curve 3 on Fig. 2.3). Then s is a switching efektivn´ı algoritmus pro z´ısk´ an´ı pˇrep´ınac´ıch ˇcas˚ u je uveden v práci [24]. point and sz will be a new switching point. Nev´ yhodou uvedeného pˇr´ıstupu je nespojit´ y pr˚ ubˇeh akcelerace a momentu jednotli-

We must therefore find s for which the third case will occur. Then the point of tangency v´ ych u. To pˇrin´ aˇs´ıthe probl´ emy se repeated sledován´ napl´ anované trajektorie a buzen´ım s2, B2) can be taken as aktu´ a newator˚ initial point and algorithm aım t Step 1.

mechanick´ ych vibrac´ ı. Ztr´ ac´ı se time t´ım rovnˇ ˇz v´ yhoda ı hladk´ useful simplification that reduces the computation is t o erewrite Eq. pouˇ 2.22zit´ and 2.23 ych trajektori´ı (spline funkce), protoˇze nespojitost vyˇsˇs´ıch derivac´ı je do pohybu zanáˇsena vrstvou pro ˇr´ı-

88


zen´ı posuvu. Dalˇs´ım problémem je, ˇze pˇri ˇcasovˇe optimáln´ım pohybu je vˇzdy alespoˇ n jeden aktu´ ator v saturaci a p˚ usob´ı maximáln´ım momentem. V tomto okamˇziku jiˇz nezb´ yvaj´ı ˇz´ adné zdroje pro pˇr´ıpadné zpˇetnovazebn´ı kompenzace p˚ usob´ıc´ıch poruch, nelinearit v mechanické ˇc´ asti systému a nepˇresnost´ı v dynamickém modelu pouˇzitém pro plánov´ an´ı trajektorie. V´ yˇse popsan´ y pˇr´ıstup zaloˇzen´ y na dynamickém modelu lze rozˇs´ıˇrit pro generován´ı hladk´ ych trajektori´ı respektuj´ıc´ıch praktické poˇzadavky na implementaci v reáln´ ych zaˇr´ızen´ıch. Ekvivalentem omezen´ı jerku posuvu zavádˇeného u metod pracuj´ıc´ıch s kinematick´ ym modelem je v tomto pˇr´ıpadˇe stanoven´ı limit˚ u pro rychlost zmˇeny momentu i i ˙ ˙ ˙ aktu´ ator˚ u Tmin ≤ Ti ≤ Tmax . Pro vyhodnocen´ı vlivu tˇechto omezen´ı na dynamiku pohybu je potˇreba z´ıskat model tˇret´ıho ˇrádu derivován´ım soustavy (3.126) podle ˇcasu, ˇc´ımˇz pˇri zanedb´ an´ı tˇren´ı dost´ aváme: ... ˙ ¨ +Θ ¨ T C(Θ)Θ ˙ +Θ ˙ T C(Θ) ˙ ˙ +Θ ˙ T C(Θ)Θ ¨ + G(Θ) ˙ ˙ (3.126) M(Θ)Θ + M(Θ) Θ Θ =T Analogicky k pˇredchoz´ımu pˇr´ıpadu lze transformovat trajektorii pohybu z operaˇcn´ıho do uzlového prostoru, vyj´ adˇrit uzlové souˇradnice a jejich derivace a dosazen´ım do dynamického modelu pˇrej´ıt na soustavu n rovnic tˇret´ıho ˇrádu, ze kter´ ych vypl´ yvaj´ı dynamick´ a omezen´ı na pr˚ ubˇeh posuvu ve formˇe: ˙ imin ≤ ai (s)... ˙ imax s + bi (s)s¨ T ˙ s + ci (s)s˙ 3 + di (s)s˙ ≤ T

(3.127)

kde a(s), b(s), c(s), d(s) jsou vektory n×1 závislé na dynamice stroje a tvaru trajektorie pohybu. Rozˇs´ıˇren´ı modelu vˇsak dramaticky zvyˇsuje sloˇzitost celé u ´lohy a jiˇz omezen´ı (3.127) je nutné vyhodnocovat numericky. Problémem je rovnˇeˇz nalezen´ı algoritmu analogickému k pˇredchoz´ıho pˇr´ıpadu ˇr´ızen´ı v rovinˇe s− s˙ s pˇrep´ınán´ım hodnot akcelerace posuvu s¨. V u ´loze s omezen´ım na derivaci momentu aktuátor˚ u je nutné pˇrej´ıt do trojrozmˇerného fázového prostoru souˇradnic s − s˙ − s¨, ve kterém nelze jednoznaˇcnˇe urˇcit správn´ y smˇer postupu mezi okrajov´ ymi body. Návod ke z´ıskán´ı ˇreˇsen´ı nedává ani teorie optimáln´ıho ˇr´ızen´ı, protoˇze pro systém s nezávisl´ ym nelineárn´ım omezen´ım vstupu a stavu nemus´ı t-optim´ aln´ı ˇr´ızen´ı nutnˇe nab´ yvat mezn´ıch pˇr´ıpustn´ ych hodnot. Z literatury jsou známy pouze metody zaloˇzené na numerické optimalizaci, které hledaj´ı vhodnou kˇrivku v rovinˇe s− s˙ pˇri splnˇen´ı vˇsech dynamick´ ych a kinematick´ ych omezen´ı (viz napˇr. [26, 27, 72] s pouˇzit´ım kubick´ ych nebo kvintick´ ych spline funkc´ı).

89


Shrnut´ı C´ılem návrhu gener´ atoru trajektorie je z´ıskán´ı ˇcasového pr˚ ubˇehu poˇzadovaného po´ hybu pracovn´ıho mechanismu stroje. Uloha b´ yvá rozdˇelena do dvou krok˚ u. Prvn´ım je specifikace dané trajektorie v prostoru volbou vhodné interpolaˇcn´ı funkce. Vedle dˇr´ıve v´ yhradnˇe uˇz´ıvan´ ych line´ arn´ıch a kruhov´ ych interpolac´ı se dnes prosazuj´ı polynomiáln´ı funkce vyˇsˇs´ıch ˇr´ ad˚ u ve formˇe spline kˇrivek. Zavádˇen´ı tˇechto hladk´ ych interpolac´ı pˇrináˇs´ı zlepˇsen´ı kvality ˇr´ızen´ı pohybu, klade ovˇsem zv´ yˇsené nároky na návrh pokroˇcil´ ych algoritm˚ u generátoru. Dalˇs´ı u ´lohou je potom urˇcen´ı ˇcasového pr˚ ubˇehu posuvu po jiˇz zadané trajektorii v prostoru. V´ ysledn´ y pohyb mus´ı respektovat vˇsechna fyzikáln´ı omezen´ı daná mechanickou konstrukc´ı stroje a technologick´ ymi limity konkrétn´ı aplikace. Souˇcasnˇe b´ yvá minimalizov´ ano vhodné kritérium kvality ˇr´ızen´ı, nejˇcastˇeji ve formˇe hledán´ı ˇcasovˇe optimáln´ıho ˇreˇsen´ı. Pro sloˇzitˇejˇs´ı v´ıceosé systémy vede tato u ´loha na nelineárn´ı optimalizaˇcn´ı problémy s neline´ arn´ımi omezen´ımi, které jsou natolik komplikované, ˇze nelze ˇ odvodit analytické ˇreˇsen´ı. Casto je nutné pˇristoupit k pouˇzit´ı nejr˚ uznˇejˇs´ıch heuristik nebo numerick´ ych pˇr´ıstup˚ u.

90

4

´ Uvod do robotiky 4.1

Robotika jako v´ yznamn´ y obor mechatroniky

Ned´ılnou souˇc´ ast´ı mechatroniky je bezpochyby i obor zvan´ y robotika, neboli nauka o robotech. Robotika je dnes velmi rozˇs´ıˇrenou vˇedn´ı discipl´ınou, nebot’ se stoupaj´ıc´ımi moˇznostmi v´ ypoˇcetn´ı techniky a schopnost´ı lid´ı vyrábˇet velmi pˇresné a relativnˇe dokonalé mechanické konstrukce, z´ıskává robotika své neodmyslitelné m´ısto prakticky ve vˇsech oborech lidské ˇcinnosti. Robotika v sobˇe ukr´ yvá v podstatˇe cel´ y proces ”zrozen´ı ”robot˚ u od n´ avrhu jejich konstrukce, návrhu vhodného algoritmu ˇr´ızen´ı, provádˇen´ı simulac´ı, vlastn´ı realizace, aˇz po fináln´ı uveden´ı do provozu. Roboty lze ze své podstaty dˇelit na dvˇe z´ akladn´ı skupiny. Prvn´ı z nich jsou tzv. manipulátory. P˚ uvodn´ım c´ılem konstrukce manipulátor˚ u bylo zhotovit nejprve mechanick´ a, pozdˇeji elektromechanická, zaˇr´ızen´ı, která budou schopn´ a zesilovat ˇci zpˇresˇ novat pr´ aci ˇclovˇeka. Do této kategorie spadaj´ı napˇr´ıklad r˚ uzné pákové a kladkové mechanismy, bagry, nakladaˇce, atd. Z postupuj´ıc´ım v´ yvojem vˇsak manipulátory z´ısk´ avaly své m´ısto v celé ˇradˇe pr˚ umyslov´ ych aplikac´ı jako programovatelné, plnˇe automatické, pˇresné a rychlé zaˇr´ızen´ı, které ne´ unavnˇe a bezchybnˇe nahrazovaly pr´ aci ˇclovˇeka ve skladech (zakl´ adac´ı, pˇrerovnávac´ı, tˇr´ıd´ıc´ı manipulátory), na v´ yrobn´ıch linkách (manipul´ atory typu pick and place), v pr˚ umyslov´ ych procesech (pˇresné svaˇrován´ı, brouˇsen´ı, lakov´ an´ı), pˇri pr´ aci v nebezpeˇcn´ ych prostˇred´ıch (mobiln´ı roboty pro pr˚ uzkum prostor s nebezpeˇc´ım v´ ybuchu ˇci otravy, mobiln´ı roboty pro pr˚ uzkum vesm´ırn´ ych tˇeles ˇci roboty vyvinuté speci´ alnˇe pro armádn´ı u ´ˇcely), manipulátory vyuˇz´ıvané v lékaˇrstv´ı (pˇresné laparoskopické chirurgické operaˇcn´ı roboty, napˇr. operaˇcn´ı robotick´ y systém

91

´ 4. UVOD DO ROBOTIKY

Da Vinci, s jehoˇz pomoc´ı chirurgové provádˇej´ı dlouhotrvaj´ıc´ı sloˇzité zákroky v tˇele pacienta, pˇriˇcemˇz zat´ıˇzen´ım pacienta, stejnˇe tak jako pˇr´ıpadné chyby zp˚ usobené u ńavou operatér˚ u, jsou minimalizov´ any. Operaˇcn´ı systém Da Vinci vlastn´ı od roku 2005 i praˇzská nemocnice Na Homolce.) Do druhé velké skupiny patˇr´ı tzv. humanoidn´ı roboty, neboli roboty podobné ˇclovˇeku nejen sv´ ym vzhledem, ale i projevem urˇcitého stupnˇe inteligence. V´ yvoj takov´ ychto ”inteligentn´ıch”a vysoce autonomn´ıch stroj˚ u je dnes vn´ımán jako ˇspiˇcka a jeden z hlavn´ıch c´ılu v oblasti robotiky. Nicménˇe, i pˇres ˇradu zdaˇril´ ych prototyp˚ u tˇechto robot˚ u (humanoidn´ı robot PETMAN pro testován´ı vojensk´ ych protichemick´ ych oblek˚ u, ˇci plnˇe autonomn´ı 4-noh´ y robot BigDog, oba z Bostonské university [75]) je c´ıl zkonstruovat robota s inteligenc´ı a pohybovou dispozic´ı srovnatelnou lidské stále jeˇstˇe velmi daleko.

4.2

Robotick´ e manipul´ atory

Vrat’me se vˇsak k prvn´ı kategorii robot˚ u, nebot’ tato práce se zab´ yvá právˇe základn´ımi problémy v oblasti manipul´ ator˚ u. Snaˇz´ı se tak pˇredloˇzit struˇcn´ y a ucelen´ y náhled na moˇznosti jejich anal´ yzy a syntézy, které tvoˇr´ı neodmysliteln´ y základ pro realizaci vyˇsˇs´ıch forem robot˚ u. Ponechme tak plnˇe autonomn´ı humanoidn´ı roboty stranou zejména proto, ˇze tato ˇcást robotiky zasahuje velkou mˇerou pˇredevˇs´ım do oblasti umˇelé inteligence (algoritmy strojového vn´ım´ an´ı a porozumˇen´ı, autonomn´ı rozhodován´ı, atd.), která nen´ı nápln´ı naˇseho zkoum´ an´ı. Pro usnadnˇen´ı dalˇs´ıho porozumˇen´ı textu, vymezme nejprve nˇekteré fundamentáln´ı pojmy z oblasti robotiky: • Poˇcet stupˇ n˚ u volnosti (DoF - Degrees of Freedom) Minim´ aln´ı poˇcet parametr˚ u (rotace, translace), kter´ y jednoznaˇcnˇe popisuje polohu bodu nebo tˇelesa v rovinˇe ˇci prostoru. Napˇr.: Bod v rovinˇe má 2 DoF, v prostoru 3 DoF. Tuhé tˇeleso m´ a v rovinˇe 3 DoF, v prostoru 6 DoF. • Obecn´ a poloha tˇelesa v prostoru je urˇcena jeho translac´ı a rotac´ı. Zat´ımco, translace tˇelesa je intuitivnˇe zˇrejm´ a (souˇradnice x,y,z libovolného bodu tˇelesa), nejˇcastˇejˇs´ı reprezentace rotace tˇelesa jsou realizovány pomoc´ı matice rotace, Eulerovsk´ ych u ´hl˚ u, osy rotace a u ´hlu natoˇcen´ı kolem této osy atd. Podrobnˇeji jsou moˇznosti popisu obecné polohy tˇelesa v prostoru diskutovány v Kapitole 4.5.1

92


• Z´ akladna manipul´ atoru Pevn´ a (nepohybliv´ a) ˇc´ ast manipulátoru - na které je definován pevn´ y ”svˇetov´ y”souˇradn´ y systém. • Koncov´ y efektor manipulátoru Posledn´ı ˇc´ ast resp. rameno manipulátoru, ke kterému jsou obvykle pˇripevˇ novány r˚ uzné pracovn´ı n´ astroje a jehoˇz poloha je ˇr´ızena na poˇzadovanou hodnotu (trajektorii). Poloha koncového efektoru bude dále reprezentována zat´ım nespecifikovan´ ymi zobecnˇen´ ymi souˇradnicemi X. • Klouby manipul´ atoru Jednotlivé typy kloub˚ u se od sebe liˇs´ı poˇctem a typem stupˇ n˚ u volnosti, napˇr. P-kloub (Prismatic) - posuvn´ y kloub pˇridávaj´ıc´ı jeden translaˇcn´ı stupeˇ n volnosti, R-kloub (Revolute) - rotaˇcn´ı kloub pˇridávaj´ıc´ı jeden rotaˇcn´ı stupeˇ n volnosti, Ukloub (Universal) - univerzáln´ı (Kardan˚ uv) kloub pˇridávaj´ıc´ı 2 rotaˇcn´ı stupnˇe volnosti, S-kloub (Spherical) - sférick´ y kloub pˇridávaj´ıc´ı vˇsechny 3 rotaˇcn´ı stupnˇe volnosti. Nejˇcastˇeji pouˇz´ıvané typy kloub˚ u jsou znázornˇeny na Obrázku 4.1

Obr´ azek 4.1: Pouˇz´ıvané typy kloub˚ u (zleva P, R, U, S)

• Kinematick´ y ˇretˇezec Skl´ ad´ a se ze soustavy kinematick´ ych dvojic, které jsou definovány jako spojen´ı dvou pevn´ ych tˇeles (tzv. ramen) danou vazbou. Vazbami rozum´ıme klouby, které omezuj´ı (dle daného poˇctu stupˇ n˚ u volnosti) vzájemn´ y pohyb ramen. Kinematické ˇretˇezce manipul´ ator˚ u b´ yvaj´ı ˇcasto oznaˇcovány jako posloupnost kloub˚ u, napˇr.: RRR, RPR atd., kde podtrˇzen´ı oznaˇcuje aktivn´ı kloub (aktuátor) manipulátoru. • Aktu´ atory manipul´ atoru Pohony, které zajiˇst’uj´ı pohyb manipulátoru. Typické pohony manipulátoru pˇredstavuj´ı rotaˇcn´ı pohony (rotaˇcn´ı elektromotory) a lineárn´ı (pˇr´ımoˇcaré) pohony

93


(elektrohydraulické v´ alce, line´ arn´ı elektromotory). Klouby, které reprezentuj´ı aktuátory, naz´ yv´ ame aktivn´ımi klouby a jejich polohu popisuj´ı tzv. vektorem aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic Θ. V robotice se témˇeˇr v´ yhradnˇe jako aktivn´ı klouby vyuˇz´ıvaj´ı 1 DoF klouby typu P a R. • Domovsk´ a poloha manipul´ atoru Poloha koncového efektoru manipulátoru, pˇri které jsou jeho aktivn´ı kloubové souˇradnice Θ nastaveny takov´ ym zp˚ usobem, ˇze koncov´ y efektor manipul´ atoru zauj´ımá v´ ychoz´ı (domovskou) polohu. • Pracovn´ı prostor manipul´ atoru Mnoˇzina vˇsech pozic koncového efektoru manipulátoru, které mohou b´ yt dosaˇzeny pro dané omezuj´ıc´ı podm´ınky kladené na manipulátor (maximáln´ı/minimáln´ı vysunut´ı/natoˇcen´ı aktu´ ator˚ u, omezen´ı na pohyb pasivn´ıch kloub˚ u, omezen´ı zabran ˇuj´ıc´ı pˇrekˇr´ıˇzen´ı ˇci sr´ aˇzk´ am ramen manipulátoru, omezen´ı na kvalitu pracovn´ıho prostoru - napˇr. z´ avislosti mezi maximáln´ı rychlost´ı a zátˇeˇz´ı koncového efektoru vzhledem k dan´ ym vlastnostem aktuátor˚ u, tuhost mechanické konstrukce atd.). • Pˇr´ımá kinematick´ au ´loha Reprezentovan´ a obecnˇe neline´ arn´ı transformac´ı X = G(Θ). Jedná se tedy o problém nalezen´ı zobecnˇen´ ych souˇradnic X pro dané hodnoty souˇradnic kloubov´ ych Θ. Vzhledem k tomu, ˇze v praxi obvykle nen´ı moˇzné pˇr´ımo mˇeˇrit polohu koncového efektoru (ˇcasto komplikované ˇci u ´plnˇe nemoˇzné um´ıstˇen´ı dostateˇcnˇe pˇresn´ ych senzor˚ u), pˇr´ım´ a kinematick´ au ´loha umoˇzn ˇuje stanovit polohu koncového efektoru prostˇrednictv´ım u ´daj˚ u o poloze jednotliv´ ych aktuátor˚ u (relativnˇe jednoduché mˇeˇren´ı polohy rotaˇcn´ıch ˇci translaˇcn´ıch pohon˚ u). • Zpˇetná kinematick´ au ´loha Reprezentovan´ a obecnˇe inverzn´ı nelineárn´ı transformac´ı Θ = G−1 (X). Jedná se tedy o problém nalezen´ı kloubov´ ych souˇradnic Θ pro dané hodnoty souˇradnic zobecnˇen´ ych X. Zpˇetn´ a kinematická u ´loha tvoˇr´ı jednu z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch transformac´ı v robotice, nebot’ problematika polohován´ı koncového efektoru je v naprosté vˇetˇsinˇe formulov´ ana v prostoru zobecnˇen´ ych souˇradnic, jin´ ymi slovy poˇzadované trajektorie pohybu koncového efektoru mus´ı b´ yt nejprve transformována na poˇzadovanou trajektorii v prostoru kloubov´ ych souˇradnic (polohován´ı jednotliv´ ych aktuátor˚ u).

94


• Pˇresnost a opakovatelnost Pˇresnost manipul´ atoru je dána odchylkou poˇzadované polohy a skuteˇcné polohy (z referenˇcn´ıho/kalibraˇcn´ıho mˇeˇridla) koncového efektoru. Opakovatelnost manipul´ atoru pak lze ch´ apat jako maximáln´ı rozd´ıl mezi skuteˇcn´ ymi polohami koncového efektoru z´ıskan´ ymi jeho pˇresunem do jedné poˇzadované polohy z r˚ uzn´ ych poloh poˇc´ ateˇcn´ıch. • Redundantn´ı manipul´ atory Poˇcet nez´ avisl´ ych aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic je vˇetˇs´ı neˇz poˇcet DoF koncového efektoru manipul´ atoru. Vyuˇzit´ı vlastnosti kinematické redundance je diskutov´ ano v Kapitole 4.9. Robotické manipul´ atory je dle kinematické konstrukce (uspoˇrádán´ı kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u) moˇzné dˇelit na dva z´ akladn´ı typy:

S´ eriov´ e manipul´ atory Jejich z´ aklad tvoˇr´ı tzv. otevˇren´ y kinematick´ y ˇretˇezec, kter´ y lze popsat acyklick´ ym grafem, kde uzly grafu reprezentuj´ı ramena manipulátoru a hrany grafu reprezentuj´ı jednotlivé klouby. Jin´ ymi slovy, kaˇzdé rameno manipulátoru je spojeno klouby právˇe se dvˇema dalˇs´ımi rameny s v´ yjimkou ramen typu základna a koncov´ y efektor. Tyto maj´ı s ostatn´ımi rameny pouze jedinou vazbu. Sériové manipulátory patˇr´ı dnes k nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ım mechanism˚ um robotiky, jejichˇz základ byl poloˇzen Georgem Devolem (zamˇestnancem firmy General Motors) v roce 1961, kdy byl pˇredstaven prvn´ı pr˚ umyslov´ y manipul´ ator s n´ azvem Unimate, viz Obrázek 4.2. Pro své vlastnosti jsou dnes sériové manipul´ atory vyuˇz´ıv´ any v pr˚ umyslov´ ych aplikac´ıch jako svaˇrován´ı, obrábˇen´ı, lakován´ı, sklád´ an´ı, paletizace a kompletován´ı. Obecnˇe m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze pro sériové manipulátory lze nalézt vˇzdy jednoznaˇcné analytické ˇreˇsen´ı pˇr´ımé kinematické u ´lohy. Avˇsak vzhledem k faktu, ˇze rovnice X = G(Θ) je obecnˇe sloˇzitou neline´ arn´ı rovnic´ı, jej´ı ˇreˇsen´ı Θ = G−1 (X), a tedy ˇreˇsen´ı zpˇetné kinematické u ´lohy, nemus´ı b´ yt moˇzné nalézt analyticky a m˚ uˇze obsahovat celou ˇradu ˇreˇsen´ı. V nˇekter´ ych speci´ aln´ıch pˇr´ıpadech, které budou diskutovány dále v Kapitole 4.6.2 je pˇresto moˇzné vˇsechna ˇreˇsen´ı zpˇetné kinematické u ´lohy analyticky naj´ıt.

95


Obr´ azek 4.2: Prvn´ı sériov´ y pr˚ umyslov´ y manipulátor Unimate

Paraleln´ı manipul´ atory Jejich základ tvoˇr´ı tzv. uzavˇren´ y kinematick´ y ˇretˇezec, kter´ y lze popsat cyklick´ ym grafem a vznik´ a uzavˇren´ım otevˇreného kinematického ˇretˇezce. Mohli bychom tedy ˇr´ıci, ˇze koncov´ y efektor je spojen se z´ akladnou manipulátoru dvˇema ˇci v´ıce otevˇren´ ymi kinematick´ ymi ˇretˇezci, v podstatˇe sériov´ ymi manipulátory. Paraleln´ı manipulátory se dostávaj´ı do pr˚ umyslového povˇedom´ı aˇz v nˇekolika posledn´ıch letech, nebot’, d´ıky své sloˇzitˇejˇs´ı mechanické konstrukci a potenciálnˇe tak vˇetˇs´ım nárok˚ um na jejich návrh a ˇr´ızen´ı, technickou veˇrejnost sv´ ym zp˚ usobem odrazovaly. To, co vˇsak bylo pro pr˚ umysl ”zbyteˇcnˇe”sloˇzité, se brzy stalo v´ yzvou pro akademiky. Právˇe d´ıky nim dnes paraleln´ı manipulátory smˇele konkuruj´ı sv´ ym sériov´ ym protˇejˇsk˚ um a postupnˇe tak smazávaj´ı hlubokou propast mezi technologicky-pr˚ umyslov´ ym povˇedom´ım a akademickou sférou. Prvotn´ı zm´ınky o paraleln´ıch kinematick´ ych strukturách se objevuj´ı mezi technickou veˇrejnost´ı jiˇz v prvn´ı polovinˇe dvac´ atého stolet´ı. Pˇresto, ˇze nem˚ uˇzeme s jistotou ˇr´ıci, ˇze se jedná o skuteˇcnˇe prvn´ı mechanismus s paraleln´ı architekturou, a dokonce ani zda-li byl skuteˇcnˇe nˇekdy postaven, v roce 1931 si nechal James Gwinnett patentovat mobiln´ı platformu pro z´ abavn´ı pr˚ umysl, viz Obrázek 4.3.

96


Obr´ azek 4.3: Pravdˇepodobnˇe prvn´ı paraleln´ı manipulátor Jamese Gwinnetta

Dnes snad nejzn´ amˇejˇs´ı paraleln´ı kinematickou architekturou je tzv. Stewartova platforma. Jej´ı objev je vˇsak bezpochyby pˇripisován Ericu Goughovi, automobilovému inˇzen´ yrovi firmy Dunlop Rubber Co., Birmingham, England. Ten v roce 1954 pˇredstavil paraleln´ı platformu pro testován´ı pneumatik letadlov´ ych podvozk˚ u pˇri variabiln´ım zat´ıˇzen´ı, viz Obr´ azek 4.4(a). O nˇekolik let pozdˇeji, v roce 1965, D. Stewart na konferenci UK Institution of Mechanical Engineers prezentoval sv˚ uj vynález paraleln´ıho leteckého simul´ atoru, viz Obr´ azek 4.4(b). Pˇresto, ˇze Stewart˚ uv vynález nebyl pˇr´ıliˇs podobn´ y tomu Goughovu, je pr´ avˇe Goughova platforma dnes paradoxnˇe naz´ yvána platformou Stewartovou, nˇekdy pak jako Gough-Stewartova platforma. V´ıce o historii paraleln´ıch manipul´ ator˚ u lze nalézt napˇr. v [76]. Pro své vlastnosti se paraleln´ı manipulátory pouˇz´ıvaj´ı zejména v aplikac´ıch leteck´ ych simulátor˚ u, aktivnˇe tlumen´ ych anti-vibraˇcn´ıch ploˇsin, pˇri velmi pˇresn´ ych a rychl´ ych aplikac´ıch typu ”pick and place”, pro testovac´ı standy v automobilovém pr˚ umyslu atd.

97


(a) P˚ uvodn´ı Goughova platforma pro testov´ an´ı pneumatik

(b) P˚ uvodn´ı Stewartova platforma pro leteck´ y simul´ ator

Obr´ azek 4.4: Goughova-Stewartova platforma (1954) a Stewartova platforma (1965)

Pro paraleln´ı manipul´ atory obecnˇe plat´ı, ˇze naopak inverzn´ı kinematická u ´loha je vˇetˇsinou ˇreˇsiteln´ a analyticky, nebot’ lze ukázat, viz Kapitola 4.7, ˇze poloha bodu, kter´ ym je kaˇzd´ y kinematick´ y ˇretˇezec pˇripojen ke koncovému efektoru lze jednoznaˇcnˇe analyticky z´ıskat pro kaˇzdou danou polohu X koncového efektoru. Z pˇredchoz´ıho plyne, ˇze kloubové souˇradnice Θ kaˇzdého kinematického ˇretˇezce mohou b´ yt nalezeny ˇreˇsen´ım zpˇetné kinematické u ´lohy pro sériové manipulátory. Vzhledem k tomu, ˇze jednotlivé kinematické ˇretˇezce paraleln´ıch manipulátor˚ u b´ yvaj´ı zpravidla velmi jednoduché, je u ´loha Θ = G−1 (X) ˇreˇsiteln´ a analyticky. Naopak, kv˚ uli nelinearitˇe a sloˇzitosti funkce Θ = G−1 (X) nen´ı pro paraleln´ı manipulátory obecnˇe moˇzné analyticky ˇreˇsit pˇr´ımou kinematickou u ´lohu X = G(Θ) (s v´ yjimkou velmi jednoduch´ ych mechanick´ ych konstrukc´ı). Tabulka 4.1 shrnuje z´ akladn´ı rozd´ıly mezi sériov´ ymi a paraleln´ımi manipulátory.

98

4.3 C´ıle pr´ ace

Sériové manipulátory + jednoduchá mechanická architektura Zpravidla jednodušší řešení přímé a inverzní kinematiky, přímá kinematika lze vždy řešit analyticky, inverzní kinematika obecně nelze řešit analyticky. - užitné zatížení manipulátoru Všechna ramena manipulátoru jsou zatěžována výhradně na ohyb a každé z ramen musí být dimenzováno tak, aby udrželo celou váhu břemene => manipulátor musí být dostatečně robustní (vyšší hmotnost, horší dynamické vlastnosti, poddajnost manipulátoru) - přesnost a opakovatelnost manipulátoru Nasčítávání chyb vzniklých při polohování jednotlivých ramen nejčastěji v důsledku jejich průhybů, případně chyb snímačů v jednotlivých aktuátorech => ztráta přesnosti a opakovatelnosti. - umístění aktuátorů Aktuátory musí být umístěny v každém kloubu manipulátoru (aktuátory se pohybují společně s manipulátorem) => horší dynamické vlastnosti, větší robustnost manipulátoru, nutnost vézt kabeláž v celé mechanické konstrukci. + pracovní prostor Relativně velký pracovní prostor.

Paralelní manipulátory - složitější mechanická architektura Řešení přímé a inverzní kinematiky může být obtížnější, inverzní kinematika lze většinou řešit analyticky (s výjimkou složitých kinematických architektur), přímá kinematika obecně nelze řešit analyticky. + užitné zatížení manipulátoru Síla potřebná k udržení břemene je rozdělena mezi jednotlivé kinematické řetězce (koncový efektor manipulátoru je podepírán ve více bodech) => manipulátor nemusí být tak robustní (nižší hmotnost, lepší dynamické vlastnosti, vyšší tuhost manipulátoru) + přesnost a opakovatelnost manipulátoru Vzhledem k odlišné mechanické konstrukci jsou chyby vzniklé při polohování jednotlivých ramen průměrovány => dosažení větší přesnosti a opakovatelnosti. + umístění aktuátorů Aktuátory mohou být umístěné na základně manipulátoru (a to v mnoha případech i napevno) => lepší dynamické vlastnosti, lehčí konstrukce manipulátoru, možnost prostorově oddělit aktuátor (v případě že manipulátor musí pracovat v agresivním, vybušném či jinak nestandardním prostředí) - pracovní prostor Pracovní prostor je z důvodu složitější mechanické konstrukce více komplikovaný (neregulární tvar s řadou výdutí a prohlubní).

Tabulka 4.1: Porovn´ an´ı z´ akladn´ıch vlastnost´ı paraleln´ıch a sériov´ ych manipulátor˚ u

4.3

C´ıle pr´ ace

Vzhledem k dneˇsn´ımu ˇsirokému uplatnˇen´ı robotick´ ych manipulátor˚ u v pr˚ umyslov´ ych aplikac´ı, vyvst´ av´ a poˇzadavek na moˇznosti co nejjednoduˇsˇs´ı syntézy a anal´ yzy navrˇzen´ ych robotick´ ych architektur. Je pˇrirozenˇe poˇzadováno, aby navrˇzené manipulátoru co nejlépe vykon´ avaly poˇzadované u ´lohy, a to pˇredevˇs´ım pˇresnˇe, rychle a spolehlivˇe. V pr˚ umyslu se setk´ av´ ame s manipulátory, které se jsou jiˇz postupem ˇcasu odzkouˇseny, jejich chov´ an´ı je dobˇre zn´ amo a mnohdy jsou pro svou ˇcinnost optimalizovány. Do takové

99


skupiny patˇr´ı pˇredevˇs´ım cel´ a ˇrada sériov´ ych manipulátor˚ u typu SCARA, antropomorfn´ıho manipul´ atory ˇci jednoduché port´ alové (pravo´ uhlé) manipulátory, viz Obrázek 4.5, které m˚ uˇzeme nalézt v nab´ıdkov´ ych listech pˇredn´ıch svˇetov´ ych v´ yrobc˚ u manipulátor˚ u jako ABB, Fanuc, Kuka, Motoman, Epson atd.

(a) Scara manipul´ ator (Kuka)

(b) Antropomorfn´ı manipul´ ator (Abb)

(c) Port´ alov´ y (Epson)

manipul´ ator

Obr´ azek 4.5: Nejzn´ amˇejˇs´ı typy pr˚ umyslov´ ych manipulátor˚ u

Je nutné si ovˇsem uvˇedomit, ˇze manipulátory jako takové pˇredstavuj´ı mnohdy sloˇzit´ y mechanick´ y systém, tzv. multibody system, jehoˇz syntéza a anal´ yza vyˇzaduje relativnˇe obsáhlé znalosti z oboru mechaniky a matematiky. Odvozen´ı kinematick´ ych a dynamick´ ych z´ avislost´ı a charakteristik manipulátor˚ u, stejnˇe jako jejich optimalizace za u ´ˇcelem vykon´ av´ an´ı urˇcité u ´lohy, tak b´ yvá ˇcasto velmi zdlouhavé. C´ılem této pr´ ace je proto upozornit na základn´ı problémy pˇri návrhu, anal´ yze a ˇr´ızen´ı robotick´ ych manipul´ ator˚ u, které by mˇely stát základem pro v´ yvoj nového softwarového nástroje vyv´ıjeného na KKY, kter´ y by tyto základn´ı problémy robotiky umˇel sám ˇreˇsit a poskytnout tak svému uˇzivateli relativnˇe jednoduchou cestou simulovat, analyzovat st´ avaj´ıc´ı, ˇci navrhovat a testovat nové architektury manipulátor˚ u. Navrˇzen´ y software by mˇel také v´ yraznˇe urychlit dalˇs´ı moˇzn´ y v´ yvoj pokroˇcil´ ych algoritm˚ u ˇr´ızen´ı manipulátor˚ u, nebot’ by uˇzivatel mohl vyuˇz´ıt z´ıskan´ ych v´ ysledk˚ u bez nutnosti u ´plného detailn´ıho n´ ahledu do ˇreˇsené problematiky a vˇenovat se tak plnˇe dalˇs´ımu zkoumán´ı. Vyvinut´ y softwarov´ y n´ astroj by byl pochopitelnˇe také cennou pom˚ uckou pro v´ yuku pˇredmˇet˚ u souvisej´ıc´ı s robotikou.

100

4.4 Pouˇ zit´ e architektury manipul´ ator˚ u

4.4

Pouˇ zit´ e architektury manipul´ ator˚ u

Následuj´ıc´ı kapitoly zahrnuj´ı nˇekteré kl´ıˇcové u ´lohy v robotice, které budou diskutovány nejen s ohledem na dostupnou literaturu, ale zejména pak na v´ ysledc´ıch autorova dosavadn´ıho pr˚ uzkumu v této oblasti. Pro lepˇs´ı názornost budou v pr˚ ubˇehu textu vyuˇz´ıvány pˇredevˇs´ım tˇri typy manipul´ ator˚ u na kter´ ych budou vybrané problémy demonstrovány.

4.4.1

Antropomorfn´ı manipul´ ator se sf´ erick´ ym z´ apˇ est´ım (AM+SZ)

Antropomorfn´ı1 manipul´ ator se sférick´ ym zápˇest´ım patˇr´ı do skupiny sériov´ ych neredundantn´ıch manipul´ ator˚ u se ˇsesti stupni volnosti (3 rotaˇcn´ı a 3 translaˇcn´ı) koncového efektoru. Manipul´ ator je proto schopen polohovat sv˚ uj koncov´ y efektor do libovolné polohy (pozice a orientace) v prostoru. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, antropomorfn´ı manipulátory se sférick´ ym z´ apˇest´ım dnes patˇr´ı k nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ım typ˚ um manipulátor˚ u v pr˚ umyslu a jejich v´ yvojem a v´ yrobou se v r˚ uzn´ ych modifikac´ıch (velikosti, nosnost, pˇresnost, univerzalita atd.) zab´ yvaj´ı vˇsechny velké firmy specializované na robotiku. Schématické uspoˇr´ ad´ an´ı manipulátoru je zobrazeno na Obrázku 4.6 a jedna z jeho moˇzn´ ych praktick´ ych realizac´ı pak na Obrázku 4.5(b). Pohyb manipulátoru je zajiˇst’ován 6 rotaˇcn´ımi aktu´ atory (motory), které jsou um´ıstˇeny v kloubech typu R jednotliv´ ych ramen.

1

Sv´ ym tvarem napodobuj´ıc´ı ruku ˇclovˇeka.

101


Kloub 5

Kloub 4 Kloub 3

Kloub 2

Sférické zápěstí (3 DoF)

Kloub 6

Translační část (3 DoF)

Koncový efektor

Kloub 1

Základna

Obr´ azek 4.6: Antropomorfn´ı manipulátor se sférick´ ym zápˇest´ım

Kloubové souˇradnice: Θ=

θ1 θ2 θ3 θ4 θ 5 θ6

T

(4.1)

Zobecnˇené souˇradnice: X=

xe y e z e O e

(4.2)

kde xe , y e , z e jsou jednotkové smˇerové vektory os souˇradného systému koncového efektoru a O e je jeho polohov´ y vektor (v´ıce v Kapitole 4.5.1) Návrhové parametry: ξ=

4.4.2

l1 l2 l3 l4

T

(4.3)

Paraleln´ı plan´ arn´ı manipul´ ator (PPM)

Paraleln´ı neredundantn´ı plan´ arn´ı manipulátor, jehoˇz schématické uspoˇrádán´ı je znázornˇeno na Obr´ azku 4.7(a) je nˇekdy naz´ yván jako 2x Scara manipulátor. Je tvoˇren dvˇema kinematick´ ymi ˇretˇezci s klouby typu R. Rotaˇcn´ı aktuátory manipulátoru jsou pevnˇe

102


um´ıstˇeny v jeho z´ akladnˇe. Koncov´ y efektor manipulátoru vykazuje 2 translaˇcn´ı stupnˇe volnosti. Prototyp manipul´ atoru, viz Obrázek 4.7(b), je v souˇcasnosti vyv´ıjen ve spolupr´ aci ˇ v Plzni. Vyv´ıjen´ s firmou Atega, s.r.o. [77] na katedˇre kybernetiky, FAV, ZCU y manipul´ ator je nav´ıc osazen jeˇstˇe dvˇema pˇr´ıdavn´ ymi stupni volnosti pro natoˇcen´ı (osa J3) a zdvih (osa z) koncového efektoru, které vˇsak pro anal´ yzu nebudeme dále uvaˇzovat.

Motor B

Motor A

(a) Schématické uspoˇra ´d´ an´ı

(b) 3D CAD v´ ykres

Obr´ azek 4.7: Paraleln´ı planárn´ı manipulátor


θA θB

T

(4.4)

Zobecnˇené souˇradnice: X=C=

Cx Cy

T

(4.5)

N´ avrhové parametry: T T T ξ = kAA1 k kA1 Ck kAk = kBB 1 k kB 1 Ck kBk = l1 l2 l3 (4.6)

4.4.3

Paraleln´ı sf´ erick´ e z´ apˇ est´ı (PSZ)

Sférické z´ apˇest´ı b´ yv´ a velmi ˇcastá architektura, kterou m˚ uˇzeme v pr˚ umyslov´ ych aplikac´ıch nalézt. Jedn´ a se o mechanismus umoˇzn ˇuj´ıc´ı tˇri rotaˇcn´ı stupnˇe volnosti konco-

103


vého efektoru a v sériové podobˇe je pouˇz´ıván napˇr´ıklad jako posledn´ı ˇcást antropomorfn´ıho manipul´ atoru, viz Kapitola 4.4.1. Zaj´ımavou alternativu k sériovému sférickému zápˇest´ı tvoˇr´ı architektura paraleln´ı, jej´ıˇz schématické uspoˇrádán´ı je znázornˇeno na Obrázku 4.8(b) a 3D CAD model na Obrázku 4.8(a). Manipulátor je pohánˇen tˇremi translaˇcn´ı aktu´ atory (line´ arn´ı motory). Koncov´ y efektor je k základnˇe manipulátoru pˇripevnˇen ˇctyˇrmi nez´ avisl´ ymi kinematick´ ymi ˇretˇezci, z nichˇz prostˇredn´ı tvoˇr´ı tzv. pasivn´ı stabilizaˇcn´ı element, kter´ y omezuje poˇcet stupˇ n˚ u volnosti koncového efektoru (s takov´ ym uspoˇrád´ an´ım se u paraleln´ıch manipulátor˚ u m˚ uˇzeme setkat velmi ˇcasto).

(a) 3D CAD v´ ykres

(b) Schématické uspoˇra ´d´ an´ı

Obr´ azek 4.8: Paraleln´ı sférické zápˇest´ı


d1 d2 d3

T

(4.7)

kde di = kBi Ci k je okamˇzité vysunut´ı lineárn´ıch aktuátor˚ u a l0 je vysunut´ı aktuátor˚ u v domovské poloze manipul´ atoru (di = l0 ). Zobecnˇené souˇradnice: X=

α β γ

104

T

(4.8)


kde α, β, γ Eulerovy u ´hly koncového efektoru podle schématu XYZ. N´ avrhové parametry: ξ=

a1 a2 l v ψ

T

(4.9)

kde a1 , a2 jsou strany rovnostrann´ ych troj´ uheln´ık˚ u v základnˇe a koncovém efektoru manipul´ atoru a ψ je jejich vz´ ajemné torzn´ı natoˇcen´ı (ve smˇeru osy z0 ) pro manipulátor v domovské poloze. Prototyp manipul´ atoru, kter´ y vyuˇz´ıvá jako svou posledn´ı ˇcást paraleln´ı sférické z´ aˇ v Plzni, tentokráte ve spolupr´ pˇest´ı je vyv´ıjen opˇet na katedˇre kybernetiky, FAV, ZCU aci s firmou Eurotec JKR s.r.o. [78]. Celé zaˇr´ızen´ı bude slouˇzit jako univerzáln´ı manipul´ ator pro odlakovac´ı, odmaˇst’ovac´ı a konzervaˇcn´ı linky, viz Obrázek 4.9. Paraleln´ı sférické zápˇest´ı (PM) je zde vyuˇzito jako posledn´ı souˇcást sériového manipulátoru se ˇctyˇrmi stupni volnosti (SM) zejména kv˚ uli moˇznosti oddˇelit elektronickou ˇcást zápˇest´ı (motory, ˇcidla) od agresivn´ıho prostˇred´ı uvnitˇr oplachovac´ı komory, nebot’ pˇr´ımoˇcaˇre se pohybuj´ıc´ı v´ ysuvy line´ arn´ıch aktuátor˚ u lze relativnˇe snadno utˇesnit.

Obr´ azek 4.9: Vyuˇzit´ı paraleln´ıho sférického zápˇest´ı (PM) v pr˚ umyslové aplikaci.

105


4.5

Kinematika manipul´ ator˚ u: Modelov´ an´ı, polohov´ e z´ avislosti

Pod pojmem kinematika manipul´ ator˚ u rozum´ıme závislosti mezi obecn´ ymi polohami, rychlostmi, zrychlen´ımi ˇci vyˇsˇs´ımi derivacemi polohy jednotliv´ ych ˇcást´ı manipulátoru bez ohledu na s´ıly a silové momenty tyto závislosti ovlivˇ nuj´ıc´ı. Vyˇsetˇrován´ı kinematick´ ych závislost´ı proto ˇrad´ıme mezi nejv´ıce podstatné oblasti pˇri anal´ yze a syntéze manipulátor˚ u. Lze obecnˇe ˇr´ıci, ˇze kinematika v podstatˇe kaˇzdého manipulátoru je zaloˇzena na základn´ı myˇslence vyuˇz´ıt jednoduchého pohybu lineárn´ıch ˇci rotaˇcn´ıch aktuátor˚ u a prostˇrednictv´ım vhodného mechanismu jej pˇrevézt na komplexn´ı rovinn´ y ˇci prostorov´ y pohyb. Takov´ y mechanismus si je pak, spoleˇcnˇe s aktuátory, moˇzné pˇredstavit jako mechatronick´ y poˇc´ıtaˇc, kde jeho program je ukryt v jeho mechanické konstrukci. V posledn´ıch letech se zaˇc´ın´ a ve svˇetˇe objevovat názor, ˇze kinematika manipulátor˚ u je jiˇz postupnˇe upadaj´ıc´ım oborem robotiky, vˇetˇsina d˚ uleˇzit´ ych problém˚ u je jiˇz dávno vyˇreˇsena a d´ıky st´ ale se zdokonaluj´ım a zlevˇ nuj´ıc´ım komponentám (v´ ykonné poˇc´ıtaˇce, inteligentn´ı ˇcidla a pohony), které mohou snadno kompenzovat nedokonalosti pˇri jej´ım návrhu, nehraje zvl´ aˇst’ v´ yznamnou roli. Jean Paul Merlet, jeden z pˇredn´ıch odborn´ık˚ u, zejména pak v oblasti paraleln´ı robotiky, pˇredstavil v roce 2000 na konferenci IEEE-International Conference on Robotics zaj´ımav´ y pˇr´ıspˇevek s pˇr´ıznaˇcn´ ym názvem ”Kinematics’ not dead!”, viz [79], ve kterém argumentuje právˇe proti zm´ınˇenému názoru následuj´ıc´ımi poznatky: • náklady na mechanickou ˇc´ ast manipulátoru nepˇresahuj´ı zpravidla 20-30 % celého systému • mˇeˇren´ı chyb v mechanické konstrukci je sice moˇzné, nicménˇe v´ yvoj ˇr´ıd´ıc´ıho systému pro jejich n´ aslednou kompenzaci je velmi obt´ıˇzné a zdlouhavé • v´ ypoˇcetn´ı v´ ykon by mˇel b´ yt vyuˇzit pˇredevˇs´ım na v´ yvoj ”inteligence”manipulátoru bez nutnosti jej vyuˇz´ıvat pro z´ asah do chován´ı manipulátoru dané jeho architekturou Dále zmiˇ nuje nˇekteré doposud otevˇrené problémy v robotice, které dodnes nejsou uspokojivˇe ˇreˇseny, zejména pak problém syntézy a optimalizace manipulátor˚ u.

106

4.5 Kinematika manipul´ ator˚ u: Modelov´ an´ı, polohov´ e z´ avislosti

4.5.1

Reprezentace obecn´ eho pohybu v robotice

Pro popis pohybu manipul´ ator˚ u, jako systému sloˇzeného s pevn´ ych hmotn´ ych ramen a nehmotn´ ych kloub˚ u, byla zavedena celá ˇrada metodik (jin´ ymi slovy u ´mluv), z nichˇz dvˇe nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı budou detailnˇe zm´ınˇeny v Kapitole 4.5.2. Vˇsechny u ´mluvy vˇsak vych´ az´ı z myˇslenky vz´ ajemné transformace polohy souˇradn´ ych systém˚ u, um´ıstˇen´ ych v jednotliv´ ych ramenech manipulátoru. Zab´ yvejme se proto nejprve reprezentac´ı polohy, rychlosti a zrychlen´ı obecného tˇelesa pˇredstavuj´ıc´ı jedno rameno manipulátoru. 4.5.1.1

Reprezentace polohy

Pˇredpokl´ adejme dvojici souˇradn´ ych systém˚ u (dále jen s.s.), z nichˇz prvn´ı s.s. F1 = {O 1 − x1 y 1 z 1 } je pevnˇe spojen s ramenem Link 1 a druh´ y s.s F2 = {O 2 − x2 y 2 z 2 } s ramenem Link 2, viz Obr´ azek 4.10.

Obr´ azek 4.10: Transformace souˇradn´ ych systém˚ u

Vz´ ajemné translace s.s. F1 a F2 je zˇrejmˇe dána vektorem translace r 11,2 = O 12 −O 11 = ajemn´ a rotace m˚ uˇze b´ yt vyjádˇrena matic´ı rotace R12 , pro kterou plat´ı O 12 . Jejich vz´ následuj´ıc´ı1 : aln´ a matice rozmˇeru [3x3], jej´ıˇz sloupce reprezentuj´ı souˇradnice jednot• R12 je re´ kov´ ych smˇerov´ ych vektor˚ u s.s. F2 v s.s. (ˇci vzhledem k s.s.) F1 . R12 = x12 y 12 z 12 1

Doln´ı index oznaˇcuje konkrétn´ı vektor (bod), zat´ımco horn´ı index vyjadˇruje, v souˇradnic´ıch kterého souˇradného systému je tento vektor (bod) vyj´ adˇren. Napˇr.: r 11,2 a r 21,2 oznaˇcuje ten sam´ y vektor, ale jeho souˇradnice jsou jednou uvaˇzov´ any vzhledem k s.s. F1 a podruhé k s.s. F2 .

107


aln´ı matic´ı (jej´ı sloupce jsou vzájemnˇe ortogonáln´ı-kolmé). Tedy • R12 je ortogon´ nutnˇe plat´ı: (R12 )T · R12 = I

⇒

(R12 )−1 = (R12 )T = R21

(4.10)

kde R21 je matice rotace, jej´ıˇz sloupce reprezentuj´ı souˇradnice jednotkov´ ych smˇerov´ ych vektor˚ u s.s. F1 v s.s. F2 . R21 = x21 y 21 z 21 Poznamenejme, ˇze prvky matice rotace jsou vzájemnˇe závislé. Lze ukázat, ˇze minim´ aln´ı poˇcet parametr˚ u pro popis obecné rotace je tˇri (viz napˇr. Eulerovy u ´hly). Necht’ P 1 oznaˇcuje souˇradnice bodu P v s.s. F1 a P 2 souˇradnice stejného bodu v s.s. F2 , pak: P 1 = r 11,2 + R12 · P 2

a z´ aroveˇ n, viz (4.10) P 2 = −R21 · r 11,2 + R21 · P 1 (4.11)

• Rozliˇsujeme tˇri z´ akladn´ı element´ arn´ı rotace dvou s.s. – Rotace kolem osy x1 s.s. F1 o u ´hel α Tedy s.s. F2 vznikne natoˇcen´ım souˇradného systému F1 kolem osy x1 o u ´hel α.



 1 0 0 Rx (α) =  0 cos(α) − sin(α)  0 sin(α) cos(α)

(4.12)

– Rotace kolem osy y 1 s.s. F1 o u ´hel β Tedy s.s. F2 vznikne natoˇcen´ım souˇradného systému F1 kolem osy y 1 o u ´hel β. 

 cos(β) 0 sin(β)  0 1 0 Ry (β) =  − sin(β) 0 cos(β)

(4.13)

– Rotace kolem osy z 1 s.s. F1 o u ´hel γ Tedy s.s. F2 vznikne natoˇcen´ım souˇradného systému F1 kolem osy z 1 o u ´hel γ.  cos(γ) − sin(γ) 0 Rz (γ) =  sin(γ) cos(γ) 0  0 0 1 

108

(4.14)


´ • Uhly α, β, γ se naz´ yvaj´ı Eulerovské u ´hly a tvoˇr´ı jeden ze znám´ ych moˇznost´ı popis˚ u rotace tˇeles v prostoru. • Obecnou rotaci m˚ uˇzeme vyjádˇrit skládán´ım rotac´ı elementárn´ıch, a to dvˇema z´ akladn´ımi postupy:

1. Postupn´ a rotace kolem os souˇ radn´ ych syst´ em˚ u Napˇr´ıklad podle schématu XYZ1 : – Odrotuj s.s. F1 okolo osy x1 o u ´hel α ⇒ vzniká nov´ y souˇradn´ y systém F10 (matice rotace Rx (α)). – Odrotuj s.s. F10 okolo osy y 01 o u ´hel β ⇒ vzniká nov´ y souˇradn´ y systém F100 (matice rotace Ry (β)). – Odrotuj s.s. F100 okolo osy z 001 o u ´hel γ ⇒ vzniká v´ ysledn´ y souˇradn´ y systém F2 (matice rotace Rz (γ)). V´ yslednou matici rotace m˚ uˇzeme tak psát jako: R12 = Rx (α) · Ry (β) · Rz (γ)

(4.15)

2. Rotace kolem os souˇ radn´ eho syst´ emu F1 (fixovan´ e osy rotace) Opˇet podle schématu XYZ: – Odrotuj s.s. F1 okolo osy x1 o u ´hel α ⇒ vzniká nov´ y souˇradn´ y systém F10 (matice rotace Rx (α)). ´hel β ⇒ vzniká nov´ y souˇradn´ y systém – Odrotuj s.s. F10 okolo osy y 1 o u F100 (matice rotace Ry (β)). – Odrotuj s.s. F100 okolo osy z 1 o u ´hel γ ⇒ vzniká v´ ysledn´ y souˇradn´ y systém F2 (matice rotace Rz (γ)). Lze uk´ azat, ˇze v´ yslednou matici rotace m˚ uˇzeme tak psát jako: R12 = Rz (γ) · Ry (β) · Rx (α) 1

(4.16)

Schéma XYZ oznaˇcuje posloupnost rotac´ı kolem jednotliv´ ych os, ˇcasto pouˇz´ıvané schéma je napˇr. ZYZ.

109


Pozn´ amka 4.1 (Singularity v transformaci: matice rotace - Eulerovy u ´ hly) Je zˇrejmé, ˇze ze zn´ am´ ych Eulerov´ ych u ´hl˚ u α, β, γ lze bez jak´ ychkoliv pot´ıˇz´ı vˇzdy 1 vypoˇc´ıtat matici rotace R2 (α, β, γ), viz vztah (4.15,4.16), mluv´ıme o tzv. dopˇredné transformaci. Zpˇetnou transformac´ı pak rozum´ıme stanoven´ı Eulerovsk´ ych u ´hl˚ u α, β, γ ze známé matice rotace   r11 r12 r13   R12 (α, β, γ) = r21 r22 r23  (4.17) r31 r32 r33 Budeme-li uvaˇzovat schéma XYZ s postupnou rotac´ı kolem os souˇradn´ ych systém˚ u, matice rotace je d´ ana podle (4.15): R12 (α, β, γ) = 

− cos (β) sin (γ)

cos (β) cos (γ)



sin (β)

   sin (α) sin (β) cos (γ) + cos (α) sin (γ) − sin (α) sin (β) sin (γ) + cos (α) cos (γ) − sin (α) cos (β)  − cos (α) sin (β) cos (γ) + sin (α) sin (γ) cos (α) sin (β) sin (γ) + sin (α) cos (γ) cos (α) cos (β)

   

(4.18) Porovnán´ım rovnice (4.18) a (4.17) lze urˇcit Eulerovy u ´hly následovnˇe1 : Pro β ∈ (− π2 , π2 ), cos β ≥ 0:

α = atan2(−r23 , r33 ) q 2 + r 2 )) β = atan2(r13 , (r23 33 γ = atan2(−r12 , r11 ) Pro β ∈ ( π2 ,

3 2 π),

cos β < 0:

α = atan2(r23 , −r33 ) q 2 + r 2 )) β = atan2(r13 , − (r23 33 γ = atan2(r12 , −r11 ) 1

Funkce φ = atan2(x, y) zohledˇ nuje znaménka argument˚ u x a y a vrac´ı korektn´ı ˇreˇsen´ı ve vˇsech kvadrantech φ ∈< 0, 2ß >

110


Pro β = − π2 matice rotace degeneruje na matici: 

 0 0 −1   R12 (α, β, γ) = − sin (α − γ) cos (α − γ) 0  cos (α − γ) sin (α − γ) 0 Lze urˇcit jen u ´hel φ = α − γ. Pro β =

π 2

matice rotace degeneruje na matici: 

 0 0 1   R12 (α, β, γ) =  sin (α + γ) cos (α + γ) 0 − cos (α + γ) sin (α + γ) 0 Lze urˇcit jen u ´hel φ = α + γ. Jin´ ymi slovy, u ´hel β = ± π2 pˇredstavuje singularitu v reprezentaci rotace pomoc´ı Eulerov´ ych u ´hl˚ u, nebot’ osa x1 a z 001 jsou rovnobˇeˇzné (opaˇcné ˇci shodné) a nelze tak jednoznaˇcnˇe urˇcit u ´hly α, γ. Jednoznaˇcnˇe lze urˇcit jen jejich rozd´ıl, ˇci souˇcet φ. Pro popis rotace dvou souˇradn´ ych systém˚ u se jeˇstˇe vyuˇz´ıvaj´ı krom matice rotace dalˇs´ı zp˚ usoby reprezentace. Mezi nejznámˇejˇs´ı patˇr´ı zejména: 1. Reprezentace pomoc´ı obecn´ e osy rotace Kaˇzdou obecnou rotaci lze pˇrevézt na rotaci okolo obecné osy r o u ´hel θ. Zat´ımco pˇr´ım´ a transformace {r, θ} 7→ R12 (r, θ) lze opˇet vypoˇc´ıtat vˇzdy, pro inverzn´ı transformaci R12 (r, θ) 7→ {r, θ} docház´ı k singulárn´ımu pˇr´ıpadu pro θ = 0 a θ = π, kdy nelze jednoznaˇcnˇe urˇcit smˇer vektoru r. 2. Reprezentace pomoc´ı jednotkov´ eho kvaternionu Jednotkov´ y quaternion Q lze stanovit z u ´hlu θ a osy rotace r jako: θ θ , sin · r} Q = {η, } = {cos 2 2 V´ yhodou jednotkového kvaternionu je, ˇze umoˇzn ˇuje popsat rotaci okolo obecné osy r pro u ´hel θ ∈< − π2 ,

π 2

> pˇriˇcemˇz nevykazuje ˇzádné singularity.

Detailn´ı popis pˇr´ımé a inverzn´ı transformace pro v´ yˇse uvedené reprezentace rotace lze nalézt napˇr. v [80], [81].

111


Homogenn´ı transformaˇ cn´ı matice

K celkovému popisu polohy (rotace a translace)

s.s. lze s v´ yhodou vyuˇz´ıt tzv. homogenn´ıch souˇradnic. Zaveden´ı homogenn´ıch souˇradnic u ´zce souvis´ı s problematikou geometrické projekce (jedná se v podstatˇe o projektivn´ı transformaci) a podrobné vysvˇetlen´ı vˇcetnˇe ˇrady názorn´ ych animac´ı lze nalézt napˇr. v [82]. Polohu s.s. F2 vzhledem k s.s. F1 lze pomoc´ı homogenn´ı transformaˇcn´ı matice T 12 psát jako, viz Obr. 4.10: 

 R12

 T 12 =   0

0

r 11,2    0

(4.19)

1

Je zˇrejmé, ˇze pomoc´ı homogenn´ı transformaˇcn´ı matice T 12 lze homogenn´ı souˇradnice bodu P v s.s. F1 vyj´ adˇrit pomoc´ı jeho homogenn´ıch souˇradnic v s.s. F2 jako, viz (4.11):

P1 1

=

T 12

·

P2 1

=

r 11,2 + R12 · P 2 1

(4.20)

Homogenn´ı transformaˇcn´ı matice n´ am tak zahrnuje informaci o obecné poloze tˇelesa v prostoru, a to jeho rotaci T 12 [1 : 3, 1 : 3] = R12 a translaci T 12 [1 : 3, 4] = r 11,2 najednou1 . Vyjádˇr´ıme-li nyn´ı z rovnice (4.20) souˇradnice P 2 v závislosti na souˇradnic´ıch P 1 , s ohledem na platnost (4.10), dost´ av´ ame inverzn´ı transformaˇcn´ı vztah:

P2 1

=

(R12 )T · P 1 − (R12 )T · r 11,2 1

= (T 12 )−1 · | {z }

P1 1

(4.21)

T 21

kde 

 (R12 )T

 (T 12 )−1 = T 21 =   0

0

−(R12 )T · r 11,2    0

(4.22)

1

je inverze homogenn´ı transformaˇcn´ı matice T 12 . Poznamenejme, ˇze pro homogenn´ı transformaˇcn´ı matici jiˇz neplat´ı, ˇze jej´ı inverze lze nahradit jej´ı transpozic´ı (nesplˇ nuje podm´ınky ortogonality!) (T 12 )−1 6= (T 12 )T . 1

Z´ apis X[a : b, c : d] oznaˇcuje submatici (subvektor), kter´ y se skl´ ad´ a z a. aˇz b. ˇra ´dku a c. aˇz d. sloupce matice X.

112


Skl´ ad´ an´ı transformac´ı s.s. Uvaˇzujme trojici s.s. F1 , F2 , F3 a odpov´ıdaj´ıc´ı homogenn´ı transformaˇcn´ı matice mezi s.s. F1 , F2 : T 12 a F2 , F3 : T 23 . Potom v´ ysledná homogenn´ı transformaˇcn´ı matice mezi s.s. F1 , F3 lze psát:   R13

 T 13 =   0

r 12,3   = T 12 · T 23 = 

0

0

1  

 R12

 =  0

0

 R23

 r 11,2  ·   0

1

0



 R12 R23

 r 22,3  =  

0

0

1

0

R12 r 22,3 + r 11,2   

0

0

1 (4.23)

Tedy pro skl´ ad´ an´ı rotac´ı s.s. plat´ı: R13 = R12 R23 A pro skl´ ad´ an´ı translac´ı s.s.: r 11,3 = r 11,2 + R12 r 22,3 ˇ Casto je velmi v´ yhodné

Transformace souˇ radnice bod versus vektor mezi s.s.

transformovat souˇradnice bodu ˇci vektoru z jednoho s.s. do jiného. Pˇresto, ˇze po formáln´ı str´ ance je bod a vektor velmi podobn´ y, v pˇr´ıpadˇe jejich transformac´ı mezi s.s. se tato dvojice geometrick´ ych objekt˚ u chová diametrálnˇe odliˇsnˇe. Pˇredpokládejme opˇet dva s.s. F1 a F2 se vz´ ajemnou homogenn´ı transformaˇcn´ı matic´ı T 12 a dva libovolné body P a Q jednoznaˇcnˇe definuj´ıc´ı vektor v = Q − P . • Transformace souˇ radnic bodu P ze s.s. F2 do s.s. F1

P1 1

=

T 12

·

P2 1

=

r 11,2 + R12 · P 2 1

viz (4.20)

Tedy: P 1 = r 11,2 + R12 · P 2 • Transformace souˇ radnic vektoru v ze s.s. F2 do s.s. F1 v 1 = Q1 − P 1 = r 11,2 + R12 · Q2 − r 11,2 − R12 · P 2 = R12 · (Q2 − P 2 ) Tedy: v 1 = R12 · v 2

113


4.5.1.2

Reprezentace rychlosti a zrychlen´ı

Rychlost respektive zrychlen´ı bodu P v s.s. F1 lze, v závislosti na jeho rychlosti respektive zrychlen´ı v s.s. F2 , snadno z´ıskat ˇcasovou derivac´ı vztahu (4.20): " " # # 2 1 2 ˙ ˙ P 1 P P + T 12 · = T˙ 2 · 1 0 0 # # " # " " 2 ¨2 ¨1 ˙2 P 1 1 P P P 1 = T¨ 2 · + T2 · + 2T˙ 2 · 1 0 0 0 kde

 ˙1 R 2

 1  T˙ 2 =   0

0





 r˙ 11,2    0 0

 1  T¨ 2 =  

(4.24) (4.25)

 ¨1 R 2 0

0

 r¨ 11,2    0 0

ˇ Casov´ a derivace translaˇcn´ıho vektoru r 11,2 je zˇrejmá a vyjadˇruje translaˇcn´ı rychlost respektive zrychlen´ı s.s. F2 v s.s. F1 . Je intuitivnˇe jasné, ˇze ˇcasová derivace matice rotace R12 bezpochyby souvis´ı s vektorem u ´hlové rychlosti ω21 . Z ortogonality matice rotace (4.10) plyne R12 · (R12 )T = I

˙ 1 · (R1 )T + R1 · (R ˙ 1 )T = 0 R 2 2 2 2

→ derivac´ı podle ˇcasu →

˙ 1 · (R1 )T dostáváme S + S T = 0 (tedy S je antisymetrická Zaveden´ım matice S = R 2 2 ˇ matice). Casovou derivaci matice rotace R12 lze tedy pomoc´ı zat´ım nespecifikované antisymetrické matice S vyj´ adˇrit jako: ˙ 1 = S · R1 R 2 2

(4.26)

Uvaˇzujme nyn´ı konstantn´ı vektor P 2 (bod P je pevnˇe spojen se s.s. F2 ) a pˇredpokládejme, ˇze se s.s. F2 vzhledem k s.s. F1 pouze otáˇc´ı u ´hlovou rychlost´ı ω 12 = T ωx ωy ωz (neposouv´ a se r 11,2 = konst.) a jejich okamˇzitou orientaci popisuje matice rotace R12 . Tedy ˇcasovou derivaci vektoru P 1 v s.s. F1 lze psát jako, viz (4.24): 1 ˙ 1 · P2 P˙ = R 2

(4.27)

Ze zákonitost´ı kinematiky plyne, ˇze rychlost konstantn´ıho vektoru P 2 lze v s.s. F1 psát také jako: 1 P˙ = ω 12 × R12 · P 2

⇒

114

1 P˙ = ω 12 × P 1

(4.28)


Dosad´ıme-li vztah (4.26) pro ˇcasovou derivaci matice rotace do rovnice (4.27) a následnˇe porovn´ ame s rovnic´ı (4.28) 1 P˙ = S · R12 · P 2 = S · P 1

←→

P˙ 1 = ω 12 × P 1

(4.29)

je zˇrejmé, ˇze n´ asoben´ı vektoru P 1 matic´ı S je ekvivalentn´ı vektorovému souˇcinu vektoru u ´hlové rychlosti ω 12 a vektoru P 1 . Z definice vektorového násoben´ı tedy plyne tvar matice S: 

 0 −ωz ωy 0 −ωx  S = S(ω 12 ) =  ωz −ωy ωx 0

(4.30)

Z´ avislosti mezi polohou, rychlost´ı a zrychlen´ım s.s. F2 vzhledem k s.s. F1 lze pak znázornit pomoc´ı n´ asleduj´ıc´ıch simulaˇcn´ıch schémat:

´ (b) Uhlov´ e zrychlen´ı, u ´hlov´ a rychlost, matice rotace, viz rovnice (4.26), (4.30)

(a) Translaˇcn´ı poloha, rychlost a zrychlen´ı

Obr´ azek 4.11: Simulaˇcn´ı schémata generován´ı polohy s.s. F2 vzhledem k s.s. F1 (parametr (0) oznaˇcuje poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınky integrátor˚ u)

Nˇekdy b´ yv´ a vhodné u ´hlovou rychlost s.s. F2 v s.s. F1 vyjádˇrit m´ısto vektoru u ´hlové T 1 ˙ = α˙ β˙ γ˙ rychlosti ω ˇcasovou derivac´ı Eulerov´ ych u ´hl˚ uX (dle daného schématu 2

rotace, napˇr. XYZ). Tuto transformaci ˇreˇs´ı tzv. Eulerovy kinematické rovnice. Pˇr´ımou ˙ 1 · (R1 )T lze ukázat, ˇcasovou derivac´ı matice R1 , viz (4.18), z definice matice S(ω) = R 2

2

2

ˇze pro schéma rotace XYZ plat´ı: ˙ ω 12 = H (X) · X kde   1 0 sin β H (X) = 0 cos α − sin α cos β  0 sin α cos α cos β

115

(4.31)


4.5.2

´ Umluvy pro popis kinematiky manipul´ ator˚ u

Pro popis geometrického uspoˇr´ ad´ an´ı ramen a kloub˚ u manipulátor˚ u bylo zavedeno mnoho metod. Ty se pokouˇs´ı jednoduchou a systematickou cestou rekurzivnˇe definovat souˇradné systémy reprezentuj´ıc´ı jednotliv´ a ramena manipulátoru a jejich vzájemnou polohovou transformaci. Polohov´ a transformace dvou po sobˇe jdouc´ıch s.s. závis´ı na dan´ ych konstantn´ıch geometrick´ ych parametrech (zahrnuj´ı geometrick´ y tvar ramen, kloub˚ u a jej´ıch vz´ ajemnou konfiguraci) a kloubov´ ych souˇradnic´ıch Θ (zahrnuj´ı aktuáln´ı polohu kloub˚ u manipul´ atoru). Mezi nejznámˇejˇs´ı takové u ´mluvy patˇr´ı tzv. DenavitHartenbergova u ´mluva [83] a Khalil-Kleinfingerova u ´mluva [84]. Obˇe u ´mluvy budou demonstrovány na AM+SZ pˇredstaveného v kapitole 4.4.1 (n = 6), viz [85]. 4.5.2.1

Denavit-Hartenbergova u ´ mluva (D-H)

Dnes snad nejzn´ amˇejˇs´ı u ´mluva pro elegantn´ı popis geometrie sériov´ ych manipulátor˚ u. Pˇredpokládejme dvˇe ramena manipul´ atoru Link i − 1 a Link i, která jsou spojena kloubem Joint i s jedn´ım stupnˇem volnosti, viz Obr. 4.12.

Obr´ azek 4.12: D-H u ´mluva

Definice s.s. Fi = {O i − xi y i z i } za pˇredpokladu znalosti s.s. Fi−1 = {O i−1 − xi−1 y i−1 z i−1 } dle D-H u ´mluvy je vyj´ adˇrena následovnˇe:

116


• Zvol osu z i podél osy rotace, resp. translace kloubu Joint i + 1 a osu z 0i podél osy rotace, resp. translace kloubu Joint i • Um´ısti poˇc´ atek O i s.s. Fi do pr˚ useˇc´ıku osy z i a normály1 os z i−1 a z i . Um´ısti poˇc´ atek O 0i s.s. Fi0 = {O 0i − x0i y 0i z 0i } do pr˚ useˇc´ıku osy z i−1 a téˇze normály. • Zvol osu xi a x0i podél normály ve smˇeru od kloubu Joint i do kloubu Joint i + 1. • Zvol osu y i a y 0i tak, aby v´ ysledné s.s. byly pravotoˇcivé. Lze snadno uk´ azat, ˇze D-H u ´mluva nedefinuje jednoznaˇcnˇe um´ıstˇen´ı s.s. v následuj´ıc´ıch pˇr´ıpadech. • Pro s.s. F0 = {O 0 − x0 y 0 z 0 } je urˇcena jednoznaˇcnˇe pouze osa z 0 (podle osy rotace, resp. translace prvn´ıho kloubu manipulátoru Joint 1). Osu x0 a poˇcátek O 0 lze proto volit libovolnˇe. Osa y 0 je pak urˇcena tak, aby v´ ysledn´ y systém byl opˇet pravotoˇciv´ ym. • Pro s.s. Fn = {O n − xn y n z n }, kde n je poˇcet kloub˚ u s jedn´ım stupnˇem volnosti uvaˇzovaného manipulátoru nen´ı jednoznaˇcnˇe urˇcena osa z n , nebot’ kloub Joint n + 1 jiˇz neexistuje. Osa xn vˇsak mus´ı z˚ ustat kolmá k ose z n−1 . • Pokud jsou dvˇe po sobˇe jdouc´ı osy kloub˚ u (z i−1 a z i ) paraleln´ı, jejich normála nen´ı jednoznaˇcnˇe definována (m˚ uˇze b´ yt libovolnˇe posunuta ve smˇeru os kloub˚ u). • Pokud se dvˇe po sobˇe jdouc´ı osy kloub˚ u (z i−1 a z i ) prot´ınaj´ı (normála je nulové délky), osa xi bude volena tak, aby byla kolmá k rovinˇe definované osami z i−1 a z i . Jej´ı kladný smˇer vˇsak m˚ uˇze b´ yt volen libovolnˇe. Nyn´ı m˚ uˇze b´ yt vz´ ajemn´ a poloha s.s. Fi−1 a Fi popsána pouze pomoc´ı ˇctyˇr D-H parametr˚ u: ai . . . vzd´ alenost mezi poˇc´ atky O i a O 0i di . . . vzd´ alenost mezi poˇc´ atky O i−1 a O 0i αi . . . u ´hel mezi osami z i−1 a z i dan´ y pootoˇcen´ım s.s. Fi0 podél osy x0i θi . . . u ´hel mezi osami xi−1 a xi dan´ y pootoˇcen´ım s.s. Fi podél osy z i−1 1

norm´ ala os x a y je spojnice tˇechto os s minim´ aln´ı vzd´ alenost´ı sv´ıraj´ıc´ı s osami prav´ yu ´hel

117


Je zˇrejmé, ˇze pro z´ akladn´ı typy kloub˚ u s jedn´ım stupnˇem volnosti plat´ı: kloub Joint i je typu P promˇenn´ a definuj´ıc´ı pohyb kloubu je di , promˇenné ai , αi , θi jsou konstanty definuj´ıc´ı geometrické uspoˇrádán´ı ramene Link i kloub Joint i je typu R promˇenn´ a definuj´ıc´ı pohyb kloubu je θi , promˇenné ai , di , αi jsou konstanty definuj´ıc´ı geometrické uspoˇrádán´ı ramene Link i Transformaˇcn´ı vztah, v naˇsem pˇr´ıpadˇe homogenn´ı transformaˇcn´ı matice v analogickém tvaru k (4.19), mezi s.s. Fi−1 a Fi je d´ an následuj´ıc´ım zp˚ usobem. • Vyber s.s. Fi−1 • Posuˇ n tento systém podél osy z i−1 o vzdálenost di a otoˇc jej okolo osy z i−1 o u ´hel θi ⇒ dost´ av´ ame s.s. Fi0 . Matice pˇrechodu1 :  1 0 0  0 1 0 T i−1 = Trans(z, di )·Rot(z, θi ) =  i0 0 0 1 0 0 0

 0 cθi   0  sθi · di   0 1 0

−sθi cθi 0 0

0 0 1 0

  0 cθi   0 sθi = 0  0 0 1

−sθi cθi 0 0 (4.32)

 0 0 0 0  1 di  0 1

• Posuˇ n s.s. Fi0 podél osy x0i o vzdálenost ai a otoˇc jej okolo osy x0i o u ´hel αi ⇒ dostáv´ ame s.s. Fi . Matice pˇrechodu:  1 0  0 0 1 T ii = Trans(x, ai )·Rot(x, αi ) =  0 0 0 0

 0 ai 1 0   0 0  0 cαi · 1 0  0 sαi 0 1 0 0

0 −sαi cαi 0

  0 1 0 0   0 0 cαi −sαi = 0 0 sαi cαi 1 0 0 0 (4.33)

• V´ ysledn´ a matice pˇrechodu ze s.s. Fi−1 do s.s. Fi je dána: 0

i T ii−1 = T i−1 i0 · T i = Trans(z, di ) · Rot(z, θi ) · Trans(x, ai ) · Rot(x, αi ) =   cθi −sθi cαi sθi sαi ai cθi sθ cθi cαi −cθi sαi ai sθi  i  (4.34) = 0 sαi cαi di  0 0 0 1

Pˇripomeˇ nme, ˇze matice pˇrechodu matice (4.34) je funkc´ı pouze kloubov´ ych souˇradnic θi (pro rotaˇcn´ı klouby R) a di (pro translaˇcn´ı klouby P). 1

zkratka cθi , resp. sθi oznaˇcuje cos θi , resp. sin θi . Podobnˇe s(θ1 +θ2 ) oznaˇcuje sin(θ1 + θ2 )

118

 ai 0  0 1


F Pˇ r´ıklad 4.1 (D-H u ´ mluva pro AM+SZ) Obr´ azek 4.13 zn´ azorˇ nuje zaveden´ı souˇradn´ ych systém˚ u pro jednotlivá ramena AM+SZ.

Joint 5 Joint 4

Joint 3

Joint 2

Joint 6

Joint 1

Obr´ azek 4.13: Zaveden´ı souˇradn´ ych systém˚ u pro AM+SZ dle D-H u ´mluvy

Geometrické parametry manipulátoru (tzv. D-H parametry), jsou pak dány následuj´ıc´ı tabulkou: Joint i

di

ai

αi

1

l1

0

π 2

2

0

l2

0

3

0

0

4

l3

0

5

0

0

π 2 − π2 π 2

6

l4

0

0

Tabulka 4.2: D-H parametry AM+SZ

F

119


4.5.2.2

Khalil-Kleinfingerova u ´ mluva (K-K)

Khalil-Kleinfingerova u ´mluva, viz [86], pˇredstavuje modifikaci D-H u ´mluvy pro popis

souˇradn´ ych systém˚ u manipul´ atoru. Pˇredpokládejme opˇet dvˇe ramena manipulátoru

Link i − 1 a Link i, kter´ a jsou spojena kloubem Joint i s jedn´ım stupnˇem volnosti, viz

Obr. 4.15. Tentokr´ ate jsou vˇsak souˇradné systémy v jednotliv´ ych kloubech definovány

jin´ ym zp˚ usobem. Zat´ımco v D-H u ´mluvˇe byl s.s. Fi , kter´ y je pevnˇe svázán s rame-

nem Link i, um´ıstˇen na konci tohoto ramene, tedy s osou zi shodnou s osou rotace

kloubu Joint i + 1, u K-K u ´mluvy je tento souˇradn´ y systém um´ıstˇen pˇr´ımo na rotaˇcn´ı

ose kloubu Joint i. Opodstatnˇen´ı takovéto zmˇeny nen´ı pouze ve zv´ yˇsen´ı pˇrehlednosti

popisu souˇradn´ ych systém˚ u, ale pˇredevˇs´ım v moˇznosti popisu komplexn´ıch architektur

manipulátor˚ u, jako jsou rozvˇetvené (tree chains) a uzavˇrené (closed chains) kinematické

ˇretˇezce, pro které popis prostˇrednictv´ım D-H u ´mluvy pˇrináˇs´ı komplikace a nejasnosti.

120


Obr´ azek 4.14: D-H u ´mluva vedouc´ı na nejednoznaˇcnost v definici souˇradn´ ych systém˚ u pˇri pouˇzit´ı na rozvˇetvené kinematické ˇretˇezce

Pro ilustraci pˇredpokl´ adejme, ˇze bychom chtˇeli popsat pomoc´ı D-H u ´mluvy rozvˇetven´ y kinematick´ y ˇretˇezec, viz Obr. 4.14. Je zˇrejmé, ˇze transformace polohy z kloubu Joint i do kloubu Joint i + 1 vede na definici s.s. Fi , kter´ y je pevnˇe spˇraˇzen s ramenem Link i, a jeho poloha je dan´ a rotac´ı θi respektive translac´ı di (spoleˇcnˇe s parametry urˇcuj´ıc´ı geometrii ramene ai , αi ) vyvolanou kloubem Joint i. Jin´ ymi slovy s.s. Fi jednoznaˇcnˇe urˇcuje vliv kloubu Joint i na rameno Link i. Toto zdánlivˇe jednoznaˇcné urˇcen´ı vˇsak selh´ av´ a v okamˇziku, kdy je tˇreba definovat s.s. v kloubu Joint i + 2 v rozvˇetvené ˇc´ asti mechanismu. Vyuˇzijeme-li znovu stejného postupu, mus´ıme definovat s.s. ˜i − x ˜ iy ˜ iz ˜ i }, kter´ F˜i = {O y je opˇet pevnˇe spˇraˇzen s ramenem Link 1 a jeho poloha je dan´ a rotac´ı (θ˜i ) respektive translac´ı (d˜i ) (spoleˇcnˇe s parametry urˇcuj´ıc´ı geometrii

121


ramene a ˜i , α ˜ i ) vyvolanou kloubem Joint i. Zde se vˇsak dost´ av´ ame do sporu, nebot’ poloha ramene Link i vyvolaná jedin´ ym kloubem Joint i je pops´ ana dvˇema r˚ uzn´ ymi s.s. Fi a F˜i . Nab´ız´ı se tak otázka, jaké jsou vlastnˇe kloubové souˇradnice kloubu Joint i ? (θi respektive di nebo θ˜i respektive d˜i )

Obr´ azek 4.15: K-K u ´mluva

Zavedeme-li nyn´ı souˇradné systémy kloub˚ u dle K-K u ´mluvy, viz Obr. 4.15 , definice s.s. Fi za pˇredpokladu znalosti s.s. Fi−1 je vyjádˇrena následovnˇe: • Zvol osu z i a z 0i podél osy rotace, resp. translace kloubu Joint i. (Pro i = 1 nen´ı s.s. Fi0 definov´ an.) • Um´ısti poˇc´ atek O i s.s. Fi do pr˚ useˇc´ıku osy z i a normály os z i a z i+1 . Um´ısti poˇcátek O 0i s.s. Fi0 do pr˚ useˇc´ıku osy z i a normály os z i−1 a z i . • Zvol osu xi podél norm´ aly ve smˇeru od kloubu Joint i do kloubu Joint i + 1. • Zvol osu y i tak, aby v´ ysledné s.s. byly pravotoˇcivé. Lze snadno uk´ azat, ˇze K-K u ´mluva nedefinuje jednoznaˇcnˇe um´ıstˇen´ı s.s. v následuj´ıc´ıch pˇr´ıpadech. • Pro s.s. Fn , kde n je poˇcet kloub˚ u s jedn´ım stupnˇem volnosti uvaˇzovaného manipulátoru je jednoznaˇcnˇe urˇcena pouze osa z n , nebot’ kloub Joint n + 1 jiˇz neexistuje. Osa xn m˚ uˇze b´ yt volena totoˇzná s osou xn−1 .

122


• Pokud jsou dvˇe po sobˇe jdouc´ı osy kloub˚ u (z i a z i+1 ) paraleln´ı, jejich normála nen´ı jednoznaˇcnˇe definována (m˚ uˇze b´ yt libovolnˇe posunuta ve smˇeru os kloub˚ u). M˚ uˇze b´ yt volena tak, ˇze parametr di = 0 nebo di+1 = 0. • Pokud se dvˇe po sobˇe jdouc´ı osy kloub˚ u (z i a z i+1 ) prot´ınaj´ı (normála je nulové délky), osa xi bude volena tak, aby byla kolmá k rovinˇe definované osami z i a z i+1 . Jej´ı kladný smˇer vˇsak m˚ uˇze b´ yt volen libovolnˇe. • S.s. F0 m˚ uˇze b´ yt volen libovolnˇe, zpravidla jako totoˇzn´ y se s.s. F1 pro θ1 = 0, respektive d1 = 0 (nulová poloha kloubu Joint 1). Nyn´ı m˚ uˇze b´ yt vz´ ajemn´ a poloha s.s. Fi−1 a Fi popsána pouze pomoc´ı ˇctyˇr K-K parametr˚ u: αi . . . u ´hel mezi osami z i−1 a z i kolem normály xi−1 ai . . . vzd´ alenost mezi poˇc´ atkem O i−1 a osou z i (kolmá vzdálenost mezi osami) di . . . vzd´ alenost mezi poˇc´ atky O 0i a O i θi . . . u ´hel mezi osami xi−1 a xi dan´ y kolem osy z i Je zˇrejmé, ˇze pro z´ akladn´ı typy kloub˚ u s jedn´ım stupnˇem volnosti opˇet plat´ı: kloub Joint i je typu P promˇenná definuj´ıc´ı pohyb kloubu je di , promˇenné ai , αi , θi jsou konstanty definuj´ıc´ı geometrické uspoˇrádán´ı ramene Link i kloub Joint i je typu R promˇenná definuj´ıc´ı pohyb kloubu je θi , promˇenné ai , di , αi jsou konstanty definuj´ıc´ı geometrické uspoˇrádán´ı ramene Link i Transformaˇcn´ı vztah (homogenn´ı transformaˇcn´ı matice) mezi s.s. Fi−1 a Fi je d´ an následuj´ıc´ım zp˚ usobem. • Vyber s.s. Fi−1 • Posuˇ n tento systém podél osy xi−1 o vzdálenost ai a otoˇc jej okolo osy xi−1 o u ´hel αi ⇒ dost´ av´ ame s.s. Fi0 . Matice pˇrechodu:   1 0 0 ai 1 0    0 1 0 0  0 cαi T i−1 = Trans(x, ai )·Rot(x, αi ) =  i0 0 0 1 0 ·0 sαi 0 0 0 1 0 0

123

0 −sαi cαi 0

  0 1 0 0   0 0 cαi −sαi = 0 0 sαi cαi 1 0 0 0 (4.35)

 ai 0  0 1


• Posuˇ n s.s. Fi0 podél osy z 0i o vzdálenost di a otoˇc jej okolo osy z 0i o u ´hel θi ⇒ dostáv´ ame s.s. Fi . Matice pˇrechodu:

 1  0 0 T ii = Trans(z, di )·Rot(z, θi ) =  0 0

0 1 0 0

 cθi 0 0 sθ 0 0 · i 1 di   0 0 1 0

−sθi cθi 0 0

0 0 1 0

  cθi 0 sθ 0 = i 0  0 1 0

 −sθi 0 0 cθi 0 0   0 1 di  0 0 1 (4.36)

• V´ ysledn´ a matice pˇrechodu ze s.s. Fi−1 do s.s. Fi je dána:

0

i T i−1 = T i−1 i i0 · T i = Trans(x, ai ) · Rot(x, αi ) · Trans(z, di ) · Rot(z, θi ) =   cθi −sθi 0 ai    cα sθ cα cθ −sα −sα di  i i i i   i i =  (4.37)  sα sθ sα cθ  c c d α α i i i i i   i i

0

0

0

1

Porovnán´ım parametr˚ u D-H u ´mluvy, viz Obr. 4.12 a K-K u ´mluvy, viz Obr. 4.15 m˚ uˇzeme vypozorovat fakt, ˇze D-H parametry [θi , di , αi , ai ] odpov´ıdaj´ı K-K parametr˚ um [θi , di , αi+1 , ai+1 ] (vyjma pˇr´ıpadu pro prvn´ı a posledn´ı ˇctveˇrici parametr˚ u, nebot’ s.s. F0 m˚ uˇze b´ yt volen libovolnˇe a s.s. Fn má pevnˇe urˇcen´ y jen smˇer osy z n ).

124


Obr´ azek 4.16: Khalil-Kleinfingerova u ´mluva pro rozvˇetvené kinematické ˇretˇezce

Ukaˇzme nyn´ı v´ yhodu K-K u ´mluvy pro definován´ı rozvˇetven´ ych architektur. Pro ilustraci pˇredpokl´ adejme stejn´ y pˇr´ıpad jako na Obr. 4.14, vˇsak se zaveden´ım souˇradn´ ych systém˚ u jako na Obr. 4.16. Transformaci s.s. Fi−1 kloubu Link i − 1 do s.s. Fi kloubu Link i jiˇz zn´ ame a je d´ ana pouze 4 parametry ai , αi , di , γi , viz rovnice (4.37). Poznamenejme, ˇze zm´ınˇené s.s. jsou k sobˇe navzájem ve specifické poloze, uˇcené normálou os z i−1 a z i , a tedy postaˇcuj´ı pouze 4 DoF k jejich vzájemnému polohován´ı. Definujme d´ ale norm´ alu os z i−1 a z i+1 a s n´ı souvisej´ıc´ı pomocn´ y souˇradn´ y systém 1F i−1

=1 O i−1 −1xi−1 1y i−1 1z i−1 , kter´ y má osu 1z i−1 totoˇznou s osou z i−1 a osu 1xi−1

ve smˇeru definované norm´ aly. Poloha s.s. Fi−1 a 1Fi−1 bude popsána pouze dvojic´ı parametr˚ u: γi+1 . . . u ´hel mezi osami xi−1 a 1xi−1 kolem osy z i−1 bi+1 . . . vzd´ alenost mezi poˇca´tkem O i−1 a poˇcátkem 1O i−1

125


Transformaˇcn´ı vztah tˇechto s.s. je d´ an pak následuj´ıc´ım zp˚ usobem: • Posuˇ n s.s. Fi−1 podél osy z i−1 o hodnotu bi+1 a otoˇc jej kolem osy z i−1 o u ´hel γi+1 ⇒ dost´ av´ ame s.s. 1Fi−1 Matice pˇrechodu:

T i−1 1i−1

 1 0 = Trans(z, bi+1 )·Rot(z, γi+1 ) =  0 0

0 1 0 0 

 cγi+1 0 0 sγi+1 0 0  · 1 bi+1   0 0 0 1

cγi+1   sγ  i+1 =  0  0

−sγi+1 cγi+1 0 0

−sγi+1 cγi+1 0 0  0 0  0 0    1 bi+1  

0

0 0 1 0

 0 0 = 0 1

(4.38)

1

Nyn´ı je zˇrejmé, ˇze transformace mezi s.s. 1Fi−1 a Fi+1 jiˇz bude dána známou transfor1

i−1 maˇcn´ı matic´ı T i+1 analogickou jako v rovnici (4.37) s parametry [θi+1 , di+1 , αi+1 , ai+1 ]: 1

i−1 T i+1 = Trans(x, ai+1 ) · Rot(x, αi+1 ) · Trans(z, di+1 ) · Rot(z, θi+1 ) =  cθi+1 −sθi+1 0 ai+1   cα sθ  i+1 i+1 cαi+1 cθi+1 −sαi+1 −sαi+1 di+1 =  sα sθ cαi+1 di+1  i+1 i+1 sαi+1 cθi+1 cαi+1

0

0

0

     (4.39)  

1

V´ ysledná matice pˇrechodu ze s.s Fi−1 do s.s. Fi+1 je dána: 1

i−1 i−1 T i−1 i+1 = T 1i−1 · T i+1 =

= Trans(z, bi+1 )·Rot(z, γi+1 )·Trans(x, ai+1 )·Rot(x, αi+1 )·Trans(z, di+1 )·Rot(z, θi+1 ) =  cγi+1 cθi+1 − sγi+1 cαi+1 sθi+1 −cγi+1 sθi+1 − sγi+1 cαi+1 cθi+1 sγi+1 sαi+1 sγi+1 sαi+1 di+1 + cγi+1 ai+1   sγ cθ + cγ cα sθ −sγi+1 sθi+1 + cγi+1 cαi+1 cθi+1 −cγi+1 sαi+1 −cγi+1 sαi+1 di+1 + sγi+1 ai+1 i+1 i+1 i+1  i+1 i+1   sαi+1 sθi+1 sαi+1 cθi+1 cαi+1 cαi+1 di+1 + bi+1  0

0

0

      

1 (4.40)

Poznamenejme, ˇze stejn´ ym zp˚ usobem lze odvodit transformaˇcn´ı vztahy pro libovoln´ y poˇcet kloub˚ u pˇripojen´ ych na rameno Link i−1. Je patrné, ˇze K-K u ´mluvu jednoznaˇcnˇe definuje, narozd´ıl od D-H u ´mluvy, kloubové souˇradnice kaˇzdého kloubu.

126


F Pˇ r´ıklad 4.2 (K-K u ´ mluva pro SM+SZ) Obr´ azek 4.17 zn´ azorˇ nuje zaveden´ı souˇradn´ ych systém˚ u pro jednotlivá ramena AM+SZ.

Joint 5 Joint 4

Joint 3

Joint 2

Joint 6

Joint 1

Obr´ azek 4.17: Zaveden´ı souˇradn´ ych systém˚ u pro AM+SZ dle K-K u ´mluvy

Geometrické parametry manipulátoru (tzv. K-K parametry), jsou pak dány následuj´ıc´ı tabulkou: Joint i

di

ai

αi

1

0

0

0

2

0

0

π 2

3

0

l2

0

4

l3

0

5

0

0

6

0

0

π 2 − π2 π 2

Tabulka 4.3: K-K parametry AM+SZ. Poznamenejme, ˇze se nyn´ı v popisu manipulátoru nevyskytuj´ı parametry l1 respektive l4 . Bez u ´jmy na obecnosti mohou b´ yt tyto parametry b n souˇc´ ast´ı konstantn´ıch transformaˇcn´ıch matic T 0 respektive T e , viz Poznámka 4.2.

F

127


4.6

Polohov´ e z´ avislosti manipul´ ator˚ u

Polohov´ ymi z´ avislostmi rozum´ıme vztah mezi kloubov´ ymi Θ a zobecnˇen´ ymi X souˇradnicemi manipul´ atoru a dˇel´ıme je na dva základn´ı problémy: ´ • pˇ r´ım´ y kinematick´ y probl´ em/´ uloha (PKU) Tedy nalezen´ı z´ avislosti zobecnˇen´ ych souˇradnic X na kloubov´ ych souˇradnic´ıch Θ. V cizojazyˇcné literatuˇre ˇcasto naz´ yvan´ y jako direct/forward kinematics problem [80], direct geometric model [81]. ´ • inverzn´ı kinematick´ y probl´ em/´ uloha (IKU) Tedy nalezen´ı z´ avislosti kloubov´ ych souˇradnic Θ na zobecnˇen´ ych souˇradnic´ıch X. V cizojazyˇcné literatuˇre ˇcasto naz´ yvan´ y jako inverse kinematic problem [80], inverse geometric problem [81]. Pro lepˇs´ı orientaci v textu zaved’me následuj´ıc´ı znaˇcen´ı pro kloubové souˇradnice manipulátoru: Θ=

ϑ1 . . . ϑn

T

(4.41)

kde ϑi = θi (Joint i je typu R) a

4.6.1

ϑi = di (Joint i je typu P)

Pˇ r´ım´ y kinematick´ y probl´ em pro s´ eriov´ e manipul´ atory

Pˇr´ım´ y kinematick´ y problém pro sériové manipulátory nepˇredstavuje váˇzné komplikace a pro jeho ˇreˇsen´ı lze s v´ yhodou vyuˇz´ıt u ´mluvy pro popis manipulátor˚ u z Kapitoly 4.5.2, nebot’ kaˇzdá transformaˇcn´ı matice T i−1 závis´ı pˇr´ımo na aktivn´ı kloubové souˇradnici i ϑi . Pˇr´ımá kinematickou u ´loha pro n aktivn´ıch kloub˚ u sériového manipulátoru lze tak formulovat ve tvaru: T 0n (Θ) =

n Y

T i−1 i (ϑi )

(4.42)

i=1

kde transformaˇcn´ı matice T i−1 any dle pouˇzité u ´mluvy pˇr´ımo rovnicemi (4.34) i (ϑi ) jsou d´ nebo (4.37). Je tedy zˇrejmé, ˇze pˇr´ım´ a kinematická u ´loha pro sériové manipulátory má vˇ zdy analytick´ eˇ reˇ sen´ı.

128

4.6 Polohov´ e z´ avislosti manipul´ ator˚ u

Pozn´ amka 4.2 (Kompenzace polohy z´ akladny a koncov´ eho efektoru) Z praktického hlediska je v´ yhodné definovat jeˇstˇe dva dalˇs´ı s.s., a to s.s. základny (rámu) manipul´ atoru Fb = {O b − xb y b z b } a s.s. koncového efektoru Fe = {O e − xe y e z e }. Je zˇrejmé, ˇze s.s. jsou nez´ avislé na poloze kloub˚ u manipulátoru, a lze je tedy vyjádˇrit vzhledem k poloze s.s. prvn´ıho F0 a posledn´ıho Fn kloubu konstantn´ımi maticemi pˇrechodu T b0 a T ne , viz Obr. 4.18. V technické praxi tyto matice pˇredstavuj´ı vˇetˇsinou kompenzaci um´ıstˇen´ı konkrétn´ıho manipulátoru na v´ yrobn´ı lince (T b0 ) ˇci kompenzaci polohy pracovn´ıho n´ astroje na koncovém efektoru manipulátoru (T ne ). V´ ysledn´ a matice pˇrechodu T be (Θ) závisej´ıc´ı na poloze kloubov´ ych souˇradnic Θ respektuj´ıc´ı i v´ yˇse uvedené kompenzace polohy bude m´ıt tak následuj´ıc´ı tvar:   T be (Θ)

=

T b0

·

T 0n

·

T ne

Rbe

  =   0

0

 r bb,e     0 1

(4.43)

kde Rbe =

h

xbe y be z be

i

(4.44)

je matice rotace a r bb,e = O be − O bb = O be je translaˇcn´ı vektor s.s. Fe vzhledem k s.s. Fb .

Obr´ azek 4.18: Princip kompenzac´ı manipulátoru

Poznamenejme, ˇze vektor zobecnˇen´ ych souˇradnic manipulátoru X lze z´ıskat z transformaˇcn´ı matice T be napˇr, jako: X = Rbe O be matice rotace + translaˇcn´ı vektor (4.45) T Eulerovy u ´hly (z Rbe ) + translaˇcn´ı vektor X = α β γ (O be )T . . . atd.

129


Pˇr´ım´ y kinematick´ y problém lze tak s vyuˇzit´ım rovnice (4.42) interpretovat jako nelineárn´ı vektorovou transformaˇcn´ı funkci parametrizovanou návrhov´ ymi parametry manipulátoru ξ (v literatuˇre ˇcasto oznaˇcov´ ana jako geometrick´ a omezen´ı manipul´ atoru): X = G(Θ), kde G = G(ξ)

(4.46)

F Pˇ r´ıklad 4.3 (Pˇ r´ım´ a kinematick´ au ´ loha pro SM+SZ) Pˇr´ımá kinematick´ au ´loha SM+SZ pro domovskou (Θ = 0) a obecnou polohu koncového efektoru manipul´ atoru (bez kompenzace T b0 = T 6e = I):   1 0 0 1 h iT   Θ= 0 0 0 0 0 0 ⇒ X = 0 −1 0 0  0 0 −1 −0.3   0.51 0.33 0.79 1.28 iT h   ⇒ X = −0.20 0.94 −0.27 0.96 Θ = π4 π3 π4 π3 π3 π2 −0.84 −0.02 0.55 2.29

Joint 3 & Joint 4

Joint 2

Joint 5 & Joint 6

Joint 3 & Joint 4

Joint 2

Joint 5 & Joint 6

Joint 1

Joint 1

(a) Domovsk´ a poloha

(b) Obecn´ a poloha

Obr´ azek 4.19: Pˇr´ım´ a kinematick´ au ´loha pro SM+SZ (model v SimMechanicsu)

130


F

4.6.2

Inverzn´ı kinematick´ y probl´ em pro s´ eriov´ e manipul´ atory

Formulace inverzn´ıho kinematického problému plyne pˇr´ımo z rovnice (4.46). Polohu kloubov´ ych souˇradnic Θ lze pro danou polohu koncového efektoru X stanovit jako: Θ = G−1 (X)

(4.47)

Nalezen´ı inverze neline´ arn´ı vektorové transformaˇcn´ı funkce G−1 je v obecném pˇr´ıpadˇe velmi sloˇzité, nebot’ ve funkci G se, d´ıky transformaˇcn´ı matici T be , vyskytuj´ı souˇcty násobk˚ u a mocnin ˇclen˚ u sin ϑi , cos ϑi . Uvaˇzujme obecn´ y neredundantn´ı sériov´ y prostorov´ y manipulátor se vˇsemi 6 stupni T volnosti koncového efektoru, a tedy právˇe 6 kloubov´ ymi souˇradnicemi Θ = ϑ1 . . . ϑ6 . Jelikoˇz zobecnˇen´ y vektor souˇradnic X má v prostoru maximálnˇe 6 nezávisl´ ych promˇenn´ ych (napˇr. 3 Eulerovy u ´hly a vektor translace koncového efektoru) je zˇrejmé, ˇze ˇreˇsen´ı inverzn´ı kinematické u ´lohy pro obecný neredundantn´ı manipul´ ator vede na soustavu 6 neline´ arn´ıch rovnic pro 6 nezn´ amých. Metody pro nalezen´ı ˇreˇsen´ı inverzn´ı kinematické u ´lohy pro sériové manipulátory lze rozdˇelit v podstatˇe do n´ asleduj´ıc´ıch skupin, které budou struˇcnˇe zm´ınˇeny v následuj´ıc´ıch kapitol´ ach: • Pˇr´ımé analytické ˇreˇsen´ı jednoduch´ ych architektur manipulátor˚ u • Specializované metody pro ˇreˇsen´ı konkrétn´ıch variant architektur manipulátor˚ u (omezené uspoˇr´ ad´ an´ı kloub˚ u dan´ ych typ˚ u) • Metody pro ˇreˇsen´ı obecn´ ych architektur manipulátor˚ u • Numerické gradientn´ı metody, viz Kapitola 4.9 4.6.2.1

Pˇ r´ım´ e analytick´ eˇ reˇ sen´ı jednoduch´ ych architektur manipul´ ator˚ u

Vyuˇz´ıv´ a se zejména pro jednoduché konstrukce manipulátor˚ u, kde je moˇzné s urˇcitou dávkou zkuˇsenost´ı a matematické intuice relativnˇe snadno nalézt inverzn´ı kinematickou transformaci G−1 (X). Metody pˇr´ımého analytického ˇreˇsen´ı b´ yvaj´ı aplikovány na jednoduché plan´ arn´ı ˇci prostorové manipulátory, viz Pˇr´ıklad 4.4, 4.5. Velmi ˇcasto se m˚ uˇzeme s tˇemito metodami setkat pˇri ˇreˇsen´ı inverzn´ı kinematické u ´lohy pro paraleln´ı

131


manipulátory s jednoduch´ ymi kinematick´ ymi ˇretˇezci, kde kaˇzd´ y kinematick´ y ˇretˇezec je v podstatˇe samostatn´ y sériov´ y manipulátor, viz Pˇr´ıklad 4.6. F Pˇ r´ıklad 4.4 (Translaˇ cn´ı ˇ c´ ast AM+SZ z Obr´ azku 4.6) Zobecnˇené souˇradnice translaˇcn´ı ˇc´ asti AM+SZ definujme jako (pˇredpokládejme T b0 = I ⇒ F0 = Fb , ˇz´ adn´ a kompenzace polohy základny manipulátoru): X tran = r 00,E = O 0E =

h

0 OE x

0 OE y

0 OE z

iT

Obr´ azek 4.20: Translaˇcn´ı ˇc´ ast AM+SZ (zaveden´ı s.s. dle D-H u ´mluvy, viz Pˇr´ıklad 4.1)

´ pro translaˇcn´ı ˇcást AM+SZ, lze rozdˇelit na dvˇe fáze. Vˇsimnˇeme si, ˇze ˇreˇsen´ı IKU Pro kloubovou souˇradnici θ1 budou d´ıky um´ıstˇen´ı kloub˚ u zˇrejmˇe existovat dvˇe ˇreˇsen´ı ve tvaru: 0 0 θ1 = atan2 (OE , OE ) x y

(4.48)

0 0 θ1 = atan2 (OE , OE )+π x y

(4.49)

´ planárn´ıho sériového manipulátoru typu T´ım jsme problém pˇrevedli na ˇreˇsen´ı IKU RR (PSM-RR) se dvˇema DoF, jehoˇz schématické uspoˇrádán´ı je znázornˇeno na Ob-

132


rázku 4.21(a). Zobecnˇené souˇradnice PSM-RR definujme jako: X psm = O 1E =

h

1 OE x

1 OE y

0

iT

kde X psm lze d´ıky znalosti kloubové souˇradnice θ1 z´ıskat z X tran jako O 1E = (T 01 (θ1 ))−1 · O 0E kde matice pˇrechodu T 01 (θ1 ) je dána rovnic´ı (4.34) a hodnotami z Tabulky ??.

2.5

2

1.5

y

1

0.5

Joint 2

0

Joint 1

−0.5

−1 −1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

´ pro r˚ (b) Dvojice moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı IKU uzné polohy Θ

(a) Schématické uspoˇra ´d´ an´ı PSM-RR

´ pro planárn´ı sériov´ Obr´ azek 4.21: IKU y manipulátor typu RR

ˇ sen´ı PKU ´ pro PSM-RR lze psát: Reˇ

T 1E (Θ) =

3 Y

3 T i−1 i (θi ) · T E

i=2

kde

 ?  ? = ?  0

? ? ? 0

 T 3E

  =  

 ? l3 s(θ2 +θ3 ) + l2 cθ2  ? −l3 c(θ2 +θ3 ) + l2 sθ2    ? 0  0 1

I

0 0 l3

0 0 0

1

(4.50)

     

je konstantn´ı kompenzaˇcn´ı matice polohy koncového efektoru a matice pˇrechodu T i−1 i (θi ) jsou opˇet urˇceny rovnic´ı (4.34) a hodnotami z Tabulky ??.

133


Poloha koncového efektoru PSM-RR je tedy dána jako:

X psm

 1    O Ex l3 s(θ2 +θ3 ) + l2 cθ2     = T 1E [1 : 3, 3] = O 1Ey  = −l3 c(θ2 +θ3 ) + l2 sθ2  0 0

´ pro PSM-RR lze potom ˇreˇsit následovnˇe: IKU 1 a O 1 dost´ Umocnˇen´ım a seˇcten´ım prvk˚ u OE aváme, s vyuˇzit´ım souˇctov´ ych goniEy x ometrick´ ych vzorc˚ u, hodnotu kloubové souˇradnice θ2 : 1 2 1 2 (OE ) + (OE ) = l32 + l22 + 2l2 l3 sθ3 x y

sθ3 =

s2θ3 + c2θ3

1 )2 + (O 1 )2 − l2 − l2 (OE 2 3 Ey x

2l2 l3 q 2 = 1 ⇒ cθ3 = ± 1 − sθ3 s θ3 θ3 = atan2 cθ3

(4.51) (4.52) (4.53)

ˇ sen´ım soustavy rovnic, opˇet s vyuˇzit´ım souˇctov´ Reˇ ych goniometrick´ ych vzorc˚ u, 1 OE = l3 c(θ2 +θ3 ) + l2 cθ2 x 1 OE = −l3 s(θ2 +θ3 ) + l2 sθ2 y

pro neznámé sθ2 , cθ2 , dost´ av´ ame hodnotu kloubové souˇradnice θ2 : s θ2 = cθ2 =

1 + (l + l s )O 1 l3 cθ3 OE 2 3 θ3 Ey x 1 )2 + (O 1 )2 (OE Ey x 1 − l c O1 (l2 + l3 sθ3 )OE 3 θ3 Ey x

1 )2 + (O 1 )2 (OE Ey x sθ2 θ2 = atan2 cθ2

(4.54)

´ pro PSM-RR má dvˇe ˇreˇsen´ı, viz Obrázek 4.21(b). Ze vztahu (4.52) je zˇrejmé, ˇze IKU ´ existuje pouze za pˇredpokladu −1 ≤ sθ ≤ 1, viz Poznamenejme d´ ale, ˇze ˇreˇsen´ı IKU 3 rovnice (4.52). Pro moˇzné um´ıstˇen´ı koncového efektoru tak plat´ı (po jednoduch´ ych u ´pravách) nerovnost, l2 − l3 ≤ kXpsm k ≤ l2 + l3 která definuje pracovn´ı prostor manipulátoru. Lze ukázat, ˇze se manipulátor na hranic´ıch pracovn´ıho prostoru naléz´ a v tzv. singulárn´ıch polohách, v´ıce v Kapitole 4.8.4.

134


´ pro translaˇcn´ı ˇcást AM+SZ má celkem 4 r˚ Je tedy zˇrejmé, ˇze IKU uzná ˇreˇsen´ı (dvojice ˇreˇsen´ı pro kloubovou souˇradnici θ1 a dvojice ˇreˇsen´ı pro PSM-RR), viz Obrázek 4.22.

´ pro translaˇcn´ı ˇcást AM+SZ Obr´ azek 4.22: Moˇzná ˇreˇsen´ı IKU

F

F Pˇ r´ıklad 4.5 (Sf´ erick´ e z´ apˇ est´ı AM+SZ z Obr´ azku 4.6) Zobecnˇené souˇradnice sférického zápˇest´ı AM+SZ definujme jako (pˇredpokládejme T 6e = I ⇒ F6 = Fe , ˇz´ adn´ a kompenzace polohy koncového efektoru manipulátoru):

h i X sz = R36 = x36 y 36 z 36

135


(a) Schématické sférického z´ apˇest´ı (zaveden´ı s.s. dle (b) Dvˇe moˇzn´ a ˇreˇsen´ı IKU sférického z´ aD-H u ´mluvy, viz Pˇr´ıklad 4.1 pˇest´ı

´ sférické zápˇest´ı Obr´ azek 4.23: IKU

ˇ sen´ı PKU ´ pro sférické z´ Reˇ apˇest´ı lze psát:  T 36

 R36

  =   0

0

 6 Y O 36  = T ii−1 (θi )   i=4 0 1

(4.55)

kde  cθ4 cθ5 cθ6 − sθ4 sθ6  3 R6 =  sθ4 cθ5 + cθ4 sθ6 −sθ5 cθ6

−cθ4 cθ5 cθ6 − sθ4 cθ6 −sθ4 cθ5 sθ6 + cθ4 cθ6 sθ5 sθ6

   cθ4 sθ5 n3x s3x a3x    sθ4 sθ5  , n3y s3y a3y  cθ5 n3z s3z a3z

(4.56)

a matice pˇrechodu T i−1 et urˇceny rovnic´ı (4.34) a hodnotami z Tabulky ??. i (θi ) jsou opˇ ´ pro sférické zápˇest´ı rozpadá na dvˇe Ze soustavy rovnic (4.56) lze odvodit, ˇze se IKU ˇreˇsen´ı, viz Obr´ azek 4.23(b). Umocnˇen´ım a seˇcten´ım prvk˚ u a3x a a3y dostáváme: (a3x )2 + (a3y )2 = s2θ5

⇒

q sθ5 = ± (a3x )2 + (a3y )2

q 1. Pro sθ5 = + (a3x )2 + (a3y )2 ≥ 0 ⇒ θ5 ∈< 0, π >

136


θ4 = atan2(sθ4 sθ5 , cθ4 sθ5 ) = atan2(sθ4 , cθ4 ) = atan2(a3y , a3x ) q θ5 = atan2(sθ5 , cθ5 ) = atan2( (a3x )2 + (a3y )2 , a3z )

(4.57)

θ6 = atan2(sθ5 sθ6 , −(−sθ5 cθ6 )) = atan2(sθ6 , cθ6 ) = atan2(s3z , −n3z ) q 2. Pro sθ5 = − (a3x )2 + (a3y )2 ≤ 0 ⇒ θ5 ∈< −π, 0 > θ4 = atan2(sθ4 (−sθ5 ), cθ4 (−sθ5 )) = atan2(sθ4 , cθ4 ) = atan2(−a3y , −a3x ) q θ5 = atan2(sθ5 , cθ5 ) = atan2(− (a3x )2 + (a3y )2 , a3z )

(4.58)

θ6 = atan2(−sθ5 sθ6 , −(sθ5 cθ6 )) = atan2(sθ6 , cθ6 ) = atan2(−s3z , n3z ) F F Pˇ r´ıklad 4.6 (Paraleln´ı sf´ erick´ e z´ apˇ est´ı z Obr´ azku 4.8) Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno v kapitole 4.4.3, paraleln´ı sférické zápˇest´ı je vybaveno tˇremi ak´ lze tivn´ımi kinematick´ ymi ˇretˇezci (v podstatˇe sériov´ ymi manipulátory), jejichˇz IKU snadno ˇreˇsit n´ asleduj´ıc´ım postupem.

´ pro kinematick´ Obr´ azek 4.24: Dvˇe moˇzná ˇreˇsen´ı IKU y ˇretˇezec PSZ

Pˇredpokl´ adejme, ˇze pro jeden kinematick´ y ˇretˇezec, viz Obrázek 4.24 známe polohu jeho koncového efektoru: h iT −−−→ (4.59) X i = B i D i b = bdix bdiy bdiz Jedinou hledanou kloubovou souˇradnic´ı je pak pouze délka vysunut´ı lineárn´ıho aktu´ atoru di , nebot’ zb´ yvaj´ıc´ı 2 kloubové souˇradnice (´ uhly natoˇcen´ı pro kloub typu U) jsou

137

´ 4. UVOD DO ROBOTIKY −−−→ pasivn´ı a nelze je tud´ıˇz jakkoliv ˇr´ıdit. Vektor C i D i konstantn´ı délky l lze pak vyjádˇrit jako: iT −−−→b h C i D i = bdix bdiy bdiz − di (4.60) A tedy: −−−→ kC i D i b k2 = bd2ix + bd2iy + (bdiz − di )2 = l2 (bdiz − di )2 = l2 − bd2ix − bd2iy q bdiz − di = ± l2 − bd2ix − bd2iy q di = bdiz ∓ l2 − bd2ix − bd2iy

(4.61)

´ pro kaˇzd´ Z rovnice (4.61) je zˇrejmé, ˇze IKU y kinematick´ y ˇretˇezec PSZ má dvˇe ˇreˇsen´ı 2 2 2 za podm´ınky l > bdix + bdiy . F ´ pro jednoduché manipulátory, pro které plat´ı, ˇze vˇetˇsina D-H Systematické ˇreˇsen´ı IKU respektive K-K parametr˚ u ai , di jsou nulové a αi , θi jsou nulové ˇci rovné ± π2 , popsal ´ demonstrované Richard P. Paul, viz [87]. Jeho metoda v podstatˇe zobecˇ nuje ˇreˇsen´ı IKU v Pˇr´ıkladech 4.4 a 4.5 a v literatuˇre je ˇcasto naz´ yvaná jako Paulova metoda (Paul method). Metoda je zaloˇzena na myˇslence postupného vyjadˇrován´ı kloubov´ ych souˇradnic ´ ϑi z celkového kinematického popisu manipulátoru daného rovnic´ı PKU, následuj´ıc´ım postupem: • V´ ypoˇcet matice pˇrechodu T 0n ze zobecnˇen´ ych souˇradnic X, viz Kapitola 4.6.1. Z´ıskáv´ ame tak soustavu 12 nelineárn´ıch rovnic pro n neznám´ ych (4.42): T 0n = T 01 (ϑ1 ) · T 12 (ϑ2 ) · · · · · T n−1 n

(4.62)

• Pˇrenásoben´ım rovnice (4.62) zleva matic´ı pˇrechodu (T 01 (ϑ1 ))−1 dostáváme: T 10 (ϑ1 ) · T 0n = T 12 (ϑ2 ) · T 23 (ϑ3 ) · · · · · T nn−1 (ϑn )

(4.63)

Levá strana rovnice (4.63) je pak závislá pouze na kloubové souˇradnici ϑ1 , kterou se pokus´ıme vypoˇc´ıtat. • Pˇrenásoben´ım rovnice (4.63) zleva matic´ı pˇrechodu (T 12 (ϑ2 ))−1 dostáváme: T 21 (ϑ2 ) · T 10 (ϑ1 ) · T 0n = T 23 (ϑ3 ) · T 34 (ϑ3 ) · · · · · T n−1 n (ϑn )

(4.64)

Levá strana rovnice (4.64) je pak závislá pouze na kloubové souˇradnici ϑ2 (ϑ1 jiˇz známe), kterou se pokus´ıme vypoˇc´ıtat.

138


• Analogick´ ym zp˚ usobem se pokus´ıme postupnˇe dopoˇc´ıtat vˇsechny zb´ yvaj´ıc´ı kloubové souˇradnice ϑi , i = 3 . . . n Bylo experiment´ alnˇe uk´ az´ ano, ˇze pro celou ˇradu pr˚ umyslovˇe pouˇz´ıvan´ ych manipulátor˚ u ´ pomoc´ı Paulovo metody na ˇreˇsen´ı 8 základn´ıch typ˚ degeneruje IKU u rovnic uveden´ ych v Tabulce 4.4, jejichˇz analytické ˇreˇsen´ı je známé (zde jej vˇsak dále neuvád´ıme a lze ´ pro AM+SZ) napˇr. v [81]). nalézt spoleˇcnˇe s konkrétn´ım pˇr´ıkladem (ˇreˇsen´ı IKU Typ 1

X · di = Y

Typ 2

X · sθi + Y · cθi = Z

Typ 3

X1 · sθi + Y1 · cθi = Z1 X2 · sθi + Y2 · cθi = Z2

Typ 4

X1 · dj · sθi = Y1 X2 · dj · cθi = Y2

Typ 5

X1 · sθi = Y1 + Z1 · dj X2 · cθi = Y2 + Z2 · dj

Typ 6

W · sθj = X · cθi + Y · sθi + Z1 W · cθj = X · cθi − Y · sθi + Z2

Typ 7

W1 · cθj + W2 · sθj = X · cθi + Y · sθi + Z1 W1 · sθj − W2 · cθj = X · sθi − Y · cθi + Z2

Typ 8

X · cθi + Y · c(θi +θj ) = Z1 X · sθi + Y · s(θi +θj ) = Z2

Tabulka 4.4: Typické rovnice ˇreˇsené pˇri pouˇzit´ı Paulovy metody, kde θi resp. di jsou kloubové souˇradnice kloubu typu R resp. P a Xi , Yi , Zi , Wi jsou reálné koeficienty závislé na D-H ˇci K-K geometrick´ ych parametrech manipulátoru

4.6.2.2

Specializovan´ e metody pro ˇ reˇ sen´ı konkr´ etn´ıch variant architektur manipul´ ator˚ u

V pr˚ umyslov´ ych aplikac´ıch se velmi ˇcasto vyskytuj´ı sériové manipulátory, jejichˇz ar´ co moˇzná nejv´ıce chitektura je navrˇzena takov´ ym zp˚ usobem, aby byl v´ ypoˇcet IKU usnadnˇen. Jedn´ a se zejména o pˇr´ıpady, kdy je moˇzné dan´ y manipulátor vhodnˇe de´ ˇreˇsit pro kaˇzd´ komponovat na v´ıce funkˇcn´ıch celk˚ u a IKU y celek samostatnˇe (napˇr. prostˇrednictv´ım pˇr´ım´ ych analytick´ ych metod, viz kapitola 4.6.2.1). Vypust´ıme-li jed´ triviáln´ı, drtivou vˇetˇsinu noduché pravo´ uhlé (port´ alové) manipulátory, pro které je IKU manipul´ ator˚ u v pr˚ umyslu tvoˇr´ı právˇe antropomorfn´ı manipulátor se sférick´ ym zápˇest´ım, viz kapitola 4.4.1.

139


´ AM+SZ z Obr´ F Pˇ r´ıklad 4.7 (IKU azku 4.6) Necht’ i h X = xbe y be z be O be

(4.65)

jsou zobecnˇené souˇradnice manipul´ atoru se zaveden´ ymi s.s. dle D-H u ´mluvy, viz Pˇr´ıklad 4.1. Je zˇrejmé, ˇze smˇerové vektory os a poˇcátek s.s. F6 vzhledem k s.s. F0 lze z´ıskat z X pomoc´ı kompenzaˇcn´ıch matic T b0 a T 6e jako: 







 0   b b  b b  x6 y 06 z 06 O 06      = (T b0 )−1 ·  xe y e z e O e  · (T 6e )−1         0 0 0 1 0 0 0 1

(4.66)

Zobecnˇené souˇradnice translaˇcn´ı ˇc´ asti manipulátoru z Pˇr´ıkladu 4.4 lze potom vypoˇc´ıtat jako: X tran = O 0E = O 04 = O 05 = O 06 − l4 · z 06

(4.67)

Z´ıskáváme tak ˇreˇsen´ı pro kloubové souˇradnice θ1 , θ2 a θ3 . Zobecnˇené souˇradnice sférického z´ apˇest´ı z Pˇr´ıkladu 4.5 nyn´ı lze spoˇc´ıtat jako: h i X sz = R36 = (T 03 (θ1 , θ2 , θ3 )[1 : 3, 1 : 3])T · x06 y 06 z 06 {z } | | {z } 3 R0

(4.68)

R06

kde T 03 (θ1 , θ2 , θ3 ) =

3 Y

T i−1 i (θi )

i=1

a matice pˇrechodu T i−1 ceny rovnic´ı (4.34) a hodnotami z Tabulky ??. i (θi ) jsou urˇ ´ pro AM+SZ Z´ıskáváme tak ˇreˇsen´ı pro zb´ yvaj´ıc´ı kloubové souˇradnice θ4 , θ5 a θ6 . IKU má tedy celkem 8 r˚ uzn´ ych ˇreˇsen´ı (4 pro translaˇcn´ı ˇcást krát 2 pro sférické zápˇest´ı). F ´ AM+SZ pomoc´ı vhodné dekompozice na translaˇcn´ı ˇcást (obecnˇe Metodu ˇreˇsen´ı IKU ˇreˇsen´ı polohové rovnice) a sférické z´ apˇest´ı (obecnˇe ˇreˇsené rotaˇcn´ı rovnice) ukázanou v Pˇr´ıkladu 4.7 lze zobecnit pro dva z´ akladn´ı typy architektury manipulátor˚ u se 6 DoF, viz [88]. Uved’me d´ ale jen n´ astin ˇreˇsen´ı, podrobnˇejˇs´ı popis lze nalézt napˇr´ıklad v [81].

140


Manipul´ ator obsahuj´ıc´ı sf´ erick´ e z´ apˇ est´ı v libovoln´ eˇ c´ asti kinematick´ eho ˇ retˇ ezce Moˇ zn´ e varianty kinematick´ eho ˇ retˇ ezce: XXX(RRR), X(RRR)XX, XX(RRR)X, XXX(RRR), kde (RRR) oznaˇcuje sférické z´ apˇest´ı a X oznaˇcuje kloub typu P nebo R.

Joint m Joint m-1

Joint m+1

Obr´ azek 4.25: Sférické zápˇest´ı (obecn´ y pˇr´ıpad)

N´ astin metody: Pˇredpokl´ ad´ ame-li popis s.s. manipulátoru pomoc´ı K-K u ´mluvy, viz Pˇr´ıklad 4.2, trojice po sobˇe jdouc´ıch kloub˚ u Joint m − 1, Joint m a Joint m + 1, kde 2 ≤ m ≤ 5, tvoˇr´ı sférické z´ apˇest´ı, pokud pro K-K parametry plat´ı následuj´ıc´ı, viz Obrázek 4.25:

am = dm = am+1 = 0 sαm 6= 0

(4.69)

sαm+1 6= 0 Je zˇrejmé, ˇze poˇc´ atky s.s. Fm−1 a Fm jsou shodné a nezávislé na kloubov´ ych souˇradnic´ıch sférického z´ apˇest´ı θm−1 , θm , θm+1 . Polohu tˇechto poˇcátk˚ u m˚ uˇzeme tedy vyjádˇrit

141


vzhledem k s.s. Fm−2 jako:   am−1 0    −d 0 m−1 sαm−1    = T m−2 m+1 · Trans(z, −dm+1 ) ·  0  =  d m−1 cαm−1 1 1 

O m−2 m−1 1

   

(4.70)

Rovnice (4.42) lze tedy ps´ at s vyuˇzit´ım rovnice (4.70) jako (matice pˇrechodu T 06 lze opˇet vypoˇc´ıtat ze zobecnˇen´ ych souˇradnic manipulátoru): m+1 T 0m−2 · T m−2 = T 06 m+1 · T 6

(4.71) 

T 0m−2 ·

O m−2 m−1

1



0  0   = T 06 · T 6m+1 · Trans(z, −dm+1 ) ·   0  1

(4.72)

Rovnice (4.72) se naz´ yv´ a polohovou rovnic´ı, nebot’ závis´ı pouze na kloubov´ ych souˇradnic´ıch, které nepˇr´ısluˇs´ı sférickému z´ apˇest´ı ϑ1 , . . . , ϑm−2 a ϑm+1 , . . . , ϑ6 . Zˇrejmˇe tedy plat´ı: T 0m−2 = T 0m−2 (ϑ1 , . . . , ϑm−2 )

a T 6m+1 = T 6m+1 (ϑm+1 , . . . , ϑ6 )

kde ϑi je kloubov´ a souˇradnice kloubu typu P respektive R, viz (4.41). Lze ukázat, ˇze rovnice (4.72) vede na ˇreˇsen´ı 6 typ˚ u rovnic, jejichˇz analytické ˇreˇsen´ı je opˇet známé. Prvn´ı tˇri rovnice jsou shodné s rovnicemi typu 1, 2 a 3 z Tabulky 4.4 a zb´ yvaj´ıc´ı tˇri typy rovnic jsou uvedeny v Tabulce 4.5. Poˇcet moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı je roven ˇctyˇrem. Typ 9

a2 d2i + a1 di + a0 = 0

Typ 10

a4 d4i + a3 d3i + a2 d2i + a1 di + a0 = 0

Typ 11

a4 s2θi + a3 cθi sθi + a2 cθi + a1 sθi + a0 = 0

´ manipulátoru se sférick´ Tabulka 4.5: Dalˇs´ı typické rovnice pouˇzité pˇri ˇreˇsen´ı IKU ym z´ apˇest´ım, kde θi resp. di jsou kloubové souˇradnice kloubu typu R resp. P a ai jsou reálné koeficienty z´ avislé na K-K geometrick´ ych parametrech manipulátoru

Z rovnice (4.71) je moˇzné vzhledem k (4.19) odvodit závislosti pro rotaˇcn´ı matice jednotliv´ ych souˇradn´ ych systém˚ u: m+1 R0m−2 · Rm−2 = R06 m+1 · R6

142

(4.73)


Rovnice (4.73) se naz´ yv´ a rotaˇcn´ı rovnic´ı, nebot’, pro nyn´ı jiˇz známé hodnoty kloubov´ ych souˇradnic nepˇr´ısluˇsej´ıc´ım sférickému zápˇest´ı (matice R0m−2 a Rm+1 jsou konstantn´ı 6 matice), z´ avis´ı pouze na kloubov´ ych souˇradnic´ıch sférického zápˇest´ı: m−2 Rm−2 m+1 = Rm+1 (θm−1 , θm , θm+1 )

Lze uk´ azat, ˇze rovnice (4.73) vede na ˇreˇsen´ı rovnic typu 2 a 3 z Tabulky 4.4. Poˇcet moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı je roven dvˇema. Manipul´ ator obsahuj´ıc´ı 3 klouby typu P a 3 klouby typu R v libovoln´ em uspoˇ r´ ad´ an´ı Moˇ zn´ e varianty kinematick´ eho ˇ retˇ ezce: PPPRRR, PPRPRR, ... + dalˇs´ıch 18 kombinac´ı. N´ astin metody: Oznaˇcme klouby typu R jako Joint i, Joint j a Joint k a klouby typu P jako Joint i0 , Joint j 0 a Joint k 0 . Je zˇrejmé, ˇze klouby typu P nemohou jakkoliv ovlivnit orientaci koncového efektoru manipul´ atoru. Rotaˇcn´ı rovnici m˚ uˇzeme tedy odvodit z rovnice (4.42) opˇet s vyuˇzit´ım (4.19) jako: R0i (θi ) · Rij (θj ) · Rj6 (θk ) = R06

(4.74)

Lze uk´ azat, ˇze rovnice (4.74) vede na podobné ˇreˇsen´ı jako rotaˇcn´ı rovnice (4.73). Stejnˇe tak i poˇcet ˇreˇsen´ı je roven dvˇema. Polohovou rovnici lze ps´ at jako: T 0i (di0 ) · T ij (dj 0 ) · T k6 = T 06

(4.75)

Vzhledem k tomu, ˇze matice pˇrechodu v rovnici (4.75) jsou závislé pouze na kloubov´ ych souˇradnic´ıch kloub˚ u typu P (kloubové souˇradnice θi , θj , θk kloub˚ u typu R známe z ˇreˇsen´ı rovnice (4.74)), nevyskytuj´ı se v této polohové rovnici ˇzádné ˇcleny typu sin, cos a rovnice je tak soustavou lineárn´ıch rovnic v neznám´ ych di0 , dj 0 , dk0 . 4.6.2.3

Metody pro ˇ reˇ sen´ı obecn´ ych architektur manipul´ ator˚ u

Pod obecnou architekturou manipulátoru se 6 Dof rozum´ıme manipulátor se 6 klouby typu P respektive R s libovolnˇe orientovan´ ymi osami translace respektive rotace. D-H

143


ˇci K-K geometrické parametry mohou tedy nab´ yvat libovoln´ ych reáln´ ych hodnot. Dnes ´ takov´ nejznámˇejˇs´ı obecnou metodou pro ˇreˇsen´ı IKU ych manipulátor˚ u je RaghavanRothova metoda (Raghavan-Roth method), viz [89]. N´ astin metody (pro s´ eriov´ y manipul´ ator se 6 klouby typu R): Rovnice (4.42) lze pˇrepsat n´ asledovnˇe: T 01 (θ1 ) · T 12 (θ2 ) · T 23 (θ3 ) · T 34 (θ4 ) = T 06 · T 65 (θ6 ) · T 54 (θ5 )

(4.76)

Prvky matice na pravé stranˇe rovnice (4.76) jsou funkcemi pouze kloubov´ ych souˇradnic θ5 , θ6 a prvky na levé stranˇe kloubov´ ych souˇradnic θ1 , θ2 , θ3 , θ4 , coˇz v´ yraznˇe usnadˇ nuje dalˇs´ı symbolické v´ ypoˇcty. Lze uk´ azat, ˇze porovnán´ım vhodn´ ych pˇr´ısluˇsej´ıc´ıch si prvk˚ u matic na levé a pravé stranˇe, rozˇs´ıˇren´ım soustavy rovnic o pˇr´ıdavné rovnice a následném zjednoduˇsen´ı, dost´ av´ ame soustavu rovnic, jiˇz nezávislou na θ4 (formálnˇe shodnou s lineárn´ım soustavou rovnic): A · X1 = B · Y

(4.77)

kde T X 1 = sθ2 sθ3 sθ2 cθ3 cθ2 sθ3 cθ2 cθ3 sθ2 cθ2 sθ3 cθ3 1 T Y = sθ5 sθ6 sθ5 cθ6 cθ5 sθ6 cθ5 cθ6 sθ5 cθ5 sθ6 cθ6 A je matice [14 × 9] s prvky dan´ ymi lineárn´ı kombinac´ı funkc´ı sθ1 , cθ1 B je konstantn´ı matice [14 × 8] Za u ´ˇcelem eliminace θ5 a θ6 lze rovnice (4.77) rozdˇelit následovnˇe: A1 B1 A1 · X 1 = B 1 · Y · X1 = ·Y ⇒ A2 B2 A2 · X 1 = B 2 · Y

(4.78)

kde A1 je matice [6 × 9], A2 je matice [8 × 9], B 1 je matice [6 × 8] a B 2 je matice [8 × 8]. Eliminac´ı Y dost´ av´ ame rovnici: D · X 1 = 06×1

(4.79)

kde D = [A1 − B1 · B −1 avislá pouze na lineárn´ı kombinaci sθ1 2 · A2 ] je matice [6 × 9] z´ a cθ1 . Dosazen´ım zn´ ame substituce, viz [90] θi xi = tan 2

⇒

sθi = cθi =

2xi 1+x2i 1−x2i 1+x2i

144

,

pro i = 1, 2, 3

(4.80)


do rovnice (4.79) dost´ av´ ame rovnici: E · X 2 = 06×1 kde X 2 =

x22 x23 x22 x3 x22 x2 x23 x2 x3 x2 x23 x3 1

(4.81) T

a E je matice [6×9] jej´ıˇz

prvky jsou kvadratick´ ymi funkcemi v promˇenné x1 . Z rovnice (4.81) lze eliminovat x2 a x3 tzv. dyalitickou eliminac´ı, která je zaloˇzena na n´ asleduj´ıc´ım postupu. Vynásoben´ım rovnice (4.81) promˇenou x2 dostáváme rovnici: E · X 3 = 06×1 kde X 3 =

(4.82)

x32 x23 x32 x3 x32 x22 x23 x22 x3 x22 x2 x23 x2 x3 x2 .

Kombinac´ı rovnic (4.81) a (4.82) dostáváme soustavu rovnic: S · X = 012×1 kde X =

x32 x23 x32 x3 x32 x22 x23 x22 x3 x22 x2 x23 x2 x3 x2 x23 x3 1

(4.83) T

a S je

matice [12 × 12] jej´ıˇz prvky jsou opˇet kvadratick´ ymi funkcemi v promˇenné x1 a plat´ı: E 06×3 S= 06×3 E Vzhledem k tomu, ˇze X 6= 012×1 soustava rovnic (4.83) má netriviáln´ı ˇreˇsen´ı, a to pouze za pˇredpokladu: det(S) = 0

(4.84)

Raghavan uk´ azal, ˇze det(S) = 0 je polynomem stupnˇe 24 v promˇenné x1 a má jedin´ y spoleˇcn´ y faktor (x21 + 1)4 vedouc´ı na komplexn´ı koˇreny. Rovnice 4.84 lze tedy psát: det(S) = f (x1 )(x21 + 1)4 = 0

(4.85)

kde f (x1 ) je polynom stupnˇe 16 s reáln´ ymi koˇreny (nˇekdy v literatuˇre naz´ yván jako charakteristický polynom manipul´ atoru). ´ Je tedy zˇrejmé ˇze obecn´ y 6R manipulátor má maximálnˇe 16 r˚ uzn´ ych ˇreˇsen´ı IKU. Kloubové souˇradnice jsou postupnˇe vypoˇc´ıtány pro vˇsechny koˇreny x1i , i = 1, 2, . . . polynomu f (x1 ) n´ asledovnˇe: • x2i a x3i lze z´ıskat ˇreˇsen´ım soustavy lineárn´ıch rovnic (4.83), nebot’ S(x1i ) je numerick´ a matice a obecnˇe plat´ı rank(S(x1i )) = 11 (ˇreˇs´ıme tak soustavu 11 rovnic pro 11 nezn´ am´ ych). Zpˇetnou substituc´ı (4.80) z´ıskáváme kloubové souˇradnice θ1i , θ2i a θ3i .

145


• Substituc´ı θ1i , θ2i , θ3i do rovnice B 2 · Y = A2 · X 1 z (4.78) dostáváme soustavu 8 lineárn´ıch rovnic pro 8 nezn´ am´ ych v Y . Kloubové souˇradnice θ5i a θ6i lze pak vypoˇc´ıtat prostˇrednictv´ım funkce atan2(?). • Pˇreorganizov´ an´ım rovnice (4.76) a substituc´ı θ1i , θ2i , θ3i , θ5i , θ6i dostáváme T 34 (θ4 ) = T 32 (θ3 ) · T 21 (θ2 ) · T 10 (θ1 ) · T 06 · T 65 (θ6 ) · T 54 (θ5 ) a vzhledem k (4.37), pro popis s.s. podle K-K u ´mluvy, lze posledn´ı kloubovou souˇradnici vypoˇc´ıtat z prvk˚ u T 34 (θ4 )[1, 1] a T 34 (θ4 )[1, 2] opˇet pomoc´ı funkce atan2(?). Metodu je moˇzné v m´ırnˇe pozmˇenˇené podobˇe aplikovat i na manipulátory s klouby typu P. Poznamenejme, ˇze pro manipulátor nacházej´ıc´ı se v singulárn´ı poloze, viz Kapitola 4.8.4 se v matici S objevuj´ı line´ arnˇe závislé ˇrádky, u ´loha potom nemá ˇreˇsen´ı. Naopak lineárnˇe z´ avislé sloupce se mohou v matici S vyskytovat pro specifickou kombinaci K-K ˇci D-H geometrick´ ych parametr˚ u manipulátoru. V takovém pˇr´ıpadˇe je tˇreba zmˇenit prvky matice, které se porovn´ avaj´ı v rovnici (4.76), pˇr´ıpadnˇe tuto ”startovac´ı”rovnici zvolit jin´ ym zp˚ usobem, existuje celkem 6 moˇzn´ ych variant: T 01 · T 12 · T 23 · T 34 = T 06 · T 65 · T 54 T 12 · T 23 · T 34 · T 45 = T 10 · T 06 · T 65 T 23 · T 34 · T 45 · T 56 = T 21 · T 10 · T 06 T 34 · T 45 · T 56 · T 60 = T 32 · T 21 · T 10 T 45 · T 56 · T 60 · T 01 = T 43 · T 32 · T 21 T 56 · T 60 · T 01 · T 12 = T 54 · T 43 · T 32

ˇ sen´ı IKU ´ pro specifické hodnoty geometrick´ Reˇ ych parametr˚ u (konkrétn´ı kombinace kloub˚ u) zaloˇzené na modifikace Raghavanovy metody je podrobnˇe diskutováno napˇr. v [91]. Efektivn´ı implementaci obecné Raghavanovy metody s ohledem na v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnost, stabilitu a potlaˇcen´ı numerick´ ych chyb lze nalézt v [92]. ´ pro sériové manipulátory Poznamenejme, ˇze z obecného pohledu je tedy ˇreˇsen´ı IKU pˇrevoditelné na problém ˇreˇsen´ı soustavy polynomiáln´ıch rovnic. Raghavanova metoda tento problém d´ ale pˇrev´ ad´ı na hled´ an´ı koˇrenu polynomu n-tého stupnˇe. Alternativn´ım pˇr´ıstupem se dnes st´ av´ a pomalu, ale jistˇe se rozˇsiˇruj´ıc´ı metoda Gr¨ obnerových b´ az´ı,

146

4.7 Paraleln´ı manipul´ atory

zaloˇzen´ a na principu pˇrevodu soustavy polynomiáln´ıch rovnic na ekvivalentn´ı soustavu, jej´ıˇz ˇreˇsen´ı lze vypoˇc´ıtat postupn´ ym dosazován´ım d´ılˇc´ıch v´ ysledk˚ u (napˇr. jedna rovnice soustavy je polynomem v jedné promˇenné, atd.). Názorn´ y pˇr´ıklad s vyuˇzit´ım právˇe ˇ sen´ı IKU ´ pro obecn´ Gr¨ obnerov´ ych b´ az´ı pro PSM-RR z Pˇr´ıkladu 4.4 lze nalézt v [93]. Reˇ y sériov´ y manipul´ ator z Kapitoly 4.6.2.3 pak napˇr. v [94].

4.7

Paraleln´ı manipul´ atory

Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno v Kapitole 4.2, paraleln´ı manipulátory jsou tvoˇreny uzavˇren´ ymi kinematick´ ymi ˇretˇezci, neboli základna manipulátoru je s koncov´ ym efektorem spojena alespoˇ n dvˇema nez´ avisl´ ymi otevˇren´ ymi kinematick´ ymi ˇretˇezci. Existuj´ı v podstatˇe dva základn´ı systematické pohledy na ˇreˇsen´ı kinematiky takov´ ych manipulátor˚ u: • Dekompozice paraleln´ıho mechanismu na nezávislé uzavˇrené kinematické ˇretˇezce • Dekompozice paraleln´ıho mechanismu na sériové manipulátory Poznamenejme, ˇze pro nˇekteré (zejména jednoduché planárn´ı) paraleln´ı manipulátory ´ a IKU ´ s pomoc´ı geometrie, jako napˇr. kinematická anal´ je moˇzné nalézt ˇreˇsen´ı PKU yza PPM v [95]. Nicménˇe takov´ y postup je obt´ıˇznˇe algoritmizovateln´ y pro odliˇsné architektury manipul´ ator˚ u. Zab´ yvejme se proto nadále uveden´ ymi systematick´ ymi pˇr´ıstupy.

4.7.1

Dekompozice paraleln´ıho mechanismu na nez´ avisl´ e uzavˇ ren´ e kinematick´ eˇ retˇ ezce

Pˇredpokl´ adejme manipul´ ator s L klouby a n pohybliv´ ymi rameny (bez zapoˇcten´ı pevné základny). Vzhledem k moˇznosti popsat takov´ y manipulátor cyklick´ ym planárn´ım grafem, kde ramena jsou reprezentovány jeho vrcholy a klouby jeho hranami je moˇzné z Eulerova vzorce 1 pro plan´ arn´ı graf z´ıskat vztah: (n + 1) − |{z} L + | {z }

vrcholy grafu

hrany

(B + 1) | {z }

=2

⇒

B =L−n

(4.86)

uzavˇren´ e oblasti

kde n + 1 oznaˇcuje poˇcet ramen manipulátoru vˇcetnˇe pevné základny a B + 1 poˇcet oblast´ı ohraniˇcen´ ymi hranami grafu vˇcetnˇe vnˇejˇs´ı nekoneˇcné oblasti, kde B v naˇsem pˇr´ıpadˇe oznaˇcuje poˇcet nez´ avisl´ ych uzavˇren´ ych kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u (smyˇcek). 1

Pro plan´ arn´ı graf s V vrcholy, E hranami, které se vz´ ajemnˇe nekˇr´ıˇz´ı a F oblastmi ohraniˇcen´ ymi hranami (vˇcetnˇe vnˇejˇs´ı oblasti s nekoneˇcn´ ym obsahem) plat´ı vztah: V − E + F = 2.

147


Obrázek 4.26 ukazuje odpov´ıdaj´ıc´ı planárn´ı grafy PPM z Kapitoly 4.4.2 a pr˚ umyslového sérioparaleln´ıho manipul´ ator s oznaˇcen´ım AKR-3000.

(a) PPM, B = 5 − 4 = 1

(b) AKR-300, B = 8−6 = 2 (Link 1 je z´ akladnou pro paraleln´ı ˇca ´st manipul´ atoru)

Obr´ azek 4.26: Paraleln´ı manipul´ atory a jejich reprezentace pomoc´ı planárn´ıho grafu s urˇcen´ım poˇctu nez´ avisl´ ych uzavˇren´ ych kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u (podtrˇzen´ı oznaˇcuje aktivn´ı klouby manipul´ atoru)

Pro transformaci mezi jednotliv´ ymi s.s. um´ıstˇen´ ych v kloubech paraleln´ıho manipulátoru lze s v´ yhodou vyuˇz´ıt K-K u ´mluva, viz Kapitola 4.5.2.2 (D-H u ´mluva v tomto pˇr´ıpadˇe pouˇz´ıt nelze). Vytvoˇrme nyn´ı ekvivalentn´ı stromovou strukturu z p˚ uvodn´ıho paraleln´ıho manipulátoru rozpojen´ım vˇsech uzavˇren´ ych kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u v jednom z jejich pasivn´ıch kloub˚ u následuj´ıc´ım zp˚ usobem, viz Obr´ azek 4.27. Pˇredpokládejme pouze klouby s 1 DoF (typ P a R): • Definujme funkci i = a(j), kter´ a vrac´ı ˇc´ıslo s.s. Fi bezprostˇrednˇe pˇredcházej´ıc´ıho s.s. Fj . • Vyberme pasivn´ı klouby, ve kter´ ych provedeme rozpojen´ı a oznaˇcme je Joint k,

148


kde k = n + 1 . . . L. V kaˇzdém rozpojeném kloubu definujme s.s. Fk , kter´ y je pevnˇ e spojen s jedn´ım ramenem k tomuto kloubu pˇripojenému, napˇr. Link j. Osa z k je totoˇzn´ a s osou rozpojeného kloubu a osa xk je um´ıstˇena ve smˇeru norm´ aly os z j a z k .

Ostatn´ı klouby oznaˇcme jako Joint 1 . . . Joint n a um´ıstˇeme je dle K-K u ´mluvy.

Je zˇrejmé, ˇze transformaˇcn´ı matice T jk mezi pevnˇe svázan´ ymi s.s. Fj a Fk je konstantn´ı matice, popisuj´ıc´ı pouze geometrii ramene Link j.

• Transformaˇcn´ı matice T ik , kde i = a(k) oznaˇcuje ˇc´ıslo druhého ramene Link i pˇripojeného ke kloubu Joint k, je definována obecnˇe 6 parametry K-K u ´mluvy: αk , ak , dk , θk , γk , bk (kloubová souˇradnice Joint k je opˇet ϑk = θk pro kloub typu R a ϑk = dk pro kloub typu P, ostatn´ı parametry definuj´ı pouze geometrii ramene Link i).

• Jelikoˇz geometrické parametry konstantn´ı transformaˇcn´ı matice T jk a transformaˇcn´ı matice T ik rozpojeného kloubu Joint k by mˇely stejn´ y doln´ı index k, zavedeme jeˇstˇe pro kaˇzd´ y kloub Joint k pˇr´ıdavn´ y s.s. Fk+B , kter´ y je totoˇzn´ y se s.s. Fk (Fk+B ≡ Fk ). Konstantn´ı transformaˇcn´ı matici T jk pak tedy dále nahrad´ıme konstantn´ı transformaˇcn´ı matic´ı T jk+B s geometrick´ ymi parametry αk+B , ak+B , dk+B = 0, θk+B = 0, γk+B , bk+B .

149


Obr´ azek 4.27: Princip rozpojen´ı uzavˇreného kinematického ˇretˇezce

Je zˇrejmé, ˇze v pˇr´ıpadˇe paraleln´ıch manipulátor˚ u m˚ uˇzeme tedy vektor kloubov´ ych souˇradnic Θ dále dˇelit na subvektor N nez´ avisl´ ych aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic (aktuátor˚ u) Θa a L − N pasivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic (nepohánˇené klouby) Θp : Θa Θ= Θp

(4.87)

Vzhledem k faktu, ˇze v geometrickém popisu manipulátoru se vyskytuje pouze N nezávisl´ ych promˇenn´ ych Θa , mus´ı zde pro staticky urˇcen´ y manipulátor1 existovat právˇe 1

Manipul´ ator, jehoˇz koncov´ y efektor nevykazuje ˇza ´dn´ y n´ ych”aktu´ atorech (aktivn´ı kloubové souˇradnice jsou konstantn´ı).

150

stupeˇ n

volnosti

pˇri

”uzamˇce-


L − N nez´ avisl´ ych rovnic definuj´ıc´ıch vztah mezi aktivn´ımi Θa a pasivn´ımi Θp kloubov´ ymi souˇradnicemi manipulátoru. Tyto omezuj´ıc´ı rovnice lze z´ıskat z podm´ınky na uzavˇren´ı kinematické ˇretˇezce v rozpojeném kloubu Joint k, nebot’ nutnˇe plat´ı: a(i)

T ca(a(...a(i))) · · · · · T i

a(j)

· T ik = T ca(a(...a(j))) · · · · · T j

· T jk+B

(4.88)

kde Fc souˇradn´ y systém ramene Link c, které je prvn´ım spoleˇcn´ ym ramenem na cestˇe smˇerem od rozpojeného kloubu Joint k v obou vˇetv´ıch kinematického ˇretˇezce. ˇ sen´ı rovnice (4.88) vede tedy na stanoven´ı hodnoty pasivn´ıch kloubov´ Reˇ ych souˇradnic Θp v z´ avislosti na hodnot´ ach souˇradnic aktivn´ıch Θp definované vztahem: Θp = g(Θa )

(4.89)

Je zˇrejmé, ˇze rovnice (4.88) soustavou 12 nelineárn´ıch rovnic pro maximálnˇe 6 nezávisl´ ych promˇenn´ ych (obecn´ y pohyb v prostoru je popsán celkem 6 nezávisl´ ymi promˇenn´ ymi 3 pro translaci + 3 pro rotaci, uvedenou soustava tak lze redukovat na nejv´ yˇse 6 nez´ avisl´ ych rovnic). Z uvedeného vypl´ yvá, ˇze pro existenci koneˇcného poˇctu izolovan´ ych ˇreˇsen´ı rovnice (4.88) mus´ı planárn´ı uzavˇren´ y kinematick´ y ˇretˇezec obsahovat maximálnˇe 3 a prostorov´ y kinematick´ y ˇretˇezec maximálnˇe 6 pasivn´ıch kloub˚ u. Poznamenejme, ˇze rovnici (4.88) lze pˇrepsat do tvaru: a(a(...a(j)))

a(i)

T k+B · T ja(j) · · · · · T a(a(...a(i))) · · · · · T i j

· T ik = I

(4.90)

kde nezn´ am´ ymi jsou kloubové souˇradnice pasivn´ıch kloub˚ u Θp . ´ z Kapitoly 4.6.2. Z tohoto d˚ Nalezen´ı funkce g je tedy podobné ˇreˇsen´ı IKU uvodu je ˇreˇsen´ı rovnice (4.88) obecnˇe komplikované. Speciáln´ı pˇr´ıpad tvoˇr´ı paraleln´ı manipulátory, kde kaˇzd´ y uzavˇren´ y kinematick´ y ˇretˇezec obsahuje právˇe 3 pasivn´ı klouby, nebo lze na tuto situaci postupnˇe pˇrevézt. Takov´ y pˇr´ıpad nastává pro oba typy uvaˇzovan´ ych manipul´ ator˚ u (v technické praxi tento pˇr´ıpad b´ yvá velmi ˇcast´ y): • PPM obsahuje jeden uzavˇren´ y kinematick´ y ˇretˇezec právˇe se 3 pasivn´ı klouby Joint 2, Joint 4, Joint 5 • AKR-3000 obsahuje dva uzavˇrené kinematické ˇretˇezce, kde vˇsak prvn´ı z nich obsahuje pouze 3 pasivn´ı klouby Joint 2, Joint 4, Joint 12. Jejich polohy mohou b´ yt tedy stanoveny v z´ avislosti na poloze aktivn´ıho kloubu Joint 6. Druh´ y uzavˇren´ y kinematick´ y ˇretˇezec pak obsahuje opˇet pouze 3 pasivn´ı klouby Joint 3, Joint 7 Joint 11, nebot’ poloha kloubu Joint 2 je jiˇz známá.

151


N´ astin metody (3 pasivn´ı klouby): Metodu lze nalézt v [96], [97] a pˇr´ıklad jej´ıho pouˇzit´ı pro manipulátor AKR-3000 pak v [81]. Oznaˇcme 3 pasivn´ı klouby v uzavˇreném kinematickém ˇretˇezci jako Joint i, Joint j, Joint k a pˇredpokl´ adejme, ˇze zn´ ame hodnoty vˇsech aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic Θa . Rovnici (4.90) lze pro obecn´ y pˇr´ıpad psát jako: T ik+B (ϑi ) · T ij (ϑj ) · T jk (ϑk ) = I

(4.91)

kde matice pˇrechodu jsou z´ avislé na hledan´ ych hodnotách pasivn´ıch kloubov´ ych sou T ˇradnic Θp = ϑi ϑj ϑk . Lze ukázat, ˇze rovnice (4.91) vede na podobné rovnice, jako je polohová a rotaˇcn´ı rovnice v Kapitole 4.6.2.2 s t´ım rozd´ılem, ˇze tyto rovnice jsou funkcemi stejn´ ych promˇenn´ ych (ϑi , ϑj , ϑk ) a mus´ı b´ yt ˇreˇseny souˇcasnˇe. 4.7.1.1

Pˇ r´ım´ y kinematick´ y probl´ em

Vybereme nejkratˇs´ı cestu (vzhledem k poˇctu kloub˚ u) od základny manipulátoru do jeho koncového efektoru, kterou lze jednoznaˇcnˇe popsat posloupnost´ı transformaˇcn´ıch matic, analogicky k (4.42): a(a(n))

T 0n (Θ) = T 0i · . . . T a(n)

· T na(n)

(4.92)

Pokud nejkratˇs´ı cesta obsahuje nˇekterou z pasivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic Θp , mus´ı b´ yt tyto souˇradnice vyj´ adˇreny jako funkce aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic, ˇreˇsen´ım rovnice (4.91). 4.7.1.2

Inverzn´ı kinematick´ y probl´ em

Vybereme opˇet nejkratˇs´ı cestu od z´ akladny manipulátoru do jeho koncového efek´ pro sériové manipulátory z Kapitoru. T´ım p´ adem jsme u ´lohu pˇrevedli na ˇreˇsen´ı IKU toly 4.6.2. Metody z uvedené kapitoly vyuˇz´ıvaj´ıc´ı popis s.s. pomoc´ı K-K metody pˇredpokládaj´ı, ˇze geometrické parametry bj a γj jsou nulové, viz Obr. 4.16. Pokud toto nelze zaˇr´ıdit jiˇz vhodnou volbou s.s., je moˇzné geometrické parametry bj respektive γj slouˇcit s kloubov´ ymi souˇradnicemi di respektive θi , nebot’ pro dvˇe po sobˇe bezprostˇrednˇe

152


následuj´ıc´ı ramena Link i a Link j plat´ı, viz (4.40): a(i)

Ti

· T ij = Trans(z, bi ) · Rot(z, γi ) · Trans(x, ai ) · Rot(x, αi ) · Trans(z, di ) · Rot(z, θi ) · | {z } a(i)

Ti

· Trans(z, bj ) · Rot(z, γj ) · Trans(x, aj ) · Rot(x, αj ) · Trans(z, dj ) · Rot(z, θj ) | {z } T ij

Tedy zˇrejmˇe plat´ı: a(i)

Ti

· T ij = Trans(z, bi ) · Rot(z, γi ) · Trans(x, ai ) · Rot(x, αi ) · Trans(z, di + bj ) · Rot(z, θi + γj ) · {z } | a(i)

Ti

· Trans(x, aj ) · Rot(x, αj ) · Trans(z, dj ) · Rot(z, θj ) | {z } T ij

4.7.2

Dekompozice paraleln´ıho mechanismu na s´ eriov´ e manipul´ atory

´ a PKU ´ uveden´ Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, postup v´ ypoˇctu IKU y v Kapitole 4.7.1 je moˇzn´ y pˇr´ımo aplikovat pouze na typy paraleln´ıch manipulátor˚ u, které obsahuj´ı alespoˇ n jeden uzavˇren´ y kinematick´ y ˇretˇezec s nejv´ yˇse 3 pasivn´ımi klouby (planárn´ı manipulátory) nebo 6 pasivn´ımi klouby (prostorové manipulátory) a vˇsechny zb´ yvaj´ıc´ı uzavˇrené kinematické ˇretˇezce je moˇzné postupn´ ym v´ ypoˇctem kloubov´ ych souˇradnic do tohoto stavu pˇrevézt. V takové situaci m˚ uˇze b´ yt kaˇzd´ y uzavˇren´ y kinematick´ y ˇretˇezec chápán jako staticky urˇcen´ y a nalezen´ı z´ avislosti mezi aktivn´ımi Θa a pasivn´ımi Θp souˇradnicemi manipul´ atoru je v obecném pˇr´ıpadˇe dáno ˇreˇsen´ım rovnice (4.90), coˇz je analogick´ y pro´ pro sériové manipulátory (koneˇcn´ blém k problému stanoven´ı IKU y poˇcet izolovan´ ych ˇreˇsen´ı). Z definice pro obecn´ y paraleln´ı manipulátor vˇsak plat´ı, ˇze koncov´ y efektor je pˇripojen k z´ akladnˇe manipul´ atoru alespoˇ n dvˇema nezávisl´ ymi otevˇren´ ymi kinematick´ ymi ˇretˇezci. Obecnˇe nemus´ı b´ yt splnˇena podm´ınka, ˇze uzavˇrené kinematické ˇretˇezce jsou staticky urˇcené (tedy obsahuj´ı nejv´ yˇse 3 respektive 6 pasivn´ıch kloub˚ u). Pˇr´ıklady takov´ ych manipul´ ator˚ u, vˇcetnˇe jejich grafické reprezentace znázorˇ nuje Obrázek 4.28.

153


(a) Plan´ arn´ı manipul´ ator, B = 9 − 7 = 2

(b) PSZ, B = 10 − 7 = 3

Obr´ azek 4.28: Paraleln´ı manipul´ atory a jejich reprezentace pomoc´ı planárn´ıho grafu (staticky neurˇcené uzavˇrené kinematické ˇretˇezce)

Vˇsimnˇeme si, ˇze v pˇr´ıpadˇe plan´ arn´ıho manipulátoru je koncov´ y efektor pˇripojen k základnˇe 3 identick´ ymi nez´ avisl´ ymi otevˇren´ ymi kinematick´ ymi ˇretˇezci typu RRR a kaˇzd´ y ze dvou nez´ avisl´ ych uzavˇren´ ych kinematick´ y ˇretˇezc˚ u tedy obsahuje celkem 4 pasivn´ı klouby typu R (4 pasivn´ı kloubové souˇradnice). V pˇr´ıpadˇe PSZ je koncov´ y efektor pˇripojen k z´ akladnˇe 3 identick´ ymi kinematick´ ymi ˇretˇezci typu PUS a jedn´ım pasivn´ım kinematick´ ym ˇretˇezcem tvoˇren´ ym samostatn´ ym kloubem S. Dva nezávislé uzavˇrené kinematické ˇretˇezce tak obsahuj´ı celkem 10 pasivn´ıch kloub˚ u s 1 DoF (S=(RRR), U=(RR)) a zb´ yvaj´ıc´ı celkem 9 pasivn´ıch kloub˚ u s 1 DoF. V obou pˇr´ıpadech nem˚ u-

154


ˇzeme nalézt ani jeden staticky urˇcen´ y uzavˇren´ y kinematick´ y ˇretˇezec. 4.7.2.1

Inverzn´ı kinematick´ y probl´ em

´ pro obecn´ IKU y paraleln´ı manipulátor lze obecnˇe ˇreˇsit následuj´ıc´ım zp˚ usobem, viz [98]. Pˇredpokl´ adejme paraleln´ı manipulátor s n nezávisl´ ymi kinematick´ ymi ˇretˇezci, viz Obrázek 4.29. Poloha z´ akladny manipulátoru je jednoznaˇcnˇe urˇcena s.s. F0 a poloha koncového efektoru pak s.s. Fe . Poloha i-tého kinematického ˇretˇezce (v podstatˇe sériového manipul´ atoru) je d´ ana rovnic´ı:

ˇ sen´ı IKU ´ obecného paraleln´ıho manipulátoru Obr´ azek 4.29: Reˇ

−−−→b −−−→b −−−→b −−−→b Ai B i = Ai O b + O b O e + O e B i

(4.93)

at Je zˇrejmé, ˇze rovnici (4.93) lze se znalost´ı zobecnˇen´ ych souˇradnic X = Rbe O be ps´ jako: −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ (i) H 1 (X) = Ai B i b = Ai O b b + O b O e b +Rbe · O e B i e | {z }

(4.94)

O be

−−−→ −−−→ kde Ai O b b respektive O e B i e jsou konstantn´ı vektory dané návrhov´ ymi parametry ξ manipul´ atoru urˇcuj´ıc´ı m´ısto pˇripojen´ı uzavˇren´ ych kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u k základnˇe respektive koncovému efektoru manipulátoru.

155

´ 4. UVOD DO ROBOTIKY −−−→ Pˇr´ım´ y kinematick´ y problém, tedy opˇet poloha vektoru Ai B i , i-tého kinematického ˇretˇezce m˚ uˇze b´ yt pro jeho kloubové souˇradnice Θi (pasivn´ı i aktivn´ı) vyjádˇren rovnic´ı: −−−→ (i) H 2 (Θi ) = Ai B i b

(4.95)

Zat´ımco struktura rovnice (4.94) je stejná pro vˇsechny typy paraleln´ıch manipulátor˚ u, struktura rovnice (4.95) z´ avis´ı striktnˇe na typu pouˇzit´ ych kinematick´ y ˇretˇezc˚ u. Inverzn´ı kinematick´ y problém pro obecn´ y paraleln´ı manipulátor je pak dán ˇreˇsen´ım soustavy rovnic: 

  (1)  (1) H 1 (X) H 2 (Θ1 )     .. ..     . .      (i)   (i)   H 1 (X)  =  H 2 (Θi )      .. ..     . .     (n) (n) H (X) H (Θk ) | 1 {z } | 2 {z } H1 (X)

(4.96)

H2 (Θ)

´ známá a konstantn´ı Vzhledem k tomu, ˇze vektorov´ a funkce H1 (X) je v pˇr´ıpadˇe IKU a vektorová funkce H2 (Θ) m˚ uˇze b´ yt stanovena analogicky jako v pˇr´ıpadˇe sériov´ ych ´ pro sériové mamanipulátor˚ u, viz Kapitola 4.6.1, jedná se v podstatˇe o ˇreˇsen´ı IKU nipulátory z Kapitoly 4.6.2, kde bychom stanovili vˇsechny kloubové souˇradnice Θi (pasivn´ı + aktivn´ı) kaˇzdého i-tého kinematického ˇretˇezce. Poznamenejme, ˇze kinematické ˇretˇezce tvoˇr´ıc´ı sériové manipul´ atory budou m´ıt v neredundantn´ım pˇr´ıpadˇe právˇe 2 respektive 3 nez´ avislé kloubové souˇradnice (pasivn´ı + aktivn´ı) pro planárn´ı respektive prostorové manipul´ atory, nebot’ koncov´ y efektor tˇechto sériov´ ych manipulátor˚ u je polohován, d´ıky pˇripojen´ı kloubem typu R respektive S, nezávisle na své orientaci (bod pˇripojen´ı kinematického ˇretˇezce na koncov´ y efektor paraleln´ıho manipulátoru je urˇcen −−−→ jen svou polohou, vektorem Ai B i ). Poˇcet aktivn´ıch a pasivn´ıch kloub˚ u vˇsech kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u (bez uvaˇzov´ an´ı souˇradnic kloub˚ u pˇripojuj´ıc´ı koncov´ y efektor) je tedy roven L = 2 · n respektive L = 3 · n pro planárn´ı respektive prostorové manipulátory. Rovnice (4.96) je tak soustavou L rovnic pro stejn´ y poˇcet neznám´ ych (pasivn´ı+aktivn´ı kloubové souˇradnice vˇsech d´ılˇc´ıch sériov´ ych manipulátor˚ u). Je zˇrejmé, ˇze v pˇr´ıpadˇe staticky urˇceného neredundantn´ıho paraleln´ıho manipulátoru je poˇcet N nez´ avisl´ ych aktivn´ıch kloubov´ y souˇradnic Θa roven poˇctu DoF koncového efektoru manipul´ atoru a pˇri uzamˇcen´ı tˇechto N aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic

156


(Θa = konst.) mus´ı existovat koneˇcn´ y poˇcet izolovan´ ych ˇreˇsen´ıch rovnice (4.96), odpov´ıdaj´ıc´ı nˇejaké konfiguraci manipulátoru. Lze tedy, podobnˇe jako v Kapitole 4.7.1, z´ıskat L − N nez´ avisl´ ych rovnic definuj´ıc´ı vztah mezi aktivn´ımi Θa a pasivn´ımi Θp kloubov´ ymi souˇradnicemi manipul´ atoru. V odborné literatuˇre se ˇcasto setkáváme s tvrzen´ım, ´ pro paraleln´ı manipulátory je obecnˇe analyticky ˇreˇsitelná. Je zˇrejmé, ˇze toto ˇze IKU tvrzen´ı neplat´ı, nebot’ pro sloˇzité kinematické ˇretˇezce je ˇreˇsen´ı rovnice (4.96) komplikované V mnoha pˇr´ıpadech pr˚ umyslov´ ych manipulátor˚ u jsou vˇsak kinematické ˇretˇezce spojuj´ıc´ı z´ akladnu a koncov´ y efektor manipulátoru jednoduché. Velmi ˇcast´ ym pˇr´ıpad v praxi tvoˇr´ı prostorové paraleln´ı manipulátory s kinematick´ ymi ˇretˇezci typu UPS (jedna ak´ dána pˇr´ımo ˇreˇsen´ım rovnice: tivn´ı kloubov´ a souˇradnice di ) pro které je IKU −−−→ (i) di = kAi B i k = kH 1 (X)k

(4.97)

ˇ Casto se také m˚ uˇzeme setkat s planárn´ımi manipulátory s kinematick´ ymi ˇretˇezci typu ´ pro sériov´ RRR, RPR, ... pro které je ˇreˇsen´ı rovnice (4.96) analogické s pˇr´ıpadem IKU y manipul´ ator typu PSM-RR z Pˇr´ıkladu (4.4). ´ pro PSZ) F Pˇ r´ıklad 4.8 (IKU Pˇredpokl´ adejme, ˇze zn´ ame zobecnˇené souˇradnice PSZ z Kapitoly 4.4.3. X=

h

α β γ

iT

Poloha i-tého kinematického ˇretˇezce s pˇr´ıpojn´ ymi body B i , D i k základnˇe a koncovému efektoru je tedy vyj´ adˇrena analogicky jako v rovnici (4.94), i = 1 . . . 3: −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ (i) H 1 (X) = B i D i b = B i D i b (X) = B i O b b + O b O e b + Rbe O e D i e kde

−−−→b B i O b = −B bi ,

−−−→e O e D i = D ei ,

iT −−−→b h Ob Oe = 0 0 v

A pˇr´ıpojné body z´ akladny B i a koncového efektoru D i lze vyjádˇrit pomoc´ı návrhov´ ych parametr˚ u ξ jako: B b1 =

h

√

3 6 a1

− 12 a1

0

iT

, B b2 =

h

√

3 6 a1

1 2 a1

0

iT

, B b3 =

vzhledem k s.s. Fb a h √ iT h √ iT h e e 3 3 1 D e1 = = = , D , D − 3 a2 0 0 2 3 6 a2 2 a2 0

157

h

√

√

−

3 6 a2

3 3 a1

0 0

− 12 a2

0

iT

iT


vzhledem k s.s. Fe . Matice rotace ud´ avaj´ıc´ı vz´ ajemnou orientaci koncového efektoru vzhledem k základnˇe manipul´ atoru lze vyj´ adˇrit jako: Rbe = Rbe (X) = R1 (α) · R2 (β) · R3 (γ) =       1 0 0 cos(β) 0 sin(β) cos(γ) − sin(γ) 0       =  0 cos(α) − sin(α)  ·  0 1 0  ·  sin(γ) cos(γ) 0  0 sin(α) cos(α) − sin(β) 0 cos(β) 0 0 1 ´ i-tého kinematického ˇretˇezce lze pak vyjádˇrit jako v rovnici (4.95): PKU −−−→ (i) ¯ b · u0 · l H 2 (Θ) = B i D i b = ubi · di + R i i −−−→ −−−→ kde ui = B i C i b /kB i C i b k je jednotkov´ y vektor smˇeru aktuátor˚ u vzhledem k s.s. Fb (u1 = u2 = u3 = u),     1 0 0 cos ϑyi 0 sin ϑyi    ¯b =  R 1 0  0 cos ϑxi − sin ϑxi  ·  0 i 0 sin ϑxi cos ϑxi − sin ϑyi 0 cos ϑyi a ϑxi , ϑyi jsou Eulerovy u ´hly urˇcuj´ıc´ı natoˇcen´ı ramene C i D i podle schématu XY vzhledem k s.s. Fb . Vektor kloubov´ ych souˇradnic manipulátoru Θ je tedy tvoˇren pasivn´ımi (ϑxi , ϑyi ) a aktivn´ımi (di ) kloubov´ ymi souˇradnicemi. Rovnice (4.96) tak vede na soustavu 9 rovnic pro 9 nezn´ am´ ych (Θ). Zafixov´ an´ım aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic di lze soustavu rovnic pˇrevézt na 6 nez´ avisl´ ych rovnic pro 6 pasivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic (ϑxi , ϑyi ), jej´ıˇz ˇreˇsen´ı vede na vztah mezi pasivn´ımi a aktivn´ımi kloubov´ ymi souˇradnicemi manipulátoru. Pokud vˇsak nepotˇrebujeme znát hodnoty pasivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic, ´ pro PSZ má dvˇe lze s v´ yhodou vyuˇz´ıt metodu z Pˇr´ıkladu 4.6, ze kterého plyne, ˇze IKU r˚ uzná ˇreˇsen´ı. F ´ pro PPM) F Pˇ r´ıklad 4.9 (IKU Pro pˇr´ıpad PPM z Kapitoly 4.4.2 je ˇreˇsen´ı inverzn´ı kinematické u ´lohy zˇrejmé, nebot’: iT +C −l3 0 h iT (2) H 1 (X) = − l3 0 +C (1)

H 1 (X) = −

h

´ PSM-RR z Pˇr´ıkladu 4.4. a ˇreˇsen´ı soustavy rovnic (4.96) je ekvivalentn´ı s ˇreˇsen´ım IKU Alternativn´ı pˇr´ıstup k ˇreˇsen´ı kinematiky je podrobnˇe popsán v [95]. F

158


4.7.2.2

Pˇ r´ım´ y kinematick´ y probl´ em

Pˇr´ım´ a kinematick´ au ´loha pro paraleln´ı manipulátory dodnes z˚ ustává otevˇren´ ym problémem, nebot’ jej´ı ˇreˇsen´ı nen´ı v obecném pˇr´ıpadˇe jednoznaˇcné a vede na v´ıce moˇznost´ı, jak ”sloˇzit”paraleln´ı manipul´ ator pro dané hodnoty kloubov´ ych souˇradnic, tzv. assembly ´ paraleln´ıch manipulátor˚ modes. Nejˇcastˇeji kladené ot´ azky pˇri vyˇsetˇrován´ı PKU u jsou ´ sériov´ tyto n´ asleduj´ıc´ı. Poznamenejme, ˇze stejné otázky vyvstávaj´ı i pˇri ˇreˇsen´ı IKU ych manipul´ ator˚ u, vˇsak zejména pro paraleln´ı manipulátory s komplikovanˇejˇs´ı architekturou jsou tyto ot´ azky kl´ıˇcové pro d˚ ukladnou kinematickou anal´ yzu. ´ (poˇcet assembly modes)? • Jak´ y je poˇcet ˇreˇsen´ı PKU ´ nebo je nutno pouˇz´ıt numerick´ • Existuje analytické ˇreˇsen´ı PKU ych metod? • Nalezen´ı efektivn´ıho algoritmu (rychlého, numericky stabiln´ıho, pˇresného,..) k v´ y´ poˇctu PKU? ´ z mnoˇziny pˇr´ıpustn´ • Jak rozhodnout o spr´ avném ˇreˇsen´ı PKU ych ˇreˇsen´ı? Vzhledem k faktu, ˇze architektury paraleln´ıch manipulátor˚ u mohou b´ yt velmi roz´ pro obecn´ manité, je v podstatˇe nemoˇzné nalézt jeden univerzáln´ı pˇr´ıstup k ˇreˇsen´ı PKU y pˇr´ıpad paraleln´ıho manipul´ atoru (numerické metody zat´ım ponechme stranou). Omez´ıme tedy naˇse zkoum´ an´ı pouze na vybrané architektury paraleln´ıch manipulátor˚ u a na pˇr´ıpad u ´pln´ ych paraleln´ıch manipulátor˚ u1 Plan´ arn´ı manipul´ atory ´ pro paraleln´ı planárn´ı manipulátory lze s v´ Vyˇsetˇrov´ an´ı PKU yhodou pˇrevézt na problém hled´ an´ı pr˚ useˇc´ık˚ u dvou rovinn´ ych kˇrivek. Základn´ı ideou je pomyslné rozpojen´ı manipul´ atoru v jednom z bod˚ u pˇripojen´ı nezávislého kinematického ˇretˇezce na koncov´ y efektor. Pro dané aktivn´ı kloubové souˇradnice potom koncov´ y bod samostatného odpojeného kinematického ˇretˇezce opisuje jednu rovinnou kˇrivku (oznaˇcme ji dále jako Γ). Zb´ yvaj´ıc´ı ˇc´ ast koncového efektoru (tzv. coupler ) opisuje bodem, ke kterému byl p˚ uvodnˇe pˇripojen oddˇelen´ y kinematick´ y ˇretˇezec, pak druhou rovinnou kˇrivku (tzv. coupler curve, 1

Upln´ y paraleln´ı manipul´ ator (fully parallel manipulator ) - neredundantn´ı paraleln´ı manipul´ ator (N DoF a N nez´ avisl´ ych aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic), kde kaˇzd´ y kinematick´ y ˇretˇezec obsahuje pr´ avˇe jednu aktivn´ı kloubovou souˇradnici

159


´ oznaˇcme ji d´ ale Σ). Pr˚ useˇc´ıky rovinn´ ych kˇrivek Γ a Σ pak pˇr´ımo urˇcuj´ı ˇreˇsen´ı PKU ´ tedy poˇcet pr˚ (poˇcet ˇreˇsen´ı-assembly modes,...). Poˇcet ˇreˇsen´ı PKU, useˇc´ık˚ u rovinn´ ych kˇrivek lze za dan´ ych pˇredpoklad˚ u stanovit prostˇredn´ıctv´ım tzv. Bézoutova teorému, viz [99]. Pozn´ amka 4.3 (B´ ezout˚ uv teor´ em) Algebraickou rovinnou kˇrivkou Γ rozum´ıme mnoˇzinu bod˚ u v rovinˇe, vyhovuj´ıc´ı rovnici fΓ (x, y) = 0, kde fΓ (x, y) je polynom stupnˇe m v promˇenn´ ych x, y s reáln´ ymi koeficienty. Necht’ Γ respektive Σ jsou dvˇe algebraické rovinné kˇrivky stupnˇe m respektive n, které nemaj´ı spoleˇcn´ y faktor, tzn. polynomy fΓ (x, y) a fΣ (x, y) lze faktorizovat na odliˇsné ireducibiln´ımi polynomy (pˇr´ıpad generick´ ych kˇrivek). Potom kˇrivky Γ a Σ maj´ı maximálnˇe m · n pr˚ useˇc´ık˚ u v rovinˇe xy zahrnuj´ıc´ı body v nekoneˇcnu a násobnost pr˚ useˇc´ık˚ u. ˇ Necht’ Π je pr˚ useˇc´ık kˇrivek Γ a Σ. Rekneme, ˇze pr˚ useˇc´ık Π je násobnosti jedna, pokud teˇcny kˇrivky Γ a Σ v tomto bodˇe jsou r˚ uzné, násobnosti dva, pokud teˇcny spl´ yvaj´ı. Vyˇsetˇrov´ an´ı pr˚ useˇc´ık˚ u vyˇsˇs´ıch násobnost´ı lze nalézt napˇr v [100]. F Pˇ r´ıklad 4.10 (Pr˚ useˇ c´ıky rovinn´ ych kˇ rivek) Uved’me nˇekolik jednoduch´ ych pˇr´ıklad˚ u pouˇzit´ı Bézoutova teorému na základn´ı typy algebraick´ ych rovinn´ ych kˇrivek. Pˇ r´ımka - Pˇ r´ımka: Pˇr´ımky popisuj´ı dvˇe polynomi´ aln´ı rovnice stupnˇe 1, tedy dle Bezoutova teorému dostáváme maxim´ alnˇe 1 pr˚ useˇc´ık, coˇz souhlas´ı s geometrickou pˇredstavou. Pokud jsou vˇsak pˇr´ımky rovnobˇeˇzné, je zn´ amo, ˇze jejich pr˚ useˇc´ık je opˇet jeden, a to v nekoneˇcnu. Toto tvrzen´ı lze snadno dok´ azat. Necht’ m´ ame dvˇe rovnobˇeˇzné pˇr´ımky Γ, Σ: Γ : fΓ (x, y) = a1 x + b1 y + c1 = 0

(m = 1)

Σ : fΣ (x, y) = a1 x + b1 y + c2 = 0 (n = 1) iT h iT h dostáváme: Zaveden´ım homogenn´ıch souˇradnic x y → wx wy w Γ : fΓ (x, y) = a1 x + b1 y + c1 w = 0

(4.98)

Σ : fΣ (x, y) = a1 x + b1 y + c2 w = 0 Lze snadno uk´ azat, ˇze soustavˇe (4.98) vyhovuje bod s homogenn´ımi souˇradnicemi iT h , tedy bod leˇz´ıc´ı v nekoneˇcnu (w = 0) ve smˇeru vyˇsetˇrovan´ ych pˇr´ı1 − ab11 0 mek.

160


Pˇ r´ımka-Kruˇ znice Kruˇznici popisuje polynomi´ aln´ı rovnice stupnˇe 2, tedy dle Bezoutova teorému dost´ aváme maxim´ alnˇe dva pr˚ useˇc´ıky. Γ : fΓ (x, y) = a1 x + b1 y + c1 = 0

(m = 1)

Σ : fΣ (x, y) = (x + a2 )2 + (y + b2 )2 − c22 = 0

(4.99) (n = 2)

Lze uk´ azat, ˇze ˇreˇsen´ı soustavy (4.99) vede na polynom 2. stupnˇe v promˇenné x ˇci y a existuj´ı tedy bud’ dvˇe re´ alné ˇreˇsen´ı (pˇr´ımka je seˇcnou kruˇznice) dvˇe imaginárn´ı ˇreˇsen´ı (pˇr´ımka neprot´ın´ a kruˇznici) nebo jedno ˇreˇsen´ı násobnosti dva (pˇr´ımka je teˇcnou ke kruˇznici, viz definice n´ asobnosti pr˚ useˇc´ık˚ u uvedené v´ yˇse). Maximáln´ı poˇcet pr˚ useˇc´ık˚ u v rovinˇe xy je tedy 2. Kruˇ znice-Kruˇ znice Kruˇznice popisuj´ı dvˇe polynomiáln´ı rovnice stupnˇe 2, tedy dle Bezoutova dostáváme maxim´ alnˇe 4 pr˚ useˇc´ıky, coˇz vˇsak nekoresponduje s geometrickou pˇredstavou, nebot’ je známo, ˇze v takovém pˇr´ıpadˇe existuj´ı pr˚ useˇc´ıky maximálnˇe dva. Γ : fΓ (x, y) = (x + a1 )2 + (y + b1 )2 − c21 = 0 2

2

Σ : fΣ (x, y) = (x + a2 ) + (y + b2 ) −

c22

=0

(m = 2) (n = 2)

Zaveden´ım homogenn´ıch souˇradnic dostáváme: Γ : fΓ (x, y) = (x + a1 w)2 + (y + b1 w)2 − c21 w2 = 0

(4.100)

Σ : fΣ (x, y) = (x + a2 w)2 + (y + b2 w)2 − c22 w2 = 0 Je zˇrejmé, ˇze soustavˇe rovnic (4.100) vyhovuje dvojice bod˚ u S1 , S2 s homogenn´ımi h iT souˇradnicemi 1 ±i 0 , které leˇz´ı na imaginárn´ı kruˇznici x2 + y 2 = 0. Vzhledem k faktu, ˇze imagin´ arn´ı kruˇznice nezávis´ı na parametrech vyˇsetˇrovan´ ych kruˇznic (ai , bi , ci ), body S1 , S2 reprezentuj´ı pr˚ useˇc´ıky kter´ ychkoliv dvou kruˇznic leˇz´ıc´ı v nekoneˇcnu (w = 0). Body S1 , S2 se v literatuˇre naz´ yvaj´ı jako imaginary circular points. Obecnˇe lze tedy ˇr´ıci, ˇze dvˇe generické kruˇznice maj´ı vˇzdy dva pr˚ useˇc´ıky reprezentované imaginárn´ımi body S1 , S2 , tedy maximálnˇe pouze dva pr˚ useˇc´ıky v rovinˇe xy. Poznamenejme, ˇze algebraické rovinné kˇrivky mohou obsahovat body S1 , S2 jako dvojnásobné, trojn´ aˇ ık´ sobné, ... pr˚ useˇc´ıky. R´ ame, ˇze takové kˇrivky maj´ı circularity 2, 3,.... F

161


´ planárn´ıch paraleln´ıch manipulátor˚ Praktické vyuˇzit´ı Bézoutova teorému k ˇreˇsen´ı PKU u demonstruj´ı n´ asleduj´ıc´ı pˇr´ıklady. ´ pro PPM, viz 4.4.2) F Pˇ r´ıklad 4.11 (PKU Proved’me odpojen´ı jednoho kinematického ˇretˇezce z koncového efektoru manipulátoru, tedy v bodˇe C, viz Obr´ azek 4.7(a). Zafixujeme-li kloubové souˇradnice Θ = h iT , m˚ uˇze se coupler pohybovat po kruˇznic´ıch Γ se stˇredem v bodˇe A1 a θA θB polomˇerem l2 a koncov´ y bod odpojeného kinematického ˇretˇezce po kruˇznici Σ se stˇredem v bodˇe B 1 a polomˇerem l2 .

Obr´ azek 4.30: Coupler curve Σ (ˇcernˇe) a kˇrivka Γ odpojeného kinematického ˇretˇezce PPM

Dostáváme tedy dvˇe algebraické rovinné kˇrivky, které, pro zjednoduˇsen´ı následného ˇreˇsen´ı, zap´ıˇseme vzhledem k s.s. F1 = A1 − x1 y 1 z 1 , viz Obrázek 4.30. Γ : fΓ (x, y) = x2 + y 2 − l22 = 0 Σ : fΣ (x, y) = (x −

B 11 [1])2

(m = 2)

+ (y −

B 11 [2])2

(4.101) −

l22

=0

(n = 2)

kde B 11 = B b1 − Ab1 a "

# " # −l l cos θ 3 1 A Ab1 = + , 0 l1 sin θA

162

" # " # l l cos θ 3 1 B B b1 = + 0 l1 sin θB


´ je Z Bézoutova teorému m˚ uˇzeme tedy rovnou usuzovat, ˇze maximáln´ı poˇcet ˇreˇsen´ı PKU roven 2, viz Pozn´ amka 4.3. Soustavu rovnic (4.101) lze snadno upravit na jednu rovnici reprezentovanou polynomem stupnˇe 2 v promˇenné y: 1 (B 11 [1])2 l22 2 1 1 2 y − B 1 [2]y + kB 1 k − =0 (4.102) 4 kB 11 k2 Rovnice (4.102) reprezentuje, podobnˇe jako v Kapitole 4.6.2.3, charakteristick´ y poly´ y1 , y2 . Souˇradnici xi pak dopoˇcnom manipul´ atoru. Dost´ av´ ame tedy dvˇe ˇreˇsen´ı PKU teme ze vztahu: kB 11 k2 − 2B 11 [2]yi xi = (4.103) 2B 11 [1] Zobecnˇené souˇradnice manipulátoru v s.s. F0 pak z´ıskáme jako, viz Obrázek 4.30: " # xi b C i = A1 + , i = 1, 2 (4.104) yi F F Pˇ r´ıklad 4.12 (3RRR plan´ arn´ı paraleln´ı manipul´ ator) Zaj´ımavˇejˇs´ı pˇr´ıpad nast´ av´ a pro tzv. 3RRR planárn´ı paraleln´ı manipulátor, kde se kaˇzd´ y ze tˇr´ı nez´ avisl´ ych kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u spojuj´ıc´ı základnu s koncov´ ym efektorem skl´ ad´ a z trojice kloub˚ u typu R se vzájemnˇe rovnobˇeˇzn´ ymi osami rotace, viz Obr´ azek 4.31. Aktu´ atory manipulátoru jsou um´ıstˇeny v základnˇe.

Obr´ azek 4.31: 3RRR planárn´ı paraleln´ı manipulátor

163



h

Zobecnˇené souˇradnice: X= Návrhové parametry: h ξ = lA1 lA2 lB 1

lB 2

iT

θ A θ B θC

lC 1

h

Φ Oe

lC 2

u

(4.105)

iT

v

(4.106)

w Ab B b C b

i

(4.107)

kde lA1 = kAA1 k, lA2 = kA1 A2 k, lB 1 = kBB 1 k, lB 2 = kB 1 B 2 k, lC 1 = kCC 1 k, lC 2 = kC 1 O e k Uzamˇcen´ım aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic Θ jsou jednoznaˇcnˇe definovány polohy kloub˚ u typu R um´ıstˇen´ ych v bodech A1 , B 1 , C 1 jako: " # " # " # l cos θ l cos θ l cos θ A B C A B C 1 1 1 Ab1 = Ab + , B b1 = B b + , C b1 = C b + (4.108) lA1 sin θA lB 1 sin θB lC 1 sin θC Provedeme-li nyn´ı rozpojen´ı manipulátoru v bodˇe O e , dostáváme tzv. plan´ arn´ı 4ramenný mechanismus (planar four-bar mechanism), viz [98], [101], znázornˇen´ y na Obrázku 4.32, kter´ y pˇredstavuje coupler manipulátoru.

totožný směr s osou

Obr´ azek 4.32: Plan´ arn´ı 4-ramenn´ y mechanismus (coupler manipulátoru)

Zaved’me nov´ y s.s. F0 = O 0 − x0 y 0 z 0 . Poloha mechanismu je pak jednoznaˇcnˇe defi0 nována pozic´ı O e a orientac´ı φ vzhledem k s.s. F0 . Zobecnˇené souˇradnice manipulátoru X lze se znalost´ı kloubov´ ych souˇradnic Θ zpˇet vypoˇc´ıtat jako: Φ = φ + ∆Φ,

O be = Ab1 + Rb0 · O 0e

164

(4.109)


´hel kde ∆Φ = atan2 (B b1 − Ab1 )[2], (B b1 − Ab1 )[1] a Rb0 je matice rotace kolem osy z o u ∆Φ. N´ avrhové parametry coupleru jsou tedy lA2 , lB 2 , lA1 B1 = kA1 B 1 k, u, v, w. Vyuˇzijemeli postupu z Kapitoly 4.7.2.1, lze psát vektory ramen coupleru jako: " # −u −−−→0 −−−→0 A1 A2 = O 0 O e + R0e · (4.110) −v " # w −−−−→0 −−−→0 −−−→0 B 1 B 2 = B 1 O 0 + O0 O e + R0e · −v kde R0e je matice rotace kolem osy z o u ´hel reprezentovan´ y souˇradnic´ı φ. Zˇrejmˇe plat´ı: −−−→ 2 kA1 A2 0 k − lA =0 2 −−−−→0 2 kB 1 B 2 k − lB =0 2

(4.111)

Kombinac´ı rovnic (4.110, 4.111) a vyuˇzit´ı substituce (4.80) T = tan

φ 2

⇒

sin φ = cos φ =

2·T 1+T 2 1−T 2 1+T 2

(4.112)

dost´ av´ ame dvˇe polynomi´ aln´ı rovnice 2. ˇrádu: A1 · T 2 + B1 · T + C1 = 0

(4.113)

A2 · T 2 + B2 · T + C2 = 0 kde pro O 0e =

h

x y

iT

A1 = v 2 + 2 vy + x2 + y 2 + 2 ux − lA2 2 + u2 B1 = 4 vx − 4 uy C1 = u2 − lA2 2 + x2 + y 2 + v 2 − 2 vy − 2 ux A2 = x2 + 2 wlA1 B 1 − 2 wx + 2 vy + w2 + v 2 + lA1 B 1 2 − 2 xlA1 B 1 − lB 2 2 + y 2 B2 = 4 wy + 4 vx − 4 vlA1 B 1 C2 = x2 + y 2 − lB 2 2 + lA1 B 1 2 − 2 xlA1 B 1 − 2 vy + w2 + 2 wx − 2 wlA1 B 1 + v 2 Rovnice (4.113) lze opˇet ˇreˇsit dyalitickou eliminac´ı, tzn. pˇrenásoben´ım kaˇzdé d´ılˇc´ı rovnice promˇennou T , dost´ av´ ame dvˇe pˇr´ıdavné rovnice, které spoleˇcnˇe s rovnicemi p˚ uvod-

165


n´ımi lze psát v maticovém tvaru:   T3  2 T   M · T =0   1 kde

 A1  0 M = A  2 0

B1 A1 B2 A2

(4.114)

 C1 0  B 1 C1   C2 0   B 2 C2

Rovnice (4.114) m´ a ˇreˇsen´ı pouze za pˇredpokladu: Γ:

det(M ) = 0

(4.115)

Rovnice (4.115) je polynom stupnˇe m = 6 v promˇenn´ ych x a y (tzv. sectic), kter´ y definuje algebraickou rovinnou kˇrivku Γ. Coupler manipulátoru se tedy m˚ uˇze pohybovat (pro uzamˇcené aktivn´ı kloubové souˇradnice manipulátoru) takov´ ym zp˚ usobem, ˇze jeho koncov´ y bod O e reprezentovan´ y souˇradnicemi x, y opisuje kˇrivku Γ. Je zˇrejmé, ˇze koncov´ y bod odpojeného kinematického ˇretˇezce manipulátoru (CC 1 O e ) se m˚ uˇze pohybovat, pro uzamˇcené aktivn´ı kloubové souˇradnice, po algebraické rovinné kˇrivce Σ typu kruˇznice definované polynomem stupnˇe n = 2 opˇet v promˇenn´ ych x, y. Σ:

2 (x − cx )2 + (y − cy )2 = lC 2

(4.116)

iT = C 01 = C b1 − Ab1 cx cy Z Bézoutova teorému tedy vypl´ yvá, ˇze maximáln´ı poˇcet pr˚ useˇc´ık˚ u je roven m · n = 12. Nicménˇe, zaveden´ım homogenn´ıch souˇradnic podobn´ ym zp˚ usobem jako v PoiT h iT h dostáváme pro w ˆ = 0 algebraickou rovinnou známce 4.3 x y → wxˆ wyˆ w ˆ kˇrivku Γ ve tvaru: 3 Γ : −16 x2 + y 2 (u + w)2 = 0 (4.117) h iT Tedy dvojice bod˚ u S1 , S2 s homogenn´ımi souˇradnicemi 1 ±i 0 tvoˇr´ı trojnásobné koˇreny polynomu definuj´ıc´ı algebraickou rovinnou kˇrivku Γ (body reprezentuj´ı koˇreny rovnice opˇet nez´ avis´ı na volbˇe parametr˚ u kˇrivky). Algebraická rovinná kˇrivka typu sectic má proto circularity rovno 3. Uváˇz´ıme-li ˇze imaginárn´ı body S1 , S2 jsou zcela urˇcitˇe i koˇreny polynomu algebraické rovinné kˇrivky Σ, viz Poznámka 4.3, je zˇrejmé, ˇze pro algebraické rovinné kˇrivky Γ a Σ existuje, nezávisle na volbˇe jejich parametr˚ u, kde

h

166


vˇzdy pr´ avˇe 2 · 3 imagin´ arn´ıch pr˚ useˇc´ık˚ u (pr˚ useˇc´ıky v nekoneˇcnu, w ˆ = 0). Algebraické rovinné kˇrivky Γ a Σ maj´ı tak maximálnˇe 12 − 6 = 6 reáln´ıch pr˚ useˇc´ık˚ u v rovinˇe xy.

Pˇr´ım´ y d˚ usledek takového tvrzen´ı tedy dokazuje fakt, ˇze 3RRR planárn´ı paraleln´ı ´ manipul´ ator m´ a maxim´ alnˇe 6 ˇreˇsen´ı PKU.

Obr´ azek 4.33 ukazuje moˇzné ˇreˇsen´ı polohy coupleru 3RRR planárn´ıho paraleln´ıho manipul´ atoru pro n´ asleduj´ıc´ı hodnoty parametr˚ u (pˇredpokládejme, ˇze jiˇz známe polohy bod˚ u A1 , B 1 , C 1 , které jsou jsou jednoznaˇcnˇe urˇceny aktivn´ımi kloubov´ ymi souˇradnicemi, viz 4.108):

u = 1, v = 3, w = 1.5, lA1 B 1 = 5, lA2 = 3, lB 2 = 3, lC 2 = 3, C 01 =

h

iT

1.5 2 (4.118)

Pro algebraické rovinné kˇrivky plat´ı:

Γ:

− 100 x6 − 300 x4 y 2 − 300 x2 y 4 − 100 y 6 + 1400 x5 + 1200 x4 y + 2800 x3 y 2 + 2400 x2 y 3 + + 1400 xy 4 + 1200 y 5 − 7200 x4 − 12000 x3 y − 10400 x2 y 2 − 12000 xy 3 − 3200 y 4 + 18500 x3 − − 2100 x2 y + 18500 xy 2 − 2100 y 3 − 19450 x2 + 168000 xy − 31450 y 2 − 30900 x + 32700 y− − 4500 = 0

Σ:

(x − 1.5)2 + (y − 2)2 − 9 = 0

167


Obr´ azek 4.33: Coupler curve - kˇrivka Γ (ˇcervenˇe) a kˇrivka Σ (ˇcernˇe) s vyznaˇcenou poˇ arkovanˇe jsou lohou koncového efektoru 3RRR plan´ arn´ıho paraleln´ıho manipulátoru. C´ vyznaˇceny trajektorie pohybu ramen planárn´ıho 4-ramenného mechanismu. Obrázek de´ monstruje 6 r˚ uzn´ ych ˇreˇsen´ı PKU.

Uveden´ y postup zaloˇzen´ y na Bézoutovˇe teorému nám umoˇzn ˇuje stanovit nejen poˇcet ´ moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı PKU, ale zejména geometrick´ y náhled na jej´ı ˇreˇsen´ı. K v´ ypoˇctu konkrétn´ıch hodnot polohy koncového efektoru manipulátoru je vˇsak postup nevhodn´ y, nebot’ vyˇzaduje nalezen´ı ˇreˇsen´ı soustavy polynomiáln´ıch rovnic definuj´ıc´ı kˇrivky Γ, Θ.

Rozepiˇsme vˇsak rovnice (4.111) a (4.116), definuj´ıc´ı délky ramen A1 A2 , B 1 B 2 ,

168


C 1 Oe : u2 + v 2 − 2 ux cos (θ) − − 2 uy sin (θ) + 2 vx sin (θ) − 2 vy cos (θ) + x2 + y 2 − lA2 2 = 0

(4.119)

v 2 + w2 + 2 vx sin (θ) − − 2 vy cos (θ) − 2 vlA1 B 1 sin (θ) + 2 wx cos (θ) + 2 wy sin (θ) − 2 wlA1 B 1 cos (θ) + + x2 − 2 xlA1 B 1 + y 2 + lA1 B 1 2 − lB 2 2 = 0

(4.120)

x2 − 2 xcx + cx 2 + y 2 − 2 ycy + cy 2 − lC 2 2 = 0

(4.121)

Vhodn´ ym seˇcten´ım rovnic dostáváme: x2 − 2 xcx + cx 2 + y 2 − 2 ycy + cy 2 − lC 2 2 = 0

(4.122)

(4.120)-(4.119) :

Z + Rx + Sy = 0

(4.123)

(4.121)-(4.119) :

V y + Ux + W = 0

(4.124)

(4.121) :

kde R = 2 u cos (θ) + 2 w cos (θ) − 2 lA1 B 1 S = 2 u sin (θ) + 2 w sin (θ) Z = −2 vlA1 B 1 sin (θ) − 2 wlA1 B 1 cos (θ) − u2 + w2 + lA1 B 1 2 + lA2 2 − lB 2 2 U = −2 cx − 2 sin (θ) v + 2 u cos (θ) V = 2 u sin (θ) − 2 cy + 2 cos (θ) v W = −lC 2 2 + cx 2 − v 2 + cy 2 − u2 + lA2 2 Rovnice (4.123) a (4.124) jsou lineárn´ı v promˇenn´ ych x, y. Lze tedy nalézt jejich ˇreˇsen´ı x=

−ZV + SW , RV − U S

y=−

RW − U Z RV − U S

(4.125)

a dosadit zpˇet do rovnice (4.122). Z´ıskaná rovnice je tak závislá pouze na souˇradnici φ. Dosazen´ım substituce (4.112) tak dostáváme polynom stupnˇe 6 v promˇenné T (charakteristick´ y polynom manipulátoru f(T )): f(T ) = k6 T 6 + k5 T 5 + k4 T 4 + k3 T 3 + k2 T 2 + k1 T + k0 = 0

169

(4.126)


kde koeficienty ki z´ avis´ı pouze na parametrech manipulátoru (4.118). ˇ sen´ım charakteristického polynomu (4.126) dostáváme opˇet maximálnˇe 6 reálReˇ n´ ych koˇren˚ u Ti . Zpˇetnou substituc´ı z rovnice (4.112) dostáváme hodnoty souˇradnice φ h iT a z ˇreˇsen´ı (4.125) pak hodnoty souˇradnic O 0e = x y , viz Tabulka ??. Hodnoty zobecnˇen´ ych souˇradnic 3RRR manipulátoru lze pak dopoˇc´ıtat z (4.109). Charakteristick´ y polynom manipul´ atoru z pˇr´ıkladu na Obrázku 4.33:

f(T ) = 23850 T 6 − 11430 T 5 − 24899 T 4 + 2732 T 3 + 3932 T 2 − 238 T − 119

ˇreˇsen´ı i

x

y

φ

1 2 3 4 5 6

1.9042e+000 -7.2024e-001 -2.6528e-001 4.0200e+000 3.2735e+000 4.4214e+000

4.9726e+000 -1.7555e-002 -4.2565e-001 3.7222e-001 4.4197e+000 2.6824e+000

4.6834e-001 6.8600e-001 1.7408e+000 -3.3028e-001 -7.7052e-001 -1.2619e+000

(4.127)

ˇ sen´ı PKU ´ 3RRR plan´ Tabulka 4.6: Reˇ arn´ıho paraleln´ıho manipulátoru (souˇradnice polohy a orientace plan´ arn´ıho 4-ramenného mechanismu).

F

Protoˇze uvaˇzujeme tˇr´ıdu neredundantn´ıch u ´pln´ ych planárn´ıch paraleln´ıch maipulátor˚ u, je zˇrejmé, ˇze poˇcet DoF kaˇzdého nezávislého planárn´ıho kinematického ˇretˇezce je roven 3 (translace ve smˇeru osy x a y a rotace kolem osy z), obsahuje tedy 3 nezávislé klouby s 1DoF typu P ˇci R, z nichˇz je právˇe jeden kloub aktuátorem. V takovém pˇr´ıpadˇe lze uk´ azat, ˇze moˇzné kombinace kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u jsou, viz Obrázek 4.34:

RRR, RPR, RRP, RPP, PRR, PPR, PRP

170


Obr´ azek 4.34: Moˇzné kombinace kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u u ´plného neredundantn´ıho plan´ arn´ıho paraleln´ıho manipul´ atoru

Kombinace PPP se neuvaˇzuje nebot’ obecnˇe 3 klouby takového typu nejsou nezávisl´ ymi (pouze 2DoF kinematického ˇretˇezce). Jako aktivn´ı kloub kinematického ˇretˇezce lze vybrat kloub, pˇri jehoˇz uzamˇcen´ı nedostaneme kinematick´ y ˇretˇezce typu PP. V opaˇcném se m˚ uˇze koncov´ y bod takového kinematického ˇretˇezce pohybovat neomezenˇe v rovinˇe xy. Koncové efektor manipul´ atoru z´ıskává tak neˇriditelné stupnˇe volnosti. Moˇzné kombinace kinematick´ ych ˇretˇezc˚ uu ´pln´ ych planárn´ıch neredundantn´ıch manipulátor˚ u pak vystihuje n´ asleduj´ıc´ı tabulka: RRR

RRR

RRR

RPR

RPR

RPR

RPP

RPP

PRR

PRR

PRR

PRP

PRP

PPR

PPR

RRP

RRP

RRP

Tabulka 4.7: Moˇzné kombinace kinematick´ ych ˇretˇezc˚ uu ´pln´ ych planárn´ıch neredundantn´ıch manipul´ ator˚ u.

ˇ sen´ı PKU ´ pro manipul´ Reˇ ator se tˇremi identick´ ymi kinematick´ ymi ˇretˇezci typu RRR byl podrobnˇe uk´ az´ an v Pˇr´ıkladu 4.12. Pro ostatn´ı kombinace kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u ´ nalézt v [102]. z Tabulky ?? lze ˇreˇsen´ı PKU

171


Prostorov´ e manipul´ atory ´ daleko sloˇzitˇejˇs´ı a dodnes tato problemaPro prostorové manipul´ atory je ˇreˇsen´ı PKU tika z˚ ustává otevˇren´ ym problémem. Omez´ıme se tedy v následuj´ıc´ım textu pouze na nˇekteré známé vybrané architektury. Obecnˇe plat´ı, ˇze pro prostorové manipulátory ´ ˇreˇsit pomˇernˇe jednoduˇse. Pˇr´ıkladem takové skupiny pouze s translaˇcn´ımi DoF lze PKU manipulátor˚ u m˚ uˇze b´ yt napˇr. zn´ am´ y Delta robot, viz Obrázek 4.35.

aktuátory R

základna

end-effector

Obr´ azek 4.35: Delta robot, CAD model (vlevo) a skuteˇcn´ y v´ yrobek firmy Abb.

Je zˇrejmé, ˇze pro uzamˇcené aktu´ atory se body M i nacházej´ı v konstatn´ı poloze. Body B i se mohou pohybovat po kruˇznic´ıch se stˇredem v bodˇe M i a polomˇerem ri definovan´ ym délkou ramen M i B i . Protoˇze ramena M i B i tvoˇr´ı tzv. parallelogram, −−−→ mus´ı koncov´ y efektor udrˇzovat konstantn´ı orientaci (B i C = konst.). Je tedy zˇrejmé, ˇze bod C koncového efektoru se mus´ı nalézat na pr˚ useˇc´ık˚ u tˇr´ı kruˇznic s polomˇerem ri − −− → a posunut´ ym stˇredem M i + B i C. Dostáváme tak dvojici ˇreˇsen´ı pro polohu koncového efektoru, symetrickou podle z´ akladny manipulátoru. Podstatnˇe sloˇzitˇejˇs´ı situace nast´ av´ a v pˇr´ıpadˇe manipulátor˚ u kde koncov´ y efektoru m˚ uˇze mˇenit nejen svou translaˇcn´ı polohu, ale i orientaci (v obecném pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o paraleln´ıch manipul´ atorech se vˇsemi 6 DoF). V pr˚ ubˇehu zkoumán´ı mnoha r˚ uzn´ ych typ˚ u paraleln´ıch manipul´ ator˚ u se uk´ azalo, ˇze celá ˇrada jejich architektur lze pˇrevézt na zjednoduˇsené architektury zn´ azornˇené na Obrázku 4.36.

172


(a) Simplified Symmetric Manipula- (b) Triangular Simplified Symmetric (c) Minimal Simplified Symmetric tor (SSM) Manipulator (TSSM) Manipulator (MSSM)

Obr´ azek 4.36: Nejzn´ amˇejˇs´ı zjednoduˇsené architektury (mechanismy) prostorov´ ych paraleln´ıch manipul´ ator˚ u SSM, TSSM a jeho speciáln´ı pˇr´ıpad MSSM.

Zab´ yvejme se podrobnˇeji pouze mechanismem typu TSSM. V Pˇr´ıkladu 4.13 poz´ pro TSSM lze pouˇz´ıt, s m´ırnou modifikac´ı, i pro dˇeji uk´ aˇzeme, ˇze postup ˇreˇsen´ı PKU ´ PSZ z Kapitoly 4.4.3. Základn´ı myˇslenka ˇreˇsen´ı PKU ´ pro TSSM spoˇc´ıv´ ˇreˇsen´ı PKU a v urˇcen´ı dovoleného pohybu bod˚ u B i udávaj´ıc´ıch m´ısto pˇripojen´ı nezávisl´ ych kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u ke koncovému efektoru manipulátoru. Jelikoˇz plat´ı, ˇze délky kinematick´ ych ˇretˇezc˚ u jsou jednoznaˇcnˇe urˇceny hodnotami aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic di = kAi B i k, lze vypozorovat, ˇze pˇr´ıpojn´ y bod B 1 troj´ uheln´ıku A1 A2 B 1 se mus´ı pohybovat po kruˇznici, se stˇredem S 1 leˇz´ıc´ım na pˇr´ımce definované stranou A1 A2 a polomˇerem R1 urˇcen´ ym v´ yˇskou troj´ uheln´ıku na tuto stranu. Analogicky lze nalézt takové kruˇznice i pro vˇsechny ostatn´ı pˇr´ıpojné body koncového efektoru. Z TSSM mechanismu pak dost´ av´ ame mechanismus se tˇremi ekvivalentn´ımi kinematick´ ymi ˇretˇezci typu RS, viz Obr´ azek 4.37(a). Zobecnˇen´ım postupu zaloˇzeného na Bézoutovˇe teorému z Pozn´ amky 4.3, lze urˇcit poˇcet moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı pro TSSM, nebot’ rozpojen´ım jednoho kinematického ˇretˇezce od koncového efektoru dostáváme tentokrát prostorov´ y 4-ramenn´ y mechanismus, viz Obrázek 4.37(b).

173


kloub S kloub S

kloub S

kloub R

kloub R kloub R

(a) 3-RS ekvivalentn´ı mechanismus

(b) Prostorov´ y 4-ramenn´ y mechanismus

Obr´ azek 4.37: Dekompozice TSSM mechanismu

Hunt [103] uk´ azal, ˇze bod B 3 se m˚ uˇze pohybovat po ploˇse, která má s kruˇznic´ı, po které se m˚ uˇze pohybovat koncov´ y bod odpojeného kinematického ˇretˇezce S 3 B 3 ´ pro maximálnˇe 16 re´ aln´ ych pr˚ useˇc´ık˚ u v prostoru xyz. Maximáln´ı poˇcet ˇreˇsen´ı PKU TSSM je tedy roven 16. Z omezuj´ıc´ıch podm´ınek, na konstantn´ı vzdálenost bod˚ u Bi lze sestavit následuj´ıc´ı rovnice: kB 1 B 2 k = l12 ,

kB 2 B 3 k = l23 ,

kB 3 B 1 k = l31

(4.128)

ˇ sen´ı soustavy rovnic (4.128) vede na ˇreˇsen´ı soustavy polynomiáln´ıch rovnic, viz Pˇr´ıReˇ klad 4.13. ´ pro PSZ) F Pˇ r´ıklad 4.13 (PKU ´ pro TSSM je zˇrejmé, ˇze osy kruˇznic, po kter´ V pˇr´ıpadˇe ˇreˇsen´ı PKU ych se mohou pohybovat pˇr´ıpojné body B i koncového efektoru leˇz´ı v jedné rovinˇe. Tento fakt vˇsak nen´ı nikterak omezuj´ıc´ı, protoˇze rovnice (4.128) na tomto pˇredpokladu nezávis´ı (osy ´ pro TSSM lze tedy kruˇznic mohou zauj´ımat libovolnou polohu). Postup ˇreˇsen´ı PKU ´ PSZ, nebot’ i v tomto pˇr´ıpadˇe se mohou pˇr´ıpojné body koncového vyuˇz´ıt pro ˇreˇsen´ı PKU efektoru (v naˇsem pˇr´ıpadˇe oznaˇcené jako D i ), d´ıky pasivn´ımu stabilizaˇcn´ımu elementu O b O e , pohybovat opˇet po kruˇznic´ıch (oznaˇcme je dále jako ki ), jejichˇz osy sd´ıl´ı spoleˇcn´ y pr˚ useˇc´ık, viz Obr´ azek 4.38.

174


Obr´ azek 4.38: Ekvivalence mezi PSZ a TSSM

Kruˇznice ki vzniknou jako pr˚ useˇc´ık dvou kulov´ ych ploch Ke , Ki znázornˇen´ ych na Obr´ azku 4.40. Za u ´ˇcelem zjednoduˇsen´ı nalezen´ı takov´ ych kruˇznic, zaved’me nov´ y s.s. Fi = Ci −xi y i z i . Vztah mezi s.s. Fi a s.s. základny manipulátoru Fb je dán matic´ı rotace Rbi a vektorem translace C bi . Vektor C bi je dán pouze translac´ı bod˚ u B bi z Pˇr´ıkladu 4.8 ve smˇeru osy z o hodnotu danou kloubov´ ymi souˇradnicemi di : C b1 =

h

√

3 6 a1

− 12 a1 d1

iT

, C b2 =

h

√

3 6 a1

1 2 a1

d2

iT

, C b3 =

h

√

−

3 3 a1

0 d3

iT

Matice rotace Rbi je urˇcena postupnou rotac´ı okolo osy z b o u ´hel ϕzi a okolo novˇe vzniklé osy y 0 o u ´hel ϕyi , viz Obrázek 4.39. Rotace okolo osy z b o u ´hel ϕzi :   cos ϕzi − sin ϕzi 0   z b Ri =  sin ϕzi cos ϕzi 0 0 0 1 kde ϕ¯z1 = − π3 , ϕ¯z2 = π3 , ϕ¯z3 = π a ϕzi = ϕ¯zi + π. Tedy: i

sin ϕzi

cos ϕz1

1

3 2√

− 12

0

1

2 3

√

−

3 2

175

− 12

(4.129)


Rotace okolo novˇe vzniklé osy y 0 o u ´hel ϕyi :  cos ϕyi 0 sin ϕyi   y b Ri =  0 1 0  − sin ϕyi 0 cos ϕyi 

kde

(4.130)

√

cos ϕyi

=q

3 3 a1

1 2 3 a1

,

+ (v − di )2

sin ϕyi = − q

v − di 1 2 3 a1

+ (v − di )2

V´ ysledná matice rotace mezi s.s. Fb a Fi : Rbi = zRbi · yRbi

Obr´ azek 4.39: Odvozen´ı matice rotace Rbi , ρ1 =

(4.131)

√

3 3 a1 ,

kC i O e k =

p ρ21 + (v − di )2

√

Obr´ azek 4.40: Pr˚ useˇc´ık koul´ı Ki a Ke definuj´ıc´ı kruˇznice ki , ρ2 =

176

3 3 a2


Kruˇznice ki lze nalézt ˇreˇsen´ım následuj´ıc´ı soustavy rovnic, pˇredstavuj´ıc´ı rovnice koul´ı Ki a Ke v s.s. Fi : Ki : Ke :

x2 + y 2 + z 2 = l2 2 q 2 2 x − ρ1 + (v − di ) + y 2 + z 2 = ρ22

(4.132) (4.133)

Dosazen´ım rovnice (4.132) do (4.133) a vyjádˇren´ım x-ové souˇradnice dostáváme vzd´ alenost ri stˇredu S i kruˇznice ki ve smˇeru osy xi od poˇcátku C i s.s. Fi :

ri = x =

l2 − ρ22 + ρ21 + (v − di )2 p 2 ρ21 + (v − di )2

(4.134)

Dosazen´ım v´ ysledku (4.134) zpˇet do rovnice (4.132) dostáváme pˇredpis pro rovnici ki : y 2 + z 2 = Ri2

ki :

(4.135)

kde Ri2

2

=l −

l2 − ρ22 + ρ21 + (v − di )2 p 2 ρ21 + (v − di )2

!2

Souˇradnice bod˚ u D i , pohybuj´ıc´ıch se po kruˇznic´ıch ki tedy psát s pomoc´ı novˇe zavedené u ´hlové promˇenné θi jako (θi parametrizuje trajektorii moˇzného pohybu bod˚ u D i ): V s.s. Fi : D ii =

h

ri Ri cos θi Ri sin θi

V s.s. Fb : D bi = C bi + Rbi · D ii

iT

(4.136) (4.137)

Nyn´ı lze analogicky jako v (4.128) sestavit omezuj´ıc´ı podm´ınky na vzájemné vzdálenosti pˇr´ıpojn´ ych bod˚ u D bi jako: kD b1 D b2 k − a22 = 0

(4.138)

kD b2 D b3 k − a22 = 0

(4.139)

kD b1 D b3 k

(4.140)

−

177

a22

=0


Rovnice (4.138-4.140) lze upravit na tvar:

h

h

h

(12)

k1

(23)

k1

(13)

k1

(12)

k2

(23)

k2

(13)

k2

(12)

k3

(23)

k3

(13)

k3

(12)

k4

(23)

k4

(13)

k4

(12)

k5

(23)

k5

(13)

k5

(12)

k6

(23)

k6

(13)

k6

(12)

k7

(23)

k7

(13)

k7

(12)

k8

(23)

k8

(13)

k8

  cos (θ1 ) cos (θ2 )    cos (θ1 ) sin (θ2 )     sin (θ1 ) cos (θ2 )        sin (θ ) sin (θ ) 1 2 i   (12)  =0 · sin (θ1 ) k9    sin (θ2 )       cos (θ1 )     cos (θ2 )   1 (4.141)   cos (θ2 ) cos (θ3 )    cos (θ2 ) sin (θ3 )     sin (θ2 ) cos (θ3 )      sin (θ2 ) sin (θ3 )  i    (23) =0 · sin (θ ) k9 2     sin (θ3 )       cos (θ2 )     cos (θ3 )   1 (4.142)   cos (θ1 ) cos (θ3 )    cos (θ1 ) sin (θ3 )     sin (θ1 ) cos (θ3 )      sin (θ1 ) sin (θ3 )  i    (13) =0 · sin (θ ) k9 1     sin (θ3 )       cos (θ ) 1     cos (θ3 )   1 (4.143)

(?)

kde konstanty kj

j = 1 . . . 9 z´ avis´ı pouze na návrhov´ ych parametrech manipulátoru ξ

178


a na hodnot´ ach aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic di . Dosazen´ım substituce (4.80)

Ti = tan

θi 2

⇒

sθi = cθi =

2Ti 1+Ti2 1−Ti2 1+Ti2

,

pro i = 1, 2, 3

(4.144)

lze soustavu rovnic (4.141-4.143), po u ´pravách, pˇrepsat na soustavu polynomiáln´ıch rovnic:   T12 T22    T1 T22     T 2 T2   1   2  T  h i   1  (12) (12) (12) (12) (12) (12) (12) (12) (12)  ·  T22  (4.145) l1 l2 l3 l4 l5 l6 l7 l8 l9 =0    T1 T2     T1       T2  1   T22 T32    T2 T32     T 2 T3   2   2  T  h i   2  (23) (23) (23) (23) (23) (23) (23) (23) (23)  ·  T32  (4.146) l1 l2 l3 l4 l5 l6 l7 l8 l9 =0    T2 T3     T2      T  3  1   T12 T32    T1 T32     T 2 T3   1   2  T  i  h  1  (13) (13) (13) (13) (13) (13) (13) (13) (13)  (4.147) ·  T32  l1 l2 l3 l4 l5 l6 l7 l8 l9 =0    T1 T3     T1       T3  1 (?)

kde konstanty lj

(?)

z´ avis´ı pouze na konstantách kj .

179


Je zˇrejmé, ˇze ze soustavy rovnic (4.145-4.147) lze vˇzdy vybrat jednu dvojici rovnic, která bude line´ arn´ı vzhledem k promˇenn´ ym Ti2 a Ti . Napˇr. pro i = 2, m˚ uˇzeme psát rovnici (4.145) a (4.146) jako: A · T22 + B · T2 + C = 0

(4.148)

R · T22 + S · T2 + Q = 0

(4.149)

kde (12)

(12)

(12)

T12 + l6

(12)

T12 + l7

(12)

T32 + l3

B = B(T1 ) = l3 C = C(T1 ) = l4 R = R(T3 ) = l1

(12)

S = S(T3 ) = l2

T1 + l8

(12)

T1 + l9

(12)

T3 + l4

(12)

(12)

T1 + l5

(12)

T32 + l6

Q = Q(T3 ) = l5

(12)

T12 + l2

A = A(T1 ) = l1

(12)

(12)

(12)

(12)

T3 + l7

(12)

T32 + l8

(12)

T3 + l9

Dyalitickou eleminac´ı soustavy (4.148-4.149) dostáváme: 

A B  0 A det  R S  0 R

C B Q S

 0  C =0 0  Q

(4.150)

Zat´ım nepouˇzit´ a rovnice (4.147) a novˇe vzniklá rovnice (4.150), které obˇe závis´ı pouze na promˇenn´ ych T1 a T3 , lze zapsat ve tvaru: (4.143) : D · T32 + E · T3 + F = 0

(4.151)

(4.150) : G · T34 + M · T33 + N · T32 + U · T3 + V = 0

(4.152)

kde (13)

D = D(T1 ) = l1

(13)

T12 + l2

(13)

T12 + l6

(13)

T12 + l7

E = E(T1 ) = l3 F = F (T1 ) = l4

(13)

T1 + l8

(13)

(13)

T1 + l9

a G, M , N , U , V jsou polynomy ˇr´ adu 4 v promˇenné T1 .

180

(13)

T1 + l5

(13)


Dyalitickou eliminac´ı soustavy (4.151-4.152) dostáváme charakteristick´ y polynom manipul´ atoru:   G M N U V 0   0 G M N U V    D E F 0 0 0   f(T1 ) = det  (4.153) =0 0 D E F 0 0   0 0 D E F 0   0 0 0 D E F Lze uk´ azat, ˇze charakteristick´ y polynom manipulátoru je ˇrádu 16, tedy existuje maxim´ alnˇe 16 re´ aln´ ych koˇren˚ u T1 . Zpˇetn´ y v´ ypoˇcet souˇradnic θi je pak dán následuj´ıc´ım postupem: • Vypoˇcti koˇreny charakteristického polynomu f(T1 ), viz (4.153) • Vypoˇcti konstanty D, E, F , G, M , N , U , V • Vypoˇcti koˇreny (4.151) a vyber jeden z koˇren˚ u, vyhovuj´ıc´ı rovnici (4.152) ⇒ T3 • Vypoˇcti konstanty A, B, C, R, S, Q • Vypoˇcti koˇreny (4.148) a vyber jeden z koˇren˚ u, vyhovuj´ıc´ı rovnici (4.149) ⇒ T2 • Z hodnot T1 , T2 , T3 vypoˇcti zpˇetnou substituc´ı (4.144) u ´hlové promˇenné θi . • Vypoˇcti polohy pˇr´ıpojn´ ych bod˚ u D ii v s.s. Fi a pˇrepoˇc´ıtej je do s.s. základny manipul´ atoru Fb , viz (4.136, 4.137). ´ pro PSZ pro následuj´ıc´ı hodnoty parameObr´ azek 4.41 ukazuje moˇzná ˇreˇsen´ı PKU tr˚ u a aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic: a1 = 3, a2 = 2, v = 3, l = 3, d1 = 0.98496, d2 = 0.44993, d3 = 1.118 Charakteristick´ y polynom manipulátoru: f(T1 ) = −0.00003075 T1 16 + 0.005980 T1 15 − 0.2293 T1 14 − 5.981 T1 13 − 29.51 T1 12 + + 20.01 T1 11 + 75.18 T1 10 − 27.72 T1 9 − 64.06 T1 8 + 18.97 T1 7 + 20.65 T1 6 − − 5.991 T1 5 − 2.002 T1 4 + 0.6826 T1 3 − 0.06630 T1 2 + 0.002512 T1 − 0.00003270 Poznamenejme, ˇze hled´ an´ı koˇren˚ u polynom˚ u vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u, v naˇsem pˇr´ıpadˇe 16, je problematické s ohledem na stabilitu a pˇresnost ˇreˇsen´ı. Bylo experimentálnˇe ovˇeˇreno, ˇze numerické chyby pˇri ˇreˇsen´ı charakteristického polynomu manipulátoru v programovém

181


bal´ıku Matlab jsou silnˇe z´ avislé na n´ avrhov´ ych parametrech manipulátoru ξ i na aktuáln´ıch hodnot´ ach kloubov´ ych souˇradnic di . Pˇresnost ˇreˇsen´ı je v mnoha pˇr´ıpadech velice ´ ˇspatná (nalezené koˇreny nenuluj´ı charakteristick´ y polynom) a u ´loha hledán´ı ˇreˇsen´ı PKU prostˇrednictv´ım hled´ an´ı koˇren˚ u charakteristického polynomu je pro praktické aplikace témˇeˇr nepouˇziteln´ a. Alternativn´ı pˇr´ıstup vhodn´ y pro reálné aplikace, kter´ y je modifi´ kac´ı uvedeného postupu ˇreˇsen´ı PKU lze nalézt v [92]. Experimentálnˇe bylo ovˇeˇreno, ˇze pˇresto, ˇze charakteristick´ y polynom manipulátoru je 16 stupnˇe, mˇelo by tedy exis´ ve skuteˇcnosti vˇsak dostáváme maximálnˇe pouze 8 tovat maxim´ alnˇe 16 ˇreˇsen´ı PKU, ˇreˇsen´ı, nebot’ charakteristick´ y polynom manipulátoru vykazuje maximálnˇe 8 reáln´ ych ˇ sen´ı PKU ´ prostˇrednictv´ım ekvivalence k TSSM r˚ uzn´ ych pól˚ u (kaˇzd´ y n´ asobnosti 2). Reˇ tedy nemus´ı vˇzdy vézt na minim´ aln´ı charakteristick´ y polynom manipulátoru.

182


ˇ sen´ı PKU ´ pro PSZ, ˇcervenˇe jsou vyznaˇceny moˇzné trajektorie pˇr´ıpojn´ Obr´ azek 4.41: Reˇ ych bod˚ u Di

183


F ´ pro TSSM nelze vyuˇz´ıt v pˇr´ıpadˇe mechanismu Bohuˇzel, uveden´ y postup ˇreˇsen´ı PKU typu SSM (v obecném pˇr´ıpadˇe pˇr´ıpojné body na základnˇe a koncovém efektoru manipulátoru nemus´ı leˇzet ani v jedné rovinˇe). V odborné literatuˇre lze nalézt metody pro ´ speci´ v´ ypoˇcet PKU aln´ıch pˇr´ıpad˚ u SSM, kde kinematické ˇretˇezce typu UPS spojuj´ıc´ı koncov´ y efektor a z´ akladnu manipul´ atoru maj´ı ztotoˇznˇené pˇr´ıpojné body (manipulátory typu m − n, kde m oznaˇcuje poˇcet pˇr´ıpojn´ ych bod˚ u na základnˇe a n poˇcet pˇr´ıpojn´ ych bod˚ u na koncovém efektoru manipul´ atoru, viz Obrázek 4.42).

(a) 6-5 manipul´ ator

(b) 6-4 manipul´ ator

(c) 5-5 manipul´ ator

Obr´ azek 4.42: Speciáln´ı pˇr´ıpady SSM

Bylo dok´ az´ ano, ˇze maxim´ aln´ı poˇcet ˇreˇsen´ı obecného 6-6 paraleln´ıho manipulátoru s 6 ´ v pˇr´ıpadˇe kinematick´ ymi ˇretˇezci typu UPS je 40. Efektivn´ı metody pro v´ ypoˇcet PKU takového obecného paraleln´ıho manipulátoru dodnes z˚ ustávaj´ı pˇredmˇetem intenzivn´ıho zkoumán´ı. Poznamenejme, ˇze nejˇcastˇeji pouˇz´ıvané metody jsou zaloˇzeny na principech: • homotopie: Generov´ an´ı systému algebraick´ ych rovnic, jehoˇz ˇreˇsen´ı se s dan´ ymi ´ hodnoty argument˚ hodnotami argument˚ u bl´ıˇz´ı ˇreˇsen´ı IKU, u pak povaˇzujeme za ´ ˇreˇsen´ı PKU. • dyalitick´ e eliminace Viz Kapitola 4.6.2.3, Pˇr´ıklad 4.12.

184


• Gr¨ obnerovy b´ aze: Umoˇzn ˇuj´ı algoritmizovat eliminaˇcn´ı proces z pˇredchoz´ıho bodu v koneˇcném poˇctu krok˚ u. Kaˇzdou soustavu polynomiáln´ıch rovnic lze tedy pˇrevézt na ekvivalentn´ı soustavu polynomiáln´ıch rovnic, kde v jedné rovnici vystupuje polynom pouze v jedné promˇenné (charakteristick´ y polynom manipulátoru). V´ıce o Gr¨ obnerov´ ych b´ az´ıch lze nalézt napˇr. v [93], [104]. ´ v podobˇe interval˚ • intervalov´ e anal´ yzy: Hledán´ı ˇreˇsen´ı PKU u, ve kter´ ych se m˚ uˇze nalézat. Intervalová anal´ yza se pˇredevˇs´ım dnes uplatˇ nuje k ˇreˇsen´ı u ´loh v robotice za u ´ˇcelem zajiˇstˇen´ı spolehlivosti v´ ypoˇct˚ u (odstranˇen´ı náchylnosti k numerick´ ym chyb´ am). V´ıce lze nalézt napˇr. v [105]. ´ na jednoduˇs´ı u • ad-hoc metody: Pˇreveden´ı ˇci aproximace ˇreˇsen´ı PKU ´lohu se zn´ am´ ym ˇreˇsen´ım. ´ pro paraleln´ı manipulátory vˇcetnˇe pˇreUcelen´ y pˇrehled o problematice ˇreˇsen´ı PKU hledové tabulky shrnuj´ıc´ı dnes ˇreˇsitelné architektury manipulátor˚ u lze nalézt v [98]. ˇ sen´ı PKU ´ r˚ Reˇ uzn´ ych architektur manipulátor˚ u pak napˇr. v [106], [107], [108].

185


4.8

Kinematika manipul´ ator˚ u: Z´ avislosti rychlost´ı a zrychlen´ı

Doposud jsme se zab´ yvali pouze z´ avislostmi mezi polohami kloubov´ ych souˇradnic Θ a zobecnˇen´ ych souˇradnic X. Z hlediska u ´plného kinematického popisu manipulátoru je vˇsak nutné nalézt také vztahy mezi rychlostmi a zrychlen´ımi kloubov´ ych a zobecnˇen´ ych souˇradnic. Pˇredpokl´ adejme definici pˇr´ımé a inverzn´ı kinematické u ´lohy, viz kapitoly 4.6.1 a 4.6.2 pomoc´ı funkce geometrick´ ych omezen´ı G(?), viz (4.46), (4.47): X = G(Θ)

´ (PKU),

Θ = G−1 (X)

´ (IKU)

(4.154)

´ lze potom psát následuj´ıc´ım zp˚ Pˇr´ımá okamˇzit´ a kinematick´ au ´loha (POKU) usobem1 : ˙ = ∂G(Θ) · Θ ˙ = J A (Θ) · Θ ˙ X ∂Θ ¨ = J˙ A (Θ) · Θ ˙ + J A (Θ) · Θ ¨ X

(4.155) (4.156)

´ u Inverzn´ı okamˇzit´ a kinematick´ a (IOKU) ´loha pak jako: ˙ = ∂G(X) · X ˙ ˙ = J −1 (X) · X Θ A ∂X ¨ ¨ = J˙ −1 (X) · X ˙ + J −1 (X) · X Θ A

kde J A (Θ) =

∂G(Θ) ∂Θ

A

respektive J −1 A (X) =

∂G(X) ∂X

(4.157) (4.158)

naz´ yváme analytickým respektive

inverzn´ım analytickým jakobi´ anem. Poznamenejme, ˇze analytick´ y jakobián závis´ı na aktuáln´ım uspoˇr´ ad´ an´ı (poloze) manipulátoru X (a odpov´ıdaj´ıc´ımu Θ). ˇ Casov´ e derivace kloubov´ ych souˇradnic Θ a zobecnˇen´ ych souˇradnic X lze pro obecn´ y manipulátor s n klouby vyj´ adˇrit jako, viz (4.45): ϑ˙ 1 ϑ˙ 2 . . . ϑn

T

ϑ¨1 ϑ¨2 . . . ϑ¨n i ˙ = R ˙b O ˙b X e e h i ¨ = R¨b O ¨b X e e

T

˙ = Θ

¨ = Θ

h

(4.159)

(4.160)

Na prvn´ı pohled je zˇrejmé, ˇze analytick´ y jakobián J A lze stanovit pˇr´ımou derivac´ı funkce G(?) podle kloubov´ ych souˇradnic Θ. Nicménˇe vzhledem ke sloˇzitosti funkce 1

˙ = Necht’ X

dX , dt

¨ = X

d2 X dt2

186

4.8 Kinematika manipul´ ator˚ u: Z´ avislosti rychlost´ı a zrychlen´ı

(posloupnost v´ ypoˇct˚ u s ˇradou meziv´ ysledk˚ u), je jej´ı pˇr´ımá derivace velice nepraktická a vede na sloˇzité a mnohaˇclenné vztahy. Ty je sice moˇzné vˇetˇsinou nalézt pomoc´ı nástroj˚ u pro symbolické v´ ypoˇcty (Maple, Matlab, Mathematica,...), nicménˇe pouˇzit´ı takov´ ych vztah˚ u v technické praxi, zejména pak v implementaci do algoritm˚ u ˇr´ızen´ı, je v´ıceménˇe komplikované. Moˇznou alternativou pro v´ ypoˇcet rychlostn´ıch závislost´ı manipulátoru lze nalézt napˇr´ıklad v [80], kter´ a pˇredkládá systematickou geometrickou metodologii v´ ypoˇctu ˙e a u translaˇcn´ı rychlosti O ´hlové rychlosti ω e koncového efektoru v závislosti na rych˙ manipulátoru. Vztah mezi derivac´ı matice rotace R ˙e a losti kloubov´ ych souˇradnic Θ vektorem u ´hlové rychlosti ω e a zrychlen´ı ω˙ e je popsán v Kapitole 4.5.1.2. Uvaˇzujme proto nad´ ale rychlosti a zrychlen´ı koncového efektoru m´ısto (4.160) jako: " ˙ = X " ¨ = X

˙b O e ω be

#

¨b O e ω˙ be

#

(4.161)

´ lze potom pro obecn´ POKU y manipulátor s n klouby psát jako:

˙ = J (Θ) · Θ ˙ X

(4.162)

¨ = J˙ (Θ) · Θ ˙ + J (Θ) · Θ ¨ X

(4.163)

´ jako: A IOKU

˙ = J −1 (X) · X ˙ Θ

(4.164)

˙ (X) · X ¨ = J −1 ˙ + J −1 (X) · X ¨ Θ

(4.165)

kde J (Θ) respektive J −1 (X) naz´ yváme kinematickým respektive inverzn´ım kinematickým jakobi´ anem.

187


4.8.1

Z´ avislosti rychlosti pro s´ eriov´ e manipul´ atory

˙0 a Uvaˇzujme prozat´ım, ˇze T b0 = T ne = I (bez kompenzac´ı). Translaˇcn´ı rychlost O i u ´hlovou rychlost ω 0i i-tého s.s. Fi vzhledem k s.s. F0 lze psát jako: ˙  ϑ1 ϑ˙ 2    " # ..  p p p p  0 ˙ j1 j2 . . . jj . . . ji  . O i =   o o o o j1 j2 . . . jj . . . ji  ϑ˙ j  ω 0i  | {z } .    ..  J i (Θ) ϑ˙ i

(4.166)

Tedy: ˙ 0 = j p · ϑ˙ 1 + j p · ϑ˙ 2 + · · · + j p · ϑ˙ j + · · · + j p · ϑ˙ i O i 2 1 j i

(4.167)

ω 0i = j o1 · ϑ˙ 1 + j o2 · ϑ˙ 2 + · · · + j oj · ϑ˙ j + · · · + j oi · ϑ˙ i p j kde j = 1 . . . i a sloupcové subvektory jo , j pj ∈ R3 respektive j oj ∈ R3 kinematického jj jakobiánu J i (Θ), zprostˇredkov´ avaj´ı pˇr´ıspˇevek j-tého kloubu ϑj do celkové translaˇcn´ı respektive u ´hlové rychlosti s.s. Fi vzhledem k s.s. F0 . Z Obr. 4.12 a Obr. 4.15 je zˇrejmé, ˇze pˇr´ıspˇevek translaˇcn´ı rychlosti v 0j,i a u ´hlové rychlosti ω 0j,i do s.s. Fi (vyj´ adˇrenou vzhledem k s.s. F0 ) zp˚ usobenou pohybem j-tého kloubu, lze pro konkrétn´ı typy kloub˚ u a zaveden´ı popisu s.s. vyjádˇrit jako: • Joint j je typu P (ϑj = dj ): Pro D-H u ´mluvu: ω 0j,i = 0 v 0j,i = d˙j · z 0j−1

Pro K-K u ´mluvu: (4.168) ω 0j,i = 0 v 0j,i = d˙j · z 0j

(4.169)

• Joint j je typu R (ϑj = θj ): Pro D-H u ´mluvu: 0 ˙ ω j,i = θj · z 0j−1 v 0j,i

=

ω 0j,i

×

r 0j−1,i

K-K u ´mluvu: (4.170) ω 0j,i = θ˙j · z 0j = θ˙j ·

z 0j−1

×

r 0j−1,i

v 0j,i

=

ω 0j,i

×

(4.171) r 0j,i

= θ˙j ·

z 0j

×

r 0j,i

kde z 0j je osa z s.s. Fj a r 0j,i = O 0i − O 0j je vzájemná translaˇcn´ı poloha s.s. Fj a Fi . Pˇri znalosti matic pˇrechodu T 0j je zˇrejmé, ˇze: z 0j = T 0j [1 : 3, 3]

a

r 0j,i = T 0i [1 : 3, 4] − T 0j [1 : 3, 4]

188

(4.172)


Sloupcové subvektory j pj a j oj lze tedy s ohledem na (4.167) psát jako: • Joint j je typu P (ϑj = dj ): Pro D-H u ´mluvu: 0 j pj z j−1 o = 0 jj

Pro K-K u ´mluvu: p 0 jj zj (4.173) o = 0 jj

(4.174)

• Joint j je typu R (ϑj = θj ): Pro D-H ´mluvu: pu 0 z j−1 × r 0j−1,i jj = z 0j−1 j oj

Pro K-Ku ´mluvu: 0 z j × r 0j,i j pj (4.175) = z 0j j oj

(4.176)

V´ ysledn´ y kinematick´ y jakobi´ an J i (Θ) je tedy pˇr´ımo dán rovnicemi (4.173 - 4.176), (4.172) a lze urˇcit pomoc´ı d´ılˇc´ıch matic pˇrechodu T i−1 s.s. manipulátoru. i ˙iau ´ pro Pro efektivn´ı v´ ypoˇcet translaˇcn´ı rychlosti O ´hlové rychlosti ω i (tedy POKU libovoln´ y s.s. v kinematickém ˇretˇezci manipulátoru) lze nast´ınˇen´ y postup modifikovat na n´ asleduj´ıc´ı zobecnˇen´ y rekurzivn´ı algoritmus pro libovoln´ y typ kloub˚ u. Definujme pomocnou promˇennou σi , pro kterou plat´ı: σj = 0

pokud Joint j

je typu R (ϑj = θj )

σj = 1

pokud Joint j

je typu P (ϑj = dj )

σ ¯j = 1 − σj Algoritmus 4.1 (Rekurzivn´ı alg. v´ ypoˇ ctu rychlost´ı pro D-H u ´ mluvu) Z rovnic (4.167), (4.173) a (4.175) vypl´ yvá následuj´ıc´ı rekurzivn´ı schéma: Pro u ´ hlov´ e rychlosti plat´ı: ω 01 = z 00 σ ¯1 ϑ˙ 1 ¯2 ϑ˙ 2 = ω 01 + z 01 σ ¯2 ϑ˙ 2 ω 02 = z 00 σ ¯ ϑ˙ +z 01 σ | {z1 }1 ω 01

ω 03 = z 00 σ ¯ ϑ˙ + z 0 σ ¯ ϑ˙ +z 02 σ ¯3 ϑ˙ 3 = ω 02 + z 02 σ ¯3 ϑ˙ 3 | 1 1 {z 1 2 }2 ω 02

189


Pro translaˇ cn´ı rychlosti plat´ı: 0 0 ˙ ˙ 0 = ((z 0 × r 0 )¯ O ¯ ϑ˙ ×r 00,1 ) + z 00 σ1 ϑ˙ 1 = ω 01 × r 00,1 + z 00 σ1 ϑ˙ 1 1 0 0,1 σ1 + z 0 σ1 )ϑ1 = (z 0 σ | {z1 }1 ω 01

0 0 0 ˙ ˙ 0 = ((z 0 × r 0 )¯ O σ2 + z 01 σ2 )ϑ˙ 2 = 2 0 0,2 σ1 + z 0 σ1 )ϑ1 + ((z 1 × r 1,2 )¯

= ((z 00 × (r 00,1 + r 01,2 ))¯ σ1 + z 00 σ1 )ϑ˙ 1 + (z 01 × r 01,2 )¯ σ2 ϑ˙ 2 + z 01 σ2 ϑ˙ 2 = σ1 ϑ˙ 1 + (z 01 × r 01,2 )¯ σ2 ϑ˙ 2 + z 01 σ2 ϑ˙ 2 = = ((z 00 × r 00,1 )¯ σ1 + z 00 σ1 )ϑ˙ 1 +(z 00 × r 01,2 )¯ | {z } ˙0 O 1

˙ 0 + (z 0 σ =O ¯ ϑ˙ + z 0 σ ¯ ϑ˙ ) ×r 01,2 + z 01 σ2 ϑ˙ 2 = 1 | 0 1 1 {z 1 2 2} ω 02

˙ 0 + ω 0 × r 0 + z 0 σ2 ϑ˙ 2 =O 1 2 1,2 1 0 0 0 ˙ ˙ 0 = ((z 0 × r 0 )¯ O σ2 + z 01 σ2 )ϑ˙ 2 + ((z 02 × r 02,3 )¯ σ3 + z 02 σ3 )ϑ˙ 3 = 3 0 0,3 σ1 + z 0 σ1 )ϑ1 + ((z 1 × r 1,3 )¯

= ((z 00 × (r 00,2 + r 02,3 ))¯ σ1 + z 00 σ1 )ϑ˙ 1 + ((z 01 × (r 01,2 + r 02,3 ))¯ σ2 + z 01 σ2 )ϑ˙ 2 + + (z 02 × r 02,3 )¯ σ3 ϑ˙ 3 + z 02 σ3 ϑ˙ 3 = σ1 ϑ˙ 1 + (z 01 × r 02,3 )¯ σ2 ϑ˙ 2 + = ((z 00 × r 00,2 )¯ σ1 + z 00 σ1 )ϑ˙ 1 + ((z 01 × r 01,2 )¯ σ2 + z 01 σ2 )ϑ˙ 2 +(z 00 × r 02,3 )¯ {z } | ˙0 O 2

+ (z 02 × r 02,3 )¯ σ3 ϑ˙ 3 + z 02 σ3 ϑ˙ 3 = ˙ 0 + (z 0 σ =O ¯ ϑ˙ + z 01 σ ¯ ϑ˙ + z 02 σ ¯3 ϑ˙ 3 ) ×r 02,3 + z 02 σ3 ϑ˙ 3 = 2 {z2 2 } | 0 1 1 ω 03

0

˙ + ω 0 × r 0 + z 0 σ3 ϑ˙ 3 =O 2 3 2,3 2 Tedy rekurzivn´ı algoritmus vzhledem k s.s. F0 lze psát: ω 0j = ω 0j−1 + z 0j−1 σ ¯j ϑ˙ j

(4.177)

˙0 O j

(4.178)

=

˙0 O j−1

+ ω 0j × r 0j−1,j + z 0j−1 σj ϑ˙ j

Lze ukázat, ˇze rekurzivn´ı v´ ypoˇcet lze v´ yraznˇe urychlit vyjádˇren´ım translaˇcn´ıch a u ´hlov´ ych rychlost´ı koncového efektoru v algoritmu vˇzdy vzhledem k aktuáln´ımu s.s. Fj . j−1 ω jj = ω jj−1 + z jj−1 σ ¯j ϑ˙ j = Rjj−1 (ω j−1 + z j−1 ¯j ϑ˙ j ) j−1 σ j j j−1 j j ˙ ˙ ˙j =O ˙ j + ωj × rj ˙ j−1 O j j−1 j j−1,j + z j−1 σj ϑj = Rj−1 (O j−1 + z j−1 σj ϑj ) + ω j × r j−1,j

Zároveˇ n zˇrejmˇe plat´ı z j−1 j−1 =

h

0 0 1

iT

.

190


V´ ysledn´ y rekurzivn´ı algoritmus pro postupn´ y v´ ypoˇcet translaˇcn´ı a u ´hlové rychlosti koncového efektoru pro D-H u ´mluvu pro popis s.s. lze tak psát jako:

ω jj = Rjj−1 (ω j−1 j−1 +

h

˙ j = R j (O ˙ j−1 + O j j−1 j−1

h

0 0 1 0 0 1

iT

σ ¯j ϑ˙ j )

(4.179)

iT

σj ϑ˙ j ) + ω jj × r jj−1,j

(4.180)

˙ ? = 0 (poloha s.s. F0 je pevná) kde j = 1 . . . i, ω0? = 0, O 0

T r jj−1,j = O jj − O jj−1 = −O jj−1 = −(T j−1 j ) [1 : 3, 4] T Rjj−1 = (T j−1 j ) [1 : 3, 1 : 3]

Algoritmus 4.2 (Rekurzivn´ı alg. v´ ypoˇ ctu rychlost´ı pro K-K u ´ mluvu) Z rovnic (4.167), (4.174) a (4.176) vypl´ yvá následuj´ıc´ı rekurzivn´ı schéma: Pro u ´ hlov´ e rychlosti plat´ı:

ω 01 = z 01 σ ¯1 ϑ˙ 1 ω 02 = z 01 σ ¯ ϑ˙ +z 02 σ ¯2 ϑ˙ 2 = ω 01 + z 02 σ ¯2 ϑ˙ 2 | {z1 }1 ω 01

ω 03 = z 01 σ ¯ ϑ˙ + z 0 σ ¯ ϑ˙ +z 03 σ ¯3 ϑ˙ 3 = ω 02 + z 03 σ ¯3 ϑ˙ 3 | 1 1 {z 2 2 }2 ω 02

191


Pro translaˇ cn´ı rychlosti plat´ı: 0 0 ˙ ˙ ˙ 0 = ((z 0 × r 0 )¯ O 1 1 1,1 σ1 + z 1 σ1 )ϑ1 = z 1 σ1 ϑ1 |{z} 0

˙0 O 2

=

(z 01 σ ¯1 ϑ˙ 1 ×r 01,2 )

×

r 01,2 )¯ σ1

+ z 01 σ1 )ϑ˙ 1 + ((z 02 × r 02,2 )¯ σ2 + z 02 σ2 )ϑ˙ 2 = |{z}

=

((z 01

0

+

| {z }

z 01 σ1 ϑ˙ 1 +z 02 σ2 ϑ˙ 2

=

| {z }

ω 01

˙0 O 1

0

˙ + ω 0 × r 0 + z 0 σ2 ϑ˙ 2 =O 1 1 1,2 2 0 0 0 ˙ ˙ 0 = ((z 0 × r 0 )¯ O σ2 + z 02 σ2 )ϑ˙ 2 + ((z 03 × r 03,3 )¯ σ3 + z 03 σ3 )ϑ˙ 3 = 3 1 1,3 σ1 + z 1 σ1 )ϑ1 + ((z 2 × r 2,3 )¯ |{z} 0

=

((z 01

×

(r 01,2

+

r 02,3 ))¯ σ1

z 01 σ1 )ϑ˙ 1

+

+

((z 02

×

r 02,3 )¯ σ2

+

z 02 σ2 )ϑ˙ 2

+ z 03 σ3 ϑ˙ 3 =

= ((z 01 × r 01,2 )¯ σ1 + z 01 σ1 )ϑ˙ 1 + z 02 σ2 ϑ˙ 2 +(z 01 × r 02,3 )¯ σ1 ϑ˙ 1 + (z 02 × r 02,3 )¯ σ2 ϑ˙ 2 + z 03 σ3 ϑ˙ 3 = | {z } ˙0 O 2

˙ 0 + (z 0 σ =O ¯ ϑ˙ + z 0 σ ¯ ϑ˙ ) ×r 02,3 + z 03 σ3 ϑ˙ 3 = 2 | 1 1 1 {z 2 2 2} ω 02

0

˙ + ω 0 × r 0 + z 0 σ3 ϑ˙ 3 =O 2 2 2,3 3 Tedy rekurzivn´ı algoritmus vzhledem k s.s. F0 lze psát: ω 0j = ω 0j−1 + z 0j σ ¯j ϑ˙ j

(4.181)

˙0 O j

(4.182)

=

˙0 O j−1

+ ω 0j−1 × r 0j−1,j + z 0j σj ϑ˙ j

Ze stejného d˚ uvodu jako v Algoritmu 4.1 provedeme vyjádˇren´ı rekurzivn´ıho algoritmu v s.s. Fj : j ω jj = ω jj−1 + z jj σ ¯j ϑ˙ j = Rjj−1 ω j−1 ¯j ϑ˙ j j−1 + z j σ j j j−1 j−1 j ˙ ˙ ˙ j−1 ˙j =O ˙ j + ωj × rj O j j−1 j−1 j−1,j + z j σj ϑj = Rj−1 (O j−1 + ω j−1 × r j−1,j ) + z j σj ϑj

Opˇet plat´ı z jj =

h

0 0 1

iT

.

V´ ysledn´ y rekurzivn´ı algoritmus pro postupn´ y v´ ypoˇcet translaˇcn´ı a u ´hlové rychlosti koncového efektoru pro K-K u ´mluvu pro popis s.s. lze tak psát jako: h iT j−1 ω jj = Rjj−1 ω j−1 + 0 0 1 σ ¯j ϑ˙ j (4.183) h iT ˙ j = R j (O ˙ j−1 + ω j−1 × r j−1 ) + 0 0 1 σj ϑ˙ j (4.184) O j j−1 j−1 j−1 j−1,j

192


˙ ? = 0 (poloha s.s. F0 je pevná) kde j = 1 . . . i, ω0? = 0, O 0 j−1 j−1 r j−1,j = O j−1 − O j−1 = T j−1 j j−1 = O j j [1 : 3, 4] T Rjj−1 = (T j−1 j ) [1 : 3, 1 : 3]

Kompenzace rychlost´ı ˙ z (4.161) s uvaˇzován´ım Zab´ yvejme se nyn´ı v´ yslednou rychlost´ı koncového efektoru X kompenzaˇcn´ıch matic T b0 a T ne . Vzhledem k faktu, ˇze s.s. Fn je následován s.s. Fe , lze ps´ at rekurzivn´ı algoritmus pro D-H (4.179, 4.180) i K-K (4.183, 4.184) u ´mluvu pro j = {n, e} jako: Pro D-H u ´mluvu:

ω ee = Ren ω nn +

0 0 1 {z |

T

·σ ¯e ϑ˙ e }

(4.185)

=0 (ϑe neexistuje)

˙e O e

=

˙n Ren (O n

+

0 0 1 | {z

T

=0

· σe ϑ˙ e ) + ω ee × r en,e }

Pro K-K u ´mluvu:

ω ee = Ren ω nn +

0 0 1 {z |

T

=0

˙e O e

=

˙n Ren (O n

+

ω nn

σ ¯e ϑ˙ e }

× r nn,e )] +

(4.186)

0 0 1 | {z 0

T

σe ϑ˙ e }

Jednoduch´ ymi u ´pravami lze ukázat, ˇze rovnice (4.185) a (4.186) vedou na stejn´ y vztah:

ω ne = ω nn

(4.187)

˙n=O ˙ n + ωn × rn O e n n n,e

193


˙ viz (4.161), lze vypoˇc´ıtat jako: Rychlost zobecnˇen´ ych souˇradnic manipulátoru X, " # n b n b n ) ˙ ˙ ˙b I −S(r R 0 R 0 O O O 3×3 3×3 3×3 n,e n n e n = ˙ e X= = · = · · b b n b 03×3 I 3×3 03×3 Rn 0 Rn ωe ω nn ωe 0 T b " 0# ˙ I 3×3 −S(r nn,e ) (Rn ) 03×3 Rn 03×3 O n = · · = 0 T · b 0 (Rn ) 03×3 I 3×3 0 Rn ω 0n b " 0# ˙ R0 −Rb0 · R0n · S(r nn,e ) · (R0n )T O n = · b 03×3 R0 ω 0n {z } | J comp (Θ)

(4.188) kde ´ viz (4.42)) Rb0 = T b0 [1 : 3, 1 : 3], R0n = T 0n [1 : 3, 1 : 3] (z ˇreˇsen´ı PKU,   0 −r nn,e [3, 1] r nn,e [2, 1] n n 0 −r nn,e [1, 1] , r nn,e = T ne [1 : 3, 4] S(r n,e ) =  r n,e [3, 1] −r nn,e [2, 1] r nn,e [1, 1] 0 Kombinac´ı rovnice (4.166) pro i = n a rovnice (4.188) dostáváme v´ ysledn´ y vztah pro v´ ypoˇcet rychlost´ı koncového efektoru manipulátoru: ˙ = J comp (Θ) · J n (Θ) · Θ ˙ X

(4.189)

kde J comp (Θ) je kompenzaˇcn´ı matice a J n (Θ) je kinematick´ y jakobián pro n kloubov´ ych souˇradnic bez uvaˇzovan´ ych kompenzac´ı (T b0 = T ne = I). Porovnáme-li v´ ysledek (4.189) s rovnic´ı (4.162) je zˇrejmé, ˇze kinematick´ y jakobián (vˇcetnˇe kompenzac´ı polohy z´ akladny a koncového efektoru) je dán jako: J (Θ) = J comp (Θ) · J n (Θ).

4.8.2

(4.190)

Z´ avislosti zrychlen´ı pro s´ eriov´ e manipul´ atory 0

¨ au ¨ 0i ´hlové zrychlen´ı ω Nejprve uvaˇzujme opˇet, ˇze T b0 = T ne = I. Translaˇcn´ı zrychlen´ı O i s.s. Fi vzhledem k s.s. F0 lze stanovit pˇr´ımou ˇcasovou derivac´ı z rovnice (4.166) jako: ¨  ˙  ϑ1 ϑ1 ϑ¨2  ϑ˙ 2      " #  ..   ..  0     ¨ O i =J ˙ i (Θ) ·  .  + J i (Θ) ·  .  (4.191) 0 ϑ¨j    ˙ ω˙ i    ϑj  . .  ..   ..  ˙ ϑï ϑi

194


Tedy: ¨ 0 = j p · ϑ¨1 + j p · ϑ¨2 + · · · + j p · ϑ¨j + · · · + j p · ϑï + j˙ p · ϑ˙ 1 + j˙ p · ϑ˙ 2 + · · · + j˙ p · ϑ˙ j + · · · + j˙ p · ϑ˙ i O i 1 2 j i 1 2 j i (4.192) o o o o ω˙ 0 = j o · ϑ¨1 + j o · ϑ¨2 + · · · + j o · ϑ¨j + · · · + j o · ϑï + j˙ · ϑ˙ 1 + j˙ · ϑ˙ 2 + · · · + j˙ · ϑ˙ j + · · · + j˙ · ϑ˙ i i

1

2

j

i

1

2

j

i

ˇ Casov´ a derivace kinematického jakobiánu J˙ i (Θ) je dána ˇcasov´ ymi derivacemi jeho d´ılˇc´ıch prvk˚ u, tedy jeho sloupc˚ u, viz rovnice (4.173 - 4.176):

• Joint j je typu P (ϑj = dj ): Pro K-K u ´mluvu: " p# j˙ j z˙ 0j (4.193) o = 0 j˙ j

Pro D-H u ´"mluvu: # p j˙ j z˙ 0j−1 o = 0 j˙ j

(4.194)

• Joint j je typu R (ϑj = θj ): Pro ´mluvu: " pD-H # u ´mluvu: 0 Pro" K-K # u ˙j 0 p z˙ j−1 × r 0j−1,i + z 0j−1 × r˙ 0j−1,i j ˙ z˙ j × r 0j,i + z 0j × r˙ 0j,i jj o = 0 (4.196) o = z˙ j−1 j˙ j z˙ 0j j˙ j (4.195) ˙ 0 − O˙ 0 a z 0 = T 0 [1 : 3, 4]. kde r˙ 0j,i = O i j i i 0 ˙ au Translaˇcn´ı rychlosti O ´hlovou rychlost ω 0i lze vyi poˇc´ıtat jako v rovnici (4.166) ˇci pomoc´ı rekurzivn´ıho Algoritmu 4.1 respektive Algoritmu 4.2. ˙ 0 a ω 0 staˇ Casovou derivaci osy z˙ 0i lze se znalost´ı O i i novit dle Obr´ azku 4.43 jako: 0

0

˙ + ω0 × z0 − O ˙ = ω 0 × z 0 (4.197) z˙ 0i = v 2 − v 1 = O i i i i i i Obr´ azek 4.43: Odvozen´ı

Stejnˇe jako v Kapitole 4.8.1 lze opˇet nalézt vhodn´ y rychlosti z˙ i rekurzivn´ı algoritmus k v´ ypoˇctu translaˇcn´ıho zrychlen´ı ¨ Oi a u ´hlového zrychlen´ı ω˙ i . Rekurzivn´ı schéma lze odvodit pˇr´ımou ˇcasovou derivac´ı rekurzivn´ıho algoritmu pro v´ ypoˇcet translaˇcn´ı a u ´hlové rychlosti koncového efektoru z Algoritmu 4.1 respektive z Algoritmu 4.2.

195


Algoritmus 4.3 (Rekurzivn´ı alg. v´ ypoˇ ctu zrychlen´ı pro D-H u ´ mluvu) Pro u ´ hlov´ e zrychlen´ı plat´ı: ˇ Casovou derivac´ı rovnice (4.177) a substituc´ı (4.197) dostáváme: ω ˙ 0j = ω ˙ 0j−1 + z˙ 0j−1 σ ¯j ϑ˙ j + z 0j−1 σ ¯j ϑ¨j = ω ˙ 0j−1 + (ω 0j−1 × z 0j−1 )¯ σj ϑ˙ j + z 0j−1 σ ¯j ϑ¨j = =ω ˙ 0j−1 + ω 0j−1 σ ¯j ϑ˙ j × z 0j−1 + z 0j−1 σ ¯j ϑ¨j Pro translaˇ cn´ı zrychlen´ı plat´ı: ˇ Casovou derivac´ı rovnice (4.178), substituc´ı (4.197) a substituc´ı: 0

0

0 0 0 ˙ ˙ −O ˙ r˙ 0j−1,j = O j j−1 = ω j × r j−1,j + z j−1 σj ϑj

(viz rovnice (4.178))

dostáváme: 0 ¨0 = O ¨ 0 + ω˙ 0 × r 0 ˙ 0j−1,j + z˙ 0j−1 σj ϑ˙ j + z 0j−1 σj ϑ¨j = O j j−1 j j−1,j + ω j × r 0 0 0 0 0 0 0 ˙ ˙ ¨ ¨ 0 + ω˙ 0 × r 0 =O j−1 j j−1,j + ω j × (ω j × r j−1,j + z j−1 σj ϑj ) + (ω j−1 × z j−1 )σj ϑj + z j−1 σj ϑj = 0

¨ ˙ 0j × r 0j−1,j + ω 0j × (ω 0j × r 0j−1,j ) + ω 0j × z 0j−1 σj ϑ˙ j + (ω 0j−1 × z 0j−1 )σj ϑ˙ j + z 0j−1 σj ϑ¨j =O j−1 + ω Tedy rekurzivn´ı algoritmus vzhledem k s.s. Fj lze psát: j−1 j−1 ω ˙ jj = ω ˙ jj−1 + ω jj−1 σ ¯j ϑ˙ j × z jj−1 + z jj−1 σ ¯j ϑ¨j = Rjj−1 (ω ˙ j−1 ¯j ϑ˙ j × z j−1 ¯j ϑ¨j ) j−1 + ω j−1 σ j−1 + z j−1 σ j j j j j j j j ˙ ˙ ¨ ¨j = O ¨ j + ω˙ j × r j O j j−1 j j−1,j + ω j × (ω j × r j−1,j ) + ω j × z j−1 σj ϑj + (ω j−1 × z j−1 )σj ϑj + z j−1 σj ϑj = j−1

j−1 j−1 j−1 ˙ ¨ ¨ ˙ jj × r jj−1,j + ω jj × (ω jj × r jj−1,j )+ = Rjj−1 (O j−1 + ω j−1 × z j−1 σj ϑj + z j−1 σj ϑj ) + ω j−1 +ω jj × Rjj−1 z j−1 σj ϑ˙ j   0   j−1 Opˇet plat´ı z j−1 =  0 .

1 V´ ysledn´ y rekurzivn´ı algoritmus pro postupn´ y v´ ypoˇcet translaˇcn´ıho a u ´hlového zrychlen´ı koncového efektoru pro D-H u ´mluvu pro popis s.s. lze tak psát jako:     0 0    ¨ j j j−1 j−1 ˙ ω ˙ j = Rj−1 (ω ˙ j−1 + σ ¯j (ω j−1 ϑj ×  0  +  0  ϑj )) (4.198) 

1 

1 

 0 0    j j j j j ¨ j = Rj (O ¨ j−1 + σj (ω j−1 ×  O  0  ϑ˙ j +  0  ϑ¨j )) + ω˙ j × r j−1,j + ω j × (ω j × r j−1,j )+ j j−1 j−1 j−1 1 1   0   ˙ j j + ω j × Rj−1  0  σj ϑj (4.199) 1

196


¨ ? = 0 (poloha s.s. F0 je pevná) kde j = 1 . . . i, ω˙ ?0 = 0, O 0 T r jj−1,j = O jj − O jj−1 = −O jj−1 = −(T j−1 j ) [1 : 3, 4] T Rjj−1 = (T j−1 j ) [1 : 3, 1 : 3] j a ω j−1 ame z Algoritmu 4.1. j−1 , ω j zn´

Algoritmus 4.4 (Rekurzivn´ı alg. v´ ypoˇ ctu zrychlen´ı pro K-K u ´ mluvu) Pro u ´ hlov´ e zrychlen´ı plat´ı: ˇ Casovou derivac´ı rovnice (4.181) a substituc´ı (4.197) dostáváme: ω˙ 0j = ω˙ 0j−1 + z˙ 0j σ ¯j ϑ˙ j + z 0j σ ¯j ϑ¨j = ω˙ 0j−1 + (ω 0j × z 0j )¯ σj ϑ˙ j + z 0j σ ¯j ϑ¨j = = ω˙ 0j−1 + ω 0j σ ¯j ϑ˙ j × z 0j + z 0j σ ¯j ϑ¨j Pro translaˇ cn´ı zrychlen´ı plat´ı: ˇ Casovou derivac´ı rovnice (4.182), substituc´ı (4.197) a substituc´ı: 0

0

0 0 0 ˙ ˙ −O ˙ r˙ 0j−1,j = O j j−1 = ω j−1 × r j−1,j + z j σj ϑj

(viz rovnice (4.182))

dost´ av´ ame: 0 ¨0 = O ¨ 0 + ω˙ 0 × r 0 ˙ 0j−1,j + z˙ 0j σj ϑ˙ j + z 0j σj ϑ¨j = O j j−1 j−1 j−1,j + ω j−1 × r 0 0 0 0 0 0 0 ˙ ˙ ¨ ¨ 0 + ω˙ 0 × r 0 =O j−1 j−1 j−1,j + ω j−1 × (ω j−1 × r j−1,j + z j σj ϑj ) + (ω j × z j )σj ϑj + z j σj ϑj = 0 0 0 0 0 0 0 0 ˙ ˙ ¨ ¨ 0 + ω˙ 0 × r 0 =O j−1 j−1 j−1,j + ω j−1 × (ω j−1 × r j−1,j ) + ω j−1 × z j σj ϑj + ω j × z j σj ϑj + z j σj ϑj

Tedy rekurzivn´ı algoritmus vzhledem k s.s. Fj lze psát: j ω˙ jj = ω˙ jj−1 + ω jj σ ¯j ϑ˙ j × z jj + z jj σ ¯j ϑ¨j = Rjj−1 ω˙ j−1 ¯j ϑ˙ j × z jj + z jj σ ¯j ϑ¨j j−1 + ω j σ j j j j j j j j ˙ ˙ ¨ ¨j = O ¨ j + ω˙ j × r j O j j−1 j−1 j−1,j + ω j−1 × (ω j−1 × r j−1,j ) + ω j−1 × z j σj ϑj + ω j × z j σj ϑj + z j σj ϑj = j−1

j−1 j−1 j−1 j−1 j j−1 j ˙ ¨ ˙ j−1 = Rjj−1 (O × r j−1 j−1 + ω j−1,j + ω j−1 × (ω j−1 × r j−1,j )) + Rj−1 ω j−1 × z j σj ϑj +

+ω jj × z jj σj ϑ˙ j + z jj σj ϑ¨j 

 0   Opˇet plat´ı z jj =  0 . 1 V´ ysledn´ y rekurzivn´ı algoritmus pro postupn´ y v´ ypoˇcet translaˇcn´ıho a u ´hlového zrychlen´ı

197


koncového efektoru pro K-K u ´mluvu pro popis s.s. lze tak psát jako:     0 0    ¨ j−1 j ˙ j j ¯j (ω j ϑj ×  0  +  0  ϑj ) ω˙ j = Rj−1 ω˙ j−1 + σ 1 1 ¨ j = Rj (O ¨ j−1 + ω˙ j−1 × r j−1 + ω j−1 × (ω j−1 × r j−1 ))+ O j j−1 j−1 j−1 j−1,j j−1 j−1 j−1,j     0 0   ˙  ¨ j j−1 j + σj ((Rj−1 ω j−1 + ω j ) ×  0  ϑj +  0  ϑj ) 1

(4.200)

(4.201)

1

¨ ? = 0 (poloha s.s. F0 je pevná) kde j = 1 . . . i, ω˙ ?0 = 0, O 0 j−1 j−1 r j−1,j = O jj−1 − O j−1 = T j−1 j−1 = O j j [1 : 3, 4] T Rjj−1 = (T j−1 j ) [1 : 3, 1 : 3] j a ω j−1 ame z Algoritmu 4.2. j−1 , ω j zn´

Poznamenejme, ˇze rekurzivn´ı algoritmy Algoritmus 4.1-4.4 je moˇzné jednoduch´ ymi u ´pravami pˇrevézt na tvary uvedené v literatuˇre [80] a [81]. Kompenzace zrychlen´ı ˙ z (4.161) s uvaˇzován´ım Zab´ yvejme se opˇet v´ ysledn´ ym zrychlen´ım koncového efektoru X kompenzaˇcn´ıch matic T b0 a T ne . Vzhledem k faktu, ˇze s.s. Fn je následován s.s. Fe , lze psát rekurzivn´ı algoritmus pro D-H (4.199, 4.198) i K-K (4.201, 4.200) u ´mluvu pro j = {n, e} jako: Pro D-H u ´mluvu: 

   0 0 e e n n˙    ω ˙ e = R n (ω ˙n+σ ¯e (ω n ϑe × 0 + 0  ϑë ) 1 1 {z } |

(4.202)

=0 (θe neexistuje)



   0 0 e e ¨n n ˙ ¨    O e = Rn (O n + σe (ω n × 0 ϑe + 0  ϑë )) + ω˙ ee × r en,e + ω ee × (ω ee × r en,e )+ 1 1 | {z } =0   0 e e  + ω e × Rn 0  σe ϑ˙ e 1 | {z } =0

198


Pro K-K u ´mluvu: 

   0 0 e e n e˙    ω˙ e = Rn ω˙ n + σ ¯e (ω e ϑe × 0 + 0  ϑë ) 1 1 {z } |

(4.203)

=0

¨ e = R e (O ¨ n + ω˙ n × r n + ω n × (ω n × r n ))+ O e n n n n,e n n n,e     0 0 e n e ˙    + σe ((Rn ω n + ω e ) × 0 ϑe + 0  ϑë ) 1 1 {z } | =0

Jednoduch´ ymi u ´pravami lze ukázat, ˇze rovnice (4.202) a (4.203) vedou na stejn´ y vztah: ω˙ ne = ω˙ nn ¨n O e

=

¨n O n

(4.204) + ω˙ nn × r nn,e + ω nn × (ω nn × r nn,e ) {z } | n )·S(ω n )·r n S(ωn n n,e

¨ viz 4.161, lze vypoˇc´ıtat jako: Zrychlen´ı zobecnˇen´ ych souˇradnic manipulátoru X, " # n b n 2 n b n ) n ¨ ¨ ¨b I −S(r S (ω ) · r R 0 R 0 O O O 3×3 3×3 3×3 n,e n n,e n n e n ¨ = e X = · = · · + 03×3 I 3×3 0 03×3 Rbn 0 Rbn ω˙ ne ω˙ nn ω˙ be " # b 0 T b 2 n n ¨0 I 3×3 −S(r nn,e ) Rn 03×3 (Rn ) 03×3 O n + Rn · S (ω n ) · r n,e = = · · · 0 (R0n )T 03×3 I 3×3 0 0 Rbn ω˙ 0n " # b b ¨0 R0 −Rb0 · R0n · S(r nn,e ) · (R0n )T R0 · R0n · S 2 (ω nn ) · r nn,e O n · + = 0 03×3 Rb0 ω˙ 0n | {z } {z } | ˙ J add (Θ,Θ)

J comp (Θ)

(4.205) kde ´ viz (4.42)) Rb0 = T b0 [1 : 3, 1 : 3], R0n = T 0n [1 : 3, 1 : 3] (z ˇreˇsen´ı PKU,   0 −r nn,e [3, 1] r nn,e [2, 1] n 0 −r nn,e [1, 1] , r nn,e = T ne [1 : 3, 4] S(r n,e ) =  r nn,e [3, 1] −r nn,e [2, 1] r nn,e [1, 1] 0 a ω nn zn´ ame z Kapitoly 4.8.1. Kombinac´ı rovnice (4.191) pro i = n a rovnice (4.205) dostáváme v´ ysledn´ y vztah pro v´ ypoˇcet zrychlen´ı koncového efektoru manipulátoru: ¨ = J comp (Θ) · (J˙ n (Θ) · Θ ˙ + J n (Θ) · Θ) ¨ + J add (Θ, Θ) ˙ X

199

(4.206)


kde kompenzaˇcn´ı matice J comp (Θ) je shodná jako kompenzaˇcn´ı matice z rovnice (4.189), ˙ je aditivn´ı sloˇzka zrychlen´ı zp˚ matice J add (Θ, Θ) usobená rotac´ı koncového efektoru a J n (Θ) respektive J˙ n (Θ) je kinematick´ y jakobián, respektive jeho ˇcasová derivace pro n kloubov´ ych souˇradnic bez uvaˇzovan´ ych kompenzac´ı (T b0 = T ne = I). Porovnáme-li v´ ysledek (4.206) s rovnic´ı (4.163), dostáváme: ¨ = J comp (Θ) · J˙ n (Θ) · Θ ˙ + J add (Θ, Θ) ˙ + J comp (Θ) · J n (Θ) ·Θ ¨ X | {z } | {z } ˙ ˙ J(Θ)· Θ

4.8.3

(4.207)

J(Θ)

Z´ avislosti rychlosti a zrychlen´ı pro paraleln´ı manipul´ atory

Na problém nalezen´ı z´ avislosti rychlost´ı a zrychlen´ı pro paraleln´ı manipulátory lze opˇet nahl´ıˇzet dvˇema zp˚ usoby. V pˇr´ıpadˇe dekompozice paraleln´ıho mechanismu na nezávislé ´ kaˇzdého rozpouzavˇrené kinematické ˇretˇezce, viz Kapitola 4.7.1 je moˇzné zapsat POKU jeného sériového kinematického ˇretˇezce, viz Obrázek 4.27, vyjadˇruj´ıc´ı stejnou rychlost v rozpojeném kloubu Joint k (podm´ınka na uzavˇren´ı kinematické smyˇcky): ˙ 1 = J k+B (Θk+B ) · Θ ˙2 J k (Θk ) · Θ

(4.208)

kde Θ1 respektive Θ2 vyjadˇruje rychlosti aktivn´ıch i pasivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic v kaˇzdém rozpojeném kinematickém ˇretˇezci a J k (Θ1 ) respektive J k+b (Θ2 ) jejich kinematické jakobi´ any. Jelikoˇz ze zn´ amé polohy aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic m˚ uˇzeme dopoˇc´ıtat hodnoty souˇradnic pasivn´ıch, rovnice (4.208) vede na lineárn´ı soustavu rovnic, ze které lze pro kaˇzdou polohu manipul´ atoru dopoˇc´ıtat vztah mezi pasivn´ımi a aktivn´ımi rychlostmi kloubov´ ych souˇradnic. Analogick´ y v´ ysledek lze z´ıskat pˇr´ımou ˇcasovou derivac´ı rovnice (4.90). Rychlost koncového efektoru manipulátoru lze potom z´ıskat jako ˇreˇsen´ı ´ sériového ˇretˇezce vedouc´ıho od základny manipulátoru ke koncovému efektoru, POKU nebot’ vˇsechny polohy i rychlosti pasivn´ıch i aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic jsou nyn´ı známy. Postup lze analogicky rozˇs´ıˇrit i pro v´ ypoˇcet zrychlen´ı koncového efektoru. V pˇr´ıpadˇe dekompozice paraleln´ıho mechanismu na sériové manipulátory, viz Ka´ stanoven´ım rychlosti pˇr´ıpojn´ pitola 4.7.2, lze ˇreˇsit POKU ych bod˚ u koncového efektoru k jednotliv´ ym kinematick´ ym ˇretˇezc˚ um. Z Obrázku 4.29 je zˇrejmé, ˇze pro danou polohu koncového efektoru, lze stanovit translaˇcn´ı rychlosti jeho pˇr´ıpojn´ ych bod˚ u Bi z translaˇcn´ı O be a u ´hlové ω be rychlosti koncového efektoru jako: −−→ ˙b=O ˙ b + ωb × − B Oe B i b i e e

200

(4.209)

4.8 Kinematika manipul´ ator˚ u: Z´ avislosti rychlost´ı a zrychlen´ı −−→ ˙ba− ´ IKU). ´ kde O O e B i b jsou urˇceny pro danou polohu koncového efektoru (ˇreˇsen´ı PKU, e Hodnoty rychlost´ı aktivn´ıch i pasivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic lze pak nalézt ˇreˇsen´ım závislost´ı rychlost´ı pro kaˇzd´ y d´ılˇc´ı kinematick´ y ˇretˇezec manipulátoru, viz Kapitola 4.8.1. Vzhledem k tomu, ˇze vˇetˇsina paraleln´ıch manipulátor˚ u má pouze jednoduché kine´ stanovit jednoduˇse jako matické ˇretˇezce s aktivn´ım kloubem typu P, lze ˇcasto IOKU projekci rychlost´ı pˇr´ıpojn´ ych bod˚ u B i do smˇeru translaˇcn´ı osy aktivn´ı kloubové souˇradnice, jak ukazuje n´ asleduj´ıc´ı pˇr´ıklad:

´ pro PSZ ) F Pˇ r´ıklad 4.14 (IOKU Rychlosti pˇr´ıpojn´ ych bod˚ u D i koncového efektoru PSZ jsou dány, analogicky k rov˙ b = 0): nici (4.209) jako (translaˇcn´ı rychlost koncového efektoru je nulová ⇒ O e

−−→ ˙ b = ωb × − D Oe Di b i e

(4.210)

pro i = 1 . . . 3. Z Obr´ azku 4.44 je zˇrejmé, ˇze projekce rychlosti aktivn´ı kloubové souˇradnice d˙i do ˙ i do smˇeru ramene C i D i mus´ı b´ yt totoˇzná, jako projekce rychlosti pˇr´ıpojného bodu D stejného smˇeru.

Obr´ azek 4.44: Projekce rychlost´ı v kinematickém ˇretˇezci PSZ (u je jednotkov´ y smˇerov´ y vektor aktu´ ator˚ u)

Vyuˇzijeme-li rovnici (4.210) a vlastnost´ı vektorového a skalárn´ıho souˇcinu, dosta-

201


neme: −−−→ −−−→ − ˙b u ) = (C i D i b )T · D (C i D i b )T · (d˙i → i −−−→ −−−→b T (C i D i ) · (ω be × O e D i b ) ˙ di = −−−→ − u (C i D i b )T · → −−−→b −−−→b T (O e D i × C i D i ) · ω be d˙i = −−−→ − (C i D i b )T · → u ´ pro PSZ lze tedy ps´ IOKU at jako:   d˙1 ˙  −1 b d2  = J (Θ) · ω e d˙3 kde inverzn´ı kinematick´ y jakobi´ an J −1 (Θ) je:  −−−−→b

−−−−→ (O e D 1 ×C 1 D 1 b )T −−−−→b T −  (C 1 D 1 ) · → u

(4.211)

(4.212)



   . . . . . . . . . . . . . . . .  −−−−→b −−−−→b T   2 ×C 2 D 2 )  J −1 (Θ) =  (Oe D  −−−−→ → u  (C 2 D2 b )T ·−    . . . . . . . . . . . . . . . .  −−−−→b −−−−→b T  (O e D 3 ×C 3 D 3 ) −−−−→ → (C 3 D 3 b )T ·− u

h iT a Θ = d1 d2 d3 . Pro v´ ypoˇcet rychlosti koncového efektoru, definovaného derivacemi zobecnˇen´ ych h iT b ˙ souˇradnic X = α˙ β˙ γ˙ , viz Kapitola 4.4.3, z u ´hlové rychlosti ω e pouˇzijeme Eulerovy kinematické rovnice, viz rovnice (4.31). Anal´ yza z´ avislost´ı zrychlen´ı by vedla opˇet na nutnost v´ ypoˇctu ˇcasové derivace J −1 , kterou je moˇzné z´ıskat podobnˇe jako v Kapitole 4.8.2. F

202


4.8.4

Singul´ arn´ı polohy manipul´ atoru

Singul´ arn´ı polohy manipul´ ator˚ u jsou specifické polohy koncového efektoru, které v´ yznamnˇe ovlivˇ nuj´ı jeho kinematické vlastnosti. Tuto skuteˇcnost je tˇreba brát vˇzdy v u ´vahu pˇri syntéze, anal´ yze i ˇr´ızen´ı manipulátor˚ u. Z Kapitoly 4.8 vypl´ yv´ a, ˇze mezi rychlostmi kloubov´ ych a zobecnˇen´ ych souˇradnic manipul´ atoru existuje, pro danou konstantn´ı polohu manipulátoru, line´ arn´ı z´ avislost dan´ a kinematick´ ym ˇci analytick´ ym jakobiánem, dále jen jakobiánem, jako:

˙ = J (Θ) · Θ ˙ X

(4.213)

Pˇredpokl´ adejme d´ ale obecn´ y pˇr´ıpad redundantn´ıch manipulátor˚ u, tedy manipulátor˚ u, kde poˇcet DoF koncového efektoru M je menˇs´ı neˇz poˇcet nezávisl´ ych aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic N . V pˇr´ıpadˇe neredundantn´ıch manipulátor˚ u diskutovan´ ych v pˇredchoz´ıch kapitol´ ach plat´ı M = N . Jakobián J (Θ) = J bude tedy reprezentovan´ y matic´ı tvaru [M × N ] s hodnost´ı rank(J ) = r.

Singularity pro s´ eriov´ e manipul´ atory Singulárn´ı polohou sériového manipul´ atoru, tzv. sériovou singularitou rozum´ıme takovou polohu koncového efektoru, pro kterou jakobi´ an J ztr´ ac´ı svou hodnost r < min (M, N ). Ze závislosti mezi rychlostmi (4.213) lze tedy usuzovat, ˇze existuje nenulová rychlost kloubov´ ych souˇradnic ˙ 6= 0 pro kterou se koncov´ ˙ = 0. Zároveˇ Θ y efektor nem˚ uˇze pohybovat X n plat´ı, ˇze v bl´ızkosti takov´ ych poloh je pro malé rychlosti koncového efektoru zapotˇreb´ı velk´ ych rychlost´ı kloubov´ ych souˇradnic. Pˇr´ıklad singulárn´ı polohy pro antropomorfn´ı manipulátor se sférick´ ym z´ apˇest´ım z Kapitoly 4.4.1 ukazuje Obrázek 4.45.

203


(a) Singul´ arn´ı poloha AM - rychlost kloubov´ ych souˇradnic φ1 6= 0, φ2 = φ3 = 0 generuje nulovou rychlost koncového efektoru

(b) Singul´ arn´ı poloha SZ - rychlost kloubov´ ych souˇradnic φ4 = −φ6 , φ5 = 0 generuje nulovou rychlost koncového efektoru

Obr´ azek 4.45: Sériové singulárn´ı polohy AM+SZ

ˇ Singularity pro paraleln´ı manipul´ atory Casovou derivac´ı vztahu (4.96) ˇreˇs´ıc´ı ´ pro paraleln´ı manipul´ IKU atory lze odvodit formáln´ı tvar inverzn´ıho jakobiánu jako: ˙ =B·X ˙ A·Θ ˙ = A−1 · B ·X ˙ Θ | {z } J −1 −1

˙ ˙ = B · A ·Θ X | {z }

(4.214)

J

Singulárn´ı polohy pro paraleln´ı manipulátory lze tedy dˇelit na tˇri typy: • Matice A nem´ a plnou hodnost ⇒ sériov´ a singularita (jakobián J nemá plnou hodnost). Tento typ singularity koresponduje se sériovou singulárn´ı polohou sériov´ ych manipul´ ator˚ u reprezentuj´ıc´ı nezávislé kinematické ˇretˇezce manipulátoru. Tedy v takovémto pˇr´ıpadˇe opˇet existuje nenulová rychlost kloubov´ ych souˇradnic ˙ 6= 0 pro kterou se koncov´ ˙ = 0. Tento typ singuΘ y efektor nem˚ uˇze pohybovat X larity b´ yv´ a ˇcasto chybnˇe zamˇen ˇován s hranic´ı pracovn´ıho prostoru manipulátoru, pro kterou plat´ı to samé (obecnˇe vˇsak sériová singularita na hranici pracovn´ıho prostoru nemus´ı nast´ avat).

204


• Matice B nem´ a plnou hodnost ⇒ paraleln´ı singularita (inverzn´ı jakobián J −1 ˙ = nem´ a plnou hodnost). V takovém pˇr´ıpadˇe existuje nenulová rychlost X 6 0 ˙ = 0 aktivn´ıch kloubov´ koncového efektoru generuj´ıc´ı nulovou rychlost Θ ych souˇradnic. Koncov´ y efektor tedy z´ıskává tzv. neˇriditelné stupnˇe volnosti. V praxi je nezbytnˇe nutné se okol´ı takov´ ych poloh vyvarovat, nebot’ manipulátor se v nich st´ av´ a v podstatˇe neˇriditeln´ ym.

• Matice A ani B nem´ a plnou hodnost. Nastávaj´ı oba typy singularit souˇcasnˇe.

F Pˇ r´ıklad 4.15 (Singul´ arn´ı polohy PSZ) Z rovnice pro v´ ypoˇcet inverzn´ıho kinematického jakobiánu (4.211) lze odvodit tvar matic A a B: ˙ = B · ωb A·Θ e

⇒

˙ = A−1 · B ·ω b Θ | {z } e J

(4.215)

−1

kde  −−−−→ −−−−→  (O e D 1 b × C 1 D 1 b )T  −−−−→b T →    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (C 1 D 1 ) · − u 0 0  −−−−→b −−−−→b T  −−−−→   −  A= ( 0 (C 2 D 2 b )T · → u 0  a B=  Oe D2 × C 2 D2 )  −−−−→b T →   0 0 (C 3 D 3 ) · − u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −−−−→ −−−−→ (O e D 3 b × C 3 D 3 b )T (4.216) Z matice A vypl´ yv´ a, ˇze PSZ se nacház´ı v sériové singulárn´ı poloze pokud je alespoˇ n −−−→ → − jedna dvojice vektor˚ u C i D i a u vzájemnˇe kolmá, viz Obrázek 4.47. Z matice B vypl´ yv´ a, ˇze PSZ se nach´ az´ı v paraleln´ı singulárn´ı poloze pokud je alespoˇ n jeden vektor −−−→b −−−→b −−−→b −−−→b (O e D i × C i D i ) nulov´ ym vektorem (O e D i a C i D i jsou vzájemnˇe rovnobˇeˇzné), nebo −−−→b −−−→b jsou vektory (O e D i × C i D i ) lineárnˇe závislé, viz Obrázek 4.46 a Obrázek 4.47.

205


(a) α = 0, β = 0, γ = − 32 π

(b) α = 0, β = 0, γ = 31 π

Obr´ azek 4.46: Paraleln´ı singul´ arn´ı polohy PSZ, vektory O e D i b × C i D i b jsou lineárnˇe z´ avislé (leˇz´ı v jedné rovinˇe se vz´ ajemn´ ym pootoˇcen´ım o 23 π)

Obr´ azek 4.47: PSZ souˇcasnˇe v sériové i paraleln´ı singulárn´ı poloze, α = β = γ = 0, n´ avrhové parametry ξ jsou odliˇsné od pˇredchoz´ıho pˇr´ıpadu, vektory (O e D i b × C i D i b ) jsou line´ arnˇe z´ avislé, vektory C i D i a u jsou kolmé

F

206

4.9 Numerick´ y pˇ r´ıstup ˇ reˇ sen´ı kinematiky manipul´ ator˚ u

4.9

Numerick´ y pˇ r´ıstup ˇ reˇ sen´ı kinematiky manipul´ ator˚ u

V pˇredchoz´ıch kapitol´ ach byl uveden obecn´ y pˇr´ıstup k ˇreˇsen´ı kinematiky manipulátor˚ u. Pˇr´ım´ a kinematika pro sériové manipul´ atory a inverzn´ı kinematika pro paraleln´ı manipul´ atory (uvaˇzujeme jednoduché kinematické ˇretˇezce) je relativnˇe jednoduchá a ˇreˇsiteln´ a analyticky. Jejich implementace do ˇr´ıdic´ıch algoritm˚ u manipulátor˚ u proto vˇetˇsinou neˇcin´ı vˇetˇs´ı pot´ıˇze a v´ ypoˇcetn´ı n´ aroˇcnost takov´ ych u ´loh je uspokojivá vzhledem k nasazen´ı v souˇcasn´ ych pr˚ umyslov´ ych poˇc´ıtaˇc´ıch. Opaˇcné kinematické u ´lohy (inverzn´ı pro sériové manipul´ atory a pˇr´ım´ a pro paraleln´ı manipul´ atory) lze uspokojivˇe ˇreˇsit pouze ve specifick´ ych pˇr´ıpadech a obecnˇe s sebou pˇrináˇsej´ı ˇradu problém˚ u pˇri jejich implementaci do ˇr´ıdic´ıch algoritm˚ u. Mezi nejv´ yznamnˇejˇs´ı m˚ uˇzeme oznaˇcit tyto následuj´ıc´ı: • v obecném pˇr´ıpadˇe neexistuje analytické ˇreˇsen´ı • metody zaloˇzené na nalezen´ı charakteristického polynomu manipulátoru (dyalitick´ a eliminace, Gr¨ obnerovy báze) pˇrináˇsej´ı nemalé problémy vzhledem ke stabilitˇe a pˇresnosti ˇreˇsen´ı (hledán´ı koˇren˚ u polynom˚ u vysok´ ych ˇrád˚ u) • v´ ypoˇcetn´ı n´ aroˇcnost metod (intervalová anal´ yza, homotopie, dosazován´ı do komplikovan´ ych algebraick´ ych vztah˚ u) je pˇr´ıliˇs veliká pro implemenatci do ˇr´ıdic´ıch algoritm˚ u (v re´ alném ˇcase) • nalezen´ı v´ıce moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı kinematick´ ych u ´loh vyˇzaduje implementovat metody pro rozhodov´ an´ı o aktu´ aln´ım korektn´ım ˇreˇsen´ı ´ pro V n´ asleduj´ıc´ım textu se omezme pouze na numerické metody v´ ypoˇctu IKU s´ eriov´ e manipul´ atory. Metoda m˚ uˇze b´ yt ekvivalentnˇe snadno rozˇs´ıˇrena i na ma´ máme k dispozici polohy, rychlosti a zrychlen´ı nipul´ atory paraleln´ı. Pˇri ˇreˇsen´ı IKU kloubov´ ych souˇradnic: Θ=

ϑ1 ϑ2 . . . ϑ N

T

D´ ale pak line´ arn´ı vztah mezi rychlostmi aktivn´ıch kloubov´ ych a zobecnˇen´ ych souˇradnic pro konstantn´ı polohu koncového efektoru, viz rovnice (4.213): ˙ = J (Θ) · Θ ˙ X

207

(4.217)


Zab´ yvejme se d´ ale nˇekter´ ymi vlastnostmi jakobiánu J .Provedeme-li singulárn´ı dekompozici matice J , jej´ıˇz hodnost je rovna r, dostáváme: J =U ·Σ·VT

(4.218)

kde matice U M ×M respektive V N ×N jsou unitárn´ı matice jejichˇz sloupce vyjadˇruj´ı lev´ y respektive prav´ y singul´ arn´ı vektor matice J . Matice ΣM ×N je ve tvaru: Σ=

S r×r

0r×(N −r)

0(M −r)×r 0(M −r)×(N −r)

(4.219)

kde S je diagon´ aln´ı matice s diagon´ aln´ımi prvky σ1 , σ2 , . . . σr , pro které plat´ı σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σr ≥ 0 reprezentuj´ıc´ı singul´ arn´ı ˇc´ısla matice J . Rozepsán´ım rovnice (4.218) s pomoc´ı (4.219) dostaneme: ˙ =U ·Σ·VT ·Θ ˙ X r X ˙ = ˙ X σi · U [:, i] · V [:, i]T · Θ i=1

˙ = σ1 · U [:, 1] · V [:, 1]T · Θ ˙ + σ2 · U [:, 2] · V [:, 2]T · Θ ˙ + · · · + σr · U [:, r] · V [:, r]T · Θ ˙ X (4.220) Nutnˇe tedy plat´ı n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı, grafické znázornˇen´ı viz Obrázek 4.48: ˙ = a, kde a = a1 . . . ai . . . aN T a ai ∈ R, plat´ı • Oznaˇc´ıme-li V T · Θ ˙ = V · a, tedy sloupce V [:, 1] aˇz V [:, r] matice V generuj´ı prostor kloubov´ Θ ych ⊥ ˙ tzv. doplnˇek null space N(J ), oznaˇcen´ rychlost´ı Θ, y jako N (J ), viz následuj´ıc´ı bod. dim(N⊥ (J )) = r • Zˇrejmˇe plat´ı, ˇze zb´ yvaj´ıc´ı sloupce V [:, r + 1] aˇz V [:, N ] generuj´ı prostor takov´ ych ˙ pro kter´ rychlost´ı kloubov´ ych souˇradnic Θ, y je rychlost koncového efektoru vˇ zdy ˙ = 0, oznaˇcme jej jako tzv. null space N(J ). nulová X dim(N(J )) = N − r

208


• Sloupce U [:, 1] aˇz U [:, r] matice U potom generuj´ı prostor dosaˇ ziteln´ ych rych˙ oznaˇcme jej jako tzv. range space R(J ). lost´ı koncového efektoru X, dim(R(J )) = r • Zˇrejmˇe plat´ı, ˇze zb´ yvaj´ıc´ı sloupce U [:, r + 1] aˇz U [:, M ] generuj´ı prostor nedo˙ tzv. doplnˇek range space R(J ), saˇ ziteln´ ych rychlost´ı koncového efektoru X, oznaˇcen´ y jako R⊥ (J ). dim(R⊥ (J )) = M − r

Obr´ azek 4.48: Prostory generované vlastn´ımi vektory jakobiánu J

4.9.1

´ pro neredundantn´ı manipul´ IKU atory

´ pro neredundantn´ı manipulátory, Diskutujme nejprve pˇr´ıpad numerického ˇreˇsen´ı IKU tedy pro pˇr´ıpad, kdy poˇcet DoF koncovému efektoru pˇresnˇe odpov´ıdá poˇctu nezávisl´ ych aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic manipulátoru (M = N ). Pˇredpokládejme, ˇze jakobi´ an J nen´ı singul´ arn´ı matic´ı, tzn. jeho hodnost je plná, r = M = N . Z pˇredchoz´ı anal´ yzy matice jakobi´ anu J vypl´ yv´ a, ˇze neexistuj´ı ˇzádné nenulové hodnoty rychlost´ı aktivn´ıch ˙ ˙ = 0, kloubov´ ych souˇradnic Θ, které by generovaly nulov´ y pohyb koncového efektoru, X nebot’ dim(N(J )) = N − r = N − N = 0.

209


Inverz´ı rovnice (4.217), zaveden´ım diskrétn´ıch ˇcasov´ ych okamˇzik˚ u tk , tk+1 . . . , ˇca˙ dostáváme: sového pˇr´ır˚ ustku ∆t = tk+1 − tk a n´ aslednou aproximac´ı derivace Θ ˙ = J −1 (Θ) · X ˙ Θ Θ(tk+1 ) − Θ(tk ) ˙ k) = J −1 (Θ(tk )) · X(t ∆t ˙ k ) · ∆t Θ(tk+1 ) = Θ(tk ) + J −1 (Θ(tk )) · X(t

(4.221)

´ dan´ Bohuˇzel, v´ ypoˇcet IKU y rovnic´ı (4.221), vyuˇz´ıvaj´ıc´ı pˇr´ıstup klasické numerické integrace rychlosti koncového efektoru, v praktick´ ych aplikac´ı nelze pouˇz´ıt, nebot’ vlivem nepˇresnost´ı doch´ az´ı k nasˇc´ıt´ av´ an´ı numerick´ ych chyb v ˇcase. Alternativn´ım pˇr´ıstupem je zaveden´ı chyby e mezi poˇzadovanou X d a aktuáln´ı X polohou zobecnˇen´ ych souˇradnic, z´ıskanou z dostupn´ ych hodnot namˇeˇren´ ych kloubov´ ych ´ Snadno tedy vyjádˇr´ıme, pomoc´ı rovnice (4.217), i souˇradnic Θ prostˇrednictv´ım PKU. jej´ı ˇcasovou derivaci: e = X d − X = X d − G(Θ)

(4.222)

˙ d−X ˙ e˙ = X ˙ d − J (Θ) · Θ ˙ e˙ = X

(4.223)

´ viz rovnice (4.46), z Kapitoly 4.6.1. kde G(Θ) oznaˇcuje ˇreˇsen´ı PKU, Rovnice (4.223) reprezentuje v´ yvoj chyby v´ ypoˇctu zobecnˇen´ ych souˇradnic X v ˇcase. Vhodnou volbou z´ avislosti mezi e˙ a X lze zajistit konvergenci e k nule v exponenciáln´ım ˇcase. Poloˇzme proto e˙ K-maticovému násobku zápornˇe vzaté odchylky e: !

e˙ = −K · e ˙ d − J (Θ) · Θ ˙ = −K[X d − G(Θ)] X

(4.224) (4.225)

Je zˇrejmé, ˇze rovnice (4.224) reprezentuje lineárn´ı systém chyby e. Pokud je matice K volena jako pozitivnˇe definitn´ı, lineárn´ı systém chyby e je asymptoticky stabiln´ı, chyba e → 0, tedy G(Θ) → X d a tedy Θ konverguje ke skuteˇcn´ ym hodnotám kloubov´ ych souˇradnic odpov´ıdaj´ıc´ım aktu´ aln´ı poloze koncového efektoru. Rovnice (4.225) lze pˇrepsat do tvaru: ˙ = J −1 (Θ) X ˙ d + K[X d − G(Θ)] Θ

210

(4.226)


˙ v (4.226) dostáváme pˇredpis pro korektn´ı numerické ˇreˇsen´ı IKU ´ Aproximac´ı derivace Θ neredundantn´ıch sériov´ ych manipulátor˚ u: ˙ d + K[X d − G(Θ(tk ))] ∆t Θ(tk+1 ) = Θ(tk ) + J −1 (Θ(tk )) X

(4.227)

˙ d = 0 odpov´ıdá Newtonovu algoritmu numericPoznamenejme, ˇze vztah (4.227) pro X kého hled´ an´ı ˇreˇsen´ı Θ rovnice X d − G(Θ) = 0.

4.9.2

´ pro redundantn´ı manipul´ IKU atory

´ pro neredundantn´ı manipulátory, kdy poˇcet DoF V pˇr´ıpadˇe numerického ˇreˇsen´ı IKU koncovému efektoru je menˇs´ı neˇz poˇcet nezávisl´ ych aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic ma˙ které nipul´ atoru (M < N ), existuj´ı takové rychlosti aktivn´ıch kloubov´ ych souˇradnic Θ, ˙ Tyto rychlosti kloubov´ generuj´ı nulov´ y pohyb koncového efektoru X. ych souˇradnic leˇz´ı v prostoru N(J ), jehoˇz dimenze je dim(N(J )) = N − r = N − M . Opˇet pˇredpokládáme, ˇze jakobi´ an J m´ a plnou hodnost, tedy r = min (M, N ) = M . V takovém pˇr´ıpadˇe lze ˇr´ıci, ˇze pokud rychlosti kloubov´ ych souˇradnic Θ˙ ? jsou ˇreˇsen´ım rovnice (4.217), potom jsou ˇreˇsen´ım i rychlosti (rovnice má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı): ˙ =Θ ˙ ?+P ·Θ ˙0 Θ

(4.228)

kde P je matice [N, N ], jej´ıˇz sloupce generuj´ı null space jakobiánu J , tedy plat´ı R(P ) = ˙ 0 ∈ RN je libovoln´ N(J ). Θ y vektor. Toto tvrzen´ı lze snadno dokázat dosazen´ım ˇreˇsen´ı (4.228) do rovnice (4.217). ˙ = J · (Θ ˙ ?+P ·Θ ˙ 0) = J · Θ ˙ ?+J ·P ·Θ ˙ =X ˙ J ·Θ | {z }0 =0

Jin´ ymi slovy m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze pro redundantn´ı manipulátory lze nalézt takové rych˙ = P ·Θ ˙ 0 , které negeneruj´ı rychlost (tedy ani zmˇenu polosti kloubov´ ych souˇradnic Θ ˙ a zp˚ lohy) koncového efektoru manipulátoru X usobuj´ı pouze ”vnitˇrn´ı pohyb”mechanické konstrukce manipul´ atoru. Toho lze vyuˇz´ıt pro pˇrekonfigurován´ı manipulátoru pˇri konstantn´ı poloze koncového efektoru za u ´ˇcelem splnˇen´ı ˇci optimalizován´ı nˇejakého pˇr´ıdavného kritéria, napˇr. udrˇzov´ an´ı manipulátoru co nejdál od moˇzn´ ych singulárn´ıch poloh, od limitn´ıch poloh aktu´ ator˚ u ˇci od pˇrekáˇzek v pracovn´ım prostoru. ˙ koncového efektoru redunPˇredpokl´ adejme, ˇze chceme doc´ılit zadaného pohybu X ˙ = J ·Θ ˙ (primárn´ı kritérium - vazebn´ı dantn´ıho manipul´ atoru, tedy splnˇen´ı podm´ınky X

211


podm´ınka, kter´ a mus´ı b´ yt vˇzdy splnˇena) a zároveˇ n budeme poˇzadovat, aby se rychlosti ˙ co nejv´ıce bl´ıˇzily poˇzadované hodnotˇe Θ ˙ 0 (dané sekundárn´ım, kloubov´ ych souˇradnic Θ pˇr´ıdavn´ ym kritériem). Definujme tedy kriteri´ aln´ı funkci: ˙ = 1 (Θ ˙ −Θ ˙ 0 )T · (Θ ˙ −Θ ˙ 0) Q(Θ) 2

(4.229)

Prostˇrednictv´ım Lagrangeov´ ych multiplikátor˚ u λ ∈ RM zavedeme rozˇs´ıˇrenou kriteriáln´ı funkci zohledˇ nuj´ıc´ı vazebn´ı podm´ınku: ˙ λ) = 1 (Θ ˙ −Θ ˙ 0 )T · (Θ ˙ −Θ ˙ 0 ) + λT (X ˙ − J · Θ) ˙ Q(Θ, 2

(4.230)

Z nutné podm´ınky existence extrému dostáváme: ˙ λ) ∂Q(Θ, ˙ −Θ ˙ 0 − JT · λ = 0 =Θ ˙ ∂Θ ˙ =Θ ˙ 0 + JT · λ Θ

(4.231)

Vynásoben´ım rovnice (4.231) zleva J s respektován´ım rovnice (4.217) a vyjádˇren´ım multiplikátoru λ dost´ av´ ame: ˙ =J ·Θ ˙ 0 + J · JT · λ J ·Θ | {z } ˙ X

˙ −J ·Θ ˙ 0) λ = (J · J T )−1 (X

(4.232)

Dosazen´ım rovnice (4.232) zpˇet do (4.231) dostáváme v´ ysledné rychlosti kloubov´ ych ˙ splˇ souˇradnic Θ nuj´ıc´ı prim´ arn´ı a minimalizuj´ıc´ı sekundárn´ı kritérium. ˙ =Θ ˙ 0 + J T · (J · J T )−1 (X ˙ −J ·Θ ˙ 0) Θ ˙ = J† · X ˙ + (I − J † · J ) · Θ ˙0 Θ

(4.233)

kde J † = J T · (J · J T )−1 je prav´ a zobecnˇená inverze jakobiánu J . ˙ 0 = 0 rovnice (4.233) pˇrejde na tvar standartn´ı zobecnˇené inverze Θ ˙ = J† ·X ˙ Pro Θ ˙ kloubov´ a sekundárn´ı kritérium tak minimalizuje velikosti rychlost´ı kΘk ych souˇradnic ˙ Z porovn´ ˙ pˇredstavuje Θ. an´ı v´ ysledku (4.233) s rovnic´ı (4.228) je zˇrejmé, ˇze ˇclen J † · X ˙ ? a ˇclen (I − J † · J ) matici P generuj´ıc´ı null space jakobiánu J prostˇrednictv´ım ˇreˇsen´ı Θ ˙ 0. souˇradnic Θ

212


˙ 0 d´ Necht’ je vektor Θ an gradientem sekundárn´ı kriteriáln´ı funkce w(Θ) jako: ∂w(Θ) ˙ Θ0 = k0 · (4.234) ∂Θ kde k0 ∈ R je konstanta zes´ılen´ı. ˙ aΘ ˙ 0 z kritéria (4.229) se tedy optimálnˇe bl´ıˇz´ıme Minimalizov´ an´ım vzd´ alenosti Θ ke gradientu sekund´ arn´ı kriteriáln´ı funkce w(Θ), tedy manipulátor se pohybuje takov´ ym zp˚ usobem, ˇze kriteri´ aln´ı funkce w(Θ) je maximalizována pˇri souˇcasném dodrˇzen´ı poˇzadované trajektorie pohybu koncového efektoru (primárn´ı kritérium). Mezi nejˇcastˇejˇs´ı volby kriteriáln´ı funkce w(Θ) patˇr´ı následuj´ıc´ı: • Vzd´ alenost od singul´ arn´ıch poloh: w(Θ) =

q det J · J T

(4.235)

kde kriteri´ aln´ı funkce pˇredstavuje odmocninu ze souˇcinu singulárn´ıch ˇc´ısel σi jakobi´ anu J . Maximalizován´ım kriteriáln´ı funkce tedy rekonfigurujeme mechaniku manipul´ atoru takov´ ym zp˚ usobem, aby se nacházel co nejdále od sv´ ych singul´ arn´ıch poloh (σi = 0). • Vzd´ alenost od limitn´ıch poloh n aktuátor˚ u: n 1 X ϑi − ϑ¯i w(Θ) = − 2n ϑmax − ϑmin i i i=1 kde ϑ¯i =

ϑmax −ϑmin i i 2

(4.236)

a ϑmax respektive ϑmin oznaˇcuje maximáln´ı respektive minii i

m´ aln´ı polohu aktu´ atoru. Maximalizac´ı kriteriáln´ı funkce rekonfigurujeme mechaniku manipul´ atoru takov´ ym zp˚ usobem, aby se aktuátory manipulátoru udrˇzovaly co nejd´ ale od sv´ ych limitn´ıch poloh. ´ (4.225) zobecnˇenou inverz´ı Nahrad´ıme-li nyn´ı inverzi J −1 v algoritmu v´ ypoˇctu IKU se zahrnut´ ym sekund´ arn´ım kritériem (4.233) dostáváme: ˙ = J † (Θ) X ˙ d + K[X d − G(Θ)] + I − J † (Θ) · J (Θ) · Θ ˙0 Θ

(4.237)

˙ v (4.237) dostáváme pˇredpis pro korektn´ı numerické ˇreOpˇet aproximac´ı derivace Θ ´ redundantn´ıch sériov´ ˇsen´ı IKU ych manipulátor˚ u se sekundárn´ım kritériem definovan´ ym funkc´ı w(Θ): h ˙ d + K[X d − G(Θ(tk ))] + Θ(tk+1 ) = Θ(tk ) + J † (Θ(tk )) X i ˙ 0 (tk ) ∆t + I − J † (Θ(tk )) · J (Θ(tk )) · Θ

213

(4.238)


4.9.3

´ pro polohy manipul´ IKU atoru v bl´ızkosti singularit

´ Dosud jsme se zab´ yvali pouze problémem nalezen´ı numerického algoritmu v´ ypoˇctu IKU v pˇr´ıpadˇe, kdy se sériov´ y manipul´ ator nenalézá v sériové singulárn´ı poloze. Tzn. jakobián J má plnou hodnost r = min (M, N ). Nen´ı-li tento pˇredpoklad splnˇen (manipulá´ pro neredundantn´ı, tor se nacház´ı v singul´ arn´ı poloze) nast´ avá problém s algoritmy IKU viz Kapitola 4.9.1 i redundantn´ı manipulátory, viz Kapitola 4.9.2: • Neredundantn´ı manipul´ atory (M = N ): Jakobi´ an J je singul´ arn´ı matic´ı, neexistuje tedy jeho inverze J −1 . V bl´ızkosti ´ singulárn´ı polohy je pak operace inverze ˇspatnˇe podm´ınˇená a algoritmus IKU vede na velké hodnoty rychlost´ı kloubov´ ych souˇradnic (pˇr´ımo v singulárn´ı poloze na nekoneˇcnˇe velké hodnoty). • Redundantn´ı manipul´ atory (M < N ): Matice J · J T je singul´ arn´ı, neexistuje tedy jej´ı inverze (J · J T )−1 a tedy ani zobecnˇen´ a inverze J † . V bl´ızkosti singulárn´ıch poloh nastává stejn´ y problém jako v pˇredchoz´ım bodˇe. ˇ sen´ı pˇrináˇs´ı vyuˇzit´ı metody tlumen´ Reˇ ych nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u (neredundantn´ı manipulátory) ˇci tlumené pseudoinverze (redundantn´ı manipulátory). Obˇe metody vycházej´ı z pˇredpokladu, ˇze v singul´ arn´ı poloze manipulátoru nen´ı moˇzné, z v´ yˇse uveden´ ych d˚ u˙ = J ·Θ ˙ a vod˚ u, pˇresnˇe splnit vztah mezi zobecnˇen´ ymi a kloubov´ ymi rychlostmi X ˙ v pˇrijateln´ zároveˇ n udrˇzet rychlosti kloubov´ ych souˇradnic Θ ych mez´ıch. Jako kompromisn´ı ˇreˇsen´ı budeme tedy minimalizovat sm´ıˇsené kritérium typu: ˙ = 1 · (X ˙ − J · Θ) ˙ T · (X ˙ − J · Θ) ˙ + α2 · 1 · Θ ˙ T ·Θ ˙ Q(Θ) 2 2

(4.239)

kde α ∈ R je v´ ahov´ y koeficient. Vˇetˇs´ı hodnoty α vedou na niˇzˇs´ı hodnoty rychlost´ı klou˙ na u bov´ ych souˇradnic Θ ´kor nepˇresnosti sledován´ı poˇzadované trajektorie koncov´ ym efektorem a naopak. Neredundantn´ı manipul´ atory (M = N ) Z nutné podm´ınky existence extrému dostáváme kritéria (4.239): ˙ ∂Q(Θ) ˙ + α2 · Θ ˙ − JT · X ˙ =0 = JT · J · Θ ˙ Θ ˙ = J T · J + α2 · I −1 · J T · X ˙ Θ

214

(4.240)


´ v Kapitole 4.9.1 je tedy nahraInverze jakobi´ anu J −1 v algoritmech v´ ypoˇctu IKU zena v bl´ızkosti singularit tlumenou verz´ı s koeficientem tlumen´ı α > 0: J −1

⇒

˙ = J −1 · X ˙ Θ

⇒

J T · J + α2 · I

−1

· JT

(4.241)

Tedy: ˙ = J T · J + α2 · I Θ

−1

˙ · JT · X

(4.242)

Redundantn´ı manipul´ atory (M < N ) Analogicky lze z´ıskat tlumenou verzi pseudoinverze J † , viz [109]. Pseudoinverze jako´ v Kapitole 4.9.2 je tedy nahrazena v bl´ızkosti ypoˇctu IKU biánu J † v algoritmech v´ singularit tlumenou verz´ı s koeficientem tlumen´ı α > 0: J † = J T · (J · J T )−1

⇒

J T · (J · J T + α2 · I)−1

(4.243)

Provedeme-li nyn´ı singul´ arn´ı dekompozici jakobiánu J , viz (4.218), v tlumené verzi inverze (4.241), dost´ av´ ame: J T · J + α2 · I

−1

· J T = (V · Σ · U T · U · Σ · V T + α2 · I)−1 · V · Σ · U T

J T · J + α2 · I

−1

· J T = (V · (Σ2 + α2 · I) · V T )−1 · V · Σ · U T

J T · J + α2 · I

−1

· J T = (V · (Σ2 + α2 · I)−1 · V T ) · V · Σ · U T

J T · J + α2 · I

−1

· J T = V · (Σ2 + α2 · I)−1 · Σ ·U T | {z }

(4.244)

¯ Σ

kde    ¯ Σ=  

σ1 σ12 +α2

0 .. . 0

0

...

0



0 ... .. . 0 ...

0 .. .

    

0

σ2 σ22 +α2

0

σr σr2 +α2

Rozeps´ an´ım rovnice (4.242) pomoc´ı (4.244) dostáváme d˚ ukaz, ˇze singulárn´ı jakobi´ an J (alespoˇ n jedno jeho singul´ arn´ı ˇc´ıslo σi = 0) nevede na nekoneˇcnˇe velké rychlosti ˙ kloubov´ ych souˇradnic Θ: ˙ = Θ

r X i=1

σi ˙ 9 ∞ · V [:, i] · U [:, i]T · X σi →0 σi2 + α2

215

(4.245)


˙ zp˚ Chyba eΘ˙ ve v´ ypoˇctu rychlost´ı kloubov´ ych souˇradnic Θ usobená tlumen´ım lze vyjádˇrit jako: eΘ˙ = =

r X i=1 r X i=1

r

X 1 σi ˙ = ˙ − · V [:, i] · U [:, i]T · X · V [:, i] · U [:, i]T · X 2 2 σi σi + α i=1 −α2 ˙ · V [:, i] · U [:, i]T · X (σi2 + α2 )σi

(4.246)

Poznamenejme, ˇze stejn´ y v´ ysledek lze z´ıskat analogicky i pro tlumenou pseudoinverzi z rovnice (4.243). V praktick´ ych aplikac´ıch ˇr´ızen´ı se koeficient tlumen´ı α ˇcasto mˇen´ı dynamicky, podle m´ıry vzd´ alenosti koncového efektoru manipulátoru k singulárn´ı poloze. ´ sériov´ Postupy popsané v této kapitole pro numerické ˇreˇsen´ı IKU ych manipulátor˚ u ´ manipulátor˚ lze analogicky aplikovat na ˇreˇsen´ı PKU u paraleln´ıch, proto se jimi jiˇz nebudeme d´ ale zab´ yvat. V´ıce o numerick´ ych pˇr´ıstupech ˇreˇsen´ı kinematiky manipulátor˚ u lze nalézt v [110], [111], [112], [113].

4.9.4

Shrnut´ı

Práce se zab´ yv´ a problémem kinematiky robotick´ ych architektur, tedy závislostmi mezi polohami, rychlostmi a zrychlen´ımi v mechanick´ ych konstrukc´ıch robot˚ u bez ohledu na s´ıly a silové momenty, kter´ ymi jsou vyvolány. Dynamika robot˚ u proto nen´ı nápln´ı práce, avˇsak d˚ ukladn´ a kinematick´ a anal´ yza je nezbytnou podm´ınkou k jej´ımu zkoumán´ı. Pˇrestoˇze pojem robot je dneˇsn´ı spoleˇcnost´ı chápán sp´ıˇse jako humanoidn´ı bytost schopná autonomn´ıho ˇzivotn´ıho cyklu (pohyb, rozhodován´ı, atd.) v práci jsou diskutovány robotické struktury spadaj´ıc´ı v´ yhradnˇe do oblasti robotick´ ych manipulátor˚ u, které hraj´ı v´ yznamnou roli nejen v pr˚ umyslu ale stejnˇe tak i v lékaˇrsk´ ych oborech, armádn´ıch aplikac´ıch, kosmickém v´ yzkumu atd. C´ılem pr´ ace je pˇredloˇzit ucelen´ y pˇrehled stávaj´ıc´ıch metod k ˇreˇsen´ı kinematiky manipulátor˚ u zaloˇzen´ y na souˇcasném stavu v této oblasti. Pˇrestoˇze, ˇrada jednoduˇsˇs´ıch problém˚ u v kinematice manipul´ ator˚ u m˚ uˇze b´ yt ˇreˇsena intuitivnˇe postupy, vyuˇz´ıvaj´ıc´ı pˇr´ıstupy stˇredoˇskolské matematiky (analytiky, geometrie, fyziky), v práci je kladen d˚ uraz pˇredevˇs´ım na moˇznost algoritmizace pˇredloˇzen´ ych metod za u ´ˇcelem jejich implementace do automatick´ ych algoritm˚ u. Tyto algoritmy by pak mˇely stát základem vytvoˇren´ı softwarového n´ astroje pro intuitivn´ı automatické generován´ı model˚ u manipulátor˚ u pro vˇedecké i studijn´ı u ´ˇcely, viz Kapitola 4.3. Pˇr´ıklady takov´ ych softwarov´ ych nástroj˚ u lze nalézt napˇr. v [114], [115], [116].

216


Problémy kinematiky jsou diskutovány pro dva základn´ı typy architektur manipul´ ator˚ u - sériové a paraleln´ı. Porovnán´ı vlastnost´ı tˇechto dvou základn´ıch skupin lze nalézt v Kapitole 4.2. V Kapitole 4.5.2 jsou pˇredstaveny dvˇe nejznámˇejˇs´ı u ´mluvy pro popis kinematick´ ych architektur manipulátor˚ u, které umoˇzn ˇuj´ı automatické rekurzivn´ı generov´ an´ı souˇradn´ ych systém˚ u definuj´ıc´ı polohy jednotliv´ ych ramen manipulátor˚ u. Transformaˇcn´ı vztahy mezi souˇradn´ ymi systémy lze pak povaˇzovat za kinematick´ y model manipul´ atoru, jehoˇz n´ avrhové parametry jsou tvoˇreny sadou geometrick´ ych parametr˚ u, které jednoznaˇcnˇe ud´ avaj´ı uspoˇrádán´ı mechanické konstrukce manipulátoru (tvar ramen, typy a um´ıstˇen´ı kloub˚ u). Kapitola 4.6 je vˇenov´ ana závislostem mezi kloubov´ ymi souˇradnicemi manipulátoru a zobecnˇen´ ymi souˇradnicemi koncového efektoru. Rozliˇsujeme dvˇe základn´ı kinematické ´ tedy závislost polohy zobecnˇen´ u ´lohy - pˇr´ımou kinematickou u ´lohu (PKU), ych souˇrad´ nic na poloh´ ach souˇradnic kloubov´ ych a zpˇetnou (inverzn´ı) kinematickou u ´lohu (IKU), tedy z´ avislost polohy kloubov´ ych souˇradnic na souˇradnic´ıch zobecnˇen´ ych. V textu je ukáz´ ano, ˇze v´ ypoˇcetn´ı n´ aroˇcnost kinematick´ ych u ´loh jednoznaˇcnˇe závis´ı na typu manipul´ atoru. ´ ˇreˇsitelná vˇzdy analyticky a jej´ı v´ V pˇr´ıpadˇe sériov´ ych manipulátor˚ u je PKU ypoˇcet ´ pro sériové manipulze z´ıskat jednoduˇse z kinematického modelu manipulátoru. PKU ´ pro sériové manipulátory s sebou pˇrin´ látory vede vˇzdy na pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı. IKU aˇs´ı ˇradu problém˚ u, nebot’ obecnˇe vede na v´ ypoˇcet soustavy transcendentn´ıch rovnic s v´ıce moˇzn´ ymi ˇreˇsen´ımi. V jednoduch´ ych pˇr´ıpadech lze tyto rovnice ˇreˇsit intuitivnˇe, viz Kapitola 4.6.2.1, takové postupy jsou vˇsak obt´ıˇznˇe algoritmizovatelné. Nˇekdy je moˇzné dekomponovat mechanickou konstrukci manipulátoru na dvˇe vzájemnˇe nezávislé ˇcásti ´ ˇreˇsit oddˇelenˇe pro kaˇzdou ˇcást zvláˇst’, viz Kapitola 4.6.2.2. Poznamenejme, ˇze a IKU tento pˇr´ıpad nast´ av´ a pro drtivou vˇetˇsinu dneˇsn´ıch pr˚ umyslov´ ych manipulátor˚ u, kde je ´ tak ˇreˇsen´ı IKU v´ yraznˇe zjednoduˇseno (lze nalézt analyticky). Kapitola 4.6.2.3 analyzuje ´ obecného sériového manipulátoru se 6DoF. Pˇredstavená metoda moˇznost ˇreˇsen´ı IKU vˇsak vyˇzaduje relativnˇe sloˇzité symbolické pˇredzpracován´ı ˇreˇsen´ ych rovnic, jejichˇz u ´pravami lze z´ıskat tzv. kinematick´ y polynom manipulátoru (polynom v jedné promˇenné). ´ Poznamenejme, Nalezen´ı koˇren˚ u kinematického polynomu potom urˇcuje ˇreˇsen´ı IKU. ´ ˇze kinematick´ y polynom je v tomto pˇr´ıpadˇe stupnˇe 16, tedy nelze nalézt ˇreˇsen´ı IKU v uzavˇreném (analytickém) tvaru. Hledán´ı koˇren˚ u polynom˚ u vysok´ ych stupˇ n˚ u pˇrin´ aˇs´ı také problémy se stabilitou a pˇresnost´ı numerick´ ych v´ ypoˇct˚ u.

217


´ ani Pro paraleln´ı manipul´ atory obecnˇe plat´ı, ˇze analyticky ˇreˇsitelná nen´ı ani PKU ´ viz Kapitola 4.7. Vˇsak vzhledem k faktu, ˇze kinematické ˇretˇezce spojuj´ıc´ı koncov´ IKU, y efektor se základnou manipul´ atoru jsou vˇetˇsinou relativnˇe jednoduché, lze analyticky ´ PKU ´ pro paraleln´ı manipulátory vˇsak dodnes z˚ nalézt ˇreˇsen´ı IKU. ustává otevˇren´ ym problémem. V pr´ aci jsou zahrnuty uk´ azky v´ ypoˇctu pro nˇekteré varianty manipulátor˚ u (planárn´ı paraleln´ı manipul´ atory, paraleln´ı sférické zápˇest´ı a jeho ekvivalence k známé zjednoduˇsené variantˇe paraleln´ıch manipulátor˚ u). I zde vˇsak nestávaj´ı nemalé problémy ´ obecného 6DoF paras numerick´ ymi algoritmy. Efektivn´ı algoritmy pro v´ ypoˇcet PKU leln´ıho manipul´ atoru z˚ ust´ avaj´ı tak i nadále pˇredmˇetem intenzivn´ıho zkoumán´ı. Kapitola 4.8 je vˇenov´ ana anal´ yze rychlost´ı a zrychlen´ım mezi kloubov´ ymi a zo´ a zpˇetná becnˇen´ ymi souˇradnicemi, tzv. pˇr´ım´ a okamˇzitá kinematická u ´loha (POKU) ´ Moˇznost prostého derivován´ı rovnic (inverzn´ı) okamˇzit´ a kinematick´ a u ´loha (IOKU). ´ ˇci ÍKU) nen´ı v textu uvaˇzováno. Algoritmizace automaticpolohov´ ych z´ avislost´ı (PKU kého symbolického derivov´ an´ı je sice moˇzná, vˇetˇsinou vˇsak vede na mnohaˇclené sloˇzité vztahy zcela nevhodné pro implementaci do reáln´ ych algoritm˚ u ˇr´ızen´ı ˇci jako vstupy pro tvorbu dynamick´ ych model˚ u manipulátor˚ u. M´ısto toho jsou odvozeny závislosti rychlost´ı a zrychlen´ıch pomoc´ı geometrie mechaniky manipulátoru a dále pak ukázány efektivn´ı rekurzivn´ı algoritmy v´ ypoˇctu rychlost´ı a zrychlen´ı libovolného kloubu manipulátoru. V kapitole je d´ ale zahrnut struˇcn´ y pˇrehled pojednávaj´ıc´ı o singulárn´ıch polohách koncového efektoru a jejich dopad˚ um na kinematické chován´ı manipulátoru. ´ pro sériové manipuV Kapitole 4.9 je analyzov´ an numerick´ y pˇr´ıstup k ˇreˇsen´ı IKU ´ pro manipulátory paraleln´ı. látory, kter´ y m˚ uˇze b´ yt snadno aplikov´ an i na ˇreˇsen´ı PKU Uveden´ y numerick´ y pˇr´ıstup je modifikac´ı základn´ıho Newtonova algoritmu pro hledán´ı ˇreˇsen´ı neline´ arn´ıch rovnic. Mezi v´ yhody numerického pˇr´ıstupu jednoznaˇcnˇe patˇr´ı jeho snadná implementace do re´ aln´ ych algoritm˚ u ˇr´ızen´ı a moˇznost odstranˇen´ı numerick´ ych chyb. Bohuˇzel, i zde existuje nebezpeˇc´ı, ˇze numerick´ y algoritmus bude konvergovat k ji´ neˇz je poˇzadov´ nému ˇreˇsen´ı IKU, ano, z d˚ uvodu existence v´ıce takov´ ych ˇreˇsen´ı v bl´ızkosti aktuáln´ı polohy koncového efektoru. Pomoc v takov´ ych pˇr´ıpadech nab´ız´ı napˇr. metody intervalové anal´ yzy. V kapitole je d´ ale ukázána moˇznost vyuˇzit´ı redundance manipulátor˚ u (vˇetˇs´ı poˇcet nez´ avisl´ ych aktu´ ator˚ u neˇz poˇcet DoF koncového efektoru) k v´ ypoˇctu kloubov´ ych souˇradnic zajiˇst’uj´ıc´ıch poˇzadovan´ y pohyb koncového efektoru manipulátoru a zároveˇ n optimalizuj´ıc´ı dané sekundárn´ı kritérium (vzdálenost od singulárn´ıch

218


poloh, udrˇzov´ an´ı hodnot aktuátor˚ u od sv´ ych limitn´ıch poloh, atd.). Na závˇer je zm´ınˇena moˇzn´ a modifikace numerick´ ych algoritm˚ u v´ ypoˇctu pro manipulátory nacházej´ıc´ı se v bl´ızkosti singul´ arn´ıch poloh.

219


220

5

Z´ avˇ er Tady chyb´ı z´ avˇer skripta.

221

´ ER ˇ 5. ZAV

222

Literatura [1] R. Isermann. On the Design and Control of Mechatronic Systems - A Survey. IEEE Transactions on industrial electronics, 43, 1996. 1, 3, 8 [2] R. Isermann. Modeling and Design Methodology for Mechatronic Systems. IEEE Transactions on Mechatronics, 1, 1996. 1, 8 [3] R. Isermann. Mechatronic systems - A challenge for control engineering. Proceedings of the American Control Conference, Albuquerque, New Mexico, 1997. 1, 3, 8, 11 [4] N. Kyura and H. Oho. Mechatronics - An Industrial Perspective. IEEE Transactions on Mechatronics, 1, 1996. 1, 3 [5] B. A. Gregory. An Introduction to Electrical Instrumentation and Measurment Systems. MacMillan, New York, 1981. 8 [6] A. S. Morris. Principles of Measurment and Instrumentation. Prentice Hall, London, 1988. 8 [7] J. G. Webster. The Measurement, Instrumentation and Sensors Handbook. CRC Press, 1999. 8 [8] D. G. Luenberger. An Introduction to Observers. IEEE Transactions on Automatic Control, 6, 1971. 11 [9] R. E. Kalman. New methods nad results in linear prediction and filtering theory. Research institute for Advanced Studies, Baltimore, 1961. 11 [10] B. D. O. Anderson and J. B. Moore. Optimal Control Linear Quadratic Methods. Prentice Hall, 2007. 11

223

LITERATURA

[11] K. J. ˚ Astr¨ om. Feedback systems. Princeton University Press, 2009. 11 [12] K. J. ˚ Astr¨ om. Introduction to Stochastic Control Theory. Dover, New York, 2006. 11 ˇek. Elektrické motory a pohony. BEN, Praha, 2004. 13 [13] O. Roub´ıc [14] T. Kenjo and S. Nagamori. Brushless Motors - Advanced Theory and Modern Applications. Sogo Electronics Press, 2003. 13 [15] H. A. Toliyat and S. G. Campbell. DSP-based Electromechanical Motion Control. CRC Press, 2004. 13, 15 [16] R. Isermann. Supervision, Fault Detection and Fault Diagnosis Methods. Control Engineering Practice, 1997. 18 [17] R. Siegwart and I. R. Nourbakh. Introduction to Autonomous Mobile Robots. MIT Press, 2004. 18 [18] H. Choset. Principles of Robot Motion: Theory, Algorithms, and Implementations. MIT Press, 2005. 18 [19] T. R. Kurfess. Robotics and Automation Handbook. CRC Press, 2004. 18, 20, 24, 28, 52, 55, 58 [20] R. Kelly et al. Control of Robot Manipulators in Joint Space. Springer, 2005. 18, 20, 24, 52, 55 [21] K. Erkorkmaz. Optimal Trajectory Generation and Precision Tracking Control for Multi-axis Machines. University of British Columbia, 2004. 18, 30, 31, 73, 76, 77, 84, 85, 86 [22] B. Sencer. Smooth Trajectory Generation and Precision Control of 5-Axis CNC Machine Tools. University of British Columbia, 2009. 18, 30, 31, 77, 84 [23] J.E. Bobrow, S. Dubowsky, and J.S. Gibson. Time-optimal control of robotic manipulators along specified paths. International Journal of Robotic Research, 1985. 19, 78, 87, 88

224

LITERATURA

[24] Z. Shiller and H.H. Lu. Computation of path constrained time optimal motions with dynamic singularities. ASME Journal of Dynamic Systems, 114:34–40, 1992. 19, 78, 87, 88 [25] K.G. Shin and N.D. McKay. Minimum-time control of robotic manipulators with geometric constraints. IEEE Transactions on Automatic Control, AC-30(6):531–541, 1985. 19, 78, 88 [26] B. Cao, G.I. Doods, and G.W. Irwin. Time-optimal and smooth constrained path planning for robot manipulators. IEEE International Conference on Robotics and Automation, 1994. 19, 78, 89 [27] S. Macfarlane and S. Croft. Jerk-bounded manipulator trajectory planning: design for real-time applications. IEEE International Conference on Robotics and Automation. 19, 78, 89 [28] O. J. M. Smith. Posicast Control of Damped Oscillatory Systems. Proceedings of the IRE, 45/9:1249–1255, 1957. 19 [29] W. E. Singhose. Command Generation for Flexible Systems, PhD thesis. MIT , Dept. of Mechanical Engineering, 1997. 19, 23 [30] N. C. Singer and W.P. Seering. Preshaping Comman Inputs to Reduce System Vibration. A.I. Memo, 1027:1–23, 1988. 19, 23 [31] J. R. Huey, K.L. Sorensen, and W. E. Singhose. Usefull Applications of Closed-loop Shaping Controllers. Control Engineering Practice, 16:836–846, 2007. 19, 23 [32] S. S. G¨ urley¨ uk and S. Cinal. Robust Three-impulse Sequence Input Shaper Design. Journal of Vibration and Control, 13:1807–1818, 2007. 19, 23 [33] PLCopen. Function blocks for motion control, Version 1.1. PLCopen, Technical Committee 2, 2005. 19, 20, 52, 53, 56 [34] M. Mandal and T. K. Naskar. Introduction of control points in splines for synthesis of optimized cam motion program. Mechanism and Machine Theory, Elsevier, 2008. 20, 34, 40

225

LITERATURA

[35] Qiu et al. A universal optimal approach to cam curve design and its applications. Mechanism and Machine Theory, Elsevier, 2005. 20, 34, 44 [36] A. Iglesias. B-Splines and NURBS curves and surfaces. Lectures in computer-aided geometric design and surfaces, University of Cantabria, 2001. 20, 40 [37] M. Heng. Smooth and time optimal trajectory generation for high-speed machine tools. University of Waterloo, 2008. 20, 31, 34, 40, 62, 73, 77, 84, 86 [38] F. Jeˇ zek. Geometrické a poˇc´ıtaˇcové modelov´ an´ı. Západoˇceská univerzita v Plzni, 2006. 20, 44, 62 [39] P. Smid. CNC Programming Handbook. Industrial Press, Inc., New York, 2008. 20, 29, 52 [40] P. Smid. CNC Programming Techniques. Industrial Press, Inc., New York, 2005. 20, 29, 52 [41] J. N. Pires. Industrial Robots Programming. Springer, 2007. 20, 24, 52, 55 [42] B. Siciliano and K. P. Valavanis. Control Problems in Robotics and Automation. Springer, 1998. 20, 24, 52, 55 [43] G. Williams. CNC Robotics. McGraw-Hill, 2003. 20, 29, 52 [44] P. Keller. Programov´ an´ı a ˇr´ızen´ı CNC stroj˚ u. Technická univerzita v Liberci, Fakulta strojn´ı, 2005. 20, 29, 30, 52 [45] S.J. Kwon and W.K. Chung. Perturbation Compensator based Robust Tracking Control and State Estimation of Mechanical Systems. Springer, 2004. 22, 27, 30 [46] K. Ohnishi, M. Shibata, and T. Murakami. Motion control for advanced mechatronics. IEEE Transaction on mechatronics, 1996. 22, 23, 27, 30, 58 [47] K.K. Bong and Ch.K. Wan. Motion control of precision positioning systems using adaptive compensation. Proceedings of the American Control Conference, Anchorage, 2002. 22, 27

226

LITERATURA

[48] Y. Altintas, K. Erkorkmaz, and W.-H. Zhu. Sliding mode controller design for high-speed drives. Annals of the CIRP. 22 [49] S.-J. Huang and Ch.-F. Hu. Predictive fuzzy controller for robotic motion control. Industry applications conference IAS’95, 1995. 22 [50] J.B. Mbede, X. Huang, and M. Wang. Robust neuro-fuzzy sensor-based motion control among dynamic obstacles for robot manipulators. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 11, 2003. 22 [51] B. Armstrong-Helouvry, P. Dupont, and C.C. De Wit. A Survey of Models, Analysis Tools and Compensation Methods for the Control of Machines with Friction. Automatica, 30, 1994. 22 [52] M. Goubej and R. Skarda. Input Shaping Filters for the Control of Electrical Drive with Flexible Load. AT & P Journal PLUS, 2:116–121. 23 [53] M. Goubej and M. Schlegel. Feature-based parametrization of input shaping filters with time delays. IFAC Workshop on time delay systems, Praha, 2010. 23 [54] K. Tammi. Active control of radial rotor vibrations: Identification, feedback, feedforward and repetitive control methods. VTT Technical Research Centre of Finland, 2004. 23 [55] K. Sugiura and Y. Hori. Vibration Suppresion in 2- and 3-Mass system based on the feedback of imperfect derivative of the estimated torsional torque. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 43, 1996. 23 [56] S.N. Vukosavic. Digital Control of Electrical Drives. Springer, 2007. 23 [57] L. Sciavicco and B. Siciliano. Modelling and Control of Robot Manipulators. Springer, 1999. 24, 28, 54, 55 [58] L. Piegl and W. Tiller. The NURBS Book. Springer, 1997. 30, 62, 65, 67, 69 [59] L.S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze, and E. F. Mischenko. The mathematical theory of optimal processes. Interscience Publishers, New York, 1962. 35

227

LITERATURA

´ ha. Optimal control of chain of [60] M. Schlegel, J. Moˇ sna, and L. Bla integrators with constraints. Proceedings of 17th International Conference on Process Control 2009, 2009. 36, 37 ´ ger. N´ [61] A. Ja avrh gener´ atoru ˇcasovˇe optim´ aln´ı trajektorie pro ˇretˇezec tˇr´ı integr´ ator˚ u s intervalovým omezen´ım na ˇr´ızen´ı a souˇradnice stavu. Západoˇceská univerzita v Plzni, 2009. 36 [62] B. Buchberger. Gr¨ obner Bases - An algorithmic method in polynomial ideal theory. Recent trends in multidimensional systems theory, Reidel Publishing Company, 1986. 37 ˇ e ˇtina, P. Balda, R. Piˇ [63] M. St sl, M. Goubej, and M. Schlegel. Motion control algorithms in the new version of the REX control system. Proceedings of 9th International Scientific Conference Process Controll 2010, 2010. 37 [64] M. Goubej. Vyuˇ zit´ı polynomi´ aln´ıch interpolac´ı pro generov´ an´ı trajektorie v syst´ emech ˇ r´ızen´ı pohybu. Výzkumn´ a zpr´ ava k projektu VaV MPO, Z´ apadoˇcesk´ a univerzita v Plzni, 2010. 40, 50, 51 [65] M. Goubej. Polynomial Interpolation Methods for Synthesis of Electronic Cam Profiles. Sborn´ık konference SVK 2010, Z´ apadoˇcesk´ a univerzita v Plzni. 40 [66] A. Albu-Sch¨ affer and G. Hirzinger. Cartesian Impedance Control Techniques for Torque Controlled Light-Weight Robots. IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2002. 58 [67] N. Hogan. Impedance Control: An approach to manipulation. ASME Journal on Dynamic Systems, Measurement and Control, 107, 1985. 58 [68] R.T. Farouki and Y.F. Tsai. Exact Taylor series coefficients for variable CNC curve interpolators. Computer Aided Design, 33, 2001. 72 [69] M.Z. Lin, M.-S. Tsai, and H.-T. Yau. Development of a dynamics-based NURBS interpolator with real-time look-ahead algorithm. International Journal of Machine Tools nad Manufacture, 47, 2007. 72

228

LITERATURA

[70] L. Zhang, K. Wang, Y. Bian, and H. Chen. A Real-Time NURBS Interpolator with Feed Rate Adjustment. International Conference on Intelligent Computing, 2008. 72 [71] W.T. Lei, M.P. Sung, L.Y. Lin, and J.J. Huang. Fast real-time NURBS path interpolation for CNC machine tools. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2007. 72, 73, 74 [72] D. Constantinescu. Smooth time optimal trajectory planning for industrial manipulators. University of British Columbia, 1998. 78, 89 [73] M. Weck, A. Meylahn, and C. Hardebusch. Innovative Algorithms for Spline-Based CNC Controller. Annals of the German Academic Society for Production Engineering, 1999. 80 [74] J. N. Nocedal and S. J. Wright. Numerical Optimization. Prentice Hall, 1999. 85 [75] Boston Dynamic. http://www.bostondynamics.com/. 92 [76] Ilian Bonev. The True Origins of Parallel Robots. www.parallemic.org, 2003. 97 [77] Atega s.r.o. http://www.atega.cz/. 103 [78] Eurotec JKR s.r.o. http://www.eurotec-jkr.cz. 105 [79] J-P. Merlet. Kinematics’ not dead! Proceedings of the 2000 IEEE, International Conference on Robotics and Automation, 2000. 106 [80] B. Siciliano L. Sciavicco. Modelling and Control of Robot Manipulators. Springer, 2 edition, 2000. 111, 128, 187, 198 [81] E Dombre W. Khalil.

Modeling, Identification and Control of Robots.

Butterworth-Heinemann, 2004. 111, 128, 139, 140, 152, 198 [82] Centre of Computer Graphics and UWB Pilsen Data Visualisation.

Analytick´ a

geometrie

pro

poˇ c´ıtaˇ covou

grafiku

http://herakles.zcu.cz/education/ZPG/cviceni.php?no=5. 112

229

II,

LITERATURA

[83] J. Denavit and R. S. Hartenberg. A Kinematic Notation for LowerPair Mechanisms Based on Matrices.

J. Appl. Mechanics, June 1955,

22:215–221, 1955. 116 [84] W. Khalil and J. Kleinfinger. A new geometric notation for open and closed-loop robots. 3, pages 1174 – 1179, apr. 1986. 116 ˇ [85] Martin Svejda. Kinematick´ a anal´ yza antropomorfn´ıho manipul´ atoru se ˇ Plzeˇ sf´ erick´ ym z´ apˇ est´ım. Technical report, katedra kybernetiky, FAV, ZCU n, 2010. 116 [86] J.F. Kleinfinger W. Khalil. A New Geometric Notation for Open and Closed-Loop Robots. Robotics and Automation. Proceedings. IEEE International Conference, 1986. 120 [87] Paul R.C.P. Robot manipulators: mathematics, programming and control. MIT Press, Cambridge, USA, 1981. 138 [88] W. Khalil and F. Bennis. Automatic generation of the inverse geometric model of robots. Robotics and Autonomous Systems, 7(1):47 – 56, 1991. 140 [89] M. Raghavan and B. Roth. Inverse Kinematics of the General 6R Manipulator and Related Linkages. Journal of Mechanical Design, 115(3):502– 508, 1993. 144 [90] S. Rabinowitz. A Useful Trigonometric Substitution. Digital Equipment Corporation, Nashua, NH, 1986. 144 [91] D. Murareci W. Khalil. On the General Solution of the Inverse Kinematics of Six-Degrees-of-Freedom Manipulators. Advances in Robot Kinematics and Computational Geometry, 115:309–318, 1994. 146 [92] D. Manocha and J.F. Canny. Efficient inverse kinematics for general 6R manipulators. Robotics and Automation, IEEE Transactions on, 10(5):648 –657, October 1994. 146, 182

230

LITERATURA

´ ha. Groebnerova b´ [93] L. Bla aze a teorie ˇ r´ızen´ı. Práce ke státn´ı doktorské ˇ v Plzni, 2011. 147, 185 zkouace, Katedra kybernetiky, FAV, ZCU ,

[94] Yan Wang, Lu-bin Hang, and Ting-li Yang. Inverse Kinematics Analysis of General 6R Serial Robot Mechanism Based on Groebner Base. Frontiers of Mechanical Engineering in China, 1:115–124, 2006. 10.1007/s11465005-0022-7. 147 c [95] M. vejda. Overview of parallel architectures for gearing robot. Techˇ Plzeˇ nical report, katedra kybernetiky, FAV, ZCU n, 2009. 147, 158 [96] F. Bennis. Contribution ´ a la modélisation géométrique et dynamique des robots ´ a chaine simple et complexe. PhD thesis, E.N.S.M., Nantes, France, 1991. 152 [97] F. Bennis. Modele g´ eom´ etrique inverse des robots a chaine d´ ecouplable : application aux ´ equations de contraintes des boucles ferm´ ees. Trans. of the Canadian Society for Mechanical Engineering, 17:473–492, 1993. 152 [98] J. P. Merlet. Parallel robots. Springer, 2006. 155, 164, 185 [99] http://www.mathpages.com/home/kmath544/kmath544.htm. The Resultant and Bezout’s Theorem. 160 [100] W. Fulton. Algebraic Curves: An Introduction To Algebraic Geometry. New York: Benjamin, 1969. 160 [101] J. Angeles. Kinematics Synthesis. lecture notes, Department of Mechanical Engineering, McGill University, Montreal (Quebec), Canada, 2009. 164 [102] J.-P. Merlet. Direct kinematics of planar parallel manipulators. In Robotics and Automation, 1996. Proceedings., 1996 IEEE International Conference on, 4, pages 3744 –3749 vol.4, April 1996. 171 [103] K. H. Hunt. Structural kinematics of in parallel actuated robot arms. J. of Mechanisms, Transmissions and Automation in Design, pages 705–712, 1983. 174

231

LITERATURA

[104] D. O’Shea D. Cox, J. Little. Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Springer, 2nd edition, 2006. 185 [105] J-P. Merlet. Interval Analysis and Reliability in Robotics. International Journal of Reliability and Safety, 3(1-3):104–130, 2009. 185 [106] P. Nanua and K.J. Waldron. Direct kinematic solution of a Stewart platform. In Robotics and Automation, 1989. Proceedings., 1989 IEEE International Conference on, pages 431 –437 vol.1, May 1989. 185 [107] J.-P. Merlet. Direct kinematics and assembly modes of parallel manipulators. Int. J. Rob. Res., 11:150–162, April 1992. 185 [108] Jean-Pierre Merlet. Manipulateurs paralleles, 4eme partie : mode d’assemblage et cinematique directe sous forme polynomiale. Research Report RR-1135, INRIA, 1990. 185 [109] Anthony A. Maciejewski and Charles A. Klein. Numerical filtering for the operation of robotic manipulators through kinematically singular configurations. Journal of Robotic Systems, 5(6):527–552, 1988. 215 ´ˇ [110] M. Vala sek J. B¨ ohm, K. Belda. The Direct Kinematics for Path Control of Redundant Parallel Robots. Advances in Systems Science: Measurement, Circuits and Control, pages 253–258, 2001. 216 [111] Denny Oetomo and Marcelo H. Ang Jr. Singularity robust algorithm in serial manipulators. Robot. Comput.-Integr. Manuf., 25:122–134, February 2009. 216 [112] Bruno Siciliano.

Kinematic control of redundant robot manipula-

tors: A tutorial. Journal of Intelligent and Robotic Systems, 3:201–212, 1990. 10.1007/BF00126069. 216 [113] Luis Gracia and Josep Tornero. Tracking trajectories with a robotic manipulator with singularities. In Proceedings of the 2nd international conference on Advances in brain, vision and artificial intelligence, BVAI’07, pages 595–605, Berlin, Heidelberg, 2007. Springer-Verlag. 216

232

LITERATURA

[114] Tenreiro Machado J.A. Fonseca Ferreira N.M. RobLib: an educational program for robotics. IFAC symposium on robot control, 1(163-168), 2000. 216 [115] P. I. Corke. A robotic toolbox for MATLAB. IEEE Robot. Automat. Mag., (24 - 33), 1996. 216 [116] Wisama Khalil and Denis Creusot. SYMORO+: A system for the symbolic modelling of robots. Robotica, 15:153–161, March 1997. 216

233

Úvod do mechatroniky, robotiky

Recommend Documents