zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, napájen do kotvy, indukčnost zanedbáme

Teorie řízení 2004

str. 1 / 30

PŘÍKLAD 1 zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, napájen do kotvy, indukčnost zanedbáme.

E = ce ⋅ ω a) Odvoďte přenosovou funkci F(p): F ( p) = ω ( p) / u ( p) b) Určete řád soustavy a odůvodněte fyzikálně( z energií) c) Vypočtete ustálenou rychlost pro U = 30V d) Vypočtete odezvu na jednotkový skok Řešení: a)

Odvoďte přenosovou funkci F(p): Nejprve je stejnosměrný motor třeba popsat pomocí diferenciální rovnicí:

u (t ) = R ⋅ i (t ) + Ce ⋅ ω (t ) dω (t ) Ce ⋅ i (t ) = J ⋅ + Mz dt V našem případě budeme považovat motor bez zátěže (Mz=0) a z druhé rovnice si vyjádříme i (t) a dosadíme do první rovnice:

J dω (t ) ⋅ Ce dt J dω (t ) u (t ) = R ⋅ ⋅ + Ce ⋅ ω (t ) Ce dt i (t ) =

Tuto rovnici převedeme na Laplaceův obraz a upravíme do přenosové funkce:

u ( p) = R ⋅

J ⋅ p ⋅ ω ( p ) + Ce ⋅ ω ( p ) Ce

  J u ( p ) = ω ( p) ⋅  R ⋅ ⋅ p + Ce   Ce  1 1 C Ce K ω ( p) 1 F ( p) = = ⋅ e = = J u ( p) R ⋅ J ⋅ p + C 1 R ⋅ 2 ⋅ p +1 τ ⋅ p +1 e Ce Ce Ce Kde K = b)

1 J je zesílení přenosu a τ = R ⋅ 2 je časová konstanta přenosu Ce Ce

Určete řád soustavy a odůvodněte fyzikálně( z energií) Rovnice je rovnicí prvního řádu (operátorový přenos obsahuje jako nejvyšší mocninu operátoru pl , v diferenciálních rovnicích je pouze l derivace a obvod má pouze jeden akumulátor energie – J).

Teorie řízení 2004 c)

str. 2 / 30

Vypočtete ustálenou rychlost pro U = 30V Proto, abychom určily ustálenou rychlost musíme vypočítat diferenciální rovnici:

u (t ) = R ⋅

J dω (t ) ⋅ + Ce ⋅ ω (t ) Ce dt

Při řešení této metody použijeme operátorový počet - Laplaceovu trannsformaci. Řešení této rovnice vyšlo: C2

1 e .t − ⋅t C C ω (t ) = u (t ) ⋅ e ⋅ e R⋅ J = u (t ) ⋅ e ⋅ e τ R⋅J R⋅J

d)

Vypočtete odezvu na jednotkový skok Odezva na jednotkový skok je přechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vypočítá: Laplaceův obraz jednotkového skoku je:

L[u (t )] = U ( p ) =

1 p

Odezva na jednotkový skok je v operátorovém tvaru:

H ( p) = F ( p) ⋅U ( p) = F ( p) ⋅

1 p

K τ ⋅ p +1 K 1 K K H ( p) = ⋅ = = 2 τ ⋅ p + 1 p τ ⋅ p + p p (τ ⋅ p + 1)

F ( p) =

Časový průběh odezvy získáme inverzní Laplaceovou transformací:

h(t ) = L−1 { H ( p )}

  K h(t ) = L−1    p(τ ⋅ p + 1)  h(t ) = ....................


str. 3 / 30

PŘÍKLAD 2 zadání: Budící vinutí je napájeno z ideálního zdroje napětí.

a) b) c) d)

Odvoďte diferenciální rovnici Odvoďte přenosovou funkci Ustálený proud při U = 35 V Odezva na jednotkový skok napětí

řešení: a)

Odvoďte diferenciální rovnici Nejprve je potřeba popsat zadané schéma pomocí diferenciální rovnice. Napětí na odporu vyjádříme z Ohmova zákona, napětí na cívce se vyjádří ze vztahu:

u (t ) = L ⋅

di (t ) dt

Výsledný diferenciální rovnice bude mít vztah:

u (t ) = R ⋅ i (t ) + L ⋅ b)

di (t ) dt

Odvoďte přenosovou funkci Přenos je obecně definován jako poměr obrazu výstupu k obrazu vstupu. V našem případě je vstup do systému napětí na svorkách a výstup je proud v obvodu. Diferenciální rovnici převedeme na Laplaceouv obraz:

U ( p) = R ⋅ I ( p) + L ⋅ I ( p) ⋅ p

poté určíme operátorový přenos:

F ( p) =

c)

I ( p) 1 = U ( p) R + p ⋅ L

Ustálený proud při U = 35 V Ustálený proud i v našem případě vypočítáme z Ohmova zákona jako proud tekoucí přes odpor R, protože derivace proudu je nulové (proud se nemění) a tedy člen L ⋅

d)

di (t ) je nulový. dt

Odezva na jednotkový skok napětí Odezva na jednotkový skok je přechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vypočítá: Laplaceův obraz jednotkového skoku je:

L[u (t )] = U ( p ) =

1 p


Teorie řízení 2004 H ( p) = F ( p) ⋅U ( p) = F ( p) ⋅

str. 4 / 30 1 p

1 R + p⋅L 1 1 H ( p) = ⋅ R + p⋅L p 1 H ( p) = p ( R + p ⋅ L) F ( p) =


h(t ) = L−1 { H ( p )}

  1 h(t ) = L−1    p ( R + p ⋅ L)  1 1    1     L h(t ) = L−1  = L−1  R − R    p⋅( p + R)  p p+ R L  L   R 1 1 − ⋅t h(t ) = − ⋅ e L R R


str. 5 / 30

PŘÍKLAD 3 zadání: Mějme:

a) b) c) d)

Odvoďte přenosovou funkci Odezvu na jednotkový skok Načrtněte amplitudovou frekvenční charakteristiku Odhadněte pásmo frekvenční propustnosti.

řešení: a) Odvoďte přenosovou funkci U zapojení s operačním zesilovačem je dána přenosová funkce jako podíl Laplaceova obrazu impedance ve zpětné vazbě operačního zesilovače ke obrazu impedanci před zesilovačem.

1 R2 R p ⋅C R2 p ⋅C p ⋅C Z 2 ( p) = = = 2 ⋅ = 1 R2 ⋅ p ⋅ C + 1 p ⋅ C R2 ⋅ p ⋅ C + 1 R2 ⋅ p ⋅ C + 1 R2 + p ⋅C p ⋅C R2 Z ( p ) R2 ⋅ p ⋅ C + 1 R2 1 F ( p) = 2 = = ⋅ Z1 ( p) R1 R1 1 + p ⋅ C ⋅ R2 R2 ⋅

Podíl R2 / R1 je zesilovací konstanta regulátoru, a označíme ji jako konstantu K a máme:

K=

R2 R2

a součin R2 ⋅ C je časová konstanta regulátoru, a označíme jí jako konstantu τ : a máme:

τ = R2 ⋅ C Přenosová funkce má po těchto úpravách podobu:

F ( p) =

K 1 + p ⋅τ

b) Odezvu na jednotkový skok Odezva na jednotkový skok je přechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vypočítá: Laplaceův obraz jednotkového skoku je:

L[u (t )] = U ( p ) =

1 p


Teorie řízení 2004 H ( p) = F ( p) ⋅U ( p) = F ( p) ⋅

str. 6 / 30 1 p

K 1 + p ⋅τ 1 K  K H ( p) =  ⋅ =  p 1 + p ⋅ τ  p ⋅ (1 + p ⋅ τ )

F ( p) =


h(t ) = L−1 { H ( p )}

  1 t −     K K K R2 R2 − R2 ⋅C ⋅t −1 −1 τ h(t ) = L  − ⋅e =L  −  = K − K ⋅e = 1 p R R1  p ⋅ (1 + p ⋅ τ )  1  p+  τ  c) Načrtněte amplitudovou frekvenční charakteristiku

d) Odhadněte pásmo frekvenční propustnosti. Pásmo frekvenční propustnosti je definováno jako frekvence, při které poklesne amplituda výstupního sinusového signálu vzhledem ke vstupnímu signálu o 3 dB. V našem případě vychází jako pásmo frekvenční propustnosti

ωM =

1 τ


str. 7 / 30

PŘÍKLAD 4 zadání: Přenos uzavřené smyčky je : 1 + 0,58 p 1 + 0,58 p F1 ( p ) = F2 ( p ) = 2 3 1 + 0,3 p + 1, 4 p + 0,1 p 1 − 0,3 p − 1, 4 p 2 − 0,1 p 3 a) Vyšetřete stabilitu pomocí Routh-Hurwitzova kriteria stability b) Vyšetřete stabilitu pomocí kořenového kriteria (kořenové rovnice) c) Nakreslete frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky d) Určete odezvu na jednotkový skok e) Určete řád soustavy řešení: a) Vyšetřete stabilitu pomocí Routh-Hurwitzova kriteria stability Charakteristická rovnice přenosu je jmenovatel přenosové funkce:

1 + 0,3 p + 1,4 p 2 + 0,1 p 3 = 0

1 − 0,3 p − 1,4 p 2 − 0,1 p 3 = 0

Nejprve si sestavíme determinant ∆3

 an −1 ∆ 3 =  an −3  0

an an − 2 0

0  an −1  an −3 

 an −1 ∆ 3 =  an −3  0

an an − 2 0

0  an −1  an −3 

a vypočítáme:

1, 4 0,1 0  ∆ 3 =  1 0,3 1, 4  = 0,32 > 0  0 0 1 

0   −1, 4 −0,1 ∆ 3 =  1 −0,3 −1, 4  = 0,52 > 0  0 0 1 

Dále si sestavíme determinant ∆2

a ∆ 2 =  n −1  an −3

an  an − 2 

a ∆ 2 =  n −1  an −3

an  an − 2 

a vypočítáme:

1, 4 0,1 ∆2 =   = 0,32 > 0  1 0,3 Nakonec si stanovíme determinant ∆1

∆1 = an −1

 −1, 4 −0,1 ∆2 =  = 0,52 > 0 −0,3  1 ∆1 = an −1

a vypočítáme:

∆1 = 1, 4 > 0 všechny determinanty větší než nula

∆1 = −1, 4 < 0 determinant ∆1 je záporný

nestabilní stabilní b) Vyšetřete stabilitu pomocí kořenového kriteria (kořenové rovnice) Řešíme rovnice:

1 + 0,3 p + 1,4 p 2 + 0,1 p 3 = 0 Řešení rovnice:

1 − 0,3 p − 1,4 p 2 − 0,1 p 3 = 0

x1 = −0,0822 + 0,8461i x2 = −0,0822 − 0,8461i

x1 = +0,728416 x2 = −1

x3 = −13,83

x3 = −13,728416

reálná část kořenů je záporná, systém je stabilní

kořeny jsou různé, nejsou komplexní nestabilní

Teorie řízení 2004 c) a)

str. 8 / 30

Nakreslete frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky b)

d) Určete odezvu na jednotkový skok Odezva na jednotkový skok je přechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vypočítá: Laplaceův obraz jednotkového skoku je:

L[u (t )] = U ( p ) =

1 p


H ( p) = F ( p) ⋅U ( p) = F ( p) ⋅

1 p

1 + 0,58 p 1 + 0,3 p + 1, 4 p 2 + 0,1 p 3 1 + 0,58 p 1 H ( p) = ⋅ 2 3 1 + 0,3 p + 1, 4 p + 0,1 p p 1 + 0,58 p H ( p) = (1 + 0,3 p + 1, 4 p 2 + 0,1 p3 ) p F ( p) =

1 + 0,58 p 1 − 0,3 p − 1, 4 p 2 − 0,1 p 3 1 + 0,58 p 1 H ( p) = ⋅ 2 3 1 − 0,3 p − 1, 4 p − 0,1 p p 1 + 0,58 p H ( p) = (1 − 0,3 p − 0, 4 p 2 − 0,1 p3 ) p F ( p) =


h(t ) = L−1 { H ( p )}

  1 + 0,58 p h(t ) = L−1 ⋅   2 3  (1 + 0,3 p + 1, 4 p + 0,1 p ) p  h(t ) = ....................

e) Určete řád soustavy Rovnice je rovnicí třetího řádu

  1 + 0,58 p h(t ) = L−1 ⋅   2 3  (1 − 0,3 p − 0, 4 p − 0,1 p ) p  h(t ) = ....................

Rovnice je rovnicí třetího řádu


str. 9 / 30

PŘÍKLAD 5 zadání: Je dána soustava:

H ( p) = a) b) c) d) e) f)

p+2 8 F1 ( p ) = 0, 2 p + 1 1 + 0, 05 p

F2 ( p ) =

2 p +1

Odvoďte přenos soustavy Odvoďte přenos otevřené smyčky Odvoďte přenos uzavřené smyčky Určete typ regulované soustavy( určete z otevřené smyčky) Pomocí asymptot nakreslete amplitudovou frekvenční charakteristiku otevřené smyčky Pomocí asymptot nakreslete amplitudovou frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky

řešení: a)

Odvoďte přenos soustavy soustava je složena z prvků F1(p) a F2(p). Přenos soustavy vypočteme jako součin obou částí soustavy:

Fs ( p ) = F1 ( p ) ⋅ F2 ( p ) = b)

Odvoďte přenos otevřené smyčky

Fo ( p) = =

c)

8 2 16 ⋅ = 2 1 + 0,05 p p + 1 0,05 p + p + 0,05

16 p+2 16 ⋅ ( p + 2) ⋅ = = 2 0, 05 p + p + 0, 05 0, 2 p + 1 ( 0, 05 p + p + 0, 05 ) ⋅ ( 0, 2 p + 1) 2

16 ⋅ ( p + 2) 0, 01 p + 0, 25 p 2 + 1,1 p + 0, 05 3

Odvoďte přenos uzavřené smyčky

16 ⋅ ( p + 2) 16 ⋅ p + 32 2 3 F ( p) 0, 01 p + 0, 25 p + 1,1 p + 0, 05 0, 01 p + 0, 25 p 2 + 1,1 p + 0, 05 FW ( p) = o = = = 16 ⋅ ( p + 2) 0, 01 p 3 + 0, 25 p 2 + 1,1 p + 0, 05 + 16 p + 32 1 + Fo ( p) 1 + 0, 01 p 3 + 0, 25 p 2 + 1,1 p + 0, 05 0, 01 p 3 + 0, 25 p 2 + 1,1 p + 0, 05 3

16 ⋅ p + 32 0, 01 p 3 + 0, 25 p 2 + 1,1 p + 0, 05 = ⋅ = 0, 01 p 3 + 0, 25 p 2 + 1,1 p + 0, 05 0, 01 p 3 + 0, 25 p 2 + 17,1 p + 32, 05 16 ⋅ p + 32 = 3 0, 01 p + 0, 25 p 2 + 17,1 p + 32, 05


d)

str. 10 / 30

Určete typ regulované soustavy( určete z otevřené smyčky) Typ regulované soustavy určíme z přenosu soustavy. Přenos soustavy lze obecně zapsat jako:

F ( p) =

K p ⋅ T1 + p ⋅ T2 + 1 2

což odpovídá kmitavému článku. e)

Pomocí asymptot nakreslete amplitudovou frekvenční charakteristiku otevřené smyčky

f)

Pomocí asymptot nakreslete amplitudovou frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky


str. 11 / 30

PŘÍKLAD 6 zadání: Je dána diskrétní soustava:

G(z)

G( z) =

0,37 z + 0, 24 ( z − 0,37)( z − 1)

a) Určete stabilitu b) Přenos soustavy řešení: a)

Určete stabilitu Nejprve musíme vypočítat přenos uzavřené smyčky. Ten se vypočítá ze vzorce:

GW ( p ) =

G( z) 1 + G( z)

Do tohoto vzorce dosadíme nám zadaný přenos G (z) a matematicky upravíme:

0,37 z + 0, 24 0,37 z + 0, 24 ( z − 0,37)( z − 1) ( z − 0,37)( z − 1) = = GW ( z ) = 0,37 z + 0, 24 ( z − 0,37)( z − 1) + (0,37 z + 0, 24) 1+ ( z − 0,37)( z − 1) ( z − 0,37)( z − 1) 0,37 z + 0, 24 0,37 z + 0, 24 ( z − 0,37)( z − 1) ( z − 0,37)( z − 1) = 2 = ⋅ = z − z − 0,37 z + 0,37 + 0,37 z + 0, 24 ( z − 0,37)( z − 1) z 2 − z + 0, 61 ( z − 0,37)( z − 1) 0,37 z + 0, 24 = 2 z − z + 0, 61

b)

Přenos soustavy Stabilitu budeme vyšetřovat pomocí rozložení pólů získaných z charakteristické rovnice Rovnice z − z + 0, 61 je charakteristikou rovnicí systému. Z této rovnice vyjádříme kořeny z12 (řešení kvadratické rovnice). 2

z 2 − z + 0, 61 = 0 V našem případě vyjdou kořeny z12 = 0,5 ± 0, 6i . Jelikož oba kořeny leží uvnitř jednotkové kružnice, systém je stabilní


str. 12 / 30

PŘÍKLAD 7 zadání: Je dána spojitá soustava:

F ( p) = a) b) c) d)

1 0,1 p + 0,8 p + 1 2

Vyšetřete stabilitu uzavřené smyčky Vyšetřete stabilitu otevřené smyčky Pomocí asymptot nakreslete amplitudovou frekvenční charakteristiku otevřené smyčky Pomocí asymptot nakreslete amplitudovou frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky

řešení: a)

Vyšetřete stabilitu uzavřené smyčky Nejprve musíme vypočítat přenos uzavřené smyčky. Ten se vypočítá ze vzorce:

FW ( p) =

F ( p) 1 + F ( p)

Do tohoto vzorce dosadíme nám zadaný přenos F (p) a matematicky upravíme:

1 1 1 2 2 0,1 p + 0,8 p + 1 0,1 p + 0,8 p + 1 0,1 p + 0,8 p + 1 FW ( p) = = = = 2 2 1 0,1 0,8 1 1 0,1 0,8 2 p + p + + p + p + 1+ 0,1 p 2 + 0,8 p + 1 0,1 p 2 + 0,8 p + 1 0,1 p 2 + 0,8 p + 1 2

=

1 0,1 p 2 + 0,8 p + 1 1 ⋅ = 2 2 2 0,1 p + 0,8 p + 1 0,1 p + 0,8 p + 2 0,1 p + 0,8 p + 2

Stabilitu budeme vyšetřovat pomocí rozložení pólů získaných z charakteristické rovnice. Přenosovou funkci upravíme do takového tvaru, aby u nejvyšší mocniny p byla l.

F ( p) =

1 10 10 ⋅ = 2 0,1 p + 0,8 p + 2 10 p + 8 p + 20 2

Rovnice p + 8 p + 20 je charakteristikou rovnicí systému. Z této rovnice vyjádříme kořeny p12 (řešení 2

kvadratické rovnice) p + 8 p + 20 = 0 . V našem případě vyjdou kořeny p12 = -4 ± 2i . Jelikož oba kořeny mají zápornou reálnou část, systém je stabilní. 2

b)

Vyšetřete stabilitu otevřené smyčky Stabilitu budeme vyšetřovat pomocí rozložení pólů získaných z charakteristické rovnice. Přenosovou funkci upravíme do takového tvaru, aby u nejvyšší mocniny p byla l.

1 0,1 p + 0,8 p + 10 2 Rovnice 0,1 p + 0,8 p + 10 je charakteristikou rovnicí systému. FW ( p) =

2


str. 13 / 30

Z této rovnice vyjádříme kořeny p12 (řešení kvadratické rovnice). 0,1 p + 0,8 p + 10 = 0 V našem případě vyjdou kořeny 2

p1 = −4 + 9,1651 j

p2 = −4 + 9,1651 j Jelikož oba kořeny mají zápornou reálnou část, systém je stabilní. c)

Pomocí asymptot nakreslete amplitudovou frekvenční charakteristiku otevřené smyčky

d)

Pomocí asymptot nakreslete amplitudovou frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky


str. 14 / 30

PŘÍKLAD 8 F1 =

zadání: Navrhněte regulátor :

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

8 1 + 0, 05 p

F2 =

2 p

Přenos soustavy Navrhněte regulátor H(p) Přenos otevřené smyčky Přenos uzavřené smyčky Zkontroluje stabilitu uzavřené a otevřené smyčky Načrtněte amplitudovou frekvenční charakteristiku otevřené smyčky pomocí asymptot Načrtněte amplitudovou frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky pomocí asymptot Vypočtete odezvu na jednotkový skok Typ soustavy Řád soustavy

řešení: a)

Přenos soustavy Soustava je složená z prvku F1 (p) a F2 (p). Přenos soustavy vypočteme jako součin obou částech soustavy:

F(p) = F1(p) ⋅ F2(p) = b)

8 2 16 16 ⋅ = = 2 1 + 0,05 p p 0,05 p + 1 p ⋅ (0,05 p + 1)

Navrhněte regulátor H(p) Návrh regulátoru provedeme pomocí metody optimálního modulu, protože soustava má jeden integrátor a jednu malou (součtovou) časovou konstantou. Obecný tvar přenosu takové soustavy je:

Fs ( p) =

Ks p ⋅ T1 ⋅ (1 + p ⋅ τ σ )

což souhlasí s naším příkladem. Obecně se regulátor při návrhu metodou optimálního modulu vypočítá ze vzorce:

H ( p) =

1 1 ⋅ Fs ( p) 2 ⋅τ σ ⋅ p ⋅ (1 + τ σ ⋅ p )

Dosadíme-li do rovnice pro regulátor obecný tvar přenosu soustavy a zjednodušíme, Vyjde nám rovnice:

H ( p) =

T1 = Kp 2 ⋅ K S ⋅τ σ

Dosazením číselných hodnot:

H ( p) =

1 1 = = 0, 625 2 ⋅16 ⋅ 0, 05 1, 6

Teorie řízení 2004 c)

Přenos otevřené smyčky

FO (p) = FS (p) ⋅ H(p) = d)

str. 15 / 30

16 10 ⋅ 0, 625 = p ⋅ (0, 05 p + 1) 0, 05 ⋅ p 2 + p

Přenos uzavřené smyčky

10 10 2 F (p) 10 0, 05 ⋅ p + p 0, 05 ⋅ p 2 + p = = = F(p) O 2 10 0, 05 ⋅ p + p + 10 0, 05 ⋅ p 2 + p + 10 1 + FO (p) 1 + 0, 05 ⋅ p 2 + p 0, 05 ⋅ p 2 + p e1)

Zkontroluje stabilitu otevřené smyčky Přenos otevřené smyčky: F ( p ) =

10 0, 05 ⋅ p 2 + p

Stabilitu budeme vyšetřovat pomocí rozložení pólů získaných z charakteristické rovnice. Rovnice 0, 05 ⋅ p + p je charakteristikou rovnicí systému. 2

Z této rovnice vyjádříme kořeny p12 (řešení kvadratické rovnice). 0, 05 ⋅ p + p = 0 V našem případě vyjdou kořeny 2

p1 = 0

p2 = −20 Jelikož oba kořeny různé, systém je nestabilní. e2)

Zkontroluje stabilitu uzavřené smyčky Přenos uzavřené smyčky: F ( p ) =

10 0, 05 ⋅ p 2 + p + 10

Stabilitu budeme vyšetřovat pomocí rozložení pólů získaných z charakteristické rovnice Rovnice 0, 05 ⋅ p + p + 10 je charakteristikou rovnicí systému. 2

Z této rovnice vyjádříme kořeny p12 (řešení kvadratické rovnice). 0, 05 ⋅ p + p + 10 = 0 V našem případě vyjdou kořeny 2

p1 = −10 + 10i

p2 = −10 − 10i

.

Jelikož oba kořeny mají zápornou reálnou část, systém je stabilní. e) Načrtněte amplitudovou frekvenční charakteristiku otevřené

smyčky pomocí asymptot uzavřené

Teorie řízení 2004 h)

str. 16 / 30

Vypočtete odezvu na jednotkový skok Odezva na jednotkový skok je přechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vypočítá: Laplaceův obraz jednotkového skoku je:

L[u (t )] = U ( p ) =

1 p


H ( p) = F ( p) ⋅U ( p) = F ( p) ⋅

1 p

10 0, 05 ⋅ p 2 + p 10 1 H ( p) = ⋅ 2 0, 05 ⋅ p + p p 10 H ( p) = (0, 05 ⋅ p 2 + p ) p F ( p) =

10 0, 05 ⋅ p 2 + p + 10 10 1 H ( p) = ⋅ 2 0, 05 ⋅ p + p + 10 p 10 H ( p) = ( 0, 05 ⋅ p 2 + p + 10 ) p F ( p) =


h(t ) = L−1 { H ( p )}

  10 h(t ) = L−1   2  (0, 05 ⋅ p + p ) p  h(t ) = ....................

i)

Typ soustavy regulátor podle návrhu bude regulátor proporcionální.

j)

Řád soustavy Rovnice je rovnicí # řádu

  10 h(t ) = L−1   2  ( 0, 05 ⋅ p + p + 10 ) p  h(t ) = ....................


str. 17 / 30

PŘÍKLAD 9 zadání: Je dán přenos : F ( p) = a) b) c) d) e)

1 0,02 p + 0,4 p + 1 2

Odvoďte stavové rovnice Odvoďte diferenciální rovnici Vyšetřete stabilitu Určete průběh odezvy na jednotkový impuls Určete odezvu na jednotkový skok

řešení: b)

Odvoďte diferenciální rovnici Abychom byly schopny určit stavové proměnné, musíme si nejprve ze přenosové funkce určit diferenciální rovnici:

1 0, 02 p + 0, 4 p + 1 Y ( p) F ( p) = U ( p) Y ( p) 1 = 2 U ( p ) 0, 02 p + 0, 4 p + 1 Y ( p ) ⋅ (0, 02 p 2 + 0, 4 p + 1) = U ( p ) 0, 02 y′′ + 0, 4 y′ + y = u F ( p) =

a)

2

Odvoďte stavové rovnice V příkladu máme pouze jeden vstup, z čehož vyplývá, že budeme mít dvě stavové proměnné. Stavové proměnné si označíme x1 a x2

x1 = y x2 = y ′

Proměnnou x1 derivujeme. Po derivování se x1′ = x2 . Z diferenciální rovnice si vyjádříme nejvyšší mocninu:

− 0,4 y′ − y + u 0,02 a dosadíme y ′′ = x2′ y′′ =

x2′ =

0, 4 u −1 x1 − x2 + 0, 02 0, 02 0, 02

z rovnic pro stavové proměnné dosadíme do stavových rovnic:

 0  x1′    x′  =  − 1  2   0, 02 

1   0   x1    0, 4  ⋅   +  1  ⋅ u − x 0, 02   2   0, 02 

x  y = [1 0]⋅  1   x2  Obecný tvar stavových rovnice je:


str. 18 / 30

x′ = A ⋅ x + B ⋅ u y = C ⋅u  0 A= 1 −  0, 02 c)

1  0, 4  − 0, 02 

 0  B= 1     0, 02 

C = [1 0]

Vyšetřete stabilitu Stabilitu systému vyšetříme pomocí vlastních čísel matice A. Tyto čísla se vypočítají z charakteristické rovnice:

 0 λ 0   λ⋅I − A =  1 −  0 λ  −  0, 02

λ 1   0, 4  = 1 − − 0, 02  0, 02

−1

λ −1 = λ 2 + 20λ + 50 0, 4 = λ+ −50 λ + 20 0, 02

charakteristická rovnice:

λ 2 + 20λ + 50 Z charakteristické rovnice vypočítáme kořeny: λ + 20λ + 50 = 0 2

λ1 = −2.928

λ2 = −17.07 d)

Protože reálná část kořenů je záporná, systém je stabilní. Určete průběh odezvy na jednotkový impuls Odezva na jednotkový impuls je impulsová charakteristika. impulsová charakteristika se vypočítá: Laplaceův obraz jednotkového impulsu je:

L [u (t ) ] = U ( p ) = 1

Odezva na jednotkový impuls je v operátorovém tvaru:

G ( p ) = F ( p ) ⋅ U ( p ) = F ( p ) ⋅1 = F ( p ) 1 F ( p) = 2 0,02 p + 0,4 p + 1 1 G ( p) = ⋅1 2 0, 02 p + 0, 4 p + 1 1 G ( p) = 2 0, 02 p + 0, 4 p + 1


g (t ) = L−1 {G ( p)}

  1 g (t ) = L−1   2  0, 02 p + 0, 4 p + 1

g (t ) = ....................

Teorie řízení 2004 e)

str. 19 / 30

Určete odezvu na jednotkový skok Odezva na jednotkový skok je přechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vypočítá: Laplaceův obraz jednotkového skoku je:

L[u (t )] = U ( p ) =

1 p


H ( p) = F ( p) ⋅U ( p) = F ( p) ⋅

1 p

1 0,02 p + 0,4 p + 1 1 1 H ( p) = ⋅ 2 0, 02 p + 0, 4 p + 1 p F ( p) =

H ( p) =

2

1 ( 0, 02 p + 0, 4 p + 1) p 2


h(t ) = L−1 { H ( p )}

  1 h(t ) = L−1   2  ( 0, 02 p + 0, 4 p + 1) p  h(t ) = ....................


str. 20 / 30

PŘÍKLAD 10 zadání: Soustava je dána diferenciální rovnicí: a) b) c) d) e)

100 y′′ + 100 y′ + 1000 y = u

odvoďte stavové rovnice vyšetřete stabilitu odvoďte přenosovou funkci vypočítejte odezvu na jednotkový skok a na jednotkový impuls pomocí asymptot nakreslete amplitudovou frekvenční charakteristiku

řešení: a) odvoďte stavové rovnice Z diferenciální rovnice vyplývá, že soustava má pouze l výstup, z čehož vyplývá že budou 2 stavové proměnné. Stavové proměnné označíme jako x1 a x2 Proměnnou x1 položíme rovnu y a proměnnou x2 položíme rovnu derivaci y

x1 = y x2 = y ′

Proměnnou x1 derivujeme. Po derivování se x1′ = x2 Z diferenciální rovnici si vyjádříme nejvyšší derivaci:

y′′ = − y′ − 10 y +

u 100

Jestliže derivujeme proměnnou x2 = y ′′ , pak se proměnné x2 bude rovnat pravé straně rovnice se stavovými proměnnými.

x2′ = − x2 − 10 x1 +

u 100

Obecný tvar stavových rovnice je:

x′ = A ⋅ x + B ⋅ u y = C ⋅u

Z rovnic pro stavové proměnné x1 a x2 dosadíme do stavových rovnic:

1   x1   0   x1′   0  x′  =  −10 −1 ⋅  x  + 0, 01 ⋅ u   2    2  x  y = [1 0] ⋅  1   x2  Stavové proměnné:

1  0 A=   −10 −1

 0  B=  0, 01

C = [1 0]

b) vyšetřete stabilitu Stabilitu systému vyšetříme pomocí vlastních čísel matice A. Tyto čísla se vypočítají z charakteristické rovnice:

λ −1 1 λ 0   0 − = λ⋅I − A =  = λ 2 + λ + 10   0 λ − 10 − 1 10 λ + 1     charakteristická rovnice:

λ 2 + λ + 10 Z charakteristické rovnice vypočítáme kořeny: λ + λ + 10 = 0 2

λ1, 2 = −0,5 ± 3,1 j


str. 21 / 30

Protože reálná část kořenů je záporná, systém je stabilní. c) odvoďte přenosovou funkci Z diferenciální rovnice 100 y ′′ + 100 y ′ + 1000 y = u vyjádříme operátorový přenos systému:

100 y′′(t ) + 100 y′(t ) + 1000 y (t ) = u (t ) / L 100 p 2Y ( p ) + 100 pY ( p ) + 1000Y ( p ) = U ( p ) Y ( p) 1 F ( p) = = 2 U ( p ) 100 p + 100 p + 1000 d1) vypočítejte odezvu na jednotkový skok Odezva na jednotkový skok je přechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vypočítá: Laplaceův obraz jednotkového skoku je:

L[u (t )] = U ( p ) =

1 p


H ( p) = F ( p) ⋅U ( p) = F ( p) ⋅

1 p

1 100 p + 100 p + 1000 1 1 H ( p) = ⋅ 2 100 p + 100 p + 1000 p 1 H ( p) = 2 (100 p + 100 p + 1000 ) p F ( p) =

2


h(t ) = L−1 { H ( p )}

  1 h(t ) = L−1   2  (100 p + 100 p + 1000 ) p  h(t ) = ....................


d2) vypočítejte odezvu na jednotkový impuls Odezva na jednotkový impuls je impulsová charakteristika. impulsová charakteristika se vypočítá: Laplaceův obraz jednotkového impulsu je:

L [u (t ) ] = U ( p ) = 1

Odezva na jednotkový impuls je v operátorovém tvaru:

G ( p ) = F ( p ) ⋅ U ( p ) = F ( p ) ⋅1 = F ( p ) 1 F ( p) = 2 100 p + 100 p + 1000 1 G ( p) = ⋅1 2 100 p + 100 p + 1000 1 G ( p) = 2 100 p + 100 p + 1000


g (t ) = L−1 {G ( p)}

  1 g (t ) = L−1   2 100 p + 100 p + 1000  g (t ) = ....................

f)

Pomocí asymptot nakreslete amplitudovou frekvenční charakteristiku

str. 22 / 30


str. 23 / 30

PŘÍKLAD 11 zadání:

B A Soustava je dána stavovým popisem:

A=

x′ = Ax + Bx y = Cx 0 1 8 −1

B=

0 0,1

C=1 0

a) zkontrolujte řiditelnost b) navrhněte stavový regulátor, volte póly uzavřené soustavy: p1 = -1; p2 = -5 řešení: a) zkontrolujte řiditelnost Proto, aby systém byl řiditelný musí být determinant matice Mc byl různý od nuly. Matice řiditelnosti se v našem případě vypočte ze vztahu :

M c = [B A ⋅ B ]

Po vyčíslení má matice Mc následující tvar:

 0  0 1   0    0 0,1   0 0,1  = det Mc =  M = ⋅  c       0,1 -0,1  = −0, 01 ≠ 0   0,1 - 8 - 1 0,1   0,1 -0,1  což znamená, že soustava je řiditelná b) navrhněte stavový regulátor, volte póly uzavřené soustavy: p1 = -1; p2 = -5 Návrh stavového regulátoru spočívá ve zvolení nových póly uzavřené smyčky. Zvolíme póly ( v našem případě byly zadány), které musí být uvnitř jednotkové kružnice. Pro řízení stavovým regulátorem je vyjádřena charakteristická rovnice vzorcem:

p⋅I − A+ B⋅R , kde I je jednotková matice a G,H jsou zadané matice stavového popisu systému a K je matice regulátoru. Při počítání se za matici K dosadí obecný tvar K = k1 k 2

[

]

n

Charakteristickou rovnici porovnáme s požadovaným polynomem

∏( p − p ) i

i =1

V našem případě po matematických úpravách má požadovaný polynom tvar:

( p − p1 )( p − p2 ) = ( p + 1)( p + 5) = p 2 + 6 ⋅ p + 5 Vypočítáme charakteristickou rovnici:

p 0  p 8 

0  0  0 1   0   p 0  0 1   0 − +   ⋅ [ k1 k2 ] =  − + =     p   −8 −1  0,1  0 p   −8 −1 0,1 ⋅ k1 0,1 ⋅ k2  0  p −1 −1   0 = p ( p + 1 + 0,1 ⋅ k 2 ) + 8 + 0,1 ⋅ k1 = + =   p + 1  0,1 ⋅ k1 0,1 ⋅ k2  8 + 0,1⋅ k1 p + 1 + 0,1⋅ k2


str. 24 / 30

= p 2 + (0,1k2 + 1) p + 8 + 0,1⋅ k1 Porovnáme charakteristickou rovnici a požadovaný polynom:

= p 2 + (0,1k2 + 1) p + 8 + 0,1⋅ k1 = p 2 + 6 ⋅ p + 5 a z této rovnosti vypočteme koeficienty k1, k2

p2 : 1

p :

1=1 0,1k 2 + 1 = 6

p : 8 + 0,1k1 = 5 k1 = −30 k2 = +50 0

[

zpětnovazební matice je K = −30

50]


str. 25 / 30

PŘÍKLAD 12 zadání: Diskrétní stavový popis:

x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k ) y (k ) = Cx(k ) G=

0 1 −0,1 −1

H=

0 0,1

C=1 0

a) zkontrolujete řiditelnost b) Navrhněte stavový regulátor, póly volte Z12 = 0,3±0,3j řešení: a) zkontrolujete řiditelnost Proto, aby systém byl řiditelný musí být determinant matice Mc byl různý od nuly. Matice řiditelnosti se v našem případě vypočte ze vztahu :

M c = [H G ⋅ H ]


0  0 1   0    0 0,1  Mc =   ⋅  =  0,1 - 0,1 - 1 0,1   0,1 -0,1 

 0 0,1   = −0, 01 ≠ 0 0,1 -0,1 

det M c = 

což znamená, že soustava je řiditelná b) Navrhněte stavový regulátor, póly volte Z12 = 0,3±0,3j Návrh stavového regulátoru spočívá ve zvolení nových póly uzavřené smyčky. Zvolíme póly ( v našem případě byly zadány), které musí být uvnitř jednotkové kružnice. Pro řízení stavovým regulátorem je vyjádřena charakteristická rovnice vzorcem:

z⋅I −G + H ⋅K kde I je jednotková matice a G,H jsou zadané matice stavového popisu systému a K je matice regulátoru. Při počítání se za matici K dosadí obecný tvar K = k1 k 2

[

]

n


∏ (z − z ) i =1

i


(z − z1 ) ⋅ (z − z2 ) = ( z - 0 ,3 - 0 ,3 j) ⋅ ( z - 0 ,3 + 0 ,3 j) = z 2 − 0, 6 ⋅ z + 0,18 Vypočítáme charakteristickou rovnici:

0  1 0 1  0  z 0  0  z 0  0 0 z  −  −0,1 −1 +  0,1 ⋅ [ k1 k2 ] =  0 z  −  −0,1 −1 + 0,1 ⋅ k 0,1 ⋅ k  =            1 2


str. 26 / 30

0  z −1   0  z  0,1 z + 1 + 0,1⋅ k 0,1 ⋅ k  = 0,1 + 0,1 ⋅ k    1 2 1 2 z + (0,1k2 + 1) z + 0,1 + 0.1⋅ k1

−1 = z ( z + 1 + 0,1 ⋅ k2 ) + 0,1 + 0,1 ⋅ k1 = z + 1 + 0,1 ⋅ k2

Porovnáme charakteristickou rovnici a požadovaný polynom:

z 2 + (0,1k2 + 1) z + 0,1 + 0.1 ⋅ k1 = z 2 − 0, 6 ⋅ z + 0,18 a z této rovnosti vypočteme koeficienty k1, k2

z2 :

1=1

z1 :

0,1k 2 + 1 = −0, 6

z0 :

0,1 + 0,1k1 = 0,18

⇒

k1 = 0.8 k2 = −16

[

Požadovaný stavový regulátor má poté tvar K = 0.8

− 16]


str. 27 / 30

PŘÍKLAD 13 zadání: Mějme soustavu s regulátorem:

1 H ( p ) = 10 0,01 p + 0,3 p + 1 a) Určete typ soustavy( z přenosu otevřené smyčky).Odůvodněte. b) Ustálená chyba pro jednotkový skok c) Jak se změní ustálená chyba při změně zesílení na H (p) = 20 F ( p) =

2

řešení: a) Určete typ soustavy( z přenosu otevřené smyčky).Odůvodněte. Typ regulované soustavy určíme z přenosu soustavy. Přenos soustavy lze obecně

F ( p) =

K p ⋅ T1 + p ⋅ T2 + 1 2

Což odpovídá kmitavému článku. b) Ustálená chyba pro jednotkový skok Pro určení ustálené chyby musíme vypočítat přenos otevřené smyčky.

FO ( p ) = F ( p ) ⋅ H ( p ) =

10 0, 01 ⋅ p + 0,3 p + 1 2

Obecně se ustálená chyba vypočítá ze vztahu:

p ⋅ X ( p) p →0 1 + F ( p ) O

ess = lim

Kde FO (p) je přenos otevřené soustavy a X (p) je operátorový tvar signálu. Operátorový tvar jednotkového skoku je X ( p ) =

1 . p

Dosadíme-li tento signál a náš přenos otevřené smyčky do rovnice a vypočteme, dostaneme ustálenou chybu:

1 p ⋅ X ( p) 0, 01 ⋅ p 2 + 0,3 p + 1 1 p ess = lim = lim = lim = p →0 1 + F ( p ) p →0 p →0 0, 01 ⋅ p 2 + 0,3 p + 11 10 11 O 1+ 0, 01⋅ p 2 + 0,3 ⋅ p + 1 p⋅

c) Jak se změní ustálená chyba při změně zesílení na H (p) = 20 Zvýšíme-li zesílení regulátoru na H(p)=20 , změní se přenos otevřené smyčky na

FO ( p ) =

20 0, 01 ⋅ p + 0,3 p + 1 2

Dosadíme-li tento nový přenos do rovnice pro ustálenou chybu, vyjde nám chyba:


str. 28 / 30

1 p ⋅ X ( p) 0, 01⋅ p 2 + 0,3 p + 1 1 p = lim = lim = ess = lim 2 p →0 1 + F ( p ) p →0 p →0 0, 01 ⋅ p + 0,3 p + 21 20 21 O 1+ 2 0, 01⋅ p + 0,3 ⋅ p + 1 p⋅


str. 29 / 30

PŘÍKLAD 14 zadání: Diskrétní soustava je dána rovnicí:

x( k + 1) = Gx( k ) + Hu ( k ) G=

0 1 1 −1

H=

a) vyšetřete řiditelnost b) stavový regulátor, póly volte Z1=0,5+0,5i

0 1

Z2= 0,5-0,5i

řešení: a) vyšetřete řiditelnost Proto, aby systém byl řiditelný musí být determinant matice Mc byl různý od nuly. Matice řiditelnosti se v našem případě vypočte ze vztahu :

M c = [H G ⋅ H ]


0 Mc =  1

1  0  0 1   0 -0,16 -1 ⋅ 1   = 1 -1        

0 1   = −1 ≠ 0 1 -1 

det M c = 

což znamená, že soustava je řiditelná b) stavový regulátor, póly volte Z1=0,5+0,5i Z2= 0,5-0,5i Návrh stavového regulátoru spočívá ve zvolení nových póly uzavřené smyčky. Zvolíme póly ( v našem případě byly zadány), které musí být uvnitř jednotkové kružnice. Pro řízení stavovým regulátorem je vyjádřena charakteristická rovnice vzorcem:

p⋅I − A+ B⋅R , kde I je jednotková matice a G,H jsou zadané matice stavového popisu systému a K je matice regulátoru. Při počítání se za matici K dosadí obecný tvar K = k1 k 2

[

]

n


∏ (z − z ) i =1

i


(z − 0.5-0 ,5i)(z-0 ,5 + 0 ,5i) = z 2 − z + 0.5 Vypočítáme charakteristickou rovnici:

0  1  0 1  0  z 0  0  z 0  0 0 z  −  −0,16 −1 + 1  ⋅ [ k1 k2 ] =  0 z  −  −0,16 −1 + 1 ⋅ k 1 ⋅ k  =            1 2 z −1 −1   0 0   z 2  0,16 z + 1 +  k k  = 0,16 + k z + 1 + k = z ( z + 1 + k2 ) + 0,16 + k1 = z + (1 + k 2 ) z + 0.16 + k1    1 2 1 2 Porovnáme charakteristickou rovnici a požadovaný polynom:


str. 30 / 30

z 2 + (1 + k2 ) z + 0.16 + k1 = z 2 − z + 0.5 a z této rovnosti vypočteme koeficienty k1, k2

k1 = 0.34 k 2 = −2

[

zpětnovazební matice je K = 0.34

− 2]

zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, napájen do kotvy, indukčnost zanedbáme

Recommend Documents