Číslicové řízení
Příloha 1
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Hálkova 6, 461 17 Liberec 1, CZ Fakulta mechatroniky a mezioborových inženýrských studií
Teorie automatického řízení II.
Z-TRANSFORMACE Studijní materiály Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
Katedra řídicí techniky
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
0
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
Obsah 1. Z-transformace
2
2. Zpětná Z-transformace
11
3. Z-transformace s posunutým počátkem
15
Literatura
19
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
1
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
1. Z-TRANSFORMACE Laplaceova transformace je významným matematickým aparátem při řešení lineárních úloh z oblasti spojité automatické regulace. Umožňuje analýzu spojitých regulačních obvodů a návrh optimálních parametrů typu PID. Diskretizací spojitých procesů v důsledku zavádění číslicových prvků do řízení a regulace roste význam Z-transformace. Její matematický aparát zjednodušuje řešení lineárních diferenčních rovnic a umožňuje popisovat dynamické děje diskretizovaných procesů v takovém tvaru, kterého je možno s výhodou využít při návrhu algoritmu řízení podle celé řady kritérií jakosti řízení. Z-transformace vychází z Laplaceovy transformace posloupnosti časově posunutých Diracových impulsů, jejichž jednotková plocha je modulována funkčními hodnotami funkce y(kT). Při vzorkování (diskretizaci) spojité funkce y(t) v okamžicích t = kT, pro k ≥ 0 vzniká posloupnost čísel
{y k } = {y k }∞k =0 = {y0 , y1 , y 2 ,K}, nebo Diracových impulsů ve tvaru řady ∞
y * (t ) = ∑ y (kT )δ (t − kT ) , k =0
kde T je perioda vzorkování, (δ (t – kT) ) je posloupnost časově posunutých Diracových impulsů. Laplaceův obraz této řady je komplexní funkce ∞
y* (t ) = ∑ y (kT )e − kTs . k =0
Zavedením nové komplexní proměnné z = e sT, získáme definiční vztah Z-transformace ∞
Z {y (kT )} = ∑ y (kT )z −k .
(P1 – 1)
k =0
Z-obraz Z{y(kT)} je funkce komplexní proměnné z –1 (dle definice) nebo po úpravě proměnné z. Obrazem posloupnosti {yk} v Z-transformaci nazýváme funkci komplexní proměnné ∞
Y ( z ) = ∑ y (kT )z − k = Z {y k } .
(P1 – 1a)
k =0
Diskrétní hodnoty funkce y(kT) nebo posloupnosti {yk} nazýváme předmětem (originálem), funkci Y(z) obrazem a Z je symbol transformace.
Věta o existenci obrazu
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
2
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
Z-obraz diskrétních hodnot funkce y(kT) nebo posloupnosti {yk} existuje tehdy a jen tehdy, jestliže existují kladné konečné konstanty M, Φ takové, že pro všechna k ≥ 0 platí y (kT ) ≤ MΦ k , y k ≤ MΦ k .
(P1 – 2)
Podmínku y(kT) = 0 pro k < 0 můžeme též vyjádřit součinem y(kT)η(t) kde η(t) je diskrétní jednotková skoková funkce, pro kterou platí
η (kT ) =
1 pro k ≥ 0 . 0 pro k < 0
Poznámka 1 Na rozdíl od Laplaceovy transformace, pro jejíž existenci jsou zformulovány pouze podmínky postačující, představuje v Z-transformaci podmínka (P1-2) podmínku nutnou a postačující. Funkce či posloupnosti splňující podmínku (P1-2) nazýváme funkcemi či posloupnostmi exponenciálního řádu. Obraz Y(z) je analytická funkce pro |z| > R. Y(z) je analytická i v bodě z = ∞ a řada (P1-1) konverguje absolutně a stejnoměrně na množině komplexních čísel |z| > R. Číslo R se nazývá poloměr konvergence. Konec poznámky 1 Poznámka 2 Dle definičního vztahu (P1-1, P1-1a) je Z-obraz komplexní funkce proměnné z –1. Zapisování funkcí komplexně proměnné z –1 je však v důsledku záporných exponentů příliš zdlouhavé a pracné, přičemž ale tyto obrazy (s proměnnou z –1) poskytují při analýze a syntéze řadu výhod. Proto, aby se zjednodušil zápis, zavádí se rovností q = z –1 (P1 – 3) formální nová komplexní proměnná q. Definiční vztah (P1-1) pak může být vyjádřen ∞
Y (q ) = ∑ y (kT )q k .
(P1 – 4)
k =0
Nejedná se v žádném případě o novou transformaci, ale pouze o formální zavedení komplexní proměnné q vztahem (P1-3). Všechny Z-obrazy je pak možno formálně zapsat pomocí proměnné q. Konec poznámky 2 Příklad P1 – 1 Určete Z-obraz posloupnosti {yk} = {1, 1, 1, …} (diskrétní jednotková funkce η(kT)). Řešení ∞
Y ( z ) = 1z 0 + 1z −1 + 1z − 2 + z −3 + K = ∑ z −k . k =0
Komplexní funkci Y(z) tvoří součet geometrické řady s kvocientem q = z –1, jestliže |z –1| < 1, pak
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
3
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
Y (z ) =
1 z = . −1 z −1 1− z
(P1 – 5)
Poloměr konvergence R = 1. Konec příkladu. Příklad P1 – 2 Určete Z-obraz diskrétní funkce y(kT) = eαkTη(kT). Řešení
(
∞
∞
k =0
k =0
)
Y (z ) = ∑ eαkT z − k = ∑ eαT / z .
∑ (eα ∞
Řada
T
/z
)
k
k
je geometrická řada s kvocientem (eαTz –1). Jestliže | eαTz –1| < 1 pak součet
k =0
je konečný a platí
(
)
Y ( z ) = Z eαkT η (kT ) =
1 z . = αT −1 1− e z z − eαT
(P1 – 6)
Poloměr konvergence R = eαT. Konec příkladu. Základní pravidla a vlastnosti Z-transformace
Tak jako o Laplaceově transformaci tak i o Z-transformaci platí řada vět obecné povahy, které nám usnadňují praktické použití tohoto aparátu, bez něhož by řešení některých technických úloh analýzy a syntézy diskrétních řídících systémů bylo podstatně složitější (řešení diferenčních rovnic, určování kvadratického kritéria jakosti regulace atd.). Uvedeme zde (bez důkazu) souhrn vlastností ve formě vět tak, aby je bylo možno bezprostředně využít při řešení probíraných příkladů. 1. Věta o linearitě
Nechť Z{y1(kT)} = Y1(z); Z{y2(kT)} = Y2(z) a c1, c2 jsou konstanty. Potom platí Z {c1 y1 (kT ) + c 2 y 2 (kT )} = c1Y1 (z ) + c 2Y2 (z ) .
(P1 – 7)
Větu lze rozšířit na jakýkoliv počet sčítanců. 2. Věta o posunutí v originále Posun vpravo viz obr. P1 – 1: Nechť Z{y(kT)} = Y(z), y(kT) = 0 pro k < 0.
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
4
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
Budiž m ≥ 0 celé číslo. Potom platí Z {y (kT − mT )} = Z {y (kT − mT )η (kT − mT )} = z − mY ( z ) .
(P1 – 8)
Posun vlevo viz obr. P1 – 2: m −1 Z {y (kT + mT )} = z m Y ( z ) − ∑ y (vT )z −v v =0
(P1 – 9)
3. Věta o substituci v obraze (Věta o tlumení)
Nechť Z{y(kT)} = Y(z). Potom diskrétní funkce y1(kT) = eαkTy(kT) má obraz Y1(z) = Y(z/eαT). Zpravidla píšeme
{
} (
)
(P1 – 10)
Z a kT y (kT )η (kT ) = Y z / a T .
(P1 – 11)
Z eαkT y (kT )η (kT ) = Y z / eαT . Obdobě platí
{
} (
)
4. Věta o derivaci obrazu
Nechť Z{y(kT)} = Y(z). Potom diskrétní funkce y1(kT) = (kT)y(kT)η(kT) má obraz d Y1 (z ) = −Tz Y ( z ) . Zpravidla píšeme dy Z {kT y (kT )η (kT )} = −Tz
d Y (z ) . dy
(P1 – 12)
Jejím vícenásobným použitím je možno získat obrazy diskrétní funkce ya(kT) = (kT)ny(kT)η(kT). Tak např. pro n = 2 platí
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
5
24.5.2002
Číslicové řízení
{
Příloha 1
}
Z (kT ) y (kT )η (kT ) = −Tz 2
d d Tz Y (z ) . − dz dz
(P1 – 13)
5. Věta o obrazu diference a) dopředná diference
Nechť Z{y(kT)} = Y(z) a nechť dopřednou diferenci ∆y(kT) definujeme rovností ∆y(kT) = y(kT+T) – y(kT).
Jejím n-násobným použitím lze získat n-tou diferenci ve tvaru
[
]
n
∆n y (kT ) = ∆ ∆n−1 y (kT ) = ∑ (− 1)
n− j
j =0
n y (kT + jT ) . j
Potom platí Z {∆y (kT )} = Z {y (kT + T ) − y (kT )} = ( z − 1)Y ( z ) − zy (0 ) ,
(P1 – 14)
n n− j n Z ∆n y (kT ) = Z ∆ ∆n−1 y (kT ) = Z ∑ (− 1) y (kT − jT ) j j =0
} {[
{
]}
n −1
Z {∆y (kT )} = ( z − 1) Y ( z ) − z ∑ ( z − 1) n
n − j −1
∆ j y (0) ,
(P1 – 15)
j =0
pro j = 0 je ∆0y(0) = y(0). b) zpětná diference
Nechť Z{y(kT)} = Y(z) a nechť zpětná diference ∆y(kT) je definována rovností ∇y(kT) = y(kT) – y[(k – 1)T].
Jejím n-násobným použitím lze získat n-tou diferenci
[
]
n j n ∇ n y (kT ) = ∇ ∇ n−1 y (kT ) = ∑ (− 1) y[(k − i )T ] . j =0 j Z-obrazy zpětných diferencí jsou z −1 Z {∇y (kT )} = Z {y (kT )}− Z {y[(k − 1)T ]} = Y ( z ) − y (− 1) z
{
} {[
Z ∇ y (kT ) = Z ∇ ∇ n
n −1
]}
y (kT )
n
(P1 – 16)
j
n −1 z − 1 n−1− j z −1 y (− 1) = ∇ Y (z ) − ∑ z z j =0
(P1 – 17)
pro j = 0 je ∇0y(/1) = y(-1).
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
6
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
Příklad P1 – 3 Určete Z-obraz druhé (dopřed.) diferen. fun. y (kT ) = eαkT η (kT ) =
z . z − eαT
Řešení
{
}
1
Z ∆2 y (kT ) = ( z − 1) Y ( z ) − z ∑ ( z − 1) ∆ j y (0 ) = (z − 1) Y ( z ) − z ( z − 1)∆y (0) − zy (0) ; 2
1− j
2
j =0
{ ( )}
∆y (0) = y (T ) − y (0) = eαT − 1 , Z ∆2 e kT = ( z − 1)
2
(
)
z − z (z − 1). eαT − 1 − z . z − eαT
Konec příkladu. 6. Věta o obrazu konvoluce
Nechť g(kT) je diskrétní váhová funkce a existuje Z{g(kT)} = G(z), Z{u(kT)} = U(z). Potom diskrétní funkce k
k
j =0
j =0
y (kT ) = ∑ u ( jT )g (kT − jT ) = ∑ g ( jT )u (kT − jT ) má obraz Y(z) a platí k k Y ( z ) = Z ∑ ( jT )g (kT − jT ) = Z ∑ g ( jT )u (kT − jT ) = G ( z )U ( z ) , j =0 j =0
(P1 – 18)
7. Věta o obrazu posloupnosti částečných součtů
Nechť Z{y(kT)} = Y(z), pak i posloupnost částečných součtů k −1
y1 [(k − 1)T ] = ∑ y ( jT ) , pro k = 1, 2, 3, …
(P1 – 19)
j =0
má Z-obraz a platí k −1 1 Z ∑ y ( jT ) = Y (z ) . − 1 z j = 0
(P1 – 20)
Pro Z-obraz úplného součtu včetně diskrétní hodnoty y(kT) platí k z Y (z ) . Z {y1 (kT )} = Z ∑ y ( jT ) = − 1 z = 0 j
(P1 – 21)
8. Věta o součtu funkčních hodnot
Nechť Z{y(kT)} = Y(z) pro všechna |z| >1 (poloměr konvergence R = 1) a nechť ∞
∑ y(kT ) < ∞ (řada k =0
∞
∑ y(kT ) konverguje), pak existuje lim Y (z ) a platí z →∞
k =0
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
7
24.5.2002
Číslicové řízení
∞
Příloha 1
∑ y(kT ) = k =0
lim Y ( z ) .
(P1 – 22)
z , reálná z →1+
9. Věta o obrazu součinu
Nechť Z{y1(kT)} = Y1(z), Z{y2(kT)} = Y2(z) s poloměrem konvergence po řadě R1 > 0, R2 > 0. Potom diskrétní funkce y1(kT)y2(kT) má obraz Y(z) a platí Z {y (kT )} = Z {y1 (kT ) y 2 (kT )} =
z dξ 1 Y1 (ξ )Y2 . ∫ 2πi C ξ ξ
(P1 – 23)
Integruje se po kružnici C dané ξ = ρeiϕ, R1 < ρ < |z|, |z| > max(R1, R2), 0 < ϕ < 2π. Poznámka 3 Integrál (P1-23) se vypočítá pomocí reziduové věty. Platí z dξ z 1 1 Z {y (kT )} = Y1 (ξ )Y2 = ∑ res Y1 (ξ )Y2 = ∫ ξi 2πi C i ξ ξ ξ ξ z 1 = ∑ res Y1 (ξ )Y2 , (z /ξ )j j ξ ξ
(P1 – 24)
kde ξi jsou izolované singulární body (póly) funkce Y1(ξ) a (z/ξ)j jsou izolované singulární body (póly) funkce Y2(z/ξ). Připomeňme některé základní věty o reziduích a jejich výpočtu. 1. Věta o výpočtu rezidua v s-násobném pólu Nechť bod z0 je s-násobným pólem funkce Y(z). Pak platí d s −1 1 s res Y (z ) = lim s −1 (z − z 0 ) Y (z ) , a pro z0 = ∞ z0 (s − 1)! z→ z0 dz
[
res Y (z ) = ∞
]
(− 1)s lim z s+ 2 d s+1 Y (z ) . (s − 1)! z→∞ dz s+1
2. Věta o výpočtu rezidua součinu funkcí Nechť funkce F(z) je analytická v bodě z0 ≠ ∞ a nechť funkce G(z) má v bodě z0 jednoduchý pól. Pak res[F ( z )G ( z )] = F (z 0 ) res G ( z ) . z0
z0
3. Věta o výpočtu rezidua podílu funkcí Nechť G(z), F(z) jsou analytické funkce v bodě z0 ≠ ∞. Nechť dále G(z0) = 0, F(z0) = 0, F‘(z0) ≠ 0 (tj. z0 je jednoduchým nulovým bodem funkce F(z). Pak platí G(z ) G (z0 ) d res = , kde F ′( z 0 ) = F ( z ) . z0 dz F ( z ) F ′( z 0 ) z = z0 Konec poznámky 3. Příklad P1 – 4 Určete Z-obraz diskrétní funkce y(kT) = y1(kT).y2(kT) = (kT).akT pomocí věty o Z-obrazu součinu. Z-obraz funkce y1(kT) = kT a y2(kT) = akT určíme z tabulky a jsou rovny
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
8
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
{ }
z z . , Z a kT = 2 z − aT (z − 1)
Z {(kT )} = T
Z-obraz součinu dvou funkcí je roven
ξ z /ξ 1 1 dξ Tξ 2 ∫ 2πi C (ξ − 1) z / ξ − a T ξ
Z {y (kT )} =
Hodnotu integrálu určíme podle reziduové věty o součinu dvou funkcí (s využitím věty o výpočtu rezidua v s-násobném pólu). Pro ξ1 = ξ2 = 1 platí z /ξ 1 Z {y (kT )} = res T 2 T ξ (ξ − 1) z / ξ − a za T . =T 2 z − aT
(
d = lim ξ →1 dξ
T z /ξ 2 = (ξ − 1) 2 T − z / ξ a ( ) − ξ 1
(
)
)
Konec příkladu. Přesvědčete se o správnosti výsledku tak, že použijete větu o tlumení (P1 – 10). Věta o obrazu součinu vyjádřená vzorci (P1 – 23), (P1 – 24) nachází též uplatnění při syntéze algoritmu řízení. Umožňuje vyjádřit hodnotu kvadratického kritéria jakosti řízení na základě Z-obrazu regulační odchylky či výstupní veličiny. Ke zjednodušení úlohy syntézy přispívá též zavedení pojmu skalárního součinu v M, kde M je vektorový prostor racionálních funkcí (Zobrazů). Předpokládejme, že ∞
∑ y (kT )y (kT ) < ∞ k =0
1
(P1 – 25)
2
a že existuje obraz Z{y1(kT)} = Y1(z), Z{y2(kT)} = Y2(z). Pak je možno využít věty o součtu funkčních hodnot a platí z dq 1 ∞ Z ∑ y1 (kT ) y 2 (kT ) = lim Z {y1 (kT ) y 2 (kT )} = lim Y1 (q )Y2 = ∫ z →1+ 2πi k =0 zz →reálné q q C1 1+ 1 dq 1 Y1 (q )Y2 , ∫ 2πi C1 q q
kde C1 je kladně orientovaná jednotková kružnice; Y1(q), Y2(1/q) jsou racionální lomené funkce komplexní proměnné q. Skalární součin v M je pak definován výrazem Y1 , Y2 =
1 dq ∞ 1 ( ) Y q Y 1 2 q q = ∑ y1 (kT ) y 2 (kT ) . 2πi C∫1 k =0
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
9
(P1 – 26)
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
Příklad P1 – 5 Určete součet řady ∞
∞
∞
k =0
k =0
k =0
∑ y(kT ) = ∑ y1 (kT )y2 (kT ) = ∑ (kT )a kT = Ta T + 2Ta 2T + 3Ta 3T + K Součet řady existuje pro |a| < 1. Z-obrazy y1(kT) a y2(kT) jsou z za T . Y1 (z ) = T , Y (z ) = z − aT (z − 1)2 2 Podle (P1 – 26) platí ∞
∑ y1 (kT )y2 (kT ) = k =0
1 dq 1 / qa T dq q 1 1 ( ) . = Y q Y T 1 2 2 T ∫ 2πi C∫1 q q 2πi C1 (q − 1) 1 / q − a q
Integrál určíme pomocí reziduové věty [Vybereme-li pól (1/q) = aT] pak platí
∑ y (kT )y (kT ) = res{Y (q )Y (1/ q ) / q} = Y (a )res{Y (1/ q )} = ∞
T
k =0
1
2
aT
1
2
1
2
aT
1 / q.a T a 2T T lim 1 / q − a = T . pro |a| < 1. 2 2 T 1/ q − aT a T − 1 1 / q→a aT − 1 Konec příkladu. T
(
1
(
)
)(
)
(
)
Budiž připomenuto, že integrál (P1 – 26) existuje, i když není splněna podmínka (P1 – 25), pak ale neplatí, že je roven součtu součinů diskrétních hodnot. 10. Věta o součtu dvojmoci diskrétních hodnot
Nechť y(kT) je diskrétní funkce a nechť splňuje podmínku (P1-25), jejíž obraz Z{y(kT)} = y(0) + y(T)z-1 + y(2T)z-2 + … = Y(z). Označíme-li Y ( z ) = y (0) + y (T )z + y (2T )z 2 + K , kde pruhem značíme sdružený polynom, pak platí ∞
∑ y(kT ) k =0
2
=
1 1 dz Y1 ( z )Y2 = Y1 , Y2 = Y ∫ 2πi C1 z z
2
,
(P1 – 27)
kde ||Y|| je norma funkce Y = Y(z). ∞
Příklad P1 – 6 Určete
∞
[
∑ y(kT ) = ∑ (kT )a kT k =0
2
]. 2
k =0
Z-obraz funkce y(kT) byl vypočten v Př. P1-4 a je roven Y (z ) = T
za T
(z − a )
T 2
. Podle věty o
součtu dvojmoci diskrétních hodnot platí ∞ 1 1 1 / z.a T za T 1 dz 2 ( ) ( ) = = dz . y kT Y z Y T ∑ 1 2 2 2 ∫ 2πi C∫1 z z 2πi C1 z − a T 1 / z − a T z k =0 Integrál vypočteme pomocí reziduové věty (z1 = z2 = aT). Platí
(
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
10
)(
)
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
a 2T d a 2T 2 T 2 ( ) y kT res lim z a = = − ∑ 2 2 T aT k =0 z z − aT 1/ z − aT z z − a T 1 / z − a T z →a dz 1 + za T a 2T 1 + a 2T d a 2T z 2T . = = limT = a limT 3 3 T 2 z → a dz z →a 1 + za T 1 + a 2T 1 − za
(
∞
(
(
)(
)
)
(
)
(
(
)
)
)
(
)(
)
2
=
Konec příkladu. 11. Věta o derivaci obrazu podle reálného parametru
Nechť funkce y(t, α) má n-tou spojitou parciální derivaci podle parametru α a pro každé α ∈ (a, b ) a pro každé existuje obraz Y(z, α) pro t = kT. Potom ∂ ∂ Y ( z ,α ) = Z y (t ,α ) . ∂α ∂α
(P1 – 28)
Obecně platí ∂n ∂n n y (t ,α ) . ( ) = Y z , α Z n ∂α ∂α
(P1 – 29)
12. Věta o počáteční hodnotě
Nechť Z{y(kT)} = Y(z). Potom platí y (0) = lim y (kT ) = lim Y ( z ) . k →0
(P1 – 30)
z →∞
13. Věta o konečné hodnotě
Nechť Z{y(kT)} = Y(z) s poloměrem konvergence R ≤ 1 a nechť existuje konečná limita lim y (kT ) , potom platí k →∞
lim y (kT ) = lim ( z − 1)Y ( z ) k →∞
(P1 – 31)
z reálné z →1+
2. ZPĚTNÁ Z-TRANSFORMACE Zpětnou Z-transformací rozumíme úlohu nalézt k danému Z-obrazu (funkce Y(z) komplexní proměnné z) předmět – diskrétní funkci y(kT) nebo posloupnost yk tak, aby Z{y(kT) = Y(z) nebo Z{yk} = Y(z). Podmínky existence zpětné transformace a její definiční vztahy je možno zformulovat do následující věty.
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
11
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
13. Věta o zpětné Z-transformaci Funkce komplexní proměnné Y(z) je obrazem jisté diskrétní funkce či posloupnosti tehdy a jen tehdy, je-li analytická v bodě ∞. Předmět, jehož je obrazem, je potom určen jednoznačně a tvoří ho posloupnost koeficientů Laurentova rozvoje analytické funkce Y(z) v okolí bodu ∞. Diskrétní hodnoty předmětu pak určíme pomocí reziduové věty z výrazu y (kT ) =
(
)
1 z k −1Y ( z )dz = ∑ res z k −1Y ( z ) ∫ zj 2πi C j
(P1 – 32)
kde C: z = ρeiϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, ρ > R. Součtem reziduí na pravé straně se rozumí součet reziduí ve všech (izolovaných) singulárních bodech, které funkce zk-1F(z) má. z Příklad P1 – 7 Určete z definice zpětné Z-transformace předmět k obrazu Y ( z ) = . (z − D )s Řešení Z-obraz Y(z) má jeden p-násobný pól z1 = D. Podle věty o zpětné transformaci platí 1 d p −1 zk 1 p k −1 k −1 ( ) ( ) ( ) z Y z dz res z Y z = = − = lim z D z → D ( p − 1)! dz p −1 D 2πi C∫ (z − D ) p d p −1 1 = lim p −1 z k ( p − 1)! z →D dz
(
yk =
)
[ ]
Postupně dostaneme pro 1) p = 1; yk = Dkη(k), 1 d kD k −1 Dk =k η (k − 1) , 2) p = 2; y k = lim (z k ) = 1! z → D dz 1! D 1 d2 k (k − 1)D k −2 k (k − 1) D k = η (k − 2) 3) p = 3; y k = lim 2 (z k ) = 2! z → D dz 2! 2! D 2 4) Pro obecné p > 1 platí 1 d p −1 k (k − 1)(k − 2)K (k − p + 2) k − p +1 k D k p −1 η (k − p + 1) . yk = lim p −1 z k = D = ( p − 1)! z →D dz 1.2.3K ( p − 1) p − 1 D Konec příkladu
( )
Poznámka 4 Pro k = 0 je výhodnější použít věty o počáteční hodnotě a vzorce (P1-30). Koeficienty Laurentova rozvoje v okolí bodu ∞ je možno stanovit derivováním a platí yk =
(− 1)k lim z k +1 k!
z →∞
d k k −1 z F (z ) . k dz
(
)
(P1 – 33)
Konec poznámky 4 Jestliže obraz Y(z) je racionální lomená funkce, pak předmět y(kT), yk je možno určit
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
12
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
1) metodou rozkladu na parciální zlomky 2) rozvojem polynomiálního zlomku (nekonečným dělením), 3) rekurentní formulí – Pierceovým algoritmem. 1) Zpětná transformace metodou rozkladu na parciální zlomky
Základní myšlenka tohoto postupu určení zpětné transformace, podobně jako u Laplaceovy transformace, spočívá v tom, že racionálně lomenou funkci Y(z) po jednoduché úpravě rozložíme na součet parciálních zlomků. Tyto pak již snadno převedeme do předmětu. Pro kořeny reálné různé zj a kořeny reálné násobné zi o násobnosti vi provedeme rozklad na parciální zlomky (ryze racionální lomené funkce) Y(z) / z ve tvaru vi Aj Bis Y (z ) . =∑ + ∑∑ p z i p =1 ( z − z i ) j z − zj
Racionální lomenou funkci Y(z) pak můžeme vyjádřit jako součet ve tvaru Y (z ) = ∑ A j j
vi z z . + ∑∑ Bis z − zj (z − z i ) p i p =1
Pro t = kT a zi = Di, zj = Dj odpovídají jednotlivým dílčím členům, které jsou Z-obrazy elementárních funkcí viz Tab.1, předměty Aj
Bip
z z = Aj =ˆ A j D tj / T η (k ) = A j D kjη (k ) , z − Dj z − zj
z
(z − z i ) p
= Bip
(P1 – 34)
Dit / T t / T k = Bip Dik − p +1 η (k − p + 1) , =ˆ Bip p −1 − p 1 Di p − 1 (P1 – 35)
z
(z − Di ) p
pro p = 1, 2, …, vi. Korespondence (P1 – 6), (P1 – 34, 35) platí též pro komplexní kořeny. Předmět odpovídající dvojici jednoduchých komplexně sdružených kořenů zj = αj ± iβ j = |zj|eiωj je možno vyjádřit ve tvaru Cj
z z +Cj =ˆ 2 z j z − zj z − zj
k
(a
j
cos ω j k − b j sin ω j k ) ,
kde Cj = aj + ibj, C = a j − ib j , z j = α 2j + β 2j , ω j = arctg
(P1 – 36)
βj αj
nebo ve tvaru Cj
k z z +Cj =ˆ 2. C j . z j cos(ω j k − ϕ j ) , z − zj z − zj
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
13
(P1 – 37)
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
kde ϕ j = arctg
bj aj
, C j = a 2j + b 2j .
Pro kořen komplexně sdružený zi násobnosti vi platí buď korespondence ve tvaru vi
z
∑ C (z − z ) ip
p =1
p
+ C ip
i
k z i =ˆ ∑ 2 p =1 p − 1 vi
k − p +1
=ˆ (z − z i ) p
(a
z
ip
cos[ω i (k − p + 1)] − bip sin[ω i (k − p + 1)])η (k − p + 1) (P1 – 38)
nebo vi k z z z i =ˆ ∑ 2 C C + ip ∑ ip p p p − 1 ( ) ( ) z z z z − − = 1 p =1 p i i vi
k − p +1
cos[ω i (k − p + 1) + ϕ i ]η (k − p + 1)
(P1 – 39) Poznámka 5 O platnosti identit (P1 – 38, 39) se čtenář může přesvědčit sám, tím že do vzorců (P1 – 34, 35) dosadí dvojici komplexních kořenů a výsledek vhodně upraví. Zpětnou Z-transformací rozkladem na parciální zlomky získáme předměty v analytickém vyjádření (ve tvaru uzavřeného funkčního výrazu). Konec poznámky 5. 2. Rozvoj polynomiálního zlomku (nekonečné dělení)
Tento způsob nevyžaduje znalost pólů funkce Y(z), nezískáme však analytické vyjádření funkce y(kT). Vychází se z definice Z-transformace viz (P1 – 1) pro kterou platí ∞
Y ( z ) = ∑ y (kT )z − k = y (0 ) + y (T )z −1 + y (2T )z − 2 + K k =0
Rozvineme-li Z-obraz Y(z) v Laurentovu řadu se středem v ∞, pak koeficienty Laurentovy řadu jsou rovny diskrétním hodnotám funkce y(kT). Rozvoj racionální lomené funkce B( z ) bm z m + K + b1 z + b0 ,n≥m Y (z ) = = A( z ) a n z n + K + a1 z + a0 v Laurentovu řadu dostaneme dělení polynomu v čitateli polynomem ve jmenovateli. Vyjádříme-li obraz Y(z) ve tvaru
β 0 + β 1 z −1 + β 2 z −2 + K + β m z − m Y (z ) = = y 0 + y (T )z −1 + y (2T )z − 2 + y (3T )z −3 + K −1 −2 −n α 0 + α1 z + α 2 z + K + α n z a vynásobíme-li levou i pravou stranu polynomem (α0 + α1z-1 + α2z-2 + …) pak porovnáním koeficientů u stejných mocnin dostaneme
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
14
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
α 0 y (T ) = β 0 ⇒ y (0) =
β0 , α0
α 0 y (T ) + α1 y (0 ) = β1 ⇒ y (T ) =
1
α0
(β1 − α1 y(0)) ,
α 0 y (2T ) + α1 y (T ) + α 2 y (0 ) = β 2 ⇒ y (2T ) =
1
(β 2 − α1 y(T ) − α 2 y(0)) , α0 α 0 y (kT ) + α1 y (kT − T ) + K + α n y(kT − nT ) = β k ⇒ y (kT ) =
y (kT ) =
n 1 β k − ∑α j y (kT − jT ) , pro k ≤ n α 0 j =1
1
α0
n
∑α y(kT − jT ) , pro k > n j
j =0
(P1 – 40)
(P1 – 41)
3. Rekurentní formule – Pierceův algoritmus
Pierceův algoritmus vychází ze skutečnosti, že Y(z) je racionálně lomená funkce, kterou je možno považovat za obraz váhové funkce. Z-obraz váhové funkce je totožný s diskrétním přenosem a je tedy možno za uvedených předpokladů položit Y(z-1) = G(z-1). Pak je možno formálně zapsat diferenční rovnici a získáme rekurentní formuly tvaru y (kT ) + a1 y (kT − T ) + K + an y (kT − nT ) = b0 u (kT − vT ) + K + bm u (kT − vT − mT ) , (P1 – 42) kde
u(kT – jT) = 0 pro kT – jT ≠ 0 u(kT – jT) = 1 pro kT – jT = 0, j = v, …, v + m,
pak pro y(-T) = … = y(-nT) = 0 je možno dle (P1-42) postupně vypočítat všechny hodnoty y(0) až y(kT) pro dané k.
3. Z-TRANSFORMACE S POSUNUTÝM POČÁTKEM (modifikovaná Z-transformace) Nechť y(t) je spojitá komplexní funkce reálné proměnné exponenciálního řádu, splňující podmínku y(t) = 0 pro t < 0. Nechť T je perioda vzorkování, pak pro libovolný časový okamžik uvnitř intervalu vzorkování t = (k + ε)T kde 0 ≤ ε ≤ 1, je definována Ztransformace s posunutým počátkem rovností ∞
Z ε {y (kT )} = Y ( z , ε ) = ∑ y[(k + ε )T ]z − k .
(P1 – 43)
k =0
Poznámka 6 Symbolu Z{%} resp. Y(z, ε) bude též využíváno pro zdůraznění Z-transformace spojité funkce uvnitř intervalu vzorkování a symbolů Z{%} resp. Y(z) k označení Z-transformace posloupností čísel nebo Diracových impulsů s definovanými vahami. Konec poznámky 6. Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
15
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
Zpětná transformace Zε-1, tj. nalezení předmětu y[(k + ε)T] k obrazu Y(z, ε) se provádí stejnými postupy jako při určování předmětu yk, y(kT) k obrazu Y(z).
Příklad P1 – 8 Určete Z-obraz spojité funkce y(t) = eatη(t) viz obr. P1-8 s periodou vzorkování T. (η(t) je jednotkový skok a jeho součinem s funkcí eat se formálně zajišťuje splnění podmínky y(t) = 0 pro t < 0).
Řešení
{
}
∞
∞
k =0
k =0
(
)
Y (z , ε ) = Z ε e atη (t ) = ∑ e aT (k +ε ) z − k = z aTε ∑ e aT / z . k
Tato řada konverguje a má konečný součet, je-li splněna podmínka |eaT / z| < 1. Platí
{
}
Z ε e atη (t ) = e aTε
z z + e aT
(P1 – 44)
Konec příkladu. Vlastnosti Z-transformace s posunutým počátkem
Základní vlastností Z-transformace uvedené v P1 můžeme ještě rozšířit o další. 1. Věta o obrazu derivace
Nechť y(t) je funkce exponenciálního řádu a nechť má spojitou n-trou derivace podle t. Je-li T perioda vzorkování, pak platí d n y (t ) 1 ∂ nY ( z , ε ) ( ) η Zε t . = n n ∂ε n dt T
(P1 – 45)
2. Věta o obecném posunutí vpravo
Nechť Zε{y(t)} = Y(z, ε) a nechť obecné posunutí vpravo o τD je možno vyjádřit ve tvaru τ D = (m + ξ )T , kde m je celé, ξ ∈ (0,1 a T je perioda vzorkování. Pak platí Z ε {y (t − τ D )η (t − τ D )} =
z − (1+ m )Y ( z ,1 + ε − ξ ) pro ε < ξ . z − mY ( z , ε − ξ ) pro ε ≥ ξ .
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
16
(P1 – 46)
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
3. Věta o obrazu integrálu
Nechť Zε{y(t)} = Y(z, ε) a nechť existuje integrál
t
∫ y(τ )dτ . Je-lit T perioda vzorkování, pak 0
platí 1 ε t T ( ) Z ε ∫ y (τ )dτ = Y z , ε d ε + T Y (z , ε )dε . ∫ ∫ z − 1 0 0 0
4. Věta o přímé transformaci Laplaceova obrazu v Z-obraz
Nechť Y(s) je analytická funkce mající končený počet pólů si, i = 1, 2, 3, …, n. Nechť Y(s) splňuje podmínku lim Y (s ) = 0 a T je perioda vzorkování. Pak platí s →∞
{
}
Z L−1[Y (s )] =
c + i∞ 1 eεsT eεsT ( ) ( ) Y p ds res Y s = ∑i si 1 − z −1esT . 2πi c −∫i∞ 1 − z −1e sT
(P1 – 47)
Věty o přímé transformaci je možno použít i pro funkce posunuté o τD. Nechť τ D = (m + ξ )T , kde m je celé, ξ ∈ 0,1 . Pak platí e sT (1+ ε −ξ ) Z Y (s )e − sτ D = z − (m +1) ∑ res Y (s ) , ε <ξ si 1 − z −1e sT i
{ {
Z Y (s )e
}
− sτ D
}
e sT (ε −ξ ) = z ∑ res Y (s ) , ε ≥ξ si 1 − z −1e sT i −m
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
17
(P1 – 48a)
(P1 – 48b)
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
SLOVNÍK Z-TRANSFORMACE 1 2 3 4
e − tmT 1 s 1! s2 2! s3
δ (t − mT ) 0, t < 0
η=
1, t ≥ 0 t
zε 2 z (2ε + 1) 2z + + T2 2 (z − 1)3 z − 1 (z − 1)
t2
(
5
3! s4
t3
6
n! s n+1
tn n = 1, 2, 3, ...
7 8
9
e
1 s+a 1 (s + a )2
(
-at
)
ze − aTε ; a je obecné komplexní číslo z − e −aT zε ze −aT + Te −aTε 2 − aT z − e −aT z − e
(
2 -at
te
(
n! (s + a )n+1
tne-at
11
1 s(s + a )
1 1 − e −at a
12
ω
sin ωt
13
s2 + ω 2 s 2 s +ω2
cos ωt
14
ω
e − at sin ωt
s+a (s + a )2 + ω 2
e − at cos ωt
(
)
(
)
∂ n ze − aTε ∂a n z − e −aT
(
)
16
Dt /T t / T D n−1 n − 1
17
t /T n −1
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
)
zε 2 z (2ε + 1)e −aT z 2e −2 aT + + T 2 e −aTε 2 3 − aT z − e −aT z − e −aT z − e
10
15
)
zε 3 z 3ε 2 + 3ε + 1 z (6ε + 6) 6z + + + T3 2 3 (z − 1) (z − 1)4 (z − 1) z −1 n ze − aTε n ∂ lim(− 1) a →0 ∂a n z − e −aT
te-at
2! (s + a )3
(s + a )2 + ω 2
z −m z z −1 zεT zT + z − 1 ( z − 1)2
)
ze − aTε 1 z − a z − 1 z − e −aT
z 2 sin ωTε + z sin ωT (1 − ε ) z 2 − 2 z cos ωT + 1 z 2 cos ωTε − z cos ωT (1 − ε ) z 2 − 2 z cos ωT + 1 z 2 sin ωTε + ze − aT sin ωT (1 − ε ) e −εaaT z 2 − 2 ze −εaT cos ωT + e −2 aT z 2 cos ωTε + ze − aT cos ωT (1 − ε ) e −εaaT z 2 − 2 ze −εaT cos ωT + e −2 aT z D ... obec. komplex. číslo (z − D )n ε=0 D ≠ 0; n = 1, 2, 3, ... z n = 1, 2, 3, ... ε=0 (z − 1)n
18
24.5.2002
Číslicové řízení
Příloha 1
Literatura [1] Pírko, Y.: Lapalceova transformace. SNTL/ALFA Praha/Bratislava, 1970. [2] Föllinger, O.: Lineare Abtastsysteme, 2. Auflage, Oldenbourg Verlag, 1982 [3] Unbehauen, H.: Regelungstechnik II. Zustandsregelungen, digitale und nichtlineare Regelsysteme. 6. Auflage, Vieweg und Sohn, Braunschweig/Wiesbaden, 1993. [4] Ogata, K.: Discrete-time Control Systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1987
Doc. Ing. Osvald Modrlák, CSc.
19
24.5.2002
