Matematika I - Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u WikiSkriptum Ing. Radek Fuˇc´ık, Ph.D. verze: 4. ledna 2017
1
Obsah 1 Limity a spojitost 1.1 l’Hˆopitalovo pravidlo zak´az´ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 l’Hˆopitalovo pravidlo povoleno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 4 8 9
2 Derivace, inverzn´ı funkce, teˇ cny, norm´ aly, asymptoty 10 2.1 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Pr˚ ubˇ eh funkce, teˇ cny, norm´ aly, asymptoty, monotonie, 3.1 Aplikace derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Teˇcny a norm´aly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Monotonie, inverze, lok´aln´ı extr´emy . . . . . . . . . . . .
inverze, extr´ emy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
14 15 15 16 17
4 Extrem´ aln´ı u ´ lohy, konvexnost, konk´ avnost, inflexe 20 4.1 Konvexnost, konk´avnost a inflexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2 Extrem´aln´ı u ´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5 Neurˇ cit´ e integr´ aly a primitivn´ı funkce
24
6 Urˇ cit´ e Integr´ aly
30
7 Aplikace integr´ al˚ u 7.1 V´ ypoˇcet plochy . . . . . . . . . . 7.2 V´ ypoˇcet tˇeˇziˇstˇe . . . . . . . . . . 7.3 V´ ypoˇcet d´elky grafu funkce . . . 7.4 V´ ypoˇcet objemu rotaˇcn´ıho tˇelesa 7.5 V´ ypoˇcet povrchu rotaˇcn´ıho tˇelesa
34 34 34 35 35 36
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Pˇ redmluva Tato sb´ırka je sloˇzena z pˇr´ıklad˚ u (viz [1], [2], [3]), ze kter´ ych se sestavuj´ı zkouˇskov´e p´ısemn´e pr´ace ˇ k pˇredmˇetu Matematika I (1. roˇcn´ık bakal´aˇrsk´eho studia na FJFI CVUT v Praze). Pˇr´ıklady jsou uspoˇr´ad´any do 7 kapitol, pˇriˇcemˇz do zkouˇskov´e p´ısemky je vybr´an pr´avˇe jeden pˇr´ıklad z kaˇzd´e kapitoly. Kaˇzd´ y pˇr´ıklad v t´eto sb´ırce by mˇel j´ıt spoˇc´ıtat pomoc´ı znalost´ı z´ıskan´ ych z pˇredn´aˇsky a ze cviˇcen´ı. Proto nebudete-li si vˇedˇet rady i jen s jedin´ ym pˇr´ıkladem, nev´ahejte poˇza´dat sv´eho cviˇc´ıc´ıho o konzultaci! Tato sb´ırka nen´ı zdaleka hotov´a, dalˇs´ı pˇr´ıklady mohou pˇrib´ yt. Bezchybn´emu poˇc´ıt´an´ı zdar! 1. ˇcervence 2011
Ing. Radek Fuˇc´ık, Ph.D.
2
1
Limity a spojitost
Rozcviˇ cka V t´eto kr´atk´e ˇca´sti jsou pˇr´ıklady, kter´e pro svou niˇzˇs´ı n´aroˇcnost nebudou ve zkouˇskov´e p´ısemce, a tud´ıˇz nejsou ˇc´ıslov´any. √ x2 + 1 • lim [1] x→+∞ x + 1 • lim
sin x x→π x − π
[-1]
• lim x cot 3x
[ 31 ]
x→0
ln x −1
• lim
[ 12 ]
x→1 x2
x3 + 2x2 − x − 2 x→0 x2 − 1
[2]
3x2 − 2x + 5 x→+∞ 4x2 + 3x − 7
[ 43 ]
x2 − 9 x→3 x2 + 2x − 15
[ 34 ]
• lim
• lim • lim • lim
x→0
tan x x
[1]
• lim x cot x
[1]
x→0
sin 5x x→0 x
[5]
x2 − 4x − 5 x→5 x2 − 7x + 10
[2]
5x3 − x2 + 3 x→+∞ x3 + 6x2 − 4
[5]
• lim
x2 + x − 2 x→1 4x − 4
[ 43 ]
cos2 x − 1 • lim x→0 x2
[-1]
• lim • lim
• lim
x3 − 1 x→+∞ 5x3
• lim
[ 15 ]
3x3 − 10x − 4 x→2 4 − x2
[− 13 ] 2
2x2 − 6x − 8 • lim x→−1 2x3 + 2
[− 53 ]
sin x − sin a x→a x−a
[cos a]
• lim
• lim
3
Zkouˇ skov´ e pˇ r´ıklady 1.1
l’Hˆ opitalovo pravidlo zak´ az´ ano
x2 + x − 12 x→3 9 − 3x
[− 37 ]
cos x − 1 x→0 x2
[− 21 ]
1. lim 2. lim
x3 − 8 x→2 x4 − 16
[ 83 ]
x2 − 2x 4. lim x→2 8 − x3
[− 16 ]
3. lim
sin2 x + sin8 x − sin3 x x→0 sin5 x + 1 − cos2 x + sin7 x √ √ sin2 x + 1 − cos2 x 6. lim x→0 |x| 5. lim
7.
[1]
[2]
x3 + 3x2 + 3x + 2 x→−2 x3 + 3x2 + 4x + 4 lim
[ 43 ]
x3 + 2x2 + 5x x→0 (x2 + 6) sin x √ √ 1 + tg x − 1 + sin x 9. lim x→0 x3 √ √ 1 + sin x − 1 − sin x 10. lim x→0 x
[ 14 ]
x2 + 2x − 35 11. lim 3 x→5 x − 3x2 − 9x − 5
[ 31 ]
8. lim
[ 65 ]
[1]
sin2 x 12. lim √ x→0 x 1 − cos2 x 13.
[neex]
x3 + 2x2 + x + 2 x→−2 x2 + 3x + 2 lim
[-5]
x3 x2 − x→+∞ 2x2 − 1 2x + 1 √ √ x + 13 − 2 x + 1 15. lim x→3 x2 − 9 π 16. lim x tg −x x→0 2 14.
lim
17. lim √ x→0
[ 41 ]
1 [− 16 ]
[1]
x2 √ 1 + x sin x − cos x
[ 34 ]
x3 − 4x x→2 x4 + x − 18
18. lim
8 [ 33 ]
4
19. lim
1 − cos(x − 2) − 2x2 − 4x + 8
[ 81 ]
x→2 x3
20.
sinh x x→+∞ cosh x + sinh x lim
[ 21 ]
sinh x x→−∞ cosh x + sinh x √ 1 − cos x 22. lim x→0 x2 21.
lim
[−∞]
[ 14 ]
cos2 x + sin8 x − cos3 x x→0 sin5 x + 1 − cos2 x + sin7 x √ 1 + 2x − 3 24. lim √ x→4 x−2 √ x2 + 1 25. lim x→−∞ x + 1 23. lim
26. lim √ x→0
[ 21 ]
[ 43 ]
[-1]
x2 √ 1 + x sin x − cos x
[ 34 ]
tg x − sin x x→0 sin3 x 1 1 1 − 28. lim x→4 x 4 x−4 27. lim
[ 21 ]
1 [− 16 ]
x2 − 3x x→0 tg x
29. lim
[-3]
π 30. lim (1 − x)tg (x ) x→1 2
[ π2 ]
sin (x − π3 ) 31. limπ x→ 3 1 − 2 cos x
√
[
π 2
3 ] 3
−x sin x cos x
[1]
tg x − sin x x→π cos3 x
[0]
x3 + 2x2 − x − 2 x→1 x2 − 1
[3]
35. lim
1 − cos 2x + tg 2 x x→0 x sin x
[3]
x2 − x 36. lim √ x→1 x−1
[2]
32.
lim π
x→ 2 −
33. lim 34. lim
5 − 2x + 3x2 x→+∞ 3x − 7 + 4x2 √ 6+x−2 38. lim x→−2 x+2 37.
lim
[ 43 ]
[ 14 ]
5
(1 + x)5 − (1 + 5x) x→0 x2 + x5
39. lim
[10]
sin x − x x→0 sin x + x
40. lim
41. lim √ x→2
[0]
x−2 x+2−2
[4]
cos x − sin x 1 − tg x
42. limπ x→ 4
√
[
x3 + 5x4 − x2 + 3 x→+∞ 4 − x3 + 6x2 − x4 √ √ 2+x− 2 44. lim x→0 sin x 43.
lim
[-5]
√
[
cos x − 1 x→0 1 − cos2 x √ 9 + 2x − 5 46. lim √ 3 x→8 x−2 sin 3x sin x + 47. lim x→0 x 3x 45. lim
48.
[ 12 ] 5
[ 10 ] 3
x2 − 2x − 3 x→−1 x2 + x3 − 2x − 2
[4]
25 + x2 − 10x x→5 x3 − 9x − 3x2 − 5
[0]
x+1 lim √ x→−1 10 + x − 3
[6]
1 − cos x tg x
[0]
lim
51. lim
x→0
52.
2 ] 4
[− 21 ]
49. lim 50.
2 ] 2
x3 + 2x2 + x + 2 x→−2 x2 + 3x + 2 lim
[-5]
x3 − 4x x→2 x4 + x − 18 √ x+1−1 54. lim x→0 sin x √ x+3−2 55. lim x→1 x−1 53. lim
56. lim √ x→0
8 [ 33 ]
[ 12 ]
[ 14 ]
sin 4x x+1−1
[8]
1 − cos2 x x→0 x(1 + cos x)
57. lim
[0]
6
9 − x2 58. lim √ x→3 3x − 3
[-12]
sin x − cos x x→ 4 cos 2x √ √ 1 − tg x − 1 + tg x 60. lim x→π sin 2x
√
59. limπ
[−
[− 21 ]
sin x − sin a x 2 − a2 1 1 lim − x→0 sin x tg x sin x 2 limπ − tg x x→ 2 cos2 x √ 3 x−1 lim √ x→1 x−1 √ √ 3 1+x− 31−x lim x→0 x √ x2 + 1 − 1 lim √ x→0 x2 + 16 − 4 √ x2 − x lim √ x→1 x−1
61. lim
a ] [ cos 2a
x→a
62. 63.
64.
65. 66. 67.
[0]
[ 21 ]
[ 32 ]
[ 32 ]
[4]
[3]
sin x − tg x x→0 sin3 x √ 3 1 + 2x + 1 lim √ √ 3 x→−1 2+x+ 3x √ 1−x−3 √ lim x→−8 2+ 3x √ √ 1+x− 1−x √ lim √ x→0 3 1 + x − 3 1 − x √ 3 x3 − 2x2 lim x→−∞ x+1
68. lim 69.
70.
71.
72.
2 ] 2
[− 12 ]
[1]
[-2]
[ 32 ]
[1]
(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1 x→0 x p 1 − cos(x2 ) 74. lim x→0 1 − cos x r q √ √ 75. lim x+ x+ x− x 73. lim
[6]
√ [ 2]
[ 21 ]
x→+∞
7
1.2
l’Hˆ opitalovo pravidlo povoleno
ln cos x x→0 ln cos(πx)
[ π12 ]
cosh x − 1 x→0 cos x − 1
[−1]
76. lim
77. lim
sinh(x) x→0 sin x
78. lim
[1]
ex − e−x x→−∞ x + 1 x π 80. lim (1 − x)tg x x→1 2 79. lim
[+∞]
[ π2 ]
ln(4e−x ) x→+∞ x √ √ 82. lim 1 + x + x2 − 1 − x + x2 81. lim
[-1]
[1]
x→+∞
83. lim
x→−∞
84. lim
√ √ x2 + x + 1 − x2 − x + 1 √
x→+∞
85. lim
√
x→−∞
[-1]
x2 + x − x
[ 21 ]
x2 + x − x
[+∞]
1 1 − x→2 x − 2 |x − 2| √ cos x 1 − cos 2x 87. lim x→0− x √ 1 − cos 3x 88. lim √ x→0 1 − cos2 x 86. lim
[neex]
√ [− 2]
[ √3 ] 2
89. limπ tg (2x) ln (tg x)
[−1]
x→ 4
90. lim
x→0
ln cos x ln cos (2x)
[ 14 ]
ex − e2x x→0 x √ 92. lim x2 + 3x − 1 − x 91. lim
[-1]
[ 23 ]
x→+∞
93. lim
√
x→+∞
x+1−
√
x
[0]
√
4x2 − 5x − x3 + 2 x→1 x2 − 1 1 3 95. lim − x→1 1 − x 1 − x3 94. lim
[neex]
[-1]
8
(1 − x)(1 − 2x)(1 − 3x)(1 − 4x)(1 − 5x) x→+∞ (x − 1)5
96. lim
97. lim
x→+∞
98. lim
x→+∞
2x2 − 1 2x2 + 1 3x2 − 1 2x2 + 1
[−5!]
x+2 x+1
[1]
1+2x x+1 [ 94 ]
99. lim x (ln(x + 1) − ln x)
[1]
x→+∞
x x→+∞ 1 + x2 x 101. lim arctg √ x→−∞ 1 + x2
100. lim arctg √
102. lim arctg x→1−
1.3
[− π4 ]
1 1−x
103. lim arcsin x→+∞
[ π4 ]
[ π2 ]
x x+1
[ π2 ]
Spojitost
104. Vyˇsetˇrete charakter bod˚ u nespojitosti funkce f (x) = arctg
x2 − 1 x [v 0 skokov´ a nespojitost]
105. Vyˇsetˇrete charakter bod˚ u nespojitosti funkce f (x) =
p 1 |x|arctg x [v 0 odstraniteln´ a nespojitost]
106. Vyˇsetˇrete charakter bod˚ u nespojitosti funkce f (x) = x sin
1 x [v 0 odstraniteln´ a nespojitost]
107. Vyˇsetˇrete charakter bod˚ u nespojitosti funkce f (x) =
1 arccotg
1 x [v 0 podstatn´ a nespojitost]
9
2
Derivace, inverzn´ı funkce, teˇ cny, norm´ aly, asymptoty
Rozcviˇ cka V t´eto u ´vodn´ı ˇca´sti jsou pˇr´ıklady na derivace, kter´e pro svou niˇzˇs´ı n´aroˇcnost nebudou ve zkouˇskov´e p´ısemce, a tud´ıˇz nejsou ˇc´ıslov´any. √
x(2x2 + 3x + 5); f 0 (x) =? √ 2 x √ ; f 0 (x) =? • f (x) = 1− x • f (x) =
2
√ ] [ 10x 2+9x+5 x
1√ ] [ √x(1− x)2
cos x − 1 0 ; f (x) =? sin x √ 3 • f (x) = x2 − 1; f 0 (x) =? • f (x) =
1 [− 1+cos ] x
√ 3
[
• f (x) = sin (x2 − 1); f 0 (x) =? √ • f (x) = 3 x(2x2 + 1); f 0 (x) =?
2x x2 −1 ] 3(x2 −1)
[2x cos (x2 − 1)] [
√ 3
x(14x2 +1) ] 3x
1+x • f (x) = √ ; f 0 (x) =? x
x−1 √ ] [ 2x x
1 + cos x 0 ; f (x) =? 1 − cos x √ • f (x) = sin x; f 0 (x) =?
• f (x) =
2 sin x [− (1−cos ] x)2
[
1 ; f 0 (x) =? 1 + x2 √ • f (x) = sin x; f 0 (x) =? √ √ • f (x) = x − 3 3 x; f 0 (x) =? √ (1 − x)2 0 • f (x) = ; f (x) =? 2x
• f (x) = √
[− √
x ] (1+x2 )3 √
[
√ √ x−2 3 x ] 2x √
[
x−1 ] 2x2
[x2 ln x]
x2 + 1 ; f 0 (x) =? (1 − x)2 √ • f (x) = x 1 + x2 ; f 0 (x) =? • f (x) =
2(x+1)
[ (1−x)3 ] 2 +1 ] 1+x2
2x [√
2 cos x cos x sin2 x 0 − ; f (x) =? 3 3
[sin3 x]
• f (x) = sin4 x − cos4 x; f 0 (x) =?
[2 sin (2x)]
• f (x) = tg 4 x − 2tg 2 x − 4 ln cos x; f 0 (x) =? • f (x) =
cos x √ ] sin x
x √ [ cos ] 2 x
1 x3 • f (x) = (ln x − ); f 0 (x) =? 3 3
• f (x) = −
2
2 cos x − + tg x; f 0 (x) =? sin x 3
[4tg 5 x]
cos x [− 2sin 2x +
10
sin x 3
+
1 ] cos2 x
• f (x) =
√ 3 + 6x2 x; f 0 (x) =? 2x − 4
• f (x) = (a2 − x2 ) • f (x) =
q
x2 −
√ 6 [− (2x−4) 2 + 15x x]
x−1 0 ; f (x) =? x
[(2 − 2x) + (a2 − x2 )x−2 ]
√ x; f 0 (x) =?
[ √ 2
1
√ x
x2 −
2x −
2
1 √
• f (x) = ln (x3 ); f 0 (x) =?
x
]
[ x3 ]
• f (x) = ln3 x; f 0 (x) =?
[ x3 ln2 x]
• f (x) = ln tg x; f 0 (x) =?
[ sin22x ]
• f (x) = ln sin x; f 0 (x) =?
[cot x]
• f (x) =
sin x ; f 0 (x) =? 1 + cos x
1 [ 1+cos ] x
• f (x) = arctg x2 + 1; f 0 (x) =?
2x [ x4 +2x 2 +2 ]
• f (x) = ln sin (x3 − 2x + 1); f 0 (x) =?
[(3x2 − 2) cot (x3 − 2x + 1)]
• f (x) = ln (ex + e−x ); f 0 (x) =? √
• f (x) = a • f (x) =
x
x
√ x]
; f 0 (x) =?
[ 2ln√ax a
1 − cos x 0 ; f (x) =? 1 + cos x
2 sin x [ (1+cos ] x)2
• f (x) = x ln x; f 0 (x) =? • f (x) = √
−x
[ eex −e ] +e−x
[ln x + 1]
x ; f 0 (x) =? 2 +a
[
x2
• Naleznˇete n. derivaci funkce ex
a ] (x2 +a)3/2
[ex ]
Zkouˇ skov´ e pˇ r´ıklady 2.1
Derivace
p 1. Necht’ je d´ana funkce f (x) = x 3 |x + 1|. (a) Naleznˇete definiˇcn´ı obor funkce f , rozhodnˇete o spojitosti a naleznˇete derivaci funkce f v kaˇzd´em bodˇe Df kromˇe bodu x = −1. (b) Rozhodnˇete o existenci derivace funkce f v bodˇe x = −1. [spojit´ a na Df = R, f 0 (−1) neex]
2. Necht’ je d´ana funkce f (x) = ln(ln x). (a) Naleznˇete definiˇcn´ı obor Df , prvn´ı derivaci f 0 a jej´ı definiˇcn´ı obor Df 0 . (b) Je tato funkce prost´a na sv´em definiˇcn´ım oboru ? Pokud ano, naleznˇete inverzn´ı funkci f −1 a jej´ı prvn´ı derivaci (f −1 )0 . [Df = (1, +∞). f 0 (x) =
11
1 , x ln x
f −1 (x) = exp(exp(x)), (f −1 )0 (x) = exp(exp(x))(exp(x))]
√ pro x > 0 cos( x) 1 √ pro x = 0 3. Necht’ je d´ana funkce f (x) = cos( −x) pro x < 0. (a) Je funkce f spojit´a v bodˇe x = 0 ? Sv´e rozhodnut´ı zd˚ uvodnˇete. (b) Z definice jednostrann´e derivace naleznˇete f−0 (0) a f+0 (0) a rozhodnˇete o existenci derivace f 0 (0). 0 (0) = −1/2, f 0 (0) = 1/2, f 0 (0) neex] [Spojit´ a na R, f+ −
1 − cos x dodefinujte v bodˇe x = 0 tak, aby byla spojit´a a pro takto sin x dodefinovanou funkci naleznˇete z definice derivaci f 0 (0).
4. Funkci f (x) =
[0,
1 ] 2
r
1 . 1 + x2 √ 6. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = arcsin (2x 1 − x2 ).
5. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = arccos
1 [± 1+x 2]
[± √
x √ . x + a2 + x 2 1 + x 1−x 1+x 8. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = . 1−x
7. Naleznˇete derivaci funkce f (x) =
[√
a2√ ] a2 +x2 (x+ a2 +x2 )2
2 [ (1+x) 2 1 − ln
9. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = x1/x .
1+x 1−x
1+x 1−x 1+x 1−x
[xsin x (cos ln x + x−1 sin x)]
x . x2 + 1
2
1−x [ 1+3x 2 +x4 ]
x cos x 1 ln tg − . 2 2 2 sin2 x x 13. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = arcsin 2 . x +1 12. Naleznˇete derivaci funkce f (x) =
[ sin13 x ] 2
[ 1−x (1 + x2 + x4 )−1/2 ] 1+x2
14. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = arcsin tg x. 15. Naleznˇete derivaci funkce f (x) =
(x3
[
2x + 7 + 2x + 5)2 r q
16. Naleznˇete Df a derivaci funkce f (x) =
x+
17. Naleznˇete Df a derivaci funkce f (x) =
q √ sin x.
r 18. Naleznˇete derivaci funkce f (x) =
3
]
[x1/x−2 (1 − ln x)]
10. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = xsin x . 11. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = arctg
2 ] 1−x2
x+
3
12
2
−4x−18 [ −10x(x−42x ] 3 +2x+5)3
√
1 1+ √
x.
1 + x3 pro |x| = 6 1. 1 − x3
19. Naleznˇete Df a derivaci funkce f (x) = ln ln ln x. 1 1 20. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = ln + ln . x x
1 √ ] | cos x| cos 2x
[Df = [0, +∞),
2 x 1+ √ √ x+ x q 2 √ √ ] 2 x+ x+ x
[Df = (0, π 2 ),
[1/3
3
x2 1−x3
+3
(1+x3 )x2 (1−x3 )2
√ cos x √ √ √ ] 4 x sin x
[Df = (e, +∞),
1+x3 1−x3
−2/3
]
1 1 1 ] ln ln x ln x x
[− x12
x+1 1 +ln 1 x x
]
r 21. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = ln
1 − sin x . 1 + sin x
1 ] [− cos x
22. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = x(sin ln x − cos ln x). √ 23. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = arctg x − 1 + x2 . 24. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = x +
[−2 sin ln x] √ [− √ 2
√ 1 − x2 arccos x.
x−
1+x2
1+x2 (1+x2 −x
√
1+x2 )
arccos x ] [− x√ 2 1−x
1 − x2 pro x 6= 0. 1 + x2 x √ 26. Naleznˇete Df a derivaci funkce f (x) = arctg pro |x| < 1. 1 + 1 − x2 25. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = arcsin
2 [−sign x 1+x 2]
[Df = {|x| ≤ 1}, f 0 (x) = √ 1
1 − 2x 27. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = arccotg √ pro x ∈ (0, 1). 2 x − x2 √ 28. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = ln ex + 1 + e2x . 29. Naleznˇete derivaci funkce f (x) =
cosh x x − ln cotgh . 2 2 sinh x
30. Naleznˇete derivaci funkce f (x) = ln cos4 x 1 + 2tg 2 x + tg 4 x
2.2
]
]
2
1−x2
[√
1 ] x−x2
[√
ex ] 1+e2x
[− sinh23 x ]
.
[0]
Derivace vyˇ sˇ s´ıch ˇ r´ ad˚ u
31. Naleznˇete derivaci ˇr´adu n ∈ N0 funkce f (x) = ax , kde a > 0.
[f (n) (x) = lnn (a) ax ]
32. Naleznˇete derivaci ˇr´adu n ∈ N0 funkce f (x) = cos x. [f (2k) (x) = (−1)k cos x, f (2k+1) (x) = (−1)k+1 sin(x)]
33. Naleznˇete derivaci ˇr´adu n ∈ N0 funkce f (x) = sin x. [f (2k) (x) = (−1)k sin x, f (2k+1) (x) = (−1)k cos(x)]
34. Naleznˇete derivaci ˇr´adu n ∈ N0 funkce f (x) = xn . 35. Naleznˇete derivaci 2. ˇra´du funkce f (x) = tg x. 36. Naleznˇete derivaci 2. ˇra´du funkce f (x) = x ln x. 37. Naleznˇete derivaci 2. ˇra´du funkce f (x) = (1 + x2 )arctg x. √ 38. Naleznˇete derivaci 4. ˇra´du funkce f (x) = x.
13
[f (n) = n!] [f 00 =
2 sin x ] cos3 x
[f 00 = [f 00 = 2arctg x +
1 ] x
2x ] 1+x2 9
[f (4) = − 1·3·5·7 x− 2 ] 2·2·2·2
3
Pr˚ ubˇ eh funkce, teˇ cny, norm´ aly, asymptoty, monotonie, inverze, extr´ emy
Rozcviˇ cka V t´eto ˇc´asti jsou pˇr´ıklady na procviˇcen´ı vyˇsetˇrov´an´ı pr˚ ubˇehu funkce (Df , limity, horizont´aln´ı ˇci vertik´aln´ı teˇcny, asymptoty, lok´aln´ı extr´emy, n´aˇcrtek grafu funkce), kter´e nejsou zahrnuty ve zkouˇskov´e p´ısemce, a tud´ıˇz nejsou ˇc´ıslov´any. • f (x) = 2 + x − x2 • f (x) = 3x − x3 • f (x) = 2x3 − 15x2 + 36x • f (x) =
x2 x2 − 4
• f (x) = (x − 1)2 (2x + 4) • f (x) = 2x2 − ln x √ • f (x) = x2 + 2 • f (x) =
x2 + 1 x+1
• f (x) = x + cos 2x √ • f (x) = 16 − x2 • f (x) = x +
1 x
• f (x) = x + arctan x √ 3 • f (x) = (x + 1)3 x2 • f (x) = x2 + • f (x) =
x2
1 x
x +1 [& -1 % 1 &]
• f (x) =
x 3 − x2
√ • f (x) = (x − 3) x • f (x) = x2 − ln x2 • f (x) = cos
π x
• f (x) = x + sin x
14
Zkouˇ skov´ e pˇ r´ıklady 3.1
Aplikace derivace
1. Ukaˇzte, ˇze funkce f (x) = 2arctg
x √ − arcsin x nez´avis´ı na x. 1 + 1 − x2
[f 0 = 0]
1+x − arctg x nez´avis´ı na x. [f 0 = 0] 1−x √ 3. Ukaˇzte, ˇze funkce f (x) = arcsin x + 3 arccos x + arcsin 2x 1 − x2 nez´avis´ı na x pˇri 2. Ukaˇzte, ˇze funkce f (x) = arctg
x2 < 12 .
[f 0 = 0]
4. Ukaˇzte, ˇze funkce f (x) = arctg x − arcsin √
x nez´avis´ı na x. 1 + x2
[f 0 = 0]
1 nez´avis´ı na x pˇri x ≥ 0. 5. Ukaˇzte, ˇze funkce f (x) = arccotg x − arcsin √ 1 + x2
[f 0 = 0]
6. Ukaˇzte, ˇze funkce f (x) = 3 arccos x − arccos(3x − 4x3 ) nez´avis´ı na x pˇri |x| ≤ 12 .
[f 0 = 0]
3.2
Teˇ cny a norm´ aly
7. Urˇcete ˇc´ısla a a b tak, aby pˇr´ımka y = 3x + b byla teˇcnou funkce f (x) = ln(x3 + a) v bodˇe x = 1. [a=0, b=-3]
x
8. Necht’ je d´ana funkce f (x) = sin(x) cos 2 v bodˇe x = π2 .
na intervalu [−π, π]. Naleznˇete rovnici teˇcny √
[y = −
2 x 4
+
√ 2 (1 2
+
π )] 4
9. Necht’ je d´ana funkce f (x) = x(e−x + 5). Naleznˇete rovnici teˇcny v bodˇe x = 0. [y = 6x]
10. Necht’ je d´ana funkce f (x) = ln
3x − 1 x+1
x . Naleznˇete rovnici teˇcny v bodˇe x = 1. [y = x − 1]
11. Naleznˇete rovnici teˇcny a norm´aly ke grafu funkce f (x) = x2 − 5 ∗ x + 4 v bodˇe −1. [teˇ cna: y = −7x + 3, norm´ ala: y =
1 x 7
+
71 ] 7
12. Naleznˇete rovnici teˇcny a norm´aly ke grafu funkce f (x) = x2 − 5 ∗ x + 4 v bodˇe 3. [teˇ cna: y = x − 5, norm´ ala: y = −x + 1]
13. Naleznˇete rovnici teˇcny a norm´aly ke grafu funkce f (x) = x3 + 2x2 − 4x − 3 v bodˇe −2. [teˇ cna: y = 5, norm´ ala: x = −2]
14. Naleznˇete rovnici teˇcny a norm´aly ke grafu funkce f (x) = x3 + 2x2 − 4x − 3 v bodˇe 1. [teˇ cna: y = 3x − 7, norm´ ala: x = − 13 x −
15. Naleznˇete rovnici teˇcny a norm´aly ke grafu funkce f (x) =
√
11 ] 3
x v bodˇe x = 0. [teˇ cna: x = 0, norm´ ala: y = 0]
15
16. Naleznˇete rovnici teˇcny a norm´aly ke grafu funkce f (x) = ln x v bodˇe 1. [teˇ cna: y = x − 1, norm´ ala: y = 1 − x]
17. Ve kter´ ych bodech je teˇcna ke grafu funkce f (x) = 2 + x − x2 rovnobˇeˇzn´a s osou x a s pˇr´ımkou y = x? [s osou x:
1 , 2
s pˇr´ımkou y = x: 0]
18. Pod jak´ ym u ´hlem prot´ın´a graf funkce y = ln x osu x? [´ uhel tg α = 1, tj.
π ] 4
[arctg
e ] 2
x
19. Pod jak´ ym u ´hlem prot´ın´a graf funkce f (x) = e 2 pˇr´ımku x = 2? √ 20. Naleznˇete rovnici norm´aly ke kˇrivce y = − x + 2 v jej´ım pr˚ useˇc´ıku s pˇr´ımkou y = x. [y = 2x − 1]
21. Urˇcete rovnice teˇcen ke kˇrivce y = x3 + x2 − 2x v pr˚ useˇc´ıc´ıch kˇrivky s osou x. [6x − y + 12 = 0; 2x + y = 0; 3x − y − 3 = 0]
22. Ve kter´em bodˇe m´a graf funkce y = sin2 x teˇcnu sv´ıraj´ıc´ı s osou x u ´hel π4 ? [(π/4 + kπ, 1/2); k ∈ Z]
23. Ve kter´em bodˇe m´a graf funkce y = xe−x teˇcnu rovnobˇeˇznou s osou x? [(1, e−1 )]
3.3
Asymptoty
24. Naleznˇete vˇsechny asymptoty funkce f (x) =
x (vˇcetnˇe vertik´aln´ıch asymptot). x−1 [y=1 v ±∞, x=1]
25. Necht’ je d´ana funkce f (x) = x(e−x +5). Urˇcete definiˇcn´ı obor Df a rozhodnˇete o existenci asymptot v +∞ a v −∞ a v kladn´em pˇr´ıpadˇe napiˇste jejich rovnice. [Df = R. Pouze v +∞: y = 5x]
26. Necht’ je d´ana funkce f (x) = asymptot v +∞ a v −∞.
√
x2 − x − 6. Urˇcete definiˇcn´ı obor Df a naleznˇete rovnice [Df = (−∞, −2) ∪ (3, +∞), y = 1x − 21 , y = −1x + 21 ]
x 3x − 1 27. Necht’ je d´ana funkce f (x) = ln . Urˇcete definiˇcn´ı obor Df a rozhodnˇete o x+1 existenci asymptot a v kladn´em pˇr´ıpadˇe napiˇste jejich rovnice.
[Df = (−∞, −1) ∪ ( 31 , +∞). V ±∞: y = x ln 3 − 4/3]
28. Ve kter´em bodˇe m´a parabola y = 2x2 + 3x − 1 teˇcnu • se smˇerov´ ym u ´hlem π4 ? • rovnobˇeˇznou s pˇr´ımkou 5x − y + 3 = 0 • kolmou na pˇr´ımku x − 3y + 2 = 0 16
[(−1/2, −2), (1/2, 1), (−3/2, −1)]
29. Urˇcete rovnice teˇcen ke kˇrivce y = x3 + x2 − 6x v pr˚ useˇc´ıc´ıch s osou x. [15x − y + 45 = 0, 6x + y = 0, 10x − y − 20 = 0]
30. Je d´ana parabola y = x2 − 4x + 3 • urˇcete dotykov´ y bod a rovnici teˇcny paraboly, kter´a smˇerov´ yu ´hel
π 4
• pomoc´ı derivace urˇcete vrchol paraboly [(5/2, −3/4), x − y − 13/4 = 0, (2, −1)]
31. Je d´ana parabola y = 1/2x2 + 3x + 1 • urˇcete rovnici teˇcny paraboly v bodˇe −2 • ve kter´em bodˇe m´a parabola teˇcnu se smˇerov´ ym u ´hlem π3 ? • ve kter´em bodˇe m´a parabola teˇcnu rovnobˇeˇznou s pˇr´ımkou 5x − y − 2 = 0? √ [x − y − 1 = 0, ( 3 − 3, −2), (2, 9)]
3.4
Monotonie, inverze, lok´ aln´ı extr´ emy
√ 32. Naleznˇete Df , intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = arcsin ( 1 − x2 ) [Df = [−1, 1], -1 % 0 & 1]
33. Naleznˇete Df a intervaly monotonie funkce f (x) =
x ln x [Df = (0, 1) ∪ (1, +∞), 0 & 1 & e %]
34. Naleznˇete Df a intervaly monotonie funkce f (x) =
x2 − 2x − 2 x−1 [Df = R \ {1}, ostˇre roste na Df ]
35. Naleznˇete Df , intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) =
√ √ x+ 4−x [Df = [0, 4], 0 % 2 & 4]
8 36. Naleznˇete Df a intervaly monotonie funkce f (x) = √ x 4 − x2
√ √ [Df = (−2, 0) ∪ (0, 2), -2 % − 2 & 0 & 2 % 2]
ln x 37. Naleznˇete Df a intervaly monotonie funkce f (x) = √ x [Df = (0, +∞), 0 % e2 & +∞]
38. Naleznˇete intervaly monotonie funkce f (x) = esin x [roste na (− π2 + k2π,
39. Naleznˇete intervaly monotonie funkce f (x) =
π 2
+ k2π), kles´ a na ( π2 + k2π, 32 π + k2π)]
1 − x2 1 + x2 [−∞ % 0 & +∞]
40. Naleznˇete intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) =
x2 − 2x + 1 x2 + 1 [−∞ % -1 & 1 % +∞]
17
41. Naleznˇete intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = (x − 2)2 |x − 5| [−∞ & 2 % 4 & 5 % +∞]
42. Naleznˇete Df , intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = ln
ex 1 − x2
[Df = (−1, 1), -1 & 1 −
√
2 % 1]
1
43. Naleznˇete Df , intervaly monotonie funkce f (x) = xe− x [Df = R \ {0}, −∞ % -1 & 0 % +∞]
44. Naleznˇete Df , intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) =
x2
x + 2x + 9
[Df = R, −∞ & -3 % 3 & +∞]
45. Naleznˇete intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = cosh3 x + 1 [−∞ & 0 % +∞]
46. Naleznˇete Df , intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = x + [Df = R \ {−1, 1}, −∞ % −
2x −1
x2
p p √ √ 2 + 5 & -1 & 1 & 2 + 5 % +∞]
2
47. Rozhodnˇete, kde je funkce f (x) = x x−1 prost´a (tj. intervaly monotonie) a na tˇechto intervalech naleznˇete jej´ı inverzn´ı funkci. √ [ f −1 =
y±
y 2 +4 ] 2
48. Naleznˇete intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = x3 + 3x2 − 9x + 5 [−∞ % -3 & 1 % +∞]
49. Naleznˇete intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = x3 − 9x2 + 15x − 3 [−∞ % 1 & 5 % +∞]
50. Naleznˇete intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = x3 − 3x2 + 6x − 9 [−∞ % +∞]
1 51. Naleznˇete intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = x4 + x3 − 4x + 7 4 [−∞ & -2 & 1 % +∞]
52. Naleznˇete intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = (x − 4)4 (x + 3)3 [−∞ % -3 % 0 & 4 % +∞]
53. Naleznˇete intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = xe−x [−∞ % 1 & +∞]
54. Naleznˇete Df , intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) =
√ x ln x
[Df = (0, +∞), 0 & e−2 % +∞]
55. Naleznˇete Df , intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = x2 ln x 1
[Df = (0, +∞), 0 & e− 2 % +∞]
56. Naleznˇete Df , intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = x ln2 x [Df = (0, +∞), 0 % e−2 & 1 % +∞]
18
57. Naleznˇete Df , intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = ln x − arctg x [Df = (0, +∞), 0 % +∞]
58. Naleznˇete intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = x3 − 6x2 − 63x + 5 [max -3, min 7]
59. Naleznˇete Df , intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) =
ln2 x x
[Df = (0, +∞), 0 & 1 % e2 & +∞]
19
4
Extrem´ aln´ı u ´ lohy, konvexnost, konk´ avnost, inflexe
Rozcviˇ cka V t´eto ˇca´sti jsou pˇr´ıklady na procviˇcen´ı hled´an´ı lok´aln´ıch extr´em˚ u, kter´e pro svou niˇzˇs´ı n´aroˇcnost nejsou zahrnuty ve zkouˇskov´e p´ısemce, a tud´ıˇz nejsou ˇc´ıslov´any. ´ cku rozdˇelte na dvˇe ˇc´asti tak, aby souˇcet obsah˚ • Useˇ u ˇctverc˚ u sestrojen´ ych nad obˇema ˇca´stmi byl minim´aln´ı. [v polovinˇ e]
• Ze vˇsech obd´eln´ık˚ u s dan´ ym obsahem urˇcete ten, kter´ y m´a nejmenˇs´ı obvod. [a = b =
√
S, kde S je obsah]
• Jak volit rozmˇery pozemku pravo´ uhl´eho tvaru, m´ame-li jej oplotit pletivem d´elky 60m a chceme aby obsah byl co nejvˇetˇs´ı? [15 × 15 = 225]
Zkouˇ skov´ e pˇ r´ıklady 4.1
Konvexnost, konk´ avnost a inflexe
1. Vyˇsetˇrete konvexnost, konk´avnost a inflexn´ı body funkce f (x) =
|x2 − 3x − 4| x
[konvexn´ı na (−∞, −1) a (0, 4), konk´ avn´ı na (−1, 0) a (4, +∞), inflex x = −1, x = 4]
2. Vyˇsetˇrete konvexnost, konk´avnost a inflexn´ı body funkce f (x) = 1 +
√ 3
x [TODO]
3. Vyˇsetˇrete konvexnost, konk´avnost a inflexn´ı body funkce f (x) = 3x2 − x3 [TODO]
4. Vyˇsetˇrete konvexnost, konk´avnost a inflexn´ı body funkce f (x) =
2x 1 + x2 [TODO]
5. Vyˇsetˇrete konvexnost, konk´avnost a inflexn´ı body funkce f (x) =
√
1 + x2 [konvexn´ı na R]
6. Vyˇsetˇrete konvexnost, konk´avnost a inflexn´ı body funkce f (x) =
|x − 1| x2 [TODO]
7. Vyˇsetˇrete konvexnost, konk´avnost a inflexn´ı body funkce f (x) = ln(1 + x2 ) [TODO]
8. Vyˇsetˇrete konvexnost, konk´avnost a inflexn´ı body funkce f (x) = x3 ln x + 1 [TODO]
20
4.2
Extrem´ aln´ı u ´ lohy
9. Z desky tvaru troj´ uheln´ıku, jehoˇz z´akladna je a a v´ yˇska v a u ´hly pˇri z´akladnˇe jsou ostr´e, m´a b´ yt vyˇr´ıznuta obd´eln´ıkov´a deska; pˇriˇcemˇz jedna strana obd´eln´ıku je ˇc´ast´ı z´akladny. Pomoc´ı techniky hled´an´ı extr´em˚ u urˇcete rozmˇery obd´eln´ıku tak, aby jeho obsah byl maxim´aln´ı. [x =
a , 2
y=
v ] 2
10. Urˇcete rozmˇery parn´ıho kotle tvaru v´alce tak, aby pˇri dan´em objemu V bylo ochlazov´an´ı p´ary nejmenˇs´ı - tj. aby povrch v´alce (vˇcetnˇe podstav) byl minim´aln´ı. [r=
q 3
V ,v 2π
V ] πr 2
=
11. Ze vˇsech pravo´ uhl´ ych troj´ uheln´ık˚ u s dan´ ym souˇctem d´elek pˇrepony a odvˇesny k urˇcete ten jehoˇz obsah je nejvˇetˇs´ı. [y = k/3, x =
√
3/3k, α = π/6]
12. Chceme oplotit v´ ybˇeh pro sl´epky, kter´ y m´a m´ıt tvar pravo´ uheln´ıku. Pˇritom m´ame k dispozici 200m pletiva a v´ıme, ˇze ˇca´st plotu budou tvoˇrit 2 cel´e stˇeny dr˚ ubeˇz´arny, jej´ıˇz obd´eln´ıkov´ y p˚ udorys m´a rozmˇery a = 16m a b = 10m. Jak´e rozmˇery mus´ı m´ıt v´ ybˇeh, aby mˇel co nejvˇetˇs´ı obsah? [ˇ ctverec 56, 5m]
13. Pomoc´ı techniky hled´ani extr´em˚ u urˇcete rozmˇery obsahovˇe maxim´aln´ıho obd´eln´ıka ve2 2 2 2 psan´eho elipse x /a + y /b = 1 √ √ [a 2, b 2]
14. Pomoc´ı techniky hled´an´ı extr´em˚ u urˇcete rozmˇery objemovˇe maxim´aln´ıho v´alce vepsan´eho do koule o polomˇeru R. p √ [v = 2R/ 3, r = R 2/3]
15. Jak´e rozmˇery mus´ı m´ıt baz´en se ˇctvercov´ ym dnem a objemem V = 32m3 , m´a-li se na jeho vyzdˇen´ı spotˇrebovat co nejm´enˇe matri´alu? [4, 4, 2]
16. Pomoc´ı techniky hled´an´ı extr´em˚ u vepiˇste do p˚ ulkruhu o polomˇeru r obd´eln´ık maxim´aln´ı plochy. √ [r 2,
r √ ] 2
17. Doln´ı ˇc´ast okna m´a tvar obd´eln´ıka, horn´ı tvar p˚ ulkruhu. D´elka r´amu cel´eho okna je P . Pˇri jak´ ych rozmˇerech bude okno propouˇstˇet nejv´ıce svˇetla? 2P [ π+4 ,
18. Necht’ je d´ana funkce f (x) = sin(x)
P ] 4+π
p 1 − cos2 (x) na intervalu [−π, π].
(a) Rozhodnˇete, zda existuje prvn´ı derivace funkce f v bodˇe x = 0. (b) Naleznˇete vˇsechny lok´aln´ı extr´emy a intervaly monotonie funkce f (x) na intervalu (−π, π). Jsou tyto lok´aln´ı extr´emy t´eˇz glob´aln´ımi extr´emy na uvaˇzovan´em intervalu [−π, π] ? [TODO]
21
19. Necht’ je d´ana funkce f (x) = x + 2
p 1 − cos2 (x).
(a) Rozhodnˇete, zda existuje prvn´ı derivace funkce f v bodˇe x = 0. (b) Naleznˇete vˇsechny lok´aln´ı extr´emy a intervaly monotonie funkce f (x) na intervalu (−π, π). Jsou tyto lok´aln´ı extr´emy t´eˇz glob´aln´ımi extr´emy na uvaˇzovan´em intervalu [−π, π] ? [(a) neex.; (b) −π % − π3 & 0 %
2π 3
2π ] 3
& π, glob. max v
20. Naleznˇete definiˇcn´ı obor, lok´aln´ı extr´emy a intervaly monotonie funkce f (x) =
x2 x+1
14
[Df = (−1, +∞), −1 & 0 % +∞]
21. Necht’ souˇcet dvou ˇc´ısel je 12, urˇcete tato ˇc´ısla tak, aby (a) souˇcet tˇret´ıch mocnin byl minim´aln´ı (b) souˇcin jednoho s tˇret´ı mocninou druh´eho byl maxim´aln´ı (c) obˇe byla kladn´a a souˇcin jednoho s druhou mocninou druh´eho byla maxim´aln´ı. [TODO]
22. Ukaˇzte, ˇze pro vˇsechna x > 0 je funkce ln x vˇzdy menˇs´ı neˇz extr´emy rozd´ılu tˇechto funkc´ı.)
√
x. (N´avod: zkoumejte
[maximum ln x −
√
x je 2 ln 2 − 2 < 0]
23. Ukaˇzte, ˇze pro vˇsechna x ∈ R je funkce 1 + x vˇzdy menˇs´ı neˇz ex . (N´avod: zkoumejte extr´emy rozd´ılu tˇechto funkc´ı.) [minimum ex − x − 1 je 0 v x = 0]
24. Ukaˇzte, ˇze pro vˇsechna x > 0 je funkce ln(1 + x) vˇzdy menˇs´ı neˇz x. (N´avod: zkoumejte extr´emy rozd´ılu tˇechto funkc´ı.) [ln(1 + x) − x je pro x > 0 ostˇre klesaj´ıc´ı a z´ aporn´ a]
25. Ukaˇzte, ˇze pro vˇsechna x > 0 je funkce arctg x vˇzdy menˇs´ı neˇz x. (N´avod: zkoumejte extr´emy rozd´ılu tˇechto funkc´ı.) [arctg x − x je pro x > 0 ostˇre klesaj´ıc´ı a z´ aporn´ a]
26. Urˇcete kladn´ y parametr A > 0 tak, aby objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı funkce 1 okolo osy x na intervalu [0, 1] byl minim´aln´ı ! f (x) = Ax + A(x + 1) [A =
p 4
3/2]
27. Je-li rozd´ıl dvou ˇc´ısel rovn´ y 10, je jejich souˇcin vˇetˇs´ı neˇz −30? [ano]
28. Nit d´elky l se m´a rozstˇrihnout na dvˇe ˇca´sti, z jedn´e ˇc´asti se udˇel´a kruˇznice a ze druh´e ˇctverec. Urˇcete d´elky jednotliv´ ych ˇca´st´ı tak, aby souˇcet ploch ˇctverce a kruhu byl minim´aln´ı. [l1 =
22
lπ , l2 4+π
=
4l ] 4+π
29. Nit d´elky l se m´a rozstˇrihnout na dvˇe ˇca´sti. Z jedn´e ˇc´asti se udˇel´a kruˇznice a ze druh´e rovnostrann´ y troj´ uheln´ık. Urˇcete d´elky jednotliv´ ych ˇc´ast´ı tak, aby souˇcet ploch troj´ uheln´ıku a kruhu byl minim´aln´ı. [TODO]
30. Do koule o polomˇeru R vepiˇste v´alec s maxim´aln´ım objemem. [r = R
q
2 , 3
v=
2R √ ] 3
31. Do koule o polomˇeru R vepiˇste v´alec s maxim´aln´ım povrchem. [r = R
q
1 2
√
+
5 , 10
v=R
q
2−
2
√ 2
5
]
32. Jak´ y je maxim´aln´ı objem kuˇzele s danou stranou s? [
2π √ s3 ] 9 3
33. Pˇri jak´ ych rozmˇerech m´a v´alec dan´eho objemu V nejmenˇs´ı povrch? q [v = 2 3 Vπ , r =
v ] 2
34. Z pap´ıru tvaru obd´eln´ıka se stranami a a b vyrob´ıme krabiˇcku tak, ˇze vystˇrihneme ze vˇsech ˇctyˇr roh˚ u stejn´e ˇctverce. Krabiˇcka bude m´ıt v´ yˇsku rovnou stranˇe tohoto ˇctverce. Pomoc´ı techniky hled´an´ı extr´em˚ u naleznˇete d´elku strany ˇctverce, pˇri n´ıˇz bude objem krabiˇcky nejvˇetˇs´ı. √ [ 16 a + b − a2 − ab + b2 ]
23
5
Neurˇ cit´ e integr´ aly a primitivn´ı funkce
Rozcviˇ cka V t´eto u ´vodn´ı ˇca´sti jsou pˇr´ıklady na integr´aly, kter´e pro svou niˇzˇs´ı n´aroˇcnost nebudou ve zkouˇskov´e p´ısemce, a tud´ıˇz nejsou ˇc´ıslov´any. Z • sin(3x) dx Z √ 3 sin x + cos(2x) dx • Z •
(4 − Z
•
√
x)2 dx
[16 x +
1 2
x2 −
2
xe−x dx
16 3
x3/2 + C]
2
[− 12 e−x + C]
Zkouˇ skov´ e pˇ r´ıklady Z 1. Z 2. Z 3. Z 4. Z 5. Z 6.
3
1
x− 4 (x 4 + 1) dx
[2
x cos(πx2 ) dx
√
x+4
[
√ 4
x + C]
sin(π x2 ) 2π
+ C]
π
3x2 (x3 + 1)π dx
[
(x+1)(x2 −x+1)(x3 +1) π+1
+ C]
cos4 x sin x dx
[− 15 (cos x)5 + C]
sin4 x cos x dx
[ 51 (sin x)5 + C]
√ cos x √ dx x
[2 sin
x2 dx 1 + x2 √ Z √ 3 x − 2 x2 + 1 √ 8. dx 4 x Z 9. (2x + 3x ) dx
√ x + C]
Z
7.
Z 10. Z 11. 12.
[x − arctg x + C]
5
[ 45 x 4 −
[
24 17 x 12 17
3
+ 43 x 4 + C]
2x ln(3)+3x ln(2) ln(2) ln(3)
+ C]
max{3, 2x4 } dx (Pozor na spojitost primitivn´ı funkce!)
[TODO]
min{x3 , x} dx (Pozor na spojitost primitivn´ı funkce!)
[TODO]
Z p
1 − sin2 x dx (Pozor na spojitost primitivn´ı funkce!)
24
[TODO]
Z 13.
max{1, x} dx (Pozor na spojitost primitivn´ı funkce!) Z
14. Z 15. Z 16. Z 17. Z 18.
20. Z 21. Z 22. Z 23. Z 24. Z 25.
+ D, C = − 21 + D]
[x − tgh x + C]
cotgh 2 x dx
[x − cotgh x + C]
cotg 2 x dx
[−cotg (x) +
π 2
− x + C]
x(1 − x2 )6 dx
1 [− 14 (1 − x2 )7 + C]
sin5 x cos x dx
[ 61 (sin (x))6 + C]
ex Z
x2 2
tgh 2 x dx
Z 19.
[x + C,
dx + e−x
[arctg ex + C]
dx x(ln x + 3)
[ln (ln (x) + 3) + C]
arctg x dx x2 + 1
[ 12 (arctg (x))2 + C]
cos4 x dx
[ 41 (cos (x))3 sin (x) +
cos3 x dx sin6 x dx
3 8
cos (x) sin (x) +
[ 31 (cos (x))2 sin (x) +
[− 16 (sin (x))5 cos (x) −
5 24
(sin (x))3 cos (x) −
5 16
√ x ln x dx
2 3
3 8
x + C]
sin (x) + C]
5 16
cos (x) sin (x) +
[ 32 x3/2 ln (x) −
4 9
x + C]
x3/2 + C]
Z 26.
arctg x dx
[x arctg x −
1 2
ln 1 + x2 + C]
Z 27.
x arctg x dx Z
28. Z 29. Z 30. Z 31.
[ 21 x2 arctg x −
1 2
x+
1 2
xex dx (x + 1)2 √
dx 1 − 3x2
√
dx 7 + x − x2
arctg x + C]
x
e [ x+1 + C]
√
[
[arcsin
5x + 1 √ dx 3 − x2
[−5
Z √ 32. 5 + x − x2 dx
[− 14 (1 − 2 x)
25
√
5 + x − x2 +
√
21 8
3 3
2
arcsin
√
29 29
x−
3 − x2 + arcsin
arcsin
2
√
1 2
√
+ C]
+ C]
+ C]
3 x 3
√
21 21
3x + C]
x−
1 2
Z 33.
x2 + 5x dx x2 − 1
[x + 3 ln (x − 1) + 2 ln (x + 1) + C]
Z 34.
tg x dx Z
35. Z 36.
ln2 x dx x2 √
√ cos5 x sin x dx
Z
cos 3x dx 2 + sin 3x
38.
[−
Z (x2 Z 44. Z 45. Z 46. Z 47. Z 48. Z 49. 50. Z 51.
ln(x) x
− 2 x−1 + C]
2 [ 231 (sin (x))3/2 32 + 21 (cos (x))4 + 24 (cos (x))2 + C]
[ 13 ln (2 + sin (3 x)) + C] [f (x) = x − cos x + 3]
[3x−1/3 (−1 − 32 x + 53 x2 + 18 x3 ) + C]
2x
[ e 2 − ex + x + C]
[ 32 (x3 + |x3 |) + C]
x dx − 1)3/2
[− √
x dx 4 + x4
1 x2 −1
+ C]
x2 2
+ C]
[ 14 arctg
sin x √ dx cos3 x
2 [ √cos + C] x
2
xe−x dx
2
[− 21 e−x + C]
ln2 x dx x
3
[ ln3 x + C]
ln x dx x 1 + ln x
[ 23
1 dx sin x(1 + tg x)
[ln |1 + cot x| − cotg x + C]
√
2
Z
−2
√ [− 1 − x2 + C]
39. Naleznˇete f (x), zn´ate-li: f 00 (x) = cos x, f 0 (0) = 1, f (0) = 2. Z (1 − x)3 √ 40. dx x3x Z 3x e +1 41. dx ex + 1 Z 42. (x + |x|)2 dx 43.
(ln(x))2 x
x dx 1 − x2
Z 37.
[− ln (cos (x)) + C]
sin x cos3 x dx 1 + cos2 x
√
1 + ln x(ln x − 2) + C]
[− 12 cos2 x +
√ x ln2 x dx
1 2
ln(1 + cos2 x) + C]
2 3/2 [ 27 x (9 ln2 x − 12 ln x + 8) + C]
Z 52.
x sinh x dx
[x cosh x − sinh x + C]
26
Z 53.
x2 arccos x dx
Z 54.
arctg Z
55. Z 56. Z 57. Z 58. Z 59. Z 60. Z 61. Z 62. Z 63. Z 64.
√
[ 13 x3 arccos x + 19 (1 − x2 )3/2 − 91 (1 − x2 )1/2 + C]
x dx
[xarctg
ln sin x dx sin2 x
√ √ √ x + arctg x − x + C]
[−cotg x ln sin x − cotg x − x + C]
xe−x dx
[−xe−x − e−x + C]
x2 e−x dx √
[−e−x (x2 + 2x + 2) + C]
x2 dx 1−x
[−2x2 (1 − x)1/2 − 38 x(1 − x)3/2 −
√ x ln x dx
16 (1 15
− x)5/2 + C]
[ 41 x2 ln x − 18 x2 + C]
ln(x + 1) √ dx x+1
√ √ [2 x + 1 ln(x + 1) − 4 x + 1 + C]
ln2 x dx
[x ln2 x − 2x ln x + 2x + C]
x3 3x dx
3
x [3x ( ln − 3
x3 sin x2 dx
3x2 ln2 3
+
6x ln3 3
[− 12 x2 cos x2 +
ln(1 + x2 ) dx
6 ) ln4 3
−
1 2
+ C]
sin x2 + C]
[x ln(1 + x2 ) − 2x + 2arctg x + C]
Z 65.
cotg (π − x) dx
[− ln|sin(x)| + C]
cot x ln sin x dx
[ 21 (ln sin x)2 + C]
Z 66. Z 67.
cos2
1 dx x(9 + tg 2 x)
cos2
1 p dx x 9 − tg 2 x
Z 68. Z 69. Z 70. Z 71.
√
[arctg ( 13 tg x) + C]
[arcsin
x2 dx 4 − x2
1 3
tg x + C]
√ [2 arcsin( x2 ) − 12 x 4 − x2 + C]
x dx (1 − x2 )3/2
[√
√ x 4 − x2 dx
1 1−x2
+ C]
[− 13 (4 − x2 )3/2 + C]
27
Z 72.
dx x a2 − x 2
Z 73.
x2 Z
74.
ex Z
75.
√
77. 78.
√
Z √ Z
79. Z 80. Z 81.
[− a21x
[− 13 (6x − x2 − 8)3/2 +
3 2
x dx + 2x + 5)2
2
√ [ 12 (x − 3) 6x − x2 − 8 +
x2 arcsin x dx
√
x2 dx 3 − 2x − x2
a2 + x2 + C]
3 2
√
6x − x2 − 8 + C]
x+1 2
1 arctg 16
+ C]
√ √ [ x2 + 4x + 13 + ln(x + 2 + x2 + 4x + 13) + C]
6x − x2 − 8 dx
3 dx 2 − 3x − 4x2
arcsin(x − 3) +
+x [ 8(x2x+2x+5) −
x+3 dx x2 + 4x + 13
√
√
√ [ 91 e−x e2x − 9 + C]
√ x 6x − x2 − 8 dx
(x2 Z
dx a2 + x 2
dx √ e2x − 9
Z 76.
√ 2 2 a− a −x [ a1 ln + C] x
√
1 2
arcsin(x − 3) + C]
[ 13 x3 arcsin x + 13 (1 − x2 )1/2 − 91 (1 − x2 )3/2 + C]
[ 23 arcsin
√ [− 21 x 3 − 2 x − x2 +
3 2
√
8x+3 √ 41
+ C]
x+1 x
+ C]
3 − 2 x − x2 + 3 arcsin
Z
arctg(ln x) dx x Z s 1 + x2 dx 83. (1 − x4 ) arcsin x Z √ 84. arctg x2 − 1 dx 82.
Z 85. Z 86.
[ln x arctg ln x −
1 2
ln(ln2 x + 1) + C]
[2
[x arctg
√
√
arcsin x + C]
x2 − 1 − argcosh x + C]
cos x sin5 (x) dx
[ 16 sin6 (x) + C]
tg x + cotg x dx sin(2x)
[−cotg (2x) + C]
87. Naleznˇete vˇsechny funkce, kter´e maj´ı tu vlastnost, ˇze f 00 (x) = ex + 1. [f (x) = ex + Cx + D + 12 x2 ]
Z 88.
x2x
2 +1
2
dx
[2x / ln 2 + C]
89. Naleznˇete primitivn´ı funkci k funkci f (x) =
x . 4 + x4
[ 14 arctg ( 12 x2 ) + C]
90. Naleznˇete vˇsechny funkce f , kter´e maj´ı tu vlastnost, ˇze f 00 (x) = ex +
1 . x2
[ f (x) = ex + Cx + D − ln x]
28
91. Naleznˇete f (x), zn´ate-li f 0 (x) = 2x − 1; f (3) = 4 .
[x2 − x − 2]
92. Naleznˇete f (x), zn´ate-li f 00 (x) = cos x; f 0 (0) = 1; f (0) = 2 . 93. Naleznˇete f (x), zn´ate-li f 00 (x) = bx − 2; f 0 (0) = 1; f (0) = 2 . 94. Naleznˇete f (x), zn´ate-li f 00 (x) = 2x − 3; f (2) = −1; f (0) = 3 . Z t 95. dt 2 (4t + 9)2 Z 1 1 96. x− 2 sin(x 2 ) dx Z 97. Z 98. Z 99. Z 100. Z 101.
[x − cos x + 3] [x3 − x2 + x + 2] 3
[ x3 −
3x2 2
−
x 3
+ 3]
[− 8(4t12 +9) + C]
[−2 cos(x1/2 ) + C]
sin2 3x dx
[ 21 x −
√ x √ dx 1+x x
√ [ 23 ln |1 + x x| + C]
1 12
sin 6x + C]
1
ex dx x2
1
[−e x + C]
log2 x3 dx x
[ ln34 (ln x)2 + C]
cos2 x2 + ln2 x2 + sin2 x2 dx x
[ln |x| +
29
4 3
ln3 |x| + C]
6
Urˇ cit´ e Integr´ aly
Zkouˇ skov´ e pˇ r´ıklady Z1 1.
2x(x2 + 1) dx
[0]
−1 √
Z3 2.
2x2 + 1 √ dx 3 − x2
[2π]
0
Z1 √ 3. 3 − x2 dx
√
√ [ 2 + 3 arcsin
3 ] 3
−1
Z2 4.
6x2 − 2 dx x3 − x + 1
[2 ln 7]
1
Z1 5.
arccos x dx
[1]
x2 cos x dx
[4π]
0
Z2π 6. 0 √
Z3 7. xarctg x dx
√
3 ] 2
[ 23 π −
0 √
Z3/2
8.
√
x5 dx 1 − x2
53 [ 480 ]
0
Z1 9.
r dr (1 + r2 )4
[0]
−1
Za p 10. y a2 − y 2 dy
[ 13 |a|3 ]
0
Z0 11.
y 2 (1 −
y 3 −2 ) dy a3
3
[ a6 ]
−a
Z1 12.
x+3 √ dx x+1
[ 16 3
0
30
√
2−
14 ] 3
Z0
x3 (x2 + 1)6 dx
13.
[− 769 ] 112
−1 π
Z2 14.
sin3 x cos x dx
[ 14 ]
cos2 x dx
[π]
0
Z2π 15. 0
Z1
ln(x + 1) dx x+1
16.
[ 12 (ln 2)2 ]
0
Zln 2 17.
ex dx ex + 1
[ln 32 ]
0
Z2 18.
2−x dx
1 [ 4 ln ] 2
1
Z100 19. 10
Z1 20.
dx x log10 x
[ln 2 ln 10]
2
x101+x dx
[ ln4510 ]
0 π
Zln 4 21.
ex
1 dx cos ex
√ 1 [ln (1 + 2)( cos + 1
]
π ) 4
0
Z5 22.
dx 25 + x2
π [ 20 ]
0
Z3/2 23.
dx 9 + 4x2
π ] [ 24
0
Z−2 24. −3
dx p 4 − (x + 3)2
Zln 2 25.
[ π6 ]
ex dx 1 + e2x
[arctg 2 −
0
31
π ] 4
Zπ 26.
cos4 x dx
[ 38 π]
0
Z2π 27.
sin3 x cos x dx
[0]
0 3
Z2 π 28.
cos2 x dx
[ 34 π]
0
Z8 29.
ln x dx x
[− 12 ln2 (3) +
9 2
ln2 (2)]
3
Zln 2 30. ex dx
[1]
0
Z1 31.
1
ex (ex + 1) 5 dx
6
6
[ 65 [(e + 1) 5 − 2 5 ]]
0 3/4π Z
32.
cotg x dx
[0]
π/4
Zπ/8 33.
1 dx cos(2x)
[− 14 ln (2) +
1 2
√ ln 2 + 2 ]
0
Z1 34. −2
√
x dx x2 + 1
√ √ [− 5 + 2]
√
Z2 35. x(x2 − 1)7 dx
1 [ 16 ]
1
Z1 36.
1
y(y + 1) 2 dy
4 [ 15
√
2]
−1
Z1 37.
3x2 (x3 + 1) dx
[ 32 ]
0
Z1 38.
t2 (1 − t3 )8 dt
1 ] [ 27
0
32
Z1 39.
r dr (1 + r2 )4
7 ] [ 48
0
Z2π sin |x − π| dx
40.
[4]
0
Z1 41.
x arctg x dx
[ π4 − 12 ]
0
Zπ 42.
sin(x + π) dx
[-2]
0
Z1 43.
ln(x + 1) dx
[2 ln 2 − 1]
0
33
7
Aplikace integr´ al˚ u
Rozcviˇ cka V t´eto kr´atk´e ˇca´sti jsou pˇr´ıklady, kter´e pro svou vyˇsˇs´ı n´aroˇcnost nebudou ve zkouˇskov´e p´ısemce, a tud´ıˇz nejsou ˇc´ıslov´any. • Spoˇctˇete povrch toru (duˇse) x2 + (y − b)2 = a2 ; b ≥ a
[4π 2 ab]
Zkouˇ skov´ e pˇ r´ıklady 7.1
V´ ypoˇ cet plochy
1. Necht’ je d´ana funkce f (x) = sin(x) cos funkc´ı na intervalu [0, π] ?
x 2
na intervalu [−π, π]. Jak´a je plocha pod touto [ 43 ]
2. Spoˇctˇete plochu mezi osou x a grafem funkce f (x) = 2 + x3 ; x ∈ [0, 1].
[ 94 ]
3. Spoˇctˇete plochu mezi osou x a grafem funkce f (x) = (2x2 + 1)2 ; x ∈ [0, 1]. h1 1 i 4. Spoˇctˇete plochu mezi osou x a grafem funkce f (x) = sin x; x ∈ π, π . 3 2 √ 5. Spoˇctˇete plochu mezi osou x a grafem funkce f (x) = x 2x2 + 1; x ∈ [0, 2].
[ 47 ] 15 [ 12 ] [ 13 ] 3
6. Spoˇctˇete plochu mezi osou x a grafem funkce f (x) = x−3 (1 + x−2 )−3 ; x ∈ [1, 2]. √ 7. Spoˇctˇete plochu sevˇrenou mezi grafy y = x a y = x2 .
39 ] [ 400
[ 31 ]
8. Spoˇctˇete plochu sevˇrenou mezi grafy y = x2 a y = 4x − 3.
[ 34 ]
9. Spoˇctˇete plochu sevˇrenou mezi grafy y = x a x3 − 10y 2 = 0.
[10]
10. Spoˇctˇete plochu sevˇrenou mezi grafy y = x, y = 2x a y = 4.
[4]
11. Spoˇctˇete plochu sevˇrenou mezi grafy y = cos x a y = 4x2 − π 2 .
[2 + 32 π 3 ]
12. Spoˇctˇete plochu sevˇrenou mezi grafy y = cos2 (πx) a y = sin2 (πx) pro x ∈ [0, 41 ].
1 [ 2π ]
13. Spoˇctˇete plochu sevˇrenou mezi grafy y = 2x , y = 2 a x = 0.
[2 −
14. Spoˇctˇete plochu sevˇrenou mezi grafy y = (x + 1)2 a x = sin(πy) pro y ∈ [0, 1].
1 ] ln 2
15. Spoˇctˇete plochu sevˇrenou mezi grafy y = x a y = x + sin2 x pro x ∈ [0, π].
7.2
2 ] π
[ 13 +
[ π2 ]
V´ ypoˇ cet tˇ eˇ ziˇ stˇ e
16. Urˇcete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe oblasti vymezen´e grafy y =
p x2 (1 − x2 ) a y = 0. [¯ x=
17. Urˇcete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe oblasti vymezen´e grafy y =
4 x2
3 π, y¯ 16
=
1 ] 5
a y = 0 pro x ∈ [1, 3]. [¯ x=
3 2
ln 3, y¯ =
26 ] 27
18. Urˇcete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe oblasti vymezen´e grafy y = 1 + x4 a y = 0 pro x ∈ [0, 1]. [¯ x=
34
5 , y¯ 9
=
17 ] 27
19. Urˇcete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe oblasti vymezen´e grafy y =
√
1 − x2 a y = 0 pro x ∈ [−1, 0]. 4 ] 3π
4 , y¯ = [¯ x = − 3π
7.3
V´ ypoˇ cet d´ elky grafu funkce
p 20. Jak´a je d´elka grafu funkce f (x) = x(1 − x) ? [ π2 ] √ 21. Pomoc´ı funkce f (x) = R2 − x2 a integr´aln´ıho poˇctu spoˇc´ıtejte obvod kruhu o polomˇeru R. √ √ 8 22. Spoˇctˇete d´elku kˇrivky f (x) = x x, x ∈ [0, 4]. [ 80 10 − 27 ] 27 √ √ [1 + 12 ln 32 ] 23. Spoˇctˇete d´elku grafu y = ln x, kde x ∈ [ 3, 8]. 24. Spoˇctˇete d´elku grafu y = a cosh xa , kde x ∈ [0, b]. [a sinh ab ] 25. Spoˇctˇete d´elku grafu x = 41 y 2 − 21 ln y, kde y ∈ [1, e].
[e
2
26. Spoˇctˇete d´elku grafu y = a ln a2a−x2 , kde x ∈ [0, b] a b < a. 27. Spoˇctˇete d´elku grafu y = ln cos x, kde x ∈ [0, a] a a < π2 . √ √ √ x √ − 4 ax, kde x ∈ [0, b] a b > 0. 28. Spoˇctˇete d´elku grafu y = 2a ln √a+ a− x
2
+1 ] 4
a+b a−b
− b]
[ln | tan( π4 +
a )|] 2
a a−b
− b]
[a ln
[2a ln
√ 29. Spoˇctˇete d´elku grafu x = a ln
7.4
a+
a2 −y 2 y
−
p a2 − y 2 , kde y ∈ [b, a] a 0 < b < a.
[a ln ab ]
V´ ypoˇ cet objemu rotaˇ cn´ıho tˇ elesa
30. Spoˇc´ıtejte objem rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı oblasti ohraniˇcen´e y = 2x − x2 a y = 0 kolem osy x. [ 16 π] 15 31. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy y = x2 a y = 9 okolo osy x. [ 1944 π] 5 32. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy y = x3 , xy = 10 a y = 1 3 okolo osy x. [ 80 10 4 − 134 π] 7 7 √ 33. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy y = 4 − x2 a y = 0 okolo osy x. [ 32 π] 3 34. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy y = x a y = 2x − x3 okolo osy x. [ 12 π] 35 35. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy y = x ∈ [−1, 1] okolo osy x.
1 , 1+x2
y = 0 a [ π4 (π + 2)]
36. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy y = cos x, y = 2 cos x, x ∈ [− π2 , π2 ] okolo osy x. [ 32 π 2 ] 37. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy y = ex − 1, y = 2 a x = 0 okolo osy x. [π(3 ln2 3 − 6 ln 3 + 4)]
35
38. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy x = y 3 , x = 8, y = 0 π] okolo osy y. [ 768 7 √ 39. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy y = x a y = x3 okolo osy y. [ 25 π] 40. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy x = y 2 a x = 2 − y 2 okolo osy y. [ 10 π] 3 41. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy y = x a y = 2x − x3 4 π] okolo osy y. [ 15 42. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy y 3 − y = x a x = 0 okolo 16 π] osy y. [ 105 43. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy y = cos x, y = 2 cos x, x ∈ [− π2 , π2 ] okolo osy x. [ 32 π 2 ] 44. Spoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy sevˇren´e grafy y = cos x, y = 2 cos x, x ∈ [0, π2 ] okolo osy y. [π 2 − 2π]
7.5
V´ ypoˇ cet povrchu rotaˇ cn´ıho tˇ elesa
45. Pomoc´ı funkce f (x) = polomˇeru R.
√
R2 − x2 a integr´aln´ıho poˇctu spoˇc´ıtejte objem a povrch koule o [V =
4 πR3 , 3
P = 4πR2 .]
46. Pomoc´ı integr´aln´ıho poˇctu a vhodnˇe zvolen´e funkce spoˇc´ıtejte objem a povrch pl´aˇstˇe √ 2 kuˇzele o v´ yˇsce a a polomˇeru podstavy r. [V = πr3 v , P = πr v 2 + r2 ] 47. Spoˇctˇete povrch rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı grafu y = sin x a x ∈ [0, π] okolo √ √ osy x. [2π( 2 + ln(1 + 2))] 48. Spoˇctˇete povrch rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı grafu y = x1 , x ∈ [ 12 , 2] okolo osy x. √ [ 5π + 2π ln (2 +
2√ )] 1+ 5
49. Spoˇctˇete povrch rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı grafu y = ex a x ∈ [− ln 2, ln 2] √ √ okolo osy x. [π( 47 5 + ln 4+2√ 5 )] 1+ 5 50. Spoˇctˇete povrch rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı grafu y 2 + 4x = 2 ln y, y ∈ [1, 2] π okolo osy y. [ 16 (4 ln2 2 + 16 ln 2 − 27] 51. Spoˇctˇete povrch rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı grafu y = a cos πx , x ∈ [−b,√b] okolo 2b √ πa+ π 2 a2 +4b2 2 2 2 osy x. [2a π a + 4b + π8 b2 ln ] 2b 52. Spoˇctˇete povrch rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı grafu y 2 = 2px, x ∈ [0, b] okolo osy p x. [ 32 π((2b + p) 2bp + p2 − p2 )] 53. Spoˇctˇete povrch rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı grafu y 2 = 2px, x ∈ [0, b] √okolo osy √ p y. [ π4 (p + 4b) 2b(p + 2b) − p2 ln 2b+√pp+2b ] 54. Spoˇctˇete povrch rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı grafu y = cosh x, x ∈ [0, ln 2] okolo osy x.
36
Reference [1] Mareˇs J., Vondr´aˇckov´a J., Cviˇcen´ı z matematick´e anal´ yzy: Diferenci´aln´ı poˇcet, Vydavatelstv´ı ˇ CVUT, 1999 [2] Pelantov´a E., Vondr´aˇckov´a J., Cviˇcen´ı z matematick´e anal´ yzy: Integr´aln´ı poˇcet a ˇrady, ˇ Vydavatelstv´ı CVUT, 1998 [3] Marsden J., Weinstein A., Calculus II, Springer, 1985
37
