VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF SOLID MECHANICS, MECHATRONICS AND BIOMECHANICS

POPIS PORUŠOVÁNÍ VÍCEVRSTVÝCH POLYMERNÍCH PROSTŘEDÍ

DESCRIPTION OF FAILURE OF THE MULTILAYER POLYMER STRUCTURE

DOKTORSKÁ PRÁCE DOCTORAL THESIS

AUTOR PRÁCE

Ing. MICHAL ZOUHAR

VEDOUCÍ PRÁCE

doc. Ing. PAVEL HUTAŘ, Ph.D.

AUTHOR

SUPERVISOR

BRNO 2014

ABSTRAKT Cílem této práce je studium porušování vícevrstvých polymerních materiálů. Kvazikřehké porušení (prostřednictvím iniciace a následného šíření creepové trhliny) při nízkých napětích je nejčastější způsob porušování polymerních materiálů. V tomto případě je plastická deformace lokalizována v blízkém okolí čela trhliny a lze použít popis trhliny pomocí lineárně elastické lomové mechaniky. Znalost lomových parametrů během růstu trhliny ve vícevrstvém tělese je klíčová pro stanovení maximálního zatížení a následného posouzení zbytkové životnosti. Na rozdíl od homogenních těles je stanovení součinitele intenzity napětí pro vícevrstvé (kompozitní) těleso složitější a použití lomové mechaniky je komplikováno existencí materiálového rozhraní se skokovou změnou materiálových parametrů mezi jednotlivými vrstvami. Zvláštní pozornost je v této práci věnována konfiguraci trhliny rostoucí v těsné blízkosti materiálového rozhraní a podél materiálového rozhraní. Pro vrchol trhliny na rozhraní dvou materiálů je popis pole napětí před čelem trhliny popsán pomocí efektivní hodnoty součinitele intenzity napětí, kterou lze vyjádřit pomocí kritérií stability. V závěru práce je ukázáno, že za určitých podmínek (především v závislosti na elastických konstantách jednotlivých materiálů) existence materiálového rozhraní pozitivně ovlivňuje životnost vícevrstvého tělesa.

KLÍČOVÁ SLOVA Lomová mechanika, bi-materiálové rozhraní, pomalý růst trhliny, kritéria stability, odhad životnosti

ABSTRACT The aim of this thesis is to describe behavior of cracks in layered polymer materials. Quasi-brittle fracture (through the initiation and subsequent crack propagation mechanism) under low stresses is the most common mode of failure of polymer materials. In this case plastic deformations are localized in the vinicity of the crack tip and linear elastic fracture mechanics description of the crack behavior can be used. The knowledge of fracture parameters change during the crack propagation in multilayer body is a key point for establishing of the maximum load and consequently for the assessment of the residua lifetime. In contrast to homogeneous bodies the estimation of stress intensity factors for multilayer (composite) structure is numerically more elaborated and the fracture mechanics approach is complicated by the existence of interfaces between single layers, where material parameters are changed by a step. Special attention is paid to the configuration of a crack growing close to the material interface and along the interface. For the crack with tip on the material interface the effective values of stress intensity factor based on the crack stability criteria are estimated. It is shown that under special conditions (depending mainly on the elastic mismatch of materials) the existence of material interface has positive influence on the lifetime of the multilayered structure.

KEYWORDS Fracture mechanics, bi-material interface, slow crack growth, crack stability criteria, lifetime estimation

strana

3

Práce byla vypracována ve spolupráci s pracovištěm Ústavu fyziky materiálů AV ČR a za podpory Středoevropského technologického institutu CEITEC.

BIBLIOGRAFICKÁ CITACE ZOUHAR, M. Popis porušování vícevrstvých polymerních prostředí. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 2014. 196 s. Vedoucí disertační práce doc. Ing. Pavel Hutař, Ph.D.

strana

4

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury a pod odborným vedením školitele doc. Ing. Pavla Hutaře, Ph.D. V Brně dne 28. srpna 2014 ______________________ Ing. Michal Zouhar

strana

5

strana

6

PODĚKOVÁNÍ

Na tomto místě by autor rád poděkoval školiteli doc. Ing. Pavlu Hutařovi, Ph.D.1 a školiteli specialistovi doc. Ing. Luboši Náhlíkovi, Ph.D., za jejich cenné rady, odbornou pomoc, trpělivost, podporu a za příkladné vedení v doktorském studiu. Také bych rád poděkoval Ing. Martinu Ševčíkovi, Ph.D. za pomoc a konzultace a celému pracovišti Ústavu fyziky materiálů Akademie věd České republiky za poskytnutí zázemí při řešení disertační práce. Dále bych chtěl poděkovat pracovníkům Polymer institutu v Brně a Polymer Competence Centra Leoben za provedení experimentů a poskytnutí naměřených dat. Díky patří také mé rodině a manželce Renatě za trpělivost a podporu po celou dobu studia.

1

doc. Ing. Pavel Hutař, Ph.D. se podílel na vedení práce jako mentor v rámci řešení projektu Nadaní postdoktorandi pro vědeckou excelenci v oblasti fyziky materiálů, reg. č. CZ.1.07/.2.3.00/30.0063

strana

7

strana

8

OBSAH 9 OBSAH 1 Úvod 11 2 Polymery 13 Polymerní materiály používané pro výrobu polymerního potrubí 13 2.1 Polyethylen 13 2.2 Zesíťovaný polyethylen (PE-X) 15 16 2.3 Polyvinylchlorid (PVC) 2.4 Polypropylen 16 3 Mechanismus porušení polymerních materiálů 17 3.1 Mechanismus vzniku elastické a plastické deformace polymerních materiálů 17 3.2 Šíření trhliny při působení statického zatížení 18 19 3.3 Únavové porušení 4 Experimentální metody pro stanovení odolnosti proti SCG u materiálů používaných k výrobě polymerních trubek 21 21 4.1 Hydrostatický tlakový test 4.2 Notched pipe test (NPT) [43] 23 4.3 Pensylvania Edge-Notch Test (PENT) [44] 23 4.4 Full Notch Creep Test (FNCT) [45] 24 4.5 Cracked Round Bar test (CRB test) [84] 25 5 Lineárně elastická lomová mechanika 27 5.1 Napjatost v okolí vrcholu trhliny 28 5.1.1 Vrchol trhliny nacházející se v homogenním materiálu v dostatečné vzdálenosti od materiálového rozhraní 29 30 5.1.2 Vrchol trhliny v blízkosti bi-materiálového rozhraní 5.1.3 Vrchol trhliny na materiálovém rozhraní 31 5.1.4 Trhlina po průchodu materiálovým rozhraním 34 34 5.2 Chování trhliny v homogenním materiálu 6 Formulace problému a cílů práce 37 7 Postup řešení zadané problematiky 39 7.1 Růst trhliny v homogenním materiálu 39 7.2 Trhlina s vrcholem na materiálovém rozhraní 41 7.2.1 Kritéria stability trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní 42 7.2.2 Růst trhliny podél materiálového rozhraní 46 8 Vybrané výsledky a diskuze 47 8.1 Stabilita trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní vícevrstvého laminátu 47 8.1.1 Kritická délka trhliny a kritéria stability 47 8.1.2 Porušení vícevrstvého laminátu s vrcholem trhliny na materiálovém rozhraní 50 8.2 Popis porušování polymerního potrubí 55 8.2.1 Vliv proměnných materiálových vlastností na porušení třívrstvé trubky s dlouhou axiální trhlinou 55 8.2.2 Porovnání nebezpečnosti existence vnější a vnitřní trhliny v polymerním potrubí 59 8.2.3 Vliv materiálového rozhraní na hodnotu součinitele intenzity napětí 62 8.2.4 Trhlina zakotvená na materiálovém rozhraní 66 68 8.3 Odhad životnosti polymerního potrubí

strana

9

8.4 Kombinované zatížení 72 9 Závěr 77 Výsledky obsažené v této práci byly dosaženy v rámci řešení projektů: 79 10 Publikované práce autora dle metodiky RIV: 81 10.1 Impaktované publikace 81 10.2 Recenzované publikace zařazené do databáze SCOPUS 81 82 10.3 Recenzované publikace v tuzemských časopisech 10.4 Článek ve sborníku mezinárodní/národní konference 82 85 11 Použitá literatura Curriculum vitae 93 Přílohy 95 Příloha A – Effect of the time dependent material properties on the crack behaviour in the interface of two polymeric materials 95 Příloha B – Numerical estimation of the fatigue crack front shape for a specimen with finite thickness 105 Příloha C – The applicability of the Pennsylvania Notch test for a new generation of PE pipe grades 113 Příloha D – Estimation of the critical configuration of a crack arrested at the interface between two materials 125 Příloha E – Multilayer polymenr pipe failure assesssment based on fracture mechanics approach 131 145 Příloha F – Assessment of surfacee crack stability in laminates Příloha G – Life time estimation of the multilayer plastic pipes 161 Příloha H – Basic modes of crack propagation through an interface in polymer layered structure 167 Příloha I – Pressure pipe damage: Numerical estimation of point load effect 173 Příloha J – Pressure pipe damage: Numerical estimation of point load effect II 173 179 Příloha K – Damage of multilayer polymer materials under creep loading Příloha L – The effect of critical distance in stability condition for the crack at the interface between two materials 185

strana

10

Úvod

1 ÚVOD V současnosti jsou v technické praxi čím dál častěji používány vícefázové a složené materiály s cílem snížit výrobní náklady při zachování nebo zlepšení funkčních vlastností finálních výrobků. Příkladem může být kombinace dvou a více materiálů použitých jako ochranné vrstvy s odlišnými vlastnostmi od základního materiálu. Tím lze získat lepší mechanické vlastnosti, vyšší vodivost, odolnost proti otěru, chemickou a tepelnou odolnost základního materiálu [35, 67]. Studium vícevrstvých prostředí bude v této práci zaměřeno zejména na polymerní vrstevnaté kompozity. Příkladem vrstevnatých polymerních materiálů mohou být vícevrstvé polymerní trubky [18, 32, 108], kde použitím vnější a vnitřní ochranné vrstvy lze zlepšit mechanické vlastnosti a zejména odolnost proti poškození. Trh s plastovým potrubím je v současnosti orientován zejména na dva typy materiálů. První skupinu materiálů tvoří polyvinylchlorid (PVC), který má v současnosti největší podíl na trhu [88]. Je to dáno tím, že se převážně používá na odpadní, kanalizační potrubí, v drenážních, beztlakých, popřípadě nízkotlakých potrubních systémech pro rozvod vody a plynu. Další skupinou materiálů používaných na polymerní potrubí jsou materiály na bázi polyolefínu. Do této skupiny lze zařadit: polyethylen (PE), polypropylen (PP) a polybutylen (PB). Z uvedených materiálů jsou v praxi nejčastěji zastoupeny materiály na bázi polyethylenu [88]. Trubky vyrobené na bázi tohoto materiálu (vysokohustotní polyethylen (HDPE)) se používají jak pro nízkotlaké, tak i pro vysokotlaké aplikace, jako jsou rozvody vody a plynu již déle než 50 let. Mezi hlavní výhody PE patří: chemická a korozní odolnost, houževnatost, flexibilita, snadná manipulovatelnost, nízká hmotnost. Nároky na zvyšování životnosti a snižování cen polymerních potrubí vedly k vývoji vícevrstvých polymerních trubek. U aktuálně vyráběných polymerních potrubí (výrobci Wawin, Pipe Life, Ronix Polymer, JM Eagle) je na základní materiál na bázi vysokohustotního polyethylenu nanesena vnější nebo vnitřní a vnější ochranná vrstva z materiálu, který má odlišné mechanické vlastnosti vzhledem k základnímu materiálu. Již vyvinutou technologií výroby (koextruze vícevrstvých polymerních potrubí) dochází k molekulárnímu spojení jednotlivých vrstev a nelze jednotlivé vrstvy mechanicky oddělit [108]. Lze tedy předpokládat ideální adhezi mezi jednotlivými vrstvami. Použití vícevrstvých materiálů přináší řadu výhod s ohledem na vynaložené investiční výdaje a celkovou životnost potrubních systémů pro rozvod kapalin a plynů. Při dříve standardní pokládce potrubí tvořily z celkových nákladů asi 90% náklady na výkopové práce. S rostoucími mechanickými vlastnostmi a tvarovou pamětí polymerních materiálů byly postupy pro pokládku těchto potrubí zjednodušeny a také byly zavedeny nové, v některých případech bezvýkopové pokládkové metody. Potrubí lze například pokládat bez pískového lože s možností obsypání potrubí výkopovou zeminou. Dále lze polymerní potrubí využít u bezvýkopové pokládky [108], čímž lze náklady na renovaci již nevyhovujících rozvodů významně snížit. Bezvýkopovými metodami se rozumí zatahování nebo zatlačování nového potrubí do původního potrubí nebo vrtání či pluhování v případě pokládky nových rozvodů. Nevýhodou jsou vyšší nároky na mechanickou odolnost materiálu tlakových potrubí, a tedy větší nároky na přesný odhad životnosti těchto systémů. Abychom byli schopni predikovat životnost potrubí, a to buď v průběhu jeho provozu, nebo již při návrhu, používá se běžně tlakový test [13]. Jeho nevýhodou je extrémně dlouhá doba nutná pro testování, zejména u pokročilých polymerních

strana

11

Úvod

materiálů. Proto byly vyvinuty zrychlené testy jako Pensylvania Endge-Notch Test (PENT) [44], Full Notch Creep Test (FNCT) [45] nebo Crack Round Bar test (CRB) [84]. Nevýhodou těchto testů je možnost posoudit životnost pouze kvalitativně, nikoli kvantitativně. V poslední době se používají data z těchto testů v kombinaci s numerickou simulací šíření creepové trhliny pro kvantitativní odhad životnosti [23, 85, III]. Právě využití creepových dat na stanovení životnosti polymerního potrubí bude obsahem i této práce. Potřebné zkrácené creepové experimenty je nutno provést pro všechny materiály, které vícevrstvý kompozit obsahuje. Charakteristické materiálové vlastnosti byly získány díky spolupráci s Polymer Institute Brno a Polymer Competence Centre Leoben. Cílem předložené práce je studium porušování vícevrstvých polymerních materiálů z HDPE za pomocí numerických simulací na bázi metody konečných prvků s aplikací na vícevrstvé polymerní trubky. Tato studie je tedy zaměřena zejména na popis šíření creepové trhliny v blízkosti materiálového rozhraní a následný popis přechodu trhliny přes toto rozhraní. Vzhledem ke spektru provozního zatížení lze použít přístupy lineárně elastické lomové mechaniky (LELM) a na jejich základě stanovit tvar šířící se creepové trhliny, určit okamžik přechodu trhliny přes rozhraní dvou polymerních materiálů, stanovit podmínky vedoucí k nestabilnímu růstu trhliny a v neposlední řadě predikovat zbytkovou životnost vícevrstvých trubek. Problematice šíření trhliny v prostředí složeného z více polymerních fází, kterému je věnována tato práce, nebyla doposud věnována velká pozornost a není v literatuře plně popsán. Výsledky této práce budou mít platnost nejen pro konkrétní polymerní materiály uvedené v práci, ale uvedený postup lze zobecnit a aplikovat na další materiály s podobnými vlastnostmi.

strana

12

Polymery

2 POLYMERY V polymerní struktuře se mnohonásobně opakuje jako článek v řetězu základní monomerní jednotka. U syntetických polymerů, které byly vyvinuty v první polovině 20. století, lze volbou monomerní jednotky využít neobyčejnou proměnlivost struktur i vlastností výsledných látek [77]. Polymery získáme na základě chemické reakce - polymerace, při níž se molekuly nízkomolekulární sloučeniny (monomeru) spojují a mnohonásobným opakováním vytvářejí makromolekulární látku. Jestliže monomer obsahuje pouze dvě místa (funkce) schopná vytvářet kovalentní chemickou vazbu, vznikají polymery lineární, viz obr. 1. Při větším počtu funkčních míst mohou vznikat polymery rozvětvené nebo prostorově zesíťované. Základní jednotka polyethylenu (PE), který je nejjednodušší molekulární strukturou všech polymerů, je složena ze dvou atomů uhlíku a čtyř atomů vodíku. Reakčními podmínkami (teplota, tlak, použití katalyzátorů) lze ovlivňovat, zda vznikne polymer lineární nebo rozvětvený. Síťováním lineárních nebo rozvětvených makromolekul vznikají nerozpustné a netavitelné produkty s různým uspořádáním prostorové sítě. O hustotě sítě rozhoduje počet vazebných míst připadajících na délku makromolekuly schopné síťování. Hustota sítě má rozhodující vliv na mechanické vlastnosti polymerů. Při polymerizaci je možno použít odlišné monomerní jednotky, které následně charakterizují chemickou strukturu polymeru. Tato struktura má pak zásadní vliv na fyzikální, chemické a lomově-mechanické vlastnosti takto vyrobeného materiálu.

Obr. 1 Polymerizace ethylenu do lineárního polymeru

Polymerní materiály používané pro výrobu polymerního potrubí 2.1 Polyethylen Jeden z nejvýznamnějších materiálů používaných pro výrobu polymerního potrubí je materiál na bázi polyethylenu – vysokohustotní polyethylen. Tento materiál je schopen odolávat vysokým provozním zatížením a je vhodný pro potrubí pro transport kapalin a plynů při vyšším provozním tlaku. Po celou dobu používání tohoto materiálu docházelo k jeho průběžnému vývoji a zvyšování jeho minimální dlouhodobé požadované pevnosti (MRS). Tato pevnost je u polymerních potrubí definována jako hodnota obvodového napětí σθ ve stěně trubky, stanovená na základě hydrostatického tlakového testu definovaného normou ČSN EN ISO 1167 [13]. S rozvojem metod pro zkoušení polymerních materiálů probíhal také výzkum vlivu jednotlivých technologických a strukturních parametrů polymerního materiálu na jeho celkovou odolnost proti mechanickému namáhání a růstu trhlin. Bylo zjištěno, že nejdůležitějšími parametry jsou průměrná molekulová hmotnost, rozložení molekulové hmotnosti, typ krátkých řetězců a rozložení krátkých řetězců [49]. První

strana

13

Polymery

generace vysokohustotních polymerních materiálů měly hodnotu minimální požadované pevnosti MRS 6,3 MPa a materiály patřící do této skupiny byly označovány jako PE63. S postupem času byly v 70. letech minulého století vyvinuty materiály s označení PE80 s MRS 8,0 MPa. Díky vyvíjenému kaskádovému procesu výroby, viz obr. 2, byla u nové generace materiálů dosažena bimodální distribuce molekulových hmotností, obr. 2 a 3, vzhledem k předchozím generacím, které měly distribuci unimodální [20, 110]. Bimodální struktura polymerního materiálu je získána díky kaskádovému procesu výroby, kde ve dvou fázích reakce výsledný polymer obsahuje frakci jak o nízké molární hmotnosti (LMW), tak frakci o vysoké molární hmotnosti (HMW), obr. 2. Tato generace vysokohustotních polymerních materiálů je označována PE100. Poslední generací je materiál PE 100RC (Resistence to Crack), který vykazuje stejně jako materiály PE100 dobré mechanické vlastnosti, odolnost proti rychlému šíření trhliny (rapid crack propagation (RCP)), odolnost proti pomalému šíření trhliny (slow crack growth (SCG)) a odolnost proti vzniku únavových trhlin.

Obr. 2 Schématické znázornění kaskádového procesu výroby bimodálního polyethylenu (upraveno z [110])

Obr. 3 Schématické znázornění vzniku bimodální distribuce molekulových hmotností u HDPE (upraveno z [110])

strana

14

Polymery

Struktura vysokohustotního materiálu je semikrystalická a skládá ze dvou oblastí: krystalické a amorfní, viz obr. 4. Krystalická oblast je složena z jednotlivě do jisté míry pravidelně uskupených molekul, které jsou od sebe odděleny amorfní oblastí. Amorfní oblasti polymeru umožňují natočení krystalické oblasti. Tím přispívají k houževnatosti a k tažnosti polymeru. Existence polymerních řetězců v amorfní oblasti hraje významnou roli při deformaci materiálu a lze tyto řetězce rozdělit do tří skupin: řetězce, které jsou ukončeny v amorfní oblasti (cilia), které začínají a končí ve stejné lamele (loose loops) a ty, které tvoří vazbu mezi sousedními lamelami (tie molecules), viz obr. 5.

(a)

(b)

Obr. 4 Schématické zobrazení základní struktury polymerů (a) Amorfní (zapletené polymerní řetězce), (b) semikrystalický polymer (zapletené řetězce a krystalické oblasti)

Obr. 5 Interlamelární porušení polyethylenu [64]

2.2 Zesíťovaný polyethylen (PE-X) V průběhu výroby polyethylenu lze procesem síťování změnit vlastnosti polymeru. Při zesíťování polyethylenu dochází ke vzniku chemických vazeb mezi jednotlivými molekulami, které vedou k formování prostorové sítě. Zesíťováním přestává být materiál tavný a je nerozpustitelný. Existuje několik metod, kterými lze zesíťovat

strana

15

Polymery

polymery a to jak v průběhu výroby (chemické), tak až po jejím vyrobení (fyzikální). Podle těchto metod jsou dále materiály PE-X označovány, PE-Xa (chemické síťování peroxidem), PE-Xb (chemické síťování hydridem křemíku), PE-Xc (fyzikální síťování elektro-magnetickým zářením). Nově získaná struktura materiálu tvořená krystalickými oblastmi propojenými trojrozměrnou prostorovou sítí má lepší mechanické, tepelné a chemické vlastnosti a je také odolná proti šíření trhliny. Mezi další pozitivní vlastnosti lze zařadit tvarovou paměť, schopnost odolávat vyšším teplotám, odolnost proti korozi, vrubovou odolnost, odolnost proti bodovému zatěžování [102].

2.3 Polyvinylchlorid (PVC) Polyvinylchlorid je další z polymerních materiálů, který je dobře znám a v celosvětovém měřítku hojně používán. Obecně lze PVC materiály rozdělit do dvou skupin: tvrdé a měkčené, a to podle toho, zda se při jeho zpracování využívá změkčovadel či ne. Měkčený PVC se používá pro různé aplikace v obalovaní, obuvnickém, textilním a čalounickém průmyslu. Tvrdé PVC materiály se používají ve strojírenství a stavebnictví, a to jako náhrada barevných kovů či kameniny. Mezi výrobky z tvrdého PVC patří také trubky a tvarovky, desky, tyče a různé profily, které se vyrábějí lisováním, lisostřikem nebo vytlačováním. V aplikaci na potrubní systémy lze tento materiál využít pro nízkotlaké a beztlaké aplikace, kterými mohou být drenáže, odpadní a kanalizační potrubí. Nevýhodou tohoto materiálu je vysoký obsah chloru a jeho nešetrnost k životnímu prostředí.

2.4 Polypropylen Dalším používaným polymerním materiálem je polypropylen. Vlastnosti polypropylenu jsou podobné vlastnostem polyethylenu. Vzhledem k polyethylenu je polypropylen více odolný proti působení agresivních chemických látek [70]. Dále lze mezi rozdílné vlastnosti polypropylenu zařadit nižší hustotu, vyšší bod tavení, vyšší tvrdost a nižší houževnatost. Mezi aplikace využívající zmíněných vlastností patří rozvody pro média o vyšší teplotě a potrubí pro odvody splašků obsahující agresivní rozpouštědla v chemickém průmyslu.

strana

16

Mechanismus porušení polymerních materiálů

3 MECHANISMUS PORUŠENÍ POLYMERNÍCH MATERIÁLŮ Porušení polyethylenu při kvazistatickém zatížení lze podobně jako u kovů rozdělit do dvou základních oblastí: tvárné a křehké. Tvárné porušení je spojeno s makroskopickou poddajností materiálu a s velkým přetvořením [59]. Druhý typ porušení, křehké, souvisí s růstem trhliny v tělese. K tomuto porušení dochází při nízkých hladinách aplikovaného napětí. Dochází zde k mechanismu pomalého šíření trhliny (slow crack growth (SCG)) [11, 22, 86, 94] a lom tělesa nastává za podstatně delší dobu než při porušení tvárném. V průběhu tohoto mechanismu nedochází k velké deformaci tělesa a k žádnému, na první pohled zřetelnému porušení tělesa. Tento způsob porušení může být výsledkem jak creepového (při konstantním napětí), tak únavového zatížení. Z hlediska praktického je to nejčastější způsob porušení tlakových polymerních rozvodů. Vzhledem k tomu faktu bude SCG věnována největší pozornost. Křehký lom může být u polymerních materiálů také způsoben velice rychlým zatížením tělesa. Hovoříme o rychlém šíření trhliny (rapid crack propagation (RCP)), kde rychlost šíření dosahuje 100-300 m/s [46]. K tomuto mechanismu porušování většinou dochází v důsledku mimořádných provozních podmínek a jedná se o velice vzácný jev. Na následujícím obrázku, obr. 6, je uveden přehled jednotlivých druhů porušení, které mohou nastat u polymerního materiálu.

Obr. 6 Typy porušení polymerních materiálů

3.1 Mechanismus vzniku elastické a plastické deformace polymerních materiálů K popisu mechanismu porušení vysokohustotního polyethylenu navrhl v roce 1985 Lustiger [63] jednoduchý model. Jestliže je zatížena semikrystalická struktura (obsahující krystalickou a amorfní oblast) tahovým napětím, viz obr. 7 (a), dochází k postupnému rozvoji elastické deformace. Při této elastické deformaci nastává prodloužení řetězců v amorfní oblasti, které mezi sebou vážou jednotlivé krystalické oblasti či lamely krystalických vrstev, obr. 7 (b). Další nárůst zatížení vede k přechodu z elastické do plastické deformace. Tato prvopočáteční plastická deformace vzniká natočením lamelárních krystalických vrstev, obr. 7 (c). V následujícím stádiu zatížení polymerního materiálu nastává porušení lamel, postupná separace jednotlivých krystalických bloků (obr. 7 (d)) a vznik dutin v amorfní oblasti. V poslední fázi je významná plastická deformace polymerního

strana

17


materiálu, která vede k následnému oddělení krystalických bloků, propojování dutin a k porušení polymerního materiálu, viz obr. 7 (e).

Obr. 7 Tvorba dutin při interlamelárním porušení [2] Pokud je materiál vystaven nízké hladině zatížení, dochází k postupnému rozpletení vazebních molekul (tie molekul) a k relaxaci v čase, čímž dojde k mezilamelárnímu porušení, viz obr. 5. Klíčovou roli v průběhu tohoto procesu porušení mají vazebné molekuly (tie molecules). Vzhledem k tomu, že tyto molekuly propojují jednotlivé lamely, je rozhodující jejich hustota, celistvost a schopnost zůstat zapletené v průběhu porušení. Pokud budeme předpokládat vlastnosti všech vazebných molekul stejné, lze na základě tohoto modelu porušení ukázat, že materiály s menším počtem spojovacích molekul jsou náchylnější ke křehkému lomu než ty s větším počtem vazebných molekul. Je-li však hustota vazebných molekul příliš vysoká, narůstá tuhost materiálu [110].

3.2 Šíření trhliny při působení statického zatížení Při tomto dlouhodobém procesu porušování dochází k mechanismu pomalého šíření trhliny (slow crack growth (SCG)), které může trvat i několik desetiletí. Proces je složen ze dvou stádií, a to z iniciace a šíření trhliny. Pokud existuje na tělese koncentrátor napětí, vlivem koncentrace napětí vznikne v kořeni tohoto koncentrátoru deformační zóna. Jedná se o oblast materiálu, který se vlivem aplikovaného zatížení plasticky deformuje - obsahuje fibrily a dutiny v materiálu. Tuto oblast nazýváme procesní nebo též deformační zónou a v případě polymerních materiálů hovoříme o tzv. krejzu [10]. Iniciace trhliny probíhá do okamžiku, dokud není vytvořen krejz. K iniciaci trhliny dochází v místech koncentrace napětí, lokáním zatížením nebo např. v místech s existencí zbytkového napětí z výroby. V této oblasti vzniknou nejdříve mikrodutiny, které rostou a postupně se spojují. V krejzu stále existují mezi dutinami vazby materiálu – fibrily, které jsou vysoce tažné a orientované ve směru působícího napětí. V této fibrilární oblasti probíhá iniciace lomu, viz obr. 8. Šířka fibrily při jejím porušení závisí na rychlosti deformace. Při vyšších rychlostech se budou porušovat tlustší fibrily, při nižších rychlostech fibrily tenčí. Odolnost proti creepu vznikajících fibril je hlavní materiálovou vlastností určující odolnost materiálu vůči SCG.

strana

18


Obr. 8 Schématické zobrazení mechanismu pomalého šíření trhliny (upraveno z [110]) K růstu trhliny dochází přibližně do 2/3 délky krejzu, kde se pak zastaví. Příčinou je růst pevnosti fibril směrem k čelu krejzu. Opět pak následuje růst krejzu, prodloužení fibril, přírůstek trhliny a celý děj se opakuje. Tento jev je nazván diskontinuální stabilní růst trhliny, který je považován za obecný proces, kterým u plastů probíhá porušení při nízkých hladinách zatížení [38, 60, 62]. Velikost přírůstku trhliny tedy závisí na velikostí krejzu a jeho velikost se zvyšuje s rostoucím zatížením a teplotou [20].

3.3 Únavové porušení V předchozím textu byl popsán mechanismus šíření trhliny při statickém (creepovém) a rázovém zatěžování. Následující text bude věnován únavovému zatěžování, kterým také může docházet k porušení tělesa. V práci [93] bylo zjištěno, že únavové zatěžování může významně urychlit proces šíření trhliny, což dokazuje i práce [114]. Urychlení experimentu je dáno tím, že dochází ke vzpěru fibril v tlakové oblasti. S ohledem na malou časovou náročnost únavových experimentů se nabízejí otázky týkající se podobnosti únavového porušení a porušení mechanismem pomalého šíření trhliny. Podobné pro oba mechanismy porušení jsou: 1) lomové plochy, 2) únavový růst vykazuje jednotlivé přírůstky trhliny, které jsou charakteristické i pro diskontinuální stabilní růst trhliny u SCG. Kolektiv autorů [113] provedl celou řadu únavových zkoušek a zkoušek při creepovém (statickém) zatížení a nalezl mezi těmito testy lineární závislost v log-log souřadnicích. Uvedené zjištění naznačuje možnost použití únavových zkoušek pro predikci růstu creepové trhliny u polyethylenu za podstatně kratší experimentální čas, než bylo publikováno v pracích [84,85].

strana

19

strana

20

Experimentální metody ke stanovení odolnosti proti SCG

4 EXPERIMENTÁLNÍ METODY PRO STANOVENÍ ODOLNOSTI PROTI SCG U MATERIÁLŮ POUŽÍVANÝCH K VÝROBĚ POLYMERNÍCH TRUBEK Vzhledem k tomu, že je životnost polymerních potrubí navrhována až na 100 let [28, 29, 76], je nemožné v reálném čase provést experimenty 1:1 pro odhad životnosti. Odolnost materiálu proti SCG a znalost mechanismu porušení materiálů používaných k výrobě polymerních trubek hraje významnou roli pro stanovení a predikci životnosti současně používaných i vyvíjených materiálů. Aby bylo možné v relativně krátké době predikovat životnost těchto materiálů, je třeba experimenty urychlit. To je možné několika způsoby, např. vytvořením vrubu ve zkušebním tělese, nahrazením statického zatěžování cyklickým, působením agresivního prostředí na zkušební těleso v průběhu experimentu, zvýšení teploty experimentu. Zásadní podmínkou pro platnost těchto zrychlených zkoušek je to, že se daný mechanismus porušení musí shodovat s mechanismem porušení při provozních podmínkách součásti [21]. Je tedy nezbytné využít znalostí mechanismů porušení a provést extrapolaci urychlených zkoušek na životnost polymerního materiálu při provozním zatížení [49]. V následujícím textu budou uvedeny vybrané experimentální metody, pomocí kterých lze popsat odolnost materiálu proti SCG. Mezi tyto typy zkoušek, patří zejména hydrostatický tlakový test [13], Notched pipe test (NPT) [43], Pensylvania Notch Test (PENT) [44], Full Notch Creep Test (FNCT) [45] a únavová zkouška Cracked Round Bar test (CRB test) [84].

4.1 Hydrostatický tlakový test Standardně používanou zkouškou pro stanovení životnosti polymerního potrubí, která je prováděna přímo na jeho části, je hydrostatický tlakový test [13]. Princip zkoušky spočívá ve stanovení dané hladiny obvodového napětí (koresponduje s vnitřním tlakem zatížené trubky) při teplotě 20°C, kdy trubka dosáhne životnosti 50 či 100 let. Obecně lze výsledky z hydrostatického testu polymerních potrubí (závislost obvodového napětí na čase do lomu) rozdělit do tří dílčích podoblastí odpovídajících různým mechanismům porušení [49, 70, 39, 83], obr. 9.

Obr. 9 Mechanismy porušení polymerního potrubí [38]

strana

21


Oblast I - tvárné porušení, kdy vlivem vysokého zatížení vnitřním tlakem dochází k velké plastické deformaci a následnému tvárnému porušení polymerního potrubí. Oblast II - kvazi-křehkého porušení, kde dochází k iniciaci trhliny a stabilnímu růstu creepové trhliny CCG (creep crack growth). Mechanismus tohoto porušení odpovídá pomalému šíření trhliny SCG. Oblast III – křehké porušení, oblast s velmi malou hodnotou obvodového napětí, kde mechanismus porušení je téměř nezávislý na hodnotě obvodového napětí. V této oblasti dochází vlivem dlouhodobého provozu součásti k chemické degradaci materiálu a následnému křehkému porušení trubky. Nejen u hydrostatického tlakového testu potrubí, ale i u dále uvedených metod je využíváno zvýšené teploty k urychlení zkoušky. Pro zkoušky polyethylenu se užívá teplot v rozsahu od 20°C do 80°C. Při této teplotě je zachován stejný mechanismus porušení a tato data lze extrapolovat zpětně na pokojovou teplotu. Na obrázku č. 10 jsou schematicky znázorněna výsledná naměřená data z hydrostatického tlakového testu v závislosti log(σhoop) na log(tf) pro různé teploty. Bylo zjištěno, že pomocí empirických metod lze naměřené data za zvýšených teplot extrapolovat a získat tak výsledky experimentu pro pokojovou teplotu [61, 87]. Možnost extrapolace za daných podmínek je z praktického hlediska důležitá, protože vede k výraznému zkrácení doby experimentu. Podstata experimentu spočívá v současném měření několika vzorků za pokojové teploty a za zvýšených teplot v rozsahu 40 – 80 °C. Zkoušky se po stanovené době, někdy i po dvou letech, přeruší a následně se za pomocí naměřených dat za zvýšených teplot i pokojové teploty provede extrapolace na pokojovou teplotu a dobu 50 či 100 let [13, 49]. Výsledky hydrostatického tlakového testu vysokohustotního polyethylenu pro různé teploty jsou zobrazeny na obrázku č. 11 [49]. Z výsledků je patrný přechod z tvárného do kvazi-křehkého mechanismu porušení materiálu.

Obr. 10 Schematické výsledky hydrostatické tlakové žkoušky polymerního potrubí [49]

strana

22


Obr. 11 Výsledky hydrostatické tlakové žkoušky polymerního potrubí [49] Na základě provozního zatížení polymerního potrubí lze říci, že tvárné porušení se vyskytuje jen zřídka a dochází k němu pouze vlivem náhlého přetížení. Tvárné porušení je pozorované převážně v laboratorních podmínkách. Zatížení vnitřním tlakem u běžného polymerního potrubí je výrazně nižší, než u kterého dochází k tvárnému porušení, a o celkové životnosti polymerního potrubí rozhoduje zejména oblast, kde dochází k růstu creepové trhliny při dlouhodobém působení nízkých napětí. Proto je této oblasti kvazi-křehkého porušení, nejen v této práci, věnována maximální pozornost.

4.2 Notched pipe test (NPT) [43] Zkouška NPT může probíhat na zařízení určených pro hydrostatický tlakový test. Postup experimentu je totožný s předchozím až na to, že jsou do části zkoušeného polymerního potrubí vytvořeny čtyři vruby, viz obr. 12. Vruby jsou tvaru V, jejich délka odpovídá vnějšímu průměru trubky, jsou axiálně orientované vzhledem k potrubí a rovnoměrně rozložené po obvodu trubky. Hloubka vrubů je volena tak, aby zbylá tloušťka stěny odpovídala 80% ± 2% původní tloušťky stěny trubky. Trubka je zatížena za teploty 80 °C vnitřním tlakem odpovídajícímu poměru vnějšího průměru a tloušťky stěny (SDR). Pomocí výsledku zkoušky, kterým je čas do lomu při dané hladině obvodového napětí, lze podobně jako u hydrostatického tlakového testu určit diagram obvodové napětí vs. čas do lomu.

4.3 Pensylvania Edge-Notch Test (PENT) [44] Experiment byl vyvinut Normanem Brownem a jeho spolupracovníky na Pensylvánské univerzitě [61] a následně standardizován. Zkušební tělesa mohou být vyrobeny z lisovaných desek nebo přímo výřezem z trubky, viz obr. 13. U tohoto experimentu je zkušební těleso opatřeno třemi vruby: hlavním a dvěmi bočními. Boční zářezy mají za cíl vyvolávat v průběhu experimentu podmínky rovinné deformace a hlavní zářez slouží jako iniciační místo, ze kterého dochází k růstu

strana

23


trhliny. Standardizované rozměry vzorku jsou 10 x 25 x 50 mm, dva boční zářezy zhotovené pomocí žiletky jsou hluboké 1 mm a hlavní vrub je hluboký 3,5 mm. Vzorek je zatížen konstantním napětím za zvýšené teploty 80°C. Zvýšená teplota a vruby na vzorku umožňují stanovení životnosti materiálu v kratší době. Výsledkem experimentu je měření závislosti otevření líců trhliny (COD) na čase t. Z těchto dat je možno určit některé parametry charakterizující odolnost materiálu proti SCG. Mezi tyto parametry lze zařadit: čas do začátku iniciace křehké trhliny, rychlost šíření pomalé trhliny d(COD)/dt a čas do lomu [76].

Obr. 12 Zkušební těleso pro Notched pipe test (upraveno z [106])

Obr. 13 Příprava zkušební tělesa a schéma zařízení pro PEN test (upraveno z [106])

4.4 Full Notch Creep Test (FNCT) [45] Test byl vyvinut kolektivem autorů [78] a v porovnání s PENT je u něj dosahováno kratšího času do lomu. Experimentální vzorek čtvercového průřezu 10x10x100 mm

strana

24


je na každé jeho straně v jedné rovině opatřen vrubem o hloubce 1,5 mm vyrobeným žiletkou, viz obr. 14. Zkušební vzorek může být vyroben jak z lisované desky, tak přímo ze stěny polymerního potrubí. Urychlení experimentu je způsobeno zvýšením teploty na 80°C a působením agresivního prostředí na zkušební těleso v průběhu experimentu. Nejčastěji se využívá ponoření vzorku do roztoku obsahující 2 % Arkopal N110 smíšeného s 98% demineralizované vody. Experiment je vhodný i pro nejnovější materiály používané pro výrobu polymerních potrubí, protože čas do lomu je přibližně desetkrát kratší než u zmiňovaného PEN testu. Nevýhodou FNCT experimentu je nemožnost sledování kinetiky porušování a diskutabilní je vliv Arkopalu N110 na mechanismus šíření trhliny. Výsledkem zkoušky je podobně jako u hydrostatického tlakového testu závislost napětí na čase do lomu, obr. 14 [22].

Obr. 14 Zkušební těleso a výsledky získané z FNCT [22]

4.5 Cracked Round Bar test (CRB test) [84] Experiment pro jeho urychlení využívá únavového zatěžování zkušebního tělesa. Metodiku experimentu charakterizující popis růstu trhliny u polymerních materiálů navrhl Pinter a kol. [84]. Zkušebním tělesem je těleso kruhového průřezu opatřené vrubem po jeho obvodu. Podstatou experimentu je na těchto zkušebních tělesech získat S-N křivky (logaritmická závislost napětí na počtu cyklů) pro různé hladiny napětí s rozdílným součinitelem asymetrie cyklu R. Dalším krokem je transformace předchozích naměřených dat s využitím přístupu lomové mechaniky do únavové křivky (FCG) s logaritmickou závislostí da/dt na K. Dále jsou data získaná v předchozím kroku vynesena do grafu závislosti log K na R a extrapolována pro R = 1 odpovídající statickému zatěžování, viz obr. 15.

strana

25


Obr. 15 Zkušební těleso pro CRB test a postup získání výsledků pro statické zatížení z únavových zkoušek [85] Na následujícím obr. č. 16 jsou vidět naměřená data z experimentů a z nich extrapolovaná data, pomocí nichž jsou získány jednotlivé únavové materiálové konstanty nutné pro stanovení rychlosti šíření únavové/creepové trhliny. Takto určená křivka pro statické zatěžování (R = 1) odpovídá růstu creepové trhliny (SCG) u polymerních materiálů. Nevýhodou této metody je nutnost extrapolace únavových dat na test s asymetrií cyklu R = 1. Výhodou je měření dat za pokojové teploty a růst trhliny bez chemického ovlivnění detergentem.

Obr. 16 Experimentální data z CRB testu a jejich extrapolace k získání únavových materiálových konstant pro popis šíření creepové trhliny [22]

strana

26

Lineárně elastická lomová mechanika

5 LINEÁRNĚ ELASTICKÁ LOMOVÁ MECHANIKA Popisem pole napětí v okolí vrcholu trhliny a jejím chováním se zabývá lomová mechanika, která vychází z mechaniky kontinua a využívá klasickou teorii pružnosti. V případě, že u tělesa předpokládáme platnost Hookova zákona, tedy lineárně-elastickou odezvu materiálu, lze pro popis pole napětí použít LELM [1, 57, 107]. Popis pomocí LELM je omezen malou plastickou deformací před čelem trhliny, resp. rozměr plastické zóny v okolí vrcholu trhliny musí být mnohem menší než délka trhliny nebo charakteristický rozměr tělesa (podmínka small scale yielding). Jestliže velikost plastické zóny nesplňuje tuto podmínku, je nutné použít přístupu elasto-plastické lomové mechaniky (EPLM). V případě trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní, je nutno tento přístup zobecnit a použít přístupu zobecněné lineárně elastické lomové mechaniky [47, 65, 71]. Pro zobecnění těchto postupů je nezbytné stanovení exponentu singularity napětí a hodnoty zobecněného součinitele intenzity napětí. Popisem pole napětí pro trhlinu s vrcholem na rozhraní dvou elastických materiálů se v minulosti zabývali např. [7, 16, 17, 12]. Většina dostupných prací se zabývá chováním trhliny s vrcholem na bi-materiálovém rozhraní křehkých, obvykle keramických laminátů [47, 65, 73, 74, 75]. V těchto pracích byla na základě výsledků z 2D numerických simulací a užití kritérií stability provedena predikce křehkého porušení keramického laminátu, která byla v dobré shodě s experimenty. Chování trhliny šířící se kolmo na rozhraní dvou polymerních materiálů lze popsat fenomenologicky podobně. Vychází se z rozdělení napětí pro bi-materiálové těleso s trhlinou na rozhraní dvou materiálů a je třeba uvážit určitá specifika polymerních materiálů, jako je časová závislost materiálových vlastností nebo specifický mechanismus porušení. Při zatěžování vrstevnatého materiálu dochází typicky k postupnému šíření trhliny směrem z místa její iniciace v blízkosti povrchu směrem k materiálovému rozhraní, následnému růstu podél rozhraní a růstu přes materiálové rozhraní. Postupný růst trhliny, kdy vlivem existence materiálového rozhraní dochází ke změně jejího tvaru, je schematicky znázorněn na obr. č. 17.

Obr. 17 Vliv existence materiálového rozhraní na růst povrchové trhliny u vícevrstvého tělesa V celém rozsahu práce se zabýváme specifickým zatěžováním polymerního materiálu, kdy dochází k porušení vlivem pomalého šíření creepové trhliny. V tomto speciálním případě je ve shodě s publikovanou literaturou zabývající se porušením polymerních materiálů využita lineárně elastická lomová mechanika k popisu chování trhliny [24, 42, 93, 80]. Proto se předpokládají jednotlivé materiály vícevrstvého tělesa elastické, izotropní, charakterizované elastickými materiálovými konstantami (modulem pružnosti v tahu E a Poissonovým číslem ν). Změnu materiálových vlastností přes rozhraní (elastic mismatch) lze charakterizovat poměrem modulů pružnosti jednotlivých materiálů E1/E2 za předpokladu totožného strana

27


nebo velmi podobného Poissonova čísla jednotlivých materiálů. Vzhledem k existenci materiálového rozhraní je nutné popis růstu trhliny pomocí LELM rozdělit do několika fází: a) trhlina s vrcholem v homogenním materiálu v dostatečné vzdálenosti od materiálového rozhraní b) trhlina s vrcholem v blízkosti materiálového rozhraní c) trhlina s vrcholem na materiálovém rozhraní d) trhlina po průchodu materiálovým rozhraním Níže uvedený popis šíření trhliny v jednotlivých fázích jejího růstu předpokládá platnost lineárně elastické lomové mechaniky.

5.1 Napjatost v okolí vrcholu trhliny Trhlina v materiálu (reprezentována jako geometrická nespojitost) je koncentrátor napětí, v jehož okolí má rozdělení napětí σij vzhledem ke vzdálenosti od vrcholu trhliny r singulární charakter, viz obr. 18. Singulární rozdělení napětí vzhledem ke vzdálenosti r od koncentrátoru napětí lze napsat následovně: 1 σ ij ≈ p . (1) r

Obr. 18 Průběh singulárního pole napětí v okolí vrcholu trhliny Exponent singularity napětí p může obecně nabývat komplexních hodnot, kde reálná část hodnot leží v intervalu (0;1). Pole napětí může být charakterizováno i větším počtem singulárních členů. Obecným singulárním koncentrátorem napětí může být studovaná trhlina s vrcholem na materiálovém rozhraní, V-vrub, bi-materiálový vrub, trhlina ležící v rozhraní materiálu atd. V případě vícevrstvých struktur závisí skutečná hodnota p a počet singularit na elastických konstantách obou materiálů, stejně jako na orientaci trhliny vzhledem k materiálovému rozhraní [7, 66]. Poznamenejme, že ostrá trhlina v homogenním tělese je speciálním případem obecného koncentrátoru napětí s exponentem singularity napětí p = 0,5 [111]. Popis pole napětí v okolí vrcholu trhliny zatíženého tělesa předpokládá splnění rovnic rovnováhy, rovnic kompatibility a také platnost zobecněného Hookova zákona. Mezi prvními, kdo uveřejnili řešení pro pole napětí v okolí vrcholu trhliny, byli Westergaard [109], Irwin [42], Sneddon [100] a Williams [111]. Při matematické úpravě zmiňovaných rovnic a zavedením tzv. Airyho funkce napětí Φ( x, y ) , viz např. [9], lze získat biharmonickou rovnici ve tvaru: ∂ 4 Φ ( x, y ) ∂ 4 Φ ( x, y ) ∂ 4 Φ ( x, y ) + 2 (2) + = ∇ 2 ∇ 2 Φ ( x , y ) = ∇ 4 Φ ( x, y ) = 0 ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4

strana

28


V rovnici (2) představuje ∇ 2 Laplaceův operátor. Přístupů k řešení předchozí rovnice je několik, z nichž nejznámější a nejčastěji používaný je Williamsův [111, 112] a Muskhelishviliho [69]. 5.1.1 Vrchol trhliny nacházející se v homogenním materiálu v dostatečné vzdálenosti od materiálového rozhraní V tomto případě lze na základě Williamsova rozvoje jednotlivé složky tenzoru napětí σij v okolí vrcholu trhliny popsat následujícím vztahem [1]: m ∞  K  σ ij =   f ij (θ ) + ∑ Am r 2 g ij( m ) (θ ) , (3) m =0  2πr  kde r, θ jsou polární souřadnice s počátkem ve vrcholu trhliny, K je tzv. součinitel intenzity napětí a fij je bezrozměrná funkce úhlu θ. Pro vyšší členy rozvoje parametr Am představuje amplitudu a gij(m) je bezrozměrná funkce úhlu θ m-tého členu. V blízkosti vrcholu trhliny, pro r → 0 , je první člen rozvoje nejvýznamnější, a proto se často ostatní členy při popisu napjatosti v okolí kořene trhliny zanedbávají. Pak hovoříme o jednoparametrové lomové mechanice. Podle způsobu zatížení tělesa s trhlinou rozlišujeme tři základní, vzájemně nezávislé zatěžovací módy, kterým přísluší patřičné součinitele intenzity napětí KI, KII, KIII – otevírací (I), rovinný smyk (II) a antirovinný smyk (III), viz obr. 19.

Obr. 19 Zatěžovací módy tělesa s trhlinou Druhý člen Williamsova rozvoje je konstantní a odpovídá tzv. T-napětí. Často se pomocí tohoto členu zpřesňuje popis v případech, kde je jednoparametrový popis nedostatečný. Metod pro stanovení hodnoty součinitele intenzity napětí v homogenním tělese existuje celá řada [79]. Univerzálními metodami jsou metody založené na numerickém přístupu (zejména metoda konečných prvků a metoda hraničních prvků). Pro často se opakující geometrické konfigurace tělesa s trhlinou byly vytvořeny tabulky, grafy nebo empirické vztahy pro určení K [68, 99]. Při použití numerického přístupu, např. pomocí metody konečných prvků, lze využít několik způsobů, jak součinitel intenzity napětí stanovit. Jednou z metod, kterou lze stanovit lomové parametry, je tzv. přímá metoda. Princip této metody je založen na porovnání výsledků pole napětí z numerického řešení, získaného např. pomocí metody konečných prvků, a řešení analytického [34, 41, 79]. Přímá metoda má univerzální použití a je poměrně jednoduchá na implementaci.

strana

29


V případě zatížení tělesa s trhlinou v módu I je rozhodující složkou napětí složka otevíracího napětí. Na obrázku č. 20 jsou schématicky zakresleny výsledky získaných hodnot KI* na vzdálenosti od kořene trhliny r. Provedením lineární regresní analýzy s výjimkou bodů v blízkém okolí vrcholu trhliny a extrapolací do kořene trhliny (r = 0) získáme hledanou hodnotu lomového parametru KI.

Obr. 20 Určení lomových parametrů pomocí přímé metody Je nutno podotknout, že přesnost této metody závisí na hustotě konečnoprvkové sítě v okolí vrcholu trhliny (dochází k nárůstu výpočetních časů) a na volbě extrapolované oblasti. Pro dostatečnou přesnost výsledků je nutné provést citlivostní analýzu velikosti konečnoprvkové sítě v okolí vrcholu trhliny a velikosti extrapolované oblasti na hodnotu lomového parametru. Další rozšířenou metodou pro určení součinitele intenzity napětí je využití speciálních trhlinových prvků, které vzniknou posunutím prostředních uzlových bodů do jedné čtvrtiny délky u izoparametrického elementu. Tato úprava vede na singularitu typu r-1/2 ve vrcholu trhliny. Součinitel intenzity napětí se potom určí přímo z posuvů na tomto prvku [6, 40, 53]. Výhodou této metody jsou menší nároky na síť konečných prvků a jednodušší automatizace výpočtu (vzhledem k předchozí metodě odpadá nutnost extrapolace napětí). Součinitele intenzity napětí pro těleso s trhlinou lze také stanovit použitím energetických metod, založených na hnací síle trhliny nebo J-integrálu [14, 81, 90]. Pomocí tohoto postupu lze získat poměrně přesné výsledky bez nutnosti velkého zjemnění sítě konečných prvků. Nevýhodou těchto metod je, že apriori neoddělují jednotlivé módy zatížení. 5.1.2 Vrchol trhliny v blízkosti bi-materiálového rozhraní Jestliže se vrchol trhliny dostane do blízkosti materiálového rozhraní, dochází k ovlivnění napjatosti v okolí vrcholu trhliny skokovou změnou materiálových vlastností. Pro tento případ konfigurace trhliny lze vztah pro pole napětí formálně zapsat jako [3, 36]:

σ ≈δ

λ−

1 2

1 2

r ,

(4)

kde δ je vzdálenost vrcholu trhliny od materiálového rozhraní a λ je vlastní číslo. Pro případ, kdy je vrchol trhliny na materiálovém rozhraní, lze vlastní číslo λ určit z charakteristické rovnice, viz dále. Na základě tohoto charakteristického pole napětí v okolí vrcholu trhliny v blízkosti materiálového rozhraní dochází vlivem poměru

strana

30


elastických materiálových vlastností E1/E2 buď k poklesu, nebo k nárůstu hodnoty součinitele intenzity napětí KI. Jestliže se trhlina šíří z poddajnějšího materiálu do tužšího (E1<E2), obr. 21a), dochází k poklesu součinitele intenzity napětí v blízkosti rozhraní. Jestliže je E1>E2, dochází k opačnému efektu, což je patrné na obr. 21b). Dosažení limitních hodnot součinitele intenzity napětí je vlivem existence procesní zóny před čelem trhliny fyzikálně nemožné, což umožňuje nárůst trhliny až na materiálové rozhraní.

Obr. 21 Vliv blízkosti materiálového rozhraní na hodnotu součinitele intenzity napětí u šířící se trhliny [67]. 5.1.3 Vrchol trhliny na materiálovém rozhraní Jestliže vrchol trhliny dosáhne materiálového rozhraní ( p ≠ 0,5 ), hovoříme o této konfiguraci jako o obecném koncentrátoru napětí. Pro popis pole napětí u trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní nelze použít klasický přístup LELM, ale je možné tento přístup zobecnit [47, 65, 71]. Obecné koncentrátory napětí lze popsat pomocí zobecněné lomové mechaniky, např. parametrem zvaným zobecněný součinitel intenzity napětí H. Pole napětí v okolí trhliny obecně orientované pod úhlem ϕ vzhledem k materiálovému rozhraní, viz obr. 22a), a s vrcholem na tomto rozhraní lze popsat následujícím vztahem [72]: H1 H2 σ ij = f ij1 (φ ,θ , p1 , α D , β D ) + f ij 2 (φ ,θ , p 2 , α D , β D ) . (5) p1 2π r 2π r p2 Ze vztahu (5) vyplývá, že u obecného koncentrátoru napětí, resp. u trhliny obecně orientované k materiálovému rozhraní existují dva reálné exponenty singularity napětí p1, p2. Každému exponentu singularity napětí odpovídá zobecněný součinitel intenzity napětí H1, resp. H2, které v sobě zahrnují oba zatěžovací módy (otevírací a smykový). Ve vztahu (5) jsou r, θ polární souřadnice s počátkem ve vrcholu trhliny, fij je známá funkce, αD, βD jsou Dundursovy parametry [15], které jsou funkcí elastických konstant obou materiálů. Pokud se omezíme pouze na trhlinu orientovanou kolmo k tomuto rozhraní (ϕ = 90°), viz obr. 22b), existuje pouze jeden exponent singularity napětí a pole napětí v okolí vrcholu trhliny má v tomto případě tvar [52]: H σ ij = f ij (θ , p, α , β ) , (6) 2π r p

strana

31


kde α a β jsou kompozitní parametry jejichž definice není shodná s parametry definovanými v [15], a význam ostatních členů je totožný s předchozím vztahem. Exponent singularity napětí p lze určit buď analyticky pomocí okrajových podmínek, nebo pomocí numerických metod ze znalostí pole posuvů v okolí kořene trhliny. V této práci je pro nalezení hodnoty p pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní použito analytického přístupu. Hodnotu exponentu singularity napětí p lze určit ze známé hodnoty λ pomocí vztahu: p = 1 – λ, (7) kde vlastní číslo λ získáme pro trhlinu orientovanou kolmo k materiálovému rozhraní řešením charakteristické rovnice ve tvaru [58, 71]: λ2 (− 4α 2 + 4αβ ) + 2α 2 − 2αβ + 2α − β + 1 + (− 2α 2 + 2αβ − 2α + 2β )cos(λπ ) = 0 (8) kde α, β jsou kompozitní parametry: E1 (1 + ν 2 ) − (1 + ν 1 ) E E2 , β = 1 pro rovinnou napjatost a α= E2 4

(9)

E1 1 + ν 1 ⋅ −1 E1 1 − ν 22 E2 1 +ν 2 α= ⋅ pro rovinnou deformaci. , β= (10) E 2 1 − ν 12 4(1 − ν 1 ) Nalezení hodnoty exponentu singularity napětí pomocí numerických metod spočívá v interpolaci otevíracích posuvů líců trhliny v závislosti na vzdálenosti od kořene trhliny v log-log souřadnicích. Lineární regresí bodů, s výjimkou několika blízkých vrcholu trhliny, získáme rovnici přímky, kde hodnota exponentu singularity napětí je rovna p = 1 – λ, kde λ je směrnice přímky lineární regrese. Vzhledem k nutnosti velmi jemné sítě v okolí vrcholu trhliny, závislosti hodnoty exponentu singularity napětí na velikosti extrapolované oblasti a numerickým chybám v blízkosti vrcholu trhliny dochází často k nepřesnému určení exponentu singularity napětí pomocí této metody.

a)

b)

Obr. 22 Orientace trhliny vzhledem k rozhraní materiálů Vztah pro pole napětí v okolí vrcholu trhliny kolmé k rozhraní a s vrcholem ležícím na rozhraní dvou elastických materiálů (6) lze pro jednotlivé složky tenzoru napětí [19, 71] rozepsat následovně:

strana

32


[(2 f R − g R ) cos(λ − 1)θ − (2 f I − g I ) sin (λ − 1)θ − 2π − (λ − 1)( f R cos(λ − 3)θ − f I sin(λ − 3)θ )]

σ xx = λr λ −1

H

[(2 f R + g R ) cos(λ − 1)θ − (2 f I + g I ) sin (λ − 1)θ + 2π + (λ − 1)( f R cos(λ − 3)θ − f I sin(λ − 3)θ )]

σ yy = λr λ −1

H

(11)

[ g R sin (λ − 1)θ + g I cos(λ − 1)θ + , 2π + (λ − 1)( f R sin(λ − 3)θ + f I cos(λ − 3)θ )]

σ xy = λr λ −1

H

kde pro materiál M1, viz obr. 22, je:

f R (λ ) =

β [1 + α + (2αλ − α ) cos λπ ] D(λ )

(12)

− β [(2αλ − α )sin λπ ] D(λ )

(13)

f I (λ ) =

g R (λ ) =

[

(

)

− β λ + αλ + 2αλ 2 + αλ − α cos λπ + (1 + α ) cos 2λπ D(λ )

g I (λ ) =

β [(2αλ 2 + αλ − α )sin λπ + (1 + α )sin 2λπ ] D(λ )

(

)

D(λ ) = 1 + 2α + 2α 2 − 2 α + α 2 cos λπ − 4α 2 λ2

]

(14)

(15) (16)

A pro materiál M2:

f R = 1, f I = g I = 0

g R (λ ) = λ − cos λπ −

(17)

β [α + 2λ − (1 + 2α − 4αλ 2 )cos λπ + (1 + α ) cos 2λπ ] . (18) D(λ )

Z uvedených vztahů vyplývá, že pole napětí v okolí trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní je závislé na hodnotě exponentu singularity napětí p, na elastických materiálových konstantách obou materiálů a polárních souřadnicích. Toto pole lze pro zatěžující mód I charakterizovat pomocí jednoho parametru - zobecněného součinitele intenzity napětí HI. Obdobně tomu je v případě trhliny v homogenním tělese, kde lze pole napětí popsat pomocí součinitele intenzity napětí KI. Na tomto místě je nutné podotknout rozdílnost jednotek součinitele intenzity napětí KI [MPa m1/2] a zobecněného součinitele intenzity napětí HI [MPa mp]. Proto je přímá aplikace známých materiálových charakteristik obtížná a je třeba definovat vhodné kriterium stability trhliny [51]. Je zřejmé, že při aplikaci přístupu zobecněné lomové mechaniky na trhlinu v homogenním tělese, kde p = 0,5 a hodnota zobecněného součinitele intenzity napětí přejde v hodnotu součinitele intenzity napětí, KI = HI.

strana

33


5.1.4 Trhlina po průchodu materiálovým rozhraním Jestliže trhlina projde skrze materiálové rozhraní, lze následně použít již dříve uvedených vztahů pro popis pole napětí v okolí jejího vrcholu. Exponent singularity napětí p je roven 0,5 a při popisu pole napětí v okolí vrcholu trhliny lze postupovat analogicky jako v případě kapitoly 5.1.1.

5.2 Chování trhliny v homogenním materiálu V práci uvedené vztahy pro součinitel intenzity napětí a pro zobecněný součinitel intenzity napětí vyjadřují pole napětí v okolí koncentrátoru napětí pomocí parametru, který jednoznačně určuje napjatost v tělese. Abychom byli schopni určit, zda a jakým způsobem (stabilně či nestabilně) se při daném způsobu namáhání bude trhlina v konstrukci dále šířit, je nutné tyto zjištěné parametry porovnat s experimentálně naměřenými materiálovými charakteristikami. Při růstu trhliny v polymerním materiálu dochází z počátku k pomalému stabilnímu růstu trhliny [11, 62], v závislosti na napětí nebo velikosti trhliny se trhlina prodlužuje vlivem spojování dutin na jejím čele [48, 60]. V blízkosti oblasti nestabilního růstu se prudce zvyšuje rychlost šíření trhliny a nakonec dochází k náhlému přechodu do nestabilního šíření - lomu. Závislost rychlosti růstu creepové trhliny na hodnotě součinitele intenzity napětí lze rozdělit do tří podoblastí, viz obr. 23.

Obr. 23 Závislost rychlosti růstu creepové trhliny na hodnotě součinitele intenzity napětí První oblastí je oblast prahového šíření trhliny. K šíření creepové trhliny v této oblasti dochází za podmínky, že hodnota součinitele intenzity napětí KI je větší než prahová hodnota součinitele intenzity napětí Kth, která je materiálovou charakteristikou. Jestliže je Kth < KI < KIC, dochází ke stabilnímu růstu trhliny. Ve střední oblasti křivky da/dN vs. KI (oblast II) je závislost rychlosti šíření trhliny na hodnotě součinitele intenzity napětí v log-log souřadnicích lineární. Přechodem do třetího stádia růstu trhliny (oblast III) dochází k prudkému nárůstu rychlosti šíření trhliny a následně k jejímu nestabilnímu růstu. K nestabilnímu růstu trhliny dochází

strana

34


za podmínky, že vypočítaná hodnota součinitele intenzity napětí je větší nebo rovna hodnotě lomové houževnatosti KIC daného materiálu. Podmínku nestabilního šíření trhliny pro homogenní těleso s trhlinou lze tedy psát v následujícím tvaru: K I ≥ K IC . (19) Průběh závislosti rychlosti šíření trhliny na hodnotě součinitele intenzity napětí v oblasti stabilního růstu trhliny lze proložit libovolnou funkcí. Nejjednodušší a nejčastěji používanou funkcí pro popis rychlosti šíření creepové trhliny da/dt ve střední oblasti stabilního růstu je funkce ve tvaru: da m (20) = A⋅ KI , dt kde K I je součinitel intenzity napětí, A a m jsou materiálové konstanty. V případě znalostí materiálových konstatnt, počátečního defektu aini, kritické délky trhliny ac a K-kalibračních křivek (závislost součinitele intenzity napětí na hloubce trhliny) lze z funkce (20) za pomoci (numerické) integrace odhadnout čas do lomu součásti: a 1 C 1 (21) tf = ⋅ ∫ ⋅ da . A aini K I m Odhad času do lomu tělesa s trhlinou na základě předchozího vztahu je konzervativní a nebere do úvahy pokles rychlosti šíření v blízkosti prahových hodnot. Uvedený přístup pro odhad času do lomu je platný pro trhlinu v homogenním materiálu charakterizovanou součinitelem intenzity napětí. Pro hodnocení stability pro obecný koncentrátor napětí je nutné nalézt relaci mezi zobecněným součinitelem intenzity napětí a součinitelem intenzity napětí (stanoveným pro homogenní těleso).

strana

35

strana

36

Formulace problému a cíle práce

6 FORMULACE PROBLÉMU A CÍLŮ PRÁCE Rostoucí výskyt vícevrstvých konstrukcí si žádá nový komplexní popis mechanismu jejich porušení, který vezme do úvahy i šíření trhliny přes materiálové rozhraní. Tato problematika je nosným tématem předložené disertační práce. Pro přesný odhad vlivu rozhraní je třeba studovat jak chování trhliny blížící se k materiálovému rozhraní, tak i samotné šíření trhliny přes bi-materiálové rozhraní. K těmto účelům je nezbytné zobecnění klasických přístupů lomové mechaniky pro popis obecného koncentrátoru napětí, jakým je trhlina na rozhraní dvou různých materiálů. Výsledky této obecné metodologie budou aplikovány na případ vícevrstvých polymerních trubek. Cíle disertační práce lze shrnout do následujících bodů: -

S využitím metody konečných prvků navrhnout a vytvořit relevantní numerický model vícevrstvé struktury, který bude umožňovat stanovení součinitele intenzity napětí podél čela trhliny v homogenním materiálu a stanovení zobecněného součinitele intenzity napětí pro trhlinu s vrcholem na bimateriálovém rozhraní.

-

Pro trhlinu šířící se z počátečního defektu na povrchu tělesa pomocí 3D numerického modelu odhadnout tvar šířící se trhliny a vliv existence materiálového rozhraní na hodnotu součinitele intenzity napětí, respektive na residuální zbytkovou životnost.

-

Pro trhlinu s vrcholem, resp. čelem na rozhraní dvou polymerních materiálů definovat vhodné kriterium stability pro šíření trhliny přes rozhraní. Pro trhlinu zakotvenou na rozhraní popsat její další šíření podél rozhraní.

-

Na základě navržené metodologie kvantifikovat vliv polymerního rozhraní na šíření trhliny. Definovat případy kdy je tento vliv významný a vyslovit doporučení vedoucí ke zvýšení životnosti vrstevnatých polymerních materiálů (zejména v aplikaci na vícevrstvé polymerní trubky).

strana

37

strana

38

Postup řešení zadané problematiky

7 POSTUP ŘEŠENÍ ZADANÉ PROBLEMATIKY V úvodu práce byly uvedeny teoretické předpoklady a metody nezbytné pro popis porušování vícevrstvých prostředí. Byly uvedeny postupy pro nalezení lomových parametrů jak pro trhlinu s vrcholem v homogenním materiálu, tak pro obecný koncentrátor napětí, resp. trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní. Pro popis tohoto pole napětí bude v práci využito kombinace analytického řešení s numerickým řešením za pomoci metody konečných prvků. Rozhodujícím faktorem pro životnost vícevrstvé konstrukce je růst povrchové trhliny k materiálovému rozhraní, interakce trhliny s tímto rozhraním a případný růst trhliny přes materiálové rozhraní. V celé práci se předpokládá splnění podmínek použitelnosti lineárně elastické lomové mechaniky. Tato podmínka je pro polymery platná díky specifickému provoznímu zatížení polymerních potrubí a mechanismu poškození odpovídající SCG [34, 39]. Materiály jednotlivých vrstev jsou předpokládány izotropní a homogenní. Předpokládá se ideální adheze mezi materiály jednotlivých vrstev a skoková změna materiálových vlastností při přechodu přes rozhraní dvou materiálů. Na povrchu vícevrstvého tělesa se předpokládá existence defektu typu trhlina, která se vlivem dalšího zatěžování šíří tímto tělesem. V případě trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní se v celé práci, pokud není uvedeno jinak, předpokládají líce trhliny orientované kolmo k materiálovému rozhraní.

7.1 Růst trhliny v homogenním materiálu V počátečním stádiu porušování vícevrstvé konstrukce dochází nejčastěji k postupnému růstu trhliny z defektu na jejím povrchu směrem k materiálovému rozhraní, viz obr. 24. Jestliže se vrchol trhliny nachází v homogenním materiálu, lze pole napětí v okolí vrcholu trhliny popsat pomocí jednoho parametru - součinitele intenzity napětí, jak již bylo uvedeno v kapitole 5.1.1. Pro nalezení hodnoty součinitele intenzity napětí lze využít různých metod. Obecnou metodou pro nalezení parametrů charakterizující pole napětí v okolí čela trhliny je díky jednoduché interpretaci výsledků pro 3D řešení tzv. přímá metoda.

Obr. 24 Schéma růstu trhliny směrem k materiálovému rozhraní Ke stanovení hodnot součinitele intenzity napětí podél čela trhliny bylo nutné vytvořit relevantní numerický model, obr. 25, který umožňoval použití přímé metody pro stanovení součinitele intenzity napětí v několika místech podél čela trhliny, viz obr. 26. U uvažovaného tělesa se předpokládá trhlina s poloeliptickým tvarem, charakterizovaná poměrem os elipsy b/a, u které dochází vlivem zatížení k jejímu dalšímu růstu.

strana

39


Obr. 25 Numerický model dvouvrstvého polymerního potrubí s vnitřní poloeliptickou trhlinou. Na detailu je vidět značné zjemnění konečnoprvkové sítě okolo čela trhliny

Obr. 26 Extrapolační cesty ke stanovení součinitele intenzity napětí KI podél čela trhliny Pro nalezení správného tvaru šířící se trhliny bylo využito předpokladu, že stabilní růst trhliny probíhá za konstantní hodnoty součinitele intenzity napětí podél jejího čela [5, 8, 31, 37]. Na základě tohoto předpokladu byl vytvořen algoritmus, který pro danou hloubku trhliny vyhodnotí velikost součinitele intenzity napětí v jednotlivých bodech podél čela trhliny pomocí přímé metody. Pomocí zjištěných hodnot je pak optimalizován tvar eliptického čela trhliny tak dlouho, dokud není hodnota součinitele intenzity napětí podél čela konstantní [II]. Průběh součinitele intenzity napětí podél čela trhliny z numerických metod u neoptimalizovaného a optimalizovaného tvaru trhliny je zobrazen na obr. 27. Po optimalizaci tvaru trhliny pro danou hloubku následuje přírůstek hloubky trhliny a celý proces optimalizace tvaru čela trhliny se opakuje. Detailnější popis této metody je uveden v práci [104, II]. Této metody je například využito v práci [33], kde je uveden vztah pro stanovení součinitele intenzity napětí, který je použitelný pro růst trhliny z vnitřního povrchu homogenního potrubí zatíženého vnitřním tlakem. Na tomto místě je nutno podotknout, že při hledání tvaru čela trhliny jsou z řešení vyjmuty oblasti čela trhliny strana

40


v blízkosti volného povrchu tělesa, neboť zde dochází k ovlivnění pole napětí vlivem přítomnosti rohové singularity napětí [31, 103, II]. Na základě takto uvedeného postupu lze nejen nalézt tvar šířící se trhliny, ale také pro dané těleso s trhlinou určit tzv. K-kalibrační křivku (závislost součinitele intenzity napětí na hloubce trhliny pro skutečný tvar šířící se trhliny) a následně při znalosti materiálových charakteristik odhadnout životnost tělesa s trhlinou. V případě vícevrstvého tělesa lze u trhliny v porušené první vrstvě pozorovat vliv materiálového rozhraní a materiálových vlastností jednotlivých vrstev na tvar trhliny, respektive hodnotu součinitele intenzity napětí a to až do doby, kdy vrchol trhliny dosáhne materiálového rozhraní. Jestliže trhlina dosáhne materiálového rozhraní, nelze již pro popis pole napětí v okolí vrcholu trhliny použít součinitel intenzity napětí. Jak již bylo uvedeno v kap. 5.1.3, je nutné použít postup beroucí v úvahu exponent singularity napětí p ≠ 0,5. 0.15

hloubka trhliny a = 0.2 mm, b = 1.2a

0.145

hloubka trhliny a = 0.2 mm, b = a

0.14

1/2

KI [MPa.m ]

0.135 0.13

nulová směrnice => skutečná šířka trhliny 2b

0.125 0.12 0.115 0.11

kladná směrnice => zvětšit šířku trhliny 2b

0.105 0.1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

i-tý bod na čele trhliny

Obr. 27 Průběh součinitele intenzity napětí podél čela trhliny u neoptimalizovaného a optimalizovaného tvaru poloeliptické trhliny

7.2 Trhlina s vrcholem na materiálovém rozhraní Pro stanovení zobecněné hodnoty součinitele intenzity napětí je možno využít přímé metody, a to podobným postupem, jako tomu bylo u součinitele intenzity napětí. V případě trhliny kolmé k materiálovému rozhraní je nejdříve nutné stanovit kompozitní parametry (9) nebo (10) a následně pomocí vlastního čísla λ získat ze vztahu (7) hodnotu exponentu singularity napětí. U trhliny kolmé k materiálovému rozhraní existuje pro vlastního čísla λ a pro danou kombinaci E1, E2 a ν1, ν2 pouze jedno řešení vztahu (8). Při znalosti materiálových vlastností jednotlivých vrstev a exponentu singularity napětí z výše uvedeného postupu lze hodnotu zobecněného součinitele intenzity napětí pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní nalézt pomocí přímé metody analogicky stejně jako v případě trhliny s vrcholem v homogenním materiálu, viz kapitola 5.1.1. Při použití přímé metody ke stanovení

strana

41


zobecněného součinitele intenzity napětí pro mód I je nutné porovnání numerického řešení pole napětí s analytickým řešením v oblasti před čelem trhliny, odpovídající analytickému vztahu (11) pro otvírací napětí σyy. Pro trhlinu kolmou k materiálovému rozhraní zatíženou v módu I lze vztah (11) pro otevírací napětí ve směru šíření trhliny, tj. pro θ = 0 napsat v následující podobě: H σ θθ (r ,θ = 0) = σ yy (x, y = 0) = I (1 − p )(2 − p + g r )r − p , (22) 2π kde význam jednotlivých členů je uveden na straně 33. Porovnáním analytického a numerického řešení je získána závislost HI* na vzdálenosti od vrcholu trhliny r. Extrapolací hodnot HI* do vrcholu trhliny (r → 0) s výjimkou bodů v blízkosti vrcholu trhliny obdržíme hodnotu zobecněného součinitele intenzity napětí HI. Tuto hodnotu vzhledem k odlišnosti jednotek není možné porovnat s běžně měřenými lomovými materiálovými charakteristikami, např. prahovou hodnotou součinitele intenzity napětí Kth či lomovou houževnatostí KIC. Ke stanovení podmínky dalšího růstu trhliny je nutné aplikovat kritérium stability trhliny pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní. 7.2.1 Kritéria stability trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní Na základě kritérií stability lze rozhodnout, zda se trhlina ve vícevrstvé konstrukci s vrcholem na materiálovém rozhraní bude dále šířit. V případě, kdy se trhlina šíří, umožňují kritéria rozhodnout, zda je její šíření stabilní či nestabilní, a dále lze při stabilním šíření pomocí výsledků z numerických metod predikovat směr dalšího růstu čela trhliny. Pro trhlinu v homogenním tělese vychází kritérium stability ze vztahu (19). Obdobně je možno definovat kritérium stability pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní. Problematické je však nalezení zobecněného lomového parametru u trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní. Pomocí níže uvedených kritériií stability je možno nalézt tento kritický parametr, který je obecně funkcí materiálových vlastností jednotlivých vrstev. Pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní lze formulovat kritéria stability na základě různých přístupů. Všechna uvedená kritéria byla odvozena za předpokladu stejného mechanismu šíření trhliny v případě bi-materiálové tělesa s trhlinou i v případě trhliny v homogenním tělese, např. [54]. Pro určení stability kolmé trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní budou aplikována níže uvedená kritéria stability: kritérium založené na faktoru hustoty deformační energie, kritérium středního napětí, kritérium otevření líců trhliny (crack mouth opening displacement (CMOD)). Kriterium založené na faktoru hustoty deformační energie (SEDF) Pro trhlinu v homogenním materiálu byl faktor hustoty deformační energie odvozen Sihem [95, 96]. Hustota deformační energie je dána vztahem: ε ij

dW w= = σ ij dε ij , dV ∫0 kde σij a εij jsou odpovídající složky napětí a přetvoření, dV je objemový element. strana

42

(23)


U tělesa s trhlinou v homogenním materiálu při zatížení odpovídající módu I lze výraz pro faktor hustoty deformační energie psát v následující podobě [95]: dW 1 1 2 = a11 K I = ⋅ S , dV r r

(24)

kde konstanta a11 závisí na elastických materiálových vlastnostech tělesa. V případě trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní (vícevrstvé těleso s trhlinou) zatíženého módem I a kolmé k tomuto rozhraní má výraz pro zobecněnou hustotu deformační energie tvar [71, 74]:

dW (r , α , β ) = r −2 p A11 H I 2 , dV

(25)

kde konstanta A11 závisí na elastických materiálových vlastnostech obou složek. Ke kritickému růstu trhliny dojde za podmínky, že hodnota zobecněného faktoru hustoty deformační energie dosáhne kritické hodnoty ve vzdálenosti d před čelem trhliny. Pro homogenní materiál lze výraz pro kritickou hodnotu faktoru hustoty deformační energie psát v následující podobě:

1 1  dW  2   = a11 K C = S C . d  dV  C d

(26)

Za předpokladu, že v okamžiku šíření trhliny jsou si rovny kritické hodnoty zobecněného faktoru hustoty deformační energie jak v homogenním případě, tak i v případě trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní, lze mezi těmito veličinami nalézt vzájemnou relaci ve tvaru [71]:  1 − 2ν 2 HC SEDF =  2 2  (1 − p) 4(1 − 2ν 2 ) + (g r − p)

(

1

)

 2 p− 12  d KC ,  

(27)

kde p je exponent singularity napětí, ν2 je Poissonovo číslo materiálu M2, gr je známá funkce (18), d je délkový parametr. Uvedeným vztahem lze nalézt vzájemnou relaci mezi kritickým lomovým parametrem u homogenní konstrukce a kritickým lomovým parametrem vícevrstvé konstrukce s trhlinou kolmou k materiálovému rozhraní a s vrcholem na rozhraní materiálů.

Kriterium středního napětí (AS) Kritérium stability AS je vhodné zejména pro popis křehkého porušení [72]. Podmínka stability souvisí se středním napětím σ vypočítaným přes vzdálenost d před čelem trhliny. Šíření trhliny je kontrolováno otevíracím napětím ve směru šíření trhliny, tj. pro θ = 0. Pro mód I a trhlinu kolmou k rozhraní je vztah pro otevírací napětí σθθ dán vztahem (22). Střední napětí před čelem trhliny je dáno vztahem: d

1 σ = ∫ σ θθ (r ,θ = 0)dr . d0

(28)

strana

43


V případě trhliny v homogenním materiálu pro otevírací napětí platí vztah σ θθ (r ,θ = 0) = K I 2πr dr a pak pro střední napětí před čelem trhliny obdržíme:

σ=

d

1 KI d ∫0

2πr dr = 2 K I

2πd .

(29)

Pomocí předchozího vztahu můžeme vyjádřit vztah pro kritické napětí σ crit , při kterém dojde k růstu trhliny vlivem dosažení kritické hodnoty součinitele intenzity napětí KC:

σ crit =

d

1 σ θθ (r ,θ = 0 )dr = 2 K C d ∫0

2πd .

(30)

Pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní hodnota σ int odpovídá střednímu napětí σ (d , α , β ) stanovenému přes vzdálenost d před čelem trhliny:

σ int

d

1 = σ (d ,α , β ) = ∫ σ θθ (r ,θ = 0)dr = H I d − p (2 − p + g r ) . d0

(31)

Hodnota σ (d , α , β ) závisí na vzdálenosti d a na kompozitních parametrech α, β, respektive na elastických materiálových vlastnostech jednotlivých vrstev. K šíření trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní dojde za podmínky, když hodnota středního napětí σ (d , α , β ) dosáhne kritické hodnoty σ crit definované v (30). Podmínku šíření trhliny pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní lze napsat jako:

σ (d ,α , β ) > σ crit , resp. H I > H C AS ,

(32)

kde HC AS je kritická hodnota zobecněného součinitele intenzity napětí. Po matematických úpravách lze vztah pro HC AS vyjádřit v následující podobě [72]: p−

H C AS

1

2d 2 = KC , 2 − p + gr

(33)

kde význam jednotlivých členů je totožný se vztahem (27). Na základě uvedeného přístupu lze opět nalézt vzájemnou relaci mezi kritickým lomovým parametrem u homogenní konstrukce a kritickým lomovým parametrem vícevrstvé konstrukce s trhlinou kolmou k materiálovému rozhraní. Jak již bylo dříve zmíněno uvedená kritéria stability slouží pro výpočet kritického lomového parametru pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní HC. Hodnota HC závisí na geometrii, okrajových podmínkách, na kompozitních parametrech α, β, na délkovém parametru d a na kritickém lomovém parametru materiálu, do kterého se trhlina šíří. Pomocí parametru HC a ze znalosti HI z numerické analýzy a platnosti LELM je možno určit kritické napětí, při kterém se trhlina bude šířit přes rozhraní následovně:

σ crit =

strana

44

HC

H I (σ appl )

⋅ σ appl ,

(34)


kde HC je kritická hodnota lomového parametru, HI(σappl) je zobecněný součinitel intenzity napětí odpovídající aplikovanému zatížení σappl. Z předchozích dvou uvedených kritérií stability lze vyjádřit tzv. efektivní součinitel intenzity napětí Keff, kterým lze popsat pole napětí před čelem trhliny u trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní. Při použití kritéria stability založeném na faktoru hustoty deformační energie lze ze vztahu (27) vyjádřit vztah pro Keff v následující podobě:  1 − 2ν 2 Keff =  2 2  (1 − p) 4(1 − 2ν 2 ) + (gr − p)

(

−

)

1

 2 12 − p  d HI .  

(35)

Význam jednotlivých členů je totožný jako ve vztahu (27). Vzhledem k tomu, že efektivní součinitel intenzity napětí má jednotku MPa m1/2, která je totožná s jednotkou součinitele intenzity napětí pro trhlinu v homogenním tělese, je možné hodnotu Keff porovnat s materiálovou charakteristikou měřenou na homogenním tělese a stanovit, zda dojde či nedojde k růstu trhliny přes materiálové rozhraní. Kritérium otevření líců trhliny (crack mouth opening displacement (CMOD)) Kritérium stability CMOD je odvozeno za předpokladu, že otevření líců trhliny je řídící veličinou růstu trhliny. Vychází se z předpokladu, že otevření líců trhliny u homogenního tělesa a u porušené vrstvy s vrcholem trhliny na materiálovém rozhraní u vícevrstvého tělesa jsou totožné [32, 55], viz obr. 28. Pokud dochází v tělese k růstu trhliny, je aplikované zatížení σappl rovno napětí kritickému σcrit. Pro trhlinu v homogenním tělese je vztah pro kritickou hodnotu otevření líců trhliny následující [1]: 2 1 − ν 22 2t CMODcrit = KC . (36) E2 π

(

)

Pomocí uvedeného vztahu lze kritické otevření líců trhliny tělesa s trhlinou a kolmou k materiálovému rozhraní určit dosazením materiálových vlastností do uvedeného vztahu a substitucí t za délku trhliny a – tloušťka porušené vrstvy. Na základě numerických simulací lze pak stanovit rozevření líců trhliny a z něho pak kritické napětí σcrit, při jehož dosažení dojde k růstu trhliny z materiálového rozhraní. Výhodou tohoto kritéria je jeho jednoduchost a nezávislost na délkovém parametru d. Použitelnost kritéria je omezena u vícevrstvých těles podmínkou pro tloušťku porušené vrstvy, která musí být podstatně menší než tloušťka substrátu, na kterém je tato vrstva nanesena.

Obr. 28 Schématické znázornění předpokladu pro odvození kritéria stability založeném na otevření líců trhliny

strana

45


7.2.2 Růst trhliny podél materiálového rozhraní Na základě uvedených kritérií stability lze pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní stanovit, zda trhlina projde přes materiálové rozhraní či nikoli. Jak již bylo uvedeno v kapitole 5.1.3, existence materiálového rozhraní ovlivňuje pole napětí v okolí vrcholu trhliny. V závislosti na volbě materiálových vlastností jednotlivých vrstev vícevrstvého materiálu mohou nastat při existenci trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní následující stavy: trhlina projde přes materiálové rozhraní dojde k zastavení trhliny na materiálovém rozhraní trhlina se zakotví na materiálovém rozhraní a šíří se podél tohoto rozhraní do doby, než je na jednom z bodů jejího čela ležícím na materiálovém rozhraní dosažena kritická hodnota lomového parametru První případ zpravidla nastává, pokud je materiál, do kterého se trhlina šíří, poddajnější než materiál porušené vrstvy nebo za předpokladu nižší lomové odolnosti neporušeného materiálu. K zastavení, zpomalení růstu či zakotvení trhliny na materiálovém rozhraní dojde v opačném případě materiálových vlastností jednotlivých vrstev. Následující text bude věnován zakotvené trhlině na materiálovém rozhraní: není dosažena kritická hodnota lomového parametru a trhlina roste podél materiálového rozhraní, část čela trhliny leží na materiálovém rozhraní a dochází k podélnému růstu trhliny (narůstání rozměru 2b), viz obr. 29.

Obr. 29 Trhlina zakotvená na materiálovém rozhraní Pole napětí před čelem trhliny ležícím na materiálovém rozhraní (oblast mezi body A a B, viz obr. 29) je možné popsat pomocí zobecněného součinitele intenzity HI nebo také pomocí efektivní hodnoty součinitele intenzity napětí Keff. Pole napětí před čelem trhliny v porušené vrstvě (oblast mezi body B a C, viz obr. 29) lze popsat pomocí součinitele intenzity napětí KI. Trhlina se bude podél materiálového rozhraní šířit až do doby, kdy bude v jednom z bodů čela trhliny na materiálovém rozhraní dosaženo kritického lomového parametru a trhlina proroste do následující vrstvy. Vzhledem k tomu, že se u takto zakotvené trhliny na materiálovém rozhraní vyskytuje čelo trhliny v homogenním materiálu i na rozhraní dvou materiálů, je pro její predikci růstu trhliny a stanovení životnosti nutné využít výše popsanou metodiku pro růst trhliny ve vícevrstvém tělese.

strana

46

Vybrané výsledky a diskuze

8 VYBRANÉ VÝSLEDKY A DISKUZE V předchozím textu byly uvedeny nutné teoretické základy a byla popsána zvolená metodika pro řešení problematiky šíření trhliny v homogenních i vícevrstvých materiálech. Pro trhliny rostoucí ve vrstevnatých prostředích byly stanoveny relevatní lomové parametry a na základě popsaných kritérií bylo odhadnuto zvýšení odololnosti proti šíření trhliny díky použití vrstevnatých materiálů. Pro všechny popsané numerické simulace byl použit komerční sofware ANSYS pracující s metodou konečných prvků. V textu jsou uvedeny dosažené výsledky, z nichž některé jsou porovnány s experimentálními daty. Součástí této kapitoly je i diskuze obdržených výsledků, které byly získány na obecném složeném tělese s trhlinou, u homogenního a vícevrstvého polymerního potrubí s trhlinou. Aplikací zmíněných postupů lineárně elastické lomové mechaniky na popis šíření trhliny v různých případech je ukázáno, že tento přístup je obecně použitelný k hodnocení růstu trhliny u nehomogenních těles.

8.1 Stabilita trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní vícevrstvého laminátu 8.1.1 Kritická délka trhliny a kritéria stability Pro lomová kritéria založená na faktoru hustoty deformační energie nebo na středním napětí vystupuje ve vztahu pro stanovení kritického napětí (kritické hodnoty zobecněného součinitele intenzity napětí) tzv. kritická délka (detaily jsou uvedeny v kap.7.2.1). V literatuře není výklad tohoto parametru jednoznačný, nicméně nejčastěji se koreluje s velikostí plastické, resp. procesní zóny před čelem trhliny [97, 98, 105]. V práci [XV] byla provedena rešerše dostupné literatury s cílem nalézt vhodné vztahy pro výpočet kritické délky d. Ke kvantifikaci vlivu parametru d na velikost kritického napětí byl v programu Ansys vytvořen numerický model bimateriálového tělesa a určena hodnota zobecněného součinitele intenzity napětí. Na základě těchto výsledků pak byla variována lomová kritéria a velikost parametru d.

Obr. 30 Dvojdimenzionální numerický model tělesa s vrcholem trhliny na materiálovém rozhraní

strana

47


Numerický model bimateriálového tělesa je zobrazen na obr. 30. S využitím symetrie okrajových podmínek byla modelována pouze jedna polovina tělesa s trhlinou, jejíž vrchol leží na materiálovém rozhraní. Při modelování bylo využito podmínky rovinné deformace. Těleso mělo délku L = 100 mm, tloušťku ochranné vrstvy t1 = 2 mm a tloušťku základního materiálu t2 = 10 mm. Modul pružnosti v tahu základního materiálu byl E2 = 800 MPa (odpovídá polyethylenu), modul pružnosti v tahu ochranné vrstvy vycházel z parametrické studie, kde se poměr modulů pružnosti v tahu jednotlivých vrstev E1/E2 pohyboval v rozmezí od 0,5 do 2,5. Poissonovo číslo se předpokládalo u obou vrstev totožné, ν1 = ν2 = 0,35, lomová houževnatost materiálu M2 je KIC = 1,5 MPa m1/2 a pevnost v tahu σc = 30 MPa. Těleso s trhlinou bylo zatíženo jednotkovým tahovým napětím σappl = 1 MPa. Pro různé poměry modulů pružnosti jednotlivých vrstev a různé hodnoty parametru d byly na základě výsledků z numerických výpočtů a dříve uvedené metodiky založené na zobecněném součiniteli intenzity napětí (kap. 7.2.1) stanoveny hodnoty kritického zatížení σcrit, vztah (34). Velikost kritického napětí pro kritérium stability SEDF a kritérium AS pro vybrané tři velikosti parametru d jsou vykresleny na obr. 31. Hodnoty parametru d byly vypočteny dosazením materiálových vlastností do vybraných rovnic z rešeršní studie [XV, XX]. 2K d 1 =  IC π  σC

2

  [91] 

1  K IC d 2 =  π  1.122 σ C 1 d3 = 2π

 K IC   σC

(37)

2

  [92] 

(38)

  [26, 42] 

(39)

2

Obr. 31 Závislost kritického napětí na poměru modulů pružnosti v tahu jednotlivých vrstev pro různé velikosti parametru d; (a) kritérium založené na faktoru hustoty deformační energie, (b) kritérium středního napětí Velikost kritického napětí je závislá na materiálových vlastnostech jednotlivých vrstev a slabě na hodnotě parametru d. Je vidět, že pokud je velikost parametru d v souladu s literaturou a poměr E1/E2 není dramatický (což je pro strana

48


rozhraní dvou polymerních materiálů typické, obvykle bývá poměr E1/E2 v rozpětí od 0,5 do 1,5), lze rozdíly ve stanovení d zanedbat a určovat ho jednoduchým způsobem jako velikost plastické zóny před čelem trhliny ze vztahu (39) [26]. Pokud nebude uvedeno jinak, tak bude tento vztah použit pro stanovení kritické délky dále v textu. Závislost hodnoty kritického napětí je klesající s rostoucím poměrem E1/E2. To znamená, že růst trhliny přes rozhraní je s rostoucím poměrem E1/E2 snažší. Při porovnání s homogenním potrubím je kritický tlak pro poměry E1/E2 < 1 větší než v případě homogenního tělesa s trhlinou (E1/E2 = 1), tzn. větší odolnost proti růstu trhliny než u homogenního tělesa totožné tloušťky.

Obr. 32 Závislost kritického napětí na poměru modulů pružnosti v tahu jednotlivých vrstev: (a) porovnání kritérii stability pro totožnou kritickou délkou; (b) citlivostní analýza velikosti kritické délky u kritéria založeného na faktoru hustoty deformační energie Z porovnání výsledků σcrit získaných pomocí všech zmiňovaných kritérií stability pro hodnotu parametru d ze vztahu (38), viz obr. 32 (a), vyplývá, že rozdíl mezi jednotlivými kriterii stability roste s tím, jak se poměr E1/E2 více vzdaluje od hodnoty 1. Kritické napětí stanovené pomocí kritéria otevření líců trhliny je nezávislé na parametru d a vykazuje menší sklon křivky závislosti σcrit na E1/E2 než u zbylých dvou kritérií. Zde je nutné připomenout, že přesnost CMOD kritéria klesá s rostoucí tloušťkou porušené ochranné vrstvy, která je v tomto případě už poměrně velká. S ohledem na možnou tloušťku ochranných vrstev reálných polymerních komponent bude pro další analýzy využito kritérium SEDF a to proto, že pomocí tohoto kritéria jsou získány konzervativnější výsledky v případě poměru E1/E2 < 1, což je prakticky nejzajímavější případ. Dále byl studován vliv kritické délky d na hodnotu kritického napětí u SEDF kritéria, viz obr. 32 (b). Na základě provedené parametrické studie lze konstatovat, že pro aplikaci kritérií stability pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní dvou polymerních materiálů postačuje znalost řádu parametru d. Pro další výpočty bude preferenčně používáno kritérium založené na faktoru hustoty deformační energie (SEDF) s volbou parametru d dle vztahu (39).

strana

49


8.1.2 Porušení vícevrstvého laminátu s vrcholem trhliny na materiálovém rozhraní Poznatky z předchozí kapitoly týkající se volby parametru d a kriteria stability budou aplikovány na popis šíření trhliny zakotvené na materiálovém rozhraní u vícevrstvého laminátu. Ke stanovení lomových parametrů bude využito numerických metod a metodologie uvedené v teoretické části práce. Předpokládá se zakotvení trhliny na materiálovém rozhraní. Takto porušený tahově zatížený čtyřvrstvý laminát s porušenou povrchovou vrstvou je definován na obr. 33 [IV, VI, XIX]. Šířka vzorku laminátu byla 2B = 300 mm, celková výška laminátu 2H = 400 mm a tloušťky jednotlivých lamel t1 a t2 se pohybovaly v rozmezí od 1 mm do 10 mm. Materiály jednotlivých vrstev se předpokládají homogenní, isotropní a lineárně elastické, charakterizované modulem pružnosti v tahu E a Poisonovým číslem ν. Pro parametrickou studii pomocí numerických metod se poměry modulů pružnosti v tahu E1/E2 pohybují od 0,1 do 0,9 (poddajnější první - porušená vrstva laminátu) s neměnným ν1 = ν2 = 0,3.

Obr. 33 Geometrie a parametry numerického modelu laminátu s porušenou první vrstvou (čtyřvrstvý). S využitím symetrie okrajových podmínek byl vytvořen v konečnoprvkovém software ANSYS numerický model, viz obr. 34, jedné čtvrtiny tahového vzorku. V okolí čela trhliny bylo nutné vytvořit dostatečně jemnou síť konečných prvků k popisu pole napětí před čelem trhliny. Hustota sítě konečných prvků byla ověřena citlivostní analýzou a další zjemňování sítě již nevedlo ke zpřesnění dosažených výsledků. Pomocí numerického modelu vícevrstvého laminátu s trhlinou zakotvenou na materiálovém rozhraní bylo možno stanovit hodnotu součinitele intenzity napětí KI na čele trhliny mezi body B a C, viz obr. 35, a efektivní hodnotu součinitele intenzity napětí Keff pro čelo trhliny na materiálovém rozhraní (oblast mezi body B a B*), viz obr. 35. Ke stanovení efektivní hodnoty součinitele intenzity napětí pro daný laminát s trhlinou na materiálovém rozhraní bylo využito vztahu (35) vycházejícího z kritéria stability odvozené za pomoci faktoru hustoty deformační energie.

strana

50


Obr. 34 Numerický model laminátu s porušenou první vrstvou a trhlinou zakotvenou na materiálovém rozhraní

Obr. 35 Trhlina s vrcholem na materiálovém rozhraní a rostoucí podél rozhraní [IV, VI] Hodnota součinitele intenzity napětí byla stanovena pomocí přímé metody – detailnější popis přímé metody je uveden v kapitole 5.1.1. Pro popis pole napětí v okolí čela trhliny ležícím na materiálovém rozhraní (oblast mezi body B a B*), bylo nejdříve nutné, ze znalostí materiálových vlastností jednotlivých vrstev, stanovit hodnotu exponentu singularity napětí p ze znalosti λ z charakteristické rovnice (6), viz kapitola 5.1.3. Následně pomocí již známé hodnoty exponentu singularity napětí je možno aplikovat přímou metodu k určení hodnoty zobecněného součinitele intenzity napětí HI. Ke stanovení dalšího postupu šířící se trhliny je nutné porovnání kritických hodnot lomových parametrů založených na součiniteli intenzity napětí se zobecněným součinitelem intenzity napětí. Vzhledem k odlišnosti jednotek a nemožnosti přímého porovnání – součinitel intenzity napětí KI [MPa m1/2], zobecněný součinitel intenzity napětí HI [MPa mp] – je pro přepočet zobecněného součinitele intenzity napětí použito kritérium stability založené na faktoru hustoty deformační energie (26). Pomocí tohoto kritéria stability a z něho odvozeného vztahu pro Keff (35) byla z již známé hodnoty zobecněného součinitele intenzity

strana

51


napětí HI [MPa mp] vypočtena velikost Keff [MPa m1/2]. Keff lze již použít k porovnání s prahovou hodnotou pro šíření trhliny do materiálu M2 nebo s hodnotou lomové houževnatosti. Pokud trhlina nebude dále postupovat do materiálu M2, zůstane zakotvena na rozhraní a může se šířit pouze podél rozhraní v materiálu M1. Pomocí celé řady numerických simulací na parametrickém numerickém modelu laminátu s trhlinou pro různé poměry modulů pružnosti jednotlivých vrstev bylo možné nalézt tvar eliptické části trhliny (viz obr. 35 v oblasti mezi body B a C) za předpokladu konstantní hodnoty součinitele intenzity napětí podél čela trhliny [31, 104]. K nalezení eliptického tvaru čela trhliny bylo nutné vytvořit takový numerický model, který umožnoval určení součinitele intenzity v několika bodech podél čela trhliny v oblasti mezi body B a C. Tvar čela trhliny byl optimalizován tak, aby byla hodnota součinitele intenzity napětí v jednotlivých bodech konstantní. Z množiny bodů pro optimalizaci tvaru čela trhliny byly vyjmuty body v oblasti vyznačené kružnicí na obrázku č. 35, tj. okolí bodů B a C. V této oblasti dochází k ovlivnění pole napětí rohovou singularitou a tato metodika zde není platná. Dochází zde ke změně singulárního charakteru pole napětí [5, 115]. Pro uvedený rozsah poměrů modulů pružnosti v tahu byla u optimalizovaných tvarů čela trhliny získána rozdílná hodnota součinitelů intenzity napětí podél čela trhliny do 5%. Tvar eliptické části čela trhliny (viz obr. 35 oblast mezi body B a C) vykazuje závislost na poměru modulů pružnosti v tahu E1/E2 jednotlivých vrstev. Z výsledků, které jsou schematicky znázorněny na obrázku č. 35, je patrné, že s rostoucím poměrem E1/E2 k 1 dochází k naklápění čela trhliny mezi body B a C. Dále je věnována pozornost velikosti součinitele intenzity napětí určenému z optimalizovaného tvaru eliptické části čela trhliny. Z výsledků je patrné, že v případě poddajnější vrstvy dochází s rostoucím poměrem E1/E2 k nárůstu hodnoty součinitele intenzity napětí, viz obr. 36 (a), (b). S ohledem na návrh laminátu s odolností proti šíření trhliny vyplývá z těchto výsledků pozitivní efekt poddajnější porušené vrstvy – nižší hodnoty součinitele intenzity napětí při růstu trhliny v této vrstvě a delší část zbytkové životnosti potřebná k penetraci druhé vrstvy laminátu. Je zřetelné, že po určité době se růst velikosti součinitele intenzity napětí zastaví a od poměru poloos cca. b/a = 4 se trhlina šíří v porušené vrstvě konstantní rychlostí. Jak je ukázáno v porovnání součinitelů intenzity napětí na obr. 36 (a) a (b), vliv na hodnotu součinitele intenzity napětí má i tloušťka povrchové vrstvy t1, kde pro větší tloušťku vrstvy dochází ke stabilizaci růstu trhliny pomaleji. Na následujícím obrázku č. 37 (a), (b) je vykreslena závislost Keff na poměru charakterizující tvar eliptické trhliny b/a pro dva typy laminátu a proměnné materiálové vlastnosti jednotlivých vrstev. U výsledků efektivních hodnot součinitele intenzity napětí lze vyvodit stejné závěry, jako ty uvedené v případě součinitele intenzity napětí. Ustálení hodnoty efektivního součinitele intenzity napětí stanoveného v bodě A, viz obr. 36 (a), závisí na poměru E1/E2 a na relativní hloubce trhliny a/w. Uvedené výsledky ukazují, že pro větší povrchové délky trhliny b/a dojde k ustálení efektivní hodnoty součinitele intenzity napětí, kde limitní hodnotou je hodnota odpovídající 2D numerickému řešení, např. viz obr. 37 (a) pro b/a > 5. Pro laminát s tlustou povrchovou vrstvou viz obr. 37 (b), dojde k saturaci efektivního součinitele intenzity napětí výrazně později. Například pro poměr E1/E2 = 0,9 se výsledky pro trhlinu šířky 20x větší než je její hloubka poměrně výrazně odlišují od 2D řešení.

strana

52


Obr. 36 Součinitel intenzity napětí u trhliny stanovený v oblasti mezi body B a C pro různé poměry modulů pružností v tahu a šířky trhlin b, (a) t1/t2 =0.1, (b) t1/t2 =1 [VI]

strana

53


Obr. 37 Efektivní hodnota součinitele intenzity napětí u trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní stanovené v bodě A pro různé poměry modulů pružností v tahu a šířky trhlin b, (a) t1/t2 =0.1, (b) t1/t2 =1 [VI]

Obr. 38 Závislost saturovaného tvaru trhliny b/a na relativní hloubce trhliny a/w strana

54


Na obrázku č. 38 je závislost charakteristického rozměru trhliny b/a pro případ saturovaných hodnot Keff (hodnota Keff 3D numerického řešení téměř odpovídají 2D numerickému řešení) u čtyřvrstvého laminátu pro různé poměry E1/E2. Z výsledků je patrné, že charakteristický rozměr trhliny b/a narůstá s rostoucí relativní délkou trhliny a/w a poměrem E1/E2. Na základě těchto výsledků je pro přesné stanovení efektivního součinitele intenzity napětí nutno využít 3D numerické simulace i pro relativně mělké trhliny (např. b/a = 20). Rozhodující veličinou, zda se trhlina bude šířit podél materiálového rozhraní nebo zda trhlina proroste materiálovým rozhraním, je hodnota Keff na materiálovém rozhraní. Po porovnání Keff s kritickým lomovým parametrem lze odhadnout směr dalšího šíření - pokud je Keff < Kc, dojde k zakotvení trhliny na materiálovém rozhraní. V opačném případě trhlina proroste materiálovým rozhraním. Pokud i po saturaci hodnoty Keff nedojde k penetraci rozhraní, trhlina se bude šířit pouze v první vrstvě laminátu a nedojde k jeho celkovému porušení.

8.2 Popis porušování polymerního potrubí Poznatky získané na obecném vícevrstvém tělese v předchozí kapitole budou aplikovány k popisu lomového chování vícevrstvého polymerního potrubí. V předchozí kapitole byly popsány některé případy, které mohou ve vícevrstvém tělese s trhlinou nastat, včetně metodiky hodnocení těchto situací. Jejich přímou aplikací lze hodnotit chování vícevrstvých polymerních trubek, např. práce [I, III, V, VII, VIII, XI]. 8.2.1 Vliv proměnných materiálových vlastností na porušení třívrstvé trubky s dlouhou axiální trhlinou V práci [I] byla věnována pozornost stabilitě trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní a růstu trhliny z tohoto rozhraní u třívrstvého polymerního potrubí. Byl vytvořen 2D numerický model třívrstvého polymerního potrubí s porušenou první (poddajnější) ochrannou vrstvou. Předpokládala se existence trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní. Geometrie numerického modelu odpovídala komerčně používanému polymernímu potrubí Wawin TS Ø110 SDR 11 - vnější průměr D = 110 mm, celková tloušťka stěny w = 10 mm, tloušťka vnitřní a vnější ochranné vrstvy t1 = 2,5 mm, tloušťka základního materiálu t2 = 5 mm. Polymerní potrubí bylo zatíženo jednotkovým vnitřním tlakem pappl = 1 MPa.

Obr. 39 Parametry dvojdimenzionálního numerického modelu třívrstvého potrubí s porušenou vnitřní nebo vnější ochrannou vrstvou

strana

55


Byly vytvořeny dva 2D numerické modely polymerního potrubí, za podmínky rovinné deformace, pro porušenou vnější a vnitřní vrstvu potrubí (předpokládá se dlouhá trhlina s vrcholem na materiálovém rozhraní), viz obr. 39. Cílem této práce bylo pomocí kritéria stability stanovit kritickou hodnotu vnitřního tlaku, který způsobí růst trhliny přes materiálové rozhraní. Současně byl studován vliv časově závislých materiálových vlastností jednotlivých vrstev, jejichž časová změna měla vzájemnou závislost schematicky zobrazenou na obr. 40.

Obr. 40 Časová změna materiálových vlastností ochranné vrstvy vzhledem k základnímu materiálu Výsledkem provedené studie byly získané hodnoty kritického vnitřního tlaku pcrit, pro různé časové změny materiálových vlastností jednotlivých vrstev. Hodnota kritického tlaku představuje takový stav potrubí, při jehož dosažení dojde k nestabilnímu růstu trhliny přes materiálové rozhraní. Kritický tlak lze z platnosti LELM stanovit obdobně, jako tomu bylo v případě kritického tahového zatížení u vzorku namáhaného tahem, viz vztah (34).

pcrit =

HC ⋅ pappl , H I ( pappl )

(40)

kde HI (pappl) je hodnota zobecněného součinitele intenzity napětí získána přímou metodou pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní pro aplikované zatížení pappl a HC je kritická hodnota zobecněného součinitele intenzity napětí. Ke stanovení HC je možno použít vztahy vycházejících z kritérií stability uvedených v kapitole 7.2.1. Při použití kritéria založeném na faktoru hustoty deformační energie je tato hodnota stanovena ze vztahu (26), kde za KC je dosazena hodnota lomové houževnatosti vysokohustotního polyethylenu KIC = 3 MPa m1/2. V práci [I] byla pro stejné časové změny modulů pružnosti v tahu jednotlivých materiálů modelována existence vnější a vnitřní trhliny. Ze získaných výsledků, obr. 41 a obr. 42, lze konstatovat, že kritický tlak nutný pro růst trhliny s vrcholem na rozhraní materiálu je pro porušenou vnitřní vrstvu o 20 % nižší než pro porušenou vnější vrstvu. Z toho plyne, že porušení tohoto typu je na vnitřní části potrubí více nebezpečné. Ve výsledcích obou typů porušení (vnější, vnitří) je patrný pozitivní vliv existence poddajnější ochranné vrstvy. Existence poddajnější vrstvy vede až k 30% zvýšení kritického tlaku nutného pro růst trhliny přes materiálové rozhraní, tzn. zvýšení odolnosti proti růstu trhliny v porovnání se stejnou hloubkou trhliny strana

56


u homogenního potrubí stejné geometrie a za totožných podmínek zatěžovaní. Časová změna materiálových vlastností ochranné vrstvy způsobuje změnu kritického tlaku nutného pro šíření trhliny přes materiálové rozhraní. Dále z výsledků plyne, že postupné přibližování creepových modulů jednotlivých vrstev vede k snižování kritického tlaku nutného pro penetraci rozhraní a dochází k oslabování pozitivního vlivu materiálového rozhraní.

Obr. 41 Vliv časové změny materiálových vlastností ochranné vrstvy na hodnotu kritického tlaku pro porušení potrubí na vnitřní straně[I]

Obr. 42 Vliv časové změny materiálových vlastností ochranné vrstvy na hodnotu kritického tlaku pro porušení potrubí na vnější straně[I] V práci [V] byly pro stejnou geometrii třívrstvého polymerního potrubí vytvořeny dvojdimenzionální numerické modely simulující odlišné poškození vícevrstvého polymerního potrubí, než bylo uvedeno v předchozím odstavci. Cílem bylo popsat šíření trhliny v jednotlivých vrstvách potrubí a vykreslení K-kalibrační křivky (závislost součinitele intenzity napětí KI na hloubce trhliny a/w) pro dvě odlišné polohy trhlin (vnější, vnitřní) u třívrstvého polymerního potrubí s totožnou geometrií

strana

57


jako v práci [I]. K-kalibrační křivku lze získat interpolací bodů v grafu reprezentující hodnoty součinitele intenzity napětí pro danou hloubku trhliny. K určení hodnot součinitele intenzity napětí byla použita přímá metoda, viz kapitola 5.1.1. Numerické simulace probíhaly na čtyřech kombinacích materiálových vlastností jednotlivých vrstev potrubí. Použité materiálové parametry jsou uvedeny v tabulce č. 1. Tab. 1 Kombinace materiálových vlastností použitých pro numerické simulace E1 [MPa] 828 910 983 1213

E2 [MPa] 1213 1213 1213 1213

ν1 = ν2 [-] 0,35 0,35 0,35 0,35

E1/E2 [-] 0,68 0,75 0,81 1

Z výsledků K-kalibračních křivek, viz obr. 43, získaných pomocí dvojdimenzionálního numerického modelu porušeného potrubí za podmínky rovinné deformace, viz obr. 39 a 46(a), lze vyvodit obecný závěr, že porušení na vnější straně potrubí je z pohledu životnosti méně nebezpečné než existence stejně hluboké trhliny na vnitřní straně potrubí. Modelovaná trhlina v potrubí pomocí 2D numerického modelu za podmínky rovinné deformace předpokládá existenci trhliny hloubky a v celé délce potrubí. Trhlina odpovídá porušení, které si lze ve skutečnosti představit jako ostré dlouhé rýhy na vnitřním či vnějším povrchu potrubí, které mohou být způsobeny nedokonalostí výroby či nevhodnou manipulací nebo pokládkou potrubí. S ohledem na možný vznik tohoto porušení ho lze spíše očekávat na vnějším povrchu potrubí. Proto bylo podrobně studováno zejména porušení způsobené vnitřním defektem a to tak, že se z vnitřního povrchu bude šířit trhlina eliptického tvaru, který odpovídá experimentálním pozorováním [27, 94].

Obr. 43 Hodnoty součinitele intenzity napětí v závislosti na hloubce trhliny pro vnější (1-4) a vnitřní (5) trhlinu u 2D numerického modelu potrubí

strana

58


V případě vnitřního povrchu potrubí dochází k růstu trhliny preferenčně z defektů ve struktuře materiálu. Defekty způsobují koncentraci napětí a následný vznik trhliny. U polymerních materiálů hovoříme o růstu creepové trhliny. Je to nejčastější mechanismem porušování polymerních materiálů a existence creepových trhlin je doložena experimentálním pozorováním [27, 94], viz. obr. 44

Obr. 44 Iniciační místa a existence semieliptických trhlin na vnitřní ploše homogenního HDPE potrubí, tloušťka stěny potrubí 40 mm [94] Z experimentálního pozorování růstu creepové trhliny u polymerních materiálů je patrný poloeliptický tvar čela trhliny. Poloeliptický tvar čela trhliny lze charakterizovat poměrem b/a, kde a je hloubka trhliny – velikost vedlejší poloosy elipsy, b je polovina povrchové délky trhliny – velikosti hlavní poloosy elispy. K popisu lomového chování konstrukcí s poloeliptickou trhlinou není možné použít 2D numerický model a je nezbytná tvorba 3D numerického modelu, který bude představen v následující kapitole. 8.2.2 Porovnání nebezpečnosti existence vnější a vnitřní trhliny v polymerním potrubí V pracích [V, VII] byl na základě 2D a 3D numerického modelu třívrstvého polymerního potrubí s vnitřní trhlinou, viz obr. 45, studován růst trhliny z vnitřního povrchu potrubí směrem k materiálovému rozhraní a po průchodu materiálovým rozhraním. Dvojdimenzionální numerický model byl modelován za podmínky rovinné deformace, kde toto řešení odpovídá dlouhé axiální trhlině s konstantní hloubkou. U 3D numerického modelu s poloeliptickou, axiálně orientovanou trhlinou byl pro každou hloubku trhliny předpokládán konstantní poměr b/a = 1,2. Při modelování bylo využito symetrických okrajových podmínek, které snižují počet elementů a tím i výpočetní náročnost dané úlohy. Dvojdimenzionální numerický model využíval jednu rovinu symetrie, zatímco u prostorového numerického modelu bylo využito dvou rovin symetrie, viz obr. 46. Lineárně elastické materiálové vlastnosti jednotlivých vrstev byly dány moduly pružnosti v tahu jednotlivých vrstev E1 a E2 a Poissonovými čísly ν1 a ν2 materiálu polymerního potrubí tak, jak jsou definovány v tab.1. Preferenčně byl studován poměr modulů pružnosti v tahu E1/E2 = 0,68, který odpovídá vlastnostem komerčně vyráběného polymerního potrubí, ochranná vrstva (materiál XSC 50) E1 = 828 MPa a základní materiál (PE100) E2 = 1213 MPa, Poissonova čísla obou vrstev ν1 = ν2 = 0,35. Ke studiu vlivu materiálových vlastností na hodnotu součinitele intenzity napětí byly pro analýzu dále použity materiálové vlastnosti ochranné vrstvy tak, aby poměr E1/E2 odpovídal hodnotám 0,75; 0,81 a 1 (homogenní potrubí) s tím,

strana

59


že zůstala zachována hodnota modulu pružnosti v tahu základního materiálu (PE100) E2 = 1213 MPa, viz tabulka 1. Materiálová data byla získána díky spolupráci na experimentálnímu programu na Polymer institutu v Brně.

Obr. 45 Parametry dvojdimenzionálního a trojdimenzionálního numerického modelu potrubí s vnitřní trhlinou

(a)

(b)

Obr. 46 Roviny symetrie u dvojdimenzionálního (a) a trojdimenzionálního (b) numerického modelu potrubí s trhlinou K-kalibrační křivky pro homogenní trubku a pro třívrstvou trubku s materiálovými vlastnostmi odpovídající E1/E2 = 0,68 jsou zobrazeny na obr. 47. Výsledky získané strana

60


na homogenní trubce vykazovaly dobrou shodu s hodnotami pro součinitele intenzity napětí uvedených v handbooku [68], čímž byly výsledky získané pomocí metody konečných prvků a pomocí výše popsané metodiky ověřeny.

Obr. 47 Porovnání výsledků získaných na 2D a 3D numerickém modelu potrubí s vnitřní trhlinou Při porovnání výsledků homogenního a vícevrstvého potrubí získaných na 2D a 3D numerických modelech pro vnitřní trhlinu je patrné, že získané hodnoty součinitele intenzity napětí z 2D numerického modelu (předpoklad nekonečné trhliny v axiálním směru) jsou podstatně vyšší než hodnoty získané z 3D numerického modelu (předpoklad poloeliptické trhliny). Na základě tohoto výsledku je možno vyslovit závěr, že odhad životnosti pomocí hodnot součinitele intenzity napětí z 2D numerického modelu je silně konzervativní a pro přesnější odhad je nutné modelovat eliptickou trhlinu a využít výsledků z 3D numerického řešení. Jak již bylo uvedeno v předchozí kapitole, 2D numerický model lze pro odhad životnosti použít pouze v případě, kdy se jedná o dlouhé axiální trhliny (typické pro poškození vnější ochranné vrstvy). Na obr. 48 je zobrazeno porovnání závislosti součinitele intenzity napětí na hloubce trhliny pro vnitřní eliptickou trhlinu získanou na 3D numerickém modelu a pro porušení vnější dlouhou trhlinou (2D numerický model s podmínkou rovinné deformace). Vzhledem k tomu, že se jedná o třívrstvou trubku se stejnou tloušťkou vnější a vnitřní ochranné vrstvy, je možné tyto dosažené hodnoty součinitelů intenzity napětí dobře porovnat.

strana

61


Obr. 48 Porovnání výsledků získaných na 2D numerickém modelu potrubí s vnější trhlinou a 3D numerickém modelu potrubí s vnitřní trhlinou Výsledky na obr. 48 ukazují, že pro velmi krátké trhliny jsou si hodnoty součinitele intenzity napětí velmi blízké a pro proces porušení bude rozhodující hloubka dané trhliny. Proto existence dlouhé axiální trhliny na vnějším povrchu může být poměrně nebezpečná a při manipulaci s potrubím je nezbytné se podobného poškození vyvarovat. V případě vnější trhliny eliptického tvaru lze očekávat podstatně nižší hodnoty součinitele intenzity napětí - trhlina nebude nekonečné délky, tak jak předpokládá prezentovaný 2D numerický model. Podélnému vnějšímu porušení lze v průběhu manipulace a pokládky obecně zabránit, avšak rozvoji poloeliptické trhliny z defektu na vnitřní straně polymerního potrubí nikoli. Na základě tohoto faktu lze očekávat, že dominantní porušení bude nastávat na vnitřní straně potrubí, které je potvrzeno experimentálním pozorováním [94]. Z výsledků zobrazených na obr. 48 je opět patrný pozitivní vliv existence poddajnější ochranné vrstvy u vícevrstvého potrubí na hodnotu součinitele intenzity napětí, a to pro oba dva typy trhlin. V následujícím textu bude pozornost upřena detailně na přechod trhliny přes materiálové rozhraní. 8.2.3 Vliv materiálového rozhraní na hodnotu součinitele intenzity napětí Další práce [V, VII] se zabývaly vlivem existence materiálového rozhraní na hodnotu součinitele intenzity napětí pro vnitřní trhlinu s vrcholem před materiálovým rozhraním, na efektivní hodnotu součinitele intenzity napětí pro trhlinu na materiálovém rozhraní a na hodnotu součinitele intenzity napětí pro vrchol trhliny po průchodu materiálovým rozhraním. Chování trhliny v blízkosti materiálového rozhraní bylo sledováno pomocí 3D numerického modelu polymerního potrubí z předchozí kapitoly. Získané výsledky součinitele intenzity napětí (pro čelo trhliny v homogenním materiálu) a efektivních hodnot součinitele intenzity napětí (pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní) byly vztaženy k hodnotě součinitele intenzity napětí pro totožnou hloubku trhliny u homogenní trubky KIhom. Získaná

strana

62


závislost K/KIhom na hloubce trhliny a/w je zobrazená na obr. 49. Prezentovaný graf ukazuje poměrné porovnání součinitelů intenzity napětí pro různé hloubky trhlin a poměry modulů pružnosti v tahu jednotlivých vrstev vícevrstvého potrubí (E1/E2) dle tabulky č. 1.

Obr. 49 Vliv materiálového rozhraní na hodnotu lomového parametru ve vrcholu trhliny, kde K na svislé ose reprezentuje KI, respektive Keff Z výsledků je patrné, že při šíření trhliny v poddajnější ochranné vrstvě vzhledem k základnímu materiálu dosahuje součinitel intenzity napětí v porovnání s trhlinou v homogenním potrubí výrazně nižších hodnot. Rozdíl výsledků použitých materiálových vlastností vícevrstvého potrubí vzhledem k potrubí z homogenního materiálu dosahuje až 20%. Limitně mohou hodnoty součinitele intenzity napětí u vrcholu trhliny v těsné blízkosti materiálového rozhraní dosáhnout nulové hodnoty [67, 89]. Při této materiálové konfiguraci potrubí lze sledovat pozitivní efekt vlivu materiálového rozhraní na hodnotu součinitele intenzity napětí pro trhliny do hloubky a/w = 0,25 (materiálové rozhraní). Při výpočtu životnosti z dat na homogenní trubce tedy budou výsledky výrazně na konzervativní straně. Situace po průchodu trhliny materiálovým rozhraním je odlišná. Součinitel intenzity napětí trhliny dosahuje vyšších hodnot u vícevrstvého potrubí, než u trhliny v homogenním potrubí. Na tomto místě je nutno podotknout, že životnost vícevrstvého potrubí bude primárně determinována růstem trhliny v první ochranné vrstvě. U předchozího trojdimenzionálního numerického modelu se předpokládal konstantní tvar čela trhliny nezávislý na rostoucí hloubce trhliny. V práci [XXIX] byla pomocí nově vytvořeného numerického modelu provedena K-kalibrace dvouvrstvého potrubí s vnitřní trhlinou. Numerický model umožňoval stanovení součinitele intenzity napětí v několika bodech na čele trhliny, pomocí kterého bylo možno nalézt tvar čela šířící se creepové trhliny za předpokladu konstantní hodnoty součinitele intenzity napětí podél jejího čela, podrobněji je metodika popsána v kap. 7.1. Model s realistickým tvarem trhliny byl vytvořen pro ověření přesnosti výsledků strana

63


předchozích simulací, které uvažovaly konstantní poměr poloos šířící se eliptické trhliny. Geometrie trojdimenzionálního numerického modelu dvouvrstvé trubky s vnitřní trhlinou byla následující: D = 114 mm, w = 12 mm, t1 = 10 mm, t2 = 2 mm, materiálové vlastnosti E1 = 950 MPa, E2 = 1439 MPa, ν1 = ν2 = 0,35. Materiálové vlastnosti odpovídají polyethylenové trubce s polypropylenovou vnější ochrannou vrstvou.

Obr. 50 Numerický model a parametry numerického modelu dvouvrstvého potrubí Po provedení celé řady numerických analýz s optimalizací tvaru eliptického čela pro různé hloubky trhliny je na následujícím obrázku č. 51 zobrazeno porovnání parametru charakterizující tvar čela trhliny b/a pro trhlinu v homogenní a dvouvrstvé trubce v závislosti na hloubce trhliny a/w. Z těchto výsledků vyplývá, že pro hloubku trhliny a/w menší než 0,5 je u trubky s ochrannou vrstvou parametr elipsy totožný s výsledky získanými pro homogenní potrubí. Při pozorování vývoje tvaru čela trhliny pomocí numerických metod pro hloubku trhliny a/w větší než 0,5 je z výsledků patrný růst čela trhliny v podélném směru vůči materiálovému rozhraní (nárůst poměru b/a) vzhledem k trhlině v homogenním potrubí. Pozorovaný jev při růstu trhliny k materiálovému rozhraní vede k nárůstu lomové plochy a k větší spotřebě energie nutné pro růst trhliny. Tím se vícevrstvá konstrukce v případě porušení první (poddajnější vrstvy) stává odolnější než v případě potrubí bez existence materiálového rozhraní. Nicméně efekt tvaru trhliny, odlišný od poměru b/a = 1,2, na velikost součinitele intenzity napětí není příliš významný, a proto nebyl u většiny prezentovaných modelů uvažován. strana

64


Obr. 51 Porovnání parametru charakterizující tvar čela trhliny b/a pro trhlinu v homogenní a dvouvrstvé trubce v závislosti na hloubce trhliny a/w [XXIX] Hodnoty součinitelů intenzity napětí pro optimalizovaný tvar čela trhliny u vícevrstvého i homogenního potrubí narůstají s rostoucí hloubkou trhliny. Pro vrchol trhliny v blízkosti materiálového rozhraní dochází k ovlivnění pole napětí a existence tužší ochranné vrstvy vede pro dané zatížení k poklesu součinitele intenzity napětí o 8 % vzhledem k homogennímu potrubí stejné geometrie, viz obr. 52. U obou porovnávaných numerických modelů se předpokládal proměnný tvar čela trhliny pro různé hloubky trhlin – optimalizovaný konstantní hodnotou součinitele intenzity napětí podél čela trhliny. Při pohledu na porovnání výsledků s výsledky na homogenním potrubí lze říci, že homogenní aproximace dává dobrý a konzervativní odhad pro konfigurace s podobným poměrem materiálových vlastností. Z uvedených výsledků lze vyvodit závěr, že k odhadu životnosti polymerní trubky v dostatečné vzdálenosti od materiálového rozhraní (v uvedeném případě a/w < 0,5) je možno použít hodnoty součinitele intenzity napětí získané na homogenním potrubí, které jsou publikované v této práci nebo např. [33, 68].

Obr. 52 Porovnání hodnoty součinitele intenzity napětí pro trhlinu v homogenní a dvouvrstvé trubce v závislosti na hloubce trhliny a/w [XXIX] strana

65


Uvedenými výsledky byl kvantifikován vliv blízkosti vrcholu trhliny k materiálovému rozhraní na hodnotu součinitele intenzity napětí a na tvar čela trhliny. Dále se práce bude věnována zakotvené trhlině ve vícevrstvém polymerním potrubí, jejíž vrchol dosáhl materiálového rozhraní a dál se šíří podél materiálového rozhraní. 8.2.4 Trhlina zakotvená na materiálovém rozhraní Růst trhliny zakotvené na materiálovém rozhraní je schématicky znázorněn na obr. 53. Věnujme opět pozornost výsledkům na obr. 49, str. 63, kde vypočítané hodnoty efektivního součinitele intenzity napětí Keff pomocí kritéria odvozeného na základě faktoru hustoty deformační energie pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní jsou nižší, než hodnota součinitele intenzity napětí pro homogenní těleso. Jestliže předpokládáme u obou materiálů totožný kritický lomový parametr KC (prahovou hodnotu součinitele intenzity napětí nebo lomovou houževnatost), lze očekávat zpomalení růstu trhliny na materiálovém rozhraní do doby, než bude ve vrcholu trhliny dosaženo kritického lomového parametru KC. Trhlina poroste podél rozhraní až do okamžiku, kdy hodnota efektivního součinitele intenzity napětí překročí KC na materiálovém rozhraní (oblast mezi body A a B, viz obr. 53), čímž trhlina proroste přes materiálové rozhraní [67, 74].

Obr. 53 Schématické zobrazení růstu trhliny zakotvené na materiálovém rozhraní Studiu konfigurace trhliny zakotvené na materiálovém rozhraní a rostoucí podél materiálového rozhraní byla věnována pozornost v několika pracích [II, IV, VI, VIII, XIX]. V práci [VIII] byl pomocí numerického modelu třívrstvého potrubí s trhlinou studován vliv materiálových vlastností jednotlivých vrstev a velikosti creepové trhliny zakotvené na materiálovém rozhraní na hodnotu lomových parametrů. K popisu pole napětí v okolí čela trhliny ležícím na materiálovém rozhraní (bod A, respektive oblast mezi body A a B, obr. 53), nejdříve nutné bylo ze znalostí materiálových vlastností jednotlivých vrstev, stanovit hodnotu exponentu singularity napětí p ze znalosti λ z charakteristické rovnice (8). Následně pomocí již známé hodnoty exponentu singularity napětí p bylo možno aplikovat přímou metodu k určení hodnoty zobecněného součinitele intenzity napětí HI. Ke stanovení kritické hodnoty zobecněného součinitele intenzity napětí bylo použito kritérium stability založené na faktoru hustoty deformační energie, vztah (27). Rozměry třívrstvého potrubí odpovídaly již studované geometrické konfiguraci Wawin TS Ø110 SDR 11: D = 110 mm, w = 10 mm, t1 = 2,5 mm, t2 = 5 mm. Lineárně elastické materiálové vlastnosti základního materiálu a materiálu ochranné vrstvy byly: E1 = 1213 MPa, E1/E2 = 0,7; 1; 1,5, ν1 = ν2 = 0,35, prahová hodnota součinitele intenzity napětí Kth = 0,2 MPa m1/2 [30] a pevnosti v tahu σc = 30 MPa. Potrubí bylo v průběhu numerických simulací zatíženo jednotkovým vnitřním tlakem pappl = 1 MPa. V prostorovém numerickém modelu třívrstvého potrubí bylo využito dvou rovin

strana

66


symetrie a byl předpokládán neměnný tvar eliptické části trhliny charakterizovaný poměrem c/a = 1,2. Výsledky kritického tlaku určeného pomocí kritéria stability založeném na faktoru hustoty deformační energie v bodě A, vztah (34), po jehož dosažení trhlina proroste materiálové rozhraní v závislosti na délce trhliny 2b pro různé varianty materiálových vlastností, je zobrazen na obr. 54.

Obr. 54 Závislost kritického tlaku na povrchové délce trhliny zakotvené na materiálovém rozhraní pro různé materiálové vlastnosti jednotlivých vrstev [VIII] Výsledky závislosti kritického tlaku pcrit na délce trhliny 2b ukazují, že s rostoucí délkou 2b dochází k poklesu kritického tlaku nutného k růstu zakotvené trhliny přes materiálové rozhraní. U potrubí s trhlinou, kde pro moduly pružnosti jednotlivých vrstev platí E1/E2 < 1, je patrný pozitivní efekt existence materiálového rozhraní - nárůst hodnoty kritického tlaku, tzn. větší odolnost vícevrstvého potrubí proti růstu trhliny, než v případě homogenního potrubí (E1/E2 = 1). V práci [VIII] byl dále studován vliv poměru c/a charakterizující eliptický tvar části čela trhliny na hodnotu kritického tlaku, viz obr. 55. Pro kvantifikaci vlivu tvaru eliptické části čela trhliny na hodnotu kritického tlaku byl použit poměr modulů pružnosti v tahu jednotlivých materiálů E1/E2 = 0,7.

Obr. 55 Vliv povrchové délky trhliny 2b a eliptického tvaru trhliny na hodnotu kritického tlaku pro šíření trhliny přes materiálové rozhraní [VIII]

strana

67


Z výsledků studie zabývající se vlivem tvaru trhliny zakotvené na materiálovém rozhraní na hodnotu kritického tlaku pro šíření trhliny z materiálového rozhraní vypočítaného pomocí kritéria odvozeného na základě faktoru hustoty deformační energie plyne, že rozdílnost eliptického tvaru trhliny charakterizované poměrem c/a je rozhodující jen pro krátké trhliny, viz obr. 55. V případě existence dlouhých trhlin je limitní hodnotou kritického tlaku hodnota získaná z řešení pomocí 2D numerického modelu třívrstvého potrubí (axiální trhlina nekonečné délky).

8.3 Odhad životnosti polymerního potrubí Dosud uvedené výsledky a závěry ze studia porušování vícevrstvých polymerních prostředí vycházely z porovnání hodnot lomových parametrů pro homogenní a vícevrstvé konstrukce. Se znalostí experimentálně naměřených parametrů popisující kinetiku růstu trhliny lze využitím výše uvedených závislostí lomových parametrů KI a Keff na hloubce trhliny a vztahů popisující růst creepové trhliny predikovat životnost polymerních trubek. Odhad životnosti součásti je nezbytný nejen při návrhu součásti, ale také i při stanovení zbytkové životnosti součásti pro bezpečný chod v průběhu jejího provozu. Jak bylo uvedené v kapitole 5.2, lze pro popis stabilního růstu creepové trhliny v polymerních matriálech využít relaci vycházející z Paris-Erdoganova vztahu (20). Ke stanovení životnosti pomocí tohoto vztahu je nutná znalost K-kalibrační křivky (závislost součinitele intenzity napětí na hloubce trhliny), znalost materiálových parametrů A, m, charakterizujících pomalý růst creepové trhliny a integrační meze - délku počáteční trhliny aini a délku kritické trhliny ac, pro které je životnost odhadnuta. Výsledky odhadu životnosti jsou poměrně citlivé na velikost počátečního defektu, proto bude tomuto vstupnímu parametru věnována pozornost v následujícím textu. Při hydrostatickém tlakovém testu dle normy [13] způsobuje velikost počáteční trhliny velký rozptyl celkové doby porušení. Obdobný efekt má velikost počáteční délky trhliny i při odhadu zbytkové životnosti pomocí numerických metod. U skutečných součástí, jako jsou například extrudované trubky z polyethylenu, jsou při jejich výrobě v materiálu obsaženy vnitřní vady, které jsou často zodpovědné za vytváření míst s koncentrací napětí. V těchto místech dochází k lokalizaci plastické deformace, k iniciaci a růstu creepových trhlin. Na základě získaných výsledků z experimentů při křehkém porušení potrubí u hydrostatického tlakového testu Gray a kol. [25] stanovili přiměřenou velikost počátečního defektu v rozmezí od 10 µm do 100 µm. Jiní autoři v práci [4] při pozorování lomové plochy po hydrostatickém tlakovém testu polymerního potrubí pomocí rastrovacího elektronového mikroskopu (SEM) nalezli iniciační částice o rozměrech od 100 µm do 600 µm. V další práci [101] byly také na rastrovacím elektronovém mikroskopu zkoumány počáteční defekty, kde byl detekován počátek růstu creepové trhliny v nehomogenitách a kavitách struktury, které měly velikost od 100 µm do 250 µm. Ve studiích Pintera a kol. [82] byly označeny jako iniciační místa pro růst trhliny polymerní aglomeráty, nečistoty, materiálové nehomogenity a póry s velikostí do 500 µm, viz obr. 56. Z uvedené rešerše je patrné, že velikost iniciačního defektu lze očekávat v rozmezí od 10 µm do 600 µm.

strana

68


Obr. 56 Fotografie z rastrovacího elektronového mikroskopu počátečních defektů HDPE potrubí porušených při zatížení vnitřním tlakem (vnitřní stěna potrubí je u obrázků na levé straně): (a) nečistoty, (b) polymerní aglomeráty, (c) materiálové nehomogenity a (d) kavity [82] Pro podobný rozsah počátečních defektů byl v práci [XVIII] proveden odhad zbytkové životnosti polymerního potrubí s vnitřní trhlinou. Zbytková životnost byla získána pomocí vztahu (21), kde materiálové parametry A = 2,42 x 10-4

(

(

)

m

)

mm s MPa m 1/2 a m = 2,17 byly převzaty z výsledků z experimentálního měření rychlosti stabilního růstu trhliny na CT tělesech vyrobených z materiálu PE 80 (vysokohustotní polyethylen) [101]. Za hodnoty součinitele intenzity napětí KI v dané hloubce trhliny a (K-kalibrační křivku) by bylo možno použít výsledky KI z 3D numerického modelu homogenního potrubí s vnitřní trhlinou, zobrazené např. na obr. 46 a obr. 52. Pro odhad životnosti se vycházelo ze zatížení polymerního potrubí vnitřním tlakem pappl vyvozující ve stěně trubky obvodové napětí σhoop v rozsahu 4 – 6 MPa. Hodnota vnitřního tlaku byla stanovena ze vztahu:  2t  pappl = σ hoop  .  D − 2t 

(40)

strana

69


Výsledky zbytkové životnosti polymerního potrubí, které byly stanoveny z numerické integrace vztahu (20), jsou pro různé velikosti počátečního defektu a kritickou délku trhliny ac = 5 mm zobrazeny na následujícím obrázku č. 57.

Obr. 57 Vliv velikosti počátečního defektu na zbytkovou životnost stanovenou pomocí numerického modelu polymerního potrubí zatíženého vnitřním tlakem [XVIII] v porovnání s výsledky z experimentu [101] U všech výsledků je dosažena nižší predikce životnosti na základě numerického modelu v porovnání s výsledky experimentálního měření [101]. Rozdíl v predikci je především dán tím, že vytvořený numerický model neuvažuje vzhledem k porovnávaným experimentálním datům čas nezbytný k iniciaci trhliny z obvykle nesingulárního defektu na vnitřním povrchu. Poznamenejme, že celková životnost součásti je složena z doby odpovídají iniciaci trhliny, z doby odpovídající stabilnímu růstu trhliny a krátkému času potřebného k dolomení tělesa. S rostoucí velikostí počátečního defektu aini dochází k poklesu zbytkové životnosti s tím, že od velikosti aini = 0,8 mm nemá další nárůst počátečního defektu tak silný vliv na stanovení životnosti, viz obr. 57. Postup pro odhad zbytkové životnosti prezentovaný v této práci (založený na existenci krátké iniciační trhliny v konstrukci) je konzervativní a umožňuje vzít do úvahy typické defekty, které se na vnitřní stěně trubky objevují. Je tedy velice vhodným nástrojem pro odhad životnosti tlakovaných potrubí, kde bezpečnost hraje nezanedbatelnou roli. Na následujícím obrázku č. 58 je provedeno porovnání odhadu životnosti pro homogenní a třívrstvé potrubí s poddajnější ochranou vrstvou. Hodnoty součinitele intenzity napětí odpovídají výsledkům získaným pomocí prostorového numerického modelu, viz obr. 48. Ke stanovení zbytkové životnosti byla uvažována počáteční délka trhliny aini = 0,4 mm a koncová délka trhliny ac = 5 mm. Vzhledem k tomu, že se běžně u vícevrstvých trubek pro vnější vrstvy používá odolnější materiál proti růstu trhliny v porovnání se základním materiálem [108], budou i pro predikci životnosti v této práci použita pro ochrannou vrstvu materiálová data pro materiál odolnější proti růstu trhliny. Materiálové parametry pro jednotlivé vrstvy polymerního potrubí charakterizující stabilní růst creepové trhliny byly převzaty strana

70


z práce [23]. Pro ochrannou vrstvu (materiál M1) byly použity materiálové

(

) a m = 6,8 a pro základní materiál (materiál M2) byly použity parametry A = 1,4 x 10 mm (s (MPa m ) ) a m = 6,3 (

parametry A = 8,5 x 10-7 mm s MPa m 1/2

)

m

-6

1/2 m

[23]. Z odhadnuté zbytkové životnosti pro homogenní potrubí (materiál PE80 a materiál PE100) a pro třívrstvé polymerní potrubí je patrné, že existence poddajnější ochranné vrstvy vede k nárůstu životnosti při porovnání s homogenním potrubím.

Obr. 58 Odhad životnosti pro homogenní a třívrstvé potrubí s poddajnější ochrannou vrstvou Na základě provedených výpočtů životnosti, lze vyslovit závěr, že vhodnou volbou materiálových vlastností jednotlivých vrstev je možno pozitivně ovlivnit životnost vícevrstvých trubek a jejich odolnost proti růstu creepových trhlin. Pro přesnější odhad životnosti třívrstvého potrubí je nutná znalost materiálových parametrů popisující stabilní růst creepové trhliny jak základního materiálu, tak materiálu ochranné vrstvy pro danou materiálovou konfiguraci vícevrstvého potrubí. K získání výsledků životnosti vícevrstvého polymerního potrubí uvedených v této práci bylo využito již naměřených a publikovaných materiálových parametrů [23, 101]. Materiálové parametry, především pro ochrannou vrstvu, jsou obtížně měřitelné a stále probíhá vývoj experimentálních metod, kterými by bylo možné tyto parametry relativně snadno a v přiměřeném čase stanovit. Následně by bylo možno, při zachování postupů a uvedené metodologie v této práci, predikci životnosti pomocí numerického modelu vícevrstvého potrubí s trhlinou zpřesnit.

strana

71


8.4 Kombinované zatížení Vzhledem k tomu, že potrubí v provozu není zatíženo pouze vnitřním tlakem, ale v mnoha případech dochází ke kombinaci zatížení vlivem interakce potrubí s okolním prostředím, např. působení vnějšího tlaku způsobeného zásypem potrubí zeminou, bodové zatížení potrubí způsobené nevhodným zásypem (kameny) nebo ohyb potrubí. Tato přídavná zatížení mají vliv na rozdělení napětí v polymerním potrubí a v případě existence trhliny na rozdělení pole napětí před čelem této trhliny. Kvantifikací vlivu některých výše zmiňovaných přídavných zatížení na odhad životnosti byla věnována pozornost v pracích [IX, X, XVI, XVIII]. V práci [XVIII] byla stanovena životnost polymerního potrubí při kombinovaném zatížení – zatížení vnitřním tlakem a vnějším tlakem simulující vliv zásypu polymerního potrubí. Byl vytvořen numerický model potrubí s geometrií Wawin TS Ø110 SDR 11 s vnitřní axiálně orientovanou poloeliptickou trhlinou. Účinek zásypu potrubí byl v numerickém modelu modelován jako rovnoměrně rozložené tlakové zatížení na vnějším povrchu potrubí o velikosti pex = 0,6 MPa [50]. Ke stanovení zbytkové životnosti potrubí s trhlinou byla použita velikost počátečního defektu

(

(

)

m

)

ain = 0,1 mm a materiálové parametry A = 2,42 x 10-4 mm s MPa m 1/2 a m = 2,17, které byly převzaty z práce [101]. Výsledky zbytkové životnosti pro kombinované namáhání (vnější a vnitřní tlak) v porovnání s experimentem a výsledky pro potrubí zatížené pouze vnitřním tlakem jsou zobrazeny na obr. 61. Z výsledků vyplývá, že vlivem předpokládaného účinku zásypu na potrubí dojde k navýšení životnosti při porovnání s potrubím zatíženým pouze vnitřním tlakem. Zásyp polymerního potrubí má pozitivní efekt s ohledem na životnost potrubí a predikce životnosti polymerního potrubí pomocí testů, kde je potrubí zatížené pouze vnitřním tlakem, je na konzervativní straně.

strana

72


Obr. 59 Konečnoprvkový model potrubí s kulovým indentorem Ne vždy je zásyp polymerního potrubí ideální a tento zásyp může obsahovat různě velké a ostré kameny. V práci [27] bylo experimentálně dokázáno, že životnost potrubí uložených v zemině je nejvíce ovlivněna koncentrací napětí způsobenou bodovým zatížení. V pracích [IX, X, XVI] byla provedena rozsáhlá parametrická studie vlivu bodového zatížení na tvar eliptické trhliny a na hodnotu součinitele intenzity napětí u porušeného potrubí Wawin TS Ø110 SDR 11 s vnitřní poloeliptickou trhlinou. Byl vytvořen nelineární 3D numerický model polymerního potrubí s kontaktní vazbou mezi kulovým indentorem o poloměru R (simulující existenci kamene) a vnější plochou potrubí. Existencí této vazby byla modelována interakce kamene se stěnou trubky, viz obr. 59. Numerický model, na kterém probíhaly numerické simulace a který umožňoval nalezení tvaru čela trhliny za předpokladu konstantní hodnoty součinitele intenzity napětí podél čela trhliny, je zobrazen na obr. 59. Bodové zatížení tělesa bylo modelováno tak, že se kulový indentor v nezatíženém stavu dotýkal povrchu potrubí v jednom bodě nad nejhlubším místem poloeliptické trhliny a důsledkem deformace potrubí způsobené působením vnitřního tlaku byl v interakci s potrubím. Cílem této parametrické numerické studie bylo kvantifikovat vliv jednotlivých vstupních parametrů (poloměr indentoru R = 2,5 – 25 mm, velikosti obvodového napětí σhoop= 6 - 10 MPa reprezentující hodnotu vnitřního tlaku, rozměrové řady potrubí SDR 9; 11; 13,6; 17 a Poissonova čísla ν = 0,25 – 0,4) na tvar trhliny a na hodnotu součinitele intenzity napětí.

strana

73


Obr. 60 Výsledky numerické studie růstu trhliny při působení bodového kontaktu v porovnání s výsledky bez bodového kontaktu Z výsledků parametrické studie, kde byl studován vliv vstupních parametrů na optimalizovaný tvar čela trhliny, je patrné, že vlivem bodového zatížení dochází ke zploštění eliptického tvaru čela trhliny (nárůst poměru b/a) v porovnání s potrubím bez bodového kontaktu. Při porovnání hodnot součinitelů intenzity napětí pro optimalizovaný tvar čela trhliny a pro potrubí zatíženým pouze vnitřním tlakem, viz obr. 60, bylo zjištěno, že existence bodového zatížení způsobí nárůst součinitele intenzity napětí. Obdržené výsledky numerických analýz, pro různé varianty vstupních dat, byly proloženy polynomem druhého stupně a tím nalezeny níže uvedené vztahy umožňující stanovení optimalizovaného tvaru čela trhliny b/a (41), tvarové funkce Y(a/w) (42) a součinitele intenzity napětí (43). b = 1.1484 + 1.2099  a  − 05474  a  a  w  w

2

a a Y (a w) = 0.7452 − 0.6179   + 0.427    w  w p D a K I = int πa Y   w  w

(41) 2

(42) (43)

Význam jednotlivých členů je uveden výše v textu. Při stanovení charakteristického poměru elipsy a součinitele intenzity napětí pomocí uvedených vztahů je pro uvedený rozsah vstupních veličin možno tyto hodnoty určit s chybou do 10%. Proto lze tyto vztahy použít s dostatečnou přesností pro inženýrské stanovení součinitele intenzity napětí a předpokládaného tvaru eliptického čela trhliny bez nutnosti tvorby poměrně složitých a časově náročných numerických modelů potrubí.

strana

74


Obr. 61 Zbytková životnost pro jednotlivé druhy zatížení: bez zásypu (potrubí zatíženo vnitřním tlakem), se zásypem (působení vnitřního tlaku a ideálního zásypu potrubí), bodový kontakt (zatížení vnitřním tlakem a bodový kontakt indentoru s vnější stěnou potrubí) [XVIII] Z výsledků zobrazených na obrázku č. 61 lze pozorovat pozitivní efekt zásypu potrubí na jeho životnost. Vnější tlak vyvolaný zásypem způsobí pokles obvodového napětí u potrubí, čímž dojde k poklesu hodnoty součinitele intenzity napětí i pro krátké trhliny. Pozitivním efektem zásypu potrubí je pokles hodnoty součinitele intenzity napětí u existujícího defektu. Zásypem potrubí může u existující trhliny dojít ke snížení hodnoty součinitele intenzity napětí pod prahovou hodnotu a tím k zastavení jejího dalšího růstu. V případě, že je potrubí zatíženo vnitřním tlakem a vystaveno bodovému zatěžování, vede tato kombinace zatížení ke zkrácení životnosti polymerního potrubí při porovnání s potrubím zatíženým pouze vnitřním tlakem. Tímto bylo pomocí numerických metod potvrzeno snížení životnosti vlivem koncentrace napětí způsobené bodovým kontaktem, které je uvedeno v práci [27]. Prezentované odhady životnosti pro kombinované namáhání byly stanoveny pro extrémní případy – zásyp ideální zeminou, bodové zatížení. Odhad životnosti lze pro skutečné provozní podmínky očekávat někde mezi těmito limitními hodnotami. Dalším faktorem, který může ovlivnit životnost polymerního potrubí, je existence reziduálních napětí ve stěně trubky, které jsou výsledkem výrobního procesu [56]. Studiem vlivu existence reziduálních napětí ve stěně polymerního potrubí na jeho životnost se zabývaly práce [XVII, XXIV, XXX]. Z porovnání výsledků životnosti získaných z numerických metod pomocí 2D numerického modelu pro potrubí s uvažováním a bez uvažování reziduálních napětí vyplývá, že reziduální napětí pozorovaná v [27] negativně ovlivňují životnost polymerního potrubí.

strana

75

strana

76

Závěr

9 ZÁVĚR Disertační práce se zabývá popisem porušování vícevrstvých polymerních prostředí. Hlavním cílem bylo studium chování trhliny blížící se k materiálovému rozhraní a definice podmínek přechodu přes bi-materiálové rozhraní. Pro popis růstu trhliny přes materiálové rozhraní bylo nutné definovat vhodný popis pole napětí v okolí takové trhliny, vhodné kritérium stability a mechanismus porušení studovaných polymerních prostředí. Jedním z důležitých mechanismů porušení u polymerních materiálů, zejména v aplikacích tlakových rozvodů, je porušení „pomalým šíření trhliny“, proto mu byla věnována v této práci největší pozornost. Růst trhliny byl popsán pomocí součinitele intenzity napětí, popř. zobecněného součinitele intenzity napětí a byla predikována životnost na příkladech vícevrstvých polymerních potrubí. Na základě cílů práce, které byly definovány v kapitole 6, je možno výsledky dosažené v rámci řešení disertační práce shrnout následovně: 1) S využitím metody konečných prvků navrhnout a vytvořit relevantní numerický model vícevrstvé struktury, který bude umožňovat stanovení součinitele intenzity napětí podél čela trhliny v homogenním materiálu a stanovení zobecněného součinitele intenzity napětí pro trhlinu s vrcholem na bimateriálovém rozhraní. Při řešení disertační práce byly vytvořeny rovinné a prostorové numerické modely vícevrstvých těles s trhlinou orientovanou kolmo k materiálovému rozhraní. Pomocí numerických modelů bylo možno stanovit lomové parametry pro trhlinu jak v homogenní materiálu, tak i pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní. Na základě porovnání výsledků z jednotlivých modelů bylo zjištěno, že modelování šíření trhliny v oblasti kvazi-křehkého porušení, tj. v režimu tzv. „pomalého šíření trhliny“, je nutno provádět ve 3D, protože realistický odhad tvaru šířící se trhliny významně zpřesní získané výsledky. 2) Pro trhlinu šířící se z počátečního defektu na povrchu tělesa pomocí 3D numerického modelu odhadnout tvar šířící se trhliny a vliv existence materiálového rozhraní na hodnotu součinitele intenzity napětí, respektive na residuální zbytkovou životnost. Pomocí vytvořeného 3D numerického modelu vícevrstvého tělesa byl stanoven vliv materiálového rozhraní na hodnotu součinitele intenzity napětí a také byl odhadnut tvar trhliny šířící se z povrchu součásti směrem k materiálovému rozhraní. Z výsledků získaných na numerickém modelu je patrné, že při šíření trhliny z poddajnější ochranné vrstvy směrem k tužšímu základnímu materiálu dosahuje součinitel intenzity napětí v porovnání s totožnou trhlinou v homogenním potrubí výrazně nižších hodnot. Rozdíl výsledků pro analyzované materiálové vlastnosti vícevrstvého tělesa vzhledem k tělesu z homogenního materiálu je významný a závisí na poměru modulů pružnosti jednotlivých složek. Výsledky odhadu reziduální životnosti vícevrstvého polymerního potrubí a potrubí z homogenního materiálu vykazují taktéž pozitivní vliv existence poddajnější vrstvy u vícevrstvého potrubí na životnost. Dále byl studován vliv materiálového rozhraní na změnu tvaru šířící se trhliny. Z výsledků vyplývá, že v případě krátké trhliny je tvar čela šířící se trhliny podobný jako v homogenním tělese. Pokud se čelo trhliny nachází blíže k materiálovému rozhraní, je z výsledků patrný růst trhliny v podélném směru vůči materiálovému rozhraní (nárůst poměru b/a). V porovnání s trhlinou v homogenním materiálu je tak

strana

77

Závěr

poměr b/a popisující eliptický tvar čela trhliny výrazně větší. Tvar čela trhliny je odlišný pro různé poměry materiálových vlastností jednotlivých vrstev. 3) Pro trhlinu s vrcholem, resp. čelem na rozhraní dvou polymerních materiálů definovat vhodné kriterium stability pro šíření trhliny přes rozhraní. Pro trhlinu zakotvenou na rozhraní popsat její další šíření podél rozhraní. U vícevrstvého tělesa s trhlinou kolmou k materiálovému rozhraní a s vrcholem na materiálovém rozhraní byla aplikována kritéria stability s cílem stanovit kritické zatížení způsobující růst trhliny z materiálového rozhraní. Z analyzovaných kritérií stability se na základě numerických simulací jeví jako nejvýhodnější kritérium stability založené na faktoru hustoty deformační energie. Pomocí tohoto kritéria jsou získány konzervativnější výsledky v případě poměru modulů pružnosti v tahu E1/E2 < 1, tedy v případě šíření trhliny z měkčí ochranné vrstvy do tužšího základního materiálu trubky. Jedná se o prakticky nejzajímavější materiálovou konfiguraci mající pozitivní vliv na zbytkovou životnost. Následně bylo možno na základě modifikace kritéria stability založeném na faktoru hustoty deformační energie jednoduše určit efektivní hodnotu součinitele intenzity napětí. Tuto hodnotu lze již porovnat s běžně měřitelnými lomovými parametry, např. prahovou hodnotou součinitele intenzity napětí nebo lomovou houževnatostí. Byla provedena rešerše literatury se vztahy pro výpočet kritické vzdálenosti d (což je délkový parametr vyskytující se v kritériích stability) a bylo zjištěno, že pro aplikaci kritérií stability pro trhlinu s vrcholem na materiálovém rozhraní dvou polymerních materiálů není donota délkového parametru klíčová a postačuje pouze jeho relativně hrubý odhad. 4) Na základě navržené metodologie kvantifikovat vliv polymerního rozhraní na šíření trhliny. Definovat případy kdy je tento vliv významný a vyslovit doporučení vedoucí ke zvýšení životnosti vrstevnatých polymerních materiálů (zejména v aplikaci na vícevrstvé polymerní trubky). Pomocí celé řady provedených numerických simulací na vrstevnatých polymerních materiálech s trhlinou byla nalezena materiálová konfigurace, která má pozitivní vliv na šíření trhliny i zbytkovou životnost celé součásti. Touto materiálovou konfigurací je v případě vícevrstvých těles s trhlinou šíření trhliny z poddajnějšího materiálu do tužšího E1/E2 < 1 (poměru modulů pružnosti v tahu jednotlivých vrstev je menší než jedna). Za předpokladu ideální adheze mezi jednotlivými vrstvami, kterou lze koextruzí polymerních materiálů při výrobě docílit, je efekt materiálovéh rozhraní poměrně významný i pro relativně blízké hodnoty modulů pružnosti v tahu jednotlivých vrstev. Vhodnou materiálovou skladbou vícevrstvé trubky tak lze docílit řádově větší životnosti, než by měla trubka vyrobená pouze z jednoho materiálu. Výsledky uvedené v této práci mají obecnou platnost pro polymerní materiály. Uvedenou metodiku hodnocení porušení vícevrstvých prostředí lze aplikovat i na jiné vícevrstvé materiály, pokud provedeme příslušné korekce např. při volbě kritéria stability. Závěrem lze konstatovat, že všechny uvedené cíle práce byly splněny a výsledky dosažené v průběhu řešení disertační práce byly publikovány v odborných časopisech a prezentovány na mezinárodních a národních konferencích, což je doloženo mimo jiné seznamem publikovaných prací autora.

strana

78

Závěr

Výsledky obsažené v této práci byly dosaženy v rámci řešení projektů: Grantové agentury České republiky: P108/12/1560 106/09/H035 101/09/J027

106/09/0279

Popis šíření creepové trhliny v polymerních materiálech při komplexním mechanickém namáhání Víceúrovňový design pokrokových materiálů Souvislost mezi strukturálními změnami, rozvojem poškození a šířením trhlin ve svařovaných polymerních součástech Mechanismy lomového porušování vrstevnatých polymerních prostředí

Specifického výzkumu na Fakultě strojního inženýrství VUT v Brně: FSI-J-13-2046 FSI-J-12-21/1693 FSI-J-11-38 FSI-J-10-41 FSI-S-11-11/1190 FAST/FCH/FSI-S-11-1

Zobecnění postupů lomové mechaniky na problematiku porušování vícevrstvých inženýrských konstrukcí Studium lomového chování vícefázových a složených materiálů Aplikace nových postupů zobecněné lomové mechaniky Numerické modelování mechanických vlastností a porušení vícefázových polymerních materiálů Problémy pevnosti a dynamiky moderních materiálů a konstrukcí Chování trhlin/mikrotrhlin v kompozitech s křehkou matricí

Grantové agentury Akademie věd České republiky: KJB200410803

Zobecnění lineární elastické lomové mechaniky na problémy šíření trhlin v nehomogenních materiálech

strana

79

strana

80

Publikované práce autora

10 PUBLIKOVANÉ PRÁCE AUTORA DLE METODIKY RIV: 10.1 Impaktované publikace [I]

Zouhar, M., Hutař, P., Náhlík, L., Knésl, Z.; Effect of the time dependent material properties on the crack behaviour in the interface of two polymeric materials, Mechanics of Composite Materials, Vol. 47, No.2, pp. 203-210, 2011 (IF = 0.421) - úplné znění publikace, viz Příloha A

[II]

Ševčík, M., Hutař, P., Zouhar, M., Náhlík, L.; Numerical estimation of the fatigue crack front shape for a specimen with finite thickness, International Journal of Fatigue, Vol. 39, pp. 75-80, 2012 (IF = 1,602) - úplné znění publikace, viz Příloha B

[III]

Nezbedová, E., Hutař, P., Zouhar, M., Knésl, Z., Sadílek, J., Náhlík, L.; The applicability of the Pennsylvania Notch Test for a new generation of PE pipe grades, Polymer Testing, Vol. 32, No. 1, pp. 106-114, 2012 (IF = 1,608) - úplné znění publikace, viz Příloha C

[IV]

Ševčík, M., Hutař, P., Knésl, Z., Náhlík, L., Zouhar, M.; Estimation of the critical configuration of a crack arrested at the interface between two materials, Computational Materials Science, Vol. 64, No. 5, pp. 225-228, 2012 (IF = 1,458) - úplné znění publikace, viz Příloha D

[V]

Hutař P., Zouhar M., Náhlík L., Ševčík M., Máša, B.; Multilayer polymer pipe failure assessment based on fracture mechanics approach, Engineering Failure Analysis, Vol. 33, pp. 151-162, 2013 (IF = 0,855) - úplné znění publikace, viz Příloha E

[VI]

Hutař P., Ševčík M., Náhlík L., Zouhar M., Knésl Z.; Assessment of surface crack stability in laminates, Mechanics of Composite Materials, Vol. 50, No. 1, pp. 9-16, 2014, (IF = 0,421) - úplné znění publikace, viz Příloha F

10.2 Recenzované publikace zařazené do databáze SCOPUS [VII]

Zouhar, M., Vallet, L., Hutař, P., Náhlík, L.; Life time estimation of the multilayer plastic pipes, Key Engineering Materials, Vols. 452-543, pp. 33-36, 2011 - úplné znění publikace, viz Příloha G

[VIII]

Zouhar, M., Hutař, P., Náhlík, L., Knésl, Z.; Basic modes of crack propagation through an interface in polymer layered structure, Key Engineering Materials, Vols. 488-489, pp.162-165, 2012 - úplné znění publikace, viz Příloha H

[IX]

Zouhar, M., Hutař, P., Ševčík, M., Náhlík, L.; Pressure pipe damage: Numerical estimation of point load effect, Key Engineering Materials, Vol. 525- 526, No. 1, pp. 177-180, 2013- úplné znění publikace, viz Příloha I

[X]

Majer, Z., Zouhar, M., Ševčík, M., Náhlík, L., Hutař, P.; Pressure pipe damage: Numerical estimation of point load effect II. Key Engineering Materials, Vol. 577- 578, č. 1, pp. 533-536, 2014 - úplné znění publikace, viz Příloha J

strana

81


[XI]

Zouhar, M., Hutař, P., Náhlík, L., Knésl, Z.; Damage of multilayer polymer materials under creep loading, Key Engineering Materials, Vol. 465, pp. 153-156, 2011 - úplné znění publikace, viz Příloha K

[XII]

Hutař, P., Ševčík, M., Náhlík, L., Zouhar, M., Seitl, S., Knésl, Z., Fernandéz-Canteli, A.; Fracture mechanics of the three-dimensional crack front: vertex singularity versus out of plain constraint descriptions. Procedia Engineering, Vol. 2, No. 1, pp. 2095-2102, 2010

[XIII]

Petrenec, M.; Beran, P.; Zouhar, M.; Ševčík, M. Analysis of fatigue crack initation in cycled austempered ductile cast irons. Procedia Engineering, Vol. 2, Issue 1, pp. 2337-2346, 2010

[XIV]

Hutař, P., Zouhar, M., Nezbedová, E., Sadílek, J., Žídek, J., Náhlík, L., Knésl, Z.; Constraint effect on the slow crack growth in polyethylene, International Journal of Structural Integrity, Vol. 3, Iss: 2 pp. 118 – 126, 2012

10.3 Recenzované publikace v tuzemských časopisech [XV]

Zouhar, M., Hutař, P., Náhlík, L., Ševčík, M., Knésl, Z.; The effect of critical distance in stability condition for the crack at the interface between two materials, Engineering mechanics, Vol. 19, no. 2/3, pp. 155-164, 2012 - úplné znění publikace, viz Příloha L

10.4 Článek ve sborníku mezinárodní/národní konference [XVI]

Zouhar, M.; Hutař, P.; Ševčík, M.; Náhlík, L. The influence of point load on creep crack growth in polyethylene pipe, Computational Mechanics 2011. Plzeň:University of West Bohemia Pilsen, pp. 1-2. ISBN: 978-80261-0027- 0, 2011

[XVII]

Ševčík, M.; Hutař, P.; Zouhar, M.; Náhlík, L.; Knésl, Z.; Kučera, J. A Simple Method for Estimation of Residual Stresses Influence on Plastic Pipes Lifetime Prediction, Polymeric Materials 2012, pp. 134-134. ISBN: 978-3-86829-517- 7, 2012

[XVIII]

Hutař P., Zouhar M., Ševčík M., Knésl Z., Nezbedová E., Numerical assessment of the HDPE pipe lifetime, Problemseminar “Deformation und Bruchverhalten von Kunststoffen”, Merseburg, CD, 2011

[XIX]

Ševčík, M.; Zouhar, M.; Máša, B.; Hutař, P.; Náhlík, L. On a critical geometry of a crack arrested at a bimaterail interface. In Conference Proceedings of the 14th International Conference APPLIED MECHANICS, pp. 1-4. ISBN: 978-80-261-0097- 3, 2012

[XX]

Zouhar, M., Hutař, P., Náhlík, L., Ševčík, M., Knésl, Z.; Crack stability condition at the interface between two polymer materials, Applied mechanics 2011, Velké Bílovice, pp. 247-250, ISBN 978-80-87434-03-1, 2011

[XXI]

Zouhar, M.; Hutař, P.; Náhlík, L.; Crack propagation through the interface between two polymer materials. Applied and Computational Mechanics – Extended Abstracts. University of West Bohemia, Plzeň: University of West Bohemia, pp. 1-2. ISBN: 978-80-7043-919- 7, 2010

strana

82


[XXII]

Ševčík, M., Hutař, P., Zouhar, M., Náhlík, L.; Numerical determination of the crack front shape for specimen with finite thickness. Mechanical Fatigue of Metals, Opole, Poland, 2010

[XXIII]

Hutař, P.; Ševčík, M.; Zouhar, M.; Náhlík, L.; Kučera, J. The effect of residual stresses on crack shape in polymer pipes. The Fourth International Conference on Crack Paths 2012, pp. 73-73, 2012

[XXIV]

Hutař, P.; Ševčík, M.; Kučera, J.; Zouhar, M.; Luky, R.; Náhlík, L. Effect of the residual stresses on the slow crack growth. XVI International Plastic Pipes Conference 2012, 2012

[XXV]

Ševčík, M.; Náhlík, L.; Hutař, P.; Zouhar, M.; Máša, B. Modelling of fatigue failure of gears with thin rim. 18th International Conference Engineering Mechanics 2012, pp. 1309-1310, 2012

[XXVI]

Zouhar, M.; Hutař, P.; Náhlík, L.; Vallet, L. Fracture description of twolayer pipe with polypropylene protective layer. Applied Mechanics 2010. Liberec: TU Liberec, pp. 135-138. ISBN 978-80-7372-586- 0, 2010

[XXVII]

Zouhar, M.; Hutař, P.; Náhlík, L. Vliv časově proměnných vlastností materiálů a způsobu zatěžování na lomové parametry bi-materiálováho tělesa. SEMDOK 2010, pp. 247-250, ISBN 978-80-554-157-7, 2010

[XXVIII] Zouhar, M.; Hutař, P.; Náhlík, L.; Hlavoň, P. Dimenzování částí tlustostěnného potrubí v oblasti creepu. Víceúrovňový design pokrokových materiálů 2009. pp. 131-138. ISBN 978-80-254-6070-2, 2009 [XXIX]

Zouhar, M.; Hutař, P.; Náhlík, L.; Dvouvrstvá trubka – vliv rozhraní na chování creepové trhliny, Viceúrovňový design pokrokových materiálů 2010. pp. 123-130. ISBN 978-80-87434-02-4, 2010

[XXX]

Luky, R., Zouhar, M. Hutař, P.; Vliv reziduálních napětí na životnost polymerních trubek, Viceúrovňový design pokrokových materiálů 2011, pp. 215-222. ISBN 978-80-87434-04-8, 2011

[XXXI]

Máša, B.; Zouhar, M.; Náhlík, L. Vliv reziduálních napětí v keramickém laminátu na šíření trhliny, Víceúrovňový design pokrokových materiálů 2012, pp. 53-58. ISBN: 978-80-87434-06- 2, 2012

[XXXII]

Náhlík, L.; Zouhar, M.; Ševčík, M.; Seitl, S.; Majer, Z. 13th Applied mechanics 2011 conference proceeding. 13th Applied mechanics 2011 conference proceeding. ISBN: 978-80-87434-03- 1, 2011

strana

83

strana

84

Použitá literatura

11 POUŽITÁ LITERATURA [1]

Anderson T. L.; Fracture Mechanics – Fundamentals and Application, CRC Press Inc., 2005

[2]

ASM International; Characterization and Failure Analysis of Plastics, ISBN: 978-0-87170-789-5, 2003

[3]

Atkinson, C.; On the stress intensity factors associated with fracka interacting with an interface between two elastic media, International Journal of engineering Science, Vol. 13, pp. 489-504, 1975

[4]

Barker MB, Bowman J, Bevis M.; The performance and cause of failure of polyethylene pipes subjected to constant and fluctuating internal pressure loadings, Journal of Materials Science, Vol. 18, pp. 1095–118, 1983

[5]

Bažant, Z.P. Estenssoro, L.F.; Surface singularity and crack propagation, International Journal of Solids and Structures, Vol. 15, pp. 405-426, 1979

[6]

Barsoum, R.S.; On the use of isoparametric finite elements in linear fracture mechanics, International Journal of Numerical Method n Engineering, Vol. 10, pp. 25-37, 1976

[7]

Bogy, D.B.; On the plane elastic problem of a loaded crack terminating a material interface, International Journal of Fracture, Vol. 38, pp. 911–918, 1971

[8]

Branco R, Antunes F.V.; Finite element modelling and analysis of crack shape evolution in mode-I fatigue Middle Cracked Tension specimen, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 75, pp. 3020–37, 2008

[9]

Brdička, M.; Mechanika kontinua. Praha: Nakladatelství ČSAV, 1959

[10]

Brown, N., Bhattacharya, S.K.; The initiation of slow crack growth in linear polyethylene under single edge notch tension and plane strain, Journal of Materials Science, 4553-4560, 1985

[11]

Brown, N., Lu, X.; A Fundamental theory for slow crack growth in polyethylene, Polymer, Vol. 36, No. 3, pp. 543-548, 1995

[12]

Cook TS, Erdogan F.; Stresses in bonded materials with a crack perpendicular to the interface. International Journal of Engineering Science, Vol. 10, pp. 677–697, 1972

[13]

ČSN EN ISO 1167-1; Trubky, tvarovky a sestavy z termoplastů pro rozvod tekutin – stanovení odolnosti vnitřnímu přetlaku – Část 1: obecná metoda. Praha: Český normalizační institut, 16 s. , 2009

[14]

Dixon, J. R., Strannigan, J.S.; Determination on energy release rates and stress-intensity factors by the finite element metod. Journal of Strain Analysis for Engineering Design, Vol.7, pp.125-131, 1972

[15]

Dundurs, J. In: Mura, T. (Ed.); Mathematics of Dislocation. ASME, New York, pp. 70–115, 1969

[16]

England, A.H.; A crack between dissimilar Media, Journal of Applied Mechanics, Vol.32, pp. 400-402, 1965

strana

85


[17]

Erdogan, F.; Stress distribution in a nonhomogenous elastic plane with cracks, Journal of Applied Mechanics, Vol.30, Issue 2, pp. 232-236, 1963

[18]

Farshad, M.; Determination of the long-term hydrostatic strength of multilayer pipes, Polymer Testing, Vol. 24, Issue 8, pp. 1041-1048, 2005

[19]

Fenner, D., N.; Stress singularities in composite materials with an arbitrarily oriented crack meeting an interface. International Journal of Fracture, Vol. 12, pp. 705-721, 1976

[20]

Fiedler, L.; Lomové chování trubkových polyolefinů. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, disertační práce, 126 s., 2011

[21]

Fleissner, M.; Experience with a full notch creep test in determining the stress crack performance of polyethylenes, Polymer Engineering and Science, Vol. 38, Issue 2, pp. 330-340, 1998

[22]

Frank, A., Freimann, W., Pinter, G., Lang, R.W.; A fracture mechanics concept for the accelerated characterization of creep crack growth in PE-HD pipe grades, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 76, Issue 18, pp. 27802787, 2009

[23]

Frank, A., Hutar, P., Pinter, G.; Numerical assesment of PE 80 and PE 100 pipe lifetime based on Paris-Erdogan equation, Macromolecular Symposia, Volume 311, Issue 1, pp. 112-121, 2012

[24]

Frank, A., Pinter, G.; Evaluation of the applicability of the cracked round bar test as standardized PE-pipe ranking tool, Polymer Testing, Volume 33, pp. 161-171, 2014

[25]

Gray A, Mallinson J.N., Price J.B.; Fracture behaviour of polyethylene pipes. Plastics and Rubber Processing and Applications, Vol. 1, pp. 51–53, 1981

[26]

Griffith, A.A.; The phenomena of rupture an flowing solids, Philosophical Transactions, Series A, Vol. 221, pp.163-198, 1920

[27]

Hessel, J.; Minimum service-life of buried polyethylene pipes without sandembedding, 3R International - Spec. Plast. Pipes, Vol. 40, pp. 4–12, 2001

[28]

Hessel, J.; 50 Jahre Rohre aus Polyethylen - Eine ingenieurtechnische Betrachtung, 3R International, Vol. 45, pp. 128-133, 2006

[29]

Hessel, J.; 100 Jahre Nutzungsdauer von Rohren aus Polyethylen, 3R International, Vol. 46, pp. 242-246, 2007

[30]

Hutař, P., Ševčík, M., Náhlík, L., Mitev, I., Frank, A., Pinter, G.; Numerical simulation of the failure behavior of PE pressure pipes with additional loads, ANTEC 2009. United States: Society of Plastics Engineers, Inc., pp. 21632168, 2009

[31]

Hutař, P., Náhlík, L., Knésl, Z.; The effect of a free surface on fatigue crack behaviour. International Journal of Fatigue, Vol. 32, pp. 1265-1269, 2010

[32]

Hutař, P., Náhlík, L., Šestáková, L., Ševčík, M., Knésl, Z., Nezbedová, E.; A fracture mechanics assessment of surface cracks existing in protective layers of multi-layer composite pipes, Composite Structures, Vol. 92, Issue 5, pp. 1120-1125, 2010

strana

86


[33]

Hutař, P., Ševčík, M., Náhlík, L., Pinter, G., Frank, A., Mitev, I.; A numerical methodology for lifetime estimation of HDPE pressure pipes, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 78, Issue 17, pp. 3049-3058, 2011

[34]

Chan, S. K, Tuba, I. S., Wilson, W. K.; On the finite element method in linear fracture mechanics, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 2, pp. 1-17, 1970

[35]

Chawla, N., Chabla K.K.; Metal Matrix Composites, Springer, ISBN 978-0387-28567-2, 2006

[36]

Chiang, C.R.; On the stress intensity factors of crack near an interface between two media. International Journal of Fracture, Vol. 47, pp. R55-R88, 1991

[37]

Chien-Yuan, H.; Simultaneous simulation of closure behavior and shape development of fatigue surface cracks, International Journal of Fatigue, Vol. 30, pp. 1036–46, 2008

[38]

Chudnovsky, A. Shulkin, Y.,Zhou, Z.; Characterization of polyethylene resistance to slow crack growth, Annual Technical Conference-Society of Plastics Engineers, pp. 2976-2981, 2003

[39]

Chudnovsky, A., Zhou, Z., Zhang, H., Sehanobish, K.; Lifetime assessment of engineering thermoplastics, International Journal of Engineering Science, Vol. 59, pp. 108-139, 2012

[40]

Ingraffea, A.R., Manu, C.; Stress-intensity factor computation in three dimensions with quater-point elements, International Journal for Numerical Metods in Engineering, Vol.15, pp. 1427-1445, 1980

[41]

Ingraffea A.R., Wawrzynek P.; Finite Element Method for Linear Elastic Fracture Mechanics, In Comprehensive Structural Integrity, Pergamon, Oxford, pp. 1-88, ISBN 9780080437491, 2003

[42]

Irwin, G.R.; Analysis of Stresses and Strains near the End of a Crack traversing a Plate, Journal of Applied Mechanics, Vol. 24, pp. 361-364, 1957

[43]

ISO 13479:1997; Polyolefin pipes for the conveyance of fluids Determination of resistance to crack propagation - Test method for slow crack growth on notched pipes (notch test), International Organization for standardization, 1997

[44]

ISO 16241:2005; Notch tensile test to measure the resistence to slow crack growth of polyethylene materials for pipe and fitting products (PENT), International Organization for standardization, 13 pages, 2005

[45]

ISO 16770:2004; Plastic – determination of enviromental stress cracking (ESC) of polyethylene – Full-Notch creep test (FNCT), International Organization for standardization, 13 pages, 2004

[46]

Ivanovic, A., Venizelos, P.; Rapid crack propagation in plastic pipe: Predicting full-scale critical pressure from S4 test results, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 59, No. 5, pp. 607-622, 1998

[47]

Kaddouri, K., Belhouari, M., Bachir Bouiadjra, B., Serier, B.; Finite element analysis of crack perpendicular to bi-material interface: Case of couple

strana

87


ceramic–metal, Computational Materials Science, Vol. 35, Issue 1, pp. 53-60, 2006 [48]

Kausch H. H.; Intrinsic Molecular Mobility and Toughness of Polymers I. (Advances in Polymer Science), Springer Verlag, Berlin, 2005

[49]

Kirshnaswamy, R., K.; Analysis of ductile and brittle failures from creep rupture testing of high-density polyethylene (HDPE) pipes, Polymer, Vol. 46, Issue 25, pp. 11664-11672, 2005

[50]

Kiesselbach, G., Finzel,W.; PE-Rohrleitungssysteme in der Gas- und Wasserversorgung, 3R International, Vol. 36, pp. 136-142, 1997

[51]

Knésl, Z.; A criterion of V-notch stability, International Journal of Fracture, Vol. 48, pp. 79–83, 1991

[52]

Knésl, Z., Knápek, A., Bednář, K.; Evaluation of the critical stress in bonded materials with a crack perpendicular to the interface, Surface Modification Technologies XI, the Institute of Materials, London, pp. 153-159, 1998

[53]

Knésl, Z., Hutař, P., Seitl, S.; Výpočet faktoru intenzity napětí metodou konečných prvků, Sborník semináře Výpočty konstrukcí metodou konečných prvků, Praha, 2002

[54]

Knésl, Z., Klusák, J., Náhlík, L.; Crack initation kriteria for singular stress concentrations – part I: A universal assesment of singular stress concentrations. Engineering Mechanics, Vol. 14, Issue 6, pp. 399-408, 2007

[55]

Knésl, Z., Náhlík, L., Bareš, P.; Crack initation kriteria for singular stress concentrations, part IV: Applications to fracture of coated structures, Engineering Mechanics, Vol. 15, No. 4, pp. 263-270, 2008

[56]

Kučera, J., Křivánek, J.; Morphology and internal stress distribution in the PP pipe wall, Problemseminar "Deformation und Bruchverhalten von Kunststoffen”, Merseburg, 2007.

[57]

Kunz, J.; Základy lomové mechaniky. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2000

[58]

Lin, K.Y., Mar, J., W.; Finite element analysis of stress intensity factor for crack at a bi-material interface, International Journal of Fracture, Vol. 12, Issue 4, pp. 521-531, 1976

[59]

Lu, X., Brown, N.; The ductile-brittle transition in a polyethylene copolymer, Journal of Materials Science, pp. 29-34, 1990

[60]

Lu, X., Qian, R., Brown, N.; Discontinuous crack growth in polyethylene under a konstant load, Journal of Material Science, Vol. 23, no. 4, pp. 917924, 1991

[61]

Lu X., Brown N.; A test for slow crack growth failure in polyethylene under a constant load, Polymer Testing, Vol. 11, pp. 309-319, 1992

[62]

Lu, X., Brown, N.; A Fundamental theory for slow crack growth in polyethylene, Polymer, Vol. 36, pp. 543-548, 1995

[63]

Lustiger, A.; The molecular mechanism of slow crack growth in polyethylene, Ph.D dissertation, Drexel University, 1985

strana

88


[64]

Lustiger,A.; Failure of Plastics, Ch. 16, W. Brostow and R.D. Corneliusses, Eds., Hanser Publishing, Munich, Vinna, New York, 1986

[65]

Marsavina L., Sadowski T.; Kinked crack at a bi-material ceramic interface – Numerical determination of fracture parameters, Computational Materials Science, Vol. 44, Issue 3, Pages 941-950, 2009

[66]

Meguid, S.A., Tan, M., Zhu, Z.H.; Analysis of crack perpendicular to bimaterial interface using a novel finite element. International Journal of Fracture, Vol. 75, pp. 1 - 25, 1995

[67]

Menčík, J.; Mechanics of Components with Treated or Coated Surfaces, Springer, 1996

[68]

Murakami, Y., and Co-editors; Stress intensity factor handbook, Vol.1, Tokyo: Pergamon Press, 1987

[69]

Muskhelishvili, N. I.; Some basic problem of the mathematical theoory of elasticity, Groningen, The Netheralnds: Noordhoff, 1972

[70]

Nayyar, M., L.; Piping handbook, 7th edition, New York, McGraw-Hill, 2256 pages, 2000

[71]

Náhlík, L.;Fatigue crack propagation near an interface of two elastic materials. Ph.D. thesis, Faculty of Mechanical Engineering BUT Brno and Institute of Physics of Materials AS CR Brno, 2002

[72]

Náhlík, L., Knésl, Z., Klusák, J.; Crack initation kriteria for singular stress concentrations – part III: An aplication to a crack touching a bimaterial interface. Engineering Mechanics, Vol. 15, no.2, pp. 99-114, 2008

[73]

Náhlík L., Šestáková L., Hutař P.; Crack behaviour in laminar ceramics with strong interfaces. Key Engineering Materials, Vol. 417- 418, pp. 301-304, 2009

[74]

Náhlík, L., Šestáková, L., Hutař, P.; Estimation of apparent fracture toughness of ceramic laminates. Computational materials science, Vol. 46, Issue 3, pp. 614-620, 2009

[75]

Náhlík, L., Šestáková, L., Hutař, P., Bermejo, R.; Prediction of crack propagation in layered ceramics with strong interfaces, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 77, Issue 11, pp. 2192-2199, 2010

[76]

Nezbedová, E.; Hodnocení životnosti plynovodu z HDPE materiálu. Slovgas, č. 4, s. 4-7, 2005

[77]

Nicholson, J.W.; The Chemistry of Polymers, 212 p., ISBN: 978-0-85404684-3, 2006

[78]

Nishio, N., Iimura, S.,Yasuhara, M., Nagatani F.; Standard Full Notch Creep Test Method and Some Test Results on MDPE Pipes, The Ninth Plastic Fuel Gas Pipe Symposium Proceedings, American Gas Association, 1985

[79]

Owen, D.R.J., Fawkes, A. J.; Engineering fracture mechanics: Numerical Methods and applications. Swansea: Pineridge Press Limited, 1983

strana

89


[80]

Parsons, M., Stepanov, E. V., Hiltner, A., Baer, E.; Correlation of stepwise fatigue and creep slow crack growth in high density polyethylene, Journal of Materials Science, Vol. 34, pp. 3315–3326, 1999

[81]

Parks, D. M., A stiffness derivative finite elemen technique for determination of crack tip stress intensity factors, International Journal of Fracture, Vol.10, pp.487-502, 1974

[82]

Pinter G.; Rißwachstumsverhalten von PE-HD unter statischer Belastung. Doctoral Dissertation, Institute of Materials Science and Testing of Plastics, University of Leoben, Austria; 1999

[83]

Pinter, G.; Haager, M.; Balika, W.; Lang, R. W.; Fatigue crack growth in PEHD pipe grades, Plastics, Rubber and Composites, Vol. 34, Issue 1, pp. 2533, 2005

[84]

Pinter, G. Haager, M., Balika, W., Lang, R.W.; Cyclic crack growth tests with CRB specimens for the evaluation of the long-term performance of PE pipe grades, Polymer Testing, Vol 26, Issue 2, pp. 180-188, 2007

[85]

Pinter, G., Lang, R. W., Haager, M.; A test concept for lifetime prediction of polyethylene pressure pipes, Chemical Monthly, Vol. 138, pp. 347–355, 2007

[86]

Plummer, CH.J.G, Goldberg, A., Ghanem A.; Micromechanisms of slow crack growth in polyethylene under constant tensile loading, Polymer, Vol. 42, Issue 23, pp. 9551-9564, 2001

[87]

Popelar, C. H., Kenner, V. H., & Wooster, J. P.; An accelerated method for establishing the long term performance of polyethylene gas pipe materiále, Polymer Engineering and Science, Vol. 31, pp. 1693–1700, 1991

[88]

Raynaud, M.; A view of European plastic pipes market in global scenario, Proceedings of Plastic Pipes XI., Munich, Germany, 2001

[89]

Romeo A, Ballarini, R; A crack very close to a bi-materila interface, Trans ASME, Vol. 32, pp. 614-619, 1995

[90]

Rice, J.R., Rosengren, G.F.; Plane strain deformation near a crack tip in power-law hardening material. Journal of the Mechanics an Physics of Solids, Vol. 35, pp. 379-386, 1968

[91]

Seweryn, A.; Brittle fracture criterion for structures with sharp notches, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 47, No. 5, pp. 673-681, 1994

[92]

Seweryn, A., Lukaszewicz, A.; Verification of brittle fracture criteria for elements with V-shaped notches, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 69, pp. 1487-1510, 2002

[93]

Shah, A., Stepanov, E.V., Klein, M. , Hiltner, A., Baer, E.; Study of polyethylene pipe resins by a fatigue test that simulates crack propagation in a real pipe, Journal of Material Science, pp. 3313-3319, 1998

[94]

Schouwenaars, R., Jacob, V.H., Ramos, E., Oritz, A.; Slow crack growth and failure induced manufacturing defects in HDPE - tubes, Engineering Failure Analysis, Vol. 14, pp.1124-1134, 2007

strana

90


[95]

Sih, G.C.; Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack problems, International Journal of Fracture, Vol. 10, No. 3, pp. 179-214, 1974

[96]

Sih, G.C.; A special theory of crack propagation, Mechanics of Fracture, Noordhoff International Publishing, Leyden 1977

[97]

Sih, G. C.; Moyer Jr., E.T., Gdoutos, E.E.; Discussion „The Mises elasticplastic boundary as the core region in fracture kriteria“ by P.S. Theocaris an P. Andrianopoulos, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 18, Issue 3, pp. 731-733, 1983

[98]

Sih, G. C.; Ho, J. W.; Sharp notch fracture strength characterized by critical energy density, Journal of Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Vol.16, pp.179-214, 1991

[99]

Sih, G.C.; Handbook of Stress-Intensity Factors, Bethlehem, Pensylvania: Lehigh University, 1993

[100] Sneddon, I.N.; The Distribution at Stress in the Neighbourhood of a Crack in an Elastic solid, Proceedings, Royal Society of London, Vol. A-187, pp. 229260, 1946 [101] Stern, A.; Fracture Mechanical Characterization of the Long-term Behavior of Polymers under Static Loads, Dissertation, University of Leoben, Austria, (1995). [102] Steward, R.,; Plastic pipe corrosion resistence, ease of installation stimulace demand for plastic pipe, Plastic Engineering, Vol. 61, no. 1, pp. 14-21, 2005 [103] Ševčík M., Hutař, P., Náhlík, L.; Description of the stress distribution around the crack front in the case of thin structures. Bulletin of Applied Mechanics, Vol. 6, Issue 22, pp. 30-33, 2010 [104] Ševčík, M.; Vliv volného povrchu tělesa a gradientní změny materiálových vlastností na chování trhliny. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 103 s., disertační práce, 2012 [105] Taylor, D.; Theory of critical distance, Engineering fracture mechanics, Vol. 75, pp. 1696-1705, 2008 [106] Tränkner T.; Slow crack growth test as a ranking method. Bodycote Polymer AB, pp. 321 – 328. [107] Vlk, M.; Mezní stavy a spolehlivost, Brno: Nakladatelství VUT v Brně, 2002 [108] Wawin, produktový http://cz.wavin.com

katalog

–

Sanace

potrubních

systémů,

[109] Westergaard, H.M.; Bearing Pressures and Cracks, Journal of Apllied Mechanics, Vol. 6, pp. 49-53, 1939 [110] William D. Callister; Materials Science and Engineering: An Introduction, 7th edition, 832 pages, Wiley Publisher, 2006

strana

91


[111] Williams, M.L.; Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plate in extension. Journal of Applied Mechanics, Vol. 74, pp. 526-528, 1952 [112] Williams, M.L.; On the Stress distribution at the Base of a Stationary Crack“, Journal of Applied Mechanics, Vol. 24, pp.109-114, 1957 [113] Zhou, Y., Lu, X., Brown, N.; Slow crack growth under fatigue and constant stress for ethylene-hexene resins with different density of branches, Eleventh Plastic Fuel Gas Pipe Conference Symposium, pp. 321-326, 1989 [114] Zhou, Y., Brown, N.; Evaluating the fatigue resistance of notched specimens of polyethylene, Polymer of engineering and science, Vol. 33, No. 21, pp. 1421-1425, 1993 [115] Zhu, W.X.; Singular stress field of three-dimensional crack, Engineering Fracture mechanics, Vol. 36, No. 2, pp. 239-244, 1990

strana

92

Curriculum vitae

CURRICULUM VITAE Osobní údaje: Jméno a příjmení: Datum narození: Státní příslušnost: Rodinný sav: Adresa:

email:

Michal Zouhar 22. září 1985 česká ženatý Senetářov 154, 679 06 Jedovnice Česká republika [email protected]

Vzdělání: 2009 – dosud Doktorské studium na Fakultě strojního inženýrství VUT v Brně Obor: Inženýrská mechanika Téma disertační práce: Popis porušování vícevrstvých polymerních prostředí 2007 – 2009 Magisterské studium na Fakultě strojního inženýrství VUT v Brně Obor: Inženýrská mechanika a biomechanika Téma diplomové práce: Deformačně napěťová analýza a hodnocení mezních stavů částí tlustostěnného potrubí v oblasti creepu 2004 – 2007 Bakalářské studium na Fakultě strojního inženýrství VUT v Brně Obor: Strojní inženýrství Téma bakalářské práce: Konstrukční řešení těsnosti vodorovného šoupátka 2000 – 2004 Maturitní studium na Střední průmyslové škole v Jedovnicích

Pracovní zkušenosti: 09/2009 – dosud Technický pracovník, vědecký asistent ve skupině vysokocyklové únavy materiálů Ústav fyziky materiálů AV ČR, v.v.i., Žižkova 22, 616 62 Brno 08/2011 – dosud Projektový manažer, pracovník projektové podpory – administrativní a finanční řízení projektu Operačního programu Vzdělávání pro Konkurenceschopnost (OP VK) a projektu Operačního programu Výzkumu a Vývoje pro Inovace (OP VaVpI) Ústav fyziky materiálů AV ČR, v.v.i., Žižkova 22, 616 62 Brno

strana

93

Curriculum vitae

Odborná činnost: Člen řešitelského týmu grantových projektů GAČR, řešených na ÚFM AV ČR, v.v.i. Navrhovatel, spolunavrhovatel a řešitel čtyř schválených juniorských projektů specifického výzkumu na FSI VUT v Brně Člen organizačního výboru konferencí Applied mechanics 2011 - Velké Bílovice a Víceúrovňový design pokrokových materiálů 2011 – Brno Absolvent specializovaných kurzů, seminářů a školení: 1) Kurz projektového řízení, Brno (1 týden) 2) Letní škola mechaniky kompozitních materiálů, Orlík (1 týden) 3) Kurz základů vědecké práce, Brno (1 týden) 4) Composite materials technology, Aarhus, Dánsko (2 týdny) 5) Doplňující pedagogické studium, Brno (8 týdnů) Aktivní účast na mezinárodních vědeckých konferencích, např.: 1) Fracture and Damage Mechanics 2013, Itálie 2) Mechanics of Composite Materials 2012, Lotyšsko 3) Fracture and Damage Mechanics 2011, Chorvatsko 4) International Conference on Materials Structure and Micromemechanics of Fracture 2010, Česká republika

Vědecká ocenění: 2013 Cena časopisu Engineering Mechanics 1. stupně

strana

94

Příloha A

PŘÍLOHA A Úplné znění vybrané publikace vztahující se k tématu disertační práce: Zouhar, M., Hutař, P., Náhlík, L., Knésl, Z.; Effect of the time dependent material properties on the crack behaviour in the interface of two polymeric materials, Mechanics of Composite Materials, Vol. 47, No.2, pp. 203-210, 2011 (IF=0.421)

strana

95

strana

96

Mechanics of Composite Materials, Vol. 47, No. 2, May, 2011 (Russian Original Vol. 47, No. 2, March-April, 2011)

EFFECT OF TIME-DEPENDENT MATERIAL PROPERTIES ON THE CRACK BEHAVIOR IN THE INTERFACE OF TWO POLYMERIC MATERIALS

M. Zouhar,*1,23+XWDĜ1 L. Náhlík,1,2 and Z. Knésl1

Keywords: multilayer plastic pipes, bimaterial interface, stability criteria, critical stress, time-depended material properties Crack penetration through the bimaterial interface of two polymers is investigated numerically. Due to the practical importance of the problem, a crack in a three-layer pipe consisting of a main and two, inner and outer, protective layers is analyzed in this paper. The prime aim is to formulate the conditions under which the crack stays arrested at the interface between the protective layer and the main pipe or penetrates into the interface and causes failure of the main pipe and consequently of the entire pipe system. The crack tip stress ¿HOGLVGHVFULEHGE\XVLQJDJHQHUDOL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUIRUFDVHVZKHUHWKHFUDFNWRXFKHVWKHLQWHUIDFH and the stress singularity exponent differs from 1/2. In the case of short-term applications, the stress state on the interface is given simply by a combination of the elastic properties of materials of the main pipe and the SURWHFWLYHOD\HUV,QORQJWHUPDSSOLFDWLRQVWKHWLPHGHSHQGHQWSURSHUWLHVRIWKHPDWHULDOVFDQVLJQL¿FDQWO\ LQÀXHQFHWKHVWUHVVVWDWHRIWKHLQWHUIDFHDQGFDQOHDGWRFRQVLGHUDEOHFKDQJHVLQIDLOXUHFRQGLWLRQV7KHUHVXOWV presented here may contribute to a more accurate estimation of the residual lifetime of multilayer pipes.

1. Introduction Advanced materials are usually created by combining two or more constituents with different properties, which are DUUDQJHGDFFRUGLQJWR¿QDODSSOLFDWLRQVRIWKHPDWHULDO$VSHFLDOFDVHLVUHSUHVHQWHGE\OD\HUHGPDWHULDOVZKHUHDFRPELQDWLRQRIGLIIHUHQWOD\HUVLPSDUWVXQLTXHSURSHUWLHVWRWKHFRPSRVLWHZKLFKGLIIHUIURPWKRVHRIWKHLQGLYLGXDORULJLQDOPDWHULDOV 7KHH[LVWHQFHRILQWHUIDFHVZKHUHPDWHULDOSURSHUWLHVYDU\VWHSZLVHFDQVLJQL¿FDQWO\FKDQJHWKHVWUHVVVWDWHLQWKHOD\HUHG ,QVWLWXWHRI3K\VLFVRI0DWHULDOVäLåNRYD%UQR&]HFK5HSXEOLF %UQR8QLYHUVLW\RI7HFKQRORJ\7HFKQLFNi%UQR&]HFK5HSXEOLF

&RUUHVSRQGLQJDXWKRUHPDLOKXWDU#LSPF] 1 2

5XVVLDQWUDQVODWLRQSXEOLVKHGLQ0HNKDQLND.RPSR]LWQ\NK0DWHULDORY9RO1RSS0DUFK$SULO 2ULJLQDODUWLFOHVXEPLWWHG0DUFKUHYLVLRQVXEPLWWHG1RYHPEHU 6SULQJHU6FLHQFH%XVLQHVV0HGLD,QF

203

2 ( Ep , vp )

( Ep , vp ) sappl

sappl ( Em , vm )

1

)LJ$FUDFNSHUSHQGLFXODUWRWKHLQWHUIDFHEHWZHHQWZRHODVWLFPDWHULDOV²WKHPDLQSLSHDQG ²DSURWHFWLYHOD\HU VWUXFWXUHDQGWKHIDLOXUHUHVLVWDQFHRIWKHHQWLUHV\VWHP7KHUHIRUHFUDFNSURSDJDWLRQWKURXJKRUDORQJWKHLQWHUIDFHRIWZR PDWHULDOVLVZLGHO\VWXGLHGLQWKHOLWHUDWXUH>@'HVSLWHWKHVHDWWHPSWVPDQ\³LQWHUIDFHSUREOHPV´VWLOOUHPDLQXQVROYHG ,QWKHOLQHDUHODVWLFIUDFWXUHPHFKDQLFVWKHXVXDOGHVFULSWLRQRIWKHVWUHVV¿HOGFORVHWRWKHFUDFNWLSLQKRPRJHQRXV PDWHULDOVLVEDVHGRQWKHVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRU>@7KLVFODVVLFDOGHVFULSWLRQLVYDOLGRQO\LIWKHVWUHVVVLQJXODULW\H[SRQHQWp LVHTXDOWR:KHQWKHFUDFNWLSWRXFKHVWKHLQWHUIDFHEHWZHHQWZRHODVWLFPDWHULDOVVHH)LJ WKHYDOXHRIp changes and GHSHQGVRQWKHHODVWLFSURSHUWLHVRIERWKFRPSRQHQWV>@,QWKHFDVHRIDFUDFNSHUSHQGLFXODUWRWKHLQWHUIDFHWKHVWUHVV GLVWULEXWLRQFORVHWRWKHFUDFNWLSFDQEHH[SUHVVHGDV>@

σ ij =

HI 2π r p

fij (θ , p, α , β )

where H I LVWKHJHQHUDOL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRU fij (θ , p, α , β ) LVDNQRZQIXQFWLRQIROORZLQJIURPDVHPLDQDO\WLFDOVROX-

WLRQRIWKHSUREOHP D and E DUHWKH'XQGXUVSDUDPHWHUV>@ZKLFKGHSHQGRQWKHHODVWLFSURSHUWLHVRIERWKPDWHULDOVp

LVWKHVWUHVVVLQJXODULW\H[SRQHQWZKLFKGHSHQGVRQWKHHODVWLFPLVPDWFKRIWKHWZRPDWHULDOV>@DQG r and T are polar FRRUGLQDWHVZLWKWKHLURULJLQDWWKHFUDFNWLS$W p WKHJHQHUDOL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRU H I is equal to the stress in-

tensity factor KI H I LVSURSRUWLRQDOWRWKHDSSOLHGORDGDQGKDVWREHHVWLPDWHGQXPHULFDOO\,WVYDOXHLVGHWHUPLQHGE\ FRPSDULQJWKHVHPLDQDO\WLFDOVROXWLRQ(T ZLWKQXPHULFDOO\HVWLPDWHGYDOXHVRIWKHFRUUHVSRQGLQJVWUHVVFRPSRQHQWWKH FUDFNRSHQLQJVWUHVVLVXVXDOO\XVHG DKHDGRIWKHFUDFNWLSWKLVSURFHGXUHLVRIWHQFDOOHGWKH³GLUHFWPHWKRG´ >@7RFOHDU XSWKHFRQGLWLRQVXQGHUZKLFKFUDFNVVWD\DUUHVWHGDWRUSHQHWUDWHWKURXJKWKHLQWHUIDFHLWLVQHFHVVDU\WRGHYHORSDSURSHU VWDELOLW\FULWHULRQ7KLVSRLQWLVGLVFXVVHGLQWKHQH[WVHFWLRQ &RQWUDU\WRPHWDOVWKHDSSOLFDWLRQRIWKLVPHWKRGRORJ\WRSRO\PHUVKDVVRPHVSHFL¿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he aim of this article is to suggest and compare two different stability criteria which can be used to assess the stability RIDFUDFNSHUSHQGLFXODUWRWKHLQWHUIDFHEHWZHHQWZRSRO\PHULFPDWHULDOV7KLVPHWKRGRORJ\LVDSSOLHGWRDWKUHHOD\HUSLSH ZLWKFUDFNHGLQQHUDQGRXWHUSURWHFWLYHOD\HUV7KHRSWLPDOPDWHULDOSURSHUWLHVIRUWKHSLSHDUHGLVFXVVHG7KHWLPHGHSHQGHQFH RIPDWHULDOSURSHUWLHVLVWDNHQLQWRDFFRXQW

a

b

2

2 1

1 P

P tp

tp

tm

tm

tp

tp D0

D0

)LJ*HRPHWU\RIDWKUHHOD\HUSLSHZLWKLQQHUD DQGRXWHUE FUDFNVLQSURWHFWLYHOD\HUVXQGHU an internal pressure P2WKHUGHVLJQDWLRQVDVLQ)LJ

log E Em Ep1

Ep2 Ep3

log t

)LJ7LPHGHSHQGHQFHRI
Em, MPa

Ep1, MPa

Ep2, MPa

Ep3, MPa

10 1000

1213

530

100,000

339

Numerical Model 7KHVFKHPHRIDWKUHHOD\HUSLSHZLWKFUDFNHGLQQHUDQGRXWHUSURWHFWLYHOD\HULVVKRZQLQ)LJ7KHFUDFNWLS WRXFKHVWKHLQWHUIDFHEHWZHHQWKHPDLQSLSHDQGWKHSURWHFWLYHOD\HU7KHFDOFXODWLRQVZHUHSHUIRUPHGE\XVLQJWKH¿QLWHHOHPHQWV\VWHP$16<6XQGHUSODLQVWUDLQFRQGLWLRQV7KHJHRPHWU\RIWKHQXPHULFDOPRGHOFRUUHVSRQGVWRDUHDOSLSHV\VWHP The outer diameter of the pipe was D0 PPDQGWKHWRWDOWKLFNQHVV t PP7KHWKLFNQHVVRILQQHUDQGRXWHUOD\HUV

205

was tp PPDQGWKHWKLFNQHVVRIWKHPDLQSLSHZDV tm PP7KHPDWHULDOSURSHUWLHVRIWKHPDLQSLSHDQGSURWHFWLYH OD\HUVDUHFRQVLGHUHGWREHHODVWLFDQGWKHLUFKDUDFWHULVWLFVDUHEDVHGRQH[SHULPHQWDOPHDVXUHPHQWV@DVLPSOL¿HGPRGHOIRUWKHYDULDWLRQRI
Stability Criteria To determine the critical load V cr RIDFUDFNHGVWUXFWXUHWKHFULWLFDOLQQHUSUHVVXUH Pcr LQRXUFDVH LWLVQHFHVVDU\ WR¿QGVXLWDEOHVWDELOLW\FULWHULDZKLFKZRXOGKHOSXVWRFODULI\LIDQH[LVWLQJFUDFNZLOOSHQHWUDWHWKURXJKWKHLQWHUIDFHLQWRWKH VHFRQGPDWHULDO,QDKRPRJHQHRXVERG\WKHVWDELOLW\FRQGLWLRQFDQEHGHVFULEHGDV K I (σ cr ) = KIC 7KHFUDFNZLOOQRWSURSDJDWHLIWKHORDGDSSOLHGH[SUHVVHGLQWHUPVRIWKHVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRU KI , is smaller than the corresponding fracture toughness value KIC RIWKHPDWHULDO 6LPLODUO\IRUDFUDFNZLWKLWVWLSDWWKHLQWHUIDFHWKHVWDELOLW\FRQGLWLRQEDVHGRQWKHDVVXPSWLRQWKDWWKHPHFKDQLVP RIFUDFNSURSDJDWLRQWKURXJKWKHLQWHUIDFHLVWKHVDPHDVLQWKHFDVHRIFUDFNSURSDJDWLRQLQDKRPRJHQRXVPDWHULDO FDQEH written in the form H I (σ cr ) = H IC ( KIC )

,QRWKHUZRUGVWKHFUDFNVWD\VDUUHVWHGDWWKHLQWHUIDFHLIWKHDSSOLHGORDG V appl H[SUHVVHGLQWHUPVRIWKHJHQHUDOL]HG stress intensity factor H I (V appl ) LVVPDOOHUWKDQWKHFRUUHVSRQGLQJJHQHUDOL]HGIUDFWXUHWRXJKQHVV H IC RIWKHPDWHULDO7KH JHQHUDOL]HGIUDFWXUHWRXJKQHVV H IC is a function of fracture toughness KIC RIWKHVHFRQGPDWHULDOLHRIWKHPDLQSLSHLQ RXUFDVH 0RUHRYHULWDOVRGHSHQGVRQWKHHODVWLFPLVPDWFKRIWKHPDWHULDOVXVHG Instead of KIC and H IC , the critical stress V cr DWZKLFKWKHFUDFNVWDUWVWRSURSDJDWHFDQEHXVHGDVWKHTXDQWLW\ GHVFULELQJWKHEHKDYLRURIWKHFUDFN7KHQWKHVWDELOLW\FRQGLWLRQFDQEHZULWWHQDV

σ appl < σ cr $FULWHULRQEDVHGRQWKHDYHUDJHVWUHVVDKHDGRIWKHFUDFNWLSIRUGHDOLQJZLWKWKHSURSDJDWLRQRIDFUDFNWKURXJKWKH LQWHUIDFHEHWZHHQWZRPDWHULDOVLVGHVFULEHGLQ>@)RUDFUDFNLQDKRPRJHQRXVPDWHULDOWKHFULWLFDODYHUDJHIUDFWXUH stress V cr,avg can be expressed in terms of the fracture toughness KIC d

σ cr,avg =

1 σ θθ ( r , θ = 0 ) dr = 2 KIC d ∫0

2π d ,

where r and T DUHWKHSRODUFRRUGLQDWHVZLWKWKHRULJLQDWWKHFUDFNWLS)RUDFUDFNDWWKHLQWHUIDFHWKHFUDFNEHKDYLRULV FRQWUROOHGE\WKHFUDFNRSHQLQJVWUHVVLQWKHGLUHFWLRQRIIXUWKHUFUDFNSURSDJDWLRQVHH(T 7KHYDOXHRI V cr,avg is related to the average stress σ ( d, α , β ) calculated over the distance dLQWKHPDLQSLSH>@ d

σ ( d ,α , β ) =

H 1 σ θθ ( r ,θ = 0 ) dr = I d − p ( 2 − p + g r ) ∫ d0 2π

where g r LVDNQRZQIXQFWLRQRIPDWHULDOSURSHUWLHVDQGpLVWKHVWUHVVVLQJXODULW\H[SRQHQW>@7KHPDWHULDOIDLOVZKHQ the mean stress σ ( d, α , β ) exceeds its critical value V cr,avg GH¿QHGE\(T

σ ( d, α , β ) > σ cr,avg . 7KHIUDFWXUHFRQGLWLRQWKHQWDNHVWKHIRUP H I ! H IC , where H IC LVWKHFULWLFDOYDOXHRIWKHJHQHUDOL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRU8VLQJ(TV DQG H IC FDQEHH[SUHVVHGDV>@ H IC = KIC

2d p −1/ 2 ( 2 − p + gr )

9DOXH H IC depends on the fracture toughness KIC of the main pipe, on the elastic constants of both materials, and on the parameter d 7KHSDUDPHWHU d KDVWKHPHDQLQJRIFULWLFDOGLVWDQFHLHWKHGLVWDQFHZKLFKLVSUHGRPLQDQWIRUWKH FUDFNEHKDYLRU6RPHSXEOLVKHGFULWHULDXVHDSK\VLFDOPLFURVWUXFWXUDOOHQJWKRIWKHPDWHULDOVXFKDVWKHJUDLQVL]HHWF 2WKHURQHVFRQVLGHUWKHVL]HRIWKHSODVWLF]RQH>@,QWKHSUHVHQWVWXG\WKHGLVWDQFH d is related to the microstructure unit RIWKHVHFRQGPDWHULDODQGFRUUHVSRQGVWRWKHVL]HRISRO\PHUODPHOODV§ȝP ,QIDFWWKHYDOXHRI d affects the resultant FULWLFDOVWUHVVRQO\VOLJKWO\$VWKHUHVXOWWKHFULWLFDOVWUHVV V cr,avg WKHFULWLFDOSUHVVXUHLQRXUFDVH LVHTXDOWRWKHDSSOLHG VWUHVVZKHQWKHFUDFNSHQHWUDWHVLQWRWKHELPDWHULDOLQWHUIDFHWRZDUGWKHPDLQSLSH

σ cr,avg =

H IC

(

H I σ appl

)

σ appl

$VHFRQGFULWHULRQXVHGKHUHLVEDVHGRQWKHVWUDLQHQHUJ\GHQVLW\IDFWRU6(') LQWURGXFHGE\6LK7KHVWUDLQHQHUJ\ density dWdV is generally given by the expression ε ij

dW dV =

∫ σ ij d ε ij . 0

,QWKHFDVHRIDKRPRJHQHRXVERG\DQGDFUDFNVXEMHFWHGRQO\WRWKHQRUPDOORDGLQJPRGHWKHVWUDLQHQHUJ\GHQVLW\ FDQEHZULWWHQDV>@ 1 dW dV a11 KI 2 , r where a11 GHSHQGVRQWKHHODVWLFPDWHULDOSURSHUWLHV,QWKHFDVHRIDFUDFNZLWKLWVWLSWRXFKLQJWKHLQWHUIDFHRIWZRPDWHULDOV ZKHQFRQVLGHULQJRQO\PRGH,WKHJHQHUDOL]HGVWUDLQHQHUJ\GHQVLW\FDQEHH[SUHVVHGDV>@ dW dV ( r , α , β ) = r −2 p A11 H I 2 , where H I LVWKHJHQHUDOL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUDQG A11 GHSHQGVRQWKHHODVWLFSURSHUWLHVRIERWKPDWHULDOV7KHIDLOXUH of the material occurs when the value of the strain energy density dW dV ( r, α , β ) exceeds its critical value ( dW dV )C at a critical distance dDKHDGRIWKHFUDFNWLS)RUDKRPRJHQHRXVPDWHULDOWKHFULWLFDOYDOXH ( dW dV )C can be determined as 1 2 , where KIC LVWKHIUDFWXUHWRXJKQHVV7KHFUDFNVWDUWVWRSURSDJDWHWKURXJKWKHLQWHUIDFHZKHQ ( dW dV )C = a11KIC d dW dV ( d , α , β ) > ( dW dV )C

The fracture condition then has the form H I ! H IC , where H IC LVWKHFULWLFDOYDOXHRIWKHJHQHUDOL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUZKLFKFDQEHH[SUHVVHGDV>@ 12

H IC

  1 − 2ν m =  2 2  (1 − p ) [4(1 − 2ν m ) + ( g r − p ) ] 

d p −1 2 KIC

Again, H IC depends on the fracture toughness KIC of the main pipe, on the elastic constants of both materials, and on the parameter dKDYLQJDPHDQLQJVLPLODUWRWKDWLQWKHSUHYLRXVFDVH$VDUHVXOWWKHFULWLFDOVWUHVV V cr,sedf WKHFULWLFDO SUHVVXUH FDQEHH[SUHVVHGLQWKHIRUPVLPLODUWR(T

Pcr, МPа +

P

8 7

+

2

|

tp +

|

|

+

D0 |

+

+

+

1

6

+

|

+

5

tm tp

+

+|

0.4

+

4 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Ep /Em

1.0

1.1

)LJ&ULWLFDOLQQHUSUHVVXUHPcrIRUDFUDFNHGLQQHUSURWHFWLYHOD\HUHVWLPDWHGE\Pcr,sedf DQG Pcr,avg

b

a Pcr, МPа

6.0 5.5 5.0

7.5

2

7.0

2

6.5

1

6.0

4

log t [s]

4.0 10

3

3

1 4

4.5 1

Pcr, МPа

8.0

100 1000 10,000 100,000

5.5

1

10

log t [s]

100 1000 10,000

100,0000

)LJ7LPHGHSHQGHQFHRIWKHFULWLFDOLQQHUSUHVVXUHPcrLQWKHFDVHRIFUDFNHGLQQHUD DQGRXWHU E SURWHFWLYHOD\HUVPcr,sedf–Ep1 Pcr,sedf–Ep2 Pcr,sedf–Ep3 DQGPcr,sedf–Em

6.0

log E

Pcr, МPа

Em

Pcr, sedf - Ep2

5.5

Ep2 5.0 4.5

1000

t, s

100,000

4.0 3.5 0.6

log t

10

Ep /Em 0.7

0.8

0.9

)LJ&ULWLFDOLQQHUSUHVVXUHPcrYVWLPHWDQGEpEm LQWKHFDVHRIH[LVWHQFHRIDWKURXJKFUDFN LQWKHLQQHUSURWHFWLYHOD\HU

σ cr,sedf =

H IC

(

H I σ appl

)

σ appl ,

where H IC LVFDOFXODWHGIURP(T ,IWKHDSSOLHGVWUHVV V appl is higher than Pcr,sedf WKHFUDFNSURSDJDWHVWKURXJKWKH LQWHUIDFHWRZDUGWKHVHFRQGPDWHULDO %RWKWKHFULWHULDGHVFULEHGDUHXVHGKHUHIRUHVWLPDWLQJWKHFULWLFDOLQWHUQDOSUHVVXUHIRUPXOWLOD\HUSLSHV

Results and Discussion 1H[WWKHYDOXHVRIWKHFULWLFDOSUHVVXUH Pcr QHFHVVDU\IRUDFUDFNWRSHQHWUDWHLQWRWKHLQWHUIDFHEHWZHHQWKHSURWHFWLYH OD\HUDQGWKHPDLQSLSHPDWHULDOZHUHHVWLPDWHG7KHVHYDOXHVGHSHQGRQWKHPDWHULDOSURSHUWLHVRIERWKSDUWVWKHIUDFWXUH WRXJKQHVVRIWKHPDLQSLSHDQGWKHIDLOXUHFULWHULRQVHOHFWHG,WVKRXOGEHQRWHGWKDW Pcr corresponds to the critical stress V cr FDOFXODWHGIURP(T RU GHSHQGLQJRQWKHFULWHULRQXVHG 7KHJHRPHWU\RIWKHWKUHHOD\HUSLSHPRGHOZLWKDFUDFNHGLQQHUSURWHFWLYHOD\HULVVKRZQLQ)LJ7KHUDWLR Ep Em EHWZHHQ
Conclusions 7KHSHQHWUDWLRQRIFUDFNVWKURXJKWKHELPDWHULDOLQWHUIDFHRIWZRSRO\PHUVZDVLQYHVWLJDWHGQXPHULFDOO\'XHWRWKH SUDFWLFDOLPSRUWDQFHRIWKHSUREOHPDFUDFNLQDPXOWLOD\HUSLSHZDVDQDO\]HGLQWKLVSDSHU,QWKHFDVHSUHVHQWHGWKHSLSH FRQVLVWHGRIWKUHHOD\HUV²WKHPDLQSLSHDQGLQQHUDQGRXWHUSURWHFWLYHOD\HUV7ZRGLIIHUHQWFULWHULDIRUHVWLPDWLQJWKHFULWLFDOLQWHUQDOSUHVVXUHZHUHHPSOR\HG,WLVIRXQGWKDWIRUDW\SLFDOHODVWLFPLVPDWFKLQPXOWLOD\HUSLSHV Ep Em WKH GLIIHUHQFHEHWZHHQWKHFULWHULDEDVHGRQWKHDYHUDJHVWUHVVDKHDGRIFUDFNWLSDQGRQWKHVWUDLQHQHUJ\GHQVLW\IDFWRULVVPDOOHUWKDQ7KHUHIRUHERWKWKHFULWHULDFDQEHXVHGWRHVWLPDWHWKHFULWLFDOVWUHVVRIWKHOD\HUHGPDWHULDOVFRQVLGHUHG,WLV also established that the critical internal pressure strongly increases with decreasing ratio Ep Em ,QWKLVFDVHWKHLQWHUIDFH EHWZHHQWKHSURWHFWLYHOD\HUDQGWKHPDLQSLSHFDQDUUHVWWKHFUDFNVJURZLQJIURPWKHSURWHFWLYHOD\HU$VDUHVXOWWKHUHVLVWDQFH RIWKHSLSHV\VWHPWRVXUIDFHVFUDWFKHVDQGFUDFNOLNHGHIHFWVVWURQJO\LQFUHDVHV 'XHWRWKHORQJWHUPDSSOLFDWLRQRISRO\PHUSUHVVXUHSLSHVWKHLUWLPHGHSHQGHQWSURSHUWLHVHJWKHFUHHSPRGXOXV PXVWDOVREHFRQVLGHUHG%DVHGRQWKLVSDUDPHWHULWLVSRVVLEOHWRURXJKO\HVWLPDWHWKHIDLOXUHUHVLVWDQFHRILQWHUIDFHDVD 209

IXQFWLRQRIWLPH$FFRUGLQJWRRXUUHVXOWVDSURWHFWLYHOD\HUZLWKDFUHHSPRGXOXVYDU\LQJLQWLPHVLPLODUO\WRWKDWRIWKHPDLQ SLSHLVRSWLPDO7KHUHVLVWDQFHWRFUDFNSHQHWUDWLRQWKURXJKWKHLQWHUIDFHLVWLPHLQGHSHQGHQWLQWKLVFDVH,QRWKHUFDVHVWKH TXDOLW\RIWKHLQWHUIDFHIURPWKHIUDFWXUHPHFKDQLFVSRLQWRIYLHZ XVXDOO\GHFUHDVHV,WFDQEHFRQFOXGHGWKDWWKHQHJOHFWRI FKDQJHVLQPDWHULDOSURSHUWLHVZLWKWLPHFDQOHDGWRDQXQH[SHFWHGIDLOXUHRIWKHOD\HUHGSRO\PHUVWUXFWXUHV Acknowledgments.7KLVLQYHVWLJDWLRQZDVVXSSRUWHGWKURXJKWKHJUDQWV1RV-DQG +RIWKH&]HFK6FLHQFH)RXQGDWLRQ

REFERENCES $+(QJODQG³$FUDFNEHWZHHQGLVVLPLODUPHGLD´-$SSO0HFK32 )(UGRJDQ³6WUHVVGLVWULEXWLRQLQDQRQKRPRJHQHRXVHODVWLFSODQHZLWKFUDFNV´-$SSO0HFK30 '%%RJ\³2QWKHSODQHHODVWRVWDWLFSUREOHPRIDORDGHGFUDFNWHUPLQDWLQJDWDPDWHULDOLQWHUIDFH´-$SSO0HFK 38 6$0HJXLG07DQDQG=+=KX³$QDO\VLVRIFUDFNSHUSHQGLFXODUWRELPDWHULDOLQWHUIDFHXVLQJDQRYHO¿QLWH HOHPHQW´,QW-)UDFW75 7/$QGHUVRQ)UDFWXUH0HFKDQLFV)XQGDPHQWDOVDQG$SSOLFDWLRQV&5&3UHVV,QF .</LQDQG-:0DU³)LQLWHHOHPHQWDQDO\VLVRIVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUVIRUFUDFNVDWDELPDWHULDOLQWHUIDFH´,QW -)UDFW121R =44LDQDQG$5$NLVDQ\D³:HGJHFRUQHUVWUHVVEHKDYLRXURIERQGHGGLVVLPLODUPDWHULDOV´7KHRU$SSO)UDFW 0HFK32 =.QpVO$.QiSHNDQG.%HGQiĜ³(YDOXDWLRQRIWKHFULWLFDOVWUHVVLQERQGHGPDWHULDOVZLWKDFUDFNSHUSHQGLFXODU WRWKHLQWHUIDFH´LQ6XUIDFH0RGL¿FDWLRQ7HFKQRORJLHV;,7KH,QVWLWXWHRI0DWHULDOV/RQGRQ /1iKOtN=.QpVODQG-.OXViN³&UDFNLQLWLDWLRQFULWHULDIRUVLQJXODUVWUHVVFRQFHQWUDWLRQV3DUW,,,$QDSSOLFDWLRQ WRDFUDFNWRXFKLQJDELPDWHULDOLQWHUIDFH´(QJ0HFK15 -'XQGXUVLQ70XUDHG 0DWKHPDWLFVRI'LVORFDWLRQ$60(1HZ
210

Příloha B

PŘÍLOHA B Úplné znění vybrané publikace vztahující se k tématu disertační práce: Ševčík, M., Hutař, P., Zouhar, M., Náhlík, L.; Numerical estimation of the fatigue crack front shape for a specimen with finite thickness, International Journal of Fatigue, Vol. 39, pp. 75-80, 2012 (IF = 1,602)

strana

105

strana

106

International Journal of Fatigue 39 (2012) 75–80

Contents lists available at ScienceDirect

International Journal of Fatigue journal homepage: www.elsevier.com/locate/ijfatigue

Numerical estimation of the fatigue crack front shape for a specimen with finite thickness Martin Ševcˇík a,b,⇑, Pavel Hutarˇ a, Michal Zouhar a,b, Luboš Náhlík a a b

Institute of Physics of Materials, Academy of Sciences of the Czech Republic, Zˇizˇkova 22, 616 62 Brno, Czech Republic Brno University of Technology, Technická 2, 616 69 Brno, Czech Republic

a r t i c l e

i n f o

Article history: Received 4 January 2011 Received in revised form 8 March 2011 Accepted 14 March 2011 Available online 17 March 2011 Keywords: Crack front shape Vertex singularity Fatigue crack Stress singularity exponent

a b s t r a c t An iterative process for the estimation of a fatigue crack front based on linear elastic fracture mechanics using values of the stress singularity exponent is presented. Based on the assumption of a constant stress singularity exponent along the crack front, a numerical approach leading to crack shape determination is suggested and applied. The crack front was approximated by a spline curve. In each node defining the crack front the stress singularity exponent was estimated and a complete crack front shape was found. The difference between thin and thick specimens is then described and discussed. The approach presented leads to better estimation of the crack front shape for structures with different thicknesses and a more accurate determination of fatigue crack fracture parameters. The results presented can be helpful for a better understanding of fatigue failure and more reliable prediction of residual lifetime. Ó 2011 Elsevier Ltd. All rights reserved.

1. Introduction Most analytical and numerical investigations in fracture mechanics in the last few decades were based on two-dimensional geometries of a cracked body. The popularity of the 2D solution of fracture mechanics problems is mainly due to the simplicity of this solution [1]. Usually, a singular stress field around the crack tip in the framework of linear elastic fracture mechanics is described by the stress intensity factor only [2]. However, the stress field around the crack tip is always three-dimensional and the relation of the fracture parameters to the real 3D stress state is not fully understood. The distribution of stresses at the intersection of a crack front with free surface (vertex point) and corresponding singularities have been investigated by several authors [3–9]. Generally, they found that the stress singularity for a crack front perpendicular to the free surface is always smaller than 0.5 and dependent on the Poisson’s ratio of the particular material. In papers [10,11] it was shown that a decrease of the stress singularity exponent close to the vertex point leads to decrease of the fatigue crack propagation rate and contributes to a typical curved crack front shape. This shape depends on Poisson’s ratio and the stress singularity exponent is equal to 0.5 along the whole crack front.

⇑ Corresponding author at: Institute of Physics of Materials, Academy of Sciences of the Czech Republic, Zˇizˇkova 22, 616 62 Brno, Czech Republic. Tel.: +420 532 290 362; fax: +420 541 218 657. E-mail address: [email protected] (M. Ševcˇík). 0142-1123/$ - see front matter Ó 2011 Elsevier Ltd. All rights reserved. doi:10.1016/j.ijfatigue.2011.03.010

The aim of this paper is to estimate the real crack front shape on two simple specimen geometries (Middle Tension (MT) specimen and 4-point Bending (4PB) specimen). It is assumed that the controlling variable is the stress singularity exponent and that the final crack shape corresponds to the state with constant stress singularity exponent along crack front. The methodology capable of defining the crack shape based on the stress singularity exponent only is presented. This algorithm can effectively describe the real crack front shape based on linear elastic fracture mechanics and then estimate the relevant fracture mechanics parameters used for fatigue life prediction. 2. Singular stress field around crack front Based on papers [10,11] the crack tip stress field in each single plane perpendicular to the crack front can be described by a generalized stress intensity factor using the relation:

rij

HI fij ðp; hÞ rp

ð1Þ

where HI is a generalized stress intensity factor, p is a stress singularity exponent and fij (p, h) are corresponding shape functions. r and h are local polar coordinates with origin at the crack tip. In this case, the stress and displacement components depend on the distance r from the crack tip as rij rÿp and ui r 1ÿp . Based on these assumptions, the stress singularity exponent p along the crack front can be estimated numerically by direct method using log–log regression analysis [12,13], see Section 2.1.

M. Ševcˇík et al. / International Journal of Fatigue 39 (2012) 75–80

76

In the case of a thick specimen, where a plane strain region prevails, the stress singularity exponent is equal to 0.5 in the middle of the specimen and the generalized stress intensity factor is equal to the stress intensity factor given by known relation [2]:

K

rij pffiIffi fij ðhÞ

ð2Þ

r

where KI is a stress intensity factor corresponding to mode I and fij ðhÞ is a known shape function. When the thickness is sufficiently great, the stress field in the vertex singularity region has a negligible impact on the behaviour of the whole structure, see Fig. 1. However, in the thin specimen the plane strain region has a minor size or, for very thin specimens, no plane strain region is present [1]. In this case, the stress state in the vertex singularity region characterizes the fracture behaviour of the whole structure. For the purpose of this paper the thin specimen is characterized in terms of thickness when both vertex point singularities influence each other, see [14] for details. The change of the fatigue crack propagation rate along the crack front plays an important role in crack shape formation. The reason for the crack front shape change is mainly decrease of the fatigue crack propagation rate (FCPR) in the boundary layer influenced by the free surface, and slow formation of the final curved crack [10,11]. A parameter often studied is an angle cr between crack front and free surface [3,6,9], see Fig. 2. When the angle cr increases, the difference between FCPR in the middle of the specimen (usually p = 0.5) and close to the free surface decreases. The crack front is then curved to ensure a constant stress singularity along the whole crack front.

Fig. 2. Curved crack with depicted intersection angle cr between crack front and free surface.

Fig. 3. Schema of the direct method used for stress singularity exponent estimation.

accuracy [10]. Because of this fact, the level of the mesh refinement was referred to a convergence analysis.

2.1. Estimation of the stress singularity exponent p 2.2. Algorithm for crack front estimation The singular stress field around the crack front is characterized by the stress singularity exponent p [9]. As mentioned above, the crack in real structures propagates, keeping the stress singularity exponent p constant (in the case of thick structures, where plain strain conditions prevail, p = 0.5). According to this assumption, the points defining the crack front were iteratively changed with respect to p. In this study the direct method for estimation of the stress singularity exponent was used [12]. The methodology of the direct method is shown in Fig. 3. The opening displacements uy behind the crack tip vs. position r are plotted in log–log coordinates. The stress singularity exponent is then p = 1 ÿ A, where A is a slope of the linear regression line. It should be mentioned that for a curved crack the path from which uy is estimated has to be perpendicular to the actual crack front. When the direct method is employed very fine finite element mesh is necessary for reason of

To estimate the crack front shape numerically a specific algorithm was developed. Usually such algorithms are based on stress intensity factor value [15,16], but in this case the crack front shape is controlled by stress singularity exponent only. The initial crack front was considered to be a straight line throughout the whole specimen. Applying the direct method described in the previous section, the stress singularity exponent was estimated in thirty points distributed along the crack front. The x-coordinates of points defining the new step are then calculated as follows: ðiÞ xðnþ1Þ

¼

ðiÞ xðnÞ

ÿ 1ÿ

ðiÞ

pðnÞ

ðz¼0Þ

pðnÞ

!

k

ð3Þ

where p is the particular stress singularity exponent, x is the x-coordinate of a particular point, i is the point number along the crack

Fig. 1. Influence of free surface on crack front formation in the case of thick and thin specimen.


77

front, n the iteration number and k is a factor depending on the stability of the solution, typically varied between 0.5 and 0.05. The scheme of the algorithm is shown in Fig. 4. The algorithm presented is not very fast but the solution has always been found within thirty iterations. The speed of the algorithm presented can be improved by using a higher parameter k or prescribing the approximate initial shape of the crack front. 3. Numerical model The standard MT specimens, see Fig. 5, and 4PB specimens, see Fig. 6, with various thicknesses were numerically studied in order to numerically estimate the real crack shape. The thicknesses considered were 2b = (2, 5, 10, 20) mm. MT specimen dimensions were 2h = 60 mm and 2w = 40 mm, see Fig. 5. A crack length of a = 0.5w in the middle of the specimen was considered in all simulations. The homogenous, linear elastic material model with Young’s modulus E = 210 GPa and varying Poisson’s ratio m = (0–0.4) was taken into account. A tension load r = 100 MPa was applied to induce mode I loading of the crack. The dimensions 2h = 220 mm, w = 60 mm and 2b = 20 mm and material properties E = 3.6 GPa, m = (0–0.4) of the 4PB specimens correspond to the paper by Heyder and Kuhn [6]. The crack front was formed by a spline curve allowing significant local changes in shape with a low influence on the rest of curve. Thirty points were used to define the crack front properly. In each of them the stress singularity exponent p was estimated and the crack front shape was found after iterative process. 4. Results and discussion 4.1. Validation of presented model The numerical approach presented for determining the real crack shape was compared with experimental observations published in [6], where a 4PB specimen was studied. The crack propagation in transparent material PMMA – Polymethylmethacrylate was documented there during cyclic loading and the angle between crack front and normal to free surface was measured. It was concluded that the dimensions and geometry of the specimens have no effect on the angle cr, however, cr is a function of Poisson’s ratio, see Fig. 7. A preview of finite element mesh with highlighted estimated crack front is shown in Fig. 8. The intersecting angle obtained by the presented numerical simulation of four point bending specimen is in very good agreement with data published by both Heyder and Kuhn [6] and Pook

Fig. 5. Studied Middle Tension (MT) specimen.

Fig. 6. 4-Point Bending (4PB) specimen used for comparison of results with data from literature [6].

[9]. It means that the presented algorithm gives reliable results and can be used in the following analyses of MT specimens. 4.2. Comparison of crack shapes between thick and thin specimens The main aim of this paper is to investigate the influence of specimen thickness on the crack front shape. For that reason MT specimens with different thicknesses were numerically studied and the crack front shape was found using the presented algorithm. The variable parameter was Poisson’s ratio m. The resulted crack front shapes for specimen thickness 2 mm and 20 mm are shown in Figs. 9 and 10. The crack front shapes obtained numerically demonstrate a significant dependence on the Poisson’s ratio. In the presented algorithm the crack front is approximated by spline, but due to some irregularities given mainly by numerical error this approximation

Fig. 4. Scheme of algorithm used for crack shape formation based on stress singularity exponent.


78

20

γr [°]

15

10 Pook [9]

5

Heyder and Kuhn [6] presented FEM approach

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ν [-] Fig. 7. Intersecting angle cr measured between crack front and normal to free surface as a function of Poisson’s ratio m; comparison of literature data [6,9] with presented numerical simulations.

Fig. 8. Resulted crack shape obtained by means of finite element simulation on 4PB specimen.

fails very close to the free surface. To describe the shape of the crack in this region crack front extrapolation by polynomial curve was used. The only purpose of the polynomial extrapolation was to estimate an angle cr between crack front and normal to the free surface. The stress field along the crack front is modeled by Eq. (1) which assumes one stress singularity exponent and one corresponding generalized stress intensity factor HI. In reality the stress field in

the vicinity of the vertex point can be more complex than the modeled one. Therefore, the stress singularity exponent estimated near the free surface, obtained by direct method in our case, can be considered as an effective value which also incorporates the effect of the vertex point. The observed inaccuracies are caused partially by numerical error in relation to the elements close to the vertex point (and consequently inaccuracy of the spline representation) and partially by simplification of the stress field close to the vertex point. Nevertheless, the presented methodology can accurately estimate crack front shape significantly closer to the free surface than traditional methods based on stress intensity factor. It should be stressed that the ranges of deflection x in Figs. 9 and 10 are different. In the case of thin specimens the biggest deflection from the straight crack front was obtained for Poisson’s ratio m = 0.4 and was about 0.065 mm whereas for the same material and a thick specimen the deflection reached about 1.4 mm. This leads to the conclusion that the straight crack is a good approximation for thin specimens. The change of the intersecting angle cr with respect to Poisson’s ratio and specimen thickness is shown in Fig. 11 for all studied MT specimens. The angles cr estimated for specimens thicker than

0.02 specimen thickness 2 b = 2 mm, a /w = 0.5

ν=0

0

x [mm]

ν = 0.1 ν = 0.2

-0.02

ν = 0.3 -0.04

ν = 0.4 -0.06

-0.08 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

z/b [-] Fig. 9. Crack front shapes obtained for thin specimens (2b = 2 mm) varying with Poisson’s ratio m; points represent results of presented iterative algorithm and dashed lines represent estimated crack front shapes.


79

0.2

ν =0 0 -0.2

ν = 0.1

x [mm]

-0.4 -0.6

ν = 0.2

-0.8 -1

ν = 0.3

-1.2

ν = 0.4

-1.4

specimen thickness 2 b = 20 mm, a /w = 0.5

-1.6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

z /b [-] Fig. 10. Crack front shapes obtained for thick specimens (2b = 20 mm) varying with Poisson’s ratio m; points represent results of presented iterative algorithm and dashed lines represent estimated crack front shapes.

20 Pook [9] MT 2b = 20 mm

15

MT 2b = 10 mm

γr [°]

MT 2b = 5 mm MT 2b = 2 mm

10

5

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ν [-] Fig. 11. Intersecting angle cr between crack front and free surface as a function of Poisson’s ratio m obtained from numerical calculation of MT specimen with different thickness.

10 mm correspond well with the results of Pook [9]. However, with decrease of the specimen thickness intersecting angle cr decreases, as does the corresponding stress singularity exponent, see also Table 1. This means, according to results obtained in papers [10,11], that the fatigue crack propagation rate also decreases. It can be concluded that for really thin-wall structures (e.g. for 2b < 4 mm of the studied MT specimen) the straight crack is a good approximation of the crack front, but fatigue crack propagation rate can significantly decrease in comparison with thick specimens.

4.3. Consequences of the stress intensity factor description The stress intensity factor is originally defined to describe the stress state in 2D geometry of the cracked structure. When the crack front is approaching the region where vertex singularity starts being significant (near free surface) the singular stress field changes its stress singularity exponent [10,11]. Therefore the use of the standard stress intensity factor as a controlling variable of the crack front shape loses its relevance. Due to these problematic

Table 1 Dependence of stress singularity exponent p on specimen thickness and Poisson’s ratio for MT specimen. Specimen thickness 2b (mm)

2 5 10 20

Poisson’s ratio m 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.500 0.500 0.500 0.500

0.498 0.498 0.499 0.500

0.494 0.495 0.497 0.499

0.487 0.492 0.495 0.497

0.474 0.485 0.490 0.494

facts, application of the stress intensity factor close to the free surface is disputable. The stress intensity factor KI numerically estimated along the crack front predicted by an assumption of constant stress singularity exponent is not perfectly constant. This can be attributed by the fact that the calculated value of KI in the particular point of the crack front was estimated in a direction perpendicular to the crack front which does not coincide with the real crack propagation direction. Moreover, the method of numerical estimation of the

80


stress intensity factor itself further contributes to this discrepancy. To avoid problems with plane strain vs. plane stress it is necessary to estimate the value of the stress intensity factor from the stresses by direct method. Due to the complex geometry of the crack front shape it was necessary to use stresses on the path perpendicular to the crack plane. This fact complicates an accurate estimation of the stress intensity factor close to the vertex point. On the other hand, for really thick cracked structures (the region influenced by vertex singularity starts to be negligible in comparison with the thickness of the structure) the crack front estimated under assumption of a constant stress intensity factor along the crack front can be in good agreement with experimental results, see e.g. [15].

thickness; the stress singularity is smaller than 0.5 and almost constant along the crack front. This decrease of the stress singularity exponent generally leads to a retardation of the fatigue crack growth rate. The results presented can be helpful for a better understanding of fatigue failure of the thin-wall structures and a more reliable prediction of their residual lifetime. Acknowledgements This work was supported by Czech Science Foundation through Grants Nos. 101/09/0867, 106/09/1954 and by the Specific academic research grant of the Ministry of Education, Youth and Sports of the Czech Republic provided to Brno University of Technology, Faculty of Mechanical Engineering no. FSI-J-10-41.

5. Conclusions References The singular behaviour of the stresses near the crack front in two experimental specimens was studied. The iterative process was used for numerical estimation of the crack front. The crack front was formed by a spline curve. In each node defining the crack front the stress singularity exponent was estimated. The numerical approach presented for determining the crack shape was compared with experimental observations published in [6], where a 4PB specimen was studied. The calculated crack front angles cr are in good agreement with experimental results. Also, values numerically predicted for different Poisson’s ratios correspond well with results of Pook [9]. The main aim of this paper was to describe the influence of specimen thickness on the crack shape. For that reason MT specimens with different thicknesses were numerically studied and the crack front shape was found iteratively by the algorithm presented. The varied parameter was Poisson’s ratio m. It was found that for thick specimens the crack propagates keeping the stress singularity exponent p equal to 0.5. The deflection close to the free surface is dependent on Poisson’s ratio. The more significant influence of free surface on the stress singular behaviour is apparent in the case of thin-wall structures. Vertex singularities, belonging to both vertex points of the crack front, influence each other, which results in a stress field in the middle of the specimen that does not meet the plane strain stress state. It leads to a smaller difference between the stress singularity exponent in the middle of the structure and on the free surface in the case of the straight crack. A good example is the 2 mm thick specimen. In this case, the biggest deflection obtained for Poisson’s ratio m = 0.4 was about 0.065 mm. So, for thin structures, the singular stress field around the crack tip has the same character through the whole structure

[1] Kotousov A. Fracture in plates of finite thickness. Int J Solids Struct 2007;44:8259–73. [2] Anderson TL. Fracture mechanics. Boca Raton (FL): CRC Press; 1995. [3] Bazˇant ZP, Estenssoro LF. Surface singularity and crack propagation. Int J Solids Struct 1979;15:405–26. [4] Benthem JP. State of stress at the vertex of a quarter-infinite crack in a halfspace. Int J Solids Struct 1977;13:479–92. [5] Chaudhuri Reaz A, Minsheng Xie. A novel eigenfunction expansion solution for three-dimensional crack problems. Compos Sci Technol 2000;60:2565–80. [6] Heyder M, Kuhn G. 3D fatigue crack propagation: experimental studies. Int J Fatigue 2006;28:627–34. [7] de Matos PFP, Nowell D. The influence of the Poisson’s ratio and corner point singularities in three-dimensional plasticity-induced fatigue crack closure: a numerical study. Int J Fatigue 2008;30:1930–43. [8] Nakamura T, Parks DM. Three-dimensional stress field near the crack front of a thin elastic plate. J Appl Mech 1988;55:805–13. [9] Pook LP. Some implications of corner point singularities. Eng Fract Mech 1994;48:367–78. [10] Hutarˇ P, Náhlík L, Knésl Z. Quantification of the influence of vertex singularities on fatigue crack behavior. Comput Mater Sci 2009;45:653–7. [11] Hutarˇ P, Náhlík L, Knésl Z. The effect of a free surface on fatigue crack behaviour. Int J Fatigue 2010;32:1265–9. [12] Awaji H, Toshimitsu Yokobori A. The variation of the stress singularity at the notch tip as notch angle and radius of curvature. Comput Struct 1986;22:25–30. [13] Whitcomb JD, Raju IS, Goree JG. Reliability of the finite element method for calculating free edge stresses in composite laminates. Comput Struct 1982;15:23–37. [14] Hutarˇ P, Náhlík L, Knésl Z. The effect of the singularity induced by the free surface on fatigue crack growth in thin structures. Key Eng Mater 2008;385– 387:317–20. [15] Branco R, Antunes FV. Finite element modelling and analysis of crack shape evolution in mode-I fatigue Middle Cracked Tension specimens. Eng Fract Mech 2008;75:3020–37. [16] Hou Chien-Yuan. Simultaneous simulation of closure behavior and shape development of fatigue surface cracks. Int J Fatigue 2008;30:1036–46.

Příloha C

PŘÍLOHA C Úplné znění vybrané publikace vztahující se k tématu disertační práce: Nezbedová, E., Hutař, P., Zouhar, M., Knésl, Z., Sadílek, J., Náhlík, L.; The applicability of the Pennsylvania Notch Test for a new generation of PE pipe grades, Polymer Testing, Vol. 32, No. 1, pp. 106-114, 2012 (IF = 1,608)

strana

113

strana

114

Polymer Testing 32 (2013) 106–114

Contents lists available at SciVerse ScienceDirect

Polymer Testing journal homepage: www.elsevier.com/locate/polytest

Test method

The applicability of the Pennsylvania Notch Test for a new generation of PE pipe grades E. Nezbedová a, P. Hutar b, *, M. Zouhar c, Z. Knésl b, J. Sadílek a, L. Náhlík b a

Polymer Institute Brno, Tkalcovská 36, 656 49 Brno, Czech Republic Institute of Physics of Materials, Zizkova 22, 616 62 Brno, Czech Republic c Brno University of Technology, Technická 2, 616 69 Brno, Czech Republic b

a r t i c l e i n f o

a b s t r a c t

Article history: Received 7 August 2012 Accepted 18 September 2012

The failure mode termed long time brittle failure (due to slow crack growth – SCG) limits the lifetime of plastic pipes. There are now two main accelerated tests (PENT and FNCT) that enable us to estimate the lifetime of HDPE used in plastics pipes. For unimodal grades, the time to failure corresponding to these accelerated tests is about ten hours, for bimodal grade PE 100 it is roughly a thousand hours and for the new PE 100 RC grade is greater than 1 year. For the HDPE pipes grade with higher resistance against SCG, some modification or, alternatively, new tests should be developed that make it possible even for these materials to obtain the results required in a relatively short time. In this contribution we focus mainly on the PENT test and the possibility of the utilization of a structural analysis as well as a numerical approach for prediction of the lifetime of a new generation of PE grades. 2012 Elsevier Ltd. All rights reserved.

Keywords: PENT test Lifetime prediction HDPE Slow crack growth Fracture mechanics

1. Introduction Polyethylene has many critical applications in terms of pipes for conveying gas, water, sewage and chemicals. The long-time mechanism of failure is controlled by a process of slow crack growth (SCG). A crack initiates in the region near a stress concentration such as a void, notch or dirt particle, and grows under low stresses that occur during service [1]. N. Brown and his co-workers [2] developed an accelerated test now known as the Pennsylvania Notch Test (PENT) that enables us to produce the same type of brittle fracture that occurs in pipes after a long service time due to SCG. This test later became an international standard [3]. The PENT test can be performed on specimens moulded from the resin or specimens taken from the finished product (e.g. a polymer pipe). The failure processes start with a craze that is initiated near a stress concentration when the specimen is loaded. Then, the craze grows and the base of * Corresponding author. Tel.: þ420 532 290 351. E-mail address: [email protected] (P. Hutar). 0142-9418/$ – see front matter 2012 Elsevier Ltd. All rights reserved. http://dx.doi.org/10.1016/j.polymertesting.2012.09.009

craze rupture slow crack extends. The PENT test has been used to improve the SCG resistance of resins [2]. A manufacturer can easily modify their method of resin production and use the test to evaluate the effect of the technology on SCG resistance, since failures in PENT tests occur about 2030 times faster than in current hydrostatic pressure tests on pipes. Large-scale usage of polyethylene pipes to convey gas began in about 1965. The first generation pipes are termed PE32, PE40 and PE63 and the second-generation are termed PE63 or PE80. This classification is based on the minimum required strength (MRS), which has to be applied for longterm loaded PE pipes operating at a temperature of 20 C for at least 50 years (EN 12201-1). The third generation of PE is referred to as PE100. The new types of PE100 or PE100 RC should reach their lifetime over a period of 100 years [4]. This type of PE is bimodal (for comparison with conventional unimodal PE, see Fig. 1). Keeping in mind that for unimodal grades the time to failure according to the accelerated tests is about ten hours [2,5], for bimodal grades it is roughly a thousand hours and for the new PE100 RC

E. Nezbedová et al. / Polymer Testing 32 (2013) 106–114

Fig. 1. Structural difference between bimodal and unimodal PE.

grade is greater than 1 year. With the development of a new generation of PE pipe grades the question arises as to whether the PENT test is a reliable tool for the prediction of its working lifetime. There are other mechanical tests that can provide quick answers regarding resistance against SCG, such as the Full Notch Creep Test (FNCT) [6–9], Cracked Round Bar (CRB) test [10,11] or the modified tensile test [12,13]. In some papers, good correlation between PENT, FNCT and modified tensile tests has been found [7,12,13]. It is known [14,15] that the lifetime of HDPE is influenced by a large number of structural and morphological parameters. The primary form of these is chain structure: (i) molecular weight and its distribution, (ii) number, type and distribution of short and long chain branches and (iii) type and number of unsaturated bindings. Molecular weight and its distribution are usually estimated through Gel Permeation Chromatography (GPC). It is possible to determine the type and the number of short chain branches from measuring Nuclear Magnetic Resonance (NMR) spectra, but this procedure is rather expensive. The fractionation technique (TREF-Temperature Raising Elution Fractionation) has been proved to be good but highly expensive and time consuming for characterisation of the chemical structure of macromolecules in terms of branching distribution vs. chain length. Therefore, reliable but less expensive methods have been developed [16,17] which permit the separation of the macromolecules with respect to their crystallizability (SIS – Stepwise Isothermal Segregation). The average density of chain branches can be estimated on the basis of Differential Scanning Calorimetry (DSC) after the SIS procedure. In 1999 D. Gueugnaut and D. Roussellot [17] published a modified version of the SIS technique (“rapid” SIS/DSC). A so-called “drift” molecular parameter is calculated from the DSC crystallization on the basis of a classic Avrami approach. The primary morphological effect of short chain branches is (i) decrease of the lamellar thickness and (ii) increase of number of tie molecules. It is generally believed [18] that the slow process of craze opening involves the disentanglement of the tie molecules, which leads to fracture of the fibrils. It is a well known fact that the polymer matrix undergoes structural changes during processing as a result of thermomechanical degradation (scission of the polymer

107

chains, grafting, crosslinking). The structural changes can be detected by SIS/DSC as well as by modified SIS/DSC. A combination of various structural methods [19] enables us to correlate the results of mechanical tests (FNCT, PENT, tensile tests) and structural parameters. Furthermore, this correlation is suitable for selection of the relevant structural parameters that are responsible for resistance against SCG. For unimodal material, very good correlation was found between the relevant structural parameters and accelerated tests [2,14,19]. Nevertheless, the relationship between structural and mechanical parameters does not exhibit the same trend for different grades of HDPE. For PE 100 and PE 100 RC, there are only limited experimental results published [4,20]. Based on a combination of experimental observations and fracture mechanics, SCG can be determined by the PENT test [21]. Using the assumptions of linear elasticity, the loading conditions of a PE structure can be described by the stress intensity factor KI [10,21]. Based on knowledge of KI and slow crack kinetics, the lifetime of the pressure pipe can be estimated. In the present contribution we summarize our own experiences of using accelerated tests (PENT tests) and the structural approach as well as numerical simulation for predicting the lifetime of unimodal and bimodal material. The aim is to open discussion about how to proceed in predicting the lifetime of the new generation of bimodal grades.

2. PENT test The PENT test [3] – Pennsylvania Notch Tensile Test to measure the Resistance to slow crack growth of resins is utilised mostly in the USA. The FNCT test [6] – Full Notch Creep Test (determination of environmental stress cracking of polyethylene) developed by Hessel and Mauer is spread mostly in Europe. In contrast to the FNCT test, the PENT enables following the kinetics of slow crack growth (SCG) and estimates some relevant parameters: (i) time for SCG initiation – ti, (ii) rate of SCG – d(COD)/dt and (iii) time to failure – tf. Typically, a single edge notch (SEN) tensile specimen is used and dependence of COD vs. time is measured, see Fig. 2. The single edge notch tensile (SEN) specimens can be taken either from compression-moulded plaques or from pipes, see Fig. 3.

Fig. 2. Crack opening displacement COD of the SEN specimen vs. time.

108


Fig. 3. Specimens taken from moulded plaque and from pipes in axial and tangential direction with respect to the extrusion direction.

The notch is made by pressing a fresh razor blade into the specimen at a constant speed of 330 mm/min. It has been found [2] that a notching speed less than 500 mm/min does not affect the lifetime. At extremely high notching speeds, 525 mm/min or higher, increase of the failure time occurs. A notching speed of about 300 mm/min is suggested in order to avoid notch tip damage and still provide a reasonably short notching time. The notching speed for side grooves is not that important. The width, thickness and side grooves are chosen to ensure that the fracture corresponds almost entirely to plane strain conditions. The kinetics of the failure process is observed under a constant nominal stress of 2.4 MPa and temperature of 80 C. In general, the stress for brittle failure by slow crack growth should be less than half of the yield point at the particular test temperature. A one degree change in test temperature will change the time to failure by about 10-15% [2]. The crack opening displacement, COD, is measured with an optical microscope with resolution of about 2 mm (Fig. 4). COD is measured at the free surface of the specimen (marked in the following text as CMOD).

Fig. 4. Schematic arrangement of the PENT test.

Gripping the specimen is an important procedure. The grips must be aligned and centered with respect to the longitudinal axis of the specimen. The load must be pure tension. The time for complete failure depends, among other factors, on the time for crack initiation in the given resin. The ratio of crack initiation to time for complete failure is usually about 0.2 to 0.6, depending on the particular resin [2]. 3. Experimental methods for characterizing the structure of PE The structure of PE grades was characterized by the following method: (i) SIS/DSC method (SIS – Stepwise Isothermal Segregation) (ii) Rapid SIS/DSC (iii) GPC analysis. The GPC analysis must be used because the SIS/DSC record for bimodal materials is the same as that for bad quality material with monomodal distribution [22]. The GPC analysis has been used for obtaining information as to how comonomer is incorporated between macromolecules. It tells us a great deal both about the application’s qualities and its synthesis technology. The HDPE samples for the SIS/DSC procedure are weighed and adjusted in aluminium pans. The pans are fixed into a sealed glass ampoule under inert atmosphere of ultra pure nitrogen and fractionated in the course of the elected temperature programme. (i. – heating to 180 C followed by 1 hour time lag, ii. part – crystallisation at 126,8 C for 3 days, iii. – crystallisation at 124 C for 3 days, iv. – crystallisation at 120 C for 3 days, and finally fast cooling). The contents of separated fractions after fractionation are evaluated with the aid of DSC (Perkin-Elmer DSC 7). The DSC scan, after the SIS procedure, gives several peaks according to the number of isothermal steps (Fig. 5). The location and the area of these peaks provide information about both the average number of short chain branches (SCB) in each individual fraction and the weight fraction of this fraction in the polymer. Peak I, with the highest melting temperature, corresponds to a homopolymer fraction of the copolymer. The homopolymer fraction content must be balanced with the copolymer fraction because both fractions significantly influence the stiffness and fracture behaviour of the resin (low content of the homopolymer fraction decreases stiffness, high content of the homopolymer fraction supports


109

an integrated cooling unit (Perkin-Elmer DSC 7) calibrated with indium was used for the thermal characterisation of the materials under study. The crystallisation kinetic parameters referred to as k114,119 and n114,119 (for each crystallisation step) are calculated from expression (4), which is the double – log expression of the Avrami Eq. (3). The parameter c represents the fraction of crystallised material during time t and at the temperature T.

1 ! c ¼ expð!kt n Þ

Fig. 5. An example of a DSC scan (2nd melting) after the SIS procedure for ethylene-butene copolymer.

brittle fracture). Peak II, at the adjacent lower temperature, corresponds to a copolymer fraction with very low SCB content and relatively high molecular weight. Peak III corresponds to a copolymer fraction with higher SCB content and a medium molecular weight. Fraction IV, which crystallises after cooling down the sample, consists mostly of the low molecular weight chains with high comonomer content. For butene copolymer the density of SCB in the individual fraction can be estimated according to the following equation:

SCB ¼ 136 ! T peak =1:6½CH3 =1000C#

(1)

For hexene copolymer it is estimated according to Eq. (2):

! SCB ¼ 136 ! T peak 1:84½CH3 =1000C#

(2)

The rapid SIS/DSC procedure runs completely in the DSC equipment and consists of a sequenced heating-coolingheating treatment of materials. This procedure permits description of the kinetics of crystallisation [17]. The experimental procedure is as follows:

1) Heating (10 $ C/min) from 20 $ C to 170 $ C (the 1st melting), followed by an initial isothermal step at 170 $ C/ 1 min. 2) Cooling to 124 $ C, followed by a 1st isothermal crystallisation step at 124 $ C/30 min. 3) Fast cooling to 119 $ C, followed by a 2nd isothermal step at 119 $ C/30 min. 4) Fast cooling to 114 $ C, followed by a 3rd isothermal step at 114 $ C/15 min.

Gueugnaut and Rousselot in their paper [17] introduced a so-called “drift” molecular parameter (s), defined by Eq. (4), to reflect the influence of both the 114 $ C and 119 $ C molecular species in terms of quantities and kinetics:

s¼

DHc119 =k119 ; DHc114 =k114

(4)

where DHc119 and DHc114 are the enthalpy of crystallisation at 119 $ C and 114 $ C, respectively. From the simplified expression (4), it is thus possible to evaluate the bimodality level of the distribution (crystallisation enthalpies), taking into account the influence of the comonomer branches (rate constant). The primary morphological effect of short chain branches is decrease of the lamellar thickness and increase of number of tie molecules. The lamellar thickness (LC), mass crystallinity (wC) and long period (L, see Fig. 6) can be estimated from the DSC record, GPC analysis and data from the literature [23,24]. 4. Unimodal grades of PE In 1997, we began a systematic assessment of HDPE pipes grades manufactured in the Czech Republic. The main goal of these investigations was to estimate the relevant structural and fracture parameters that enable us to predict the lifetime of extruded pipes as well as to estimate the residual lifetime of pipes which have been in service since 1968. For this purpose, we utilized mainly structural methods SIS/DSC, later rapid SIS/DSC and fracture methods, mainly the PENT test. The structural estimation was carried out according to the ratio of enthalpy of fusion (dH1/dH2, see Fig. 7) and number of short change branches (SCB – CH3/1000C). Particularly, blend A: SCB ¼ 1.5, blend B: SCB ¼ 2.5, blend C: SCB ¼ 3.4 and blend D: SCB ¼ 4.9. The PENT tests on the SEN compression moulded specimens of standard blends was carried out at 80 $ C and 2 MPa constant nominal stress. The results are summarised in Table 1 together with the structural parameters.

5) Cooling (20 $ C/min) from 114 $ C to 20 $ C (dynamic crystallisation step). 6) Heating (2.5 $ C/min) from 20 $ C to 170 $ C (the 2nd melting). The SIS/DSC procedure takes 9 days in comparison to rapid SIS/DSC, which takes 90 minutes. A DSC facility with

(3)

Fig. 6. Schematic arrangement of lamellar structure.

110


Fig. 7. DSC records after SIS procedure. dH1 is the enthalpy of fusion of the highest melting temperature peak and dH2 is the enthalpy of fusion of the second one.

We have chosen 15 pipes that have been in service since 1968. These pipes were divided into four groups that had similar structure parameters as the blends from previous text (see Fig. 8). The SEN specimens were prepared parallel and perpendicular to the extrusion direction (Fig. 3), and the PENT test was carried out under the same conditions. The results are summarised in Table 2. The structural classification regarding the quality of piping materials was performed according to the average number of short chain branches calculated from Eq. (1). There is good correlation between time to rupture vs. SCB and dH1/dH2 (see Table 1). A similar trend was also observed for pipes (see Table 2). The time tf parallel for pipe specimens is lower than for blends. The reason for this shift is due to a different stress state at the notch tip and due to a higher proportion of dH1/ dH2 for pipe samples with respect to the blends. This result is in agreement with N. Brown and his co-workers, who published their findings of a similar dependence for hexene copolymers [25]. Very good correlation was found also between lamellar thickness (across cross-section of pipes) and time to rupture (tf perpendicular), see Fig. 9. It can be concluded that lower lamellar thickness (crystallinity wC is lower) leads to a higher lifetime. Utilizing the results of GPC analysis, the probability of forming tie molecules can be estimated. The calculated probability of forming tie molecules for one virgin HDPE and pipes after a long time in service was 0.1 for virgin material and 0.033 for pipe. We can conclude for unimodal HDPE: The relevant structure parameters that influence the lifetime are the number of short change branches (SCB) and the ratio dH1/dH2. These molecular parameter are in

Material

Time to failure tf [min]

dH /dH

A B C D

612 805 1708 33 489

10.21 2.9 2.0 0.007

good correlation with fracture measurement, namely with the PENT test. The lower the lamellar thickness, the higher the lifetime. The PENT test enables us to judge the quality of pipe grade HDPE as well as the quality of virgin pipes and pipes which have been in service for a long time. 5. Bimodal grade of HDPE In contrast to unimodal HDPE, the problem of bimodal HDPE testing is the duration of fracture tests as well as the problem of finding the relevant structure parameters that have good correlation with time to rupture. As objects for the experiment, three bimodal HDPE pipes grade (B1, B2, B3) and one commercial available PE100 RC grade (RC) were tested. We also used one unimodal HDPE pipes grade M for the purposes of comparison. The structural characteristics obtained with SIS/DSC and rapid SIS/DSC analysis, are summarized in Table 3. The PENT tests on the SEN compression moulded specimens were carried out at 80 ! C and 2.4 MPa constant nominal stress. One advantage of the PENT test is the possibility it provides of obtaining information regarding the kinetics of SCG due to measurement of the crack opening displacement, COD (CMOD), as a function of time. In our case, CMOD values were measured. From the dependence of the CMOD versus time, the following values can be estimated: (i) time to failure tf (ii) time of the beginning of SCG ti and (iii) rate of the stable crack growth d(CMOD)/dt. The results of PENT test are summarized in Fig. 10. To approximate the experimental data, Eq. (5) is used:

Table 2 The results of SIS/DSC analysis and PENT test.

Table 1 The results of SIS/DSC analysis and PENT test. 1

Fig. 8. DSC record after SIS procedure for different pipe groups.

Material 2

SCB [CH3/1000C] 1.5 2.5 3.4 4.9

Group Group Group Group

1 2 3 4

(A) (B) (C) (D)

tf parallel [min]

tf perpendicular [min]

dH1/dH2

SCB [CH3/1000C]

106 122 89 33 968

67 57 78 16 882

12.25 3.72 3.2 0.72

0.2 2.2 3.2 4.27


111

Fig. 9. Correlation between time to rupture and lamellar thickness. Fig. 10. CMOD vs. time from standard PENT test measurement for materials shown in Table 3.

y ¼ aþ

b$xc x 1" e

d

(5)

;

where y ¼ CMOD; a, b, c, d, e are fitting parameters; x ¼ t/tf The tf can be estimated as a point where the curve of CMOD versus time begins to accelerate. The rate of stable crack growth (d(CMOD)/dt) represents the slope of the curve CMOD versus time (see Fig. 2). The results of the PENT test for five selected HDPE materials is shown in Fig. 10. The dependence of ti and the rate of stable crack growth are shown in Fig. 11. Good correlation between increase of ti and decrease of stable crack growth rate can be found. Correlation between the value of ti and structural parameters, namely SCB and s was not found, see Table 3. The problem will be in the bimodal distribution of MW (see Fig. 1). That is to say, we followed the same process as for unimodal grades. However, it has already been established that for mechanical behaviour only the second peak is responsible; the first is connected with processing, and we calculated the average of both. Our experimental findings concerning the bimodal type of HDPE can be summarized as follows:

HDPE pipe grades with respect to resistance against SCG. # In contrast to unimodal grades, there is no straightforward correlation between structural and fracture parameters. 6. Lifetime estimation To predict the residual lifetime of a pressured pipe with an initial defect, it is necessary to estimate stress intensity factor KI during crack propagation, and material parameters describing SCG. Note that the prevailing mode of SCG is creep crack propagation. Geometry of the pressured pipe with internal defect (crack) is schematically shown in Fig. 12. The values of the stress intensity factor for pressured pipe obtained by 3D calculation can be expressed by the simple relation [26]:

# The PENT test enables us to follow the kinetics of slow crack growth (SCG) and estimates some relevant parameters: (i) time for SCG initiation – ti, (ii) rate of SCG – d(CMOD)/dt. These two material parameters can be estimated in a relatively short time even for bimodal grades (PE 100 and PE 100 RC). # It was shown that not only time to failure (tf) but also the rate of SCG (d(CMOD)/dt) enable us to distinguish

Table 3 Structural characterization of five HDPE grades obtained by SIS/DSC(*) analysis and rapid SIS/DSC(**). Sample M B1 B2 B3 RC

SCB* CH3/1000C

DHc119 ** [J/g]

DHc114 ** [J/g]

k114

3.68 2.58 3.39 3.45 3.37

82.14 104.76 91.78 85.87 103.1

24.99 17.07 25.72 25.7 15.55

4.99E-2 7.38E-2 4.91E-2 4.66E-2 9.02E-2

[s

1

]

k119 [s

s**

1

]

3.52.7E-3 2.75E-2 1.02E-3 2.10E-4 2.39E-3

47 16 172 742 250

Fig. 11. Relationship between the time for beginning of SGC and the rate of SCG.

112


Fig. 13. Predicted curves da/dt versus KI based on PENT test measurement and comparison with literature data [28,29].

Fig. 12. Scheme of pressured pipe and geometry of the crack considered in the work.

pd pffiffiffiffiffiffi a! paY s s where KI ¼

(6)

a! a!2 a!3 0:0319 Y ¼ 0:3417 þ 0:0588 þ0:1409 : s s s a is a crack length, d is pipe outer diameter, s is pipe wall thickness and p is internal pressure. The advantage of Eq. (6) compared to other relations given by literature [27] is that it contains the change of the crack shape during crack propagation in the pipe. Shape of the propagating crack was optimized based on constant value of the stress intensity factor along the semi-elliptical crack front, see [26] for details. According to the PENT test methodology, see [21] for details, under given conditions, the slow crack growth rate (da/dt) is approximately equal to the rate of crack opening displacement at the specimen surface, i.e.

dðCMODÞ da y dt dt

(7)

Fig. 11 shows data extracted from Fig. 10, i.e. time of the start of SCG (ti) and the rate of SCG (d(CMOD)/dt). The results presented in Fig. 11 enable distinguishing HDPE pipe grades with respect to the resistance against SCG, can be used for estimation of a residual life of pipes and can partially substitute the conventional hydrostatic pressure test. It is assumed that SCG propagation can be described by the following equation:

da ¼ AðKI Þm dt

(8)

where A and m are material parameters. The measured values of da/dt (dCMOD/dt respectively) were used for formulation of the dependence da/dt versus KI (see Eq. (8)). Our experimental results are related to the constant value of the stress intensity factor, since we carried out the PENT

test under conditions corresponding to one stress level and one notch depth only. In the literature [28,29], a similar type of HDPE pipe grade was tested. Based on the similarity of the materials used, we approximated the exponent m in Eq. (8) by the value m ¼ 4, even for prediction of the curve da/dt versus KI and, consequently, the value A was determined. The results are summarized in Fig. 13. It is indicated there that the crack propagation rate estimated by the PENT test is significantly smaller than that obtained by a CT specimen (PE 80) or by a CRB test (PE 80). Summary of the material parameters given by the PENT test measurement is shown in Table 4. The residual lifetime can then be calculated using integration of Eq. (8) from initial defect to final defect (3.5 mm in our case). In Fig. 14, residual lifetimes for an internally pressured pipe for different material properties given by Table 4 and stress intensity factor from Eq. (6) are shown. The initial defect size a0 was assumed equal to 0.2 mm. The geometry of the pipe was d ¼ 40 mm, s ¼ 3.7 (SDR 11). The predicted lifetime of the studied pipes is strongly overestimated by the experimental data obtained from PE 80 material [28]. It is given partially by the better resistance of the studied materials against slow crack propagation than for the PE 80 material used for the internal pressure test. The propagation of a slow crack from a sharp stress concentrator could be described as follows: due to stress concentration in front of the crack (notch), the tip fibrils of the material start(s) to elongate in the same direction as tensile loading is applied, and a tip process zone is formed in front of the crack. When the size of the process zone exceeds its critical value, part of or the whole of the process zone is fractured and the crack increases in length. Then,

Table 4 Estimated material parameters A and m corresponding to the studied class of bimodal HDPE materials. Sample

A [mm/MPam mm/2s]

m[ ]

M B1 B2 B3 RC

8.26E-05 6.44E-06 3.88E-07 1.86E-07 2.16E-07

4 4 4 4 4


113

molecular parameters for unimodal materials are in good correlation with the PENT test, but in the case of bimodal materials this straight correlation does not exist. As the PENT test is carried out at higher temperatures (80 C in the present case), the corresponding results do not allow us to estimate the absolute value of the lifetime of studied materials under working conditions (ambient temperatures), but do enable us to judge the quality of HDPE pipe grade as well as the quality of virgin pipes and pipes which have been in service for a long time. Exact prediction of the residual life time of a pressured pipe with an initial defect based on PENT test measurements is problematic, because a typical test catches only part of the failure mechanism (the formation of the process zone). This is the reason for the underestimation of the slow crack growth rate by PENT test measurement and, consequently, overestimation of the lifetime prediction. Fig. 14. Lifetime estimation based on PENT test experimental data.

Acknowledgement the process zone in front of a new crack tip is formed again and the crack propagates by this stepwise mechanism. During PENT test measurement, a process zone is usually formed and then fracture of whole specimen occurs. Therefore, the PENT test measurements catch only part of the failure mechanism (formation of the process zone). This could be the reason for underestimation of the slow crack grow rate by PENT test measurement. The mechanism of the crack propagation in the pipe structures is similar to that during PENT test measurement, so the resistance of the pipe grade against slow crack growth can be qualitatively evaluated by PENT. Quantitative prediction of the component failure based on the PENT test data is then problematic and a strong overestimation of the lifetime is provided by characterising the nature of only part of the failure mechanism. The CMOD was measured by using an optical microscope in our case. This method is tedious and depends somewhat on the interpretation of the visual observation. Z. Zhou and N. Brown [30] have suggested some modifications to the test, with automatically recorded data COD (CMOD) vs. time. From the curve of COD (CMOD) versus time, fine details of the fracture initiation can be determined. Using this data, the pipe grade resistance against slow crack growth can be qualitatively predicted based on ti. This methodology can significantly shorten classical PENT test measurement. 7. Conclusions The PENT test enables us to analyze the kinetics of slow crack growth (SCG) in polyethylene materials and estimates some relevant parameters characterizing the resistance of the material to final failure, namely time to slow crack initiation (ti), slow crack growth rate da/dt and time to failure (tf). In this contribution, the rate of SCG was measured as the slope of the linear part on the curve crack mouth opening displacement (CMOD) vs. time. For experimental data measurement a single edge notch (SEN) tensile specimen was used. The relevant structural parameters that influence the lifetime were then estimated and discussed for both unimodal and bimodal materials. It was concluded that

This work was supported by Czech Science Foundation grant no. P108/12/1560 and project RVO 68081723. This work was partially realized in CEITEC – Central European Institute of Technology with research infrastructure supported by the project CZ.1.05/1.1.00/02.0068 financed from European Regional Development Fund. References [1] N. Brown, X. Lu, The fracture mechanics of slow crack growth in polyethylene, Int. J. Fract. 69 (1995) 371–377. [2] X. Lu, N. Brown, A test for slow crack growth failure in polyethylene under a constant load, Polym. Test. 11 (1992) 309–319. [3] ISO 16241, Notch Tensile Test to Measure the Resistance to Slow Crack Growth of Polyethylene Materials for Pipe and Fitting Products (PENT). [4] J. Hessel, PE100-RC – Ein PE100 mit erweiterten Anwendunspotezial, 3R International 47 (2008) 189–193. [5] T. Tränkner, M. Hedenqvist, W. Gedde, Structure and crack growth in gas of medium-density and high-density polyethylene, Polym. Eng. Sci. 36 (1996) 2069–2076. [6] ISO 16770, Determination of Environmental Stress Cracking (ESC) of Polyethylene (PE) – Full Notch Creep Test (FNCT). [7] S.H. Beech, E.Q. Clutton, Interpretation of the Results of the Full Notch Creep Test and a Comparison with the Notched Pipe Test. Proceedings of Plastics Pipes XII, Milan, Italy (2004). [8] C.J.G. Plummer, A. Goldberg, A. Ghanem, Micromechanisms of slow crack growth in polyethylene under constant tensile loading, Polymer 42 (23) (2001) 9551–9564. [9] G. Pinter, M. Haager, R.W. Lang, Influence of nonylphenol–polyglycol–ether environments on the results of the full notch creep test, Polym. Test. 26 (6) (2007) 700–710. [10] G. Pinter, M. Haager, W. Balika, R.W. Lang, Cyclic crack growth tests with CRB specimens for the evaluation of the long-term performance of PE pipe grades, Polym. Test. 26 (2) (2007) 180–188. [11] A. Frank, G. Pinter, R.W. Lang, Prediction of the remaining lifetime of polyethylene pipes after up to 30 years in use, Polym. Test. 28 (7) (2009) 737–745. [12] J. Jivraj, K. Sehanobish, J.V. Dun, J. Damen, S. Wu, Ductile Failure and Delayed Necking in Polyethylene. Proceedings of Plastics Pipes XI. Munich (2001). [13] D.J.M. Havermans van Beek, R. Deblieck, M. McCarthy, R. Kloth, L. Kurelec, An Elegant and Fast Method to Predict the Slow Crack Growth Behaviour of High Density Polyethylene Pipe Materials. Proceedings of Plastics Pipes XV. Vancouver, Canada (2010). [14] B.J. Egan, O. Delatycki, The morphology, chain structure and fracture behaviour of high-density polyethylene, J. Mater. Sci. 30 (1995) 3307–3318. [15] A. Lustiger, R.L. Markham, Importance of tie molecules in preventing polyethylene fracture under long-term loading conditions, Polymer 24 (1983) 1647–1654.

114


[16] E. Nezbedová, Z. Salajka, J. Kucera, Relation Between Toughness and Structural Parameters of PE – Copolymers. Schrittereihe der Technischen Universität Wien 2, University of Technology, Vienna, 1997. [17] D. Gueugnaut, D. Rousselot, Detection of divergences in polyethylene resins fabrication by means of the modified stepwise isothermal segregation technique, J. Appl. Polym. Sci. 73 (1999) 2103–2112. [18] A. Lustiger, R.D. Corneliussen, The role of crazes in the crack growth of polyethylene, J. Mater. Sci. 22 (1987) 2470–2476. [19] E. Nezbedová, A. Zahradnícková, Z. Salajka, Brittle failure versus structure of HDPE, J. Macroml. Sci. Part B 40 (2001) 507–515. [20] E. Nezbedová, P. Hutar, Z. Knésl, PENT versus Time to Rupture Curve for HDPE. Proceeding of Plastic Pipes XV, Vancouver, BC Canada (2010). [21] X. Lu, N. Brown, A fundamental theory for slow crack growth in polyethylene, Polymer 36 (1995) 543–548. [22] E. Nezbedová, A. Zahradnícková, Z. Salajka, Structural and Fracture Methods as Means of Predicting the Lifetime of HDPE Pipes. Proceeding of Plastic Pipes XI, Munich Germany (2001). [23] Y.L. Huang, N. Brown, Dependence of slow crack growth in polyethylene on butyl branch density – morphology and theory, J. Polym. Sci. Part B 29 (1991) 129–137.

[24] F. Ania, F.J. Balta Calleja, R.K. Bayer, A. Tshmel, I. Naumann, G.H. Michler, Comparative study of size and distribution of lamellar thicknesses and long periods in polyethylene with a shish-kebab structure, J. Mater. Sci. 31 (1996) 4199–4206. [25] Y.Q. Zhou, N. Brown, The mechanism of fatigue failure in a polyethylene copolymer, J. Polym. Sci. Part B Polym. Phys. 30 (5) (1992) 477–487. [26] P. Hutar, M. Sevcík, L. Náhlík, G. Pinter, A. Frank, I. Mitev, A numerical methodology for lifetime estimation of HDPE pressure pipes, Engng. Fract. Mech. 78 (2011) 3049–3058. [27] Y. Murakami (Ed.), Stress Intensity Factors Handbook, Pergamon Press, Tokyo, 1987. [28] A. Stern, Fracture Mechanical Characterization of the Long-term Behavior of Polymers under Static Loads, Dissertation, University of Leoben, Austria, (1995). [29] A. Frank, Fracture Mechanics Based Lifetime Assessment and Longterm Failure Behavior of Polyethylene Pressure Pipes, Dissertation, University of Leoben, Austria, (2010). [30] Z. Zhou, N. Brown, A new automated method for recording and predicting failure by slow crack growth in polyethylene, Polym. Test. 14 (1995) 549–558.

Příloha D

PŘÍLOHA D Úplné znění vybrané publikace vztahující se k tématu disertační práce: Ševčík, M., Hutař, P., Knésl, Z., Náhlík, L., Zouhar, M.; Estimation of the critical configuration of a crack arrested at the interface between two materials, Computational Materials Science, Vol. 64, No. 5, pp. 225-228, 2012 (IF = 1,458

strana

125

strana

126

Computational Materials Science 64 (2012) 225–228


Computational Materials Science journal homepage: www.elsevier.com/locate/commatsci

Estimation of the critical configuration of a crack arrested at the interface between two materials Martin Ševcˇík a,b,⇑, Pavel Hutarˇ a, Zdeneˇk Knésl a, Luboš Náhlík a, Michal Zouhar c a

Institute of Physics of Materials, Zizkova 22, 616 62 Brno, Czech Republic CEITEC IPM, Institute of Physics of Materials, Zizkova 22, 616 62 Brno, Czech Republic c Brno University of Technology, Technicka 2896/2, 616 69 Brno, Czech Republic b

a r t i c l e

i n f o

Article history: Received 19 October 2011 Received in revised form 10 April 2012 Accepted 30 April 2012 Available online 27 May 2012 Keywords: Bimaterial Fracture mechanics of an interface Generalised stress intensity factor

a b s t r a c t Surface crack propagation in a thin soft protective layer on a massive stiffer substrate is analysed using generalised linear elastic fracture mechanics. The growth of the initial crack is considered in both forward and sideways directions and the influence of the interface between the protective layer and massive substrate on the final crack configuration is investigated. It is shown that, depending on the elastic mismatch, the part of the crack front can be arrested at the interface protective layer/substrate and the rest of the crack grows continuously sideways only. The effective value of a stress intensity factor is used in order to predict the conditions under which the crack will propagate through the interface into the second material. Corresponding calculations have been made by finite elements. Ó 2012 Elsevier B.V. All rights reserved.

1. Introduction Surface cracks existing in many structures in service have been recognised as a major origin of potential failure. Based on the experimental fact that the crack shape of propagating surface cracks in a plate is approximately semi-elliptical, numerous calculations have been made, mostly by finite element analysis (FEA), and published in the literature to simulate surface crack propagation in homogeneous bodies, e.g. [1,2]. The existence of areas with different mechanical properties and of an interface with discontinuous change of mechanical parameters can have a pronounced influence on stress distribution and consequently on the shape and behaviour of cracks. Much work has been done to describe the fracture mechanics behaviour of cracks near and/or on the interface using two-dimensional modelling, see e.g. [3–5]. The problem of calculating the stress intensity factors for these configurations has been addressed by several authors, e.g. [4–6]. The estimation of the stress intensity factor close to the interface needs a very fine finite element mesh and this fact complicates the application of numerical procedures on the Kvalues estimation for cracks growing in the vicinity and through the interface. Moreover, for a crack with its tip at the interface the stress singularity exponent p (p = 1/2 for homogeneous body) is changed and p – 1/2, see [7,8]. In all cases the values of fracture

⇑ Corresponding author at: Institute of Physics of Materials, Zizkova 22, 616 62 Brno, Czech Republic. Tel.: +420 532 290 362; fax: +420 541 218 657. E-mail address: [email protected] (M. Ševcˇík). 0927-0256/$ - see front matter Ó 2012 Elsevier B.V. All rights reserved. http://dx.doi.org/10.1016/j.commatsci.2012.04.049

mechanics parameters strongly depend on the elastic mismatch of both materials. Due to numerical difficulties and the substantial computations required in the numerical analysis, only limited studies have been devoted to three dimensional (3D) models of cracks in the interface vicinity, see e.g. [9] for review. In [10] the influence of a bimaterial interface on the fracture path of a semi-elliptical surface crack in a 3D structure is examined. To estimate the strength of bimaterial bodies and their fracture behaviour the stress distribution for a crack with its front meeting a bimaterial interface has to be known. In paper [11] a rectangular crack terminating at a bimaterial interface and subjected to a normal load is analysed but the problem of the stability of the crack with its front at an interface is not considered here. In order to assess the influence of an interface on a crack penetration from one material into the other in a bimaterial body, the question whether the crack stays arrested at the interface or propagates through into the second material needs to be answered. This work focuses on the behaviour of a planar crack meeting the interface in a bimaterial structure. In a bimaterial body a surface crack can initially grow in all directions. The resulting values of stress intensity factor are influenced by an elastic mismatch of both materials used as expressed by the ratio of Young’s moduli E1/E2 (corresponding to materials 1 and 2). As the crack front propagating in the softer material approaches the interface with a stiffer material, i.e. E1/E2 < 1, the stress intensity factor decreases, see [12,13]. Consequently the central part (central segment) of the crack front has a tendency to stop there. The rest of the crack front (side segments) grows continuously sideways and the central segment increases in length, see Fig. 1. The main goal of the

226

M. Ševcˇík et al. / Computational Materials Science 64 (2012) 225–228

symmetrical b. c.

crack front M2

crack surface

M1

Fig. 1. A cracked bi-material consisted of thin coating on massive substrate considered in the paper.

contribution is concentrated on the stability of such configurations, i.e. to the question as to whether the central segments of the crack stay arrested here and under what conditions they penetrate into the second material. To this end the effective stress intensity factor values for the crack segment arrested at the interface are calculated as a function of the material and geometrical parameters of the studied configuration. In particular, the influence of the crack length 2b on the magnitude of the effective stress intensity factor of the central section is numerically estimated and the critical crack configuration in which the crack starts to propagate through the interface is estimated. This situation corresponds to the configuration of a crack initiated at the surface, growing through a softer protective layer and approaching the interface with the stiffer substrate. The results obtained can help towards a better understanding of the fracture behaviour of a crack propagating near and through the bi-material interface. The outcomes presented are an introductory study focused on real crack front estimation influenced by the material interface with respect to material properties combination.

2. Numerical model A bi-material plate under remote tensile load r was considered in this study. The geometrical configuration corresponded to a thin coating (material M1) on a thick (massive) substrate (material M2), see Fig. 1. The thickness of the coating was considered as t1 = 1 mm and substrate t2 = 10 mm. The total specimen width was 120 mm and total length 220 mm. Perfect adhesion between coating and substrate was assumed. Both materials were considered as homogenous, isotropic and linearly elastic with corresponding Young’s modulus E and Poisson’s ratio m. The ratio of Young’s moduli E1/ E2 was changed in order to study its influence on crack behaviour. The Poisson’s ratio of both materials was m1 = m2 = 0.3 for all analyses. A three-dimensional numerical model was created in commercial finite element (FE) code ANSYS. The FE mesh contained more than 400,000 twenty-nodes iso-parametric quadrilateral elements SOLID186. The FE mesh was strongly non-homogenously distributed in the body. The finest FE mesh was in the vicinity of the crack front and close to the interface because of more precise stress and strain field calculation. Due to the symmetry only one-quarter of the body has been modelled. A preview of a typical FE mesh is shown in Fig. 2. The geometrical configuration of the crack studied has been schematically shown in Fig. 1. The crack depth a corresponding to the central part B–A–B⁄ lying along the interface is equal to the coating thickness, i.e. a = t1. The part of the crack front corresponding to the side segments between points B–C and B⁄–C⁄ were

Fig. 2. Preview of FE mesh with detail of the cracked area; only one-quarter of the specimen has been modelled.

modelled as a spline curve. Points C, C⁄ (and B, B⁄) are vertex points in which the crack front terminates at the free surface of the body (and at the interface). Making use of the symmetry, only crack front part A–B–C is considered in the following. The presented model contains the crack shape assumption corresponding to Fig. 1. and in the following a sideway propagation of the crack front part B–C is numerically simulated and corresponding values of the effective stress intensity factor for crack front part A–B are estimated as a function of the crack length 2b.

3. Methodology The crack front between points B and C is located in a homogenous material M1. However, the stress field in the vicinity of point B is affected by the presence of a bi-material interface and an additional stress singularity in point C caused by free surface effects also influences the stress field [14,15]. In the following the retardation of the crack growth in the vicinity of the free surface (point C) and the interface (point B) is not considered and it is supposed that the behaviour of the segment B–C is predominantly controlled by the inner part of the crack front where the stress intensity factor is well defined, see Fig. 1. The direct method was applied for estimation of the stress intensity factor [16]. A similar assumption was made for analysis of the crack front segment B–B⁄. Stability conditions due to the step change of material properties cannot be described by the classical stress intensity factor. Nevertheless, the generalised stress intensity factor H is able to describe the stress field at the bi-material interface properly.

4. Results The segment shape B–C was estimated under assumption of constant stress intensity factor along the crack front, see e.g. [17]. As an example the resulting crack front curves B–B⁄ are plotted for crack length 2b = 4 mm for different values of the elastic mismatch E1/E2 in Fig. 3. The variation in the estimated stress intensity factor along the particular crack front was less than 5%. The crack front shapes and so the segment length B–B⁄ are influenced by Young’s moduli ratio E1/E2. For a given ratio E1/E2 the segments B–C propagate sideway with a roughly equidistant crack front shape. The sideways segment velocity depends on the elastic mismatch and decreases with Young’s moduli ratio E1/E2. These estimated crack front shapes were considered in all of the following analyses.


1.2

z-coordinate [mm] 1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

227

1.7

1.8

1.9

2

0

1 0.8

-0.1

E1/E2 = 0.1

-0.2

0.2

0.6 0.4

0.5 -0.3

0.2

0.9

x/a [-]

-0.4

E1/E2 = 0.1

0.2

0.5

2D solution

0.9

0 0

1

2

-0.5

3

4

5

6

7

8

9

10

b/a

-0.6

Fig. 5. Effective stress intensity factor estimated at the material interface (point A) for various Young’s moduli ratios and surface crack lengths.

-0.7 -0.8 -0.9 -1 Fig. 3. Estimated crack front shapes of B–C segment for four different Young’s moduli ratios E1/E2.

The average stress intensity factor, estimated along the crack front segment B–C in coating is shown in Fig. 4 as a function of surface crack length 2b. The stress intensity factor slightly increases with spreading of the surface crack length 2b; however, it is soon stabilised and does not increase with further crack length extension. To answer the question if the crack segment B–B⁄ stays arrested at the interface or will propagate through it into the second material an approach based on generalised fracture mechanics [13,15] has to be applied and the value of the generalised stress intensity factor HI(HI r) has to be estimated. To this end the direct method [16] was applied and the dependence HI = HI(2b) was estimated. Then the effective value of the stress intensity factor Keff was calculated as follows [13]:

K eff ¼

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi! ð1 ÿ 2m2 Þ 2

2

ð1 ÿ pÞ ½4ð1 ÿ 2m2 Þ þ ðg r ÿ pÞ

ð1ÿpÞ

d2

HI ;

ð1Þ

where d is a critical distance corresponding to the plastic zone size ahead of the crack tip, p is the stress singularity exponent, m2 is the Poisson’s ratio of the material in front of the crack tip, gr is a dimensionless parameter of material constants, see [13] for details. The corresponding criterion of stability takes the form:

K eff < K th ;

ð2Þ

0.9 0.8 E1/E2 = 0.1 0.2 0.5 0.9

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

where Kth is threshold value of the stress intensity factor for studied mechanism of crack propagation in material M2 (substrate). The estimated effective stress intensity factor Keff is shown in Fig. 5. It is shown here that the effective stress intensity factor also rises with surface crack length extension. For ratio b/a > 5 and studied geometry Keff is roughly constant and corresponds to those values obtained from the 2D solution. In this case and assuming the validity of condition Keff < Kth, the crack is arrested at the material interface and grows only sideways. 5. Conclusions This study deals with the estimation of a critical crack configuration arrested at a bi-material interface. The stability of a crack in a softer material and with its front situated along the interface between softer and stiffer materials, and growing continuously sideways, has been analysed. A bimaterial plate modelling a thin coating on massive substrate is considered as an example. The effective values of the stress intensity factor of the central segment of the crack front situated at the interface have been calculated for the different elastic mismatch of material properties of both materials. Comparing the effective values of the stress intensity factor with corresponding threshold values (e.g. fatigue threshold, creep threshold), the stability of the configuration studied can be assessed for various types of loading. Consequently, the question as to whether the crack stays arrested at the interface or penetrates into the second material and damage the structure can be answered. It is shown that the effective stress intensity factor Keff at the central segment of the crack arrested at the interface slightly rises with the spread of the surface crack length 2b. However, this effect is soon stabilised, then is practically constant, and does not depend on the surface crack length 2b. The effective stress intensity factor at the central segment calculated for a 3D model is for b/a > 5 close to that of the two-dimensional solution. This conclusion, however, does not hold generally and is limited to the type of geometry studied. The results presented can be helpful for the inspection of coated structures in service. Knowing the threshold value of the stress intensity factor for the mechanism of crack propagation studied in material M2 (substrate) it can be assessed whether the existing surface crack stops at the material interface or propagates through the substrate.

0.2 0.1

Acknowledgement

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

b/a Fig. 4. Stress intensity factor estimated at the crack front in coating (B–C segment) for various Young’s moduli ratios and surface crack lengths.

This work was supported by Czech Science Foundation by Grant No. 106/09/0279 and No. 101/09/1821 and by the Specific academic research grant of the Ministry of Education, Youth and Sports of the Czech Republic provided to Brno University of

228


Technology, Faculty of Mechanical Engineering No. FSI-J-11-38. The research was realised in CEITEC – Central European Institute of Technology with research infrastructure supported by the project CZ.1.05/1.1.00/02.0068 financed from European Regional Development Fund. References [1] X.B. Lin, R.A. Smith, Engineering Fracture Mechanics 63 (1999) 503–556. [2] L. Olaosebikan, Engineering Fracture Mechanics 37 (1990) 221–235. [3] L. Marsavina, T. Sadowski, Computational Materials Science 44 (2009) 941– 950. [4] Z. Knésl, L. Náhlík, J.C. Radon, Computational Materials Science 28 (2003) 620– 627. [5] K. Kaddouri, M. Belhouari, B. Bachir Bouiadjra, B. Serier, Computational Materials Science 35 (2006) 53–60. [6] L. Náhlík, L. Šestáková, P. Hutarˇ, R. Bermejo, Engineering Fracture Mechanics 77 (2010) 2192–2199.

[7] K.Y. Lin, J.W. Mar, International Journal of Fracture 12 (1976) 521–531. [8] T.S. Cook, F. Erdogan, International Journal of Engineering Science 10 (1972) 677–697. [9] N.A. Noda, T. Kouyama, Y. Kinoshita, Engineering Fracture Mechanics 73 (2006) 1292–1320. [10] R. Galdos, International Journal for Numerical Methods in Engineering 40 (1997) 905–917. [11] T.Z. Qin, N.A. Noda, International Journal of Solids and Structures 40 (2003) 2473–2486. [12] J. Mencˇík, in: G.M.L. Gladwell (Ed.), Mechanics of Components with Treated or Coated Surfaces, Kluwer Academic Publishers, 1996. [13] L. Náhlík, L. Šestáková, P. Hutarˇ, Computational Materials Science 46 (2009) 614–620. [14] L.P. Pook, Engineering Fracture Mechanics 48 (1994) 367–378. [15] P. Hutarˇ, L. Náhlík, Z. Knésl, Computational Materials Science 45 (2009) 653– 657. [16] D.R.J. Owen, Engineering Fracture Mechanics: Numerical Methods and Applications, Pineridge Press, 1983. [17] Zhi Xue Wu, Key Engineering Materials 19 (2007) 353–358.

Příloha E

PŘÍLOHA E Úplné znění vybrané publikace vztahující se k tématu disertační práce: Hutař P., Zouhar M., Náhlík L., Ševčík M., Máša, B.; Multilayer polymer pipe failure assessment based on fracture mechanics approach, Engineering Failure Analysis, Vol. 33, pp. 151-162, 2013 (IF = 0,855)

strana

131

strana

132

Engineering Failure Analysis 33 (2013) 151–162


Engineering Failure Analysis journal homepage: www.elsevier.com/locate/engfailanal

Multilayer polymer pipes failure assessment based on a fracture mechanics approach P. Hutarˇ a,⇑, M. Zouhar b,c, L. Náhlík b, M. Ševcˇík b, B. Máša b,c a

CEITEC IPM, Institute of Physics of Materials, Zizkova 22, 616 62 Brno, Czech Republic Institute of Physics of Materials, Zizkova 22, 616 62 Brno, Czech Republic c Brno University of Technology, Technická 2896/2, 616 69 Brno, Czech Republic b

a r t i c l e

i n f o

Article history: Received 5 February 2013 Received in revised form 24 April 2013 Accepted 26 April 2013 Available online 9 May 2013 Keywords: Multilayer pipes Generalised stress intensity factor Material interface Slow crack growth Polyolefin pipes

a b s t r a c t It is widely recognised that quasi-brittle fracture (through initiation and subsequent crack propagation mechanism) at low stresses is the most common mode of failure for high-density polyethylene pressure pipes. Slow crack growth in such pipes usually starts at a small defect at or near the inner pipe surface. Knowledge of a stress intensity factor is a key point for establishing the maximum load that a cracked pipe can withstand without failure, for description of the crack kinetic, and consequently for assessment of the pipe lifetime. To this aim a finite element stress analysis is used to calculate the stress intensity factor for internal and external cracks in a three layer composite plastic pipe consisting of two protective layers and the main pipe. The polyethylene pressure pipe is loaded by internal pressure. In contrast to homogeneous pipes the estimations of KI for multilayer (composite) pipes are numerically more elaborated and the fracture mechanics approach is complicated by the existence of interfaces between single layers, where material parameters are changed by a step. Special attention is paid to the configuration of a crack growing close to the interface and the effective values of stress intensity factor are estimated for a crack with its tip at the interface. It is shown that under special conditions (depending mainly on the elastic mismatch of materials) the crack can be arrested at the interface and significantly influence the lifetime of the pipe. Ó 2013 Elsevier Ltd. All rights reserved.

1. Introduction Plastic pipes are nowadays frequently used for the transportation of liquids and gases from one place to another [1]. A diverse range of plastic pipes has been developed to meet the demands of end users. The prevention of their failure is of great practical significance [2,3]. To guarantee the longer lifetime of pipe systems composite pipes consisting of many layers are employed in practice. These are of cardinal importance, especially in connection with trenchless installation techniques [4]. Basically, multilayer pipes are composed of one main layer (the functional pipe) and a few protective layers, Fig. 1, see e.g. [2] for a general description of layer function. The single layers are normally tightly bonded to each other. In the case of poor handling and/or faulty installation of pipes, small cracks or flaws can be created at the surfaces of a pipe and propagated through the pipe body. The essential function of the protective layers is to prevent damage to the main pipe caused by surface cracks. Other possible causes of crack initiation are connected with stress enhancers such as butt fusion welded joints and holes drilled for fastening a pipe junction. Moreover, all materials are imperfect, i.e. they contain defects or small cracks.

⇑ Corresponding author. Tel.: +420 532 290 351. E-mail address: [email protected] (P. Hutarˇ). 1350-6307/$ - see front matter Ó 2013 Elsevier Ltd. All rights reserved. http://dx.doi.org/10.1016/j.engfailanal.2013.04.022

P. Hutarˇ et al. / Engineering Failure Analysis 33 (2013) 151–162

152

Fig. 1. Different examples of multilayer pipe systems used in practice.

These cracks can grow during use, cause the fracture and shorten dramatically the life of pipe systems with subsequent catastrophic consequences. The temporal sequence of the failure of composite pipes may be classified into four categories [2]: (1) (2) (3) (4)

failure of internal layers failure of external layers simultaneous failure of external and internal layers failure of the whole pipe system.

In this contribution, primary attention is devoted to damage of the internal layers and subsequent crack propagation through the main pipe. With regard to mechanical modes of fracture connected with pipe failure, there are generally two ways of decreasing the probability of failure. The first involves an appropriate choice of materials with greater resistance to slow crack initiation and propagation, since, from a practical point of view, the most significant damage to polymer pipes is determined by slow crack growth [3,5]. Inappropriate material properties can shorten the service life of pipes significantly. The second way is related to the design of structures and involves limiting the existence of stress concentrators. Because plastic deformations are localised just around the crack front in the case of the slow crack growth failure mode of pressure pipes, small scale yielding conditions are usually valid, see e.g. [3,6,7]. Due to this fact linear elastic fracture mechanics (LEFM) can be used for description of the stress field around the crack tip, which is also accepted in the relevant literature [3,5,6]. In the case of a normal mode of loading the relevant controlling fracture mechanics parameter is stress intensity factor KI. A crack initiates at a critical point and its stable (slow) crack growth is controlled by the equation [3,8]:

da ¼ AK m I : dt

ð1Þ

The crack becomes unstable when certain conditions are reached:

K I ðacrit Þ ¼ K IC :

ð2Þ

Here A and m are corresponding material parameters, da/dt is crack propagation rate, a is a characteristic crack dimension, acrit its critical value, and KIC fracture toughness. For homogeneous pipes the majority of problems can easily be solved using data taken from the literature. The application of traditional fracture mechanics test specimens is sufficiently described in standards including corresponding K-calibration curves (dependence between stress intensity factor and normalised crack length). In most cases of the testing specimens a two dimensional approximation is sufficient [9]. Corresponding values of T-stress characterising constraint level can be also found in the literature [9]. Due to a relatively simple pipe geometry (represented by a cylinder with given ratio of inner and outer diameters) corresponding K-calibration curves for cracked pipes have been reliably established for both twoand three-dimensional configurations. For example Murakami’s handbook of stress intensity factors [10] includes stress intensity factor values for pressured pipes in two-dimensional approximation with external or internal cracks and three dimensional pressured pipes with an elliptical shape of axial crack. An accurate estimation of the stress intensity factor in the case of pressure pipe taking into account change of the axial crack shape during propagation was presented in paper [11]. In the case of multilayer pipes the situation is less straightforward and the fracture mechanics approach is complicated by the existence of interfaces between single layers, where material parameters are changed by a step, see [12,13]. Moreover, the corresponding data, generally speaking, have not been reliably established in the literature. The KI and T values depend on the material combination (given usually by the Dundurs parameters) and on the full geometric specification of a multilayer pipe (i.e. on inner and outer radii and thicknesses of all layers). This increases the number of possible variations of multilayer pipe structures. On the other hand, due to production technologies and applicability, most specific multilayer pipe


153

Fig. 2. Two-dimensional (2D) and three-dimensional (3D) model of a pipe with an internal crack.

constructions used in practice are similar to each other, with relatively small deviations in geometric and material parameters. This fact facilitates generalisation with regard to the results obtained from a specific multilayer structure. The goal of the present contribution is to present an approach and resulting calculations leading to a complete linear elastic fracture mechanics assessment of a three layer pipe with predominantly internal axial cracks. To this end, the corresponding KI and T calibration curves are calculated for various materials compositions of the protective and main layers. The results can be used for description of a crack propagation rate growing through a composite pipe and finally for estimation of its failure parameters (i.e. the maximum inner pressure that a cracked pipe can withstand without failure or the maximum crack size for a given value of the inner pressure). The possible applications of results obtained for other types of multilayer pipes dimensioning are discussed and it is shown that under specific conditions multilayer pipes can, with good approximation, be treated as homogeneous. 2. Numerical model of a three layer polymer pipe 2.1. Basic assumptions In the following, a three layer plastic pipe representing a category of multilayer pipes currently used for water and gas supply is considered. The pipe consists of a main (functional) pipe and two (inner and outer) protective layers, see Fig. 2. The basic material for the pipes studied is a high density polyethylene composed of carbon and hydrogen atoms joined together forming high molecular weight products. The property characteristics of HDPE depend upon the arrangement of the molecular chains. The material composition of the pipe is given by the tensile modulus of the main pipe (PE100 material) Em, those of the inner and outer protective layers (XSC 50 material) Ep, and corresponding values of Poisson ratio mm and mp. In the case of the three-layer pipe considered here, the mechanical properties of the inner and outer protective layers are the same and should ensure higher resistance to surface crack initiation and consequent crack propagation. This is usually connected with a lower value of the corresponding tensile modulus. The existence of interfaces between single layers has a pronounced influence on the stress distribution of a composite pipe. Due to good adhesion between layers (these polyethylene pipes are produced by co-extrusion technology), the assumption of perfect adhesion is accepted. The existence of the interface complicates the calculations and has a negative influence on the results’ accuracy. All calculations correspond to the assumptions of linear elastic fracture mechanics. In all cases it is presumed that the cracked pipe is loaded by inner pressure P and the crack is subjected to a normal mode of loading, i.e. K = K I.

Fig. 3. 2D and 3D finite element model of the three-layer polymer pipe with an internal crack.


154

Table 1 Material combinations used for following calculations. Ep (MPa)

Em (MPa)

vp = vm (ÿ)

Ep/Em (ÿ)

828 910 983 1213

1213 1213 1213 1213

0.35 0.35 0.35 0.35

0.68 0.75 0.81 1

2.2. Finite element analysis To calculate the values of the stress intensity factor KI and the T-stress, the numerical model following the pipe-crack geometry and boundary conditions corresponding to service loading were used. Both the 2D and 3D models were created and used, see Fig. 3. Corresponding calculations were performed by finite element system ANSYS. Using symmetry conditions only one half for 2D (one quarter for 3D) of the configuration has been modelled. It should be taken into consideration that the modelling of a three-dimensional crack configuration is much more complicated when compared to a two-dimensional case. The level of the mesh refinement was referred to a convergence analysis and takes into account high stress concentration in the crack tip vicinity and the non-homogeneity of the specimens. As an example, a finite element model of the three-layer pipe with an internal crack is presented in Fig. 3. A typical three-dimensional numerical model used for calculation included around 180,000 3D finite elements strongly non-homogenously distributed in the structure because of mesh refinement around the crack tip. In the case of the three-layer pipe (Wavin TS (£ 110 SDR11)) considered here, the mechanical properties of the inner and outer protective layer are the same. The material composition of the pipe is given by the tensile modulus of the main pipe Em and those of the inner and outer protective layers Ep and corresponding values of Poisson ratio mm and mp. For basic calculations the following values were considered: Em = 1213 MPa, Ep = 828 MPa, corresponding to Ep/Em 0.68 [12,13]. Due to the similarity of both materials and the fact that the influence of Poisson’s ratios on stress distribution is weak it was supposed in the following that mm = mp = 0.35. To assess the change of materials on the results, additional calculations corresponding to other data are performed and considered as well, see Table 1. Note that for stress intensity factor calculations the ratio Ep/Em is a basic material characteristic controlling the stress distribution in the pipe. For a homogeneous pipe Ep/Em = 1. 2.3. Stress intensity factor and T-stress calculation The determination of the K values for cracked geometries has received much attention in the literature, see e.g. [14,15]. In the present contribution the standard K-CALC procedure implemented in ANSYS and direct method has been used and applied. For 2D calculations under plane strain conditions the 8-nodes isoparametric elements PLANE82 were used for generating the FE mesh close to the crack tip. For numerical simulation of three-dimensional crack SOLID 95 20-nodes, isoparametric elements were used. The level of the mesh refinement close to the crack tip was referred to a convergence analysis. The T-stress value characterises the constraint level and can improve the classical linear elastic fracture mechanics description of the singular crack tip stress field in the variety of the crack configurations, outer geometries and loading conditions. For a linear elastic crack-tip stress field the elastic T-stress corresponds to the second non-singular term and represents the stress acting parallel to the crack plane [9,16]. To extract the elastic T-stress values the direct method was used [15]. Usually the constraint level is expressed in the form of biaxiality factor B [16]:

pffiffiffiffiffiffi pa B¼ ; KI T

ð3Þ

where KI is the value of the corresponding stress intensity factor and a is the corresponding crack length. Generally, the level of the constraint characterised by a biaxiality factor can be of assistance for a more accurate description of crack behaviour [17–19]. 3. Numerical results In the following the calculated values of the stress intensity factor K and T–stress are presented for a three-layer pipe with various crack-pipe configurations. It is presumed that the pipe is loaded by inner pressure P and cracks can be initiated either at a free surface of the inner protective layer (internal crack) or at an outer free surface of the three layer pipe (external crack). Only the case of an inner crack is studied in detail here, see Fig. 2. In all cases the values of K and T are also calculated for an equivalent homogeneous pipe. The geometry of the pipe corresponds to the three layer commercial plastic pipe Wawin TS with outer and inner layer from extremely durable PE material XSC 50 and with main pipe from PE 100. The geometry


155

pffiffiffiffiffiffi Fig. 4. Normalised values of the stress intensity factor K I =P pa for the studied composite pipe with the internal crack. P is the internal pressure, a the crack length (the depth in the 3D case) and W is the pipe thickness. The K values in 3D case correspond to the deepest point of the crack. The value a/W = 0.25 represents the interface between inner protective layer and the main pipe.

of the cracked pipe corresponds to those shown in Fig. 2, i.e. the thickness of the inner and outer layers are 2.5 mm, the thickness of the main pipe is 5 mm (i.e. the total thickness of the pipe W = 10 mm). The outside diameter of the pipe is 110 mm, corresponding to standard dimension ratio (outer pipe diameter over the total pipe wall thickness) SDR = 11. In the twodimensional case the plain strain conditions are assumed. The values of K and T are presented as a function of normalised crack size a/W, where a is a crack length (or depth). Note that a/W = 0.25 (0.75) corresponds to the interface between inner (outer) layer and the main pipe.

3.1. Two-versus three-dimensional solution In order to estimate the influence of the layered structure of a composite pipe on the fracture mechanics parameters of pffiffiffiffiffiffi the pipe studied, the values of normalised stress intensity factor K I =P pa and biaxiality factor B for the corresponding homogeneous pipe are shown in Fig. 4. The results are presented for two basic models corresponding to the internal cracks in the 2D and 3D cases, see Fig. 3. Note that the presented values were used to test the accuracy of the model and correspond well with results from the literature [10]. For the comparison a non-homogenous case with ratio Ep/Em 0.68 is also presented, see Fig. 4. In the two-dimensional case, plain strain conditions were assumed. In reality, this solution corresponds to very long cracks in an axial direction with constant depth. By contrast, the three dimensional model gives a more realistic crack shape, which is represented by a semi-elliptical geometry (given by crack depth a and surface crack length b). Such cracks are frequently initiated and observed at the free inner surface of pipes [11,20]. During the pipe service the crack can grow through the protective inner layer into the main pipe, and finally it can be the reason for the pipe system failure. Final fracture of the pipe is then connected with the situation where the corresponding stress intensity factor reaches the fracture toughness value of the pipe material, see Eq. (2). For the three-dimensional model it was presumed that the crack has a similar semi-elliptical shape (ratio a/b) for both homogenous and non-homogenous cases [11]. 2D and 3D analysis give quantitatively different results; see Figs. 4 and 5. It is seen that the values of stress intensity factors for the 2D solution are much higher than those for the 3D model in both cases of homogeneous and composite pipes. From that perspective the failure estimations based on 2D results are too conservative and for a reasonable life-time assessment the 3D solution needs to be used. Considering the fact that the crack propagation rate is proportional to K m I (see Eq. (1); m can reach 6 in studied materials [8]) the estimated crack propagation rate based on the 2D model is unrealistically high. Similarly, the critical inner pressure for ultimate failure of the pipe based on the 2D solution can give lower conservative values. The 2D solution provides an acceptable approximation only in the cases of long and shallow cracks where the ratio a/b 1. In composite pipes such configurations can be connected e.g. with special configurations where the crack front is arrested at the interface and grows continuously sideways, see Fig. 6. [21,22].

3.2. Material interface The existence of areas with different mechanical properties and the existence of an interface with discontinuous change of mechanical parameters can have a pronounced influence on stress distribution and as a result, the values of the stress intensity factor are changed. In the case of an internal crack growing from an inner protective layer to the main pipe, the

156


Fig. 5. Normalised values of the biaxiality factor B for the studied composite pipe with internal crack. W is the pipe thickness and a is the crack length (the depth in the 3D case). The B values in 3D case correspond to the deepest point of the crack. The value a/W = 0.25 represents the interface between the inner protective layer and the main pipe.

Fig. 6. Modes of crack propagation from softer protective layer to stiffer main pipe [22].

crack approaches a stiffer material. This is connected to a step decrease in stress intensity factor values at the interfaces, see [12,23]. To assess the influence of the heterogeneity of the three-layer pipe on near-crack-tip stress distribution, the normalised stress intensity factors for an internal crack were calculated as a function of the normalised crack length a/W for various material combinations corresponding to different temperatures. As an example, the corresponding K and T values for the three layer pipe in the case Em/Ep = 0.68 are added to Fig. 4. The value 0.68 corresponds to real material properties of the pipe at 20 °C. For Em/Ep > 0.68 the corresponding K and T values are closer to the solution for the homogeneous pipe and the elevated temperatures indicated. Note that the estimation of the stress intensity factor close to the interface needs a very fine mesh. Moreover, the validity of the small scale yielding conditions might be questionable. These facts complicate the application of numerical procedures on the K-values estimation for cracks growing in the vicinity and through the interface. Further, for a crack with its tip at the interface the stress singularity exponent p (p = ½ for a homogeneous body) is changed and p – 1/2, see [23–25]. Basically, in the presented cases, the differences between two- and three-dimensional models are much more pronounced than those caused by the heterogeneity of the pipe. Considering this fact, only the three-dimensional model of the composite cracked pipe is taken into account in the following. Details of the dependence of the stress intensity factor for a semi-elliptical inner crack in the three layer pipe, taking into consideration, the step change of the material properties at the interface between inner layer and the main pipe, are shown in Fig. 7. Using the results presented in the APPENDIX the effective value of the stress intensity factor for a crack with its tip at the interface can be defined and estimated. The critical inner pressure needed to initiate the crack propagation across the interface from protective layers to the main pipe can then be easily estimated. 3.3. Lifetime estimation The knowledge of a stress intensity factor is a key point for description of a crack kinetic and establishing of the critical state of a cracked pipe (e.g. the maximum load that the pipe can withstand without failure), see Eqs. (1) and (2). To this end, a finite element stress analysis was used to calculate the mode I stress intensity factor for an internal crack in a three layer composite plastic pipe consisting of two protective layers and the main pipe. In a composite pipe, a crack in the inner protective layer initially grows in all directions. As soon as the crack front reaches the interface it can stop or penetrate into the main pipe. Due to the non-homogeneous structure of the pipe, the resulting values of stress intensity factor are influenced by an elastic mismatch of both materials used and can be expressed by the ratio of Young’s modulus Ep/Em. The results presented in Figs. 4 and 7 show that for materials currently used for the type of composite pipes studied (i.e. for 0.68 < Ep/Em < 0.81) the differences between normalised values of the stress intensity


157

Fig. 7. Details of the dependence of stress intensity factor for a semi-elliptical inner crack in the three layer pipe considering the step change at the interface between the inner layer and the main pipe.

factor for the homogeneous and the composite three-layer pipe are less than 20%. The differences increase with the crack depths a/W. For cracks growing in the protective layer the KI values are smaller than those corresponding to the homogeneous pipe; see Fig. 7. This is connected with a lower degree of stiffness in the protective layer in comparison with the main pipe. Theoretically, the values of the stress intensity factor of the crack tip approaching the interface incline towards zero for cracks which reach the interface [26]. The lifetime of the composite pipe, tfrac = tini + tpp + tpm, consists of a part corresponding to the crack initiation, tini, crack propagation through the protective layer, tpp, and the time tpm corresponding to the crack propagation in the main pipe until its ultimate failure. In the case studied, the existence of an initial surface crack is presumed and the remaining (residual) lifetime tres = tpp + tpm is considered. The relation between tpp and tpm expresses the quality of a given protective layer. In the case of the proper material configuration of a composite pipe, the substantial part of the residual service life-time should correspond to crack growth through the protective layer, i.e. tpp tpm. For Ep/Em < 1 (i.e. for softer protective layers) the values of KI calculated in the protective layer are smaller than those calculated for a homogeneous pipe, see Fig. 7. The application of K-calibration curves obtained for the homogeneous pipe to assessment of the composite pipe leads in this case to a higher crack propagation rate and the estimation of critical failure pressure is conservative. By contrast, for the crack growing in the main pipe the values of K factor for the three layer composite pipe are greater than in the homogeneous pipe. The application of data based on the homogeneous pipe underestimates the crack propagation rate and failure estimations are non-conservative. Nevertheless, deciding quantity for lifetime is given by crack propagation (tpp tpm) in the protective layer and it is plausible to assume that the estimations of pipe failure based on homogeneous representation are conservative and applicable even for a composite pipe, at least in the cases of the materials studied. Another problem of multilayer pipe analysis considered here concerns cracks with their tip situated very close to a material interface. This situation corresponds to the configuration of a crack growing through the inner protective layer and approaching the interface with the main pipe. The problem of calculating the stress intensity factors for this configuration has been addressed by several authors, e.g. [23,26,27]. In the case studied, where the protective layer is softer than the main pipe (Ep/Em < 1.0), stress intensity factor decrease for the crack tip approaches the interface and the crack has a tendency to stop there. This tendency is connected with a discontinuity in K values; see Figs. 4 and 7 for the crack length corresponding to the interface (i.e. a/W = 0.25 for the pipe studied). To answer the question if the crack stays arrested at the interface or propagates through it into the main pipe, the approach based on strain energy density factor is used, see APPENDIX. Based on considerations described in [23] the effective value of the stress intensity factor, Keff, is estimated, see Fig. 7. By comparison with the threshold value of the main pipe the corresponding critical inner pressure for further crack propagation into the main pipe can be assessed. In comparison with homogeneous pipes, the present results for a composite pipe indicate an increase of the critical applied stress (i.e. the internal pressure P) in cases involving a softer protective layer on the stiffer main pipe. Cracks growing in the protective layer have a tendency to be stopped at the interface. These conclusions are valid only in the case of a perfect interface between particular layers, which is, in the case of a co-extruded pipe, considered valid. In the case of low adhesion between protective layer and main pipe damage mechanism is following: penetration of the protective layer by crack – complete or partial decohesion of the interface – re-initiation of the crack in the main pipe. This mechanism can be beneficial in the case of a stiff protective layer and soft main pipe (example of practical use – PE-100 main pipe with PP protective layer).

158


Fig. 8. C-type tension and bending specimens machined directly from three layer pipe [29].

Fig. 9. Comparison of biaxiality factor B for test specimens and cracked three layer pipe.

3.4. Constraint effect Knowledge of constraint facilitates the transferability of fracture toughness values obtained from laboratory specimens to engineering structures [9,19]. Generally, two parameter fracture mechanics approaches imply that the laboratory specimens must match the constraint of the structure. In the present contribution the crack tip constraint is quantified by the T-stress or equivalently by the biaxiality factor B; see Eq. (3). The fracture toughness or creep crack growth kinetics is usually measured on standard deeply-cracked (bend or compact tension) specimens. Their geometry ensures local plain strain conditions and high constraint in the region ahead of the crack tip at failure. For shallow cracks the crack tip constraint is reduced with an increase in the corresponding plastic zone size and consequently a material resistance to fracture is increased as well. As a result, the failure assessment of low constraint structural defect configurations may be over-conservative, e.g. [28]. In order to simplify estimation of the main pipe material fracture toughness, non-homogeneous test specimens cut directly from multilayer pipes were suggested and numerically analysed in [29], see Fig. 8. In the paper, the values of the corresponding stress intensity KI and biaxiality factors B are presented for test specimens taken from the three layer pipe studied. The results indicate that in the case of the usual experimental range (0.4 < a/W < 0.6) the biaxiality factor for all specimens considered in the paper is close to zero or positive; see Fig. 9 curves (1) and (2). This corresponds to the high level of the constraint in the specimens and ensures local plain strain conditions. To discuss the transferability of fracture toughness values obtained, from small laboratory specimens to engineering structures, the constraint levels need to be compared for both situations. To this end, the T-stress and, equivalently, the biaxiality factor B for the three layer cracked pipe studied has been compared with those of the testing specimens, see Fig. 9. It can be seen that the crack tip constraint is strongly reduced for cracks in the main pipe along the whole range of crack lengths studied. The constraint values of the cracked three layer pipe system are generally negative. This corresponds to the low level of the constraint. Transfer of the fracture toughness values or crack growth kinetics from the specimen suggested in [29] with a higher constraint level to the three layer pipe structure with lower constraint level is therefore conservative and increases the safety factor of the pipeline structure. The approach of two parameter fracture mechanics is descriptive but not predictive. From this point of view the approximation of B values calculated for a homogeneous pipe is an approximation sufficient to characterise the constraint level for non-homogeneous cases.


159

Fig. 10. Two-dimensional model of an external crack.

Fig. 11. Stress intensity factor values for external cracks.

The above conclusions hold for materials combinations and geometry corresponding to those considered in the paper, but some of the conclusions are general and hold even for other material combinations and geometries. Specifically, the results obtained can be used in cases where the materials differences (expressed by the ratio of corresponding Young modulus Ep/ Em) are in the interval from 0.68 to 1. Generally, for materials with greater elastic mismatch the B values are still negative if Ep/Em < 1. The results also hold for all self-similar geometries, i.e. for specimens cut from the pipes with the same ratio of diameter of the pipe and corresponding thickness of the main pipe and protective layers.

3.5. Internal versus external crack Contrary to internal cracks, outer cracks (see Fig. 10) are initiated mainly due to scratches on the outer free surface of the outer protective layer. The scratches are usually caused by poor handling during installations or by non-standard external load existing during service. Depending on the scratch geometry and loading, cracks can grow through the protective layer across the interface and propagate in the main pipe. Generally, the tangential stresses driving the crack propagation are smaller than those in the case of inner cracks. For this reason, minor cracks often do not propagate through the outer protective layer. More dangerous can be those cracks developed from long straight scratches oriented along the axial axes of the pipe. In this case the two dimensional model shown on Fig. 10 can be used for estimation of stress intensity factor values; see Fig. 11. Nevertheless, the problem of pipe damage caused by the existence of outer cracks needs to be approached in connection with the knowledge of the acting external load.

4. Conclusions Cracks initiated at the inner surface of composite three layer pipes and propagating through the inner protective layer are a significant source of pipe system failure. To assess their behaviour the values of the stress intensity factor need to be cal-


160

Table A1 Values of generalised (HI) and effective (Keff) stress intensity factor for a crack with its tip at the interface between protective and main pipe materials. The results are obtained for the critical distance defined by Eq. (A5). Ep/Em (ÿ)

p (ÿ)

HI (MPa mp)

Keff (MPa m1/2)

0.68 0.75 0.81 1

0.464 0.473 0.479 0.5

0.491 0.459 0.439 0.369

0.331 0.341 0.347 0.369

culated. The controlling variable for stress distribution in the three layer pipe is the ratio Ep/Em. For type of pipes studied (WAVIN TS pipe) Ep < Em and the ratio Ep/Em = 0.68. The basic results can be expressed in the following way: – For a crack initiating at the inner surface of the protective layer 2D and 3D analysis give quantitatively different results. To assess the stress intensity factor for reasonable life-time assessment the 3D approach needs to be used. – Homogeneous and non-homogeneous analyses give roughly similar results for the configuration studied (differences between values of the stress intensity factor for the homogeneous and non-homogenous pipe are less than 20%). – The lesser the value Ep/Em the stronger the influence of materials mismatch and interfaces on the stress distribution and on the stress intensity factor values. – It is possible to derive basic fracture mechanics parameters from simpler homogeneous cases. For shorter cracks growing in the protective layer the estimation of the stress intensity factor based on the homogeneous solution gives a conservative estimation of service lifetime. – The estimation of the stress intensity factor in the main pipe based on a homogeneous solution gives non-conservative results. This is especially applicable in the case of longer cracks. – Application of the constraint based on two parameter fracture mechanics to the problems studied show that the transferability of fracture toughness values and creep crack growth kinetics obtained from the small testing specimens to the analysis of three-layer pipes system is conservative.

Acknowledgements First of all, authors would like to acknowledge to Prof. RNDr. Zdeneˇk Knésl, CSc. (1940–2012) for his outstanding contribution during preparation of this paper. He was leading researcher mainly in the field of general stress concentrators working all his life at the Institute of Physics of Materials Academy of Sciences of the Czech Republic. This investigation was supported through the project P108/12/1560 of the Czech Science Foundation and by the Specific academic research grant of the Ministry of Education, Youth and Sports of the Czech Republic FSI-J-13-2046 provided to Brno University of Technology, Faculty of Mechanical Engineering.

Appendix A. In the case of a crack with its tip at the interface between two different materials the type of the stress singularity is changed. Specifically the value of the stress singularity exponent p which is ½ for a crack in homogeneous material is changed and depends on the elastic mismatch of both materials. This fact complicates the application of a linear elastic fracture mechanics approach and instead of stress intensity factor K the generalised stress intensity factor H needs to be used, see [27,30]. Stress distribution close to the crack tip (for a crack perpendicular to the bi-material interface, see Fig. A1 can be expressed in the following form:

H

I ffi rp fij ðp; a; bÞ; rij ¼ pffiffiffiffiffiffi 2p

ðA1Þ

where HI is a generalised stress intensity factor, r radial distance from the crack tip and a; b are composite parameters. Composite parameters are given by Young’s moduli (Ep, Em) and Poisson’s ratios (mp, mm) of both materials, see [23] for details.

Fig. A1. Crack touching the interface between two materials.


161

Based on strain energy density factor S introduced by Sih [31], the relation between stress intensity factor KI and generalised stress intensity factor HI was found [23,32]. Then the value of the effective stress intensity factor (Keff) was introduced; see [23] for details. The strain energy density factor S can be related to KI for mode I and plane strain conditions as follows:

S¼

ð1 þ mÞð1 ÿ 2mÞK 2I ; 2pE

ðA2Þ

where E and m are elastic material properties of the homogenous body. A similar relation derived for generalised strain energy density factor R for the case of a crack perpendicular to the bi-material interface can be written in the form:

R ¼ r1ÿ2p

ð1 þ mm Þð1 ÿ pÞ2 ð4ð1 ÿ 2mm Þ þ ðg R ÿ pÞ2 ÞH2I 2pEm

ðA3Þ

where HI is a corresponding generalised stress intensity factor, r radial distance from the crack tip and gR is a function of composite parameters and stress singularity exponent; see [23] for details. Assuming equality of S (Eq. (A2)) and R (Eq. (A3)), the effective value of the stress intensity factor Keff for a crack touching the interface can be defined as [23]:

K eff ¼

2

1 ÿ 2m m

2

!ÿ12

ð1 ÿ pÞ ð4ð1 ÿ 2mm Þ þ ðg R ÿ pÞ Þ

1ÿp

r 2C HI :

ðA4Þ

The choice of the critical distance rC in front of the crack tip depends on the mechanisms of crack propagation. Usually, it is related to the process zone in the main pipe material. In our case the size of the plastic zone in front of the crack tip at the moment of the crack penetration for plane strain conditions can be expressed as:

rC ¼

2 1 K th ; 6p r0

ðA5Þ

where Kth is threshold value for the crack propagation and r0 is the yield stress of a given material. The value of the critical distance corresponding to the size of the process zone in front of the crack tip has a relatively small influence on the effective stress intensity factor in the cases where the ratio of Young’s moduli Ep/Em ranges from 1 to 0.68. Note that the dependence of Keff on the critical distance rC is very slight for given ratio Ep/Em, see [33] for details. The values of HI and corresponding values of Keff for material combinations used in the paper are summarised in Table A1 (r0 = 20 MPa, Kth = 0.2 MPa m1/2). References [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27]

Janson LE. Plastic pipes for water supply and sewage disposal. Borealis, Stockholm; 1999. Farshad M. Determination of the long-term hydrostatic strength of multilayer pipes. Polym Test 2005;24:1041–8. Frank A, Pinter G, Lang RW. Prediction of the remaining lifetime of polyethylene pipes after up to 30 years in use. Polym Test 2009;28:737–45. Chapman DN, Rogers CDF, Burd HJ, Norris PM, Milligan GWE. Research needs for new construction using trenchless technologies. Tunn Undergr Sp Technol 2007;22:491–502. Andena L, Rink M, Frassine R, Corrieri R. A fracture mechanics approach for the prediction of the failure time of polybutene pipes. Eng Fract Mech 2009;18:2666–77. Lu X, Brown N. A test for slow crack growth failure in polyethylene under a constant load. Polyme Test 1992;11:309–19. Krishnaswamy RK. Analysis of ductile and brittle failures from creep rupture testing of high-density polyethylene (HDPE) pipes. Polymer 2005;46:11664–72. Frank A, Freimann W, Pinter G, Lang RW. A fracture mechanics concept for the accelerated characterization of creep crack growth in PE-HD pipe grades. Eng Fract Mech 2009;76(18):2780–7. Anderson TL. Fracture mechanics – fundamentals and application. Boca Raton, Florida, USA: CRC Press Inc.; 1991. Murakami Y. Stress intensity factors handbook. Pergamon Press; 1987. Vols. 1–5. Hutarˇ P, Ševcˇík M, Náhlík L, Pinter G, Frank A, Mitev I. A numerical methodology for lifetime estimation of HDPE pressure pipes. Eng Fract Mech 2011;78:3049–58. Hutarˇ P, Náhlík L, Šestáková L, Ševcˇík M, Knésl Z, Nezbedová E. A fracture mechanics assessment of surface cracks existing in protective layers of multilayer composite pipes. Compos Struct 2010;92:1120–5. Zouhar M, Vallet L, Hutarˇ P, Náhlík L. Life time estimation of the multilayer plastic pipes. Key Eng Mater 2011;452–453:33–6. Henschell RD, Shaw KG. Crack tip elements are unnecessary. Int J Numer Methods Eng 1975;9:495–509. Owen DR, Fawkes AJ. Engineering fracture mechanics: numerical method and applications. Swansea, U.K.: Pineridge Press Ltd.; 1983. Leevers PS, Radon JC. Inherent stress biaxiality in various fracture specimen geometries. Int J Fract 1982;19:311–25. Hutarˇ P, Zouhar M, Nezbedová E, Sadílek J, Zˇídek J, Náhlík L, et al. Constraint effect on the slow crack growth in polyethylene. Int J Struct Integr 2012;3(2):118–26. Hutarˇ P, Seitl S, Knésl Z. Effect of constraint on fatigue crack propagation near threshold in medium carbon steel. Comput Mater Sci 2006;37:51–7. Gao Xiaosheng, Dodds Jr RH. An engineering approach to assess constraint effects on cleavage fracture toughness. Eng Fract Mech 2000;68(3):263–83. Schouwenaars R, Jacobo VH, Ramos E, Ortiz A. Slow crack growth and failure induced by manufacturing defects in HDPE-tubes. Eng Fail Anal 2007;14:1124–34. Mencˇík J. Mechanics of components with treated or coated surfaces. Boston: Kluwer Academic Publishers; 1995. Zouhar M, Hutarˇ P, Náhlík L, Knésl Z. Basic modes of crack propagation through the interface in a polymer layered structure. Key Eng Mater 2012;488– 489:162–5. Náhlík L, Šestáková L, Hutarˇ P. Estimation of apparent fracture toughness of ceramic laminates. Comput Mater Sci 2009;46:614–20. Lin KY, Mar JW. Finite element analysis of stress intensity factors for cracks in bi-material interface. Int J Fract 1976;12:521–31. Meguid SA, Tan M, Zhu ZH. Analysis of cracks perpendicular to bimaterial interfaces using a novel finite element. Int J Fract 1995;73:1–23. Romeo A, Ballarini R. A crack very close to a bi-material interface. Trans ASME 1995;32:614–9. Náhlík L, Šestáková L, Hutarˇ P, Barmejo R. Prediction of crack propagation in layered ceramics with strong interfaces. Eng Fract Mech 2010;77:2192–9.

162


[28] Sherry AH, Wilkes MA, Beardsmore DW, Lidbury DPG. Material constraint parameters for the assessment of shallow defects in structural componentsPart I: parameter solutions. Eng Fract Mech 2005;72:2373–95. [29] Hutarˇ P, Šestáková L, Knésl Z, Nezbedová E, Náhlík L. Special fracture mechanics specimens for multilayer plastic pipes testing. Polym Test 2009;28:785–92. [30] Knésl Z. A criterion of V notch stability. Int J Fract 1991;48:79–83. [31] Sih GC. A special theory of crack propagation, mechanics of fracture. Leyden: Noordhoff International Publishing; 1977. [32] Hutarˇ P, Náhlík L, Knésl Z. The effect of a free surface on fatigue crack behaviour. Int J Fatigue 2010;32:1265–9. [33] Zouhar M, Hutarˇ P, Náhlík L, Ševcˇík M, Knésl Z. The effect of critical distance in stability condition for the crack at the interface between two materials. Eng Mech 2012;19:155–64.

Příloha F

PŘÍLOHA F Úplné znění vybrané publikace vztahující se k tématu disertační práce: Hutař P., Ševčík M., Náhlík L., Zouhar M., Knésl Z.; Assessment of surface crack stability in laminates, Mechanics of Composite Materials, Vol. 50, No. 1, pp. 9-16, 2014, (IF = 0,421)

strana

145

strana

146

0HFKDQLFVRI&RPSRVLWH0DWHULDOV9RO1R0DUFK5XVVLDQ2ULJLQDO9RO1R-DQXDU\)HEUXDU\

ASSESSMENT OF THE STABILITY OF A SURFACE CRACK IN LAMINATES

3+XWDĜ1*0âHYþtN1/1iKOtN10=RXKDU2 and Z. Knésl2

Keywords: periodically layered composite, interface crack, generalized stress intensity factor, fracture mechanics of interface 7KHFULWLFDOFRQ¿JXUDWLRQRIDFUDFNDUUHVWHGDWDELPDWHULDOLQWHUIDFHLVHVWLPDWHG7KHVWDELOLW\RIWKHFUDFN LQWKHVRIWPDWHULDOZKRVHIURQWLVVLWXDWHGDWWKHLQWHUIDFHEHWZHHQVRIWDQGVWLIIPDWHULDOVDQGZKRJURZV FRQWLQXRXVO\VLGHZD\VLVDQDO\]HG$ODPLQDWHZLWKDQ$%$%VWUXFWXUHFRQWDLQLQJDVXUIDFHFUDFNLVFRQVLGHUHG LQWKLVVWXG\7KHHIIHFWLYHYDOXHRIWKHVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUIRUWKHFHQWUDOVHJPHQWRIWKHFUDFNIURQWO\LQJ DWWKHPDWHULDOLQWHUIDFHLVFDOFXODWHGIRUYDULRXVJHRPHWULFDODQGPDWHULDOFRQ¿JXUDWLRQV&RPSDULQJWKH HIIHFWLYHYDOXHRIWKHIDFWRUZLWKWKHFRUUHVSRQGLQJWKUHVKROGYDOXHVWKHVWDELOLW\RIWKHFRQ¿JXUDWLRQVWXGLHG FDQEHDVVHVVHG,WLVIRXQGWKDWD'VROXWLRQIRUHVWLPDWLQJWKHHIIHFWLYHVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRULVQHFHVVDU\WR GHVFULEHWKHFUDFNEHKDYLRUDWWKHLQWHUIDFHHYHQIRUDUHODWLYHO\VKDOORZFUDFN7KHUHVXOWVSUHVHQWHGFDQEH KHOSIXOIRUWKHLQVSHFWLRQRIODPHOODUVWUXFWXUHV

1. Introduction Multilayered composite materials are widely used in modern engineering practice due to their effective material SURSHUWLHV>@7KHOD\XSRIWZRRUPRUHGLIIHUHQWKRPRJHQRXVOD\HUV¿QDOO\OHDGVWRDQRUWKRWURSLFVWUXFWXUHZLWKH[FHOOHQW mechanical properties, such as a high impact resistance, low weight, etc. [2, 3]. The drawback of some laminates is their low IUDFWXUHWRXJKQHVV&ULWLFDOIRUODPLQDWHIDLOXUHLVWKHEHKDYLRURIVXUIDFHFUDFNVSURSDJDWLQJWKURXJKWKH¿UVWOD\HUDQGWKHLU interaction with the corresponding interface. Once a crack has propagated through the material interface from a compliant material to a stiff one, the failure of the whole laminate can occur.

&(,7(&,30,QVWLWXWHRI3K\VLFVRI0DWHULDOVäLåNRYD%UQR&]HFK5HSXEOLF ,QVWLWXWHRI3K\VLFVRI0DWHULDOVäLåNRYD%UQR&]HFK5HSXEOLF * &RUUHVSRQGLQJDXWKRUWHOID[HPDLOKXWDU#LSPF] 1 2

5XVVLDQWUDQVODWLRQSXEOLVKHGLQ0HNKDQLND.RPSR]LWQ\NK0DWHULDORY9RO1RSS-DQXDU\ )HEUXDU\2ULJLQDODUWLFOHVXEPLWWHG0DUFKUHYLVLRQVXEPLWWHG2FWREHU 6SULQJHU6FLHQFH%XVLQHVV0HGLD1HZ
9

2 (EB, vB) 1 (EA, vA)

y x

2W 3

2H

2b

2b

t

tA

tA

tB

tB

z

t

)LJ*HRPHWULFDOFRQ¿JXUDWLRQRIWKHODPLQDWHVWXGLHGZKLFKFRQWDLQVDVXUIDFHFUDFNDUUHVWHGDW WKHLQWHUIDFHRIPDWHULDOV$ DQG% ²FRXSOHGYHUWLFDOGLVSODFHPHQWV 7KHH[LVWHQFHRIDPDWHULDOLQWHUIDFHZLWKDGLVFRQWLQXRXVFKDQJHLQPDWHULDOSURSHUWLHVKDVDVWURQJLQÀXHQFHRQWKH VWUHVVGLVWULEXWLRQDFURVVWKHODPLQDWHDQGFRQVHTXHQWO\RQWKHEHKDYLRURIDFUDFN0RVWDXWKRUVGHVFULEHWKHFUDFNVWUHVV¿HOG RUFUDFNEHKDYLRUE\XVLQJWZRGLPHQVLRQDO' QXPHULFDOPRGHOVVHHHJ>@,QVRPHFDVHVWKHGDPDJHRIDFRPSRVLWH originates from small surface cracks, which is a purely three-dimensional (3D) problem. Little work has been carried out on three-dimensional models of cracked laminates apart from those with specially shaped cracks [9-11]. In [11], a rectangular crack terminating at the interface of a bimaterial subjected to the normal loading mode was studied. The stress intensity factor for an inclined elliptical crack near the interface of a bimaterial was studied in [10], but the question (which arose from this study) as to whether a crack with its front at the interface stays arrested at the interface or propagates through the interface has not been answered. To estimate the strength of layered bodies and their fracture behavior, the stress distribution for a crack close to the interface must be known. A crack with its front at the interface of two dissimilar materials should be described by a generalL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUEHFDXVHWKHVWUHVVVLQJXODULW\H[SRQHQWp (p IRUDFUDFNLQDKRPRJHQRXVERG\ LVGLIIHUHQW IURPDQGGHSHQGVRQWKHHODVWLFPLVPDWFKRIERWKPDWHULDOV>@)RUH[DPSOHWKHDSSDUHQWIUDFWXUHWRXJKQHVVRI a layered composite then can be estimated by using appropriate criteria [14]. In the present paper, a numerical analysis of a crack arrested at the interface between two dissimilar homogenous materials is performed. The crack face is normal both to the tension load and to the material interface, so that only the mode ,ORDGLQJLVFRQVLGHUHG7KHODPLQDWHOD\XSVWUXFWXUHLV$%$%DVVKRZQLQ)LJ The shape of crack front in the material A is estimated numerically under the assumption that the stress intensity factor KILVFRQVWDQWDORQJWKHFUDFNIURQW7KHVWUHVV¿HOGDURXQGWKHFUDFNIURQWDWWKHPDWHULDOLQWHUIDFHLVGHVFULEHGXVLQJWKH JHQHUDOL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUHI8WLOL]LQJWKHFRQFHSWRIWKHVWUDLQHQHUJ\GHQVLW\IDFWRUZHFDQDVVHVVZKHWKHUWKHFUDFN stops at the material interface or propagates through the second layer of the laminate. The main aim of this work is to study WKHLQÀXHQFHRIWKHWKLFNQHVVUDWLRtAt%DQGRIWKHUDWLRRI
10

1

2 MA MB

MA 3 Fig. 2. FE mesh with details of the cracked area; only one quarter of the specimen was modeled. ²V\PPHWULFERXQGDU\FRQGLWLRQV²FUDFNIURQWDQG²FUDFNVXUIDFH

MA MB

B*

MA

A

B KI

1 C*

2b

a(tA)

HI (Keff)

C

)LJ*HRPHWULFDOFRQ¿JXUDWLRQRIDFUDFNDUUHVWHGDWWKHELPDWHULDOLQWHUIDFH²FUDFNVXUIDFH

2. Numerical Model $ODPLQDWHZLWKDQ$%$%VWUXFWXUHFRQWDLQLQJDVXUIDFHFUDFNLVFRQVLGHUHGLQWKLVVWXG\,WVJHRPHWULFDOFRQ¿JXUDWLRQ is shown in Fig. 1. The specimen width is 2W = 300 mm and height 2H = 400 mm. The specimen is loaded by a tension load V acting on edge faces with coupled vertical displacements (see Fig. 1). Two different thicknesses of the lamella A, tA = 1 and PPZHUHFRQVLGHUHG3HUIHFWDGKHVLRQEHWZHHQDOOODPHOODVLVDVVXPHG%RWKPDWHULDOV0A and M%) are considered to be KRPRJHQRXVLVRWURSLFDQGOLQHDUO\HODVWLFZLWK
part $%& of crack front was considered. The model presented contains the crack shape assumption corresponding to Fig. 3, DQGLQWKHIROORZLQJWKHVLGHZD\H[WHQVLRQRIWKHFUDFNIURQWWKHSDUW%& LVDQDO\]HGQXPHULFDOO\7KHFRUUHVSRQGLQJHIIHFtive stress intensity factor Keff for the part $% of crack front was estimated as a function of the length 2E of the surface crack. The crack front between the points % and & is located in the homogenous material MA+RZHYHUWKHVWUHVV¿HOGLQ the vicinity of the point % is affected by the presence of bimaterial interface, and the additional stress singularity at the point &FDXVHGE\WKHHIIHFWVRIIUHHVXUIDFHDOVRLQÀXHQFHVWKHVWUHVV¿HOG>@,QZKDWIROORZVWKHUHWDUGDWLRQRIJURZWKRI the crack in the vicinity of the free surface (the point &) and the interface (the point %) is not considered, and it is presumed that the behavior of the segment %& is predominantly controlled by the inner part of the crack front, where the stress intensity factor KILVZHOOGH¿QHGVHH)LJ 7KHGLUHFWPHWKRGIRUHVWLPDWLQJWKHVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRU>@ZDVDSSOLHG$VLPLODU DVVXPSWLRQZDVPDGHIRUDQDO\]LQJWKHVHJPHQW%%* of crack front. The stability conditions due to the stepwise change in PDWHULDOSURSHUWLHVDWWKHLQWHUIDFHZHUHGHVFULEHGE\WKHJHQHUDOL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRU

3. Stability Conditions To answer the question whether the crack segment %%* stays arrested at the interface or will propagate through it LQWRWKHVHFRQGPDWHULDOWKHPHWKRGRORJ\RIWKHJHQHUDOL]HGIUDFWXUHPHFKDQLFV>@ZDVXWLOL]HG7KHIUDFWXUHSDUDPHWHU XVHGLQWKLVVWXG\LVWKHJHQHUDOL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUHI. In this case, the stress distribution around the crack tip (in the FDVHRIDFUDFNSHUSHQGLFXODUWRWKHELPDWHULDOLQWHUIDFH FDQEHH[SUHVVHGLQWKHIRUP

σ ij =

HI 2π

r − p fij (θ , p, EA , EB ,ν A ,ν B ) ,

where HILVWKHJHQHUDOL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUpLVWKHVWUHVVVLQJXODULW\H[SRQHQWr and Tare polar coordinates with their origin at the crack tip, and EA, E%, QA, and Q% are the elastic characteristics of laminate materials [14]. The stress singularity H[SRQHQWJHQHUDOO\OLHVLQWKHLQWHUYDOpDQGGHSHQGVRQWKHPLVPDWFKRIHODVWLFSURSHUWLHVRIERWKPDWHULDOV7RDYRLG WKLVGLI¿FXOW\FULWHULDIRUUHFRPSXWDWLRQEHWZHHQHI and the effective value of the stress intensity factor Keff were developed, VHHHJ>@,QRXUFDVHDFULWHULRQEDVHGRQ6LK¶VVWUDLQHQHUJ\GHQVLW\FRQFHSW>@ZDVXVHG7KHEDVLFDVVXPSWLRQLV that the behavior of two propagating cracks is similar if the strain energy density factor S close to the crack tip is the same ( S ( K eff ) S ( H I )). 7KHQWKHUHODWLRQEHWZHHQWKHJHQHUDOL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUHI and the effective value of the stress intensity factor KeffFDQEHH[SUHVVHGLQWKHIRUP

K eff

  1 − 2ν B   =  2 2  (1 − p )  4(1 − 2ν B ) + ( g r − p )  

−1 2 1 −p d2 H

I,

(1)

where dLVWKHFULWLFDOGLVWDQFHFRUUHVSRQGLQJWRWKHVL]HRIWKHSODVWLF]RQHDKHDGRIFUDFNWLSpLVWKHVWUHVVVLQJXODULW\H[SRnent, Q% is the Poisson ratio of the material in the front of crack tip, and gr is a dimensionless parameter of material constants [14]. The corresponding criterion of stability of the crack at the material interface takes the form K eff K th ,

where Kth is the threshold value of the stress intensity factor for a particular mechanism of crack propagation in the material M% (the second layer).

12

MB

B 2

a(tA)

EA/EB

MA

1 C 2b

Fig. 4. The estimated crack front shapes of the segment %&IRUGLIIHUHQWUDWLRVRI
a

KI ____ a

2.5

0.8

AB

2.0

0.6

AB

1.5

0.4

1.0

0.2

b/a 0

b

KI ____ a

2

4

6

8

10

0.5 0

b/a 2

4

6

8

10

)LJ6WUHVVLQWHQVLW\IDFWRUHVWLPDWHGDWWKHFUDFNIURQWVHJPHQW%&) for biomaterials with tAt% = 0.1 (a) and 1.0 (b) and EAE% = 0.1 (¸), 0.2 (Ÿ), 0.5 (Ƒ DQGƔ 4. Results The shape of the segment %& was estimated under the assumption that the stress intensity factor is constant along the crack front [20]. The variation in the estimated stress intensity factor along the particular crack front was smaller than 5%. The shape of crack front and the length of the segment %%*DUHSULPDULO\LQÀXHQFHGE\WKHUDWLREAE%RI
а

KI ____ 0.5 a

2.0

b

KI ____ a

A BAB

0.4

ABAB

1.5

0.3 1.0 0.2 0.5

0.1

b/a 0

2

4

6

8

10

b/a 0

2

4

6

8

10

)LJ7KHVDPHIRUODPHOODUVWUXFWXUHVZLWKIRXUODPHOODV

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0

а

K ____ eff a

2.5

b

K ____ eff a AB

2.0

AB

1.5 1.0

b/a

1 2

4

6

8

10

0.5

b/a

1 0

2

4

6

8

10

)LJ7KHHIIHFWLYHVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUDWWKHLQWHUIDFHWKHSRLQW$ IRUELRPDWHULDOVZLWK tAt% = 0.1 (a) and 1.0 (b) and EAE% = 0.1(¸), 0.2 (Ÿ). 0.5 (Ƒ DQGƔ ²WKH'VROXWLRQ

а

K ____ eff a 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0

AB

b/a

1 2

4

6

b

K ____ eff a

8

10

1.4 ABAB 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0

2

b/a

1 4

6

8

10

)LJ7KHVDPHIRUODPHOODUVWUXFWXUHVZLWKIRXUODPHOODV To answer the question whether the crack segment %%* stays arrested at the interface during the sideway propagation RUZLOOSURSDJDWHWKURXJKLWLQWRWKHVHFRQGPDWHULDOWKHPHWKRGRORJ\RIWKHJHQHUDOL]HGVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUHI described in 6HFWZDVHPSOR\HGHIZDVHVWLPDWHGE\WKHGLUHFWPHWKRG>@DWWKHSRLQW$LQWKHPLGGOHRIWKHVHJPHQW%%*). Then the effective stress intensity factor Keff was determined by Eq. (1). The estimated effective stress intensity factor Keff for bimateriDOVWZRODPHOODV LVVKRZQLQ)LJ $VVHHQWKHHIIHFWLYHVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUDOVRJURZVZLWKH[WHQVLRQRIWKHVXUIDFHFUDFN,QWKHFDVHZLWKtAt% = 0.1, saturated values of effective stress intensity factor (corresponding to a 2D solution) were obtained at Ea > 5 for all the values of EAE% considered. In the case with tAt% = 1, the surface length E of the crack should be much greater than 10a to obtain a VWDELOL]HGHIIHFWLYHVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRU7KLVUHVXOWLVTXDOLWDWLYHO\VLPLODUWRWKDWIRUKI estimated for the segment %&. The estimated effective stress intensity factor KeffIRUIRXUODPHOODVLVVKRZQLQ)LJ The saturation of the effective stress intensity factor estimated for the crack segment %%* also depends on the ratio EAE% and the relative crack depth at7KH¿QDOUHODWLRQEHWZHHQWKHUHODWLYHFUDFNGHSWKat and (Ea)sat, where (Ea)sat cor14

60

(b/a)sat

50 40

a

30

2b 20

t

10

a/t 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fig. 9. The relative crack depths at vs. (Ea)sat at EAE% = 0.1 (¸), 0.2 (Ÿ), 0.5 (Ƒ DQGƔ responds to saturated values of the effective stress intensity factor, for various values of EAE% is shown in Fig. 9. As seen, WKHUDWLREa)sat grows sharply when the relative crack depth at and EAE% increase. Therefore, a 3D simulation is necessary for an accurate estimation of the effective stress intensity factor in the crack segment %%* even for a relatively shallow crack (e.g., at at = 0.5 and EAE% = 0.5, the 2D solution corresponds to a crack with an aspect ratio of 35). 5. Conclusions 7KLVFRQWULEXWLRQGHDOVZLWKHVWLPDWLRQRIDFULWLFDOFUDFNFRQ¿JXUDWLRQDUUHVWHGDWDELPDWHULDOLQWHUIDFH7KHVWDELOity of a crack in the soft material, whose front is situated along the interface between soft and stiff materials and which grows FRQWLQXRXVO\VLGHZD\VLVDQDO\]HG$ODPLQDWHZLWKDQ$%$%VWUXFWXUHFRQWDLQLQJDVXUIDFHFUDFNLVFRQVLGHUHGLQWKHVWXG\ The effective value of the stress intensity factor for the central segment of crack front was calculated for different JHRPHWULFDODQGPDWHULDOFRQ¿JXUDWLRQV,QRXUFDVHDFULWHULRQEDVHGRQ6LK¶VVWUDLQHQHUJ\GHQVLW\FRQFHSWZDVXVHGIRUUHFRPSXWDWLRQRIWKHJHQHUDOL]HGDQGHIIHFWLYHVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUV&RPSDULQJWKHHIIHFWLYHYDOXHRIWKHVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRU ZLWKWKHFRUUHVSRQGLQJWKUHVKROGYDOXHVWKHVWDELOLW\RIWKHFRQ¿JXUDWLRQVWXGLHGFDQEHDVVHVVHGIRUYDULRXVW\SHVRIORDGLQJ It is shown that the effective stress intensity factor Keff at the central segment of a crack arrested at the interface increases with growing surface length 2E of the crack. In the case with tAt% = 0.1, saturated values of the effective stress intensity factor (corresponding to the 2D solution with a difference smaller than 10%) was obtained at ED!IRUDOOWKHYDOXHVRI
15

REFERENCES /.XFKHURYDQG05\YNLQ³(ODVWLFVROXWLRQVIRUDSHULRGLFDOO\OD\HUHGVWULSZLWKSHUIHFWERQGLQJRUDQLQWHUIDFH FUDFN´,QW-RI6ROLGVDQG6WUXFWXUHV41 1&KDZODDQG..&KDZOD0HWDO0DWUL[&RPSRVLWHV6SULQJHU1HZ

Příloha G

PŘÍLOHA G Úplné znění vybrané publikace vztahující se k tématu disertační práce: Zouhar, M., Vallet, L., Hutař, P., Náhlík, L.; Life time estimation of the multilayer plastic pipes, Key Engineering Materials, Vols. 452-543, pp. 33-36, 2011

strana

155

strana

156

.H\(QJLQHHULQJ0DWHULDOV9ROV SS 7UDQV7HFK3XEOLFDWLRQV6ZLW]HUODQG GRLZZZVFLHQWLILFQHW.(0

/LIHWLPHHVWLPDWLRQRIWKHPXOWLOD\HUSODVWLFSLSHV 0LFKDO=RXKDUD/DXUD9DOOHWE3DYHO+XWDĜF/XERã1iKOtNG

,QVWLWXWHRI3K\VLFVRI0DWHULDOVäLåNRYD%UQR&]HFK5HSXEOLF

%UQR8QLYHUVLW\RI7HFKQRORJ\7HFKQLFNi%UQR&]HFK5HSXEOLF

,QVWLWXW)UDQFDLVGH0pFDQLTXH$YDQFpH&DPSXVGH&OHUPRQW)HUUDQG/HV&p]HDX[±%3 $XELHUH&('(;)UDQFH D

]RXKDU#LSPF]EODXUDYDOOHW#LIPDIUFKXWDU#LSPF]GQDKOLN#LSPF]

.H\ZRUGVSRO\PHUSLSHVKLJKGHQVLW\SRO\HWK\OHQHVORZFUDFNJURZWKIUDFWXUHSDUDPHWHUV

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

$GYDQFHVLQ)UDFWXUHDQG'DPDJH0HFKDQLFV,;

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
)URPWDEOHSUHVHQWHGLWLVYLVLEOHWKDWUDWLREHWZHHQHODVWLFPRGXOLLVFKDQJHGZLWKWHPSHUDWXUHDQG VWUHVVVWDWHLQWKHQRQKRPRJHQRXVSLSHLVWHPSHUDWXUHGHSHQGHQW7KHUHIRUH.FDOLEUDWLRQRIWKH SLSHLVOHVVJHQHUDOWKDQLQKRPRJHQRXVFDVH

)LJ)LQLWHHOHPHQWPRGHORIWKHWKUHHOD\HUSLSHXVHGIRUFDOFXODWLRQV

.H\(QJLQHHULQJ0DWHULDOV9ROV

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æDö . , = pD I ç ÷ Z èZø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

$GYDQFHVLQ)UDFWXUHDQG'DPDJH0HFKDQLFV,;

KRPRJHQRXV VWUXFWXUH WKH UHVXOWV RI WKH .FDOLEUDWLRQ GHSHQGV RQ WKH UDWLR EHWZHHQ HODVWLF FRQVWDQWVVHH7DE1HYHUWKHOHVVGLIIHUHQFHEHWZHHQVWUHVVLQWHQVLW\IDFWRUVIRUKRPRJHQRXVFDVH DQGQRQKRPRJHQRXVSLSHLV VPDOOHUWKDQ DQGIRUURXJKHVWLPDWLRQ RIWKHSLSHOLIHWLPHLWLV SRVVLEOH WR XVH KRPRJHQRXV SLSH DV UHIHUHQFH YDOXHV ,QSODQH FRQVWUDLQW ZDV HYDOXDWHG EDVHG RQ ELD[LDOLW\ IDFWRU>@ 7× p×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iKOLN/âHVWDNRYi3+XWDĜ&RPSXWDWLRQDO0DWHULDOV6FLHQFH9RO S >@ 3+XWDĜ/1iKOtN/âHVWDNRYiDWDO&RPSRVLWH6WUXFWXUHV9RO S >@36/HHYHUV-&5DGRQ,QWHUQDWLRQDO-RXUQDORI)UDFWXUH9RO S >@ 3+XWDĜ/âHVWDNRYi=.QpVODWDO3RO\PHU7HVWLQJ9RO S

Příloha H

PŘÍLOHA H Úplné znění vybrané publikace vztahující se k tématu disertační práce: Zouhar, M., Hutař, P., Náhlík, L., Knésl, Z.; Basic modes of crack propagation through an interface in polymer layered structure, Key Engineering Materials, Vols. 488-489, pp.162-165, 2012

strana

161

strana

162

.H\(QJLQHHULQJ0DWHULDOV9ROV SS 2QOLQHDYDLODEOHVLQFH6HSDWZZZVFLHQWLILFQHW 7UDQV7HFK3XEOLFDWLRQV6ZLW]HUODQG GRLZZZVFLHQWLILFQHW.(0

! " !

#

(

#

!

$! ! #

-

! $ #.

/$ .

*

1 ,23 *

1 ,23 *

2

"

! %&

! ! 4

#$% "

#&% '

' '' (

)*

+ ,

' ' '0 (

)*

+ ,

1 ,23 *

/ 4

2

$

, $2

! 1 ,23 * ,,

#(% )

#*%

" #+ ,% #-% . $

& / 0 $1&

7 23

$ 8

3$ #$2% #& $2%

/ 4

$1 &

#, $2% 5

6

$OOULJKWVUHVHUYHG1RSDUWRIFRQWHQWVRIWKLVSDSHUPD\EHUHSURGXFHGRUWUDQVPLWWHGLQDQ\IRUPRUE\DQ\PHDQVZLWKRXWWKHZULWWHQSHUPLVVLRQRI773 ZZZWWSQHW,'


/

4 #$2%. &

$

$ &

$ & *$ &

$ &

&

&

/ #$$% #$2% . ( 6 (

/

&:

' 9

(:

. *

) 7

& . 4 $$2 4 $2

4&+ 4+

8

/

/ 2*

$+ 4 2 & ";

$1&

#$&%

7

& )

;

<

4

4 2 (+ 4 (2 ";

$GYDQFHVLQ)UDFWXUHDQG'DPDJH0HFKDQLFV;

/ 4 $ &= $ >

=

7 7

7

(

( ? ( #$(%

/

7

(

7 7

( &:

/ 7 * (:

7

(

&: (:

53;

<,=<2 > 53;

92

<,=<2 >

53'

:9 2

!

<,=<2 > 38

538

53'

536

536

53:

53

53

5 5

7

(: &:

6

537

&

538

5

38

*

7

5

5 !"

:5

4$&

(

7

6 *

/ &

3$

85

+ @ &

7

65

7

+ 4$

+


53; = > 3 = > 3' 92

53'

42A >

7

538 536

&:

53: 5

7

5

5 !"

:5

65

85

> @ &

/

42A

.

&: B

<

/

7

C $+

&: $2>12-12&A?/ E 7

8

7 B "

#$% G B ! #&% 8

8 E

"

#(% : ' '

H B

#>% ! "

8

P

#$2% ! LM N #$&% ; D

! O .? ! O

? "

.? 7

M

M ; D

P. G

M ; D

*+$ A( $--+

A> $--(

(2+

8

J

(+ &22>

+(

"

8 J

J AA &2$2

" -& &2$2

P. ?

" &*

. L E? &22- 8'L. $ >$+>A (&A Q

$

-$$

J

J

#$(% H " RN . " $-->

F

J

(, $-A$

E J

$2>12-1D2(+ "

$& $-A> 7

8

"

8 M

J

J

/. H

.E

)@ H P

7

: " .?

#,% ! LM N

7 H

H

#A% ! LM N

'

KD K .

#+% G G

#$

%$H

.

#*% J )

#-% ; D

?/

HI " .

"

8 @

J

** &22-

-*$

&$-& *$A *$, &2$2

(2$

$$&2 8

J

*> &22-

>$*

(>$ (>* $-+A &$>( &$>, &228'L 2 A-&( (A22 Q

Příloha I

PŘÍLOHA I Úplné znění vybrané publikace vztahující se k tématu disertační práce: Zouhar, M., Hutař, P., Ševčík, M., Náhlík, L.; Pressure pipe damage: Numerical estimation of point load effect, Key Engineering Materials, Vol. 525- 526, No. 1, pp. 177-180, 2013

strana

167

strana

168


! "

#

(

-

)1!.1) !

$" " # " $ #.

! " *

, $3

#

/$ . $" " #

2 ,34 * , ""

!

" %&

' '' (

)*

+ ,

' ' '0 (

)*

+ ,

" %&

2 ,34 * "

,, " ,

"

' '' ( 2 ,34 *

""

)*

+ ,

2 ,34 *

" $#

"

, ,

" # $%% &$' ( ) +

*

,

&- .'

/

+

#

*

,

&- 0' 1 &2' &3' &4' ! 5

)

+

$ 6

,

+76 ,

76

76

8 $$ $. 3 $4 1 9 0%

$OOULJKWVUHVHUYHG1RSDUWRIFRQWHQWVRIWKLVSDSHUPD\EHUHSURGXFHGRUWUDQVPLWWHGLQDQ\IRUPRUE\DQ\PHDQVZLWKRXWWKHZULWWHQSHUPLVVLRQRI773 ZZZWWSQHW,'

$GYDQFHVLQ)UDFWXUHDQG'DPDJH0HFKDQLFV;,

&:' #

&8' +$,

&8' )

7

)

$ ;

&$%' !

)

$1

+ +

, , <

9 80% >

=

9 % .. 1

-%?@

3*$% > 7

&$$' -2

-2

@ +7 ),

)

+

9 %3 76

! 76 9 %3 % -2

%0

)

0A, )

.

$.A 0 6

2A % -8*% .2

)

! 2

$%A


)

-

) 76 $$

)

)

0 76 $$

93>

. 93>

9

%$

76 9-2

2 76 8

9-2

9 $% >

76

! $.A )

)

3

#

@

)

3

#

"

-

-

$ $0:0 $ -%88

%2040

+-,

$GYDQFHVLQ)UDFWXUHDQG'DPDJH0HFKDQLFV;,

#

) $%A

+-,

$ B

$%:C$-C$23% 7 >

)

7 /

@

<

D

E

7

( + @@D

> D E 5G HIE; * H

, E

I E

&$' K

D/

&-'

E (

@!

; > D

( +B J 7

( E * E

7

, 6 ;

7

6

> 6 -0

I &0' N D

7

M -3

L $888

M 4%%*4$% -%%4

3

* $%0$*$%0: -%%2

:

1 B I

&2' (

B

;E I

&.' )

$%3C%8C(%.2 @! 1 )7 *7*$$*$$C$$8% B 5 @ @F>/ 5 / E ( +( @(, +I , @@D 7 5

O

P QR

$$

0

.%8*.$8 $88-

> 1S R (6 /

D

E ) /

> )

>

I

4:

$4

.%08*.%2: -%$$ &3' ; -%%%

G

&4' (

K > 0% 7

&:' 7 (6 /*

D

7

>

B

@ @

*

B *

.

0*$- -%%$ 7

/

)

&8'

$0

D )

$$-0*$$.0 -%%4

"

-

D

" @ @

-%%% &$%' B * .%.4 -%%: &$$' I

BJ $%:

) I ) >

@

"> $.*-. -%%2

/ 1>

)

>

42

.%-%*

Příloha J

PŘÍLOHA J Úplné znění vybrané publikace vztahující se k tématu disertační práce: Majer, Z., Zouhar, M., Ševčík, M., Náhlík, L., Hutař, P.; Pressure pipe damage: Numerical estimation of point load effect II. Key Engineering Materials, Vol. 577- 578, č. 1, pp. 533-536, 2014

strana

173

strana

174


! # $ *

/

+3#03+ # 4

%

&$ $ %

5%4 6 . &4

$ '(

$ & %0

# $

%

1& 0 &$ $ %

6 , , . $$

" ) )) *

+,

- .

) ) )2 *

+,

- .

$ '(

5 .46 , $ .. $ .

) )) *

5 .46 , $

$$

+,

- .

5 .46 ,

$ &%

%

5 .46 ,

4 .

! "

#

$% &'

(

"

)

!

# $& *'

+

,

-

".

#

$/ 0 1' $0'2 "%#

π

=

3 " 4 #

$5' + "

6

# " 4 #

7898 % 8-:;%* 1 "

8-:

< %% %* 1 %5 &%#

8-:

$OOULJKWVUHVHUYHG1RSDUWRIFRQWHQWVRIWKLVSDSHUPD\EHUHSURGXFHGRUWUDQVPLWWHGLQDQ\IRUPRUE\DQ\PHDQVZLWKRXWWKHZULWWHQSHUPLVVLRQRI773 ZZZWWSQHW,'$FDGHP\RI6FLHQFHVRI&]HFK5HSXEOLF%UQR&]HFK5HSXEOLF

$GYDQFHVLQ)UDFWXUHDQG'DPDJH0HFKDQLFV;,,

7 $=' ; /> %

%7

" "

#

# $='

$0 ='

$=' 1

" %>?

%>

( #

2 &

&

= % %/=/ + % &><<

"&#

− >0/5/ % "

#

!

+ "%#

" 4 #

9 ( " > **

&>@A#

%=>

&0

3 =>@A# (

( " &!%>

. 3

;

(

! $5' &0

8

6 " "%##

" 4 #

+ &>@A "9

; &0

(

(

3

& 3

; > **#

&0 "

& -

0?# +

:;0


&

9

* ;

/

(

(

;1

;

;0

(

3

;1

(

0 ;1

;0

3

; 0

(

(

;

( "

# 9 %>>> ( " *#

%0>

9

3

(

3

(

B 9

3

&0? " "9 3 =>@A "9

3 (

0?

" 4 #

9

3 ;

# ( ; %=>

2 &>@A (

(

3 (

3

; > **# ; > **#

3 > **

0

3

>/ " 4 #

/ " 4 #

1 %>

( 1

&>@A "=>@A# %> ( 1 6

& ( " 4 # 9 3

/

(

(

(

$GYDQFHVLQ)UDFWXUHDQG'DPDJH0HFKDQLFV;,,

%>?

(%>=4%&4%01> A+

9 : 6

G H

D

E "B K 8

I D

$%'

.

$&'

: 8 "&>>5#

$*'

C

(

# J

J

A+ B

( . # AF

A E "(AA.

6 E "E #

D "I 8

IE C

. AE# (AA.

D:6 HIDJ !

6

-

8

8

:

F +2

B

8

L %<<< I

%/

%%&/

7 + %*/

.

N . 7 B

$0'

( E 8 I 5=4%5 "&>%%#

$1'

( E . 7 I <&40 "&>%>#

$5'

C E M %55

D ! D

(

$/'

$='

E

8 !C!%*!&>/1

8

A D

1

8 8 7

M

2(

B I I

M G

%%4/ "%<<&#

28

. 8 %%&> 8

( . 7

/> "&>>=#

2 8

/> 8

I

*><

. 7 D ( *>/0=

2 *: ( E

,

M G ( 2G

7 + "&>>%#

2A

8

/ I

0&0!0&1 "&>%*#

Příloha K

PŘÍLOHA K Úplné znění vybrané publikace vztahující se k tématu disertační práce: Zouhar, M., Hutař, P., Náhlík, L., Knésl, Z.; Damage of multilayer polymer materials under creep loading, Key Engineering Materials, Vol. 465, pp. 153-156, 2011

strana

179

strana

180

Příloha L

PŘÍLOHA L Úplné znění vybrané publikace vztahující se k tématu disertační práce: Zouhar, M., Hutař, P., Náhlík, L., Ševčík, M., Knésl, Z.; The effect of critical distance in stability condition for the crack at the interface between two materials, Engineering mechanics, Vol. 19, no. 2/3, pp. 155-164, 2012

strana

185

strana

186

Engineering MECHANICS, Vol. 19, 2012, No. 2/3, p. 155–163

155

THE EFFECT OF CRITICAL DISTANCE ON STABILITY CONDITIONS FOR A CRACK AT THE INTERFACE BETWEEN TWO POLYMER MATERIALS ˇ c´ık‡ , Zdenˇek Knésl‡ Michal Zouhar*, Luboˇs Náhl´ık*, Pavel Hutaˇr†, Martin Sevˇ The aim of this work is to study the behaviour of a crack with its tip at the interface between two polymer materials. A numerical model of a cracked bi-material tension specimen is investigated and different stability criteria are tested. The stability criterion of a general stress concentrator usually needs a relation between the critical value of the generalized stress intensity factor (HIC ) and critical value of the stress intensity factor KIC (fracture toughness). This relation is a function of the elastic mismatch of particular materials; the fracture toughness of the main material and the critical distance d ahead of the stress concentrator, where the criterion is applied. Estimation of distance d is usually not straightforward and different authors use different approaches for its determination. Therefore the main aim of this study is the mutual comparison of published approaches for d estimation and to quantify the influence of d choice on the critical load value. The results obtained can lead to a better residual lifetime prediction and safer design of layered structures. Keywords : stability criterion, critical distance, bi-material interface, generalized stress intensity factor

1. Introduction The use of advanced materials such as composite materials or layered materials has been rising steeply in recent times. The appropriate selection of the material properties of a layered structure can lead to a better mechanical, thermal or chemical resistance in the whole system. The existence of the step change of material properties influences stress distribution near the crack tip and also influences crack propagation through the interface. This work is focused on stability conditions of the crack perpendicular and terminating at the interface between two polymer materials (see Fig. 1) and discusses the estimation of the critical distance d in particular stability criteria. Under the assumptions of linear elastic fracture mechanics the stress field near the crack tip in a homogenous material can be described by stress intensity factor K [1]. In the case of a perpendicular crack touching the interface a classical approach based on the stress intensity factor cannot be used. Due to a mismatch of the elastic properties of individual material components the value of stress singularity exponent p differs from 0.5 [2–4]. The * Ing. M. Zouhar, doc. Ing. L. N´ ahl´ık, Ph.D., Academy of Sciences of Czech Republic, Institute of Physics of ˇ zkova 22, 616 62 Brno, Czech Republic and Brno University of Technology, Materials; CEITEC IPM, Ziˇ Technick´ a 2, 616 69 Brno, Czech Republic † doc. Ing. P. Hutaˇ r, Ph.D., Academy of Sciences of Czech Republic, Institute of Physics of Materials; ˇ zkova 22, 616 62 Brno, Czech Republic CEITEC IPM, Ziˇ ‡ Ing. M. Sevˇ ˇ c´ık, Ph.D., prof. RNDr. Z. Kn´ esl, CSc., Academy of Sciences of Czech Republic, Institute of ˇ zkova 22, 616 62 Brno, Czech Republic Physics of Materials; Ziˇ

156

Zouhar M. et al.: The Effect of Critical Distance on Stability Conditions for a Crack

...

Fig.1: Perpendicular crack touching the interface between two elastic materials

stress distribution around the crack with its tip at the interface between two materials can be expressed as follows [5, 6] : H fij (θ, p, α, β) , σij = √ 2π rp

(1)

where r, θ are polar coordinates with the origin at the crack tip, p is the stress singularity exponent, fij (θ, p, α, β) is a known function, H is the generalized stress intensity factor [MPa mp ], α, β are Dundurs parameters for plane strain conditions, and for a crack with a tip perpendicular to the material interface can be expressed as [7] : Ep 1 + νp −1 E 1 + νm α= m 2 (1 − νp )

and

β=

2 Ep 1 − νm . Em 1 − νp2

(2)

The value of the generalized stress intensity factor has to be estimated from the numerical solution of a loaded body with material interface. Its value is determined by comparison of a semi-analytical solution (eq. 1) with numerically estimated values of the corresponding stress component (the crack opening stress component ahead of the crack tip is usually used) [8]. This method is called the direct method and is based on extrapolation of the normalised opening stresses HI∗ to the crack tip HI , see Fig. 2.

Fig.2: Methodology of the direct method

For determination of the crack behaviour (whether the crack stays arrested at the interface or passes through the interface) the stability criterion should be used. The basic definition of the stability criterion of a brittle homogenous material can be written as follows : hom ) = KIC , (3) KI (σcrit hom hom where KI (σcrit ) is the value of stress intensity factor for critical loading stress σcrit and KIC is the fracture toughness. Critical loading stress is represented by the level of externally applied stress when the existing crack (defect) starts to propagate. For a crack with its tip at the material interface the stability condition (3) can be rewritten to a generalized form as :

HI (σcrit ) = HIC (KIC ) .

(4)

157

Engineering MECHANICS

After that it is necessary to find the critical value of generalized stress intensity factor HIC (KIC ) as a function of fracture toughness KIC of the material to which the crack will propagate. To find HIC value different approaches were developed in the past. The first criterion mentioned here is based on Sih’s concept of strain energy density (SED) factor. The failure of the material occurs when the value of the strain energy density factor exceeds its critical value; for details see [9]. The critical value of the generalized stress intensity factor derived from this criterion for a crack with its tip at the interface can be expressed as [10] : HIC =

1 − 2 νm 2 (1 − p) (4 (1 − 2 νm ) + (gr − p)2 )

21

1

dp− 2 KIC ,

(5)

where gr is a known function of elastic material properties [10] : gr = λ − cos λπ −

β [α + 2 λ − (1 + 2 α + 4 α λ2 ) cos λπ + (1 + α) cos 2λπ] , 1 + 2 α + 2 α2 − 2 (α + α2 ) cos λπ − 4 α2 λ2 λ=1−p

(6) (7)

and where p is the stress singularity exponent for a crack at a bi-material interface given by the step change of material properties, see [10] for details. The choice of the critical distance d is discussed below. The second criterion presented here is based on an average opening stress ahead of the crack tip. This criterion assumes that crack behaviour is controlled by the value of the opening stress ahead of the crack tip. If it exceeds its critical value related to the average stress (AS), calculated across the distance d ahead of the crack tip, failure occurs, see [11] for details. The critical value of the generalized stress intensity factor derived from this criterion can be expressed as [11] : HIC = KIC

2 dp−1/2 . 2 − p − gr

(8)

Again, the value HIC depends on the fracture toughness KIC of the main material, elastic material constants, the stress singularity exponent p, and on the critical distance d ahead of the crack tip. The next criterion for determination of crack stability is based on crack mouth opening displacement (CMOD). This criterion is applicable only in the case of a thin protective layer being applied on a thick substrate. The crack mouth opening displacement is related to crack tip opening displacement in this case and can be used as a controlling variable of the crack propagation. The critical value of the crack mouth opening displacement can be expressed as [12] : r 2 4 (1 − νm ) 2a , (9) CMODCRIT (KIC ) = KIC Em π where a is the crack length (thickness of cracked layer) and Em and νm are elastic material constants (Young’s modulus and Poisson’s ratio) of the non-cracked substrate. This approach is easily applicable and the critical value of the crack mouth opening displacement can be directly calculated and experimentally measured. This criterion is used for comparison with two previous criteria due to its independence of critical distance value.

158


...

2. Critical distance definition Some stability criteria of general singular stress concentrators use the physical length of the critical distance related to a typical microstructure unit such as the grain size or inclusion spacing. In other approaches authors usually consider critical length d as a size of process or plastic zone ahead of the crack tip. The stability approaches for a crack touching the interface of bi-material bodies are particularly similar to approaches formulated for notched bodies (both cases represent singular stress concentrators). A brief, introductory overview of most common definitions of critical distance is provided below. The authors of [13] compared the evaluated critical loads obtained by four different criteria with experimental data for a notched specimen made from PMMA (polymethylmetacrylate) and loaded by biaxial loading. They used the following relations for critical distance estimation : – the first relation in [13] was derived from the strain energy release rate criterion as : 1 d1 = π

KIC 1.122 σc

2

,

(10)

– the second estimation is based on assumptions of maximum energy release rate criterion [13] : 2 KIC d2 = 0.474 , (11) σc – the next approach for the estimation of the critical distance is used in strain energy density criterion proposed by Sih [9, 13] : 1 − νm d3 = π

KIC σc

2

,

(12)

– the following estimation of d value is used for prediction of brittle fracture by the criterion developed by Griffith-Irwin [13, 15, 16] : 1 d4 = 2π

KIC σc

2

,

(13)

– the next estimation of d value was derived for the crack in the case of brittle fracture, see [13, 14] for details : 2 2 KIC . (14) d5 = π σc The same length parameter as eq. 13 is mentioned in the works of David Taylor [17–19], where the author describes his own theory, which he terms ‘Theory of Critical Distance’ (TCD). A comparison of predicted values of critical loading with experimental data obtained on polycarbonate and steel at low temperature was made in [19] using Taylor’s TCD theory. The critical distance used for prediction of brittle fracture by means of the Griffith-Irwin stability criterion for plane strain condition has the following form [15, 16] : 1 d6 = 6π

KIC σc

2

.

(15)

159


The authors of [20] compared estimated critical values for failure of V-notched specimens with experimental data obtained for PMMA and ceramic composite. The criterion based on the strain energy density (SED) in the form derived for plane strain condition was used in the work. The critical length applied in SED criterion is represented by integration radius [20] : 2 (1 + νm ) (5 − 8 νm ) KIC . (16) d7 = 4π σc The meaning of parameters mentioned in eqs. 10–16 is as follows : νm – Poisson’s ratio of the main material, KIC – fracture toughness of the main material, σc – tensile strength of the main material. From a comparison of eqs. 10–16 a general expression for the critical distance can be obtained in the following form (Poisson’s ratio typical for polymers νm = 0.35 is considered) : 2 KIC . (17) d=C σc The values of constant C are summarized in table 1 for individual above mentioned approaches.

C

eq. 10 0.253

eq. 11 0.474

Plane stress eq. 12 eq. 13 0.207 0.159

eq. 14 0.637

Plane strain eq. 15 eq. 16 0.053 0.236

Tab.1: A summarised values of constant C determined from eqs. 10–16 (νm = 0.35)

3. Numerical model To test the stability criteria referred to and critical length definitions a numerical model of a bi-material body was developed. The schema of modelled bimaterial body with perpendicular crack touching the interface between two materials is shown in Fig. 3. The length of the body was chosen as L = 100 mm, the thickness of the main material was tm = 10 mm and the thickness of the cracked layer was considered as tp = 2 mm. The Young’s modulus of the main material was Em = 800 MPa and the ratio Ep /Em varied from 0.5 to 2.5 . Corresponding Poisson’s ratio was considered as νm = νp = 0.35 . The numerical model was loaded by σappl = 1 MPa and the model assumed ideal adhesion between layers and the step change of material properties across the interface. The model included finite elements strongly non-homogenously distributed in the structure because of the mesh refinement around the crack tip, see Fig. 3. For the calculation plane strain conditions were used. The generalized stress intensity factor values were estimated by the so-called direct method. A sensitivity analysis focusing on the influence of finite element mesh density on the obtained results was performed. Further increase of the mesh density did not bring better accuracy of the results obtained. Only one half of the structure was modelled due to its symmetry. The critical value of tensile applied stress σcrit was calculated for each stability criterion and selected critical distance definitions by the following equation : HIC σappl . (18) σcrit = HI (σappl ) Material properties used in the study corresponded to the high density polyethylene HDPE (KIC = 1.5 MPa m1/2 , tensile strength σc = 30 MPa).

160


...

Fig.3: Schema of bi-material body and numerical model with detail of FE mesh refinement around the crack tip

4. Results and discussion Values for the critical applied stress necessary for crack propagation through the interface between the cracked layer and the main material were estimated. These values depend mainly on the material properties of each layer, on the fracture toughness of the main material and on the critical distance d. Critical stress values calculated by stability criteria based on the strain energy density factor and the average stress ahead of the crack tip were estimated for three different critical distances d. The definitions of d which were used correspond to eq. 10, eq. 13 and eq. 14. Generally, as also seen in Fig. 4, critical stress σcrit increases with a decrease of ratio Ep /Em . This means that the crack can stay arrested at the interface when the material of the protective layer is softer than the material of the substrate. The value of parameter d influences the critical stress value (calculated for Young’s moduli ratio from 0.5 to 2.5) only weakly. This result is valid for both stability criteria considered in the study. The maximal difference in resultant critical stress values calculated for a polymer bi- material body was about 18 %.

Fig.4: Resultant values of σcrit with regard to ratio Ep /Em and selected distances d; the critical stress was determined by different stability criteria : by a criterion based on strain energy density factor SED (left figure) and by a criterion based on the average stress ahead of the crack tip AS (right figure)


161

Fig.5: Resultant values of critical stress σcrit obtained by application of different stability criteria for given critical distance (d = 6.3×10−4 m)

Resultant values of σcrit for both applied stability criteria are shown in Fig. 5. The choice of d distance corresponded to eq. 10. The maximal difference between resultant σcrit values was reached for ratio Ep /Em = 2.5 . The critical stress values calculated from mouth crack opening displacement criterion are independent of the critical distance parameter. Calculated data from this criterion show a smaller slope with regard to ratio Ep /Em in comparison to other two applied approaches. The criterion based on the strain energy density factor and the criterion based on average stress ahead of the crack tip better corresponds to CMOD criterion for higher value of parameter d. We should point out that the accuracy of the CMOD criterion decreases with the increase of width of the cracked layer. This criterion is suitable mainly in the case of thin coatings applied on the thick material of substrate (e.g. protective coatings). The effect of the critical distance on σcrit obtained using the SED criterion is shown in Fig. 6. It can be seen that the influence of the critical distance parameter d on critical stress increases with an increase of the elastic mismatch of the bi-material body. The influence of the critical distance d is not strong, if we take into account the fact that Fig. 6 represents a parametric study (studying the sensitivity of the given stability criterion on choice of d) with an unrealistic range of parameter d. The range contains several orders of quantity d.

Fig.6: Sensitivity of SED stability criterion on choice of critical distance d (a parametric study)

162


...

It is evident from Table 1 that the difference between various approaches of d estimation is not high and all estimated values of d are of the same order. Therefore, only the knowledge of the d order is sufficient for practical application of stability criteria in the case of polymer layered structures, where the usual ratio between Young’s moduli Ep /Em ranges from 0.5 to 2.5 . 5. Conclusions The stability conditions of a crack penetrating through the interface between two polymer materials were studied and numerically investigated by means of FEM. The problem was approached under the assumptions of (generalized) linear elastic fracture mechanics and the concept of a generalized stress intensity factor was used. For determination of crack behaviour at the material interface (if the crack will stay arrested at the interface or will penetrate through the interface) the stability criteria were used. Critical distance is one of the important parameter, which it is necessary to know for estimation of the critical stress for crack propagation through the interface between two materials. This paper focuses mainly on the influence of the critical distance on the resultant values of critical stress for crack penetration through the interface taking into account different approaches for critical distance estimation available in the literature. The results obtained can lead us to the following points in conclusion : – the maximal difference of the critical stresses σcrit obtained by the strain energy density factor stability criterion and a criterion based on the average stress ahead of the crack tip for different values of critical distance d obtained from the approaches found in the literature was about 18 % for selected materials (polymers for pipes manufacturing). – the value of length parameter d taken from the literature and corresponding to the size of the process zone in front of the crack tip has a relatively small influence on the critical stress for crack propagation through the interface of layered polymer material, where the Young’s moduli ratio Ep /Em usually ranges from 0.5 to 2.5 . – the sensitivity of stability criteria on the choice of d was studied. For selected values of critical distance d from 10−3 to 10−6 m the resultant values of σcrit were calculated. For determination of σcrit two different stability criteria were applied: criterion based on the strain energy density factor and criterion based on average opening stress value ahead of the crack tip. Generally, it can be concluded, that the effect of the critical distance on the resulting critical stress is weak and with good accuracy any of the published approaches tested here can be used. The approaches applied correlate the critical distance with a size of the process zone or damage zone in front of the crack tip. Only the knowledge of the critical length order is necessary for satisfying application of stability criteria for a crack touching the interface between two materials. The results of this study can lead to a better estimation of crack behaviour in the case of crack propagation near/through the interface between two polymer materials and finally to the better material design of layered structures with respect to the better resistance against crack propagation.


163

Acknowledgement This work was supported by grant no. P108/12/1560 and 107/10/0361 of Czech Science Foundation and by the Specific academic research grant no. FSI-J-11-38 of the Ministry of Education, Youth and Sports of the Czech Republic provided to Brno University of Technology. References [1] Anderson T.L.: Fracture Mechanics – Fundamentals and Applications, CRC Press, 1995 [2] Bogy D.B.: On the plane elastostatic problem of a loaded crack terminating a material interface, Int. J. Fract., Vol. 38, pp. 911–918, 1971 [3] Lin K.Y., Mar J.W.: Finite element analysis of stress intensity factors for cracks at a bimaterial interface, International Journal of Fracture, Vol. 12, No. 4, pp. 521–531, 1976 [4] Qian Z.Q., Akisanya A.R.: Wedge corner stress behaviour of bonded dissimilar materials, Theor. and Appl. Fracture Mechanics, Vol. 32, pp. 209–222, 1999 [5] Knésl Z., Kn´ apek A., Bedn´ aˇr K.: Evaluation of the critical stress in bonded materials with a crack perpendicular to the interface, Surface Modification Technologies XI, The Institute of Materials, London, 1998 [6] N´ ahl´ık L., Knésl Z., Klus´ ak J.: Crack initiation criteria for singular stress concentrations, part III: An application to a crack touching a bimaterial interface, Eng. Mech., Vol. 15, pp. 99–114, 2008 [7] Dundurs J. In: Mura T. (Ed.): Mathematics of Dislocation, ASME, New York, pp. 70–115, 1969 [8] Ingraffea A.R., Wawrzynek P.: Finite Element Method for Linear Elastic Fracture Mechanics, Elsevier Science, Oxford, England, 2003 [9] Sih G.C.: Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack problems, International Journal of Fracture, Vol. 10, No. 3, pp. 305–321, 1974 ˇ akov´ [10] N´ ahl´ık L., Sest´ a L., Hutaˇr P.: Estimation of apparent fracture toughness of ceramic laminates, Computational Material Science, Vol. 46, No. 3, pp. 614–620, 2009 [11] Knésl Z., Klus´ ak J., N´ ahl´ık L.: Crack initiation criteria for singular stress concentrations, part I: a universal assessment of singular stress concentrations, Eng. Mech., Vol. 14, pp. 399–408, 2007 ˇ akov´ ˇ c´ık M., Knésl Z., Nezbedov´ [12] Hutaˇr P., N´ ahl´ık L., Sest´ a L., Sevˇ a E.: A fracture mechanics assessment of surface cracks existing in protective layers of multi-layer composite pipes, Composite structures, vol. 92, pp. 1120–1125, 2010 [13] Seweryn A., Lukaszewicz A.: Verification of brittle fracture criteria for elements with V-shaped notches, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 69, pp. 1487–1510, 2002 [14] Seweryn A.: Brittle fracture criterion for structures with sharp notches, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 47, No. 5, pp. 673–681, 1994 [15] Griffith A.A.: The phenomena of rupture an flowing solids, Philosophical Transactions, Series A, Vol. 221, pp. 163–198, 1920 [16] Irwin G.R.: Analysis of stresses and strains near the end of crack traversing a plate, Journal of applied mechanics, Vol. 24, pp. 361–364, 1957 [17] Taylor D.: The Theory of critical distance, engineering fracture mechanics, Vol. 75, pp. 1696– –1705, 2008 [18] Taylor D., Kasiri S.: A comparison of critical distance methods for fracture prediction, Int. Journal of Mechanical Science, Vol. 50, pp. 1075–1081, 2008 [19] Taylor D., Cornetti P., Pugno N.: The fracture mechanics of finite crack extension, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 72, pp. 1021–1038, 2005 [20] Yosibash Z., Bussiba A., Gilad I.: Failure criteria for brittle elastic materials, International Journal of Fracture, Vol. 125, pp. 307–333, 2004

Received in editor’s office : July 7, 2011 Approved for publishing : June 11, 2012

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Recommend Documents