Vyrovnání měření přímých stejné přesnosti 1) Určíme přibližnou hodnotu x0 pro přehlednější výpočet v pracovní tabulce: x0 = … 2) Vypočteme hodnoty doplňků δ i k přibližné hodnotě x0 : δ i = li − x0 , protože l i = x0 + δ i 3) Výpočet aritmetického průměru:
x = x0 +
[δ ] = ...
, případně ε z = ...
n
4) Výpočet oprav v(mm) , vv a vδ v tabulce, kontroly [v] = 0. v1 = x − x0 − δ 1 = ... V případě, že bude [v ] ≠ 0 , pak byl aritmetický průměr určen chybně, nebo byl změněn zaokrouhlením z přesné hodnoty x na hodnotu x ± ε z , kde ε z je chyba ze zaokrouhlení. Hodnota součtu [v] se pak bude rovnat toleranci [v ] = ± n ⋅ ε z . 5) V pracovní tabulce vypočteme [vv] a − [vδ ]. Provedeme kontrolu [vv] = −[vδ ] . Jestliže [v ] ≠ 0 , pak i [vv] ≠ −[vδ ] . Kontrolně určíme rozdíl jejich absolutních hodnot
[vv]
−
[vδ ]
, který má být roven toleranci ± [δ ] ⋅ ε z .
6) Empirická střední chyba jednoho měření ze souboru n měření: m=±
[vv] n −1
= ...
7) Empirická střední chyba aritmetického (výběrového) průměru: m mx = = ... n 8) Výsledek vyrovnání zapíšeme ve tvaru: (n′ = ...) x ± mx
Příklad Délka byla měřena 5 krát za stejných podmínek. Proveďte vyrovnání metodou nejmenších čtverců a určete charakteristiky přesnosti. Vypracování: i l(m)
δ (mm)
v(mm)
vv
vδ
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5
226,252 226,255 226,258 226,257 226,253
2 5 8 7 3 [δ ] = 25
+3 0 -3 -2 +2 [v] = 0
9 0 9 4 4 [vv] = 26
+6 0 -24 -14 +6 [vδ ] = −26
1) Určení přibližné hodnoty x0 tak, aby doplňky δ i byly kladné: x0 = 226,250m
platí [vv] = −[vδ ] [v] = 0
2) Výpočet doplňků δ (mm) v tabulce ↑ 3) Výpočet aritmetického průměru: [δ ] = 226,250 + 0,025 = 226,255m x = x0 + n 5
4) Výpočet oprav v(mm) , vv a vδ v tabulce ↑, kontroly [v] = 0 v1 = x − x0 − δ 1 = 226,255 − 226,250 − 0,002 = 0,003m v 2 = ... 5) V pracovní tabulce vypočteme [vv] a − [vδ ]. Provedeme kontrolu [vv] = −[vδ ] 6) Empirická střední chyba měření vypočtená z oprav: [vv] = ± 26 = ±2,55mm m=± n −1 4 7) Empirická střední chyba aritmetického (výběrového) průměru: m 2,55 mx = = = ±1,14mm n 5 8) Výsledek vyrovnání: x ± m x 226,255 ± 0,00114 m
(n′ = ...) (n′ = 4)
Vyrovnání měření přímých nestejné přesnosti 9) Rozhodneme o volbě vah (např.: pi =
k ) mi2
10) Určíme přibližnou hodnotu x0 pro přehlednější výpočet v pracovní tabulce: x0 = … 11) Vypočteme hodnoty doplňků δ i k přibližné hodnotě x0 : δ i = l i − x0 , protože l i = x0 + δ i 12) Vypočteme vyrovnanou (nejpravděpodobnější) hodnotu x : [ pδ ] = … , případně ε = ... x = x0 + z [ p] 13) V pracovní tabulce vypočteme opravy: vi = x − x0 − δ i = ... a součiny pi vi = ... a provedeme kontrolu [ pv ] = 0 . Jestliže dostaneme [ pv ] ≠ 0 , pak byl obecný průměr určen chybně, nebo byl změněn zaokrouhlením z přesné hodnoty x na hodnotu x ± ε z , kde ε z je chyba ze zaokrouhlení a součet [pv] pak bude v toleranci [ pv ] = ±[ p ] ⋅ ε z . 14) V pracovní tabulce vypočteme [ pvv ] a [ pvδ ] . Provedeme kontrolu [ pvv] = −[ pvδ ] . Jestliže [ pv ] ≠ 0 , pak i [ pvv] ≠ −[ pvδ ] . Kontrolně určíme rozdíl jejich absolutních hodnot [ pvv] − [ pvδ ] , který má být v toleranci ± [ pδ ] ⋅ ε z .
15) Vypočteme empirickou střední chybu jednotkovou z oprav : [ pvv] = … m0 = ± n −1 16) Vypočteme empirickou střední chybu aritmetického průměru z oprav : m [ pvv] = … mx = 0 = ± [ p ] ⋅ (n − 1) [ p] 17) Výsledek vyrovnání zapíšeme ve tvaru: (n′ = ...) x ± mx
Příklad Při zkoušce nového teodolitu byl tentýž úhel měřen ve čtyřech různých dnech, vždy v jiném počtu skupin. Aritmetické průměry výsledků měření li a jejich střední chyby mli jsou uvedeny v tabulce. Vypočtěte nejpravděpodobnější hodnotu měřeného úhlu, jednotkovou střední chybu a střední chybu aritmetického průměru. mli (cc) l i (g ) i 1 2 3 4
i
1 2 3 4 Σ
li
mli
g
()
cc
( )
65,8232 65,8236 65,8233 65,8231
1,14 1,46 0,6 0,81
pi 0,77 0,47 2,78 1,52
±1,14 ±1,46 ±0,60 ±0,81
δi
piδi
vi
pivi
cc
( )
cc
( )
cc
( )
cc
( )
2 6 3 1
1,54 2,81 8,33 1,52
0,60 -3,40 -0,40 1,60
5,54
1) Rozhodneme o volbě vah: pi =
65,8232 65,8236 65,8233 65,8231
14,21
pivivi
piviδi
0,46 -1,60 -1,11 2,44
0,28 5,42 0,44 3,90
0,92 -9,57 -3,33 2,44
0,19
10,05
-9,54
1 mi2
2) Určíme přibližnou hodnotu x0 = 65,8230 g 3) Vypočteme hodnoty doplňků: δ i = li − x0 4) Vypočteme vyrovnanou (nejpravděpodobnější) hodnotu x : [ pδ ] = 65,8230 g + 14,21cc = 65,82326 g , ε z = −0,0000035 g x = x0 + [ p] 5,54 5) Vypočteme opravy: vi = x − x0 − δ i = ... a součiny pi vi = ...
Protože [ pv ] ≠ 0 , bude [ pv ] = ±[ p ] ⋅ ε z , tedy: [ pv] = 0,19 cc ± [ p ] ⋅ ε z = ±5,54 ⋅ 0,035 cc = ±0,19 cc 6) Vypočteme [ pvv] a [ pvδ ] . Provedeme kontrolu [ pvv] = −[ pvδ ] .
Protože [ pv ] ≠ 0 , pak i [ pvv] ≠ −[ pvδ ] . Proto určíme: [ pvv] − [ pvδ ] = ±[ pδ ] ⋅ ε z , tedy:
[ pvv] − [ pvδ ] = 10,05 − 9,54 = 0,51 ± [ pδ ] ⋅ ε z = ±14,21 ⋅ 0,035 = 0,50 7) Vypočteme empirickou střední chybu jednotkovou z oprav : [ pvv] = ± 10,05 = ±1,83cc m0 = ± n −1 4 −1 8) Vypočteme empirickou střední chybu aritmetického průměru z oprav : m 1,83 mx = 0 = ± = ±0,78 cc [ p] 5,54 9) Výsledek vyrovnání zapíšeme ve tvaru: (n′ = 3) 65,82326 g ± 0,78 cc
Měřické dvojice nestejné přesnosti Nivelační pořad skládající se z šesti oddílů byl zaměřen přesnou nivelací. Hodnoty měření tam a zpět a délky oddílů jsou uvedeny v tabulce. Proveďte vyrovnání a rozbory přesnosti tohoto nivelačního pořadu. tam
zpět
délka oddílu
n
l′
1 2 3 4 5 6
(m) 2,5003 -0,4358 2,4519 -2,7926 2,0644 1,7356
(m) -2,5002 0,4354 -2,4523 2,7925 -2,0640 -1,7354
s (km) 0,31 0,58 0,69 0,39 0,65 0,62
l ′′
Vypracování: tam
¾
n
l′
1 2 3 4 5 6 Σ
(m) 2,5003 -0,4358 2,4519 -2,7926 2,0644 1,7356 5,5238
zpět
délka oddílu
(m) -2,5002 0,4354 -2,4523 2,7925 -2,0640 -1,7354 -5,5240
s (km) 0,31 0,58 0,69 0,39 0,65 0,62 3,24
l ′′
průměr x (m) 2,5003 -0,4356 2,4521 -2,7926 2,0642 1,7355 5,5239
rozdíl d (mm) 0,1 -0,4 -0,4 -0,1 0,4 0,2 -0,2
váha p=1/s 3,23 1,72 1,45 2,56 1,54 1,61
dd (mm2) 0,01 0,16 0,16 0,01 0,16 0,04 0,54
d+1
(d+1)2
1,10 0,60 0,60 0,90 1,40 1,20
1,21 0,36 0,36 0,81 1,96 1,44 6,14
pdd = dd/s 0,03 0,28 0,23 0,03 0,25 0,06 0,88
Kontrolní výpočet vyrovnaného výškového rozdílu: [l ′] + [l ′′] = 5,5238 + 5,5240 = 5,5239m Δh = 2 2
¾
Kontrolní výpočet: [d ] = [l ′] − [l ′′] = 5,5238m − 5,5240m = −0,2mm
¾
Kontrolní výpočet: [dd ] = (d + 1)
¾
⎡ dd ⎤ Kontrola [ pdd ] = ⎢ ⎥ souhlasí přesně. ⎣ s ⎦
¾
Výpočet empirické střední kilometrové chyby jednoho měření libovolné dvojice:
[
m0 = ± ¾
2
] − 2 ⋅ [d ] − n = 6,14 − 2 ⋅ (− 0,2) − 6 = 0,54mm
2
1 ⎡ dd ⎤ 1 =± ⋅ 0,88 = ±0,27 mm ⎢ ⎥ 2n ⎣ s ⎦ 2⋅6
Výpočet empirické střední kilometrové chyby aritmetického průměru libovolné dvojice: m0 x = ±
¾
0,03 0,28 0,23 0,03 0,25 0,06 0,88
1 1 ⎡ dd ⎤ 1 1 =± ⋅ 0,88 = ±0,19mm ⎢ ⎥ 2 n⎣ s ⎦ 2 6
Výpočet empirické střední kilometrové chyby vyrovnaného výškového rozdílu celé tratě: mΔh = m x ⋅ s = 0,19 ⋅ 3,24 = ±0,34mm
¾
Zápis výsledku vyrovnání: 5,5239m ± 0,34mm
Měřické dvojice stejné přesnosti Příklad Vzdálenost S =& 600m byla rozdělena na šest úseků a každý byl měřen tam a zpět. Určete nejpravděpodobnější hodnotu celé vzdálenosti a její přesnost. Zadané hodnoty jsou uvedeny v tabulce. tam
l′
zpět
n 1 2 3 4 5 6
(m) 100,68 99,32 100,29 100,07 99,98 101,52
(m) 100,71 99,30 100,28 100,11 99,98 101,53
l ′′
Vypracování: tam
zpět
n
l′
l ′′
1 2 3 4 5 6 suma
(m) 100,68 99,32 100,29 100,07 99,98 101,52 601,86
(m) 100,71 99,30 100,28 100,11 99,98 101,53 601,91
průměr x (m) 100,695 99,310 100,285 100,090 99,980 101,525 601,885
rozdíl d (cm) -3 2 1 -4 0 -1 -5
dd (cm2) 9 4 1 16 0 1 31
d+1
(d+1)2
-2 3 2 -3 1 0
4 9 4 9 1 0 27
[l ′] + [l ′′] = 601,86 + 601,91 = 601,885m
¾
Kontrolní výpočet vyrovnané délky: S =
¾
Kontrolní výpočet: [d ] = [l ′] − [l ′′] = 601,86m − 601,91m = −5cm
¾
Kontrolní výpočet: [dd ] = (d + 1)
¾
Výpočet empirické střední chyby jednoho měření libovolné dvojice:
[
m=± ¾
[dd ] 2n
=±
2
2
2
] − 2 ⋅ [d ] − n = 27 − 2 ⋅ (− 5) − 6 = 31cm
2
31 = ±0,016m 2⋅6
Výpočet empirické střední chyby aritmetického průměru libovolné dvojice:
mx = ±
1 2
[dd ] n
=±
1 31 = ±0,011m 2 6
¾
Výpočet empirické střední chyby vyrovnané hodnoty celé tratě: m s = m x ⋅ n = 0,011 ⋅ 6 = ±0,027 m
¾
Zápis výsledku vyrovnání: 601,885m ± 0,027m
