Výpočet polohy bodů zaměřených metodou GPS

Natural hazards (optimisation of protection, interaction with structures)

Výpočet polohy bodů zaměřených metodou GPS J. Ratiborský ČVUT, Praha, Česká republika

RESUME: Computing coordinate of points with measured GPS Coordinates of points is possible determine both classical methods and in last time method of Global positiong system - GPS. Determine coordinates by GPS has advantageous, that not possible mutual visible between individual points and position is possible determine during all day (in terrestial methods is necessary visible between individual points) and any weather. For GPS is determine ellipsoid WGS-84 (World Geodetic System) and your parameters are defined by Nařízením vlády. Practice, but work with Unified trigonometric cadastral network (S-JTSK), which is determine by Bessel ellipsoid. Therefore is necessary coordinates determine GPS transform to S-JTSK. Computing coordinate of geodetic points, which was measured by GPS composed from following steps: a) coordinates from datum of Unified trigonometric cadastral network (S-JTSK) to spherical coordinates ϕ a λ on Bessel ellipsoid and normal high HN transfer on high ellipsoidial He, b) spherical coordinates ϕ a λ from Bessel ellipsoid and ellipsoidial high He transfer to rectangular space coordinates x, y, z, c) coordinates ϕ a λ from ellipsoid WGS - 84 and ellipsoidial high He transfer to rectangular space coordinates x, y, z, d) by Helmert transformation perform calculation of coefficient of transformation, transformation spherical coordinates, accuracy identity of identical points and calculation fall residual correction transformed coordinates for individual identic points, e) transfer rectangular space coordinates x, y, z from Helmert transformation to spherical coordinates ϕ a λ on Bessel ellipsoid and high ellipsoidial He, f) transfer coordinates ϕ a λ on Bessel ellipsoid and high ellipsoidial He to plane rectangular coordinates y, x in datum of Unified trigonometric cadastral network S-JTSK and high in datum Baltic Vertical after Adjustment (Bpv) and compare coordinates with original coordinates and high the identical points, g) compare distance of identical points. In last days was decide, that administration centre of European satelite navigation system Galileo, will be in Prague.

3ĜtURGQtNDWDVWURI\RSWLPDOL]DFHRFKUDQ\LQWHUDNFHVHVWDYHEQtPLNRQVWUXNFHPL

45


1 ÚVOD V současné době nabývá při určování souřadnic geodetických bodů své důležitosti družicový systém GPS (Global Positioning System). Pomocí GPS se určují geocentrické souřadnice, vztažené k elipsoidu WGS-84. V pátek 10. prosince 2010 rozhodli ministři Evropské unie, že administrativní správa evropského satelitního navigačního systému Galileo bude v Praze. V praxi se však používá rovinný souřadnicový systém Jednotné trigonometrické sítě katastrální S-JTSK a výškový systém Balt po vyrovnání Bpv. Proto je nutné naměřená data aparaturou GPS transformovat do výše uvedených systémů. Výhodou aparatur GPS proti klasickým metodám měřením (teodolity, dálkoměry) je, že nemusí být vzájemná viditelnost mezi jednotlivými přijímači, takže jsou nezávislé na denní době a počasí a s vysokou odolností vůči rušivým vlivům. Body je nutno volit tak, aby byl pokud možno, zaručen volný horizont nad 15o. Vlastní měření je jednoduché.

1.1 Základní metody měření - statická pro dlouhé základny, pro kratší základny (< 15 km) pseudostatická, - kinematická (stop & go, kontinuální, RTK, pro sledování polohy pohybujícího se předmětu, např. auta).

1.2 Výpočet se skládá z následujících částí - souřadnice v souřadnicovém systému S-JTSK na souřadnice ϕ a λ na Besselově elipsoidu a normální výšky HN se převádí na elipsoidickou výšku He, - souřadnice ϕ a λ na Besselově elipsoidu a elipsoidické výšky He se převádí na prostorové souřadnice x, y, z, - souřadnice ϕ a λ na elipsoidu WGS - 84 a elipsoidické výšky He se převádí na prostorové souřadnice x, y, z, - Helmertovou transformací se provede výpočet transformačních koeficientů, transformace prostorových souřadnic, míra ztotožnění identických bodů a výpočet poklesu [vv] pro jednotlivé identické body, - převod pravoúhlých souřadnic x, y, z z Helmertovy transformace na sférické souřadnice ϕ a λ na Besselově elipsoidu a elipsoidické výšky He, - g) porovnání délek identických bodů.

2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC A VÝŠEK ZÍSKANÝCH MĚŘENÍM GPS DO S-JTSK A Bpv Transformace se skládá z několika kroků. Nejprve se převedou souřadnice známých bodů na souřadnice polární. Výpočet elipsoidické výšky He (HN je normální výška) He = H N + ξ , kde ξ je výšková anomálie, není-li známa ξ = 0.

2.1 Převod polárních souřadnic na pravoúhlé Výpočet je prováděn podle vzorců [Vykutil]

46



x = (N + He) cos φ cos λ, y = (N + He) cos φ sin λ, z = (ρ + He) sin φ = [N (1 – e2) + He] sin φ N=

a 1 − e sin ϕ 2

2

,e 2 =

a2 a2 − b2

= 1−

b2 a2

,1 − e 2 =

b2 a2

, p = N( 1 − e 2 ).

Ve vzorcích jsou a, b poloosy elipsoidu.

2.2 Helmertova transformace Transformace souřadnic tzv. Helmertovou metodou řeší výpočet transformačních koeficientů metodou nejmenších čtverců. Transformační koeficienty jsou řešeny tak, aby norma odchylek přetransformovaných a původních souřadnic identických bodů byla minimální k 2 2 2 ∑ v x + v y + v z = min. i i i =1 i

V dalším textu budou označeny souřadnice bodů X, Y, Z v soustavě do které transformujeme (první soustava), x, y, z v soustavě ze které transformujeme (druhá soustava), °X, °Y, °Z přetransformované souřadnice identických bodů v první soustavě. Rovnice oprav lze zapsat ve vektorovém tvaru v = °X - X

(1)

kde °X je vektor přetransformovaných souřadnic identických bodů X je vektor souřadnic identických bodů v první tj. původní soustavě. v je vektor oprav souřadnic. Transformační rovnice lze zapsat ve tvaru (2) X=q R x+d,

kde X je vektor geocentrických souřadnic v prvním systému, na Besselově elipsoidu, x je vektor geocentrických souřadnic ve druhém systému, WGS-84, q je délkový modul, R je matice rotace, d je vektor posunu. Matice rotace R má tvar cos β cos γ

cos αsin γ + sin αsin β cos γ sin αsin γ − cos αsin β cos γ

R = −cos β sin γ cos αcos γ − sin αsin β sin γ sin αcos γ + cos αsin β sin γ sin β −sin αsin β cos αcos β


47


Pro malé hodnoty úhlů rotace α, β, γ → 0 platí sin α ≈ α, sin β ≈ β, sin γ ≈ γ, cos α ≈ 1, cos β ≈ 1, cos γ ≈ 1. Pro délkový modul q ≈ 1 můžeme psát q = 1 + m. 1 0 0 X 1 γ − β x dx 0 γ − β  x dx   Y = ( 1 + m) − γ 1 α y + dy = ( 1 + m) 0 1 0 + − γ 0 α  y + dy ,   Z β − α 1 z dz β − α 0  z dz 0 0 1 X=( 1+m)(E + D)x + d, X=Ex + mEx + Dx + mDx + d = Ex + mEx + Dx + d X

x

x

0

γ

Y = y +m y + −γ 0 Z z z β −α

−β x

dx

α y + dy 0 z dz o

Rozepsáním dostáváme pro identické body (se znakem )

o o o

X

=

x

−β z

Y

=

y

+α z

Z

=

z

−α y + β x

+γ y + dx −γ x

+m x + dy

+m y + dz

(3)

+m z

Dosazením do rovnice (1) dostáváme α β oX − X 0 −z y 1 0 0 o o v= X - X = v y = Y − Y = z 0 −x 0 1 0 oZ − Z 0 0 0 1 −y x vz vx

x X x γ y dx + y − Y . z dy z Z dz m

Maticový zápis rovnic oprav má formu v = A h - l.

(4)

Vektor neznámých je dán předpisem T

-1

T

h = (A A) A l.

(5)

Matice A je typu (m, n), m je počet zprostředkujících veličin, kterými jsou souřadnice identických bodů, m = 3k, k je počet identických bodů a n = 7 je počet neznámých. Vektor absolutních členů l je typu (m,1). Vektor neznámých (transformačních koeficientů) h je typu (n,1). Matici A a vektory l a h je možno zapsat ve tvaru

48



A=

0

− z1

z1 − y1

0 x1

0 zk

y1 − x1 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1

− zk 0

x1 y1 z1

yk − xk

1 0 0 0 1 0

xk yk

xk

0

0 0 1

zk

− yk

α β

X1 − x1 A1 A2

=

A3 Ak

,l =

Y1 − y1 Z1 − z1

X k − xk Yk − yk

=

Z k − zk

l1 l2 l3 lk

γ ,h = dx

(6)

dy dz m

Řešení neznámých je dáno rovnicí (5), kdy s výhodou využijeme blokového uspořádání T T matice A A a vektoru A l. Ztotožněním osou systémů v těžišti identických bodů můžeme použít pro výpočet α, β, γ a m redukované souřadnice. Přetransformované souřadnice identických bodů se vypočtou ze vztahu (2). Na identických bodech se vypočtou opravy jednak z rovnic oprav (4) a jednak z přetransformovaných a původních souřadnic identických bodů (1). Kontrolou správnosti výpočtu oprav je shoda prvního i druhého výpočtu oprav a dále platí T

T

[vx] = [vy] = [vz] = 0, A v = 0, v v = l

T

T

l-h A

T

l.

Vektor oprav v je možné řešit ze vztahu T

v = A h - l = A (A A) Inverze matice (A

T

-1

T

T

A l - l = - (E - A (A A)

-1

T

A ) l.

(7)

-1

A) je kontrolována normou vztahu

║E-(ATA) (ATA)-1║=║ E-(ATA)-1 (ATA) -1║= 0. Označíme-li T

-1

R = E - A (A A) A

T

(8)

platí v = - R l.

(9)

Na identických bodech se určí míra ztotožnění a směrodatné odchylky neznámých ze vztahů sx =

[v x v x ],s k

y=

[v y v y ],s k

z=

[v z v z ].s k

o

=

[vv] ,s = s o 3k − 7 q

1

[xx + yy + zz ]

,

1 sdx = s dy = sdz = so ,s = so Qα ,s β = so Q β ,smγ = so Qγ . k α

kde Qα, Qβ, Qγ, jsou první až třetí diagonální prvek matice (AT A)-1.


49


3 VYHLEDÁNÍ NEIDENTICKÉHO BODU Neidentičnost bodů se projeví zpravidla velkými opravami vx, vy, v z. V [Ratiborský] je popsán vztah mezi vektorem skutečných chyb zprostředkujících veličin ε a vektorem oprav v. Tento vztah je dán předpisem m

v=Rε,

vi =

∑R ε

(10)

ij j

i =1, j =1

Uvedený vztah poslouží k vyhledání neidentického bodu. Za předpokladu, že všechna měření, kromě jednoho jsou naprosto bezchybná, pak chybu v měření lze určit ze vztahů εi =

vi ,ε j = 0 , j ≠ i. Ri,i

(11)

U souřadnic musíme vzít v úvahu, že měření jsou souřadnice, a proto musíme v (11) uvažovat vztah pro bod, tj. tři souřadnice i ∈ (1, ..., k), j = 3 i. vx R11 v y = R21

R12 R22

R13 ε x R23 ε y ⇒ v i = R i ε i ⇒ ε i = R i−1 v i ,

vz

R32

R33 i ε z

i

R31

εT i R i εi

=

−1 −1 vT i Ri Ri Ri vi

i −1 = vT i Ri vi.

Největší norma rovnice (18) signalizuje nejméně identický bod.

4 PŘEVOD VYPOČTENÝCH PRAVOÚHLÝCH SOUŘADNIC NA Y, X V S-JTSK Výpočet pravoúhlých souřadnic na souřadnice polární je prováděn podle vzorců [Vykutil]. V dalším kroku je nutné převést polární souřadnice na souřadnice v Jednotném systému trigonometrické katastrální S-JTSK. Výpočet je prováděn podle vzorcù [Böhm, Hojovec]. Normální výška je rozdílem elipsoidické výšky He a výšky qvazigeoidu nad elipsoidem (anomálie výšky) ξΝ HN = He - ξΝ. Na identických bodech se určí míra ztotožnění přetransformovaných veličin (souřadnic y, x v souřadnicovém systému S - JTSK a výšek v systému Balt po vyrovnání - Bpv) s původními veličinami podle vztahů

5 POROVNÁNÍ VODOROVNÝCH DÉLEK Jsou porovnány délky mezi identickými body vypočtené z daných souřadnic (y, x) v S-JTSK a délek vypočtených postupným převodem:

50



y, x, h→(ϕ, λ, H)B→(X, Y, Z)B→ sš→ t→ so→ so m ≈ sJTSK ⇔ √ (xj - xi)2 + (yj - yi) 2, (X, Y, Z)WGS → sš → t → so → so m, ve druhém výpočtu se projeví neidentičnost bodů, změna polohy bodů, nesprávně určené měřítko a chyba v centraci (sš = šikmá délka, t = délka tětivy, so = délka v nulovém horizontu, m = měřítkový koeficient, sJTSK = délka v S-JTSK).

6 ZÁVĚR Uvedené kritérium odhadu směrodatné odchylky v souřadnicích daných pevných bodů při řešení vázané, tj. vložné, sítě je nutné chápat jako pomocné kritérium. Kritérium selhává, budou-li změny polohy bodů ve směru gradientů spojnic, nebo dojde-li k rovnoběžnému posunu nebo pootočení všech bodů. Odhad bude též nepřesný v případě přibližně rovnoběžného posunu některých bodů, což je v praxi možné. Dále je nutné si uvědomit, že nárůst směrodatné odchylky po vyrovnání se projeví ve výpočtu, jestliže měřené parametry byly zatíženy systematickými chybami. Proto je nutné u vázaných sítí při nárůstu s zjistit, zda tento nárůst je způsoben změnou souřadnic (polohy) nebo působením systematických chyb. Tuto skutečnost lze odhalit opakovaným výpočtem téže sítě, avšak jako volné, kdy budeme uvažovat, že všechny body jsou určované. V případě poklesu směrodatné odchylky u volné sítě oproti vázané je možné se domnívat, že v síti došli k pohybu bodů.

6.1 Literatura BÖHM, J. - HORA, L. - KOLENATÝ, E.: Vyšší geodézie - díl I. První vydání. Vydavatelství ČVUT, Praha, 1979. 447 s. CIMBÁLNÍK, M.: Lokální síť Praha. Geodetický a kartografický obzor, 22 (64), 1976, č. 6, str. 154-159. CIMBÁLNÍK, M.: Vyšší geodézie - souřadnicové systémy. Doplňkové skriptum. První vydání Praha, Vydavatelství ČVUT 1995. 66 s. JOKL, L.: Projektory, pseudoinverzní operátory a hodnocení geodetických sítí. [Příloha k výzkumnému úkolu č. R-4-01-02 VÚGK Bratislava.] Praha, ČVUT Praha, Stavební fakulta, 1982. 40 s. HOJOVEC, V.: Matematická kartografie. Třetí přepracované vydání. Vydavatelství ČVUT, 1984, 199 s. KARSKÝ, G.: Jak pracuje družicový systém GPS? Geodetický a kartografický obzor, 36 (78), 1990, č. 8, s. 187 - 192. Nařízení vlády č. 116/1955 Sb. , kterými se stanoví geodetické referenční systémy , státní mapová díla závazní na celém území státu a zásady jejich používání. NOVOTNÁ, R.: Určení poloměrů izometrických čar v kuželovém zobrazení ČSSR. Geodetický a kartografický obzor 22 (64), 1976, č. 11, s. 307 - 310. RATIBORSKÝ,J.: Vliv systematických chyb na vyrovnání geodetických sítí. Kandidátská disertace. Praha 1987. 179 s. ČVUT Praha. Stavební fakulta. VYKUTIL, J.: K převodu měřených délek do zobrazovací roviny souřadnicového systému S-JTSK. Geodetický a kartografický obzor 20 (62), 1974, č. 10, s. 276 - 281. VYKUTIL, J.: Vyšší geodézie. První vydání. Kartografie Praha 1982, 544 s.


51

Výpočet polohy bodů zaměřených metodou GPS

Recommend Documents