VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy
Číslo projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Anotace Vytvořeno Určeno pro Přílohy
Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 CZ.1.07/1.5.00/34.1076 III/2 – Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 0105 Miloš Kafka Trojčlenka VY_32_INOVACE_0105_0108 Trojčlenka – nepřímá úměra – výkladová část Problematika počítání metodou trojčlenky – nepřímá úměra, výkladová část 18.6.2013 Matematika 1. ročník, studijní a učební obory Bez příloh
Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Středisko oborů služeb a cestovního ruchu, Bratislavská 2166, Varnsdorf
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Miloš Kafka.
Trojčlenka Nepřímá úměra – výkladová část
Organizace výuky: Tento materiál lze využít v elektronické i tištěné podobě, aby mohlo být dosaženo samostatné individuální i skupinové práce. Učitel má možnost žákům předat i výsledky úloh, čímž lze docílit stavu, kdy si žáci sami budou ověřovat správnost svých postupů a tak se samostatně zdokonalovat bez přílišné pozornosti učitele. Ten tak má více času k pomoci pomalejším žákům. Na tento materiál navazuje materiál s množstvím úloh k procvičování. Poznámky: •
Forma textového dokumentu je zvolena proto, aby bylo umožněno žákům vpisovat si své poznámky v elektronické podobě. Samozřejmě je možné materiál tisknout a vpisovat poznámky i v neelektronické podobě.
•
Pro grafické znázorňování v elektronické podobě je nutné mít zobrazen panel „Kreslení“.
•
Grafy lze vytvářet k tomu určeným softwarem.
Trojčlenka – nepřímá úměra Problémy a příklady, které se řeší pomocí postupu nazvaného „trojčlenka – nepřímá úměra“, si nejdříve ukážeme na níže uvedených obrázcích. Představ si, že jsi manažer(ka) a cílem tvé práce je pomáhat lidem v jejich životních situacích. Např. s výchovou, doučováním, finančním poradenstvím, apod. Pozn: ty jsi ten(ta) s kravatou. Kolika klientům musíš podle obrázku vlevo pomoci? Odpověď: ________________ Vybarvi, zakroužkuj, nebo jinak graficky znázorni všechny klienty, kterým musíš pomoci.
Obr. 1
Pověst o tvé dobré pomoci se rychle rozšířila a proto k tobě přišlo více klientů. Kolika klientům musíš podle obrázku vlevo pomoci? Odpověď: ________________ Vybarvi, zakroužkuj, nebo jinak graficky znázorni všechny klienty, kterým musíš pomoci.
Obr. 2
Toto množství klientů ale již sám(sama) nezvládneš a proto jsi zaměstnal(a) dalšího manažera.
S tímto novým kolegou si klienty rozdělíte rovným dílem. Kolika klientům musíš podle obrázku vlevo pomoci? Odpověď: ________________ Kolika klientům musí pomoci tvůj kolega? Odpověď: ________________ Kolika klientům pomůžete dohromady? Odpověď: ________________ Graficky rozděl klienty, kterým pomůžeš ty a kterým pomůže tvůj kolega. Obr. 3
Proto, aby byla Vaše nabízená pomoc efektivní jsi zaměstnal(a) dalšího manažera a opět si klienty rozdělíte rovným dílem. Kolika klientům musíš podle obrázku vlevo pomoci? Odpověď: ________________ Kolika klientům musí pomoci tvůj první kolega? Odpověď: ________________ Kolika klientům musí pomoci tvůj druhý kolega? Odpověď: ________________ Kolika klientům pomohou pouze tvoji kolegové? Odpověď: ________________ Obr. 4
Graficky rozděl klienty, kterým pomůže každý z vás.
Uvažuješ o tom, že by jsi zaměstnal(a) ještě jednoho manažera, se kterým byste si opět rozdělili klienty rovným dílem. Kolika klientům bys musel(a) podle obrázku vlevo pomoci? Odpověď: ________________ Kolika klientům by musel pomoci tvůj první kolega? Odpověď: ________________ Kolika klientům by musel pomoci tvůj druhý kolega? Odpověď: ________________
Obr. 5
Kolika klientům by musel pomoci tvůj třetí kolega? Odpověď: ________________ Kolika klientům pomohou pouze dva tvoji kolegové? Odpověď: ________________ Kolika klientům pomohou pouze tři tvoji kolegové? Odpověď: ________________ Graficky rozděl klienty, kterým pomůže každý z vás.
Co jsi se naučil(a) na obrázcích? 1) Čím více bylo manažerů tím musel pomoci každý z nich více nebo méně klientům? 2)Když jste spolupracovali dva manažeři, musel každý z Vás pomoci: a) všem klientům
b) třetině klientů
c) polovině klientů
d) čtvrtině klientů
3) Když jste spolupracovali tři manažeři, musel každý z Vás pomoci: a) všem klientům
b) třetině klientů
c) polovině klientů
d) čtvrtině klientů
4) Když byste spolupracovali čtyři manažeři, musel by každý z Vás pomoci: 5) Představ si, že pracujete ve dvojicích (viz. obrázek). Původně jste byli jedna dvojice, která musela pomoci 12-ti klientům. Zaměstnali jste ale další dvojici, se kterou si rozdělíte klienty rovným dílem. a) Kolika klientům bude muset pomoci každá z dvojic? Odpověď: ________________ b) Bude muset každá z dvojic pomoci: a) všem klientům b) třetině klientů c) polovině klientů d) čtvrtině klientů Odpově'd: ________________ 6)Představ si, že jste přibrali ještě třetí dvojici (viz. obrázek). Klienty si rozdělíte rovným dílem mezi dvojice. a) Kolika klientům bude muset pomoci každá z dvojic? Odpověď: ________________ b) Bude muset každá z dvojic pomoci: a) všem klientům b) třetině klientů c) polovině klientů d) čtvrtině klientů Odpově'd: ________________
7) Vlastními slovy popiš, co znamená „nepřímá úměra“?
Výsledky o obrázcích Obrázek 1: Jsi sám(sama) a proto musíš všem 4-em klientům pomoci sám(sama). Obrázek 2: Opět jsi sám(sama) a proto musíš všem 12-ti klientům pomoci sám(sama). Obrázek 3: Zde jste již dva(dvě) a proto si klienty rozdělíte na polovinu. Polovina z 12 je 6 (12 / 2). Tedy 6-ti klientům pomůžeš ty a 6-ti klientům pomůže tvůj kolega. Dohromady tedy pomůžete 12-ti klientům. Obrázek 4: Zde již tři kolegové. Klienty si proto rozdělíte na třetiny. Třetina z 12 jsou 4 (12 / 3). Proto ty pomůžeš 4-em klientům, tvůj první kolega pomůže 4-em klientům a také tvůj druhý kolega pomůže 4-em klientům. Z toho také plyne, že pouze tvoji kolegové pomohou dohromady 8-mi (4+4) klientům. Obrázek 5: Zde byste byli již čtyři a proto by každý z Vás mohl pomoci čtvrtině klientů. Čtvrtina klientů z 12 jsou 3 (12 / 4). Proto každý(á) z Vás pomůže 3-em klientům. Z toho vyplývá, že pouze dva tvoji kolegové pomohou dohromady 6-ti (3+3) klientům a tři tvoji kolegové pomohou dohromady 9-ti (3+3+3) klientům. Co jsi se naučil(a) na obrázcích? 1) Čím více bylo manažerů, tím méně klientům musel každý z nich pomoci. 2) c – polovině klientů 3) b – třetině klientů 4) d – čtvrtině klientů 5) a) 6; b) c – polovině klientů, protože jsou dvě dvojice 6) a) 4; b) b – třetině klientů, protože jsou tři dvojice 7) Nepřímá úměra – čím více je jednoho, tím méně bude druhého a naopak. Nikdy nebude platit, že čím více …, tím více..., apod. čím méně …, tím méně...
Problémové úlohy [Text k úlohám – muži :] Táta se připravuje na tuhou zimu a proto si objednal 80 „metráků“ uhlí. A jako každý rok, jsi dostal za úkol, toto množství uhlí složit do sklepa. Z předchozích let také víš, že ti to vždy zabralo cca 24 hodin. [úloha 1:] Tolik času ale nemáš, tak si chceš pozvat svého kamaráda. Kolik hodin budete skládat dané množství uhlí, když oba dva pracujete zhruba stejně výkonně? [úloha 2:] Stále je to hodně času, který nemáš. Jak dlouho by vám trvalo složit původní množství uhlí, když by jsi si pozval 2 kamarády? Uvažuj, že pracují stejně výkonně jako ty. [úloha 3:] Líbí se ti, jak se ten čas zkracuje s narůstajícím množstvím stejně výkonných kamarádů. Jen tak pro zajímavost chceš určit, kolik času by vám trvalo složit původní množství uhlí do sklepa, když by jsi si pozval 3 stejně výkonných kamarádů.
[Text k úlohám – dívky :] Pravidelně každý rok o velkých prázdninách chce mamka udělat doma „generální úklid“. Stejně jako každý rok, jsi dostala tuto činnost na starosti. Z předchozích let také víš, že uklidit celou velkou vilu ti zabere 24 hodin. [úloha 1:] Tolik času ale nemáš, tak si chceš pozvat svou kamarádku. Kolik hodin budete uklízet, když pracujete obě dvě stejně výkonně? [úloha 2:] Stále je to hodně času, který nemáš. Jak dlouho by vám trvalo uklidit celou vilu, když by jsi si pozvala 2 kamarádky? Uvažuj, že pracují stejně výkonně jako ty. [úloha 3:] Líbí se ti, jak se ten čas zkracuje s narůstajícím množstvím stejně výkonných kamarádek. Jen tak pro zajímavost chceš určit, kolik času by vám trvalo uklidit celou vilu, když by jsi si pozvala 3 stejně výkonné kamarádky.
[úloha - společná 4:] Podle předchozích zadání vytvoř tabulku, která bude ukazovat potřebný čas na složení uhlí, či úklid, vzhledem k počtu lidí, kteří se na této činnosti podílejí. Z vytvořené tabulky vytvoř spojnicový graf, který přehledně zobrazí pozorovaný vztah mezi časem a počtem lidí. V grafu zobrazený vztah popiš svými slovy. [úloha - společná 5:] Podle předchozích zadání vytvoř tabulku, která bude ukazovat zlomek k původnímu času na složení uhlí, či úklid, vzhledem k počtu lidí, kteří se na této činnosti podílejí. Např. pro dvě osoby se jedná o zlomek ½. Z vytvořené tabulky vytvoř spojnicový graf, který přehledně zobrazí pozorovaný vztah. [úloha - společná 6:] Z uvedených úloh a grafů zkus sestavit postup, kterým by se daly vypočítat podobné příklady trojčlenka nepřímé úměry.
Výsledky úloh 1-3 1)12 hodin 2) 8 hodin 3) 6 hodin 4) Počet osob
1
2
3
4
Potřebný čas (hod.)
24 12 8
6 Čím více lidí by se mělo podílet na činnosti, tím méně celkového času potřebuji a obráceně. Grafem již není přímka, jako v případě
přímé úměry, ale křivka. 5) Počet osob
1
2
3
4
Potřebný čas (hod.)
1
1/2 1/3 1/4
Vyjasnění postupu počítání nepřímé úměry Jak poznáš, zda jde o nepřímou úměru? Viz. graf v úloze 4. Čím více bylo osob podílejících se na práci, tím méně času bylo zapotřebí Nepřímá úměra = čím více tím méně; čím méně tím více
Na předchozí úloze 1 si nyní vysvětlíme postup, jak počítat tento typ příkladů – nepřímá úměrnost.
[první krok :] Určit násobek veličiny, kterou zjišťuji. Pokud nás zajímá, jak se změní čas na složení uhlí (úklid), pak je touto veličinou právě tento čas. Tento čas se totiž mění vzhledem k počtu lidí, kteří se na činnosti podílejí. Násobek se určí takto: Kolikrát je počet lidí větší, tolikrát bude čas menší. Pokud budu sám (sama) sklízet uhlí (uklízet vilu) potřebuji 24 hod. Ve dvou to bude polovina, tedy 12 hod. Počet lidí je totiž 2x větší. Čas bude proto 2x menší. Násobek času je tedy ½ = 0,5 [druhý krok :] Zjištěným násobkem vynásobit původní čas. [rozvinutí prvního kroku :] První krok platí pouze pro „krásné“ počty. Ale např. v následujícím případě to není již tak jednoduché. 2 lidé sklízejí uhlí 24 hod. Kolik hodin jej budou sklízet 3 lidé? Kolikrát je počet lidí větší? Kolikrát musíš vynásobit 2, abys dostal(a) 3? x*2=3 x=3/2 Lidí je 3/2 x (1,5 x) více, proto bude času 3/2 x méně. 24 2 48 = 24× = = 16 hod. 3 3 3 2
