VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA
1.
Výpo£et obsahu rovinných ploch
a) Plocha ohrani£ená k°ivkami zadanými v kartézských sou°adnicích.
Obsah S rovinné plochy ohrani£ené dv¥ma spojitými k°ivkami y = f (x) a y = g(x), kde g(x) ≥ f (x) pro x ∈ (a, b), a < b, a dv¥ma p°ímkami x = a a x = b je dán vztahem ˆb
(1.1)
(f (x) − g(x)) dx.
S= a
Vypo£t¥te obsah rovinné plochy, kterou ohrani£ují k°ivky zadané v kartézských sou°adnicích takto: y = 2x − x2 , x + y = 0. P°íklad 1.
2 e²ení : Nalezneme nejprve pr·se£íky paraboly y = 2x − x s p°ímkou y = −x. e²ením rovnice 2x − x2 = −x snadno nalezneme, ºe dané k°ivky se protínají v bodech [0, 0] a [3, −3]. Gra cky znázorn¥no:
Podle (1.1) dostáváme pro hledaný obsah ˆ3
ˆ3 2
2x − x − (−x) dx =
S= 0
0
3 3 2 1 3 9 3x − x2 dx = x − x = . 2 3 2 0
Vypo£t¥te obsah rovinné plochy, kterou ohrani£ují k°ivky zadané v kartézských sou°adnicích takto: y = 2x , y = 2 a x = 0. P°íklad 2.
: Oblast v rovin¥, kterou ohrani£ují exponenciální funkce y = 2x , konstantní funkce y = 2 a osa Oy , je patrná z obrázku e²ení
1
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU
I. OBSAH A DÉLKA
2
a její plo²ný obsah je op¥t dán integrálem (1.1), s dolní mezí 0 a horní mezí 1. Tudíº ˆ1
1 2x 2 1 1 (2 − 2 ) dx = 2x − =2− − − =2− . ln 2 0 ln 2 ln 2 ln 2 x
S= 0
Vypo£t¥te obsah rovinné plochy ohrani£ené elipsou, která je zadána v kartézských sou°adnicích rovnicí P°íklad 3.
y2 x2 + = 1. 25 9 e²ení : Zadaná elipsa má st°ed v bod¥ [0, 0], a poloosy délek 5 a 3 rovnob¥ºné s osami Ox a Oy ,
Hledaný obsah S tedy vypo£teme jako S = 2S0 , kde S0 je obsah plochy ohrani£ené √ osou Ox a funkcí y = 35 25 − x2 . Dostáváme ˆ5 p ˆ5 3 3 p 2 S0 = 25 − x dx = 25 − x2 dx, 5 5 −5
−5
a po substituci x = 5 sin t, dx = 5 cos t dt, v tomto ur£itém integrálu (srv. V¥ta o substituci pro ur£itý R-integrál), kterou se interval (−5, 5) zobrazuje na interval (− π2 , π2 ), S0
ˆπ/2 p
3 5
=
25 −
(5 sin t)2
3 5 cos t dt = 5
−π/2
=
ˆπ/2
3 5
=
(− π2 , π2 )
ˆπ/2 25 cos2 t dt = 15
−π/2
15 2
25| cos t| cos t dt, −π/2
a pon¥vadº funkce cos t je na intervalu S0
ˆπ/2
−π/2
kladná, máme
π/2 1 + cos 2t 15 1 dt = t + sin 2t 2 2 2 −π/2
π 1 π 1 15 + sin π − − + sin(−π) = π, 2 2 2 2 2
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU
I. OBSAH A DÉLKA
3
a odtud S = 15π . Výsledek tedy odpovídá známému vzorci pro výpo£et obsahu elipsy S = πab, kde a = 5, b = 3. Nech´ je dána k°ivka v rovin¥ grafem spojité funkce y = f (x), f (x) ≥ 0 pro x ∈< a, b >, a rovn¥º je dána parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), kde t1 ≤ t ≤ t2 , kde ψ(t) ≥ 0, ϕ(t1 ) = a, ϕ(t2 ) = b. Potom obsah S plochy v rovin¥ vymezený grafem dané k°ivky, sou°adnicovou osou Ox , a p°ímkami x = a, x = b, je dán vztahem b) Plocha ohrani£ená k°ivkou zadanou parametricky.
ˆt2
ˆb
(1.2)
S=
0
ψ(t)ϕ (t)dt.
f (x)dx = t1
a
P°íklad 4. Vypo£t¥te obsah plochy v rovin¥ ohrani£ené grafem k°ivky, která je zadána parametricky: x = 2(t − sin t), y = 2(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π , (tzv. cykloida, viz. nap°. http://cs.wikipedia.org/wiki/Cykloida) a osou Ox : y = 0. e²ení: Plocha v rovin¥, jejíº obsah po£ítáme, je patrná z obrázku:
P°ímým pouºitím vzorce (1.2), kde ϕ(t) = 2(t − sin t), ψ(t) = 2(1 − cos t), obdrºíme ˆ2π S
=
ˆ2π 2(1 − cos t)2(1 − cos t)dt = 4 (1 − cos t)2 dt
0
=
0
2π ˆ ˆ2π ˆ2π 4 dt − 2 cos tdt + cos2 tdt 0
=
4
0
2π [t]0
−
0
2π 2 [sin t]0
1 t + cos 2t + 2 4
2π ! = 12π. 0
íslo 2 v parametrickém zadání k°ivky je zvolený parametr cykloidy. Jaký bude plo²ný obsah, budeme-li uvaºovat obecn¥ cykloidu s parametrem a (a > 0)? P°edpokládejme nyní, ºe je dána uzav°ená k°ivka v rovin¥, orientovaná proti sm¥ru hodinových ru£i£ek, která zleva ohrani£uje plochu o obsahu S . Nech´ tato k°ivka je dána parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), kde t1 ≤ t ≤ t2 . Potom platí (1.3)
ˆt2
0
ˆt2
ϕ(t)ψ (t)dt = −
S= t1
0
ψ(t)ϕ (t)dt. t1
P°íklad 5. Napi²te parametrické rovnice elipsy z P°íkladu 3. a ov¥°te výpo£et uºitím vzorce (1.3). e²ení: Obecné parametrické rovnice elipsy (o st°edu v po£átku [0, 0] a poloosami rovnob¥ºnými se sou°adnicovými osami Ox a Oy ) jsou tvaru x = a cos t, y = b sin t,
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU
I. OBSAH A DÉLKA
4
0 ≤ t < 2π , kde a je hlavní a b vedlej²í poloosa elipsy. V na²em p°ípad¥ je a = 5, b = 3. Výpo£et obsahu S dokon£ete podle vzorce (1.3). P°íklad 6. Vypo£t¥te obsah plochy v rovin¥, kterou ohrani£uje uzav°ená k°ivka s parametrickými rovnicemi x = 2t − t2 , y = 2t2 − t3 , 0 ≤ t ≤ 2.
e²ení: Aplikujeme vztah (1.3), p°i£emº ϕ(t) = 2t−t2 , ψ(t) = 2t2 −t3 , a obdrºíme ˆ2 S
ˆ2 2
2t − t
=
4t − 3t
2
0
=
8t2 − 10t3 + 3t4 dt
dt = 0
8 3 5 4 3 5 t − t + t 3 2 5
2 = 0
8 . 15
K°ivka vymezující tento plo²ný obsah vypadá následovn¥:
c) Plocha ohrani£ená k°ivkou zadanou v polárních sou°adnicích. Uvaºujme nyní k°ivku v rovin¥, která je zadána v polárních sou°adnicích (r, ϕ), tzn. sou°adnicích daných transformací: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, kde (x, y) ozna£ují kartézské sou°adnice. Obsah S rovinné plochy ohrani£ené danou k°ivkou r = r(ϕ) a polop°ímkami ϕ = α, ϕ = β (α < β ) je dán vztahem
1 S= 2
(1.4)
ˆβ r2 (ϕ)dϕ. α
r(ϕ)
r(β)
S β
r(α)
α
P°íklad 7.
0 ≤ ϕ ≤ π. e²ení:
Vypo£t¥te obsah rovinné plochy ohrani£ené k°ivkou r = sin 3ϕ, kde
Uvaºovaná k°ivka v polárních sou°adnicích (trojlístek) má tento graf
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU
I. OBSAH A DÉLKA
5
Pro obsah S , který tato k°ivka ohrani£uje tedy podle (1.4) platí 1 S= 2
ˆπ
1 sin (3ϕ)dϕ = 2
0
P°íklad 8. e²ení:
tento graf
ˆπ
2
0
π 1 − cos(6ϕ) 1 1 π dϕ = ϕ − sin(6ϕ) = . 2 4 6 4 0
Vypo£t¥te obsah rovinné plochy ohrani£ené k°ivkou r2 = cos 2ϕ.
Uvaºovaná k°ivka v polárních sou°adnicích (Bernoulliova lemniskata) má
Vzhledem k soum¥rnosti grafu vypo£teme obsah plochy, který tato k°ivka ohrani£uje, jakoºto 4S0 , kde S0 zna£í obsah plochy ohrani£ené obloukem k°ivky v prvním kvadrantu, tj. £ástí k°ivky pro 0 ≤ ϕ ≤ π/4 (modrá £ást k°ivky v grafu). Podle (1.4) dostáváme 1 S0 = 2
ˆπ/4 1 1 π/4 cos(2ϕ)dϕ = [sin(2ϕ)]0 = , 4 4 0
tedy S = 1. 2.
Výpo£et délky rovinných k°ivek
Bu¤ dána spojit¥ diferencovatelná k°ivka v rovin¥, zadaná a) grafem funkce y = f (x), a ≤ x ≤ b, v kartézských sou°adnicích, b) parametricky x = ϕ(t), y = ψ(t), t1 ≤ t ≤ t2 , c) v polárních sou°adnicích r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β , r ≥ 0. Potom délka l této k°ivky je dána vzorci: (2.1)
ˆb q l=
2
1 + (f 0 (x)) dx,
a
(2.2)
ˆt2 q l=
2
2
(ϕ0 (t)) + (ψ 0 (t)) dt,
t1
(2.3)
ˆβ q l=
2
r2 (ϕ) + (r0 (ϕ)) dϕ,
α
p°i£emº uvedené formule odpovídají popo°ad¥ zadání k°ivky grafem funkce (2.1), parametricky (2.2) a v polárních sou°adnicích (2.3). P°íklad 9.
Vypo£t¥te délku k°ivky y =
√
x3 na intervalu 0 ≤ x ≤ 4.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU
e²ení:
P°ímo aplikujeme vzorec (2.1) pro f (x) =
I. OBSAH A DÉLKA
√
x3 , f (x) = 0
3√ 2 x.
6
Dostáváme
ˆ4 r 9 l= 1 + xdx. 4 0
K výpo£tu uvedeného integrálu pouºijme substituci pro ur£itý integrál tvaru 1 + 9 9 4 x = t, 4 dx = dt, a obrºíme 4 l= 9
ˆ10 √
tdt =
4 2 h√ 3 i10 8 √ 10 10 − 1 . t = 93 27 1
1
P°íklad 10. e²ení:
Vypo£t¥te délku k°ivky y = ex na intervalu 0 ≤ x ≤ 3.
Postupujeme analogicky jako v p°edchozím p°íkladu. Podle (2.1) máme
ˆ3 p ˆ3 q ˆ3 1 p 2e2x 0 2 x 2x 1 + ((e ) ) dx = 1 + e dx = 1 + e2x 2x dx, l= 2 e 0
0
0
a po substituci v tomto ur£itém integrálu, t = 1 + e , dt = 2e2x dx, obdrºíme 2x
1 l= 2
6 1+e ˆ
√
t dt. t−1
2
Poslední integrál je tzv. binomický a pouºijeme zde vhodnou substituci t = u2 , dt = 2u du. Tedy ˆ
√
ˆ
ˆ u u2 2u du = 2 du u2 − 1 u2 − 1 ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 du = 2 u + − du = 2 du + u2 − 1 2 u−1 u+1 √ √ t − 1 1 u − 1 √ = 2 u + ln + const. = 2 t + ln t + 1 + const., 2 u + 1
t dt = t−1
a odtud l
= =
√ 6 t − 1 1+e 1 √ 2 t + ln √ 2 t + 1 2 ! √ √ p √ 1 1 + e6 − 1 2−1 6 2 1 + e − 2 2 + ln √ − ln √ , 2 2+1 1 + e6 + 1
a po úprav¥ posledního výrazu obdrºíme
√ p √ 1 + 1 + e6 6 √ l = 3 + 1 + e − 2 − ln . 1+ 2
P°íklad 11.
Vypo£t¥te délku k°ivky zadané parametrickými rovnicemi x =
cos t + t sin t,
y
sin t − t cos t, 0 ≤ t ≤ 2π.
=
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU
e²ení:
I. OBSAH A DÉLKA
7
Této k°ivce °íkáme závitnice, zde je její graf (£erven¥ je £ást grafu pro
0 ≤ t ≤ 2π )
Pro výpo£et délky £ásti této k°ivky pouºijeme nyní vzorec (2.2), kde ϕ(t) = 0 0 cos t + t sin t, ψ(t) = sin t − t cos t. Potom ϕ (t) = t cos t, ψ (t) = t sin t, a dostáváme ˆ2πp ˆ2π 1 2 2π 2 t2 cos2 t + t2 sin tdt = t dt = t 0 = 2π 2 . l= 2 0
P°íklad 12.
0
Vypo£t¥te délku k°ivky zadané v polárních sou°adnicích p°edpisem
r = 1 + cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π . e²ení:
Graf zadané k°ivky je
(tzv. kardioida). Pro výpo£et délky l pouºijeme vzorec (2.3), kde r(ϕ) = 1 + cos ϕ, 0 r (ϕ) = − sin ϕ. Pon¥vadº na²e k°ivka je soum¥rná podle osy Ox , sta£í vypo£ítat její délku pro 0 ≤ ϕ ≤ π a násobit dv¥ma. Tedy l
=
π ˆπ q √ ˆ p 2 2 2 (1 + cos ϕ) + sin ϕdϕ = 2 2 1 + cos ϕdϕ 0
=
0
π π √ √ ˆ p √ ˆ sin ϕ 1 − cos ϕ 2 2 1 + cos ϕ √ dϕ = 2 2 √ dϕ, 1 − cos ϕ 1 − cos ϕ 0
0
a po substituci θ = 1 − cos ϕ, dθ = sin ϕdϕ, odtud obdrºíme √ ˆ 1 √ h √ i2 l = 2 2 √ dθ = 2 2 2 θ = 8. 0 θ 2
0
