VOJTĚCH BENEŠ, MIREK KUBERA FYZIKA

FYZIKA VOJTĚCH BENEŠ, MIREK KUBERA

GML Publishers 2013

Kapitola 1

Kmitání mechanického oscilátoru Jaký učený název! Zkusme si ale uvědomit, kde všude kolem sebe oscilátory nalezneme. Ano, tlumiče automobilu jsou jedním příkladem, houpačka druhým a když se nebudeme držet pouze mechaniky, nalezneme je takřka v každém oboru lidské činnosti. Pomáhají nám měřit čas, ohřívají jídlo, navigují nás. Mají něco společného?

Oddíl 1

Základní popis CO SE NAUČÍME?

Co je to oscilátor?

1. Pochopit, že oscilátory jsou všude kolem nás.

Na následujících obrázcích si

2. Zjistit, jaké základní veličiny každý oscilátor charakterizují.

oscilátor je sice poměrně složitý,

3. Naučit se jejich pohyb popsat slovně i matematicky.

pohybu oscilátoru neboli jeho

můžete uvědomit, že pojem

Galerie 1.1 Příklady oscilátorů

ale se zařízeními, které využívají kmitavého pohybu se dnes setkáváme zcela běžně. Už při cestě do školy nebo do zaměstnání. Nasadíme si náramkové hodinky, které obsahují mechanický nebo elektronický nepokoj (oscilátor). Jedeme autem

Tlumiče automobilů - dokážete si představit pohyb automobilu bez nich?

nebo autobusem - jeho tlumiče nás chrání před otřesy na nerovnostech vozovky. Čas opět odměřují mechanické nebo elektronické hodiny, při přípravě oběda využijeme mikrovlnné trouby, odpoledne se stavíme s mladším bratříčkem na dětském hřišti (houpačka) nebo se při výletu

2

necháme navádět přístrojem GPS. Večer si poslechneme komorní

Videozáznam snímaný s vysokorychlostní kamerou (např. 1000

kvartet a přijde-li na věc, uvědomíme si, že jsme slyšeli hned

snímků za sekundu – 1000 FPS) nám umožní zviditelnit děje,

několik oscilátorů.

kterou jsou velmi rychlé a okem je nemůžeme vidět. Rameno

Pomocí sofistikovaných přístrojů (EKG) můžeme zaznamenat činnost lidského srdce a z nepatrných odchylek od běžných křivek zjistit, zda vyšetřovaný pacient netrpí nějakou srdeční

ladičky se zřetelně deformuje, kmitá kolem určité polohy. Člověk vnímá zvuk. Co je jeho příčinou? Jak se pohybuje kmitající rameno ladičky?

vadou. Jak vypadá kardiogram? Dokážete tuto křivku stručně

Hlasivky jsou také pěkným příkladem oscilátoru. Chceme-li

popsat?

vyslovit nějakou hlásku, musíme je velmi rychle rozkmitat (100 300 krát za sekundu). Zaznamenáme-li toto kmitání na počítači nebo osciloskopu, získáme představu o tom, jak jednotlivé hlásky vypadají a čím se vlastně liší.

Film 1.1 Botafumeiro

Námořní navigace a měření času

Již po staletí se vydávají poutníci do španělského města Santiago de Compostella, aby se poklonili ostatkům svatého Jakuba Staršího. Při liturgii je prostor chrámu vykuřován kadidelnicí zavěšenou na laně. Jak je kadidelnice uváděna do pohybu? Jaký pohyb vykonává?

Trvalo velmi dlouho než byly sestrojeny mechanické hodiny, jejichž pohyb byl nezávislý na pohybech lodi, což bylo důležité z hlediska navigace při mořeplavbě. Jejich konstruktérem byl John Harrison (1693 1776) a za svůj vynález získal od

Když se díváme kolem

sebe,

všimneme si různých dějů, které se postupně opakují. Ta k o v é

děje

nazýváme periodické. Pravidelně se střídá den a noc, roční období, poloha hvězd na obloze, ale i další děje. Pravidelně dýcháme 3

a pozorujeme zvedání hrudníku, cítíme, že nám tluče srdce, celé naše tělo je seřízeno podle pravidelně se opakujících dějů. Podívejme se kolem sebe, člověk vytvořil mnoho technických zařízení, jejichž principem je pravidelně se opakující – periodický – děj. Kyvadlo hodin se pomalu přesunuje ze strany na stranu, tlumiče automobilu kmitají kolem určité polohy, v kapesních hodinkách kmitá nepokoj, signály GPS a další se šíří na elektromagnetických vlnách, které jsou vytvářeny kmitáním antény. Takovéto systémy nazýváme oscilátory. Z uvedených příkladů je zřejmé, že nalezneme oscilátory biologické, mechanické

či

elektrické. A tento výčet rozhodně není úplný.

Popis vlastností oscilátorů Co je všem těmto tělesům či systémům společné? Jak můžeme jejich vývoj popsat? Pomocí jakých veličin? Nejprve by bylo vhodné, a b y c h o m d e fin o v a l i o s c i l á t o r. S t r u č n ě řečeno jde o jakýkoliv systém, který se vyvíjí 4

Interaktivní 1.1 Popis uspořádání experimentu.

charakterizována svojí tuhostí k, ale o tom až později. Pružina je na jednom konci zavěšená na stojanu. Jestliže na její volný konec zavěsíme závaží o hmotnosti m, její délka se zvětší, pružina se prodlouží. Závaží se po chvilce ustálí v určité poloze, kterou nazveme rovnovážná poloha, neboť v této poloze jsou

Pružina

v rovnováze dvě síly, a to tíhová, působící svisle dolů, a tahová síla pružiny, působící svisle vzhůru, protože pružina je natažená.

Závaží

Abychom zaznamenali pohyb závaží, použijeme sonar. Umístíme ho do dostatečné vzdálenosti pod závaží, závaží vychýlíme z rovnovážné polohy o několik centimetrů směrem dolů a uvolníme z ruky. Pozorujeme pohyb závaží směrem k rovnovážné poloze, poté závaží pokračuje dále směrem vzhůru, po určité době se zastaví, začne se pohybovat směrem dolů, projde rovnovážnou polohou, až se dostane do místa, odkud jsme ho

Sonar

uvolnili. V tomto okamžiku se celý děj začíná opakovat. Pomocí sonaru zaznamenáváme okamžitou polohu tělesa (víme tedy, kde se v každém okamžiku nachází), ale také jeho rychlost (víme tedy, jakou rychlostí a jakým směrem se těleso pohybuje). Jak vypadají grafy znázorňující pohyb závaží na pružině? Lze je jednoduše popsat? Lze je popsat matematicky?

periodicky (opakovaně) kolem určité rovnovážné polohy. Co to znamená, můžeme vidět na následujícím příkladu.

Graf znázorňující polohu v závislosti na čase se zdá být velmi podobný křivce, kterou nazýváme sinusoida. Můžeme se o tom přesvědčit, když naměřenou funkci proložíme funkcí sinus.

Pro jednoduchost si vyberme mechanický oscilátor složený ze

Nejprve ale zkusme připomenout vlastnosti této funkce. Funkce

závaží o hmotnosti m, které je zavěšené na pružině. Pružina je

sinus a také graf znázorňující polohu závaží na čase je funkce 5

Galerie 1.2 Netlumený oscilátor

periodická a omezená.

Nyní tedy můžeme shrnout všechny parametry, které takový

To znamená, že hodnoty

oscilátor popisují:

polohy nabývají stejných hodnot po určitém časovém intervalu (perioda) a pohyb závaží se tedy začíná opakovat. Určitě si všimneme, že se Okamžitá výchylka netlumeného oscilátoru se mění periodicky. Amplituda kmitů však zůstává konstantní.

hodnoty polohy mění kolem určité hodnoty. Dobrý pozorovatel připomene, že tato hodnota odpovídá poloze závaží

v rovnovážné poloze. Graf polohy v závislosti na čase je shora i zdola omezený, závaží kmitá mezi nejnižší a nejvyšší hodnotou, které jsou stejně vzdáleny od rovnovážné polohy. O kolik centimetrů jsme vychýlili závaží při jeho uvedení do pohybu?

rovnovážná poloha – poloha, kolem které oscilátor kmitá (ve které se obvykle oscilátor zastaví, když je tlumený amplituda – maximální výchylka oscilátoru (rozdíl mezi nejvyšší polohou a rovnovážnou polohou oscilátoru) perioda – doba, po které se děj začne opakovat frekvence – vyjadřuje počet kmitů za jednotku času (převrácená hodnota periody) Existují samozřejmě i další charakteristiky oscilátorů, z nichž na tomto místě připomeňme alespoň: energie – oscilátorů je mnoho druhů, můžeme se tedy setkat s různými druhy energií (polohová, pohybová, pružnosti, elektrická, magnetická, chemická, ...) rychlost, zrychlení – pouze v případě mechanického oscilátoru, stejně jako poloha se mění periodicky v závislosti na čase.

Tento rozdíl mezi nejvyšší polohou a rovnovážnou polohou oscilátoru nazýváme amplituda. Velmi důležité je zjištění, zda se pohyb oscilátoru samovolně zastavuje nebo ne. Oscilátor, jehož amplituda s časem klesá, je tlumený. Pokud je amplituda daného oscilátoru konstantní, pak jde o oscilátor netlumený neboli harmonický.

6

veličina rovnovážná poloha

značka

x0

jednotka

význam

m

poloha, kolem které oscilátor kmitá maximální hodnota výchylky

amplituda

xm

m

okamžitá poloha

x

m

perioda

frekvence

rychlost

T

f

v

s

doba, za kterou se pohyb oscilátoru začne opakovat

Hz

počet opakování za 1 s

m/s

vzdálenost uražená tělesem za 1 s

zrychlení

a

m/s2

změna velikosti rychlosti za 1 s

kinetická energie

EK

J

odpovídá rychlosti

potenciální energie

EP

J

spojena s výškou

J

souvisí s deformací pružiny

energie pružnosti

EPP

Jestliže na oscilátor nepůsobí žádné další síly nebo obecněji vlivy, řekneme, že je oscilátor volný. Pokud je podroben stálému nebo

Galerie 1.4 Tlumený oscilátor

Mírně tlumený oscilátor (závaží na pružině brzděno kouskem kartonu).

Galerie 1.3 Tlumený nebo netlumený oscilátor?

Závaží zavěšené na pružině je vhodným příkladem mechanického oscilátoru.

7

Film 1.2 Nepokoj mechanických náramkových hodinek. Test 1.1 Základní charakteristiky oscilátorů

Otázka 1 z 5 Co je to oscilátor?

A. Soustava, kterou když uvedeme do pohybu, tak se bude neustále pohybovat. Funkcí nepokoje je neustále dodávat do systému rozruch. Energie nutná k jeho pohonu pochází ze stlačené pružiny.

periodickému působení, pak jej nazveme nucený, stejně jako jeho kmitání.je v čase stálá, nemění se. Naopak, jestliže se výchylka oscilátoru trvale zmenšuje, oscilátor nazveme tlumený.

B. Systém, jehož pohyb se periodicky opakuje a nikdy neutlumí. C. Jakýkoliv systém, jehož pohyb se periodicky opakuje. D. Mechanický systém, s pravidelně se opakujícím pohybem.

Zkontrolovat odpověď

8

Rovnice kmitání mechanického oscilátoru

Co určují parametry B a C? Víme-li z matematiky, že funkce

Sestavme nyní rovnici kmitání mechanického oscilátoru. Tato

y = cosx a y = cos(2x) mají různé periody (2π, resp. π), odvodíme

rovnice by nám měla umožnit určit okamžitou polohu oscilátoru

si, že hodnota B bude souviset s periodou a frekvencí kmitání.

v daném čase. Bude to tedy

Nazýváme ji úhlová frekvence

časová rovnice, hledáme

kmitů, má jednotku s-1 a určuje

okamžitou výchylku jako funkci

Galerie 1.5 Počáteční podmínky a kmitání oscilátoru

počet kmitů oscilátoru za čas 2π

času x = x (t). Vyjděme z již

sekund. Známe-li periodu kmitání

realizovaného experimentu –

(kterou lze snadno změřit třeba

pohyb závaží zavěšeného na kmitání tohoto tělesa má sinusový

stopkami), pak můžeme psát 2π ω= = 2π f. Poslední hodnotou, T

průběh.

k t e ro u c h c e m e v y s v ě t l i t j e

pružině. Vidíme, že záznam

konstanta C. Abychom plně Zkusme tedy hledat rovnici ve

pochopili její význam, můžeme

t v a r u x(t) = A ⋅ cos(Bt + C ) + D .

provést několik experimentů.

Hodnotu konstanty D

Zkusme rozkmitat závaží různými

identifikujeme poměrně snadno,

způsoby: vychýlením dolů a

víme totiž, že hodnota D posouvá

následným uvolněním (var. A),

křivku ve svislém směru, jde tedy

vychýlením nahoru a následným

o hodnotu rovnovážné polohy

uvolněním (var. B) nebo třeba tak,

(poloha závaží, když ještě nekmitá). Konstanta A zase

Oscilátor uvolněn bez počáteční rychlosti z dolní extrémní polohy. Pružina byla natažena.

že mu v rovnovážné poloze udělíme určitou rychlost (var. C).

odpovídá amplitudě křivky (pro

Jestliže přitom zaznamenáváme

funkce sinus či kosinus je to 1).

okamžitou polohu tělesa, grafy

V našem experimentu nalezneme hodnotu amplitudy jako rozdíl

zaznamenávající pohyb tělesa mají stejný tvar, jsou však vůči

mezi hodnotou nejvyšší polohy a hodnotou rovnovážné polohy.

sobě posunuty ve vodorovném směru. Hodnota C je tzv. 9

počáteční fáze kmitání a závisí na způsobu uvedení tělesa do pohybu.

Shrňme přehledně vše důležité: Rovnice kmitání mechanického oscilátoru zní:

Jestliže závaží vychýlíme směrem dolů a uvolníme bez počáteční rychlosti (var. A), graf křivky x = x (t) bude odpovídat funkci kosinus a rovnici kmitání oscilátoru zapíšeme ve tvaru

x(t) = xm ⋅ cos(ωt + φ0) + x0

x(t) = xm ⋅ cos(ωt) + x0. Jestliže závaží postrčíme z rovnovážné polohy směrem vzhůru

V této rovnici hodnota xm označuje amplitudu kmitů, hodnota ω

(var. C), rovnici kmitání oscilátoru zapíšeme ve tvaru π x(t) = xm ⋅ cos(ωt + ) + x0. 2

úhlovou frekvenci, t odpovídá času, φ0 je počáteční fáze a x0

Počáteční fázi obvykle vyjadřujeme hodnotou v rozmezí 0 - 2π.

rovnovážné polohy (můžeme snadno v rovnovážné poloze sonar

určuje hodnotu rovnovážné polohy. V dalších příkladech budeme uvažovat pouze takové oscilátory, které kmitají kolem nulové vynulovat a pak je x0 = 0) a bez počáteční fáze (těleso posuneme z rovnovážné polohy několik centimetrů vzhůru a uvolníme, pak je φ0 = 0). Zjednodušená rovnice kmitání mechanického oscilátoru pak nabývá tvaru: x(t) = xm ⋅ cos(ωt).

10

Pohyb oscilátoru

se začne vracet (znaménko rychlosti se stává opačným). Dále si

Podívejme se nyní na souvislost rychlosti oscilátoru a jeho

všimneme, že rychlost je maximální právě tehdy, když závaží

polohy. V našem úvodním experimentu jsme již rychlost kmitání

prochází rovnovážnou polohou (Vidíme, že okamžitá poloha je

zobrazili, ale doposud nijak nekomentovali. Podívejme se nyní na obě křivky podrobněji.

Ať už jsou počáteční podmínky a další charakteristiky jakékoliv, obě dvě křivky spolu velice těsně souvisí. (Ostatně z mechaniky již víme, že rychlost vyjadřuje změnu polohy tělesa.) V okamžiku,

Interaktivní 1.2 Kmitání netlumeného oscilátoru

rovna rovnovážné. Pokud jsme předtím oscilátor vynulovali, je čtení grafů snazší, rychlost je maximální, když je poloha nulová.).

kdy je okamžitá poloha maximální nebo minimální, závaží se tedy

Jestliže graf znázorňující polohu závaží popisujeme pomocí

nachází v horní nebo dolní krajní poloze, rychlost nabývá nulové

funkce kosinus, pro popis grafu znázorňujícího změny rychlosti na

hodnoty. Až do tohoto okamžiku se závaží pohybovalo jedním

čase použijeme funkci sinus. Odpovídající rovnice pak má tvar

směrem (dolů nebo vzhůru), nyní se jeho pohyb zastaví a závaží

v(t) = − ωxm ⋅ sin(ωt) = vm ⋅ sin(ωt). 11

Hodnota vm je amplituda rychlosti (hodnota maximální rychlosti

Jeho kyvadlo zavěšené v kupoli v Pantheonu v Paříži bylo dlouhé

závaží). S touto rychlostí závaží prochází rovnovážnou polohou.

67 m a mosazná koule na jeho konci vážila 28 kilogramů. Perioda

Hodnota ω je opět úhlová rychlost kmitání, která se nemění.

oscilací měla 16,5 s, šlo tedy o velmi pomalý a majestátný pohyb.

Foucaultovo kyvadlo

Přestože se rovina jeho kmitů během jedné hodiny otočila o 11°, tento experiment nebyl pro jeho současníky příliš přesvědčivý.

Přestože byly pohyby kyvadla a stáčení roviny kmitů pozorovány

O rok později tedy Foucault vynalezl gyroskop, jehož osa byla

již o mnoho desítek let dříve, francouzský fyzik Jean Bernad Léon

stále rovnoběžná s libovolným směrem a nezávislá na zeměpisné

Foucault (1819 - 1868) dokázal svým pokusem z roku 1851 tyto

šířce.

pohyby vysvětlit.

Vsuvka pro pokročilé

Obrázek 1.1 Foucaultovo kyvadlo, Panthéon, Paříž

Mezi rychlostí a polohou existuje zajímavý vztah, který je popsán pomocí funkce derivace podle času. Tato matematická funkce totiž popisuje změny, což je i rolí rychlosti jakožto fyzikální veličiny. Rychlost vyjadřuje, jak mnoho se mění poloha tělesa. Jestliže tedy víme, že okamžitá poloha oscilátoru je dána funkcí x(t) = xm ⋅ cos(ωt) , pak lze vyjádřit rychlost jeho pohybu z definice v(t) =

dx d π = (xm ⋅ cos(ωt) = − ω ⋅ x ⋅ sin(ωt) = vm ⋅ cos(ωt + ). dt dt 2

Jak jsme již řekli, derivace vyjadřuje velikost změn dané funkce. Z grafu polohy v závislosti na čase tedy můžeme poměrně jednoduše odhadnout, kdy bude rychlost největší a kdy nejmenší. Stačí se podívat na změny polohy. Jestliže tato funkce nabývá svého maxima nebo minima, v okolí tohoto bodu se tedy 12

Perioda kmitání mechanického oscilátoru Jak jsme již uvedli, základním charakteristikou studovaného oscilátoru - závaží na pružině - je jeho perioda T. Hodnota periody je spojena s dalšími veličinami, které popisují daný oscilátor. V první řadě je to hmotnost m závaží zavěšeného na pružině:

T = 2π

l , kde l je délka kyvadla a g hodnota tíhového zrychlení g

v místě experimentu. Zajímavé je, že hmotnost závaží dobu kmitu neovlivňuje. Tento vztah můžete ověřit následujícím experimentem.

Čím je hmotnost závaží větší, tím oscilátor kmitá pomaleji. To můžeme ověřit jednoduchým experimentem, stačí změnit hmotnost použitého závaží na dvojnásobek a perioda T výrazně vzroste. Druhým faktorem ovlivňujícím periodu je tuhost pružiny k. Tato veličina vyjadřuje, jak velkou silou F musíme působit na danou pružinu, abychom ji prodloužili o 1 m. Jednotka tuhosti je N/m. Čím tužší pružina (tuhost k je větší), tím kratší je doba kmitu. Celkově lze experimentálně objevit nebo i teoreticky odvodit vztah pro periodu kmitů závaží na pružině: T = 2π

m . k

Dalším mechanickým oscilátorem je matematické kyvadlo. Jedná se o závaží hmotnosti m zavěšené na nehmotném vlákně délky l. Tentokrát je perioda kmitů vyjádřena vztahem:

13

Oddíl 2

Domácí experiment 2. Postup opakujte pro různé délky kyvadla od 50 cm po 150 cm

Hledání vztahu pro periodu kmitání matematického kyvadla

nebo více.

Jak můžeme měřit čas? Jak dlouhé musí být kyvadlo, které by

3. Výsledky měření zaznamenejte do tabulky.

nám svým pohybem zleva doprava nebo zpět (tzv. 1 kmit) určovalo jednotku času - 1 s? V následující práci nalezneme odpovědi na položené otázky. Budeme potřebovat závaží o hmotnosti přibližně 100 g (bohatě postačí svazek klíčů), tenký provázek nebo nit o délce kolem 2 m,

Zpracování výsledků: č.m.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

l (cm) 10T (s)

stopky na mobilu. Důležité je také nají

T (s)

vhodný prostor, kde budeme moci

T2 (s2)

kyvadlo upevnit a rozkmitávat. Potřebujeme výšku alespoň dva metry.

T2/l (s2/m)

img - foto situace, detail klíčů Postup: 1. Nastavte délku kyvadla na 50 cm, uveďte kyvadlo do pohybu a změřte délku 10 period.

1. Vypočítejte hodnoty ve všech buňkách tabulky. 2. Sestrojte graf funkce T2 = f (l). 3. Jestliže je závislost lineární, proložte ji přímkou a určete její rovnici.

14

4. Porovnejte nalezený vztah se vztahem teoretickým T = 2π

l . g

5. Odpovězte na otázky v úvodu. Otázka navíc: Jakým způsobem se dají seřídit kyvadlové hodiny, které se předbíhají o několik minut za týden? Zvládnete takové seřízení sami nebo je nutné je odnést k hodináři?

15

Oddíl 3

Energie kmitavého pohybu Energie oscilátoru

protože se rychlost mění periodicky, musí se také opakovaně

Pohybující se mechanický oscilátor (závaží na pružině či

měnit hodnota kinetické energie. Vodorovně upevněná pružina

matematické kyvadlo) je popsán také svojí kinetickou

má však také potenciální energii pružnosti, která je spojena

(pohybovou) energií. Její velikost závisí na rychlosti v oscilátoru 1 vztahem Ek = mv 2. Hodnota m představuje hmotnost závaží. A 2

s deformací pružiny. Její velikost závisí na prodloužení nebo

Galerie 1.6 Změny energií mechanického oscilátoru

stlačení pružiny (vzhledem k rovnovážné poloze) vztahem 1 Epp = k x 2. Hodnota k je opět tuhost pružiny. Víme-li, že se 2 okamžitá výchylka (prodloužení vzhledem k rovnovážné poloze) mění podle funkce kosinus, můžeme se opět ptát, jaké jsou změny této energie. Celková energie oscilátoru je pak dána jejich součtem Et = Ek + Epp. Dosaďme do tohoto vztahu rovnici kmitání mechanického oscilátoru: Et =

1 1 mω 2 xm2 sin2(ωt + φ0) + k xm2 cos2(ωt + φ0). 2 2

Dále dosadíme za ω 2 =

Kinetická energie se periodicky mění na potenciální. Celková energie zůstává konstantní.

k a předcházející výraz má tvar: m

16

Et =

1 2 2 1 k xmcos (ωt + φ0) + k xm2 sin2(ωt + φ0) . Vytkneme-li výraz 2 2

1 2 k xm před závorku, získáme (cos2(ωt + φ0) + sin2(ωt + φ0)) = 1 2 1 Hodnota celkové energie oscilátoru je rovna Et = k xm2 . Tato 2

Poměrně zajímavý je také graf znázorňující přeměny energií v závislosti na okamžité poloze. nebo třeba na rychlosti. Snadno z něj vyčteme maximum či minimum energie a uvědomíme si, kdy funkce těchto hodnot nabývá.

hodnota je v čase konstantní, oscilátor nazýváme harmonický. Dochází pouze k vzájemným přeměnám kinetické a potenciální energie, jak můžeme vidět v následujícím grafu.

Rezonance oscilátoru Důležitým jevem využívaným v praxi je rezonance. Setkáváme se s ní v mnoha oblastech. V pozitivním smyslu ji využíváme při vytváření zvuků hudebními nástroji. Zvuk vytvořený strunou kytary Tento graf ukazuje změny energie v závislosti na čase. Zde pro

je poměrně slabý, a proto je zesilován tělem kytary, aby byl dobře

dvě a půl periody. V porovnání se změnami okamžité výchylky

slyšet i ve větších vzdálenostech.

vidíme, že energie se také mění periodicky, ale dvakrát rychleji, tedy s poloviční periodou.

Rezonance může být také nebezpečná. Dnes již klasickým příkladem je zhroucení mostu v Tacomě se Spojených státech amerických. 17

O co vlastně jde? Kmitání mechanického oscilátoru má stále

oscilátoru. Hovoříme o rezonanci - zvuk je tělem kytary zesílen,

stejnou amplitudu výchylky, pokud jde o netlumený volný

most se pod pravidelnými poryvy větru rozkmitá tak, že se

oscilátor. Nebo může amplituda klesat jako v případě tlumeného

nakonec zřítí.

oscilátoru. Jestliže ale na oscilátor působí peridodicky se opakující síla, která se ho snaží znovu rozkmitávat (tzv. nucený oscilátor), může amplituda nabývat velkých hodnot a oscilátor se rozkmitá tak, že může dojít k jeho poškození. Při frekvencích excitátoru (vnější podnět) blízkých frekvencím kmitání rezonátoru (samotný oscilátor) dochází k obrovskému nárůstu amplitudy výchylky

Film 1.3 Zhroucení mostu v Tacomě

Kvůli opakovaným poryvým větru se v roce 1942 zřítil visutý most v Tacomě ve Spojených státech amerických. 18

Oddíl 4

Cvičení CO BUDEME CVIČIT?

Cvičení 1

1. Rovnice kmitání mechanického oscilátoru.

Napište rovnici kmitání mechanického oscilátoru, který kmitá s periodou 2,5 s a

2. Matematické kyvadlo.

amplitudou 10 cm.

3. Závaží na pružině.

Cvičení 2

4. Energie oscilátoru.

Určete parametry oscilátoru který je popsán rovnicí: x(t) = 0,08 ⋅ sin(10 ⋅ t).

Cvičení 3 Uveďte příklady tří různých oscilátorů (mechanický, elektrický či jiný) a vysvětlete, jaké veličiny ho charakterizují. Je-li to možné, nakreslete graf funkce znázorňující kmitání takového oscilátoru.

Cvičení 4 Definujte matematické kyvadlo. Několika větami popiš jeho pohyb a formuluj závěr týkající se energie tohoto oscilátoru.

19

Cvičení 5 Pohyb oscilátorů lze popsat matematickými funkcemi sinus a kosinus. Urči, který z grafů reprezentuje funkci sinus a kosinus, urči její charakteristiky a zapiš její rovnici.

Galerie 1.7 Jak rozlišíme funkci sinus a kosinus? b)

Cvičení 6 Na následujících grafech je znázorněno kmitání oscilátoru. Z grafů určete všechny charakteristiky daného oscilátoru a zapište rovnici jeho kmitání. a)

c)

20

d)

g)

e)

h)

f)

21

Cvičení 6 Zakreslete co nejlépe grafy těchto funkcí: a) y = 3 ⋅ sin(x) b) y = 0,5 ⋅ cos(x − π) c) y = 2 ⋅ cos(2x) + 2 π d) y = 3 ⋅ sin 3x + ( 2)

22

Kapitola 2

Zvukové vlnění Kolikrát jste byli okouzleni zvukem houslí, čela nebo kontrabasu? Zašli jste někdy do kostela, když byly z jeho vnitřku slyšet varhany? Jak je možné, že se nám některé zvuky tak líbí a chceme je poslouchat znovu a znovu, zatímco jiné jsou nám na obtíž a říkáme si: „Nikdy více!“?

Oddíl 1

Co je to zvuk? CO SE NAUČÍME?

Podstata zvuku

1. Pochopit, co je to zvuk.

Zvuk je fyzikální jev. V místě, kudy se zvuk šíří, atomy nebo molekuly kmitají a při

2. Dokázat si představit, jaký je mechanismus jeho šíření. 3. Ukázat, jaké jsou vlastnosti zvuků.

tom si předávají energii ve směru šíření. Můžeme říci přesněji, že: Zvuk je mechanické vlnění, které vnímáme sluchem.

Z předchozí kapitoly víme, že vlněním rozumíme kmitání šířící se do prostoru. V případě mechanického vlnění kmitají hmotné částice (atomy, molekuly), narážejí na nejbližší sousedy, a tím jim předávají energii. Zvuk se může šířit jak v plynech, tak v kapalinách a pevných látkách. Naopak se nemůže šířit ve vakuu, protože tam nejsou částice, které by svým kmitáním přenášely energii od zdroje do prostoru. Kromě mechanického vlnění existuje i elektromagnetické vlnění, v tomto případě kmitá elektrické pole společně s magnetickým polem. Příkladem takového vlnění je světlo. Zdrojem zvuku je vždy rychle se chvějící těleso – struna na houslích, hlasivky, membrána reproduktoru… Toto chvění je zpravidla velmi rychlé, těleso vykoná např. 500 kmitů za sekundu (podrobněji v sekci výška tónu). Tak rychlé vibrace lidské oko nestíhá sledovat, ovšem o tom, že se zdroj zvuku chvěje, se můžeme přesvědčit na zpomalených záběrech. 24

§§§video: reprák a krupice§§§

Galerie 2.1 Druhy postupných vln

Film 2.1 Kmitání ramene ladičky

Autorem videa je RNDr, Jan Koupil, Ph.D.

Šíření zvuku V pevných látkách jsou atomy (nebo ionty) vázány silnými vazbami, takže vibrují jen kolem svých rovnovážných poloh. Vazebná energie atomu je podstatně větší než pohybová energie

Znázornění příčného vlnění. Kmitání se děje kolmo na směr šíření vlny. Jde například o vlnění na hladině vody (bójka se houpe vzhůru a dolů).

tepelných (nepravidelných) nebo akustických kmitů. Díky vazbám na vychýlení vybraného atomu z rovnovážné polohy okamžitě zareagují jeho nejbližší sousedé. Proto se v pevných látkách zvuk

předává pomaleji, takže rychlost šíření zvuku dosahuje hodnot

šíří nejrychleji, např. v železe je rychlost šíření přibližně 5 000 m/s.

kolem 1 500 m/s. U kapalin se vyskytují jen podélné vlny.

Atomy v pevné látce mohou kmitat rovnoběžně se směrem šíření zvuku (potom se jedná o vlnění podélné), anebo kolmo na směr šíření (vlnění příčné).

V plynech jsou molekuly od sebe značně vzdáleny, takže jejich vazebná energie je zanedbatelná v porovnání s jejich kinetickou energií tepelného pohybu. Zvuk se v nich přesto šíří v podobě

U kapalin jsou molekuly vázány menšími silami než u pevných

těsně po sobě jdoucích slabých tlakových vln. V daném místě

látek. To má za následek, že se mezi nimi zvuková energie

dochází tedy k zhušťování (větší tlak) a zřeďování (menší tlak než

25

atmosférický) plynu. Šíření zvuku v plynech je typickým příkladem adiabatického děje. V plynech existují pouze podélné vlny. Rychlost šíření zvuku ve vzduchu závisí na teplotě. Při teplotě kolem 15 °C má hodnotu přibližně 340 m/s čili 1 200 km/h. S rostoucí teplotou roste rychlost šíření. Přesněji ji můžeme určit podle vztahu v = v0 ⋅

T , T0

kde v označuje rychlost šíření zvuku při teplotě T, v0 označuje známou rychlost šíření při referenční teplotě T0 Obě teploty T i T0 musí být dosazeny v kelvinech. Tato závislost je

Řešený příklad: Chceme spočítat rychlost šíření zvuku v horkém letním vzduchu o teplotě 35 °C. V tabulkách si najdeme, že při 0 °C má rychlost zvuku hodnotu 331,82 m/s. T0 = 273 K, v0 = 331,82 m/s, T = 308 K v = ? (m/s) Po dosazení do vztahu v = v0 ⋅

T T0

získáme hodnotu

v = 352,45 m/s.

pro běžné teploty přibližně lineární, jak můžeme vidět na přiloženém grafu.

26

Základní rozdělení Podle toho, zda se zdroj zvuku chvěje

Galerie 2.2 Oscilogramy - záznam zvuku

pravidelně či nikoli, rozdělujeme zvuky na (hudební) tóny a hluk (ruchy). Hudební tóny vznikají pravidelným (periodickým) kmitáním zdroje. Tóny jsou pro lidské ucho zpravidla příjemné a poznáme je velmi jednoduše – lze u nich určit výšku. Vydávají je nejen hudební nástroje (kromě bicích), ale též třeba reproduktor, na který připojíme střídavé napětí. Hluk vzniká nepravidelným chvěním zdroje. Příkladů bychom našli hodně – hluk vodopádu, sbíječky, startujícího letadla, praskání skořápky při louskání oříšků, nebo

Hláska „a“.

třeba hluk obtěžující lidi bydlící až několik kilometrů od dálnice. Lidský hlas je schopen vydávat jak tóny, tak nepravidelné zvuky. Mezi tóny patří všechny samohlásky (a, e, i, o u), čili hlásky, na nichž můžeme zazpívat tón o určité výšce. Ruchem jsou souhlásky (p, t, s, ...).

27

Vlastnosti tónů U každého tónu hudebníci rozlišují tyto vlastnosti: - výška

Výška tónu se v hudebních partech zapisuje pomocí výšky not v notové osnově.

Délka tónu Délka tónu značí, jak dlouho tón zní.

- délka - hlasitost

Hudebníci zapisují délku tónů pomocí not celých, půlových

- barva

čtvrťových, osminových,…, přičemž čtvrťová nota je na jednu dobu.

Výška tónu Výška tónu je určena frekvencí kmitání zdroje. Čím vyšší je

Galerie 2.3 Vlastnosti zvuků

frekvence, tím vyšší je tón. Lidské ucho je schopno vnímat zvuky s frekvencí od 20 Hz do 20 kHz. Horní hranice slyšitelného rozsahu je velmi individuální a s věkem se snižuje, tzn. že staří lidé neslyší velmi vysoké tóny. Frekvence, které dokáže člověk zazpívat, definují jeho hlasový rozsah. U neškoleného zpěváka je to 1,5 až 2 oktávy. Podle rozsahu se zařazují do hlasových skupin.

Audiogram - Frekvence a schopnost lidského ucha zvuky slyšet. Infrazvuky a ultrazvuky již neslšíme. Ani na různé frekvence není lidské ucho stejně citlivé. Nejlépe slyšíme frekvence od 1 do 5 kHz. 28

U klavíru hlasitost zahraného tónu rychle klesá, po osmi dobách

kde I je intenzita zvuku v W/m2 a I0 = 10-12 W/m2 označuje práh

tón prakticky zaniká. U dechových nástrojů je maximální délka

slyšení.

určena spotřebou vzduchu na daném nástroji, maximálně 16 dob. Naopak u varhan, kde vzduch do píšťal fouká čerpadlo, můžeme

V hudebním zápisu se setkáme se značkami p = piano = slabě,

teoreticky hrát tón libovolné délky.

Galerie 2.4 Lorem Ipsum dolor amet, consectetur

Hlasitost tónu Hlasitost tónu souvisí s amplitudou kmitání – čím větší amplituda, tím větší hlasitost. Hlasitost můžeme určovat pomocí intenzity zvuku. Intenzita se značí I a vyjadřuje, kolik energie přinesou zvukové vlny za 1 sekundu na plochu 1 m2, takže platí vztah I=

E energie … t ⋅ S ( cas ⋅ plocha )

Jednotkou intenzity zvuku je W/m2. Lidské ucho slyší intenzity od

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua.

10-12 do 101 W/m2. Tato veličina ovšem neodpovídá tomu, jak hlasitost vnímáme – zvýší-li se intenzita z 0,001 na

0,01 W/m2,

máme pocit, že došlo

k mnohem větší změně, než při zvýšení z 0,1 na 0,2 W/m2. Ukazuje se, že sluch vnímá hlasitost logaritmicky, proto se zavádí veličina hladina intenzity zvuku L v decibelech dB. Definována je vztahem ...,

f = forte = silně, atd.

Zvuk 2.1 Zvuk 2.2 Jednoduchý Složený tón, tón sinusového440 Hz průběhu, 440 Hz

29

Barva tónu Když zahrajete na housle a na klarinet tón o stejné výšce a taky stejně hlasitě, máte pocit, že to pokaždé zní jinak. Tyto tóny se liší barvou. K pochopení, co je příčinou odlišnosti, je třeba tóny pečlivě analyzovat. Ukazuje se, že tón o frekvenci f zahraný na hudební nástroj není obyčejná sinusová vlna. Čistá sinusová vlna – tón bezbarvý – by vznikla připojením střídavého napětí k reproduktoru. Tón hudebního nástroje je složen z několika sinusových vln: základní o frekvenci f, podle které ucho určuje výšku tónu, a z několika tzv. vyšších harmonických o frekvencích 2f, 3f, 4f,… Zastoupení právě těchto vyšších harmonických frekvencí určuje barvu daného tónu.

30

Vznik zvuku v hudebních nástrojích Klavír = kladívko udeří do napjaté struny. Na koncích uzly, uprostřed kmitna.

(hlasivkami). Tím vznikají rychle po sobě jdoucí slabé tlakové vlny, čili zvuk ve vzduchu. Asi jste si všimli, že hráč na trubku vydává hlasitější zvuk než

Kytara = drnknutí prstem má podobný efekt jako kladívko

zpěvák bez mikrofonu. Proč tomu tak je se dočtete v následující

u klavíru. Na koncích uzly, uprostřed kmitna. Umíte-li flažolety,

kapitole.

dokážete vytvořit další uzel (uzly) uprostřed.

Rezonance

Housle = kdyby nebyl součinitel smykového tření větší v klidu než

Když se dotýká chvějící se těleso (budič) jiného tělesa, předává

při vzájemném pohybu, na housle by se smyčcem hrát nedalo.

mu energii ve formě mechanických kmitů a toto druhé těleso

Díky tření zachytí na kratičký okamžik smyčec o strunu a

(rezonátor) se také rozechvěje. Rezonátor kmitá vždy se stejnou

vychyluje ji, dokud síla pružnosti struny nepřevýší sílu statického

frekvencí jako budič, ale při některých frekvencích kmitá s malou

tření. Pak se ovšem struna vrací k rovnovážné poloze, až opět

amplitudou a při jiných s velkou. Jakou odezvu vyvolá buzení

převáží třecí síla nad silou pružnosti. Flétna = kmitá sloupec vzduchu uvnitř. Na okrajích kmitny, uzel uprostřed, vzduch je rozkmitáván narážením proudu vzduchu z plic na jazýček = zobec. §§§schema???§§§ Trubka = tlak vzduchu z plic pravidelně otevírá a uzavírá štěrbinu mezi napjatými rty; rty se dotýkají nátrubku, nástavce zakončujícího nástroj (zakroucená dutá mosazná trubice). Kmitna na rtech a druhém okraji, uzly uprostřed. Hlasivky = tlakem vzduchu z plic se pravidelně otevírá a uzavírá štěrbina mezi dvěma napjatými blankami hlasového ústrojí 31

v rezonátoru, vystihuje rezonanční křivka, závislost amplitudy

Když jsou ovšem budičem vibrující napjaté rty, resp. jimi vzniklý

kmitání rezonátoru na frekvenci.

přerušovaný proud vzduchu a rezonátorem trubka, dochází k

Pokud je frekvence budiče právě rovna vlastní frekvenci rezonátoru (frekvenci, s níž by rezonátor sám vykonával volné kmity), je amplituda jeho kmitání největší a říkáme, že nastala rezonance. V rezonanci se při každém kmitnutí předá maximum energie od budiče k rezonátoru, a protože takové kmitnutí se opakuje třeba tisíckrát za sekundu, mohou výchylky dosáhnout nečekaných hodnot.

Film 2.2 Rozbití sklenice pomocí zvukové rezonance

ostré rezonanci – ze všech budicích frekvencí se utlumí všechny kromě vlastní frekvence trubky, který se rezonancí naopak výrazně zesílí.

Dodatky seismické vlny, infrazvuk ultrazvuk Doppler hudební intervaly

K rezonanci dochází v případě, že sklenice-rezonátor má stejnou vlastní frekvenci jako zvuková vlna, která je budičem. Amplituda kmitů velmi vzroste a sklenice může prasknout.

Když jsou budičem hlasivky a rezonátorem okolní vzduch, odezva na všechny frekvence je prakticky stejná a k ničemu pozoruhodnému nedochází. 32

Oddíl 2

Vlastnosti zvuků CO SE NAUČÍME?

Vlastnosti tónů

1. Vysvětlit souvislosti mezi vlastnostmi zvuku (hlasitost, výška) a jejich fyzikální podstatou.

U každého tónu hudebníci rozlišují tyto vlastnosti:

2. Objasnit jev zvaný rezonance.

- délka

- výška

- hlasitost - barva

Výška tónu Výška tónu je určena frekvencí kmitání zdroje. Čím vyšší je frekvence, tím vyšší je tón. Lidské ucho je schopno vnímat zvuky s frekvencí od 20 Hz do 20 kHz. §§§obrázek vyjadřující: Vibrace s frekvencí nižší než 20 Hz neslyšíme, říkáme jim infrazvuk. Frekvence vyšší jak 20 kHz rovněž neslyšíme, jedná se o ultrazvuk.§§§ Horní hranice slyšitelného rozsahu je velmi individuální a s věkem se snižuje, tzn. že staří lidé neslyší velmi vysoké tóny.

33

Frekvence, které dokáže člověk zazpívat, definují jeho hlasový rozsah. U neškoleného zpěváka je to 1,5 až 2 oktávy. Podle rozsahu se zařazují do hlasových skupin. Výška tónu se v hudebních partech zapisuje pomocí výšky not v notové osnově.

U klavíru hlasitost zahraného tónu rychle klesá, po osmi dobách tón prakticky zaniká. U dechových nástrojů je maximální délka

Délka tónu Délka tónu značí, jak dlouho tón zní. Hudebníci zapisují délku tónů pomocí not celých, půlových čtvrťových, osminových,…, přičemž čtvrťová nota je na jednu dobu.

hlas

nejnižší frekvence (Hz)

nejvyšší frekvence (Hz)

mužský/ ženský

soprán

261

880

Ž

mezzosoprán

220

698

Ž

alt

174

587

Ž

tenor

130

440

M

baryton

110

349

M

bas

82

329

M 34

určena spotřebou vzduchu na daném nástroji, maximálně 16 dob. Naopak u varhan, kde vzduch do píšťal fouká čerpadlo, můžeme

intenzity zvuku L v decibelech dB. Definována I , ( I0 )

je vztahem L = 10 ⋅ log

teoreticky hrát tón libovolné délky. kde I je intenzita zvuku v W/m2 a I0 = 10-12 W/

Hlasitost tónu Hlasitost tónu souvisí s amplitudou kmitání –

m2 označuje práh slyšení. V hudebním zápisu se setkáme se značkami p

čím větší amplituda, tím větší hlasitost. Hlasitost můžeme určovat pomocí intenzity zvuku. Intenzita se značí I a vyjadřuje, kolik energie přinesou zvukové vlny za 1 sekundu

= piano = slabě, f = forte = silně, atd.

Barva tónu Když zahrajete na housle a na klarinet tón

na plochu 1 m2, takže platí

o stejné výšce a taky stejně hlasitě, máte

energie . I= cas ⋅ plocha

pocit, že to pokaždé zní jinak. Tyto tóny se liší barvou.

Jednotkou intenzity zvuku je W/m2. Lidské ucho

slyší

intenzity

od

10-12 do 101 W/m2. Tato veličina ovšem neodpovídá tomu, jak hlasitost vnímáme – zvýší-li se intenzita z 0,001 na 0,01 W/m2, máme pocit, že došlo k mnohem větší změně, než při zvýšení z 0,1

K pochopení, co je příčinou odlišnosti, je třeba tóny pečlivě analyzovat. Ukazuje se, že tón o frekvenci f zahraný na hudební nástroj není obyčejná sinusová vlna. Čistá sinusová vlna – tón bezbarvý – by vznikla připojením střídavého napětí k reproduktoru. §§§zvuková ukázka, průběh§§§

na 0,2 W/m2. Tón hudebního nástroje je složen z několika Ukazuje se, že sluch vnímá hlasitost

sinusových vln: základní o frekvenci f, podle

logaritmicky, proto se zavádí veličina hladina

které ucho určuje výšku tónu, a z několika tzv. 35

vyšších harmonických o frekvencích 2f, 3f, 4f,… Zastoupení právě těchto vyšších harmonických frekvencí určuje barvu daného tónu.

Zvuk 2.3 Zvuk kytary

Zvuk 2.4 Zvuk piána

Galerie 2.5 Hudební nástroje Kytara = drnknutí prstem má podobný efekt jako kladívko u klavíru. Na koncích uzly, uprostřed kmitna. Umíte-li flažolety, dokážete vytvořit další uzel (uzly) uprostřed. Housle = kdyby nebyl součinitel smykového tření větší v klidu než při vzájemném pohybu, na housle by se smyčcem hrát nedalo. Díky tření zachytí na kratičký

Trubka

okamžik smyčec o strunu a

Extrémní rozsahy

vychyluje ji, dokud síla pružnosti

Zazpívat se dají i tóny mimo rozsah uvedený v tabulce, na to je potřeba ovšem hlas dlouhodobě školit. Mezi nejkrásnější a nejnáročnější pěvecký part pro ženský hlas (tzv. koloraturní soprán) patří árie Královny noci

struny nepřevýší sílu statického tření. Pak se ovšem struna vrací k rovnovážné poloze, až opět

§§§animace:sinusoidy=>zvuková ukázka§§§, §§§nahrávka, spektrum pro několik nástrojů§§§

převáží třecí síla nad silou pružnosti. Flétna = kmitá sloupec vzduchu

Vznik zvuku v hudebních nástrojích

uvnitř. Na okrajích kmitny, uzel

Klavír = kladívko udeří do napjaté struny. Na koncích uzly,

uprostřed, vzduch je

uprostřed kmitna.

rozkmitáván narážením proudu vzduchu z plic na jazýček = zobec. z Mozartovy opery Kouzelná

36

§§§schema§§§

§§§graf ostrá x široká§§§

Trubka = tlak vzduchu z plic pravidelně otevírá a uzavírá štěrbinu

Pokud je frekvence budiče právě rovna vlastní frekvenci

mezi napjatými rty; rty se dotýkají nátrubku, nástavce

rezonátoru (frekvenci, s níž by rezonátor sám vykonával volné

zakončujícího nástroj (zakroucená dutá mosazná trubice). Kmitna

kmity), je amplituda jeho kmitání největší a říkáme, že nastala

na rtech a druhém okraji, uzly uprostřed.

rezonance. V rezonanci se při každém kmitnutí předá maximum

Hlasivky = tlakem vzduchu z plic se

energie od budiče k rezonátoru, a protože takové kmitnutí se opakuje třeba tisíckrát za

pravidelně otevírá a uzavírá štěrbina

sekundu, mohou výchylky

mezi dvěma napjatými blankami

dosáhnout nečekaných hodnot.

hlasového ústrojí (hlasivkami). Tím vznikají rychle po sobě jdoucí slabé

§§§Rozbití sklenice pomocí

tlakové vlny, čili zvuk ve vzduchu.

zvukové rezonance§§§

Asi jste si všimli, že hráč na trubku

Když jsou budičem hlasivky a

vydává hlasitější zvuk než zpěvák bez

rezonátorem okolní vzduch,

mikrofonu. Proč tomu tak je se

odezva na všechny frekvence je

dočtete v následující kapitole.

prakticky stejná a k ničemu pozoruhodnému nedochází.

Rezonance Když se dotýká chvějící se těleso

Když jsou ovšem budičem

(budič) jiného tělesa, předává mu

vibrující napjaté rty, resp. jimi

energii ve formě mechanických kmitů a toto druhé těleso

vzniklý přerušovaný proud vzduchu a rezonátorem trubka,

(rezonátor) se také rozechvěje. Rezonátor kmitá vždy se stejnou

dochází k ostré rezonanci – ze všech budicích frekvencí se utlumí

frekvencí jako budič, ale při některých frekvencích kmitá s malou

všechny kromě vlastní frekvence trubky, který se rezonancí

amplitudou a při jiných s velkou. Jakou odezvu vyvolá buzení

naopak výrazně zesílí.

v rezonátoru, vystihuje rezonanční křivka, závislost amplitudy kmitání rezonátoru na frekvenci. 37

Dodatky seismické vlny, infrazvuk ultrazvuk Doppler hudební intervaly

Zvuk 2.5 W.A. Mozart - Kouzelná flétna

... ukázka árie ...

38

Amplituda Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.

Související glosářové termíny Sem přetáhněte související termíny

Index

Hledat termín

Kapitola 1 - Základní popis

Derivace Derivace je základní pojem matematiky, konkrétně diferenciálního počtu. Derivace nějaké funkce je změna (růst) obrazu této funkce v poměru k (ideálně) nekonečně malé změně jejích argumentů. Opačným procesem k derivování je integrování. Koncept derivace se dá nahlížet z mnoha stran, například v případě dvourozměrného grafu funkce f(x), je derivace této funkce v libovolném bodě (ve kterém existuje) rovna směrnici tečny tohoto grafu. Z toho je vidět, že pojem derivace se objevuje i v mnoha geometrických souvislostech, např. u pojmu konkávnosti. převzato z wiki 2013


Index

Hledat termín

Energie Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.


Index

Hledat termín


Frekvence Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.


Index

Hledat termín


Oscilátor Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.


Index

Hledat termín

Periodický Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.


Index

Hledat termín

Rezonance Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.


Index

Hledat termín

Kapitola 1 - Energie kmitavého pohybu

Rovnovážná poloha Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.


Index

Hledat termín

Rychlost Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.


Index

Hledat termín


Sinusoida Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.


Index

Hledat termín


Sonar Sonar (z anglického SOund Navigation And Ranging - zvuková navigace a zaměřování) je zařízení na principu radaru, které místo rádiových vln používá ultrazvuk. Používá se především pod vodou (ponorkami), protože rádiové vlny mají pod vodou výrazně menší dosah než na souši a zvuk naopak větší. Velmi významné použití dostaly sonary také ve zdravotnictví jakožto jedna z neinvazivních vyšetřovacích metod. Zdravotnické sonografy slouží při vyšetřování plodů a nenarozených dětí u těhotných žen, dále též v interním lékařství. Přírodní verzí sonaru je echolokace netopýrů a kytovců. přebráno z wiki 2013


Index

Hledat termín


Zrychlení Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.


Index

Hledat termín


VOJTĚCH BENEŠ, MIREK KUBERA FYZIKA

Recommend Documents