Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz 2009. tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ·) algebrai struktúra gyűrű, ha + és · R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ·) félcsoport, és III. teljesül mindkét oldalról a disztributivitás, vagyis a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca minden a, b, c ∈ R esetén. Kommutatív a gyűrű, ha a szorzás kommutatív. A (legalább két elemű), kommutatív, nullosztómentes gyűrűt integritási tartománynak nevezzük. Az R gyűrű test, ha 1. R kommutatív, 2. (R*, · ) csoport. nullelem, egységelem Az additív csoport egységelemét a gyűrű nullelemének nevezzük és 0-val jelöljük. Egységelemes a gyűrű, ha a szorzásra vonatkozóan van egységelem (amit e-vel jelölünk). nullgyűrű, zérógyűrű Nullgyűrű: egyetlen elemből áll (nullelem). Zérógyűrű: ha tetszőleges két elem szorzata a nullelem. nullosztó Az R gyűrűben a bal oldali, b jobb oldali nullosztó, ha a ≠ 0, b ≠0 és ab = 0. karakterisztika Ha az R gyűrű legalább két elemű, nullosztómentes, akkor (R, +)-ban a 0-tól különböző elemek rendje megegyezik. Ez a közös rend vagy végtelen, vagy egy p prímszám. Jelölés: Előző esetben a gyűrű nulla-karakterisztikájú, azaz char(R) = 0, az utóbbiban pkarakterisztikájú, azaz char(R) = p . Bool-gyűrű 2 ∀A ⊆ H -ra A∩A = A = A is teljesül (Boole-gyűrű) gyűrűhomomorfizmus
asszociáltak Legyen R egységelemes integritási tartomány, és a, b ∈ R. Azt mondjuk, hogy a és b A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők!
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz 2009. tavasz esti tagozat asszociáltak, ha létezik olyan c egység, amelyikkel a = bc. Ezt a tényt a∼ ∼ ~b-vel jelöljük. legnagyobb közös osztó, felbonthatatlan, prím Legyen R egységelemes integritási tartomány és a, b ∈ R. Azt mondjuk, hogy d ∈ R az a és b legnagyobb közös osztója, 1. közös osztó, vagyis da és db, valamint 2. ca és cb esetén cd. Legyen R egységelemes integritási tartomány, ekkor 1. a ∈ R*\U(R) felbonthatatlan, ha a = b⋅c (b, c∈R) esetén b∈ U(R) vagy c ∈ U(R). 2. a ∈ R*\ U(R) prím, ha ab⋅c (b, c∈ R) ⇒ ab vagy ac. részgyűrű, (triviális, valódi, fő) ideál, egyszerű gyűrű R gyűrűben S ⊆ R részgyűrű, ha az R-beli műveletek S-re történő leszűkítésére nézve S maga is gyűrűt alkot. faktorgyűrű Legyen R gyűrű, I ideál R-ben. R-nek I szerinti maradékosztály gyűrűje (faktorgyűrűje) R/I = {I + r r ∈ R} a következő műveletekkel: 1 .(I+ r ) + (I+ s ) = I+ (r + s ) 2 .(I+ r )⋅ (I+ s ) = I + r ⋅ s 2-ben nem a normál értelemben vett komplexus szorzásról van szó! prímideál, maximális ideál Legyen R gyűrű, I ⊆ R, I≠ ∅. I az R balideálja, ha I – I ⊆ I és R⋅I ⊆ I, jobbideálja, ha I – I ⊆ I és I⋅R ⊆ I, ideálja, ha jobb és baloldali is egyszerre. Triviális ideál: {0} , R Valódi ideál: R-től különböző ideál. Egyszerű gyűrű: csak triviális ideálja van. Legyen R egységelemes, kommutatív gyűrű. Egy R-beli I ideált prímideálnak nevezünk, ha a⋅b ∈ I-ből a ∈ I vagy b ∈ I következik. euklideszi gyűrű Az R egységelemes integritási tartományt euklideszi gyűrűnek nevezzük, ha ∃ olyan φ függvény, amelyre ϕ : R* → N, és I. ∀ α, β ∈ R, β ≠ 0 esetén létezik olyan γ, δ ∈ R, hogy α = βγ + δ, ahol δ = 0 vagy II. valamint ϕ (αβ) ≥ max(ϕ (α), ϕ (β)) ,
δ ≠ 0 és ϕ (δ) < ϕ (β), ∀ α, β ∈ R* -ra.
oszthatóság, egységek Legyen R integritási tartomány és a, b ∈R. a osztója b-nek ha létezik c ∈ R, amelyre b = ac, jelben a|b. x∈R egység, ha x|r ∀ r∈R-re. Gauss-egészek Gauss-egészek G = { a+bi | a, b ∈ Z } A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők!
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz 2009. tavasz esti tagozat φ: ∀ a+bi ∈ G esetén legyen 2 2 2 ϕ(a+bi) = (a+bi)(a–bi) = |a+bi| = a + b . triviális euklideszi gyűrű
Gauss-gyűrű ((egyértelmű) faktorizációs tartomány, UFD) Legyen R egységelemes integritási tartomány és U(R) az egységeinek halmaza. R Gauss-gyűrű ((Egyértelmű) faktorizációs tartomány, UFD), ha minden r ∈ R* \ U(R) felírható r=p p …p 1 2 n alakban, ahol n pozitív egész és a tényezők nem feltétlenül különböző felbonthatatlan elemek, és ha létezik egy r = q1q2 … qk előállítás is k felbonthatatlannal, akkor n= k és minden 1 ≤ i, j≤n esetén pi asszociáltja egy qj -nek. Másképp: Gauss-gyűrűben fennáll a számelmélet alaptétele. főideál Legyen R gyűrű és A ⊆ R. Az A által generált ideálon R összes, A-t tartalmazó ideáljának metszetét értjük. Jelben (A). Ha A = {a} valamely a ∈ R elemre, akkor az a által generált főideálról beszélünk. Jelben (a). Bal és jobboldali def. hasonlóan. főideálgyűrű Egy egységelemes integritási tartomány főideálgyűrű, ha benne minden ideál főideál. hányadostest (Hányadostest) Legalább 2 elemű R integritási tartomány T testbe ágyazható. Legyen T = { (a, b) a, b ∈ R, b ≠ 0 } és ~ ekvivalenciareláció R×R* halmazon: (a, b) ~ (c, d) ⇔ a⋅d = b⋅c A ~ által meghatározott osztályok testet alkotnak a köv. műveletekre: (a ,b )+(c ,d )=(a ⋅ d+ b ⋅c ,b ⋅ d ), ( a, b )⋅( c, d)= ( a ⋅c, b⋅d). gyűrűhierarchia felrajzolása.
A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők!
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz 2009. tavasz esti tagozat Tételek(+): Észrevételek (előjelszabály, véges integritási tartomány, nullosztó testben, szorzás a nullelemmel) 1. (szorzás nullelemmel): Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor a0 = 0a = 0 minden a ∈ R esetén. 2. (előjelszabály): Legyen R gyűrű, és a, b ∈ R. Az a elem additív inverzét jelöljük –a-val. Ekkor –(ab) = (–a)b = a(–b), továbbá (–a)(–b) = ab. 3. Véges integritási tartomány test. 4. Testben nincs nullosztó. Biz. (1. 3. és 4. gyakorlaton) 2. ab additív inverze létezik, mert (R, +) csoport. ⇒ ab + (–(ab)) = 0, valamint ab + (–a)b = (a + (–a))b = 0b = 0, ⇒ –(ab) = (–a)b. Továbbá: (–a)(–b) + (–a)b = (–a)((–b) + b) = 0 = ab + (–a)b, + egyszerűsíthető ⇒ (–a)(–b) = ab. nullosztó és regularitás R gyűrűben a multiplikatív művelet akkor és csak akkor reguláris, ha R zérusosztómentes. Biz. 1. Tfh a ≠ 0, a nem bal oldali nullosztó és ab = ac / −(ac) mindkét oldalhoz, ab + (−(ac)) = 0. Előjel szabály + disztri. ⇒ ab + (a(−c)) = a(b + (−c)) = 0. feltétel ⇒ b + (−c) = 0 ⇒ b = c. 2. Tfh a bal oldali nullosztó, tehát a ≠ 0 és létezik b ≠ 0: ab = 0. tetszőleges c ∈R-re ac = ac. Adjuk a jobb oldalhoz az ab = 0-t. ac = ac + ab, disztributivitás ⇒ ac = a(c+b). mert b ≠ 0 ⇒ c ≠ c + b. gyűrű karakterisztikája Ha az R gyűrű legalább két elemű, nullosztómentes, akkor (R, +)-ban a 0-tól különböző elemek rendje megegyezik. Ez a közös rend vagy végtelen, vagy egy p prímszám. Jelölés: Előző esetben a gyűrű nulla-karakterisztikájú, azaz char(R) = 0, az utóbbiban pkarakterisztikájú, azaz char(R) = p . Biz. 1. Tfh ∃ a ∈ R*: |a| = na ∈ N ⇒ n aa = 0 A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők!
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz 2009. tavasz esti tagozat Továbbá tetszőleges b ∈ R* -re: n (ab) = ab+…+ab = (a+…+a)b = (n a)b = 0b = 0 a a másrészt na(ab) = a(b+…+b) = a(nab) nullosztó mentesség ⇒ nab = 0 ⇒ |b| ≤ |a| = na |b| ≥ |a| hasonlóan látható be ⇒ |b| = |a| = na 2. Tfh nem létezik véges rendű elem. ⇒ Minden elem rendje végtelen. 3. Tfh a közös rend n = 1 véges szám. ⇒ 0 = 1a = a ⇒ a = 0. 4. Tfh a közös rend n összetett véges szám: n = kl és 1 < k < n, 1 < l < n, na = (kl)a = a + ...+ a + ... + a+ ... + a = l(ka) = 0. k db a
k db a
l-szer 1. eset: ka ≠ 0. ⇒ |ka| = n és |ka| ≤ l < n. 2. eset: ka = 0. ⇒ |a| ≤ k< n és |a| = n. gyűrű homomorf képe (8.2.8) Gyűrű homomorf képe gyűrű. Biz. (Csak a disztributivitást kell belátni!) a’(b’+c’) = a’(b+c)’ = (a(b+c))’ = (ab+ac)’ = (ab)’+(ac)’ = a’b’ + a’c’ ideál szerinti mellékosztályok (8.2.15) + következmény Egy R gyűrű egy I ideál szerinti mellékosztályai a gyűrűnek mindkét művelettel kompatibilis osztályozását alkotják. Minden, mindkét művelettel kompatibilis osztályozás esetén a nulla osztálya ideál, és az osztályozás ezen ideál szerinti mellékosztályokból áll. Biz. (I; +) Abel csoport, tehát normálosztó R-ben 8.1.34 Tétel (1) pont ⇒ az osztályozás kompatibilis az összeadással továbbá az osztályok összeadása a komplexusszorzás. A multiplikatív művelet is kompatibilis az osztályozással: (I + a)(I + b) = II + aI + Ib + ab ⊂ I + ab. Most tfh ∃ egy, mindkét művelettel kompatibilis osztályozás és legyen I a 0 additív egységelem osztálya, ekkor 8.1.34 Tétel (2) pont ⇒ I normálosztó R-ben továbbá az osztályozás pont az I szerinti mellékosztályokból áll I ideál? ∀ X osztályra : 0 ∈ I ⇒ 0 ∈ X ⋅ I ⇒ X ⋅ I ⊆ I ⇒ RI ⊆ I. IR ⊆ I hasonlóan. Következmény: Egy R gyűrűnek egy I ideál szerinti mellékosztályai a összeadásra és a szorzásra nézve gyűrűt alkotnak. Biz. A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők!
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz 2009. tavasz esti tagozat Ha ~ a megfelelő ekvivalenciareláció, akkor x→ x~mindkét műveletre nézve művelettartó. felbonthatatlan és prím integritási tartományban R tetszőleges egységelemes integritási tartomány és a∈R*\ U(R) . Ha a prím R –ben ⇒ a felbonthatatlan R –ben. Biz. tfh a prím és a = bc ⇒ 1⋅a = bc ⇒ a|bc a prím ⇒ a|b vagy a|c így 1 = b/a ⋅ c vagy 1 = b ⋅ c/a ⇒ b vagy c egység. felbonthatatlan és prím Gauss-gyűrűben) R tetszőleges Gauss – gyűrű és a∈R*\ U(R). a prím R –ben ⇔ a felbonthatatlan R -ben. Biz. ⇒ : Előző tétel ⇐ : tfh a irreducibilis és a | p⋅q⇒ p⋅q = a⋅r egyértelmő felbontás ⇒ p = p1 ... pk , q = q1 ... ql , r = r1 ... rt ⇒
p1 ... pk ⋅ q1 ... ql = a ⋅ r1 ... rt a asszociált p -vel, vagy q -vel, különben nem lenne egyértelmű a felbontás i j ⇒ a|p vagy a|q .
egység és egységelem integritási tartományban (8.2.26) R integritási tartományban akkor és csak akkor létezik egységelem, ha létezik egység. Az R egységelemes integritási tartományban a ∈ R akkor és csak akkor egység, ha a | e. Biz. Ha van e egységelem, akkor er = r minden r ∈R esetén. Ha ∃ a∈R egység, akkor tetszőleges r∈R esetén a|a ⇒ ∃ e∈R : ae = a. Ekkor e egységelem, mert a|r ⇒ ∃ s∈R : as = r, tehát e ⋅ r= e ⋅ a ⋅ s= (e ⋅ a)⋅ s= (a ⋅ e)⋅ s= a ⋅ s= r. a többi trivi. egységek euklideszi gyűrűben (8.2.30) Euklideszi gyűrűben pontosan azok az elemek az egységek, amelyekre φ minimális értéket vesz fel. Az a, b nem nulla elemekre a|b esetén φ(a) ≤ φ(b) és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a és b asszociáltak. Biz. Legyen E = { r|r ∈ R*, φ(r) minimális } 1. Kérdés: E elemei egységek? Legyen a∈E, és b∈R tetszőleges. b-t oszthatjuk a-val maradékosan ⇒ ∃ c, d ∈R : b = ac+d, ahol a. d = 0, vagy b. d ≠ 0 és ϕ (d) < ϕ (a). A b. eset nem fordulhat elő ϕ(a) minimalitása miatt ⇒ d = 0 ⇒ a|b. 2. Kérdés: Minden egység E-ben van? Legyen a∈R egység, b∈E adott ⇒ a|b ⇒ b = ac. A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők!
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz 2009. tavasz esti tagozat b∈E, b ≠ 0 ⇒ a, c∈ R*. Az euklideszi gyűrűk II. tulajdonsága ⇒ ϕ(b) = ϕ(a ⋅ c) ≥ max (ϕ(a), ϕ(c)), ⇒ ϕ(b) ≥ ϕ (a). φ(b) minimális ⇒ φ(a) is minimális. Euklideszi gyűrű II. tulajdonsága miatt ϕ(a)≤ϕ(b). Tfh ab és ϕ(a)=ϕ(b). Az I. tulajdonság miatt létezik r, s ∈R: a = b⋅r+s, ahol a. s = 0, vagy b. s ≠0 és ϕ(s)<ϕ(b)=ϕ(a). (*) s = a+(− ( b⋅ r ) ) = a + b⋅ ( − r ) ab ⇒ ∃ t∈R : b = a⋅t továbbá a = a⋅e s = a⋅ (e + t ⋅ ( − r ) ) ⇒ (e+ t ⋅ ( − r ) )∈R ⇒ as . Ha s≠0 ⇒ϕ ( s ) ≥ max(ϕ ( a ),ϕ ( e + t ( − r )) ) ≥ϕ (a ) (*) miatt ez nem fordulhat elő ⇒ s = 0, ba azaz a ∼b. számelmélet alaptétele euklideszi gyűrűben (8.2.34) Euklideszi gyűrűben minden nem nulla és nem egység elem, sorrendtől és asszociáltságtól eltekintve egyértelműen felírható prímelemek szorzataként. Biz. Először megmutatjuk, hogy R euklideszi gyűrűben minden nullától és az egységektől különböző elemnek van felbonthatatlan osztója. Tfh a∈ R*\U(R), és legyen D = {rr∈R*\U(R), ra és, ha s ∈ R*\U(R)és sa ⇒ ϕ(r)≤ϕ(s)}. Tehát D az a elem azon nem nulla, nem egység osztóit tartalmazza, amikre a ϕ érték minimális. D ≠ ∅ ⇒ ∃ f∈ D Indirekte tfh f nem felbonthatatlan ⇒ f = b⋅c és b, c ∉ U(R) ⇒ ba . bf és nem asszociáltak ⇒ 8.2.30. Tétel ⇒ ϕ(b) ≠ ϕ(f) ⇒ ϕ(b)<ϕ(f) , mert ekkor b lenne D-ben f helyett. tehát van a-nak felbonthatatlan osztója Tfh ϕ(a) minimális az R*\U(R) -beli elemekre nézve 8.2.30. Tétel ⇒ a felbonthatatlan . Most legyen a∈R*\U(R), ϕ(a) = n, és tegyük fel, hogy n-nél kisebb ϕ értékkel rendelkező elemek esetén az állítás igaz. ∃ f felbonthatatlan : f | a ⇒ a = fh . Lehet ϕ(h) = ϕ(a) ? Ekkor h | a ⇒ a ~ h lenne, de f nem egység, tehát ϕ(h) ≠ ϕ(a). h | a ⇒ϕ(h) < ϕ(a). 1. eset: Tfh h egység ⇒ a felbonthatatlan. 2. eset: Tfh h nem egység ⇒ indukciós feltétel ⇒ h-nak ∃ megfelelő felbontása: h = f1⋅f2⋅…⋅fr ⇒ a = f⋅f ⋅f ⋅…⋅f . 1 2 r Unicitás: tfh indirekte, hogy van olyan elem, amelynek két különböző felbontása létezik. Legyen ezek közül a olyan, hogy φ(a) minimális. A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők!
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz 2009. tavasz esti tagozat a = p ... p = q ... q ⇒ p | a ⇒ p | q ... q 1 k 1 r 1 1 1 r p | q ⇒ asszociáltak, mert irreducibilisek egyszerűsítve kapjuk a’-t, amelyre φ(a’) < φ(a) 1 i euklideszi gyűrű főideálgyűrű (2.8.35) Euklideszi gyűrűben minden ideál főideál. Biz. Ha I = { 0 } ⇒ I = 〈 0 〉 . Tfh I ≠ { 0 }, ekkor legyen S = { ϕ(x) | x ∈I és x≠0 } S legkisebb eleme ϕ(a) : a≠0 ∈I . Maradékosan osztjuk b ∈I -t a-val: b= aq + r és 0≤ ϕ(r) < ϕ(a) I ideál ⇒ r = b − aq ∈I ϕ(a) minimális ⇒ r =0 . b = aq ⇒ I = 〈 a 〉 irreducibilitás és főideál kapcsolata euklideszi gyűrűben Legyen R tetszőleges euklideszi gyűrű és a∈R*\ U(R) . 〈 a 〉 valódi ideál maximális R –ben ⇔ a felbonthatatlan R –ben. Biz. ⇒ Legyen R tetszőleges egységelemes integritási tartomány, a ∈ R*\ U(R) Feltétel : a felbontható ∃ b, c∈R*\ U(R): a = bc . 〈 a 〉⊂ 〈 b 〉 ⊂ R Tehát 〈 a 〉 nem maximális ideál. ⇐ : Indirekt feltétel : a felbonthatatlan, de 〈 a 〉 nem maximális. ∃I R –beli ideál : 〈 a 〉⊂ I ⊂ R R főideálgyűrű ⇒ ∃ 0 ≠ b nemegység : I = 〈 b 〉⊂ R 〈 a 〉⊂ 〈 b 〉⊂ R azaz a minden többszöröse b többszöröse ⇒ a = bc c nem egység, mert akkor 〈 a 〉 = 〈 b 〉 lenne ⇒ a nem felbonthatatlan. Szükséges és elégséges feltétel, hogy R/I test, illetve integritási tartomány legyen + következmény Legyen R kommutatív, egységelemes győrő és I az R-nek ideálja. I. R/I akkor és csak akkor integritási tartomány, ha I≠R és I prímideál. II. R/I akkor és csak akkor test, ha I maximális ideál. Biz. I. R/I int. tart. ⇔ nincs nullosztó. ⇔ (I+a)⋅(I+b) = I ⇒ I+a = I vagy I+b = I . II/1. Tfh hogy I maximális ideál R-ben, és (I ≠) I+a ∈ R/I . A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők!
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz 2009. tavasz esti tagozat ⇒ S = {i+a⋅xi∈I, x∈R} ideál, hiszen: S–S ⊆ S : i + ax – i – ax = (i – i ) + a( x – x )∈ S. 1 1 2 2 1 2 1 2 ∈I ∈R RS ⊆ S : ri +rax =ri +arx ∈ S . ∈I ∈R Valamint I ⊂ S , mert a ∉ I. I maximális ⇒ S = R ⇒ alkalmas i∈I, x∈R-rel e = i+a⋅x ⇒ I +e= I+i+a⋅x = I+a⋅x=(I+a)⋅(I+x) R/I kommutatív egységelemes gyűrű invertálható ⇒ test. II/2. Tfh R/I test, és legyen M egy olyan ideál, amely valódi módon tartalmazza I-t, azaz ∃ a ∈ R elem, amelyre a ∈ M és a ∉ I. R/I test ⇒ ( I + a )⋅( I+ x )= ( I+ b ) egyenlet bármely b ∈ R-re megoldható ⇒ I+ a ⋅ x = I + b. I ⊂ M és a∈ M ⇒ I + a⋅x ⊆ M ⇒ b ∈ M ⇒ M = R. Következmény. Kommutatív, egységelemes gyűrűben ∀ maximális ideál prímideál. Biz. Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű. Ha I maximális ideál R-ben ⇒ R/I test ⇒ R/I integritási tartomány ⇒ tétel ⇒ I prímideál valódi ideálokról szóló tétel.
Tételek(-): homomorfizmus-tétel Egy R gyűrű egy φ homomorfizmusánál a homomorfizmus magja ideál. Ha R képe R’, akkor az R/ker(φ ) maradékosztály-gyűrű izomorf R’ –vel. Az R bármely I ideálja magja valamely homomorfizmusnak, például R kanonikus leképezése R/I –re homomorfizmus, amelynek magja I. főideálokról szóló állítások (8.2.25, 8.2.26) Egy R kommutatív egységelemes gyűrűben az a∈R által generált főideálra (a) = aR. Speciálisan a nulla által generált főideál {0}, az egységelem által generált főideál pedig R. Egy R egységelemes integritási tartomány a,b elemeire (1) (a) ⊂ (b) akkor és csak akkor, ha b|a; (2) (a) = (b) akkor és csak akkor, ha a és b asszociáltak; (3) (a) = R akkor és csak akkor, ha a egység. bővített euklideszi algoritmus A következő eljárás egy R euklideszi gyűrűben meghatározza az a, b ∈ R elemek egy d legnagyobb közös osztóját, valamint x, y ∈ R elemeket úgy, hogy d=ax + by teljesüljön. (Az eljárás során végig axn + byn = rn, n=0, 1, …) A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők!
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz 2009. tavasz esti tagozat (1) [Inicializálás] Legyen x0 ← e a gyűrű egységeleme, y0 ← 0, r0 ← a, x1 ← 0, y1 ← e, r1 ← b, n ← 0. (2) [Vége?] Ha rn+1 =0, akkor x ← xn, y ← yn, d ← rn, és az eljárás véget ér. (3) [Ciklus] Legyen rn = qn+1 rn+1 + rn+2, ahol rn+2 =0 vagy φ(rn+2) < φ(rn+1), legyen xn+2 ← xn- qn+1 xn+1, yn+2 ← yn- qn+1 yn+1, n ← n+1, és menjünk (2)-re. főideálgyűrű Gauss-gyűrű.
A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők!
