BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Műszaki Mechanikai Tanszék _____________________________________________________________________
VIRTUÁLIS MUNKA ELVE VÉGES ELEM MÓDSZER ALAPJAI OKTATÁSI SEGÉDLET
2 __________________________________________________________________________
Összeállította: dr. Vörös Gábor, egyetemi docens 2003. november módosítva: 2005. január
3 __________________________________________________________________________
TARTALOM 1. Bevezetés................................................................................................................................ 4 1.1. Virtuális elmozdulás, virtuális munka............................................................................. 4 1.2. Virtuális munka elve ....................................................................................................... 5 2. A virtuális munka elve kontinuumokra .................................................................................. 7 2.1. Elmozdulás növekmények............................................................................................... 9 2.2. Kis növekmények.......................................................................................................... 10 2.3. Kis alakváltozások......................................................................................................... 11 2.4. Lineárisan rugalmas kis alakváltozások ........................................................................ 11 3. Véges elem módszer, elemek és mátrixok ........................................................................... 14 3.1. Analízis......................................................................................................................... 18 3.1.1. Lineáris statika ....................................................................................................... 18 3.1.2. Másodrendű elmélet ............................................................................................... 18 3.1.3. Lineáris stabilitásszámítás...................................................................................... 19 3.1.4. Sajátfrekvenciák számítása .................................................................................... 20 4. Kiegészítő irodalom ............................................................................................................. 22
4 __________________________________________________________________________
1. Bevezetés A rövid összefoglaló elsődleges célja a kontinuumok mozgásának vizsgálata, mégis célszerű először csak az egy tömegpontra, illetve véges számú tömegpontból álló egyszerű mechanikai rendszerekre
vonatkozó
energetikai
alapelvek
áttekintése.
Ezek
után
az
elveket
általánosíthatjuk a deformálható testekre, kontinuumra.
1.1. Virtuális elmozdulás, virtuális munka Az 1. ábra szerint egy tömegpont, amelyik a t = 0 időpontban az R helyvektorral adott kezdeti helyzetében van, a rá ható erők vagy kényszerek által megszabott pályagörbe mentén t>0 idő után eljut az r vektorral megadható helyzetbe, r(t) a tömegpont mozgástörvénye. Az elmozdulás vektor a pillanatnyi és a kezdeti helyzet különbsége, u = r – R. A ténylegesen megvalósuló pillanatnyi helyzet, illetve az r(t) mozgástörvény – ami az adott mechanikai feladat megoldása – tulajdonságait vizsgáljuk meg úgy, hogy innen kiindulva, változtassuk meg az elmozdulás vektort egy igen kicsi δu értékkel. A módosított elmozdulás legyen olyan, hogy az (u + δu) helyzet is feleljen meg az esetleges kényszerek által kijelölt korlátozásoknak. Ez természetesen nem egy ténylegesen megvalósuló, hanem csak egy elképzelt, lehetséges helyzet, mászóval a δu egy virtuális elmozdulás és az (u + δu) pedig egy kinematikailag lehetséges elmozdulás. Ettől eltekintve a δu virtuális elmozdulás bár kicsi, de tetszőleges. A virtuális elmozdulást ezek szerint úgy is meghatározhatjuk, hogy az a ténylegesen megvalósuló pillanatnyi helyzet és ennek kis környezetében lévő, másik kinematikailag lehetséges helyzet különbsége, δu = (u + δu) – u.
F u
t=0
e3 e1
t>0
R r e2
1.ábra
δu
5 __________________________________________________________________________ Ha az F vektor jelöli a tömegpontra ható erők eredőjét, akkor ennek az erőnek a munkája a virtuális elmozduláson a virtuális munka: δw = F ⋅ δu .
(1.1)
Egy M elemből– tömegpontból - álló mechanikai rendszerre az összes virtuális munka M
M
j=1
j=1
δW = ∑ δw j = ∑ F j ⋅ δu j .
(1.2)
Ha a vizsgált tömegpont egy összetett mechanikai rendszer része, akkor az Fj eredők a belső erőket is tartalmazzák.
1.2. Virtuális munka elve Egy tömegpont nyugalomban van - illetve állandó sebességgel mozog - ha a rá ható erők eredője zérus, azaz F = 0 és ezért a virtuális elmozduláson végzett (1.1) virtuális munka δw = F ⋅ δu = 0 .
Egyensúlyban lévő mechanikai rendszernél a virtuális munkák összege zérus: M
δW = ∑ F j ⋅ δu j = 0 .
(1.3)
j=1
Newton második axiómája szerint a tömegpont mozgásegyenlete F = ma, illetve F - ma = 0, ahol a = d2u/dt2 a tömegpont gyorsulása és a (-ma) a tehetetlenségi erő. Ezt az (1.1) virtuális && ) ⋅ δu = 0 . Ha a mozgásegyenlet a mechanikai munka definíciójába helyettesítve δw = (F − mu
rendszer minden elemére teljesül, akkor M
M
j=1
j=1
&& j ⋅ δu j = 0 , δW = ∑ (F j - m j a j ) ⋅ δu j = δWF − ∑ m j u
(1.4)
ami a virtuális munka elvének egyik alakja. A kinematikailag lehetséges kis δu virtuális elmozdulásokon az erők munkájának megváltozása zérus, ha a mechanikai rendszer minden elemének a kényszerek által megszabott mozgására a mozgásegyenlet teljesül. A δWF jelöli a rendszerre ható összes – külső és belső – erő virtuális munkáját. Ez az eredmény annak a következménye, hogy Newton második axiómája, vagyis a mozgásegyenlet a rendszer minden elemére teljesül.
6 __________________________________________________________________________ Az (1.3) és (1.4) egyenletek formálisan azonosak, ha a mechanikai rendszerre ható tényleges külső erőket a (-maj) tehetetlenségi erőkkel is kiegészítjük. Az így kiegészített erőrendszer egyensúlyi feltétele a mozgásegyenletek teljesülését is biztosítja. Ez a D'Alambert elv. Az (1.4) nem csak egy rögzített t időpillanatban, hanem a mozgás egészére igaz. Integráljuk az (1.4) egyenlet mindkét oldalát egy (t1, t2) időintervallumra, M W m j a j ⋅ δu j dt = 0 . δ − ∑ F ∫t j=1 1
t2
A második tag a szorzat integrálás szabálya szerint átalakítható: t2
[
∫ u&& j ⋅ δu jm jdt = u& j ⋅ δu jm j t1
t2
] − ∫ u& t2 t1
[
& j m jdt = u& j ⋅ δu j m j j ⋅ δu
t1
t2
] − ∫ δ( 12 m u& t2 t1
j
j
⋅ u& j )dt .
t1
A második tagban az integrandusz δEj, a j-edik elemnek a virtuális mozgásból – virtuális sebességből – számolt mozgási (kinetikai) energiája. Ha az integrál határait úgy vesszük fel, hogy az első tagok összege zérus, és E jelöli a rendszer összes mozgási energiáját, akkor az eredmény t2
∫ (δW
F
+ δE ) dt = 0
,
(1.5)
t1
ami a Hamilton elv általános alakja. Az (1.3) elvben az Fj eredő erők a belső erőket is tartalmazzák. Ha egy rendszerből kiemelünk egy részt, akkor a környezet hatását kifejező belső erők a kiválasztott rész szempontjából külső erőknek minősülnek. Bár a belső erők összege zérus, a belső erők virtuális munkájának összege nem feltétlenül zérus, mivel a rendszer elemeinek távolsága a kinematikailag lehetséges mozgások során változhat. Az összes virtuális munka a belső erők (B) és a külső erők (K) munkájának az összege. δWF = δWB + δWK .
(1.6)
7 __________________________________________________________________________ 2. A virtuális munka elve kontinuumokra A következőkben tekintsük a 2. ábrán vázolt, kezdetben a V térrészt elfoglaló kontinuumot, amelynek az Au felületrészén adott az u elmozdulás vektor értéke (geometriai vagy kinematikai peremfeltétel), az Ap felületrészen pedig a p felületi terhelés (dinamikai peremfeltétel). Vizsgáljuk a test mozgásának egy tetszőleges közbenső helyzetét, amikor – feltételezésünk szerint – ismerjük a külső hatásokat és a test mechanikai állapotát leíró mennyiségeket, vagyis ismerjük a megoldást. A külső hatások a
p = p k e k a felületi erő – terhelés - a test Ap jelű külső felületén, q = q k e k térfogati erőhatás a test által elfoglalt V térrészen ˆ = ˆu k e k a felületi pontok előírt mozgása a test Au jelű külső felületén, u E
H = H Ekn e k e n a külső és belső erőktől független, a kezdeti konfigurációra vonatkoztatott alakváltozások, más szóval az expanziós terhelés (például hőtágulás), a mechanikai állapotot jellemző mennyiségek pedig az u = u k e k elmozdulás vektor,
K = K kn e k e n a szimmetrikus II. Piola-Kirchhoff féle feszültség tenzor és H = H kn e k e n a Green-Lagrange féle alakváltozási tenzor. A Green-Lagrange féle alakváltozási tenzor koordinátái az elmozdulás vektorral kifejezve: H kn =
1 (u k; n + u n; k + u t; k u t; n ) = 1 [(δ tk + u t; k )(δ tn + u t; n ) − δ kn ] 2 2 , 1 H kn = [(δ tk + D tk )(δ tn + D tn ) − δ kn ] 2
(2.1)
ahol I = δ kn e k e n jelöli az egységtenzort, D = grad(u) = D kn e k e n = u k; n e k e n az u elmozdulás vektormező gradiens tenzora és uk; n a kovariáns derivált. Ezek a mennyiségek mind a test kezdeti konfigurációjához tartozó derékszögű koordinátarendszerben adottak, melynek bázis egységvektorai e1, e2 és e3. Az alakváltozási és feszültségi állapot leírására használatos vektor és tenzor mezők származtatásának, valamint az itt használt összegzési konvenció és kovariáns derivált definíciójának további részleteivel – többek között - az [1] és [2] könyvek foglalkoznak.
8 __________________________________________________________________________ Az 1. fejezet gondolatmenetét követve, egy ismertnek tekintett egyensúlyi helyzetből kiindulva kis mértékben változtassuk meg az u elmozdulás vektormezőt úgy, hogy az így előálló új (u + δu) vektormező is egy kinematikailag lehetséges – az Au felületen az ˆ = u + δu megtámasztási feltételeket teljesítő – mozgást írjon le, azaz δu = 0 az Au felületen. u
Az elmozdulás δu megváltozása, más szóval a virtuális elmozdulás, olyan kicsi, hogy a test geometriájának megváltozását és a külső és belső erők változását is figyelmen kívül hagyhatjuk. A δu virtuális mozgások során az (1.4) elv és az (1.6) felbontás szerint a külső erők – beleértve a tehetetlenségi erőt is - és belső erők összes virtuális munkája zérus: δWB + δWK = 0 ,
(2.2)
részletezve, δWB = - ∫ K ⋅ ⋅ δH dV = − ∫ K kn δH kn dV , V
V
δWK = ∫ q ⋅ δu dV + ∫ p ⋅ δu dA = ∫ q k δu k dV + ∫ p k δu k dA . V
Ap
V
Ap
A (2.1) alapján számolható a Green-Lagrange féle alakváltozási tenzornak a δu virtuális mozgások következtében kialakuló δH változása, a virtuális alakváltozás:
δH kn =
1 [ (δ tn + u t; n ) δu t; k + (δ tk + u t; k ) δu t; n 2
],
ami az (δ tn + u t; n ) δu t; k tenzor szimmetrikus része. Ha ezt a (2.2) egyenletbe helyettesítjük, és figyelembe vesszük, hogy a Kkn feszültség tenzor szimmetrikus, akkor eljutunk a virtuális munka elvének általános alakjához, − ∫ K kn (δ tn + u t; n ) δu t; k dV + ∫ q k δu k dV + ∫ p k δu k dA = 0 , V
V
Ap
vagy
− ∫ (K kt + K kn u t; n ) δu t; k dV + ∫ q k δu k dV + ∫ p k δu k dA = 0 , V
V
,
(2.3)
Ap
ami szerint, ha egy u elmozdulás vektormezővel megadott helyzetben bármely δu virtuális elmozdulásra a (2.3) egyenlet teljesül, akkor az u az adott feladat megoldása, feltéve, hogy az u és a (u+δu) elmozdulások is kinematikailag lehetségesek. Az eddigiek során nem tettünk
semmiféle korlátozó kikötést a test anyagára, vagy az elmozdulások, alakváltozások mértékére.
9 __________________________________________________________________________
2.1. Elmozdulás növekmények A továbbiakban vizsgáljuk a test alakváltozási folyamatának két egymást követő, egyensúlyi helyzetét (2. ábra). Az első helyzetben, amit a p0 és q0 terhelések hoztak létre, és a továbbiakban alapállapotnak nevezünk, az elmozdulás vektort és a feszültségi tenzort jelölje
u0, K0. Az ezt követő, ugyancsak egyensúlyi állapotban a terhelés legyen (p0 + p) és (q0 + q), a megváltozott elmozdulás vektor és feszültség tenzor pedig (u0 + u) és (K0 + K). A két állapot közötti változásokat növekményeknek nevezzük. Mindkét egyensúlyi állapotra teljesül a (2.3) virtuális munka elve:
(
)
− ∫ K 0kn δ tn + u 0t; n δu t; k dV + ∫ q 0k δu k dV + ∫ p 0k δu k dA = 0 , V
(
Ap
V
)(
)
(
)
− ∫ K 0kn + K kn δ tn + u 0t; n + u t; n δu t; k dV + ∫ q 0k + q k δu k dV + V
V
∫ (p
0 k
)
+ p k δu k dA = 0 .
Ap
A szorzások elvégzése után a két egyenlet különbségét képezve a maradék rész:
[ (
]
)
− ∫ K kn δ tn + u 0t; n + u t; n + K 0kn u t; n δu t; k dV + ∫ q k δu k dV + ∫ p k δu k dA = 0 . V
V
(2.4)
Ap
Ez az elmozdulás vektormező növekményére vonatkozó virtuális munka elve, ami szerint egy u0 egyensúlyi alapállapotból kiindulva az u elmozdulás növekmény egy másik egyensúlyi helyzetet jelöl ki, ha bármely δu virtuális elmozdulásra a (2.4) feltétel teljesül, feltéve, hogy az (u0+u) és az (u0+u+δu) elmozdulások is kinematikailag lehetségesek. A (2.4) a virtuális
munka elvének egy olyan általánosítása, ami a különböző végeselem modellek származtatásának alapja. Fontos megjegyezni, hogy az anyagtörvényre, a mozgások és növekmények mértékére vonatkozóan változatlanul nem tettünk semmiféle korlátozást.
P
p0
0
u
q0 e3
e1
Au
e2
P
u
p0+p
ˆ0 u
P
ˆ u
q0+ q
2. ábra A kontinuum mozgása
10 __________________________________________________________________________ A Green-Lagrange féle alakváltozási tenzor az alapállapotra és az u elmozdulás növekménnyel kijelölt új állapotra a (2.1) alapján H 0pr = H 0pr + H pr =
[(
)(
]
)
1 δ tp + u 0t; p δ tr + u 0t; r − δ pr , 2
[(
)(
]
)
1 δ tp + u 0t; p + u t; p δ tr + u 0t; r + u t; r − δ pr . 2
Ezek különbsége a H alakváltozás növekmények tenzora, H pr =
[(
1 u p; r + u r; p + u t; p u t; r + u 0t; p u t; r + u 0t; r u t; p 2
)] ,
(2.5)
aminek koordinátái nagy alakváltozások esetén az u elmozdulás növekmény mellett az alapállapotot jellemző u0 elmozdulásoktól is függenek. A (2.4) általános alakból kiindulva az anyagtulajdonságra, a mozgások mértékére, a külső hatások és a mozgások kapcsolatára vonatkozó feltételezések alapján különböző mechanikai modellekre érvényes elveket lehet levezetni. Ezek közül csak néhány lehetőséget sorolunk fel.
2.2. Kis növekmények Tételezzük fel, hogy az elmozdulás növekmények kicsik, pontosabban az u elmozdulás növekmény D gradiens tenzora az I egységtenzorhoz képest elhanyagolható. Ilyenkor a (2.4) elvben az
(δ
tn
) (
+ u 0t,n + u t,n ≈ δ tn + u 0t,n
)
(2.6)
közelítést lehet alkalmazni. Ezzel a (2.4) új alakja
[ (
]
)
− ∫ K kn δ tn + u 0t; n + K 0kn u t; n δu t; k dV + ∫ q k δu k dV + ∫ p k δu k dA = 0 . V
V
(2.7)
Ap
A (2.5) H alakváltozási növekmény tenzor - hasonló megfontolás szerint linearizált - alakja az egyszerűsítés után: H pr =
[(
1 u p; r + u r; p + u 0t; p u t; r + u 0t; r u t; p 2
)] .
(2.8)
A virtuális munka elvének (2.7) alakjából származtathatjuk az elmozdulás növekményekre nézve lineáris egyenleteket. Ehhez még szükséges a Kkn feszültség növekmény és a Hpr alakváltozás növekmény vagy az ut;n elmozdulás növekmény gradiens kapcsolatának – az anyagtörvény konkrét alakjának – ismerete is.
11 __________________________________________________________________________
2.3. Kis alakváltozások Legyenek az alapállapotot jelentő alakváltozások is kicsik. Ebben az esetben az u0 kezdeti elmozdulás D0 gradiens tenzora is elhanyagolható az I egységtenzorhoz képest, azaz
(δ
tn
)
+ u 0t,n + u t,n ≈ δ tn ,
(2.9)
A (2.5) vagy (2.8) H alakváltozás növekmény tenzorból is hagyjuk ki a másodrendben kis mennyiségeket: H pr ≈ ε pr =
1 (u p; r + u r; p ) = 1 (D pr + D rp ) . 2 2
(2.10)
Itt a szokásos módon ε jelöli a kis alakváltozások tenzorát. Mivel ez csak az u elmozdulás vektor növekmény koordinátáinak lineáris függvénye, a szuperpozíció elve ettől kezdve használható. Jelöljük kis alakváltozásoknál a feszültség tenzort is a szokásos módon: K ≈ σ. Ezek után a (2.7) virtuális munka elve a következő formában írható,
[
]
− ∫ σ kt + σ 0kn u t; n δu t; k dV + ∫ q k δu k dV + ∫ p k δu k dA = 0 . V
V
(2.11)
Ap
Ismét érdemes hangsúlyozni, hogy az anyagtulajdonságra, az anyagtörvény konkrét alakjára vonatkozóan változatlanul nem tettünk semmiféle korlátozást.
2.4. Lineárisan rugalmas kis alakváltozások A kis alakváltozásokat végző, lineárisan rugalmas anyagú testeknél a σ feszültségi tenzor és az ε alakváltozási tenzor koordinátái közötti kapcsolat az alapállapotban is és az elmozdulás növekmények utáni új állapotban is az alábbi lineáris egyenletekkel - az általános Hooke törvény formájában - írható fel:
(
σ 0kn = C knpr ε 0pr − ε 0E pr
) ,
(2.12)
E σ 0kn + σ kn = C knpr (ε 0pr − ε 0E pr + ε pr − ε pr )
ahol Cknpr az anyagjellemzők mátrixa, ami anizotróp anyagnál legfeljebb 21, de izotróp test estén csak 2 független anyagjellemzőt tartalmaz. Az ε0E és εE tenzorok a külső és belső erőktől független alakváltozások, az expanziós terhelések (például hőtágulás, vagy a fázisátalakulást, száradást kísérő térfogatváltozás, stb.) kezdeti értékét illetve növekményét
12 __________________________________________________________________________ írják le. A feszültség növekmény és az alakváltozás növekmény kapcsolata a (2.12) anyagtörvényből, az ott felírt két egyenlet különbsége:
(
σ kn = C knpr ε pr − ε Epr
)
(2.13)
Ezek alapján a (2.11) virtuális munka elve a következő formában írható fel:
[
(
]
)
− ∫ C ktpr ε pr − ε Epr + σ 0kn u t; n δu t; k dV + ∫ q k δu k dV + ∫ p k δu k dA = 0 , V
V
(2.14)
Ap
illetve, mivel a σ feszültség tenzor is és az ε, εE alakváltozási tenzorok is szimmetrikusak és a virtuális elmozdulásokból számolt virtuális alakváltozás δε pr =
1 (δu p; r + δu r; p ) , 2
a (2.14) átírható a következő alakra: - ∫ C ktpr ε pr δε tk dV − ∫ u t; n σ 0kn δu t; k dV + ∫ C ktpr ε Epr δε tk dV + ∫ q k δu k dV + ∫ p k δu k dA = 0 . V
V
V
V
Ap
(2.15) vagy a (2.13) felhasználása után, kis átalakítással, -δ
[ (
]
)
1 σ tk ε tk − ε Etk + u t; n σ 0kn u t; k dV + ∫ q k δu k dV + ∫ p k δu k dA = 0 . 2 V∫ V Ap
Ha a külső erők az elmozdulásoktól függetlenek, azaz
q.δu = δ(q.u) és p.δu = δ(p.u),
(2.16)
akkor a virtuális munka (2.15) elvét a 1 1 δ − ∫ C ktpr ε pr ε tk dV − ∫ u t; n σ 0kn u t; k dV + ∫ C ktpr ε Epr ε tk dV + ∫ q k u k dV + ∫ p k u k dA = 0 . 2 V 2 V V Ap V (2.17) formában írhatjuk fel, amit a teljes potenciális energia szélsőérték elvének, vagy a lineáris rugalmasságtanban a Lagrange féle szélsőérték elvnek is szoktak nevezni. A (2.17) a (2.13) anyagtörvény alapján átrendezhető: 1 δ− ∫ σ tk ε tk − ε Etk + u t; n σ 0kn u t; k dV + ∫ q k u k dV + ∫ p k u k dA = 0 , 2 V V Ap
[ (
)
vagy ugyanez szimbolikus jelölésekkel:
]
13 __________________________________________________________________________
[ (
]
)
1 0 E T δ− ∫ σ ⋅ ⋅ ε − ε + D ⋅ σ ⋅ D dV + ∫ q ⋅ u dV + ∫ p ⋅ u dA = 0 . 2 V V Ap A virtuális munka elve a teljes terhelési, alakváltozási folyamat bármely közbenső, pillanatnyi egyensúlyi állapotára érvényes. Ha test mozgása gyors, akkor a külső erők, a terhelések között figyelembe kell venni a tehetetlenségi erőket is. A D’Alambert elv szerint a térfogaton
&& , ahol ρ a test tömegsűrűsége és a két pont jelöli megoszló tehetetlenségi erők értéke q = −ρu az idő szerinti deriváltat, a gyorsulás vektort. Ezzel kiegészítve a (2.15) egyenletet, − ∫ C ktpr ε pr δε tk dV − ∫ u t,n σ 0kn δu t,k dV − ∫ ρ&u& k δu k dV + V
V
V
,
(2.18)
+ ∫ C ktpr ε Epr δε tk dV + ∫ q k δu k dV + ∫ p k δu k dA = 0 V
V
Ap
a mérnöki gyakorlatban legtöbbször előforduló, a lineárisan rugalmas szerkezetek statikai, stabilitási és dinamikai vizsgálatára alkalmas alapelvhez jutunk. A (2.18) a következő formában is megfogalmazható: A lineárisan rugalmas anyagú, kis alakváltozásokat végző szerkezet terhelése a p felületi és a q térfogati erőrendszerek, valamint az εE tenzorral megadott, a p és q terhelésektől független, egyéb külső hatások következtében kialakuló alakváltozás. A szerkezet kezdeti - ismertnek tekinthető - egyensúlyi feszültségi állapotát a σ0 tenzor mező írja le. Ha egy kinematikailag lehetséges, más szóval a geometriai peremfeltételeknek pontosan megfelelő u elmozdulás vektorra teljesül a (2.18) feltétel, akkor az u vektor az adott rugalmasságtani feladat megoldása.
Az ε alakváltozási és σ feszültségi tenzorok valamint az u kapcsolata, az eddigiek alapján: ε pr =
1 (u p; r + u r; p ) = 1 (D pr + D rp ) 2 2
(
σ kn = C knpr ε pr - ε Epr
)
.
(2.19)
14 __________________________________________________________________________
3. Véges elem módszer, elemek és mátrixok A továbbiakban, a virtuális munka elvének a (2.18) alakjából kiindulva, áttekintjük a végeselem módszer lényeges lépéseit. A mátrixokat, a vektor és tenzor mennyiségektől megkülönböztetve, aláhúzás nélkül jelöljük, és ahol szükséges, a sorok és oszlopok számát a jelölés alatti zárójelben adjuk meg. A mechanikai mezők és a terhelések koordinátáit célszerűen oszlopvektorokba rendezzük el, melyek mérete és belső elrendezése az adott feladat jellegétől (rúdszerkezet, lemezfeladat, stb.) függ. Az elmozdulás, az elmozdulás gradiens, az alakváltozási, feszültségi és kezdeti feszültségi mátrixok – oszlop vektorok jelölése legyen uk → u ,
u k; n = D kn → D ,
ε kn → ε ,
σ kn → σ , σ 0kn → σ 0 ,
(3.1a)
a terheléseket megadó mennyiségek mátrixai p k → p,
qk → q ,
ε Ekm → ε E ,
(3.1b)
és a rugalmas test anyagjellemzőinek szimmetrikus mátrixa C knpr → C .
(3.1c)
A vizsgálandó szerkezet vagy kontinuum által elfoglalt V tartományt felosztjuk M véges számú és véges méretű Ve elemre, amelyek felületén, esetleg a belsejében is, kijelöljük a csomópontokat. A (2.18) elvben szereplő integrálok az egyes elemekre vonatkozó integrálok összege lesz: M
∫ (...) dV = ∑ ∫ (...) dV . e =1 Ve
V
Egy anyagi pont mozgását n adat írja le (például 3 vektor koordináta). Az e sorszámú elemnél az i-edik csomópont elmozdulás jellemzőit rendezzük el a ∆ i csomóponti mátrixba, melynek mérete (n,1), n sor és 1 oszlop. Ha az elem csomópontjainak száma p, akkor az elemhez tartozó elmozdulás jellemzők száma, vagyis az elem szabadságfoka, N = pn. Az elem szabadságfokok mátrixa legyen (T a transzponálás jele)
[
T
T
U e = ∆1 , ∆ 2 , ..., ∆ p
( N ,1 )
]
T T
.
(3.2)
A szerkezet összes csomóponti elmozdulás paraméterét tartalmazó U mátrix, ha az egész rendszerben a csomópontok száma P :
[
T
T
T
]
U T = ∆1 , ∆ 2 , ..., ∆ P .
(3.2)
15 __________________________________________________________________________ Az elemek belső pontjaiban az u elmozdulás vektormező koordinátáinak értékét interpolációs függvényekkel számoljuk, melyeket az N interpolációs mátrixban rendezünk el:
u = N Ue .
(n,1)
(3.3)
(n,N) (N,1)
Az interpolációs függvények általában polinomok, fokszámukat a csomóponti n szabadságfokok számától függően kell meghatározni. Az interpolációs függvények konkrét formája ugyan elemtípusonként változó, de a következő általános szabályokat minden esetben érvényesíteni kell. Az elemek csatlakozó oldalfelületei vagy oldalai mentén a megfelelő elmozdulás koordináták legyenek folytonosak, legyenek lineárisan függetlenek, továbbá ha a csomóponti elmozdulások az elem merevtestszerű mozgását adják, akkor bármely belső pontban az alakváltozások és feszültségek értéke legyen zérus. Az interpolációs függvények ismeretében a (2.19) összefüggésekből ki lehet számolni az elem belső pontjaiban az elmozdulás gradiens és az alakváltozási tenzor elemeit tartalmazó mátrixokat:
D = S Ue ,
T
ε = H S Ue = B Ue = Ue BT .
(3.4)
A virtuális elmozdulás és az ebből számolt virtuális mennyiségek, mivel most már csak a csomóponti értékek változhatnak: δu = N δU e ,
δD = S δU e = δU eT S T ,
δε = B δU e = δU eT B T .
(3.5)
Ezek után, a (3.1a-c) jelölések és a (3.4), (3.5) definíciók felhasználásával felírhatjuk a (2.18) virtuális munka elvében szereplő hat integrál egy elemre vonatkozó értékeit, amikből az egyes elemmátrixok származnak.
1. Merevségi mátrix Az elem ke merevségi mátrixa a származtatás módjából következően szimmetrikus.
∫C
ktpr
ε pr δε tk dV → δU e
Ve
T
∫B
T
T
C B dV U e = δU e k e U e . (N, N)
Ve
(3.6)
2. Geometriai merevségi mátrix A geometriai merevségi mátrixban megjelennek a kezdeti feszültségi állapot koordinátái.
∫u
Ve
t,n
σ 0kn δu t,k dV → δU e
T
∫S
Ve
T
T
σ 0 S dV U e = δU e k eG U e . (N, N)
(3.7)
16 __________________________________________________________________________
3. Tömegmátrix Ezzel a taggal akkor kell számolni, amikor a gyorsan változó folyamatoknál a tehetetlenségi (inercia) erők az egyéb terhelésekhez képest nem elhanyagolhatóak. A csomóponti paraméterek ilyenkor az idő egyváltozós függvényei lesznek.
∫ ρu&&
k
δu k dV → δU eT
Ve
∫N
T
&& e = δU eT m e U && e . N ρ dV U
(3.8)
(N,N)
Ve
A tömegmátrixnak ezt a formáját konzisztens tömegmátrixnak nevezik, és igazolható, hogy a fenti definíció a tömeg azonossága mellett a mozgási energiák azonosságát is biztosítja: E=
1 & eT e & e 1 ρ u& k u& k dV = U m U . ∫ 2 2 Ve (N, N)
A konzisztens tömegmátrix helyett gyakran használják a diagonál szerkezetű, úgynevezett koncentrált tömegű (lumped) tömegmátrixot, amit a transzlációs mozgásokhoz tartozó tömegek (és esetleg a forgásokhoz tartozó tehetetlenségi nyomatékok) azonossága alapján származtathatunk. A kétféle tömegmátrix használatával természetesen eltérő numerikus eredményeket kapunk, de az elemek méretének csökkentésével az eredmények közötti eltérés is csökken. A diagonál mátrix szerkezet a nagyméretű sajátérték feladatok megoldását jelentősen gyorsítja.
4. Terhelések A külső, elmozdulásoktól független erőhatásokat tartalmazó három tagból származtatható az elem Pe tehervektora. Az itt szereplő εE tenzor tartalmazza a hőmérséklet változásából adódó terheléseket. Ha az anyag izotróp és α jelöli az iránytól független fajlagos hőtágulási együtthatót, akkor ε Epr = αT e δ pr ,
ahol Te az elem hőmérséklet változása. Az eredő elem tehervektor:
∫C
Ve
ktpr
ε prE δε tk dV +
∫q
k
δu k dV +
Ve
∫p
k
δu k dA →
Aep
. T E T T eT e δU ∫ B C ε dV + ∫ N q dV + ∫ N p dA = δU Q ( N,1 ) Ve Aep Ve
(3.9)
eT
A (2.17) virtuális munka elvében szereplő integrálok a fenti (3.6.-3.9.), az egyes elemekre vonatkozó részintegrálok összegeiként írható fel:
17 __________________________________________________________________________
M
∑ δU ( eT
e =1
)
&& e + Q e = 0 . − k e U e − k Ge U e − m e U
Mivel a szerkezet felosztásakor meghatározott elemek csatlakozó csomópontjaiban az elmozdulás paraméterek (szabadságfokok) értéke azonos, az ezekhez kapcsolódó elem mátrix elemekre az összegzést elvégezhetjük. Az elemekre vonatkozó mennyiségek összegzése után a fenti egyenlet a
δU T
(
)
&& + Q = 0 − KU − K G U − MU
alakra rendezhető, ahol K, KG, M, szimmetrikus mátrixok, P és U oszlop vektorok. Ezek az egész rendszerre vonatkozó mátrixok. Mivel a δU virtuális csomóponti elmozdulás az Au megtámasztási felületen kívüli csomópontokban tetszőleges, a && = Q KU + K G U + MU
(3.10)
feltételnek kell teljesülni. A (3.10) egyenlet megoldása, feltéve, hogy a szerkezet Au jelű felületén lévő csomópontokban az U megfelelő elemei azonosak az ott előírt mozgásokkal, vagyis eleve teljesítik a kinematikai kényszerfeltételeket (kinematikailag lehetséges mozgás), az egész szerkezetre vonatkozó megoldást szolgáltat. Az U megoldásból kiemelve a (3.2) Ue elem szabadságfok mátrixokat, a feszültségek az elemek belső pontjaiban a (2.14) és (3.5) alapján számolhatóak:
(
σe = D B Ue − εE
)
.
(3.11)
Ez természetesen közelítő megoldás, mivel a (3.3) interpoláció a belső pontok mozgását csak közelítőleg írja le. A közelítő megoldás itt azt jelenti, hogy a (3.10) egyenletrendszer megoldásából kiszámított (3.11) belső erők, feszültségek ugyan közelítő értékek, de - a tehetelenségi erőkkel kiegészítve - egyensúlyi erőrendszert alkotnak. Ennek magyarázata az, hogy a virtuális munka elve – aminek végső formája itt a (3.10) egyenlet - egy közelítő elmozdulás mezőre pontosan teljesül. A csomópontok közötti távolságok csökkentésével, vagyis az elemek méretének csökkentésével – ami elemszám és szabadságfok szám növelést jelent – a megoldás hibája is csökken. Természetesen, ha a (3.3) interpolációs függvényekből a pontos elmozdulás vektor előállítható, akkor a (3.10) U megoldása a csomópontok pontos elmozdulása lesz. Erre csak egyszerűbb szerkezetek - például rúdszerkezetek - egyszerű terheléseinél lehet számítani.
18 __________________________________________________________________________
3.1. Analízis A (3.10) egyenlet a kis alakváltozásokat végző, lineárisan rugalmas anyagú szerkezeteknél különböző feladattípusok megoldására alkalmas. A következő fejezetekben ezeket a lehetőségeket tekintjük át röviden. 3.1.1. Lineáris statika Ha a szerkezet feszültségmentes kezdeti állapotból kiindulva, lassú mozgásokat végez, akkor a végső egyensúlyi helyzetet a KU=Q
(3.12)
lineáris egyenletrendszer megoldásával lehet meghatározni. 3.1.2. Másodrendű elmélet Szerkezeteknél a lineáris elmélet alkalmazása lényegében azt jelenti, hogy az egyensúlyi feltételeket az eredeti, terhelés előtti alak méretei alapján határozzuk meg. Nagyobb alakváltozások esetén azonban figyelembe kell venni a szerkezet geometriájának folyamatos változását is. Például a nagy mozgásokat végző, lineárisan rugalmas anyagú szerkezetekre vonatkozó végeselem alapegyenlet a virtuális munka elvének (2.7) alakjából származtatható, ami nemlineáris egyenletekhez vezet. A nemlineáris egyenletek hosszadalmas, iterációs algoritmusokkal oldhatók meg. Hajlékony rugalmas szerkezeteknél a problémának közelítő, de a gyakorlat számára kielégítő pontosságú megoldása a másodrendű elmélet, amikor az iterációs eljárásnak csak az első két lépését végezzük el. Először, feszültségmentes kezdeti állapotot feltételezve megoldjuk a (3.12) lineáris egyenletet. A második lépésben ebből a megoldásból meghatározzuk a (3.11) egyensúlyi belső erő eloszlást, amit kezdeti feszültségi állapotnak tekintve kiszámítjuk a (3.7) geometriai merevségi mátrixot. A
(K + K ) U = Q G
(3.13)
lineáris egyenletrendszer megoldásával kiszámítjuk a pontosított mozgásokat, belső erőket és feszültségeket. A (3.13) egyenlet úgy is értelmezhető, hogy az egyensúlyi egyenleteket a terhelés által deformált alakra írjuk fel. Ez természetesen további mozgásokat indukál és az eljárást az így előálló új alakzatra, mint kezdeti állapotra megismételhetnénk.
19 __________________________________________________________________________ A másodrendű elméletek alkalmazása során az egyenes rudakból és sík lemezekből álló szerkezeteknél még további egyszerűsítéseket is alkalmaznak, amikor csak a húzó-nyomó igénybevételek és a hajlító igénybevételek kapcsolatánál veszik figyelembe a mozgásokat, a többi igénybevétel vonatkozásában az eredeti egyenes vagy sík alakzatot használják. A kezdeti feszültségekre nézve ez azt jelenti, hogy a geometriai merevségi mátrix számításánál a σ0 kezdeti feszültségeknek csak a húzásból vagy nyomásból származó tagjaival számolunk. Lehetséges, hogy a (K + KG) módosított együttható mátrix szinguláris lesz és a (3.13) lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása. Ez a jelenség akkor mutatkozik, ha a külső terhelés nagyobb, mint a rendszer kritikus, stabilitásvesztést okozó terhelése. 3.1.3. Lineáris stabilitásszámítás A lineáris stabilitásszámítás célja a kritikus terhelés értékének meghatározása. A kritikus terhelési szintet elérve a szerkezet egésze, vagy egyes elemei elveszítik további teherviselő képességüket, mozgásuk határozatlanná válik. A kérdés tehát az, hogy egy adott terhelési szinthez egy vagy több egyensúlyi állapot tartozik. Ha csak egy lehetséges egyensúlyi helyzet van, akkor az stabil. Meg kell vizsgálni statikus esetre, hogy egy egyensúlyi helyzetből, mint alapállapotból kiindulva a terhelések változatlan értéke mellett (zérus teher növekmény) létezhet e zérustól különböző elmozdulás növekmény, pontosabban, a
(K + K ) U = 0
(3.14)
G
homogén lineáris egyenletrendszernek mikor lehet U ≠ 0 megoldása. A geometriai merevségi mátrix (3.7) alakjából látszik, hogy az a kezdeti feszültségek, illetve ezen keresztül a kezdetinek tekintett állapotot létrehozó külső terhelések lineáris függvénye:
(
)
( )
K G λσ 0 = λ Κ G σ 0
.
A (3.14) lineáris egyenletrendszernek csak akkor lehet U ≠ 0 megoldása, ha az együttható mátrix determinánsa zérus,
[
( )]
det K + λ K G σ 0 = 0 .
(3.15)
Ez egy sajátérték számítási feladat, a legkisebb λ sajátérték a kritikus terhelési paraméter, a hozzá tartozó sajátvektor pedig a stabilitásvesztési formát mutatja meg. Ez az egyenlet úgy is
20 __________________________________________________________________________ értelmezhető, hogy a terhelés növekedésével növekvő alakváltozások miatt a szerkezet eredő merevsége is változik. Ha a merevség zérussá válik, az eredő merevségi mátrix szinguláris lesz, a szerkezet további terheléseket nem tud felvenni. Természetesen, bizonyos szerkezetek az első kritikus terhelésnél nagyobb terheket is felvehetnek, ennek számítására azonban a többszörösen linearizált (2.13) alakú virtuális munka elv és arra épülő algoritmus nem használható. A kritikus terhelés számítását két lépésben kell végrehajtani. Először a (3.12) egyenlettel kiszámítjuk a P külső terhelésekből az egyes elemekben kialakuló belső erőket, ez lesz az alapállapot. A második lépésben, ezek ismeretében számolható a KG geometriai merevség, majd a (3.15) szerint a λ paraméter. A kritikus terhelés az eredeti külső terhelés és a λ paraméter szorzata. 3.1.4. Sajátfrekvenciák számítása A terheletlen szerkezet lehetséges mozgásainak, a szabad rezgéseknek a vizsgálatához a
&& = 0 K U+M U
(3.16)
homogén lineáris differenciálegyenlet rendszert kell megoldani. Tételezzük fel, hogy a statikailag határozott megtámasztású szerkezet minden csomópontja pontja periodikus mozgást végez: U = A sin(ωt) ahol t jelöli az időt és A a csomópontok amplitúdó mátrixa, más szóval a lengéskép. A feltételezett lengés alakot a (3.16) egyenletbe helyettesítve a
(K − ω M) A = 0 2
homogén lineáris egyenletet kapjuk, aminek csak akkor lehet A ≠ 0 megoldása, ha az együttható mátrix determinánsa zérus,
[
]
det K − ω 2 M = 0 .
(3.17)
A sajátérték feladat megoldásával megkapjuk a rendszer szabad rezgéseinek sajátfrekvenciáit, a sajátvektorok pedig a lengésképeket mutatják. A lehetséges [ωj, Aj] sajátfrekvencia, sajátvektor párok száma nem több mint a rendszer szabadságfokainak száma.
21 __________________________________________________________________________ A statikus külső terhelések módosíthatják a szerkezet merevségét és ezen keresztül a szabad rezgések frekvenciáit. A statikus terhelések hatását a szerkezet merevségére a geometriai merevségi mátrix fejezi ki és ezért – ha ezt a hatást is vizsgálni akarjuk - a (3.17) helyett a
[
]
det (K + K G ) − ω 2 M = 0
(3.18)
sajátérték feladatot kell megoldani. Ha ezt összevetjük a lineáris stabilitásszámítás (3.15) alapegyenletével, megállapítható, hogy ha a statikus terhelés eléri a kritikus, a stabilitás elvesztését okozó értéket és az eredő (K + KG) merevségi mátrix szingulárissá válik, a rendszer nem végezhet szabad rezgést, mivel az összes sajátérték ω = 0.
22 __________________________________________________________________________
4. Kiegészítő irodalom
1. Béda Gyula, “Variációs Elvek” Egyetemi Jegyzet, Tankönyvkiadó, 1974. 2. Béda, Kozák, Verhás, “Kontinuummechanika”, Műszaki Könyvkiadó, 1986. 3. Przemieniecki, J. S., “Theory of Matrix Structural Analysis”, McGraw-Hill, 1968. 4. Cook, R.D., “Concepts and Applications of Finite Element Analysis”, 2nd Edition, John Wiley & Sons, 1981. 5. Bathe, K. J., “Finite Element Procedures in Engineering Analysis”, Prentice-Hall, 1982. 6. Yang, T.Y., “Finite Element Structural Analysis, Prentice-Hall”, 1986.
