Valószínűség számítási feladatok és megoldásaik 1. Egy szabályos dobókockával egyszer dobunk. Milyen esemény valószínűsége lehet az illetve az
1 2 ,a , 2 3
1 érték? 3
Megoldás: P(a dobott szám prím) =
1 2
P(a dobott szám 3-mal nem osztható) = P(a dobott szám 3-mal osztható) =
2 3
1 3
2. Egy dodekaéder lapjaira ráírtuk a számokat 1-12-ig. Mekkora a valószínűsége, hogy a) a dobott szám 4-gyel osztható, b) a dobott szám 3-mal osztható, c) a dobott szám 4-gyel és 3-mal osztható, d) a dobott szám 4-gyel vagy 3-mal osztható, e) a dobott szám sem 3-mal, sem 2-vel nem osztható, f) a dobott szám jegyeinek összege legfeljebb 4, g) a dobott szám nem négyzetszám? Megoldás: a. A tizenkét számból három osztható 4-gyel : 4, 8,12. 3 1 P= 12 4 b. A tizenkét számból négy osztható 3-mal : 3, 6, 9, 12 . 4 1 P= 12 3 c. Csak a 12 osztható 3-mal és 4-gyel, tehát 1 P= 12 d. Azt már láttuk, hogy három 4-gyel, illetve négy 3-mal osztható szám van a tizenkét szám között. A kettőt összeadva azt kapjuk, hogy 4+3=7 olyan szám van, ami 4-gyel vagy 3-mal osztható. De a 12-t kétszer is beleszámoltuk, ezért valójában csak 7-1=6 ilyen szám van. Vagyis P=
6 1 12 2
1
e. Nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal az 1, az 5, a 7 és a 11, ezért 4 1 P= 12 3 f. A számjegyek összege legfeljebb 4 az 1,a 2, a 3, a 4, a 10, a 11 és a 12 számoknál, ezért 7 P= 12 g. Négyzetszámok az 1, a 4, a 9 , a többi kilenc nem az, tehát 9 3 P= 12 4 3. Fanni a zsebében lévő két szem citromos és két szem málnás cukorkából kivesz kettőt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy különböző ízűek? Megoldás: 43 6 módon lehet kiválasztani. Ezekből nekünk két eset nem felel 2 2 1 meg: ha a két citromosat, vagy a két málnásat választja. Ezek valószínűsége . A többi négy 6 3 4 2 esetben különböző a két cukor íze. Ennek a valószínűsége: . (Ezt így is megkaphattuk volna: 6 3 1 2 1 .) 3 3
A négy cukorkából kettőt
4. Két tálban 10-10 darab alma van, mindegyikben egy sárga, a többi piros. Bekötött szemmel választunk egy-egy almát mindkét tálból. a) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a két sárgát választjuk? b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy sárgát és egy pirosat választunk? c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy legalább az egyik választott alma piros? Megoldás: a) Annak a valószínűsége, hogy az egyik tálból a sárga almát választjuk 0,1. A két tálból egymástól függetlenül választunk, ezért annak a valószínűsége, hogy mindkét tálból a sárgát vesszük ki 0,1 0,1 0,01 . b) Annak a valószínűsége, hogy az egyik tálból a sárga almát választjuk 0,1; annak, hogy a pirosat 0,9. A sárga almát vagy az első, vagy a második tálból választhatjuk, ezért a két különböző színű alma választásának valószínűsége: 0,1×0,9+0,9×0,1=2×0,1×0,9=0,18. c) Ha legalább az egyik alma piros, akkor vagy az egyik piros és a másik sárga, vagy mindkettő piros. Annak a valószínűsége, hogy az egyik választott alma piros, a másik pedig sárga a b. feladat szerint 0,18. Annak a valószínűsége, hogy mindkét választott alma piros 0,9×0,9=0,81. Így annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik választott alma piros: 0,18+0,81=0,99. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha azt mondjuk, hogy akkor nem lenne egy piros alma sem, ha mind a kétszer sárgát választunk. Tehát P(legalább az egyik piros)=1-P(mindkettő sárga)=1-0,01=0,99. 5. Az számkártyákat összekeverjük, majd egymás után letesszük az asztalra. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az így kirakott négyjegyű szám 2
a) páratlan, b) hárommal osztható, c) néggyel osztható? Megoldás: A négy számkártyát 4×3×2×1=24 különböző sorrendben tudjuk egymás után letenni. a) Akkor páratlan, ha 1-re vagy 3-ra végződik, ez a 24 lehetséges eset fele, vagyis a valószínűsége 0,5. b) A számjegyek összege 1+2+3+4=10, azaz egyik szám sem lesz hárommal osztható, a valószínűség 0. c) Akkor osztható néggyel, ha az utolsó két számjegy 12 vagy 24 vagy 32. Mindhárom esetben a maradék két számjegy kétféle sorrendben állhat elöl, tehát a kedvező esetek száma 2×3=6. A 6 1 . valószínűség tehát 24 4 6. Két dobókockával dobunk egyszerre és összeadjuk a dobott számokat. Tomi arra fogad, hogy az összeg 6 lesz, Laci arra, hogy az összeg 7 lesz, Feri pedig arra, hogy az összeg 8 lesz. Melyiküknek van nagyobb esélye a nyerésre? Megoldás: Két kockával egyszerre dobva 6×6=36 a lehetséges esetek száma. Ebből a 36-ból kell kiválasztanunk azokat, amelyeknél a dobott számok összege 6, vagy 7, vagy 8. Az 1; 2; 3; 4; 5; 6 számokból a 6 is, a 7 is és a 8 is háromféle módon állítható elő két szám összegeként: 6 = 1+5 6 = 2+4 6 = 3+3
7 = 1+6 7 = 2+5 7 = 3+4
8 = 2+6 8 = 3+5 8 = 4+4
Jelöljük meg az egyik dobókockát! Amikor a két összeadandó azonos, akkor a jelöletlen és a jelölt kockán is ugyanaz a szám áll, vagyis ez az eset egyféleképpen jöhet létre. Amikor a két összeadandó különböző, akkor két lehetőség van: a jelölt kockán van az első összeadandó és a jelöletlenen a második, vagy fordítva. Így a hat 2+2+1=5, a hét 2+2+2=6, a nyolc 2+2+1=5 esetben jöhet létre a 36 lehetséges esetből. Ezért a tippelt összegek valószínűsége:
Tehát Laci a legesélyesebb a nyerésre, Tomi és Feri esélye egyforma. (Egy dobókocka szemközti lapjain mindig 7 a számok összege. Tehát, ha 1 áll fölül, akkor 6 alul; ha 5 fölül, akkor 2 alul. Így az 1+5 összegnek megfeleltethető egy 2+6 összeg. Ugyanígy bármelyik 6-os összegnek megfeleltethető egy 8-as összeg; így látható, hogy ugyanannyiféleképpen lesz az összeg 6, mint 8.) 7. Két dobókockával dobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok 3
a) szorzata 12, b) szorzata prímszám? Megoldás: Az egyik kockával is hatféle számot dobhatunk, a másikkal is, ezért összesen 6 × 6 = 36 elemi esemény lehetséges. a. 12 = 2 × 6 6×2 3×4 4×3 A szorzat négyféleképpen állhat elő , ezért 4 1 . P(a szorzat 12) = 36 9 b. A szorzatok között három prímszám van, a 2, a 3 és az 5. Mindegyik kétféleképpen jöhet ki: 2 = 2×1= 1×2, 3 = 3×1 = 1×3, 5 = 5×1= 1×5, ez 6 eset. Tehát 6 1 . P(a szorzat prímszám) = 36 6 8. Két dobókockával dobunk. Adjunk meg olyan elemi eseményeket, amelyek valószínűsége
a.
b.
d.
c.
1
Megoldás: a. P(a dobott számok összege 3) =
=
b. P(a dobott számok összege páros négyzetszám) =
=
c. P(a dobott számok összege 5-nél nagyobb prímszám) = d. P(a dobott számok szorzata legfeljebb 36) = 1
=
9. Egy fiókban van hat pár kesztyű. a. Csukott szemmel kiveszünk belőle két darabot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két jobbkezes kesztyűt választunk? b. A hat pár kesztyűből kivettünk két darab jobbkezest, majd a maradékból megint húzunk két darabot csukott szemmel. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két balkezest választunk? Megoldás: 12 12! a. 6 db jobbkezes és 6 db balkezes kesztyű van a fiókban. Közülük kettőt 2 2!10! lehetséges módon tudunk kiválasztani. Kedvező az az eset, ha mindkét kesztyű a 6 6! jobbkezesek közül kerül ki. Ez esetben fordulhat elő. Így két jobbkezes kesztyű 2 2!4! 15 5 kiválasztásának valószínűsége: P JJ . 66 22
4
b. Most 4 db jobbkezes és 6 db balkezes kesztyű van a fiókban. Közülük kettőt 10 10! lehetséges módon tudunk kiválasztani. Most az a kedvező, ha mindkét kesztyű a 2 2!8! 6 6! balkezesek közül kerül ki. Ez esetben fordulhat elő. 2 2!4!
Így két balkezes kesztyű kiválasztásának valószínűsége: PBB
15 1 . 45 3
10.Karesz pénztárcájában 5 db 20 Ft-os van. Édesanyja betett a húszasok mellé néhány 10 Ft-ost is. Hány db tízest kapott Karesz, ha ezek után a pénztárcájából találomra kiválasztott érme 0,8 valószínűséggel 10 Ft-os? Megoldás: Ha édesanyja x db 10 Ft-ost tesz a pénztárcába, akkor x + 5 db érem lesz benne. 8 x Így P(10-est választunk) = innen x = 20, tehát Karesz édesanyja 20 db 10 Ft-ost 10 x 5 tett a pénztárcába. 11.A virágoskertben tavasszal háromféle tulipán (piros, sárga, rózsaszín) és kétféle nárcisz (fehér és sárga) nyílik egyszerre. A szobában a váza mellett egy kosárkában mindig van öt cédula, a következő feliratokkal: piros tulipán, sárga tulipán, rózsaszín tulipán, fehér nárcisz, sárga nárcisz. Mama minden nap egy cédula kihúzásával dönti el, melyikből szedjen a vázába. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két egymást követő napon a. sárga nárciszt; b. ugyanolyan virágot; c. tulipánt szed? Megoldás: a. Mama első nap öt cédulából húz, a sárga nárcisz valószínűsége cédulából húz, a sárga nárcisz valószínűsége ismét nárcisz valószínűsége:
1 . Másnap szintén öt 5
1 . Így két egymást követő napon a sárga 5
1 1 1 . 5 5 25
b. Ha a két napon ugyanolyan virágot szed, akkor a második napi húzásnál ugyanazt a cédulát 1 kell kihúzni, amit első nap. Egy adott cédula kihúzásának a valószínűsége . Tehát annak a 5 1 valószínűsége, hogy két egymást követő napon ugyanolyan virágot szed mama a vázába . 5 c. Az ötféle virágból három tulipán, így annak a valószínűsége, hogy mama tulipános cédulát 3 húz . A második napon is ugyanazokból a cédulákból húz, így két egymást követő napon a 5 3 3 9 tulipán valószínűsége: . 5 5 25
5
