Differenci´ alsz´ am´ıt´ as (Gyakorl´ o feladatok) Programtervez˝o matematikus szakos hallgat´oknak az Anal´ızis 3. c´ım˝u t´argyhoz
¨ Ossze´ all´ıtotta: Szili L´aszl´o
L-Sch -sel hivatkozunk a Leindler–Schipp jegyzetre
2004. szeptember
A deriv´ alt defin´ıci´ oja ´ es a deriv´ al´ as technik´ aja F1.
A defin´ıci´o alapj´an vizsg´alja meg az al´abbi f¨ uggv´enyeket deriv´alhat´os´ag szempontj´ab´ol, ´es adja meg a deriv´altf¨ uggv´enyeket is: √ (a) f (x) := x3 −2x2 +1 (x ∈ R); (b) f (x) := 3 x2 (x ∈ R); (c) f (x) := √
1 (x > −1); x+1
(d) f (x) :=
x+2 (x > 3); x2 − 3
F2.
Gyakorolja a deriv´al´as technik´aj´at! (L. a L-Sch 6–8. feladatokat.)
F3.
Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek deriv´altj´at: (a) xx (x > 0);
(b) (1 + x1 )x (x > 0);
(c) f (x) := (ln x)x (x > 1);
(d) L-Sch 10.
uggv´eny grafikonj´anak az x0 abszcissz´aj´ u pontj´ahoz tartoz´o ´erinF4. ´Irja fel az f f¨ t˝oegyenes´enek az egyenlet´et: x+1 (x ∈ R \ {1}), x0 = 3; x−1 √ 1 (b) f (x) := 1 + x2 (x ∈ R), x0 = ; 2 2 (c) f (x) := sin x (x ∈ R), x0 = 1/2; 1 (x > 1), x0 = 2; (d) f (x) := 2 ln (x − x1 )
(a) f (x) :=
(e) f (x) := xln x (x > 0), F5.
x0 = e2 .
Keressen az y = ex egyenlet˝ u g¨orb´ehez olyan ´erint˝ot, amely (a) p´arhuzamos az x − 4y = 1 egyenessel, (b) ´atmegy az orig´on.
F6.
Keresse meg az x2 + 2y 2 = 1 egyenlet˝ u ellipszisnek azokat a pontjait, amelyekben az ´erint˝o meredeks´ege 1.
F7. ´Irja fel az al´abbi egyenletek ´altal meghat´arozott s´ıkg¨orb´eknek a megadott pontokhoz tartoz´o ´erint˝oj¨ uk egyenlet´et: x , (2, 1); (a) y = 2 (b) y = (ex + e2x ), (0, 2). x −2
2
F8.
Bizony´ıtsa be, hogy az al´abbi f¨ uggv´enyeknek l´etezik a jobb oldali ´es a bal oldali deriv´altjuk a 0 pontban, de ezek nem egyenl˝ok, ez´ert nem deriv´alhat´ok ebben a pontban: (b) f (x) := e|x|
(a) f (x) := |x| (x ∈ R);
(x ∈ R);
(c) f (x) := | ln(1 + x)| (x > −1). F9.
Az ´ertelmez´esi tartom´anyuk mely pontj´aban deriv´alhat´ok az al´abbi f¨ uggv´enyek? (a, b ´es c val´os param´eterek.) Ahol differenci´alhat´ok, ott sz´am´ıtsa ki a deriv´altat. (a) f (x) := |x| (x ∈ R); (c) f (x) := ln |x| (x ∈ R \ {0});
(b) f (x) := x|x| (x ∈ R); 1 (d) f (x) := (x ∈ R); |x| + 1
(e) f (x) := x2 (sign x + sign |x − 1|) (x ∈ R); ( ( x + x2 , x < 0 1 − x, x < 0 (f) f (x) := (g) f (x) := 2 x − x , x ≥ 0; e−x , x ≥ 0; ( ( 1 − ax, x < 0 x2 , x∈Q (h) f (x) := (i) f (x) := 2 −x 2 e , x ≥ 0; −x , x ∈ Q∗ ; ( ax2 + bx + c, x < 0 (j) f (x) := ex , x ≥ 0; ( cos x, x≤0 (k) f (x) := a sin x + x + b, x > 0. F10.
Tegy¨ uk fel, hogy a g : R → R f¨ uggv´eny differenci´alhat´o. Fejezze ki az f f¨ uggv´eny deriv´altj´at g seg´ıts´eg´evel, ha: (a) f (x) := x2 g(x) (x ∈ R);
(b) f (x) := g(x2 ) (x ∈ R);
(c) f (x) := g 2 (x) (x ∈ R);
(d) f (x) := g(g(x)) (x ∈ R);
x
(f) f (x) := eg(x) (x ∈ R);
(e) f (x) := g(e ) (x ∈ R); (g) f (x) := g(ln x) (x > 0);
(h) f (x) := ln |g(x)| (x ∈ R \ {y | g(y) = 0}). F11.
Legyenek f : R → R+ ´es g : R → R+ differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek. Fejezze ki 0 h -t f ´es g seg´ıts´eg´evel, ha s f (x) (b) h(x) := f (g(sin x)) (x ∈ R); (x ∈ R); (a) h(x) := g(x) ¡ ¢ (c) h(x) := logf (x) g(x) (x ∈ R \ {y | f (y) = 1}).
3
F12.
Mutassa meg, hogy f (x) := x3 + x (x ∈ R) f¨ uggv´eny invert´alhat´o, f −1 ∈ D, ¡ −1 ¢az 0 ´es sz´am´ıtsa ki f (2)-t.
F13.
Bizony´ıtsa be, hogy a Riemann-f¨ uggv´eny az ´ertelmez´esi tartom´any´anak egyetlen pontj´aban sem deriv´alhat´o.
F14.
Adjon p´eld´at olyan f : R → R f¨ uggv´enyre, amely differenci´alhat´o, de (a) a deriv´altf¨ uggv´enye nem differenci´alhat´o a 0 pontban; (b) a deriv´altf¨ uggv´enye nem folytonos.
F15.
¡ ¢ Tegy¨ uk fel, hogy az f ´es a g val´os-val´os f¨ uggv´enyek, tov´abb´a c ∈ int Df ∩Dg . Mit lehet mondani az f + g, illetve az f · g f¨ uggv´eny c-beli deriv´alhat´os´ag´ar´ol, ha (a) f differenci´alhat´o c-ben ´es g nem differenci´alhat´o c-ben; (b) f ´es g egyike sem differenci´alhat´o a c pontban?
F16.
Igaz-e az, hogy ha f, g 6∈ D{c}, akkor f + g (illetve f · g) sem deriv´alhat´o c-ben?
F17.
Adjon meg olyan f, g : R → R f¨ uggv´enyeket ´es olyan c ∈ R pontot, amelyekre (a) g ∈ D{c} ´es f 6∈ D{g(c)} (b) g 6∈ D{c} ´es f ∈ D{g(c)} (c) g 6∈ D{c} ´es f 6∈ D{g(c)} teljes¨ ul, azonban f ◦ g ∈ D{c}.
F18.
Legyen f olyan val´os-val´os f¨ uggv´eny, amelynek az ´ertelmez´esi tartom´anya az R halmaz. Mutassa meg, hogy ha f deriv´alhat´o az a ∈ R pontban, akkor l´etezik ´es v´eges a ³ ¡ ¢´ 1 lim n f (a + ) − f (a) n→+∞ n hat´ar´ert´ek. Ennek a hat´ar´ert´eknek a l´etez´es´eb˝ol k¨ovetkezik-e az, hogy f ∈ D{a}?
F19.
Bizony´ıtsa be, hogy ha f ∈ D{a}, akkor f (a + h) − f (a − h) = f 0 (a). h→0 2h lim
Ha egy f : R → R f¨ uggv´enyre az a ∈ R pontban l´etezik ´es v´eges a fenti hat´ar´ert´ek, akkor igaz-e az, hogy f ∈ D{a}?
4
F20.
Hat´arozza meg az al´abbi magasabbrend˝ u deriv´altakat (n ∈ N param´eter): (a) f (x) := x2 ln x (x ∈ R+ ), f (2) (x) = · · · ; ¡ 1 ¢(n) ¡ ¢(n) (x ∈ R \ {1}); (c) 1−x (b) ex (x ∈ R); (d) sin(n) ,
sh(n) ,
(e) cos(n) ,
f (n) (x) = · · · ;
(f) f (x) := ln(1 + x) (x ∈ (−1, +∞)), ( 2 e−1/x , ha x ∈ R \ {0} (g) f (x) := , 0, ha x = 0 F21.
ch(n) ;
f (n) (0) = · · · .
Leibniz-f´ ele szab´ aly: Legyen f, g ∈ Dn {a} (n = 0, 1, 2, . . .). Igazolja, hogy n ekkor f · g ∈ D {a}, ´es (n)
(f · g)
(a) =
n µ ¶ X n k=0
k
f (k) (a)g (n−k) (a).
¨ Osszeg ´ es hat´ ar´ ert´ ek meghat´ aroz´ asa, hatv´ anysorba fejt´ es a deriv´ al´ as technik´ aj´ aval F22. ´Irja fel z´art alakban” az al´abbi ¨osszegeket: ” (a) F (x) := 1 + 2x + 3x2 + · · · + nxn−1
(x ∈ R);
(b) G(x) := 1 + 22 x + 32 x2 + · · · + n2 xn−1 F23.
Sz´am´ıtsa ki az al´abbi sorok ¨osszeg´et: P k (a) kx (−1 < x < 1); k=1
(c) F24.
(b)
P
(x ∈ R).
k 2 xk (|x| < 1);
k=1
P 2k + 1 . 2k k=0
¡ ¢x Az ln0 1 = 1 egyenl˝os´eg felhaszn´al´as´aval mutassa meg, hogy lim 1 + x1 = e. x→+∞
F25.
Hat´arozza meg a k¨ovetkez˝o hat´ar´ert´ekeket: √ 4 sin(x − 1) 16 + h − 2 (b) lim 2 . ; (a) lim x→1 x + x − 2 h→0 h
F26.
´ ıtsa el˝o az f (x) := 1 3 (x ∈ R \ {1}) f¨ All´ uggv´enyt egy alkalmas intervallum(1−x) ban a 0 pont k¨or¨ uli hatv´anysor ¨osszegf¨ uggv´enyek´ent.
5
F27.
Bizony´ıtsa be, hogy (a)
ln(1 + x) =
+∞ P
(−1)n−1
n=1
(b) − ln(1 − x) = (c)
xn n
xn n=1 n +∞ P
(|x| < 1); (|x| < 1);
P x2n+1 1 1 + x +∞ ln = 2 1 − x n=0 2n + 1
(|x| < 1).
F¨ uggv´ enyvizsg´ alat I.
(K¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etelek; f¨ uggv´ eny monotonit´ asa ´ es a deriv´ alt kapcsolata; lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ek sz¨ uks´ eges, illetve el´ egs´ eges felt´ etele.) F28.
Bizony´ıtsa be, hogy ha egy intervallumon ´ertelmezett val´os-val´os f¨ uggv´eny az ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden pontj´aban lok´alisan n¨oveked˝o, akkor a f¨ uggv´eny monoton n¨ov˝o.
F29.
Legyen az f : (a, b) → R f¨ uggv´eny deriv´alhat´o (a, b)-n. Bizony´ıtsa be, hogy f akkor ´es csak akkor szigor´ uan monoton n¨oveked˝o (a, b)-n, ha f 0 (x) ≥ 0 minden x ∈ (a, b) eset´en ´es nem l´etezik olyan (c, d) r´eszintervalluma (a, b)-nek, hogy f 0 (x) = 0 minden x ∈ (c, d) pontban. Keressen sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etelt a szigor´ u monoton cs¨okken´esre.
F30.
Adja meg azokat a legb˝ovebb intervallumokat, amelyeken az f f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton: (a) f (x) := x2 (x − 3) (x ∈ R); √ (c) f (x) := (x − 3) x (x > 0); (e) f (x) := 2ex (g) f (x) :=
x2
2 −4x
(b) f (x) := xe−x
2
(x ∈ R);
(d) f (x) := xe−x (x ∈ R); (f) f (x) := x ln x (x ∈ R+ );
(x ∈ R);
x (x ∈ R \ {−2, 8}); − 6x − 16
ex (x ∈ R \ {0}); x x2 (i) f (x) := ln (x > −1, x 6= 0); (1 + x)3 2 3 (j) f (x) := − (x ∈ R, x 6= 0, x 6= −1). x 1+x (h) f (x) :=
6
F31.
Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek lok´alis sz´els˝o´ert´ekhelyeit: (a) f (x) := x3 − 3x2 + 3x + 2 (x ∈ R); (b) f (x) := x − ln(1 + x) (x ∈ (−1, +∞); x (c) f (x) := (x ∈ R); 1 + x2 x2 − 1 (d) f (x) := 2 (x ∈ R \ {2, 3}). x − 5x + 6
F32.
Mutassa meg, hogy f (x) := x3 + x (x ∈ R) f¨ uggv´eny invert´alhat´o, f −1 ∈ D, ¡ −1 ¢az 0 ´es sz´am´ıtsa ki f (2)-t.
F33.
Bizony´ıtsa be, hogy f (x) := x+ex (x ∈ R) f¨ uggv´eny invert´alhat´o, f −1 ∈ D2 , ¡ −1 ¢az 00 ´es sz´am´ıtsa ki f (1)-et.
F34.
Bizony´ıtsa be, hogy van olyan differenci´alhat´o h : R → R f¨ uggv´eny, amelyik minden x val´os sz´amra teljes´ıti a h(x3 + 3x + 1) = x3 − 2x + 1 egyenletet.
F35.
Legyen f (x) := x(x + 1)(x + 2)(x + 3) (x ∈ R). Igazolja, hogy az f 0 (x) = 0 egyenletnek h´arom val´os gy¨oke van. A feladat ´altal´anos´ıt´asak´ent bizony´ıtsa be, hogy ha P egy olyan val´ os egy¨ utthat´os polinom, amelynek minden gy¨oke val´os, akkor minden olyan n ∈ N eset´en, amelyre n < grad P a P (n) polinomnak is csak val´os gy¨okei vannak.
F36.
Igazolja, hogy ha P egy legfeljebb n-edfok´ u polinom, akkor az ex − P (x) = 0 egyenletnek legfeljebb (n + 1) val´os gy¨oke van.
F37.
2 Hat´arozza meg az (a, b) intervallumnak azt a ξ pontj´at, amelyben az ¡ ¢ f (x) ¡ := x¢ (x ∈ R) f¨ uggv´eny grafikonj´anak az ´erint˝oje p´arhuzamos az a, f (a) ´es b, f (b) pontokat ¨osszek¨ot˝o szel˝ovel.
F38.
Legyen f (x) := x2 + 2, g(x) := x3 − 1 (x ∈ [1, 2]). Hat´arozza meg azt a 0 (ξ) (2)−f (1) ξ ∈ (1, 2) pontot, amelyre fg(2)−g(1) = fg0 (ξ) teljes¨ ul.
F39.
Tegy¨ uk fel, hogy az f : R → R f¨ uggv´enyre fenn´all az ¯ ¯ ¯f (x) − f (y)¯ ≤ (x − y)2 (x, y ∈ R) egyenl˝otlens´eg. Bizony´ıtsa be, hogy ekkor van olyan c val´os sz´am, hogy f (x) = c minden x val´os sz´amra.
F40.
L´assa be, hogy ha az f : R → R f¨ uggv´eny deriv´alhat´o ´es a deriv´altf¨ uggv´enye korl´atos R-en, akkor f egyenletesen folytonos R-en.
7
F41.
Legyen n ∈ N, ´es v´alasszunk meg olyan c0 , c1 , . . . , cn val´os sz´amokat, amelyekre c0 c1 + + · · · + cn = 0. n+1 n Bizony´ıtsa be, hogy ekkor a p(x) := c0 xn +c1 xn−1 +· · ·+cn (x ∈ R) polinomnak van z´erushelye a (0, 1) intervallumban.
F42.
Legyen n ∈ N, f : [a, b] → R n-szer deriv´alhat´o az (a, b) intervallumon ´es folytonos [a, b]-n. Bizony´ıtsa be, hogy ha f -nek (n − 1) z´erushelye van (a, b)ben, tov´abb´a f (a) = f (b) = 0, akkor van olyan ξ ∈ (a, b), amelyre f (n) (ξ) = 0.
F43.
Tegy¨ uk fel, hogy az f, g : (a, b) → R f¨ uggv´enyek differenci´alhat´ok az (a, b) intervallumban ´es f 0 (x) = g 0 (x) minden x ∈ (a, b) eset´en. Igazolja, hogy ekkor van olyan c ∈ R, amellyel f (x) = g(x) + c (x ∈ (a, b)) teljes¨ ul.
F44.
Tegy¨ uk fel, hogy az f, g : [a, b) → R f¨ uggv´enyek deriv´alhat´ok az (a, b) intervallumon, f (a) = g(a),
valamint f 0 (x) > g 0 (x) (x ∈ (a, b)).
Mutassa meg, hogy ekkor fenn´all az f (x) > g(x) (x ∈ (a, b)) egyenl˝otlens´eg is. (N´eh´any esetben a deriv´altf¨ uggv´enyek k¨oz¨otti egyenl˝otlens´eget egyszer˝ ubb bel´atni, mint a f¨ uggv´enyek k¨oz¨otti egyenl˝otlens´eget.) F45.
Igazolja az al´abbi egyenl˝otlens´egeket: (a) 1 + x < ex
(x ∈ R \ {0});
2
(b) x −
x < ln(x + 1) < x (x ∈ R+ ); 2
x < ln(x + 1) < x (x ∈ R+ ); 1+x √ x (d) 1 + x < 1 + (x ∈ R+ ); 2
(c)
(e) 1 − F46.
x2 2
< cos x (x ∈ R \ {0}).
Legyen az f : R → R olyan differenci´ alhat´o f¨ uggv´eny, amelyre f 0 = f . Mutassa meg, hogy ekkor van olyan λ val´os sz´am, hogy f (x) = λex (x ∈ R). ´ Utmutat´ as: Az ϕ(x) = f (x)e−x (x ∈ R) f¨ uggv´enyre ϕ0 (x) = 0 (x ∈ R) teljes¨ ul.
8
F47.
Tegy¨ uk fel, hogy az f : R → R differenci´ alhat´ o f¨ uggv´eny deriv´altja a 0 pontban nem 0 ´es a f¨ uggv´enyre teljes¨ ul az f (x + y) = f (x)f (y)
(x, y ∈ R)
f¨ uggv´enyegyenlet. Mutassa meg, hogy ekkor van olyan val´os α sz´am, amelyre f (x) = eαx (x ∈ R). ´ Utmutat´ as: Mivel minden x ∈ R pontban f (x + y) − f (x) f (y) − 1 = f (x) , y y ez´ert f 0 (x) = f (x)f 0 (0) (x ∈ R). Legyen α := f 0 (0) ´es ϕ(x) := f (x)e−αx (x ∈ R). Ekkor ϕ0 (x) ≡ 0. F48.
Van-e olyan f : (−1, 1) → R deriv´alhat´o f¨ uggv´eny, amelynek a deriv´altja a sign |(−1,1) f¨ uggv´eny?
Elemi f¨ uggv´ enyek F49.
V´azolja az al´abbi f¨ uggv´enyek grafikonj´at: ( sin x1 , ha x ∈ R \ {0} (a) f (x) := 0, ha x = 0; ( x sin x1 , ha x ∈ R \ {0} (b) f (x) := 0, ha x = 0; ( x2 sin x12 , ha x ∈ R \ {0} (c) f (x) := 0, ha x = 0. Folytonoss´ag ´es deriv´alhat´os´ag szempontj´ab´ol vizsg´alja meg ezeket a f¨ uggv´enyeket.
F50.
Adjon meg olyan f : R → R folytonos f¨ uggv´enyt, amelyik valamely pontban balr´ol deriv´alhat´o, de jobbr´ol nem. (Tekintse p´eld´aul az 0, ha x ≤ 0 f (x) := 1 x sin , ha x > 0 x f¨ uggv´enyt a 0 pontban.)
9
F51.
Mutassa meg, hogy az f (x) := sin folytonos a (0, 1) intervallumon.
F52.
π (x ∈ (0, 1)) f¨ uggv´eny nem egyenletesen x
Bizony´ıtsa be, hogy az ( f (x) :=
sin x1 , ha x ∈ R \ {0} 0, ha x = 0
f¨ uggv´eny Darboux-tulajdons´as´ u, de nem folytonos. F53.
V´azolja az al´abbi f¨ uggv´enyek grafikonj´at: (a) log 1 |x − 2| (x ∈ R \ {2}); 3
(b) log3 |x − 2| (x ∈ R \ {2});
(c) arcsin(x − 1) + 3 (x ∈ [0, 2]); (d) 2 arccos(1 − x) − 2 (x ∈ [0, 2]); (e) 2arctg (x − 1) − 3 (x ∈ R), F54.
Bizony´ıtsa be, hogy
(f) arcctg (1 − x) + 3 (x ∈ R).
√
1 − x2 (x ∈ [−1, 1]); √ (b) sin(arccos x) = 1 − x2 (x ∈ [−1, 1]); x (c) tg (arcsin x) = √ (x ∈ (−1, 1)); 1 − x2 √ 1 − x2 (d) tg (arccos x) = (x ∈ (−1, 1), x 6= 0); x π (e) arcsin x + arccos x = (x ∈ [−1, 1]); 2 π (f) tg x + ctg x = (x ∈ R). 2 (a) cos(arcsin x) =
F55.
Mutassa meg, hogy ( arcsin(sin x) =
x, ha x ∈ [− π2 , π2 ] , ] π − x, ha x ∈ [ π2 , 3π 2
arcsin(sin(x + 2kπ)) = arcsin(sin x) (x ∈ R, k ∈ Z). Ennek felhaszn´al´as´aval ´abr´azolja az R 3 x 7−→ arcsin(sin x) f¨ uggv´eny grafikonj´at.
10
F56.
Az arccos(cos x) alkalmas ´atalak´ıt´as´aval v´azolja az R 3 x 7−→ arccos(cos x) f¨ uggv´eny k´ep´et.
F57.
Bizony´ıtsa be, hogy minden x ∈ R eset´en ha x > 1 π − 2arctg x, 2x arcsin = 2arctg x, ha −1 ≤ x ≤ 1 1 + x2 −π − 2arctg x, ha x < −1.
F58.
Mutassa meg, hogy az f f¨ uggv´eny invert´alhat´o, ´es hat´arozza meg az inverz´et: r h1 i 1 (a) f (x) := π − arccos − 1 (x ∈ , 1 ); x 2 ³ arcsin (2x − 5) ´ (x ∈ [2, 3]). (b) f (x) := tg 3
F59.
Bizony´ıtsa be, hogy: +∞ X x2n+1 arctg x = (−1)n 2n + 1 n=0
(−1 < x < 1).
F60.
Az sh, ch, th, cth, arsh, arch, arth, arcth f¨ uggv´enyek tulajdons´againak vizsg´alata ut´an v´azolja a grafikonjukat.
F61.
Fejezze ki az ´area f¨ uggv´enyeket a ln f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel. (A k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´esek ´erv´enyesek: √ arsh x = ln(x + 1 + x2 ) (x ∈ R), √ arch x = ln(x + x2 − 1) (x ∈≥ 1), 1 1+x arth x = ln (x ∈ (−1, 1)), 2 1−x 1 x+1 (x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞)).) arcth x = ln 2 x−1
11
A L’Hospital-szab´ aly ´ es a Taylor-sor F62.
A L’Hospital-szab´aly alkalmaz´as´aval sz´am´ıtsa ki az al´abbi hat´ar´ert´ekeket! (Minden egyes esetben ´allap´ıtsa meg, hogy milyen t´ıpus´ u kritikus” hat´ar´ert´ekr˝ol ” van sz´o!) ³1 1 ´ sh x − x (b) lim − x ; (a) lim ; x→0 x x→0 e −1 x3 1 xn (d) lim (cos 5x) x2 ; (c) lim x (n ∈ N); x→0 x→+∞ e ch x − cos x ax − asin x ; (e) lim (f) lim (a > 0); x→0 x→0 x2 x3 1
(h) lim ln x · ln(1 − x);
(g) lim x x−1 ; x→1
³
(i) lim ln x1
´x
x→0
x→1−0
tg x − x ; x→0 x − sin x
;
xn ax x→+∞ e
(k) lim
(j) lim
x2 − 1 ; x→1 2x2 − x − 1
(a > 0);
(l) lim
(n) lim x2 e−x ;
(m) lim xe1/x − x; x→+∞ ³ ´x x (o) lim x+1 ;
x→−∞
(p) lim (− ln x)x ; x→0+0
x→+∞
³ (q) lim
x→+∞
F63.
2x−3 2x+5
´2x+1
(r) lim e−x ln x.
;
x→+∞
Mutassa meg, hogy az al´abbi esetekben a L’Hospital-szab´aly nem alkalmazhat´o, ´es sz´am´ıtsa ki a keresett hat´ar´ert´ekeket: ch (x + 3) x − sin x (b) lim ; (a) lim ; x→+∞ ch (x − 3) x→+∞ x + sin x x2 sin x1 (c) lim . x→0 tg x
F64.
Adjon meg olyan f ´es g differenci´alhat´o f¨ uggv´enyeket, amelyekre az f /g f¨ ugg0 0 v´enyeknek valamely c pontban l´etezik hat´ar´ert´eke, de az f /g f¨ uggv´enynek nem.
F65.
Adjon meg olyan f ´es g differenci´alhat´o f¨ uggv´enyeket, amelyekre az f 0 /g 0 f¨ uggv´enyeknek valamely c pontban l´etezik hat´ar´ert´eke, de az f /g f¨ uggv´enynek nem.
12
F66. ´Irja fel a 2x3 + 5x2 + 3x + 1 polinomot az x + 1 hatv´anyai szerint. A feladat ´altal´anos´ıt´asak´ent mutassa meg, hogy ha p egy legfeljebb n-edfok´ u polinom ´es a ∈ R, akkor minden x ∈ R eset´en p(x) =
n X p(k) (a) k=0
F67.
k!
(x − a)k .
Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek adott pont k¨or¨ uli n-edik Taylor-polinomj´at: 1 + x + x2 (a) f (x) := (x ∈ R) (n = 3, a = 0); 1 − x + x2 (b) f (x) := xx (x > 0) (n = 3, a = 1); √ (c) f (x) := x (x ≥ 0) (n = 3, a = 1); (d) f (x) := sin(sin x) (x ∈ R)
(n = 3, a = 0).
uggv´enyek x0 = 0 k¨or¨ uli n-edik Taylor-polinomj´at, ´es F68. ´Irja fel az al´abbi f f¨ hat´arozza meg, hogy a megadott I intervallumon mekkora hib´aval k¨ozel´ıti meg a Taylor-polinom a f¨ uggv´enyt: (a) f := sin, n = 4, I := [− 12 , 12 ]; (b) f (x) := ex (x ∈ R), n = 2, I = [−0, 2; 0, 2]; √ (c) f (x) := 1 + x (x ∈ (−1, +∞)), n = 2, I = [0, 1]; √ (d) f (x) := 3 1 + x (x > −1), n = 2, I = [0, 41 ]; 1 1 (e) f (x) := ln(1 + x) (x > −1), n ∈ N, I := [− 10 , 10 ].
F69.
Adjon becsl´est az al´abbi elt´er´esekre: ¯ n xk ¯ ¯ x P ¯ (a) ¯e − (0 ≤ x ≤ 1); ¯ k=0 k! ¯ ¢ ¡ x3 ¯¯ ¯ 1 (b) ¯tg x − x − ¯ |x| ≤ 10 ; 3 ¯√ x x2 ¯¯ ¯ (c) ¯ 1 + x − 1 − + ¯ (0 ≤ x ≤ 1). 2 8 1 F70. (x > −1) f¨ uggv´eny 0 pont k¨or¨ uli m´asodfok´ u (a) Az f (x) := √ x+1 q Taylor-polinomj´anak felhaszn´al´as´aval sz´am´ıtsa ki 23 egy k¨ozel´ıt˝o ´ert´ek´et, ´es hat´arozza meg a k¨ozel´ıt´es hib´aj´at. (b) Az f (x) := ln(1 + x) (x > −1) f¨ uggv´eny 0 pont k¨or¨ uli harmadfok´ u Taylor-polinomj´anak felhaszn´al´as´aval sz´am´ıtsa ki ln(1/4) egy k¨ozel´ıt˝o ´ert´ek´et, ´es hat´arozza meg a k¨ozel´ıt´es hib´aj´at.
13
F71.
F72.
Sz´am´ıtsa ki ε-n´al kisebb hib´aval az al´abbi sz´amokat a Taylor-formula felhaszn´al´as´aval: (a) e (ε = 10−6 );
(b) sin 1o
(c) cos 9o
(d) ln 1, 2 (ε = 10−3 ).
(ε = 10−5 );
(ε = 10−5 );
Tegy¨ uk fel, hogy az f : R → R k´etszer deriv´alhat´o f¨ uggv´eny, ´es legyen ¯ ©¯ ª Mk := sup ¯f (k) (x)¯ : x ∈ R (k = 0, 1, 2). Mutassa meg, hogy M12 ≤ 2M0 M2 .
F73.
Bizony´ıtsa be, hogy az ( f (x) :=
1
e− x2 , ha x ∈ R \ {0} 0, ha x = 0
f¨ uggv´eny v´egtelen sokszor deriv´alhat´o a 0 pontban, ´es a f¨ uggv´eny 0 ponthoz tartoz´o Taylor-sora konvergens a val´os sz´amok halmaz´an, de az ¨osszegf¨ uggv´enye nem f . F74.
Adja meg a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyek 0 pont k¨or¨ uli Taylor-sor´at: (a) f (x) := arctg x2
(x ∈ R);
(c) f (x) := ln(1 + x) (x > −1);
(b) f (x) := sin2 x (x ∈ R); 1 (d) f (x) := (x < 13 ); (1 − 3x)5
1 (x ∈ R \ {2, 3}). − 5x + 6 Milyen intervallumon ´all´ıtja el˝o a Taylor-sor a f¨ uggv´enyt? (e) f (x) :=
x2
F¨ uggv´ enyvizsg´ alat II. Sz´ els˝ o´ ert´ eksz´ am´ıt´ as. F75.
Mutassa meg, hogy ha f ∈ D ´es f p´aros (p´aratlan, periodikus), akkor f 0 p´aratlan (p´aros, periodikus).
F76.
Mutassa meg, hogy ha az f : (a, b) → R f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton n¨oveked˝o, akkor az inverze is szigor´ uan monoton n¨oveked˝o.
F77.
Mutassa meg, hogy a lok´alis sz´els˝o´ert´ekre vonatkoz´o els˝orend˝ u sz¨ uks´eges felt´etel nem el´egs´eges. (Tekintse p´eld´aul az f (x) := x3 (x ∈ R) f¨ uggv´enyt a 0 pontban.)
14
F78.
Mutassa meg, hogy a deriv´altf¨ uggv´eny adott pontbeli el˝ojelv´alt´asa nem sz¨ uks´eges (csak el´egs´eges!) felt´etele a lok´alis sz´els˝o´ert´ek l´etez´es´enek. (Tekintse p´eld´aul az ( ¡ ¢ x4 2 + sin x1 , ha x ∈ R \ {0} f (x) := 0 ha x = 0 f¨ uggv´enyt a 0 pontban.)
F79.
Legyen f : R → R egy differenci´alhat´o f¨ uggv´eny, c ∈ R ´es f 0 folytonos c-ben. Bizony´ıtsa be, hogy (a) ha f 0 (c) > 0, akkor c-nek van olyan k¨ornyezete, amelyen f szigor´ uan monoton n¨oveked˝o; (b) ha f 0 (c) < 0, akkor c-nek van olyan k¨ornyezete, amelyen f szigor´ uan monoton cs¨okken˝o.
F80.
Igaz-e az, hogy ha f olyan differenci´alhat´o f¨ uggv´eny, amelynek deriv´altja valamely pontban pozit´ıv, akkor ennek a pontnak van olyan k¨ornyezete, amelyben f monoton? (Tekintse p´eld´aul az ( x + x2 sin x2 , ha x ∈ R \ {0} f (x) := 0, ha x = 0 f¨ uggv´enyt a 0 pontban.)
F81.
Adjon meg olyan H ⊂ R nem¨ ures ny´ılt halmazt ´es olyan f : H → R differenci´alhat´o f¨ uggv´enyt, amelyre f 0 (x) < 0 minden x ∈ H eset´en, de f nem szigor´ uan monoton cs¨okken˝o H-n.
F82.
Milyen a, b, c ´es d val´os sz´amok eset´en lesz az f (x) :=
x2 + 2ax + b x2 + 2cx + d
(x ∈ R, x2 + 2cx + d 6= 0)
f¨ uggv´enynek (−1)-ben 2 a lok´alis maximuma, 1-ben pedig 4 a lok´alis minimuma? F83.
Milyen p ∈ R eset´en van az x3 − 6x2 + 9x + p = 0 egyenletnek pontosan egy val´os gy¨oke?
F84.
Sz´am´ıtsa ki az al´abbi f¨ uggv´enyek abszol´ ut sz´els˝o´ert´ekeit: (a) f (x) := x3 − 3x2 + 3x + 2
(x ∈ R);
(b) f (x) := 22x3 + 3x2 − 12x + 1 (x ∈ [−10, 12]);
15
(c) f (x) := 22x3 + 3x2 − 12x + 1 (x ∈ [−1, 5]); (d) f (x) := x − ln(1 + x)
(x > −1);
(e) f (x) := x2 e−x x (f) f (x) := 2 x +1 (g) f (x) := x3
(x ∈ R); (x ∈ R); (−1 ≤ x ≤ 3);
(h) f (x) := sin4 x + cos4 x x (i) f (x) := 2 x +x+1 √ (j) f (x) := x − 2x F85.
(x ∈ R); (−2 ≤ x ≤ 0); (x ∈ [0, π]).
Adja meg azokat az intervallumokat, amelyeken f konvex, illetve konk´av. Vane a f¨ uggv´enynek inflexi´os pontja? (a) f (x) := 2x3 − 21x2 + 36x (x ∈ R); (b) f (x) := e2x − (4x + 1) (x ∈ R); 2
F86.
(c) f (x) := e−x (x ∈ R);
(d) f (x) := xx (x > 0);
(e) f (x) := ln(1 + x2 ) (x ∈ R);
(f) f (x) := x + cos x (x ∈ R).
Igazolja, hogy az (0, +∞) 3 x 7→ xα (α > 1);
R 3 x 7→ ex ;
(0, +∞) 3 x 7→ x ln x
f¨ uggv´enyek konvexek, a (0, +∞) 3 x 7→ xα (0 < α < 1);
(0, +∞) 3 x 7→ ln x
f¨ uggv´enyek pedig konk´avok. F87.
Bizony´ıtsa be az al´abbi egyenl˝otlens´egeket: ³ x + y ´n xn + y n < (n > 1; x, y > 0 ´es x 6= y); (a) 2 2 x+y ex + ey (b) e 2 < (x, y ∈ R ´es x 6= y); 2 x+y (c) (x + y) ln < x ln x + y ln y (x, y > 0); 2 (d) xλ1 y λ2 < λ1 x + λ2 y (x, y > 0; λ1 , λ2 > 0; ´es λ1 + λ2 = 1).
16
F88.
Tegy¨ uk fel, hogy f : (a, b) → R egy konvex f¨ uggv´eny. Mutassa meg, hogy ekkor (a) f folytonos az eg´esz (a, b) intervallumon; (b) minden x ∈ (a, b) pontban f balr´ol is ´es jobbr´ol is deriv´alhat´o; (c) f az (a, b) intervallum legfeljebb megsz´aml´alhat´o sok pontj´anak kiv´etel´evel deriv´ alhat´o.
F89.
Legyen f : (a, b) → R egy konvex f¨ uggv´eny, c ∈ (a, b) ´es m ∈ [f−0 (c), f+0 (c)]. Mutassa meg, hogy f (x) ≥ m(x − c) + f (c) minden x ∈ (a, b) pontban. (Ha f ∈ D{c}, akkor ez azt jelenti, hogy az f f¨ uggv´eny grafikonja az eg´esz (a, b)-n a (c, f (c)) pontban h´ uzott ´erint˝o felett van.) (c) (c) ´ Utmutat´ as. Ha x > c, akkor f (x)−f ≥ f+0 (c) ≥ m, ha x < c, akkor f (x)−f ≤ x−c x−c f−0 (c) ≤ m.
F90.
Jensen-egyenl˝ otlens´ eg. Legyen az f : (a, b) → R egy konvex f¨ uggv´eny, ´es tegy¨ uk fel, hogy x1 , x2 , . . . , xn ∈ (a, b); λ1 , λ2 , . . . , λn > 0 ´es λ1 + λ2 + · · · + λn = 1. Ekkor f (λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) + · · · + λn f (xn ). Egyenl˝os´eg akkor ´es csak akkor ´all fenn, ha f line´aris az xk -kat tartalmaz´o legsz˝ ukebb z´art intervallumon. ´ Utmutat´ as. Feltehetj¨ uk, hogy x1 ≤ · · · ≤ xn . Ha c := λ1 x1 + · · · + λn xn , akkor x1 ≤ c ≤ xn , ez´ert c ∈ (a, b). Ha m ∈ [f−0 (c), f+0 (c)], akkor minden k = 1, . . . , n eset´en f (xk ) ≥ m(xk − c) + f (c) (l. az el˝oz˝o feladatot). Ezeket λk -val megszorozva, majd a kapott n egyenl˝otlens´egeket ¨osszeadva ad´odik az ´all´ıt´as. A Jensen-egyenl˝otlens´egben egyenl˝os´eg akkor ´es csak akkor van, ha az ¨osszeadott egyenl˝otlens´egekben egyenl˝os´eg ´all fenn. Ez pedig azzal ekvivalens, hogy f (x) = m(x − c) + f (c) minden x ∈ [x1 , xn ] eset´en. (A feladatot teljes indukci´oval is megoldhatjuk.)
F91.
Legyen n ∈ N, xk > 0 ´es λk > 0 (k = 1, 2, . . . , n), tov´abb´a tegy¨ uk fel, hogy n P λk = 1. Mutassa meg, hogy k=1 n Y
xλk k
≤
k=1
n X k=1
17
λk xk ,
´es itt egyenl˝os´eg akkor ´es csak akkor teljes¨ ul, ha x1 = x2 = · · · = xn . Mit ´all´ıt ez az egyenl˝otlens´eg abban az esetben, ha λk = n1 minden k = 1, 2, . . . , n eset´en? F92.
V´egezzen teljes f¨ uggv´enyvizsg´alatot az al´abbi f¨ uggv´enyeken, ´es v´azolja a grafikonjukat: (a) f (x) := 2 − 2x2 − x3
(x ∈ R);
(b) f (x) := 3x4 − 4x3 − 12x2 + 2
(x ∈ R);
x3 + x x2 − 1 1 (d) f (x) := x(x − 3)2 1 1 (e) f (x) := + x x+1 x2 + 9 (f) f (x) := x x2 − 1 (g) f (x) := 2 x − 5x + 6 √ (h) f (x) := x + 1 − x (x ≤ 1);
(c) f (x) :=
(j) f (x) := sin2 x − 2 cos x (k) f (x) := e
2x−x2
(x ∈ R \ {−1, 1}); (x ∈ R \ {0, 3}); (x ∈ R \ {−1, 0}); (x ∈ R \ {0}); (x ∈ R \ {2, 3}); √ (i) f (x) := x 2 + x (x ≥ −2); (x ∈ R); (l) f (x) := ex + e−3x (x ∈ R);
(x ∈ R);
1 + x2 (x ∈ R); ex2 ¡ ¢ (o) f (x) := arcsin x1
(n) f (x) := ln(x2 −1) (|x| > 1);
(m) f (x) :=
(|x| > 1);
ln x (p) f (x) := xx (x > 0); (x > 0); (q) f (x) := x ( ¡ ¢ x4 2 + sin x1 , ha x ∈ R \ {0} (r) f (x) := 0 ha x = 0. F93.
Egys´egnyi ker¨ ulet˝ u t´eglalapok k¨oz¨ ul melyiknek legnagyobb, illetve legkisebb a ter¨ ulete?
F94.
A 6x + y = 9 egyenlet˝ u egyenesen keress¨ uk meg a (−3, 1)-hez legk¨ozelebbi pontot.
F95.
Az y 2 − x2 = 4 egyenlet˝ u hiperbol´anak mely pontja van legk¨ozelebb a (2, 0) pothoz?
18
F96.
Hat´arozza meg annak az egyenesnek az egyenlet´et, amelyik ´atmegy a (3, 5) ponton ´es az els˝o s´ıknegyedb˝ol a legkisebb ter¨ ulet˝ u r´eszt v´agja le.
F97.
Legfeljebb mekkora lehet annak a gerend´anak a hossza, amelyet egy 4 m ´atm´er˝oj˝ u, k¨or keresztmetszet˝ u toronyba, egy a torony fal´an v´agott 2 m magas ajt´on ´at bevihet¨ unk?
F98.
Tekints¨ unk egy v kezd˝osebess´eggel ferd´en elhaj´ıtott testet. Hat´arozzuk meg, hogy a v´ızszinteshez k´epest milyen α sz¨og alatt kell elhaj´ıtani, hogy a maxim´alis t´avols´agban ´erjen f¨oldet.
F99.
Mekkora R k¨ uls˝o ellen´all´ason kereszt¨ ul z´arjuk az e elktromos erej¨ u ´es r bels˝o ellen´all´as´ u galv´anelemet, hogy a k¨ uls˝o ellen´all´ason keletkez˝o I 2 R Joule-f´ele energia a maxim´alis legyen?
F100.
V´ızszintes s´ıkon ´all´o f¨ ugg˝oleges falu tart´alyban m magass´agig v´ız van. A tart´aly fal´ aba a v´ız szintje alatt x m´elys´egbe lyukat u ¨tve a ki´araml´o v´ız √ sebess´ege 2gx (Toricelli t¨orv´enye), ahol g a gravit´aci´os ´alland´o. x milyen ´ert´eke mellett jut el a v´ızsug´ar a legmesszebbre?
F101.
Egy 10m hossz´ u k¨otelet k´et r´eszre v´agunk. Az egyik r´eszb˝ol n´egyzetet, a m´asikb´ol szab´alyos h´aromsz¨oget form´alunk. Hol kell elv´agni a k¨otelet ahhoz, hogy a a keletkezett n´egyzet ´es h´aromsz¨og egy¨ uttes ter¨ ulete maxim´alis, illetve minim´alis legyen?
F102.
Egy k¨orlemez alak´ u pap´ırlapb´ol kiv´agunk egy k¨orcikket, majd a keletkezett ´eleket egym´ashoz csatlakoztatva egy k´ upot form´alunk. Hogyan tegy¨ uk ezt meg ahhoz, hogy a k´ up t´erfogata maxim´alis legyen?
F103.
Ha egy hal a v´ızhez k´epest v sebess´eggel u ´szik, akkor id˝oegys´eg alatti en3 ergia felhaszn´al´asa ar´anyos v -nel. Tapasztalatok szerint a v´andorl´o halak (pl. lazac) u ´gy teszik meg az adott t´avols´agot, hogy energiafelhaszn´al´asuk minim´alis egyen. Ha az u sebess´eggel foly´o v´ızben a hal v (v > u) sebess´eggel u ´szik felfel´e, akkor egy adott L t´avols´ag megt´etel´ehez sz¨ uks´eges energia E(v) = av 3
L , v−u
ahol a az ar´anyoss´agi t´enyez˝o. Hat´arozza meg azt a v ´ert´eket, amely mellett E a legkisebb. (Megjegyz´es: m´er´esek szerint a halak ´altal´aban a v´ız sebess´eg´en´el 50 sz´azal´ekkal gyorsabban u ´sznak.)
19
