Val sz n s gsz m t s. Ketskem ty L szl

Valsznsgszmts Ketskemty Lszl Budapest, 1998. szeptember 18.

2

166

IV. FEJEZET Valsznsgi trvnyek

x ,00 ,10 ,20 ,30 ,40 ,50 ,60 ,70 ,80 ,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95

(x) ,50000000 ,53982784 ,57925971 ,61791142 ,65542174 ,69146246 ,72574688 ,75803635 ,78814460 ,81593987 ,84134475 ,86433394 ,88493033 ,90319952 ,91924334 ,93319280 ,94520071 ,95543454 ,96406968 ,97128344 ,97724987 ,97981778 ,98213558 ,98422239 ,98609655 ,98777553 ,98927589 ,99061329 ,99180246 ,99285719 ,99379033 ,99461385 ,99533881 ,99597541 ,99653303 ,99702024 ,99744487 ,99781404 ,99813419 ,99841113

x 3,00 3,05 3,10 3,15 3,20 3,25 3,26 3,27 3,28 3,29 3,30 3,31 3,32 3,33 3,34 3,35 3,36 3,37 3,38 3,39 3,40 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,50 3,51 3,52 3,53 3,54 3,55 3,56 3,57 3,58 3,59

(x) ,99865010 ,99885579 ,99903240 ,99918365 ,99931286 ,99942297 ,99944294 ,99946226 ,99948096 ,99949906 ,99951658 ,99953352 ,99954991 ,99956577 ,99958111 ,99959594 ,99961029 ,99962416 ,99963757 ,99965054 ,99966307 ,99967519 ,99968689 ,99969821 ,99970914 ,99971971 ,99972991 ,99973977 ,99974929 ,99975849 ,99976737 ,99977595 ,99978423 ,99979222 ,99979994 ,99980738 ,99981457 ,99982151 ,99982820 ,99983466

x 3,60 3,61 3,62 3,63 3,64 3,65 3,66 3,67 3,68 3,69 3,70 3,71 3,72 3,73 3,74 3,75 3,76 3,77 3,78 3,79 3,80 3,81 3,82 3,83 3,84 3,85 3,86 3,87 3,88 3,89 3,90 3,91 3,92 3,93 3,94 3,95 3,96 3,97 3,98 3,99

(x) ,99984089 ,99984690 ,99985270 ,99985829 ,99986368 ,99986888 ,99987389 ,99987872 ,99988338 ,99988787 ,99989220 ,99989637 ,99990039 ,99990426 ,99990799 ,99991158 ,99991504 ,99991838 ,99992159 ,99992468 ,99992765 ,99993052 ,99993327 ,99993593 ,99993848 ,99994094 ,99994331 ,99994558 ,99994777 ,99994988 ,99995190 ,99995385 ,99995573 ,99995753 ,99995926 ,99996092 ,99996253 ,99996406 ,99996554 ,99996696

Tartalomjegyzk ELSZ I. A Kolmogorov-fle valsz n sgi mez I.1. I.2. I.3. I.4. I.5.

A val sznsgszmts alapfogalmai s axi marendszere Pldk val sznsgi mezkre . . . . . . . . . . . . . . . Ksrletsorozat, az esemnyek relatv gyakorisga . . . . A feltteles val sznsg s az esemnyek fggetlensge . Kidolgozott feladatok s gyakorlatok . . . . . . . . . . .

II. A valsz n sgi v ltoz II.1. II.2. II.3. II.4. II.5. II.6. II.7. II.8.

A val sznsgi vltoz fogalma . . . . Az eloszlsfggvny fogalma . . . . . . Diszkrt val sznsgi vltoz k . . . . . Folytonos val sznsgi vltoz k . . . . Val sznsgi vltoz k transzformci i A vrhat rtk . . . . . . . . . . . . . Magasabb momentumok, sz rsngyzet Kidolgozott feladatok s gyakorlatok .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

7 17 18 19 24

51

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

III.1.Val sznsgi vektorvltoz k, egyttes eloszlsfggvny III.2.Diszkrt val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsa . . . III.3.Folytonos val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsa . . . III.4.Val sznsgi vektorvltoz k transzformci i . . . . . . III.5.A kovariancia s a korrelci s egytthat . . . . . . . . III.6.A feltteles vrhat rtk . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.Kidolgozott feladatok s gyakorlatok . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. 93 . 96 . 98 . 101 . 106 . 111 . 115

3

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

III.Valsz n sgi vektorv ltozk

. . . . . . . .

. . . . .

5 7

51 53 57 62 69 72 76 80

93

TARTALOMJEGYZK

4

IV.Valsz n sgi trvnyek

IV.1.Nevezetes egyenltlensgek . . . . . . . . . . . . . IV.2.Val sznsgi vltoz k sorozatainak konvergencii IV.3.A nagy szmok trvnyei . . . . . . . . . . . . . . IV.4.A karakterisztikus fggvny . . . . . . . . . . . . IV.5.Centrlis hatreloszls ttelek . . . . . . . . . . . IV.6.Kidolgozott feladatok s gyakorlatok . . . . . . .

Jellsek Aj nlott irodalom FGGELK

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

137

. 137 . 138 . 140 . 142 . 145 . 147

159 163 165

FGGELK A standard normlis eloszls eloszlsfggvnynek tblzata

(x) = p12

Rx ;1

exp ; t22

;

dt

1. Ha X 2 N (m d) akkor P (X < x) = x;dm (Ezen tulajdonsg miatt elg csak a standard normlis eloszls tblzatt megadni.) 2. Ha x > 0, akkor (;x) = 1 ; (x). (Ezen tulajdonsg miatt van a tblzatban csak nemnegatv x argumentum)

;

X ;m 3. Ha " 2 (0;1), akkor ;P ;u " < d < u" = 2 (u" ) ; 1 = 1 ; ", azaz (u") = 1 ; 2" . u" = ;1 1 ; 2"

165

164


ELSZ A jegyzet a BME Villamosmrnki s Informatikai Kar Informatikus szaknak Val sznsgszmts c. tantrgyhoz kszlt segdanyag. A jegyzet az elmlet szoksos felptst kvetve ngy fejezetre tagol dik, a fejezetek szakaszokb l llnak. Az els fejezet tartalmazza a val sznsgszmts axi marendszert, a val sznsgi mrtk legfontosabb tulajdonsgait s kiszmtsnak klasszikus m dszereit. A msodik fejezet a val sznsgi vltoz kkal, a harmadik fejezet a val sznsgi vektorvltoz kkal foglakozik. A negyedik fejezetben kapnak helyet a nagy szmok trvnyei s a centrlis hatreloszls ttelek. A fejezetek vgn nagy szm kidolgozott feladat s nll an megoldand gyakorlat tallhat . A jegyzet vgn a felhasznlt jellsek, szimb lumok sszefoglalsa, trgymutat , ajnlott irodalmak jegyzke s fggelkben a normlis eloszls tblzata olvashat mg. A Val sznsgszmts c. tantrgy elkszti a Tmegkiszolgls informatikai rendszerekben s az Informci elmlet c. tantrgyakat, de olyan ms trgyak is ptenek r, mint pl. a Matematikai statisztika, Sztochasztikus folyamatok, Vletlen szmok generlsa s szimulci k, Megbzhat sgelmlet, Operci kutats, stb. A val sznsgszmtst axiomatikus felptsben trgyaljuk, eleve elfogadott alapfogalmakb l s alapttelekbl kiindulva jutunk el az egyszerbb tteleken s denci kon keresztl az sszetettebb lltsokhoz s fogalmakhoz. A ttelek nagy rsze bizonytsokkal egytt szerepel, ami az elmleti httr jobb megrtst szolglja. Ugyanezt segtik a bemutatott pldk s kidolgozott feladatok, valamint a mellkelt brk is. Az sszetett, bonyolult bizonytsokat els olvasskor mellzni lehet, a fbb sszefggsek anlkl is megrthetk. Ezton mondok ksznetet Dr. Gyr Lszl akadmikusnak a kzirat gondos tnezsrt, a jegyzet szerkezeti felptsvel kapcsolatos tancsairt s rtkes szakmai megjegyzseirt, kiegsztseirt. Ksznm Pintr Mrta 5

6

TARTALOMJEGYZK

doktorandusznak is, hogy krltekinten elolvasta a kziratot, s segtett a hibk, pontatlansgok kikszblsben. Ksznettel tartozom Gyri Sndor msodves informatikus hallgat nak is, aki sokat dolgozott a szveg internet hl zatra ttelvel. Vgezetl ksznm Salfer Gbor tanrsegdnek a LATEXszvegszerkesztvel kapcsolatos tancsait, segtsgt. Budapest, 1998. szeptember 15. Ketskemty Lszl

Ajnlott irodalom 1] Rnyi Alfrd: Val sznsgszmts Tanknyvkiad , Budapest, 1973 2] Prkopa Andrs: Val sznsgelmlet Mszaki Knyvkiad , Budapest, 1972 3] Vetier Andrs: Szemlletes mrtk- s val sznsgelmlet Tanknyvkiad , Budapest, 1991 4] W.Feller: Bevezets a val sznsgszmtsba s alkalmazsaiba Mszaki Knyvkiad , Budapest, 1978 5] A.N. Kolmogorov: A val sznsgszmts alapfogalmai Gondolat, Budapest, 1982 6] Paul R. Halmos: Mrtkelmlet Gondolat, Budapest, 1984 7] BognrnMogyor diPrkopaRnyiSzsz: Val sznsgszmts feladatgyjtemny Tanknyvkiad , Budapest, 1982 8] Solt Gyrgy: Val sznsgszmts (pldatr) Mszaki Knyvkiad , Budapest, 1973 9] Denkinger Gza: Val sznsgszmtsi gyakorlatok Tanknyvkiad , Budapest, 1977 10] B.A SzevasztyanovV.P. CsisztyakovA.M. Zubkov: Val sznsgszmtsi feladatok Tanknyvkiad , Budapest, 1987

163

162


X 2 N (0 1) az X val sznsgi vltoz standard normlis eloszls X 2 ;(n ) az X val sznsgi vltoz n, paramter gamma-eloszls X 2 Np( ) az X val sznsgi vektorvltoz p-dimenzi s normlis vektor, vrhat rtk-vektorral s kovarianciamtrixszal (x) az paramter normlis eloszls eloszlsfggvnye ' (x) az paramter normlis eloszls srsgfggvnye (x) a standard normlis eloszls eloszlsfggvnye '(x) standard normlis eloszls srsgfggvnye 1v Xn ! X az Xn val sznsgi vltoz sorozat 1 val sznsggel konvergl X hez L Xn !r X az Xn val sznsgivltoz -sorozat r-edik momentumban konvergl X -hez st Xn ! X az Xn val sznsgivltoz -sorozat sztochasztikusan konvergl X hez e Xn ! X az Xn val sznsgivltoz -sorozat eloszlsban konvergl X -hez

I. fejezet A Kolmogorov-fle val szn sgi mez I.1. A valsznsgszmts alapfogalmai s aximarendszere Az alapfogalmak szemlletbl ered, magt l rtetd fogalmakat jelentenek, amelyeket egyszerbb fogalmak segtsgvel nem lehet denilni, hanem csupn krlrni lehet ket, illetleg pldkat lehet mutatni rjuk. Hasonl an, az aximk bizonyts nlkl elfogadott lltsok, amelyek annyira nyilvnval ak, hogy csupn a szemlletbl vezetjk le ket.

I.1.1. Alapfogalom: Vletlen ksrlet en (K) olyan folyamatot, jelensget rtnk, amelynek kimenetele elre bizonyosan meg nem mondhat , csupn az, hogy elvileg milyen ksrletkimenetelek lehetnek. A vletlen ksrletet akrhnyszor meg lehet gyelni, vagy vgre lehet hajtani azonos felttelek mellett. I.1.1. Plda: a.) Egy szablyos jtkkockval dobunk. Nem tudjuk elre megmondani az eredmnyt, de azt llthatjuk, hogy az 1,2,3,4,5,6 rtk kzl valamelyiket kapjuk. b.) Egy teljes, j l megkevert csomag magyarkrtyb l vletlenszeren kihzunk 10 lapot. A vletlentl fgg, hogy melyik lesz az a 10 lap, de azt 7

8

I. FEJEZET A Kolmogorov-fle valsznsgi mez

tudjuk, hogy a 32 lap sszes ismtls nlkli kombinci ja kzl lehet csak valamelyik. c.) Egy telefonkszlket gyelve mrjk a kt hvs kztt eltelt idt. A lehetsges kimenetelek a 0 1) intervallum pontjai.

I.1.2. Alapfogalom: A K vletlen ksrlet lehetsges kimeneteleitelemi esemny nek nevezzk. A vletlen ksrlet vgrehajtsa sorn az elemi es-

emnyek halmazb l mindig csak egy fog realizl dni. Az elemi esemnyek jellsre az !, esetleg !i szimb lumokat fogjuk hasznlni.

I.1.1. Den ci: A K vletlen ksrlettel kapcsolatos sszes elemi esemny halmazt esemnytr nek nevezzk s -val jelljk. I.1.2. Plda: a.) A kockadobs ksrletvel kapcsolatos elemi esemnyek az 1 2 3 4 5 6 rtkek, = f1 2 3 4 5 6g. b.) A krtyahzs ksrlethez tartoz elemi esemnyek a 32-es csomag sszes 10 lapos rszhalmazai, a lapok sorrendjt nem gyelembevve, = f! : ! a 32 krtyacsomag egy 10 elemszm kombinci jag. c.) A telefonhvsok kztti idtartamra vonatkoz ksrlethez tartoz elemi esemnyek az = 0 1) intervallum pontjai.

I.1.2. Den ci: Az elemi esemnyek halmazait, az esemnytr rszhalmazait esemny eknek nevezzk, s a latin abc betivel jelljk: A B C : : :. Megjegyzs:

a.) Az esemnyek denilst gyakran logikai lltsok megfogalmazsval tesszk. Ilyenkor az esemnynek megfelel halmaz azokb l az elemi esemnyekbl ll, amelyek realizl dsa esetn a logikai llts rtke igaz. b.) Az egyetlen elemi esemnybl ll esemnyeket az egyszersg kedvrt a tovbbiakban szintn elemi esemnyeknek fogjuk nevezni, holott matematikailag az elem s az elembl ll egyelem halmaz fogalma nem ugyanaz! A legalbb ktelem esemnyeket sszetett esemny nek is nevezzk.

IV.6

Kidolgozott feladatok s gyakorlatok

161

P(A) az A esemny val sznsge P(A jB ) az A esemnynek a B esemnyre vonatkoztatott feltteles val sz-

nsge X Y Z : : : Xi Yi Zi : : : : ! R val sznsgi vltoz k FX (x) a X val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye, FX (x) $ P(X < x) pi $ P(X = xi) az X diszkrt val sznsgi vltoz eloszlsa fX (x) az X folytonos val sznsgi vltoz srsgfggvnye fX jY (x jy ) az X val sznsgi vltoz nak az Y -ra vonatkoztatott feltteles srsgfggvnye 'X (t) $ EeitX az X val sznsgi vltoz karakterisztikus fggvnye EX az X val sznsgi vltoz vrhat rtke 2X = VpX a X val sznsgi vltoz sz rsngyzete vagy variancija X $ + 2X az X val sznsgi vltoz sz rsa R(X Y ) az X s Y val sznsgi vltoz k korrelci s egytthat ja cov(X Y ) az X s Y val sznsgi vltoz k kovariancia FX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp) = FX (x) az X = (X1 X2 : : : Xp)T val sznsgi vektorvltoz eloszlsfggvnye, illetve a komponensek egyttes eloszlsfggvnye fX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp) = fX (x) az X = (X1 X2 : : : Xp)T val sznsgi vektorvltoz srsgfggvnye, illetve a komponensek egyttes srsgfggvnye EX $ (EX1 EX2 : : : EXp)T az X val sznsgi vektorvltoz vrhat rtkvektora X = (cov(Xi Xj )) i = 1 2 : : : p az X val sznsgi vektorvltoz koj = 1 2 : : : p varianciamtrixa X 2 I (A) vagy X 2 I (p) az X val sznsgi vltoz az A esemny indiktora, p = P(A) X 2 B (n p) az X val sznsgi vltoz n p paramter binomilis eloszls X 2 Po() az X val sznsgi vltoz paramter Poisson-eloszls X 2 G(p) a X val sznsgi vltoz p paramter geometriai eloszls X 2 Pol(n p1 p2 : : : pr ) az X val sznsgi vektorvltoz egyttes eloszlsa polinomilis X 2 U (a b) az X val sznsgi vltoz egyenletes eloszls az (a b) intervallumon X 2 E () az X val sznsgi vltoz paramter exponencilis eloszls X 2 N ( ) az X val sznsgi vltoz paramter normlis eloszls

160


Pn x $ x + x + + x n-tag sszeg i 1 2 n iP =1 x azon x vektorok sszege, amelyek a C halmazhoz tartoznak x2C Yn xi $ x1 x2 xn n tnyezs szorzat ;i=1n $ n! n alatt a k binomilis egytthat ;xk $ kx!((nx;;k1))!(x;2)(x;k+1) x 2 R k 2 N az ltalnostott binomilis egyttk

k!

hat R a val s szmok teste Rp a val s szm p-esek vektortere Rnm a val s komponens n m-es mtrixok halmaza C a komplex szmok teste i 2 C az imaginrius egysg x 2 Rp p-dimenzi s oszlopvektor A 2 Rnm n m-es mtrix xT = (x1 x2 : : : xp) p-dimenzi s sorvektor, T a transzponls jele AT az A mtrix transzponltja A;1 az A 2 Rnn mtrix inverze det A az A 2 Rnn mtrix determinnsa ; adjA az A 2 Rnn mtrix adjunglt mtrixa, det1 A adj A T = A;1 diag A $ (a11 a22 : : : ann)T az A mtrix diagonlisban lv elemekbl ll oszlopvektor diag(a1 a2 : : : an) egy olyan nn-es diagonlis mtrix, melynek diagonlisban a1 a2 : : : ann ll P trace A $ aii az A 2 Rnn mtrix nyoma i=1 E n E az n n-es egysgmtrix K vletlen ksrlet a K-val kapcsolatos elemi esemnyek halmaza, a biztos esemny, illetve esemnytr lehetetlen esemny ! !i 2 elemi esemny A B : : : Ai Bi : : : esemnyek A az A esemny ellentett esemnye = K-val kapcsolatos esemnyek halmaza, az esemnyalgebra P : = ! 0 1] val sznsg,

I.1

A valsznsgszmts alapfogalmai s aximarendszere

9

I.1.3. Den ci: Az A esemny bekvetkezik, ha a ksrlet vgrehajtsa utn olyan elemi esemny realizl dott, ami az A eleme. I.1.3. Plda: a.) A kockadobs ksrletvel kapcsolatos esemny a f2 4 6g elemi esemny-halmaz, melyet a prosat dobunk logikai lltssal is denilhatunk. b.) A krtyahzs ksrlethez tartoz esemny pl. a. van sz a kihzott lapok kztt; lltshoz tartoz krtya-kombinci k ; ; halmaza, amelyhez az -t alkot 328 db. elemi esemnybl 328 ; 288 tartozik. c.) A telefonhvsok kztti idtartamra vonatkoz ksrlethez tartoz esemny pl. az t percen bell fog csngeni , ami ppen a 0 5) intervallum pontjait denilja. I.1.4. Den ci: Az A esemny maga utn vonja a B esemnyt, ha az A esemny rszhalmaza a B esemnynek. Jells: A B . Megjegyzs: A K vletlen ksrlet ! elemi esemnyeit jellemzi az, hogy nincs olyan B 6= esemny, amely !-t maga utn vonn.

I.1.4. Plda: a.) Kockadobsnl a hatost dobunk esemny maga utn vonja a prosat dobunk esemnyt. b.) Krtyahzsnl a mind a ngy szt kihztuk esemny maga utn vonja a van piros szn lap a kihzottak kztt esemnyt. c.) Telefonhvsnl az t percen bell csrgni fog maga utn vonja a tz percen bell csrgni fog esemnyt, hiszen 0 5) 0 10). I.1.5. Den ci: Az A s B esemnyek ekvivalensek, ha A B s B A teljesl egyszerre. Ekvivalens esemnyek kztt nem tesznk klnbsget. Jells: A = B . I.1.6. Den ci: Lehetetlen esemny nek nevezzk azt a -vel jellt esemnyt, amely a K brmely vgrehajtsa sorn soha nem fog bekvetkezni, azaz az res halmaz. megfelel a konstans hamis lltsnak, olyan esemny, ami elvileg soha nem kvetkezhet be. I.1.7. Den ci: Biztos esemny nek nevezzk azt az esemnyt, amelyik a K brmely vgrehajtsa sorn mindig bekvetkezik. Ez az esemny nem ms, mint az esemnytr. megfelel a kontans igaz lltsnak.

10


I.1.5. Plda: a.) A kockadobsnl a 10-nl kisebb rtket dobunk esemny az -val, a negatv rtket dobunk esemny pedig -vel ekvivalens. b.) Krtyahzsnl van a lapok kztt hetestl klnbz -val, mg a minden lap rtke legalbb tz -vel ekvivalens. c.) Telefonhvsnl valamikor csrgni fog -val, soha nem fog csrgni pedig -vel ekvivalens. I.1.8. Den ci: Egy A esemny ellentett esemny e az az A -val jellt esemny, ami pontosan akkor kvetkezik be, amikor A nem kvetkezik be. A az A-nak az -ra vonatkoztatott komplementer halmaza, azaz A = n A.

I.1.9. Den ci: Az A s B esemnyek sszeg n azt az A + B -vel jellt esemnyt rtjk, amely pontosan akkor kvetkezik be, ha A s B kzl legalbb az egyik bekvetkezik. (A + B az A s B esemnyek uni ja). I.1.10. Den ci: Az A s B esemnyek szorzat n azt az AB vagy A B -

vel jellt esemnyt rtjk, amely pontosan akkor kvetkezik be, amikor A is s B is egyidejleg bekvetkezik. (AB az A s B esemnyek metszete).

I.1.11. Den ci: Az A s B esemnyek klnbsg n azt az A n B -

vel jellt esemnyt rtjk, ami pontosan akkor kvetkezik be, amikor A bekvetkezik, de B nem. ( A n B = A B ).

I.1.1. Ttel: Tetszleges A B s C esemnyekre igazak az albbiak: a.) A + B = B + A b.) (A + B ) + C = A + (B + C ) c.) A + A = A d.) AB = BA e.) (AB )C = A(BC ) f.) AA = A g.) A(B + C ) = (AB ) + (AC ) h.) A + (BC ) = (A + B )(A + C ) i.) A = A j.) A + B = A B k.) A B = A + B

Jellsek 9 a ltezik kvantor 8 a minden egyes kvantor ) akkor , illetve kvetkezik , akkor s csak akkor , illetve az ekvivalencia relci 6 ) nem kvetkezik

$ denci szerint

azonosan egyenl

6= nem egyenl f : A ! B az A halmazt a B -be lekpez fggvny fx y z : : :g az x y z : : : elemekbl ll halmaz

lim f (x) = f (a + 0) az f fggvny jobboldali hatrrtke az a pontban lim f (x) = f (a ; 0) az f fggvny baloldali hatrrtke az a pontban x!a; exp(x) $ ex az exponencilis fggvny ln x a termszetes alap logaritmus fggvny 1 R ; t x ; 1 ;(x) $ e t dt a gammafggvny 0 o(f (t)) = 0: o(f (t)) kis ord f (t) maradktag, lim t!0 f (t) O(f (t)) < 1: O(f (t)) nagy ord f (t) maradktag, lim t!0 f (t) f (x) ! min az f (x) fggvny minimalizlsa 8x fi(x) ! min adott x-nl az i indexben minimalizls 8i fi(x) = min f (x) az fi(x) ! min problma az i indexnl veszi fel a mini8j j 8i mumt @f (x) = grad(f (x)) az f gradiens vektora @x @ 2f (x) @x@xT a Hesse mtrix x!a+

159

158


I.1


11

l.) A A = m.) A + A = n.) A = A o.) A + = p.) A = r.) A + = A: Bizonyts : Mivel az esemnyek kztti mveletek a halmazok kztti uni s metszet illetve a komplementer segtsgvel voltak rtelmezve, s ott igazak a Boole algebra sszefggsei, itt is rvnyesek lesznek.

I.1.12. Den ci: Az A s B esemnyek egymst kizrak, ha AB = , azaz szorzatuk a lehetetlen esemny. Egymst kizr esemnyek egyidejleg nem kvetkezhetnek be. I.1.13. Den ci: Az A1 A2 : : : An : : : esemnyek (nem felttlenl vges elemszm) rendszereteljes esemnyrendszer t alkot, ha i j -re Ai Aj = P (pronknt egymst kizrjk) s Ai = teljesl. 8i Megjegyzs: a.) A K vletlen ksrlet egy vgrehajtsa sorn a teljes esemnyrendszer esemnyei kzl csak egyikk fog biztosan bekvetkezni. b.) Az A s A ktelem teljes esemnyrendszer.

I.1.6. Plda: A francia krtyb l val hzsnl az A1 =krt hzok , A2 =kr t hzok , A3 =pikket hzok s A4 =tre"et hzok esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak. I.1.1. Axim k: A K vletlen ksrlettel kapcsolatos sszes esemnyek

= rendszere (az .n. esemnyalgebra ) -algebra, azaz kielgti az albbi

tulajdonsgokat: 1o 2 = 2o Ha A 2 = ) A 2 = is. P 3o Ha A1 A2 : : : An : : : 2 = ) Ai 2 = is. 8i

Megjegyzs :

12


a.) = nem felttlenl esik egybe sszes rszhalmazainak 2 halmazrendszervel. =-ben csak a ksrlettel kapcsolatba hozhat .n. meggyelhet esemnyek vannak. Nem zrjuk ki, hogy lehetnek -nak olyan A rszhalmazai, amelyeket nem tudunk meggyelni, azaz lehet olyan kimenetel, ami vgn nem tudjuk megmondani, hogy A bekvetkezett-e vagy sem. Az axi mkkal ppen az ilyen A esemnyeket akarjuk kizrni a tovbbi vizsglatainkb l. b.) Az axi mk nyilvnval tulajdonsgokat fogalmaznak meg. Az 1o pontban azt kveteljk meg, hogy a biztos esemny meggyelhet legyen. A 2o-ben azt lltjuk, hogy ha az A esemnyt meg tudjuk gyelni, akkor az ellentettjt is meg tudjuk. A 3o-ban pedig az az llts, hogy ha esemnyeknek egy rendszert egyenknt meg tudjuk gyelni, akkor azt az esemnyt is meg fogjuk tudni gyelni, amely akkor kvetkezik be, ha a felsorolt esemnyek kzl legalbb egy bekvetkezik. is:

I.1.2. Ttel: Az axi mkb l levezethetk =-nek tovbbi tulajdonsgai

a.) 2 =, azaz a lehetetlen esemny is meggyelhet. b.) Ha A B 2 = ) A + B 2 = is, azaz a 3o axi ma vges sok esetre is igaz. c.) Ha A B 2 = ) AB 2 = is, azaz meggyelhet esemnyek szorzata is meggyelhet.

Y

d.) Ha A1 A2 : : : An : : : 2 = ) Ai 2 = is igaz, azaz meggyelhet 8i esemnyek egyttbekvetkezse is meggyelhet. e.) Ha A B 2 = ) A n B 2 = s B n A 2 =, azaz meggyelhet esemnyek klnbsgei is meggyelhetek. Bizonyts :

a.) Az 1o s 2o axi mkb l trivilisan kvetkezik. b.) Az A1 = A A2 = B A3 = A4 = = vlasztssal, a 3o axi mb l kvetkezik.

IV.6


157

IV.6.3. Gyakorlat: Egy szerencsejtkos meggyeli, hogy tlagosan 63 ksrlet utn nyer. Hnyszor kell ksrleteznie, hogy 099 val sznsggel nyerjen legalbb egyszer? IV.6.4. Gyakorlat: Egy mrs elvgzshez egy pontatlan eszkznk van, ahol a mrs hibja standard normlis eloszls. A mrst n-szer vgezzk el, majd tlagolunk. Mekkora legyen az n, hogy legfeljebb 10;4 val sznsggel trjen el az tlag a mrend rtktl 01-del? IV.6.5. Gyakorlat: 99%-os val sznsggel szeretnnk garantlni, hogy 1000 pnzfeldobsb l legalbb n-szer fejet kapjunk. Hogyan vlasszuk meg n-et, ha a fejdobs val sznsge p? IV.6.6. Gyakorlat: Adottak az X1 X2 : : : Xn 2 U (0 1) teljesen fggetlen vletlen szmok. Ezek segtsgvel generljunk N (5 2) normlis eloszls vletlen szmot! IV.6.7. Gyakorlat: Jellje az X val sznsgi vltoz karakterisztikus fggvnyt f (t): Fejezzk ki az Y = ;X val sznsgi vltoz karakterisztikus fggvnyt f (t)-vel! IV.6.8. Gyakorlat: Jellje az X s Y fggetlen, azonos eloszls val sznsgi vltoz k kzs karakterisztikus fggvnyt f (t): Fejezzk ki az X ; Y s X +2 Y val sznsgi vltoz k karakterisztikus fggvnyt f (t)-vel! IV.6.9. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn 2 N (0 1) teljesen fggetn

lenek, s Y =

P X 2 : Adjuk meg Y

i=1

i

karakterisztikus fggvnyt!

IV.6.10. Gyakorlat: Adja meg a Po() diszkrt eloszls karakterisztikus fggvnyt! Ezt felhasznlva szmolja ki a negyedik momentumot!

156


I.1

0

0

00

00

IV.6.26. nFeladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn 2 E () teljesen fggetle-

nek, s Y =

P X : Adjuk meg Y

i=1

i

I.1.2. Axim k: Adott egy P : = ! 0 1] halmazfggvny, melyet valszn sg nek neveznk. A P fggvny kielgti az albbi tulajdonsgokat:

srsgfggvnyt!

Megolds: Xk -k kzs karakterisztikus fggvnye: 'Xk (t) = ;+it gy ; R1 R1 'Y (t) = ('Xk (t))n = n : Mivel n zn;1e;z eiztdz = n zn;1ez(it;)dz = ;+it (n;1)! (n;1)! 0 0 1 z n;1 ez(it;) ; n;1 z n;1 ez(it;) + ; + (;1)2n+1 (n;1)!n ez(it;) 1 n 2 (n;1)! it; (it;) (it;) 0 n n n;1 ;z (it;)n s keresett srsgfggvny: fY (z ) = (n;1)! z e z > 0:

h

i

(Megjegyzs : Y 2 ; (n ), azaz n paramter gamma eloszls.)

IV.6.27. Feladat: Jellje az X val sznsgi vltoz karakterisztikus fggvnyt f (t): Fejezzk ki az Y = aX + b val sznsgi vltoz karakterisztikus fggvnyt f (t)-vel! Megolds: 'Y (t) = Eei(aX +b)t = eibtEeiX (at) = eibt f (at) :

IV.6.1. Gyakorlat: Egy prtra a szavaz k p val sznsggel szavaznak, ami ltalban ismeretlen. A kzvlemnykutat k a prtot vlaszt k pozitv vlasznak s a megkrdezettek szmnak arnyval becslik meg p-t. Mekkora legyen a megkrdezettek n szm mintja, ha azt akarjk elrni, hogy a kapott relatv gyakorisg p-tl legfeljebb 0001-del trjen el 999%-os val sznsggel? IV.6.2. Gyakorlat: Legalbb hny meggyels szksges ahhoz, hogy egy 5-nl nem nagyobb sz rs val sznsgi vltoz rtkeinek tlaga 95%os val sznsggel a vrhat rtk 001 sugar krnyezetbe essen?

13

B 2 = is igaz, de akkor b.) miatt A + B c.) Ha A B 2 =, akkor 2o miatt A o 2 = is fennll, de jra a 2 axi mra hivatkozva ekkor A + B = A B 2 = is fennll. Az utols lpsben a I.1.1 ttel j.) s i.) lltsait hasznltuk fel. d.) Az elzhz hasonl an, a 2o s 3o axi mkb l valamint a De Morgan azonossgokb l kvetkezik. B 2 = is igaz, gy c.) miatt (A n B =)A B 2 = s e.) 2o miatt A (B n A =)B A 2 = is igaz.

(0) = 0, hiszen EX = 0: Vagyis (u) 0! Ebbl 0 (0) = 2 0 (0) = 2 ff (0) kvetkezik, hogy (t) = (;t), azaz (2t) = 4 (t) : Teht (u) = = u ; 22n 2un : u(2u) = ((u2n)2) !n!1 ; 12 hiszen (u) = (0)+u (0)+ u22 (0)+ 2n o (u2) s (0) = (0) = 0 (0) = ;1: Innen (u) = ; u22 kvetkezik, 2 azaz f (u) = exp ; u2 ami a standard normlis eloszls karakterisztikus fggvnye. Ha X Y standardizltjainak karakterisztikus fggvnye standard normlis, akkor X Y is normlis! 0


=

1o P( ) = 1 2o Ha A1 A2 : : : A = pronknt egymst kizrjk, azaz 8i 6= j -re Pn : : : 2 P Ai Aj = , akkor P( Ai) = P(Ai): 8i

8i

Megjegyzs :

a.) A 2o axi mban megfogalmazott tulajdonsgot a val sznsg -additivitsi tulajdonsgnak nevezzk. b.) A meggyelhet esemnyek val sznsgeit kiszmthat nak ttelezzk fel. A P(A) rtk az A esemny bekvetkezsnek mrtke, eslye. A P halmazfggvny rendelkezik azokkal a tulajdonsgokkal, amikkel minden ms mrtk is rendelkezik (pl. hossz,terlet, trfogat,tmeg stb.) A 2o axi ma azt lltja, hogy egymst kizr esemnyek sszegnek val sznsge az esemnyek val sznsgeinek sszege, mint ahogy pl. egymst t nem fed rszekbl ll skidom terlete egyenl a rszek terleteinek sszegvel. Az 1o axi ma azt posztullja, hogy legyen a biztos esemny val sznsge 1, s ehhez kpest jellemezzk a tbbi esemny bekvetkezsnek eslyt. A zikai mennyisgekhez mrmszerek szerkeszthetk, hogy az adott test egy zikai jellemzjnek elmleti rtkt nagy pontossggal megbecslhessk. Ilyen mszer a hosszmrsre a mterrd, tmegre a karosmrleg. Ugyangy, mint ms mrtknl, a val sznsg esetn is szerkeszthet mrmszer, amivel az elmleti val sznsg szmrtke j l becslhet lesz. Ez a mrmszer a ksbb rtelmezend relatv gyakorisg lesz. (Lsd az I.3. szakaszt !)

14


I.1.14. Den ci: Az ( = P) hrmast a K vletlen ksrlethez tartoz Kolmogorov-fle valszn sgi mez nek nevezzk. I.1.3. Ttel: A val sznsg axi marendszerbl levezethetek a val sznsg albbi tulajdonsgai: a.) P(A) = 1 ; P(A) b.) P() = 1 ; P( ) = 0 c.) Ha A1P A2 : : : An : : : 2 = esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, akkor P(Ai) = 1, 8i

d.) Ha A B akkor P(A) P(B ) e.) P(AnB ) = P(B ) ; P(AB ): Bizonyts :

a.) AA = A+A = s 1o , 2o miatt 1 = P( ) = P(A+A) = P(A)+P(A). b.) = miatt az elz lltsb l trivilis.

P c.) Mivel A

i = s az A1 A2 : : : An : : : esemnyek egymst pronknt 8i kizrjk, az axi mkb l mr kvetkezik az llts. d.) B = A + A B s A (A B ) = gy P(B ) = P(A) + P(A B ). Mivel P(A B ) 0, mr kvetkezik az llts. e.) B = A B + A B s (A B ) (A B ) = miatt P(B ) = P(A B )+ P(A B ): Mivel B n A= B A gy az llts mr kvetkezik.

I.1.4. Ttel: (Poincare-ttel) Pn Pn Ha A1 A2 : : : An 2 = tetszlegesek, akkor P( Ai) = (;1)n+1Sin ahol i=1 P P(A A A ): i=1 Sin = j1 j2 ji 1 j1 <j2 <<ji n

IV.6


155

Megolds: Jellje X a mkd ; gpek szmt! Nyilvn X 2 B (300 07). A MoivreLaplace-ttelbl P X < np + xpnpq = P (X < 210 + 793 x) (x). Mivel (3) 0999, gy P (X < 234) 0999, vagyis az zemel gpek szma kevesebb, mint 234999%-kal.

IV.6.23. Feladat: Egy tanfolyamra 100 hallgat iratkozik be. Ms elfoglaltsga miatt minden hallgat 06 val sznsggel megy el az egyes rkra. Felttelezzk, hogy egymst l fggetlenl ltogatjk az rkat. Hny fs terem kell ahhoz, hogy az rra rkez hallgat k 90%-os biztonsggal elfrjenek a teremben?

; p Megolds: Hallgat k szma, X p2 B (100 06) P X < 60 + 10 024x (x) = 09 ) x = 129 ) 60 + 10 024 129 a keresett teremkapacits.

IV.6.24. Feladat: Adottak az X1 X2 : : : Xn 2 U (0 1) teljesen fggetlen vletlen szmok. Ezek segtsgvel generljunk normlis eloszls vletlen szmot! Megolds: Y =

P X EY 100

= 50 2Y = 100 12 : A centrlis hatreloszls ttelbl kvetkezik, hogy Y standardizltja kzel standard normlis. Teht Y ;50 p12 N (0 1) : 10 i=1

i

IV.6.25. Feladat: Bizonytsuk be, hogy ha X s Y fggetlen, azonos eloszls s vges sz rs val sznsg vltoz k, akkor X + Y s X ; Y akkor s csak akkor lesznek fggetlenek, ha X s Y normlis eloszlsak. Megolds: ( Ha X s Y normlis eloszlsak, akkor cov (X + Y X ; Y ) = E (X 2 ; Y 2) ; E (X + X ) E (X ; Y ) = 0 miatt X s Y fggetlenek is, hiszen

normlis eloszlsnl a korrellatlansg ekvivalens a fggetlensggel. ) Tegyk fel, hogy EX = EY = 0 s 2X = 2Y = 1 klnben a standardizltjaikkal szmolnnk tovbb. Jellje f (t) a kzs karakterisztikus fggvnyket. Ekkor 'X +Y (t) = f 2 (t) s 'X ;Y (t) = f (t) f (;t) s 2X = (X + Y ) + (X ; Y ) miatt '2X (t) = 'X +Y (t) 'X ;Y (t) = f 3 (t) f (;t) is. Legyen (t) = ln f (t) : Ekkor (2t) = 3 (t) + (;t) : Bevezetve a (t) =

(t) ; (;t) jellst, (2t) = (2t) ; (;2t) = 3 ;(t)+ (;t;) ;3 (;t)+

(t) = 2 (t) ; 2 (;t) = 2 (t) : Teht (u) = 2 u2 = 22 2u2 = = u ;

(t); (0) = 2n 2un = . Ebbl mr kvetkezik, hogy (uu) = (22unn ) = lim t t!0

154


tblzatb l olvastuk ki.(Ld. A fggelkben!) Megjegyzs : Az elbbi sszeg kiszmtsa mg szmt gpre rt program segtsgvel sem trivilis a binomilis egytthat kban szerepl nagy faktorilisok miatt.

IV.6.20. Feladat: Egy szvgp 500 szllal dolgozik. Annak a val sznsge, hogy egy szl idegysg alatt elszakad 0008 minden szlra. Hatrozzuk meg, hogy 095 val sznsggel milyen hatrok kztt vrhat a szlszakadsok szma egy idegysg alatt? Megolds: Jellje szmt! Ekkor a MoivreLaplace X ;500X0a008szlszakadsok < x = P ( X < 199 x + 4) (x). Mstrvnybl: P p500 00080992 rszt (165) = 095, azaz x = 165-nl: P (X < 199 165 + 4) = P (X < 728), vagyis a szlszakadsok szma 8-nl kisebb lesz legalbb 95%-os val sznsggel.

IV.6.21. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn : : : fggetlen azonos eloszls val sznsgi vltoz k vges sz rssal. Bizonytsuk be, hogy tetszleges x val s szm esetn nlim P (X1 + X2 + + Xn < x) 2 f0 1 1=2g, vagyis a !1 hatrrtk csak 0 vagy 05 vagy 1 lehet! Megolds: A centrlis hatreloszls ttelt Xhasznlva: 1 +X2 + pn+Xn ;nm < x = lim P ( X + X + + X < x ) = lim P 1 2 n n!1 n!1

nm : lim x , ahol m = EXi = 2Xi x = xp;n n!1 8 ;1 ha m > 0 < xp;nm = m = 0 amibl mr kvetkezik az llts. De nlim n !1 : 10 ha ha m < 0

=

IV.6.22. Feladat: Ha egy gyr egyforma energiaigny gpei kzl t-

lagosan 70% mkdik s 30% vr javtsra, vagy ppen javtjk, akkor tlagosan 210 gp energiaignyt kell kielgteni. Mennyi energit kell biztostani akkor, ha 999%-os biztonsggal szeretnnk elrni azt, hogy minden mkdkpes gp val ban mkdni tudjon? (Feltesszk, hogy a gpek meghibsodsa egymst l fggetlen.)

I.1


15

Bizonyts : n-re vonatkoz teljes indukci val: n = 2 esetben: A1 + A2 = A1 + (A2 A1) s A1 (A2 A1) = miatt I.1.3 ttel e.) lltst felhasznlva: P(A1 + A2) = P(A1)+ P(A2 A1) = P(A1)+ P(A2 ) ; P(A1 A2): Tegyk fel, hogy az llts igaz n 2 esetben. n + 1-re az llts bizonytsa: nP +1 Pn Ai = Ai + An+1 gy i=1 n+1

i=1

P( P Ai) = P(P Ai) + P(An+1 ) ; P(An+1 P Ai) = n

i=1

n

i=1

Pn

i=1

Pn

= P( Ai) + P(An+1) ; P( Ai An+1): i=1 i=1 Aznindukci s feltevs felhasznlsval: +1 n P P P P P(A A A ) ; + + P( Ai) = P(Ai) ; P(AiAj ) + i j k i=1

i=1

i<j

i<j
Pn

P

+(;1)nP(A1A2 An) + P(An+1) ; P(AiAn+1) + P(AiAj An+1) ; + i=1 i<j + (;1)n P(A1 A2 An An+1 ) ahonnan a tagok felcserlsvel az lltst kapjuk.

I.1.5. Ttel: (Boole-egyenltlensg) Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez. Akkor minden A1 A2 : : : An 2 = esetn

Pn Pn Ai P (Ai) i=1 i=1 Qn Pn ; b.) P Ai 1 ; P Ai : i=1 i=1 a.) P

Bizonyts :

a.)

Pn A = A + (A n A ) + (A n (A + A )) + + (A n nP;1 A ): i 1 2 1 3 1 2 n i i=1 i=1 Ez egy diszjunkt felbonts, s A2 n A1 A2 ) P (A2 n A1) P (A2) A3 n (A1 + A2) A3 ) P (A3 n (A1 + A2)) P (A3) ...

16


P

n;1

P

n;1

An n Ai An ) P An n Ai P (An) : i=1 i=1 A val sznsg Pn ;additivitsa miatt: P Ai = P (A1) + P (A2 n A1) + P (A3 n (A1 + A2)) +

i=1

+ + P An n

P A Pn P (A ) : i i i=1 i=1

n;1

b.) A De Morgan azonossgb l: Pn Ai = Qn Ai = Qn Ai: i=1 i=1 i=1 $gyaz a.) lltseredmnyt is felhasznlva: n n n n ; Q P P Ai = P Ai = 1 ; P P Ai 1 ; P P Ai : i=1

i=1

i=1

i=1

I.1.6. Ttel: (A valszn sg folytonossgi tulajdonsga) a.) Ha A1 A2 : : : An,. . . . olyan esemnyek, hogy 1 P A1 A2 An Ai $ nlim A !1 n i=1

P1

akkor P( Ai) = nlim P(An): !1 i=1

b.) Ha A1 A2 : : : An : : :. olyan esemnyek, hogy 1 Y A1 A2 An Ai $ nlim A !1 n akkor P(

Y 1

i=1

i=1

Ai) = nlim P(An ): !1

Megjegyzs : A ttel elnevezse azrt jogos, mert folytonos fggvnyeknl

fennll a f (nlim x ) = nlim f (xn ) tulajdonsg. !1 n !1 Bizonyts : a.) Legyen A0 = s Ci = Ai n Ai;1 (i = 1 2 : : :): Ekkor Ci Cj = ha i 6= j mert (Ai n Ai;1) (Aj n Aj;1) = Ai(Aj Ai;1)Aj;1 = ha i 6= j . P1 P1 Tovbb Ai = Ci: i=1

i=1

IV.6

153


8 0 < F (x) = P (Xn < x) = P (Yn < x) = : 21 1

ha x 0 ha 0 < x 1 : ha x > 1 _ Legyen tovbb X = I (A) s Y = I (A): Ekkor X + Y 1 azaz eloszlsfggvnye

x>1 G(x) = P (X + Y < x) = 10 ha ha x 1 s Xn + Yn = 2I (A) aminek eloszlsfggvnye: 8 1 ha x > 2 < Fn(x) = P (Xn + Yn < x) = : 21 ha 0 < x 2 : 0 ha x 0 e Lthat , hogy nlim F ( x ) = F ( x ) 6 = G ( x ), azaz X + Y 6 ! X + Y: n n n !1

IV.6.17. Feladat: Bizonytsuk be, hogy ha Xn !st X s P (jXn j < K ) =

Lr 1 minden n-re, akkor Xn ! X is fennll!

Megolds: E jXn ; X jr 2K r P (jXn ; X j > ") + " tetszleges " > 0

esetn, amibl mr kvetkezik az llts.

IV.6.18. Feladat: Legyen pn 2 (0 1) tetszleges nullsorozat, s Xn 2 G (pn ) : Mutassuk meg, hogy Yn = EXXnn !e Y , ahol Y 2 E (1)! Megolds: P (Yn < x) = P (pn Xn < x) = x ! 1 ; e;x : = 1 ; (1 ; pn ) pn ] n!1

P

k pxn ]

(1 ; pn )k;1 pn =

260 ; IV.6.19. Feladat: Kzeltleg hatrozzuk meg az A = P 500k sszeget!

k=220

Megolds: Legyen X 2 B (500 0 5)! Ekkor a kiszmtand A sszeget

P

260

felrhatjuk: A = 2500 P(X = k) alakban. A MoivreLaplace-ttel szek=200 P rint: P(X = k) (x) ; (y). Most gy kell x-et s y-t megy k

250 125

; p

<x

p

p

vlasztani, hogy 220 = 250 + 125y s 261 = 250 + 125x legyen. Teht y = ;2683281573 s x = 09838699100999, amivel 2;500A = 08328, azaz A 2726079698256e +150. A fggvny rtkeit a standard normlis eloszls

152


1v Megolds: A nagy szmok ers ttelbl kvetkezik, hogy Yn ! m: Msrszt minfs1 s2 sng ppn s1s2 sn p maxfs1 s2 : : : sng gy ha sn ! ap, akkor a lim inf sn n s1s2 sn n s1s2 sn lim sup sn a azaz n s s s ! a: Ebbl mr kvetkezik az llts. 1 2

n

IV.6.14. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos U (a b)

eloszls val sznsg vltoz k. Legyen Yne = minfX1e X2 : : : Xn g s Zn = maxfX1 X2 : : : Xn g: Igazoljuk, hogy Yn ! a s Zn ! b!

8 0 < Megolds: Az U (a b) eloszlsfggvnye: F (x) = : xb;;aa 1 8< 0 ha x a ; FZn (x) = P (Zn < x) = (F (x))n = : xb;;aa n ha x 2 (a b) 1 ha x b e

$gy P

P1

Ai = P

P 1 P 1 Pn P (C ) = Ci = P (Ci) = nlim i !1 i=1 i=1 i=1

17

i=1 n P = lim (P (Ai) ; P (Ai;1)) = lim (P (An) ; P (A0)) = lim P (An) : n!1 i=1

n!1

n!1

P1 b.) Legyen Bi = Ai, akkor B1 B2 Bn Bi: 1 P Mivel B i=1

ha x a ha x 2 (a b) : ha x a

x
) Zn ! b:

i

1 P1 B P = Ai, ezrt i i=1 i=1

=

1 Y i=1

i=1

Ai, teht alkalmazva az a.)

eredmnyt 1 P(P Bi ) = nlim P(Bn ) = nlim (1 ; P(An)) = 1 ; nlim P(An ) !1 !1 !1 i=1 1 Y

P1

i=1

i=1

P( Ai) = 1 ; P( Bi) = nlim P(An ): !1

I.2. Pldk valsznsgi mezkre

FYn8(x) = P (Yn < x) = 1 ; (1 ; F (x))n =

< ; 0 ha x a x < a ) Y !e a: = : 1 ; bb;;xa n ha x 2 (a b) ! 01 ha n ha xa 1 ha x b e

Pldk valsznsgi mezkre

I.2

I.2.1. Plda: A klasszikus valszn sgi mez, a diszkrt egyenletes elos-

zls st

IV.6.15. Feladat: Bizonytsuk be, hogy ha Xn ! c, akkor Xn ! c is! Megolds: A c konstans, mint val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye:

x 0 tetszleges. nlim P (jXn ; cj ") = !1 = 1 ; nlim P ( c ; " X c + ") = 1 ; nlim (F (c + ") ; FXn (c ; ")) = n !1 !1 Xn st = 1 ; F (c + ") + F (c ; ") = 0 ) Xn ! c:

IV.6.16. Feladat: Mutassunke pldt olyan Xn Yn sorozatokra, hogy Xn !e X s Yn !e Y , de Xn + Yn 6 ! X + Y ! Megolds: Legyen A 2 = olyan esemny, hogy P (A) = 21 : Legyen Xn =

Yn = I (A) vagyis az A esemny indiktor vltoz i. Kzs eloszlsfggvnyk:

Ekkor az esemnytr vges elemszm elemi esemny halmaza: = f!1 !2 : : : !n g, az = esemnyalgebra sszes rszhalmazainak rendszere, s mindegyik elemi esemny bekvetkezsnek egyforma a val sznsge: P(f!1g) = P(f!2g) = = P(f!n g). Mivel az sszes elemi esemnyek Pn rendszere teljes esemnyrendszert alkot, ezrt 1 = P( ) = P( f!i g) = i=1 n P(f!1g) ) pi = P(f!ig) = n1 8 i -re. P P $gy, ha A tetszleges esemny, akkor P(A) = P(f!g) = n1 1 = ! 2A ! 2A kA ahol k az A esemny szmossga. Vagyis az esemnyek val sznsge A n ilyenkor gy szmthat , hogy az esemny bekvetkezse szempontjb l kedvez elemi esemnyek szmt osztjuk a ksrlettel kapcsolatos sszes elemi esemnyek szmval. Klasszikus val sznsgi mezvel modellezhet a kockadobs, a pnzfeldobs, a rulettezs, a krtyahzs, a lott hzs, a tot tippels stb.

I.2.2. Plda: Geometriai valszn sgi mez Alkosson a K vletlen ksrlet elemi esemnyeinek halmaza egy vges mrtk

18


geometriai alakzatot. Ilyenkor az esemnyrendszer a geometriai alakzat mrA) het rszhalmazait jelenti, s az A esemny val sznsgt a P(A) = (( ) m don szmtjuk, ahol a geometriai tr mrtkt jelli. Ha pl. intervallum, akkor hosszmrtk, ha skidom, akkor terletmrtk, ha test, akkor trfogatmrtk stb. Pldul, ha x s y kt vletlenl vlasztott 0 s 1 kz es szm, akkor mennyi annak a val sznsge, hogy x + y < 1 s xy < 016 lesz? most az egysgngyzet lesz, az krdses esemny pedig az albbi brn besatrozott terletnek felel meg:

IV.6

151


jY ;j jXn ; X j : Legyen " >0 tetszleges! P (jXn Yn; XY;j > ") ; P jXn ; X j;jYn ; Y j > 3" + P jX jjYn ;;Y j > 3" + P pjY j jXn ; X j > 3" : " " Tovbb: P jXpn ; X j jYn ; Y j > 3 P jXn ; X j > 3 + ; P jYn ; Y j > 3" ! 0: Msrszt, ha y > 0 tetszleges, ; P jX j jYn ; Y j > 3" P jYn ; Y j > 3"y + P (jX j > y) ! 0 ha n y ! 0: Ebbl mr kvetkezik, hogy P (jXn Yn ; XY j > ") ! 0:

IV.6.11. Feladat: Igazolja, hogy ha Xn !st a valamely a > 0 szmra, st

akkor X1n ! a1 is!

;

;

Megolds: P ;jXn ; aj a2 > 1 ;;P a2 < Xn : 8 > 0-hoz 9n0 : n > n0 esetnQ1 ; < P jXn ; a j < a2 < P a2 < Xn : A$ ! j Xn (!) > a2 s legyen " > 0 tetszleges!

n>nn 0

A besatrozott terlet nagysga:

R

08 02

016 dx + 02 = 042: x

I.3. Ksrletsorozat, az esemnyek relatv gyakorisga I.3.1. Den ci: Tekintsnk egy K vletlen ksrletet, s jellje Kn azt

a ksrletet, amely a K n-szeres azonos krlmnyek kztti ismtelt vgrehajtsb l ll. Kn -t egy n-szereskisrletsorozat nak nevezzk. I.3.1. Plda: Amikor tzszer dobunk egy szablyos jtkkockval, a kockadobshoz tartoz tzszeres kisrletsorozatr l van sz . A lott hzsok sorozata tbb mint harminc ven t tart kisrletsorozatknt is felfoghat , gy az n ksrletszmra igaz az n > 1500: Ultizsnl minden jtk eltt az osztsnl vgrehajtjuk az I.1.1/b.) pldban emltett K ksrletet, azaz itt is kisrletsorozatr l van sz . I.3.2. Den ci: Ha egy n-szeres ksrletsorozatban az A esemny kA -szor kvetkezett be, akkor kA az A esemny gyakorisga, rn (A) = knA pedig a relatv gyakorisga.

o

P A

X1n ; a1

> " = P (A fjXn ; aj > jXn aj "g) P jXn ; aj > a22 " ! 0 (n ! 1) : Mivel P

X1n ; 1a

> " = ; P

X1n ; 1a

> " A +P

X1n ; 1a

> " A P jXn ; aj > a22 " +P A = P jXn ; aj > a22 " + : $gy lim sup P

X1n ; a1

> " , s mivel tetszleges volt, mr kvetkezik az llts.

IV.6.12. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls Pn Xi

st m val sznsg vltoz k, EXi = m 2Xi = d2: Igazolja, hogy iP=1 n 2 ! m2 +d2 ! X i=1 i

Megolds: A nagy szmok ttelbl kvetkezik, hogy

n 1 P X2

n

i=1

i

P

n st 1 n i=1 Xi !

m s

st ! m2 + d2: Felhasznlva az elz kt feladat eredmnyt, mr

kvetkezik az llts.

IV.6.13. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen,pazonos eloszls val sznsg vltoz k, EXi = m > 0: Tekintsk a Zn = n Y1Y2 : : : Yn val Pk 1v m! sznsgi vltoz t, ahol Yk = k1 Xi: Igazoljuk, hogy Zn ! i=1

150


rtke: EX 0. Ekkor 8" > 0 esetn P(X > ") E"X : Legyen " > 0 tetszleges, ekkor P(jXn ; X j > ") EjXn";X j ! 0 (n ! 1): Ellenplda arra, hogy a ttel nem megfordthat : Legyenek An 2 = olyan esemnyek, melyek val sznsgei P(An ) = n12 : A 3 n sorozat elemeinek denci ja: Xn (!) = n0 !! 22= A An : Megmutatjuk, hogy a sorozat br sztochasztikusan konvergl az X 0-hoz, de mr els momentumban nem. Lthat , hogy P(jXn ; X j > ") = P(Xn > ") = n12 , ha n > p31" , azaz st Xn ! X: De E (jXn ; X j) = EXn = n3 n12 = n ! 1 a momentumban val konvergencia nem igaz.

IV.6.8. Feladat: Bizonytsa be a IV.2.5. ttelt! 1v

L1 Megolds : Ellenplda arra, hogy Xn ! X de Xn 6 ! X: A IV.2.1 plda

itt is j , mert ha m = n + k: 1v L1 E (jXm ; X j) = EXm = n1 ! 0 ) Xn ! X de amint lttuk, Xn 6 ! X: L1 1v Ellenplda arra, hogy Xn ! X , de Xn 6 ! X . Legyenek An-ek olyan teljesen fggetlen esemnyek, P(An) = n12 : Legyen a sorozat elemeinek

n3 ahol n denci ja: Xn (!) = 0 !! 22= A A a hatr val sznsgi vltoz pedig n

L1

X 0: Mivel E (jXn ; X j) = EXn = n ! 1 ) Xn 6 ! X: Viszont 1v megmutathat , hogy Xn ! X:

IV.6.9. Feladat: Igazolja, hogy ha Xn !st X s Yn !st Y , akkor Xn + st

Yn ! X + Y !

Megolds: P (jXn + Yn ; (Y + X )j ") P (jXn ; X j " + jYn ; Y j ") P (jXn ; X j ") + P (jYn ; Y j ") ! 0: st IV.6.10. Feladat: Igazolja, hogy ha Xn !st X s Yn ! Y , akkor st

Xn Yn ! X Y !

Megolds: jXn Yn ; XY j = jXn Yn ; Xn Y + Xn Y ; XY j jXn ; X + X j jYn ; Y j + jY j jXn ; X j jXn ; X j jYn ; Y j + jX j jYn ; Y j +

I.4

A feltteles valsznsg s az esemnyek fggetlensge

19

Megjegyzs : Nyilvnval , hogy mind a gyakorisg, mind a relatv gyakorisg konkrt rtke fgg a vletlentl. A relatv gyakorisg rendelkezik az albbi tulajdonsgokkal: I.3.1. Ttel: Egy adott n-szeres ksrletsorozatnl a.) rn : = ! 0 1] b.) rn( ) = 1

P1

c.) Ha A1 A2 : : : An : : : egymst kizr esemnyek, akkor rn ( Ai) = i=1

1 P r (A ):

i=1

n

Megjegyzs : Az elz ttel azt lltja, hogy a relatv gyakorisg rendelkezik a val sznsg tulajdonsgaival. Ksbb ltni fogjuk azt is, hogy n nvekedtvel rn(A) ! P(A) is fennll. (Nagy szmok Bernoulli-fle trvnye). Ezt a trvnyszersget elszr tapasztalati ton fedeztk fel a XVII. szzadban, mikor meggyeltk, hogy a relatv gyakorisg egyre kisebb mrtkben ingadozik egy 0 s 1 kz es szm krl. A klasszikus matematikusok ppen ez alapjn deniltk az esemnyek elmleti val sznsgt: az az rtk, amely krl a relatv gyakorisg ingadozik. A relatv gyakorisg teht alkalmas a val sznsg & mint zikai mennyisg & mrsre. Kolmogorov az axi miban a relatv gyakorisg a.)-c.) tulajdonsgait rktette t a val sznsgre, minthogy a hatrtmenet ezeket a tulajdonsgokat megtartja.

I.4. A feltteles valsznsg s az esemnyek fggetlensge

A K vletlen ksrlet elemi esemnyei szmunkra vletlenszeren kvetkeznek be, mgpedig azrt, mert a vgeredmnyt befolysol krlmnyek bonyolult komplexumt nem ismerjk pontosan. Viszont ismerjk az egyes esemnyek, elemi esemnyek bekvetkezsi eslyeit & a val sznsget &, vagy legalbbis tetszleges pontossggal mrhetjk ket. Ha viszont az A esemny bekvetkezsi krlmnyeirl tovbbi informci kat szerznk be, vagy bizonyos pontost felttelezssel lnk, megvltozhat az A bekvetkezsi eslye, nhet is, de cskkenhet is. Pl. a kockadobs ksrletnl, a 6-os dobs esemny val sznsge 0, ha tudjuk, hogy a dobott rtk pratlan szm, s 13 , ha tudjuk, hogy a dobott rtk pros volt.

i

20


Hogyan vltozik (vltozna) az A esemny val sznsge, ha az A-val egyidejleg meggyelhet B esemny bekvetkezst ismerjk (ismernnk)? Tegyk fel, hogy a K ksrlettel vgrehajtottunk egy n hosszsg kisrletsorozatot. Az A esemnyt kA -szor, a B esemnyt kB -szer, az AB esemnyt pedig kAB -szer gyeltk meg. Ekkor a B esemny bekvetkezshez kpest az A esemny bekvetkezsnek relatv gyakorisga nyilvn rn(A jB ) = kkABB melyet az A esemnynek a B esemnyre vonatkoztatott relatv gyakorisgnak neveznk. Ez az arny az A bekvetkezsi eslyeit pontosabban tkrzi, ha a B bekvetkezsrl biztos tudomsunk van, mint az rn (A) = knA : A feltteles relatv gyakorisg tulajdonsgai nyilvn: a.) 0 rn (A jB ) 1 b.) rn(B jB ) = 1 c.) Ha A1 A2 : : : An : : : 2 = egymst kizr esemnyek, akkor 1 P1 P rn( Ai jB ) = rn(Ai jB ) : i=1

i=1

Az rn(A jB ) = kkABB = ) rn (A jB ) ! PP(AB (B ) :

kAB n kB n

) = rrnn((AB B ) trs utn, ha n ! 1 kapjuk, hogy

I.4.1. Den ci: Legyenek A B 2 = olyan esemnyek, hogy A tetszleges s P(B ) > 0: Akkor az A esemnynek a B -re vonatkoztatott feltteles ) valszn sg n a P(A jB ) = PP((AB B ) szmot rtjk. I.4.1. Ttel: Tekintsk az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezt. B 2 = P(B ) > 0 rgztett. Ekkor a PB (A) $ P(A jB ) feltteles val sznsgre teljeslnek az albbi tulajdonsgok: a.) 0 PB (A) 1 (8 A 2 =) b.) PB (B ) = 1 PB () = 0 c.) 8 A1 A2 : : : An : : : 2 = : Ai Aj = (i 6= j ) ) 1 1 PB (P Ai) = P PB (Ai): i=1

Bizonyts :

i=1

IV.6


149

IV.6.5. Feladat: Bizonytsuk be a IV.2.1. ttelt! Megolds: Egy ellenpldt fogunk adni, amely eloszlsban konvergl val sznsgivltoz -sorozat lesz, de a msik hrom rtelemben nem konvergl. Legyen A 2 = tetszleges P(A) = 12 esemny, legyen X 2 I (A) s Y 2 I (A) indiktor val sznsgi vltoz . Az X Y azonos eloszls, hiszen p0 = P(X = 0) = P(A) = 12 q0 = P(Y = 0) = P(A) = 21 p1 = P(X = 1) = P(A) = 12 q1 = P(Y = 1) = P(A) = 21 : Deniljuk a sorozatot gy, Xn X 8n-re. Ekkor nyilvn: 8 1hogy < 1 x > 1 FXn (x) = FX (x) = FY (x) = : 2 0 < x 1 : 0 x 0 Mivel FXn (x) FY (x) ezrt Xn !e Y , de jXn ; Y j 1 miatt a msik hrom rtelemben nem konverglhat Xn az Y -hoz.

IV.6.6. Feladat: Bizonytsa be a IV.2.2. ttelt! Megolds: Konvergljon az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgivltoz -sorozat sztochasztikusan X -hez, azaz 8" > 0 esetn P (f! jXn (!) ; X (!)j > "g) ! 0 (n ! 1): Legyen " > 0 tetszleges! FXn (x) = P(Xn < x) = P(Xn < x X < x + ") + P(Xn < x X x + ") P(X < x + ") + P(X > Xn + ") P(X < x + ") + P(jXn ; X j > ") = FX (x + ") + P(jXn ; X j > "): Msrszt: FX (x;") = P(X < x;") = P(Xn < x X < x;")+P(Xn x X < x;") P(Xn < x) + P(X < Xn ; ") FXn (x) + P(jXn ; X j > "). A kt egyenltlensgbl: FX (x ; ") ; P(jXn ; X j > ") FXn (x) FX (x + ") + P(jXn ; X j > "). A fenti egyenltlensgben n ! 1 hatrtmenetet kpezve: FX (x ; ") lim inf FXn (x) lim sup FXn (x) FX (x + "): Ha x folytonossgi ponja FX (x) -nek, akkor "lim F (x ; ") = "lim F (x + ") = !0 X !0 X FX (x). $gy 9 nlim F (x) s = FX (x): !1 Xn

IV.6.7. Feladat: Bizonytsa be a IV.2.3. ttelt! Megolds : Ehhez az lltshoz a Markov -egyenltlensget fogjuk felhasznlni. Legyen X 0 olyan val sznsgi vltoz , melynek ltezik a vrhat

148


Megolds: Jelljk X -szel a tallatok szmt! A lvssorozat felfoghat egy n = 200 hosszsg ksrletsorozatnak, ahol a meggyelt esemny a clpont eltallsa. Ezrt binomilis eloszls n = 200 s p = 04 paramterekkel. $gy EX = np = 200 04 = 80 2X = npq = 200p 04 06 = 48: A Csebisevegyenltlensget palkalmazzuk ; erre ; az esetrep" = 10X vlasztssal: P ;jX ; EX j >p 10X =; P jXp; 80j > 480 p01, ahonnan P jX ; 80j 480 = P 80 ; 480 X 80 + 480 = = P (58 X 102) 09 ad dik, azaz a lvsek 58 s 101 kz fognak esni legalbb 90%-os val sznsggel.

IV.6.2. Feladat: Egy automata minsgvizsgl n = 100000 elem mintt ellenriz le egy gyrt soron ellltott szmt gpes alkatrsztmegbl. A vizsglat utn milyen val sznsggel llthatjuk, hogy a mintb l meghatrozott selejtarny a kszlet elmleti p selejtval sznsgtl legfeljebb 001-dal tr el? Megolds: X most a selejtes termkek szmt jellje a mintban! Ekkor a selejtarny a mintban 10X5 lesz. Nyilvn X 2 B (100000 p), ahol a p ismeretlen. EX = np = 105p 2X = npq = 105 pq. A Csebisev-egyenlsget most; " = 1000-rel P (jX ; 105 pj 1000) =

alkalmazzuk: = P 10X5 ; p 001 1 ; 10105pq6 39 40 0975. A levezetsben felhasznltuk, hogy pq = p ; p2 025.

IV.6.3. Feladat: Egy zemben csavarokat csomagolnak. Egy-egy do-

bozba tlagosan 5000 csavar kerl. A csavarok szmnak sz rsa a tapasztalat szerint 20 darab. Mit mondhatunk annak val sznsgrl, hogy egy dobozban a csavarok szma 4900 s 5100 kz esik, ha az eloszlst nem ismerjk? Megolds: Jellje X a csavarok szmt! Ekkor a Csebisev-egyenltlen400 096: sgbl: P (4900 X 5100) = P (jX ; 5000j 100) 1 ; 10000

IV.6.4. Feladat: Legyen X standard normlis eloszls val sznsgi vltoz ! A standard normlis eloszls tblzatnak hasznlata nlkl bizonytsa be, hogy ekkor fennll a P(;3 < X < 3) 1 ; p182 egyenltlensg! Megolds: A Markov-egyenltlensgbl: P (jX j > 3) amibl mr kvetkezik P (;3 < X < 3) 1 ; 23 p12 .

EjX j 3

=

2 1 3 p2 ,

I.4


21

a.) Mivel AB B , ezrt P(AB ) P(B ), teht kvetkezik az llts. b.) B B = B miatt PB (B ) = PP((BB)) = 1 s B = , teht PB () = PP((B)) = 0: c.) Mivel az A1 A2 : : : An : : : esemnyrendszer egymst kizr esemnyekbl ll, ezrt A1 B A2 B : : : An B : : : is egymst kizr esemnyekbl 1 P ll rendszer, gy a val sznsg -additivitsi tulajdonsgb l: P( (AiB )) =

P1 P(A B ). Mindkt oldalt osztva P(B )-vel mr ad dik az llts.i=1

i=1

i

Megjegyzs :

a.) Az elz ttel azt lltja, hogy ha B -t rgztjk, s =B $ fC C = A B A 2 =g, akkor a (B =B PB ) kielgti a Kolmogorov val sznsgi mez axi mit. b.) Vannak A B esemnyek, amelyekre P(A jB ) = P(A) teljesl, azaz A val sznsge nem vltozik meg, ha a B esemny bekvetkezst ismerjk' az A val szn(sge fggetlen a B bekvetkezstl.

I.4.2. Den ci: Legyenek A B 2 = teszleges esemnyek. Az A s B esemnyek fggetlenek, ha P(AB ) = P(A)P(B ) fennll. Megjegyzs :

a.) Ha az A B 2 = esemnyek fggetlenek s P(A)P(B ) > 0, akkor P(A jB ) = P(A) s P(B jA) = P(B ) is fennll, vagyis az egyik esemny bekvetkezsnek ismerete, nem befolysolja a msik esemny val sznsgt. b.) Nem szabad sszekeverni az egymst kizr esemnyek s a fggetlen esemnyek fogalmait! Ha kt esemny egymst kizrja, azaz AB = , akkor az egyik bekvetkezse igencsak meghatrozza a msik bekvetkezst: ha pl. A bekvetkezik, akkor B biztosan nem kvetkezik be. Fggetlen esemnyek esetn, ha az egyik esemny bekvetkezst ismerjk, nem vltozik meg a msik bekvetkezsi val sznsge. c.) Az esemnyek fggetlensgnek a fogalma klnbzik a zikai rtelemben vett fggetlensg fogalmt l is. A zikai fggetlensg azt jelenti, hogy az okozat nem kvetkezmnye az oknak, teht itt a fggetlensg nem szimmetrikus.

22


I.4.2. Ttel: Ha az A B 2 = esemnyek fggetlenek, akkor a.) A s B b.) A s B c.) A s B is fggetlenek. Bizonyts :

a.) P(AB ) + P(AB ) = P(A) ) P(AB ) = P(A) ; P(AB ) = P(A) ; P(A)P(B ) = P(A)(1 ; P(B )) = P(A)P(B ) ) A B fggetlenek. ) + P(AB ) = P(B ) ) P(AB ) = P(B ) ; P(AB ) = b.) P(AB P(B ) ; P(A)P(B ) = P(B )(1 ; P(A)) = P(B )P(A) ) B A fggetlenek. c.) P(AB ) + P(AB ) = P(B ) ) P(AB ) = P(B ) ; P(AB ) = P(B ) ; P(A)P(B ) = P(B )(1 ; P(A)) = P(B )P(A) A fggetlenek. ) B

I.4.3. Ttel: Az s esemnyek minden A 2 = esemnytl fggetle-

nek.

Bizonyts : P(A) = P() = 0 = 0P(A) = P()P(A) ) s A fggetlenek. P( A) = P(A) = 1 P(A) = P( )P(A) ) s A fggetlenek.

IV.6

147


romos eloszt kzpontban is normlis eloszlsnak tekinthet a lakossgi fogyaszts, hiszen nagyon sok kisfogyaszt eredjeknt ll el. Lehet, hogy az egyes fogyaszt k kln-kln nem a normlis eloszls szerint fogyasztanak, de az tlagos fogyasztst a nagy szmok trvnye rtelmben biztosan tekinthetjk normlisnak modelljeinkben.

IV.5.2. Ttel: (A MoivreLaplace-ttel, 1733.) Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez, A 2 = egy pozitv val sznsg esemny: p = P(A) > 0: Hajtsunk vgre egy vgtelen ksrletsorozatot, vagyis gyeljk meg az A bekvetkezseit az 1 2 : : : n : : :-edik ksrletnl! Legyen Xi = 10 !! 22= A A vagyis az i-edik vgrehajtskor az esemny indiktor val sznsgi vltoz ja. Az Xi -k teljesen fggetlenek s azonos eloszlsak: p0 = P(Xi = 0) = P(A) = q p1 = P(Xi = 1) = P(A) = p EXi = p 2Xi = pq: X2 ++Xn ;np val sznsgivltoz -sorozathoz ltezik Ekkor a Zn = X1+p np(1;p) olyan Z 2 N (0 1), hogy Zn !e Z , vagyis FZn (x) = P(Zn < x) ! (x) (n ! 1) 8x 2 R: Bizonyts : A IV.5.1 ttel specilis esete, amikor az Xi 2 I (A) azaz indiktor eloszlsak. Radsul p FZn (x) = P(Zn < x) = P(n Sn < n p q x + n p) mivel rn(A) = Sn = X1;+X2n++Xn a relatv gyakorisg s n Sn 2 B (n p), gy P(n Sn = k) = nk pk qn;k , amibl P az ;eloszlsfggvnyre: npk q n;k = P ;npk q n;k : P(n Sn < pnpqx + np) = p k k k< npqx+np

k np <x npq

; p

I.4.3. Den ci: Az A1 A2 : : : An 2 = esemnyek pronknt fggetlenek, ha P(Ai Aj ) = P(Ai) P(Aj ) (8 i 6= j ):

Teht a ttel azt lltja, hogy P ;npk qn;k = (x) = p1 lim k 2 n!1

I.4.4. Den ci: Az A1 A2 : : : An 2 = esemnyek teljesen fggetlenek, ha 8 k 2 f2 3 : : : ng s 8 1 i1 < i2 < < ik n indexkombinci ra P(Ai1 Ai2 Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) P(Aik ).

IV.6. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok

I.4.4. Ttel: Ha az A1 A2 : : : An 2 = esemnyek teljesen fggetlenek,

akkor pronknt is fggetlenek. Fordtva ltalban nem igaz.

k np <x npq

; p

Rx e; t dt (8x 2 R):

;1

2 2

IV.6.1. Feladat: Egy clpontra 200 lvst adnak le. A tallat val sznsge minden lvsnl 04. Milyen hatrok kz fog esni 90%-os val sznsggel a tallatok szma?

146


s azonos eloszlsak (azonos eloszlsfggvnnyel rendelkezk) az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Ltezzk a kzs = EXi vrhat rtkk s a kzs 2 = 2Xi sz rsngyzetk. Ekkor a Zn = X1 +X2+pn+Xn ;n val sznsgivltoz -sorozathoz ltezik olyan Z 2 N (0 1), hogy Zn !e Z vagyis FZn (x) = P(Zn < x) = = P( X1 +X2+pn+Xn ;n < x) ! (x) (n ! 1) 8x 2 R: Bizonyts : A Helly-ttel alapjn (ld. IV.4.2 ttelt) azt fogjuk bizonytani, hogy Zn 'Zn2 karakterisztikus fggvnyeinek sorozata egyenletesen konvergl (t) = e; t2 -hz, a standard normlis eloszls karakterisztikus fggvnyhez. Mivel Xi-k azonos eloszlsak, gy kzs karakterisztikus fggvnyk van, melyet jelljnk 'Xi (t) = g(t) -vel. Ekkor az Xi ; val sznsgi vltoz k kzs karakterisztikus fggvnye:

(t) $ 'Xj ; (t) = e;it 'Xj (t) = e;it g(t): A fggetlensg miatt: 'Xi+X2 ++Xnh;n(t) =i n(t)]n : $gy 'Zn (t) = ' X1+X2+ n+Xn n (t) = pnt : Mivel E(Xi ; ) = 0 s E (Xi ; )2 = 2Xi = 2 a (t) els kt derivltja ltezik, s a IV.4.1 ttel miatt msodik tagig 0 krl Taylor-sorba fejthet:

(t) = 1 + iE(X1!i;) t + (i)2E(2!Xi;)2 t2 + o(t2)= 1 ; 22t2 + o(t2): n h in t2 $gy 'Zn (t) = pnt = 1 ; n2 + o nt22 : A tvltoz ; rgztse utn: o nt2 2 = o n1 = n1 o(1) vagyis h in 2 'Zn (t) = 1 ; n1 ( t22 + o(1)) ! e; t2 (n ! 1): hogy yn = t2 + o(1) ! t22 (n ! 1) s, hogy 1 ;Felhasznltuk, yn n ! ey , ha y ! y (n 2! 1). n n t2 ; 2 Vagyis 'Zn (t) ! e egyenletesen, azaz FZn (x) ! (x) (n ! 1) 8x 2 R: p

;

Megjegyzs : Az elz ttel rmutat a normlis eloszlsnak az elmletben jtszott fontos szerepnek okra: tetszleges eloszls val sznsgi vltoz k tlaga normlis eloszlst kvet. Teht, ha egy vletlen jelensget sok egyenknt nem jelents, fggetlen hats sszegeknt kapunk, akkor az j l kzelthet a normlis eloszlssal. Tipikusan ilyenek a mrsekbl szrmaz adatok: a Duna kzepes vzllsa, a napi kzphmrsklet stb. Az elekt-

I.4


23

Bizonyts : Az I.4.4 denci ban, amikor k = 2, ppen az I.4.3 denci t kapjuk. A megfordtsra ellenplda: K : Dobjunk egy szablyos kockval egyms utn ktszer. A: elsre pratlant dobunk ' B : msodikra pratlant dobunk ' C : a kt dobott szm sszege pratlan . P(A) = P(B ) = P(C ) = 12 , P(AB ) = P(AC ) = P(BC ) = 41 ) A B C pronknt fggetlenek. De! P(ABC ) = 0 6= P(A)P(B )P(C ) = 18 azaz teljesen nem fggetlenek A B s C . I.4.5. Ttel: Ha az A1 A2 : : : An 2 = esemnyek teljesen fggetlenek, akkor kzlk brmelyiket az ellentett esemnyre felcserlve, jra teljesen fggetlen rendszert kapunk. Bizonyts : Cserljk fel pl. A1-et A1-gyel. Ekkor a teljesen fggetlensg felttelrendszerben csak azokat az sszefggseket kell ellenrizni, amelyekben A1 szerepelt. Legyen egy ilyen pl. P(A1 Ai2 Aik ) ahol 1 < i2 < < ik n: Kihasznlva, hogy az eredeti rendszer teljesen fggetlen volt: P(A1 Ai2 Aik ) = P(A1 )P(Ai2 ) P(Aik ) = P(A1) P(Ai2 Ai3 Aik ) azaz A1 fggetlen a Ai2 Ai3 Aik szorzatesemnytl, gy a I.4.2 ttel miatt A1 is az. De ekkor P(A1 Ai2 Aik ) = P(A1) P(Ai2 Ai3 Aik ) = P(A1 )P(Ai2 ) P(Aik ) azaz teljesl A1 -re is a teljesen fggetlensghez szksges felbomls. I.4.6. Ttel: (Szorzsi szably) Legyenek az A1 A2 : : : An 2 = tetszleges esemnyek gy, hogy Yn P( Ai) > 0: Ekkor

nY

nY ;1 ! ;2 !

P Ai = P An

Ai P An;1

Ai P (A2 jA1 ) P (A1) : i=1 i=1 i=1 Bizonyts : nY;1 ! 0Y 1 n

nY

nY Ai ;2 ! P ;1 ! P@ Ai A

i=1 ! : : : i 1 P A A = P An

Ai = 0Y

n ; 1 i n nY ;2

i=1 i=1 PB @ Ai CA i=1Yn !

=1 ;1

i=1

P

i=1

Ai

24


P (A2 jA1 ) = PP(A(A1A)2) :

Lthat , hogy sszeszorzs s egyszersts utn az lltst kapjuk.

I.4.7. Ttel: (A teljes valszn sg ttele) Alkosson A1 A2 : : : An : : 1: 2 = teljes esemnyrendszert, vagyis P Ai Aj = ( i 6= j ) s Ai = . Tegyk fel tovbb, hogy P(Ai) > 0 i=1

minden i-re. Ekkor tetszleges B 2 = esemnyre P(B ) = Bizonyts :

P1

P1

1 P P(B jAi)P(Ai) :

i=1

P1

Mivel Ai = s B = B = B Ai = (AiB ) i=1 i=1 i=1 valamint (AiB ) (Aj B ) = a val sznsg -additivitsi tulajdonsgb l 1 1 P P P1 kvetkezik, hogy P(B ) = P( AiB ) = P(AiB ) = P(B jAi)P(Ai) : i=1

i=1

i=1

I.4.8. Ttel: (Bayes ttele) Alkosson A1 A2 : : : An : : :12 = teljes esmnyrendszert, vagyis P Ai Aj = ( i 6= j ) s Ai = : Tegyk fel tovbb, hogy P(Ai) > 0 i=1 minden i-re. Ekkor tetszleges B 2 = esemnyre, ahol P(B ) > 0 P(Ai jB ) = PP(BjAi)P(Ai) : 1

Bizonyts :

145

Centrlis hatreloszls ttelek

IV.4.2. Plda: (A karakterisztikus fggvny ltalnos normlis esetben)

1

j=1

IV.5

P(B jAj )P(Aj )

Legyen most X 2 N ( ). Ekkor a standardizltra X~ = X; 2 N (0 1) igaz, hiszen P (X~ < x) = P (X < x + ) = ( x + ) = (x) (ld. a ; II.5.6 ttelt.) $gy 'X (t) = E eiXt = E ei(X+)t = eit E eiX (t) = 2 t2 = e it; 2 , felhasznlva a IV.4.1 plda eredmnyt. IV.4.3. Plda: (A konvolci szmtsa normlis esetben) Ha X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlen, normlis eloszls val sznsgi vltoz k, Xi 2 N (i i), akkor a IV.4.1 ttel e.) pontja szerint: ! p p Yp Yp P j2 t2 2 P 2 t 'X1+X2 ++Xp (t) = 'Xj (t) = exp ij t ; 2 = exp it j ; 2 j : j =1

j =1

j =1

A feltteles val sznsg denci jb l: P(Ai jB ) = A szmll helybe P(B jAi) P(Ai) -t rva, a nevez helybe pedig a teljes val sznsg ttelbl kapott formult helyettestve azonnal ad dik az llts.

I.5. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok

I.5.1. Feladat: A pr bagyrts sorn kt szempontb l vizsgljk a ksztermkeket. Az A esemny azt jelenti, hogy egy vletlenszeren kivlasztott mintadarab anyaghibs, a B pedig az az esemny, hogy a kivlasztott gyrtmny mrethibs. Tudjuk, hogy P(A) = 015 P(B ) = 03 s P(AB ) = 008. Mennyi annak a val sznsge, hogy valamelyik termk hibtlan?

j =1

j =1

IV.4.4. Plda: (Az exponencilis eloszls karakterisztikus fggvnye) Legyen most X 2 E (). R1 R1 'X (t) = eitx e;x dx = e(it;)x dx = it; e(it;)x 10 = it; : 0

0

IV.4.5. Plda: (Az egyenletes eloszls karakterisztikus fggvnye)

Rb

Ha X 2 U (a b]), akkor 'X (t) = eitx b;1a dx = b;1a eitx]ba = e(ibtb;;a)eiitat : a Ha specilisan a = ;b 'X (t) = ei tb2;beiti tb = sin(bbt) : IV.4.2. Ttel: (Helly-ttel) Legyen X s X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorovfle val sznsgi mezn. Ekkor Xn !e X () 'Xn (t) ! 'X (t) egyenletesen. Bizonyts : A ttel bizonytsa megtallhat Rnyi 1] 272. oldaln.

P(Ai B ) : P(B )

j =1

j =1

Azaz teljesen fggetlen s normlis eloszlsok konvolci ja is normlis: Pp X 2 N ( Pp Pp 2). j j j

;

IV.5. Centrlis hatreloszls ttelek

IV.5.1. Ttel: (A centrlis hatreloszls ttel) Legyenek az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgi vltoz k pronknt fggetlenek

144


e.) Felhasznljuk, ! hogy ha X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek, akkor

E

Y p

i=1

Xi =

'X1+X2 ++Xp =

Y p

EXi.

Yp ! ; i ( X + X + + X ) t i X t p k (t) = E e =E e = i=1

1

2

k=1

Y ; iXkt Y E e = 'Xj (t): p

p

k=1

j =1

f.) 'X (t) =

R

+1

eixt fX (x) dx '0X (t) =

;1 +1

R ixeixt f (x) dx : : : X

+1

;1

R (ix)k eixt f (x) dx. X ;1 + 1 R $gy '(k)(0) = ik xk f (x) dx = ik : '(Xk) (t) = X

;1

X

k

A Taylor-formulb l a t0 = 0 helyen: 'X (t) =

P

n k = k (ki!t) + k=0

o(tn ).

Pn 'Xk (0) tk +o (tn) = ( )

k=0

k!

g.) Az lltst nem bizonytjuk. IV.4.1. Plda: (A standard normlis eloszls karakterisztikus fggvnye) Ha X 2 N (0 1), akkor fX (x) = '(x) = p12 e; x2 , s gy a Fourier-transzformltra: 2

I.5


25

; Megolds: P AB = 1 ; P (A + B ) = 1 ; P (A) ; P (B )+ P (AB ) = 0 63

I.5.2. Feladat: Mennyi P ;A j B ha P(A) = 0 6 P(B ) = 0 5 s P(A +

B ) = 0 8?

;

);P(AB ) = P(A+B );P(B ) = 0 6: Megolds: P A j B = PP((ABB)) = P(A1;P (B ) 1;P(B )

I.5.3. Feladat: Egy fekete s fehr goly kat tartalmaz urnb l kihzunk n db goly t. Aijelentse azt az esemnyt, hogy az i-ediknek kihzott goly fehr. (1 i n ). Fejezzk ki az Ai esemnyek segtsgvel az albbi esemnyeket: A : Mindegyik goly fehr , B : Legalbb egy goly fehr , C : Pontosan egy goly fehr , D : Mindegyik goly ugyanolyan szn . Megolds:

A = A1A2 An B = An1 + A2 + + An P Q C = Ai Aj D=

i=1 n

i6=j

Q A + Qn A .

i=1

i

i=1

i

A msodik integrl azrt 0, mert az integrandus pratlan fggvny. tszerint derivlva midkt oldalt: +1 +R1 2 R 0 'X (t) = ;x sin(xt) '(x) dx = sin(xt) (;x) p12 e; x2 dx =

I.5.4. Feladat: hogy tetszleges A B esemnyekre ; ; Bizonytsa ; ; be, 2 + ;P ;AB 2 025! (P (AB ))2 + P AB 2 + P AB ; ; + P ;AB = 1: Legyen P (AB ) = Megolds: P(AB )+ P AB ;+ P AB ; = z + 025 P ;AB = v + 025: Mivel x + 025 P AB = y + 025 P AB x + y + z + v = 0 ) (x + 025)2 + (y + 025)2 + (z + 025)2 + (v + 025)2 = x2 + y2 + z2 + v2 + x+y+2 z+v + 0 25 025:

= sin(xt) p12 e; x2 ; t cos(xt) p12 e; x2 dx = 0 ; t 'X (t) mivel a ;1 ;1 IV.1.1 ttel a.) pontja szerint 'X (0) = 1, a karakterisztikusfggvny kielgti az y0 = ;t y y(0) = 1 kezdetirtk-feladatot! A di"erencilegyenlet megoldsb l a standard normlis eloszls karak2 terisztikus fggvnyre: 'X (t) = e; t2 (t 2 R) :

I.5.5. Feladat: Ketten sakkoznak. Az A esemny akkor kvetkezik be, ha a vilgossal jtsz nyer, a B esemny akkor, ha a stttel jtsz msik, reminl pedig a C esemny kvetkezik be. Fogalmazzuk meg szavakban, mit jelentenek az albbi esemnyek: a. AB + AB

'X (t) =

h

R

+1

;1

;1

R cos(xt) '(x) dx + i

+1

;1

2

i+1

R

+1

R sin(xt) '(x) dx =

;1

+1

;1

2

cos(xt) '(x) dx:

26


IV.4

143

A karakterisztikus fggvny

Yp

b. AB c. A + C ?

e.) Ha X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek, akkor 'X1+X2 ++Xp (t) =

Megolds: a. s b. a C esemnyt jelenti, c. B azaz nem a stttel jtsz jtkos nyer.

f.) Ha X els n momentuma ltezik, akkor 'X n-szer di"erencilhat s (k ) Pn 'X (t) = k k(i!t)k + o(tn ) valamint k = EX k = 'Xik(0) :

I.5.6. Feladat: Egy cltbla tz koncentrikus krbl ll, s a sugarakra

fennll az R1 < R2 < < R10 relci . Ak azt az esemnyt jelenti, hogy egy lvs az Rk sugar krbe esik. Fogalmazzuk meg szavakban, mit jelentenek az albbi esemnyek: B = A1 + A3 + A6 C = A2A4A6A8 D = (A1 + A3) A6! Megolds: B = A6 C = A2 D = A3:

I.5.7. Feladat: Tegyk fel, hogy;A B12 val sznsg esemnyek. Mu-

tassuk meg, hogy ekkor P (AB ) = P AB ! Megolds:

A B = A + B ) P;(A + B) = P (A);+ P(B ) ; P (AB ) = 1 ; P (AB ) P (A + B ) = 1 ; P A + B = 1 ; P AB ) llts. ; + AB = P (A) + P (B ) ; I.5.8. Feladat: Bizonytsa be, hogy P AB 2P (AB )! ; + AB = P ;AB + P ;AB = P (A) ; P (AB ) + Megolds: P AB P (B ) ; P (AB ). I.5.9. Feladat: Ha az A s B esemnyek kzl az egyik felttlenl bekvetkezik, P (A j B ) = 32 P (B j A) = 31 , mennyi a P(A) s P(B ) val sznsg? Megolds: P(A + B ) = 1 P(AB ) = 32 P(B ) = 31 P(A), gy 1 = P(A+B ) = P(A)+P(B );P(AB ) = P(A)+0 5P(A); 31 P(A) = 67 P(A), azaz P(A) = 76 s P(B ) = 73 : I.5.10. Feladat: Legyen P(A) = 32 P (A j B ) = 23 P (B j A) = 31 : Hatrozza meg a P(A + B ) s P(A j B ) val sznsgeket! Megolds: P(AB ) = P(A)P(B jA) = 2=9 P(B ) = P(AB )=P(AjB ) = 1=3, gy P(A + B ) = 2=3 + 1=3 ; 2=9 = 7=9. P(A j B ) = P(AB )=P(B ) = (1 ; P(A + B )) = (1 ; P(B )) = 13 :

j =1

'Xj (t) :

k=0

g.) Minden eloszlst egyrtelmen meghatroz a karakterisztikus fggvnye. +R1 Ha X folytonos, akkor fX (x) = 21 'X (t) e;itx dx (x 2 R): (In;1 verzi s formula). Bizonyts :

a.) j'X (t)j E( eiXt ) = E(1) = 1 'X (0) = E(e0) =E (1) = 1:

R

+1

b.) Legyen " > 0 tetszleges. Mivel fX (x) dx = 1 ) 9A" : ;1 R f (x) dx < " : Fel fogjuk hasznlni, hogy X 4

jxj>A" jeixt1 ; eixt2 j < jx t1 ; x t2 j s jeixt1 ; eixt2 j < 2: +1 j'X (t1 ) ; 'X (t2)j = (eixt1 ; eixt2 ) fX (x) dx ;1 +1 +A" jeixt1 ; eixt2 j fX (x) dx = jeixt1 ; eixt2 j fX (x) dx+ ;1 ;A" jeixt1 ; eixt2 j fX (x) dx jxj>A" +A" fX (x) dx A" jt1 ; t2j +2 4" jeixt1 ; eixt2 j fX (x) dx +2 ;A" jxj>A" ha jt1 ; t2j < 2A" " :

R

R

R

R

R

R

n

2! n P n P P i t X

k c.) 'X (tk ; tl)zk zl = E e zk

0: k=1 l=1 k=1 ; d.) ' (;t) = E eiX (;t) = E (cos(;Xt)) + i E (sin(;Xt)) = X

= E (cos(Xt)) ; i E (sin(Xt)) = 'X (t).

< ",

142


1v vagyis Ekkor a Zn = X1 +X2n++Xn val sznsgivltoz -sorozatra Zn ! P(nlim Z = ) = 1 : n !1

Megjegyzs : A felttelrendszerben ersebb fggetlensget tteleztnk fel, de az azonos eloszlst nem 1 P1 tettk fel, csupn annak egy szksges felttelt, P hiszen 2Xi i12 = di22 < 1: Az llts viszont a IV.2.4 ttel szerint i=1 i=1 ersebb, mint a IV.3.1 ttel volt. Bizonyts: Lsd Rnyi 1] 328333. oldal.

IV.4. A karakterisztikus fggvny

IV.4.1. Den ci: A Z = X + i Y komplex rtk val sznsgi vltoz vrhat rtkn az EZ = EX + i EY komplex szmot rtjk. IV.4.2. Den ci: Az X val sznsgi vltoz karakterisztikus fggv-

ny n a 'X (t) = EeiXt (t 2 R) fggvnyt rtjk.

Megjegyzs : Mivel eiXt = cos(Xt) + i sin(Xt) ) 'X (t) = E cos(Xt) + i E sin( P Xt): P Diszkrt esetben: 'X (t) = cos(xj t) P(X = xj )+ i sin(xj t) P(X = xj ) 8j

8j

R

R

+1

+1

folytonos esetben: 'X (t) = cos(xt) fX (x) dx + i sin(xt) fX (x) dx. ;1 ;1 Lthat , hogy a karakterisztikus fggvny a srsgfggvny Fourier -transzformltja.

IV.4.1. Ttel: (A karakterisztikus fggvny tulajdonsgai) a.) j'X (t)j 1 s 'X (0) = 1: b.) 'X egyenletesen folytonos R-en. c.) 'X pozitv szemidenit fggvny, azaz 8n 8t1 t2 : : : tn 2 R s Pn Pn ' (t ; t ) z z 0 : 8z1 z2 : : : zn komplex szmokra X k l k l k=1 l=1

d.) 'X (;t) = 'X (t):

I.5


27

I.5.11. Feladat: (De Mr lovag feladvnya) Melyik esemnynek nagyobb a val sznsge: hogy egy kockval ngyszer dobva legalbb egyszer hatost dobunk (A), vagy annak, hogy kt kockval huszonngyszer dobva legalbb egyszer kt hatosunk lesz (B )? Megolds: Kt klnbz val sznsgi mezrl van sz . Az elsben egy szablyos kockval ngyszer dobunk. Az sszes elemi esemnyek szma n =64: A vizsglt A esemny ellentettje az az esemny, hogy egyszer sem dobunk hatost . ;Ilyen eset sszesen 54 lehet, vagyis az ellentett esemny ; ; val szn5 4 sge: P A = 6 : $gy az A esemny val sznsge: 1 ; 65 4 05177472: A msodik vizsglt esemny egy egszen ms ksrlethez s esemnytrhez tartozik. Most a vletlen ksrlet az, hogy kt szablyos kockval dobunk 24szer. Az sszes elemi esemny most sokkal tbb: 3624. A msodik esemny ellentettje most az, hogy a dobssorozatban egyszer sem dobunk dupln ; 35 24. A msodik hatost . Ennek a val sznsge esemny val sznsge gy 36 ; P(B ) = 1 ; 3536 24 04914049: : : Lthat , hogy az A esemny val sznsge a nagyobb. Megjegyzs : A feladatot De Mr lovag adta fel Blaise Pascal francia matematikusnak, aki ezen feladat kapcsn elkezdett vizsgl dsai nyomn jutott el a val sznsgszmts els komoly eredmnyeihez. A feladatban egybknt els pillantsra az tnik fel, hogy mindkt esemny esetben a dobsok szmnak s a lehetsges kimenetelek szmnak arnya azonos: Anl 4 : 6, a B -nl 24 : 36.

I.5.12. Feladat: Egy urnb l, ahol fehr s fekete goly k vannak, vletlenszeren kivesznk visszatevssel kt goly t. Bizonytsuk be, hogy annak a val sznsge, hogy a goly k ugyanolyan sznek, nem lehet kisebb mint 05. Megolds: Legyen a fehr goly k szma n, a feketk m (n m 1). Ekkor a vletlen ksrlet elemi esemnyeinek szma 2(n +2 m)2 a kedvez esetek pedig n2 + m2: A keresett val sznsg: p = (nn++mm)2 . Mivel (n ; m)2 0 ) 2n2 + 2m2 n2 + 2nm + m2 ) p 05.

I.5.13. Feladat: (Plya-fle urnamodell) Egy urna r darab fekete s s darab fehr goly t tartalmaz. Vletlenszeren kihzunk egy goly t. A kihzott goly t s mg plusz c darab ugyanolyan szn goly t visszatesznk az urnba. Mennyi a val sznsge annak, hogy

28


az n-edik hzs utn a-szor hztuk ki a fekete, s b-szer a fehr goly t? (a + b = n). Megolds: Pl. annak az esemnynek a val sznsge, hogy az els a hzskor mindig fekete s az utols b hzskor pedig csupa fehr goly t foc)(r+3c)(r+(a;1)c)s(s+c)(s+2c)(s+(b;1)c) . gunk hzni: r(r+c()(r+r+2 s)(r+s+c)(r+s+2c)(r+s+3c)(r+s+(n;1)c) De minden ms olyan hzssorozatnak, ahol a-szor hztuk ki a fekete, s b-szer a;fehr goly t is ugyanekkora a val sznsge. A klnbz kimenetelek n szma a keresett val sznsg: ;n r(r+c)(ar+2 gy c)(r+3c)(r+(a;1)c)s(s+c)(s+2c)(s+(b;1)c) . a (r+s)(r+s+c)(r+s+2c)(r+s+3c)(r+s+(n;1)c)

I.5.14. Feladat: Ha egy szablyos pnzrmt n-szer feldobunk, mennyi a val sznsge, hogy k-val tbbszr fogunk fejet kapni, mint rst? (0 k n).

IV.3

141

A nagy szmok t rvnyei

st Ekkor a Zn = X1+X2n++Xn val sznsgivltoz -sorozatra Zn ! , vagyis

8" > 0 esetn P(jZn ; j ") ! 0 (n ! 1):

Bizonyts :

EZn = E

; X +X ++Xn = 1 Pn EX 1

2

n

n

i=1

i

= n1 n = .

A pronknti miatt: fggetlensg Pn Pn 2Zn = 2 n1 Xi = n12 2Xi = n12 n d2 = dn2 : i=1 i=1 Lthat teht, hogy Zn minden indexre teljesti a Csebisev-egyenltlensg felttelt, gy: P(jZn ; EZn j ") = P(jZn ; j ") 2"Z2 n = = nd"22 ! 0 (n ! 1), ami mr igazolja az lltst.

Megolds: Ha a fejdobsok szmt f , az rsokt i jelli, fenn kell llnia, hogy f + i = n s f ; i = k. Innen kvetkezik, hogy 2f = n + k s 2i = n ; k, vagyis n s k paritsnak meg kell egyeznie. Annak val sznsge, ; ; ; hogy ; egy n hosszsg dobssorozatban ppen f fejet dobunk nf 12 n = nn+2 k 12 n : ; n Ugyanis,; minden n hosszsg sorozat egyformn 21 val sznsg, s ezek kztt nf olyan klnbz dobssorozat lehet, ahol a fejek szma ppen f (kedvez esetek).

IV.3.2. Ttel: (A nagy szmok ttelnek Bernoulli-fle gyenge alakja) Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez, A 2 = egy pozitv val sznsg esemny: p = P(A) > 0: Hajtsunk vgre egy vgtelen ksrletsorozatot, vagyis gyeljk meg az A bekvetkezseit az 1 2 : : : n : : : -edik vgrehajtskor! Legyen Xi 2 I (A) vagyis az i-edik vgrehajtskor a meggyelt A esemny indiktor val sznsgi vltoz ja. Xi -k teljesen fggetlenek s azonos eloszlsak: p0 = P(Xi = 0) = P(A) = q p1 = P(Xi = 1) = P(A) = p EXi = p 2Xi = pq: Legyen Zn = X1 +X2n++Xn = rn(A) a st relatv gyakorisg. Ekkor rn(A) ! p azaz 8" > 0 esetn P(jrn(A) ; pj ") ! 0 (n ! 1):

I.5.15. Feladat: Egy minden oldaln befestett fakockt a lapokkal prhuzamos skokban 1000 azonos mret kis kockra frszelnek szt. A kapott kis kockkb l vletlenszeren kivlasztunk egyet. Mennyi a val sznsge, hogy a kocknak ppen k oldala festett? (0 k 3).

Bizonyts : A ttel specilis esete a IV.3.1 ttelnek. Ekkor a Csebisev-egyenltlensgnek a P(jZn ; EZn j ") = P(jrn(A) ; pj ") 2"Z2 n = npq"2 4n1"2 ! 0 (n ! 1) felel meg, mert p q 14 mindig teljesl.

Megolds: )sszes eset n = 1000. Kedvez esetek k = 0-nl 83 ( a bels 8 8 8 kisngyzetben lv mindegyik rszkocka j ), k = 1-nl 6 64 (mindegyik lapon a bels 8 8-as ngyzethez tartoz an), k = 2-nl 12 8 (minden len van 8 ilyen kocka) s vgl k = 3-nl 8 (a cscsok nl lehet ilyen eset).

Megjegyzs : A ttel azt mondja ki, hogy a relatv gyakorisg j l kzelti az esemny elmleti val sznsgt, ahogyan azt mr a I.1.2 axi mk utn tett megjegyzsnkben elre jeleztk.

I.5.16. Feladat: Egy kalapban az angol ABC 26 betje van. Visszat-

evssel 11-szer hzva, a kihzott betket sorban egy paprra felrva, mennyi a val sznsge, hogy a kapott sz b l legfeljebb kt bett felcserlve ppen a STATISZTIKA sz jn ki?

IV.3.3. Ttel: (A nagy szmok ttelnek Kolmogorov-fle ers alakja) Legyenek az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgi vltoz k teljesen fggetlenek az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Ltezzk a kzs = EXi P1 vrhat rtkk s a sz rsngyzetkre teljesljk a 2Xi i12 < 1 felttel. i=1

140


IV.2.1. Plda: (Gyengn igen, ersen nem konvergens valszn sgivltoz-sorozat)

0

ha x 2= k;n 1 nk ahol n 2 N tet1 ha x 2 k;n 1 nk

Legyen U 2 U (0 1) s fnk (x) = szleges, k = 1 2 : : : n: A val sznsgivltoz -sorozat denci ja: Xm = st fnk (U ) ahol m = n + k: Ekkor Xm ! X 0, hiszen tetszleges ; X , ahol " 2 (0 1) esetn P (jXm ; X j > ") = P U < n1 = n1 : Az egy val sznsggel val konvergencia viszont nem teljesl, mert az Xm ! 0 egyetlen U 2 (0 1) realizci ra sem igaz! Ugyanis tetszleges x 2 (0 1) esetn s minden n 2 Nre ltezik k, hogy fnk (x) = 1 legyen.) IV.2.5. Ttel: Az egy val sznsggel val konvergencia s az Lr -beli konvergencia kzl egyik sem kvetkezik a msikb l ltalnos esetben. Bizonyts : Lsd a IV.6.8. feladatot! Megjegyzs : sszegezve a fejezetben kimondott tteleket, a konvergencik kztti ersorrend: 3 1v Xn ! X7 5 ) Xn !st X ) Xn !e X: Lr Xn ! X

IV.3. A nagy szmok trvnyei A nagy szmok trvnyei azt a meggyelst tmasztjk al elmletileg is, hogy egy val sznsgi vltoz t sokszor meggyelve, az tlagrtk mindig kzel van az elmleti vrhat rtkhez. Az is igaz, hogy a meggyelsek nvekedtvel az eltrs cskken, azaz az tlagrtkek konverglnak is a vrhat rtkhez. A klnbz nagy szmok ttelei a meggyels-sorozat krlmnyeiben s a konvergencia tipusban trnek el egymst l. Ha a konvergencia sztochasztikus, gyenge trvnyrl, ha egy val sznsg, akkor ers alakr l beszlnk. IV.3.1. Ttel: (A nagy szmok ttelnek Csebisev-fle gyenge alakja) Legyenek az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgi vltoz k pronknt fggetlenek s azonos eloszlsak (azonos eloszlsfggvnnyel rendelkezk) az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Ltezzk a kzs = EXi vrhat rtkk s a kzs d2 = 2Xi sz rsngyzetk.

I.5

29


;3 Megolds: ; Az sszes eset n = 2611 kedvez esetek szma k = 1 + ; 3 2 = 50 (az azonos betk egyms kzti cserit le kell vonni). 2

;11 ; 2

2

I.5.17. Feladat: Egy szablyos rmvel n-szer dobva, mennyi a val sznsge, hogy a fejdobsok szma pratlan lesz? Megolds: A val sznsg ppen 05. Ugyanis, ha tekintnk egy olyan sorozatot, amelyben a fejek szma pratlan, akkor ha az els dobst kicserlnnk az ellenkezjre, olyan sorozatot kapunk, melyben a fejek szma mr pros lesz. Azaz a pros s a pratlan fejdobsos sorozatok kztt klcsnsen egy-egyrtelm lekpezs hozhat ltre, vagyis mindegyikk ugyanolyan val szn.

I.5.18. Feladat: Egy szablyos rmvel n-szer dobva, mennyi a val sznsge, hogy a. elszr az n-edikre jn fej? b. ugyanannyi fejet dobunk, mint rst? c. pontosan kt fejet dobunk? d. legalbb kt fejet dobunk?

; ; ; a: 21 n, b: 0, ha n pratlan s nn 12 n , ha n pros, ;n;Megolds: ; ; n n n 1 , d: 1 ; 1 ; n 1 . 2

2

2

2

c:

2

I.5.19. Feladat: Egy kalapban hrom cdula van, amelyekre az 1 2 3 szmjegyek vannak felrva. Vletlenszeren egyesvel kihzzuk a cdulkat. Mennyi a val sznsge annak, hogy a hzskor lesz olyan cdula, amelyikre ppen az a szm van felrva, ahnyadikknt kihztuk azt? Megolds: Az sszes eset n = 3! = 6. Ezek kztt a nem kedvez eset csak kett van: 2 3 1 s 3 1 2. A keresett val sznsg: 2=3.

I.5.20. Feladat: Feldobunk hrom szablyos pnzrmt. Mennyi a val sznsge az A B C esemnyeknek, ahol A: legalbb kt rmvel fejet dobunk , B : pontosan kt rmvel fejet dobunk , C : legfeljebb kt rmvel fejet dobunk ?

30

I. FEJEZET A Kolmogorov-fle valsznsgi mez Megolds:

;; ; ;

P(A) = P; (vagy kett, vagy hrom fejet dobunk ) = 32 + 33 12 3 = 05 ; 3 P(B ) = 32 12 = 38 P(C ) = P(nem hrom fejet dobunk ) = ; 3 7 1 1 ; P(hrom fejet dobunk ) = 1 ; 2 = 8 : I.5.21. Feladat: A 90=5 lott hzs eltt mennyi a val sznsge, hogy k = 1 2 3 4 5 tallatunk lesz? ; Megolds: Az sszes lehetsge lott hzsok szma n = 905 = 43949268, a kedvez esetek szma ;5;85, k = 1 tallatnl: 1 4 ; ; k = 2-nl ;52;853, k = 3-nl ; 53;852, k = 4-nl 54 851 , ; ; s vgl k = 5-nl 55 850 = 1:

I.5.22. Feladat: Egy urnban fehr s fekete goly k vannak, melyeket egyms utn visszatevs nlkl kihzunk. Az A vagy a B esemnynek nagyobb-e a val sznsge, ahol A: az els goly fehr , s B : az utols goly fehr ? Megolds: Ha N a goly k szma, ebbl K a fehrek, akkor

P (A) = K(N ;1)(NN! ;2)1 = NK s P (B ) = esemny ugyanolyan val sznsg.

(N ;1)(N ;2)1K N!

= KN , azaz a kt

I.5.23. Feladat: Ha n egyforma ldba elhelyeznk n egyforma goly t gy, hogy brmely ldba ugyanolyan val sznsggel tesszk brmelyik goly t, mennyi a val sznsge annak, hogy mindegyik ldban lesz goly ? Megolds: )sszes eset nn , a kedvez esetek szma pedig: n!.

I.5.24. Feladat: Egy csomag 52 lapos francia krtyb l 13 lapot tal-

lomra visszatevs nlkl kihzunk. Mennyi a val sznsge annak, hogy a. a tre" kirly a kihzott lapok kztt lesz? b. pontosan kt tre" lesz a leosztott lapok kzt? c. a tre" kirly s a tre" sz a kihzott lapok kzt van? d. van tre" a leosztott lapok kztt?

IV.2

Valsznsgi vltozk sorozatainak konvergencii

139

b.) Az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgivltoz -sorozat Lr -ben (vagy r-edik momentumban) tart X -hez, ha E (jXn ; X jr ) ! 0 (n ! 1): Lr Jells : Xn ! X: c.) Az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgivltoz -sorozat sztochasztikusan konvergl X -hez, ha 8" > 0 esetn P (f! jXn (!) ; X (!)j > "g) ! 0 (n ! 1): st Jells : Xn ! X: d.) Az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgivltoz -sorozat eloszlsban konvergl X -hez, ha nlim F (x) = FX (x) minden olyan x 2 R -ben, ahol FX (x) !1 Xn folytonos. e Jells : Xn ! X:

IV.2.1. Ttel: Az eloszlsban val konvergencib l nem kvetkezik sem az egy val sznsggel val , sem az Lr -ben val , sem a sztochasztikus konvergencia. Bizonyts : Lsd a IV.6.5. feladatot!

IV.2.2. Ttel: Ha Xn !st X akkor Xn !e X is, azaz a sztochasztikus konvergencib l kvetkezik az eloszlsban val konvergencia. Bizonyts : Lsd a IV.6.6. feladatot! L st IV.2.3. Ttel: Ha Xn ! X akkor Xn ! X is, azaz az L1-beli konver1

gencib l kvetkezik a sztochasztikus konvergencia, gy az eloszlsban val konvergencia is. Az llts megfordtsa ltalban nem igaz ! Bizonyts : Lsd a IV.6.7. feladatot! 1v st IV.2.4. Ttel: Ha Xn ! X , akkor Xn ! X is, de a megfordts l-

talban nem igaz.

Bizonyts : Lsd Rnyi 1] 327. oldal!

138


b.) A Markov-egyenltlensget a kvetkez m don fogalmazhatjuk t, ha vgrehajtjuk a = EX helyettestst: 8 > 0 esetn P(Y > EY ) 1 : Innen viszont az olvashat le, hogy Y kicsi val sznsggel vehet csak fel a sajt vrhat rtknl sokkal nagyobb rtkeket, vagyis Y hajlamos a vrhat rtke kzelben felvenni rtkt. Pl. annak val sznsge, hogy egy nemnegatv val sznsgi vltoz a vrhat rtknek tszrsnl nagyobb rtket felvegyen, 0,2-nl kisebb. IV.1.2. Ttel: (A Csebisev-egyenltlensg) Legyen X olyan val sznsgi vltoz , amelynek vges a sz rsngyzete: 2X < 1. Ekkor minden " > 0 esetn P(jX ; EX j ") "22X . Bizonyts : Alkalmazzuk a Markov-egyenltlensget Y = (X ; EX )2 = "2 helyettestssel: X )2 = 2 X : P(jX ; EX j ") = P((X ; EX )2 "2) E(X ;E "2 "2 Megjegyzs :

a.) "-r l ugyanaz elmondhat , mint a Markov-egyenltlensg esetn -r l: " X esetben lesz csak nem-trivilis az egyenltlensg. b.) A Csebisev-egyenltlensg is tfogalmazhat , ha " = X : Minden > 0 esetn P(jX ; EX j X ) 12 . Vagyis a val sznsgi vltoz a vrhat rtke krl ingadozik, s annl kisebb mrtkben, minl kisebb a sz rsa. Pl. egy val sznsgi vltoz nem trhet el jobban a vrhat rtktl, mint a sz rsa hromszorosa, csak legfeljebb 19 011 val sznsggel.

IV.2. Valsznsgi vltozk sorozatainak konvergencii IV.2.1. Den ci: Legyenek X1 X2 : : : Xn : : : s X val sznsgi vltoz k az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Azt mondjuk, hogy a.) Az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgi vltoz -sorozatoegy valszn sggel n konvergl X -hez, ha az A = ! nlim X (!) = X (!) esemny egy val !1 n sznsg: P(A) = 1. 1v Jells : Xn ! X:

I.5


31

11) c: ((1152)) d: 1 ; ((5213)) : Megolds: a: ((1252)) b: ( 2()( 52 13 13) 13 13 51

13

39

50

39

I.5.25. Feladat: Legalbb hny szablyos pnzdarabot kell feldobni ahhoz, hogy 90%-nl nagyobb legyen a val sznsge annak, hogy van kzttk fej? Megolds: P (nem dobunk fejet ) = 1 ; 21n 0 9 ) n 4:

I.5.26. Feladat: Egy sz rakozott polgr elfelejtette bankkrtyjnak szemlyi azonost (PIN) k djt, csak abban biztos, hogy a ngy szmjegy kztt volt pontosan kt hrmas, s az els jegy biztosan nem a nulla volt. Ha tz msodpercenknt bet egy lehetsges varici t, akkor mennyi az eslye annak, hogy egy rn bell eltallja a helyes azonost szmot? Megolds: Az sszes lehetsges varici k szma: 389+392 = 459: Ennek betshez szksges id: 4590 msodperc. Egy rban 3600 msodperc van, gy a val sznsg: p = 360 459 0 71:

I.5.27. Feladat: Egy rmt n-szer feldobunk, a fej val sznsge p. Jelljk pn -nel annak val sznsgt, hogy az n dobs sorn pros szm fejet dobtunk. Mennyi pn ? Megolds:

pn = (1 ; p) pn;1 + p (1 ; pn;1 ) p0 = 1: pn = pn;1 (1 ; 2p) + p = pn;2 (1 ; 2p)2 + p (1 ; 2p) + p = nP ;1 = = p0 (1 ; 2p)n + p (1 ; 2p)i = 21 (1 + (1 ; 2p)n) : i=0 Ha az rme szablyos, pn = 05:

I.5.28. Feladat: Ha az egysgngyzetben vletlenszeren kivlasztunk egy P (x y) pontot, akkor mennyi a val sznsge, hogy az a tglalap, melynek az orig s P az ellenttes cscsai olyan lesz, hogy a kerlete kisebb 2-nl, a terlete pedig ugyanakkor kisebb lesz 016-nl? Megolds: most az egysgngyzet lesz, az krdses esemny pedig az brn besatrozott terletnek felel meg:

32



R

08 02

016 dx + 02 = 042: x

I.5.29. Feladat: (A Buon-t problma, 1777.) Egy szobban egymst l d tvolsgban prhuzamosan padl rsek futnak. Leejtve egy s < d hosszsg tt, mekkora a val sznsge, hogy a t ppen egy padl rst fog metszeni? Megolds: A t helyzett egyrtelmen a felezpontjnak a fels padl rs-

tl vett y tvolsgval s a padl rsek irnyval bezrt szgvel jellemezzk. Azokkal a krlmnyekkel, hogy melyik kt rs ltal meghatrozott svba esik a kzppont, s hogy a prhuzamosokra merleges falt l milyen messze van a kzppont nem foglalkozunk, mert a t metszi a padl rst esemny bekvetkezsre ezek nincsenek hatssal.

IV. fejezet Val szn sgi trvnyek IV.1. Nevezetes egyenltlensgek IV.1.1. Ttel: (A Markov-egyenltlensg) Legyen Y 0 olyan val sznsgi vltoz , melynek ltezik a vrhat rtke: EY 0. Ekkor 8 > 0 esetn P(Y > ) E Y : Bizonyts :

Diszkrt P val sznsgiPvltoz esetben:

P

EY = yiP(Y = yi) yiP(Y = yi) P(Y = yi) = 8i yi >

yi >

= P(Y > ) ) llts. Folytonos val sznsgi vltoz esetben:1 1 1

R

R

R

EY = x fY (x) dx x fY (x) dx fY (x) dx = (1 ; FY ( )) = 0

= P(Y > ) ) llts. Megjegyzs :

Nyilvn 0 y d s 0 . A t leejtse utn y s egyrtelmen meghatrozhat , vagyis a vletlen ksrlet elemi esemnyei azon (y ) pontprok, melyek elemei a 0 d] s 0 ] intervallumok ltal meghatrozott tglalapnak. (Ez a tglalap az esemnytr). Metszs egyszerre csak egy padl rsnl kvetkezhet be, mert s < d. A metszs csak akkor kvetkezhet

a.) Az egyenltlensgben most akkor kapunk nem semmitmond lltst, ha EY . Klnben a Markov-egyenltlensg csak annyit jelentene, hogy egy val sznsg nem nagyobb, mint egy 1-nl nagyobb szm. . . Teht most > 0 nem azt sugallja & mint ltalban a matematikai ttelekben &, hogy tetszlegesen kicsi pozitv szm, hanem ppen ellenkezleg, most nagy. 137

136

III. FEJEZET Valsznsgi vektorv ltozk

I.5


33

be, ha 0 y 2s sin , vagy ha (d ; y) s2 sin teljesl. A feltteleknek megfelel (y ) pontprok tartomnyt az albbi brn besatroztuk:

R

A stttett terlet nagysga T = 2 2s sin d = s ; cos ]0 = 2s a 0 tglalap terlete pedig d. 2s . $gy a keresett val sznsg: P (a t metszi a padl rst ) = d Megjegyzs : Mivel a val sznsg kapcsolatos -vel, lehetsg van statisztikus eszkzkkel a becslsre. Ha nagyon sokszor vgrehajtjuk a vletlen ksrletet, s szmoljuk a metszsek bekvetkezst, azaz a vizsglt esemny gyakorisgt, akkor ezt a ksrletek szmval elosztva (relatv gyakorisg) a fenti val sznsget j l lehet kzelteni. Ebbl -t kifejezve kapjuk a kzeltst. 1885-ben Stephan Smith angol matematikus 3200-szer vgrehajtva a ksrletet, -re 31553 -t kapott.

I.5.30. Feladat: Vlasszunk ki egy pontot vletlenszeren az egysgngyzetben, melynek koordintit jellje (a b). Tekintve a p(x) = ax2 ; 2bx +1 polinomot, mekkora a val sznsge annak, hogy a p(x) = 0 egyenletnek van val s gyke? Megolds: Egy polinomnak akkor van val s gyke, ha a diszkriminnsa pozitv, azaz D = 4b2 ; 4a 0: Innen kvetkezik, hogy a vletlenszeren kivlasztott pont koordinti kztt fenn kell llnia a b2 a relci nak. Ennek megfelel tartomnyt az egysgngyzetben bestttettk:

34


III.7


135

III.7.55. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy ha EX = EX 3 = 0, akkor X

s Y korrellatlanok!

A bestttett tartomny terlete megegyezik a keresett val sznsggel, mivel az egysgngyzet terlete 1. R1 $gy P (van val s gyk ) = x2 dx = 13 : 0

I.5.31. Feladat: Vlasszunk ki egy pontot vletlenszeren az egysgngyzetben, melynek koordintit jellje (a b). Mekkora a val sznsge annak, hogy a pont kzelebb van a ngyzet egy oldalhoz, mint egy tl jhoz? Megolds: Egymst metsz egyenesektl egyenl tvolsgra fekv pontok mrtani helye az egyenesek szgnek felez egyenese. Az oldalegyenesek s az tl egyeneseinek szgfelezi az oldalegyenesekkel 225 -os szget zrnak be. A vizsglt esemny pontjai ezrt az oldalak s a szgfelezk ltal hatrolt tartomnyba esnek:

Az brn jellt magassgvonal m = 21 tg 225 : A bestttett terlet most is a keresett val sznsggel egyezik meg: p P (a pont kzelebb van az oldalhoz ) = T = 4 m21 = tg 225 = 2 ; 1:

I.5.32. Feladat: Az egysgintervallumban vletlenszeren kijellve kt pontot, mekkora a val sznsge, hogy a keletkez hrom szakaszb l hromszg szerkeszthet?

III.7.56. Gyakorlat: Az X s Y egyttes srsgfggvnye: fXY (x y) = 10x2y 0 y x 1: Hatrozza meg adott X = x felttel esetn az Y feltteles srsgfggvnyt! III.7.57. Gyakorlat: Legyen az X s Y val sznsgi vltoz k egyttes srsgfggvnye fXY (x y) = 125 (x2 ; xy + y2) ha 0 x 1 0 y 1 egybknt fXY (x y) = 0: Szmolja ki az fX jY (x j y) feltteles srsgfggvnyt! Szmolja ki a kovarianciamtrixot! Szmolja ki az E (X j Y = y) regresszi s fggvnyt! III.7.58. Gyakorlat: Egy ktdimenzi s val sznsgi vltoz els koordintjnak srsgfggvnye fX (x) = 2x (0 < x < 1) : Ha az els koordinta x, akkor ilyen felttel mellett a msodik koordinta (Y ) 1 + x paramter exponencilis eloszlst kvet. Hatrozza meg annak a val sznsgt, hogy a kt koordinta sszege kisebb mint 1! III.7.59. Gyakorlat: Dobjunk n-szer egy szablyos dob kockval. Jellje X a hatosok szmt, Y pedig a pros dobsok szmt! Szmolja ki az E (Y j X ) regresszi t! III.7.60. Gyakorlat: Legyen az X Y egyttes srsgfggvnye fXY (x y) = 2d1 2 exp ; x2sd+2y2 x y 2 R: Hatrozza meg Z = max fjX j jY jg srsgfggvnyt! III.7.61. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 N (0 1) fggetlen val sznsgi vltoz k egy skbeli vektor komponensei: V = (X Y )T : Adja meg a vektor hossznak az eloszlsfggvnyt! III.7.62. Gyakorlat: Legyen (X Y )T 2 N2 00 01 5 01 5 : Adja meg azt a lineris transzformci t, melynek eredmnyekpp a komponensek fggetlen standard normlis eloszlsak lesznek! III.7.63. Gyakorlat: X s Y egyttes eloszlsa normlis, ktdimenzi s = (1 2)T vrhat rtk-vektorral s = 11 12 kovarianciamt21 22 rixszal. Fejezze ki az E (Y j X ) regresszi t komponensei s X segtsgvel!

134


III.7.44. Gyakorlat: Legyenek X s Y fggetlen val sznsgi vltoz k. Bizonytsa be, hogy 2 (XY ) = 2X2Y + (EX )2 2Y + (EY )2 2X: III.7.45. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn 2 U (0 1) teljesen fggetlenek. Ezek kijellnek n + 1 db rszintervallumot (0 1) ;en. Jellje Yk a k-adik rszintervallum hosszt (k = 1 2 : : : n + 1) : Mutassa meg, hogy 1 ! EYk = n+1 III.7.46. Gyakorlat: Fodrsznl sorunkra vrunk. Mekkora a val sznsge, hogy az tlagosnl tovbb vrakozunk, ha a vrakozsi id E (2)? III.7.47. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls val sznsgi vltoz k, melyeknek ltezik a vrhat rtkk Pn s sz rsuk: EXi = 2Xi = d2: Fejezze ki s d fggvnyben a 2 i Xi s cov

Pn

i=1

Pn i X X mennyisgeket! i

i=1

i=1

i

III.7.48. Gyakorlat: Hrom szablyos kockval dobunk. Jellje Y a dobott rtkek sszegt. Adja meg EY -t s 2Y -t! III.7.49. Gyakorlat: Legyen X 2 N (0 1). Szmolja ki R (X X 3 )-t! III.7.50. Gyakorlat: Egy kalapban egy-egy cdulra fel vannak rva az 1 2 3 szmjegyek. Egyms utn, visszatevs nlkl kivesznk kt cdult. X az els, Y a msodik hzs eredmnye. Adja meg R (X Y )-t! Fggetlen-e X s Y ? III.7.51. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy ha X s Y azonos sz rs val sznsgi vltoz k, akkor X + Y s X ; Y korrellatlanok! III.7.52. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 N (0 1) fggetlenek! V = X +Y s W = X ; Y + 1. Adja meg a (V W )T vektor kovarianciamtrixt! III.7.53. Gyakorlat: Legyenek X Y fggetlen val sznsgi vltoz k, ahol EX = 4 EY = 0 2X = 1 2Y = 2: Hatrozza meg az albbi mennyisgeket: E (5X ; 6Y ) EXY 2 (5X ; 6Y + 8) cov (5X 6Y )! III.7.54. Gyakorlat: Ultizsnl a 32 lapos magyar krtyb l kettt talonba osztanak. Jellje X a talonba kerlt piros szn lapok, Y pedig az szok szmt! Szmolja ki X s Y kovariancijt!

I.5


35

Megolds: Jelljk a kt pontnak a 0-t l vett tvolsgait rendre x-el s y-nal. Az (x y) pr ilyenkor egy pontot hatroz meg az egysgngyzetben, ami teht most is a vletlen ksrlethez tartoz esemnytr. A hromszg szerkesztshez a keletkez hrom szakasz a b c hosszainak ki kell elgtenie egyidejleg az a + b c, a + c b s b + c a egyenltlensgeket. Az x < y esetben a hrom szakasz az a = x b = y ; x s c = 1 ; y. $gy a hromszg szerkeszthetsge az albbi egyenltlensgek egyidej fennllst kveteli meg x y-t l:

x + (y ; x) 1 ; y () y 05 x + (1 ; y) y ; x () y x + 05 (y ; x) + (1 ; y) x () x 05: Az y x esetben a fenti egyenltlensgeknek a x 05 x;05 y s y 0:5 rendszer fog megfelelni. A kt kritriumrendszerhez tartoz tartomnyt bestttettk az egysgngyzetben:

$gy a keresett val sznsg 025 lesz.

I.5.33. Feladat: Egy szobban egymst l d tvolsgban prhuzamosan padl rsek futnak. Leejtve egy s < d tmrj pnzdarabot, mennyi a val sznsge, hogy a pnz ppen egy padl deszka belsejbe esik, azaz nem metszi a padl rst?

36


III.7


133

III.7.36. Gyakorlat: Egy berendezs X ideig mkdik hibamentesen, s Y id kell a javtshoz, ahol X 2 E () s Y 2 E () egymst l fggetlenek. Mennyi annak a val sznsge, hogy a gpet a T > 0 idtartam alatt legalbb ktszer kellett javtani? Megolds: A pnz kzppontjnak s=2-nl nagyobb tvolsgra kell lennie mindkt padl rstl, gy a val sznsg p = 1 ; s=d.

I.5.34. Feladat: Egy d = 10 cm oldalhosszsg ngyzetrcsos padl -

zatra leejtnk egy s = 3 cm tmrj pnzdarabot.

a. Mennyi a val sznsge, hogy a pnz teljes terjedelmvelegy ngyzet belsejbe fog esni? b. Mennyi a val sznsge, hogy hsszor vgrehajtva a ksrletet, az esemny ppen tszr kvetkezik be? Megolds: a. Ahhoz, hogy a pnzdarab benne legyen a ngyzetben, a pnz kzppontjnak a bels 7 cm oldalhosszsg ngyzetbe ; kell esnie, gy a val sznsg p = 0 49. b. Az elz p val sznsggel: 205 p5 (1 ; p)15 kplettel szmolhatjuk ki.

I.5.35. Feladat: Egy d = 10 cm oldalhosszsg ngyzetrcsos padl zatra leejtnk egy s = 3 cm hossz tt. Mennyi a val sznsge, hogy a t teljes egszben egy ngyzet belsejbe kerl? Megolds: A keresett val sznsg p = 1 ; 4sdd2;s2 : Ha A azt az esemnyt

jelenti, hogy a t a vzszintes oldalt metszi, B pedig azt, hogy a t fggleges oldalt keresztez, akkor meghatrozand a P(A + B ) val sznsg. Poincare ttelbl: P(A + B ) = P(A) + P(B ) ; P(AB ). A Bu"on-t problmnl 2s Az AB szorzatesemny val sznsge lttuk, hogy P (A) = P (B ) = d

P (AB ) =

4 d 2

R j dxdyd = s : A kpletben x s y a t kzpR s Rsin s jcos d 2

0

2

0

0

2 2

pontjnak koordinti, pedig a t egyenesnek a vzszintessel bezrt szge. A P(AB ) val sznsg a kt oldalt egyszerre metsz telhelyezkedsekhez tartoz (x y ) pontok alkotta trrsz trfogatnak s a d d hasb trfogatnak arnya.

III.7.37. Gyakorlat: Legyenek X 2 N (5 2) s Y 2 N (4 3) fggetlenek. Adja meg a P (X < Y ) val sznsget! III.7.38. Gyakorlat: Az emberek testslyt N (75 12) eloszlssal modellezzk. Ha egy ngyszemlyes lift 320 (kg)-os sszteherbrs, akkor menynyi a val sznsge, hogy egy ngy fs csoport tlslyos lesz? III.7.39. Gyakorlat: Egy zemben kt gp zemel egymst l fggetlen X1 s X2 ideig, ahol X1, X2 2 E (0 2) : A folyamatos gyrtshoz az egyik gp zemeltetse is elegend, a msik gp tartalk. Ha az ppen mszakban ll gp meghibsodik, azonnal a tartalkot lltjk zembe. Melegtartalk esetn a tartalk gp is lland an be van kapcsolva, azaz ilyenkor a folyamatos mkdsi id maxfX1 X2g: A hidegtartalkols esetn a tartalk gpet csak az zembellts pillanatban kapcsoljk be. Teht ilyenkor a folyamatos zemeltetsi id X1 + X2 lesz. Hatrozza meg a folyamatos zemeltets idejnek vrhat rtkt meleg-s hidegtartalkols esetn! III.7.40. Gyakorlat: Legyen X 2 E (2). Hatrozza meg a cov (X X 2 )

szmot!

III.7.41. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls val sznsgi vltoz k. Tegyk fel, hogy P (Xi > 0) = 1: Bizonytsa be, hogy E XX11++XX22++++XXnk = nk ! III.7.42. Gyakorlat: Legyen az X val sznsgi vltoz olyan, hogy P (X > 0) = P (X < 0) = EX = a E jX j = b: Szmolja ki a cov X jXX j -t! III.7.43. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls val sznsgi vltoz k. P (Xi = 1) = P (Xi = ;1) = 41 P (Xi = 0) = 12 (i = 1 2 : : : n) : Szmtsa ki Pn az Y = Xi val sznsgi vltoz vrhat rtkt s sz rst! i=1

132


I.5


37

III.7.27. Gyakorlat: Legyen X 2 U (0 1) : X segtsgvel generljon az orig kzppont egysgkr kerletn egyenletes eloszls ktdimenzi s vletlen pontot! (Segtsg: Z = cos 2X Y = sin 2X ).

I.5.36. Feladat: Egy a = 1 b = 2 oldalhosszsg tglalapon kivlasztunk egy pontot. Mennyi a val sznsge, hogy a pont kzelebb van egy cscshoz, mint a kzpponthoz?

III.7.28. Gyakorlat: Egy mszerben egy bizonyos fegysg tlagos lettartama 2 v, a beptett ellenrz rendszer pedig 3 v. A hasznlat sorn egyik sem regszik s egyikk tnkremenetele sem fgg a msikt l. Mennyi a val sznsge, hogy ; elbb romlik el, mint a fegysg? ; az ellenrz rendszer (Segtsg: X 2 E 12 a fegysg, Y 2 E 13 az ellenrz egysg lettartama, fggetlenek. Mennyi P (Y < X )?)

Megolds: Kt pont kztt egyenl tvolsgra lv pontok mrtani helye a pontokat sszekt szakasz felez merlegese. $gy a keresett esemnynek megfelel tartomnyt az albbi brn bestttssel szemlltethetjk:

III.7.29. Gyakorlat: Legyenek X 2 Po (0 5) s Y 2 Po (0 1) fggetlenek! Mennyi P (X + Y = 2)? III.7.30. Gyakorlat: Legyenek X 2 G (0 5) s Y 2 G (1 5) fggetlenek! Mennyi P (X + Y = k) (k = 2 3 4 : : :)? III.7.31. Gyakorlat: Szmolja ki az fX (x) = 1 x 2 0 1] s az fY (y) =

2y y 5

2 2 3] srsgfggvnyek konvolci s srsgfggvnyt, fX +Y (t)-t!

III.7.32. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 U (0 1) fggetlenek, Z = 2X ; Y . Szmolja ki Z srsgfggvnyt! III.7.33. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 U (0 1) fggetlenek, Z = X ;Y .

Szmolja ki Z eloszlsfggvnyt!

III.7.34. Gyakorlat: Binris, 1 rtk egyformn val szn szimb lumot kldnk t zajos csatornn, ahol a szimb lumhoz tle fggetlen f (x) = 05 (1 ; 05 jxj) x 2 (;2 2) srsgfggvny zaj ad dik. Ha a csatorna kimenete pozitv, akkor 1 mellett, egybknt -1 mellett dntnk. Mennyi a hibs dnts val sznsge? III.7.35. Gyakorlat: Egy fogorvosi rendelbe rkezve, ketten vannak elttnk, az egyiknek ppen most kezdtk el a kezelst. A fogorvos egy pcienssel 0,5 paramter exponencilis id alatt vgez. Mennyi annak a val sznsge, hogy egysgnyi idn bell sorra kerlnk? Oldjuk meg a feladatot akkor is, ha prhuzamosan kt orvos fogad egyszerre!

A kzps (fehr) alakzat kt szimmetrikus trapzb l ll. Mivel a trapzok kzpvonalai az tl k meghatrozta hromszg kzpvonalval egyeznek meg, a hosszuk 1. A trapz magassg 0 5. $gy a fehr alakzat terlete ppen 1 lesz. Ezrt a bestttett alakzat terlete is 1, gy a keresett val sznsg 05.

I.5.37. Feladat: Ketten megbeszlik, hogy 10 s 11 ra kztt egy meghatrozott helyen tallkoznak. Megllapods szerint, aki korbban rkezik 20 percet vr a msikra, s csak azutn tvozik. Mennyi a tallkozs val sznsge, ha mindketten vletlenszeren rkeznek? Megolds: Jellje x az egyik, y a msik ember vletlen megrkezsnek idejt. Az (x y) pr egy vletlen pontot hatroz meg az egysgngyzetben. A tallkozshoz fenn kell llnia a jx ; yj < 13 relci nak, melyet kielgt pontok bestttve lthat k az albbi brn:

Az brr l kzvetlenl leolvashat , hogy a keresett val sznsg: 1 ; 94 = 59 :

38


III.7


131

I.5.38. Feladat: Egy egysgnyi hosszsg szakaszon tallomra vlasztunk kt pontot. Mennyi a val sznsge annak, hogy ezek kzelebb vannak egymshoz, mint brmelyik vgponthoz?

III.7.17. Gyakorlat: Az ;1 1] ;1 1] ngyzeten egyms utn sorsolunk ki vletlen pontokat. Akkor llunk meg, amikor a kisorsolt pont elszr esik bele az orig kzppont egysgkrbe. Mi a pontok szmnak eloszlsa?

Megolds: A vizsglt esemnyhez tartoz pontok (x y) koordintira fennll x < y esetben, hogy y ; x < 1 ; y s y ; x < x. (Az y < x esetben ezek a kritriumok x ; y < 1 ; x s x ; y < y lennnek.) Az egysgngyzeten bejellve a relci knak eleget tev pontok alkotta tartomnyt:

III.7.18. Gyakorlat: Ha a v = (X Y )T vektor egyenletes eloszls az orig kzppont, egysgnyi p sugar krlemezen, mi a srsgfggvnye a vektor hossznak, kvk = X 2 + Y 2;nek? III.7.19. Gyakorlat: Ha X Y 2 U (0 1), akkor mi az (X + Y X ; Y )T ktdimenzi s val sznsgi vltoz vrhat rtk-vektora s kovarianciamtrixa? III.7.20. Gyakorlat: Legyen az X s Y egyttes eloszlsfggvnye: FXY (x y) = x3y 0 x 1 0 y 1: Mennyi a P (025 X 075 025 Y 05) val sznsg? III.7.21. Gyakorlat: Hatrozza meg az orig kzppont 1 sugar krlapon vett egyenletes eloszls kovarianciamtrixt!

Ezek alapjn a keresett val sznsg: 31 :

I.5.39. Feladat: Egy temeletes hzban az emeletek kztt 6 m tvol-

sg van, a fldszint s az els emelet kztt 8 m. Ha a liftajt 2 m, mennyi a val sznsge annak, hogy a lift megakadsakor az ajt t teljes egszben fal takarja? Megolds: A lift teljesen a fal mgtti takarsban van a fldszinten 4 m-en keresztl, az 1: 2: 3. s 4. emeleten 2-2 m-en t. A lift ssztja 12 : 8 + 4 6 + 2 = 34 m. $gy a keresett val sznsg: p = 34

I.5.40. Feladat: Az ABCD egysgngyzeten vletlenszeren kivlasztva egy pontot, mennyi a val sznsge, hogy a pont kzelebb lesz a ngyzet kzppontjhoz, mint az AB oldalhoz? Megolds: Egy pontt l s egy egyenestl azonos tvolsgban fekv pontok mrtani helye a skban a parabola. $gy a ngyzet pontjai kzl azok lesznek a kzpponthoz kzelebb, mint az alapon fekv AB oldalhoz, amelyek felette vannak azon parabola vonalnak, melynek a kzppont a f kusza, s az AB vonala a direktrisze. Ha AB az x tengelyre esik, s az A pont ppen az

III.7.22. Gyakorlat: Legyen az (X Y )T val sznsgi vektorvltoz s-

rsgfggvnye f (x y) = 71 6x2y ; 12xy + 6y + 18x2 ; 36x + 18] x 2 0 1] y 2 0 1] : Fggetlenek a komponensek?

III.7.23. Gyakorlat: Kt ember mindegyike addig dob fel egy-egy szablyos pnzrmt, amg az els fej ki nem jn. Mennyi a val sznsge, hogy ehhez mindkettnek ugyanannyi dobsra van szksge? III.7.24. Gyakorlat: Egy j l megkevert csomag 32 lapos magyar krtyb l leosztunk 8-at. Legyen X = 1, ha a leosztott lapok kztt van piros, s X = 0, ha nincs. Legyen tovbb Y = 1, ha van a nyolc lap kztt sz, s Y = 0 klnben. Adja meg X s Y egyttes eloszlst! III.7.25. Gyakorlat: Kt busz egymst l fggetlenl X , illetve Y id alatt ri el a megll t, ahol n vrakozom. Brmelyik busszal tudom az utamat folytatni. Mennyi a val sznsge, hogy x > 0 idn bell befut valamelyik, ha X Y 2 E () fggetlenek? III.7.26. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 U (0 1) fggetlenek, Z = Szmolja ki Z srsgfggvnyt!

X X +Y .

130


III.7.8. Gyakorlat: Pincnkben 2 db prhuzamosan kapcsolt izz vilgt. Az izz k lettartamai egymst l fggetlen, kln-kln exponencilis eloszls val sznsgi vltoz k, melyek vrhat rtke 6 h nap. Csak akkor szoktam izz t cserlni, ha mr mindkett kigett. Vezesse le az izz cserk kzti idtartam eloszlsfggvnyt!

I.5


39

orig , akkor a parabola egyenlete: y = (x ; 05)2 + 025: A keresett terlet: R1 ; 1 ; (x ; 05)2 + 025 dx = 32 : 0

III.7.9. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 N (0 1) fggetlenek, s Z = jX + Y j : Hatrozza meg Z srsgfggvnyt! III.7.10. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 E () fggetlenek, s Z = jX ; Y j : Hatrozza meg Z srsgfggvnyt! III.7.11. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 E () fggetlenek, s Z = X + 12 Y: Hatrozza meg Z srsgfggvnyt! Mennyi a Z vrhat rtke s sz rsa? III.7.12. Gyakorlat: Egy csomag 32 lapos magyar krtyb l kihzunk visszatevs nlkl 10 lapot. Legyen Xp Xz Xt Xm rendre a kihzott piros, zld, tk s makk szn lapok szma! Adja meg (Xp Xz Xt Xm )T eloszlst! Mennyi a P (Xp < Xz ) val sznsg? III.7.13. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn 2 E () teljesen fggetlenek. Hatrozza meg a pk = P (X1 + X2 + : : : + Xk 1 < X1 + X2 + : : : + Xk + Xk+1 ) val sznsget! (1 k n ; 1) : III.7.14. Gyakorlat: Az X s Y egyttes srsgfggvnye 2 2

0 < x y < 1 : fXY (x y) = a (x + xy + y )0 ha egybknt Mennyi az a rtke? Fggetlen-e X s Y ?

III.7.15. Gyakorlat: Hromszor dobunk egy szablyos dob kockval. X a kapott hatosok szma, Y a kapott pros rtkek szma. Adja meg X s Y egyttes eloszlst, kovariancia mtrixukat. Fggetlen-e X s Y ? III.7.16. Gyakorlat: $rja fel kt fggetlen val sznsgi vltoz egyttes srsgfggvnyt, ha az els standard normlis, a msodik pedig 02 paramter exponencilis eloszls!

I.5.41. Feladat: Egy egysgnyi hossz szakaszt eltrnk, majd a hosszabbik rszt jb l eltrjk. Mennyi a val sznsge, hogy a keletkez hrom szakaszb l lehet hromszget szerkeszteni? Megolds: Jellje az els trs utn keletkezett hosszabbik szakasz hosszt x (0 5 x 1) : A msodik trsnl ezt az x hosszsg szakaszt trjk kett: xy s (1 ; y) x hossz szakaszok keletkeznek, ahol 0 y 1: A hrom szakaszhossz most a = xy b = (1 ; y) x s 1 ; x: Hromszg akkor szerkeszthet, ha xy +(1 ; y) x 1 ; x () x 05 xy +1 ; x (1 ; y) x () 1 ; 1 1 2x y (1 ; y ) x +1 ; x xy () 2x y: Miutn az els felttel ; trivilisan teljesl, a szerkeszthetsg felttele: 1 ; 21x y 21x x 2 12 1 y 2 (0 1) : A feltteleknek megfelel tartomny stttett az albbi brn:

40


R1 ;

;

R1 ;

A besatrozott terlet nagysga: T = 21x ; 1 ; 21x dx = x1 ; 1 dx = 05 05 ln 2 ; 21 a biztos esemnynek megfelel tglalap terlete: 05 gy a keresett val sznsg: p = 2 (ln 2 ; 05) = ln 4e :

III.7

129


;

;

;

Y = ; 12 X ; 2 N2 0 E :Mivel Y T Y 2 E 12 ezrt ; ; ; ; P X ; T ;1 X ; < " = P E 21 < " = 1 ; e; 12 " :

III.7.1. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 G (p) fggetlenek. Adja meg a

I.5.42. Feladat: Szmoljuk ki annak feltteles val sznsgt, hogy kt

P (X = Y ) val sznsget!

Megolds: Legyen A: Kt szablyos kockval dobva mindkt rtk pros

III.7.2. Gyakorlat: Egy aut szerel mhelybe rkezve kt aut van elttnk, az egyiket ppen szerelik. Felttelezve, hogy a szerelsi idk egymst l fggetlen E (2) eloszls val sznsgi vltoz k, mennyi a val sznsge, hogy aut nkat 1 ( rn) bell megjavtjk?

kockval dobva mindkt rtk pros feltve, hogy sszegk legalbb tz!

lesz s B : A dobott rtkek sszege nem kisebb mint 10 . P(B ) = P(Az sszeg 10 vagy 11 vagy 12 )= P(A dobsok eredmnye (6 4),(4 6),(5 5) vagy (5 6) (6 5) vagy (6 6) )= 16 . P(A) = 3363 = 14 : P(AB ) = P(A dobsok eredmnye (6 4) (4 6) vagy (6 6) )= 363 = 121 . A denci t hasznlva P(A j ) 1 B ) = PP((AB B ) = 2 . Lthatjuk, hogy a feltteles val sznsg most nagyobb, mint a felttel nlkli.

I.5.43. Feladat: A 32 lapos magyar krtyb l hrom lapot hzunk egyms utn visszatevs nlkl. Mennyi a val sznsge annak, hogy az els kihzott lap hetes, a msodik kilences, a harmadik ismt hetes? (2) Megolds: Legyenek A(1) 7 : Az elsnek hzott lap hetes , A9 : A m-

sodiknak kihzott lap 9-es , A(3) 7 : A harmadiknak hzott lap hetes . A kere(2) (3) sett val sznsget a a szorzsi szablyb l szmolhatjuk: P(A(1) 7 A9 A7 ) = (1) (2) (1) (3) (1) (2) P(A7 ) P(A9 jA7 ) P(A7 jA7 A9 ). Az egyes tnyezket egyszeren (2) (1) 4 1 4 meghatrozhatjuk: P(A(1) 7 ) = 32 = 8 P(A9 jA7 ) = 31 (3) (1) (2) 3 1 1 P(A7 jA7 A9 ) = 30 = 10 . $gy a keresett val sznsg 8 314 101 = 6101 .

I.5.44. Feladat: Egy rekeszben 15 teniszlabda van, melyek kzl 9 mg hasznlatlan. Az els jtkhoz kivesznk tallomra hrom labdt, majd a jtk utn visszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nyilvn, ha volt kzttk hasznlatlan, az a jtk sorn elveszti ezt a tulajdonsgt.) A msodik jtkhoz ismt tallomra vesznk ki hrom labdt. Mennyi a val sznsge annak, hogy az ut bb kivett labdk mind mg hasznlatlanok lesznek? Megolds: Vezessk be az albbi esemnyeket: Ai : Az els jtkhoz ppen i db hasznlatlan labdt vettnk ki , i = 0 1 2 3. B : A msodik jtszmhoz hrom hasznlatlant vettnk ki .

III.7.3. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 E (1) fggetlenek. Bizonytsa be, hogy minfX Y g 2 E (2) s, hogy maxfX Y g eloszlsa megegyezik X + 21 Y eloszlsval! III.7.4. Gyakorlat: A karcsonyfnkon 15 db egymssal sorosan szszekapcsolt sznes g vilgt. Az izz k lettartamai egymst l fggetlen, kln-kln exponencilis eloszls val sznsgi vltoz k, melyek vrhat rtke 30 ra. Amikor elalszik a fny, azonnal kicserlem a kigett izz t. Adja meg az izz cserk kztti idtartam eloszlst! III.7.5. Gyakorlat: A karcsonyfnkon 15 db egymssal sorosan szszekapcsolt sznes g vilgt. Az izz k lettartamai egymst l fggetlen, kln-kln exponencilis eloszls val sznsgi vltoz k. Milyen kellene, hogy legyen az izz k lettartamnak vrhat rtke ahhoz, hogy 100 rs zemels alatt 95%-os val sznsggel ne kelljen izz t cserlnem? III.7.6. Gyakorlat: Kt kivl Forma 1-es versenyz krideje az idmr edzsen egyarnt egyenletes eloszls az 1:21 1:22 idintervallumban. (Az ra ezredmsodperc pontossggal tud mrni.) Mennyi a val sznsge, hogy azonos idt fognak menni egy adott krben? Kisebb vagy nagyobb annak a val sznsge, hogy ha mindegyikknek kt ksrlete van, akkor a kt-kt eredmny minimuma azonos? 0

0

III.7.7. Gyakorlat: Tegyk fel, hogy minden hten tzmilli szelvnnyel fogadnak. Mennyi annak a val sznsge, hogy tz hten keresztl nem lesz ts tallat?

128


;

Megolds: Elszr felhasznljuk, hogy U = ;2 ln V 2 E; 21 s 1 u 1 Z = 2W 2 U (0 2) fggetlenek: Ezrt p fUZ (u z ) = 2 exp ; 2 2 u > 0 z 2 (0 2) : Vgrehajtvaa T = U Z = Z transzformci t: fTZ (t z) = fUZ (t2 z) = t exp ; t22 21 : Most az X = T cos Z Y = T sin Z p ) T = X 2 + Y 2 Z = arctg XY J (X Y ) = pX 21+Y 2 transzformci t (x2+vgre 2 p y 1 1 2 2 hajtva fXY (x y) = fTZ ( x + y arctg x ) p 2 2 = 2 exp ; 2 y ) x +y

ami mr igazolja az lltst.

III.7.35. Mutassuk meg, ha X Y 2N (0 1) fggetlenek, Feladat: hogy m +d X m d2 %d d

akkor

1

p1

m2 + %d2X + 1 ; %2d2Y

2 N2

1 1 m2 %d1d2

1 2

d22

!

(Megjegyzs : Ezen az eredmnyen alapulva lehet elrt vrhat rtk-vektor, s kovarianciamtrix skbeli normlis vletlen vektorokat generlni.)

p mMegolds: Legyenek d V =0 m1 + d1X ,W = m2V+ %d 2X + 1 ; %2dX2Y m = 1 p 1 m2 A = %d2 1 ; %2d2 : Ekkor W = m + A Y : A ; V

normlis eloszls transzformci s trvnybl: ami mr igazolja az eljrst.

W

2 N2 m A AT ,

; III.7.36. Feladat: Ha X = XX12 2 N2 akkor szmoljuk ki a

;

;

P X ; T ;1 X ; < " val sznsget, ahol " > 0 tetszleges!

(Megjegyzs : A keresett mennyisg azt adja meg, hogy mekkora a val sznsge hogy az X ktdimenzi s normlis vektor rtkei az ;x ; T annak, ;1 ;x ; = " egyenlet ellipszis belsejbe essenek. Az .n. szrsellipszis centrumpontja a vrhat rtk-vektor, tengelyei pedig a kovarianciamtrix sajtvektorainak irnyba mutatnak. A szimmetriatengelyek hosszainak arnya a sajtrtkeinek arnyt adja, mg a tengelyek hosszai fggnek "-t l.)

Legyen " > 0 tetszleges! Ekkor ;X Megolds: ; ; T ;1 X ; < " () Y T Y < " ahol

I.5


41

Lthat , hogy az Ai esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak. A B esemnynek az Ai esemnyekre vonatkoz feltteles val sznsgei: 9 i ( 3 ) P(B j Ai) = (15) (i = 0 1 2 3): 3 mg az Ai 9esemnyek val sznsgei: 6 P(Ai) = (i)((153) i) (i = 0 1 2 3): 3 A teljes val sznsg ttelt alkalmazva: 3 P P (B ) = P (B j Ai) P (Ai) 0045: ;

;

i=0

I.5.45. Feladat: Hat doboz mindegyikben hat-hat darab goly van,

melyek kztt rendre 1 2 3 4 5 6 darab fehr szn tallhat (a tbbi fekete). Egy dobozt vletlenszeren kivlasztunk, majd abb l visszatevssel hrom goly t kihzunk. Ha azt tapasztaljuk, hogy mindhrom goly fehr szn, mennyi annak a val sznsge, hogy a csupa fehr goly t tartalmaz dobozt vlasztottuk ki? Megolds: Legyenek Ai -k a kvetkez esemnyek: Azt a dobozt vlasztottuk, amelyikben i db fehr goly van , i = 1 2 3 4 5 6. Nyilvnval , hogy ezek az esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, s mindegyikk bekvetkezse egyformn 61 val sznsg. Legyen tovbb B az az esemny, ; hogy Visszatevssel hzva mindegyik goly szne fehr . P(B jAi) = 6i 3 i = 1 2 3 4 5 6. A Bayes-ttelt alkalmazva: P(A6 j B ) = P6P(BjA6)P(A6 ) = 216 441 049: i=1

P(B jAi)P(Ai )

I.5.46. Feladat: Bizonytsuk be, hogy ha P(A) 08 P(b) 08, akkor

P(AB ) 06!

Megolds: 08+08 ; P(AB ) P(A + B ) = P(A)+ P(B ) ; P(AB ) 1 ).

P(AB ) 06

I.5.47. Feladat: Dobjunk kt kockval! Mondjunk olyan esemnyeket ezzel a ksrlettel kapcsolatban, amelyek fggetlenek, s olyanokat, amelyek nem fggetlenek egymst l! Megolds: Pl. A: Az egyik kockn kettest dobunk , B : A msik kockn hrmast dobunk , C : Van hatos a kt dobott rtk kztt , D: A dobott rtkek nem egyenlek . Az A s B fggetlenek, C s D nem, hiszen 55 . P(CD) = 3610 6= P(C )P(D) = 216

42


I.5.48. Feladat: Ha P(AjB ) = 07, P(B jA) = 06 P(A j B ) = 03,

akkor mennyi P(A)?

Megolds: P(AB ) = 07P(B ) = 06P(A) ) P(B ) = 6=7P(A): Msrszt P(A) = P(AB )+ P(AB ) = 06P(A)+03P(B ) = 06P(A)+03 ; 03P(B ) = 24=70P(A) + 03, ahonnan P(A) = 21=46:

I.5.49. Feladat: Hrom szablyos kockval dobunk. Mennyi a val sz-

III.7

III.7.32. Feladat: Dobjunk n-szer egy szablyos dob kockval. Jellje X a hatosok szmt, Y pedig a pros dobsok szmt! Szmoljuk ki az E (X j Y ) regresszi t! =l ) Megolds: Ha k l akkor P (X = k j Y = l) = P(XP(=YkY =l) = 1 k 1 l k 1 n l n! ( 2 ) = ; l ; 1 k ; 2 l;k : 6) (3) = k!(l k)!(n l)!((n)( 1 n 3 k 3 ) ;

;

;

;

l

Pl k; l ; 1 k ; 2 l;k = l azaz E (X j Y ) = Y : k 3 3 3 3 k=0 ; ;; ; III.7.33. Feladat: Legyen X 2 N 0 1 r : Hatrozzuk meg a 2

nsge annak, hogy van hatos rtknk, ha tudjuk, hogy mindegyik dobs pros lett?

$gy E (X j Y = l) =

Megolds: Ha B : Mindegyik dobs pros , A: Van hatos dobs . 19 : $gy P (A j B ) = ) = 81 ; 2633 = 216 P(B ) = 6333 = 18 , P(AB ) = P(B ) ; P(AB

P (X 0 Y 0) val sznsget!

P(AB ) P(B )

= 19 27 :

I.5.50. Feladat: Egy urnban b darab fekete s r darab fehr goly van.

vletlenszeren kihznak egy goly t. A kihzott goly t s mg ugyanolyan sznbl c darabot visszatesznek az urnba. A ksrlet eredmnyt nem ismerve, msodszorra mi hzunk az urnb l. Feltve, hogy a msodik hzskor fekete goly t hzunk, mennyi a val sznsge annak, hogy az els hzskor is fekete volt az eredmny?

127


2

Y

2 1 x;ry

Megolds:

0

r 1

fXY (x y) = 2p11;r2 exp ; 2(1;1 r2) (x2 ; 2rxy + y2) = = 2p11;r2 exp

y 2

2

exp ; 2

p

1;r2

az egyttes srsgfggvny.

R1 R1 P (X 0 Y 0) = fXY (x y) dxdy = y0 0 1 x;ry 2 R1 R1 1

Megolds: A : Az els hzs fekete volt , B : A msodik goly fekete . A Bayes ttelt alkalmazva: P(AjB ) = P(BjA)PP((BAj)+A)PP((BAj)A)P(A) , ahol P(B jA) = b b r b+c b+c b+r+c , P( B jA) = b+r+c , P(A) = b+r s P(A) = b+r . $gy P(AjB ) = b+r+c .

dxdy =

p 2

p vgrehajtva az px1;;ryr2 = u y = v ) J (u v) =

1 0; r 1r

= 1 ; r2 R1 R1 exp ; u2+v2 dudv = vltoz csert: = 21 2

nsge annak, hogy a dobsok kztt van hatos, ha mindegyik kockn klnbz rtk van?

polrkoordintkra ttrve:

;R sin

u = R cos v = R sin J (R ) =

cos sin R cos = R


Megolds: Ha B : Mindhrom kockn ms-ms eredmny van , A: Az

egyik kockn hatos van , akkor P(AB ) = P(AjB ) = 0 5.

354 63

=

10 36 ,

P(B ) =

654 63

=

20 36 ,

gy

I.5.52. Feladat: Egy ldban 100 darab dob kocka van, melyek kzl 99 teljesen szablyos, egy pedig hamis olyan rtelemben, hogy vele mindig hatos dobhat csak. Ha vletlenszeren kivesznk egy kockt a ldb l s azzal tzszer dobva mindig hatost kapunk, mennyi a val sznsge, hogy ppen a hamis kockt vettk ki elzleg?

=

p

2 0 0 2 1;r

exp

2

2

exp ; 2

p

1;r2

0 p rv 2 ;

1;r

kapjuk, hogy = 21

R1 =R 2 R exp ; R ddR = 1 + 1 arcsin r: 2 4 2 2

0 ; arcsin r

III.7.34. Feladat: Legyenek VpW 2 U (0 1) fggetlenek. Ha p X = ;2 ln V cos 2W s Y = ;2 ln V sin 2W akkor bizonytsuk be, hogy X Y 2 N (0 1) fggetlenek! (Megjegyzs : Ezen az eredmnyen alapszik a standard normlis eloszls vletlen szmok generlsnak Box-Mller m dszere.)

126


III.7.28. Feladat: Legyenek X Y 2 G (p) fggetlenek. Bizonytsa be, hogy P (X = k j X + Y = n) = n;1 1 (k = 1 2 : : : n ; 1) : +Y =n) P(X =k)P(Y =n;k) = Megolds: P (X = k j X + Y = n) = P(XP(=XkX +Y =n) = P(X +Y =n) n 2 p2 k 1 pqn k 1 p q q 1 = nP1 i 1 n i 1 = n 2 2 nP1 = n;1 : ;

;

i=1

q

;

; ;

;

pq

; ;

p

q

;

p

;

i=1

1

III.7.29. Feladat: Legyenek X 2 Po () s Y 2 Po () fggetlenek.

Mutassuk meg, hogy X -nek az X + Y = n felttelre vonatkoz feltteles eloszlsa binomilis! Megolds: P (X + Y = l) =

Pl P (X = j ) P (Y = l ; j ) =

j =0

Pl Pl = l e; l j e; = 1 e;(+) ;

(l;j )!

j =0 l!

l! j l;j j =0 j !(l;j )!

l!

l

= (+l!) e;(+):

+Y =n;k) = Azaz X + Y 2 Po ( + ) : P (X = k j X + Y = n) = P(XP=(kX X +Y =n) k e n k e P(X =kY =n;k) = k! n(n k)! k n;k = n! P(X +Y =n) (+n! ) e (+) k!(n;k)! + + ez pedig a B n + eloszls! III.7.30. Feladat: Egy tyk X 2 Po () tojst tojik. Minden tojsb l egymst l fggetlenl p val sznsggel kel ki kiscsirke. Mennyi a kiscsirkk szmnak vrhat rtke? Megolds: Jellje Y; a kikelt kiscsirkk szmt! P (Y = k j X = n) = nk pk (1 ; p)n;k ) E (Y j X = n) = 1 P = np () E (Y j X ) = Xp) : $gy EY = (np) nn! e; = p EX = p : ;

;

;

;

;

n=0

III.7.31. Feladat: Az elz feladat jellseivel adjuk meg E (X j Y = k)

regresszi s sorozatot, illetve az E (X j Y ) regresszi t! Megolds: Legyen n k . n k n k n P (X = n j Y = k) = P(Y =kPjX(Y==n)kP) (X =n) = P(k )mp (1k;p) m nk! em = p (1 ; ( ) p) m! e m=k k n k ;(1;p) P ((1 ; p ) ) = (n;k)! e : $gy E (X j Y = k) = nP (X = n j Y = k) = ;

1

;

;

;

;

P

n k

Pnk

n k

= n ((1;(np;)k))! e;(1;p) = (1 ; p) + k ((1;(np;)k))! e;(1;p) = nk nk = (1 ; p) + k: Ebbl mr lthat , hogy E (X j Y ) = Y + (1 ; p) : ;

;

I.5


43

Megolds: Legyen A: A hamis kockt vlasztottuk ki , B : Tzszer dobva mindig hatost kapunk . A Bayes ttelt alkalmazva: P(AjB ) = P(BjA)PP((BAj)+A)PP((BAj)A)P(A) , ahol P(A) = 001, P(A) = 099 P(B jA) = 1 P(B jA) = 6110 : Behelyettestve: P(AjB ) 099999983:

I.5.53. Feladat: Kt bnz, x s y egymst l fggetlenl hazudnak, illetve mondanak igazat 2=3 illetve 1=3 val sznsggel. Feltve, hogy x azt lltja, hogy y hazudik , mennyi a val sznsge, hogy y igazat mond? Megolds: A: x azt lltja, hogy y hazudik , B : y igazat mond . P(AjB ) = P(;x hazudik ) = 2=3 P(B ) = 1=3 P(AjB ) = P( x igazat mond )= 13 P B = 32 : A Bayes-ttelt alkalmazva: B )P(B ) 1 P(B jA) = P(AjB)PP((ABj)+ P(AjB )P(B ) = 2 :

I.5.54. Feladat: Kt urna kzl az egyikben n fekete s m fehr, a msikban N fekete s M fehr goly van. Az elsbl tallomra trakunk egyet a msodikba, majd onnan tallomra visszavesznk egyet. Megint az elsbl hzva, mennyi a val sznsge a fehrnek? Megolds:

A1 : Az els urnb l fehret rakunk a msodikba, a msodikb l fehret rakunk vissza , A2 : Az els urnb l fehret rakunk a msodikba, a msodikb l fekett rakunk vissza , A3 : Az els urnb l fekett rakunk a msodikba, a msodikb l fehret rakunk vissza , A4 : Az els urnb l fekett rakunk a msodikba, a msodikb l fekett rakunk vissza , B : Harmadszorra az els rnb l fehret hzunk . A1 A2 A3 A4 teljes esemnyrendszer. A teljes val sznsg ttelbl: 4 P(B ) = P P(B jAi)P(Ai) = : : :. i=1

I.5.55. Feladat: Kt jtkos felvltva hz egy-egy goly t visszatevs nlkl egy urnb l, amiben egy fehr s hrom fekete goly van. Az a jtkos nyer, amelyik elszr hz fehret. Mennyi a val sznsge, hogy az elsnek hz jtkos fog nyerni?

44


Megolds: A: Az els hzs utn nyer a kezd jtkos , B : A harmadik hzs utn nyer a kezd jtkos , C : Nyer a kezd jtkos . Nyilvn: P(C ) = P(A) + P(B ) = 14 + 34 32 12 = 12 : I.5.56. Feladat: Egy kalapban tz cdula van, melyekre a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 szmjegyek vannak felrva. Visszatevssel kivesznk kt cdult. Jellje Y a szmjegyek sszegt, X pedig a szmjegyek szorzatt. Adjuk meg a P(Y = i j X = 0) val sznsgeket! (i = 0 1 : : : 18). 19 , P(Y = ijX = 0) = 0, hai > 9. Megolds : P(X = 0) = 100 + i-t s 0-t hztunk) = 2 , ha i = 1 2 : : : 9. P(Y = ijX = 0) = P( 0-t s i-t hztunk P(X =0) 19

I.5.57. Feladat: Egy perzsa sah egyszer egy eltltnek azt mondta, hogy tetszs szerint elhelyezhet 50 fehr s 50 fekete goly t kt egyforma vzba. Az egyikbl majd a sah kihz egy goly t, s ha az fehr, megkegyelmez. Ha viszont a kihzott goly fekete, vagy kiderl, hogy nem mindegyik goly volt a vzkba berakva, esetleg a kivlasztott vzban nem volt semmilyen goly , az tlet hall. Hogyan kell sztosztania az eltltnek a goly kat, hogy a megkegyelmezs val sznsge maximlis legyen? Megolds: Az optimlis stratgia az, ha az egyik vzba egy fehr goly t tesznk, a msikba az sszes tbbit. Ekkor ; a teljes val sznsg ttelt alkalmazva: P(A sah fehret hz ) = 21 1 + 49 99 0747: Minden ms sztosztsnl cskken ez a val sznsg. I.5.58. Feladat: A binris szimmetrikus csatorna egy olyan binris bemenet s binris kimenet csatorna, melynek minden bemenete p = 001 val sznsggel az ellenkezjre vlt a kimenetkor (q = 1 ; p). A 0 forrsbitet 000-val, az 1 forrsbitet 111-gyel kldjk t. A dek dol tbbsgi dntst hoz. Ha a 0 s 1 forrsbitek elfordulsnak egyarnt 05 a val sznsge, akkor adja meg a dek dols hibaval sznsgt! Megolds: P (1-est vesznk j 0-st adnak) = 3p2 q + p3 P (0-st vesznk j 1-est adnak) = 3p2q + p3. P (Hibzunk) = 12 (3p2q + p3 + 3p2q + p3) = 2 98 10;4 : I.5.1. Gyakorlat: Legyen A B 2 =. Adja meg az sszes olyan X 2 = esemnyt, melyre A X A B teljesl!

III.7


125

Megolds : X1 X2 az els illetve msodik defektig megtett t, Y a defektek szma. P (Y = 0) = P (X1 12000) = e;12 P (Y = 1) = P (X1 < 12000 X1 + X2 12000) = = P (X1 < 12000) ; P (X1 + X2 < 12000) = 1 2e;12 mert a X1 + X2 konRx volci srsgfggvnye: e;te;(x;t)dt = 2xe;x )

Rx

0

P (X1 + X2 < x) = 2te;tdt = 1 ; e;x 1 + x] : A keresett val sznsg: 0 P (Y = 0) + P (Y = 1) = 2 2e;12:

III.7.26. Feladat: Az (X Y )T val sznsgi vltoz pr egyttes srsgfggvnye f (x y) = 21 e;4y ha 1 < x < 9 s y > 0 (egybknt f (x y) = 0). a.) Fggetlen-e X s Y ? b.) E (X + Y ) = ? 2 (X + Y ) = ? c.) P (0 X < 7 Y 1) = ? Megolds : fX (x) = 18 x 2 1 9] fY (y) = 4e;4y y > 0:

a.) Fggetlenek! 1 b.) EX + EY = 5 + 41 2X + 2Y = 64 12 + 4 c.) P (0 X < 7 Y 1) =

R7 R1 1 e;4y dydx = e : 2 56 ;

4

1 1

III.7.27. Feladat: Kt biatlon versenyz X , illetve Y ra alatt futja a 10 km-es tvot, ahol X s Y fggetlen exponencilis eloszls val sznsgi vltoz k = 2, illetve = 2 1 paramterekkel. Ha a kt versenyzbl csapatot szerveznk akik 5 km-nl vltjk egymst, mennyi a val sznsge, hogy 20 perc alatt teljestik a 10 km-es tvot? Megolds : A 10 km-t X +2 Y id alatt teljestik. A konvolci s srsgfggRx vny: fX +Y (x) = e;te;(x;t)dt = 4 2 (e;2x ; e;21x) )

; X +Y < 1 = 0R4f (t) dt = 4 2 h 1 (1 ; e;08) + 1 (e;084 ; 1)i : X +Y 2 5 2 21 0

P

0

124


R1

R1

Megolds: fZ (x) = jyj ' (xy ) ' (y) dy = j2yj exp ; y (x2 +1) dy: ;1 p 2 ;1 2

2

Vgrehajtva az y x + 1 = z vltoz csert: 1 jzj 2 2 R R1 fZ (x) = 2px2+1 e; z2 px12 +1 dz = pxz2+1 e; z2 px12+1 dz =

h

;1

= 2(x12+1) ;e; z2

2

i1 0

= (x21+1) :

0

Megjegyzs: Z eloszlst Cauchy- vagy t1 (1 szabadsgfok Student) eloszlsnak nevezzk. III.7.23. Feladat: Tekintsk a T = ;2 2] ;1 1] tglalapon vletlenszeren kivlasztott P pontot! Igaz-e, hogy P polrkoordinti fggetlenek lesznek? Megolds: Jellje R s a polr, X Y pedig a descartes-i koordintkat. Ekkor R2 = X 2 + Y 2 s = arctg XY : R s egyttes eloszlsfggvnye: P (R2 < t2 < u) = P (X 2 + Y 2 < t2 Y < X tg u) : Az orig n tmen tg u meredeksg egyenes mindig felezi az orig kzppont, t sugar kr terlett, gy P (R2 < t2 < u) = 21 P (R2 < t2) = P ( < u) P (R2 < t2) ) fggetlenek.

III.7.24. Feladat: A frak testmagassgt X 2 N (175 10) a nkt

Y 2 N (165 8) val sznsgi vltoz kkal modellezve, mekkora annak a val sznsge, hogy egy tetszlegesen kivlasztott fr 10 (cm)-rel alacsonyabb, mint egy tetszlegesen kivlasztott n? III.7.25. Feladat: Egy aut X (km)-t tud defekt nlkl megtenni, ahol X 2 E (), azaz P (X < x) = 1 ; e;x x > 0: Egy 12000 (km) hosszsg ton mennyi annak a val sznsge, hogy az aut legfeljebb egy defektet kap? ( = 10;4 ).

I.5

45


I.5.2. Gyakorlat: Legyen A B 2 =. Adja meg az A B -t tartalmaz legszkebb ;algebrt! I.5.3. Gyakorlat: Legyen A1 A2 : : : An 2 =. Bizonytsa be, hogy P (A1 A2 An) P (A1) + P (A2) + + P (An) ; (n ; 1). I.5.4. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B 2 = esetn jP (AB ) ; P (AC )j P (B M C ) B M C $ B C + C B ! I.5.5. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B 2 = esetn ; 41 P (AB ) ; P (A) P (B ) 14 ! I.5.6. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B 2 = esetn ; P (AB ) P AB 41 ! I.5.7. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B 2 = esetn P (A M B ) = P (A) + P (B ) ; 2P (AB )! I.5.8. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B C 2 = esetn P (AB ) + P (AC ) ; P (BC ) P (A)! I.5.9. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B C 2 = esetn P (A + B + C ) ; P (ABC ) P (B M C )! I.5.10. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B C 2 = esetn P (A M B ) P (A M C ) + P (B M C )! I.5.11. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogyha P (A) = 0 9 s P (B ) = 0 8, akkor P (AB ) 0 7!

I.5.12. Gyakorlat: A K ksrlet abban ll, hogy vletlenszeren kivlasztunk egy n elem permutci t. Jelentse Aij azt az esemnyt, amikor a kivlasztott permutci ban az i-edik elem a j -edik helyen ll. Fejezze ki Aij k segtsgvel az albbi esemnyeket: A: az els elem a msodikt l balra ll , B : az els elem sorszma legfeljebb j .

I.5.13. Gyakorlat: Legyen A1 A2 : : : An 2 = s A = P Ai. +lltsuk n

el A-t egymst kizr esemnyek sszegeknt!

i=1

46


I.5.14. Gyakorlat: Egy egyetemi vfolyamon a lnyok kzl 60-nak a haja barna, 40-nek a haja s a szeme is barna, 110 lnynak a haja s a szeme kzl legalbb az egyik barna. Hny barnaszem lny van az vfolyamon? I.5.15. Gyakorlat: Egy kvautomata 20 Ft-os rmkkel mkdik. Egy tetszleges 20 Ft-os rmt 0.98 val sznsggel fogad el. Az automata kijelzje mutatja, hogy mg 4 adag kv van benne. Ngyen llnak az automata eltt 1-1 20 Ft-os rmvel a kezkben, amikor odarkezem. Mekkora a val sznsge, hogy jut nekem a kvb l? Mekkora annak a val sznsge, hogy n iszom a 4 adag kzl az elst? I.5.16. Gyakorlat: Melyik lott szm lesz a legnagyobb val sznsggel a msodik legnagyobb kihzott szm? I.5.17. Gyakorlat: Mennyi a val sznsge annak, hogy a kvetkez heti lott szmok legnagyobbika kisebb lesz, mint a rkvetkez ht kihzott szmainak legkisebbike? I.5.18. Gyakorlat: Mennyi a val sznsge annak, hogy a lott n a ki-

hzott t szm kzl nagysg szerint a kzps 50-nl kisebb?

I.5.19. Gyakorlat: Egy sakktbln tallomra elhelyeznk 8 bstyt. Menynyi a val sznsge annak, hogy a bstyk nem tik egymst? I.5.20. Gyakorlat: Egy kalapban az angol ABC 26 betje van. Visszatevssel 8-szor kihzunk egy bett s lerjuk azt. Mennyi a val sznsge annak, hogy legfeljebb kt betcsere utn a lert sz b l megkapjuk a DEBRECEN sz t? I.5.21. Gyakorlat: Egyszerre n szablyos dob kockval dobunk. Menynyi a val sznsge annak, hogy a. az sszes kockval ugyanazt az rtket kapjuk? b. legalbb egy hatost dobunk? c. pontosan egy hatost dobunk? I.5.22. Gyakorlat: Egy urnban a darab fehr s b darab fekete goly

van. (a b 2). Visszatevs nlkl kivesznk kt goly t az urnb l. Mennyi a val sznsge annak, hogy

III.7


123

Az ut bbi integrlban az yy12 = t ddyt2 = ; yt21 vltoz transzformci val kapjuk

+R1 az fZ (y1) = fXY (y2 yy12 )

y12

dy2 kpletet. Ha X s Y fggetlenek, akkor ;1 fXY (x y) = fX (x) fY (y) gy +R1 +R1

fZ (x) = fX (t) fY ( xt ) 1t dt = fX ( xt ) fY (t) 1t dt: ;1

;1

III.7.21. Feladat: (Kt valszn sgi vltoz hnyadosnak eloszlsa) Legyen X s Y val sznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Jellje fXY (x y) az egyttes srsgfggvnyket. Bizonytsuk be, hogy a Z = XY val sznsgi vltoz srsgfggvnye: +R1 +R1 fZ (x) = fXY (x t t) jtj dt = fXY (t xt ) xjt2j dt. ;1 ;1 Ha X s Y fggetlenek is, akkor +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY ( xt ) xjt2j dt = fX (x t) fY (t) jtj dt: ;1

;1

Megolds : Legyen most

y1 = u1(x1 x2) = xx12 ) y1 y2 = u;1 1(y1 y2) = x1 y2 = u;2 1(y1 y2) = x2 y2 = u2(x1 x2) = x2 D = f(x1 x2) j x2 6= 0 g H = R2

J (y1 y2) = y01 y12 ) det(J (y1 y2 )) = jy1j : A transzformci s ttelt alkalmazva, a Z = XY s Y egyttes srsgfggvnye: fZY (y1 y2) = fXY (y1 y2 y2) jy2j : Innen Z srsgfggvnyt kiintegrlssal szmolhatjuk: +R1 +R1 fZ (y1) = fZY (y1 y2) dy2 = fXY (y1 y2 y2) jy2j dy2. ;1 ;1 Az ut bbi integrlban az y1 y2 = t ddyt2 = y11 vltoz transzformci val +R1 kapjuk az fZ (y1) = fXY (y2 yy12 ) jyy122j dy2 kpletet. Ha X s Y fggetle;1 nek, akkor fXY (x y) = fX (x) fY (y) gy +R1 +R1

fZ (x) = fX (t) fY ( xt ) xt2 dt = fX (x t) fY (t) jtj dt: ;1

;1

III.7.22. Feladat: Legyenek X Y 2 N (0 1) fggetlenek. Hatrozzuk meg a Z = XY srsgfggvnyt!

122


Megolds: Jellje f (x) F (x) a kzs srsgfggvnyt, illetve eloszlsfggvnyt, s legyen Y = max fX2 : : : Xn g! Ekkor fY (x) = (n ; 1) (F (x))n;2 f (x): (a III.7.6. feladat megoldst n-re ltalnostva s derivlva) R0 P (Y < X1) = P (Y ; X1 < 0) = FY ;X1 (0) = fY ;X1 (t)dt ahol ;1 fY ;X1 (t) a konvolci s kpletbl szmolhat : R1 R1 fY ;X1 (t) = fY (t + z)f (z)dz = (n ; 1) (F (t + z))n;2 f (t + z)f (z)dz: ;1

;1

R0 R1 (n ; 1) (F (t + z))n;2 f (t + z)f (z)dzdt = ;1 ;1 1 0 R R R1 = f (z) (n ; 1) (F (t + z))n;2 f (t + z)dtdz = f (z) (F (z))n;1 dz ;1 i ;1 1 h (F;1 (z))n 1 $gy FY ;X1 (0) =

n

;1

=

= n:

III.7.20. Feladat: (Kt valszn sgi vltoz szorzatnak eloszlsa) Legyen X s Y val sznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Jellje fXY (x y) az egyttes srsgfggvnyket. Bizonytsuk be, hogy a Z = X Y val sznsgi vltoz srsgfggvnye: +R1 +R1

fZ (x) = fXY (t xt ) 1t dt = fXY ( xt t) 1t dt: ;1 ;1 Ha X s Y fggetlenek is, akkor +R1

+R1


;1


y1 = u1(x1 x2) = x1 x2 ) yy21 = u;1 1(y1 y2) = x1 y2 = u2(x1 x2) = x2 y2 = u;2 1(y1 y2) = x2 D = R2 H = f ( y y ) j y = 6 0 g 1 1 2y1 2

J (y1 y2) = y02 ;1y22 ) det(J (y1 y2 )) =

y12

. Alkalmazva a transzformci s ttelt, a Z = X Y s Y egyttes srsgfggvnye: fZY (y1 y2) = fXY ( yy12 y2)

y12

: Innen Z srsgfggvnyt kiintegrlssal szmolhatjuk:

+R1 +R1 fZ (y1) = fZY (y1 y2) dy2 = fXY ( yy21 y2)

y12

dy2. ;1

;1

I.5


47

a. a kt goly azonos szn? b. a kt goly klnbz szn? I.5.23. Gyakorlat: Harminc szmozott goly t rakunk szt nyolc klnbz ldba. Az elhelyezskor brmelyik goly t ugyanakkora val sznsggel tehetnk brmelyik ldba. Keressk meg annak az elhelyezsnek a val sznsgt, amelynl hrom lda res, kettben hrom goly van, kettben hat s egyben 12 db goly kerl! I.5.24. Gyakorlat: Tekintsk az sszes olyan n hosszsg sorozatot, amelyek a 0 1 2 szmokb l llnak. Hatrozzuk meg annak a val sznsgt, hogy egy vletlenl vlasztott ilyen sorozat: a. 0-val kezddik' b. pontosan m + 2 db 0-t tartalmaz, melyek kzl kett a sorozat vgn van' c. pontosan m db 1-est tartalmaz' d. pontosan m0 db 0-t, m1 db 1-est s m2 db 2-est tartalmaz. I.5.25. Gyakorlat: Ketten pnzfeldobssal jtszanak. Andrs nyer, ha egy szablyos rme dobsi sorozatban hrom fej hamarabb kvetkezik, mint a fej-rs-fej sorozat. Viszont Bla a nyer, ha mindez fordtva trtnik, azaz a fej-rs-fej sorozat elbb jn, mint a fej-fej-fej. Egyenlek a jtk nyersi eslyei? Milyen legyen a fej dobsnak p val sznsge, hogy a jtk fair legyen? I.5.26. Gyakorlat: Legyen A az az esemny, hogy lott hzsnl egyik kihzott szm sem nagyobb mint 50, s B pedig az az esemny, hogy mindegyik kihzott szm pros. Szmoljuk ki a P(A) P(B ) P(AB ) P(A + B ) val sznsgeket! I.5.27. Gyakorlat: Mennyi a val sznsge annak, hogy a lott hzsnl kihzott legnagyobb s legkisebb szm klnbsge ppen k? (4 k 89): I.5.28. Gyakorlat: Egy res tglalap alak szobban, melynek falai 10 s 5 mter hosszak, leejtnk egy goly t. Mennyi a val sznsge, hogy a goly egy olyan pontban fog megllni, amely kzelebb van a szoba egy sarkhoz, mint a szoba kzppontjhoz?

48


I.5.29. Gyakorlat: Egy 10cm oldalhosszsg ngyzetrcsos hl zatra leejtnk egy 3cm tmrj kralak pnzdarabot. Mennyi a val sznsge, hogy a pnzdarab lefedi egy ngyzet cscst? I.5.30. Gyakorlat: Egy 20 cm oldalhosszsg ngyzetrcsos padl zatra ledobunk egy 2 cm lhosszsg jtkkockt. Mennyi a val sznsge, hogy a kocka teljes terjedelmvel a padl zat egy ngyzetben lesz? I.5.31. Gyakorlat: Mennyi a val sznsge, hogy egy egysgnyi szakaszt

vletlenszeren hrom rszre trnk, a keletkez szakaszokb l hegyesszg hromszg szerkeszthet?

I.5.32. Gyakorlat: Az ABCD ngyzetben tallomra vlasztunk egy P pontot. Mennyi a val sznsge, hogy P kzelebb lesz az AB oldalhoz, mint a ngyzet kzppontjhoz? I.5.33. Gyakorlat: Egy d szlessg lcekbl ll padl zatra ledobunk egy s = 2d hosszsg tt. Mennyi a val sznsge, hogy a t kt padl rst fog egyszerre metszeni? I.5.34. Gyakorlat: Az egysgkr kerletn vletlenszeren kivlasztunk

hrom pontot: A B s C -t. Mennyi a val sznsge, hogy a BAC szg nagyobb lesz 60 -nl?

I.5.35. Gyakorlat: Legyen P = (a b) az egysgngyzet egy vletlenl kivlasztott pontja s p(x) = 31 x3 ; a2x + b egy harmadfok polinom. Mennyi a val sznsge, hogy p(x)-nek pontosan egy, illetve pontosan hrom val s gyke van? I.5.36. Gyakorlat: Tallomra kivlasztunk egy P pontot az egysgkr kerletn, majd egy Q pontot a krlapon. Mennyi a val sznsge, hogy a QP szakasz hossza nagyobb mint 1? I.5.37. Gyakorlat: A (0 2) s (0 3) szakaszokon vlasztunk tallomra egy-egy pontot, legyenek ezek x s y. Mennyi a val sznsge, hogy az x y s 1 hosszsg szakaszokb l szerkeszthet hromszg? I.5.38. Gyakorlat: A 0 1] intervallumon tallomra kivlasztunk kt szmot. Mennyi a val sznsge, hogy az egyik szm tbb, mint ktszerese lesz a msiknak?

III.7

121


R2

R2

2Z = EZ 2 = 21 cos2 x dx = 05 E(Y Z ) = 21 0 5 sin 2x dx = 0 ) 0 0 P ) = 005 005 :

III.7.16. Feladat: Egy szablyos pnzrmt addig doblok, amg msodszorra nem kapok fejet. Jellje X a szksges dobsok szmt. Adja meg

X vrhat rtkt s sz rst!

Megolds: X = Y1 +Y2 Y1 Y2 2 G (05) fggetlenek ) EX = EY1 +EY2 = kP ;1 2 + 2 = 4: P (X = k) = P (Y1 + Y2 = k) = P (Y1 = l) P (Y2 = k ; l) =

05k

l=1

P 1 = (k ; 1)05k :

k ;1 l=1

III.7.17. Feladat: Legyenek X s Y fggetlen, azonos f (x) srsgfggvny val sznsgi vltoz k. Szmoljuk ki a P (X < Y ) val sznsget! Megolds: P (X < Y ) = P (X ; Y < 0) = FX ;Y (0) : Mivel f;Y (x) = R1 f (;x) gy a konvolci s kpletbl fX ;Y (x) = f (t) f (x + t) dt ad dik. ;1

R0 f

R0 R1 f (t) f (x + t) dtdx = $gy FX ;Y (0) = X ;Y (x) dx = ;1 ;1 ;1 R1 R0 f (z + x) dx dz = R1 f (z) Rz f (y) dy dz = = f (z) ;1 ;1 ;1 h F (z) i1 ;1 R1 1 = f (z) F (z) dz = ;1 Teht P (X < Y ) = 21 :

2

2

;1

= 2:

Legyenek X Y 2 E () fggetlenek. Mennyi a ; III.7.18. Feladat: P X ; X1 < Y ; Y1 val sznsg? Megolds: Mivel X ; X1 s Y ; Y1 szintn azonos eloszlsak s fggetlenek, az elz feladat eredmnyt felhasznlva, a keresett val sznsg 21 :

III.7.19. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls, folytonos val sznsg vltoz k. Mennyi a P (max fX2 : : : Xn g < X1) val sznsg?

120


a.) Adja meg a peremsrsgfggvnyeket! b.) Ktdimenzi s normlis eloszls-e (X Y )T ? Megolds :

R1 '(x)'(y) dy + R1

xy a.) fX (x) = 2e dy = '(x) hasonl an: fY (y ) = '(y ) ) ;1 ;1 X Y 2 N (0 1) : b.) Nem ktdimenzi s normlis eloszls, mert ms a srsgfggvnye. '(x)'(y) kellene.

III.7.14. Feladat: Legyen az X 2 U (0 1) val sznsgi vltoz kettes szmrendszerben felrva: X = 0 X1X2 : : :: Fggetlenek-e az X1 s X2 digitek?

ha X 1 2 1 Megolds : X1 = 01 ha

1 ha X 3 vagy 10 XX << 12 4 2 X2 = 0 ha 1 X4 < 3 vagy X < 14 : Egyttes eloszlsukat az albbi 2 4 tblzat tartalmazza: X1 1 0 X perem 1 X2 1 1 1 1 , 41 41 21 0 4 4 2 X1 perem 12 12 1 ahonnan mr leolvashat , a fggetlensg tnye.

III.7.15. Feladat: Legyen X a 0 1] intervallumon egyenletes eloszls : : T

val sznsgi vltoz , Y = sin (2X ) s Z = cos (2X ) : Szmolja ki a (Y Z ) pr kovarianciamtrixt!

R2

R2

0

0

Megolds: EY = 21 sin x dx = 0 EZ = 21 cos x dx = 0

R2

2Y = EY 2 = 21 sin2 x dx = 05 0

I.5


49

I.5.39. Gyakorlat: Vlasszunk ki egy X s Y pontot az egysgintervallumban! Tekintsk azt a tglalapot, melynek oldalhosszai X s Y . Mennyi a val sznsge, hogy a keletkez tglalap kerlete nagyobb, mint 2s terlete kisebb, mint 025? I.5.40. Gyakorlat: Vegynk egy vletlen P = (a b) pontot az egysgngyzetbl. Mennyi annak a val sznsge, hogy a p(x) = ax2 ; 2bx + 1 polinomnak nincs val s gyke? I.5.41. Gyakorlat: Egy urnban b darab fekete s r darab fehr goly van. vletlenszeren kihznak egy goly t. A kihzott goly t s mg ugyanolyan sznbl c darabot visszatesznek az urnba. Ezt megteszik egyms utn n-szer. Igazolja, hogy ezek utn, a fekete goly kihzsnak val sznsge b b+r !

I.5.42. Gyakorlat: Magyar krtyval huszonegyeznk. A krtya rtkei: als =2, fels=3, kirly=4, hetes=7, nyolcas=8, kilences=9, tizes=10, sz=11. Mennyi a val sznsge, hogy 21-et hzunk, ha a 19-et elrtk az tdik hzs utn? I.5.43. Gyakorlat: Egy kalapban tz cdula van, melyekre a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 szmjegyek vannak felrva. Visszatevssel kivesznk kt cdult. Jellje Y a szmjegyek sszegt, X pedig a szmjegyek szorzatt. Adjuk meg a P(Y = i j X > 0) val sznsgeket! (i = 0 1 : : : 18).

I.5.44. Gyakorlat: Elszr feldobunk egy szablyos rmt. Ha fej, egyszer, ha rs ktszer dobunk egy szablyos dob kockval. Mennyi a val sznsge, hogy lesz hatos? I.5.45. Gyakorlat: Egy rekeszben 15 teniszlabda van, melyek kzl 9 mg hasznlatlan. Hrom jtkhoz kivesznk tallomra hrom labdt, majd a jtk utn visszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nyilvn, ha volt kzttk hasznlatlan, az a jtk sorn elveszti ezt a tulajdonsgt.) Mennyi a val sznsge annak, hogy mindhrom kivtelhez 1 j s 2 hasznlt labda kerl a keznkbe? I.5.46. Gyakorlat: Egy szvegszerkeszt a karaktereket 7 bitbe k dolja, s ezt egy paritsbittel egszti ki gy, hogy az 1-esek szma pros legyen.

50


III.7

119


Teszi ezt azrt, hogy pratlan paritssal szlelni tudja a hibzst. Tegyk fel, hogy nyolc bitet egy olyan csatornn kldi t, amely egy bitet 0 1 val sznsggel ront el. Milyen val sznsggel kapunk a kimeneten gy nyolc bitet, hogy az hibs, de mgsem tudjuk azt szlelni?

III.7.10. Feladat: Legyen az X s Y egyttes srsgfggvnye f (x y) = 2e;2x;y 0 < x y < 1 (egybknt f (x y) = 0). Hatrozza meg a peremsrsgfggvnyeket! Fggetlen-e X s Y ?

I.5.47. Gyakorlat: A vizsgz k 75%-a A szakos, 15%-a B szakos s 10%-a C szakos. Annak az esemnynek a val sznsge, hogy egy hallgat tst kap, az A szakosok esetben 0 4, a B szakosoknl 0 7 s a C szakosoknl 0 6. Ha egy szemlyrl tudjuk, hogy tsre vizsgzott, akkor milyen val sznsggel lehet A B illetve C szakos?

R1 2e;2x;y dx = 2e;y R1 e0;2x dx = e;y y > 0:0 Mivel f (x y) = f (x) f (y) X Y

I.5.48. Gyakorlat: Hrom egyforma doboz kzl kettben 2 piros, egyben 1 piros s 1 fehr goly van. Vletlenszeren kivlasztunk egy dobozt, s abb l egy goly t. Ha ez piros, mennyi a val sznsge, hogy a dobozban marad goly szne fehr? I.5.49. Gyakorlat: Egy szablyos kockval addig dobunk jra s jra,

amg elszr hatost nem kapunk. Mennyi a val sznsge, hogy ekzben pontosan 1 egyest dobunk?

I.5.50. Gyakorlat: Egyetlen szelvnnyel lott zok. Szmaim kztt a

40-es a kzps. Az albbi hrom esemny esetleges bekvetkezse kzl melyik nveli jobban az ts tallatom feltteles val sznsgt? A : az els kihzott szm a 40-es , B : kihztk a 40-es szmot , C : a 40-es szm a kihzott szmok kztt a harmadik .

I.5.51. Gyakorlat: Egy szablyos dob kockval addig dobunk, amg tst nem kapunk. Mennyi a val sznsge, hogy ezalatt nem dobunk hatost? I.5.52. Gyakorlat: Hrom szablyos dob kockval dobunk! A: az szszeg 7 , B : mindegyik pros , C : van kzttk hrmas . Szmolja ki a P(A (B + C ))s a P((A + C )B ) val sznsgeket! I.5.53. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy a Boole egyenltlensg vgtelen sok esemny esetn is fennll.(A folytonossgi ttelt hasznlja!)

R1

R1

Megolds : fX (x) = 2e;2x;y dy = 2e;2x e;y dy = 2e;2x x > 0: fY (y) =

0

0

gy X s Y fggetlenek! III.7.11. srsgfggvnye

4Feladat: Legyen az0X< sx
h

R1

i1

Megolds : fX (x) = 08(x + xy + y) dy = 08 xy + x y22 + y22 = 12x + 0

0

04 fY (y) = 12y + 04 teljesen hasonl an. Lthat , hogy nem fggetlenek, mert fXY (x y) 6= fX (x)fY (y):

III.7.12. Feladat: Ultizsnl a 32 lapos magyar krtyb l kettt talonba osztanak. Jellje X a talonba kerlt piros szn lapok, Y pedig az szok szmt! Adja meg X s Y egyttes eloszlst! Fggetlen-e X s Y ? Megolds : 3 21 21 P (X = 0 Y = 0) = ((322 )) = 1621031 P (X = 0 Y = 1) = (1()(32)1 ) = 166331 2 2 3 7 21 P (X = 0 Y = 2) = ((3222)) = 16331 P (X = 1 Y = 0) = (1()(322)1 ) = 1614731 3 21 3 7 P (X = 1 Y = 1) = ( 1 )(+322(1))(1) = 164231 P (X = 1 Y = 2) = ((3221)) = 16331 7 7 P (X = 2 Y = 0) = ((3222)) = 162131 P (X = 2 Y = 1) = ((3221)) = 16731 P (X = 2 Y = 2) = 0: (E(XY ) = 1 164231 + 2 16331 + 2 16731 = 18 EX = 1 1619231 + 2 162831 = 12 EY = 1 1611231 + 2 16631 = 41 ) cov (X Y ) = 0, de nem fggetlenek! ) T III.7.13. Feladat: Legyen ( a (X Y ) val sznsgi vltoz pr egyttes

srsgfggvnye: f (x y) =

xy 1 ; x2 +y2 2 e 2 +2 2e2 x + 1 ; y 2 e 2

x y 2 ;1 1] : egybknt

118


Pldul a tblzat nyolcadik sornak s msodik oszlopnak keresztezdsben azrt ll 362 , mert a 36 dobsi lehetsgbl csak kett felel meg az X = 1 Y = 8 feltteleknek: a (6 2) s a (2 6). Az Y eloszlst a sorokban ll val sznsgek sszeadsval, az X eloszlst pedig az oszlopokban ll val sznsgek sszeadsval kapjuk meg. Lthat az is, hogy X nem fggetlen Y -t l, hiszen pl. P (X = 2 Y = 2) = 0 6= P (X = 2) P (Y = 2) = 3612 :

III.7.8. Feladat: Az X s Y val sznsgi vltoz k egyttes eloszlst

tartalmazza az albbi tblzat: X Y ;1 1

;1

0 1 p 3p 6p 5p 15p 30p

Mekkora a p paramter rtke? Fggetlen-e X s Y ? Megolds : Mivel az egyttes eloszls elemeinek sszege 1, gy 60p = 1,

azaz p= 601 : X s Y fggetlenek, mert minden lehetsges rtkprnl teljesl a fggetlensg felttele, pl. P (X = ;1) = 61 P (Y = ;1) = 101 s P (X = ;1 Y = ;1) 601 stb.

III.7.9. Feladat: Elszr egy szablyos kockval dobunk, majd a dobott rtknek megfelelen kihzunk lapokat egy 32 lapos krtyacsomagb l. Jellje X a kihzott lapok kztt tallhat gurs lapok szmt, Y pedig legyen a kihzott kirlyok szma. Adja meg a P(X = 4 Y = 2) val sznsget! Megolds : Ha a kockval 1 2 3-t dobunk, P(X = 4 Y = 2) = 0 nyilvn, mert ngynl kevesebb lapb l nem lehet ngy gurst kihzni. Ha a kockval 4-et dobunk akkor a keresett esemny : 2 kirly s 2 gurs nem kirly . 4 8 p1 = P (X = 4 Y = 2 j 4-et dobunk a kockval ) = ((2)(32)2) . Ha a kockn 4 tst kapunk, az esemny: 2 kirly s 2 gurs nem kirly s 1 egyb . 4 8 20 ( 2)(2)( 1 ) p2 = P (X = 4 Y = 2 j tt dobtunk a kockval ) = (32) : Vgl, ha a 5 dobs hatos volt, a keresett esemny: 2 kirly, 2 gurs nem kirly s 2 egyb . 4 8 20 p3 = P (X = 4 Y = 2 j hatot dobtunk a kockval ) = (2)((322)() 2 ) : A teljes va6 l sznsg ttelbl: P (X = 4 Y = 2) = 61 (p1 + p2 + p3) :

II. fejezet A val szn sgi vltoz

II.1. A valsznsgi vltoz fogalma A val s szmok rszhalmazai kzl, csak azokkal fogunk a tovbbiakban foglalkozni, amelyek intervallumok rendszerbl egyestssel, metszssel s komplemens-kpzssel elllthat k. Ezek az .n. Borel -mrhet halmazok, melynek fogalmt a II.1.2 denci ban adjuk meg. A gyakorlatban minden pesz halmaz, gy a nylt, zrt, flig nylt, flig zrt intervallumok, az egyelem halmazok, a flegyenesek s a nylt s zrt val s rszhalmazok, valamint az egsz szmegyenes maga is Borel-mrhetek. A kvetkez ttelben felhasznljuk a -algebra fogalmt, ami az = esemnyalgebra axi minl mr szerepelt.

II.1.1. \ Ttel: Ha <1 <2 <3 : : : a V halmaz rszhalmazainak -algebri,

akkor

8i

Bizonyts :

a.) Azrt igaz, mert V mindegyik tnyez -algebrban benne van, akkor a kzs rszben is benne kell, hogy legyen. b.) Ha egy A V rszhalmaz benne van a metszetben, az csak gy lehet, ha mindegyik komponens -algebrban is benne van. De mivel a komponensek -algebrk, bennk a komplemens halmaz is benne van, de akkor a metszetkben is benne van a V nA. 51

52

II. FEJEZET A valsznsgi v ltoz

c.) Ha rszhalmazok egy rendszere benne van a metszetben, akkor minden komponensben benne van, de akkor az egyestsk is benne van minden komponensben, gy a metszetkben is. II.1.1. Den ci: Az A B C : : : V halmazrendszert tartalmaz szszes -algebra metszett & ami az elz ttel szerint maga is -algebra & a halmazrendszer ltal generlt -algebrnak nevezzk, s (A B C : : :)-val jelljk. II.1.2. Den ci: A balr l zrt, jobbr l nylt val s intervallumok ltal generlt -algebrt, Borel-fle -algebrnak nevezzk, s B-vel jelljk: B = (fa b) a b 2 Rg) : II.1.3. Den ci: Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez. Az X : ! R fggvnyt valszn sgi vltoz nak nevezzk, ha minden B 2 B esetn A = f! X (!) 2 B g 2 =, azaz a Borel-halmazok kpe az X lekpezsnl meggyelhet esemny lesz. Megjegyzs : Mrtkelmleti terminol gival, X mrhet fggvny. Lthat , hogy az X val sznsgi vltoz minden ! elemi esemnyhez egy val s szmot rendel. II.1.2. Ttel: Az fA A = f! X (!) 2 B g B 2 Bg esemnyrendszer -algebra, melyet az X ltal generlt -algebrnak neveznk, s (X )-el jellnk. Bizonyts : 1o f! X (!) 2 Rg = , mert R 2B. 2o Ha A = f! X (!) 2 B g 2 (X ), akkor A = f! X (!) 2 R n B g is, hiszen RnB 2 B. ( 1 1 ) 1 o 3 f! X (!) 2 Big = ! X (!) 2 Bi 2 (X ), hiszen Bi 2 B. i=1

II.1.1. Plda:

i=1

i=1

a.) Ha X az A 2 = esemny indiktor fggvnye, azaz !2A X (!) = 10 ha ha ! 2= A , akkor (X ) = A A . b.) Ha X (!) c, azaz a val sznsgi vltoz konstansfggvny, akkor (X ) = f g.

III.7


117

III.7.5. Feladat: Kt azonos kpessg atlta versenyt fut. Mindkettejk eredmnyt m = 10 1 s = 0 1 paramter normlis eloszlssal jellemezhetjk msodpercekben. Mennyi a val sznsge, hogy az egyik versenyz legalbb 0 2 msodperccel legyzi a msikat? ; p Megolds : X Y 2 N (101 01) ) X ; Y 2 N 0 002 P (jX ;Y j 02) =1 ; P (jX ; Y j < 02) = 1 ; P (;02 < X ; Y < 02) = p00102 + p00302 : 1; III.7.6. Feladat: Ha X s Y fggetlen val sznsgi vltoz k, hatrozzuk meg V = minfX Y g s W = maxfX Y g eloszlsfggvnyt! Megolds : P (V < x) = 1 ; P (V x) = 1 ; P (X x Y x) = 1 ; P (X x) P (Y x) = 1 ; (1 ; FX (x)) (1 ; FY (x)) : P (W < x) = P (X < x Y < x) = P (X < x) P (Y < x) = FX (x) FY (x): III.7.7. Feladat: Kt szablyos kockval dobunk. Jelentse X a hatos dobsok szmt, Y pedig a dobott szmok sszegt. Adjuk meg X s Y egyttes eloszlst! Megolds : Az albbi tblzatban az oszlopok tetejn szerepelnek az X lehetsges rtkei, a sorok elejn pedig az Y rtkkszletnek megfelel szmok llnak. Az (i j ) koordintknak megfelel cellban a P(X = i Y = j ) val sznsgek tallhat k. X

0 2 1=36 3 2=36 4 3=36 5 4=36 6 5=36 7 4=36 8 3=36 9 2=36 10 1=36 11 0 12 0 X peremeloszlsa 25=36

Y

1 2 Y peremeloszlsa 0 0 1=36 0 0 2=36 0 0 3=36 0 0 4=36 0 0 5=36 2=36 0 6=36 2=36 0 5=36 2=36 0 4=36 2=36 0 3=36 2=36 0 2=36 0 1=36 1=36 10=36 1=36 1

116


III.7.2. Feladat: Legyen X s Y kt azonos eloszls val sznsgi vltoz . Igaz-e, hogy E XX+Y = E Y +Y X ? Megolds: +ltalban nem. Egy ellenplda: alkosson A B teljes 8 C0 olyan ha ! 2 A < esemnyrendszert, ahol P (A) = P (B ) = P (C ) = 31 : X = : 1 ha ! 2 B 2 ha ! 2 C 8< 0 ha ! 2 A s Y = : 1 ha ! 2 C : Ekkor P (X = 0) = P (X = 1) = P (X = 2) = 31 2 ha ! 2 B

s P (Y = 0) = P (Y = 1) = P (Y = 2) = 13 azaz X s Y azonos eloszlsak. 8 ;1 ha ! 2 A < ; Viszont Z = XX ;+YY = : ; 13 ha ! 2 B s EZ = 1 13 + ; 31 13 + 1 ha ! 2 C (;1) 31 = ; 19 6= 0, vagyis E XX+Y ; E Y +Y X = ; 19 :

III.7.3. Feladat: Egy szablyos kockval dobunk ismtelten. X az els dobs, Y a msodik dobs eredmnye. Szmoljuk ki R(X X + Y )-t! Megolds: Egyrszt, a fggetlensg miatt cov(X X + Y ) = cov(X X ) +

cov(X Y ) = 2X msrszt 2(X + Y ) = 2X + 2Y = 22X: $gy R(X X + (XX +Y ) = p 2 X = p1 : Y ) = cov X(X +Y ) 2XX 2

III.7.4. Feladat: Legyen X s Y kt p = 05 paramter fggetlen indiktor val sznsg vltoz . Mutassuk meg, hogy X + Y s jX ; Y j br korrellatlanok, de nem fggetlenek! Megolds: P (X = 1) = P (X = 0) = P (Y = 1) = P (Y = 0) = 05 P(X + Y = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) = 025, P(X + Y = 1) = P(X = 1)P(Y = 0) + P(X = 0)P(Y = 1) = 05, P(X + Y = 2) = P(X = 1)P(Y = 1) = 025. P(jX ; Y j = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 1) = 05, P(jX ; Y j = 1) = P(X = 1)P(Y = 0) + P(X = 0)P(Y = 1) = 05. E(X + Y ) = EX + EY = 1, E (jX ; Y j) = 05, E ((X + Y )jX ; Y j) = E (jX 2 ; Y 2j) = 05. $gy cov(X + Y jX ; Y j) = 05 ; 1 05 = 0. X + Y s jX ; Y j nem lehetnek fggetlenek, mert pl. P(X + Y = 0 jX ; Y j = 1) = 0 de P (X + Y = 0) P (jX ; Y j = 1) = 025 05 6= 0.

II.2

53

Az eloszlsfggvny fogalma

II.2. Az eloszlsfggvny fogalma

II.2.1. Den ci: Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez, X val sznsgi vltoz . Ekkor a QX : B ! 0 1 ] halmazfggvny, melynek denci ja QX (B ) $ P(f! X (!) 2 B g) jel = P (X 2 B ) (B 2 B) az X val sznsgi vltoz eloszlsa. II.2.1. Ttel: A QX halmazfggvny tulajdonsgai: a.) QX (R) = 1:

1

b.) Ha B1 B2 : : : Bn : : : diszjunkt Borel-halmazok, akkor QX ( Bi) = i=1

P1 Q (B ). X i i=1

Megjegyzs : A QX kielgti a P val sznsg axi mit. Bizonyts :

a.) QX (R) = P(f! X (!) 2 Rg) = P( ) = 1: b.) QX

S1

Bi = P ! X (!) 2

S1 Bi = P P1 f! X (!) 2 Big =

i=1 i=1 1 P1 iP=1(f! X (!) 2 B g) = P Q ( B ) : i X i i=1 i=1 Megjegyzs : Amikor egy K vletlen ksrlethez hozzrendelnk egy X val sznsgi vltoz t, akkor egyttal egy lekpezst hajtunk vgre az absztrakt ( = P) s az (R BQX) Kolmogorov-fle val sznsgi mezk kztt. A matematikailag nehezen kezelhet ( = P) struktra helyett egy jobban kidolgozott s kiismert (R B QX) struktrra trnk t, ahol az esemnyeket

=

a Borel-halmazok segtsgvel fogjuk megfogalmazni, az esemnyek val sznsgeit pedig az eloszlssal kalkulljuk a tovbbiakban. A val sznsgi vltoz teht a vletlen ksrlet egy matematikai modellje. A val sznsgi vltoz k denilsa az esetek tbbsgben termszetes m don ad dik. Gondoljunk csak pldul a kockadobs ksrletre, a ruletttrcsa megforgatsra, a Duna pillanatnyi vzmagassgra, vagy a legkzelebb szletend csecsem testslyra stb. Sokszor, br az elemi esemnyek nem szmok, de val sznsgi vltoz val egy-egy rtelm megfeleltets ltesthet kztk s a val s szmok egy rszhalmaza kztt, s gy a val sznsgi

54


III.7

115


EX 2 EX pozitv denit,

vltoz segtsgvel ugyangy trgyalhat a jelensg. Pl. a krtyahzsnl a krtykat sorszmozzuk, minden addigi esemny ekvivalens m don tfogalmazhat . Felhasznlhat k a val sznsgi vltoz k az eredeti ksrlet egyszerstsre is. Pl. ksbb ltni fogjuk, hogy egy n-szeres hosszsg ksrletsorozat helyett egyetlen val sznsgi vltoz meggyelse is lehetsges.

Y b = EY ; R(X Y ) Y EX a = R(X Y ) X X s ez volt az llts.

II.2.2. Den ci: Az FX (x) = QX ( (;1 x) ) x 2 R fggvnyt az X val sznsgi vltoz eloszlsfggvny nek nevezzk.

III.7. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok

Megjegyzs : FX (x) = QX ( ( ;1 x ) ) = P(f! X (!) < xg) $ $ P(X < x) x 2 Rvagyis FX : R ! 0 1 ] val s fggvny.

EX

1

Megjegyzs : Normlis esetben & mint ahogy az a III.6.1 pldnl lthat volt & a lineris regresszi s s a regresszi s sszefggsek egybeesnek.

III.7.1. Feladat: Legyen T = a1 b1) a2 b2) ap bp) tetszleges p-dimenzi s tgla, s "1 "2 : : : "p 2 f0 1g tetszlegesek (0 vagy 1 diadikus szmok). be, hogy ekkor P (Bizonytsuk ;1)j FX ("1a1 +(1 ; "1 )b1 "2 a2 +(1 ; "2)b2 : : : "p ap +(1 ; "p )bp) 0 8("1"2 :::"p )

II.2.2. Ttel: A val sznsgi vltoz eloszlsa s eloszlsfggvnye kl-

csnsen egyrtelmen meghatrozzk egymst.

Megjegyzs : A II.2.2 ttelt nem bizonytjuk, csak annyit jegyznk meg,

hogy a bizonyts azon mlik, hogy a flegyenesek ltal generlt -algebra maga a Borel-fle -algebra. A ttelnek az a fontos zenete van a szmunkra, hogy az eloszlsfggvny segtsgvel is kiszmthat k az esemnyek val sznsgei.

II.2.3. Ttel: (Az FX eloszlsfggvny tulajdonsgai) a.) FX monoton nemcskken, azaz FX (x) FX (y), ha x < y. b.) FX balr l folytonos, azaz xlim F (x) = FX (y) minden y 2 R-re. !y; X c.) x!lim F (x) = 1 s x!;1 lim FX (x) = 0. +1 X Bizonyts :

a.) Legyen x < y , akkor Ax = f! X (!) < xg Ay = f! X (!) < yg, s gy az I.1.3. ttel d.) pontja szerint FX (x) = P(Ax) P(Ay ) = FX (y), ami az llts volt.

ahol j =

Pp "i:

i=1

Megolds : A bizonyts azon mlik, hogy megmutatjuk, hogy az egyenltlensg bal oldaln a P(X 2 T ) val sznsg ll, ami nyilvnval an nemnegatv. Deniljuk az albbi esemnyeket: Ai = f! Xi(!) < aig Bi = f! Xi (!) < big : Ekkor P(X 2 T ) = P(a1 X1 < b1 a2 X2 < b2 : : : ap Xp < bp) = P(A1A2 Ap B1B2 Bp) = Yp Pp = P(A B ) = P(B ) ; P(A B ), ahol A = Ai ) A = Ai s

B=

Yp i=1

i=1

i=1

Bi: Teht a Poincare-ttelt alkalmazva kapjuk, hogy

Pp Pi=1

0 P(X 2 T ) = P(B ) ; P( (Ai B )) =

Pp

= P(B ) ; (;1)i;1 P(Aj1 Aj2 Aji B ). i=1 1 j1 <j2 <<ji p Mivel Ajk Bjk ) Ajk Bjk = Ajk : $gy P(Aj1 Aj2 Aji B ) = FX ("1 a1 +(1 ; "1) b1 : : : "p ap +(1 ; "p) bp), ahol "j1 = "j2 = = "ji = 1 a tbbi "j = 0: Msrszt P(B ) = FX (b1 b2 : : : bp), teht az az eset, amikor mindegyik "j = 0. Visszahelyettestve ppen az lltst kapjuk.

114

III. FEJEZET Valsznsgi vektorv ltozk Bizonyts :

E (X ; d(Y ))2 =2 E (X ; r(Y ) + r(Y2 ) ; d(Y ))2 = = E (X ; r(Y )) + E (r(Y ) ; d(Y )) + 2 E ((X ; r(Y )) (r(Y ) ; d(Y ))) : Mivel E ((X ; r(Y )) (r(Y ) ; d(Y ))) = E E ((X ; r(Y )) (r(Y ) ; d(Y ))) jY ] = = E (r(Y ) ; d(Y )) E ((X ; r(Y )) jY )] = = E (r(Y ) ; d(Y )) (E (X jY ) ; r(Y ))] = = E (r(Y ) ; d(Y )) 0] = 0 gy E (X ; d(Y ))2 = E (X ; r(Y ))2 + E (r(Y ) ; d(Y ))2 E (X ; r(Y ))2 ) llts.

III.6.1. Plda: (Regresszi normlis eloszls esetn) Legyen X s Y egyttes srsgfggvnye h 2 i fXY (x y) = 21 21p1;%2 exp ; 2(1;1 %2 ) (x;121 ) ; 2% (x;11)(y2;2 ) + (y;222 ) x y 2 R alak, azaz a kt val sznsgi vltoz egyttes eloszlsa ktdimenzi s normlis. Megmutatjuk, hogy E(X jY ) = a Y + b, ahol a = 21 % s b = 1 ; a 2: (xy) Az fX jY (x jy ) = fXY fY (y) denci b l, a formulk behelyettestse utn h

i2

; 2 2 (11 %2 ) x; 1 + 12 %(y;2 ) 2

kapjuk, hogy: fX jY (x jy ) = p211p1;%2 e

;

:

R $gy E(X jY = y) = x fX jY (x jy ) dx = 1 + % (y ; 2), hiszen & ;1 amint lthat & a feltteles srsgfggvny rgztett y mellett a 1 + %(y ; ) vrhat rtk s p1 ; %2 sz rsngyzet normlis eloszls +1

1

2

2

srsgfggvnye.

1 2

1

III.6.6. Den ci: Legyen X s Y kt adott val sznsgi vltoz . Az a X +b val sznsgi vltoz az Y -nak a X -re vonatkoz lineris regresszi ja, ha E(Y ; a X ; b )2 = 8min E(Y ; aX ; b))2: ab2R Y b = EY ; R(X Y ) Y EX: III.6.4. Ttel: a = R(X Y ) X X 2 Bizonyts : Legyen h(a b) $ E(Y ;aX ;b)) : A lineris regresszi megha-

trozshoz ezt a ktvltoz s fggvnyt kell minimalizlni. A minimumhely ltezsnek szksges felttele, hogy: @h = ;2E (Y ; aX ; b)X ] = 0 @h = ;2E Y ; aX ; b] = 0: Innen: @a @b aEX 2 + bEX = E(XY ) aEX + b = EY ) b = EY ; aEX ) ) aEX 2 + (EY ; aEX )EX = E(XY ) )

II.2

55


b.) Legyen hn tetszleges monoton fogy nullsorozat. (pl. hn = n1 ilyen.) Legyen y 2 R tetszleges rgztett val s szm. Bn $ Ay;hn = f! X (!) < y ; hn g : Ekkor nyilvn 1 1 P P B1 B2 Bn Bi. Msrszt Bi = f! X (!) < yg is i=1 1 P

i=1

fennll, ugyanis, ha ! 2 Bi ) 9 n : X (!) < y ; hn ) X (!) < y i=1 is. P1 Fordtva: ha X (!) < y ) 9 n : X (!) < y ; hn ) ! 2 Bi . i=1 A val sznsg folytonossgi tulajdonsgb l (I.1.6. ttel): 1 P FX (y) = P(X < y) = P( Bi) = nlim P(Bn ) = nlim P(X < y ; hn ) = !1 !1 i=1 lim F (x). x!y; X c.) A x!lim F (x) = 1 bizonytsa: +1 X Legyen xn ! 1 szigoran nveked tetszleges szmsorozat (pl. xn = n ilyen): Bn $ Axn ekkor 1 P B1 B2 Bn Bi = .

P1

i=1

A Bi tartalmazs trivilisan igaz, a msik irny tartalmazs i=1 igazolsa: Legyen ! 2 tetszleges, ekkor X (!) 2 R ) 9 K 2 R : X (!) < K ) 9 n : X (!) < K < xn ) 1 P ) ! 2 Bn ) ! 2 Bi : i=1 $gy a folytonossgi ttelbl: 1 P 1 = P( ) = P( Bi) = nlim P(Bn) = nlim F (x ) = xlim F (x). !1 !1 X n !1 X i=1 A x!;1 lim FX (x) = 0 bizonytsa: FX (x) = P(X < x) = P(;X > ;x) = 1 ; P(;X ;x) = 1 ; P(Y ;x), ahol Y = ;X . P(Y < ;x) P(Y ;x) 1 s ;xlim P(Y < ;x) = y!lim F (y) = 1, !+1 +1 Y mint ahogy az elbb lttuk. $gy x!;1 lim FX (x) = 1 ; y!lim P(Y y) = 1 ; 1 = 0. +1

56


II.2.4. Ttel: Tetszleges x < y esetn a.) P(x X < y) = FX (y) ; FX (x) b.) P(x < X < y) = FX (y) ; FX (x + 0) c.) P(x X y) = FX (y + 0) ; FX (x) d.) P(x < X y) = FX (y + 0) ; FX (x + 0) e.) P(X = x) = FX (x + 0) ; FX (x): Bizonyts : Mindegyik llts bizonytsa hasonl m don trtnik, ezrt csak a c.) llts igazolst rszletezzk. f! x X (! ) y g = f! x X (! )g \ f! X (! ) y g Mivel x < y f! y < X (!)g f! x X (!)g s = f! x X (!)g f! X (! ) y g : A Poincare-ttelbl: 1 = P( ) = P(f! x X (!)g + f! X (!) yg) = = P(X y) + P(x X ) ; P(x X y) = = P(X y) + 1 ; P(X < x) ; P(x X y): Innen: (*) P(x X y) = P(X y) ; P(X < x). Ha most 0 hn szigoran cskken nullsorozat, akkor megmutathat , hogy 1 Y f! X (! ) y g = f! X (! ) < y + hn g : n=1 Ugyanis, ha ! 2 f! X (!) yg, akkor ! 2 f! X (!) < y + hng minden n indexre, teht 1 Y ! 2 f! X (!) < y + hng is. n=1

1 Y

Msrszt, ha ! 2 f! X (!) < y + hn g akkor minden n-re n=1 ! 2 f! X (!) < y + hng teht ! 2 f! X (!) yg is. A folytonossgi trvnybl: 1 Y P(X y) = P( f! X (!) < y + hn g) = nlim P(X < y + hn) = FX (y +0): !1 n=1 Ez ut bbit (*)-ba behelyettestve kapjuk az lltst.

III.6

A feltteles vrhat rtk

113

c.) Ha X s Y fggetlenek, akkor E(X jY ) = EX . Bizonyts : a.) Diszkrt eset: P E (E (X j Y )) = E (X j Y = yj ) P (Y = yj ) = P P x P (X =8yxj j Y = y ) P (Y = y ) = = i i j j 8P yj 8P xi P xiP (X = xi Y = yj ) = xiP (X = xi) = EX: = 8xi

8yj 8xi

Folytonos eset: R1 R1 R1 x fXY (xy) f (y) dxdy = E (E(X jY )) = E (r (Y )) = r (y)fY (y) dy = fY (y) Y

=

;1

R1 x R1 f

;1 ;1

XY (x y ) dy dx =

;1 R1 x f (x) dx = ;1 E X: X

;1

b.) Diszkrt eset: P E (h(Y ) X j Y = yj ) = xih(yj )P (X = xi j Y = yj ) = h(yj )E (X j Y = yj ) : 8xi

Folytonos eset: Legyen y 2 R tetszleges.1Ekkor R E (h (Y ) X j Y = y) = h (y) x fX jY (x jy) dx =

= h (y)

R1 x f

;1

;1

X jY (x jy ) dx = h (y ) E(X jY = y ):

c.) Diszkrt eset: P (P X = xi j Y = yj ) = P (X =Pxi) ) E (X j Y = yj ) = = xiP (X = xi j Y = yj ) = xiP (X = xi) = EX ) 8xi 8xi E (X j Y ) = E(X ): Folytonos eset: fXY (x y) = fX (x) fY (y) ) fX jY (x jy ) = fX (x) +R1 +R1 r(y) = x fX jY (x jy ) dx = x fX (x) dx = EX ) ;1 ;1 E (X jY ) = EX: III.6.3. Ttel: Legyen d : R ! R tetszleges fggvny. Ekkor E (X ; r(Y ))2 E (X ; d(Y ))2, ahol r(Y ) = E(X jY ). Specilisan, ha d(y) EX , akkor E (X ; E (X jY ))2 E (X ; EX )2 = 2X .

II.3

Diszkrt valsznsgi vltozk

57

Kvetkezmny : Ha FX folytonos az x helyen, akkor P(X = x) = 0: Bizonyts : Ha FX folytonos az x helyen, akkor FX (x) = FX (x + 0) s az e.) llts igazolja a kvetkezmnyt. Megjegyzs: Eloszlsfggvnyekre pldkat a kvetkez szakaszokban bsgesen adunk majd.

II.3. Diszkrt valsznsgi vltozk

II.3.1. Den ci: Az X val sznsgi vltoz t diszkrt nek nevezzk, ha rtkkszlete megszmllhat (sorozatba rendezhet), vagyis 8 ! 2 -ra X (!) 2 E = fx1 x2 : : : xn : : :g : II.3.2. Den ci: A pi = P(f! X (!) = xig) $ P(X = xi) (i = 1 2 : : :) val sznsgek sszessgt az X diszkrt val sznsgi vltoz eloszlsnak nevezzk. II.3.1. Ttel: Az X diszkrt val sznsgi vltoz p1 p2 : : : pn : : : eloszlsra teljesl, hogy a.) 0 pi 1

b.)

P1 p

i=1

i

= 1:

Bizonyts :

a.) Trivilis, mivel az Ai = f! X (!) = xig esemny val sznsgrl van sz . b.) Mivel az Ai = f! X (!) = xig (i = 1 2 : : :) esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, gy az I.1.3 ttel c.) rsze miatt igaz az llts. II.3.2.PTtel: Az X diszkrt val sznsgi vltoz FX eloszlsfggvnyre: FX (x) = pi , msrszt: pi = FX (xi + 0) ; F (xi) : xi <x Azaz a diszkrt val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye olyan lpcss fggvny, melynek az ugr helyei az x1 x2 : : : xn : : : helyeken vannak, s az ugrs nagysga rendre p1 p2 : : : pn : : :.

58

II. FEJEZET A valsznsgi v ltoz Bizonyts : Mivel Ax = f! X (! ) < xg =

PA

P

= f! X (!) = xig xi <x xi <x s az Ai esemnyek egymst pronknt kizrjk, kvetkezik az llts els rsze. Msrszt pi = P(X = xi) = P(xi X xi) = FX (xi + 0) ; FX (xi): i

II.3.1. Plda: Indiktor valszn sgi vltoz

Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez, A 2 = egy pozitv val sznsg esemny: p = P(A) > 0. Az X : ! R fggvny denci ja a kvetkez: X (!) = 10 !! 22= A A . Ekkor X diszkrt val sznsgi vltoz , melyet indiktor val sznsgi vltoz nak neveznk. Jells : X 2 I (A). Az X eloszlsa : p0 = P(X = 0) = p p1 = P(X = 1) = 1 ; p:

II.3.2. Plda: Binomilis eloszls valszn sgi vltoz

Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez, A 2 = egy pozitv val sznsg esemny: p = P(A) > 0. Hajtsunk vgre egy n-szeres ksrletsorozatot. Vegye fel X azt az rtket, ahnyszor A bekvetkezett a ksrletsorozatban. X lehetsges rtkei teht 0 1 2 : : : n: Az egyes rtkek felvtelnek val sznsgei, ; azaz X eloszlsa: ; pk = P(X = k) = nk pk (1 ; p)n;k = nk pk qn;k k = 0 1 2 : : : n: Ugyanis A f! X (! ) = k g =|AA{z A} A |A{z A} + |AA{z A} AA |A{z A} + k-szor

+ |AA{z A} |AA{z A} : (n;k);szor

k;szor

(n;k)-szor

(k;1)-szer

(n;k;1)-szer

A jobb oldalon ll esemnyek egymst kizrjk, s mindegyikk; val sz nsge a fggetlensg miatt pk qn;k . A tagok szma k!(nn;! k)! = nk mert n elem olyan ismtlses permutci ir l van sz , ahol k illetve n ; k elem megegyezik. An pk val sznsgek alkotnak, hiszen a binominlis ttel szerint: P pk = Pn ;n pk eloszlst n ; k q = (p + q)n = 1n = 1. k k=0 k=0 X -et n s p paramter binomilis eloszls val sznsgi vltoz nak nevezzk. Jells : X 2 B (n p). Nyilvn B (1 p) = I (A) teht a binomilis eloszls az indiktor eloszls kiterjesztse.

II.3


59

II.3.1. bra A binomilis eloszls n = 20 p = 0:5 paramterekkel II.3.3. Ttel: A binomilis eloszls pk elemeire teljesl, hogy a.) pk = n;kk+1 pq pk;1 (k = 1 2 3 : : : n) p0 = qn: b.) Ha = (n + 1) p], ahol x] az egszrszt jelli, akkor p pk (k = 0 1 : : : n). Bizonyts :

a.)

pk pk 1 ;

n k n k = ( n()kp)kp q1qn k+1 = n;kk+1 qp . ;

k

1

;

;

;

b.) A fenti azonossgb l ad dik, hogy pk pk;1 () n;kk+1 1;p p 1 () (n + 1)p k illetve pk pk;1 () n;kk+1 1;p p 1 () (n + 1)p k. Innen mr lthat , hogy ha az indexre = (n + 1)p], akkor a hozztartoz eloszlsrtk nagyobb a tbbinl. Az is megmutathat , hogy ha (n+1)p maga is egsz szm, akkor az = (n+1)p ;1 indexekhez tartoz val sznsgek egyenlek, s a tbbinl nagyobbak lesznek.

II.3.3. Plda: Poisson-eloszls valszn sgi vltoz Ha egy X val sznsgi vltoz rtkkszlete a termszetes szmokk halmaza: E = N = f0 1 2 : : : n : : :g eloszlsa pedig pk = P(X = k) = k! e; k = 0 1 2 : : : ahol > 0 akkor X -et paramter Poisson-eloszls val sznsgi vltoz nak nevezzk. Jells : X 2 Po():

60


II.3.2. bra A Poisson-eloszls = 1 paramterrel paramterekkel A fenti1 val sznsgek1val ban eloszlst alkotnak, mert 1 P P P p = k e; = e; k = e; e = 1:

k=0

k

k=0

k!

k=0

k!

;n k n;k = k e; azaz a Poisson-eloszls a binomiII.3.4. Ttel: nlim k! !1 k p q p!0 np=

lis @ eloszls hatresete, amikor a ksrletek szma (n) minden hatron tl n, az A esemny p val sznsge pedig 0-hoz tart, mikzben az np szorzat lland .

;

Bizonyts : Jellje most b(k n p) = nk pk qn;k . A II.3.3 ttelben lttuk, ) np+(1;k)p n;k+1 p hogy b(bk(;knp 1np) = k q = k(1;p) ! k , hiszen np = (1 ; k )p ! 0 k(1 ; p) ! k a felttelek miatt. Msrszt b(0 n p) = (1 ; p)n = np) ! miatt b(1 n p) ! e; : Hasonl an : (1 ; n )n ! e; is. $gy bb(0(1np ) b(2np) ! miatt b(2 n p) ! 2 e; : Folytatva az eljrst, a ttel lltst b(1np) 2 2

kapjuk.

Megjegyzs : A Poisson-eloszls j l alkalmazhat olyan n-szeres ksrletsorozat modellezshez, ahol a ksrletek szma nagyon nagy, viszont a meggyelt esemny val sznsge 0-hoz kzeli. Pldul: egy adott trfogatban idegysg alatt elboml atomi rszecskk szma' a mikroszk p lt terbe bekerlt egysejtek szma'

108


III.5.3. Den ci: Az X s Y val sznsgi vltoz k korrellatlanok, ha R(X Y ) = cov(X Y ) = E(X Y ) ; (EX ) (EY ) = 0: Megjegyzs :

a.) A korrellatlansg a fggetlensg szksges, de nem felttlenl elgsges felttele. b.) Diszkrt esetben szmtsa: P Pa xkovariancia cov(X Y ) = i yj P(X = xi Y = yj ); 8 i 8j P P ;( xi P(X = xi )) ( yj P(Y = yj )): 8i 8j Folytonos esetben a kovariancia szmtsa: +R1 +R1 +R1 +R1 cov(X Y ) = xyfXY (x y) dxdy; x fX (x) dx y fY (y) dy : ;1 ;1

;1

;1

III.5.3. Ttel: Ha az X s Y val sznsgi vltoz k sz rsngyzetei lteznek, gy 2(X Y ) = 2X + 2Y 2cov(X Y ): Bizonyts : 2(X Y ) = E (X Y )2] ; E(X Y )]2 = = E X 2 2XY + Y 2] ; (EX )2 2(EX )(EY ) + (EY )2] = = EX 2 2EXY + EY 2 ; (EX )2 2(EX )(EY ) ; (EY )2 = = 2X + 2Y 2cov(X Y ).


II.3

61

idegysg alatt a telefonkzpontba berkez hvsok szma' idegysg alatt bekvetkez rdi aktv bomlsok szma' egy stemnyszeletben tallhat mazsolk szma' egy knyvoldalon tallhat sajt hibk szma' stb. Az emltett esetekben binomilis eloszls alkalmazsa krlmnyes lenne, mert a binomilis egytthat k szmolsa a nagy n miatt tlcsordulshoz, illetve szmolsi pontatlansgokhoz vezethet. II.3.4. Plda: Geometriai eloszls valszn sgi vltoz Legyen K egy vletlen ksrlet, s ( = P) a hozztartoz Kolmogorov-fle val sznsgi mez, A 2 = egy pozitv val sznsg esemny: p = P(A) > 0. A K ksrlethez tartoz ksrletsorozatot addig hajtsuk vgre, amg az A esemny be nem kvetkezik. Az X val sznsgi vltoz t rtelmezzk gy, mint az A esemny bekvetkezshez szksges ismtlsek szmt. X -et p paramter geometriai eloszls val sznsgi vltoz nak nevezzk. Jells : X 2 G(p):

III.5.4. Ttel: 2(P Xi) = P 2Xi + 2 P cov(Xi Xj ): p

p

i=1

i=1

i<j

Bizonyts : p = 2-re ppen a III.5.3 ttelt kapjuk. Tegyk fel, hogy az llts igaz valamely p 2 -re! Ekkor pP +1 Pp Pp 2( Xi) = 2( Xi ) + 2Xp+1 + 2cov( Xi Xp+1) = i=1 p+1

P = 2Xi + 2 i=1

i=1

P

i<j %ij =12:::p

II.3.3. bra A geometriai eloszls p = 61 paramterrel

i=1

p cov(Xi Xj ) + 2 P cov(Xi Xp+1) ) llts. i=1

III.5.5. Ttel: Tetszleges a b 2 R esetn cov(aX + bY Z ) = acov (X Z ) + bcov (Y Z ) : Bizonyts : E ((aX + bY )Z ) = aE(XZ ) + bE(Y Z ) s E (aX + bY ) EZ = aEX EZ + bEY EZ miatt, a III.5.1. ttelre hivatkozva bizonythatjuk az lltst.

X lehetsges rtkei : 1 2 3:4 : : : azaz a pozitv egsz szmok. X eloszlsa: pk = P(X = k) = (1 ; p)k;1p = qk;1p, hiszen f! X (!) = kg = =|A A {z A} A, s a fggetlen vgrehajts miatt az esemny val sz(k;1)-szer

nsge: q q q p = qk;1p: A geometriai sor sszegzkplett felhasznlva ezek a val sznsgek val ban eloszlst alkot1 P1 lthatjuk P1 be, hogyP nak: pk = qk;1p = p qk = p 1;1 q = p 1p = 1: k=1

k=1

k=0

62


Megjegyzs : A geometriai eloszls rkifj tulajdonsgt a kvetkezkpp lehet interpretlni: att l, hogy egy esemny az ismtelt vgrehajts sorn rgen fordult el, mg nem fog a bekvetkezsi val sznsg megnni!

II.3.5. Ttel: (A geometriai eloszls rkifj tulajdonsga)

P(X = m + k jX > m) = P(X = k) 8m k -ra, azaz annak feltteles val sznsge, hogy a kvetkez k vgrehajts vgn bekvetkezik az A esemny, amennyiben az elz m meggyels alatt nem kvetkezett be ugyanannyi, mint annak val sznsge, hogy ppen a k-adik vgrehajts utn kvetkezik be az A esemny. Bizonyts :

+kX>m) = P(X =m+k) = qm+k 1 p = P (X = m + k j X > m) = P(X =Pm(X>m P q 1 p ) P(X>m) ;

1

=

qm+k 1 p qm p P q

;

1

=0

=

qm+k 1 p qm ;

= qk;1p = P (X

= k) :

=m+1

;

II.4. Folytonos valsznsgi vltozk

II.4.1. Den ci: Legyen X az ( = P)-n rtelmezett val sznsgi vltoz , melynek rtkkszlete kontimuum szmossg. Jellje FX az eloszlsfggvnyt. X -et folytonos val sznsgi vltoz nak nevezzk, ha FX abszolt folytonos, azaz ltezik olyan Riemann Rx integrlhat fX : R ! R fggvny, melyre fennll az FX (x) = fX (t) dt (x 2 R) sszefggs. ;1 Az fX fggvnyt az X val sznsgi vltoz (vagy az FX eloszlsfggvny) s r sgfggvnynek nevezzk. Ha FX abszolt folytonos, akkor folytonos is s majdnem mindentt di"erencilhat , azaz pl. vges sok helyen lehet csak trspontja. dFdXx(x) = fX (x) ha x folytonossgi pontja fX -nek. Megjegyzs :

a.) A diszkrt val sznsgi vltoz k nem folytonosak, mr csak azrt sem, mert eloszlsfggvnyk nem folytonos. b.) Lteznek olyan val sznsgi vltoz k, melyek se nem diszkrtek, se nem folytonosak. Ezek az ltalnos val sznsgi vltoz k, melyekkel a tovbbiakban mi nem foglalkozunk' a gyakorlatban ritkn fordulnak el. Pl.

III.5

A kovariancia s a korrelcis egytthat

107

III.5.1. Ttel: cov(X Y ) = E(X Y ) ; (EX ) (EY ): Bizonyts : cov(X Y ) = E((X ; EX ) (Y ; EY )) = = E(X Y ; X EY ; Y EX + (EX ) (EY )) = = E(X Y ) ; (EX ) (EY ) ; (EY ) (EX ) + (EX ) (EY ) = = E(X Y ) ; (EX ) (EY ): III.5.2. Ttel: Ha X s Y fggetlenek, akkor cov(X Y ) = 0 s R(X Y ) = 0: A ttel megfordtsa ltalban nem igaz. Bizonyts : A ttel a III.4.7 s a III.5.1 ttelek egyszer kvetkezmnye. A megfordtsra kt ellenplda: Legyen X s Y diszkrt val sznsgi vltoz , ;1 0 1 rtkkszletekkel. Egyttes eloszlsukat az albbi tblzatban lthatjuk: Y n X ;1 0 +1 Y perem ;1 0 025 0 025 0 025 0 025 05 +1 0 025 0 025 X perem 025 05 025 1

EX = EY = 14 (;1) + 21 0 + 14 1 = 0 E(X Y ) = (;1) (;1) 0 + 1 1 0 = 0 cov(X Y ) = E(X Y ) ; (EX ) (EY ) = 0: X s Y nem fggetlenek, mert pl. P(X = 0 Y = 1) = 41 6= P(X = 0) P(Y = 1) = 12 41 : Folytonos esetre ellenplda: X 2 U (0 2), azaz a (0 2) intervallumon egyenletes eloszls val sznsgi vltoz . Y = sin X s Z = cos X . Hatrozzuk meg cov(Y Z )-t! 2 R2 2 1 R sin 2 EY = 21 sin x dx = 1;cos 2 = 0 EZ = 2 cos x dx = 2 = 0 0

0

R2

4 = 0: E(Y Z ) = E (sin X cos X ) = 0 5E(sin 2X ) = 41 sin 2x dx = 1;cos 8 0 $gy cov(Y Z ) = 0 de nem fggetlenek, hiszen P(Y 2 + Z 2 = 1) = 1: Ha Y s Z fggetlenek lennnek, ;akkor vltoz srsgfgg; az Y 2 + Z; 2 val sznsgi vnyt az fY 2 (y) = 2p1 y fY py + fY ;py y 2 (0 1) srsgfggvny nmagval val konvolvlsval lehetne kiszmtani, ahol fY (y) = fZ (y) = p 1 2 y 2 (;1 1) a kt komponens azonos srsgfggvnye. Ekkor viszont 1;y P(Y 2 + Z 2 = 1) = 0-nak kellene fennllnia! (Ld. a II.2.1 kvetkezmnyt!)

106


s ltezzk a vrhat rtkk. Ekkor a Z = XY val sznsgi vltoz nak is ltezik a vrhat rtke, s EZ = EX EY . Bizonyts : Alkalmazzuk a III.4.5 ttelt g(x y ) = x y -ra! a.) diszkrtPeset: P x y P(X = x Y = y ) = P P x y P(X = x )P(Y = y ) = EZ = i j i j i j i j 8xi! 8yj P 8i 8j P = x P(X = x ) y P(Y = y ) = EX EY: 8xi

i

i

8yj

j

j

b.) folytonos eset: +R1 +R1 +R1 +R1 EZ = xyfXY (x y) dydx = xyfX (x)fY (y) dydx = =

R

;1 ;1 +1 xfX (x) dx ;1

+R1 yfY (y) dy = EX EY: ;1 ;1

;1

III.4.8. Ttel: Legyenek az X s Y val sznsgi vltoz k fggetlenek, s ltezzk a sz rsngyzetk. Ekkor 2(X Y ) = 2X + 2Y: Bizonyts : 2(X Y ) = E(X Y )2 ; E(X Y )]2 = = E X 2 2X Y + Y 2] ; (EX )2 2EX EY + (EY )2] = = EX 2 2E(X Y ) + EY 2 ; (EX )2 2EX EY ; (EY )2 = = EX 2 ; (EX )2 + EY 2 ; (EY )2 = 2X + 2Y: Felhasznltuk a III.4.7 ttel lltst, miszerint fggetlensg esetn E(X Y ) = (EX ) (EY ).

III.5. A kovariancia s a korrelcis egytthat

III.5.1. Den ci: Legyenek X s Y val sznsgi vltoz k az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Tegyk fel, hogy ltezik a sz rsngyzetk. Ekkor az X s Y kovariancijn a Z = (X ; EX ) (Y ; EY ) val sznsgi vltoz vrhat rtkt rtjk. Jells : cov(X Y ) = E (X ; EX ) (Y ; EY )]. Megjegyzs : cov(X X ) = 2X: III.5.2. Den ci: Az X s Y val sznsgi vltoz k korrelcis egytthat jn standardizltjaik kovariancijt rtjk. (XY ) ~ Y~ ) = cov Jells : R(X Y ) = cov(X X Y .

II.4

63

Folytonos valsznsgi vltozk

az az X ltalnos vltoz , melynek eloszlsfggvnye: 8 1 val sznsgi < 2 Rx 2 ha x = 0 FX (x) = : p1 e 2t dt ha x > 0 2 ;

;1

II.4.1. Ttel: (A s r sgfggvny tulajdonsgai)

Legyen X az ( = P)-n rtelmezett folytonos val sznsgi vltoz . Akkor az fX : R ! R srsgfggvnyre teljesl, hogy a.) fX (x) 0 b.)

R f (t) dt = 1: X

+1

;1

Bizonyts :

a.) Mivel FX monoton nem cskken, s dFdXx(x) = fX (x) ha x folytonossgi pontja fX -nek, kvetkezik az llts. b.) 1 = x!lim F (x) = x!lim +1 X +1 Megjegyzs :

Rx f (t) dt = +R1 f (t) dt: X X

;1

;1

a.) A srsgfggvny a folytonos val sznsgi vltoz knl ugyanazt a szerepet tlti be, mint diszkrt val sznsgi vltoz knl az eloszls. Ugyanis tetszleges a 2 R s x > 0 -ra P(a X < a + x) = a+ R x f (t) dt = f (a ) x ahol a a < a + x. FX (a + x) ; FX (a) = X X a Ha x kicsi, akkor fX (a) fX (a ) gy P(a X < a+ x) fX (a) x: Teht az X val sznsgi vltoz az a krnyezetben az fX (a) rtkkel arnyos val sznsggel tart zkodik. (Az fX (a) rtk lehet 1-nl nagyobb is!) b.) fX (x) $ 0 ha 6 9 dFdXx(x) : II.4.1. Plda: (Az egyenletes eloszls valszn sgi vltoz) Az X az 8 a b] intervallumon egyenletes eloszls, ha eloszlsfggvnye: < x;a0 x a FX (x) = : b;a a < x b: 1 x > b

1 (a b) : Jells : X 2 U (a b]): Ekkor a srsgfggvny: fX (x) = b;0a x x2=2(a b)

64


III.4

105

Valsznsgi vektorvltozk transzformcii

P yP (Y = y) = P y X P (X = x) = y 2W y2W x2V :g(x)=y X P X

EY = =

II.4.1. bra Az 1 3] intervallumon egyenletes eloszls eloszlsfggvnye

y2W x2V :g(x)=y

g (x) P (X = x) =

x2V

g (x) P (X = x) :

Folytonos eset: A III.4.1. ttelt alkalmazzuk, arra az u : Rp ;! Rp transzformci ra, ahol Y = u1 (X1 X2 : : : Xp) = g (X1 X2 : : : Xp) X2 = u2 (X1 X2 : : : Xp) = X2 : ... ... ... Xp = up (X1 X2 : : : Xp ) = Xp Az Jacobi determinnsnak abszoltrtke most

@g inverztranszformci

(1(yx@y2:::xp)

lesz, gy fYX2:::Xp (y x2 : : : xp) =

@g 1(yx2 :::xp)

ha y = g (x1 x2 : : : xp ;1 @y = fX1 X2:::Xp (g (y x2 : : : xp) x2 : : : xp) 0 egybknt amibl a III.3.1. ttelt felhasznlva integrlssal kapjuk:

1

R1 R1 fY (y) = fX1X2:::Xp (g;1 (y x2 : : : xp) x2 : : : xp)

@g (yx@y2:::xp)

dxp dx2: ;1 ;1 $gy 1 R EY = yfY (y) dy = ;

;

;

II.4.2. bra Az 1 3] intervallumon egyenletes eloszls srsgfggvnye Megjegyzs: Az X 2 U (a b]) val sznsgi vltoz ra jellemz, hogy

brmely hosszsg szakaszon azonos val sznsggel veszi fel rtkeit. Teht, ha c c + 2 a b], akkor ;a c;a P (c X < c + ) = FX (c + ) ; FX (c) = c+ b;a ; b = b;a . A val sznsg egyrszt nem fgg a rszintervallum c kezdpontjt l, msrszt ppen a rszintervallum s a teljes intervallum hosszainak arnyval egyenl.

II.4.2. Plda: (Az exponencilis eloszls valszn sgi vltoz) Az X val sznsgi vltoz > 0 paramter exponencilis eloszls, ha eloszlsfggvnye

;x 0 FX (x) = 1 ; e 0 xx > 0 :

= =

R1 y R1 R1 f ;1

;1 1

R

;1

@g X1 X2 :::Xp (g ;1 (y x2 : : : xp) x2 : : : xp)

;1

R y fX X :::Xp (g ;1 (y x2 : : : xp) x2 : : : xp )

@g ;1 1

;1

1

2

1

;

;

1

(yx2 :::xp) @y

(yx2 :::xp ) @y

dxp dx2

dxp dx2dy =

vgrehajtva az y = g (x1 x2 : : : xp) vltoz transzformci t az integrlban, mris igazoltuk az lltst: R1 R1 y = g (x1 x2 : : : xp) = g (x1 x2 : : : xp) fX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp) dxp dx1 ;1

;1

III.4.6. Ttel: Az Y = X1 + X2 + + Xp val sznsgi vltoz vrhat rtke ltezik, amennyiben a Xi tagok vrhat rtke ltezik, s EY = EX1 + EX2 + + EXp: Bizonyts : Az elz ttel kvetkezmnye, amikor g (x1 x2 : : : xp) = x1 + x2 + + xp: III.4.7. Ttel: Legyenek az X s Y val sznsgi vltoz k fggetlenek,

104


additv tulajdonsgb l (ld. I.1.2 axi mk, 2o tulajdonsg) mr kvetkezik az llts.

III.4.2. Plda: Legyenek X 2 Po() Y 2 Po() fggetlenek (ld. II.3.3.

pldt!). Akkor k P(X + Y = k) = P P(X = )P(Y = k ; ) =

Pk e; k e; =

=0 k; =0 k P k ! ; ( + ) = !(k;)! + + = k! e =0 k k (+) ;(+)

!

;

(k;)!

(+)k

II.4

65


Jells : X 2 E ():

A srsgfggvny FX0 (x) = fX (x) =

e;x x > 0

0 egybknt :

Megjegyzs: Exponencilis eloszlssal a gyakorlatban berendezsek lettartamt szoks modellezni. De exponencilis eloszlsnak tekinthet tmegkiszolglsi modellekben a kiszolglsi id s az j ignyek rendszerbe val berkezsi ideje is, vagy a rdioaktv atomok elbomlsi ideje is.

= k! e + + + = k = (+k! ) e;(+) 1 k = 0 1 2 : : : azaz X + Y 2 Po( + ):

III.4.5. Ttel:

a.) Az X1 X2 : : : nXp diszkrt val sznsgi o vltoz k rtkkszleteit jellje rendre R(i) = x(1i) x(2i) : : : x(ni) : : : (i = 1 2 : : : p) egyttes eloszl(2) (p) sukat pedig fri1i2:::ip = P(X1 = x(1) i1 X2 = xi2 : : : Xp = xip )g: Legyen g : Rp ! R tetszleges p-vltoz s val s fggvny. Ekkor az Y = g(X1 XP2 : : : X; p) val sznsgi vltoz , s ltezik a vrhat rtke: (2) EY = g xi1 xi2 : : : xip P(X1 = x(1) i1 X2 = xi2 : : : Xp =

xi(pp)):

8(i1 i2 :::ip )

II.4.3. bra A = 1 2 05 paramter exponencilis eloszlsok eloszlsfggvnyei

b.) Az X1 X2 : : : Xp folytonos val sznsgi vltoz k egyttes srsgfggvnyt jellje fX1 X2:::Xp (x1 x2 : : : xp): Legyen g : Rp ! R tetszleges p-vltoz s val s fggvny. Ekkor az Y = g(X1 X2 : : : Xp) val sznsgi vltoz , s ltezik a vrhat rtke: +R1 +R1 +R1 EY = g (x1 x2 : : : xp)fX1 X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp) dxp dx2dx1 : ;1 ;1

;1

Bizonyts : Diszkrt eset:

Legyen a diszkrt X = (X1 X2 : : : Xp)T vektorrtk val sznsgi vltoz rtkkszlete a V megszmllhat vektorhalmaz, az Y = g (X ) diszkrt val sznsgi vltoz pedig W = fy y = g (x) x 2 V g : Ekkor denci szerint:

II.4.4. bra A = 1 2 05 paramter exponencilis eloszlsok srsgfggvnyei

66


III.4

103


II.4.2. Ttel: (Az exponencilis eloszls rkifj tulajdonsga) Legyen X folytonos eloszls val sznsgi vltoz P (X < x) = F (x) eloszlsfggvnnyel. Akkor P(X < x + t jX x) = P(X < t) 8 0 < x t-re () 9 > 0 : F (x) = 1 ; e;x x > 0 vagyis X 2 E () : Megjegyzs : X azrt rkifj , mert annak feltteles val sznsge, hogy X legfeljebb x + t-ig l, ha mr x-et meglt egyenl annak val sznsgvel, hogy X legfeljebb t ideig l, azaz a tllsi kondci k az id mlsval nem cskkennek, hiszen 0 s t kztt ugyanaz a tllsi esly mint x s x + t kztt. A ttel azt lltja, hogy az exponencilis eloszls az egyetlen rkifj a folytonos eloszlsok kztt.

III.4.1. Plda: Legyenek X Y 2 U (0 1) fggetlenek, Z = X + Y ! Szmoljuk ki Z srsgfggvnyt! Z 2 (0 2) lehet csak. Legyen z 2 (0 2) tetszleges. A konvolci s kpletbl: 8 Rz > > < 10 1 dx = z ha z 2 (0 1) minRf1zg 1 R fZ (z) = fX (z;x)fY (x) dx = 11 dx = > R 1 dx = z ha z 2 (1 2) :

Bizonyts : ( Legyenek 0 < x t tetszlegesek, ekkor +t) FX (x+t);FX (x) 1;e P(X < x + t jX x ) = P(xP (XX<x x) = 1;FX (x) = ; t = 1 ; e = P(X < t):

Legyen X s Y val sznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Jellje fXY (x y) az egyttes srsgfggvnyket. Ekkor a Z = X ; Y val sznsgi vltoz srsgfggvnye: +R1 +R1 fZ (x) = fXY (t x + t) dt = fXY (x + t t) dt. ;1 ;1 Ha X s Y fggetlenek is, akkor +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY (x + t) dt = fX (x + t) fY (t)dt:

(x+t) ;1+e x 1;1+e x

;

;

;

)

=

Legyen G(x) = 1 ; F (x) = P (X x) : Ekkor 8 0 < x t-ra P(X < x + t jX x ) = P(X < t) = G(x)G;(Gx()x+t) = 1 ; G(t) azaz G(x + t) = G(x)G(t): Teht G(2t) = (G(t))2 G(3t) =;G(2t)G(t) = (G(t))3 G(nt1 ) = (G(t))n : Msrszt nt = s;-re:G(s) = G( nsm) n azaz G( ns ) = (G(s)) n : ; ; m s $gy G m n = G ns m = (G (s)) n azaz s = 1-gyel G( mn ) = (G(1)) n : r Teht tetszleges 0 < r 2 Q racionlis szmra fennll G(r) = (G(1)) : Mivel G is s az exponencilis fggvnyek folytonosak, gy 8x > 0 val s szmra is fenn kell llnia G(x) = (G(1))x-nek. De G(1) = 1 ; F (1) < 1 miatt 9 > 0 hogy G(1) = e; legyen. Behelyettests utn G(x) = e;x 8x > 0 azaz F (x) = 1 ; e;x X 2 E () : II.4.3. Plda: (A normlis eloszls valszn sgi vltoz) Az X val sznsgi vltoz 2 R s > 0 paramter Rx (t )2 normlis eloszls, ha eloszlsfggvnye FX (x) = (x) = p21 e; 22 dt x 2 R: ;1 Jells : X 2 N ( ): (x )2 Az X srsgfggvnye: fX (x) = ' (x) = p21 e; 22 x 2 R. Ha X 2 N (0 1), akkor standard normlis eloszlsr l beszlnk. Ilyenkor x R x2 t2 1 1 ; ; '01(x) = '(x) = p2 e 2 s 01(x) = (x) = p2 e 2 dt: ;

;

;1

;1

maxf0z;1g

> > : z;1

0 ha z 2= (0 2)

III.4.3. Ttel: (Kt folytonos valszn sgi vltoz klnbsgnek eloszlsa)

;1

;1

Bizonyts : A III.4.2 ttelhez hasonl an, az y1 = u1 (x1 x2) = x1 ; x2 m dostssal.

III.4.4. Ttel: (Diszkrt valszn sgi vltozk sszegnek eloszlsa) Ha X s Y diszkrt nemnegatv egszrtk val sznsgi vltoz k, akkor Z = X + Y szintn diszkrt nemnegatv egszrtk val sznsgi vltoz , Pk melynek eloszlsa: P(Z = k) = P(X = Y = k ; ) = =0

Pk = P(X = k ; Y = ) k = 0 1 2 : : :. =0

Ha mg az is igaz, hogy X s Y fggetlenek, akkor Pk Pk P(Z = k) = P(X = )P(Y = k ; ) = P(X = k ; )P(Y = ) =0 =0 k = 0 1 2 : : : : Bizonyts : f! Z (! ) = kg =

Pk f! X (!) = Y (!) = k ; g,

s a komponensesemnyek egymst pronknt kizrjk. $gy a val sznsg =0

102


II.4

Z = X + Y val sznsgi vltoz srsgfggvnye: +R1 +R1 fZ (x) = fXY (t x ; t) dt = fXY (x ; t t) dt. ;1 ;1 Ha X s Y fggetlenek is, akkor +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY (x ; t) dt = fX (x ; t) fY (t)dt: ;1 ;1 Ez ut bbi esetben fZ az fX s fY srsgfggvnyek konvolcija. Bizonyts : Alkalmazzuk a III.4.1

ttelt az y1 = u1(x1 x2) = x1 + x2 ) y1 ; y2 = u;1 1(y1 y2) = x1 y2 = u2(x1 x2) = x2 y2= u;2 1(y1 y2) = x2

szereposztssal. Ilyenkor J (y1 y2) = 10 ;11 gy det(J (y1 y2)) = 1: A Z = X + Y s Y egyttes srsgfggvnye: fZY (y1 y2) = fXY (y1 ; y2 y2) 1: Innen Z srsgfggvnyt a III.3.1 ttelt felhasznlva szmolhatjuk: +R1 +R1 fZ (y1) = fZY (y1 y2) dy2 = fXY (y1 ; y2 y2) dy2: ;1 ;1 Az ut bbi integrlban az y1 ; y2 = t vltoz transzformci val kapjuk az +R1 fZ (y1) = fXY (t y1 ; t) dt kpletet. Ha X s Y fggetlenek, akkor a ;1 III.3.2 ttelbl kapjuk, hogy fXY (x y) = fX (x) fY (y) gy +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY (x ; t)dt = fX (x ; t) fY (t)dt. a.) Az elz ttel egy msik bizonytsa az albbi: R1 zR;x f (x y) dydx: Mindkt FZ (z) = P (Z < z) = P (X + Y < z) = XY ;1 ;1 oldalt z szerint derivlva kapjuk meg a srsgfggvnyt: R1 zR;x R1 zR;x d fZ (z) = dzd fXY (x y) dydx = f ( x y ) d y dx = XY dz ;1

II.4.5. bra Az N (;1 05) N (0 1) s N (1 1)normlis eloszlsok eloszlsfggvnyei

;1

;1

Megjegyzs:

R1 f


;1 ;1

XY (x z ; x) dx:

;1

;1

b.) Mivel fggetlen esetben az sszeg srsgfggvnyre a kt komponens srsgfggvnyeinek konvolci jt kaptuk, fggetlen val sznsgi vltoz k esetn az sszeg val sznsgi vltoz t a komponens vltoz k konvolcijnak is nevezzk.

II.4.6. bra Az N (;1 05) N (0 1) s N (1 1)normlis eloszlsok srsgfggvnyei

II.4.3. Ttel: (A ' Gauss-fggvny tulajdonsgai) a.) '(;x) = '(x), vagyis ' pros fggvny. b.) x!lim '(x) = x!;1 lim '(x) = 0: +1 c.)

p12

= '(0) '(x) > 0 8x 2 R:

d.) ' in-exi s helyei a +1 s ;1, azaz '00(;1) = '00(+1) = 0:

67

68 e.)


R '(x) dx = 1.

+1

b.)

;1

Bizonyts : Az a.) s 2b.) lltsok nyilvnval ak. c.) s d.) '0(x) = p;2x e; x2 = ;x'(x) = 0 , x = 0 '00(x) = ;'(x) ; x'0(x) = '(x)(x2 ; 1) = 0 , x = 1 ) +1 ;1 in-exi s pontok. '00(0) = ;'(0) < 0 ) a 0 helyen maximum van. 2 +R1 2 +R1 +R1 +R1 (t2 +u2 ) +R1 t2 2 e; 2 dtdu ttrve e.) e; 2 dt = e; t2 dt e; u2 du = ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 a t = r cos u = r sin polrkoordintkra: ;r sin t2 + u2 = r2 J (r ) = det cos sin r cos = r

R R

+ 1 +1

R1 R2

h

(t +u ) r e; r2 ddr = 2 ;e; r2 e; 2 dtdu = 0 0 ;1 ;1 kvetkezik az llts. 2

2

III.4

2

2

i1 0

= 2, ahonnan mr

II.4.4. Ttel: (A eloszlsfggvny tulajdonsgai)


R R

+1 +1

;1 ;1

Rf X X :::Xp (t1 t2 : : : tp) dtp : : : dt2 dt1 = 1:

+1

1

;1

a.) (x) = 1 ; (;x) 8x > 0, azaz grakonja szimmetrikus a b.) szigoran monoton nveked, c.) (x) = 12 + p12 (x ; 1!2x33 + +

(;1)k x2k+1 k!2k (2k+1)

III.4. Valsznsgi vektorvltozk transzformcii A II.5.2 transzformci s ttel tbbdimenzi s ltalnostsa az albbi:

III.4.1. Ttel: Jellje az X = (X1 X2 : : : Xp )T val sznsgi vektorvltoz srsgfggvnyt fX (x), amely eltnik a D Rp tartomnyon kvl. Legyen u : D ! H ( Rp) bijektv (klcsnsen egy-egyrtelm) transzformci . Ekkor az Y = u(X ) val sznsgi vektorvltoz srsgfggvnyt az albbi m don szmthatjuk: ;1 (y))

det(J (y ))

y 2 H f ( u X fY (y) = 0 y 2= H ,

0 @u (y) @y B @u (y ) B B @y ahol J (y) = B . B @ @up.. (y) 1

R

R1

;x

Rx

@y1

Rx

a.) (;x) = '(t) dt = 1 ; '(t) dt = 1 ; '(;t) dt = 1 ; '(t) dt = ;1 ;x ;1 ;1 1 ; (x): b.) Igaz, mert 0(x) = '(x) > 0 (II.4.3 ttel c.) rsze). c.) '(x) = p12 e; x2 = p12 2

P1 (;1)k x k s ahonnan mr kvetkezik az llts. 2

k=0

2k k !

d.) Nyilvnval kvetkezmnye a II.4.3 ttel e.) rsznek.

1 ;1 2 1 ;

d.) xlim (x) = 1 x!;1 lim (x) = 0: !1 Bizonyts :

1

1

+ ) 8x > 0

2

Bizonyts : A III.1.2 ttel a.) s c.) pontjb l, valamint az egyttes srsgfggvny III.3.1 denci jb l kzvetlenl kvetkezik.

;

(0 21 )-ra,

101

1 C C C a lekpezs Jacobi-mtrixa. ... C C A @up (y)

@u1 1 (y ) @y2 @u2 1 (y ) @y2

@u1 1 (y) @yp @u2 1 (y) @yp

@up (y ) @y2

@yp

;

;

... 1

;

...

;

;

;

1

Bizonyts : Legyen D egy tetszleges p-dimenzi s Borel-halmaz, u;1(D) = B pedig az skpe, vagyis az a p-dimenzi s Borel-halmaz, melyet u D-re kpez. Ekkor nyilvn P(Y 2 D) = P(X R2 u;1(D)) = P(X 2 B ). A srsgfggvnyek segtsgvel: P(Y 2 D) = fY (y) dy, msrszt R f (x) dx = R f (u;1(yD))

det(J (y)

dy. P(X 2 u;1(D)) = X X 1 D u (D) A kt integrl sszehasonltsb l mr kvetkezik az llts. ;

III.4.2. Ttel: (Kt folytonos valszn sgi vltoz sszegnek eloszlsa) Legyen X s Y val sznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Jellje fXY (x y) az egyttes srsgfggvnyket. Ekkor a

100


II.5

Valsznsgi vltozk transzformcii

69

II.5. Valsznsgi vltozk transzformcii

II.5.1. Ttel: Legyen X diszkrt val sznsgi vltoz A = fxk k = 0 1 2 : : :g rtkkszlettel s pk = P (X = xk ) eloszlssal. Legyen t : A ! B tetszleges fggvny, B = fyj j = 0 1 2 : : :g: Akkor az Y = t(XP) diszkrt val sznsgi vltoz rtkkszlete B , eloszlsa pk lesz. P (Y = yj ) = 8xk :t(xk )=yj

III.3.1 bra A ktdimenzi s normlis eloszls srsgfggvnye. A szimmetria tengelyt tartalmaz skmetszetei haranggrbk, a szimmetriatengelyre merleges skmetszetek pedig ellipszisek.

III.3.2. Ttel: Legyenek X1 X2 : : : Xp folytonos val sznsgi vltoz k az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. a.) X1 X2 : : : Xp pronknt fggetlenek () 8 1 i < j n -re fXiXj (x y) = fXi (x) fXj (y) teljesl 8 x y 2 R -re. b.) X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek () 8 2 k p s 8 1 i1 < i2 < < ik p indexkombinci ra Yk fXi1 Xi2:::Xik (xi1 xi2 : : : xik ) = fXij (xij ), 8xi1 xi2 : : : xik 2 R. j =1

Bizonyts : Az III.1.5 denci b l egyszeren derivlssal kvetkezik az llts. Megjegyzs : p = 2 esetben az elz ttelek specilis alakjai:

@ 2 FXY (xy) @x@y

R

+1

R

+1

= fXY (x y), fX (x) = fXY (x y) dy, fY (y) = fXY (x y) dx ;1 ;1 ha X s Y fggetlenek fXY (x y) = fX (x)fY (y) (8 x y 2 R):

III.3.3. Ttel: (Az egyttes s r sgfggvny tulajdonsgai) a.) fX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp) 0

Bizonyts: Mivel az f! X (! ) = xk g nv esemnyek k indexek P klnbz esetn egymst kizrjk, s f! Y (!) = yj g = f! X (! ) = xk g, a 8xk:t(xk )=yj val sznsg -additivitsb l mr kvetkezik az llts.

II.5.1. Plda: Ha X 2 B (n p) s t(x) = n ; x, akkor Y; =t(X ) 2 B (n 1 ; p), hiszen P ( Y = k ) = P (X = n ; k ) = n n;k (1 ; p)n;(n;k) = ;n (1 ; p)k pn;k : n;k p k

ha x 10 II.5.2. Plda: Ha X 2 Po() s t(x) = 11x ha x > 10 , akkor az

Y = t(X ) rtkkszlete B = f0 1 : : : 11g s eloszlsa 8 < 10 kk! e; ha k 10 P (Y = k) = : 1 ; P i e; ha k = 11 : i! i=0

II.5.2. Ttel: Ha X olyan folytonos val sznsgi vltoz , hogy P (X 2 A) = 1 valamely A R halmazra, s t : A ! B szigoran monoton fggvny, akkor az Y = t(X ) is folytonos val sznsgi vltoz lesz, s ;1 )) ha t sz.m. " FY (y) = 1 ; FFX ((tt;1((yy)) ha t sz.m. # illetve X fY (y) = fX (t;1(y))

dt d1y(y)

: ;

Bizonyts: Mivel t szigoran monoton, ezrt invertlhat is. Ha t nveked (cskken), akkor az inverze is nveked (cskken). Ha t szigoran monoton nveked, az f! t(X (!)) < yg s az f! X (!) < t;1(y)g nv esemnyek ekvivalensek, a t lekpezs invertlhat sga miatt. $gy FY (y) = P (Y < y) = P (t(X ) < y) = P (X < t;1(y)) = FX (t;1(y)): Ha t szigoran monoton cskken, akkor az f! t(X (!)) < yg s az f! X (! ) > t;1 (y )g nv esemnyek ekvivalensek, s FY (y ) = P (Y < y ) =

70


P (t(X ) < y) = P (X > t;1(y)) = 1 ; FX (t;1(y)): Derivls utn ad dik a srsgfggvnyekre a kplet.

II.5.3. Plda: Ha az X standard normlis eloszls val sznsgi vltoz , mi a srsgfggvnye az Y = X 2 val sznsgi p vltoz nak? Ha p x > 0: P(Y p< x) = Pp(X 2 < x) =pP(jX j < px) = = P(; x < X < x) = ( x) ; (; px) = 2 ( x) ; 1 x) derivls utn kapjuk a srsgfggvnyt: fY (x) = 2'( x) 2p1 x = p21x e; 2 ha x > 0: II.5.4. Plda: Ha az X paramter normlis eloszls val sznsgi vltoz , mi a srsgfggvnye az Y = eX val sznsgi vltoz nak? (Y az .n. lognormlis eloszls vltoz ). ; val sznsgi ; P(Y < x) = P eX < x = P (X < ln x) = FX (ln x) = ln x; , gy 2 (ln x ) fY (x) = p21x e; 22 : ;

A II.5.2 ttel specilis esete az albbi, mely vletlenszm generlsoknl hasznos.

II.5.3. Ttel: Ha U a 0 1] intervallumon egyenletes eloszls s F (y) egy szigoran monoton nvekv eloszlsfggvny azon az intervallumon, ahol 0 < F (y) < 1, akkor az Y = F ;1(U ) val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye ppen F (y) lesz. Bizonyts : Elszr is megjegyezzk, hogy egy szigoran monoton nvekv fggvnynek ltezik az inverze. P(Y < y) = P(F ;1(U ) < y) = P(F (F ;1(U )) < F (y)) = P(U < F (y)) = F (y) mert F (y) 2 0 1] : Megjegyzs : A II.5.3 ttel lehetsget ad arra, hogy a szmt gpek egyen-

letes eloszls vletlen szmokat generl rutinja segtsgvel tetszleges invertlhat F (y) eloszlsfggvnyhez tartoz vletlen szmokat ellltsunk s azokat szimulci s programokhoz felhasznljuk. A kvetkez ttel az elz megfordtsa:

II.5.4. Ttel: Ha X eloszlsfggvnye F (y) egy szigoran monoton n-

vekv eloszlsfggvny azon az intervallumon, ahol 0 < F (y) < 1 , akkor az U = F (X ) val sznsgi vltoz egyenletes eloszls lesz 0 1]-en.

III.3

99

Folytonos valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa

rlhat fggvnyt rtjk, melyre: Rx1 Rx2 FX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp) =

Rxp f

X1 X2 :::Xp (t1 t2 : : : tp)dtp dtp;1 dt1, ;1 ;1 ;1 = fX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp), ha x = (x1 x2 : : : xp)T fX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp)-nek.

@ p FX1 X2 :::Xp (x1 x2 :::xp ) @x1@x2 @xp

azaz folytonossgi pontja

III.3.2. Den ci: Az fX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp) egyttes srsgfggvny egy k-dimenzis vetleti s r sgfggvny n (2 k p;1) valamely 1 i1 < i2 < < ik p indexkombinci ra az Xi1 Xi2 : : : Xik val sznsgi vltoz k egyttes srsgfggvnyt rtjk. III.3.1. Ttel: fXi Xi :::Xik (xi xi : : : xik ) =

R1 R1 R1 f

1

2

1

2

= X1 X2 :::Xp (t1 t2 : : : tp )dtj1 dtj2 dtjp k azaz az egyttes s;1 ;1 ;1 rsgfggvnyt az sszes tbbi & a kivlasztott index kombinci ban nem szerepl & indexhez tartoz vltoz ra kell kiintegrlni a teljes szmegyenesen, hogy ellltsuk a k-dimenzi s vetleti srsgfggvnyt fj1 j2 : : : jp;k 2= fi1 i2 : : : ik g : ;

Bizonyts : A III.1.3 ttel egyszer kvetkezmnye.

III.3.1. Plda: (A ktdimenzis normlis eloszls) Ha X s Y egyttes srsgfggvnye i h 2 2 fXY (x y) = 21 21p1;%2 exp ; 2(1;1 %2 ) (x;121 ) ; 2% (x;11)(y2;2 ) + (y;222 ) x y 2 R alak, akkor a kt val sznsgi vltoz egyttes eloszlsa ktdimenzi s normlis, ahol a peremeloszlsokra X 2 N (1 1) Y 2 N (2 2) teljesl. Ugyanis megmutathat , hogy h i2 2 ; 1 x; 1 + 12 %(y;2 ) ; (y 222 ) 1 fXY (x y) = p22 e 2 p211p1;%2 e 2 12 (1 %2) : ;

$gy pl. fY (y) = ; (y 222

= p212 e

;

;

R1 f

;1

)2

2

(y ;2 )2 222

XY

R1 p

(x y) dx =

1p ;1 21 1;%2

e

;

h

i2

; 2 2 (11 %2 ) x; 1 + 12 %(y;2 ) 1

;

dx =

: = p212 e p Az integrl mgtt az N 1 + 12 %(y ; 2) 1 1 ; %2 eloszls srsgfggvnye ll, gy az integrl rtke 1.

98


b.) Az X1 X2 : : : Xp diszkrt val sznsgi vltoz k teljesen fggetlenek, ha 8 2 k p-re s 8 1 j1 < j2 < < jk p esetn Qk P (Xj1 = xj1 Xj2 = xj2 : : : Xjk = xjk ) = P (Xj = xj ) :

II.5

71


Bizonyts : A bizonytst nem rszletezzk, csak annyit jegyznk meg,

Bizonyts : Elszr is megjegyezzk, hogy egy szigoran monoton nvekv fggvnynek ltezik az inverze. Legyen y 2 0 1] tetszleges! P(U < y) = P(F (X ) < y) = P(F ;1(F (X )) < F ;1(y)) = = P(X < F ;1(y)) = F (F ;1(y)) = y, ezrt U 2 U (0 1]) :

III.2.1. Plda: (Polinomilis eloszls) Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez, A1 A2 : : : Ar 2 = egy Pr r esemnybl ll teljes esemnyrendszer, azaz Ai Aj = Ai = : Ekkor,

II.5.5. Ttel: (Lineris transzformci) Ha X folytonos val sznsgi vltoz , s t(x) = ax + b a 6= 0 akkor az Y = t(X ) = aX + b lineris val sznsgi vltoz eloszlsfgg; y;transzformlt b ha a > 0 F X a vnye FY (y) = 1 ; F ; y;b ha a < 0 , srsgfggvnye pedig ; X a fY (y) = j1aj fX y;a b :

=1

hogy az Xi val sznsgi vltoz k teljes fggetlensge ekvivalens a kapcsolatos Ai = f! Xi (!) = xig nv esemnyek teljes fggetlensgvel.

i=1 r P ha 0 < P(Ai) = pi , akkor pi = 1: Hajtsunk vgre egy n-szeres ksrlet-

Bizonyts : A II.5.2 ttel egyszer kvetkezmnye.

i=1

sorozatot. Vegye fel Xi azt az rtket, ahnyszor Ai bekvetkezett a ksrletsorozatban. Az X1 X2 : : : Xr val sznsgi vltoz k egyttes eloszlst n p1 p2 : : : pr paramter polinomilis eloszlsnak nevezzk. Az Xi val sznsgi vltoz k rtkei a 0 1 2 : : : n szmok kz esnek. Az Xr 1 X2 : : : Xr P val sznsgi vltoz k rtkei kztt szoros sszefggs van: Xi = n. Az i=1 X1 X2 : : : Xr val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsa: P(X1 = k1 X2 = k2 : : : Xr = kr ) = k1!k2n!!kr ! pk11 pk22 pkrr . A fenti val sznsgek alkotnak, hiszen: Pn val ban neloszlst ! pk1 pk2 pkr = (p + p + + p )n = 1: 1 2 r r k1 !k2 !kr ! 1 2 8ki=0 k1 +k2 ++kr =n

Megjegyzs : A binomilis eloszls specilis polinomilis eloszls, amikor r = 2. A teljes esemnyrendszer ilyenkor A s az ellentettje. Teht a polinomilis eloszls a binomilis eloszls tbbdimenzi s kiterjesztse. A polinomilis eloszls Xi komponensei egyenknt B (n pi) eloszlsak, azaz a polinomilis eloszls egydimenzi s peremeloszlsai binomilisak.

III.3. Folytonos valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa III.3.1. Den ci: Az X1 X2 : : : Xp folytonos val sznsgi vltoz k

egyttes s r sgfggvny n azt az fX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp ) Riemann-integ-

A kvetkez ttel azt mondja ki, hogy a normlis eloszlscsald a lineris transzformci ra nzve zrt:

II.5.6. Ttel: (A normlis eloszls transzformcis tulajdonsgai) a.)

(x) =

( x; ),

b.) ' (x) = 1 '( x; ) vagyis a standard normlis eloszls srsgfggvnyvel s eloszlsfggvnyvel teszleges 2 R s > 0 paramter normlis eloszls srsgfggvny s eloszlsfggvny elllthat . Bizonyts :

R

x ;

Rx

a.) ( x; ) = p12 e; t2 dt = p12 e; ;1 ;1 t = u; t + = u ddut = 1 2

(u;)2 2 2

1 du =

(x)

b.) az a.) mindkt oldalt derivljuk.

II.5.7. Ttel: (Folytonos valszn sgi vltoz diszkretizlsa) 1 P Legyen X folytonos val sznsgi vltoz , s t(x) = yk I (x 2 rk;1 rk )), k=;1

72


ahol 0 rk 1 szigoran sorozat,

nveked x 6 2 rk;1 rk ) : I (x 2 rk;1 rk )) = 01 ha ha x 2 rk;1 rk ) Ekkor Y = t(X ) diszkrt val sznsgi vltoz lesz f: : : y;1 y0 y1 y2 : : :g Rrk rtkkszlettel s P (Y = yk ) = fX (u) du eloszlssal. rk

;

1

Bizonyts : P (Y = yk ) = P (rk;1 X < rk ) =

Rrk f (u) du: X

rk

1

;

II.5.5. Plda: Legyen X 2 E () t(x) = x] + 1: Ekkor

; Rk e;x dx = 1 ; e;xk = k;1 k ;1 ;1 ; ;1 ; e;k;1 ;1 ; e; : Ha feladatunk valamely f: : : y y y y : : :g Y = t(X ) 2 G 1 ; e; : Hiszen P (Y = k) =

;1 0 1 2

rtkkszlet, pk = P (Y = yk ) k = 0 1 2 : : : eloszls diszkrt val sznsgi vltoz szmt gpes szimullsa, akkor a II.5.7 ttel azon specilis Pk p : esett kell alkalmazni, amikor X 2 U (0 1) s rk = j j =;1

II.5.6. Plda: (Binomilis eloszls vletlen szmok generlsa szmtgppel) Legyen X 2 U (0 1) vletlen szm. Legyen Y = k, ha Pk ;npj (1 ; p)n;j k = 0 : : : n: Lthat , hogy P; X< j j =0 Y 2 B (n p) vletlen szm lesz.

k ;1 n n;j j j p (1 ; p) j =0

II.6. A vrhat rtk II.6.1. Den ci: a.) Az X diszkrt val sznsgi vltoz nak akkor ltezzk vrhat rtke, ha 1 P a jxij P(X = xi) sor konvergens. Ekkor az X vrhat rtkn az i=1

EX = P xiP(X = xi) sorsszeget rtjk. 1

i=1

II.6

73

A vrhat rtk

b.) Az X folytonos val sznsgi vltoz nak akkor ltezzk vrhat rtke, ha +R1 az jxj fX (x) dx improprius integrl konvergens. Ekkor az X vrhat ;1

rtkn az EX =

R x f (x) dx X

+1

;1

szmot rtjk.

Megjegyzs :

a.) Egy val sznsgi vltoz nak nem felttlenl ltezik a vrhat rtke. Ksbb ltni fogunk ellenpldkat. b.) Az .n. Stieltjes -integrl segtsgvel a vrhat rtk mind a diszkrt, mind a folytonos esetben azonos m don denilhat . Legyen F (x) egy eloszlsfggvny, s legyen g(x) folytonos s korltos R-en. Legyen tovbb = fxk xk+1) k = 0 1 2 : : : k!;1 lim xk = ;1 klim x = 1g !1 k a szmegyenes egy vgtelen felosztsa, melynek a nomsgt ( ) = P1 g (x ) (F (x ) ; F (x )) sup (xk+1 ; xk ) jelli. Kpezzk a k+1 k k ;1
sszegeket, ahol xk az xk xk+1) intervallum egy pontja. A Riemannintegrl ltezsnek bizonytsa szinte sz szerint tvihet erre az esetre is, s gy kimutathat , hogy ha a (;1 1) intervallum felosztst minden hatron tl srtjk, azaz, ha ( ) ! 0, akkor az integrlkzelt R1 sszegek konverglnak egy hatrrtkhez, amelyet g(x)dF (x)-szel je;1 llnk, s a g(x) fggvnynek az F (x) slyfggvnyre vonatkoz Stieltjesintegrljnak nevezzk. A Stieltjes-integrl denci jb l kvetkezik, hogy ha F (x) egy diszkrt val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye, vagyis F (x) lpcss fggvny, mgpedig F (x) ugrshelyei x1 x2 : : : xn : : : s az R1 xn helyen F (x) ugrsa pn = F (xn + 0) ; F (xn), akkor g(x)dF (x) = ;1 1 P g(xn)pn : Knnyen belthat tovbb, hogy ha F (x) szakaszonknt n=1 R1 sima eloszlsfggvny, s F 0 (x) = f (x) akkor g(x)dF (x) = ;1 R1 g(x)f (x) dx: Ugyanis, ha F (x) az (a b) intervallumban mindentt dif-

;1

ferencilhat , akkor a Lagrange-kzprtkttel szerint F (xk+1 ) ; F (xk ) = f (x0k ) (xk+1 ; xk ), ahol xk < x0k < xk+1, s gy ha

74


x k = x0k , akkor a

1 1 P P g (x k ) (F (xk+1) ; F (xk )) = g (x0k ) f (x0k ) (xk+1 ; xk ) k=;1 k=;1

R1

sszeg ppen a g(x)f (x) dx Riemann-integrl integrl kzelt sszege! ;1 Teht, ha most g(x) = x, mind a diszkrt, mind a folytonos esetben a +R1 vrhat rtk Stieltjes-integrllal rhat fel: EX = x dFX (x): ;1

II.6.1. Ttel: Legyen g : R ! R tetszleges val s fggvny. Ekkor, ha az Y = g(X ) val sznsgi vltoz , s ltezik a vrhat rtke, akkor a.) ha X diszkrt : EY = b.) ha X folytonos: EY =

1 P g(x ) P(X = x )

i=1 +1

i

i

R g(x) f (x) dx: X

;1


Legyen az X diszkrt val sznsgi vltoz rtkkszlete a V megszmlhat szmhalmaz, az Y = g (X ) diszkrt val sznsgi vltoz pedig W = fy y = g (x) x 2 V g : EkkorXdenci szerint: EY = P yP (Y = y) = P y P (X = x) =

y 2W y2W x2V :g(x)=y X X P = g (x) P (X = x) = g (x) P (X = x) : y 2W x2V :g(x)=y

x2V

Folytonos eset: Tegyk 1fel, hogy g di"erencilhat . Ekkor

a II.5.1. ttelt alkalmazva: R R1 EY = yfY (y) dy = yfX (g;1 (y))

g (g 11(y))

dy = ;1 ;1 vgrehajtva az y = g ( x ) vltoz csert: 1 R = g(x)fX (x) dx: 0

;1

;

II.6.2. Ttel: Legyen az X val sznsgi vltoz nak vrhat rtke EX: Ekkor az Y = a X + b val sznsgi vltoz nak is ltezik vrhat rtke, s EY = aEX + b: Bizonyts : Alkalmazzuk a II.6.1. ttelt a g(x) = ax + b lineris fggvnyre!

III.1

Valsznsgi vektorvltozk, egyttes eloszlsfggvny

95

D = f! X2(!) < dg : Ekkor 0 P; (X 2 T) = P(a X1 < b c X2 < d) = CD = P BD(A + C ) = P (BD) ; P (BD (A + C )) = = P AB = P (BD);P (ABD + BCD) = P (BD);P (ABD);P (BCD)+P (ABCD) =

Mivel A B s C D, gy az elnyelds miatt: = P (BD) ; P (AD) ; P (BC ) + P (AB ), ami ppen az llts. III.1.4. Den ci: Ha X = (X1 X2 : : : Xp)T val sznsgi vektorvltoz eloszlsfggvnye FX s 1 j1 < j2 < < jk p egy tetszleges k elem indexkombinci , akkor az indexekhez tartoz Xj1 Xj2 : : : Xjk komponens val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsfggvnye az FX egy k-dimenzi s perem - vagy vetleti eloszlsfggvny e. III.1.3. Ttel: Ha a X1 X2 : : : Xp val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsfggvnye FX ismert, akkor brmely vetleti eloszlsfggvnye meghatrozhat . Fordtva ltalban nem igaz: ha ismerjk az sszes alacsonyabb dimenzi s vetleti eloszlsfggvnyt, az egyttes eloszlsfggvny nem llthat el. Bizonyts : A rszletes bizonytst a val sznsg folytonossgi tulajdonsgval lehetne elvgezni. Ekkor az lthat be, hogy FXi1 Xi2 :::Xik (xi1 xi2 : : : xik ) = 8xlim FX1X2:::Xn (x1 x2 : : : xn). !1 j

j 2= fi1 i2 :::ik g

Arra, hogy a fordtott llts nem igaz, p = 2 esetben adunk ellenpldt: Legyenek X1 s X2 olyan val sznsgi vltoz k, melyek csak a ;1 0 s +1 rtkeket vehetik fel az albbi eloszlstblzat szerint X1 n X2 ;1 0 +1 X1 perem ;1 0125 + " 0 0125 ; " 025 0 0 0 5 0 05 +1 0125 ; " 0 0125 + " 025 X2 perem 025 05 025 1 ahol 0 < " < 0125 8 tetszleges. x ;1 > < 0250 ha ha ; 1 < x 0 Ekkor FXi (x) = > 075 ha 0 < x : 1 ha 1 < x 1

94


II.6

75

A vrhat rtk

= P(X1 < x1 X2 < x2 : : : Xp < xp) fggvnyt az X val sznsgi vektorvltoz eloszlsfggvny nek, illetve az X1 X2 : : : Xp komponens val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsfggvny nek nevezzk.

a.) diszkrt eset: 1 1 1 P P P EX = (a xi + b)pi = a xi pi + b pi = a EX + b 1:

III.1.1. Ttel: Az X val sznsgi vektorvltoz eloszlsa s eloszlsfggvnye klcsnsen egyrtelmen meghatrozzk egymst.

b.) folytonos eset: +R1 +R1 +R1 EX = (ax + b)fX (x) dx = a xfX (x) dx + b fX (x) dx = ;1 ;1 ;1 a EX + b 1: Kvetkezmny : A konstans val sznsgi vltoz vrhat rtke nmaga.

Megjegyzs : A ttelt nem bizonytjuk.

III.1.2. Ttel: (Az egyttes eloszlsfggvny tulajdonsgai) a.) FX minden vltoz jban monoton nem cskken fggvny, azaz 8 i -re,

ha x i < x

i akkor FX (x1 : : : xi : : : xp ) FX (x1 : : : xi : : : xp ): b.) FX minden vltoz jban balr l folytonos fggvny, azaz lim0 FX (x1 : : : y : : : xp) = FX (x1 : : : x0i : : : xp): y !x i ; 0

c.) 8xlim F (x : : : xi : : : xp) = 1 s 9xlim F (x : : : xi : : : xp) = 0: !+1 X 1 !;1 X 1 i

i

d.) Az egyszersg kedvrt csak p=2 esetben modjuk ki ezt a tulajdonsgot. (Az ltalnos eset trgyalst lsd a III.7.1. feladatban.) Legyen T = a b) c d) tetszleges p = 2 dimenzi s tgla. Ekkor FX (a c) + FX (b d) ; FX (a d) ; FX (b c) 0: Bizonyts : Az a.), b.) s c.) lltsok az egydimenzi s esethez, hasonl an bizonythat ak rszletezsktl itt eltekintnk. A d.) llts nem szerepelt az egydimenzi s esetben, ott a neki megfelel alak a tetszleges a b) intervallum esetn FX (b) ; FX (a) 0, ami a monotonitsi tulajdonsggal esik egybe. Tbbdimenzi s esetben szksg van d.)-re, mert pl p = 2 esetben az x1 + x2 0 F (x1 x2) = 01 ha ha x1 + x2 > 0 fggvny kielgti a.), b.) s c.)-t, de d.) nem teljesl r. A bizonyts azon mlik, hogy megmutatjuk, hogy d.) baloldaln a P(X 2 T ) val sznsg ll, ami nyilvnval an nemnegatv. Deniljuk az albbi esemnyeket: A = f! X1 (!) < ag B = f! X1 (!) < bg C = f! X2 (!) < cg

i=1

i=1

i=1

II.6.1. Plda: (Az indiktor eloszls vrhat rtke) Az eloszls : P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 ; p = q: EX = 1 p + 0 q = p: II.6.2. Plda: (A binomilis; eloszls vrhat rtke) ; Az eloszls : pk = P(X = k) = nk pk (1 ; p)n;k = nk pk qn;k k = 0 1n2 : : : n: n ; EX = P k pk = P k nk pk qn;k =

Pn kk=0;npk qn;k k==0 Pn n! pk qn;k = (k;1)!(n;k)! k k=1 k=1 n nP ;1 P = np (k;1)!((nn;;11)!;(k;1))! pk;1 qn;1;(k;1) = np !((nn;;11)!;)! pk;1 qn;1; = =0 k=1 nP ;1 ;n;1 k ; 1 n ; 1 ; n ; 1 = np p q = np (p + q) = np azaz EX = np:

=

=0

II.6.3. Plda: (A Poisson-eloszls vrhat rtke) Az eloszls : pk = P(X = k) = kk! e; k = 0 1 2 : : : : 1 1 1 P P P P1 EX = k pk = k kk! e; = (k;k1)! e; = e; (kk;1)!1 = k=0 k=1 k=1 k=1 = e; e = : ;

II.6.4. Plda: (A geometriai eloszls vrhat rtke) Az eloszls : pk = P(X = k) = (1 ; p)k;1 p = qk;1p, k = 1 2 3 : : : 1 1 1 1 EX = P k pk = P k qk;1 p = P (k ; 1) qk;1p + P qk;1p = q EX +1, k=1 k=1 k=2 k=1 ahonnan EX -et kifejezve EX = 1;1 q = p1 ad dik.

76


II.6.5. Plda: (Az egyenletes eloszls vrhat h i rtke)

EX =

R x f (x) dx = Rb x 1 dx = 1 X b;a b;a

+1

;1

a

x2 b 2 a

= b;1a b2;2a2 = a+2 b :

II.6.6. Plda: (Az exponencilis eloszls vrhat rtke)

R x f (x) dx = R1 x e;x dx = ;xe;x1 + R1 e;x dx = X 0 0 0 ;1 = 0 + ; 1 e;x 1 = 1 : EX =

+1

0

II.6.7. Plda: (A normlis eloszls vrhat rtke) a.) Standard normlis eloszls h +R1 2 2 i+1 R1 EX = x fX (x) dx = x p12 e; x2 dx = ; p12 e; x2 ;1 = 0: ;1

;1

b.) Az ltalnos eset, X 2 N ( ): +R1 R1 EX = x fX (x) dx = x ' (x) dx = ;1

;1

R1 x 1 '( x; ) dx =

;1

R1 (y + ) '(y) dy = +R1 y'(y) dy + +R1 '(y) dy = 0+ 1 = :

= ;1 ;1 ;1 Teht a normlis eloszls paramtere a vrhat rtket jelenti.

II.7. Magasabb momentumok, szrsngyzet

II.7.1. Den ci: Az X val sznsgi vltoz n-edik momentum n az X n val sznsgi vltoz vrhat rtkt rtjk, ha az ltezik. Jells : n = EX n . Megjegyzs :

P1 a.) diszkrt esetben: n = xniP(X = xi): i=1 b.) folytonos esetben : n =

R xn f (x) dx: X

+1

;1

III. fejezet Val szn sgi vektorvltoz k III.1. Valsznsgi vektorvltozk, valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa Nagyon gyakran nem lehet a vletlen jelensget egyetlen szmadattal jellemezni. Pl. amikor az idjrsi helyzetet pr bljk elrejelezni, megadjk a vrhat hmrsklet, csapadkmennyisg, lgnyoms, szlerssg stb. adatokat, azaz a prognosztizlt helyzetet egy vektorral jellemzik. A vektor komponensei val sznsgi vltoz k, rtkeik a vletlentl fggnek. Felmerlhet az egyes komponensek kztt fennll kapcsolatok krdse is.

III.1.1. Den ci: Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez. Tekintsk az X : ! Rp fggvnyt! Az X = (X1 X2 : : : Xp)T val sznsgi vektorvltoz , ha minden B 2 Bp p-dimenzi s Borel-halmazra f! X (! ) 2 B g 2 = teljesl.

Bp a B1 B2 Bp alak halmazok ltal generlt algebra, ahol Bi 2 B tetszleges egydimenzi s Borel-halmaz. Megjegyzs :

III.1.2. Den ci: A QX (B ) = P(f! X (!) 2 B g), B 2 Bp az X va-

l sznsgi vektorvltoz eloszls a.

III.1.3. Den ci: Legyen (x1 x2 : : : xp)T = x 2 Rp, s a hozztartoz

p-dimenzi s Borel-halmaz Bx = ( ;1 x1 ) ( ;1 x2 ) ( ;1 xp ): Ekkor az FX (x) = FX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp) = QX (Bx) = 93

92


II.8.29. Gyakorlat: Az orig b l kiindulva egy bolha ugrl a szmegyenesen. Minden ugrsa egysgnyi hossz s a tbbitl fggetlenl p val sznsggel jobbra, 1 ; p val sznsggel balra trtnik. Az tdik ugrs utn meggyeljk a bolha helyt. Adja meg ennek az eloszlst!

II.7

Magasabb momentumok, szrsngyzet

77

II.8.30. Gyakorlat: Az X normlis eloszls val sznsgi vltoz vrhat rtke ;5 s tudjuk, hogy P (;5 X < 0) = 0 3: Mennyi P (;5 < X < 4)?

II.7.2. Den ci: Az X val sznsgi vltoz szrsngyzet n vagy variancijn az Y = (X ; EX )2 val sznsgi vltoz vrhat rtkt rtjk (amennyiben az ltezik). Jells : 2X = E(X ; EX )2: Az Xpval sznsgi vltoz szrsa a sz rsngyzet pozitv ngyzetgyke: X = + E(X ; EX )2: Megjegyzs :

II.8.31. Gyakorlat: Ltezik-e az F (x) = x ln x ; x + 1 x 2 1 e] eloszlsfggvny val sznsgi vltoz nak msodik momentuma?

a.) diszkrt esetben: 2X =

II.8.32. Az X val sznsgi vltoz srsgfggvnye 8 Gyakorlat: ;2x

b.) folytonos esetben :2X =

< 2e fX (x) = : 3e2x 0 2

ha 0 x 1 ha 1 < x 2 : Mennyi EX ? egybknt

II.8.33. Gyakorlat: Egy szablyos pnzrmt addig dobok fel ismtelten, amg kt fejet, vagy kt rst nem kapok. Mennyi a dobsok szmnak vrhat rtke s sz rsa? II.8.34. Gyakorlat: Legyen X 2 E (), ahol = 0 1s Y = X ] azaz X egszrsze. Mennyi az Y diszkrt val sznsgi vltoz vrhat rtke? II.8.35. Gyakorlat: Egy jtkos rulettezik. Hrom ttet tesz meg: egyegy 100 Ft-os zsetont tesz a fekete 13 szmra, a fekete mezre s a pratlan mezre. )tszr megismtelve ezt a stratgit, mennyi a jtkos nyeresgnek (vesztesgnek) vrhat rtke? (A rulettrcsn 0-t l 36-ig llnak a szmok, 18 fekete, 18 piros, a 0-s zld szn.A fekete szmok kztt 9 db pros s 9 db pratlan van. Ha valaki szmra tesz, a ttet s mg annak 36-szorost sepri be. A fekete vagy pratlan mezkn a nyeresg ktszeres. A 0-ra nem lehet fogadni. Ha 0-s prg ki, minden megrakott ttet a bank viszi el.)

1 P (xi ; EX )2 P(X = xi):

i=1 +1

R (x; EX )2 f (x) dx: X

;1

II.7.1. Ttel: Legyen X olyan val sznsgi vltoz , melynek ltezik sz rsngyzete. Ekkor minden val s x esetn: 2X = E(X ; EX )2 E(X ; x)2: Bizonyts : A bizonytsban felhasznljuk a vrhat rtk additv tulajdonsgt, melyet majd a III.4.6. ttelben bizonytunk. Legyen g(x) = E(X ; x)2 = E(X 2 ; 2X x + x2) = EX 2 ; 2x EX + x2: Mivel g0(x) = 2x ; 2 EX = 0, akkor ha x = EX s g00(x) = 2 > 0, ezrt az x = EX hely minimumhely, ami mr igazolja az lltst. Megjegyzs : Az X val sznsgi vltoz rtkei a vrhat rtk krl ingadoznak a legkisebb mrtkben az sszes val s szm kzl, s ezt a minimlis ingadozst, bizonytalansgot jellemzi a sz rsngyzet. Ha teht egy val sznsgi vltoz nak nagy a sz rsa, rtkeit bizonytalanul tudjuk csak megbecslni. Ha a sz rsngyzet kicsi, a bizonytalansgunk a vltoz rtkeit illeten cskken. Ad abszurdum, a konstans sz rsngyzete 0. II.7.2. Ttel: 2X = 0 () P(X = EX ) = 1: Bizonyts : Ha X diszkrt, akkor P(x0i=; E2XX)2= P(X = xi) = P (xi; EX )2 P(X = x ) () i 8i 8i:xi6=EX () 8i P : xi 6= EX ) P(X = xi) = 0 () () P(X = xi) = P(X 6= EX ) = 0 () 8i:xi6=EX () P(X = EX ) = 1:

78


II.7.3. Ttel: (Steiner formula)

2X = E(X ; a)2 ; E(X ; a)]2 minden a 2 R-re. Specilisan a = 0-ra 2X = EX 2 ; EX ]2: Bizonyts : Legyen a 2 R tetszleges ! E(X ; a)2 = E(X 2 ; 2aX + a2) = EX 2 ; 2a EX + a2 E(X ; a)]2 = EX ; a]2 = EX ]2 ; 2a EX + a2: $gy E(X ; a)2 ; E(X ; a)]2 = EX 2 ; EX ]2: Viszont 2X = E(X ; EX )2 = E(X 2 ; 2X EX + EX ]2) = = EX 2 ; 2EX EX + EX ]2 = EX 2 ; EX ]2 amibl mr kvetkezik az llts. II.7.1. Kvetkezmny: Mivel 2X = E(X ; EX )2 0 ) EX 2 EX ]2, teht, ha X msodik momentuma (gy a sz rsngyzete is) ltezik, akkor a vrhat rtknek is lteznie kell! II.7.4. Ttel: 2(aX + b) = a2 2X , minden a b 2 R-re. Azaz a sz rsngyzet eltols invarins. Bizonyts : 2(aX + b) = E(aX + b)2 ; E(aX + b)]2 = = a2 EX 2 + 2ab EX + b2 ; a2 EX ]2 ; 2ab EX ; b2 = = a2 (EX 2 ; EX ]2) = a2 2X: II.7.3.X Den ci: Egy X val sznsgi vltoz standardizltjn az X~ = X ;E X lineris transzformlt val sznsgi vltoz t rtjk. Megjegyzs : EX~ = 0 2X~ = 1:

II.7.1. Plda: (Az indiktor eloszls szrsngyzete)

2X = (1 ; p)2 p + (0 ; p)2 q = q2 p + p2 q = p q(q + p) = pq = p(1 ; p):

II.7.2. Plda: (A binomilis eloszls szrsngyzete)

2X = EX 2 ; EX ]2 n Pn ; Pn ; EX 2 = P k2 pk = k2 nk pk qn;k = k2 nk pk qn;k =

Pn k k=0(k ; 1) ;nkp=0k qn;k + Pn k ;npkk=1qn;k = k k k=1 k=1 n P n ! = pk qn;k + EX =

=

k=2

(k;2)!(n;k)!

II.8

91


II.8.20. Gyakorlat: Egy mrs elvgzshez kt lehetsgnk van. Vagy egy drga kszlkkel mrnk egyet, ahol a mrs hibja N (0 1) eloszls, vagy egy olcs kszlkkel mrnk hromszor, s a mrseredmnyeket tlagoljuk, ahol viszont a mrs hibja mr N (0 1 6) eloszls. Melyik mrsi technika adja a pontosabb mrst? II.8.21. Gyakorlat: Egy dobozban a szivrvny ht sznvel egyez szn goly k vannak. Addig hzzuk ki a goly kat visszatevssel a dobozb l, amg valamennyi szn goly t ki nem hztunk egyszer. Mi az ehhez szksges X hzsszm eloszlsa? II.8.22. Gyakorlat: Legyen az X val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye F (x) srsgfggvnye pedig f (x): Bizonytsa be, hogy EF (X ) = 21 : II.8.23. Gyakorlat: Legyen X logisztikus eloszls, azaz srsgfggvnye: fX (x) = (1+eexx )2 x 2 R: Szmolja ki az X medinjt, vagyis azt az MX szmot, amelyre P (X < MX ) = P (X MX ) = 12 teljesl. II.8.24. Gyakorlat: Legyen X 2 f0 1 2 : : :g olyan val sznsgi vl1 P toz , melynek ltezik a vrhat rtke. Bizonytsa be, hogy EX = P (X i) : i=1

II.8.25. Gyakorlat: Legyen az X val sznsgi vltoz olyan, hogy P (0 < X < 1) = 1: Bizonytsa be, hogy 2X < EX ! II.8.26. Gyakorlat: Egy baromudvarban a gondoz gyrjrl lees rtkes kvet az egyik liba lenyelte. A gondoz knytelen a libk levgsval megpr blni visszaszerezni a kvet. Addig vgja le a vletlenszeren elkapott libkat, amg valamelyik begyben meg nem tallja a kvt. Ha sszesen 50 liba van a farmon, mennyi a knyszersgbl levgott libk szmnak vrhat rtke? II.8.27. Gyakorlat: Legyen P = (a b) az egysgngyzet egy vletlenl kivlasztott pontja. Jellje X a P pont orig t l vett euklideszi tvolsgt. Mennyi X vrhat rtke?

II.8.28. Gyakorlat: Legyen X 2 B ;3 14 s Y = X 3: Mi Y eloszlsa,

s mennyi a vrhat rtke?

90


II.8.11. Gyakorlat: Tekintsk az f (x) =

3x2 x 7

2 1 2] srsgfgg-

vnyt! Az X 2 U (0 1) segtsgvel lltsunk el olyan Y val sznsgi vltoz t, amelynek srsgfggvnye ppen f (x)!

II.8.12. Gyakorlat: Milyen b rtknl lesz az f (x) = bpx ; 2 x 2 (2 3)

fggvny srsgfggvny?

II.8.13. Gyakorlat: Egy normlis eloszls val sznsgi vltoz 0 1 val sznsggel vesz fel 10 2-nl kisebb rtket, s 0 25 val sznsggel 13 6nl nagyobb rtket. Mennyi a vrhat rtke s sz rsa? II.8.14. Gyakorlat: Egy szmt gpes szervzben egy h nap hsz munkanapjb l tlagosan kettn nincsen reklamci . Poisson-eloszlst felttelezve, mennyi annak a val sznsge, hogy egy adott napon hrom, vagy hromnl tbb reklamci rkezik? II.8.15. Gyakorlat: Legyen X 2 U (a b) s Y = X n: Adja meg Y el-

oszlsfggvnyt!

II.8.16. Gyakorlat: Egy teg addig tzel egy clpontra, amg el nem

tallja. A tallat val sznsge minden lvsnl p. Mennyi az egy tallathoz szksges tlagos lszerkszlet, a munci ?

II.8.17. Gyakorlat: Az A knyvben az egy oldalon tallhat sajt hibk szma X 2 Po (1) mg a B knyvben ugyanez Y 2 Po (2) : Igaz-e a kvetkez kt llts egyszerre: (i) Az A knyvben hromszor annyi sajt hiba van mint a B knyvben. (ii) A B knyvben tszr akkora egy hibamentes oldalnak a val sznsge, mint az A knyvben? II.8.18. Gyakorlat: A boltban rult izz k 1%-a hibs. Ha vesznk 100 darabot, akkor hny darab lesz benne rossz a legnagyobb val sznsggel, s mekkora ez a val sznsg? II.8.19. Gyakorlat: Egy 1 MFt nkltsg szmt gp termeli rt kell meghatrozni. A szmt gp lettartama exponencilis eloszls 10 v vrhat rtkkel. Garancit vllalunk gy, hogy ha az els vben a gp elromlik, akkor kicserljk, ha a msodik is elromlik egy ven bell, akkor visszaadjuk a gp rt. A termeli r legyen az az rtk, mely mellett a kiads s a bevtel vrhat rtke megegyezik. (A visszavett gpek rtktelenek.)

II.7

79


Pn (n;2)! k;2 q n;2;(k;2) + np = (k;2)!(n;2;(k;2))! p k=2 nP ;2 ;n;2 = n (n ; 1)p2 p q n;2; + np = = n (n ; 1) p2

=0 = n (n ; 1) p2 (p + q)n;2 + np = n2p2 ; np2 + np: $gy 2X = n2p2 ; np2 + np ; (np)2 = np(1 ; p) = npq:

II.7.3. Plda: (A1Poisson-eloszls szrsngyzete) 1 1 1

EX 2 = P k2 pk = P k (k ; 1) pk + P k pk = P (k;k2)! e; + = k=0 1

P

k=1

k=0

= 2 e; (k;k 2)!2 + = 2 e; e + = 2 + : k=2 $gy 2X = EX 2 ; EX ]2 = 2 + ; 2 = :

k=1

;

II.7.4. Plda: (A geometriai eloszls szrsngyzete) 1 1

;

EX 2 = P k2 qk;1p = P (k ; 1)2 + 2k ; 1 qk;1p = q EX 2 +2EX ; 1 = k=1 k=1 = q EX 2 + 2 1p ; 1: Innen EX 2-et kifejezve: EX 2 = 2p;2p : $gy 2X = EX 2 ; EX ]2 = 2p;2p ; p12 = pq2 = 1p;2p :

II.7.5. Plda: (Az egyenletes eloszls szrsngyzete)

R

h ib

Rb

+1

EX 2 = x2 fX (x) dx = x2 b;1 a dx = b;1a x33 a = b;1 a b3;3a3 = a2+a3b+b2 ;1 a 2X = EX 2 ; EX ]2 = a2+a3b+b2 ; (a+4b)2 = a2;212ab+b2 = (b;12a)2 :

II.7.6. Plda: (Az exponencilis eloszls szrsngyzete)

R x2 f (x) dx = R1 x2 e;x dx = ;x2e;x1 + R1 2xe;x dx = X 0 ;1 0 0 1 R ; 2 2 1 2 ; x 2 2 2 = 0+ xe dx = = , gy X = EX ; EX ] = 2 ; 1 2 = 1 : EX 2 =

+1

0

2

II.7.7. Plda: (A normlis eloszls szrsngyzete)

2

2

80


a.) Standard normlis eloszls +R1 2 R1 EX 2 = x2 fX (x) dx = x2 p12 e; x2 dx =

h

i

;1 ;1 1 2 x2 +1 1 ; x (; p2 e 2 ) ;1 + p12 e; x2 ;1

R

R1 x x p1

2

;1

2 e; x2

dx =

= dx = 0 + 1 = 1: 2 2 2 $gy X = EX ; EX ] = 1 ; 0 = 1: b.) Az ltalnos eset, X 2 N ( ): +R1 R1 EX 2 = x2 fX (x) dx = x2 ' (x) dx =

;1 ;1 1 1 R R x ; 1 2 = x '( ) dx = (y + )2 '(y) dy = ;1 ;1 +R1 +R1 +R1 = 2 y2'(y) dy + 2 y'(y) dy + 2 '(y) dy = ;1

;1

;1

= 2 1 + 2 0 + 2 1 = 2 + 2: Innen 2X = EX 2 ; EX ]2 = 2 + 2 ; 2 = 2: Teht a normlis eloszls paramtere a sz rst jelenti.

II.8. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok II.8.1. Feladat: Mutassuk meg, hogy az F (X ) =

fggvny nem lehet eloszlsfggvny!

0 ha x 1 ha x > 1

1+2x x;08

Megolds : Mivel xlim F (x) = 2, ezrt a c.) tulajdonsg srl. !1

II.8.2. Feladat: Egy csomag magyar krtyb l tallomra kihzunk egy lapot. Vegye fel X a krtya pontrtkt! (als :2, fels:3, kirly:4, sz:11, hetes:7, nyolcas:8, kilences:9, tizes:10). Adjuk meg s brzoljuk a eloszlsfggvnyt! Megolds : X rtkkszlete a f2 3 4 7 8 9 10 11g szmhalmaz. Mindegyik i rtket P(X = i) = 1=8 val sznsggel veheti fel. $gy az eloszlsfggvny:

II.8


89

II.8.1. Gyakorlat: Az egysgnnyzeten tallomra kivlasztunk egy P pontot. Jellje X a P s a hozz legkzelebb ll cscs tvolsgt. Adja meg X eloszls- s srsgfggvnyt! II.8.2. Gyakorlat: Legyen X 2 E () s Y = X 2 : Adja meg Y srsgfggvnyt! II.8.3. Gyakorlat: Legyen az X val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye F (x) : Legyen Y = maxf0 X g Z = minf0 ;X g V = jX js W = ;X: Fejezze ki Y Z V s W eloszlsfggvnyt F (x)-szel! II.8.4. Gyakorlat: A (0 1) intervallumban kijellnk hrom pontot vletlenszeren. Hatrozzuk meg a kzps pont 0;t l val tvolsgnak eloszlsfggvnyt! II.8.5. Gyakorlat: Egy csomag 32 lapos magyar krtyb l kihzunk egy lapot. Legyen X a kihzott lap rtke. Adja meg s brzolja X eloszlsfggvnyt! Szmolja ki a 7 5 < X < 10 2 esemny val sznsgt! p II.8.6. Gyakorlat: Legyen X 2 U (0 1) s Y = 2X: Adja meg Y srsgfggvnyt! II.8.7. Gyakorlat: Egy hztartsi gp gyri nkltsge 10 000 Ft. A termkre a gyr 1 v garancit ad, ami szerint a hibs gpet ingyen kicserli, amennyiben az 1 ven bell meghibsodik. A gyr szakemberei szerint a gp lettartama 30 v vrhat rtk exponencilis eloszls. A termeli r a gp nkltsge plussz a garancilis cserk nkltsgnek vrhat rtke. Mekkora legyen a termeli r? ; II.8.8. Gyakorlat: X 2 E (2) segtsgvel generljon egy Y 2 G 13 val sznsgi vltoz t! II.8.9. Gyakorlat: Egy gyrtmnynak az egy szzalka selejtes. A darabokat ezresvel dobozokba csomagoljk. Mennyi a val sznsge, hogy egy vletlenszeren kivlasztott dobozban nincs hromnl tbb hibs? II.8.10. Gyakorlat: Egy szablyos pnzrmt addig dobunk fel jra s jra, mg meg nem kapjuk a msodik fej et is. Mennyi annak a val sznsge, hogy az els fej utn a msodik fej ig ugyanannyi dobsra van szksg, mint ahny dobs kellett az els fej ig?

88


II.8.27. Feladat: Ha az X srsgfggvnye fX (x) = (1+1 x ) (x 2 R), 2

akkor ltezik-e vrhat rtke? diverR1 Megolds: Nem ltezik, mert x (1+1 x2) dx = 21 ln (1 + x2 ) 1 ;1 ;1 gens. II.8.28. Feladat: Legyen X 2 N ( ), azaz , paramter normlis eloszls val sznsgi vltoz ! Adjunk kpletet EX n -re! Megolds: Ha X~ = X; jelli a standardizltat, akkor X~ 2 N (0 1). R1 R1 EX~ n = xn ' (x) dx = (n ; 1) xn;2' (x) dx = (n ; 1) EX~ n;2 . Mivel ;1 ;1 EX~ = 0, gy a standardizlt minden pratlan hatvnynak vrhat rtke 0. EnX~ 2n = (n ; 1)(n ; 3) 1 = (n ; 1)!, mivel EX~ 2 = 1. Msrszt EX n = P ;nk n;k EX~ k is fennll. Behelyettestve kaphatjuk a vgeredmnyt. k

II.8


8 0 > > 1=8 > > 2=8 > > < 3=8 FX (x) = > 4=8 5=8 > > 6=8 > > > : 7=8

ha ha ha ha ha ha ha ha 1 ha

81

x2 2<x3 3<x4 4<x7 7<x8 8<x9 9 < x 10 10 < x 11 11 < x

k=0

II.8.29. Feladat: Egy jtkos 1023 zseton indul tkvel rulettezik. Az a stratgija, hogy addig folytatja a jtkot, amg vagy nyer, vagy pedig elfogy az sszes zsetonja. Minden forgats eltt a piros mezre rak megduplzva az elz ttet. Mennyi a nyeremnynek a vrhat rtke? (Az egyszersg kedvrt tekintsk a piros s fekete forgatsok val sznsgeit 21 -nek!) ; Megolds: X a piros forgatshoz szksges ksrletszm: X 2 G 21 : Y a jtkos nyeresge. A nyeresg, ha nyer a jtkos mindig 1 zseton. A jtkos a 10-dik jtk utn mindegyik zsetonjt elveszti: 1+2+4+ +210 = 1 ; 1 k P 1 1 1023: P (X > 10) = 2 = 210 ) P (X 10) = 1 ; 210 : k=11 ; EY = 1 1 ; 2110 ; (210 ; 1) 2110 = 0: A vrhat nyeresg teht 0 zseton! II.8.30. Feladat: Egy rten hrom szarvas legelszik gyantlanul. Egymsr l nem tudva hrom vadsz lopakodik a tisztshoz, s egyszerre tzelnek a vadakra. Mindegyik lvs tall, s hallos. Mennyi a lvsek utn a rtrl elszalad szarvasok szmnak vrhat rtke s sz rsa? (Elvileg tbb vadsz is lhet ugyanarra a szarvasra. . . ) Megolds: X az elfut szarvasok szma: X 2 f0 1 2g : P (X = 2) = P (Mindegyik vadsz ugyanazt a szarvast lvi le ) = 273 P (X = 0) = P (Mindegyik vadsz ms-ms a szarvasra l ) = 276 P (X = 1) = 1 ; P (X = 0) ; (X = 2) = 1827 EX = 89 EX 2 = 109 2X = 8126 :

II.8.3. Feladat: A vletlen ksrlet az, hogy n darab dobozba vletlenszeren goly kat helyeznk el gy, hogy minden elhelyezsnl brmelyik doboz kivlasztsa egyformn val szn. Akkor llunk meg, ha szrevesszk, hogy az egyes szm dobozba bekerlt az els goly . Jellje X a ksrlet befejezdsekor az elhelyezett goly k szmt. Adjuk meg az X eloszlst! Megolds : Annak a val sznsge, hogy az egyes szm dobozba ejtnk egy goly t p = n1 , annak, hogy nem ebbe kerl a goly q = n;n 1 . Ha Aval jelljk azt az esemnyt, hogy az egyes dobozba kerl a goly , akkor a goly k elhelyezst addig kell folytatnunk, amg A elszr be nem kvetkezik, X geometriai eloszls lesz. Az eloszlsa: P (X = k) = qk;1p = ;teht n;1 k;1 1 k = 0 1 2 : : : : n n

II.8.4. Feladat: Mennyi a val sznsge, hogy a hagyomnyos 90/5 lott hzs sorn valamennyi kihzott szm pros lesz?

82

II. FEJEZET A valsznsgi v ltoz 45 45 Megolds : Az X eloszlsa, P (X = k ) = ( k ()(905) k) k = 0 1 2 3 4 5. A k ;

krds arra vonatkozik, amikor k = 5, azaz a keresett val sznsg: 45 45

P (X = 5) = ( 5()(905)0 ) 00278.

II.8.5. Feladat: Az egysgngyzeten kivlasztunk vletlenszeren egy pontot. Jellje X a pontnak a legkzelebbi oldalt l vett tvolsgt. Adjuk meg az X val sznsgi vltoz srsgfggvnyt! Megolds : Geometriai m dszerrel lehet meghatrozni az eloszlsfgg-

vnyt. Az albbi brn stttve mutatjuk az X < x esemnynek megfelel tartomnyt:

A terlet nagysga 1;(1 ; 2x)2, gy FX (x) =

8 0 < 2 1 ; (1 ; 2 x ) :

4 ; 8x1

Derivls utn kapjuk a srsgfggvnyt: fX (x) =

ha x 0 ha 0 < x 0 5 . ha x > 05 ha 0 < x 05 0 egybknt.

II.8.6. Feladat: Egy egysgnyi hosszsg szakaszt tallomra vlasztott pontjval kt rszre osztunk. Mi a keletkezett szakaszok kzl a kisebbik hossznak srsgfggvnye? tvolsgt! Megolds : Jelljk Y -nal a kivlasztott pont orig t l 8 0vett < ha x 0 Ekkor nyilvn Y 2 U 0 1], s eloszlsfggvnye FY (x) = : x ha 0 < x < 1 . 1 ha x 1 A keletkez szakaszok kzl a rvidebb hosszt X -el! A kt vltoz

Y jelljk ha Y kztt az albbi kapcsolat ll fenn: X = 1 ; Y ha Y0>5 05 : $gy X eloszlsfggvnye kifejezhet Y eloszlsfggvnyvel:

II.8


87

Megolds : Jellje X az egy nap alatt meghibsodott telefonkszlkek 12 = 1 ) szmt! X nyilvn Poisson-eloszls. Mivel P (X = 0) = e; 360 30 1 ln 30: Ezrt P (X 2) = 1 ; P (X ;= 1) ; P (X = 0) = 1 ; 30 (1 + ln 30) : 1 Az X 2 napok vrhat szma: 360 1 ; 30 (1 + ln 30) 307:

II.8.23. Feladat: Az X 2 U (0 1) val sznsgi vltoz segtsgvel generljunk Y 2 G (0 25) eloszls val sznsgi vltoz t! Megolds : Legyen qi =

qi+1 i = 0 1 2 : : :.

Pi 3j q j 0 j =0 4 ;

1

= 1: Ekkor Y = i ha qi < X

II.8.24. Feladat: Egy kpzeletbeli diktatrban a Nagy Testvr az albbi rendeleteket hozta: 1. A hadsereg utnp tlsnak biztostsa vgett minden csald kteles gyermeket szlni. 2. A demograi robbans elkerlse vgett minden csaldban, ha mr szletett , tbb gyermek nem szlethet. Hogyan vltoztatja meg a Nagy Testvr ezen kt rendelete a -lny arnyt? Megolds : A Nagy Testvr vgtelen blcsessge kvetkeztben, nem vltozik meg a lny arny! Hiszen, ha N csald van az orszgban, a k szma nyilvn N lesz. A lnyok pedig: N4 + N8 2 + 16N 3 + + 2kN+1 k + = 1 N P k 1 = N: 4 2k 1 k=1

;

II.8.25. Feladat: Legyen X Poisson-eloszls > 0 paramterrel, Y = 2X + 1. Adjuk meg Y vrhat rtkt s sz rsngyzett! Megolds: EY = 2EX + 1 = 2 + 1 2 Y = 4 2X = 4: II.8.26. Feladat: Legyen X n s p paramter binomilis eloszls val sznsgi vltoz , Y = 1+1X . Adjuk meg Y vrhat rtkt s sz rst! 2Y =

Pn ; ;

k=0

Pn

;

n;k = : : : 1 n k 1+k k p (1 ; p) k=0 1 2 n pk (1 ; p)n;k ; (EY )2 = : : : stb. 1+k k

Megolds: EY =

86


Megolds : Jellje Y illetve Z a kt pont orig t l vett tvolsgt! Ekkor X = jY ; Z j, P (X < x) = P (Y ; x < Z < Y + x) : Geometriai val sznsgszmtsi m dszerrel: (Y Z ) egy vletlen pont az egysgngyzetben, gy az (Y ; x) < Z < (Y + x) felttelnek megfelel tartomny:

8 0 < A keresett eloszlsfggvny: FX (x) = : 1 ; (1 ; x)2 1

ha x 0 ha x 2 (0 1) : ha x 1

II.8.20. Feladat: Az A paramter milyen rtknl lesz az f (x) = Ae;x 2

x 2 R fggvny srsgfggvny? Mennyi ekkor a vrhat rtk s a sz rsngyzet? ; 2x21

Megolds : A = p1 ) f (x) = p21 1 e p

2

2

N 0 p12 :

II.8.21. Feladat: Az egysgnyi oldal ngyzet kt tellenes oldaln tallomra vlasztunk egy-egy pontot. Jelljk X -el a kt pont tvolsgt! Adja meg az FX (x) =: P (X < x) eloszlsfggvnyt!

q ; p Megolds : X = (x ; y)2 + 1 t 2 1 2 -re ; FX (t;) = Pp(X < t) = P (x ;py)2 + 1 < t2 = = P x; p t2 ; 1 < y < xp+ t2 ; 1 = ; = 1 ; 1 ; t2 ; 1 2 = 2 t2 ; 1 ; (t2 ; 1) :

II.8.22. Feladat: Az egyetemen nagyon sok telefonkszlk van, amelyek egymst l fggetlenl romlanak el azonos val sznsggel. Az v 360 napjb l tlagosan 12 olyan nap van, hogy egyetlen kszlk sem romlik el. Vrhat an, hny olyan nap lesz, amikor 2 vagy 2-nl tbb telefon romlik el?

II.8


83

FX (x) = P(X < x) = P(X < x Y 05) + P(X < x Y > 05) = = P(Y < x Y 05) + P(1 ; Y8< x Y > 05) = 0 ha x 0 < = P (Y < x)+P (1 ; x < Y ) = : x + (1 ; (1 ; x)) = 2x ha x 2 (0 05) , 1 ha x 05 azaz X 2 U 0 05] : II.8.7. Feladat: Egy szobban t telefon mkdik, melyek kzl brmelyik megsz lalhat a tbbiektl teljesen fggetlenl X idn bell, ahol X = 1 paramter exponencilis eloszls val sznsgi vltoz . Mennyi az eslye annak, hogy egysgnyi idn bell pontosan kt telefonkszlk fog csrgni? Megolds : Az A: egy telefon megcsrren egysgnyi idn bell esemny val sznsge: p = P (X < 1) = FX (1) = 1 ; e;1: Mivel t fggetlenl zemel kszlknk van, a feladat tfogalmazhat gy, mintha az A esemnyre vonatkoz tszrs ksrletsorozatr l volna sz . $gy a binomilis eloszlst gyelembevve, ; annak val sznsge, hogy az A esemny pontosan ktszer kvetkezik be: 52 p2 (1 ; p)3 = 10 (1 ; 1=e)2 (1=e)3 01989: II.8.8. Feladat: Egy automata zacsk kba cukorkt adagol. A zacsk k X slyt = 100 (gramm), = 2 (gramm) paramter normlis eloszlsnak tekinthetjk. Mennyi a val sznsge annak, hogy hrom vletlenszeren kivlasztott zacsk kztt legalbb egy olyan van, amelynek a slya 99 s 101 gramm kz esik? Megolds : Legyen A : a zacsk slya 99 s 101 gramm kz esik esemny . Az A bekvetkezsnek val sznsgt az eloszlsfggvnye segtsgvel hatrozhatjuk meg:; P(A) = P(99 ; X< 101) = = FX (101) ; FX (99) = 101;2 100 ; 99;2100 = (05) ; (;05) = = 2 (05) ; 1 0383: A hrom zacsk kivlasztsa n = 3 s P(A) paramter;binomilis eloszlssal modellezhet, ami alapjn a keresett val sznsg: 1 ; 30 (P(A))0 (1 ; P(A))3 0765114887: II.8.9. Feladat: Legyen az X val sznsgi vltoz folytonos eloszlsfggvnye olyan, hogy 1 > F (x) > 0 esetben szigoran monoton nveked is. Bizonytsa be, hogy ekkor az Y = 3F (X )+4 val sznsgi vltoz egyenletes eloszls a 4 7] intervallumon! Megolds : P(Y < x) = P(3F (X ) + 4 < x) = P(X < F ;1( x;3 4 )) = F (F ;1( x;3 4 )) = x;3 4 .

84


II.8

85


II.8.10. Feladat: Legyen az X val sznsgi vltoz folytonos eloszlsfggvnye olyan, hogy 1 > F (x) > 0 esetben szigoran monoton nveked is. Bizonytsa be, hogy ekkor az Y = ln F (1X ) eloszlsa = 1 paramter exponencilis!

Megolds : P(Y < x) = P (jX ; 1j < x) = P(1 ; x < X < 1 + x) = 1+x 1;x ha x 2 0 1] = FX (1 + x) ; FX (1 ; x) = 2 ; 2 = x 1 ha x > 1: , vagyis Y 2 U 0 1].

Megolds : P(Y < x) = P(ln F (1X ) < x) = P(F (X ) > e;x ) = = 1 ; P(F (X ) e;x) = 1 ; P(X < F ;1(e;x)) = = 1 ; e;x ) Y 2 E (1):

II.8.15. Feladat: Ha X -paramter exponencilis eloszls val sznsgi vltoz , akkor mi a srsgfggvnye az Y = 3X + 3 val sznsgi vltoz nak?

II.8.11. Feladat: Ha az X val sznsgi vltoz srsgfggvnye f (x),

Megolds : P(Y < x) = P(X < x;3 3 ) = 1 ; e; x 3 3 , ha x 3. ;

e; x 3 3 ,

akkor mi a srsgfggvnye az Y = jX j val sznsgi vltoz nak?

fY (x) = 3

Megolds : P(Y < x) = P(jX j < x) = P(;x < X < x) = F (x) ; F (;x), derivls utn kapjuk a srsgfggvnyt: fY (x) = f (x) + f (;x), x > 0.

II.8.16. Feladat: Ha X-paramter exponencilis eloszls val sznp sgi vltoz , akkor mi a srsgfggvnye az Y = X val sznsgi vltoz nak?

II.8.12. Feladat: Ha X -paramter Poisson-eloszls val sznsgi vltoz , akkor mi az eloszlsa az Y = 2X + 1 val sznsgi vltoz nak? Megolds : Mivel X 2 f0 1 2 : : :g ) Y 2 f1 3 5 : : : 2n + 1 : : :g s

P (X = k) = P (Y = 2k + 1) = kk! e;.

II.8.13. Feladat: Ha az X a 0 1] intervallumon egyenletes eloszls val sznsgi vltoz , mi a srsgfggvnye az Y = X1 s a Z = 1+XX val sznsgi vltoz knak? Megolds : Ha x 0, akkor P(Y < x) = P( X1 < x) = ;0, mert ez

;

x > 3.

Megolds : P(Y < x) = P (X < x2) = 1 ; e;x2 x > 0. fY (x) = 2

2xe;x x > 0.

II.8.17. Feladat: Ha X-paramter exponencilis eloszls val sznsgi vltoz , akkor mi a srsgfggvnye az Y = X12 val sznsgi vltoz nak?

;

Megolds : P(Y < x) = P(0 < X12 < x) = P X 2 > x1 = P X > p1x = 1 ; P X p1x = 1 ; FX ( p1x ). Derivls utn fY (x) = 2px3 e; x , x > 0. p

< x) = P X > = lehetetlen. ; Ha x > 0, akkor ; P(Y < x) = 1 ; P X x1 = 1 ; FX x1 1 ; x1 , ha mg az is fennll, hogy x1 1, azaz ha x 1 : A srsgfggvnyt derivlssal x 1. $gy FY (x) = 1 ; 01 ha x>1 x hatrozhatjuk meg: fY (x) = x;2 ha x > 1 (klnben = 0). Msrszt ; ; x x 05 P(Z < x) = P 1+XX < x = P X < 1;xx = 1;x1 ha ha x > 05 : (Az x ;2 1;x 0 sohasem teljesl.) Derivls utn: fZ (x) = (1 ; x) , ha x < 05 (klnben = 0).

Megolds : Jellje Y a fejek szmt, Z az rsok szmt az n dobs ;n;kztt. 1 1 $gy P ( X = n ) = P ( Y = k Z = n ; k ) + P ( Y = n ; k Z = k ) = k;1 2n + ;n;1 1 = ;n;1 1 . k;1 2n k ;1 2n 1

II.8.14. Feladat: Ha X a 0,2] intervallumon egyenletes eloszls, akkor mi a srsgfggvnye az Y = jX ; 1j val sznsgi vltoz nak?

II.8.19. Feladat: A 0 1] szakaszon vletlenszeren kivlasztunk kt pontot. Legyen a kt pont tvolsga X . Adja meg X srsgfggvnyt!

P( X1

1 x

II.8.18. Feladat: Egy szablyos pnzdarabbal vgznk dobsokat. A pnzfeldobst addig folytatjuk, amg a dobsok sorozatban mind a fej, mind az rsok szma elri a k szmot. Jellje X az ehhez szksges dobsok szmt. Adja meg az X eloszlst!

;

84


II.8

85


II.8.10. Feladat: Legyen az X val sznsgi vltoz folytonos eloszlsfggvnye olyan, hogy 1 > F (x) > 0 esetben szigoran monoton nveked is. Bizonytsa be, hogy ekkor az Y = ln F (1X ) eloszlsa = 1 paramter exponencilis!

Megolds : P(Y < x) = P (jX ; 1j < x) = P(1 ; x < X < 1 + x) = 1+x 1;x ha x 2 0 1] = FX (1 + x) ; FX (1 ; x) = 2 ; 2 = x 1 ha x > 1: , vagyis Y 2 U 0 1].

Megolds : P(Y < x) = P(ln F (1X ) < x) = P(F (X ) > e;x ) = = 1 ; P(F (X ) e;x) = 1 ; P(X < F ;1(e;x)) = = 1 ; e;x ) Y 2 E (1):

II.8.15. Feladat: Ha X -paramter exponencilis eloszls val sznsgi vltoz , akkor mi a srsgfggvnye az Y = 3X + 3 val sznsgi vltoz nak?

II.8.11. Feladat: Ha az X val sznsgi vltoz srsgfggvnye f (x),

Megolds : P(Y < x) = P(X < x;3 3 ) = 1 ; e; x 3 3 , ha x 3. ;

e; x 3 3 ,

akkor mi a srsgfggvnye az Y = jX j val sznsgi vltoz nak?

fY (x) = 3

Megolds : P(Y < x) = P(jX j < x) = P(;x < X < x) = F (x) ; F (;x), derivls utn kapjuk a srsgfggvnyt: fY (x) = f (x) + f (;x), x > 0.

II.8.16. Feladat: Ha X-paramter exponencilis eloszls val sznp sgi vltoz , akkor mi a srsgfggvnye az Y = X val sznsgi vltoz nak?

II.8.12. Feladat: Ha X -paramter Poisson-eloszls val sznsgi vltoz , akkor mi az eloszlsa az Y = 2X + 1 val sznsgi vltoz nak? Megolds : Mivel X 2 f0 1 2 : : :g ) Y 2 f1 3 5 : : : 2n + 1 : : :g s

P (X = k) = P (Y = 2k + 1) = kk! e;.

II.8.13. Feladat: Ha az X a 0 1] intervallumon egyenletes eloszls val sznsgi vltoz , mi a srsgfggvnye az Y = X1 s a Z = 1+XX val sznsgi vltoz knak? Megolds : Ha x 0, akkor P(Y < x) = P( X1 < x) = ;0, mert ez

;

x > 3.

Megolds : P(Y < x) = P (X < x2) = 1 ; e;x2 x > 0. fY (x) = 2

2xe;x x > 0.

II.8.17. Feladat: Ha X-paramter exponencilis eloszls val sznsgi vltoz , akkor mi a srsgfggvnye az Y = X12 val sznsgi vltoz nak?

;

Megolds : P(Y < x) = P(0 < X12 < x) = P X 2 > x1 = P X > p1x = 1 ; P X p1x = 1 ; FX ( p1x ). Derivls utn fY (x) = 2px3 e; x , x > 0. p

< x) = P X > = lehetetlen. ; Ha x > 0, akkor ; P(Y < x) = 1 ; P X x1 = 1 ; FX x1 1 ; x1 , ha mg az is fennll, hogy x1 1, azaz ha x 1 : A srsgfggvnyt derivlssal x 1. $gy FY (x) = 1 ; 01 ha x>1 x hatrozhatjuk meg: fY (x) = x;2 ha x > 1 (klnben = 0). Msrszt ; ; x x 05 P(Z < x) = P 1+XX < x = P X < 1;xx = 1;x1 ha ha x > 05 : (Az x ;2 1;x 0 sohasem teljesl.) Derivls utn: fZ (x) = (1 ; x) , ha x < 05 (klnben = 0).

Megolds : Jellje Y a fejek szmt, Z az rsok szmt az n dobs ;n;kztt. 1 1 $gy P ( X = n ) = P ( Y = k Z = n ; k ) + P ( Y = n ; k Z = k ) = k;1 2n + ;n;1 1 = ;n;1 1 . k;1 2n k ;1 2n 1

II.8.14. Feladat: Ha X a 0,2] intervallumon egyenletes eloszls, akkor mi a srsgfggvnye az Y = jX ; 1j val sznsgi vltoz nak?

II.8.19. Feladat: A 0 1] szakaszon vletlenszeren kivlasztunk kt pontot. Legyen a kt pont tvolsga X . Adja meg X srsgfggvnyt!

P( X1

1 x

II.8.18. Feladat: Egy szablyos pnzdarabbal vgznk dobsokat. A pnzfeldobst addig folytatjuk, amg a dobsok sorozatban mind a fej, mind az rsok szma elri a k szmot. Jellje X az ehhez szksges dobsok szmt. Adja meg az X eloszlst!

;

86


Megolds : Jellje Y illetve Z a kt pont orig t l vett tvolsgt! Ekkor X = jY ; Z j, P (X < x) = P (Y ; x < Z < Y + x) : Geometriai val sznsgszmtsi m dszerrel: (Y Z ) egy vletlen pont az egysgngyzetben, gy az (Y ; x) < Z < (Y + x) felttelnek megfelel tartomny:

8 0 < A keresett eloszlsfggvny: FX (x) = : 1 ; (1 ; x)2 1

ha x 0 ha x 2 (0 1) : ha x 1

II.8.20. Feladat: Az A paramter milyen rtknl lesz az f (x) = Ae;x 2

x 2 R fggvny srsgfggvny? Mennyi ekkor a vrhat rtk s a sz rsngyzet? ; 2x21

Megolds : A = p1 ) f (x) = p21 1 e p

2

2

N 0 p12 :

II.8.21. Feladat: Az egysgnyi oldal ngyzet kt tellenes oldaln tallomra vlasztunk egy-egy pontot. Jelljk X -el a kt pont tvolsgt! Adja meg az FX (x) =: P (X < x) eloszlsfggvnyt!

q ; p Megolds : X = (x ; y)2 + 1 t 2 1 2 -re ; FX (t;) = Pp(X < t) = P (x ;py)2 + 1 < t2 = = P x; p t2 ; 1 < y < xp+ t2 ; 1 = ; = 1 ; 1 ; t2 ; 1 2 = 2 t2 ; 1 ; (t2 ; 1) :

II.8.22. Feladat: Az egyetemen nagyon sok telefonkszlk van, amelyek egymst l fggetlenl romlanak el azonos val sznsggel. Az v 360 napjb l tlagosan 12 olyan nap van, hogy egyetlen kszlk sem romlik el. Vrhat an, hny olyan nap lesz, amikor 2 vagy 2-nl tbb telefon romlik el?

II.8


83

FX (x) = P(X < x) = P(X < x Y 05) + P(X < x Y > 05) = = P(Y < x Y 05) + P(1 ; Y8< x Y > 05) = 0 ha x 0 < = P (Y < x)+P (1 ; x < Y ) = : x + (1 ; (1 ; x)) = 2x ha x 2 (0 05) , 1 ha x 05 azaz X 2 U 0 05] : II.8.7. Feladat: Egy szobban t telefon mkdik, melyek kzl brmelyik megsz lalhat a tbbiektl teljesen fggetlenl X idn bell, ahol X = 1 paramter exponencilis eloszls val sznsgi vltoz . Mennyi az eslye annak, hogy egysgnyi idn bell pontosan kt telefonkszlk fog csrgni? Megolds : Az A: egy telefon megcsrren egysgnyi idn bell esemny val sznsge: p = P (X < 1) = FX (1) = 1 ; e;1: Mivel t fggetlenl zemel kszlknk van, a feladat tfogalmazhat gy, mintha az A esemnyre vonatkoz tszrs ksrletsorozatr l volna sz . $gy a binomilis eloszlst gyelembevve, ; annak val sznsge, hogy az A esemny pontosan ktszer kvetkezik be: 52 p2 (1 ; p)3 = 10 (1 ; 1=e)2 (1=e)3 01989: II.8.8. Feladat: Egy automata zacsk kba cukorkt adagol. A zacsk k X slyt = 100 (gramm), = 2 (gramm) paramter normlis eloszlsnak tekinthetjk. Mennyi a val sznsge annak, hogy hrom vletlenszeren kivlasztott zacsk kztt legalbb egy olyan van, amelynek a slya 99 s 101 gramm kz esik? Megolds : Legyen A : a zacsk slya 99 s 101 gramm kz esik esemny . Az A bekvetkezsnek val sznsgt az eloszlsfggvnye segtsgvel hatrozhatjuk meg:; P(A) = P(99 ; X< 101) = = FX (101) ; FX (99) = 101;2 100 ; 99;2100 = (05) ; (;05) = = 2 (05) ; 1 0383: A hrom zacsk kivlasztsa n = 3 s P(A) paramter;binomilis eloszlssal modellezhet, ami alapjn a keresett val sznsg: 1 ; 30 (P(A))0 (1 ; P(A))3 0765114887: II.8.9. Feladat: Legyen az X val sznsgi vltoz folytonos eloszlsfggvnye olyan, hogy 1 > F (x) > 0 esetben szigoran monoton nveked is. Bizonytsa be, hogy ekkor az Y = 3F (X )+4 val sznsgi vltoz egyenletes eloszls a 4 7] intervallumon! Megolds : P(Y < x) = P(3F (X ) + 4 < x) = P(X < F ;1( x;3 4 )) = F (F ;1( x;3 4 )) = x;3 4 .

82

II. FEJEZET A valsznsgi v ltoz 45 45 Megolds : Az X eloszlsa, P (X = k ) = ( k ()(905) k) k = 0 1 2 3 4 5. A k ;

krds arra vonatkozik, amikor k = 5, azaz a keresett val sznsg: 45 45

P (X = 5) = ( 5()(905)0 ) 00278.

II.8.5. Feladat: Az egysgngyzeten kivlasztunk vletlenszeren egy pontot. Jellje X a pontnak a legkzelebbi oldalt l vett tvolsgt. Adjuk meg az X val sznsgi vltoz srsgfggvnyt! Megolds : Geometriai m dszerrel lehet meghatrozni az eloszlsfgg-

vnyt. Az albbi brn stttve mutatjuk az X < x esemnynek megfelel tartomnyt:

A terlet nagysga 1;(1 ; 2x)2, gy FX (x) =

8 0 < 2 1 ; (1 ; 2 x ) :

4 ; 8x1

Derivls utn kapjuk a srsgfggvnyt: fX (x) =

ha x 0 ha 0 < x 0 5 . ha x > 05 ha 0 < x 05 0 egybknt.

II.8.6. Feladat: Egy egysgnyi hosszsg szakaszt tallomra vlasztott pontjval kt rszre osztunk. Mi a keletkezett szakaszok kzl a kisebbik hossznak srsgfggvnye? tvolsgt! Megolds : Jelljk Y -nal a kivlasztott pont orig t l 8 0vett < ha x 0 Ekkor nyilvn Y 2 U 0 1], s eloszlsfggvnye FY (x) = : x ha 0 < x < 1 . 1 ha x 1 A keletkez szakaszok kzl a rvidebb hosszt X -el! A kt vltoz

Y jelljk ha Y kztt az albbi kapcsolat ll fenn: X = 1 ; Y ha Y0>5 05 : $gy X eloszlsfggvnye kifejezhet Y eloszlsfggvnyvel:

II.8


87

Megolds : Jellje X az egy nap alatt meghibsodott telefonkszlkek 12 = 1 ) szmt! X nyilvn Poisson-eloszls. Mivel P (X = 0) = e; 360 30 1 ln 30: Ezrt P (X 2) = 1 ; P (X ;= 1) ; P (X = 0) = 1 ; 30 (1 + ln 30) : 1 Az X 2 napok vrhat szma: 360 1 ; 30 (1 + ln 30) 307:

II.8.23. Feladat: Az X 2 U (0 1) val sznsgi vltoz segtsgvel generljunk Y 2 G (0 25) eloszls val sznsgi vltoz t! Megolds : Legyen qi =

qi+1 i = 0 1 2 : : :.

Pi 3j q j 0 j =0 4 ;

1

= 1: Ekkor Y = i ha qi < X

II.8.24. Feladat: Egy kpzeletbeli diktatrban a Nagy Testvr az albbi rendeleteket hozta: 1. A hadsereg utnp tlsnak biztostsa vgett minden csald kteles gyermeket szlni. 2. A demograi robbans elkerlse vgett minden csaldban, ha mr szletett , tbb gyermek nem szlethet. Hogyan vltoztatja meg a Nagy Testvr ezen kt rendelete a -lny arnyt? Megolds : A Nagy Testvr vgtelen blcsessge kvetkeztben, nem vltozik meg a lny arny! Hiszen, ha N csald van az orszgban, a k szma nyilvn N lesz. A lnyok pedig: N4 + N8 2 + 16N 3 + + 2kN+1 k + = 1 N P k 1 = N: 4 2k 1 k=1

;

II.8.25. Feladat: Legyen X Poisson-eloszls > 0 paramterrel, Y = 2X + 1. Adjuk meg Y vrhat rtkt s sz rsngyzett! Megolds: EY = 2EX + 1 = 2 + 1 2 Y = 4 2X = 4: II.8.26. Feladat: Legyen X n s p paramter binomilis eloszls val sznsgi vltoz , Y = 1+1X . Adjuk meg Y vrhat rtkt s sz rst! 2Y =

Pn ; ;

k=0

Pn

;

n;k = : : : 1 n k 1+k k p (1 ; p) k=0 1 2 n pk (1 ; p)n;k ; (EY )2 = : : : stb. 1+k k

Megolds: EY =

88


II.8.27. Feladat: Ha az X srsgfggvnye fX (x) = (1+1 x ) (x 2 R), 2

akkor ltezik-e vrhat rtke? diverR1 Megolds: Nem ltezik, mert x (1+1 x2) dx = 21 ln (1 + x2 ) 1 ;1 ;1 gens. II.8.28. Feladat: Legyen X 2 N ( ), azaz , paramter normlis eloszls val sznsgi vltoz ! Adjunk kpletet EX n -re! Megolds: Ha X~ = X; jelli a standardizltat, akkor X~ 2 N (0 1). R1 R1 EX~ n = xn ' (x) dx = (n ; 1) xn;2' (x) dx = (n ; 1) EX~ n;2 . Mivel ;1 ;1 EX~ = 0, gy a standardizlt minden pratlan hatvnynak vrhat rtke 0. EnX~ 2n = (n ; 1)(n ; 3) 1 = (n ; 1)!, mivel EX~ 2 = 1. Msrszt EX n = P ;nk n;k EX~ k is fennll. Behelyettestve kaphatjuk a vgeredmnyt. k

II.8


8 0 > > 1=8 > > 2=8 > > < 3=8 FX (x) = > 4=8 5=8 > > 6=8 > > > : 7=8

ha ha ha ha ha ha ha ha 1 ha

81

x2 2<x3 3<x4 4<x7 7<x8 8<x9 9 < x 10 10 < x 11 11 < x

k=0

II.8.29. Feladat: Egy jtkos 1023 zseton indul tkvel rulettezik. Az a stratgija, hogy addig folytatja a jtkot, amg vagy nyer, vagy pedig elfogy az sszes zsetonja. Minden forgats eltt a piros mezre rak megduplzva az elz ttet. Mennyi a nyeremnynek a vrhat rtke? (Az egyszersg kedvrt tekintsk a piros s fekete forgatsok val sznsgeit 21 -nek!) ; Megolds: X a piros forgatshoz szksges ksrletszm: X 2 G 21 : Y a jtkos nyeresge. A nyeresg, ha nyer a jtkos mindig 1 zseton. A jtkos a 10-dik jtk utn mindegyik zsetonjt elveszti: 1+2+4+ +210 = 1 ; 1 k P 1 1 1023: P (X > 10) = 2 = 210 ) P (X 10) = 1 ; 210 : k=11 ; EY = 1 1 ; 2110 ; (210 ; 1) 2110 = 0: A vrhat nyeresg teht 0 zseton! II.8.30. Feladat: Egy rten hrom szarvas legelszik gyantlanul. Egymsr l nem tudva hrom vadsz lopakodik a tisztshoz, s egyszerre tzelnek a vadakra. Mindegyik lvs tall, s hallos. Mennyi a lvsek utn a rtrl elszalad szarvasok szmnak vrhat rtke s sz rsa? (Elvileg tbb vadsz is lhet ugyanarra a szarvasra. . . ) Megolds: X az elfut szarvasok szma: X 2 f0 1 2g : P (X = 2) = P (Mindegyik vadsz ugyanazt a szarvast lvi le ) = 273 P (X = 0) = P (Mindegyik vadsz ms-ms a szarvasra l ) = 276 P (X = 1) = 1 ; P (X = 0) ; (X = 2) = 1827 EX = 89 EX 2 = 109 2X = 8126 :

II.8.3. Feladat: A vletlen ksrlet az, hogy n darab dobozba vletlenszeren goly kat helyeznk el gy, hogy minden elhelyezsnl brmelyik doboz kivlasztsa egyformn val szn. Akkor llunk meg, ha szrevesszk, hogy az egyes szm dobozba bekerlt az els goly . Jellje X a ksrlet befejezdsekor az elhelyezett goly k szmt. Adjuk meg az X eloszlst! Megolds : Annak a val sznsge, hogy az egyes szm dobozba ejtnk egy goly t p = n1 , annak, hogy nem ebbe kerl a goly q = n;n 1 . Ha Aval jelljk azt az esemnyt, hogy az egyes dobozba kerl a goly , akkor a goly k elhelyezst addig kell folytatnunk, amg A elszr be nem kvetkezik, X geometriai eloszls lesz. Az eloszlsa: P (X = k) = qk;1p = ;teht n;1 k;1 1 k = 0 1 2 : : : : n n

II.8.4. Feladat: Mennyi a val sznsge, hogy a hagyomnyos 90/5 lott hzs sorn valamennyi kihzott szm pros lesz?

80


a.) Standard normlis eloszls +R1 2 R1 EX 2 = x2 fX (x) dx = x2 p12 e; x2 dx =

h

i

;1 ;1 1 2 x2 +1 1 ; x (; p2 e 2 ) ;1 + p12 e; x2 ;1

R

R1 x x p1

2

;1

2 e; x2

dx =

= dx = 0 + 1 = 1: 2 2 2 $gy X = EX ; EX ] = 1 ; 0 = 1: b.) Az ltalnos eset, X 2 N ( ): +R1 R1 EX 2 = x2 fX (x) dx = x2 ' (x) dx =

;1 ;1 1 1 R R x ; 1 2 = x '( ) dx = (y + )2 '(y) dy = ;1 ;1 +R1 +R1 +R1 = 2 y2'(y) dy + 2 y'(y) dy + 2 '(y) dy = ;1

;1

;1

= 2 1 + 2 0 + 2 1 = 2 + 2: Innen 2X = EX 2 ; EX ]2 = 2 + 2 ; 2 = 2: Teht a normlis eloszls paramtere a sz rst jelenti.

II.8. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok II.8.1. Feladat: Mutassuk meg, hogy az F (X ) =

fggvny nem lehet eloszlsfggvny!

0 ha x 1 ha x > 1

1+2x x;08

Megolds : Mivel xlim F (x) = 2, ezrt a c.) tulajdonsg srl. !1

II.8.2. Feladat: Egy csomag magyar krtyb l tallomra kihzunk egy lapot. Vegye fel X a krtya pontrtkt! (als :2, fels:3, kirly:4, sz:11, hetes:7, nyolcas:8, kilences:9, tizes:10). Adjuk meg s brzoljuk a eloszlsfggvnyt! Megolds : X rtkkszlete a f2 3 4 7 8 9 10 11g szmhalmaz. Mindegyik i rtket P(X = i) = 1=8 val sznsggel veheti fel. $gy az eloszlsfggvny:

II.8


89

II.8.1. Gyakorlat: Az egysgnnyzeten tallomra kivlasztunk egy P pontot. Jellje X a P s a hozz legkzelebb ll cscs tvolsgt. Adja meg X eloszls- s srsgfggvnyt! II.8.2. Gyakorlat: Legyen X 2 E () s Y = X 2 : Adja meg Y srsgfggvnyt! II.8.3. Gyakorlat: Legyen az X val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye F (x) : Legyen Y = maxf0 X g Z = minf0 ;X g V = jX js W = ;X: Fejezze ki Y Z V s W eloszlsfggvnyt F (x)-szel! II.8.4. Gyakorlat: A (0 1) intervallumban kijellnk hrom pontot vletlenszeren. Hatrozzuk meg a kzps pont 0;t l val tvolsgnak eloszlsfggvnyt! II.8.5. Gyakorlat: Egy csomag 32 lapos magyar krtyb l kihzunk egy lapot. Legyen X a kihzott lap rtke. Adja meg s brzolja X eloszlsfggvnyt! Szmolja ki a 7 5 < X < 10 2 esemny val sznsgt! p II.8.6. Gyakorlat: Legyen X 2 U (0 1) s Y = 2X: Adja meg Y srsgfggvnyt! II.8.7. Gyakorlat: Egy hztartsi gp gyri nkltsge 10 000 Ft. A termkre a gyr 1 v garancit ad, ami szerint a hibs gpet ingyen kicserli, amennyiben az 1 ven bell meghibsodik. A gyr szakemberei szerint a gp lettartama 30 v vrhat rtk exponencilis eloszls. A termeli r a gp nkltsge plussz a garancilis cserk nkltsgnek vrhat rtke. Mekkora legyen a termeli r? ; II.8.8. Gyakorlat: X 2 E (2) segtsgvel generljon egy Y 2 G 13 val sznsgi vltoz t! II.8.9. Gyakorlat: Egy gyrtmnynak az egy szzalka selejtes. A darabokat ezresvel dobozokba csomagoljk. Mennyi a val sznsge, hogy egy vletlenszeren kivlasztott dobozban nincs hromnl tbb hibs? II.8.10. Gyakorlat: Egy szablyos pnzrmt addig dobunk fel jra s jra, mg meg nem kapjuk a msodik fej et is. Mennyi annak a val sznsge, hogy az els fej utn a msodik fej ig ugyanannyi dobsra van szksg, mint ahny dobs kellett az els fej ig?

90


II.8.11. Gyakorlat: Tekintsk az f (x) =

3x2 x 7

2 1 2] srsgfgg-

vnyt! Az X 2 U (0 1) segtsgvel lltsunk el olyan Y val sznsgi vltoz t, amelynek srsgfggvnye ppen f (x)!

II.8.12. Gyakorlat: Milyen b rtknl lesz az f (x) = bpx ; 2 x 2 (2 3)

fggvny srsgfggvny?

II.8.13. Gyakorlat: Egy normlis eloszls val sznsgi vltoz 0 1 val sznsggel vesz fel 10 2-nl kisebb rtket, s 0 25 val sznsggel 13 6nl nagyobb rtket. Mennyi a vrhat rtke s sz rsa? II.8.14. Gyakorlat: Egy szmt gpes szervzben egy h nap hsz munkanapjb l tlagosan kettn nincsen reklamci . Poisson-eloszlst felttelezve, mennyi annak a val sznsge, hogy egy adott napon hrom, vagy hromnl tbb reklamci rkezik? II.8.15. Gyakorlat: Legyen X 2 U (a b) s Y = X n: Adja meg Y el-

oszlsfggvnyt!

II.8.16. Gyakorlat: Egy teg addig tzel egy clpontra, amg el nem

tallja. A tallat val sznsge minden lvsnl p. Mennyi az egy tallathoz szksges tlagos lszerkszlet, a munci ?

II.8.17. Gyakorlat: Az A knyvben az egy oldalon tallhat sajt hibk szma X 2 Po (1) mg a B knyvben ugyanez Y 2 Po (2) : Igaz-e a kvetkez kt llts egyszerre: (i) Az A knyvben hromszor annyi sajt hiba van mint a B knyvben. (ii) A B knyvben tszr akkora egy hibamentes oldalnak a val sznsge, mint az A knyvben? II.8.18. Gyakorlat: A boltban rult izz k 1%-a hibs. Ha vesznk 100 darabot, akkor hny darab lesz benne rossz a legnagyobb val sznsggel, s mekkora ez a val sznsg? II.8.19. Gyakorlat: Egy 1 MFt nkltsg szmt gp termeli rt kell meghatrozni. A szmt gp lettartama exponencilis eloszls 10 v vrhat rtkkel. Garancit vllalunk gy, hogy ha az els vben a gp elromlik, akkor kicserljk, ha a msodik is elromlik egy ven bell, akkor visszaadjuk a gp rt. A termeli r legyen az az rtk, mely mellett a kiads s a bevtel vrhat rtke megegyezik. (A visszavett gpek rtktelenek.)

II.7

79


Pn (n;2)! k;2 q n;2;(k;2) + np = (k;2)!(n;2;(k;2))! p k=2 nP ;2 ;n;2 = n (n ; 1)p2 p q n;2; + np = = n (n ; 1) p2

=0 = n (n ; 1) p2 (p + q)n;2 + np = n2p2 ; np2 + np: $gy 2X = n2p2 ; np2 + np ; (np)2 = np(1 ; p) = npq:

II.7.3. Plda: (A1Poisson-eloszls szrsngyzete) 1 1 1

EX 2 = P k2 pk = P k (k ; 1) pk + P k pk = P (k;k2)! e; + = k=0 1

P

k=1

k=0

= 2 e; (k;k 2)!2 + = 2 e; e + = 2 + : k=2 $gy 2X = EX 2 ; EX ]2 = 2 + ; 2 = :

k=1

;

II.7.4. Plda: (A geometriai eloszls szrsngyzete) 1 1

;

EX 2 = P k2 qk;1p = P (k ; 1)2 + 2k ; 1 qk;1p = q EX 2 +2EX ; 1 = k=1 k=1 = q EX 2 + 2 1p ; 1: Innen EX 2-et kifejezve: EX 2 = 2p;2p : $gy 2X = EX 2 ; EX ]2 = 2p;2p ; p12 = pq2 = 1p;2p :

II.7.5. Plda: (Az egyenletes eloszls szrsngyzete)

R

h ib

Rb

+1

EX 2 = x2 fX (x) dx = x2 b;1 a dx = b;1a x33 a = b;1 a b3;3a3 = a2+a3b+b2 ;1 a 2X = EX 2 ; EX ]2 = a2+a3b+b2 ; (a+4b)2 = a2;212ab+b2 = (b;12a)2 :

II.7.6. Plda: (Az exponencilis eloszls szrsngyzete)

R x2 f (x) dx = R1 x2 e;x dx = ;x2e;x1 + R1 2xe;x dx = X 0 ;1 0 0 1 R ; 2 2 1 2 ; x 2 2 2 = 0+ xe dx = = , gy X = EX ; EX ] = 2 ; 1 2 = 1 : EX 2 =

+1

0

2

II.7.7. Plda: (A normlis eloszls szrsngyzete)

2

2

78


II.7.3. Ttel: (Steiner formula)

2X = E(X ; a)2 ; E(X ; a)]2 minden a 2 R-re. Specilisan a = 0-ra 2X = EX 2 ; EX ]2: Bizonyts : Legyen a 2 R tetszleges ! E(X ; a)2 = E(X 2 ; 2aX + a2) = EX 2 ; 2a EX + a2 E(X ; a)]2 = EX ; a]2 = EX ]2 ; 2a EX + a2: $gy E(X ; a)2 ; E(X ; a)]2 = EX 2 ; EX ]2: Viszont 2X = E(X ; EX )2 = E(X 2 ; 2X EX + EX ]2) = = EX 2 ; 2EX EX + EX ]2 = EX 2 ; EX ]2 amibl mr kvetkezik az llts. II.7.1. Kvetkezmny: Mivel 2X = E(X ; EX )2 0 ) EX 2 EX ]2, teht, ha X msodik momentuma (gy a sz rsngyzete is) ltezik, akkor a vrhat rtknek is lteznie kell! II.7.4. Ttel: 2(aX + b) = a2 2X , minden a b 2 R-re. Azaz a sz rsngyzet eltols invarins. Bizonyts : 2(aX + b) = E(aX + b)2 ; E(aX + b)]2 = = a2 EX 2 + 2ab EX + b2 ; a2 EX ]2 ; 2ab EX ; b2 = = a2 (EX 2 ; EX ]2) = a2 2X: II.7.3.X Den ci: Egy X val sznsgi vltoz standardizltjn az X~ = X ;E X lineris transzformlt val sznsgi vltoz t rtjk. Megjegyzs : EX~ = 0 2X~ = 1:

II.7.1. Plda: (Az indiktor eloszls szrsngyzete)

2X = (1 ; p)2 p + (0 ; p)2 q = q2 p + p2 q = p q(q + p) = pq = p(1 ; p):

II.7.2. Plda: (A binomilis eloszls szrsngyzete)

2X = EX 2 ; EX ]2 n Pn ; Pn ; EX 2 = P k2 pk = k2 nk pk qn;k = k2 nk pk qn;k =

Pn k k=0(k ; 1) ;nkp=0k qn;k + Pn k ;npkk=1qn;k = k k k=1 k=1 n P n ! = pk qn;k + EX =

=

k=2

(k;2)!(n;k)!

II.8

91


II.8.20. Gyakorlat: Egy mrs elvgzshez kt lehetsgnk van. Vagy egy drga kszlkkel mrnk egyet, ahol a mrs hibja N (0 1) eloszls, vagy egy olcs kszlkkel mrnk hromszor, s a mrseredmnyeket tlagoljuk, ahol viszont a mrs hibja mr N (0 1 6) eloszls. Melyik mrsi technika adja a pontosabb mrst? II.8.21. Gyakorlat: Egy dobozban a szivrvny ht sznvel egyez szn goly k vannak. Addig hzzuk ki a goly kat visszatevssel a dobozb l, amg valamennyi szn goly t ki nem hztunk egyszer. Mi az ehhez szksges X hzsszm eloszlsa? II.8.22. Gyakorlat: Legyen az X val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye F (x) srsgfggvnye pedig f (x): Bizonytsa be, hogy EF (X ) = 21 : II.8.23. Gyakorlat: Legyen X logisztikus eloszls, azaz srsgfggvnye: fX (x) = (1+eexx )2 x 2 R: Szmolja ki az X medinjt, vagyis azt az MX szmot, amelyre P (X < MX ) = P (X MX ) = 12 teljesl. II.8.24. Gyakorlat: Legyen X 2 f0 1 2 : : :g olyan val sznsgi vl1 P toz , melynek ltezik a vrhat rtke. Bizonytsa be, hogy EX = P (X i) : i=1

II.8.25. Gyakorlat: Legyen az X val sznsgi vltoz olyan, hogy P (0 < X < 1) = 1: Bizonytsa be, hogy 2X < EX ! II.8.26. Gyakorlat: Egy baromudvarban a gondoz gyrjrl lees rtkes kvet az egyik liba lenyelte. A gondoz knytelen a libk levgsval megpr blni visszaszerezni a kvet. Addig vgja le a vletlenszeren elkapott libkat, amg valamelyik begyben meg nem tallja a kvt. Ha sszesen 50 liba van a farmon, mennyi a knyszersgbl levgott libk szmnak vrhat rtke? II.8.27. Gyakorlat: Legyen P = (a b) az egysgngyzet egy vletlenl kivlasztott pontja. Jellje X a P pont orig t l vett euklideszi tvolsgt. Mennyi X vrhat rtke?

II.8.28. Gyakorlat: Legyen X 2 B ;3 14 s Y = X 3: Mi Y eloszlsa,

s mennyi a vrhat rtke?

92


II.8.29. Gyakorlat: Az orig b l kiindulva egy bolha ugrl a szmegyenesen. Minden ugrsa egysgnyi hossz s a tbbitl fggetlenl p val sznsggel jobbra, 1 ; p val sznsggel balra trtnik. Az tdik ugrs utn meggyeljk a bolha helyt. Adja meg ennek az eloszlst!

II.7


77

II.8.30. Gyakorlat: Az X normlis eloszls val sznsgi vltoz vrhat rtke ;5 s tudjuk, hogy P (;5 X < 0) = 0 3: Mennyi P (;5 < X < 4)?

II.7.2. Den ci: Az X val sznsgi vltoz szrsngyzet n vagy variancijn az Y = (X ; EX )2 val sznsgi vltoz vrhat rtkt rtjk (amennyiben az ltezik). Jells : 2X = E(X ; EX )2: Az Xpval sznsgi vltoz szrsa a sz rsngyzet pozitv ngyzetgyke: X = + E(X ; EX )2: Megjegyzs :

II.8.31. Gyakorlat: Ltezik-e az F (x) = x ln x ; x + 1 x 2 1 e] eloszlsfggvny val sznsgi vltoz nak msodik momentuma?

a.) diszkrt esetben: 2X =

II.8.32. Az X val sznsgi vltoz srsgfggvnye 8 Gyakorlat: ;2x

b.) folytonos esetben :2X =

< 2e fX (x) = : 3e2x 0 2

ha 0 x 1 ha 1 < x 2 : Mennyi EX ? egybknt

II.8.33. Gyakorlat: Egy szablyos pnzrmt addig dobok fel ismtelten, amg kt fejet, vagy kt rst nem kapok. Mennyi a dobsok szmnak vrhat rtke s sz rsa? II.8.34. Gyakorlat: Legyen X 2 E (), ahol = 0 1s Y = X ] azaz X egszrsze. Mennyi az Y diszkrt val sznsgi vltoz vrhat rtke? II.8.35. Gyakorlat: Egy jtkos rulettezik. Hrom ttet tesz meg: egyegy 100 Ft-os zsetont tesz a fekete 13 szmra, a fekete mezre s a pratlan mezre. )tszr megismtelve ezt a stratgit, mennyi a jtkos nyeresgnek (vesztesgnek) vrhat rtke? (A rulettrcsn 0-t l 36-ig llnak a szmok, 18 fekete, 18 piros, a 0-s zld szn.A fekete szmok kztt 9 db pros s 9 db pratlan van. Ha valaki szmra tesz, a ttet s mg annak 36-szorost sepri be. A fekete vagy pratlan mezkn a nyeresg ktszeres. A 0-ra nem lehet fogadni. Ha 0-s prg ki, minden megrakott ttet a bank viszi el.)

1 P (xi ; EX )2 P(X = xi):

i=1 +1

R (x; EX )2 f (x) dx: X

;1

II.7.1. Ttel: Legyen X olyan val sznsgi vltoz , melynek ltezik sz rsngyzete. Ekkor minden val s x esetn: 2X = E(X ; EX )2 E(X ; x)2: Bizonyts : A bizonytsban felhasznljuk a vrhat rtk additv tulajdonsgt, melyet majd a III.4.6. ttelben bizonytunk. Legyen g(x) = E(X ; x)2 = E(X 2 ; 2X x + x2) = EX 2 ; 2x EX + x2: Mivel g0(x) = 2x ; 2 EX = 0, akkor ha x = EX s g00(x) = 2 > 0, ezrt az x = EX hely minimumhely, ami mr igazolja az lltst. Megjegyzs : Az X val sznsgi vltoz rtkei a vrhat rtk krl ingadoznak a legkisebb mrtkben az sszes val s szm kzl, s ezt a minimlis ingadozst, bizonytalansgot jellemzi a sz rsngyzet. Ha teht egy val sznsgi vltoz nak nagy a sz rsa, rtkeit bizonytalanul tudjuk csak megbecslni. Ha a sz rsngyzet kicsi, a bizonytalansgunk a vltoz rtkeit illeten cskken. Ad abszurdum, a konstans sz rsngyzete 0. II.7.2. Ttel: 2X = 0 () P(X = EX ) = 1: Bizonyts : Ha X diszkrt, akkor P(x0i=; E2XX)2= P(X = xi) = P (xi; EX )2 P(X = x ) () i 8i 8i:xi6=EX () 8i P : xi 6= EX ) P(X = xi) = 0 () () P(X = xi) = P(X 6= EX ) = 0 () 8i:xi6=EX () P(X = EX ) = 1:

76


II.6.5. Plda: (Az egyenletes eloszls vrhat h i rtke)

EX =

R x f (x) dx = Rb x 1 dx = 1 X b;a b;a

+1

;1

a

x2 b 2 a

= b;1a b2;2a2 = a+2 b :

II.6.6. Plda: (Az exponencilis eloszls vrhat rtke)

R x f (x) dx = R1 x e;x dx = ;xe;x1 + R1 e;x dx = X 0 0 0 ;1 = 0 + ; 1 e;x 1 = 1 : EX =

+1

0

II.6.7. Plda: (A normlis eloszls vrhat rtke) a.) Standard normlis eloszls h +R1 2 2 i+1 R1 EX = x fX (x) dx = x p12 e; x2 dx = ; p12 e; x2 ;1 = 0: ;1

;1

b.) Az ltalnos eset, X 2 N ( ): +R1 R1 EX = x fX (x) dx = x ' (x) dx = ;1

;1

R1 x 1 '( x; ) dx =

;1

R1 (y + ) '(y) dy = +R1 y'(y) dy + +R1 '(y) dy = 0+ 1 = :

= ;1 ;1 ;1 Teht a normlis eloszls paramtere a vrhat rtket jelenti.

II.7. Magasabb momentumok, szrsngyzet

II.7.1. Den ci: Az X val sznsgi vltoz n-edik momentum n az X n val sznsgi vltoz vrhat rtkt rtjk, ha az ltezik. Jells : n = EX n . Megjegyzs :

P1 a.) diszkrt esetben: n = xniP(X = xi): i=1 b.) folytonos esetben : n =

R xn f (x) dx: X

+1

;1

III. fejezet Val szn sgi vektorvltoz k III.1. Valsznsgi vektorvltozk, valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa Nagyon gyakran nem lehet a vletlen jelensget egyetlen szmadattal jellemezni. Pl. amikor az idjrsi helyzetet pr bljk elrejelezni, megadjk a vrhat hmrsklet, csapadkmennyisg, lgnyoms, szlerssg stb. adatokat, azaz a prognosztizlt helyzetet egy vektorral jellemzik. A vektor komponensei val sznsgi vltoz k, rtkeik a vletlentl fggnek. Felmerlhet az egyes komponensek kztt fennll kapcsolatok krdse is.

III.1.1. Den ci: Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez. Tekintsk az X : ! Rp fggvnyt! Az X = (X1 X2 : : : Xp)T val sznsgi vektorvltoz , ha minden B 2 Bp p-dimenzi s Borel-halmazra f! X (! ) 2 B g 2 = teljesl.

Bp a B1 B2 Bp alak halmazok ltal generlt algebra, ahol Bi 2 B tetszleges egydimenzi s Borel-halmaz. Megjegyzs :

III.1.2. Den ci: A QX (B ) = P(f! X (!) 2 B g), B 2 Bp az X va-

l sznsgi vektorvltoz eloszls a.

III.1.3. Den ci: Legyen (x1 x2 : : : xp)T = x 2 Rp, s a hozztartoz

p-dimenzi s Borel-halmaz Bx = ( ;1 x1 ) ( ;1 x2 ) ( ;1 xp ): Ekkor az FX (x) = FX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp) = QX (Bx) = 93

94


II.6

75

A vrhat rtk

= P(X1 < x1 X2 < x2 : : : Xp < xp) fggvnyt az X val sznsgi vektorvltoz eloszlsfggvny nek, illetve az X1 X2 : : : Xp komponens val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsfggvny nek nevezzk.

a.) diszkrt eset: 1 1 1 P P P EX = (a xi + b)pi = a xi pi + b pi = a EX + b 1:

III.1.1. Ttel: Az X val sznsgi vektorvltoz eloszlsa s eloszlsfggvnye klcsnsen egyrtelmen meghatrozzk egymst.

b.) folytonos eset: +R1 +R1 +R1 EX = (ax + b)fX (x) dx = a xfX (x) dx + b fX (x) dx = ;1 ;1 ;1 a EX + b 1: Kvetkezmny : A konstans val sznsgi vltoz vrhat rtke nmaga.

Megjegyzs : A ttelt nem bizonytjuk.

III.1.2. Ttel: (Az egyttes eloszlsfggvny tulajdonsgai) a.) FX minden vltoz jban monoton nem cskken fggvny, azaz 8 i -re,

ha x i < x

i akkor FX (x1 : : : xi : : : xp ) FX (x1 : : : xi : : : xp ): b.) FX minden vltoz jban balr l folytonos fggvny, azaz lim0 FX (x1 : : : y : : : xp) = FX (x1 : : : x0i : : : xp): y !x i ; 0

c.) 8xlim F (x : : : xi : : : xp) = 1 s 9xlim F (x : : : xi : : : xp) = 0: !+1 X 1 !;1 X 1 i

i

d.) Az egyszersg kedvrt csak p=2 esetben modjuk ki ezt a tulajdonsgot. (Az ltalnos eset trgyalst lsd a III.7.1. feladatban.) Legyen T = a b) c d) tetszleges p = 2 dimenzi s tgla. Ekkor FX (a c) + FX (b d) ; FX (a d) ; FX (b c) 0: Bizonyts : Az a.), b.) s c.) lltsok az egydimenzi s esethez, hasonl an bizonythat ak rszletezsktl itt eltekintnk. A d.) llts nem szerepelt az egydimenzi s esetben, ott a neki megfelel alak a tetszleges a b) intervallum esetn FX (b) ; FX (a) 0, ami a monotonitsi tulajdonsggal esik egybe. Tbbdimenzi s esetben szksg van d.)-re, mert pl p = 2 esetben az x1 + x2 0 F (x1 x2) = 01 ha ha x1 + x2 > 0 fggvny kielgti a.), b.) s c.)-t, de d.) nem teljesl r. A bizonyts azon mlik, hogy megmutatjuk, hogy d.) baloldaln a P(X 2 T ) val sznsg ll, ami nyilvnval an nemnegatv. Deniljuk az albbi esemnyeket: A = f! X1 (!) < ag B = f! X1 (!) < bg C = f! X2 (!) < cg

i=1

i=1

i=1

II.6.1. Plda: (Az indiktor eloszls vrhat rtke) Az eloszls : P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 ; p = q: EX = 1 p + 0 q = p: II.6.2. Plda: (A binomilis; eloszls vrhat rtke) ; Az eloszls : pk = P(X = k) = nk pk (1 ; p)n;k = nk pk qn;k k = 0 1n2 : : : n: n ; EX = P k pk = P k nk pk qn;k =

Pn kk=0;npk qn;k k==0 Pn n! pk qn;k = (k;1)!(n;k)! k k=1 k=1 n nP ;1 P = np (k;1)!((nn;;11)!;(k;1))! pk;1 qn;1;(k;1) = np !((nn;;11)!;)! pk;1 qn;1; = =0 k=1 nP ;1 ;n;1 k ; 1 n ; 1 ; n ; 1 = np p q = np (p + q) = np azaz EX = np:

=

=0

II.6.3. Plda: (A Poisson-eloszls vrhat rtke) Az eloszls : pk = P(X = k) = kk! e; k = 0 1 2 : : : : 1 1 1 P P P P1 EX = k pk = k kk! e; = (k;k1)! e; = e; (kk;1)!1 = k=0 k=1 k=1 k=1 = e; e = : ;

II.6.4. Plda: (A geometriai eloszls vrhat rtke) Az eloszls : pk = P(X = k) = (1 ; p)k;1 p = qk;1p, k = 1 2 3 : : : 1 1 1 1 EX = P k pk = P k qk;1 p = P (k ; 1) qk;1p + P qk;1p = q EX +1, k=1 k=1 k=2 k=1 ahonnan EX -et kifejezve EX = 1;1 q = p1 ad dik.

74


x k = x0k , akkor a

1 1 P P g (x k ) (F (xk+1) ; F (xk )) = g (x0k ) f (x0k ) (xk+1 ; xk ) k=;1 k=;1

R1

sszeg ppen a g(x)f (x) dx Riemann-integrl integrl kzelt sszege! ;1 Teht, ha most g(x) = x, mind a diszkrt, mind a folytonos esetben a +R1 vrhat rtk Stieltjes-integrllal rhat fel: EX = x dFX (x): ;1

II.6.1. Ttel: Legyen g : R ! R tetszleges val s fggvny. Ekkor, ha az Y = g(X ) val sznsgi vltoz , s ltezik a vrhat rtke, akkor a.) ha X diszkrt : EY = b.) ha X folytonos: EY =

1 P g(x ) P(X = x )

i=1 +1

i

i

R g(x) f (x) dx: X

;1


Legyen az X diszkrt val sznsgi vltoz rtkkszlete a V megszmlhat szmhalmaz, az Y = g (X ) diszkrt val sznsgi vltoz pedig W = fy y = g (x) x 2 V g : EkkorXdenci szerint: EY = P yP (Y = y) = P y P (X = x) =

y 2W y2W x2V :g(x)=y X X P = g (x) P (X = x) = g (x) P (X = x) : y 2W x2V :g(x)=y

x2V

Folytonos eset: Tegyk 1fel, hogy g di"erencilhat . Ekkor

a II.5.1. ttelt alkalmazva: R R1 EY = yfY (y) dy = yfX (g;1 (y))

g (g 11(y))

dy = ;1 ;1 vgrehajtva az y = g ( x ) vltoz csert: 1 R = g(x)fX (x) dx: 0

;1

;

II.6.2. Ttel: Legyen az X val sznsgi vltoz nak vrhat rtke EX: Ekkor az Y = a X + b val sznsgi vltoz nak is ltezik vrhat rtke, s EY = aEX + b: Bizonyts : Alkalmazzuk a II.6.1. ttelt a g(x) = ax + b lineris fggvnyre!

III.1

Valsznsgi vektorvltozk, egyttes eloszlsfggvny

95

D = f! X2(!) < dg : Ekkor 0 P; (X 2 T) = P(a X1 < b c X2 < d) = CD = P BD(A + C ) = P (BD) ; P (BD (A + C )) = = P AB = P (BD);P (ABD + BCD) = P (BD);P (ABD);P (BCD)+P (ABCD) =

Mivel A B s C D, gy az elnyelds miatt: = P (BD) ; P (AD) ; P (BC ) + P (AB ), ami ppen az llts. III.1.4. Den ci: Ha X = (X1 X2 : : : Xp)T val sznsgi vektorvltoz eloszlsfggvnye FX s 1 j1 < j2 < < jk p egy tetszleges k elem indexkombinci , akkor az indexekhez tartoz Xj1 Xj2 : : : Xjk komponens val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsfggvnye az FX egy k-dimenzi s perem - vagy vetleti eloszlsfggvny e. III.1.3. Ttel: Ha a X1 X2 : : : Xp val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsfggvnye FX ismert, akkor brmely vetleti eloszlsfggvnye meghatrozhat . Fordtva ltalban nem igaz: ha ismerjk az sszes alacsonyabb dimenzi s vetleti eloszlsfggvnyt, az egyttes eloszlsfggvny nem llthat el. Bizonyts : A rszletes bizonytst a val sznsg folytonossgi tulajdonsgval lehetne elvgezni. Ekkor az lthat be, hogy FXi1 Xi2 :::Xik (xi1 xi2 : : : xik ) = 8xlim FX1X2:::Xn (x1 x2 : : : xn). !1 j

j 2= fi1 i2 :::ik g

Arra, hogy a fordtott llts nem igaz, p = 2 esetben adunk ellenpldt: Legyenek X1 s X2 olyan val sznsgi vltoz k, melyek csak a ;1 0 s +1 rtkeket vehetik fel az albbi eloszlstblzat szerint X1 n X2 ;1 0 +1 X1 perem ;1 0125 + " 0 0125 ; " 025 0 0 0 5 0 05 +1 0125 ; " 0 0125 + " 025 X2 perem 025 05 025 1 ahol 0 < " < 0125 8 tetszleges. x ;1 > < 0250 ha ha ; 1 < x 0 Ekkor FXi (x) = > 075 ha 0 < x : 1 ha 1 < x 1

96


a kt vetleti eloszlsfggvny, ami nyilvn nem hatrozza meg az egyttes eloszlsfggvnyt, mely az " paramtert is tartalmazza.

III.1.5. Den ci: Legyenek X1 X2 : : : Xp val sznsgi vltoz k az

( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. a.) X1 X2 : : : Xp pronknt fggetlenek, ha 8 1 i < j n -re FXiXj (x y) = FXi (x) FXj (y) teljesl 8 x y 2 R-re. b.) X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek, ha 8 2 k p s 81 i1 < i2 < < ik p indexkombinci ra Yk FXi1Xi2 ::: Xik (xi1 xi2 : : : xik ) = FXij (xij ) 8xi1 xi2 : : : xik 2 R -re. j =1

III.1.4. Ttel: Ha X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek, akkor pronknt is fggetlenek. A megfordts ltalban nem igaz. Bizonyts : A ttel els fele nyilvnval , hiszen a teljes fggetlensg felttelrendszere a pronknti fggetlensg felttelrendszert is tartalmazza. Az ellenplda ugyanazon a pldn alapulhat, mint amikor megmutattuk, hogy a pronknt fggetlen esemnyek rendszere nem felttlenl alkot teljesen fggetlen esemnyrendszert. (lsd I.4.4 ttelt).

III.2. Diszkrt valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa III.2.1. Den ci:

a.) Ha X s Y diszkrt val sznsgi vltoz k E = fx1 x2 : : : xn : : :g illetve D = fy1 y2 : : : yn : : :g rtkkszletekkel, akkor az rij = P(f! X (!) = xig \ f! Y (!) = yj g) $ P(X = xi Y = yj ) (i j = 1 2 : : :) val sznsgek sszessgt a kt diszkrt val sznsgi vltoz egyttes eloszls nak nevezzk. b.) Az X1 X2 : :n: Xp diszkrt val sznsgi o vltoz k rtkkszleteit jellje rendre e(i) = x(1i) x(2i) : : : x(ni) : : : (i = 1 2 : : : p).

II.6

73

A vrhat rtk

b.) Az X folytonos val sznsgi vltoz nak akkor ltezzk vrhat rtke, ha +R1 az jxj fX (x) dx improprius integrl konvergens. Ekkor az X vrhat ;1

rtkn az EX =

R x f (x) dx X

+1

;1

szmot rtjk.

Megjegyzs :

a.) Egy val sznsgi vltoz nak nem felttlenl ltezik a vrhat rtke. Ksbb ltni fogunk ellenpldkat. b.) Az .n. Stieltjes -integrl segtsgvel a vrhat rtk mind a diszkrt, mind a folytonos esetben azonos m don denilhat . Legyen F (x) egy eloszlsfggvny, s legyen g(x) folytonos s korltos R-en. Legyen tovbb = fxk xk+1) k = 0 1 2 : : : k!;1 lim xk = ;1 klim x = 1g !1 k a szmegyenes egy vgtelen felosztsa, melynek a nomsgt ( ) = P1 g (x ) (F (x ) ; F (x )) sup (xk+1 ; xk ) jelli. Kpezzk a k+1 k k ;1
sszegeket, ahol xk az xk xk+1) intervallum egy pontja. A Riemannintegrl ltezsnek bizonytsa szinte sz szerint tvihet erre az esetre is, s gy kimutathat , hogy ha a (;1 1) intervallum felosztst minden hatron tl srtjk, azaz, ha ( ) ! 0, akkor az integrlkzelt R1 sszegek konverglnak egy hatrrtkhez, amelyet g(x)dF (x)-szel je;1 llnk, s a g(x) fggvnynek az F (x) slyfggvnyre vonatkoz Stieltjesintegrljnak nevezzk. A Stieltjes-integrl denci jb l kvetkezik, hogy ha F (x) egy diszkrt val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye, vagyis F (x) lpcss fggvny, mgpedig F (x) ugrshelyei x1 x2 : : : xn : : : s az R1 xn helyen F (x) ugrsa pn = F (xn + 0) ; F (xn), akkor g(x)dF (x) = ;1 1 P g(xn)pn : Knnyen belthat tovbb, hogy ha F (x) szakaszonknt n=1 R1 sima eloszlsfggvny, s F 0 (x) = f (x) akkor g(x)dF (x) = ;1 R1 g(x)f (x) dx: Ugyanis, ha F (x) az (a b) intervallumban mindentt dif-

;1

ferencilhat , akkor a Lagrange-kzprtkttel szerint F (xk+1 ) ; F (xk ) = f (x0k ) (xk+1 ; xk ), ahol xk < x0k < xk+1, s gy ha

72


ahol 0 rk 1 szigoran sorozat,

nveked x 6 2 rk;1 rk ) : I (x 2 rk;1 rk )) = 01 ha ha x 2 rk;1 rk ) Ekkor Y = t(X ) diszkrt val sznsgi vltoz lesz f: : : y;1 y0 y1 y2 : : :g Rrk rtkkszlettel s P (Y = yk ) = fX (u) du eloszlssal. rk

1

;

Bizonyts : P (Y = yk ) = P (rk;1 X < rk ) =

Rrk f (u) du: X

rk

;

1

II.5.5. Plda: Legyen X 2 E () t(x) = x] + 1: Ekkor

; Rk e;x dx = 1 ; e;xk = k;1 k ;1 ;1 ; ;1 ; e;k;1 ;1 ; e; : Ha feladatunk valamely f: : : y y y y : : :g Y = t(X ) 2 G 1 ; e; : Hiszen P (Y = k) =

;1 0 1 2

rtkkszlet, pk = P (Y = yk ) k = 0 1 2 : : : eloszls diszkrt val sznsgi vltoz szmt gpes szimullsa, akkor a II.5.7 ttel azon specilis Pk pj : esett kell alkalmazni, amikor X 2 U (0 1) s rk = j =;1

II.5.6. Plda: (Binomilis eloszls vletlen szmok generlsa szmtgppel) Legyen X 2 U (0 1) vletlen szm. Legyen Y = k, ha P; Pk ;npj (1 ; p)n;j k = 0 : : : n: Lthat , hogy X< j j =0 Y 2 B (n p) vletlen szm lesz.

k ;1 n n;j j j p (1 ; p) j =0

II.6. A vrhat rtk II.6.1. Den ci: a.) Az X diszkrt val sznsgi vltoz nak akkor ltezzk vrhat rtke, ha 1 P a jxij P(X = xi) sor konvergens. Ekkor az X vrhat rtkn az i=1

EX = P xiP(X = xi) sorsszeget rtjk. 1

i=1

III.2

Diszkrt valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa

97

(2) (p) Ekkor az ri1 i2:::ip = P(X1 = x(1) i1 X2 = xi2 : : : Xp = xip ) val sznsgek sszessge az X1 X2 : : : Xp diszkrt val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsa.

III.2.2. val sznsgi vlo n Den ci: Ha adott az X1(2)X2 : : : Xp diszkrt (p) ) 8 i egyttes eltoz k ri1i2:::ip = P(X1 = x(1) X = x : : : X = x k 2 p i1 i2 ip oszlsa, s 1 j1 < j2 < < jk p, akkor az Xj1 Xj2 : : : Xjk diszkrt val sznsgi vltoz k egyttes eloszlst k-dimenzis vetleti- vagy peremeloszls nak nevezzk. III.2.1. Ttel: A diszkrt val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsa kielgti az albbi tulajdonsgokat: a.) 0 ri1i2:::ip 1 P ri i :::i = 1 b.) p 1 2 8i1i2 :::ip

c.) P (Xj1 = xj1 Xj2 = xj2 : : : Xjk = xjk ) = Bizonyts :

n

P

8il2= fj1 j2 :::jk g

ri1i2:::ip :

on

o

(2) a.) Nyilvnval , hiszen az Ai1i2:::ip = ! X1(!) = x(1) i1 ! X2 (! ) = xi2 o n ! Xp (! ) = x(ipp) esemny val sznsgrl van sz .

b.) Mivel az Ai1i2:::ip esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, igaz az llts. c.) A folytonossgi ttel kvetkezmnye ez a tulajdonsg, melynek rszletezstl eltekintnk. Specilisan, az llts p = 2 esetben: 1 P P(X = xi) = P(X = xi Y = yj ) s P(Y = yj ) = j =1

1 P = P(X = xi Y = yj ): i=1

III.2.2. Ttel: a.) Az X s Y diszkrt val sznsgi vltoz k fggetlenek, ha 8 i j -re P(X = xi Y = yj ) = P(X = xi) P(Y = yj ):

98


b.) Az X1 X2 : : : Xp diszkrt val sznsgi vltoz k teljesen fggetlenek, ha 8 2 k p-re s 8 1 j1 < j2 < < jk p esetn Qk P (Xj1 = xj1 Xj2 = xj2 : : : Xjk = xjk ) = P (Xj = xj ) :

II.5

71


Bizonyts : A bizonytst nem rszletezzk, csak annyit jegyznk meg,

Bizonyts : Elszr is megjegyezzk, hogy egy szigoran monoton nvekv fggvnynek ltezik az inverze. Legyen y 2 0 1] tetszleges! P(U < y) = P(F (X ) < y) = P(F ;1(F (X )) < F ;1(y)) = = P(X < F ;1(y)) = F (F ;1(y)) = y, ezrt U 2 U (0 1]) :

III.2.1. Plda: (Polinomilis eloszls) Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez, A1 A2 : : : Ar 2 = egy Pr r esemnybl ll teljes esemnyrendszer, azaz Ai Aj = Ai = : Ekkor,

II.5.5. Ttel: (Lineris transzformci) Ha X folytonos val sznsgi vltoz , s t(x) = ax + b a 6= 0 akkor az Y = t(X ) = aX + b lineris val sznsgi vltoz eloszlsfgg; y;transzformlt b ha a > 0 F X a vnye FY (y) = 1 ; F ; y;b ha a < 0 , srsgfggvnye pedig ; X a fY (y) = j1aj fX y;a b :

=1

hogy az Xi val sznsgi vltoz k teljes fggetlensge ekvivalens a kapcsolatos Ai = f! Xi (!) = xig nv esemnyek teljes fggetlensgvel.

i=1 r P ha 0 < P(Ai) = pi , akkor pi = 1: Hajtsunk vgre egy n-szeres ksrlet-

Bizonyts : A II.5.2 ttel egyszer kvetkezmnye.

i=1

sorozatot. Vegye fel Xi azt az rtket, ahnyszor Ai bekvetkezett a ksrletsorozatban. Az X1 X2 : : : Xr val sznsgi vltoz k egyttes eloszlst n p1 p2 : : : pr paramter polinomilis eloszlsnak nevezzk. Az Xi val sznsgi vltoz k rtkei a 0 1 2 : : : n szmok kz esnek. Az Xr 1 X2 : : : Xr P val sznsgi vltoz k rtkei kztt szoros sszefggs van: Xi = n. Az i=1 X1 X2 : : : Xr val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsa: P(X1 = k1 X2 = k2 : : : Xr = kr ) = k1!k2n!!kr ! pk11 pk22 pkrr . A fenti val sznsgek alkotnak, hiszen: Pn val ban neloszlst ! pk1 pk2 pkr = (p + p + + p )n = 1: 1 2 r r k1 !k2 !kr ! 1 2 8ki=0 k1 +k2 ++kr =n

Megjegyzs : A binomilis eloszls specilis polinomilis eloszls, amikor r = 2. A teljes esemnyrendszer ilyenkor A s az ellentettje. Teht a polinomilis eloszls a binomilis eloszls tbbdimenzi s kiterjesztse. A polinomilis eloszls Xi komponensei egyenknt B (n pi) eloszlsak, azaz a polinomilis eloszls egydimenzi s peremeloszlsai binomilisak.

III.3. Folytonos valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa III.3.1. Den ci: Az X1 X2 : : : Xp folytonos val sznsgi vltoz k

egyttes s r sgfggvny n azt az fX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp ) Riemann-integ-

A kvetkez ttel azt mondja ki, hogy a normlis eloszlscsald a lineris transzformci ra nzve zrt:

II.5.6. Ttel: (A normlis eloszls transzformcis tulajdonsgai) a.)

(x) =

( x; ),

b.) ' (x) = 1 '( x; ) vagyis a standard normlis eloszls srsgfggvnyvel s eloszlsfggvnyvel teszleges 2 R s > 0 paramter normlis eloszls srsgfggvny s eloszlsfggvny elllthat . Bizonyts :

R

x ;

Rx

a.) ( x; ) = p12 e; t2 dt = p12 e; ;1 ;1 t = u; t + = u ddut = 1 2

(u;)2 2 2

1 du =

(x)

b.) az a.) mindkt oldalt derivljuk.

II.5.7. Ttel: (Folytonos valszn sgi vltoz diszkretizlsa) 1 P Legyen X folytonos val sznsgi vltoz , s t(x) = yk I (x 2 rk;1 rk )), k=;1

70


P (t(X ) < y) = P (X > t;1(y)) = 1 ; FX (t;1(y)): Derivls utn ad dik a srsgfggvnyekre a kplet.

II.5.3. Plda: Ha az X standard normlis eloszls val sznsgi vltoz , mi a srsgfggvnye az Y = X 2 val sznsgi p vltoz nak? Ha p x > 0: P(Y p< x) = Pp(X 2 < x) =pP(jX j < px) = = P(; x < X < x) = ( x) ; (; px) = 2 ( x) ; 1 x) derivls utn kapjuk a srsgfggvnyt: fY (x) = 2'( x) 2p1 x = p21x e; 2 ha x > 0: II.5.4. Plda: Ha az X paramter normlis eloszls val sznsgi vltoz , mi a srsgfggvnye az Y = eX val sznsgi vltoz nak? (Y az .n. lognormlis eloszls vltoz ). ; val sznsgi ; P(Y < x) = P eX2 < x = P (X < ln x) = FX (ln x) = ln x; , gy (ln x ) fY (x) = p21x e; 22 : ;

A II.5.2 ttel specilis esete az albbi, mely vletlenszm generlsoknl hasznos.

II.5.3. Ttel: Ha U a 0 1] intervallumon egyenletes eloszls s F (y) egy szigoran monoton nvekv eloszlsfggvny azon az intervallumon, ahol 0 < F (y) < 1, akkor az Y = F ;1(U ) val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye ppen F (y) lesz. Bizonyts : Elszr is megjegyezzk, hogy egy szigoran monoton nvekv fggvnynek ltezik az inverze. P(Y < y) = P(F ;1(U ) < y) = P(F (F ;1(U )) < F (y)) = P(U < F (y)) = F (y) mert F (y) 2 0 1] : Megjegyzs : A II.5.3 ttel lehetsget ad arra, hogy a szmt gpek egyen-

letes eloszls vletlen szmokat generl rutinja segtsgvel tetszleges invertlhat F (y) eloszlsfggvnyhez tartoz vletlen szmokat ellltsunk s azokat szimulci s programokhoz felhasznljuk. A kvetkez ttel az elz megfordtsa:

II.5.4. Ttel: Ha X eloszlsfggvnye F (y) egy szigoran monoton n-

vekv eloszlsfggvny azon az intervallumon, ahol 0 < F (y) < 1 , akkor az U = F (X ) val sznsgi vltoz egyenletes eloszls lesz 0 1]-en.

III.3

99

Folytonos valsznsgi vltozk egyttes eloszlsa

rlhat fggvnyt rtjk, melyre: Rx1 Rx2 FX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp) =

Rxp f

X1 X2 :::Xp (t1 t2 : : : tp)dtp dtp;1 dt1, ;1 ;1 ;1 = fX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp), ha x = (x1 x2 : : : xp)T fX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp)-nek.

@ p FX1 X2 :::Xp (x1 x2 :::xp ) @x1@x2 @xp

azaz folytonossgi pontja

III.3.2. Den ci: Az fX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp) egyttes srsgfggvny egy k-dimenzis vetleti s r sgfggvny n (2 k p;1) valamely 1 i1 < i2 < < ik p indexkombinci ra az Xi1 Xi2 : : : Xik val sznsgi vltoz k egyttes srsgfggvnyt rtjk. III.3.1. Ttel: fXi Xi :::Xik (xi xi : : : xik ) =

R1 R1 R1 f

1

2

1

2

= X1 X2 :::Xp (t1 t2 : : : tp )dtj1 dtj2 dtjp k azaz az egyttes s;1 ;1 ;1 rsgfggvnyt az sszes tbbi & a kivlasztott index kombinci ban nem szerepl & indexhez tartoz vltoz ra kell kiintegrlni a teljes szmegyenesen, hogy ellltsuk a k-dimenzi s vetleti srsgfggvnyt fj1 j2 : : : jp;k 2= fi1 i2 : : : ik g : ;

Bizonyts : A III.1.3 ttel egyszer kvetkezmnye.

III.3.1. Plda: (A ktdimenzis normlis eloszls) Ha X s Y egyttes srsgfggvnye i h 2 2 fXY (x y) = 21 21p1;%2 exp ; 2(1;1 %2 ) (x;121 ) ; 2% (x;11)(y2;2 ) + (y;222 ) x y 2 R alak, akkor a kt val sznsgi vltoz egyttes eloszlsa ktdimenzi s normlis, ahol a peremeloszlsokra X 2 N (1 1) Y 2 N (2 2) teljesl. Ugyanis megmutathat , hogy h i2 2 ; 1 x; 1 + 12 %(y;2 ) ; (y 222 ) 1 fXY (x y) = p22 e 2 p211p1;%2 e 2 12 (1 %2) : ;

$gy pl. fY (y) = ; (y 222 ;

= p212 e

;1

)2

2

;

R1 f

(y ;2 )2 222

XY

R1 p

(x y) dx =

1p ;1 21 1;%2

e

;

h

i2

; 2 2 (11 %2 ) x; 1 + 12 %(y;2 ) 1

;

dx =

: = p212 e p Az integrl mgtt az N 1 + 12 %(y ; 2) 1 1 ; %2 eloszls srsgfggvnye ll, gy az integrl rtke 1.

100


II.5


69

II.5. Valsznsgi vltozk transzformcii

II.5.1. Ttel: Legyen X diszkrt val sznsgi vltoz A = fxk k = 0 1 2 : : :g rtkkszlettel s pk = P (X = xk ) eloszlssal. Legyen t : A ! B tetszleges fggvny, B = fyj j = 0 1 2 : : :g: Akkor az Y = t(XP) diszkrt val sznsgi vltoz rtkkszlete B , eloszlsa pk lesz. P (Y = yj ) = 8xk :t(xk )=yj

III.3.1 bra A ktdimenzi s normlis eloszls srsgfggvnye. A szimmetria tengelyt tartalmaz skmetszetei haranggrbk, a szimmetriatengelyre merleges skmetszetek pedig ellipszisek.

III.3.2. Ttel: Legyenek X1 X2 : : : Xp folytonos val sznsgi vltoz k az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. a.) X1 X2 : : : Xp pronknt fggetlenek () 8 1 i < j n -re fXiXj (x y) = fXi (x) fXj (y) teljesl 8 x y 2 R -re. b.) X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek () 8 2 k p s 8 1 i1 < i2 < < ik p indexkombinci ra Yk fXi1 Xi2:::Xik (xi1 xi2 : : : xik ) = fXij (xij ), 8xi1 xi2 : : : xik 2 R. j =1

Bizonyts : Az III.1.5 denci b l egyszeren derivlssal kvetkezik az llts. Megjegyzs : p = 2 esetben az elz ttelek specilis alakjai:

@ 2 FXY (xy) @x@y

R

+1

R

+1

= fXY (x y), fX (x) = fXY (x y) dy, fY (y) = fXY (x y) dx ;1 ;1 ha X s Y fggetlenek fXY (x y) = fX (x)fY (y) (8 x y 2 R):

III.3.3. Ttel: (Az egyttes s r sgfggvny tulajdonsgai) a.) fX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp) 0

Bizonyts: Mivel az f! X (!) = xk g nv esemnyek k indexek P klnbz esetn egymst kizrjk, s f! Y (!) = yj g = f! X (! ) = xk g, a 8xk:t(xk )=yj val sznsg -additivitsb l mr kvetkezik az llts.

II.5.1. Plda: Ha X 2 B (n p) s t(x) = n ; x, akkor Y; =t(X ) 2 B (n 1 ; p), hiszen P ( Y = k ) = P (X = n ; k ) = n n;k (1 ; p)n;(n;k) = ;n (1 ; p)k pn;k : n;k p k

ha x 10 II.5.2. Plda: Ha X 2 Po() s t(x) = 11x ha x > 10 , akkor az

Y = t(X ) rtkkszlete B = f0 1 : : : 11g s eloszlsa 8 < 10 kk! e; ha k 10 P (Y = k) = : 1 ; P i e; ha k = 11 : i! i=0

II.5.2. Ttel: Ha X olyan folytonos val sznsgi vltoz , hogy P (X 2 A) = 1 valamely A R halmazra, s t : A ! B szigoran monoton fggvny, akkor az Y = t(X ) is folytonos val sznsgi vltoz lesz, s ;1 ha t sz.m. " illetve FY (y) = 1 ; FFX ((tt;1((yy)) X )) ha t sz.m. # fY (y) = fX (t;1(y))

dt d1y(y)

: ;

Bizonyts: Mivel t szigoran monoton, ezrt invertlhat is. Ha t nveked (cskken), akkor az inverze is nveked (cskken). Ha t szigoran monoton nveked, az f! t(X (!)) < yg s az f! X (!) < t;1(y)g nv esemnyek ekvivalensek, a t lekpezs invertlhat sga miatt. $gy FY (y) = P (Y < y) = P (t(X ) < y) = P (X < t;1(y)) = FX (t;1(y)): Ha t szigoran monoton cskken, akkor az f! t(X (!)) < yg s az f! X (! ) > t;1 (y )g nv esemnyek ekvivalensek, s FY (y ) = P (Y < y ) =

68 e.)


R '(x) dx = 1.

+1

b.)

;1

Bizonyts : Az a.) s 2b.) lltsok nyilvnval ak. c.) s d.) '0(x) = p;2x e; x2 = ;x'(x) = 0 , x = 0 '00(x) = ;'(x) ; x'0(x) = '(x)(x2 ; 1) = 0 , x = 1 ) +1 ;1 in-exi s pontok. '00(0) = ;'(0) < 0 ) a 0 helyen maximum van. 2 +R1 2 +R1 +R1 +R1 (t2 +u2 ) +R1 t2 2 e.) e; 2 dt = e; t2 dt e; u2 du = e; 2 dtdu ttrve ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 a t = r cos u = r sin polrkoordintkra: ;r sin t2 + u2 = r2 J (r ) = det cos sin r cos = r

R R

+1 +1

R1 R2

(t2 +u2 )

h

e; 2 dtdu = r e; r2 ddr = 2 ;e; r2 0 0 ;1 ;1 kvetkezik az llts. 2

2

i1 0

= 2, ahonnan mr

II.4.4. Ttel: (A eloszlsfggvny tulajdonsgai)


III.4

R R

+1 +1

;1 ;1

Rf X X :::Xp (t1 t2 : : : tp) dtp : : : dt2 dt1 = 1:

+1

1

;1

a.) (x) = 1 ; (;x) 8x > 0, azaz grakonja szimmetrikus a b.) szigoran monoton nveked, c.) (x) = 12 + p12 (x ; 1!2x33 + +

(;1)k x2k+1 k!2k (2k+1)

III.4. Valsznsgi vektorvltozk transzformcii A II.5.2 transzformci s ttel tbbdimenzi s ltalnostsa az albbi:

III.4.1. Ttel: Jellje az X = (X1 X2 : : : Xp )T val sznsgi vektorvltoz srsgfggvnyt fX (x), amely eltnik a D Rp tartomnyon kvl. Legyen u : D ! H ( Rp) bijektv (klcsnsen egy-egyrtelm) transzformci . Ekkor az Y = u(X ) val sznsgi vektorvltoz srsgfggvnyt az albbi m don szmthatjuk: ;1 (y))

det(J (y ))

y 2 H ( u f X fY (y) = 0 y 2= H ,

0 @u (y) @y B @u (y ) B B @y ahol J (y) = B . B @ @up.. (y) 1

R

R1

;x

Rx

@y1

Rx

a.) (;x) = '(t) dt = 1 ; '(t) dt = 1 ; '(;t) dt = 1 ; '(t) dt = ;1 ;x ;1 ;1 1 ; (x): b.) Igaz, mert 0(x) = '(x) > 0 (II.4.3 ttel c.) rsze). c.) '(x) = p12 e; x2 = p12 2

P1 (;1)k x k s ahonnan mr kvetkezik az llts. 2

k=0

2k k!

d.) Nyilvnval kvetkezmnye a II.4.3 ttel e.) rsznek.

1 ;1 2 1 ;

d.) xlim (x) = 1 x!;1 lim (x) = 0: !1 Bizonyts :

1

1

+ ) 8x > 0

2

Bizonyts : A III.1.2 ttel a.) s c.) pontjb l, valamint az egyttes srsgfggvny III.3.1 denci jb l kzvetlenl kvetkezik.

;

(0 12 )-ra,

101

1 C C C a lekpezs Jacobi-mtrixa. ... C C A @up (y)

@u1 1 (y ) @y2 @u2 1 (y ) @y2

@u1 1 (y) @yp @u2 1 (y) @yp

@up (y ) @y2

@yp

;

;

... 1

;

...

;

;

;

1

Bizonyts : Legyen D egy tetszleges p-dimenzi s Borel-halmaz, u;1(D) = B pedig az skpe, vagyis az a p-dimenzi s Borel-halmaz, melyet u D-re kpez. Ekkor nyilvn P(Y 2 D) = P(X R2 u;1(D)) = P(X 2 B ). A srsgfggvnyek segtsgvel: P(Y 2 D) = fY (y) dy, msrszt R f (x) dx = R f (u;1(yD))

det(J (y)

dy. P(X 2 u;1(D)) = X X 1 D u (D) A kt integrl sszehasonltsb l mr kvetkezik az llts. ;

III.4.2. Ttel: (Kt folytonos valszn sgi vltoz sszegnek eloszlsa) Legyen X s Y val sznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Jellje fXY (x y) az egyttes srsgfggvnyket. Ekkor a

102


II.4

Z = X + Y val sznsgi vltoz srsgfggvnye: +R1 +R1 fZ (x) = fXY (t x ; t) dt = fXY (x ; t t) dt. ;1 ;1 Ha X s Y fggetlenek is, akkor +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY (x ; t) dt = fX (x ; t) fY (t)dt: ;1 ;1 Ez ut bbi esetben fZ az fX s fY srsgfggvnyek konvolcija. Bizonyts : Alkalmazzuk a III.4.1

ttelt az y1 = u1(x1 x2) = x1 + x2 ) y1 ; y2 = u;1 1(y1 y2) = x1 y2 = u2(x1 x2) = x2 y2= u;2 1(y1 y2) = x2

szereposztssal. Ilyenkor J (y1 y2) = 10 ;11 gy det(J (y1 y2)) = 1: A Z = X + Y s Y egyttes srsgfggvnye: fZY (y1 y2) = fXY (y1 ; y2 y2) 1: Innen Z srsgfggvnyt a III.3.1 ttelt felhasznlva szmolhatjuk: +R1 +R1 fZ (y1) = fZY (y1 y2) dy2 = fXY (y1 ; y2 y2) dy2: ;1 ;1 Az ut bbi integrlban az y1 ; y2 = t vltoz transzformci val kapjuk az +R1 fZ (y1) = fXY (t y1 ; t) dt kpletet. Ha X s Y fggetlenek, akkor a ;1 III.3.2 ttelbl kapjuk, hogy fXY (x y) = fX (x) fY (y) gy +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY (x ; t)dt = fX (x ; t) fY (t)dt. ;1

a.) Az elz ttel egy msik bizonytsa az albbi: R1 zR;x f (x y) dydx: Mindkt FZ (z) = P (Z < z) = P (X + Y < z) = XY ;1 ;1 oldalt z szerint derivlva kapjuk meg a srsgfggvnyt: R1 zR;x R1 zR;x d fZ (z) = dzd fXY (x y) dydx = f ( x y ) d y dx = XY dz ;1

II.4.5. bra Az N (;1 05) N (0 1) s N (1 1)normlis eloszlsok eloszlsfggvnyei

;1

Megjegyzs:

R1 f


;1 ;1

XY (x z ; x) dx:

;1

;1

b.) Mivel fggetlen esetben az sszeg srsgfggvnyre a kt komponens srsgfggvnyeinek konvolci jt kaptuk, fggetlen val sznsgi vltoz k esetn az sszeg val sznsgi vltoz t a komponens vltoz k konvolcijnak is nevezzk.

II.4.6. bra Az N (;1 05) N (0 1) s N (1 1)normlis eloszlsok srsgfggvnyei

II.4.3. Ttel: (A ' Gauss-fggvny tulajdonsgai) a.) '(;x) = '(x), vagyis ' pros fggvny. b.) x!lim '(x) = x!;1 lim '(x) = 0: +1 c.)

p12

= '(0) '(x) > 0 8x 2 R:

d.) ' in-exi s helyei a +1 s ;1, azaz '00(;1) = '00(+1) = 0:

67

66


III.4

103


II.4.2. Ttel: (Az exponencilis eloszls rkifj tulajdonsga) Legyen X folytonos eloszls val sznsgi vltoz P (X < x) = F (x) eloszlsfggvnnyel. Akkor P(X < x + t jX x) = P(X < t) 8 0 < x t-re () 9 > 0 : F (x) = 1 ; e;x x > 0 vagyis X 2 E () : Megjegyzs : X azrt rkifj , mert annak feltteles val sznsge, hogy X legfeljebb x + t-ig l, ha mr x-et meglt egyenl annak val sznsgvel, hogy X legfeljebb t ideig l, azaz a tllsi kondci k az id mlsval nem cskkennek, hiszen 0 s t kztt ugyanaz a tllsi esly mint x s x + t kztt. A ttel azt lltja, hogy az exponencilis eloszls az egyetlen rkifj a folytonos eloszlsok kztt.

III.4.1. Plda: Legyenek X Y 2 U (0 1) fggetlenek, Z = X + Y ! Szmoljuk ki Z srsgfggvnyt! Z 2 (0 2) lehet csak. Legyen z 2 (0 2) tetszleges. A konvolci s kpletbl: 8 Rz > > < 10 1 dx = z ha z 2 (0 1) minRf1zg 1 R fZ (z) = fX (z;x)fY (x) dx = 11 dx = > R 1 dx = z ha z 2 (1 2) :

Bizonyts : ( Legyenek 0 < x t tetszlegesek, ekkor +t) FX (x+t);FX (x) 1;e P(X < x + t jX x ) = P(xP (XX<x x) = 1;FX (x) = ; t = 1 ; e = P(X < t):

Legyen X s Y val sznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Jellje fXY (x y) az egyttes srsgfggvnyket. Ekkor a Z = X ; Y val sznsgi vltoz srsgfggvnye: +R1 +R1 fZ (x) = fXY (t x + t) dt = fXY (x + t t) dt. ;1 ;1 Ha X s Y fggetlenek is, akkor +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY (x + t) dt = fX (x + t) fY (t)dt:

(x+t) ;1+e x 1;1+e x

;

;

;

)

=

Legyen G(x) = 1 ; F (x) = P (X x) : Ekkor 8 0 < x t-ra P(X < x + t jX x ) = P(X < t) = G(x)G;(Gx()x+t) = 1 ; G(t) azaz G(x + t) = G(x)G(t): Teht G(2t) = (G(t))2 G(3t) =;G(2t)G(t) = (G(t))3 G(nt1 ) = (G(t))n : Msrszt nt = s;-re:G(s) = G( nsm) n azaz G( ns ) = (G(s)) n : ; ; m s $gy G m n = G ns m = (G (s)) n azaz s = 1-gyel G( mn ) = (G(1)) n : r Teht tetszleges 0 < r 2 Q racionlis szmra fennll G(r) = (G(1)) : Mivel G is s az exponencilis fggvnyek folytonosak, gy 8x > 0 val s szmra is fenn kell llnia G(x) = (G(1))x-nek. De G(1) = 1 ; F (1) < 1 miatt 9 > 0 hogy G(1) = e; legyen. Behelyettests utn G(x) = e;x 8x > 0 azaz F (x) = 1 ; e;x X 2 E () : II.4.3. Plda: (A normlis eloszls valszn sgi vltoz) Az X val sznsgi vltoz 2 R s > 0 paramter Rx (t )2 normlis eloszls, ha eloszlsfggvnye FX (x) = (x) = p21 e; 22 dt x 2 R: ;1 Jells : X 2 N ( ): (x )2 Az X srsgfggvnye: fX (x) = ' (x) = p21 e; 22 x 2 R. Ha X 2 N (0 1), akkor standard normlis eloszlsr l beszlnk. Ilyenkor x R x2 t2 1 1 ; ; '01(x) = '(x) = p2 e 2 s 01(x) = (x) = p2 e 2 dt: ;

;

;1

;1

maxf0z;1g

> > : z;1

0 ha z 2= (0 2)

III.4.3. Ttel: (Kt folytonos valszn sgi vltoz klnbsgnek eloszlsa)

;1

;1

Bizonyts : A III.4.2 ttelhez hasonl an, az y1 = u1 (x1 x2) = x1 ; x2 m dostssal.

III.4.4. Ttel: (Diszkrt valszn sgi vltozk sszegnek eloszlsa) Ha X s Y diszkrt nemnegatv egszrtk val sznsgi vltoz k, akkor Z = X + Y szintn diszkrt nemnegatv egszrtk val sznsgi vltoz , Pk melynek eloszlsa: P(Z = k) = P(X = Y = k ; ) = =0

Pk = P(X = k ; Y = ) k = 0 1 2 : : :. =0

Ha mg az is igaz, hogy X s Y fggetlenek, akkor Pk Pk P(Z = k) = P(X = )P(Y = k ; ) = P(X = k ; )P(Y = ) =0 =0 k = 0 1 2 : : : : Bizonyts : f! Z (! ) = kg =

Pk f! X (!) = Y (!) = k ; g,

s a komponensesemnyek egymst pronknt kizrjk. $gy a val sznsg =0

104


additv tulajdonsgb l (ld. I.1.2 axi mk, 2o tulajdonsg) mr kvetkezik az llts.

III.4.2. Plda: Legyenek X 2 Po() Y 2 Po() fggetlenek (ld. II.3.3.

pldt!). Akkor k P(X + Y = k) = P P(X = )P(Y = k ; ) =

Pk e; k e; =

=0 k; =0 k P k ! ; ( + ) = k! e = !(k;)! + + =0 k k (+) ;(+)

!

;

(k;)!

(+)k

II.4

65


Jells : X 2 E ():

A srsgfggvny FX0 (x) = fX (x) =

e;x x > 0

0 egybknt :

Megjegyzs: Exponencilis eloszlssal a gyakorlatban berendezsek lettartamt szoks modellezni. De exponencilis eloszlsnak tekinthet tmegkiszolglsi modellekben a kiszolglsi id s az j ignyek rendszerbe val berkezsi ideje is, vagy a rdioaktv atomok elbomlsi ideje is.

= k! e + + + = k = (+k!) e;(+) 1 k = 0 1 2 : : : azaz X + Y 2 Po( + ):

III.4.5. Ttel:

a.) Az X1 X2 : : : nXp diszkrt val sznsgi o vltoz k rtkkszleteit jellje rendre R(i) = x(1i) x(2i) : : : x(ni) : : : (i = 1 2 : : : p) egyttes eloszl(2) (p) sukat pedig fri1i2:::ip = P(X1 = x(1) i1 X2 = xi2 : : : Xp = xip )g: Legyen g : Rp ! R tetszleges p-vltoz s val s fggvny. Ekkor az Y = g(X1 XP2 : : : X; p) val sznsgi vltoz , s ltezik a vrhat rtke: (2) EY = g xi1 xi2 : : : xip P(X1 = x(1) i1 X2 = xi2 : : : Xp =

xi(pp)):

8(i1 i2 :::ip )

II.4.3. bra A = 1 2 05 paramter exponencilis eloszlsok eloszlsfggvnyei

b.) Az X1 X2 : : : Xp folytonos val sznsgi vltoz k egyttes srsgfggvnyt jellje fX1 X2:::Xp (x1 x2 : : : xp): Legyen g : Rp ! R tetszleges p-vltoz s val s fggvny. Ekkor az Y = g(X1 X2 : : : Xp) val sznsgi vltoz , s ltezik a vrhat rtke: +R1 +R1 +R1 EY = g (x1 x2 : : : xp)fX1 X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp) dxp dx2dx1 : ;1 ;1

;1


Legyen a diszkrt X = (X1 X2 : : : Xp)T vektorrtk val sznsgi vltoz rtkkszlete a V megszmllhat vektorhalmaz, az Y = g (X ) diszkrt val sznsgi vltoz pedig W = fy y = g (x) x 2 V g : Ekkor denci szerint:

II.4.4. bra A = 1 2 05 paramter exponencilis eloszlsok srsgfggvnyei

64


III.4

105


P yP (Y = y) = P y X P (X = x) = y2W y2W x2V :g(x)=y X P X

EY = =

II.4.1. bra Az 1 3] intervallumon egyenletes eloszls eloszlsfggvnye

y2W x2V :g(x)=y

g (x) P (X = x) =

x2V

g (x) P (X = x) :

Folytonos eset: A III.4.1. ttelt alkalmazzuk, arra az u : Rp ;! Rp transzformci ra, ahol Y = u1 (X1 X2 : : : Xp) = g (X1 X2 : : : Xp) X2 = u2 (X1 X2 : : : Xp) = X2 : ... ... ... Xp = up (X1 X2 : : : Xp ) = Xp Jacobi determinnsnak abszoltrtke most

Az 1 (yx :::x )

@g inverztranszformci p lesz, gy f 2

YX2 :::Xp (y x2 : : : xp) = @y

@g 1(yx2 :::xp)

( ;1

ha y = g (x1 x2 : : : xp @y = fX1 X2:::Xp (g (y x2 : : : xp) x2 : : : xp) 0 egybknt amibl a III.3.1. ttelt felhasznlva integrlssal kapjuk:

1

R1 R1 fY (y) = fX1X2:::Xp (g;1 (y x2 : : : xp) x2 : : : xp)

@g (yx@y2:::xp)

dxp dx2: ;1 ;1 $gy 1 R EY = yfY (y) dy = ;

;

;

II.4.2. bra Az 1 3] intervallumon egyenletes eloszls srsgfggvnye Megjegyzs: Az X 2 U (a b]) val sznsgi vltoz ra jellemz, hogy

brmely hosszsg szakaszon azonos val sznsggel veszi fel rtkeit. Teht, ha c c + 2 a b], akkor ;a c;a P (c X < c + ) = FX (c + ) ; FX (c) = c+ b;a ; b = b;a . A val sznsg egyrszt nem fgg a rszintervallum c kezdpontjt l, msrszt ppen a rszintervallum s a teljes intervallum hosszainak arnyval egyenl.

II.4.2. Plda: (Az exponencilis eloszls valszn sgi vltoz) Az X val sznsgi vltoz > 0 paramter exponencilis eloszls, ha eloszlsfggvnye

;x 0 FX (x) = 1 ; e 0 xx > 0 :

= =

R1 y R1 R1 f ;1

;1 1

R

;1

@g X1 X2 :::Xp (g ;1 (y x2 : : : xp) x2 : : : xp)

;1

R y fX X :::Xp (g ;1 (y x2 : : : xp) x2 : : : xp )

@g ;1 1

;1

1

2

1

;

;

1

(yx2 :::xp) @y

(yx2 :::xp ) @y

dxp dx2

dxp dx2dy =

vgrehajtva az y = g (x1 x2 : : : xp) vltoz transzformci t az integrlban, mris igazoltuk az lltst: R1 R1 y = g (x1 x2 : : : xp) = g (x1 x2 : : : xp) fX1X2:::Xp (x1 x2 : : : xp) dxp dx1 ;1

;1

III.4.6. Ttel: Az Y = X1 + X2 + + Xp val sznsgi vltoz vrhat rtke ltezik, amennyiben a Xi tagok vrhat rtke ltezik, s EY = EX1 + EX2 + + EXp: Bizonyts : Az elz ttel kvetkezmnye, amikor g (x1 x2 : : : xp) = x1 + x2 + + xp: III.4.7. Ttel: Legyenek az X s Y val sznsgi vltoz k fggetlenek,

106


s ltezzk a vrhat rtkk. Ekkor a Z = XY val sznsgi vltoz nak is ltezik a vrhat rtke, s EZ = EX EY . Bizonyts : Alkalmazzuk a III.4.5 ttelt g(x y ) = x y -ra! a.) diszkrtPeset: EZ = P xiyj P(X = xi Y = yj ) = P P xiyj P(X = xi)P(Y = yj ) = 8xi!8yj P P 8i 8j yj P(Y = yj ) = EX EY: = xiP(X = xi) 8xi

8yj

b.) folytonos eset: +R1 +R1 +R1 +R1 EZ = xyfXY (x y) dydx = xyfX (x)fY (y) dydx = =

R

;1 ;1 +1 xfX (x) dx ;1

+R1 yfY (y) dy = EX EY: ;1 ;1

;1

III.4.8. Ttel: Legyenek az X s Y val sznsgi vltoz k fggetlenek, s ltezzk a sz rsngyzetk. Ekkor 2(X Y ) = 2X + 2Y: Bizonyts : 2(X Y ) = E(X Y )2 ; E(X Y )]2 = = E X 2 2X Y + Y 2] ; (EX )2 2EX EY + (EY )2] = = EX 2 2E(X Y ) + EY 2 ; (EX )2 2EX EY ; (EY )2 = = EX 2 ; (EX )2 + EY 2 ; (EY )2 = 2X + 2Y: Felhasznltuk a III.4.7 ttel lltst, miszerint fggetlensg esetn E(X Y ) = (EX ) (EY ).

III.5. A kovariancia s a korrelcis egytthat III.5.1. Den ci: Legyenek X s Y val sznsgi vltoz k az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Tegyk fel, hogy ltezik a sz rsngyzetk. Ekkor az X s Y kovariancijn a Z = (X ; EX ) (Y ; EY ) val sznsgi vltoz vrhat rtkt rtjk. Jells : cov(X Y ) = E (X ; EX ) (Y ; EY )]. Megjegyzs : cov(X X ) = 2X: III.5.2. Den ci: Az X s Y val sznsgi vltoz k korrelcis egytthat jn standardizltjaik kovariancijt rtjk. (XY ) ~ Y~ ) = cov Jells : R(X Y ) = cov(X X Y .

II.4

63


az az X ltalnos vltoz , melynek eloszlsfggvnye: 8 1 val sznsgi < 2 Rx 2 ha x = 0 FX (x) = : p1 e 2t dt ha x > 0 2 ;

;1

II.4.1. Ttel: (A s r sgfggvny tulajdonsgai)

Legyen X az ( = P)-n rtelmezett folytonos val sznsgi vltoz . Akkor az fX : R ! R srsgfggvnyre teljesl, hogy a.) fX (x) 0 b.)

R f (t) dt = 1: X

+1

;1

Bizonyts :

a.) Mivel FX monoton nem cskken, s dFdXx(x) = fX (x) ha x folytonossgi pontja fX -nek, kvetkezik az llts. b.) 1 = x!lim F (x) = x!lim +1 X +1 Megjegyzs :

Rx f (t) dt = +R1 f (t) dt: X X

;1

;1

a.) A srsgfggvny a folytonos val sznsgi vltoz knl ugyanazt a szerepet tlti be, mint diszkrt val sznsgi vltoz knl az eloszls. Ugyanis tetszleges a 2 R s x > 0 -ra P(a X < a + x) = a+ R x f (t) dt = f (a ) x ahol a a < a + x. FX (a + x) ; FX (a) = X X a Ha x kicsi, akkor fX (a) fX (a ) gy P(a X < a+ x) fX (a) x: Teht az X val sznsgi vltoz az a krnyezetben az fX (a) rtkkel arnyos val sznsggel tart zkodik. (Az fX (a) rtk lehet 1-nl nagyobb is!) b.) fX (x) $ 0 ha 6 9 dFdXx(x) : II.4.1. Plda: (Az egyenletes eloszls valszn sgi vltoz) Az X az 8 a b] intervallumon egyenletes eloszls, ha eloszlsfggvnye: < x;0a x a FX (x) = : b;a a < x b: 1 x > b

1 (a b) : Jells : X 2 U (a b]): Ekkor a srsgfggvny: fX (x) = b;0a x x2=2(a b)

62


Megjegyzs : A geometriai eloszls rkifj tulajdonsgt a kvetkezkpp lehet interpretlni: att l, hogy egy esemny az ismtelt vgrehajts sorn rgen fordult el, mg nem fog a bekvetkezsi val sznsg megnni!

II.3.5. Ttel: (A geometriai eloszls rkifj tulajdonsga)

P(X = m + k jX > m) = P(X = k) 8m k -ra, azaz annak feltteles val sznsge, hogy a kvetkez k vgrehajts vgn bekvetkezik az A esemny, amennyiben az elz m meggyels alatt nem kvetkezett be ugyanannyi, mint annak val sznsge, hogy ppen a k-adik vgrehajts utn kvetkezik be az A esemny. Bizonyts :

+kX>m) = P(X =m+k) = qm+k 1 p = P (X = m + k j X > m) = P(X =Pm(X>m P q 1 p ) P(X>m) ;

1

=

qm+k 1 p qm p P q

;

1

=0

=

qm+k 1 p qm ;

= qk;1p = P (X

= k) :

=m+1

;

II.4. Folytonos valsznsgi vltozk

II.4.1. Den ci: Legyen X az ( = P)-n rtelmezett val sznsgi vltoz , melynek rtkkszlete kontimuum szmossg. Jellje FX az eloszlsfggvnyt. X -et folytonos val sznsgi vltoz nak nevezzk, ha FX abszolt folytonos, azaz ltezik olyan Riemann Rx integrlhat fX : R ! R fggvny, melyre fennll az FX (x) = fX (t) dt (x 2 R) sszefggs. ;1 Az fX fggvnyt az X val sznsgi vltoz (vagy az FX eloszlsfggvny) s r sgfggvnynek nevezzk. Ha FX abszolt folytonos, akkor folytonos is s majdnem mindentt di"erencilhat , azaz pl. vges sok helyen lehet csak trspontja. dFdXx(x) = fX (x) ha x folytonossgi pontja fX -nek. Megjegyzs :

a.) A diszkrt val sznsgi vltoz k nem folytonosak, mr csak azrt sem, mert eloszlsfggvnyk nem folytonos. b.) Lteznek olyan val sznsgi vltoz k, melyek se nem diszkrtek, se nem folytonosak. Ezek az ltalnos val sznsgi vltoz k, melyekkel a tovbbiakban mi nem foglalkozunk' a gyakorlatban ritkn fordulnak el. Pl.

III.5


107

III.5.1. Ttel: cov(X Y ) = E(X Y ) ; (EX ) (EY ): Bizonyts : cov(X Y ) = E((X ; EX ) (Y ; EY )) = = E(X Y ; X EY ; Y EX + (EX ) (EY )) = = E(X Y ) ; (EX ) (EY ) ; (EY ) (EX ) + (EX ) (EY ) = = E(X Y ) ; (EX ) (EY ): III.5.2. Ttel: Ha X s Y fggetlenek, akkor cov(X Y ) = 0 s R(X Y ) = 0: A ttel megfordtsa ltalban nem igaz. Bizonyts : A ttel a III.4.7 s a III.5.1 ttelek egyszer kvetkezmnye. A megfordtsra kt ellenplda: Legyen X s Y diszkrt val sznsgi vltoz , ;1 0 1 rtkkszletekkel. Egyttes eloszlsukat az albbi tblzatban lthatjuk: Y n X ;1 0 +1 Y perem ;1 0 025 0 025 0 025 0 025 05 +1 0 025 0 025 X perem 025 05 025 1

EX = EY = 14 (;1) + 21 0 + 14 1 = 0 E(X Y ) = (;1) (;1) 0 + 1 1 0 = 0 cov(X Y ) = E(X Y ) ; (EX ) (EY ) = 0: X s Y nem fggetlenek, mert pl. P(X = 0 Y = 1) = 41 6= P(X = 0) P(Y = 1) = 12 41 : Folytonos esetre ellenplda: X 2 U (0 2), azaz a (0 2) intervallumon egyenletes eloszls val sznsgi vltoz . Y = sin X s Z = cos X . Hatrozzuk meg cov(Y Z )-t! 2 R2 2 1 R sin 2 EY = 21 sin x dx = 1;cos 2 = 0 EZ = 2 cos x dx = 2 = 0 0

0

R2

4 = 0: E(Y Z ) = E (sin X cos X ) = 0 5E(sin 2X ) = 41 sin 2x dx = 1;cos 8 0 $gy cov(Y Z ) = 0 de nem fggetlenek, hiszen P(Y 2 + Z 2 = 1) = 1: Ha Y s Z fggetlenek lennnek, ;akkor vltoz srsgfgg; az Y 2 + Z; 2 val sznsgi vnyt az fY 2 (y) = 2p1 y fY py + fY ;py y 2 (0 1) srsgfggvny nmagval val konvolvlsval lehetne kiszmtani, ahol fY (y) = fZ (y) = p 1 2 y 2 (;1 1) a kt komponens azonos srsgfggvnye. Ekkor viszont 1;y P(Y 2 + Z 2 = 1) = 0-nak kellene fennllnia! (Ld. a II.2.1 kvetkezmnyt!)

108


III.5.3. Den ci: Az X s Y val sznsgi vltoz k korrellatlanok, ha R(X Y ) = cov(X Y ) = E(X Y ) ; (EX ) (EY ) = 0: Megjegyzs :

a.) A korrellatlansg a fggetlensg szksges, de nem felttlenl elgsges felttele. b.) Diszkrt esetben szmtsa: P Pa xkovariancia cov(X Y ) = i yj P(X = xi Y = yj ); 8i 8j P P ;( xi P(X = xi )) ( yj P(Y = yj )): 8i 8j Folytonos esetben a kovariancia szmtsa: +R1 +R1 +R1 +R1 cov(X Y ) = xyfXY (x y) dxdy; x fX (x) dx y fY (y) dy : ;1 ;1

;1

;1

III.5.3. Ttel: Ha az X s Y val sznsgi vltoz k sz rsngyzetei lteznek, gy 2(X Y ) = 2X + 2Y 2cov(X Y ): Bizonyts : 2(X Y ) = E (X Y )2] ; E(X Y )]2 = = E X 2 2XY + Y 2] ; (EX )2 2(EX )(EY ) + (EY )2] = = EX 2 2EXY + EY 2 ; (EX )2 2(EX )(EY ) ; (EY )2 = = 2X + 2Y 2cov(X Y ).


II.3

61

idegysg alatt a telefonkzpontba berkez hvsok szma' idegysg alatt bekvetkez rdi aktv bomlsok szma' egy stemnyszeletben tallhat mazsolk szma' egy knyvoldalon tallhat sajt hibk szma' stb. Az emltett esetekben binomilis eloszls alkalmazsa krlmnyes lenne, mert a binomilis egytthat k szmolsa a nagy n miatt tlcsordulshoz, illetve szmolsi pontatlansgokhoz vezethet. II.3.4. Plda: Geometriai eloszls valszn sgi vltoz Legyen K egy vletlen ksrlet, s ( = P) a hozztartoz Kolmogorov-fle val sznsgi mez, A 2 = egy pozitv val sznsg esemny: p = P(A) > 0. A K ksrlethez tartoz ksrletsorozatot addig hajtsuk vgre, amg az A esemny be nem kvetkezik. Az X val sznsgi vltoz t rtelmezzk gy, mint az A esemny bekvetkezshez szksges ismtlsek szmt. X -et p paramter geometriai eloszls val sznsgi vltoz nak nevezzk. Jells : X 2 G(p):

III.5.4. Ttel: 2(P Xi) = P 2Xi + 2 P cov(Xi Xj ): p

p

i=1

i=1

i<j

Bizonyts : p = 2-re ppen a III.5.3 ttelt kapjuk. Tegyk fel, hogy az llts igaz valamely p 2 -re! Ekkor pP +1 Pp Pp 2( Xi) = 2( Xi ) + 2Xp+1 + 2cov( Xi Xp+1) = i=1 p+1

P = 2Xi + 2 i=1

i=1

P

i<j %ij =12:::p

II.3.3. bra A geometriai eloszls p = 16 paramterrel

i=1

p cov(Xi Xj ) + 2 P cov(Xi Xp+1) ) llts. i=1

III.5.5. Ttel: Tetszleges a b 2 R esetn cov(aX + bY Z ) = acov (X Z ) + bcov (Y Z ) : Bizonyts : E ((aX + bY )Z ) = aE(XZ ) + bE(Y Z ) s E (aX + bY ) EZ = aEX EZ + bEY EZ miatt, a III.5.1. ttelre hivatkozva bizonythatjuk az lltst.

X lehetsges rtkei : 1 2 3:4 : : : azaz a pozitv egsz szmok. X eloszlsa: pk = P(X = k) = (1 ; p)k;1p = qk;1p, hiszen f! X (!) = kg = =A | A {z A} A, s a fggetlen vgrehajts miatt az esemny val sz(k;1)-szer

nsge: q q q p = qk;1p: A geometriai sor sszegzkplett felhasznlva ezek a val sznsgek val ban eloszlst alkot1 P1 lthatjuk P1 be, hogyP nak: pk = qk;1p = p qk = p 1;1 q = p 1p = 1: k=1

k=1

k=0

60


III.5


109

III.5.6. Ttel: Ha az X s Y val sznsgi vltoz k sz rsngyzetei lteznek, akkor ;1 R(X Y ) 1. ;EX s Y~ = Y ;EY a kt standardizlt val szBizonyts : Legyen X~ = X X ; ;EX Y ;EYY = cov(XY ) = R(X Y ). ~ ~ nsgi vltoz . cov(X Y ) = E X X Y X Y A III.5.3 ttelt felhasznlva: 2 2 2 ~ Y~ ) = 1 + 1 2R(X Y ) () 0 (X~ Y~ ) = X~ + Y~ 2cov(X ;1 R(X Y ) 1: II.3.2. bra A Poisson-eloszls = 1 paramterrel paramterekkel A fenti1 val sznsgek1val ban eloszlst alkotnak, mert 1 P P P p = k e; = e; k = e; e = 1:

k=0

k

k=0

k!

k=0

k!

;n k n;k = k e; azaz a Poisson-eloszls a binomiII.3.4. Ttel: nlim k! !1 k p q p!0 np=

lis eloszls hatresete, amikor a ksrletek szma (n) minden hatron tl n, az A esemny p val sznsge pedig 0-hoz tart, mikzben az np szorzat lland .

;

Bizonyts : Jellje most b(k n p) = nk pk q n;k . A II.3.3 ttelben lttuk, ) np+(1;k)p n;k+1 p hogy b(bk(;knp 1np) = k q = k(1;p) ! k , hiszen np = (1 ; k )p ! 0 k(1 ; p) ! k a felttelek miatt. Msrszt b(0 n p) = (1 ; p)n = ) ; (1 ; n )n ! e; is. $gy bb(1(0np np) ! miatt b(1 n p) ! e : Hasonl an : b(2np) ! miatt b(2 n p) ! 2 e; : Folytatva az eljrst, a ttel lltst b(1np) 2 2

kapjuk.

Megjegyzs : A Poisson-eloszls j l alkalmazhat olyan n-szeres ksrletsorozat modellezshez, ahol a ksrletek szma nagyon nagy, viszont a meggyelt esemny val sznsge 0-hoz kzeli. Pldul: egy adott trfogatban idegysg alatt elboml atomi rszecskk szma' a mikroszk p lt terbe bekerlt egysejtek szma'

Kvetkezmny: jcov(X Y )j X Y . III.5.7. Ttel: Ha az X s Y val sznsgi vltoz k sz rsngyzetei l-

teznek, gy R(X Y ) = 1

() 9 a b 2 R : P(X = a Y + b) = 1:

Bizonyts : X ~ Y ;EY Legyen X~ = X ;E X s Y = Y a standardizlt val sznsgi vltoz . 9 a b 2 R : P(X = a Y + b) = 1 , P(X~ = Y~ ) = 1 , 0 = 2(X~ Y~ ) = 2(1 R(X Y )) , R(X Y ) = 1 radsul R(X Y ) = sgn(a): A levezetsben felhasznltuk a II.7.2 s III.5.6 ttel eredmnyeit.

III.5.4. Den ci: Az X = (X1 X2 : : : Xp)T val sznsgi vektorvltoz vrhat rtk vektor n a komponens val sznsgi vltoz k vrhat rtkeibl ll vektort rtjk: EX = (EX1 EX2 : : : EXp)T : III.5.5. Den ci: Az X = (X1 X2 : : : Xp)T val sznsgi vektorvl-

toz kovarianciamtrix n a = (cov(Xi Xj ))i=12:::p pp-s mtrixot rtjk. j =12:::p

III.5.8. Ttel: szimmetrikus s pozitv szemidenit, azaz = T s

8 a 2 Rp-re aT a 0.

Bizonyts : Legyen a 2 Rp tetszleges! aT a = E(aT (X ; EX ) (X ; EX )T a) = EY 2 0, ahol Pp Y = aT (X ; EX ) = ai(Xi; EXi ). i=1

III.5.1. Plda: (A polinomilis eloszls vrhatrtk-vektora s kovarianciamtrixa

110


II.3


59

A polinomilis eloszlst a III.2.1 pldban adtuk meg. Az X1 X2 : : : Xr val sznsgi vltoz k mindegyikre igaz, hogy Xi 2 B (n pi) azaz binomilis eloszlsak. Ezrt EX = (np1 np2 : : : npr )T = n (p1 p2 : : : pr )T = n p. A kovarianciamtrixhoz ki kell szmolnunk a cov(Xi Xj ) kovariancikat. E(Xi XPj ) = = ki kj P(X1 = k1 : : : Xi = ki : : : Xj = kj : : : Xr = kr ) = 8k

k1 +k2 ++kr =n = n(n;1)pi pj

P

(n;2)! k1 k1 ;1 pkj ;1 pkr = r j k !(k ;1)!(kj ;1)!kr ! p1 pi 8k 1 i k1 ++kr =n = n (n ; 1) pi pj , mert a szumma mgtt az n ; 2 p1 p2 : : : pr paramter

II.3.1. bra A binomilis eloszls n = 20 p = 0:5 paramterekkel

polinomilis eloszls val sznsgei llnak, melyek sszege 1. $gy cov(Xi Xj ) = E(Xi Xj ) ; (EXi)(EXj ) = n (n ; 1) pi pj ; n pi n pj = = ;n pi pj , ha i 6= j . A kovarianciamtrix diagonlisban a biomilis komponensek sz rsngyzetei, teht cov(Xi Xi ) = 2Xi = n pi (1 ; pi ) = n pi0 qi llnak. Teht: 1 np1 q1 ;np1p2 ;np1p2r B ;np1p2 np2q2 ;np2pr CC =B B@ ... ... ... C ... A: ;np1 pr ;np2 pr npr qr

II.3.3. Ttel: A binomilis eloszls pk elemeire teljesl, hogy a.) pk = n;kk+1 pq pk;1 (k = 1 2 3 : : : n) p0 = qn: b.) Ha = (n + 1) p], ahol x] az egszrszt jelli, akkor p pk (k = 0 1 : : : n). Bizonyts :

III.5.2. Plda: (A komponensek korrelcija ktdimenzis normlis esetben.) Ha X s Y egyttes srsgfggvnye h 2 i 2 fXY (x y) = 2121p1;%2 exp ; 2(1;1 %2 ) (x;121 ) ; 2% (x;11)(y2;2 ) + (y;222 )

x y 2 R, akkor E (XY ) = =

R1 y p 1

;1 1

R

; (y 222 )

22 e

2

;

2

; (y 2 ;

R1 R1 xy f (x y) dxdy = XY

1;1 ;1 R x p 1p e; 2 1;% ;1 1

)2

2

1 212 1;%2

(

h

i2

1 ) x; 1 + 2 %(y;2 )

!

dx dy =

= y p212 e 222 1 + 12 %(y ; 2 ) dy = ;1 = 12 + 12 % (22 + 22) ; 12 %22 = 1 2 +22%: Teht cov (X Y ) = 22% 2 % 1 2 1 R (X Y ) = : A srsgfggvny a = % 2 kovarianciamt1 2 2 rix s a = (1 2)T vrhat rtk-vektor segtsgvel mtrixos felrsban is

a.)

pk pk 1 ;

n k n k = ( n()kp)kp q1qn k+1 = n;kk+1 qp . ;

k

1

;

;

;

b.) A fenti azonossgb l ad dik, hogy pk pk;1 () n;kk+1 1;p p 1 () (n + 1)p k illetve pk pk;1 () n;kk+1 1;p p 1 () (n + 1)p k. Innen mr lthat , hogy ha az indexre = (n + 1)p], akkor a hozztartoz eloszlsrtk nagyobb a tbbinl. Az is megmutathat , hogy ha (n+1)p maga is egsz szm, akkor az = (n+1)p ;1 indexekhez tartoz val sznsgek egyenlek, s a tbbinl nagyobbak lesznek.

II.3.3. Plda: Poisson-eloszls valszn sgi vltoz Ha egy X val sznsgi vltoz rtkkszlete a termszetes szmokk halmaza: E = N = f0 1 2 : : : n : : :g eloszlsa pedig pk = P(X = k) = k! e; k = 0 1 2 : : : ahol > 0 akkor X -et paramter Poisson-eloszls val sznsgi vltoz nak nevezzk. Jells : X 2 Po():

58

II. FEJEZET A valsznsgi v ltoz Bizonyts : Mivel Ax = f! X (! ) < xg =

PA

P

= f! X (!) = xig xi <x xi <x s az Ai esemnyek egymst pronknt kizrjk, kvetkezik az llts els rsze. Msrszt pi = P(X = xi) = P(xi X xi) = FX (xi + 0) ; FX (xi): i

II.3.1. Plda: Indiktor valszn sgi vltoz

Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez, A 2 = egy pozitv val sznsg esemny: p = P(A) > 0. Az X : ! R fggvny denci ja a kvetkez: X (!) = 10 !! 22= A A . Ekkor X diszkrt val sznsgi vltoz , melyet indiktor val sznsgi vltoz nak neveznk. Jells : X 2 I (A). Az X eloszlsa : p0 = P(X = 0) = p p1 = P(X = 1) = 1 ; p:

II.3.2. Plda: Binomilis eloszls valszn sgi vltoz

Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez, A 2 = egy pozitv val sznsg esemny: p = P(A) > 0. Hajtsunk vgre egy n-szeres ksrletsorozatot. Vegye fel X azt az rtket, ahnyszor A bekvetkezett a ksrletsorozatban. X lehetsges rtkei teht 0 1 2 : : : n: Az egyes rtkek felvtelnek val sznsgei, ; azaz X eloszlsa: ; pk = P(X = k) = nk pk (1 ; p)n;k = nk pk qn;k k = 0 1 2 : : : n: Ugyanis A f! X (! ) = k g =|AA{z A} A |A{z A} + AA | {z A} AA |A{z A} + k-szor

+ A |A{z A} AA | {z A} : (n;k);szor

k;szor

(n;k)-szor

(k;1)-szer

(n;k;1)-szer

A jobb oldalon ll esemnyek egymst kizrjk, s mindegyikk; val sznsge a fggetlensg miatt pk qn;k . A tagok szma k!(nn;! k)! = nk mert n elem olyan ismtlses permutci ir l van sz , ahol k illetve n ; k elem megegyezik. An pk val sznsgek alkotnak, hiszen a binominlis ttel szerint: P pk = Pn ;n pk eloszlst n;k = (p + q )n = 1n = 1. q k k=0 k=0 X -et n s p paramter binomilis eloszls val sznsgi vltoz nak nevezzk. Jells : X 2 B (n p). Nyilvn B (1 p) = I (A) teht a binomilis eloszls az indiktor eloszls kiterjesztse.

III.6

111


megadhat : f(x) = 2p1det e; 21 (x;)T

1

;

(x;)

x 2 R2:

III.5.9. Ttel: Ha X s Y egyttes eloszlsa normlis, akkor X s Y akkor s csak akkor fggetlenek, ha korrellatlanok. Bizonyts: A fggetlensgbl mindig kvetkezik a korrellatlansg. Ha R (X Y ) = = 0 akkor srsgfggvnyre: azh egyttes i 2 2 fXY (x y) = 211 2 exp ; 12 (x;121 ) + (y;222 ) = fX (x) fY (y) teljesl, ami mr igazolja a fggetlensget.

III.6. A feltteles vrhat rtk Diszkrt eset:

III.6.1. Den ci:

a.) Legyen A 2 = P (A) > 0 tetszleges esemny, X 2 fx1 x2 : : :g pedig egy tetszleges diszkrt val sznsgi vltoz . Ekkor P (X = xi j A) = P(X =xi A) i = 1 2 : : : az X feltteles eloszlsa A-ra nzve. P(A) b.) Legyen A1 A2 : : : 2 = teljes esemnyrendszer, X 2 fx1 x2 : : :g pedig egy tetszleges diszkrt val sznsgi vltoz . Ekkor a ffP (X = xi j Aj ) i = 1 2 : : :g j = 1 2 : : :g eloszlsokat az X -nek az fAj j = 1 2 : : :g rendszerre vonatkoz feltteles eloszlsnak nevezzk. c.) Legyen X 2 fx1 x2 : : :g s Y 2 fy1 y2 : : :g diszkrt val sznsgi vltoz ( = P)-n. Ekkor a ffP (X = xi j Y = yj ) i = 1 2 : : :g j = 1 2 : : :g eloszlsokat az X -nek az Y -ra vonatkoz feltteles eloszlsnak nevezzk.

III.6.2. Den ci:

P

a.) E (X j Y = yj ) $ xi P (X = xi j Y = yj ) $ r (yj ) az X feltteles 8xi vrhat rtke az Y = yj felttel mellett. b.) Az X -nek az Y -ra vonatkoz regresszijn, vagy feltteles vrhat rtkn azt az E (X j Y )-vel jellt diszkrt val sznsgi vltoz t rtjk, melynek rtkkszlete K = fr (yj ) $ E (X j Y = yj ) j = 1 2 : : :g eloszlsa pedig P (E (X j Y ) = r (yj )) = P (Y = yj ) j = 1 2 : : : :

112


II.3

=

FXY (xy+y) FXY (xy) y FY (y+y) FY (y) y ;

;

!

@FXY (xy) @y fY (y)

(y ! 0):

III.6.3. Den ci: Az FX jY (x jy) $

@FXY (xy) @y fY (y )

ktvltoz s fggvnyt az X -nek az Y -ra vonatkoz feltteles eloszlsfggvnynek nevezzk.

III.6.4. Den ci: A feltteles eloszlsfggvny x-szerinti parcilis derivlt-fggvnyt az X -nek2 az Y -ra vonatkoz feltteles s r sgfggvnynek @ FXY (xy) (xy) = fXY nevezzk: fX jY (x jy) $ f@y@x fY (y) . Y (y) III.6.1. Ttel: (Bayes-formula)

fX jY (x jy) = +R fY X (yjx) fX (x) . fY X (yju) fX (u) du j

1

j

;1

Bizonyts : +R1 fXY (x y) = fY jX (y jx) fX (x), fY (y) = fXY (x y) dx =

R f (y jx) f (x) dx Y jX X

+1

;1

;1

) llts.

r (y ) =

R x f (x jy) dx = X jY

;1

R xf (xy) dx XY

+1

;1

fY (y)

a regresszis grbe.

III.6.2. Ttel: (A regresszi tulajdonsgai) a.) E (E(X jY )) = EX . b.) E (h(Y ) X jY ) = h(Y ) E (X jY ).

Bizonyts : Ha FX folytonos az x helyen, akkor FX (x) = FX (x + 0) s az e.) llts igazolja a kvetkezmnyt. Megjegyzs: Eloszlsfggvnyekre pldkat a kvetkez szakaszokban bsgesen adunk majd.

II.3. Diszkrt valsznsgi vltozk

II.3.1. Den ci: Az X val sznsgi vltoz t diszkrt nek nevezzk, ha rtkkszlete megszmllhat (sorozatba rendezhet), vagyis 8 ! 2 -ra X (!) 2 E = fx1 x2 : : : xn : : :g : II.3.2. Den ci: A pi = P(f! X (!) = xig) $ P(X = xi) (i = 1 2 : : :) val sznsgek sszessgt az X diszkrt val sznsgi vltoz eloszlsnak nevezzk. II.3.1. Ttel: Az X diszkrt val sznsgi vltoz p1 p2 : : : pn : : : eloszlsra teljesl, hogy a.) 0 pi 1 b.)

P1 pi = 1:

i=1

Bizonyts :

III.6.5. Den ci: Az X -nek Y -ra vonatkoz feltteles vrhat rtkn vagy regresszijn az E(X jY ) = r(Y ) val sznsgi vltoz t rtjk, ahol +1

57

Kvetkezmny : Ha FX folytonos az x helyen, akkor P(X = x) = 0:

Folytonos eset:

Legyen X s Y folytonos val sznsgi vltoz ( = P)-n FXY (x y) s fXY (x y)egyttes eloszls-, illetve egyttes srsgfggvnnyel. Tekintsk az albbi fggvnyt: Y
y Y < y + y) = P(X<xy P(y Y

a.) Trivilis, mivel az Ai = f! X (!) = xig esemny val sznsgrl van sz . b.) Mivel az Ai = f! X (!) = xig (i = 1 2 : : :) esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, gy az I.1.3 ttel c.) rsze miatt igaz az llts. II.3.2.PTtel: Az X diszkrt val sznsgi vltoz FX eloszlsfggvnyre: FX (x) = pi , msrszt: pi = FX (xi + 0) ; F (xi) : xi <x Azaz a diszkrt val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye olyan lpcss fggvny, melynek az ugr helyei az x1 x2 : : : xn : : : helyeken vannak, s az ugrs nagysga rendre p1 p2 : : : pn : : :.

56


II.2.4. Ttel: Tetszleges x < y esetn a.) P(x X < y) = FX (y) ; FX (x) b.) P(x < X < y) = FX (y) ; FX (x + 0) c.) P(x X y) = FX (y + 0) ; FX (x) d.) P(x < X y) = FX (y + 0) ; FX (x + 0) e.) P(X = x) = FX (x + 0) ; FX (x): Bizonyts : Mindegyik llts bizonytsa hasonl m don trtnik, ezrt csak a c.) llts igazolst rszletezzk. f! x X (! ) y g = f! x X (! )g \ f! X (! ) y g Mivel x < y f! y < X (!)g f! x X (!)g s = f! x X (!)g f! X (! ) y g : A Poincare-ttelbl: 1 = P( ) = P(f! x X (!)g + f! X (!) yg) = = P(X y) + P(x X ) ; P(x X y) = = P(X y) + 1 ; P(X < x) ; P(x X y): Innen: (*) P(x X y) = P(X y) ; P(X < x). Ha most 0 hn szigoran cskken nullsorozat, akkor megmutathat , hogy 1 Y f! X (! ) y g = f! X (! ) < y + hn g : n=1 Ugyanis, ha ! 2 f! X (!) yg, akkor ! 2 f! X (!) < y + hng minden n indexre, teht 1 Y ! 2 f! X (!) < y + hng is. n=1

1 Y

Msrszt, ha ! 2 f! X (!) < y + hn g akkor minden n-re n=1 ! 2 f! X (!) < y + hng teht ! 2 f! X (!) yg is. A folytonossgi trvnybl: 1 Y P(X y) = P( f! X (!) < y + hn g) = nlim P(X < y + hn) = FX (y +0): !1 n=1 Ez ut bbit (*)-ba behelyettestve kapjuk az lltst.

III.6


113

c.) Ha X s Y fggetlenek, akkor E(X jY ) = EX . Bizonyts : a.) Diszkrt eset: P E (E (X j Y )) = E (X j Y = yj ) P (Y = yj ) = P P x P (X =8yxj j Y = y ) P (Y = y ) = = i i j j 8P yj 8P xi P xiP (X = xi Y = yj ) = xiP (X = xi) = EX: = 8xi

8yj 8xi

Folytonos eset: R1 R1 R1 x fXY (xy) f (y) dxdy = E (E(X jY )) = E (r (Y )) = r (y)fY (y) dy = fY (y) Y

=

;1

R1 x R1 f

;1 ;1

XY (x y ) dy dx =

;1 R1 x f (x) dx = ;1 E X: X

;1

b.) Diszkrt eset: P E (h(Y ) X j Y = yj ) = xih(yj )P (X = xi j Y = yj ) = h(yj )E (X j Y = yj ) : 8xi

Folytonos eset: Legyen y 2 R tetszleges.1Ekkor R E (h (Y ) X j Y = y) = h (y) x fX jY (x jy) dx =

= h (y)

R1 x f

;1

;1

X jY (x jy ) dx = h (y ) E(X jY = y ):

c.) Diszkrt eset: P (P X = xi j Y = yj ) = P (X =Pxi) ) E (X j Y = yj ) = = xiP (X = xi j Y = yj ) = xiP (X = xi) = EX ) 8xi 8xi E (X j Y ) = E(X ): Folytonos eset: fXY (x y) = fX (x) fY (y) ) fX jY (x jy ) = fX (x) +R1 +R1 r(y) = x fX jY (x jy ) dx = x fX (x) dx = EX ) ;1 ;1 E (X jY ) = EX: III.6.3. Ttel: Legyen d : R ! R tetszleges fggvny. Ekkor E (X ; r(Y ))2 E (X ; d(Y ))2, ahol r(Y ) = E(X jY ). Specilisan, ha d(y) EX , akkor E (X ; E (X jY ))2 E (X ; EX )2 = 2X .

114

III. FEJEZET Valsznsgi vektorv ltozk Bizonyts :

E (X ; d(Y ))2 =2 E (X ; r(Y ) + r(Y2 ) ; d(Y ))2 = = E (X ; r(Y )) + E (r(Y ) ; d(Y )) + 2 E ((X ; r(Y )) (r(Y ) ; d(Y ))) : Mivel E ((X ; r(Y )) (r(Y ) ; d(Y ))) = E E ((X ; r(Y )) (r(Y ) ; d(Y ))) jY ] = = E (r(Y ) ; d(Y )) E ((X ; r(Y )) jY )] = = E (r(Y ) ; d(Y )) (E (X jY ) ; r(Y ))] = = E (r(Y ) ; d(Y )) 0] = 0 gy E (X ; d(Y ))2 = E (X ; r(Y ))2 + E (r(Y ) ; d(Y ))2 E (X ; r(Y ))2 ) llts.

III.6.1. Plda: (Regresszi normlis eloszls esetn) Legyen X s Y egyttes srsgfggvnye h 2 i fXY (x y) = 21 21p1;%2 exp ; 2(1;1 %2 ) (x;121 ) ; 2% (x;11)(y2;2 ) + (y;222 ) x y 2 R alak, azaz a kt val sznsgi vltoz egyttes eloszlsa ktdimenzi s normlis. Megmutatjuk, hogy E(X jY ) = a Y + b, ahol a = 21 % s b = 1 ; a 2: (xy) Az fX jY (x jy ) = fXY fY (y) denci b l, a formulk behelyettestse utn h

i2

; 2 2 (11 %2 ) x; 1 + 12 %(y;2 ) 2

kapjuk, hogy: fX jY (x jy ) = p211p1;%2 e

;

:

R $gy E(X jY = y) = x fX jY (x jy ) dx = 1 + % (y ; 2), hiszen & ;1 amint lthat & a feltteles srsgfggvny rgztett y mellett a 1 + %(y ; ) vrhat rtk s p1 ; %2 sz rsngyzet normlis eloszls +1

1

2

2

srsgfggvnye.

1 2

1

III.6.6. Den ci: Legyen X s Y kt adott val sznsgi vltoz . Az a X +b val sznsgi vltoz az Y -nak a X -re vonatkoz lineris regresszi ja, ha E(Y ; a X ; b )2 = 8min E(Y ; aX ; b))2: ab2R Y b = EY ; R(X Y ) Y EX: III.6.4. Ttel: a = R(X Y ) X X 2 Bizonyts : Legyen h(a b) $ E(Y ;aX ;b)) : A lineris regresszi megha-

trozshoz ezt a ktvltoz s fggvnyt kell minimalizlni. A minimumhely ltezsnek szksges felttele, hogy: @h = ;2E (Y ; aX ; b)X ] = 0 @h = ;2E Y ; aX ; b] = 0: Innen: @a @b aEX 2 + bEX = E(XY ) aEX + b = EY ) b = EY ; aEX ) ) aEX 2 + (EY ; aEX )EX = E(XY ) )

II.2

55


b.) Legyen hn tetszleges monoton fogy nullsorozat. (pl. hn = n1 ilyen.) Legyen y 2 R tetszleges rgztett val s szm. Bn $ Ay;hn = f! X (!) < y ; hn g : Ekkor nyilvn 1 1 P P B1 B2 Bn Bi. Msrszt Bi = f! X (!) < yg is i=1 1 P

i=1

fennll, ugyanis, ha ! 2 Bi ) 9 n : X (!) < y ; hn ) X (!) < y i=1 is. P1 Fordtva: ha X (!) < y ) 9 n : X (!) < y ; hn ) ! 2 Bi . i=1 A val sznsg folytonossgi tulajdonsgb l (I.1.6. ttel): 1 P FX (y) = P(X < y) = P( Bi) = nlim P(Bn ) = nlim P(X < y ; hn ) = !1 !1 i=1 lim F (x). x!y; X c.) A x!lim F (x) = 1 bizonytsa: +1 X Legyen xn ! 1 szigoran nveked tetszleges szmsorozat (pl. xn = n ilyen): Bn $ Axn ekkor 1 P B1 B2 Bn Bi = .

P1

i=1

A Bi tartalmazs trivilisan igaz, a msik irny tartalmazs i=1 igazolsa: Legyen ! 2 tetszleges, ekkor X (!) 2 R ) 9 K 2 R : X (!) < K ) 9 n : X (!) < K < xn ) 1 P ) ! 2 Bn ) ! 2 Bi : i=1 $gy a folytonossgi ttelbl: 1 P 1 = P( ) = P( Bi) = nlim P(Bn) = nlim F (x ) = xlim F (x). !1 !1 X n !1 X i=1 A x!;1 lim FX (x) = 0 bizonytsa: FX (x) = P(X < x) = P(;X > ;x) = 1 ; P(;X ;x) = 1 ; P(Y ;x), ahol Y = ;X . P(Y < ;x) P(Y ;x) 1 s ;xlim P(Y < ;x) = y!lim F (y) = 1, !+1 +1 Y mint ahogy az elbb lttuk. $gy x!;1 lim FX (x) = 1 ; y!lim P(Y y) = 1 ; 1 = 0. +1

54


III.7

115


EX 2 EX pozitv denit,

vltoz segtsgvel ugyangy trgyalhat a jelensg. Pl. a krtyahzsnl a krtykat sorszmozzuk, minden addigi esemny ekvivalens m don tfogalmazhat . Felhasznlhat k a val sznsgi vltoz k az eredeti ksrlet egyszerstsre is. Pl. ksbb ltni fogjuk, hogy egy n-szeres hosszsg ksrletsorozat helyett egyetlen val sznsgi vltoz meggyelse is lehetsges.

Y b = EY ; R(X Y ) Y EX a = R(X Y ) X X s ez volt az llts.

II.2.2. Den ci: Az FX (x) = QX ( (;1 x) ) x 2 R fggvnyt az X val sznsgi vltoz eloszlsfggvny nek nevezzk.

III.7. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok

Megjegyzs : FX (x) = QX ( ( ;1 x ) ) = P(f! X (!) < xg) $ $ P(X < x) x 2 Rvagyis FX : R ! 0 1 ] val s fggvny.

EX

1

Megjegyzs : Normlis esetben & mint ahogy az a III.6.1 pldnl lthat volt & a lineris regresszi s s a regresszi s sszefggsek egybeesnek.

III.7.1. Feladat: Legyen T = a1 b1) a2 b2) ap bp) tetszleges p-dimenzi s tgla, s "1 "2 : : : "p 2 f0 1g tetszlegesek (0 vagy 1 diadikus szmok). be, hogy ekkor P (Bizonytsuk ;1)j FX ("1a1 +(1 ; "1 )b1 "2 a2 +(1 ; "2)b2 : : : "p ap +(1 ; "p )bp) 0 8("1"2 :::"p )

II.2.2. Ttel: A val sznsgi vltoz eloszlsa s eloszlsfggvnye kl-

csnsen egyrtelmen meghatrozzk egymst.

Megjegyzs : A II.2.2 ttelt nem bizonytjuk, csak annyit jegyznk meg,

hogy a bizonyts azon mlik, hogy a flegyenesek ltal generlt -algebra maga a Borel-fle -algebra. A ttelnek az a fontos zenete van a szmunkra, hogy az eloszlsfggvny segtsgvel is kiszmthat k az esemnyek val sznsgei.

II.2.3. Ttel: (Az FX eloszlsfggvny tulajdonsgai) a.) FX monoton nemcskken, azaz FX (x) FX (y), ha x < y. b.) FX balr l folytonos, azaz xlim F (x) = FX (y) minden y 2 R-re. !y; X c.) x!lim F (x) = 1 s x!;1 lim FX (x) = 0. +1 X Bizonyts :

a.) Legyen x < y , akkor Ax = f! X (!) < xg Ay = f! X (!) < yg, s gy az I.1.3. ttel d.) pontja szerint FX (x) = P(Ax) P(Ay ) = FX (y), ami az llts volt.

ahol j =

Pp "i:

i=1

Megolds : A bizonyts azon mlik, hogy megmutatjuk, hogy az egyenltlensg bal oldaln a P(X 2 T ) val sznsg ll, ami nyilvnval an nemnegatv. Deniljuk az albbi esemnyeket: Ai = f! Xi(!) < aig Bi = f! Xi (!) < big : Ekkor P(X 2 T ) = P(a1 X1 < b1 a2 X2 < b2 : : : ap Xp < bp) = P(A1A2 Ap B1B2 Bp) = Yp Pp = P(A B ) = P(B ) ; P(A B ), ahol A = Ai ) A = Ai s

B=

Yp i=1

i=1

i=1

Bi: Teht a Poincare-ttelt alkalmazva kapjuk, hogy

Pp Pi=1

0 P(X 2 T ) = P(B ) ; P( (Ai B )) =

Pp

= P(B ) ; (;1)i;1 P(Aj1 Aj2 Aji B ). i=1 1 j1 <j2 <<ji p Mivel Ajk Bjk ) Ajk Bjk = Ajk : $gy P(Aj1 Aj2 Aji B ) = FX ("1 a1 +(1 ; "1) b1 : : : "p ap +(1 ; "p) bp), ahol "j1 = "j2 = = "ji = 1 a tbbi "j = 0: Msrszt P(B ) = FX (b1 b2 : : : bp), teht az az eset, amikor mindegyik "j = 0. Visszahelyettestve ppen az lltst kapjuk.

116


III.7.2. Feladat: Legyen X s Y kt azonos eloszls val sznsgi vltoz . Igaz-e, hogy E XX+Y = E Y +Y X ? Megolds: +ltalban nem. Egy ellenplda: alkosson A B teljes 8 C0 olyan ha ! 2 A < esemnyrendszert, ahol P (A) = P (B ) = P (C ) = 31 : X = : 1 ha ! 2 B 2 ha ! 2 C 8< 0 ha ! 2 A s Y = : 1 ha ! 2 C : Ekkor P (X = 0) = P (X = 1) = P (X = 2) = 31 2 ha ! 2 B

s P (Y = 0) = P (Y = 1) = P (Y = 2) = 13 azaz X s Y azonos eloszlsak. 8 ;1 ha ! 2 A < ; Viszont Z = XX ;+YY = : ; 13 ha ! 2 B s EZ = 1 13 + ; 31 13 + 1 ha ! 2 C (;1) 31 = ; 19 6= 0, vagyis E XX+Y ; E Y +Y X = ; 19 :

III.7.3. Feladat: Egy szablyos kockval dobunk ismtelten. X az els dobs, Y a msodik dobs eredmnye. Szmoljuk ki R(X X + Y )-t! Megolds: Egyrszt, a fggetlensg miatt cov(X X + Y ) = cov(X X ) +

cov(X Y ) = 2X msrszt 2(X + Y ) = 2X + 2Y = 22X: $gy R(X X + (XX +Y ) = p 2 X = p1 : Y ) = cov X(X +Y ) 2XX 2

III.7.4. Feladat: Legyen X s Y kt p = 05 paramter fggetlen indiktor val sznsg vltoz . Mutassuk meg, hogy X + Y s jX ; Y j br korrellatlanok, de nem fggetlenek! Megolds: P (X = 1) = P (X = 0) = P (Y = 1) = P (Y = 0) = 05 P(X + Y = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) = 025, P(X + Y = 1) = P(X = 1)P(Y = 0) + P(X = 0)P(Y = 1) = 05, P(X + Y = 2) = P(X = 1)P(Y = 1) = 025. P(jX ; Y j = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 1) = 05, P(jX ; Y j = 1) = P(X = 1)P(Y = 0) + P(X = 0)P(Y = 1) = 05. E(X + Y ) = EX + EY = 1, E (jX ; Y j) = 05, E ((X + Y )jX ; Y j) = E (jX 2 ; Y 2j) = 05. $gy cov(X + Y jX ; Y j) = 05 ; 1 05 = 0. X + Y s jX ; Y j nem lehetnek fggetlenek, mert pl. P(X + Y = 0 jX ; Y j = 1) = 0 de P (X + Y = 0) P (jX ; Y j = 1) = 025 05 6= 0.

II.2

53


II.2. Az eloszlsfggvny fogalma

II.2.1. Den ci: Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez, X val sznsgi vltoz . Ekkor a QX : B ! 0 1 ] halmazfggvny, melynek denci ja QX (B ) $ P(f! X (!) 2 B g) jel = P (X 2 B ) (B 2 B) az X val sznsgi vltoz eloszlsa. II.2.1. Ttel: A QX halmazfggvny tulajdonsgai: a.) QX (R) = 1:

1

b.) Ha B1 B2 : : : Bn : : : diszjunkt Borel-halmazok, akkor QX ( Bi) = i=1

P1 Q (B ). X i i=1

Megjegyzs : A QX kielgti a P val sznsg axi mit. Bizonyts :

a.) QX (R) = P(f! X (!) 2 Rg) = P( ) = 1: b.) QX

S1

Bi = P ! X (!) 2

S1 Bi = P P1 f! X (!) 2 Big =

i=1 i=1 1 P1 iP=1(f! X (!) 2 B g) = P Q ( B ) : i X i i=1 i=1 Megjegyzs : Amikor egy K vletlen ksrlethez hozzrendelnk egy X val sznsgi vltoz t, akkor egyttal egy lekpezst hajtunk vgre az absztrakt ( = P) s az (R BQX) Kolmogorov-fle val sznsgi mezk kztt. A matematikailag nehezen kezelhet ( = P) struktra helyett egy jobban kidolgozott s kiismert (R B QX) struktrra trnk t, ahol az esemnyeket

=

a Borel-halmazok segtsgvel fogjuk megfogalmazni, az esemnyek val sznsgeit pedig az eloszlssal kalkulljuk a tovbbiakban. A val sznsgi vltoz teht a vletlen ksrlet egy matematikai modellje. A val sznsgi vltoz k denilsa az esetek tbbsgben termszetes m don ad dik. Gondoljunk csak pldul a kockadobs ksrletre, a ruletttrcsa megforgatsra, a Duna pillanatnyi vzmagassgra, vagy a legkzelebb szletend csecsem testslyra stb. Sokszor, br az elemi esemnyek nem szmok, de val sznsgi vltoz val egy-egy rtelm megfeleltets ltesthet kztk s a val s szmok egy rszhalmaza kztt, s gy a val sznsgi

52


c.) Ha rszhalmazok egy rendszere benne van a metszetben, akkor minden komponensben benne van, de akkor az egyestsk is benne van minden komponensben, gy a metszetkben is. II.1.1. Den ci: Az A B C : : : V halmazrendszert tartalmaz szszes -algebra metszett & ami az elz ttel szerint maga is -algebra & a halmazrendszer ltal generlt -algebrnak nevezzk, s (A B C : : :)-val jelljk. II.1.2. Den ci: A balr l zrt, jobbr l nylt val s intervallumok ltal generlt -algebrt, Borel-fle -algebrnak nevezzk, s B-vel jelljk: B = (fa b) a b 2 Rg) : II.1.3. Den ci: Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez. Az X : ! R fggvnyt valszn sgi vltoz nak nevezzk, ha minden B 2 B esetn A = f! X (!) 2 B g 2 =, azaz a Borel-halmazok kpe az X lekpezsnl meggyelhet esemny lesz. Megjegyzs : Mrtkelmleti terminol gival, X mrhet fggvny. Lthat , hogy az X val sznsgi vltoz minden ! elemi esemnyhez egy val s szmot rendel. II.1.2. Ttel: Az fA A = f! X (!) 2 B g B 2 Bg esemnyrendszer -algebra, melyet az X ltal generlt -algebrnak neveznk, s (X )-el jellnk. Bizonyts : 1o f! X (!) 2 Rg = , mert R 2B. 2o Ha A = f! X (!) 2 B g 2 (X ), akkor A = f! X (!) 2 R n B g is, hiszen RnB 2 B. ( 1 1 ) 1 o 3 f! X (!) 2 Big = ! X (!) 2 Bi 2 (X ), hiszen Bi 2 B. i=1

II.1.1. Plda:

i=1

i=1

a.) Ha X az A 2 = esemny indiktor fggvnye, azaz !2A X (!) = 10 ha ha ! 2= A , akkor (X ) = A A . b.) Ha X (!) c, azaz a val sznsgi vltoz konstansfggvny, akkor (X ) = f g.

III.7


117

III.7.5. Feladat: Kt azonos kpessg atlta versenyt fut. Mindkettejk eredmnyt m = 10 1 s = 0 1 paramter normlis eloszlssal jellemezhetjk msodpercekben. Mennyi a val sznsge, hogy az egyik versenyz legalbb 0 2 msodperccel legyzi a msikat? ; p Megolds : X Y 2 N (101 01) ) X ; Y 2 N 0 002 P (jX ;Y j 02) =1 ; P (jX ; Y j < 02) = 1 ; P (;02 < X ; Y < 02) = p00102 + p00302 : 1; III.7.6. Feladat: Ha X s Y fggetlen val sznsgi vltoz k, hatrozzuk meg V = minfX Y g s W = maxfX Y g eloszlsfggvnyt! Megolds : P (V < x) = 1 ; P (V x) = 1 ; P (X x Y x) = 1 ; P (X x) P (Y x) = 1 ; (1 ; FX (x)) (1 ; FY (x)) : P (W < x) = P (X < x Y < x) = P (X < x) P (Y < x) = FX (x) FY (x): III.7.7. Feladat: Kt szablyos kockval dobunk. Jelentse X a hatos dobsok szmt, Y pedig a dobott szmok sszegt. Adjuk meg X s Y egyttes eloszlst! Megolds : Az albbi tblzatban az oszlopok tetejn szerepelnek az X lehetsges rtkei, a sorok elejn pedig az Y rtkkszletnek megfelel szmok llnak. Az (i j ) koordintknak megfelel cellban a P(X = i Y = j ) val sznsgek tallhat k. X

0 2 1=36 3 2=36 4 3=36 5 4=36 6 5=36 7 4=36 8 3=36 9 2=36 10 1=36 11 0 12 0 X peremeloszlsa 25=36

Y

1 2 Y peremeloszlsa 0 0 1=36 0 0 2=36 0 0 3=36 0 0 4=36 0 0 5=36 2=36 0 6=36 2=36 0 5=36 2=36 0 4=36 2=36 0 3=36 2=36 0 2=36 0 1=36 1=36 10=36 1=36 1

118


Pldul a tblzat nyolcadik sornak s msodik oszlopnak keresztezdsben azrt ll 362 , mert a 36 dobsi lehetsgbl csak kett felel meg az X = 1 Y = 8 feltteleknek: a (6 2) s a (2 6). Az Y eloszlst a sorokban ll val sznsgek sszeadsval, az X eloszlst pedig az oszlopokban ll val sznsgek sszeadsval kapjuk meg. Lthat az is, hogy X nem fggetlen Y -t l, hiszen pl. P (X = 2 Y = 2) = 0 6= P (X = 2) P (Y = 2) = 3612 :

III.7.8. Feladat: Az X s Y val sznsgi vltoz k egyttes eloszlst

tartalmazza az albbi tblzat: X Y ;1 1

;1

0 1 p 3p 6p 5p 15p 30p

Mekkora a p paramter rtke? Fggetlen-e X s Y ? Megolds : Mivel az egyttes eloszls elemeinek sszege 1, gy 60p = 1,

azaz p= 601 : X s Y fggetlenek, mert minden lehetsges rtkprnl teljesl a fggetlensg felttele, pl. P (X = ;1) = 61 P (Y = ;1) = 101 s P (X = ;1 Y = ;1) 601 stb.

III.7.9. Feladat: Elszr egy szablyos kockval dobunk, majd a dobott rtknek megfelelen kihzunk lapokat egy 32 lapos krtyacsomagb l. Jellje X a kihzott lapok kztt tallhat gurs lapok szmt, Y pedig legyen a kihzott kirlyok szma. Adja meg a P(X = 4 Y = 2) val sznsget! Megolds : Ha a kockval 1 2 3-t dobunk, P(X = 4 Y = 2) = 0 nyilvn, mert ngynl kevesebb lapb l nem lehet ngy gurst kihzni. Ha a kockval 4-et dobunk akkor a keresett esemny : 2 kirly s 2 gurs nem kirly . 4 8 p1 = P (X = 4 Y = 2 j 4-et dobunk a kockval ) = ((2)(32)2) . Ha a kockn 4 tst kapunk, az esemny: 2 kirly s 2 gurs nem kirly s 1 egyb . 4 8 20 ( 2)(2)( 1 ) p2 = P (X = 4 Y = 2 j tt dobtunk a kockval ) = (32) : Vgl, ha a 5 dobs hatos volt, a keresett esemny: 2 kirly, 2 gurs nem kirly s 2 egyb . 4 8 20 p3 = P (X = 4 Y = 2 j hatot dobtunk a kockval ) = (2)((322)() 2 ) : A teljes va6 l sznsg ttelbl: P (X = 4 Y = 2) = 61 (p1 + p2 + p3) :

II. fejezet A val szn sgi vltoz

II.1. A valsznsgi vltoz fogalma A val s szmok rszhalmazai kzl, csak azokkal fogunk a tovbbiakban foglalkozni, amelyek intervallumok rendszerbl egyestssel, metszssel s komplemens-kpzssel elllthat k. Ezek az .n. Borel -mrhet halmazok, melynek fogalmt a II.1.2 denci ban adjuk meg. A gyakorlatban minden pesz halmaz, gy a nylt, zrt, flig nylt, flig zrt intervallumok, az egyelem halmazok, a flegyenesek s a nylt s zrt val s rszhalmazok, valamint az egsz szmegyenes maga is Borel-mrhetek. A kvetkez ttelben felhasznljuk a -algebra fogalmt, ami az = esemnyalgebra axi minl mr szerepelt.

II.1.1. \ Ttel: Ha <1 <2 <3 : : : a V halmaz rszhalmazainak -algebri,

akkor

8i

Bizonyts :

a.) Azrt igaz, mert V mindegyik tnyez -algebrban benne van, akkor a kzs rszben is benne kell, hogy legyen. b.) Ha egy A V rszhalmaz benne van a metszetben, az csak gy lehet, ha mindegyik komponens -algebrban is benne van. De mivel a komponensek -algebrk, bennk a komplemens halmaz is benne van, de akkor a metszetkben is benne van a V nA. 51

50


III.7

119


Teszi ezt azrt, hogy pratlan paritssal szlelni tudja a hibzst. Tegyk fel, hogy nyolc bitet egy olyan csatornn kldi t, amely egy bitet 0 1 val sznsggel ront el. Milyen val sznsggel kapunk a kimeneten gy nyolc bitet, hogy az hibs, de mgsem tudjuk azt szlelni?

III.7.10. Feladat: Legyen az X s Y egyttes srsgfggvnye f (x y) = 2e;2x;y 0 < x y < 1 (egybknt f (x y) = 0). Hatrozza meg a peremsrsgfggvnyeket! Fggetlen-e X s Y ?

I.5.47. Gyakorlat: A vizsgz k 75%-a A szakos, 15%-a B szakos s 10%-a C szakos. Annak az esemnynek a val sznsge, hogy egy hallgat tst kap, az A szakosok esetben 0 4, a B szakosoknl 0 7 s a C szakosoknl 0 6. Ha egy szemlyrl tudjuk, hogy tsre vizsgzott, akkor milyen val sznsggel lehet A B illetve C szakos?

R1 2e;2x;y dx = 2e;y R1 e0;2x dx = e;y y > 0:0 Mivel f (x y) = f (x) f (y) X Y

I.5.48. Gyakorlat: Hrom egyforma doboz kzl kettben 2 piros, egyben 1 piros s 1 fehr goly van. Vletlenszeren kivlasztunk egy dobozt, s abb l egy goly t. Ha ez piros, mennyi a val sznsge, hogy a dobozban marad goly szne fehr? I.5.49. Gyakorlat: Egy szablyos kockval addig dobunk jra s jra,

amg elszr hatost nem kapunk. Mennyi a val sznsge, hogy ekzben pontosan 1 egyest dobunk?

I.5.50. Gyakorlat: Egyetlen szelvnnyel lott zok. Szmaim kztt a

40-es a kzps. Az albbi hrom esemny esetleges bekvetkezse kzl melyik nveli jobban az ts tallatom feltteles val sznsgt? A : az els kihzott szm a 40-es , B : kihztk a 40-es szmot , C : a 40-es szm a kihzott szmok kztt a harmadik .

I.5.51. Gyakorlat: Egy szablyos dob kockval addig dobunk, amg tst nem kapunk. Mennyi a val sznsge, hogy ezalatt nem dobunk hatost? I.5.52. Gyakorlat: Hrom szablyos dob kockval dobunk! A: az szszeg 7 , B : mindegyik pros , C : van kzttk hrmas . Szmolja ki a P(A (B + C ))s a P((A + C )B ) val sznsgeket! I.5.53. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy a Boole egyenltlensg vgtelen sok esemny esetn is fennll.(A folytonossgi ttelt hasznlja!)

R1

R1

Megolds : fX (x) = 2e;2x;y dy = 2e;2x e;y dy = 2e;2x x > 0: fY (y) =

0

0

gy X s Y fggetlenek! III.7.11. srsgfggvnye

4Feladat: Legyen az0X< sx
h

R1

i1

Megolds : fX (x) = 08(x + xy + y) dy = 08 xy + x y22 + y22 = 12x + 0

0

04 fY (y) = 12y + 04 teljesen hasonl an. Lthat , hogy nem fggetlenek, mert fXY (x y) 6= fX (x)fY (y):

III.7.12. Feladat: Ultizsnl a 32 lapos magyar krtyb l kettt talonba osztanak. Jellje X a talonba kerlt piros szn lapok, Y pedig az szok szmt! Adja meg X s Y egyttes eloszlst! Fggetlen-e X s Y ? Megolds : 3 21 21 P (X = 0 Y = 0) = ((322 )) = 1621031 P (X = 0 Y = 1) = (1()(32)1 ) = 166331 2 2 3 7 21 P (X = 0 Y = 2) = ((3222)) = 16331 P (X = 1 Y = 0) = (1()(322)1 ) = 1614731 3 21 3 7 P (X = 1 Y = 1) = ( 1 )(+322(1))(1) = 164231 P (X = 1 Y = 2) = ((3221)) = 16331 7 7 P (X = 2 Y = 0) = ((3222)) = 162131 P (X = 2 Y = 1) = ((3221)) = 16731 P (X = 2 Y = 2) = 0: (E(XY ) = 1 164231 + 2 16331 + 2 16731 = 18 EX = 1 1619231 + 2 162831 = 12 EY = 1 1611231 + 2 16631 = 41 ) cov (X Y ) = 0, de nem fggetlenek! ) T III.7.13. Feladat: Legyen ( a (X Y ) val sznsgi vltoz pr egyttes

srsgfggvnye: f (x y) =

xy 1 ; x2 +y2 2 e 2 +2 2e2 x + 1 ; y 2 e 2

x y 2 ;1 1] : egybknt

120


a.) Adja meg a peremsrsgfggvnyeket! b.) Ktdimenzi s normlis eloszls-e (X Y )T ? Megolds :

R1 '(x)'(y) dy + R1

xy a.) fX (x) = 2e dy = '(x) hasonl an: fY (y ) = '(y ) ) ;1 ;1 X Y 2 N (0 1) : b.) Nem ktdimenzi s normlis eloszls, mert ms a srsgfggvnye. '(x)'(y) kellene.

III.7.14. Feladat: Legyen az X 2 U (0 1) val sznsgi vltoz kettes szmrendszerben felrva: X = 0 X1X2 : : :: Fggetlenek-e az X1 s X2 digitek?

ha X 1 2 1 Megolds : X1 = 01 ha

1 ha X 3 vagy 10 XX << 12 4 2 X2 = 0 ha 1 X4 < 3 vagy X < 14 : Egyttes eloszlsukat az albbi 2 4 tblzat tartalmazza: X1 1 0 X perem 1 X2 1 1 1 1 , 41 41 21 0 4 4 2 X1 perem 12 12 1 ahonnan mr leolvashat , a fggetlensg tnye.

III.7.15. Feladat: Legyen X a 0 1] intervallumon egyenletes eloszls : : T

val sznsgi vltoz , Y = sin (2X ) s Z = cos (2X ) : Szmolja ki a (Y Z ) pr kovarianciamtrixt!

R2

R2

0

0

Megolds: EY = 21 sin x dx = 0 EZ = 21 cos x dx = 0

R2

2Y = EY 2 = 21 sin2 x dx = 05 0

I.5


49

I.5.39. Gyakorlat: Vlasszunk ki egy X s Y pontot az egysgintervallumban! Tekintsk azt a tglalapot, melynek oldalhosszai X s Y . Mennyi a val sznsge, hogy a keletkez tglalap kerlete nagyobb, mint 2s terlete kisebb, mint 025? I.5.40. Gyakorlat: Vegynk egy vletlen P = (a b) pontot az egysgngyzetbl. Mennyi annak a val sznsge, hogy a p(x) = ax2 ; 2bx + 1 polinomnak nincs val s gyke? I.5.41. Gyakorlat: Egy urnban b darab fekete s r darab fehr goly van. vletlenszeren kihznak egy goly t. A kihzott goly t s mg ugyanolyan sznbl c darabot visszatesznek az urnba. Ezt megteszik egyms utn n-szer. Igazolja, hogy ezek utn, a fekete goly kihzsnak val sznsge b b+r !

I.5.42. Gyakorlat: Magyar krtyval huszonegyeznk. A krtya rtkei: als =2, fels=3, kirly=4, hetes=7, nyolcas=8, kilences=9, tizes=10, sz=11. Mennyi a val sznsge, hogy 21-et hzunk, ha a 19-et elrtk az tdik hzs utn? I.5.43. Gyakorlat: Egy kalapban tz cdula van, melyekre a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 szmjegyek vannak felrva. Visszatevssel kivesznk kt cdult. Jellje Y a szmjegyek sszegt, X pedig a szmjegyek szorzatt. Adjuk meg a P(Y = i j X > 0) val sznsgeket! (i = 0 1 : : : 18).

I.5.44. Gyakorlat: Elszr feldobunk egy szablyos rmt. Ha fej, egyszer, ha rs ktszer dobunk egy szablyos dob kockval. Mennyi a val sznsge, hogy lesz hatos? I.5.45. Gyakorlat: Egy rekeszben 15 teniszlabda van, melyek kzl 9 mg hasznlatlan. Hrom jtkhoz kivesznk tallomra hrom labdt, majd a jtk utn visszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nyilvn, ha volt kzttk hasznlatlan, az a jtk sorn elveszti ezt a tulajdonsgt.) Mennyi a val sznsge annak, hogy mindhrom kivtelhez 1 j s 2 hasznlt labda kerl a keznkbe? I.5.46. Gyakorlat: Egy szvegszerkeszt a karaktereket 7 bitbe k dolja, s ezt egy paritsbittel egszti ki gy, hogy az 1-esek szma pros legyen.

48


I.5.29. Gyakorlat: Egy 10cm oldalhosszsg ngyzetrcsos hl zatra leejtnk egy 3cm tmrj kralak pnzdarabot. Mennyi a val sznsge, hogy a pnzdarab lefedi egy ngyzet cscst? I.5.30. Gyakorlat: Egy 20 cm oldalhosszsg ngyzetrcsos padl zatra ledobunk egy 2 cm lhosszsg jtkkockt. Mennyi a val sznsge, hogy a kocka teljes terjedelmvel a padl zat egy ngyzetben lesz? I.5.31. Gyakorlat: Mennyi a val sznsge, hogy egy egysgnyi szakaszt

vletlenszeren hrom rszre trnk, a keletkez szakaszokb l hegyesszg hromszg szerkeszthet?

I.5.32. Gyakorlat: Az ABCD ngyzetben tallomra vlasztunk egy P pontot. Mennyi a val sznsge, hogy P kzelebb lesz az AB oldalhoz, mint a ngyzet kzppontjhoz? I.5.33. Gyakorlat: Egy d szlessg lcekbl ll padl zatra ledobunk egy s = 2d hosszsg tt. Mennyi a val sznsge, hogy a t kt padl rst fog egyszerre metszeni? I.5.34. Gyakorlat: Az egysgkr kerletn vletlenszeren kivlasztunk

hrom pontot: A B s C -t. Mennyi a val sznsge, hogy a BAC szg nagyobb lesz 60 -nl?

I.5.35. Gyakorlat: Legyen P = (a b) az egysgngyzet egy vletlenl kivlasztott pontja s p(x) = 31 x3 ; a2x + b egy harmadfok polinom. Mennyi a val sznsge, hogy p(x)-nek pontosan egy, illetve pontosan hrom val s gyke van? I.5.36. Gyakorlat: Tallomra kivlasztunk egy P pontot az egysgkr kerletn, majd egy Q pontot a krlapon. Mennyi a val sznsge, hogy a QP szakasz hossza nagyobb mint 1? I.5.37. Gyakorlat: A (0 2) s (0 3) szakaszokon vlasztunk tallomra egy-egy pontot, legyenek ezek x s y. Mennyi a val sznsge, hogy az x y s 1 hosszsg szakaszokb l szerkeszthet hromszg? I.5.38. Gyakorlat: A 0 1] intervallumon tallomra kivlasztunk kt szmot. Mennyi a val sznsge, hogy az egyik szm tbb, mint ktszerese lesz a msiknak?

III.7

121


R2

R2

2Z = EZ 2 = 21 cos2 x dx = 05 E(Y Z ) = 21 0 5 sin 2x dx = 0 ) 0 0 P ) = 005 005 :

III.7.16. Feladat: Egy szablyos pnzrmt addig doblok, amg msodszorra nem kapok fejet. Jellje X a szksges dobsok szmt. Adja meg

X vrhat rtkt s sz rst!

Megolds: X = Y1 +Y2 Y1 Y2 2 G (05) fggetlenek ) EX = EY1 +EY2 = kP ;1 2 + 2 = 4: P (X = k) = P (Y1 + Y2 = k) = P (Y1 = l) P (Y2 = k ; l) =

05k

l=1

P 1 = (k ; 1)05k :

k ;1 l=1

III.7.17. Feladat: Legyenek X s Y fggetlen, azonos f (x) srsgfggvny val sznsgi vltoz k. Szmoljuk ki a P (X < Y ) val sznsget! Megolds: P (X < Y ) = P (X ; Y < 0) = FX ;Y (0) : Mivel f;Y (x) = R1 f (;x) gy a konvolci s kpletbl fX ;Y (x) = f (t) f (x + t) dt ad dik. ;1

R0 f

R0 R1 f (t) f (x + t) dtdx = $gy FX ;Y (0) = X ;Y (x) dx = ;1 ;1 ;1 R1 R0 f (z + x) dx dz = R1 f (z) Rz f (y) dy dz = = f (z) ;1 ;1 ;1 h F (z) i1 ;1 R1 1 = f (z) F (z) dz = ;1 Teht P (X < Y ) = 21 :

2

2

;1

= 2:

Legyenek X Y 2 E () fggetlenek. Mennyi a ; III.7.18. Feladat: P X ; X1 < Y ; Y1 val sznsg? Megolds: Mivel X ; X1 s Y ; Y1 szintn azonos eloszlsak s fggetlenek, az elz feladat eredmnyt felhasznlva, a keresett val sznsg 21 :

III.7.19. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls, folytonos val sznsg vltoz k. Mennyi a P (max fX2 : : : Xn g < X1) val sznsg?

122


Megolds: Jellje f (x) F (x) a kzs srsgfggvnyt, illetve eloszlsfggvnyt, s legyen Y = max fX2 : : : Xn g! Ekkor fY (x) = (n ; 1) (F (x))n;2 f (x): (a III.7.6. feladat megoldst n-re ltalnostva s derivlva) R0 P (Y < X1) = P (Y ; X1 < 0) = FY ;X1 (0) = fY ;X1 (t)dt ahol ;1 fY ;X1 (t) a konvolci s kpletbl szmolhat : R1 R1 fY ;X1 (t) = fY (t + z)f (z)dz = (n ; 1) (F (t + z))n;2 f (t + z)f (z)dz: ;1

;1

R0 R1 (n ; 1) (F (t + z))n;2 f (t + z)f (z)dzdt = ;1 ;1 1 0 R R R1 = f (z) (n ; 1) (F (t + z))n;2 f (t + z)dtdz = f (z) (F (z))n;1 dz ;1 i ;1 1 h (F;1 (z))n 1 $gy FY ;X1 (0) =

n

;1

=

= n:

III.7.20. Feladat: (Kt valszn sgi vltoz szorzatnak eloszlsa) Legyen X s Y val sznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Jellje fXY (x y) az egyttes srsgfggvnyket. Bizonytsuk be, hogy a Z = X Y val sznsgi vltoz srsgfggvnye: +R1 +R1

fZ (x) = fXY (t xt ) 1t dt = fXY ( xt t) 1t dt: ;1 ;1 Ha X s Y fggetlenek is, akkor +R1

+R1


;1


y1 = u1(x1 x2) = x1 x2 ) yy21 = u;1 1(y1 y2) = x1 y2 = u2(x1 x2) = x2 y2 = u;2 1(y1 y2) = x2 D = R2 H = f ( y y ) j y = 6 0 g 1 1 2y1 2

J (y1 y2) = y02 ;1y22 ) det(J (y1 y2 )) =

y12

. Alkalmazva a transzformci s ttelt, a Z = X Y s Y egyttes srsgfggvnye: fZY (y1 y2) = fXY ( yy12 y2)

y12

: Innen Z srsgfggvnyt kiintegrlssal szmolhatjuk:

+R1 +R1 fZ (y1) = fZY (y1 y2) dy2 = fXY ( yy21 y2)

y12

dy2. ;1

;1

I.5


47

a. a kt goly azonos szn? b. a kt goly klnbz szn? I.5.23. Gyakorlat: Harminc szmozott goly t rakunk szt nyolc klnbz ldba. Az elhelyezskor brmelyik goly t ugyanakkora val sznsggel tehetnk brmelyik ldba. Keressk meg annak az elhelyezsnek a val sznsgt, amelynl hrom lda res, kettben hrom goly van, kettben hat s egyben 12 db goly kerl! I.5.24. Gyakorlat: Tekintsk az sszes olyan n hosszsg sorozatot, amelyek a 0 1 2 szmokb l llnak. Hatrozzuk meg annak a val sznsgt, hogy egy vletlenl vlasztott ilyen sorozat: a. 0-val kezddik' b. pontosan m + 2 db 0-t tartalmaz, melyek kzl kett a sorozat vgn van' c. pontosan m db 1-est tartalmaz' d. pontosan m0 db 0-t, m1 db 1-est s m2 db 2-est tartalmaz. I.5.25. Gyakorlat: Ketten pnzfeldobssal jtszanak. Andrs nyer, ha egy szablyos rme dobsi sorozatban hrom fej hamarabb kvetkezik, mint a fej-rs-fej sorozat. Viszont Bla a nyer, ha mindez fordtva trtnik, azaz a fej-rs-fej sorozat elbb jn, mint a fej-fej-fej. Egyenlek a jtk nyersi eslyei? Milyen legyen a fej dobsnak p val sznsge, hogy a jtk fair legyen? I.5.26. Gyakorlat: Legyen A az az esemny, hogy lott hzsnl egyik kihzott szm sem nagyobb mint 50, s B pedig az az esemny, hogy mindegyik kihzott szm pros. Szmoljuk ki a P(A) P(B ) P(AB ) P(A + B ) val sznsgeket! I.5.27. Gyakorlat: Mennyi a val sznsge annak, hogy a lott hzsnl kihzott legnagyobb s legkisebb szm klnbsge ppen k? (4 k 89): I.5.28. Gyakorlat: Egy res tglalap alak szobban, melynek falai 10 s 5 mter hosszak, leejtnk egy goly t. Mennyi a val sznsge, hogy a goly egy olyan pontban fog megllni, amely kzelebb van a szoba egy sarkhoz, mint a szoba kzppontjhoz?

46


I.5.14. Gyakorlat: Egy egyetemi vfolyamon a lnyok kzl 60-nak a haja barna, 40-nek a haja s a szeme is barna, 110 lnynak a haja s a szeme kzl legalbb az egyik barna. Hny barnaszem lny van az vfolyamon? I.5.15. Gyakorlat: Egy kvautomata 20 Ft-os rmkkel mkdik. Egy tetszleges 20 Ft-os rmt 0.98 val sznsggel fogad el. Az automata kijelzje mutatja, hogy mg 4 adag kv van benne. Ngyen llnak az automata eltt 1-1 20 Ft-os rmvel a kezkben, amikor odarkezem. Mekkora a val sznsge, hogy jut nekem a kvb l? Mekkora annak a val sznsge, hogy n iszom a 4 adag kzl az elst? I.5.16. Gyakorlat: Melyik lott szm lesz a legnagyobb val sznsggel a msodik legnagyobb kihzott szm? I.5.17. Gyakorlat: Mennyi a val sznsge annak, hogy a kvetkez heti lott szmok legnagyobbika kisebb lesz, mint a rkvetkez ht kihzott szmainak legkisebbike? I.5.18. Gyakorlat: Mennyi a val sznsge annak, hogy a lott n a ki-

hzott t szm kzl nagysg szerint a kzps 50-nl kisebb?

I.5.19. Gyakorlat: Egy sakktbln tallomra elhelyeznk 8 bstyt. Menynyi a val sznsge annak, hogy a bstyk nem tik egymst? I.5.20. Gyakorlat: Egy kalapban az angol ABC 26 betje van. Visszatevssel 8-szor kihzunk egy bett s lerjuk azt. Mennyi a val sznsge annak, hogy legfeljebb kt betcsere utn a lert sz b l megkapjuk a DEBRECEN sz t? I.5.21. Gyakorlat: Egyszerre n szablyos dob kockval dobunk. Menynyi a val sznsge annak, hogy a. az sszes kockval ugyanazt az rtket kapjuk? b. legalbb egy hatost dobunk? c. pontosan egy hatost dobunk? I.5.22. Gyakorlat: Egy urnban a darab fehr s b darab fekete goly

van. (a b 2). Visszatevs nlkl kivesznk kt goly t az urnb l. Mennyi a val sznsge annak, hogy

III.7


123

Az ut bbi integrlban az yy12 = t ddyt2 = ; yt21 vltoz transzformci val kapjuk

+R1 az fZ (y1) = fXY (y2 yy12 )

y12

dy2 kpletet. Ha X s Y fggetlenek, akkor ;1 fXY (x y) = fX (x) fY (y) gy +R1 +R1


;1

III.7.21. Feladat: (Kt valszn sgi vltoz hnyadosnak eloszlsa) Legyen X s Y val sznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Jellje fXY (x y) az egyttes srsgfggvnyket. Bizonytsuk be, hogy a Z = XY val sznsgi vltoz srsgfggvnye: +R1 +R1 fZ (x) = fXY (x t t) jtj dt = fXY (t xt ) xjt2j dt. ;1 ;1 Ha X s Y fggetlenek is, akkor +R1 +R1 fZ (x) = fX (t) fY ( xt ) xjt2j dt = fX (x t) fY (t) jtj dt: ;1

;1


y1 = u1(x1 x2) = xx12 ) y1 y2 = u;1 1(y1 y2) = x1 y2 = u;2 1(y1 y2) = x2 y2 = u2(x1 x2) = x2 D = f(x1 x2) j x2 6= 0 g H = R2

J (y1 y2) = y01 y12 ) det(J (y1 y2 )) = jy1j : A transzformci s ttelt alkalmazva, a Z = XY s Y egyttes srsgfggvnye: fZY (y1 y2) = fXY (y1 y2 y2) jy2j : Innen Z srsgfggvnyt kiintegrlssal szmolhatjuk: +R1 +R1 fZ (y1) = fZY (y1 y2) dy2 = fXY (y1 y2 y2) jy2j dy2. ;1 ;1 Az ut bbi integrlban az y1 y2 = t ddyt2 = y11 vltoz transzformci val +R1 kapjuk az fZ (y1) = fXY (y2 yy12 ) jyy122j dy2 kpletet. Ha X s Y fggetle;1 nek, akkor fXY (x y) = fX (x) fY (y) gy +R1 +R1

fZ (x) = fX (t) fY ( xt ) xt2 dt = fX (x t) fY (t) jtj dt: ;1

;1

III.7.22. Feladat: Legyenek X Y 2 N (0 1) fggetlenek. Hatrozzuk meg a Z = XY srsgfggvnyt!

124


R1

R1

Megolds: fZ (x) = jyj ' (xy ) ' (y) dy = j2yj exp ; y (x2 +1) dy: ;1 p 2 ;1 2

2

Vgrehajtva az y x + 1 = z vltoz csert: 1 jzj 2 2 R R1 fZ (x) = 2px2+1 e; z2 px12 +1 dz = pxz2+1 e; z2 px12+1 dz =

h

;1

= 2(x12+1) ;e; z2

2

i1 0

= (x21+1) :

0

Megjegyzs: Z eloszlst Cauchy- vagy t1 (1 szabadsgfok Student) eloszlsnak nevezzk. III.7.23. Feladat: Tekintsk a T = ;2 2] ;1 1] tglalapon vletlenszeren kivlasztott P pontot! Igaz-e, hogy P polrkoordinti fggetlenek lesznek? Megolds: Jellje R s a polr, X Y pedig a descartes-i koordintkat. Ekkor R2 = X 2 + Y 2 s = arctg XY : R s egyttes eloszlsfggvnye: P (R2 < t2 < u) = P (X 2 + Y 2 < t2 Y < X tg u) : Az orig n tmen tg u meredeksg egyenes mindig felezi az orig kzppont, t sugar kr terlett, gy P (R2 < t2 < u) = 21 P (R2 < t2) = P ( < u) P (R2 < t2) ) fggetlenek.

III.7.24. Feladat: A frak testmagassgt X 2 N (175 10) a nkt

Y 2 N (165 8) val sznsgi vltoz kkal modellezve, mekkora annak a val sznsge, hogy egy tetszlegesen kivlasztott fr 10 (cm)-rel alacsonyabb, mint egy tetszlegesen kivlasztott n? III.7.25. Feladat: Egy aut X (km)-t tud defekt nlkl megtenni, ahol X 2 E (), azaz P (X < x) = 1 ; e;x x > 0: Egy 12000 (km) hosszsg ton mennyi annak a val sznsge, hogy az aut legfeljebb egy defektet kap? ( = 10;4 ).

I.5

45


I.5.2. Gyakorlat: Legyen A B 2 =. Adja meg az A B -t tartalmaz legszkebb ;algebrt! I.5.3. Gyakorlat: Legyen A1 A2 : : : An 2 =. Bizonytsa be, hogy P (A1 A2 An) P (A1) + P (A2) + + P (An) ; (n ; 1). I.5.4. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B 2 = esetn jP (AB ) ; P (AC )j P (B M C ) B M C $ B C + C B ! I.5.5. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B 2 = esetn ; 41 P (AB ) ; P (A) P (B ) 14 ! I.5.6. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B 2 = esetn ; P (AB ) P AB 41 ! I.5.7. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B 2 = esetn P (A M B ) = P (A) + P (B ) ; 2P (AB )! I.5.8. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B C 2 = esetn P (AB ) + P (AC ) ; P (BC ) P (A)! I.5.9. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B C 2 = esetn P (A + B + C ) ; P (ABC ) P (B M C )! I.5.10. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy minden A B C 2 = esetn P (A M B ) P (A M C ) + P (B M C )! I.5.11. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogyha P (A) = 0 9 s P (B ) = 0 8, akkor P (AB ) 0 7!

I.5.12. Gyakorlat: A K ksrlet abban ll, hogy vletlenszeren kivlasztunk egy n elem permutci t. Jelentse Aij azt az esemnyt, amikor a kivlasztott permutci ban az i-edik elem a j -edik helyen ll. Fejezze ki Aij k segtsgvel az albbi esemnyeket: A: az els elem a msodikt l balra ll , B : az els elem sorszma legfeljebb j .

I.5.13. Gyakorlat: Legyen A1 A2 : : : An 2 = s A = P Ai. +lltsuk n

el A-t egymst kizr esemnyek sszegeknt!

i=1

44


Megolds: A: Az els hzs utn nyer a kezd jtkos , B : A harmadik hzs utn nyer a kezd jtkos , C : Nyer a kezd jtkos . Nyilvn: P(C ) = P(A) + P(B ) = 14 + 34 32 12 = 12 : I.5.56. Feladat: Egy kalapban tz cdula van, melyekre a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 szmjegyek vannak felrva. Visszatevssel kivesznk kt cdult. Jellje Y a szmjegyek sszegt, X pedig a szmjegyek szorzatt. Adjuk meg a P(Y = i j X = 0) val sznsgeket! (i = 0 1 : : : 18). 19 , P(Y = ijX = 0) = 0, hai > 9. Megolds : P(X = 0) = 100 + i-t s 0-t hztunk) = 2 , ha i = 1 2 : : : 9. P(Y = ijX = 0) = P( 0-t s i-t hztunk P(X =0) 19

I.5.57. Feladat: Egy perzsa sah egyszer egy eltltnek azt mondta, hogy tetszs szerint elhelyezhet 50 fehr s 50 fekete goly t kt egyforma vzba. Az egyikbl majd a sah kihz egy goly t, s ha az fehr, megkegyelmez. Ha viszont a kihzott goly fekete, vagy kiderl, hogy nem mindegyik goly volt a vzkba berakva, esetleg a kivlasztott vzban nem volt semmilyen goly , az tlet hall. Hogyan kell sztosztania az eltltnek a goly kat, hogy a megkegyelmezs val sznsge maximlis legyen? Megolds: Az optimlis stratgia az, ha az egyik vzba egy fehr goly t tesznk, a msikba az sszes tbbit. Ekkor ; a teljes val sznsg ttelt alkalmazva: P(A sah fehret hz ) = 21 1 + 49 99 0747: Minden ms sztosztsnl cskken ez a val sznsg. I.5.58. Feladat: A binris szimmetrikus csatorna egy olyan binris bemenet s binris kimenet csatorna, melynek minden bemenete p = 001 val sznsggel az ellenkezjre vlt a kimenetkor (q = 1 ; p). A 0 forrsbitet 000-val, az 1 forrsbitet 111-gyel kldjk t. A dek dol tbbsgi dntst hoz. Ha a 0 s 1 forrsbitek elfordulsnak egyarnt 05 a val sznsge, akkor adja meg a dek dols hibaval sznsgt! Megolds: P (1-est vesznk j 0-st adnak) = 3p2 q + p3 P (0-st vesznk j 1-est adnak) = 3p2q + p3. P (Hibzunk) = 12 (3p2q + p3 + 3p2q + p3) = 2 98 10;4 : I.5.1. Gyakorlat: Legyen A B 2 =. Adja meg az sszes olyan X 2 = esemnyt, melyre A X A B teljesl!

III.7


125

Megolds : X1 X2 az els illetve msodik defektig megtett t, Y a defektek szma. P (Y = 0) = P (X1 12000) = e;12 P (Y = 1) = P (X1 < 12000 X1 + X2 12000) = = P (X1 < 12000) ; P (X1 + X2 < 12000) = 1 2e;12 mert a X1 + X2 konRx volci srsgfggvnye: e;te;(x;t)dt = 2xe;x )

Rx

0

P (X1 + X2 < x) = 2te;tdt = 1 ; e;x 1 + x] : A keresett val sznsg: 0 P (Y = 0) + P (Y = 1) = 2 2e;12:

III.7.26. Feladat: Az (X Y )T val sznsgi vltoz pr egyttes srsgfggvnye f (x y) = 21 e;4y ha 1 < x < 9 s y > 0 (egybknt f (x y) = 0). a.) Fggetlen-e X s Y ? b.) E (X + Y ) = ? 2 (X + Y ) = ? c.) P (0 X < 7 Y 1) = ? Megolds : fX (x) = 18 x 2 1 9] fY (y) = 4e;4y y > 0:

a.) Fggetlenek! 1 b.) EX + EY = 5 + 41 2X + 2Y = 64 12 + 4 c.) P (0 X < 7 Y 1) =

R7 R1 1 e;4y dydx = e : 2 56 ;

4

1 1

III.7.27. Feladat: Kt biatlon versenyz X , illetve Y ra alatt futja a 10 km-es tvot, ahol X s Y fggetlen exponencilis eloszls val sznsgi vltoz k = 2, illetve = 2 1 paramterekkel. Ha a kt versenyzbl csapatot szerveznk akik 5 km-nl vltjk egymst, mennyi a val sznsge, hogy 20 perc alatt teljestik a 10 km-es tvot? Megolds : A 10 km-t X +2 Y id alatt teljestik. A konvolci s srsgfggRx vny: fX +Y (x) = e;te;(x;t)dt = 4 2 (e;2x ; e;21x) )

; X +Y < 1 = 0R4f (t) dt = 4 2 h 1 (1 ; e;08) + 1 (e;084 ; 1)i : X +Y 2 5 2 21 0

P

0

126


III.7.28. Feladat: Legyenek X Y 2 G (p) fggetlenek. Bizonytsa be, hogy P (X = k j X + Y = n) = n;1 1 (k = 1 2 : : : n ; 1) : +Y =n) P(X =k)P(Y =n;k) = Megolds: P (X = k j X + Y = n) = P(XP(=XkX +Y =n) = P(X +Y =n) n 2 p2 k 1 pqn k 1 p q q 1 = nP1 i 1 n i 1 = n 2 2 nP1 = n;1 : ;

;

i=1

q

;

; ;

;

pq

; ;

p

q

;

p

;

i=1

1

III.7.29. Feladat: Legyenek X 2 Po () s Y 2 Po () fggetlenek.

Mutassuk meg, hogy X -nek az X + Y = n felttelre vonatkoz feltteles eloszlsa binomilis! Megolds: P (X + Y = l) =

Pl P (X = j ) P (Y = l ; j ) =

j =0

Pl Pl = l e; l j e; = 1 e;(+) ;

(l;j )!

j =0 l!

l! j l;j j =0 j !(l;j )!

l!

l

= (+l!) e;(+):

+Y =n;k) = Azaz X + Y 2 Po ( + ) : P (X = k j X + Y = n) = P(XP=(kX X +Y =n) k e n k e P(X =kY =n;k) = k! n(n k)! k n;k = n! P(X +Y =n) (+n! ) e (+) k!(n;k)! + + ez pedig a B n + eloszls! III.7.30. Feladat: Egy tyk X 2 Po () tojst tojik. Minden tojsb l egymst l fggetlenl p val sznsggel kel ki kiscsirke. Mennyi a kiscsirkk szmnak vrhat rtke? Megolds: Jellje Y; a kikelt kiscsirkk szmt! P (Y = k j X = n) = nk pk (1 ; p)n;k ) E (Y j X = n) = 1 P = np () E (Y j X ) = Xp) : $gy EY = (np) nn! e; = p EX = p : ;

;

;

;

;

n=0

III.7.31. Feladat: Az elz feladat jellseivel adjuk meg E (X j Y = k)

regresszi s sorozatot, illetve az E (X j Y ) regresszi t! Megolds: Legyen n k . n k n k n P (X = n j Y = k) = P(Y =kPjX(Y==n)kP) (X =n) = P(k )mp (1k;p) m nk! em = p (1 ; ( ) p) m! e m=k k n k ;(1;p) P ((1 ; p ) ) = (n;k)! e : $gy E (X j Y = k) = nP (X = n j Y = k) = ;

1

;

;

;

;

P

n k

Pnk

n k

= n ((1;(np;)k))! e;(1;p) = (1 ; p) + k ((1;(np;)k))! e;(1;p) = nk nk = (1 ; p) + k: Ebbl mr lthat , hogy E (X j Y ) = Y + (1 ; p) : ;

;

I.5


43

Megolds: Legyen A: A hamis kockt vlasztottuk ki , B : Tzszer dobva mindig hatost kapunk . A Bayes ttelt alkalmazva: P(AjB ) = P(BjA)PP((BAj)+A)PP((BAj)A)P(A) , ahol P(A) = 001, P(A) = 099 P(B jA) = 1 P(B jA) = 6110 : Behelyettestve: P(AjB ) 099999983:

I.5.53. Feladat: Kt bnz, x s y egymst l fggetlenl hazudnak, illetve mondanak igazat 2=3 illetve 1=3 val sznsggel. Feltve, hogy x azt lltja, hogy y hazudik , mennyi a val sznsge, hogy y igazat mond? Megolds: A: x azt lltja, hogy y hazudik , B : y igazat mond . P(AjB ) = P(;x hazudik ) = 2=3 P(B ) = 1=3 P(AjB ) = P( x igazat mond )= 13 P B = 32 : A Bayes-ttelt alkalmazva: B )P(B ) 1 P(B jA) = P(AjB)PP((ABj)+ P(AjB )P(B ) = 2 :

I.5.54. Feladat: Kt urna kzl az egyikben n fekete s m fehr, a msikban N fekete s M fehr goly van. Az elsbl tallomra trakunk egyet a msodikba, majd onnan tallomra visszavesznk egyet. Megint az elsbl hzva, mennyi a val sznsge a fehrnek? Megolds:

A1 : Az els urnb l fehret rakunk a msodikba, a msodikb l fehret rakunk vissza , A2 : Az els urnb l fehret rakunk a msodikba, a msodikb l fekett rakunk vissza , A3 : Az els urnb l fekett rakunk a msodikba, a msodikb l fehret rakunk vissza , A4 : Az els urnb l fekett rakunk a msodikba, a msodikb l fekett rakunk vissza , B : Harmadszorra az els rnb l fehret hzunk . A1 A2 A3 A4 teljes esemnyrendszer. A teljes val sznsg ttelbl: 4 P(B ) = P P(B jAi)P(Ai) = : : :. i=1

I.5.55. Feladat: Kt jtkos felvltva hz egy-egy goly t visszatevs nlkl egy urnb l, amiben egy fehr s hrom fekete goly van. Az a jtkos nyer, amelyik elszr hz fehret. Mennyi a val sznsge, hogy az elsnek hz jtkos fog nyerni?

42


I.5.48. Feladat: Ha P(AjB ) = 07, P(B jA) = 06 P(A j B ) = 03,

akkor mennyi P(A)?

Megolds: P(AB ) = 07P(B ) = 06P(A) ) P(B ) = 6=7P(A): Msrszt P(A) = P(AB )+ P(AB ) = 06P(A)+03P(B ) = 06P(A)+03 ; 03P(B ) = 24=70P(A) + 03, ahonnan P(A) = 21=46:


III.7

III.7.32. Feladat: Dobjunk n-szer egy szablyos dob kockval. Jellje X a hatosok szmt, Y pedig a pros dobsok szmt! Szmoljuk ki az E (X j Y ) regresszi t! =l ) Megolds: Ha k l akkor P (X = k j Y = l) = P(XP(=YkY =l) = 1 k 1 l k 1 n l n! ( 2 ) = ; l ; 1 k ; 2 l;k : 6) (3) = k!(l k)!(n l)!((n)( 1 n 3 k 3 ) ;

;

;

;

l

Pl k; l ; 1 k ; 2 l;k = l azaz E (X j Y ) = Y : k 3 3 3 3 k=0 ; ;; ; III.7.33. Feladat: Legyen X 2 N 0 1 r : Hatrozzuk meg a 2

nsge annak, hogy van hatos rtknk, ha tudjuk, hogy mindegyik dobs pros lett?

$gy E (X j Y = l) =

Megolds: Ha B : Mindegyik dobs pros , A: Van hatos dobs . 19 : $gy P (A j B ) = ) = 81 ; 2633 = 216 P(B ) = 6333 = 18 , P(AB ) = P(B ) ; P(AB

P (X 0 Y 0) val sznsget!

P(AB ) P(B )

= 19 27 :

I.5.50. Feladat: Egy urnban b darab fekete s r darab fehr goly van.

vletlenszeren kihznak egy goly t. A kihzott goly t s mg ugyanolyan sznbl c darabot visszatesznek az urnba. A ksrlet eredmnyt nem ismerve, msodszorra mi hzunk az urnb l. Feltve, hogy a msodik hzskor fekete goly t hzunk, mennyi a val sznsge annak, hogy az els hzskor is fekete volt az eredmny?

127


2

Y

2 1 x;ry

Megolds:

0

r 1

fXY (x y) = 2p11;r2 exp ; 2(1;1 r2) (x2 ; 2rxy + y2) = = 2p11;r2 exp

y 2

2

exp ; 2

p

1;r2

az egyttes srsgfggvny.

R1 R1 P (X 0 Y 0) = fXY (x y) dxdy = y0 0 1 x;ry 2 R1 R1 1

Megolds: A : Az els hzs fekete volt , B : A msodik goly fekete . A Bayes ttelt alkalmazva: P(AjB ) = P(BjA)PP((BAj)+A)PP((BAj)A)P(A) , ahol P(B jA) = b b r b+c b+c b+r+c , P( B jA) = b+r+c , P(A) = b+r s P(A) = b+r . $gy P(AjB ) = b+r+c .

dxdy =

p 2

p vgrehajtva az px1;;ryr2 = u y = v ) J (u v) =

1 0; r 1r

= 1 ; r2 R1 R1 exp ; u2+v2 dudv = vltoz csert: = 21 2

nsge annak, hogy a dobsok kztt van hatos, ha mindegyik kockn klnbz rtk van?

polrkoordintkra ttrve:

;R sin

u = R cos v = R sin J (R ) =

cos sin R cos = R


Megolds: Ha B : Mindhrom kockn ms-ms eredmny van , A: Az

egyik kockn hatos van , akkor P(AB ) = P(AjB ) = 0 5.

354 63

=

10 36 ,

P(B ) =

654 63

=

20 36 ,

gy

I.5.52. Feladat: Egy ldban 100 darab dob kocka van, melyek kzl 99 teljesen szablyos, egy pedig hamis olyan rtelemben, hogy vele mindig hatos dobhat csak. Ha vletlenszeren kivesznk egy kockt a ldb l s azzal tzszer dobva mindig hatost kapunk, mennyi a val sznsge, hogy ppen a hamis kockt vettk ki elzleg?

=

p

2 0 0 2 1;r

exp

2

2

exp ; 2

p

1;r2

0 p rv 2 ;

1;r

kapjuk, hogy = 21

R1 =R 2 R exp ; R ddR = 1 + 1 arcsin r: 2 4 2 2

0 ; arcsin r

III.7.34. Feladat: Legyenek VpW 2 U (0 1) fggetlenek. Ha p X = ;2 ln V cos 2W s Y = ;2 ln V sin 2W akkor bizonytsuk be, hogy X Y 2 N (0 1) fggetlenek! (Megjegyzs : Ezen az eredmnyen alapszik a standard normlis eloszls vletlen szmok generlsnak Box-Mller m dszere.)

128


;

Megolds: Elszr felhasznljuk, hogy U = ;2 ln V 2 E; 21 s 1 u 1 Z = 2W 2 U (0 2) fggetlenek: Ezrt p fUZ (u z ) = 2 exp ; 2 2 u > 0 z 2 (0 2) : Vgrehajtvaa T = U Z = Z transzformci t: fTZ (t z) = fUZ (t2 z) = t exp ; t22 21 : Most az X = T cos Z Y = T sin Z p ) T = X 2 + Y 2 Z = arctg XY J (X Y ) = pX 21+Y 2 transzformci t (x2+vgre 2 p y 1 1 2 2 hajtva fXY (x y) = fTZ ( x + y arctg x ) p 2 2 = 2 exp ; 2 y ) x +y

ami mr igazolja az lltst.

III.7.35. Mutassuk meg, ha X Y 2N (0 1) fggetlenek, Feladat: hogy m +d X m d2 %d d

akkor

1

p1

m2 + %d2X + 1 ; %2d2Y

2 N2

1 1 m2 %d1d2

1 2

d22

!

(Megjegyzs : Ezen az eredmnyen alapulva lehet elrt vrhat rtk-vektor, s kovarianciamtrix skbeli normlis vletlen vektorokat generlni.)

p mMegolds: Legyenek d V =0 m1 + d1X ,W = m2V+ %d 2X + 1 ; %2dX2Y m = 1 p 1 m2 A = %d2 1 ; %2d2 : Ekkor W = m + A Y : A ; V

normlis eloszls transzformci s trvnybl: ami mr igazolja az eljrst.

W

2 N2 m A AT ,

; III.7.36. Feladat: Ha X = XX12 2 N2 akkor szmoljuk ki a

;

;

P X ; T ;1 X ; < " val sznsget, ahol " > 0 tetszleges!

(Megjegyzs : A keresett mennyisg azt adja meg, hogy mekkora a val sznsge hogy az X ktdimenzi s normlis vektor rtkei az ;x ; T annak, ;1 ;x ; = " egyenlet ellipszis belsejbe essenek. Az .n. szrsellipszis centrumpontja a vrhat rtk-vektor, tengelyei pedig a kovarianciamtrix sajtvektorainak irnyba mutatnak. A szimmetriatengelyek hosszainak arnya a sajtrtkeinek arnyt adja, mg a tengelyek hosszai fggnek "-t l.)

Legyen " > 0 tetszleges! Ekkor ;X Megolds: ; ; T ;1 X ; < " () Y T Y < " ahol

I.5


41

Lthat , hogy az Ai esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak. A B esemnynek az Ai esemnyekre vonatkoz feltteles val sznsgei: 9 i ( 3 ) P(B j Ai) = (15) (i = 0 1 2 3): 3 mg az Ai 9esemnyek val sznsgei: 6 P(Ai) = (i)((153) i) (i = 0 1 2 3): 3 A teljes val sznsg ttelt alkalmazva: 3 P P (B ) = P (B j Ai) P (Ai) 0045: ;

;

i=0

I.5.45. Feladat: Hat doboz mindegyikben hat-hat darab goly van,

melyek kztt rendre 1 2 3 4 5 6 darab fehr szn tallhat (a tbbi fekete). Egy dobozt vletlenszeren kivlasztunk, majd abb l visszatevssel hrom goly t kihzunk. Ha azt tapasztaljuk, hogy mindhrom goly fehr szn, mennyi annak a val sznsge, hogy a csupa fehr goly t tartalmaz dobozt vlasztottuk ki? Megolds: Legyenek Ai -k a kvetkez esemnyek: Azt a dobozt vlasztottuk, amelyikben i db fehr goly van , i = 1 2 3 4 5 6. Nyilvnval , hogy ezek az esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, s mindegyikk bekvetkezse egyformn 61 val sznsg. Legyen tovbb B az az esemny, ; hogy Visszatevssel hzva mindegyik goly szne fehr . P(B jAi) = 6i 3 i = 1 2 3 4 5 6. A Bayes-ttelt alkalmazva: P(A6 j B ) = P6P(BjA6)P(A6 ) = 216 441 049: i=1

P(B jAi)P(Ai )

I.5.46. Feladat: Bizonytsuk be, hogy ha P(A) 08 P(b) 08, akkor

P(AB ) 06!

Megolds: 08+08 ; P(AB ) P(A + B ) = P(A)+ P(B ) ; P(AB ) 1 ).

P(AB ) 06

I.5.47. Feladat: Dobjunk kt kockval! Mondjunk olyan esemnyeket ezzel a ksrlettel kapcsolatban, amelyek fggetlenek, s olyanokat, amelyek nem fggetlenek egymst l! Megolds: Pl. A: Az egyik kockn kettest dobunk , B : A msik kockn hrmast dobunk , C : Van hatos a kt dobott rtk kztt , D: A dobott rtkek nem egyenlek . Az A s B fggetlenek, C s D nem, hiszen 55 . P(CD) = 3610 6= P(C )P(D) = 216

40


R1 ;

;

R1 ;

A besatrozott terlet nagysga: T = 21x ; 1 ; 21x dx = x1 ; 1 dx = 05 05 ln 2 ; 21 a biztos esemnynek megfelel tglalap terlete: 05 gy a keresett val sznsg: p = 2 (ln 2 ; 05) = ln 4e :

III.7

129


;

;

;

Y = ; 12 X ; 2 N2 0 E :Mivel Y T Y 2 E 12 ezrt ; ; ; ; P X ; T ;1 X ; < " = P E 21 < " = 1 ; e; 12 " :

III.7.1. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 G (p) fggetlenek. Adja meg a

I.5.42. Feladat: Szmoljuk ki annak feltteles val sznsgt, hogy kt

P (X = Y ) val sznsget!

Megolds: Legyen A: Kt szablyos kockval dobva mindkt rtk pros

III.7.2. Gyakorlat: Egy aut szerel mhelybe rkezve kt aut van elttnk, az egyiket ppen szerelik. Felttelezve, hogy a szerelsi idk egymst l fggetlen E (2) eloszls val sznsgi vltoz k, mennyi a val sznsge, hogy aut nkat 1 ( rn) bell megjavtjk?

kockval dobva mindkt rtk pros feltve, hogy sszegk legalbb tz!

lesz s B : A dobott rtkek sszege nem kisebb mint 10 . P(B ) = P(Az sszeg 10 vagy 11 vagy 12 )= P(A dobsok eredmnye (6 4),(4 6),(5 5) vagy (5 6) (6 5) vagy (6 6) )= 16 . P(A) = 3363 = 14 : P(AB ) = P(A dobsok eredmnye (6 4) (4 6) vagy (6 6) )= 363 = 121 . A denci t hasznlva P(A j ) 1 B ) = PP((AB B ) = 2 . Lthatjuk, hogy a feltteles val sznsg most nagyobb, mint a felttel nlkli.

I.5.43. Feladat: A 32 lapos magyar krtyb l hrom lapot hzunk egyms utn visszatevs nlkl. Mennyi a val sznsge annak, hogy az els kihzott lap hetes, a msodik kilences, a harmadik ismt hetes? (2) Megolds: Legyenek A(1) 7 : Az elsnek hzott lap hetes , A9 : A m-

sodiknak kihzott lap 9-es , A(3) 7 : A harmadiknak hzott lap hetes . A kere(2) (3) sett val sznsget a a szorzsi szablyb l szmolhatjuk: P(A(1) 7 A9 A7 ) = (1) (2) (1) (3) (1) (2) P(A7 ) P(A9 jA7 ) P(A7 jA7 A9 ). Az egyes tnyezket egyszeren (2) (1) 4 1 4 meghatrozhatjuk: P(A(1) 7 ) = 32 = 8 P(A9 jA7 ) = 31 (3) (1) (2) 3 1 1 P(A7 jA7 A9 ) = 30 = 10 . $gy a keresett val sznsg 8 314 101 = 6101 .

I.5.44. Feladat: Egy rekeszben 15 teniszlabda van, melyek kzl 9 mg hasznlatlan. Az els jtkhoz kivesznk tallomra hrom labdt, majd a jtk utn visszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nyilvn, ha volt kzttk hasznlatlan, az a jtk sorn elveszti ezt a tulajdonsgt.) A msodik jtkhoz ismt tallomra vesznk ki hrom labdt. Mennyi a val sznsge annak, hogy az ut bb kivett labdk mind mg hasznlatlanok lesznek? Megolds: Vezessk be az albbi esemnyeket: Ai : Az els jtkhoz ppen i db hasznlatlan labdt vettnk ki , i = 0 1 2 3. B : A msodik jtszmhoz hrom hasznlatlant vettnk ki .

III.7.3. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 E (1) fggetlenek. Bizonytsa be, hogy minfX Y g 2 E (2) s, hogy maxfX Y g eloszlsa megegyezik X + 21 Y eloszlsval! III.7.4. Gyakorlat: A karcsonyfnkon 15 db egymssal sorosan szszekapcsolt sznes g vilgt. Az izz k lettartamai egymst l fggetlen, kln-kln exponencilis eloszls val sznsgi vltoz k, melyek vrhat rtke 30 ra. Amikor elalszik a fny, azonnal kicserlem a kigett izz t. Adja meg az izz cserk kztti idtartam eloszlst! III.7.5. Gyakorlat: A karcsonyfnkon 15 db egymssal sorosan szszekapcsolt sznes g vilgt. Az izz k lettartamai egymst l fggetlen, kln-kln exponencilis eloszls val sznsgi vltoz k. Milyen kellene, hogy legyen az izz k lettartamnak vrhat rtke ahhoz, hogy 100 rs zemels alatt 95%-os val sznsggel ne kelljen izz t cserlnem? III.7.6. Gyakorlat: Kt kivl Forma 1-es versenyz krideje az idmr edzsen egyarnt egyenletes eloszls az 1:21 1:22 idintervallumban. (Az ra ezredmsodperc pontossggal tud mrni.) Mennyi a val sznsge, hogy azonos idt fognak menni egy adott krben? Kisebb vagy nagyobb annak a val sznsge, hogy ha mindegyikknek kt ksrlete van, akkor a kt-kt eredmny minimuma azonos? 0

0

III.7.7. Gyakorlat: Tegyk fel, hogy minden hten tzmilli szelvnnyel fogadnak. Mennyi annak a val sznsge, hogy tz hten keresztl nem lesz ts tallat?

130


III.7.8. Gyakorlat: Pincnkben 2 db prhuzamosan kapcsolt izz vilgt. Az izz k lettartamai egymst l fggetlen, kln-kln exponencilis eloszls val sznsgi vltoz k, melyek vrhat rtke 6 h nap. Csak akkor szoktam izz t cserlni, ha mr mindkett kigett. Vezesse le az izz cserk kzti idtartam eloszlsfggvnyt!

I.5


39

orig , akkor a parabola egyenlete: y = (x ; 05)2 + 025: A keresett terlet: R1 ; 1 ; (x ; 05)2 + 025 dx = 32 : 0

III.7.9. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 N (0 1) fggetlenek, s Z = jX + Y j : Hatrozza meg Z srsgfggvnyt! III.7.10. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 E () fggetlenek, s Z = jX ; Y j : Hatrozza meg Z srsgfggvnyt! III.7.11. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 E () fggetlenek, s Z = X + 12 Y: Hatrozza meg Z srsgfggvnyt! Mennyi a Z vrhat rtke s sz rsa? III.7.12. Gyakorlat: Egy csomag 32 lapos magyar krtyb l kihzunk visszatevs nlkl 10 lapot. Legyen Xp Xz Xt Xm rendre a kihzott piros, zld, tk s makk szn lapok szma! Adja meg (Xp Xz Xt Xm )T eloszlst! Mennyi a P (Xp < Xz ) val sznsg? III.7.13. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn 2 E () teljesen fggetlenek. Hatrozza meg a pk = P (X1 + X2 + : : : + Xk 1 < X1 + X2 + : : : + Xk + Xk+1 ) val sznsget! (1 k n ; 1) : III.7.14. Gyakorlat: Az X s Y egyttes srsgfggvnye 2 2

0 < x y < 1 : fXY (x y) = a (x + xy + y )0 ha egybknt Mennyi az a rtke? Fggetlen-e X s Y ?

III.7.15. Gyakorlat: Hromszor dobunk egy szablyos dob kockval. X a kapott hatosok szma, Y a kapott pros rtkek szma. Adja meg X s Y egyttes eloszlst, kovariancia mtrixukat. Fggetlen-e X s Y ? III.7.16. Gyakorlat: $rja fel kt fggetlen val sznsgi vltoz egyttes srsgfggvnyt, ha az els standard normlis, a msodik pedig 02 paramter exponencilis eloszls!

I.5.41. Feladat: Egy egysgnyi hossz szakaszt eltrnk, majd a hosszabbik rszt jb l eltrjk. Mennyi a val sznsge, hogy a keletkez hrom szakaszb l lehet hromszget szerkeszteni? Megolds: Jellje az els trs utn keletkezett hosszabbik szakasz hosszt x (0 5 x 1) : A msodik trsnl ezt az x hosszsg szakaszt trjk kett: xy s (1 ; y) x hossz szakaszok keletkeznek, ahol 0 y 1: A hrom szakaszhossz most a = xy b = (1 ; y) x s 1 ; x: Hromszg akkor szerkeszthet, ha xy +(1 ; y) x 1 ; x () x 05 xy +1 ; x (1 ; y) x () 1 ; 1 1 2x y (1 ; y ) x +1 ; x xy () 2x y: Miutn az els felttel ; trivilisan teljesl, a szerkeszthetsg felttele: 1 ; 21x y 21x x 2 12 1 y 2 (0 1) : A feltteleknek megfelel tartomny stttett az albbi brn:

38


III.7


131

I.5.38. Feladat: Egy egysgnyi hosszsg szakaszon tallomra vlasztunk kt pontot. Mennyi a val sznsge annak, hogy ezek kzelebb vannak egymshoz, mint brmelyik vgponthoz?

III.7.17. Gyakorlat: Az ;1 1] ;1 1] ngyzeten egyms utn sorsolunk ki vletlen pontokat. Akkor llunk meg, amikor a kisorsolt pont elszr esik bele az orig kzppont egysgkrbe. Mi a pontok szmnak eloszlsa?

Megolds: A vizsglt esemnyhez tartoz pontok (x y) koordintira fennll x < y esetben, hogy y ; x < 1 ; y s y ; x < x. (Az y < x esetben ezek a kritriumok x ; y < 1 ; x s x ; y < y lennnek.) Az egysgngyzeten bejellve a relci knak eleget tev pontok alkotta tartomnyt:

III.7.18. Gyakorlat: Ha a v = (X Y )T vektor egyenletes eloszls az orig kzppont, egysgnyi p sugar krlemezen, mi a srsgfggvnye a vektor hossznak, kvk = X 2 + Y 2;nek? III.7.19. Gyakorlat: Ha X Y 2 U (0 1), akkor mi az (X + Y X ; Y )T ktdimenzi s val sznsgi vltoz vrhat rtk-vektora s kovarianciamtrixa? III.7.20. Gyakorlat: Legyen az X s Y egyttes eloszlsfggvnye: FXY (x y) = x3y 0 x 1 0 y 1: Mennyi a P (025 X 075 025 Y 05) val sznsg? III.7.21. Gyakorlat: Hatrozza meg az orig kzppont 1 sugar krlapon vett egyenletes eloszls kovarianciamtrixt!

Ezek alapjn a keresett val sznsg: 31 :

I.5.39. Feladat: Egy temeletes hzban az emeletek kztt 6 m tvol-

sg van, a fldszint s az els emelet kztt 8 m. Ha a liftajt 2 m, mennyi a val sznsge annak, hogy a lift megakadsakor az ajt t teljes egszben fal takarja? Megolds: A lift teljesen a fal mgtti takarsban van a fldszinten 4 m-en keresztl, az 1: 2: 3. s 4. emeleten 2-2 m-en t. A lift ssztja 12 : 8 + 4 6 + 2 = 34 m. $gy a keresett val sznsg: p = 34

I.5.40. Feladat: Az ABCD egysgngyzeten vletlenszeren kivlasztva egy pontot, mennyi a val sznsge, hogy a pont kzelebb lesz a ngyzet kzppontjhoz, mint az AB oldalhoz? Megolds: Egy pontt l s egy egyenestl azonos tvolsgban fekv pontok mrtani helye a skban a parabola. $gy a ngyzet pontjai kzl azok lesznek a kzpponthoz kzelebb, mint az alapon fekv AB oldalhoz, amelyek felette vannak azon parabola vonalnak, melynek a kzppont a f kusza, s az AB vonala a direktrisze. Ha AB az x tengelyre esik, s az A pont ppen az

III.7.22. Gyakorlat: Legyen az (X Y )T val sznsgi vektorvltoz s-

rsgfggvnye f (x y) = 71 6x2y ; 12xy + 6y + 18x2 ; 36x + 18] x 2 0 1] y 2 0 1] : Fggetlenek a komponensek?

III.7.23. Gyakorlat: Kt ember mindegyike addig dob fel egy-egy szablyos pnzrmt, amg az els fej ki nem jn. Mennyi a val sznsge, hogy ehhez mindkettnek ugyanannyi dobsra van szksge? III.7.24. Gyakorlat: Egy j l megkevert csomag 32 lapos magyar krtyb l leosztunk 8-at. Legyen X = 1, ha a leosztott lapok kztt van piros, s X = 0, ha nincs. Legyen tovbb Y = 1, ha van a nyolc lap kztt sz, s Y = 0 klnben. Adja meg X s Y egyttes eloszlst! III.7.25. Gyakorlat: Kt busz egymst l fggetlenl X , illetve Y id alatt ri el a megll t, ahol n vrakozom. Brmelyik busszal tudom az utamat folytatni. Mennyi a val sznsge, hogy x > 0 idn bell befut valamelyik, ha X Y 2 E () fggetlenek? III.7.26. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 U (0 1) fggetlenek, Z = Szmolja ki Z srsgfggvnyt!

X X +Y .

132


I.5


37

III.7.27. Gyakorlat: Legyen X 2 U (0 1) : X segtsgvel generljon az orig kzppont egysgkr kerletn egyenletes eloszls ktdimenzi s vletlen pontot! (Segtsg: Z = cos 2X Y = sin 2X ).

I.5.36. Feladat: Egy a = 1 b = 2 oldalhosszsg tglalapon kivlasztunk egy pontot. Mennyi a val sznsge, hogy a pont kzelebb van egy cscshoz, mint a kzpponthoz?

III.7.28. Gyakorlat: Egy mszerben egy bizonyos fegysg tlagos lettartama 2 v, a beptett ellenrz rendszer pedig 3 v. A hasznlat sorn egyik sem regszik s egyikk tnkremenetele sem fgg a msikt l. Mennyi a val sznsge, hogy ; elbb romlik el, mint a fegysg? ; az ellenrz rendszer (Segtsg: X 2 E 12 a fegysg, Y 2 E 13 az ellenrz egysg lettartama, fggetlenek. Mennyi P (Y < X )?)

Megolds: Kt pont kztt egyenl tvolsgra lv pontok mrtani helye a pontokat sszekt szakasz felez merlegese. $gy a keresett esemnynek megfelel tartomnyt az albbi brn bestttssel szemlltethetjk:

III.7.29. Gyakorlat: Legyenek X 2 Po (0 5) s Y 2 Po (0 1) fggetlenek! Mennyi P (X + Y = 2)? III.7.30. Gyakorlat: Legyenek X 2 G (0 5) s Y 2 G (1 5) fggetlenek! Mennyi P (X + Y = k) (k = 2 3 4 : : :)? III.7.31. Gyakorlat: Szmolja ki az fX (x) = 1 x 2 0 1] s az fY (y) =

2y y 5

2 2 3] srsgfggvnyek konvolci s srsgfggvnyt, fX +Y (t)-t!

III.7.32. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 U (0 1) fggetlenek, Z = 2X ; Y . Szmolja ki Z srsgfggvnyt! III.7.33. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 U (0 1) fggetlenek, Z = X ;Y .

Szmolja ki Z eloszlsfggvnyt!

III.7.34. Gyakorlat: Binris, 1 rtk egyformn val szn szimb lumot kldnk t zajos csatornn, ahol a szimb lumhoz tle fggetlen f (x) = 05 (1 ; 05 jxj) x 2 (;2 2) srsgfggvny zaj ad dik. Ha a csatorna kimenete pozitv, akkor 1 mellett, egybknt -1 mellett dntnk. Mennyi a hibs dnts val sznsge? III.7.35. Gyakorlat: Egy fogorvosi rendelbe rkezve, ketten vannak elttnk, az egyiknek ppen most kezdtk el a kezelst. A fogorvos egy pcienssel 0,5 paramter exponencilis id alatt vgez. Mennyi annak a val sznsge, hogy egysgnyi idn bell sorra kerlnk? Oldjuk meg a feladatot akkor is, ha prhuzamosan kt orvos fogad egyszerre!

A kzps (fehr) alakzat kt szimmetrikus trapzb l ll. Mivel a trapzok kzpvonalai az tl k meghatrozta hromszg kzpvonalval egyeznek meg, a hosszuk 1. A trapz magassg 0 5. $gy a fehr alakzat terlete ppen 1 lesz. Ezrt a bestttett alakzat terlete is 1, gy a keresett val sznsg 05.

I.5.37. Feladat: Ketten megbeszlik, hogy 10 s 11 ra kztt egy meghatrozott helyen tallkoznak. Megllapods szerint, aki korbban rkezik 20 percet vr a msikra, s csak azutn tvozik. Mennyi a tallkozs val sznsge, ha mindketten vletlenszeren rkeznek? Megolds: Jellje x az egyik, y a msik ember vletlen megrkezsnek idejt. Az (x y) pr egy vletlen pontot hatroz meg az egysgngyzetben. A tallkozshoz fenn kell llnia a jx ; yj < 13 relci nak, melyet kielgt pontok bestttve lthat k az albbi brn:

Az brr l kzvetlenl leolvashat , hogy a keresett val sznsg: 1 ; 94 = 59 :

36


III.7


133

III.7.36. Gyakorlat: Egy berendezs X ideig mkdik hibamentesen, s Y id kell a javtshoz, ahol X 2 E () s Y 2 E () egymst l fggetlenek. Mennyi annak a val sznsge, hogy a gpet a T > 0 idtartam alatt legalbb ktszer kellett javtani? Megolds: A pnz kzppontjnak s=2-nl nagyobb tvolsgra kell lennie mindkt padl rstl, gy a val sznsg p = 1 ; s=d.

I.5.34. Feladat: Egy d = 10 cm oldalhosszsg ngyzetrcsos padl -

zatra leejtnk egy s = 3 cm tmrj pnzdarabot.

a. Mennyi a val sznsge, hogy a pnz teljes terjedelmvelegy ngyzet belsejbe fog esni? b. Mennyi a val sznsge, hogy hsszor vgrehajtva a ksrletet, az esemny ppen tszr kvetkezik be? Megolds: a. Ahhoz, hogy a pnzdarab benne legyen a ngyzetben, a pnz kzppontjnak a bels 7 cm oldalhosszsg ngyzetbe ; kell esnie, gy a val sznsg p = 0 49. b. Az elz p val sznsggel: 205 p5 (1 ; p)15 kplettel szmolhatjuk ki.

I.5.35. Feladat: Egy d = 10 cm oldalhosszsg ngyzetrcsos padl zatra leejtnk egy s = 3 cm hossz tt. Mennyi a val sznsge, hogy a t teljes egszben egy ngyzet belsejbe kerl? Megolds: A keresett val sznsg p = 1 ; 4sdd2;s2 : Ha A azt az esemnyt

jelenti, hogy a t a vzszintes oldalt metszi, B pedig azt, hogy a t fggleges oldalt keresztez, akkor meghatrozand a P(A + B ) val sznsg. Poincare ttelbl: P(A + B ) = P(A) + P(B ) ; P(AB ). A Bu"on-t problmnl 2s Az AB szorzatesemny val sznsge lttuk, hogy P (A) = P (B ) = d

P (AB ) =

4 d 2

R j dxdyd = s : A kpletben x s y a t kzpR s Rsin s jcos d 2

0

2

0

0

2 2

pontjnak koordinti, pedig a t egyenesnek a vzszintessel bezrt szge. A P(AB ) val sznsg a kt oldalt egyszerre metsz telhelyezkedsekhez tartoz (x y ) pontok alkotta trrsz trfogatnak s a d d hasb trfogatnak arnya.

III.7.37. Gyakorlat: Legyenek X 2 N (5 2) s Y 2 N (4 3) fggetlenek. Adja meg a P (X < Y ) val sznsget! III.7.38. Gyakorlat: Az emberek testslyt N (75 12) eloszlssal modellezzk. Ha egy ngyszemlyes lift 320 (kg)-os sszteherbrs, akkor menynyi a val sznsge, hogy egy ngy fs csoport tlslyos lesz? III.7.39. Gyakorlat: Egy zemben kt gp zemel egymst l fggetlen X1 s X2 ideig, ahol X1, X2 2 E (0 2) : A folyamatos gyrtshoz az egyik gp zemeltetse is elegend, a msik gp tartalk. Ha az ppen mszakban ll gp meghibsodik, azonnal a tartalkot lltjk zembe. Melegtartalk esetn a tartalk gp is lland an be van kapcsolva, azaz ilyenkor a folyamatos mkdsi id maxfX1 X2g: A hidegtartalkols esetn a tartalk gpet csak az zembellts pillanatban kapcsoljk be. Teht ilyenkor a folyamatos zemeltetsi id X1 + X2 lesz. Hatrozza meg a folyamatos zemeltets idejnek vrhat rtkt meleg-s hidegtartalkols esetn! III.7.40. Gyakorlat: Legyen X 2 E (2). Hatrozza meg a cov (X X 2 )

szmot!

III.7.41. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls val sznsgi vltoz k. Tegyk fel, hogy P (Xi > 0) = 1: Bizonytsa be, hogy E XX11++XX22++++XXnk = nk ! III.7.42. Gyakorlat: Legyen az X val sznsgi vltoz olyan, hogy P (X > 0) = P (X < 0) = EX = a E jX j = b: Szmolja ki a cov X jXX j -t! III.7.43. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls val sznsgi vltoz k. P (Xi = 1) = P (Xi = ;1) = 41 P (Xi = 0) = 12 (i = 1 2 : : : n) : Szmtsa ki Pn az Y = Xi val sznsgi vltoz vrhat rtkt s sz rst! i=1

134


III.7.44. Gyakorlat: Legyenek X s Y fggetlen val sznsgi vltoz k. Bizonytsa be, hogy 2 (XY ) = 2X2Y + (EX )2 2Y + (EY )2 2X: III.7.45. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn 2 U (0 1) teljesen fggetlenek. Ezek kijellnek n + 1 db rszintervallumot (0 1) ;en. Jellje Yk a k-adik rszintervallum hosszt (k = 1 2 : : : n + 1) : Mutassa meg, hogy 1 ! EYk = n+1 III.7.46. Gyakorlat: Fodrsznl sorunkra vrunk. Mekkora a val sznsge, hogy az tlagosnl tovbb vrakozunk, ha a vrakozsi id E (2)? III.7.47. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls val sznsgi vltoz k, melyeknek ltezik a vrhat rtkk Pn s sz rsuk: EXi = 2Xi = d2: Fejezze ki s d fggvnyben a 2 i Xi s cov

Pn

i=1

Pn i X X mennyisgeket! i

i=1

i=1

i

III.7.48. Gyakorlat: Hrom szablyos kockval dobunk. Jellje Y a dobott rtkek sszegt. Adja meg EY -t s 2Y -t! III.7.49. Gyakorlat: Legyen X 2 N (0 1). Szmolja ki R (X X 3 )-t! III.7.50. Gyakorlat: Egy kalapban egy-egy cdulra fel vannak rva az 1 2 3 szmjegyek. Egyms utn, visszatevs nlkl kivesznk kt cdult. X az els, Y a msodik hzs eredmnye. Adja meg R (X Y )-t! Fggetlen-e X s Y ? III.7.51. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy ha X s Y azonos sz rs val sznsgi vltoz k, akkor X + Y s X ; Y korrellatlanok! III.7.52. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 N (0 1) fggetlenek! V = X +Y s W = X ; Y + 1. Adja meg a (V W )T vektor kovarianciamtrixt! III.7.53. Gyakorlat: Legyenek X Y fggetlen val sznsgi vltoz k, ahol EX = 4 EY = 0 2X = 1 2Y = 2: Hatrozza meg az albbi mennyisgeket: E (5X ; 6Y ) EXY 2 (5X ; 6Y + 8) cov (5X 6Y )! III.7.54. Gyakorlat: Ultizsnl a 32 lapos magyar krtyb l kettt talonba osztanak. Jellje X a talonba kerlt piros szn lapok, Y pedig az szok szmt! Szmolja ki X s Y kovariancijt!

I.5


35

Megolds: Jelljk a kt pontnak a 0-t l vett tvolsgait rendre x-el s y-nal. Az (x y) pr ilyenkor egy pontot hatroz meg az egysgngyzetben, ami teht most is a vletlen ksrlethez tartoz esemnytr. A hromszg szerkesztshez a keletkez hrom szakasz a b c hosszainak ki kell elgtenie egyidejleg az a + b c, a + c b s b + c a egyenltlensgeket. Az x < y esetben a hrom szakasz az a = x b = y ; x s c = 1 ; y. $gy a hromszg szerkeszthetsge az albbi egyenltlensgek egyidej fennllst kveteli meg x y-t l:

x + (y ; x) 1 ; y () y 05 x + (1 ; y) y ; x () y x + 05 (y ; x) + (1 ; y) x () x 05: Az y x esetben a fenti egyenltlensgeknek a x 05 x;05 y s y 0:5 rendszer fog megfelelni. A kt kritriumrendszerhez tartoz tartomnyt bestttettk az egysgngyzetben:

$gy a keresett val sznsg 025 lesz.

I.5.33. Feladat: Egy szobban egymst l d tvolsgban prhuzamosan padl rsek futnak. Leejtve egy s < d tmrj pnzdarabot, mennyi a val sznsge, hogy a pnz ppen egy padl deszka belsejbe esik, azaz nem metszi a padl rst?

34


III.7


135

III.7.55. Gyakorlat: Bizonytsa be, hogy ha EX = EX 3 = 0, akkor X

s Y korrellatlanok!

A bestttett tartomny terlete megegyezik a keresett val sznsggel, mivel az egysgngyzet terlete 1. R1 $gy P (van val s gyk ) = x2 dx = 13 : 0

I.5.31. Feladat: Vlasszunk ki egy pontot vletlenszeren az egysgngyzetben, melynek koordintit jellje (a b). Mekkora a val sznsge annak, hogy a pont kzelebb van a ngyzet egy oldalhoz, mint egy tl jhoz? Megolds: Egymst metsz egyenesektl egyenl tvolsgra fekv pontok mrtani helye az egyenesek szgnek felez egyenese. Az oldalegyenesek s az tl egyeneseinek szgfelezi az oldalegyenesekkel 225 -os szget zrnak be. A vizsglt esemny pontjai ezrt az oldalak s a szgfelezk ltal hatrolt tartomnyba esnek:

Az brn jellt magassgvonal m = 21 tg 225 : A bestttett terlet most is a keresett val sznsggel egyezik meg: p P (a pont kzelebb van az oldalhoz ) = T = 4 m21 = tg 225 = 2 ; 1:

I.5.32. Feladat: Az egysgintervallumban vletlenszeren kijellve kt pontot, mekkora a val sznsge, hogy a keletkez hrom szakaszb l hromszg szerkeszthet?

III.7.56. Gyakorlat: Az X s Y egyttes srsgfggvnye: fXY (x y) = 10x2y 0 y x 1: Hatrozza meg adott X = x felttel esetn az Y feltteles srsgfggvnyt! III.7.57. Gyakorlat: Legyen az X s Y val sznsgi vltoz k egyttes srsgfggvnye fXY (x y) = 125 (x2 ; xy + y2) ha 0 x 1 0 y 1 egybknt fXY (x y) = 0: Szmolja ki az fX jY (x j y) feltteles srsgfggvnyt! Szmolja ki a kovarianciamtrixot! Szmolja ki az E (X j Y = y) regresszi s fggvnyt! III.7.58. Gyakorlat: Egy ktdimenzi s val sznsgi vltoz els koordintjnak srsgfggvnye fX (x) = 2x (0 < x < 1) : Ha az els koordinta x, akkor ilyen felttel mellett a msodik koordinta (Y ) 1 + x paramter exponencilis eloszlst kvet. Hatrozza meg annak a val sznsgt, hogy a kt koordinta sszege kisebb mint 1! III.7.59. Gyakorlat: Dobjunk n-szer egy szablyos dob kockval. Jellje X a hatosok szmt, Y pedig a pros dobsok szmt! Szmolja ki az E (Y j X ) regresszi t! III.7.60. Gyakorlat: Legyen az X Y egyttes srsgfggvnye fXY (x y) = 2d1 2 exp ; x2sd+2y2 x y 2 R: Hatrozza meg Z = max fjX j jY jg srsgfggvnyt! III.7.61. Gyakorlat: Legyenek X Y 2 N (0 1) fggetlen val sznsgi vltoz k egy skbeli vektor komponensei: V = (X Y )T : Adja meg a vektor hossznak az eloszlsfggvnyt! III.7.62. Gyakorlat: Legyen (X Y )T 2 N2 00 01 5 01 5 : Adja meg azt a lineris transzformci t, melynek eredmnyekpp a komponensek fggetlen standard normlis eloszlsak lesznek! III.7.63. Gyakorlat: X s Y egyttes eloszlsa normlis, ktdimenzi s = (1 2)T vrhat rtk-vektorral s = 11 12 kovarianciamt21 22 rixszal. Fejezze ki az E (Y j X ) regresszi t komponensei s X segtsgvel!

136


I.5


33

be, ha 0 y 2s sin , vagy ha (d ; y) s2 sin teljesl. A feltteleknek megfelel (y ) pontprok tartomnyt az albbi brn besatroztuk:

R

A stttett terlet nagysga T = 2 2s sin d = s ; cos ]0 = 2s a 0 tglalap terlete pedig d. 2s . $gy a keresett val sznsg: P (a t metszi a padl rst ) = d Megjegyzs : Mivel a val sznsg kapcsolatos -vel, lehetsg van statisztikus eszkzkkel a becslsre. Ha nagyon sokszor vgrehajtjuk a vletlen ksrletet, s szmoljuk a metszsek bekvetkezst, azaz a vizsglt esemny gyakorisgt, akkor ezt a ksrletek szmval elosztva (relatv gyakorisg) a fenti val sznsget j l lehet kzelteni. Ebbl -t kifejezve kapjuk a kzeltst. 1885-ben Stephan Smith angol matematikus 3200-szer vgrehajtva a ksrletet, -re 31553 -t kapott.

I.5.30. Feladat: Vlasszunk ki egy pontot vletlenszeren az egysgngyzetben, melynek koordintit jellje (a b). Tekintve a p(x) = ax2 ; 2bx +1 polinomot, mekkora a val sznsge annak, hogy a p(x) = 0 egyenletnek van val s gyke? Megolds: Egy polinomnak akkor van val s gyke, ha a diszkriminnsa pozitv, azaz D = 4b2 ; 4a 0: Innen kvetkezik, hogy a vletlenszeren kivlasztott pont koordinti kztt fenn kell llnia a b2 a relci nak. Ennek megfelel tartomnyt az egysgngyzetben bestttettk:

32



R

08 02

016 dx + 02 = 042: x

I.5.29. Feladat: (A Buon-t problma, 1777.) Egy szobban egymst l d tvolsgban prhuzamosan padl rsek futnak. Leejtve egy s < d hosszsg tt, mekkora a val sznsge, hogy a t ppen egy padl rst fog metszeni? Megolds: A t helyzett egyrtelmen a felezpontjnak a fels padl rs-

tl vett y tvolsgval s a padl rsek irnyval bezrt szgvel jellemezzk. Azokkal a krlmnyekkel, hogy melyik kt rs ltal meghatrozott svba esik a kzppont, s hogy a prhuzamosokra merleges falt l milyen messze van a kzppont nem foglalkozunk, mert a t metszi a padl rst esemny bekvetkezsre ezek nincsenek hatssal.

IV. fejezet Val szn sgi trvnyek IV.1. Nevezetes egyenltlensgek IV.1.1. Ttel: (A Markov-egyenltlensg) Legyen Y 0 olyan val sznsgi vltoz , melynek ltezik a vrhat rtke: EY 0. Ekkor 8 > 0 esetn P(Y > ) E Y : Bizonyts :

Diszkrt P val sznsgiPvltoz esetben:

P

EY = yiP(Y = yi) yiP(Y = yi) P(Y = yi) = 8i yi >

yi >

= P(Y > ) ) llts. Folytonos val sznsgi vltoz esetben:1 1 1

R

R

R

EY = x fY (x) dx x fY (x) dx fY (x) dx = (1 ; FY ( )) = 0

= P(Y > ) ) llts. Megjegyzs :

Nyilvn 0 y d s 0 . A t leejtse utn y s egyrtelmen meghatrozhat , vagyis a vletlen ksrlet elemi esemnyei azon (y ) pontprok, melyek elemei a 0 d] s 0 ] intervallumok ltal meghatrozott tglalapnak. (Ez a tglalap az esemnytr). Metszs egyszerre csak egy padl rsnl kvetkezhet be, mert s < d. A metszs csak akkor kvetkezhet

a.) Az egyenltlensgben most akkor kapunk nem semmitmond lltst, ha EY . Klnben a Markov-egyenltlensg csak annyit jelentene, hogy egy val sznsg nem nagyobb, mint egy 1-nl nagyobb szm. . . Teht most > 0 nem azt sugallja & mint ltalban a matematikai ttelekben &, hogy tetszlegesen kicsi pozitv szm, hanem ppen ellenkezleg, most nagy. 137

138


b.) A Markov-egyenltlensget a kvetkez m don fogalmazhatjuk t, ha vgrehajtjuk a = EX helyettestst: 8 > 0 esetn P(Y > EY ) 1 : Innen viszont az olvashat le, hogy Y kicsi val sznsggel vehet csak fel a sajt vrhat rtknl sokkal nagyobb rtkeket, vagyis Y hajlamos a vrhat rtke kzelben felvenni rtkt. Pl. annak val sznsge, hogy egy nemnegatv val sznsgi vltoz a vrhat rtknek tszrsnl nagyobb rtket felvegyen, 0,2-nl kisebb. IV.1.2. Ttel: (A Csebisev-egyenltlensg) Legyen X olyan val sznsgi vltoz , amelynek vges a sz rsngyzete: 2X < 1. Ekkor minden " > 0 esetn P(jX ; EX j ") "22X . Bizonyts : Alkalmazzuk a Markov-egyenltlensget Y = (X ; EX )2 = "2 helyettestssel: X )2 = 2 X : P(jX ; EX j ") = P((X ; EX )2 "2) E(X ;E "2 "2 Megjegyzs :

a.) "-r l ugyanaz elmondhat , mint a Markov-egyenltlensg esetn -r l: " X esetben lesz csak nem-trivilis az egyenltlensg. b.) A Csebisev-egyenltlensg is tfogalmazhat , ha " = X : Minden > 0 esetn P(jX ; EX j X ) 12 . Vagyis a val sznsgi vltoz a vrhat rtke krl ingadozik, s annl kisebb mrtkben, minl kisebb a sz rsa. Pl. egy val sznsgi vltoz nem trhet el jobban a vrhat rtktl, mint a sz rsa hromszorosa, csak legfeljebb 19 011 val sznsggel.

IV.2. Valsznsgi vltozk sorozatainak konvergencii IV.2.1. Den ci: Legyenek X1 X2 : : : Xn : : : s X val sznsgi vltoz k az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Azt mondjuk, hogy a.) Az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgi vltoz -sorozatoegy valszn sggel n konvergl X -hez, ha az A = ! nlim X (!) = X (!) esemny egy val !1 n sznsg: P(A) = 1. 1v Jells : Xn ! X:

I.5


31

11) c: ((1152)) d: 1 ; ((5213)) : Megolds: a: ((1252)) b: ( 2()( 52 13 13) 13 13 51

13

39

50

39

I.5.25. Feladat: Legalbb hny szablyos pnzdarabot kell feldobni ahhoz, hogy 90%-nl nagyobb legyen a val sznsge annak, hogy van kzttk fej? Megolds: P (nem dobunk fejet ) = 1 ; 21n 0 9 ) n 4:

I.5.26. Feladat: Egy sz rakozott polgr elfelejtette bankkrtyjnak szemlyi azonost (PIN) k djt, csak abban biztos, hogy a ngy szmjegy kztt volt pontosan kt hrmas, s az els jegy biztosan nem a nulla volt. Ha tz msodpercenknt bet egy lehetsges varici t, akkor mennyi az eslye annak, hogy egy rn bell eltallja a helyes azonost szmot? Megolds: Az sszes lehetsges varici k szma: 389+392 = 459: Ennek betshez szksges id: 4590 msodperc. Egy rban 3600 msodperc van, gy a val sznsg: p = 360 459 0 71:

I.5.27. Feladat: Egy rmt n-szer feldobunk, a fej val sznsge p. Jelljk pn -nel annak val sznsgt, hogy az n dobs sorn pros szm fejet dobtunk. Mennyi pn ? Megolds:

pn = (1 ; p) pn;1 + p (1 ; pn;1 ) p0 = 1: pn = pn;1 (1 ; 2p) + p = pn;2 (1 ; 2p)2 + p (1 ; 2p) + p = nP ;1 = = p0 (1 ; 2p)n + p (1 ; 2p)i = 21 (1 + (1 ; 2p)n) : i=0 Ha az rme szablyos, pn = 05:

I.5.28. Feladat: Ha az egysgngyzetben vletlenszeren kivlasztunk egy P (x y) pontot, akkor mennyi a val sznsge, hogy az a tglalap, melynek az orig s P az ellenttes cscsai olyan lesz, hogy a kerlete kisebb 2-nl, a terlete pedig ugyanakkor kisebb lesz 016-nl? Megolds: most az egysgngyzet lesz, az krdses esemny pedig az brn besatrozott terletnek felel meg:

30

I. FEJEZET A Kolmogorov-fle valsznsgi mez Megolds:

;; ; ;

P(A) = P; (vagy kett, vagy hrom fejet dobunk ) = 32 + 33 12 3 = 05 ; 3 P(B ) = 32 12 = 38 P(C ) = P(nem hrom fejet dobunk ) = ; 3 7 1 1 ; P(hrom fejet dobunk ) = 1 ; 2 = 8 : I.5.21. Feladat: A 90=5 lott hzs eltt mennyi a val sznsge, hogy k = 1 2 3 4 5 tallatunk lesz? ; Megolds: Az sszes lehetsge lott hzsok szma n = 905 = 43949268, a kedvez esetek szma ;5;85, k = 1 tallatnl: 1 4 ; ; k = 2-nl ;52;853, k = 3-nl ; 53;852, k = 4-nl 54 851 , ; ; s vgl k = 5-nl 55 850 = 1:

I.5.22. Feladat: Egy urnban fehr s fekete goly k vannak, melyeket egyms utn visszatevs nlkl kihzunk. Az A vagy a B esemnynek nagyobb-e a val sznsge, ahol A: az els goly fehr , s B : az utols goly fehr ? Megolds: Ha N a goly k szma, ebbl K a fehrek, akkor

P (A) = K(N ;1)(NN! ;2)1 = NK s P (B ) = esemny ugyanolyan val sznsg.

(N ;1)(N ;2)1K N!

= KN , azaz a kt

I.5.23. Feladat: Ha n egyforma ldba elhelyeznk n egyforma goly t gy, hogy brmely ldba ugyanolyan val sznsggel tesszk brmelyik goly t, mennyi a val sznsge annak, hogy mindegyik ldban lesz goly ? Megolds: )sszes eset nn , a kedvez esetek szma pedig: n!.

I.5.24. Feladat: Egy csomag 52 lapos francia krtyb l 13 lapot tal-

lomra visszatevs nlkl kihzunk. Mennyi a val sznsge annak, hogy a. a tre" kirly a kihzott lapok kztt lesz? b. pontosan kt tre" lesz a leosztott lapok kzt? c. a tre" kirly s a tre" sz a kihzott lapok kzt van? d. van tre" a leosztott lapok kztt?

IV.2

Valsznsgi vltozk sorozatainak konvergencii

139

b.) Az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgivltoz -sorozat Lr -ben (vagy r-edik momentumban) tart X -hez, ha E (jXn ; X jr ) ! 0 (n ! 1): Lr Jells : Xn ! X: c.) Az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgivltoz -sorozat sztochasztikusan konvergl X -hez, ha 8" > 0 esetn P (f! jXn (!) ; X (!)j > "g) ! 0 (n ! 1): st Jells : Xn ! X: d.) Az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgivltoz -sorozat eloszlsban konvergl X -hez, ha nlim F (x) = FX (x) minden olyan x 2 R -ben, ahol FX (x) !1 Xn folytonos. e Jells : Xn ! X:

IV.2.1. Ttel: Az eloszlsban val konvergencib l nem kvetkezik sem az egy val sznsggel val , sem az Lr -ben val , sem a sztochasztikus konvergencia. Bizonyts : Lsd a IV.6.5. feladatot!

IV.2.2. Ttel: Ha Xn !st X akkor Xn !e X is, azaz a sztochasztikus konvergencib l kvetkezik az eloszlsban val konvergencia. Bizonyts : Lsd a IV.6.6. feladatot! L st IV.2.3. Ttel: Ha Xn ! X akkor Xn ! X is, azaz az L1-beli konver1

gencib l kvetkezik a sztochasztikus konvergencia, gy az eloszlsban val konvergencia is. Az llts megfordtsa ltalban nem igaz ! Bizonyts : Lsd a IV.6.7. feladatot! 1v st IV.2.4. Ttel: Ha Xn ! X , akkor Xn ! X is, de a megfordts l-

talban nem igaz.

Bizonyts : Lsd Rnyi 1] 327. oldal!

140


IV.2.1. Plda: (Gyengn igen, ersen nem konvergens valszn sgivltoz-sorozat)

0

ha x 2= k;n 1 nk ahol n 2 N tet1 ha x 2 k;n 1 nk

Legyen U 2 U (0 1) s fnk (x) = szleges, k = 1 2 : : : n: A val sznsgivltoz -sorozat denci ja: Xm = st fnk (U ) ahol m = n + k: Ekkor Xm ! X 0, hiszen tetszleges ; X , ahol " 2 (0 1) esetn P (jXm ; X j > ") = P U < n1 = n1 : Az egy val sznsggel val konvergencia viszont nem teljesl, mert az Xm ! 0 egyetlen U 2 (0 1) realizci ra sem igaz! Ugyanis tetszleges x 2 (0 1) esetn s minden n 2 Nre ltezik k, hogy fnk (x) = 1 legyen.) IV.2.5. Ttel: Az egy val sznsggel val konvergencia s az Lr -beli konvergencia kzl egyik sem kvetkezik a msikb l ltalnos esetben. Bizonyts : Lsd a IV.6.8. feladatot! Megjegyzs : sszegezve a fejezetben kimondott tteleket, a konvergencik kztti ersorrend: 3 1v Xn ! X7 5 ) Xn !st X ) Xn !e X: Lr Xn ! X

IV.3. A nagy szmok trvnyei A nagy szmok trvnyei azt a meggyelst tmasztjk al elmletileg is, hogy egy val sznsgi vltoz t sokszor meggyelve, az tlagrtk mindig kzel van az elmleti vrhat rtkhez. Az is igaz, hogy a meggyelsek nvekedtvel az eltrs cskken, azaz az tlagrtkek konverglnak is a vrhat rtkhez. A klnbz nagy szmok ttelei a meggyels-sorozat krlmnyeiben s a konvergencia tipusban trnek el egymst l. Ha a konvergencia sztochasztikus, gyenge trvnyrl, ha egy val sznsg, akkor ers alakr l beszlnk. IV.3.1. Ttel: (A nagy szmok ttelnek Csebisev-fle gyenge alakja) Legyenek az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgi vltoz k pronknt fggetlenek s azonos eloszlsak (azonos eloszlsfggvnnyel rendelkezk) az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Ltezzk a kzs = EXi vrhat rtkk s a kzs d2 = 2Xi sz rsngyzetk.

I.5

29


;3 Megolds: ; Az sszes eset n = 2611 kedvez esetek szma k = 1 + ; 3 2 = 50 (az azonos betk egyms kzti cserit le kell vonni). 2

;11 ; 2

2

I.5.17. Feladat: Egy szablyos rmvel n-szer dobva, mennyi a val sznsge, hogy a fejdobsok szma pratlan lesz? Megolds: A val sznsg ppen 05. Ugyanis, ha tekintnk egy olyan sorozatot, amelyben a fejek szma pratlan, akkor ha az els dobst kicserlnnk az ellenkezjre, olyan sorozatot kapunk, melyben a fejek szma mr pros lesz. Azaz a pros s a pratlan fejdobsos sorozatok kztt klcsnsen egy-egyrtelm lekpezs hozhat ltre, vagyis mindegyikk ugyanolyan val szn.

I.5.18. Feladat: Egy szablyos rmvel n-szer dobva, mennyi a val sznsge, hogy a. elszr az n-edikre jn fej? b. ugyanannyi fejet dobunk, mint rst? c. pontosan kt fejet dobunk? d. legalbb kt fejet dobunk?

; ; ; a: 21 n, b: 0, ha n pratlan s nn 12 n , ha n pros, ;n;Megolds: ; ; n n n 1 , d: 1 ; 1 ; n 1 . 2

2

2

2

c:

2

I.5.19. Feladat: Egy kalapban hrom cdula van, amelyekre az 1 2 3 szmjegyek vannak felrva. Vletlenszeren egyesvel kihzzuk a cdulkat. Mennyi a val sznsge annak, hogy a hzskor lesz olyan cdula, amelyikre ppen az a szm van felrva, ahnyadikknt kihztuk azt? Megolds: Az sszes eset n = 3! = 6. Ezek kztt a nem kedvez eset csak kett van: 2 3 1 s 3 1 2. A keresett val sznsg: 2=3.

I.5.20. Feladat: Feldobunk hrom szablyos pnzrmt. Mennyi a val sznsge az A B C esemnyeknek, ahol A: legalbb kt rmvel fejet dobunk , B : pontosan kt rmvel fejet dobunk , C : legfeljebb kt rmvel fejet dobunk ?

28


az n-edik hzs utn a-szor hztuk ki a fekete, s b-szer a fehr goly t? (a + b = n). Megolds: Pl. annak az esemnynek a val sznsge, hogy az els a hzskor mindig fekete s az utols b hzskor pedig csupa fehr goly t foc)(r+3c)(r+(a;1)c)s(s+c)(s+2c)(s+(b;1)c) . gunk hzni: r(r+c()(r+r+2 s)(r+s+c)(r+s+2c)(r+s+3c)(r+s+(n;1)c) De minden ms olyan hzssorozatnak, ahol a-szor hztuk ki a fekete, s b-szer a;fehr goly t is ugyanekkora a val sznsge. A klnbz kimenetelek n szma a keresett val sznsg: ;n r(r+c)(ar+2 gy c)(r+3c)(r+(a;1)c)s(s+c)(s+2c)(s+(b;1)c) . a (r+s)(r+s+c)(r+s+2c)(r+s+3c)(r+s+(n;1)c)

I.5.14. Feladat: Ha egy szablyos pnzrmt n-szer feldobunk, mennyi a val sznsge, hogy k-val tbbszr fogunk fejet kapni, mint rst? (0 k n).

IV.3

141

A nagy szmok t rvnyei

st Ekkor a Zn = X1+X2n++Xn val sznsgivltoz -sorozatra Zn ! , vagyis

8" > 0 esetn P(jZn ; j ") ! 0 (n ! 1):

Bizonyts :

EZn = E

; X +X ++Xn = 1 Pn EX 1

2

n

n

i=1

i

= n1 n = .

A pronknti miatt: fggetlensg Pn Pn 2Zn = 2 n1 Xi = n12 2Xi = n12 n d2 = dn2 : i=1 i=1 Lthat teht, hogy Zn minden indexre teljesti a Csebisev-egyenltlensg felttelt, gy: P(jZn ; EZn j ") = P(jZn ; j ") 2"Z2 n = = nd"22 ! 0 (n ! 1), ami mr igazolja az lltst.

Megolds: Ha a fejdobsok szmt f , az rsokt i jelli, fenn kell llnia, hogy f + i = n s f ; i = k. Innen kvetkezik, hogy 2f = n + k s 2i = n ; k, vagyis n s k paritsnak meg kell egyeznie. Annak val sznsge, ; ; ; hogy ; egy n hosszsg dobssorozatban ppen f fejet dobunk nf 12 n = nn+2 k 12 n : ; n Ugyanis,; minden n hosszsg sorozat egyformn 21 val sznsg, s ezek kztt nf olyan klnbz dobssorozat lehet, ahol a fejek szma ppen f (kedvez esetek).

IV.3.2. Ttel: (A nagy szmok ttelnek Bernoulli-fle gyenge alakja) Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez, A 2 = egy pozitv val sznsg esemny: p = P(A) > 0: Hajtsunk vgre egy vgtelen ksrletsorozatot, vagyis gyeljk meg az A bekvetkezseit az 1 2 : : : n : : : -edik vgrehajtskor! Legyen Xi 2 I (A) vagyis az i-edik vgrehajtskor a meggyelt A esemny indiktor val sznsgi vltoz ja. Xi -k teljesen fggetlenek s azonos eloszlsak: p0 = P(Xi = 0) = P(A) = q p1 = P(Xi = 1) = P(A) = p EXi = p 2Xi = pq: Legyen Zn = X1 +X2n++Xn = rn(A) a st relatv gyakorisg. Ekkor rn(A) ! p azaz 8" > 0 esetn P(jrn(A) ; pj ") ! 0 (n ! 1):

I.5.15. Feladat: Egy minden oldaln befestett fakockt a lapokkal prhuzamos skokban 1000 azonos mret kis kockra frszelnek szt. A kapott kis kockkb l vletlenszeren kivlasztunk egyet. Mennyi a val sznsge, hogy a kocknak ppen k oldala festett? (0 k 3).

Bizonyts : A ttel specilis esete a IV.3.1 ttelnek. Ekkor a Csebisev-egyenltlensgnek a P(jZn ; EZn j ") = P(jrn(A) ; pj ") 2"Z2 n = npq"2 4n1"2 ! 0 (n ! 1) felel meg, mert p q 14 mindig teljesl.

Megolds: )sszes eset n = 1000. Kedvez esetek k = 0-nl 83 ( a bels 8 8 8 kisngyzetben lv mindegyik rszkocka j ), k = 1-nl 6 64 (mindegyik lapon a bels 8 8-as ngyzethez tartoz an), k = 2-nl 12 8 (minden len van 8 ilyen kocka) s vgl k = 3-nl 8 (a cscsok nl lehet ilyen eset).

Megjegyzs : A ttel azt mondja ki, hogy a relatv gyakorisg j l kzelti az esemny elmleti val sznsgt, ahogyan azt mr a I.1.2 axi mk utn tett megjegyzsnkben elre jeleztk.

I.5.16. Feladat: Egy kalapban az angol ABC 26 betje van. Visszat-

evssel 11-szer hzva, a kihzott betket sorban egy paprra felrva, mennyi a val sznsge, hogy a kapott sz b l legfeljebb kt bett felcserlve ppen a STATISZTIKA sz jn ki?

IV.3.3. Ttel: (A nagy szmok ttelnek Kolmogorov-fle ers alakja) Legyenek az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgi vltoz k teljesen fggetlenek az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Ltezzk a kzs = EXi P1 vrhat rtkk s a sz rsngyzetkre teljesljk a 2Xi i12 < 1 felttel. i=1

142


1v vagyis Ekkor a Zn = X1 +X2n++Xn val sznsgivltoz -sorozatra Zn ! P(nlim Z = ) = 1 : n !1

Megjegyzs : A felttelrendszerben ersebb fggetlensget tteleztnk fel, de az azonos eloszlst nem 1 P1 tettk fel, csupn annak egy szksges felttelt, P hiszen 2Xi i12 = di22 < 1: Az llts viszont a IV.2.4 ttel szerint i=1 i=1 ersebb, mint a IV.3.1 ttel volt. Bizonyts: Lsd Rnyi 1] 328333. oldal.

IV.4. A karakterisztikus fggvny

IV.4.1. Den ci: A Z = X + i Y komplex rtk val sznsgi vltoz vrhat rtkn az EZ = EX + i EY komplex szmot rtjk. IV.4.2. Den ci: Az X val sznsgi vltoz karakterisztikus fggv-

ny n a 'X (t) = EeiXt (t 2 R) fggvnyt rtjk.

Megjegyzs : Mivel eiXt = cos(Xt) + i sin(Xt) ) 'X (t) = E cos(Xt) + i E sin( P Xt): P Diszkrt esetben: 'X (t) = cos(xj t) P(X = xj )+ i sin(xj t) P(X = xj ) 8j

8j

R

R

+1

+1

folytonos esetben: 'X (t) = cos(xt) fX (x) dx + i sin(xt) fX (x) dx. ;1 ;1 Lthat , hogy a karakterisztikus fggvny a srsgfggvny Fourier -transzformltja.

IV.4.1. Ttel: (A karakterisztikus fggvny tulajdonsgai) a.) j'X (t)j 1 s 'X (0) = 1: b.) 'X egyenletesen folytonos R-en. c.) 'X pozitv szemidenit fggvny, azaz 8n 8t1 t2 : : : tn 2 R s Pn Pn ' (t ; t ) z z 0 : 8z1 z2 : : : zn komplex szmokra X k l k l k=1 l=1

d.) 'X (;t) = 'X (t):

I.5


27

I.5.11. Feladat: (De Mr lovag feladvnya) Melyik esemnynek nagyobb a val sznsge: hogy egy kockval ngyszer dobva legalbb egyszer hatost dobunk (A), vagy annak, hogy kt kockval huszonngyszer dobva legalbb egyszer kt hatosunk lesz (B )? Megolds: Kt klnbz val sznsgi mezrl van sz . Az elsben egy szablyos kockval ngyszer dobunk. Az sszes elemi esemnyek szma n =64: A vizsglt A esemny ellentettje az az esemny, hogy egyszer sem dobunk hatost . ;Ilyen eset sszesen 54 lehet, vagyis az ellentett esemny ; ; val szn5 4 sge: P A = 6 : $gy az A esemny val sznsge: 1 ; 65 4 05177472: A msodik vizsglt esemny egy egszen ms ksrlethez s esemnytrhez tartozik. Most a vletlen ksrlet az, hogy kt szablyos kockval dobunk 24szer. Az sszes elemi esemny most sokkal tbb: 3624. A msodik esemny ellentettje most az, hogy a dobssorozatban egyszer sem dobunk dupln ; 35 24. A msodik hatost . Ennek a val sznsge esemny val sznsge gy 36 ; P(B ) = 1 ; 3536 24 04914049: : : Lthat , hogy az A esemny val sznsge a nagyobb. Megjegyzs : A feladatot De Mr lovag adta fel Blaise Pascal francia matematikusnak, aki ezen feladat kapcsn elkezdett vizsgl dsai nyomn jutott el a val sznsgszmts els komoly eredmnyeihez. A feladatban egybknt els pillantsra az tnik fel, hogy mindkt esemny esetben a dobsok szmnak s a lehetsges kimenetelek szmnak arnya azonos: Anl 4 : 6, a B -nl 24 : 36.

I.5.12. Feladat: Egy urnb l, ahol fehr s fekete goly k vannak, vletlenszeren kivesznk visszatevssel kt goly t. Bizonytsuk be, hogy annak a val sznsge, hogy a goly k ugyanolyan sznek, nem lehet kisebb mint 05. Megolds: Legyen a fehr goly k szma n, a feketk m (n m 1). Ekkor a vletlen ksrlet elemi esemnyeinek szma 2(n +2 m)2 a kedvez esetek pedig n2 + m2: A keresett val sznsg: p = (nn++mm)2 . Mivel (n ; m)2 0 ) 2n2 + 2m2 n2 + 2nm + m2 ) p 05.

I.5.13. Feladat: (Plya-fle urnamodell) Egy urna r darab fekete s s darab fehr goly t tartalmaz. Vletlenszeren kihzunk egy goly t. A kihzott goly t s mg plusz c darab ugyanolyan szn goly t visszatesznk az urnba. Mennyi a val sznsge annak, hogy

26


IV.4

143

A karakterisztikus fggvny

Yp

b. AB c. A + C ?

e.) Ha X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek, akkor 'X1+X2 ++Xp (t) =

Megolds: a. s b. a C esemnyt jelenti, c. B azaz nem a stttel jtsz jtkos nyer.

f.) Ha X els n momentuma ltezik, akkor 'X n-szer di"erencilhat s (k ) Pn 'X (t) = k k(i!t)k + o(tn ) valamint k = EX k = 'Xik(0) :

I.5.6. Feladat: Egy cltbla tz koncentrikus krbl ll, s a sugarakra

fennll az R1 < R2 < < R10 relci . Ak azt az esemnyt jelenti, hogy egy lvs az Rk sugar krbe esik. Fogalmazzuk meg szavakban, mit jelentenek az albbi esemnyek: B = A1 + A3 + A6 C = A2A4A6A8 D = (A1 + A3) A6! Megolds: B = A6 C = A2 D = A3:

I.5.7. Feladat: Tegyk fel, hogy;A B12 val sznsg esemnyek. Mu-

tassuk meg, hogy ekkor P (AB ) = P AB ! Megolds:

A B = A + B ) P;(A + B) = P (A);+ P(B ) ; P (AB ) = 1 ; P (AB ) P (A + B ) = 1 ; P A + B = 1 ; P AB ) llts. ; + AB = P (A) + P (B ) ; I.5.8. Feladat: Bizonytsa be, hogy P AB 2P (AB )! ; + AB = P ;AB + P ;AB = P (A) ; P (AB ) + Megolds: P AB P (B ) ; P (AB ). I.5.9. Feladat: Ha az A s B esemnyek kzl az egyik felttlenl bekvetkezik, P (A j B ) = 32 P (B j A) = 31 , mennyi a P(A) s P(B ) val sznsg? Megolds: P(A + B ) = 1 P(AB ) = 32 P(B ) = 31 P(A), gy 1 = P(A+B ) = P(A)+P(B );P(AB ) = P(A)+0 5P(A); 31 P(A) = 67 P(A), azaz P(A) = 76 s P(B ) = 73 : I.5.10. Feladat: Legyen P(A) = 32 P (A j B ) = 23 P (B j A) = 31 : Hatrozza meg a P(A + B ) s P(A j B ) val sznsgeket! Megolds: P(AB ) = P(A)P(B jA) = 2=9 P(B ) = P(AB )=P(AjB ) = 1=3, gy P(A + B ) = 2=3 + 1=3 ; 2=9 = 7=9. P(A j B ) = P(AB )=P(B ) = (1 ; P(A + B )) = (1 ; P(B )) = 13 :

j =1

'Xj (t) :

k=0

g.) Minden eloszlst egyrtelmen meghatroz a karakterisztikus fggvnye. +R1 Ha X folytonos, akkor fX (x) = 21 'X (t) e;itx dx (x 2 R): (In;1 verzi s formula). Bizonyts :

a.) j'X (t)j E( eiXt ) = E(1) = 1 'X (0) = E(e0) =E (1) = 1:

R

+1

b.) Legyen " > 0 tetszleges. Mivel fX (x) dx = 1 ) 9A" : ;1 R f (x) dx < " : Fel fogjuk hasznlni, hogy X 4

jxj>A" jeixt1 ; eixt2 j < jx t1 ; x t2 j s jeixt1 ; eixt2 j < 2: +1 j'X (t1 ) ; 'X (t2)j = (eixt1 ; eixt2 ) fX (x) dx ;1 +1 +A" jeixt1 ; eixt2 j fX (x) dx = jeixt1 ; eixt2 j fX (x) dx+ ;1 ;A" jeixt1 ; eixt2 j fX (x) dx jxj>A" +A" fX (x) dx A" jt1 ; t2j +2 4" jeixt1 ; eixt2 j fX (x) dx +2 ;A" jxj>A" ha jt1 ; t2j < 2A" " :

R

R

R

R

R

R

n

2! n P n P P i t X

k c.) 'X (tk ; tl)zk zl = E e zk

0: k=1 l=1 k=1 ; d.) ' (;t) = E eiX (;t) = E (cos(;Xt)) + i E (sin(;Xt)) = X

= E (cos(Xt)) ; i E (sin(Xt)) = 'X (t).

< ",

144


e.) Felhasznljuk, ! hogy ha X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlenek, akkor

E

Y p

i=1

Xi =

'X1+X2 ++Xp =

Y p

EXi.

Yp ! ; i ( X + X + + X ) t i X t p k (t) = E e =E e = i=1

1

2

k=1

Y ; iXkt Y E e = 'Xj (t): p

p

k=1

j =1

f.) 'X (t) =

R

+1

eixt fX (x) dx '0X (t) =

;1 +1

R ixeixt f (x) dx : : : X

+1

;1

R (ix)k eixt f (x) dx. X ;1 + 1 R $gy '(k)(0) = ik xk f (x) dx = ik : '(Xk) (t) = X

;1

X

k

A Taylor-formulb l a t0 = 0 helyen: 'X (t) =

P

n k = k (ki!t) + k=0

o(tn ).

Pn 'Xk (0) tk +o (tn) = ( )

k=0

k!

g.) Az lltst nem bizonytjuk. IV.4.1. Plda: (A standard normlis eloszls karakterisztikus fggvnye) Ha X 2 N (0 1), akkor fX (x) = '(x) = p12 e; x2 , s gy a Fourier-transzformltra: 2

I.5


25

; Megolds: P AB = 1 ; P (A + B ) = 1 ; P (A) ; P (B )+ P (AB ) = 0 63

I.5.2. Feladat: Mennyi P ;A j B ha P(A) = 0 6 P(B ) = 0 5 s P(A +

B ) = 0 8?

;

);P(AB ) = P(A+B );P(B ) = 0 6: Megolds: P A j B = PP((ABB)) = P(A1;P (B ) 1;P(B )

I.5.3. Feladat: Egy fekete s fehr goly kat tartalmaz urnb l kihzunk n db goly t. Aijelentse azt az esemnyt, hogy az i-ediknek kihzott goly fehr. (1 i n ). Fejezzk ki az Ai esemnyek segtsgvel az albbi esemnyeket: A : Mindegyik goly fehr , B : Legalbb egy goly fehr , C : Pontosan egy goly fehr , D : Mindegyik goly ugyanolyan szn . Megolds:

A = A1A2 An B = An1 + A2 + + An P Q C = Ai Aj D=

i=1 n

i6=j

Q A + Qn A .

i=1

i

i=1

i

A msodik integrl azrt 0, mert az integrandus pratlan fggvny. tszerint derivlva midkt oldalt: +1 +R1 2 R 0 'X (t) = ;x sin(xt) '(x) dx = sin(xt) (;x) p12 e; x2 dx =

I.5.4. Feladat: hogy tetszleges A B esemnyekre ; ; Bizonytsa ; ; be, 2 + ;P ;AB 2 025! (P (AB ))2 + P AB 2 + P AB ; ; + P ;AB = 1: Legyen P (AB ) = Megolds: P(AB )+ P AB ;+ P AB ; = z + 025 P ;AB = v + 025: Mivel x + 025 P AB = y + 025 P AB x + y + z + v = 0 ) (x + 025)2 + (y + 025)2 + (z + 025)2 + (v + 025)2 = x2 + y2 + z2 + v2 + x+y+2 z+v + 0 25 025:

= sin(xt) p12 e; x2 ; t cos(xt) p12 e; x2 dx = 0 ; t 'X (t) mivel a ;1 ;1 IV.1.1 ttel a.) pontja szerint 'X (0) = 1, a karakterisztikusfggvny kielgti az y0 = ;t y y(0) = 1 kezdetirtk-feladatot! A di"erencilegyenlet megoldsb l a standard normlis eloszls karak2 terisztikus fggvnyre: 'X (t) = e; t2 (t 2 R) :

I.5.5. Feladat: Ketten sakkoznak. Az A esemny akkor kvetkezik be, ha a vilgossal jtsz nyer, a B esemny akkor, ha a stttel jtsz msik, reminl pedig a C esemny kvetkezik be. Fogalmazzuk meg szavakban, mit jelentenek az albbi esemnyek: a. AB + AB

'X (t) =

h

R

+1

;1

;1

R cos(xt) '(x) dx + i

+1

;1

2

i+1

R

+1

R sin(xt) '(x) dx =

;1

+1

;1

2

cos(xt) '(x) dx:

24


P (A2 jA1 ) = PP(A(A1A)2) :

Lthat , hogy sszeszorzs s egyszersts utn az lltst kapjuk.

I.4.7. Ttel: (A teljes valszn sg ttele) Alkosson A1 A2 : : : An : : 1: 2 = teljes esemnyrendszert, vagyis P Ai Aj = ( i 6= j ) s Ai = . Tegyk fel tovbb, hogy P(Ai) > 0 i=1

minden i-re. Ekkor tetszleges B 2 = esemnyre P(B ) = Bizonyts :

P1

P1

1 P P(B jAi)P(Ai) :

i=1

P1

Mivel Ai = s B = B = B Ai = (AiB ) i=1 i=1 i=1 valamint (AiB ) (Aj B ) = a val sznsg -additivitsi tulajdonsgb l 1 1 P P P1 kvetkezik, hogy P(B ) = P( AiB ) = P(AiB ) = P(B jAi)P(Ai) : i=1

i=1

i=1

I.4.8. Ttel: (Bayes ttele) Alkosson A1 A2 : : : An : : :12 = teljes esmnyrendszert, vagyis P Ai Aj = ( i 6= j ) s Ai = : Tegyk fel tovbb, hogy P(Ai) > 0 i=1 minden i-re. Ekkor tetszleges B 2 = esemnyre, ahol P(B ) > 0 P(Ai jB ) = PP(BjAi)P(Ai) : 1

Bizonyts :

145

Centrlis hatreloszls ttelek

IV.4.2. Plda: (A karakterisztikus fggvny ltalnos normlis esetben)

1

j=1

IV.5

P(B jAj )P(Aj )

Legyen most X 2 N ( ). Ekkor a standardizltra X~ = X; 2 N (0 1) igaz, hiszen P (X~ < x) = P (X < x + ) = ( x + ) = (x) (ld. a ; II.5.6 ttelt.) $gy 'X (t) = E eiXt = E ei(X+)t = eit E eiX (t) = 2 t2 = e it; 2 , felhasznlva a IV.4.1 plda eredmnyt. IV.4.3. Plda: (A konvolci szmtsa normlis esetben) Ha X1 X2 : : : Xp teljesen fggetlen, normlis eloszls val sznsgi vltoz k, Xi 2 N (i i), akkor a IV.4.1 ttel e.) pontja szerint: ! p p Yp Yp P j2 t2 2 P 2 t 'X1+X2 ++Xp (t) = 'Xj (t) = exp ij t ; 2 = exp it j ; 2 j : j =1

j =1

j =1

A feltteles val sznsg denci jb l: P(Ai jB ) = A szmll helybe P(B jAi) P(Ai) -t rva, a nevez helybe pedig a teljes val sznsg ttelbl kapott formult helyettestve azonnal ad dik az llts.

I.5. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok

I.5.1. Feladat: A pr bagyrts sorn kt szempontb l vizsgljk a ksztermkeket. Az A esemny azt jelenti, hogy egy vletlenszeren kivlasztott mintadarab anyaghibs, a B pedig az az esemny, hogy a kivlasztott gyrtmny mrethibs. Tudjuk, hogy P(A) = 015 P(B ) = 03 s P(AB ) = 008. Mennyi annak a val sznsge, hogy valamelyik termk hibtlan?

j =1

j =1

IV.4.4. Plda: (Az exponencilis eloszls karakterisztikus fggvnye) Legyen most X 2 E (). R1 R1 'X (t) = eitx e;x dx = e(it;)x dx = it; e(it;)x 10 = it; : 0

0

IV.4.5. Plda: (Az egyenletes eloszls karakterisztikus fggvnye)

Rb

Ha X 2 U (a b]), akkor 'X (t) = eitx b;1a dx = b;1a eitx]ba = e(ibtb;;a)eiitat : a Ha specilisan a = ;b 'X (t) = ei tb2;beiti tb = sin(bbt) : IV.4.2. Ttel: (Helly-ttel) Legyen X s X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgi vltoz az ( = P) Kolmogorovfle val sznsgi mezn. Ekkor Xn !e X () 'Xn (t) ! 'X (t) egyenletesen. Bizonyts : A ttel bizonytsa megtallhat Rnyi 1] 272. oldaln.

P(Ai B ) : P(B )

j =1

j =1

Azaz teljesen fggetlen s normlis eloszlsok konvolci ja is normlis: Pp X 2 N ( Pp Pp 2). j j j

;

IV.5. Centrlis hatreloszls ttelek

IV.5.1. Ttel: (A centrlis hatreloszls ttel) Legyenek az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgi vltoz k pronknt fggetlenek

146


s azonos eloszlsak (azonos eloszlsfggvnnyel rendelkezk) az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezn. Ltezzk a kzs = EXi vrhat rtkk s a kzs 2 = 2Xi sz rsngyzetk. Ekkor a Zn = X1 +X2+pn+Xn ;n val sznsgivltoz -sorozathoz ltezik olyan Z 2 N (0 1), hogy Zn !e Z vagyis FZn (x) = P(Zn < x) = = P( X1 +X2+pn+Xn ;n < x) ! (x) (n ! 1) 8x 2 R: Bizonyts : A Helly-ttel alapjn (ld. IV.4.2 ttelt) azt fogjuk bizonytani, hogy Zn 'Zn2 karakterisztikus fggvnyeinek sorozata egyenletesen konvergl (t) = e; t2 -hz, a standard normlis eloszls karakterisztikus fggvnyhez. Mivel Xi-k azonos eloszlsak, gy kzs karakterisztikus fggvnyk van, melyet jelljnk 'Xi (t) = g(t) -vel. Ekkor az Xi ; val sznsgi vltoz k kzs karakterisztikus fggvnye:

(t) $ 'Xj ; (t) = e;it 'Xj (t) = e;it g(t): A fggetlensg miatt: 'Xi+X2 ++Xnh;n(t) =i n(t)]n : $gy 'Zn (t) = ' X1+X2+ n+Xn n (t) = pnt : Mivel E(Xi ; ) = 0 s E (Xi ; )2 = 2Xi = 2 a (t) els kt derivltja ltezik, s a IV.4.1 ttel miatt msodik tagig 0 krl Taylor-sorba fejthet:

(t) = 1 + iE(X1!i;) t + (i)2E(2!Xi;)2 t2 + o(t2)= 1 ; 22t2 + o(t2): n h in t2 $gy 'Zn (t) = pnt = 1 ; n2 + o nt22 : A tvltoz ; rgztse utn: o nt2 2 = o n1 = n1 o(1) vagyis h in 2 'Zn (t) = 1 ; n1 ( t22 + o(1)) ! e; t2 (n ! 1): hogy yn = t2 + o(1) ! t22 (n ! 1) s, hogy 1 ;Felhasznltuk, yn n ! ey , ha y ! y (n 2! 1). n n t2 ; 2 Vagyis 'Zn (t) ! e egyenletesen, azaz FZn (x) ! (x) (n ! 1) 8x 2 R: p

;

Megjegyzs : Az elz ttel rmutat a normlis eloszlsnak az elmletben jtszott fontos szerepnek okra: tetszleges eloszls val sznsgi vltoz k tlaga normlis eloszlst kvet. Teht, ha egy vletlen jelensget sok egyenknt nem jelents, fggetlen hats sszegeknt kapunk, akkor az j l kzelthet a normlis eloszlssal. Tipikusan ilyenek a mrsekbl szrmaz adatok: a Duna kzepes vzllsa, a napi kzphmrsklet stb. Az elekt-

I.4


23

Bizonyts : Az I.4.4 denci ban, amikor k = 2, ppen az I.4.3 denci t kapjuk. A megfordtsra ellenplda: K : Dobjunk egy szablyos kockval egyms utn ktszer. A: elsre pratlant dobunk ' B : msodikra pratlant dobunk ' C : a kt dobott szm sszege pratlan . P(A) = P(B ) = P(C ) = 12 , P(AB ) = P(AC ) = P(BC ) = 41 ) A B C pronknt fggetlenek. De! P(ABC ) = 0 6= P(A)P(B )P(C ) = 18 azaz teljesen nem fggetlenek A B s C . I.4.5. Ttel: Ha az A1 A2 : : : An 2 = esemnyek teljesen fggetlenek, akkor kzlk brmelyiket az ellentett esemnyre felcserlve, jra teljesen fggetlen rendszert kapunk. Bizonyts : Cserljk fel pl. A1-et A1-gyel. Ekkor a teljesen fggetlensg felttelrendszerben csak azokat az sszefggseket kell ellenrizni, amelyekben A1 szerepelt. Legyen egy ilyen pl. P(A1 Ai2 Aik ) ahol 1 < i2 < < ik n: Kihasznlva, hogy az eredeti rendszer teljesen fggetlen volt: P(A1 Ai2 Aik ) = P(A1 )P(Ai2 ) P(Aik ) = P(A1) P(Ai2 Ai3 Aik ) azaz A1 fggetlen a Ai2 Ai3 Aik szorzatesemnytl, gy a I.4.2 ttel miatt A1 is az. De ekkor P(A1 Ai2 Aik ) = P(A1) P(Ai2 Ai3 Aik ) = P(A1 )P(Ai2 ) P(Aik ) azaz teljesl A1 -re is a teljesen fggetlensghez szksges felbomls. I.4.6. Ttel: (Szorzsi szably) Legyenek az A1 A2 : : : An 2 = tetszleges esemnyek gy, hogy Yn P( Ai) > 0: Ekkor

nY

nY ;1 ! ;2 !

P Ai = P An

Ai P An;1

Ai P (A2 jA1 ) P (A1) : i=1 i=1 i=1 Bizonyts : nY;1 ! 0Y 1 n

nY

nY Ai ;2 ! P ;1 ! P@ Ai A

i=1 ! : : : i 1 P A A = P An

Ai = 0Y

n ; 1 i n nY ;2

i=1 i=1 PB @ Ai CA i=1Yn !

=1 ;1

i=1

P

i=1

Ai

22


I.4.2. Ttel: Ha az A B 2 = esemnyek fggetlenek, akkor a.) A s B b.) A s B c.) A s B is fggetlenek. Bizonyts :

a.) P(AB ) + P(AB ) = P(A) ) P(AB ) = P(A) ; P(AB ) = P(A) ; P(A)P(B ) = P(A)(1 ; P(B )) = P(A)P(B ) ) A B fggetlenek. ) + P(AB ) = P(B ) ) P(AB ) = P(B ) ; P(AB ) = b.) P(AB P(B ) ; P(A)P(B ) = P(B )(1 ; P(A)) = P(B )P(A) ) B A fggetlenek. c.) P(AB ) + P(AB ) = P(B ) ) P(AB ) = P(B ) ; P(AB ) = P(B ) ; P(A)P(B ) = P(B )(1 ; P(A)) = P(B )P(A) A fggetlenek. ) B

I.4.3. Ttel: Az s esemnyek minden A 2 = esemnytl fggetle-

nek.

Bizonyts : P(A) = P() = 0 = 0P(A) = P()P(A) ) s A fggetlenek. P( A) = P(A) = 1 P(A) = P( )P(A) ) s A fggetlenek.

IV.6

147


romos eloszt kzpontban is normlis eloszlsnak tekinthet a lakossgi fogyaszts, hiszen nagyon sok kisfogyaszt eredjeknt ll el. Lehet, hogy az egyes fogyaszt k kln-kln nem a normlis eloszls szerint fogyasztanak, de az tlagos fogyasztst a nagy szmok trvnye rtelmben biztosan tekinthetjk normlisnak modelljeinkben.

IV.5.2. Ttel: (A MoivreLaplace-ttel, 1733.) Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez, A 2 = egy pozitv val sznsg esemny: p = P(A) > 0: Hajtsunk vgre egy vgtelen ksrletsorozatot, vagyis gyeljk meg az A bekvetkezseit az 1 2 : : : n : : :-edik ksrletnl! Legyen Xi = 10 !! 22= A A vagyis az i-edik vgrehajtskor az esemny indiktor val sznsgi vltoz ja. Az Xi -k teljesen fggetlenek s azonos eloszlsak: p0 = P(Xi = 0) = P(A) = q p1 = P(Xi = 1) = P(A) = p EXi = p 2Xi = pq: X2 ++Xn ;np val sznsgivltoz -sorozathoz ltezik Ekkor a Zn = X1+p np(1;p) olyan Z 2 N (0 1), hogy Zn !e Z , vagyis FZn (x) = P(Zn < x) ! (x) (n ! 1) 8x 2 R: Bizonyts : A IV.5.1 ttel specilis esete, amikor az Xi 2 I (A) azaz indiktor eloszlsak. Radsul p FZn (x) = P(Zn < x) = P(n Sn < n p q x + n p) mivel rn(A) = Sn = X1;+X2n++Xn a relatv gyakorisg s n Sn 2 B (n p), gy P(n Sn = k) = nk pk qn;k , amibl P az ;eloszlsfggvnyre: npk q n;k = P ;npk q n;k : P(n Sn < pnpqx + np) = p k k k< npqx+np

k np <x npq

; p

I.4.3. Den ci: Az A1 A2 : : : An 2 = esemnyek pronknt fggetlenek, ha P(Ai Aj ) = P(Ai) P(Aj ) (8 i 6= j ):

Teht a ttel azt lltja, hogy P ;npk qn;k = (x) = p1 lim k 2 n!1

I.4.4. Den ci: Az A1 A2 : : : An 2 = esemnyek teljesen fggetlenek, ha 8 k 2 f2 3 : : : ng s 8 1 i1 < i2 < < ik n indexkombinci ra P(Ai1 Ai2 Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) P(Aik ).

IV.6. Kidolgozott feladatok s gyakorlatok

I.4.4. Ttel: Ha az A1 A2 : : : An 2 = esemnyek teljesen fggetlenek,

akkor pronknt is fggetlenek. Fordtva ltalban nem igaz.

k np <x npq

; p

Rx e; t dt (8x 2 R):

;1

2 2

IV.6.1. Feladat: Egy clpontra 200 lvst adnak le. A tallat val sznsge minden lvsnl 04. Milyen hatrok kz fog esni 90%-os val sznsggel a tallatok szma?

148


Megolds: Jelljk X -szel a tallatok szmt! A lvssorozat felfoghat egy n = 200 hosszsg ksrletsorozatnak, ahol a meggyelt esemny a clpont eltallsa. Ezrt binomilis eloszls n = 200 s p = 04 paramterekkel. $gy EX = np = 200 04 = 80 2X = npq = 200p 04 06 = 48: A Csebisevegyenltlensget palkalmazzuk ; erre ; az esetrep" = 10X vlasztssal: P ;jX ; EX j >p 10X =; P jXp; 80j > 480 p01, ahonnan P jX ; 80j 480 = P 80 ; 480 X 80 + 480 = = P (58 X 102) 09 ad dik, azaz a lvsek 58 s 101 kz fognak esni legalbb 90%-os val sznsggel.

IV.6.2. Feladat: Egy automata minsgvizsgl n = 100000 elem mintt ellenriz le egy gyrt soron ellltott szmt gpes alkatrsztmegbl. A vizsglat utn milyen val sznsggel llthatjuk, hogy a mintb l meghatrozott selejtarny a kszlet elmleti p selejtval sznsgtl legfeljebb 001-dal tr el? Megolds: X most a selejtes termkek szmt jellje a mintban! Ekkor a selejtarny a mintban 10X5 lesz. Nyilvn X 2 B (100000 p), ahol a p ismeretlen. EX = np = 105p 2X = npq = 105 pq. A Csebisev-egyenlsget most; " = 1000-rel P (jX ; 105 pj 1000) =

alkalmazzuk: = P 10X5 ; p 001 1 ; 10105pq6 39 40 0975. A levezetsben felhasznltuk, hogy pq = p ; p2 025.

IV.6.3. Feladat: Egy zemben csavarokat csomagolnak. Egy-egy do-

bozba tlagosan 5000 csavar kerl. A csavarok szmnak sz rsa a tapasztalat szerint 20 darab. Mit mondhatunk annak val sznsgrl, hogy egy dobozban a csavarok szma 4900 s 5100 kz esik, ha az eloszlst nem ismerjk? Megolds: Jellje X a csavarok szmt! Ekkor a Csebisev-egyenltlen400 096: sgbl: P (4900 X 5100) = P (jX ; 5000j 100) 1 ; 10000

IV.6.4. Feladat: Legyen X standard normlis eloszls val sznsgi vltoz ! A standard normlis eloszls tblzatnak hasznlata nlkl bizonytsa be, hogy ekkor fennll a P(;3 < X < 3) 1 ; p182 egyenltlensg! Megolds: A Markov-egyenltlensgbl: P (jX j > 3) amibl mr kvetkezik P (;3 < X < 3) 1 ; 23 p12 .

EjX j 3

=

2 1 3 p2 ,

I.4


21

a.) Mivel AB B , ezrt P(AB ) P(B ), teht kvetkezik az llts. b.) B B = B miatt PB (B ) = PP((BB)) = 1 s B = , teht PB () = PP((B)) = 0: c.) Mivel az A1 A2 : : : An : : : esemnyrendszer egymst kizr esemnyekbl ll, ezrt A1 B A2 B : : : An B : : : is egymst kizr esemnyekbl 1 P ll rendszer, gy a val sznsg -additivitsi tulajdonsgb l: P( (AiB )) =

P1 P(A B ). Mindkt oldalt osztva P(B )-vel mr ad dik az llts.i=1

i=1

i

Megjegyzs :

a.) Az elz ttel azt lltja, hogy ha B -t rgztjk, s =B $ fC C = A B A 2 =g, akkor a (B =B PB ) kielgti a Kolmogorov val sznsgi mez axi mit. b.) Vannak A B esemnyek, amelyekre P(A jB ) = P(A) teljesl, azaz A val sznsge nem vltozik meg, ha a B esemny bekvetkezst ismerjk' az A val szn(sge fggetlen a B bekvetkezstl.

I.4.2. Den ci: Legyenek A B 2 = teszleges esemnyek. Az A s B esemnyek fggetlenek, ha P(AB ) = P(A)P(B ) fennll. Megjegyzs :

a.) Ha az A B 2 = esemnyek fggetlenek s P(A)P(B ) > 0, akkor P(A jB ) = P(A) s P(B jA) = P(B ) is fennll, vagyis az egyik esemny bekvetkezsnek ismerete, nem befolysolja a msik esemny val sznsgt. b.) Nem szabad sszekeverni az egymst kizr esemnyek s a fggetlen esemnyek fogalmait! Ha kt esemny egymst kizrja, azaz AB = , akkor az egyik bekvetkezse igencsak meghatrozza a msik bekvetkezst: ha pl. A bekvetkezik, akkor B biztosan nem kvetkezik be. Fggetlen esemnyek esetn, ha az egyik esemny bekvetkezst ismerjk, nem vltozik meg a msik bekvetkezsi val sznsge. c.) Az esemnyek fggetlensgnek a fogalma klnbzik a zikai rtelemben vett fggetlensg fogalmt l is. A zikai fggetlensg azt jelenti, hogy az okozat nem kvetkezmnye az oknak, teht itt a fggetlensg nem szimmetrikus.

20


Hogyan vltozik (vltozna) az A esemny val sznsge, ha az A-val egyidejleg meggyelhet B esemny bekvetkezst ismerjk (ismernnk)? Tegyk fel, hogy a K ksrlettel vgrehajtottunk egy n hosszsg kisrletsorozatot. Az A esemnyt kA -szor, a B esemnyt kB -szer, az AB esemnyt pedig kAB -szer gyeltk meg. Ekkor a B esemny bekvetkezshez kpest az A esemny bekvetkezsnek relatv gyakorisga nyilvn rn(A jB ) = kkABB melyet az A esemnynek a B esemnyre vonatkoztatott relatv gyakorisgnak neveznk. Ez az arny az A bekvetkezsi eslyeit pontosabban tkrzi, ha a B bekvetkezsrl biztos tudomsunk van, mint az rn (A) = knA : A feltteles relatv gyakorisg tulajdonsgai nyilvn: a.) 0 rn (A jB ) 1 b.) rn(B jB ) = 1 c.) Ha A1 A2 : : : An : : : 2 = egymst kizr esemnyek, akkor 1 P1 P rn( Ai jB ) = rn(Ai jB ) : i=1

i=1

Az rn(A jB ) = kkABB = ) rn (A jB ) ! PP(AB (B ) :

kAB n kB n

) = rrnn((AB B ) trs utn, ha n ! 1 kapjuk, hogy

I.4.1. Den ci: Legyenek A B 2 = olyan esemnyek, hogy A tetszleges s P(B ) > 0: Akkor az A esemnynek a B -re vonatkoztatott feltteles ) valszn sg n a P(A jB ) = PP((AB B ) szmot rtjk. I.4.1. Ttel: Tekintsk az ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mezt. B 2 = P(B ) > 0 rgztett. Ekkor a PB (A) $ P(A jB ) feltteles val sznsgre teljeslnek az albbi tulajdonsgok: a.) 0 PB (A) 1 (8 A 2 =) b.) PB (B ) = 1 PB () = 0 c.) 8 A1 A2 : : : An : : : 2 = : Ai Aj = (i 6= j ) ) 1 1 PB (P Ai) = P PB (Ai): i=1

Bizonyts :

i=1

IV.6


149

IV.6.5. Feladat: Bizonytsuk be a IV.2.1. ttelt! Megolds: Egy ellenpldt fogunk adni, amely eloszlsban konvergl val sznsgivltoz -sorozat lesz, de a msik hrom rtelemben nem konvergl. Legyen A 2 = tetszleges P(A) = 12 esemny, legyen X 2 I (A) s Y 2 I (A) indiktor val sznsgi vltoz . Az X Y azonos eloszls, hiszen p0 = P(X = 0) = P(A) = 12 q0 = P(Y = 0) = P(A) = 21 p1 = P(X = 1) = P(A) = 12 q1 = P(Y = 1) = P(A) = 21 : Deniljuk a sorozatot gy, Xn X 8n-re. Ekkor nyilvn: 8 1hogy < 1 x > 1 FXn (x) = FX (x) = FY (x) = : 2 0 < x 1 : 0 x 0 Mivel FXn (x) FY (x) ezrt Xn !e Y , de jXn ; Y j 1 miatt a msik hrom rtelemben nem konverglhat Xn az Y -hoz.

IV.6.6. Feladat: Bizonytsa be a IV.2.2. ttelt! Megolds: Konvergljon az X1 X2 : : : Xn : : : val sznsgivltoz -sorozat sztochasztikusan X -hez, azaz 8" > 0 esetn P (f! jXn (!) ; X (!)j > "g) ! 0 (n ! 1): Legyen " > 0 tetszleges! FXn (x) = P(Xn < x) = P(Xn < x X < x + ") + P(Xn < x X x + ") P(X < x + ") + P(X > Xn + ") P(X < x + ") + P(jXn ; X j > ") = FX (x + ") + P(jXn ; X j > "): Msrszt: FX (x;") = P(X < x;") = P(Xn < x X < x;")+P(Xn x X < x;") P(Xn < x) + P(X < Xn ; ") FXn (x) + P(jXn ; X j > "). A kt egyenltlensgbl: FX (x ; ") ; P(jXn ; X j > ") FXn (x) FX (x + ") + P(jXn ; X j > "). A fenti egyenltlensgben n ! 1 hatrtmenetet kpezve: FX (x ; ") lim inf FXn (x) lim sup FXn (x) FX (x + "): Ha x folytonossgi ponja FX (x) -nek, akkor "lim F (x ; ") = "lim F (x + ") = !0 X !0 X FX (x). $gy 9 nlim F (x) s = FX (x): !1 Xn

IV.6.7. Feladat: Bizonytsa be a IV.2.3. ttelt! Megolds : Ehhez az lltshoz a Markov -egyenltlensget fogjuk felhasznlni. Legyen X 0 olyan val sznsgi vltoz , melynek ltezik a vrhat

150


rtke: EX 0. Ekkor 8" > 0 esetn P(X > ") E"X : Legyen " > 0 tetszleges, ekkor P(jXn ; X j > ") EjXn";X j ! 0 (n ! 1): Ellenplda arra, hogy a ttel nem megfordthat : Legyenek An 2 = olyan esemnyek, melyek val sznsgei P(An ) = n12 : A 3 n sorozat elemeinek denci ja: Xn (!) = n0 !! 22= A An : Megmutatjuk, hogy a sorozat br sztochasztikusan konvergl az X 0-hoz, de mr els momentumban nem. Lthat , hogy P(jXn ; X j > ") = P(Xn > ") = n12 , ha n > p31" , azaz st Xn ! X: De E (jXn ; X j) = EXn = n3 n12 = n ! 1 a momentumban val konvergencia nem igaz.

IV.6.8. Feladat: Bizonytsa be a IV.2.5. ttelt! 1v

L1 Megolds : Ellenplda arra, hogy Xn ! X de Xn 6 ! X: A IV.2.1 plda

itt is j , mert ha m = n + k: 1v L1 E (jXm ; X j) = EXm = n1 ! 0 ) Xn ! X de amint lttuk, Xn 6 ! X: L1 1v Ellenplda arra, hogy Xn ! X , de Xn 6 ! X . Legyenek An-ek olyan teljesen fggetlen esemnyek, P(An) = n12 : Legyen a sorozat elemeinek

n3 ahol n denci ja: Xn (!) = 0 !! 22= A A a hatr val sznsgi vltoz pedig n

L1

X 0: Mivel E (jXn ; X j) = EXn = n ! 1 ) Xn 6 ! X: Viszont 1v megmutathat , hogy Xn ! X:

IV.6.9. Feladat: Igazolja, hogy ha Xn !st X s Yn !st Y , akkor Xn + st

Yn ! X + Y !

Megolds: P (jXn + Yn ; (Y + X )j ") P (jXn ; X j " + jYn ; Y j ") P (jXn ; X j ") + P (jYn ; Y j ") ! 0: st IV.6.10. Feladat: Igazolja, hogy ha Xn !st X s Yn ! Y , akkor st

Xn Yn ! X Y !

Megolds: jXn Yn ; XY j = jXn Yn ; Xn Y + Xn Y ; XY j jXn ; X + X j jYn ; Y j + jY j jXn ; X j jXn ; X j jYn ; Y j + jX j jYn ; Y j +

I.4


19

Megjegyzs : Nyilvnval , hogy mind a gyakorisg, mind a relatv gyakorisg konkrt rtke fgg a vletlentl. A relatv gyakorisg rendelkezik az albbi tulajdonsgokkal: I.3.1. Ttel: Egy adott n-szeres ksrletsorozatnl a.) rn : = ! 0 1] b.) rn( ) = 1

P1

c.) Ha A1 A2 : : : An : : : egymst kizr esemnyek, akkor rn ( Ai) = i=1

1 P r (A ):

i=1

n

Megjegyzs : Az elz ttel azt lltja, hogy a relatv gyakorisg rendelkezik a val sznsg tulajdonsgaival. Ksbb ltni fogjuk azt is, hogy n nvekedtvel rn(A) ! P(A) is fennll. (Nagy szmok Bernoulli-fle trvnye). Ezt a trvnyszersget elszr tapasztalati ton fedeztk fel a XVII. szzadban, mikor meggyeltk, hogy a relatv gyakorisg egyre kisebb mrtkben ingadozik egy 0 s 1 kz es szm krl. A klasszikus matematikusok ppen ez alapjn deniltk az esemnyek elmleti val sznsgt: az az rtk, amely krl a relatv gyakorisg ingadozik. A relatv gyakorisg teht alkalmas a val sznsg & mint zikai mennyisg & mrsre. Kolmogorov az axi miban a relatv gyakorisg a.)-c.) tulajdonsgait rktette t a val sznsgre, minthogy a hatrtmenet ezeket a tulajdonsgokat megtartja.

I.4. A feltteles valsznsg s az esemnyek fggetlensge

A K vletlen ksrlet elemi esemnyei szmunkra vletlenszeren kvetkeznek be, mgpedig azrt, mert a vgeredmnyt befolysol krlmnyek bonyolult komplexumt nem ismerjk pontosan. Viszont ismerjk az egyes esemnyek, elemi esemnyek bekvetkezsi eslyeit & a val sznsget &, vagy legalbbis tetszleges pontossggal mrhetjk ket. Ha viszont az A esemny bekvetkezsi krlmnyeirl tovbbi informci kat szerznk be, vagy bizonyos pontost felttelezssel lnk, megvltozhat az A bekvetkezsi eslye, nhet is, de cskkenhet is. Pl. a kockadobs ksrletnl, a 6-os dobs esemny val sznsge 0, ha tudjuk, hogy a dobott rtk pratlan szm, s 13 , ha tudjuk, hogy a dobott rtk pros volt.

i

18


geometriai alakzatot. Ilyenkor az esemnyrendszer a geometriai alakzat mrA) het rszhalmazait jelenti, s az A esemny val sznsgt a P(A) = (( ) m don szmtjuk, ahol a geometriai tr mrtkt jelli. Ha pl. intervallum, akkor hosszmrtk, ha skidom, akkor terletmrtk, ha test, akkor trfogatmrtk stb. Pldul, ha x s y kt vletlenl vlasztott 0 s 1 kz es szm, akkor mennyi annak a val sznsge, hogy x + y < 1 s xy < 016 lesz? most az egysgngyzet lesz, az krdses esemny pedig az albbi brn besatrozott terletnek felel meg:

IV.6

151


jY ;j jXn ; X j : Legyen " >0 tetszleges! P (jXn Yn; XY;j > ") ; P jXn ; X j;jYn ; Y j > 3" + P jX jjYn ;;Y j > 3" + P pjY j jXn ; X j > 3" : " " Tovbb: P jXpn ; X j jYn ; Y j > 3 P jXn ; X j > 3 + ; P jYn ; Y j > 3" ! 0: Msrszt, ha y > 0 tetszleges, ; P jX j jYn ; Y j > 3" P jYn ; Y j > 3"y + P (jX j > y) ! 0 ha n y ! 0: Ebbl mr kvetkezik, hogy P (jXn Yn ; XY j > ") ! 0:

IV.6.11. Feladat: Igazolja, hogy ha Xn !st a valamely a > 0 szmra, st

akkor X1n ! a1 is!

;

;

Megolds: P ;jXn ; aj a2 > 1 ;;P a2 < Xn : 8 > 0-hoz 9n0 : n > n0 esetnQ1 ; < P jXn ; a j < a2 < P a2 < Xn : A$ ! j Xn (!) > a2 s legyen " > 0 tetszleges!

n>nn 0


R

08 02

016 dx + 02 = 042: x

I.3. Ksrletsorozat, az esemnyek relatv gyakorisga I.3.1. Den ci: Tekintsnk egy K vletlen ksrletet, s jellje Kn azt

a ksrletet, amely a K n-szeres azonos krlmnyek kztti ismtelt vgrehajtsb l ll. Kn -t egy n-szereskisrletsorozat nak nevezzk. I.3.1. Plda: Amikor tzszer dobunk egy szablyos jtkkockval, a kockadobshoz tartoz tzszeres kisrletsorozatr l van sz . A lott hzsok sorozata tbb mint harminc ven t tart kisrletsorozatknt is felfoghat , gy az n ksrletszmra igaz az n > 1500: Ultizsnl minden jtk eltt az osztsnl vgrehajtjuk az I.1.1/b.) pldban emltett K ksrletet, azaz itt is kisrletsorozatr l van sz . I.3.2. Den ci: Ha egy n-szeres ksrletsorozatban az A esemny kA -szor kvetkezett be, akkor kA az A esemny gyakorisga, rn (A) = knA pedig a relatv gyakorisga.

o

P A

X1n ; a1

> " = P (A fjXn ; aj > jXn aj "g) P jXn ; aj > a22 " ! 0 (n ! 1) : Mivel P

X1n ; 1a

> " = ; P

X1n ; 1a

> " A +P

X1n ; 1a

> " A P jXn ; aj > a22 " +P A = P jXn ; aj > a22 " + : $gy lim sup P

X1n ; a1

> " , s mivel tetszleges volt, mr kvetkezik az llts.

IV.6.12. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos eloszls Pn Xi

st m val sznsg vltoz k, EXi = m 2Xi = d2: Igazolja, hogy iP=1 n 2 ! m2 +d2 ! X i=1 i

Megolds: A nagy szmok ttelbl kvetkezik, hogy

n 1 P X2

n

i=1

i

P

n st 1 n i=1 Xi !

m s

st ! m2 + d2: Felhasznlva az elz kt feladat eredmnyt, mr

kvetkezik az llts.

IV.6.13. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen,pazonos eloszls val sznsg vltoz k, EXi = m > 0: Tekintsk a Zn = n Y1Y2 : : : Yn val Pk 1v m! sznsgi vltoz t, ahol Yk = k1 Xi: Igazoljuk, hogy Zn ! i=1

152


1v Megolds: A nagy szmok ers ttelbl kvetkezik, hogy Yn ! m: Msrszt minfs1 s2 sng ppn s1s2 sn p maxfs1 s2 : : : sng gy ha sn ! ap, akkor a lim inf sn n s1s2 sn n s1s2 sn lim sup sn a azaz n s s s ! a: Ebbl mr kvetkezik az llts. 1 2

n

IV.6.14. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn fggetlen, azonos U (a b)

eloszls val sznsg vltoz k. Legyen Yne = minfX1e X2 : : : Xn g s Zn = maxfX1 X2 : : : Xn g: Igazoljuk, hogy Yn ! a s Zn ! b!

8 0 < Megolds: Az U (a b) eloszlsfggvnye: F (x) = : xb;;aa 1 8< 0 ha x a ; FZn (x) = P (Zn < x) = (F (x))n = : xb;;aa n ha x 2 (a b) 1 ha x b e

$gy P

P1

Ai = P

P 1 P 1 Pn P (C ) = Ci = P (Ci) = nlim i !1 i=1 i=1 i=1

17

i=1 n P = lim (P (Ai) ; P (Ai;1)) = lim (P (An) ; P (A0)) = lim P (An) : n!1 i=1

n!1

n!1

P1 b.) Legyen Bi = Ai, akkor B1 B2 Bn Bi: 1 P Mivel B i=1

ha x a ha x 2 (a b) : ha x a

x
) Zn ! b:

i

1 P1 B P = Ai, ezrt i i=1 i=1

=

1 Y i=1

i=1

Ai, teht alkalmazva az a.)

eredmnyt 1 P(P Bi ) = nlim P(Bn ) = nlim (1 ; P(An)) = 1 ; nlim P(An ) !1 !1 !1 i=1 1 Y

P1

i=1

i=1

P( Ai) = 1 ; P( Bi) = nlim P(An ): !1

I.2. Pldk valsznsgi mezkre

FYn8(x) = P (Yn < x) = 1 ; (1 ; F (x))n =

< ; 0 ha x a x < a ) Y !e a: = : 1 ; bb;;xa n ha x 2 (a b) ! 01 ha n ha xa 1 ha x b e

Pldk valsznsgi mezkre

I.2

I.2.1. Plda: A klasszikus valszn sgi mez, a diszkrt egyenletes elos-

zls st

IV.6.15. Feladat: Bizonytsuk be, hogy ha Xn ! c, akkor Xn ! c is! Megolds: A c konstans, mint val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye:

x 0 tetszleges. nlim P (jXn ; cj ") = !1 = 1 ; nlim P ( c ; " X c + ") = 1 ; nlim (F (c + ") ; FXn (c ; ")) = n !1 !1 Xn st = 1 ; F (c + ") + F (c ; ") = 0 ) Xn ! c:

IV.6.16. Feladat: Mutassunke pldt olyan Xn Yn sorozatokra, hogy Xn !e X s Yn !e Y , de Xn + Yn 6 ! X + Y ! Megolds: Legyen A 2 = olyan esemny, hogy P (A) = 21 : Legyen Xn =

Yn = I (A) vagyis az A esemny indiktor vltoz i. Kzs eloszlsfggvnyk:

Ekkor az esemnytr vges elemszm elemi esemny halmaza: = f!1 !2 : : : !n g, az = esemnyalgebra sszes rszhalmazainak rendszere, s mindegyik elemi esemny bekvetkezsnek egyforma a val sznsge: P(f!1g) = P(f!2g) = = P(f!n g). Mivel az sszes elemi esemnyek Pn rendszere teljes esemnyrendszert alkot, ezrt 1 = P( ) = P( f!i g) = i=1 n P(f!1g) ) pi = P(f!ig) = n1 8 i -re. P P $gy, ha A tetszleges esemny, akkor P(A) = P(f!g) = n1 1 = ! 2A ! 2A kA ahol k az A esemny szmossga. Vagyis az esemnyek val sznsge A n ilyenkor gy szmthat , hogy az esemny bekvetkezse szempontjb l kedvez elemi esemnyek szmt osztjuk a ksrlettel kapcsolatos sszes elemi esemnyek szmval. Klasszikus val sznsgi mezvel modellezhet a kockadobs, a pnzfeldobs, a rulettezs, a krtyahzs, a lott hzs, a tot tippels stb.

I.2.2. Plda: Geometriai valszn sgi mez Alkosson a K vletlen ksrlet elemi esemnyeinek halmaza egy vges mrtk

16


P

n;1

P

n;1

An n Ai An ) P An n Ai P (An) : i=1 i=1 A val sznsg Pn ;additivitsa miatt: P Ai = P (A1) + P (A2 n A1) + P (A3 n (A1 + A2)) +

i=1

+ + P An n

P A Pn P (A ) : i i i=1 i=1

n;1

b.) A De Morgan azonossgb l: Pn Ai = Qn Ai = Qn Ai: i=1 i=1 i=1 $gyaz a.) lltseredmnyt is felhasznlva: n n n n ; Q P P Ai = P Ai = 1 ; P P Ai 1 ; P P Ai : i=1

i=1

i=1

i=1

I.1.6. Ttel: (A valszn sg folytonossgi tulajdonsga) a.) Ha A1 A2 : : : An,. . . . olyan esemnyek, hogy 1 P A1 A2 An Ai $ nlim A !1 n i=1

P1

akkor P( Ai) = nlim P(An): !1 i=1

b.) Ha A1 A2 : : : An : : :. olyan esemnyek, hogy 1 Y A1 A2 An Ai $ nlim A !1 n akkor P(

Y 1

i=1

i=1

Ai) = nlim P(An ): !1

Megjegyzs : A ttel elnevezse azrt jogos, mert folytonos fggvnyeknl

fennll a f (nlim x ) = nlim f (xn ) tulajdonsg. !1 n !1 Bizonyts : a.) Legyen A0 = s Ci = Ai n Ai;1 (i = 1 2 : : :): Ekkor Ci Cj = ha i 6= j mert (Ai n Ai;1) (Aj n Aj;1) = Ai(Aj Ai;1)Aj;1 = ha i 6= j . P1 P1 Tovbb Ai = Ci: i=1

i=1

IV.6

153


8 0 < F (x) = P (Xn < x) = P (Yn < x) = : 21 1

ha x 0 ha 0 < x 1 : ha x > 1 _ Legyen tovbb X = I (A) s Y = I (A): Ekkor X + Y 1 azaz eloszlsfggvnye

x>1 G(x) = P (X + Y < x) = 10 ha ha x 1 s Xn + Yn = 2I (A) aminek eloszlsfggvnye: 8 1 ha x > 2 < Fn(x) = P (Xn + Yn < x) = : 21 ha 0 < x 2 : 0 ha x 0 e Lthat , hogy nlim F ( x ) = F ( x ) 6 = G ( x ), azaz X + Y 6 ! X + Y: n n n !1

IV.6.17. Feladat: Bizonytsuk be, hogy ha Xn !st X s P (jXn j < K ) =

Lr 1 minden n-re, akkor Xn ! X is fennll!

Megolds: E jXn ; X jr 2K r P (jXn ; X j > ") + " tetszleges " > 0

esetn, amibl mr kvetkezik az llts.

IV.6.18. Feladat: Legyen pn 2 (0 1) tetszleges nullsorozat, s Xn 2 G (pn ) : Mutassuk meg, hogy Yn = EXXnn !e Y , ahol Y 2 E (1)! Megolds: P (Yn < x) = P (pn Xn < x) = x ! 1 ; e;x : = 1 ; (1 ; pn ) pn ] n!1

P

k pxn ]

(1 ; pn )k;1 pn =

260 ; IV.6.19. Feladat: Kzeltleg hatrozzuk meg az A = P 500k sszeget!

k=220

Megolds: Legyen X 2 B (500 0 5)! Ekkor a kiszmtand A sszeget

P

260

felrhatjuk: A = 2500 P(X = k) alakban. A MoivreLaplace-ttel szek=200 P rint: P(X = k) (x) ; (y). Most gy kell x-et s y-t megy k

250 125

; p

<x

p

p

vlasztani, hogy 220 = 250 + 125y s 261 = 250 + 125x legyen. Teht y = ;2683281573 s x = 09838699100999, amivel 2;500A = 08328, azaz A 2726079698256e +150. A fggvny rtkeit a standard normlis eloszls

154


tblzatb l olvastuk ki.(Ld. A fggelkben!) Megjegyzs : Az elbbi sszeg kiszmtsa mg szmt gpre rt program segtsgvel sem trivilis a binomilis egytthat kban szerepl nagy faktorilisok miatt.

IV.6.20. Feladat: Egy szvgp 500 szllal dolgozik. Annak a val sznsge, hogy egy szl idegysg alatt elszakad 0008 minden szlra. Hatrozzuk meg, hogy 095 val sznsggel milyen hatrok kztt vrhat a szlszakadsok szma egy idegysg alatt? Megolds: Jellje szmt! Ekkor a MoivreLaplace X ;500X0a008szlszakadsok < x = P ( X < 199 x + 4) (x). Mstrvnybl: P p500 00080992 rszt (165) = 095, azaz x = 165-nl: P (X < 199 165 + 4) = P (X < 728), vagyis a szlszakadsok szma 8-nl kisebb lesz legalbb 95%-os val sznsggel.

IV.6.21. Feladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn : : : fggetlen azonos eloszls val sznsgi vltoz k vges sz rssal. Bizonytsuk be, hogy tetszleges x val s szm esetn nlim P (X1 + X2 + + Xn < x) 2 f0 1 1=2g, vagyis a !1 hatrrtk csak 0 vagy 05 vagy 1 lehet! Megolds: A centrlis hatreloszls ttelt Xhasznlva: 1 +X2 + pn+Xn ;nm < x = lim P ( X + X + + X < x ) = lim P 1 2 n n!1 n!1

nm : lim x , ahol m = EXi = 2Xi x = xp;n n!1 8 ;1 ha m > 0 < xp;nm = m = 0 amibl mr kvetkezik az llts. De nlim n !1 : 10 ha ha m < 0

=

IV.6.22. Feladat: Ha egy gyr egyforma energiaigny gpei kzl t-

lagosan 70% mkdik s 30% vr javtsra, vagy ppen javtjk, akkor tlagosan 210 gp energiaignyt kell kielgteni. Mennyi energit kell biztostani akkor, ha 999%-os biztonsggal szeretnnk elrni azt, hogy minden mkdkpes gp val ban mkdni tudjon? (Feltesszk, hogy a gpek meghibsodsa egymst l fggetlen.)

I.1


15

Bizonyts : n-re vonatkoz teljes indukci val: n = 2 esetben: A1 + A2 = A1 + (A2 A1) s A1 (A2 A1) = miatt I.1.3 ttel e.) lltst felhasznlva: P(A1 + A2) = P(A1)+ P(A2 A1) = P(A1)+ P(A2 ) ; P(A1 A2): Tegyk fel, hogy az llts igaz n 2 esetben. n + 1-re az llts bizonytsa: nP +1 Pn Ai = Ai + An+1 gy i=1 n+1

i=1

P( P Ai) = P(P Ai) + P(An+1 ) ; P(An+1 P Ai) = n

i=1

n

i=1

Pn

i=1

Pn

= P( Ai) + P(An+1) ; P( Ai An+1): i=1 i=1 Aznindukci s feltevs felhasznlsval: +1 n P P P P P(A A A ) ; + + P( Ai) = P(Ai) ; P(AiAj ) + i j k i=1

i=1

i<j

i<j
Pn

P

+(;1)nP(A1A2 An) + P(An+1) ; P(AiAn+1) + P(AiAj An+1) ; + i=1 i<j + (;1)n P(A1 A2 An An+1 ) ahonnan a tagok felcserlsvel az lltst kapjuk.

I.1.5. Ttel: (Boole-egyenltlensg) Legyen ( = P) Kolmogorov-fle val sznsgi mez. Akkor minden A1 A2 : : : An 2 = esetn

Pn Pn Ai P (Ai) i=1 i=1 Qn Pn ; b.) P Ai 1 ; P Ai : i=1 i=1 a.) P

Bizonyts :

a.)

Pn A = A + (A n A ) + (A n (A + A )) + + (A n nP;1 A ): i 1 2 1 3 1 2 n i i=1 i=1 Ez egy diszjunkt felbonts, s A2 n A1 A2 ) P (A2 n A1) P (A2) A3 n (A1 + A2) A3 ) P (A3 n (A1 + A2)) P (A3) ...

14


I.1.14. Den ci: Az ( = P) hrmast a K vletlen ksrlethez tartoz Kolmogorov-fle valszn sgi mez nek nevezzk. I.1.3. Ttel: A val sznsg axi marendszerbl levezethetek a val sznsg albbi tulajdonsgai: a.) P(A) = 1 ; P(A) b.) P() = 1 ; P( ) = 0 c.) Ha A1P A2 : : : An : : : 2 = esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, akkor P(Ai) = 1, 8i

d.) Ha A B akkor P(A) P(B ) e.) P(AnB ) = P(B ) ; P(AB ): Bizonyts :

a.) AA = A+A = s 1o , 2o miatt 1 = P( ) = P(A+A) = P(A)+P(A). b.) = miatt az elz lltsb l trivilis.

P c.) Mivel A

i = s az A1 A2 : : : An : : : esemnyek egymst pronknt 8i kizrjk, az axi mkb l mr kvetkezik az llts. d.) B = A + A B s A (A B ) = gy P(B ) = P(A) + P(A B ). Mivel P(A B ) 0, mr kvetkezik az llts. e.) B = A B + A B s (A B ) (A B ) = miatt P(B ) = P(A B )+ P(A B ): Mivel B n A= B A gy az llts mr kvetkezik.

I.1.4. Ttel: (Poincare-ttel) Pn Pn Ha A1 A2 : : : An 2 = tetszlegesek, akkor P( Ai) = (;1)n+1Sin ahol i=1 P P(A A A ): i=1 Sin = j1 j2 ji 1 j1 <j2 <<ji n

IV.6


155

Megolds: Jellje X a mkd ; gpek szmt! Nyilvn X 2 B (300 07). A MoivreLaplace-ttelbl P X < np + xpnpq = P (X < 210 + 793 x) (x). Mivel (3) 0999, gy P (X < 234) 0999, vagyis az zemel gpek szma kevesebb, mint 234999%-kal.

IV.6.23. Feladat: Egy tanfolyamra 100 hallgat iratkozik be. Ms elfoglaltsga miatt minden hallgat 06 val sznsggel megy el az egyes rkra. Felttelezzk, hogy egymst l fggetlenl ltogatjk az rkat. Hny fs terem kell ahhoz, hogy az rra rkez hallgat k 90%-os biztonsggal elfrjenek a teremben?

; p Megolds: Hallgat k szma, X p2 B (100 06) P X < 60 + 10 024x (x) = 09 ) x = 129 ) 60 + 10 024 129 a keresett teremkapacits.

IV.6.24. Feladat: Adottak az X1 X2 : : : Xn 2 U (0 1) teljesen fggetlen vletlen szmok. Ezek segtsgvel generljunk normlis eloszls vletlen szmot! Megolds: Y =

P X EY 100

= 50 2Y = 100 12 : A centrlis hatreloszls ttelbl kvetkezik, hogy Y standardizltja kzel standard normlis. Teht Y ;50 p12 N (0 1) : 10 i=1

i

IV.6.25. Feladat: Bizonytsuk be, hogy ha X s Y fggetlen, azonos eloszls s vges sz rs val sznsg vltoz k, akkor X + Y s X ; Y akkor s csak akkor lesznek fggetlenek, ha X s Y normlis eloszlsak. Megolds: ( Ha X s Y normlis eloszlsak, akkor cov (X + Y X ; Y ) = E (X 2 ; Y 2) ; E (X + X ) E (X ; Y ) = 0 miatt X s Y fggetlenek is, hiszen

normlis eloszlsnl a korrellatlansg ekvivalens a fggetlensggel. ) Tegyk fel, hogy EX = EY = 0 s 2X = 2Y = 1 klnben a standardizltjaikkal szmolnnk tovbb. Jellje f (t) a kzs karakterisztikus fggvnyket. Ekkor 'X +Y (t) = f 2 (t) s 'X ;Y (t) = f (t) f (;t) s 2X = (X + Y ) + (X ; Y ) miatt '2X (t) = 'X +Y (t) 'X ;Y (t) = f 3 (t) f (;t) is. Legyen (t) = ln f (t) : Ekkor (2t) = 3 (t) + (;t) : Bevezetve a (t) =

(t) ; (;t) jellst, (2t) = (2t) ; (;2t) = 3 ;(t)+ (;t;) ;3 (;t)+

(t) = 2 (t) ; 2 (;t) = 2 (t) : Teht (u) = 2 u2 = 22 2u2 = = u ;

(t); (0) = 2n 2un = . Ebbl mr kvetkezik, hogy (uu) = (22unn ) = lim t t!0

156


I.1

0

0

00

00

IV.6.26. nFeladat: Legyenek X1 X2 : : : Xn 2 E () teljesen fggetle-

nek, s Y =

P X : Adjuk meg Y

i=1

i

I.1.2. Axim k: Adott egy P : = ! 0 1] halmazfggvny, melyet valszn sg nek neveznk. A P fggvny kielgti az albbi tulajdonsgokat:

srsgfggvnyt!

Megolds: Xk -k kzs karakterisztikus fggvnye: 'Xk (t) = ;+it gy ; R1 R1 'Y (t) = ('Xk (t))n = n : Mivel n zn;1e;z eiztdz = n zn;1ez(it;)dz = ;+it (n;1)! (n;1)! 0 0 1 z n;1 ez(it;) ; n;1 z n;1 ez(it;) + ; + (;1)2n+1 (n;1)!n ez(it;) 1 n 2 (n;1)! it; (it;) (it;) 0 n n n;1 ;z (it;)n s keresett srsgfggvny: fY (z ) = (n;1)! z e z > 0:

h

i

(Megjegyzs : Y 2 ; (n ), azaz n paramter gamma eloszls.)

IV.6.27. Feladat: Jellje az X val sznsgi vltoz karakterisztikus fggvnyt f (t): Fejezzk ki az Y = aX + b val sznsgi vltoz karakterisztikus fggvnyt f (t)-vel! Megolds: 'Y (t) = Eei(aX +b)t = eibtEeiX (at) = eibt f (at) :

IV.6.1. Gyakorlat: Egy prtra a szavaz k p val sznsggel szavaznak, ami ltalban ismeretlen. A kzvlemnykutat k a prtot vlaszt k pozitv vlasznak s a megkrdezettek szmnak arnyval becslik meg p-t. Mekkora legyen a megkrdezettek n szm mintja, ha azt akarjk elrni, hogy a kapott relatv gyakorisg p-tl legfeljebb 0001-del trjen el 999%-os val sznsggel? IV.6.2. Gyakorlat: Legalbb hny meggyels szksges ahhoz, hogy egy 5-nl nem nagyobb sz rs val sznsgi vltoz rtkeinek tlaga 95%os val sznsggel a vrhat rtk 001 sugar krnyezetbe essen?

13

B 2 = is igaz, de akkor b.) miatt A + B c.) Ha A B 2 =, akkor 2o miatt A o 2 = is fennll, de jra a 2 axi mra hivatkozva ekkor A + B = A B 2 = is fennll. Az utols lpsben a I.1.1 ttel j.) s i.) lltsait hasznltuk fel. d.) Az elzhz hasonl an, a 2o s 3o axi mkb l valamint a De Morgan azonossgokb l kvetkezik. B 2 = is igaz, gy c.) miatt (A n B =)A B 2 = s e.) 2o miatt A (B n A =)B A 2 = is igaz.

(0) = 0, hiszen EX = 0: Vagyis (u) 0! Ebbl 0 (0) = 2 0 (0) = 2 ff (0) kvetkezik, hogy (t) = (;t), azaz (2t) = 4 (t) : Teht (u) = = u ; 22n 2un : u(2u) = ((u2n)2) !n!1 ; 12 hiszen (u) = (0)+u (0)+ u22 (0)+ 2n o (u2) s (0) = (0) = 0 (0) = ;1: Innen (u) = ; u22 kvetkezik, 2 azaz f (u) = exp ; u2 ami a standard normlis eloszls karakterisztikus fggvnye. Ha X Y standardizltjainak karakterisztikus fggvnye standard normlis, akkor X Y is normlis! 0


=

1o P( ) = 1 2o Ha A1 A2 : : : A = pronknt egymst kizrjk, azaz 8i 6= j -re Pn : : : 2 P Ai Aj = , akkor P( Ai) = P(Ai): 8i

8i

Megjegyzs :

a.) A 2o axi mban megfogalmazott tulajdonsgot a val sznsg -additivitsi tulajdonsgnak nevezzk. b.) A meggyelhet esemnyek val sznsgeit kiszmthat nak ttelezzk fel. A P(A) rtk az A esemny bekvetkezsnek mrtke, eslye. A P halmazfggvny rendelkezik azokkal a tulajdonsgokkal, amikkel minden ms mrtk is rendelkezik (pl. hossz,terlet, trfogat,tmeg stb.) A 2o axi ma azt lltja, hogy egymst kizr esemnyek sszegnek val sznsge az esemnyek val sznsgeinek sszege, mint ahogy pl. egymst t nem fed rszekbl ll skidom terlete egyenl a rszek terleteinek sszegvel. Az 1o axi ma azt posztullja, hogy legyen a biztos esemny val sznsge 1, s ehhez kpest jellemezzk a tbbi esemny bekvetkezsnek eslyt. A zikai mennyisgekhez mrmszerek szerkeszthetk, hogy az adott test egy zikai jellemzjnek elmleti rtkt nagy pontossggal megbecslhessk. Ilyen mszer a hosszmrsre a mterrd, tmegre a karosmrleg. Ugyangy, mint ms mrtknl, a val sznsg esetn is szerkeszthet mrmszer, amivel az elmleti val sznsg szmrtke j l becslhet lesz. Ez a mrmszer a ksbb rtelmezend relatv gyakorisg lesz. (Lsd az I.3. szakaszt !)

12


a.) = nem felttlenl esik egybe sszes rszhalmazainak 2 halmazrendszervel. =-ben csak a ksrlettel kapcsolatba hozhat .n. meggyelhet esemnyek vannak. Nem zrjuk ki, hogy lehetnek -nak olyan A rszhalmazai, amelyeket nem tudunk meggyelni, azaz lehet olyan kimenetel, ami vgn nem tudjuk megmondani, hogy A bekvetkezett-e vagy sem. Az axi mkkal ppen az ilyen A esemnyeket akarjuk kizrni a tovbbi vizsglatainkb l. b.) Az axi mk nyilvnval tulajdonsgokat fogalmaznak meg. Az 1o pontban azt kveteljk meg, hogy a biztos esemny meggyelhet legyen. A 2o-ben azt lltjuk, hogy ha az A esemnyt meg tudjuk gyelni, akkor az ellentettjt is meg tudjuk. A 3o-ban pedig az az llts, hogy ha esemnyeknek egy rendszert egyenknt meg tudjuk gyelni, akkor azt az esemnyt is meg fogjuk tudni gyelni, amely akkor kvetkezik be, ha a felsorolt esemnyek kzl legalbb egy bekvetkezik. is:

I.1.2. Ttel: Az axi mkb l levezethetk =-nek tovbbi tulajdonsgai

a.) 2 =, azaz a lehetetlen esemny is meggyelhet. b.) Ha A B 2 = ) A + B 2 = is, azaz a 3o axi ma vges sok esetre is igaz. c.) Ha A B 2 = ) AB 2 = is, azaz meggyelhet esemnyek szorzata is meggyelhet.

Y

d.) Ha A1 A2 : : : An : : : 2 = ) Ai 2 = is igaz, azaz meggyelhet 8i esemnyek egyttbekvetkezse is meggyelhet. e.) Ha A B 2 = ) A n B 2 = s B n A 2 =, azaz meggyelhet esemnyek klnbsgei is meggyelhetek. Bizonyts :

a.) Az 1o s 2o axi mkb l trivilisan kvetkezik. b.) Az A1 = A A2 = B A3 = A4 = = vlasztssal, a 3o axi mb l kvetkezik.

IV.6


157

IV.6.3. Gyakorlat: Egy szerencsejtkos meggyeli, hogy tlagosan 63 ksrlet utn nyer. Hnyszor kell ksrleteznie, hogy 099 val sznsggel nyerjen legalbb egyszer? IV.6.4. Gyakorlat: Egy mrs elvgzshez egy pontatlan eszkznk van, ahol a mrs hibja standard normlis eloszls. A mrst n-szer vgezzk el, majd tlagolunk. Mekkora legyen az n, hogy legfeljebb 10;4 val sznsggel trjen el az tlag a mrend rtktl 01-del? IV.6.5. Gyakorlat: 99%-os val sznsggel szeretnnk garantlni, hogy 1000 pnzfeldobsb l legalbb n-szer fejet kapjunk. Hogyan vlasszuk meg n-et, ha a fejdobs val sznsge p? IV.6.6. Gyakorlat: Adottak az X1 X2 : : : Xn 2 U (0 1) teljesen fggetlen vletlen szmok. Ezek segtsgvel generljunk N (5 2) normlis eloszls vletlen szmot! IV.6.7. Gyakorlat: Jellje az X val sznsgi vltoz karakterisztikus fggvnyt f (t): Fejezzk ki az Y = ;X val sznsgi vltoz karakterisztikus fggvnyt f (t)-vel! IV.6.8. Gyakorlat: Jellje az X s Y fggetlen, azonos eloszls val sznsgi vltoz k kzs karakterisztikus fggvnyt f (t): Fejezzk ki az X ; Y s X +2 Y val sznsgi vltoz k karakterisztikus fggvnyt f (t)-vel! IV.6.9. Gyakorlat: Legyenek X1 X2 : : : Xn 2 N (0 1) teljesen fggetn

lenek, s Y =

P X 2 : Adjuk meg Y

i=1

i

karakterisztikus fggvnyt!

IV.6.10. Gyakorlat: Adja meg a Po() diszkrt eloszls karakterisztikus fggvnyt! Ezt felhasznlva szmolja ki a negyedik momentumot!

158


I.1


11

l.) A A = m.) A + A = n.) A = A o.) A + = p.) A = r.) A + = A: Bizonyts : Mivel az esemnyek kztti mveletek a halmazok kztti uni s metszet illetve a komplementer segtsgvel voltak rtelmezve, s ott igazak a Boole algebra sszefggsei, itt is rvnyesek lesznek.

I.1.12. Den ci: Az A s B esemnyek egymst kizrak, ha AB = , azaz szorzatuk a lehetetlen esemny. Egymst kizr esemnyek egyidejleg nem kvetkezhetnek be. I.1.13. Den ci: Az A1 A2 : : : An : : : esemnyek (nem felttlenl vges elemszm) rendszereteljes esemnyrendszer t alkot, ha i j -re Ai Aj = P (pronknt egymst kizrjk) s Ai = teljesl. 8i Megjegyzs: a.) A K vletlen ksrlet egy vgrehajtsa sorn a teljes esemnyrendszer esemnyei kzl csak egyikk fog biztosan bekvetkezni. b.) Az A s A ktelem teljes esemnyrendszer.

I.1.6. Plda: A francia krtyb l val hzsnl az A1 =krt hzok , A2 =kr t hzok , A3 =pikket hzok s A4 =tre"et hzok esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak. I.1.1. Axim k: A K vletlen ksrlettel kapcsolatos sszes esemnyek

= rendszere (az .n. esemnyalgebra ) -algebra, azaz kielgti az albbi

tulajdonsgokat: 1o 2 = 2o Ha A 2 = ) A 2 = is. P 3o Ha A1 A2 : : : An : : : 2 = ) Ai 2 = is. 8i

Megjegyzs :

10


I.1.5. Plda: a.) A kockadobsnl a 10-nl kisebb rtket dobunk esemny az -val, a negatv rtket dobunk esemny pedig -vel ekvivalens. b.) Krtyahzsnl van a lapok kztt hetestl klnbz -val, mg a minden lap rtke legalbb tz -vel ekvivalens. c.) Telefonhvsnl valamikor csrgni fog -val, soha nem fog csrgni pedig -vel ekvivalens. I.1.8. Den ci: Egy A esemny ellentett esemny e az az A -val jellt esemny, ami pontosan akkor kvetkezik be, amikor A nem kvetkezik be. A az A-nak az -ra vonatkoztatott komplementer halmaza, azaz A = n A.

I.1.9. Den ci: Az A s B esemnyek sszeg n azt az A + B -vel jellt esemnyt rtjk, amely pontosan akkor kvetkezik be, ha A s B kzl legalbb az egyik bekvetkezik. (A + B az A s B esemnyek uni ja). I.1.10. Den ci: Az A s B esemnyek szorzat n azt az AB vagy A B -

vel jellt esemnyt rtjk, amely pontosan akkor kvetkezik be, amikor A is s B is egyidejleg bekvetkezik. (AB az A s B esemnyek metszete).

I.1.11. Den ci: Az A s B esemnyek klnbsg n azt az A n B -

vel jellt esemnyt rtjk, ami pontosan akkor kvetkezik be, amikor A bekvetkezik, de B nem. ( A n B = A B ).

I.1.1. Ttel: Tetszleges A B s C esemnyekre igazak az albbiak: a.) A + B = B + A b.) (A + B ) + C = A + (B + C ) c.) A + A = A d.) AB = BA e.) (AB )C = A(BC ) f.) AA = A g.) A(B + C ) = (AB ) + (AC ) h.) A + (BC ) = (A + B )(A + C ) i.) A = A j.) A + B = A B k.) A B = A + B

Jellsek 9 a ltezik kvantor 8 a minden egyes kvantor ) akkor , illetve kvetkezik , akkor s csak akkor , illetve az ekvivalencia relci 6 ) nem kvetkezik

$ denci szerint

azonosan egyenl

6= nem egyenl f : A ! B az A halmazt a B -be lekpez fggvny fx y z : : :g az x y z : : : elemekbl ll halmaz

lim f (x) = f (a + 0) az f fggvny jobboldali hatrrtke az a pontban lim f (x) = f (a ; 0) az f fggvny baloldali hatrrtke az a pontban x!a; exp(x) $ ex az exponencilis fggvny ln x a termszetes alap logaritmus fggvny 1 R ; t x ; 1 ;(x) $ e t dt a gammafggvny 0 o(f (t)) = 0: o(f (t)) kis ord f (t) maradktag, lim t!0 f (t) O(f (t)) < 1: O(f (t)) nagy ord f (t) maradktag, lim t!0 f (t) f (x) ! min az f (x) fggvny minimalizlsa 8x fi(x) ! min adott x-nl az i indexben minimalizls 8i fi(x) = min f (x) az fi(x) ! min problma az i indexnl veszi fel a mini8j j 8i mumt @f (x) = grad(f (x)) az f gradiens vektora @x @ 2f (x) @x@xT a Hesse mtrix x!a+

159

160


Pn x $ x + x + + x n-tag sszeg i 1 2 n iP =1 x azon x vektorok sszege, amelyek a C halmazhoz tartoznak x2C Yn xi $ x1 x2 xn n tnyezs szorzat ;i=1n $ n! n alatt a k binomilis egytthat ;xk $ kx!((nx;;k1))!(x;2)(x;k+1) x 2 R k 2 N az ltalnostott binomilis egyttk

k!

hat R a val s szmok teste Rp a val s szm p-esek vektortere Rnm a val s komponens n m-es mtrixok halmaza C a komplex szmok teste i 2 C az imaginrius egysg x 2 Rp p-dimenzi s oszlopvektor A 2 Rnm n m-es mtrix xT = (x1 x2 : : : xp) p-dimenzi s sorvektor, T a transzponls jele AT az A mtrix transzponltja A;1 az A 2 Rnn mtrix inverze det A az A 2 Rnn mtrix determinnsa ; adjA az A 2 Rnn mtrix adjunglt mtrixa, det1 A adj A T = A;1 diag A $ (a11 a22 : : : ann)T az A mtrix diagonlisban lv elemekbl ll oszlopvektor diag(a1 a2 : : : an) egy olyan nn-es diagonlis mtrix, melynek diagonlisban a1 a2 : : : ann ll P trace A $ aii az A 2 Rnn mtrix nyoma i=1 E n E az n n-es egysgmtrix K vletlen ksrlet a K-val kapcsolatos elemi esemnyek halmaza, a biztos esemny, illetve esemnytr lehetetlen esemny ! !i 2 elemi esemny A B : : : Ai Bi : : : esemnyek A az A esemny ellentett esemnye = K-val kapcsolatos esemnyek halmaza, az esemnyalgebra P : = ! 0 1] val sznsg,

I.1


9

I.1.3. Den ci: Az A esemny bekvetkezik, ha a ksrlet vgrehajtsa utn olyan elemi esemny realizl dott, ami az A eleme. I.1.3. Plda: a.) A kockadobs ksrletvel kapcsolatos esemny a f2 4 6g elemi esemny-halmaz, melyet a prosat dobunk logikai lltssal is denilhatunk. b.) A krtyahzs ksrlethez tartoz esemny pl. a. van sz a kihzott lapok kztt; lltshoz tartoz krtya-kombinci k ; ; halmaza, amelyhez az -t alkot 328 db. elemi esemnybl 328 ; 288 tartozik. c.) A telefonhvsok kztti idtartamra vonatkoz ksrlethez tartoz esemny pl. az t percen bell fog csngeni , ami ppen a 0 5) intervallum pontjait denilja. I.1.4. Den ci: Az A esemny maga utn vonja a B esemnyt, ha az A esemny rszhalmaza a B esemnynek. Jells: A B . Megjegyzs: A K vletlen ksrlet ! elemi esemnyeit jellemzi az, hogy nincs olyan B 6= esemny, amely !-t maga utn vonn.

I.1.4. Plda: a.) Kockadobsnl a hatost dobunk esemny maga utn vonja a prosat dobunk esemnyt. b.) Krtyahzsnl a mind a ngy szt kihztuk esemny maga utn vonja a van piros szn lap a kihzottak kztt esemnyt. c.) Telefonhvsnl az t percen bell csrgni fog maga utn vonja a tz percen bell csrgni fog esemnyt, hiszen 0 5) 0 10). I.1.5. Den ci: Az A s B esemnyek ekvivalensek, ha A B s B A teljesl egyszerre. Ekvivalens esemnyek kztt nem tesznk klnbsget. Jells: A = B . I.1.6. Den ci: Lehetetlen esemny nek nevezzk azt a -vel jellt esemnyt, amely a K brmely vgrehajtsa sorn soha nem fog bekvetkezni, azaz az res halmaz. megfelel a konstans hamis lltsnak, olyan esemny, ami elvileg soha nem kvetkezhet be. I.1.7. Den ci: Biztos esemny nek nevezzk azt az esemnyt, amelyik a K brmely vgrehajtsa sorn mindig bekvetkezik. Ez az esemny nem ms, mint az esemnytr. megfelel a kontans igaz lltsnak.

8


tudjuk, hogy a 32 lap sszes ismtls nlkli kombinci ja kzl lehet csak valamelyik. c.) Egy telefonkszlket gyelve mrjk a kt hvs kztt eltelt idt. A lehetsges kimenetelek a 0 1) intervallum pontjai.

I.1.2. Alapfogalom: A K vletlen ksrlet lehetsges kimeneteleitelemi esemny nek nevezzk. A vletlen ksrlet vgrehajtsa sorn az elemi es-

emnyek halmazb l mindig csak egy fog realizl dni. Az elemi esemnyek jellsre az !, esetleg !i szimb lumokat fogjuk hasznlni.

I.1.1. Den ci: A K vletlen ksrlettel kapcsolatos sszes elemi esemny halmazt esemnytr nek nevezzk s -val jelljk. I.1.2. Plda: a.) A kockadobs ksrletvel kapcsolatos elemi esemnyek az 1 2 3 4 5 6 rtkek, = f1 2 3 4 5 6g. b.) A krtyahzs ksrlethez tartoz elemi esemnyek a 32-es csomag sszes 10 lapos rszhalmazai, a lapok sorrendjt nem gyelembevve, = f! : ! a 32 krtyacsomag egy 10 elemszm kombinci jag. c.) A telefonhvsok kztti idtartamra vonatkoz ksrlethez tartoz elemi esemnyek az = 0 1) intervallum pontjai.

I.1.2. Den ci: Az elemi esemnyek halmazait, az esemnytr rszhalmazait esemny eknek nevezzk, s a latin abc betivel jelljk: A B C : : :. Megjegyzs:

a.) Az esemnyek denilst gyakran logikai lltsok megfogalmazsval tesszk. Ilyenkor az esemnynek megfelel halmaz azokb l az elemi esemnyekbl ll, amelyek realizl dsa esetn a logikai llts rtke igaz. b.) Az egyetlen elemi esemnybl ll esemnyeket az egyszersg kedvrt a tovbbiakban szintn elemi esemnyeknek fogjuk nevezni, holott matematikailag az elem s az elembl ll egyelem halmaz fogalma nem ugyanaz! A legalbb ktelem esemnyeket sszetett esemny nek is nevezzk.

IV.6


161

P(A) az A esemny val sznsge P(A jB ) az A esemnynek a B esemnyre vonatkoztatott feltteles val sz-

nsge X Y Z : : : Xi Yi Zi : : : : ! R val sznsgi vltoz k FX (x) a X val sznsgi vltoz eloszlsfggvnye, FX (x) $ P(X < x) pi $ P(X = xi) az X diszkrt val sznsgi vltoz eloszlsa fX (x) az X folytonos val sznsgi vltoz srsgfggvnye fX jY (x jy ) az X val sznsgi vltoz nak az Y -ra vonatkoztatott feltteles srsgfggvnye 'X (t) $ EeitX az X val sznsgi vltoz karakterisztikus fggvnye EX az X val sznsgi vltoz vrhat rtke 2X = VpX a X val sznsgi vltoz sz rsngyzete vagy variancija X $ + 2X az X val sznsgi vltoz sz rsa R(X Y ) az X s Y val sznsgi vltoz k korrelci s egytthat ja cov(X Y ) az X s Y val sznsgi vltoz k kovariancia FX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp) = FX (x) az X = (X1 X2 : : : Xp)T val sznsgi vektorvltoz eloszlsfggvnye, illetve a komponensek egyttes eloszlsfggvnye fX1X2 :::Xp (x1 x2 : : : xp) = fX (x) az X = (X1 X2 : : : Xp)T val sznsgi vektorvltoz srsgfggvnye, illetve a komponensek egyttes srsgfggvnye EX $ (EX1 EX2 : : : EXp)T az X val sznsgi vektorvltoz vrhat rtkvektora X = (cov(Xi Xj )) i = 1 2 : : : p az X val sznsgi vektorvltoz koj = 1 2 : : : p varianciamtrixa X 2 I (A) vagy X 2 I (p) az X val sznsgi vltoz az A esemny indiktora, p = P(A) X 2 B (n p) az X val sznsgi vltoz n p paramter binomilis eloszls X 2 Po() az X val sznsgi vltoz paramter Poisson-eloszls X 2 G(p) a X val sznsgi vltoz p paramter geometriai eloszls X 2 Pol(n p1 p2 : : : pr ) az X val sznsgi vektorvltoz egyttes eloszlsa polinomilis X 2 U (a b) az X val sznsgi vltoz egyenletes eloszls az (a b) intervallumon X 2 E () az X val sznsgi vltoz paramter exponencilis eloszls X 2 N ( ) az X val sznsgi vltoz paramter normlis eloszls

162


X 2 N (0 1) az X val sznsgi vltoz standard normlis eloszls X 2 ;(n ) az X val sznsgi vltoz n, paramter gamma-eloszls X 2 Np( ) az X val sznsgi vektorvltoz p-dimenzi s normlis vektor, vrhat rtk-vektorral s kovarianciamtrixszal (x) az paramter normlis eloszls eloszlsfggvnye ' (x) az paramter normlis eloszls srsgfggvnye (x) a standard normlis eloszls eloszlsfggvnye '(x) standard normlis eloszls srsgfggvnye 1v Xn ! X az Xn val sznsgi vltoz sorozat 1 val sznsggel konvergl X hez L Xn !r X az Xn val sznsgivltoz -sorozat r-edik momentumban konvergl X -hez st Xn ! X az Xn val sznsgivltoz -sorozat sztochasztikusan konvergl X hez e Xn ! X az Xn val sznsgivltoz -sorozat eloszlsban konvergl X -hez

I. fejezet A Kolmogorov-fle val szn sgi mez I.1. A valsznsgszmts alapfogalmai s aximarendszere Az alapfogalmak szemlletbl ered, magt l rtetd fogalmakat jelentenek, amelyeket egyszerbb fogalmak segtsgvel nem lehet denilni, hanem csupn krlrni lehet ket, illetleg pldkat lehet mutatni rjuk. Hasonl an, az aximk bizonyts nlkl elfogadott lltsok, amelyek annyira nyilvnval ak, hogy csupn a szemlletbl vezetjk le ket.

I.1.1. Alapfogalom: Vletlen ksrlet en (K) olyan folyamatot, jelensget rtnk, amelynek kimenetele elre bizonyosan meg nem mondhat , csupn az, hogy elvileg milyen ksrletkimenetelek lehetnek. A vletlen ksrletet akrhnyszor meg lehet gyelni, vagy vgre lehet hajtani azonos felttelek mellett. I.1.1. Plda: a.) Egy szablyos jtkkockval dobunk. Nem tudjuk elre megmondani az eredmnyt, de azt llthatjuk, hogy az 1,2,3,4,5,6 rtk kzl valamelyiket kapjuk. b.) Egy teljes, j l megkevert csomag magyarkrtyb l vletlenszeren kihzunk 10 lapot. A vletlentl fgg, hogy melyik lesz az a 10 lap, de azt 7

6

TARTALOMJEGYZK

doktorandusznak is, hogy krltekinten elolvasta a kziratot, s segtett a hibk, pontatlansgok kikszblsben. Ksznettel tartozom Gyri Sndor msodves informatikus hallgat nak is, aki sokat dolgozott a szveg internet hl zatra ttelvel. Vgezetl ksznm Salfer Gbor tanrsegdnek a LATEXszvegszerkesztvel kapcsolatos tancsait, segtsgt. Budapest, 1998. szeptember 15. Ketskemty Lszl

Ajnlott irodalom 1] Rnyi Alfrd: Val sznsgszmts Tanknyvkiad , Budapest, 1973 2] Prkopa Andrs: Val sznsgelmlet Mszaki Knyvkiad , Budapest, 1972 3] Vetier Andrs: Szemlletes mrtk- s val sznsgelmlet Tanknyvkiad , Budapest, 1991 4] W.Feller: Bevezets a val sznsgszmtsba s alkalmazsaiba Mszaki Knyvkiad , Budapest, 1978 5] A.N. Kolmogorov: A val sznsgszmts alapfogalmai Gondolat, Budapest, 1982 6] Paul R. Halmos: Mrtkelmlet Gondolat, Budapest, 1984 7] BognrnMogyor diPrkopaRnyiSzsz: Val sznsgszmts feladatgyjtemny Tanknyvkiad , Budapest, 1982 8] Solt Gyrgy: Val sznsgszmts (pldatr) Mszaki Knyvkiad , Budapest, 1973 9] Denkinger Gza: Val sznsgszmtsi gyakorlatok Tanknyvkiad , Budapest, 1977 10] B.A SzevasztyanovV.P. CsisztyakovA.M. Zubkov: Val sznsgszmtsi feladatok Tanknyvkiad , Budapest, 1987

163

164


ELSZ A jegyzet a BME Villamosmrnki s Informatikai Kar Informatikus szaknak Val sznsgszmts c. tantrgyhoz kszlt segdanyag. A jegyzet az elmlet szoksos felptst kvetve ngy fejezetre tagol dik, a fejezetek szakaszokb l llnak. Az els fejezet tartalmazza a val sznsgszmts axi marendszert, a val sznsgi mrtk legfontosabb tulajdonsgait s kiszmtsnak klasszikus m dszereit. A msodik fejezet a val sznsgi vltoz kkal, a harmadik fejezet a val sznsgi vektorvltoz kkal foglakozik. A negyedik fejezetben kapnak helyet a nagy szmok trvnyei s a centrlis hatreloszls ttelek. A fejezetek vgn nagy szm kidolgozott feladat s nll an megoldand gyakorlat tallhat . A jegyzet vgn a felhasznlt jellsek, szimb lumok sszefoglalsa, trgymutat , ajnlott irodalmak jegyzke s fggelkben a normlis eloszls tblzata olvashat mg. A Val sznsgszmts c. tantrgy elkszti a Tmegkiszolgls informatikai rendszerekben s az Informci elmlet c. tantrgyakat, de olyan ms trgyak is ptenek r, mint pl. a Matematikai statisztika, Sztochasztikus folyamatok, Vletlen szmok generlsa s szimulci k, Megbzhat sgelmlet, Operci kutats, stb. A val sznsgszmtst axiomatikus felptsben trgyaljuk, eleve elfogadott alapfogalmakb l s alapttelekbl kiindulva jutunk el az egyszerbb tteleken s denci kon keresztl az sszetettebb lltsokhoz s fogalmakhoz. A ttelek nagy rsze bizonytsokkal egytt szerepel, ami az elmleti httr jobb megrtst szolglja. Ugyanezt segtik a bemutatott pldk s kidolgozott feladatok, valamint a mellkelt brk is. Az sszetett, bonyolult bizonytsokat els olvasskor mellzni lehet, a fbb sszefggsek anlkl is megrthetk. Ezton mondok ksznetet Dr. Gyr Lszl akadmikusnak a kzirat gondos tnezsrt, a jegyzet szerkezeti felptsvel kapcsolatos tancsairt s rtkes szakmai megjegyzseirt, kiegsztseirt. Ksznm Pintr Mrta 5

TARTALOMJEGYZK

4

IV.Valsz n sgi trvnyek

IV.1.Nevezetes egyenltlensgek . . . . . . . . . . . . . IV.2.Val sznsgi vltoz k sorozatainak konvergencii IV.3.A nagy szmok trvnyei . . . . . . . . . . . . . . IV.4.A karakterisztikus fggvny . . . . . . . . . . . . IV.5.Centrlis hatreloszls ttelek . . . . . . . . . . . IV.6.Kidolgozott feladatok s gyakorlatok . . . . . . .

Jellsek Aj nlott irodalom FGGELK

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

137

. 137 . 138 . 140 . 142 . 145 . 147

159 163 165

FGGELK A standard normlis eloszls eloszlsfggvnynek tblzata

(x) = p12

Rx ;1

exp ; t22

;

dt

1. Ha X 2 N (m d) akkor P (X < x) = x;dm (Ezen tulajdonsg miatt elg csak a standard normlis eloszls tblzatt megadni.) 2. Ha x > 0, akkor (;x) = 1 ; (x). (Ezen tulajdonsg miatt van a tblzatban csak nemnegatv x argumentum)

;

X ;m 3. Ha " 2 (0;1), akkor ;P ;u " < d < u" = 2 (u" ) ; 1 = 1 ; ", azaz (u") = 1 ; 2" . u" = ;1 1 ; 2"

165

166


x ,00 ,10 ,20 ,30 ,40 ,50 ,60 ,70 ,80 ,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95

(x) ,50000000 ,53982784 ,57925971 ,61791142 ,65542174 ,69146246 ,72574688 ,75803635 ,78814460 ,81593987 ,84134475 ,86433394 ,88493033 ,90319952 ,91924334 ,93319280 ,94520071 ,95543454 ,96406968 ,97128344 ,97724987 ,97981778 ,98213558 ,98422239 ,98609655 ,98777553 ,98927589 ,99061329 ,99180246 ,99285719 ,99379033 ,99461385 ,99533881 ,99597541 ,99653303 ,99702024 ,99744487 ,99781404 ,99813419 ,99841113

x 3,00 3,05 3,10 3,15 3,20 3,25 3,26 3,27 3,28 3,29 3,30 3,31 3,32 3,33 3,34 3,35 3,36 3,37 3,38 3,39 3,40 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,50 3,51 3,52 3,53 3,54 3,55 3,56 3,57 3,58 3,59

(x) ,99865010 ,99885579 ,99903240 ,99918365 ,99931286 ,99942297 ,99944294 ,99946226 ,99948096 ,99949906 ,99951658 ,99953352 ,99954991 ,99956577 ,99958111 ,99959594 ,99961029 ,99962416 ,99963757 ,99965054 ,99966307 ,99967519 ,99968689 ,99969821 ,99970914 ,99971971 ,99972991 ,99973977 ,99974929 ,99975849 ,99976737 ,99977595 ,99978423 ,99979222 ,99979994 ,99980738 ,99981457 ,99982151 ,99982820 ,99983466

x 3,60 3,61 3,62 3,63 3,64 3,65 3,66 3,67 3,68 3,69 3,70 3,71 3,72 3,73 3,74 3,75 3,76 3,77 3,78 3,79 3,80 3,81 3,82 3,83 3,84 3,85 3,86 3,87 3,88 3,89 3,90 3,91 3,92 3,93 3,94 3,95 3,96 3,97 3,98 3,99

(x) ,99984089 ,99984690 ,99985270 ,99985829 ,99986368 ,99986888 ,99987389 ,99987872 ,99988338 ,99988787 ,99989220 ,99989637 ,99990039 ,99990426 ,99990799 ,99991158 ,99991504 ,99991838 ,99992159 ,99992468 ,99992765 ,99993052 ,99993327 ,99993593 ,99993848 ,99994094 ,99994331 ,99994558 ,99994777 ,99994988 ,99995190 ,99995385 ,99995573 ,99995753 ,99995926 ,99996092 ,99996253 ,99996406 ,99996554 ,99996696

Tartalomjegyzk ELSZ I. A Kolmogorov-fle valsz n sgi mez I.1. I.2. I.3. I.4. I.5.

A val sznsgszmts alapfogalmai s axi marendszere Pldk val sznsgi mezkre . . . . . . . . . . . . . . . Ksrletsorozat, az esemnyek relatv gyakorisga . . . . A feltteles val sznsg s az esemnyek fggetlensge . Kidolgozott feladatok s gyakorlatok . . . . . . . . . . .

II. A valsz n sgi v ltoz II.1. II.2. II.3. II.4. II.5. II.6. II.7. II.8.

A val sznsgi vltoz fogalma . . . . Az eloszlsfggvny fogalma . . . . . . Diszkrt val sznsgi vltoz k . . . . . Folytonos val sznsgi vltoz k . . . . Val sznsgi vltoz k transzformci i A vrhat rtk . . . . . . . . . . . . . Magasabb momentumok, sz rsngyzet Kidolgozott feladatok s gyakorlatok .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

7 17 18 19 24

51

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

III.1.Val sznsgi vektorvltoz k, egyttes eloszlsfggvny III.2.Diszkrt val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsa . . . III.3.Folytonos val sznsgi vltoz k egyttes eloszlsa . . . III.4.Val sznsgi vektorvltoz k transzformci i . . . . . . III.5.A kovariancia s a korrelci s egytthat . . . . . . . . III.6.A feltteles vrhat rtk . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.Kidolgozott feladatok s gyakorlatok . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. 93 . 96 . 98 . 101 . 106 . 111 . 115

3

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

III.Valsz n sgi vektorv ltozk

. . . . . . . .

. . . . .

5 7

51 53 57 62 69 72 76 80

93

Val sz n s gsz m t s. Ketskem ty L szl

Recommend Documents