74
V.
PENDEKATAN BAYES PADA MODEL ACAK
5.1. Pendahuluan Pada banyak kasus, seringkali dapat diperoleh informasi awal tentang parameter yang akan diduga. Sebagai contoh adalah pada kasus pendugaan produktivitas tanaman hortikultura yang telah dibahas pada Bab 2. Pada saat melakukan listing di dusun, sebenarnya dari setiap petani dapat juga dikumpulkan informasi tentang perkiraan produksi dan/atau produksi pada musim sebelumnya.
Data produksi (atau
produktivitas) ini dapat dijadikan sebagai data dasar (awal) untuk memperbaiki hasil pendugaan dari data plot yang diperoleh dari dusun yang bersangkutan. Salah satu metode yang dapat memanfaatkan informasi awal tersebut dalam proses pendugaan parameter adalah metode Bayes. Pada banyak literatur/penelitian, misalnya dapat dilihat pada Lindley & Smith (1972) dan Berger (1985), metode Bayes dapat memberikan dugaan yang lebih baik dibandingkan dengan metode-metode klasik seperti metode kuadrat terkecil atau metode kemungkinan maksimum. Metode Bayes merupakan salah satu metode pendugaan parameter yang memanfaatkan informasi awal tentang parameter yang akan diduga (θ) yang biasa disebut sebagai informasi prior (π(θ)) dan informasi dari contoh (x). Informasi awal dan informasi contoh ini dikombinasikan membentuk suatu sebaran yang disebut sebagai sebaran posterior, yang merupakan sebaran dasar pengambilan keputusan atau pengujian dalam metode Bayes (Berger, 1985). Sebaran posterior θ jika diketahui x dilambangkan dengan π(θ|x) didefinisikan sebagai sebaran bersyarat θ jika data contoh x diketahui. Andaikan θ dan X memiliki fungsi kepekatan bersama:
h ( x , θ ) = π (θ ) f ( x | θ ), dan X memiliki kepekatan marginal:
m (x) =
∫
θ
f ( x | θ ) dF
π
(θ ),
maka untuk m(x) ≠ 0 dapat diperoleh sebaran posterior sebagai berikut:
π (θ | x ) =
h ( x ,θ ) m (x)
75
Sebaran prior merefleksikan pengetahuan atau keyakinan peneliti tentang θ , yang pada umumnya informasi ini tersedia (Moore, 1997). Sedangkan π (θ|x) merupakan refleksi dari perbaikan nilai θ setelah dilakukan observasi contoh x.
Atau dengan
perkataan lain, sebaran posterior merupakan kombinasi antara informasi awal tentang θ dengan informasi tentang θ yang dibawa oleh contoh x. Pada bab ini akan dicoba menelaah pendekatan Bayes untuk pendugaan parameter model acak persamaan (4.1) dan (4.2). 5.2. Penentuan Prior Sebaran prior secara garis besar dapat ditentukan melalui dua cara, yaitu secara subyektif dan secara empiris. Pada umumnya, sebaran posterior π (θ | x) dan sebaran marginal m(x) tidak mudah ditentukan. Ada kelas sebaran prior yang membuat sebaran posterior π (θ | x) dapat ditentukan dengan mudah yang disebut sebagai conjugate prior. Sebaran conjugate prior pada berbagai fungsi kemungkinan sebaran keluarga eksponen disajikan pada Tabel 17. Dengan adanya prior conjugate, untuk mendapatkan sebaran posterior π (θ | x ) , kita tidak perlu menghitung sebaran marginal m ( x ) . Secara umum, sebaran posterior π (θ | x ) dapat ditentukan melalui kaidah berikut (Gill, 2002):
π (θ | x) ∝ p (θ )L (θ | x) dimana p (θ ) adalah sebaran prior bagi θ , dan L(θ | x) merupakan fungsi kemungkinan θ . Untuk ukuran pemusatan, prior yang paling umum digunakan adalah sebaran normal. Sebaran normal sangat umum digunakan, baik pada pendekatan-pendekatan Bayesian maupun Non-Bayesian. Beberapa alasan yang mendasarinya antara lain (Gill, 2002): (1) secara alamiah data empriris kebanyakan mengikuti pola sebar an normal, yang diperkuat juga dengan adanya dalil limit pusat; (2) Banyak kelas sebaran posterior dapat dimodelkan dengan mengkombinasikan asumsi fungsi kemungkinan normal dengan prior yang berbeda; (3) Pada banyak model Bayesian lebih sulit dalam mendapatkan penduga secara numerik, tetapi sebaran normal memberikan sebaran
76
posterior yang mudah ditelusuri secara analitik.
Sedangkan untuk ukuran keragaman
(parameter ragam), sebaran prior yang paling umum digunakan adalah Inverse Gamma. Tabel 17
Beberapa bentuk sebaran keluarga eksponen dan conjugate prior (Gill, 2002)
Sebaran fungsi kemungkinan
Sebaran conjugate prior
Hyperparameter
Bernoulli
Beta
α > 0, β > 0
Binomial
Beta
α > 0, β > 0
Multinomial
Dirichlet
θ j > 0, ∑ θ j = θ 0
Negative Binomial
Beta
α > 0, β > 0
Poisson
Gamma
α > 0, β > 0
Exponential
Gamma
α > 0, β > 0
Gamma
Gamma
α > 0, β > 0
Normal untuk µ
Normal
µ ∈ R, σ 2 > 0
Normal untuk σ 2
Inverse Gamma
α > 0, β > 0
Pareto untuk α
Gamma
α > 0, β > 0
Pareto untuk β
Pareto
α > 0, β > 0
Uniform
Pareto
α > 0, β > 0
Pada keadaan tertentu, prior yang kita tentukan tidak dapat memberikan informasi secara spesifik tentang parameter θ . Sebagai contoh, untuk parameter lokasi µ hanya dapat menyebutkan − ∞ < µ < ∞ ; atau untuk parameter ragam σ menyebutkan σ 2 > 0 .
Prior
2
hanya dapat
untuk kasus yang demikian disebut sebagai
noninformative prior, yang berarti prior yang tidak mengandung informasi tentang θ (Berger, 1985). Metode yang paling umum digunakan untuk menentukan noninformative prior adalah metode yang dikemukakan oleh Jeffreys (1961) dalam Berger (1985) , yaitu mengambil nilai akar kuadrat nilai harapan dari informasi Fisher I (θ ) sebagai noninformative prior seperti berikut: π (θ ) = [I (θ )] . 1 2
77
Secara umum, untuk parameter lokasi µ dan parameter regresi β , noninformative prior- nya adalah p (µ ) ∝ c atau p (β ) ∝ c .
Sedangkan noninformative prior untuk parameter ragam σ 2 adalah p (σ 2 ) ∝
1 σ2
(Berger, 1985 dan Kass & Wasserman, 1996).
Khusus untuk model acak satu faktor (persamaan 4.1), sebaran priornya berkaitan dengan parameter µ , σ α2 , dan σ 2 . Pada kasus model ini akan dibahas untuk sebaran prior sebagai berikut: (1). Untuk parameter µ akan dicoba dua prior, yaitu noninformative prior dan prior normal, yaitu µ ~ N (τ , δ 2 ) (2). Untuk parameter σ α2 akan dicoba dua prior, yaitu noninformative prior dan prior normal, yaitu σˆ α2 ~ N ( m, γ 2 ) (3). Untuk parameter σ 2 akan dicoba menggunakan noninformative prior. Sedangkan untuk model acak dua faktor tersarang (persamaan 4.2), sebaran priornya berkaitan dengan parameter µ , σ α2 , σ β2 dan σ 2 . Pada kasus model ini, ada dua sebaran prior untuk parameter µ akan dibahas, yaitu noninformative prior dan prior normal µ ~ N (τ ,δ 2 ) , sedangkan untuk parameter komponen ragam σ 2 , σ β2 , dan σ α2 menggunakan noninformative prior saja. 5.3. Pendekatan Bayes Sub bab ini akan membahas pendekatan Bayes untuk kasus model acak persamaan (4.1) dan (4.2) yang telah dibahas pada Bab 4.
Sedangkan sebaran priornya
menggunakan kombinasi prior yang diungkapkan pa da Sub Bab 5.2. Secara umum, pada model acak satu faktor, jika diketahui prior untuk µ , σ α2 , dan σ 2 yang masing-masing adalah π1 (µ) , π 2 (σ α2 ) , dan π 3 (σ 2 ) , maka fungsi sebaran posterior bagi θ = µ, σ α2 ,σ 2 dapat dinyatakan sebagai π (θ | y ) = L (µ ,σ α2 ,σ 2 | y) π 1 ( µ | σ α2 ,σ 2 ) π 2 (σ α2 ) π 3 (σ 2 ) .
78
Pendekatan Bayes untuk Model Acak Satu Faktor a.
Kasus noninformative prior untuk µ , σ α2 , dan σ 2 Dengan mengacu pada fungsi kemungkinan (4.5), maka log fungsi posterior untuk model acak satu faktor yang dimaksud di sini (persamaan 4.1) adalah sebagai berikut: n i ( yi . − µ ) 2 N 1 1 JKE log 2π − ( N − a ) log σ 2 − ∑ log λi − − ∑i 2 2 2 i 2σ 2 2λ i 1 1 + log 2 + log 2 . σα σ
log π (θ | y ) ∝ −
dengan λi = σ 2 + n iσ α2 . Penurunan fungsi ini terhadap µ menghasilkan n ( y − µ) ∂ log π = ∑ i i. . ∂µ λi i Selanjutnya, dengan mengevaluasi fungsi ini terhadap 0 diperoleh ni ( yi . − µ ) =0 2 + n i σ α2
∑σ i
n i yi . + ni σˆ α2 µˆ = i . ni ∑i σˆ 2 + n σˆ 2 i α
∑ σˆ
2
Untuk kasus jumlah ulangan sama , penduga µ ˆ akan diperoleh sama seperti penduga kuadrat terkecil dan penduga kemungkinan maksimum, yaitu µˆ = y.. . Sedangkan ragam dari µˆ dapat diperoleh dengan cara yang sama dengan penduga kemungkinan maksimum seperti yang telah dibahas pada Bab 4, sehingga diperoleh −1
n ragam(µˆ ) = ∑ 2 i 2 . i σˆ + n i σˆ α Untuk kasus jumlah ulangan sama akan diperoleh ragam(µˆ ) sama seperti penduga kemungkinan maksimum, yaitu ragam( µˆ ) =
σˆ 2 + n σˆ α2 . an
Penduga bagi komponen ragam σ α2 dan σ 2 tidak dapat diperoleh dalam bentuk closed form, oleh karena itu akan diturunkan dalam bentuk proses pendugaan
79
menggunakan algoritma iteratif. Selanjutnya, penurunan penduga bagi σ 2 dan σ α2 (sama dengan σ b2 pada fungsi berikut) dapat diperoleh dari fungsi tujuan atau profil posterior sebagai berikut: Q∝ −
N 1 q q log σ 2 − e′A −1e − log σ b2 − log b ′R −1b 2 2 2σ 2 2σ b2
1 1 1 − log | σ −2 Z ′A −1 Z + σ b−2 R −1 | + log 2 + log 2 . 2 σb σ Penurunan fungsi ini terhadap σ b2 dan σ
2
menghasilkan:
∂Q N 1 1 1 =− + e ′Ae + teras {(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) − 1 Z ′A −1 Z} − 2 ∂σ 2 2σ 2 2σ 4 2σ 4 σ ∂Q q 1 1 1 =− + b′R −1b + teras {(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R − 1 ) −1 R −1 } − 2 . 2 2 4 4 ∂σ b 2σ b 2σ b 2σ b σb
Dengan mengevaluasi pada nilai 0, diperoleh N 1 1 1 + e′Ae + teras{(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) −1 Z ′A −1 Z } − 2 = 0 2 4 4 2σ 2σ 2σ σ N 1 1 1 + = e ′Ae + teras{(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) −1 Z ′A −1 Z } 2σ 2 σ 2 2σ 4 2σ 4 Nσ 2 1 1 + σ 2 = e ′Ae + teras{(σ −2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 )−1 Z ′A −1 Z} 2 2 2 −
(
)
1 −2 −1 − 2 −1 −1 −1 σ2 = e ′Ae + teras {(σ Z ′A Z + σb R ) Z ′A Z } N + 2
−
q 1 1 1 + b ′R −1b + teras{(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b−2 R −1 ) −1 R −1 } − 2 = 0 2 4 4 2σ b 2σ b 2σ b σb
q 1 1 1 + 2 = b ′R −1 b + teras{(σ −2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) −1 R −1 } 2 4 4 2σ b σ b 2σ b 2σ b qσ b2 1 1 + σ b2 = b ′R −1 b + teras{(σ −2 Z ′A −1 Z + σ b−2 R −1 ) −1 R −1 } 2 2 2 1 σ b2 = b ′R −1 b + teras{(σ −2 Z ′A −1 Z + σ b−2 R −1 ) −1 R −1 } . q + 2
(
)
Dengan demikian, algoritma untuk menduga µ , b , dan komponen ragam σ 2 dan σ α2 adalah sebagai berikut: 6. Tentukan nilai awal σ 2 , σ b2 , µ dan b (Nilai awal bagiσ 2 dan σ b2 dapat diambil dari penduga kuadrat terkecil, sedangkan nilai awal untuk b dapat diambil = 0)
80
7. Hitung: n i yi . + ni σ α2 µ= i n ∑i σ 2 + in σ 2 i α
∑σ
2
.
Hitung vektor data terkoreksi y c = y − 1µ − Zb dan hitung nilai b melalui persamaan b = ( Z ′ ∑ −1 Z + D −1 ) −1 Z ′ ∑ −1 y c 8. Hitung: e = y − 1µ − Zb 9. Hitung nilai komponen ragam baru menggunakan:
(
)
1 ′ −2 −1 −2 −1 −1 −1 σ2 = e Ae + teras{(σ Z ′A Z + σ b R ) Z ′A Z } N + 2 1 σ b2 = b ′R −1 b + teras{(σ −2 Z ′A −1 Z + σ b−2 R −1 ) −1 R −1 } q + 2
(
)
Dimana nilai σ 2 dan σ b2 sebelah kanan mengambil nilai pada iterasi sebelumnya. 10. Ulangi 2-5 sampai konvergen.
b.
Kasus noninformative prior untuk µ dan σ 2 , sedangkan σˆ α2 ~ N ( m, γ 2 ) Log fungsi posterior untuk kasus ini adalah sebagai berikut: log π (θ | y ) ∝ −
n i ( yi . − µ ) 2 N 1 1 JKE log 2π − ( N − a ) log σ 2 − ∑ log λi − − ∑i 2 2 2 i 2σ 2 2λ i 2
1 σ 2 − m 1 + log 2 . − α 2 γ σ Penurunan fungsi ini terhadap µ , kemudian dievaluasi pada nilai 0 akan menghasilkan penduga µ dan ragam(µˆ ) yang sama dengan kasus-a. Penduga bagi komponen ragam σ α2 dan σ
2
juga tidak dapat diperoleh dalam
bentuk closed form, oleh karena itu pendugaannya dilakukan secara iteratif.
81
Selanjutnya, penurunan penduga bagi σ 2 dan σ α2 (sama dengan σ b2 pada fungsi berikut) akan diperoleh dari fungsi tujuan atau profil posterior sebagai berikut: N 1 q 1 log σ 2 − e′Ae − log σ b2 − b ′R −1b 2 2 2 2σ 2σ b2 1 1 − log | σ −2 Z ′A−1 Z + σ b−2 R −1 | + log σ −2 − 2 (σ b2 − m) 2 2 2γ
Q∝−
Penurunan fungsi ini terhadap σ b2 dan σ 2 menghasilkan: ∂Q N 1 1 1 =− + e ′Ae + teras {(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) − 1 Z ′A −1 Z} − 2 ∂σ 2 2σ 2 2σ 4 2σ 4 σ ∂Q q 1 1 1 =− + b′R −1b + teras {(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R − 1 ) −1 R −1 } − 2 (σ b2 − m ) 2 2 4 4 ∂σ b 2σ b 2σ b 2σ b γ
Dengan mengevaluasi pada nilai 0, diperoleh −
N 1 1 1 + e′Ae + teras{(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) −1 Z ′A −1 Z} − 2 = 0 2 4 4 2σ 2σ 2σ σ
N 1 1 ′ 1 + 2 = e Ae + teras{(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) −1 Z ′A −1Z } 2 4 2σ σ 2σ 2σ 4 Nσ 2 1 1 + σ 2 = e ′Ae + teras{(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) −1 Z ′A −1 Z} 2 2 2
(
)
1 −2 −1 − 2 −1 −1 −1 σ2 = e ′Ae + teras {(σ Z ′A Z + σb R ) Z ′A Z } N + 2
σ b2 q 1 1 m −1 −2 −1 −2 −1 −1 −1 ′ ′ + b R b + teras {( σ Z A Z + σ R ) R } − + 2 =0 b 2 4 4 2 2σ b 2σ b 2σ b γ γ q 1 1 1 = b ′R −1 b + teras{(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) −1 R −1 } − 2 (σ b2 − m) 2σ b2 2σ b4 2σ b4 γ
−
qγ 2 γ2 γ2 −1 ′ + b R b + teras {(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) −1 R −1 } + m ……. 2σ b2 2σ b4 2σ b4
(5.1)
1 2σ 4 σ b2 = (b ′R −1b + teras {(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) −1 R −1 } − 2b (σ b2 − m)) ……. γ q
(5. 2)
σ b2 = −
atau
Dengan demikian, algoritma pendugaan σ b2 dan σ 2 sama dengan kasus -a, tetapi hanya mengganti rumus σ b2 dengan persamaan (5.1) atau (5.2). c.
Kasus noninformative prior untuk σ α2 dan σ 2 , sedangkan µ ~ N (τ , δ 2 ) Log fungsi posterior untuk kasus ini adalah sebagai berikut:
82
n i ( yi . − µ ) 2 N 1 1 JKE log 2π − ( N − a ) log σ 2 − ∑ log λi − − ∑i 2 2 2 i 2σ 2 2λ i 1 1 1 2 − 2 (µ − τ ) + log 2 + log 2 . 2δ σα σ
log π (θ | y ) ∝ −
Penurunan fungsi ini terhadap µ menghasilkan n ( y − µ ) (µ − τ ) ∂π = ∑ i i. − ∂µ λi δ2 i =∑ i
ni yi . nµ µ τ −∑ i − 2 + 2 . λi λi δ δ i
Dengan mengevaluasi fungsi ini terhadap 0 dan memasukkan nilai λi = σ 2 + ni σ α2 maka diperoleh
∑σ i
2
ni yi . n 1 τ −µ (∑ 2 i 2 + 2 ) + 2 = 0 2 + niσ α δ δ i σ + niσ α
n i y i. τ + 2 2 + n iσ α δ µˆ = i …………………………………………… ni 1 ∑i σ 2 + n σ 2 + δ 2 i α
∑σ
2
(5. 3)
Selanjutnya, turunan kedua dari log fungsi posteriornya menghasilkan: n ∂ 2π 1 = −∑ i − 2 . ∂ µ∂µ δ i λi Dengan demikian, ragam dari µˆ adalah −1
n 1 ragam(µˆ ) = ∑ 2 i 2 + 2 . i σˆ + ni σˆ α δ Penduga bagi komponen ragam σ α2 dan σ 2 akan diturunkan dalam bentuk proses pendugaan menggunakan algoritma iteratif. Selanjutnya, penurunan penduga bagi σ 2 dan σ α2 (sama dengan σ b2 pada fungsi berikut) akan diperoleh dari fungsi tujuan atau profil likelihood sebagai berikut: Q∝ −
N 1 q q log σ 2 − e′A −1 e − log σ b2 − log b′R −1b 2 2 2σ 2 2σ b2
1 1 1 − log | σ −2 Z ′A −1 Z + σ b−2 R −1 | + log 2 + log 2 . 2 σb σ
83
Penurunan fungsi ini terhadap σ b2 dan σ 2 menghasilkan: ∂Q N 1 1 1 =− + e ′Ae + teras {(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) − 1 Z ′A −1 Z} − 2 2 2 4 4 ∂σ 2σ 2σ 2σ σ ∂Q q 1 1 1 =− + b′R −1b + teras {(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R − 1 ) −1 R −1 } − 2 . 2 2 4 4 ∂σ b 2σ b 2σ b 2σ b σb
Dengan mengevaluasi pada nilai 0, diperoleh sama dengan kasus-a.
Dengan
demikian, algoritma perhitungan bagi penduga parameter µ , σ 2 dan σ α2 mirip dengan butir a, tetapi hanya berbeda pada bagian penentuan penduga bagi µ (menggunakan persamaan 5.3). d.
Kasus noninformative prior untuk σ 2 , sedangkan µ ~ N (τ , δ 2 ) dan σˆ α2 ~ N (m, γ 2 ) Log fungsi posterior untuk kasus ini adalah sebagai berikut: log π ∝ −
ni ( yi . − µ ) 2 N 1 1 JKE log 2π − ( N − a ) log σ 2 − ∑ log λ i − − ∑i 2λ 2 2 2 i 2σ 2 i 2
1 1σ 2 −m 1 2 + log 2 . − 2 (µ − τ ) − α 2δ 2 γ σ Penurunan fungsi ini terhadap µ menghasilkan n ( y − µ ) (µ − τ ) ∂π = ∑ i i. − ∂µ λi δ2 i =∑ i
n i y i. nµ µ τ −∑ i − 2 + 2 . λi λi δ δ i
Dengan mengevaluasi fungsi ini terhadap 0 akan diperoleh penduga bagi µ sama dengan kasus-c. Ragam bagi µˆ juga akan sama dengan kasus-c. Proses perhitungan untuk komponen ragam σ 2 dan σ α2 akan sama dengan kasus -b, dengan demikian algoritma pendugaan bagi parameter µ , σ 2 dan σ α2 mirip dengan kasus-b, tetapi hanya berbeda pada bagian penentuan penduga bagi µ (menggunakan persamaan 5.3).
84
Pendekatan Bayes untuk Model Acak Dua Faktor Tersarang Pendekatan Bayes pada model acak dua faktor tersarang yang akan dibahas pada tulisan ini hanya pada kasus jumlah taraf tersarang dan jumlah ulangan yang sama (seimbang). Sedangkan kasus sebaran prior bagi parameter modelnya akan dibahas dua keadaan, yaitu (a) kasus semua parameter µ , σ 2 , σ β2 dan σ α2 noninformative prio r, dan (b) kasus µ ~ N (τ , δ 2 ) , sedangkan σ 2 , σ β2 dan σ α2 noninformative prior. a. Kasus semua parameter µ , σ 2 , σ β2 dan σ α2 noninformative prior Dengan mengingat (Tabel 14) bahwa
2 σ 12 = σ 2 , σ 12 = σ 2 + nσ β2 , dan
2 σ 123 = σ 2 + nσ β2 + bnσ α2 maka noninformative prior bagi σ 2 , σ β2 dan σ α2 akan setara 2 dengan noninformative prior bagi σ 12 , σ 122 dan σ 123 .
Di sisi lain, menurut (Tiao &
2 Box, 1967), sebaran bersama noninformative prior bagi µ , σ 12 , σ 122 dan σ 123 adalah: 2 −2 π ( µ, σ 12 , σ 122 ,σ 123 ) ∝ σ 1− 2 , σ 12− 2 , σ 123 .
Dengan demikian, dengan merujuk pada persamaan (4.7), maka fungsi kemungkinan 2 bagi µ , σ 12 , σ 122 dan σ 123 menjadi:
2 L( µ ,σ 12 ,σ 122 , σ 123 ) ∝ (σ 12 )
− 12 v1
(σ 122 )
− 12 v2
× exp −
2 (σ 123 )
− 12 (v3 +1)
2 1 bn∑ ( yi .. − µ ) v2 m2 v1m1 1 1 1 + + 2 × 2 2 2 2 2 σ 123 σ 122 σ 1 σ 1 σ 12 σ 123
.
Log dari fungsi kemungkinan ini menjadi:
1 1 1 2 2 log L( µ, σ12 ,σ122 , σ123 ) = − v1 log σ12 − v 2 log σ122 − v3 log σ123 2 2 2 2 1 bn∑( yi .. − µ) v2 m2 v1 m1 2 − + 2 + 2 − log σ12 − log σ122 − log σ123 2 2 σ123 σ12 σ1 . 2 Turunan pertama terhadap µ , σ 12 , σ 122 , dan σ 123 adalah sebagai berikut:
(a)
∂ log L bn ∑ ( yi .. − µ) = 2 ∂µ σ 123
85
(b)
∂ log L v vm 1 = − 1 2 + 1 41 − 2 2 ∂σ 1 2σ 1 2σ 1 σ 1
(c)
∂ log L v v m 1 = − 2 2 + 2 42 − 2 2 ∂σ 12 2σ 12 2σ 12 σ 12
(d)
2 v3 + 1 bn∑ ( yi .. − µ ) ∂ log L 1 = − + − 2 . 2 2 4 ∂σ 123 2σ 123 2σ 123 σ 123
Evaluasi keempat persamaan ini terhadap 0 menghasilkan bn∑ ( yi .. − µ )
(a)
2 σ 123
=0
µˆ = y... −
(b)
v1 vm 1 + 1 41 − 2 = 0 2 2σ 1 2σ 1 σ 1
σ 12 v1 v1 m1 + − σ 12 = 0 2 2 σ 12 v1 + 2σ 12 = v1 m1 −
σˆ 2 =
−
(c)
v1m1 JKG = v1 + 2 ab( n − 1) + 2
v2 v m 1 + 2 42 − 2 = 0 2 2σ 12 2σ 12 σ 12
v2σ 122 v2 m2 + − σ 122 = 0 2 2 2 2 v2 σ 12 + 2σ 12 = v2 m2 v m σ 122 = 2 2 v2 + 2 −
σˆ 2 + n σˆ β2 =
v 2 m2 v2 + 2
JKB 1 σˆ β2 = − σˆ 2 v2 + 2 n (d)
−
2 v3 + 1 bn ∑ ( yi .. − µ) 1 + − 2 =0 2 4 2σ 123 2σ 123 σ 123
86
2 2 σ 123 (v3 + 1) bn∑ ( yi .. − µ ) 2 − + − σ 123 =0 2 2 2 2 σ 123 ( v3 + 1) + 2σ 123 = bn∑ ( y i.. − µ ) 2 2 σ 123 =
v 3 m3 v3 + 3
σˆ 2 + n σˆ β2 + bnσˆ α2 =
v 3 m3 a+2
v 3 m3 − σˆ 2 − nσˆ β2 2 σˆ α = a + 2 bn JKA − σˆ 2 − n σˆ β2 (a + 2) = bn
.
Ragam bagi µˆ dapat diperoleh melalui turunan kedua dari fungsi log L di atas sebagai berikut: ∂ 2 log L abn =− 2 . 2 ∂µ σ 123 Dengan demikian ragam(µˆ ) =
σˆ 2 + n σˆ β2 + bnσˆ α2 abn
.
b. Kasus µ ~ N (τ ,δ 2 ) dan komponen ragamnya noninformative prior Fungsi kemungkinan untuk kasus ini adalah 2 L( µ ,σ 12 ,σ 122 ,σ 123 ) ∝ (σ 12 )
× exp −
− 12 v1
(σ 122 )
− 12 v2
2 (σ 123 )
−12 (v3 +1)
2 1 1 1 1 bn∑ ( yi .. − µ ) v 2 m2 v1 m1 1 2 ( ) + + + µ − τ × 2 2 2 2 2 σ 123 σ 122 σ 12 δ2 σ 1 σ 12 σ 123
.
Log dari fungsi kemungkinan ini menjadi: 1 1 1 2 2 log L (µ ,σ 12 , σ 122 ,σ 123 ) = − v1 log σ 12 − v 2 log σ 122 − v3 log σ 123 2 2 2 2 vm vm 1 bn∑ ( yi .. − µ ) 1 2 2 − + 2 2 2 + 1 2 1 + 2 (µ − τ ) − log σ 12 − log σ 122 − log σ 123 2 2 σ 123 σ 12 σ1 δ . 2 Turunan pertama terhadap µ , σ 12 , σ 122 , dan σ 123 adalah sebagai berikut:
87
(a)
∂ log L bn ∑ ( yi .. − µ) 1 = − 2 (µ − τ ) 2 ∂µ σ 123 δ
(b)
v vm ∂ log L 1 = − 1 2 + 1 41 − 2 2 ∂σ 1 2σ 1 2σ 1 σ 1
(c)
v v m ∂ log L 1 = − 2 2 + 2 42 − 2 2 ∂σ 12 2σ 12 2σ 12 σ 12
(d)
2 v3 + 1 bn∑ ( yi .. − µ ) ∂ log L 1 =− + − 2 . 2 2 4 ∂σ 123 2σ 123 2σ 123 σ 123
Evaluasi persamaan (a) terhadap 0 menghasilkan bn∑ ( yi .. − µ ) σ
2 123
−
1 (µ − τ ) = 0 δ2
abny... abnµ µ τ − 2 − 2 + 2 =0 2 σ 123 σ 123 δ δ abny τ σˆ 2 µˆ = 2 ... + 2 123 δ abn σˆ 123 µˆ = y... + τ
(σˆ
2
+ nσˆ β2 + bnσˆ α2 δ (abn) 2
).
Sedangkan evaluasi persamaan ini (b), (c) dan (d) terhadap 0 menghasilkan penduga bagi σ 2 , σβ2 , dan σ α2 sama dengan kasus-a. Ragam bagi µˆ dapat diperoleh melalui turunan kedua dari fungsi log L di atas sebagai berikut: ∂ 2 log L abn 1 =− 2 − 2 . 2 ∂µ σ 123 δ −1
abn 1 Dengan demikian ragam(µˆ ) = 2 + . σˆ + nσˆ 2 + bnσˆ 2 δ 2 β α
88
5.5. Penerapan Penerapan pendekatan Bayes pada model acak akan dicobakan untuk data dengan jumlah ulangan sama (data Tabel 7, Bab 3) dan data dengan ulangan tidak sama (data Tabel 16, Bab 4). Sebaran prior untuk µ dan σ α2 (selain noninformative prior) dicoba menggunakan sebaran normal dengan mengambil besaran parameter di sekitar penduga kemungkinan maksimumnya, yaitu µ ~ N (25 , 1) dan σ α2 ~ N (4, 7 ) . Hasil pendugaan terhadap µˆ , σˆ 2 , σˆ α2 , dan ragam(µˆ ) untuk data dengan jumlah ulangan sama (data Tabel 16) disajikan pada Tabel 18, sedangkan untuk data dengan jumlah ulangan tidak sama (data Tabel 7) disajikan pada Tabel 19. Tabel 18
Hasil pendugaan terhadap µ ˆ , σˆ 2 , σˆ α2 , dan ragam(µ ˆ ) untuk data dengan jumlah ulangan sama (Tabel 16) µˆ
σˆ 2
σˆ α2
ragam (µˆ )
MKM
25.267
4.653
3.370
0.829
Bayes Kasus (a)
25.267
4.434
1.930
0.534
Bayes Kasus (b)
25.267
4.300
3.732
0.890
Bayes Kasus (c)
25.174
4.434
1.936
0.535
Bayes Kasus (d)
25.141
4.300
3.740
0.891
Metode / Kasus
Tabel 19
Hasil pendugaan terhadap µˆ , σˆ 2 , σˆ α2 , dan ragam(µˆ ) untuk data dengan jumlah ulangan tidak sama (Tabel 7)
ˆ µ
σˆ 2
σˆ α2
ragam(µˆ )
MKM
25.305
3.701
3.867
0.873
Bayes Kasus (a)
25.284
3.524
2.545
0.604
Bayes Kasus (b)
25.309
3.502
3.943
0.883
Bayes Kasus (c)
25.177
3.527
2.541
0.603
Bayes Kasus (d)
25.164
3.503
3.946
0.884
Metode / Kasus
