´ Uvod do derivac´ı pro fyziku Vojtˇech H´ala srpen 2010, verze 0.1 Varov´ an´ı At’ uˇz se k v´am tento text dostal jakkoli, vˇezte, ˇze nenahrazuje uˇcebnici matematiky. Autor jej napsal pro sv´e aktivn´ı stˇredoˇskolsk´e studenty, kteˇr´ı maj´ı hlubˇs´ı z´ajem o fyziku, derivace jsou pro nˇe v r˚ uzn´ ych oblastech uˇziteˇcn´e, ale v matematice je jeˇstˇe neprob´ırali. C´ılem tedy nen´ı u ´pln´ y v´ yklad, ale jen rychle pochopit, o co jde, k ˇcemu je to dobr´e a jak se s t´ım zhruba zach´az´ı. Proto lze v textu naj´ıt ˇradu nepˇresnost´ı, o kter´ ych autor v´ı a dopustil se jich v z´ajmu jednoduchosti v´ ykladu. Obˇcas tedy lakuje skuteˇcnost na r˚ uˇzovo, napˇr´ıklad se v˚ ubec nezab´ yv´a ot´azkou, kdy derivace existuje. Pokud jiˇz derivace ovl´ad´ate, m˚ uˇze b´ yt dobr´ ym cviˇcen´ım tyto nepˇresnosti hledat. Moˇzn´a tu najdete i zaj´ımav´e pouˇzit´ı derivac´ı, o kter´em jste jeˇstˇe neslyˇseli. Z´aroveˇ n je tˇreba upozornit, ˇze k tomuto textu nelze pˇristoupit s hlavou ˇcistou a pr´azdnou. Pˇred ˇcten´ım je dobr´e m´ıt uˇz zaˇzit´e matematick´e pojmy: funkce, graf funkce, vektor, teˇcna, line´arn´ı funkce, goniometrick´e funkce, exponenci´aln´ı a logaritmick´e funkce.
1
Pr˚ umˇ ern´ a a okamˇ zit´ a rychlost
Dneˇsn´ı fyzika v´ yraznˇe vyuˇz´ıv´a matematiku jako jazyk pro popis pˇr´ırodn´ıch dˇej˚ u. Kdyˇz ale Isaac Newton v 17. stolet´ı vytv´aˇrel prvn´ı ucelen´ y popis pohybu tˇeles, potˇrebn´a matematika jeˇstˇe neexistovala a on ji musel tak´e vytvoˇrit. Derivov´an´ı vznilo z potˇreby pochopit rychlost pohybu. Pˇredstavme si hmotn´ y bod, kter´ y se pohybuje, tedy jeho poloha se v ˇcase mˇen´ı. Pro ’ zaˇc´atek necht se pohybuje jen po pˇr´ımce, kter´e budeme ˇr´ıkat osa x. Jeho poloha je urˇcena souˇradnic´ı, kter´a je v kaˇzd´em okamˇziku t jin´a, coˇz zapisujeme jako x = x(t) a ˇr´ık´ame, ˇze x je funkce promˇenn´e t. Tato funkce je vlastnˇe ˇcasov´ y z´aznam – pro libovoln´ y okamˇzik n´am ˇrekne, kde se bod nach´azel. Chceme-li spoˇc´ıtat pr˚ umˇernou rychlost mezi dvˇema okamˇziky t1 a t2 , staˇc´ı vˇedˇet, kde se bod nach´azel na poˇc´atku a na konci. Pr˚ umˇernou rychlost pak spoˇc´ıt´ame jako pod´ıl: celkov´a dr´aha za celkov´ y ˇcas. x2 − x1 ∆x vp = = (1) t2 − t1 ∆t Tak se napˇr´ıklad dozv´ıme, jak´a byla pr˚ umˇern´a rychlost automobilu, kter´ y vyjel ve 12:50 z Prahy a dorazil po d´alnici do Brna v 15:10. N´as by ale tak´e zaj´ımalo, jak´a byla jeho rychlost v konkr´etn´ım okamˇziku. Kolik ukazoval tachometr, kdyˇz bylo na hodin´ach 14:30? Nemˇel by ˇridiˇc dostat pokutu za pˇr´ıliˇs rychlou j´ızdu? Mal´a pr˚ umˇern´a rychlost jeˇstˇe neznamen´a, ˇze by nemˇel, protoˇze cestou jistˇe vˇselijak zrychloval a zase brzdil. Tachometr (a policejn´ı radar) ukazuje hodnotu veliˇciny, kter´e se ˇr´ık´a okamˇzit´a rychlost. M˚ uˇzeme ji ch´apat jako pr˚ umˇernou rychlost za velmi kr´atk´ y ˇcasov´ yu ´sek, napˇr´ıklad mezi 14:29:59 a 14:30:01. Jak kr´atk´ yu ´sek ale m´ame zvolit, staˇc´ı deset sekund anebo radˇeji setina sekundy? Samozˇrejmˇe co nejkratˇs´ı, protoˇze n´as zaj´ım´a, 1
co se dˇelo v dan´em okamˇziku a ne d´avno pˇredt´ım nebo potom. M˚ uˇzeme tedy zvolit nekoneˇcnˇe kr´atk´ y interval neboli nulov´ y? Bohuˇzel nem˚ uˇzeme, protoˇze pak by rychlost byla ∆x/∆t = 0/0, coˇz ned´av´a smysl. Ale zkus´ıme-li postupnˇe nˇekolik moˇznost´ı a u ´sek budeme poˇr´ad zkracovat, zjist´ıme, ˇze vypoˇcten´e rychlosti se od sebe pˇr´ıliˇs neliˇs´ı a pˇribliˇzuj´ı se k nˇejak´e hodnotˇe. To je ona! Hodnota, ke kter´e se pr˚ umˇern´e rychlosti bl´ıˇz´ı, kdyˇz interval neust´ale zkracujeme, se naz´ yv´a okamˇzit´a rychlost. Matematici tuhle hru na tˇesn´e pˇribliˇzov´an´ı oznaˇcuj´ı slovem limita a pˇri v´ ypoˇctech pouˇz´ıvaj´ı zkratku lim. Rychlost v okamˇziku t1 je tedy definov´ana vztahem ∆x . (2) t2 →t1 ∆t→0 ∆t Pˇresn´e zaveden´ı pojmu limita si m˚ uˇzeme nechat na pozdˇeji, v matematice si s limitami jeˇstˇe dost uˇzijete. Prozat´ım si jen zapamatujte, ˇze ∆t potˇrebujeme co nejmenˇs´ı, ale nesm´ı b´ yt nulov´e. Nˇekdy se tomu ˇr´ık´a infinitesim´alnˇe mal´e od latinsk´eho slova infinitas – nekoneˇcno. v(t1 ) = lim vp = lim
2
Derivace v dan´ em bodˇ e a derivace vˇ sude
V pˇredchoz´ım textu jsme s pomoc´ı ˇcasov´eho z´aznamu polohy zjistili okamˇzitou rychlost v jedˇ ık´ame, ˇze jsme naˇsli derivaci x v bodˇe t1 . Stejnou hru ale m˚ nom konkr´etn´ım okamˇziku. R´ uˇzeme hr´at pro kter´ ykoliv okamˇzik, neboli v kter´emkoliv bodˇe t, kter´ y je v definiˇcn´ım oboru funkce x = x(t). M˚ uˇzeme si tak sestavit z´aznam rychlosti ve vˇsech sledovan´ ych ˇcasech, neboli funkci v = v(t). Pr´avˇe tomu se ˇr´ık´a derivov´an´ı. Derivace je postup, jak ze zadan´e funkce x(t) odvodit jinou funkci v(t), kter´a popisuje zmˇeny p˚ uvodn´ı funkce. Fyzik ˇr´ık´a: Rychlost je ˇcasov´a zmˇena ” polohy.“ Matematik se nezaj´ım´a o vztah p´ısmenek k re´aln´emu svˇetu, a proto ˇr´ık´a: Funkce v ” je derivac´ı funkce x podle promˇenn´e t“. Naznaˇcen´ y postup derivov´an´ı vypad´a velmi sloˇzitˇe, ale matematikov´e naˇstˇest´ı naˇsli pravidla, jak se d´a derivace naj´ıt jednoduˇse a rychle. Uvid´ıte, ˇze to obvykle nen´ı o nic sloˇzitˇejˇs´ı neˇz u ´pravy v´ yraz˚ u – staˇc´ı se nauˇcit mechanicky pouˇz´ıvat pravidla, kter´a si zde vysvˇetl´ıme. Uˇsetˇr´ıte si tak uˇcen´ı nˇekter´ ych fyzik´aln´ıch vzoreˇck˚ u zpamˇeti, protoˇze se daj´ı rychle odvodit derivov´an´ım.
3
Znaˇ cen´ı, derivace vyˇ sˇ s´ıch ˇ r´ ad˚ u, vektory
ˇ se re´aln´a promˇenn´a obvykle znaˇc´ı x Lagrangeova notace V hodin´ach matematiky na SS a funkce f = f (x). Derivace funkce podle promˇenn´e x se pak znaˇc´ı ˇc´arkou. Napˇr´ıklad funkce f (x) = 3x2 m´a derivaci f 0 (x) = 6x. Leibnitzova notace Ve fyzice se ˇcastˇeji pouˇz´ıv´a jin´e znaˇcen´ı, kter´e vych´az´ı z toho, ˇze derivace se podob´a pod´ılu dvou malinkat´ ych hodnot. Jestliˇze je ∆x infinitesim´alnˇe mal´e, zapisuje se jako dx. Derivace funkce f podle promˇenn´e x se pak d´a zapsat jako df /dx, coˇz ˇcteme jako d´e ef podle d´e iks. V´ yhoda tohoto z´apisu je, ˇze neztrat´ıte pˇrehled o jednotk´ach. Napˇr´ıklad pokud x je souˇradnice v metrech a t je ˇcas v sekund´ach, tak rychlost dx/dt vyjde v m/s. Neznamen´a to ale, ˇze by se derivace dala jako pod´ıl skuteˇcnˇe poˇc´ıtat, berte to opravdu jen jako znaˇcen´ı. Moˇzn´a v´as uˇz napadlo, ˇze funkce odvozen´a derivov´an´ım je funkce jako kaˇzd´a jin´a a dala by se tedy derivovat jeˇstˇe jednou podle t´e sam´e promˇenn´e. To skuteˇcnˇe m˚ uˇze b´ yt velmi uˇziteˇcn´e a takov´ y postup oznaˇcujeme jako druhou derivaci. Funkce f dvakr´at derivovan´a podle x se znaˇc´ı d2 f /dx2 a ˇcte se jako d´e druh´e ef podle d´e iks kvadr´at. K ˇcemu m˚ uˇze b´ yt takov´e zaˇr´ık´avadlo? Co to je tˇreba druh´a derivace polohy? Uvaˇzujme: Rychlost je prvn´ı derivace a popisuje mi
zmˇeny polohy. Vezmu rychlost a jeˇstˇe jednou ji zderivuji podle ˇcasu, takˇze jsem dostal nˇejakou veliˇcinu, kter´a mi popisuje zmˇeny rychlosti. Co je to ∆v/∆t? Vˇeˇr´ım, ˇze jste poznali pr˚ umˇern´e zrychlen´ı. Takˇze dv/dt je okamˇzit´e zrychlen´ı. Zapiˇsme to vˇsechno jeˇstˇe jednou symbolicky. x = x(t) v = v(t) = dx dt a = a(t) =
dv dt
=
(3) (4) d2 x dt2
(5)
Newtonova notace Derivovat se d´a podle kde ˇceho, ale ve fyzice n´as pˇrecijen nejˇcastˇeji zaj´ımaj´ı zmˇeny r˚ uzn´ ych veliˇcin v ˇcase. Z d˚ uvodu lenosti,1 abychom nemuseli poˇr´ad vypisoˇ vat d/dt existuje jeˇstˇe jeden superstruˇcn´ y z´apis. Casov´ a derivace se znaˇc´ı prostˇe teˇckou nad p´ısmenem, druh´a ˇcasov´a derivace dvˇema teˇckami apod. v = x˙ a = v˙ = x¨
(6) (7)
Z hlediska jednotek, kaˇzd´a teˇcka pˇrid´av´a s−1 , takˇze kdyˇz x je v metrech, pak x˙ m´a jednotku m.s−1 a jednotka x¨ je m.s−2 .Tento z´apis ˇcasov´ ych derivac´ı pouˇz´ıval Isaac Newton. Co si napˇr´ıklad pˇredstavit pod rovnic´ı E˙ = 0, kdyˇz E znaˇc´ı energii tˇelesa? Znamen´a to, ˇze ˇcasov´a zmˇena E je nulov´a, takˇze E je konstantn´ı. Jin´ ymi slovy: energie tˇelesa se zachov´av´a. Zaj´ımav´e je, ˇze ve fyzice skoro nikdy nepotˇrebujeme derivovat v´ıce neˇz dvakr´at. V klasick´e mechanice je to d´ano druh´ ym Newtonov´ ym z´akonem, z´akonem s´ıly. Vystupuje v nˇem zrychlen´ı, neboli druh´a derivace polohy. F = m¨r (8) S´ılu F a polohu r jsem napsal tuˇcn´ ym p´ısmem, coˇz znamen´a, ˇze jsou to vektory. Co znamen´a derivace vektoru? Zat´ım jsme derivovali jen skal´arn´ı veliˇciny. Vektor m´a tˇri kart´ezsk´e souˇradnice, napˇr´ıklad poloha hmotn´eho bodu v prostoru je r = (x, y, z) a derivuje se jednoduˇse tak, ˇze zderivujete kaˇzdou souˇradnici zvl´aˇst’ a z v´ ysledk˚ u sloˇz´ıte zase vektor. Pˇredchoz´ı rovnice je tak vlastnˇe zkratka za 3 rovnice. Fx = m¨ x Fy = m¨ y Fz = m¨ z Vektor zrychlen´ı m´a tedy tak´e tˇri sloˇzky: a = ¨r = (¨ x, y¨, z¨).
4
Geometrick´ y v´ yznam
Na obr´azku 1 m´ame graf funkce x2 a pˇr´ımku, kter´a jej prot´ın´a ve dvou bodech. Je to tedy seˇcna k parabole. Zkusme pˇr´ımkou m´ırnˇe pohybovat (bud’ pomyslnˇe, nebo to zkuste pomoc´ı prav´ıtka) ´ a to tak, aby se pr˚ useˇc´ıky s grafem pˇribliˇzovaly k sobˇe. Usek mezi nimi je st´ale menˇs´ı a menˇs´ı, pˇr´ımka uˇz se pˇr´ıliˇs nemˇen´ı a zaˇc´ın´a pˇripom´ınat sp´ıˇse teˇcnu neˇz seˇcnu. Ale nulov´a vzd´alenost mezi nimi b´ yt nesm´ı, protoˇze jeden bod neurˇcuje pˇr´ımku. Vid´ıte, ˇze je to velmi podobn´a hra na nekoneˇcnˇe tˇesn´e pˇribliˇzov´an´ı, jakou jsme hr´ali pˇri hled´an´ı okamˇzit´e rychlosti. Mus´ı tedy b´ yt nˇejak´a souvislost mezi derivac´ı funkce a teˇcnou k jej´ımu grafu. 1
Nejenˇze lenost je hybn´ a s´ıla pokroku, ale zjednoduˇsen´ı z´apisu umoˇzn ˇuje vˇedc˚ um a technik˚ um nezab´ yvat se detaily a soustˇredit se na podstatu vˇeci.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Obr´azek 1: Graf funkce f (x) = x2 a seˇcna proch´azej´ıc´ı body x1 = 0,4 a x2 = 0,8. 2.0
1.5
1.0
0.5
-2.0
-1.5
-1.0
0.5
-0.5
1.0
1.5
2.0
-0.5
-1.0
Obr´azek 2: Graf funkce f (x) = 1/2 + x sin (x2 ) a teˇcny v bodech −2/3, 1/2, 3/2. Na obr´azku 2 m´ame kˇrivku, kter´a je opˇet grafem nˇejak´e funkce f (x). V nˇekolika vybran´ ych bodech pˇrikresl´ıme ke kˇrivce teˇcny. Z obr´azku je vidˇet, ˇze ˇc´ım rychleji funkce roste v dan´em bodˇe, t´ım strmˇeji stoup´a teˇcna. Kde funkce kles´a, tam i teˇcna kles´a. Je vidˇet, ˇze teˇcna pˇr´ımo souvis´ı s derivac´ı funkce, kter´a n´am popisuje rychlost stoup´an´ı. Teˇcna je pˇr´ımka, takˇze je grafem nˇejak´e line´arn´ı funkce y = ax + b. O line´arn´ıch funkc´ıch v´ıme, ˇze a se naz´ yv´a smˇernice a urˇcuje stoup´an´ı pˇr´ımky, b urˇcuje posun pod´el osy y. Kdyˇz je a > 0, pˇr´ımka roste, zat´ımco a < 0 znamen´a kles´an´ı. Jestliˇze pˇr´ımka m´a b´ yt teˇcnou grafu f (x) v bodˇe x0 , je stoup´an´ı urˇceno derivac´ı v tomto bodˇe, takˇze mus´ı b´ yt a = f 0 (x0 ). M˚ uˇzeme tedy ˇr´ıci, ˇze derivace je smˇernice teˇcny ke grafu v dan´em bodˇe. Napˇr´ıklad kdyˇz je derivace v nˇejak´em bodˇe rovna 2, znamen´a to, ˇze funkce v tomto m´ıstˇe roste stejnˇe rychle jako 2x. Derivace rovn´a −3 znamen´a kles´an´ı tak strm´e jako −3x. Z tˇechto u ´vah je vidˇet i prvn´ı pravidlo pro derivov´an´ı. Protoˇze teˇcna k pˇr´ımce je vˇzdycky tat´aˇz pˇr´ımka, derivace line´arn´ı funkce ax + b v libovoln´em bodˇe je konstanta a.
5
V´ ypoˇ cet
Chceme-li vypoˇc´ıtat derivaci nˇejak´e funkce, je tˇreba zn´at nazpamˇet’ derivace nˇekolika z´akladn´ıch funkc´ı a k tomu p´ar pravidel, jak je skl´adat dohromady ve sloˇzitˇejˇs´ıch pˇr´ıpadech.
5.1
Element´ arn´ı funkce
5.1.1
Konstanty a mocniny (c)0 = 0 (xc )0 = c · xc−1
(9) (10)
P´ısmenem c znaˇc´ıme libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo. Konstanta se tedy derivov´an´ım u ´plnˇe ztrat´ı a derivovat jakoukoliv mocninu je snadn´e. Pˇ r´ıklady 0
(x3 ) = 3x2 (x)0 = 1 · x0 = 1 √ 0 1/2 0 1 −1/2 ( x) = x = 2x = 5.1.2
1 √ 2 x
Exponenciely a logaritmy (ex )0 = ex (ln x)0 = x1
(11) (12)
Vid´ıte, proˇc maj´ı matematici tak r´adi Eulerovo ˇc´ıslo e = 2,71828 . . . – exponenciela o pˇrirozen´em z´akladu je jedin´a funkce odoln´a v˚ uˇci derivov´an´ı.2 S jin´ ymi z´aklady (a > 0, a 6= 1) je to kapku sloˇzitˇejˇs´ı a stejnˇe se tˇech pˇrirozen´ ych logaritm˚ u nezbav´ıme.
5.1.3
(ax )0 = ax ln a (loga x)0 = x ln1 a
(13) (14)
(sin x)0 = cos x (cos x)0 = − sin x (tg x)0 = cos12 x (cotg x)0 = − sin12 x
(15) (16) (17) (18)
Goniometrick´ e funkce
Tyto jednoduch´e vztahy plat´ı jen, pokud x dosazujeme v radi´anech. Kdyˇz naˇctrnete grafy funkc´ı sin x a cos x, vˇsimnˇete si, ˇze kosinus m´a nejvˇetˇs´ı hodnotu tam, kde sinus nejrychleji stoup´a. Naopak ve sv´em nejvyˇsˇs´ım a nejniˇzˇs´ım bodˇe sinus nestoup´a ani nekles´a a pˇresnˇe tam m´a kosinus nulovou hodnotu. Derivace vyjadˇruje, jak rychle funkce roste. 2
Ve skuteˇcnosti je takov´ a funkce jeˇstˇe jedna: f (x) = 0. Nulu m˚ uˇzete derivovat, kolikr´at chcete, a poˇr´ad je to nula. Ale to je dost trapn´a funkce, ne? :-) Nic neum´ı. Matematik by ˇrekl, ˇze je to funkce trivi´ aln´ı.
5.1.4
Cyklometrick´ e funkce (arcsin x)0 =
√ 1 1−x2 0 1 (arccos x) = − √1−x 2 0 1 (arctg x) = 1+x2 1 (arccotg x)0 = − 1+x 2
5.2
(19) (20) (21) (22)
Pravidla
Sloˇzitˇejˇs´ı funkce, kter´e nejˇcastˇeji potk´ate, jsou kombinac´ı tˇech element´arn´ıch pomoc´ı sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı, dˇelen´ı a skl´ad´an´ı. 5.2.1
Linearita (af + bg)0 = af 0 + bg 0
(23)
Zde a, b jsou libovoln´a re´aln´a ˇc´ısla, f , g jsou libovoln´e funkce. Rovnice obsahuje dvˇe sdˇelen´ı. Prv´e: derivace souˇctu/rozd´ılu se spoˇcte jako souˇcet/rozd´ıl derivac´ı. Druh´e: Jakoukoli konstantu lze vytknout pˇred derivaci. Pˇ r´ıklady (x + cos x)0 = (x)0 + (cos x)0 = 1 − sin x (6 sin x)0 = 6(sin x)0 = 6 cos x (2ex − tg x)0 = 2(ex )0 − (tg x)0 = 2ex − cos12 x 0 (3x2 − 5x + 4) = 3(x2 )0 − 5(x)0 + 0 = 6x − 5 5.2.2
Souˇ cin (f · g)0 = f 0 g + f g 0
(24)
Pˇ r´ıklady 0
(x2 sin x) = (x2 )0 sin x + x2 (sin x)0 = 2x sin x + x2 cos x x (2 arctg x)0 = (2x )0 arctg x + 2x (arctg x)0 = 2x ln 2 arctg x + 5.2.3
Pod´ıl f g
!0
=
f 0g − f g0 g2
Pˇ r´ıklady
sin x x 2 0
x ex
0
=
(sin x)0 ·x−sin x·(x)0 x = x cos x−sin x2 x2 x 2 ex 2 (x2 )0 ex −x2 (ex )0 = 2xe e−x = 2x−x 2x ex (ex )2
=
Cviˇ cen´ıˇ cko Zderivujte tg x jako pod´ıl sinu a kosinu.
2x 1+x2
(25)
5.2.4
Sloˇ zen´ a funkce
Je-li funkce f (x) sloˇzen´a z funkc´ı g a h, takˇze f (x) = h(g(x)), pouˇzijeme tzv. ˇret´ızkov´e pravidlo. f 0 (x) = h0 (g(x)) · g 0 (x)
(26)
Pravidlo se dobˇre pamatuje v Leibnitzovˇe z´apisu. df df dg = · dx dg dx
(27)
Pˇ r´ıklady
(sin(2x + π))0 = cos(2x + π) · (2x + π)0 = 2 cos(2x + π) 0 esin x = esin x (sin x)0 = esin x cos x 1 1+x2
0
−1 0
= (1 + x2 ) (ln sin x)0 =
−2
= − (1 + x2 ) 1 · (sin x)0 = sin x
0
2x · (1 + x2 ) = − (1+x 2 )2 cos x = cotg x sin x
x na x-tou Mnoho lid´ı, kteˇr´ı se uˇc´ı derivovat, naraz´ı na funkci xx . Nev´ım, ˇze by byla uˇziteˇcn´a ve fyzice, ale cviˇcen´ı je to hezk´e. Nem˚ uˇzeme pouˇz´ıt ani pravidlo pro derivaci ax ani xc , protoˇze x nen´ı konstanta. Pom˚ uˇze, kdyˇz zn´ame algebraick´a pravidla pro exponenciely a logaritmy a x v´ yraz x nejprve trochu zesloˇzit´ıme. x
xx = eln x = ex ln x Tuhle funkci uˇz m˚ uˇzeme derivovat podle ˇret´ızkov´eho pravidla a pravidla o derivaci souˇcinu.
(xx )0 = ex ln x
6 6.1
0
= ex ln x · (x ln x)0 = xx (ln x + x/x) = xx (1 + ln x)
(28)
Pouˇ zit´ı Rovnomˇ ernˇ e zrychlen´ y pohyb
Dr´aha rovnomˇernˇe zrychlen´eho pohybu s roste jako kvadratick´a funkce ˇcasu t. 1 s = s0 + v0 t + at2 2
(29)
Pˇritom a, v0 a s0 jsou konstanty, bˇehem pohybu se nemˇen´ı. Spoˇcteme prvn´ı derivaci podle t s pouˇzit´ım pravidla linearity a derivace mocniny. v = s˙ = v0 + at Dostali jsme okamˇzitou rychlost v okamˇziku t. Zkus´ıme-li tuto rovnici derivovat jeˇstˇe jednou: s¨ = v˙ = a , dostaneme samozˇrejmˇe zrychlen´ı. Je vidˇet, ˇze ˇcasov´ y z´aznam polohy uˇz obsahuje vˇsechny d˚ uleˇzit´e informace, daj´ı se z nˇej zjistit derivov´an´ım.
6.2
Harmonick´ y pohyb
Z´avaˇz´ı na pruˇzinˇe anebo m´ırnˇe se k´ yvaj´ıc´ı kyvadlo lze popsat rovnic´ı harmonick´eho kmit´an´ı, kter´a n´am ˇrekne v´ ychylku y v kter´emkoli okamˇziku t. y = ym sin (ωt)
(30)
Rovnice pro rychlost a zrychlen´ı z´avaˇz´ı se ˇz´aci obvykle uˇc´ı zpamˇeti, ale ve skuteˇcnosti staˇc´ı vz´ıt prvn´ı a druhou derivaci y podle ˇcasu. Konstanty vytkneme pˇred derivaci a pouˇzijeme ˇret´ızkov´e pravidlo, ˇc´ımˇz se ω dostane pˇred sinus resp. kosinus. v = y˙ = ωym cos (ωt) a = v˙ = −ω 2 ym sin (ωt)
(31) (32)
Uk´azalo se, ˇze amplituda rychlosti je vm = ωym a zrychlen´ı am = ω 2 ym . Tak´e vid´ıme, ˇze zrychlen´ı se mˇen´ı jako − sin ωt, takˇze m´a poˇr´ad opaˇcn´ y smˇer neˇz v´ ychylka.
6.3
Elektromagnetick´ a indukce
Z´akon elektromagnetick´e indukce je jedn´ım z nejobt´ıˇznˇejˇs´ıch vztah˚ u ve stˇredoˇskolsk´e fyzice, protoˇze vyˇzaduje urˇcitou zmˇenu ve zp˚ usobu myˇslen´ı. Nejpozdˇeji v tomto bodˇe mus´ı ˇclovˇek zaˇc´ıt pˇrem´ yˇslet o derivac´ıch. Kdo se doma dotkne f´azov´eho vodiˇce v z´asuvce, dostane r´anu od derivace magnetick´eho indukˇcn´ıho toku. (Nezkouˇsejte to, pros´ım. Vˇetˇsinou to jen bol´ı, ale za nepˇr´ızniv´ ych okolnost´ı m˚ uˇze takov´a derivace ˇclovˇeka zab´ıt.) Nejdˇr´ıve zapiˇsme z´akon matematicky. Na vodiv´em z´avitu se indukuje elektrick´e napˇet´ı, kdyˇz se mˇen´ı magnetick´ y indukˇcn´ı tok z´avitem. Velikost napˇet´ı je pˇr´ımo u ´mˇern´a zmˇenˇe toku neboli jeho ˇcasov´e derivaci. Znam´enko minus vyjadˇruje orientaci napˇet´ı. u = −Φ˙ (33) Pˇredstavme si, ˇze kolem z´avitu se rovnomˇernˇe ot´aˇc´ı magnetick´e pole. Takov´ y je princip v´ yroby elektrick´e energie ve vˇetˇsinˇe elektr´aren vˇcetnˇe jadern´ ych. Plocha z´avitu je S, u ´hlov´a rychlost ot´aˇcen´ı ω, indukce pole B. Magnetick´ y tok z´avitem tedy vyjadˇruje rovnice Φ = BS cos (ωt) .
(34)
Vid´ıme, ˇze tok se mˇen´ı harmonicky. Spoˇcteme ˇcasovou derivaci Φ a dosad´ıme do z´akona EM indukce (33). Pˇri derivov´an´ı pouˇzijeme linearitu a ˇret´ızkov´e pravidlo. Φ˙ = −ωBS sin (ωt) u = −Φ˙ = ωBS sin (ωt)
(35) (36)
Zjistili jsme, ˇze napˇet´ı m´a tak´e harmonick´ y pr˚ ubˇeh a jeho amplituda je Um = ωBS. Jeˇstˇe si vyzkouˇs´ıme, co n´am z´akon EM indukce ˇr´ık´a o c´ıvce. Z´akladn´ı vlastnost c´ıvky je, ˇze magnetick´ y tok j´adrem je pˇr´ımo u ´mˇern´ y proudu, kter´ y c´ıvkou prot´ek´a. Konstanta u ´mˇernosti L se jmenuje indukˇcnost. Φ = Li (37) Nechme c´ıvkou proch´azet harmonick´ y stˇr´ıdav´ y proud. i = Im sin (ωt)
(38)
Opˇet spoˇcteme derivaci Φ a dosad´ıme do z´akona EM indukce (33). Indukˇcnost je konstanta, ˇ ızkov´e pravidlo vysune ven tak´e ω. m˚ uˇzeme ji vytknout pˇred derivaci. Ret´ di Φ˙ = L dt = ωLIm cos (ωt)
(39)
u = −Φ˙ = −ωLIm cos (ωt) = ωLIm sin (ωt − π/2)
(40)
Nad i je teˇcka i bez derivov´an´ı, proto jsem radˇeji pouˇzil Leibnitzovo znaˇcen´ı. Vid´ıme, ˇze napˇet´ı na c´ıvce m´a opˇet harmonick´ y pr˚ ubˇeh, ale f´azovˇe pˇredb´ıh´a proud o π/2. Amplituda napˇet´ı je Um = ωLIm . Impedance c´ıvky je Z = Um /Im = ωL. To vˇsechno n´am ˇrekla derivace.
6.4
Newtonova metoda
Rovnice se vˇetˇsinou ˇreˇs´ı tak, ˇze pomoc´ı algebraick´ ych u ´prav vyj´adˇr´ıme nezn´amou. Pˇrevedeme ji na levou stranu a vˇsechno ostatn´ı na pravou. Chce to trochu cviku, aby ˇclovˇek vidˇel cestu k ˇreˇsen´ı. Jenˇze nˇekdy to prostˇe nejde, i kdyˇz jste dobˇr´ı poˇct´aˇri. Zkuste tˇreba naj´ıt x, pro kter´e plat´ı cos (x) = 2x. Fyzik na nˇejakou takovou rovnici obˇcas naraz´ı a potˇrebuje zn´at ˇc´ıseln´ y v´ ysledek. Vˇetˇsinou ho nepotˇrebuje pˇresnˇe na milion platn´ ych ˇc´ıslic, bohatˇe by mu staˇcily tˇreba tˇri nebo pˇet, ale odpovˇed’: Nejde to,“ nen´ı pˇrijateln´a. M˚ uˇzeme si zkusit nakreslit grafy funkc´ı ” cos(x) a 2x a odhadnout, kde je pr˚ useˇc´ık. Newtonova metoda je zp˚ usob, jak takov´ y odhad zpˇresˇ novat. Docela rychle m˚ uˇzeme naj´ıt ˇreˇsen´ı s jakoukoli pˇresnost´ı, kterou si zvol´ıme. Takov´emu postupu ˇr´ık´ame numerick´e ˇreˇsen´ı rovnic. (V programu Wolfram Mathematica m˚ uˇzete numericky ˇreˇsit rovnice pomoc´ı funkce FindRoot.) Nejdˇr´ıve uprav´ıme rovnici na tvar f (x) = 0, tedy aby mˇela na prav´e stranˇe nulu. V naˇsem pˇr´ıpadˇe cos (x) − 2x = 0. Vlevo ted’ m´ame funkci f (x) a hled´ame bod, kde m´a nulovou hodnotu. Udˇel´ame poˇc´ateˇcn´ı odhad, kolik by to x zhruba mohlo b´ yt, a oznaˇc´ıme jej x0 . Pˇresnˇejˇs´ı odhad bude x1 , jeˇstˇe pˇresnˇejˇs´ı x2 a tak d´ale. Newtonova metoda d´av´a postup, jak z odhadu xn vypoˇc´ıtat pˇresnˇejˇs´ı xn+1 . K tomu budeme potˇrebovat derivaci funkce f . xn+1 = xn −
f (xn ) f 0 (xn )
(41)
N´ıˇze si pov´ıme, proˇc by tahle magick´a formulka mˇela fungovat, ale nejdˇr´ıve ji vyzkouˇsejme. V naˇsem pˇr´ıpadˇe je f 0 (x) = (cos(x) − 2x)0 = − sin(x) − 2. Krok Newtonovy metody m´a pro n´as tvar: cos(xn ) − 2xn cos(xn ) − 2xn xn+1 = xn − = xn + (42) − sin(xn ) − 2 sin(xn ) + 2 Pohledem na obr´azek 3 s pr˚ useˇc´ıkem stanov´ıme prvn´ı odhad x0 = 0,5. Zpˇresnˇen´ı oznaˇcen´a x1 , x2 , x3 , . . . z´ısk´ame Newtonovou metodou. x1 = 0,5 + x2 = x 1 + x3 = x 2 +
x0 = 0,5 cos(0,5)−2·0,5 = 0,450 626 693 . . . sin(0,5)+2 cos(x1 )−2x1 = 0,450 183 647 . . . sin(x1 )+2 cos(x2 )−2x2 = 0,450 183 611 . . . sin(x2 )+2
Poˇcet ˇc´ıslic, na kter´ ych se odhady shoduj´ı, docela rychle roste. Zkusme dosadit x3 do p˚ uvodn´ı rovnice cos(x) = 2x. Lev´a strana m´a hodnotu 0,900 367 223 a prav´a 0,900 367 222, takˇze x3 m˚ uˇzeme prohl´asit za ˇreˇsen´ı a chyba bude zanedbatelnˇe mal´a.
1.5
1.0
0.5
-3
-2
1
-1
2
3
-0.5
-1.0
-1.5
Obr´azek 3: Grafy funkc´ı cos x a 2x. 1.5
1.0
0.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
-0.5
Obr´azek 4: Graf funkce y = x3 − 1/2. Teˇcna v bodˇe x0 = 1 prot´ın´a osu x bl´ıˇze koˇreni. Ne vˇzdycky jde numerick´e ˇreˇsen´ı tak hladce. M˚ uˇze se st´at, ˇze odhady ulet´ı nˇekam daleko, m´ısto aby se k sobˇe pˇribliˇzovaly. Anebo poskajuj´ı sem a tam. Nˇekdy dokonce m˚ uˇzete narazit na nulu ve jmenovateli. Pokud nastane takov´ y probl´em, existuje jedin´a rada: zkuste jin´ y poˇc´ateˇcn´ı odhad. Vˇetˇsinou se ale nic zl´eho nestane a ˇreˇsen´ı najdete, i kdyˇz se prvn´ım odhadem v˚ ubec netref´ıte. N´amˇet k pˇrem´ yˇslen´ı a experimentov´an´ı: Co se stane, kdyˇz m´a rovnice v´ıc ˇreˇsen´ı? Jak to funguje Hled´ame koˇren funkce neboli pr˚ useˇc´ık jej´ıho grafu s osou x. Newtonova metoda vyuˇz´ıv´a faktu, ˇze graf v tˇesn´e bl´ızkosti koˇrene vypad´a skoro jako pˇr´ımka, je tedy velmi podobn´ y sv´e teˇcnˇe. Graficky m˚ uˇzeme postupnˇe hledat koˇren tak, ˇze v m´ıstˇe odhadu udˇel´ame teˇcnu ke grafu funkce a najdeme jej´ı pr˚ useˇc´ık s osou x. (Viz obr´azek 4.) Nejsme-li pˇr´ıliˇs daleko koˇrene, je tento pr˚ useˇc´ık pravdˇepodobnˇe mnohem bl´ıˇz neˇz prvn´ı odhad. Chceme-li jeˇstˇe bl´ıˇze, postup opakujeme. V sekci o geometrick´em v´ yznamu derivace jsme si ˇrekli, ˇze jde o smˇernici teˇcny, a pr´avˇe tak se derivace objevila ve vzorci (41) pro Newtonovu metodu. Chcete-li si jej odvodit cel´ y sami, pokuste se v rovnici teˇcny y = ax + b nastavit b tak, aby pˇr´ımka opravdu proch´azela bodem (x0 , f (x0 )), tedy m´ıstem, kde poˇc´ıt´ame teˇcnu. Babylonsk´ a odmocnina Zkusme jeˇstˇe jeden pˇr´ıklad. Newtonovou metodou spoˇcteme odmocninu z ˇc´ısla 77, ˇcili ˇreˇs´ıme rovnici x2 = 77. Pouˇzijeme tedy funkci f (x) = x2 − 77 a jej´ı derivaci f 0 (x) = 2x. Krok Newtonovy metody je v tomto pˇr´ıpadˇe jednoduch´ y. xn+1 = xn −
xn 77 1 x2n − 77 = xn − + = (xn + 77/xn ) 2xn 2 2xn 2
(43)
Tento zp˚ usob v´ ypoˇctu odmocniny je zn´am uˇz od starovˇeku, m˚ uˇzete ho naj´ıt v literatuˇre pod n´azvem babylonsk´a metoda. K v´ ypoˇctu staˇc´ı sˇc´ıtat a dˇelit, coˇz se d´a udˇelat na pap´ır bez kalkulaˇcky anebo na primitivn´ı kalkulaˇcce, kter´a nem´a tlaˇc´ıtko odmocnina. V´ıme, ˇze 82 = 64 a 92 = 81, tak zkus´ıme poˇc´ateˇcn´ı odhad x0 = 8,5. Po tˇrech kroc´ıch uˇz dostaneme v´ ysledek pˇresn´ y na v´ıc neˇz 10 platn´ ych cifer. x0 = 8,5 + 77/8,5) = 8,779 411 765 . . . + 77/x1 ) = 8,774 965 514 . . . x3 = 8,774 964 387 . . .
x1 = 12 (8,5 x2 = 21 (x1
ˇ Zirafa Pˇredstavte si pevn´ y provaz tˇesnˇe obep´ınaj´ıc´ı Zemi kolem rovn´ıku. Prodlouˇz´ım ho o 1 metr, takˇze bude malinko odst´avat, a v jednom m´ıstˇe jej zdvihnu co nejv´ıc do v´ yˇsky. Projde pod n´ım ˇzirafa?
6.5
Extr´ emy funkc´ı
V m´ıstˇe, kde m´a funkce maximum nebo minimum (jedn´ım slovem extr´em), je teˇcna k jej´ımu grafu vodorovn´a. To znamen´a, ˇze derivace v tomto bodˇe je nulov´a a podle toho m˚ uˇzeme extr´em naj´ıt. Vrchol paraboly Grafem funkce y = −3x2 + 2x − 1 je parabola. Kde m´a vrchol? Spoˇcteme dy/dx a pod´ıv´ame se, kde je derivace rovna nule. (−3x2 + 2x − 1)0 = −6x + 2 −6x + 2 = 0 x = 13 Vrchol je tedy v bodˇe 1/3. x na x-tou Najdeme kladn´e ˇc´ıslo, pro kter´e je xx nejmenˇs´ı. Derivaci uˇz m´ame spoˇc´ıtanou v rovnici (28), takˇze staˇc´ı se pod´ıvat, kdy je nulov´a. xx (1 + ln x) = 0 1 + ln x = 0 ln x = −1 −1 x = e = 1/e = 0,367 879 . . .
7 7.1
Souvislosti Opaˇ cn´ au ´ loha
Zat´ım jsme vˇzdycky byli v situaci, ˇze zn´ame funkci f a potˇrebujeme naj´ıt jej´ı derivaci. Nˇekdy se ale m˚ uˇze st´at, ˇze zn´ame derivaci a nev´ıme, ˇceho je to derivace. Napˇr´ıklad kdybychom vˇedˇeli, ˇze rychlost rovnomˇernˇe roste jako v = v0 + at a chtˇeli bychom spoˇc´ıtat dr´ahu. Tomu se ˇr´ık´a hled´an´ı primitivn´ı funkce a nˇekdy taky antiderivov´an´ı. V mnoha pˇr´ıpadech se to d´a vyˇreˇsit. Napˇr´ıklad m˚ uˇzete ˇreˇsen´ı uhodnout a zderivovat, ˇc´ımˇz si ovˇeˇr´ıte, ˇze ˇreˇsen´ı je spr´avn´e. Existuj´ı i
urˇcit´e postupy, jak ˇreˇsen´ı naj´ıt, kdyˇz se uhodnout ned´a. Ale jsou i situace, kdy to prostˇe nejde. Napˇr´ıklad naj´ıt funkci f , pro kterou plat´ı df 2 = e−x , dx
(44)
je stejnˇe obt´ıˇzn´e jako vyj´adˇrit x z rovnice cos x = 2x. Ne ˇze by ˇreˇsen´ı neexistovalo, ale nen´ı moˇzn´e ho zapsat jako kombinaci element´arn´ıch funkc´ı. Takzvan´a z´akladn´ı vˇeta kalkulu ˇr´ık´a, ˇze antiderivov´an´ı je tot´eˇz co integrov´an´ı, kter´e souvis´ı s v´ ypoˇctem ploch rovinn´ ych obrazc˚ u. Chcete-li, nˇeco si podle tˇechto kl´ıˇcov´ ych slov najdˇete, anebo poˇckejte do ˇctvrt´eho roˇcn´ıku.
7.2
Diferenci´ aln´ı rovnice
Diferenci´aln´ı rovnice je takov´a rovnice, ve kter´e se spolu s funkc´ı vyskytuje i jej´ı derivace. Na rozd´ıl od bˇeˇzn´ ych rovnic, ˇreˇsen´ım diferenci´aln´ı rovnice nen´ı ˇc´ıslo, ale funkce. Pˇr´ıklad: Kter´a funkce y = y(x) splˇ nuje pro kaˇzd´e x rovnici dy/dx = y (x) ? Rovnice ˇr´ık´a, ˇze funkce se nezmˇen´ı ˇ sen´ı jsou tedy dvˇe: bud’ y = 0 anebo y = ex . Jedna vˇec je ˇreˇsen´ı uhodnout, pˇri derivov´an´ı. Reˇ ale mnohem tˇeˇzˇs´ı je k ˇreˇsen´ı dospˇet, kdyˇz n´as nic nenapad´a. Opˇet existuj´ı urˇcit´e postupy, ale ˇcasto vyˇzaduj´ı hodnˇe velkou mozkovou kapacitu a nˇekdy to nejde v˚ ubec. Napˇr´ıklad proto, ˇze k nalezen´ı ˇreˇsen´ı mus´ıte prov´est antiderivaci. Diferenci´aln´ı rovnice jsou denn´ım chlebem kaˇzd´eho fyzika. Pod´ıvejte se na druh´ y Newton˚ uv z´akon (8), kter´ ym se ˇreˇs´ı v mechanice t´emˇeˇr vˇsechno. Napˇr´ıklad v´ıme, ˇze v´ yslednice sil, kter´e p˚ usob´ı na z´avaˇz´ı na pruˇzinˇe, m´a smˇer opaˇcn´ y k v´ ychylce y a velikost k|y|, kde k je tuhost ’ pruˇziny. Dosad me takovou s´ılu do z´akona s´ıly. Na prav´e stranˇe je hmotnost kr´at zrychlen´ı, na lev´e je s´ıla. −ky = m¨ y (45) Dostali jsme diferenci´aln´ı rovnici, dokonce tzv. druh´eho ˇr´adu, protoˇze v n´ı vystupuje druh´a ˇ ık´a se j´ı pohybov´a rovnice. Jej´ım ˇreˇsen´ım je funkce y = y(t), ze kter´e se dozv´ıme, jak derivace. R´ se tˇeleso pohybuje, kdyˇz na nˇej tyto s´ıly p˚ usob´ı. Schv´alnˇe tam zkuste dosadit y = ym sin(ωt+ϕ q 0 ), budete pˇritom dvakr´at derivovat. Zjist´ıte, ˇze pohybov´a rovnice je splnˇena, pokud ω = k/m. To znamen´a, ˇze z´avaˇz´ı nezb´ yv´a nic jin´eho, neˇz harmonicky kmitat s touto frekvenc´ı! Matematicky je ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic obt´ıˇzn´e, ale dˇrina pˇrece patˇr´ı stroj˚ um. V programu Wolfram Mathematica m˚ uˇzete naj´ıt ˇreˇsen´ı pomoc´ı funkce DSolve. Kdyˇz to nen´ı moˇzn´e, Mathematica v´am to ozn´am´ı, ale nic nen´ı ztraceno. M˚ uˇzete jeˇstˇe pouˇz´ıt funkci NDSolve, kter´a probl´em ˇreˇs´ı alespoˇ n numericky. V´ yslednou funkci si pak sice nem˚ uˇzete napsat na pap´ır, ale m˚ uˇzete si nechat nakreslit jej´ı graf anebo s n´ı d´ale poˇc´ıtat. Licence Tento text je dostupn´ y za podm´ınek veˇrejn´eho licenˇcn´ıho ujedn´an´ı Creative Comˇ a republika. ’ mons Uved te autora–Zachovejte licenci 3.0 Cesk´ http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/cz/
