ˇ Fakulta informaˇcn´ıch technologi´ı CVUT v Praze
Pˇrij´ımac´ı zkouˇska z matematiky 2015
K´od uchazeˇce ID:
Varianta: 12
..................
1. P˚uvodn´ı cena knihy byla 350 Kˇc. Pak byla zdraˇzena o 15 %. Jelikoˇz neˇsla na odbyt, byla pozdˇeji zlevnˇena o 14 % (z ceny po zdraˇzen´ı) a to je jej´ı souˇcasn´a cena. Rozhodnˇete, kter´e tvrzen´ı je pravdiv´e.
7b
ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (a) Z´ (b) Souˇcasn´a cena knihy je o 1,1 procenta vyˇssˇ´ı neˇz p˚uvodn´ı cena. (c) Souˇcasn´a cena knihy je niˇzsˇ´ı neˇz p˚uvodn´ı cena. (d) Souˇcasn´a cena knihy je stejn´a jako p˚uvodn´ı cena. (e) Souˇcasn´a cena knihy je o 1 procento vyˇssˇ´ı neˇz p˚uvodn´ı cena. 2. Bin´arn´ı operace ? je definovan´a jako a ? b =
a+b b .
Urˇcete hodnotu nezn´am´e x tak, aby
7b
(2 ? x) ? 3 = −1 . (a) Rovnice m´a z´aporn´e ˇreˇsen´ı menˇs´ı neˇz −5. (b) Rovnice m´a jedno z´aporn´e ˇreˇsen´ı. (c) Rovnice nem´a ˇreˇsen´ı. (d) Rovnice m´a dvˇe ˇreˇsen´ı a jejich souˇcin je 4. ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (e) Z´ 3. Na setk´an´ı nˇekolika firem jsme si vˇsimli n´asleduj´ıc´ıch vˇec´ı. Kaˇzd´y, kdo m´a modrou koˇsili, m´a i cˇ ern´e boty. Vˇsichni zamˇestnanci 1. firmy maj´ı modrou koˇsili. Rozhodnˇete, kter´e z n´asleduj´ıc´ıch tvrzen´ı je pravdiv´e.
7b
ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (a) Z´ (b) Nikdo ze zamˇestnanc˚u 1. firmy nem´a cˇ ern´e boty. (c) Nikdo s cˇ ern´ymi botami nen´ı zamˇestnancem 1. firmy. (d) Vˇsichni zamˇestnanci 1. firmy maj´ı cˇ ern´e boty. (e) Kaˇzd´y, kdo m´a cˇ ern´e boty, je zamˇestnancem 1. firmy. 4. Mˇejme dvˇe cˇ´ısla zapsan´a v pˇetkov´e soustavˇe: 44025 a 23135 . Vyj´adˇrete jejich rozd´ıl tak´e v pˇetkov´e soustavˇe. (a) 44025 − 23135 = 10345 . (b) 44025 − 23135 = 20345 . (c) 44025 − 23135 = 21445 . ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (d) Z´ (e) 44025 − 23135 = 21995 .
1
7b
5. Naleznˇete ˇreˇsen´ı rovnice a rozhodnˇete, kter´e tvrzen´ı je pravdiv´e.
7b
|2x − 1| − |2 − 3x| = 5 (a) Rovnice m´a pr´avˇe 1 ˇreˇsen´ı. ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (b) Z´ (c) Rovnice m´a pr´avˇe 2 r˚uzn´a ˇreˇsen´ı. (d) Rovnice nem´a ˇreˇsen´ı. (e) Rovnice m´a pr´avˇe 3 r˚uzn´a ˇreˇsen´ı. 6. Jsou d´any dvˇe mnoˇziny A = {x2 − 4x + 5 | x ∈ (1, 4i} a B = {x | |x − 4| > 12 }. Pr˚unikem mnoˇzin A a B je (a) 72 , 29 (b) 2, 72 ∪ 29 , 5
(c) 1, 72 ∪ 92 , 5 ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (d) Z´
5b
(e) Vˇsechna re´aln´a cˇ´ısla. 7. Tˇri kladn´a cˇ´ısla splˇnuj´ı n´asleduj´ıc´ı podm´ınky. Dˇel´ıme-li souˇcet prvn´ıho a druh´eho cˇ´ısla cˇ´ıslem tˇret´ım, vyjde jedna a zbytek dva. Dˇel´ıme-li souˇcet prvn´ıho a tˇret´ıho cˇ´ısla cˇ´ıslem druh´ym, vyjde dva a zbytek nula. Pˇri dˇelen´ı souˇctu druh´eho a tˇret´ıho cˇ´ısla cˇ´ıslem prvn´ım je pod´ıl tˇri a zbytek dva. Rozhodnˇete, kter´e tvrzen´ı plat´ı.
5b
(a) Souˇcet vˇsech tˇr´ı cˇ´ısel je 18. (b) Souˇcin prvn´ıho a druh´eho cˇ´ısla seˇcten´y s cˇ´ıslem tˇret´ım je 52. ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (c) Z´ ´ (d) Uloha nem´a ˇreˇsen´ı. (e) Souˇcet druh´eho a tˇret´ıho cˇ´ısla vyn´asoben´y cˇ´ıslem prvn´ım je 80. 3x−1
, pak y ∈ 12 , 2 pr´avˇe pro 8. Jestliˇze y = 21
5b
ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (a) Z´
(b) x ∈ 0, 32
(c) x ∈ (−∞, 0i ∪ 32 , ∞
(d) x ∈ 23 , 2
2 (e) x ∈ 23 , 1+ln 3 5b
9. Naleznˇete obor hodnot funkce
f (x) = 2 sin 3x −
π 2
(a) Obor hodnot je h−7, −1i. (b) Obor hodnot je h1, 7i. (c) Obor hodnot je h2, 6i. (d) Obor hodnot je h−6, −2i. ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (e) Z´
2
− 4.
10. Kter´e z n´asleduj´ıc´ıch tvrzen´ı o definiˇcn´ım oboru funkce s x−2 f (x) = 2 x −x−
5b
3 4
je pravdiv´e? (a) Definiˇcn´ı obor je (−∞, − 12 ) ∪ ( 23 , 2i. ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (b) Z´ (c) Definiˇcn´ım oborem jsou vˇsechna kladn´a cˇ´ısla. (d) Definiˇcn´ı obor je h− 21 , 23 i. (e) Definiˇcn´ı obor je (− 12 , 23 ) ∪ h2, +∞). 11. Urˇcete prvn´ı cˇ len a1 a diferenci d re´aln´e aritmetick´e posloupnosti, pokud v´ıte, zˇ e souˇcet cˇ tvrt´eho a p´at´eho cˇ lenu je 4 a souˇcin cˇ tvrt´eho a p´at´eho cˇ lenu je 5.
5b
(a) Souˇcet vˇsech moˇzn´ych prvn´ıch cˇ len˚u je 24. ´ (b) Uloha nem´a ˇreˇsen´ı. (c) Souˇcin vˇsech moˇzn´ych diferenc´ı je 4. (d) d = 2, a1 = −5. ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (e) Z´ 12. Pytle s bramborami byly do skladu pˇrivezeny ve tˇrech etap´ach. V prvn´ı etapˇe bylo pˇrivezeno 15% celkov´eho poˇctu pytl˚u. Pr˚umˇern´a hmotnost jednoho pytle v prvn´ı etapˇe byla 51 kg. Pr˚umˇern´a hmotnost pytle v druh´e etapˇe byla 55 kg a ve tˇret´ı etapˇe 48 kg. Celkov´a pr˚umˇern´a hmotnost pytle brambor v tomto skladu je 50,55 kg. Urˇcete kolik procent z celkov´eho poˇctu pytl˚u bylo pˇrivezeno ve druh´e etapˇe.
5b
´ (a) Uloha m´a v´ıce neˇz jedno ˇreˇsen´ı. (b) 55% ´ (c) Uloha nem´a ˇreˇsen´ı. (d) 30% ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (e) Z´ 13. Kolika r˚uzn´ymi zp˚usoby lze ze 7 muˇzu˚ a 3 zˇ en vybrat trojici tak, aby v n´ı byli alespoˇn jedna zˇ ena a alespoˇn jeden muˇz? (a) 98 (b) 63 (c) 84 ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (d) Z´ (e) 85
3
5b
5b
14. Najdˇete vˇsechna re´aln´a ˇreˇsen´ı nerovnice log 1 (x + 1) − log 1 (x − 1) ≥ log 1 x . 3
(a) x ∈ (1, 1 + (b) (c) (d) (e)
3
3
√
2i √ √ x ∈ (−∞, 1 − 2i ∪ h1, 1 + 2i D √ √ E x ∈ 1−2 5 , 1+2 5 √ x ∈ h1 + 2, +∞) ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. Z´
15. Urˇcete hodnotu parametr˚u a, b, c tak, aby rovnost
5b
(2a − 3x)(bx + 3) = 9x2 + 2cx + 2 platila pro kaˇzd´e re´aln´e cˇ´ıslo x, a rozhodnˇete, kter´e tvrzen´ı je pravdiv´e. (a) Existuje v´ıce trojic parametr˚u splˇnuj´ıc´ıch podm´ınky. (b) Souˇcin vˇsech parametr˚u je (c) a = 3, b = −3, c =
11 2 .
11 2 .
(d) Takov´e parametry neexistuj´ı. ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (e) Z´ 16. Kolik r˚uzn´ych cˇ´ısel vˇetˇs´ıch neˇz 10 a menˇs´ıch neˇz 500 lze sestavit z cifer 0, 3, 5, 7 a 8 pokud se kaˇzd´a cifra m˚uzˇ e opakovat nejv´ysˇe dvakr´at?
3b
(a) 50 (b) 46 (c) 44 (d) 68 ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (e) Z´ 17. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e pˇri taˇzen´ı 2 karet z bal´ıcˇ ku o 52 kart´ach bude alespoˇn jedna z karet srdcov´a? ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (a) Z´ (b) (c) (d) (e)
15 34 19 34 1 4 45 104
4
3b
3b
18. Polomˇer kruˇznice zadan´e rovnic´ı 2x2 + 2y 2 − 16x + 12y + 20 = 0 je (a) Neexistuje, nejedn´a se o rovnici kruˇznice. (b) Roven 10. (c) Jeho druh´a mocnina je rovna 35. (d) Jeho druh´a mocnina je 60. ˇ adn´a z osatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (e) Z´ 19. Urˇcete hodnoty parametr˚u a, b tak, aby pˇr´ımky p : ax + 4y + 1 = 0
3b a
q : 3x + 2y − b = 0
byly navz´ajem kolm´e. ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (a) Z´ (b) a = − 38 , b ∈ R (c) a = 6, b = − 21 (d) a = − 83 , b = 1 (e) a = 6, b ∈ R 3b
20. Naleznˇete ˇreˇsen´ı rovnice 2x5 − x3 + 2x2 = 1 a rozhodnˇete, kter´e tvrzen´ı je pravdiv´e. (a) Rovnice m´a pr´avˇe dvˇe r˚uzn´a re´aln´a ˇreˇsen´ı. ˇ adn´a z ostatn´ıch moˇznost´ı nen´ı spr´avn´a. (b) Z´ (c) Rovnice m´a tˇri r˚uzn´a re´aln´a ˇreˇsen´ı. (d) Rovnice nem´a ˇreˇsen´ı. (e) Souˇcin re´aln´ych ˇreˇsen´ı rovnice je 14 .
5
