ÚPLNÝ NÁZEV DLOUHODOBÉ MATURITNÍ PRÁCE

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNÍ A ELEKTROTECHNICKÁ A VYŠŠÍ ODBORNÁ ŠKOLA, LIBEREC 1, Masarykova 3

ÚPLNÝ NÁZEV DLOUHODOBÉ MATURITNÍ PRÁCE

Dlouhodobá maturitní práce

Autor:

Zdeněk Hloušek

Vedoucí práce:

Mgr. Jiřina Jirsáková

Obor:

Technické lyceum

Školní rok:

2007/2008

Kalibrace didak. testu z mat. na téma gon. funkce, rovnice a nerovnice, Zdeněk Hloušek

SPŠSE a VOŠ

Anotace (Resumé) Práce se zabývá vytvořením testu o dvaceti příkladech na téma goniometrické funkce, rovnice a nerovnice v programu Moodle. Zahrnuje dané téma v plném rozsahu na středoškolské úrovni a navazuje na ročníkovou práci zpracovanou v minulém roce. Je zde řešeno deset nových příkladů, u každého jsou kromě správného výsledku také tři chybné. U chybných jsem vycházel z vlastních zkušeností a vypsal jsem nejpravděpodobnější chyby, kterých se žáci mohou dopustit. Dále je zde popisována tvorba testu a jeho následné vyzkoušení na studentech a spolu s tím i vyhodnocení výsledků v rámci Gaussovy křivky. Práce přináší učitelům možnost vyzkoušet žáky na počítačích bez toho, aby se museli starat o opravu testů. Program vše opraví za ně.

Annotation (Summary) The purpose of this task is to create a test of twenty exercises on topic of goniometrical function, equations and not equations in Moodle programme. This task includes the given theme in the entire level of secondary school curriculum and resumes in assignment from last year. There is a new series of mathematical exercises where there are three wrong and one correct solution given. The examples of wrong solution I picked out from my own experience and I selected and described the most probable mistakes which may student do. I describe here evaluation of results. They were revised according to Gauss curve. The task bringing to teachers ability to examine their students on computer without they have to care about amendments. The programme revise everything in place of them.

Čestné prohlášení Prohlašuji, že jsem předkládanou dlouhodobou maturitní práci vypracoval sám a uvedl jsem veškerou použitou literaturu a bibliografické citace. Zdeněk Hloušek

2


SPŠSE a VOŠ

Úvod Účelem práce bylo vytvořit test, který se bude ve většině případech aplikovat formou písemného zkoušení na počítači. Test obsahuje pět různých otázek z dvaceti možných. Řešitel má na jeho vypracování čtyřicet minut a v každé otázce jsou čtyři odpovědi (A, B, C, D). Pouze jedna z nich je správná, ostatní špatné odpovědi nejsou volené nahodile, ale dá se k nim vždy dojít za předpokladu určité chyby, kterou student během počítání udělá. Tímto se z velké části eliminují možnosti tipování na jistotu, protože všechny výsledky budí dojem správných a student pokud udělá takovou chybu, s níž se počítá, nemůže odhalit svoje pochybení a výsledek kvůli tomu pokládá za správný. K sestavení testu jsem využil deset příkladů, jež jsem použil v loňské ročníkové práci a deset nových příkladů. K nim na následujících stránkách přikládám řešení spolu se špatnými odpověďmi. Všechny příklady jsou uloženy na serveru SPŠSE Liberec. V programu Moodle se testy zobrazují a studenti je vyplňují.

3


SPŠSE a VOŠ

Pravidla vytváření testu Test by měl prokázat úroveň znalostí studentů. Jeho obtížnost spočívá v tom, k čemu ho potřebujeme použít. Test, kterým ověřuje vědomosti studentů z matematiky např. za třetí ročník, se bude lišit na gymnáziu oproti střední škole. Je velice důležité, aby se nezaměřoval pouze na lehké příklady nebo velmi obtížné. Vyváženost je zde na místě. Z výsledků obecně by měla vyplynout Gaussovy křivka (graf 1.). Říká nám o rozvrstvení výsledků. Nejméně by mělo být jedniček a pětek, naopak nejvíce trojek, což je ideální stav. Pokud je např. jedniček více než trojek, značí nám to určité nesrovnalosti. Základ lidské společnosti tvoří naprostá většina lidí, kteří v ničem nevynikají a je jen mizivé množství tzv. geniů. Spolu s tím existuje i malá část ne moc nadaných lidí. I když výsledky leckdy úplně na nadání nezáleží, jsou ovlivněny tím, jak se žáci a studenti na daný předmět připravují. Teoreticky je možné docílit i situace, kdy by známka pět naprosto vymizela, protože při každodenní přípravě je pravděpodobnost napsání jakéhokoliv testu na pětku naprosto mizivá.

počet studentů

graf 1. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Gaussova křivka

1

2

3

4

známka

4

5


SPŠSE a VOŠ

Tvorba testu K docílení celkového počtu dvaceti otázek bylo použito, deset příkladů z loňské ročníkové práce, neboť tato práce na ní ve své podstatě navazuje. Následujících deset příkladů bylo potřeba napsat nových. Snažil jsem se vybrat jen takové s přibližně stejnou obtížností jako v minulém roce. Postup řešení je většinou obdobný, proto se nároky na spočítání nikterak neliší a student by je měl dokázat spočítat po ukončení studia druhého ročníku na střední škole. Každý nový příklad musel být zpracován s podrobným postupem, tzn. způsob řešení byl rozepsán na jednotlivé řádky a zároveň k nim byl připsán text s danou činností (úpravou). Je to z důvodu, aby se člověk, který si bude práci prohlížet a popřípadě z ní chtít i čerpat, neztratil v postupu. Špatné odpovědi museli být vždy tři. Snažil jsem se dělat záměrné chyby takové, jaké předpokládám, že jsou nejčastější. Většinou to byla záměna znaménka (− za + nebo obráceně + za − při úpravě rovnice), také jsem několikrát využil chybu v kvadratické rovnici nebo nesprávné určení periody. První špatné řešení mělo často jednu jedinečnou chybu, druhé špatné řešení také a u třetího jsem využil chyby předchozích řešení najednou. Nebylo to ovšem pravidlem. Všechny čtyři výsledky si jsou proto vždy velmi podobné a žádný z nich nevybočuje. Díky tomu nemá student, který neví jak příklad řešit, moc velkou pravděpodobnost, že některý z výsledků uhodne. Výsledky jsou různě proházeny, ale k této části se vrátím při popisování Moodlu. Na spočítání všech pěti příkladů je stanovený časový limit čtyřiceti minut.

5


SPŠSE a VOŠ

Moodle Moodle [čti můdl] je softwarový balíček pro tvorbu výukových systémů a elektronických kurzů na internetu. Jedná se o neustále se vyvíjející projekt, navržený na základě sociálně konstruktivistického přístupu k vzdělávání. Moodle je poskytován zdarma jako Open Source software spadající pod obecnou veřejnou licenci GNU. To v zásadě znamená, že je chráněn autorskými právy, ale poskytuje přitom uživatelům značnou svobodu. Moodle můžete kopírovat, používat i upravovat, pokud souhlasíte s tím, že: budete tento zdroj poskytovat ostatním; nebudete měnit ani odstraňovat původní údaje o licencích a autorských právech, a uplatníte stejné licenční podmínky i u jakýchkoliv odvozených produktů. Moodle lze použít na jakémkoliv počítači s fungujícím PHP. Podporuje řadu typů databází, především PostgreSQL a MySQL. Slovo Moodle bylo původně zkratka pro počáteční slova Modular Object-Oriented Dynamic Learning Environment (Modulární objektově orientované dynamické prostředí pro výuku). Lze ho také považovat za sloveso, které popisuje proces líného bloumání od jednoho k druhému, dělání věcí podle svého, hravost, která často vede k pochopení problému a podporuje tvořivost. V tomto smyslu se vztahuje jak k samotnému zrodu Moodlu, tak k přístupu studenta či učitele k výuce v on-line kurzech. [1] Do tohoto programu bylo nutné přepsat všechny příklady. Na ukázku předkládám 1 π 1 přepis následujícího příkladu y = cos( x + ) + 2 3 4 ⇓ $$y=\frac{1}{2}\cos(x+\frac{\pi}{3})+\frac{1}{4}$$ Zobrazení výsledného př. z testu u něhož si můžeme všimnout nápadného a ostrého vzhledu. Díky tomu je zaručena lepší čitelnost. ⇓

Přepisování bylo nutné z důvodu lepšího zobrazování zadání, protože jinak by 1 nešlo takto zapsat zlomek , ale pouze tímto tvarem 1/2. Místo přepisování se 2 mohlo použít vložení obrázku daného příkladu, avšak při porovnávání celkového vzhledu se jako nejlepší jevil tvar napsaný v kódu, neboť z něho program vytvořil také obrázek, ale s lepšími proporcemi. Ke správnému přepisování je možnost, stáhnout si návod. Ačkoliv se poté stačí vždy podívat jakým tvarem se píší například mocniny, tak i přes to se celá práce natáhne na několik hodin. Část, nad kterou jsem strávil spoustu zbytečného času, byla, když jsem napsal celý kód bez dvou dolarů ($$) na začátku a bez dvou na konci. Neustále jsem si lámal hlavu nad tím, proč mi Moodle hlásí chyby. V návodu nic o dolarech napsáno nebylo a tak mě jako začátečníka s prací v Moodlu nemohlo napadnou, že mi tyto značky chybí. Zde vidím hlavní nedostatek v nedotaženosti návodu. Samozřejmě není nutné psaní v kódu využívat pokud je třeba příkladem slovní úloha. Moodle zajistil větší obtížnost testu a prakticky znemožnil opisování, protože každému účastníkovi testu vybere pět různých příkladů z dvaceti. Těchto dvacet př. je rozděleno do pěti skupin po čtyřech př. o stejné obtížnosti a o podobném postupu 6


SPŠSE a VOŠ

řešení. Z každé skupiny je následně do testu vybrán jeden příklad. Tzn. že každý ze třídy testovaných studentů, může mít poněkud odlišné zadání. Velice důležité je i přehazování výsledků: pokud měli př. 1. stejný dva studenti, tak správná odpověď je u jednoho B a u druhého třeba D. Zároveň Moodle přehazuje i pořadí příkladů, proto může být 1. př. v jednom zadání na prvním místě a ve druhém na posledním. Spuštění testu je individuální. Každý si ho může zapnout v různou dobu a vždy má k vyřešení čtyřicet minut. Počet různých testů je astronomický: − z každého skupiny můžeme vybrat pouze jeden př. ze čtyř a máme pět skupin, jsou čtyři možnosti u všech skupin 4 5 = 1024 − zamíchané výsledky v rámci jedné úlohy (šestkrát mohou začínat s počátečním řešením A, zbývají B, C, D) 6 4 = 1296 − promíchání u příkladů ve skupině (čtyři př.) 1296 4 = 2,8 ⋅ 1012 − konečné roznásobení se skupinami 2,8 ⋅ 1012 ⋅ 1024 = 2,9 ⋅ 1015 Dojdeme k výsledku 2,9 ⋅ 1015 testů. Tento počet zajistí mizivou šanci na správné vyřešení studentům opisovačům.

7


SPŠSE a VOŠ

Vyzkoušení a vyhodnoceni testu Jakmile byl test hotov, následovalo ověření funkčnosti. Testu na počítačích se zúčastnily třídy: L4 a A4 v celkovém počtu třiceti čtyř studentů (sedmnáct z L4 a sedmnáct z A4). Studenti z těchto tříd měli za úkol, vypočítat pět testových příkladů, které jim Moodle zvolil. Před spuštěním testu je nutné se zaregistrovat na školním severu v programu Moodle, což je jisté zdržení, avšak dá se zvládnout během chvilky. K počítání jsou povoleny tabulky i kalkulačka. První testovací třídou byla L4 (graf 1.1) a test s ní probíhal naprosto regulérně, všichni se snažili jak jen mohli. Bylo to jistě i z důvodu, že na test spolu se mnou dohlížela i paní Mgr. Jirsáková, jež je naše vyučující na matematiku. Druhou třídou byla A4 (graf 1.1). Ze začátku byl veliký problém v samotné spuštění testu, protože Moodle neustále hlásil: „Test je uzavřený.“ Problém se nacházel v nastavení. Jedno je umístěno před vstupem do testu pro administrátora a druhé uvnitř nastavení testu pro administrátora i tvůrce testu. Existují tam nezávisle na sobě dvě položky pro začátek testu. Asi po patnácti minutách se mi podařilo nesoulad vyřešit a mohlo se pokračovat. Někteří studenti (všichni chlapci) si z testu dělali spíše legraci např. jeden se zaregistroval pod dívčím jménem nebo ukončil test předčasně a další jako Nikdo Nikdo. Navzdory všemu se objevili i snaživci, kteří svými výsledky mile překvapili. Výsledky obou tříd (graf 1.2) nápadně připomínají Gaussovy křivku.

počet studentů

graf 1.1 8 7 6 5 4 3 2 1 0

L4 A4

1

2

3

4

5

známka

graf 1.2

počet studentů

14 12 10 8 6 4 2 0 1

2

3 známka

8

4

5


TEST

SPŠSE a VOŠ

A

1. Vypočítejte průsečíky grafu funkce s osami x a y. 1 π 1 y = cos( x + ) + 2 3 4 π   π 13π   4π  Px =  ; π  Px =  ; Px = 0;   5π   Px = π ;  3   4 12   3  a) b) c) d)  3   1  1  1 Py = [0;0] Py = 0;  Py = 0;  Py = 0;   2  2  2 2. Určete definiční obor a obor hodnot funkce y. y = sin x − 2 a) D f = R

H f = − 3;−1

b) D f = R

c) D f = R

H f = 1;3

d) D f = R

H f = − 2;−1

H f = 2;3

3. Řešte rovnici s neznámou x∈R. tg (4 x − 3) = 1 π + 12 π π a) x = +k b) x = + kπ 16 4 4 π − 12 π c) x = +k d) x = π + 12 + kπ 16 4 4. Řešte rovnici s neznámou x∈R. 2 cos 2 x − 3 = 3 sin x 11π 3π  7π  a) P =  + 2kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  6 2  6 

π 5π π  b) P =  + 2kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  6 2 6  11π 3π π  d) P =  + 2kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  6 2 6 

c) P = {196°19´+2k180°;343°41´+2k180°} 5. Vypočítejte přesně. π 11π 3  4π  sin ⋅ cos − − 3 cot g π  + 2tg 6 6 4  3 

33 − 8 3 33 + 8 3 − 39 − 8 3 b) c) 12 12 12 6. Vypočítejte pomocí součtových vzorců. π 5π    sin  x +  − sin  x +  3  3   2π  4π    cos x −  − cos x −  3  3    a) − cot gx b) 1 c) 3 d) − tgx

a)

d)

− 39 + 8 3 12

7. Řešte rovnici s neznámou x∈R. sin x − sin 2 x + 2 cos x − 1 = 0 π π 5π 4π π   2π  a) P  + 2kπ ; b) P  + 2kπ ; + 2kπ  + 2kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  3 2 3 2 3   3  5π 3π 4π 3π π   2π  c) P  + 2kπ ; d) P  + 2kπ ; + 2kπ  + 2kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  3 2 3 2 3   3 

9


8. Zjednodušte a určete pro která x∈R mají výrazy smysl. 2 cos x − cos 2 x − 1 2 cos x + cos 2 x + 1 1 − cos x cos x − 1 1 b) c) d) 1 − cos x a) 1 + cos x cos x + 1 1 + cos x x≠

π

2

+ kπ

x ≠ π + 2kπ

x≠

x ≠ π + 2kπ 2

2

x≠

π

2

+ kπ

x∈R je definován uvedený příklad.

 1   1  + sin x  +  + cos x    sin x   cos x 

π

2

+ kπ

x ≠ π + 2kπ

9. Určete, pro která

a) x ≠ k

π

b) x ≠ kπ

2

c) x ≠

π 2

+ kπ

d) x ≠ k

10. Řešte nerovnici s neznámou x∈R. π 3  cos x +  > − 4 2  7π 5π  5π   11π  a) x ∈  − + 2kπ ; + 2kπ  ∪  ; + 2kπ ; + 2kπ  12 4  6   12  11π  13π  b) x ∈  + 2kπ ; + 2kπ  12  12  17π  7π  c) x ∈  + 2kπ ; + 2kπ  12  12  17π  13π  d) x ∈  + 2kπ ; + 2kπ  12  12 

10

3π 2

SPŠSE a VOŠ


TEST

SPŠSE a VOŠ

B

11. Vypočítejte průsečíky grafu funkce s osami x a y. π 1  y = sin  2 x −  − 2 2   π 2π   π 2π  π π  a) Px =  ;  b) Px = − ;  c) Px =  ;  3 3   6 3  3 6 3 3 3    Py = 0;−  Py = 0;−  Py = 0;−  2 2 2    12. Určete definiční obor a obor hodnot funkce y. y = cos x + 1 a) D f = R

H f = − 1;−2

b) D f = R

c) D f = R

H f = − 1;0

13. Řešte rovnici s neznámou π 3  3 cos 2 x −  = 3 ⋅ 3 2  a) x1 =

π

+ kπ

4 13π x2 = + kπ 12

b) x1 = −

π

 π π d) Px = − ;   6 6 3  Py = 0;−  2 

d) D f = R

H f = 0;2

H f = − 2;0

x∈R.

+ kπ

c) x1 =

12 13π x2 = + kπ 12

π

+ kπ

4 3π x2 = + kπ 4

d) x1 = − x2 =

π 12

+ kπ

3π + kπ 4

14. Určete hodnoty ostatních goniometrických funkcí. cot gα = −3 10 2 10 2 b) sin α = ± c) sin α = ± d) sin α = ± 10 4 10 4 3 10 3 10 3 2 3 2 cos α = ± cos α = ± cos α = cos α = 10 10 4 4 1 1 1 1 tgα = − tgα = − tgα = − tgα = − 3 3 3 3 15. Vypočítejte přesně. 2π π 5π  π π  7π  3 cot g  −  sin − cot g + tg  −  + cos ⋅ 2tg 3 3 6 6  4  6 

a) sin α = ±

3 3−2 3 3−2 3 3+2 b) c) − 2 2 2 16. Vypočítejte pomocí součtových vzorců. π  cot g  + α  cos(π − α ) 2  − cos(π + α ) π  cot g  − α  2  2 a) 2 b) 1 + tg α c) 0 d) -2

a) −

11

d)

3 3+2 2


SPŠSE a VOŠ

17. Řešte rovnici s neznámou x∈R. 2 sin x + tgx + 2 cos x + 1 = 0 2π 4π 2π 4π  3π  π  a) P  + kπ ; b) P  + kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  + 2kπ ; + 2kπ  3 3 3 3 4  4  π π 2π 2π  3π  π  c) P  + kπ ; + 2kπ ; d) P  + kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  + 2kπ  3 3 3 3 4  4  18. Zjednodušte a určete pro která x∈R mají výrazy smysl. sin 2 x 1 − cos 2 x + 1 + cos 2 x sin 2 x a) 2tgx b) 2 cot gx c) 2tgx d) 2 cot gx x≠k

π 2

x≠k

19. Určete, pro která 1 1 + 2 tg x + 1 cot g 2 x + 1 a) x ∈ R

π 2

x≠

π 2

+ kπ

x≠

π 2

x∈R je definován uvedený příklad.

b) x ≠ k

π 2

c) x ∈ Z

20. Řešte nerovnici s neznámou x∈R. sin 2 x + 3 cos x − 3 ≤ 0 a) x ∈ R b) x ∈ ∅ c) x = k 2π

12

d) x ≠

π 2

2k .π

d) nemá řešení

+ kπ


SPŠSE a VOŠ

1. Vypočítejte průsečíky grafu funkce s osami x a y. π 1  y = sin  2 x −  − 2 2   π 2π   π 2π  a) Px =  ;  b) Px = − ;  3 3   6 3  3 3   Py = 0;−  Py = 0;−  2 2   Řešení:

π π  c) Px =  ;  3 6 3  Py = 0;−  2 

 π π d) Px = − ;   6 6 3  Py = 0;−  2 

π 1  – nejprve příklad upravíme do tvaru y = sin 2 x −  − 4 2  – načrtneme funkci y = sin x (obrázek 11.1.1) π π  – poté funkci y = sin  x −  → x − nám říká, abychom posunuli počátek 4 4  funkce po ose x o

π 4

doprava (obrázek 11.1.1) obrázek 11.1.1

1,5 1 0,5

y = sin (x)

0

y = sin (x-180/4)

-0,5 0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

390

-1 -1,5 stupně

– protože před funkcí stojí dvojka, tak se zvětší dvojnásobně frekvence celé funkce (obrázek 11.1.2) 1 – nakonec celou funkci posuneme po ose y o dolů (obrázek 11.1.2) 2 obrázek 11.1.2 1,5 1 y = sin (x)

0,5

y = sin (x-180/4)

0 -0,5 0

30

60

90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

y = sin 2 (x-180/4) y= sin 2 (x-180/4) -1/2

-1 -1,5 -2 stupně

– určíme průsečíky

 π 2π  – z grafu vyplývá, že průsečíky s osou x jsou v Px =  ;  3 3  – jiný způsob pro zjištění průsečíků s osou x je následující

13


 0 = sin  2 x −  − 2 2  π  α =  2x −  2  1 1 = sin α → α = arcsin   2 2

– za y dosadíme nulu – využijeme substituci – upravíme

α 1 = 30° ⇒

– vypočítáme x

SPŠSE a VOŠ

π 1

6 5π α 2 = 150° ⇒ 6 π  5π   2x −  = 2 6  2π x2 = 3

π π   2x −  = 2 6  x1 =

π

π 3

 π 2π  – výsledek se shoduje tzn. Px =  ;  3 3 

– pro spočítání průsečíku s osou y musíme dosadit do příkladu za x nulu π 1  y = sin  2 ⋅ 0 −  − 2 2   π 1 y = sin  −  −  2 2 1 3 – upravíme y = −1 − = − 2 2 3  – průsečík s osou y je Py = 0;−  2  – definiční obor (funkce není po ose x nijak omezována) D f = R 3 1 – obor hodnot (funkce je na ose y omezena intervalem) H f = − ; 2 2 – perioda (doba, za kterou se funkce začne opakovat) 2π

1. Špatné řešení – postupujeme správně – vypočítáme x – chyba v úpravě u x1

π π   2x −  = 2 6  2x =

π 6

x=−

 π 2π  – průsečík s osou x Px = − ;   6 3 

−

π

π 2

6

3  – průsečík s osou y zůstávají stejné Py = 0;−  2 

2. Špatné řešení – postupujeme správně 14

π  5π   2x −  = 2 6  2π x2 = 3


π

π

5π   2x −  = 2 6  5π π 2x = − 6 2

  2x −  = 2 6 

– vypočítáme x

x1 =

– chyba v úpravě u x 2

SPŠSE a VOŠ

π

π 3

x2 =

π π 

π

6

– průsečík s osou x Px =  ;  3 6 3  – průsečík s osou y zůstávají stejné Py = 0;−  2 

3. Špatné řešení – postupujeme správně – vypočítáme x

π π   2x −  = 2 6 

– chyba v úpravě u x1 i x 2

2x =

π 6

x=−

 π π – průsečík s osou x Px = − ;   6 6

−

π

π 2

6

3  – průsečík s osou y zůstávají stejné Py = 0;−  2 

15

π  5π   2x −  = 2 6  5π π 2x = − 6 2 x2 =

π

6


SPŠSE a VOŠ

2. Určete definiční obor a obor hodnot funkce y. y = cos x + 1 a) D f = R

b) D f = R

c) D f = R

d) D f = R

H f = − 1;−2 H f = − 1;0 H f = 0;2 H f = − 2;0 Řešení: – určíme si nulové body → x = 0 x<0 x≥0 ∨ y = cos(− x ) y = cos x y = − cos x – načrtneme funkci y = cos x pro x ≥ 0 a zároveň funkci y = − cos x pro x < 0 (obrázek 12.1.1) obrázek 12.1.1 1,5 1 0,5

-360

-300

-240

-180

-120

-60

-0,5

y = cos (x)

cvb

0 0

60

120

180

240

300

y = -cos (x)

360

-1 -1,5 stupně

– funkci posuneme po ose y o 1 směrem nahoru (obrázek 12.1.2) – výsledná funkce je na obrázku 12.1.2 obrázek 12.1.2 2,5 2 y = cos (x)

1,5

y = -cos (x)

1 cvb

0,5

y = cos (x) + 1 y = -cos (x) + 1

0 -360

-300

-240

-180

-120

-60-0,5 0

60

120

180

240

300

360

y = |cos x| + 1

-1 -1,5 stupně

– definiční obor (funkce není po ose x nijak omezována) D f = R – obor hodnot (funkce je na ose y omezena intervalem) H f = − 1;−2 – perioda (doba než se funkce navrátí do své původní polohy) 2π

1. Špatné řešení – určíme si nulové body → x = 0 , postupujeme podle správného řešení – načrtneme funkci y = cos x pro x ≥ 0 a zároveň funkci y = − cos x pro x < 0 (obrázek 12.1.1) 16


SPŠSE a VOŠ

– funkci posuneme po ose y o 1 směrem nahoru; zde uděláme chybu a posuneme ji o 1 dolu (obrázek 12.2.1) obrázek 12.2.1 1,5 1 y = cos (x)

0,5

y = -cos (x)

0 -360

-300

-240

-180

-120

-60 -0,5 0

60

120 cvb

180

240

300

360

y = cos (x) + 1 y = -cos (x) + 1

-1

y = |cos x| + 1

-1,5 -2 -2,5 stupně

– definiční obor D f = R – obor hodnot H f = − 1;0 – perioda 2π

2. Špatné řešení – určíme si nulové body → x = 0 , postupujeme podle správného řešení – načrtneme funkci y = cos x pro x ≥ 0 a zároveň funkci y = − cos x pro x < 0 (obrázek 12.1.1) – funkci posuneme po ose y o 1 směrem nahoru – student bude až sem postupovat správně, avšak udělá chybu v nákresu grafu a splete si ho s funkcí y = cos x + 1 – výsledná funkce je na obrázku (12.3.1) obrázek 12.3.1 2,5 2 1,5

y = cos (x)

1

y = -cos (x)

0,5

cvb

y = cos (x) + 1

0 -360

-300

-240

-180

-120

-60-0,5 0

60

120

180

240

300

360

y = -cos (x) + 1 y = |cos x| + 1

-1 -1,5 stupně

– definiční obor D f = R – obor hodnot H f = 0;2 – perioda 2π

3. Špatné řešení – určíme si nulové body → x = 0 , postupujeme podle správného řešení – načrtneme funkci y = cos x pro x ≥ 0 a zároveň funkci y = − cos x pro x < 0 (obrázek 12.1.1) – funkci posuneme po ose y o 1 směrem nahoru; zde uděláme chybu a posuneme ji o 1 dolu (obrázek 12.4.1) 17


SPŠSE a VOŠ

– student pak následně udělá ještě jednu chybu, a to v nákresu grafu, který si splete s funkcí y = cos x + 1 obrázek 12.4.1 1,5 1 0,5

y = cos (x) y = -cos (x)

0 -360

-300

-240

-180

-120

-60 -0,5 0

60

120 cvb

180

240

300

360

y = cos (x) + 1 y = -cos (x) + 1

-1

y = |cos x| + 1

-1,5 -2 -2,5 stupně

– výsledná funkce je na obrázku (12.4.1) – definiční obor D f = R – obor hodnot H f = − 2;0 – perioda 2π

18


SPŠSE a VOŠ

3. Řešte rovnici s neznámou x∈R. π 3  3 cos 2 x −  = 3 ⋅ 3 2  a) x1 =

π

+ kπ

4 13π x2 = + kπ 12 Řešení:

b) x1 = −

π

+ kπ

c) x1 =

12 13π x2 = + kπ 12

π

+ kπ

4 3π x2 = + kπ 4

π  – využijeme substituci α =  2 x −  3  3 – upravíme 3 cos α = 3 ⋅ 2 3 cos α = 2 π 11π α 1 = + 2kπ α2 = + 2kπ 6 6 π π  – vypočítáme x  2 x −  = + 2kπ 3 6  – upravíme

2x =

– zjistíme x i periodu

x1 =

π 2

π

4

+ 2kπ

+ kπ

d) x1 = − x2 =

π 12

+ kπ

3π + kπ 4

π  11π  + 2kπ  2x −  = 3 6  13π 2x = + 2kπ 6 13π x2 = + kπ 12

1. Špatné řešení – využijeme substituci ze správného řešení π π  – vypočítáme x  2 x −  = + 2kπ 3 6 

π

– chybně upravíme x1

2x =


x1 = −

6

−

π 12

π 3

+ 2kπ

+ kπ

π  11π  + 2kπ  2x −  = 3 6  13π 2x = + 2kπ 6 13π x2 = + kπ 12

2. Špatné řešení – využijeme substituci ze správného řešení π π  – vypočítáme x  2 x −  = + 2kπ 3 6  – chybně upravíme x 2

2x =


x1 =

π 2

π

4

+ 2kπ + kπ

π  11π  + 2kπ  2x −  = 3 6  11π π 2x = − + 2kπ 6 3 3π x2 = + kπ 4

3. Špatné řešení – využijeme substituci ze správného řešení π π  – vypočítáme x  2 x −  = + 2kπ 3 6  19

π  11π  + 2kπ  2x −  = 3 6 


π

– chybně upravíme x1 i x 2

2x =


x1 = −

20

6

−

π

12

π

3

+ 2kπ

+ kπ

SPŠSE a VOŠ

11π π 2x = − + 2kπ 6 3 3π x2 = + kπ 4


SPŠSE a VOŠ

4. Určete hodnoty ostatních goniometrických funkcí. cot gα = −3 10 10 3 10 cos α = ± 10 1 tgα = − 3 Řešení:

a) sin α = ±

2 4 3 10 cos α = ± 10 1 tgα = − 3

b) sin α = ±

– upravíme – umocníme na druhou – upravíme – využijeme vzorec sin 2 x + cos 2 x = 1

10 2 d) sin α = ± 10 4 3 2 3 2 cos α = cos α = 4 4 1 1 tgα = − tgα = − 3 3

c) sin α = ±

cos α = −3 sin α cos α = −3 sin α / 2 cos 2 α = 9 sin 2 α 1 − sin 2 α = 9 sin 2 α 1 = 10 sin 2 α 1 sin 2 α = 10 10 sin α = ± 10

– následně musíme spočítat cos α , postupujeme již od předem spočítané části cos 2 α = 9 sin 2 α 2 2 – použijeme vzorec sin x + cos x = 1 cos 2 α = 9 1 − cos 2 α – upravíme 10 cos 2 α = 9 9 cos 2 α = 10 3 10 cos α = ± 10

(

– nakonec spočítáme hodnotu pro tgα

)

1 cot gα 1 tgα = − 3

tgα =

1. Špatné řešení – postupujeme správně – využijeme vzorec sin 2 x + cos 2 x = 1 ; nesprávně upravíme 1 + sin 2 α = 9 sin 2 α 1 = 8 sin 2 α 1 sin 2 α = 8 2 sin α = ± 4 – cos α i tgα by student vypočítal správně, neboť u tgα by si mohl najit v tabulkách vzorec, který jsem použil ve správném řešení a proto by si chyby nemusel všimnout

21


SPŠSE a VOŠ

2. Špatné řešení – postupujeme správně, student spočítá bez chyby sin α i tgα – využijeme vzorec sin 2 x + cos 2 x = 1 ; nesprávně upravíme cos 2 α = 9 1 + cos 2 α

(

− 8 cos α = 9 9 cos 2 α = 8 3 2 cos α = 4

)

2

– zapomeneme na minus

3. Špatné řešení – student udělá najednou obě předcházející chyby, hodnotu pro tgα spočítá správně

22


SPŠSE a VOŠ

5. Vypočítejte přesně. 2π π 5π  π π  7π  3 cot g  −  sin − cot g + tg  −  + cos ⋅ 2tg 3 3 6 6  4  6  3 3−2 3 3−2 3 3+2 3 3+2 a) − b) c) − d) 2 2 2 2 Řešení: – radiány převedeme na stupně 3 cot g (− 45°) sin 60° − cot g120° + tg (− 210°) + cos 30° ⋅ 2tg150° = – úhly převedeme na základní úhly = 3 cot g (− 45°)sin 60° + cot g 60° + tg (− 30°) + cos 30° ⋅ (− 2tg 30°) =

– upravíme

 3 3 3  3  2 3   +  = =  3 ⋅ (− 1) ⋅ − + ⋅−   3  2  2 3 3     

=−

3 3 3 3−2 −1 = − 2 2

1. Špatné řešení – radiány převedeme na stupně – úhly převedeme na základní úhly  3 3 3  3  2 3   +  = – upravíme =  3 ⋅ (− 1) ⋅ − + ⋅−  3   2  2 3 3      – chybně zapomeneme na mínus při násobení s (-1) 3 3 3 3−2 = −1 = 2 2

2. Špatné řešení – radiány převedeme na stupně – úhly převedeme na základní úhly  3 3 3  3  2 3   +  = – upravíme =  3 ⋅ (− 1) ⋅ − + ⋅−  3   2  2 3 3       2 3  – chybně zapomeneme na mínus při násobení s  − 3   =−

3 3 3 3+2 +1 = − 2 2

3. Špatné řešení – postupujeme správně  3 3 3  3  2 3   +  = – upravíme =  3 ⋅ (− 1) ⋅ − + ⋅−  3   2  2 3 3       2 3  – chybně zapomeneme na mínus při násobení s (-1) i  −  3   =

3 3 3 3+2 +1 = 2 2

23


SPŠSE a VOŠ

6. Vypočítejte pomocí součtových vzorců. π  cot g  + α  cos(π − α ) 2  − cos(π + α ) π  cot g  − α  2  2 a) 2 b) 1 + tg α c) 0 d) -2 Řešení: – využijeme dva vzorce: sin ( x ± y ) a cos( x ± y ) → zároveň upravíme

π  π π cos + α  cos cos α − sin sin α 2   2 2 π  π π sin  + α  sin cos α + cos sin α cos(π − α ) cos cos + sin sin π α π α 2   = 2 2 − − = π π cos(π + α ) π  cos π cos α − sin π sin α cos cos α + sin sin α cos − α  2 2 2  π π π  sin cos α − cos sin α sin  − α  2 2 2  – vše se vzájemně vykrátí − cos α  − sin α cos α  − ⋅  = 1 − (− 1) = 1 + 1 = 2 − cos α  cos α sin α 

1. Špatné řešení – postupujeme správně až do konečné úpravy, chybně vydělíme zlomky  sin 2 α  − cos α  − sin α sin α   = 1 + tg 2α − ⋅  = 1 −  − 2 − cos α  cos α cos α   cos α 

2. Špatné řešení – postupujeme správně až do konečné úpravy, chybně neupravíme znaménko u části − (− 1) − cos α  − sin α cos α  − ⋅  = 1 − (− 1) = 1 − 1 = 0 − cos α  cos α sin α 

3. Špatné řešení – postupujeme správně až do konečné úpravy, chybně ponecháme jedno − cos α mínus z tvaru u výsledné jedničky a zároveň neupravíme znaménko − cos α u části − (− 1) − cos α  − sin α cos α  − ⋅  = −1 − (− 1) = −1 − 1 = −2 − cos α  cos α sin α 

24


SPŠSE a VOŠ

7. Řešte rovnici s neznámou x∈R. 2 sin x + tgx + 2 cos x + 1 = 0 2π 4π  3π  a) P  + kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  3 3 4  3 2 π π π   c) P  + kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  3 3 4  Řešení:

sin x + 2 cos x + 1 = 0 / cos x cos x 2 sin x cos x + sin x + 2 cos 2 x + cos x = 0 vytkneme sin x(2 cos x + 1) + cos x(2 cos x + 1) = 0 (sin x + cos x )(1 + 2 cos x ) = 0 součin se rovná 0, jestliže jeden z činitelů = 0 upravíme sin x + cos x = 0 1 + 2 cos x = 0 1 sin x = − cos x cos x = − 2 2π tgx = −1 x2 = + 2kπ 3 3π 4π x1 = + kπ x3 = + 2kπ 4 3 zobrazení úhlů (obrázek 17.1.1, obrázek17.1.2)

– upravíme – – –

–

2π 4π π  b) P  + kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  3 3 4  2 π π π   d) P  + kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  3 3 4  2 sin x +

2π 4π  3π  P  + kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  3 3 4 

1. Špatné řešení – postupujeme zcela správně – upravíme sin x + cos x = 0 – chyba ve znaménku sin x = cos x tgx = 1 x1 =

–

x 2 i x3 vypočítáme správně 2π 4π π  P  + kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  3 3 4 

2. Špatné řešení – postupujeme zcela správně – upravíme 1 + 2 cos x = 0 25

π 4

+ kπ


– chyba ve znaménku

1 cos x = 2

π

+ 2kπ 3 2π x2 = + 2kπ 3

x1 =

–

x1 vypočítáme správně 2π π  3π  + 2kπ  P  + kπ ; + 2kπ ; 3 3 4 

3. Špatné řešení – postupujeme správně – upravíme, ale dopustíme se obou předcházejících chyb najednou 2π π π  P  + kπ ; + 2kπ ; + 2kπ  3 3 4 

26

SPŠSE a VOŠ


SPŠSE a VOŠ

8. Zjednodušte a určete pro která x∈R mají výrazy smysl. sin 2 x 1 − cos 2 x + 1 + cos 2 x sin 2 x a) 2tgx b) 2 cot gx

x≠k

π 2

x≠k

c) 2tgx

π

x≠

2

d) 2 cot gx

π 2

+ kπ

x≠

π 2

+ kπ

Řešení: – použijeme následující vzorce: cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x sin 2 x = 2 sin x cos x 1 = sin 2 x + cos 2 x – upravíme 2 sin x cos x sin 2 x + cos 2 x − cos 2 x − sin 2 x + = 2 sin x cos x sin 2 x + cos 2 x + cos 2 x − sin 2 x 2 sin x cos x 2 sin 2 x – vykrátíme + = 2 sin x cos x 2 cos 2 x sin x sin x + = 2tgx cos x cos x – podmínky: 1) cos x ≠ 0 obrázek 18.1.1 2) sin x ≠ 0 obrázek 18.1.2

(

cos x = 0 → x = arccos 0

sin x = 0 → x = arccos 0

π

2k .π π 2 ⇒ x ≠ + kπ 3π 2 x≠ + 2k .π 2 – výsledná podmínka je následující

x≠

x≠k

)

x ≠ kπ

π

2

1. Špatné řešení – postupujeme zcela správně – chybně určíme výsledek, tg zaměníme za cotg – podmínky zůstanou beze změny

2. Špatné řešení – postupujeme zcela správně a dojdeme k výsledku 2tgx – řešitel určí pouze podmínku u cos x x ≠

27

π 2

+ kπ

sin x sin x + = 2 cot gx cos x cos x


SPŠSE a VOŠ

3. Špatné řešení – postupujeme zcela správně – chybně určíme výsledek, tg zaměníme za cotg – řešitel určí pouze podmínku u cos x x ≠

28

π 2

+ kπ

sin x sin x + = 2 cot gx cos x cos x


SPŠSE a VOŠ

9. Určete, pro která x∈R je definován uvedený příklad. 1 1 + tg x + 1 cot g 2 x + 1 2

a) x ∈ R

b) x ≠ k

π 2

c) x ∈ Z

d) x ≠

π 2

2k .π

Řešení: 1 1 + = 2 sin x cos x +1 +1 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x + =1 sin 2 x + cos 2 x cos 2 x + sin 2 x

– upravíme

2

– podmínky: 1) tg 2 x ≠ 1 2) cot g 2 x ≠ 1 – z obou vyplývá x ∈ R

1. Špatné řešení – celý postup správně – nesprávné určení podmínek podmínky: 1) cos x ≠ 0 obrázek 18.1.1 2) sin x ≠ 0 obrázek 18.1.2 cos x = 0 → x = arccos 0 sin x = 0 → x = arccos 0

π

2k .π π 2 ⇒ x ≠ + kπ 3π 2 x≠ + 2k .π 2 – výsledná podmínka je následující

x≠

x≠k

x ≠ kπ

π

2

2. Špatné řešení – celý postup správně – podmínky: 1) tg 2 x ≠ 1 2) cot g 2 x ≠ 1 – chybné určení x ∈ Z

3. Špatné řešení – celý postup správně – nesprávné určení podmínky – zapomene určit druhou podmínku u cos x a podmínku u sin x podmínka cos x ≠ 0 obrázek 18.1.1 cos x = 0 → x = arccos 0 x≠

π

2

2k .π

29


SPŠSE a VOŠ

10. Řešte nerovnici s neznámou x∈R. sin 2 x + 3 cos x − 3 ≤ 0 a) x ∈ R b) x ∈ ∅ c) x = k 2π Řešení: – využijeme vzorec sin 2 x + cos 2 x = 1 – upravíme a = cos x – substituce

– řešíme kvadratickou rovnici

d) nemá řešení 1 − cos 2 x + 3 cos x − 3 ≤ 0 − cos 2 x + 3 cos x − 2 ≤ 0 − a 2 + 3a − 2 = 0 −3± 9−8 a1, 2 = = −2 a1 = 2

a2 = 1

– určíme x: cos x = 2 → x = arccos 2 x∈∅ – graf je zobrazen na obrázku 20.1.1 – funkce platí vždy →

x y

-360 0

-270 -2

-180 -6

-90 -2

0 0

cos x = 1 → x = arccos1 x = k 2π

x∈R

90 -2

180 -6

270 -2

360 0

90

180

270

360

obrázek 20.1.1 0 -360

-270

-180

-90

-1 0 -2 -3 -4 -5 -6 -7 stupně

1. Špatné řešení – postupujeme zcela správně – určíme x, ale za výsledek chybně považujeme jen tuto část cos x = 2 → x = arccos 2 x∈∅

2. Špatné řešení – postupujeme zcela správně 30


SPŠSE a VOŠ

– určíme x, ale za výsledek chybně považujeme jen tuto část cos x = 1 → x = arccos1 x = k 2π

3. Špatné řešení – postupujeme zcela správně – substituce a = cos x − a 2 + 3a − 2 = 0 −3± −9−8 = −2 − 3 ± − 17 a1, 2 = −2 – vzhledem k záporné odmocnině předpokládám, že by se řešitel nesnažil nijak dále postupovat, neboť v zadání je napsáno: Řešte nerovnici s neznámou x náleží reálným číslům. – výsledkem by proto bylo → příklad nemá řešení

– chybně řešíme kvadratickou rovnici

31

a1, 2 =


32

SPŠSE a VOŠ


Závěr

33

SPŠSE a VOŠ


SPŠSE a VOŠ

Poděkování Velice děkuji paní Mgr. Jiřině Jirsákové, která mi pomáhala v celém průběhu tvorby práce. Dále pak děkuji panu Mgr. Jaromíru Osčádalovi, jenž mi radil s prací v Moodlu a vyřešil několik problémů s vkládáním příkladů a jejich zobrazováním. Bez nich by práce nebyla uskutečnitelná.

34


SPŠSE a VOŠ

Použitá literatura [1] Mgr. František Janeček, SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY - Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy, Prometheus, 2003 [2] RNDr. Josef Kubát, SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO PŘÍPRAVU K MATURITNÍ ZKOUŠCE A K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA VYSOKÉ ŠKOLY, Victoria Publishing, 1993 [3] Dr. Petr Benda a kolektiv, SBÍRKA MATURITNÍCH PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY, Státní pedagogické nakladatelství, 1988 [4] Miluše Hyánková, Vlasta Sedláčková, MATEMATIKA PRO ZÁJEMCE O STUDIUM NA VYSOKÝCH ŠKOLÁCH TECHNICKÝCH, Vydavatelství ČVUT, 1993 [5] Doc. RNDr. František Jirásek a kolektiv, SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO SOŠ A PRO STUDIJNÍ OBORY SOU, 1. část, Prometheus, 2004 [6] RNDr. Jindra Petáková, MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, Prometheus, 2004 [7] RNDr. Pavel Čermák, Mgr. Petra Červinková, ODMATURUJ Z MATEMATIKY 1, Didaktis, 2004 [8] RNDr. Pavel Boucník a kolektiv, ODMATURUJ Z MATEMATIKY 3, Didaktis, 2004

35

ÚPLNÝ NÁZEV DLOUHODOBÉ MATURITNÍ PRÁCE

Recommend Documents