KISI-KISI PENULISAN SOAL DAN URAIAN ULANGAN TENGAH SEMESTER GENAP Jenis Sekolah Penulis Mata Pelajaran Jumlah Soal Kelas Bentuk Soal AlokasiWaktu Acuan No
Materi
: SMP/MTs : Gresiana P : Matematika : 40 nomor : VIII (delapan) : Pilihan Ganda : 120 menit : KTSP Uraian
Lingkaran Siswa dapat menyebutkan dan mengidentifikasi bagian-bagian lingkaran
Setiap bangun datar memiliki unsur-unsur yang membangunnya, termasuk bangun datar yang berbentuk lingkaran. Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, tembereng, juring, apotema, sudut pusat, dan sudut lingkaran. Untuk melihat gambarnya silahkan lihat gambar di bawah ini.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut. a. Titik Pusat
Nomor soal 1-4
Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak tepat di tengahGaris singgung
tengah lingkaran. Pada Gambar di atas, titik O merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.
b. Jari-Jari (r) Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran (keliling lingkaran). Pada Gambar di atas, jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD.
c. Diameter (d) Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan melalui titik pusat. Garis AB dan CD pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter lingkaran merupakan dua kali nilai jari-jari lingkaran, dapat ditulis secara matematis: d = 2r.
d. Busur Busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada
lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada Gambar di atas, garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung BD merupakan busur lingkaran O. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkannya sebagai busur panah.
e. Tali Busur Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan tidak melalui pusat lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran dinamakan dengan diameter lingkaran. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AD yang tidak melalui titik pusat
seperti
pada
gambar
di
atas.
Untuk
memudahkan
mengingatnya Anda dapat membayangkan seperti pada tali busur panah. f. Tembereng Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Pada Gambar di atas, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AD dan tali busur AD. Jadi tembereng terbentuk dari gabungan antara busur
lingkaran dengan tali busur lingkaran.
g. Juring Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar di atas, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.
h. Apotema Apotema lingkaran merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar di atas secara seksama. Garis OF merupakan garis apotema pada lingkaran O. Siswa dapat menentukan keliling dan luas lingkaran jika unsur-unsur yang diperlukan diketahui atau sebaliknya jika keliling dan luasnya diketahui tapi unsurunsur yang lain ditanyakan
5-10
Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran PePenerapan keliling lingkaran dalam kehidupan sehari-hari Sebuah roda sepeda memiliki jari-jari 21 cm. Ketika sepeda dikayuh, roda tersebut berputar sebanyak 50 kali. Tentukan keliling dan jarak yang ditempuh oleh roda sepeda tersebut ! Pembahasan : Cari keliling roda terlebih dahulu : K = 2πr K = 2 x 22/7 x 21 cm K = 12 cm Untuk mengetahui jarak yang ditempuh oleh roda, menggunakan rumus : Jarak = Keliling x banyak putaran Jarak = 12 cm x 50 cm Jarak = 600 cm Maka jarak yang ditempuh roda sepeda tersebut adalah 600 cm atau 6 m B. Penerapan Luas lingkaran dalam kehidupan sehari-hari Sebuah stadion berbentuk lingkaran memiliki keliling 132 m. Berapakah luas keseluruhan dari stadion tersebut ! Pembahasan : Untuk mencari luas lingkaran kita harus mengetahui jari-jarinya terlebih dahulu. Karena yang diketahui adalah keliling lingkaran , maka kita bisa mengetahui jarijarinya dengan rumus : K = 2πr 132 m = 2 x 22/7 x r 132 m = 44/7 x r
11-14
44 r = 132 m x 7 44 r = 924 m r = 924/44 r = 21 m Setelah jari-jari diketahui barulah kita bisa mencari luasnya : L = πr2 L = 22/7 x 21 m x 21 m L = 22/7 x 441 m L = 1386 m2 Siswa dapat menentukan keliling dan luas dari gabungan bangun datar dengan 15-16 lingkaran Siswa dapat menentukan luas tembereng jika unsur-unsur yang diperlukan sudah 17 diketahui Siswa dapat menentukan perbandingan hubungan sudut pusat, panjang busur dan 18-21 luas juring
Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring adalah sebagai berikut.
Jadi,
panjang
lingkaran pusatnya.
busur
berbanding
dan
luas
lurus
juring
dengan
pada
suatu
besar
sudut
Sekarang perhatikan Gambar di atas tersebut. Dari gambar tersebut diperoleh
Sekarang, misalkan ∠ COD = satu putaran penuh = 360° maka keliling lingkaran = 2πr, dan luas lingkaran = πr2 dengan r jari-jari, akan tampak seperti Gambar di atas, sehingga diperoleh
Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran
22
Siswa dapat mengetahui urutan cara melukis lingkaran dalam atau lingkaran luar 23-24 segitiga dan mengetahui titik potong garis yang digunakan sebagai titik pusat lingkaran tersebut
Siswa dapat mengetahui hubungan sudut pusat dan sudut keliling untuk 25-30 menentukan unsur-unsur yang belum diketahui
Sebelum Anda mempelajari lebih jauh mengenai hubungan sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran. Anda harus paham terlebih dahulu pengertian unsur-unsur atau bagian-bagian lingkaran khusunya tentang busur, sudut pusat dan sudut keliling lingkaran.
Coba perhatikan gambar di atas dengan seksama, ∠AOB merupakan sudut pusat lingkaran dan ∠ACB merupakan sudut keliling
lingkaran. Sudut pusat ∠AOB dan sudut keliling ∠ACB menghadap busur yang sama, yaitu AB. Lalu bagaimana hubungan sudut pusat dengan sudut keliling jika menghadap busur yang sama? Untuk mengetahui hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama, perhatikan terlebih dahulu gambar di bawah.
Lingkaran di atas berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari OA = OB = OC = OD = r. Misalkan ∠AOC = α dan ∠COB = β, maka ∠ AOB = α + β.
Perhatikan ΔBOD! ∠BOD pelurus bagi ∠BOC, sehingga ∠BOD = 180° – β . ΔBOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga ∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - ∠BOD) Karena ∠BOD = 180° – β , maka diperoleh ∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - (180° – β)) ∠ODB = ½ β
Sekarang perhatikan ΔAOD! ∠AOD pelurus bagi ∠AOC, sehingga ∠AOD = 180° – α. ΔAOD adalah segitiga sama kaki, karena OA = OD = r, sehingga ∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - ∠AOD) ∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - (180° – α)) ∠ODA = ∠OAD = ½ α
Dengan demikian mengunakan persamaan ∠ODB = ½β dan ∠ODA = ½α, maka besar ∠ADB dapat di cari: ∠ADB = ∠ODA + ∠ODB ∠ADB = ½β + ½α ∠ADB = ½ (β + α) ∠ADB = ½ ∠AOB atau besar ∠AOB = 2 x besar ∠ADB. Karena ∠ AOB adalah sudut pusat dan ∠ADB adalah sudut keliling, di mana keduanya menghadap ∠AB , maka dapat disimpulkan
sebagai
berikut.
Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling. Siswa dapat mengenal garis singgung lingkaran, menentukan panjang garis singgung lingkaran jika diketahui jari-jari dan jarak titik d luar lingkaran ke pusat 31-36 lingkaran diketahui ataupun sebaliknya.
Garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar lingkaran Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa lingkaran bertitik pusat di O dengan jari-jari OA dan OA tegak lurus dengan garis PA. Garis PA tersebut merupakan garis singgung lingkaran melalui titip P di luar lingkaran. Dikarenakan setiap sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui titik pusat dan garis singgung besarnya adalah 90 derajat, maka segitiga PAO merupakan segitiga siku-siku PAO. Maka berlaku Theorema Phytagoras sebagai berikut (rumus).
rumus persamaan garis singgung satu titik Siswa dapat menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam atau garis 37-40 singgung persekutuan luar jika diketahui jarak pusat lingkaran pertama dan lingkaran kedua, jari-jari lingkaran pertama dan lingkaran kedua ataupun sebaliknya Garis Singgung Persekutuan Dalam Rumus menentukan garis singgung:
Menentukan jari-jari lingkaran untuk R > r
dimana: p = jarak titik pusat dua lingkaran d = panjang garis singgung lingkaran dalam R = jari-jari lingkaran pertama r = jari-jari lingkaran kedua B. Garis Singgung Persekutuan Luar
Rumus menentukan garis singgung persekutuan luar:
Menentukan jari-jari lingkaran untuk R > r
dimana: p = jarak titik pusat dua lingkaran d = panjang garis singgung lingkaran luar R = jari-jari lingkaran pertama r = jari-jari lingkaran kedua
