Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY II Název úlohy:
Měření ohniskové vzdálenosti čočky
Jméno:
Petr Luzar 22.listopadu 2007
Datum měření: Hodnocení:
Skupina:
IT II/1
Obor:
Informační technologie
Přílohy:
0
Zadaní: a) změřte ohniskovou vzdálenost vybrané čočky přímou metodou, b) změřte ohniskovou vzdálenost vybrané čočky Besselovou metodou, c) pokuste se sestavit ze dvou čoček soustavu, která na stínítku vytvoří zvětšený obraz.
Základní pojmy: Vlastnosti čočky jsou charakterizovány jejími ohniskovými vzdálenostmi f (předmětová ohnisková vzdálenost) a f’ (obrazová ohnisková vzdálenost). Je-li předmět v nekonečnu, vytvoří čočka obraz v obrazovém ohnisku. Je-li předmět v předmětovém ohnisku, vytvoří čočka jeho obraz v nekonečnu.
Použité přístroje a pomůcky:
Optická lavice, zdroj světla (žárovka s téměř bodovým vláknem), spojky o ohniskové vzdálenosti 50 – 300 mm.
Princip metody: Vlastnosti čočky jsou charakterizovány jejími ohniskovými vzdálenostmi f (předmětová ohnisková vzdálenost) a f’ (obrazová ohnisková vzdálenost). Je-li čočka obklopena z obou stran stejným prostředím, potom f' = -f. Označíme-li vzdálenost předmětu od čočky a a vzdálenost obrazu od čočky a’ (obr. 1), jsou tyto veličiny svázány s ohniskovou vzdáleností čočky zobrazovací rovnicí
−
1 1 1 + = . a a′ f ′
(1)
Při tom používáme Jenskou znaménkovou konvenci, kdy (zjednodušeně řečeno) platí, že všechny vzdálenosti se měří od čočky; měříme-li vzdálenost od čočky vlevo, bereme ji záporně, měříme-li ji od čočky vpravo, bereme ji kladně.
ξ
y
ξ'
F
F' y' f a
f' a' Obr. 1: Zobrazení čočkou
Ze vztahu (1) lze dokázat, že čočka vytvoří skutečný obraz (obraz, který lze zobrazit na stínítku) když platí, že vzdálenost předmětu od stínítka je větší nebo rovna čtyřnásobku ohniskové vzdálenosti. Zvětšení obrazu je definováno vztahem
Z=
y′ , y
(2)
kde y je velikost předmětu a y’ velikost obrazu. Velikosti bereme kladně, je-li předmět nebo obraz vzpřímený (směřuje-li vzhůru). Je-li předmět nebo obraz převrácený (směřuje dolů), bereme velikosti záporně. V obr. 1 jsou vidět podobné trojúhelníky, pomocí kterých je možné upravit vztah (2) do tvaru
Z=
y ′ a′ = . y a
(3)
Je-li zvětšení záporné, znamená to, že obraz je vzhledem k předmětu převrácený. Přímá metoda vychází bezprostředně ze zobrazovací rovnice. Pro nějakou vzdálenost předmětové roviny ξ (zdroje světla) a obrazové roviny ξ´ (stínítka) najdeme takovou polohu čočky, kdy na stínítku vznikne ostrý obraz zdroje (obr. 1). Ze znalosti předmětové vzdálenosti a a obrazové vzdálenosti a’ lze podle rovnice (1) vypočítat ohniskovou vzdálenost. Pro reálnou čočku s nenulovou tloušťkou se vzdálenosti měří od hlavních rovin čočky. Ovšem jejich polohu je obtížné určit, a proto se pro měření ohniskové vzdálenosti reálných čoček používá Besselova metoda. Besselova metoda využívá skutečnosti, že je možné při dostatečně veliké vzdálenosti předmětové roviny ξ a obrazové roviny ξ´ najít obecně dvě polohy čočky, při kterých lze získat ostré obrazy předmětu (obr. 2 – číslo 1 se vztahuje k první a číslo 2 ke druhé poloze čočky). Besselova metoda měření ohniskové vzdálenosti vychází z Gaussovy zobrazovací rovnice (1). Označme a1 a a1’ předmětovou a obrazovou vzdálenost při první poloze čočky, kdy dostaneme ostrý obraz. Předmětovou a obrazovou vzdálenost při druhé poloze pak označme a2 a a2’. Dále pak l označme vzdálenost předmětové a obrazové roviny a d bude vzdálenost mezi oběma polohami čoček, kdy obdržíme ostrý obraz (obr.2). V případě, že je čočka tenká a obě hlavní roviny čočky můžeme považovat za totožné, platí z důvodů symetrie a1 = -a2´ , a1´ = a2 , l > 0, d > 0. Po dosazení do zobrazovací rovnice (1) dostaneme vztah pro f '
f′=
l2 − d 2 . 4l
(4)
V uvedeném rozboru jsme zanedbali tloušťku čočky, to však lze provést jen u jednoduchých čoček. Při určení ohniskové vzdálenosti optické soustavy tuto vzdálenost zanedbat nelze.
ξ
1
ξ'
2
y F2
F1
F' 1
F'2
y'1
a'1
a1 a2
2
d l Obr. 2: Besselova metoda
y'2
Soustava čoček. Prochází-li světlo soustavou čoček, můžeme problém rozdělit na průchod jednotlivými čočkami, který se řídí zobrazovací rovnicí (1). Předmět leží ve vzdálenosti a1 před první čočkou (na obr. 3 označena číslem 1). Ta vytvoří podle (1) jeho obraz ve vzdálenosti a1’. Tento obraz vytvořený první čočkou je předmětem pro druhou čočku (na obr. 3 označena číslem 2) a nachází se od ní ve vzdálenosti a2. Druhá čočka vytvoří jeho obraz opět podle (1) ve vzdálenosti a2’ (obr.3).
ξ
ξ'
2
1
y
y'2
F2
1
F1
a1
F' 1
y'=y 1 2
a'1
F' 2
a2 Obr. 3: Soustava čoček
2
Postup měření: Ve všech případech je předmětem vlákno žárovky. Přímá metoda. (obr.1) Pro nějakou vzdálenost předmětu od stínítka najděte takovou polohu čočky mezi předmětem a stínítkem, aby obraz na stínítku byl ostrý. Změřte předmětovou a obrazovou vzdálenost. Měření asi desetkrát opakujte pro různé vzdálenosti předmětu od stínítka. Besselova metoda. (obr.2) Nastavte a odečtěte vzdálenost zdroje a stínítka (l). Hledejte takovou polohu (a1) čočky (blíže k předmětu), v níž se předmět zobrazí na stínítku zvětšený a ostrý. Poté přesuňte čočku symetricky (blíže ke stínítku) a zaostřete na zmenšený obraz (poloha a2). Platí a2 - a1 = d. Měření opakujte pro alespoň 10 různých vzdáleností předmětu a stínítka. Výsledky zapište do tabulky. Pro každou dvojici l a d vypočítejte hodnotu ohniskové délky f'. Ze všech měření stanovte aritmetický průměr a jeho směrodatnou odchylku. Získaný výsledek porovnejte s hodnotou vyznačenou na měřené čočce. Soustava čoček. Vedoucí laboratoří na jejich začátku stanoví požadované zvětšení. Podle požadovaného zvětšení navrhněte zvětšení čoček Z1 a Z2. Například má-li být výsledné zvětšení 3x, mohou být zvětšení čoček -1 a -3, - 3 a - 3 nebo třeba -1,2 a -2,5 (mínus ve zvětšení čočky říká, že čočka obraz převrací). Ze znalosti zvětšení vypočítejte, pomocí vztahů (1) a (3) pro obě čočky, předmětovou a obrazovou vzdálenost. Umístěte na optické lavici čočky a stínítko do požadovaných poloh a ověřte, zda vznikl ostrý obraz. Není-li obraz úplně ostrý, pokuste se ho malým posunutím stínítka doostřit.
Vypracování: Přímá metoda – čočka f=100mm č.m.
Čočka (a)
stínitko ( a' )
f'
1.
-140
500
109,375
2.
-130
550
105,147
3.
-126
600
104,132
4.
-125
650
104,839
5.
-122
700
103,893
6.
-118
750
101,959
7.
-115
800
100,546
8.
-113
850
99,740
9.
-114
900
101,183
10.
-115
950
102,582
φf1 = 103,3 ± 2,7
Přímá metoda – čočka f=200mm č.m.
čočka (a)
Stínítko ( a' )
f'
1.
-275
1010
216,148
2.
-263
1105
212,438
3.
-268
1050
213,505
4.
-259
1150
211,391
5.
-255
1200
210,309
6.
-251
1250
209,027
7.
-247
1300
207,563
8.
-240
1350
203,774
9.
-285
950
219,231
10.
-299
950
227,422
φf2 = 213,9 ± 6,3
Besslova metoda – čočka f=100mm Čočky d(a-a')
Stínítko (l)
f'
230
50
63,889
290
55
67,872
349
60
72,457
405
65
77,426
460
70
82,564
514
75
87,813
570
80
93,061
622
85
98,454
676
90
103,823
725
95
109,325
φf1 = 85,7 ± 14,7
Besslova metoda – čočka f=200mm Čočka d(a-a')
Stínítko (l)
f'
105
80
336,000
215
85
140,577
310
90
126,818
385
95
126,121
465
100
127,397
520
105
131,566
580
110
135,745
645
115
139,953
703
120
144,700
770
125
149,225
φf2 = 155,8 ± 60,5
Soustava čoček Zadané hodnoty:
Celkové zvětšení Z=5,3 Zvětšení jedné čočky Z= (-2)
Ohnisková vzdálenost:
f1 = 100mm f2 = 200mm
Z = Z1 ⋅ Z 2 Z2 =
Z Z1
5,3 −2 Z 2 = (−2.65) Z2 =
−
1 1 1 + = a a′ f ′
Z= ;
a′ a
První čočka
Druhá čočka
1 1 1 − + = a1 a1′ 100 a′ − 2 = 1 => a´1 = −2a1 a1 1 1 1 − + = a1 − 2a1 100
1 1 1 + = a 2 a 2′ 200 a′ − 2,65 = 2 => a´2 = −4, 2a 2 a2 1 1 1 − + = a 2 − 2,65a 2 200
a1 = −150mm a1′ = 300mm
a 2 = −275,5mm a´2 = 730mm
−
Vyhodnocení: Měřením pomocí přímé metody vyšla ohnisková vzdálenost pro čočku s ohniskem f=100mm
φf1
= 103,3 ± 2,7 a pro čočku s ohniskem f=200mm vyšlo
φf2
= 213,9 ± 6,3. Basselovou metodou pro
čočku s f=100mm φf1 = 85,7 ± 14,7 a pro druhou čočku s ohniskem f=200mm φf2 = 258,2 ± 367,3. Chyby v měření mohly vzniknout špatným určením ostrosti obrazu. U soustavy čoček bylo zadáno zvětšení 5,3. U první čočky vyšly hodnoty a1=-150mm a a‘1=300mm, u druhé čočky a2=-275,5mm a a‘2=730mm.
