Univerzita T. Bati ve Zlíně Fakulta technologická Institut informačních technologií Elektrotechnika Mgr. Milan Adámek, Ph. D

Univerzita T. Bati ve Zlíně Fakulta technologická Institut informačních technologií

Elektrotechnika Mgr. Milan Adámek, Ph. D.

Vypracovala: Petra Adamcová

1

Základní pojmy

1.1 Elektrotechnika Elektrotechnika: - obor, který se zabývá elektrickými, magnetickými a elektromagnetickými jevy, jejichž příčinou je elektricky nabitá hmota, tj. hmota nesoucí kladný a záporný náboj Dělení elektrotechniky: 1) výkonová (dříve silnoproudá) - výroba el. energie, přenos a přeměna v energii mechanickou, tepelnou, světelnou …. 2) sdělovací (dříve slaboproudá) - přenos, zpracování informace, reprodukce, záznam Ve 20.-30.letech 20.století se začala ze slaboproudé elektrotechniky vydělovat elektronika. Zabývá se: - el. jevy ve vakuu - el. jevy v polovodičích V 60. letech se z elektroniky vyděluje mikroelektronika. - založena na mikrominiaturizaci a integraci El.náboj: - základní vlastnost hmoty, nelze ho vytvořit ani zničit a lze ho jen odvést -

nejmenší náboj - elementární náboj: el.náboj: q = n ⋅ e

e − = 1,602 ⋅ 10 −19 C

1.2 Elektrický obvod El. obvod: - prostorově ohraničený systém složený ze vzájemně propojených obvodových prvků za účelem určité funkce (Např.: přenos a zobrazení informace,zesílení napětí) Dělení el. obvodů : a) obvody se soustředěnými parametry: - relativně malé fyzické rozvody ve srovnání s dráhou, kterou elektromagnetické vlnění urazí za dobu, po kterou trvají děje v soustavě - jsou popsány obyčejnými diferenciálními rovnicemi – (t) -> el. veličina je fcí času b) obvody s rozloženými parametry: - relativně velké fyzické rozvody (např. dálkový telefonní kabel), kabeláž s vysokým hodinovým kmitočtem. - jsou popsány parciálními dif.rovnicemi -> el.veličina je fcí času a souřadnice c) lineární: - mají pouze lineární prvky (prvek má voltampérovou charakteristiku) nelineární 1

d) stejnosměrné: U ≠ U(t) I ≠ I(t) střídavé: u = u(t) i = i(t) Řešení elektrických obvodů: 1) analýza - vycházíme ze známého propojení el. obvodů, hledáme vlastnosti obvodu při různých pracovních podmínkách - řešení je jednoznačné 2) syntéza - na základě požadovaných vlastností obvodu hledáme takové prvky a propojení,aby bylo dosaženo žádaných vlastností - má mnoho řešení Pojmy v el. obvodech: svorka: -

jednotlivé obvodové prvky jsou vzájemně spojeny pomocí svorek

uzel: -

místo, kde se setkávají alespoň tři vodiče

-

část obvodu mezi dvěma uzly počet větví = počet nezávislých rovnic, které potřebujeme k úplnému popisu procesů v obvodu

větev:

smyčka: -

uzavřená dráha v elektrickém obvodu

topologické schéma: - dává představu o konfiguraci obvodu. Jsou v něm znázorněny jednotlivé uzly jako body, v nichž se stýkají větve znázorněné čarami. Konkrétní složení větví není v topologickém schématu patrné. 1.3

Veličiny v elektrickém obvodu

Elektromagnetické jevy v obvodu se popisují dvěma veličinami : 1) Elektrické napětí: U - pro stejnosměrné obvody: U ≠ U(t) u(t) - pro střídavé obvody - je to okamžitá hodnota Definice napětí: - napětí u12 je definováno jako práce A12, kterou vykoná el. pole při posunu jednotkového kladného náboje z bodu 1 do bodu 2

2

u12 =

A12 2 G G 2 = ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl ⋅ cos α Q 1 1

-

v potencionálním poli je napětí nezávislé na integrační dráze . Napětí je rozdíl potenciálů: u12 = ϕ1 − ϕ 2 Čítací šipka : - vyznačuje orientaci el. proudu a el. napětí v el. obvodu mezi uzly čítací šipka proudu čítací šipka napětí

i

čítací šipky zdrojů

čítací šipky spotřebičů

2) Elektrický proud: I - pro stejnosměrné obvody : I ≠ I(t) i(t) - pro střídavé obvody : i = i(t) Definice proudu: -

jde o pohyb nábojů způsobených Coulombovými silami:

i=

dq dt

Proudové šipky - uvádějí orientaci proudu v obvodu Poznámka: Za kladný směr bereme pohyb kladného náboje - tj. historický omyl pocházející z počátečního období nauky o elektřině. 3) Energie a výkon:

Práce el.pole: - přenese-li el.pole náboj dq po dráze s konečnými body, mezi kterými je napětí u, pak práce: dA = u ⋅ dq = u ⋅ i ⋅ dt

3

Výkon el.pole: 1.4

časová změna energie je dána jako časová změna výkonu:

p=

dA = u ⋅i dt

Zákony v el. obvodech

Ohmův zákon:

U = R⋅I

I. Kirchhoffův zákon (proudový) - algebraický součet proudů v uzlu je roven nule, protože v uzlu se nemůže náboj generovat ani ztrácet:

∑± I

=0

i

I1 + I 2 + I 3 = 0

i

II. Kirchhoffův zákon (napěťový) - algebraický součet napětí podél uzavřené smyčky je roven nule

∑±U

k

=0

U 1 + U AC + U B = 0

k

1.5

Klasifikace prvků el. obvodů

V závislosti na tom, zda prvky dodávají (spotřebovávají) el. energii -> aktivní (pasivní) prvky. Aktivní prvky ≡ zdroje Z1, Z2 Pasivní prvky ≡ spotřebiče S1,S2,S3

Prvky dle počtu svorek(pólů): dvojpóly

trojpóly

čtyřpóly

4

Prvky dle V-A charakteristiky: lineární

nelineární

i

i

u

1.5.1

u

Aktivní obvodové prvky - působí v obvodu jako zdroje energie - energii získávají z energie jiného druhu : světelné, tepelné, chemické... - udržují na svých svorkách trvalý potencionálový rozdíl a tím i trvalý proud v el. obvodu

Dělení aktivních prvků: 1) nezávislé (autonomní) zdroje závislé (řízené) zdroje 2) ideální reálné 3) lineární reálné a) Nezávislý zdroj napětí - ideální nezávislý zdroj napětí - udržuje na svých svorkách konstantní potenciálový rozdíl bez ohledu na odebíraný proud

u

zátěžová char.

i - reálný nezávislý zdroj napětí U Uo

zátěžová char.

I Ri - vnitřní odpor U0 - svorkové napětí na prázdno U - svorkové napětí

U 0 = U + ΔU

5

b) Nezávislý zdroj proudu - ideální nezávislý zdroj proudu - dodává proud nezávisle na vlastnostech připojené zátěže i

zátěžová char.

u

- reálný zdroj proudu I Io

zátěžová char.

u c) Závislé (řízené) zdroje el. energie - ideální řízený zdroj: - zprostředkovává přenos el. energie ze zdroje napájecího napětí a je řízen zpracovávaným signálem - neodebírá ze signálového obvodu energii, je schopen dodávat nekonečný výkon a jeho řízené napětí nebo proud jsou nezávislé na zatížení

- reálný řízený zdroj: - nemá základní vlastnost ideálního zdroje 1) Zdroj proudu řízený napětím i = S ⋅u

S – přenosová vodivost

2) Zdroj napětí řízený napětím u = A ⋅ u0 A – napěťové zesílení

3) Zdroj proudu řízený proudem i = B ⋅ i0 B – proudové zesílení

6

4) Zdroj napětí řízený proudem U = W ⋅ i0 W – přenosový odpor 1.5.2 Pasivní obvodové prvky a) Rezistor: - ideální obvodový prvek, který mění el. energii na jinou formu energie Poznámka: Odpor je vlastností rezistoru! Reálný obvodový prvek – odporník. Tento název se nevžil, používá se pojem odpor.

lineární Ohmův zákon:

i

i = G ⋅u =

1 ⋅u R

u nelineání i

Statický odpor: RS (i ) =

P

u i

Dynamický odpor: Rd (i ) = lim

Δi →0

u Dynamický odpor se nachází v okolí klidového pracovního bodu P. Třídění rezistorů: 1) Dle provedení: a) pevné b) proměnlivé - potenciometry c) nastavitelné - trimry

2) Dle materiálu: a) drátové b) nedrátové: lakové - aktivní část je lak plněný sazemi,grafitem uhlíkové - aktivní část tvoří uhlík na keramickém válečku borouhlíkové - aktivní částí je uhlík a bor metalizované - aktivní část tvoří ve vakuu nanesená vrstva kovu hmotové - celý objem odporového tělesa tvoří odporovou dráhu

7

Δu du = Δi di

3) Dle použití: a) pro všeobecné - rozsah 1 Ω až 10 MΩ pro zatížení 0,125 W až 2W - provozní napětí do 750V b) stabilní odpory - R≠R(t)- pro měřicí obvody c) vysokoodporové - až do 1014 Ω d) vysokonapěťové - až do 15kV e) s potlačenou indukčností - pro kmitočty > 10 MHz mají malou parazitní indukčnost

Výroba rezistorů: - vyrábí se v geometrických řadách n 10 - elektrotechnická řada, důvod je velký rozsah (Ω – MΩ) - dle udané tolerance jsou vyráběny v řadách E3, E6, E12, E24, E48….E96 12

Př. řada E12 (má 12 čísel)

čísla v řadě: 10

0 0 12

1

10

=1

2 1 12

0 10

= 1,2

96

řada E 96 (má 96 čísel)

čísla v řadě:

10 = 1,21

=1

10

10

2 1 96

11 11

= 1,46

10 12 = 8,25

1 = 0,01 = 1 % 96 ……………………… 95 tolerance =

2

= 1,12

1 = 0,1 = 10 % 12

……………………… 2 12

10 = 1,024

1 0 96

tolerance =

95

10 96 = 1,049

10 96 = 9,76

Barevný kód – užívá se pro označování jmenovitých hodnot

Zatížení rezistorů: - je dán ztrátovým výkonem U2 PZ = U ⋅ I = I ⋅ R = R 2

-

vzniklé teplo se musí rozptýlit do okolí, aby teplota rezistoru nevystoupila k hranici, kdy se mění elektrické vlastnosti materiálu

Elektrická pevnost rezistorů: - je dána vlastnostmi povrchové izolace, která musí vydržet nejméně dvojnásobek max. přípustného napětí

8

Šum rezistorů: - tepelný šum - je výsledkem tepelného pohybu nosičů proudu - proudový šum - vyskytuje se u nedrátových rezistorů, projevuje se převážně v oblasti nízkých frekvencí b) Kapacitor - ideální prvek, který se skládá z vodivých elektrod navzájem oddělených izolační látkou – dielektrikem q [F] - je popsán 1 veličinou – kapacitou: C= u - při časových změnách náboje prochází přes kapacitor proud:

i (t ) =

t

dq(t ) du (t ) =C⋅ dt dt

u (t ) =

1 ⋅ idτ + u (0 ) C ∫0

du => i dt

Př. +u

-u

+i

-i

Deskový kondenzátor:

C =ε⋅

S d

ε . . . . permitivita S . . . . plocha elektrod d . . . . vzdálenost desek Lineární kapacitor:

q

q = C ⋅u

u

9

Nelineární kapacitor: q

u

i (t ) = I m ⋅ sin (ωt )

Při průchodu harmonického napětí u (t ) =

1 1 1 1 π⎞ ⎛ i (t )dt = ∫ I m ⋅ sin (ωt )dt = I m (− cos ωt ) = I m⋅ sin ⎜ ωt − ⎟ ∫ 2⎠ C C ωC ωC ⎝

Napětí se za proudem zpožďuje o

π

2

.

i

u

Pomocí S-K metody: uˆ (t ) =

1 ˆ 1 ˆ 1 iˆ(t ) j ˆ j ωt ( ) i t dt = I ⋅ e dt = ⋅ =− i (t ) m ∫ ∫ ωC C C C jω

Fázorově: Im

iˆ

- 90o

Re

uˆ Reálný prvek ≡ kondenzátor - vlivem nedokonalosti dielektrika (má malou el. vodivost) vznikne svod

RS – svodový odpor

Ohmův zákon:

Iˆ = Yˆ ⋅ Uˆ

Admitance kondenzátoru: 1 Yˆ = = G + jωC Zˆ

G=

1 RS

B = ωC

10

G . . . . vodivost B . . . . susceptance Měření kapacity kondenzátoru:

Ztrátový činitel:

ICp

I δ tg δ =

IRp

U

I RP I cp

U Rp Z Cp = = U Rp Z Cp

1) Určení kapacity C = 500μF U = 2V f1 = 100 Hz I = C p ⋅ ω ⋅ U = 500 ⋅ 10 −6 ⋅ 2π ⋅ 10 2 ⋅ 2 = 0,628 A f 2 = 50 Hz

I = C p ⋅ ω ⋅ U = 500 ⋅ 10 −6 ⋅ 2π ⋅ 50 ⋅ 2 = 0,324 A

2) V-A char. kondenzátoru f 2 = 50 Hz

I

měřená

f1

I = C p ⋅ ω ⋅U U 3) Frekvenční závislost impedance

Z=

U 1 1 = = I ω ⋅ C p 2πf ⋅ C p

Z

U k =Z = I f f Měření indukčnosti: Uˆ

Uˆ LS

tgδ =

δ

G U RS

Iˆ

Uˆ RS R ⋅I RS = = S Z L A ⋅ I ω ⋅ LS Uˆ LS

činitel jakosti cívky: Q =

11

ω ⋅ LS 1 = tgδ RS

Uˆ Zˆ L = = RS + j ⋅ X LS = RS + j ⋅ ω ⋅ LS Iˆ

Zˆ L - zdánlivý odpor RS - odpor X LS - reaktance 1) Výpočet indukčnosti RS - změříme L = 300 mH f = 5 kHz 2) Frekvenční závislost impedance

Z = ω ⋅ L = 2π ⋅ f ⋅ L

Z

f 3) V-A char. cívky při zadané frekvenci - pro samonosné cívky se vzduchovou kostrou

I

RS << ω ⋅ LS U ω ⋅ LS = I 1 U LS = ⇒I= ⋅U 2π ⋅ f ⋅ I 2π ⋅ f ⋅ LS

f2

f1

U

Značení kondenzátorů: - stará jednotka 1 pF

Př. 3M 2 = 3,2 ⋅ 10 6 ⋅ 10 −12 = 3,2 ⋅ 10 −6 F = 3,2 μF 3k 4 = 3,4 ⋅ 10 3 ⋅ 10 −12 = 3,4 ⋅ 10 −9 F = 3,4nF

Ztrátový součinitel tgδ - je mírou výkonných ztrát reálného kondenzátoru

Je způsoben: - proudovým odporem dielektrika - polarizací dielektrika - hysterezí dielektrika - vyzařováním

12

Všechny ztráty se zahrnují do ekvivalentního ztrátového odporu, který může být: a) paralelní

ICp

I

tg δ p =

δ

IRp b) sériové

I RP I cp

=

1 1 = ω ⋅ R p C p 2π ⋅ f ⋅ R p C p

U

I

U

U RS

δS U CS

tgδ s =

U RS U CS

činitel kvality:

=

RS ⋅ I = Z CS ⋅ I

Q=

RS = ω ⋅ RS ⋅ C S 1 ω ⋅ CS

1 tgδ

Kvalitní kondenzátor má δ malé.

Typy kondenzátorů: - se vzduchovým dielektrikem - se skleněným dielektrikem - např. trubičkové dolaďovanými trimry - s papírovým dielektrikem – pro všeobecné použití - slídové a keramické - mají velkou stabilitu, malý ztrátový činitel - lakové - dielektrikum je vrstva syntetického laku - elektrolytické - jsou polarizované => mají + a – pól - elektrolyt je oxidová vrstva na anodě - nehodí se pro střídavý proud c) Induktor - ideální obvodový prvek, který akumuluje energii magnetickém poli 1) lineární induktor Weberampérová charakteristika:

ψ

ψ = L⋅i i

ψ – magnetický indukční tok [Wb] L – indukčnost cívky [H]

13

L=

ideální prvek je popsán indukčností:

i

di (t ) dψ (t ) =L dt dt t 1 1 i (t ) = ∫ u (t )dt = i (0 ) + ∫ u (t )dt L L0 u (t ) =

napětí na svorkách induktoru: proud induktoru:

ψ

2) nelineární induktor

Weberampérová charakteristika ψ

i

- statická indukčnost:

LS (i ) =

- dynamická indukčnost:

Ld (i ) = u (t ) =

ψ (i ) i dψ (i ) di

dψ (t ) dψ (i ) di di = ⋅ = Ld (i ) ⋅ dt di dt dt

a zároveň: u (t ) =

dL (i ) ⎤ di (t ) dψ (t ) d ⎡ = [LS (i ) ⋅ i ] = ⎢ LS (i ) + i S ⎥ dt dt di ⎦ dt ⎣

- vztah mezi dynamickou a statickou indukčností: dL (i ) Ld (i ) = LS (i ) + i S di Nelineární induktor s jádrem z feromagnetické látky: - jsou charakteristické tím,že v rovině (ψ,i) pohyb pracovního bodu závisí nejen na poloze výchozího bodu, ale i na smyslu pohybu => jde o hysterzi

ψ i

-Im +Im

14

Vázané induktory: - v mag. poli cívky, kterou protéká časově proměnný proud, je umístěna druhá cívka => v ní se indukuje napětí

- pro 1. cívku:

ψ 1 = ψ 11 ± ψ 12 = L1i1 ± Mi2 ψ11 . . . . vlastní tok cívky v důsledku proudu i1 ψ12 . . . . tok cívky vyvolaný proudem i2 L1 . . . . . vlastní indukčnost M . . . . . vzájemná indukčnost

- pro 2. cívku:

ψ 2 = ψ 22 ± ψ 21 = L2 i2 ± Mi2

- znaménková konvence:

+ M - tehdy, jestliže jsou cívky navinuty souhlasně, tj. kladný proud vtékající u obou cívek do svorky označené tečkou vytvoří mag. toky, které se sčítají - M - v případě, že tok vytvořený proudem jedné cívky je proudem druhé cívky zeslabován dψ 1 (t ) di (t ) di (t ) = L1 1 ± M 2 dt dt dt

- pro napětí na 1. cívce:

u1 = L

- pro napětí na 2 cívce:

u 2 = L2

- činitel vazby:

K=

di2 (t ) di (t ) ±M 1 dt dt

M

[K ] = 1

L1 ⋅ L2

Poznámka: K = 1 – dokonalá vazba, prakticky nedosažitelné

- průchod harmonického napětí (proudu) cívkou (ideální) i (t ) = I m ⋅ sin (ωt )

15

K ∈ 0,1

- napětí na induktoru: u (t ) = L

π⎞ di(t ) d ⎛ = L [I m ⋅ sin (ωt )] = ωLI m ⋅ cos(ωt ) = ωLI m ⋅ sin ⎜ ωt + ⎟ dt dt 2⎠ ⎝ Napětí předbíhá proud o 90o. u

i,u

i t

- pomocí S-K metody:

uˆ (t ) = L

diˆ(t ) d ˆ jω t =L Ime = Ljωiˆ(t ) dt dt

Fázorově:

(

)

Im 90o iˆ

uˆ

Re Reálný obvodový prvek ≡ cívka - vlivem určité delky vinutí má cívka dvě charakteristické veličiny L, R

Poznámka: Indukčnost cívky se zvedne použitím feromagnetického jádra.

- Ohmův zákon:

Uˆ = Zˆ ⋅ Iˆ

- impedance cívky:

Zˆ = R + jωL

- reaktance:

X L = ωL

- činitel jakosti cívek:

Q=

Q < 50 Q ∈ (50 − 100 ) Q > 150

ωL 1 = tgδ RZ S

- nevyhovující - běžná hodnota - vysoká jakost 16

UL

δ

kvalitní cívka: δ → 0 tgδ → malé Q → velké

U U RZ U

Provedení cívek: - vzduchové cívky: - mají lineární indukčnost - samonosné ze silného měděného drátu - s kostrou z nemagnetického materiálu

- cívky s jádrem:

- vinou se na izolační destičku, v ní je magnetické jádro: - feritové - železné - z mag. měkkých slitin

- tlumivky:

- cívky pro omezení střídavých proudů, indukčnost řádově H

2

Řesení stejnosměrných obvodů v ustáleném stavu

- analýza elektrické soustavy = výpočet všech napětí a proudů v soustavě - základ tvoří:

∑I = 0 ∑U = 0

1) I. Kirchhoffův zákon 2) II. Kirchhoffův zákon

U = R⋅I

3) Ohmův zákon - rozdělení metod analýzy:

1) Speciální metody: - metoda postupného zjednodušování - metoda úměrných veličin - transfigurace - věty o náhradních zdrojích 2) Univerzální metody: - Kirchhoffovy zákony - smyčkové proudy - metoda uzlových napětí - princip superpozice

2.1 Speciální metody a) Metoda postupného zjednodušování - sériové spojení odporů:

U = U1 + U 2 + U 3 R ⋅ I = R1 ⋅ I + R2 ⋅ I + R3 ⋅ I R = R1 + R2 + R3

17

-

paralelní spojení odporů (R1 || R2 || R3): I = I1 + I 2 + I 3 UG = UG1 + UG2 + UG3 G = G1 + G2 + G3

-

odporový dělič napětí: U U U = = 2 R R1 + R2 R2 U U U I= = 1 = 2 R R1 R2 R2 U2 = ⋅U R1 + R2 I=

-

odporový dělič proudu: R1 ⋅ R2 ⋅I R1 + R2 R2 I1 = ⋅I R1 + R2

U = R1 ⋅ I 1 = R2 ⋅ I 2 =

Např.

I 1 R2 = I 2 R1

b) věty o náhradních zdrojích - Theveninova věta - část el. obvodu, vyvedena ke svorkám představuje zdroj el. energie. Ten můžeme nahradit napěťovým zdrojem s veličinou napětí Ui a veličinou odporu Ri

≡ -

Nortonova věta - část el. obvodu nahradíme zdrojem s vnitřním proudem Ii a vnitřní vodivostí Gi

≡

18

c) Transfigurace

↔

RA =

R1 ⋅ R3 R1 + R2 + R3

R1 = R A + R B +

R A ⋅ RB RC

RB =

R1 ⋅ R2 R1 + R2 + R3

R 2 = R B + RC +

R B ⋅ RC RA

RC =

R2 ⋅ R3 R1 + R2 + R3

R3 = R A + RC +

R A ⋅ RC RB

d) metoda úměrných veličin - použitelná pouze pro lineární obvody - postup: - ve vhodném místě odhadneme ( ≡ zvolíme) velikost proudu nebo napětí - tomuto odhadu určíme „ fiktivní“ napětí a proudy v celém obvodu, určíme fiktivní hodnotu napájecího napětí U zdroj a tou násobíme „fiktivní“ napětí a proudy - určíme konstantu k = ' U zdroj 2.2 Univerzální metody a) Kirchhoffovy zákony obecně: - má-li obvod u-uzlů – pak má:

u – závislých uzlů u-1 – nezávislých uzlů

- závislým uzlem může být kterýkoliv - z I. Kirchhoffova zákona sestavíme u-1 rovnic - má-li obvod celkem v-větví – pak má:

s = v − u + 1 nezávislých smyček

Př. u=5 u −1 = 4 s = v − u +1 = 8 − 4 = 4

19

- počet závislých uzlů - počet nezávislých uzlů - počet nezávislých smyček

b) smyčkové proudy - vychází z představy,že nezávislými smyčkami obvodu protékají nezávislé smyčkové proudy. Ve větvích, které jsou společné, teče proud daný superpozicí příslušných smyčkových proudů.

c) metoda uzlových napětí - založená na I. Kirchhoffově zákoně - zvolíme referenční uzel – tj. uzel, ke kterému vztáhneme napětí z ostatních uzlů - ostatní uzly – nezávislé – v nich zavádíme uzlová napětí - aplikujeme proudy dle Kirchhoffova zákona v jednotlivých uzlech U - proudy rozepíšeme pomocí R d) princip superpozice - v obvodu ponecháme jen jeden zdroj, ostatní zdroje neuvažujeme tj. napěťové zdroje zkratujeme, proudové zdroje odpojíme. Vypočítáme dílčí větvové proudy. - aplikujeme na ostatní zdroje - výsledný proud získáme superpozicí dílčích proudů

3

Přechodové děje v lineárních obvodech

3.1 Obecná charakteristika Přechodový děj (PD): - děj, který nastává při přechodu el. obvodu z jednoho ustáleného energetického stavu do druhého

- příčinou jsou náhlé změny v el.obvodu: - připojení a odpojení el. zdroje - zkrat, odpojení některé větve - náhlé změny parametrů prvků - cílem analýzy přech. dějů je: - získání časových průběhů napětí a proudů - určení časových konstant Charakteristika PD: - během PD dojde ke změně energie o ∆W za čas ∆t, časový interval ∆t je vymezen časovými okamžiky t = 0 (začátek PD) a t = tp (konec PD)

Výkon potřebný pro okamžitou změnu energetického stavu:

W

∆W

P = lim Δ →0

t=0

tp

t

ΔW →∞ Δt

To reálné zdroje nejsou schopny dodat, proto přechod trvá spojitě. Trvá ms, μs, ale i hodiny.

∆t

20

Elektrický obvod obsahuje:

a) nesetrvačné prvky = rezistory - jakákoliv změna napětí vyvolá okamžitou změnu proudu např. Je-li budící signál sinusový, pak napětí i proud na R je sinusový bez fázového posuvu a změny kmitočtu. 1 b) setrvačné prvky - kapacitory - akumulují energii Wc = CU 2 2 - časové průběhy U na C jsou spojité - proudy přes C mohou být i nespojité

- induktory - energie magnetického pole indukuje Wm =

1 2 LI 2

- časový průběh I na L je spojitý 3.2

Formulace DR obvodu - sestavení se provádí aplikací Kirchhoffových zákonů pro nezávislé smyčky a uzly - při zápisu rovnice vycházíme ze základních vztahů mezi obecnými hodnotami napětí a pro jednotlivé obvody

na rezistoru:

u (t ) = R ⋅ i (t ) i (t ) = Q ⋅ i (t )

na kapacitou: u (t ) =

t

1 i (τ )dτ + u (0 ) C ∫0

i (t ) = C

du (t ) dt

u (t ) = L

di(t ) dt

na induktoru:

i (t ) =

t

1 u (τ )dτ + i (0 ) L ∫0

3.3 Řešení DR a) klasický postup ≡ řešení v časové oblasti - je fyzikálně názorná, ale matematicky často náročná

máme-li DR:

an

d n x(t ) d n −1 x(t ) dx(t ) + a + ..... + a1 + a 0 x(t ) = y (t ) n −1 n −1 n dt dt dt

x(t) - neznámá obvodová veličina (u, t, q . . .) n - řád DR y(t) - lineární kombinace napětí a proudů nezávislých zdrojů

21

a0, a1, . . .,an - konstanty závislé na parametrech prvků

řešení:

x(t ) = x p (t ) + xu (t ) xu(t) - partikulární řešení ≡ ustálená složka xp(t) - řešení homogenní DR ≡ přechodová složka

Přechodová složka: - určí se z řešení homogenní rovnice - určí se charakteristická rovnice: - n-tá derivace se nahradí λn a n λn + a n −1λn −1 + ..... + a1λ + a 0 = 0

- řešení char. rovnice: a) reálné různé: n

x p (t ) = ∑ k i e λi t i =1

b) m-násobný kořen m

x p (t ) = e λt ∑ k i t i −1 i =1

c) komplexně sdružené λ 1 = α ⋅ t ⋅ j ⋅ ω x p (t ) = e

L

α ⋅t

( A sin ωt + B cos ωt )

Ustálená složka: - určíme na základě postupů pro analýzu ustáleného stavu b) Operátorová metoda: - založená na Laplaceově transformaci - klasická metoda je fyzikálně názorná, ale matematicky náročná

PLP DR v časové oblasti

klasická metoda (náročný postup)

řešení DR v časové oblasti

algebraická rovnice v komplexní proměnné

méně náročný postup

ZLT

22

řešení algebraické rovnice

3.4

Obvody 1. řádu - obsahují pouze 1 setrvačný člen - jde o sériové a paralelní RL, RC obvod a) nabíjení RC

1 =0 RC 1 λ=− RC

R ⋅ i (t ) + u C (t ) = U

Ch.r.: λ +

du C (t ) + u C (t ) = U dt du C (t ) 1 U + ⋅ u C (t ) = RC dt RC

R ⋅C ⋅

u Cp (t ) = k ⋅ e λ ⋅t = k ⋅ e

- přechodová složka:

−

1 ⋅t RC

= k ⋅e

−

t

τ

τ = RC časová konstanta - je mírou trvání přechodového děje u Cu = U - po ustálení se kondenzátor nabije na max. hodnotu

- ustálená složka:

u C (t ) = u Cp (t ) + u Cu (t ) = k ⋅ e

- celkové řešení:

−

t

τ

+U

poč. podm.: t = 0 uS = k ⋅ eo + U k = u S (0) − U speciálně: u C (0) = 0 0 = k ⋅ eo + U

u C (t ) = −U ⋅ e

k = −U

t − ⎛ τ ⎜ = U ⎜1 − e ⎝

- výsledné (celkové řešení): u C (t ) = [u C (0) − U ] ⋅ e

−

t

τ

+ U = U − [U − u C (0)] ⋅ e

−

t

τ

+U =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ −

t

τ

u napětí zdroje

U uC(0)>0 uC(0)=0 uC(0)<0

i (t ) = C ⋅ =

τ

t

t − ⎡ du C (t ) = C ⋅ ⎢0 − (U − u C (0)) ⋅ e τ dt ⎣

t − ⎡ 1 [U − u C (0)]⋅ e RC = 1 ⎢U R R⎣

t − ⎡ 1 ⎤ ⎛ 1 ⎞⎤ RC ( ( ) ) ⋅⎜− = ⋅ ⋅ − ⋅ C U u 0 e ⎟⎥ ⎢ ⎥= C RC ⎝ RC ⎠⎦ ⎣ ⎦ t − ⎤ 1 1 − U + [U − u C (0)] ⋅ e RC ⎥ = [U − u C (t )] = ⋅ u R (t ) R ⎦ R

23

u R (t ) = U − u C (t ) u U

i U uR(t) τ

t

t

b) vybíjení RC

R ⋅ i − uC = 0

du C dt

i = −C ⋅

1 i (t )dt C∫ 1 u (t ) u C = − ∫ C dt C R 1 uC + u C (t )dt = 0 RC ∫ du C (t ) 1 DR: + u C (t ) = 0 dt RC uC = −

Ch.r.:

1 =0 RC 1 1 =− λ=− τ RC

λ+

celkové řešení :

Přechodová:

u Cp (t ) = k ⋅ e

−

t RC

Ustálená: u Cu (t ) = 0

u C (t ) = k ⋅ e

−

t RC

+0

u C (0) = U

t=0

Určení k:

U = k ⋅e + 0 k =U 0

u C (t ) = U ⋅ e

−

t RC t

i = −C ⋅

− du C = −C ⋅ U ⋅ e RC dt

u R (t ) = R ⋅ i = U ⋅ e u U

−

t

⎛ 1 ⎞ U − RC ⋅⎜− ⎟ = ⋅e ⎝ RC ⎠ R

t RC

i

u t

uC(t) τ

t

24

uR

t

c) Nabíjení RL uR + uL − U = 0 di R ⋅i + L −U = 0 dt di R U + ⋅i = DR: dt L L

Ch. r.:

λ+

⋅

1 L

R =0 L

Přechodová složka:

u Lp (t ) = k ⋅ e λ ⋅t = k ⋅ e

τ= Ustálená složka:

u Lu = 0 −

Celkové řešení:

u L (t ) = u Lp (t ) + u Lu (t ) = k ⋅ e

t L R

poč. podm.: t = 0

U = k ⋅ e0 U =k −

uL = U ⋅ e

t L R

Jiné řešení:

di −U = 0 dt di − R ⋅i +U = L dt Ldi = dt U − R ⋅i di dt = U − R ⋅i L 1 t − ln (U − R ⋅ i ) = + k1 R L R ln (U − R ⋅ i ) = − ⋅ t − k1 ⋅ R L R ln k + ln (U − R ⋅ i ) = − ⋅ t L R ⋅i + L

k ⋅ (U − R ⋅ i ) = e

R − ⋅t L

p.p.: t = 0

i=0

k − (U − R0 ) = e −0 1 k= U U − Ri = U ⋅ e

R − ⋅t L

25

L R

R − ⋅t L

−

= k ⋅e

t L R

R − ⋅t L

U −U ⋅e = R ⋅i R ⋅t ⎞ U⎛ i (t ) = ⎜⎜1 − e L ⎟⎟ R⎝ ⎠ R R − ⋅t di L ⎛ − ⋅t ⎞⎛ R ⎞ u L = L = U ⎜⎜ − e L ⎟⎟⎜ − ⎟ = U ⋅ e L dt R⎝ ⎠⎝ L ⎠

i

uL

uR

t

t

t

d) vybíjení RL

uL = −L

uR − uL = 0

di dt

di =0 dt di R ⋅i + L = 0 dt di R ⋅ i = −L dt R di − dt = L i R ln i = − t + k1 L

uR + L

k ⋅i = e

Určení k z p. p.:

R − ⋅t L

t = 0 i (0 ) = I MAX k ⋅ I MAX = e 0 1 k= I MAX

i = I MAX ⋅ e

R − ⋅t L

u R = R ⋅ i = R ⋅ I MAX ⋅ e

R − ⋅t L

R

uL = −L

R

− ⋅t ⎛ − ⋅t di R⎞ = − L ⋅ I MAX ⋅ e L ⎜ − ⎟ = R ⋅ I MAX ⋅ e L dt ⎝ L⎠

26

3.5 Obvody 2. řádu - v obvodu jsou 2 setrvačné póly - např. - 2 cívky - 2 kondenzátory - 1 cívka + 1 kondenzátor

Časová konstanta: - pro 1. řád - fce organického růstu U 63% = 0,63U

τ

τ

− ⎛ y = U ⎜⎜1 − e τ ⎝

t

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

t = τ : y (τ ) = U (1 − e −1 ) = U ⋅ 0,63

U

y =U ⋅e

−

t

τ

τ Řešení přechodových dějů pomocí Laplaceovy transformace

přímá transformace

časová oblast ORIGINÁLY f(t)

zpětná transformace

oblast proměnné s OBRAZY F(s)

Slovník Laplaceovy transformace: Originál f(t)

Obraz F(s)

δ (Diracova funkce)

1 1 s 1 s2 1 s+a 1 ( s + a) 2

1 (jednotkový skok - Heavisideova fce) t (lineární rampa) e − at

t ⋅ e − at

27

p p( p + a)

1 − e − at

ω

sin ωt

p +ω2 p 2 p +ω2 2

cos ωt

L{f (n ) (t )} = s n ⋅ F (s ) − ∑ s n −1 ⋅ f (i −1) (0) n

L{f (t )} = s ⋅ F − f (0 )

i =1

'

4

Střídavý proud

4.1 Obecná charakteristika periodických funkcí - zákl. vlastností periodických průběhů je opakování funkčních hodnot po ustálené době T = periodě [T] = 1 s u (t ) = u (t + k ⋅ T ) i(t ) = i(t + k ⋅ T )

k∈Z

u

i

t

T

T

t

frekvence f - převrácená hodnota periody f =

1 T

[f] = 1 s

- rozdělení periodických funkcí: - střídavé funkce - plochy omezené nad osou t a pod osou t jsou stejné bipolární signál u

u P+

P+

P-

t

T

P+ = P−

28

P-

t

- harmonické: - speciální případ střídavých fcí - jsou popsány harmonickou fcí - kmitavé fce - nabývají kladných i záporných hodnot, přičemž plochy nad osou t a pod osou t nejsou stejné bipolární signál s nenulovým offsetem u

u P+ P+

T

P-

t

t

P-

- pulsující funkce - neměnící znaménko unipolární signál u

u P+

P-

t

t

T

vzn ik stří dav ého pro

udu : G 1. varianta - v homogenním mag. poli B se otáčí zavít úhlovou rychlostí ω G α - úhel mezi normálou plochy závitu n a G vektorem mag. indukce B

úhlová rychlost:

ω=

Δα Δt

mag. indukční tok: φ = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S ⋅ cos (ωt ) indukované střídavé napětí: dφ u (t ) = − = − B ⋅ S [sin (ωt )] ⋅ ω = B ⋅ S ⋅ ω ⋅ sin (ωt ) = dt = U M ⋅ sin (ωt ) protékající proud: u (t ) U M i (t ) = = ⋅ sin (ωt ) = I M ⋅ sin (ωt ) R R 2. varianta - závit se nachází v rotujícím mag. poli

29

3. varianta - ze stejnosměrného napětí pomocí vibračního relé se upravuje na obdélníkové pulsy - velmi nízký kmitočet Př. zdroj ss napětí

spínací relé

obdélníkové pulsy

- frekvenční měnič

frekvenční měnič ss složka

střídavý proud

4.2 Charakteristické hodnoty harmonických napětí a proudů - okamžitá hodnota: - okamžitá hodnota napětí v čase t: u (t ) = U m ⋅ sin (ωt + ϕ1 ) Um . . . . amplituda (max.hodnota) φ1 . . . . poč. fáze napětí

u

u (t ) = 0 ⇔ ωt + ϕ1 = 0

+Um

t t

t=−

T

ϕ1 ⇒ ϕ1 = −ωt ω

-Um

i (t ) = I m ⋅ sin (ωt + ϕ 2 ) Im . . . .amplituda (max. hodnota) φ2. . . .poč. fáze napětí

- okamžitá hodnota proudu v čase t:

i

+Im

t t

i(t ) = 0 ⇔ ωt + ϕ 2 = 0

T

ϕ 2 = −ωt = −2πft - fázový posuv dvou signálů - harmonických se stejnou frekvencí -Im

u

u1

u2 t 30

u1 = U 1M ⋅ sin (ωt ) u 2 = U 2 M ⋅ sin (ωt − ϕ ) - napětí u2 se zpožďuje za u1

fázový posuv:

ϕ = 2πf ⋅ Δt = 2π ⋅

Δt T

Měření fázového posuvu: 1) Pomocí dvoukanálového osciloskopu v režimu y-t

y t

2) Pomocí jednokanálového osciloskopu v režimu y-t - nepřesné! x2 x1

y1

y2

x1 y = arcsin 1 x2 y2 y ϕ = arctan 2 y1

u1 = U 1M ⋅ sin (ωt )

ϕ = arcsin

u 2 = U 2 M ⋅ sin (ωt − ϕ )

Střední hodnota - charakterizuje průměrné účinky harmonického napětí, respektive proudu za jednu periodu - fyzikálně: - odpovídá hodnotě stejnosměrného proudu, který přenese za dobu jedné periody stejný náboj jako harmonický proud T 1 I S = ∫ i (t )dt T 0

- je to výška obdélníku o stejné ploše, jakou má proud i(t) za dobu jedné periody i IS t

31 T

- pro harmonický proud je IS = 0, protože má sejnou kladnou plochu jako zápornou plochu i +

=> střední hodnota představuje stejnosměrnou složku, kolem které kmitá střídavá složka

t

IS

T

T

IS = =

1 1⎡ 1 1⎡ 1 1 ⎤ ⎤ sin (ωt )dt = ⎢− ⋅ cos(ωt )⎥ = ⎢− ⋅ cos(ωT ) + ⋅ cos(ω 0)⎥ = ∫ T 0 T⎣ ω ω ⎦0 T ⎣ ω ⎦

1⎡ 1 1 ⎤ 1 − ⋅ cos 2π + cos 0⎥ = [− 1 + 1] = 0 ⎢ T⎣ ω ω ⎦ T

- často se pro harmonické proudy v technických aplikacích užívá dvojcestně usměrněného proudu

1 IS = T 2

Im IS

T 2

∫I

m

⋅ sin (ωt )dt = ... =

0

2

π

I m = 0,636 I m

T Efektivní hodnota - charakterizuje tepelné účinky harmonického proudu.Odpovídá hodnotě hodnotě stejnosměrného proudu, který má za dobu jedné periody stejné tepelné účinky jako harmonický proud

Q~ = Q= T

R ∫ i 2 dt = R ⋅ I ef2 ⋅ T 0

T

I ef

=

1 2 i dt = = T ∫0

Im 2T

Im T

2 T

T

2 ∫ sin (ωt )dt = 0

Im ⎡ sin 2ωt ⎤ ⎢⎣t − 2ω ⎥⎦ = 2T 0

pro rozvodnou síť: - jedna fáze U = 230 V

Im 2T

T

∫ (1 − cos 2ωt )dt = 0

π ⎤ ⎡ sin 2 T ⎢ T − 0 + 0⎥ = I m ⋅ T = I m ⎥ ⎢T − 2ω 2T 2 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

32

- měříme efektivní hodnoty:

Uef = u = 230 V U M = 2 ⋅ U ef = 325V

U UM

325 V

Uef

230 V

US

206 V

t

4.3 Symbolicko-komplexní popis harmonických veličin - imaginární jednotka: j = − 1 - algebraický (složkový) tvar: zˆ = a + jb Im

b

zˆ

a a

Re

- goniometrický tvar:

sin α =

b ⇒ b = zˆ ⋅ sin α = z ⋅ sin α zˆ

cos α =

a ⇒ a = zˆ ⋅ cos α = z ⋅ cos α zˆ

zˆ = z ⋅ cos α + j ⋅ z ⋅ sin α = z (cos α + j ⋅ sin α )

- exponenciální tvar: Eulerovy vztahy: e jα = cos α + j ⋅ sin α e − jα = cos α − j ⋅ sin α zˆ = z ⋅ e jα Verzorový tvar komplexního čísla ≡ Kenellyho tvar:

- násobení komplexního čísla komplexní jednotkou:

zˆ ⋅ j = zˆ ⋅ e j 90

o

zˆ ⋅ (− j ) = zˆ ⋅ e − j 90

Popis harmonických veličin fázory

33

o

zˆ = z < α

u (t ) = U m ⋅ (sin (ωt + ψ ))

okamžitá hodnota:

nahradíme exp. fcí uˆ (t ) = U m ⋅ e j (ω ⋅t +ψ ) Eulerův vztah uˆ (t ) = U m ⋅ cos(ωt + ψ ) + j ⋅ U m ⋅ sin (ωt + ψ ) => okamžitá hodnota u (t ) = I m [uˆ (t )] uˆ (t ) = U m ⋅ e jψ ⋅ e jω ⋅t

fázor:

Poznámka: e jψ - popisuje počáteční fázy pro t = 0 e jω ⋅t - tato složka způsobuje rotaci uˆ (t ) úhlovou rychlostí ω Im

u( t)

ω

ωt

ψ Re

- operace s fázory:

Um

t

t

- součet (rozdíl) - provádí se v algebraickém tvaru: uˆ = uˆ1 + uˆ 2

uˆ 2

uˆ uˆ1

- násobení - provádí se ve složkovém tvaru jako násobení mnohočlenu - dělení - modul (velikost) je dáno podílem modulů - argument (fáze) je dána rozdílem argumentů

4.4

Ideální obvodové prvky s harmonickými proudy

34

a) rezistor - počáteční fáze napětí a proudu se rovnají: u i

ϕu = ϕi

uˆ (t ) = U m ⋅ e j (ωt +ϕu )

T t

i (t ) = I m ⋅ e j (ωt +ϕi )

ψ = ϕu − ϕi = 0

- celý posun mezi napětím a proudem je nula:

uˆ (t ) = R ⋅ iˆ(t )

Pomocí S-K metody: Im

Uˆ

Iˆ

⋅

U m ⋅ e j (ωt +ϕu ) = R ⋅ I m ⋅ e j (ωt +ϕu )

1 1 ⋅ j (ωt ) 2 e

U ⋅ e jϕu = R ⋅ I ⋅ e jϕu

φu

Uˆ = R ⋅ Iˆ

Re b) induktor

i, u

uˆ (t ) = L ⋅

u i

(

)

Napětí se předbíhá o 90° před proudem. ϕ u = ϕ i + 90 o

t

Obecně:

diˆ(t ) d ˆ = L⋅ I m ⋅ e jωt = Ljω ⋅ iˆ(t ) dt dt

iˆ(t ) = I m ⋅ e j (ωt +ϕi )

Uˆ

o j ⋅ iˆ(t ) = I m ⋅ e j (ωt +ϕi +90 )

Im iˆ(t )

o uˆ (t ) = Ljω ⋅ iˆ(t ) = Lω ⋅ e j (ωt +ϕi +90 ) uˆ (t ) = Lω ⋅ e j (ωt +ϕu )

Re

c) kapacitor iˆ(t ) = Iˆm ⋅ e uˆ (t ) =

1 ˆ ⋅ i (t ) jωC 1 ˆ Uˆ = ⋅I jωC uˆ (t ) =

Iˆ

Im

1

⋅

2 e

jω ⋅t

= Im ⋅ e

jϕ i

⋅e

jω ⋅t

1 ˆ 1 1 iˆ(t ) jω ⋅t ( ) = ⋅ = ⋅ i t dt I e dt m C∫ C∫ C jω

1 jω ⋅t

1 ⋅ I ⋅ e jϕ i jωC 0 1 = ⋅ I ⋅ e j (ϕi −90 ) jωC

U ⋅ e jϕu = U ⋅ e jϕ u

d) Ohmův zákon pro st. obvody

35

φi

Re

Uˆ

ϕ u = ϕ i + 90 o

-v S-K tvaru:

Zˆ - impedance

Uˆ = Zˆ ⋅ Iˆ

- impedance ideá lních prvků: rezistor: Zˆ R = R induktor: Zˆ = jωL L

1 jω C - impedance reálných prvků: Zˆ R = R odpor: cívka: Zˆ = R + jωL kapacitor: Zˆ C =

L

kondenzátor:

1 = YˆC = G + jωC Zˆ C

- Kirchhoffovy zákony:

I. k.z. II. k.z.

∑ Iˆ = 0 ∑Uˆ = 0

4.5 Rezonance v el. obvodech a) Rezonance v sériovém RLC obvodu (napěťová)

1 1 ⎞ ⎛ = R + j ⎜ ωL − impedance: Zˆ = R + jωL + ⎟ jω C ωC ⎠ ⎝ 1 a) je-li I m Zˆ > 0 => ωL > =>induktivní zátěž ωC 1 =>kapacitní zátěž b) je-li I m Zˆ > 0 <0 => ωL < ωC

( )

( )

( )

rezonance: stav, kdy I m Zˆ = 0 , Zˆ = R =>

- impedance je

minimální - proud při rezonance je maximální

( )

rezonanční frekvence: I m Zˆ = 0

ωr ⋅ L −

1 =0 ωr C

Thomsonův vzorec: ω r = napěťové poměry při rezonanci:

1 LC

⇒ fr =

( )

I m Zˆ = 0 1 jω C 1 ˆ jωL ⋅ Iˆ = − ⋅I jωC jω L = −

36

1 2π LC

Uˆ L

Uˆ L = Uˆ C Při rezonanci je proud v obvodu ve fázi s napětím na rezistoru (nebo napětím v obvodu)

Iˆ

Uˆ R

Re

Uˆ C

- rezonanční křivka: závislost I = I(f) I Ir

Ir r2

f1

fr

f2

f

Činitel kvality sériového rezonančního obvodu: ω ⋅L 1 = QS = r R ω r ⋅ CR U U prakticky Q~ ~ 20 - 200 QS = L = C UR UR f šířka pásma: B = f 2 − f1 = r QS

B - využití sériové rezonance: např. pro odstranění nežádoucí složky signálu f1 f2

Jednu složku chceme vyfiltrovat. f3

UL

Výstupní napětí nabývá minimum na rezonujícím kmitočtu => tuto složku lze odstranit!

fr

f

b) rezonance v paralelním obvodu RLC (proudová)

1 ⎞ ⎛ admitance: Yˆ = G + j ⎜ ωC − ⎟ ωL ⎠ ⎝ minimum admitance: Yˆ = G pro I m Yˆ = 0 1 Thomsonův vztah: f r = 2π LC

()

37

Proudové poměry při rezonanci: IˆL

Uˆ

IˆR

Re

IˆC

−U jω rUˆC = jω r L

1 ⎞ ⎛ j ⎜ ωC − ⎟=0 ωL ⎠ ⎝ j jω r C = ωr L −1 jω r C = jω r L

- činitel kvality paralelního obvodu R Qp = = Rω r ⋅ C ωr ⋅ L - rezonanční křivka

Qp =

IˆC = − IˆL

IR IR = I L IC

I

fr

f

4.6 Výkon harmonického proudu - nechť impedance pasivního dvojpólu je a proud iˆ = I m ⋅ e jω ⋅t = 2 ⋅ I ⋅ e jω ⋅t

Pak napětí

Zˆ = Z ⋅ e jϕ = Z < ϕ - proud má nulovou počáteční fázy!

uˆ = Zˆ ⋅ iˆ = Z ⋅ e ⋅ I m ⋅ e = Z ⋅ I m ⋅ e j (ω ⋅t +ϕ ) = U m ⋅ e j (ω ⋅t +ϕ ) = 2 ⋅ U ⋅ e j (ω ⋅t +ϕ ) - napětí se předbíhá před proudem o φ jϕ

jω ⋅t

Ekvivalentní zápis pomocí goniometrických fcí: i = I m ⋅ sin ωt = 2 ⋅ I ⋅ sin ωt

u = U m ⋅ sin (ωt + ϕ ) = 2 ⋅ U ⋅ sin (ωt + ϕ )

- okamžitý výkon: p(t ) = u (t ) ⋅ i(t ) = 2 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin (ωt + ϕ ) ⋅ sin ωt = ... = U ⋅ I ⋅ cos ϕ − U ⋅ I ⋅ cos(2ωt + ϕ ) p

U ⋅ I ⋅ cos ϕ t φ

- v okamžicích, kdy p(t) > 0 je výkon dodáván do dvojpólu 38

- v intervalech, kdy p(t) < 0 se vrací do zdroje část energie akumulované v mag. a el.poli dvojpólu - činný výkon P: - charakterizuje nevratnou proměnu energie na užitečnou práci a teplo - je to střední hodnota okamžitého výkonu T T T ⎤ U ⋅I ⎡ 1 ( ) p t dt = cos ϕ dt − cos(2ωt − ϕ )dt ⎥ = U ⋅ I ⋅ cos ϕ ⎢∫ ∫ ∫ T 0 T ⎣0 0 ⎦ - jednotka [P] = 1 W

P=

- zdánlivý výkon S: - je mírou výkonové zatíženosti střídavých zařízení.Užívá se k označení jmenovitých výkonů, zejména silnoproudých zařízení S =U ⋅I

- jednotka [S] = 1 VA - účiník cos φ: - udává jakou částí zdánlivého výkonu je výkon činný cos ϕ =

P S

- jednotka [cos φ] = 1 - jalový výkon Q: - používá se pro vyjádření vratné proměny energie zdroje na vytvoření el. a mag. pole => vyjadřuje menší energii, která se nemění v práci (teplo), ale kmitá mezi spotřebičem a zdrojem. Negativněji zatěžuje vedení.

Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ - jednotka [Q] = 1 VAr - výkon pomocí S-K metody: Im

Sˆ = Uˆ ⋅ Iˆ = P + jQ

Sˆ

Q

P . . . činný J . . jalový

φ P

Re

- kompenzace účiníku: - provádí se účelem zmenšení ztrát energie na vedení od elektrárny k odběratelům - provádí se připojením kondenzátorů, neboť v praxi převládá indukční charakteristika spotřebičů - tím se snažíme dát proud do fáze s napětím a cos φ ->1 39

4.7 Měření výkonu jednofázového proudu 4.7.1 Přímá metoda Pomocí wattmetrů - wattmetr měří činný výkon - většinou se měří elektromechanickými s elektromagnetickým ústrojím - wattmetr má proudovou a napěťovou cívku

Napěťová cívka - má přívodní banánky Proudová cívka - má silné vinutí, má silnější přívody, vesměs bez banánků s očky

a) pro úbytek napětí na proudové cívce wattmetru << napětí na zátěži UWI << U1Z Naměřený výkon: P1 = P1Z + PWI + PA P1 - výkon odečtený na wattmetru P1Z - výkon zátěže PWI - výkon spotřebovaný proudovou cívkou wattmetru PA - výkon spotřebovaný ampérmetrem PWI = RWI ⋅ I 12Z

RWI - odpor proudové cívky wattmetru

PA = R A ⋅ I P1Z = P1 − PWI − PA

RA - odpor ampérmetru

absolutní chyba metody:

Δ = P1 − P1Z = PWI + PA Δ δ= ⋅ 100 P1Z

2 1Z

relativní chyba metody:

b) Je-li proud procházející zátěží >> proud procházející napěťovou cívkou wattmetru I2Z >> IWU Naměřený činný výkon: P2 = P2 Z + PWU + PV P2 Z - výkon zátěže PWU - výkon spotřebovaný napěťovou cívkou wattmetru PWU - výkon spotřebovaný voltmetrem 40

PWU = PV =

U 22Z RWU

RWU - odpor napěťové cívky wattmetru

U 22Z RV2

RV - odpor voltmetru

činný výkon zátěže: P2 Z = P2 − PWU − PV absolutní chyba metody: Δ = P2 − P2 Z = PWU + PV Δ relativní chyba metody: δ = ⋅ 100 P2 Z 4.7.2 Nepřímá metoda 1) Měření činného výkonu - vhodné pro měření výkonu na malých impedancích - metoda nabývá na významu, je vhodná k měření automatizovanými měřícími systémy. K měření se používají číslicové voltmetry.

Uˆ Z

ϕ

Iˆt

Uˆ C

Uˆ R

RE - rezistor známe hodnoty

U R U C2 − U R2 − U Z2 U C2 − U R2 − U Z2 ⋅ = PZ = U Z ⋅ I Z ⋅ cos ϕ = U Z ⋅ RE 2U RU Z 2 RE C c a

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α

α A

b

B

U C2 = U R2 + U Z2 − 2U RU Z ⋅ cos(180 − ϕ ) =

Uˆ C 180-φ

Uˆ R

Uˆ Z

= U R2 + U Z2 + 2U RU Z ⋅ cos ϕ − cos ϕ = cos(180 − ϕ )

41

2) Pomocí ampérmetru - pro měření velkých impedancí P = U Z ⋅ I Z ⋅ cos ϕ =

I C2 − I Z2 − I C2 = I R ⋅ RE ⋅ I Z ⋅ = 2I Z ⋅ I R R = E (I C2 − I Z2 − I R2 ) 2

IˆR Uˆ 12

IR

φ IˆZ

I C2 = I Z2 + I R2 − 2 I Z I R ⋅ cos(180 − ϕ )

180-φ

IˆC

IˆC

IˆZ

5

IˆZ

− cos ϕ = cos(180 − ϕ )

Trojfázové obvody

5.1 Základní pojmy Trojfázové obvody: - umožňují realizovat točivé magnetické pole, které je základem působení indukčních motorů - při přenosu energie trojfázovým vedením se ušetří na materiálu vodičů - rovněž trojfázové transformátory jsou ekonomičtější než jednofázové

Vznik trojfázové soustavy napětí:

ω

Uˆ u 0

≡ Uˆ w 0

Uˆ v 0

a) Okamžité hodnoty napětí: u u (t ) = 2 ⋅ U u ⋅ sin (ωt + ϕ ) = U u M ⋅ sin (ωt + ϕ )

u v (t ) = 2 ⋅ U v ⋅ sin (ωt − 120 o + ϕ ) = U vM ⋅ sin (ωt − 120 o + ϕ )

u w (t ) = 2 ⋅ U w ⋅ sin (ωt + 120 o + ϕ ) = U wM ⋅ sin (ωt + 120 o + ϕ ) Uf = 230 V

Uu, Uv, Uw - hodnota fáz. veličiny

42

U uM = U vM = U wM = 2 ⋅ 230 = 375V - rozdělení zdrojů: 1. souměrná trojfázová soustava platí: a) U u = U v = U w = 230V = U f b) fázový posuv mezi všemi napětími je 120o 2. nesouměrná trojfázová soustava - pokud neplatí alespoň jedna z podmínek a),b) 3. vyvážená trojfázová soustava u u (t ) + u v (t ) + u w (t ) = 0 . . . . součet okamžitých hodnot napětí

Uˆ u =U uM ⋅e jϕ

b) fázově:

o Uˆ v = U vm ⋅ e j (ϕ −120 )

o Uˆ w = U wM ⋅ e j (ϕ +120 )

- fázový diagram souměrný zdroj:

nesouměrný zdroj:

Im

Im Uˆ w

Uˆ w

+120o

Uˆ u

Uˆ u

Re Uˆ v

-120

Uˆ v

o

5.2 spojování trojfázových zdrojů a) do hvězdy Iˆu

fázová napětí: U f = U u = U v = U w = 230V

U

Uˆ u

IˆN

Uˆ w

Uˆ v

0 W

sdružená napětí ≡ síťové napětí U uv = U vw = U wu = U S Z II. K. zákonu platí: Uˆ = Uˆ − Uˆ

Uˆ uv Uˆ wu

Uˆ u

Uˆ v

V

Iˆv

Iˆv pro souměrnou soustavu:

Re

uv

Uˆ w

u

v

Uˆ vw = Uˆ v − Uˆ w Uˆ wu = Uˆ w − Uˆ Uˆ uv + Uˆ vw + Uˆ wu = 0

Uˆ vw

u

U f = Uu = Uv = Uw U uv = U vw = U wu = U S U S = 3 ⋅ U f . . . to plyne z fázového diagramu

při připojení spotřebiče:

43

Iˆu + Iˆv + Iˆw = IˆN

v 0 platí: IˆN = 0

pro souměrnou soustavu (zátěž): b) spojení do trojúhelníku U Uˆ w

Uˆ v

Iˆw

Uˆ u

Iˆwu

Uˆ uv

Iˆu Iˆv V Iˆuv

W

Uˆ wu

Uˆ vw

Iˆvw Toto spojení lze uskutečnit jen pro vyvážený trojfázový zdroj!

- napětí zdrojů = sdružené napětí Uˆ u = Uˆ uv Uˆ = Uˆ v

vu

Uˆ w = Uˆ wu

- při zátěži - fázové zdroje dodávají fázové proudy Iˆu , Iˆv , Iˆw Iˆuv = Iˆu − Iˆv - vodiči prochází sdružené napětí: Iˆ = Iˆ − Iˆ vw

v

w

Iˆwu = Iˆw − Iˆu Iˆuv + Iˆvw + Iˆwu = 0

IS = 3 ⋅ I f

Pro sdružené zatížení soustav:

5.3 Výkon trojfázové soustavy v harmonickém ustáleném stavu - trojfázový spotřebič je tvořen třemi impedancemi Zˆ u , Zˆ v , Zˆ w - souměrný spotřebič: Zˆ = Zˆ = Zˆ u

- nesouměrný spotřebič:

v

w

Zˆ u ≠ Zˆ v ≠ Zˆ w

a) spojení do hvězdy 1) Nesouměrný trojfázový obvod

Celkový výkon odebíraný spotřebičem je součet výkonů 3 fází: Sˆ = Uˆ u ⋅ Iˆu + Uˆ v ⋅ Iˆv + Uˆ w ⋅ Iˆw Činný výkon:

[]

P = Re Sˆ = U u ⋅ I u ⋅ cos ϕ u + U v ⋅ I v ⋅ cos ϕ v + U w ⋅ I w ⋅ cosϕ w =

= Pu + Pv + Pw

44

[]

Q = I m Sˆ = U u ⋅ I u ⋅ sin ϕ u + U v ⋅ I v ⋅ sin ϕ v + U w ⋅ I w ⋅ sinϕ w =

Jalový výkon:

= Qu + Qv + Qw S = P2 + Q2

Platí vztah: L3 L2 L1 0

Uˆ u

Iˆu Iˆw

Zˆ u

Uˆ u Zˆ w

Iˆw

Iˆv

φw

IˆN

Zˆ v Uˆ w

Uˆ w

Iˆv

φu

Uˆ v φv

Iˆu

Uˆ v

2) Souměrný trojfázový obvod Iˆu = Iˆv = Iˆw - platí: Uˆ = Uˆ = Uˆ u

v

w

ϕ = ϕu = ϕv = ϕ w - označme:

fázová napětí:

Uu = Uv = Uw = U f

fázové proudy:

Iu = Iv = I w = I f

sdružená napětí:

U S = 3 ⋅U f

sdružené proudy:

IS = 3 ⋅ I f

P = 3 ⋅ U f ⋅ I f ⋅ cos ϕ = 3 ⋅

- činný výkon:

US 3

⋅

IS 3

⋅ cos ϕ = U S ⋅ I S ⋅ cos ϕ

b) spojení do trojúhelníka

L1 L2 L3 Uˆ wu Iˆw

W

U Iˆu Zˆ w

Zˆ v

Uˆ vw

Zˆ u

Uˆ uv

Iˆv

V

1) nesouměrný obvod Sˆ = Sˆ u + Sˆ v + Sˆ w = Uˆ uv ⋅ Iˆu + Uˆ vu ⋅ Iˆv + Uˆ wu ⋅ Iˆw

45

[] []

činný: P = Re Sˆ = Pu + Pv + Pw Q = I m Sˆ = Qu + Qv + Qw S = P2 + Q2 2) souměrný obvod platí: Uˆ uv = Uˆ vw = Uˆ wu Iˆ = Iˆ = Iˆ u

v

w

ϕu = ϕv = ϕ w označme:

Uu = Uv = Uw = U f U = U S = 3 ⋅U f Iu = Iv = Iw = I f I = IS = 3 ⋅ I f

P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ S =U ⋅I

6 6.1

Lineární dvojbrany

Obecný popis

vstup

DVOJBRAN

vstupní brána

6.2

Používá se: - pro úpravu vstupního signálů na výstupní signál dle účelu: - zesílení - zeslabení - změna frekvenčního spektra signálu

výstup výstupní brána

Klasifikace dvojbranů

1) lineární - tvořen lineárními prvky nelineární 2) pasivní - obsahuje pouze pasivní prvky aktivní 3) souměrné - lze zaměnit vstup za výstup nesouměrné

46

6.3 Rovnice dvojbranu - je celkem 6 druhů:

Iˆ1 Uˆ 1

Iˆ2 Uˆ 2

DVOJBRAN

1. impedanční rovnice - závislost Uˆ 1 , Uˆ 2 na Iˆ1 , Iˆ2

Uˆ 1 = zˆ11 ⋅ Iˆ1 + zˆ12 ⋅ Iˆ2 Uˆ 2 = zˆ 21 ⋅ Iˆ1 + zˆ 22 ⋅ Iˆ2

maticově: ⎡Uˆ ⎤ ⎡ zˆ zˆ = ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 11 ˆ ⎣U 2 ⎦ ⎣ zˆ 21

zˆ12 ⎤ ⎡ Iˆ1 ⎤ ⋅⎢ ⎥ zˆ 22 ⎥⎦ ⎣ Iˆ2 ⎦

zˆ11 =

zˆ11 - vstupní impedance při výstupu naprázdno

Uˆ 1 Iˆ 1

zˆ 21 =

zˆ 21 - přenosová impedance při výstupu naprázdno

Uˆ 2 Iˆ 1

zˆ12 - zpětná přenosová impedance při vstupu naprázdno

zˆ12 =

Uˆ 1 Iˆ 2

zˆ 22 =

zˆ22 - výstupní impedance při vstupu naprázdno

Uˆ 2 Iˆ 2

Iˆ2 = 0

Iˆ2 = 0

Iˆ1 = 0

Iˆ1 = 0

2. Admitančí rovnice - umožňují vypočítat Iˆ1 , Iˆ2 se známých hodnot Uˆ 1 , Uˆ 2

Iˆ1 = yˆ11 ⋅ Uˆ 1 + yˆ12 ⋅ Uˆ 2

admitanční matice: yˆ12 ⎤ ⎡ yˆ yˆ = ⎢ 11 ⎥ ⎣ yˆ 21 yˆ 22 ⎦

Iˆ2 = yˆ 21 ⋅ Uˆ 1 + yˆ 22 ⋅ Uˆ 2

yˆ11 =

yˆ11 - vstupní admitance při výstupu nakrátko

Iˆ1 Uˆ

1

yˆ 21 - přenosová admitance při výstupu nakrátko

yˆ 21 =

yˆ12 - zpětně přenosová admitance při vstupu nakrátko yˆ 22 - výstupní admitance při vstupu nakrátko

3. Hybridní sériově paralelní rovnice

Uˆ 1 = hˆ11 ⋅ Iˆ1 + hˆ12 ⋅ Uˆ 2

hybridní matice:

47

Iˆ2 Uˆ 2

Uˆ 2 = 0

Uˆ 1 = 0

⎡ hˆ hˆ = ⎢ 11 ˆ ⎣⎢h21

Iˆ2 = hˆ21 ⋅ Iˆ1 + hˆ22 ⋅ Uˆ 2

hˆ12 ⎤ ⎥ hˆ22 ⎦⎥

hˆ11 - vstupní impedance při výstupu nakrátko hˆ21 - přenos proudu při výstupu nakrátko hˆ - zpětný přenos napětí při vstupu naprázdno 12

hˆ22 - výstupní admitance při vstupu naprázdno 4. Hybridní paralelně sériové rovnice

Iˆ1 = Kˆ 11 ⋅ Uˆ 1 + Kˆ 12 ⋅ Iˆ2 Uˆ 2 = Kˆ 21 ⋅ Uˆ 1 + Kˆ 22 ⋅ Iˆ2 5. Kaskádní rovnice

Iˆ1

− Iˆ2

Uˆ 1 aˆ11 aˆ 21 aˆ12 aˆ 22

Uˆ 2

DVOJBRAN

( ) ( )

Uˆ 1 = aˆ11 ⋅ Uˆ 2 + aˆ12 − Iˆ2 Iˆ = aˆ ⋅ Uˆ + aˆ − Iˆ 1

21

2

22

2

- převrácená hodnota přenosu napětí naprázdno - převrácená hodnota přenosové impedance naprázdno - převrácená hodnota přenosové admitance nakrátko - převrácená hodnota přenosu proudu nakrátko

6. Zpětně kaskádní

− Iˆ1

Iˆ2

Uˆ 1

6.4

Uˆ 2

DVOJBRAN

( ) ( )

Uˆ 2 = bˆ11 ⋅ Uˆ 1 + bˆ12 ⋅ − Iˆ1 Iˆ = bˆ ⋅ Uˆ + bˆ ⋅ − Iˆ 2

21

1

22

1

Přenosové vlastnosti

a) přenos napětí

Uˆ Kˆ u = 2 Uˆ

c) přenosová impedance

b) přenos proudu

Iˆ Kˆ I = 2 Iˆ

d) přenosová admitance:

1

Uˆ Zˆ T = 2 Iˆ 1

1

6.5 Kmitočtové charakteristiky - přenos napětí (proudu) je fcí frekvence Uˆ ( jω ) Kˆ u ( jω ) = 2 = K u (ω ) ⋅ e j⋅ϕ (ω ) ˆ U 1 ( jω )

- Nyquistův diagram - zobrazení přenosu v komplexní rovině

48

− Iˆ2 YˆT = Uˆ 1

[

]

[

]

Kˆ u ( jω ) = K u (ω ) ⋅ e j⋅ϕ (ω ) = Re Kˆ u ( jω ) + j ⋅ I m Kˆ u ( jω )

Im

Kˆ u ( jω )

ω

∞

0

R

- Bodého diagram - jde o zobrazení modulové (amplitudové) a fázové frekvenční char. a) amplitudová frekvenční charakteristika - jde o zobrazení Kˆ u ( jω ) = K u (ω ) na frekvenci

Ku [dB ]

f (log. osa) - to je proto, že zpravidla je nutné vynést průmět pro velký rozsah kmitočtů f (log. osa)

Ku [dB]

- to má historický převod - A. Bell zjistil:

- že lidské ucho má log. charakter - je schopno vnímat 7 řádů akust. tlaku - jeho rozlišení je 1 dB

- decibely byly zavedeny na základě poměru výkonů ⎛P ⎞ K PdB = 10 ⋅ log⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ P1 ⎠ ⎛ U 22 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ Z ⎛U K UdB = 10 ⋅ log ⎝ 2 ⎠ = 10 ⋅ log⎜⎜ 2 ⎛ U1 ⎞ ⎝ U1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Z ⎠

P =U ⋅I =U ⋅

U U2 = Z Z

2

⎞ U ⎟⎟ = 20 ⋅ log 2 U1 ⎠

b) fázová frekvenční charakteristika φ [o]

mezní kmitočet ω0: - zavádí se z důvodů zavést normovanou bezrozměrnou osu frekvence - při tomto kmitočtu je fázový posuv mezi - vstupním a výstupním napětím 45o f

49

1

2 3

4

5

6

Obsah: Základní pojmy .................................................................................................................. 1 1.1 Elektrotechnika........................................................................................................... 1 1.2 Elektrický obvod ........................................................................................................ 1 1.3 Veličiny v elektrickém obvodu .................................................................................. 2 1.4 Zákony v el. obvodech ............................................................................................... 4 1.5 Klasifikace prvků el. obvodů ..................................................................................... 4 1.5.1 Aktivní obvodové prvky..................................................................................... 5 1.5.2 Pasivní obvodové prvky ..................................................................................... 7 Řesení stejnosměrných obvodů v ustáleném stavu .......................................................... 17 2.1 Speciální metody ...................................................................................................... 17 2.2 Univerzální metody .................................................................................................. 19 Přechodové děje v lineárních obvodech........................................................................... 20 3.1 Obecná charakteristika ............................................................................................. 20 3.2 Formulace DR obvodu ............................................................................................. 21 3.3 Řešení DR ................................................................................................................ 21 3.4 Obvody 1. řádu......................................................................................................... 23 3.5 Obvody 2. řádu......................................................................................................... 27 Střídavý proud .................................................................................................................. 28 4.1 Obecná charakteristika periodických funkcí ............................................................ 28 4.2 Charakteristické hodnoty harmonických napětí a proudů........................................ 30 4.3 Symbolicko-komplexní popis harmonických veličin............................................... 33 4.4 Ideální obvodové prvky s harmonickými proudy .................................................... 34 4.5 Rezonance v el. obvodech ........................................................................................ 36 4.6 Výkon harmonického proudu................................................................................... 38 4.7 Měření výkonu jednofázového proudu .................................................................... 40 4.7.1 Přímá metoda.................................................................................................... 40 4.7.2 Nepřímá metoda ............................................................................................... 41 Trojfázové obvody ........................................................................................................... 42 5.1 Základní pojmy ........................................................................................................ 42 5.2 spojování trojfázových zdrojů.................................................................................. 43 5.3 Výkon trojfázové soustavy v harmonickém ustáleném stavu .................................. 44 Lineární dvojbrany ........................................................................................................... 46 6.1 Obecný popis............................................................................................................ 46 6.2 Klasifikace dvojbranů .............................................................................................. 46 6.3 Rovnice dvojbranu ................................................................................................... 47 6.4 Přenosové vlastnosti................................................................................................. 48 6.5 Kmitočtové charakteristiky ...................................................................................... 48

50