Univerzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. [Znak MFF UK dle Symboly a kresby spojené s MFF] Jiří Kučera

[Vzor: Titulní strana bakalářské práce. Tato strana se NEPŘEKLÁDÁ do slovenštiny.]

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

[Znak MFF UK dle Symboly a kresby spojené s MFF]

Jiří Kučera Podpůrné fyzikální materiály pro science centrum iQpark Katedra didaktiky fyziky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Zdeněk Drozd, Ph. D.

Studijní program: Fyzika Studijní obor: Fyzika zaměřená na vzdělávání (FMUZV)

Praha 2013

Poděkování Tímto bych rád poděkoval svému vedoucímu práce panu docentovi Drozdovi za velice ochotnou, laskavou a pohotovou pomoc, kterou mi poskytnul vždy, když jsem potřeboval a za zodpovědné vedení, věcné připomínky, inspiraci, opravu pravopisných a slohových chyb a obstarání literatury a fotografií. Dále tímto děkuji své rodině a přátelům za podporu a pomoc při jazykové a slohové úpravě práce.

Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle § 60 odst. 1 autorského zákona.

V Praze dne 18. 8. 2013

podpis

Název práce: Podpůrné fyzikální materiály pro science centrum iQpark Autor: Jiří Kučera Katedra / Ústav: Katedra didaktiky fyziky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Zdeněk Drozd, Ph. D., KDF Abstrakt: Interaktivní science centrum iQpark v Liberci se v posledních letech stalo nejvýznamnějším zařízením tohoto druhu v ČR. Toto science centrum obsahuje stovky fyzikálně i jinak zaměřených exponátů, pomocí nichž se návštěvníci seznamují se základními fyzikálními jevy, principy technických zařízení apod. Exponáty jsou vybaveny základním popisem, mnohdy zde ale chybí podrobnější fyzikální rozbor. Jsou zde také exponáty, jejichž vysvětlení je zatíženo všeobecně zažitými omyly. Tato práce obsahuje podrobnější fyzikální rozbory pro některé vybrané exponáty z mechaniky. Jedná se o exponáty: Pirueta, Newtonův vozík, Rázostroj, Hopsakoule, Váha (páka dvojzvratná). Práce rovněž obsahuje vysvětlení fyzikálních pojmů a zákonů, které s těmito exponáty souvisí. Klíčová slova: Interaktivní centra, Mimoškolní výuka, iQpark v Liberci, Fyzika, Science centrum

Title: Supported Physics Materials for the Science Center iQpark Author: Jiří Kučera Department: Department of Physics Education Supervisor: doc. RNDr. Zdeněk Drozd, Ph. D., Department of Physics Education Abstract: Interactive science centrum iQpark in Liberec have become the most significant devices of this kind in Czech Republic. This science centrum contains hundreds of physically and generally focused exhibits, which acquaints visitors with basic physical phenomenon and lows. Exhibits contain basic physical description, bud there are missing advanced descriptions. There are some exhibits, which have experienced by mistake. This thesis contain more detailed physical description of some mechanics exhibits. It is: The pirouette, Newton's cradle, Newton´s cart, Hopping balls, Scale (duo-reversible lever). This thesis also contain explanation of related terms and laws. Keywords: Interactive centers, Extracurricular teaching, iQpark in Liberec, Physics, Science center

Obsah Úvod......................................................................................................................................... 1 Rozšiřující texty k exponátům ................................................................................................. 3 Pirueta .................................................................................................................................. 3 Newtonův vozík................................................................................................................... 4 Rázostroj .............................................................................................................................. 6 Hopsakoule (vysvětlení) ...................................................................................................... 7 Hopsakoule (výpočet) .......................................................................................................... 9 Váha (páka dvojzvratná) .................................................................................................... 10 Rozšiřující materiály (pojmy a zákony) ................................................................................. 12 Fyzikální veličiny .............................................................................................................. 12 Hmotný bod ....................................................................................................................... 13 Síla, hmotnost a druhý Newtonův zákon ........................................................................... 14 Volný hmotný bod ............................................................................................................. 14 První Newtonův zákon ...................................................................................................... 15 Inerciální systém (inerciální soustava) .............................................................................. 15 Pravé síly ........................................................................................................................... 16 Zdánlivé síly ...................................................................................................................... 16 Třetí Newtonův zákon ....................................................................................................... 17 Soustava hmotných bodů (soustava částic) ....................................................................... 18 Těžiště................................................................................................................................ 18 První věta impulzová ......................................................................................................... 19 Rychlost těžiště .................................................................................................................. 21 Dokonale pružná srážka..................................................................................................... 22 Tuhé těleso......................................................................................................................... 23 Pohyb částice po kružnici .................................................................................................. 23 Úhlová poloha.................................................................................................................... 24 Úhlová rychlost.................................................................................................................. 24 Úhlové zrychlení................................................................................................................ 24 Moment síly (částice pohybující se po kružnici) ............................................................... 25 Moment hybnosti (částice pohybující se po kružnici) ....................................................... 25 Kinetická (pohybová) energie hmotného bodu (částice) ................................................... 26 Potenciální (polohová) energie hmotného bodu (částice).................................................. 26 Princip zachování mechanické energie.............................................................................. 27 Matematické kyvadlo ........................................................................................................ 28 Kinetická energie rotujícího tuhého tělesa ........................................................................ 29 Moment setrvačnosti.......................................................................................................... 30 Steinerova věta .................................................................................................................. 30 Moment síly ....................................................................................................................... 32 Vektorový součin............................................................................................................... 33 Analogie 2. Newtonova zákona pro otáčivý pohyb ........................................................... 34 Analogie 1. Newtonova zákona pro otáčivý pohyb ........................................................... 35 Moment hybnosti tuhého tělesa ......................................................................................... 35 Druhá věta impulzová ........................................................................................................ 36 Zákon zachování momentu hybnosti ................................................................................. 38 Podmínky rovnováhy ......................................................................................................... 38 Závěr ...................................................................................................................................... 40 Seznam použité literatury ...................................................................................................... 41

Úvod Interaktivní science centrum iQpark v Liberci se v posledních letech stalo nejvýznamnějším zařízením tohoto druhu v ČR. Toto science centrum obsahuje stovky fyzikálně i jinak zaměřených exponátů, pomocí nichž se návštěvníci seznamují se základními fyzikálními jevy, principy technických zařízení apod. Exponáty jsou vybaveny základním popisem, mnohdy zde ale chybí podrobnější fyzikální rozbor. Jsou zde také exponáty, jejichž vysvětlení je zatíženo všeobecně zažitými omyly.

Podrobný rozbor některých

experimentů, které mohou pomocí zmíněných exponátů návštěvníci provádět a zpracování

podrobnějších

doprovodných

textů

(popřípadě

jiných

pomocných materiálů) srozumitelných širší veřejnosti s případným rozšířením pro hlubší zájemce o problematiku, by mohlo být pro další rozvoj iQparku užitečné. V rámci této bakalářské práce jsem vytvořil několik výše zmíněných odborných doprovodných materiálů, které nejprve kvalitativně vysvětlí návštěvníkům, na jakém fyzikálním principu daný exponát funguje. Poté následuje shrnutí předpokladů a výpočet či odvození některých fyzikálně zajímavých příčin a důsledků exponátu. Aby byl rozšiřující text k exponátům co nejstručnější a nejpřehlednější, jsou složitější pasáže, použité pojmy a veličiny nebo fyzikální podstata jednotlivých jevů rozebrány v dalších doplňujících materiálech, které jsou rovněž součástí této práce. Často na ně je odkazováno, což je v práci značeno podtržením. Veškeré materiály se snaží být maximálně obsáhlé při zachování nutné stručnosti, a aby byl text přístupný široké veřejnosti, je používána nanejvýš středoškolská matematika. Nikde není použit diferenciální a integrální počet. Jako okruh exponátů jsem si vybral některé exponáty z fyzikální oblasti mechanika, které mi připadají pro širokou veřejnost nejsrozumitelnější. Proto se s ní na většině škol začíná a začínám s ní tedy práci pro iQpark i já. Vychází se z Newtonových pohybových zákonů, jak bývá ve zvyku na základních a středních školách. Nejprve budou v práci uvedeny rozšiřující texty k jednotlivým exponátům. Následovat budou doplňkové materiály s definicemi, vysvětlením a odvozením vhodných fyzikálních veličin.

1

Výsledná forma však nebude souvislým textem. Předpokládá se, že jednotlivé

části

budou

na

samostatných

kartách

(je

možné,

ba

pravděpodobné, že některé karty budou sloučeny), které budou na sebe navzájem odkazovat a to jak v tištěné podobě, tak v podobě elektronické na stránkách a upravené pro „chytré telefony“. Případně by mohly být umístěny velkým písmem na stěnách. Návštěvníkům by tak měly být přístupné jak při návštěvě, tak i později nebo před samotnou návštěvou. Rozšiřující texty k exponátům budou pravděpodobně přímo u exponátů, zatímco doplňující materiály na vhodném místě v příslušném patře. Tato bakalářská práce si klade za úkol připravit obsah těchto materiálů. Formátování a dělení textu tedy

budoucím

materiálům

neodpovídá.

Navíc

z důvodů

pozdějšího

„rozsekání textu“ není použito číslování rovnic a není ani důležité, aby jedno písmeno (značka veličiny) mělo v celém textu jeden význam či hodnotu . Ze stejného důvodu se může na různých místech opakovat vysvětlení k označení veličin.

2

Rozšiřující texty k exponátům Pirueta Pokud částice obíhá stále stejně velkou rychlostí v po kružnici o poloměru r, pak její úhlová rychlost je  

v . Velikost její hybnosti je r





p  mv  mr . Velikost jejího moment hybnosti je L  rp  mr 2  . Moment

hybnosti L takovéto částice je přímo úměrný úhlové rychlosti  . Konstantou

 

této úměrnosti je člen mr 2 . Tomuto členu říkáme moment setrvačnosti a značíme ho J. Moment hybnosti je veličina, která se v izolované soustavě zachovává, podobně jako hmotnost, energie nebo hybnost. Moment hybnosti je v takovéhoto soustavě pořád stejně velký. Kdyby částice o hmotnosti m obíhala po kružnici o poloměru 1 m úhlovou rychlostí   2







rad s

 360 s  1 ots . , pak by její moment hybnosti



L  mr 2   m  12  2  2m . Kdybychom tuto částici s tímto momentem hybnosti „přitáhli“ do vzdálenosti 50 cm od osy otáčení, tedy zmenšili poloměr opisované kružnice na r  50 cm  12 m , tak jelikož se její moment hybnosti zachoval, musí být stále L  2m . Zároveň však stále platí vztah





L  mr 2 

.



Dosadíme





a

uvidíme,

  

2m  L  mr 2   m 12    m 12 2   14 m 2

2

.

co

Dostáváme

nám

vyjde:

tak

rovnost

2m  14 m , ze které plyne, že 8m   . Tato úhlová rychlost je 4krát větší, než úhlová rychlost původní částice. Tím, že jsme částici, která obíhala rychlostí 1 otáčka za sekundu, posunuli na poloviční vzdálenost od osy otáčení, jsme zvýšili (při zachování momentu hybnosti) 4krát její úhlová rychlost. Nyní se otáčí rychlostí 4 otáčky za sekundu. Uvažujeme-li,

že

se

Vaše

tělo

skládá

z obrovského množství

jednotlivých částic, které ovšem mají stejné vlastnosti, pak když se na piruetě roztočíte a pak přesunete část svého těla (spoustu jednotlivých hmotných částic) blíže k ose otáčení (zmenšíte r), zvýší se vaše úhlová rychlost  . Když si na piruetu stoupne 100 kg chlap, můžeme si pro zjednodušení představit, že jeho tělo rozdělíme na dílky podobné krychličce o objemu 1 cm3. Každou takovouto „krychličku“ pak nahradíme částicí umístěnou do 3

těžiště „krychličky“. Pro jednoduchost předpokládejme, že každá takováto krychlička (a tedy i zástupná částice) má stejnou hmotnost. Hustota lidského těla může být okolo 1000 kg/m3 (přibližně jako voda). Náš chlap by tedy měl objem V 

m





100  0,1 m3 = 100 dm3 = = 100 000 cm3. Takže by se 1000

skládal z 100 000 částic a každá by měla hmotnost 1 g (takto malé krychličky jsou z praktického hlediska hmotnými body). Pokud se celý chlap přitáhne k ose otáčení, tak většinu těchto částic přitáhne blíže k ose otáčení, čímž se při zachování momentu hybnosti L zmenší jeho moment setrvačnosti J a zvětší úhlová rychlost  . Pokud bychom chtěli zvětšení úhlové rychlosti vypočítat, museli bychom určit, jak se mění moment setrvačnosti. K tomu bychom mohli využít Steinerovy věty (u ní je spočítán ilustrativní příklad na piruetu), která nám říká, že moment setrvačnosti tělesa o celkové hmotnosti M, lze vypočítat: J  rT2 M  J T , kde J T moment setrvačnosti vůči ose vedoucí těžištěm a rT je vzdálenost skutečné osy, rovnoběžné s osou vedoucí těžištěm.

Newtonův vozík Abychom si tento experiment mohli lépe vysvětlit, začneme úvahou, že pro malé výchylky kyvadla by se vozík choval stejně, jako kdyby místo kyvadla, bylo jeho srdce připevněno k vodorovně orientované pružině (její tuhost by byla k 

mg , kde l je délka závěsu kyvadla). Toto nahrazení l

můžeme provést proto, že potom pohybové vlastnosti vozíku s kyvadlem i s pružinou budou téměř stejné; především působící síly). O tomto nahrazení se dočtete více v části Matematické kyvadlo. Když provedeme toto nahrazení, můžeme vozík s pružinou, který stojí volně na podložce, považovat za izolovanou soustavu. Všechny vnější síly (včetně tíhové) se vyruší a my můžeme použít zákon zachování hybnosti. Pokud srdce vychýlíme, začne kmitat kolem rovnovážné polohy. Jelikož ale soustava srdce + vozík je izolovaná, musí v ní být zachována hybnost. Pokud se na okamžik zastaví srdce, musí se zastavit i vozík. Pokud se srdce pohybuje doprava, musí vozík současně doleva. Pohyby srdce a vozíku musí   být tedy současné. Vždy musí platit, že m s v s  m v v v  konst . (index s pro 4

srdce, index v pro vozík). Tato konstanta je závislá na volbě vztažné soustavy. Pokud na začátku držíme vozík a natáhneme pružinu, měla naše  soustava  p  P  0 . Jakmile je pustíme, je tato soustava izolovaná, tedy   m s v s  m v v v  0 . V soustavě, vůči níž je těžiště v klidu, je tedy celková hybnost 0. Tuto soustavu můžeme považovat za dvojčásticový systém, kde nahrazujeme kyvadlo a vozík jejich těžišti. Jelikož se jednotlivá těžiště   pohybují vždy proti sobě, nebo od sebe, můžeme též říci, že m s v s   m v v v a ohledně velkostí jejich hybností tedy platí p s  m s v s  m v v v  p v . Pokud vozík zapřeme o stěnu, vychýlíme kyvadlo směrem ke stěně a pustíme, pak kyvadlo mění hybnost systému, způsobuje změnu hybnosti vozíku. Jelikož je vozík opřený o stěnu, vyvolá změna hybnosti

p F t

(Druhý Newtonův zákon) sílu, kterou bude tlačit vozík na stěnu. Stejně velkou silou opačného směru (viz Třetí Newtonův zákon) bude působit stěna  na vozík, čímž jej urychlí, neboli mu udělí rychlost v se kterou se bude pohybovat směrem od stěny.  Pokud vozík s kyvadlem kmitá a zároveň jede stálou rychlostí v (viz i  předchozí možnost), tedy jejich těžiště se pohybuje rychlostí v , tak

kdybychom spojili vztažnou soustavu s tímto těžištěm, pozorovali bychom, že v této soustavě vozík pouze kmitá (stejně, jako když bylo těžiště v klidu). Jinak řečeno, kdyby vedle vozíku jela stejnou rychlostí kamera, viděli bychom na záznamu vozík, jehož těžiště je v klidu a který pouze kmitá. Toto kmitání by se nedalo rozlišit s kmitáním vozíku s těžištěm v klidu. Toto tvrzení lze vyjádřit i matematicky. Pohybuje-li se těžiště vozíku      rychlostí v , pak P  m s  mv v  konst .  m s v  mv v Dosazením do původní       rovnice m s v s  m v v v  konst . dostaneme: m s v s  m v v v  m s v  m v v . Tuto     rovnost lze upravit na , tedy m s v s  m s v  mv vv  mv v  0     m s v s  v   m v v v  v   0 . Pokud bychom vztažnou soustavu zvolili tak, že by  se pohybovala vůči pozorovateli rychlostí v , pak by v této soustavě (její       veličiny mají „čárku“) platilo v s  v s  v a v v  v v  v . Dosazením získáme             m s v s  v   m v v v  v   m s v s  v  v   m v v v  v  v   m s v s  mv v v  0 .

5

     Transformace v v  v v  v nám říká, že pokud nastane v v   v , pak  v v  0 . V tomto okamžiku bude vozík v klidu, na nekonečně malou chvilku se

zastaví. To souhlasí s tím, že pozorujeme „trhavé“ pohyby vozíku. Obdobně „trhavé“ pohyby vykonává srdce kyvadla.

Rázostroj Pozorujeme, že vychýlíme-li jedno kladivo, resp. jeho hlavici, a pustíme, na druhé straně bude vymrštěna také jedna hlavice. Proč ale nejsou na druhé straně např. vymrštěny hlavice dvě poloviční rychlostí? Vychýlíme-li hlavice dvě a pustíme, uvidíme, že budou vymrštěny dvě hlavice na druhé straně. Proč ale není na druhé straně vymrštěno třeba jenom jedna hlavice dvojnásobnou rychlostí? Na tyto otázky se nyní pokusíme odpovědět. Uvažujme srážky hlavic za dokonale pružné (ony ve skutečnosti nejsou, i proto dochází k tlumení kmitů). Musí platit dva důležité fyzikální zákony: Zákon zachování hybnosti, Princip zachování mechanické energie. Tyto zákony platí současně. Předpokládejme, že všechny hlavice jsou stejně hmotné. Pokud narazí N hlavic do ostatních s hybností P  Nmv N a celá tato hybnost jim bude předána, pak na druhé straně „vylétne“ V částic s různými rychlostmi. My ale tyto částice můžeme považovat za dílčí soustavu hmotných bodů a nahradit je jejich těžištěm o hmotnosti M V  Vm a toto těžiště se pak odrazí s rychlostí vV . Ze zákona zachování hybnosti musí platit: Nmv N  VmvV . Z tohoto zákona lze vyjádřit v N 

Vm V vV  vV . Jelikož před nárazem a po nárazu na Nm N

sebe hlavice tlačí malou silou (sotva se dotýkají), můžeme toto silové působení zanedbat. Jejich celková potenciální energie pružnosti je potom 0 (uvažujeme pouze energii kinetickou), pak z principu zachování mechanické energie platí

1 2

Nmv N2  E kN  E kV  12 VmvV2 a tedy Nv N2  VvV2 . Do této rovnosti 2

dosadíme v N 

V V2 V  vV . Dostáváme tak N  vV   VvV2 , tedy N 2 vV2  VvV2 , N N N 

což ještě upravíme

V  1 , tedy V  N . To ale znamená, že stejný počet N

hlavic (stejná hmotnost) musí narazit a stejný počet hlavic se musí odrazit. 6

Zbývá jenom dokázat, že se všechny hlavice odrazí stejnou rychlostí, a to stejnou, jaká byla rychlost narážejících hlavic v N . Těžiště odražené soustavy se pohybuje rychlostí v N . Předpokládejme, že by existovala dvojice hlavic, která by se touto rychlostí neodrazila, pak by pro tuto dvojici muselo platit v1  v N  vt (kde vt je rychlost hlavice vůči těžišti) a v 2  v N  vt . Aby kinetická energie této dvojice byla stejná, jako kinetická energie těchto částic, umístěných v těžišti, muselo by platit:

1 2

mv12  12 mv 22  2  12 mv N2 . Po úpravách

dostaneme rovnost v12  v 22  2v N2 , tedy

v N  vt 2  v N

 vt   2v N2 , což 2

upravíme v N2  2v N vt  vt2  v N2  2v N vt  vt2  2v N2 a tedy vt2  0 , takže vt  0 . Není tedy možné, aby se nějaká dvojice částic pohybovala jinými rychlostmi, než je rychlost pohybu těžiště odražených hlavic. Na rázostroji se tedy musí odrazit stejný počet hlavic, jaký narazil. Všechny tyto hlavice se musí odrazit stejnou rychlostí a to stejnou jako byla rychlost hlavic narážejících.

Hopsakoule (vysvětlení) Uvažujme systém dvou částic. Pokud se tyto dokonale pružně srazí (žádná energie se nepřemění v energii vnitřní – viz pružná srážka), pak v soustavě, ve které je těžiště těchto dvou částic v klidu, se tyto dvě částice odrazí „od těžiště“ stejně velkou rychlostí, s jakou narazily. Hopsakoule budeme považovat za dokonale pružné částice. Nejníže položená bude mít veličiny s indexem 1, nejvýše položená s indexem 3. Všechny tři hopsakoule před nárazem klesnou o výšku h v tíhovém poli a narazí tedy rychlostí (vůči zemi) v0  2 gh (protože dojde na základě principu zachování mechanické energie k přeměně polohové energie na energii kinetickou, tedy

1 2

mv02  mgh , odsud v0  2 gh ). Předpokládejme, že

první hopsakoule dopadne první a dokonale pružně se odrazí od země, tedy opět rychlostí v0 (budeme psát v1  v0 ). Až poté narazí do hopsakoule druhé. Ve skutečnosti padají všechny tři hopsakoule stejně rychle, takže jakmile se první dotkne podlahy, začne se deformovat, zmáčkne se, a díky silám pružnosti se potom začne „narovnávat“ a tím šťouchá do koule nad sebou... 7

Ke všem srážkám tedy dochází v jednom okamžiku. Hybnosti a mechanické energie se však budou předávat stejně, jako by ke srážkám docházelo postupně. Druhá hopsakoule se tedy odrazí od těžiště první a druhé opět rychlostí v0 , avšak pokud bude první hopsakoule těžší ( m1 > m2 ), bude se toto těžiště pohybovat směrem nahoru určitou rychlostí vT 1, 2 . Rychlost druhé hopsakoule vůči zemi tak bude v 2  vT 1, 2  v0 . Až poté narazí do hopsakoule třetí, která vůči zemi opět padá rychlostí v0 a touto rychlostí se odrazí od těžiště druhé a třetí hopsakoule, které se pohybuje vT 2,3 , tak se od něj třetí hopsakoule opět odrazí rychlostí v0 . Její rychlost vůči zemi tedy bude v3  vT 2,3  v0 a pokud navíc m3 > m2 , tak můžeme s jistotou tvrdit, že se třetí hopsakoule vůči zemi odrazí rychleji, ne jak narazila do hopsakoule druhé. Jsou-li hopsakoule uspořádány obráceně, bude naopak těžiště dvojic hopsakoulí klesat a rychlost odrazu bude vůči zemi klesat. Při troše námahy nám vyjde, že rychlost, se kterou se odrazí třetí hopsakoule, bude závislá pouze na hmotnostech jednotlivých hopsakoulí a počáteční rychlosti v0 . Vyjde v3 

m2 3m1  m2  v . Speciálně kdyby m1  m2  m3  m , dostali bychom m1  m2 m2  m3  0

v3 

m3m  m  4m 2 v0  v0  v0 . Rychlost nárazu by byla stejně velká jako m  mm  m  4m 2

rychlost odletu. Hopsakoule by se chovaly podobně jako kladiva na exponátu Rázostroj. Kdyby například první hopsakoule byla čtyřikrát těžší, než druhá a ta čtyřikrát

v3 

těžší,

třetí,

dostali

bychom:

4m3 16m  4m  208m 2 v0  v  2,08v0 . 16m  4m 4m  m 100m 2 0 V obráceném

v3 

než

pořadí

hmotností

4m3m  4m  28m 2 v0  v  0,28v0 . m  4m4m  16m 100m 2 0

bychom

Kdybychom

chtěli

dostali: spočítat

výšku, do které třetí hopsakoule vyletí, vyšli bychom opět z principu zachování mechanické energie:

1 2

mv32  mgh , tedy h 

8

v32 . 2g

Hopsakoule (výpočet) Chcete vědět, jak se přijde na rychlost vylétající třetí hopsakoule: v3 

m2 3m1  m2  v ? Proč je tato rychlost závislá pouze na počáteční m1  m2 m2  m3  0

rychlosti, tedy na výšce h, odkud hopsakoule pustíme, a na hmotnostech jednotlivých hopsakoulí? Přesné matematické odvození čeká právě na vás… Z principu zachování mechanické energie víme, že v0  2 gh . Rychlost první hopsakoule směrem vzhůru je v1  v0 . Druhá hopsakoule padá stejně velkou rychlostí opačného směru. Rychlost těžiště určíme na základě vztahu   m1v1  m2 v2  vT  , (budeme určovat pouze velikost, kladná velikost bude m1  m2 směřovat vzhůru) tedy vT 1, 2  tedy

odrazí

v 2  vT 1, 2  v0 

m1v0  m2 v 0 m1  m2  v0 . Druhá hopsakoule se m1  m2 m1  m2

vzhůru

vůči

zemi

rychlostí:

 m  m2   m  m2 m1  m2   2m1  m1  m2 v0   v0 v0  v0   1  1v0   1  m1  m2  m1  m2   m1  m2 m1  m2   m1  m2 

Nyní nás bude zajímat, jak rychle se pohybuje těžiště 2. a 3. hopsakoule. Opět využijeme náš vztah na výpočet rychlosti těžiště:

vT 2,3

 .





2 m1 m2 v2  m3 v0 m2 m1  m2 v0  m3 v0    m2  m3 m2  m3

2 m1 m 2  m1 m3  m 2 m3 m1  m 2

m2  m3

v0 

Rychlost

v3  vT 2,3  v0 

2 m1m2 m1  m2

 m3mm1 1 mm2 2 

m2  m3

v0 

2m1m2  m1m3  m2 m3 2m1m2  m1m3  m2 m3 v0  v0 m1m2  m1m3  m22  m2 m3 m1  m2 m2  m3  třetí

hopsakoule

bude

vůči

zemi:

 2m1m2  m1m3  m2 m3  2m1m2  m1m3  m2 m3 v0  v0    1v0  2 2 m1m2  m1m3  m2  m2 m3  m1m2  m1m3  m2  m2 m3 

 2m m  m1 m3  m2 m3  m1 m 2  m1 m3  m22  m 2 m3    3m1 m2  m22   v 0    1 2 v  0 2 2    m1 m2  m1 m3  m2  m2 m3    m1 m 2  m1 m3  m2  m 2 m3 



m2 3m1  m2  v . Rychlost, s jakou ze srážky odletí třetí hopsakoule, je m1  m2 m2  m3  0

tedy vůči zemi v3 

m2 3m1  m2  v , což je vztah, se kterým počítáme u m1  m2 m2  m3  0

vysvětlení hopsakoulí. 9

Váha (páka dvojzvratná) Pokud má libovolné tuhé těleso být v klidu, pak musí nastat tyto dvě  podmínky:  Fext.  0 ,  M ext .  0 (viz podmínky rovnováhy). Takovéto podmínky musí být splněny v libovolné inerciální soustavě a pro libovolnou osu otáčení. U dvojzvratné páky v rovnováze je osou otáčení místo závěsu. Toto místo však nutně musí ležet na těžnici,

tedy

na

přímce,

která

prochází těžištěm. V tomto případě na těžnici, která má stejný směr, jako tíha.

Dvojzvratnou páku

můžeme

považovat za tuhé těleso, sestavené z dvou

různě

hmotných

částic,

přičemž jejich spojnici uvažujeme nehmotnou (přesto dokonale tuhou). Na silovém diagramu je znázorněna tíha jednotlivých těles, která jsou nastavena do rovnováhy (jednotlivé momenty sil se vyruší, čímž bude splněno

M

ext .

 0 ). Kdybychom však odstranili konstrukci váhy, pak by obě závaží

(částice) spadla. Využijeme vlastnosti těžiště, že tíha tuhého tělesa působí v těžišti a tuto tíhu vyrušíme konstrukcí váhy, takže F3  F1  F2 . Tím  zaručíme splnění první podmínky  Fext.  0 . Snadno si například pro hodnoty F1  20 N a F2  10 N a délky ramen 1 a 2 m můžete sami výpočtem ověřit, že obě dvě podmínky nastanou, i kdybychom osu otáčení uvažovali jinde (ne v těžišti, ale například v umístění m1 nebo m2). Když zavěsíme více předmětů, rozroste se nám silový diagram o více sil a ramen sil. Způsob výpočtu však bude obdobný, zase budou muset platit podmínky rovnováhy. Pokud nastavíte dvě (a více) konfigurace takové, že každá zvlášť bude „vyvážená“ (u každé zvlášť budou splněny podmínky rovnováhy), pak když tyto dvě konfigurace zavěsíte najednou, rovněž bude tato výsledná konfigurace „vyvážená“, protože     Fext.   Fext.,1   Fext.,2  0  0  0 (obdobně pro druhou podmínku).

10

U váhy si také můžeme všimnout, že osa otáčení (bod závěsu vahadla) je umístěn nad těžištěm. Potom je totiž vahadlo ve stabilní rovnovážné poloze. Kdyby bylo vahadlo uchyceno pod těžištěm, bylo by nestabilní (každé malé vychýlení by vahadlo shodilo ze závěsu). Proto např. vahadla, která sloužívala na nošení vody, bývala prohnutá do mírného oblouku. Toto lze to vypozorovat i na konstrukci rovnoramenných vah.

11

Rozšiřující materiály (pojmy a zákony) Fyzikální veličiny – Fyzikální veličinou myslíme jakoukoliv objektivní vlastnost látky nebo pole, tedy vlastnost takovou, jejíž hodnotu je možné změřit nebo spočítat. Aby to šlo, zavádí se pro každou veličinu jednotka, což je míra veličiny, které přisoudíme číselnou hodnotu přesně 1. Je vhodné rozlišovat fyzikální veličiny, které v místě pozorování plnohodnotně popíšeme číselnou hodnotou a jednotkou (např. hmotnost, energii, teplotu, hustotu, tlak…). Takovýmto veličinám říkáme „skalární veličiny“, nebo stručně „skaláry“. Jiné veličiny si s číselnou hodnotou a jednotkou nevystačí, k jejich popisu musíme přidat ještě směr (např. síla, rychlost, zrychlení, hybnost…). Používáme k tomu matematické vektory, protože se tyto veličiny dají pomocí vektorů nejen popsat, ale i skládat a rozkládat (což umožňuje vektorové sčítání) a násobit skalárem. Takovéto veličiny pak označujeme jako „vektorové“ a píšeme nad ně šipku. Pokud šipka chybí, pak je tím automaticky myšleno, že hovoříme pouze o velikosti dané veličiny, resp. pouze o její číselné hodnotě. Často tak činíme, pokud je směr jasně určený. Jindy (zejména při pohybu po přímce) si vystačíme s číselnou hodnotou a znaménkem, které určuje, zda ona veličina má směr stejný jako souřadnicová osa (+), nebo míří proti (-), případně zda má rotační vlastnosti pravotočivé (proti směru hodinových ručiček, znaménko +) nebo levotočivé (po směru, znaménko -). Závěrem stručný přehled některých fyzikálních veličin, jejich jednotek, označení a stručné vysvětlení: Veličina

Značka

Jednotka

Vysvětlení

Dráha

s

m

Délka trajektorie (křivky, po které se částice pohybuje)

Poloha

 r

m

Vektor mezi počátkem souřadné a částicí

Úhlová poloha



Rad, °

Obecný úhel mezi souřadnicovou osou a částicí

Rychlost

 v

m/s

O kolik metrů by se změnila poloha částice za 1 s.

12

soustavy

Úhlová rychlost



rad/s °/s

O kolik radiánů (nebo stupňů) by se změnila poloha částice za 1 s.

Zrychlení

 a

m/s2

O kolik m/s by se změnila rychlost částice za 1 s.

Úhlové zrychlení



rad/s2

Síla

 F

N

Hmotnost

m

kg

Hybnost

 p

kg·m/s

O kolik rad/s by se změnila úhlová rychlost částice za 1 s.   F  ma , takže 1 N (Newton) = 1 kg·m/s2. Uděluje hmotným tělesům zrychlení. Neochota zrychlovat (měnit rychlost pohybu).   p  mv . Veličina, která se v izolované soustavě zachovává.

Práce

W

J

Děj, při kterém působíme silou po dráze. Veličina, která vyjadřuje schopnost soustavy hmotných bodů konat práci. Veličina, která se v izolované soustavě zachovává. M  J . Uděluje tělesům, která se mohou otáčet kolem pevné osy, úhlové zrychlení. Platí také M  F r  Fr .

Energie

E

J

Moment síly

M

N·m

J

kg·m2

Neochota tělesa měnit vůči dané ose úhlovou rychlost (úhlově zrychlovat).

L

kg·m2/s

L  r p . Veličina, která se v izolované soustavě zachovává.

Moment setrvačnos ti Moment hybnosti

Hmotný bod – Můžeme jím nahradit těleso, jehož rozměry a tvar nejsou při popisu zkoumaného děje podstatné. Hmotný bod má hmotnost rovnou hmotnosti zkoumaného tělesa. Z obecnějšího pohledu nahrazuje hmotný bod skutečné těleso v případech, kdy je podstatná jeho celková hmotnost a nikoliv jeho vlastní rozměry, tvar apod. Výstižnými výrazy zastupujícími pojem hmotný bod jsou „částice“ nebo „bodový objekt“. Pokud popisujeme obíhání planet kolem Slunce, můžeme většinou i takto velká tělesa považovat za hmotné body. Budeme-li chtít popisovat točení se „káči“, nebude nám zjednodušení na hmotný bod stačit, přestože je „káča“ docela maličká, protože při otáčení nemůžeme zanedbat její rozměry a tvar. U káči je taky důležitý její moment setrvačnosti (vůči ose jdoucí jejím

13

těžištěm). Hmotný bod takový moment setrvačnosti nemá (s pojmem moment setrvačnosti se seznámíme později).

Síla, hmotnost a druhý Newtonův zákon – Zrychlení hmotného bodu je přímo úměrné výsledné síle, která na něj působí. Aby mohl hmotný bod zrychlovat, musela na něj působit výsledná síla ve směru zrychlení. Jinak řečeno, pokud na hmotný bod působí výsledná síla, pak ten musí v daném směru přímo úměrně zrychlovat. Konstantou této úměrnosti je hmotnost. Hmotnost je tedy vlastnost, která vyjadřuje neochotu hmotného bodu měnit rychlost (zrychlovat). Hmotnost tělesa na Zemi je stejná jako na Měsíci, stejná jako ve vzdáleném vesmíru. Rozdílná je tíha tělesa. Matematický zápis druhého Newtonova zákona:   ma   F    Často píšeme místo  F pouze Fv nebo jenom F , ale vždy myslíme vektorový součet všech vnějších sil, které na hmotný bod působí. Druhý Newtonův zákon lze zapsat více způsoby. Nám se brzy bude hodit tvar   v m  Fv , kde časový interval t uvažujeme co nejmenší. t Není správné tvrdit, že předmět zrychluje, pokud na něj působí síla. Druhý Newtonův zákon totiž hovoří o „výsledné síle“, tedy výslednici všech působících sil. Nikoliv o jedné určité síle. Kniha, ležící v klidu na stole, nezrychluje, přestože na ni působí tíhová síla. Když ovšem přidáme sílu, kterou na knihu působí stůl, a tyto síly vektorově sečteme, dostaneme  F  0.

Volný hmotný bod – Hmotný bod, na který jeho okolí nepůsobí, nazveme volným. Volný hmotný bod je samozřejmě opět jedním z idealizovaných modelů, který však vystihuje celou řadu reálných situací ve velmi dobrém přiblížení. Jako volný se hmotný bod chová například tehdy, nelze-li vliv jednotlivých okolních objektů na jeho pohyb zjistit v rámci přesnosti prováděných měření, anebo se vlivy okolních objektů nějakým způsobem kompenzují.

14

První Newtonův zákon – Je-li volný hmotný bod v klidu vzhledem ke zvolené vztažné soustavě, pak v něm setrvá. Pohybuje-li se stálou rychlostí, bude v tomto pohybu neustále pokračovat. K

udržení

stálé

rychlosti

pohybu

tělesa

(hmotného bodu)   nepotřebujeme sílu. Vyjdeme-li z druhého Newtonova zákona ma  Fv , pak  uvažujeme-li působící výslednou sílu nulovou, tedy ma  0 , pak pro m  0  (skutečně uvažujeme těleso hmotné) musí být a  0 . Nulové zrychlení ale znamená, že rychlost je stálá, tedy nemění se ani její velikost a ani její směr (i klid, tedy nulová rychlost, je stálá rychlost). Naopak, uvažujeme-li rychlost   stálou, pak v  0 a tudíž i Fv  0 .

Inerciální systém (inerciální soustava) – Systém nazýváme inerciální, pokud v něm pro každý volný hmotný bod platí první Newtonův zákon, tedy že setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu (samozřejmě vůči libovolně zvolenému počátku a soustavě souřadné, nebo chcete-li vztažnému tělesu). V každém inerciálním systému platí všechny Newtonovy zákony. Provedené experimenty mají stejné výsledky a nelze jimi systémy rozlišit. Každá síla má pachatele. Takovýmto silám říkáme pravé síly. Stanicí projíždí vlak rychlostí 10 m/s a ve vlaku jde průvodčí odzadu dopředu rychlostí 1 m/s vůči vlaku. Rychlost průvodčí vůči stanici je tedy 11 m/s. Představme si například, že se průvodčí rozhodla otočit a vrátit. Předpokládejme, že tak činí se zrychlením -1 m/s2 vůči směru jízdy vlaku. Cestující ve vlaku pozorují, že se průvodčí otočí a následně pohybuje vůči nim rychlostí 1 m/s do protisměru po 2 s (první sekundu brzdila, druhou zahajovala chůzi na druhou stranu). Pokud průvodčí váží 70 kg, musela na ní působit výsledná síla 70 N proti směru jízdy vlaku po dobu 2 s. Výsledná rychlost průvodčí je tedy -1 m/s (znaménko - značí, že se nyní pohybuje na opačnou stranu). Pozorovatel ve stanici by viděl, že průvodčí, která se vůči němu pohybovala rychlostí 11 m/s, začala zpomalovat. Po první sekundě se pohybuje už jenom rychlostí 10 m/s, po druhé rychlostí 9 m/s. Musela tedy zrychlovat po dobu 2 s a to proti směru jízdy vlaku. Její zrychlení tudíž

15

muselo být -1 m/s2 a výsledná síla, která na ni musela působit, byla 70 N proti směru jízdy vlaku po dobu 2 s. Ať už spojíme počátek vztažné soustavy se stanicí nebo s vlakem, který se vůči stanici pohybuje rovnoměrně přímočaře (nebo chcete-li, stanice se pohybuje rovnoměrně přímočaře vůči vlaku), v obou systémech bude silové působení stejné. Oba tyto systémy jsou inerciální. První Newtonův zákon tedy lze formulovat i takto: S každým volným hmotným bodem lze spojit vztažnou soustavu, v níž jsou ostatní volné hmotné body v klidu, nebo se vůči ní pohybují stálou rychlostí.

Pravé síly – Všechny síly v inerciálním systému jsou pravé. Mají svého pachatele. Průvodčí se odráží nohama od podlahy („strká“ botami do podlahy a podlaha strká do průvodčí, čímž ji urychluje), do vzduchu vyhozené předměty padají k zemi důsledkem tíhové síly, prak vymrští kámen pomocí pružné síly gumy, potápěč v hloubce cítí zvýšené působení tlakové síly, kterou na něj tlačí sloupec vody nad ním a voda okolo…

Zdánlivé síly – Představte si, že jste se právě probudili ve vagónu dokonalého vlaku, který při jízdě nedrncá a ze kterého není vidět ven. Těžko pak rozeznáte, jestli se vlak pohybuje rovnoměrně přímočaře, nebo jestli stojí v klidu na zastávce. I kdybyste provedli libovolný experiment, jeho závěr by vám vyšel v obou případech stejně. Vlak jako systém se chová inerciálně. Pokud se vlak náhle začne rozjíždět (začne zrychlovat), bude cestující cítit, že na něj tlačí sedačka nenulovou silou ve směru jízdy vlaku (tuto sílu by mohl změřit). On je ale přesto v klidu. V této soustavě na něj tedy musela působit nějaká síla, která tlačení sedačky vyrušila. Tato síla je zdánlivá a v soustavě vagonu vlaku (která je neinerciální) nemá pachatele. Ano, kdybyste stáli mimo rozjíždějící se vagón (vztažná sousta spojená např. s nádražím) a mohli se dívat na cestujícího uvnitř, chápali byste, že vlak se rozjíždí, tedy na něj působí výsledná síla ve směru zrychlení, ale cestující by setrval v klidu. Pokud má zůstat v klidu vůči vlaku („rozjet“ se s vlakem), musí i na něj působit síla. Tato síla je pravá. Na cestujícího, který byl v klidu, bude

16

působit podlaha vagónu (případně sedačky), aby jej urychlila (uvedla do stejné rychlosti, jakou má vlak). Zdánlivé síly budeme nutně cítit v každé soustavě, na kterou působí výsledná síla. Každá takováto soustava se nazývá neinerciální. V našem vagónu například pokud bude zrychlovat, brzdit, zatáčet nebo zatáčet a zároveň zvyšovat rychlost. Toto ale nejsou všechny zdánlivé síly, které můžeme

v neinerciálních

soustavách

pozorovat.

Nacházelo

by

se

jednoduché řešení. Stačilo by vše pozorovat vždy z inerciálních systémů, ale známe reálně nějaké vztažné těleso, na které nepůsobí žádná výsledná síla? Každý reálný systém je neinerciální, ale často můžeme zanedbat chybu, která vzniká působením malých zdánlivých sil a považovat tak například školní třídu za inerciální systém.

Třetí Newtonův zákon – Dvě tělesa v inerciálním systému na sebe navzájem působí stejně velkými silami opačného směru. Tyto síly vznikají a    zanikají současně. Matematicky zapsáno: FAB   FBA , kde FAB je síla, kterou těleso B působí na těleso A. Tuto dvojici sil často nazýváme akce – reakce. Třetí Newtonův zákon platí bez ohledu na to, zda se tělesa pohybují, nebo zda jsou v klidu, ale neplatí v neinerciálním systému. Akce a reakce se vzájemně nevyruší, protože každá působí na jiné těleso. Pravé síly vždy působí ve dvojicích. Při úderu působí kladivo jistou silou na hlavičku hřebíku. Současně však působí i hřebík na kladivo, a to silou stejně velkou, avšak opačně orientovanou. Opře-li se člověk o stěnu, tlačí i stěna na člověka. Toto tvrzení se týká situace, kdy je sledovanou soustavou buď jedno, nebo druhé z obou interagujících těles. V částech první a druhá věta impulzová uvidíme, že v případě studia soustavy dvou nebo i více těles má smysl v rámci celé soustavy mluvit o výslednici interakčních sil. Ta ovšem bude, díky třetímu Newtonovu zákonu, skutečně nulová. Dvě různé síly, které působí na totéž těleso, nejsou akcí a reakcí, ani když mají stejnou velikost a opačný směr.

17

Soustava hmotných bodů (soustava částic) – Mnohdy se nám hodí pozorovat nějakou izolovanou skupinu hmotných bodů, nebo chcete-li částic. Je-li takovýto systém uzavřený a izolovaný (nepřibývají do něj nové částice a nepůsobí žádné vnější síly), pak se zachovávají některé veličiny tohoto celkového systému, jimiž jsou celková hmotnost a mechanická energie, hybnost a moment hybnosti. Při některých úvahách se nám hodí rozdělit těleso na soustavu hmotných bodů. Za soustavu hmotných bodů můžeme považovat například hlavice u exponátu Rázostroj.

Těžiště - Těžiště tělesa nebo soustavy těles je bod, který se pohybuje tak, jako by v něm byla soustředěna veškerá hmota tělesa (soustavy) a působily v něm všechny vnější síly působící na těleso (soustavu). Těžiště tuhého tělesa je působiště tíhové síly působící na těleso v homogenním tíhovém poli. Nahrazujeme-li těleso hmotným bodem, pak tento bod umístíme do jeho těžiště. Těžištěm homogenní koule nebo kruhu je jeho geometrický střed. Ze školy umíme určit těžiště libovolného trojúhelníku (pro účely fyziky si můžeme představovat homogenní trojúhelníkový hranol. Těžiště by pak leželo v polovině úsečky, která spojuje těžiště podstav). Těžiště dvou hmotných bodů o hmotnostech m1 a m2 jejichž vzdálenost je d, se nachází na spojnici těchto dvou bodů ve vzdálenosti d1  od prvního hmotného bodu, nebo chcete-li ve vzdálenosti d 2 

m2 d m1  m2

m1 d od m1  m2

druhého hmotného bodu. Pokud obě strany prvního vztahu vynásobíme m1 a druhého vztahu m2 , dostaneme d1m1 

m2 m1 d  d 2 m2 , tedy že d1 m1  d 2 m2 . m1  m2

Pokud bude působící síla úměrná hmotnosti tělesa (jako je tomu například u síly tíhové), pak nastane d1 F1  d 2 F2 . Jak se seznámíme u exponátu váha (dvojzvratná páka); tato rovnost říká, že momenty sil, působících částic vůči ose otáčení, která by vedla těžištěm, jsou stejně velké.

18

Doporučujeme návštěvníkovi, aby sám jako cvičení ověřil, že

d1  d 2  d . Dále aby si promyslel polohu těžiště, pokud m1  0 nebo m2  0 , dále pokud m1  m2 a m1  2m2 . Chceme-li určit těžiště soustavy více hmotných bodů, můžeme postupovat tak, že dvojici libovolných dvou hmotných bodů nahradíme jejich těžištěm, do něhož soustředíme hmotnost oněch dvou hmotných bodů. Tím nám vznikne soustava s počtem hmotných bodů o 1 nižším. Tento postup pak opakujeme, až získáme pouze jeden hmotný bod, do něhož bude soustředěna celá hmotnost soustavy. Tento hmotný bod bude i těžištěm. Chceme-li určit těžiště soustavy objektů, můžeme nalézt těžiště každého objektu zvlášť, nahradit objekty hmotnými body a dále postupovat podle předchozího odstavce. Pokud chceme pozorovat zákonitosti pohybu soustavy částic, je pro nás mnohdy výhodné pozorovat jak se pohybuje její těžiště. První věta impulzová – Pokud máme soustavu částic a každá z nich má   svoji hybnost p , můžeme spočítat celkovou hybnost soustavy P tak, že vektorově sečteme (složíme) všechny jednotlivé hybnosti. Platí tedy   P   p . První věta impulzová nám říká, že pouze vnější síly mohou změnit  celkovou hybnost soustavy P . Vnitřní síly soustavy, to jak spolu interagují jednotlivé částice, celkovou hybnost soustavy nezmění. Jednotlivé hybnosti se vlivem vnitřních sil změnit mohou, ale celkový vektorový součet hybností bude zachován. Přesněji zformulováno: Mějme soustavu částic, pak když u každé částice vynásobíme její hmotnost se zrychlením a tyto součiny vektorově sečteme, matematicky N

zapsáno



m a

i i

,

což

bychom

mohli

upravovat:

i 1 N    pi   N N N   pi 1 P i 1 , pak dostaneme vektor, který bude mi ai     pi    t i 1 t t i 1 i 1 t

stejný, jako kdybychom vektorově sečetli všechny vnější síly, které na    P soustavu částic působí  Fext. Matematicky zapsáno:   Fext. t 19

 P je tedy celková hybnost celé soustavy.



F

ext .

je vektorový součet

pouze vnějších sil, tedy součet všech sil, kromě těch, kterými na sebe působí částice vzájemně. Vnitřní síly (síly, kterými na sebe jednotlivé částice působí vzájemně, ať už mají povahu jakoukoliv), se při vektorovém sčítání vzájemně poodečítají. Je tomu tak proto, že každá dvojice částic na sebe působí (podle třetího Newtonova zákona) stejně velkými silami opačného směru. V součtu  2 sil tak dostaneme   (počet dvojic sil u N částicového systému) dvojic FAB N    a FBA , kde u každé takovéto dvojice bude FAB  FBA  0 . Zbydou tak pouze  síly vnější, tedy  Fext. .

Zákon zachování hybnosti – Pokud nepůsobí vnější síly, pak platí:    P  0 a tedy celková hybnost soustavy P je stále stejná. Píšeme P  konst. t Celková hybnost soustavy se zachovává, pokud na soustavu nepůsobí vnější síly.  Pro příznivce analytické geometrie poznamenáme, že jelikož je P  vektorová veličina a tedy P  Px , Py , Pz  , pak má-li se zachovávat pro každou

volbu soustavy souřadnic (to je přece pouze náš matematický popis), musí se zachovávat při dané volbě každá složka vektoru zvlášť, tedy Px  konst. , Py  konst . a

Pz  konst. Jinak

řečeno

celkový

moment

hybnosti

se

nezachovává pouze co do velikosti, ale i jeho každá složka v každém směru. Pokud si zvolíme vztažnou soustavu, vůči níž je těžiště soustavy částic v klidu (všechny rychlosti částic pak musíme vztahovat vůči této soustavě), pak pokud nepůsobí vnější síly, je tato soustava inerciální a její celkový  moment hybnosti P  0 .

Hybnost vůči těžišti – Pokud bychom uvažovali dvě částice, které se pohybují po jedné přímce, pak pro jejich těžiště musí platit d1 m1  d 2 m2 ( d1 je vzdálenost první částice o hmotnosti m1 od těžiště, přičemž obě částice a těžiště leží na jedné přímce). Předpokládejme například, že se první částice pohybuje směrem k těžišti rychlostí v1 , Za čas t se přiblíží k těžišti o dráhu 20

d1  v1 t . Aby bylo těžiště v klidu (tak jsme zvolili soustavu), musela být na začátku druhá částice o hmotnosti m2 ve vzdálenosti d 2 

m1 d1 . Pokud se m2

první částice přibližovala k těžišti, musela k němu přímo úměrně přibližovat i částice druhá. Konstantou této přímé úměrnosti je

m1 . Pokud se tedy první m2

částice přiblížila o úsek d1 , musela se i druhá částice přiblížit o úsek d 2 , přičemž platí d 2 

m1 d1 . Označíme rychlost druhé částice v 2 , aby platilo, m2

že d 2  v 2 t . Musí tedy platit v 2 t  d 2 

m1 m d1  1 v1 t . Tuto rovnost m2 m2

(výrazů na krajích) můžeme upravit na v 2 

m1 v1 , tedy m2 v 2  m1v1 . Tato m2

rovnost platí pro velikosti těchto rychlostí. Kdybychom chtěli uvažovat i směry, museli bychom jedné rychlosti přisoudit znaménko –, protože rychlosti   směřují proti sobě. Dostali bychom tak vztah m2 v 2  m1v1 , po úpravě      m1v1  m2 v 2  p1  p 2  P  0 . Celková hybnost soustavy, která je vůči jejímu těžišti v klidu, je 0. Speciálně je-li d1  0 , pak i d 2  0 . Obě částice splývají, resp. v tomto místě by se srazily. Místo srážky dvou částic je tedy s jejich těžištěm totožné. Kdyby se první částice vzdalovala, musela by se vzdalovat i částice druhá. Rychlost obou částic by pak měla opačné znaménko. Výsledek by však byl stejný. Ve vícerozměrném prostoru bychom takto pracovali s každou složkou rychlosti částice zvlášť a pro každou složku bychom dostali obdobný výsledek.

Rychlost těžiště - Snadno si můžeme ověřit v systému dvou částic, že kdyby se těžiště soustavy pohybovalo rychlostí vT , pak celková hybnost soustavy by byla P  MvT (kde M je celková hmotnost této soustavy).  Předpokládejme, že celá tato soustava ještě letí rychlostí vT , takže např.     v1  vT  v1 , kde v1 je rychlost částice vůči těžišti. Platí tedy, že   m1v1  m2 v 2  0 . 21

           P  m1v1  m2 v 2  m1 vT  v1   m2 vT  v 2   m1vT  m1v1  m2 vT  m2 v 2        m1  m2 vT  m1v1  m2 v 2   m1  m2 vT  0  MvT . Platí tedy:      P  m1v1  m2 v 2  m1  m2 vT  MvT . Z tohoto vztahu můžeme vypočítat     P m1v1  m2 v 2  rychlost těžiště: vT  , což se nám určitě bude hodit. M m1  m2 V systému více částic by tato tvrzení platila také. Mohli bychom totiž postupně dvojice částic nahrazovat jejich těžišti.

Dokonale pružná srážka – O dokonale pružné srážce hovoříme, pokud se dvě částice srazí a odrazí tak, že při tomto nedojde k úbytku celkové mechanické energie (žádná energie se nepřemění na energii vnitřní). Navíc nebudeme uvažovat jiné vzájemné působení částic, než onu srážku a zaměříme se na tak krátký okamžik před srážkou a po ní, že částice v silovém poli téměř nezmění svoji polohu a budeme tak moci zanedbat změnu polohové energie ( E p  0 ). Pro usnadnění výpočtu zvolíme nulovou hladinu potenciální energie tak, že ji zaujmou částice právě před srážkou, takže po celou dobu srážky bude E p  0 . Dokonale pružná srážka je idealizovaným modelem, který v praxi můžeme použít, pokud jsou úbytky mechanické energie zanedbatelně malé. Při dokonale pružné srážce musí být zachována celková mechanická energie a celková hybnost. Zvolíme soustavu tak, aby vůči ní místo srážky (tedy

 m1v1N

i

těžiště) bylo v klidu ( vT  0 ). Musí tedy platit       m2 v2 N  PN  0  PV  m1v1V  m2 v2V (zákon zachování hybnosti; index

N značí nalétající, tedy daná částice je před srážkou, index V značí vylétající,   tedy po srážce). Pro částice před srážkou platí m1v1N  m2 v2 N , takže pro velikosti m1v1N  m2 v2 N (částice letí proti sobě), tedy platí pro částice po srážce

v1N m2  , obdobně ale v 2 N m1

v1V m2  (částice letí od sebe). Tyto dvě rovnosti v2V m1

můžeme shrnout do vztahu

v1N m2 v1V   . Ze zákona zachování hybnosti v 2 N m1 v 2V

tedy plyne, že poměr rychlostí narážejících a vylétajících částic je (při této 22

zvláštní volbě soustavy) stejný. Aby nebyl porušen princip zachování mechanické energie, mělo by také platit, že v1N  v1V a v 2 N  v2V . Tuto hypotézu ověříme. Princip zachování mechanické energie nám říká: 1 2

m1v12N  12 m2 v 22N  12 m1v12V  12 m2 v 22V . Tuto rovnost upravíme (budeme vytýkat

 v2   v2  v v 2 v 22N a v2V ): v 22N  m1 12N  m2   v 22V  m1 12V  m2  . Jelikož ale 1N  1V , v 2 N v 2V  v2 N   v 2V  můžeme

m1

dosadit:

 v2   v2  v 22N  m1 12V  m2   v 22V  m1 12V  m2  .  v 2V   v 2V 

Jelikož

výraz

v12V  m2 nemůže být roven 0, vydělíme s ním obě strany rovnosti a v22V

dostáváme tak v 22N  v 22V , tedy v 2 N  v2V . Velikosti příslušných rychlostí částic tedy jsou stejné. Znaménko + by fyzikálně znamenalo, že částice proletěla skrz těžiště (tedy i druhou částici) a pokračovala dále v původním směru. To by při jisté nepřesnosti mohlo nastat a k úbytku mechanické energie by rovněž nedošlo. Nás ale zajímá možnost srážky a při té jsme ověřili, že částice se při pružné srážce odrazí vůči těžišti se stejnou rychlostí, s jakou narazila.

Tuhé těleso – Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se účinkem libovolně velkých sil nemění. Tuhé těleso je pouze model reálného pevného tělesa. Skutečná tělesa se účinkem vnějších sil vždy do určité míry deformují. V technické praxi považujeme za tuhé těleso takové pevné těleso, u něhož jsou deformace zanedbatelně malé. Dalo by se také říci, že tuhé těleso je soustava částic, které navzájem nemění vůči sobě polohu. Běžné těleso obsahuje tak obrovské množství částic (atomů), že je přirozenější posuzovat je jako objekt se spojitě rozloženou hmotou.

Pohyb částice po kružnici – Pokud se pohybuje částice po kružnici a velikost její rychlosti se nemění, pak na ni působí síla, která mění směr její rychlosti. Této síle říkáme dostředivá a míří do středu kružnice. Pro nás bude nyní zajímavé, že vektor rychlosti pak bude muset být na tuto sílu kolmý a tedy tečný k dané kružnici. Jinak by totiž částice měnila velikost rychlosti.

23

Předpokládáme-li, že částice se může vlivem okolností pohybovat pouze po kružnici, pak má-li se změnit velikost její rychlosti, musí i složka zrychlení mít směr tečný ke kružnici. V následujících odstavcích budeme s tímto předpokladem pracovat. Budeme totiž zkoumat, jak se otáčí tuhé těleso okolo pevné osy. K popisu pohybu částice po kružnici je šikovné používat úhlové veličiny: Úhlová poloha - Značíme  (řecké „fí“) úhel měřený pravotočivě od kladné poloosy, o který se po kružnici posouvá částice. Tento úhel se měří v radiánech (rad), což je jednotka, která odpovídá jednotkám délky na kružnici o poloměru 1 m a platí, že π rad = 180° a tedy 2π rad = 360°, tedy celá otáčka. Pokud se polohový úhel částice změní o  a částice se pohybuje po kružnici o poloměru r, pak urazila úsek dráhy s  r (Čtenář si snadno může ověřit pomocí vzorce na obvod kružnice). Úhlová rychlost – Značíme  (řecké „omega“). Definujeme ji jako



 , tedy jaký polohový úhel (kolik radiánů) urazí částice za 1 s. Např. t

pokud   4 rad/s, pak se částice otočí dokola dvakrát za sekundu. Pokud nebude úhlová rychlost stálá a my budeme chtít znát okamžitou úhlovou rychlost, pak na zkoumaném úseku budeme muset uvažovat t  0 . Úhlové zrychlení – Značíme  (řecké „epsílon“). Definujeme jej jako



 , tedy o kolik rad/s se zvýší úhlová rychlost za 1 sekundu. Např. t

pokud   2 rad/s2, pak se úhlová rychlost každou sekundu zvýší o jednu otočku za sekundu. Pohybovala-li se částice tak, že udělala 10 otáček za sekundu, pak po sekundě by udělala 11 otáček/s po dvou sekundách 12 atd. Aby mohlo docházet k úhlovému zrychlení, musí na částici působit zrychlení ve stejném směru, jako aktuální rychlost, tedy vždy tečně ke kružnici. Pro úplnost si odvodíme některé vztahy. Jak už jsme si řekli, úsek dráhy, kterou částice urazí, se spočítá podle vztahu s  r . Nyní odvodíme vztah pro velikost rychlosti v 



v r

s r   r , nebo chcete-li t t

a vztah pro velikost tečného zrychlení aT 

24

v r r    r . t t t

Mohli jsme r vytknout ze změny rychlosti, protože neuvažujeme možnost, že by se poloměr r měnil (uvažujeme pouze pohyb po kružnici). Úhlovou rychlost  a úhlové zrychlení  je obecně šikovné zavést, jako       vektorové veličiny takto:   r  v a   r  a , kde  značí tzv. „vektorový součin“. My si ale pro zjednodušení ve dvojrozměrném prostoru (v rovině) vystačíme se zavedením, že  a  je kladné (má znaménko +), pokud se částice (či níže popsané tuhé těleso) otáčí nebo roztáčí proti směru hodinových ručiček. Točí nebo roztáčí-li se po směru hodinových ručiček, je záporné (má znaménko -). Moment síly (částice pohybující se po kružnici) – pokud se částice pohybuje s úhlovým zrychlením  , pak na ni musí působit složka síly, která je neustále (pro každý časový okamžik) tečná ke kružnici. Pokud bychom umístili počátek soustavy souřadnic do středu kružnice, mohli bychom říkat, že tato složka síly je kolmá na polohový vektor částice. Ten je totiž spojnici středu kružnice a částice. Zaveďme si nyní pro tuto situaci veličinu moment síly tak, že vynásobíme poloměr kružnice působící tečnou složkou síly:

M  rFT . Pro tuto chvíli si můžeme veličinu moment síly představovat jako „úhlovou sílu“, tedy sílu, která roztáčí. Můžeme potom pro tuto situaci zapsat 2. Newtonův zákon takto: FT  maT . Obě strany vynásobíme poloměrem r a pravou stranu ještě tímto poloměrem rozšíříme. Dostaneme tak: rFT  rmaT stranu

r . Na levé straně jsme dostali moment síly rFT  M . Pravou r

upravíme:

rmaT

r a  mr 2 T  mr 2  r r

 

.

Dostáváme

tak

rovnost

 

M  mr 2  , tedy „úhlová síla“ se rovná „nějaké upravené hmotnosti“ krát úhlové zrychlení. S výrazem mr 2 se seznámíme později. Budeme jej nazývat moment setrvačnosti a zjistíme, že má u otáčivého pohybu analogickou úlohu, jako hmotnost u pohybu přímočarého. Moment hybnosti (částice pohybující se po kružnici) – Hmotná částice, která se pohybuje stále stejně velkou rychlostí v po kružnici, má velikost hybnosti pT  mv  mr (index T jenom naznačuje, že směr této hybnosti je neustále tečný ke kružnici). Je šikovné zavést tzv. moment hybnosti této částice obdobně, jako jsme to udělali u momentu síly, tedy 25

 p   Fv (druhého Newtonova zákona): L  rpT . Platí potom analogie k t L L rpT p mv mr   M , protože  r T r r  mr 2  mr 2   M . t t t t t t t

 

Vytýkání před symbol  můžeme provádět pouze u veličin, které se nemění. My jsme toho využili u hmotnosti m, kterou předpokládáme stálou a u poloměru r, protože uvažujeme pouze pohyb po kružnici a tedy r se nemění.

Kinetická (pohybová) energie hmotného bodu (částice) – Kinetickou energii mají tělesa, která se vzhledem k dané vztažné soustavě pohybují. Kinetická energie je skalár (viz Fyzikální veličiny), který charakterizuje pohybový stav těles. K uvedení tělesa z klidu do pohybu je třeba vykonat odpovídající mechanickou práci. Uvažujme hmotný bod, který je zatím v klidu. Začne-li na něj působit stálá výsledná síla Fv , pak se tento začne pohybovat přímočaře se stálým zrychlením a (podle 2. Newtonova zákona). Jeho trajektorií je přímka a dráhu, kterou urazí, můžeme spočítat podle vztahu s  12 at 2 . Jeho okamžitou rychlost podle vztahu v  v0  at , resp. podle vztahu v  at , pro počáteční rychlost v0  0 (tyto vztahy zde neodvozujeme, předpokládáme, že je čtenář zná, případně si je sám doplní). Mechanická práce je definována vztahem W  Fs (vztah platí, pouze pokud je působící síla stálá a její směr stále rovnoběžný s tečnou k trajektorii, nebo jako v našem případě s trajektorií samotnou). Kinetická energie částice je závislá pouze

na

její

hmotnosti



a

rychlosti.



Tuto

závislost

odvodíme:

Ek  W  Fs  ma  12 at 2  12 ma 2t 2  12 mat   12 mv 2 . 2

Potenciální (polohová) energie hmotného bodu (částice) – Potenciální energii nikdy nemůže mít osamocená částice. Je to vlastnost systému částic (tedy alespoň dvou). Má stejnou velikost jako práce, která by byla potřebná, aby částice zaujaly onu určitou vzájemnou polohu. Například dva hmotné body a pružina, která je propojuje, získají stlačením nebo natažením pružiny potenciální energii, jejíž velikost bude odpovídat práci, kterou bylo potřebné k tomuto natažení (stlačení). Nebo dvě částice nabité kladným elektrickým nábojem získají potenciální energii, 26

pokud je působením síly (tedy vykonáním práce) přiblížíme k sobě. Zvedneme-li předmět z povrchu Země, zvětší se potenciální energie soustavy Země, předmět o práci, kterou jsme k tomu museli vykonat. My se omezíme na jeden zvláštní, avšak našemu životu nejběžnější případ. Na homogenní tíhové pole. Tíhové pole Země ve skutečnosti takové není. Siločáry pole nejsou rovnoběžné a tíhová síla s rostoucí nadmořskou výškou klesá. Při povrchu Země však většinou můžeme tyto vlastnosti zanedbat a předpokládat, že tíha má všude stejnou velikost a směr (kolmo ke hladině). Předpokládáme tedy, že na částici působící tíhová síla má v celém uvažovaném prostoru stejnou velikost a směr. Práci, kterou konáme působením

proti

tíhové

W  Fs   Fg s   mgs   mgh

síle

po

(dráha

s se

dráze zpravidla

s, v této

spočítáme: souvislosti

označuje jako výška h). Znaménko – značí, že síla působí proti směru pohybu. Práci, kterou vykoná tíhové pole, pokud v něm necháme částici padat, spočítáme obdobně, až na znaménko: W  mgh . Polohová energie tíhového pole (tedy míra práce, kterou je pole schopné vykonat) je E p  mgh . Koná-li však tíhové pole práci, polohová energie systému Země + částice ubývá.

Princip zachování mechanické energie – Pokud neuvažujeme třecí a odporové síly (jejichž působením po dráze dochází k úbytku mechanické energie, která se přeměňuje zpravidla na energii vnitřní), pak se mechanická energie systému zachovává. Tuto skutečnost si ukážeme na příkladu částice v homogenním tíhovém poli Země, přičemž uvažujeme pro jednoduchost pouze pohyb ve směru nebo proti směru působící tíhové síly. Na začátku pozorování má padající částice rychlost v0 a nachází se ve výšce h0 . Vztažnou soustavu spojíme se Zemí, takže rychlost Země je 0. Celková mechanická

energie

systému

na

začátku

pozorování

tedy

je

Ei  E k , 0  E p ,0  12 mv02  mgh0 . Tíhové pole urychluje částici se zrychlením g , působící síla má velikost mg , částice urazí dráhu h  s  v0 t  12 gt 2 Pohybová

energie

tak



nabyde



hodnoty:

E k  12 mv 2  12 mv0  gt   12 m v02  2v0 gt  g 2 t 2  12 mv02  mv0 gt  12 mg 2 t 2  2

27





 12 mv02  mg v0 t  12 gt 2  12 mv02  mgh . Polohová energie nabyde hodnoty: E p  mgh0  mgh .

Celková

energie

na

konci

pozorování

E f  E k  E p  12 mv02  mgh  mgh0  mgh  12 mv02  mgh0  Ei

.

tedy

je

Celková

mechanická energie na začátku i na konci je tedy stejná. Odvození platí i pro záporné hodnoty v0 , h a g, takže i při pohybu obráceným směrem (částice stoupá a zpomaluje) se mechanická energie zachovává. Princip zachování mechanické energie, tedy že E k  E p  konst. , platí obecně pro každý inerciální systém.

Matematické kyvadlo – U Matematického kyvadla zanedbáváme hmotnost závěsu a srdce kyvadla považujeme za hmotný bod. Vychýlíme-li kyvadlo o úhel  , začne se houpat (kmitat). Nejrychleji prolítne rovnovážnou

polohou

(čárkovaná čára; potenciální energie přeměnila

kyvadla na

se energii

kinetickou) a vždy když se vychýlí o úhel  , tak se na okamžik zastaví (dochází k přeměně kinetické energie na

energii

potenciální).

Pokud se srdce pohybuje  v2 rychlostí v, pak FN je větší o dostředivou sílu, která má velikost Fd  m. r

Je-li však kyvadlo vychýleno o původní úhel  , je v tom okamžiku v klidu (v =  0, Fd  0 ). Sílu, kterou táhne provázek za závaží FN , rozložíme tak, aby jedna složka vyrušila účinky síly tíhové a druhá aby udávala tečné zrychlení  kyvadlu. Tato síla FP nás bude zajímat, protože tuto sílu budeme u exponátu Newtonův

vozík

nahrazovat

silou pružiny. Její velikost bude   FP  Fg sin   Fg sin   mg sin  ( Fg a FP jsou totiž strany rovnoběžníku a 28

  tudíž i jejich protější strany jsou stejně velké. Síly FP a FN svírají pravý

úhel). Pro malé výchylky úhlu  , resp. pro   0 platí

sin 



 1 a tedy

sin    . Dostáváme tak, že FP  mg  . Budeme-li chtít znát závislost

velikosti síly na obloukové vzdálenosti x od rovnovážné polohy (pro malé výchylky  se však oblouková a přímá vzdálenost téměř neliší), využijeme vztahu pro délku oblouku: l  x , tedy   velikost síly, dostáváme FP  mg

x . Dosazením do vztahu pro l

x mg  x  kx . Kyvadlo se tedy pro malé l l

výchylky chová stejně, jako vodorovně orientovaná pružina o tuhosti k 

mg . l

Kinetická energie rotujícího tuhého tělesa – Pokud se tuhé těleso otáčí kolem pevné osy, pak každá jeho částice, která není stejně vzdálena od osy, se otáčí různou obvodovou rychlostí, ale zároveň se každá jeho částice otáčí za dobu t o stejný úhel  . Každá částice tuhého tělesa má tudíž stejnou úhlovou rychlost  . Úhlová rychlost tedy popisuje chování rotujícího tělesa jako celku a budeme se tedy snažit najít vztah, který ji obsahuje. Chceme-li spočítat pohybovou energii celého tuhého tělesa, spočítáme pohybovou energii každé jeho částice. Kinetická energie jedné částice se spočítá Ek  12 mv 2 . Kinetická energie více částic N (počet částic) se spočítá jako N

2

součet jednotlivých kinetických energií jednotlivých částic Ek   12 mi vi . i 1

Jelikož úhlová rychlost lze spočítat podle vztahu   N

v , tedy r  v , r

2

dosadíme a dostaneme Ek   12 mi rii  . Jelikož i je pro všechna i stejná, i 1

N

můžeme upravit

N

2

2

N

Ek   12 mi rii    12 mi ri    12  2 mi ri i 1

i 1

2

Jelikož

1 2

2

i 1

jsou konstanty, můžeme je vytknout ze součtu před celou sumu, dostaneme N

2

Ek  12  2  mi ri . i 1

29

N

Moment setrvačnosti – V předchozím odstavci, jsme získali člen

m r

i i

2

.

i 1

Tomuto členu říkáme moment setrvačnosti tělesa a značíme jej J. Platí tedy N

J   mi ri

2

. Připomeňme, že jednotlivé poloměry ri jsou vzdálenosti

i 1

jednotlivých částic od pevné osy otáčení tuhého tělesa. Kinetická energie tělesa, které rotuje kolem pevné osy úhlovou rychlostí

 , je tedy Ek  12 J 2 . Porovnáme-li se vztahem pro energii posuvného pohybu hmotného bodu Ek  12 mv 2 , můžeme si všimnout, že J v této analogii nahrazuje hmotnost. Zdá se, že moment setrvačnosti J vyjadřuje neochotu měnit pohybovou energii otáčejícího se tělesa a tedy i změnu jeho rychlosti otáčení. Přesvědčíme se o tom v následujících odstavcích. Pozor! Neplatí, že moment setrvačnosti tuhého tělesa je to samé, jako moment setrvačnosti hmotného bodu, kterým těleso nahradíme. Jako triviální protipříklad si můžeme uvést dvě částice o stejné hmotnosti m, které jsou středově souměrně podle osy otáčení vzdáleny od sebe 2 m (leží na jedné přímce a v jejich středu je osa otáčení). Moment setrvačnosti této soustavy 2

2

částice je J  m1 r1  m2 r2  m  12  m  12  2m , zatímco moment setrvačnosti hmotného bodu, který leží v těžišti, by byl J  2m r 2  2m   0 2  0 .

Steinerova věta – Těžiště tělesa je významným bodem i pro pohyb rotační. Pokud chceme nechat rotovat tuhé těleso okolo pevné osy určitého směru, pak toto těleso bude mít nejmenší moment setrvačnosti J T , pokud osa daného směru bude procházet těžištěm tohoto tělesa. Povede-li jinudy (ovšem rovnoběžně se zadanou osou, která prochází těžištěm), moment setrvačnosti by vzrostl o rT2 M ( rT je vzdálenost osy otáčení od těžiště tělesa a M je celková hmotnost tělesa). Toto nám říká Steinerova věta, kterou můžeme matematicky zapsat: J  rT2 M  J T .

30

Odvození tohoto tvrzení (k lepší představě

pomůže

níže

uvedený

obrázek) provedeme pro tuhé těleso, které se skládá ze dvou obecně různě hmotných částic m1 a m2 , čím jej vlastně ověříme pro libovolné těleso, které by se dalo z takovýchto dvojic složit. Toto tvrzení však ve skutečnosti platí

pro

každé

odvozování

tuhé

budeme

těleso.

Při

používat

následující tvrzení: 1. Cosinová věta – v každém trojúhelníku EFG platí: f 2  e 2  g 2  2eg cos  . Úhel  svírají strany e, g . 2. Pro každý úhel  platí: cos180      cos  . 3. Pro těžiště T, které leží na spojnici dvou částic, ve vzdálenostech d1 a

d 2 od nich, platí: d1 m1  d 2 m2 , resp. 0  d 2 m2  d1 m1 1)









2)

J  r12 m1  r22 m2  rT2  d12  2rT d1 cos  m1  rT2  d 22  2rT d 2 cos180    m2  2)

 rT2 m1  d12 m1  2rT d1m1 cos   rT2 m2  d 22 m2  2rT d 2 m2  cos   



 



 rT2 m1  rT2 m2  d12 m1  d 22 m2  2rT d1 m1 cos   2rT d 2 m2 cos   3)

 rT2 m1  m2   J T  2rT cos  d 2 m2  d 1m1   rT2 M  J T  2rT cos   0  rT2 M  J T . Například kdybychom chtěli počítat, jak se mění moment setrvačnosti muže, který se točí na atrakci Pirueta a přitáhne se. Nejdřív bychom museli spočítat moment jeho setrvačnosti vůči ose vedoucí jeho těžištěm. Kdybychom pro zjednodušení nahradili muže válcem (moment setrvačnosti válce vůči své geometrické ose je J T  12 mr 2 . Předpokládejme jeho výšku 312 h  1,91 m (toto ilustrativní číslo jsme zvolili, aby následující výpočet 160 hezky vycházel), m  100 kg, V  100 l  0,1 m3. Ze vztahu pro objem válce 2

1 312 312 2 1 160 16  4   0.1  V  hr 2  r 2  r , tedy r 2   2  2    , tedy 10 160 160 10 31 31  31 

31

r

4  0,13 m. Dostáváme tak J T  12 mr 2  12  100  31162  0,83 kg·m2. Podle 31

Steinerovy věty platí, J  rT2 M  J T , Pokud celý muž nejprve stál tak, že jeho těžiště bylo vzdáleno např. 0,7 m od osy otáčení, pak byl jeho moment setrvačnosti

J 70  rT2 M  J T  0,7 2  100  0,83  49  0,83  49,83  50

kg·m2.

Pokud se v této vzdálenosti roztočí a přitáhne na vzdálenost svého těžiště na 0,3

m,

pak

bude

jeho

moment

setrvačnosti

J 30  rT2 M  J T  0,3 2  100  0,83  9  0,83  9,83  10 . Jelikož na piruetě se

zachovává moment hybnosti L  J , tak pokud se moment setrvačnosti zmenšil přibližně pětkrát, musela se rovněž přibližně pětkrát zvětšit úhlová rychlost  .

Moment síly – Má-li se změnit rychlost otáčení (a tedy i úhlová rychlost a kinetická tuhého

energie) tělesa

kolem

pevné osy, musí na něj působit síla. Ukážeme si, že otáčivý účinek této síly závisí nejen na její velikosti, ale i na jejím směru a působišti. Pokud síla působí ve vzdálenosti r od osy otáčení O, pak ji rozložíme do kolmého směru ke spojnici osy a působiště a směru

rovnoběžného

(viz obrázek). Veličinu, která

bude

charakterizovat otáčivé účinky síly F, nazveme moment síly (značíme M)

a

definujeme

ji

M  rFT

.

vztahem: Cítíme, 32

že

takovéto

zavedení by mělo být správné, protože složka síly FN těleso neroztáčí, ale pouze „tahá“ za osu otáčení. Podobně jako u úhlových veličin ve dvojrozměrném prostoru zavádíme znaménko momentu síly tak, že moment síly, který těleso roztáčí proti směru hodinových ručiček je kladný (znaménko +) a moment síly, který těleso roztáčí po směru hodinových ručiček je záporný (znaménko -). Pro takto zavedený moment síly potom platí: (samozřejmě s přidanými znaménky) M v   M , tedy že výsledný moment síly je součtem jednotlivých momentů sil, které na těleso působí. Máme-li zadanou polohu působiště síly vůči ose otáčení r (spojnici osy a působiště síly – dále jen spojnice), velikost síly F a úhel mezi prodlouženou spojnicí a touto silou, který je na obrázku označen  , můžeme velikost momentu síly spočítat: M  rFT  r F sin    rF sin  . Stejného výsledku bychom dosáhli, kdybychom působiště síly F posunuli ve směru jejího působení tak, aby spojnice na ni byla kolmá (viz druhý obrázek). Potom totiž: M  rT F  r sin  F  rF sin  . Takovéto spojnici říkáme rameno síly.

Vektorový součin – Například moment síly se obecně zavádí jako vektorová    veličina takto: M  r  F kde  značí tzv. „vektorový součin“. Velikost vektorového součinu dvou vektorů se spočítá:      M  M  r  F  r F sin   rF sin  . Směr, kam tento vektor míří, potom bude rovnoběžný se směrem osy otáčení (na našem obrázku vystupuje  kolmo směrem ke čtenáři, nebo od něj, je tedy kolmý i na vektor r , i na  vektor F ) a bude se řídit tzv. „pravidlem pravé ruky“. Například vektor momentu síly, která je znázorněna na obrázku výše, směřuje ke čtenáři (při zjednodušení znaménko +). Pro sílu opačného směru by směřoval od čtenáře (při zjednodušení znaménko -). Pro takto zavedený moment síly   potom platí M v   M .

33

Analogie 2. Newtonova zákona pro otáčivý pohyb - Nyní budeme chtít   ukázat, že druhý Newtonův zákon ma  Fv analogicky platí i pro otáčivý pohyb, tedy že J  M v . Představme si nyní, že zkoumané tuhé těleso, které je na začátku v klidu, pevně spojíme s „nehmotným“ válcem o poloměru podstavy r tak, aby měly společnou osu otáčení, která povede středem válce. Tento válec se tedy bude otáčet stejnou úhlovou rychlostí, jako zkoumané tuhé těleso. Pokud bychom na náš válec navinuli a připevnili nehmotný provázek, za který bychom táhli stálou silou FT, začal by se válec a s ním spojené zkoumané tuhé těleso otáčet. Provázek by se odvíjel z válce. Moment síly, který by na tuhé těleso (a nehmotný válec) působil, by měl velikost M  rFT . Kdybychom takto táhli stálou silou FT po dráze s (odvinuli bychom s metrů provázku), vykonali bychom práci. O tuto práci se musela zvýšit kinetická energie tuhého tělesa, tedy FT s  12 J 2 . Z této rovnosti budeme vycházet, ale ještě před tím si připomeneme některé vztahy pro úhlovou rychlost a úhlové zrychlení. Ze střední školy známe vztahy pro dráhu a okamžitou rychlost rovnoměrně

zrychleného

pohybu:

v  v0  at

a

s  v0t  12 at 2 .

Zcela

analogickým způsobem lze získat vztahy pro úhlové veličiny, tedy:

  0  t a   0t  12 t 2 (chceme-li se o tom přesvědčit, můžeme obě strany rovností vynásobit poloměrem r a získáme tak horní dva vztahy). Vraťme se k rovnosti FT s  12 J 2 . Začneme úpravou levé strany, kterou chytře vynásobíme číslem 1: FT s  FT s  1  FT s  kroku jsme dosadili

r s  M   M . V posledním r r

s   , což je v pořádku, protože délka odvinutého r

provázku je stejná jako kruhový oblouk o který se válec otočil. Nyní dosadíme za   0t  12 t 2 a tedy   12 t 2 (úhlová rychlost na začátku byla 0, těleso bylo v klidu). Dostáváme tak M  M  12 t 2 . Pravou stranu rovnosti upravíme pomocí vztahu pro konečnou úhlovou rychlost 1 2

   0  t ,

tedy

  t ,

J 2  12 J t   12 J 2t 2 . 2

34

protože

0  0 .

Dostaneme:

Dosadíme-li do původní rovnosti, dostaneme M  12 t 2  12 J 2t 2 , po úpravě M  J . Kdyby působilo na tuhé těleso více sil a tedy i více momentů sil, nahradili bychom je jedním výsledným momentem síly, se kterým bychom provedli výše uvedenou úvahu.

  Podívejme se ještě jednou a srovnejme vztahy ma  Fv (druhý Newtonův zákon) a J  M v (jeho analogie pro otáčivý pohyb). Budeme uvažovat rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb a rovnoměrně zrychlený otáčivý pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy. Podle ma  Fv když působí výsledná síla na vozík, uděluje mu zrychlení. Hmotnost vyjadřuje nechuť tělesa měnit rychlost pohybu (zrychlovat, zpomalovat). Podle J  M v když na těleso, které se může otáčet kolem nějaké osy, působí výsledný moment síly, uděluje mu úhlové zrychlení. Moment setrvačnosti vyjadřuje nechuť otáčejícího se tělesa měnit úhlovou rychlost (zrychlovat nebo zpomalovat otáčení).

Analogie 1. Newtonova zákona pro otáčivý pohyb – Z výše odvozeného vztahu J  M v plyne, že právě tehdy, když na tuhé těleso nepůsobí žádný výsledný moment síly ( M v  0 ), je i úhlové zrychlení   0 a tedy   konst. (úhlová rychlost je stálá). Pokud na tuhé těleso nepůsobí žádný výsledný moment síly, pak setrvává v klidu nebo se otáčí stálou rychlostí. K otáčení se kolem osy není potřeba síly. Podobné to je podle 1. Newtonova zákona u rovnoměrného přímočarého pohybu, který nám říká, že právě tehdy, když na hmotný bod   působí Fv  0 , je jeho zrychlení a  0 a tedy v  konst . Pokud na hmotný bod nepůsobí žádná výsledná síla, pak setrvává v klidu, nebo se pohybuje přímočaře stálou rychlostí. K pohybu stálou rychlostí není potřeba síly.

Moment hybnosti tuhého tělesa – Podobně jako se moment síly zavádí       vztahem M  r  F , lze zavést moment hybnosti takto: L  r  p . Velikost tohoto vektoru obdobně spočítáme takto: L  rp sin  , nebo chcete-li

35

L  rpT  rT p . Při zjednodušení v rovině si vystačíme obdobně jako u úhlové rychlosti (úhlového zrychlení a momentu síly) se zavedením znaménka + pro moment hybnosti částice (či tuhého tělesa), která se otáčí proti směru hodinových ručiček (takovýto moment hybnosti je potom kladný). Po směru hodinových ručiček se částice otáčí s momentem hybnosti záporným. Pro takto zavedený moment hybnosti potom platí: (samozřejmě s přidanými znaménky) Lv   L , tedy že výsledný moment hybnosti je součtem momentů hybností jednotlivých částic. Moment hybnosti tuhého tělesa, které se otáčí kolem pevné osy, nám umožní zapsat analogii 2. Newtonova zákona pro otáčivý pohyb tuhého tělesa ve tvaru:

Lv  M v , protože t

Lv   L L r p p mv mrT       T   rT   rT   rT   rT2 m  t t t t t t t t

  rT2 m    rT2 m  J  M v .  Výsledná síla Fv , působící na soustavu částic, způsobuje změnu  P  hybnosti soustavy:  Fv . t Výsledný moment síly M v , vůči pevné ose, působící na tuhé těleso, způsobuje změnu momentu hybnosti tuhého tělesa:

L  Mv. t

Druhá věta impulzová – Mějme soustavu částic a inerciální systém (každý hmotný bod, na který nepůsobí žádná výsledná síla, v něm setrvává v klidu, nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu), ve kterém je sledujeme. Moment hybnosti každé částice v této soustavě vůči jejímu počátku, můžeme určit    vztahem L  r  p . Celkový moment hybnosti částic vůči počátku soustavy   potom určíme jako součet jednotlivých momentů hybnosti: Lv   L . Potom   Lv platí   M ext. , tedy že změna celkového momentu hybnosti soustavy t vůči pevně zvolenému počátku soustavy je rovna součtu momentů vnějších

36

sil, které na soustavu působí. Speciálně je-li

M

ext .

  0 , pak Lv  konst .

Moment síly je tedy podobně jako hmotnost, energie a hybnost další veličinou, která se v izolované soustavě zachovává. Zákonu zachování momentu hybnosti se budeme věnovat později. Nyní si vysvětlíme, proč   Lv druhá věta impulzová (   M ext. ) platí. t Ze soustavy částic (hmotných bodů) si vybereme jednu dvojici, která na sebe vzájemně silově působí. Předpokládáme, že síly působí centrálně, tedy že vektory působících vzájemných sil leží na přímce, která je spojnicí částic. Podle 3. Newtonova zákona musí být působící síly stejně velké, opačného směru. Pokud počátek soustavy a obě částice neleží na jedné přímce, pak tyto tři body jednoznačně definují rovinu. Tuto rovinu znázorňuje obrázek vlevo. Je z něj patrný vztah sil, působících na   částice A a B: FAB   FBA , bez vektorů lze zapsat, že tyto síly mají stejnou velikost FAB  FBA . Dále je zřejmé, že obě síly mají stejně velký kolmý průmět ramena síly rT . Moment síly působící na první částici A je tedy M  rT FAB . Moment síly působící na částici B je

M  rT FBA . Celkový moment síly, kterými na sebe působí tyto dvě částice, vůči počátku soustavy O je M v   M rT FAB  rT FBA  0 . Na tyto dvě částice působí i jiné síly. Jednak na ně působí ostatní částice, ale tyto síly budou mít M v  0 , protože s každou dvojicí částic provedeme stejnou úvahu, jakou  jsme provedli s částicemi A a B (označíme tyto momenty sil jako M int . ). Zbyde nám tedy pouze silové působení sil vnějších. Matematicky zapsáno:          Lv   M   M ext .  M int .   M ext .   M int .   M ext .  0   M ext . t





První věta impulzová nám říká, že změnu hybnosti soustavy částic, vůči libovolně zvolené inerciální vztažné soustavě, mohou vyvolat pouze vnější 37

  P síly, které na soustavu působí:   Fext . . Vnitřní síly sice mohou změnit t dílčí hybnosti částic, ale celkovou hybnost soustavy nezmění. Druhá věta impulzová nám říká, že změnu momentu hybnosti soustavy částic, vůči libovolně zvolené inerciální vztažné soustavě, mohou vyvolat   Lv pouze vnější momenty sil, které na soustavu působí:   M ext. . Vnitřní t momenty sil sice mohou změnit dílčí momenty hybností částic, ale celkový moment hybnosti nezmění.

Zákon zachování momentu hybnosti – Už v předchozím odstavci jsme si nastínili, že pokud na soustavu nepůsobí žádný vnější moment síly, tedy   Lv L M  0  , pak  ext. v  konst . Celkový moment hybnosti izolované t inerciální soustavy je tedy stálý. Jelikož toto tvrzení musí platit pro každou inerciální soustavu a každou volbu soustavy souřadnic, musí platit i zvlášť pro každou složku vektoru momentu  Lv  ( Lx , Ly , Lz )  (konst., konst., konst.)  konst. Moment

hybnosti, hybnosti

tedy se

tedy

zachovává v každém směru otáčení. Například obíhá-li planeta kolem Slunce po elipse v jedné rovině, pak tuto rovinu bez vnějšího zásahu neopustí. Změnila by se tím totiž alespoň jedna složka celkového momentu hybnosti a musela by tudíž na ni působit moment vnější síly. Tento zákon nám jinak také říká, že těleso, na které nepůsobí vnější síly, se samo od sebe nezačne otáčet. Pokud se otáčí, pak samo od sebe nepřestane.

Podmínky rovnováhy – Pokud je tuhé těleso v dané inerciální soustavě   v klidu, pak platí Pv  0 a Lv  0 (celková hybnost a celkový moment hybnosti  soustavy je 0). Musí tedy platit i  Fext.  0 a  M ext .  0 (což je speciálním případem první a druhé věty impulzové). Platnost těchto podmínek nezaručí klid, ale pouze tzv. rovnováhu. Takovéto těleso se totiž bude moci pohybovat tak, že se bude otáčet kolem pevné osy a zároveň se může ještě jeho těžiště pohybovat rovnoměrně přímočaře. 38

Pokud ale těleso má být v klidu, pak tyto dvě podmínky:

M

ext .



F

ext .

0,

 0 splnit musí a musí je splnit v libovolné inerciální soustavě a pro

libovolnou osu otáčení.

39

Závěr Tato práce zdaleka není a ani se nesnaží být uceleným blokem mechaniky v iQparku. Pouze v rámci jejího rozsahu rozšiřuje materiály k některým vybraným exponátům, což bylo její zadání. Připravuje však navíc půdu pro mou diplomovou práci. Očekává se, že iQpark

vyhotoví

v úvodu

zmíněné materiály v předpokládané formě.

Připouštím, že některé pasáže možná budou pro začátek vypuštěny, nebo naopak doplněny, aby bylo vyhověno technickým požadavkům science centra. Tato bakalářská práce však bude sloužit jako podklad pro tyto kroky. Předpokládá se, že v práci obsažené texty umožní vytvořit dostatečné množství karet a materiálů, aby se návštěvníci mohli s celým tímto záměrem seznámit a především se k němu, prostřednictvím vhodně zvoleného dotazníku či ankety, vyjádřit. Zjistíme tak nejen jak jsou texty srozumitelné a čitelné, ale i jakou výslednou formu by měly mít, zda se více zaměřit na tištěné materiály, tedy na jednotlivé karty a nástěnné plakáty, nebo se zaměřit na formu elektronickou určenou pro „chytré telefony“ a tablety. Část ankety či dotazníku bude pravděpodobně umístěna i na internetových stránkách, abychom zjistili, zda se s textem návštěvníci setkávají i po návštěvě science centra. Získávání zpětné vazby od návštěvníků si však vyžádá delší časový interval. Je tedy potřeba začít co nejdřív, což právě tato práce umožňuje. Na základě reakcí od návštěvníků dojde ke zhodnocení, doladění, rozšíření a zkompletování této práce na celistvý mechanický blok (a možná ještě šířeji), čemuž se chci věnovat v rámci své diplomové práce. Říká se, že příležitost dělá zloděje. Já věřím, že příležitost dělá studenta. Science centrum umí nalákat návštěvníky na fyzikální senzaci. Je na čase vytvořit a dodat příležitost pro studium a hlubší poznání.

40

Seznam použité literatury [1] Milan Bednařík, Miroslava Široká. Fyzika pro gymnázia – Mechanika. Nakladatelství Prometheus. Praha 2000. [2] Emanuel Svoboda. Přehled středoškolské fyziky. Nakladatelství Prometheus. Praha 2006. [3] Jiří Mikulčák, Jura Charvát, Martin Macháček, František Zemánek. Matematické, fyzikální a chemické tabulky a vzorce pro střední školy. Nakladatelství Prometheus. Praha 2003. [4] David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fyzika – Mechanika, Nakladatelství Vutium 2000. [5] David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fyzika – Mechanika, Nakladatelství Vutium 2000. [6] Zdeněk Vošický, Vladimír Lank, Miroslav Vondra. Matematika a fyzika. Nakladatelství Fragment 2007. [7] Josef Polák. Přehled středoškolské matematiky. Státní pedagogické nakladatelství Praha, číslo publikace 5-43-12/4. Praha 1983. [8] http://www.iqpark.cz

41