UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU Katedra informatiky a kvantitativních metod

´ ´ U NIVERZITA H RADEC K R ALOV E FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU Katedra informatiky a kvantitativn´ıch metod

Sb´ırka uloh ´ ze základu˚ matematiky 1 ˇ ´ , M AGDA S EDL A´ CKOV ´ J I Rˇ Í H AVIGER , TATIANA G AVALCOV A´ , PAVEL P RA Zˇ AK A

Tento studijn´ı text vznikl v rámci projektu operaˇcn´ıho programu Vzdˇeláván´ı pro konkurenceschopnost CZ.1.07/2.2.00/15.0016 Inovace vyuky matematiky v technickém a ekonomickém vzdˇelán´ı s c´ılem sn´ızˇ en´ı studijn´ı neuspˇ ´ esˇ nosti ´ Projekt Univerzity Hradec Králové, rˇ eˇseny´ na Fakultˇe informatiky a managementu, je spolufinancován ˇ Evropskym e republiky ´ sociáln´ım fondem a státn´ım rozpoˇctem Cesk´

G AUDEAMUS 2012

Recenzovali: . . .

´ Tato publikace neproˇsla jazykovou upravou.

Vydalo nakladatelstv´ı Gaudeamus, Univerzita Hradec Králové Jako svou . . . publikaci. Hradec Králové, 2012 ISBN 978-80-7435-WXY-Z

Obsah ´ Uvod

5

Kapitola 0. Vybrané dovednosti stˇredoˇskolské matematiky Pouˇzité znaˇcen´ı

7 7

Kapitola 1. Mnoˇziny, relace ˇ ıselné mnoˇziny 1.1. C´ 1.2. Mnoˇziny, systém podmnoˇzin dané mnoˇziny 1.3. Relace, vlastnosti relace

13 14 14 14

Kapitola 2. Zobrazen´ı, funkce 2.1. Tabulka definiˇcn´ıch oboru˚ elementárn´ıch funkc´ı, které nemaj´ı D(f ) = R. 2.2. Definiˇcn´ı obory funkc´ı 2.3. Sloˇzená funkce 2.4. Funkce definované na koneˇcné mnoˇzinˇe 2.5. Funkce definované rekurentnˇe

19 20 21 21 22 22

Kapitola 3. Elementárn´ı funkce reálné promˇenné 3.1. Vlastnosti funkc´ı 3.2. Inverzn´ı funkce

27 29 29

Kapitola 4. Limita funkce 4.1. Tabulka typovych ´ limit 4.2. Definice limity, aritmetika limit 4.3. Limita sloˇzené funkce, typové limity

37 39 39 41

Kapitola 5. Spojitost funkce 5.1. Body nespojitosti funkce 5.2. Existence rˇ eˇsen´ı rovnic

47 48 50

Kapitola 6. Derivace funkce 6.1. Tabulka derivac´ı elementárn´ıch funkc´ı 6.2. Vypoˇ ´ cty derivac´ı dle definice 6.3. Vypoˇ ´ cty derivac´ı souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu funkc´ı 6.4. Vypoˇ ´ cty derivac´ı dle vˇety o derivaci sloˇzené funkce 6.5. Vypoˇ ´ cty derivac´ı dle vˇety o derivaci inverzn´ı funkce

57 59 59 59 60 63

Kapitola 7. Aplikace derivac´ı 7.1. Teˇcna a normála grafu funkce 7.2. Extrémy funkce na uzavˇreném intervalu 7.3. Intervaly monotonie funkce, stacionárn´ı body, lokáln´ı extrémy funkce 7.4. l’Hospitalovo pravidlo

67 69 70 70 71

Kapitola 8. Aproximace funkc´ı 8.1. Diferenciál funkce ˚ a Maclaurinuv ˚ aproximaˇcn´ı polynom 8.2. Tayloruv 8.3. Asymptoty grafu funkce

79 81 82 82

Kapitola 9.

˚ eh funkce Prubˇ

87 3

´ ´ ´ ˚ MATEMATIKY 1 SB IRKA ULOH ZE Z AKLAD U

4

˚ eh funkce 9.1. Prubˇ 9.2. Aplikace - exponenciáln´ı model

89 99

Kapitola 10. Primitivn´ı funkce a neurˇcity´ integrál 10.1. Tabulka neurˇcitych ´ integrálu˚ elementárn´ıch funkc´ı 10.2. Urˇcen´ı primitivn´ı funkce a neurˇcitého integrálu

119 120 120

Kapitola 11. Metody vypoˇ ´ ctu neurˇcitého integrálu 11.1. Lineárn´ı substituce 11.2. Metoda per partes 11.3. Prvn´ı vˇeta o substituci 11.4. Druhá vˇeta o substituci

123 125 125 127 128

Kapitola 12. Neurˇcity´ integrál racionáln´ıch funkc´ı 12.1. Neurˇcity´ integrál ryze racionáln´ıch funkc´ı 12.2. Dˇelen´ı polynomu polynomem 12.3. Neurˇcity´ integrál funkc´ı ne ryze racionáln´ıch 12.4. Substituce v integrálu vedouc´ı na integraci funkce racionáln´ı

133 136 138 139 139

´ Uvod Dostáváte do rukou publikaci, která vznikla v rámci projektu Inovace vyuky matematiky v technickém ´ ´ esˇ nosti. Tato publikace je sb´ırkou rˇ eˇsenych a ekonomickém vzdˇelán´ı s c´ılem sn´ızˇ en´ı studijn´ı neuspˇ ´ i neˇresˇ enych ´ pˇr´ıkladu˚ pro pˇredmˇet Základy Matematiky 1 na Fakultˇe informatiky a managementu Univerzity Hradec Králové. Jej´ı cˇ lenˇen´ı i jej´ı obsah jsou tvoˇreny na základˇe pˇredem definovanych ´ poˇzadovanych ´ vystup u˚ ze studia. Ty jsou v rámci kaˇzdé kapitoly cˇ lenˇeny do tˇr´ı kategori´ı: ´ ´ (1) znalosti, jejich struˇcny´ pˇrehled najdete v uvodu kaˇzdé kapitoly; ´ (2) dovednosti, které z´ıskáte pˇri studiu rˇ eˇsenych ´ pˇr´ıkladu˚ a rˇ eˇsen´ı uloh; ´ (3) schopnosti, které z´ıskáte pˇri studiu rˇ eˇsenych ´ aplikaˇcn´ıch pˇr´ıkladu˚ a rˇ eˇsen´ı aplikaˇcn´ıch uloh. ´ ´ Z názvu plyne, zˇ e tˇezˇ iˇstˇe této publikace leˇz´ı v rˇ eˇsenych pˇr´ıkladech, neˇreˇsenych uloh´ ach a uloh´ ach ´ ´ aplikaˇcn´ıch, teoretické znalosti uvedeny pouze ve struˇcném pˇrehledu. ´ Publikace je cˇ lenˇena do tˇrinácti kapitol. Prvn´ı z nich je znaˇcená cˇ ´ıslic´ı 0, ulohy v n´ı jsou oznaˇceny 0.x ´ a obsahuje vybrané ulohy stˇredoˇskolské matematiky, které by mˇel kaˇzdy´ student pˇred studiem samotného pˇredmˇetu zvládnout. Ostatn´ı kapitoly koresponduj´ı s obsahem pˇredmˇetu Základy matematiky 1. Protoˇze vystupy ze studia jsou kl´ıcˇ ové pro studium jednotlivych ´ ´ kapitol, jsou na zaˇca´ tku kaˇzdé kapitoly popsány. ˚ . . . za peˇclivé proˇcten´ı textu a za poznámky, které vedly k vylepˇsen´ı Velmi dˇekujeme také recenzentum ˚ obsahové i formáln´ı stránky textu. Z naˇsich kolegu˚ dˇekujeme J.Lounkovi, I.Vojkuvkov´ e a J. Sedlácˇ kovi za ˚ z Katedry informatiky a kvantitativn´ıch peˇclivé cˇ ten´ı a cenné pˇripom´ınky k textu, vˇsem dalˇs´ım kolegum metod a veden´ı Fakulty informatiky a managementu dˇekujeme za podporu. ˚ J. Haviger, Hradec Králové, 2012. Za kolektiv autoru:

5

KAPITOLA 0

Vybrané dovednosti stˇredoˇskolské matematiky Tato kapitola obsahuje dovednosti, které by student mˇel znát pˇred studiem pˇredmˇetu Základy matematiky 1. Pouˇzité znaˇcen´ı Znaˇcen´ı pouˇz´ıvané v rámci celé sb´ırky. A A a [a1 , a2 ] ha1 , a2 i (a1 , a2 ) {a1 , a2 , . . . , an } {x ∈ Z| x2 < 3} N R, Q, Z R+ R∗ f : y = f (x)

bod mnoˇzina, zobrazen´ı promˇenná, neznámá, vyrok ´ souˇradnice bodu, uspoˇra´ daná dvojice uzavˇreny´ interval otevˇreny´ interval mnoˇzina zadaná vyˇ ´ ctem prvku˚ mnoˇzina definovaná vlastnost´ı mnoˇzina vˇsech cˇ ´ısel pˇrirozenych, N = {1, 2, . . . } ´ mnoˇzina vˇsech cˇ ´ısel reálnych, resp. racionáln´ıch, resp. celych ´ ´ mnoˇzina vˇsech cˇ ´ısel reálnych R+ = (0, ∞) ´ kladnych, ´ mnoˇzina vˇsech cˇ ´ısel reálnych ´ rozˇs´ırˇ ená o prvky ±∞ funkce f Dovednosti - ulohy ´

´ Uloha 0.1 Výroky. Rozhodnˇete, které z následuj´ıc´ıch vˇet jsou vyroky. ´ ´ a) Hradec Králové leˇz´ı na soutoku Labe s Upou. b) V Antarktidˇe lidé neˇzij´ı. c) At’ zˇ ije Petr! d) Nˇekdo napsal 5. symfonii. e) Kolik je hodin? ´ f) Uhlopˇ r´ıcˇ ky kaˇzdého cˇ tverce jsou navzájem kolmé. ´ g) Uhlopˇ r´ıcˇ ky cˇ tverce nejsou navzájem kolmé. ˇ ıslo, které je sudé, mus´ı byt h) C´ ´ násobkem cˇ ´ısla 10. i) Celá cˇ ´ısla jsou bud’ sudá nebo lichá. j) Existuje alesponˇ jedno záporné cˇ ´ıslo, jehoˇz druhá mocnina je menˇs´ı neˇz 10. k) Kaˇzdé celé cˇ ´ıslo dˇelitelné 3 lze zapsat ve tvaru 2k + 1 pro nˇejaké celé cˇ ´ıslo k. [ vyroky jsou: a, b, d, f, g, h, i, j, k; vyroky nejsou: c, e. ] ´ ´

´ ˚ Uloha 0.2 Výroky. Utvoˇrte negaci vyrok u. ´ ˇ a) Pardubice jsou hlavn´ım mˇestem CR. b) O prázdninách jsem byl u moˇre a také na horách. c) Alesponˇ jednou dennˇe plavu. d) V zoo je nejménˇe 25 malych ´ surikat. e) Kaˇzdá cˇ ´ıselná mnoˇzina je koneˇcná. f) Kaˇzdy´ student má rád bud’ matematiku, nebo angliˇctinu. 7


8

g) Pro zˇ a´ dné celé cˇ ´ıslo k neplat´ı 3k − 1 > 0. h) Neexistuje pˇrirozené cˇ ´ıslo n s vlastnost´ı n2 = 2. i) Byla tam Olga nebo Eliˇska. [ a) b) c) d) e) f) g) h) i)

ˇ ] Pardubice nejsou hlavn´ım mˇestem CR. O prázdninách jsem bud’ nebyl u moˇre nebo jsem nebyl na horách. Ani jednou dennˇe neplavu. V zoo je nejvyˇ ´ se (maximálnˇe) 24 malych ´ surikat. Alesponˇ jedna cˇ ´ıselná mnoˇzina nen´ı koneˇcná. Alesponˇ jeden student má rád bud’ oba pˇredmˇety, nebo ani jeden. Existuje alesponˇ jedno celé cˇ ´ıslo k, pro které plat´ı 3k − 1 > 0 Existuje alesponˇ jedno pˇrirozené cˇ ´ıslo n s vlastnost´ı n2 = 2. Nebyla tam ani Olga ani Eliˇska.

´ Uloha 0.3 Výroky. Necht’ p, q jsou následuj´ıc´ı vyroky: ´ p: Koupil jsem si los; q: Vyhrál jsem milion korun. ˚ Vyslovte následuj´ıc´ı vyroky utvoˇrené z tˇechto vyrok u: ´ ´ a) p ∨ q; d) p ⇐⇒ q; g) + p ∨ (p ∧ q).

c) p ∧ q; f) + p∧ + q;

b) p =⇒ q; e) + p =⇒+ q;

[ a) Koupil jsem si los nebo jsem vyhrál milion korun; ] b) Jestliˇze jsem si koupil los, pak jsem vyhrál milion korun; c) Koupil jsem si los a vyhrál jsem milion korun; d) Koupil jsem si los právˇe tehdy, kdyˇz jsem vyhrál milion korun; e) Jestliˇze jsem si nekoupil los, pak jsem nevyhrál milion korun; f) + p∧ + q; g) + p ∨ (p ∧ q).

´ ˚ ´ ˚ Uloha 0.4 Výroky. Vyslovte stejnym vytvoˇrené vyroky jako v pˇredchoz´ı uloze k tˇemto vyrok um: ´ zpusobem ´ ´ p: Studoval jsem cely´ semestr;

´ esˇ nˇe jsem udˇelal zkouˇsku. q: Uspˇ ´ esˇ nˇe udˇelal zkouˇsku; [ a) Studoval jsem cely´ semestr nebo jsem uspˇ ] ´ esˇ nˇe udˇelal zkouˇsku; b) Jestliˇze jsem studoval cely´ semestr, pak jsem uspˇ ´ esˇ nˇe udˇelal zkouˇsku; c) Studoval jsem cely´ semestr a uspˇ ´ esˇ nˇe udˇelal zkouˇsku; d) Studoval jsem cely´ semestr právˇe tehdy, kdyˇz jsem uspˇ ´ esˇ nˇe zkouˇsku; e) Jestliˇze jsem studoval cely´ semestr, pak jsem neudˇelal uspˇ f) + p∧ + q; g) + p ∨ (p ∧ q).

´ Uloha 0.5 Výroky. Necht’ p, q, r jsou vyroky, + p je negace vyroku p. Pomoc´ı tabulek pravdivostn´ıch ´ ´ hodnot urˇcete, zda jsou následuj´ıc´ı vyrokov´ e formule tautologiemi, které kontradikcemi a které nejsou ´ ani tautologie, ani kontradikce: b) (p ∧ q) =⇒ (p ∨ q); d) (p =⇒ q) ∨ (+ p =⇒ q); f) p =⇒ (p ∨ q); h) + p =⇒ (p =⇒ q);

a) p∨ + p; c) p ∧ (p ∨ q) =⇒ q; e) + (p ∧ q) ⇐⇒ (+ p∨ + q); g) (p =⇒ q) =⇒ (+ q =⇒+ p); i) (+ p ∧ (p ∨ q)) =⇒ q.

[ a,b,c,d,f,g,h,i - tautolgie; ] e - kontradikce.

´ Uloha 0.6 Analytická geometrie - rovnice pˇr´ımky. Rovnici pˇr´ımky procházej´ıc´ı danymi ´ body napiˇste ve smˇernicovém nebo v obecném tvaru: a) A[5, 7], B[−3, −9]; d) P [3, 0], Q[0, 2];

b) A[3, 1], B[−3, 1]; e) M [−2, 0], N [0, 5];

c) A[1, 1], B[3, 7]; f) K[1, 2], L[1, 4].

ˇ ˇ KAPITOLA 0. VYBRANE´ DOVEDNOSTI STREDO SKOLSK E´ MATEMATIKY

[ a) y = 2x − 3; d) y = 2 − 2x/;

9

c) y = 3x − 2; ] f) x − 1 = 0.

b) y = 1; e) y = 5x/2 + 5;

´ Uloha 0.7 Analytická geometrie - rovnice pˇr´ımky. V rovinˇe jsou dány body A[3, 1], B[1, 5]. a) Napiˇste rovnici pˇr´ımky p urˇcené body A, B; znázornˇete graficky a zjistˇete, zda pˇr´ımka prot´ıná sourˇ adnicové osy ox , oy . ˚ c´ıku˚ P , Q pˇr´ımky p se souˇradnicovymi b) Jestliˇze ano, vypoˇc´ıtejte souˇradnice pruseˇ osami. ´ c) Zjistˇete, zda pˇr´ımka p prot´ıná pˇr´ımku q o rovnici 3x + 4y = 3; jestliˇze ano, vypoˇc´ıtejte souˇradnice ˚ c´ıku S tˇechto pˇr´ımek. pruseˇ [ a) y = 7 − 2x;

b) P [7/2, 0], Q[0, 7];

c) S[5, −3]. ]

´ Uloha 0.8 Analytická geometrie - rovnice pˇr´ımky. Napiˇste rovnici pˇr´ımky procházej´ıc´ı bodem P [4, 5] s vlastnost´ı: a) je rovnobˇezˇ ná s osou ox ; b) je rovnobˇezˇ ná s osou oy ; c) je rovnobˇezˇ ná s pˇr´ımkou procházej´ıc´ı body Q[0, 7], S[5, −3]; d) je rovnobˇezˇ ná s pˇr´ımkou o rovnici y + 5x = 0; e) je rovnobˇezˇ ná s pˇr´ımkou o rovnici 2y − 4x = 1; f) je kolmá k pˇr´ımce o rovnici 3x − 6y = 1. [ a) y = 5; d) y + 5x = 25;

b) x = 4; e) y = 2x − 3;

c) y + 2x = 13; ] f) y + 2x = 13.

´ Uloha 0.9 Analytická geometrie - rovnice pˇr´ımky. V rovinˇe jsou dány body A[6, −7], B[11, −3], C[2, −2]. ´ a) Napiˇste obecné rovnice pˇr´ımek, ve kterych ıka ∆ ABC. ´ leˇz´ı strany trojuheln´ ´ ´ y. b) Dokaˇzte, zˇ e trojuheln´ ık ∆ ABC je pravouhl ´ ´ c) Napiˇste obecné rovnice stˇredn´ıch pˇr´ıcˇ ek trojuheln´ ıku ∆ ABC. ´ d) Napiˇste obecné rovnice vyˇ s ek v , v , v troj uheln´ ıku ∆ ABC. ´ a b c [ a) rovnice stran: a : x + 9y + 16 = 0, b : 5x + 4y − 2 = 0, c : 4x − 5y − 59 = 0; ] ´ cky: 82 = a2 = b2 + c2 = 41 + 41; b) pomoc´ı vzorcu˚ pro délku useˇ c) rovnice stˇredn´ıch pˇr´ıcˇ ek: Sa Sb : 8x − 10y − 77 = 0; Sa Sc : 10x + 8y + 5 = 0; Sb Sc : 2x − 18y + 73 = 0; d) rovnice vyˇ ´ sek: strany b, c jsou kolmé, proto pouze va : y − 9x + 61 = 0.

´ Uloha 0.10 Analytická geometrie - rovnice pˇr´ımky. V rovinˇe jsou dány body A[−1, 3], B[3, 11], C[5, 15]. a) Dokaˇzte, zˇ e tyto body leˇz´ı na jedné pˇr´ımce (tj. jsou kolineárn´ı). b) Urˇcete rovnici této pˇr´ımky. [ a) body A, B, A, C je urˇcena stejná pˇr´ımka; ] b) y = 2x + 5.

´ Uloha 0.11 Analytická geometrie - rovnice pˇr´ımky. V rovinˇe je daná pˇr´ımka p o rovnici y = 3x + 8. Napiˇste rovnici pˇr´ımky soumˇerné s pˇr´ımkou p podle a) osy ox ; b) osy oy ; c) pˇr´ımky y = x; d) pˇr´ımky y = −x; e) pˇr´ımky y = 2x. [ a) y = −3x − 8; d) y = (x + 8)/3;

b) y = −3x + 8; e) y = x − 8.

c) y = (x − 8)/3; ]

´ Uloha 0.12 Analytická geometrie - vzdálenost bodu˚ v rovinˇe. V rovinˇe jsou dány body A[5, −5], B[1, 1]. a) Na ose ox urˇcete bod, ktery´ má stejnou vzdálenost od bodu˚ A, B. ´ cky AB. b) Urˇcete rovnici osy useˇ c) Na pˇr´ımce y = 2x urˇcete bod, ktery´ se nacház´ı ve stejné vzdálenosti od bodu˚ A, B. [ a) [6, 0]; b) 2x − 3y = 12; c) [−3, −6]. ]

10


´ Uloha 0.13 Vrchol paraboly. Urˇcete, pro které x nabyv´ ´ a funkce maxima a také hodnotu tohoto maxima: a) f : y = −2x2 + x − 1; b) f : y = −x2 − 3x + 2; c) f : y = −2x2 +ax−a2 , a > 0; 2 2 2 d) f : y = a x − b x , b 6= 0 . [ a) f (1/4) = −7/8; c) f (a/4) = −7a2 /8;

b) f (−3/2) = 17/4; ] d) f (a2 /(2b2 )) = a4 /(4b2 ).

´ Uloha 0.14 Vrchol paraboly. Urˇcete, pro které x nabyv´ ´ a funkce minima a také hodnotu tohoto minima: a) f : y = x2 + 4x − 2; b) f : y = 1 − 3x + 6x2 ; c) f : y = a2 x2 + a4 , a 6= 0. [ a) f (−2) = 6; c) f (0) = a4 .

b) f (1/4) = 15/24; ]

Schopnosti - aplikace ´ Uloha 0.15 Výroky - rozhodován´ı. v kraji se rozhoduje o rˇ eˇsen´ı dopravy, radn´ımi jsou podávány tyto návrhy: ´ p) Postav´ı se novy´ usek dálnice. ´ q) Rozˇs´ırˇ´ı se useky starˇs´ıch cest. r) Postav´ı se rychlostn´ı komunikace po novych ´ trasách. V diskusi se objevily varianty, s nimiˇz by bylo moˇzné souhlasit: ´ (1) Pokud se rozˇs´ırˇ´ı useky starˇs´ıch cest nebo se postav´ı rychlostn´ı komunikace po novych ´ trasách, pak ´ se novy´ usek dálnice nebude stavˇet. ´ ´ (2) Bud’ se postav´ı novy´ usek dálnice, nebo se rozˇs´ırˇ´ı useky starˇs´ıch cest, ale ne oboj´ı. (3) Z variant p, q, r se uskuteˇcn´ı pouze 2. Je moˇzné naj´ıt rozhodnut´ı vyhovuj´ıc´ı vˇsem variantám 1, 2, 3? Jaké rozhodnut´ı to bude? ˇ [ Vˇsechny poˇzadavky splnuje varianta (ne dálnice, ano rozˇs´ırˇ en´ı, ano rychlostn´ı komunikace). ]

´ Uloha 0.16 Vrchol paraboly - optimalizace zisku. Vyrobce je schopen vyrábˇet lampy s celkovymi náklady ´ ´ 120 korun na jeden kus. Lampy se prodávaj´ı za cenu 150 korun za kus; pˇri této cenˇe spotˇrebitelé nakoup´ı 500 lamp za mˇes´ıc. Vyrobce chce zvyˇ ´ ´ sit cenu; odhaduje, zˇ e za kaˇzdych ´ 10 korun zvyˇ ´ sen´ı ceny nad 150 korun budou spotˇrebitelé kupovat mˇes´ıcˇ nˇe o 20 lamp ménˇe. Urˇcete zisk vyrobce za mˇes´ıc jako funkci ´ ceny vyrobku a urˇcete cenu, pˇri které zisk vyrobce bude maximáln´ı. ´ ´ [ 260 korun. ]

´ ˚ Uloha 0.17 Vrchol paraboly - optimalizace zisku. Hotel ”Blue Star”v Las Vegas, ktery´ má pˇresnˇe 300 pokoju, se plnˇe obsad´ı kaˇzdy´ den pˇri cenˇe 80 dolaru˚ za pokoj. Jestliˇze se cena za pokoj zvyˇ ´ s´ı, pak se za kaˇzdy´ ˚ dolar pˇridany´ k puvodn´ ı cenˇe obsad´ı vˇzdy o 3 pokoje ménˇe. Kaˇzdy´ obsazeny´ pokoj znamená pro hotel ´ vydaje dohromady 10 dolaru˚ na uklid a sluˇzby. ´ a) Vyjádˇrete zisk jako funkci hodnoty x, o kterou se cena za pokoj zvyˇ ´ s´ı. b) Vyjádˇrete zisk jako funkci ceny c za pokoj. c) Jak má management hotelu stanovit cenu za pokoj, aby jeho zisk byl maximáln´ı? d) Jaky´ je maximáln´ı zisk? ˚ e) Kolik pokoju˚ zustane pˇritom volnych? ´ [ a) P (x) = (300 − 3x) · (80 + x) − (300 − 3x) · 10 = 3(100 − x)(70 + x); ] b) c = 80 + x =⇒P (c) = 3(180 − x)(c − 10); c) 95 dolaru˚ za pokoj; ˚ d) max. zisk je 21 675 dolaru; ˚ ˚ e) neobsazenych 45 pokoju. ´ zustane

´ Uloha 0.18 Analytická geometrie - vzdálenost bodu˚ v rovinˇe. Z kˇriˇzovatky dvou na sebe kolmych ´ cest se zaˇcnou ve stejném okamˇziku pohybovat ve smˇerech na sebe kolmych ´ dvˇe vozidla V 1, V 2, prvn´ı stálou rychlost´ı 8 m/s, druhé stálou rychlost´ı 15 m/s. a) Jaká je jejich vzdálenost v cˇ ase 20 vteˇrin od zaˇca´ tku pohybu?

ˇ ˇ KAPITOLA 0. VYBRANE´ DOVEDNOSTI STREDO SKOLSK E´ MATEMATIKY

11

b) Kdy budou vozidla vzdálena od sebe pˇresnˇe 850 m? Znázornˇete. [ a) 340 m; b) v cˇ ase 50 vteˇrin. ]

´ Uloha 0.19 Prumˇ ˚ erný plat. Pˇredpokládejme, zˇ e nˇekdo pracoval v urˇcitém podniku pˇresnˇe 10 let. Z toho ˚ ehu prvn´ıch 4 let vydˇelával pˇresnˇe 12 500 Kˇc mˇes´ıcˇ nˇe, v prubˇ ˚ ehu 5. a 6. roku dostával pˇresnˇe v prubˇ 14 000 Kˇc mˇes´ıcˇ nˇe, 7. a 8. rok 15 000 Kˇc mˇes´ıcˇ nˇe a v devátém a desátém roce jeho plat cˇ inil 19 000 Kˇc ˚ erny´ plat za obdob´ı mˇes´ıcˇ nˇe. Urˇcete, jaky´ byl prumˇ a) prvn´ıch 5 let; b) prvn´ıch 8 let; c) za sˇ esty´ aˇz desáty´ rok; d) vˇsech 10 let? [ a) 12 800 Kˇc; c) 16 400 Kˇc;

b) 13 500 Kˇc; ] d) 14 600 Kˇc.

´ Uloha 0.20 Prumˇ ˚ erná cena. Nakoupili jsme dohromady 18 kg broskv´ı, z toho 8 kg za 42 Kˇc za jeden kilogram a 10 kg za 35 Kˇc za jeden kilogram. ˚ erná cena, za kterou jsme koupili 1 kg broskv´ı? a) Jaká je prumˇ ˚ erná cena za 1 kilogram, jestliˇze dokoup´ıme jeˇstˇe 10 kg broskv´ı b) Na jakou hodnotu klesne prumˇ po 32,50 Kˇc? [ a) 38,10 Kˇc;

b) asi 36 Kˇc. ]

´ Uloha 0.21 Prumˇ ˚ erná rychlost. Cyklista jede po rovinˇe 15 minut rychlost´ı 24 km/h a do kopce pak 45 mi˚ ernou rychlost nut rychlost´ı 8 km/h. Vypoˇc´ıtejte jeho prumˇ a) za cely´ cˇ as j´ızdy, t.j. 60 minut; b) za prvn´ıch 20 minut j´ızdy; c) za prvn´ıch 30 minut j´ızdy. ˚ ernou rychlost za celkovy´ cˇ as j´ızdy, pokud by cyklista jel t1 hodin rychd) Naleznˇete vzorec pro prumˇ lost´ı v1 km/h a t2 hodin rychlost´ı v2 km/h. [ a) 12 km/h; c) 16 km/h;

b) 20 km/h; ] v1 t1 + v2 t2 d) v = km/h. t1 + t2

´ ˚ ernou Uloha 0.22 Prumˇ ˚ erná spotˇreba. Automobil zaznamenal bˇehem prvn´ıch 400 kilometru˚ j´ızdy prumˇ ˚ ernou spotˇrebou 7,2 litru˚ na 100 spotˇrebu 6,5 litru˚ benz´ınu na 100 km; následuj´ıc´ıch 500 km jel s prumˇ km. ˚ erná spotˇreba na prvn´ıch 500 km j´ızdy? a) Jaká byla jeho prumˇ ˚ erná spotˇreba automobilu na 900 km j´ızdy? b) Jaká je prumˇ [ a) 6,64 l/100 km; ] b) 6,89 l/100 km.

Otestujte se ´ Uloha 0.23 Urˇcete maximum funkce f : y = 1 − x − x2 . [5/4.]

´ Uloha 0.24 V rovinˇe jsou dány body A[−2, 9], B[4, 6], C[1, 0], D[−5, 3]. ´ a) Dokaˇzte, zˇ e cˇ tyˇruheln´ ık ABCD je cˇ tverec. b) Urˇcete souˇradnice stˇredu S[x0 , y0 ] tohoto cˇ tverce. [ a) délky stran jsou stejné, strany kolmé; ] b) S[−1/2, 9/2].

12

´ Uloha 0.25 Vyjádˇrete slovy ∀x ∈ R :


|x| < 1 =⇒ sin x > 0. [ Pro vˇsechna reálná cˇ ´ısla x plat´ı: jestliˇze |x| < 1, pak je sin x > 0. ]

´ Uloha 0.26 Vyjádˇrete symbolicky Pro vˇsechna reálná cˇ ´ısla x plat´ı: jestliˇze x je menˇs´ı neˇz -1, pak je ex menˇs´ı neˇz 1. [ ∀x ∈ R :

x < −1 =⇒ ex < 1. ]

´ ˚ Uloha 0.27 Utvoˇrte negaci vyrok u: ´ a) Pro kaˇzdé x kladné existuje takové y záporné, zˇ e x + y = 5. b) ∀x ∈ R : |x| < 1 =⇒ sin x > 0. [ a) Existuje x > 0 takové, zˇ e pro vˇsechny y < 0 plat´ı x + y 6= 5; ] b) ∃x ∈ R : (|x| < 1 ∧ sin x ≤ 0).

´ ˚ ze byt Uloha 0.28 Rozhodnˇete, které z následuj´ıc´ıch tvrzen´ı muˇ ´ definice. ˇ ruheln´ ´ ´ a) Ctyˇ ık v rovinˇe se nazyv´ r´ıcˇ ky stejnˇe dlouhé. ´ a obdéln´ık právˇe tehdy, kdyˇz má obˇe uhlopˇ b) Jestliˇze je v bodˇe x0 funkce nespojitá, pak v tomto bodˇe nemá derivaci. ˚ ze, vyrok [ a) muˇ je ve tvaru ekvivalence. ] ´ ˚ ze, vyrok b) nemuˇ je ve tvaru implikace. ´

KAPITOLA 1

Mnoˇziny, relace Vystupy ze studia, Learning Outcomes ´ Znalosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • definuje kartézsky´ souˇcin; • zavede pojmy (binárn´ı) relace, (binárn´ı) relace na mnoˇzinˇe; • vyjmenuje základn´ı cˇ ´ıselné mnoˇziny resp. cˇ ´ıselné obory N, Z, Q a jejich vlastnosti.

Dovednosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı ˚ intervalem, charakteristickou • uvede pˇr´ıklady mnoˇzin a vhodnˇe je zap´ısˇ e (vyˇ ´ ctem jej´ıch prvku, vlastnost´ı); ˚ ˇ ˚ • nalezne prvky pruniku, sjednocen´ı, rozd´ılu, doplnku dvou mnoˇzin, zejména intervalu; • vyp´ısˇ e (naznaˇc´ı vypis) systému podmnoˇzin dané n-prvkové mnoˇziny; ´ ˚ • vyuˇz´ıvá znázornˇen´ı mnoˇzinovych ´ operac´ı a vztahu˚ pomoc´ı Vennovych ´ diagramu; ´ e soustavˇe souˇradnic; • zap´ısˇ e prvky kartézského souˇcinu a znázorn´ı jej v pravouhl´ • nalezne (nˇekteré) relace pˇr´ısluˇsné kartézskému souˇcinu; • urˇc´ı vlastnosti konkrétn´ıch relac´ı na urˇcité mnoˇzinˇe (napˇr. relace uspoˇra´ dán´ı, relace byt ´ podmnoˇzinou, relace byt ´ dˇelitelem).

Schopnosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı ´ ´ • pouˇzije Vennovy diagramy a mnoˇzinové operace pro rˇ eˇsen´ı uloh reálné praxe (ulohy rekreaˇcn´ı ˚ matematiky, cˇ a´ steˇcnˇe zadané vysledky pruzkumu a.j.); ´ ˇ an´ı v kartézské soustavˇe souˇradnic. • bezpeˇcnˇe ovládá znázornov´

13


14

ˇ y´ pˇrehled Znalosti - strucn • Mnoˇzina M vˇsech uspoˇra´ danych dvojic prvku˚ z mnoˇzin A a B se nazyv´ ´ ´ a kartézský souˇcin mnoˇzin A a B a znaˇc´ı se M = A × B, A × B = {[a, b] | ∀a ∈ A, ∀b ∈ B}. • Libovolná podmnoˇzina R mnoˇziny A × B se nazyv´ ´ a binárn´ı relace mezi mnoˇzinami A a B, nebo struˇcnˇeji jen relace, R ⊂ A × B. • Pˇr´ıklad: relace ”je menˇs´ı neˇz”, |{z} < ⊂ R × R, cˇ astˇeji zapisovaná ve tvaru x < y, kde x, y ∈ R. R

Jiny´ pˇr´ıklad: relace ”rovná se”, |{z} = ⊂ M × M, cˇ astˇeji zapisovaná ve tvaru A = B, kde A, B R

jsou podmnoˇziny mnoˇziny M.

ˇ e´ pˇr´ıklady Dovednosti - rˇesen ˇ ıselné mnoˇziny 1.1. C´ Pˇr´ıklad 1.1 Dané cˇ ´ıselné mnoˇziny zapiˇste pomoc´ı intervalu˚ nebo vyjmenován´ım jejich prvku˚ a) A = {x ∈ R | x2 − 3x < 0}; b) B = {x ∈ N | |1 − 2x| = 7}; c) C = {x ∈ Z | x2 − 8 < 0}. ˇ sen´ı Nejprve vyˇreˇs´ıme pˇr´ısluˇsnou rovnici cˇ i nerovnici, poté vysledek Reˇ porovnáme s mnoˇzinou, na ´ které máme dany´ pˇr´ıklad rˇ eˇsit: ˇ s´ıme na R napˇr. metodou nulovych ˚ A = (0, 3); a) x2 −3x < 0 =⇒ x(x−3) < 0. Reˇ ´ bodu, ´ b) |1 − 2x| = 7 =⇒ x ∈ {−3, 4}. Protoˇ z e -3 nepatˇ r ı do N, v ysledkem je B = {4}; ´ √ √ c) x2 − 8 < 0 =⇒ x ∈ (−2 2, 2 2). Protoˇze mnoˇzinu hledáme jako podmnoˇzinu Z, je rˇ eˇsen´ım mnoˇzina C = {−2, −1, 0, 1, 2}. 1.2. Mnoˇziny, systém podmnoˇzin dané mnoˇziny Pˇr´ıklad 1.2 Daná je dvouprvková mnoˇzina A = {0, 1}. Zapiˇste systém vˇsech jej´ı podmnoˇzin. ˇ sen´ı V mnoˇzinách ani podmnoˇzinách nezáleˇz´ı na poˇrad´ı prvku, ˚ takˇze máme Reˇ a) dvouprvkovou podmnoˇzinu {0, 1}, b) jednoprvkové podmnoˇziny {0} a {1}, c) prázdnou podmnoˇzinu ∅. Mnoˇzina A má cˇ tyˇri podmnoˇziny. 1.3. Relace, vlastnosti relace Pˇr´ıklad 1.3 Urˇcete graf relace R = {[x, y] ∈ R × R| x2 − y 2 = 0}. ˇ s´ıme rovnici x2 − y 2 = 0. ˇ sen´ı Reˇ Reˇ x2 − y 2 = 0 (x − y)(x + y) = 0

alesponˇ jeden vyraz mus´ı byt ´ ´ roven nule

x−y =0∨x+y =0 Grafem relace je tedy dvojice pˇr´ımek, y = x a y = −x, viz obrázek 1.

ˇ KAPITOLA 1. MNOZINY, RELACE

15

´ O BR AZEK 1. Graf relace R = {[x, y] ∈ R × R| x2 − y 2 = 0}

Dovednosti - ulohy ´ ˇ ıselné mnoˇziny. Dané cˇ ´ıselné mnoˇziny zapiˇste pomoc´ı intervalu˚ nebo vyjmenován´ım jejich ´ Uloha 1.1 C´ ˚ prvku: a) {x ∈ R| 7x + 2 < 0} ; d) {x ∈ Z| − 1 ≤ 2x + 1 < 5}; g) {x ∈ Q| x2 − 3 = 0} ;

b) {x ∈ Z| x ≥ 8 − 5x} ; e) {x ∈ R| x2 − 8 = 0} ; h) {x ∈ Z| (x − 1)2 = 25} ;

c) {x ∈ R| 0 ≤ 2x + 1 < 5}; f) {x ∈ Z+ | x2 − 10 = 0} ; i) {x ∈ N| x2 + 49 < 0}.

[ a) (−∞, −2/7); d) {−1, 0, 1}; g) ∅;

b) vˇsechna √a cˇ ´ısla x ≥ 2; √ cel´ e) {−2 2, 2 2}; h) {−4, 6};

c) h−1/2, 2); ] f) ∅; i) ∅.

ˇ ıselné mnoˇziny. Dané cˇ ´ıselné mnoˇziny zapiˇste pomoc´ı intervalu˚ nebo vyjmenován´ım jejich ´ Uloha 1.2 C´ ˚ prvku: a) {x ∈ R| 2x2 + 9 = 0}; d) {x ∈ R| |2x − 4| = 7};

b) {x ∈ R| (x + 5)2 < 9}; e) {x ∈ R| 2 + x = |x|};

c) {x ∈ Z| |x − 2| = 3}; f) {x ∈ R| |x| = |x − 3|}. [ a) ∅; d) {−3/2, 11/2};

b) (−8, −2); e) {−1};

c) {−1, 5}; ] f) {3/2}.

ˇ ıselné mnoˇziny. Dané cˇ ´ıselné mnoˇziny zapiˇste pomoc´ı intervalu˚ nebo vyjmenován´ım jejich ´ Uloha 1.3 C´ ˚ prvku: a) {x ∈ N| x2 ≤ 9}; d) {x ∈ R| x2 + x + 4 ≥ 0}; g) {x ∈ R| 2x2 + 5x − 12 < 0}; j) {x ∈ R| x(x2 − 4) ≥ 0}; [ a) {1, 2, 3}; d) R; g) (−4, 3/2); j) h−2, 0i ∪ h2, ∞);

b) {x ∈ Z| (x + 1)2 ≤ 4}; c) {x ∈ Z| 4 + x2 > 20}; 2 e) {x ∈ Z| 4 − x ≥ 0}; f) {x ∈ Z| 6x − 10 − x2 > 0}; 3 h) {x ∈ R| (x − 1) < 0}; i) {x ∈ R| x(x − 2)(x − 4) < 0}; k) {x ∈ R| (x2 −1)(x2 −4) > 0}; l) {x ∈ R| 2x + |1 − 5x| < 4}.

b) {−3, −2, −1, 0, 1}; e) {0, ±1, ±2}; h) (−∞, 1); k) (−∞, −2) ∪ (−1, 1) ∪ (2, ∞);

c) vˇsechna celá cˇ ´ısla x < −4 a vˇsechna celá x > 4; ] f) ∅; i) (−∞, 0i ∪ h2, 4i; l) (−1, 5/7).


16

´ Uloha 1.4 Mnoˇziny, systém jejich podmnoˇzin. Daná je tˇr´ıprvková mnoˇzina A = {0, 1, 2}. Zapiˇste systém ˚ vˇsech jej´ıch podmnoˇzin a znázornˇete ho vhodnym ´ zpusobem. [ 8 podmnoˇzin ]

´ Uloha 1.5 Mnoˇziny, operace s mnoˇzinami. Mˇejme mnoˇzinu M vˇsech celych ´ cˇ ´ısel od 1 po 30. Oznaˇcme jako A jej´ı podmnoˇzinu obsahuj´ıc´ı právˇe vˇsechna cˇ ´ısla dˇelitelná 2, B jej´ı podmnoˇzinu obsahuj´ıc´ı právˇe vˇsechna cˇ ´ısla dˇelitelná 3 a C jej´ı podmnoˇzinu obsahuj´ıc´ı právˇe vˇsechna cˇ ´ısla dˇelitelná 5. Pomoc´ı mnoˇzinovych ´ operac´ı s podmnoˇzinami A, B, C popiˇste mnoˇziny vˇsech cˇ ´ısel patˇr´ıc´ıch do mnoˇziny M s vlastnostmi: a) jsou dˇelitelná 2 a souˇcasnˇe 3; b) jsou dˇelitelná 2 nebo 3; c) jsou dˇelitelná 5 a nejsou dˇelitelná 3; d) nejsou dˇelitelná ani 3 ani 5. [ a) A ∩ B;

´ Uloha 1.6 Relace. Urˇcete graf relace: a) R = {[x, y] ∈ R × R| x2 + y 2 − 1 = 0};

b) A ∪ B;

c) C ⊂ B;

d) M ⊂ (B ∪ C). ]

b) R = {[x, y] ∈ R × R| x3 − xy 2 = 0}. [ a) kruˇznice se stˇredem v poˇca´ tku a polomˇerem 1; ] b) tˇri pˇr´ımky, y = x, y = −x a x = 0.

Schopnosti - aplikace ´ Uloha 1.7 Mnoˇziny, operace s mnoˇzinami. Z 50 zamˇestnancu˚ firmy 30 ovládá jazyk anglicky´ (A), 20 jazyk nˇemecky´ (N) a 5 zamˇestnancu˚ ovládá oba jazyky. Znázornˇete vhodnym ´ diagramem a urˇcete, kolik ˚ zamˇestnancu: a) ovládá A, ale neovládá N; c) ovládá pouze jeden ciz´ı jazyk;

b) ovládá N, ale neovládá A; ˚ d) neovládá ani jeden z uvedenych ´ jazyku. [ a) 25;

b) 15;

c) 40;

d) 5. ]

´ Uloha 1.8 Mnoˇziny a podmnoˇziny. Management malé spoleˇcnosti sestávaj´ıc´ı z prezidenta P a tˇr´ı v´ıceprezidentu˚ V 1, V 2, V 3 chce pro rˇ eˇsen´ı krizovych ´ situac´ı zvolit z tˇechto 4 lid´ı dvojˇclenny´ podvybor. ´ ˚ a) Kolika zpusoby to lze udˇelat? Vypiˇste moˇzné podvybory. ´ ˚ b) Kolika zpusoby lze vybrat tˇr´ıcˇ lenny´ podvybor? Vypiˇste je. ´ [ a) 6; b) 4. ]

Otestujte se ´ ˚ Uloha 1.9 Zapiˇste dané cˇ ´ıselné mnoˇziny pomoc´ı intervalu˚ nebo vyjmenován´ım jejich prvku: a) {x ∈ R| 0 ≤ 2x − 3 < 5}; b) {x ∈ Z| (x − 1)2 ≤ 16}; c) {x ∈ R| |x − 2| > 3}.

ˇ KAPITOLA 1. MNOZINY, RELACE

17

] [ a) h3/2, 4); b) {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}; c) (−∞, −1) ∪ (5, ∞).

´ Uloha 1.10 Kolik má tˇr´ıprvková mnoˇzina A = {a, b, c} vˇsech podmnoˇzin? Zapiˇste systém vˇsech jej´ıch ˚ ˚ ych podmnoˇzin a znázornˇete ho vhodnym (diagramem). Kolik ruzn ´ zpusobem ´ neprázdnych ´ podmnoˇzin bude m´ıt 4-prvková mnoˇzina B = {a, b, c d}? [ 8 podmnoˇzin; 15 podmnoˇzin. ]

´ Uloha 1.11 Urˇcete graf relace: a) R = {[x, y] ∈ R × R| x − y < 0};

b) R = {[x, y] ∈ R × R| y(x2 + y 2 − 4) = 0}. [

a) polorovina urˇcená pˇr´ımkou y=x a bodem [0, 1]; ] b) osa x a kruˇznice se stˇredem v poˇca´ tku a polomˇerem r = 2.

KAPITOLA 2

Zobrazen´ı, funkce Vystupy ze studia, Learning Outcomes ´ Znalosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • • • • • •

definuje zobrazen´ı, definiˇcn´ı obor a obor hodnot zobrazen´ı; vysvˇetl´ı skládán´ı zobrazen´ı; zavede pojem funkce jako zobrazen´ı v R; ˚ ych ˚ orientuje se v ruzn zadán´ı funkce - pˇredpisem, tabulkou, grafem; ´ zpusobech chápe definiˇcn´ı obor funkce jako ned´ılnou souˇca´ st zadán´ı funkce; definuje souˇcet, rozd´ıl, souˇcin a pod´ıl dvou funkc´ı, absolutn´ı hodnotu funkce, mocninu funkce.

Dovednosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı ˚ ymi ˚ ˚ • pracuje s ruzn zadán´ı funkce, pˇrecház´ı od jednoho zpusobu zadán´ı funkce k jinému ´ zpusoby ˚ zpusobu zadán´ı; • urˇc´ı na základˇe podm´ınek definiˇcn´ı obor funkce - rozpozná, jaké rovnice, nerovnice, nebo odpov´ıdaj´ıc´ı soustavy rovnic nebo nerovnic, je nutné vyˇreˇsit; správnˇe zap´ısˇ e rˇ eˇsen´ı tˇechto soustav; ˚ ych ˚ • rozpozná základn´ı vlastnosti funkc´ı z ruzn u˚ zadán´ı funkce; ´ zpusob • vyjádˇr´ı zápisem funkci sloˇzenou z danych ´ funkc´ı, urˇc´ı jej´ı definiˇcn´ı obor; naopak, je schopen rozpoznat strukturu sloˇzené funkce a rozloˇzit sloˇzenou funkci na jednotlivé sloˇzky.

Schopnosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı ´ • aplikuje z´ıskané znalosti a dovednosti pˇri rˇ eˇsen´ı uloh z praxe - ve funkcionáln´ıch modelech.

19


20

ˇ y´ pˇrehled Znalosti - strucn def

• Relace Z ⊂ A × B se nazyv´ ´ a zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B ⇐⇒ ∀a ∈ A ∃b ∈ B : [a, b] ∈ Z. Zobrazen´ı se znaˇc´ı Z : A → B a byv´ ´ a nˇekdy pˇredpisem pro jednotlivé prvky a mnoˇziny A, tedy Z : a 7→ Z(a) nebo Z : b = Z(a). Zobrazen´ı Z : R → R je napˇr´ıklad kvadratická funkce Z : x 7→ x2 , nebo jinak zapsané Z : y = x2 . Jiny´ pˇr´ıklad je zobrazen´ı Z : R3 → R2 definované Z : [x, y, z] 7→ [x, y]. • Mnoˇzina A z pˇredchoz´ı definice se nazyv´ ´ a definiˇcn´ı obor zobrazen´ı Z : A → B a oznaˇcuje se D(Z). def

• Mnoˇzina H(Z) ⊂ B se nazyv´ ´ a obor hodnot zobrazen´ı Z : A → B ⇐⇒ ∀b ∈ H(Z) ∃a ∈ D(Z) : [a, b] ∈ Z, ∀b ∈ B \ H(Z), ∀a ∈ D(Z) : [a, b] 6∈ Z. Slovnˇe vyjádˇreno: mnoˇzina H(Z) je mnoˇzina obrazu˚ vˇsech prvku˚ mnoˇziny A. def

• Zobrazen´ı f : A → B se nazyv´ ´ a reálná funkce ⇐⇒ B = R, tedy právˇe tehdy, kdyˇz f : A → R. def

Zobrazen´ı f : A → R se nazyv´ ´ a reálná funkce jedné reálné promˇenné ⇐⇒ A ⊂ R. Reálná funkce reálné promˇenné byv´ ´ a vyjádˇrena pˇredpisem pro jednotlivé prvky x ∈ D(f ), tedy f : x 7→ f (x) nebo f : y = f (x). • V následuj´ıc´ım textu bude pod pojmem funkce m´ınˇena vˇzdy reálná funkce jedné reálné promˇenné. • Mˇejme funkce f : x 7→ f (x) a g : x 7→ g(x). Aritmetické operace souˇcet, rozd´ıl, souˇcin a pod´ıl tˇechto dvou funkc´ı definujeme následovnˇe: f + g : x 7→ f (x) + g(x); f − g : x 7→ f (x) − g(x); f · g : x 7→ f (x) · g(x); f /g : x 7→ f (x)/g(x) ∀x|g(x) 6= 0. • Mˇejme funkci g : x 7→ g(x) a funkci f : x 7→ f (x), pro kterou H(g) ⊂ D(f ). Funkce h = g ◦ f se def

nazyv´ ´ a funkce sloˇzená z funkc´ı g a f ⇐⇒ D(h) = {x ∈ R| x ∈ D(f ) ∧ f (x) ∈ D(g)}; g ◦ f : x 7→ g(f (x)). • Funkce definovaná na koneˇcné n-prvkové mnoˇzinˇe M se nazyv´ ´ a def

permutace na mnoˇzinˇe M ⇐⇒ obor hodnot tvoˇr´ı celá mnoˇzina M . 2.1. Tabulka definiˇcn´ıch oboru˚ elementárn´ıch funkc´ı, které nemaj´ı D(f ) = R. f f f f f

: : : : :

1 a 7→ √ D(f ) = R \ {0} a a 7→ a D(f ) = h0, ∞) a 7→ logb a D(f ) = (0, ∞) a 7→ arcsin a D(f ) = h−1, 1i a 7→ arccos a D(f ) = h−1, 1i

´ FUNKCE KAPITOLA 2. ZOBRAZENI,

21

ˇ e´ pˇr´ıklady Dovednosti - rˇesen

2.2. Definiˇcn´ı obory funkc´ı Pˇr´ıklad 2.1 Urˇcete definiˇcn´ı obor D(f ) funkce f : √ 2x a) f : y = 3 ; b) f : y = 3x2 − 1; x −x √ c) f : y = 1 − log x; d) f : y = arcsin(4 − x2 ). ˇ sen´ı a) Dle tabulky definiˇcn´ıch oboru˚ mus´ı byt Reˇ ´ x3 − x 6= 0. Levou stranu uprav´ıme na tvar x(x − 1)(x + 1) a urˇc´ıme rˇ eˇsen´ı rovnice x(x − 1)(x + 1) = 0, takˇze x ∈ {−1, 0, 1}. Prvky této mnoˇziny nepatˇr´ı do D(f ), proto D(f ) = R\{−1, 0, 1} b) dle tabulky definiˇcn´ıch oboru˚ mus´ı byt ´ 3x2 − 1 ≥ 0, tedy p p D(f ) = (−∞, − 1/3i ∪ h 1/3, ∞). c) dle tabulky definiˇcn´ıch oboru˚ mus´ı byt ´ 1 − log x ≥ 0 a souˇcasnˇe mus´ı byt ´ x > 0. Prvn´ı podm´ınka vede na nerovnici 1 ≥ log x =⇒log 10 ≥ log x =⇒(10 ≥ x ∧ x > 0), jej´ımˇz rˇ eˇsen´ım je mnoˇzina (0, 10i. 10 ≥ x ∧ x > 0

=⇒

D(f ) = (0, 10i.

d) dle tabulky definiˇcn´ıch oboru˚ mus´ı platit: 4 − x2 ∈ h−1, 1i ⇐⇒ −1 ≤ 4 −√x2 √ ≤ 1, coˇz vede na dvˇe 2 2 nerovnice:√−1 ≤ √ 4 − x a souˇcasnˇe 4 − x ≤ 1. Jej´ım rˇ eˇsen´ım jsou intervaly h− 5, 5i ˚ ˚ tedy tˇechto intervalu, a (−∞, − 3i ∪ h 3, ∞). Hledanym ´ definiˇcn´ım oborem je prunik √ √ √ √ D(f ) = h− 5, − 3i ∪ h 3, 5i.

2.3. Sloˇzená funkce Pˇr´ıklad 2.2 Urˇcete pˇredpis funkc´ı f ◦ g a g ◦ f , pokud f : y =

√

1 − x2 a g(x) = sin x.

ˇ sen´ı Reˇ • máme urˇcit f ◦ g, takˇze vloˇz´ıme pˇredpis funkce g do pˇredpisu funkce f : p p f (g(x)) = 1 − g(x)2 = 1 − sin2 x. D(f ◦ g): nejprve urˇc´ıme D(g) = R a D(f ) = h−1, 1i. Potˇrebujeme zjistit, pro která x je g(x) ∈ D(f ). Protoˇze g(x) = sin x ∈ h−1, 1i = D(f ), je zˇrejmˇe D(f ◦ g) = R. • máme urˇcit g ◦ f , takˇze vloˇz´ıme pˇredpis funkce g do pˇredpisu funkce f : p g(f (x)) = sin(f (x)) = sin( 1 − x2 ). D(g ◦ f ): nejprve urˇc´ıme D(g) = R a D(f ) = h−1, 1i. Mˇeli bychom zjistit, pro která x ∈ D(f ) je f (x) ∈ D(g). Protoˇze je D(g) = R, je zˇrejmˇe tato podm´ınka splnˇená pro vˇsechna x ∈ D(f ). Tedy D(g ◦ f ) = h−1, 1i.


22

2.4. Funkce definované na koneˇcné mnoˇzinˇe Pˇr´ıklad 2.3 Funkce f je definovaná tabulkou: x 0 f (x) 2

1 1

2 0

a) Vytvoˇrte sloˇzenou funkci f ◦ f a zapiˇste ji tabulkou; b) urˇcete definiˇcn´ı obor a obor hodnot funkce f . ˇ sen´ı a) Protoˇze (f ◦ f )(x) = f (f (x)), plat´ı Reˇ x 0 1 2 f (x) 2 1 0 f (f (x)) 0 1 2 V tomto pˇr´ıpadˇe je sloˇzená funkce f ◦ f totoˇzná s funkc´ı identickou, id : x 7→ x b) D(f ) = H(f ) = {0, 1, 2}. 2.5. Funkce definované rekurentnˇe Pˇr´ıklad 2.4 Jestliˇze f0 : y =

x x+1

a fn+1 = f0 ◦ fn , kde n ∈ N, urˇcete pˇredpis pro funkci fn .

ˇ sen´ı Vytvoˇr´ıme prvn´ıch nˇekolik funkc´ı, poté stanov´ıme hypotézu a tu indukc´ı dokázˇ eme: Reˇ 1) x , f0 : y = x+1 x x f1 = f0 ◦ f0 : y = xx+1 = , + 1 2x +1 x+1 f2 = f0 ◦ f1 : y = takˇze uvaˇzujeme, zˇ e fn : y =

1

=

x , 3x + 1

x (n+1)·x+1 .

2) nechtˇ tedy pro nˇejaké n plat´ı vztah fn : y = fn+1 : y =

x 2x+1 x 2x+1 +

x (n+2)x+1 :

fn+1 = f0 ◦ fn : y =

x , zkusme dokázat, zˇ e pak nutnˇe mus´ı byt ´ (n + 1) · x + 1 x (n+1)x+1 x (n+1)x+1 +

1

=

x (n + 2)x + 1

3) V´ıme, zˇ e vztah plat´ı pro n = 0 a dále v´ıme, zˇ e kdyˇz plat´ı pro n, pak plat´ı i pro n + 1. Dokázali jsme, zˇ e x ∀n ∈ N : fn : y = · (n + 1) · x + 1

Dovednosti - ulohy ´ ´ Uloha 2.1 Definiˇcn´ı obor reálné funkce. Urˇcete definiˇcn´ı obor D(f ) funkce f : 1 1 + ; x x2 − 1 √ d) f : y = 16x − x3 ; a) f : y =

g) f : y = ln

x+1 ; 2−x

b) f : y =

√ 3

x − 2;

c) f : y =

√

4x2 + 1;

√

2+x 2 ; 9− x2 x − 7x + 12 h) f : y = ln . x2 − 2x − 3

e) f : y =

[ a) R \ {−1, 0, 1}; d) (−∞, −4i ∪ h0, 4i; g) (−1, 2);

f) f : y = ln(x2 − 5x + 6);

b) R; e) h−2, 3) ∪ (3, ∞); h) (−∞, −1) ∪ (4, ∞).

c) R; ] f) −∞, 2) ∪ (3, ∞) ;


23

´ Uloha 2.2 Definiˇcn´ı obor reálné funkce. Urˇcete definiˇcn´ı obor D(f ) funkce f : a) f : y =

q

cos x −

1 2;

d) f : y = log(log2 x − 5 log x); g) f : y = p

1 ; 6 − 2|x − 1| − x2

s

1 b) f : y = ; log(9 − x) 1 ; e) f : y = p 2+x 5 − x2 · 5 x

c) f : y =

log

1 − 2x ; x+3

f) f : y = log(|x − 1| + 2x − 4);

h) y = ln(2 cos2 x + 5 cos x + 2). [ a) h− π3 + k · 2π, π3 + k · 2πi, k ∈ Z; d) (0, 1)√∪ (105 , ∞); √ g) (1 − 5, 21 (−3 + 41));

b) (−∞, 8) ∪ (8, 9) e) (−5, 5); h) (−∞, −1) ∪ (4, ∞).

; c) (−∞, −2/3); ] f) (5, ∞);

´ Uloha 2.3 Operace s funkcemi (aritmetika funkc´ı), definiˇcn´ı obor funkce. Mˇejme lineárn´ı funkce f : y = x + 1, g : y = 2 − x. Utvoˇrte funkce: a) f + g; b) f − g; c) f · g; d) f 2 ; e) f /g; f) g/f . Urˇcete jejich definiˇcn´ı obory, pˇr´ıpadnˇe znázornˇete grafy tˇechto funkc´ı. ] b) f − g : y = 2x − 1, D(f − g) = R ; d) f 2 : y = (x + 1)2 , D(f 2 ) = R; 2−x f) g/f : y = , D(g/f ) = R \ {−1}. x+1

[ a) f + g : y = 3, D(f + g) = R; c) f · g : y = −x2 − x + 2, D(f · g) = R; x+1 , D(f /g) = R \ {2}; e) f /g : y = 2−x

´ Uloha 2.4 Operace s √ funkcemi (aritmetika funkc´ı), definiˇcn´ı obor funkce. Mˇejme dvˇe funkce √ f : y = x, g : y = 1 − x. Utvoˇrte funkce: 2+f a) f + g; b) f · g; c) · 3 + g2 Urˇcete jejich definiˇcn´ı obory, pˇr´ıpadnˇe znázornˇete grafy tˇechto funkc´ı. √ √ [ a) f + g : y =p x + 1 − x, D(f + g) = (0, 1); ] b) f · g : y = x(1√− x), D(f · g) = (0, 1); 2+ x 2+f 2+f , D( 3+g c) 3+g 2 : y = 2 ) = h0, 4) ∪ (4, ∞). 4−x

´ Uloha 2.5 Sloˇzená funkce, definiˇcn´ı obor funkce. Urˇcete pˇredpisy funkc´ı f ◦ g, g ◦ f, je-li: a) f : y = 2x, g : y = x2 + 1; b) f : y = 3x − 2, g : y = |x|; √ x 1 c) f : y = x + 1, g : y = x − 2; d) f : y = 2 , g:y= . x x +1 [ a) f ◦ g : b) f ◦ g : c) f ◦ g : d) f ◦ g :

y = 2x2 + 2, D(f ◦ g) = R; y =√ 3|x| − 2, D(f ◦ g) = R; y = x − 1, D(f ◦ g) = (1, ∞); x y = x+1 , D(f ◦ g) = (−∞, −1) ∪ (−1, ∞);

´ Uloha 2.6 Sloˇzená funkce. Je-li f : y = a) f ◦ f ;

1 1−x ,

g◦f g◦f g◦f g◦f

: : : :

y y y y

= 4x2 + 1, D(g ◦ f ) = R; ] =√ |3x − 2|, D(g ◦ f ) = R; = x + 1 − 2, D(g ◦ f ) = (−1, ∞); = x + x1 , D(g ◦ f ) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

urˇcete pˇredpis a definiˇcn´ı obor funkce: b) f ◦ f ◦ f . x−1 , D(f ◦ f ) = R \ {0, 1}; ] x b) (f ◦ f ◦ f ) : y = x, D(f ◦ f ◦ f ) = R \ {0, 1}.

[ a) (f ◦ f ) : y =

´ Uloha 2.7 Sloˇzená funkce. Je-li f : y = funkce f ◦ g ◦ h.

√

1 − x, g : y = 1 − x2 a h : 1 +

√

x. Urˇcete pˇredpis a definiˇcn´ı obor [y =1+

´ Uloha 2.8 Sloˇzená funkce. Vyjádˇrete funkci F ve tvaru f ◦ g, kde √ a) F : y = (x2 + 1)3 ; b) F : y = sin( x); √ c) F : y = cos x; d) F : y = ln2 x + 4 ln x + 100.

√

x, D(f ) = h0, 1i ]

24


[ a) f : b) f : c) f : d) f :

y = x3 y = sin x √ y= x y = x2 + x + 100

g g g g

:y :y :y :y

= x2 + 1; ] √ = x; = cos x; = ln x.

´ Uloha 2.9 Sloˇzená funkce. Naleznˇete funkce f, g a h tak, zˇ e F = f ◦ g ◦ h, kde: 1 1 p a) F : y = q ; b) F : y = · √ x2 − x2 + 7 1+ x √ √ [ a) f : y = 1/x, g : y = 1 + x, h : y = √x; ] 2 b) f : y = |x|, g : y = 1/x, h : y = x − x2 + 7.

´ Uloha 2.10 Sloˇzená funkce. Vytvoˇrte sloˇzené funkce pro h(x) = ln(x − 4) : a) h(5x); b) h(−x); c) h(1 − x); d) h(x + 4); e) h(1/x); f) h(x2 ); g) h(h(x)). Vypoˇc´ıtejte hodnoty (pokud existuj´ı): h) h(−1); i) h(0); j) h(5). [ a) h(5x) = ln(5x − 4); d) h(x + 4) = ln x; g) h(h(x)) = ln(ln(x − 4) − 4); h) h(−1) nedef.;

b) h(−x) = ln(−x − 4); e) h(1/x) = ln(1/x − 4);

c) h(1 − x) = ln(−3 − x); ] f) h(x2 ) = ln(x2 − 4);

i) h(0) nedef.;

j) h(5) = 0.

´ Uloha 2.11 Sloˇzená funkce, definiˇcn´ı obor. Jsou dány funkce f , g. Vytvoˇrte sloˇzené funkce f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g; urˇcete definiˇcn´ı obory tˇechto sloˇzenych ´ funkc´ı: √ 2 a) f : y = x + 5, g : y = x√− 3; b) f : y = x − 1, g : y = 3 − x; c) f : y = 1 − x2 , g : y = x; d) f : y = ln x, g : y = x2 − 4; e) f : y = 1 − ln x, g : y = ln(1 − x). [ a) f ◦ g : y = x2 + 2, def. obor je R; g ◦ f : y = (x + 5)2 − 3, R; f ◦ f : y = x + 10, R; g ◦ g : y = (x2 − 3)2 − 3, R; c) f ◦ g : y = 1 √− x, R; g ◦ f : y = 1 − x2 , h−1, 1i; f ◦ f : y = 2x2 − x4 , R; √ g ◦ g : y = 4 x, h0, ∞); e) f ◦ g : y = 1 − ln(ln(1 − x)); (−∞, 0); g ◦ f : y = ln(ln x), (1, ∞); f ◦ f : y = 1 − ln(1 − ln x), (0, e); g ◦ g : y = ln(1 − ln(1 − x)), (1 − e, 1).

b) f ◦ g : g◦f : f ◦f : g◦g : d) f ◦ g : g◦f : f ◦f : g◦g :

√ y = 2− √x, (−∞, 2i; y = 3p− x − 1, h1, ∞); √ y= x − 1 − 1, h2, ∞); y = x, R; y = ln(x2 − 4), (−∞, −2) ∪ (2, ∞); y = ln2 x − 4, (0, ∞); y = ln(ln x), (1, ∞); y = x4 − 8x2 + 12, R;

]

´ Uloha 2.12 Sloˇzené funkce. Necht’ f : y = x − 7, g : y = |x − 1|. Vytvoˇrte sloˇzené funkce f ◦ g, g ◦ f a znázornˇete grafy tˇechto sloˇzenych ´ funkc´ı. [ f ◦ g : y = |x − 1| − 7; g ◦ f : y = |x − 8|. ]

´ Uloha 2.13 Funkce definovaná na koneˇcné mnoˇzinˇe. Dané jsou dvˇe koneˇcné mnoˇziny A, B, pˇriˇcemˇz ˚ ych A = {a1 , a2 , a3 }, B = {0, 1}. Urˇcete, kolik je vˇsech ruzn ´ funkc´ı f mnoˇziny A do mnoˇziny B. [ 8. ]

´ Uloha 2.14 Funkce definovaná na koneˇcné mnoˇzinˇe. Dané jsou dvˇe koneˇcné mnoˇziny A, B, ˚ ych A = {a1 , a2 , a3 , ..., an }, B = {0, 1}. Urˇcete, kolik je vˇsech ruzn ´ funkc´ı f mnoˇziny A do mnoˇziny B; ˚ jakym je lze zapsat? ´ zpusobem


25

[ mnoˇzina pˇriˇrazenych 1 ∈ B v tabulce hodnot u kaˇzdé ] ´ z funkc´ı jednoznaˇcnˇe koresponduje s vybˇ ´ erem podmnoˇziny prvku˚ mnoˇziny A zobrazenych ´ právˇe na 1, proto je poˇcet tˇechto funkc´ı 2n ; kromˇe tabulek lze vyˇ ´ cet vˇsech takovych ´ funkc´ı provést ˚ ych vypsán´ım vˇsech moˇznych ruzn rˇ etˇezcu˚ - slov délky právˇe ´ ´ n sestávaj´ıc´ıch z 0 a 1.

´ Uloha 2.15 Funkce definovaná na koneˇcné mnoˇzinˇe - sloˇzená funkce. Funkce f je definovaná tabulkou: x −1 0 1 2 b) x 0 1 2 f (x) 2 1 0 1 f (x) 1 2 3 Vytvoˇrte sloˇzené funkce f ◦ f , f ◦ f ◦ f a zapiˇste je tabulkou; urˇcete jejich definiˇcn´ı obor a obor hodnot. a)

[ a)

x f (f (x)) f (f (f (x)))

−1 1 0

b)

x f (f (x)) f (f (f (x)))

0 2 3

0 0 1 1 3 -

1 1 0

]

2 0 1

2 -

´ Uloha 2.16 Funkce definovaná na koneˇcné mnoˇzinˇe - sloˇzené funkce. Funkce f , g jsou dány následuj´ıc´ımi tabulkami: x x 1 0 2 −2 3 1 −1 0 2 −2 3 f (x) 0 −1 2 5 3 g(x) 0 3 1 1 −2 2 a) Napiˇste tabulku pro sloˇzené funkce f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g a urˇcete definiˇcn´ı obory a obory hodnot tˇechto funkc´ı. b)) Jsou funkce f nebo g permutace? Pokud ano, jedná se o cyklické permutace? [ a)

b)

x f (g(x))

1 −1

x g(f (x))

1 1

x f (f (x))

1 −1

−1 3

0 0

2 1

3 2

0 3 2 2

2 0

−2 5

]

3 2

3 3

x 1 −1 0 2 −2 3 g(g(x)) 1 2 0 0 −2 1 ani funkce f ani funkce g nejsou permutace.

´ Uloha 2.17 Funkce definovaná na koneˇcné mnoˇzinˇe - sloˇzené funkce. Funkce c je definovaná na tˇr´ıprvkové mnoˇzinˇe {0, 1, 2}: x 0 1 2 c(x) 1 2 0 a) Vytvoˇrte sloˇzené funkce c ◦ c, c ◦ c ◦ c a zapiˇste je pomoc´ı tabulky. b) Jedná se o permutaci? Pokud ano, jedná se o cyklickou permutaci? [ a)

b)

x c(x) c(c(x)) c(c(c(x)))

0 1 2 0

1 2 0 1

]

2 0 1 2

jedná se o cyklickou permutaci.

´ Uloha 2.18 Funkce definované rekurentnˇe. Jestliˇze f0 : y = x2 a fn+1 = f0 ◦ fn , kde n ∈ N, urˇcete pˇredpis pro funkci fn . n+1

[fn : y = x(2

).

]


26

Otestujte se ´ Uloha 2.19 Urˇ q cete definiˇcn´ı obory následuj´ıc´ıch funkc´ı: 1+x ; b) f : y = log (x12 −1) ; a) f : y = 1−x

c) f : y =

1 3−log3 (x−3) .

[ a) D(f ) = h−1, 1); √ ] √ √ √ b) D(f ) = (−∞, − 2) ∪ (− 2, −1) ∪ (1, 2) ∪ ( 2, ∞); c) D(f ) = (3, 30) ∪ (30, ∞).

ˇ ste ulohu ´ ´ Uloha 2.20 Reˇ 2.10 pro funkci h(x) = 1 + 5/x. [ a) h(5x) = 1 + 1/x; d) h(x + 4) = x+9 ; x+4 g) h(h(x)) = 6x+5 ; x+5 j) h(5) = 2.

b) h(−x) = 1 − 5/x; e) h(1/x) = 1 + 5x; h) h(−1) = −4;

; ] c) h(1 − x) = 6−x 1−x f) h(x2 ) = 1 + 5/x2 ; i) h(0) nedef.;

´ Uloha 2.21 Funkce f je definovaná tabulkou: x 1 f (x) 2

2 3

3 4

4 1

Vytvoˇrte sloˇzené funkce f ◦ f , f ◦ f ◦ f , zapiˇste je tabulkou; urˇcete jejich definiˇcn´ı obor a obor hodnot. [

´ Uloha 2.22 Jestliˇze f0 : y =

1 2−x

x f (x) f (f (x)) f (f (f (x)))

1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 ] 1 2 3

a fn+1 = f0 ◦ fn , kde n ∈ N, urˇcete pˇredpis pro funkci fn . [ fn : y =

(n + 1) − nx ] (n + 2) − (n + 1)x

KAPITOLA 3

Elementárn´ı funkce reálné promˇenné Vystupy ze studia, Learning Outcomes ´ Znalosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • definuje základn´ı zkoumané vlastnosti reálnych ´ funkc´ı; • vyjmenuje a nakresl´ı graf elementárn´ıch funkc´ı, konkrétnˇe funkc´ı; – konstantn´ı funkce, identická funkce, lineárn´ı funkce; – mocninná funkce s exponentem pˇrirozenym, ´ celoˇc´ıselnym ´ a racionáln´ım; ˚ – polynomická funkce a nˇekteré vlastnosti polynomu; – racionáln´ı funkce; – exponenciáln´ı a logaritmické funkce; – goniometrické a cyklometrické funkce; – speciáln´ı funkce: funkce absolutn´ı hodnota, signum, celá cˇ a´ st; • vyjmenuje základn´ı vlastnosti jednotlivych ´ elementárn´ıch funkc´ı.

Dovednosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • • • • • •

rozhodne o tom, zda je zadaná funkce rostouc´ı, klesaj´ıc´ı; rozhodne o tom, zda je zadaná funkce sudá, lichá; rozhodne o tom, zda je zadaná funkce prostá; nalezne pˇredpis inverzn´ı funkce pro funkci prostou; objasn´ı vztah inverze mezi funkc´ı exponenciáln´ı a logaritmickou; objasn´ı vztah inverze mezi funkc´ı goniometrickou a cyklometrickou.

Schopnosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • pouˇz´ıvá z´ıskané znalosti a dovednosti v dalˇs´ıch oblastech kalkulu, napˇr. u limity a derivace ˚ ehu funkce, pˇri urˇcován´ı primitivn´ı funkce k dané funkci; funkce, pˇri stanoven´ı prubˇ ´ • aplikuje z´ıskané znalosti a dovednosti pˇri rˇ eˇsen´ı uloh z praxe, napˇr. ve funkcionáln´ıch modelech (modelován´ı lineárn´ımi, kvadratickymi, exponenciáln´ımi funkcemi), v analyze ´ ´ zlomového bodu; ´ • vyuˇz´ıvá funkcionáln´ı modely v dalˇs´ıch oblastech kalkulu, napˇr. v optimalizaˇcn´ıch uloh´ ach, v aplikac´ıch urˇcitého integrálu, v diferenciáln´ıch rovnic´ıch.

27


28

ˇ y´ pˇrehled Znalosti - strucn def

• Funkce f se nazyv´ ´ a rostouc´ı na mnoˇzinˇe M ⊂ D(f ) ⇐⇒ ∀a, b ∈ M : a f (b). Pokud je M = D(f ), budeme pouˇz´ıvat term´ın funkce klesaj´ıc´ı. def

• Funkce f se nazyv´ ´ a sudá na mnoˇzinˇe M ⊂ D(f ) ⇐⇒ ∀a ∈ D(f ) : − a ∈ D(f ), ∀a ∈ D(f ) : f (−a) = f (a). Pokud je M = D(f ), budeme pouˇz´ıvat term´ın funkce sudá. def

• Funkce f se nazyv´ ´ a lichá na mnoˇzinˇe M ⊂ D(f ) ⇐⇒ ∀a ∈ D(f ) : − a ∈ D(f ), ∀a ∈ D(f ) : f (−a) = −f (a). Pokud je M = D(f ), budeme pouˇz´ıvat term´ın funkce lichá. def

• Funkce f se nazyv´ ´ a prostá na mnoˇzinˇe M ⊂ D(f ) ⇐⇒ ∀b ∈ R existuje nejvyˇ ´ se jedno a ∈ D(f ) : f (a) = b. Pokud je M = D(f ), budeme pouˇz´ıvat term´ın funkce prostá. • Pokud je funkce f rostouc´ı, resp. klesaj´ıc´ı na M ⊂ D(f ), pak je také prostá na M ⊂ D(f ). def

• Mˇejme funkci f , která je prostá. Funkce f −1 se nazyv´ ´ a inverzn´ı k funkci f ⇐⇒ ∀x ∈ D(f ) :

f −1 (y) = x

⇐⇒

f (x) = y.

• Na pˇr´ısluˇsnych ´ definiˇcn´ıch oborech plat´ı: f ◦ f −1 = id, f −1 ◦ f = id, kde id : y = x je identická funkce na pˇr´ısluˇsném definiˇcn´ım oboru. def

• Funkce se nazyv´ ´ a signum a znaˇc´ı se f : y = sign(x) ⇐⇒  x > 0,  1, −1, x < 0, sign(x) =  0, x = 0. def

• Funkce se nazyv´ ´ a celá cˇ a´ st a znaˇc´ı se f : y = [x] ⇐⇒ souˇcasnˇe plat´ı: [x] ∈ Z,

[x] ≤ x < [x] + 1.

• Slovnˇe vyjádˇreno, pokud je x celé cˇ ´ıslo, pak [x] = x, pokud x nen´ı celé cˇ ´ıslo, pak [x] je nejvˇetˇs´ı menˇs´ı celé cˇ ´ıslo.

´ ´ ˇ KAPITOLA 3. ELEMENTARN I´ FUNKCE REALN E´ PROMENN E´

29


3.1. Vlastnosti funkc´ı ˚ Pˇr´ıklad 3.1 Rozhodnˇete a zduvodnˇ ete, zda je funkce f ◦ g rostouc´ı, klesaj´ıc´ı na D(f ◦ g), nebo zˇ a´ dnou tuto vlastnost nemá, je-li f rostouc´ı na D(f ) a g klesaj´ıc´ı na D(g). ˇ sen´ı (V rˇ eˇsen´ı dávejte pozor na znaménka!) f je rostouc´ı na D(f ), tedy dle definice Reˇ ∀a, b ∈ D(f ) : a g(b). Pro sloˇzenou funkci plat´ı: ∀a, b ∈ D(f ◦ g) : a g(b)

f rost. =⇒

f (g(a)) > f (g(b))

Sloˇzená funkce f ◦ g je tedy klesaj´ıc´ı na D(f ◦ g), protoˇze ∀a, b ∈ D(f ◦ g) : a f (g(b)).

3.2. Inverzn´ı funkce Pˇr´ıklad 3.2 Urˇcete, zda existuje funkce inverzn´ı k funkci f : y =

x+1 na D(f ), a pokud ano, urˇcete x−2

pˇredpis inverzn´ı funkce. ˇ sen´ı Funkce f : y = x + 1 je prostá na D(f ) =⇒existuje funkce inverzn´ı f −1 . Pro funkci f : y = f (x) Reˇ x−2 hledáme funkci inverzn´ı, tedy f −1 : x = f −1 (y). Z pˇredpisu funkce f tedy vyjádˇr´ıme x: x+1 , y= x−2 y · (x − 2) =x + 1, yx − x =2y + 1, x(y − 1) =2y + 1, x=

2y + 1 . y−1

Inverzn´ı funkc´ı k dané funkci f je tedy funkce f −1 : y =

2x + 1 , jej´ı definiˇcn´ı obor je D(f −1 ) = R \ {1}. x−1

Pˇr´ıklad 3.3 Urˇcete zda existuje funkce inverzn´ı k funkci f : y = e1−3x na D(f ) a pokud ano, urˇcete jej´ı pˇredpis. ˇ sen´ı Funkce ex je prostá, 1 − 3x je také prostá, tedy i sloˇzená funkce f : y = e1−3x je také prostá Reˇ =⇒existuje funkce inverzn´ı f −1 . Urˇceme pˇredpis inverzn´ı funkce k funkci f : y =e1−3x , ln(y) =1 − 3x, 1 x = (1 − ln y). 3


30

Inverzn´ı funkc´ı je tedy funkce f −1 : y =

1 (1 − ln(x)), jej´ı definiˇcn´ı obor je D(f −1 ) = (0, ∞) . 3

Pˇr´ıklad 3.4 Urˇcete, zda existuje funkce inverzn´ı k funkci f : y = sin 2x na D(f ), pˇr´ıpadnˇe na jeho vhodné podmnoˇzinˇe, a pokud ano, urˇcete jej´ı pˇredpis. ˇ sen´ı Funkce f : y = sin x nen´ı prostá (na D(f )), proto se omez´ıme na mnoˇzinu, na n´ızˇ je f prostá, Reˇ tedy napˇr. h−π/2, π/2i. Funkce g : y = 2x je prostá. Sloˇzená funkce f ◦ g : y = sin 2x je prostá pro 2x ∈ h−π/2, π/2i, tedy x ∈ h−π/4, π/4i. Na intervalu h−π/4, π/4i tedy existuje funkce inverzn´ı (f ◦g)−1 : y = sin 2x 1 x = arcsin y 2 Inverzn´ı funkc´ı je tedy funkce (f ◦ g)−1 : y =

1 2

arcsin x, jej´ı definiˇcn´ı obor je D(f −1 ) = h−1, 1i.

Dovednosti - ulohy ´ ´ Uloha 3.1 Vlastnosti funkc´ı. Rozhodnˇete, zda je funkce f na D(f ) sudá, lichá nebo zˇ a´ dnou z uvedenych ´ vlastnost´ı nemá: √ √ 1 2+x a) f : y = (ex + e−x ); b) f : y = log ; c) f : y = 1 + x2 − 1 − x2 ; 2 2−x p |x| |x − 1| e) f : y = d) f : y = 3 (1 − 2x)2 ; ; f) f : y = ; x x−1 sin x g) f : y = x ln |x|; h) f : y = . x [ a) sudá; c) sudá; e) lichá; g) lichá;

b) lichá; ] d) ani sudá ani lichá; f) ani sudá ani lichá; h) sudá.

´ ˚ Uloha 3.2 Vlastnosti funkc´ı. Rozhodnˇete a zduvodnˇ ete, zda je funkce f ◦ g rostouc´ı, klesaj´ıc´ı na D(f ◦ g), nebo zˇ a´ dnou takovou vlastnost nemá, je-li: a) f je rostouc´ı na D(f ), g je rostouc´ı na D(g); b) f je rostouc´ı na D(f ), g je klesaj´ıc´ı na D(g); c) f je klesaj´ıc´ı na D(f ), g je klesaj´ıc´ı na D(g); d) f je klesaj´ıc´ı na D(f ), g je rostouc´ı na D(g). [ a) rostouc´ı; c) rostouc´ı;

b) klesaj´ıc´ı; ] d) klesaj´ıc´ı.

´ ˚ Uloha 3.3 Vlastnosti funkc´ı. Rozhodnˇete a zduvodnˇ ete, zda je funkce f ◦ g sudá, lichá na D(f ◦ g) nebo zˇ a´ dnou tuto vlastnost nemá, je-li: a) f je sudá na D(f ), g je sudá na D(g); b) f je sudá na D(f ), g je lichá na D(g); c) f je lichá na D(f ), g je lichá na D(g); d) f je lichá na D(f ), g je sudá na D(g); [ a) sudá; c) sudá;

b) sudá; ] d) lichá.

´ ˚ Uloha 3.4 Vlastnosti funkc´ı. Rozhodnˇete a zduvodnˇ ete, zda je funkce f · g sudá, lichá na D(f · g) nebo zˇ a´ dnou takovou vlastnost nemá, je-li: a) f je sudá na D(f ), g je sudá na D(g); b) f je sudá na D(f ), g je lichá na D(g); c) f je lichá na D(f ), g je lichá na D(g); d) f je lichá na D(f ), g je sudá na D(g).


31

[ a) sudá; c) sudá;

b) lichá; ] d) lichá.

´ Uloha 3.5 Inverzn´ı funkce. Zjistˇete, zda funkce f je prostá na svém definiˇcn´ım oboru; pokud ano, urˇcete k n´ı inverzn´ı funkci f −1 , najdˇete jej´ı definiˇcn´ı obor D(f −1 ) a ovˇerˇ te, zda sloˇzené funkce f ◦ f −1 , f −1 ◦ f jsou identická pˇriˇrazen´ı (naˇcrtnˇete grafy dvojice funkc´ı f , f −1 ve stejném souˇradnicovém systému): 1+x ; c) f : y = |1 − 2x|; a) f : y = 2 − 3x; b) f : y = x−2 √ √ 1 x+1 d) f : y = 1 + x − 4; e) f : y = 2 ; f) f : y = √ · x−1 4x − 9 [ a) b) c) d) e) f)

f −1 : y = (2 − x)/3, D(f −1 ) = R; ] 1 + 2x −1 −1 f :y= , D(f ) = R \ {1}; x−1 −1 f neexistuje, f nen´ı prostá (napˇr. f (0) = f (1) = 1); inverzn´ı funkce k f existuje napˇr. na intervalu h1/2, ∞); f −1 : y = 4 + (x − 1)2 , D(f −1 ) = H(f ) = h1, ∞); f −1 neexistuje, f nen´ı prostá (napˇr. f (1) = f (−1) = −1/5); inverzn´ı funkce k f existuje napˇr. na intervalu h0, ∞); 2 x+1 f −1 : y = x−1 , D(f −1 ) = H(f ) = (∞, 1) ∪ (1, ∞).

´ Uloha 3.6 Inverzn´ı funkce. Jsou nˇekteré z následuj´ıc´ıch funkc´ı vzájemnˇe inverzn´ı? Ovˇerˇ te, zda jejich sloˇzen´ım vzniká identická funkce id: f : y = 1 − 4x+2 ; g : y = 2 − log(x + 1); h : y = −2 + log4 (1 − x); k : y = 10x−2 − 2. [ f a h. ]

´ Uloha 3.7 Obor hodnot reálné funkce. Urˇcete, zda pro funkci: x2 2x ˇ ´ıslo 9 ∈ H(f ); a) f : y = b) g : y = je cˇ ´ıslo 10 ∈ H(g). 2 je c 1−x 5 − x2 [ a)ano; b) ano. ]

32


´ Uloha 3.8 Obor hodnot funkce. Urˇcete obor hodnot H(f ) funkce f , kde a, b ∈ R, b > 0 jsou parametry v pˇredpisu funkce, pˇr´ıpadnˇe zakreslete graf funkce: √ a) f : y = x + 1/x; b) f : y = √ ax + b/x; c) f : y = √ x − x + 1; √ e) f : y = 1 − x2 ; f) f : y = x2 − 4; d) f : y = x + 1 − x; g) f : y = 1 − ln x; h) f : y = √ 2 − sin x; √ i) f : y = | sin√ x|; √ j) f : y = 1 + 2 · | sin x|; k) f : y = x + 1 + 1 − x; l) f : y = 2 − x + 4 − 4 − x. [ a) (−∞, −2i ∪ h2, ∞); d) h3/4, ∞); g) (−∞, ∞); j) h1, 3i;

b) (−∞, −2abi ∪ h2ab, ∞); e) h0, 1i; h) h1, √ 3i; k) h 2, 2i;

c) (−∞, −5/4i; ] f) h0, ∞); i) h1, 1i; √ l) h−2, 2 − 2i.

´ Uloha 3.9 Inverzn´ı funkce. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce, pˇredpis inverzn´ı funkce k dané funkci a definiˇcn´ı obor inverzn´ı funkce: √ 2x ; a) f : y = 3 x + 1; b) f : y = 1 + ln(x + 2); c) f : y = 1 + 2x x −x 10 − 10 x−2 d) f : y = x . e) f : y = 1 + arccos 2x ; f) f : y = arcsin −x + 1; 2x 10 + 10 [ a) f : y = x3 − 1; y d) f : y = 12 log( 2−y );

b) f : y = ex−1 − 2; e) f : y = log2 (cos(1 − x));

y c) f : y = log2 ( 1−y ); ] −2 f) f : y = −1+2 . sin x

Schopnosti - aplikace

´ Uloha 3.10 Teplotn´ı stupnice. Mezi Fahrenheitovou (F) a Celsiovou (C) stupnic´ı na mˇerˇ en´ı teploty je lineárn´ı vztah, tud´ızˇ teplotu ve stupn´ıch F lze vypoˇc´ıtat z teploty urˇcené ve stupn´ıch C pomoc´ı lineárn´ı rovnice. a) Najdˇete tento vztah, jestliˇze v´ıte, zˇ e teplotˇe 0 st. Celsia odpov´ıdá 32 st. Fahrenheita a teplotˇe 100 st. Celsia odpov´ıdá 212 st. Fahrenheita. b) Kolika stupn´ım F odpov´ıdá 30 st. Celsia? c) Namˇerˇ eno bylo 100 st. Fahrenheita. Kolik je to ve stupn´ıch Celsia? d) Najdˇete vztah pro vypoˇ ´ cet teploty ve stupn´ıch Celsia, jestliˇze znáte teplotu ve stupn´ıch Fahrenheita. ˚ ehu 24 hodin kol´ısala mezi −49 st. a 14 st. Fahree) Na pozorovac´ı stanici v Antarktidˇe teplota v prubˇ nheita. Urˇcete toto rozmez´ı kol´ısán´ı ve stupn´ıch Celsia. [ a) y = 1, 8x + 32; c) 340/9 st. C; e) mezi −45 a −10 st. C.

b) 86 st. F; ] d) x = 5/9y − 160/9;

´ Uloha 3.11 Funkcionáln´ı model. Tlak p pod vodou podle zkuˇsenost´ı potápˇecˇ u˚ závis´ı na hloubce v metrech, ve které je potápˇecˇ , lineárnˇe podle závislosti p = kd + 1, kde k je nˇejaká konstanta. Na hladinˇe ˚ je tlak 1 atmosféra. Tlak v hloubce 100 metru˚ je pˇribliˇznˇe 10,94 atmosfér. Urˇcete tlak (d = 0 metru) v hloubce 50 metru˚ pod hladinou. [ p = 0, 0994d + 1 atm.; pro d = 50 m je p = 5, 97 atm. ]

´ Uloha 3.12 Funkcionáln´ı model - lineárn´ı závislost. Vodn´ı nádrˇz ”Labut´ı jezero”se v rˇ´ıjnu a listopadu vy˚ ehu celého rˇ´ıjna pˇri rovnomˇerném ubyv´ pouˇst´ı. V prubˇ ´ an´ı vody bylo 11. rˇ´ıjna v nádrˇzi 200 milionu˚ litru˚ vody, 20. rˇ´ıjna obsahovala uˇz jenom 164 milionu˚ litru˚ vody. Vypoˇc´ıtejte: a) kolik vody bylo v nádrˇzi 7. rˇ´ıjna; a) kolik vody bylo v nádrˇzi 17. rˇ´ıjna. ˚ ehu celého listopadu voda ubyvala V prubˇ rovnomˇernˇe m´ırou 2 miliony litru˚ za den. Znázornˇete mnoˇzstv´ı ´ vody v nádrˇzi od zaˇca´ tku rˇ´ıjna a vypoˇc´ıtejte: c) kolik vody bylo v nádrˇzi 17. listopadu; d) kolik vody bylo v nádrˇzi 30. listopadu.


33

˚ ] [ a) 216 mil. litru; ˚ b) 176 mil. litru; c) 86 mil. l; d) 60 mil. l.

´ Uloha 3.13 Vzdálenost bodu˚ v rovinˇe. Svˇetelny´ bod se pohybuje v 1. kvadrantu po pˇr´ımce 4x + 5y = 20. Ve kterém bodˇe Q se bude nacházet nejbl´ızˇ e k pozorovateli v bodˇe [0, 0]? Jaká je ta nejmenˇs´ı vzdálenost? [ Q[80/41, 100/41], nejm. vzdálenost je

20 √ 41. ] 41

´ Uloha 3.14 Vzdálenost bodu˚ v rovinˇe. Trajektori´ı, po které se pohybuje jiny´ svˇetelny´ bod, je cˇ a´ st pˇr´ımky x + 2y = 10 v 1. kvadrantu. a) Ve kterych ´ bodech trajektorie se svˇetelny´ bod nacház´ı ve vzdálenosti 5 jednotek délky od pozorovatele v bodˇe [0, 0]? b) Ve kterém bodˇe Q se bude nacházet nejbl´ızˇ e k pozorovateli v bodˇe [1, 2]? [ a) v bodech [0, 5] a [4, 3]; b) [65/41, 112/41]. ]

´ Uloha 3.15 Vzdálenost bodu˚ v rovinˇe - navigaˇcn´ı uloha. ´ Bod P je um´ıstˇeny´ na ose ox ve vzdálenosti 52 cm od zaˇca´ tku souˇradnicového systému, bod Q se nacház´ı na ose oy v tézˇ e vzdálenosti 52 cm od zaˇca´ tku souˇradnicového systému [0, 0]. Bod P se bude pohybovat stálou rychlost´ı 4 cm/s smˇerem k zaˇca´ tku a bod Q se ve stejném okamˇziku pohybuje stálou rychlost´ı 8 cm/s také smˇerem k zaˇca´ tku. a) Vypoˇc´ıtejte vzdálenosti bodu˚ P , Q v cˇ ase t = 0, po uplynut´ı 1 vteˇriny, resp. 13 vteˇrin a znázornˇete graficky. b) Kdy pˇri tomto pohybu bude vzdálenost bodu˚ P , Q rovna pˇresnˇe 26 cm? Jaká je tehdy poloha bodu˚ P , Q? c) Dostanou se nˇekdy body P , Q do nejmenˇs´ı moˇzné vzdálenosti? Kdy to nastane a jaká bude ta nejmenˇs´ı vzdálenost? [ a)

b) c)

√ V cˇ ase t = 0 vzdálenost√ d(P Q) = 52 2 cm, ] v cˇ ase t = 1 d(P Q) = 4 265 cm, v cˇ ase t = 13 d(P Q) = 52 cm; t1 = 6, 5 vteˇrin a také t2 = 9, 1 vteˇrin; nejmenˇs´ı vzdálenost 23,255 cm v cˇ ase 7,8 vt.

´ Uloha 3.16 Vzdálenost bodu˚ v rovinˇe - navigaˇcn´ı uloha. ´ Bod A um´ıstˇeny´ na kladné poloose ox se zaˇcne pˇribliˇzovat k zaˇca´ tku souˇradnicového systému stálou rychlost´ı 4 cm za vteˇrinu, bod B um´ıstˇeny´ na kladné poloose oy se zaˇcne ve stejném okamˇziku vzdalovat od zaˇca´ tku souˇradnicového systému [0, 0] stálou rychlost´ı 7,5 cm za vteˇrinu. Po uplynut´ı 2 vteˇrin je vzdálenost bodu˚ A, B právˇe 17 cm. a) Jaká byla poloha bodu˚ A, B na souˇradnicovych ´ osách na zaˇca´ tku pohybu? b) Jaká byla vzdálenost bodu˚ A, B na zaˇca´ tku (v cˇ ase t = 0)? [ a) A[16, 0], B[0, 0]; b) vzdálenost d(AB) = 16 cm. ]

´ ˚ vyrobek Uloha 3.17 Analýza zlomového bodu. Vyrobce prodává svuj za cenu 110 dolaru˚ za kus. Cel´ ´ kové náklady vyrobce na vyrobu tohoto vyrobku sestávaj´ı z pevnych ıch ´ ´ ´ ´ nákladu˚ 7 500 dolaru˚ a vyrobn´ ´ nákladu˚ 60 dolaru˚ na 1 kus vyrobku. ´ a) Zjistˇete, jak závis´ı pˇr´ıjem R(x) a celkové náklady C(x) vyrobce na poˇctu vyrábˇenych u˚ x a ´ ´ vyrobk ´ znázornˇete pˇr´ıjem a náklady graficky. ˚ b) Kolik vyrobk u˚ mus´ı vyrobce prodat, aby se jeho pˇr´ıjem vyrovnal nákladum? Interpretujte. ´ ´ c) Jaky´ je zisk nebo ztráta vyrobce pˇri prodeji 100 kusu˚ vyrobku? (K tomu sestavte funkci zisku P (x) ´ ´ v závislosti na poˇctu vyrábˇenych u˚ x.) ´ vyrobk ´ ˚ Kolik vyrobk d) Kolik vyrobk u˚ mus´ı vyrobce prodat, aby jeho zisk byl právˇe 1 250 dolaru? u˚ x mus´ı ´ ´ ´ ˚ vyrobce prodat, aby jeho zisk byl právˇe z dolaru? ´ [ a) R(x) = 110x, C(x) = 7500 + 60x; ] ˚ b) 150 vyrobk u; ´ c) P (x) = 50x − 7500; P (100) = −2 500 dolaru˚ (ztráta); ˚ x = 150 + z/50. d) 175 vyrobk u; ´

34


´ Uloha 3.18 Analýza zlomového bodu. Firma produkuj´ıc´ı CD hudebn´ıch skupin má pˇri jejich pˇr´ıpravˇe fixn´ı, konstantn´ı náklady ve vyˇ ´ si 9 000 dolaru˚ a variabiln´ı náklady 3,5 dolaru˚ na jeden kus (marketing, reklama atd.). Z prodeje má firma pˇr´ıjem 5 dolaru˚ za 1 CD. a) Zjistˇete, jak závis´ı pˇr´ıjem R, náklady C a zisk P vyrobce na poˇctu vyrábˇenych ´ ´ CD a znázornˇete tyto závislosti graficky. ˚ b) Kolik kusu˚ mus´ı firma prodat, aby dosáhla zisk nejménˇe 18 000 dolaru? c) Pro jaky´ poˇcet CD bude pˇr´ıjem firmy vˇetˇs´ı neˇz náklady nebo se jim bude rovnat? [ a) R(x) = 5x, C(x) = 9000 + 3, 5x, P (x) = R(x) − C(x); ] ˚ b) x ≥ 18 000 dolaru; ˚ c) 6 000 kusu.

´ Uloha 3.19 Analýza zlomového bodu. Studenti si v létˇe pronajali garázˇ a montuj´ı v n´ı laminátové kajaky. ˚ Kajaky prodávaj´ı Nájem za garázˇ je 800 dolaru˚ za celé léto, náklady na postaven´ı 1 kajaku jsou 60 dolaru. po 220 dolarech za kus. ˚ a) Kolik kajaku˚ mus´ı vyrobit, aby se jejich pˇr´ıjem z prodeje pˇresnˇe vyrovnal nákladum? Znázornˇete graficky. ˚ b) Kolik kajaku˚ mus´ı vyrobit, aby jejich zisk byl alesponˇ 1600 dolaru? ˚ b) 15 kajaku. ˚ ] [ a) 5 kusu;

ˇ ´ Uloha 3.20 Analýza zlomového bodu. Clenstv´ ı v soukromém tenisovém klubu stoj´ı 3 000 korun roˇcnˇe a poplatek za kaˇzdou hodinu hry je 50 korun. Ve druhém tenisovém klubu je roˇcn´ı poplatek 1 500 korun a za hodinu hry se plat´ı 60 korun. Jestliˇze uvaˇzuje tenisovy´ hrácˇ jenom o finanˇcn´ı vyhodnosti, podle cˇ eho ´ ˚ Udˇelejte analyzu ´ se rozhodne pˇri vybˇ a znázornˇete graficky. ´ eru jednoho z klubu? ´ ulohy [ pro x < 150 hodin hry roˇcnˇe vybrát druhy´ klub, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe prvn´ı klub. ]

´ Uloha 3.21 Analýza zlomového bodu. Urˇcité zboˇz´ı má funkci nab´ıdky S(p) = p − 10 tis´ıc kusu˚ (za urˇcité ˚ kde p je cena tohoto zboˇz´ı cˇ asové obdob´ı)a pˇr´ısluˇsná funkce poptávky je D(p) = 5 600/p tis´ıc kusu, v korunách. a) Znázornˇete ve stejném souˇradnicovém systému obˇe funkce poptávky a nab´ıdky. b) Vypoˇc´ıtejte rovnovázˇ nou cenu p0 . Vypoˇc´ıtejte, jaká je poptávka, resp. nab´ıdka pˇri této rovnovázˇ né cenˇe. ˚ ] [ b) p0 = 80 korun; S(80) = D(80) = 70 tis´ıc kusu.

´ ˚ covna automobilu˚ uˇ ´ ctuje základn´ı poplatek 420 korun a pak Uloha 3.22 Analýza zlomového bodu. Pujˇ 4,50 korun za kaˇzdy´ kilometr j´ızdy. Jiná agentura má základn´ı poplatek 540 korun a za kilometr j´ızdy poˇzaduje 3,50 korun. Kterou agenturu si zákazn´ık vybere? ˚ cuje na v´ıce neˇz 120 km, zvol´ı druhou agenturu; [ jestli si pujˇ ] jestli na ménˇe neˇz 120 km, vybˇ ejˇs´ı. ´ er prvn´ı agentury bude vyhodnˇ ´

´ Uloha 3.23 Analýza zlomového bodu. Jestliˇze se urˇcitá elektrosouˇca´ stka prodává za cenu p korun za kus, ˚ zat´ımco poptávka po souˇca´ stkách je urˇcena jako vyrobci ji budou dodávat na trh v mnoˇzstv´ı p2 /4 kusu, ´ ˚ Urˇcete takovou cenu p0 , pro kterou je poptávka po souˇca´ stkách rovna jejich nab´ıdce na (140 − 2p) kusu. trhu; urˇcete velikosti nab´ıdky a poptávky pˇri této cenˇe. [ p = 20 korun; poptávka a nab´ıdka jsou tehdy stejné D(p) = S(p) = 100 kusu˚ ] ’

´ Uloha 3.24 Inverzn´ı funkce. Pˇredpokládejme, zˇ e automobil má spotˇrebu 6,4 litru˚ benz´ınu na 100 km. a) Jaká je spotˇreba na 250 km? Na x km? ˚ b) Kolik km ujede auto na 1 litr, resp. na 20 litru˚ benz´ınu? Kolik km ujede na x litru? ˚ 0, 064x litru; ˚ b) 15,625 km, 312,5 km; 15, 625x km. ] [ a) 16 litru,

´ Uloha 3.25 Inverzn´ı funkce. Auto má spotˇrebu 5,5 l/100 km; jiné auto na 1 litr benz´ınu téhoˇz druhu najede ´ 18 km. Jestliˇze vezmeme v uvahu pouze spotˇrebu benz´ınu, j´ızda kterym ´ autem je draˇzsˇ´ı? Znázornˇete grafy spotˇreby v l/100 km pro obˇe auta. [ spotˇreba druhého je 5,56 l/100 km. ]


35

Otestujte se

cos x ´ Uloha 3.26 Rozhodnˇete, zda je funkce f : y = sudá, lichá nebo zˇ a´ dnou z uvedenych ´ vlastnost´ı x nemá. [ f je lichá. ]

´ ˚ Uloha 3.27 Je-li f je rostouc´ı na D(f ) a g je klesaj´ıc´ı na D(g) rozhodnˇete a zduvodnˇ ete, zda je funkce f ◦ g rostouc´ı, klesaj´ıc´ı na D(f ◦ g) nebo zˇ a´ dnou tuto vlastnost nemá. [ f ◦ g je klesaj´ıc´ı. ]

´ Uloha 3.28 Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce, pˇredpis inverzn´ı funkce a definiˇcn´ı obor inverzn´ı funkce pro funkci f : y = e2x−3 . [ f −1 : y =

1 (3 2

+ lnx), D(f ) = (0, ∞). ]

KAPITOLA 4

Limita funkce Vystupy ze studia, Learning Outcomes ´ Znalosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • • • • •

definuje pojem limita funkce v bodˇe, resp. pojem jednostranné limity funkce v bodˇe; formuluje vˇetu o aritmetice limit (o limitˇe souˇctu, souˇcinu a pod´ılu funkc´ı); vysvˇetl´ı vˇetu o limitˇe sloˇzené funkce; vysvˇetl´ı geometricky´ vyznam definice limity funkce; ´ zná základn´ı typové limity.

Dovednosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • pouˇzije definici limity funkce pro ovˇerˇ en´ı, zˇ e funkce má v daném bodˇe danou hodnotu limity; • pouˇzije vˇetu o aritmetice limit pro vypoˇ ´ cet limit; • pouˇzije vˇetu o limitˇe sloˇzené funkce pro vypoˇ ´ cet limit.

Schopnosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • rozum´ı definici pojmu limita funkce v bodˇe; • na základˇe znalosti limity funkce v daném bodˇe je schopen charakterizovat chován´ı funkce v okol´ı tohoto bodu; • upˇresn´ı, jak pojem limita funkce v bodˇe charakterizuje lokáln´ı vlastnost funkce; • dokázˇ e lokáln´ı chován´ı funkce zakreslit do kartézské soustavy souˇradnic; • dovede pouˇz´ıt typové limity pro vypoˇ ´ cet zadané limity.

37


38

ˇ y´ pˇrehled Znalosti - strucn ¨ def

• Funkce f má v bodˇe a limitu A, ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R :

x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) =⇒ f (x) ∈ (A − ε, A + ε).

Symbolicky zapisujeme: lim f (x) = A.

x→a

Slovnˇe vyjádˇreno funkce f (x) má v bodˇe a limitu A právˇe tehdy, kdyˇz pro jakékoliv dané kladné reálné cˇ ´ıslo ε plat´ı: jestliˇze je vzdálenost x a a menˇs´ı neˇz nˇejaké kladné reálné cˇ ´ıslo δ, které závis´ı na volbˇe ε , pak je vzdálenost f (x) a A menˇs´ı neˇz toto ε. Pro takto definovanou limitu se nˇekdy pouˇz´ıvá oznaˇcen´ı vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe. def

• Funkce f má v bodˇe a limitu A zprava, resp. zleva ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R :x ∈ (a, a + δ) =⇒ f (x) ∈ (A − ε, A + ε); ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R :x ∈ (a − δ, a) =⇒ f (x) ∈ (A − ε, A + ε). Symbolicky zapisujeme: lim f (x) = A,

x→a+

resp. lim− f (x) = A. x→a

• Funkce f má v bodˇe a limitu A ⇐⇒ lim+ f (x) = lim− f (x) = A. Pokud lim+ f (x) 6= lim− f (x), x→a

x→a

x→a

x→a

pak limita funkce v bodˇe a neexistuje a funkce má v bodˇe a pouze jednostranné limity. def

• Funkce f má v +∞ limitu A ∈ R ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃K > 0 : ∀x ∈ R :

x ∈ (K, ∞) =⇒ f (x) ∈ (A − ε, A + ε).

Slovnˇe vyjádˇreno funkce f má v bodˇe +∞ limitu A ∈ R právˇe tehdy, kdyˇz k libovolnému ε > 0 existuje K > 0 tak, zˇ e |f (x) − A| < ε, jestliˇze x > K. Analogicky lze definovat koneˇcnou limitu funkce f v bodˇe −∞. Pro takto definovanou limitu se pouˇz´ıvá oznaˇcen´ı vlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇe. def

• Funkce f má v bodˇe a ∈ R limitu +∞ ⇐⇒ ∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R :

x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) =⇒ f (x) ∈ (L, ∞).

Slovnˇe vyjádˇreno funkce f má v bodˇe a ∈ R limitu +∞ právˇe tehdy, kdyˇz k libovolnému reálnému cˇ ´ıslu L, L > 0 existuje δ > 0 tak, zˇ e f (x) > L, jestliˇze 0 < |x − a| < δ. Pro takto definovanou limitu se pouˇz´ıvá oznaˇcen´ı nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe. def

• Funkce f má v bodˇe +∞ limitu +∞ ⇐⇒ ∀L > 0 ∃K > 0 ∀x ∈ R :

x ∈ (K, ∞) =⇒ f (x) ∈ (L, ∞).

Slovnˇe vyjádˇreno funkce f má v +∞ limitu +∞ právˇe tehdy, kdyˇz k libovolnému reálnému cˇ ´ıslu L, L > 0 existuje cˇ ´ıslo K > 0 tak, zˇ e f (x) > L, jestliˇze x > K. Pro takto definovanou limitu se nˇekdy pouˇz´ıvá oznaˇcen´ı nevlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇe. • Mnoˇzinu R ∪ {±∞} oznaˇcujeme symbolem R∗ . • Pro ∞, a ∈ R+ plat´ı: – ∞ + a = ∞, ∞ − a = ∞, – a + ∞ = ∞, a − ∞ = −∞, – a · ∞ = ∞, −a · ∞ = −∞, – ∞ · ∞ = ∞, −∞ · ∞ = −∞, a ∞ – = 0, = ∞. ∞ a ∞ 0 ∞ 0 • Vyrazy ∞ − ∞, 0 · ∞, , , 1 , 0 a ∞0 oznaˇcujeme je jako neurˇcité, mohou nabyvat libo´ ´ ∞ 0 volnych v tomto tvaru je tˇreba upravit. ´ hodnot a vyraz ´

KAPITOLA 4. LIMITA FUNKCE

39

• Mˇejme f, g : R → R, a ∈ R∗ , lim f (x) = A, lim g(x) = B a A, B ∈ R∗ . Potom x→a

x→a

a) je-li souˇcet A + B definován, je lim (f (x) + g(x)) = A + B, x→a

b) je-li souˇcin A · B definován, je lim (f (x) · g(x)) = A · B x→a

f (x) A A c) je-li pod´ıl definován, je lim = · x→a g(x) B B • Limita sloˇzené funkce: mˇejme f, g : R → R a dále lim f (x) = A ∈ R, g je spojitá v A. Pak x→a

lim g(f (x)) = g(A).

x→a

4.1. Tabulka typovych ´ limit 1 =∞ x→0+ x 1 =0 lim x→±∞ x ex − 1 lim =1 x→0 x xk lim x = 0 x→∞ e lim

lim xk ln x = 0, k > 0

x→0+

1

, neex. pro k liché (x − a)k 1 =∞ lim x→a+ x − a lim

1 = −∞ x→0− x sin x =1 lim x→0 x ln x lim =1 x→1 x − 1 ln x lim = 0, k > 0 x→∞ xk !x 1 =e lim 1 + x→∞ x 1 lim = ∞, pro k sudé x→a (x − a)k 1 = −∞ lim x→a− x − a lim

x→a


4.2. Definice limity, aritmetika limit Pˇr´ıklad 4.1 Dle definice ukaˇzte, zˇ e lim

x→1

2x + 3 5 = . 2 2

ˇ sen´ı Zvolme libovolné ε > 0 a hledejme δ > 0 tak, zˇ e pro x ∈ R plat´ı Reˇ 2x + 3 5 |x − 1| < δ ⇒ − < ε. 2 2 Plat´ı

2x + 3 − 5 < ε ⇔ |x − 1| < ε. 2

Pokud za δ zvol´ıme ε, bude poˇzadovaná nerovnost splnˇena, takˇze jsme dokázali, zˇ e lim

x→1

Pˇr´ıklad 4.2 Dle definice ukaˇzte, zˇ e lim e−x = 0. x→+∞

ˇ sen´ı Zvolme libovolné ε > 0 a hledejme k > 0 tak, zˇ e pro x ∈ R plat´ı Reˇ x > k ⇒ |e−x − 0| < ε. Plat´ı |e−x | < ε ⇔ e−x < ε ⇔ −x < ln ε ⇔ x > − ln ε.

2x + 3 5 = . 2 2


40

Necht’ k ∗ je libovolné kladné cˇ ´ıslo. Nyn´ı staˇc´ı poloˇzit k = max{k ∗ , − ln ε}. Pak jistˇe k ≥ − ln ε a pro x > k plat´ı e−x < ε· Pˇr´ıklad 4.3 Dle vˇety o aritmetice limit s vyuˇzit´ım tabulky typovych ´ limit urˇcete limitu lim

x→5

x3 − x x3 − 4x

·

ˇ sen´ı Upravujeme dle vˇety o aritmetice limit: Reˇ lim

x→5

x3 − x x3 − 4x

lim (x3 − x)

=

x→5

lim (x3 − 4x)

lim x3 − lim x

x→5

=

x→5

lim x3 − 4 lim x x→5 x→5 x→5 3 lim x3 − lim x lim x − lim x x→5 x→5 = x→5 3 = x→5 3 lim x − 4 lim x lim x − 4 lim x x→5 x→5 x→5

x→5

53 − 5

8 = · = 3 7 5 −4·5 Vysledek: ´ lim

x→5

x3 − x 3

x − 4x

2

=

8 · 7

Pˇr´ıklad 4.4 Dle vˇety o aritmetice limit s vyuˇzit´ım tabulky typovych ´ limit urˇcete limitu lim

x→2

x3 − x x3 − 4x

·

ˇ sen´ı Upravujeme dle vˇety o aritmetice limit: Reˇ lim

x→2

x3 − x x3 − 4x

= lim

x(x2 − 1)

x→2

x2 − 1 x→2 (x − 2)(x + 2)

= lim

x(x2 − 4)

x2 − 1 x2 − 1 1 1 · = lim · lim . x→2 x + 2 x→2 x→2 x−2 x+2 x−2

= lim

1 existuj´ı pouze jednostranné limity (viz tabulka typovych ´ limit), proto pokraˇcujeme x−2 nejprve pro x → 2− : Pro limitu lim

x→0

lim−

x→2

x2 − 1 1 3 · lim− = · (−∞) = −∞. x + 2 x→2 x − 2 4

Dále urˇc´ıme limitu pro x → 2+ : lim

x→2+

x2 − 1 1 3 · lim = · ∞ = ∞. x + 2 x→2+ x − 2 4

Závˇer: lim

x→2

x3 − x x3 − 4x

neexistuje

Pˇr´ıklad 4.5 Dle vˇety o aritmetice limit s vyuˇzit´ım tabulky typovych ´ limit urˇcete limitu lim

x→+∞

ˇ sen´ı Upravujeme vyraz Reˇ v limitˇe: ´

x3 − x x3 − 4x

·


41

1 3 x 1 − x3 − x x2 = lim lim 3 2 x→+∞ 3 x→+∞ x − 4x 1 x 1−1 x 1 1 · x x = 1 1−4 x

1− = lim

x→+∞

x → ∞, tedy x nen´ı rovno nule, lze krátit

1 1 lim x→+∞ x→+∞ x x→+∞ x 1−0 = = 1. 1 1−4·0 lim 1 − 4 lim x→+∞ x→+∞ x lim 1 − lim

Vysledek: ´ lim

x→+∞

x3 − x x3 − 4x2

= 1.

4.3. Limita sloˇzené funkce, typové limity Pˇr´ıklad 4.6 Urˇcete limitu lim

x→0

sin 100x · x

ˇ sen´ı lim sin 100x = 0 a lim x = 0, jejich dosazen´ım bychom dostali zlomek 0/0. Tento zlomek vˇsak Reˇ x→0

x→0

nen´ı definovany´ a nelze pouˇz´ıt pravidlo pod´ılu. Uvaˇzujme vnitˇrn´ı funkci f : y = 100x, pro kterou plat´ı lim f (x) = 0 a vnˇejˇs´ı funkci g : z = sin y/y, pro kterou plat´ı lim sin y/y = 1. Protoˇze pro x bl´ızká 0 x→0

y→0

˚ zeme pouˇz´ıt vˇetu o limitˇe sloˇzené funkce a psát taková, zˇ e x 6= 0, je 100x 6= 0, muˇ lim

x→0

sin 100x sin 100x = lim 100 · x→0 x 100x sin y y→0 y = 100 · 1 = 100. = lim 100

Pˇr´ıklad 4.7 Urˇcete limitu lim x→π/6

2 sin2 x + sin x − 1 2 sin2 x − 3 sin x + 1

·

ˇ sen´ı Je lim sin x = 1/2, takˇze lim sin2 x = 1/4 a lim (2 sin2 x + sin x − 1) = 0. Podobnˇe zjist´ıme, Reˇ x→π/6

x→π/6

x→π/6

zˇ e lim (2 sin2 x − 3 sin x + 1) = 0. Zlomek 0/0 nen´ı definován, takˇze pro vypoˇ ´ cet limity zadané funkce x→π/6

nelze pouˇz´ıt pravidlo pod´ılu. Uvaˇzujme vˇsak vnitˇrn´ı funkci f : y = sin x, pro kterou plat´ı ´ lim f (x) = 1/2 a vnˇejˇs´ı funkci g : z = (2y 2 + y − 1)/(2y 2 − 3y + 1), pro kterou podle pˇredchoz´ı uvahy x→π/6

plat´ı

lim g(y) = lim y→1/2

y→1/2

2y 2 + y − 1 2y 2 − 3y + 1

1 2 y− 2

!

1 2 y− 2

!

= lim y→1/2

(y + 1) (y − 1)

3 y+1 2 y→1/2 = lim = = = −3. y→1/2 y − 1 lim (y − 1) 1 y→1/2 − 2 lim (y + 1)


42

˚ zeme pouˇz´ıt vˇetu o limitˇe sloˇzené Protoˇze pro x bl´ızká k cˇ ´ıslu π/6 a x 6= π/6 je f (x) = sin x 6= 1/2, muˇ funkce a z´ıskáme 2y 2 + y − 1 2 sin2 x + sin x − 1 = lim = −3. lim 2 2 x→π/6 2 sin x − 3 sin x + 1 y→1/2 2y − 3y + 1 √ 1− x · x→0 1 − x

Pˇr´ıklad 4.8 Vypoˇctˇete limitu lim ˇ sen´ı Upravujeme Reˇ

√ √ √ 1− x 1+ x 1−x 1− x √ = lim √ = lim · x→1 1 − x x→1 1 − x 1 + x x→1 (1 − x)(1 + x) lim

1 √ = 2. x→1 (1 + x)

= lim

Pˇr´ıklad 4.9 Vypoˇctˇete limitu lim

x→∞

2x + 5 2x + 1

2x ·

ˇ sen´ı Upravujeme Reˇ !2x !2x 4 2x + 5 = lim 1 + lim x→∞ x→∞ 2x + 1 2x + 1 1 4 = t 2x + 1 2x + 1 , pro x → ∞ je t → ∞ substituce t= 4 x = 2t − 1 2 !2(2t− 12 ) 1 = lim 1 + t→∞ t !4t !−1 1 1 = lim 1 + · 1+ t→∞ t t   !t 4 !−1 1 1   = lim 1 + · lim 1 + t→∞ t→∞ t t = e4 · 1 = e4 Závˇer: lim

x→∞

2x + 5 2x + 1

!2x = e4 .

dle tabulky typ. limit


43

Dovednosti - ulohy ´ ´ ˚ Uloha 4.1 Limita funkce v bodˇe. Urˇcete následuj´ıc´ı limity, v pˇr´ıpadˇe zˇ e neexistuj´ı uved’te duvod: 5x2 − 8x − 13 3x2 − x − 10 x4 − 81 a) lim ; b) lim ; c) lim 2 ; 2 x→2 x→3 2x − 5x − 3 x→3 x2 − 5 x√ −4 3 3 2 x − 7x x − 2x − 4x + 8 3− x+5 ; f) lim d) lim ; e) lim ; 4 2 x→0 x→2 x→4 x−4 x − 8x + 16 x3 x4 + 5x − 3 x3 − 1 p g) lim ; h) lim 2. x→0 2 − x→1 (x − 1) x2 + 4 [ a) 2; e) 11; g) −∞;

b) 11/4; f) −1/6; h) +∞.

c) 108/7; ]

´ ˚ Uloha 4.2 Limita funkce v bodˇe. Urˇcete následuj´ıc´ı limity, v pˇr´ıpadˇe zˇ e neexistuj´ı uved’te duvod: 2 2 x − 3x − 4 x −1 ; c) lim ; a) lim (2 + x4 (5x2 − 12)); b) lim 2 x→1 1 − x x→4 x→4 x − 5x + 4 2x + 3 x2 + x − 6 3x − 4 d) lim ; e) lim ; f) lim 2 3; x→3 x − 3 x→2 x−2 x→4/3 4x − 3x √ 2 2 x−2 x −x−6 x + 4x − 5 . g) lim 2 ; h) lim ; i) lim 2 x→1 x→4 x − 4 x→−2 x + 3x + 2 x −1 [ a) 17 410; d) neexistuje; g) 5;

b) 5/3; e) 5; h) 3;

c) -2; ] f) -9/16; i) 1/4.

´ ˚ Uloha 4.3√ Limita funkce v bodˇe. Urˇcete následuj´ıc´ı limity, v pˇr´ıpadˇe zˇ e neexistuj´ı uved’te duvod: x3 − 5x2 + 3x + 9 x3 + 8 x−3 a) lim ; b) lim ; c) lim 2 ; 2 x→9 x − 9 x→3 x→−2 x − 4 +9 p x − 6x p p 4 + x2 − 4 − x2 x2 + 9 − 3 x3 + 2x2 − 16 ; d) lim 3 ; e) lim ; f) lim 2 2 x→2 x − 3x + x + 2 x→0 x→0 4x 3x x3 + x2 + x + 1 x3 + x2 + x + 1 16 − x2 √ g) lim ; h) lim ; i) lim . 2 2 x→−1 2(x + 3x + 2) x→1 2(x + x − 2) x→4 1 − 5−x [ a) 1/6; d) 20; g) 1;

b) 4; e) 1/6; h) neexistuje;

c) -3; ] f) 0; i) -16.

´ ˚ Uloha 4.4 Limita funkce v bodˇe. Urˇcete následuj´ıc´ı limity, v pˇr´ıpadˇe zˇ e neexistuj´ı uved’te duvod: 3 1 1 x + 9x a) lim 2 ; b) lim 2 ; c) lim 4 ; x→−3 x − 81 x→1− x − 1 x→1+ x − 1 x3 − 9x 3x2 − x − 10 3x2 − x − 10 d) lim 4 ; e) lim ; f) lim ; 2 x→−3 x − 81 x→2 x→0 x − 2x x2 − 2x 3 2 3 8 2x + 2x + 3x + 3 x − 2x − 1 x − 3x + 2 g) lim ; h) lim 5 ; i) lim 6 . 3 2 x→−1 x + x + x + 1 x→−1 x − 2x − 1 x→1 x − 2x + 1 [ a) −∞; d) −1/6; g) 5/2;

b) ∞; e) 11/2; h) 1/3;

c) neexistuje; ] f) neexistuje; i) 5/4.

´ ’ ˚ Uloha 4.5 Limita funkce v bodˇe. Urˇcete následuj´ıc´ı limity, v pˇr´ıpadˇe zˇ e neexistuj´ p ı uved te duvod: 2 2 1 x + 16 − 5 x + 5x + 6 b) lim 2 c) lim ; a) lim 2 2 ; 11 ; x→−3 x (x + 3) x→−3 x (x + 3) x→3 x−3 √ √ (x − 4)2 1+x− 1−x 36 − x2 d) lim √ ; e) lim ; f) lim √ ; x→4 x→0 x→6 x x + 12 − 4 3+x−3

44


[ a) neexistuje; d) 0;

b) neexistuje; e) 1;

c) 3/5; ] f) −72;

´ ˚ Uloha 4.6 Limita funkce v bodˇe. Urˇcete následuj´ıc´ı limity, v pˇr´ıpadˇe zˇ e neexistuj´ı uved’te duvod: tg2 x sin2 x tgx √ √ √ a) lim ; b) lim √ ; c) lim √ ; x→0 1 − x→0 x→0 1 − sin x − 1 + sin x cos 2x 3− √ 2 + cos x 1 − cos x + 2 cos 2x 1 ; e) lim ; d) lim √ ; f) lim √ 2 x→π x→0 cos x − 1 sin 2x x→π/4 sin x − cos x x sin 2x sin2 x ; h) lim ; i) lim g) lim 2 . x→0 x→0 4x x x→π/2 1 − sin x √ b) 4 3; 1 e) − 16 ; h) 2;

[ a) 1; √ d) −2 4 2; g) +∞;

c) −1; ] f) −∞; i) 41 .

´ ˚ Uloha 4.7 Limita funkce v bodˇe. Urˇcete následuj´ıc´ı limity, v pˇr´ıpadˇe zˇ e neexistuj´ı uved’te duvod: sin x + sin 3x 4x + sin 8x sin2 x + x a) lim ; b) lim ; c) lim ; x→0 x→0 x→0 x 4x 10x 2 1 − cos 2x tgx − sin 2x cos x − 1 + sin 2x ; e) lim ; f) lim ; d) lim x→0 x→0 x→0 x x sin x √x 1 − cos x sin 4x 1 − cos 2x g) lim ; h) lim √ ; i) lim ; x→0 x→0 x→0 x2 x2 x + 1 − 1 √ 3 1 − cos x 1 − cos x √ ; j) lim+ k) lim . x→0 x sin 2x x→0 1 − cos x b) 3; e) 2; h) 8; k) 3/4.

1 c) 10 ; ] f) −1; i) 1;

b) 3/10; e) ∞; h) 1;

c) −1; ] f) 2; i) −1.

[ a) 4; d) 2; g) 21 ; j) 0;

´ Uloha 4.8 Limita funkce v nevlastn´ım bodˇe. Vypoˇctˇete limity v nevlastn´ıch bodech: x 3x2 + 2x + 1 50 − x3 a) lim ; b) lim ; c) lim ; 2 2 x→∞ (x + 1) x→∞ x→−∞ 2 + x3 10x − 3 s 3 4x + 1 1 − 2x 1 − 2x3 d) lim ; e) lim ; f) lim ; x→∞ x→−∞ 1 + 2x x→−∞ (3x + 1)2 x−3 s p p 4x + 1 x2 + 1 x2 + 1 ; h) lim ; i) lim . g) lim x→−∞ x→∞ x→−∞ x−3 x x [ a) 0; d) −1; g) 2;

´ Uloha 4.9 Limita funkce v nevlastn´ım bodˇe. Vypoˇctˇete limity v nevlastn´ıch bodech: √ 4 1+ x 3x2 − 4 3x2 − 4 √ a) lim ; b) lim p ; c) lim p ; 4 x→∞ 1 − x→∞ x→−∞ x x5 − 7x2 x5 − 7x2 √ √ √ √ (3x − 2)2 d) lim ; e) lim ( x + 1 − x); f) lim ( x + 1 − x); 3 x→∞ (2x − 1) x→∞ x→−∞ √ √ log(x2 − 20x + 2) g) lim ( x2 + 1 − x); h) lim ( x2 + 2x + 2 − x); i) lim . x→∞ x→∞ x→∞ log(x10 + 2x + 3) [ a) −1; d) 0; g) 0;

b) 0; e) 0; h) 1;

c) neexistuje; ] f) neexistuje; i) 1/5.


45

´ ˚ Uloha 4.10 Limita funkce v bodˇe. Urˇcete následuj´ıc´ı limity, v pˇr´ıpadˇe zˇ e neexistuj´ı uved’te duvod: 1 x x 2 x+1 1 a) lim 1 + ; b) lim ; c) lim 1 + 2x2 2x ; x→∞ x→∞ x − 1 x→0 x x2 3x x+1 2 2x 2x + 3 x +2 ; d) lim ; e) lim ; f) lim x→∞ 2x − 3 x→∞ 2x + 1 x→∞ x2 + 1 2 2 x x x +2 ln(1 + ex ) 1 g) lim ; h) lim ; i) lim cos . x→∞ x2 + 1 x→∞ x→∞ x x [ a) e; d) e3/2 ; g) e;

b) e2 ; e) e; h) 1;

c) e; ] f) e; i) 1.

Otestujte se

´ Uloha 4.11 Vypoˇc´ıtejte následuj´ıc´ı limity: 1/x + 1/2 2x2 + 7x − 2 a) lim ; b) lim ; x→+∞ 6x3 − 4x + 3 x→−2 x3 + 8 x+1 √ √ 2x + 3 d) lim ; e) lim ( x + 1 − x); x→∞ 2x + 1 x→∞ e2x − 1 e4x − 1 g) lim ; h) lim ; x→0 x→0 sin 2x 3x

2 sin2 x − cos 2x √ ; c) lim x→π/6 2 sin x − 1 p √ 1 + tg x − 1 + sin x f) lim ; x→0 x3 ex − 1 i) lim . x→0 tg 2x [ a) −1/48; d) e; g) 2/3;

b) 0; e) 0; h) 2;

c) 4; ] f) 1/4; i) 1/2.

KAPITOLA 5

Spojitost funkce Vystupy ze studia, Learning Outcomes ´ Znalosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • formuluje definici pojmu spojitost funkce v bodˇe; • vysvˇetl´ı pojem funkce spojitá na intervalu; • vyjmenuje vlastnosti funkce spojité na intervalu (omezenost, nabyv´ ´ an´ı mezihodnot, existence maxima a minima); • vysvˇetl´ı, jak nalézt nulovy´ bod funkce spojité na uzavˇreném intervalu.

Dovednosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • • • •

urˇc´ı, zda je funkce v daném bodˇe (pˇr´ıpadnˇe na celém intervalu) spojitá nebo nespojitá; ˚ zduvodn´ ı, zˇ e pro danou rovnici existuje na daném intervalu jej´ı rˇ eˇsen´ı; analyzuje, zda funkce spojitá na daném intervalu nabyv´ ´ a kladné nebo záporné hodnoty; rˇ eˇs´ı rovnice v pod´ılovém nebo v souˇcinovém tvaru.

Schopnosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • je schopen graficky charakterizovat spojité a nespojité funkce; • rozliˇsuje pojmy funkˇcn´ı hodnota funkce, limita funkce v bodˇe a spojitost funkce v bodˇe.

47


48

ˇ y´ pˇrehled Znalosti - strucn • Funkce f se nazyv´ ´ a spojitá v bodˇe a ∈ R, právˇe kdyˇz a ∈ D(f ) a existuje limita lim f (x) a plat´ı x→a

lim f (x) = f (a).

x→a

Analogicky f je spojitá zprava resp. zleva v bodˇe a, a ∈ D(f ) právˇe kdyˇz lim f (x) = f (a), resp. x→a+

lim− f (x) = f (a) a obˇe strany rovnic jsou definovány.

x→a

• Necht’ je funkce f definována na intervalu (a, b), resp. na ha, bi. Pak a) f je spojitá na (a, b), je-li spojitá v kaˇzdém bodˇe tohoto intervalu. b) f je spojitá na ha, bi, je-li spojitá na (a, b), v bodˇe a je spojitá zprava a v bodˇe b je spojitá zleva. • O nabyv´ ´ an´ı mezihodnot. Necht’ je funkce f spojitá na uzavˇreném omezeném intervalu ha, bi a ’ necht x1 , x2 ∈ ha, bi, x1 6= x2 . Pak ke kaˇzdému cˇ ´ıslu d, které leˇz´ı mezi f (x1 ) a f (x2 ), existuje alesponˇ jedno c ∈ ha, bi, které leˇz´ı mezi x1 a x2 a plat´ı f (c) = d. • Elementárn´ı funkce jsou spojité na svém definiˇcn´ım oboru. Pokud existuj´ı body nespojitosti tˇechto funkc´ı, pak jsou mimo definiˇcn´ı obor funkce (napˇr. pro funkci f : y = 1/x). Funkce f : y = signx má bod nespojitosti 0. Funkce celá cˇ a´ st nen´ı spojitá v kaˇzdém celém cˇ ´ısle, x ∈ Z. Funkce f : y = |x| je spojitá na R.


5.1. Body nespojitosti funkce Pˇr´ıklad 5.1 Rozhodnˇete, zda je funkce f spojitá na (−∞, ∞). f: y=

1 2

x −4

·

ˇ sen´ı D(f ) = R \ {−2, 2}. Funkce nen´ı spojitá v bodech −2 a 2. Reˇ Pˇr´ıklad 5.2 Rozhodnˇete, zda je funkce f spojitá na (−∞, ∞). 3 x − x, x < 1 f: y= x2 − 1, x ≥ 1 ˇ sen´ı Ve vˇsech bodech x ∈ R \ {1} je funkce definována jako funkce polynomická, proto jako eleReˇ ˚ zeme urˇcit i lim f (x), ale mentárn´ı funkce je v nich spojitá. V bodˇe x = 1 urˇc´ıme f (x) a lim− f (x). Muˇ + x→1

ta v tomto pˇr´ıpadˇe nen´ı nutná, protoˇze z definice funkce je lim+ f (x) = f (1). x→1

f (1) = (12 ) − 1 = 0 lim f (x) = lim (x3 − x) = 0

x→1−

x→1−

lim f (x) = lim (x2 − 1) = 0.

x→1+

x→1+

Protoˇze plat´ı lim f (x) = lim f (x) = f (1),

x→1+

x→1−

˚ zeme tedy tvrdit: funkce f je spojitá na R. je funkce f v bodˇe x = 1 spojitá. Muˇ

x→1

KAPITOLA 5. SPOJITOST FUNKCE

49

Pˇr´ıklad 5.3 Urˇcete body nespojitosti funkce f : y = sign(x3 − x). ˇ sen´ı Dle definice funkce signum plat´ı: Reˇ   1, −1, sign(x3 − x) =  0,

x3 − x > 0 x3 − x < 0 x3 − x = 0

Pro nalezen´ı bodu˚ nespojitosti tedy staˇc´ı rˇ eˇsit vyˇ ´ se uvedenou rovnici a nerovnice. x3 − x >0 x(x − 1)(x + 1) >0

metodou nulovych ´ bodu˚

x ∈(−1, 0) ∪ (1, ∞)

x3 − x <0 x(x − 1)(x + 1) <0

metodou nulovych ´ bodu˚

x ∈(−∞, −1) ∪ (0, 1)

x3 − x =0 x(x − 1)(x + 1) =0 x ∈{−1, 0, 1} Pˇredpis funkce f jsme upravili do tvaru   1, −1, sign(x3 − x) =  0,

x ∈ (−1, 0) ∪ (1, ∞) x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, 1) x ∈ {−1, 0, 1}

Pro bod −1 plat´ı: f (−1) = 0 lim f (x) = −1

x→−1−

lim f (x) = 1,

x→1+

takˇze v bodˇe -1 je funkce nespojitá, analogicky v bodech 0 a 1. Funkce sign(x3 − x) má tedy tˇri body nespojitosti, −1, 0 a 1. ˚ Pˇr´ıklad 5.4 Spojitost funkce v bodˇe. Funkce f je definována následuj´ıc´ım zpusobem, kde a ∈ R: ( 2 2 x −a x−a , x 6= a f: y= 0, x=a a) Existuje hodnota f (a)? b) Existuje lim f (x)? x→a

c) Pro jaké hodnoty parametru a je tato funkce spojitá? ˇ sen´ı a) f (a) = 0 podle definice funkce; Reˇ 2 −a2 b) limita existuje: lim xx−a = lim x→a

x→a

(x−a)(x+a) x−a

= 2a;

c) hledáme a tak, aby lim f (x) = f (a), tedy 2a = 0. Funkce je tedy spojitá pouze pro hodnotu x→a parametru a = 0. Pˇr´ıklad 5.5 Najdˇete vˇsechny body nespojitosti funkce f : y = existuj´ı, resp. vypoˇctˇete jednostranné limity.

1 x3

a vypoˇctˇete v nich limity, pokud


50

ˇ sen´ı Urˇc´ıme definiˇcn´ı obor funkce, D(f ) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). V bodech definiˇcn´ıho oboru je funkce Reˇ spojitá, má tedy jediny´ bod nespojitosti, x = 0. Urˇc´ıme jednostranné limity v tomto bodˇe: 1 = −∞, x3 1 lim = ∞. x→0+ x3 lim

x→0−

5.2. Existence rˇeˇsen´ı rovnic Pˇr´ıklad 5.6 Urˇcete, zda má rovnice 3x2 (4 + x2 ) = 1 alesponˇ jedno rˇ eˇsen´ı na intervalu: a) h-2, 2 i; b) h-1, 1 i; c) h0, 1 i. ˇ sen´ı Uprav´ıme rovnici do tvaru f (x) = 0: 3x2 (4+x2 )−1 = 0 a vyjádˇr´ıme levou stranu rovnice jako Reˇ funkci f : y = 3x2 (4 + x2 ) − 1. Pro interval ha, bi zjiˇst’ujeme, zda maj´ı hodnoty v krajn´ıch bodech f (a) a f (b) opaˇcná znaménka. Pokud ano, pak (d´ıky vˇetˇe o nabyv´ ´ an´ı mezihodnot) mus´ı na ha, bi existovat (alesponˇ jeden) bod x0 takovy, ´ zˇ e f (x) = 0, tedy 3x2 (4 + x2 ) − 1 = 0. Pokud maj´ı f (a) a f (b) shodná ˚ ze, znaménka, pak o existenci rˇ eˇsen´ı rovnice na daném intervalu nelze rozhodnout, rˇ eˇsen´ı tam byt ´ muˇ ale nemus´ı. a)h−2, 2i :

f (−2) = 95,f (2) = 95,

nelze rozhodnout, zda má rovnice na h−2, 2i nˇejaké rˇ eˇsen´ı;

b)h−1, 1i :

f (−1) = 14,f (1) = 14,

nelze rozhodnout, zda má rovnice na h−1, 1i nˇejaké rˇ eˇsen´ı;

f (0) = −1,f (1) = 14,

rovnice má na intervalu h0, 1i alesponˇ jedno rˇ eˇsen´ı.

c)h0, 1i :

˚ zeme rˇ´ıci, zˇ e funkce má alesponˇ jeden nulovy´ bod na otevˇreném intervalu (0, 1) (v´ıme, zˇ e v bodech Muˇ 0 ani -1 nulovy´ bod nemá). Rovnice tedy má na intervalu (0, 1) alesponˇ jedno rˇ eˇsen´ı, koˇren rovnice. Pˇr´ıklad 5.7 Zjistˇete, zda rovnice 8x3 − 12x2 − 2x + 3 = 0 má alesponˇ jeden koˇren, urˇcete poˇcet reálnych koˇrenu˚ rovnice a disjunktn´ı intervaly délky nejv´ıc 1 ´ obsahuj´ıc´ı právˇe jeden koˇren této rovnice. ˇ sen´ı Na levé stranˇe rovnice máme polynom tˇret´ıho stupnˇe, koˇrenu˚ tedy nemuˇ ˚ ze byt Reˇ ´ v´ıce neˇz 3. Metoda postupného vytyk´ ´ an´ı nevede ke zjednoduˇsen´ı, nezbyv´ ´ a nám tedy neˇz experimentovat. Vypoˇcteme hodnotu f (x) pro celá cˇ ´ısla napˇr. mezi -3 a 3: x f(x)

-3 -2 -1 -315 -105 -15

0 3

1 2 -3 15

3 105

Z nich zjist´ıme, zˇ e rovnice má urˇcitˇe alesponˇ jeden koˇren na intervalu h−1, 0i (protoˇze f (−1) = −15 a f (0) = 3), alesponˇ jeden koˇren v intervalu h0, 1i (protoˇze f (0) = 3 a f (1) = −3) a alesponˇ jeden koˇren v ˚ ze m´ıt v´ıce neˇz tˇri koˇreny, naˇsli intervalu h1, 2i (protoˇze f (1) = −3 a f (2) = 15). Protoˇze rovnice nemuˇ jsme disjunktn´ı intervaly o délce jedna, ve kterych ´ tyto tˇri koˇreny leˇz´ı. Pˇr´ıklad 5.8 Spojitost funkce na uzavˇreném intervalu a koˇreny rovnic. Zjistˇete, zda rovnice x4 − 2x3 − 3x2 − 4x − 1 = 0 má alesponˇ jeden koˇren, urˇcete poˇcet reálnych koˇrenu˚ rovnice a disjunktn´ı intervaly délky nejv´ıc 1 ´ obsahuj´ıc´ı právˇe jeden koˇren této rovnice. ˇ sen´ı Na levé stranˇe rovnice máme polynom cˇ tvrtého stupnˇe, koˇrenu˚ tedy nemuˇ ˚ ze byt Reˇ ´ v´ıce neˇz 4. Metoda postupného vytyk´ ´ an´ı nevede ke zjednoduˇsen´ı, nezbyv´ ´ a nám tedy neˇz experimentovat. Vypoˇcteme hodnotu f (x) napˇr. pro celá cˇ ´ısla mezi -6 a 6: x f(x)

-6 1643

-5 819

-4 -3 351 119

-2 -1 27 3

0 1 -1 -9

2 3 -21 -13

4 63

5 6 279 731


51

Z nich zjist´ıme, zˇ e rovnice má urˇcitˇe alesponˇ jeden koˇren v intervalu h−1, 0i (protoˇze f (−1) = 3 a f (0) = −1) a alesponˇ jeden koˇren v intervalu h3, 4i (protoˇze f (3) = −13 a f (4) = 63). Jestli jich tam je v´ıce nebo jestli existuj´ı i v jinych ´ intervalech bez dalˇs´ı analyzy ´ nezjist´ıme. Pˇr´ıklad 5.9 Spojitost funkce na uzavˇreném intervalu a koˇreny rovnic. Zjistˇete, zda rovnice x · ln x = 1 má alesponˇ jeden koˇren na intervalu h1, ei. ˇ sen´ı Uprav´ıme rovnici do tvaru x · ln x − 1 = 0, levou stranu rovnice definujeme jako pˇredpis funkce Reˇ f : y = x · ln x − 1, urˇc´ıme hodnoty funkce v bodech 1 a e: f (1) = −1, f (e) = e − 1 > 0. Rovnice má na intervalu h1, ei alesponˇ jeden koˇren.

Dovednosti - ulohy ´ ´ Uloha 5.1 Spojitost 2 funkce. Rozhodnˇete, zda je funkce f x , x<1 √ ; a) f : y = x, x ≥ 1 4 x sin(1/x), x 6= 0 c)f : y = ; 0, x=0 1 (1+x)2 , x 6= −1 ; e) f : y = x = −1 A ∈ R, x ln x2 , x 6= 0 g) f : y = . A ∈ R, x = 0

spojitá na R:

sin x, x < π/4 ; cos x, x ≥ π/4 x2 −4 x 6= 2 x−2 , d) f : y = ; A ∈ R, x = 2 −1 e x2 , x 6= 0 ; f) f : y = 0, x=0

b) f : y =

[ a) f je na R spojitá; c) f je na R spojitá; e) f nen´ı na R spojitá ; g) f je na R spojitá pouze pro A = 0.

b) f je na R spojitá; ] d) f je na R spojitá pouze pro A = 4; g) f je na R spojitá pouze pro A = 0;

´ Uloha 5.2 Spojitost funkce. Rozhodnˇete, zda jsou následuj´ıc´ı funkce spojité na R, pˇr´ıpadnˇe sestrojte jejich grafy: a) y = sign (sin x); b) y = x − [x]; c) y = x[x]; d) y = x1 . [ funkce nejsou na R spojité. ]

´ Uloha 5.3 Spojitost funkce v bodˇe. Funkci f dodefinujte tak, aby byla spojitá v bodˇp e a: x2 − x x2 − 9 1 − 1 − x2 f: y= , a = 1; f: y= 2 , a = −3; f: y= , a = 0. x−1 x x + 2x − 3 [ a) f (1) = 1;

b) f (−3) = 3/2;

c) f (0) = 0. ]

´ Uloha 5.4 Spojitost funkce v bodˇe. Pro které hodnoty parametru c ∈ R je funkce f spojitá na (−∞, ∞)? cx2 + 2x, x < 2 f :y= x3 − cx, x ≥ 2 . [ c = 2/3. ]

´ Uloha 5.5 Spojitost funkce v bodˇe. Pro které hodnoty parametru˚ a, b ∈ R je funkce f spojitá na (−∞, ∞)?  x ≤ −1  0, ax + b, x ∈ (−1, 1) f :y=  1, x≥1 . [ a = 1/2, b = 1/2. ]

52


´ Uloha 5.6 Spojitost funkce v bodˇe. Najdˇete takové hodnoty parametru˚ a, b, pro které je daná funkce spojitá na celém definiˇ ( ( cn´ım oboru (znázornˇete): ax − 3, x<2 2x + 4, x < 1 ; ; b) f : y = a) f : y = 2 3 − x + 2x , x ≥ 2 ax − 1, x ≥ 1  ( 3x2 − 1, x < 0  ax, x<4 c) f : y = ; d) f : y = ax + b, 0 ≤ x ≤ 1 .  2 − x/a, x ≥ 4 √ x + 8, x > 1 [ a) a = 7; c) neex.;

b) a = 6; ] d) a = 4,b = −1.

´ Uloha 5.7 Spojitost funkce v bodˇe. Najdˇete vˇsechny body nespojitosti následuj´ıc´ıch funkc´ı a vypoˇctˇete v nich limity (pokud existuj´ı), resp. jednostranné limity. Znázornˇete grafy funkc´ı v okol´ı bodu˚ nespojitosti: 1 1 1 x a) f : y = 2 ; b) f : y = + ; c) f : y = 2 ; x+2 x−2 x x −1 1 1 x−1 d) f : y = ; e) f : y = ; f) f : y = ; ln x 2−x x+3 9 3x + 7 |x + 3| g) f : y = h) f : y = 2 ; i) f : y = . 2; x+3 9−x x − 3x + 2 [ a) ∞ pro x → 0+ , ∞ pro x → 0− ; ] b) ∞ pro x → 2+ ; −∞ pro x → 2− ; ∞ pro x → −2+ ; −∞ pro x → −2− ; c) ∞ pro x → 1+ ; −∞ pro x → 1− ; ∞ pro x → −1+ ; −∞ pro x → −1− ; d) ∞ pro x → 1+ , −∞ pro x → ∞− ; e) ∞ pro x → 2− ; −∞ pro x → 2+ ; f) ∞ pro x → −3− ; −∞ pro x → −3+ ; g) −∞ pro x → −3− ; ∞ pro x → −3+ ; ∞ pro x → 3− ; −∞ pro x → 3+ ; h) ∞ pro x → 1− ; −∞ pro x → 1+ ; −∞ pro x → 2− ; ∞ pro x → 2+ ; i) −1 pro x → −3− ; 1 pro x → −3+ .

´ Uloha 5.8 Spojitost funkce v bodˇe. Najdˇete vˇsechny body nespojitosti následuj´ıc´ıch funkc´ı a vypoˇctˇete v nich limity (pokud existuj´ı), resp. jednostranné limity. Znázornˇete grafy funkc´ı v okol´ı bodu˚ nespojitosti: x2 −5x+6 a) f : y = x3 −2x b) f : y = x(x21−1) ; c) f : y = 2−1/x ; 2 +4x−8 ; ( ( 2, x=2 x2 + 1, x ≤ 3 ; f) f : y = tg x; ; e) f : y = d) f : y = x2 −4 2x + 4, x > 3 x−2 , x 6= 2 g) f : y = sign x; h) f : y = min {1, x2 }; i) f : y = max {0, sin x}. ] [ a) −1/8 pro x → 2; b) ∞ pro x → −1+ , pro x → 0− , pro x → 1+ ; −∞ pro x → −1− , pro x → 0+ , pro x → 1− ; c) ∞ pro x → 0− , 0 pro x → 0+ ; d) 4 pro x → 2; e) nemá body nespojitosti; f) body nespojitosti jsou kπ , k lib. liché celé cˇ ´ıslo; pro jedno pevné k je +∞ pro x → ( kπ )− , −∞ pro x → ( kπ )+ ; 2 2 2 g) −1 pro x → 0− ; 1 pro x → 0+ ; h) nemá body nespojitosti; i) nemá body nespojitosti.

´ Uloha 5.9 Spojitost funkce v bodˇe. Najdˇete vˇsechny body nespojitosti následuj´ıc´ıch funkc´ı a vypoˇctˇete v nich limity, pokud existuj´ı, resp. vypoˇctˇete jednostranné limity. Znázornˇete grafy funkc´ı v okol´ı bodu˚ nespojitosti: ( ( x, |x| ≤ 1 |x|, |x| < 1 a) f : y = ; b) f : y = ; 2x − 1, |x| > 1 2 − x2 , |x| ≥ 1 ( ( 1 − cos x, |x| ≤ π/2 sin x, |x| ≤ π c) f : y = ; d) f : y = . 0, |x| > π/2 0, |x| > π


53

] [ a) −3 pro x → −1− ; −1 pro x → −1+ ; b) nemá body nespojitosti; c) 1 pro x → (π/2)− , x → (−π/2)+ , 0 pro x → (π/2)+ , x → (−π/2)− +; d) nemá body nespojitosti.

´ Uloha 5.10 Spojitost funkce v bodˇe. Najdˇete vˇsechny body nespojitosti následuj´ıc´ıch funkc´ı a vypoˇctˇete v nich limity (pokud existuj´ı), resp. jednostranné limity. Znázornˇete grafy funkc´ı v okol´ı bodu˚ nespojitosti: x − 3 x3 + 2x2 + x x2 + 5x + 6 ; ; b) f : y = 3 ; c) f : y = ln a) f : y = x + 3 x2 + 2x x − 2x2 − 3x d) f : y = 2x + 2−x ; e) f : y = ex−3 ; f) f : y = e1/x ; 1 2 g) f : y = 21/x ; h) f : y = xe1/x ; i) f : y = 1/x · e +1 ] [ a) −∞ pro x → 0− ; ∞ pro x → 0+ ; −1/2 pro x → −2; b) −∞ pro x → 3− ; ∞ pro x → 3+ ; −1/3 pro x → 0; 0 pro x → −1; c) ∞ pro x → −3; −∞ pro x → 3; d) spojit na celém definiˇcn´ım oboru R; e) spojit na celém definiˇcn´ım oboru R; f) 0 pro x → 0− ; ∞ pro x → 0+ ; g) ∞ pro x → 0; h) 0 pro x → 0− ; ∞ pro x → 0+ ; i) 1 pro x → 0− ; 0 pro x → 0+ .

´ Uloha 5.11 Spojitost funkce v bodˇe. Najdˇete vˇsechny body nespojitosti následuj´ıc´ıch funkc´ı a vypoˇctˇete v nich limity (pokud existuj´ı), resp. jednostranné limity. Znázornˇete grafy funkc´ı v okol´ı bodu˚ nespojitosti. 2 2 |x| a) f : y = ; b) f : y = ; c) f : y = ; log(x − 1) ln x − 1 x ( ( 2 8 − x 3 , x ≤ 0  x x −1 , x < −1 |x|−x , x < 0 x+1 d) f : y = ; e) f : y = ; f) f : y = x5 − 1, 0 < x ≤ 2 ;  x2 − 3, x ≥ −1 x, x≥0  8x − 1, x > 2 2 g) f : y = sign(sin x); h) f : y = sign (x − 4); i) f : y = x − [x]. [ a) −∞ pro x → 2− ; ∞ pro x → 2+ ; ] b) −∞ pro x → e− ; ∞ pro x → e+ ; c) −1 pro x → 0− ; 1 pro x → 0+ ; d) −1/2 pro x → 0− ; 0 pro x → 0+ ; e) nemá body nespojitosti; f) 8 pro x → 0− ; −1 pro x → 0+ ; 31; pro x → 2− ; 15 pro x → 2+ ; g) body nespojitosti jsou kπ, k lib. celé cˇ ´ıslo; pro jedno pevné k je 1 pro x → (kπ)− , ’ −1 pro x → (kπ)+ ; h) ±2 jsou body nespojitosti; −1 pro x → (−2)+ a pro x → 2− ; 1 pro x → (−2)− a pro x → 2+ ; i) body nespojitosti jsou vˇsechna celá cˇ ´ısla.

´ Uloha 5.12 Spojitost funkce na uzavˇreném intervalu a koˇreny rovnic. Dokaˇzte, zˇ e rovnice a) x3 − 10x − 5 = 0 má v intervalu h2, 4i alesponˇ jeden koˇren; b) x3 − 3x + 1 = 0 má v intervalu h−2, −1i alesponˇ jeden koˇren; c) x3 − 3x + 1 = 0 má v intervalu h0, −1i alesponˇ jeden koˇren; d) x3 − 3x + 1 = 0 má v intervalu h1, 2i alesponˇ jeden koˇren. [ a) f (2) = −13, f (4) = 9, rovnice má alesponˇ jeden koˇren; ] b) f (−2) = −1, f (−1) = 3, rovnice má alesponˇ jeden koˇren; c) f (0) = 1, f (1) = −3, rovnice má alesponˇ jeden koˇren; d) f (1) = −3, f (2) = 3, rovnice má alesponˇ jeden koˇren.

´ Uloha 5.13 Spojitost funkce na uzavˇreném intervalu a koˇreny rovnic. Dokaˇzte, zˇ e rovnice


54

a) x3 − 4x − 5 = 0 má v intervalu h2, 3i alesponˇ jeden koˇren; b) 2x3 + 5x2 − 7x − 3 = 0 má v intervalu h−1, 0i alesponˇ jeden koˇren; c) x4 + 2x3 − 2x2 + 2x + 7 = 0 má v intervalu h−2, −1i alesponˇ jeden koˇren. [ a) f (2) = −5, f (3) = 10, rovnice má alesponˇ jeden koˇren; ] b) f (−1) = 7, f (0) = −3, rovnice má alesponˇ jeden koˇren; c) f (−2) = −5, f (−1) = 2, rovnice má alesponˇ jeden koˇren.

´ Uloha 5.14 Spojitost funkce na uzavˇreném intervalu a koˇreny rovnic. Zjistˇete, zda rovnice maj´ı alesponˇ jeden koˇren, urˇcete poˇcet reálnych ´ koˇrenu˚ rovnice a disjunktn´ı intervaly délky nejv´ıc 1 obsahuj´ıc´ı právˇe jeden koˇren této rovnice: a) x3 − 6x2 + 12x + 1 = 0; b) 2x3 − 3x2 − 36x + 50 = 0; 2 c) x ln x = 1; d) x3 − 5x + 3 = 0; 3 2 e) x − 9x + 27x − 3 = 0; f) x3 + 4x2 − 4 = 0. ] [ a) jediny´ koˇren, interval (−1, 0); b) tˇri koˇreny, intervaly (1, 2), (4, 5), (−5 − 4); c) jediny´ koˇren, interval (1, 2); d) tˇri koˇreny, intervaly (−3, −2), (0, 1), (1, 2); e) jediny´ koˇren, interval (0, 1); f) tˇri koˇreny, intervaly (−4, −3), (−2, −1), (0, 1).

´ Uloha 5.15 Spojitost funkce na uzavˇreném intervalu a koˇreny rovnic. Zjistˇete, zda rovnice maj´ı alesponˇ jeden koˇren, urˇcete poˇcet reálnych ´ koˇrenu˚ rovnice a disjunktn´ı intervaly délky nejv´ıc 1 obsahuj´ıc´ı právˇe jeden koˇren této rovnice: a) 2x3 − x2 + 4x − 7 = 0; c) x2 + ln x = 0; e) x4 − 2x3 − 3x2 − 4x − 1 = 0;

b) x3 + x2 − 4x + 1 = 0; 2 d) 3x(4 √ + x ) = 1; f) x · x + 1 = 2. [ a) jediny´ koˇren, interval (1, 2); ] b) tˇri koˇreny, intervaly (−3, −2), (0, 1), (1, 2); c) jediny´ koˇren, interval (0, 1); d) jediny, ´ interval (0, 1); e) dva koˇreny, intervaly (−1, 0), (3, 4); f) jediny´ koˇren, interval (1, 2).

Otestujte se

´ Uloha 5.16 Spojitost funkce v bodˇe. Najdˇete takové hodnoty parametru a pro které je daná funkce ( eax , x<0 f: y= 2a − x, x ≥ 0 spojitá na celém definiˇcn´ım oboru (znázornˇete). [a = 1/2.] 2 ´ Uloha 5.17 Spojitost funkce v bodˇe. Najdˇete vˇsechny body nespojitosti funkce f : y = xe1/x a vypoˇctˇete v nich limity (pokud existuj´ı), resp. jednostranné limity. Znázornˇete graf funkce v okol´ı bodu˚ nespojitosti.

[ −∞ pro x → 0− , ∞ pro x → 0+ . ]

´ Uloha 5.18 Spojitost funkce na uzavˇreném intervalu a koˇreny rovnic. Zjistˇete, zda rovnice maj´ı na daném intervalu alesponˇ jeden koˇren: a) x = cos x, x ∈ h0, π/2i; b) x4 + x − 3 = 0, x ∈ h1, 2i; √ 3 c) x = 1 − x, x ∈ h0, 1i; d) tgx = 2x, x ∈ h0, π/2).


55

[ a) f : y = x − cos x, f (0) = 1, f (π/2) = −π/2, rovnice má alesponˇ jeden koˇren; ] b) f : y = x4 + x − 3, f (1) = −1, f (2) = 63, rovnice má alesponˇ jeden koˇren; √ c) f : y = 3 x − (1 − x), f (0) = −1, f (1) = 1, rovnice má alesponˇ jeden koˇren; d) f : y = tgx − 2x, f (0) = 0, lim f (x) = ∞, rovnice má koˇren x = 0. x→π/2−

KAPITOLA 6

Derivace funkce Vystupy ze studia, Learning Outcomes ´ Znalosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • formuluje definici derivace v bodˇe, resp. pojem jednostranné derivace funkce v bodˇe; • vyjmenuje moˇzné vyznamy derivace funkce v bodˇe: hodnota smˇernice teˇcny ke grafu funkce ´ v daném bodˇe, okamˇzitá rychlost, mezn´ı veliˇciny v ekonomii, elasticita funkce, atp.; ˚ • zná dusledek existence derivace funkce v bodˇe pro spojitost funkce v tomto bodˇe; • uvede pojem derivace funkce na mnoˇzinˇe; • zná derivace elementárn´ıch funkc´ı.

Dovednosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • • • • •

urˇc´ı derivaci jednoduchych ´ funkc´ı pomoc´ı definice derivace funkce v bodˇe; vypoˇc´ıtá derivace zadanych ´ funkc´ı pomoc´ı vˇet o derivaci souˇctu, souˇcinu nebo pod´ılu funkc´ı; vypoˇc´ıtá derivaci zadané funkce pomoc´ı vˇety o derivaci sloˇzené funkce; aplikuje vˇetu o derivaci inverzn´ı funkce a vypoˇc´ıtá derivaci vybranych ´ funkc´ı; nalezne rovnici teˇcny nebo normály funkce v daném bodˇe.

Schopnosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı ˚ • specifikuje a oduvodn´ ı jednotlivé kroky pˇri hledán´ı derivace dané funkce; ´ • interpretuje nalezené hodnoty derivace v daném bodˇe v závislosti na vyznamu ulohy. ´

57


58

ˇ y´ pˇrehled Znalosti - strucn • Mˇejme funkci f definovanou na okol´ı bodu x0 ∈ R. Derivac´ı funkce f v bodˇe x0 , x0 ∈ D(f ) nazyv´ ´ ame limitu f (x) − f (x0 ) , x − x0

f 0 (x0 ) = lim

x→x0

pokud tato limita existuje a je vlastn´ı. Podobnˇe jako limitu zleva, resp. zprava zavád´ıme i derivaci funkce f v bodˇe x0 ∈ D(f ) zleva, resp. zprava, vztahem 0 f− (x0 ) = lim

x→x− 0

f (x) − f (x0 ) , x − x0

0 resp. f+ (x0 ) = lim

x→x+ 0

f (x) − f (x0 ) , x − x0

pokud tyto limity existuj´ı a jsou vlastn´ı. • Pˇreznaˇcen´ım x0 → x, x − x0 → h z´ıskáme alternativn´ı vyjádˇren´ı derivace funkce f v bodˇe x ∈ D(f ) f (x + h) − f (x) . h→0 h

f 0 (x) = lim

• Mˇejme funkci f definovanou na D(f ), která má derivaci v kaˇzdém bodˇe D(f ). Funkce f 0 , pro kterou plat´ı f 0 : y = f 0 (x),

∀x ∈ D(f )

se nazyv´ ´ a derivace funkce f . 0 • Pokud existuje funkce f 00 : y = (f 0 (x)) , pak ji nazyv´ ´ ame druhá derivace funkce f , analogicky 0 ˚ obecnˇe f (n) = f (n−1) . Znaˇc´ıme je f 00 , f 000 , jsou definované derivace funkce f vyˇssˇ´ıch rˇ a´ du, . . . , resp. f (2) , f (3) ,. . . • Mˇejme funkce f, g : R → R, které maj´ı v x0 ∈ R derivace f 0 (x0 ) a g 0 (x0 ), dále mˇejme konstantu c ∈ R. Pak plat´ı: (c · f )0 (x0 ) = c · f 0 (x0 ); (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ); (f − g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g 0 (x0 ); (f.g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ); a je-li nav´ıc g(x0 ) 6= 0, plat´ı 0 f f 0 (x0 ) · g(x0 ) − f (x0 ) · g 0 (x0 ) (x0 ) = . g g 2 (x0 ) • Vˇeta o derivaci sloˇzené funkce. Necht’ f : R → R má vlastn´ı derivaci v bodˇe x0 ∈ R a g : R → R vlastn´ı derivaci v bodˇe f (x0 ). Pak existuje vlastn´ı derivace sloˇzené funkce g ◦ f v bodˇe x0 a je (g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ). ´ ı na intervalu I, • Vˇeta o derivaci inverzn´ı funkce. Mˇejme f : R → R spojitou a ryze monotonn´ dále necht’ f −1 je funkce inverzn´ı k f na R a dále mˇejme vnitˇrn´ı bod x0 intervalu I. Jestliˇze f 0 (x0 ) ∈ R∗ \ {0}, pak (f −1 )0 (f (x0 )) =

1 . f 0 (x0 )

KAPITOLA 6. DERIVACE FUNKCE

59

6.1. Tabulka derivac´ı elementárn´ıch funkc´ı (c)

0

0

=0

(xn )

0

= ex

(ln x)

0

= ax ln a

(loga x)

0

= cos x

(arcsin x)

0

= − sin x

(arccos x)

(ex )

(ax )

(sin x)

(cos x) 0

(tgx)

1 cos2 x 1 =− 2 sin x =

(cotgx)

0

0

0

0

0

0

(arctgx)

(arccotgx)

0

= nxn−1 1 = x 1 1 = x ln a 1 =p 1 − x2 1 = −p 1 − x2 1 = 1 + x2 1 =− 1 + x2


6.2. Vypoˇ ´ cty derivac´ı dle definice Pˇr´ıklad 6.1 Dle definice urˇcete derivaci funkce f : y =

√

x v bodˇe a = 1.

ˇ sen´ı Podle definice je f 0 (x0 ) = lim f (x) − f (x0 ) . Dosad´ıme za f a za x0 a upravujeme Reˇ x→x0 x − x0 √ √ x− 1 f 0 (1) = lim x→1 x−1 √ √ x−1 x+1 ·√ = lim x→1 x − 1 x+1 x−1 1 √ = lim = · x→1 (x − 1) · ( x + 1) 2 √ Derivace funkce f : y = x v bodˇe a = 1 je rovna jedné polovinˇe. 6.3. Vypoˇ ´ cty derivac´ı souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu funkc´ı √ Pˇr´ıklad 6.2 Urˇcete derivaci funkce f : y = x4 + 1/x2 − x. ˇ sen´ı Dle vˇety o derivaci souˇctu a rozd´ılu uprav´ıme Reˇ √ √ f 0 : y = (x4 + 1/x2 − x)0 = (x4 )0 + (1/x2 )0 − ( x)0 . Uprav´ıme vyrazy na mocniny s racionáln´ım exponentem f 0 : y = (x4 )0 + (x−2 )0 − (x1/2 )0 a funkce ´ zderivujeme podle tabulky derivac´ı elementárn´ıch funkc´ı. Vysledek uprav´ıme do tvaru: ´ 2 1 f 0 : y = 4x3 − 3 + √ x 2 x Pro korektnost vysledku mus´ıme urˇcit definiˇcn´ı obor: D(f ) = h0, ∞), D(f 0 ) = (0, ∞). ´


60

Pˇr´ıklad 6.3 Urˇcete derivaci funkce f : y = 3x ·

√ 1 + x . x2

ˇ sen´ı Ukázˇ eme dvˇe moˇznosti postupu. Reˇ Postup nejprve dle vˇety o derivaci souˇcinu. √ 1 + x))0 2 x √ √ 0 1 1 0 + + =(3x) · x + 3x · x x2 x2 √ 1 2 1 √ =3 + x + 3x · − + x2 x3 2 x √ 3√ 3 6 = 2 +3 x− 2 + x x x 2 9√ 3 = x − 2· 2 x

f 0 : y =(3x · (

Postup, ve kterém vyraz nejprve uprav´ıme. ´ 0 √ 1 f : y = 3x · + x x2 √ 0 3x = x + 3x · x2 0 = 3x−1 + 3x3/2 0

3 + 3 · 3/2 · x1/2 x2 9√ 3 = x − 2· 2 x =−

Definiˇcn´ı obor: D(f ) = (0, ∞) D(f 0 ) = (0, ∞). Pˇr´ıklad 6.4 Urˇcete derivaci funkce f : y =

ex + 1 . ex − 1

ˇ sen´ı Pouˇzijeme vˇetu o derivaci pod´ılu a dále upravujeme. Reˇ 0 ex + 1 ex − 1 (ex + 1)0 · (ex − 1) − (ex + 1) · (ex − 1)0 = (ex − 1)2 x x e · (e − 1) − (ex + 1) · ex = (ex − 1)2 2x x e − e − (e2x + ex ) = (ex − 1)2 x −2e = x · (e − 1)2

f0 : y =

Definiˇcn´ı obor: D(f ) = D(f 0 ) = R \ {0}.

6.4. Vypoˇ ´ cty derivac´ı dle vˇety o derivaci sloˇzené funkce Pˇr´ıklad 6.5 Urˇcete derivaci funkce f : y = sin2 x.


61

ˇ sen´ı Pouˇzijeme vˇetu o sloˇzené funkc´ı a dále upravujeme. Reˇ 0 f 0 : y = sin2 x 0 = (sin x)2 =2 · (sin x) · (sin x)0 =2 · sin x · cos x = sin 2x. Pˇr´ıklad 6.6 Urˇcete derivaci funkce f : y =

√

x3 − x.

ˇ sen´ı Pouˇzijeme vˇetu o derivaci sloˇzené funkce a dále upravujeme. Reˇ p 0 f0 : y = x3 − x 0 1 · x3 − x = √ 3 2 x −x 3x2 − 1 = √ · 2 x3 − x ˚ proto Definiˇcn´ı obor: nerovnice x3 − x ≥ 0 (resp. x3 − x > 0) rˇ eˇs´ıme napˇr. metodou nulovych ´ bodu, D(f ) = h−1, 0i ∪ h1, ∞), D(f 0 ) = (−1, 0) ∪ (1, ∞). x

Pˇr´ıklad 6.7 Urˇcete derivaci funkce f : y = e x+1 . ˇ sen´ı Pouˇzijeme vˇetu o derivaci sloˇzené funkce, vˇetu o derivaci pod´ılu a dále upravujeme. Reˇ x 0 f 0 : y = e x+1 0 x x =e x+1 · x+1 x 1 =e x+1 · · (x + 1)2 Definiˇcn´ı obor: D(f ) = D(f 0 ) = R \ {−1}. Pˇr´ıklad 6.8 Urˇcete derivaci funkce f : y = arcsin √xx2 +1 · ˇ sen´ı Pouˇzijeme vˇetu o derivaci sloˇzené funkce, vˇetu o derivaci pod´ılu a tabulku derivac´ı elementárn´ıch Reˇ funkc´ı. 0 x f 0 : y = arcsin √ x2 + 1 0 1 x r √ = 2 · x2 + 1 1 − √xx2 +1 √ 1 · x2 + 1 + x · 2√x12 +1 · 2x 1 =q · 2 x2 + 1 1 − x2x+1 √ x2 + 1 x2 + 1 − x2 √ = · 2 1 (x + 1) · x2 + 1 1 = 2 · x +1 Definiˇcn´ı obor: rˇ eˇs´ıme nerovnice −1 ≤

√ x x2 +1

≤ 1, proto D(f 0 ) = D(f ) = R.

Pˇr´ıklad 6.9 Urˇcete derivaci funkce f : y = ln2 x + ln(ln x).


62

ˇ sen´ı Pouˇzijeme vˇetu o derivaci sloˇzené funkce a tabulku derivac´ı elementárn´ıch funkc´ı. Reˇ 0 f 0 : y = ln2 x + ln(ln x) 1 0 0 =2 ln x · (ln x) + · (ln x) ln x 2 1 = ln x + · x x ln x Definiˇcn´ı obor: rˇ eˇs´ıme nerovnice x > 0 a ln x > 0 =⇒D(f 0 ) = D(f ) = (1; ∞). Pˇr´ıklad 6.10 Urˇcete derivaci funkce f : y = max{x2 − 1, x3 − x}. Rozhodnˇete, zda má funkce na D(f ) spojitou derivaci. ˇ sen´ı Je vhodné rozepsat vyjádˇren´ı funkce f do intervalu, ˚ proto nejprve vyˇreˇs´ıme následuj´ıc´ı nerovReˇ ˚ nici napˇr. metodou nulovych ´ bodu: x2 − 1 <x3 − x (x − 1)(x + 1) <x(x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1) − x(x − 1)(x + 1) <0 (x − 1)(x + 1)(1 − x) <0. Nulové body jsou {0, 1}, rˇ eˇsen´ım nerovnice je (−1, 1) ∪ (1, ∞), coˇz je mnoˇzina takovych ´ x, pro které je ˚ zeme pˇrepsat do tvaru hodnota x3 − x vˇetˇs´ı neˇz hodnota x2 − 1. Vyjádˇren´ı funkce f tedy muˇ  2  x − 1, x ∈ (−∞, −1) f : y = x3 − x, x ∈ (−1, 1) ∪ (1, ∞)   0, x = ±1. Analyzujeme chován´ı funkce f v okol´ı bodu˚ ±1. Nejprve spojitost funkce f v bodˇe −1: f (−1) = 0 lim f (x) =

x→−1−

lim f (x) =

x→−1+

lim (x2 − 1) = 0

x→−1−

lim (x3 − x) = 0.

x→−1+

Protoˇze jednostranné limity jsou shodné a jsou rovné funkˇcn´ı hodnotˇe, je funkce f v bodˇe −1 spojitá. Spojitost funkce f v bodˇe 1: f (1) =0 3

lim f (x) = lim (x − x) =0

x→1−

x→1−

lim f (x) = lim (x3 − x) =0.

x→1+

x→1+

Také v bodˇe 1 je funkce f spojitá, je tedy spojitá na celém definiˇcn´ım oboru. Urˇc´ıme derivaci funkce: ( 2x − 1 x ∈ (−∞, −1) f0 : y = 3x2 − 1 x ∈ (−1, 1) ∪ (1, ∞). Dále urˇc´ıme hodnoty jednostrannych ´ derivac´ı nejprve v bodˇe −1 0 f+ (−1) = 2(−1) − 1 = −3 0 f− (−1) = 3(−1)2 − 1 = 2.

Hodnoty jednostrannych ´ derivac´ı se liˇs´ı. Urˇc´ıme hodnoty jednostrannych ´ derivac´ı v bodˇe 1: 0 f+ (1) = 3(1)2 − 1 = 2 0 f− (1) = 3(1)2 − 1 = 2.

Funkce je v bodˇe x = 1 je spojitá a má obˇe jednostranné derivace stejné.


63

6.5. Vypoˇ ´ cty derivac´ı dle vˇety o derivaci inverzn´ı funkce √ Pˇr´ıklad 6.11 Dle vˇety o derivaci inverzn´ı funkce urˇcete derivaci funkce g : y = 5 x. 1 ˇ sen´ı Dle vˇety o derivaci inverzn´ı funkce je (f −1 )0 (x) = 0 −1 ´ ı , pokud je f spojitá a ryze monotonn´ Reˇ f (f

(x)

´ ı, vlastn´ı derivaci má na a má vlastn´ı derivaci ve vˇsech bodech. Funkce g je rostouc´ı a ryze monotonn´ R \ {0}. Oznaˇcme tedy funkci g na R \ {0} jako f − 1, takˇze funkce f je dána pˇredpisem f : y = x5 , je ´ ı na R \ {0} a f −1 = g. Proto plat´ı spojitá a ryze monotonn´ 1 (f −1 )0 (x) = 0 −1 dosad´ıme za f −1 f (f (x) √ 1 ( 5 x)0 = 0 √ pouˇzijeme derivacif 0 : y = 5x4 f ( 5 x) 1 = √ 5( 5 x)4 1 = x−4/5 · 5 √ 5 Derivace funkce g : y = x je rovna 15 x−4/5 na mnoˇzinˇe R \ {0}. Dovednosti - ulohy ´ ´ Uloha 6.1 Derivace funkce. Podle definice vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f v bodˇe a: √ 1 a) f : y = x, a = 4; b) f : y = x3 + 1, a = 0; c) f : y = , a = −1; x 1 π d) f : y = ln x, a = 1; e) f : y = √ , a = 2; f) f : y = sin 2x, a = ; 4 x+2 √ 3 2 g) f : y =sign(x), a = 0; h) f : y = x , a = 0. [ a) 1/4; d) 1; g) nen´ı def.;

b) 0; e) −1/16; h) 0.

c) −1; ] f) 0;

´ Uloha 6.2 Derivace funkce. Vypoˇc´ıtejte derivace funkce na D(f 0 ). x2 x3 + − 2x; 3 2 √ √ √ d) f : y = 2 x + 3 3 x − 4 6 x.

a) f : y = 2 + x + x2 ; c) f : y =

b) f : y =

3 2 1 + 2+ ; x x3 x

[ a) f 0 : y = 1 + 2x; c) f 0 : y = −9x−4 − 4x−3 − x−2 ;

b) f 0 : y = x2 + x − 2; ] d) f 0 : y = x−1/2 + x−2/3 − 2/3x−5/6 .

´ Uloha 6.3 Derivace funkce. Vypoˇc´ıtejte derivace funkce na D(f 0 ). a) f : y = (x2 + 3x − 1)(2x + 3); b) f : y = x ln x; c) f : y = ln2 x; x 2 x 3 2 e) f : y = e (x − 3x + 6x − 6); f) f : y = x(sin x + ln x); d) f : y = e (x − 2x + 2); g) f : y = (x2 + 1) sin x; h) f : y = sin x cos x; i) f : y = ex ln x; x − sin x cos x j) f : y = ; k) f : y = x sin x + cos x; l) f : y = x ln x − x; 2 2 x 1+x m) f : y = ex (sin x − cos x); n) f : y = − + arctgx. 2 2 [ a) f 0 : y = 6x2 + 18x + 7; d) f 0 : y = x2 ex ; g) f 0 : y = 2x · sin x + (x2 + 1) · cos x; f0

sin2

j) :y= x; m) f 0 : y = 2ex sin x;

b) f 0 : y = ln x + 1; e) f 0 : y = x3 ex ; h) f 0 : y = cos 2x; k) f 0 : y = x cos x; n) f 0 : y = x arctg x.

c) f 0 : y = 2 ln x/x; ] f) f 0 : y = sin x + x cos x + ln x + 1; ex i) f 0 : y = ex · ln x + ; x 0 l) f : y = ln x;


64

´ Uloha 6.4 Derivace funkce. Vypoˇc´ıtejte derivace funkce na D(f 0 ). x2 − 1 2x b) f : y = 2 ; a) f : y = 2; 1−x x +1 2 1+x−x sin x ; d) f : y = e) f : y = 2; 1 − cos x 1−x+x ex − 1 2 sin x g) f : y = x ; h) f : y = ; e +1 sin x − cos x [ a) f 0 : y = 2(1 + x2 )/(1 − x2 )2 ; d) f 0 : y = 2(1 − 2x)/(1 − x + x2 )2 ; g) f 0 : y = 2 · ex / (ex + 1)2 ;

b) f 0 : y = 4x/(x2 + 1)2 ; e) f 0 : y = 1/(cos x − 1); h) f 0 : y = 2/(sin 2x − 1);

x2 ; x+1 1 − cos x f) f : y = ; sin x + cos x x ln x i) f : y = . 1 + ln x c) f : y =

c) f 0 : y = (x2 + 2x)/(x + 1)2 ; ] f) f 0 : y = (1 + sin x − cos x)/(1 + sin 2x); i) f 0 : y = (ln2 x + ln x + 1)/(1 + ln x)2 .

´ Uloha 6.5 Derivace funkce. Vypoˇc´ıtejte derivace funkce na D(f 0 ). √ 2 b) f : y = (x2 + 5x + 7)8 ; a) f : y = px + 3x + 1; √ d) f : y = 1 + ln2 x; e) f : y = e x+1 ; 2−x ; g) f : y = ln cos x; h) f : y = ln 2+x √ [ a) f 0 : y = (2x + 3)/(2 x2 + 3x + 1); p 0 d) f : y = ln x/(x 1 + ln2 x); g) f 0 : y = −tg x;

√ c) f : y = ln x; f) f : y = ln(x3 + 7x + 2); i) f : y = ln(tg x).

b) f 0 : y = 8(x2 + 5x + 7)7 (2x + 5); √ √ e) f 0 : y = (e x+1 )/(2 x + 1); 0 2 h) f : y = 4/(x − 4);

´ Uloha 6.6 Derivace funkce. Vypoˇc´ıtejte derivace funkce na D(f 0 ). √ √ a) f : y = ln(x + x2 + 1); b) f : y = ln(x − x2 − 1); s √ 1 + sin x ; d) f : y = ln(2x+1+2 x2 + x); e) f : y = ln 1 − sin x √ [ a) f 0 : y = 1/ √x2 + 1; 0 d) f : y = 1/ x2 + x;

√ b) f 0 : y = −1/ x2 − 1; 0 e) f : y = 1/ cos x;

√ c) f 0 : y = 1/(2x ln x); ] f) f 0 : y = (3x2 + 7)/(x3 + 7x + 2); i) f 0 : y = 2/ sin 2x.

1+x ; 1−x p x + x2 − 1 f) f : y = ln . x c) f : y = arctg

] c) f 0 : y = 1/(1 √ + x2 ); √ f) f 0 : y = (x − x2 − 1)/(x x2 − 1).

´ Uloha 6.7 Derivace funkce. Vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f a upravte ji na co nejjednoduˇssˇ´ı tvar, jestliˇze funkce f je daná pˇredpisem: a) f : y = |x − 3| + |x + 1|; b) f : y = (x2 − 1)ex ; c) f : y = 4 + (x − x3 ) ln x; ln x x d) f : y = 5e3x+2 ; e) f : y = ; f) f : y = . x ln x [ a) f 0 : y = −2 na (−∞, −1), 0 na (−1, 3), 2 na (3, ∞); v bodech −1, 3 neexistuje; ] b) f 0 : y = (x2 + 2x − 1)ex ; c) f 0 : y = ln x − 3x2 ln x − x2 + 1; d) f 0 : y = 15e3x+2 ; 1 − ln x ln x − 1 ; f) f 0 : y = . e) f 0 : y = x2 ln2 x

´ Uloha 6.8 Derivace funkce. Vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f a upravte ji na co nejjednoduˇssˇ´ı tvar, jestliˇze funkce f je daná pˇredpisem (a, b ∈ R jsou konstanty): a) f : y = e3x − e−3x ; b) f : y = eax cos bx; c) f : y = (x2 + 2x − 2)e3x ; x e −1 d) f : y = x ; e) f : y = x2 e−x ; f) f : y = ln(2x + 3); e +1 1 − sin x 1 + ln x g) f : y = ln4 x; h) f : y = ln ; i) f : y = . 1 + sin x 1 − ln x [ a) 3(e3x + e−3x ); d) 2ex /(ex + 1)2 ; g) 4 ln3 x/x;

b) eax (a cos bx − b sin bx); e) −e−x (x2 − 2x); h) −2 cos x/ cos(2x);

c) e3x (3x2 + 8x − 4); ] f) 2/(2x + 3); i) 2/(x(1 − ln x)2 ).

´ Uloha 6.9 Derivace funkce. Vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f a upravte ji na co nejjednoduˇssˇ´ı tvar, jestliˇze funkce f je daná pˇredpisem (a, b, c ∈ R jsou reálné parametry):


a) f : y = x2 (3x + 5)8 ; √ d) f : y = a3 − x3 ; g) f : y = cos(5x + 3);

65 √

2 + bx + c; ax√ 1+ x √ ; e) f : y = 1− x h) f : y = 2 sin x + sin 2x;

b) f : y =

[ a) (3x +√ 5)7 (3x + 1)10x; d) −x2 / a3 − x3 ; g) −5 sin(5x + 3);

√ 3

x2 + 1; √ 1 f) f : y = ( x + √ )100 ; x i) f : y = cos x2 + cos2 x. c) f : y =

p b) (2a + b)/(2 (ax2 + bx + c)); √ 2√ e) 1/((1 − x) x); h) 2(cos x + cos 2x);

p c) 2x/(3 (x + 1)3 ); ] √ √ √ f) 50( x + 1/ x)99 · (1 − 1/x)/ x; i) −2x sin x2 − sin 2x.

´ Uloha 6.10 Derivace 2. rˇa´ du. Vypoˇc´ıtejte f 00 , jestliˇze f je funkce daná pˇredpisem: √ 2 a) f : y = 3x2 − 5x + 6; b) f : y = x; c) f : y = xe−x ; 1+x d) f : y = ; e) f : y = x ln x; f) f : y = ln(1 + x2 ); 1√ −x g) f : y = x x + 1; h) f : y = cos 5x; i) f : y = tg x. [ a) f 00 : y = 6; 4 ; (1 − x)3 4 + 3x :y= ; 4(1 + x)3/2

b) f 00 : y = −1/4x−3/2 ;

d) f 00 : y =

e) f 00 : y = 1/x;

g) f 00

h) f 00 : y = −25 cos 5x;

2

c) f 00 : y = e−x (4x3 − 6x); ] 2(1 − x2 ) ; f) f 00 : y = (1 + x2 )2 2 sin x i) f 00 : y = . cos3 x

´ Uloha 6.11 Derivace funkce v bodˇe. Najdˇete derivaci funkce v daném bodˇe: √ a) f : y = ln (4 − x) pro x = 1; x = 4; x = 5; b) f : y = x pro√x = 0; x = 1; x = 16; c) f : y = (x2 − 1)2/3 pro x = 0; x = 1; x = −1; d) f : y = ln(x + 1 + x2 ) pro x = 0. [ a) f 0 (1) = −1/3, f 0 (4), f 0 (5) neexistuj´ı (4, resp. 5 nepatˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce); ] 1 b) f 0 (0) neexistuje, f 0 (1) = , f 0 (16) = 1/8; 2 c) f 0 (0) = 0, f 0 (1), f 0 (−1) neexistuj´ı; d) f 0 (x) = (1 + x2 )−1/2 , f 0 (0) = 1.

´ Uloha 6.12 Derivace funkce. Podle vˇety o derivaci inverzn´ı funkce urˇcete derivaci funkce f : √ √ a) f : y = 3 x; b) f : y = 4 x; c) f : y = log x; d) f : y =arctgx. [ a) c)

1 3 1 x

· x−2/3 ; · ln110 ;

b) d)

1 4

· x−3/4 ; ] 1 · 1+x2

Schopnosti - aplikace ´ Uloha 6.13 Derivace funkce, aplikace. Cena urˇcitého zboˇz´ı v souˇcasnosti je 120 korun. Pˇredpokládá se, zˇ e cena tohoto zboˇz´ı roste tak, zˇ e t mˇes´ıcu˚ pozdˇeji bude urˇcena funkc´ı P (t) = 120 + 0, 1t + 0, 05t2 . a) Jakou rychlost´ı se mˇen´ı cena zboˇz´ı na konci 2. mˇes´ıce? b) Jakou rychlost´ı se mˇen´ı cena zboˇz´ı na konci 9. tydne? ´ [ a) P 0 (2) = 0, 3 korun/mˇes´ıc; ] b) P 0 (2, 25) = 0, 325 korun/mˇes´ıc.

´ Uloha 6.14 Urˇcity´ objekt se pohybuje po pˇr´ımce tak, zˇ e po t minutách jeho vzdálenost od vychoz´ ıho ´ 5 ˚ bodu je D(t) = 10t + metru. t+1 a) Jakou rychlost´ı se pohybuje objekt na konci 4. minuty? ˚ ehu 5. minuty? b) Jakou vzdálenost ujel objekt v prubˇ [ a) D0 (4) = 9, 8 m/min; ] b) D(5) − D(4) = 9, 83 m.


66

Otestujte se ´ Uloha 6.15 Podle definice vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f v bodˇe a: a) f : y = ln(1/x2 ), a = e; b) f : y = x1/3 , a = 0. [ a) −2/e; ] b) derivace neexistuje, limita je rovna ∞.

´ Uloha 6.16 Urˇcete derivace následuj´ıc´ıch funkc´ı √ a) f : y = ln x2 + 1;

b) f : y =

ex + e−x · ex − e−x x ] ; x2 + 1 −4 · b) f 0 : y = x (e − e−x )2

[ a) f 0 : y =

KAPITOLA 7

Aplikace derivac´ı Vystupy ze studia, Learning Outcomes ´ Znalosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • • • • • • •

pop´ısˇ e vyznam teˇcny grafu funkce v daném pro studium chován´ı funkce v okol´ı tohoto bodu; ´ definuje stacionárn´ı body funkce; ´ pop´ısˇ e vztah mezi prvn´ı derivac´ı funkce a intervaly monotonnosti funkce; pop´ısˇ e kriteria pro existenci a druh lokáln´ıch extrému˚ funkce; pop´ısˇ e postup pro urˇcen´ı extrému˚ funkce na uzavˇreném intervalu; definuje konvexnost a konkávnost funkce na mnoˇzinˇe; pop´ısˇ e vztah mezi druhou derivac´ı funkce a konvexnost´ı a konkávnost´ı funkce v bodˇe, na mnoˇzinˇe; • definuje inflexn´ı body funkce; • pop´ısˇ e kriteria pro urˇcen´ı inflexn´ıch bodu˚ funkce; • reprodukuje Rolleovu, Lagrangeovu a Cauchyovu vˇetu o stˇredn´ı hodnotˇe a deklaruje podm´ınky, za kterych ´ uvedené vˇety plat´ı.

Dovednosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • urˇc´ı rovnici teˇcny grafu funkce v daném bodˇe, pˇr´ıpadnˇe rozhodne o jej´ı neexistenci v nˇekterych ´ bodech; • urˇc´ı intervaly monotonie funkce; • urˇc´ı stacionárn´ı body funkce; • urˇc´ı body, v nichˇz neexistuje derivace funkce; • urˇc´ı intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce; • urˇc´ı inflexn´ı body funkce; • rozhodne pomoc´ı kritéri´ı o existenci lokáln´ıch extrému˚ funkce, urˇc´ı jejich druh a urˇc´ı extremáln´ı hodnoty funkce; • urˇc´ı extrémy funkce na uzavˇreném intervalu.

Schopnosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı ´ • aplikuje z´ıskané znalosti a dovednosti v problematice jednorozmˇernych ´ optimalizaˇcn´ıch uloh a vhodnˇe interpretuje z´ıskané vysledky. ´

67


68

ˇ y´ pˇrehled Znalosti - strucn ´ • Vztah derivace a monotonosti. Mˇejme funkci f , která má derivaci na D(f ) a dále mˇejme interval I ⊂ D(f ). Pak plat´ı (∀x ∈ I : f 0 (x) > 0) =⇒ f je na I rostouc´ı, symbolicky f % (∀x ∈ I : f 0 (x) < 0) =⇒ f je na I klesaj´ıc´ı, symbolicky f & . Slovnˇe vyjádˇreno: jestliˇze je na I derivace f 0 kladná, pak je funkce f na I rostouc´ı. Jestliˇze je na I derivace f 0 záporná, pak je funkce f na I klesaj´ıc´ı. • Tvrzen´ı pˇredchoz´ı vˇety jsou ve tvaru implikace (jestliˇze f 0 (x) > 0, pak f %, . . . ). Funkce tedy ˚ ze byt muˇ ´ rostouc´ı na mnoˇzinˇe M, i kdyˇz na M nemá derivaci! Pˇr´ıkladem takové funkce je posloupnost, f : y = n2 , n ∈ N. Analogicky pro funkci klesaj´ıc´ı. • O teˇcnˇe a normále. Má-li f : R → R v bodˇe x0 ∈ D(f ) derivaci f 0 (x0 ) ∈ R∗ , potom teˇcna t : y = kt · x + qt ke grafu funkce f s dotykovym ´ bodem [x0 , f (x0 )] má rovnici t : y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ), je-li f 0 (x0 ) ∈ R t : x = x0 , je-li lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) = ±∞· x − x0

Smˇernice kt teˇcny t je tedy rovna kt = f 0 (x0 ). Normála n ke grafu funkce f pˇr´ısluˇsná k teˇcnˇe t s dotykovym ´ bodem [x0 , f (x0 )] má rovnici n : y − f (x0 ) = −

1 (x − x0 ), je-li f 0 (x0 ) 6= 0 f 0 (x0 ) n : x = x0 , je-li f 0 (x0 ) = 0·

1 Smˇernice kn normály n je tedy pro f 0 (x0 ) 6= 0 rovna kn = − f 0 (x . 0) 0 • Bod x0 ∈ D(f ), ve kterém je derivace funkce rovna nule, f (x0 ) = 0, se nazyv´ ´ a stacionárn´ı bod funkce f . • Mˇejme funkci f . V bodˇe x0 ∈ D(f ) má funkce lokáln´ı minimum f (x0 ), pokud existuje interval (a, b) ⊂ D(f ) takovy, ´ zˇ e x0 ∈ (a, b) a

∀x ∈ (a, b) : f (x) ≥ f (x0 ). Vyjádˇreno slovnˇe pokud existuje interval (a, b) obsahuj´ıc´ı bod x0 takovy, ´ zˇ e pro vˇsechny hodnoty x z tohoto intervalu plat´ı f (x) ≥ f (x0 ), pak bod x0 nazyv´ ´ ame lokáln´ı minimum. • V bodˇe x0 ∈ D(f ) má funkce lokáln´ı maximum f (x0 ), pokud existuje interval (a, b) ⊂ D(f ) takovy, ´ zˇ e x0 ∈ (a, b) a ∀x ∈ (a, b) : f (x) ≤ f (x0 ). Vyjádˇreno slovnˇe pokud existuje interval (a, b) obsahuj´ıc´ı bod x0 takovy, ´ zˇ e pro vˇsechny hodnoty x z tohoto intervalu plat´ı f (x) ≥ f (x0 ), pak bod x0 nazyv´ ´ ame lokáln´ı maximum. • Lokáln´ı minima a lokáln´ı maxima funkce nazyv´ ´ ame souhrnnˇe lokáln´ı extrém funkce. • O lokáln´ım extrému. Mˇejme funkci f , která má v bodˇe x0 ∈ D(f ) lokáln´ı maximum nebo lokáln´ı minimum. Pak f 0 (x0 ) neexistuje, nebo je f 0 (x0 ) = 0. • O globáln´ım extrému. Necht’ a, b ∈ R a f : R → R je spojitá na ha, bi. Oznaˇcme M = {x ∈ (a, b)|f 0 (x) = 0} ∪ {x ∈ (a, b)|f 0 (x) neexistuje} ∪ {a, b}. Pak max f (x) = max f (x), x∈ha,bi

x∈M

min f (x) = min f (x). x∈ha,bi

x∈M

Slovnˇe vyjádˇreno maximum na uzavˇreném intervalu ha, bi nabyv´ ´ a funkce f bud’ v krajn´ıch bodech intervalu, v bodech, kde je derivace nulová, nebo v bodech, kde derivace neexistuje.

KAPITOLA 7. APLIKACE DERIVACI´

69

def

ˇ ıkáme, zˇ e funkce f je (ryze) konvexn´ı na I ⇐⇒ • Mˇejme funkci f definovanou na intervalu I. R´ ∀a, b, c ∈ I, a < b < c :

f (b) − f (a) f (c) − f (a) < . b−a c−a

Slovnˇe vyjádˇreno: funkce je konvexn´ı na I, kdyˇz pro libovolnou uspoˇra´ danou trojici a, b, c takovou, zˇ e a < b < c, je smˇernice seˇcny grafu funkce f urˇcené body a, b menˇs´ı neˇz smˇernice def ˇ ıkáme, zˇ e funkce f je (ryze) konkávn´ı na I ⇐⇒ seˇcny grafu funkce f urˇcené body a, c. R´ ∀a, b, c ∈ I, a . b−a c−a

Slovnˇe vyjádˇreno: funkce je konkávn´ı na I, kdyˇz pro libovolnou uspoˇra´ danou trojici a, b, c takovou, zˇ e a < b < c, je smˇernice seˇcny grafu funkce f urˇcené body a, b vˇetˇs´ı neˇz smˇernice seˇcny grafu funkce f urˇcené body a, c. • Vztah druhé derivace, konvexnosti a konkávnosti. Mˇejme funkci f , která má druhou derivaci na D(f ) a dále mˇejme interval I ⊂ D(f ). Pak plat´ı (∀x ∈ I : f 00 (x) > 0) =⇒ f je na I konvexn´ı, symbolicky f ^, (∀x ∈ I : f 00 (x) < 0) =⇒ f je na I konkávn´ı, symbolicky f _ . Slovnˇe vyjádˇreno: jestliˇze je na I druhá derivace f 00 kladná, pak je funkce f na I konvexn´ı. Jestliˇze je na I druhá derivace f 00 záporná, pak je funkce f na I konkávn´ı. • Bod, v jehoˇz levém (resp. pravém) okol´ı je funkce konvexn´ı a v pravém (resp. levém) okol´ı je funkce konkávn´ı, se nazyv´ ´ a inflexn´ı bod. • l’Hospitalovo pravidlo. Mˇejme funkce f, g : R → R a bod a ∈ R∗ . Necht’ existuje limita f 0 (x) =A x→a g 0 (x) lim

a dále je splnˇena jedna z podm´ınek: bud’ lim f (x) = lim g(x) = 0, x→a

x→a

nebo lim |g(x)| = ∞. x→a

f (x) x→a g(x)

Pak exituje také limita lim

a plat´ı

f (x) f 0 (x) = lim 0 = A. x→a g(x) x→a g (x) lim


7.1. Teˇcna a normála grafu funkce Pˇr´ıklad 7.1 Urˇcete rovnici teˇcny t a normály n funkce f : y =

x+1 x−1

v bodˇe x = 0.

ˇ sen´ı Nejprve urˇc´ıme funkˇcn´ı hodnotu, f (0) = −1. Dále urˇc´ıme derivaci f 0 : y = −2 2 a jej´ı hodnotu Reˇ (x−1) v bodˇe x = 0: f 0 (0) = −2. Vyjádˇr´ıme rovnici teˇcny a rovnici normály dané funkce v daném bodˇe: teˇcna t :

normála n :

y − (−1) = − 2 · (x − 0) y = − 2x − 1, 1 y − (−1) = − · (x − 0) −2 x y = − 1. 2


70

7.2. Extrémy funkce na uzavˇreném intervalu Pˇr´ıklad 7.2 Urˇcete extrémy funkce f : y = x6 − 3x2 na intervalu h−1, 5, 2i. ˇ sen´ı Funkce je spojitá na h−1, 5, 2i, muˇ ˚ zeme tedy pouˇz´ıt vˇetu o extrému funkce na uzavˇreném inReˇ tervalu. Nejprve urˇc´ıme derivaci funkce, f 0 : y = 6x5 − 6x. Dále urˇc´ıme body, v nichˇz je derivace rovna ˇ s´ıme proto rovnici 6x5 − 6x = 0, jej´ımˇz rˇ eˇsen´ım jsou body nule, a body, v nichˇz derivace neexistuje. Reˇ −1; 0; 1. Body, v nichˇz neexistuje derivace, tato funkce nemá. Nyn´ı vypoˇcteme funkˇcn´ı hodnoty : 297 f (−1, 5) = 64 f (−1) = − 2 f (0) =0 f (1) = − 2 f (2) =52. Minimum je −2 a funkce jej dosahuje ve dvou bodech, x = ±1. Maximum je 52 a funkce jej dosahuje v krajn´ım bodˇe intervalu pro x = 2. 7.3. Intervaly monotonie funkce, stacionárn´ı body, lokáln´ı extrémy funkce 2

´ ı a urˇcete jej´ı lokáln´ı Pˇr´ıklad 7.3 Urˇcete intervaly, na kterych ´ je funkce f : y = x2 · e−x ryze monotonn´ extrémy. ˇ sen´ı Funkce f je spojitá na R, urˇc´ıme jej´ı derivaci: f 0 : y = −2e−x2 x(x2 − 1) a budeme rˇ eˇsit nerovnici Reˇ f 0 (x) >0 2

−2e−x x(x2 − 1) >0 −x2

2

e|{z} x(x − 1) <0

vydˇel´ıme -2 rˇ eˇs´ıme metodou nulovych ´ bodu˚

>0

x ∈(−∞, −1) ∪ (0, 1) Plat´ı tedy  0  (−∞, −1) ∪ (0, 1) f (x) > 0 funkce je rostouc´ı,f % x ∈ (−1, 0) ∪ (1, ∞) f 0 (x) < 0 funkce je klesaj´ıc´ı,f &   {−1, 0, 1} f 0 (x) = 0 funkce má stacionárn´ı body V levém okol´ı bodu x = −1 je f %, v pravém je f &, tedy v x = −1 je lokáln´ı maximum. V levém okol´ı bodu x = 0 je f %, v pravém je f &, tedy v x = 0 je lokáln´ı minimum. V levém okol´ı bodu x = 1 je f %, v pravém je f &, tedy v x = 1 je lokáln´ı maximum. Vˇse lze pˇrehlednˇeji znázornit následuj´ıc´ı tabulkou. Kladnou hodnotu budeme znaˇcit symbolem +, zápornou symbolem −, nulovou symbolem •. Ve stacionárn´ıch bodech jsou teˇcny vodorovné, v tabulce symbolicky znázornˇené vodorovnou sˇ ipkou. x (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, ∞) f 0 (x) + • − • + • − f (x) % → & → % → & Z´ıskané informace lze porovnat s grafem funkce na obrázku 2:


71

2

´ O BR AZEK 2. Graf funkce x2 · e−x . 7.4. l’Hospitalovo pravidlo Pˇr´ıklad 7.4 Urˇcete limitu x3 x→∞ e3x ˇ sen´ı Ovˇerˇ´ıme pˇredpoklady pro uˇzit´ı l’Hospitalova pravidla podle druhého pˇredpokladu: Reˇ lim

˚ ˇ lim e3x = ∞. Pouˇzit´ı l’Hospitalova pravidla budeme zduraz novat symbolem

x→∞

x3 x→∞ e3x lim

l0 Hosp.

= . Plat´ı

(x3 )0 3x2 = lim l’Hospitalovo pravidlo podruhé 3x 0 x→∞ (e ) x→∞ 3e3x 2x (x2 )0 l0 Hosp. l’Hospitalovo pravidlo potˇret´ı = lim 3x 0 = lim x→∞ 3e3x x→∞ (e ) (x)0 2 1 l0 Hosp. 2 = lim 3x 0 = lim 3 x→∞ (e ) 3 x→∞ 3e3x = 0. l0 Hosp.

=

lim

Pˇr´ıklad 7.5 Urˇcete limitu

√ x− 3 lim x→3 x−3 ˇ sen´ı Ovˇerˇ´ıme pˇredpoklady pro uˇzit´ı l’Hospitalova pravidla podle prvn´ıho pˇredpokladu: Reˇ √ √ lim ( x − 3) = 0, lim (x − 3) = 0. Plat´ı

x→3

√

x→3

√ lim

x→3

√ x− 3 x−3

√ √ ( x − 3)0 = lim x→3 (x − 3)0 1 = lim √ x→3 2 x 1 = √ · 2 3 l0 Hosp.

Dovednosti - ulohy ´ ´ Uloha 7.1 Derivace funkce, geometrický význam. Urˇcete rovnici teˇcny t ke grafu funkce f v bodˇe [x0 , y0 ], jestliˇze funkce f a bod x0 jsou: √ a) f : y = 4 x, x0 = 9; b) f : y = ln x, x0 = 1; c) f : y = cos x, x0 = 0; x0 = π/2. [ a) t : y = 2/3x + 6;

b) t : y = x − 1;

c) t : y = 1; t : y = −x + π/2. ]

72


´ Uloha 7.2 Derivace funkce, geometrický význam. Pro danou funkci f najdˇete v uvedenych ´ bodech smˇernici kt teˇcny t ke grafu funkce f a rovnici této teˇcny, pokud existuje (znázornˇete graficky): 3x , x = 0; c) f : y = xex , x = 0. a) f : y = −x2 + 4x + 7, x = 1; b) f : y = 2 x +1 [ a) kt = 2, t : y = 2x + 8; ] b) kt = 3, t : 3x − y = 0; c) kt = 1, t : y = x.

´ Uloha 7.3 Derivace funkce, geometrický význam. Najdˇete rovnice teˇcny t a smˇernici normály n ke grafu funkce f v bodˇe x0 , jestliˇze pˇredpis pro funkci f je: √ √ 3x − 4 , x = 1. a) f : y = x + 1/ x, x0 = 2; b) f : y = 2x − 5 0 √ √ 1 [ a) t : y − 3/2 2 = √ (x − 2); kn = −4 2; ] 4 2 b) t : y − 1/3 = −7/9(x − 1), kn = 9/7.

´ Uloha 7.4 Derivace funkce, geometrický význam. Napiˇste rovnice teˇcen ke grafu funkce f v nulovych ´ bodech této funkce: 4x − 5 a) f : y = 4 − x2 ; b) f : y = ; c) f : y = x3 − 5x2 + 6x. x−1 [ a) t : y = −4(x − 2), t : y = 4(x + 2); ] b) t : y = 16(x − 5/4); c) t : y = 6x, y = −2(x − 2), t : y = 3(x − 3).

´ Uloha 7.5 Derivace funkce v bodˇe, geometrický význam. Napiˇste rovnici té teˇcny ke grafu funkce f : y = arccos(1 − 2x), která je rovnobˇezˇ ná s pˇr´ımkou zadanou rovnic´ı 2x − y = 4. [ t : 4x − 2y + π = 2. ]

´ Uloha 7.6 Derivace funkce v bodˇe, geometrický význam. Necht’ f : y = x2 − 4x − 7. a) Napiˇste rovnici teˇcny t ke grafu této funkce v bodˇe,v nˇemˇz x = −2. b) Na grafu funkce najdˇete vˇsechny body, v nichˇz je teˇcna t ke grafu rovnobˇezˇ ná s osou ox . c) Na grafu funkce najdˇete vˇsechny body, v nichˇz má teˇcna t ke grafu smˇernici rovnou 3. d) Na grafu funkce najdˇete vˇsechny body, v nichˇz je teˇcna t rovnobˇezˇ ná s pˇr´ımkou y = 7 − 2x. [ a) 8x + y + 11 = 0; c) [7/2, −35/4];

b) [2, −11]; ] d) [1, −10].

´ Uloha 7.7 Derivace funkce v bodˇe. Urˇcete, ve kterych ´ bodech definiˇcn´ıho oboru funkce je derivace funkce rovna nule a ve kterych ´ bodech derivace neexistuje. Jakou vlastnost má graf funkce v uvedenych ´ bodech? a) f : y = x2 − 3x; c) f : y = |x √ − 3|; e) f : y = x + 4;

b) f : y = x3√− x2 ; d) f : y = x x; f) f : y = |x2 − 4|.


73

3 ] [ a) f 0 ( ) = 0, lokáln´ı minimum; 2 2 b) f 0 ( ) = 0, lokáln´ı minimum; f 0 (0) = 0, lokáln´ı maximum; 3 c) f 0 (0) neexistuje, lokáln´ı minimum; d) f 0 (0) neexistuje, lokáln´ı minimum; e) f 0 (−4) neexistuje, lokáln´ı minimum; f) f 0 (±2) neexistuj´ı, lokáln´ı minimum.

´ Uloha 7.8 Urˇcete globáln´ı extrémy danych ´ funkc´ı definovanych ´ na danych ´ intervalech: x a) f : y = 2 , x ∈ h−1, 4i; b) f : y = x2/3 (x − 20), x ∈ h−1, 20i; x +2 √ x+1 c) f : y = 2 , x ∈ h−7, 0i; d) f : y = x 4 − x2 , x ∈ h−1, 2i; x + 2x + 2 1 ln x 2 ,e ; f) f : y = x2 e−x , x ∈ h−2, 2i. e) f : y = 3 , x ∈ e x √ √ [ a) f (−1) = −1/3, f ( 2) = 2/4; c) f (−2) = −1/2, f (0) = 1/2; e) f (1/e) = −e3 , f (e1/3 ) = 1/(3e);

b) f (0) = −48; ] √ = f (20) = 0, f (8) √ d) f ( 2) = 2, f (−1) = − 3; f) f (0) = 0, f (−1) = f (1) = 1/e.

´ Uloha 7.9 Urˇcete intervaly, na kterych je funkce f rostouc´ı, na kterych je klesaj´ıc´ı a urˇcete lokáln´ı ´ ´ extrémy funkce: x2 − 2x + 1 a) f : y = 2x3 − 6x2 − 18x + 7; b) f : y = 2x2 − ln x; c) f : y = ; x2 + 1 2 d) f : y = x2 ex ; e) f : y = x2 e−x ; f) f : y = xe−x ; ln x x ; h) f : y = √ ; g) f : y = i) f : y = x2 ln x. ln x x [ a) b) c) d) e) f) g) h) i)

(−∞, −1) %, v (−1, 3) &, v (3, ∞) %, v −1 lok. maximum, v 3 lok. minimum; ] (0, 1/2) &, v (1/2, ∞) %, v 1/2 lok. minimum; (−∞, −1) %, v (−1, 1) &, v (1, ∞) %, v −1 lok. maximum, v 1 lok. minimum; (−∞, −2) %, v (−2, 0) &, v (0, ∞) %, v −2 lok. maximum, v 0 lok. minimum; (−∞, 0) &, v (0, 2) %, v (2, ∞) &, v 2 lok. maximum, v 0 lok. minimum; (−∞, − √1 ) &, v (− √1 , √1 ) %, ( √1 , ∞) &, v − √1 lok. minimum, v √1 lok. maxi2 2 2 2 2 2 mum; (0, 1) &, v (1, e) &, v (e, ∞) %, v e lok. minimum; v (0, e2 ) %, v (e2 , ∞) &, v e2 lok. maximum; √ √ √ v (0, 1/ e) &, v (1/ e, ∞) %, v 1/ e lok. minimum.

´ Uloha 7.10 Urˇcete intervaly, na kterych ´ je funkce f rostouc´ı a klesaj´ıc´ı a urˇcete lokáln´ı extrémy funkce: 1 a) f : y = xe x ; b) f : y = x2 ex+2 ; c) f : y = x − arctgx; √ x 2 d) f : y = (x − 4) 3 x; e) f : y = (x − 2) 3 (2x + 1) ; f) f : y = 2 ; ln x g) f : y = x(1 − ln x)2 ; h) f : y = x3 e−x ; i) f : y = (x + 2)2/3 + (x − 2)2/3 . [ a) b) c) d) e) f) g) h) i)

(−∞, 0) %, (0, 1) &, (1, ∞) %, v 1 lok. minimum; ] (−∞, −2) %, (−2, 0) &, (0, ∞) %, v −2 lok. maximum, v 0 lok. minimum; R %; (−∞, 1) &, (1, ∞) %, v 1 lok. minimum; (−∞, 1) %, (1, 2) &, (2, ∞) %, v 1 lok. maximum, v 2 lok. minimum; (0, 1) %, (1, ∞) &; (0, 1/e) %, (1/e, e) &, (e, ∞) %, v 1/e lok. maximum, v e lok. minimum; (−∞, 3) %, (3, ∞) &, v 3 lok. maximum; (−∞, −2) &, (−2, 0) %, (2, ∞) %, v −2 a 2 lok. minimum, v 0 lok. maximum.

´ Uloha 7.11 Urˇcete intervaly, na kterych je funkce f rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı a urˇcete lokáln´ı extrémy ´ funkce:


74

a) f : y = xe2−x d) f : y = x ln x2

6 1 + e−x e) f : y = |x + 1| + |x − 1|

c) f : y = ln(x2 + 1)

b) f : y =

[ a) b) c) d) e) f)

f) f : y = max {5, 9 − x2 }

] % na (−∞, 1), & na (1, ∞); [1, e] lok. maximum; % na (−∞, ∞); nemá lok. extrémy; & na (−∞, 0),% na (0, ∞); [0, 0] lok. minimum; % na (−∞, −1/e) a (1/e, ∞), & na (−1/e, 0) a (0, 1/e); [−1/e, 2/e] lok. maximum, [1/e, −2/e] lok. minimum; & na (−∞, −1), % na (1, ∞) (jinde konstantn´ı); nemá lokáln´ı extrémy; % na (−2, 0), & na (0, 2) (jinde konstantn´ı); nemá lokáln´ı extrémy.

´ Uloha 7.12 Urˇcete intervaly, na kterych je funkce f konvexn´ı nebo konkávn´ı a urˇcete inflexn´ı body ´ funkce: 15 a) f : y = x6 − 6x5 + x4 + 3x; b) f : y = x4 − 2x2 + 3 ; c) f : y = x2 ln x ; 2 4 ln(x + 2) 1+x −x2 √ ; d) f : y = e + 2x; e) f : y = ; f) f : y = 1−x x+2 3 ln x g) f : y = 3xex ; h) f : y = √ ; i) f : y = x4 e−3x . x [ a) b)

na (−∞, 0), (0, 1), (3, ∞) ^, na (1, 3) _, v 1, 3 inf. ; na (−∞, − √1 ), ( √1 , ∞) ^, na (− √1 , √1 ) _, v − √1 , 3

3

3

3 e−3/2

3

] 1 √ 3

inf.;

c) d)

na (0, e−3/2 ) _, na (e−3/2 , ∞) ^, v inf. ; na (−∞, − √1 ) ^, na (− √1 , √1 ) _, na ( √1 , ∞) ^, v ± √12 inf.

e) f) g) h) i)

na (−2, −1 + e8/3 ) _, na (−2 + e8/3 , ∞) ^, v −2 + e8/3 inf.; na (−∞, −4) _, na (−4, 1), (1, ∞) ^, v −4 inf.; na (−∞, −2) _, na (−2, ∞) ^, v −2 inf.; na (0, e8/3 ) _, na (e8/3 , ∞) ^, v e8/3 inf.; na ( 32 , 2) _, na (−∞, 32 ), ( 23 , 2) ^, v 2, 32 inf.

2

2

2

2

´ Uloha 7.13 Výpoˇcet limity funkce l’Hospitalovým pravidlem. Pˇresvˇedˇcte se, zˇ e následuj´ıc´ı limity lze vypoˇc´ıtat l’Hospitalovym ´ pravidlem, a urˇcete je: √ 2x − 4 xm − 1 x−3 ; c) lim 2 a) lim 2 ; b) lim n ; x→9 x − 9x x→2 x − 5x + 6 x→1 x − 1 3 n x + 2x + 5 x ln x d) lim ; e) lim x ; f) lim ; x→∞ x→∞ e x→1 x − 1 ln x sin 4x ; i) lim+ x · ln x. g) lim+ x · e1/x ; h) lim x→0 x x→0 x→0 [ a) −2; d) ∞; g) ∞;

b) m/n; e) 0; h) 4;

c) 1/54; ] f) 1; i) 0.

´ Uloha 7.14 Výpoˇcet limity funkce l’Hospitalovým pravidlem. Presvˇedˇcte se, zˇ e následuj´ıc´ı limity lze vypoˇc´ıtat l’Hospitalovym ´ pravidlem, a urˇcete je: √ (x − 1)3 2x − 1 1+ x a) lim 3 ; b) lim ; c) lim ; x→∞ x→1 x − 4x + 3 x→0 x ln x 2x ln x e tg kx d) lim e) lim 4 ; f) lim · x; x→∞ 1 + 3 x→∞ x − 2x + 3 x→0 x [ a) 0; d) 0;


b) ln 2; e) ∞;

c) ∞; ] f) k.


75

´ Uloha 7.15 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Roh v 1. kvadrantu potˇrebujeme uzavˇr´ıt závorou délky ´ 20 metru˚ pˇres body [a, 0], [0, b] tak, aby uzavˇreny´ segment tvaru trojuheln´ ıku mˇel maximáln´ı ploˇsny´ obsah. Pro jaké hodnoty a, b to nastane? Znázornˇete graficky. √ [ a = b = 10 2. ]

´ Uloha 7.16 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Náklady vyrobce na vyrobu jednoho rádiopˇrij´ımaˇce jsou 5 ´ ´ ˚ jestliˇze se rádia budou prodávat za cenu x dolaru, ˚ pak se jich prodá 20 − x kusu˚ dennˇe. Jak dolaru; stanovit cenu za 1 rádio, aby se dosáhl maximáln´ı denn´ı zisk? Znázornˇete graficky. ˚ ] [ x = 12, 5 dolaru.

´ Uloha 7.17 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Knihkupectv´ı z´ıskalo urˇcitou knihu od vydavatele jako dar za 3 dolary za kus a prodává ji za cenu 15 dolaru˚ za kus. Pˇri této cenˇe se prodalo 200 kusu˚ za mˇes´ıc. Aby se stimuloval prodej, knihkupectv´ı chce sn´ızˇ it cenu a odhaduje, zˇ e za kaˇzdy´ 1 dolar sn´ızˇ en´ı ceny z 15 dolaru˚ se prodá mˇes´ıcˇ nˇe o 20 dalˇs´ıch knih v´ıc. Urˇcete, pˇri jaké cenˇe knihy dosáhne knihkupectv´ı nejvˇetˇs´ı zisk z jej´ıho prodeje. ˚ ] [ p = 14 dolaru.

´ ˚ z´ı farmˇe chová majitel Uloha 7.18 Aplikace derivac´ı - optimalizace (celoˇc´ıselná promˇenná). Na malé drubeˇ 120 slepic; kaˇzdá z nich snese za rok 250 vajec. Jestliˇze se do ohrady pro slepice um´ıst´ı v´ıc neˇz 120 slepic, dojde k pˇr´ıliˇsnému zaplnˇen´ı ohrady a následkem toho nosnost slepic se sn´ızˇ ´ı: pˇri kaˇzdé slepici nav´ıc se produkce vajec sn´ızˇ ´ı vˇzdy o jedno vejce na kaˇzdou slepici za rok. a) Najdˇete maximáln´ı moˇznou produkci vajec a poˇcet slepic, ktery´ zaruˇc´ı tuto maximáln´ı produkci. ˇ ste stejnou ulohu, ´ b) Reˇ ale pˇredpokládejte sn´ızˇ en´ı produkce o 2 vejce na kaˇzdou slepici za rok. ˇ c) Reˇste pro pˇredpokládané sn´ızˇ en´ı produkce o 3 vejce na kaˇzdou slepici za rok. [ a) 185 slepic, max. produkce bude 34 225 vajec za rok; ] b) 122 nebo 123 slepic, stejná produkce 30 012 vajec; ˚ c) pˇribl. 102 slepice (ménˇe neˇz byl puvodn´ ı stav), ale max. pro˚ dukce 31 008 vajec za rok (tedy vyˇssˇ´ı neˇz puvodn´ ı produkce).

´ Uloha 7.19 Aplikace derivac´ı - optimalizace (celoˇc´ıselná promˇenná). Dopravn´ı spoleˇcnost pronaj´ımá na urˇcitou trasu autokary skupinám nejménˇe 35 osob za tˇechto podm´ınek: jestliˇze je skupina pˇresne 35-ˇclenná, pak ˚ pro vˇetˇs´ı skupinu se poplatek kaˇzdého cestuj´ıc´ıho sniˇzuje tolikrát o pul ˚ dolaru, kaˇzdy´ zaplat´ı 60 dolaru; o kolik poˇcet osob v skupinˇe pˇresahuje 35. Urˇcete pˇr´ıjem dopravn´ı spoleˇcnosti v závislosti na velikosti skupiny a vypoˇc´ıtejte, pro jak velkou skupinu bude pˇr´ıjem spoleˇcnosti nejvˇetˇs´ı. ˚ ] [ funkce pˇr´ıjmu je P (x) = (60 − 0, 5x) · (35 + x); skupina 77 anebo 78 osob; P(77)=P(78)=2 886 dolaru.

´ Uloha 7.20 Aplikace derivac´ı - optimalizace nákladu. ˚ Mˇesto Bory (B) leˇz´ı 10 km vychodnˇ e od mˇesta Akáty ´ ˚ Z A do C se m postavit spojen´ı silnic´ı, a to tak, zˇ e se (A) a mˇesto Cedry (C) leˇz´ı 3 km jiˇznˇe od Boru. vyuˇzije stavba dálnice z A do B, pˇriˇcemˇz se do C odboˇc´ı obyˇcejnou silnic´ı v nˇejakém m´ıstˇe P na trase A − B. Náklady na dálnici jsou 4 miliony Kˇc na 1 km, zat´ımco cena na stavbu silnice je 5 milionu˚ Kˇc na 1 km. Kam se má um´ıstit bod P , aby se minimalizovaly náklady? [ 4 km od B. ]

´ Uloha 7.21 Aplikace derivac´ı - optimalizace nákladu. ˚ Z elektrárny na jedné stranˇe rˇ eky sˇ iroké 1 200 metru˚ je tˇreba vést kabel do továrny 2 400 metru˚ n´ızˇ po proudu rˇ eky. Náklady na poloˇzen´ı kabelu pod vodou jsou 25 dolaru˚ na jeden metr a po zemi 20 dolaru˚ na jeden metr. Jakou trasu zvolit pro poloˇzen´ı kabelu, ´ aby náklady na jeho veden´ı byly minimáln´ı? Jaké budou tyto (minimáln´ı) náklady? Pˇredchoz´ı ulohu rˇ eˇste také pro pˇr´ıpad, zˇ e továrna se nacház´ı ˚ a) 2 000 metru, b) 1 200 metru˚ n´ızˇ po proudu rˇ eky od továrny. ˚ [ Nejprve 2 000 m pod vodou, a pak 800 m po zemi; náklady 66 000 dolaru; ˚ a) nejprve pod vodou, pak 400 m po zemi; náklady 58 000 dolaru; √ ˚ ] b) jen kˇr´ızˇ em pˇres rˇ eku, náklady 30 000 2 dolaru.


76

´ Uloha 7.22 Hustym ´ lesem vede pˇr´ımá cesta. Jiˇznˇe od cesty ve vzdálenosti 3 km se nacház´ı hájovna. U cesty 5 km vychodnˇ e od bodu, ktery´ je nejbl´ızˇ e hájovnˇe, se nacház´ı restaurace. Hajny´ do restaurace ´ ˚ ze j´ıt rychlost´ı 2 km/h a po cestˇe rychlost´ı 4 km/h. Urˇcete minimáln´ı dobu, za rád chod´ı. Lesem muˇ ˚ ze dostat pˇesˇ ky z hájovny do restaurace i m´ısto, kde by mˇel z lesa vyj´ıt na cestu. kterou se hajny´ muˇ [ tmin = 2h 32 min. ]

´ ´ Uloha 7.23 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Chodba sˇ´ırˇ ky 2,4 metru˚ se lom´ı do pravého uhlu a pokraˇcuje ˚ Zjistˇete, jaky´ nejdelˇs´ı zˇ ebˇr´ık je moˇzné nést ve vodorovné poloze pˇres tuto jako chodba sˇ´ırˇ ky 1,6 metru. ´ ˚ lomenou chodbu. Ulohu rˇ eˇste také obecnˇe pro sˇ´ırˇ ky chodby a a b metru. [ 2, 4 ·

q

1+

p 3

4/9 + 1, 6 ·

q q q p p p 1 + 3 9/4; a · 1 + 3 a2 /b2 + b · 1 + 3 b2 /a2 . ]

´ ˚ rezem o polomˇeru r se Uloha 7.24 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Z válcovitého kmene s kruhovym ´ pruˇ má vytesat trám co nejvˇetˇs´ı nosnosti; nosnost trámu je urˇcena vztahem y = k · s · v 2 , kde k je materiálová ˚ rez trámu, aby jeho konstanta, s je sˇ´ırˇ ka a v je vyˇ ´ ska trámu. Jaké rozmˇery s, v má m´ıt (obdéln´ıkovy) ´ pruˇ nosnost byla nejvˇetˇs´ı? [ s = 2/3 ·

√

3r, v = 2/3 ·

√

6r ]

´ Uloha 7.25 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Bod P se souˇradnicemi [x0 , 0] se zaˇcne pohybovat po ose ox smeˇrem k poˇca´ tku souˇradnicového systému rychlost´ı v1 , bod Q se souˇradnicemi [0, y0 ] se ve stejném okamˇziku zaˇcne pohybovat smeˇrem k poˇca´ tku souˇradnicového systému po ose oy rychlost´ı v2 . a) Zjistˇete, ve kterém cˇ ase bude vzdálenost bodu˚ d(P, Q) nejmenˇs´ı. Jaká bude ta nejmenˇs´ı vzdálenost? ˇ ste ulohu ´ b) Reˇ pro x0 = y0 = 52, v1 = 4, v2 = 8. x0 v2 − y0 v1 x0 v1 + y0 v2 [ a) minimáln´ı vzdálenost q ; v cˇ ase t = v12 + v22 2 2 v1 + v2 52 √ b) minimáln´ı vzdálenost 5 v cˇ ase 7,8. ] 5

´ Uloha 7.26 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Je daná parabola y = 12 − x2 . Ktery´ do n´ı vepsany´ obdéln´ık s jednou stranou na ose ox a horn´ımi vrcholy na grafu paraboly má nejvˇetˇs´ı ploˇsny´ obsah? Jaky´ je ten nejvˇetˇs´ı ploˇsny´ obsah? [ strany obdéln´ıku o rozmˇerech 4, 8; maximáln´ı ploˇsny´ obsah 32 j. p. o. ]

´ Uloha 7.27 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Urˇcete obdéln´ık nejvˇetˇs´ıho ploˇsného obsahu se stranami rovnobˇezˇ nymi se souˇradnicovymi osami, ktery´ je moˇzné vepsat: ´ ´ a) do kruhu urˇceného kruˇznic´ı x2 + y 2 = R2 ; b) do polokruhu urˇceného kruˇznic´ı x2 + y 2 = R2 pro y ≥ 0; c) do elipsy x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. Znázornˇete. [ a) 2 · R2 ; b) R2 ; c) 2 · ab. ]

´ Uloha 7.28 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Z kartonu sˇ´ırˇ ky 0,8 m a délky 1,5 m se má vyrobit otevˇrená ´ a krabice tak, zˇ e v roz´ıch kartonu se odˇr´ıznou malé cˇ tverce a okraje pak ohneme nahoru. Jak pravouhl´ máme odˇrezat cˇ tverce v roz´ıch, aby objem vzniklé krabice byl nejvˇetˇs´ı? Jaky´ je ten nejvˇetˇs´ı moˇzny´ objem? [ strana cˇ tverce 1/6 m; maximáln´ı objem

49 m3 . ] 540

´ Uloha 7.29 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Z kartonu tvaru cˇ tverce se stranou délky a cm se má vyrobit ´ a krabice tak, zˇ e v roz´ıch kartonu se odˇr´ıznou malé cˇ tverce a okraje pak ohneme otevˇrená pravouhl´ nahoru. Jaké cˇ tverce v roz´ıch odˇrezat, aby objem vzniklé krabice byl nejvˇetˇs´ı? Jaky´ je ten nejvˇetˇs´ı moˇzny´ objem? [ strana cˇ tverce a/6 m; maximáln´ı objem

2a3 3 m .] 27

´ Uloha 7.30 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Dané kladné cˇ ´ıslo A rozloˇzte na dva kladné sˇc´ıtance x, y tak, aby


77

a) souˇcin tˇechto sˇc´ıtancu˚ byl nejvˇetˇs´ı; urˇcete také hodnotu toho nejvˇetˇs´ıho souˇcinu; b) souˇcin mocnin xm , y n byl nejvˇetˇs´ı; urˇcete také hodnotu toho nejvˇetˇs´ıho souˇcinu. A2 ; 4 mA nA b) x = ,y = , m+n m+n m+n m n A ·m ·n maximáln´ı hodnota souˇcinu je .] (m + n)m+n

[ a) x = y = A/2, maximáln´ı hodnota souˇcinu je

´ Uloha 7.31 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Do zdi potˇrebujeme vysekat otvor pro okno tvaru obdéln´ıku, na ktery´ je nahoru nasazen polokruh (tzv. normanské okno). Obvod celého okna dohromady s polokruhovou cˇ a´ st´ı má byt ´ 8 m. Jaké maj´ı byt ´ rozmˇery okna, aby propouˇstˇelo co nejv´ıc svˇetla? [

8 16 , ] 4+π 4+π

´ Uloha 7.32 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Okno má tvar obdéln´ıku, nad kterym ´ je polokruh. Obdéln´ık ˚ je z pruhledn´ eho skla, polokruhová cˇ a´ st je vyplnˇena barevnym ´ sklem, které propouˇst´ı jen poloviˇcn´ı ˚ mnoˇzstv´ı svˇetla na ploˇsnou jednotku neˇz pruhledn´ e sklo. Obvod okna je dany. ´ Urˇcete jeho rozmˇery tak, aby okno uvedeného tvaru propouˇstˇelo maximáln´ı mnoˇzstv´ı svˇetla. [

32 16 + 4π , ] 8 + 3π 8 + 3π

´ Uloha 7.33 Aplikace derivac´ı - optimalizace. Na pˇr´ımce x + y = 2 urˇcete takovy´ bod Q[x0 , y0 ], jehoˇz vzdálenost od bodu P [1, 4] je nejmenˇs´ı. Jaká je ta nejmenˇs´ı vzdálenost? Znázornˇete graficky. [ Q[−1/2, 5/2], minimáln´ı vzdálenost 3/2 ·

√

2]

´ Uloha 7.34 Aplikace derivac´ı. Jakou rychlost´ı se mˇen´ı polomˇer bubliny tvaru koule, jestliˇze se do n´ı vhán´ı vzduch rychlost´ı 10 cm3 /s? [

5 cm/s. ] 2πr2

Otestujte se ´ Uloha 7.35 Urˇcete rovnici teˇcny a normály ke grafu funkce f : y =

x−1 x+1

v bodˇe x = 0. [ t : y = 2x − 1; n : y = −x/2 − 1. ]

´ Uloha 7.36 Urˇcete extrémy funkce f : y = ln2 x na intervalu he−1 , ei. [ [1, 0] lok. minimum; [e−1 , 1], [e, 1] lok. maximum. ] 2 ´ Uloha 7.37 Urˇcete intervaly, na kterych ´ je funkce f : y = x2 · e−x rostouc´ı, na kterych ´ je klesaj´ıc´ı, a urˇcete jej´ı lokáln´ı extrémy.

[ & na (−∞, 0), % na (0, 2), & na (2, ∞), [0, 0] lok. minimum, [2, 4/e2 ] lok. maximum. ]

ln 3x ´ Uloha 7.38 Urˇcete intervaly, na kterych ´ je funkce f : y = √ ryze konvexn´ı nebo ryze konkávn´ı a x urˇcete inflexn´ı body funkce.

√ [ _ na (0, e8/3 /3), ^ na (e8/3 /3, ∞), [e8/3 /3, 8e−4/3 / 3] inf. ]

´ Uloha 7.39 pravidla urˇcete Pomoc´ı l’Hospitalova 1 1 a) lim − ; x→0 ln(x + 1) x

b) lim

x→0

sin x − x cos x · sin3 x [ a) 1/2;

b) 1/3. ]

KAPITOLA 8

Aproximace funkc´ı Vystupy ze studia, Learning Outcomes ´ Znalosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • • • •

definuje diferenciál funkce v daném bodˇe ˚ polynom; pro danou funkci definuje Maclaurinuv ˚ polynom; pro danou funkci a dany´ bod definuje Tayloruv definuje asymptotu grafu funkce.

Dovednosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • • • •

urˇc´ı diferenciál funkce v daném bodˇe; ˚ polynom funkce; urˇc´ı Maclaurinuv ˚ polynom funkce v daném bodˇe; urˇc´ı Tayloruv urˇc´ı asymptotu grafu funkce, pˇr´ıpadnˇe rozhodne o jej´ı neexistenci.

Schopnosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • aplikuje z´ıskané znalosti a dovednosti pro odhady hodnot funkce pomoc´ı diferenciálu; • aplikuje z´ıskané znalosti a dovednosti pro aproximaci funkc´ı polynomem daného stupnˇe.

79


80

ˇ y´ pˇrehled Znalosti - strucn ˚ • Hledáme lineárn´ı funkci dfx : h → A · h, která bude aproximovat pˇr´ırustek funkce f mezi body x a x + h, tedy f (x + h) − f (x) ≈ A · h. • Mˇejme funkci f , bod x ∈ D(f ) takovy, ´ zˇ e existuje okol´ı P (x) ⊂ D(f ). Funkce dfx : h → A · h def

se nazyv´ ´ a diferenciál funkce f v bodˇe x a znaˇc´ı se dfx ⇐⇒ jestliˇze existuje A ∈ R, pro které plat´ı dfx (h)

z }| { f (x + h) − f (x) − A · h = 0. lim h→0 h Funkce f s touto vlastnost´ı se nazyv´ ´ a diferencovatelná v bodˇe a. • Funkce f je diferencovatelná v bodˇe x ⇐⇒ má v bodˇe x vlastn´ı derivaci a plat´ı, zˇ e hodnota A z pˇredchoz´ı definice je rovna f 0 (x). Pro funkci dfx promˇenné h tedy plat´ı: dfx : h → f 0 (x) · h. ˚ zeme pˇr´ırustek ˚ • Pro diferencovatelnou funkci f muˇ f (x + h) − f (x) aproximovat diferenciálem f (x + h) − f (x) ≈ f 0 (x) · h, | {z } dfx (h)

˚ zeme aproximovat hodnotou neboli funkˇcn´ı hodnotu funkce f v bodˇe x + h muˇ f (x + h) ≈ f (x) + f 0 (x) · h. ˚ • Znaˇcen´ı: cˇ ´ıslo h se nˇekdy oznaˇcuje symbolem ∆x (pˇr´ırustek promˇenné x), cˇ ´ıslo f (x + h) − f (x) ˚ symbolem ∆y (pˇr´ırustek promˇenné y). V tomto znaˇcen´ı tedy: ∆y ≈ f 0 (x) · ∆x

neboli f 0 (x) ≈

∆y . ∆x

Z této pˇribliˇzné rovnosti pocház´ı Lagrangeovo znaˇcen´ı derivace funkce v bodˇe

dy dx ,

totiˇz:

∆y ∆x→0 ∆x

f 0 (x) = lim

dy · dx • Mˇejme funkci f , bod a ∈ D(f ) a necht’ má funkce f vlastn´ı derivace v bodˇe a do rˇ a´ du n. Polynom a tuto limitu znaˇc´ıme symbolem

f 0 (a) f 00 (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n 1! 2! n! ˚ polynom n-tého stupnˇe se nazyv´ ˚ polynom n−tého stupnˇe pro funkci f v bodˇe a. Tayloruv ´ a Tayloruv pro funkci f v bodˇe a = 0 se nazyv´ ˚ polynom n−tého stupnˇe pro funkci f . ´ a Maclaurinuv • Pro urˇcen´ı Taylorova polynomu potˇrebujeme znát f, a, n, pro urˇcen´ı Maclaurinova polynomu potˇrebujeme znát f, n. • Mˇejme funkci f : R → R. Pˇr´ımka p s rovnic´ı p : y = x0 se nazyv´ ´ a asymptota bez smˇernice grafu Tn (x) = f (a) +

def

funkce f v x0 ) ⇐⇒ alesponˇ jedna jednostranná limita funkce f pro x → x0 je rovna ∞ nebo −∞. • Mˇejme funkci f : R → R. Pˇr´ımka p s rovnic´ı p : y = k · x + q se nazyv´ ´ a asymptota se smˇernic´ı def

grafu funkce f v ∞ (resp. −∞) ⇐⇒ p(x)

z }| { lim (f (x) − (kx + q)) = 0.

x→±∞

KAPITOLA 8. APROXIMACE FUNKCI´

81

• Pˇr´ımka p : y = k · x + q je asymptotou se smˇernic´ı grafu funkce f v ∞ ⇐⇒ existuj´ı koneˇcné limity f (x) = k, x lim (f (x) − k · x) = q, lim

x→∞

x→∞

analogicky pro asymptotu v −∞. • Pokud má graf funkce f asymptotu y = kx + q v ∞, resp. v −∞ pak je lineárn´ı funkce g : y = kx + q lineárn´ı aproximac´ı funkce f v okol´ı bodu ∞, resp. −∞.


8.1. Diferenciál funkce Pˇr´ıklad 8.1 Pomoc´ı diferenciálu urˇcete pˇribliˇznˇe hodnotu ln 3 a rozd´ıl odhadu od pˇresné hodnoty. ˇ sen´ı Ze zadán´ı v´ıme, zˇ e f : y = ln x. Stanov´ıme x = e, h = 3 − e, derivaci f 0 : y = Reˇ hodnoty f (x) = ln e = 1 a f 0 (x) = 1e . Plat´ı:

1 x.

Urˇc´ıme

f (x + h) ≈ f (x) + f 0 (x) · h 1 = 1 + (3 − e) e 3 =1+ −1 e 3 = · e Rozd´ıl mezi hodnotami ln 3 ≈ 1, 098 a

3 e

≈ 1, 103 je v absolutn´ı hodnotˇe ≈ 0, 005.

˚ er je shodny´ s vyˇ Pˇr´ıklad 8.2 Rotunda má vnitˇrn´ı prostor ve tvaru válce, jehoˇz prumˇ ´ skou. Pomoc´ı dife˚ er renciálu odhadnˇete relativn´ı chybu pˇri vypoˇ ´ ctu objemu vnitˇrn´ıho prostoru rotundy, jestliˇze je jej´ı prumˇ zmˇerˇ en s pˇresnost´ı ± 2%. ˇ sen´ı Objem válce vypoˇcteme dle vzorce V = πr2 v. Ze zadán´ı v´ıme, zˇ e je zmˇerˇ en prumˇ ˚ er, tedy Reˇ ˚ erem, tedy v = d, coˇz dosad´ıme do vzorce: V = π(d/2)2 d = 41 πd3 . r = d/2 a zˇ e vyˇ ´ ska je shodná s prumˇ Stanov´ıme x = d, h = ±0, 02d, derivaci V 0 : y = 43 πd2 . Plat´ı: f (x + h) ≈ f (x) + f 0 (x) · h V (d ± 0, 02d) ≈ V (d) + V 0 (d) · (±0, 02d) 1 3 = πd3 ± πd2 · 0, 02d 4 4 1 = πd3 (1 ± 3 · 0, 02). 4 Relativn´ı chybu urˇc´ıme pomoc´ı pomˇeru odhad V (d ± 0, 02d)

V (d)

=

1 3 4 πd (1 ± 0, 06) 1 3 4 πd

= 1 ± 0, 06. ˚ eru rotundy ± 2% je objem vypoˇcten s pˇresnost´ı ± 6%. Pˇri pˇresnosti mˇerˇ en´ı prumˇ


82

8.2. Tayloruv ˚ a Maclaurinuv ˚ aproximaˇcn´ı polynom ˚ polynom rˇ a´ du 4 funkce f : y = e2x . Pˇr´ıklad 8.3 Urˇcete Maclaurinuv ˇ sen´ı Urˇc´ıme derivace funkce f do stupnˇe 4, jejich hodnoty v bodˇe x = 0 a dosad´ıme. Reˇ f : y = e2x f

(1)

f

(2)

f (0) = 1

: y =2·e

2x

: y =4·e

2x

f

(1)

(0) = 2

f

(2)

(0) = 4

f (3) : y = 8 · e2x

f (3) (0) = 8

f (4) : y = 16 · e2x

f (4) (0) = 16.

˚ polynom má tedy tvar Maclaurinuv 2 4 8 16 x + x2 + x3 + x4 1! 2! 3! 4! 4 3 2 4 2 = 1 + 2x + 2x + x + x . 3 3

T4 (x) = 1 +

˚ polynom rˇ a´ du 4 funkce f : y = sin(x) v bodˇe π/2. Pˇr´ıklad 8.4 Urˇcete Tayloruv ˇ sen´ı Urˇc´ıme derivace funkce f do rˇ a´ du 4, jejich hodnoty v bodˇe x = π/2 a dosad´ıme. Reˇ f : y = sin(x) f

(1)

f (π/2) = 1

: y = cos(x)

f

(1)

(π/2) = 0

f (2) : y = − sin(x)

f (2) (π/2) = −1

f (3) : y = − cos(x)

f (3) (π/2) = 0

f (4) : y = sin(x)

f (4) (π/2) = 1.

˚ polynom má tedy tvar Tayloruv 0 −1 0 1 (x − π/2) + (x − π/2)2 + (x − π/2)3 + (x − π/2)4 1! 2! 3! 4! 1 1 = 1 − (x − π/2)2 + (x − π/2)4 . 2 24

T4 (x) = 1 +

8.3. Asymptoty grafu funkce Pˇr´ıklad 8.5 Napiˇste rovnice vˇsech asymptot ke grafu funkce f :y=

x3 − 1 · 3x2 − 1

ˇ sen´ı Nejprve urˇc´ıme definiˇcn´ı obor: D(f ) = R \ {± √1 }. Protoˇze jednostranné limity pro x → − √1 Reˇ 3 3 i pro x → √13 jsou bud’ ∞ nebo −∞ (ovˇerˇ te!), má funkce dvˇe asymptoty bez smˇernice (svislé), které maj´ı rovnice x = √13 a x = − √13 . Pro asymptotu se smˇernic´ı v bodˇe ∞ nejprve urˇc´ıme: f (x) lim = lim x→∞ x x→∞

x3 −1 3x2 −1

x x3 − 1 1 = lim = · 3 x→∞ 3x − x 3


83

˚ ze m´ıt v ∞ asymptotu. Jej´ı existenci urˇc´ıme dopoˇc´ıtán´ım Protoˇze limita vyˇsla vlastn´ı (koneˇcná), funkce muˇ druhé limity: 3 x −1 1 lim (f (x) − k · x) = lim − · x x→∞ x→∞ 3x2 − 1 3 3 3(x − 1) − x(3x2 − 1) = lim x→∞ 3(3x2 − 1) −3 + x = lim =0 x→∞ 9x2 − 3 Limita je opˇet vlastn´ı (koneˇcná), graf funkce tedy má asymptotu v ∞ a ta má rovnici y = x3 . Analogickym ´ postupem bychom zjistili, zˇ e asymptota v −∞ je totoˇzná pˇr´ımka, tedy y = x3 . Dovednosti - ulohy ´ ´ ˚ ˚ Uloha 8.1 Pˇr´ırustek ˚ a relativn´ı pˇr´ırustek ˚ funkce. Najdˇete pˇr´ırustek ∆y funkce a relativn´ı pˇr´ırustek - pomˇer ∆y pro danou funkci f v daném bodˇe x0 : ∆x 3 2 a) f : y = x2 + x − 6 pro x0 = 1, ∆x = 1; b) f : y = 7x √ − x + 1 pro x0 = 4, ∆x = 2; 2 c) f : y = 1/x pro x0 = −4, ∆x = 0, 5; d) f : y = x − 2 pro x0 = 2, ∆x = 0, 2. ∆y = 4; ∆x ∆y c)∆y = 0, 02, = 0, 038; ∆x

[ a)∆y = 4,

∆y = 522; ∆x ∆y d)∆y = 0, 45, = 2, 25. ∆x

b)∆y = 1044,

]

´ Uloha ˚ a relativn´ı pˇr´ırustek ˚ funkce. Pomoc´ı diferenciálu urˇcete pˇribliˇznˇe: √ 8.2 Pˇr´ırustek a) 3 26, 19; b) ln 0, 9. [ a) 2, 91;

b) −0, 9. ]

´ Uloha 8.3 Pˇr´ırustek ˚ a relativn´ı pˇr´ırustek ˚ funkce. Ukaˇzte, zˇ e pro h → 0 plat´ı: a) (1 + h)α ≈ 1 + αh, kde α ∈ R; √ √ h b) a + h ≈ a + √ , kde a > 0; 2 a √ √ h c) 3 a + h ≈ 3 a + √ , kde a ∈ R. 3 3 a2 [Pˇribliˇznou rovnost lze dokázat pomoc´ı diferenciálu funkce v bodˇe 1, resp. a.]

´ ˚ polynom stupnˇe n funkce f : Uloha 8.4 Aproximaˇcn´ı polynomy. Urˇcete Maclaurinuv −2 −x2 a) f : y = (1 − x) , n = 3; b) f : y = e , n = 2; c) f : y = tg x, n = 3; 1 d) f : y = , n = 3; e) f : y = arctg x, n = 3; f) f : y = ln(1 + x), n = 4. x+2 [ a)1 + 2x + 3x2 + 4x3 ; c) x + 31 x3 ; e)x − 13 x3 ;

b)1 − x2 ; ] 1 3 d) 21 − 14 x + 18 x2 − 16 x ; f)x − 21 x2 + 13 x3 − 14 x4 .

´ ˚ polynom stupnˇe n funkce f v bodˇe a: Uloha 8.5 Aproximaˇcn´ı polynomy. Urˇcete Tayloruv √ 1 a) f : y = , a = 1, n = 3; b) f : y = ln x, a = 1, n = 3; c) f : y = x, a = 1, n = 3. x [ a) b) c)

1 − (x − 1) + (x − 1)2 − (x − 1)3 = 4 − 6x + 4x2 − x3 ; ] (x − 1) − 52 (x − 1)2 + 13 (x − 1)3 = − 26 + 14 x − 75 x2 + 13 x3 ; 15 5 1 1 (x − 1)3 = 16 (5 + 15x − 5x2 + x3 ). 1 + 12 (x − 1) − 18 (x − 1)2 + 16

´ Uloha 8.6 Asymptoty grafu funkce. Napiˇste rovnice vˇsech asymptot grafu˚ následuj´ıc´ıch funkc´ı:


84

a) f : y =

x3 + 3 ; x2 − 9

ln x − x; x x2 e) f : y = . x−2

b) f : y = 2

d) f : y = 2 − e−x ;

c) f : y =

[ a) x = 3, x = −3, y = x; d) y = 2;

x2 + 3x + 7 ; x+1

b) y = −x, x = 0; e) x = 2, y = x + 2.

c) x = −1, y = x + 2; ]

´ Uloha 8.7 Asymptoty grafu funkce. Napiˇste rovnice vˇsech asymptot grafu˚ následuj´ıc´ıch funkc´ı: 2x2 − 1 x2 − 4 3 a) f : y = 2 ; b) f : y = ; c) f : y = ; x+4 2 + 5e−x x +1 x3 1 2 ; e) f : y = 2 ; f) f : y = 4 . d) f : y = x e −1 x +1 x + x2 [ a) y = 2; d) x = 0, y = 0, y = −2;

b) x = −4, y = x − 4; e) y = x;

c) y = 0, y = 3/2; ] f) x = 0, y = 0.

Schopnosti - aplikace ´ Uloha 8.8 Mˇerˇ en´ım bylo zjiˇstˇeno, zˇ e strana cˇ tverce má délku 21 cm s moˇznou chybou 0, 05 cm. Pomoc´ı diferenciálu vhodné funkce odhadnˇete, jaké nejvˇetˇs´ı moˇzné chyby se dopust´ıme pˇri vypoˇ ´ ctu obsahu S cˇ tverce. [ S = x2 , dS(21; 0, 05) = 2, 1, tj. chyba obsahu je 2, 1 cm2 . ]

´ Uloha 8.9 Mˇerˇ en´ım bylo zjiˇstˇeno, zˇ e polomˇer koule má hodnotu 10 cm s moˇznou chybou 0, 05 cm. Pomoc´ı diferenciálu vhodné funkce odhadnˇete, jaké maximáln´ı relativn´ı chyby se dopust´ıme pˇri vypoˇ ´ ctu objemu V koule. [ V = 4/3πr3 , dV (r, h)/V = 3h/r = 0, 015, tj. relativn´ı chyba vypoˇ ´ ctu objemu je 1, 5 % ]

´ Uloha 8.10 Mˇerˇ en´ım bylo zjiˇstˇeno, zˇ e hrana krychle má délku 30 cm s moˇznou chybou 0, 1 cm. Pomoc´ı diferenciálu vhodné funkce odhadnˇete, jaké maximáln´ı chyby a jaké relativn´ı chyby se dopust´ıme pˇri vypoˇ ´ ctu objemu V krychle. [ V = x3 , dV (30; 0, 1) = 270, tj. horn´ı odhad chyby pˇri vypoˇ ´ ctu objemu je 270 cm3 , dV /V = 0, 001, tj. relativn´ı chyba je 1 %. ]

´ Uloha 8.11 Zamˇestnavatel vám nab´ız´ı plat 18 000 korun za mˇes´ıc a dává pˇr´ıslib, zˇ e vám ho bude ˚ platu pravidelnˇe zvyˇsovat o 2 400 korun po kaˇzdém odpracovaném roce. Jaky´ bude procentn´ı nárust po prvém odpracovaném roce, resp. po pátém zvyˇ ´ sen´ı? Nakreslete graf funkce roˇcn´ıho procentn´ıho zvyˇ ´ sen´ı platu. Co se dˇeje s hodnotami této funkce s rostouc´ı hodnotou t? [

100 procent (asi 1,01 %); 91 100 procent (asi 1,05 %); 95 funkce klesá k 0. ]

´ Uloha 8.12 Pˇredpokládá se, zˇ e za x let po 1. lednu 1996 bude poˇcet obyvatel urˇcité oblasti urˇcen jako P (x) = 2x + 4x2/3 + 50 tis´ıc osob. ˚ ˚ ehu roku 2004. a) Odhadnˇete pomoc´ı derivace pˇr´ırustek poˇctu obyvatelstva v prubˇ ˚ ˚ ehu roku 2004. b) Odhadnˇete procentn´ı pˇr´ırustek poˇctu obyvatelstva v prubˇ [ a)

10 tis´ıc; b) 4,065 %. ] 3

´ Uloha 8.13 Hrubé roˇcn´ı vynosy urˇcité spoleˇcnosti v cˇ ase t let od jej´ıho zaloˇzen´ı na zaˇca´ tku roku 1995 ´ byly A(t) = 20t2 + 1000t + 20000 korun. a) Jakym spoleˇcnosti na zaˇca´ tku roku 1996, resp. 1999? ´ roˇcn´ım tempem rostly hrubé roˇcn´ı vynosy ´ ˚ b) Jaké bylo procentn´ı roˇcn´ı tempo rustu hrubych u˚ spoleˇcnosti na zaˇca´ tku roku 1999? ´ roˇcn´ıch vynos ´


85

[ a) 1 040 korun roˇcnˇe, 1 160 korun roˇcnˇe; b) 4,77 %. ]

´ Uloha 8.14 Odhaduje se, zˇ e o t let odted’ bude poˇcet obyvatel urˇcité oblasti P (t) = 30 −

6 tis´ıc osob. t+1

O kolik vzroste pˇribliˇznˇe poˇcet obyvatel bˇehem: a) následuj´ıc´ıho cˇ tvrtroku, b) následuj´ıc´ı poloviny roku, c) následuj´ıc´ıho roku? [ a) 1,5 tis´ıce osob; b) 3 tis´ıce osob; c) 6 tis´ıc osob. ]

´ Uloha 8.15 Pˇredpokládejme, zˇ e denn´ı produkce urˇcitého podniku je Q(K) = 500K 1/2 jednotek, kde K je velikost kapitálové investice v tis´ıc´ıch korun; v souˇcasnosti je kapitálová investice 900 000 korun. Odhadnˇete, jak se zmˇen´ı denn´ı produkce, jestliˇze se kapitálová investice a) zvyˇ ´ s´ı o 12 000 korun; b) sn´ızˇ ´ı o 6 000 korun. ˚ o 100 jednotek; b) pokles o 50 jednotek. ] [ a) nárust

´ Uloha 8.16 Odhad pomoc´ı diferenciálu. Pˇredpokládejme, zˇ e denn´ı produkce podniku je Q(K) = 800K 1/2 jednotek, kde K je velikost kapitálové investice v tis´ıc´ıch korun. a) Odhadnˇete, o kolik procent vzroste denn´ı produkce, jestliˇze se kapitálová investice zvyˇ ´ s´ı o 4 procenta, resp. sn´ızˇ ´ı o 5 procent. b) Odhadnˇete, o kolik procent je nutno zvyˇ ´ sit kapitálovou investici, jestliˇze chce podnik zvyˇ ´ sit denn´ı produkci o 8 procent. ˚ o 2 %, resp. pokles o 2,5 %; [ a) rust ˚ investic´ı o 16 %. ] b) nárust

´ Uloha 8.17 Odhad pomoc´ı diferenciálu. Denn´ı produkce podniku je Q(L) = 400L2/3 jednotek, kde L je velikost pracovn´ı s´ıly v pracovn´ıch hodinách; v souˇcasnosti je dennˇe vyuˇz´ıvanych ´ 512 pracovn´ıch hodin. Odhadnˇete, kolik pracovn´ıch hodin nav´ıc je potˇrebnych ´ k tomu, aby se denn´ı produkce zvyˇ ´ sila o 25 jednotek. [ 0,75 hod. ]

´ Uloha 8.18 Odhad pomoc´ı diferenciálu. Odhadnˇete, jak se zmenˇs´ı (zvˇetˇs´ı) velikost objemu krychle, jestliˇze se délka kaˇzdé hrany zmenˇs´ı o 2 procenta (zvˇetˇs´ı o 3 procenta). [ zmenˇs´ı se o 6 %, zvˇetˇs´ı se o 9 %. ]

´ Uloha 8.19 Odhad pomoc´ı diferenciálu. Hrana krychle byla zmˇerˇ ena jako 10 cm s moˇznou chybou ±1 %. S jakou pˇresnost´ı je moˇzné urˇcit velikost objemu této krychle? [ ±3 %. ]

´ Uloha 8.20 Odhad pomoc´ı diferenciálu. S jakou pˇresnost´ı potˇrebujeme zmˇerˇ it polomˇer r koule, aby bylo moˇzné vypoˇc´ıtat velikost jej´ıho povrchu s pˇresnost´ı ±1 %? [ ±0, 5 %. ]

Otestujte se

´ Uloha 8.21 Pomoc´ı diferenciálu urˇcete pˇribliˇznˇe:

√ 3

70. [4, 125.]

1+x ´ ˚ polynom stupnˇe 5 funkce f : y = ln Uloha 8.22 Urˇcete Maclaurinuv , n = 4. 1−x [2x + 23 x3 .]

86


ln x ´ Uloha 8.23 Napiˇste rovnice vˇsech asymptot grafu funkce f : y = 2 + 2x. x [y = 2x, x = 0.]

´ Uloha 8.24 Délka strany cˇ tverce se zmˇen´ı z 12 cm na 12,5 cm. ´ a) Pomoc´ı diferenciálu odhadnˇete, o kolik se pˇritom zmˇen´ı délka uhlopˇ r´ıcˇ ky tohoto cˇ tverce. ´ b) Vypoˇc´ıtejte zmˇenu v délce uhlopˇ r´ıcˇ ky pˇresnˇe.

√ [ a)= b) 0, 5 2 cm. ]

KAPITOLA 9

Prubˇ ˚ eh funkce Vystupy ze studia, Learning Outcomes ´ Znalosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • vyjmenuje souhrn vlastnost´ı funkce, které se u funkce, resp. jej´ıho grafu zkoumaj´ı pouˇzit´ım kalkulu, zejména derivac´ı; • pop´ısˇ e vyznam tˇechto vlastnost´ı pro charakterizaci funkce a jej´ıho grafu. ´

Dovednosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • urˇc´ı definiˇcn´ı obor funkce; • urˇc´ı limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru funkce, v jinych ´ specifickych ´ bodech (i mimo definiˇcn´ı obor funkce); • urˇc´ı nulové body funkce, pˇr´ıpadnˇe rozhodne o jejich poˇctu nebo neexistenci; • urˇc´ı intervaly, na kterych apornych ´ je funkce nabyv´ ´ a kladnych/z´ ´ ´ hodnot; • rozhodne, zda má funkce nˇekterou ze specifickych ´ vlastnost´ı - sudost, lichost, periodicitu, omezenost; • urˇc´ı intervaly, na kterych ´ je funkce spojitá, pˇr´ıpadnˇe charakter bodu˚ nespojitosti; • urˇc´ı derivaci funkce a definiˇcn´ı obor derivace funkce; • urˇc´ı intervaly, na kterych ´ je funkce rostouc´ı / klesaj´ıc´ı; • urˇc´ı stacionárn´ı body funkce; • urˇc´ı druhou derivaci funkce a definiˇcn´ı obor druhé derivace funkce; • rozhodne o existenci lokáln´ıch extrému˚ funkce a o jejich druhu; • urˇc´ı intervaly, na kterych ´ je funkce konvexn´ı / konkávn´ı; • urˇc´ı inflexn´ı body funkce; • urˇc´ı asymptoty grafu funkce, pˇr´ıpadnˇe rozhodne o jejich neexistenci.

Schopnosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • aplikuje znalosti a dovednosti pˇri sestrojen´ı grafu funkce a popisu jej´ıch vyznamn ych ´ ´ vlastnost´ı; ´ ´ • aplikuje znalosti a dovednosti v aplikaˇcn´ıch uloh´ ach, zvlásˇ tˇe v uloh´ ach vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch exponenciáln´ı modely.

87


88

ˇ y´ pˇrehled Znalosti - strucn V této kapitole shrneme postup analyzy ´ vlastnost´ı reálné funkce jedné reálné promˇenné, oznaˇcovany´ struˇcnˇe prubˇ ˚ eh funkce. Budeme potˇrebovat znalosti z pˇredcházej´ıc´ıch kapitol, které shrneme do následuj´ıc´ıho postupu. Urˇc´ıme: (1) definiˇcn´ı obor funkce D(f ), body nespojitosti funkce, (2) zda je funkce sudá, lichá (pˇr´ıpadnˇe periodická, omezená, . . . ), (3) limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru, pˇr´ıpadnˇe v bodech nespojitosti, ˚ c´ıky grafu s osou ox ), intervaly ve kterych (4) nulové body (pruseˇ ´ je f (x) > 0 a f (x) < 0, (5) prvn´ı derivaci funkce a jej´ı definiˇcn´ı obor, zvlásˇ tˇe body z D(f ) v nichˇz f 0 neexistuje, ´ (6) intervaly monotonnosti, stacionárn´ı body funkce, lokáln´ı extrémy funkce, (7) druhou derivaci funkce, (8) intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce, inflexn´ı body funkce, (9) asymptoty grafu funkce. ´ Na závˇer ulohy zakresl´ıme graf funkce, ve kterém budou vyznaˇceny vˇsechny dostupné informace. Ne vˇzdy je moˇzné (a nutné) provádˇet vˇsechny kroky, ale vˇzdy je vhodné provést tˇechto kroku˚ co nejv´ıce. Je vhodné vˇs´ımat si i dalˇs´ıch vlastnost´ı funkce. • Veliˇcina P závislá na cˇ ase t roste (resp. klesá) exponenciálnˇe, jestliˇze pro jej´ı hodnotu v cˇ ase t plat´ı P (t) = P0 · ekt , ˚ kde P0 , k ∈ R jsou konstanty, P0 > 0, k > 0 pro exponenciáln´ı rust, P0 > 0, k < 0 pro exponenciáln´ı klesán´ı. Symbolem P0 oznaˇcujeme poˇca´ teˇcn´ı velikost, hodnotu veliˇciny P v cˇ ase t = 0, tedy P0 = P (0). • Z uvedeného plyne, zˇ e k urˇcen´ı kaˇzdé z tˇechto exponenciáln´ıch závislost´ı potˇrebujeme dva ´ udaje vázˇ ´ıc´ı se na dva cˇ asové okamˇziky, pomoc´ı kterych ´ stanov´ıme P0 a k. • Veliˇcina P (t) závislá na cˇ ase t pˇredstavuje kˇrivku uˇcen´ı se, jestliˇze pro jej´ı hodnotu v tomto cˇ ase t plat´ı P (t) = B − A · e−kt , pˇriˇcemˇz B, A, k ∈ R jsou kladné konstanty (parametry) a plat´ı B > A. ˚ schopnosti zvládat urˇcitou cˇ innost (fyzickou, manuáln´ı, duˇsevn´ı) • Kˇrivka uˇcen´ı se modeluje rust ´ aˇz po urˇcitou asymptotickou urove nˇ - hladinu reprezentovanou horizontáln´ı pˇr´ımkou y = B. Tato hranice odpov´ıdá zkuˇsenosti o tom, zˇ e schopnosti zvládat cˇ innost nejsou neomezené. ´ • Z uvedeného plyne, zˇ e k urˇcen´ı kˇrivky uˇcen´ı se potˇrebujeme tˇri udaje pro hodnoty veliˇciny ˚ ych P (t) ve tˇrech ruzn ´ cˇ asovych ´ okamˇzic´ıch, pomoc´ı kterych ´ stanov´ıme tˇri parametry B, A, k. • Veliˇcina P (t) závislá na cˇ ase t pˇredstavuje logistickou kˇrivku modeluj´ıc´ı omezený rust, ˚ jestliˇze pro jej´ı hodnotu v tomto cˇ ase t plat´ı P (t) =

B 1 + Ae−kt

,

pˇriˇcemˇz B, A, k ∈ R jsou kladné konstanty (parametry). ˚ populac´ı existuj´ıc´ıch za urˇcitych ´ • Logistická kˇrivka modeluje rust ım, energe´ omezen´ı (uzem´ tickymi ´ zdroji, zdroji potravy a pod.), nebo sˇ´ırˇ en´ı informace v urˇcitém ohraniˇceném spoleˇcenstv´ı maj´ıc´ı horn´ı mez B jedincu˚ (lid´ı). • Grafem logistické kˇrivky je spojitá kˇrivka maj´ıc´ı tvar leˇzatého p´ısmene S, nacházej´ıc´ı se mezi grafy dvou vodorovnych ´ pˇr´ımek y = 0, y = B, d´ıky cˇ emuˇz je nˇekdy také nazyv´ ´ ana sigmoida. K pˇr´ımce y = B se hodnoty P (t) pro neomezenˇe rostouc´ı hodnoty cˇ asu t asymptoticky pˇribliˇzuj´ı, ale nedosáhnou ji. • Z uvedeného plyne, zˇ e k urˇcen´ı logistické kˇrivky (neboli ke stanoven´ı modelu omezeného ˚ ´ rustu) potˇrebujeme 3 udaje, pomoc´ı kterych ´ urˇc´ıme 3 parametry B, A, k.

˚ EH ˇ FUNKCE KAPITOLA 9. PRUB

89


9.1. Prubˇ ˚ eh funkce Zjiˇstˇené vlastnosti budeme zapisovat do tabulek, ve kterych ´ budeme pouˇz´ıvat následuj´ıc´ı symboly: • • pro body, ve kterych rovny´ nule, ´ je analyzovany´ vyraz ´ • ◦ pro body, ve kterych nen´ ı definov´ a n. ´ • +, resp. − pro intervaly, na kterych nabyv´ resp. zápornych ´ analyzovany´ vyraz ´ ´ a kladnych, ´ ´ hodnot, • & resp. % pro intervaly, na kterych ´ je funkce klesaj´ıc´ı, resp. rostouc´ı, • _, resp. ^ pro intervaly, na kterych ´ je funkce konkávn´ı, resp. konvexn´ı, • zkratky lok. min, lok. max, inf. pro body ve kterych ´ má funkce lokáln´ı minimum, lokáln´ı maximum a body inflexn´ı. ˚ eh funkce Pˇr´ıklad 9.1 Urˇcete prubˇ f: y=

x . 4 + x2

ˇ sen´ı Reˇ Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R. Vlastnosti: funkce je lichá (D(f ) je symetricky´ podle poˇca´ tku a f (−x) = −f (x)). Limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru: lim f (x) = 0.

x→±∞

Kladné a záporné hodnoty funkce: urˇc´ıme, na kterych ´ intervalech funkce f nabyv´ ´ a kladnych ´ a zápornych ´ ˚ Urˇc´ıme nulové body cˇ itatele (x = 0) a jmenovatele (nulové body hodnot metodou nulovych bodu. ´ nemá). Sestav´ıme tabulku:

x 4 + x2 f (x)

− + −

0 • + + • +

Funkce je záporná na intervalu (−∞, 0), kladná na intervalu (0, ∞). Intervaly, na kterých je funkce rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı, lokáln´ı extrémy: urˇc´ıme prvn´ı derivaci funkce: 0 x 0 f : y= 4 + x2 (x)0 (4 + x2 ) − x(4 + x2 )0 = (4 + x2 )2 2 4−x = · (4 + x2 )2 ˚ zeme tedy sestavit tabulku: Vyraz 4 − x2 lze rozloˇzit na (2 − x) · (2 + x) s nulovymi body 2, −2, muˇ ´ ´

2−x 2+x (4 + x2 )2 f 0 (x) f (x)

−2 + + − • + + + − • + & lok. min %

2 •

− + + • + lok. max &

V bodˇe −2 má funkce lokáln´ı minimum f (−2) = −1/4, v bodˇe 2 lokáln´ı maximum f (2) = 1/4.


90

Intervaly konvexnosti a konkávnosti: urˇc´ıme druhou derivaci funkce: 0 4 − x2 f : y= (4 + x2 )2 (4 − x2 )0 (4 + x2 )2 − (4 − x2 )((4 + x2 )2 )0 = (4 + x2 )4 2 2x(x − 12) = · (4 + x2 )3 00

√ √ ˚ zeme tedy sestavit tabulku: Vyraz x2 − 12 lze rozloˇzit na x − 2 3 x + 2 3 , muˇ ´ √ −2 3 x√ x − 2√3 x+2 3 (4 + x2 )3 f 00 (x) f (x)

− − − + − _

• • inf.

0 •

− + − − + + + + + • − ^ inf. _

√ 2 3 •

• inf.

+ + + + + ^

√ √ √ √ Funkce má v bodech x = −2 3, x = 0 a x = 2 3 inflexn´ı body f (−2 3) = − 83 , f (0) = 0, √ √ f (2 3) = 83 . Asymptoty: funkce f nemá body nespojitosti, takˇze jej´ı graf nemá asymptoty bez smˇernice. Ovˇerˇ´ıme existenci asymptot se smˇernic´ı:

f (x) = lim x→±∞ x x→±∞

k = lim

x 4+x2

=0 x x q = lim (f (x) − k · x) = lim ( − 0 · x) = 0. x→±∞ x→±∞ 4 + x2 Pro x → ±∞ má graf funkce asymptotu y = 0, coˇz je zˇrejmé jiˇz z limity v −∞. ˚ zeme tedy naˇcrtnout graf funkce(3). Závˇer: máme jiˇz vˇsechny potˇrebné informace, muˇ

´ O BR AZEK 3. Graf funkce y =

x 4+x2


91

˚ eh funkce Pˇr´ıklad 9.2 Urˇcete prubˇ f : y =x·

p 4 − x2 .

ˇ sen´ı Definiˇcn´ı obor: mus´ı platit 4 − x2 ≥ 0, tedy D(f ) = h−2, 2i. Reˇ Vlastnosti: funkce je lichá (D(f ) je symetricky´ podle poˇca´ tku a f (−x) = −f (x)). Limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru: lim f (x) = f (−2) = 0

x→−2

lim f (x) = f (2) = 0.

x→2

Kladné a záporné hodnoty funkce: urˇc´ıme, na ´ intervalech funkce f nabyv´ ´ a kladnych ´ a zápornych ´ √ kterych ˚ Vyraz ˚ zeme tedy sestavit hodnot metodou nulovych 4 − x2 má na D(f ) nulové body ±2, muˇ ´ bodu. ´ tabulku: −2 √ x 4 − x2 f (x)

• •

0 − • + + + − • +

2 • •

Funkce nabyv´ ´ a zápornych ´ hodnot na intervalu (−2, 0), kladnych ´ na intervalu (0, 2). Intervaly, na kterých je funkce rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı, lokáln´ı extrémy: urˇc´ıme prvn´ı derivaci funkce: p 0 f 0 : y = x · 4 − x2 p 0 p = (x)0 4 − x2 + x · 4 − x2 = 2 · (2 − x2 ) · p

1 4 − x2

.

√ √ √ Vyraz 2 − x2 lze rozloˇzit na ( 2 − x) · ( 2 + x) s nulovymi body ± 2, vyraz (4 − x2 )−1/2 je na (−2, 2) ´ ´ ´ ˚ zeme tedy sestavit tabulku: kladny, ´ v bodech ±2 nen´ı definovany. ´ Muˇ √ x − √2 x+ 2 (4 − x2 )−1/2 f 0 (x) f (x)

−2

√ − 2

√

2 •

2

− − + − • + + ◦ + + + ◦ ◦ − • + • + ◦ & lok. min % lok. max & √ √ Funkce má v bodˇe x = −2 lokáln´ı minimum f (−2) = 2, v bodˇe 2 lokáln´ı maximum f (2) = 2. Intervaly konvexnosti a konkávnosti: urˇc´ıme druhou derivaci funkce: 0 f 00 : y = 2 · (2 − x2 ) · (4 − x2 )−1/2 0 0 = 2 · (2 − x2 ) · (4 − x2 )−1/2 + 2 · (2 − x2 ) · (4 − x2 )−1/2 = 2x · (x2 − 6) · (4 − x2 )−3/2 . √ √ √ body ± 6 ovˇsem tyto body nepatˇr´ı do Vyraz x2 − 6 lze rozloˇzit na (x − 6) · (x + 6) s nulovymi ´ ´ D(f ), proto je v tabulce nebudeme uvádˇet. Vyraz (4 − x2 )−3/2 je na (−2, 2) kladny, ´ ´ v bodech ±2 nen´ı ˚ zeme tedy sestavit tabulku: definovany. ´ Muˇ −2

√

− − +

x√ x − √6 x+ 6 −2/3

4 − x2 f 00 (x) f (x)

◦ ◦

+ − ^

0 •

2 + − +

+ ◦ + ◦ inf. _ •


92

Funkce má v bodˇe x = 0 inflexn´ı bod f (0) = 0. Asymptoty: funkce f nemá body nespojitosti, takˇze jej´ı graf nemá asymptoty bez smˇernice. Funkce nen´ı definovaná v okol´ı bodu˚ ±∞, jej´ı graf tedy nemá ani asymptoty se smˇernicemi. ˚ zeme tedy naˇcrtnout graf funkce(4). Závˇer: máme jiˇz vˇsechny potˇrebné informace, muˇ

´ O BR AZEK 4. Graf funkce y = x ·

√

4 − x2

˚ eh funkce Pˇr´ıklad 9.3 Urˇcete prubˇ f : y = ln(1 + x2 ). ˇ sen´ı Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R. Reˇ Vlastnosti: funkce je sudá (D(f ) je symetricky´ podle poˇca´ tku a f (−x) = f (x)). Limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru: lim f (x) = ∞.

x→±∞

Kladné a záporné hodnoty funkce: urˇc´ıme, na kterych ´ intervalech funkce f nabyv´ ´ a kladnych ´ a zápornych ´ ˚ Vyraz hodnot metodou nulovych ln(1 + x2 ) má nulovy´ bod x = 0, jinak je kladny. ´ bodu. ´ ´ Sestav´ıme tabulku: 0 ln(1 + x2 ) + • f (x) + •

+ +

Intervaly, na kterých je funkce rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı, lokáln´ı extrémy: Urˇc´ıme prvn´ı derivaci funkce: 0 f 0 : y = ln(1 + x2 ) = =

1 1+x

2

2x 1 + x2

· 1 + x2

0

·

Jmenovatel je vˇzdy kladny, ´ sestav´ıme tabulku:

2x 1 + x2 f 0 (x) f (x)

0 − • + − • & lok. min

Funkce má v bodˇe x = 0 lokáln´ı minimum f (0) = 0.

+ + + %


93

Intervaly konvexnosti a konkávnosti: Urˇc´ıme druhou derivaci funkce: !0 2x 00 f : y= 1 + x2 =

2(1 − x2 ) (1 + x2 )2

·

˚ zeme sestavit tabulku: Vyraz (1 + x2 )2 je vˇzdy kladny, (1 − x2 ) rozloˇz´ıme na (1 − x)(1 + x) a muˇ ´ ´ vyraz ´ −1 1−x 1+x (1 + x2 )2 f 00 (x) f (x)

+ − + − _

• • inf.

+ + + + ^

1 •

− + + • − inf. _

Funkce má v bodech x = −1, x = 1 inflexn´ı body f (−1) = ln 2, f (1) = ln 2. Asymptoty: funkce f nemá body nespojitosti, takˇze jej´ı graf nemá asymptoty bez smˇernice. Ovˇerˇ´ıme existenci asymptot se smˇernic´ı: f (x) ln(1 + x2 ) = lim =0 x→±∞ x x→±∞ x q = lim (f (x) − k · x) = lim ln(1 + x2 ) − 0 · x = ∞. k = lim

x→±∞

x→±∞

Graf funkce nemá asymptoty pro x → ±∞. ˚ zeme tedy naˇcrtnout graf funkce (5). Závˇer: máme jiˇz vˇsechny potˇrebné informace, muˇ

´ O BR AZEK 5. Graf funkce y = ln(1 + x2 )

˚ eh funkce Pˇr´ıklad 9.4 Urˇcete prubˇ f: y=

x3 − 4x · x2 − 1

3 ˇ sen´ı Uprav´ıme: x − 4x = x(x − 2)(x + 2) · Reˇ x2 − 1 (x − 1)(x + 1)

Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R \ {±1} Vlastnosti: funkce je lichá (D(f ) je symetricky´ podle poˇca´ tku a f (−x) = −f (x)).


94

Limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru: x3 − 4x = −∞ x→−∞ x2 − 1 x3 − 4x lim − 2 =∞ x −1 x→−1 x3 − 4x lim− 2 =∞ x −1 x→1

x3 − 4x =∞ x→∞ x2 − 1 x3 − 4x lim + 2 = −∞ x −1 x→−1 x3 − 4x lim+ 2 = −∞. x −1 x→1 lim

lim

Kladné a záporné hodnoty funkce: urˇc´ıme, na kterych ´ intervalech funkce f nabyv´ ´ a kladnych ´ a zápornych ´ x(x − 2)(x + 2) ˚ Urˇc´ıme nulové body vyrazu: hodnot metodou nulovych a sestav´ıme tabulku: ´ bodu. ´ (x − 1)(x + 1) −2 x x+2 x−2 x+1 x−1 f (x)

− − − − − −

−1 − + − − − +

•

•

◦ ◦

0 − • + − + − − •

1 + + − + − ◦ + ◦

2 + + − • + + − •

+ + + + + +

Funkce má nulové body pro x = ±2 a x = 0, nen´ı definovaná v bodech ±1. Intervaly, na kterých je funkce rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı, lokáln´ı extrémy: Urˇc´ıme prvn´ı derivaci funkce: f0 : y = =

(x3 − 4x)0 (x2 − 1) − (x3 − 4x)(x2 − 1)0 (x2 − 1)2 x4 + x2 + 4 (x2 − 1)2

·

ˇ Citatel uprav´ıme pomoc´ı substituce a = x2 na kvadraticky´ vyraz a2 + a + 4, ktery´ je vˇzdy kladny, ´ ´ jmenovatel pro kaˇzdé x ∈ D(f ) také kladny: ´ −1 x4 + x2 + 4 (x2 − 1)2 f 0 (x) f (x)

+ + + %

◦ ◦ ◦

1 + + ◦ + ◦ % ◦

+ + + %

Funkce f nemá lokáln´ı extrémy. Intervaly konvexnosti a konkávnosti: Urˇc´ıme druhou derivaci funkce: f 00 : y = =

(x4 + x2 + 4)0 (x2 − 1)2 − (x4 + x2 + 4)((x2 − 1)2 )0 (x2 − 1)4 − 6x(3 + x2 ) (x2 − 1)3

·

˚ zeme sestavit tabulku: (x2 − 1)3 rozloˇz´ıme na (x − 1)3 · (x + 1)3 a muˇ Vyraz 3 + x2 je vˇzdy kladny, ´ ´ vyraz ´ −1 3 + x2 −6x (x − 1)3 (x + 1)3 f 00 (x) f (x)

+ + − − + ^

Funkce má v bodˇe x = 0 inflexn´ı bod f (0) = 0.

◦ ◦

0 1 + + + + • − − − − ◦ + + + + − + ◦ − _ inf. ^ ◦ _


95

Asymptoty: funkce f má body nespojitosti, takˇze jej´ı graf má asymptoty bez smˇernice, x = −1 a x = 1. Ovˇerˇ´ıme existenci asymptot se smˇernic´ı: x3 −4x x2 −1

x3 − 4x =1 x→∞ x3 − x x 3 x − 4x (x3 − x) − x(x2 − 1) q = lim (f (x) − k · x) = lim − 1 · x = lim = 0. 2 x→∞ x→∞ x→∞ x −1 x2 − 1 f (x) k = lim = lim x→∞ x x→∞

= lim

Pro x → ∞ má graf funkce asymptotu y = x. Pro x → −∞ jsou vypoˇ ´ cty totoˇzné, takˇze pˇr´ımka y = x je asymptotou grafu i pro x → −∞. ˚ zeme tedy naˇcrtnout graf funkce (6). Závˇer: máme jiˇz vˇsechny potˇrebné informace, muˇ

´ O BR AZEK 6. Graf funkce y =

x3 −4x x2 −1

˚ eh funkce Pˇr´ıklad 9.5 Urˇcete prubˇ f : y = (2 − ex )(ex − 3). ˇ sen´ı Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R. Reˇ Vlastnosti: funkce nen´ı ani sudá, ani lichá. Limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru: lim (2 − ex )(ex − 3) = (2 − 0)(0 − 3) = −6

x→−∞

lim (2 − ex )(ex − 3) = (2 − ∞)(∞ − 3) = −∞.

x→∞

Kladné a záporné hodnoty funkce: urˇc´ıme, na kterych ´ intervalech funkce f nabyv´ ´ a kladnych ´ a zápornych ´ x x ˇ ˚ Reˇs´ıme rovnici (2 − e )(e − 3) = 0 urˇc´ıme nulové body vyrazu: hodnot metodou nulovych bodu. ´ ´ 2 − ex = 0 =⇒ x = ln 2, ex − 3 = 0 =⇒ x = ln 3. Sestav´ıme tabulku: ln 2 ln 3 2 − ex + • − − ex − 3 − − • + f (x) − • + • − Intervaly, na kterých je funkce rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı, lokáln´ı extrémy: urˇc´ıme prvn´ı derivaci funkce: f 0 : y = ((2 − ex )(ex − 3))0 = −ex (ex − 3) + (2 − ex )ex = ex (5 − 2ex ).


96

˚ zeme tedy sestavit tabulku: Vyraz ex je vˇzdy kladny, (5 − 2ex ) je ln(5/2), muˇ ´ ´ nulovy´ bod vyrazu ´

ex 5 − 2ex f 0 (x) f (x)

+ + + %

ln(5/2) + • • lok. max

+ − − &

V bodˇe x = ln(5/2) má funkce lokáln´ı maximum f (ln(5/2)) = 1/4. Intervaly konvexnosti a konkávnosti: urˇc´ıme druhou derivaci funkce: f 00 : y = (ex (5 − 2ex ))0 = ex (5 − 2ex ) + ex (−2ex ) = ex (5 − 4ex ). ˚ zeme tedy sestavit tabulku: Vyraz ex je vˇzdy kladny, (5 − 4ex ) je ln(5/4), muˇ ´ ´ nulovy´ bod vyrazu ´

ex 5 − 4ex f 00 (x) f (x)

+ + + ^

ln(5/4) + • • inf.

+ − − _

V bodˇe x = ln(5/4) má funkce inflexn´ı bod f (ln(5/4)) = −21/16. Asymptoty: funkce f nemá body nespojitosti, takˇze jej´ı graf nemá asymptoty bez smˇernice. Ovˇerˇ´ıme existenci asymptot se smˇernic´ı, vypoˇ ´ cet limit pomoc´ı L’Hospitalova pravidla: (2 − ex )(ex − 3) f (x) = lim = −∞. x→∞ x→∞ x x lim

Funkce tedy nemá asymptotu se smˇernic´ı pro x → ∞. (2 − ex )(ex − 3) f (x) = lim =0 x→−∞ x→−∞ x x q = lim (f (x) − k · x) = lim ((2 − ex )(ex − 3) − 0 · x) = −6. k = lim

x→−∞

x→−∞

Pro x → −∞ má funkce asymptotu y = −6. ˚ zeme tedy naˇcrtnout graf funkce(7). Závˇer: máme jiˇz vˇsechny potˇrebné informace, muˇ

´ O BR AZEK 7. Graf funkce y = (2 − ex )(ex − 3)


97

˚ eh funkce Pˇr´ıklad 9.6 Urˇcete prubˇ f: y=

 

4 3, 1 3 3x



0,

x≤1 1<x<3 x ≥ 3.

− 2x2 + 3x,

1 3 2 ˇ sen´ı Pro nˇekteré vypoˇ Reˇ ´ na souˇcinovy´ tvar ´ cty je vhodné pouˇz´ıt vyraz ´ 3 x − 2x + 3x upraveny

− 6x + 9) = 13 x(x − 3)2 . Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R. Vlastnosti: funkce nen´ı ani sudá, ani lichá. Limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru: vyuˇz´ıváme pˇredpisu, kterym ´ je funkce na okol´ı ∞, resp. −∞ definovaná 1 2 3 x(x

lim 0 = 0,

x→+∞

lim

x→−∞

4 4 = · 3 3

˚ ych Spojitost: protoˇze funkce je definovaná na ruzn pˇredpisy, je tˇreba zjistit spoji´ intervalech odliˇsnymi ´ tost v okol´ı bodu˚ x = 1 a x = 3: 4 4 1 4 4 lim = , lim (x3 − 2x2 + 3x) = , f (1) = , 3 3 3 x→1− 3 x→1+ 3 1 lim ( x3 − 2x2 + 3x) = 0, 3

x→3−

lim 0 = 0,

f (3) = 0,

x→3+

proto je funkce spojitá v bodˇe x = 1 i v bodˇe x = 3. Kladné a záporné hodnoty funkce: urˇc´ıme, na kterych ´ intervalech funkce f nabyv´ ´ a kladnych ´ a zápornych ´ ˚ Symbolem 0 znaˇc´ıme interval, ve kterém je daná funkce identicky hodnot, a to metodou nulovych ´ bodu. rovna nule, symbolem · znaˇc´ıme interval, na kterém je funkce definovaná jinym ´ pˇredpisem, neˇz ktery´ je uveden v záhlav´ı rˇ a´ dku. Sestav´ıme tabulku: 4 3

1 3 x(x

− 3)2 0 f (x)

+ . . +

1 + . . + . . + +

3 . . . . • 0 • 0

V této chv´ıli bychom mˇeli m´ıt pomˇernˇe pˇresnou pˇredstavu o chován´ı funkce. Mˇel by byt ´ proveden prvn´ı ´ ˇ obrázek, ktery´ budou dalˇs´ı udaje pouze zpˇresnovat. Intervaly, na kterých je funkce rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı, lokáln´ı extrémy: urˇc´ıme prvn´ı derivaci funkce. Protoˇze ˚ ych funkce je definovaná na ruzn intervalech odliˇsnymi pˇredpisy, mus´ıme derivovat na jednotlivych ´ ´ ´ intervalech:  x≤1  0, x2 − 4x + 3, 1 < x < 3 f0 : y =  0, x ≥ 3. Vyraz x2 −4x+3 jeˇstˇe rozloˇz´ıme na (x−3)(x−1). Dále bude nutné zjistit hodnoty jednostranné derivace ´ v okol´ı bodu˚ 1 a 3 dosazen´ım tˇechto hodnot: f 0 (1)− = 0, f 0 (1)+ = 1 − 4 + 3 = 0, f 0 (3)− = 9 − 12 + 3 = 0, f 0 (3)+ = 0. Vid´ıme, zˇ e derivace je v bodech 1 a 3 spojitá. Metodou nulovych ´ bodu˚ z´ıskáme: 0 (x − 3)(x − 1) 0 f 0 (x) f (x)

0 . . 0 →

1 • . . • →

. − . − &

3 . . • • →

. . 0 0 →

Funkce je konstantn´ı na (−∞, 1i a na h3, ∞) a klesaj´ıc´ı na (1, 3). Funkce nemá ostrá lokáln´ı maxima ani minima.


98

Intervaly konvexnosti a konkávnosti: pˇri vypoˇ ´ ctu druhé derivace derivujeme na jednotlivych ´ intervalech:  x≤1  0, 2x − 4, 1 < x < 3 f 00 : y =  0 x ≥ 3. Metodou nulovych ´ bodu˚ z´ıskáme tabulku:

0 2x − 4 0 f 00 (x) f (x)

1 • . . 0

0 . . 0 konstantn´ı

2 3 . . . . . − • + . . . . . • 0 − • + 0 0 _ inf. ^ konstantn´ı

V bodˇe x = 2 má funkce inflexn´ı bod f (2) = 2/3. Asymptoty: funkce nemá body nespojitosti, proto jej´ı graf nemá asymptoty bez smˇernice. Ovˇerˇ´ıme existenci asymptot se smˇernic´ı: 0 f (x) = lim =0 x→∞ x x q = lim (f (x) − k · x) = lim (0 − 0 · x) = 0. k = lim

x→∞

x→∞

x→∞

Graf funkce má asymptotu y = 0 pro x → ∞. To je zˇrejmé i z toho, zˇ e funkce je v okol´ı ∞ definovaná jako konstantn´ı, y = 0. f (x) 4/3 = lim = 0. x→−∞ x x q = lim (f (x) − k · x) = lim (4/3 − 0 · x) = 4/3. k = lim

x→−∞

x→−∞

x→−∞

Graf funkce má asymptotu y = 4/3 pro x → −∞. To je zˇrejmé i z toho, zˇ e funkce je v okol´ı −∞ definovaná jako konstantn´ı, y = 4/3. ˚ zeme tedy naˇcrtnout graf funkce (8). Závˇer: máme jiˇz vˇsechny potˇrebné informace, muˇ

´ O BR AZEK 8. Graf funkce f : y =

4

3,

x ≤ 1;

1 3 3x

− 2x2 + 3x, 1 < x < 3;

0, x ≥ 3 .


99

9.2. Aplikace - exponenciáln´ı model ˚ bylo nasazenych ˚ po 3 letech byl Pˇr´ıklad 9.7 Do rybn´ıku, v nˇemˇz se uˇziv´ı nejv´ıc 3000 kapru, ´ 500 kusu; jejich poˇcet cˇ tyˇrnásobny. ´ Urˇcete: a) kolik kapru˚ bude zˇ ´ıt v rybn´ıce v 6. roku od nasazen´ı? b) jaká je rychlost mnoˇzen´ı na konci pátého roku? c) kdy je rychlost mnoˇzen´ı kapru˚ nejvyˇssˇ´ı? d) sestavte lineárn´ı funkci, která bude aproximovat populaci kapru˚ na pˇrelomu druhého a tˇret´ıho roku. ˇ sen´ı Nejprve je tˇreba si uvˇedomit, jakou funkci pro modelován´ı uˇzijeme. V naˇsem pˇr´ıpadˇe se jedná Reˇ ˚ o exponenciáln´ı model omezeného rustu (známe maximáln´ı kapacitu), ktery´ je dán funkc´ı P (t) =

B 1 + Ae−kt

·

´ Dále je tˇreba stanovit hodnoty konstant A, B, k ∈ R. Udaje za zadán´ı pˇrep´ısˇ eme do matematické podoby: Pmax = limt→∞ P (t) = 3000, P (0) = 500, P (3) = 2000. Sestav´ıme rovnice t→∞:

3000 = lim

t→∞

t=0: t=3:

500 = 2000 =

B 1 + Ae−k·t B

=

−k·0

1 + Ae B

1 + Ae−k·3

= B,

B , 1+A

·

Z prvn´ı rovnice z´ıskáme B = 3000, dosazen´ım do druhé rovnice 500 =

3000 z´ıskáme A = 5 a obˇe 1+A

hodnoty dosad´ıme do tˇret´ı rovnice 2000 = 1 + 5e−3k e−3k e−k

3000

1 + 5e−k·3 3000 = 2000 1 = 10 = 10−1/3

ln 10 3 = 10−t/3 . Máme tedy sestaven model, ktery´ je dany´ funkc´ı k=

Protoˇze e−k = 10−1/3 , je e−kt

P (t) =

3000 1 + 5 · 10−t/3


100

3000 20000 = ≈ 2857, 14. 7 1 + 5 · 10−6/3 ˚ b) máme zjistit rychlost mnoˇzen´ı, tedy rychlost rustu populace, proto mus´ıme urˇcit derivaci této funkce, ˚ která rychlost rustu vyjadˇruje. a) t = 6, P (6) =

P 0 (t) =

!0

B 1 + Ae−k·t

= ABk

e−kt 1 + Ae−kt

= 5 · 3000 ·

2

ln 10 · 3

10−t/3 1 + 5 · 10−t/3

2 ·

Uvˇedomme si, zˇ e cˇ itatel je vˇzdy kladny´ a jmenovatel je také vˇzdy kladny, ´ derivace je tedy vˇzdy kladná a funkce P (t) je tedy na R rostouc´ı. ˚ c) hledáme nejvˇetˇs´ı rychlost rustu, tedy maximum z funkce P 0 (t). potˇrebujeme jej´ı derivaci, tedy 0 0 00 [P (t)] = P (t) a poté urˇcit, kdy je P 00 (t) > 0, P 00 (t) < 0 a t´ım zjistit maximum pro P 0 (t):

P 00 (t) =

ABk

e−kt

!0

e−kt

!0

= ABk 2 2 1 + Ae−kt 1 + Ae−kt 0 2 2 0 e−kt 1 + Ae−kt − e−kt 1 + Ae−kt = ABk · 4 1 + Ae−kt 2 − ke−kt 1 + Ae−kt − e−kt · 2 · 1 + Ae−kt · A · (−k) · e−kt = ABk · 4 1 + Ae−kt − 1 + Ae−kt + 2 · A · e−kt 2 −kt = ABk e · 3 1 + Ae−kt = ABk 2 e−kt ·

=

Ae−kt − 1 3 1 + Ae−kt

ABk 2 e−kt · Ae−kt − 1 . 3 1 + Ae−kt

V´ıme, zˇ e A, B, k > 0, proto je zlomek v levé cˇ a´ sti vˇetˇs´ı neˇz nula a pro urˇcen´ı znamének je urˇcuj´ıc´ı vyraz ´ Ae−kt − 1, rˇ eˇsme tedy nerovnici Ae−kt − 1 > 0 (resp. Ae−kt − 1 < 0): Ae−kt − 1 > 0 1 e−kt > A 1 = − ln A A ln A t< k

−kt > ln

t<

3 ln 5 ≈ 2, 1. ln 10


101

˚ Rychlost rustu populace (tedy funkce P 0 ) roste pro t ∈ (0, lnkA ) a klesá pro t ∈ ( lnkA , ∞). Protoˇze ln A e−k· k = A1 , je nejvˇetˇs´ı rychlosti dosaˇzeno v bodˇe t = lnkA a jej´ı velikost je P 0 ( lnkA ): B B ln A P = = −k lnkA k 2 1 + Ae ln A e−k k Bk ln A P0 = ABk = · ln A k 4 (1 + Ae−k k )2 ˚ Maximáln´ı rychlost rustu je tedy P 0 ( lnkA ) ≈ 575 kapru˚ za rok. d) pouˇzijeme odhad hodnoty pomoc´ı diferenciálu. Pˇrelom roku je v okol´ı cˇ asového bodu t0 = 2, pak podle odhadu pomoc´ı diferenciálu plat´ı, zˇ e f (x + h) ≈ f (x) + f 0 (x) · h P (t + t0 ) ≈ P (t0 ) + P 0 (t0 ) · t ≈

3000 1 + 5 · 10−2/3

+ 5 · 3000 ·

ln 10 · 3

10−2/3 1 + 5 · 10−2/3

2 · t

≈ 1444 + 574t. Vyvoj populace P (t) lze aproximovat funkc´ı P (t) ≈ 1444 + 574t. ´ Závˇer 3000 ˚ a) Populace na zaˇca´ tku sˇ estého roku: P (6) = ≈ 2856 kapru, 1 + 5 · 10−6/3 b) rychlost na konci pátého roku: P 0 (6) ≈ 202 kapru˚ za rok, ˚ c) nejvyˇssˇ´ı rychlost rustu populace kapru˚ bude na zaˇca´ tku tˇret´ıho roku, P 0 (2, 1) ≈ 575 kapru˚ za rok, d) od na pˇrelomu druhého a tˇret´ıho roku se populace vyv´ıj´ı pˇribliˇznˇe podle vztahu ˚ P (t) ≈ 574t + 1444 kapru. Dovednosti - ulohy ´ ´ Ve vysledc´ ıch uloh budeme pouˇz´ıvat následuj´ıc´ı zkratky: L - funkce lichá, S - funkce sudá, LMIN ´ f (x0 ) = y0 - funkce f má v bodˇe x0 lokáln´ı minimum f (x0 ) = y0 , LMAX f (x0 ) = y0 - funkce f má v bodˇe x0 lokáln´ı maximum f (x0 ) = y0 , INF f (x0 ) = y0 - funkce f má v bodˇe x0 inflexn´ı bod, ABS asymptota bez smˇernice, ASS - asymptota se smˇernic´ı.


102

´ ˚ eh funkce f a zakreslete jej´ı graf: Uloha 9.1 Urˇcete prubˇ a) f : y = x3 − 3x2 ; b) f : y = 16x(x − 1)3 ;

[ a)

D(f ) = R, ani S ani L lim f (x) = ±∞ x→±∞

(−∞, 0)−, (0, 4)−, (4, ∞)+ (−∞, 0) %, (0, 8/3) &, (8/3, ∞) % LMAX f (0) = 0, LMIN f (8/3) = −64/27 (−∞, 4/3) _, (4/3, ∞) ^ INF x = 4/3 ABS, ASS nemá;

b)

D(f ) = R, ani S ani L lim f (x) = ∞ x→±∞

(−∞, 0)+, (0, 1)−, (1, ∞)+ (−∞, 1/4) &, (1/4, 1) %, (1, ∞) % LMIN f (1/4) = −27/16 (−∞, 1/2) ^, (1/2, 1) _, (1, ∞) ^ Inf x = 1, x = 1/2 ABS, ASS nemá;

c)

D(f ) = R, S lim f (x) = ∞ x→±∞ √ √ √ √ (−∞, −√3)+, (− √ 3, 3) + ( 3, √∞)+ √ (−∞, − 3) √&, (− √3, 0) %, (0, 3) &, ( 3, ∞) % LMIN f (− 3) = f ( 3) = 0, LMAX f (0) = 9 (−∞, −1) ^, (−1, 1) _, (1, ∞) ^ INF x = ±1 ABS, ASS nemá.

h) f : y = (x2 − 3)2 .

]


103

´ ˚ eh funkce f a zakreslete jej´ı graf: Uloha 9.2 Urˇcete prubˇ 1 x a) f : y = x + ; b) f : y = ; x 1 + x2

[ a)

D(f ) = R \ {0}, L lim f (x) = ±∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = ∞ x→±∞

x→0−

x→0+

(−∞, 0)−, (0, ∞)+ (−∞, −1) %, (−1, 0) &, (0, 1) &, (1, ∞) % LMAX f (−1) = −2, LMIN f (1) = 2, (−∞, 0) _, (0, ∞) ^, INF nemá ABS x = 0, ASS pro x → ±∞ : y = x;

b)

D(f ) = R, L lim f (x) = 0 x→±∞

(−∞, 0)−, (0, ∞)+ LMIN f (−1) = −1/2, LMAX f (1) = 1/2 (−∞, −1) 1) %, (1, ∞) √ & √ &, (−1, √ √ (−∞, − 3) √_, (− 3, 0) ^, (0, 3) _, 3, ∞) ^ INF x = ± 3, x = 0 ASS pro x → ±∞: y = 0;

c)

D(f ) = R \ {−2}, ani S ani L lim f (x) = 0, lim f (x) = x→±∞

x→−2−

lim

x→−2+

(−∞, −2)−, (−2, 0) − (0, ∞)+ (−∞, −2) &, (−2, 2) %, (2, ∞) & LMAX f (2) = 5/4 (−∞, −2) _, (−2, 4) _, (4, ∞) ^ INF x = 4 ABS x = −2, ASS pro x → ±∞ : y = 0.

f (x) = −∞

c) f : y =

10x · (x + 2)2

]


104

´ ˚ eh funkce f a zakreslete jej´ı graf: Uloha 9.3 Urˇcete prubˇ p √ a) f : y = |x − 1|; b) f : y = x + 4 − x;

[ a)


(−∞, 1)+, (1, ∞)+ (−∞, 1) &, (1, ∞) % LMIN f (1) = 0 (−∞, 1) _, (1, ∞) _ INF nemá ASS,ABS nemá;

b)

D(f ) = (−∞, 4i, ani S ani L lim f (x) = −∞, lim f (x) = f (4) = 4 x→−∞ √ x→4− √ (−∞, − 21 (−1 − 17))−, (− 12 (−1 − 17), 4i+ (−∞, 15/4) %, (15/4, 4) & LMAX f (15/4) = 17/4 (−∞, 4) _ INF nemá ABS ani ASS nemá;

c)

D(f ) = (0, ∞), ani S ani L lim f (x) = lim f (x) = ∞ x→0+

x→∞

(0, ∞)+ (0, 2−2/3 ) &, (2−2/3 , ∞) % LMIN f (2−2/3 ) = 2−2/3 + 23 (0, ∞) ^, INF nemá ABS x = 0, ASS pr x → ∞ y = x.

1 c) f : y = x + √ · x

]


´ ˚ eh funkce f a zakreslete jej´ı graf: Uloha 9.4 Urˇcete prubˇ 2 a) f : y = x2 e−x ; b) f : y = x ; e −1

[ a)

D(f ) = R, ani S ani L lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞ x→∞

x→−∞

(−∞, 0)+, (0, ∞)+ (−∞, 0) &, (0, 2) %, (2, ∞) & −2 LMIN f (0)√= 0, LMAX f√(2) = 4e √ √ (−∞, 2 − 2) ^, (2 − 2, 2 + 2) _, (2 + 2, ∞) ^ √ INF x = 2 ± 2 ASS pro x → ∞ : y = 0;

b)

D(f ) = R \ {0}, ani S ani L lim f (x) = −2, lim f (x) = 0 x→−∞

x→∞

(−∞, 0)−, (0, ∞)+ (−∞, 0) &, (0, ∞) & LMAX ani LMIN nemá (−∞, 0) _, (0, ∞) ^, INF nemá ABS x = 0, ASS pro x → ∞ : y = 0, pro x → −∞ : y = −2;

c)

D(f ) = R, ani S ani L lim f (x) = 0 x→∞

(−∞, 1)−, (1, ∞)+ (−∞, 3/2) %, (3/2, ∞) & LMAX f (3/2) = e−3 /2 (−∞, 2) _, (2, ∞) ^ INF x = 2 ABS pro x → ∞ : y = 0.

105

c) f : y = (x − 1)e−2x .

]


106

´ ˚ eh funkce f a zakreslete jej´ı graf: Uloha 9.5 Urˇcete prubˇ ex e−x a) f : y = ; b) f : y = ; x+1 x

[ a)

D(f ) = R \ {1}, ani S ani L lim f (x) = 0, lim f (x) = −∞, x→−∞

x→−1−

] lim

x→−1+

f (x) = ∞, lim f (x) = ∞ x→∞

(−∞, −1)−, (−1, ∞)+ (−∞, −1) &, (−1, 0) &, (0, ∞) % LMIN f (0) = 1 (−∞, −1) _, (−1, ∞) ^ INF nemá ABS x = −1, ASS pro x → −∞ : y = 0;

b)

D(f ) = R \ {0}, ani S ani L lim f (x) = 0, lim f (x) = −∞, lim f (x) = ∞, x→∞

x→0−

x→0+

lim f (x) = −∞

x→−∞

(−∞, 0)−, (0, ∞)+ (−∞, −1) %, (−1, 0) &, (0, ∞) & LMAX f (−1) = −e (−∞, 0) _, (0, ∞) ^ INF nemá ABS x = 0, ASS pro x → ∞ : y = 0;

c)

2

c) f : y = e−x .

D(f ) = R, sudá lim f (x) = 0 x→±∞

(−∞, ∞)+ (−∞, 0) %, (0, ∞) & LMAX f√ (0) = 1 √ √ √ (−∞, − 2/2) √ ^, (− 2/2, 2/2) _, ( 2/2, ∞) ^ INF x = ± 2/2 ASS pro x → ±∞ : y = 0.


107

´ ˚ eh funkce f a zakreslete jej´ı graf: Uloha 9.6 Urˇcete prubˇ 2 2 a) f : y = (1 − x2 )e−x ; b) f : y = xe−x /2 ;

[ a)

]

D(f ) = R, S lim f (x) = 0 x→±∞

(−∞, −1)−, (−1, 1)+, √ √ (1, ∞)− √ √ (−∞, − 2) 2) &, ( 2, ∞) % √&, (− √2, 0) %, (0, −2 LMIN f (−p 2) = f ( 2) = −ep , LMAX f (0)p= 1 √ √ √ 1 (−∞, 33) _, (− 21 7 + p 33, − 12 7 − 33) ^, p − 2√ 7 + p √ √ 1 1 ( 12 7 − 33, p− 2 √7 + 33) _,p(− 2 √7 + 33, ∞) ^ 1 1 INF x = ± 2 7 + 33, x = ± 2 7 − 33 ASS pro x → ±∞ : y = 0;

b)

D(f ) = R, L lim f (x) = 0 x→±∞

(−∞, 0)−, (0, ∞)+ (−∞, −1) &, (−1, 1) %, (1, ∞) & −1/2 LMIN f (−1) = −e−1/2 √ , LMAX f√(1) = e √ _, (− 3, 0) ^, (0, 3) _, (0, ∞) ^ (−∞, − 3) √ INF x = ± 3, x = 0 ASS pro x → ±∞ : y = 0;

c)

D(f ) = R \ {0}, ani S ani L lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞, x→0−

c) f : y = x2 e1/x .

x→0+

lim f (x) = ∞

x→±∞

(−∞, 0)+, (0, ∞)+ (−∞, 0) &, (0, 1/2) &, (1/2, ∞) % LMIN f (1/2) = e2 /4 (−∞, 0) ^, (0, ∞) ^ INF nemá ASS x = 0.


108

´ ˚ eh funkce f a zakreslete jej´ı graf: Uloha 9.7 Urˇcete prubˇ a) f : y = x + e−x ; b) f : y = e1/x ;

[ a)

D(f ) = R, ani S ani L lim f (x) = ∞

]

x→±∞

(−∞, ∞)+ (−∞, 0) &, (0, ∞) % LMIN f (0) = 1 (−∞, ∞) ^ INF nemá ASS pro x → ∞ : y = x;

b)

D(f ) = R \ {0}, ani S ani L lim f (x) = 1, lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞ x→±∞

x→0−

x→0+

(−∞, 0)+, (0, ∞)+ (−∞, 0) &, (0, ∞) & LMIN ani LMAX nemá (−∞, −1/2) _, (−1/2, 0) ^, (0, ∞) ^ INF x = −1/2 ABS x = 0, ASS pro x → ±∞ : y = 1;

c)

D(f ) = R \ {0}, ani S ani L lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞, lim f (x) = ∞, x→0−

x→0+

c) f : y = xe1/x .

x→∞

(−∞, 0)−, (0, ∞)+ (−∞, 0) %, (0, 1) &, (1, ∞) % LMIN f (1) = e (−∞, 0) _, (0, ∞) ^ INF nemá ABS x = 0, ASS pro x → ±∞ : y = x + 1.

lim f (x) = −∞

x→−∞


´ ˚ eh funkce f a zakreslete jej´ı graf: Uloha 9.8 Urˇcete prubˇ √ a) f : y = x2 ex+3 ; b) f : y = 1 − e−x2 ;

[ a)

D(f ) = R, ani S ani L lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞ x→−∞

x→∞

(−∞, 0)+, (0, ∞)+ (−∞, −2) %, (−2, 0) &, (0, ∞) % LMAX f (−2) (0) = 0 √ √ = 4e, LMIN f√ √ (−∞, −2 − 2) √^, (−2 − 2, −2 + 2) _, (−2 + 2, ∞) ^ INF x = −2 ± 2 ASS pro x → −∞ : y = 0;

b)

D(f ) = R, S lim f (x) = 1 x→±∞

(−∞, 0)+, (0, ∞)+ (−∞, 0) &, (0, ∞) % LMIN f (0) = 0 (−∞, 0) _, (0, ∞) _ INF nemá ASS pro x → ±∞ : y = 1;

c)

D(f ) = R, S lim f (x) = 4 x→±∞

(−∞, ∞)+ (−∞, 0) &, (0, ∞) % LMIN f (0) √ =3 √ √ √ (−∞, − 2/2) √ _, (− 2/2, 2/2) ^, ( 2/2, ∞) _ INF x = ± 2/2 ASS pro x → ±∞ : y = 4.

109

2

c) f : y = 4 − e−x .

]


110

´ ˚ eh funkce f a zakreslete jej´ı graf: Uloha 9.9 Urˇcete prubˇ a) f : y = x − ln(x + 1);

b) f : y = x ln x;

[ a)

D(f ) = (−1, ∞), ani S ani L lim f (x) = ∞, lim f (x) = ∞ x→−1+

x→∞

(−1, 0)+, (0, ∞)+ (−1, 0) &, (0, ∞) % LMIN f (0) = 0 (−1, ∞) ^ INF nemá ABS x = −1;

b)

D(f ) = (0, ∞), ani S ani L lim f (x) = 0, lim f (x) = ∞ x→0+

x→∞

(0, 1)−, (1, ∞)+ (0, e−1 ) &, (e−1 , ∞) % LMIN f (e−1 ) = −e−1 (0, ∞) ^ INF nemá ABS ani ASS nemá;

c)

D(f ) = (0, ∞), ani S ani L lim f (x) = −∞, lim f (x) = 0 x→0+ (0, e−1 )−,

x→∞

(e−1 , ∞)+ (0, 1) %, (1, ∞) & LMAX f (1) = 1 √ √ (0, e) _, ( e, ∞) ^ √ INF x = e ABS x = 0, ASSpro x → ∞ : y = 0.

c) f : y =

1 + ln x · x

]


111


´ Uloha 9.10 Exponenciáln´ı modely - exponenciáln´ı rust. ˚ Podle pˇredpokladu˚ bude poˇcet obyvatel P (t) urˇcitého státu o t let odted’ urˇcen funkc´ı P (t) = 40e0,025t milionu˚ osob. a) Jaky´ je poˇcet obyvatel toho státu v souˇcasnosti? b) Jaky´ bude poˇcet obyvatel o 10 let, resp. o 20 let? [ a) P (0) = 40 mil. obyvatel; ] b) P (10) = 51, 361 mil. obyvatel, P (20) = 65, 949 mil. obyvatel.

´ Uloha 9.11 Exponenciáln´ı modely - exponenciáln´ı rust. ˚ Podle pˇredpokladu˚ bude poˇcet obyvatel P (t) urˇcitého státu za t let odted’ urˇcen jako P (t) = 30e0,03t milionu˚ osob. a) Jaky´ je poˇcet obyvatel toho státu v souˇcasnosti? b) Jaky´ bude poˇcet obyvatel o 5 let, resp. o 12 let? ˚ c) Pokud se trend rustu nezmˇen´ı, ve kterém cˇ ase bude poˇcet obyvatel krajiny dvojnásobkem souˇcasného poˇctu obyvatel? ˚ d) Jaká je procentn´ı m´ıra rustu poˇctu obyvatel v souˇcasnosti, resp. v cˇ ase o 1 rok odted’, resp. v cˇ ase t let odted’? e) Zakreslete graf funkce P (t). [ a) P (0) = 30 mil. obyvatel; ] b) P (5) = 34, 855 mil. obyvatel, P (12) = 42, 9999 mil. obyvatel; c) 23,1 let; d) stále stejná 3 %.

´ Uloha 9.12 Exponenciáln´ı modely. Poˇcet obyvatel urˇcitého státu v roce 1975 byl 50 milionu˚ a v roce 1995 ˚ dosáhl 66 milionu. a) Kolik obyvatel bude m´ıt tento stát v roce 2005, jestliˇze poˇcet obyvatel roste lineárnˇe? Jaká bude ˚ rychlost jeho rustu? b) Kolik obyvatel bude m´ıt tento stát v roce 2005, jestliˇze poˇcet obyvatel roste exponenciálnˇe? c) Zakreslete grafy obou z´ıskanych ´ funkc´ı ve stejném souˇradnicovém systému. [ a) 74 mil. obyvatel; ] b) 75,83 mil. obyvatel.

´ Uloha 9.13 Exponenciáln´ı modely. Hruby´ domác´ı produkt (HDP) urˇcitého státu byl v roce 1985 100 mili˚ ard dolaru˚ a v roce 1995 120 miliard dolaru. ˚ HDP? a) Jaky´ bude HDP státu v roce 2005, pokud pˇredpokládáme lineárn´ı rust ˚ HDP? b) Jaky´ bude HDP státu v roce 2005, pokud pˇredpokládáme exponenciáln´ı rust c) Zakreslete grafy obou z´ıskanych ´ funkc´ı ve stejném souˇradnicovém systému. ˚ ] [ a) 140 miliard dolaru; ˚ b) 144 miliard dolaru.

´ ˚ ehu prvn´ıch 15 minut experimentu ve zkuUloha 9.14 Exponenciáln´ı modely - exponenciáln´ı rust. ˚ V prubˇ ˚ poˇctu bakteri´ı urˇcitého druhu takto: na zaˇca´ tku bylo ve zkumavce 2000 mavce byl zaznamenán rust bakteri´ı, po 15 minutách 4500 bakteri´ı. ˚ poˇctu bakteri´ı, kolik bakteri´ı bude ve zkumavce po 30 mia) Jestli pˇredpokládáme exponenciáln´ı rust nutách? b) Jakou procentn´ı m´ırou roste poˇcet bakteri´ı? c) Za jaky´ cˇ as se poˇcet bakteri´ı zdvojnásob´ı? [ a) 10 125 bakteri´ı; ] b) 5,4 %; c) pˇribl. za 12,817 minut.

112


´ Uloha 9.15 Exponenciáln´ı modely - exponenciáln´ı rust. ˚ Stát má v souˇcasnosti A obyvatel a roˇcnˇe v nˇem ˚ a exponenciálnˇe, pˇribyv´ ´ a h obyvatel na 1000 obyvatel. Jestliˇze pˇredpokládáme, zˇ e poˇcet obyvatel narust´ kolik obyvatel bude m´ıt ten stát na konci n-tého roku? [ A(1 + h/1000)n obyvatel. ]

´ Uloha 9.16 Exponenciáln´ı modely - exponenciáln´ı klesán´ı. Hodnota vyrobn´ ıho zaˇr´ızen´ı po t letech od jeho ´ ˚ vyroby je urˇcena jako V (t) = 5000e−t/5 + 450 dolaru. ´ a) Jaká byla hodnota zaˇr´ızen´ı, kdyˇz bylo nové? b) Jaká je hodnota zaˇr´ızen´ı po 10 letech od jeho vyroby? ´ c) Naˇcrtnˇete graf funkce V (t). Jaká bude hodnota zaˇr´ızen´ı po dlouhém cˇ ase? ˚ [ a) 5450 dolaru; ] ˚ b) 1126,676 dolaru; ˚ c) 450 dolaru.

´ ˚ re ztrác´ı vlhkost Uloha 9.17 Exponenciáln´ı modely - exponenciáln´ı klesán´ı. Mokry´ ruˇcn´ık zavˇesˇ eny´ na sˇ nˇ uˇ ´ erná obsahu jeho vlhkosti. Pokud ruˇcn´ık ztrat´ı 50 % obsahu vlhkosti za 2 rychlost´ı, která je pˇr´ımo umˇ hodiny, jak dlouho potrvá, neˇz bude suchy´ na 95 %? [ 8,644 hodin. ]

´ Uloha 9.18 Exponenciáln´ı modely - exponenciáln´ı klesán´ı. Rozpad radioaktivn´ı látky je urˇcen klesaj´ıc´ı expo˚ nenciáln´ı funkc´ı: mnoˇzstv´ı urˇcité radioaktivn´ı látky v gramech, které zustane po t letech z poˇca´ teˇcn´ıho mnoˇzstv´ı Q0 , je urˇceno funkc´ı Q(t) = Q0 e−0,02t . a) Zakreslete graf této funkce. ˚ ˚ b) Za jaky´ cˇ as zustane z této radioaktivn´ı látky právˇe polovina puvodn´ ıho mnoˇzstv´ı Q0 ? (Uvedeny´ cˇ as se nazyv´ ´ a poloˇcas rozpadu radioaktivn´ı látky; poloˇcas rozpadu charakterizuje danou látku.) [ b) pˇribl. 35 let. ]

´ Uloha 9.19 Exponenciáln´ı modely - exponenciáln´ı klesán´ı. Urˇcitá radioaktivn´ı látka se po t letech rozpadá tak, jak to urˇcuje funkce Q(t) = Q0 e−0,0001t . Po 5000 letech bylo nalezeno 2000 gramu˚ této látky. Jaké ˚ bylo jej´ı puvodn´ ı mnoˇzstv´ı? ˚ ] [ 3297,44 gramu.

´ Uloha 9.20 Exponenciáln´ı modely - exponenciáln´ı klesán´ı. Poloˇcas rozpadu prvku radium je 1690 let. Jak ˚ resp. na 1 gram? dlouho potrvá, neˇz se vzorek 50 gramu˚ radia rozpadne na 5 gramu, [ Q(t) = Q0 · 2−t/1690 ; ] pˇribliˇznˇe 5614,1 let, resp. 9538,1 let.

´ Uloha 9.21 Exponenciáln´ı modely - exponenciáln´ı klesán´ı. Jestliˇze v souˇcasnosti má nˇejaká radioaktivn´ı ˚ kolik gramu˚ z n´ı zustane ˚ látka hmotnost 500 gramu˚ a po 50 letech 400 gramu, po 200 letech, resp. po 500 letech? Jaky´ je poloˇcas rozpadu této látky? ˚ resp. 53,687 gramu; ˚ ] [ 204,8 gramu, poloˇcas rozpadu je 155,314 let.

´ Uloha 9.22 Exponenciáln´ı modely - kˇrivka uˇcen´ı. Podle experta firmy je hodinová vykonnost Q(t) pra´ covn´ıka firmy v závislosti od poˇctu t mˇes´ıcu˚ jeho zapracován´ı ve firmˇe urˇcena jako ˚ erny´ novy´ pracovn´ık má na zaˇca´ tku (tedy pˇri 0 mˇes´ıc´ıch praxe) hodinovou Q(t) = 500 − Ae−kt . Prumˇ ˚ po 2 mˇes´ıc´ıch praxe 450 vyrobk ˚ vykonnost 300 vyrobk u, u. ´ ´ ´ a) Urˇcete funkci Q(t) a znázornˇete ji graficky. ˚ erny´ pracovn´ık po 4, resp. 6 mˇes´ıc´ıch praxe ve firmˇe? b) Jakou hodinovou vykonnost bude m´ıt prumˇ ´ c) Jakou rychlost´ı se zvyˇsuje jeho hodinová vykonnost po 2, resp. po 4, resp. po 6 mˇes´ıc´ıch praxe ve ´ firmˇe? Znázornˇete graficky. [ a) Q(t) = 500 − 200 · 0, 25t/2 ; ] ˚ resp. 496,875 vyrobk ˚ b) 487,5 vyrobk u, u; ´ ´ c) 34,66 vyrobk u˚ za mˇes´ıc, resp. 8,66 vyrobk u˚ za mˇes´ıc; ´ ´ resp. 2,166 vyrobk u˚ za mˇes´ıc. ´


113

´ Uloha 9.23 Exponenciáln´ı modely - kˇrivka uˇcen´ı. Novy, ´ jeˇstˇe nezaˇskoleny´ pracovn´ık d´ılny, kde se mon˚ pracovn´ık s 5-tydenn´ tuj´ı urˇcité cˇ a´ sti mikrovlnnych asi 200 kusu; ı ´ zaˇr´ızen´ı, je schopen sestavit za tyden ´ ´ ˚ tohoto odvˇetv´ı je známo, zˇ e i nejzkuˇsenˇejˇs´ı prazkuˇsenost´ı montuje 233 kusu˚ za tyden. Analytikum ´ covn´ık se pˇribliˇzuje vykonnosti nejv´ıce 300 d´ılu˚ za tyden. ´ ´ ˚ a) Sestavte kˇrivku uˇcen´ı odpov´ıdaj´ıc´ı uvedenym ´ datum. ˚ ze b) V d´ılnˇe je podm´ınkou k z´ıskán´ı mzdy v urˇcité vyˇ nejménˇe 250 d´ılu˚ za tyden. Kdy muˇ ´ si vykonnost ´ ´ pracovn´ık oˇcekávat takovou mzdu? [ a) P (t) = 300 − 100e−0,08t ; ] . . b) P (8) = 247 a P (9) = 251, proto teprve na konci 9. tydne. ´

´ Uloha 9.24 Exponenciáln´ı modely - kˇrivka uˇcen´ı. Denn´ı vystup (tj. denn´ı produkce) dˇeln´ıka, ktery´ pracuje ´ ˚ je urˇcen jako Q(t) = 120 − Ae−kt vyrobk ˚ Pˇri nástupu do továrny je dˇeln´ık schopen v továrnˇe t tydn u. ´ u, ´ vyrábˇet 30 vyrobk u˚ za den, po 8 tydnech 80 vyrobk u˚ za den. Kolik vyrobk u˚ dennˇe je dˇeln´ık schopen ´ ´ ´ ´ vyrábˇet po 4 tydnech, resp. po 4 mˇes´ıc´ıch práce v továrnˇe? Znázornˇete graficky. ´ ˚ resp. 102,22 vyrobk ˚ ] [ 60 vyrobk u, u. ´ ´

´ Uloha 9.25 Exponenciáln´ı modely - kˇrivka uˇcen´ı. Denn´ı vystup (t.j. denn´ı produkce) dˇeln´ıka, ktery´ pracuje ´ ˚ je urˇcen jako Q(t) = 120 − Ae−kt vyrobk ˚ Pˇri nástupu do továrny je dˇeln´ık schopen v továrnˇe t tydn u. ´ u, ´ vyrábˇet 30 vyrobk u˚ za den, po 10 tydnech 90 vyrobk u˚ za den. Vypoˇc´ıtejte, za jaky´ cˇ as je moˇzné zaˇradit ´ ´ ´ dˇeln´ıka mezi sˇ piˇckové pracovn´ıky, pokud za sˇ piˇckového povaˇzujeme dˇeln´ıka, jehoˇz denn´ı vystup je ´ nejménˇe 90 % z horn´ı hranice 120 vyrobk u˚ za den. ´ ˚ ] [ v cˇ ase t > 18, 34 tydn ´ u, ˚ ehu 19. tydne cˇ ili v prubˇ po nástupu. ´

´ Uloha 9.26 Exponenciáln´ı modely - kˇrivka uˇcen´ı. Kdyˇz se zaˇc´ıná vyrábˇet urˇcity´ druh letadla, potˇrebuje firma na vyrobu prvn´ıho z nich spolu 5000 pracovn´ıch hodin; poˇcet pracovn´ıch hodin potˇrebnych ´ ´ na montázˇ druhého letadla je uˇz jenom 4600 hodin, pˇri tˇret´ım letadle staˇc´ı na dokonalou montázˇ jenom 2800 hodin. Stanovte kˇrivku uˇcen´ı, která urˇcuje poˇcet hodin y(x) nutnych ´ na montázˇ v poˇrad´ı x-tého letadla. [ y(x) = 35800/7 − 1600/63 · (9/2)t hodin. ]

´ Uloha 9.27 Exponenciáln´ı modely - kˇrivka uˇcen´ı. Pˇri prvém pokusu potˇrebuje myˇs 350 vteˇrin na to, aby ´ esˇ nˇe zvládla pˇrechod labyrintem, na druhy´ pokus se j´ı to podaˇr´ı za 335 vteˇrin, pˇri tˇret´ım pokusu to uspˇ zvládne jiˇz za 325 vteˇrin. ´ esˇ ny´ pˇrechod labyrintem na poˇctu pokusu. ˚ a) Najdˇete, jak závis´ı cˇ as potˇrebny´ na uspˇ b) Jaky´ je pˇritom teoreticky nejkratˇs´ı moˇzny´ cˇ as? [ a) y(x) = 305 + 67, 5 · e−0,405x ] (koeficient k zaokrouhlen na 3 desetinná m´ısta); b) 305 vteˇrin.

´ Uloha 9.28 Exponenciáln´ı modely - kˇrivka uˇcen´ı. Zoologové sledovali v urˇcité severské oblasti stáda sobu˚ ˚ v roce 1987 jich bylo v´ıc, a to 11 000. Odborn´ıci pˇredpokládaj´ı, karibu; v roce 1985 napoˇc´ıtali 10 000 kusu, ˚ zpomal´ı, protoˇze podle odhadu˚ zdroje uˇziv´ı v oblasti nejv´ıce 15 000 kusu. ˚ Urˇcete poˇcet kusu˚ zˇ e se rust ˚ sobu˚ karibu P (t) v závislosti na cˇ ase t v letech za pˇredpokladu omezeného rustu. [ P (t) = 15000 − 5000 · (4/5)t/2 . ]

´ Uloha 9.29 Exponenciáln´ı modely - Newtonuv ˚ zákon ochlazován´ı (z kˇrivky uˇcen´ı). Horké tˇeleso um´ıst´ıme na ochlazen´ı do prostˇred´ı s niˇzsˇ´ı teplotou Ts , o n´ızˇ pˇredpokládáme, zˇ e se nemˇen´ı. Na základˇe mˇerˇ eˇ n´ı bylo odvozeno, zˇ e pro teplotu T (t) ochlazovaného tˇelesa závislou na cˇ ase t plat´ı T (t) = Ts + (T0 − Ts )ekt , kde T0 je teplota tˇelesa na zaˇca´ tku dˇeje (v cˇ ase t = 0); tento vztah se nazyv´ ˚ zákon ochlazován´ı. ´ a Newtonuv ˚ urˇcen´ı 3 parametru˚ T0 , Ts , k potˇrebujeme 3 (K urˇcen´ı velikosti teploty T (t) podle této závislosti kvuli ´ udaje.) ´ Vyˇreˇste ulohu: Natvrdo uvaˇrené vaj´ıcˇ ko je pˇri 98 st. C ponoˇreno na ochlazen´ı do nádoby s vodou 18 st. C teplou; po 5 min. se teplota vaj´ıcˇ ka sn´ızˇ ´ı na 38 st. C. Za jaky´ cˇ as se vaj´ıcˇ ko ochlad´ı na 20 st. C?

114


] [ T (t) = 18 + 80 · 4−t/5 ; cˇ as potˇrebny´ na pokles teploty . na T = 20: 5 ln 40/ ln 4 = 13 minut.

´ Uloha 9.30 Exponenciáln´ı modely - Newtonuv ˚ zákon ochlazován´ı. Jestliˇze se nˇejaky´ maly´ odlitek ochlad´ı ze 100 st. C na 80 st. C za 20 minut v prostˇred´ı se stálou teplotou 20 st. C, za kolik minut se v tomto prostˇred´ı ochlad´ı ze 100 st. C na 60 st. C? [ T (t) = 20 + 80(4/3)−t/20 , ] ln 2 . t = 20 = 48, 19 minut. ln 4/3

ˇ alek kakaa se ochlad´ı z 90 st. C na 60 st. ´ Uloha 9.31 Exponenciáln´ı modely - Newtonuv ˚ zákon ochlazován´ı. S´ C za 10 minut v m´ıstnosti, v n´ızˇ je stálá teplota 20 st. C. Za kolik minut se kakao ochlad´ı aˇz na 35 st. C? [ T (t) = 20 + 70(4/7)t/10 , ] ln 3/14 . t = 10 · = 27, 5 minut. ln 4/7

´ Uloha 9.32 Exponenciáln´ı modely - Newtonuv ˚ zákon ochlazován´ı. Tˇeleso s teplotou 25 st. C bylo um´ıstˇeno do termostatu, v nˇemˇz se udrˇzuje stálá teplota 0 st. C. Za jaky´ cˇ as se tˇeleso ochlad´ı na 10 st. C, jestliˇze za 20 min. se ochladilo na 20 st. C? Ve kterém cˇ ase mˇelo tˇeleso teplotu 24 st. C? [ T (t) = 25 · (4/5)t/20 , 82,13 min.; ] v cˇ ase 3,66 min.

´ Uloha 9.33 Exponenciáln´ı modely - Newtonuv ˚ zákon ochlazován´ı (oteplován´ı). V horkém letn´ım dnu vyjmete z ledniˇcky chlazeny´ nápoj a postav´ıte ho do m´ıstnosti, kde je stálá teplota 38 st. Vyjádˇrete teplotu nápoje jako funkci cˇ asu, jestliˇze nápoj v ledniˇcce mˇel 10 st. a po 20 minutách mˇel 18 st. C. [ T (t) = 38 − 28 · (5/7)t/20 . ]

´ Uloha 9.34 Exponenciáln´ı modely - Newtonuv ˚ zákon ochlazován´ı (oteplován´ı). Tˇeleso neznámé teploty bylo uloˇzeno do m´ıstnosti, v n´ızˇ se udrˇzovala stálá teplota 30 st. C. Po 10 minutách mˇelo tˇeleso teplotu 0 st. C a po 20 minutách od uloˇzen´ı do m´ıstnosti byla teplota tˇelesa 15 st. C. Jaká byla teplota tˇelesa na zaˇca´ tku? [ T (t) = 30 −

30t/10 , T0 = −30 st. C. ] (30 − T0 )t/10−1

´ Uloha 9.35 Exponenciáln´ı modely - logistická kˇrivka. Podle zdravotn´ı dokumentace t tydn ´ u˚ po vypuknut´ı 4 chˇripky byl poˇcet onemocnˇen´ı urˇcen jako f (t) = tis´ıc osob. 1 + 3e−0,8t a) Naˇcrtnˇete graf funkce f (t). b) Kolik onemocnˇen´ı bylo zaznamenáno na zaˇca´ tku vypuknut´ı chˇripky, resp. na konci tˇret´ıho tydne? ´ c) Pokud by trend pokraˇcoval podle uvedené funkce, k jaké hranici by se pˇribl´ızˇ il celkovy´ poˇcet onemocnˇen´ı po dlouhém cˇ ase? [ b) 1 tis´ıc osob, resp. 3,1442 tis´ıc osob; ] c) 4 tis´ıce osob.

´ Uloha 9.36 Exponenciáln´ı modely - logistická kˇrivka. Podle zdravotn´ı dokumentace t tydn ´ u˚ po vypuknut´ı 180 infekˇcn´ı zˇ loutenky byl poˇcet onemocnˇen´ı urˇcen jako f (t) = osob. 1 + 9e−0,4t a) Naˇcrtnˇete graf funkce f (t). b) Kolik onemocnˇen´ı infekˇcn´ı zˇ loutenkou bylo zaznamenáno na zaˇca´ tku, resp. na konci tˇret´ıho, pátého, sedmého tydne? ´ c) Pokud by trend pokraˇcoval podle uvedené funkce, k jaké hranici by se pˇribl´ızˇ il celkovy´ poˇcet onemocnˇen´ı infekˇcn´ı zˇ loutenkou po dlouhém cˇ ase? [ b) 18, resp. 48,5, resp. 81,15, resp. 116,33 osob; ] c) 180 osob.


115

´ Uloha 9.37 Exponenciáln´ı modely - logistická kˇrivka. Urˇcete, kolik osob bude nakaˇzenych ´ v cˇ ase t (v tydnech) ´ od vypuknut´ı epidemie, jestliˇze spoleˇcenstv´ı sestává z 2000 osob, na zaˇca´ tku se nakazilo 500 osob a na konci prvn´ıho tydne bylo zaznamenanych ´ ´ 855 onemocnˇen´ı. [ y(t) =

2000 · ] 1 + 3 · 0, 4464t

´ Uloha 9.38 Exponenciáln´ı modely - logistická kˇrivka. Epidemie v urˇcité oblasti se sˇ´ırˇ´ı tak, zˇ e na zaˇca´ tku onemocnˇela 1/5 poˇctu jej´ıho obyvatelstva a na konci 4. tydne byla nemocná 1/2 poˇctu obyvatel. O jaké ´ cˇ a´ sti obyvatelstva té oblasti se dá pˇredpokládat, zˇ e bude postiˇzena na konci 8. tydne od vypuknut´ı ´ epidemie? [ prakticky vˇsichni budou postiˇzeni. ]

´ Uloha 9.39 Exponenciáln´ı modely - logistická kˇrivka. Na lodi s 800 cestuj´ıc´ımi onemocn´ı 1 pasaˇze´ r závaˇznou infekˇcn´ı nemoc´ı, která se sˇ´ırˇ´ı tak, zˇ e po 12 hod. onemocn´ı dalˇs´ı 3 lidé. Vakc´ınu je moˇzné dodat na ˚ povˇetrnostn´ım lod’ letecky, ale je známo, zˇ e v cˇ ase od 60 do 72 hodin plavby letadlo se zásilkou kvuli podm´ınkám nepˇrilet´ı. Kolik pˇr´ıpadu˚ onemocnˇen´ı je moˇzné oˇcekávat, dokud pˇrijde vakc´ına? 800 ] , t v hodinách; 1 + 799e−0,01796t . . y(60) = 188, y(72) = 3858 pasaˇze´ ru˚ - podle modelu témˇerˇ 5krát v´ıce neˇz je poˇcet vˇsech cestuj´ıc´ıch - nakaˇzeni budou vˇsichni.

[ y(t) =

´ Uloha 9.40 Exponenciáln´ı modely - logistická kˇrivka. O urˇcité pomluvˇe vˇedˇelo v cˇ ase jej´ıho vypuknut´ı 1 % osob v urˇcité komunitˇe a po 1 dnu 10 % osob. Kolik procent osob uˇz bude o pomluvˇe informováno po 3 dnech? [ Poˇcet osob y(t) v procentech: ] 1 y(t) = , t ve dnech; 1 + Ae−kt −k A = 99, e = 1/11, proto 121 . = 93 %. y(3) = 130

´ Uloha 9.41 Exponenciáln´ı modely - logistická kˇrivka. Jiná pomluva se sˇ´ırˇ´ı v jeˇstˇe v´ıce pomlouvaˇcné spoleˇcnosti: v cˇ ase jej´ıho vypuknut´ı v´ı o n´ı 0,1 % osob z této spoleˇcnosti a po 1 dnu 10 % osob. Kolik procent osob bude o pomluvˇe informováno za 3 dny? (Proˇc je tato spoleˇcnost v´ıc pomlouvaˇcná neˇz spoleˇcnost ´ z pˇredchoz´ı ulohy?) 1 , t ve dnech, y(t) v procentech; ] 1 + Ae−kt −k A = 999, e = 1/111, proto 12321 . y(3) = = 100 %. 12330

[ y(t) =

´ Uloha 9.42 Exponenciáln´ı modely - logistická kˇrivka. Pˇr´ımymi svˇedky dopravn´ı nehody v malém mˇesteˇcku ´ byla 1/10 jeho obyvatel. Po 2 hodinách se o nehodˇe dozvˇedˇela 1/4 obyvatel. Po jakém cˇ ase bude o nehodˇe informovaná pˇresnˇe polovina jeho obyvatel? [ 4 hod. ]

´ Uloha 9.43 Exponenciáln´ı modely - logistická kˇrivka. V omezené uzavˇrené oblasti bylo vysazeno 100 stepn´ıch slepic; po 2 letech v této oblasti napoˇc´ıtali 150 kusu˚ slepic. Ekologové pˇredpokládaj´ı, zˇ e v té ˚ ze zˇ ´ıt nejv´ıce 1000 kusu. ˚ oblasti muˇ ˚ a) Za jaky´ cˇ as poˇcet slepic vzrostl na dvojnásobek puvodn´ ıho poˇctu? b) Kolik slepic tam bude zˇ ´ıt po 5 letech? 1 000 , t v roc´ıch; ] 1 + 9e−0,2313t a) poˇcet se zdvojnásob´ı pˇribl. za 3,5 roku; . b) y(5) = 261 slepic.

[ y(t) =

116


´ ˚ bylo nasazenych ˚ po 3 letech se Uloha 9.44 Do rybn´ıku, v nˇemˇz se uˇziv´ı nejv´ıc 3000 kapru, ´ 1000 kusu; jejich poˇcet zdvojnásobil. Urˇcete a) kolik kapru˚ bude zˇ ´ıt v rybn´ıce v 6. roku od nasazen´ı? b) jaká je rychlost mnoˇzen´ı na konci pátého roku? c) kdy je rychlost mnoˇzen´ı nejvyˇssˇ´ı? 3000 , t v roc´ıch, ] 1 + 2e−kt −3k e = 1/4; . ˚ y(6) = 8000/3 = 2666, 6 kusu.

[ y(t) =

´ ˚ ze uˇzivit Uloha 9.45 Exponenciáln´ı modely - logistická kˇrivka. Na základˇe odhadu odborn´ıku˚ Zemˇe nemuˇ 40 v´ıc neˇz 40 miliard lid´ı. Poˇcet obyvatel Zemˇe t let po roku 1960 je pˇribliˇznˇe P (t) = miliard. 1 + 12e−0,08t ˚ a) Pokud je tento model správny, poˇctu obyvatel Zemˇe v roce 1995? ´ jaká byla roˇcn´ı m´ıra rustu ˚ b) Jaká byla procentn´ı roˇcn´ı m´ıra rustu poˇctu obyvatel Zemˇe v roce 1995? c) Zakreslete graf funkce P (t). [ a) 0,39023 miliard roˇcnˇe; ] b) 1,687 %.

´ ´ cet 5 000 dolaru˚ pˇri 5procentn´ı roˇcn´ı urokov´ ´ Uloha 9.46 Exponenciáln´ı rust ˚ - uroˇ ´ cen´ı. Vloˇzili jsme na uˇ e ´ ctu po 20 letech, jestliˇze uroˇ ´ cen´ı je m´ırˇ e. Vypoˇc´ıtejte, kolik dolaru˚ bude na uˇ a) jednoduché, jednou roˇcnˇe; b) sloˇzené, jednou roˇcnˇe; c) spojité. [ a) 10 000; ] b) 13 266,45; c) 13 591,41 dol.

´ ´ cet 15 000 korun pˇri 8procentn´ı roˇcn´ı urokov´ ´ Uloha 9.47 Exponenciáln´ı rust ˚ - uroˇ ´ cen´ı. Vloˇzili jsme na uˇ e ´ ctu po 10 letech, jestliˇze uroˇ ´ cen´ı je m´ırˇ e. Vypoˇc´ıtejte, kolik korun bude na uˇ a) sloˇzené, dvakrát roˇcnˇe; b) sloˇzené cˇ tyˇrikrát, sˇ estkrát roˇcnˇe; ’ c) spojité. [ a) 32 866,85; ] b) 33 120,60 resp. 33 207,10; c) 33 383,11 korun

´ ´ cet 12 000 dolaru˚ pˇri 10procentn´ı roˇcn´ı urokov´ ´ Uloha 9.48 Exponenciáln´ı rust ˚ - uroˇ ´ cen´ı. Vloˇzili jsme na uˇ e ´ ctu po 4 letech pˇri sloˇzeném uroˇ ´ cen´ı, jestliˇze se urok ´ m´ırˇ e. Vypoˇc´ıtejte, kolik dolaru˚ bude na uˇ pˇripisuje: ˚ roku; a) jednou za pul b) jednou za mˇes´ıc; c) spojitˇe. ] [ a) 17 729,46; b) 17 872,25; c) 17 901,90 dol.

´ ´ ctu zdvojnásob´ı 2 000 dolaru, ˚ jestliˇze je tato Uloha 9.49 Exponenciáln´ı rust ˚ - uroˇ ´ cen´ı. Jak rychle se na uˇ ´ ´ ´ cen´ı pˇripisuje: suma vloˇzena pˇri 12procentn´ı roˇcn´ı urokov´ e m´ırˇ e a urok se pˇri sloˇzeném uroˇ a) cˇ tvrtletnˇe; b) dvakrát za rok; c) jednou roˇcnˇe; d) spojitˇe? [ a) 5,86 roku; ] b) 5,95 roku; c) 6,12 roku; d) 5,78 roku.


117

´ ´ ctu zdvojnásob´ı vloˇzená suma dolaru, ˚ jestliˇze Uloha 9.50 Exponenciáln´ı rust ˚ - uroˇ ´ cen´ı. Za jaky´ cˇ as se na uˇ ´ ´ ´ cen´ı pˇripisuje: roˇcn´ı urokov´ a m´ıra je 8 procent a urok se pˇri sloˇzeném uroˇ a) dvakrát za rok; b) jednou roˇcnˇe; c) spojitˇe? [ a) 8,84 let; ] b) 9,0 let; c) 8,66 let.

´ ´ ctu vzroste vloˇzená suma 2 000 dolaru˚ na 5 000 Uloha 9.51 Exponenciáln´ı rust ˚ - uroˇ ´ cen´ı. Jak rychle na uˇ ˚ jestliˇze roˇcn´ı urokov´ ´ ´ ´ cen´ı pˇripisuje: dolaru, a m´ıra je 8 procent a urok se pˇri sloˇzeném uroˇ a) 4–krát za rok; b) dvakrát za rok; c) jednou za rok; d) spojitˇe? [ a) 11,57 let; ] b) 11,68 let; c) 11,91 let; d) 11,45 let.

´ ´ cet v tomto okamˇziku Uloha 9.52 Exponenciáln´ı modely - uroˇ ´ cen´ı. Kolik dolaru˚ potˇrebujeme vloˇzit na uˇ ´ ctu 5 000 dolaru, ˚ jestliˇze roˇcn´ı urokov´ ´ ´ aby pˇresnˇe po 10 letech bylo na uˇ a m´ıra je 10 procent a urok se pˇri ´ cen´ı pˇripisuje: sloˇzeném uroˇ a) 4–krát za rok; b) dvakrát za rok; c) jednou za rok; d) spojitˇe? [ a) 1862,15; ] b) 1884,45; c) 1927,72; ˚ d) 1839,40 dolaru.

´ Uloha 9.53 Exponenciáln´ı modely - exponenciáln´ı rust. ˚ Poˇcet obyvatel dvou sousedn´ıch státu˚ je dnes A tis´ıc, resp. B tis´ıc osob, pˇriˇcemˇz A < B. Poˇcet obyvatel prvn´ıho státu roste roˇcnˇe o p osob na 1000 obyvatel, poˇcet obyvatel druhého státu klesá roˇcnˇe o r osob na 1000 obyvatel. Pokud pˇredpokládáme stejny´ trend i v dalˇs´ıch obdob´ıch, za jaky´ cˇ as budou m´ıt oba státy stejny´ poˇcet obyvatel? [ t = ln

B 1 · . ] A ln(1000 + p) − ln(1000 − r)

´ Uloha 9.54 Exponenciáln´ı rust ˚ - uroˇ ´ cen´ı. O koupi chaty v zahrádkárˇ ské kolonii maj´ı zájem tˇri kupci. Prvn´ı nab´ız´ı 81 000 korun, z nichˇz by 64 000 zaplatil ihned a zbyvaj´ ´ ıc´ıch 17 000 by zaplatil po tˇrech letech. Druhy´ nab´ız´ı 80 000 korun a zaplat´ı jich okamˇzitˇe. Tˇret´ı kupec dává 86 000 korun tak, zˇ e okamˇzitˇe zaplat´ı 60 000 a zbytek 26 000 dá po 6 letech. Pˇredpokládejme, zˇ e banka poskytuje nemˇennou roˇcn´ı ´ ´ cen´ı jednou za pul ˚ roku; ktery´ z kupcu˚ nab´ız´ı nejvyˇssˇ´ı cenu? urokovou m´ıru 7 % pˇri sloˇzeném uroˇ [ druhy´ (pˇri porovnán´ı budouc´ı hodnoty kaˇzdé z nab´ıdek po 6 letech). ]

´ ´ castnˇenych Uloha 9.55 Exponenciáln´ı modely - logistická kˇrivka. Poˇcet osob zuˇ na urˇcitém korupˇcn´ım ´ ´ erná poˇctu osob do skandálu uˇz zapletenych skandálu se zvyˇsuje rychlost´ı, která je pˇr´ımo umˇ ´ a souˇcasnˇe poˇctu osob, které se jeˇstˇe nezapletli. Novinárˇ i zjistili, zˇ e do skandálu na zaˇca´ tku se zapletlo 7 osob; ˚ ehu 3 mˇes´ıcu˚ a dalˇs´ıch 12 po následuj´ıc´ıch 3 mˇes´ıc´ıch. Pˇribliˇznˇe kolik 9 dalˇs´ıch osob se zapletlo v prubˇ osob se v delˇs´ım obdob´ı zapletlo do skandálu? [ k = 1/3 ln 3, tedy souˇcasnˇe e−kt = 3−t/3 , A = 27/5, B = 224/5; ] poˇcet zapletenych ´ osob nepˇresáhne hranici urˇcenou cˇ ´ıslem B, cˇ ili nejv´ıce45 osob.

Otestujte se


118

´ ˚ eh funkce f a zakreslete jej´ı graf: Uloha 9.56 Urˇcete prubˇ 2

a) f : y = (1 + x2 )e−x ;

[ a)

b) f : y = (x − 1)4/3 ;

D(f ) = R, S lim f (x) = 0

c) f : y =

x . ln x

]

x→±∞

(−∞, ∞)+ (−∞, 0) %, (0, ∞) & LMAX fp (0) = 1 p p p (−∞, − 3/2) √ ^, (− 3/2, 3/2) _, ( 3/2, ∞) ^ INF x = ± 3/2 ASS pro x → ±∞ : y = 0;

b)


(−∞, 1)+, (1, ∞)+ (−∞, 1) &, (1, ∞) % LMIN f (1) = 0 (−∞, 1) ^, (1, ∞) ^ INF nemá ASS ani ABS nemá;

c)

D(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞), nen´ı S ani L lim f (x) = 0, lim f (x) = −∞, lim f (x) = ∞, lim f (x) = ∞

x→0+

x→1−

x→1+

x→∞

(0, 1)−, (1, ∞)+ (0, 1) &, (1, e) &, (e, ∞) % LMIN f (e) = e (0, 1) _, (1, e2 ) ^, (e2 , ∞) _ INF x = e2 ABS x = 1.

´ ´ ctu ztrojnásob´ı vloˇzená suma dolaru, ˚ jestliˇze Uloha 9.57 Exponenciáln´ı rust ˚ - uroˇ ´ cen´ı. Jak rychle se na uˇ ´ ´ ´ cen´ı pˇripisuje: roˇcn´ı urokov´ a m´ıra je 10 procent a urok se pˇri sloˇzeném uroˇ a) dvakrát za rok; b) jednou za mˇes´ıc; c) spojitˇe? [ a) 11,26 let; ] b) 11,03 let; c) 10,99 let

KAPITOLA 10

Primitivn´ı funkce a neurˇcity´ integrál Vystupy ze studia, Learning Outcomes ´ Znalosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • • • •

definuje pojem funkce primitivn´ı k funkci dané na mnoˇzinˇe; pop´ısˇ e princip existence a poˇctu funkc´ı primitivn´ıch k funkci dané na nˇejaké mnoˇzinˇe; sestav´ı tabulku neurˇcitych ´ integrálu˚ elementárn´ıch funkc´ı; pop´ısˇ e princip linearity neurˇcitého integrálu.

Dovednosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • nalezne funkce primitivn´ı k funkci dané na urˇcité mnoˇzinˇe na základˇe definice; • verifikuje, zda nalezená funkce je primitivn´ı funkc´ı k funkci zadané; ˇ • uplatnuje princip linearity k urˇcován´ı primitivn´ıch funkc´ı.

Schopnosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • identifikuje v jednoduchém problému nutnost pouˇzit´ı integrován´ı.

119


120

ˇ y´ pˇrehled Znalosti - strucn • Mˇejme funkci f definovanou na intervalu I. Funkce F se nazyv´ ´ a primitivn´ı funkce k funkci f na def

intervalu I ⇐⇒ ∀x ∈ I : F 0 (x) = f (x). • Pro kaˇzdé dvˇe primitivn´ı funkce F, G k funkci f na Iplat´ı, zˇ e funkce F − G je funkce konstantn´ı a lze tedy psát G = F + c, c ∈ R. • Mˇejme funkci f ke která existuje alesponˇ jedna primitivn´ı funkce na intervalu I. Mnoˇzina vˇsech primitivn´ıch funkc´ı se nazyv´ ´ a neurˇcitý integrál funkce f na I a znaˇc´ı se Z f (x) dx = {F (x) + c| c ∈ R}. • Pˇrestoˇze je neurˇcity´ integrál mnoˇzina, jej´ızˇ prvky jsou funkce, zapisuje jej cˇ asto bez mnoˇzinovych ´ závorek, tedy Z f (x) dx = F (x) + c. • Princip linearity. Mˇejme funkce f, g pro které existuj´ı primitivn´ı funkce F, G na intervalu I, mˇejme dále konstanty c1 , c2 ∈ R. Pak existuje primitivn´ı funkce i k funkci c1 · f + c2 · g a plat´ı Z (c1 · f + c2 · g)(x) dx = c1 · F (x) + c2 · G(x) + c. 10.1. Tabulka neurˇcitych ´ integrálu˚ elementárn´ıch funkc´ı V celé tabulce jsou a, c ∈ R reálné konstanty. Z adx =x+c Z ex dx = ex + c Z ax ax dx = +c ln a Z cos xdx = sin x + c Z

Z Z

=

1 dx x

= ln |x| + c

1

Z p Z

sin xdx

= − cos x + c

xn+1 +c n+1

xn dx

1 − x2 1

dx

dx 1 − x2 Z Z 1 1 dx = tgx + c dx 2 cos x 1 + x2 Z Z 1 1 = −cotgx + c dx 2 dx 1 + x2 sin x p

= arcsin x + c = − arccos x + c = arctgx + c = −arccotgx + c


10.2. Urˇcen´ı primitivn´ı funkce a neurˇcitého integrálu sin2 x cos 2x a funkce G : y = − jsou primitivn´ı funkce k funkci 2 4 f : y = sin x cos x a najdˇete konstantu, o kterou se liˇs´ı. Pˇr´ıklad 10.1 Ovˇerˇ te, zˇ e funkce F : y =

ˇ Y´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 10. PRIMITIVNI´ FUNKCE A NEURCIT

121

ˇ sen´ı Urˇc´ıme derivace: Reˇ 2 0 sin x 1 0 = · 2 · sin x (sin x) = sin x cos x, 2 2 0 cos 2x 1 1 0 − = − sin 2x (2x) = − 2 sin x cos x = sin x cos x. 4 4 2 Obˇe funkce jsou primitivn´ı funkc´ı k tézˇ e funkci f , tedy (F )0 = (G)0 = f . Urˇc´ıme jeˇstˇe konstantu, o kterou se liˇs´ı: cos 2x 1 sin2 x − − = 2 sin2 x + cos 2x pouˇzijeme vztah cos 2x = cos2 − sin2 x 2 4 4 1 = 2 sin2 x + cos2 x − sin2 x 4 1 = sin2 x + cos2 x pouˇzijeme vztah sin2 x + cos2 x = 1 4 1 = · 4 1 Plat´ı tedy: F − G = 4 . √ x−2 x+2 √ · Pˇr´ıklad 10.2 Urˇcete primitivn´ı funkci a neurˇcity´ integrál f : y = x2 3 x ˇ sen´ı Reˇ Z

√ √ Z x−2 x+2 x−2 x+2 √ dx = dx x2 3 x x7/3 Z = (x − 2x1/2 + 2) · x−7/3 dx Z = x−4/3 − 2x−11/6 + 2x−7/3 dx x−5/6 x−4/3 x−1/3 −2 +2 +c −1/3 −5/6 −4/3 12 6 3 + √ − √ + c. = −√ 6 3 3 5 x 5 x 4 x4 =

Primitivn´ı funkce je napˇr´ıklad funkce 3 12 3 F : y = −√ + √ − √ , 3 3 x 5 6 x5 2 x4 neurˇcity´ integrál je mnoˇzina vˇsech primitivn´ıch funkc´ı, tedy √ Z x−2 x+2 3 12 3 √ √ √ √ − dx = + − + c, c ∈ R . 3 3 x 5 6 x5 x2 3 x 2 x4 Pˇr´ıklad 10.3 Urˇcete primitivn´ı funkci k funkci f : y =

cos 2x . sin2 x

ˇ sen´ı Reˇ Z

cos 2x sin2 x

Z dx =

sin2 x Z

=

dx

(1 − sin2 x) − sin2 x sin2 x

Z =

cos2 x − sin2 x

1 sin2 x

−

2 sin2 x sin2 x

= −cotgx − 2x + c.

dx

! dx


122

Primitivn´ı funkce je napˇr´ıklad funkce F : y = −cotgx − 2x. Dovednosti - ulohy ´ ´ Uloha 10.1 Primitivn´ı funkce. Urˇcete primitivn´ı funkce k dané funkci: √ x2 a) f : y = 2x − 3; b) f : y = x4 − 3x3 + − 4; c) f : y = 2 x + 6 cos x; 2 (x − 2)2 x2 − 1 1 ; f) f : y = (2 − xex ). d) f : y = ; e) f : y = 2 x x3 x +1 [ a) F : y = x2 − 3x; d) F : y = ln x + x2 −

2 ; x3

b) F : y = 51 x5 − 34 x4 + 61 x3 − 4x; e) F : y = x − 2arctgx;

c) F : y = 34 x3/2 + 6 sin x; ] f) F : y = 2 ln |x| − ex .

´ Uloha 10.2 Neurˇcitý integrál. Vypoˇc´ıtejte neurˇcity´ integr´ pomoc´ı derivov´ ! al a zkontrolujte ! an´ı: Z Z √ R 1 1 1 − x3 − √ a) (3x2 + 2x − 4) dx; b) dx; c) dx; 5x x 3x2 R R R d) x2 (x2 − 2x + 2) dx; e) (x2 − 3x + 1)2 dx; f) x(x − 2)(x − 3) dx; ! 2 Z Z 3 1 x −1 dx. dx; h) 1− g) x−1 x [ a) x3 + x2 − 4x + c, c ∈ R; √ √ 2x2 x c) −2 x + c; 5 1 3 11 3 e) x5 − x4 + x − 3x2 + x + c; 5 2 3 1 1 g) x3 + x2 + x + c; 3 2

1 1 − ln |x| + c; ] 3x 5 1 1 2 d) x5 − x4 + x3 + c; 5 2 3 1 5 f) x4 − x3 + 3x2 + c; 4 3 b) −

h) x − 2 ln |x| − 1/x + c.

´ Uloha 10.3√Neurˇcitý integrál. Vypoˇc´ıtejte neurˇcity´ integrál a zkontrolujte pomoc´ı derivován´ı: Z Z Z 1+ x 1 1−2x x/5 −x √ dx. a) dx; b) (e + e − 2 ) dx; c) 3 x(2 + ln x) x [ a) 3/2x2/3 + 6/7x7/6 + c; ] 2−x 1−2x x/5 b) −1/2e + 5e + + c; ln 2 c) ln |2 + ln |x|| + c.

Otestujte se ´ Uloha 10.4 Vypoˇc´ıtejte a zkontrolujte pomoc´ı derivován´ı: Z Z (x − 1)(x2 + 3) sin 2x a) dx; b) dx; 2 cos x 2x2

Z c)

(3x − 2x )2 dx. 6x

3 [ a) 14 x4 − 12 x + 2x + 32 ln x + c; ] b) − cos x + c; −1 c) ln(3/2) ((3/2)x + (2/3)x − 2x ln(3/2)) + c.

KAPITOLA 11

Metody vypoˇ ´ ctu neurˇcitého integrálu Vystupy ze studia, Learning Outcomes ´ Znalosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • pop´ısˇ e metodu per partes a demonstruje ji na vhodném pˇr´ıkladu; • pop´ısˇ e dvˇe vˇety o substituci pˇri vypoˇ ´ ctu neurˇcitého integrálu a demonstruje je na vhodném pˇr´ıkladu.

Dovednosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • vypoˇc´ıtá neurˇcity´ integrál metodou per partes; • vypoˇc´ıtá neurˇcity´ integrál metodou substituce podle nˇekterého ze dvou pravidel o substituci.


123


124

ˇ y´ pˇrehled Znalosti - strucn • Metoda per partes. Mˇejme funkce f, g definovan´ R e na intervalu I = (a, b), pro kter´ Re existuj´ı primitivn´ı funkce F, G na I a dále necht’ existuje f (x)G(x)dx na I. Potom existuje F (x)g(x)dx na I a plat´ı: Z Z F (x)g(x)dx = F (x)G(x) − f (x)G(x)dx. • Prvn´ı vˇeta o substituci. Pˇredpoklady: (1) mˇejme funkci t = ϕ(x), která zobraz´ı interval (a, b) na interval (α, β), tedy ϕ : (a, b) → (α, β), pro kterou existuje vlastn´ı ϕ0 (x) ve vˇsech bodech intervalu (a, b) a ϕ(x) je prostá, (2) mˇejme funkci f , pro kterou existuje primitivn´ı funkce F na intervalu (α, β). Pak na (a, b) existuje primitivn´ı funkce k sloˇzené funkci (f ◦ ϕ) · ϕ0 a plat´ı Z (f ◦ ϕ)(x) · ϕ0 (x)dx = F (ϕ(x)) + c. • Postupy symbolicky zapisujeme následovnˇe: Z t = ϕ(x) 0 f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = dt = ϕ0 (x)dx | {z } | {z } t dt Z = f (t)dt

= F (t) + c = F (ϕ(x)) + c. • Lineárn´ı substituce. Mˇejme funkci y = f (a · x + b), pro kterou existuje primitivn´ı funkce F . Protoˇze ϕ(x) = a · x + b má vlastn´ı derivaci ve vˇsech bodech x ∈ R, jsou splnˇeny pˇredpoklady prvn´ı vˇety o substituci, takˇze plat´ı: t =a·x+b Z f (a · x + b)dx = dt = a dx dx = dt a

1 = F (a · x + b) + c. a Stejny´ vztah lze odvodit i z vˇety o derivaci sloˇzené funkce, totiˇz jestliˇze plat´ı, zˇ e 0 (F (a · x + b)) = a · f (a · x + b), pak plat´ı i vztah Z 1 f (a · x + b)dx = · F (a · x + b) + c. a Lineárn´ı substituce se vˇetˇsinou aplikuje zpamˇeti. 0 (x) ˇ ı pˇredpoklady prvn´ı vˇety o substituci a • Mˇejme funkci f : y = ϕϕ(x) takovou, zˇ e f i ϕ splnuj´ ϕ(x) 6= 0. Pak plat´ı: Z 0 t = ϕ(x) ϕ (x) dx = 0 dt = ϕ (x) dx ϕ(x) Z 1 = dt t = ln |ϕ(x)| + c. Pro ϕ(x) 6= 0 plat´ı tedy vztah Z

ϕ0 (x) dx = ln |ϕ(x)| + c. ϕ(x)

ˇ ˇ EHO ´ ´ ´ KAPITOLA 11. METODY VYPO CTU NEURCIT INTEGRALU

125

• Druhá vˇeta o substituci. Pˇredpoklady: (1) mˇejme funkci x = ϕ(t), ϕ : (α, β) → (a, b), pro kterou existuje vlastn´ı derivace ϕ0 , pro kterou plat´ı ϕ0 (x) > 0 (nebo ϕ0 (x) < 0) ve vˇsech bodech intervalu (α, β), (2) mˇejme funkci G, která je primitivn´ı funkc´ı k funkci (f ◦ ϕ) · ϕ0 na intervalu (α, β). Pak na (a, b) existuje primitivn´ı funkce k funkci f a plat´ı Z

f (x)dx = G(ϕ−1 (x)) +c. | {z } F (x)

• Vypoˇ ´ cty symbolicky zapisujeme následovnˇe: Z

x = ϕ(t) f (|{z} x ) · |{z} dx = 0 dx = ϕ (t)dt 0 ϕ(t) ϕ (t)dt Z = f (ϕ(t)) · ϕ0 (t)dt = F (ϕ(t)) + c = F (x) + c.


11.1. Lineárn´ı substituce x

Pˇr´ıklad 11.1 Urˇcete neurˇcity´ integrál funkc´ı: f : y = sin(3x − 1); f : y = e 2 +3 ; f : y = 1 f :y= · 2x − 5 ˇ sen´ı S vyuˇzit´ım lineárn´ıch substituc´ı rˇ eˇs´ıme zpamˇeti: Reˇ Z

1 sin(3x − 1)dx = − cos(3x − 1) + c; 3 Z x x 1 x +3 e 2 +3 dx = e 2 + c = 2e 2 +3 + c; 1/2 Z 1 1 dx = ln |2x − 5| + c; 2 2x − 5 Z Z √ 1 (3 − x)3/2 2p 3 − xdx = (3 − x)1/2 dx = · +c=− (3 − x)3 + c. −1 3/2 3

11.2. Metoda per partes Pˇr´ıklad 11.2 Urˇcete neurˇcity´ integrál k funkci f : y = 2x · sin 3x.

√

3 − x;


126

ˇ sen´ı Pouˇzijeme metodu per partes: Reˇ Z F (x) = 2x f (x) = 2 2x · sin 3xdx = g(x) = sin 3x G(x) = − cos33x Z 2 cos 3x = − x · cos 3x − 2 · (− )dx 3 3 Z 2 2 = − x · cos 3x + cos 3xdx 3 3 2 2 sin 3x = − x · cos 3x + +c 3 3 3 2 = (−3x · cos 3x + sin 3x) + c. 9 Neurˇcity´ integrál je tedy mnoˇzina funkc´ı y =

2 9

(−3x · cos 3x + sin 3x) + c.

Pˇr´ıklad 11.3 Urˇcete primitivn´ı funkci k funkci f : y = x2 · e−x . Proved’te zkouˇsku správnosti. ˇ sen´ı Pouˇzijeme dvakrát metodu per partes: Reˇ Z F (x) = x2 f (x) = 2x 2 −x x · e dx = g(x) = e−x G(x) = −e−x Z 2 −x = −x · e − 2x · (−e−x )dx Z = −x2 · e−x + 2 x · e−x dx F (x) = x f (x) = 1 = g(x) = e−x G(x) = −e−x Z 2 −x −x = −x · e + 2(−x · e − (−e−x )dx) Z = −x2 · e−x − 2x · e−x + 2 e−x dx = −x2 · e−x − 2x · e−x + 2(−e−x + c) = −e−x (x2 + 2x + 2) + c. Primitivn´ı funkce je tedy napˇr´ıklad F : y = −e−x (x2 + 2x + 2). Správnost vysledku ovˇerˇ´ıme zpˇetnym ´ ´ derivován´ım, protoˇze mus´ı platit F 0 (x) = f (x): 0 F 0 (x) = −e−x (x2 + 2x + 2) = e−x (x2 + 2x + 2) + (−e−x )(2x + 2) = e−x x2 = f (x). Pˇr´ıklad 11.4 Urˇcete neurˇcity´ integrál funkce f : y = ln x2 . ˇ sen´ı Pouˇzijeme metodu per partes, vyraz Reˇ ln x2 si uprav´ıme do podoby 1 · ln x2 , cˇ asto pouˇz´ıvané pˇri ´ integraci logaritmickych ´ funkc´ı: Z F (x) = ln x2 f (x) = 2x2 2 x 1 · ln x dx = g(x) = 1 G(x) = x Z 2x = x · ln x2 − x · 2 dx x Z = x · ln x2 − 2dx = x · (ln x2 − 2) + c. Pˇr´ıklad 11.5 Vypoˇctˇete

R

sin2 x dx.


127

ˇ sen´ı Pouˇzijeme metodu per partes a uprav´ıme: Reˇ Z

F (x) sin x dx = g(x) 2

= sin x f (x) = cos x = sin x G(x) = − cos x Z = − sin x cos x − (− cos2 x)dx Z = − sin x cos x + (1 − sin2 x)dx Z Z = − sin x cos x + 1 dx − sin2 xdx Z = − sin x cos x + x − sin2 xdx.

vyjádˇr´ıme cos2 x

Z´ıskali jsme rovnici, jej´ımˇz rˇ eˇsen´ım najdeme hledany´ neurˇcity´ integrál: Z

sin2 xdx = − sin x cos x + x −

Z

sin2 xdx = − sin x cos x + x

Z

sin2 xdx =

2·

Z

sin2 xdx

1 (x − sin x cos x) + c. 2

11.3. Prvn´ı vˇeta o substituci Z Pˇr´ıklad 11.6 Vypoˇctˇete

sin x dx. cos x

ˇ sen´ı Protoˇze cˇ itatel je pˇr´ımo derivac´ı jmenovatele, rˇ eˇs´ıme zpamˇeti s vyuˇzit´ım vyˇ Reˇ ´ se uvedeného vztahu, kde ϕ(x) = cos x, ϕ(x)0 dx = sin x dx. Z

Z Pˇr´ıklad 11.7 Vypoˇctˇete

sin x cos4 x

sin x dx = ln | cos x| + c. cos x

dx.

ˇ s´ıme stejnou substituc´ı jako pˇredchoz´ı pˇr´ıklad ˇ sen´ı Reˇ Reˇ Z

t = cos x sin x dx = dt = sin xdx 4 cos x Z t−3 dt = +c = 4 t −3 1 =− + c. 3 cos3 x

Pˇr´ıklad 11.8 Urˇcete primitivn´ı funkci k funkci h : y = arcsin x.


128

ˇ sen´ı Pouˇzijeme metodu per partes a prvn´ı vˇetu o substituci, vyraz Reˇ arcsin x si uprav´ıme do podoby ´ 1 · arcsin x: Z F (x) = arcsin x f (x) = √ 1 2 1−x 1 · arcsin xdx = g(x) = 1 G(x) = x Z x √ = x · arcsin x − dx = 1 − x2 Z t = 1 − x2 1 −2x √ = x · arcsin x − dx = dt = −2xdx −2 1 − x2 Z 1 1 √ dt = x · arcsin x + 2 t √ = x · arcsin x + t + c p = x · arcsin x + 1 − x2 + c. √ Primitivn´ı funkce je tedy napˇr´ıklad funkce F : y = x · arcsin x + 1 − x2 . 11.4. Druhá vˇeta o substituci Z Pˇr´ıklad 11.9 Vypoˇctˇete

x √ dx. 1− x

ˇ sen´ı Vyuˇzijeme druhou vˇetu o substituci: Reˇ Z

t = 1 − √x =⇒ x = (1 − t)2 x = ϕ(t) √ dx = 0 dx = −2(1 − t)dt = ϕ (t)dt 1− x Z 2 (1 − t) = (−2)(1 − t) dt t Z 1 − 3t + 3t2 − t3 = −2 dt t Z 1 = −2 − 3 + 3t − t2 dt t 2 = −2 ln |t| + 6t − 3t2 + t3 + c 3 √ √ √ √ 2 = −2 ln |1 − x| + 6(1 − x) − 3(1 − x)2 − (1 − x)3 + c 3 √ √ 2 3/2 = −2 ln |1 − x| − x − 2 x − x + c. 3 Dovednosti - ulohy ´

´ Uloha Z 11.1 Vypoˇc´ıtejte metodou per partes: Z a) (3x − 4)ex dx; b) (x2 + 1)e−x dx; Z Z d) ln x dx; e) ln2 x dx; Z Z g) xn ex dx; h) ln(x2 − 1) dx; [ a) (3x − 7)ex + c; c) x sin x + cos x + c; e) x ln2 x − 2x ln x + 2x + c; R g) xn ex − n xn−1 ex dx (rekurentn´ı vztah); i)

x2 x2 ln x − + c. 2 4

Z c)

x cos x dx; Z

f)

lnn x dx;

Z i)

x ln x dx.

b) (−x2 − 2x − 3)e−x + c; ] d) x ln x − x +R c; f) x lnn x − n lnn−1 x dx (rekurentn´ ı vztah); x − 1 2 h) x ln |x − 1| − 2x − ln + c; x + 1


´ Uloha Z 11.2 Vypoˇc´ıtejte metodou per partes: Z p a) cos2 x dx; b) ln(x + 1 + x2 ) dx; Z Z 2 d) x sin x dx; e) x2 ln(x + 1) dx; Z Z √ ln x h) dx; g) e x dx; x5 [ a)

129

Z Z f) Z i)

1 (x + sin x cos x) + c; 2

1 3 x3 x2 x (x + 1) ln(x + 1) − − − + c; 3 9 6 3 √ √ x g) 2e · ( x − 1) + c; x (x2 3

(x2 − 2) ln x dx. √

1 + x2 ) −

√

1 + x2 + c; ]

x2 x cos 2x − sin 2x − + c; 4 4 8 −x −x 2 − 2 + c; f) −x·2 ln 2 ln 2 1 1 h) − 4 ln |x| − + c; x 16x4 d)

e)

3

x · 2−x dx;

b) x ln(x +

c) −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + c;

i) − x9 +

x2 sin x dx;

c)

− 6) ln |x| + 2x + c.

´ Uloha 11.3 Pomoc´ı vˇet o substituci urˇcete primitivn´ı funkce k dané funkci: a) f : y = sin7 x cos x; √ d) f : y = x 1 − x2 ; ln2 x ; g) f : y = x

ex ; e +1 f) f : y = tg x;√ cos x i) f : y = √ . x

b) f : y = sin x cos x;

c) f : y =

e) f : y = x sin(x2 ); cos ln x h) f : y = ; x [ a) F : y = sin8 x/8; d) F : y = − 13 (1 − x2 )3/2 ; g) F : y = (ln3 x)/x;

x

b) F : y = − 12 cos2 x; e) F : y = −1/2 · cos x2 ; h) F : y = sin ln x;

c) F : y = ln(ex + 1); ] f) F : y = − ln(cos x); √ i) F : y = 2 sin( x).

´ Uloha ´ substituc´ı: Z Z 11.4 Neurˇcitý integrál. Vypoˇc´ıtejte Z pomoc´ı vhodnych √ √ a) (x − 14)5 dx; b) x − 4 dx; c) 2x x + 5 dx; √ Z Z Z p 2+ x 4 2 √ ; d) 2x 2x + 6 dx; e) dx. f) 3− x (x − 6)2 1 (x − 14)6 + c; 6 4 20 c) (x + 5)5/2 − (x + 5)3/2 + c; 5 3

[ a)

e) 2 ln |x − 3| − 3 ln |4 − x| + c;

2p (x − 4)3 + c; ] 3 1 d) (2x2 + 6)3/2 + c; 3 4 + c. f) 6−x b)

´ Uloha 11.5 Neurˇcitý integrál. Vypoˇc´ıtejte pomoc´ı vhodnych ´ substituc´ı: Z Z Z 4 x 5x a) √ dx ; dx ; b) √ dx; c) 2 3x + 5 x+2 6x + 7 Z Z Z 2x + 5 4x 2 p d) dx; e) dx ; f) 4xex dx. 2 x + 5x − 6 x2 + 1 √ [ a) 8 x + 2 + c; 5 ln(3x2 + 5) + c; 6 √ e) 4 x2 + 1 + c; c)

b)

1 p 7 √ (6x + 7)3 − 6x + 7 + c; ] 54 18

d) ln |x2 + 5x − 6| + c; 2

f) 2ex + c.


130

´ Uloha pomoc´ı vhodnych ´ substituc´ı: Z Z 11.6 Neurˇcitý integrál. Vypoˇc´ıtejte Z p 13 a) x(4x + 3) dx; b) (3 − 4x)3 dx; c) Z Z Z p 1 d) (x − 2) 4x − x2 dx; e) dx; f) 3 − 5x Z Z Z 1 −x2 2 x3 g) dx ; h) (2xe + 6x e ) dx; i) x ln3 x

√ (x − 3) 3 − x dx; 1 (4x − 1)5 √ e x √ dx . x

1 3 (4x + 3)15 − (4x + 3)14 + c; 240 224 2 c) (3 − x)5/2 + c; 5 1 e) − ln |3 − 5x| + c; 5 1 g) − + c; 2 2 ln |x| √ x + c. i) 2e

dx;

1 (3 − 4x)5/2 + c; ] 10 1 d) − (4x − x2 )3/2 + c; 3 1 + c; f) − 16(4x − 1)4

b) −

[ a)

3

2

h) 2ex − e−x + c;

´ Uloha 11.7 Neurˇcitý integrál. Vypoˇc´ıtejte pomoc´ı vhodnych ´ substituc´ı: Z Z Z tg x x b) cos(1 − 2x) dx; c) dx; a) cos dx; 4 cos2 x Z Z Z 1 sin x cos x dx; f) d) dx; e) dx; 2 a + b cos x cos x sin x Z Z Z x 1 dx; h) sin3 x cos x dx; i) tg dx. g) sin x 2 [ a) 4 sin(x/4) + c; 1 c) tg 2 x + c; 2 1 e) − + c; sin x 1 − cos x g) ln | | + c; 1 + cos x i) 2 ln | cos x/2| + c.

b) −1/2 sin(1 − 2x) + c; ] 1 d) − ln |a + b cos x| + c; b 1 + sin x f) ln | | + c; 1 − sin x 1 h) sin4 x + c; 4

Otestujte se

´ Uloha 11.8 Urˇcete primitivn´ı funkce k dané funkci: 2 √ ln x a) f : y = x x + 3; b) f : y = ; x ln x d) f : y = ; e) f : y = ex sin x; x [ a) F : y = 25 (x − 2)(x + 3)3/2 ; c) F : y = 31 sin3 x; e) F : y = ex /2 · (sin x − cos x);

c) f : y = sin2 x cos x; f) f : y = cos(ln x). b) F : y = − x1 (ln2 x + 2 ln x + 2); ] d) F : y = 1/2 ln2 x; f) F : y = 1/2 · (x cos(ln x) + x sin(ln x)).

´ Uloha 11.9 Urˇcete primitivn´ı funkce k dané funkci: a) f : y = (2x + 5)(x2 + 5x)7 ; 3 ; x ln x 1 g) f : y = p , a 6= 0; 2 a − x2 d) f : y =

b) f : y = ex (1 + 2ex )4 ; √ 3 1 + ln x e) f : y = ; x h) f : y = (x + 3)(x − 1)5 ;

3x + 6 ; x + 4x − 3 1 f) f : y = 2 , a 6= 0; a + x2 x+1 i) f : y = √ . x x−2 c) f : y =

2


[ a) F : y = 1/8 · (x2 + 5x)8 ; d) F : y = 3 ln | ln x|; g) F : y = arcsin(x/a);

´ Uloha 11.10 Vypoˇc´ıtejte: Z 2x − 1 a) dx; (x + 3)1/3 Z d) e−2x+3 dx;

131

b) F : y = 1/10 ·p (1 + 2ex )5 ; 3 e) F : y = 3/4 · (1 + ln x)4 ; h) F : y = 1/7 · (x − 1)7 + 2/3 · (x − 1)6 ;

Z b) e)

2

Z c)

tg x dx; Z

c) F : y = 3/2 · ln |x2 + 4x − 3|; ] f) F : y = 1/a arctg(x/a); √ √ √ x−2 i) F : y = 2 x − 2 + 2arctg √ .

ex dx; 4 + ex

Z f)

3x2

dx; 1 − 3x3 1 dx. x 3 +1

21 (x + 3)2/3 + c; 2 c) − 31 ln |1 − 3x3 | + c; e) ln(4 + ex ) + c;

[ a)

6 (x 5

+ 3)5/3 −

b) ln | cos x| + c; d) − 21 e−2x+3 + c; ln(1+3x ) f) x − + c. ln 3

]

KAPITOLA 12

Neurˇcity´ integrál racionáln´ıch funkc´ı Vystupy ze studia, Learning Outcomes ´ Znalosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • identifikuje funkce ryze/ne ryze racionáln´ı; • pop´ısˇ e cˇ tyˇri typy parciáln´ıch (elementárn´ıch) zlomku˚ a k funkc´ım z tˇechto parciáln´ıch zlomku˚ urˇc´ı k nim primitivn´ı funkce; • formuluje vˇetu o rozkladu ryze racionáln´ı funkce na souˇcet parciáln´ıch zlomku˚ a interpretuje jej´ı vyznam. ´

Dovednosti Po prostudován´ı této kapitoly studuj´ıc´ı • pomoc´ı algoritmu dˇelen´ı polynomu˚ uprav´ı racionáln´ı funkci na souˇcet celé funkce a ryze racionáln´ı funkce; • urˇc´ı primitivn´ı funkce ke kaˇzdé racionáln´ı funkci, jenˇz patˇr´ı mezi cˇ tyˇri typy parciáln´ıch (ele˚ mentárn´ıch) zlomku; ˚ • nalezne rozklad ryze racionáln´ı funkce na souˇcet parciáln´ıch zlomku; • urˇc´ı primitivn´ı funkci k racionáln´ı funkci pomoc´ı jednotlivych ´ kroku˚ popsaného algoritmu in˚ tegrován´ım souˇctu parciáln´ıch zlomku; • urˇc´ı primitivn´ı funkci k funkc´ım, které po aplikaci jedné z vˇet o substituci vedou na urˇcen´ı primitivn´ı funkce z funkce racionáln´ı.


133


134

ˇ y´ pˇrehled Znalosti - strucn P (x) , kde cˇ itatel P (x) je polynomická Q(x) funkce (polynom) stupnˇe n, n ≥ 0, jmenovatel Q(x) je rovnˇezˇ polynomická funkce (polynom) stupnˇe m, m ≥ 1; pˇredpokládáme, zˇ e P (x), Q(x) jsou nesoudˇelné polynomy. Racionáln´ı funkce R(x) pro n < m se nazyv´ ´ a ryze racionáln´ı funkc´ı; racionáln´ı funkce R(x), pro kterou je n ≥ m, se nazyv´ ´ a ne ryze racionáln´ı funkc´ı. ˚ zeme R(x) pouˇzit´ım • Jestliˇze funkce R(x) nen´ı ryze racionáln´ı, tedy jestliˇze n ≥ m, pak muˇ Z(x) , kde T (x) je polynom, Z(x) je polynom algoritmu dˇelen´ı napsat jako R(x) = T (x) + Q(x) Z(x) (z algoritmu dˇelen´ı plyne, zˇ e oba jsou urˇceny jednoznaˇcnˇe) a funkce je ryze racionáln´ı; Q(x) Z(x) je zbytek pˇri dˇelen´ı polynomu P (x) polynomemZQ(x). Jestliˇze oznaˇc´ıme stupenˇ polynomu

• Racionáln´ı funkce R(x) jsou reálné funkce tvaru R(x) =

T (x) jako t, pak plat´ı t + m = n. Neurˇcity´ integrál

R(x) dx se pak rovná souˇctu neurˇcitého

integrálu z polynomu T (x) (pˇritom lze pouˇz´ıt tabulkové integrály) a neurˇcitého integrálu ryze Z(x) racionáln´ı funkce : Q(x) Z

Z R(x) dx =

Z T (x) dx +

Z(x) dx. Q(x)

Z toho plyne, zˇ e se staˇc´ı zabyvat pouze integrován´ım ryze racionáln´ıch funkc´ı. ´ ˚ V dalˇs´ım textu bude oznaˇcena jako • Rozklad racionáln´ı funkce na souˇcet parciáln´ıch zlomku. P (x) R(x) = uˇz ryze racionáln´ı funkce, cˇ ili pro stupnˇe polynomu˚ P (x), Q(x) ted’ pˇredpokládejme Q(x) Z vztah n < m. Neurˇcity´ integrál této funkce

R(x) dx najdeme metodou rozkladu funkce R(x)

˚ Parciáln´ı zlomky jsou nejna souˇcet parciáln´ıch zlomku˚ a integrován´ım tˇechto parciáln´ıch zlomku. P (x) jsou jednoduˇssˇ´ı moˇzné ryze racionáln´ı funkce: Parciáln´ı zlomky patˇr´ıc´ı k funkci R(x) = Q(x) racionáln´ı funkce nˇekterého z následuj´ıc´ıch tvaru˚ (1), (2) nebo (3): (1)

As , kde 1 ≤ s ≤ k (celkovˇe k zlomku˚ tohoto typu), (x − a)s

jestliˇze a je reálny´ koˇren (nulovy´ bod) funkce Q(x) násobnosti k, kde k je pˇrirozené cˇ ´ıslo urˇcuj´ıc´ı jeho násobnost; koeficienty As , 1 ≤ s ≤ k, jsou reálná cˇ ´ısla neboli konstanty (celkovˇe k konstant); (2)

Ax + B , x + px + q 2

jestliˇze polynomická funkce Q(x) má jako své jednoduché nulové body takovou dvojici komplexnˇe sdruˇzenych cˇ ´ısel, které jsou nulovymi body jmenovatele - kvadratického polynomu ´ ´ x2 + px + q; tedy pro diskriminant D = p2 − 4q plat´ı D < 0 a vˇsechny koeficienty A, B, p, q jsou reálná cˇ ´ısla; (3)

Ar x + B r , kde 1 ≤ r ≤ l (celkovˇe l zlomku˚ tohoto typu), (x + px + q)r 2

jestliˇze polynomická funkce Q(x) má jako své nulové body takovou dvojici komplexnˇe sdruˇzenych ´ cˇ ´ısel násobnosti l (kaˇzdé cˇ ´ıslo té dvojice je koˇren násobnosti l), které jsou nulovymi body kva´ dratického polynomu x2 + px + q; opˇet pro diskriminant D = p2 − 4q plat´ı D < 0 a vˇsechny koeficienty Ar , Br (spolu 2l konstant), p, q jsou reálná cˇ ´ısla.

ˇ Y´ INTEGRAL ´ RACIONALN ´ ´ KAPITOLA 12. NEURCIT ICH FUNKCI´

135

• Poznamenejme, zˇ e v bodech (1), (2), (3) jsme uplatnili tvrzen´ı nazyvan´ e základn´ı vˇeta alge´ ˇ bry o existenci a poˇctu nulovych bodu˚ polynomické funkce stupnˇe m. Tato vˇeta umoˇznuje ´ rozloˇzit polynom Q(x) stupnˇe m nad mnoˇzinou vˇsech reálnych cˇ ´ısel na souˇcin polynomu˚ ´ ˚ v rozkladu budou vystupovat jako souˇcinitelé niˇzsˇ´ıch stupnˇ u; - lineárn´ı polynomy s reálnymi nulovymi body, nebo ´ ´ - polynomy kvadratické maj´ıc´ı pouze komplexn´ı cˇ ´ısla jako nulové body. • Rozklad na parciáln´ı zlomky je tedy urˇcen rozkladem jmenovatele Q(x) racionáln´ı funkce. Metodami algebry lze nav´ıc dokázat, zˇ e tento rozklad kaˇzdé racionáln´ı na parciáln´ı zlomky je urˇcen jednoznaˇcnˇe, a to aˇz na poˇrad´ı cˇ lenu˚ v souˇctu. To znamená, zˇ e koeficienty vystupuj´ıc´ı ˚ v cˇ itatel´ıch parciáln´ıch zlomku˚ jsou urˇceny jednoznaˇcnˇe. Nebudeme uvádˇet pˇr´ısluˇsny´ dukaz, ˚ zeme pˇresvˇedˇcit. Uved’me jeˇstˇe ale pˇri integrován´ı konkrétn´ıch racionáln´ıch funkc´ı se o tom muˇ jednou v tabulce, jak si odpov´ıdaj´ı koˇrenové cˇ initele jmenovatele Q(x) a k nim patˇr´ıc´ı souˇcty ˚ parciáln´ıch zlomku: odpov´ıdaj´ıc´ı cˇ leny v souˇctu parciáln´ıch zlomku˚ souˇcinitel jmenovatele A x−a

x−a

A1 Ak A2 + ... + + x − a (x − a)2 (x − a)k Ax + B (x2 + px + q) Al x + Bl A1 x + B 1 A2 x + B 2 + 2 2 2 + ... + 2 (x + px + q) (x + px + q) (x + px + q)l

(x − a)k (x2 + px + q) (x2 + px + q)l

• Postup vypoˇ ´ ctu neurˇcitého integrálu ryze racionáln´ı funkce je následuj´ıc´ı: (1) Provedeme rozklad ryze racionáln´ı funkce R(x) na souˇcet parciáln´ıch zlomku. ˚ Parciáln´ı zlomky, tedy jejich typ a poˇcet, jsou aˇz na poˇrad´ı urˇceny koˇreny jmenovatele vˇcetnˇe násobnosti tˇechto koˇrenu. ˚ (2) Urˇc´ıme reálné konstanty vystupuj´ıc´ı v rozkladu, a to algebraickými metodami; poˇcet tˇechto konstant je m, tedy jejich poˇcet se rovná stupni polynomu Q(x). (3) Integrujeme jednotlivé parciáln´ı zlomky, vyuˇzijeme tabulkové integrály. Jinymi slovy: ´ P (x) je roven neurˇcitému integrálu souˇctu Q(x) parciáln´ıch zlomku, ˚ na který se rozkládá - a pˇritom jednoznaˇcnˇe - daná racionáln´ı funkce. neurˇcitý integrál ryze racionáln´ı funkce R(x) =

• Nebudeme se zabyvat pˇr´ıpady, kdy polynom Q(x) má v´ıcenásobné komplexn´ı koˇreny (tj. jejich ´ ´ násobnosti jsou vyˇssˇ´ı neˇz 1) - tud´ızˇ z naˇsich dalˇs´ıch uvah vyluˇcujeme takové racionáln´ı funkce, kde existuj´ı koˇreny jejich jmenovatelu˚ urˇcuj´ıc´ı parciáln´ı zlomky typu (3) pro 1 < r. • Poˇc´ıtejme integrály z parciáln´ıch zlomku˚ (a, A, B, p, q jsou reálná cˇ ´ısla, D = p2 − 4q < 0): Z 1 (1) dx: pouˇzijeme substituci x − a = t, dx = dt, poté máme x−a Z

Z (2)

1 dx = x−a

Z

1 dt = ln |t| = ln |x − a| + c. t

1 dx: pouˇzijeme substituci x − a = t, dx = dt, poté máme (x − a)n Z

1 dx = (x − a)n

Z

1 1 1 1 1 · n−1 = · + c, n 6= 1. n dt = t 1−n t 1 − n (x − a)n−1


136

Ax + B dx: nejprve napiˇsme integrál jako souˇcet dvou integrálu˚ a po dalˇs´ıch algex2 + px + q ´ braickych ach kaˇzdy´ z integrálu˚ budeme poˇc´ıtat zvlásˇ t’: ´ uprav´ Z

(3)

Z

Ax + B 2

Ax

Z

x + px + q

dx =

B

Z dx +

dx x + px + q x + px + q Z Z A 2x + p − p 1 = dx + B dx 2 x2 + px + q x2 + px + q ! Z Z 2x + p 1 A Ap = dx + B − dx 2 2 2 x + px + q 2 x + px + q !Z Ap 1 A 2 dx. = ln |x + px + q| + B − 2 2 2 x + px + q 2

2

ˇ Ve druhém integrálu doplnme kvadraticky´ trojˇclen x2 +px+q na cˇ tverec a zavedeme substituci: Ap B− 2

!Z

1 x2 + px + q

dx =

Ap B− 2

!Z

1 (x + p/2)2 + (q − p2 /4)

dx;

˚ zeme integrál povaˇzovat klademe substituci x + p/2 = t, dx = dt; protoˇze je q − p2 /4 > 0, muˇ Z p 1 1 t za tabulkovy´ integrál tvaru dt = arctg , kde je a = q − p2 /4: a a t2 + a 2 !Z ! Ap 1 1 Ap x + p/2 p B− dx = B − arctg p · 2 2 2 2 2 (x + p/2) + (q − p /4) q − p /4 q − p2 /4 ´ Tedy celkovˇe a po uprav´ ach ve druhém integrálu: Z

A dx = ln |x2 + px + q| + 2 2 x + px + q Ax + B

Ap B− 2

!

2 2x + p p arctg p + c. 2 4q − p 4q − p2

• Ve vypoˇ ´ ctech lze samozˇrejmˇe uvedeny´ vzorec neprodlenˇe aplikovat; obvykle se to ale nedˇelá ˚ zitˇejˇs´ı je vˇsak a vypoˇ ´ cet se provád´ı uplatnˇen´ım kroku˚ v uvedeném postupu. Mnohem duleˇ vˇsimnout si, zˇ e vzorec uvád´ı, jaké jsou oˇcekávané typy primitivn´ıch funkc´ı pro tento pˇr´ıpad integrace parciáln´ıho zlomku: jsou to logaritmická funkce a funkce arctg z vhodného argu˚ ze byt mentu z. Na tomto pozorován´ı muˇ ´ zaloˇzeno proveden´ı zkouˇsky správnosti pro konkrétn´ı neurˇcity´ integrál.


12.1. Neurˇcity´ integrál ryze racionáln´ıch funkc´ı Pˇr´ıklad 12.1 Vypoˇctˇete Z

ˇ sen´ı Vyraz Reˇ ´

3x − 1 dx. x2 − 6x + 5

3x − 1 lze podle vˇety o rozkladu na souˇcet parciáln´ıch zlomku˚ rozepsat do tvaru x − 6x + 5 2

3x − 1 3x − 1 A B = = + , x2 − 6x + 5 (x − 5)(x − 1) x−5 x−1 kde A, B jsou neznámé koeficienty. Pomoc´ı vˇety o linearitˇe neurˇcitého integrálu pak uprav´ıme integrál ˚ které jiˇz um´ıme urˇcit: z ryze racionáln´ı funkce na souˇcet integrálu˚ parciáln´ıch zlomku,


Z

137

Z 3x − 1 A B dx = + dx x2 − 6x + 5 x−5 x−1 = A ln |x − 5| + B ln |x − 1| + c.

Konstanty A, B jsou urˇceny rovnic´ı urˇcenou z rozkladu na souˇcet parciáln´ıch zlomku˚ 3x − 1 A B = + (x − 5)(x − 1) x−5 x−1 vynásob´ıme vyrazem Q(x) = (x − 5)(x − 1) ´ 3x − 1 = A(x − 1) + B(x − 5) 3x − 1 = (A + B)x + (−A − 5B). Aby se polynom na levé stranˇe rovnal polynomu na pravé stranˇe, musej´ı byt ´ tyto polynomy stejnych ´ stupnˇ u˚ a musej´ı se rovnat koeficienty u jednotlivych ´ mocnin x. Pro koeficienty A, B z´ıskáme následuj´ıc´ı rovnice: x: 3 =A+B x0 : −1 = −A − 5B. Jedná se o soustavu dvou rovnic o dvou neznámych, jej´ızˇ rˇ eˇsen´ı jsou A = 21 , B = − 12 , proto ´ Z 3x − 1 1 1 dx = ln |x − 5| − ln |x − 1| + c. 2 x − 6x + 5 2 2 Pˇr´ıklad 12.2 Urˇcete

Z

3x − 1 dx. x4 + x2

−1 ˇ sen´ı Zlomek 3x Reˇ lze podle vˇety o rozkladu na souˇcet parciáln´ıch zlomku˚ rozepsat do tvaru x4 + x2 3x − 1 3x − 1 A B Cx + D = 2 2 = + 2+ 2 , x4 + x2 x (x + 1) x x x +1 kde A, B, C, D jsou neznámé koeficienty. Pˇrevedeme tedy integrál z ryze racionáln´ı funkce na souˇcet ˚ které jiˇz um´ıme rˇ eˇsit: integrálu, Z

B A Cx + D + 2+ 2 dx x x x +1 Z 1 1 C 2x 1 = A +B 2 + + D dx x x 2 x2 + 1 x2 + 1 Z Z Z Z 1 1 C 2x 1 dx + B dx +D dx =A dx + 2 2 2 x x 2 x +1 x +1 | {z } t = x2 + 1 dt = 2xdx

3x − 1 = x4 + x2

Z

x−1 C + ln |x2 + 1| + D arctgx + c. −1 2 Konstanty A, B, C, D jsou urˇceny rovnic´ı: = A ln |x| + B

3x − 1 A B Cx + D = + 2+ 2 x4 + x2 x x x +1 vynásob´ıme vyrazem Q(x) = x4 + x2 ´ 3x − 1 = A(x3 + x) + B(x2 + 1) + (Cx + D)x2 pro porovnán´ı koeficientu˚ uprav´ıme do tvaru 3

2

0 · x + 0 · x + 3x − 1 = (A + C)x3 + (B + D)x2 + Ax + B.


138

Aby se polynom na levé stranˇe rovnal polynomu na pravé stranˇe, musej´ı se rovnat koeficienty u jednotlivych ´ mocnin x, tedy x3 x2 x1 x0

: 0 =A+C : 0 =B+D : 3 =A : −1 = B.

Z´ıskali jsme soustavu cˇ tyˇr lineárn´ıch rovnic o cˇ tyˇrech neznámych, jej´ızˇ rˇ eˇsen´ı jsou A = 3, B = −1, ´ C = −3 a D = 1, proto Z

1 3 3x − 1 = 3 ln |x| + − ln |x2 + 1| + arctgx + c. 4 2 x +x x 2

12.2. Dˇelen´ı polynomu polynomem Pro integraci racionáln´ıch funkc´ı Z(x) Q(x)

Y (x) + pˇr´ıkladu.

P (x) Q(x) ,

které nejsou ryze racionáln´ı, se vyraz ´

P (x) Q(x)

rozkládá na souˇcet

pomoc´ı algoritmu dˇelen´ı polynomu polynomem, ktery´ demonstrujeme na následuj´ıc´ım

Pˇr´ıklad 12.3 Upravte vyraz ´

2x2 − 3 pomoc´ı dˇelen´ı se zbytkem. x2 + 1

ˇ sen´ı Nejprve vydˇel´ıme nejvyˇssˇ´ı mocninu cˇ itatele nejvyˇssˇ´ı mocninou jmenovatele: 2x2 /x2 = 2. Na Reˇ pravé stranˇe jsme z´ıskali prvn´ı cˇ len 2. Zpˇetnˇe vynásob´ıme 2(x2 + 1) a odeˇcteme od cˇ itatele (2x2 − 3) − 2(x2 + 1). Pro pˇrehlednost zápisu udrˇzujeme jednotlivé mocniny x pod sebou: (2x2 −(2x2

+0x

−3) : (x2 + 1) +2)

= 2 + ...

: (x2 + 1)

= 2 + ...

−5

odeˇcteme 2(x2 + 1)

ˇ Citatel (−5) má niˇzsˇ´ı mocninu neˇz jmenovatel (x2 + 1), takˇze zbytek po dˇelen´ı je nenulovy. ´ Zap´ısˇ eme vysledek: ´ 2x3 − 3 −5 =2+ 2 · 2 x +1 x +1

Pˇr´ıklad 12.4 Upravte vyraz ´

x4 + x3 − 3 pomoc´ı dˇelen´ı se zbytkem. x2 + 2x + 1

ˇ sen´ı Reˇ Postup z minulého pˇr´ıkladu budeme nˇekolikrát opakovat: (x4 −(x4

+x3 +2x3

+0x2 +x2 )

(−x3 −(−x3

+x2 −2x2

−x)

(3x2 −(3x2

−x +6x

+0x

(−7x)

−3)

: (x2 + 2x + 1)

= x2 + . . .

odeˇcteme x2 (x2 + 2x + 1)

−3)

: (x2 + 2x + 1)

= x2 − x + . . .

odeˇcteme −x(x2 + 2x + 1)

−3) −3)

: (x2 + 2x + 1)

= x2 − x + 3 . . .

odeˇcteme 3(x2 + 2x + 1)

: (x2 + 2x + 1)

= x2 − x + 3 + . . .

ˇ Citatel má niˇzsˇ´ı mocninu neˇz jmenovatel, takˇze zbytek po dˇelen´ı je nenulovy. ´ Zap´ısˇ eme vysledek: ´ x4 + x3 − 3 −7x = x2 − x + 3 + 2 · x2 + 2x + 1 x + 2x + 1


139

12.3. Neurˇcity´ integrál funkc´ı ne ryze racionáln´ıch Pˇr´ıklad 12.5 Urˇcete Z

4x2 − 16x dx. 5 − 2x + x2

4x2 − 16x ˇ sen´ı Vyraz Reˇ nen´ı ryze racionáln´ı (ˇcitatel má stupenˇ vˇetˇs´ı nebo rovnaj´ıc´ı se stupni jme´ x2 − 2x + 5 novatele), je tedy nutné upravit tento vyraz na souˇcet polynomu a ryze racionáln´ıho vyrazu pomoc´ı ´ ´ algoritmu dˇelen´ı polynomu polynomem: (4x2 − 16x) : (x2 − 2x + 5) = 4 · 1 −

2x + 5 x2 − 2x + 5

.

Protoˇze vyraz ve jmenovateli nelze rozloˇzit (D = 4 − 4 · 1 · 5 < 0), jedná se o tˇret´ı typ parciáln´ıho zlomku ´ z vyˇ ´ se uvedené tabulky. K nalezen´ı primitivn´ı funkce k tomuto typu parciáln´ıho zlomku uˇz´ıváme taR 0 (x) R 1 alu ϕϕ(x) dx = ln |ϕ(x)| + c z pˇredchoz´ı kapitoly: bulkového integrálu 1+x 2 dx = arctgx + c a integr´ Z

4x2 − 16x dx = 4 5 − 2x + x2

Z 2x + 5 1− 2 dx x − 2x + 5 Z 2x + 5 dx jmenovatel dopln´ıme na cˇ tverec = 4x − 4 2 x − 2x + 5 Z 2x + 5 = 4x − 4 dx ze jmenovatele vytkneme 4 (x − 1)2 + 4 Z t = x−1 4 2x + 5 x = 2t + 1 2 = 4x − dx dt = 1 dx dx = 2dt x−1 2 4 2 +1 2 Z 2(2t + 1) + 5 = 4x − 2 dt zlomek rozdˇel´ıme t2 + 1 Z Z 4t 7 = 4x − 2 dt − 2 dt t2 + 1 t2 + 1 Z Z 2t 1 = 4x − 4 dt − 14 dt dle vyˇ ´ se uvedenych ´ vztahu˚ 2 2 t +1 t +1 = 4x − 4 · ln |t2 + 1| − 14 · arctg t + c x − 1 2 x−1 = 4x − 4 · ln + 1 − 14 · arctg + c. 2 2

12.4. Substituce v integrálu vedouc´ı na integraci funkce racionáln´ı Pˇr´ıklad 12.6 Vypoˇc´ıtejte Z √

1−x dx. x

ˇ sen´ı Integrovaná funkce nen´ı racionáln´ı, proto je vhodné provést substituci: Reˇ


140 Z √

√ t = 1 − x x = 1 − t2 1−x dx = dx = −2t dt x Z t = (−2t) dt funkce ne ryze racionáln´ı 1 − t2 Z t2 dt nejprve vydˇel´ıme = −2 1 − t2 Z 1 = −2 −1 + dt rozklad na parc. zlomky (1 − t)(1 + t) Z A B = −2 −1 + + dt integrace 1−t 1+t = −2 (−t + A ln |1 − t| + B ln |1 + t|) + c √ √ √ = −2 1 − x − 2A ln |1 − 1 − x| − 2B ln |1 + 1 − x| + c

Konstanty A, B urˇc´ıme z rovnice 1 A B = + (1 − t)(1 + t) 1−t 1+t vynásob´ıme vyrazem Q(t) = (1 − t)(1 + t) ´ 1 = A(1 + t) + B(1 − t) 1 = (A − B)t + (A + B). Aby se polynom na levé stranˇe rovnal polynomu na pravé stranˇe, musej´ı se rovnat koeficienty u jednotlivych ´ mocnin t, tedy t: t0 :

0 1

=A−B = A + B.

Z´ıskali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámych, jej´ızˇ rˇ eˇsen´ı jsou A = 21 , B = 21 , proto ´ Z √

√ √ √ 1−x dx = 2 1 − x − ln |1 − 1 − x| − ln |1 + 1 − x| + c. x

Dovednosti - ulohy ´

´ Uloha 12.1 Rozloˇzte vyraz na parciáln´ı zlomky: ´ 3x 2x − 1 a) ; b) ; (x − 2)(x + 1) (x + 2)3 x2 + x − 1 1 d) ; e) 3 ; x3 + x x +x

3x − 1 ; x2 − x3 x2 + 2 f) 2 . (x + 1)(x2 + x + 1)

c)

1 2 + ; x+1 x−2 1 2 2 c) − 2 + − x−1 ; x x 1 x e) − 2 ; x x +1

[ a)

´ Uloha Z 12.2 Urˇcete: 5 a) dx; (x + 3)4 Z x−2 d) dx; 2 x − 7x + 12

4 b) dx; (x + 3)(x − 1) Z x−1 e) dx; 2 x +x−6 Z

Z c)

2 5 − ; ] (x + 2)2 (x + 2)3 2x + 1 1 d) 2 − ; x x +1 x+2 x f) 2 − 2 . x +x+1 x +1 b)

3

x2 − 5x + 6 Z 2x f) dx. 2 9x − 1

dx;


141

5 + c; 3(x + 3)3 x − 3 + c; c) 3 ln x − 2

[ a) −

e)

´ Uloha Urˇcete: Z 12.3 x2 − 5x + 9 dx; a) x2 − 5x + 6 Z 8x d) dx; x4 + 6x2 + 5

Z b) Z e)

x2 − 4 x3 − x2 4

4 1 ln |x + 3| + ln |x − 2| + c; 5 5

x4 + 4x2

Z

x3

Z

(3x − 1)(2x − 2)2 x+1 dx. x2 + x + 1

c)

dx; dx ;

f)

b) −

x 1 1 3 + ln |3x − 1| − + ln |x − 1| + c; 12 144 8(x − 1) 16 1 x 1 + c; e) − − arctg x 2 2

c)

Z b)

2

Z e)

x3 + x − 1 x(x + 1) x4

1

Z dx;

x4 + 5x2 + 4

dx;

4 ] + 4 ln |x| − 3 ln |x − 1| + c; x 2 x +1 d) ln 2 + c; x +5 √ √ 3 2x + 1 f) ln x2 + x + 1 + arctg √ . 3 3

[ a) x − 3 ln |x − 2| + 3 ln |x − 3| + c;

´ Uloha Urˇcete: Z 12.4 x2 + 3x + 2 a) dx; x2 + x + 2 Z 4x2 + 5 d) dx; (x − 2)2 (x + 1)2

x − 1 + c; b) ln ] x + 3 2 (x − 4) + c; d) ln |x − 3| 1 f) ln |9x2 − 1| + c. 9

c)

4

Z dx;

2 2x + 1 [ a) x + ln |x2 + x + 2| − √ arctg √ + c; 7 7 1 1 a + x x + c) 3 ln + c; arctg a − x 2a3 a 4a 1 8 x e) x + arctgx − arctg + c; 3 3 2

´ Uloha 12.5 S vyuˇzit´ım vhodné substituce urˇcete: √ Z Z √ 1− x 1−x √ dx; a) dx; b) x 1+ x Z R 1 1 √ dx; d) e) dx ; 1+ x 1 + ex Z Z x 2e 1 g) dx; h) dx; x e −9 (1 + ex )2

f)

a − x4 4

dx, a > 0;

(x + 1)(x2 + 1)

dx.

p x2 + 1 b) x + ln + c; ] |x| x − 2 7 1 2 1 − d) ln − + c; 9 x + 1 3 x − 2 x+1 f) ln

(x+1)2 x2 +1

Z

√

c)

+ 2arctgx + c.

1

dx ; x x+1 4 f) dx; 3 − 2e−x Z 6 i) dx . 2x e + ex − 2 Z

√ √ [ a) 4 x − x − 4 ln( x + 1) + c; √ x+1−1 c) ln | √ | + c; x+1+1 ex e) ln + c; 1 + ex g) 2 ln |ex − 9| + c; i) −3x + 2 ln |ex − 1| + ln(ex + 2) + c.

√ √ 1− 1−x √ b) 2 1 − x + ln | | + c; ] 1+ 1−x √ √ d) 2 x − 2 ln(1 + x) + c; 4 ln |3ex − 2| + c; 3 1 h) x + − ln(1 + ex ) + c; 1 + ex

f)


142

Otestujte se

´ Uloha Z 12.6 Urˇcete: 4 a) dx; (2 − 5x)3 Z 5 x + x4 − 8 dx; d) x3 − 4x Z 5 p dx; g) x x2 + 5

Z b)

1

dx ; 2x2 − x !2 Z 1 x+2 e) dx; x x−1 Z 6x3 h) p dx; x2 + 2 2 + c; 5(2 − 5x)2 1 1 c) ln |x − 1| + ln |x + 1| − ln |x| + c; 2 2 9 + c; e) 4 ln |x| − 3 ln |x − 1| − x − 1 √ p 2 √ 5 · x + 5 g) − 5 ln + c; x √ √ √ i) 4 x − 8 4 x + 8 ln(1 + 4 x).

[ a)

Z c) Z f)

1 x3 − x

dx;

x3 + 1

dx; x3 − x2 Z 2 √ dx. i) √ x+ 4x 2x − 1 + c; b) ln ] x x2 (x − 2)5 x3 x2 d) + + 4x + ln + c; (x + 2)3 3 2 2 1 (x − 1) f) x + + ln + c; x |x| √ h) (3x − 8) x2 + 2 + c;

UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU Katedra informatiky a kvantitativních metod

Recommend Documents