ˇ FJFI CVUT v Praze ´ Uloha 11
Fyzik´ aln´ı praktikum I Verze 161005
S´ eriov´ y a v´ azan´ y rezonanˇ cn´ı obvod Abstrakt: RLC obvody maj´ı ˇsirok´e vyuˇzit´ı pˇredevˇs´ım ve sdˇelovac´ı technice. Velmi ˇcasto se pouˇz´ıvaj´ı jako frekvenˇcn´ı filtr k ladˇen´ı radiov´e frekvence pˇrij´ımaˇce ze vˇsech vln v dan´em okol´ı. D´ale mohou slouˇzit jako p´asmov´a propust’ ˇci z´adrˇz. V u ´loze se sezn´am´ıte se z´akladn´ımi veliˇcinami charakterizuj´ıc´ımi RLC obvody a budete zkoumat vliv jejich zmˇen na chov´an´ı obvodu, zejm´ena na tvar rezonanˇcn´ı kˇrivky.
1
Pracovn´ı u ´ koly
´ Vypiˇ 1. DU: ste diferenci´ aln´ı rovnice pro mechanick´ y a elektrick´ y harmonick´ y oscil´ ator. Porovn´ an´ım ˇ clen˚ u urˇ cete, kter´ e veliˇ ciny si v obou oscil´ atorech odpov´ıdaj´ı, a pokuste se vysvˇ etlit roli jednotliv´ ych prvk˚ u v RLC obvodu. N´ apovˇ eda na Obr. 2 2. Sestavte s´eriov´ y rezonanˇcn´ı obvod dle Obr. 9. Pozorujte vliv zmˇeny parametr˚ u R, L a C na obvod. Urˇcete frekvenci vlastn´ıch kmit˚ u RLC obvodu pro hodnoty R = 50 Ω, L = 1 mH a C = 500 pF. Porovnejte s pˇredpokl´ adanou hodnotou z´ıskanou z Thompsonova vzorce (10). 3. Zobrazte v m´ odu rozm´ıt´ an´ı proudovou rezonanˇcn´ı kˇrivku na osciloskopu a slovnˇe popiˇste jej´ı zmˇeny pˇri zasouv´ an´ı j´ adra do c´ıvky. Na z´akladˇe toho odhadnˇete magnetick´ y charakter j´adra. 4. Promˇeˇrte proudovou rezonanˇcn´ı kˇrivku v z´avislosti na frekvenci. Mˇeˇren´ı proved’te dvakr´at: pro vzduchovou c´ıvku a c´ıvku s j´ adrem. Zn´azornˇete obˇe rezonanˇcn´ı kˇrivky do spoleˇcn´eho grafu a fitov´ an´ım stanovte ˇcinitele jakosti obou rezonanˇcn´ıch obvod˚ u. Na z´akladˇe toho urˇcete indukˇcnost c´ıvky s j´ adrem. 5. Urˇcete kapacitu nezn´ am´eho kondenz´ atoru, o nˇemˇz v´ıte, ˇze m´a kapacitu menˇs´ı, neˇz je maxim´aln´ı hodnota kapacity kondenz´ atoru Tesla. 6. Sestavte induktivnˇe v´ azan´ y obvod a v m´odu rozm´ıt´an´ı zobrazte jeho napˇet’ovou rezonanˇcn´ı kˇrivku. C´ıvky posouvejte tak, abyste dos´ahli vazby nadkritick´e, kritick´e a podkritick´e. Naleznˇete vzd´ alenost, pˇri n´ıˇz doch´ az´ı k vazbˇe kritick´e, a vzd´alenost, pˇri n´ıˇz k vazbˇe jiˇz nedoch´az´ı. Nepovinn´e: Promˇeˇrte napˇet’ovou rezonanˇcn´ı kˇrivku pro vazbu nadkritickou a zn´azornˇete do grafu.
1
2
Pom˚ ucky
Pom˚ ucky: Frekvenˇcn´ı gener´ ator UNI-T UTG9020A, osciloskop GoldStar, bezkontaktn´ı amp´ermetr TEK CT-1 (5 mV/mA), odporov´a dek´ada CMT R1-1000 (1Ω − 11 MΩ), indukˇcn´ı dek´ada CMT L3-250 (1 µH − 11 H), vzduchov´a c´ıvka PHYWE (1 mH, 0.4 mΩ), j´adro c´ıvky, ladic´ı kapacitn´ı norm´ al Tesla (100 − 1100 pF), kapacitn´ı norm´al Ulrich (1000 pF), kondenz´ator nezn´am´e kapacity, dva koaxi´ aln´ı kabely, spojovac´ı vodiˇce, dvˇe c´ıvky pro v´azan´e obvody s ladic´ım kondenz´ atorem na stavebnicov´ ych d´ılech PHYWE.
3 3.1
Z´ akladn´ı pojmy a vztahy S´ eriov´ y rezonanˇ cn´ı obvod
S´eriov´ ym zapojen´ım c´ıvky a kondenz´ atoru vznikne rezonanˇcn´ı RLC obvod (Obr. 1). Ztr´aty na jednotliv´ ych prvc´ıch a ve vodiˇc´ıch jsou zahrnuty v odporu R.
Obr. 1: S´eriov´ y rezonanˇcn´ı obvod pro a) voln´e a b) buzen´e kmity. Chyb´ı-li v obvodu zdroj napˇet´ı, z Kirchhoffov´ ych z´akon˚ u plat´ı: kaˇzd´ ym prvkem obvodu proch´ az´ı stejn´ y proud a souˇcet vˇsech napˇet´ı je roven 0: Z Q 1 dI = I dt, (1) UL + UR + UC = 0, kde UL = L , UR = RI, Uc = dt C C kde UR je napˇet´ı na odporu, UL na c´ıvce a UC na kondenz´atoru. Po vz´ajemn´em dosazen´ı z´ısk´ ame diferenci´ aln´ı rovnici druh´eho ˇr´adu pro proud v obvodu I d2 I R dI 1 + + I = 0. (2) 2 dt L dt LC To je vˇsak rovnice line´ arn´ıho harmonick´eho oscil´atoru, kterou jiˇz zn´ate z pˇredchoz´ı u ´lohy. Pro okamˇzitou hodnotu proudu v ˇcase t tedy plat´ı q 1 R I(t) = I0 e−δt sin(ωt + ϕ0 ), kde ω = ω02 − δ 2 , ω02 = , δ= , (3) LC 2L kde jsme opˇet zavedli frekvenci voln´ ych kmit˚ u ω0 a dekrement u ´ tlumu δ 1 Amplituda I0 a f´ aze ϕ0 z´ avis´ı na poˇc´ ateˇcn´ıch podm´ınk´ach. 1 Pro mal´ yu ´tlum (R 1) plat´ı ω0 ≈ ω. Pro vyˇsˇs´ı hodnoty R prot´ ek´ a obvodem obt´ıˇ znˇ e detekovateln´ y proud a tato aproximace tak pˇrest´ av´ a platit.
2
3.2
Ekvivalence kmit˚ u
Porovn´ an´ım pohybov´ ych rovnic pro mechanick´ y a elektrick´ y line´arn´ı harmonick´ y oscil´ator z´ısk´ame n´ asleduj´ıc´ı analogie. Ty mohou napomoci l´epe si pˇredstavit elektrick´e kmit´an´ı v obvodu.
Obr. 2: Ekvivalence mechanick´ ych a elektrick´ ych kmit˚ u.
3.3
Vynucen´ e kmity
Pˇripoj´ıme-li obvod ke zdroji harmonick´eho elektromotorick´eho napˇet´ı tvaru U (t) = U0 cos(Ωt),
(4)
za hranic´ı pˇrechodov´e f´ aze pˇrevl´ adne bud´ıc´ı frekvence Ω nad vlastn´ı frekvenc´ı obvodu ω a proud bude ve f´ azi s napˇet´ım, pro jeho okamˇzitou hodnotu bude platit I(t) = I0 cos(Ωt + Φ),
(5)
podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe mechanick´ ych kmit˚ u.
3.4
Impedance
Pro RLC obvod je charakteristick´ a veliˇcina Z – impedance. Jedn´a se o komplexn´ı ˇc´ıslo, kter´e m˚ uˇzeme zapsat v goniometrick´em a algebraick´em tvaru Z = |Z|e−iΦ = R + jX,
(6)
kde R je odpor (rezistance) a X reaktance obvodu definovan´a pomoc´ı veliˇcin XL (induktance) a XC (kapacitance) vztahy X = XL − XC ,
XL = ΩL,
XC =
1 . ΩC
(7)
Impedance tedy obecnˇe z´ avis´ı na frekvenci Ω pro pevn´e parametry obvodu R, L a C. Je analogi´ı odporu vodiˇce ([R] = [Z] = Ω). Pro amplitudu proudu a napˇet´ı a jejich vz´ajemn´ y f´azov´ y posun plat´ı I0 =
U0 U0 =√ , |Z| R2 + X 2
−Φ = arg Z = arctan
X , R
(8)
obˇe veliˇciny jsou tedy urˇceny impedanc´ı a z´avis´ı na frekvenci Ω. Podle f´azov´eho posunu m˚ uˇzeme rozdˇelit tˇri pˇr´ıpady: 3
• XL > XC , tedy Φ < 0, napˇet´ı pˇredch´az´ı proud. Obvod m´a induktivn´ı charakter. Pro ˇcistˇe induktivn´ı obvod (XC = R = 0) je Φ = π/2 a Z ∈ C \ R. • XL < XC , tedy Φ > 0, proud pˇrech´az´ı napˇet´ı. Obvod m´a kapacitn´ı charakter. Pro ˇcistˇe kapacitn´ı obvod (XL = R = 0) je Φ = −π/2 a Z ∈ C \ R. • XL = XC , tedy Φ = 0, proud a napˇet´ı jsou ve f´azi. Pˇri t´eto podm´ınce je Z ∈ R a u ´bytek napˇet´ı na kondenz´ atoru a c´ıvce se vyruˇs´ı, velikost impedance je tedy nejmenˇs´ı a urˇcuje ji pouze odpor (Z = R). Obvod je v rezonanci. To nastane pro konkr´etn´ı frekvenci Ω0 danou vztahem 1 . (9) Ω0 L = Ω0 C Odsud z´ısk´ av´ ame zn´ am´ y Thomson˚ uv vzorec pro rezonanˇcn´ı frekvenci Ω0 = √
1 . LC
(10)
Vid´ıme tedy, ˇze rezonanˇcn´ı frekvence Ω0 je rovna frekvenci ω0 voln´ ych kmit˚ u, odted’ ji tedy 0 budeme znaˇcit ω0 , pˇr´ıpadnˇe f0 = ω . 2π
3.5
ˇ Cinitel jakosti
Pro harmonick´e oscil´ atory a rezon´ atory zav´ad´ıme tzv. ˇ cinitel jakosti Q.2 Je to bezrozmˇern´a veliˇcina vyjadˇruj´ı citlivost rezon´ atoru v˚ uˇci sign´al˚ um kolem urˇcit´e frekvence, jin´ ymi slovy charakterizuje ˇs´ıˇrku p´ asma3 ∆ω (resp. fH − fL ) vztaˇzenou k jeho stˇredn´ı frekvenci ω (resp. f0 ). Q=
ω0 f0 = . ∆ω fH − fL
(11)
Velikost ˇcinitele jakosti se ˇr´ adovˇe pohybuje mezi 100 aˇz 102 . Velk´a hodnota indikuje menˇs´ı ztr´ atu energie v˚ uˇci celkov´e energii rezon´atoru (oscilace zanikaj´ı pomalu). Napˇr´ıklad fyzick´e kyvadlo m´ a ve vzduchu vˇetˇs´ı ˇcinitel jakosti neˇz v oleji. Rezon´ator s vysok´ ym ˇcinitelem Q je m´enˇe tlumen, takˇze rezonuje d´ele. Tento jev se projevuje i u RLC obvod˚ u jakoˇzto elektrick´ ych oscil´ ator˚ u. ˇıˇrka p´ S´ asma je pro obvod na Obr. 1 d´ana vztahem ∆ω = 2δ. Dosazen´ım za δ a ω0 z (3) z´ısk´ ame r ω0 L L XL 1 L = = √ . (12) Q= = R R R C R LC V praxi vˇsak se vˇsak na velikosti Q podepisuje mnoho faktor˚ u, pˇrenosov´e a parazitn´ı vlastnosti obvodu. Pro naˇse u ´ˇcely vˇsak postaˇc´ı tyto vlastnosti zahrnout do parametru α a pouˇz´ıt korekci r α L Q= . (13) R C 2 Anglicky 3 Anglicky
quality factor“. ” bandwidth“. ”
4
ˇıˇrka p´ Obr. 3: S´ asma (BW) rezonanˇcn´ıho obvodu. Rezonanˇcn´ı frekvence je fR a amplituda proudu I. Nejvˇetˇs´ı amplitudy Imax se dosahuje pˇri maxim´aln´ım napˇet´ı V a odporu R. Pˇrevzato z [1].
3.6
Rezonanˇ cn´ı kˇ rivka
Z´ avislost amplitudy proudu I0 na bud´ıc´ı frekvenci Ω naz´ yv´ame rezonanˇ cn´ı kˇ rivkou obvodu. Pro naˇse u ´ˇcely tento vztah uprav´ıme. Pˇri rezonanci je impedance re´aln´a a amplituda proudu je maxim´ aln´ı, plat´ı tedy Imax = U0 /R (na Obr. 3 je U0 = V ). Dosazen´ım za U0 zpˇet do (8) z´ısk´ame I0 (Ω) = √
RImax Imax =p . 2 2 −2 R +X 1 + R (XL − XC )2
(14)
Dosazen´ım vztah˚ u (7) a (10) z´ısk´ ame vyj´adˇren´ı t´eto z´avislosti v okol´ı rezonanˇcn´ı frekvence ω0 Imax I0 (Ω) = q 1 + Q2 ( ωΩ0 −
ω0 2 Ω )
,
(15)
v nˇemˇz se objev´ı ˇcinitel jakosti Q. Amplituda proudu pro horn´ı a doln´ı frekvenci p´asma je Imax I0 (ΩH ) = I0 (ΩL ) = √ = 0.707Imax . 2
(16)
To je tzv. efektivn´ı proud4 , pˇri nˇemˇz je pr˚ umˇern´ y v´ ykon roven polovinˇe maxim´aln´ıho v´ ykonu, tedy P = Pmax /2, kde Pmax = U02 /R. ˇ ım je obvod jakostnˇejˇs´ı, Na Obr. 4 vid´ıme, jak ˇcinitel jakosti Q mˇen´ı tvar rezonanˇcn´ı kˇrivky. C´ t´ım ostˇrejˇs´ı je rezonanˇcn´ı kˇrivka. Lze jej urˇcit tedy pˇr´ımo zmˇeˇren´ım rezonanˇcn´ı kˇrivky bez znalosti parametr˚ u obvodu pomoc´ı vztahu (11). Naopak lze z tvaru rezonanˇcn´ı kˇrivky odhadnout, jak se zmˇenily parametry obvodu ze vztahu (13). Vid´ıme, ˇze pro konstantn´ı indukˇcnost je ˇcinitel Q nepˇr´ımo u ´mˇern´ y odporu R. Pro konstantn´ı odpor je ˇcinitel jakosti pˇr´ımo u ´mˇern´ y indukˇcnosti a nepˇr´ımo na kapacitˇe. Dosazen´ım Thomsonova vztahu (10) z´ısk´ame n´asleduj´ıc´ı vyj´adˇren´ı rezonanˇcn´ı kˇrivky: 4 V teorii zpracov´ an´ı sign´ alu se sign´ al mˇ eˇr´ı v logaritmick´ e jednotce dB, proto se ˇs´ıˇrka p´ asma mˇ eˇr´ı 3 dB pod maximem.
5
Obr. 4: Z´ avislost tvaru proudov´e rezonanˇcn´ı kˇrivky na ˇciniteli jakosti Q a rozdˇelen´ı frekvence na indukˇcn´ı a kapacitn´ı sektor. Rezonanˇcn´ı frekvence je fR a amplituda proudu I0 . Pˇrevzato z [1], upraveno. • Je-li frekvence f promˇenn´ a a parametry obvodu R, L a C konstantn´ı, plat´ı Imax I0 (f ) = q 1 + Q2 ( ff0 −
f0 2 f )
,
(17)
ˇ kde f0 je rezonanˇcn´ı frekvence obvodu. Cinitel jakosti Q je pˇri tˇechto parametrech konstantn´ı.
3.7
V´ azan´ e obvody
Dva paraleln´ı rezonanˇcn´ı obvody naladˇen´e na stejnou rezonanˇcn´ı frekvenci f0 mohou b´ yt spolu v´ az´ any. To znamen´ a, ˇze energie pˇriv´ adˇen´a ze zdroje do prvn´ıho obvodu se vazbou pˇren´aˇs´ı do ˇ druh´eho obvodu. Casto se uˇz´ıv´ a induktivn´ı napˇet’ov´a vazba (Obr. 5), pˇri n´ıˇz se zmˇenou proudu v prvn´ı c´ıvce indukuje napˇet´ı na druh´e vlivem vz´ajemn´e indukˇcnosti M . Na tomto principu funguj´ı transform´ atory ˇci indukˇcn´ı varn´e desky. Pˇri sestavov´an´ı obvod˚ u je naopak tˇreba db´at na to, aby nevznikaly neˇz´ adouc´ı induktivn´ı vazby. Velikost vazby se urˇcuje ˇ cinitelem vazby (18). Vzhledem k tomu, ˇze se vz´ajemn´a indukˇcnost sniˇzuje s klesaj´ıc´ı vzd´ alenost´ı mezi c´ıvkami, plat´ı k ∈ h0, 1i. V praxi lze dos´ahnout hodnoty okolo k = 0.98. k=√
M . L1 L2
(18)
Pro ˇcinitele jakosti obvod˚ u naladˇen´ ych na stejnou rezonanˇcn´ı frekvenci ω0 , plat´ı Q1 =
ω0 L1 , R1
Q2 =
ω0 L2 , R2
(19)
kde rezonanˇcn´ı frekvence je d´ ana vztahem f0 =
ω0 1 1 √ √ = = . 2π 2π L1 C1 2π L2 C2 6
(20)
Obr. 5: Induktivnˇe v´azan´e RLC obvody.
Obr. 6: Napˇet’ov´e rezonanˇcn´ı kˇrivky pro r˚ uzn´e ˇcinitele vazby.
Za pˇredpokladu, ˇze ˇze oba rezonanˇcn´ı obvody jsou stejn´e (L1 = L2 a C1 = C2 ), jejich ˇcinitel jakosti je stejn´ y (Q1 = Q2 = Q) a napˇet´ı U2 na prav´em obvodu (Obr. 5) nab´ yv´a maxima pˇri frekvenc´ıch f0 f1,2 = q (21) p 1 ± k 2 − Q−2 nach´ azej´ıc´ıch se v okol´ı frekvence f0 . Prvn´ı maximum odpov´ıd´a pˇr´ıpadu XL XC , druh´e XL XC . Pˇri jist´e vzd´ alenosti c´ıvek oba splynou p´ıky v jeden, nastane rezonance (XL = XC ). Napˇet’ov´ a rezonanˇcn´ı kˇrivka v´ azan´eho obvodu pak vypad´a jako jedna z kˇrivek na Obr. 6. O kterou kˇrivku se v konkr´etn´ım pˇr´ıpadˇe jedn´ a, urˇcuje odmocnina ve jmenovateli, kter´a z´avis´ı na souˇcinu kQ. • kQ > 1, f1,2 m´ a dvˇe ˇreˇsen´ı. Nastane nadkritick´ a vazba. • kQ = 1, f1,2 se ztotoˇzn´ı s f0 . Nastane kritick´ a vazba. 7
• kQ < 1, odmocˇ nujeme z´ aporn´e ˇc´ıslo, vztah (21) jiˇz neplat´ı. Nastane podkritick´ a vazba. ˇıˇrka p´ S´ asma pˇri kritick´e vazbˇe je pak urˇcena vazbovou konstantou a rezonanˇcn´ı frekvenc´ı, plat´ı ∆ω = kω0 .
4
Experiment´ aln´ı uspoˇ r´ ad´ an´ı
Ide´ aln´ı zapojen´ı obvodu pro mˇeˇren´ı vlastn´ıch kmit˚ u s´eriov´eho RLC obvodu je na Obr. 7a. Dan´ y obvod by pˇri kaˇzd´em pˇrepnut´ı pˇrep´ınaˇce zakmit´a voln´ ymi kmity vlastn´ı frekvence (v naˇsem pˇr´ıpadˇe f ≈ 102 kHz). Ke sledov´ an´ı takto rychl´ ych dˇej˚ u je nutn´e pouˇz´ıt osciloskop.
Obr. 7: Frekvenˇcn´ı gener´ ator jako zdroj bud´ıc´ıho sign´alu. a) idealizovan´e zapojen´ı, b) frekvenˇcn´ı gener´ ator m´ısto pˇrep´ınaˇce. Pokud vˇsak nechceme pouˇz´ıt sloˇzit´e pamˇet’ov´e osciloskopy, mus´ıme dos´ahnout opakov´an´ı zkouman´eho jevu. K tomu slouˇz´ı frekvenˇcn´ı funkˇcn´ı gener´ator v m´odu generace obd´eln´ıkov´ ych pulz˚ u, kter´e nahrad´ı systematick´e pˇrep´ın´an´ı pˇrep´ınaˇce (tj. zmˇenu napˇet´ı) s libovolnou frekvenc´ı. Toto zapojen´ı vyjadˇruje Obr. 7b.
Obr. 8: Pouˇzit´e znaˇcky v t´eto u ´loze.
5
Postup mˇ eˇ ren´ı
Seznamte se s ovl´ ad´ an´ım osciloskopu a frekvenˇcn´ıho gener´atoru 7.1, [5]. Pˇr´ıstroje nespouˇstˇejte bez zkontrolovan´eho zapojen´ı. V cel´em postupu budeme oznaˇcovat rezonanˇcn´ı frekvenci f0 a rezonanˇcn´ı kapacitu C0 . 8
5.1
Sestaven´ı s´ eriov´ eho RLC obvodu
Obvod pro u ´lohy 2–7 sestavte dle Obr. 9. Obvod budeme budit frekvenˇcn´ım gener´atorem a odezvu mˇeˇrit na osciloskopu. Odezvou je m´ınˇeno napˇet´ı na kondenz´atoru a proud v obvodu.
Obr. 9: Sch´ema s´eriov´eho RLC obvodu.
1. Zapojte do s´erie odporovou dek´ adu R, vzduchovou c´ıvku o indukˇcnosti L (a vnitˇrn´ım odporu RL ), a ladic´ı kapacitn´ı norm´ al Tesla s promˇennou kapacitou C. C´ıvku napojte pˇres b´ılou (izolovanou) zd´ıˇrku kondenz´ atoru. 2. Na output termin´ al frekvenˇcn´ıho gener´atoru pˇripojte koaxi´aln´ı kabel, ˇcern´ y konec zapojte do kondenz´ atoru a ˇcerven´ y na plusov´ y vodiˇc bezkontaktn´ıho amp´ermetru (mal´a souˇc´astka se dvˇema zelen´ ymi kabely). Druh´ y vodiˇc amp´ermetru zapojte do odporov´e dek´ady. 3. Nakonec pˇripojte osciloskop. Na kan´al 1 osciloskopu pˇripojte paralelnˇe kondenz´ator (pˇres koaxi´ aln´ı kabel), na kan´ al 2 v´ ystup z bezkontaktn´ıho amp´ermetru. 4. Uzemnˇen´ı provedete spojen´ım ˇcern´e zd´ıˇrky kondenz´atoru s osciloskopem. T´ım doc´ıl´ıte toho, ˇze zemn´ıc´ı svorky jednotliv´ ych pˇr´ıstroj˚ u (gener´atoru, kondenz´atoru i osciloskopu) budou navz´ ajem propojeny a nebudou v obvodu zapojeny na aktivn´ı (ˇcerven´e) svorky druh´ ych pˇr´ıstroj˚ u.
5.2
Pozorov´ an´ı a mˇ eˇ ren´ı vlastn´ıch kmit˚ u
Vu ´loze 2 budeme pozorovat vliv zmˇeny parametr˚ u R, L a C na rezonanˇcn´ı obvod a pro konkr´etn´ı sadu parametr˚ u urˇc´ıme frekvenci vlastn´ıch kmit˚ u odeˇc´ıt´an´ım periody zakmit´an´ı. 1. Na kondenz´ atoru kapacitu C0 = 500 pF a na dek´ad´ach nulov´ y odpor R. 2. Gener´ ator nastavte do m´ odu obd´eln´ıkov´ ych pulz˚ u s frekvenc´ı f = 1 kHz, v´ ystupn´ı napˇet´ı na gener´ atoru (tj. amplitudu sign´ alu) volte rozumnˇe (25% maxim´aln´ı hodnoty). 3. Osciloskop nastavte na kan´ al 1 (zobrazen´ı a trigger). Nastavte Level“ na nulu a Hold“ na ” ” minim´ aln´ı hodnotu ( Norm“). Zobrazuje-li se ∆T = UNCAL, vypnˇete Variable pull“ ˇcasov´e ” ” osy; pokud ∆V = UNCAL, vypnˇete Variable pull“ na obou kan´alech. ” 9
Obr. 10: Sign´ al frekvenˇcn´ıho gener´ atoru: a) bud´ıc´ı obd´eln´ıkov´e pulzy, b) voln´e kmity rezonanˇcn´ıho obvodu.
4. Mˇen ˇte rozliˇsen´ı vertik´ aln´ı a horizont´aln´ı osy, dokud nepozorujete charakteristick´e sign´aly jako na Obr. 10a. (Vid´ıte-li sign´ al dvojitˇe, jemnˇe upravte Level“.) Pozorujte zmˇeny na osciloskopu ” v z´ avislosti na zmˇen´ ach parametr˚ u R, L a C. Sign´aly by mˇely vypadat jako na Obr. 10b. Interpretujte pozorov´ an´ı pomoc´ı analogie s mechanick´ ym oscil´atorem. 5. Nahrad’te indukˇcn´ı dek´ adu vzduchovou c´ıvkou a nastavte pevnˇe hodnoty R = 50 Ω a C0 = 500 pF. Toto nastaven´ı budete pouˇz´ıvat po zbytek cel´eho mˇeˇren´ı (vyjma u ´loh 5 a 8). 6. Zamˇeˇrte se na detail jednoho kmitu (zmˇenou rozliˇsen´ı obou os). Pomoc´ı kurzor˚ u na obrazovce odeˇctˇete periodu vlastn´ıch kmit˚ u jako vzd´alenost dvou okamˇzik˚ u se stejnou f´az´ı. Nejl´epe se odeˇc´ıt´ a rozd´ıl dvou maxim ˇci minim. Pomoc´ı tlaˇc´ıtka 1/∆T pˇrepoˇctˇete na frekvenci. 7. Mˇeˇren´ı zpracujte jako opakovan´e mˇeˇren´ı konstantn´ı veliˇciny. Porovnejte tuto hodnotu s hodnotou vypoˇctenou z (10) pro dan´e hodnoty parametr˚ u L a C.
5.3
Zobrazen´ı proudov´ e rezonanˇ cn´ı kˇ rivky
V u ´loze 3 pozorujeme proudovou rezonanˇcn´ı kˇrivku (a jej´ı zmˇenu po vloˇzen´ı j´adra do c´ıvky) ˇ adn´e hodnoty se nemˇeˇr´ı. pomoc´ı reˇzimu rozm´ıt´ an´ı na gener´ atoru. Z´
Obr. 11: Rezonance proudu s´eriov´eho RLC obvodu.
1. Gener´ ator nastavte do m´ odu harmonick´ ych kmit˚ u a zapnˇete rozm´ıtac´ı reˇzim, t´ım zapnete periodick´ y scan frekvenc´ı od frekvence F1 po F2 – volte symetrick´e okol´ı (±50 kHz) kolem vlastn´ı frekvence obvodu namˇeˇren´e z u ´kolu 2. 2. Osciloskop nastavte na kan´ al 2 (zobrazen´ı a trigger). Zmˇenou rozliˇsen´ı os by se mˇelo podaˇrit zobrazen´ı rezonanˇcn´ı kˇrivky podobn´e Obr. 11. Ve skuteˇcnosti uvid´ıte tuto kˇrivku periodicky se ukazuj´ıc´ı v rozsahu osciloskopu, na kaˇzd´e periodˇe ostˇre ukonˇcenou (ukonˇcen´ı je zp˚ usobeno vlastnostmi obvodu, periodicita zobrazen´ım osciloskopu). 10
3. Pokud kˇrivka na osciloskopu bˇeˇz´ı“, zkuste nejprve zmˇenit rozsah a ˇcetnost rozm´ıt´an´ı na ” gener´ atoru, pot´e jemnou synchronizaci na na osciloskopu – nastaven´ım Level“. ” 4. Jakmile se podaˇr´ı rezonanˇcn´ı kˇrivku zobrazit tak, aby byla statick´a, vloˇzte j´adro do c´ıvky. Kˇrivka se opˇet rozbˇehne“ – jemnou synchronizac´ı ji lze znovu zastavit. Porovnejte kˇrivku ” pro c´ıvku s j´ adrem a bez j´ adra. Dle (13) a Obr. 4 urˇcete, jak se zmˇenil ˇcinitel jakosti a t´ım i indukˇcnost c´ıvky. Na z´ akladˇe toho odhadnˇete, zdali je j´adro feromagnetick´e, paramagnetick´e ˇci diamagnetick´e.
5.4
Mˇ eˇ ren´ı proudov´ e rezonanˇ cn´ı kˇ rivky na frekvenci
Vu ´loze 4 budeme mˇeˇrit z´ avislost proudu na frekvenci pro obvod se vzduchovou c´ıvkou. 1. Gener´ ator ponechte v m´ odu harmonick´ ych kmit˚ u a osciloskop na kan´alu 2, vypnˇete rozm´ıtac´ı reˇzim. Toto nastaven´ı ponechte budete pouˇz´ıvat i pro dalˇs´ı u ´lohy. Sign´al z amp´ermetru je do osciloskopu pˇriveden jako napˇet´ı. Pˇrevodn´ı vztah je uveden na amp´ermetru. 2. Nastavte pevnˇe C = 500 pF a mˇen ˇte frekvenci f , kterou volte v rozsahu f0 ±50%. Pomoc´ı kurzor˚ u odeˇctˇete amplitudu proudu5 pro 20 hodnot f . Nejv´ıce se zamˇeˇrte na hodnoty v tˇesn´em okol´ı f0 . Tuto z´ avislost pot´e nafitujte vztahem (17), kde Imax , Q2 a f0 jsou parametry. Porovnejte z´ıskanou f0 s hodnotami z u ´lohy 2. Nyn´ı provedeme stejn´e mˇeˇren´ı pro c´ıvku s j´adrem. 1. Zasuˇ nte j´ adro do c´ıvky a pozorujte zmˇenu amplitudy. Zmˇen ˇte kapacitu C tak, abyste vyladili obvod znovu do rezonance, a tuto kapacitu si zapiˇste. 2. Proved’te promˇeˇren´ı nov´e rezonanˇcn´ı kˇrivky analogick´ ym zp˚ usobem pro 20 hodnot. Fitem z´ıskejte parametry pro c´ıvku s j´ adrem. Pod´ılem ˇcinitel˚ u jakosti (13) pro oba obvody z´ısk´ame vztah 2 C1 L2 Q2 , (22) = Q1 C2 L1 z nˇehoˇz lze spoˇc´ıst indukˇcnost c´ıvky s j´adrem. Veliˇciny s indexem 1 odpov´ıdaj´ı obvodu s c´ıvkou bez j´ adra a veliˇciny s indexem 2 c´ıvce s j´adrem. 3. Obˇe rezonanˇcn´ı kˇrivky vˇcetnˇe fit˚ u zaneste do stejn´eho obr´azku a porovnejte s Obr. 4.
5.5
Mˇ eˇ ren´ı nezn´ am´ e kapacity
Princip rezonance uˇzijeme k mˇeˇren´ı kapacity nezn´am´eho kondenz´atoru Cx v u ´loze 5. 1. Nejprve na norm´ alu Tesla nastavte libovolnou kapacitu CN a zmˇenou frekvence vylad’te obvod do rezonance, kapacitu si poznamenejte jako C1 a kurzory zamˇeˇrte amplitudu proudu. 2. Nezn´ am´ y kondenz´ ator zapojte paralelnˇe k norm´alu. Zmˇenou kapacity norm´alu na hodnotu C2 vylad’te obvod znovu do rezonance. Protoˇze pˇri rezonanci mus´ı z˚ ustat kapacita stejn´a, plat´ı C2 + Cx = C1 .
(23)
Z tohoto vztahu urˇc´ıte nezn´ amou kapacitu. Mˇeˇren´ı proved’te pˇetkr´at. V´ yslednou kapacitu urˇcete jako aritmetick´ y pr˚ umˇer namˇeˇren´ ych hodnot. 5 Staˇ c´ı
uvaˇ zovat dvojn´ asobek amplitudy ( v´ yˇsku“ sign´ alu na osciloskopu), netˇreba dˇ elit dvˇ ema. ”
11
5.6
Sestaven´ı v´ azan´ eho RLC obvodu a n´ asledn´ e mˇ eˇ ren´ı
V posledn´ı u ´loze budeme pozorovat vlastnosti induktivnˇe v´azan´ ych obvod˚ u. Obvod sestavte dle Obr. 12. Z´ aviset bude na tˇrech parametrech: bud´ıc´ı frekvenci gener´atoru a kapacit´ach obou kondenz´ ator˚ u.
Obr. 12: Sch´ema induktivnˇe v´azan´eho LC obvodu.
1. Pouˇzijte stavebnicov´e d´ıly (modr´e krabiˇcky) jako z´akladn´ı desky. Nejsou-li zapojen´e obˇe c´ıvky a ladic´ı kondenz´ ator (drobn´ a pr˚ uhledn´a krabiˇcka), zapojte je na pˇr´ısluˇsn´a m´ısta. Propojen´ı vodiˇc˚ u je vidˇet ze spodn´ı strany. N´aslednˇe pˇripojte gener´ator a norm´al Tesla. Lad´ıc´ı kondenz´ ator pˇripojte paralelnˇe ke kan´ alu 1 osciloskopu. Nezapomeˇ nte uzemnit. 2. C´ıvky pˇribliˇzte u ´plnˇe k sobˇe. Gener´ator nastavte do m´odu harmonick´ ych kmit˚ u a zapnˇete rozm´ıtac´ı reˇzim okolo frekvence f0 = 380 kHz v rozsahu ±75%. V´ ystupn´ı napˇet´ı gener´atoru volte co nejmenˇs´ı. 3. Mˇeli byste pozorovat kˇrivku jako na Obr. 6, periodicky se opakuj´ıc´ı. Vz´ajemn´ ym ladˇen´ım obou kapacit vylad’te obvod do rezonance, tj. tak, aby p´ıky pˇri f1 a f2 mˇely pˇribliˇznˇe stejnou v´ yˇsku. To by mˇelo nastat v pˇr´ıpadˇe, kdy C1 = C2 . Pozorujte zmˇeny t´eto kˇrivky v z´avislosti na oddalov´ an´ı c´ıvek od sebe. 4. Vypnˇete reˇzim rozm´ıt´ an´ı a nastavte frekvenci f0 = 380 kHz. Posouvejte c´ıvky od sebe (t´ım sniˇzujete vz´ ajemnou indukˇcnost a tedy i ˇcinitel vazby) a pozorov´an´ım amplitudy napˇet´ı na osciloskopu naleznˇete vzd´ alenost, pˇri n´ıˇz je amplituda nejvˇetˇs´ı (doch´az´ı tedy k rezonanci), a vzd´ alenost, pˇri n´ıˇz jiˇz k vazbˇe nedoch´az´ı. Obˇe vzd´alenosti zapiˇste. 5. Nepovinn´e: Pˇribliˇzte c´ıvky u ´plnˇe k sobˇe. Zmˇeˇrte z´avislost amplitudy napˇet´ı na frekvenci (analogick´ ym zp˚ usobem jako v u ´loze 4) pro 20 aˇz 30 hodnot v rozsahu stejn´em jako pˇri rozm´ıt´an´ı. V´ ysledn´ a kˇrivka by mˇela vypadat jako na Obr. 6.
6
Pozn´ amky
1. Pˇri zjiˇst’ov´ an´ı kapacity nezn´ am´eho kondenz´atoru jsme pˇredpokl´adali, ˇze Cx nepˇres´ahla rozsah norm´ alu Tesla. V pˇr´ıpadˇe, ˇze by nezn´am´a kapacita Cx neleˇzela v tomto rozsahu, zapoj´ıme ji s´eriovˇe. Nezn´ amou kapacitu pot´e urˇc´ıme ze vztahu Cx =
C1 C2 . C2 − C1
12
2. Pˇred fitov´ an´ım je doporuˇceno zadat programu poˇc´ateˇcn´ı odhad parametr˚ u, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe by se nemuselo fitov´ an´ı podaˇrit. Fitujte nejen veliˇciny vyˇzadovan´e (napˇr. Q a Cp ), n´ ybrˇz i vˇsechny ostatn´ı parametry obvodu (napˇr. f0 a C0 ). 3. M´ ate-li fitovat parametry Q, fitujte jejich kvadr´aty, kter´e ve vzorc´ıch vystupuj´ı, tj. a = Q2 . 4. V pˇr´ıpadˇe pot´ıˇz´ı, dotaz˚ u, pˇripom´ınek ˇci n´avrh˚ u piˇstˇe garantovi u ´lohy na mail (v elektronick´e verzi tohoto n´ avodu se jedn´ a o klikateln´ y odkaz).
Reference [1] Electronics tutorials, cit. 10.4.2015. Dostupn´e z: http://www.electronics-tutorials.ws/ accircuits/series-resonance.html [2] D. HALLIDAY, R. RESNICK, J. WALKER: Fyzika, 2. vyd., VUTIUM, ISBN 978-80-2144123-1 ˇ ˇ [3] I. STOLL: Elektˇrina a magnetismus, Skriptum FJFI, Vydavatelstv´ı CVUT, Praha, 1994 ˇ a kol., Z´ [4] BROZ aklady fyzik´ aln´ıch mˇeˇren´ı I, SPN, Praha, 1983 ˇ [5] Kolektiv KF FJFI CVUT, Manu´ al k frekvenˇcn´ımu gener´ atoru [online], cit. 7.4.2015. Dostupn´e z: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/mod/resource/view.php?id=3178
13
7
Pˇ r´ıloha
7.1
Ovl´ ad´ an´ı osciloskopu
Obr. 13: Struˇcn´ y pˇrehled ovl´ adac´ıch prvk˚ u uˇzit´eho osciloskopu. Nutno vytisknout barevnˇe.
Nastaven´ı obrazovky (1) Zapnut´ı pˇr´ıstroje (2) Intenzita (3) Zaostˇren´ı (4) Podsv´ıcen´ı (d) Pˇrep´ın´ an´ı zobrazen´eho kan´ alu ˇ Casov´ a osa (5) Zmˇena rozliˇsen´ı ˇcasov´e osy (6) Variable pull“ – roztaˇzen´ı osy ” (7) Horizont´ aln´ı posun obrazu
Trigger (8) (9) (10)
Hold“ – synchronizace obrazu ” Level“ – jemn´a synchronizace ” Trigger – nastaven´ı zdroje
Vstupy (X) Vstup kan´alu 1 (Y) Zemn´ıc´ı svod (Z) Vstup kan´alu 2
Kurzory
Kan´ al 1, Kan´ al 2
• ˇsipky – posun kurzor˚ u na obrazovce • SEL“ – pˇrep´ın´ an´ı mezi kurzory ” • 1/∆T“ – pˇrepoˇcet periody na frekvenci ”
(a) Zmˇena rozliˇsen´ı svisl´e osy (b) Variable pull“ – roztaˇzen´ı osy ” (c) Vertik´aln´ı posun obrazu
Vˇzdy, kdyˇz mˇeˇr´ıte na kan´ alu 1, je tˇreba m´ıt (d) a (10) nastaven´e na pˇr´ısluˇsn´em kan´alu CH1“, ” analogicky pro kan´ al 2.
14
