MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů
Trojúhelník
Ing. Miroslav Čapek
srpen 2011
Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován z Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky.
Trojúhelník Trojúhelník je geometrický útvar, který má tři strany a tři vrcholy. Strany trojúhelníka označujeme malými písmeny, například a, b, c. Vrcholy označujeme velkými písmeny, např. A, B, C. Přitom dodržujeme pravidlo, že strana a leží proti vrcholu A a obdobně i pro ostatní strany. Každé dvě strany spolu svírají úhel, v trojúhelníku máme tedy i tři úhly. Tyto vnitřní úhly označujeme malými řeckými písmeny, například α, β, γ.
Určení trojúhelníku Abychom mohli trojúhelník jednoznačně určit (to je stanovit jeho tvar a velikost), musíme znát minimálně tři údaje:
délku všech tří stran (sss) délkou dvou stran a velikostí úhlu, který svírají (sus) délkou strany a velikostí úhlů, které k ní přiléhají (usu)
Pozor – pokud známe všechny tři úhly, nemůžeme trojúhelník určit jednoznačně můžeme sice zjistit jeho tvar, ale nevíme jeho velikost.
Základní vlastnosti trojúhelníku Trojúhelníková nerovnost Součet délek dvou libovolných stran je vždy delší než délka třetí strany, neboli: a+b>c a+c>b b+c>a trojúhelníku.
kde a, b, c jsou strany
Velikost úhlů Součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180°. α + β + γ = 180 Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180°. α + α′ = 180 Součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu. β + γ = α′ Proti většímu úhlu leží delší strana.
Druhy trojúhelníků Podle stran Obecný trojúhelník (též různostranný) – žádné dvě strany nejsou shodné Rovnoramenný trojúhelník – dvě strany jsou stejně velké, ale nejsou shodné s třetí stranou Rovnostranný trojúhelník – všechny strany stejně velké, všechny vnitřní úhly jsou také stejné (60o)
Podle úhlů Ostroúhlý trojúhelník – všechny vnitřní úhly jsou ostré Pravoúhlý trojúhelník – jeden vnitřní úhel je pravý, zbývající dva jsou ostré Tupoúhlý trojúhelník – jeden vnitřní úhel je tupý, zbývající dva jsou ostré
Pravoúhlý trojúhelník má určité výsadní postavení – platí v něm zvláštní pravidla a zákonitosti, které budou vysvětleny v dalších kapitolách.
Výška trojúhelníka Výška je úsečka, spuštěná z vrcholu trojúhelníku kolmo na protější stranu (případně na přímku, která tuto stranu prodlužuje). Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky. Protože má trojúhelník tři strany, můžeme výšku sestrojit ke každé z nich – trojúhelník má tedy tři výšky. Menší straně odpovídá větší výška. Výšky se protínají v jednom bodě, který se nazývá ortocentrum. Ortocentrum může ležet uvnitř i vně trojúhelníku.
Těžnice a těžiště Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice.
Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště. Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2 : 1, přitom vzdálenost těžiště od vrcholu je dvojnásobek vzdálenosti od středu protější strany. Každá těžnice rozděluje trojúhelník na dva trojúhelníky se stejným obsahem (např. trojúhelník ScBC a ScCA). Těžiště a dva vrcholy trojúhelníku tvoří postupně tři trojúhelníky (ABT, ACT, CBT), všechny tyto tři trojúhelníky mají stejný obsah.
Střední příčka Střední příčka je spojnice středů dvou stran. Každý trojúhelník má tři střední příčky. Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky: příčkový trojúhelník SaSbSc a tři trojúhelníky při jednotlivých vrcholech.
Kružnice trojúhelníku vepsaná a opsaná Kružnice vepsaná se dotýká všech stran trojúhelníka. Průsečík os vnitřních úhlů je středem kružnice trojúhelníku vepsané. Osa vnitřního úhlu dělí tento vnitřní úhel na polovinu.
Kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Středem kružnice trojúhelníku opsané je průsečík os stran trojúhelníku.
Obvod a obsah trojúhelníka Obvod trojúhelníku vypočteme jako součet délek všech jeho stran.
O=a+b+c
O – obvod a, b, c – délky stran trojúhelníku
Obsah trojúhelníku se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky:
S=
S – obsah z – základna (jedna strana trojúhelníka) v – výška příslušná k základně z
Informační zdroje http://cs.wikipedia.org/wiki/Troj%C3%BAheln%C3%ADk http://www.matweb.cz/trojuhelnik
