Triangulace a trilaterace

´ ˇ ı geodezie ´ Vyuka ´ v terenu z vysˇ s´ Triangulace a trilaterace Star´e Mˇesto pod Snˇezˇ n´ıkem 2015

1 Popis ulohy ´ V r´amci u´ lohy “Triagulace” budou metodami klasick´e geod´ezie (triangulace, trilaterace, astronomick´e urˇcov´an´ı azimutu) urˇceny souˇradnice cˇ tveˇrice bod˚u v syst´emu JTSK rozm´ıstˇen´ych podle obr´azku v okol´ı Star´eho Mˇesta pod Snˇezˇ n´ıkem. Orientace s´ıtˇe bude definov´ana mˇerˇen´ymi azimuty na bodech s´ıtˇe. Vzhledem k obt´ızˇ nosti urˇcen´ı zemˇepisn´ych souˇradnic bod˚u s´ıtˇe astromick´ymi metodami budou souˇradnice jednoho bodu v syst´emu JTSK pˇrevzaty z u´ lohy GNSS. 1001

Stvanice 6402 m 20 41

1004 41 17

33 08 Bunker Hill

1003

4788 m

117 42 92 56 5906 m

17 19 2561 m

149 22 5576 m

3 222 m 13 36 53 58

1002

Dvorsky

Obr´azek 1: Triangulaˇcn´ı s´ıt’ Dalˇs´ım v´ystupem u´ lohy bude souˇctov´a konstanta gyroteodolitu.

ˇ ricke´ prace ´ 1.1 Meˇ Mˇeˇrick´e pr´ace jsou rozdˇeleny do dvou dn˚u:

1

Vetrov

• triangulace, trilaterace, astronomick´e urˇcov´an´ı azimutu – cel´y den • mˇeˇren´ı gyrotedolitem – 1/2 dne

ˇ ı azimutu 1.1.1 Triangulace, trilaterace, urcen´ Pro mˇeˇrick´e pr´ace se jedna skupina rozdˇel´ı na cˇ tyˇri mˇeˇrick´e cˇ ety o 2 nebo 3 cˇ lenech. Kaˇzd´a cˇ eta obsad´ı jeden z bod˚u s´ıtˇe, kde bude v pr˚ubˇehu dne prov´adˇet mˇeˇren´ı. Protoˇze je potˇreba pr´aci jednotliv´ych cˇ et bˇehem dne koordinovat a uk´azalo se, zˇ e spojen´ı pomoc´ı kr´atkovlnn´ych vys´ılaˇcek nen´ı vˇzdy spolehliv´e, je nutn´e, aby kaˇzd´a cˇ eta mˇela mobiln´ı telefon a znala cˇ´ısla cˇ len˚u ostatn´ıch cˇ et. Mˇeˇrick´a cˇ eta na pˇridˇelen´em bodˇe prov´ad´ı veˇsker´a mˇeˇren´ı univerz´aln´ım teodolitem Leica TC1700. • Z technick´ych d˚uvod˚u, aby bylo moˇzno prov´adˇet z´aroveˇn triangulaˇcn´ı a trilateraˇcn´ı mˇeˇren´ı (pˇr´ıpadnˇe i GNSS mˇeˇren´ı), je postaven´ı stroje a c´ıle pro u´ hlov´e mˇeˇren´ı excentrick´e, zat´ımco odrazn´e hranoly jsou um´ıstˇeny na centru. • Pˇri dan´e konfiguraci bod˚u je moˇzn´e na kaˇzd´em bodˇe mˇerˇit 3 vodorovn´e u´ hly, kaˇzd´y bude mˇeˇren nez´avisle ve tˇrech laboratorn´ıch jednotk´ach s dvoj´ım c´ılen´ım. • Mˇeˇren´ı laboratorn´ıch jednotek budou registrov´ana na pamˇet’ovou kartu. Mˇeˇren´ı prvn´ı laboratorn´ı jednotky pro kaˇzd´y u´ hel bude nav´ıc zapisov´ano i do z´apisn´ıku. • Pro centraci mˇeˇren´ych u´ hl˚u mus´ı b´yt zmˇerˇena centraˇcn´ı osnova. Centraˇcn´ı osnova bude mˇeˇrena ve dvou skupin´ach a bude obsahovat smˇery na tˇri ostatn´ı body s´ıtˇe, na centr a excentrick´y c´ıl. D´ale mus´ı b´yt urˇcena vodorovn´a vzd´alenost (resp. sˇikm´a a zenitov´y u´ hel) exc. stanovisko – centr, exc. stanovisko – exc. c´ıl, centr – exc. c´ıl. Mˇeˇren´ı centraˇcn´ı osnovy jsou registrov´ana na pamˇet’ovou kartu, do z´apisn´ıku je proveden schematick´y nakres situace na bodˇe (s patrnou vz´ajemnou polohou centru, exc. c´ıle, stanoviska a smˇer˚u na vzd´alen´e body s´ıtˇe). V r´amci centraˇcn´ı osnovy jsou mˇeˇreny i d´elky na vzd´alen´e body (trilaterace). B2

C2 C3

S2

B3 S3

ω' ω S1

B1

C1

Obr´azek 2: Centraˇcn´ı osnova • D´elky jsou mˇeˇreny centricky. Pro mˇeˇren´ı d´elek se proto teodolit doˇcasnˇe pˇresune na centr. Pˇri mˇeˇren´ı d´elek je nutn´e zaznamenat teplotu (such´a, vlhk´a) a tlak v m´ıstˇe stanoviska a

2

c´ıle pro v´ypoˇcet fyzik´aln´ıch korekc´ı. D´ale je nutn´e zmˇeˇrit a zaznamenat v´ysˇku teodolitu a odrazn´ych hranol˚u nad body. • Pˇri mˇeˇren´ı d´elek je tˇreba db´at na spr´avn´e nastaven´ı souˇctov´e konstanty hranolu. Hodnota fyzik´aln´ı korekce (tzv. PPM) mus´ı b´yt nastavena na hodnotu 0, nebot’ v´ypoˇcet fyzik´aln´ı redukce bude prov´adˇen aˇz n´aslednˇe. Veˇsker´e v´ypoˇcty jsou prov´adˇeny z dat poˇr´ızen´ych vˇsemi cˇ etami v r´amci dan´eho dne. Proto po ukonˇcen´ı mˇeˇren´ı kaˇzd´a mˇeˇrick´a cˇ eta provede pˇredzpracov´an´ı mˇeˇren´ych dat a v´ysledn´e u´ daje poskytne ostatn´ım cˇ et´am v souboru ve v´ymˇenn´em form´atu, jehoˇz popis je (nebo bude) uveden na webov´ych str´ank´ach. Je tˇreba db´at na spr´avnost u´ daj˚u! Pˇredzpracov´an´a data obsahuj´ı: • centraˇcn´ı osnovu: zpracovan´y z´apisn´ık osnovy vodorovn´ych smˇer˚u a vodorovn´e vzd´alenosti centr – exc. c´ıl, centr – exc. stanovisko • tabulku sˇikm´ych vzd´alenost´ı hranol – hranol“ vˇcetnˇe hodnot pro fyzik´aln´ı redukci (t tep” lota, p tlak, e relativn´ı vlhkost vzduchu) a v´ysˇek hranol˚u (h) ˇ 1 C.b

ˇ 2 C.b

sˇikm´a d´elka [m]

h1 [m]

h2 [m]

t1 ◦ [ C]

t2 ◦ [ C]

p1 [torr]

p2 [torr]

e1 [%]

e1 [%]

1001

1002

5912.123

1.510

1.356

18

22

652

660

80

81

ˇ an´ ´ ı azimutu 1.1.2 Astronomicke´ urcov Kaˇzd´a mˇeˇrick´a cˇ eta urˇc´ı azimut vybran´e strany (excentrick´e stanovisko – excentrick´y c´ıl) pomoc´ı mˇeˇren´ı na Slunce. Princip urˇcen´ı azimutu a postup v´ypoˇctu byl jiˇz vysvˇetlen v r´amci pˇredmˇetu KGD. Postup mˇeˇren´ı: • Kaˇzd´y student provede mˇeˇren´ı u´ hlu mezi vybranou z´amˇerou (lev´e rameno) a Sluncem (prav´e rameno) ve dvou modifikovan´ych laboratorn´ıch jednotk´ach. • V r´amci jednotky se mˇeˇr´ı v obou poloh´ach dalekohledu. V 1. poloze dalekohledu se mˇerˇ´ı postupnˇe na c´ıl, lev´y okraj Slunce, prav´y okraj Slunce (otaˇc´ı se strojem po smˇeru hodinov´ych ruˇciˇcek). V 2. poloze je poˇrad´ı c´ıl, prav´y okraj Slunce, lev´y okraj Slunce (proti smˇeru hodinov´ych ruˇciˇcek). • Pro mˇeˇren´ı cˇ asu bude k dispozici ruˇcn´ı GPS pˇrij´ımaˇc, kter´y ukazuje pˇresn´y cˇ as UTC, ale nen´ı moˇzn´e jej pouˇz´ıt jako stopky. Proto pomocn´ık vhodn´ym zp˚usobem odpoˇc´ıt´av´a hlasitˇe sekundy a mˇeˇriˇc sleduje ustanovkami pohyb Slunce. V celou sekundu mˇeˇriˇc zastav´ı pohyb stroje a zaregistuje u´ hlov´e hodnoty a cˇ as mˇeˇren´ı. GPS pˇrij´ımaˇc ukazuje cˇ as UTC + x hodin (hodnota x zavis´ı na nastaven´ı pˇrij´ımaˇce). • Mˇeˇren´ı na oba okraje Slunce by mˇela prob´ıhat kr´atce po sobˇe. • Iniciativˇe se meze nekladou, m˚uzˇ ete mˇeˇrit ve v´ıce skupin´ach, pˇr´ıpadnˇe v noci na Pol´arku. V´ystupem pˇredzpracov´an´ı je vypoˇcten´y azimut z kaˇzd´e laboratorn´ı jednotky (azimut z´amˇery, necentrovan´y, neopraven´y o smˇerov´e korekce). V´ypoˇcet prov´ad´ı vˇzdy mˇeˇriˇc, kter´y tak´e odpov´ıd´a za spr´avnost v´ysledk˚u. Souˇca´ st´ı v´ystupu jsou i mˇeˇren´e hodnoty u´ hl˚u a cˇ as.

3

Mˇeˇril a vypoˇcetl

ˇ Cas mˇeˇren´ı [UTC]

Mˇeˇren´y u´ hel [g]

Azimut [g]

Kukl´ıkov´a Vyskoˇcil Lukeˇs

25.5.2011 9:32:05 25.5.2011 9:42:20 25.5.2011 9:51:30

15.3456 17.5567 20.1134

123.1234 123.1240 123.1244

Kukl´ıkov´a Vyskoˇcil Lukeˇs

25.5.2011 15:17:00 25.5.2011 15:30:40 25.5.2011 15:42:50

123.0801 124.2341 127.1815

123.1229 123.1246 123.1235

ˇ ren´ı gyroteodolitem 1.1.3 Meˇ Pomoc´ı gyroteodolitu je urˇcov´an azimut strany 1005 (t´abor) – 1003 (Bunker Hill) (bod 1005 nen´ı zobrazen na obr´azku 1 a nach´az´ı se na louce nad t´aborem). Pro urˇcen´ı azimutu je potˇreba zn´at tzv. souˇctovou konstantu gyroteodolitu. Protoˇze konstanta pouˇzit´eho gyroteodolitu nen´ı zn´ama, bude n´aplˇn u´ lohy opaˇcn´a – z mˇeˇren´ı gyroteodolitem a zn´am´eho azimutu strany (urˇcen´eho ze souˇradnic nebo astronomicky) bude urˇcov´ana hodnota konstanty. V´ıce informac´ı k u´ loze pod´a vyuˇcuj´ıc´ı bˇehem mˇeˇren´ı.

ˇ ´ ´ 2 Vypo ´ cetn´ ı prace, technicka´ zprava ˇ V´ypoˇcetn´ı pr´ace a zpracov´an´ı technick´e zpr´avy prov´ad´ı vˇzdy dvˇe mˇeˇrick´e cˇ ety dohromady: Stvanice a Dvorsk´y vrch (oznaˇcen´ı A), Bunker Hill a Vˇetrov (oznaˇcen´ı B). V´ysledkem jsou proto dvˇe nez´avisle vypracovan´e technick´e zpr´avy z kaˇzd´eho dne mˇeˇren´ı pro skupinu A a B. Aby mohlo b´yt zpracov´an´ı provedeno, je potˇreba: • Kaˇzd´a mˇeˇrick´a cˇ eta mus´ı pˇredzpracovat z´ıskan´a data a um´ıstit je na FTP server. • Kaˇzd´a v´ypoˇcetn´ı skupina (A, B) si z FTP serveru st´ahne vˇsechna dostupn´a data pro dan´y den mˇeˇren´ı. Tato mˇeˇren´ı zpracuje. • Kaˇzd´a v´ypoˇcetn´ı skupina si z FTP serveru st´ahne RINEX soubory s mˇeˇren´ım GNSS.

´ ı GNSS meˇ ˇ ren´ı 2.1 Zpracovan´ K dispozici jsou RINEX soubory: • Z´ıskan´e mˇeˇren´ım na bodech s´ıtˇe. • Z´ıskan´e mˇeˇren´ım na statick´em stanovisku v t´aboˇre. • Mˇeˇren´ım stanice CSUM s´ıtˇe CZEPOS. • Mˇeˇren´ım stanice STAM geodynamick´e s´ıtˇe GEONAS.

4

Uveden´a mˇeˇren´a data postaˇcuj´ı pro v´ypoˇcet souˇradnic bod˚u s´ıtˇe v syst´emu ETRS-89. Pro pˇrevod do JTSK a Bpv bude pouˇzito okoln´ıch bod˚u z´akladn´ıho bodov´eho pole s dan´ymi souˇradnicemi v obou syst´emech ETRS-89 a JTSK (Bpv). Pˇrevod bude proveden pomoc´ı shodnostn´ı prostorov´e Helmertovy transformace. Shodnostn´ı transformace s lok´aln´ım kl´ıcˇ em je nezbytn´a, aby nedoch´azelo k deformaci s´ıtˇe a aby bylo moˇzn´e v´ysledky porovnat se souˇradnicemi urˇcen´ymi z terestrick´ych mˇeˇren´ı. Poˇzadovan´e v´ysledky: • Protokol o zpracov´an´ı GNSS mˇeˇren´ı (vektory, souˇradnice v ETRS-89, . . . ). • Pˇrehled bod˚u pouˇzit´ych pro v´ypoˇcet transformace (souˇradnice). • Protokol o v´ypoˇctu transformaˇcn´ıho kl´ıcˇ e (smˇerodatn´e odchylky, odchylky dN/dE/dH na identick´ych bodech, parametry transformace, . . . ). • V´ysledn´e souˇradnice v JTSK (Bpv). V´ysledky budou uvedeny v struˇcn´e samostatn´e technick´e zpr´avˇe odevd´avan´e v elektronick´e podobˇe ve form´atu PDF. Pro zpracov´an´ı mˇerˇen´ı z´ıskan´ych v r´amci triangulace je potˇreba zn´at pˇribliˇzn´e souˇradnice bod˚u s´ıtˇe. Pro urychlen´ı v´ypoˇct˚u pˇrevezmˇete v´ysledn´e souˇradnice ze zpracov´an´ı GNSS mˇeˇren´ı.

´ ı terestrickych ˇ ren´ı 2.2 Zpracovan´ ´ meˇ ´ Ukolem je vypoˇc´ıtat rovinn´e souˇradnice bod˚u s´ıtˇe a jejich charakteristiky pˇresnosti na z´akladˇe mˇeˇren´ych terestrick´ych dat. D´ale je tˇreba porovnat v´ysledky s v´ysledky z´ıskan´ymi pomoc´ı GNSS. Poˇzadovan´e v´ystupy v technick´e zpr´avˇe: • Technick´a zpr´ava (popis u´ lohy, pouˇzit´e postupy, . . . ). • Z´apisn´ıky (tabulky; v´ysledky pˇredzpracov´an´ı mˇeˇren´ych u´ daj˚u). • Tabulky dokumentuj´ıc´ı redukce mˇerˇen´ych d´elek (fyzik´aln´ı, matematick´a redukce). Pro redukce d´elek pouˇzijete v´ysˇky z´ıskan´e pomoc´ı GNSS. • Tabulky dokumentuj´ıc´ı redukce mˇeˇren´ych u´ hl˚u (centrace, smˇerov´e korekce). • Tabulky dokumentuj´ıc´ı urˇcen´ı azimut˚u jednotliv´ych stran. • Popis zp˚usobu stanoven´ı vah mˇeˇren´ych veliˇcin vstupuj´ıch do vyrovnan´ı. • Protokol o vyrovn´an´ı s´ıtˇe. • Porovn´an´ı v´ysledk˚u z´ıskan´ych z terestrick´ych mˇeˇren´ı a pomoc´ı GNSS. Posouzen´ı rozd´ıl˚u (rozd´ıly v rozmˇeru s´ıtˇe, orientaci, . . . ). • N´acˇ rt s´ıtˇe (pˇr´ıpadnˇe z´akres do mapy). • Urˇcen´a hodnota konstanty gyroteodolitu.

5

Technick´a zpr´ava dokumentuje pouˇzit´e postupy, prostˇredky, v´ysledky. Zpr´ava obsahuje dalˇs´ı u´ daje poˇzadovan´e zadavatelem. Nicm´emˇe obsahem technick´e zpr´avy nen´ı v´ypis vzorc˚u. Napˇr´ıklad staˇc´ı konstatovat, zˇ e v´ypoˇcet byl proveden pomoc´ı metody nejmenˇs´ıch cˇ tverc˚u, je zbyteˇcn´e uv´adˇet vzorce. V´ysledn´a technick´a zpr´ava bude odevzd´ana ve sv´az´an´e podobˇe s popisov´ym polem na cˇ eln´ı stranˇe a opatˇrena na zaˇca´ tku obsahem pro snadnou orientaci. N´aleˇzit´a u´ prava je d˚uleˇzitou charakteristikou technick´e zpr´avy.

ˇ ı informace 3 Dals´ ˇ reneho ´ ˇ na referencn´ ˇ ı elipsoid Pˇrevod meˇ smeru K pˇreveden´ı namˇeˇren´eho u´ hlu na referenˇcn´ı elipsoid je tˇreba zav´est tˇri korekce pro smˇery vytv´aˇrej´ıc´ı mˇeˇren´y u´ hel: Korekce δ1 z rozd´ılu t´ızˇ nice a norm´aly k elipsoidu je poˇc´ıt´ana ze vzorce δ1 = − (ξ sin α − η cos α) cot z ,

(1)

Ve vzorci (1) jsou ξ a η meridi´anov´a a pˇr´ıcˇ n´a sloˇzka t´ızˇ nicov´e odchylky Θ v bodˇe P , α je azimut z´amˇery a z jej´ı zenitov´y u´ hel. Korekci δ2 z v´ysˇky c´ıle nad elipsoidem (z nadmoˇrsk´e v´ysˇky) poˇc´ıt´ame ze zjednoduˇsen´eho vzorce 00

δ2 = 0, 108H2(km) cos2 ϕ sin 2α .

(2)

Korekci δ3 azimutu (smˇern´ıku) norm´alov´eho ˇrezu na azimut (smˇern´ık) geodetick´e cˇ a´ ry poˇc´ıt´ame ze zjednoduˇsen´eho vzorce skm δ3 = −0, 028 cos ϕ sin 2α 100 00



2

2

.

(3)

Pro pˇrevod na referenˇcn´ı elipsoid se korekce δ1 , . . . , δ3 pˇriˇc´ıtaj´ı. Uveden´e korekce δ1 , . . . , δ3 jsou pro d´elky stran s < 10 km velmi mal´e, a lze je proto zanedbat. ˇ reneho ´ ˇ na pˇr´ımou spojnici v rovineˇ Kˇrovakova ´ Pˇrevod meˇ smeru zobrazen´ı Pro tento pˇrevod se pouˇz´ıv´a vzorec 00

0

0

δ12 = (D2 − D1 ) kde Ki =

00

R2 R1 2K1 + K2 R1 R2





,

(4)

sin So − sin Si . = 5.3145 · 10−9 ∆Ri + 2.045 · 10−15 ∆Ri2 , 6 sin So 0

Yi ∆Ri = Ri − Ro (v metrech), Ro = 1 298 039, 0046 m, Ri2 = Yi2 + Xi2 , Di = arctan X . i

Pro opaˇcn´y smˇern´ık plat´ı 00

0

0

δ21 = −(D2 − D1 )

00

R2 R1 K1 + 2K2 R1 R2



6



.

Pro pˇrevod do roviny zobrazen´ı se korekce δ12 a δ21 pˇriˇc´ıtaj´ı. Pro pˇrevod mˇeˇren´eho u´ hlu ω mer do roviny zobrazen´ı (ω Krovak ) plat´ı ω Krovak = ω mer + δP − δL , kde δP , δL jsou smˇerov´e korekce pro prav´e a lev´e rameno u´ hlu. ˇ renych ˇ u˚ Centrace meˇ ´ smer Protoˇze stanovisko i c´ıl jsou excentrick´e, je nutno zmˇerˇit centraˇcn´ı prvky a osnovu mˇerˇen´ych smˇer˚u pˇred dalˇs´ım zpracov´an´ı centrovat. Jedno z moˇzn´ych ˇreˇsen´ı opravy mˇeˇren´eho smˇeru S1 C2 je naznaˇceno na obr´azku 3.

+x ωC2

ec2 C2

2

s12

ec1

C1

ωS1 es1 S1 +y

ωC1 1 Obr´azek 3: Centrace u´ hl˚u (troj´uheln´ık – centr; S, C – excetrick´e stanovisko a c´ıl)

Pro souˇradnice bod˚u S1 , C1 , C2 ve zvolen´e m´ıstn´ı soustavˇe souˇradnic plat´ı: XS1 = eS1 cos(δ1 + ωS1 )

(5a)

YS1 = eS1 sin(δ1 + ωS1 )

(5b)

XC1 = eC1 cos(δ1 + ωC1 )

(5c)

YC1 = eC1 sin(δ1 + ωC1 )

(5d)

XC2 = eC2 cos(δ2 + ωC2 ) + s12

(5e)

YC2 = eC2 sin(δ2 + ωC2 ) ,

(5f)

7

kde eS1 , eC1 , eC2 jsou excentricity stanoviska a c´ıl˚u a s12 je vzd´alenost mezi centry (viz pozn´amka ´ 2). Ulohu je tˇreba ˇreˇsit iterativnˇe. V prv´e iteraci lze poloˇzit smˇern´ıky δ1 , δ2 rovny nule. V dalˇs´ıch iteraˇcn´ıch kroc´ıch je lze vypoˇc´ıtat ze souˇradnic. V´ysledn´a oprava mˇeˇren´eho smˇeru S1 C2 je z´apornˇe vzat´y smˇern´ık t´eto strany v m´ıstn´ı souˇradnicov´e soustavˇe. Pozn´amka 1: uveden´y postup centrace neplat´ı zcela, nebot’ centraˇcn´ı prvky jsou ve skuteˇcnosti meˇreny na excentrick´em stanovisku. Avˇsak snadnou u´ pravou obdrˇz´ıte postup spr´avn´y. Pozn´amka 2: vzd´alenost s12 je vodorovn´a vzd´alenost mezi centrem 1 a pr˚umˇetem centru 2 do vodorovn´e roviny proch´azej´ıc´ı centrem 1. ´ ı redukce delek ´ Fyzikaln´ Fyzik´aln´ı redukce se urˇc´ı z mˇerˇen´ych hodnot tlaku, teploty a vlhkosti pomoc´ı nomogramu nebo tabulek pˇripraven´ych pro dan´y typ d´alkomˇeru nebo z rovnice 

D = Dmer 1 + ∆D · 10−6



p 1 5, 5 · 10−2 · − ·e 760 1 + t · α 1+t·α kde p je atmosf´erick´y tlak v mmHg (torr), t je teplota vzduchu ve ◦ C, e je relativn´ı vlhkost vzduchu v %, α = 1/276,16. ∆D = 280, 2096 − 295, 8193 ·

´ Matematicka´ redukce delek 1. Oprava z refrakce:

D0 , r = R/k , 2r kde k je tzv. refrakˇcn´ı koeficient. Pokud nen´ı k dispozici jin´a hodnota, uvaˇzujeme k = 0, 13. d0 = 2 r sin

2. Pˇrevod na d´elku pˇr´ım´e spojnice v rovinˇe kartografick´eho zobrazen´ı: Zn´ame-li pˇribliˇzn´e hodnoty elipsoidick´ych souˇradnic bod˚u s´ıtˇe, m˚uzˇ eme d´elku dJT SK vypoˇc´ıtat n´asleduj´ıc´ım postupem: a) Z pˇribliˇzn´ych hodnot ϕo , λo , ho + hT vypoˇcteme souˇradnice bod˚u v rovinˇe Kˇrov´akova zobrazen´ı a d´elku pˇr´ım´e spojnice doJT SK obraz˚u tˇechto bod˚u. Veliˇcina hT znaˇc´ı v´ysˇku postaven´ı d´alkomˇeru resp. odrazn´ych hranol˚u. b) Po pˇrevodu ϕo , λo , ho + hT na provo´uhl´e prostorov´e souˇradnice m˚uzˇ eme vypoˇc´ıtat prostorovou vzd´alenost doXY Z odpov´ıdaj´ıc´ı pˇribliˇzn´ym poloh´am bod˚u. c) V´yslednou d´elku dJT SK vypoˇcteme z n´asleduj´ıc´ıho vztahu dJT SK dmer. = o . doJT SK dXY Z

8