Transzformációk síkon, térben
Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Transzformáció: Ha A = B, azaz a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. Nem elfajult leképezés: A kiinduló tér és a képtér dimenziója megegyezik, azaz a leképezés során nem történik dimenzióvesztés. (Pl. a transzformációk ennek eleget tesznek.) Elfajult leképezés: A képtér dimenziója alacsonyabb, mint a kiinduló tér dimenziója. (Pl. a tér síkra történő leképezései – párhuzamos, centrális vetítés, axonometria )
Transzformációk A jellemzés szempontja milyen geometriai tulajdonságokat hagynak invariánsan. Alapvető elvárások:
Egyenestartás (lineáris transzformációk) Illeszkedéstartás
További elvárások lehetnek:
Szögtartás Távolságtartás Párhuzamosságtartás Osztóviszonytartás Kettősviszonytartás Körüljárási irány megtartása
A sík transzformációi
Mozgások:
Eltolás Pont körüli forgatás Ezek kombinációja
Egybevágósági transzformációk:
Mozgások Tükrözések Ezek kombinációja
Tulajdonságok Lineáris transzformáció Szögtartó Párhuzamosságtartó Távolságtartó Irányítástartó Lineáris transzformáció Szögtartó Párhuzamosságtartó Távolságtartó
A sík transzformációi Eltolás
Forgatás
A d(dx,dy) vektorral történő eltolás:
Mátrixos formában:
Origó körüli a szöggel történő forgatás:
Homogén koordinátákban:
Homogén koordinátákban:
A sík transzformációi - tükrözések
Az x tengelyre való tükrözés:
Az y tengelyre való tükrözés:
Mátrixos alakban:
Mátrixos formában:
Mátrixa homogén koordinátákban:
Homogén koordinátákban:
A sík transzformációi - tükrözések
Az y=x egyenesre való tükrözés:
Origóra való tükrözés:
Mátrixos formában:
Mátrixos formában:
Homogén koordinátákban:
Homogén koordinátákban:
A sík egybevágósági transzformációi Az eltolás kivételével minden egybevágósági transzformáció egy 2´2-es mátrixszal azonosítható. Reguláris mátrixok biztosítják a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést, illetve a transzformációk invertálhatóságát. Identitás - egységmátrix Transzformáció inverze - inverz mátrix Transzformációk egymás utáni végrehajtása – mátrixok szorzása Egybevágósági (euklideszi) transzformációk - ortogonális mátrixok Egy M mátrix ortogonális, ha a transzponáltja egyben az inverze is. M’=M─1 det(M)=±1
Mozgások (irányítást nem váltó tr.) - +1 det. ortogonális mátrixok Tükrözések (irányítást váltó tr.) - -1 det. ortogonális mátrixok
A sík egybevágósági transzformációi
Homogén koordinátákat használva az eltolás különleges szerepe megszűnik. 3´3-as mátrixokkal azonosítjuk a transzformációt.
2´2-es ortogonális mátrix
eltolás-vektor
A sík hasonlósági transzformációi
Hasonlósági transzformációk:
Origó középpontú, l arányú hasonlóság:
A nemelfajult hasonlósági transzformációk olyan 2´2-es reguláris mátrixszal adhatók meg, melyekre AA’=kE, ahol k≠0.
középpontos hasonlóság euklideszi transzformációk ezek kombinációja
A sík affin transzformációi Az eddigi transzformációkat leíró 2´2-es reguláris mátrixok vagy ortogonálisak, vagy az AA’=kE (k≠0) feltételnek tesznek eleget.
Milyen transzformációkat írnak le a kimaradó reguláris mátrixok?
Nem lesznek távolságtartók. Nem tartják meg a tetszőleges irányú szakaszok arányát.
Affinitások Összességében a 2´2-es reguláris mátrixok egyenestartó, illeszkedéstartó,osztóviszonytartó leképezéseket írnak le. Az hasonlósági transzformációkhoz képest nagyobb szabadságot adnak.
A sík affin transzformációi
A hasonlósági transzformációkkal újabb „elemi” transzformációk kombinálódnak:
Skálázás (tengelyenként különböző mértékben)
Nyírás (eláció) A sík pontjait egy egyenessel párhuzamosan „elcsúsztatjuk” úgy, hogy a „csúsztatás” mértéke egyenesen arányos a fix egyenestől mért előjeles távolsággal. Az x tengellyel párhuzamos nyírás:
Az y tengellyel párhuzamos nyírás:
A sík affin transzformációi A síkbeli affinitás alaptétele: Egy síkbeli affinitást három általános helyzetű pont és azok képei egyértelműen meghatároznak. (Ekkor a sík bármely negyedik pontjának képe egyértelműen meghatározható.) Tengelyes affinitás (speciális affinitás): Az affinitások speciális esete, egy egyenes pontonként helyben marad a leképezés során. A fix egyenes neve: tengely Az egymásnak megfelelő pontokat összekötő egyenesek egymással párhuzamosak.
A sík projektív transzformációi Egy transzformáció projektív transzformáció, ha egyenestartó illeszkedéstartó kettősviszonytartó.
A kettősviszony középpontos vetítéssel szemben invariáns.
A projektív transzformációk a sík legáltalánosabb transzformációi, melyek a párhuzamosságot sem tartják meg. A síkbeli projektivitás alaptétele: Egy síkbeli projektív transzformációt négy általános helyzetű pont, és azok képei egyértelműen meghatároznak. A síkon bármely négyszöget bármely másik négyszögbe átvihetünk projektivitás segítségével.
A sík projektív transzformációi A végtelen távoli elemekkel kibővített síkon értelmezzük, nemcsak a véges helyzetű pontokra hatnak, hanem a végtelen távoliakra is. Ellentengelyek:
A végtelen távoli egyenes képe egy közönséges egyenes lesz. Van egy olyan közönséges egyenes, amelynek a képe a sík végtelen távoli egyenese.
Mi történik akkor, ha a végtelen távoli egyenes képe önmaga? Ekkor az affin leképezéseket kapjuk.
A sík projektív transzformációi Analitikus leírás homogén koordinátákban:
A koordináták közötti kapcsolatot leíró egyenletrendszer:
Mátrix alakban:
A proj. leképezés hatása a véges részen Descartes-féle koordinátákban is megadható:
(Lineáris tört kifejezés)
A tér projektív transzformációi A térbeli projektivitás alaptétele: Egy térbeli projektív transzformációt öt általános helyzetű pont, és azok képei egyértelműen meghatároznak. A projektivitás alaptétele: Egy n dimenziós projektív térbeli projektív transzformációt n+2 általános helyzetű pont, és azok képei egyértelműen meghatároznak.
A tér projektív transzformációi Analitikus leírás homogén koordinátákban: A koordináták közötti kapcsolatot leíró egyenletrendszer: Azaz minden projektív transzformációhoz arányosság erejéig hozzárendelünk egy 4´4-es reguláris mátrixot.
A tér affin transzformációi Az affin transzformációk olyan projektív transzformációk, melyeknél a végtelen távoli sík önmagára képződik le. Kettősviszonytartás helyett belép az osztóviszonytartás. |A44|0 (A44 a harmadrendű főminor) Az utolsó sor
0001
A tér hasonlósági transzformációi A hasonlósági transzformációk olyan affin transzformációk, melyeknél tetszőleges állású szakaszok aránya állandó. Analítikusan: A 4´4-es reguláris mátrixban az utolsó sor 0001 A harmadrendű főminorra teljesül az MM’=kE (k≠0) tulajdonság.
A tér egybevágósági transzformációi Az egybevágósági transzformációk olyan hasonlósági transzformációk, melyek a szakaszok hosszát megtartják. Analítikusan: A 4´4-es reguláris mátrixban az utolsó sor 0001 A harmadrendű főminor ortogonális 3´3-as mátrix(inverze azonos a transzponáltjával.)
A tér mozgásai A mozgások olyan egybevágósági transzformációk, melyek az alakzatok irányítását megtartják. Analítikusan: A 4´4-es reguláris mátrixban az utolsó sor 0001 A harmadrendű főminor olyan ortogonális mátrix, melynek a determinánsa +1.
Eltolások helye a transzformációk leírásában Homogén koordinátás leírásban az eltolásvektor koordinátái az utolsó oszlopban jelennek meg. Az affin transzformáció mátrixa
eltolás-vektor
Példák
A d vektorral való eltolás homogén koordinátákban
Az x tengely körüli +a szöggel való forgatás
Az y tengely körüli +a szöggel való forgatás
A z tengely körüli +a szöggel való forgatás
Példák
Az xy síkra való tükrözés
A tengelyek mentén különböző mértékű skálázás
Az xy síkkal párhuzamos, l,m arányú nyírás
