TRAIN SCHEDULING PROBLEM

UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2009 – 2010

TRAIN SCHEDULING PROBLEM

Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur

Lieselotte Michels onder leiding van Prof. dr. ir. M. Vanhoucke

UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2009 – 2010

TRAIN SCHEDULING PROBLEM

Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur

Lieselotte Michels onder leiding van Prof. dr. ir. M. Vanhoucke

“PERMISSION”

Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag worden geraadpleegd en/of gereproduceerd, mits bronvermelding.

Woord Vooraf

Met deze thesis beëindig ik mijn studies handelsingenieur. Het was bijzonder verrijkend om de kennis die ik gedurende mijn vijfjarige studies heb opgedaan te kunnen toepassen op een praktisch probleem.

Een thesis schrijven is evenwel niet mogelijk zonder de hulp van

anderen. In eerste instantie wil ik NMBS Mobility bedanken en in het bijzonder de heer Benny Vervoort, adjunct Eerste Adviseur, en mevrouw Ellen Courtois, Commercieel Adviseur. Zij hebben met plezier mij te woord gestaan en mij de nodige informatie bezorgd. Vervolgens bedank ik professor dr. Broos Maenhout voor het opvolgen van de vooruitgang van en het helpen vormgeven aan deze thesis. Daarnaast bedank ik professor dr. ir. Mario Vanhoucke voor het mogelijk maken van dit thesisonderzoek. Tot slot bedank ik mijn schoonzus Alien, licentiate Nederlands-Engels, voor het nalezen van deze thesis en mijn vriend Frederic voor het luisterend oor dat hij mij steeds met plezier heeft aangeboden.

i

Inhoudsopgave

Hoofdstuk 1: Inleiding ................................................................................................................. 1 1.1 Recente ontwikkelingen in passagierstreinverkeer en mobiliteit .................................... 1 1.1.1

De grote mobiliteitsbehoefte van de Belg ......................................................... 1

1.1.2

Modale verdeling van transportmogelijkheden ................................................. 1

1.1.3

De trein als antwoord op de milieuproblematiek .............................................. 4

1.1.4

Operationele performantie.................................................................................. 4

1.1.5

Liberalisering van het Europese spoorverkeer ................................................. 5

1.2 Opbouw en relevantie van deze thesis ............................................................................. 5 Hoofdstuk 2: Plannen van de dienstregeling .......................................................................... 8 2.1 De verschillende fasen in treinplanning ............................................................................ 8 2.1.1

Schatting van de vraag ....................................................................................... 9

2.1.2

De lijnplanning ..................................................................................................... 9

2.1.3

Planning van de dienstregeling.......................................................................... 9

2.1.4

Planning van het rollend materieel .................................................................. 10

2.1.5

Personeelsplanning .......................................................................................... 11

2.2 Tools voor het opstellen van de dienstregeling .............................................................. 12 2.3 Het opstellen van de dienstregeling bij de NMBS .......................................................... 14 Hoofdstuk 3: Modelleren van de dienstregeling................................................................... 21 3.1 Werkvoorbeeld .................................................................................................................. 22 3.1.1

Probleemgrootte ................................................................................................ 22

3.1.2

Netwerkkarakteristieken ................................................................................... 22

3.1.3

Dienstregeling ................................................................................................... 24

3.1.4

Tijd-plaatsdiagrammen ..................................................................................... 25

3.2 Oplijsting van de meest voorkomende objectieven ....................................................... 28 3.2.1

Uitvoerbare dienstregeling ............................................................................... 28

3.2.2

Kwaliteitsmaximalisatie..................................................................................... 29

3.2.3

Kostenminimalisatie .......................................................................................... 33 ii

Inhoudsopgave

iii

3.3 Oplijsting van de meest voorkomende restricties .......................................................... 34 3.3.1

Logische restricties ........................................................................................... 35

3.3.2

Reistijd ............................................................................................................... 38

3.3.3

3.3.2.1

Algemeen ............................................................................................... 38

3.3.2.2

Tussen stations ..................................................................................... 40

3.3.2.3

In stations............................................................................................... 42

Veiligheidsrestricties ......................................................................................... 48 3.3.3.1

In stations............................................................................................... 49

3.3.3.2

Tussen stations ..................................................................................... 52

3.4 Overzicht objectieven en restricties in de literatuur en in de praktijk ........................... 54 3.5 Het dienstregelingsprobleem in de literatuur .................................................................. 56 3.5.1

Modelleringstechnieken .................................................................................... 56

3.5.2

Oplossingsmethode .......................................................................................... 57

3.5.3


3.5.4

Probleemkarakteristieken ................................................................................. 59

3.5.5

Rariteiten............................................................................................................ 63

3.6 Besluit ................................................................................................................................ 65 Hoofdstuk 4: Verbeteren van de dienstregeling (case study) ........................................... 67 4.1 Probleemdefiniëring .......................................................................................................... 67 4.2 Onderzoeksopzet .............................................................................................................. 67 4.2.1


4.2.2

Probleemkarakteristieken ................................................................................. 69

4.2.3

Huidige dienstregeling ...................................................................................... 71

4.2.4

Motivatie voor netwerkkeuze............................................................................ 71

4.3 Modellering ........................................................................................................................ 72 4.3.1

Methodiek .......................................................................................................... 72

4.3.2

Assumpties ........................................................................................................ 73

4.3.3

Beslissingsvariabelen ....................................................................................... 78

4.3.4

Variabelen.......................................................................................................... 79

4.3.5

Parameters ........................................................................................................ 80

4.3.6

Doelfuncties ....................................................................................................... 82

4.3.7

Restricties .......................................................................................................... 83

4.4 Optimalisatie ...................................................................................................................... 89 4.4.1

Analyse van de huidige dienstregeling............................................................ 89

4.4.2

Bepaling van de initiële parameterwaarden ................................................... 90

4.4.3

Gevoeligheidsanalyses..................................................................................... 93

Inhoudsopgave

4.4.4

iv

Conclusies ......................................................................................................... 98

4.5 Simulatie ............................................................................................................................ 99 4.5.1

Opzet ................................................................................................................ 100

4.5.2

Conclusies ....................................................................................................... 102

4.6 Optimalisatie naar meerdere objectieven ..................................................................... 103 4.6.1

Opzet ................................................................................................................ 103

4.6.2

Conclusies ....................................................................................................... 104

4.7 Conclusies van de case study ....................................................................................... 105 Hoofdstuk 5: Algemeen besluit ............................................................................................. 107 5.1 Het plannen van de dienstregeling ................................................................................ 107 5.2 Het modelleren van de dienstregeling .......................................................................... 108 5.3 Het verbeteren van de dienstregeling (case study) ..................................................... 109 5.4 Beperkingen van deze thesis en richtlijnen voor verder onderzoek ........................... 110 Hoofdstuk 6: Lijst van de geraadpleegde werken .............................................................. 111 Hoofdstuk 7: Bijlagen .............................................................................................................. 114 7.1 Percentage van de beroepsbevolking werkend buiten woonplaats (provincie) ........ 114 7.2 Modale verdeling van transportmogelijkheden............................................................. 115 7.3 Kostenvergelijking auto vs. openbaar vervoer ............................................................. 117 7.4 De trein als antwoord op de milieuproblematiek .......................................................... 119 7.5 Nieuwe dienstregeling en tijd-plaatsdiagrammen horende bij voorbeeld objectief 4 120 7.6 Dienstregeling en tijd-plaatsdiagrammen horende bij voorbeeld objectief 5 ............. 122 7.7 Tijd-plaatsdiagrammen horende bij voorbeeld objectief 6........................................... 124 7.8 Overzicht aantal stations en treinen in testinstantie, per auteur ................................. 125 7.9 Oorspronkelijk netwerk ................................................................................................... 128 7.10 Berekening van de gewichten horende bij de transfertijden .................................... 129 7.11 Berekening van de gewichten horende bij de reistijden........................................... 131 7.12 Overzicht van de gedefinieerde verzamelingen........................................................ 133

Lijst van gebruikte afkortingen

CR-trein: CityRail-trein FOD: Federale Overheidsdienst IC-trein: InterCity trein ICT-trein: extra ingelegde trein naar de kust in het hoogseizoen IR-trein: InterRegio trein L-trein: stoptrein Min: minuten NMBS Mobility: De dienst binnen NMBS verantwoordelijk voor de planning van de dienstregeling NMBS: Nationale Maatschappij der Belgische Spoorwegen P-trein: piekuurtrein Sec: seconden

v

Lijst van definities

Conflict: er is sprake van een conflict tussen twee treinen wanneer deze twee zich op hetzelfde moment op hetzelfde spoor bevinden. Deze situatie komt voor in twee gevallen. Ten eerste kan een trein sneller reizen dan de trein voor zich, waardoor hij hem inhaalt en uiteindelijk op hem inrijdt. Ten tweede kunnen twee treinen die in de tegengestelde richting reizen frontaal op elkaar inrijden. Enkelsporige baanvakken: als er in een bepaald gebied slechts één spoorlijn getrokken is, dan is dit een enkelsporig baanvak. Treinen uit beide richtingen moeten het spoor gebruiken en er kan slechts een trein tegelijk op rijden. Enkelsporige baanvakken komen vaak voor in Noord-Amerika. Haltetijd: een trein die stopt in een station, blijft daar gedurende een tijd wachten. Deze wachttijd heet de haltetijd. Deze tijd is nodig voor het in- en uitstappen van passagiers, om in sommige, vooraf bepaalde stations veiligheidscontrole uit te voeren en voor andere diensten. Lijn: een treinlijn is een verbinding tussen een begin- en eindstation, bijvoorbeeld BrusselZuid – De Panne. Daartussen stopt de trein in een bepaalde stations. Link: dit is een term voor de sporen die twee opeenvolgende stations verbinden. Meersporige baanvakken: in dit geval zijn er minstens twee spoorlijnen aanwezig. Hier werd dan aan elk baanvak een richting toegewezen; treinen uit de tegenovergestelde richting mogen dus het spoor niet gebruiken. In Europa vindt men vooral meersporige baanvakken terug. Hier en daar echter, in de minder drukke regio‟s, treft men enkelsporige baanvakken aan. Omkeertijd: wanneer een trein aankomt in zijn eindstation, dan heeft deze trein een bepaalde tijd nodig om om te keren. Deze tijd is nodig voor het schoonmaken, de veiligheidscontrole, om bepaalde wagons af te koppelen en uit de weg te plaatsen, als buffertijd om vertraging in te halen,… Na het omkeren vat de trein gewoonlijk de terugreis aan. Het gebeurt echter ook dat een trein op een andere lijn gaat rijden. Opvolgtijd: de tijdsspanne tussen twee opeenvolgende treinen op hetzelfde spoor, al dan niet in dezelfde richting.

vi

Lijst van definities

vii

Parkeren: het parkeren van een trein is het uit de weg zetten ervan. Treinen moeten soms geparkeerd worden wanneer ze een lange haltetijd in een station hebben en men deze trein uit de weg moet zetten om een andere trein te laten passeren. Ook parkeert men treinen om te laten „overnachten‟. Reistijd: de reistijd is de tijd die een trein nodig heeft om van zijn beginstation naar zijn eindstation te reizen. Reizigerskilometer: dit is het aantal kilometers dat een reiziger gemiddeld reist met de trein. Rijpad: een rijpad is het deel van het netwerk waarover een trein rijdt. Dit is niet hetzelfde als een treinlijn; het gaat hier immers om de fysieke sporen. Treinkilometer: dit is het aantal kilometers dat een trein gereden heeft in een bepaalde tijd. Treintype: op de Belgische sporen reizen zes verschillende types reizigerstreinen. Vier ervan vormen het basisaanbod treinen, nl. de InterCity- (IC), InterRegio- (IR), Stop- (L) en CityRailtreinen (CR). Deze vier verschillen in snelheid waarmee ze reizen, het aantal passagiers dat ze vervoeren, het stoppatroon dat ze volgen en de totale afstand waarover ze reizen. De IC-treinen zijn de snelste, maar stoppen enkel in grote stations. De IR-treinen reizen minder snel en stoppen in meer stations dan de IC-treinen. De L- treinen zijn de traagste en stoppen in elk station dat ze passeren. CR-treinen reizen even snel als de Ltreinen, maar rijden enkel in Brussel. Verder zijn er nog twee types die het treinaanbod aanvullen, nl. de P- en ICT-treinen. P-treinen worden ingelegd tijdens piekuren om de grotere reizigersstroom op te vangen, terwijl ICT-treinen de grote toeloop naar de kust opvangen tijdens de zomer. Elke treinlijn is exact een treintype. Verbinding: wanneer er geen rechtstreekse trein bestaat voor de reis die de passagier wil ondernemen, moet hij op een gegeven moment een of meerdere overstappen maken. Stel dat de passagier moet overstappen van trein a op trein b, dan is a-b een verbinding.

Lijst van figuren

Figuur 1: De jaarlijkse verandering in het aantal vervoerde treinreizigers uitgedrukt in % (gebaseerd op [27]) ......................................................................................................................... 2 Figuur 2: De evolutie en extrapolatie van het aantal afgelegde treinkilometers ten opzichte van 1997 (gebaseerd op [27]) ........................................................................................................ 3 Figuur 3: Opbouw thesis (eigen werk)........................................................................................... 6 Figuur 4: Schematische voorstelling van de verschillende fasen in het treinplanningsproces (gebaseerd op [35]) ......................................................................................................................... 9 Figuur 5: Het hiërarchisch treinplanningsproces (aangepast uit [15]) ...................................... 12 Figuur 6: Tijd-plaatsdiagram van de treinlijnen tussen Rotterdam en Utrecht (overgenomen uit [17]) ........................................................................................................................................... 14 Figuur 7: De verschillende stappen in het opstellen van de dienstregeling. (Gebaseerd op gesprek met mevrouw Courtois E., 2 maart 2010, Brussel) ...................................................... 15 Figuur 8: Het treinplanningsproces bij de NMBS (eigen werk) ................................................. 17 Figuur 9: Het netwerkschema (aangepast uit [36]) .................................................................... 24 Figuur 10: Het tijd-plaatsdiagram tussen Heist-op-den-Berg en Aarschot (eigen werk)......... 25 Figuur 11: Het tijd-plaatsdiagram tussen Hasselt en Aarschot (eigen werk) ........................... 26 Figuur 12: Het tijd-plaatsdiagram tussen Leuven en Aarschot (eigen werk) ........................... 26 Figuur 13: Het tijd-plaatsdiagram tussen Leuven en Hasselt via Sint-Truiden, met 0 minuten als oorsprong (eigen werk) ........................................................................................................... 27 Figuur 14: Het tijd-plaatsdiagram tussen Leuven en Hasselt via Sint-Truiden, met 30 minuten als oorsprong (eigen werk) ........................................................................................................... 27 Figuur 15: De invloed van wachttijd ontstaan door een conflict tussen twee treinen (eigen werk) ............................................................................................................................................... 30 Figuur 16: Het netwerkschema met aanduiding van een boog en een knooppunt (aangepast uit [36]) ........................................................................................................................................... 34 Figuur 17: Visuele voorstelling van de restrictie „continuïteit van de treinbeweging door het netwerk‟ (eigen werk) .................................................................................................................... 35 Figuur 18: Visuele voorstelling van de restrictie „vertrek uit knooppunt‟ (eigen werk) ............ 36

viii

Lijst van figuren

ix

Figuur 19: Visuele voorstelling van de restrictie „consistentie van treinen op elke link‟ (eigen werk) ............................................................................................................................................... 37 Figuur 20: Schematische voorstelling van de restrictie „totale reistijd‟ (eigen werk) ............... 39 Figuur 21: Schematische voorstelling van de restrictie „reistijdsupplement‟ (eigen werk) ...... 42 Figuur 22: Het tijd-plaatsdiagram van lijn D en B tussen Leuven en Aarschot (eigen werk).. 45 Figuur 23: Het tijd-plaatsdiagram van lijn D en A tussen Heist-op-den-Berg en Aarschot (eigen werk) ................................................................................................................................... 46 Figuur 24: Het tijd-plaatsdiagram van lijn A, B en C tussen Alken en Aarschot met een overstap in Hasselt (eigen werk).................................................................................................. 47 Figuur 25: Schematische voorstelling van de opvolgtijd in situatie a, b, c en d (eigen werk) 50 Figuur 26: Schematische voorstelling van de opvolgtijd in situatie e1 en e2 (eigen werk) .... 51 Figuur 27: Visuele voorstelling van de receptie- en expeditietijd (aangepast uit [2]) .............. 53 Figuur 28: Het netwerkschema (eigen werk) .............................................................................. 68 Figuur 29: Evolutie van de procentuele verdeling van de primaire transportkeuze om naar het werk te gaan tussen 2005 en 2008 (gebaseerd op [13]) ......................................................... 115 Figuur 30: Procentuele verdeling van de primaire transportkeuze van Belgen om naar het werk te gaan in 2008 (gebaseerd op [13]) ................................................................................ 115 Figuur 31: Invloed van de gemiddelde afstand op de gekozen verplaatsingsmodus (overgenomen uit [13])................................................................................................................ 116 Figuur 32: Specifieke CO2-emissie van reizigers- en goederenverkeer (overgenomen uit [28]) ...................................................................................................................................................... 119 Figuur 33: Evolutie van de totale CO 2-emissie van spoor- vs. wegverkeer sinds 1990 (overgenomen uit [28])................................................................................................................ 119 Figuur 34: Nieuw tijd-plaatsdiagram tussen Heist-op-den-Berg en Aarschot, horende bij het voorbeeld van objectief 4 (eigen werk)...................................................................................... 121 Figuur 35: Nieuw tijd-plaatsdiagram tussen Hasselt en Aarschot, horende bij het voorbeeld van objectief 4 (eigen werk) ....................................................................................................... 121 Figuur 36: Oorspronkelijk tijd-plaatsdiagram tussen Alken en Aarschot met een overstap in Hasselt, horende bij het voorbeeld van objectief 5 (eigen werk) ............................................ 123 Figuur 37: Tijd-plaatsdiagram van de optimale verbinding tussen Alken en Aarschot met een overstap in Hasselt, horende bij het voorbeeld van objectief 5 (eigen werk)......................... 123 Figuur 38: Nieuw tijd-plaatsdiagram van lijn C en A horende bij het voorbeeld van objectief 6 (eigen werk) ................................................................................................................................. 124 Figuur 39: Nieuw tijd-plaatsdiagram van lijn B en A horende bij het voorbeeld van objectief 6 (eigen werk) ................................................................................................................................. 124 Figuur 40: Deel van het Belgische spoornetwerk anno 2010.................................................. 128

Lijst van tabellen

Tabel 1: Rollen van verschillende NMBS-diensten bij de planning van de dienstregeling (eigen werk) ................................................................................................................................... 18 Tabel 2: Schematisch verloop van het opmaken van de dienstregeling bij de NMBS (gebaseerd op gesprek met mevrouw Courtois E., 2 maart 2010, Brussel) ............................ 19 Tabel 3: De frequentie van treinen per lijn (gebaseerd op [36]) ................................................ 24 Tabel 4: Dienstregeling (overgenomen uit [36]) ......................................................................... 25 Tabel 5: Boven- en ondergrens aan de vertrek- en aankomsttijd voor lijn B0, in minuten (eigen werk) ................................................................................................................................... 39 Tabel 6: Effect van snelheidslimieten op de reistijd van lijn A (eigen werk) ............................ 40 Tabel 7: Berekening van de ideale reistijd en de reistijd inclusief versnellings - en vertragingstijd (eigen werk) .......................................................................................................... 41 Tabel 8: Vermelde omkeertijden in de literatuur en in de praktijk (eigen werk) ....................... 43 Tabel 9: Vermelde haltetijden in de literatuur en in de praktijk (eigen werk) ........................... 43 Tabel 10: Vermelde transfertijden in de literatuur en in de praktijk (eigen werk) .................... 47 Tabel 11: Vermelde opvolgtijden in de literatuur en in de praktijk (eigen werk) ...................... 49 Tabel 12: Overzicht van de objectieven en restricties per auteur en in de praktijk, met aanduiding of al dan niet een cyclische dienstregeling wordt nagestreefd (eigen werk) ........ 54 Tabel 13: Indeling van modellering naar lineair, cyclisch en event-model (eigen werk) ......... 57 Tabel 14: Beslissingsregels (eigen werk) ................................................................................... 58 Tabel 15: Overzicht van modelleringtechniek, oplossingsmethode, probleemgrootte en probleemkarakteristieken per auteur (eigen werk) ..................................................................... 60 Tabel 16: Rariteiten per auteur (eigen werk) .............................................................................. 64 Tabel 17: De dienstregeling (eigen werk) ................................................................................... 71 Tabel 18: Gekozen verbinding (eigen werk) ............................................................................... 74 Tabel 19: Aantal uit- en opstappende passagiers voor verbinding x-y, uitgedrukt in aantal passagiers (eigen werk)................................................................................................................ 75 Tabel 20: Beslissingsregels voor corrigeren van het aantal overstappende passagiers (eigen werk) ............................................................................................................................................... 76

x

Lijst van tabellen

xi

Tabel 21: Beslissingsregels voor het toekennen van prioriteiten aan verbindingen (eigen werk) ............................................................................................................................................... 76 Tabel 22: Finaal aantal overstappende passagiers (eigen werk) ............................................. 76 Tabel 23: De mogelijke

𝒓𝒙𝒚𝟏, 𝒚𝟐-waarden (gebaseerd op e-mailverkeer met mevrouw

Courtois E., 15 maart, 2010) ........................................................................................................ 81 Tabel 24: Parameterwaarden in de huidige dienstregeling (eigen werk) ................................. 90 Tabel 25: Parameterwaarden en –intervallen in het LP-model (eigen werk) ........................... 92 Tabel 26: Gevoeligheidsanalyse van de onder- vs. bovenlimiet voor de rijtijtolerantie (resp. R(LB) en R(UB)) (eigen werk) ...................................................................................................... 93 Tabel 27: Gevoeligheidsanalyse van de rijtijdtolerantieonderlimiet (R(LB)) en de maximum transfertijd voor een A-prioriteitverbinding (Ta) (eigen werk) .................................................... 94 Tabel 28: De gevoeligheidsanalyse van de maximum transfertijd voor prioriteit Bverbindingen (Tb) en de onderlimiet van de rijtijdtolerantie (R(LB)) (eigen werk) ................... 94 Tabel 29: De gevoeligheidsanalyse van de maximum transfertijd voor prioriteit Cverbindingen (Tc) en de onderlimiet van de rijtijdtolerantie (R(LB)) (eigen werk) ................... 95 Tabel 30: De gevoeligheidsanalyse van de maximum transfertijd voor prioriteit Averbindingen (Ta) en maximum haltetijden (H) (eigen werk) .................................................... 96 Tabel 31: Gevoeligheidsanalyse van de minimum en maximum omkeertijd (resp. O(LB) en O(UB)) (eigen werk) ...................................................................................................................... 96 Tabel

32:

Gevoeligheidsanalyse

van

de

minimum

omkeertijd

(O(LB))

en

de

rijtijdtolerantiebovenlimiet (R(UB)) (eigen werk) ......................................................................... 96 Tabel 33: Gevoeligheidsanalyse van de minimum en maximum koppeltijd (resp. K(LB) en K(UB)) (eigen werk) ...................................................................................................................... 97 Tabel

34:


van

de

synchronisatietolerantie

(S)

en

de

rijtijdtolerantieonderlimiet (R(LB)) (eigen werk) .......................................................................... 97 Tabel 35: Finale parameterwaarden en hun aanpasbaarheid (eigen werk) ............................ 98 Tabel 36: Optimale dienstregeling (eigen werk) ......................................................................... 99 Tabel 37: Verwachte vertragingen vrijgegeven door NMBS (gebaseerd op e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 15 maart 2010)....................................................................................... 100 Tabel 38: Assumpties i.v.m. verwachte vertraging (eigen werk)............................................. 100 Tabel 39: De performantie van de optimale dienstregeling en de huidige dienstregeling (eigen werk) ................................................................................................................................. 102 Tabel 40: Analyse van de totale kost voor de huidige dienstregeling en drie optimale dienstregelingen (eigen werk) .................................................................................................... 104 Tabel 41: Percentage van de beroepsbevolking dat werkt buiten zijn eigen provincie (gebaseerd op [34]) ..................................................................................................................... 114 Tabel 42: Nieuwe dienstregeling horende bij het voorbeeld van objectief 4 (eigen werk).... 120

Lijst van tabellen

xii

Tabel 43: Nieuwe dienstregeling horende bij het voorbeeld van objectief 5 (eigen werk).... 122 Tabel 44: Overzicht van het aantal stations en treinen in de testinstantie, per auteur (eigen werk) ............................................................................................................................................. 126 Tabel 45: Aantal overstappers per verbinding (eigen werk) .................................................... 129 Tabel 46: Gegevens uit de oktobertellingen 2007 m.b.t. transfers (e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 15 maart 2010)....................................................................................... 130 Tabel 47: Gewichten geldend voor de reistijden (gebaseerd op e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 2 maart en 21 april 2010) ...................................................................................... 131 Tabel 48: Oktobertellingen 2007 m.b.t. treinritten (e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 2 maart 2010) ................................................................................................................................. 132

Hoofdstuk 1: Inleiding

1.1

Recente

ontwikkelingen

in

passagierstreinverkeer

en

mobiliteit 1.1.1 De grote mobiliteitsbehoefte van de Belg De mobiliteitsbehoefte van de Belg is groot. Miljoenen Belgen verplaatsen zich elke dag om te gaan werken, inkopen te doen, familie te bezoeken, uitstapjes te maken, etc. Volgende bevindingen illustreren dit. o

Volgens de FOD Mobiliteit en Vervoer bedroeg voor een Belg in 2008 het gemiddeld aantal gereisde kilometers van en naar het werk 34km per dag. Het totaal aantal gereisde kilometers per dag bedroeg 125km [13].

o

Van alle werknemers in het arrondissement Brussel, is bijna twee derde woonachtig buiten Brussel. Het gaat hier om meer dan 375.000 werknemers [34].

o

In 2001 bedroeg het aandeel van de beroepsbevolking werkend in zijn eigen woongemeente slechts 26,2%, tegenover 48% in 1970. Over de tijd heen is de mobiliteit van de Belg dus aanzienlijk toegenomen [34].

o

Uit onderzoek blijkt dat gemiddeld 28,8%, d.i. 1.044.240 mensen, van de Belgische beroepsbevolking buiten zijn eigen provincie werkt. Dit aantal varieert sterk naargelang de beschouwde provincie [34]. Voor exacte cijfers wordt verwezen naar bijlage 7.1.

1.1.2 Modale verdeling van transportmogelijkheden Om zich te kunnen verplaatsen heeft men de keuze tussen verschillende vervoerswijzen: de auto, de bus, de tram, de metro, het vliegtuig, de fiets, te voet, de boot en de trein. De meest gekozen vervoerswijze is echter de auto en het wegennet is dan ook overbelast. Dit blijkt uit de dagelijkse ellenlange kilometers file in België, maar liefst zo‟n 140km per dag [38]. Voor de modale verdeling van de gekozen vervoerswijze, wordt verwezen naar bijlage 7.2. Om deze verzadiging van het wegennetwerk en de CO 2-uitstoot te verminderen, probeert de overheid het gebruik van alternatieve vervoersmiddelen, waaronder de trein, te stimuleren.

1

Hoofdstuk 1: Introductie

2

De voorkeur voor de auto is echter niet absoluut. Uit analyse blijkt dat wanneer de gemiddelde afstand naar het werk meer dan 30 km bedraagt, de voorkeur voor de wagen gevoelig begint af te nemen in het voordeel van de trein. Voor de visualisatie van deze bevinding, wordt opnieuw verwezen naar bijlage 7.2. Onderstaande figuur geeft de jaarlijkse verandering in het aantal vervoerde reizigers weer. Het aantal reizigers is over de laatste vijf opgemeten jaren telkens met vijf procent gestegen. De tweede figuur beschrijft de wijziging van het aantal afgelegde kilometers tussen 1997 en 2008 met 1997 als referentiejaar. Uit beide grafieken is een gestage, maar zekere opmars van de trein af te leiden. Wanneer de trend uit de Figuur 2 wordt geëxtrapoleerd naar 2020, komen we op een procentuele stijging van het aantal afgelegde kilometers ten belope van 16% t.o.v. 1997. Om deze verwachte groei op te vangen, is er een intensere benutting en/of uitbreiding nodig van de beschikbare capaciteit, nl. sporen en zitplaatsen. Sinds 2006 investeert NMBS dan ook jaarlijks bijna 540 miljoen euro in haar rollend materieel [32]. Ouder rollend materieel wordt vernieuwd, dubbeldekkers worden aangekocht, etc. De NMBS voorziet een capaciteitsuitbreiding van ruim 34% tegen 2016; dit zijn zo‟n 375.000 extra zitplaatsen [29].

Jaarlijkse wijziging in het aantal vervoerde treinreizigers 7,0% 6,0% 5,0% 4,0% 3,0% 2,0% 1,0% 0,0% 1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Figuur 1: De jaarlijkse verandering in het aantal vervoerde treinreizigers uitgedrukt in % (gebaseerd op [27])


3

Evolutie van het aantal afgelegde km (referentiejaar: 1997) 16,0% 14,0% 12,0% y = 0,006x + 0,0155

10,0%

Spoor

8,0%

Lineair (Spoor)

6,0% 4,0% 2,0%

19 20

17 20

15 20

13 20

11 20

09 20

07 20

05 20

03 20

01 20

99 19

19

97

0,0%

Figuur 2: De evolutie en extrapolatie van het aantal afgelegde treinkilometers ten opzichte van 1997 (gebaseerd op [27])

Als men het kostenplaatje van de verschillende transportmodi vergelijkt, blijkt het openbaar vervoer veel goedkoper te zijn dan de wagen. Stel een tweeverdienergezin waarin de ene persoon op 26 km en de tweede persoon op 58 km van zijn werk woont. Wanneer beide gezinsleden elk met de wagen naar het werk gaan, kost dit hen jaarlijks om en bij de 8000 euro, terwijl het openbaar vervoer hen jaarlijks 1000 euro zou kosten [1]. Een markante besparing dus (voor meer uitleg zie bijlage 7.3). Waarom wint de auto het dan met zo‟n grote voorsprong van het openbaar vervoer? Hiervoor zijn volgens onderzoek va n de FOD Mobiliteit en Vervoer vijf grote redenen [13]: 1. De uurregeling is niet of te weinig afgestemd op de werkuren. De werknemers komen ofwel te vroeg, ofwel te laat op hun werk. (werd vermeld in 23,7% van de gevallen) 2. De werkplaats is onvoldoende of zelfs niet bereikbaar met het openbaar vervoer. Deze bereikbaarheid bleek vaak problematisch in stadsranden waar ook veel werkgelegenheid is, maar het openbaar vervoer minder ontwikkeld is. (23,4%) 3. De reistijd wordt vaak te lang bevonden. (18,9%) 4. De afstand van de bushalte of het treinstation tot de werkplaats blijkt voor werknemers vaak te groot te zijn om te voet af te leggen. (13,2%) 5. Mensen voelen zich vaak niet veilig, oncomfortabel en vinden de kwaliteit vaak te laag. (5,4%)


4

1.1.3 De trein als antwoord op de milieuproblematiek België heeft de verplichting zijn CO2-uitstoot tegen 2012 met 7,5% te verlagen en tegen 2020 met 15% t.o.v. 1990, ten einde te voldoen aan de E.U.-norm. De transportsector draagt hierbij een grote verantwoordelijkheid aangezien zij een van de grote CO2-emissiebronnen is. Om het milieu én de economie op lange termijn veilig te stellen, moet de stijgende mobiliteitsvraag verzoend worden met een dalende CO2-uitstoot. De trein kan hierin een belangrijke rol spelen. Een treinreiziger veroorzaakt gemiddeld vijf keer minder CO 2 dan een autopassagier en ook voor goederenverkeer is de trein zeer CO 2-efficiënt. Een globale aanpak van de CO2-uitdaging pleit dus voor een modale shift ten voordele van de trein. Voor grafieken omtrent de CO2-emissie van treinen in vergelijking met andere transportmiddelen, wordt verwezen naar bijlage 7.4. Om deze modale shift te stimuleren, heeft de NMBS zich verbonden te investeren in een capaciteitsverhoging. Bovendien moeten stations in de toekomst vlotter bereikbaar zijn aangezien het spoor geen deur-tot-deuroplossing is. Dit kan worden verwezenlijkt a.d.h.v. verbeterde aansluitingen met ander openbaar vervoer en het uitbreiden van parkings. Het station zelf zou meer kunnen worden dan een vertrek- en eindpunt van een reis. Het kan zich ontpoppen tot een „stadsplatform‟ met winkels en kleine dienstverleners, zoals fietsherstelplaatsen, strijkateliers, misschien zelfs crèches,… Voor de pendelaar betekent dit een belangrijke tijdswinst en een efficiënte vermindering van het aantal verplaatsingen [28].

1.1.4 Operationele performantie De kwaliteit en tevredenheid van de klanten wordt grotendeels bepaald door de stiptheid. Dit punt vormt na de slechte resultaten van 2009 een grote uitdaging voor 2010. De stiptheidsscore voor 2009 bedraagt 88,9%. De hoofdoorzaak van de vertragingen zijn pannes en defecten aan het rollend materieel. Ter verbetering van de stiptheid stelt de NMBS ter optimalisering van het onderhoud van het treinmaterieel een breed actieplan op; van standaardisering, met positieve gevolgen voor de know-how van personeel en het stockbeheer, tot heel specifieke en gerichte maatregelen, zoals het vroeger opstarten van locomotieven op koude dagen. Wanneer de stiptheid te wensen overlaat, vindt de NMBS het heel belangrijk om zijn klanten zo goed mogelijk te informeren. Reizigers worden nu in realtime en op maat geïnformeerd over het verloop van het treinverkeer. Verder probeert de NMBS de kwaliteit van het treinverkeer te verbeteren door indien mogelijk in te spelen op de verwachtingen van (potentiële) klanten. Dit kan door meer treinen in te leggen, door nieuwe verbindingen aan te bieden (bv. de verbinding Kortrijk-Doornik die het mogelijk maakt om vanuit Kortrijk naar Rijssel te reizen [31]) of door de dienstregeling


5

aan te passen [29]. Dit laatste dient om de treinuren beter af te stemmen op school- en werkuren [30]. Over de landsgrenzen heen positioneert NMBS zich steeds meer als een centrale speler in het Europese hogesnelheidsverkeer. Vanuit Brussel zijn Frankrijk, Duitsland, Nederland of Engeland aan boord van een hoge snelheidstrein (HST) in een mum van tijd bereikbaar. In de loop van 2010 wil NMBS een nieuwe HST lanceren, nl. de „Fyra‟. Deze HST zal het bestaande HST-aanbod dat bestaat uit de Thalys en de Eurostar, aanvullen [29].

1.1.5 Liberalisering van het Europese spoorverkeer Op 1 januari 2005 werd het goederenvervoer geliberaliseerd en dit in navolging van E.U.beleidslijnen ter verbetering van de concurrentie. Voor de verwezenlijking van deze liberalisering was een herstructurering van de NMBS noodzakelijk. De NMBS werd gesplitst in drie delen, nl. Infrabel (infrastructuurbeheerder), NMBS (exploitant van treinen) en NMBSholding (overkoepelende holding). Deze drie samen vormen de NMBS-Groep [39]. De volgende stap in het liberaliseringsplan is

het vrijmaken van het internationaal

passagiersvervoer, welke gepland is voor dit jaar. Uiteindelijk zou de markt voor het binnenlands reizigersvervoer worden opengemaakt in 2017 (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). Het grootste knelpunt in deze liberalisering is opnieuw de beperkte beschikbare capaciteit van de infrastructuur, welke zal moeten worden gedeeld door steeds meer treinoperatoren. Vandaag de dag gebruiken vier [39] verschillende operatoren de infrastructuur [12].

1.2

Opbouw en relevantie van deze thesis

In de literatuur is veel te vinden rond de planning van een treinsysteem. Deze literatuur is echter zeer gefragmenteerd en onafgelijnd. Er is geen basiswerkstuk waarop kan woren verdergebouwd en vele werken behelsen aspecten uit verschillende domeinen van het treinplanningsprobleem. Het treinplanningsprobleem kan immers gaan over het toewijzen van rollend materieel, de planning van het personeel, het voorzien van de juiste treinlijnen, het opvolgen van de vraag en de dienstregeling van treinen. Verder worden duizend en een methodes aangerijkt om een treinplanningsprobleem op te lossen. Daartegenover staat dat de praktische waarde van deze werken vaak nogal dubieus is. In deze thesis zal één aspect van het treinplanningsprobleem uitgebreid worden behandeld, nl. het dienstregelingsprobleem. De dienstregeling is het meest zichtbare aspect van het treinplanningsprobleem naar de klant toe. De kwaliteit van de dienstverlening hangt bovendien grotendeels af van deze dienstregeling. Snelle verbindingen, op tijd reizende treinen, korte reistijden en vertrekuren aangepast aan werken schooluren zijn enkele


6

voorbeelden die het reizen per trein aangenamer maken. Verder kan een goede dienstregeling in belangrijke mate bijdragen aan de modale shift van de wagen ten voordele van de trein. Op die manier kunnen de dagelijkse verkeersperikelen en de daaruitvolgende Belgische CO2-voetafdruk worden ingeperkt. Indien dienstregelingen sneller kunnen worden opgemaakt, komt er tijd vrij voor scenarioanalyses. De treinmaatschappij zou dan verschillende criteria kunnen afwegen tegen elkaar en sneller feedback krijgen van en geven aan andere treinplanningsdiensten. Kortom, dit zou een kwalitatieve en kwantitatieve verbetering van de dienstverlening kunnen betekenen. Bovendien zou de infrastructuurbeheerder Infrabel in het licht van de nakende liberalisering van het nationaal passagiersverkeer, op die manier beter en sneller kunnen oordelen welke treinmaatschappijen het meest rendabel zijn. Zo zou hij efficiënter zijn infrastructuur kunnen verdelen over de verschillende maatschappijen. Omwille van deze redenen is het automatiseren en optimaliseren van het dienstregelingsprobleem zeer belangrijk. Aangezien een goede dienstregeling een positieve weerslag heeft op de samenleving en de treinmaatschappij, zal in deze thesis worden gefocust op het verbeteren van de huidige dienstregeling. Aan de hand van lineaire programmering zal worden aangetoond hoe de ze dienstregeling kan worden geoptimaliseerd. Deze methode zal worden toegepast op een deel van het Belgisch spoornetwerk. Schematisch gezien is deze thesis als volgt opgebouwd:

Verbeteren van de dienstregeling Modelleren van de dienstregeling

Planning van de dienstregeling

Figuur 3: Opbouw thesis (eigen werk)

Bij het pellen van een ajuin moet je eerst voorbij de buitenste lagen alvorens je de kern kunt bereiken. Ook bij deze thesis moeten eerst algemene concepten worden behandeld alvorens


7

we kunnen overgaan tot de optimalisatie van de dienstregeling. Figuur 3 geeft de verschillende lagen van deze thesis weer. De buitenste schil betreft de planning van de dienstregeling. Het dienstregelingsprobleem wordt gesitueerd in de context van het treinplanningsprobleem en daarop aansluitend wordt een korte beschrijving gegeven van de andere treinplanningsprocessen zodanig dat het verschil met het dienstregelingsprobleem duidelijk wordt. Vervolgens wordt beschreven met welke hulpmiddelen een dienstregeling kan worden opgesteld. Tot slot wordt een blik geworpen op de planning voor een nieuwe dienstregeling bij de NMBS. Het betreft een tijdslijn met geplande taken met als doel tegen het einde van het jaar een vernieuwde dienstregeling in werking te stellen. Dit alles komt aan bod in hoofdstuk 2. Na dit algemeen overzicht van het dienstregelingsprobleem komen we bij de volgende laag. De wijze waarop een dienstregeling kan worden gemodelleerd, komt uitgebreid aan bod in hoofdstuk 3. Het betreft hier echter een kwalitatieve modellering. De mogelijke objectieven en restricties van een dienstregeling worden hier opgelijst en uitgebreid uitgelegd aan de hand van een voorbeeld. Deze objectieven en restricties zijn terug te vinden in de literatuur en/of bij de NMBS. Aansluitend hierbij wordt een kort literatuursoverzicht ge geven. Als finale doel van deze thesis wordt in hoofdstuk 4 gepoogd de huidige dienstregeling te verbeteren. Het vertrekpunt hierbij is het wiskundig modelleren van de dienstregeling in de vorm van een lineair programmeringsprobleem. Wat betreft de restricties en objectieven werd een selectie gemaakt uit de lijst voorhanden in hoofdstuk 3. Dit wiskundig model wordt vervolgens geïmplementeerd in Microsoft Excel en kan worden geoptimaliseerd a.d.h.v. „Risk Solver Platform‟, een MS Excel add-in aangeboden door Frontline Systems. Ten einde de parameterwaaren te kunnen bepalen, werd een reeks van gevoeligheidsanalyses uitgevoerd. De aldus bekomen optimale dienstregeling wordt vervolgens getest op zijn robuustheid a.d.h.v. Monte Carlo-simulaties. Tot slot werd de dienstregeling geoptimaliseerd naar twee verschillende objectieven tegelijk. Deze thesis wordt afgesloten met een kritisch besluit en richtlijnen voor verder onderzoek in hoofdstuk 5.

Hoofdstuk 2: Plannen van de dienstregeling

In dit hoofdstuk wordt de dienstregeling gesitueerd in het treinplanningsproces. Deze laatste bestaat uit het schatten van de vraag, de lijnplanning, het plannen van de dienstregeling, het plannen van het rollend materieel en de personeelsplanning. Deze worden kort uiteengezet om het verschil met het dienstregelingsprobleem duidelijk te maken. Vervolgens worden de verschillende tools voor het opstellen van de dienstregeling besproken. Deze tools kunnen gaan van diagrammen tot computerprogramma‟s. Tot slot wordt een verslag gegeven van het planningsproces van de dienstregeling bij NMBS. Het betreft een gefaseerd stappenplan waarin verschillende acties worden ondernomen om elk jaar in december een licht gewijzigde dienstregeling te implementeren.

2.1

De verschillende fasen in treinplanning

Wegens de grote complexiteit van het treinplanningsprobleem, wordt dit planningsproces opgedeeld in verschillende fasen, welke worden afgebeeld op onderstaande figuur. Het dienstregelingsprobleem is een onderdeel van het globale treinplanningsprobleem en fungeert als interface tussen de service design (schatting van de vraag en lijnplanning) en de operationele planning (planning van het rollend materieel en personeel). De dienstregeling verdeelt in feite het tijdsoverschot (i.e. de slack time), dat onvermijdelijk is binnen een transportsysteem, tussen de service en de operationele zijde. Immers, de wachttijden die passagiers ondervinden, en die over het algemeen als onaangenaam worden ervaard, moeten worden afgewogen tegen de onproductieve tijd van personeel en treinen [23]. Eenvoudig gesteld dient de output van de ene stap als input voor de volgende. Het kan echter ook mogelijk zijn dat de eerste stap feedback incorporeert van de tweede. Zo ontstaat er een wisselwerking tussen de verschillende processen. Bepaalde stappen kunnen ook voor een stuk samen worden uitgevoerd. Om het onderscheid tussen de verschillende planningsstappen beter te begrijpen, worden deze hieronder kort uiteengezet.

8

Hoofdstuk 2: Het plannen van de dienstregeling

9

Figuur 4: Schematische voorstelling van de verschillende fasen in het treinplanningsproces (gebaseerd op [35])

2.1.1 Schatting van de vraag De eerste stap voor het uitbaten van spoorwegen, is het schatten van de vraag naar treinvervoer. Deze vraag wordt uitgedrukt als het aantal mensen dat wil reizen van en naar een bepaalde plaats. Door voor elke combinatie van plaatsen het aantal passagiers te schatten, wordt zo een “origin-destination-matrix” (i.e. “OD-matrix”) opgesteld. Deze schatting wordt bekomen o.b.v. de ticketverkoop en door passagiers te tellen en te interviewen [35].

2.1.2 De lijnplanning Voor de lijnplanning wordt vertrokken van de OD-matrix bekomen uit de vorige fase. Men zou tussen al deze oorsprongen en bestemmingen een treinlijn (zie definitielijst) kunnen trekken, maar dit zal echter verre van optimaal zijn. Dan bestaat het lijnplanningsprobleem erin een optimale set van treinlijnen te vinden en te bepalen met welke frequentie deze lijnen moeten worden uitgebaat zodanig dat aan de reizigersvraag kan worden voldaan. Het voorzien van directe verbindingen en een voldoende lijnfrequentie worden in deze fase afgewogen tegen de kosten. Er wordt ook bepaald welk treintype, i.e. IC, IR, L, CR, P of ICT (zie definitielijst), wordt gelinkt aan een bepaalde lijn.

2.1.3 Planning van de dienstregeling De dienstregeling is gebaseerd op het optimale lijnplan. Hier worden de aankomsten vertrektijden van de lijnen bepaald. Deze dienstregeling wordt opgesteld in functie van een doel, bijvoorbeeld het minimaliseren van de transferwachttijd, en moet rekening houden met een aantal beperkingen. De dienstregeling kan cyclisch of a-cyclisch zijn. Een cyclische dienstregeling beschrijft de vertrek- en aankomsttijden van treinen in een bepaalde tijdsspanne die steeds wordt herhaald. Deze bedraagt meestal een uur. Het grote voordeel van deze cyclische dienstregeling is dat de reizigers ze gemakkelijk kunnen onthouden. Anderzijds biedt een acyclische dienstregeling meer mogelijkheden om de dienstregeling beter af te stellen op


10

vraagfluctuaties. Tijdens de piekuren bijvoorbeeld, kan het lijnplan meer treinen inzetten dan tijdens de daluren, zodat er frequenter treinen rijden. Met een cyclische dienstregeling is het tijdens de piekuren enkel mogelijk om langere wagons of dubbeldekkers in te zetten. In de praktijk wordt echter een hybride dienstregeling gehanteerd. De treintypes die het cyclische basisaanbod vormen zijn de IC-, IR-, L- en CR-treinen, terwijl het a-cyclische aanvullend aanbod de P- en ICT-treinen betreffen (voor treintypes, zie definitielijst). In het dienstregelingsprobleem moeten treinconflicten worden opgelost. Treinen kunnen elkaar niet inhalen of kruisen, tenzij in een station of op een zijspoor. Verder moeten treinen voor de veiligheid ook steeds een zekere afstand tussenlaten. Dan zijn er nog een reeks beperkingen die de kwaliteit van de dienstregeling waarborgen, zoals een minimum overstaptijd, maximum haltetijd, etc. De dienstregeling werd lange tijd manueel opgesteld via trial en error a.d.h.v. een tijdplaatsdiagram (cfr. infra). Pas recentelijk werd het opstellen van de dienstregeling deels geautomatiseerd. De nakende liberalisering en immer sneller wordende computers zijn twee grote

motieven

om

te

zoeken

naar

efficiëntere

en

meer

geautomatiseerde

planningstechnieken. Wiskundige modellen en heuristieken zijn hierbij onontbeerlijk [11].

2.1.4 Planning van het rollend materieel In deze planningsstap wordt het rollend materieel, i.e. wagons en locomotieven, toegewezen aan treinlijnen in de dienstregeling, rekening houdend met het verwachte aantal passagiers. Een criterium kan hierbij bijvoorbeeld zijn dat een passagier een zitplaats moet hebben als zijn reistijd op die trein meer dan een kwartier is. De beschikbaarheid van zitplaatsen is immers een belangrijk beslissingscriterium van passagiers bij het beslissen over al dan niet met de trein reizen. Een treinoperator heeft typisch de keuze tussen verschillende soorten wagons en locomotieven, bijvoorbeeld enkele wagons of dubbeldekkers, wagons met een eigen motor of wagons die een locomotief behoeven, etc. Nadat aan elke treinlijn een wagontype is toegewezen, wordt bepaald hoeveel wagons elke trein moet bevatten. Aangezien wagons schaarse middelen zijn, wordt in het rolling stockprobleem het gebruik van wagons geoptimaliseerd. Wagons kunnen immers gebruikt worden door verschillende lijnen, op andere tijdstippen. Op dalmomenten zijn ook niet alle wagons in gebruik. Een rollendmaterieelplan beschrijft dan vervolgens welke wagon wanneer aan de kant moet worden gezet, al dan niet voor onderhoud. De drie conflicterende objectieven in het rollend-materieelprobleem zijn (1) service, het voorzien van genoeg zitplaatsen, (2) efficiëntie, het minimaliseren van het gebruik van rollend materieel en (3) robuustheid, het minimaliseren van het aantal keer dat een wagon


11

moet worden weggezet, aangezien hierbij dezelfde spoorinfrastructuur wordt gebruikt als voor de normale treinreizen. Er wordt dus gestreefd naar een robuust toewijzingsplan van het rollend materieel aan de verschillende treinlijnen [15; 21; 35].

2.1.5 Personeelsplanning Elke trein moet bemand worden door een machinist en een of meerdere conducteurs. Deze planningsstap is opnieuw een complex probleem aangezien men rekening moet houden met meerdere complexe arbeidsvoorwaarden. De machinist en de conducteurs moeten op het einde van de dag opnieuw naar hun thuisbasis reizen. Shifts moeten tenminste een halfuur lunchpauze bevatten, en de shift mag maximaal vijf opeenvolgende uren bevatten. Een shift mag ook niet te eentonig zijn; een machinist of conducteur mag niet toegewezen zijn aan dezelfde trein gedurende de hele werkdag. Maar overstappen op een andere trein is enkel toegelaten wanneer er een voldoende buffertijd voor de overstap is. Anders zou dit immers vertraging kunnen veroorzaken. Verder kunnen medewerkers nog individuele wensen hebben om een bepaalde dag vrijaf te nemen, te werken op een bepaalde lijn, samen te werken met een bepaalde collega, etc. In het personeelsplanningsprobleem zijn de drie belangrijke conflicterende objectieven (1) efficiëntie, het aantal shifts is minimaal, (2) aanvaardbaarheid, nl. voldoen aan arbeidsvoorwaarden, eerlijke verdeling van de werklast en personeelswensen, en (3) robuustheid, d.i. het vermijden van vertraging te wijten aan het personeelsschema [21; 35].

Al deze stadia hebben een nauwe relatie. Het ene stadium optimaliseren kan suboptimaal zijn voor het geheel; het kan immers de zoekruimte van het volgende stadium beperken [15]. Op het strategisch planningsniveau wordt beslist omtrent investeringen in infrastructuur. Deze beslissingen zijn gericht op de lange termijn en vergen grotere kosten. De vraaganalyse en het lijnplan behoren tot het strategische planningsniveau. Het tactisch planningsniveau behelst de middelenallocatie. Tot dit niveau behoort het rollendmaterieelplan en het personeelsplan. Het operationele planningsniveau houdt de dagelijkse beslissingen

in,

zoals

beslissingen

omtrent

machinebreuken,

zieke

machinisten,

treinongevallen, etc. De dienstregelingsfase fungeert als koppelstuk tussen de tactische en de strategische planningsfase [15].


12

Strategisch: Schatting van de vraag en lijnplanning

Koppelstuk: dienstregeling

Tactisch: planning van het rollend materieel en personeel

Operationeel: day-to-day management Figuur 5: Het hiërarchisch treinplanningsproces (aangepast uit [15])

Zoals reeds duidelijk gemaakt door Figuur 4, vormt de output van het ene proces de input voor het volgende proces, vandaar de getrapte structurering van het treinplanningsprobleem. Het planningsprobleem is echter niet zo absoluut lineair als het lijkt; er zijn immers terugkoppelingslussen aanwezig tussen de verschillende stadia. De dienstregeling kan bijvoorbeeld worden aangepast om het personeelsplan te verbeteren. Deze onderlinge afhankelijkheid tussen de verschillende planningsstadia toont aan waarom een snelle methode voor het opstellen van de dienstregeling cruciaal is. Zo kan immers sneller feedback worden gegeven en geïncorporeerd, waardoor de totale tijdsspanne voor het volledige treinplanningsprobleem verkort en het plan kwalitatief verbetert [35].

2.2

Tools voor het opstellen van de dienstregeling

De dienstenregeling wordt sinds lange tijd manueel opgesteld m.b.v. een tijd-plaatsdiagram [9]. Een methode kan zijn om de verschillende treintypes onafhankelijk van de andere in te plannen. Vaak volgt men hierbij de hiërarchie IC  IR  L. Bij het inplannen wordt rekening gehouden met veiligheids- en andere beperkingen. Conflicten, zoals treinen die te dicht op elkaar volgen, worden manueel opgelost. Hierdoor kan het wel zijn dat andere treinlijnen opnieuw moeten worden ingepland. Het voornaamste doel van het opstellen van de dienstregeling is meestal slechts een uitvoerbare dienstenregeling bekomen, alhoewel men hier en daar wel rekening probeert te houden met andere objectieven. Tegenwoordig bestaan echter vele middelen om de planner hierbij te helpen, zoals een grafische display op de computer en een computersimulatie,


13

maar deze middelen gaan niet op zoek naar uitvoerbare alternatieven, lossen geen conflicten op en proberen niet te optimaliseren. Het computerprogramma „Viriato‟ dat gebruikt wordt door de NMBS, is hier een voorbeeld van. Viriato1, een softwarepakket voor het opstellen van transportdienstregelingen, werd in 2008 door NMBS aangekocht. Alle treinen worden aan het programma toegevoegd, waarmee het dan een dienstregeling simuleert, zonder te optimaliseren naar een objectief. Het resultaat is een netwerkkaart met alle vertrek- en aankomsttijden. Het programma geeft aan of er al dan niet conflicten aanwezig zijn in de dienstregeling. Dit wordt weergegeven op een tijdplaatsdiagram in het rood. De planningsdienst moet dan de dienstregeling herzien. Bij het plannen probeert men een zo goed mogelijke spreiding en aansluitingen te bekomen. Dit resultaat wordt aan de afdeling NMBS-Technics geleverd welke bestudeert hoe de dienstregeling zo efficiënt kan worden bereden. Eventueel stelt NMBS-Technics wijzigingen voor om de dienstregeling efficiënter te maken. In Figuur 6 wordt een cyclus uit een cyclische dienstregeling voorgesteld in de vorm van een tijd-plaatsdiagram. De verticale as is de tijdsas, op de horizontale as bevinden zich de tussenliggende stations. De lijnen in het diagram stellen de locaties voor waar treinen zich op dat moment bevinden. De nummers corresponderen met bepaalde treinen. Beschouw bijvoorbeeld trein 21700, voorgesteld door de paarse lijnen. Binnen een tijdsspanne van bijna anderhalf uur reist deze trein van Rotterdam naar Utrecht en terug. De volledige reis kan worden afgebeeld in een tijdsvenster van een cyclus, nl. zestig minuten. Om 8 minuten na het uur verlaat de trein Rotterdam, zoals je kan zien in het linkerdeel van het diagram. De trein komt aan in Utrecht om 42 minuten na het uur. Hij vertrekt terug uit Utrecht om 49 minuten na het uur en komt terug aan in Rotterdam om 27 minuten na het uur. Dan duurt het opnieuw tot 8 minuten na het uur vooraleer de volgende trein uit Rotterdam rechtstreeks naar Utrecht rijdt. Echter, de hevige competitie tussen verschillende spoorwegmaatschappijen in die landen waar de spoorwegsector geliberaliseerd is, de almaar sneller werkende computers en de belangrijker wordende rol van het treinverkeer zijn allen oorzaak van de grote inspanning die gedaan wordt om efficiëntere en meer geautomatiseerde planningstechnieken te ontwikkelen en te gebruiken.

1

Viriato werd gecreëerd door het Zwitserse bedrijf PTN (Passenger Transport Networks).


14

Figuur 6: Tijd-plaatsdiagram van de treinlijnen tussen Rotterdam en Utrecht (overgenomen uit [17])

2.3

Het opstellen van de dienstregeling bij de NMBS

Uit een gesprek met mevrouw Courtois E. (2 maart 2010, Brussel), werd duidelijk hoe de NMBS tewerkgaat om de dienstregeling op te stellen. Elk jaar in december wordt een nieuw spoorboekje gepubliceerd. Het spoorboekje is een brochure met de treinuren die geldig zijn gedurende het komende jaar. Om dit spoorboekje in december te kunnen uitbrengen, moet men er reeds aan beginnen in augustus het jaar ervoor. Deze jaarlijkse aanpassingen zijn incrementele wijzigingen en volgen een vierstappenplan. Om de vijftien jaar echter wordt een volledig nieuw vervoersplan ontwikkeld en de volgende is voor 2013 (Fase 0). In een nieuw vervoersplan kunnen bv. aan bestaande treinen een ander treintype worden toegewezen. Onderstaande figuur geeft de verschillende stappen in het opstellen van de dienstregeling weer.


15

Figuur 7: De verschillende stappen in het opstellen van de dienstregeling. (Gebaseerd op gesprek met mevrouw Courtois E., 2 maart 2010, Brussel)

Elke fase bestaat uit verschillende stappen die hieronder in tabelvorm zijn weergegeven. Deze tabel vergt echter een woordje uitleg. In de eerste fase worden aanpassingen aan de dienstregeling ontwikkeld. Om daarmee te kunnen beginnen, moet Infrabel aan de planning de veranderingen aan de beschikbare infrastructuur doorgeven: zijn er grote werken, zijn bepaalde treinstellen niet meer beschikbaar, etc. Vervolgens geeft de planning aan NMBS-Technics door welke lijnen er zullen wijzigen of zelfs nieuw zijn (de rollen van de verschillende NMBS-diensten in het planningsproces worden in Tabel 1 weergegeven). NMBS-Technics gaat dan na wat de impact hiervan is op het rollend materieel: hoeveel en welke treinstellen moeten worden toegewezen, hoeveel bestuurders zijn er nodig, etc. Daarna moet de planningsdienst rittijden aanvragen aan Infrabel. Deze controleert dan of de aangevraagde rittijden al dan niet mogelijk zijn (1) met de beschikbare infrastructuur en (2) door het voorkomen van eventuele werken. Infrabel past indien nodig de rittijden aan. Concreet betekent dit dat de planningsdienst berekent dat een trein theoretisch gezien in bijvoorbeeld 20 minuten van station A naar station B kan rijden. Infrabel gaat dan na of deze rittijd al dan niet mogelijk is, want door slijtage van het voertuigenpark is het mogelijk dat bepaalde treinen een lagere maximumsnelheid halen dan theoretisch mogelijk is. Bovendien is een lagere snelheid soms gewenst wegens het voorkomen van werken op de desbetreffende lijn en moeten er dus langere rittijden worden toegekend.


16

In een volgende stap binnen de eerste fase bepaalt de planningsdienst de rijpaden van de treinen; dit is hetzelfde als de treinlijnen bepalen. Voor deze geplande rijpaden moet Infrabel opnieuw de haalbaarheid nagaan. Infrabel moet immers de beschikbare infrastructuur verdelen

over

het

vracht-,

haalbaarheidsonderzoek

moet

nationaal ze

ook

en

internationaal

rekening

houden

reizigersverkeer. met

de

staat

Bij

dit

van

de

spoorinfrastructuur. In fase 2 wordt de dienstregeling definitief gemaakt. Dit proces begint met de officiële aanvraag van de rijpaden aan het adres van Infrabel. Zij geeft dan de goedkeuring over de aanvraag na een uitvoerig onderzoek. Vervolgens berekent de planningsdienst hoeveel zitplaatsen er nodig zijn voor elke trein en vraagt ze dit aantal zitplaatsen aan aan NMBSTechnics. Deze laatste wijst het rollend materieel toe aan de treinlijnen en stelt het personeelsplan op. Ondertussen is er voortdurend overleg tussen de planning en Infrabel om een definitieve dienstregeling op te stellen. Ten slotte is de goedkeuring nodig van het directiecomité en de raad van bestuur. In een derde fase worden de productiemiddelen toegewezen en het communicatieplan gelanceerd. De dienst „Marketing en Communicatie‟ is in hoofdzaak verantwoordelijk voor dit communicatieplan dat de nieuwe dienstregeling vertaalt naar de reiziger. In deze fase maakt NMBS-Technics ook een definitief plan op voor het personeel en het rollend materieel. Verder informeert Infrabel de stations over de gewijzigde dienstregeling. Zij moeten dan elk voor zich de doortocht van treinen door hun station regelen. D.w.z. dat ze moeten vastleggen aan welk perron een trein moet passeren en op welke sporen treinen met een lange halteertijd moeten worden weggezet. De stations worden vrij laat in het proces geïnformeerd. Bij het oplossen van de lokale problemen brengen zij soms wijzigingen aan in de dienstregeling of hebben ze bemerkingen en dit zorgt voor problemen. Daardoor komt men vaak in tijdsnood om op tijd de brochure af te krijgen. Dit probleem zou kunnen worden verholpen: Infrabel zou kunnen rijpad per rijpad of groepen rijpaden goedkeuren in plaats van alles in een keer te bevestigen. Zo zouden verschillende goedgekeurde rijpaden reeds vroeger kunnen binnenlopen en zouden de stations reeds vroeger kunnen worden geïnformeerd. Ze kunnen dan hun opmerkingen maken voordat de dienstregeling reeds is goedgekeurd (gesprek met mevrouw Courtois E., 2 maart 2010, Brussel). De vierde en laatste fase bestaat uit het voeren van informatiecampagnes. Het overige openbaar vervoer nl. De Lijn, zijn Waalse tegenhanger TEC2 en zijn Brusselse tegenhanger

2

TEC: Transport en Commun (bus, tram)


17

MIVB 3 (in het Frans: STIB 4), wordt door de planningsdienst geïnformeerd over de nieuwe dienstregeling, zodat zij hun diensten kunnen aanpassen om nauwere aansluitingen te verwezenlijken. In december gaan uiteindelijk de nieuwe dienstregelingbrochures ter perse en worden ze gedistribueerd in de stations. Per definitie treedt ten slotte op 15 december de nieuwe dienstregeling in werking.

Uit het bovenstaande planningsproces van de NMBS kan worden besloten dat hun treinplanningsprocessen nogal parallel met elkaar verlopen. Bij NMBS zijn de verschillende treinplanningsprocessen goed geïntegreerd; er zijn veel terugkoppelingslussen aanwezig die de integratie van de verschillende deelprocessen bevorderen. Concreet ziet hun treinplanningsproces eruit als hieronder afgebeeld. Vergelijk dit met het treinplanningsproces zoals afgebeeld in figuur Figuur 4.

Figuur 8: Het treinplanningsproces bij de NMBS (eigen werk)

Ten opzichte van Infrabel werkt NMBS-Mobility met een service level agreement (SLA) waarin deadlines zijn opgenomen die moeten worden nageleefd. Het niet nakomen van de afspraken wordt echter niet beboet. Verder staan in deze SLA ook zaken zoals de minimum opvolgtijd die ten allen tijde moet worden gerespecteerd.

3

MIVB: Maatschappij voor het Intercommunaal Vervoer te Brussel (bus, tram, metro)

4

STIB: Société des Transports Intercommunaux Bruxellois


18

Tabel 1: Rollen van verschillende NMBS-diensten bij de planning van de dienstregeling (eigen werk)

Dienst

Taak

Planning (B-MO.3, NMBS Mobility afdeling 3)

Planning van de dienstregeling

Technische dienst (B-TC, NMBS Technics)

Planning van de treinbestuurders en rollend materieel

Personeelsdienst (B-MO.1, NMBS Mobility afdeling 1)

Planning van de treinbegeleiding

Dienst „Marketing en Communicatie‟ (B-MO.5, NMBS Opstellen van communicatieplan Mobility afdeling 5) Infrabel

Beheren van de infrastructuur


19

Tabel 2: Schematisch verloop van het opmaken van de dienstregeling bij de NMBS (gebaseerd op gesprek met mevrouw Courtois E., 2 maart 2010, Brussel)

Fase

Fase 1:ontwikkeling dienstregeling

Fase 2: finalisatie dienstregeling

Fase 3: opstelling productiemiddelen en

Procedure

Verantwoordelijke

Bestemd voor

Veranderingen beschikbare infrastructuur

Infrabel

Planning

Impact op materieel van nieuwe of gewijzigde lijnen

Planning / B-TC

Planning / B-TC

Aanvraag rittijden

Planning

Infrabel

Levering rittijden en tijd m.b.t. werken

Infrabel

Planning

Aanvraag haalbaarheid rijpaden

Planning

Infrabel

Antwoord haalbaarheid rijpaden

Infrabel

Planning

Oriëntatienota dienstregeling

Planning

DC en RVB

Officiële aanvraag rijpaden

Planning

Infrabel

Aanvraag zitplaatsen

Planning

B-TC

Planning rollend materieel en personeel

B-TC/personeelsdienst

NMBS-Mobility

Goedkeuring rijpaden

Infrabel

Planning

Voortdurend overleg ter opstelling van dienstregeling

Infrabel/Planning

Planning/Infrabel

Definitieve goedkeuring dienstregeling

Planning

DC en RVB

Briefing wijzigingen

Planning

Informeren stations

Infrabel

B-MO.5/ maatschappijen stakeholders Stations

Vervolg opstellen personeelsplan

rollend

materieel-

en B-TC / personeelsdienst

NMBS-Mobility

Periode Augustus X-1 September X-1 tot december X-1

Maart X – april X

April X – juni X

Juli X Regionale / Juli X


lanceren van de communicatie

Fase 4: Informatiecampagnes

20

Opstellen communicatieplan

B-MO.5

B-MO.5

Bepaling capaciteit infrastructuur

Infrabel

Planning

Finaal rollend materieel- en personeelsplan

B-TC / personeelsdienst

NMBS-Mobility

Goedkeuring communicatieplan

B-MO.5

Directiecomité en raad van bestuur

Informeren van STIB/MIVB en TEC/De Lijn

Planning

STIB/MIVB, TEC/De Lijn

Werkoverleg

B-TC / personeelsdienst

Brochures dienstregeling

Planning

Inwerkingtreding dienstregeling

Legende: B-TC: NMBS-Technics B-MO.5: dienst „marketing en communicatie‟ DC: directiecomité RVB: Raad Van Bestuur

Augustus X

September X September Oktober X

NMBS-Mobility

December X 15 December X

Hoofdstuk 3: Modelleren van de dienstregeling

Vorig hoofdstuk betrof het planningsproces van de dienstregeling. Om echter concreet een dienstregeling op te stellen, is een modellering van de restricties en objectieven nodig. Het voornaamste en meest voor de hand liggende doel is een dienstregeling bekomen die eenvoudigweg uitvoerbaar is. Men kan het doel echter specifieker maken en bijvoorbeeld vooropstellen dat de transferwachttijden moeten worden geminimaliseerd. Het kan ook wenselijk zijn om meer dan een specifieke doelstelling tegelijk na te streven. Vaak is het echter zo dat verschillende objectieven tegenstrijdig zijn, met als gevolg dat het tegelijk nastreven van die objectieven resulteert in een trade-off. Het komt er dan op aan om prioriteiten te stellen. Een dienstregeling moet echter ook aan enkele voorwaarden voldoen. Er moet bijvoorbeeld ten allen tijde voorkomen worden dat treinen botsen. Hoe meer restricties er zijn waaraan het schema moet voldoen, hoe moeilijker het echter wordt om een uitvoerbaar schema te bekomen. Restricties zijn echter van groot belang voor de praktische uitvoering van de dienstregeling, veel meer dan de objectieven. Restricties die noodzakelijk zijn en waaraan de dienstregeling dus moét voldoen, worden „hard constraints‟ genoemd. Restricties die mogen worden geschonden, noemt men „soft constraints‟. Het zou mooi zijn als het schema ook aan die restricties voldeed, maar als het anders niet lukt om een uitvoerbaar schema te bekomen, mag men deze restricties verlaten. In wat volgt worden de meest voorkomende doelfuncties in de gelezen literatuur opgelijst en beschreven. Daarna volgt een overzicht en beschrijving van de meest voorkomende restricties. Deze objectieven en restricties worden geïllustreerd aan de hand van een voorbeeldnetwerk dat hieronder wordt uiteengezet. Vervolgens worden deze objectieven en restricties tabelmatig weergegeven per auteur. Tot slot volgt een overzicht en een korte bespreking

van

de

modelleertechnieken,

oplossingsmethodes,

probleemkarakteristieken en eigenaardigheden per auteur.

21

probleemgroottes,


3.1

22

Werkvoorbeeld

3.1.1 Probleemgrootte Voor het werkvoorbeeld wordt ingezoomd op een klein deel van het Belgische spoorwegnetwerk, dat gebruikt werd in de paper van Vansteenwegen en Van Oudheusden [36]. Het netwerk bestaat uit zeven stations en vier treinlijnen (nl. A, B, C en D) die enkele van deze zeven stations aandoen. Het netwerk wordt hieronder afgebeeld. De meeste van de lijnen hebben hun begin- en eindstation ergens buiten dit miniatuurnetwerk. Lijn A vertrekt bijvoorbeeld in Antwerpen en betreedt ons netwerk in Heist-op-den-Berg. Elke lijn reist in twee richtingen, respectievelijk 0 en 1. De steden in het netwerk zijn: o

Aarschot

o

Alken

o

Hasselt

o

Heist-op-den-Berg

o

Landen

o

Leuven

o

Sint-Truiden

De vier treinlijnen zijn: o

A: tussen Heist-op-den-Berg en Hasselt

o

B: tussen Leuven en Hasselt, via Aarschot

o

C: tussen Leuven en Hasselt, via Landen

o

D: tussen Leuven en Heist-op-den-Berg

Lijnen A en C gebruiken IC-treinen met een gemiddelde snelheid van 76 km/h. Lijn B gebruikt IR-treinen met een gemiddelde snelheid van 65 km/h. Lijn D gebruikt een L-trein met een gemiddelde snelheid van 51 km/h.

3.1.2 Netwerkkarakteristieken Het netwerk wordt gekenmerkt door meersporige baanvakken, d.w.z. dat aan elk spoor een richting is toegewezen. Treinen die in de tegenovergestelde richting reizen, bevinden zich dus nooit op hetzelfde spoor. Enkel tussen Landen en Sint-Truiden, en tussen Sint-Truiden en Alken ligt een enkelsporig baanvak, dus slechts één spoor, waarop treinen in beide richtingen kunnen rijden. In het station van Sint-Truiden kunnen twee treinen reizend in tegengestelde richting elkaar kruisen. Bovendien kunnen treinen elkaar slechts inhalen in


23

een station. Het inhalen en kruisen van andere treinen in een station is namelijk veel veiliger dan onderweg. Voor sommige van de mogelijke reizen zijn alternatieve routes beschikbaar. Men kan bijvoorbeeld vanuit Leuven in Aarschot geraken via lijn B of D. Het is duidelijk dat de kwaliteit van de dienstregeling voor de reizigers verhoogt wanneer deze lijnen gelijk gespreid worden over de tijd. In ons voorbeeld is het beschouwde tijdsvenster één uur. De tijd tussen lijn B en D zou dan idealiter 30 minuten moet bedragen. Als hiervoor geen moeite wordt gedaan, kan de tijd tussen de twee lijnen oplopen tot bijna een uur. De meeste van de treinen stoppen in meerdere stations dan aangegeven in het netwerk, maar aangezien in die stations geen overstappen plaatsvinden, noch het aantal sporen wijzigt, worden deze tussenstations voor de eenvoud weggelaten. Er wordt aangenomen dat passagiers een directe reis verkiezen boven een reis met een of meerdere overstappen. Uit onderzoek gevoerd door de auteurs blijkt dat Leuven en Hasselt de belangrijkste overstapstations zijn. Verbindingen moeten in die stations dus gegarandeerd worden. De belangrijkste overstappen zijn meer bepaald: o

o

Hasselt: o

C1  A1: van Alken naar Aarschot

o

C1  A0: van Alken naar Liège

o

C0  A0: van Aarschot naar Alken

Leuven: o

C0  B0: van Landen naar Aarschot

o

C0  D0: van Landen naar Heist-op-den-Berg

o

B1  C1: van Aarschot naar Landen

o

D1  C1: van Heist-op-den-Berg naar Landen

o

D1  C0: van Aarschot naar Brussel


24

A1

D1

D0

A0

B0 B1

C0 C1

Figuur 9: Het netwerkschema (aangepast uit [36])

3.1.3 Dienstregeling De gehanteerde dienstregeling betreft een cyclische dienstregeling. Dit is namelijk de standaard in het Belgisch spoorverkeer. Het veronderstelde tijdsschema voor dit netwerk wordt voorgesteld door Tabel 4. In Tabel 3 wordt de tijd tussen twee treinen op elke lijn weergegeven. Als er 60 minuten tussen twee treinen van dezelfde lijn zit, dan is de treinfrequentie van die lijn één. Tabel 3: De frequentie van treinen per lijn (gebaseerd op [36])

Treinlijn

Tijd tussen twee treinen van dezelfde lijn (in min)

A0

60

A1

30

B0

60

B1

Niet vermeld

C0

60

C1

30

D0

60

D1

Niet vermeld


25

Tabel 4: Dienstregeling (overgenomen uit [36])

Aankomst

Vertrek

Heist-op-den-Berg

A

V

Aarschot

A

V

A

V

Leuven

Landen

A

V

A

St-Truiden

V

Alken

A

V

Hasselt

A0

-

0

9

14

-

-

-

-

-

-

-

-

40

46

D1

-

19

31

32

46

-

-

-

-

-

-

-

-

-

C1

-

-

-

-

-

31

58

60

69

71

78

79

85

-

Hasselt

Alken

St-Truiden

Landen

Leuven

Aarschot

Heist-opden-Berg

A1

-

20

-

-

-

-

-

-

-

-

46

51

60

-

D0

-

-

-

-

-

-

-

-

-

14

28

29

41

-

C0

-

31

37

38

46

47

56

58

85

87

-

-

-

-

Leuven B0

-

11 Hasselt

B1

-

10

Aarschot

Hasselt

23

50

25

-

Aarschot

Leuven

35

49

37

-

3.1.4 Tijd-plaatsdiagrammen Hieronder worden de tijd-plaatsdiagrammen weergegeven per link. Hierop wordt visueel voorgesteld waar een trein zich bevindt op elk moment in de tijd. Op de verticale as wordt de stationscode (de plaats) genoteerd en op de horizontale as de tijd in minuten. Een treinconflict ontstaat wanneer twee positief hellende curven elkaar snijden op een link, idem voor twee negatief hellende curven. Voor lijn C, meer bepaald tussen Landen, Sint-Truiden en Alken, is het zelfs zo dat geen enkele curve een andere mag snijden, tenzij in een station. We zien op de figuur dat hieraan is voldaan.

tijd-plaatsdiagram tussen HOB (0) en Aarschot (1) 1

station

A0 A1 D0 D1

60

57

54

51

48

45

42

39

36

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

0

0 tijd (in min)

Figuur 10: Het tijd-plaatsdiagram tussen Heist-op-den-Berg en Aarschot (eigen werk)


26

tijd-plaatsdiagram tussen Hasselt (0) en Aarschot (1) 1

station

A0 A1 B0 B1

60

57

54

51

48

45

42

39

36

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

0

0 tijd (in min)

Figuur 11: Het tijd-plaatsdiagram tussen Hasselt en Aarschot (eigen werk)

tijd-plaatsdiagram tussen Leuven (0) en Aarschot (1) 1

station

B0 B1 D0 D1

tijd (in min)

Figuur 12: Het tijd-plaatsdiagram tussen Leuven en Aarschot (eigen werk)

60

57

54

51

48

45

42

39

36

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

0

0


27

tijd-plaatsdiagram tussen Leuven (0) en Hasselt (4), via Landen (1), Sint-Truiden (2) en Alken (3) 4

station

3 C0

2

C1

1

60

57

54

51

48

45

42

39

36

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

0

0 tijd (in min)

Figuur 13: Het tijd-plaatsdiagram tussen Leuven en Hasselt via Sint-Truiden, met 0 minuten als oorsprong (eigen werk)

tijd-plaatsdiagram tussen Leuven (0) en Hasselt (4), via Landen (1), Sint-Truiden (2) en Alken (3) (bis) 4

station

3 C0

2

C1 1

87

84

81

78

75

72

69

66

63

60

57

54

51

48

45

42

39

36

33

30

0 tijd (in min)

Figuur 14: Het tijd-plaatsdiagram tussen Leuven en Hasselt via Sint-Truiden, met 30 minuten als oorsprong (eigen werk)


3.2

28

Oplijsting van de meest voorkomende objectieven

Objectieven voor het dienstregelingproces kunnen ruwweg in drie categorieën worden opgedeeld. Vooreerst zijn er die situaties waarin enkel een uitvoerbare dienstregeling wordt nagestreefd. Ten tweede kan worden gepoogd de kwaliteit van de dienstregeling te maximaliseren. Met kwaliteit wordt een aantrekkelijke service voor reizigers bedoeld. Dit kan een korte reistijd inhouden, voldoende overstaptijd, etc. Ten derde kan er gekozen worden om de operationele kosten te minimaliseren. Hieronder worden de kosten verstaan die de spoorwegmaatschappij oploopt door het uitbaten van het spoornetwerk. Hoewel dit op zich meer aansluit bij de

planning van het rollend materieel, d.i. de fase na het

dienstregelingsproces, kan de dienstregeling ook deze kosten beïnvloeden.

3.2.1 Uitvoerbare dienstregeling 1. Een uitvoerbare dienstregeling bekomen: dit objectief wordt niet geëxpliciteerd in een doelfunctie, maar houdt in dat de dienstregeling aan alle hard constraints voldoet. Dit betekent voornamelijk dat de dienstregeling als dusdanig is, dat het onmogelijk is dat treinen kunnen botsen. Een ander voorbeeld van een hard constraint is de maximumsnelheid die een trein kan rijden. Deze beperking wordt opgelegd door de technische eigenschappen van de trein in kwestie. Deze uitvoerbaarheid is als vanzelfsprekend het primaire doel bij het opstellen van een dienstregeling. In de literatuur echter gaat men vaak hierbovenop nog (een of meerdere) andere objectieven nastreven. Die objectieven kunnen wel vertaald worden in een doelfunctie. In de praktijk daarentegen is men reeds tevreden bij het behalen van deze uitvoerbaarheid. Het opmaken van een dienstregeling vergt immers veel tijd, aangezien deze vandaag de dag nog grotendeels manueel wordt opgemaakt wegens de grote complexiteit van het probleem. Bovendien zijn geautomatiseerde optimalisatiemodellen vaak slechts toepasbaar op kleine instanties en dus niet geschikt voor realistische probleemgroottes ([2; 5; 8; 33]).

2. Het minimaliseren van het aantal geschonden soft constraints en de mate waarin ze geschonden worden: deze doelstelling gaat een stap verder dan de vorige. Om uitvoerbaarheid te garanderen, moet worden voldaan aan de hard constraints. Hier probeert men bovendien zoveel mogelijk rekening te houden met de soft constraints. Soft constraints zijn geen voorwaarden voor een uitvoerbare dienstregeling. Deze restricties mogen, zoals eerder vermeld, geschonden worden. Deze restricties zorgen ervoor dat de dienstregeling kwaliteitsvoller wordt voor de passagier en/of efficiënter voor de spoorwegmaatschappij. Een voorbeeld van beide is de beperking op de maximum


29

haltetijd. Dit maakt het enerzijds kwaliteitsvoller, aangezien passagiers minder tijd op de trein moeten spenderen. Anderzijds wordt de capaciteit van de treinen beter benut door meer te rijden, want stilstaande treinen brengen geen geld op. Een beperking die enkel de kwaliteit voor de passagiers verhoogt, is het verzekeren van treinverbindingen [10; 35].

3. Het minimaliseren van de aanpassing aan het geprefereerde schema om tot een uitvoerbaar schema te komen: de eerste stap in het dienstregelingsproces is het opmaken van een ideaal schema. Voor sommige treinen kunnen er immers voorgeschreven en voor andere treinen geprefereerde vertrek-, aankomst- halte- en reistijden zijn en dit voor zowel begin-, eind- als tussenstations. Bij de opmaak van dit ideale schema worden alle restricties buiten beschouwing gelaten. In een tweede stap wordt dit schema omgevormd tot een uitvoerbaar schema. Hierbij probeert men dan volgens deze doelstelling zoveel mogelijk het geprefereerde schema te respecteren. Dit wordt geëxpliciteerd door in de doelfunctie kosten toe te wijzen aan de verschuivingen van die voorgeschreven en geprefereerde tijden. Het komt er hier dus op aan deze kostenfunctie te minimaliseren [7; 9]. Kwan en Chang volgen een analoge redenering om de wijziging aan de originele dienstregeling te minimaliseren met het oog op het bekomen van een gesynchroniseerde dienstregeling (zie infra) [22].

3.2.2 Kwaliteitsmaximalisatie 4. Minimaliseer de totale (eventueel gewogen) reistijd: Een eerste onderdeel van kwaliteitsmaximalisatie betreft het minimaliseren van de tijd die een trein nodig heeft om van zijn beginstation naar zijn eindstation te reizen. De verkorting van deze treinreistijd heeft een reistijdverkorting van de passagiers als gevolg en verhoogt dus de kwaliteit van de dienstregeling [3; 14; 16; 25; 41; 42]. Bovendien verhoogt het BNP van een land indien de gewonnen tijd wordt gebruikt voor productieve activiteiten [16]. Deze totale treinreistijd is afhankelijk van de snelheid van de trein, de haltetijd en de wachttijd ontstaan door een conflict.


30

De invloed van wachttijd ontstaan door een conflict, kan verduidelijkt worden a.d.h.v. onderstaande figuur. Stel trein A heeft een totale treinreistijd van 60min, en trein B 90min. Als A en B elkaar ontmoeten op hetzelfde spoor, maar elk reizend in de tegenovergestelde richting, dan zijn er twee opties. Ofwel wacht A tot B gepasseerd is (linkerpaneel), ofwel wacht B (rechterpaneel).

plaats

A

B

70min

plaats

tijd

A

B

100min tijd

Figuur 15: De invloed van wachttijd ontstaan door een conflict tussen twee treinen (eigen werk)

Toepassing van deze doelfunctie op het werkvoorbeeld geeft het volgende: de oorspronkelijke totale treinreistijd uit het werkvoorbeeld bedraagt 328 min. Dit is de som van de totale treinreistijd van de 8 verschillende treinreizen. Om bijvoorbeeld de totale treinreistijd van lijn A0 te berekenen, verminderen we 46 (d.i. vertrek uit Hasselt) met 0 (d.i. vertrek uit Heist-op-den-Berg). De totale treinreistijd van lijn A0 bedraagt dan 46 min. Als we dan voorstellen dat een trein maximaal 3 min mag stoppen, dan wordt de totale treinreistijd over alle treinreizen heen 318 min. De totale treinreistijd is dus met 10min ingekort. Enkel bij lijn A was er mogelijkheid tot verkorting van de haltetijd, meer bepaald in het station van Aarschot en van Hasselt. We zien op de nieuwe tijd-plaatsdiagrammen in bijlage 7.5 dat deze wijziging geen conflicten veroorzaakt. De wijziging mag aldus worden behouden.

Een verkorting van de treinreistijd heeft echter ook als gevolg dat de treinen beter worden benut en hoort dus ook thuis onder de categorie „kostenminimalisatie‟. Het is meer bepaald een voorbeeld van operationele kostenminimalisatie [14; 16]. In de doelfunctie kunnen gewichten worden toegekend aan de verschillende lijnen. Er kan worden verondersteld dat reistijdverkorting van lijn A belangrijker is dan van lijn B, omdat lijn A een drukkere lijn is. Bij lijn A worden dus meer passagiers bevoordeeld door een reistijdverkorting dan bij lijn B. Aan lijn A wordt dan een groter gewicht toegekend dan aan B. Zo weegt de reistijd van A meer door in de doelfunctie en zal een reistijdverkorting in A dus meer aangemoedigd worden dan in het geval van lijn B [18].


31

Men kan i.p.v. de treinreistijd, de passagiersreistijd in beschouwing nemen. Men kan dan voor elke trein in het systeem een verdeling vooropstellen van hoeveel passagiers de trein verlaten en betreden in elk station [16]. Hierbij is de reistijd afhankelijk van de snelheid van de trein, de haltetijd, de wachttijd ontstaan door een conflict en de transferwachttijd.

5. Minimaliseer de totale wachttijd van reizigers: aan de basis van deze benadering ligt de assumptie dat de tijd voor reizigers sneller gaat wanneer de trein aan het rijden is, dan wanneer ze stopt of wanneer men moet wachten op een verbinding. Een vermindering in deze twee laatsgenoemde aspecten wordt aldus meer geapprecieerd dan een vermindering in de reistijd. Men minimaliseert hier dus enkel de haltetijd en/of de transferwachttijd. De twee soorten wachttijden hoeven niet samen geminimaliseerd te worden; men kan ofwel haltetijd [10; 15; 19] ofwel transferwachttijd [22; 40; 36; 37] ofwel beide [23] minimaliseren. De transferwachttijd kan worden gewijzigd door bv. de treinreistijd, haltetijden, vertrektijden en opvolgtijden te wijzigen. Aan de verschillende lijnen kunnen ook hier opnieuw gewichten worden toegekend om de prioriteit van de lijnen en de verbindingen in de analyse mee te nemen [35]. Voor een voorbeeld van minimalisatie van haltetijden wordt verwezen naar het voorbeeld onder objectief 4. Hier bekijken we de minimalisatie van de transferwachttijd. Hiervoor zoomen we in op de verbinding Alken-Aarschot, met een overstap in Hasselt, en laten we al het overige buiten beschouwing. In Hasselt komt de passagier van lijn C1 en stapt over op lijn A1. Herinner dat lijn B1 tussen Hasselt en Aarschot hetzelfde spoor gebruikt als lijn A1. In bijlage 7.6 op Figuur 36 zie je het tijd-plaatsdiagram voor deze verbinding gevisualiseerd. We zien dat de verbinding net gemist wordt; A1 vertrekt uit Hasselt op 20 min na het uur, terwijl C1 daar pas op 25 min na het uur toekomt. Wanneer we veronderstellen dat de minimum transfertijd 4 min bedraagt, dan moeten reizigers 51 min wachten op hun verbinding. Als de transferwachttijd geminimaliseerd wordt, dan zal de transferwachttijd worden gereduceerd van 51 min naar 4 min, door bijvoorbeeld treinlijn C1 9 min vroeger te plannen. Hierbij blijft het schema trouwens conflictvrij. De nieuwe dienstregeling en diagrammen zijn te vinden in bijlage 7.6.

Een derde soort van wachttijd die een passagier kan ondervinden, is de tijd tussen de aankomst van de passagier in het station om zijn trein te halen en de aankomst van de trein in het station [41]. Deze wachttijdsoort is naar mijn mening niet relevant, aangezien men er mag van uitgaan dat passagiers vandaag de dag genoeg mogelijkheden hebben om reeds op voorhand na te gaan hoe laat hun trein vertrekt.


32

6. Maximaliseer de betrouwbaarheid (robuustheid) van de dienstregeling: de betrouwbaarheid kan worden uitgedrukt als het risico op vertraging wegens onverwachte gebeurtenissen bij elke trein, vermenigvuldigd met het aantal minuten vertraging. Bij het maximaliseren van de betrouwbaarheid wordt aldus de betrouwbaarheid van de aankomsttijden gemaximaliseerd [14]. Robuustheid kan bekomen worden op twee verschillende manieren. Een eerste manier is door de treinreistijd langer te maken dan het minimum en zo een tijdsbuffer in te bouwen. Wanneer deze tijdsbuffers relatief groot zijn, is het risico op vertraging kleiner. Opgelopen vertraging kan immers worden ingelopen door de trein sneller te laten rijden en aldus de tijdsbuffer te consumeren. Het risico op vertraging kan worden getest door te simuleren [36; 37]. Volgens Vansteenwegen en Van Oudheusden [36] bedraagt de ideale buffertijd voor de verbinding C1-A1 5 min (afgerond). Ter berekening van deze buffertijd werd rekening gehouden met een gemiddelde verwachte vertraging van 3 min, het feit dat er 30 min tussen twee A1-treinen ligt, en het aantal passagiers dat moet overstappen, uitstappen en blijven zitten. Als we deze buffertijd van 5 min toepassen op ons voorbeeld, zien we in bijlage 7.7 aan de vlakkere curve in Figuur 38 dat lijn C1 nu trager rijdt.

Een tweede manier is een grotere afstand tussen de treinen onderling te laten; een trein bevindt zich namelijk niet alleen in het netwerk. Wanneer de ene trein vertraging heeft, kan deze vertraging zich al gauw voortplanten in het hele netwerk. D.w.z. dat treinen die na de vertraagde trein op hetzelfde spoor rijden, ook vertraging kunnen oplopen, omdat men de minimum opvolgtijd moet blijven respecteren. Als men de opvolgtijden tussen de geplande treinen groter maakt dan minimaal vereist is en men dus een tijdsbuffer inbouwt, wordt de dienstregeling minder vertragingsgevoelig [35]. Op de link van Hasselt naar Aarschot rijden twee treinlijnen, nl. A1 en B1. De opvolgtijd tussen de vertrektijden van beide treinen bedraagt 10 min. De opvolgtijd tussen de aankomsttijden bedraagt 14 min. Lijn B1 rijdt voorop. Als lijn B1 echter vertraging oploopt ten belope van 7 min, en dus 7 min te laat vertrekt uit Hasselt, en de minimum opvolgtijd tussen beide treinen bedraagt 4 min, dan wordt lijn A1 verplicht 1 min te wachten in Hasselt, en loopt ze aldus zelf ook 1 min vertraging op. Dit kan worden voorkomen door A1 en B1 wat verder uit elkaar te plannen. We kunnen trein B1 bijvoorbeeld 5min vroeger plannen. Zie bijlage 7.7 Figuur 39 voor de visualisatie van dit concept.


33

3.2.3 Kostenminimalisatie 7. Minimaliseren van de operationele kosten: door het uitbaten van het treinnetwerk loopt de spoorwegmaatschappij kosten op. Deze kosten kunnen opgedeeld worden in vaste kosten en in variabele kosten. Vaste kosten omvatten zaken zoals afschrijvingen (veroorzaakt door de aankoop van treinen), kapitaalkost, vaste onderhoudskost en de kost om treinen te laten „overnachten‟. Voorbeelden van variabele kosten zijn de variabele onderhoudskost, personeelskosten en brandstofverbruik [24]. De dienstregeling heeft een beperkte impact op deze kosten. De vaste kosten kunnen worden gedrukt door bijvoorbeeld de haltetijd te verkorten en de treinsnelheid te verhogen. Deze beide zaken zorgen ervoor dat de trein vroeger op zijn eindbestemming is, het personeel dus minder lang op de trein heeft gezeten en dus minder kost. De trein kan opnieuw ingezet worden voor een andere rit (i.e. de treinrotatie verhoogt) en zo kan uiteindelijk het totaal aantal benodigde treinen verminderen, wat leidt tot een verminderde aankoop van treinen ([23] en gesprek met de heer Vervoort B, 2 maart 2010, Brussel). Wat betreft de variabele kosten kan men de treinen trager laten rijden, wat de treinreistijd verlengt. Op die manier wordt minder brandstof verbruikt en verlaagt dit luik van de variabele kosten [16]. Hierdoor is echter meer personeel nodig, waardoor de variabele kosten verhogen en de kostenverlaging door het lager brandstofverbruik (deels) wordt tenietgedaan. Bovendien is er meer rollend materieel nodig wanneer de treinen trager rijden, wat dan op zijn beurt de vaste kosten verhoogt. Een andere belangrijke kostencomponent is de vergoeding van de rijpaden. De NMBS moet de infrastructuurbeheerder Infrabel immers vergoeden voor het spoorgebruik sinds de opsplitsing van de NMBS in 2005. NMBS moet voor elke trein een vergoeding betalen op basis van het aantal keer dat het specifieke rijpad werd gebruikt, de snelheid waarmee over het rijpad werd gereden, het aantal stops, e.d.m. Voor de NMBS maakt deze kostencomponent ongeveer 40% uit van de totale kosten, welke weinig ruimte voor verbetering toelaat, want NMBS moet aan de vraag van de klant blijven voldoen en kan dus geen rijpaden schrappen (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). Bovenstaande redenering illustreert duidelijk dat het verlagen van de kosten een complex probleem is met veel tegenstrijdige componenten. Bij kostenminimalisatie moet dan ook een trade-off gemaakt worden van de verschillende componenten.


3.3

34

Oplijsting van de meest voorkomende restricties

Een probleem optimaliseren naar een doelfunctie is één ding. Een oplossing die uitvoerbaar is in realiteit, is echter een ander paar mouwen. Elk realistisch probleem bevat namelijk belangrijke beperkingen waar men o.w.v. praktische redenen niet omheen kan. Er moet bijvoorbeeld steeds aan alle veiligheidsrestricties worden voldaan. Bijkomend kunnen nog andere beperkingen worden opgelegd, alnaargelang de wens van de treinplanner. In wat volgt worden de gevonden restricties uit de literatuur opgedeeld in vier categorieën: de restricties m.b.t. de logische gang van zaken, de reistijd, de veiligheid en de beschikbare infrastructuur. Voor het oplossen van een dergelijk groot probleem is het interessant om zoveel mogelijk potentieel bindende restricties voorop te stellen, aangezien deze de zoekruimte (in het Engels: feasible region) verkleinen en dus de oplossingstijd reduceren [9]. Het treinnetwerk wordt schematisch voorgesteld aan de hand van bogen en knooppunten. Bogen stellen links voor, terwijl een knooppunt een station, kruising, samenkomst van sporen, etc. kan zijn (zie onderstaande figuur). In wat volgt zal vooral de terminologie „link‟ en „knooppunt‟

worden

gehanteerd,

eerder

dan

„treinspoor‟

en

„station‟,

„kruising‟,

„samenkomst‟,…

knooppunt A1

boog

D1

D0

A0

B1

C0 C1

Figuur 16: Het netwerkschema met aanduiding van een boog en een knooppunt (aangepast uit [36])


35

3.3.1 Logische restricties Deze restricties zorgen ervoor dat er zich geen abnormale gebeurtenissen kunnen voordoen.

1. Continuïteit van de treinbeweging door het netwerk: deze restrictie garandeert de continue beweging van een trein. Een trein kan slechts een knooppunt betreden als het via een inkomende link komt. Het uittreden van een knooppunt kan slechts via een uitgaande link. Een trein kan het knooppunt dus niet betreden of verlaten via een spoor dat er niet aan gelinkt is en niet via een spoor waaraan de tegengestelde richting is toegewezen dan de reisrichting van de trein [16]. A.d.h.v. de onderstaande figuur kan dit concept worden verduidelijkt. We zien dat de inkomende links in Aarschot link d, e en f zijn, terwijl de uitgaande links link a, b en c zijn. Betreden respectievelijk uitrijden van het station van Aarschot kan enkel gebeuren via deze links. Alle andere links van het treinnetwerk behoren niet tot de mogelijkheden. Als een trein via link d Aarschot binnenrijdt, dan kan hij het station uitrijden via link b of c. Niet via link a, want dat zou betekenen dat de trein in Aarschot omkeert, wat hier niet het geval is.

d d a

c Aarschot b

e

b c

f

e

f

a c a b

Figuur 17: Visuele voorstelling van de restrictie „continuïteit van de treinbeweging door het netwerk‟ (eigen werk)

2. Continuïteit in bepaalde knooppunten: als een trein de inkomende link verlaat en het knooppunt betreedt, wordt een aankomsttijd vastgesteld. Het moment dat de trein de uitgaande link betreedt en dus het knooppunt verlaat, wordt een vertrektijd genoteerd. Het verschil tussen beide is dan de verblijftijd van die trein in dat knooppunt. In bepaalde gevallen echter stopt (d.i. discontinuïteit) de trein niet, maar passeert hij bijvoorbeeld een spoorkruising of is hij in doortocht door een station (d.i. continuïteit). De verblijftijd van zo‟n actie is dan voldoende klein, zodat ze kan worden verwaarloosd. Deze restrictie


36

zorgt er dus voor dat in die gevallen de aankomsttijd in het knooppunt gelijk is aan de vertrektijd uit datzelfde knooppunt [16].

3. Vroegste vertrektijd: deze restrictie waarborgt dat een trein niet eerder dan zijn vroegste geplande vertrektijd uit zijn beginstation kan vertrekken [2; 14; 18; 41; 42]. Stel dat deze vroegste geplande vertrektijd 6u is, dan mag de trein pas vanaf 6u vertrekken.

4. Eerste vertrek uit beginstation: een trein moet voor het eerst uit zijn beginstation vertrekken tijdens de eerste 60 minuten van de dag [36; 37]. Als de dag begint om 6u ’s morgens, dan mag een trein ten laatste om 6u59 vertrekken uit zijn beginstation.

5. Laatste aankomsttijd: deze restrictie zorgt ervoor dat een trein niet later kan aankomen in zijn eindstation dan op zijn laatste geplande aankomsttijd [16]. Stel dat deze laatste geplande aankomsttijd 23u is, dan moet de trein binnen zijn vóór 23u01.

6. Vertrek uit knooppunt: een trein kan niet uit een station vertrekken vóór hij er toegekomen is. Hetzelfde geldt voor andere soorten knooppunten [25]. Bij wijze van voorbeeld is het rechterpaneel in onderstaande figuur ongeldig.

A: 9u50

V: 9u53

A: 9u50

V: 9u48

A = aankomsttijd V = vertrektijd Figuur 18: Visuele voorstelling van de restrictie „vertrek uit knooppunt‟ (eigen werk)

7. Consistentie van treinen op elke link: als we een set van treinen veronderstellen, die elk een maal moeten worden ingepland in het netwerk, kunnen we eisen dat elke trein op elke link minimaal en maximaal 1 onmiddellijke voorganger heeft, en zelf minimaal en


37

maximaal 1 keer voorganger is. Deze redenering gaat enkel niet op voor de eerste trein en de laatste trein op elke link. Door deze restrictie kan elke trein slechts een keer voorkomen op elke link. Dit is analoog aan het Traveling Salesman Problem, waar steden vervangen worden door treinen. Het TSP wordt dan opgelost voor elke link [9]. Stel de link van Hasselt naar Aarschot, waarop lijn A1 en B1 rijden. Lijn A1 vertrekt op 20 min en 50 min na het uur, terwijl lijn B1 vertrekt op 10 min na het uur. De sequentie ziet er dan uit als volgt: B1 – A1 – A1’ – B1’ – A1’’ – A1’’’ – B1’’ – etc.

opeenvolging treinen van Hasselt (1) naar Aarschot (2) 2 A1 B1 A1'

station

A1'' B1' A1''' A1'''' B1'' A1''''' A1''''''

176

168

160

152

144

136

128

120

112

96

104

88

80

72

64

56

48

40

32

24

8

16

0

1

tijd (in min)

Figuur 19: Visuele voorstelling van de restrictie „consistentie van treinen op elke link‟ (eigen werk)

8. Consistentie m.b.t. een cyclische dienstregeling: wanneer de dienstregeling cyclisch is, hoeft men slechts één zo‟n cyclus te plannen. De dienstregeling voor een volledige dag bestaat dan uit een bepaald aantal cyclussen. De cyclustijd is meestal 60 minuten. Als een dag begint om 6u en eindigt om 24u, dan bestaat een dag uit 18 dezelfde cyclussen. Wanneer men echter berekeningen moet uitvoeren met aankomsten vertrektijden, kan het gebeuren dat het resultaat van die bewerking niet meer in het domein [1 min,59 min] ligt. Om dit te verhelpen, werkt men met een integere variabele die bij het resultaat een product van 60 min bijtelt totdat het resultaat binnen het geldige domein ligt [33; 35]. Een voorbeeld kan dit helpen te verduidelijken. Neem lijn C1. Deze trein komt aan in station Landen op 58 min na het uur, en vertrekt uit Landen op het uur. De haltetijd van de trein is dan volgens de formule (infra) 0 – 58 = -58. Hier wordt dan één keer 60 min


38

bijgeteld en zo bekomen we een getal binnen het domein, nl. 2 min. De haltetijd bedraagt aldus 2 min.

9. Vertrek- en aankomsttijden van volgende treinen in een cyclisch schema: het is mogelijk dat men een cyclische dienstregeling wil bekomen zonder slechts één cyclus te plannen. Men plant dus een volledige dag door het gepaste veelvoud van de cyclustijd op te tellen bij de vertrek- en aankomsttijden van de treinen in de eerste cyclustijd. M.a.w., het geplande vertrek van een trein = het geplande vertrek van de vorige trein van de dezelfde lijn + cyclustijd [36; 37]. Neem lijn C0. Als we als starttijd van de dag 0 veronderstellen, dan vertrekt de eerste trein van lijn C0 op de 31ste minuut van de dag. Aangezien de frequentie van deze lijn 1 is, zijn er geen andere vertrektijden binnen de cyclustijd van 60min. De tweede trein vertrekt dan op de 31 + 60 = 91ste minuut van de dag. De derde trein vertrekt dan op de 31 + 2x60 = 151ste minuut van de dag, etc.

3.3.2 Reistijd 3.3.2.1 Algemeen 10. Totale reistijd (= aankomst in eindstation – vertrek uit beginstation): de totale reistijd van een trein is de tijd die hij nodig heeft om van zijn beginstation naar zijn eindstation te reizen. Deze tijd wordt berekend door de vertrektijd uit het beginstation af te trekken van de aankomsttijd in zijn eindstation. M.b.t. deze totale reistijd kan er een boven- en onderlimiet vooropgesteld worden [9; 40; 41]. Bovendien is er vaak een boven- en ondergrens op de aanvaardbare vertrek- en aankomst, respectievelijk uit het vertrek- en in het eindstation. Deze beperkingen zijn enorm belangrijk voor het versnellen van het vinden van een oplossing, aangezien ze de zoekruimte enorm kunnen reduceren [9]. De bovenlimiet op de totale reistijd en dus de langst mogelijke reistijd is dan het verschil tussen de laatste aankomsttijd op zijn bestemming (LAT) en de vroegste vertrektijd uit zijn beginstation (VVT). Voor de onderlimiet beschouwen we de kortst mogelijke reistijd, nl. het verschil tussen de vroegste aankomsttijd in het eindstation (VAT) en de laatste vertrektijd uit het beginstation (LVT).


39

beginstation

eindstation

VVT

VAT

tijd LVT

LAT

bovenlimiet onderlimiet

Figuur 20: Schematische voorstelling van de restrictie „totale reistijd‟ (eigen werk)

Neem nu bij wijze van voorbeeld lijn B0. De geplande vertrektijd uit zijn beginstation Leuven is vastgesteld op 11 min na het uur. De geplande aankomsttijd in zijn eindstation is 50 min na het uur. De totale reistijd voor lijn B0 bedraagt dan 50 min – 11 min = 39 min. Stel nu dat we een boven- en ondergrens opleggen aan de vertrek- en aankomsttijd volgens onderstaande tabel. Dan is de bovenlimiet op de totale reistijd 56 min – 8 min = 48 min, en de onderlimiet 45 min – 15 min = 30 min. Tabel 5: Boven- en ondergrens aan de vertrek- en aankomsttijd voor lijn B0, in minuten (eigen werk)

Ondergrens

Bovengrens

Leuven (vertrektijd)

8 (VVT)

15 (LVT)

Hasselt (aankomsttijd)

45 (VAT)

56 (LAT)

Totale reistijd

30

48

11. Vaste dienstregeling voor sommige treinen: sommige types treinen (bv. Thalys) kunnen een voorgeschreven dienstregeling hebben die niet mag worden aangepast [33; 35]. De andere treinen worden dan ingepland in functie hiervan. Bij het inplannen van treinen kan ook een watervalsysteem worden gevolgd, nl. dat eerst de treinen van hoogste prioriteit moeten worden ingepland, bv. IC-treinen. Nadat deze treinen zijn ingepland, mag de dienstregeling van deze IC-treinen niet meer worden gewijzigd. Daarna kan men dan de IR-treinen inplannen, welke een lagere prioriteit hebben dan ICtreinen. Daaropvolgend kan men dan de L-treinen inplannen, die de laagste prioriteit hebben. Bij het inplannen van een bepaald niveau, mag men de dienstregeling van de hogerliggende niveaus niet meer wijzigen [7]. NMBS past een gelijkaardige strategie toe die gaat als volgt. De Thalys heeft als trein voorrang bij het verdelen van de rijpaden. Daarna worden de IC‟s bekeken, daarna de IR‟s en uiteindelijk de L-treinen. Wanneer men echter met de planning van de L-treinen begonnen is, kan het zijn dat de


40

dienstregeling van de IC- of IR-treinen moet worden aangepast. De trage L-treinen nemen immers veel capaciteit in beslag en het is dan goed mogelijk dat er niet voldoende capaciteit meer beschikbaar is voor deze L-treinen. Bij het aanpassen van de dienstregeling wordt dan wel geprobeerd om zo weinig mogelijk aan de reeds ingeplande treinen te veranderen. Er moet immers blijvend rekening worden gehouden met de spreiding van treinen en belangrijke aansluitingen (gesprek met de heer Vervoort B, 2 maart 2010, Brussel).

12. Vertraging van de hogere prioriteitstreinen moet kleiner zijn dan van de lagere prioriteitstreinen: dat een tragere trein (i.e. lagere prioriteitstrein) vertraging heeft, wordt als minder erg beschouwd dan een snellere trein die evenveel minuten vertraging heeft. Over alle treinen heen kan worden gestreefd naar minder gemiddelde vertraging bij snellere treinen dan bij tragere treinen [10].

3.3.2.2 Tussen stations 13. Snelheidsbeperking / reistijd over een link (= aankomst in station – vertrek uit vorig station): er kan een minimale en maximale (gemiddelde) snelheid worden toegelaten voor elke trein op elke link. De minimale en maximale reistijd van een trein over een link wordt hierdoor bepaald. Deze reistijd is de tijd die een trein nodig heeft om van het ene station naar het andere te reizen ([2; 4; 9; 10; 14; 15; 16; 18; 19; 22; 24; 33; 35; 40; 42] en gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). Beschouwen we ter verduidelijking lijn A, een IC-lijn. Een trein van deze lijn doet er 26 min over om van Aarschot in Hasselt te geraken en omgekeerd. Aangezien IC-treinen reizen aan een gemiddelde snelheid van 76 km/h, kunnen we hieruit gemakkelijk afleiden dat de afstand tussen Aarschot en Hasselt ongeveer 33 km is. Zie onderstaande tabel voor een eenvoudige gevoeligheidsanalyse. Hierbij veronderstellen we dat de trein niet sneller mag rijden dan 83 km/h en niet trager dan 69 km/h. De maximum reistijd wordt dan 33 km / 69 km/h x 60 min = 28,7 min. Afgerond wordt dit 29 min. Analoge redenering geldt voor de minimale reistijd. Tabel 6: Effect van snelheidslimieten op de reistijd van lijn A (eigen werk)

Snelst

Traagst

Snelheid

83km/h

69km/h

Reistijd

24min

29min


41

Er kunnen echter nog bijkomende snelheidsbeperkingen worden opgelegd voor bijvoorbeeld het betreden en uittreden van tunnels, het rijden onder een bepaalde hellingsgradiënt en in bochten [22].

14. Versnellen en vertragen: als een trein wil vertrekken uit een station waar hij gestopt is, dan heeft hij tijd nodig om opnieuw op gewenste snelheid te komen. Ook kan een rijdende trein niet onmiddellijk tot stilstand komen, maar heeft hij tijd nodig om te vertragen. Meestal echter wordt van dit aspect abstractie gemaakt. De auteurs Zhou en Zhong [41] daarentegen maken deze vereenvoudiging niet en stellen een versnellingsen vertragingstijd voorop waarmee de ideale reistijd over een link aldus wordt verlengd. Deze versnellingsen vertragingstijd bedragen volgens de auteurs 3 en 2 minuten voor respectievelijk hoge- en mediumsnelheidstreinen. We weten dat een IC-trein gemiddeld reist aan 76 km/h. Veronderstel dat zo’n trein 3 km nodig heeft om te versnellen vanuit stilstand tot op topsnelheid, en opnieuw 3 km om vanuit topsnelheid tot stilstand te komen. Als we veronderstellen dat deze versnelling en vertraging lineair gebeuren, dan bedraagt de topsnelheid 83,6 km/h. Dan doet de trein er 4,3 min over om te vertragen tot stilstand en even lang om te versnellen tot op topsnelheid. Aan de ideale reistijd van 23,7 min moeten dan nog 4,3 min bijgeteld worden om de totale reistijd te bekomen, nl. 28 min. Tabel 7: Berekening van de ideale reistijd en de reistijd inclusief versnellings - en vertragingstijd (eigen werk)

Ideale reistijd (33km aan topsnelheid)

33km / 83,6km/h x 60 min = 23,7min

27km aan topsnelheid

27km / 83,6km/h x 60min = 19,4min

Versnellings- en vertragingstijd

3km / (83,6km/h / 2) x 60min = 4,3min

Reistijd incl. versnellingsen vertragingstijd

19,4min + 2x4,3min = 28min

15. Reistijdsupplement: aan de gemiddelde reistijd van een trein over een link kan een tijdssupplement worden toegevoegd dat fungeert als tijdsbuffer. Opgelopen vertragingen onderweg kunnen op die manier weer ingelopen worden door de tijdsbuffer te consumeren. Op die manier wordt een robuustere dienstregeling bekomen, d.w.z. dat de gepubliceerde vertrek- en aankomsttijden betrouwbaarder worden [36; 37]. De NMBS hanteert meer concreet een buffer van een minuut om de 35 km. Een buffertijd kan ook wenselijk zijn in geval van werken, omdat de treinen dan trager moeten rijden in de buurt van de werken (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel).


42

Voor een cijfervoorbeeld, zie 1 ste voorbeeld bij objectief 6: maximaliseer de betrouwbaarheid (robuustheid) van de dienstregeling). Hieronder wordt deze restrictie schematisch afgebeeld. Station 1

station 2 link tijd

Gepland vertrek

Geplande aankomst

Gemiddelde

Reistijd-

reistijd

supplement

Figuur 21: Schematische voorstelling van de restrictie „reistijdsupplement‟ (eigen werk)

3.3.2.3 In stations 16. Omkeertijd (= vertrek uit het eindstation van de trein die begint aan z‟n omgekeerde route – aankomst van de trein in het eindstation): wanneer een trein aankomt in zijn eindstation, dan heeft deze trein een bepaalde tijd nodig om om te keren. Deze tijd is nodig voor de bestuurder, aangezien deze zich naar de andere kant van de trein moet verplaatsen. Indien geen bestuurpost aanwezig is aan het ander uiteinde van de trein, moet de trein zelf omgezet worden. Verder is deze tijd nodig voor het schoonmaken, de veiligheidscontrole, om bepaalde wagons af te koppelen en uit de weg te ruimen, als buffertijd om vertraging in te halen,… Na het omkeren vat de trein gewoonlijk de terugreis aan. Het gebeurt echter ook dat een trein op een andere lijn gaat rijden. De omkeertijd is gelijk aan het verschil tussen het vertrek van de trein uit en de aankomst in het eindstation en wordt gewoonlijk begrensd door een minimum en een maximum ([19; 22; 23; 33; 35; 40] en gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). De minimum en maximum omkeertijd gevonden in de literatuur en in de praktijk worden in onderstaande tabel weergegeven. Stel dat het eindstation van lijn B0 Hasselt is i.p.v. Luik. De omkeertijd van de trein is dan 10 min – 50 min = -40 min. Dit ligt buiten het domein [0,59] van ons cyclisch rooster. Daarom doen we volgens restrictie 8 het volgende (consistentie m.b.t. een cyclische dienstregeling): -40 min + 60 min = 20min. De omkeertijd bedraagt dus 20 min voor lijn B0.


43

Tabel 8: Vermelde omkeertijden in de literatuur en in de praktijk (eigen werk)

Min (in min)

Max (in min)

[40]

3

9

[23]

4

Niet vermeld

[35] (gebruikt in voorbeeld)

15

50

Gesprek met de heer Vervoort 8 à 10

20

B., 2 maart 2010, Brussel Haltetijd (= vertrektijd uit station – aankomst in datzelfde station): wanneer de tijd tussen het vertrek uit een station en de aankomst in datzelfde station groter is dan nul, dan wil dat zeggen dat de trein stopt in dat station. De lengte van het verblijf van de trein in dat station wordt de haltetijd of verblijftijd genoemd en deze wordt vaak beperkt door een minimum en een maximum. Een minimum haltetijd is nodig om het op- en afstappen van passagiers te garanderen e.d. (zie definitielijst). De maximumtijd zorgt ervoor dat de totale reistijd en de zoekruimte wordt verkleind. Dit laatste heeft een positieve impact op de snelheid waarmee een oplossing kan worden gegenereerd ([2; 5; 9; 10; 14; 15; 16; 19; 22; 23; 24; 33; 35; 36; 37; 40; 41; 42] en gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). De beperkingen op de haltetijden gevonden in de literatuur en vrijgegeven door de NMBS worden in onderstaande tabel opgelijst. Beschouwen we lijn C0 in station Landen. De haltetijd berekenen we als volgt: 58 min (vertrek uit Landen) – 56 min (aankomst in Landen) = 2 min. Tabel 9: Vermelde haltetijden in de literatuur en in de praktijk (eigen werk)

Min (in min)

Max (in min)

[36]

1

7

[37]

1, 2 of 3

8

[9]

1-5

niet vermeld

[5]

1

niet vermeld

[23]

0,5

2,5

[33]

2 – 10

5 – 15

[35]

1 (IC-trein)

5 (IC-trein)

[40]

17 sec

0,5

Gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart

30 sec

6 min

2010, Brussel


44

De haltetijden in een station kunnen van trein tot trein sterk variëren. Het kan zowel vanuit het standpunt van de treinoperator als van de passagiers wenselijk zijn om deze variatie te beperken en de haltetijden dus in een station voor de verschillende treinen meer gelijk te maken [40]. Wong, die zijn probleemstelling toepast op een metronetwerk, stelt voor dat het interval tussen de minimum en maximum haltetijd slechts 6 seconden bedraagt.

17. Beperkingen op vertrek- en aankomsttijden in tussenstations: soms kan er een boven- en ondergrens aan de aanvaardbare vertrek- en aankomsttijden in tussenstations opgelegd worden. Deze beperkingen zijn enorm belangrijk voor het versnellen van het vinden van een oplossing, aangezien ze de zoekruimte enorm kunnen reduceren [9]. Neem nu de dienstregeling voor lijn A0. Stel dat deze dienstregeling verder wordt geoptimaliseerd. Er kan dan worden opgelegd dat de nieuwe aankomsttijd in Hasselt in het domein [35, 42] moet liggen. 18. Symmetrie: voor deze vereiste bekijken we aankomsten vertrektijden in “aantal minuten na het uur”. Een symmetrische dienstregeling wil dan zeggen dat de som van de aankomst van een trein in een station en het vertrek van een trein van dezelfde lijn uit tegengestelde richting uit datzelfde station gelijk is aan de cyclustijd, meestal 60 min. Door deze restrictie op te leggen, wordt gegarandeerd dat passagiers voor hun heen- en terugreis dezelfde aansluiting hebben en dus dezelfde transferwachttijd moeten ondergaan [37]. Aan deze vereiste wordt binnen de NMBS altijd voldaan, behalve voor Ptreinen (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). Een voorbeeldje kan dit principe verduidelijken. Stel lijn B waarvan B0 in Hasselt aankomt om 50min na het uur. Voor B1 vertrekt de trein uit Hasselt om 10min na het uur. Deze twee opgeteld geeft 60min. (Opmerking: voor lijn C geldt dit principe niet, aangezien C1 in het voorbeeld werd aangepast om aan de veiligheidsrestricties te voldoen. Het oorspronkelijke schema uit Vansteenwegen en Van Oudheusden voldeed hier niet aan, maar was wel volledig symmetrisch).

19. Synchronisatie of spreiding: Het kan voorkomen dat er treinen zijn van een verschillende lijn, die echter een deel van hun route gemeenschappelijk hebben. Om dan de treinfrequentie te verhogen op deze gemeenschappelijke route, kunnen de aankomsttijden van deze treinen in die gemeenschappelijke stations gelijk worden gespreid over de tijd of m.a.w. worden gesynchroniseerd. D.w.z. dat als we één trein


45

hebben op een route, dan is de treinfrequentie per uur één. Als we twee treinen hebben op dezelfde route, dan is de treinfrequentie per uur twee. Als we de aankomsten zo ver mogelijk uit elkaar leggen, dan wordt deze frequentie één trein per 30 minuten. De tijd tussen de twee aankomsten is dus 30 minuten, of ligt in een bepaalde range rond 30 minuten. Als breedte van de range kan bijvoorbeeld 4 minuten gekozen worden, en dit om wat meer planningsvrijheid te laten [35]. Als er drie treinen op dezelfde route zijn, dan kunnen we eisen dat de tijd tussen twee aankomsten in een range rond 20 ligt ([33; 36; 37] en gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). Beschouwen we bij wijze van voorbeeld lijn D en B, deze hebben nl. een deel van hun route gemeenschappelijk, meer bepaald tussen Leuven en Aarschot. We zien dat D0 in Leuven vertrekt om 14 min na het uur, terwijl B0 vertrekt om 11 min na het uur. De frequentie van een trein uit Leuven naar Aarschot is twee, maar deze zijn duidelijk niet goed gespreid over de tijd. Ofwel moet een passagier 3 min wachten op de volgende trein, ofwel 57 min.

tijd-plaatsdiagram tussen Leuven (0) en Aarschot (1)

station

1

B0 D0

60

57

54

51

48

45

42

39

36

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

0

0 tijd (in min)

Figuur 22: Het tijd-plaatsdiagram van lijn D en B tussen Leuven en Aarschot (eigen werk)

Voor lijn D en A is de situatie beter; de gemeenschappelijke route betreft het traject tussen Aarschot en Heist-op-den-Berg. Lijn D0 vertrekt in Aarschot om 29 min na het uur, terwijl A1 vertrekt om 51 min na het uur. Een passagier moet hier ofwel 22 min ofwel 38 min wachten op de volgende trein.


46

tijd-plaatsdiagram tussen HOB (0) en Aarschot (1)

station

1

A1 D0 0 1

4

7

10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 tijd (in min)

Figuur 23: Het tijd-plaatsdiagram van lijn D en A tussen Heist-op-den-Berg en Aarschot (eigen werk)

20. Verbinding: om de kwaliteit voor de passagiers te verhogen, kan men rekening houden met enkele belangrijke transfers. In Hasselt overstappen op een trein naar Aarschot is een voorbeeld van zo‟n belangrijke transfer uit ons werkvoorbeeld. Een belangrijke verbinding kan worden gegarandeerd als volgt: om het vertrekuur van de trein naar Aarschot te bepalen, telt men bij de aankomsttijd van de passagier in Hasselt een transfertijd. Om op zeker te spelen kan men aan deze transfertijd nog een tijdsbuffer toevoegen, transferwachttijd genaamd. D.w.z. dat de passagier in Hasselt dan nog ten belope van de transferwachttijd op het perron in Hasselt moet wachten op zijn trein naar Aarschot. De voorgestelde transfertijden in de literatuur en in de praktijk worden in onderstaande tabel weergegeven. De NMBS houdt rekening met hoe ver de passagier moet lopen om zijn overstap te halen. Zij proberen zoveel mogelijk de belangrijkste aansluiting te laten komen op het perron naast dat waar de passagier is afgestapt. Een overstap kan dan gemaakt worden in drie minuten. Moeten de passagiers grotere afstanden overbruggen om hun aansluiting te halen, dan calculeert men langere transfertijden in. Deze langere transfertijden zijn vaak nodig in grote stations zoals Antwerpen-Centraal, dat uit drie niveaus bestaat. Verder zijn de P- en L-treinen verplicht te wachten op vertraagde treinen om de aansluiting te garanderen. IC- en IR-treinen moeten nooit wachten aangezien het risico op voortplanting van de vertraging hier te groot is (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel).


47

Tabel 10: Vermelde transfertijden in de literatuur en in de praktijk (eigen werk)

Transfertijd (in min) [33]

2–6

[23] (bemerking: toegepast op metrostelsels)

1,5 – 6,5

[36; 37]

3

[35]

2–5


3 – 15

2010, Brussel We zien in onderstaande figuur dat de trein uit Alken (C1) iets te laat in Hasselt aankomt om de verbinding met een trein naar Aarschot te garanderen (A1). Volgens deze restrictie zouden we nu kunnen de vertrektijd van A1 uit Hasselt bepalen door de aankomsttijd van C1 in Hasselt te nemen, nl. 25 min na het uur, en daarbij de transfertijd te tellen, bv. 4 min. De vertrektijd van A1 uit Hasselt is dan 29 min na het uur (A1’). Als we bovendien ook een transferwachttijd in rekening brengen, bvb. 6 min, dan is de vertrektijd van A1 uit Hasselt 35 min na het uur (A1’’).

verbinding Alken (0) - Aarschot (2) (overstap in Hasselt (1)) 2,5 2

station

A1 1,5

A1' A1''

1

B1 C1

0,5

60

57

54

51

48

45

42

39

36

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

0

0 tijd (in min)

Figuur 24: Het tijd-plaatsdiagram van lijn A, B en C tussen Alken en Aarschot met een overstap in Hasselt (eigen werk)

21. Bovenlimiet op de transferwachttijd: de transferwachttijd is zoals hierboven uitgelegd de wachttijd die opgelopen wordt wanneer passagiers op het perron nog moeten wachten op hun verbinding. Aan de wachttijd moet een bovengrens gesteld worden wegens


48

servicedoeleinden, en dit voor elk station waar transfers plaatsvinden. ([23; 33; 35; 36; 37; 40] en gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). 22. Voorkomen van „just missed‟-fenomeen: deze restrictie is typisch voor metrosystemen. Hier is het belangrijk dat passagiers die een verbinding moeten halen, hun verbindingstrein niet net missen en vlak voor hun neus zien wegrijden. Om dit te voorkomen, moet de verbindingstrein volledig vertrokken zijn vooraleer de inkomende trein het station binnenkomt. In een metrostation zijn de verschillende spoorlijnen en de metro‟s zelf immers goed zichtbaar [22; 23; 40].

23. Koppelen van treinen: een tweede type van een verbinding tussen twee treinen, is een fysieke verbinding. Dit kan wenselijk zijn wanneer twee treinen een groot deel van hun route gemeenschappelijk hebben (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). Deze twee treinen combineren tot één trein heeft twee voordelen. Ten eerste wordt bespaard op mensen; de trein behoeft slechts één trein crew. Ten tweede komt capaciteit m.b.t. de infrastructuur vrij; wanneer twee treinen dezelfde sporen nodig hebben, moeten zij een minimum opvolgtijd tussen laten. Er is dus meer capaciteit nodig om beide treinen achter elkaar te plannen, dan om de gecombineerde trein te plannen. Het koppelen van treinen heeft echter ook zijn nadelen. Ten eerste wordt het dienstregelingsmodel verzwaard met een extra restrictie. Immers, om de koppeling te kunnen doorvoeren, moeten beide treinen op exact hetzelfde moment aanwezig zijn in het station waar de koppeling gaat plaatsvinden. Bovendien kan dit proces vertraging veroorzaken. Enerzijds betreft de koppelingsprocedure het fysiek koppelen van de treinen en het uitvoeren van meerdere testen, tijdens dewelke fouten kunnen optreden, waardoor de trein niet op tijd kan vertrekken. Anderzijds loopt het geheel vertraging op wanneer een van beide treinen vertraging heeft. Als ze niet moesten gekoppeld worden, kon de ene trein die op tijd was nl. op tijd vertrekken [35].

3.3.3 Veiligheidsrestricties Deze restricties worden beschouwd als harde restricties (hard constraints). Het moet immers onmogelijk gemaakt worden dat de veiligheid van treinen en hun passagiers in het gedrang komt. De veiligheid komt meer bepaald in het gedrang wanneer treinen riskeren te botsen. Dit kan twee oorzaken hebben: ten eerste kunnen treinen botsen die op hetzelfde spoor reizen, maar in de tegenovergestelde richting. Ten tweede kunnen ook twee treinen botsen die in dezelfde richting op hetzelfde spoor rijden wanneer de tweede trein sneller rijdt dan de eerste. In wat volgt wordt een onderscheid gemaakt tussen situaties waar conflicten opgelost worden in het station en op de links tussen stations.


49

3.3.3.1 In stations 24. Minimum opvolgtijd: om te voorkomen dat twee treinen rijdend op hetzelfde spoor botsen, wordt een tijdsbuffer tussen beide treinen ingepland. D.w.z. dat ze elkaar niet onmiddellijk mogen opvolgen, maar enige afstand moeten tussenlaten. Die afstand wordt in tijdseenheden uitgedrukt. De kleinste afstand die moet worden tussengelaten, is de minimum opvolgtijd. Deze minimum opvolgtijd is volgens Kwan C.M. en Chang C.S. [22] afhankelijk van de spoorconditie. De NMBS zorgt er zelfs voor dat als er reeds vijf treinen na elkaar zijn met telkens slechts 3 minuten tussen, de zesde pas na bijvoorbeeld minstens 6 minuten mag komen. Dit is om wat ademruimte tussen te laten, aangezien het risico op voortplanting van vertraging anders te groot wordt (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). Onderstaande tabel geeft een overzicht van de vooropgestelde minimum opvolgtijden van verschillende auteurs en in de praktijk: Tabel 11: Vermelde opvolgtijden in de literatuur en in de praktijk (eigen werk)

Minimum opvolgtijd (in min) [22]

1 – 1,5

[8]

1–4

[9]

2–5

[14]

3

[4]

2–4

[26]

0,5 mijl = 0,8 km

[19]

1

[33]

2 – 29

[5]

1,5

[40]

2 – 2,67

[41; 42]

2–4


3

2010, Brussel

Er worden verschillende minimum opvolgtijden vooropgesteld, afhankelijk van de situatie. In wat volgt worden de vijf situaties uiteengezet ([4; 7; 10; 19; 22; 23; 24; 33; 35; 36; 37; 40; 41; 42] en gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel).

a. Vertrektijden: in de eerste situatie hebben we twee treinen die in dezelfde richting reizen op hetzelfde spoor en na elkaar een link betreden, d.w.z. een station uitrijden. De tweede trein, die de eerste opvolgt, mag pas het station uitrijden wanneer de eerste trein reeds zolang weg is als wordt voorgeschreven door de minimum


50

opvolgtijd. De opvolgtijd tussen twee treinen in deze situatie wordt in onderstaande figuur geïllustreerd. Om praktische redenen verlaten we hier het werkvoorbeeld, ten voordele van een meer algemeen voorbeeld. Let wel: de opvolgtijd en niet de minimum opvolgtijd wordt aangeduid [4; 7; 9; 10; 19; 35; 40; 41; 42].

b. Aankomsttijden: dezelfde redenering geldt voor het binnenrijden van stations, d.w.z. uittreden van een link. De tweede trein mag pas het station binnenrijden wanneer de eerste trein reeds zo lang binnen is als de minimum opvolgtijd bedraagt. Het kan dan voorkomen dat trein 2 trager moet gaan rijden om dit te respecteren [4; 7; 9; 10; 19; 35; 41; 42].

plaats station 2 link

Trein 1 casu d station 1

link

Trein 1

Trein 2

a b c tijd d

Figuur 25: Schematische voorstelling van de opvolgtijd in situatie a, b, c en d (eigen werk)

c. Aankomst- vs vertrektijd: in derde instantie kan voor twee treinen reizend in dezelfde richting op hetzelfde spoor worden geëist dat de tweede trein de link pas mag betreden op het moment dat de eerste trein de link heeft verlaten, of enige tijd daarna [16].

d. Inhalen: wanneer twee treinen in dezelfde richting reizen op hetzelfde spoor, maar met een verschillende snelheid, ontstaat een probleem wanneer de eerste trein de traagste is. Wanneer conflicten enkel mogen worden opgelost in stations, en als blijkt dat het conflict optreedt tussen station 1 en 2, dan wordt de traagste trein verplicht te wachten in station 1 tot de snelste gepasseerd is. Zo loopt de snelste trein geen vertraging op. Er wordt nl. vaak gesteld dat vertraging bij een snelle trein erger is dan evenveel vertraging bij een trage trein [6; 7; 35]. De NMBS laat liefst inhalen in een


51

station, aangezien dit veiliger is (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel).

e. Kruisen: De vierde situatie is degene waar twee treinen op hetzelfde spoor rijden, maar in tegenovergestelde richting. Aangezien in dit geval de treinen elkaar moeten kruisen tussen station 1 en 2, moet vooraf worden vastgelegd welke trein eerst gaat. In dit geval is dit trein 2. Er geldt dat trein 1 station 2 pas mag verlaten, wanneer trein 2 er is aangekomen of enige tijd daarna (e1) [16]. Een andere benadering van dit probleem is dat er een zekere tijdsspanne tussen de aankomst van trein 1 en trein 2 moet zijn (e2), waarbij verondersteld wordt dat de trein die eerst aangekomen is, wacht met vertrekken tot de tweede gepasseerd is [19; 35]. Opnieuw laat de NMBS o.w.v. veiligheidsredenen treinen liefst kruisen in een station (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). plaats station 1 link

Trein 2 station 2

link

Trein 1

e2

e1 tijd

Figuur 26: Schematische voorstelling van de opvolgtijd in situatie e1 en e2 (eigen werk)

25. Maximum opvolgtijd: een bovenlimiet op de opvolgtijd kan wenselijk zijn om te voorkomen dat het aantal passagiers in de stations zich ophoopt. Er mag dus niet te veel tijd tussen treinen zitten; ze moeten elkaar vlot kunnen opvolgen. Deze restrictie bleek enkel in papers met een metronetwerk als toepassingsgebied [22; 40]. 26. Meer gelijke opvolgtijden in elk station: deze restrictie is gelijkaardig aan „meer gelijke haltetijden‟. De geplande opvolgtijd tussen de verschillende treinen in een station kunnen erg verschillend zijn van elkaar. Volgens Wong kan het nuttig zijn deze variatie in opvolgtijden te beperken [40]. Deze auteur focust zich echter op een metronetwerk.


52

3.3.3.2 Tussen stations 27. Inhalen: wanneer twee treinen in dezelfde richting reizen op hetzelfde spoor maar met een verschillende snelheid, ontstaat een probleem wanneer de eerste trein de traagste is. Wanneer conflicten kunnen opgelost worden tussen de stations, dan wordt de traagste trein verplicht te wachten op het eerstvolgende uitwijkspoor tot de snelste gepasseerd is. Zo loopt de snelste trein geen vertraging op. Er wordt nl. vaak gesteld dat vertraging bij een snelle trein erger is dan evenveel vertraging bij een trage trein [2; 4; 7; 10; 14; 15; 18]. Zoals eerder vermeld laat de NMBS treinen liever inhalen in stations. Dit is echter niet altijd mogelijk, want soms zou het te lang duren eer het station bereikt wordt, of soms is het gewoon niet mogelijk om op een andere manier rijpaden toe te wijzen. De NMBS laat de ingehaalde trein dan 6 minuten wachten op een uitwijkspoor. Dat is het dubbele van de opvolgtijd aangezien treinen ten allen tijde minimum 3 minuten moeten tussen laten; 3 minuten vóór en 3 minuten nadat die andere trein gepasseerd is (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel).

28. Kruisen: wanneer twee treinen reizen in de tegenovergestelde richting op hetzelfde spoor, kan het voorkomen dat deze twee elkaar moeten kruisen. Wanneer conflicten kunnen worden opgelost tussen de stations, wordt de ene trein, meestal de traagste, afgeleid van het hoofdspoor naar een uitwijkspoor om de andere trein te laten passeren (zie bovenstaande figuur) [2; 10; 14; 15; 18]. Zoals vermeld laat de NMBS treinen liever kruisen in stations. Dit is echter niet altijd mogelijk, want soms zou het te lang duren eer het station wordt bereikt, of soms is het gewoon niet mogelijk om op een andere manier rijpaden toe te wijzen. De NMBS laat dan, zoals hierboven onder „inhalen‟ vermeld, de gekruiste trein 6 minuten wachten op een uitwijkspoor (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel).

29. Receptietijd: de receptietijd is de tijd nodig om de tragere trein om te leiden naar het uitwijkspoor, zodat het inhaal- of kruismanoeuvre veilig kan worden uitgevoerd (zie onderstaande figuur) [2].


53

Omgeleide trein receptietijd receptie

kruising

expeditie

tijd expeditietijd Inkomende trein

Figuur 27: Visuele voorstelling van de receptie- en expeditietijd (aangepast uit [2])

30. Expeditietijd: de expeditietijd is de tijd nodig om de tragere trein terug naar het hoofdspoor te leiden, zodat het inhaal- of kruismanoeuvre veilig kan worden uitgevoerd (zie bovenstaande figuur) [2].


3.4

54

Overzicht objectieven en restricties in de literatuur en in de praktijk

De objectieven en restricties besproken in respectievelijk sectie 3.2 en 3.3, worden a.d.h.v. onderstaande tabel schematisch weergegeven per auteur en voor de situatie van NMBS. Bovendien wordt aangeduidt wanneer expliciet een cyclische dienstregeling aan de orde is . Het valt op dat dit cyclische aspect in slechts bijna een derde van de gevallen wordt nagestreefd. Onderaan de tabel wordt weergegeven in hoeveel gevallen van de vijfentwintig de desbetreffende restrictie voorkomt. Tabel 12: Overzicht van de objectieven en restricties per auteur en in de praktijk, met aanduiding of al dan niet een cyclische dienstregeling wordt nagestreefd (eigen werk) auteur cyc

objectieven 1 2 3 4

[2]

6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x

[3]

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

[4]

x

[5]

x

x x

[7]

x

[8]

x

x

[9]

x

[10]

x

x

[14]

x

[15] x

[18]

x

[19] [22]

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

[16]

[23]

5

restricties

x x x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x


auteur cyc

objectieven 1 2 3 4

[24]

5

restricties 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x x x

[35]

x

[36] [37]

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x

[25] [33]

55

x x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

[40]

x

[41]

x

[42]

x

NMBS*

x

Totaal

9

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x 4 2 3 7 10 4 4 1 1 6 2 1 2 1 2 2

Legende: Cycl: cyclische dienstregeling *: gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel

x

x 3

4

x 1

16

1

x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3

7

18

1

x

x

x

2

5

7

6

3

x

x

2

22

x

2

x

1

x

x

7

4

1


3.5

56

Het dienstregelingsprobleem in de literatuur

Na een uitgebreide bespreking van de voorkomende objectieven en restricties in de literatuur en in de praktijk, is een kort literatuursoverzicht op zijn plaats. Vooreerst wordt meer uitleg gegeven omtrent de gebruikte modelleringstechnieken voor het dienstregelingsprobleem door verschillende auteurs. Vervolgens wordt kort uitleg verschaft over de gebruikte oplossingsmethoden

in

de

literatuur. Daarna

word

de

literatuur

ingedeeld

naar

probleemgrootte a.d.h.v. eenvoudige beslissingsregels. Vervolgens wordt de literatuur ingedeeld

naar

probleemkarakteristieken.

Een

overzicht

van

de

gehanteerde

modelleringstechnieken, oplossingsmethoden, probleemgroottes- en karakteristieken per auteur worden weergegeven in Tabel 15. Tot slot worden de eigenaardigheden, indien voorkomend, per auteur beschreven.

3.5.1 Modelleringstechnieken In de literatuur wordt als vertrekpunt bijna altijd gekozen voor een eenvoudig lineair model, zoals LP, IP of MIP. Vooral een LP-formulering is enorm aantrekkelijk, aangezien deze optimaal kan worden opgelost met eenvoudige wiskundige technieken. Bij een variant van het LP-model, zoals het IP of MIP wordt de LP-gerelaxeerde oplossing als boven- of ondergrens

vooropgesteld,

afhankelijk

van

respectievelijk

een

maximalisatie-

of

minimalisatieprobleem. Zo kan men dan een inschatting maken van hoe optimaal de oplossing is door de „optimality gap‟ te berekenen, d.i. het procentuele verschil tussen de LPgerelaxeerde oplossing en de (M)IP-oplossing. Een belangrijke beperking van een lineair model is vaak het onvermogen om de volledige complexe realiteit in kaart te brengen. Om een lineair model op te stellen moeten vaak vereenvoudigingen gemaakt worden waardoor het model soms aan realiteitswaarde moet inboeten. Er bestaan commerciële pakketten om een LP, IP of MIP efficiënt op te lossen, zoals CPLEX, Gurobi en Risk Solver Platform. Het JSSP werd door de desbetreffende auteurs tevens lineair geformuleerd. Er werd gekozen voor deze specifieke formulering om de analogie tussen treinen en jobs duidelijk te maken. Het PESP, voor het eerst geformuleerd door Serafini en Ukovich (1989), zoals geciteerd door Peeters [35], is een vaak verkozen modellering voor auteurs die een cyclische dienstregeling willen opstellen. De restricties in dit model zijn periodieke tijdsvensters en de variabelen zijn integer. De periodieke restricties worden opgelegd aan paren van gebeurtenissen en beperken het tijdsinterval tussen deze twee gebeurtenissen tot een bepaald tijdsvenster. Het is mogelijk om elke PESP-instantie te transformeren naar een IP-


57

formulering; de PESP en IP zijn aldus gerelateerd. Het oplossen van een PESP kan met bijvoorbeeld een B&B-algoritme zoals het Serafini & Ukovich-algoritme, een Branch-and-cut (Hurkens, 1996; Lindner, 2000) of het CADANS-algoritme (Schrijver en Steenbeek, 1993, 1994) zoals geciteerd door Peeters [35]. Het PESP kan worden omgezet in een CPF, een wiskundig meer gevorderde formulering. Dit model bevat cyclische restricties en zowel cyclische als integere variabelen. Speciale wiskundige technieken zijn nodig om dit model op te lossen, zoals de cycle-fixationheuristiek voorgesteld door Peeters [35]. Een „constraint graph‟ wordt gebruikt om een LP-model of een variant daarvan te beschrijven. De knooppunten van de grafiek stellen de gebeurtenissen voor, zoals aankomsten vertrektijden, terwijl de bogen de restricties voorstellen. Deze formulering is volledig

equivalent

aan

de

LP-formulering,

maar

sommige

auteurs

vinden

de

grafiekvoorstelling duidelijker omdat ze compacter is. Deze CSP kan worden opgelost met constraint programming technieken [2]. Voor een overzicht van de gebruikte modellering per auteur wordt verwezen naar Tabel 15. Onderstaande tabel geeft de indeling weer van de gebruikte modellering naar lineair, nonlineair, cyclisch en event-model. Tabel 13: Indeling van modellering naar lineair, cyclisch en event-model (eigen werk)

Lineair

LP: lineair program IP: integer linear program MIP: mixed integer program JSSP: job shop scheduling problem MCSP: minimum cost scheduling problem TSP: travelling salesman problem CSP: constraint satisfaction problem

Non-lineair

CSP: constraint satisfaction problem

Cyclisch

PESP: periodic event scheduling problem CPF: cycle periodicity formulation

Event-model

DEM: discrete event model

3.5.2 Oplossingsmethode De gebruikte oplossingsmethode varieert van auteur tot auteur. Een auteur kan kiezen voor een meer standaard oplossingsmethode, zoals lineaire programmering, of hij kan zelf een op maat gemaakte heuristiek ontwikkelen.


58

Wanneer men vertrekt van een IP of MIP, gaat men meestal het (M)IP relaxeren tot een LPmodel, aangezien dit oplosbaar is met garantie van optimaliteit. Deze relaxatiestap wordt meestal gedaan door de methode van Lagrange toe te passen. Deze stap wordt in eerste instantie gedaan om een lower- of upperbound te berekenen van het minimalisatierespectievelijk maximalisatieprobleem. Hieruit kan men de „optimality gap‟ berekenen, het procentuele verschil tussen de LP-oplossing en de (M)IP-oplossing. De auteur kan dan evalueren hoe optimaal zijn (M)IP-oplossing is, m.a.w. hoe ver hij ongeveer van de optimale oplossing verwijderd is (een (M)IP-model is namelijk oplosbaar zonder garantie van optimaliteit). Vele auteurs ontwikkelen een eigen heuristiek die conflicten zoekt en oplost van een al dan niet random gegenereerd initieel schema. Er werd ook bewezen dat er exacte methoden zijn om het dienstregelingsprobleem optimaal op te lossen, zoals de branch-cut-and-pricemethode van Cacchiani et al. [4]. Voor de geïnteresseerde lezer wordt hiervoor verwezen naar de desbetreffende literatuur. Voor een overzicht van de gebruikte oplossingstechniek per auteur wordt verwezen naar Tabel 15.

3.5.3 Probleemgrootte De auteurs bewijzen de kracht van hun oplossingsmethode a.d.h.v. een cijfermatig voorbeeld. Voor een overzicht van de probleemgrootte per auteur wordt verwezen naar Tabel 15. Om de testinstanties per auteur overzichtelijk in te delen en te kunnen vergelijken, werd een waardering toegekend van realistisch, groot, middelmatig of klein o.b.v. onderstaande beslissingsregels. Een voorbeeldje kan dit verduidelijken. Wanneer een netwerk 120 treinen betreft, wordt het in principe als „groot‟ gewaardeerd. Echter, als er slechts 7 stations aanwezig zijn in het netwerk, dan zakt het netwerk een niveau en wordt het als middelmatig gewaardeerd. Voor het exact aantal treinen en stations en de assumpties die werden gemaakt, wordt verwezen naar bijlage 7.8. Tabel 14: Beslissingsregels (eigen werk)

Realistisch

# treinen > 200

Groot

100 < # treinen <= 200

Middelmatig

30 < # treinen <= 100

Klein

# treinen <= 30

1 niveau zakken

# stations <= 10

1 niveau stijgen

Indien klein en # stations >= 30


59

3.5.4 Probleemkarakteristieken Alle auteurs hebben in hun werk primair tot doel een dienstregeling te bekomen of te manipuleren. Deze werken kunnen echter sterk van elkaar verschillen wat betreft hun aanpak. De beschouwde literatuur is ruwweg in te delen in zes verschillende probleemkarakteristieken. Ten eerste beogen sommige auteurs een cyclische dienstregeling op te maken. Dit wordt vaak geformuleerd door een PESP (Periodic Event Scheduling Program), maar een LPmodel is evengoed mogelijk. Ten tweede zijn er auteurs die elementen van de lijnplanningsfase meenemen in hun model. Hierdoor wordt het probleem complexer, maar het voordeel is dat twee stappen worden gecombineerd in een stap. Dit waarborgt de goede kwaliteit van een treinsysteem, aangezien op die manier het lijnplan en de dienstregeling beter op elkaar zijn afgestemd. Ten derde kunnen auteurs bijkomend rekening houden met de perrontoewijzing. Hier wordt dan niet meer verondersteld dat er voor binnenkomende treinen altijd een perron beschikbaar zal zijn; er kan namelijk maar een trein tegelijk op een perron aanwezig zijn. Daarom moeten perrons in de tijd worden toegewezen aan individuele treinen. Er moet als het ware een „perrondienstregeling‟ worden opgesteld met de vertrek- en aankomsttijd van elke trein op elk perron. Ten vierde kan een dienstregeling worden opgemaakt voor metrostelsels in plaats van voor treinen. Deze modellen hebben enkele typische restricties, zoals het vermijden van het „justmissed‟-fenomeen (voor meer uitleg, zie restricties). Ook zijn deze metronetwerken typisch veel kleiner dan een spoornet en zijn ze dus ook makkelijker te optimaliseren. In deze papers ligt de nadruk op het minimaliseren van de wachttijd van reizigers. Ten vijfde kunnen auteurs meerdere objectieven nastreven in hun paper. Dit is niet evident, aangezien vele objectieven tegenstrijdig zijn. In deze papers worden dan alle Paretooptimale oplossingen gezocht, d.w.z. dat een objectiefwaarde niet meer kan verbeteren zonder de andere objectiefwaarden te verslechteren. Tot slot kunnen auteurs het netwerk vereenvoudigen tot een lineair netwerk, d.w.z. dat men slechts een spoorlijn beschouwt. Bij deze aanpak ligt de nadruk op het oplossen van inhaalen kruisconflicten. Dit is de minst complexe vorm van het dienstregelingsprobleem. Zo‟n lineair netwerk mag eigenlijk strikt gezien geen netwerk meer worden genoemd. Voor een overzicht van de probleemkarakteristieken per auteur wordt verwezen naar Tabel 15.


60

Tabel 15: Overzicht van modelleringtechniek, oplossingsmethode, probleemgrootte en probleemkarakteristieken per auteur (eigen werk) Auteur

Modellering

[2]

CSP  meta-tree CSP

[3]

IP  LP

Oplossingsmethode

o

IP  LP

o

intra-agent search

klein

klein

Oplossen LP: column generation en separation

Oplossen IP: local search en constructive heuristieken gebaseerd op de LP-oplossing

groot

1, 6

medium

1, 2

Oplossen IP (direct en exact): branch-cut-and-price-algoritme

Conflict graph model (routing) o

o

subgradient, modified CFM en bundle method)

o [5]

distributed search

Lagrange relaxatie + duale iteratie (standard subgradient, modified o

[4]

o

Probleemgrootte Karakteristieken

fixed-point-iteratieheuristiek

IP (timetabling)

Lagrange-relaxatie + Lagrange-heuristiek (maakt gebruik van de

[7]

Constraint graph  IP  LP

[8]

geen

Eigen ontwikkelde heuristiek

realistisch

2, 3

[9]

MIP


klein

2

[10]

JSSP


realistisch

5, 6

[14]

LP

Eigen ontwikkelde B&B-heuristiek

medium

5

[15]

TSP

ant-colony-systemmetaheuristiek

klein

[16]

LP

lagrange-multipliers)

o o

-constraint method ter constructie van de Pareto frontier distance based method wordt toegepast op de Pareto frontier o o

[18]

klein

5, 6

klein

6

local search

genetisch algoritme o

MIP

groot/realistisch

tabu search

o

local search + genetisch algoritme

o

tabu search + genetisch algoritme


[19]

61

CSP

constraint-gebaseerde heuristiek o

[20]

o

CSP

[22]

LP

constraint-gebaseerde heuristiek

constraint-gebaseerde heuristiek + simulated annealing o

Genetisch algoritme + local search (hill climbing, tubu search en simulated annealing) o

Max T-PESP

medium

constraint-gebaseerde heuristiek + tabu search

o [23]

medium

medium

4, 5

realistisch

1, 4, 5

1, 2

Approximation algoritme

Cut-heuristiek (Cut-based improvements) o

IP

[24]

MIP m.b. MCSP

B&B-heuristiek

realistisch

[25]

JSSP

shifting bottleneck procedure

klein

[26]

DEM

greedy travel advance scheduling

klein

6

[33]

PESP

PESP cut generation algoritme

klein

1

realistisch

1

[35]

MIP  constraint graph  PESP  CPF

o

Cycle-basis-algoritmes

o

cycle-fixation-heuristiek o

CADANS-algoritme

[36]

LP

LP + simulatie

medium

1, 5

[37]

LP

LP + simulatie

realistisch

1, 5

[40]

MIP  LP


medium

4

klein

5

o [41]

JSSP (IP)

B&B-algoritme voor het creëren van een Pareto-optimale set van oplossingen

o

Beam search heuristiek voor het creëren van lower en upper bounds

[42]

JSSP (IP)

exacte B&B met beam search en Lagrange-relaxatie voor het construeren van lower en upper bounds

medium

Hoofdstuk 3: Modelleren van de dienstregeling Legende B&B: branch-and-bound Modellering: LP: linear program IP: integer linear program MIP: mixed integer program JSSP: job shop scheduling problem PESP: periodic event scheduling problem DEM: discrete event model CPF: cycle periodicity formulation MCSP: minimum cost scheduling problem CSP: constraint satisfaction problem TSP: travelling salesman problem Karakteristieken: 1.

cyclische dienstregeling

2.

lijnplanning

3.

perrontoewijzing (platformtoewijzing)

4.

metrostelsel

5.

multi-objectief

6.

lineaire netwerkconfiguratie

62


63

3.5.5 Rariteiten Sommige auteurs doen in hun werk iets vernoemenswaardigs of hebben een ietwat aparte aanpak. Deze lijst wordt gevolgd door een tabelmatig overzicht van deze rariteiten per auteur. o

In het model van Cacchiani, Caprara & Toth correspondeert elke variabele met het volledige tijdsschema van een trein, terwijl in andere benaderingen variabelen geassocieerd worden met de vertrek- of aankomsttijd van een bepaalde trein in een bepaald station. Volgens de auteurs is de laatste benadering te complex om via een LPrelaxatiemodel op te lossen, vandaar hun keuze voor de eerste benadering [4].

o

Caimi et al. delen het spoornetwerk op in condensatie- en compensatiezones. Condensatiezones bevatten de belangrijkere stations, waar capaciteit beperkt is en treinen vereist worden te reizen op topsnelheid. Deze zones zijn verbonden met compensatiezones. Dit zijn zones waar het verkeer minder intens is en aldus reservetijd kan ingebouwd worden om de robuustheid van de dienstregeling te garanderen. Compensatie- en condensatiezones worden gelinkt d.m.v. grensrestricties. In deze paper focust men zich op het plannen van de dienstregeling van en de route door de condensatiezones [5].

o

De methode van Caprara werd ontwikkeld binnen de „EU Project PARTNER‟, en werd veelvuldig getest op het Italiaanse spoornetwerk. Het resultaat bleek zeer positief te zijn en werd aldus geïmplementeerd als deel van het nieuwe planningssysteem van de Italiaanse spoorwegen voor het opmaken van de dienstregeling [6; 7].

o

Carey & Crawford gaan in hun paper niet uit van een wiskundig model voor het bouwen van hun heuristiek, maar ze vertrekken van een willekeurig gegenereerde dienstregeling. Hun zelf ontwikkelde heuristiek zoekt dan conflicten en lost ze op [8].

o

Carey en Lockwood gebruiken een B&B-techniek analoog aan de methoden die treinplanners in de praktijk gebruiken om de complexe, grootschalige dienstregeling manueel op te lossen [9].

o

Chiang et al. delen het planningsproces op in twee niveaus: het globale en het lokale planningsprobleem. In het globale wordt een initiële dienstregeling opgesteld zonder rekening te houden met conflicten. In de lokale planningsfase worden de conflicten opgelost op basis van de informatie uit de „kennisdatabank‟ (in het Engels: knowledge base). Deze laatste bestaat uit conflictoplossende regels komende van de kennis van treinplanningsexperten. geëxpliciteerd [10].

Hun

impliciete

kennis

werd

via

deze

kennisdatabank


o

64

Zhou en Zhong, evenals Liu en Kozan, formuleren het dienstregelingsprobleem als een job-shop-schedulingprobleem. Machines corresponderen met sporen, jobs met treinen en operaties met treinritten [25; 41; 42].

o

Medanic en Dorfman stellen in hun paper een model op zonder concreet objectief [26].

o

De doctoraatsthesis van Peeters beschrijft algoritmes die werden toegepast op het Nederlandse IC- en een deel van het IR-netwerk [35].

o

Vansteenwegen en Vanoudheusden berekenen eerst de ideale buffertijden o.b.v. de verwachte vertraging van treinen en dit om bepaalde aansluitingen te garanderen. A.d.h.v. lineaire programmering werd een nieuwe dienstregeling bekomen. Vervolgens simuleren de auteurs die nieuwe dienstregeling om knelpunten bloot te leggen. Met hun methode bekwamen de auteurs een 40% lagere wachtkost dan de wachtkost van de toenmalige gehanteerde dienstregeling door de NMBS. Volgens de auteurs is dit niet louter te danken aan het kleine netwerk dat in de paper werd gehanteerd, maar deze positieve resultaten zouden kunnen worden behaald voor het hele Belgische netwerk. Ten slotte bemerken de auteurs dat ze niet kunnen garanderen dat de nieuwe dienstregeling optimaal is, omdat er enkele benaderingen werden gebruikt om het LPmodel op te stellen [36; 37].

Tabel 16: Rariteiten per auteur (eigen werk) Auteur

Rariteiten

[4]

Elke variabele correspondeert met het volledige tijdsschema van een trein.

[5]

Netwerk opgedeeld in condensatie- en compensatiezones geïmplementeerd als deel van het nieuwe planningssysteem van de Italiaanse

[7]

spoorwegen voor het opmaken van de dienstregeling

[8]

Heuristiek niet gebaseerd op wiskundig model o

[9]

B&B-techniek analoog aan de methoden gebruikt door treinplanners in de praktijk.

[10]

Globaal en lokaal planningsniveau. Deze laatste gebruikt een „knowledge base‟.

[25]

Geformuleerd als job shop scheduling problem

[26]

Geen objectief vermeld in paper

[35]

Algoritmes toegepast op Nederlandse IC- en deel van IR-netwerk o

Berekenen ideale buffertijden

o

Bekomen een 40% lagere wachtkost t.o.v. de bestaande dienstregeling

[36; 37] o

Voeren een simulatie uit om knelpunten bloot te leggen

[41] [42] Geformuleerd als job shop scheduling problem


3.6

65

Besluit

Over het algemeen werden in de meeste werken ongeveer dezelfde restricties en objectieven teruggevonden. Het gros van deze restricties werden ook door NMBS gebruikt. De gelezen literatuur stelde dan ook de praktijk als uitgangspunt. Wat opvalt is dat slechts drie auteurs op vierentwintig kostenminimalisatie nastreven, terwijl dit het voornaamste doel is bij NMBS. In de andere eenentwintig werken wordt het kostenaspect zelfs compleet genegeerd. Vervolgens is er een substantieel verschil tussen de Europese literatuur, en die uit de rest van de wereld. In de rest van de wereld zijn enkelsporige baanvakken de regel, terwijl dit in Europa een uitzondering is. Er wordt daar dan ook vaker ingehaald en gekruist op zijsporen, terwijl in Europa dit vooral wordt gedaan in stations. In Europa is het sporennet echter drukker bereden. Het dienstregelingsprobleem in de literatuur is niet goed afgelijnd en heel erg gefragmenteerd. De ene auteur betrekt ook lijnplanningsaspecten erbij, de andere past zijn onderzoek toe op een metrostelsel, nog een andere bekijkt enkel een lineair „netwerk‟, en ga zo maar door. Niet alleen wat betreft de karakteristieken is de literatuur erg gefragmenteerd, ook qua oplossingsmethoden bestaat er grote versnippering. Weinig werken bouwe n echt voort op eerder werken en zo brengen veel werken weinig toegevoegde waarde aan het dienstregelingsprobleem. Veel auteurs brengen een nieuw algoritme aan waarvan de waarde niet wordt vergeleken met werken van andere auteurs. Wat anderzijds over het algemeen wel wordt aanvaard, is de lineaire structuur van het dienstregelingsprobleem. Slechts enkelingen pakken het anders aan en dan nog is het vertrekpunt vaak lineair, zoals bij een cyclische modellering. Hoewel het model vaak lineair wordt gemodelleerd, lossen weinigen het probleem op met lineaire programmeringssoftware. Bijna alle auteurs opteren voor een eigen ontwikkelde heuristiek. Het

dienstregelingsprobleem

dienstregelingsprobleem

en

in zal

deze m.a.w.

thesis

zal

geen

zich

aspecten

beperken uit

de

tot

een

lijnplanning

puur en

platformtoewijzing integreren. Verder zal het dienstregelingsproces worden toegepast op het treinnetwerk en niet het metronetwerk. Het beschouwde treinnetwerk betreft een echt netwerk en geen lineair „netwerk‟. Aangezien de huidige dienstregeling cyclisch is, zal ook hier een cyclische dienstregeling worden nagestreefd. Ten slotte zal ook geoptimaliseerd worden

naar

meerdere

objectieven.

Tot

zover

de

karakteristieken

van

het

dienstregelingsprobleem in deze thesis. Verder zal worden uitgegaan van een lineaire formulering van het dienstregelingsprobleem aangezien dit het meest gebruikelijk is en een optimale oplossing mogelijk maakt.


66

Tot slot zal worden nagegaan in hoeverre lineaire programmering in staat is het dienstregelingsprobleem op te lossen. Hiervoor zal er vooral worden gesteund op het onderzoek van Vansteenwegen en Van Oudheusden [36; 37] die reeds bewezen dat lineaire programmering in staat is het dienstregelingsprobleem op te lossen. Een bijkomstig voordeel van deze paper is zijn Belgische oorsprong met als gevolg dat het probleem werd toegepast op (een deel van) de Belgische spoorwegen.

Hoofdstuk 4: Verbeteren

van

de

dienstregeling

(case

study)

4.1

Probleemdefiniëring

Na de uitgebreide kwalitatieve modellering van het dienstregelingsprobleem en de bestaande oplossingstechnieken, kan worden overgegaan tot de praktijk. In deze case study zal worden gepoogd de dienstregeling van een deel van het Belgisch spoornetwerk, welk beschreven wordt in de eerste sectie, te optimaliseren aan de hand van lineaire programmering, besproken in sectie 3.5. In eerste instantie zal er worden geoptimaliseerd naar minimale transferwachttijd. Vooraleer er kan worden geoptimaliseerd, moet echter een wiskundig model worden opgesteld met de beslissingsvariabelen, de variabelen, de parameters, de doelfunctie en de restricties van het dienstregelingsprobleem. Ook worden de gemaakte assumpties verduidelijkt. Voor deze modellering wordt een beroep gedaan op de concepten besproken in vorig hoofdstuk. Daarna kan het wiskundig model worden geïmplementeerd in MS Excel. Om de gepaste parameterwaarden te bepalen, moeten een reeks van gevoeligheidsanalyses worden uitgevoerd. Pas daarna kunnen we de optimale dienstregeling bekomen. Daaropvolgend zal de performantie van het optimale schema worden getoetst aan de huidige dienstregeling gehanteerd door de NMBS. Hiervoor worden Monte Carlo-simulaties uitgevoerd. Tot slot wordt geoptimaliseerd naar twee verschillende doelen tegelijk. Er wordt kort besproken hoe dit kan worden gerealiseerd en wat het effect hiervan is voor de dienstregeling.

4.2

Onderzoeksopzet

Voor deze case study wordt ingezoomd op een kleiner deel van het Belgische spoornetwerk. De grootte van dit netwerk, de karakteristieken ervan en zijn huidige dienstregeling worden hieronder besproken. Tot slot wordt de keuze voor dit netwerk uitgebreid verantwoord.

67

Hoofdstuk 4: Case NMBS

68

4.2.1 Probleemgrootte Voor deze case wordt ingezoomd op een klein deel van het Belgische spoorwegnetwerk, naar analogie met Vansteenwegen en Van Oudheusden [36]. Het netwerk werd vereenvoudigd tot zeven stations en vijf treinlijnen (nl. G, R, E, C en L) die enkele van de ze zeven stations aandoen. Het netwerk wordt afgebeeld in Figuur 28. Ter vereenvoudiging werden enkele treinlijnen weggelaten. Het oorspronkelijke netwerkschema is terug te vinden in bijlage 7.9. Er werd echter zodanig geselecteerd dat het netwerk academisch relevant blijft. Figuur 28: Het netwerkschema (eigen werk)

Turnhout Antwerpen

G1, R1

C1,E1,G1

Tielen G0, R0

C0,E0,G0

Herentals E0

R1

Lier

Mol

R0

Neerpelt

E1

C1

Brussel C0

Aarschot

Hasselt

L1 L0

Leuven

C1 L0

C0

Luik

De meeste van de lijnen hebben hun begin- en eindstation ergens buiten dit miniatuurnetwerk. Lijn R vertrekt bijvoorbeeld in Brussel en betreedt ons netwerk in Lier. Elke lijn reist in twee richtingen, respectievelijk 0 en 1. De steden in het netwerk zijn: o

Lier (T)

o

Herentals (U)

o

Tielen (V)

o

Turnhout (W)

o

Mol (X)

o

Hasselt (Y)


o

69

Aarschot (Z)

De vijf treinlijnen zijn: o

G: tussen Antwerpen en Turnhout

o

R: tussen Brussel en Turnhout

o

E: tussen Antwerpen en Hasselt via Mol

o

C: tussen Antwerpen en Luik via Aarschot

o

L: tussen Hasselt en Leuven

Lijn R gebruikt een IC-trein met een gemiddelde snelheid van 73 km/h. Lijnen G, E en C gebruiken IR-treinen met een gemiddelde snelheid van 60 km/h. Lijn L gebruikt een L-trein met een gemiddelde snelheid van 51 km/h (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel).

4.2.2 Probleemkarakteristieken Het netwerk wordt gekenmerkt door dubbelsporige baanvakken, d.w.z. dat aan elk spoor een richting is toegewezen. Treinen die in de tegenovergestelde richting reizen, bevinden zich dus nooit op hetzelfde spoor. Enkel tussen Herentals en Turnhout ligt een enkelsporig baanvak, dus slechts één spoor, waarop treinen in beide richtingen moeten rijden. In het station van Tielen kunnen twee treinen reizend in tegengestelde richting elkaar kruisen of twee treinen reizend in dezelfde richting elkaar inhalen. Lijn E is een samengestelde lijn; de trein komende uit Neerpelt wordt in Mol gekoppeld aan de trein komende uit Hasselt. Deze twee treinen rijden vanuit Mol samen verder richting Herentals. Omgekeerd, wordt de trein afkomstig uit Herentals gesplitst in Mol. De ene trein rijdt verder naar Hasselt, terwijl de andere naar Neerpelt reist. Voor sommige van de mogelijke reizen zijn alternatieve routes beschikbaar. Men kan bijvoorbeeld vanuit Lier in Hasselt geraken via lijn C of E. Het is duidelijk dat de kwaliteit van de dienstregeling voor de reizigers verhoogt wanneer deze lijnen gelijk gespreid worden over de tijd. Bij de NMBS is het beschouwde tijdsvenster één uur. De tijd tussen lijn C en E zou dan idealiter 30 minuten moeten bedragen. Als hiervoor geen moeite wordt gedaan, kan de tijd tussen de twee lijnen oplopen tot bijna een uur. In de huidige situatie bedraagt de tussentijd ofwel 18 ofwel 42 minuten. Sommige treinen stoppen in meerdere stations dan aangegeven in het netwerk, maar aangezien in die stations geen overstappen plaatsvinden, noch het aantal sporen wijzigt, worden deze tussenstations weggelaten om het beeld niet nodeloos te verzwaren. Er wordt aangenomen dat passagiers een directe reis verkiezen boven een reis met een of meerdere overstappen (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel).


70

De mogelijke transfers die passagiers dan kunnen maken zijn als volgt: o

o

o

o

Aarschot: o

C0  L1: van Lier naar Leuven

o

L0  C1: van Leuven naar Lier

Hasselt: o

C0  E1: van Aarschot naar Mol

o

E0  C1: van Mol naar Aarschot

o

L0  E1: van Leuven naar Mol

o

E0  L1: van Mol naar Leuven

o

C1  E1: van Luik naar Mol

o

E0  C0: van Mol naar Luik

Herentals: o

E1  R0: van Mol naar Turnhout

o

R1  E0: van Turnhout naar Mol

o

E1  R1: van Mol naar Brussel

o

R0  E0: van Brussel naar Mol

Lier: o

E0  R1: van Antwerpen naar Brussel

o

R0  E1: van Brussel naar Antwerpen

o

R0  C0: van Brussel naar Aarschot

o

C1  R1: van Aarschot naar Brussel

o

R0  E0: van Brussel naar Mol

o

E1  R1: van Mol naar Brussel

o

C1  E0: van Aarschot naar Mol

o

E1  C0: van Mol naar Aarschot

o

C1  R0: van Aarschot naar Turnhout

o

R1  C0: van Turnhout naar Aarschot

Door de NMBS worden geen verbindingen gegarandeerd omdat dit nadelige gevolgen zou kunnen hebben voor de rest van de dienstregeling. Wanneer bijvoorbeeld de verbinding tussen trein E0 en R1 in Lier zou worden gegarandeerd en trein E0 is in vertraging en komt te laat aan, dan moet trein R1 wachten om te vertrekken vooraleer de passagiers van trein E0 hebben kunnen instappen. Hierdoor loopt trein R1 ook vertraging op en dit wil NMBS vermijden want zo plant vertraging zich voort in het netwerk. NMBS is van oordeel dat de klant genoeg andere mogelijkheden heeft om op zijn bestemming te geraken en dat verbindingen dus niet moeten worden gegarandeerd (e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 15 maart 2010). In mijn studie wordt deze filosofie gerespecteerd.


71

4.2.3 Huidige dienstregeling De gehanteerde dienstregeling betreft een cyclische dienstregeling. Dit is namelijk de standaard in het Belgisch spoorverkeer. De huidige dienstregeling voor dit netwerk wordt voorgesteld door onderstaande tabel. De frequentie van alle treinen in het Belgische spoornetwerk bedraagt één per uur. Dat wil zeggen dat de tijdsspanne tussen twee opeenvolgende treinen van dezelfde lijn 60 minuten bevat (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). Tabel 17: De dienstregeling (eigen werk)

G0 R0 E0 C0 L0 G1 R1 E1 C1 L1

Aankomst Vertrek Lier 49 50 21 22 28 29 46 47 Hasselt 12 16 22 38

A V Herentals 3 4 39 40 44 45 Aarschot 47 52 11 12

A V Tielen 11 13 47 49 Mol 49 49 -

A V Turnhout 20 56 Turnhout 40 4 -

A V Mol 11 11 Tielen 47 49 11 13 -

A V Aarschot 8 13 48 49 Herentals 56 57 20 21 15 17 -

A V Hasselt 48 38 44 22 Lier 10 11 38 39 31 32 13 14 -

4.2.4 Motivatie voor netwerkkeuze Het specifieke netwerk werd gekozen omdat het eerst en vooral enige complexere eigenschappen heeft. Ten eerste komt er een lijn voor die in Mol wordt gekoppeld of ontkoppeld. Ten tweede zijn de baanvakken tussen Herentals en Turnhout enkelsporig. Beide fenomenen zijn zeldzaam in het Belgische spoornetwerk en stellen extra eisen aan het plannen van de dienstregeling waardoor dit stukje netwerk voor mijn studie academisch gezien interessanter wordt. Bovendien bevat het netwerk twee lijnen waarvan hun oorsprong binnen het netwerk ligt, welke een leuke verruiming vormt van de soorten gebruikte restricties. Ook rijden o.a. tussen Lier en Herentals drie lijnen wat de mogelijkheid biedt een concept toe te passen waaraan de NMBS veel belang aan hecht, nl. spreiding. Vervolgens ligt dit netwerk net buiten de geconcentreerde zones rond Brussel en Antwerpen waardoor in dit netwerk toch nog voldoende treinverkeer aanwezig is om de case academisch relevant te houden.


72

Het bestuderen van de drukste zones waaronder Brussel, lijkt op dit moment weinig relevant wegens het GEN-project 5 dat vandaag de dag wordt geïmplementeerd. In dit project worden de snelle treinen van de trage gescheiden door ze op verschillende sporen te laten reizen. Het betreft de lijnen tussen Brussel en respectievelijk Leuven, Halle, Ottignies, Nijvel en Denderleeuw. Zo wordt het mogelijk gemaakt minstens één trein om het kwartier in te zetten tijdens de spits. Door dit project wordt het treinverkeer rond deze drukke zones geoptimaliseerd en zo druk mogelijk bezet. Hier lijkt aldus weinig ruimte tot verbetering en vernieuwing. Tussen Brussel en Antwerpen is dit concept reeds lang geïnstalleerd. Rond de luchthaven Brussel-Nationaal is vandaag de dag ook een project op til, het Diabolo-project, waarbij extra aansluitingen naar de luchthaven worden gecreëerd (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel).

4.3

Modellering

Nu het netwerk wat van dichterbij werd bekeken, kan worden overgegaan naar het modelleren van dit netwerk. Bedoeling is het netwerk te optimaliseren a.d.h.v. lineaire programmering. Hiervoor moeten alle objectieven en restricties in een lineaire vorm worden opgemaakt. Eerst en vooral wordt de gehanteerde methode voor het modelleren van het netwerk uitgelegd. Vervolgens worden de gemaakte assumpties uitvoerig beschreven. Vervolgens kan worden overgegaan tot de wiskundige beschrijving van het LP-model. Eerst worden de beslissingvariabelen behandeld, daarna de gewone variabelen, vervolgens de parameters, dan de doelfuncties en tenslotte de modelrestricties.

4.3.1 Methodiek Onder andere Vansteenwegen en Van Oudheusden

[36; 37] bewezen dat het

dienstregelingsprobleem kan worden opgelost door middel van lineaire programmering. Het LP-model bevat echter een belangrijke relaxatie ten opzichte van het IP-model, namelijk dat de bekomen aankomsten vertrektijden geen gehele, maar reële getallen zijn. Aangezien de aankomsten vertrektijden in een dienstregeling worden weergegeven met de precisie van 1 minuut, worden deze reële getallen teruggerekend naar minuten en afgerond tot de dichtstbijzijnde gehele minuut; vb. 0,0567h wordt dan 0,0567*60min = 3,4min ≈ 3 minuten. Hierdoor ontstaat er een kleine fout, die echter weinig tot geen nadelige impact heeft op de resultaten. Het voordeel van het toelaten van deze fout is dat het model wordt gerelaxeerd van IP- tot LP-model en dus gemakkelijker oplosbaar is. 5

GEN: Gewestelijk ExpresNet: loopt sinds 2004 en moet tegen 2012 operationeel zijn. Het GEN-

project gaat concreet om het verdubbelen van de capaciteit van de sporen, nl. van één dubbelsporig baanvak naar twee dubbelsporige baanvakken.


73

Het domein van alle variabelen is [0,1]; er wordt enkel gerekend met getallen binnen dit domein en ook de beslissingsvariabelen behoren tot dit domein. Om de volledige dienstregeling binnen dit domein te doen vallen, worden minuten omgerekend naar minuten per uur; 3 minuten wordt dan 3/60 uur = 0,05h. Wegens de beperkte grootte van het beschouwde netwerk komt het niet voor dat een berekende tijd, zoals bijvoorbeeld de gereden rittijd, meer dan één uur zou bedragen. Het gebruikte tijdsvenster bedraagt één uur. Aangezien een cyclische dienstregeling wordt beoogd, bestaat de dienstregeling van een volledige dag uit het herhalen van deze bouwsteen. Het wiskundig model dat hieronder wordt geformuleerd, werd geïmplementeerd in Excel. Het model was met zijn 604 restricties, 414 limieten6, 207 continue variabelen en 145 integere variabelen echter te groot voor de standaard Solver-functie in Microsoft Excel. Vandaar werd de add-in “Risk Solver Platform” van de ontwikkelaar Frontline Systems gedownload en geïnstalleerd7. Deze add-in bevat een “Gurobi Engine” welke een oneindig aantal restricties en variabelen kan verwerken. De gegevens omtrent dit netwerk werden verzameld voor de spitsuren, meer bepaald tussen 7u en 9 ‟s morgens. Een kwalitatief goede dienstregeling is als vanzelfsprekend nuttiger tijdens de spitsuren dan daarbuiten. Daarom is het belangrijk dat de dienstregeling zodanig wordt geoptimaliseerd dat het spitsmoment kan worden verwerkt.

4.3.2 Assumpties 1. Wat er in het station gebeurt, wordt beschouwd als een zwarte doos. Hierbij wordt de filosofie gevolgd van de NMBS Mobility, die de planning van de treinen in de stations overlaat aan de stationchefs. Verder zou dit geen grote problemen mogen vormen aangezien de minimum opvolgtijd tussen twee treinen in dezelfde richting minimaal 3 minuten bedraagt. Als hieraan steeds wordt voldaan, dan is de stationscapaciteit ten allen tijde voldoende. 2. Bij het bepalen van de verschillende transfermogelijkheden werd geconstateerd dat dezelfde verbinding kan worden aangeboden door verschillende treinen. In principe zou de oplossing van de beslissingsvariabelen moeten worden gebruikt om te bepalen welke trein de kortste transferwachttijd heeft om dan aan de juiste trein de juiste transfertijdlimiet op te leggen. Deze transfertijdlimiet zou dan echter niet meer lineair zijn

6

Een limiet beperkt één variabele, zoals bv. x < 1, terwijl een restrictie meerdere variabelen tegelijk

beperkt, zoals bv. x + y < 1. 7

Risk Solver Platform werd gedownload van de officiële site (http://www.solver.com/platform/risk-

solver-platform.htm) voor een gratis proefperiode van 15 dagen.


74

aangezien ze afhangt van de beslissingsvariabelen. Daarom moet de verbinding reeds op voorhand worden vastgesteld. Door deze assumptie moet het model echter niet aan realiteitswaarde inbinden. De gekozen verbinding zal immers gegarandeerd voldoen aan de voorwaarden die geldig zijn voor zijn prioriteitsklasse. Indien een andere trein betere voorwaarden biedt, zal deze natuurlijk in de praktijk verkozen worden door de passagiers. Dit wordt dan beschouwd als een toevallige winst voor het schema.

In

onderstaande tabel worden de gekozen verbindingen weergegeven in het vet terwijl de niet verkozen verbindingen cursief staan. Tabel 18: Gekozen verbinding (eigen werk)

Station U

Verbinding E1-R0 E1-G0 E0-R1 C0-R1 G0-R1

T

R0-E1 R0-C1 R0-G1 C1-R0 C1-G0

3. Het is niet geweten hoeveel mensen exact een overstap doen. Wat wel geteld wordt door NMBS is het aantal mensen dat afstapt, hoeveel mensen opstappen en hoeveel er op een trein blijven zitten. Op basis van deze gegevens werd een assumptie gemaakt over het aantal overstappende passagiers. Hiervoor werd “het aantal opstappende passagiers” gedeeld door “het aantal mogelijke transfers +1”. Deze +1 is nodig om rekening te houden met het deel van de passagiers dat geen transfer maakt, maar voor het eerst opstapt. Het bekomen aantal passagiers moet echter altijd kleiner blijven dan het aantal afstappende passagiers van de binnenkomende trein. Wanneer dit niet het geval is, gebruiken we een andere formule, nl. “het aantal afstappende passagiers” gedeeld door “het aantal mogelijke transfers +1”. Het aantal mogelijke transfers is hier echter niet gelijk aan die van de eerste formule. Het gaat hier immers om het aantal mogelijke transfers dat de afstappende passagiers kunnen maken, terwijl het bij de eerste formule om het aantal transfers dat de opstappende passagiers konden maken.


75

Het verschil lijkt triviaal maar is wezenlijk. Stel bijvoorbeeld volgende mogelijke verbindingen in het station van Lier: Tabel 19: Aantal uit- en opstappende passagiers voor verbinding x-y, uitgedrukt in aantal passagiers (eigen werk)

Verbinding x-y

# uitstappers uit x

# opstappers op y

34,5

27

R0-E0(a+b)

32

61,5

E0(a+b)-R1

17,5

210,5

R0-E1(a+b)

32

92,5

E1(a+b)-R1

14,5

210,5

R1-C0

40,5

26

R0-C0

32

26

C1-R1

34,5

210,5

C1-E0(a+b)

34,5

61,5

E1(a+b)-C0

14,5

26

C1-R0

De passagiers die opstappen op C0 kunnen van twee verschillende treinen komen, nl. de R1 en de R0. Dan is het aantal overstappende passagiers 26/(2+1) = 6,5. Voor de passagiers die afstappen van trein R0 zijn echter drie verschillende overstappen mogelijk, namelijk overstappen naar trein E0(a+b), naar E1(a+b) of naar C0. De verbinding R0-E1(a+b) is een voorbeeld van een situatie

waarin het aantal

overstappende passagiers volgens de eerste formule (nl. 46,25) groter is dan hetgeen mogelijk is als we het aantal afstappende passagiers van trein R0 bekijken, nl. 32. Hier moeten we dus het aantal overstappers berekenen als volgt: 32/(3+1) = 8. De volledige berekening van het aantal overstappers kan worden teruggevonden in bijlage 7.10. 4. Het bekomen aantal overstappende passagiers blijkt echter nogal weinig te zijn. Men zou kunnen denken dat deze oefening daarom minder relevant wordt. Deze opmerking kan worden weerlegd wanneer wordt gemotiveerd dat dit een voorbeeld is van een rustiger netwerk, waarin de transfers als vanzelfsprekend geen topprioriteit hebben. Wanneer we echter de oefening willen uitvoeren voor academisch nut, kunnen we het aantal overstappende passagiers op bepaalde punten kunstmatig optrekken . Daarvoor werd volgende redenering gevolgd: voor de verbindingen met het aantal overstappende passagiers kleiner dan of gelijk aan 10 werd het aantal behouden. Wanneer het aantal groter is dan 10 maar kleiner dan of gelijk aan 20 dan werd het aantal overstappers vermenigvuldigd met 1,5. Wanneer het aantal tenslotte groter is dan 20 dan werd het


76

aantal overstappers vermenigvuldigd met 3. Deze beslissingsregels worden in onderstaande tabel samengevat: Tabel 20: Beslissingsregels voor corrigeren van het aantal overstappende passagiers (eigen werk)

# overstappers Factor <= 10

1

> 10 en <= 20

1,5

> 20

3

Het bekomen aantal overstappers wordt weergegeven in onderstaande tabel. Op basis van deze aantallen werd aan elke mogelijke verbinding een prioriteit A, B of C toegekend. Deze categorisering is nodig om een verschillende minimum- en maximumlimiet voor de transfertijden te kunnen opleggen. De beslissingsregels voor deze prioriteitentoekenning worden hieronder weergegeven: Tabel 21: Beslissingsregels voor het toekennen van prioriteiten aan verbindingen (eigen werk)

Categorie

Beslissingsregel

A

≤ 20 overstappers

B

> 20 en ≤ 40 overstappers

C

> 40 overstappers

Het gecorrigeerd aantal passagiers, waarmee zal worden verder gerekend, en de prioriteit van elke verbinding wordt in onderstaande tabel weergegeven. Tabel 22: Finaal aantal overstappende passagiers (eigen werk)

Station Verbinding # overstappers

T

Toegepaste

# overstappers

factor

gecorrigeerd

Prioriteit

C1-R0

13,5

1,5

20,25

B

R0-E0(a+b)

20,5

3

61,5

A

E0(a+b)-R1

8,75

1

8,75

C

R0-E1(a+b)

8

1

8

C

E1(a+b)-R1

4,83333

1

4,83333333

C

R1-C0

6,5

1

6,5

C

R0-C0

6,5

1

6,5

C

C1-R1

8,625

1

8,625

C


U

Y

Z

77

C1-E0(a+b)

20,5

3

61,5

A

E1(a+b)-C0

6,5

1

6,5

C

E1(a+b)-R1

15,8333

1,5

23,75

B

R0-E0(a+b)

7

1

7

C

E1(a+b)-R0

16

1,5

24

B

R1-E0(a+b)

18,1667

1,5

27,25

B

C0-E1(b)

3,25

1

3,25

C

E0(b)-C1

23,5

3

70,5

A

L0-E1(b)

3,25

1

3,25

C

E0(b)-L1

18,5

1,5

27,75

B

C1-E1(b)

3,25

1

3,25

C

E0(b)-C0

6

1

6

C

C0-L1

22,5

3

67,5

A

L0-C1

15,25

1,5

22,875

B

5. Indien een verbinding wordt gemist, dan bedraagt de transferwachttijd een uur min de tijd die hij tekort had om de verbinding te halen. Wanneer de trein waarop de passagier wil overstappen bijvoorbeeld vertrekt om 11 minuten na het uur, maar de passagier komt maar om 8 minuten na het uur aan, dan wordt de transferwachttijd 60min – (5min – 3min) = 58 minuten. De passagier doet er immers 5 minuten om over te stappen terwijl hij slechts 3 minuten beschikbaar had. Hij kwam dus 2 minuten tekort. Bij sommige treinen, nl. deze van Tabel 18, kan de passagier dan een andere lijn pakken, zodanig dat zijn transferwachttijd wordt ingekort en de waarde van de doelfunctie verhoogt. Aangezien het niet mogelijk is om deze mogelijkheid in te bedden in het lineair model om wille van dezelfde lineariteitsreden als in assumptie 2, wordt hiermee geen rekening gehouden bij het berekenen van de doelfunctie. 6. Overstappen duurt gemiddeld 5 minuten. Deze waarde wordt ook gebruikt door de NMBS (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel). 7. De meeste gegevens komen uit de database „Oktobertellingen 2007‟ van NMBS Mobility. Voor twee lijnen echter moesten de gegevens uit de „Oktobertellingen 2009‟ komen aangezien deze lijnen nog niet bestonden in 2007 (e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 15 maart 2010). Er wordt echter aangenomen dat deze extra lijnen extra vraag gecreëerd hebben, en dus de bestaande vraag naar andere treinen niet of toch niet wezenlijk hebben gekannibaliseerd. Er wordt dus van uitgegaan dat het halen van de gegevens uit twee databases geen afbreuk doet aan de praktische waarde van deze studie.


78

8. Voor de treinen die de enkelsporige baanvakken gebruiken, is de minimale opvolgtijd gebaseerd op de ideale rijtijd van die treinen. Indien deze rijtijd zou afhangen van de beslissingsvariabelen en dus variabel zou zijn, dan zou de restrictie voor de opvolgtijd voor deze treinen ook variabel worden. Dit voldoet echter niet aan de voorwaarden van lineariteit en om die reden werd de rijtijd van deze treinen vastgezet op hun ideale rijtijd. Deze extra restrictie maakt het model echter strenger en verkleint dus de optimaliseringsmogelijkheden.

4.3.3 Beslissingsvariabelen Nu de methodiek en de assumpties duidelijk zijn, kan worden overgegaan tot het wiskundig modelleren van het dienstregelingsprobleem. Eerst en vooral bevat het LP-model drie soorten beslissingsvariabelen, nl. de aankomsttijden, de vertrektijden en de hulpvariabele n. Dit zijn de variabelen die worden gewijzigd om tot een optimale oplossing te komen. Een overzicht van de gebruikte verzamelingen voor het definiëren van deze variabelen, kan worden teruggevonden in bijlage 7.12. 𝑦

𝑉𝑥 = de vertrektijd van trein x in station y met: 𝑦

𝑉𝑥 ∈ 0,1 ⊂ ℝ , ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅1 ⊂ 𝒳 × 𝒴, 𝒳 = 𝐶0, 𝐶1, 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐸0 𝑎 , 𝐸0 𝑏 ,𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐸1 𝑎 , 𝐸1 𝑏 ,𝐺0, 𝐺1, 𝐿0, 𝐿1, 𝑅0, 𝑅1 , 𝒴 = {𝑇, 𝑈, 𝑉, 𝑊, 𝑋, 𝑌, 𝑍}, waarbij T = Lier, U = Herentals, V = Tielen, W = Turnhout,

X = Mol, Y = Hasselt en Z = Aarschot, 𝑅1 = { 𝐶0, 𝑇 , 𝐶1,𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐺0, 𝑇 , 𝐺1, 𝑇 , 𝑅0, 𝑇 , 𝑅1,𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 ,𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑈 , 𝐺0, 𝑈 , 𝐺1, 𝑈 , 𝑅0, 𝑈 , 𝑅1,𝑈 , 𝐺0, 𝑉 , 𝐺1, 𝑉 , 𝑅0,𝑉 , 𝑅1,𝑉 , 𝐺1, 𝑊 , 𝑅1, 𝑊 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑋 , 𝐸0 𝑎 , 𝑋 , 𝐸0 𝑏 , 𝑋 , 𝐸1 𝑏 , 𝑌 , 𝐶0, 𝑌 , 𝐶1,𝑌 , 𝐿1, 𝑌 , 𝐶0, 𝑍 , 𝐶1,𝑍 , 𝐿0, 𝑍 ,(𝐿1, 𝑍)}. 𝑦

𝐴𝑥 = de aankomsttijd van trein x in station y 𝑦

𝐴𝑥 ∈ 0,1 ⊂ ℝ , ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2 ⊂ 𝒳 × 𝒴, 𝑅2 = { 𝐶0,𝑇 , 𝐶1, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐺0, 𝑇 , 𝐺1, 𝑇 , 𝑅0,𝑇 , 𝑅1, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 ,𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑈 , 𝐺0, 𝑈 , 𝐺1, 𝑈 , 𝑅0, 𝑈 , 𝑅1,𝑈 , 𝐺0, 𝑉 , 𝐺1, 𝑉 , 𝑅0,𝑉 , 𝑅1,𝑉 , 𝐺0, 𝑊 , 𝑅0, 𝑊 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑋 , 𝐸1 𝑎 , 𝑋 , 𝐸1 𝑏 , 𝑋 , 𝐸0 𝑏 , 𝑌 , 𝐶0, 𝑌 , 𝐶1,𝑌 , 𝐿0, 𝑌 , 𝐶0, 𝑍 , 𝐶1,𝑍 , 𝐿0, 𝑍 ,(𝐿1, 𝑍)}.


79

𝐾𝑖 = de hulpvariabele K horende bij de i-de restrictie van het model: 𝑖 ∈ ℐ ⊂ ℕ,

ℐ = {1, … ,123}.

𝐺𝑔 = de hulpvariabele 𝐺 horende bij de g-de restrictie van het model: 𝑔 ∈ 𝒢 ⊂ ℕ,

𝒢 = {1, … ,22}.

4.3.4 Variabelen De gewone modelvariabelen worden in deze sectie gedefinieerd. Dit zijn de variabelen die berekend worden op basis van de beslissingsvariabelen. Een overzicht van de gebruikte verzamelingen voor het definiëren van deze variabelen, kan worden teruggevonden in bijlage 7.12. 𝑦

𝑇𝑥1,𝑥2 = de beschikbare tijd om een transfer te maken, uitgedrukt in uur, 𝑦

𝑦

= 𝑉𝑥1 − 𝐴𝑥2 + 𝐾𝑖 , 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝑅3 , 𝑖 = 49,… , 70 ∈ ℐ. 𝑦

𝑇𝑊𝑥1,𝑥2 = de transferwachttijd, d.i. de tijd die een passagier nog moet staan wachten op de verbinding, uitgedrukt in uur 𝑦

= 𝑇𝑥1,𝑥2 + 𝐺𝑔 , 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝑅3 , 𝑔 ∈ 𝒢. 𝑦1,𝑦2

𝑅𝑥

= de berekende duurtijd van de trip door trein x van station y1 naar station y2, in uur, 𝑦2

𝑦1

= 𝐴𝑥 − 𝑉𝑥

+ 𝐾𝑖 . 𝑖 = 1, … , 24 ∈ ℐ, 𝑥, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅4 ⊂ 𝒳 × 𝒴 × 𝒴.

De rest van de variabelen werden in de restricties zelf gedefinieerd. Deze tijdvariabelen kunnen echter worden samengenomen onder de algemene notering: 𝑦1,𝑦2

𝑦

𝑡𝑥1,𝑥2 = een berekende tijd, zoals de transfertijd 𝑇𝑥1,𝑥2 of de haltetijd. 𝑝𝑖 = een hulpvariabele nodig om het maximum van twee rijtijden te kunnen berekenen =

𝑦1

𝑦2

𝑦2

𝑦1

𝑦2

𝑦1

1 𝑎𝑙𝑠 max⁡ (𝑉𝑥1 − 𝑉𝑥2 ) = 𝑉𝑥2 0 𝑎𝑙𝑠 max⁡ (𝑉𝑥1 − 𝑉𝑥2 ) = 𝑉𝑥1


80

𝑖 = 71,… , 78 ∈ ℐ, ∀ 𝑥1, 𝑥2, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅6 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴 × 𝒴, 𝑍𝑖 = een hulpvariabele om te garanderen dat met de juiste rijtijd wordt gewerkt 𝑦1,𝑦2

=

𝑟𝑥2

𝑦1,𝑦2 𝑟𝑥1

𝑎𝑙𝑠 𝑝𝑖 = 1 𝑎𝑙𝑠 𝑝𝑖 = 0 𝑖 = 71,… , 78 ∈ ℐ, ∀ 𝑥1, 𝑥2, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅6 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴 × 𝒴,

𝑅6 = { 𝐺0, 𝐺1, 𝑉, 𝑊 , 𝐺0, 𝑅1, 𝑉, 𝑊 , 𝑅0, 𝐺1, 𝑉, 𝑊 , 𝑅0, 𝑅1, 𝑉, 𝑊 , 𝐺0, 𝐺1, 𝑈, 𝑉 , 𝐺0, 𝑅1,𝑈, 𝑉 , 𝐺1, 𝑅0, 𝑈, 𝑉 , (𝑅0, 𝑅1, 𝑈, 𝑉)}.

4.3.5 Parameters De modelparameters worden in deze sectie opgelijst. Deze parameters dienen om de modelrestricties en de doelfunctie te kunnen opbouwen. Over de waarden die worden toegekend aan deze parameters wordt uitgebreid gehandeld in sectie 4.4. Een overzicht van de gebruikte verzamelingen voor het definiëren van deze variabelen, kan worden teruggevonden in bijlage 7.12. 𝑦

𝑤𝑥1,𝑥2 = het gewicht horende bij de verbinding tussen trein x1 en trein x2 in station y, waarbij

x2 de trein is waarop de reizigers van trein x1 willen overstappen, uitgedrukt in aantal passagiers: 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝑅3 ⊂ 𝒳 x 𝒳 x 𝒴 , met 𝑅3 = {(C1, R0, T), (R0, E0(a+b), T), (E0(a+b), R1, T), (R0, E1(a+b), T), (E1(a+b),

R1, T), (R1, C0, T), (R0, C0, T), (C1, R1, T), (C1, E0(a+b), T), (E1(a+b), C0, T), (E1(a+b), R1, U), (R0, E0(a+b), U), (E1(a+b), R0, U), (R1, E0(a+b), U), (C0, E1(b), Y), (E0(b), C1, Y), (L0, E1(b), Y), (E0(b), L1, Y), (C1, E1(b), Y), (E0(b), C0, Y), (C0, L1, Z), (L0, C1, Z) }. 𝑇(𝑛 = 𝐴) = de maximum toegelaten transfertijd voor een belangrijke verbinding, in uur . 𝑇(𝑛 = 𝐴) = de minimum toegelaten transfertijd voor een belangrijke verbinding, in uur 𝑇(𝑛 = 𝐵) = de maximum toegelaten transfertijd voor een niet-belangrijke verbinding, in uur 𝑇(𝑛 = 𝐵) = de minimum toegelaten transfertijd voor een niet-belangrijke verbinding, in uur 𝑇(𝑛 = 𝐶) = de maximum toegelaten transfertijd voor een totaal-niet-belangrijke verbinding, uitgedrukt in uur 𝑇(𝑛 = 𝐶) = de minimum toegelaten transfertijd voor een totaal-niet-belangrijke verbinding, in uur

Hoofdstuk 4: Case NMBS 𝑦1,𝑦2

81

= gewicht horende bij de trip van station y1 naar y2 gereden door trein x, uitgedrukt in

𝑣𝑥

aantal passagiers, 𝑥, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅4 ⊂ 𝒳 × 𝒴 × 𝒴, 𝑅4 = { 𝐶0, 𝑇, 𝑍 , 𝐶0,𝑍, 𝑇 , 𝐶1,𝑇, 𝑍 , 𝐶1,𝑍, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇, 𝑈 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑈, 𝑋 , 𝐸0 𝑏 ,𝑋, 𝑌 , 𝐸1 𝑏 , 𝑌, 𝑋 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑋, 𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑈, 𝑇 , 𝐺0, 𝑇, 𝑈 , 𝐺0, 𝑈, 𝑉 , 𝐺0, 𝑉, 𝑊 , 𝐺1, 𝑊, 𝑉 , 𝐺1, 𝑉, 𝑈 , 𝐺1, 𝑈, 𝑇 , 𝐿0, 𝑍, 𝑌 , 𝐿1, 𝑌, 𝑍 , 𝑅0, 𝑇, 𝑈 , 𝑅0, 𝑈, 𝑉 , 𝑅0, 𝑉, 𝑊 , 𝑅1,𝑊, 𝑉 , 𝑅1, 𝑉, 𝑈 , (𝑅1,𝑈, 𝑇)}. 𝑦1,𝑦2

𝑟𝑥

= de ideale reistijd van station y1 naar station y2 door trein x, uitgedrukt in uur. 𝑥, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅4 ⊂ 𝒳 × 𝒴 × 𝒴. 𝒚𝟏,𝒚𝟐

Tabel 23: De mogelijke 𝒓𝒙

-waarden (gebaseerd op e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 15 maart, 2010)

𝒚𝟏,𝒚𝟐 𝒓𝒙

𝒙

𝒚𝟏, 𝒚𝟐 R0; R1 C0; C1 E0;E1 G0;G1 L0; L1 0,1592 W, V 0,131 0,1387 V, U 0,114 0,3558 U, X

U, T X, Y Y, Z Z, T

0,271

0,3293 0,3293 0,72 0,6406

0,7536

0,4618

M = een getal groter dan de grootst mogelijke waarde in het model, nl. 1. = 1,1 M = een getal kleiner dan de kleinste waarde die een variabele in het model kan aannemen, nl. 0,0001, = 0,00001 𝐾(𝑖) = de maximumwaarde die de hulpvariabele K kan aannemen, zodanig opgesteld dat K op 1 wordt geschakeld als de berekende tijd negatief is en 0 wanneer ze positief is, 𝑦1,𝑦2

=

𝑀 − 𝑡𝑥1,𝑥2

𝑀+𝑚.

𝐾(𝑖) = de minimumwaarde die de hulpvariabele K kan aannemen, zodanig opgesteld dat K op 1 wordt geschakeld als de berekende tijd negatief is en 0 wanneer ze positief is. 𝑦1,𝑦2

=

−𝑡𝑥1,𝑥2

𝑀.


82

𝐺(𝑔) = de maximumwaarde die de hulpvariabele G kan aannemen, zodanig opgesteld dat G op 1 wordt geschakeld als de transfer wordt gemist en 0 wanneer ze wordt gehaald, 𝑦

=

𝑀 + 𝑇 𝑛 − 𝑇𝑥1,𝑥2

𝑀 +𝑚 .

𝐺(𝑔) = de minimumwaarde die de hulpvariabele G kan aannemen, zodanig opgesteld dat G op 1 wordt geschakeld als de transfer wordt gemist en 0 wanneer ze wordt gehaald. 𝑦

=

𝑇 𝑛 − 𝑇𝑥1,𝑥2

𝑀.

𝛿 = de rijtijdtolerantie, d.i. de toegelaten procentuele afwijking van de ideale reistijd voor een trip. 𝐻 = de maximum haltetijd, uitgedrukt in uur 𝐻 = de minimum haltetijd, uitgedrukt in uur

HW = de minimum opvolgtijd tussen treinen, uitgedrukt in uur 𝑂 = de maximum omkeertijd, in uur 𝑂 = de minimum omkeertijd, in uur 𝐾𝑇 = de maximum koppeltijd, in uur 𝐾𝑇 = de minimum koppeltijd, in uur 𝜀 = de synchronisatietolerantie, d.i. de toegelaten afwijking van de ideale synchronisatietijd, uitgedrukt in uur 𝛾 = aantal treinen die moeten worden gesynchroniseerd = {2, 3}.

4.3.6 Doelfuncties In de case study wordt het model opgelost naar drie verschillende doelfuncties. De eerste doelfunctie minimaliseert de gewogen som van de transferwachttijden, zoals voorgesteld door Vansteenwegen en Vanoudheusden [36; 37]. Als gewicht wordt het aantal overstappende passagiers gebruikt. De berekening hiervan werd beschreven onder sectie 4.3.2: Assumpties. Dit aantal overstappende passagiers wordt dan vermenigvuldigd met de transferwachttijd. Deze transferwachttijd is niet gelijk aan de transfertijd. Wanneer passagiers 5 minuten nodig hebben om een transfer te maken, en men heeft 6 minuten beschikbaar, d.i. de transfertijd, dan bedraagt de transferwachttijd 6min – 5min = 1 minuut. Het resultaat van deze doelfunctie wordt uitgedrukt in passagiersuren (pu). 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒𝑒𝑟:

𝑦

𝑦

(𝑤𝑥1,𝑥2 × 𝑇𝑊𝑥1,𝑥2 ). 𝑥1,𝑥2,𝑦 ∈𝑅3


83

De tweede doelfunctie minimaliseert de gewogen reistijd, zoals voorgesteld door Ghoseiri et al. [16]. Het aantal passagiers dat de rit maakt werd als gewicht genomen. Voor de concrete berekening van het aantal passagiers per rit wordt verwezen naar bijlage 7.11. 𝑦1,𝑦2

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒𝑒𝑟:

𝑣𝑥

𝑦1,𝑦2

× 𝑅𝑥

.

𝑥 ,𝑦1,𝑦2 ∈𝑅4

De derde doelfunctie is de gewogen som van de eerste en tweede doelfunctie waarbij de gewichten werden overgenomen uit Vansteenwegen en Van Oudheusden [36]. Passagiers waarderen hun tijd terwijl ze overstappen hoger dan wanneer ze op de trein zitten. Overstappen is immers onaangenamer dan op de trein zitten. Het gewicht voor de transferwachttijd bedraagt 2 euro per uur, terwijl de reistijd 1,5 euro per uur bedraagt. Het resultaat van deze doelfunctie wordt uitgedrukt in passagierseuro. 𝑦

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒𝑒𝑟: 2 ×

𝑦

𝑦1,𝑦2

(𝑤𝑥1,𝑥2 × 𝑇𝑊𝑥1,𝑥2) + 1,5 × 𝑥1,𝑥2,𝑦 ∈𝑅3

𝑣𝑥

𝑦1,𝑦2

× 𝑅𝑥

.

𝑥,𝑦1,𝑦2 ∈𝑅4

Een overzicht van de gebruikte verzamelingen voor het definiëren van deze variabelen, kan worden teruggevonden in bijlage 7.12.

4.3.7 Restricties Voor de selectie van de restricties van het dienstregelingsprobleem, werd geopteerd voor de restricties die gebruikt worden door de NMBS. In een gesprek met de heer Vervoort B. (2 maart 2010, Brussel) werd overlopen welke restricties NMBS hanteert bij het opstellen van de dienstregeling. Deze restricties werden ook aangeduid in Tabel 12 in sectie 3.4. Bepaalde restricties waren echter niet van toepassing. Restrictie 11 beschreven in sectie 3.3 betreft de vaste dienstregeling voor sommige treinen. Voor de NMBS is dit van toepassing op de Thalystreinen, maar aangezien deze geen gebruik maken van het geselecteerde netwerk, wordt deze restrictie uit het model geweerd. Vervolgens is restrictie 15: reistijdsupplement niet van toepassing. Er werd vertrokken van de huidige gemiddelde snelheid van de treinen, dus de buffertijd is hier impliciet al bijgerekend. Verder zijn restrictie 28 en 29: inhalen resp. kruisen van treinen tussen stations geweerd uit het model, aangezien uit het gesprek met de heer Vervoort B. (2 maart 2010, Brussel) bleek dat dit zoveel mogelijk wordt vermeden aangezien dit onveiliger is dan kruisen en inhalen in een station. Sommige restricties echter werden nadien aangevuld om de implementatie in MS Excel mogelijk te maken. In het totaal bevat het LP-model zeventien verschillende soorten restricties. Een overzicht van de gebruikte verzamelingen voor het definiëren van deze variabelen, kan worden teruggevonden in bijlage 7.12.


84

1. De aankomsttijden zijn reële getallen tussen 0 en 1. 𝑦

𝐴𝑥 ∈ 0,1 ⊂ ℝ , ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅1 . 2. Ook de vertrektijden zijn reële getallen tussen 0 en 1: 𝑦

𝑉𝑥 ∈ 0,1 ⊂ ℝ , ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2 . 3. Om het model te doen kloppen, moest een extra beslissingsvariabele worden ingevoegd. Deze zorgt ervoor dat de waarden in de restricties steeds in het tijdsvenster [0,1] liggen. Het kan namelijk voorkomen dat een berekende tijdswaarde hierbuiten ligt. Een voorbeeld kan dit verduidelijken. Wanneer een trein aankomt in station y om 58/60 uur na het uur en ze vertrekt uit station y om 2/60 uur na het uur, dan is de haltetijd 4 minuten. Maar als we (2–58)/60 uur doen, dan bekomen we –56/60 uur. Als we nu een hulpvariabele invoeren die moet worden opgeteld bij de berekende tijdsduur en welke 1 is als de berekende tijdsduur negatief is en 0 als die positief is, bekomen we hetzelfde resultaat, maar binnen het juiste tijdsvenster, nl. [0,1]. De K-variabelen zijn aldus binaire getallen: 𝑦1,𝑦2

𝐾𝑖 =

0 𝑎𝑙𝑠 0 ≤ 𝑡𝑥1,𝑥2 ≤ 1 𝑦1,𝑦2

1 𝑎𝑙𝑠 − 1 ≤ 𝑡𝑥1,𝑥2 ≤ 0

, ∀𝑖 ∈ ℐ .

4. Vervolgens is een restrictie nodig om deze K-variabele op 1 te schakelen als de uitkomst negatief is en op 0 wanneer de uitkomst positief is: 𝐾 𝑖 ≤ 𝐾𝑖 ≤ 𝐾 𝑖 ,

∀𝑖 ∈ ℐ.

5. Om het model te doen kloppen, moest een extra beslissingsvariabele worden ingevoegd, nl. de G-variabele. Deze zorgt voor de juiste berekening van de transferwachttijd. 𝑦

Immers, wanneer de beschikbare transfertijd 𝑇𝑥1,𝑥2 kleiner is dan de minimum transfertijd 𝑇(𝑛), dan wordt de transfer gemist, en vergroot de transferwachttijd met een uur min de tijd die hij tekort had om de overstap te kunnen maken. De G-variabele wordt dan op 1 geschakeld. Indien de transfer niet wordt gemist, is de G-variabele gelijk aan 0. 𝑦

𝐺𝑔 =

0 𝑎𝑙𝑠 0 ≤ 𝑇𝑥1,𝑥2 − 𝑇(𝑛) ≤ 1 𝑦

1 𝑎𝑙𝑠 − 1 ≤ 𝑇𝑥1,𝑥2 − 𝑇(𝑛) ≤ 0

,

∀𝑔 ∈ 𝒢 .

6. Vervolgens is opnieuw, zoals bij de K-variabele een restrictie nodig om deze G-variabele op 1 te schakelen wanneer de uitkomst negatief is en op 0 wanneer de uitkomst positief is: 𝐺 𝑔 ≤ 𝐺𝑔 ≤ 𝐺 𝑔 ,

∀𝑔 ∈ 𝒢.


85

7. Aan de transfertijd wordt zowel een boven- als onderlimiet opgelegd. 𝑦

𝑇 𝑛 ≤ 𝑇𝑥1,𝑥2 ≤ 𝑇(𝑛) 𝑛 ∈ 𝒩 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑖 = 49, … , 70 ∈ ℐ, ∀ 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝑅3 , 𝑛 = 𝐴 𝑎𝑙𝑠 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝒯 𝐴 , 𝒯 𝐴 = { 𝑅0, 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐶1,𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐸0 𝑏 ,𝐶1, 𝑌 , 𝐶0, 𝐿1, 𝑍 }, 𝑛 = 𝐵 𝑎𝑙𝑠 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝒯 𝐵 , 𝒯 𝐵 = { 𝐶1, 𝑅0, 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑅1,𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑅0, 𝑈 , 𝑅1, 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑈 , 𝐸0 𝑏 , 𝐿1, 𝑌 , (𝐿𝑂, 𝐶1, 𝑍)}, 𝑛 = 𝐶 𝑎𝑙𝑠 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝒯 𝐶 , 𝒯 𝐶 = { 𝑅0,𝐸1 𝑎 + 𝑏 ,𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑅1, 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑅1,𝑇 , 𝑅1, 𝐶0, 𝑇 , 𝑅0,𝐶0, 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐶0, 𝑇 , 𝐶1,𝑅1, 𝑇 , 𝐶0, 𝐸1 𝑏 ,𝑌 , 𝐿0,𝐸1 𝑏 , 𝑌 , 𝐶1, 𝐸1 𝑏 ,𝑌 , 𝐸0 𝑏 , 𝐶0, 𝑌 , 𝑅0, 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑈 }. 𝒯 𝐴 , 𝒯 𝐵 𝑒𝑛 𝒯 𝐶 vormen samen een partitie van 𝑅3, 8. Aan alle rijtijden, uitgezonderd deze die horen bij de enkelspoortrajecten, wordt zowel een boven- als onderlimiet opgelegd. 𝑦1,𝑦2

𝑟𝑥

𝑦1,𝑦2

𝑦1,𝑦2

× 1 − 𝛿 ≤ 𝑅𝑥

≤ 𝑟𝑥

× 1+ 𝛿

𝑖 = 1, … , 24 ∈ ℐ, ∀ 𝑥, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅4 \ 𝑅4𝐸 ⊂ 𝒳 × 𝒴 × 𝒴, 𝑅4𝐸 = { 𝐺0, 𝑈, 𝑉 , 𝐺1, 𝑈, 𝑉 , 𝑅0,𝑈, 𝑉 , 𝑅1,𝑈, 𝑉 , 𝐺0, 𝑉, 𝑊 , 𝐺1, 𝑉, 𝑊 , 𝑅0,𝑉, 𝑊 , (𝑅1,𝑉, 𝑊)}. 9. De rijtijden horend bij de enkelspoortrajecten worden vastgesteld op hun ideale rijtijd. Deze beperking is nodig om het model lineair te houden. Immers, de rijtijd van de treinen over een enkelspoor wordt op haar beurt gebruikt in de restrictie voor treinen die moeten kruisen op een enkelspoor. Een restrictie die een variabele gebruikt in het beperkende lid is niet langer lineair. Vandaar wordt de rijtijdbeperking voor deze trajecten een gelijkheid: 𝑦1,𝑦2

𝑅𝑥

𝑦1,𝑦2

= 𝑟𝑥

𝑖 = 1, … , 24 ∈ ℐ, ∀ 𝑥, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅4𝐸 ⊂ 𝒳 × 𝒴 × 𝒴. 10. Aan de haltetijd wordt zowel een boven- als onderlimiet opgelegd.


86 𝑦

𝑦

𝐻 ≤ 𝑉𝑥 − 𝐴𝑥 + 𝐾𝑖 ≤ 𝐻 𝑖 = 25, … , 48 ∈ ℐ, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅5 ⊂ 𝒳 × 𝒴, 𝑅5 = { 𝐶0,𝑇 , 𝐶1, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐺0, 𝑇 , 𝐺1, 𝑇 , 𝑅0,𝑇 , 𝑅1, 𝑇 , 𝐸0, 𝑈 , 𝐸1, 𝑈 , 𝐺0, 𝑈 , 𝐺1, 𝑈 , 𝑅0, 𝑈 , 𝑅1, 𝑈 , 𝐺0, 𝑉 , 𝐺1, 𝑉 , 𝑅0, 𝑉 , 𝑅1,𝑉 , 𝐶0, 𝑌 , 𝐶1,𝑌 , 𝐶0,𝑍 , 𝐶1, 𝑍 , 𝐿0, 𝑍 ,(𝐿1, 𝑍)}.

11. De opvolgtijd tussen treinen in tegengestelde richting op een enkelspoor moet minimaal de reistijd van de traagste trein bedragen. De restrictie zou er kunnen uitzien als volgt: 𝑦1

𝑦2

𝑦1,𝑦2

𝑉𝑥1 − 𝑉𝑥2 + 𝐾𝑖 ≥ max⁡ (𝑅𝑥1

𝑦1,𝑦2

,𝑅𝑥2

) + 𝐻𝑊

Bovenstaande vergelijking is echter niet lineair. Ze moet worden omgebouwd tot een set van vier lineaire vergelijkingen: 𝑦1

𝑦2

𝑉𝑥1 − 𝑉𝑥2 + 𝐾𝑖 ≥ 𝑍𝑖 + 𝐻𝑊 𝑦1,𝑦2

𝑍𝑖 = 𝑟𝑥2

𝑦1,𝑦2

𝑟𝑥1

𝑦1,𝑦2

𝑟𝑥1

𝑦1,𝑦2

𝑝𝑖 + 𝑟𝑥1 𝑦1,𝑦2

− 𝑟𝑥2

𝑦1,𝑦2

− 𝑟𝑥2

(1 − 𝑝𝑖 )

> −𝑀𝑝𝑖

≤ 𝑀(1 − 𝑝𝑖 )

𝑖 = 71, … , 78 ∈ ℐ, ∀ 𝑥1, 𝑥2, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅6 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴 × 𝒴, In de laatste twee vergelijkingen van de vergelijkingenset wordt de hulpvariabele 𝑝𝑖 op 1 geschakeld wanneer trein 𝑥2 de traagste rittijd heeft. In het geval van twee treinen met dezelfde snelheid, bedraagt het verschil tussen beide 0. De hulpvariabele 𝑝𝑖 wordt dan op 1 geschakeld dankzij het “strikt groter dan”-teken in plaats van een “groter of gelijk aan”-teken. In de tweede vergelijking wordt dan die specifieke rittijd toegewezen aan de hulpvariabele 𝑍𝑖 . In de eerste vergelijking wordt dan gerekend met de traagste rittijd. Aangezien trein 1 niet per se als eerste moet vertrekken, kan de eerste vergelijking in de bovenstaande set ook als volgt zijn: 𝑦1

𝑦2

𝑉𝑥2 − 𝑉𝑥1 + 𝐾𝑖 ≥ 𝑍𝑖 + 𝐻𝑊 De twee mogelijkheden kunnen dan samengevoegd worden tot de volgende vergelijking: 𝑦1

𝑦2

𝑍𝑖 + 𝐻𝑊 ≤ 𝑉𝑥1 − 𝑉𝑥2 + 𝐾𝑖 ≤ 1 − (𝑍𝑖 + 𝐻𝑊)


87

De volledige restrictie ziet er dan uit als volgt: 𝑦1

𝑦2

𝑍𝑖 + 𝐻𝑊 ≤ 𝑉𝑥1 − 𝑉𝑥2 + 𝐾𝑖 ≤ 1 − (𝑍𝑖 + 𝐻𝑊) 𝑦1,𝑦2

𝑍𝑖 = 𝑟𝑥2

𝑦1,𝑦2

𝑟𝑥1

𝑦1,𝑦2

𝑟𝑥1

𝑦1,𝑦2

× 𝑝𝑖 + 𝑟𝑥1 𝑦1,𝑦2

− 𝑟𝑥2

𝑦1,𝑦2

− 𝑟𝑥2

× (1 − 𝑝𝑖 )

≥ −𝑀𝑝𝑖

≤ 𝑀(1 − 𝑝𝑖 )

𝑖 = 71, … , 78 ∈ ℐ, ∀ 𝑥1, 𝑥2, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅6 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴 × 𝒴, 12. De opvolgtijd tussen de vertrektijden van treinen die elkaar opvolgen op een enkel- of dubbelspoor moet minimaal 𝐻𝑊 bedragen. Aangezien het opnieuw om het even is welke trein eerst gaat, ziet de restrictie eruit als volgt: 𝑦

𝑦

𝐻𝑊 ≤ 𝑉𝑥1 − 𝑉𝑥2 + 𝐾𝑖 ≤ 1 − 𝐻𝑊 𝑖 = 79, … , 82 ∪ {87, … ,97} ∈ ℐ, ∀ 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝑅7 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴, 𝑅7 = { 𝐺1, 𝑅1, 𝑊 , 𝐺0, 𝑅0, 𝑉 , 𝐺1, 𝑅1, 𝑉 , 𝐺0, 𝑅0, 𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 ,𝐺1, 𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑅1, 𝑈 , 𝐺1, 𝑅1, 𝑈 , 𝐶0,𝐿0, 𝑍 , 𝐶1, 𝐿1, 𝑌 , 𝐺0, 𝑅0, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐺0, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑅0, 𝑇 , 𝐶1, 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐶1, 𝐺1, 𝑇 ,(𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐺1, 𝑇)}.

13. Hetzelfde geldt voor de aankomsttijden tussen twee elkaar opvolgende treinen op een dubbel- of enkelspoor: 𝑦

𝑦

𝐻𝑊 ≤ 𝐴𝑥1 − 𝐴𝑥2 + 𝐾𝑖 ≤ 1 − 𝐻𝑊 𝑖 = 83, … ,86 ∪ {98,… ,108} ⊂ ℐ, ∀ 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝑅8 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴, 𝑅8 = { 𝐺0, 𝑅0, 𝑊 , 𝐺0, 𝑅0, 𝑉 , 𝐺1, 𝑅1, 𝑉 , 𝐺1, 𝑅1, 𝑈 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐺0, 𝑈 , (𝐸0 𝑎 + 𝑏), 𝑅0, 𝑈 , 𝐺0, 𝑅0, 𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 ,𝐺1, 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑅1, 𝑇 , 𝐺1, 𝑅1, 𝑇 , 𝐶0,𝐿0, 𝑌 , 𝐶1, 𝐿1, 𝑍 , 𝐶0, 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐶0,𝐺0, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐺0, 𝑇 . 14. Aan de omkeertijd wordt zowel een boven- als ondergrens gelegd, respectievelijk 𝑂 en 𝑂: 𝑦

𝑦

𝑂 ≤ 𝑉𝑥2 − 𝐴𝑥1 + 𝐾𝑖 ≤ 𝑂 𝑖 = 109,… , 112 ∈ ℐ, ∀ 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝑅9 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴,


𝑅9 =

88

𝐺0, 𝐺1, 𝑊 , 𝑅0, 𝑅1, 𝑊 , 𝐸0 𝑏 ,𝐸1 𝑏 , 𝑌 , 𝐿0, 𝐿1, 𝑌 .

15. Ook aan de koppeltijd wordt zowel een boven- als ondergrens gelegd. Aangezien het koppelen van treinen in feite betrekking heeft op 3 treinen, moet aan twee restricties worden voldaan. In het geval van koppelen geldt 𝑦

𝑦

𝑦

𝑦

𝐾𝑇 ≤ 𝑉𝑥1 − 𝐴𝑥2 + 𝐾𝑖 ≤ 𝐾𝑇 𝐾𝑇 ≤ 𝑉𝑥1 − 𝐴𝑥3 + 𝐾𝑖 ≤ 𝐾𝑇 𝑖 = 113,… , 116 ∈ ℐ, ∀ 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝑅10 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴,

𝑅10 =

𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐸1 𝑎 , 𝑋 ,

∀ 𝑥1, 𝑥3, 𝑦 ∈ 𝑅11 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴,

𝑅11 =

𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐸1 𝑏 , 𝑋 .

In het geval van ontkoppelen geldt 𝑦

𝑦

𝑦

𝑦

𝐾𝑇 ≤ 𝑉𝑥2 − 𝐴𝑥1 + 𝐾𝑖 ≤ 𝐾𝑇 𝐾𝑇 ≤ 𝑉𝑥3 − 𝐴𝑥1 + 𝐾𝑖 ≤ 𝐾𝑇 𝑖 = 113,… , 116 ∈ ℐ, ∀ 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝑅12 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴,

𝑅12 =

𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐸0 𝑎 , 𝑋 ,

∀ 𝑥1, 𝑥3, 𝑦 ∈ 𝑅13 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴,

𝑅13 =

𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐸0 𝑏 , 𝑋 .

16. Wanneer meerdere treinlijnen (een deel van) hun route gemeenschappelijk hebben, dan is het interessant voor de klant om deze treinlijnen te synchroniseren. D.w.z. dat men zal proberen om de treinlijnen gelijk te spreiden in de tijd. Als het om twee treinen gaat, dan zal men dus een trein (proberen te) doen rijden om het halfuur. Gaat het om 3 treinlijnen, dan zal men een trein laten komen om de 20 minuten. Aangezien het exact voldoen aan deze restrictie nogal beperkend is voor de optimaliteit van het schema, kan een zekere tolerantie 𝜀 op deze synchronisatie worden toegelaten. De restrictie ziet er dan uit als volgt: 1 1 𝑦 𝑦 − 𝜀 ≤ 𝑉𝑥1 − 𝑉𝑥2 + 𝐾𝑖 ≤ + 𝜀 𝛾 𝛾 𝑖 = {117,… ,123} ⊂ ℐ, ∀(𝑥1, 𝑥2 , 𝑦) ∈ 𝑅14 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴, 𝑅14 = { 𝐺0, 𝑅0, 𝑇 , 𝐶1, 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐶1,𝐺1, 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐺1, 𝑇 , 𝐺1, 𝑅1, 𝑊 , 𝐶0, 𝐿0, 𝑍 , (𝐶1, 𝐿1, 𝑌)}.


89

17. Een laatste belangrijke restrictie die de kwaliteit van de dienstregeling ten goede komt, is de symmetrievereiste. Deze wordt gemodelleerd als volgt: 𝑦

𝑦

𝑉𝑥1 + 𝐴𝑥2 = 1 ∀ 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 ∈ 𝑅15 ⊂ 𝒳 × 𝒳 × 𝒴, 𝑅15 = { 𝐶0, 𝐶1, 𝑇 , 𝐶1,𝐶0, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐺0, 𝐺1, 𝑇 , 𝐺1, 𝐺0, 𝑇 , 𝑅0,𝑅1, 𝑇 , 𝑅1, 𝑅0, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑈 , 𝐺0, 𝐺1, 𝑈 , 𝐺1, 𝐺0, 𝑈 , 𝑅0,𝑅1, 𝑈 , 𝑅1, 𝑅0, 𝑈 , 𝐺0, 𝐺1, 𝑉 , 𝐺1, 𝐺0, 𝑉 , 𝑅0,𝑅1, 𝑉 , 𝑅1,𝑅0, 𝑉 , 𝐺0, 𝐺1, 𝑊 , 𝑅0,𝑅1, 𝑊 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑋 , 𝐸1 𝑎 , 𝐸0 𝑎 , 𝑋 , 𝐸1 𝑏 , 𝐸0 𝑏 , 𝑋 , 𝐸0 𝑏 , 𝐸1 𝑏 , 𝑌 , 𝐶0,𝐶1, 𝑌 , 𝐶1,𝐶0, 𝑌 , 𝐿0, 𝐿1, 𝑌 , 𝐶0,𝐶1, 𝑍 , 𝐶1, 𝐶0, 𝑍 , 𝐿0, 𝐿1, 𝑍 ,(𝐿1, 𝐿0, 𝑍)}.

4.4

Optimalisatie

Nu het model een wiskundige vorm gekregen heeft, kan worden overgegaan tot de implementatie in MS Excel. In dit deel zal de dienstregeling worden geoptimaliseerd naar minimale transferwachttijd. Hiervoor wordt eerst de huidige dienstregeling geanalyseerd m.b.t. de gebruikte parameters en gemiste verbindingen. Vervolgens wordt beschreven hoe de initiële modelparameterwaarden werden bepaald. Hiervoor werd vooral uitgegaan van de gebruikelijke praktijken bij de NMBS. Het model werd vervolgens onderworpen aan een reeks van gevoeligheidsanalyses om de finale parameterwaarden te bepalen. Aan de hand van die finale parameterwaarden kunnen de transferwachttijden worden geminimaliseerd en bekomen we de optimale dienstregeling.

4.4.1 Analyse van de huidige dienstregeling De huidige dienstregeling die wordt gehanteerd door de NMBS werd in het model ingebracht. Hierbij werd duidelijk dat in de huidige dienstregeling twee verbindingen worden gemist, namelijk een verbinding met A- en één met B-prioriteit. Daardoor ligt de waarde van de gewogen som van de transferwachttijden nogal hoog, nl. 196,6 passagiersuren (pu). Beide gemiste verbindingen vinden plaats in het station van Aarschot. Het betreft de transfer van C0 naar L1, en van L0 naar C1. Passagiers hebben hier slechts 4 minuten om over te stappen. Vervolgens zijn er in de huidige dienstregeling veertien gevallen waar de rijtijd tot slechts 65% van zijn ideale rijtijd bedraagt. Deze rijtijdtolerantie van 35% is naar mijn mening te hoog aangezien veel sneller rijden dan de ideale rijtijd vlugger slijtage teweegbrengt. Daarenboven wordt de buffer om vertraging op te vangen te klein en wordt de dienstregeling minder robuust.


90

De rijtijden over de enkelsporen werden allemaal gelijkgesteld aan 7 min. Er wordt hier dus over deze links geen onderscheid gemaakt tussen IC- en IR-treinen. Echter, voor deze kleine afstanden is dit wel te verantwoorden. Verder bedraagt de minimum opvolgtijd voor kruisende treinen op deze enkelsporen voor vier van de acht gevallen slechts 2 minuten. Deze marge is kleiner dan de algemeen aanvaarde 3 minuten. Men moet dus steeds met de nodige omzichtigheid de desbetreffende treinen in de gaten houden. Tenslotte is de symmetrie niet perfect voldaan in het station van Herentals voor lijn E. Daar is de som van de vertrek- en aankomsttijd van respectievelijk E1 en E0 gelijk aan 61 min i.p.v. 60 min. Een overzicht van de parameterwaarden die gelden voor de huidige dienstregeling, wordt hieronder weergegeven. Tabel 24: Parameterwaarden in de huidige dienstregeling (eigen werk)

Parameter Minimum transfertijd prioriteit A Maximum transfertijd prioriteit A Minimum transfertijd prioriteit B Maximum transfertijd prioriteit B Minimum transfertijd prioriteit C Maximum transfertijd prioriteit C Rijtijdtolerantie voor de minimumwaarde van de reistijd Rijtijdtolerantie voor de maximumwaarde van de reistijd Minimum haltetijd Maximum haltetijd Opvolgtijd voor kruisende treinen op een enkelspoor Opvolgtijd voor opvolgende treinen op een enkelspoor Opvolgtijd voor opvolgende treinen op een dubbelspoor Minimum omkeertijd Maximum omkeertijd Minimum koppeltijd Maximum koppeltijd Synchronisatietolerantie Symmetrie

NMBS Nvt Nvt Nvt Nvt Nvt Nvt 35% 5% 1 min 6 min 2 min 3 min 3 min 8 min 24 min 5 min 8 min 17 min 60 min

Legende: Nvt: niet van toepassing. Deze parameterwaarden kunnen niet worden bepaald aangezien de NMBS op een andere manier prioriteiten heeft opgelegd aan verbindingen.

4.4.2 Bepaling van de initiële parameterwaarden De

huidige

dienstregeling

lijkt dus

ruimte

te

laten voor

verbetering. Aan

alle

modelparameters werd een zinvolle initiële waarde toegewezen zodanig dat het model oplosbaar is. Voor deze waarden werd rekening gehouden met de eigen voorkeur en die van de NMBS. Deze waarden zijn terug te vinden in Tabel 25 in de middelste kolom.


91

Ten eerste bedraagt de minimum transfertijd voor alle verbindingen 5 min. Alhoewel de NMBS soms slechts 3 of 4 minuten voorziet, werd er hier voor gekozen om op zeker te spelen. De kortere transfertijden zijn immers pas haalbaar in die situaties waar de aansluiting zich bevindt op het perron naast datgene waar de passagier is afgestapt. Ten tweede mag de transfertijd voor prioriteit A-verbindingen niet meer dan 15 min bedragen. Deze bovenlimiet wordt ook door de NMBS gebruikt. Voor de maximum toegestane transfertijd voor prioriteit B-verbindingen werd 40 minuten vooropgesteld. Deze waarde werd zo gekozen om het model voldoende vrijheid te laten en omdat deze verbindingen minder belangrijk zijn. Indien mogelijk wordt deze waarde nog verlaagd. De maximum toegelaten transfertijd voor prioriteit C-verbindingen, werd op 50 minuten gezet. Deze maximumwaarde moet logischerwijze hoger zijn dan bij de prioriteit B-verbindingen, maar indien mogelijk wordt deze waarde later nog verlaagd. Vervolgens werd de rijtijdtolerantie voor zowel onder- als bovenlimiet op 8% gezet. De motivatie hiervoor is dat op die manier het verschil tussen de verschillende treintypes relevant blijft. Wanneer een IR-trein immers een 8%-kortere rijtijd heeft dan volgens de ideale rijtijd, dan rijdt hij aan (60 km/h)/(1-0,08) = 65 km/h. Wanneer een IC-trein een 8% langere rijtijd heeft dan de ideale rijtijd, dan heeft hij aan (73km/h)/(1+0,08) = 68 km/h gereden. In deze extreme situaties liggen de snelheden van de IC- en IR-trein reeds heel dicht bij elkaar. Voor een trage IR- en een snelle L-trein gelden dezelfde conclusies: hier rijdt de IR-trein aan 56 km/h en de L-trein aan 55 km/h. Omwille van deze bevindingen werd een rijtijdtolerantie van 8% ruim voldoende bevonden. Deze tolerantie werd ook niet lager gezet om de oplossingsruimte in het model groot genoeg te houden. De haltetijd bedraagt ten minste 1 minuut in elk station. Dit is nodig om de passagiers voldoende tijd te geven om af- en op te stappen. In heel kleine stations is een haltetijd van 30 seconden reeds voldoende (gesprek met de heer Vervoort B., 2 maart 2010, Brussel), maar deze kleinere stations werden uit het netwerk geweerd, vandaar de voorkeur voor 1 minuut. De maximale haltetijd werd op 6 minuten gezet omdat het LP-model in eerste instantie niet oplosbaar was voor een lagere waarde dan 6 min. In een latere analyse zal worden nagegaan of deze waarde kan worden verlaagd. Uit analyse van de huidige dienstregeling blijkt ook dat er twee situaties voorkomen waarin de haltetijd 6 minuten bedraagt. Voor de omkeertijd werd het minimum op 7 minuten gezet omdat het model in eerste instantie niet oplosbaar was bij een hogere waarde. Later zal worden nagegaan of deze waarde kan worden verhoogd. Uit gesprek met de heer Vervoort B. (2 maart 2010, Brussel) bleek immers dat een omkeertijd van 8 minuten reeds vrij idealistisch is. Voor NMBS is 8 min een streefwaarde want hoe kleiner de omkeertijd, hoe groter de treinrotatie en dus hoe hoger de efficiëntie. Vandaar ook dat men ook probeert de maximumwaarde te beperken. Idealiter


92

bedraagt deze 20 minuten, maar situaties waar dit langer is, vormen geen uitzondering. Vandaar dat deze waarde hier initieel op 40 wordt gezet. Het model bleek immers onoplosbaar te zijn met een lagere waarde. Later zal worden geprobeerd deze maximumwaarde te verlagen. De minimum koppeltijd bedraagt bij de NMBS 5 minuten. Tijdens het koppelingsproces moeten immers veiligheidstesten uitgevoerd worden e.d. (supra, p.42). Vandaar dat deze koppeltijd best niet minder bedraagt. Aan de andere kant is het voor de passagiers die op de trein blijven zitten niet aangenaam om lang stil te staan. Vandaar dat deze koppeltijd ook niet te hoog mag oplopen. In de huidige dienstregeling bleek deze waarde maximaal 8 minuten te bedragen. Met deze waarde zal ook in het LP-model worden gerekend. Er zal echter nagegaan worden of deze waarden moeten worden gewijzigd. De NMBS maakte reeds duidelijk dat de spreiding van de treinen heel belangrijk is voor de kwaliteit van de dienstregeling. Vandaar dat er zal worden gestreefd naar een zo klein mogelijke synchronisatietolerantie. Voorlopig werd deze tolerantie op 10 minuten gezet, maar analyse moet uitwijzen of een verlaging mogelijk is. Verder is ook de symmetrie van de dienstregeling een belangrijke vereiste. De waarde hiervoor is eenduidig, nl. 60 minuten. Tot slot zijn er de heel belangrijke opvolgtijden. Uit interview met de heer Vervoort B. (2 maart 2010, Brussel) bleek dat deze te allen tijde op zijn minst 3 minuten moeten bedragen. Uit analyse van de huidige dienstregeling bleek reeds (supra, p.87) dat deze voorwaarde op de enkelspoorsegmenten slechts 2 minuten was. In het LP-model zal er echter steeds minimaal 3 minuten worden afgedwongen. Een samenvatting van deze parameterwaarden is te vinden in onderstaande tabel in de middelste kolom. Tabel 25: Parameterwaarden en –intervallen in het LP-model (eigen werk)

Parameter Minimum transfertijd prioriteit A Maximum transfertijd prioriteit A Minimum transfertijd prioriteit B Maximum transfertijd prioriteit B Minimum transfertijd prioriteit C Maximum transfertijd prioriteit C Rijtijdtolerantie voor de minimumwaarde van de reistijd Rijtijdtolerantie voor de maximumwaarde van de reistijd Minimum haltetijd Maximum haltetijd Minimum omkeertijd Maximum omkeertijd Minimum koppeltijd

Waarde (in min) 5 15 5 40 5 50 8%

Optimalisatieinterval (in min) / [15,20] / [25,40] / [45,59] 8%-12%

8%

8%-12%

1 6 7 40 5

/ [3,6] [7,20] [25,40] [3,8]


93

Maximum koppeltijd Synchronisatietolerantie Opvolgtijd voor kruisende treinen op een enkelspoor Opvolgtijd voor opvolgende treinen op een enkelspoor Opvolgtijd voor opvolgende treinen op een dubbelspoor Symmetrie

8 10 3

[8,12] [0,15] /

3

/

3

/

60

/

4.4.3 Gevoeligheidsanalyses Om na te gaan hoe goed de initieel gekozen parameterwaarden zijn, worden verschillende gevoeligheidsanalyses

uitgevoerd.

Voor

bepaalde

parameters

wordt

een

interval

gespecificeerd waarin de parameterwaarde kan variëren. Deze intervals worden in bovenstaande tabel opgelijst in de laatste kolom. Wanneer geen interval vermeld staat, dan is het volgens bepaalde kwaliteits- en veiligheidsvereisten niet mogelijk om de parameterwaarde aan te passen. De doelfunctie van het model is de minimalisatie van de transferwachttijden. M.b.v. „Risk Solver Platform‟ kan een gevoeligheidsanalyse worden uitgevoerd met maximaal twee parameters tegelijk. Ten eerste werd nagegaan hoe het variëren van de boven- en onderlimiet (resp. R(UB) en R(LB)) van de rijtijdtolerantie de doelfunctie wijzigt. Het resultaat is te vinden in onderstaande tabel. Uit de tabel kunnen we opmaken dat de waarde van de doelfunctie pas substantieel verandert bij een bovenlimiet van 12%. De doelfunctie is hier met 16% verbeterd t.o.v. de situatie van 8% rijtijdtolerantie. Zoals eerder vermeld echter, is 12% een nogal grote tolerantiewaarde. De variatie in onderlimiet blijkt slechts een miniem effect te hebben op de doelfunctie. Omwille van deze redenen wordt besloten om de rijtijdtolerantie in beide gevallen op 8% te houden. De doelfunctiewaarde bij deze gekozen combinatie wordt in het vet weergegeven. Tabel 26: Gevoeligheidsanalyse van de onder- vs. bovenlimiet voor de rijtijtolerantie (resp. R(LB) en R(UB)) (eigen werk) R(LB)/R(UB) 8% 9% 10% 11% 12%

8% 40,67 40,46 40,25 40,04 39,83

9% 40,67 40,46 40,25 40,04 39,83

10% 40,67 40,46 40,25 40,04 39,83

11% 40,67 40,46 40,25 40,04 39,83

12% 35,27 34,91 34,56 34,21 33,85

Vervolgens werd gecontroleerd hoe de doelfunctie verandert bij het variëren van de maximum

transfertijd

voor

een

prioriteit

A-verbinding

(Ta)

en

de

rijtijdtolerantieonderlimiet (R). De NMBS stelt dat de transfertijd voor zo‟n verbinding maximaal 15 min mag bedragen. Als de rijtijdtolerantie dan 8% bedraagt, bedraagt de


94

doelfunctiewaarde 40,67 pu. Er kan snel worden afgeleid dat het verlossen van beide restricties geen noemenswaardige verbetering oplevert. Bij een transfertijd van 20 min en een tolerantie van 12% is de verbetering slechts 2,1%. De resultaten hiervan zijn terug te vinden in Tabel 27. Uit de gevoeligheidsanalyse van de maximum prioriteit A-transfertijd t.o.v. de bovenlimietwaarde van de rijtijdtolerantie, kunnen dezelfde conclusies worden getrokken. Er wordt aldus besloten om de combinatie 15min en 8% te behouden (in vet). Tabel 27: Gevoeligheidsanalyse van de rijtijdtolerantieonderlimiet (R(LB)) en de maximum transfertijd voor een A-prioriteitverbinding (Ta) (eigen werk) Ta/R(LB) 15 16 17 18 19 20

8% 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67

9% 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46

10% 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25

11% 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04

12% 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83

De analyse van de maximum B-transfertijd (Tb) en de rijtijdtolerantieonderlimiet leert ons dat het model voor een groot aantal combinaties niet oplosbaar is (i.e. infeasible). Dit is te zien in Tabel 28. Voor de geprefereerde tolerantie van 8% zijn enkel de transfertijden vanaf 37 min mogelijk. Wanneer we de tolerantie zouden verhogen naar 10%, wordt een maximum transfertijd van 28 min mogelijk. Dit verslecht de objectiefwaarde echter met 112% t.o.v. de combinatie 8% en 40 min. Aangezien prioriteit B inhoudt dat de desbetreffende verbindingen minder belangrijk zijn, weegt de verslechtering van de doelfunctie met 45 passagiersuren niet op tegen de 9 min kortere maximale transfertijd. Bij de minst strenge combinatie, nl. 40 minuten transfertijd en 12% tolerantie, is de doelfunctie slechts met 2,1% verbeterd. Het vergroten van de tolerantie levert dus geen significante winst op. Ten slotte blijkt bij een tolerantie van 8% de objectiefwaarde niet te verslechteren wanneer de transferlimiet op 37 min wordt gesteld in plaats van 40 min. Daarom wordt besloten om deze transfertijdverlaging door te voeren (in vet). De analyse met de rijtijdtolerantiebovenlimiet i.p.v. –onderlimiet levert gelijkaardige resultaten op. Het enige verschil is dat daar een lagere transferlimiet dan 37 minuten pas mogelijk wordt vanaf 12% tolerantie. Tabel 28: De gevoeligheidsanalyse van de maximum transfertijd voor prioriteit B-verbindingen (Tb) en de onderlimiet van de rijtijdtolerantie (R(LB)) (eigen werk) Tb/R(LB) 25 26 27

8% Infeasible Infeasible Infeasible






28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

95

Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible 40,67 40,67 40,67 40,67

Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible 40,46 40,46 40,46 40,46

86,07 86,07 86,07 86,07 86,07 86,07 86,07 86,07 86,07 40,25 40,25 40,25 40,25

58,62 58,62 58,62 58,62 58,62 58,62 58,62 58,62 58,62 40,04 40,04 40,04 40,04

57,30 57,30 57,30 57,30 57,30 57,30 57,30 57,30 57,30 39,83 39,83 39,83 39,83

Uit de analyse van de rijtijdtolerantieonderlimiet en de maximum transfertijd voor prioriteit C-verbindingen kunnen dezelfde conclusies worden getrokken als hierboven (resultaten zijn te vinden in Tabel 29). De objectiefwaarde is bij de minst strenge combinatie, nl. 59 min en 12%, opnieuw slechts 2,1% beter. Wanneer de rijtijdtolerantiebovenlimiet in beschouwing wordt genomen, is de verbetering iets beter, namelijk 13,3%. Aangezien het hier om een C-prioriteit verbinding gaat, is het verantwoord om voor de maximum transferlimiet 50 minuten voorop te stellen (in vet). Hiervoor werd de gulden middenweg gevolgd om voldoende vrijheid in het model te laten en de slechte verbindingen toch wat in te perken. Tabel 29: De gevoeligheidsanalyse van de maximum transfertijd voor prioriteit C-verbindingen (Tc) en de onderlimiet van de rijtijdtolerantie (R(LB)) (eigen werk) Tc/R(LB) 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

8% 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67

9% 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46 40,46

10% 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25 40,25

11% 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04 40,04

12% 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83 39,83

Wat betreft de maximum haltetijden blijkt het model onoplosbaar te zijn bij tijden lager dan 5 minuten (Tabel 30). Een vergroting van de rijtijdtolerantie brengt hier geen verbetering in. Het verhogen van de maximum transfertijd van prioriteit A-verbindingen tot 19 minuten maakt een maximum haltetijd van 4 minuten mogelijk. Dit is te zien in Tabel 30. Deze actie


96

verslechtert de objectiefwaarde echter enorm, nl. met 248%. De tijdswinst uit de verkleining van de maximum haltetijd weegt dus absoluut niet op tegen het verhogen van de maximum transfertijd voor prioriteit A-verbindingen. Er wordt bijgevolg gekozen voor een maximum haltetijd van 5 minuten (in vet). Tabel 30: De gevoeligheidsanalyse van de maximum transfertijd voor prioriteit A-verbindingen (Ta) en maximum haltetijden (H) (eigen werk) Ta/H 15 16 17 18 19 20

3 Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible

4 5 6 Infeasible 41,32 40,67 Infeasible 41,32 40,67 Infeasible 41,32 40,67 Infeasible 41,32 40,67 141,52 41,32 40,67 132,88 41,32 40,67

Wat betreft de omkeertijd blijkt een minimum van 8 minuten pas mogelijk te zijn bij een maximum omkeertijd van 38 minuten. Dit brengt weliswaar een verslechtering van de objectiefwaarde teweeg van 45% t.o.v. alle situaties met een minimum van 7 minuten. De objectiefwaarde bedraagt dan 58,84 pu. Ook een minimumtijd van 10 min wordt mogelijk bij een maximumtijd van 38 min, waarbij de objectiefwaarde dan 61,86 bedraagt. Dit kan worden geconcludeerd uit Tabel 31. Wanneer de rijtijdtolerantiebovenlimiet echter op 11% wordt gezet, zijn minimum omkeertijden tot 20 min mogelijk. De objectiefwaarde verslecht hier echter tot 67,10 pu. Dit is te zien in Tabel 32. Aangezien 11% nogal hoog is en een korte omkeertijd de efficiëntie verhoogt, zoals eerder gemotiveerd, wordt hier dus geen inspanning gedaan om de minimum omkeertijd op hoger dan 10 min vast te leggen. Aangezien het verhogen van de rijtijdtolerantie bij een vaste omkeertijd niet zoveel verbetering teweegbrengt, en zeker niet beneden de 11%, wordt besloten om de tolerantie op 8% te houden. Verder wordt besloten de minimum omkeertijd op 8 minuten te zetten en de maximum omkeertijd op 38 minuten (in vet). Tabel 31: Gevoeligheidsanalyse van de minimum en maximum omkeertijd (resp. O(LB) en O(UB)) (eigen werk) O(LB)/O(UB) 7 8 9 10 11 12

Tabel

32:

37

38 39 40 40,67 40,67 40,67 40,67 Infeasible 58,84 57,61 56,37 Infeasible 60,28 59,04 57,80 Infeasible 61,86 60,62 59,39 Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible


van

de

rijtijdtolerantiebovenlimiet (R(UB)) (eigen werk)

minimum

omkeertijd

(O(LB))

en

de


97

O(LB)/R(UB) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8%

9%

10%

40,67 56,37 57,80 59,39 Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible



11% 12% 40,67 35,27 54,14 46,13 55,53 46,13 56,99 46,13 58,00 47,08 59,01 48,03 60,02 48,98 61,03 49,93 62,05 50,88 63,06 51,83 64,07 52,78 65,08 53,73 66,09 65,29 67,10 66,30

Bij het uitzetten van de minimum en maximum koppeltijden t.o.v. elkaar in Tabel 33, blijkt de objectiefwaarde over alle combinaties gelijk te blijven, nl. 40,67. De geprefereerde combinatie van minimum 5 en maximaal 8 minuten mag dus worden behouden (in vet). Tabel 33: Gevoeligheidsanalyse van de minimum en maximum koppeltijd (resp. K(LB) en K(UB)) (eigen werk) K(LB)/K(UB) 3 4 5 6 7 8

8 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67

9 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67

10 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67

11 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67

12 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67 40,67

Wanneer de synchronisatietolerantie t.o.v. de rijtijdtolerantie wordt bekeken in Tabel 34, blijkt dat het LP-model pas oplosbaar is vanaf een synchronisatietolerantie van 3 minuten. Onderstaande tabel geldt voor de rijtijdtolerantieonderlimiet, maar de tabel met de bovenlimiet geeft bijna exact dezelfde resultaten weer. De synchronisatietolerantie kan dus worden verlaagd, maar om voldoende vrijheid in het model te behouden, wordt deze slechts verlaagd

tot

7

minuten.

Aangezien

de

variatie

in

de

rijtijdtolerantie

bij

een

synchronisatietolerantie van 7 minuten een miniem effect heeft, wordt de rijtijdtolerantie van 8% behouden (in vet). Tabel

34:


van

de

synchronisatietolerantie

rijtijdtolerantieonderlimiet (R(LB)) (eigen werk) S/R(LB) 0 1

8% Infeasible Infeasible





(S)

en

de


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

98

Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible Infeasible 56,25 55,99 55,99 55,99 45,67 43,50 43,35 43,24 43,24 43,24 42,06 42,05 42,04 42,04 42,03 41,14 41,07 41,01 41,00 41,00 40,67 40,46 40,28 40,22 40,15 40,67 40,46 40,25 40,04 39,83 40,67 40,46 40,25 40,04 39,83 40,67 40,46 40,25 40,04 39,83 40,67 40,46 40,25 40,04 39,83 40,67 40,46 40,25 40,04 39,83 36,89 36,38 35,88 35,37 34,89 36,89 36,38 35,88 35,37 34,89 36,89 36,38 35,88 35,37 34,89

4.4.4 Conclusies Na deze reeks van gevoeligheidsanalyses, waarvan enkel de meest relevante werden weergegeven en besproken, worden de parameters aangepast o.b.v. bovenstaande redeneringen. De aangepaste parameterwaarden worden in onderstaande tabel in vet weergegeven. Tabel 35: Finale parameterwaarden en hun aanpasbaarheid (eigen werk)

Parameter Minimum transfertijd prioriteit A Maximum transfertijd prioriteit A Minimum transfertijd prioriteit B Maximum transfertijd prioriteit B Minimum transfertijd prioriteit C Maximum transfertijd prioriteit C Rijtijdtolerantie voor de minimumwaarde van de reistijd Rijtijdtolerantie voor de maximumwaarde van de reistijd Minimum haltetijd Maximum haltetijd Minimum omkeertijd Maximum omkeertijd Minimum koppeltijd Maximum koppeltijd Synchronisatietolerantie Opvolgtijd voor kruisende treinen op een enkelspoor Opvolgtijd voor opvolgende treinen op een enkelspoor Opvolgtijd voor opvolgende treinen op een dubbelspoor Symmetrie Legende:

Waarde 5 15 5 38 5 50 8%

Aanpasbaarheid 2 3 2 3 2 2 2

8%

2

1 56 8 38  40 5 8 7 3

niet 1 1 1 2 2 2 niet

3

niet

3

niet

60

3


99

1: deze parameter moet eerst worden aangepast ingeval van onoplosbaarheid. 2: deze parameter mag pas in tweede instantie worden aangepast ingeval van onoplosbaarheid. 3: deze parameter mag pas in noodgeval worden aangepast ingeval van onoplosbaarheid. Niet: deze parameter mag nooit worden aangepast.

Het model met deze nieuwe parameters bleek niet oplosbaar te zijn. Om deze onoplosbaarheid aan te pakken, werd een prioriteitslijst opgesteld van de aan te passen parameters. De toegekende prioriteiten zijn terug te vinden in bovenstaande tabel in de laatste kolom. Volgens de prioriteitsvolgorde moesten de maximum haltetijd en de minimum en maximum omkeertijd eerst worden aangepast. Enkel het aanpassen van de maximum haltetijd en maximum omkeertijd bleek heil te brengen, waardoor deze werden verhoogd tot respectievelijk 6 en 40 minuten. Deze getallen zijn te vinden na de pijl in de tweede kolom. De objectiefwaarde bedraagt nu 56,43 pu, wat een verslechtering is van 38,8% t.o.v. de eerste optimalisatie met de waarden van Tabel 25. Deze verslechtering is verantwoord wegens de verhoogde efficiëntie en kwaliteit elders dan bij de transfertijden. De finale dienstregeling is terug te vinden in Tabel 36. Het optimaliseren kon gebeuren in minder dan 3 sec d.m.v. een Pentium M processor van 1,73 GHz. Tabel 36: Optimale dienstregeling (eigen werk)

G0 R0 E0 C0 L0 G1 R1 E1 C1 L1

4.5

Aankomst Vertrek Lier 54 55 24 26 28 29 41 42 Hasselt 4 59 1 34

A V Herentals 16 20 43 49 47 48 Aarschot 43 49 16 17

A V Tielen 29 32 56 2 Mol 44 49 -

A V Turnhout 41 10 Turnhout 19 50 -

A V Mol 11 16 Tielen 29 32 58 4 -

A V Aarschot 11 17 43 44 Herentals 40 44 11 17 12 13 -

A V Hasselt 56 59 1 26 Lier 5 6 34 36 31 32 18 19 -

Simulatie

De dienstregeling bekomen in sectie 4.4 wordt in dit onderdeel gesimuleerd om het effect na te gaan van mogelijks optredende vertragingen. Deze stap is belangrijk om de kwaliteit van de

dienstregeling

te

performantiemaatstaven.

kunnen

evalueren.

Deze

evaluatie

wordt

gedaan

a.d.h.v.


100

4.5.1 Opzet De NMBS verwacht vertragingen rond Herentals en Turnhout wegens de werken die daar momenteel worden ondernomen 8. Deze gegevens zijn terug te vinden in Tabel 37. In andere stations worden geen vertragingen verwacht omdat men er bij de planning vanuit gaat dat vertragingen de uitzondering zijn en niet de regel. Tabel 37: Verwachte vertragingen vrijgegeven door NMBS (gebaseerd op e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 15 maart 2010)

Station Herentals Turnhout

Lijn E0(a+b) E1(a+b) G0 R0

Verwachte vertraging (in min) 1,5 1,5 1,2 2,53

Omdat de werkelijkheid toch niet altijd loopt zoals gepland wegens onvoorziene omstandigheden, wordt een kleine variabiliteit in aankomsten vertrektijden beschouwd. Voor alle treinen wordt een gemiddelde vertraging van 18 seconden verondersteld, behalve voor de bovenvermelde treinen en de treinen afkomstig zijn drukke stations, meer bepaald Antwerpen, Brussel, Luik en Leuven. Voor deze laatste treinen wordt verondersteld dat zij gemiddeld genomen 1 minuut en 6 seconden vertraging oplopen. Tabel 38 vat deze assumpties samen. Deze verwachte vertraging wordt zowel aan de aankomsttijd als aan de vertrektijd toegevoegd. We veronderstellen immers dat de toegewezen haltetijd moet worden gewaarborgd want door het verkleinen van de haltetijden zouden bepaalde restricties worden geschonden. Op die manier echter plant de vertraging zich in het netwerk voort, maar er werd vanuit gegaan dat vertraagde treinen tijdens hun volgende rit iets sneller kunnen gaan rijden om de vertraging in te lopen. Daardoor is de kans op een bepaalde vertraging in elk station even groot. Er wordt eveneens aangenomen dat er geen negatieve vertraging kan zijn. Dit houdt in een trein trager zal gaan rijden wanneer hij blijkt te vroeg te zijn. Tabel 38: Assumpties i.v.m. verwachte vertraging (eigen werk)

Station Lier Herentals Tielen

8

Lijn C0, E0(a+b), G0, R0 C1, E1(a+b), G1, R1 G0, G1, R0, R1 G0, G1, R0, R1

Verwachte vertraging (in sec) 66 18 18 18

In augustus 2009 ontstond een brand in het station van Herentals. Momenteel worden daar door

Infrabel werken verricht om de infrastructuur te herstellen.


Mol Hasselt Aarschot

101

E0(a+b), E1(a), E1(b) C1 E0(b), C0, L0 L0 C0, C1, L1

18 66 18 66 18

O.b.v. Vansteenwegen en Van Oudheusden wordt aangenomen dat de kans op vertraging de volgende exponentiële verdeling volgt: 𝑓 𝑑 = 𝜆𝑒 −𝜆𝑑

𝑑 ≥0 .

In deze formulering is 1 𝜆 de verwachte vertraging. Deze formulering wordt vaak gebruikt om de kans op vertraging bij spoorwegen te modelleren. De data i.v.m. de historische vertragingen bevestigt de veronderstelling van deze exponentiële verdeling [36; 37].

Om de kwaliteit van de dienstregeling te kunnen evalueren, moeten performantiemaatstaven worden gedefinieerd. Deze worden dan in de simulatie berekend. De gedefinieerde performantiemaatstaven zijn de volgende: o

Transferwachtkost: dit is de waarde van de doelfunctie.

o

% van de transfertijden > 15 min: deze maatstaf geeft weer welk percentage van alle mogelijke overstappen een langere overstaptijd dan 15 min heeft. Het totale aantal mogelijke overstappen bedraagt 22.

o

Aantal gemiste A-transfers: deze maatstaf geeft weer hoeveel transfers met prioriteit A worden gemist. Een trein wordt gemist wanneer de transfertijd minder dan 5 minuten bedraagt. Het totale aantal transfers met prioriteit A bedraagt 4.

o

Aantal onaangename A-transfers: dit zijn het aantal prioriteit A-transfers die langer duren dan 15 minuten. Wanneer een trein wordt gemist, wordt deze hier niet bijgerekend maar is die terug te vinden onder de vorige maatstaf. Het totale aantal transfers met prioriteit A bedraagt 4.

o

Aantal gemiste B-transfers: deze maatstaf geeft weer hoeveel transfers met prioriteit B worden gemist. Een trein wordt gemist wanneer de transfertijd minder dan 5 minuten bedraagt. Het totale aantal transfers met prioriteit B bedraagt 6.

o

Aantal onaangename B-transfers: dit zijn het aantal prioriteit B-transfers die langer duren dan 15 minuten. Wanneer een trein wordt gemist, wordt deze hier niet bijgerekend maar is die terug te vinden onder de vorige maatstaf. Het totale aantal transfers met prioriteit B bedraagt 6.

o

Totale vertraging: dit is de totale vertraging, uitgedrukt in minuten, die wordt opgelopen in de hele dienstregeling.


o

102

Aantal te kleine opvolgtijden: deze maatstaf is heel belangrijk voor de veiligheid van de treinen. Ze geeft aan in hoeveel gevallen de opvolgtijd te klein is.

De gebruikte simulatietechniek is Monte Carlo. Volgens Vansteenwegen en Vanoudheusden [36; 37] worden reeds vrij precieze resultaten verkregen bij het voeren van 1000 simulaties. Uit eigen ondervinding bleek het verschil tussen 1000 en 10.000 Monte Carlo-simulaties nagenoeg nihil. Vandaar dat wordt verdergewerkt met de resultaten van de 1000 Monte Carlo-simulaties.

4.5.2 Conclusies In

elk

van

de

1000

simulaties

van

de

optimale

dienstregeling

werden

de

performantiemaatstaven berekend in minder dan 5 seconden d.m.v. een Pentium M processor van 1,73 GHz. De gemiddelden hiervan worden weergegeven in Tabel 39 in de tweede kolom. De laatste kolom betreft de simulatieresultaten van de huidige dienstregeling, gehanteerd door de NMBS. De standaard deviatie wordt weergegeven tussen haakjes. Tabel 39: De performantie van de optimale dienstregeling en de huidige dienstregeling (eigen werk)

Performantiemaatstaf Transferwachtkost (in pu) % van de transfertijden > 15 min # gemiste A-transfers # onaangename A-transfers # gemiste B-transfers # onaangename B-transfers Totale vertraging (in min) # te kleine opvolgtijden

LP 176,88 (53,50) 50,1 (5,3) 1,1 (0,8) 0,005 (0,07) 1,5 (0,6) 3,0 (0,2) 19,82 (4,97) 3,30 (1,22)

NMBS 209,65 (14,54) 65,7 (15,3) 1,0 (0,2) 1,0 (0,2) 1,4 (0,5) 3,0 (0,2) 19,69 (4,90) 5,45 (0,90)

Ten eerste is de objectiefwaarde voor de optimale dienstregeling hier veel groter dan in de situatie zonder vertragingen, deze bedragen respectievelijk 176,88 pu en 56,43 pu. Voor de NMBS is de verslechtering niet zo groot, namelijk 209,65 pu t.o.v. 197,76 pu. Deze enorme verslechtering voor de geoptimaliseerde dienstregeling is te wijten aan de gemiste verbindingen. Deze bedragen hier samen 2,6 terwijl dit in de geoptimaliseerde dienstregeling 0 was. De objectiefwaarde wordt dan verslechtert met de tijd die men moet wachten op de volgende verbinding maal het aantal passagiers die de desbetreffende verbinding hebben gemist. Ten tweede komt de veiligheid van het systeem in het gedrang als gevolg van de vertragingen. Er zijn namelijk 3,3 opvolgtijden te klein. Hier blijkt dus duidelijk dat het realtime opvolgen van de treinen van cruciaal belang blijft. Er moet steeds worden nagegaan hoeveel te klein de opvolgtijd is en of er al dan niet een trein moet wachten. We zien dat de


103

situatie voor de huidige dienstregeling nog slechter is: hier zijn gemiddeld 5,45 opvolgtijden te klein. Ten slotte kunnen we concluderen dat de geoptimaliseerde dienstregeling op alle vlakken beter of gelijk presteert in vergelijking met de huidige dienstregeling. Dit pleit dus duidelijk in het voordeel van de LP-geoptimaliseerde dienstregeling.

4.6

Optimalisatie naar meerdere objectieven

Eerder werd de dienstregeling geoptimaliseerd naar één doel. Dit bleek uiteindelijk een verbeterde dienstregeling op te leveren in vergelijking met de huidige dienstregeling. Een spoorwegmaatschappij kan echter de behoefte hebben om verschillende doelen tegelijk na te streven. Daarom wordt in deze sectie kort nagegaan in hoeverre dit optimaliseren naar meerdere doelen mogelijk is.

4.6.1 Opzet Meer concreet zal hier worden geoptimaliseerd naar twee doelen, namelijk minimale transferwachttijd en minimale reistijd. Dit laatste doel is te verantwoorden wegens het feit dat reizigers graag zo snel mogelijk op hun bestemming willen zijn. Daarbij komt dat het reizen per trein snel genoeg moet gaan, zodat reizigers de trein verkiezen boven de wagen. Bovendien betaalt NMBS Mobility een huurprijs aan Infrabel voor het gebruiken van de infrastructuur. Als treinen sneller rijden en dus netto gezien de infrastructuur minder lang nodig hebben, dan komt dit NMBS Mobility ten goede. De gebruikte gewichten voor deze doelfunctie werden reeds eerder vermeld in de sectie 4.3.6: Doelfuncties. Het gebruik van gewichten is belangrijk aangezien optimaliseren naar twee objectieven resulteert in een set van pareto-optimale oplossingen9. De keuze van een pareto-optimale oplossing resulteert dus in een trade-off. De gewichtenkeuze expliciteert deze trade-off. Beide doelfuncties wegen dus niet even zwaar door. De kost per tijdseenheid voor de transferwachttijd is gelijk aan 2, terwijl deze voor de reistijd gelijk is aan 1,5. Het is immers als vanzelfsprekend dat reizigers het minder erg vinden om een bepaalde tijd op de trein te zitten, dan om even lang op een verbinding te staan wachten. Hierbij werd de redenering van Vansteenwegen en Vanoudheusden gevolgd [36; 37]. Dit is ook terug te vinden onder sectie 4.3.6: Doelfuncties. Om de toegevoegde waarde van deze multi-objectiefoptimalisatie na te gaan, werd het model op drie verschillende wijzen geoptimaliseerd. Ten eerste werden enkel de transferwachttijden geminimaliseerd, in tweede instantie enkel de reistijden en ten derde 9

Pareto-optimale oplossing: de waarde van het ene objectief niet kan worden verbeterd zonder dat

het andere verslecht.


104

werden de transferwachttijden en de reistijden tegelijk geminimaliseerd. Om de resultaten van deze drie verschillende optimalisaties vergelijkbaar te maken, wordt van de twee singleobjectiefoptimalisaties ook de totale gewogen kost berekend.

4.6.2 Conclusies Het optimaliseren kon gebeuren in minder dan 3 sec d.m.v. een Pentium M processor van 1,73 GHz. De resultaten van de verschillende optimalisaties worden in Tabel 40 weergegeven. De tweede rij geeft de resultaten weer van de minimalisatie naar transferwachttijden, de derde rij die van de minimalisatie van de reistijden en de vierde rij die van de multiobjectiefoptimalisatie. De eerste rij beschrijft de resultaten van de huidige dienstregeling. Tabel 40: Analyse van de totale kost voor de huidige dienstregeling en drie optimale dienstregelingen (eigen werk)

Huidige dienstregeling Minimale transferwachttijd Minimale reistijd Multiobjectief

Transferwachttijdkost Reistijdkost (in pu) (in pu) 197 1216 56 1535 95 1417 70 1426

Totale gewogen kost (in passagierseuro) 2217 2416 2315 2279

Wat betreft de single-objectiefoptimalisaties, zien we dat de totale kost kleiner is bij het minimaliseren van de reistijd dan bij het minimaliseren van de transfertijd. Dit is te verwachten aangezien er meer verbeteringsruimte is bij het minimaliseren van de reistijd. Deze reistijdkost is immers een veel groter getal in vergelijking met de transferwachttijdkost. We zien echter dat minimaliseren naar beide objectieven afzonderlijk suboptimaal is. Wanneer we immers minimaliseren naar beide objectieven tegelijk, geeft dit een kost van 2279 passagierseuro. Dit is 5,7% beter dan het minimaliseren naar transferwachttijd, en 1,6% beter dan minimaliseren naar reistijd. De verbetering is niet groot, maar het is in elk geval zinvoller om twee doelen tegelijk na te streven wanneer die er zijn. Op die manier wordt een correcte afweging tussen beide doelen verwezenlijkt. Voorwaarde hiervoor is echter dat de toegekende gewichten aan de verschillende doelen zinvol zijn. Wanneer de huidige dienstregeling wordt beschouwd, zien we dat deze een veel betere reistijdwaarde uitkomt dan in de geoptimaliseerde dienstregelingen en daardoor ook een betere totale kost heeft. Dit komt echter door de veel grotere rijtijdtolerantie, die namelijk wat betreft de onderlimiet 35% bedraagt. De treinen in het huidige schema worden dus toegelaten om veel sneller te rijden dan in het geoptimaliseerde schema, en dit is zo in 14 van de 24 gevallen. Vandaar dat deze cijfers niet onmiddellijk vergelijkbaar zijn. We moeten echter ook vermelden dat de minimale opvolgtijd in de huidige dienstregeling in vier gevallen


105

slechts 2 minuten bedraagt. Verder zijn er twee gemiste verbindingen, bedraagt de synchronisatietolerantie 17 min en is de symmetrie in 1 geval niet voldaan. Wanneer we echter met dezelfde restricties optimaliseren als diegene die gehanteerd worden in de huidige dienstregeling, bekomen we voor de optimale dienstregelingen een betere totale kost dan voor de huidige dienstregeling.

4.7

Conclusies van de case study

Het minimaliseren van de transfertijd lijkt voor dit netwerk eerder triviaal, gezien het kleine aantal overstappers. Het grootste aantal overstappende passagiers bedraagt meer bepaald 28,5. In vergelijking met grote stations en zeer drukke lijnen zoals deze rond Brussel, lijkt het dus niet meteen opportuun om in dit specifieke netwerk de transfertijden te minimaliseren. Door het kunstmatig optrekken van deze transferaantallen werd echter wel bewezen dat de dienstregeling kan worden geoptimaliseerd naar minimale transfertijd a.d.h.v. eenvoudige lineaire programmering. Het opgestelde LP-model lijkt dan ook uitbreidbaar te zijn naar een drukker netwerk met aldus meer overstappers. Daarentegen kan het voor rustigere netwerken interessant zijn om de reistijd te minimaliseren, aangezien NMBS Infrabel betaalt voor het infrastructuurgebruik. Deze kostprijs hangt onder meer af van hoe lang een trein op een spoor rijdt. Vandaar dat het interessant kan zijn om de reistijd te minimaliseren, aangezien dit de enige manier is om de kosten te drukken. Kostenminimalisatie is voor NMBS, naast symmetrie en spreiding, zeer belangrijk. Een goede spreiding van lijnen kan bovendien het probleem van gemiste transfers voor een deel opvangen. Naast optimaliseren blijkt simuleren een heel belangrijke stap te zijn. Een dienstregeling kan optimaal zijn op papier, maar in werkelijkheid slecht presteren. Daarom is het belangrijk een zinvolle simulatie uit te voeren om de performantie van de dienstregeling na te gaan. In deze stap bleek dat de dienstregeling op bepaalde punten faalt. Er worden gemiddeld genomen 2,6 transfers gemist en in 3,3 situaties is de opvolgtijd tussen treinen te klein. De optimale dienstregeling presteert echter op alle vlakken beter of hetzelfde in vergelijking met de huidig geïmplementeerde dienstregeling. Daar worden gemiddeld 2,5 transfers gemist , maar zijn er 5,45 situaties waarin de opvolgtijd tussen treinen te klein is. We kunnen dus besluiten dat het optimaliseren van de dienstregeling zinvol is. Er dient echter te worden opgemerkt dat een verder

onderzoek

naar

verwachte

vertragingen

moet

worden

gevoerd

om

de

simulatieresultaten betrouwbaarder te maken. Tot slot kan worden besloten dat het LP-model uitbreidbaar is naar een situatie met twee objectieven. Hiervoor dienen op een zinvolle manier gewichten te worden toegekend aan de verschillende doelen. Het multi-objectiefoptimaliseren is in dit voorbeeld niet significant beter dan de single-objectiefsituaties, maar deze bevinding kan niet worden veralgemeend.


106

Wanneer er twee doelen zijn, is het in ieder geval zinvoller om deze tegelijk na te streven aangezien op die manier een gepaste afweging wordt gemaakt tussen de twee doelen.

Hoofdstuk 5: Algemeen besluit

Een kwaliteitsvolle dienstregeling kan reizigers doen kiezen voor de trein als vervoersmiddel en zo de modale shift van auto naar trein bevorderen. Deze modale shift is belangrijk om de groeiende mobiliteit van de Belg duurzaam te kunnen opvangen. Bovendien kan het efficiënt opstellen van dienstregelingen een strategisch voordeel vormen voor treinmaatschappijen en infrastructuurbeheerders in het licht van een liberalisering. In

deze

thesis

werd

bijgevolg onderzocht

hoe

een

dienstregeling kan

worden

geoptimaliseerd. Daarvoor werd eerst het algemeen dienstregelingsprobleem beschouwd, waar dit gesitueerd wordt in het treinplanningsproces en hoe het opstellen van de dienstregeling wordt gepland bij NMBS, de Belgische spoorwegmaatschappij. Vervolgens werd conceptueel besproken hoe een dienstregeling kan worden gemodelleerd. Daarop aansluitend

werd

een

literatuursoverzicht

gegeven

i.v.m.

modelleringstechnieken,

probleemkarakteristieken en oplossingsmethodes. Ten slotte werd de dienstregeling wiskundig gemodelleerd en geïmplementeerd in MS Excel.

5.1

Het plannen van de dienstregeling

Het treinplanningsproces bestaat uit verschillende fasen, zijnde eerst de vraaganalyse, daarna de lijnplanning, dan de dienstregeling, daarna de planning van het rollend materieel en uiteindelijk de personeelsplanning, zoals beschreven in hoofdstuk 2. Deze fasen hoeven elkaar echter niet netjes op te volgen. Een parallel treinplanningsproces is evengoed mogelijk en wordt zelfs aangeraden aangezien dit het totale treinplanningsproces verkort. Feedback kan immers sneller worden geïncorporeerd. Uit het planningsproces bij NMBS blijkt dat het treinplanningsproces hier voor een groot deel parallel verloopt. Verder wordt beschreven dat het plannen van de dienstregeling bij NMBS onder meer het aanvragen van rijpaden door NMBS aan Infrabel omvat. Infrabel moet immers controleren of de aangevraagde rijpaden mogelijk zijn gegeven de infrastructuur en de andere treinmaatschappijen die gebruik maken van het spoornetwerk. Ongeveer vier maanden later keurt Infrabel de rijpadaanvraag goed. Daarna kunnen echter problemen ontstaan wanneer de stationchefs hun stationsplanning moeten uitvoeren. Tegen dan begint de deadline voor

107


108

de nieuwe dienstregelingbrochure gevaarlijk dichterbij te komen. Om deze rijpadgoedkeuring vlotter te laten verlopen, werd vanuit NMBS geopperd dat Infrabel zou kunnen rijpad per rijpad of groepen van rijpaden goedkeuren i.p.v. alle rijpaden tegelijk. Hierdoor zouden problemen voor de stationchefs vroeger aan het licht kunnen komen. Ten slotte gebeurt het opstellen van een dienstregeling bij NMBS voor een groot deel geautomatiseerd a.d.h.v. het softwarepakket Viriato. Het programma lost echter zelf geen conflicten op maar duidt deze aan op tijd-plaatsdiagrammen. De treinplanner moet dan deze conflicten oplossen. Het programma tracht echter niet te optimaliseren.

5.2

Het modelleren van de dienstregeling

De conceptuele modellering van een dienstregeling werd uiteengezet in hoofdstuk 3. Zeven soorten objectieven en maar liefst eenendertig restricties konden worden gedestilleerd uit de literatuur en de praktijk. Deze objectieven betreffen het eenvoudigweg bekomen van een dienstregeling, het maximaliseren van de kwaliteit en het minimaliseren van de kost. De restricties zijn in te delen in logische restricties, restricties m.b.t. de reistijd en veiligheidsrestricties. Wat opvalt uit een vergelijkende studie van literatuur versus praktijk is dat NMBS geen andere restricties of objectieven hanteert dan deze reeds beschreven in de literatuur. De reden hiervoor is dat bij de meeste onderzoeken de praktijk als vertrekpunt wordt genomen. Deze restricties en objectieven zijn ook niet noemenswaardig verschillend naargelang de nationaliteit van de auteurs. Er is enkel een verschil wat betreft infrastructuur tussen Europa en de rest van de wereld. In de rest van de wereld zijn enkelsporige baanvakken de regel, terwijl deze in Europa de uitzondering zijn. Het dienstregelingprobleem is in de literatuur niet altijd op dezelfde manier afgelijnd. Vandaar dat de literatuur in deze thesis werd opgedeeld in zes verschillende categorieën. Ten eerste kan een cyclische dienstregeling worden nagestreefd. Ten tweede kunnen elementen van het lijnplanningsprobleem worden geïntegreerd. Ten derde kunnen auteurs reeds rekening houden met platformtoewijzing. Vervolgens kan het onderzoek worden toegepast op metrostelsels. Ten vijfde kunnen meerdere doelen worden nagestreefd en tot slot kan het beschouwde netwerk lineair zijn. Wat betreft de modellering van het dienstregelingsprobleem kan worden besloten dat de lineaire voorstelling algemeen wordt aanvaard. Ten slotte wordt het dienstregelingsprobleem opgelost o.b.v. lineaire programmering, ofwel worden aangepaste heuristieken ontwikkeld. Voor deze oplossingsmethoden wordt zelden verdergewerkt op een reeds bestaande heuristiek. Bovendien worden de resultaten niet vergeleken met die van andere oplossingsmethoden.


109

Algemene conclusie omtrent deze literatuur is dat ze heel erg gefragmenteerd is, dat het probleemgebied niet goed is afgelijnd en dat er geen algemeen basiswerk is waarop verder onderzoek wordt gebaseerd.

5.3

Het verbeteren van de dienstregeling (case study)

Voor de case study in hoofdstuk 4 werd het dienstregelingsprobleem lineair gemodelleerd, overeenkomstig de literatuur. Voor deze case study werd een deel van het Belgische netwerk beschouwd, meer bepaald het netwerk tussen de vierhoek Lier, Mol, Hasselt en Aarschot. In hoofdstuk 4 wordt de wiskundige voorstelling van het dienstregelingsprobleem uitvoerig beschreven. Na een studie bij NMBS werd bepaald welke restricties in het model moeten worden meegenomen. Dit model werd vervolgens geoptimaliseerd a.d.h.v. „Risk Solver Platform‟, een uitgebreide oplosserfunctie ontwikkeld voor Microsoft Excel. Met deze oplosserfunctie werden resultaten bekomen in steeds minder dan 5 seconden. In eerste instantie werd de totale gewogen transferwachttijd geminimaliseerd. Het minimaliseren van de transfertijd lijkt voor dit netwerk eerder triviaal, gezien het kleine aantal overstappers. In vergelijking met grote stations en zeer drukke lijnen zoals deze rond Brussel, lijkt het dus niet meteen opportuun om in dit specifieke netwerk de transfertijden te minimaliseren. Door het kunstmatig optrekken van deze transferaantallen werd echter wel bewezen dat de dienstregeling kan worden geoptimaliseerd naar minimale transfertijd a.d.h.v. eenvoudige lineaire programmering. Het opgestelde LP-model lijkt dan ook uitbreidbaar te zijn naar een drukker netwerk met aldus meer overstappers. Naast optimaliseren blijkt simuleren een heel belangrijke stap te zijn. Een dienstregeling kan optimaal zijn op papier, maar in werkelijkheid slecht presteren. Daarom is het belangrijk een zinvolle simulatie uit te voeren om de performantie van de dienstregeling na te gaan. In deze stap bleek dat de dienstregeling op bepaalde punten faalt. Er worden gemiddeld genomen 2,6 transfers gemist en in 3,3 situaties is de opvolgtijd tussen treinen te klein. De optimale dienstregeling presteert echter op alle vlakken beter of hetzelfde in vergelijking met de huidig geïmplementeerde dienstregeling. Daar worden gemiddeld 2,5 transfers gemist , maar zijn er 5,45 situaties waarin de opvolgtijd tussen treinen te klein is. We kunnen dus besluiten dat het optimaliseren van de dienstregeling zinvol is. Er dient echter te worden opgemerkt dat een verder

onderzoek

naar

verwachte

vertragingen

moet

worden

gevoerd

om

de

simulatieresultaten betrouwbaarder te maken. Tot slot kan worden besloten dat het LP-model uitbreidbaar is naar een situatie met twee objectieven. Hiervoor dienen op een zinvolle manier gewichten te worden toegekend aan de verschillende doelen. Het multi-objectiefoptimaliseren is in dit voorbeeld niet significant beter dan de single-objectiefsituaties, maar deze bevinding kan niet worden veralgemeend. Wanneer er twee doelen zijn, is het in ieder geval zinvoller om deze tegelijk na te streven


110

aangezien op die manier een gepaste afweging wordt gemaakt tussen de twee na te streven doelen.

5.4

Beperkingen van deze thesis en richtlijnen voor verder

onderzoek Aangezien het beschouwde netwerk een eerder rustig netwerk betreft, moet verder onderzoek worden gevoerd naar de uitbreidbaarheid van deze LP-minimalisatie van transferwachttijden naar drukkere regio‟s zoals zone Brussel. Daarentegen kan het voor rustigere regio‟s interessant zijn om de reistijd te minimaliseren, aangezien NMBS Infrabel betaalt voor het infrastructuurgebruik. Deze kostprijs hangt onder meer af van hoe lang een trein een spoor gebruikt. Vandaar dat het interessant kan zijn om in die regio‟s de reistijd te minimaliseren,

aangezien

dit

de

enige

manier

is

om

de

kosten

te

drukken.

Kostenminimalisatie is voor NMBS, naast symmetrie en spreiding, zeer belangrijk. Een goede spreiding van lijnen kan bovendien het probleem van gemiste transfers voor een deel opvangen. De in deze thesis gebruikte waarden voor de kans op vertraging zijn vooral gebaseerd op assumpties. Om de simulatieresultaten betrouwbaarder te maken, zouden deze waarden moeten worden onderzocht. Het netwerk in deze thesis bestaat uit vijf treinlijnen en zeven stations. Er dient te worden onderzocht in welke mate de methode in deze thesis uitbreidbaar is naar een groter en eventueel het volledige Belgische treinennetwerk. Het planningsproces van de dienstregeling werd kort aangeraakt in hoofdstuk 2. Verder onderzoek zou kunnen worden gevoerd naar het optimaliseren van de samenwerking tussen NMBS en Infrabel bij het opstellen van de dienstregeling. Verder is er nood aan een algemeen naslagwerk over het dienstregelingsprobleem. Het aanbod

van

literatuur

omtrent

dienstregelingproblemen

en

meer

algemeen

treinplanningsproblemen is immers groot en al vlug wordt door de bomen het bos niet meer gezien.

Een

indeling

van

de

literatuur

hieromtrent

zou

kunnen

zijn

naar

probleemkarakteristiek, zoals voorgesteld in hoofdstuk 3. In een volgende stap zouden vrachttreinen kunnen worden geïntegreerd, waarvan hier abstractie werd gemaakt. Infrabel integreert de aanvraag van de dienstregeling voor passagierstreinen met de vraag naar vrachtverkeer. Er dient te worden onderzocht of beide vragen snel kunnen worden geïntegreerd en geoptimaliseerd. Ook piekuurtreinen dienen nog te worden geïntegreerd.

Hoofdstuk 6: Lijst van de geraadpleegde werken

[1] (2009). "Hoeveel bespaart u door niet in de file te staan?" De Tijd. (http://netto.tijd.be/budget_en_vrije_tijd/budget/Hoeveel_bespaart_u_door_niet_in_de_file_te _staan-.8223152-2214.art). [2] Abril, M., Salido, M. A. and Barber, F. (2008). "Distributed search in railway scheduling problems." Engineering Applications of Artificial Intelligence, 21: 744-755. [3] Brännlund, U., Lindberg, P., Nou, A. and Nilsson, J.-E. (1998). "Railway timetabling using lagrangian relaxation." Transportation Science, 32(4): 358-369. [4] Cacchiani, V., Caprara, A. and Toth, P. (2008). "A column generation approach to train timetabling on a corridor." 4OR A Quarterly Journal of Operations Research, 6(2): 125-142. [5] Caimi, G., Burkolter, D., Herrmann, T., Chudak, F. and Laumanns, M. (2009). "Design of a railway scheduling model for dense services." Netw. Spat. Econ.,(9): 25-46. [6] Caprara, A., Fischetti, M. and Toth, P. (2002). "Modeling and solving the train timetabling problem." Operations Research, 50(5): 851-861 [7] Caprara, A., Monaci, M., Toth, P. and Guida, P. L. (2006). "A lagrangian heuristic algorithm for a real-world train timetabling problem." Discrete Applied Mathematics, 154: 738753. [8] Carey, M. and Crawford, I. (2007). "Scheduling trains on a network of busy complex stations." Transportation Research Part B, 41: 159-178. [9] Carey, M. and Lockwood, D. (1995). "A model, algorithms and strategy for train pathing." Journal of the Opeartional Research Society, 42: 988-1005. [10] Chiang, T.-W., Hau, H.-Y., Chiang, H.-M., Ko, S.-Y. and Hsieh, C.-H. (1998). "Knowledge-based system for railway scheduling." Data and Knowledge Engineering, 27: 289-312. [11] Cordeau, J.-F., Toth, P. and Vigo, D. (1998). "A survey of optimization models for train routing and scheduling." Transportation Science, 32(4): 380-404. [12] De Ceuster, G. (2007). "De liberalisering van de Belgische spoorwegmarkt." Transport & Mobility Leuven. (www.tmleuven.be). [13] Federale.Overheidsdienst.Mobiliteit.en.Vervoer (2008). "Diagnostiek woon-werkverkeer 2008: eindverslag." (www.mobilit.fgov.be/nl/mobil/mobaccn/diagnosn.htm).

111

Lijst van de geraadpleegde werken

112

[14] Ferreira, L. and Higgins, A. (1996). "Modeling reliability of train arrival times." Journal of Transportation Engineering, 122(6): 414-420. [15] Ghoseiri, K. and Morshedsolouk, F. (2006). "Acs-ts: Train scheduling using ant colony system." Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences: 1-28. [16] Ghoseiri, K., Szidarovszky, F. and Asgharpour, M. (2004). "A multi-objective train scheduling model and solution." Transportation Research Part B, 38: 927-952. [17] Goossens, J.-W. (2004). Models and algorithms for railway line planning problems. Ph.D thesis. The Netherlands, Universiteit Maastricht. [18] Higgins, A., Kozan, E. and Ferreira, L. (1997). "Heuristic techniques for single line train scheduling." Journal of Heuristics,(3): 43-62. [19] Isaai, M. and Singh, M. (2000). "An object-oriented, constraint-based heuristic for a class of passenger-train scheduling problems." IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics - Part C: Applications and Reviews, 30(1): 12-21. [20] Isaai, M. and Singh, M. (2001). "Hybrid applications of constraint satisfaction and metaheuristics to railway timetabling: A comparative study." IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics - Part C: Applications and Reviews, 31(1): 87-95. [21] Kroon, L., Huisman, D., Abbink, E., Fioole, P.-J., Fischetti, M., Maróti, G., Schrijver, A., Steenbeek, A. and Ybema, R. (2009). "The new dutch timetable: the OR revolution." Interfaces, 396(1): 6-17. [22] Kwan, C. M. and Chang, C. (2008). "Timetable synchronization of mass rapid transit system using multiobjective evolutionary approach." IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics - Part C: Applications and Reviews, 38(5): 636-648. [23] Liebchen, C. (2008). "The first optimized railway timetable in practice." Transportation Science, 42(4): 420-435. [24] Lindner, T. and Zimmermann, T. (2005). "Cost optimal periodic train scheduling." Math. Meth. Oper. Res.,(62): 281-295. [25] Liu, S. and Kozan, E. (2009). "Scheduling trains as a blocking parallel-machine job shop scheduling problem." Computer and Operations Research, 36: 2840-2852. [26] Medanic, J. and Dorfman, M. (2002). "Efficient scheduling of traffic on a railway line." Journal of Optimization Theory and Applications, 115(3): 587-602. [27] Nationaal.Instituut.voor.de.Statistiek (2009). "Statistieken en Cijfers: Vervoer per Spoor." (http:/statbel.fgov.be). [28] NMBS (2008). "Het CO2-antwoord. De trein als oplossing voor het milieuprobleem." (www.b-rail.be). [29] NMBS (2009). "5 jaar NMBS, partner in de mobiliteit." Persberichten. (www.b-rail.be). [30] NMBS (2009). "NMBS stuurt dienstregeling bij voor nog betere service." Persberichten. (www.b-rail.be).

Lijst van de geraadpleegde werken

113

[31] NMBS (2009). "NMBS wijdt nieuwe verbinding Kortrijk-Doornik in." Persberichten. (www.b-rail.be). [32] NMBS (2010). "NMBS: Aantal reizigers stijgt nog in 2009." Persberichten. (www.brail.be). [33] Odijk, M. (1996). "A constraint generation algorithm for the construction of periodic railway timetables." Transportation Research Part B, 30(6): 455-464. [34] Omey, E. (2008). Arbeid en Tewerkstelling. Faculteit Economie en Bedrijfskunde. België, Universiteit Gent. [35] Peeters, L. (2003). Cyclic railway timetable optimization. Ph.D thesis. The Netherlands, Erasmus Universiteit Rotterdam. [36] Vansteenwegen, P. and Van Oudheusden, D. (2006). "Developing railway timetables which guarantee a better service." European Journal of Operational Research, 173: 337-350. [37] Vansteenwegen, P. and Van Oudheusden, D. (2007). "Decreasing the passenger waiting time for an intercity rail network." Transportation Research Part B, 41: 478-492. [38] Vermeulen, T. (2007). "Vlaanderen slibt dicht: dagelijks gemiddeld 140 kilometer file." Vlaams Europees Verbindingsagentschap. (http://www.vleva.eu/node/566). [39] Wikipedia (2010). "Nationale Maatschappij der Belgische Spoorwegen." (http://nl.wikipedia.org/wiki/Nationale_Maatschappij_der_Belgische_Spoorwegen). [40] Wong, R., Yuen, T., Fung, K. and Leung, J. (2008). "Optimizing timetable synchronization for rail mass transit." Transportation Science, 42(1): 57-69. [41] Zhou, X. and Zhong, M. (2005). "Bicriteria train scheduling for high-speed passenger railroad planning applications." European Journal of Operational Research, 167: 752-771. [42] Zhou, X. and Zhong, M. (2007). "Single-track train timetabling with guaranteed optimality: Branch-and-bound algorithms with enhanced lower bounds." Transportation Research Part B, 41: 320-341.

Hoofdstuk 7: Bijlagen

7.1

Percentage

van

de

beroepsbevolking

werkend

buiten

woonplaats (provincie) Tabel 41: Percentage van de beroepsbevolking dat werkt buiten zijn eigen provincie (gebaseerd op [34])

Woonplaats (provincie)

% werkend buiten woonplaats (provincie)

Antwerpen

28,7

Limburg

25,5

Oost-Vlaanderen

31,7

Vlaams-Brabant

48,9

West-Vlaanderen

16,8

Brussels H. Gewest

22,6

Henegouwen

30,2

Luik

20,1

Luxemburg

43,9

Namen

57,7

Waals-Brabant

57,3

Gewogen gemiddelde

28,8

Bovenstaande tabel geeft het percentage van de beroepsbevolking weer dat tewerkgesteld is in een andere provincie dan waar deze woonachtig is. Als kengetal werd hier gekozen voor een gewogen gemiddelde, om op die manier rekening te houden met de grote variatie in beroepsbevolking per provincie.

114

Bijlagen

7.2

115

Modale verdeling van transportmogelijkheden

70 60 50 40

2005 (in %)

30

2008 (in %)

20 10 0 Auto (1 Auto (>1)Collectief TreinMetro / tram /Fiets Bromfiets /Te voet Andere inzittende) vervoer bus motor georganiseerd door de werkgever

Figuur 29: Evolutie van de procentuele verdeling van de primaire transportkeuze om naar het werk te gaan tussen 2005 en 2008 (gebaseerd op [13])

1,6 2,4 8,2 2,2 6,3

auto (1)

auto (>1) collectief

10,3 1 4

trein

64

MTB fiets

Figuur 30: Procentuele verdeling van de primaire transportkeuze van Belgen om naar het werk te gaan in 2008 (gebaseerd op [13])

Bijlagen

116

Figuur 31: Invloed van de gemiddelde afstand op de gekozen verplaatsingsmodus (overgenomen uit [13])

Bijlagen

7.3

117

Kostenvergelijking auto vs. openbaar vervoer

Hoeveel bespaart u door niet in de file te staan? (overgenomen uit [1]) De Belg gebruikt de auto steeds minder vaak om naar het werk te pendelen en kiest vaker voor het openbaar vervoer. Maar is dat ook goedkoper? Wie in Brussel werkt, laat de auto steeds vaker links liggen. Dat blijkt uit een analyse van het pendelgedrag door de FOD Economie. In de hoofdstad daalt het autoverbruik zo‟n 4,4 procent. In Wallonië is de daling goed voor 2,7 procent en in Vlaanderen is dat 1,2 procent. Toch neemt 68 procent van de Belgen nog steeds de auto naar het werk. De andere vervoermiddelen winnen een beetje veld. De trein gaat er met 1 procent op vooruit, het andere openbare vervoer en de fiets met een halve procent. Een belangrijk argument voor veel pendelaars om de auto links te laten liggen, is ongetwijfeld het toegenomen fileleed. Ook het kostenplaatje speelt een rol. Hoe groot het prijsverschil is tussen het nemen van de auto en het kiezen voor openbaar vervoer, hangt af van tal van factoren. Daarom werken we een typevoorbeeld uit: een gezin van tweeverdieners waarvan de ene 26 kilometer van het werk woont en de andere 58 kilometer. Een ritje met de auto Wat kost voor ons voorbeeldgezin een ritje naar het werk? Om de kostprijs per kilometer te berekenen maakten we gebruik van de calculator op Autogids.be. Die houdt onder meer rekening met het type auto, het aantal kilometer per jaar, het gemiddelde verbruik, de verzekeringspremie (burgerlijke aansprakelijkheid) en de verkeersbelasting. De rit van 26 kilometer wordt afgelegd door een Ford Fiesta, een Citroën C4 doet het traject van 58 kilometer. Op basis van die gegevens komt de kostprijs per kilometer van de Ford Fiesta uit op 0,22 euro. Daarbij gaan we ervan uit dat die wagen elk jaar in totaal 20.000 kilometer aflegt (dus niet enkel woon-werkverkeer). Op basis van de kostprijs per kilometer kost een rit van en naar het werk 11,44 euro. Als we uitgaan van 225 werkdagen, brengt dat de kostprijs van het woon-werkverkeer met de Ford Fiesta op 2.547 euro. Als we dezelfde berekening maken voor de Citroën C4 (kostprijs per kilometer is 0,21 euro op basis van een totaal van 35.000 kilometer per jaar), dan kost de rit van en naar het werk op jaarbasis 5.481 euro.

Bijlagen

118

Als bovenstaand gezin ervoor kiest om met de auto naar het werk te gaan, dan kost hen dat jaarlijks 8.028 euro. Uiteraard horen daar enkele kanttekeningen bij. We gaan er in dit voorbeeld van uit dat geen van beide auto‟s een bedrijfswagen is. We maken ook abstractie van een tussenkomst van de werkgever voor het woon-werkverkeer met de wagen, wettelijk is dat immers niet verplicht. Een ritje met het openbaar vervoer Om de kostprijs van het openbaar vervoer te berekenen, gaan we ervan uit dat bovenstaand gezin voor zijn verplaatsing zowel gebruik maakt van De Lijn (trein, tram of bus) en de NMBS (trein). Om de kostprijs daarvan te berekenen gaan we uit van de kostprijs van de abonnementen. Voor De Lijn is de berekening snel gemaakt. Zo kost een Omnipas voor 1 jaar 211 euro. Daarmee reist u onbeperkt met alle vervoer van De Lijn. Wie dat abonnement gebruikt voor woon-werkverplaatsingen, heeft ook recht op een korting in de vorm van een werkgeversbijdrage. "De normale werkgeversbijdrage bedraagt 72 procent van de abonnementsprijs.

Sommige

werkgevers

betalen

zelfs

een

groter

deel

van

de

abonnementsprijs terug", staat te lezen op de website van De Lijn. De kostprijs van beide abonnementen (na betaling van de werkgeversbijdrage) is zo‟n 118 euro. Voor het traject met de NMBS hanteren we de prijzen van een Trajecttreinkaart. Rekening houdend met de werkgeversbijdrage kost dat voor een traject van 26 kilometer 365 euro, voor een traject van 58 kilometer is dat 550 euro. De totaalprijs van het openbaar vervoer voor 1 jaar komt daarmee uit op 1.033 euro voor de beide gezinsleden samen. AUTO FORS DUURDER Het voorbeeld maakt duidelijk dat het gebruik van de auto voor het woon-werkverkeer hier fors duurder uitvalt. Voor dit voorbeeld is het gebruik van de auto maar liefst 6.995 euro duurder in vergelijking met het openbaar vervoer. Uiteraard hangt de kostpri js van de auto af van tal van factoren: type wagen, soort verzekering, aantal gereden kilometer,… Wie die berekening voor zichzelf wil maken, kan daarvoor terecht op de calculator van Autogids.be. Voor de verschillende tarieven van trein, tram en bus kan u terecht op de websites van De Lijn en de NMBS.

Bijlagen

7.4

119

De trein als antwoord op de milieuproblematiek

Figuur 32: Specifieke CO2-emissie van reizigers- en goederenverkeer (overgenomen uit [28])

Figuur 33: Evolutie van de totale CO2-emissie van spoor- vs. wegverkeer sinds 1990 (overgenomen uit [28])

Bijlagen

7.5

120

Nieuwe dienstregeling en tijd-plaatsdiagrammen horende bij

voorbeeld objectief 4 Tabel 42: Nieuwe dienstregeling horende bij het voorbeeld van objectief 4 (eigen werk)

Aankomst Vertrek

A

V

Heist-op-den-Berg Aarschot

A

V

Leuven

A

V

Landen

A

V St-

Truiden

A

V

A

V

Alken

Hasselt

A0

-

0

9

11

-

-

-

-

-

-

-

-

37

39

D1

-

19

31

32

46

-

-

-

-

-

-

-

-

-

C1

-

-

-

-

-

31

58

60

69

71

78

79

85

-

Hasselt

Alken

Heist-op-

StTruiden

Landen

Leuven

Aarschot

denBerg

A1

-

20

-

-

-

-

-

-

-

-

46

48

57

-

D0

-

-

-

-

-

-

-

-

-

14

28

29

41

-

C0

-

31

37

38

46

47

56

58

85

87

-

-

-

-

Leuven B0

-

11 Hasselt

B1

-

10

Aarschot

Hasselt

23

50

25

-

Aarschot

Leuven

35

49

37

-

Bijlagen

121

tijd-plaatsdiagram tussen HOB (0) en Aarschot (1) 1

A0

station

A0' A1 A1' D0 D1

0 1

4

7

10

13

16

19

22

25

28

31

34

37

40

43

46

49

52

55

58

61

tijd (in min)

Figuur 34: Nieuw tijd-plaatsdiagram tussen Heist-op-den-Berg en Aarschot, horende bij het voorbeeld van objectief 4 (eigen werk)

tijd-plaatsdiagram tussen Hasselt (0) en Aarschot (1) 1

station

A0 A0' A1 A1' B0 B1

0 1

4

7

10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 tijd (in min)

Figuur 35: Nieuw tijd-plaatsdiagram tussen Hasselt en Aarschot, horende bij het voorbeeld van objectief 4 (eigen werk)

Bijlagen

7.6

122

Dienstregeling

en

tijd-plaatsdiagrammen

horende

bij

voorbeeld objectief 5 Tabel 43: Nieuwe dienstregeling horende bij het voorbeeld van objectief 5 (eigen werk)

Aankomst Vertrek

A

V

Heist-op-den-Berg Aarschot

A

V

A

V

Leuven

Landen

A

V St-

Truiden

A

V

A

V

Alken

Hasselt

A0

-

0

9

14

-

-

-

-

-

-

-

-

40

46

D1

-

19

31

32

46

-

-

-

-

-

-

-

-

-

C1

-

-

-

-

-

22

49

51

60

62

69

70

76

-

Hasselt

Alken

StTruiden

Landen

Leuven

Aarschot

Heist-opden-Berg

A1

-

20

-

-

-

-

-

-

-

-

46

51

60

-

D0

-

-

-

-

-

-

-

-

-

14

28

29

41

-

C0

-

31

37

38

46

47

56

58

85

87

-

-

-

-

Leuven B0

-

11 Hasselt

B1

-

10

Aarschot

Hasselt

23

50

25

-

Aarschot

Leuven

35

49

37

-

Bijlagen

123

verbinding Alken (0) - Aarschot (2) (overstap in Hasselt (1))

station

2

A1 1

B1 C1

60

57

54

51

48

45

42

39

36

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

0

0 tijd (in min)

Figuur 36: Oorspronkelijk tijd-plaatsdiagram tussen Alken en Aarschot met een overstap in Hasselt, horende bij het voorbeeld van objectief 5 (eigen werk)

optimale verbinding Alken (0) - Aarschot (2) (overstap in Hasselt (1))

station

2

A1 1

B1 C1

60

57

54

51

48

45

42

39

36

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

0

0 tijd (in min)

Figuur 37: Tijd-plaatsdiagram van de optimale verbinding tussen Alken en Aarschot met een overstap in Hasselt, horende bij het voorbeeld van objectief 5 (eigen werk)

Bijlagen

7.7

124

Tijd-plaatsdiagrammen horende bij voorbeeld objectief 6

verbinding C1-A1 via Hasselt (4) 6

station

5 4

C1 C1' A1 A1'

3 2 1 0 1

5

9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 tijd (in min)

Figuur 38: Nieuw tijd-plaatsdiagram van lijn C en A horende bij het voorbeeld van objectief 6 (eigen werk)

C1‟ = lijn C1 inclusief de buffer. A1‟ = de tweede trein van lijn A1

link tussen Hasselt (1) en Aarschot (2) 2

station

A1 B1 B1'

60

57

54

51

48

45

42

39

36

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

0

1 tijd (in min)

Figuur 39: Nieuw tijd-plaatsdiagram van lijn B en A horende bij het voorbeeld van objectief 6 (eigen werk)

B1‟ = B1 werd 5min vroeger gepland

Bijlagen

7.8

125

Overzicht aantal stations en treinen in testinstantie, per auteur

In tabel Tabel 44 wordt een overzicht gegeven per auteur van de grootte van het netwerk waarop het onderzoek van de desbetreffende auteur werd toegepast. Om deze testinstanties vergelijkbaar te maken, moesten enkele assumpties worden gemaakt, welke hieronder worden beschreven. De waardering werd gebaseerd op het aantal treinen in het netwerk en het aantal stations. Soms werden treinlijnen beschreven i.p.v. treinen, of sporen i.p.v. stations. Deze treinlijnen en sporen werden dan o.b.v. onderstaande assumpties herleid tot respectievelijk treinen en stations. De testinstanties werden dan opgedeeld naar grootte volgens de beslissingsregels beschreven in sectie 3.5.3.

Assumpties 1. In het geval van een cyclische dienstregeling werd verondersteld dat een dag 18u telt. Bij een cyclische dienstregeling waar bijvoorbeeld een cyclus van 1u werd gepland, werden de getallen vermenigvuldigd met 18. 2. Treinlijnen werden omgerekend naar treinen. Hierbij werd verondersteld dat de frequentie van een treinlijn 1 trein per uur is. 3. Bij het omrekenen van treinlijnen naar treinen, werd verondersteld dat de helft van de treinlijnen 2x per uur rijden. 4. Bij het omrekenen van treinlijnen naar treinen, werd verondersteld dat gemiddeld genomen om de 10 min een trein komt, d.w.z. dat de frequentie van een treinlijn 6 treinen per uur is. 5. Wanneer het aantal stations niet werd vermeld, wordt het aantal sporen als benaderende waarde voor het aantal stations aangenomen. Deze assumptie is te verantwoorden, aangezien een spoor twee knooppunten van het netwerk verbindt. Men kan logischerwijze aannemen dat het aantal knooppunten grotendeels uit stations bestaat. 6. Uit de paper van Wong et al. [40] halen we dat er 134 treinen / 4 treinlijnen = 33,5 treinen per treinlijn rijden, gedurende 1u van de ochtendspits. 7. Aangezien Higgins et al. [18] een lineair netwerk hanteert, werd geopteerd om deze paper onder „klein‟ te klasseren i.p.v. „middelmatig‟.

Bijlagen 126

Tabel 44: Overzicht van het aantal stations en treinen in de testinstantie, per auteur (eigen werk) auteur probleemgrootte waardering

treinen

treinlijnen

stations

sporen

[36]

medium

108

4

7

1, 3

[37]

realistisch

378

14

32

1, 3

[8]

klein

10

[9]

realistisch

464

25

[14]

medium

31

14

[10]

realistisch

350

120

[16]

klein

5

[40]

medium

134

[42]

medium

30

[41]

klein

6 (exact) of 24 (beam search)

[24]

realistisch

[5]

medium

32

[23]

realistisch

972

[33]

klein

[2]

klein

4

[22]

medium

100,5

[19]

medium

22

51

[20]

medium

22

51

[3]

klein

18 (passagiers) + 8 (vracht)

17

[7]

groot/realistisch 54 resp 221

[26]

klein

10

assumptie

5

19 4

8

6

18 17 IC/IR-netwerk Duitsland/Nederland NV 9

>100

19

5 1, 4

1

60

10 3

5

6

49 resp 17 4

Bijlagen 127

auteur probleemgrootte waardering

treinen

treinlijnen

stations

[4]

groot

41 resp 221 (heur) / 93, 60 en 16 (exact)

102 resp 17 (heur) / 17, 17 en 54 (exact)

[15]

klein

30

4

[25]

klein

10

19

[18]

klein

15 à 50

[35]

realistisch

468

sporen

assumptie

7 26

74

1, 2

Bijlagen

7.9

128

Oorspronkelijk netwerk

Figuur 40: Deel van het Belgische spoornetwerk anno 2010

Bijlagen

129

7.10 Berekening van de gewichten horende bij de transfertijden

Tabel 45: Aantal overstappers per verbinding (eigen werk)

𝒚

T

U

Y

Z

𝒙𝟏, 𝒙𝟐 C1,R0 R0,E0(a+b) E0(a+b),R1 R0,E1(a+b) E1(a+b),R1 R1,C0 R0,C0 C1,R1 C1,E0(a+b) E1(A+B),C0 E1(a+b),R1 R0,E0(a+b) E1(a+b),R0 R1,E0(a+b) C0,E1(b) E0(b),C1 L0,E1(b) E0(b),L1 C1,E1(b) E0(b),C0 C0,L1 L0,C1

# opstappenden = A # 𝒙𝟐 per 𝒚 = B 𝒘𝒚𝒙𝟏,𝒙𝟐 = A/(B+1) 27 1 13,50 61,5 2 20,50 210,5 3 52,63 92,5 1 46,25 210,5 3 52,63 26 3 6,50 26 3 6,50 210,5 3 52,63 61,5 2 20,50 26 3 6,50 184,5 1 92,25 54,5 2 18,17 32 1 16,00 54,5 2 18,17 13 3 3,25 47 1 23,50 13 3 3,25 57 1 28,50 13 3 3,25 12 1 6,00 163,5 1 81,75 68,5 1 34,25

Opmerking: deze tabel is gebaseerd op de gegevens uit de oktobertellingen van 2007 (emailverkeer met mevrouw Courtois E., 15 maart 2010). De ruwe gegevens waarop deze berekeningen zijn gebaseerd zijn te vinden in Tabel 46. De gegevens werden opgevraagd voor alle treinen van 7u t.e.m. 9u, m.a.w. in volle spits. Voor dezelfde trein in een bepaald station werd dan het gemiddelde over deze tijdsspanne genomen. Er werd verder gerekend met de gemiddelde waarden. De getallen i.v.m. “uitstappen” en “zitten blijven” slaan op de toekomende trein in het station. De getallen bij “opstappen” slaan op de trein waar mogelijks wordt op overgestapt.

Bijlagen

130

Tabel 46: Gegevens uit de oktobertellingen 2007 m.b.t. transfers (e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 15 maart 2010)

Uur T 7u-8u

8u-9u

U 7u-8u

8u-9u

Y 7u-9u

Z 7u-8u 8u-9u

Treinen Uitstappen zitten blijven C1-R0 32 395 R0-E0 12 17 E0-R1 19 92 R0-E1 12 17 E1-R1 11 558 R1-C0 56 601 R0-C0 12 17 C1-R1 32 395 C1-E0 32 395 E1-C0 11 558 C1-R0 37 396 R0-E0 52 26 E0-R1 16 42 R0-E1 52 26 E1-R1 18 474 R1-C0 25 181 R0-C0 52 26 C1-R1 37 396 C1-E0 37 396 E1-C0 18 474 E1-R1 90 234 R0-E0 11 56 E1-R0 90 234 R1-E0 43 348 E1-R1 5 430 R0-E0 17 42 E1-R0 5 430 R1-E0 14 144 C0-E1 36 104 E0-C1 375 0 L0-E1 75 0 E0-L1 375 0 C1-E1 23 18 E0-C0 375 0 C0-L1 49 53 L0-C1 42 88 C0-L1 41 91 L0-C1 19 27

Opstappen 20 99 344 129 344 41 41 344 99 41 34 24 77 56 77 11 11 77 24 11 308 83 35 83 61 26 29 26 13 47 13 57 13 12 193 90 134 47

Bijlagen

131

7.11 Berekening van de gewichten horende bij de reistijden Tabel 47: Gewichten geldend voor de reistijden (gebaseerd op e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 2 maart en 21 april 2010)

𝒙 C0 C1 E0(a+b) E0(b) E1(b) E1(a+b) G0

G1

L0 L1 R0

R1

𝒚𝟏, 𝒚𝟐 # opstappenden # uitstappers # blijvers T,Z Z,Y Y,Z Z,T T,U U,X X,Y Y,X X,U U,T T,U U,V V,W W,V V,U U,T Z,Y Y,Z T,U U,V V,W W,V V,U U,T

n.v.t. n.v.t. 47 n.v.t. 61,5 * n.v.t. 13 n.v.t. n.v.t. * * * * * * n.v.t. 57 27 n.v.t. n.v.t. 164 n.v.t. n.v.t.

45 36 n.v.t. 34,5 n.v.t. * 375 n.v.t. 47,5 14,5 * * * * * * 75 n.v.t. n.v.t. 32 52 n.v.t. 28,5 40,5

72 104 18 395,5 65 * 0 0 332 516 * * * * * * 0 0 21,5 49 0 0 246 391

Totaal # passagiers 𝑦1,𝑦2 = 𝑣𝑥 117 140 65 430 128,5 * 375 13 379,5 530,5 63 61 52,5 94,5 140,5 158 75 57 48,5 81 52 164 274,5 431,5

Legende: *: deze gegevens komen uit de oktobertellingen van 2009 (e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 21 april 2010) en zijn nog niet officieel bekendgemaakt door NMBS. Deze gegevens werden mij verstrekt met als doel ze te verwerken in mijn LP-model, maar mogen in geen geval worden gepubliceerd. De rest van de gegevens komen uit de oktobertellingen van 2007 (e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 2 maart 2010), welke worden weergegeven in onderstaande tabel. In 2007 bestonden lijnen G0 en G1 nog niet, vandaar dat de gegevens hierover uit een latere databank komen. De gegevens over lijn E0(a+b) over link U,X werden ook uit de oktobertelling van 2009 gehaald, wegens onvoorziene omstandigheden.

Bijlagen

132

Tabel 48: Oktobertellingen 2007 m.b.t. treinritten (e-mailverkeer met mevrouw Courtois E., 2 maart 2010)

Uur

Treinen Uitstappen

T 7u-8u C1-R0 R0-E0 E0-R1 E1-R1 R1-C0 8u-9u C1-R0 R0-E0 E0-R1 E1-R1 R1-C0 U 7u-8u E1-R1 R0-E0 E1-R0 R1-E0 8u-9u E1-R1 R0-E0 E1-R0 R1-E0 W 7u-8u R0 R1 8u-9u R0 R1 Y 7u-9u C0-E1 E0-C1 L0-E1 E0-L1 C1-E1 E0-C0 Z 7u-8u C0-L1 8u-9u C0-L1

32 12 19 11 56 37 52 16 18 25 90 11 90 43 5 17 5 14 65 0 39 0 36 375 75 375 23 375 49 41

zitten blijven 395 17 92 558 601 396 26 42 474 181 234 56 234 348 430 42 430 144 0 0 0 0 104 0 0 0 18 0 53 91

Opstappen 20 99 344 344 41 34 24 77 77 11 308 83 35 83 61 26 29 26 0 223 0 105 13 47 13 57 13 12 193 134

Bijlagen

133

7.12 Overzicht van de gedefinieerde verzamelingen Verzameling van alle vertrekmogelijkheden: 𝑅1 = { 𝐶0, 𝑇 , 𝐶1,𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐺0, 𝑇 , 𝐺1, 𝑇 , 𝑅0, 𝑇 , 𝑅1,𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 ,𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑈 , 𝐺0, 𝑈 , 𝐺1, 𝑈 , 𝑅0, 𝑈 , 𝑅1,𝑈 , 𝐺0, 𝑉 , 𝐺1, 𝑉 , 𝑅0,𝑉 , 𝑅1,𝑉 , 𝐺1, 𝑊 , 𝑅1, 𝑊 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑋 , 𝐸0 𝑎 , 𝑋 , 𝐸0 𝑏 , 𝑋 , 𝐸1 𝑏 , 𝑌 , 𝐶0, 𝑌 , 𝐶1,𝑌 , 𝐿1, 𝑌 , 𝐶0, 𝑍 , 𝐶1,𝑍 , 𝐿0, 𝑍 ,(𝐿1, 𝑍)}. Verzameling van alle aankomstmogelijkheden: 𝑅2 = { 𝐶0,𝑇 , 𝐶1, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐺0, 𝑇 , 𝐺1, 𝑇 , 𝑅0,𝑇 , 𝑅1, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 ,𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑈 , 𝐺0, 𝑈 , 𝐺1, 𝑈 , 𝑅0, 𝑈 , 𝑅1,𝑈 , 𝐺0, 𝑉 , 𝐺1, 𝑉 , 𝑅0,𝑉 , 𝑅1,𝑉 , 𝐺0, 𝑊 , 𝑅0, 𝑊 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑋 , 𝐸1 𝑎 , 𝑋 , 𝐸1 𝑏 , 𝑋 , 𝐸0 𝑏 , 𝑌 , 𝐶0, 𝑌 , 𝐶1,𝑌 , 𝐿0, 𝑌 , 𝐶0, 𝑍 , 𝐶1,𝑍 , 𝐿0, 𝑍 ,(𝐿1, 𝑍)}. Verzameling van alle mogelijke verbindingen 𝑅3 = {(C1, R0, T), (R0, E0(a+b), T), (E0(a+b), R1, T), (R0, E1(a+b), T), (E1(a+b), R1, T),

(R1, C0, T), (R0, C0, T), (C1, R1, T), (C1, E0(a+b), T), (E1(a+b), C0, T), (E1(a+b), R1, U), (R0, E0(a+b), U), (E1(a+b), R0, U), (R1, E0(a+b), U), (C0, E1(b), Y), (E0(b), C1, Y), (L0, E1(b), Y), (E0(b), L1, Y), (C1, E1(b), Y), (E0(b), C0, Y), (C0, L1, Z), (L0, C1, Z) }. Verzameling van respectievelijk de prioriteit A-, B- en C-verbindingen 𝒯 𝐴 = { 𝑅0, 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐶1,𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐸0 𝑏 ,𝐶1, 𝑌 , 𝐶0, 𝐿1, 𝑍 }, 𝒯 𝐵 = { 𝐶1, 𝑅0, 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑅1,𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑅0, 𝑈 , 𝑅1, 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑈 , 𝐸0 𝑏 , 𝐿1, 𝑌 , (𝐿𝑂, 𝐶1, 𝑍)}, 𝒯 𝐶 = { 𝑅0,𝐸1 𝑎 + 𝑏 ,𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑅1, 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑅1,𝑇 , 𝑅1, 𝐶0, 𝑇 , 𝑅0,𝐶0, 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐶0, 𝑇 , 𝐶1,𝑅1, 𝑇 , 𝐶0, 𝐸1 𝑏 ,𝑌 , 𝐿0,𝐸1 𝑏 , 𝑌 , 𝐶1, 𝐸1 𝑏 ,𝑌 , 𝐸0 𝑏 , 𝐶0, 𝑌 , 𝑅0, 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑈 }. 𝒯 𝐴 , 𝒯 𝐵 𝑒𝑛 𝒯 𝐶 vormen samen een partitie van 𝑅3, Verzameling van alle mogelijk trips: 𝑅4 = { 𝐶0, 𝑇, 𝑍 , 𝐶0,𝑍, 𝑇 , 𝐶1,𝑇, 𝑍 , 𝐶1,𝑍, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇, 𝑈 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑈, 𝑋 , 𝐸0 𝑏 ,𝑋, 𝑌 , 𝐸1 𝑏 , 𝑌, 𝑋 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑋, 𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑈, 𝑇 , 𝐺0, 𝑇, 𝑈 , 𝐺0, 𝑈, 𝑉 , 𝐺0, 𝑉, 𝑊 , 𝐺1, 𝑊, 𝑉 , 𝐺1, 𝑉, 𝑈 , 𝐺1, 𝑈, 𝑇 , 𝐿0, 𝑍, 𝑌 , 𝐿1, 𝑌, 𝑍 , 𝑅0, 𝑇, 𝑈 , 𝑅0, 𝑈, 𝑉 , 𝑅0, 𝑉, 𝑊 , 𝑅1,𝑊, 𝑉 , 𝑅1, 𝑉, 𝑈 , (𝑅1,𝑈, 𝑇)}.

Bijlagen

134

Verzameling van alle mogelijke trips op de enkelsporen U-V en V-W: 𝑅4𝐸 = { 𝐺0, 𝑈, 𝑉 , 𝐺1, 𝑈, 𝑉 , 𝑅0,𝑈, 𝑉 , 𝑅1,𝑈, 𝑉 , 𝐺0, 𝑉, 𝑊 , 𝐺1, 𝑉, 𝑊 , 𝑅0,𝑉, 𝑊 , (𝑅1,𝑉, 𝑊)}. Verzameling van alle mogelijke haltes gemaakt door treinen: 𝑅5 = { 𝐶0,𝑇 , 𝐶1, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐺0, 𝑇 , 𝐺1, 𝑇 , 𝑅0,𝑇 , 𝑅1, 𝑇 , 𝐸0, 𝑈 , 𝐸1, 𝑈 , 𝐺0, 𝑈 , 𝐺1, 𝑈 , 𝑅0, 𝑈 , 𝑅1, 𝑈 , 𝐺0, 𝑉 , 𝐺1, 𝑉 , 𝑅0, 𝑉 , 𝑅1,𝑉 , 𝐶0, 𝑌 , 𝐶1,𝑌 , 𝐶0,𝑍 , 𝐶1, 𝑍 , 𝐿0, 𝑍 ,(𝐿1, 𝑍)}. Verzameling van alle mogelijke kruiscombinaties op de enkelsporen U-V en V-W: 𝑅6 = { 𝐺0, 𝐺1, 𝑉, 𝑊 , 𝐺0, 𝑅1, 𝑉, 𝑊 , 𝑅0, 𝐺1, 𝑉, 𝑊 , 𝑅0, 𝑅1, 𝑉, 𝑊 , 𝐺0, 𝐺1, 𝑈, 𝑉 , 𝐺0, 𝑅1,𝑈, 𝑉 , 𝐺1, 𝑅0, 𝑈, 𝑉 , (𝑅0, 𝑅1, 𝑈, 𝑉)}.

Verzameling van alle mogelijke opvolgcombinaties wat betreft vertrektijden: 𝑅7 = { 𝐺1, 𝑅1, 𝑊 , 𝐺0, 𝑅0, 𝑉 , 𝐺1, 𝑅1, 𝑉 , 𝐺0, 𝑅0, 𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 ,𝐺1, 𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑅1, 𝑈 , 𝐺1, 𝑅1, 𝑈 , 𝐶0,𝐿0, 𝑍 , 𝐶1, 𝐿1, 𝑌 , 𝐺0, 𝑅0, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐺0, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑅0, 𝑇 , 𝐶1, 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐶1, 𝐺1, 𝑇 ,(𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐺1, 𝑇)}.

Verzameling van alle mogelijke opvolgcombinaties wat betreft aankomsttijden: 𝑅8 = { 𝐺0, 𝑅0, 𝑊 , 𝐺0, 𝑅0, 𝑉 , 𝐺1, 𝑅1, 𝑉 , 𝐺1, 𝑅1, 𝑈 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐺0, 𝑈 , (𝐸0 𝑎 + 𝑏), 𝑅0, 𝑈 , 𝐺0, 𝑅0, 𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 ,𝐺1, 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑅1, 𝑇 , 𝐺1, 𝑅1, 𝑇 , 𝐶0,𝐿0, 𝑌 , 𝐶1, 𝐿1, 𝑍 , 𝐶0, 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐶0,𝐺0, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐺0, 𝑇 . Verzameling van alle omkeringen: 𝑅9 =

𝐺0, 𝐺1, 𝑊 , 𝑅0, 𝑅1, 𝑊 , 𝐸0 𝑏 ,𝐸1 𝑏 , 𝑌 , 𝐿0, 𝐿1, 𝑌 .

Verzamelingen van alle koppelmogelijkheden: 𝑅10 =

𝐸1 𝑎 + 𝑏 ,𝐸1 𝑎 ,𝑋 ,

𝑅11 =

𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐸1 𝑏 ,𝑋 .

Verzamelingen van alle ontkoppelmogelijkheden: 𝑅12 =

𝐸0 𝑎 + 𝑏 ,𝐸0 𝑎 ,𝑋 ,

𝑅13 =

𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐸0 𝑏 ,𝑋 .

Bijlagen

135

Verzameling van alle synchronisatiemogelijkheden: 𝑅14 = { 𝐺0, 𝑅0, 𝑇 , 𝐶1, 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐶1,𝐺1, 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐺1, 𝑇 , 𝐺1, 𝑅1, 𝑊 , 𝐶0, 𝐿0, 𝑍 , (𝐶1, 𝐿1, 𝑌)}. Verzameling van alle symmetriemogelijkheden: 𝑅15 = { 𝐶0, 𝐶1, 𝑇 , 𝐶1,𝐶0, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑇 , 𝐺0, 𝐺1, 𝑇 , 𝐺1, 𝐺0, 𝑇 , 𝑅0,𝑅1, 𝑇 , 𝑅1, 𝑅0, 𝑇 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑈 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝑈 , 𝐺0, 𝐺1, 𝑈 , 𝐺1, 𝐺0, 𝑈 , 𝑅0,𝑅1, 𝑈 , 𝑅1, 𝑅0, 𝑈 , 𝐺0, 𝐺1, 𝑉 , 𝐺1, 𝐺0, 𝑉 , 𝑅0,𝑅1, 𝑉 , 𝑅1,𝑅0, 𝑉 , 𝐺0, 𝐺1, 𝑊 , 𝑅0,𝑅1, 𝑊 𝐸0 𝑎 + 𝑏 , 𝐸1 𝑎 + 𝑏 , 𝑋 , 𝐸1 𝑎 , 𝐸0 𝑎 , 𝑋 , 𝐸1 𝑏 , 𝐸0 𝑏 , 𝑋 , 𝐸0 𝑏 , 𝐸1 𝑏 , 𝑌 , 𝐶0,𝐶1, 𝑌 , 𝐶1,𝐶0, 𝑌 , 𝐿0, 𝐿1, 𝑌 , 𝐶0,𝐶1, 𝑍 , 𝐶1, 𝐶0, 𝑍 , 𝐿0, 𝐿1, 𝑍 ,(𝐿1, 𝐿0, 𝑍)}.

TRAIN SCHEDULING PROBLEM

Recommend Documents