TĚŽIŠTĚ A STABILITA. Těžiště tělesa = bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech jeho hmotných bodů, ať těleso natáčíme jakkoli

SPŚ a VOŠ KLADNO

STATIKA - těžiště

TĚŽIŠTĚ A STABILITA Těžiště tělesa = bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech jeho hmotných bodů, ať těleso natáčíme jakkoli = bod, ke kterému nastává rovnováha momentů způsobených tíhou jednotlivých částic Určení polohy těžiště (souřadnic xT , yT )spočívá v řešení polohy výslednice tíhových sil jeho hmotných bodů: Fv = ΣFi = F1 + F2 + ... + Fn n

Mv = ∑Mi y i =1

Směr osy y: Fv xT = F1 x1 + F2 x2 + ... + Fn xn , odtud xT =

F1x1 + F2 x 2 + . . . + Fn x n , kde Fv = ΣFi = F1 + F2 + ... + Fn Fv

⇒

n

xT =

∑Fx i =1 n

i i

∑F i =1

i

Analogicky n

yT =

n

∑ mi yi i =1 n

∑m i =1

i

zT =

∑m z i =1 n

i i

- v případě prostorových útvarů

∑m i =1

i

Určení správné poloh těžiště má význam např. při stavbě lodí a letadel, při výrobě prostřihovacích a lisovacích nástrojů, při výpočtu odstředivých sil. Poloha těžiště má rozhodující význam např. při posuzování stability strojů a konstrukcí

V technické praxi se setkáme s řešením polohy těžiště čar (tvarovaný drát), ploch (výstřižek z plechu) a těles Obecný postup při určování těžiště: 1. Útvar (těleso, plochu, čáru) rozdělíme na dílčí části, u nichž polohu těžiště známe 2. V těžištích jednotlivých částí zavedeme "síly" odpovídající velikostem příslušných částí 3. Vyřešíme polohu výslednice těchto sil ve dvou směrech

1

SPŚ a VOŠ KLADNO

STATIKA - těžiště

Těžiště čar Početní řešení xT =

∑ F .x ∑F i

yT =

i

i

Fi

∑ F .y ∑F i

i

, kde

i

dílčí síly úměrné délkám čar

xi , yi souřadnice dílčích těžišť

Grafické řešení Složenou čáru nejprve rozdělíme na dílčí čáry (úsečky, oblouky). V jejich těžištích zavedeme síly úměrné délkám příslušných čar. Výslednice takto vzniklé soustavy rovnoběžných sil prochází těžištěm čáry. Zjistíme-li výslednici ve dvou směrech, těžiště čáry T se nachází v jejich průsečíku

Čáry nejčastěji složené z úseček a kruhových oblouků / půlkružnic /. V tom případě je výhodné rozdělit složitější čáru na tyto základní čáry, u kterých je těžiště jednoznačné Úsečka

Kruhový oblouk Odvození

xT =

l 2

yT =

Obvod trojúhelníka

r. sin α rl ) = α b

Půlkružnice yT =

2

2

π

r =&

2 r 3

SPŚ a VOŠ KLADNO

STATIKA - těžiště

Příklad Určit polohu těžiště čáry y

20mm

30mm

R1

m 5m

x

a) Početní řešení y

T1

°

F1 T 2°

F2 T3

°

F3 x

xT =

∑F x ∑F

i i

=

i

F1 = 30 F2 = 20

x1 = 15 x2 = 30

y1 = 50 y2 = 40

F3 = π .15 = 47

x3 = 40

y3 = 15

∑ F = 97 i

F1 x1 + F2 x2 + F3 x3 30.15 + 20.30 + 47.40 = F1 + F2 + F3 97

xT = 30,2mm yT =

∑F y ∑F i

i

i

=

F1 y1 + F2 y2 + F3 y3 30.50 + 20.40 + 47.15 = F1 + F2 + F3 97

yT = 31mm xT [30,2;31]

3

SPŚ a VOŠ KLADNO

STATIKA - těžiště

b) Grafické řešení

M D : 1mm =ˆ 1mm

M F : 1mm =ˆ 1

y

T1

° F1

0

1

T2 °

F2 T°

F3 2 3

yT

T3

°

F3

F3 x

F1

xT 1

2

F1

0 3

0

F3

F2 1

2

1

F3

F2 2

3

F3 F3

4

P

3

SPŚ a VOŠ KLADNO

STATIKA - těžiště

Těžiště ploch Síly úměrné plošným obsahů dílčích ploch Vyskytují-li se v ploše otvory, necháme v jejich těžištích působit síly v opačném smyslu, než je smysl sil plných ploch

xT =

∑ F .x ∑F i

i

i

Fi

yT =

∑ F .y ∑F i

i

i

dílčí síly úměrné plošným obsahům dílčích ploch

xi , yi souřadnice dílčích těžišť

Obdélník, rovnoběžník

Kruhová výseč odvození

Trojúhelník

Půlkruh yT =

Lichoběžník

4r =& 0,4r 3π

Kruhová úseč

5

SPŚ a VOŠ KLADNO

STATIKA - těžiště

Těžiště těles Síly úměrné objemům dílčích těles, v případě, že dílčí tělesa jsou z různých materiálů, jsou síly úměrné jejich hmotnostem Vyskytují-li se v tělese dutiny, necháme v jejich těžištích působit síly v opačném smyslu

xT =

∑ F .x ∑F i

i

i

Fi

yT =

∑ F .y ∑F i

i

i

dílčí síly úměrné objemům dílčích těles

xi , yi souřadnice dílčích těžišť

Hranol, válec Těžiště leží na ose souměrnosti v polovině výšky

Kulová úseč 3 (2r − h ) 4 (3r − h )

2

yT =

Jehlan, kužel Těžiště leží na ose souměrnosti ve čtvrtině výšky 1 yT = h 3

Kulová výseč

3 3 yT = r (1 + cos α ) = (2r − h ) 8 8

6

SPŚ a VOŠ KLADNO

STATIKA - těžiště

Stabilita těles Tuhé těleso je v rovnovážné poloze, jestliže je vektorový součet všech sil, které na ně působí, i vektorový součet všech momentů těchto sil rovný nule. Těleso může mít rovnovážnou polohu:

a) stálou (stabilní) – po vychýlení z této polohy se do ní těleso opět vrací – např. kulička v kulové misce, těleso otáčivé kolem osy nad těžištěm – těžiště tělesa je v této poloze nejníže ⇒ nejnižší potenciální energie; vychýlení → zvýšení Ep

b) vratkou (labilní) – po vychýlení z této polohy se do ní těleso už nevrací, snaží se zaujmout rovnovážnou polohu stálou – v této poloze je těžiště tělesa nejvýše nad zemí ⇒ potenciální energie je nejvyšší; vychýlení → snížení Ep

c) volnou (indiferentní) – po vychýlení z této polohy zůstává v nové poloze, je opět v rovnovážné poloze – např. kulička na vodorovné podložce, těleso otáčivé kolem osy v těžišti – výška těžiště se ani při vychýlení nemění ⇒ potenciální energie je konstantní; vychýlení → stejné Ep Těleso podepřené na ploše je ve stále rovnovážné poloze, jestliže svislá těžnice prochází podstavou tělesa.

Stabilita tělesa je míra schopnosti udržovat rovnovážnou polohu stálou. Je to práce, kterou musíme vykonat, abychom těleso dostali z rovnovážné polohy stálé do rovnovážné polohy vratké. W = m ⋅ g ⋅ (h2 – h1) Stabilita je tím větší, čím níže je těžiště ve stálé rovnovážné poloze.

7