TINJAUAN PUSTAKA
Metode Kuadrat Terkecil Parsial
Kolinearitas d a l m analisis regesi akan menyebabkan ketidaktepatan dalarn pendugaan modelnya. Salah satu metode statistika yang dapat mengatasinya adalah metode kuadrat terkecil parsial (MKTP). Pada mulanya MKTP diperkenalkan oleh Wold (1966;dalam Vargas et al., 1998) untuk model kalibrasi. MKTP adalah suatu metode untuk membangun model pendugaan ketika faktor-faktornya banyak dan memiliki kolinearitas yang tinggi (Tobias, 1995). MKTP merupakan metode pernodelan 'lunak' asumsi yang dapat menjelaskan struktur keragaman data. Model yang diperoleh dengan MKTP mengoptimalkan hubungan prehksi antar dua kelompok peubah. Pada regresi ganda, untuk membentuk hubungan antara peubah respon Y dan peubah penjelas X, lWKTP membentuk peubah penjelas baru yang sering disebut faktor atau peubah laten atau komponen dimana setiap komponen adalah kombinasi linear dari X. Setelah itu metode regresi baku digunakan untuk menentukan persamaan yang menghubungkan komponennya dengan peubah Y (Garthwaite, 1994). MKTP pada peubah ganda bertujuan untuk menemukan komponen yang
menghasilkan model linear terbaik bagi semua peubah respon Y. Jika diasumsikan ada n peubah respon Y yang diberikan oleh matriks Y
=
(yl,
y2,
..., yn) dan ada k
peubah penjelas X yang diberikan oleh matriks X = ( ~ 1 ~ x 2..,.,xk) maka bentuk yang
tepat untuk menuliskannya adalah dalam bentuk bilinear (Vargas et al., 1998) sebagai berikut : ~ = t l ~ l ~ + t ~ ~+ t2M~mT++EM . . .
=TP+E Y = u l q lT +u2q2T + ... +uMqMT+& =UQ+F
dimana : t,(m = 1,2,. ..,M) = skor X dan h ( m = 1,2,. .. ,M) = loading-X u,(m
=
1,2,. ..,M) = skor Y dan q,(m
=
1,2,...,M) = loading-Y
EM dan FM= matriks sisaan. Pada bentuk persamaan Q atas beberapa konQsi yang perlu Qperhatikan adalah skor t, harus ortogonal satu sama lain dalam ruang Rn atau loading p, ortogonal dalam
ruang R ~ Jika . kedua pembatasan diberlakukan dan diasumsikan bahwa baris-baris atau kolom-kolom EM ortogonal, maka setiap t, adalah vektor ciri yang telah dinormalkan dari X X dan ~ setiap p, adalah vektor ciri yang telah dinorrnalkan dari
xTx. Analisis Kordasi Kanonik Analisis korelasi kanonik merupakan teknik statistika peubah ganda yang menyelidiki hubungan antara dua gugus peubah (Dillon & Goldstein, 1984). Analisis korelasi kanonik digunakan untuk mencari korelasi linear antara gugus peubah penjelas X dan gugus peubah respon Y. Untuk mencari korelasi linear ini, gugus peubah X dan Y dibentuk menjadl smtu kombinasi linear. Kombinasi linear peubahpeubah X Qsebut peubah kanonik bebas dan kombinasi linear peubah-peubah Y disebut peubah kanonik tak bebas. Misalkan adap peubah X atau X = [xi,x2, ... , XJ
clan q peubah Y atau Y = [yl, y2, ..., yy] maka kombinasi linear dari peubah X dan Y adalah :
dimana :
X* dan Y' disebut peubah-peubah kanonik dan A dan B adalah koefisien kombinasi linear yang disebut juga pembobot kanonik. Besar dan tanda bobot kanonik dapat digunakan sebagai indikasi hadirnya efek peubah tertentu dan arah pengaruhnya. Pasangan X* dan Y* dinamakan pasangan peubah kanonik. Banyaknya pasangan solusi
xfk dan y a k (k = 1, 2, ... , s) adalah minimum (p,q). Pasangan peubah kanonik
pertama adalah peubah kanonik dengan korelasi terbesar, pasangan peubah kanonik kedua memiliki korelasi terbesar kedua dan seterusnya. Pasangan peubah kanonik ini satu dengan yang lain saling bebas. Analisis korelasi kanonik layak digunakan bila peubah-peubah responnya saling berkorelasi sehingga dengan demikian struktur hubungan yang kompleks antar gugus peubah dapat diungkapkan. Bila dua gugus peubah memiliki satuan yang sama, rnaka digunakan matriks ragam peragam S. Akan tetapi jika dua gugus peubah memiliki satuan yang berbeda maka digunakan matriks korelasi R (Dillon & Goldstein, 1984). Koefisien korelasi kanonik
rk
adalah korelasi maksimum antara kombinasi
linear X dan kombinasi linear Y yang didefinisikan sebagai akar kuadrat dari akar ciri ke-k (Gittins, 1985) dihitung dari matriks peragamnya. Kuadrat akar ciri dapat menerangkan proporsi keragaman peubah kanonik.
Metode Kuadrat Terkecil Parsial Kanonik
Metode kuadrat terkecil parsial kanonik (MKTPK) adalah metode yang menggunakan kuadrat terkecil parsial dalam sistem koordinat kanonik. MKTPK dengan Peubah Respon Tunggal Pada MKTPK dengan peubah respon tunggal, skor komponen kuadrat terkecil parsial ortonormal T (n x A) mengkuti ortogonalisasi Gram-Schmidt (GS) dari matriks K yang dibentuk dari rangkaian Krylov K(D,Dy,A) yang secara umum dirumuskan :
l ~ =uIDY, ~ D2y, ... ,~ y l = U[LPlYl,
L~PIYI, ...,~
~ ~ 1 ~ 1 1
= u(tulK)
Keterangan : D = X X = ~ULU~
K
;AIrankX (A
= K pada ruang kanonik = [Lp, ~
~ . . .p ,~ , ~
p
]
p = UTy/ly(= vektor korelasi y berukuran r x 1 dengan kornponen
utama talc no1 U = skor komponen utama dari X L = matriks diagonal dari akar ciri U dan L merupakan hasil penguraian nilai singular dari X Dari persamaan (I) didapat skor T yang dirurnuskan : T = ortogonalisasi Gram-Schmidt d m matriks K
g
= GS(K) = G S ( ( ~ ~ U )=U
G S ( )~
Skor T kemudian didefinisikan dalam ruang kanonik sebagai
(2)
yang dirumuskan :
T
=U
~T
(3)
Matriks topi kuadrat terkecil parsial H (dengan leverages lagonal) dirumuskan : "T H = UT -T T UT
(4)
dengan y (n x 1) sebagai berikut :
- "T
YPLS = IyIU T T P
(5)
dan vektor regresi kuadrat terkecil parsial adalah bpLs( p x 1) sebagai berikut : bas
=
- -T (y(n-lR TT p
(6)
Persamaan-persamaan diatas merupakan persamaan utama untuk analisis regresi kuadrat terkecil parsial dari data yang diperoleh melalui ruang kanonik X.
MKTPK dengan Peubah Respon Ganda Pada peubah respon ganda, komponen Y diduga bersamaan dengan komponen X. Akibatnya, kita tidak dapat membangkitkan secara a priori suatu matriks K (Persamaan (1)) dan penggunaan prosedur MKTP akan mengurangi keefektifan penggunaan pendekatan kanonik. Oleh karena itu kita gunakan pendekatan S W L S yang kemudian dirumuskan kembali dalam ruang kanonik. Pendekatan tersebut
menggunakan matriks data asal X untuk semua dimensi
berturut-turut a = 1,2, ...,A. Skor didapatkan sebagai kombinasi linear peubah X, T =
XR . Vektor pembobot r,, kolom-kolom R, berturut-turut diperoleh dengan
memaksimwnkan panjang vektor koragam ~ ~ ~ r J / lberdasarkan r~l, keortogonalan vektor-vektor skor: t h = raTxrh= r&
=
0 (llkaa). Vektor pembobot yang
dinormakan didapatkan sebagai vektor singular kiri pertama dari [I, - Pa-I(P,IT~,I)I
Pa-IT]XTY, dengan Pa-*O, x (a - I)) terdiri dari vektor-vektor kolom muatan yang
tersedia. Dengan demikian matriks hasil kali X ~ Ydiproyeksikan kedalam ruang yang ortogonal terhadap muatan P I , pz, - ..,pa-lBaris matriks X dinyatakan sebagai kombinasi linear dari muatan komponen utama (V) dan kolom matriks X dinyatakan sebagai kombinasi linear dari skor komponen utama (U)sehingga diperoleh pembobot pada ruang kanonik ( E ), yaitu : =vTRZL-l/2
(7)
Dan juga dlperoleh muatan pada ruang kanonik (F ) sebagai berikut :
?; = v T p = ~ j j
(8) 112 T
Secara khusus, proyeksi vektor basis (S), yang dirumuskan : S = XTY = VL U Y, pada ruang kanonik adalah ? yang dirumuskan :
-
S = v T s = vT XT Y = L112UTY --L 112 P dimana P
= U ~ Y(r x m) merupakan analogi peubah ganda dari p. Algoritma untuk
SIMPLS yang akan dipakai sebagai dasar algoritma dalam MKTPK adalah sebagai berikut :
1. Arnbil C = x T x 2. Tentukan S = XTy 3. Untuka=1 ... , A 3.1. r = hasil penguraian nilai singular sebelah kiri dari S 3.2. r = r/(rTc r)'"
3.3. R = [R,r]
3.4. P = [P, Cr] 3.5. S = [I - p(pTp)-'pT]s
Berhenti 4. T = X R
Algoritma MKTPK sebagai berikut : 1. Ambil $ = L 112UTY 2. Untuka=l ... , A
2.1. r = hasil penguraian nilai singular sebelah kiri dari
,!?
2.2. r = r / ( r Tr)ll2 ~ 2.3. 2 = [E ,r] 2.4. 2.5.
=
[F, Lr]
5 = ~ - F "( TP- P)-1"TP 13
Berhenti
-
3 . T = L112 R Metode Procrustes
Metode Procrustes bertujuan untuk membandingkan dua konfigurasi titik yang mewahli n unit pengamatan yang sama. Dengan demikian, untuk melihat kesamaan bent& clan ukuran dari dua konfigurasi, satu konfigurasi dibuat tetap, sementara konfigurasi yang lain ditransformasi sehingga cocok dengan k ~ ~ g u r a s i yang pertarna (Digby, 1987). Hubungan internal antara n observasi dari suatu konfigurasi matriks tidak akan berubah oleh proses penyesuaian translasi, rotasi dan Qlasi, sebngga untuk memperoleh kesesuaian optimal dapat htempuh melalui ketiga penyesuaian tersebut terhadap satu konfigurasi. Untuk menggambarkan kesamaan
bentuk kedua konfigurasi yang Qbandingkan ditunjukkan dengan berapa persen pengamatan pada kedua konfigurasi dapat dianggap sama yang berlusar 0-100%.
