Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry. univerzita v Plzni

´ LNI´ POCˇET FUNKCI´ DIFERENCIA ˇ NNYĆH VIĆE PROME J. Kuben, Sˇ. Mayerova´, P. Racˇkova´ a P. Sˇarmanova´

Text byl vytvorˇen v ra´mci realizace projektu Matematika pro inzˇeny´ry 21. stoletı´ (reg. cˇ. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na ktere´m se spolecˇneˇ podı´lela Vysoka´ sˇkola bańˇska´ – Technicka´ univerzita Ostrava a Za´padocˇeska´ univerzita v Plzni.

c 2012, J. Kuben, Sˇ. Mayerova´, P. Racˇkova´ a P. Sˇarmanova´

ISBN

Prˇedmluva V textu jsou vylozˇeny za´kladnı´ partie diferencia´lnı´ho pocˇtu funkcı´ vıće promeˇnnyćh jako limita a spojitost, parcia´lnı´ a smeˇrove´ derivace, diferencia´l, Tayloru˚v polynom, loka´lnı´ a globa´lnı´ extre´my, implicitnı´ funkce a va´zane´ extre´my. U cˇtena´rˇu˚ se prˇedpokla´da´ znalost diferencia´lnı´ho pocˇtu funkcı´ jedne´ promeˇnne´ naprˇ. v rozsahu textu [11] a za´kladnıćh pojmu˚ z linea´rnı´ algebry. Vy´klad je pro jednoduchost ve veˇtsˇ´ı cˇa´sti textu omezen na funkce dvou promeˇnnyćh. V kazˇde´ kapitole je vsˇak v cˇa´sti Pro za´jemce uvedeno, jak vypadajı´ prˇ´ıslusˇne´ pojmy a vy´sledky pro funkce trˇ´ı a vıće promeˇnnyćh. Vy´jimkami jsou pouze cˇa´st kapitoly o loka´lnıćh extre´mech, kde jsou v samostatne´m oddı´lu uvedeny nutne´ a postacˇujıćı´ podmıńky existence pro funkce trˇ´ı a vıće promeˇnnyćh, a kapitola o va´zanyćh extre´mech, kde je od pocˇa´tku vy´klad veden pro obecny´ prˇ´ıpad funkcı´ n promeˇnnyćh. Studium teˇchto partiı´ (zejmeńa va´zanyćh extre´mu˚) je oproti zbytku textu vy´razneˇ na´rocˇneˇjsˇ´ı. V poslednı´ kapitole jsou zavedeny kvadriky v trˇ´ırozmeˇrne´m prostoru a jsou popsańy nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı z nich. Tato problematika sice patrˇ´ı do geometrie, na druhe´ straneˇ vsˇak kvadriky poskytujı´ uzˇitecˇne´ prˇ´ıklady implicitneˇ danyćh funkcı´. Text obsahuje rˇadu detailneˇ rˇesˇenyćh prˇ´ıkladu˚ i nerˇesˇenyćh u´loh k procvicˇenı´. Jejich pocˇet by meˇl by´t dostatecˇny´ pro pokrytı´ potrˇeb cvicˇenı´ i samostatne´ studium. Velky´ du˚raz je v textu kladen na na´zorne´ ilustrace, ktere´ pomohou k zı´skańı´ spra´vne´ geometricke´ prˇedstavy o zava´deˇnyćh pojmech. Vsˇechna tvrzenı´ uvedena´ v textu pro funkce dvou promeˇnnyćh jsou dokazovańa. Chybeˇjıćı´ du˚kazy, ty´kajıćı´ se prˇedevsˇ´ım funkcı´ trˇ´ı a vıće promeˇnnyćh, lze nale´zt v pracıćh uvedenyćh v seznamu literatury, zejmeńa v [1], [7], [8] a [18]. Prvneˇ zmıńeˇny´ titul rovneˇzˇ existuje v elektronicke´ verzi [3]. Za´jemcu˚m o hlubsˇ´ı poznatky lze doporucˇit [5], [8], [14] a [16]. Text byl vysa´zen pomocı´ sa´zecı´ho syste´mu TEX ve forma´tu LATEX 2ε . Obra´zky byly zhotoveny s pouzˇitı´m programu˚ METAPOST (balı´k mfpic), Maple a MG.

V Brneˇ a Ostraveˇ 31. 3. 2012

Autorˇi

iii

O projektu Text vznikl v ra´mci rˇesˇenı´ projektu „Matematika pro inzˇeny´ry 21. stoletı´ — inovace vyúky matematiky na technickyćh sˇkolaćh v novyćh podmıńkaćh rychle se vyvı´jejıćı´ informacˇnı´ a technicke´ spolecˇnosti“. Tento projekt je rˇesˇen na Vysoke´ sˇkole bańˇske´ — Technicke´ univerziteˇ v Ostraveˇ a Za´padocˇeske´ univerziteˇ v Plzni v obdobı´ 2009–2012. Hlavnı´ motivacı´ tohoto projektu je potrˇeba reagovat na zmeˇnu u´lohy jednotlivyćh partiı´ matematiky prˇi rˇesˇenı´ praktickyćh proble´mu˚, zpu˚sobenou zejmeńa velky´m pokrokem v matematicke´m modelovańı´, dramaticky´m zlepsˇovańı´m software a rychly´m zvysˇovańı´m vy´pocˇetnıćh kapacit modernıćh pocˇ´ıtacˇu˚. Inzˇeny´rˇi tak nynı´ beˇzˇneˇ vyuzˇ´ıvajı´ sta´le se vyvı´jejıćı´ komplikovane´ softwarove´ produkty zalozˇene´ na matematickyćh pojmech, se ktery´mi se v kurzech matematiky bud’to nesetkajı´ vu˚bec nebo v nevhodne´ formeˇ. Na druhe´ straneˇ neodra´zˇ´ı z nejru˚zneˇjsˇ´ıch du˚vodu˚ prezentace neˇkteryćh pojmu˚ v za´kladnıćh kurzech potrˇeby odbornyćh kateder. Tento stav zteˇzˇuje studentu˚m aktivnı´ pouzˇ´ıvańı´ zı´skanyćh veˇdomostı´ v odbornyćh prˇedmeˇtech i orientaci v rychle se vyvı´jejıćıćh metodaćh inzˇeny´rske´ praxe. Cı´lem projektu je inovace matematickyćh a neˇkteryćh odbornyćh kurzu˚ na technickyćh vysokyćh sˇkolaćh s cı´lem zı´skat za´jem studentu˚, zvy´sˇit efektivnost vyúky, zprˇ´ıstupnit prakticky aplikovatelne´ vy´sledky modernı´ matematiky a vytvorˇit prˇedpoklady pro efektivnı´ vyúku inzˇeny´rskyćh prˇedmeˇtu˚. Zkvalitneˇnı´ vyúky matematiky budoucıćh inzˇeny´ru˚ chceme dosa´hnout po strańce forma´lnı´ vyuzˇitı´m novyćh informacˇnıćh technologiı´ prˇ´ıpravy elektronickyćh studijnıćh materia´lu˚ a po strańce veˇcne´ pecˇlivy´m vy´beˇrem vyucˇovane´ la´tky s du˚sledny´m vyuzˇ´ıvańı´m zavedenyćh pojmu˚ v cele´m kurzu matematiky s promysˇlenou integracı´ modernı´ho matematicke´ho apara´tu do vybranyćh inzˇeny´rskyćh prˇedmeˇtu˚. Metodiku vyúky matematiky a jejı´ atraktivnost pro studenty chceme zlepsˇit du˚razem na motivaci a du˚sledny´m pouzˇ´ıvańı´m postupu „od proble´mu k rˇesˇenı´ “. V ra´mci projektu vytva´rˇ´ıme 40 novyćh vyúkovyćh materia´lu˚ z oblastı´ matematicke´ analy´zy, linea´rnı´ algebry, numerickyćh metod, metod optimalizace, teorie grafu˚, diskre´tnı´ matematiky, statistiky a vybranyćh odbornyćh kurzu˚. Vsˇechny hotove´ vyúkove´ materia´ly budou volneˇ k dispozici na webovyćh strańkaćh projektu http://mi21.vsb.cz/. Autorˇi prˇedem deˇkujı´ za vsˇechny podneˇtne´ na´pady k vylepsˇenı´ textu a za upozorneˇnı´ na chyby.

iv

Orientace v textu Kazˇda´ kapitola ma´ svou pevnou strukturu, ktera´ by va´m meˇla pomoci k rychlejsˇ´ı orientaci v textu. Prˇi psana´ mu˚zˇete vyuzˇ´ıt na´sledujıćı´ „stavebnı´ kameny“:

Pru˚vodce studiem

S Z

Cı´le V cˇa´sti cı´le se dozvı´te, co vsˇechno zvla´dnete a budete umeˇt po prostudovańı´ dane´ kapitoly.

Prˇ´ıklad Touto ikonou jsou oznacˇeny vsˇechny rˇesˇene´ prˇ´ıklady. Konec rˇesˇenyćh prˇ´ıkladu˚ je oznacˇen plny´m troju´helnıćˇkem (N).

Pojmy k zapamatovańı´

ó +

Prostrˇednictvı´m pru˚vodce studiem va´s chceme sezna´mit s tı´m, co va´s v dane´ kapitole cˇeka´, ktere´ cˇa´sti by meˇly by´t pro va´s opakovańı´m, na co je trˇeba se obzvla´sˇteˇ zameˇrˇit atd.

V J

X

Pojmy zde uvedene´ jsou veˇtsˇinou nove´ a zcela za´sadnı´. To znamena´ tyto pojmy nejen pochopit a umeˇt ilustrovat na prˇ´ıkladech, ale take´ umeˇt vyslovit jejich prˇesne´ definice.

Kontrolnı´ ota´zky Odpoveˇzenı´m na tyto ota´zky si oveˇrˇ´ıte, zda jste dany´m pojmu˚m porozumeˇli, zda si uveˇdomujete rozdı´ly mezi zdańliveˇ podobny´mi pojmy, zda dovedete uve´st prˇ´ıklad ilustrujıćı´ danou situaci atd.

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ Tyto prˇ´ıklady slouzˇ´ı k tomu, abyste si du˚kladneˇ procvicˇili probranou la´tku. Vy´sledky uvedenyćh prˇ´ıkladu˚ jsou zarˇazeny na konci kazˇde´ kapitoly.

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ Na konci kazˇde´ kapitoly je uveden klıćˇ ke cvicˇenı´m, ktery´ obsahuje vy´sledky prˇ´ıkladu˚ k procvicˇenı´.

v

?

!

-

Autotest Pomocı´ autotestu si otestujete sve´ znalosti a pocˇetnı´ dovednosti z cele´ho objemu ucˇiva.

Pro za´jemce Tato cˇa´st, jak jizˇ bylo uvedeno vy´sˇe, obsahuje rozsˇ´ırˇenı´ vy´sledku˚ na funkce trˇ´ı a zejmeńa obecneˇ n promeˇnnyćh. Je od ostatnı´ho textu odlisˇena mensˇ´ım typem pı´sma.

Literatura Jedna´ se o literaturu pouzˇitou autory prˇi vytva´rˇenı´ tohoto studijnı´ho materia´lu, nikoliv jen o literaturu doporucˇenou k dalsˇ´ımu studiu. Pokud neˇkterou z uvedenyćh publikacı´ doporucˇujeme za´jemcu˚m, pak je to v textu spolu s odkazem na dany´ titul jasneˇ uvedeno.

Rejstrˇ´ık Rejstrˇ´ık, uvedeny´ na konci skript, poslouzˇ´ı ke snadne´ orientaci v textu.

Definice a veˇty jsou uvedeny v ra´mecˇku (v tiskove´ verzi) resp. barevny´m pı´smem s barevny´m pozadı´m (v obrazovkove´ verzi). Konce du˚kazu˚ jsou vyznacˇeny pra´zdny´m cˇtverecˇkem ( ), konce rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu˚ plny´m troju´helnıćˇkem (N).

vi

Obsah Prˇedmluva

iii

1

. . . . . . .

1 2 4 9 15 24 26 29

. . . . .

36 37 44 50 53 56 59 60 69 74 79 86 89

2

3

4

Rea´lne´ funkce vıće rea´lnyćh promeˇnnyćh 1.1 Mnozˇina Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vlastnosti mnozˇin v R2 . . . . . . . . . . . . 1.3 Definice funkce dvou promeˇnnyćh a jejı´ graf . 1.4 Limita a spojitost funkce dvou promeˇnnyćh . 1.5 Dvojne´ a dvojna´sobne´ limity . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . Parcia´lnı´ derivace a derivace ve smeˇru 2.1 Parcia´lnı´ derivace prvnı´ho rˇa´du . . . 2.2 Parcia´lnı´ derivace vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ . . . 2.3 Smeˇrove´ derivace . . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

Diferencia´l funkce 3.1 Diferencovatelne´ funkce, diferencia´l . . . . . . . 3.2 Geometricky´ vy´znam diferencia´lu a jeho pouzˇitı´ . 3.3 Vztah diferencia´lu, gradientu a smeˇrove´ derivace 3.4 Derivace slozˇene´ funkce . . . . . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Vysˇsˇ´ı diferencia´ly a Tayloru˚v vzorec 4.1 Diferencia´ly vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ . . . . 4.2 Tayloru˚v vzorec . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

91 . 91 . 94 . 101 . 102

. . . .

. . . .

vii

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

5

Loka´lnı´ extre´my 5.1 Loka´lnı´ extre´my funkcı´ dvou promeˇnnyćh 5.2 Kvadraticke´ formy . . . . . . . . . . . . 5.3 Loka´lnı´ extre´my funkcı´ vıće promeˇnnyćh 5.3.1 Podmıńky prvnı´ho rˇa´du . . . . . 5.3.2 Podmıńky druhe´ho rˇa´du . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

103 104 116 120 122 123 128 129

6

Globa´lnı´ extre´my funkcı´ 131 Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7

Implicitnı´ funkce 7.1 Funkce jedne´ promeˇnne´ dane´ implicitneˇ . 7.2 Funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . .

8

9

Va´zane´ extre´my 8.1 Podmıńky prvnı´ho rˇa´du . . . . 8.2 Podmıńky druhe´ho rˇa´du . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

144 145 158 163 164

. . . .

166 168 171 185 186

Kvadraticke´ plochy 188 Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Autotesty Autotest 1 . . . . Autotest 2 . . . . Autotest 3 . . . . Klıćˇ k autotestu 1 Klıćˇ k autotestu 2 Klıćˇ k autotestu 3

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

204 204 204 205 206 210 215

Literatura

219

Rejstrˇ´ık

221

viii

1

Kapitola 1 Rea´lne´ funkce vıće rea´lnyćh promeˇnnyćh Pru˚vodce studiem Jizˇ vı´te, co jsou rea´lne´ funkce jedne´ rea´lne´ promeˇnne´. Jako prˇ´ıklad uved’me y = sin x, u = t ln t. Jde o zobrazenı´ (viz [11, str. 28]), ktere´ kazˇde´mu rea´lne´mu cˇı´slu z definicˇnı´ho oboru (hodnoteˇ neza´visle promeˇnne´ x, t apod.) prˇirˇazuje pra´veˇ jedno rea´lne´ cˇı´slo (hodnotu za´visle promeˇnne´ y, u apod.). Tedy jedna velicˇina (hodnota za´visle promeˇnne´) za´visı´ na jedne´ velicˇineˇ (hodnoteˇ neza´visle promeˇnne´). V matematice se ovsˇem setka´va´me i se slozˇiteˇjsˇ´ımi prˇ´ıpady, kdy jedna velicˇina za´visı´ na vıće velicˇinaćh. Naprˇ. vzorec pro vy´pocˇet obsahu obde´lnı´ku je S = ab, tedy velicˇina S za´visı´ na dvou velicˇinaćh a a b. Podobneˇ vzorec pro vy´pocˇet objemu kva´dru je V = abc, tudı´zˇ objem V za´visı´ na trˇech velicˇinaćh a, b a c. Z fyziky zna´me vzorec pro vy´pocˇet dra´hy rovnomeˇrneˇ zrychlene´ho prˇ´ımocˇare´ho pohybu s = 1/2 at 2 (s za´visı´ na dvou velicˇinaćh), vzorec pro vy´pocˇet hmotnosti homogennı´ho kva´dru m = ρabc (m za´visı´ na cˇtyrˇech velicˇinaćh) atd. To na´s vede k zavedenı´ funkcı´ vıće promeˇnnyćh.

Cı´le Po prostudovańı´ te´to kapitoly budete schopni: urcˇovat definicˇnı´ obory funkcı´ dvou a vıće promeˇnnyćh, urcˇit, zda mnozˇina bodu˚ v R3 je cˇi nenı´ grafem funkce dvou promeˇnnyćh, nakreslit vrstevnice funkce dvou promeˇnnyćh, urcˇit, zda je dany´ bod v R2 vnitrˇnı´m, vneˇjsˇ´ım, hranicˇnı´m, hromadny´m resp. izolovany´m bodem dane´ mnozˇiny, • rozhodnout, zda je dana´ mnozˇina v R2 uzavrˇena´, otevrˇena´ nebo nenı´ ani otevrˇena´ ani uzavrˇena´, • definovat limitu funkce dvou promeˇnnyćh, • • • •

S Z

V J

ó

Rea´lne´ funkce vıće rea´lnyćh promeˇnnyćh

2

• vypocˇ´ıtat limity neˇkteryćh funkcı´ dvou promeˇnnyćh resp. rozhodnout o jejı´ neexistenci, • vysveˇtlit vztah mezi spojitostı´ funkce a limitou funkce dvou promeˇnnyćh v dane´m bodeˇ.

Oznacˇenı´ V na´sledujıćı´m textu pouzˇ´ıva´me standardnı´ oznacˇenı´ pro cˇ´ıselne´ mnozˇiny. Konkre´tneˇ: mnozˇina vsˇech rea´lnyćh cˇ´ısel, mnozˇina vsˇech raciona´lnıćh cˇ´ısel, mnozˇina vsˇech celyćh cˇ´ısel, mnozˇina vsˇech prˇirozenyćh cˇ´ısel, mnozˇina vsˇech komplexnıćh cˇ´ısel, mnozˇina vsˇech kladnyćh rea´lnyćh cˇ´ısel, mnozˇina vsˇech za´pornyćh rea´lnyćh cˇ´ısel, mnozˇina vsˇech neza´pornyćh rea´lnyćh cˇ´ısel, mnozˇina vsˇech nekladnyćh rea´lnyćh cˇ´ısel, mnozˇina vsˇech neza´pornyćh celyćh cˇ´ısel apod.

R Q Z N C R+ R− R+ 0 R− 0 N0 = Z+ 0

Pro a, b ∈ R, a < b, symbol (a, b) znacˇ´ı otevrˇeny´ interval rea´lnyćh cˇ´ısel a symbol ha, bi znacˇ´ı uzavrˇeny´ interval rea´lnyćh cˇ´ısel. Obdobneˇ ha, b) resp. (a, bi znamena´ interval, ktery´ je z jedne´ strany otevrˇeny´ a z druhe´ uzavrˇeny´.

1.1

Mnozˇina R n

Symbolem Rn , kde n ∈ N, znacˇ´ıme mnozˇinu vsˇech usporˇa´danyćh n-tic rea´lnyćh cˇ´ısel. Prvky Rn zapisujeme ve tvaru x = (x1 , x2 . . . , xn ), kde x1 , . . . , xn ∈ R. V prˇ´ıpadeˇ n = 2 se prvky R2 , tj. usporˇa´dane´ dvojice, obvykle znacˇ´ı (x, y) a v prˇ´ıpadeˇ n = 3 se prvky R3 , tj. usporˇa´dane´ trojice, obvykle znacˇ´ı (x, y, z). Nynı´ definujme pro kazˇde´ x, y ∈ Rn a c ∈ R na´sledujıćı´ operace:

x + y =(x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ), c · x =(cx1 , cx2 , . . . , cxn ). Lze uka´zat (cvicˇenı´ v linea´rnı´ algebrˇe), zˇe mnozˇina Rn tvorˇ´ı spolu s teˇmito operacemi rea´lny´ vektorovy´ prostor (vektorovy´ prostor nad teˇlesem rea´lnyćh cˇ´ısel). Prvky x, y vektorove´ho prostoru pak obecneˇ nazy´va´me vektory a prvky teˇlesa R nazy´va´me skala´ry. Prˇipomenˇme, zˇe mluvı´me-li o vektorove´m prostoru, musı´ by´t jasne´, co rozumı´me mnozˇinou vektoru˚, co mnozˇinou skala´ru˚ a jak jsou definovańy operace scˇ´ıtańı´ vektoru˚ a na´sobenı´ vektoru a skala´ru.

1.1 Mnozˇina Rn

3

Odcˇ´ıtańı´ vektoru˚ pak definujeme jako prˇicˇ´ıtańı´ vektoru opacˇne´ho neboli vektoru vyna´sobene´ho skala´rem (cˇ´ıslem) −1. x − y = x + ((−1)y) = (x1 − y1 , x2 − y2 , . . . , xn − yn ). Chceme-li ve vektorove´m prostoru „meˇrˇit“, tj. urcˇovat velikosti vektoru˚ a odchylky vektoru˚, je trˇeba zave´st skala´rnı´ soucˇin. My budeme da´le pouzˇ´ıvat standardnı´ skala´rnı´ soucˇin definovany´ takto: hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn . Prˇipomenˇme, zˇe skala´rnı´ soucˇin je symetricka´ bilinea´rnı´ forma na vektorove´m prostoru, jejı´zˇ odpovı´dajıćı´ kvadraticka´ forma je pozitivneˇ definitnı´. Nynı´ lze na vektorove´m prostoru Rn s uvedeny´m skala´rnı´m soucˇinem nadefinovat tzv. normu vektoru: q p ||x|| = hx, xi = x12 + x22 + · · · + xn2 . Norma vektoru (neˇkdy budeme take´ rˇ´ıkat velikost vektoru) je tedy odmocninou ze skala´rnı´ho soucˇinu tohoto vektoru se sebou samy´m. Tato norma se nazy´va´ eukleidovska´ norma. Kazˇda´ norma na vektorove´m prostoru prˇirozeneˇ indukuje (urcˇuje) tzv. metriku rovnostı´ p ρ(x, y) = ||x − y|| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 . Cˇ´ıslo ρ(x, y) se nazy´va´ „eukleidovskou vzda´lenostı´“ bodu˚ x, y. Pomocı´ pojmu vzda´lenosti pak mu˚zˇeme definovat epsilonove´ okolı´ bodu x ∈ Rn a pomocı´ neˇho pak pojmy spojitosti a limity funkce vıće promeˇnnyćh. Mnozˇinu, na nı´zˇ ma´me definovańu metriku, nazy´va´me metricky´ prostor. Skutecˇnost, zˇe Rn je metricky´m prostorem, na´m umozˇnı´ definovat konvergenci posloupnostı´ v Rn .

Pro za´jemce: Pro lepsˇ´ı pochopenı´ pojmu˚ pouzˇityćh v prˇedchozıćh odstavcıćh uved’me neˇktere´ definice. Definice 1.1. Necht’P 6= ∅ a necht’funkce ρ : P × P → R ma´ tyto vlastnosti: a) ρ(x, y) = 0 pro vsˇechna x, y ∈ P , tj. ρ je neza´porna´ funkce, b) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y, c) ρ(x, y) = ρ(y, x) pro vsˇechna x, y ∈ P , tj. ρ je symetricka´ funkce, d) ρ(x, y) 5 ρ(x, z) + ρ(z, y) pro vsˇechna x, y, z ∈ P , tj. ρ splnˇuje tzv. troju´helnı´kovou nerovnost. Potom funkci ρ nazy´va´me metrikou na P a cˇ´ıslo ρ(x, y) vzda´lenostı´ bodu˚ x, y ∈ P . Dvojici (P , ρ) nazy´va´me metricky´ prostor. Prˇedchozı´ definice metricke´ho prostoru byla zavedena Mauricem Rene´ Frećhetem (1878–1973) a patrˇ´ı k za´kladnı´m pojmu˚m matematicke´ analy´zy. Na´sleduje definice normovane´ho vektorove´ho prostoru, ktera´ se poprve´ objevuje v praći Frederika Riesze (1880–1956).


4

Definice 1.2. Necht’V je vektorovy´ prostor nad R nebo nad C. Necht’je na V definovańa rea´lna´ funkce p s teˇmito vlastnostmi: a) p(x) = 0 pro vsˇechna x ∈ V , b) p(x) = 0 ⇔ x = 0, c) p(αx) = |α|p(x) pro vsˇechna α ∈ R a vsˇechna x ∈ V , d) p(x + y) 5 p(x) + p(y) pro vsˇechna x, y ∈ V . Tato funkce se nazy´va´ norma na V a dvojice (V , p) normovany´ vektorovy´ prostor nad R (nebo nad C). Pro normu budeme cˇasto pouzˇ´ıvat znacˇenı´ || · ||. Tedy budeme psa´t ||x|| mı´sto p(x). Jak jsme videˇli vy´sˇe, lze v kazˇde´m normovane´m vektorove´m prostoru prˇirozeny´m zpu˚sobem definovat metriku vztahem ρ(x, y) = ||x − y||. Tedy kazˇdy´ normovany´ vektorovy´ prostor je za´rovenˇ metricky´m prostorem. Definujeme-li na mnozˇineˇ Rn skala´rnı´ soucˇin, normu a metriku pomocı´ vztahu˚ vy´sˇe uvedenyćh, mluvı´me o eukleidovske´ normeˇ, eukleidovske´ metrice a n-rozmeˇrne´m eukleidovske´m prostoru. Naprˇ´ıklad mnozˇina R spolu s funkcı´ ρ(x, y) = |x − y|, kde x, y ∈ R, tvorˇ´ı metricky´ prostor. Tento prostor a uvedenou metriku (vzda´lenost bodu˚) beˇzˇneˇ pouzˇ´ıva´me. Pozdeˇji se setka´te i s jiny´mi nezˇ eukleidovsky´mi normami a metrikami.

1.2

Vlastnosti mnozˇin v R 2

Prˇi studiu funkcı´ jedne´ promeˇnne´ jsme vystacˇili veˇtsˇinou s ru˚zny´mi typy intervalu˚, protozˇe funkce byly obvykle definovańy na intervalech nebo sjednocenıćh neˇkolika intervalu˚. U funkcı´ dvou (a vıće) promeˇnnyćh je ale situace daleko slozˇiteˇjsˇ´ı. Sˇka´la „rozumnyćh“ mnozˇin naprˇ. v rovineˇ je daleko ru˚znorodeˇjsˇ´ı. Abychom se mohli sna´ze a prˇesneˇji vyjadrˇovat, zavedeme si neˇkolik du˚lezˇityćh pojmu˚, ktere´ na´m umozˇnı´ zave´st dalsˇ´ı, klıćˇove´ pojmy, ktere´ jsou u „jednoduchyćh“ mnozˇin intuitivneˇ jasne´, ale u „slozˇiteˇjsˇ´ıch“ mnozˇin se bez jejich prˇesne´ definice neobejdeme. Zameˇrˇ´ıme se nejprve na rovinu R2 . Definice 1.3. Necht’X = (x0 , y0 ) ∈ R2 je bod a ε > 0 je cˇ´ıslo. Pak epsilonovy´m okolı´m bodu X rozumı´me otevrˇeny´ kruh se strˇedem v X a polomeˇrem ε. Znacˇ´ıme je O(X, ε) nebo O((x0 , y0 ), ε). Tedy (viz obr. 1.1 a))1 O((x0 , y0 ), ε) = {(x, y) ∈ R2 : k(x, y) − (x0 , y0 )k < ε}. Pozna´mka 1.4. i) Symbol k . k v pr ˇedchozı´ definici znamena´ eukleidovskou normu, tj. pro (x, y) ∈ R2 p 2 2 je k(x, p y)k = x + y . Platı´ tudı´zˇ k(x, y) − (x0 , y0 )k = k(x − x0 , y − y0 )k = = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 . Vlastneˇ jde o vzorec pro vy´pocˇet de´lky u´secˇky, jejı´zˇ koncove´ body majı´ pravou´hle´ sourˇadnice (x0 , y0 ) a (x, y). 1 V na ´ sledujıćıćh obra´zcıćh plnou cˇa´ru zahrnujeme do uvazˇovane´ mnozˇiny, prˇerusˇovanou ne. Podrobneˇji

viz vysveˇtlenı´ na straneˇ 10.

1.2 Vlastnosti mnozˇin v R2

5

y y0 + δ2

ε

C

y0

M

A y0 − δ2 O

x x0 − δ1 x0 x0 + δ1

D

B

a)

b)

Obr. 1.1: Okolı´ a klasifikace bodu˚ v rovineˇ ii) Nenı´-li v neˇkteryćh u´vahaćh podstatna´ velikost polomeˇru okolı´ ε, vynecha´me jej v oznacˇenı´, tj. pouzˇijeme O(X). iii) Lze uka´zat, zˇe pro dalsˇ´ı definice nenı´ podstatne´, zˇe okolı´ bylo definovane´ jako otevrˇeny´ kruh. Stejneˇ dobrˇe by poslouzˇil naprˇ. otevrˇeny´ obde´lnı´k (co je otevrˇena´ mnozˇina se dozvı´te da´le) majıćı´ podobu (x0 − δ1 , x0 + δ1 ) × (y0 − δ2 , y0 + δ2 ), δ1 > 0, δ2 > 0, o rozmeˇrech 2δ1 a 2δ2 se stranami rovnobeˇzˇny´mi s osami x a y a strˇedem v bodeˇ (x0 , y0 ) — viz obr. 1.1 a). V kazˇde´m takove´m obde´lnı´ku je dostatecˇneˇ maly´ kruh s ty´mzˇ strˇedem a naopak v kazˇde´m kruhu je dostatecˇneˇ maly´ obde´lnı´k s ty´mzˇ strˇedem. V na´sledujıćıćh definicıćh totizˇ bude podstatne´, zˇe existuje neˇjake´ (dostatecˇneˇ male´) okolı´ s jistou vlastnostı´. Obde´lnı´kove´ okolı´ se na´m bude hodit pozdeˇji v kapitole o implicitnı´ funkci. Naopak prˇi definici limity, loka´lnıćh extre´mu˚ apod. se na´m bude le´pe pracovat s kruhovy´m okolı´m. ˇ ekneme, zˇe X je Definice 1.5. Necht’M ⊂ R2 je mnozˇina a X ∈ R2 je bod. R a) vnitrˇnı´m bodem mnozˇiny M, jestlizˇe existuje okolı´ O(X) bodu X takove´, zˇe O(X) ⊂ ⊂ M, tj. O(X) ∩ (R2 r M) = ∅, b) vneˇjsˇ´ım bodem mnozˇiny M, jestlizˇe existuje okolı´ O(X) bodu X takove´, zˇe O(X) ⊂ ⊂ R2 r M, tj. O(X) ∩ M = ∅, c) hranicˇnı´m bodem mnozˇiny M, jestlizˇe pro kazˇde´ okolı´ O(X) platı´, zˇe O(X) ∩ M 6= ∅ a O(X) ∩ (R2 r M) 6= ∅. Na obr. 1.1 b) je zna´zorneˇna mnozˇina M a cˇtyrˇi body se svy´mi okolı´mi. Zrˇejmeˇ bod A je vnitrˇnı´m bodem a bod B je vneˇjsˇ´ım bodem. Body C ∈ M a D ∈ / M jsou hranicˇnı´ body mnozˇiny M, protozˇe kazˇde´ jejich okolı´ obsahuje jak body mnozˇiny M, tak body R2 r M. Pozna´mka 1.6. a) Bod X je vnitrˇnı´m bodem mnozˇiny M, jestlizˇe existuje okolı´ O(X) bodu X, ktere´ lezˇ´ı cele´ v M. Tedy kazˇdy´ vnitrˇnı´ bod mnozˇiny M je prvkem mnozˇiny M. b) Bod X je vneˇjsˇ´ım bodem mnozˇiny M, jestlizˇe existuje okolı´ O(X) bodu X, ktere´ lezˇ´ı cele´ mimo M. Tedy zˇa´dny´ vneˇjsˇ´ı bod mnozˇiny M nenı´ prvkem mnozˇiny M. c) Bod X je hranicˇnı´m bodem mnozˇiny M, jestlizˇe kazˇde´ okolı´ O(X) bodu X obsahuje jak body lezˇ´ıcı´ v M, tak body nelezˇ´ıcı´ v M. Hranicˇnı´ bod mu˚zˇe, ale nemusı´ by´t prvkem


6

mnozˇiny M. Naprˇ. bod C obr. 1.1 b) je prvkem mnozˇiny M, bod D nenı´ prvkem mnozˇiny M. d) Jednotlive´ vlastnosti se vylucˇujı´, kazˇdy´ bod v rovineˇ ma´ pra´veˇ jednu z nich. Definice 1.7. Necht’M ⊂ R2 je mnozˇina. a) Mnozˇinu vsˇech vnitrˇnıćh bodu˚ M nazy´va´me jejı´m vnitrˇkem a znacˇ´ıme int M. b) Mnozˇinu vsˇech vneˇjsˇ´ıch bodu˚ M nazy´va´me jejı´m vneˇjsˇkem a znacˇ´ıme ext M. c) Mnozˇinu vsˇech hranicˇnıćh bodu˚ nazy´va´me jejı´ hranicı´ a znacˇ´ıme ∂M. d) Mnozˇinu M nazy´va´me otevrˇenou, jestlizˇe obsahuje pouze sve´ vnitrˇnı´ body, tj. kdyzˇ M = int M. e) Mnozˇinu M nazy´va´me uzavrˇenou, jestlizˇe obsahuje vsˇechny sve´ hranicˇnı´ body, tj. kdyzˇ ∂M ⊂ M. f) Mnozˇinu M = M ∪ ∂M nazy´va´me uza´veˇrem mnozˇiny M. g) Mnozˇina M se nazy´va´ ohranicˇena´ (omezena´), jestlizˇe lezˇ´ı uvnitrˇ neˇjake´ho (dostatecˇneˇ velike´ho) kruhu, tj. kdyzˇ existuje okolı´ O(X) jake´hokoliv bodu X takove´, zˇe M ⊂ ⊂ O(X).

+

Pozna´mka 1.8. i) Vzhledem k e) a f) prˇedchozı´ definice je mnozˇina M uzavrˇena´, pra´veˇ kdyzˇ se rovna´ sve´mu uza´veˇru, tj. kdyzˇ M = M. ii) Z definice 1.5 c) vyply´va´, zˇe mnozˇina M a jejı´ doplneˇk R2 r M majı´ stejnou hranici, tj. ∂M = ∂(R2 r M). Odtud snadno dosta´va´me, zˇe M je otevrˇena´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ jejı´ doplneˇk R2 r M je uzavrˇeny´, a naopak. iii) Mnozˇina M je uzavrˇena´, mnozˇina int M je otevrˇena´. Prˇ´ıklad 1.9. U mnozˇin na obr. 1.2 urcˇete vnitrˇek, hranici a uza´veˇr. Rozhodneˇte, ktere´ z nich jsou otevrˇene´ a ktere´ uzavrˇene´. M4 M1

M2

M5

M3

M6

S a)

b)

c)

d)

e)

f)

Obr. 1.2: Mnozˇiny v rovineˇ Rˇesˇenı´. a) M1 je kruh vcˇetneˇ jej ohranicˇujıćı´ kruzˇnice k. Body lezˇ´ıcı´ uvnitrˇ kruhu jsou vnitrˇnı´ a tvorˇ´ı vnitrˇek M1 , body lezˇ´ıcı´ na kruzˇnici k jsou hranicˇnı´ body M1 . Tedy int M1 = = M1 r k = M2 , ∂M1 = k, M1 = M1 . M1 je uzavrˇena´.

1.2 Vlastnosti mnozˇin v R2

7

Prˇ´ıklad 1.10. Urcˇete vnitrˇek, hranici a uza´veˇr mnozˇiny M = {(x, y) ∈ R2 : 0 5 x 5 1, 0 5 y 5 1, x, y ∈ Q}. Rˇesˇenı´. Mnozˇina M je tvorˇena vsˇemi body jednotkove´ho cˇtverce, y jejichzˇ obeˇ sourˇadnice jsou raciona´lnı´ cˇ´ısla. Protozˇe jak raciona´lnı´ tak iraciona´lnı´ cˇ´ısla jsou na prˇ´ımce rozlozˇena „neomezeneˇ husteˇ“ 1 (mezi libovolny´mi dveˇma ru˚zny´mi raciona´lnı´mi cˇ´ısly je nekonecˇneˇ mnoho dalsˇ´ıch raciona´lnıćh i iraciona´lnıćh cˇ´ısel a obdobneˇ je tomu mezi dveˇma ru˚zny´mi iraciona´lnı´mi cˇ´ısly), nejsme schopni takovou x mnozˇinu nakreslit, obr. 1.3 je jen „prˇiblizˇny´“. O 1 Jestlizˇe vybereme libovolny´ bod jednotkove´ho cˇtverce, at’jsou jeho obeˇ sourˇadnice raciona´lnı´ nebo ne, lezˇ´ı v jeho libovolne´m Obr. 1.3: Hranice okolı´ vzˇdy jak body, jejichzˇ obeˇ sourˇadnice jsou raciona´lnı´ (tedy mnozˇiny jsou to body z M), tak body, ktere´ majı´ asponˇ jednu sourˇadnici iraciona´lnı´ (tedy jsou to body z R2 r M). Proto zˇa´dny´ bod mnozˇiny M nenı´ vnitrˇnı´m bodem mnozˇiny M a libovolny´ bod jednotkove´ho cˇtverce je hranicˇnı´m bodem mnozˇiny M. Tudı´zˇ int M = ∅, ∂M = h0, 1i × h0, 1i a M = h0, 1i × h0, 1i. Mnozˇina M nenı´ ani otevrˇena´ ani uzavrˇena´. Zatı´mco v „rozumnyćh“ prˇ´ıpadech je hranice rovinnyćh mnozˇin tvorˇena krˇivkami nebo jednotlivy´mi body — viz prˇ´ıklad 1.9, ukazuje se, zˇe se mu˚zˇe sta´t, zˇe hranicı´ je i cˇtverec.

+

b) M2 je kruh bez ohranicˇujıćı´ kruzˇnice k. Body lezˇ´ıcı´ uvnitrˇ kruhu jsou vnitrˇnı´ a tvorˇ´ı vnitrˇek M2 , body lezˇ´ıcı´ na kruzˇnici k jsou hranicˇnı´. Tedy int M2 = M2 , ∂M2 = k, M2 = M2 ∪ k = M1 . M2 je otevrˇena´. c) M3 je kruh vcˇetneˇ hornı´ poloviny ohranicˇujıćı´ kruzˇnice k. Oznacˇme l1 hornı´ polovinu kruzˇnice k (vcˇetneˇ krajnıćh bodu˚ te´to polokruzˇnice) a l2 dolnı´ polovinu kruzˇnice k. Body lezˇ´ıcı´ uvnitrˇ kruhu jsou vnitrˇnı´ a tvorˇ´ı vnitrˇek M3 , body lezˇ´ıcı´ na kruzˇnici k (cele´) jsou hranicˇnı´. Tedy int M3 = M3 r l1 = M2 , ∂M3 = k, M3 = M3 ∪ l2 = M1 . M3 nenı´ ani otevrˇena´ ani uzavrˇena´. d) M4 je mezikruzˇ´ım s veˇtsˇ´ı ohranicˇujıćı´ kruzˇnicı´ k1 , ktera´ k nı´ patrˇ´ı, a mensˇ´ı ohranicˇujıćı´ kruzˇnicı´ k2 , ktera´ k nı´ nepatrˇ´ı. Body mezikruzˇ´ı jsou vnitrˇnı´ body M4 a tvorˇ´ı vnitrˇek M4 , body lezˇ´ıcı´ na teˇchto kruzˇnicıćh jsou hranicˇnı´ body M4 . Tedy int M4 = M4 r k1 , ∂M4 = k1 ∪ k2 , M4 = M4 ∪ k2 . M4 nenı´ ani otevrˇena´ ani uzavrˇena´. e) M5 je kruh vcˇetneˇ ohranicˇujıćı´ kruzˇnice k, z neˇhozˇ je vyjmut jeho strˇed S. Body ru˚zne´ od strˇedu S, ktere´ lezˇ´ı uvnitrˇ kruhu, jsou vnitrˇnı´ a tvorˇ´ı vnitrˇek M1 , body lezˇ´ıcı´ na kruzˇnici k jsou hranicˇnı´ body M5 . Hranicˇnı´ bod M5 je ale i bod S. Jeho libovolne´ okolı´ O(S) obsahuje jak body z M5 (je jich dokonce nekonecˇneˇ mnoho) tak body nelezˇ´ıcı´ v M5 (takovy´ bod je vzˇdy (pokud je O(S) dostatecˇneˇ male´) jediny´ — bod S sa´m). Tedy int M5 = M5 r k = M2 r {S}, ∂M5 = k ∪ {S}, M5 = M5 ∪ {S} = M1 . M5 nenı´ ani otevrˇena´ ani uzavrˇena´. f) M6 je u´secˇka vcˇetneˇ krajnıćh bodu˚. Ta nema´ (cha´pana´ jako podmnozˇina R2 !) zˇa´dne´ vnitrˇnı´ body. Kazˇde´ okolı´ jejı´ho libovolne´ho bodu zasahuje mimo ni. Vsˇechny jejı´ body jsou hranicˇnı´. Tedy int M6 = ∅, ∂M6 = M6 , M 6 = M6 . M6 je uzavrˇena´. N


8

+

S mnozˇinami majıćı´mi takove´ vlastnosti se vsˇak v beˇzˇnyćh aplikacıćh nesetka´me.

N

Prˇ´ıklad 1.11. Rozhodneˇte, ktere´ z na´sledujıćıćh podmnozˇin R2 jsou ohranicˇene´: Kruzˇnice, kruh, prˇ´ımka, poloprˇ´ımka, u´secˇka, obde´lnı´k, prvnı´ kvadrant, polorovina, veˇtev hyperboly, parabola, elipsa, vnitrˇek troju´helnı´ka, vneˇjsˇek troju´helnı´ka, mnozˇina M z prˇ´ıkladu 1.10. Rˇesˇenı´. Podle definice 1.7 g) musı´ ohranicˇena´ mnozˇina lezˇet uvnitrˇ neˇjake´ho dostatecˇneˇ velke´ho kruhu. Ohranicˇene´: Kruzˇnice, kruh, u´secˇka, obde´lnı´k, elipsa, vnitrˇek troju´helnı´ka, mnozˇina M z prˇ´ıkladu 1.10. Neohranicˇene´: Prˇ´ımka, poloprˇ´ımka, prvnı´ kvadrant, polorovina, veˇtev hyperboly, parabola, vneˇjsˇek troju´helnı´ka. N Definice 1.12. Necht’M ⊂ R2 je mnozˇina a X ∈ R2 je bod. Rˇekneme, zˇe X je a) hromadny´m bodem mnozˇiny M, jestlizˇe libovolne´ okolı´ O(X) bodu X obsahuje alesponˇ jeden bod mnozˇiny M ru˚zny´ od X. b) izolovany´m bodem mnozˇiny M, jestlizˇe existuje okolı´ O(X) takove´, zˇe platı´ O(X) ∩ M = {X} (tj. existuje okolı´ O(X) bodu X ∈ M, ktere´ kromeˇ bodu X neobsahuje zˇa´dne´ jine´ body mnozˇiny M). Mnozˇina vsˇech hromadnyćh bodu˚ mnozˇiny M se nazy´va´ derivace M a znacˇ´ı se M 0 , mnozˇina vsˇech izolovanyćh bodu˚ mnozˇiny M se nazy´va´ adherence M.

Obr. 1.4

Na obr. 1.4 je zna´zorneˇna mnozˇina M, ktera´ je tvorˇena otevrˇeny´m kruhem vcˇetneˇ prave´ poloviny kruzˇnice, ktera´ jej ohranicˇuje, a bodem A, ktery´ lezˇ´ı vneˇ kruhu. Hromadne´ body mnozˇiny M jsou vsˇechny body dane´ho A kruhu vcˇetneˇ cele´ hranicˇnı´ kruzˇnice, tedy M 0 je uzavrˇeny´ kruh. Bod A je jediny´m izolovany´m bodem mnozˇiny M.

Pozna´mka 1.13. i) Hromadny´ bod mu˚zˇe ale nemusı´ by´t prvkem mnozˇiny M. Mu˚zˇe by´t vnitrˇnı´m nebo hranicˇnı´m (ale ne vneˇjsˇ´ım) bodem M. ii) Izolovany´ bod je prvkem mnozˇiny M a je vzˇdy hranicˇnı´m bodem M. iii) Hromadny´ bod je vzˇdy bodem uza´veˇru, tj. M 0 ⊂ M. iv) Uza´veˇr M je sjednocenı´m derivace M 0 a adherence mnozˇiny M. v) Derivace mnozˇiny nema´ nic spolecˇne´ho s derivacı´ funkce.

Pro za´jemce: Vesˇkere´ pojmy, ktere´ jsme v tomto oddı´lu zavedli, byly definovańy pomocı´ okolı´ bodu. Naprosto analogicky lze proto postupovat v prostoru Rn , kde n = 3, pokud vhodneˇ zavedeme pojem okolı´. Nejprve si vsˇimneme prostoru R3 .

1.3 Definice funkce dvou promeˇnnyćh a jejı´ graf Necht’X = (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 je bod a ε > 0 je cˇ´ıslo. Pak epsilonovy´m okolı´m bodu X rozumı´me otevrˇenou kouli se strˇedem v X a polomeˇrem ε. Znacˇ´ıme je O(X, ε) nebo O((x0 , y0 , z0 ), ε). Tedy O((x0 , y0 , z0 ), ε) = {(x, y, z) ∈ R3 : k(x, y, z) − (x0 , y0 , z0 )k < ε}. p 3 2 2 2 Prˇitom p pro (x, y, z) ∈ R je k(x, y, z)k = x + y + z , takzˇe k(x, y, z) − (x0 , y0 , z0 )k = 2 2 2 = (x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) , cozˇ je opeˇt de´lka u´secˇky s koncovy´mi body o pravou´hlyćh sourˇadnicıćh (x0 , y0 , z0 ) a (x, y, z). Nynı´ bychom te´meˇrˇ doslova zopakovali prˇedchozı´ definice a pozna´mky. Pokuste se prˇedstavit si trojrozmeˇrne´ analogie prˇ´ıkladu˚ z obr. 1.2. Trojrozmeˇrna´ obdoba mnozˇiny z prˇ´ıkladu 1.10 ukazuje, zˇe hranicı´ mnozˇiny mu˚zˇe by´t i teˇleso (konkre´tneˇ zde jednotkova´ krychle). Avsˇak v prˇ´ıpadeˇ „rozumnyćh“ mnozˇin jako krychle, kva´dr, koule, jehlan, kuzˇel apod. bude hranice tvorˇena plochami, krˇivkami nebo body. n n V prˇ´ıpadeˇ obecne √ ´ ho n ∈ N zavedeme normu v R na´sledovneˇ: pro x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R 2 2 polozˇ´ıme kxk = x1 + · · · + xn . Epsilonovy´m okolı´m bodu x ∗ = (x1∗ , . . . , xn∗ ) ∈ Rn rozumı´me otevrˇenou kouli se strˇedem v x ∗ a polomeˇrem ε > 0, kterou oznacˇ´ıme O(x ∗ , ε), definovanou takto:

O(x ∗ , ε) = {x ∈ Rn : kx − x ∗ k < ε}. Tedy q kx − x k = (x1 − x1∗ )2 + · · · + (xn − xn∗ )2 . ∗

Jedna´ se tudı´zˇ o naprostou analogii s prˇ´ıpady n = 2, 3, tentokra´t na´m ale chybı´ geometricka´ na´zornost. Vesˇkere´ pojmy z tohoto oddı´lu, ktere´ byly zavedeny v R2 , se nynı´ snadno prˇenesou do Rn . Obecneˇji viz [2].

1.3

Definice funkce dvou promeˇnnyćh a jejı´ graf

Definice 1.14. Necht’A ⊂ R2 . Pak zobrazenı´ f : A → R, ktere´ kazˇde´ dvojici rea´lnyćh cˇ´ısel (x, y) ∈ A prˇirˇazuje pra´veˇ jedno rea´lne´ cˇ´ıslo z = f (x, y), se nazy´va´ rea´lna´ funkce dvou rea´lnyćh promeˇnnyćh. Mnozˇinu A nazy´va´me definicˇnı´m oborem a znacˇ´ıme D(f ). Protozˇe kazˇdy´ prvek mnozˇiny D(f ) je usporˇa´dana´ dvojice cˇ´ısel (x, y), lze jej geometricky cha´pat jako karte´zske´ sourˇadnice bodu v rovineˇ. Tedy bodu v rovineˇ (x, y) je zobrazenı´m f prˇirˇazeno cˇ´ıslo z. Podobneˇ jako u funkce jedne´ promeˇnne´ pak pı´sˇeme f : z = f (x, y) nebo strucˇneˇ jen z = f (x, y). Mnozˇinu vsˇech takovyćh z ∈ R, k nimzˇ existuje (x, y) ∈ D(f ) tak, zˇe z = f (x, y), pak nazy´va´me obor hodnot funkce f a oznacˇujeme H (f ). Tj. H (f ) = {z ∈ R : ∃(x, y) ∈ D(f ) takove´, zˇe z = f (x, y)}.

9


10

Zadańı´ funkce K zadańı´ funkce f je nutne´ uve´st jednak definicˇnı´ obor D(f ) a jednak pravidlo (prˇedpis), pomocı´ neˇhozˇ je kazˇde´mu (x, y) ∈ D(f ) prˇirˇazen pra´veˇ jeden prvek z ∈ H (f ). Ukazˇme si, s jaky´mi formami za´pisu konkre´tnı´ funkce se mu˚zˇeme setkat. Naprˇ´ıklad ex+y funkci f , ktera´ kazˇde´mu (x, y) ∈ R2 : x 6= y prˇirˇazuje cˇ´ıslo arctg(x−y) , lze zapsat takto: ex+y , arctg(x − y) ex+y f (x, y) = , arctg(x − y) f:z=

D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x 6= y}, D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x 6= y} .

Cˇasto se sta´va´, zˇe je funkce zadańa pouze prˇedpisem a definicˇnı´ obor nenı´ vy´slovneˇ uveden. Pak pokla´da´me za definicˇnı´ obor mnozˇinu vsˇech takovyćh (x, y) ∈ R2 , pro ktera´ ma´ dany´ prˇedpis „smysl“.

Rovnost funkcı´ Z definice plyne, zˇe dveˇ funkce f a g jsou si rovny (pı´sˇeme f = g) pra´veˇ tehdy, kdyzˇ majı´ stejny´ definicˇnı´ obor a v kazˇde´m bodeˇ tohoto definicˇnı´ho oboru platı´ f (x, y) = g(x, y). Symbolicky zapsańo: (f = g)

⇔

[(D(f ) = D(g)) ∧ (∀(x, y) ∈ D(f ) : f (x, y) = g(x, y))]

Uved’me si prˇ´ıklad funkcı´ d, r, ktere´ se rovnajı´. hk , D(f ) = {(h, k) ∈ R2 : h > 0, k > 0}, 2 +k |mn| r(m, n) = 2 , D(f ) = {(m, n) ∈ R2 : m > 0, n > 0} . m + n2 d(h, k) =

h2

+

Neza´lezˇ´ı samozrˇejmeˇ na pouzˇityćh pı´smenech pro oznacˇenı´ promeˇnnyćh. U funkcı´ dvou promeˇnnyćh budeme cˇasto zna´zornˇovat definicˇnı´ obor graficky jako podmnozˇinu v R2 . Definicˇnı´ obor by´va´ ohranicˇen cˇa´stmi prˇ´ımek, kuzˇelosecˇek poprˇ. grafu˚ neˇkteryćh dalsˇ´ıch elementa´rnıćh funkcı´. Domluvı´me se, zˇe cˇa´sti teˇchto hranicˇnıćh krˇivek, ktere´ do definicˇnı´ho oboru patrˇ´ı, vyznacˇ´ıme plnou cˇarou, a ty, ktere´ do definicˇnı´ho oboru nepatrˇ´ı, vyznacˇ´ıme prˇerusˇovanou cˇarou. Prˇ´ıklad 1.15. Urcˇete a zakreslete definicˇnı´ obory na´sledujıćıćh funkcı´. x+y sin xy a) f (x, y) = , b) g(x, y) = 2 , 2 x−y x + y p p x − y2 2 2 c) h(x, y) = x + y − 4 , d) k(x, y) = . ln(9 − x 2 − y 2 ) Rˇesˇenı´.

1.3 Definice funkce dvou promeˇnnyćh a jejı´ graf

11

a) D(f ) je mnozˇina takovyćh (x, y) ∈ R2 , pro neˇzˇ ma´ prˇedpis

x+y smysl. Tento zlomek x−y

ma´ smysl, je-li x − y 6= 0, tj. x 6= y. Tedy D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x 6= y}, cozˇ je cela´ rovina s vyjmutou prˇ´ımkou y = x — viz obr. 1.5 a). b) Stejneˇ jako v prˇedchozı´m bodeˇ pozˇadujeme nenulovost jmenovatele, tj. x 2 + y 2 6= 0. Odtud plyne, zˇe (x, y) 6= (0, 0). D(g) = R2 r {(0, 0)}, cozˇ je cela´ rovina s vyjmuty´m pocˇa´tkem — viz obr. 1.5 b). y

y x=y

x

x O

O

a) D(f )

b) D(g)

y

y

x2 + y2 = 9

x = y2

x2 + y2 = 4 x2 + y2 = 8 x O

2

O

c) D(h)

√ 2 2

x 3

d) D(k)

Obr. 1.5: Definicˇnı´ obory c) Protozˇe druha´ odmocnina je definovańa jen pro neza´porna´ cˇ´ısla, musı´ platit nerovnost x 2 + y 2 − 4 = 0, tj. x 2 + y 2 = 4. Tedy D(h) = {(x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 = 4}, cozˇ je vneˇjsˇek kruhu x 2 + y 2 = 4 vcˇetneˇ ohranicˇujıćı´ kruzˇnice — viz obr. 1.5 c).


12

d) Zlomek ma´ smysl, jestlizˇe ma´ smysl cˇitatel, ma´ smysl jmenovatel a jmenovatel musı´ by´t ru˚zny´ od nuly. Z toho dosta´va´me na´sledujıćı´ podmıńky. • x − y 2 = 0, tj. x = y 2 (druha´ odmocnina je definovańa jen pro neza´porna´ cˇ´ısla), • 9 − x 2 − y 2 > 0, tj. x 2 + y 2 < 9 (prˇirozeny´ logaritmus je definovań jen pro kladna´ cˇ´ısla), • ln(9 − x 2 − y 2 ) 6= 0, tj. 9 − x 2 − y 2 6= 1, tj. x 2 + y 2 6= 8. Tedy D(k) = {(x, y) ∈ R2 : x = y 2 , x 2 + y 2 < 9, x 2 + y 2 6= 8}, cozˇ je pru˚nik otevrˇene´ho kruhu s hranicˇnı´ kruzˇnicı´ x 2 + y 2 = 9, z neˇhozˇ je vyjmuta kruzˇnice x 2 + y 2 = 8, s „vnitrˇkem paraboly“ x = y 2 vcˇetneˇ te´to paraboly — viz N obr. 1.5 d). U funkcı´ jedne´ promeˇnne´ byl velmi du˚lezˇity´m pojmem graf. Nejinak tomu bude i u funkcı´ dvou promeˇnnyćh.

Graf funkce U funkcı´ jedne´ promeˇnne´ f : y = f (x) cha´peme usporˇa´danou dvojici (x, y) jako bod o sourˇadnicıćh x a y. Libovolnou mnozˇinu usporˇa´danyćh dvojic (x, y) pak geometricky cha´peme jako mnozˇinu bodu˚ v rovineˇ. Grafem funkce f : D(f ) → R pak rozumı´me mnozˇinu bodu˚ {(x, y) ∈ R2 : x ∈ D(f ) ∧ y = f (x)}, kde (x, y) znacˇ´ı bod roviny o sourˇadnicıćh x a y. U funkcı´ dvou promeˇnnyćh f : z = f (x, y) zavedeme pojem graf funkce obdobneˇ. Necht’f : z = f (x, y) je funkce dvou promeˇnnyćh. Pak mnozˇinu bodu˚ G ⊂ R3 definovanou vztahem G = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D(f ), z = f (x, y)} nazy´va´me grafem funkce f . Graf funkce f je tedy tvorˇen body x, y, f (x, y) z R3 , prˇicˇemzˇ (x, y) ∈ D(f ). Mnozˇina G ⊂ R3 je grafem neˇjake´ funkce dvou promeˇnnyćh pra´veˇ tehdy, kdyzˇ libovolna´ rovnobeˇzˇka s osou z protne G nejvy´sˇe v jednom bodeˇ. Definicˇnı´m oborem te´to funkce je pru˚meˇt mnozˇiny G do roviny urcˇene´ osami x a y — viz obr. 1.6 a). Tedy naprˇ. kulova´ plocha nenı´ grafem funkce dvou promeˇnnyćh, protozˇe neˇktere´ rovnobeˇzˇky s osou z ji protnou ve dvou bodech — viz body M, N na obr. 1.6 b). Nakreslit graf funkce dvou promeˇnnyćh je obvykle podstatneˇ obtı´zˇneˇjsˇ´ı nezˇ nakreslit graf funkce jedne´ promeˇnne´. Urcˇitou prˇedstavu na´m mohou pomoci vytvorˇit tzv. vrstevnice, ktere´ zna´me ze zemeˇpisnyćh map.

1.3 Definice funkce dvou promeˇnnyćh a jejı´ graf

13

z

z G

G

f (x0 , y0 )

M

N

O

y

y0

x0 x

A = D(f )

y

O x

a) G je grafem funkce

b) G nenı´ grafem funkce

Obr. 1.6: Mnozˇiny v R3 Definice 1.16. Necht’f : z = f (x, y) je funkce dvou promeˇnnyćh a c ∈ R. Pak mnozˇinu (1.1)

vf (c) = {(x, y) ∈ D(f ) : f (x, y) = c} nazy´va´me vrstevnicı´ nebo hladinou funkce f na u´rovni c (o ko´teˇ c). Vrstevnice funkce je tedy mnozˇina bodu˚ definicˇnı´ho oboru, v nichzˇ funkce f naby´va´ dane´ hodnoty c. Vrstevnici dostaneme projekcı´ pru˚niku grafu funkce f s rovinou z = c do roviny urcˇene´ osami x a y — viz obr. 1.7. Pokud doka´zˇeme vrstevnice odpovı´dajıćı´ ru˚zny´m hodnota´m c nakreslit, pomu˚zˇe na´m to udeˇlat si prˇedstavu o grafu funkce f .

z=c z

z = f (x, y)

3 2 1 0

−1

vc

−2

Pozna´mka 1.17. Neˇkdy je vhodne´ pro lepsˇ´ı prˇedstavu o grafu urcˇit nejen vrstevnice, ale take´ rˇezy grafu rovinami x = c resp. y = c. Jejich rovnice jsou z = f (c, y) resp. z = f (x, c), c ∈ R. Specia´lneˇ rˇezy x = 0 a y = 0 jsou v termıńech technicke´ho kreslenı´ vlastneˇ na´rys a bokorys.

−3

−3 −2

−2 −1

−1

y

0

0 1

1 2

x

2 3

3

Prˇ´ıklad 1.18. Urcˇete vrstevnice funkce f : z = x 2 + y 2 a graf funkce f . Rˇesˇenı´. D(f ) = R2 . Podle (1.1) jsou rovnice vrstevnic vf (c) : x 2 + y 2 = c. a) Pro c < 0 je vf (c) = ∅, protozˇe x 2 + y 2 = 0 pro kazˇde´ (x, y) ∈ R2 . b) Pro c = 0 je vf (0) = {(0, 0)}, protozˇe pokud x 6= 0 nebo y 6= 0, je x 2 + y 2 > 0.

+

Obr. 1.7: Vrstevnice


14

c) Pro c > 0 je vf (c) kruzˇnicı´ se strˇedem v pocˇa´tku a polomeˇrem veˇtsˇ´ı je polomeˇr a rovina z = c lezˇ´ı vy´sˇe.

√ c. Cˇ´ım je c veˇtsˇ´ı, tı´m

Vzhledem k tomu, zˇe uvedene´ vrstevnice mu˚zˇe mı´t rotacˇnı´ paraboloid i hornı´ cˇa´st rotacˇnı´ kuzˇelove´ plochy, podı´va´me se jesˇteˇ na rˇezy grafu rovinami x = c. Jejich rovnice jsou z = c2 + y 2 , takzˇe jde o paraboly (v rovinaćh x = c), ktere´ vzniknou posunutı´m paraboly z = y 2 smeˇrem vzhu˚ru ve smeˇru osy z o c2 — viz obr. 1.8 b). Grafem je tedy rotacˇnı´ elipticky´ paraboloid, ktery´ vznikne rotacı´ paraboly z = x 2 lezˇ´ıcı´ v rovineˇ y = 0 kolem osy z. Graf spolu s vrstevnicemi je zna´zorneˇn na obr. 1.8 a). Obecne´ rovnice rotacˇnı´ho paraboloidu, kuzˇelove´ plochy i dalsˇ´ıch kvadratickyćh ploch N najdete v kapitole 9.

z

z 8

8

6

6

z = x2 + y2

4 2 0 −3

z = x2 + y2

4 2

−3 −2 −2

−1 −1

y

0 0

1

a)

1 2

x2

0 −3

x

+ y2

−2

−1 −1

y

2 3

−3 −2 0 0

1

3

1 2

b) z =

=c

x

2 3

c2

3

+ y2

Obr. 1.8: Graf funkce f : z = x 2 + y 2

Pro za´jemce: Zcela analogicky zavedeme rea´lnou funkci trˇ´ı rea´lnyćh promeˇnnyćh. Prvku mnozˇiny A ⊂ R3 prˇirˇadı´me rea´lne´ cˇ´ıslo. Tudı´zˇ kazˇde´ trojici cˇ´ısel (x, y, z) ∈ A, kterou lze geometricky cha´pat jako karte´zske´ sourˇadnice bodu v prostoru, je prˇirˇazeno cˇ´ıslo u ∈ R. Tedy f : u = f (x, y, z). Podobneˇ postupujeme pro rea´lne´ funkce n rea´lnyćh promeˇnnyćh, kde n = 4, 5, 6, . . . . Forma´lneˇ je takova´ funkce zobrazenı´ f : A → R, kde A ⊂ Rn , n ∈ N. Oznacˇenı´ je f : z = = f (x1 , . . . , xn ) resp. strucˇneˇ f : z = f (x), kde x = (x1 , . . . , xn ). Prˇ´ıklady takovyćh funkcı´ jsou u(x, y, z) = x 2 yz+(2x+y−z) sin xy,

D(u) = R3 ,

f (x) = x12 +x22 +· · ·+xn2 ,

D(f ) = Rn .

Analogicky bychom mohli zave´st i pojem graf funkcı´ trˇ´ı a vıće promeˇnnyćh. Pokud bychom jej ale chteˇli geometricky zna´zornit, potrˇebovali bychom naprˇ. u funkce trˇ´ı promeˇnnyćh trˇi dimenze

1.4 Limita a spojitost funkce dvou promeˇnnyćh

15

na definicˇnı´ obor a cˇtvrtou dimenzi na funkcˇnı´ hodnotu. Protozˇe na´sˇ rea´lny´ sveˇt je ale pouze trˇ´ırozmeˇrny´, nelze vytvorˇit model takove´ho grafu.

1.4

Limita a spojitost funkce dvou promeˇnnyćh

Pojmy limity a spojitosti hrajı´ prˇi zkoumańı´ vlastnostı´ funkcı´ dvou (a vıće) promeˇnnyćh stejneˇ du˚lezˇitou roli jako u funkce jedne´ promeˇnne´. Uvidı´me, zˇe rˇada klıćˇovyćh vlastnostı´ je v prˇ´ıpadeˇ funkcı´ vıće promeˇnnyćh stejna´ jako u funkcı´ jedne´ promeˇnne´. Definice 1.19. Necht’ f : z = f (x, y) je funkce dvou promeˇnnyćh a M = (x0 , y0 ) je hromadny´ bod definicˇnı´ho oboru D(f ). Rˇekneme, zˇe funkce f ma´ v bodeˇ M limitu rovnou cˇ´ıslu L ∈ R, jestlizˇe platı´: K libovolne´mu cˇ´ıslu ε > 0 existuje δ > 0 tak, zˇe pro kazˇdy´ bod X = (x, y), X ∈ O(M, δ)∩D(f ), X 6= M, je f (x, y) ∈ (L − ε, L + ε). Pı´sˇeme: lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = L nebo

lim f (x, y) = L

X→M

nebo

lim f (x, y) = L.

x→x0 y→y0

Pozna´mka 1.20. i) Vzhledem k tomu, zˇe M je hromadny´ bod D(f ), budou v libovolne´m okolı´ O(M, δ) vzˇdy neˇjake´ body z D(f ) ru˚zne´ od M. Bez prˇedpokladu, zˇe M je hromadny´ bod, by definici limity vyhovovalo libovolne´ rea´lne´ cˇ´ıslo L. Proto nedefinujeme limitu v izolovane´m bodeˇ. ii) Definice vlastneˇ vyjadrˇuje, zˇe pro body definicˇnı´ho oboru, ktere´ jsou dostatecˇneˇ blı´zke´ bodu M, musı´ by´t funkcˇnı´ hodnoty tak blı´zke´ cˇ´ıslu L, jak jen si prˇedem rˇekneme (ε volı´me, δ-okolı´ musı´me by´t schopni najı´t). Tedy body grafu v dostatecˇneˇ male´m okolı´ bodu M musı´ lezˇet mezi rovinami z = L − ε a z = L + ε — viz obr. 1.9 a). iii) Na bod M kromeˇ toho, zˇe je to hromadny´ bod D(f ), neklademe zˇa´dne´ pozˇadavky. Funkce f v neˇm nemusı´ by´t definovana´, a pokud definovana´ je, neza´lezˇ´ı vu˚bec na tom, jaka´ je funkcˇnı´ hodnota v tomto bodeˇ. iv) Situace na obr. 1.9 a) odpovı´da´ prˇ´ıpadu, kdy M je vnitrˇnı´ bod D(f ). Pak dostatecˇneˇ male´ okolı´ O(M, δ) lezˇ´ı cele´ v D(f ). Pokud M nenı´ vnitrˇnı´m bodem, je nutneˇ hranicˇnı´m bodem definicˇnı´ho oboru (protozˇe je hromadny´m bodem D(f ) — viz pozna´mka 1.13 i)). Pak na cˇa´sti i sebemensˇ´ıho okolı´ nenı´ f definovana´ — viz obr. 1.9 b). v) Vzhledem k tomu, zˇe limita funkce dvou promeˇnnyćh je definovana´ obdobneˇ jako limita funkce jedne´ promeˇnne´, lze doka´zat podobne´ vy´sledky — viz [11, str. 158–160]. Zejmeńa platı´:


16

z L+ε

z=L+ε

L L−ε

z=L−ε

D(f )

z = f (x, y)

O(M, δ) y

O

M

y0 x0 O(M, δ) D(f )

x a) Vnitrˇnı´ bod D(f )

b) Hranicˇnı´ bod D(f )

Obr. 1.9: Limita funkce dvou promeˇnnyćh a) Funkce nemusı´ mı´t limitu. Pokud limita existuje, je jedina´. (Toto tvrzenı´ by neplatilo bez prˇedpokladu, zˇe jde o hromadny´ bod definicˇnı´ho oboru.) b) Jestlizˇe funkce f a g majı´ limitu v bodeˇ M, ktery´ je hromadny´m bodem mnozˇiny D(f ) ∩ D(g), pak take´ jejich soucˇet, rozdı´l, soucˇin, podı´l (jmenovatel musı´ by´t nenulovy´) a na´sobek konstantou majı´ limitu v bodeˇ M a platı´, zˇe lim f (x, y) ± g(x, y) = lim f (x, y) ± lim g(x, y) X→M

X→M

X→M

(limita ze soucˇtu resp. rozdı´lu je soucˇet resp. rozdı´l limit), lim f (x, y)g(x, y) = lim f (x, y) · lim g(x, y)

X→M

X→M

X→M

(limita ze soucˇinu je soucˇin limit), lim αf (x, y) = α lim f (x, y), α∈R

X→M

X→M

(multiplikativnı´ konstantu lze vyty´kat), lim f (x, y) f (x, y) X→M lim = , pokud lim g(x, y) 6= 0 X→M g(x, y) X→M lim g(x, y) X→M

(limita z podı´lu je podı´l limit). vi) Obdobneˇ by bylo mozˇne´ zave´st nevlastnı´ limitu L = ±∞ a limity v nevlastnıćh


17

bodech (±∞, y0 ), (x0 , ±∞) a (±∞, ±∞). Tyto pojmy vsˇak v u´vodnı´m kurzu nebudeme potrˇebovat. Nezˇ se podı´va´me na prakticky´ vy´pocˇet limit, uvedeme jesˇteˇ jeden du˚lezˇity´ pojem. ˇ ekneme, zˇe funkce f : z = f (x, y) je spojita´ v bodeˇ M = (x0 , y0 ), Definice 1.21. R jestlizˇe platı´ lim f (x, y) = f (x0 , y0 ). (1.2) (x,y)→(x0 ,y0 )

Pozna´mka 1.22. i) Z prˇedchozı´ definice vyply´va´: Aby funkce byla spojita´ v neˇjake´m bodeˇ (ktery´ musı´ by´t hromadny´m bodem jejı´ho definicˇnı´ho oboru — to plyne z definice limity), pak — funkce musı´ mı´t v tomto bodeˇ limitu L, — funkce musı´ by´t v tomto bodeˇ definovana´, tj. existuje f (x0 , y0 ), — prˇedchozı´ dveˇ cˇ´ısla L a f (x0 , y0 ) musı´ by´t stejna´. ii) Pokud je funkce definovana´ v neˇjake´m bodeˇ, ktery´ je izolovany´m bodem definicˇnı´ho oboru, nelze zde mluvit o limiteˇ a tedy ani spojitosti, cozˇ je neprˇ´ıjemne´. Domluvı´me se proto, zˇe funkci budeme povazˇovat za spojitou v kazˇde´m izolovane´m bodeˇ definicˇnı´ho oboru. Ma´me-li tedy vypocˇ´ıtat limitu funkce v bodeˇ spojitosti, je to jednoduche´ — jde vlastneˇ o vy´pocˇet funkcˇnı´ hodnoty. Abychom mohli tuto skutecˇnost ućˇinneˇ vyuzˇ´ıt, potrˇebovali bychom veˇdeˇt o co nejvıće funkcıćh, se ktery´mi se prakticky setka´va´me, zda jsou spojite´. V kurzu diferencia´lnı´ho pocˇtu funkcı´ jedne´ promeˇnne´ (viz naprˇ. [11, str. 63]) jste se sezna´mili s elementa´rnı´mi funkcemi jedne´ promeˇnne´ (jsou to mnohocˇleny, goniometricke´ a cyklometricke´ funkce, exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce, mocninna´ funkce a funkce, ktere´ z nich vzniknou konecˇny´m pocˇtem aritmetickyćh operacı´ secˇ´ıtańı´, odcˇ´ıtańı´, na´sobenı´ a deˇlenı´ a skla´dańı´m) a rˇekli jste si, zˇe jsou v bodech, v nichzˇ jsou definovańy, spojite´. Pro spojitost funkcı´ dvou promeˇnnyćh bude platit tote´zˇ, pokud vyjdeme z elementa´rnıćh funkcı´ jedne´ promeˇnne´, jejichzˇ argumenty budou oznacˇene´ ru˚zny´mi pı´smeny. Takove´ funkce budou spojite´ ve vsˇech bodech svyćh definicˇnıćh oboru˚. Naprˇ´ıklad z=

(x + y)2 p , tg x + sin y

z=

x + 2y − x 3 x 2 + y 2 − x 2y 2

apod.

Prˇ´ıklad 1.23. Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ limitu: p x 2 + y 2 arctg xy lim . (x,y)→(0,1) ln(exy + 3y 2 ) Rˇesˇenı´. Protozˇe dana´ funkce je vytvorˇena vy´sˇe popsany´m zpu˚sobem z elementa´rnıćh funkcı´ jedne´ promeˇnne´ a je v bodeˇ (0, 1) definovana´, je zde i spojita´ a limita je rovna funkcˇnı´ hodnoteˇ. Tedy p √ x 2 + y 2 arctg xy 02 + 12 arctg 01 arctg 0 0 lim = = = = 0. (x,y)→(0,1) ln(exy + 3y 2 ) ln(e0·1 + 3 · 12 ) ln(1 + 3) ln 4 N

+

z = x 2 y − xy 3 + 4xy,


+

18

Pro funkce jedne´ promeˇnne´ existuje velmi ućˇinny´ na´stroj na vy´pocˇet limit — l’Hospitalovo pravidlo. Bohuzˇel pro funkce vıće promeˇnnyćh nic podobne´ho neexistuje a vy´pocˇet limit je daleko obtı´zˇneˇjsˇ´ı. Paradoxneˇ cˇasto by´va´ jednodusˇsˇ´ı uka´zat, zˇe neˇjaka´ limita neexistuje. To se u funkcı´ vıće promeˇnnyćh (u limit typu 00 ) cˇasto sta´va´. Pouzˇ´ıva´ se prˇi tom obvykle na´sledujıćı´ obrat. Jestlizˇe existuje limita funkce f (x, y) v bodeˇ (x0 , y0 ) a je rovna L, tj. funkcˇnı´ hodnoty se prˇi prˇiblizˇovańı´ bodu (x, y) k bodu (x0 , y0 ) „ze vsˇech mozˇnyćh stran“ cˇ´ım da´l vıće blı´zˇ´ı k L, musı´ tı´m spı´sˇ platit tote´zˇ, kdyzˇ se pohybujeme po libovolne´ krˇivce „u´stıćı´“ do bodu (x0 , y0 ) — (x0 , y0 ) viz obr. 1.10. Pokud se na´m tedy podarˇ´ı najı´t dveˇ takove´ krˇivky, po nichzˇ vycha´zı´ tyto „cˇa´stecˇne´“ limity ru˚zneˇ, nemu˚zˇe zkoumana´ limita existovat. Za krˇivky se cˇasto volı´ naprˇ. prˇ´ımky o rovnicıćh y = k(x − x0 ) + y0 pro ru˚zne´ smeˇrnice k. Obr. 1.10 xy . Prˇ´ıklad 1.24. Vypocˇteˇte limitu lim 2 (x,y)→(0,0) x + y 2 Rˇesˇenı´. Uka´zˇeme, zˇe tato limita neexistuje. Vsˇimneˇte si, zˇe (0, 0) je jediny´ problematicky´ bod. Vsˇude jinde je funkce definovana´, a tudı´zˇ spojita´ a limita je rovna funkcˇnı´ hodnoteˇ. Zvolı´me prˇ´ımky y = kx, ktere´ procha´zejı´ pocˇa´tkem. Body na nich lezˇ´ıcı´ majı´ tvar (x, kx), k ∈ R. Aby se tyto body blı´zˇily k pocˇa´tku, musı´ platit x → 0. Tedy kx 2 k k x · kx = lim = lim = . 2 2 2 2 2 x→0 x (1 + k ) x→0 1 + k x→0 x + (kx) 1 + k2 lim

Vy´sledek za´visı´ na k, tj. na smeˇrnici prˇ´ımky, po nı´zˇ se blı´zˇ´ıme k pocˇa´tku. Tedy limita skutecˇneˇ neexistuje. Mezi uvazˇovany´mi prˇ´ımkami nenı´ osa y, ktera´ nema´ smeˇrnicovy´ tvar. Pro u´plnost urcˇ´ıme i limitu po te´to prˇ´ımce. Jejı´ body majı´ tvar (0, y), takzˇe 0 0·y = lim = lim 0 = 0. y→0 y 2 y→0 y→0 0 + y 2 lim

Graf funkce je zna´zorneˇn na obr. 1.11 (pro na´zornost jsou uvedeny pohledy ze dvou smeˇru˚). N

+

I kdyzˇ „cˇa´stecˇne´“ limity po vsˇech mozˇnyćh prˇ´ımkaćh existujı´ a jsou stejne´, mu˚zˇe se sta´t, zˇe „dvourozmeˇrna´“ limita neexistuje. Mu˚zˇe totizˇ existovat jina´ krˇivka, pode´l nı´zˇ „cˇa´stecˇna´“ limita neexistuje nebo ma´ jinou hodnotu, jak ukazuje na´sledujıćı´ prˇ´ıklad. Prˇ´ıklad 1.25. Vypocˇteˇte limitu

3x 2 y . (x,y)→(0,0) x 4 + y 2 lim

Rˇesˇenı´. Uka´zˇeme, zˇe ani tato limita neexistuje. Bod (0, 0) je opeˇt jediny´ problematicky´ bod, vsˇude jinde je funkce spojita´.


19

−1

z

1

z 0,4

0,4

−0,4

0

0

−0,4

x

−0,5

y

0

0,5

0

−0,4

0,4 −1

0,4

0

−1

−0,4

−0,5

x

1

1

y

0

a)

0,5

1 −1

b)

Obr. 1.11: Graf funkce f (x, y) =

xy x 2 +y 2

Zkusı´me nejprve opeˇt prˇ´ımky y = kx, k ∈ R, tj. budeme se prˇiblizˇovat po bodech (x, kx), kde x → 0. Dostaneme 3x 2 · kx 3kx 3 3kx = lim = lim 2 =0 4 2 2 2 2 x→0 x + (kx) x→0 x (x + k ) x→0 x + k 2 lim

pro libovolne´ k ∈ R.

Doplnı´me jesˇteˇ osu y, ktera´ mezi prˇ´ımkami y = kx nenı´ zahrnuta, protozˇe nema´ smeˇrnicovy´ tvar. Jde o body (0, y), kde y → 0. Vyjde 3 · 02 · y 0 = lim 2 = lim 0 = 0. 4 2 y→0 0 + y y→0 y y→0 Skutecˇneˇ tudı´zˇ po vsˇech prˇ´ımkaćh vcha´zejıćıćh do bodu (0, 0) vycha´zı´ cˇa´stecˇna´ limita stejneˇ — viz obr 1.12. Nynı´ pouzˇijeme naprˇ. parabolu y = x 2 , tj. budeme se prˇiblizˇovat po bodech (x, x 2 ), x → 0 — viz obr 1.12. Dostaneme lim

y

x

3x 2 · x 2 3x 4 3 3 lim 4 = lim = lim = . x→0 x + (x 2 )2 x→0 2x 4 x→0 2 2

Prˇ´ıklad 1.26. Vysˇetrˇete limitu funkce f (x, y) =

2xy v bodech: a) A = (1, 1), xy + 2x − y

b) B = (0, 0), c) C = (−1, −1). Rˇesˇenı´. a) V tomto prˇ´ıpadeˇ nenastane zˇa´dny´ proble´m, do funkce je mozˇno bod A = (1, 1) prˇ´ımo dosadit, protozˇe je v tomto bodeˇ spojita´. Tedy 2xy 2 = = 1. (x,y)→(1,1) xy + 2x − y 2 lim

+

Obr. 1.12 Tato limita nenı´ na rozdı´l od prˇ´ımek nulova´, proto celkova´ limita neexistuje. Graf funkce je zna´zorneˇn na obr. 1.13 (pro na´zornost jsou uvedeny pohledy ze dvou smeˇru˚). N


20

z

z

1

1

0 0

−1 2

−2 1

−1

x

0

0

2

2

−1 1

y

−1

1

−2

−1

0

x

0 −1

−2

−2

a)

y

1 2

b)

Obr. 1.13: Graf funkce f (x, y) =

3x 2 y x 4 +y 2

b) V prˇ´ıpadeˇ bodu B = (0, 0) jizˇ vy´pocˇet prˇ´ımy´m dosazenı´m nenı´ mozˇny´, nebot’v tomto bodeˇ nenı´ funkce definovana´. Bod B je tudı´zˇ bodem nespojitosti dane´ funkce. Pouzˇijeme naprˇ. prˇ´ımky y = kx, k ∈ R, a budeme se k bodu nespojitosti prˇiblizˇovat po bodech (x, kx). Dostaneme: ( 2kx 2 x(2kx) 2kx 0 pro k 6= 2, lim 2 = lim = lim = x→0 kx + 2x − kx x→0 x(kx + 2 − k) x→0 kx + 2 − k 2 pro k = 2. Limita tedy v bodeˇ B neexistuje. c) V bodeˇ C = (−1, −1) funkce rovneˇzˇ nenı´ definovana´, takzˇe se jedna´ opeˇt o jejı´ bod nespojitosti. Zvolı´me naprˇ. prˇ´ımku y = −1. Po dosazenı´ vyjde: ( 2 −2x +∞ pro x → −1+ , lim = = 0 x→−1± x + 1 −∞ pro x → −1− . Limita tedy v bodeˇ C neexistuje. N Nynı´ si uka´zˇeme, jak lze naopak neˇjakou limitu spocˇ´ıtat. K tomu se cˇasto u funkcı´ dvou promeˇnnyćh pouzˇ´ıvajı´ tzv. pola´rnı´ sourˇadnice, se ktery´mi se sezna´mı´te podrobneˇji u transformacı´ dvojne´ho integra´lu. Poloha bodu (x, y) je popsańa dveˇma cˇ´ısly ρ, ϕ — viz. obr 1.14: Vztah mezi karte´zsky´mi a pola´rnı´mi sourˇadnicemi je dań rovnicemi (da´ se odvodit za pomoci definice goniometrickyćh funkcı´) x = x0 + ρ cos ϕ,

y = y0 + ρ sin ϕ.

Da´le pouzˇijeme na´sledujıćı´ jednoduche´ ale uzˇitecˇne´ lemma.

(1.3)


y ρ ϕ

y0 ϕ O

x0

x

21

ρ – vzda´lenost bodu (x, y) od pevne´ho bodu (x0 , y0 ) (tzv. strˇed; cˇasto je to pocˇa´tek (0, 0)). Platı´: ρ ∈ h0, +∞). ϕ – u´hel, ktery´ svı´ra´ poloprˇ´ımka, jezˇ zacˇ´ına´ v bodeˇ (x0 , y0 ) a procha´zı´ bodem (x, y), s kladnou cˇa´stı´ osy x (meˇrˇeno proti smeˇru hodinovyćh rucˇicˇek). Platı´: ϕ ∈ h0, 2π).

Obr. 1.14 Lemma 1.27. Prˇedpokla´dejme, zˇe funkci f (x, y) lze v pola´rnıćh sourˇadnicıćh se strˇedem v bodeˇ (x0 , y0 ) vyja´drˇit ve tvaru f (x, y) = L + g(ρ)h(ρ, ϕ), L ∈ R, kde i) lim g(ρ) = 0, ρ→0

ii) h(ρ, ϕ) je ohranicˇena´ na obde´lnı´ku (0, ρ0 i × h0, 2πi, kde ρ0 > 0. Pak platı´:

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = L.

Du˚kaz. Necht’je h ohranicˇena na zmıńeˇne´m obde´lnı´ku konstantou K ∈ R+ , tj. |h(ρ, ϕ)| 5 5 K. Zvolme libovolne´ ε > 0. Z definice limity vyply´va´, zˇe existuje 0 < δ < ρ0 takove´, zˇe pro 0 < ρ < δ je |g(ρ)| < ε/K. Tedy pro (x, y) ∈ O((x0 , y0 ), δ), (x0 , y0 ) 6= (0, 0), je |f (x, y) − L| = |g(ρ)| · |h(ρ, ϕ)| <

ε · K = ε, K

z cˇehozˇ plyne tvrzenı´. x 2y . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 lim

+

Prˇ´ıklad 1.28. Vypocˇteˇte limitu

Rˇesˇenı´. Pouzˇijeme-li pola´rnı´ sourˇadnice, prˇicˇemzˇ (x0 , y0 ) = (0, 0), dostaneme: x 2y ρ 2 cos2 ϕ · ρ sin ϕ ρ 3 sin ϕ cos2 ϕ = 2 = 2 = ρ sin ϕ cos2 ϕ. 2 2 2 2 2 2 2 x +y ρ cos ϕ + ρ sin ϕ ρ (cos ϕ + sin ϕ) Nynı´ pouzˇijeme prˇedchozı´ lemma. Zvolı´me L = 0, g(ρ) = ρ a h(ρ, ϕ) = sin ϕ cos2 ϕ (h zde neza´visı´ na ρ). Prˇedpoklady jsou splneˇny: lim ρ = 0 a funkce sin ϕ cos2 ϕ je ohranicˇena´,

z

ρ→0

protozˇe je | sin ϕ cos2 ϕ| 5 1. Tedy nasˇe limita je rovna L = 0. Graf funkce je zna´zorneˇn na obr. 1.15. Vsˇimneˇte si zdańliveˇ jen nepatrne´ho rozdı´lu v zadańı´ funkcı´ v tomto a prˇedchozı´m prˇ´ıkladu a zcela odlisˇne´ho chovańı´ jejich grafu˚ v okolı´ pocˇa´tku. N

1 3

0 2

−1 1

−3 −2

0 −1

x

−1

0 1

−2

2 3

Obr. 1.15

−3

y


+

22

Prˇ´ıklad 1.29. Vypocˇteˇte limitu Rˇesˇenı´. Zlomek

(x 4 + y 2 ) sin(x 2 + y 2 ) p . (x,y)→(0,0) (x 2 + y 2 )3

2 2 2 (x 4 +y √ ) sin(x +y ) (x 2 +y 2 )3

lim

si nejprve vhodneˇ rozlozˇ´ıme na soucˇin. Pouzˇijeme-li

opeˇt transformaci do pola´rnıćh sourˇadnic, dostaneme: sin(x 2 + y 2 ) (x 4 + y 2 ) sin(ρ 2 cos2 ϕ + ρ 2 sin2 ϕ) ρ 4 cos4 ϕ + ρ 2 sin2 ϕ p p · 2 = · = ρ2 (x 2 + y 2 ) x + y 2 ρ2 sin ρ 2 = · (ρ 2 cos4 ϕ + sin2 ϕ). ρ Abychom mohli pouzˇ´ıt lemma 1.27, musı´ by´t lim g(ρ) = 0. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ bude funkce ρ→0

2

g(ρ) = sinρρ . Za pouzˇitı´ l’Hospitalova pravidla uka´zˇeme, zˇe tato podmıńka je skutecˇneˇ splneˇna. sin ρ 2 2ρ cos ρ 2 lim g(ρ) = lim = lim = 0. ρ→0 ρ→0 ρ→0 ρ 1 Druha´ podmıńka lemmatu 1.27 na´m rˇ´ıka´, zˇe funkce h(ρ, ϕ) musı´ by´t ohranicˇena´ na obde´lnı´ku (0, 1i × h0, 2πi. I tato podmıńka je vsˇak splneˇna, nebot’|ρ| 5 1, | cos ϕ| 5 1, | sin ϕ| 5 1 a tudı´zˇ |ρ 2 cos4 ϕ + sin2 ϕ| 5 ρ 2 | cos4 ϕ| + | sin2 ϕ| 5 1 · 1 + 1 5 2. Za L volı´me 0. Protozˇe jsou podmıńky lemmatu splneˇny, je nasˇe limita rovna L, tudı´zˇ nule. Zlomek postup:

2 2 2 (x 4 +y √ ) sin(x +y ) 2 2 3 (x +y )

bylo mozˇno rozlozˇit i jiny´m zpu˚sobem. Ukazˇme si i tento

sin(x 2 + y 2 ) (x 4 + y 2 ) (x 4 + y 2 ) sin(x 2 + y 2 ) p = ·p . x2 + y2 (x 2 + y 2 )3 x2 + y2 Po dosazenı´ pola´rnıćh sourˇadnic dostaneme na´sledujıćı´ vy´raz: sin ρ 2 ρ 4 cos4 ϕ + ρ 2 sin2 ϕ sin ρ 2 · = · (ρ 3 cos4 ϕ + ρ sin2 ϕ) = ρ2 ρ ρ2 sin ρ 2 = · ρ(ρ 2 cos4 ϕ + sin2 ϕ). ρ2 Nynı´ volı´me g(ρ) = ρ, h(ρ, ϕ) =

sin ρ 2 ρ2

· (ρ 2 cos4 ϕ + sin2 ϕ) a L = 0. Podmıńka

lim g(ρ) = 0 je splneˇna. Da´le jizˇ vı´me, zˇe funkce ρ 2 cos4 ϕ + sin2 ϕ je ohranicˇena´

ρ→0

sin ρ 2 2 ρ→0 ρ

a lim

2ρ cos ρ 2 2ρ ρ→0

= lim

= 1. Uveˇdomte si, zˇe jestlizˇe ma´ neˇjaka´ funkce limitu, je

v neˇjake´m okolı´ prˇ´ıslusˇne´ho bodu ohranicˇena´. Tudı´zˇ i podmıńka, zˇe funkce h(ρ, ϕ) musı´ by´t ohranicˇena´, je splneˇna. Hodnota limity je proto rovna L = 0. N Pozna´mka 1.30. Pola´rnı´ sourˇadnice lze vyuzˇ´ıt i k du˚kazu, zˇe neˇjaka´ limita neexistuje. Zafixujeme-li v rovnicıćh x = x0 + ρ cos ϕ, y = y0 + ρ sin ϕ u´hel ϕ, pak prˇi ρ → 0+ se


23

prˇiblizˇujeme k bodu (x0 , y0 ) po prˇ´ımkaćh se smeˇrovy´m vektorem (cos ϕ, sin ϕ). Pokud tedy lim f (x0 + ρ cos ϕ, y0 + ρ sin ϕ) (1.4) ρ→0+

neda´va´ pro vsˇechna ϕ ∈ h0, 2π) stejny´ vy´sledek, pak urcˇiteˇ limita lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y)

(1.5)

neexistuje. Naprˇ. v prˇ´ıkladu 1.24 vyjde ρ 2 cos ϕ sin ϕ xy = = cos ϕ sin ϕ. x2 + y2 ρ 2 cos2 ϕ + ρ 2 cos2 ϕ Tedy lim cos ϕ sin ϕ = cos ϕ sin ϕ, cozˇ potvrzuje vy´sledek, ktery´ jsme obdrzˇeli, a to, zˇe ρ→0+

prˇ´ıslusˇna´ limita neexistuje. Samozrˇejmeˇ pokud je limita (1.4) pro vsˇechna ϕ stejna´, neznamena´ to, zˇe limita (1.5) existuje. To ukazuje prˇ´ıklad 1.25, kde 3x 2 y 3ρ 3 cos2 ϕ sin ϕ 3ρ cos2 ϕ sin ϕ = = , x4 + y2 ρ 4 cos4 ϕ + ρ 2 sin2 ϕ ρ 2 cos4 ϕ + sin2 ϕ tedy lim

ρ→0+

3ρ cos2 ϕ sin ϕ =0 ρ 2 cos4 ϕ + sin2 ϕ

pro vsˇechna ϕ ∈ h0, 2π). Prˇesto, jak jsme uka´zali, zmıńeˇna´ limita neexistuje.

Pro za´jemce: Projdeme-li si podrobneˇ definici limity funkce dvou promeˇnnyćh, zjistı´me, zˇe je zalozˇena na pojmu okolı´ bodu. Pojem okolı´ bodu jsme vsˇak zavedli nejen v R2 , ale v libovolne´m Rn , kde n ∈ N. Proto je mozˇne´ jednodusˇe definici limity prˇene´st na funkci f , majıćı´ libovolny´ konecˇny´ pocˇet promeˇnnyćh. Pro funkce vıće promeˇnnyćh zu˚stanou v platnosti vsˇechna za´kladnı´ tvrzenı´ ty´kajıćı´ se limit. Obdobneˇ se rovneˇzˇ zavede pojem spojitosti. Zejmeńa platı´, zˇe funkce vıće promeˇnnyćh vytvorˇene´ z elementa´rnıćh funkcı´ jedne´ promeˇnne´ zu˚stanou na svyćh definicˇnıćh oborech spojite´. Odlisˇnosti nastanou pouze v praktickyćh vy´pocˇtech limit. V prˇ´ıpadech, kdy chceme uka´zat, zˇe limita neexistuje, budeme opeˇt hledat „krˇivky smeˇrˇujıćı´ do dane´ho bodu“, po nichzˇ limita funkce jedne´ promeˇnne´ vyjde ru˚zneˇ. Obtı´zˇneˇjsˇ´ı je situace, kdy chceme doka´zat existenci limity. Bylo by mozˇne´ naprˇ. zave´st obdobu pola´rnıćh sourˇadnic v obecne´m Rn . Pro n = 3 jsou to tzv. sfe´ricke´ sourˇadnice — viz naprˇ. [16, str. 346]. Pak by bylo mozˇne´ doka´zat analogii lemmatu 1.27. Jde vsˇak o pomeˇrneˇ obtı´zˇnou problematiku, ktere´ se podrobneˇji veˇnovat nebudeme.


24

1.5

Dvojne´ a dvojna´sobne´ limity

Necht’ (x0 , y0 ) ∈ R2 a δ0 > 0. Oznacˇme A = (x0 − δ0 , x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ0 ), B = (y0 − − δ0 , y0 ) ∪ (y0 , y0 + δ0 ) a D = A × B. Tedy D je cˇtverec se strˇedem v (x0 , y0 ), z neˇhozˇ je vyjmut krˇ´ızˇ procha´zejıćı´ strˇedem. Veˇta 1.31. Prˇedpokla´dejme, zˇe funkce f je definovańa na D. Necht’ pro kazˇde´ x ∈ A existuje lim f (x, y) = ϕ(x). y→y0

Existuje-li

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = L, pak existuje take´ lim ϕ(x) a platı´ x→x0

lim ϕ(x) = L.

x→x0

Du˚kaz. Zvolme libovolne´ ε > 0. Podle prˇedpokladu k cˇ´ıslu ε/2 existuje δ > 0, δ < δ0 , takove´, zˇe pro kazˇde´ (x, y) ∈ (x0 − δ, x0 + δ) × (y0 − δ, y0 + δ) ∩ D platı´ |f (x, y) − − L| < ε/2. Pro kazˇde´ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), x 6= x0 , limitnı´m prˇechodem pro y → y0 dostaneme lim f (x, y) − L 5 ε < ε, tj. |ϕ(x) − L| < ε. y→y0 2 To ovsˇem znamena´, zˇe lim ϕ(x) = L. x→x0

Tvrzenı´ prˇedchozı´ veˇty lze zapsat takto: lim lim f (x, y) = L.

x→x0 y→y0

(1.6)

Podobneˇ pokud pro kazˇde´ y ∈ B bude existovat lim f (x, y) = ψ(y), dostaneme x→x0

z prˇedchozı´ veˇty za´meˇnou x a y, zˇe lim lim f (x, y) = L.

y→y0 x→x0

(1.7)

Limity (1.6) a (1.7) se nazy´vajı´ dvojna´sobne´ na rozdı´l od limity ve smyslu definice 1.19, ktere´ se rˇ´ıka´ dvojna´. Prˇedchozı´ veˇta rˇ´ıka´, zˇe z existence vnitrˇnıćh limit a dvojne´ limity plyne existence dvojna´sobnyćh limit, ktere´ jsou pak stejne´. Platı´ tedy: Du˚sledek 1.32. Jestlizˇe existujı´ obeˇ dvojna´sobne´ limity (1.6) a (1.7) a jsou ru˚zne´, neexistuje dvojna´ limita. Toto tvrzenı´ lze pouzˇ´ıt k du˚kazu, zˇe neˇjaka´ dvojna´ limita neexistuje. Na´sledujıćı´ prˇ´ıklady ukazujı´, jake´ mohou by´t vztahy mezi dvojnou limitou a dvojna´sobny´mi limitami. Zejmeńa ukazujı´, zˇe prˇedpoklad existence vnitrˇnı´ limity nelze vynechat.

1.5 Dvojne´ a dvojna´sobne´ limity

Prˇ´ıklad 1.33. Zjisteˇte, zda existujı´ dvojne´ limity na´sledujıćıćh funkcı´ v bodeˇ (0, 0). V prˇ´ıpadeˇ, zˇe ano, vypocˇteˇte je. x 2 sin x1 + y 2 x2 − y2 + x3 + y3 , b) g(x, y) = , a) f (x, y) = x2 + y2 x2 + y2 1 c) h(x, y) = x sin , d) k(x, y) = (x 2 + y 2 )χ(x, y). y Funkce χ je definovana´ na´sledovneˇ: ( 1 kdyzˇ (x, y) ∈ Q × Q nebo (x, y) ∈ I × I, χ(x, y) = 0 kdyzˇ (x, y) ∈ Q × I nebo (x, y) ∈ I × Q. Prˇitom I = R r Q je mnozˇina vsˇech iraciona´lnıćh cˇ´ısel. Rˇesˇenı´. a) Platı´: ϕ(x) = lim f (x, y) = 1 + x, x 6= 0

⇒

ψ(y) = lim f (x, y) = −1 + y, y 6= 0

⇒

y→0

lim ϕ(x) = 1,

x→0

x→0

lim ψ(y) = −1.

y→0

Dvojna´sobne´ limity existujı´, ale jsou ru˚zne´, takzˇe podle du˚sledku 1.32 dvojna´ limita neexistuje. b) Platı´: 1 ϕ(x) = lim g(x, y) = sin , x 6= 0 y→0 x ψ(y) = lim g(x, y) = 1, y 6= 0 x→0

⇒

lim ϕ(x) neexistuje,

x→0

⇒

lim ψ(y) = 1.

y→0

Vnitrˇnı´ limity pro x → 0 a y → 0 tedy existujı´, ale dvojna´sobna´ limita existuje jen jedna. Protozˇe lim g(x, 0) = lim sin x1 neexistuje, neexistuje ani dvojna´ limita. x→0

x→0

c) Platı´: 1 ϕ(x) = lim h(x, y) = lim x sin , x 6= 0, neexistuje, y→0 y→0 y ψ(y) = lim h(x, y) = 0, y 6= 0 ⇒ lim ψ(y) = 0. x→0

y→0

Jedna vnitrˇnı´ limita tedy neexistuje, jedna dvojna´sobna´ limita existuje. Dvojna´ limita existuje a je rovna nule, protozˇe funkce h je soucˇinem funkce x majıćı´ limitu nula a ohranicˇene´ funkce sin y1 . Rovnost s existujıćı´ dvojna´sobnou limitou plyne z veˇty 1.31. d) Pro x 6= 0 neexistuje lim k(x, y) a pro y 6= 0 neexistuje lim k(x, y). Tedy ani jedna y→0

x→0

z vnitrˇnıćh limit neexistuje. Prˇitom dvojna´ limita existuje a je rovna nule, protozˇe funkce k je soucˇinem funkce x 2 + y 2 majıćı´ limitu nula a ohranicˇene´ funkce χ(x, y). N

+

25


26

X

Pojmy k zapamatovańı´ — — — — — — — — — —

?

funkce dvou (resp. vıće) promeˇnnyćh graf funkce dvou promeˇnnyćh definicˇnı´ obor funkce dvou promeˇnnyćh vrstevnice (hladina) funkce dvou promeˇnnyćh okolı´ bodu vnitrˇnı´, vneˇjsˇ´ı, hranicˇnı´ bod hromadny´ a izolovany´ bod uzavrˇena´ a otevrˇena´ mnozˇina limita funkce dvou promeˇnnyćh spojitost funkce dvou promeˇnnyćh

Kontrolnı´ ota´zky 1. Co rozumı´me pojmem funkce dvou promeˇnnyćh? 2. Jak pozna´me, zˇe je mnozˇina bodu˚ v R2 grafem funkce dvou promeˇnnyćh? 3. K cˇemu slouzˇ´ı vrstevnice? 4. Definujte epsilonove´ okolı´ bodu v R2 . 5. Porovnejte definici okolı´ bodu v prˇ´ıpadeˇ funkce jedne´ promeˇnne´ a funkce dvou promeˇnnyćh. 6. Proved’te klasifikaci bodu˚ v rovineˇ. 7. Definujte otevrˇenou resp. uzavrˇenou mnozˇinu v R2 . 8. Existuje mnozˇina, ktera´ nenı´ ani uzavrˇena´ ani otevrˇena´? 9. Jak pocˇ´ıta´me limitu funkce dvou promeˇnnyćh? 10. Da´ se prˇi vy´pocˇtu limit funkcı´ dvou promeˇnnyćh tvaru podı´lu l’Hospitalovo pravidlo?

0 0

resp.

∞ ∞

pouzˇ´ıt

11. Co musı´ by´t splneˇno, aby funkce dvou promeˇnnyćh byla spojita´ v neˇjake´m bodeˇ? 12. Mu˚zˇe by´t funkce nespojita´ v neˇjake´m izolovane´m bodeˇ definicˇnı´ho oboru?

!

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Urcˇete a nakreslete definicˇnı´ obor funkce dvou promeˇnnyćh:

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´

a)

f:z=

1 x

+

27

1 y−1

, ,

b)

f:z=

1 25−x 2 −y 2

e)

f:z=

√ 1 x+|y|

g)

f:z=

1 sin π(x+y)

i)

f : z = ln(|x| + y) +

k)

f:z=

√2 xy

d)

√ 1 x−|y|

√1 y−x

q)

f:z=

s)

√ f : z = 3x − y ,

w)

,

,

o)

u)

f)

,

h)

√ ln x + ln y , p f : z = πx x 2 − y 2 ,

m)

f:z=

x+y 2x−3y

1 y 2 −x 2

,

√

c)

−

f:z=

,

j)

f : z = arcsin(x + y) , p f : z = x 2 + y 2 − 1 + ln(2 − x 2 − y 2 ) ,

l)

f : z = arcsin yx2 + arcsin(1 − y) ,

n) p)

f : z = ln(sin x + sin y − 3) + (xy)2 , p f : z = xy 9 − x 2 − y 2 ,

r)

f:z=

t)

f : z = ln(y 2 − 4x + 8) , p √ f : z = 4 − x2 + y2 − 1 ,

3x − √2y , p f : z = (1 − x 2 )(1 − y 2 ) ,

f:z=

v) x)

x 2 −2y y 2 −2x

, √ f: z=x+ 1−y, f : z = arcsin(x − y) , p f : z = (9 − x 2 − y 2 )(x 2 + y 2 − 4) .

2. Urcˇete a nakreslete definicˇnı´ obor funkce dvou promeˇnnyćh: p √ 1 − x2 + 1 − y2 , p z = x sin y , √ 4x−y 2 z = ln(1−x 2 −y 2 ) , √ z = xy , q z = xy .

a)

f : z = ln(x + y) ,

b)

f:z=

c)

f : z = ln[x ln(y − x)] , q 2 2 f : z = 1 − xa 2 − yb2 , a, b > 0,

d)

f:

f)

f:

f : z = tg π(x − y) , q 2 −y 2 , f : z = 9−x x 2 +y 2 −4

h)

f:

j)

f:

e) g) i)

3. Vypocˇteˇte f (1, 1/2) pro na´sledujıćı´ funkce: p b) f (x, y) = a) f (x, y) = x 2 y + y + 1, √ 4. Je dańa funkce f (x, y, z) = a) f (0, 0, 0), f) f (3, 1, 2),

9 − x2 +

b) f (1, 2, 3), g) f (3, 2, 1).

5. Je dańa funkce f (x, y, z) = xyz + f 1, xy , yx , kde x 6= 0, y 6= 0.

y 2 −|x| , x 2 −|y|

c) f (x, y) = arcsin(x + y).

p √ 4 − y 2 + 9 − z2 . Vypocˇteˇte:

c) f (1, 3, 2), xy . z

d) f (3, 2, −3),

e) f (2, 3, 1),

Vypocˇteˇte: f (y, x, z), f (−x, −y, −z), f (1, 1, t),

6. Dokazˇte, zˇe f (tx, ty) = t 3 f (x, y), t = 0, pro f (x, y) = 3x 2 y − 7. Dokazˇte na´sledujıćı´ vztahy: a) F (x, y) = −F x1 , y1 , jestlizˇe F (x, y) =

x 2 −y 2 , x 2 +y 2

p x 6 − y 6.

x 6= 0, y 6= 0,

b) F (xy, z) = F (x, z) + F (y, z), jestlizˇe F (x, y) = ln x · ln y, x > 0, y > 0, z > 0.


28

8. Urcˇete funkci f (u, v), jestlizˇe: a)

f (x + y, x − y) = x 2 − 2xy − y 2 ,

f x − y, xy = x 3 − y 3 , y 6= 0.

b)

9. Zna´zorneˇte vrstevnice vznikle´ pru˚nikem rovin z = c, c = 0, 1, 2, 3, 4, 5, s plochami: p a) f : z = 5 − xp2 − y 2 , b) f : z = 25 − x 2 − y 2 , d) f : z = x 2 − y 2 . c) f : z = 5 − x 2 + y 2 , 10. Urcˇete rovnice vrstevnic danyćh ploch: a) z = (x + y)2 , e) z =

√ c) z = qx · y,

b) z = xy,

1 , x 2 +y 2

f) z = y(x 2 + 1),

g) z =

1−

d) z = xy ,

x2 4

− y 2.

11. Urcˇete limity funkce: a)

lim

(x,y)→(1,0)

y

ln(x+e ) √ , 2 2

d)

3x 2 2 −5x+3y y (x,y)→(0,0)

g)

lim x−y (x,y)→(0,0) x+y

j) m)

lim

h) k)

,

√ xy x 2 +y 2

(x,y)→(0,0)

e)

,

,

x2y lim 4 2 (x,y)→(1,1) x +y

lim

b)

x +y

n)

,

(x−y)2 −9 2 2 (x,y)→(−4,−1) x +y

lim

lim

√

x 2 +y 2

c)

exy −1 (x,y)→(0,2) x

,

f)

x 2 +y 2 2 2 x (x,y)→(0,0) −y

,

i)

2 2 lim x +y (x,y)→(0,0) x+y

,

,

l)

lim x−y (x,y)→(1,1) x+y

,

o)

, ,

x 2 +y 2 +1−1 (x,y)→(0,0) x 2 −y 2 2 lim , 2 2 (x,y)→(0,0) x +y − 21 2 1 x +y lim x 4 +y 4 e (x,y)→(0,0)

xy+x−y−1 lim 2 2 (x,y)→(1,−1) (x−1) +(y+1)

lim

lim

,

2 2 lim x +y . (x,y)→(1,1) x+y

Na´poveˇda: V d) zkuste body (x, kx) a rozlisˇte k = 5/3 a k 6= 5/3. V i) zkuste body (x, kx), (t + t 2 , −t + t 2 ), (t + t 3 , −t + t 3 ). 12. Urcˇete body nespojitosti funkce: ( 2 2 x y pro (x, y) 6= (0, 0), 2 2 a) f : z = x +y 0 pro (x, y) = (0, 0),

( b) f : z =

x+y x−y

pro x 6= y,

0

pro x = y.

13. Oveˇrˇte, zˇe definicˇnı´ obory na´sledujıćıćh funkcı´ jsou otevrˇene´, a nakreslete je. Urcˇete jejich hranice a posud’te, zda je mozˇne´ dodefinovat funkce v neˇkteryćh hranicˇnıćh bodech definicˇnı´ho oboru tak, aby zde byly spojite´. 1 , x 2 +y 2

a)

f:z= √

b)

f:z=

d)

1 f : z = sin |x|−|y| ,

e)

g)

f : z = √x

h)

f:z=

2 +y 2 −1

(x 2 +y 2 −1)2

,

x+y , x−y

1 , 4−x 2 −y 2

c)

f:z=

1 f : z = sin x+y ,

f)

f : z = ln |8 − x 2 + 4y|,

1 , sin x sin y

i)

f : z = ln(4 − x 2 − y 2 ).


29

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ 1. a) c) e) f) g) i) k) l) m) o) q) s) u) w)

D(f ) = {x 6= 0 ∧ y 6= 1}, b) D(f ) = {y 6= ±x}, 2 2 D(f ) = {x + y 6= 25}, d) D(f ) = {x = 0 ∧ y > 0}, D(f ) = {x > 0 ∧ −x < y < x}, D(f ) = {(|x| 5 1 ∧ |y| 5 1) ∨ (|x| = 1 ∧ |y| = 1)}, D(f ) = {y 6= −x + k, k ∈ Z}, h) D(f ) = {−x − 1 5 y 5 −x + 1}, D(f ) = {y > x}, j) D(f ) = {1 5 x 2 + y 2 < 2}, D(f ) = {(x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0)}, D(f ) = {−y 2 5 x 5 y 2 ∧ 0 < y 5 2}, D(f ) = {x > 0 ∧ y > 0 ∧ xy = 1}, n) D(f ) = ∅, D(f ) = {|x| = |y|}, p) D(f ) = {x 2 + y 2 5 9}, 2 D(f ) = {y 6= 3 x}, r) D(f ) = {y 2 6= 2x}, D(f ) = {y 5 3x}, t) D(f ) = {y 5 1}, 2 D(f ) = {y > 4(x − 2)}, v) D(f ) = {−1 5 x − y 5 1}, D(f ) = {|x| 5 2 ∧ |y| = 1}, x) D(f ) = {4 5 x 2 + y 2 5 9}.

2. a) c) d)

D(f ) = {x + y > 0}, b) D(f ) = {|x| 5 1 ∧ |y| 5 1}, D(f ) = {(x > 0 ∧ y > x + 1) ∨ (x < 0 ∧x < y < x + 1)}, D(f ) = x = 0 ∧ 2kπ 5 y 5 (2k + 1)π ∨ ∨ x 5 0 ∧ (2k + 1)π 5 y 5 (2k + 2)π , k ∈ Z , 2 2 D(f ) = xa 2 + yb2 5 1 , D(f ) = {y 2 5 4x ∧ x 2 + y 2 < 1 ∧ x 2 + y 2 6= 0}, D(f ) = {y 6= x − k − 1/2, k ∈ Z}, D(f ) = {(x = 0 ∧ y = 0) ∨ (x 5 0 ∧ y 5 0)}, D(f ) = {4 < x 2 + y 2 5 9}, D(f ) = {(x = 0 ∧ y > 0) ∨ (x 5 0 ∧ y < 0)}. √ 2, b) − 32 , c) nenı´ definovańa. √ √ √ √ 8, b) 8, c) nedefinovana´, d) 0, e) nedefinovana´, f) 3 + 5, g) 8.

e) f) g) h) i) j) 3. a) 4. a)

5. xyz +

xy , z

−f (x, y, z), t + 1t , 1 +

8. a) f (u, v) = uv + 12 (v 2 − u2 ), 10. a) b) c) d) e) f) g)

y2 x2

.

b) f (u, v) =

u3 (v 3 −1) (v−1)3

, v 6= 1.

√ z = c, c > 0 — dvojice prˇ´ımek x + y = ± c, c = 0 — prˇ´ımka x + y = 0, z = c, c 6= 0 — hyperbola o rovnici y = xc , c = 0 — dvojice prˇ´ımek x = 0, y = 0, 2 z = c, c > 0 — hyperbola o rovnici y = cx , c = 0 — dvojice prˇ´ımek x = 0, y = 0, z = c, c ∈ R — prˇ´ımka o rovnici y = cx s vyjmuty´m pocˇa´tkem, z = c, c > 0 — kruzˇnice o rovnici x 2 + y 2 = 1c , z = c, c ∈ R — graf funkce y = x 2c+1 , 2 z = c, 0 5 c < 1 — elipsa o rovnici x4 + y 2 = 1 − c, c = 1 — pocˇa´tek.


30

11. a) f) k)

ln 2, neex. 0,

12. a) neex.,

b) g) l)

0, neex., 0,

c) h) m)

2, neex., 0,

d) i) n)

neex., neex., neex.,

e) j) o)

2, 1/2, 1.

b) {(x, y) ∈ R : x = y}.

13. Zˇa´dnou funkci nelze spojiteˇ dodefinovat v neˇktere´m hranicˇnı´m bodeˇ definicˇnı´ho oboru. a) ∂D(f ) = {(0, 0)}, b) ∂D(f ) = {x = y}, c) ∂D(f ) = {x 2 + y 2 = 4}, d) ∂D(f ) = {|x| = |y|}, e) ∂D(f ) = {y = −x}, f) ∂D(f ) = {x 2 = 4y + 8}, 2 2 g) ∂D(f ) = {x + y = 1}, h) ∂D(f ) = {x = kπ ∨ y = kπ, k ∈ Z}, i) ∂D(f ) = {x 2 + y 2 = 4}.

Obra´zky ke cvicˇenı´ 1

y

y

y

y=x

y=1

x

x

x

O

5

O y = −x

x=0

1 a)

1 b)

y

y

1 c) y

y=x 1

x O

x 1

−1 −1

x O

y = −x

1 d)

1 e) y

y y = −x + 3 y = −x + 2 x

y = −x − 1 y = −x − 2 y = −x − 3

1 f)

x O

y = −x + 1

y = −x + 1 y = −x

1 g)

y = −x − 1

1 h)


y

31

y

y=x x

√ x 2

1

O

O

1 i)

1 j)

y y x = −y

x

2

2

x = y2

O

x −44

1 k)

O

4

1 l)

y

y

y=x x

y = 1/x x O

y = −x

1 m)

1 o)

y

y

y y=

O

1 p)

x 3

2 3

x=

1 q)

y2

x

x O

1 2

x O

1 r)


32

y

y

O

x=

y

1 x

x

1 4

y2 + 2

x

O

O

y = 3x

1 s)

1 t)

1 u)

y y =x+1 y

y

1 x

y =x−1 −22

x

O

2

x

−1

1 v)

2

O

1 w)

3

1 x)


y

y

1 x

x

O

−1

O

1

−1

y = −x

2 a)

2 b) y

y 3π

1

π

2π O

x O

y =x+1

−π −2π

y=x

2 c)

2 d)

x


33

y y

x2 + y2 = 1

b

x

x −a

O

a

O

x=

−b

2 e)

1 4

y2

2 f) y

y

y = x + 7/2

y = x − 1/2

y = x + 5/2

y = x − 3/2 x

y = x + 3/2

y = x − 5/2

y = x + 1/2

y = x − 7/2

2 g)

x O

2 h) y

y

x

x 2

O

3

2 i)

O

2 j)


y

y

x

x

O

O

9 a)

9 b)


34

y

y x

x

9 c)

9 d)

Obra´zky ke cvicˇenı´ 10 Vrstevnice na obra´zcıćh jsou ekvidistantnı´, tj. tvaru f (x, y) = kc, k ∈ Z, kde c je vhodna´ kladna´ konstanta.

y

y

x

10 a)

y

x

x

10 b)

10 c)

y

y

x

x

10 d)

10 e) y

y 1

x2 4

+ y2 = 1

x

x 2

−2 −1

10 f)

10 g)


35


y y

y

y=x

x

x

x

O

O

O

13 a)

13 b)

y

13 c)

y

y=x

y

x

x2 − 2

O

y = −x

y = −x

y

x = 2π

13 f) x=π

x = −2π x = −π

13 e)

y

y

y = 2π y=π x

x

x O

y = −π y = −2π

13 g)

1 4

x

O

1

y=

x

13 d)

2

13 h)

13 i)

2

36

Kapitola 2 Parcia´lnı´ derivace a derivace ve smeˇru S Z

V J

Pru˚vodce studiem Prˇi studiu funkcı´ jedne´ promeˇnne´ hra´l klıćˇovou roli pojem derivace. Prˇipomenˇme si, jak byla definovana´ a jaky´ meˇla geometricky´ vy´znam. Derivace rea´lne´ funkce f jedne´ rea´lne´ promeˇnne´ v bodeˇ x0 je limita (pokud existuje) f 0 (x0 ) = lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) . x − x0

Geometricky je cˇı´slo f 0 (x0 ) smeˇrnicı´ tecˇny ke grafu funkce f v bodeˇ T = x0 , f (x0 ) — viz obr. 2.1, kde f 0 (x0 ) = tg ϕt . t

y

s P

f (x)

y = f (x) f (x) − f (x0 )

T

f (x0 )

x − x0

ϕs O

ϕt x0

x

x

Obr. 2.1: Derivace funkce jedne´ promeˇnne´ U funkcı´ dvou a vıće promeˇnnyćh mu˚zˇeme vysˇetrˇovat obdobny´ podı´l prˇ´ıru˚stku˚, ale k uvazˇovane´mu bodu se lze blı´zˇit z nekonecˇneˇ mnoha smeˇru˚. Nejprve budeme

2.1 Parcia´lnı´ derivace prvnı´ho rˇa´du

37

vysˇetrˇovat prˇ´ıpad, kdy se budeme prˇiblizˇovat po rovnobeˇzˇce s neˇkterou sourˇadnicovou osou (odpovı´dajıćı´ neza´visle promeˇnne´). Takove´ derivace nazveme parcia´lnı´. Pokud se do dane´ho bodu blı´zˇ´ıme ze smeˇru libovolne´ho vektoru u, mluvı´me o derivaci ve smeˇru vektoru u neboli smeˇrove´ derivaci.

Cı´le Po prostudovańı´ te´to kapitoly budete schopni: • • • •

2.1

vypocˇ´ıtat parcia´lnı´ derivace prvnı´ho i vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚, zodpoveˇdeˇt, za jakyćh podmıńek jsou smı´sˇene´ parcia´lnı´ derivace zameˇnitelne´, vysveˇtlit geometricky´ vy´znam parcia´lnıćh derivacı´, vypocˇ´ıtat smeˇrove´ derivace a uve´st jejich vztah k derivacı´m parcia´lnı´m.

Parcia´lnı´ derivace prvnı´ho rˇa´du

Uvazˇujme funkci z = f (x, y) s definicˇnı´m oborem D(f ) a bod (x0 , y0 ) ∈ D(f ). Prˇedpokla´dejme, zˇe body tvaru (x, y0 ) pro x blı´zke´ x0 lezˇ´ı v definicˇnı´m oboru D(f ). Vlastneˇ to znamena´, zˇe v D(f ) ma´ lezˇet mala´ u´secˇka se strˇedem v bodeˇ (x0 , y0 ), ktera´ je rovnobeˇzˇna´ s osou x. Tato podmıńka bude urcˇiteˇ splneˇna, jestlizˇe (x0 , y0 ) je vnitrˇnı´ bod mnozˇiny D(f ). Uvazˇujeme-li f (x, y) pouze na te´to u´secˇce, dostaneme funkci ϕ(x) = f (x, y0 ) jen jedne´ promeˇnne´ x. Derivace te´to pomocne´ funkce na´s zajı´ma´. Derivujeme jen podle promeˇnne´ x a na druhou promeˇnnou (resp. zby´vajıćı´ promeˇnne´ u funkcı´ trˇ´ı a vıće promeˇnnyćh) se dı´va´me jako na konstantu. Odtud take´ pocha´zı´ na´zev parcia´lnı´ derivace — prˇi cˇa´stecˇne´m derivovańı´ na´s zajı´ma´ jen jedna promeˇnna´. Z hlediska aplikacı´ jsou podstatne´ pouze vlastnı´ derivace, nevlastnı´ derivace uvazˇovat nebudeme. V dalsˇ´ım textu proto slovem derivace budeme vzˇdy rozumeˇt vlastnı´ derivaci. Definice 2.1. Necht’ funkce f : z = f (x, y) je definovana´ v bodeˇ (x0 , y0 ). Polozˇme ϕ(x) = f (x, y0 ). Ma´-li funkce ϕ derivaci v bodeˇ x0 , nazy´va´me tuto derivaci parcia´lnı´ derivacı´ funkce f podle promeˇnne´ x v bodeˇ (x0 , y0 ) a oznacˇujeme fx (x0 , y0 ), event. ∂f 0 ∂x (x0 , y0 ) nebo fx (x0 , y0 ). To znamena´, zˇe fx (x0 , y0 ) = lim

x→x0

ϕ(x) − ϕ(x0 ) f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) = lim . x→x0 x − x0 x − x0

Podobneˇ, ma´-li funkce ψ(y) = f (x0 , y) derivaci v bodeˇ y0 , nazy´va´me tuto derivaci parcia´lnı´ derivacı´ funkce f podle promeˇnne´ y v bodeˇ (x0 , y0 ) a oznacˇujeme fy (x0 , y0 ), 0 event. ∂f ∂y (x0 , y0 ) nebo fy (x0 , y0 ).

ó

Parcia´lnı´ derivace a derivace ve smeˇru

38

Pozna´mka 2.2. i) Z definice parcia´lnı´ derivace plyne, zˇe prˇi jejı´m vy´pocˇtu postupujeme tak, zˇe vsˇechny promeˇnne´ kromeˇ te´, podle nı´zˇ derivujeme, povazˇujeme za konstanty. ii) Ma´-li funkce z = f (x, y) parcia´lnı´ derivace ve vsˇech bodech mnozˇiny B ⊂ D(f ), jsou tyto derivace funkcemi promeˇnnyćh x, y. Tyto funkce oznacˇujeme fx (x, y), ∂f 0 0 ∂z ∂z 0 0 fy (x, y), poprˇ. ∂f ∂x (x, y), ∂y (x, y), fx (x, y), fy (x, y), zx , zy , zx , zy , ∂x , ∂y .

Pro za´jemce: Zcela analogicky se definujı´ parcia´lnı´ derivace funkce trˇ´ı a vıće promeˇnnyćh. Je-li naprˇ. f : u = = f (x, y, z) funkce trˇ´ı promeˇnnyćh a bod (x0 , y0 , z0 ) ∈ D(f ) ⊂ R 3 , definujeme naprˇ. parcia´lnı´ derivace podle y takto: f (x0 , y, z0 ) − f (x0 , y0 , z0 ) ∂f (x0 , y0 , z0 ) = lim . y→y0 ∂y y − y0 Obecneˇ je-li f : z = f (x1 , . . . , xn ) funkce n promeˇnnyćh, (x1∗ , . . . , xn∗ ) ∈ D(f ) ⊂ Rn a i ∈ {1, . . . , n}, definujeme parcia´lnı´ derivaci podle xi takto: ∂f ∗ f (x1∗ , . . . , xi , . . . , xn∗ ) − f (x1∗ , . . . , xi∗ , . . . , xn∗ ) (x1 , . . . , xn∗ ) = lim ∗ . xi →xi ∂xi xi − xi∗ Tedy vsˇechny promeˇnne´ kromeˇ xi povazˇujeme za konstanty. Zavedeme-li pomocnou funkci jedne´ promeˇnne´ ϕ(xi ) = f (x1∗ , . . . , xi , . . . , xn∗ ), zrˇejmeˇ platı´, ∂f zˇe ∂xi (x1∗ , . . . , xn∗ ) = ϕ 0 (xi∗ ). Parcia´lnı´ derivace je tudı´zˇ definovana´ jako obycˇejna´ derivace jiste´ funkce jedne´ promeˇnne´.

+

Protozˇe parcia´lnı´ derivace je definovańa jako „obycˇejna´“ derivace funkce jedne´ promeˇnne´ podle prˇ´ıslusˇne´ promeˇnne´, platı´ pro pocˇ´ıtańı´ parcia´lnıćh derivacı´ obvykla´ pravidla pro derivovańı´. To je podstatne´ z hlediska prakticke´ho derivovańı´ — nemusı´me se ucˇit zˇa´dne´ nove´ vzorce pro parcia´lnı´ derivaci soucˇtu, rozdı´lu, soucˇinu, podı´lu apod. Prˇ´ıklad 2.3. Vypocˇteˇte prvnı´ parcia´lnı´ derivace na´sledujıćıćh funkcı´: a) f : z = x 2 + xy − 3xy 3 , b) g : z = xy , c) h : z = arctg yx , d) g)

3

k : z = (x 2 + y 2 ) exy , √ n : z = x + sin xy,

e) h)

l : z = xy , p : z = x−y x+y ,

f) i)

m : z = x ln(x 2 − y 2 ), 3 q : u = (2x − 3y + 5z2 ) .

Rˇesˇenı´. a) Prˇi derivaci podle x se sebeslozˇiteˇjsˇ´ı vy´raz obsahujıćı´ pouze y (a prˇ´ıpadneˇ dalsˇ´ı promeˇnne´) chova´ jako konstanta. Pouzˇijeme vzorec pro derivaci mocniny, soucˇtu a rozdı´lu. Vyjde: ∂f = 2x + 1 · y − 3 · 1 · y 3 = 2x + y − 3y 3 , (x, y) ∈ R2 . ∂x Podobneˇ prˇi derivovańı´ podle y se sebeslozˇiteˇjsˇ´ı vy´raz obsahujıćı´ pouze x chova´ jako konstanta. ∂f = 0 + x · 1 − 3x · 3y 2 = x − 9xy 2 , (x, y) ∈ R2 . ∂y


39

b) Prˇi derivaci podle x se cˇlen y1 , prˇedstavujıćı´ konstantu, vytkne. Tedy ∂g 1 1 = ·1= , ∂x y y

(x, y) ∈ R2 , y 6= 0.

Prˇi derivaci podle y se vytkne konstanta x. Prˇitom ∂g x = x · (−1)y −2 = − 2 , ∂y y

1 y

= y −1 .

(x, y) ∈ R2 , y 6= 0.

c) Funkce je slozˇena´, prˇi derivaci vnitrˇnı´ slozˇky vyuzˇijeme vy´sledek b). ∂h 1 y2 1 y ∂ x = = · = 2 , · 2 2 2 x ∂x ∂x y x +y y x + y2 1+ y

y 6= 0.

Podobneˇ x ∂h ∂ x 1 y2 x · = = · − 2 =− 2 , 2 2 2 ∂y ∂y y x +y y x + y2 1 + xy

y 6= 0.

d) Funkce ma´ tvar soucˇinu, druhy´ cˇinitel je navıć slozˇena´ funkce. ∂k 3 3 ∂ 3 3 = 2xexy + (x 2 + y 2 ) exy (xy 3 ) = 2xexy + (x 2 + y 2 ) exy y 3 = ∂x ∂x 2 3 5 xy 3 = (2x + x y + y ) e , (x, y) ∈ R2 . Podobneˇ ∂k 3 3 ∂ 3 3 = 2yexy + (x 2 + y 2 ) exy (xy 3 ) = 2yexy + (x 2 + y 2 ) exy 3xy 2 = ∂y ∂y 3

= (2y + 3x 3 y 2 + 3xy 4 ) exy ,

(x, y) ∈ R2 .

e) Prˇi derivovańı´ podle x je trˇeba si uveˇdomit, zˇe v exponentu je konstanta, a tudı´zˇ je nutne´ pouzˇ´ıt vzorec pro derivaci obecne´ mocniny ((x s )0 = sx s−1 ). ∂l = yx y−1 , ∂x

x > 0, y ∈ R.

Prˇi derivovańı´ podle y je trˇeba si uveˇdomit, zˇe promeˇnna´ je jen v exponentu, a tudı´zˇ je nutne´ pouzˇ´ıt vzorec pro derivaci exponencia´lnı´ funkce s obecny´m za´kladem ((a x )0 = = a x ln a). ∂l = x y ln x, x > 0, y ∈ R. ∂y


40

f) Funkce ma´ tvar soucˇinu, druhy´ cˇinitel je navıć slozˇena´ funkce. ∂m 1 ∂ 2 x = 1 · ln(x 2 − y 2 ) + x 2 · (x − y 2 ) = ln(x 2 − y 2 ) + 2 2x = 2 ∂x x − y ∂x x − y2 2x 2 2 2 = ln(x − y ) + 2 , x 2 − y 2 > 0. 2 x −y Prˇi derivovańı´ podle y je ovsˇem prvnı´ cˇinitel konstantnı´, takzˇe jej lze vytknout. 1 ∂ x −2xy ∂m =x 2 · (x 2 − y 2 ) = 2 (−2y) = 2 , 2 2 ∂y x − y ∂y x −y x − y2

x 2 − y 2 > 0.

g) Jde o slozˇenou funkci, vnitrˇnı´ slozˇka ma´ tvar soucˇtu a druhy´ scˇ´ıtanec je opeˇt slozˇena´ funkce. ∂n 1 ∂ 1 ∂ = (x + sin xy)−1/2 (x + sin xy) = √ · 1 + cos xy · (xy) = ∂x 2 ∂x 2 x + sin xy ∂x 1 + y cos xy = √ , (x, y) ∈ R2 , x + sin xy > 0. 2 x + sin xy Podobneˇ 1 ∂ 1 ∂ ∂n = (x + sin xy)−1/2 (x + sin xy) = √ · 0 + cos xy · (xy) = ∂y 2 ∂y 2 x + sin xy ∂y x cos xy = √ , (x, y) ∈ R2 , x + sin xy > 0. 2 x + sin xy Vsˇimneˇte si, zˇe zatı´mco funkce n(x, y) je definovana´ pro x + sin xy = 0, jejı´ parcia´lnı´ derivace existujı´ jen pro x + sin xy > 0. h) Funkce ma´ tvar zlomku, takzˇe pouzˇijeme pravidlo pro derivovańı´ podı´lu. ∂p 1 · (x + y) − (x − y) · 1 2y = = , ∂x (x + y)2 (x + y)2 ∂p −1 · (x + y) − (x − y) · 1 −2x = = , 2 ∂y (x + y) (x + y)2

(x, y) ∈ R2 , x 6= −y, (x, y) ∈ R2 , x 6= −y.

i) Jde o funkci trˇ´ı promeˇnnyćh, ktera´ je slozˇena´. Vnitrˇnı´ slozˇka je mnohocˇlenem. ∂q 2 = 3(2x − 3y + 5z2 ) · ∂x ∂q 2 = 3(2x − 3y + 5z2 ) · ∂y ∂q 2 = 3(2x − 3y + 5z2 ) · ∂z

∂ 2 (2x − 3y + 5z2 ) = 6(2x − 3y + 5z2 ) , ∂x ∂ 2 (2x − 3y + 5z2 ) = −9(2x − 3y + 5z2 ) , ∂y ∂ 2 (2x − 3y + 5z2 ) = 30z(2x − 3y + 5z2 ) . ∂z

Ve vsˇech prˇ´ıpadech je (x, y, z) ∈ R3 .

N


Prˇ´ıklad 2.4. Necht’8 je diferencovatelna´ funkce jedne´ promeˇnne´ definovana´ na R. Dokazˇte, zˇe pak funkce dvou promeˇnnyćh f (x, y) = 8(xy) vyhovuje rovnici x

∂f ∂f (x, y) − y (x, y) = 0, ∂x ∂y

+

41

(x, y) ∈ R2 .

Rˇesˇenı´. Vypocˇteme potrˇebne´ parcia´lnı´ derivace. Prˇitom pouzˇijeme vzorec pro derivovańı´ slozˇene´ funkce jedne´ promeˇnne´. Dostaneme ∂f = 80 (xy)y, ∂x takzˇe x

∂f = 80 (xy)x, ∂y

∂f ∂f −y = x80 (xy)y − y80 (xy)x = 0. ∂x ∂y

z Podı´va´me se nynı´ podrobneˇji na geometricky´ vy´znam prvnıćh parcia´lnıćh derivacı´. ρ Uvazˇujme funkci f : z = f (x, y), z = f (x, y) (x, y) ∈ D(f ) ⊂ R2 s grafem G. Necht’ ρ je rovina o rovnici y = y0 . Pak pru˚nikem G ∩ ρ je (v rozumne´m prˇ´ıpadeˇ, naprˇ. kdyzˇ je funkce f spojita´) krˇivka γ , ktera´ je graγ fem funkce ϕ(x) = f (x, y0 ). Parcia´lnı´ derivace fx (x0 , y0 ) pak uda´va´ smeˇrnici tecˇny t T k te´to krˇivce v bodeˇ x0 , y0 , f (x0 , y0 ) — t O viz obr. 2.2. Prˇipomenˇme, zˇe tato smeˇrnice je α rovna tg α. Podobneˇ derivace fy (x0 , y0 ) uda´va´ smeˇrnici tecˇny ke krˇivce, ktera´ je grafem funkce (x0 , y0 , 0) x ψ(y) = f (x0 , y) a jezˇ vznikne jako pru˚nik grafu G a rovinyo rovnici x = x0 , v bodeˇ x0 , y0 , f (x0 , y0 ) . Obr. 2.2: Geometricky´ vy´znam derivace

N

y

Prˇ´ıklad 2.5. Vypocˇteˇte parcia´lnı´ derivace v bodeˇ (0, 0) funkce f dane´ vztahem ( 1 pro x = 0 nebo y = 0, f (x, y) = 0 jinak. Rozhodneˇte, zda je v tomto bodeˇ funkce f spojita´.

+

U funkcı´ jedne´ promeˇnne´ platilo, zˇe jestlizˇe ma´ funkce v neˇjake´m bodeˇ derivaci, je v tomto bodeˇ take´ spojita´. Obdobna´ veˇta u funkcı´ vıće promeˇnnyćh neplatı´, jak ukazuje na´sledujıćı´ prˇ´ıklad.


42

Rˇesˇenı´. Platı´ ϕ(x) = f (x, 0) = 1 a ψ(y) = f (0, y) = 1. Obeˇ pomocne´ funkce jsou tedy konstantnı´ a majı´ derivaci rovnu nule v kazˇde´m bodeˇ. Proto fx (0, 0) = ϕ 0 (0) = 0,

fy (0, 0) = ψ 0 (0) = 0,

takzˇe f ma´ v pocˇa´tku obeˇ prvnı´ parcia´lnı´ derivace. Prˇitom je zde f zrˇejmeˇ nespojita´ — jejı´ graf dostaneme tak, zˇe hodnoty konstantnı´ funkce identicky rovne´ nule, ktere´ lezˇ´ı na krˇ´ızˇi urcˇene´m osami x a y, „vytrhneme“ a zvedneme o jednicˇku. Naprˇ. po bodech (x, 0) dostaneme lim f (x, 0) = 1, ale po bodech (x, x) vyjde lim f (x, x) = 0, proto x→0

lim

(x,y)→(0,0)

x→0

f (x, y) neexistuje.

N

U funkcı´ jedne´ promeˇnne´ meˇla velky´ vy´znam (zejmeńa v rˇadeˇ du˚kazu˚) tzv. Lagrangeova veˇta o strˇednı´ hodnoteˇ — viz [11, str. 232]. Obdobny´ vy´sledek, zna´my´ pod stejny´m jmeńem, platı´ i pro funkce dvou promeˇnnyćh. Veˇta 2.6 (Lagrange). Prˇedpokla´dejme, zˇe funkce f : z = f (x, y) ma´ parcia´lnı´ derivace fx a fy v libovolne´m bodeˇ mnozˇiny M, kde M ⊂ R2 je obde´lnı´k, jehozˇ strany jsou rovnobeˇzˇne´ se sourˇadnicovy´mi osami. Necht’ (x0 , y0 ), (x1 , y1 ) ∈ M. Pak existujı´ cˇ´ısla ξ, η ∈ R, ξ lezˇ´ıcı´ mezi x0 a x1 a η lezˇ´ıcı´ mezi y0 a y1 , takova´, zˇe f (x1 , y1 ) − f (x0 , y0 ) = fx (ξ, y0 )(x1 − x0 ) + fy (x1 , η)(y1 − y0 ). Du˚kaz. Platı´: f (x1 , y1 ) − f (x0 , y0 ) = f (x1 , y0 ) − f (x0 , y0 ) + f (x1 , y1 ) − f (x1 , y0 ) = = fx (ξ, y0 )(x1 − x0 ) + fy (x1 , η)(y1 − y0 ). Prˇitom v poslednı´m kroku jsme pouzˇili dvakra´t Lagrangeovu veˇtu pro funkci jedne´ promeˇnne´ — nejprve na funkci jedne´ promeˇnne´ ϕ(x) = f (x, y0 ) na intervalu s koncovy´mi body x0 a x1 a pak na funkci jedne´ promeˇnne´ ψ(y) = f (x1 , y) na intervalu s koncovy´mi body y0 a y1 . Pomocı´ Lagrangeovy veˇty doka´zˇeme na´sledujıćı´ jednoduchy´, ale uzˇitecˇny´ vy´sledek. Veˇta 2.7. Ma´-li funkce f : z = f (x, y) ohranicˇene´ parcia´lnı´ derivace na otevrˇene´ mnozˇineˇ K ⊂ R2 , je f na K spojita´. Du˚kaz. Podle prˇedpokladu˚ existuje L > 0 tak, zˇe |fx (x, y)| 5 L, |fy (x, y)| 5 L pro (x, y) ∈ K. Necht’(x0 , y0 ) ∈ K. Protozˇe K je otevrˇena´, existuje dostatecˇneˇ maly´ obde´lnı´k M ⊂ K majıćı´ strany rovnobeˇzˇne´ se sourˇadnicovy´mi osami a strˇed v bodeˇ (x0 , y0 ). Necht’(x, y) ∈ M. Podle Lagrangeovy veˇty 2.6 existujı´ ξ mezi x0 a x a η mezi y0 a y tak, zˇe f (x, y) − f (x0 , y0 ) = fx (ξ, y0 )(x − x0 ) + fy (x, η)(y − y0 ).

2.1 Parcia´lnı´ derivace prvnı´ho rˇa´du Pomocı´ Cauchyovy1 -Bunjakovske´ho2 nerovnosti (pro x, y ∈ R2 platı´ |hx, yi| 5 kxk·kyk) dostaneme: p p |f (x, y) − f (x0 , y0 )| 5 fx2 (ξ, y0 ) + fy2 (x, η) · (x − x0 )2 + (y − y0 )2 5 √ 5 L 2 k(x, y) − (x0 , y0 )k. √ Bud’ ε > 0 libovolne´ cˇ´ıslo. Polozˇme δ = ε/(L 2). Pak z prˇedchozı´ nerovnosti plyne, zˇe pro (x, y) takove´, zˇe k(x, y) − (x0 , y0 )k < δ (pro mala´ ε bude (x, y) ∈ M), platı´, zˇe |f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε. To znamena´, zˇe lim f (x, y) = f (x0 , y0 ), a tedy f je (x,y)→(x0 ,y0 ) spojita´ v (x0 , y0 ). Du˚sledek 2.8. Ma´-li funkce f : z = f (x, y) parcia´lnı´ derivace v okolı´ bodu (x0 , y0 ), ktere´ jsou v tomto bodeˇ spojite´, existuje okolı´ O(x0 , y0 ), na neˇmzˇ je f spojita´. Du˚kaz. Ze spojitosti parcia´lnıćh derivacı´ v bodeˇ (x0 , y0 ) vyply´va´, zˇe existuje okolı´ O(x0 , y0 ), na neˇmzˇ jsou parcia´lnı´ derivace ohranicˇene´. Tvrzenı´ nynı´ plyne z prˇedchozı´ veˇty. Pozna´mka 2.9. Uveˇdomte si, zˇe veˇta 2.7 nenı´ v rozporu s prˇ´ıkladem 2.5. Pomocna´ funkce ϕ(x) = f (x, y0 ), y0 6= 0, nema´ derivaci v x = 0, protozˇe je zde nespojita´, tj. fx (0, y0 ) = ϕ 0 (0) neexistuje. Analogicky je tomu s fy (x0 , 0), x0 6= 0. Na ose y tudı´zˇ neexistuje fx s vy´jimkou pocˇa´tku a na ose x neexistuje fy s vy´jimkou pocˇa´tku. V bodech, kde parcia´lnı´ derivace fx resp. fy existuje, je samozrˇejmeˇ nulova´, tj. ohranicˇena´. Avsˇak nejsme schopni nale´zt okolı´ pocˇa´tku (tedy otevrˇenou mnozˇinu), v neˇmzˇ existuje v kazˇde´m bodeˇ jak fx tak fy . Prˇedpoklady veˇty tedy nejsou splneˇny.

Pro za´jemce: Langrangeova veˇta se snadno zobecnı´ pro funkce n-promeˇnnyćh. Ma´-li funkce f : z = f (x) n promeˇnnyćh derivace na n-rozmeˇrne´m kva´dru M = ha1 , b2 i × · · · × han , bn i, ai < bi , i = = 1, . . . , n, a x, y ∈ M, x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ), existujı´ cˇ´ısla ξ1 , . . . , ξn , ξi mezi xi a yi , takova´, zˇe f (y) − f (x) = fx1 (z1 )(y1 − x1 ) + · · · + fxn (zn )(yn − xn ), kde zi = (y1 , . . . , yi−1 , ξi , xi+1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , n. (Body zi jsou vnitrˇnı´ body hran n-rozmeˇrne´ho kva´dru, tedy u´secˇek, jejichzˇ koncove´ body majı´ sourˇadnice (y1 , . . . , yi−1 , xi , xi+1 , . . . , xn ) a (y1 , . . . , yi−1 , yi , xi+1 , . . . , xn ).) Rovneˇzˇ veˇta 2.7 a du˚sledek 2.8 zu˚sta´vajı´ v platnosti. 1 Augustin Louis Cauchy (1789–1857) (cˇti kosˇi) — vynikajıćı´ francouzsky ´ matematik. Napsal prˇes 700

pracı´. Polozˇil za´klady soudobe´ matematiky, prˇedevsˇ´ım analy´zy. 2 Viktor Jakovlevicˇ Bunjakovskij (1804–1889) — rusky ´ matematik. Zaby´val se pravdeˇpodobnostı´ a teoriı´ cˇ´ısel.

43


44

2.2

Parcia´lnı´ derivace vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚

Jak jizˇ bylo rˇecˇeno v pozna´mce 2.2 ii), pokud ma´ funkce z = f (x, y) parcia´lnı´ derivaci naprˇ. podle x v bodech mnozˇiny B ⊂ D(f ), dosta´va´me na B novou funkci fx (x, y). Jejı´ definicˇnı´ obor je D(fx ) = B. Obecneˇ je B 6= D(f ) — srovnejte prˇ´ıklad 2.3 g). Tato nova´ funkce fx mu˚zˇe mı´t v neˇktere´m bodeˇ opeˇt parcia´lnı´ derivaci podle promeˇnne´ x nebo y, kterou nazy´va´me druhou parcia´lnı´ derivacı´ funkce f . Podle toho, v jake´m porˇadı´ derivovańı´ prova´dı´me, dosta´va´me celkem cˇtyrˇi takove´ derivace: ∂ ∂f ∂ 2 f 00 = = fxx = fxx druha´ parcia´lnı´ derivace f podle x, ∂x ∂x ∂x 2 ∂ ∂f ∂ 2 f 00 = = fyy = fyy druha´ parcia´lnı´ derivace f podle y, ∂y ∂y ∂y 2 ∂ ∂f ∂ 2f 00 = = fxy = fxy druha´ parcia´lnı´ derivace f podle x a y, ∂y ∂x ∂x∂y ∂ 2f ∂ ∂f 00 = = fyx = fyx druha´ parcia´lnı´ derivace f podle y a x. ∂x ∂y ∂y∂x Pro strucˇnost jsme vynechali, ve ktere´m bodeˇ se druha´ derivace pocˇ´ıta´ (naprˇ. fxx (x0 , y0 ) apod.). Druha´ parcia´lnı´ derivace konkre´tnı´ funkce v konkre´tnı´m bodeˇ je tedy cˇ´ıslo. Pokud tato druha´ derivace existuje v kazˇde´m bodeˇ neˇjake´ mnozˇiny, dosta´va´me na te´to mnozˇineˇ novou funkci. Ta mu˚zˇe mı´t v konkre´tnı´m bodeˇ opeˇt derivaci, ktere´ rˇ´ıka´me trˇetı´ parcia´lnı´ derivace. Podle porˇadı´ derivovańı´ existuje celkem osm mozˇnostı´: ∂ 3f 000 = fxxx = fxxx , 3 ∂x ∂ 3f 000 = fyxy = fyxy , ∂y∂x∂y ∂ 3f 000 = fyxx = fyxx , ∂y∂x 2 Cˇteme naprˇ. fxxy fxyx

∂ 3f 000 = fxyy = fxyy , 2 ∂x∂y ∂ 3f 000 = fxyx = fxyx , ∂x∂y∂x ∂ 3f 000 = fyyy = fyyy . ∂y 3

∂ 3f 000 = fxxy = fxxy , 2 ∂x ∂y ∂ 3f 000 = fyyx = fyyx , ∂y 2 ∂x

trˇetı´ parcia´lnı´ derivace dvakra´t podle x a jednou podle y, trˇetı´ parcia´lnı´ derivace podle x, y a x atd.

Obdobneˇ definujeme vysˇsˇ´ı parcia´lnı´ derivace libovolne´ho rˇa´du. Naprˇ. n-ta´ parcia´lnı´ derivace, kdy derivujeme postupneˇ k1 -kra´t podle x, k2 -kra´t podle y, atd. azˇ kr -kra´t podle y, bude oznacˇena ∂ nf , kde n ∈ N, r ∈ N, k1 , . . . kr ∈ N a k1 + · · · + kr = n. ∂x k1 ∂y k2 ∂x k3 · · · ∂y kr Strucˇneˇjsˇ´ı symbolika typu fxyyx se pouzˇ´ıva´ nejvy´sˇe do rˇa´du cˇtyrˇi. Pocˇet ru˚znyćh n-tyćh parcia´lnıćh derivacı´ je, jak se snadno zva´zˇ´ı, 2n . Mı´sto n-ta´ parcia´lnı´ derivace se take´ rˇ´ıka´ parcia´lnı´ derivace n-te´ho rˇa´du.

2.2 Parcia´lnı´ derivace vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚

45

Pro za´jemce: Stejny´m zpu˚sobem se postupuje u funkcı´ trˇ´ı a vıće promeˇnnyćh. Naprˇ. je-li f (x, y, z) funkce trˇ´ı promeˇnnyćh, jsou neˇktere´ z pa´tyćh derivacı´ (celkem je jich 35 = 243) ∂ 5f , ∂x∂y 2 ∂z∂y

∂ 5f , ∂x 3 ∂y 2

∂ 5f , ∂z∂y∂z∂x∂y

∂ 5f , ∂z2 ∂y 2 ∂x

∂ 5f . ∂z5

Necht’ f (x1 , . . . , xn ), kde n ∈ N, n = 2, je funkce n promeˇnnyćh, r ∈ N, k1 , . . . , kr ∈ N, k = k1 + · · · + kr a i1 , . . . , ir ∈ {1, . . . , n}, prˇicˇemzˇ ij 6= ij +1 , j = 1, . . . , r − 1 (tj. v posloupnosti i1 , . . . , ir prˇirozenyćh cˇ´ısel od jedne´ do n, ktera´ se mohou opakovat, jsou sousednı´ cˇleny ru˚zne´). Pak symbol ∂kf ∂xik11 ∂xik22 · · · ∂xikrr

Prˇ´ıklad 2.10. Vypocˇteˇte druhe´ parcia´lnı´ derivace na´sledujıćıćh funkcı´: a) f : z = x 2 + xy − 3xy 3 , b) g : z = arctg yx ,

c) h : z = x y .

Rˇesˇenı´. Pouzˇijeme vy´sledku˚ prˇ´ıkladu 2.3. a) Podle prˇ´ıkladu 2.3 a) je ∂f = 2x + y − 3y 3 , ∂x

∂f = x − 9xy 2 . ∂y

Tedy ∂ 2f ∂ = (2x + y − 3y 3 ) = 2, 2 ∂x ∂x 2 ∂ f ∂ = (2x + y − 3y 3 ) = 1 − 9y 2 , ∂x∂y ∂y

∂ 2f ∂ = (x − 9xy 2 ) = −18xy, 2 ∂y ∂y 2 ∂ f ∂ = (x − 9xy 2 ) = 1 − 9y 2 . ∂y∂x ∂x

b) Podle prˇ´ıkladu 2.3 c) je ∂g y = 2 , ∂x x + y2

∂g x =− 2 . ∂y x + y2

Podle pravidla pro derivovańı´ podı´lu dostaneme: ∂ 2g ∂ y 0 · (x 2 + y 2 ) − y · 2x −2xy = = = 2 , 2 2 2 2 2 2 ∂x ∂x x + y (x + y ) (x + y 2 )2 ∂ 2g ∂ −x 0 · (x 2 + y 2 ) − (−x) · 2y 2xy = = = 2 , 2 2 2 2 2 2 ∂y ∂y x + y (x + y ) (x + y 2 )2

+

znacˇ´ı k-tou parcia´lnı´ derivaci funkce f , kde postupneˇ derivujeme k1 -kra´t podle promeˇnne´ xi1 , k2 -kra´t podle promeˇnne´ xi2 atd. azˇ kr -kra´t podle promeˇnne´ xir . Celkovy´ pocˇet k-tyćh parcia´lnıćh derivacı´ funkce n promeˇnnyćh je nk .


46

∂ 2g ∂ y 1 · (x 2 + y 2 ) − y · 2y x2 − y2 = = = , ∂x∂y ∂y x 2 + y 2 (x 2 + y 2 )2 (x 2 + y 2 )2 ∂ 2g ∂ −x −1 · (x 2 + y 2 ) − (−x) · 2x x2 − y2 = = = 2 . ∂y∂x ∂x x 2 + y 2 (x 2 + y 2 )2 (x + y 2 )2 c) Podle prˇ´ıkladu 2.3 e) je ∂h = yx y−1 , ∂x

∂h = x y ln x. ∂y

S pouzˇitı´m vzorcu˚ pro derivovańı´ obecne´ mocniny, exponencia´ly a soucˇinu dvou funkcı´ a funkce a konstanty dostaneme: ∂ 2h ∂x 2 ∂ 2h ∂y 2 ∂ 2h ∂x∂y ∂ 2h ∂y∂x

∂ (yx y−1 ) = y(y − 1)x y−2 , ∂x ∂ y = (x ln x) = x y ln x ln x = x y ln2 x, ∂y ∂ = (yx y−1 ) = 1 · x y−1 + yx y−1 ln x · 1 = x y−1 + yx y−1 ln x, ∂y ∂ y 1 = (x ln x) = yx y−1 ln x + x y · = yx y−1 ln x + x y−1 . ∂x x =

2

∂ h Vsˇimneˇte si, zˇe prˇi vy´pocˇtu ∂x∂y je x y−1 prˇi derivovańı´ podle y slozˇena´ funkce (v exponentu je y − 1), prˇicˇemzˇ derivace vnitrˇnı´ slozˇky je 1.

Definicˇnı´ obory druhyćh parcia´lnıćh derivacı´ jsou v prˇedchozıćh prˇ´ıkladech ve vsˇech prˇ´ıpadech stejne´ jako u prvnıćh parcia´lnıćh derivacı´. N Parcia´lnı´ derivace druhe´ho rˇa´du a vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚, prˇi nichzˇ se derivuje asponˇ podle dvou ru˚znyćh promeˇnnyćh, se nazy´vajı´ smı´sˇene´. Tedy naprˇ. fxy , fxyx , fxzy apod. Podı´va´me-li se v prˇedchozı´m prˇ´ıkladu na smı´sˇene´ druhe´ parcia´lnı´ derivace fxy a fyx , vidı´me, zˇe ve vsˇech trˇech prˇ´ıpadech vysˇly stejne´. Je ota´zkou, nakolik je to veˇc na´hody. Obecneˇ neplatı´, zˇe fxy = fyx , ale za dosti rozumnyćh prˇedpokladu˚, ktere´ jsou v beˇzˇnyćh prˇ´ıpadech splneˇny, rovnost platı´. Vy´sledek je popsań v na´sledujıćıćh trˇech veˇtaćh. Veˇta 2.11. Necht’ v neˇjake´m okolı´ O(x0 , y0 ) bodu (x0 , y0 ) existujı´ smı´sˇene´ druhe´ parcia´lnı´ derivace fxy a fyx a jsou spojite´ v bodeˇ (x0 , y0 ). Pak platı´ fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ). (Rˇ´ıka´me, zˇe smı´sˇene´ parcia´lnı´ derivace jsou zameˇnitelne´.) Tedy spojitost smı´sˇenyćh derivacı´ fxy a fyx zarucˇuje jejich zameˇnitelnost. Du˚kaz. Z prˇedpokladu˚ vyply´va´ existence cˇtverce M = (x0 − δ, x0 + δ) × (y0 − δ, y0 + δ), na neˇmzˇ existujı´ fx , fy , fxy a fyx . Pro 0 < h < δ polozˇme F (h) =

f (x0 + h, y0 + h) − f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 + h) + f (x0 , y0 ) h2


47

a oznacˇme ϕ(x) = f (x, y0 + h) − f (x, y0 ), ψ(y) = f (x0 + h, y) − f (x0 , y). Pak lze funkci F psa´t ve tvaru ϕ(x0 + h) − ϕ(x0 ) ψ(y0 + h) − ψ(y0 ) = . 2 h h2 Podle Lagrangeovy veˇty pro funkci jedne´ promeˇnne´ existuje ϑ1 ∈ (x0 , x0 + h) takove´, zˇe F (h) =

ϕ(x0 + h) − ϕ(x0 ) = hϕ 0 (ϑ1 ) = fx (ϑ1 , y0 + h) − fx (ϑ1 , y0 ). Oznacˇme da´le g(y) = fx (ϑ1 , y). Pak opeˇt podle Lagrangeovy veˇty existuje ϑ2 ∈ (y0 , y0 + + h) takove´, zˇe g(y0 + h) − g(y0 ) = hg 0 (ϑ2 ) = fxy (ϑ1 , ϑ2 ). Pro funkci F jsme tedy dostali vyja´drˇenı´ F (h) = fxy (ϑ1 , ϑ2 ),

ϑ1 ∈ (x0 , x0 + h), ϑ2 ∈ (y0 , y0 + h).

Analogicky lze stejny´m postupem aplikovany´m na funkci ψ zı´skat vyja´drˇenı´ F (h) = fyx (ϑ3 , ϑ4 ),

ϑ3 ∈ (x0 , x0 + h), ϑ4 ∈ (y0 , y0 + h).

Pro h → 0 platı´ (ϑ1 , ϑ2 ) → (x0 , y0 ) a (ϑ3 , ϑ4 ) → (x0 , y0 ). Ze spojitosti smı´sˇenyćh derivacı´ v bodeˇ (x0 , y0 ) tudı´zˇ dosta´va´me, zˇe lim F (h) = fxy (x0 , y0 ) a soucˇasneˇ

h→0

lim F (h) = fyx (x0 , y0 ),

h→0

cozˇ znamena´, zˇe fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ). Podı´va´me-li se na smı´sˇene´ derivace v prˇ´ıkladu 2.10, vidı´me, zˇe prˇedpoklady prˇedchozı´ veˇty jsou splneˇny v libovolne´m bodeˇ jejich definicˇnı´ho oboru, takzˇe tyto derivace jsou zameˇnitelne´. Prˇedchozı´ veˇta ma´ jednu nevy´hodu. Abychom oveˇrˇili jejı´ prˇedpoklady, musı´me spocˇ´ıtat fxy a fyx a zjistit, zda jsou spojite´. Ale to uzˇ za´rovenˇ vidı´me, jestli jsou i stejne´. Takzˇe pouzˇitı´ veˇty nenı´ moc efektivnı´. To odstranˇuje na´sledujıćı´ silneˇjsˇ´ı verze. Veˇta 2.12 (Schwarz1 ). Necht’v neˇjake´m okolı´ O(x0 , y0 ) bodu (x0 , y0 ) pro funkci f (x, y) platı´: 1) existujı´ prvnı´ parcia´lnı´ derivace fx a fy , 2) existuje smı´sˇena´ druha´ parcia´lnı´ derivace fxy (s prˇ´ıpadnou vy´jimkou bodu (x0 , y0 )), 3) existuje lim fxy (x, y) = K. (x,y)→(x0 ,y0 )

Pak obeˇ smı´sˇene´ parcia´lnı´ derivace fxy (x0 , y0 ) a fyx (x0 , y0 ) existujı´ a platı´ fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ) = K. 1 Hermann

Amandus Schwarz (1843–1921) (cˇti sˇvarc) — vy´znamny´ neˇmecky´ matematik. Zaby´val se analy´zou a jejı´mi aplikacemi v geometrii.


48

Trˇetı´ prˇedpoklad veˇty je zejmeńa splneˇn, je-li funkce fxy spojita´ v bodeˇ (x0 , y0 ). Z existence a spojitosti jedne´ smı´sˇene´ parcia´lnı´ derivace tedy uzˇ plyne existence druhe´ a jejich zameˇnitelnost. Tato veˇta je daleko uzˇitecˇneˇjsˇ´ı. Du˚kaz. Necht’ M = (x0 − δ, x0 + δ) × (y0 − δ, y0 + δ), δ > 0, je cˇtverec, na neˇmzˇ existujı´ fx , fy a fxy (fxy nemusı´ existovat v bodeˇ (x0 , y0 )). Pro 0 < |h| < δ, 0 < |k| < δ definujme pomocnou funkci F (h, k) =

f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 + k) + f (x0 , y0 ) . hk

Z existence prvnıćh parcia´lnıćh derivacı´ na M plyne, zˇe fx (x0 , y0 + k) − fx (x0 , y0 ) h→0 k fy (x0 + h, y0 ) − fy (x0 , y0 ) lim F (h, k) = k→0 h lim F (h, k) =

pro k 6= 0,

(2.1)

pro h 6= 0.

(2.2)

Uka´zˇeme, zˇe existuje dvojna´ limita lim

(h,k)→(0,0)

F (h, k) = K.

(2.3)

Analogicky jako v du˚kazu veˇty 2.11 lze najı´t cˇ´ısla ϑ1 , ϑ2 , kde ϑ1 lezˇ´ı mezi nulou a h a ϑ2 lezˇ´ı mezi nulou a k, takova´, zˇe F (h, k) = Fxy (ϑ1 , ϑ2 ). Tudı´zˇ pro (h, k) → (0, 0) je (ϑ1 , ϑ2 ) → (0, 0). Z prˇedpokladu 3) proto plyne, zˇe platı´ (2.3). Nynı´ pouzˇijeme veˇtu 1.31. Vztahy (2.1) a (2.2) rˇ´ıkajı´, zˇe existujı´ obeˇ vnitrˇnı´ limity. Proto existujı´ obeˇ opakovane´ limity a jsou rovny K. Avsˇak fx (x0 , y0 + k) − fx (x0 , y0 ) = fxy (x0 , y0 ), k→0 h→0 k→0 k fy (x0 + h, y0 ) − fy (x0 , y0 ) lim lim F (h, k) = lim = fyx (x0 , y0 ), h→0 k→0 h→0 h lim lim F (h, k) = lim

cozˇ dokazuje veˇtu. Podobne´ tvrzenı´ platı´ i pro vysˇsˇ´ı smı´sˇene´ parcia´lnı´ derivace. Pro prakticke´ ućˇely je postacˇujıćı´ na´sledujıćı´ veˇta. Veˇta 2.13. Necht’ funkce f (x, y) ma´ na otevrˇene´ mnozˇineˇ D spojite´ vsˇechny parcia´lnı´ derivace rˇa´du k, k ∈ N, k = 2. Pak hodnoty vsˇech smı´sˇenyćh parcia´lnıćh derivacı´ funkce f (x, y) azˇ do rˇa´du k neza´visı´ na porˇadı´ derivovańı´, ale jen na tom, kolikra´t se podle ktere´ promeˇnne´ derivuje. Du˚kaz. Naznacˇ´ıme si pouze princip. Nejprve se indukcı´ s vyuzˇitı´m du˚sledku 2.8 uka´zˇe, zˇe vsˇechny parcia´lnı´ derivace ˇra´du l, 1 5 l < k, jsou na D spojite´. Pak se opeˇt indukcı´ s pomocı´ veˇty 2.11 doka´zˇe, zˇe hodnoty smı´sˇenyćh derivacı´ neza´visı´ na porˇadı´ derivovańı´.


49

Pokud je uvazˇovana´ funkce vytvorˇena z elementa´rnıćh funkcı´ jedne´ promeˇnne´, jsou zrˇejmeˇ takove´ i jejı´ parcia´lnı´ derivace. Vzhledem k u´vaha´m na str. 17 jsou pak spojite´ na svyćh definicˇnıćh oborech, a tudı´zˇ lze i prˇedchozı´ veˇtu ućˇinneˇ vyuzˇ´ıt pro pocˇ´ıtańı´ smı´sˇenyćh parcia´lnıćh derivacı´. Stacˇ´ı spocˇ´ıtat naprˇ. fxxy . Derivace fxyx a fyxx (o nichzˇ sice nevı´me, jak vypadajı´, ale vı´me, zˇe jsou spojite´) musı´ by´t stejne´.

+

Prˇ´ıklad 2.14. Vypocˇteˇte vsˇechny cˇtvrte´ parcia´lnı´ derivace funkce f : z = x 4 − 2x 2 y 3 + 3xy 2 − y 5 . Rˇesˇenı´. Protozˇe jde o mnohocˇlen dvou promeˇnnyćh, budou parcia´lnı´ derivace zase obdobne´ mnohocˇleny, ktere´ jsou tudı´zˇ spojite´ na R2 . Lze tedy pouzˇ´ıt prˇedchozı´ veˇtu. Postupneˇ dostaneme: fx = 4x 3 − 4xy 3 + 3y 2 , fxx = 12x 2 − 4y 3 ,

fy = −6x 2 y 2 + 6xy − 5y 4 , fyy = −12x 2 y + 6x − 20y 3 ,

fxy = −12xy 2 + 6y = fyx , fyyy = −12x 2 − 60y 2 ,

fxxx = 24x, fxxy fxxxx fyyyy fxxyy

= −12y 2 = fxyx = fyxx , fyyx = −24xy + 6 = fyxy = fxyy , = 24, fxxxy = 0 = fxxyx = fxyxx = fyxxx , = −120y, fyyyx = −24x = fyyxy = fyxyy = fxyyy , = −24y = fyyxx = fxyxy = fyxyx = fxyyx = fyxxy ,

N Vsˇimneˇte si, zˇe kdybychom v prˇedchozı´m prˇ´ıkladu v derivovańı´ pokracˇovali, byly by vsˇechny parcia´lnı´ derivace od jiste´ho ˇra´du identicky nulove´. To se stane v prˇ´ıpadeˇ mnohocˇlenu vzˇdy.

+

Prˇ´ıklad 2.15. Oveˇrˇte, zˇe fxy (0, 0) 6= fyx (0, 0), je-li  3 3  x y − xy pro (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) = x2 + y2  0 pro (x, y) = (0, 0). Rˇesˇenı´. Nejprve urcˇ´ıme smı´sˇenou derivaci fxy (0, 0). Pro jejı´ vy´pocˇet potrˇebujeme zna´t fx (0, y). Vypocˇteme tedy prvnı´ parcia´lnı´ derivaci podle x. Pro (x, y) 6= (0, 0) ma´me: fx =

x 4 y + 4x 2 y 3 − y 5 (3x 2 y − y 3 )(x 2 + y 2 ) − (x 3 y − xy 3 )2x = . (x 2 + y 2 )2 (x 2 + y 2 )2

(2.4)

Hodnotu fx v bodeˇ (0, 0) musı´me spocˇ´ıtat prˇ´ımo z definice. Protozˇe pro x 6= 0 je f (x, 0) = x02 = 0, dostaneme f (x, 0) − f (0, 0) 0−0 = lim = 0. x→0 x→0 x x−0

fx (0, 0) = lim

(2.5)


50

z 2

0

−2 −3

−3 −2

−2 −1

−1

y

0

0 1

1 2

x

2 3

3

Obr. 2.3: Graf funkce s nezameˇnitelny´mi smı´sˇeny´mi derivacemi v pocˇa´tku Ze vztahu (2.4) ma´me, zˇe −y 5 fx (0, y) = 2 2 = −y (y )

pro y 6= 0.

Vzhledem ke vztahu (2.5) tedy je fx (0, y) = −y pro libovolne´ y, a tudı´zˇ fxy (0, 0) = −1. Naprosto analogicky (lze te´zˇ vyuzˇ´ıt vztah f (x, y) = −f (y, x) ) vyjde fy (x, 0) = x N pro libovolne´ x, takzˇe fyx (0, 0) = 1. Graf funkce je na obr. 2.3.

Pro za´jemce: Analogicky jako pro funkce dvou promeˇnnyćh lze doka´zat, zˇe pro funkce n promeˇnnyćh, kde n ∈ N, n = 3, platı´ obdoby veˇt 2.11, 2.12 a 2.13.

2.3

Smeˇrove´ derivace

Na za´veˇr te´to kapitoly si vsˇimneme jiste´ho zobecneˇnı´ parcia´lnıćh derivacı´. Oznacˇme V2 mnozˇinu vsˇech volnyćh vektoru˚ v rovineˇ R2 . Jestlizˇe A = (a1 , a2 ) ∈ R2 , u = = (u1 , u2 ) ∈ V2 a t ∈ R, pak A + tu je bod o sourˇadnicıćh (a1 + tu1 , a2 + tu2 ). Definice 2.16. Necht’ f je funkce dvou promeˇnnyćh, A = (x, y) ∈ D(f ) a u ∈ V2 . Polozˇme ϕ(t) = f (A + tu), t ∈ R. Ma´-li funkce ϕ derivaci v bodeˇ t = 0, nazy´va´me tuto derivaci derivacı´ funkce f v bodeˇ (x, y) ve smeˇru vektoru u a znacˇ´ıme ji fu (x, y) ∂f nebo ∂u (x, y). Jestlizˇe fu (x, y) existuje, znamena´ to, zˇe funkce ϕ je definovana´ v okolı´ nuly, a tudı´zˇ zˇe definicˇnı´ obor D(f ) obsahuje u´secˇku, ktera´ ma´ strˇed v bodeˇ A a je rovnobeˇzˇna´ s vektorem u.

2.3 Smeˇrove´ derivace

51

Vzhledem k definici derivace funkce jedne´ promeˇnne´ platı´: ϕ(t) − ϕ(0) f (A + tu) − f (A) = lim . t→0 t→0 t t

fu (x, y) = ϕ 0 (0) = lim

(2.6)

Prˇ´ıklad 2.17. Vypocˇteˇte derivaci funkce f (x, y) = x 2 − 3xy − 2y 2 v bodeˇ A = (−1, 1) ve smeˇru u = (2, −1).

+

Zvolı´me-li za u jednotkovy´ vektor ve smeˇru osy x, tj. u = (1, 0), snadno vidı´me porovnańı´m s definicı´ 2.1, zˇe vyjde fu = fx . Obdobneˇ volbou jednotkove´ho vektoru ve smeˇru osy y, tj. u = (0, 1), dostaneme fu = fy . Parcia´lnı´ derivace jsou tedy specia´lnı´m prˇ´ıpadem derivace ve smeˇru.

Rˇesˇenı´. Urcˇ´ıme pomocnou funkci ϕ: ϕ(t) = f (A + tu) = f (−1 + 2t, 1 − t) = = (−1 + 2t)2 − 3(−1 + 2t)(1 − t) − 2(1 − t)2 = 8t 2 − 9t + 2.

Prˇ´ıklad 2.18. Vypocˇteˇte derivaci funkce  3 4 x − y f (x, y) = x 2 + y 2  0

+

Odtud ma´me ϕ 0 (t) = 16t − 9, takzˇe ϕ 0 (0) = −9, cozˇ znamena´, zˇe hledana´ derivace existuje a platı´ fu (−1, 1) = −9. N

pro (x, y) 6= (0, 0), pro (x, y) = (0, 0)

v bodeˇ A = (0, 0) ve smeˇru u = (3, 1). Rˇesˇenı´. Opeˇt urcˇ´ıme pomocnou funkci ϕ. Pro t 6= 0 je ϕ(t) = f (A + tu) = f (3t, t) =

27t 3 − t 4 27t − t 2 = 9t 2 + t 2 10

a pro t = 0 je ϕ(0) = f (0, 0) = 0. Pro libovolne´ t tudı´zˇ platı´ ϕ(t) = (27t − t 2 )/10, takzˇe ϕ 0 (t) = (27 − 2t)/10, tj. ϕ 0 (0) = 27/10. Hledana´ smeˇrova´ derivace tedy existuje a platı´ fu (0, 0) = 27/10. N V prˇedchozıćh prˇ´ıkladech jsme pocˇ´ıtali derivaci ve smeˇru prˇ´ımo na za´kladeˇ jejı´ definice. V na´sledujıćı´ kapitole v oddı´le 3.3 si uka´zˇeme jiny´, jednodusˇsˇ´ı zpu˚sob vy´pocˇtu. Pozna´mka 2.19. i) Protozˇe derivace ve smeˇru je definovana´ jako obycˇejna´ derivace pomocne´ funkce ϕ, platı´ pro ni vsˇechna beˇzˇna´ pravidla pro derivaci soucˇtu, rozdı´lu, soucˇinu a podı´lu. ii) Geometricky´ vy´znam je podobny´ jako u parcia´lnıćh derivacı´. Prˇi oznacˇenı´ z definice 2.16 necht’p je prˇ´ımka tvorˇena´ body A + tu, t ∈ R a ρ je rovina procha´zejıćı´ p, ktera´ je rovnobeˇzˇna´ se sourˇadnicovou osou z. Pak pru˚nikem roviny ρ s grafem funkce f je graf funkce ϕ. Derivace ve smeˇru ma´ vy´znam smeˇrnice tecˇny ke grafu funkce ϕ lezˇ´ıcı´ v rovineˇ ρ.


52

iii) Obdobneˇ jako u parcia´lnıćh derivacı´ je mozˇne´ zave´st derivace ve smeˇru vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚. Prˇi pevneˇ zvolene´m u ∈ V2 je fu (x, y) funkcı´ dvou promeˇnnyćh x, y. Ma´-li tato funkce v neˇjake´m bodeˇ (x, y) derivaci ve smeˇru v ∈ V2 , nazveme ji druhou smeˇrovou ∂ 2f derivacı´ v bodeˇ (x, y) ve smeˇrech u a v a oznacˇ´ıme fuv (x, y) nebo ∂u∂v (x, y). Analogicky se zavedou vysˇsˇ´ı derivace. iv) O derivacıćh ve smeˇru vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ lze doka´zat obdoby veˇt 2.11 azˇ 2.13. Naprˇ. spojitost derivacı´ fuv (x, y) a fvu (x, y) zarucˇuje jejich rovnost, neza´lezˇ´ı tedy na porˇadı´ derivovańı´. Podrobneˇji [1, 13, 16].

Pro za´jemce: Zavedenı´ derivace ve smeˇru pro funkce vıće promeˇnnyćh je zcela analogicke´. Necht’f je funkce n promeˇnnyćh, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D(f ) a u = (u1 , . . . , un ) ∈ Vn , kde Vn je mnozˇina volnyćh vektoru˚ v Rn . Zaved’me pomocnou funkci jedne´ promeˇnne´ ϕ(t) = f (x + tu) = f (x1 + + tu1 , . . . , xn + tun ), t ∈ R. Existuje-li ϕ 0 (0), nazy´va´me toto cˇ´ıslo derivacı´ funkce f v bodeˇ x ve smeˇru u. ∂f ∂f Znacˇ´ıme: ∂u (x1 , . . . , xn ) resp. fu (x1 , . . . , xn ) nebo strucˇneˇji ∂u (x) resp. fu (x). Tedy ∂f (x) = fu (x) = ϕ 0 (0). ∂u O takto zavedene´ derivaci platı´ vsˇe, co bylo rˇecˇeno v pozna´mce 2.19.

X

Pojmy k zapamatovańı´ — — — —

?

parcia´lnı´ derivace prvnı´ho rˇa´du parcia´lnı´ derivace vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ smı´sˇene´ parcia´lnı´ derivace derivace funkce ve smeˇru

Kontrolnı´ ota´zky 1. 2. 3. 4.

Co rozumı´me pojmem parcia´lnı´ derivace funkce dvou promeˇnnyćh? Jak pocˇ´ıta´me parcia´lnı´ derivaci funkce dvou promeˇnnyćh? Jaky´ je geometricky´ vy´znam parcia´lnıćh derivacı´? Uved’te postacˇujıćı´ podmıńku vyuzˇ´ıvajıćı´ parcia´lnı´ derivace, ktera´ zarucˇuje, zˇe funkce z = f (x, y) bude na otevrˇene´ mnozˇineˇ K spojita´? 5. Ktere´ parcia´lnı´ derivace nazy´va´me smı´sˇene´? 6. Jake´ podmıńky musı´ by´t splneˇny, aby smı´sˇene´ druhe´ parcia´lnı´ derivace dane´ funkce byly zameˇnitelne´? 7. Uved’te prˇ´ıklad funkce, ktera´ ma´ alesponˇ jednu nenulovou druhou parcia´lnı´ derivaci a vsˇechny trˇetı´ parcia´lnı´ derivace identicky rovny nule.


53

8. Co rozumı´me pojmem derivace funkce v dane´m bodeˇ ve smeˇru dane´ho vektoru? 9. Jaky´ je vztah mezi parcia´lnı´mi derivacemi a smeˇrovy´mi derivacemi? 10. Jaky´ je geometricky´ vy´znam smeˇrovyćh derivacı´?


!

1. Vypocˇteˇte prvnı´ parcia´lnı´ derivace funkce f v bodeˇ A (da´vejte pozor na to, jak jsou oznacˇene´ neza´visle promeˇnne´ funkce f ): a) c) e)

f:z=

π 2 x y, 3 α

A = (4, 6),

f : z = e sin β,

A = (1, 2),

2

xy

f : z = 3x y + e , α cos ϕ−ϕ cos α 1+cos α+sin ϕ 2 2 3 + x6 − y8

A = (3, 2),

f:z=

u v

d)

f:z=

f)

f:z=

arctg yx , p 2x 2 −

b)

g)

f:z=

A = (0, 0),

h)

i)

, A = (0, 1), p √ f : z = x 1 − y 2 + y 1 − x 2,

j)

k)

f:z=

,

l)

+ uv ,

x2

A = (1, 1), A = (0, 1), 3y 2 ,

A = (3, 2),

y2 , 6

f: z=4− 4 − A = (0, 1), p f : z = x 2 + y 2 , A = (0, 0), p f : z = xy 1 − x 2 − y 2 , A = (0, 0).

A = (0, 0), 2. Vypocˇteˇte prvnı´ parcia´lnı´ derivace funkce f : 11

a)

f (x, y) = 3x 3 + 5x 2 y − 2y 3 ,

b)

f (x, y, z) = (2xy 2 + z3 ) ,

c)

f (x, y, z) = yz + xz + xy,

d)

f (u, v) =

e)

f (x, y, z) =

x y

g) i)

y z

z x

u2 v

+

v3 u4

√ 1√ x− y √ 1

,

f)

f (x, y) =

f (x, y) = y sin x + cos(x − y),

h)

f (m, n) =

f (x, y) = x 3 y 2 − x 2 sin y + 2y ,

j)

f (γ , δ) =

l)

f (u, v) = e + u ,

n)

f (α, β) = ln α+β , α−β

o)

, p f (α, β) = ln(α + α 2 + β 2 ),

p)

f (x, y) =

q)

f (x, y) = y x+1 ,

r)

f (x, y) =

t)

f (x, y) =

v)

f (x, y) = x sin(x + y),

x)

f (x, y) = arcsin xy ,

z)

f (x, y) = sin yx .

+

k)

f (γ , δ) = arctg

m)

f (R, S) = RS e

s)

f (x, y) =

u)

f (x, y) =

w)

f (x, y) =

y)

f (x, y) =

− ,

γ −δ 1+γ δ R+2S

3xy , x−y x √ , x 2 +y 2 1 ln(x 2 + 2 arctg yx ,

,

y 2 ),

,

m2 +n2 arctg γγ +δ −δ u v v

x , y2 x−y , x+y x 2 +y 2 x 2 −y 2

2

, ,

,


54

3. Vypocˇteˇte prvnı´ parcia´lnı´ derivace funkce f : a) f (x, y) = x 3 + 2x 2 y + 3xy 2 + 4x − 5y + 100 , c) f (x, y) =

√ x 3 y−3y √ x

b) f (x, y, z) =

z x 2 +y 2

,

d) f (x, y) = ln(x + ln y) ,

,

e) f (x, y, z) = ln x + ln(y + ln z) , 4. Pro f : z = x + (y − 1) arcsin

q

x y

f) f (x, y, z) = ex

2 (1−y−z)

.

vypocˇteˇte fx (x, 1).

∂z ∂z 5. Ukazˇte, zˇe funkce f : z = ln(x 2 + y 2 ) vyhovuje rovnici y ∂x − x ∂y = 0. ∂z ∂z 6. Ukazˇte, zˇe funkce f : z = y 2 sin(x 2 − y 2 ) vyhovuje rovnici y 2 ∂x + xy ∂y = 2xz.

7. Ukazˇte, zˇe pro funkce u = ex cos y a v = ex sin y platı´

∂u ∂x

=

∂v ∂y

a

∂u ∂y

∂v = − ∂x .

8. Ukazˇte, zˇe ze stavove´ rovnice idea´lnı´ho plynu pV = nRT , kde p je tlak, V objem, T absolutnı´ teplota, n a R jsou konstanty, vyply´va´ ∂p ∂V ∂T = −1. ∂V ∂T ∂p 9. Vypocˇteˇte prvnı´ parcia´lnı´ derivace funkce f : x−y a) f (x, y) = ln x+4 , b) f (x, y) = arctg 1+xy , 2 y √ √ x 2 −y 2 1− x 2 +y 2 +z2 c) f (x, y) = arcsin √ 2 2 , d) f (x, y, z) = ln √ 2 2 2 , x +y 1+ x +y +z p p √ e) f (x, y, z) = x 1 − y 2 + y 1 − x 2 − z 1 − x 2 − y 2 , f) h)

f (x, y) = x xy q, f (x, y) = 2

√ 1− xy √ 1+ xy

g)

f (x, y) = xy esin πxy ,

i)

f (x, y, z) = x z ,

k)

f (x, y) = arctg(x − y)2 , q 2 f (x, y) = 1 − x+y + arcsin x+y . xy xy

y

,

j)

f (x, y) = xy ln(x + y),

l)

f (x, y, z) = x y ,

z

m)

10. Vypocˇteˇte druhe´ parcia´lnı´ derivace zadane´ funkce f : a)

f : z = x 3 − 3x 4 y + y 5 ,

b)

f : u = xyz, 1 , 3xy 2 ln xy 2 +1 , p −1 x2 + y2

d)

f : z = sin xy,

e)

f:z=

g)

f : z = xy ,

h)

f:z=

k)

f:z=

n)

f : u = exyz ,

j)

f : z = arctg

m)

f : z = exy ,

x−y x+y

,

11. Ukazˇte, zˇe pro funkci f : z = ln

p

,

c)

f : u = xy + yz + zx,

f)

f : z = xy + yx ,

i) l)

f : z = xy + cos(x − y), p f : z = 13 (x 2 + y 2 )3 ,

o)

f : z = 5x 3 y 2 − 4x 3 + 5xy.

x 2 + y 2 platı´ zxx + zyy = 0.

12. Ukazˇte, zˇe pro funkci f : z = xy + cos(x − y) platı´ zxy + zxx = 1 a zxy + zyy = 1. 13. Ukazˇte, zˇe pro funkci f : z =

1 √ 2a πt

e

− (x−b) 2 4a t

2

, a, b ∈ R, a 6= 0, platı´ zxx =

1 a2

zt .


55

14. Ukazˇte, zˇe pro funkci g(r, ϕ), kde g : u = r m cos mϕ, m ∈ R, platı´ urr +

1 1 ur + 2 uϕϕ = 0. r r

15. Vypocˇteˇte druhe´ parcia´lnı´ derivace funkce f : a)

f (x, y) = x 4 + y 4 − 4x 2 y 2 ,

c)

f (x, y) =

xy+x y

e)

f (x, y) =

x y2

g)

f (x, y) =

√x x 2 +y 2

i)

f (x, y) = x sin(x + y),

k)

f (x, y) =

,

,

cos x 2 y

,

b)

f (x, y) = x x+y √,

d)

f (x, y) = ln √

f) h)

f (x, y) = ln(x + y ), p f (x, y) = ln x 2 + y 2 ,

j)

f (x, y) = arcsin √

l)

f (x, y) = (1 + x ) .

,

x 2 +y 2 −x x 2 +y 2 +x 2

,

x x 2 +y 2 2 y

,

16. Necht’ F a G jsou dvakra´t diferencovatelne´ funkce jedne´ promeˇnne´. Dokazˇte, zˇe pak funkce f (x, y) vyhovuje dane´ rovnici: a) b)

f : z = F (x − 2t) + G(x + 2t), ztt = 4zxx , x x 2 x zxx + 2xy zxy + y 2 zyy = 0. f: z=xF y +yG y ,

17. Necht’ 8 je diferencovatelna´ funkce jedne´ promeˇnne´. Dokazˇte, zˇe pak funkce f (x, y) resp. f (x, y, z) vyhovuje dane´ rovnici: 1 ∂u + y1 ∂u = xu2 , x ∂x ∂y ∂u − y ∂x = 0, x ∂u ∂y ∂u ∂u x ∂x + y ∂y = xy +

a)

f : u = x8(y 2 − x 2 ),

b) c)

f : u = 8(x 2 + y 2 ), f : u = xy + y8 xy ,

d)

f : u = 21 (x 2 + y 2 + z2 ) + 8(x − y − z),

e)

2

2

2

f : u = xy8(x − y − z ),

1 ∂u 2x ∂x

−

u, ∂u + ∂u = 2x + y ∂y ∂z 1 ∂u 1 1 = 2 x 2 − y12 u. z ∂z

∂u 2 ∂x + 1 ∂u 2y ∂y

+

+ z,

18. Oveˇrˇte, zˇe funkce ( xy f (x, y) = 0

pro |x| = |y|, pro |x| < |y|

ma´ v pocˇa´tku smı´sˇene´ druhe´ parcia´lnı´ derivace, ktere´ nejsou zameˇnitelne´. 19. Vypocˇteˇte derivace funkce f v bodeˇ R = (2, 0) ve smeˇru vektoru a = (−2, 0), v bodeˇ S = (0, 3) ve smeˇru vektoru b = (0, −3) a v bodeˇ T = (2, 3) ve smeˇru vektoru c = (2, 3). a) b) c)

f : z = 4 − 2x − 43 y, p f : z = 25 − x 2 − y 2 , p f : z = 16 − x 2 + y 2 ,

2 x2 + y9 , 4 p

d)

f :z=

e)

f :z=

f)

f : z = 4 − x 2 + y 2 , z = 0.

16 − y 2 ,

20. Vypocˇteˇte derivace funkce f v bodeˇ R = (2, −1, 3) ve smeˇru vektoru q = (1, 4, −2). a)

f : u = 2(x − 1)2 + 3(y + 2)2 + z2 ,

c)

f : u = 4(x − 1) + 3y 2 + 5z2 ,

b)

f : u = −x 2 + 2(y + 1)2 − (z − 1)2 ,

d)

f :u=

z 3

− 4xy.


56

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ 1. a) c) e) g) i) k)

fx (A) = 16π, fy (A) = 16 π, 3 fα (A) = e · sin 2, fβ (A) = e · cos 2, fx (A) = 36 + 2e6 , fy (A) = 27 + 3e6 , fα (A) = 12 , fϕ (A) = − 12 , fx (A) = 0, fy (A) = − 14 , fx (A) = 1, fy (A) = 1,

2. a) fx = 9x 2 + 10xy,

b) d) f) h) j) l)

fu (A) = 0, fv (A) = 0, fx (A) = √ 1, fy (A) = 0, √ fx (A) = 6, fy (A) = − 6, fx (A) = 0, fy (A) = − 13 , fx (A) a fy (A) neexistujı´, fx (A) = 0, fy (A) = 0.

fy = 5x 2 − 6y 2 , 10

10

10

b) fx = 22y 2 (2xy 2 + z3 ) , fy = 44xy(2xy 2 + z3 ) , fz = 33z2 (2xy 2 + z3 ) , c) fx = z + y, d) fu = e) fx = f) fx =

fy = z + x, fz = y + x, 2 3 4v 3 2u − u5 , fv = − uv2 + 3v , v u4 1 x 1 z + x 2 , fy = − y 2 + z , fz = − zy2 y √ √−1 √ , fy = 2√y(√1x−√y)2 , 2 x( x− y)2

− x1 ,

g) fx = y cos x − sin(x − y), fy = sin x + sin(x − y), , fn = √ −n , h) fm = √ −m 2 2 3 2 2 3 (m +n )

(m +n )

i) fx = 3x 2 y 2 − 2x sin y, δ j) fγ = − γ 2 +δ 2 ,

l) fu =

1 v

fδ =

u

v u

e v + uv

fy = 2x 3 y − x 2 cos y + 2y ln 2,

γ γ 2 +δ 2

o) fα = p) fx =

−2β , α 2 −β 2 √ 1 α 2 +β 2 1 y2

,

fβ =

2α α 2 −β 2

, β

√

α 2 +β 2 α+

α 2 +β 2

2y (x+y)2

t) fx =

−4xy 2 (x 2 −y 2 )2

,

fy = ,

q) fx = y x+1 ln y,

−2x (x+y)2

fy =

s) fx =

,

4x 2 y (x 2 −y 2 )2

w) fx =

x x 2 +y 2

,

y) fx =

−y x 2 +y 2

,

e) fx =

,

fy =

y2

(x 2 +y 2 )3

fx =

x x 2 +y 2

,

z) fx = − yx 2 cos yx ,

1 y 2 −x 2 2

−2yz , (x 2 +y 2 )2 √ 3 x −6 y fy = 2√xy ,

fz =

1 x 2 +y 2

fy = √−x2

,

y

2

fy =

y −x 2 2y x

, 2

cos yx .

1

,

, d) fx =

,

(y+ln z) x+ln(y+ln z)

2 (1−y−z)

,

fy = 2x 2 + 6xy − 5 ,

fy =

f) fx = 2x(1 − y − z) ex

−xy

fy = x cos(x + y), x) fx = √

fy =

, (x 2 +y 2 )3

,

,

3x 2 (x−y)2

fy = √

,

fy =

−2xz , (x 2 +y 2 )2 √ 3 5x y+3y √ , 2 x3 1 x+ln(y+ln z)

4. fx (x, 1) = 1.

(x−y)2

fy = (x + 1)y x ,

y x 2 +y 2

3. a) fx = 3x 2 + 4xy + 3y 2 + 4 ,

c) fx =

−3y 2

u) fx = √

,

v) fx = sin(x + y) + x cos(x + y),

b) fx =

,

fy = − 2x , y3

r) fx =

1 fδ = − 1+δ 2 ,

,

fS = R eR+2S (1 + 2S),

fβ = √

,

u

1 1+γ 2

fv = − vu2 e v + uv ln u,

,

m) fR = S eR+2S (1 + R), n) fα =

k) fγ =

,

fz =

fy = fz = −x 2 ex

1

1 x+ln y

,

fy = ,

z(y+ln z) x+ln(y+ln z)

2 (1−y−z)

.

1 y(x+ln y)

,


57

9. a)

fx =

1 x+4

b)

fx =

c)

fx =

1 , fy 1+x 2 √ 2 x|y|

d)

p fx = x r(r 22−1) , fy = y r(r 22−1) , fz = z r(r 22−1) , kde r = x 2 + y 2 + z2 , p p fx = 1 − y 2 − √xy 2 + √ xz2 2 , fz = − 1 − x 2 − y 2 , 1−x −y 1−x √ xy fy = − √ 2 + 1 − x 2 + √ yz2 2 ,

e)

2 fy = − |y| ,

,

1 = − 1+y 2 ,

√

(x 2 +y 2 )

x 2 −y 2

,

√ 2 2 x sgn y

√

fy = −

(x 2 +y 2 )

1−y

,

x 2 −y 2

1−x −y

f)

fx = yx xy (1 + ln x),

g)

fx = y esin πxy (1 + πxy cos πxy),

h)

fx = − √

i)

fx =

y z

j)

x z , fy = 1z x z ln x, fz = − zy2 x z ln x, y x fx = y ln(x + y) + x+y , fy = x ln(x + y) + x+y ,

k)

fx =

2(x−y) 1+(x−y)4

l)

fx = y z x y

m)

fx = − x12

10. a)

fy = x xy+1 ln x,

y √ xy−x 2 y 2 (1+ xy)

y

fy = x esin πxy (1 + πxy cos πxy), x √ xy−x 2 y 2 (1+ xy)

fy = − √

,

y

y

−1

z −1

2(x−y) fy = − 1+(x−y) 4 ,

,

z

z

fy = x y zy z−1 ln x, fz = x y y z ln x ln y, q q xy−x−y xy−x−y 1 , f = − . y 2 xy+x+y xy+x+y y ,

fxx = 6x − 36x 2 y,

fxy = −12x 2 ,

fyy = 20y 3 ,

b)

fxx = fyy = fzz = 0,

fxy = z,

c)

fxx = fyy = fzz = 0,

fxy = fxz = fyz = 1,

d)

2

fxx = −y sin xy,

e)

fxx =

f)

fxx =

g)

fxx = y(y − 1)x y−2 ,

h)

fxx =

i)

fxx = − cos(x − y),

j)

fxx =

−2xy (x 2 +y 2 )2

k)

fxx = √

l) m) n)

2 3x 3 y 2y , x3

,

fxy = fxy = 1

2(1−x 2 ) (x 2 +1)2

,

(x 2 +y 2 )3 2

2x +y fxx = √ , 2 2 x +y 2 xy

fxx = y z e

fyy =

,

fyy = 0, fyy =

fyy = −x 2 sin xy,

x 2 −y 2 (x 2 +y 2 )2

fxy = − √

2(1+y 2 ) (y 2 −1)2

fyy = x y ln2 x,

,

fxy = √ xy 2 x

+y 2

,

fyy =

xy

,

fyy = √

, x2 (x 2 +y 2 )3

2

,

2

x +2y fyy = √ , 2

,

2 2 xyz

fyy = x z e

fyy = − cos(x − y),

2xy (x 2 +y 2 )2

(x 2 +y 2 )3

fxx = 30y 2 x − 24x,

,

fxy = 1 + cos(x − y),

fxy = (xy + 1) e , ,

2 3xy 3

,

xy

fxx = y e ,

2 2 xyz

,

fyz = x,

fxy = x y−1 (1 + y ln x),

fxy =

y2 2

1 3x 2 y 2 − x12

fxy = 0,

,

fxz = y,

fxy = cos xy − xy sin xy,

fxy = (z + zyz2 ) exyz , o)

,

,

x +y 2 xy

fyy = x e , fzz = x 2 y 2 exyz ,

fxz = (y + xy 2 z) exyz , fxy = 30x 2 y + 5,

fxy = (x + x 2 yz) exyz ,

fyy = 10x 3 .


58

15. a) b)

fxx = 12x 2 − 8y 2 , fxy = −16xy, fyy = 12y 2 − 8x 2 , 2 1 fxx = x x+y ln x + x+y + x − xy2 , fxy = x x+y ln2 x + x

x+y x

ln x +

1 x

,

fyy = x x+y ln2 x, fxy = − y12 ,

c)

fxx = 0,

d)

fxx = √

,

e)

fxx = 0,

fxy = − y23 ,

f)

fxx = − (x+y1 2 )2 ,

g)

2x (x 2 +y 2 )3

fxx = − √

fxy = √

2x y3

,

2y

(x 2 +y 2 )3

fyy =

6x y4

√ fyy = − 22x(x

,

(x 2 +y 2 )5

fxx =

i)

fxx = 2 cos(x + y) − x sin(x + y),

fxy =

,

2(x−y 2 ) (x+y 2 )2

, 2

2

x(x −2y ) fyy = − √ , 2 2 5

,

(x 2 +y 2 )5

h)

,

fyy =

fxy = √

− (x 22xy +y 2 )2

,

,

y(2x 2 −y 2 )

,

2 +2y 2 )

(x 2 +y 2 )3

y

2y fxy = − (x+y 2 )2 ,

3xy 2

y 2 −x 2 (x 2 +y 2 )2

fyy =

(x +y )

x 2 −y 2 (x 2 +y 2 )2

fyy =

,

fxy = cos(x + y) − x sin(x + y),

fyy = −x sin(x + y), j)

fxx = − (x 2x|y| 2 +y 2 )2 ,

fxy =

(x 2 −y 2 ) sgn y (x 2 +y 2 )2

,

fyy =

2x|y| (x 2 +y 2 )2

,

18. fx (0, y) = 0, fy (x, 0) = x, fxy (0, 0) = 0, fyx (0, 0) = 1. 2 +4x 2 cos x 2

2x sin x 2 y2

k)

fxx = − 2 sin x

l)

fxx = 2y(1 + x 2 )y−2 (−x 2 + 2x 2 y + 1),

y

,

fxy =

,

fxy = 2x(1 + x 2 )y−1 [1 + y ln(1 + x 2 )], 19. a)

fa (R) = 4, √4 21

fb (S) = 4, 9 4

fa (R) =

c)

fa (R) = 2,

d)

fa (R) = −2,

e)

fa (R) = 0,

fb (S) =

f)

fa (R) = 8,

fb (S) = −18,

20. a)

fq (R) = 16,

fb (S) =

,

fb (S) = −3, fb (S) = −2,

b)

√9 7

2 cos x 2 y3

,

fyy = (1 + x 2 )y ln2 (1 + x 2 ).

fc (T ) = −8,

b)

,

fyy =

,

fc (T ) = − √1312 , √ fc (T ) = − 13, fc (T ) = 4, fc (T ) = − √97 , fc (T ) = 10.

fq (R) = 4,

c)

fq (R) = −80,

d)

fq (R) = − 86 . 3

59

Kapitola 3 Diferencia´l funkce Pru˚vodce studiem

S Z

V diferencia´lnı´m pocˇtu funkcı´ jedne´ promeˇnne´ jsme se mimo jine´ zaby´vali ota´zkou, jak lze danou funkci v okolı´ neˇjake´ho bodu x0 (loka´lneˇ) aproximovat linea´rnı´ funkcı´. Chteˇli jsme najı´t takove´ cˇı´slo A ∈ R, aby v „dostatecˇne´ blı´zkosti“ bodu x0 platilo: . f (x0 + h) − f (x0 ) = A · h, kde |h| je male´ rea´lne´ cˇı´slo. Prˇi tomto nahrazenı´ se obecneˇ dopousˇtı´me jiste´ chyby ω(h): ω(h) = f (x0 + h) − f (x0 ) − A · h. (3.1) Zjisˇt’ovali jsme, zda existuje takove´ cˇı´slo A, zˇe funkce ω(h) definovana´ vztahem (3.1) naby´va´ pro „dostatecˇneˇ mala´“ h „velmi malyćh“ hodnot. Uka´zali jsme, zˇe je rozumne´ pozˇadovat, aby lim ω(h)/ h = 0. V takove´m prˇ´ıpadeˇ totizˇ existuje nejvy´sˇe h→0

jedno cˇı´slo A ∈ R splnˇujıćı´ vztah (3.1). Jestlizˇe tedy existuje takove´ cˇı´slo A ∈ R, zˇe pro funkci ω definovanou vztahem (3.1) platı´ lim ω(h)/ h = 0, pak rˇ´ıka´me, zˇe funkce f je v bodeˇ x0 diferencoh→0

vatelna´. Linea´rnı´ funkci dfx0 definovanou prˇedpisem dfx0 (h) = A · h nazy´va´me diferencia´lem funkce f v bodeˇ x0 . Uka´zali jsme, zˇe existence diferencia´lu neboli diferencovatelnost funkce je ekvivalentnı´ existenci konecˇne´ prvnı´ derivace funkce a zˇe platı´ dfx0 (h) = f 0 (x0 )·h. Geometricky jde o na´hradu grafu funkce tecˇnou a diferencia´l je prˇ´ıru˚stek y-ove´ sourˇadnice funkce na tecˇneˇ — viz obr. 3.1. U funkce vıće promeˇnnyćh ma´ diferencia´l podstatneˇ veˇtsˇ´ı vy´znam. Jeho geometricky´ vy´znam je sice podobny´ (na´hrada grafu funkce tecˇnou rovinou), ale jeho souvislost s parcia´lnı´mi derivacemi je daleko slozˇiteˇjsˇ´ı. V te´to kapitole se budeme zaby´vat prvnı´m diferencia´lem a jeho geometricky´m vy´znamem, zavedeme si pojem gradientu a uka´zˇeme si souvislost mezi gradientem a derivacı´ ve smeˇru. Poslednı´ cˇa´st kapitoly bude veˇnovańa derivaci slozˇene´ funkce.

V J

Diferencia´l funkce

60

y

y = f (x)

f (x0 + h) t dfx0 (h)

ϕ

f (x0 )

f (x0 + h) − f (x0 )

h ϕ O

x0

x0 + h

x

Obr. 3.1

ó

Cı´le Po prostudovańı´ te´to kapitoly budete schopni: • • • • • • •

definovat pojem diferencovatelnost funkce, urcˇit diferencia´l funkce v dane´m bodeˇ, najı´t rovnici tecˇne´ roviny a norma´ly ke grafu funkce v dane´m bodeˇ, vysveˇtlit pojem gradientu funkce, vypocˇ´ıtat smeˇrove´ derivace pomocı´ gradientu, vysveˇtlit vztah mezi diferencia´lem, gradientem a smeˇrovy´mi derivacemi, derivovat slozˇene´ funkce.

3.1

Diferencovatelne´ funkce, diferencia´l

Necht’ f (x, y) je funkce a (x0 , y0 ) libovolny´ pevneˇ zvoleny´ bod, v jehozˇ okolı´ je tato funkce definovana´. Vezmeˇme nynı´ mala´ cˇ´ısla h, k (kladna´ nebo za´porna´) a posunˇme se z bodu (x0 , y0 ) do bodu (x0 + h, y0 + k). Vlastneˇ se posuneme z bodu (x0 , y0 ) horizonta´lneˇ o h a vertika´lneˇ o k — viz obr. 3.2, kde h < 0 a k > 0. Cˇ´ısla h a k nazy´va´me prˇ´ıru˚stky neza´visle promeˇnnyćh. Oznacˇ´ıme-li x = x0 +h a y = y0 +k, dostaneme y x − x0 = h a y − y0 = k. (x0 + h, y0 + k) y0 + k Analogicky rozdı´l funkcˇnıćh hodnot v bodech √ 2 2 h +k (x0 + h, y0 + k) a (x0 , y0 ), tj. k

y0

(x0 , y0 ) h O x0 + h

x x0

Obr. 3.2: Prˇ´ıru˚stky

f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ), se nazy´va´ prˇ´ıru˚stek za´visle promeˇnne´. Nynı´ chceme funkci f nahradit v jiste´m okolı´ O(x0 , y0 ) linea´rnı´ funkcı´ (jejı´m grafem je rovina).

3.1 Diferencovatelne´ funkce, diferencia´l

61

Tedy chceme najı´t takova´ cˇ´ısla A, B ∈ R, aby v „dostatecˇne´ blı´zkosti“ bodu (x0 , y0 ) platilo: . f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) = A · h + B · k. Prˇi tomto nahrazenı´ se dopousˇtı´me jiste´ chyby. Oznacˇme si ji ω(h, k). Je to funkce promeˇnnyćh h, k, pro nizˇ tedy dosta´va´me: ω(h, k) = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) − A · h − B · k. Chceme zjistit, zda existujı´ takova´ cˇ´ısla A, B, zˇe funkce ω(h, k) naby´va´ pro „dostatecˇneˇ male´“ hodnoty |h|, |k| hodnot blı´zkyćh nule. Zde je trˇeba se zamyslet nad tı´m, co budeme rozumeˇt pod pojmem „mala´“ hodnota. Ukazuje se (stejneˇ jako u funkcı´ jedne´ promeˇnne´), zˇe je rozumne´ pozˇadovat, aby se limita funkce ω(h, k) deˇlena´ vzda´lenostı´ bodu˚ (x0 , y0 ) a (x0 + h, y0 + k) rovnala nule pro √ h → 0, k → 0. Prˇitom euklidovska´ vzda´lenost bodu˚ (x0 , y0 ) a (x0 + h, y0 + k) je rovna h2 + k 2 . Jedna´ se vlastneˇ o velikost vektoru (h, k). Pozˇadujeme tedy, aby ω(h, k) √ = 0. lim (h,k)→(0,0) h2 + k 2 Definice 3.1. Prˇedpokla´dejme, zˇe funkce f (x, y) je definovana´ v neˇjake´m okolı´ O(x0 , y0 ) bodu (x0 , y0 ). Existujı´-li takova´ konecˇna´ rea´lna´ cˇ´ısla A, B, zˇe pro funkci ω(h, k) definovanou vztahem ω(h, k) = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) − A · h − B · k platı´

√ω(h,k) (h,k)→(0,0) h2 +k 2

lim

(3.2)

= 0, pak rˇ´ıka´me, zˇe funkce f je v bodeˇ (x0 , y0 ) diferencovatelna´.

Linea´rnı´ funkci df(x0 ,y0 ) (h, k) = Ah + Bk nazy´va´me tota´lnı´m diferencia´lem funkce f v bodeˇ (x0 , y0 ). Vektor (A, B) nazy´va´me gradientem funkce f v bodeˇ (x0 , y0 ) a znacˇ´ıme jej grad f (x0 , y0 ). Tota´lnı´ diferencia´l z prˇedchozı´ definice se cˇasto nazy´va´ jen diferencia´l nebo silny´ diferencia´l resp. Frećhetu˚v1 diferencia´l. Vsˇimneˇme si nynı´ konstant A a B v definici 3.1. Prˇedpokla´dejme, zˇe je funkce f (x, y) diferencovatelna´ v bodeˇ (x0 , y0 ) a diferencia´l df(x0 ,y0 ) (h, k) = Ah + Bk. Platı´ ω(h, k) f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) − A · h − B · k √ √ = lim = 0. (h,k)→(0,0) h2 + k 2 (h,k)→(0,0) h2 + k 2 lim

Specia´lneˇ volbou k = 0 dostaneme f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) − A · h f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) − A · h √ = lim = 0. h→0 h→0 |h| h2 lim

1 Maurice Rene ´ Frećhet (1878–1973) (cˇti fresˇe) — francouzsky´ matematik. Vy´znamneˇ prˇispeˇl k rozvoji

obecne´ topologie a funkciona´lnı´ analy´zy.


62

Oznacˇme ϕ(h) = f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) − A · h. Platı´ tedy lim ϕ(h)/|h| = 0. Protozˇe h→0

pro h 6= 0 je vy´raz |h|/ h ohranicˇeny´ (je roven ±1), platı´ rovneˇzˇ ϕ(h) |h| ϕ(h) · = lim = 0, h→0 |h| h→0 h h lim

a tudı´zˇ take´ f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) ϕ(h) + A = lim = A. lim h→0 h→0 h h

To vsˇak znamena´, zˇe existuje parcia´lnı´ derivace ∂f ∂x (x0 , y0 ) a je rovna A. Obdobneˇ volbou h = 0 se odvodı´, zˇe existuje parcia´lnı´ derivace ∂f ∂y (x0 , y0 ) a je rovna B. √ω(h,k) = 0, pak existuje pra Pozˇadujeme-li tedy, aby lim ´ veˇ jedna dvojice cˇ´ısel 2 2 A=

∂f ∂x (x0 , y0 ),

B=

(h,k)→(0,0) h +k ∂f ˇ ujıćı´ vztah ∂y (x0 , y0 ) spln

(3.2). Platı´ tudı´zˇ na´sledujıćı´ veˇta.

Veˇta 3.2. Necht’ funkce f (x, y) je diferencovatelna´ v bodeˇ (x0 , y0 ). Pak jsou cˇ´ısla A, B ve vztahu (3.2) urcˇena jednoznacˇneˇ a platı´: A=

∂f (x0 , y0 ) ∂x

a

B=

∂f (x0 , y0 ). ∂y

Tedy pro diferencia´l funkce f v bodeˇ (x0 , y0 ) ma´me df(x0 ,y0 ) (h, k) =

∂f ∂f (x0 , y0 ) · h + (x0 , y0 ) · k ∂x ∂y

a pro gradient funkce f v bodeˇ (x0 , y0 ) ma´me ∂f ∂f grad f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ), (x0 , y0 ) . ∂x ∂y

(3.3)

(3.4)

Pozna´mka 3.3. V literaturˇe s fyzika´lnı´m zameˇrˇenı´m se cˇasto prˇ´ıru˚stky neza´visle promeˇnnyćh h, k oznacˇujı´ 1x a 1y. Tedy h = x − x0 = 1x

a

k = y − y0 = 1y.

Podobneˇ prˇ´ıru˚stek za´visle promeˇnne´ se znacˇ´ı 1f (x, y) nebo 1z, tj. f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) = 1f (x, y) = z − z0 = 1z. Je-li f (x, y) = x, dostaneme z (3.3), zˇe df (x, y) = dx = 1·h+0·k = h. Obdobneˇ pro f (x, y) = y vyjde dy = k. To je du˚vodem, procˇ se pro prˇ´ıru˚stky neza´visle promeˇnnyćh pouzˇ´ıva´ rovneˇzˇ oznacˇenı´ dx a dy.


63

Pouzˇijeme-li tedy ru˚zna´ oznacˇenı´ prˇ´ıru˚stku˚, dosta´va´me na´sledujıćı´ varianty oznacˇenı´: df(x0 ,y0 ) (h, k) = fx (x0 , y0 ) h + fy (x0 , y0 ) k, df(x0 ,y0 ) (x − x0 , y − y0 ) = fx (x0 , y0 ) (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) (y − y0 ), df(x0 ,y0 ) (1x, 1y) = fx (x0 , y0 ) 1x + fy (x0 , y0 ) 1y, df(x0 ,y0 ) (dx, dy) = fx (x0 , y0 ) dx + fy (x0 , y0 ) dy. Dalsˇ´ı du˚lezˇity´ vy´sledek je obsazˇen v na´sledujıćı´ veˇteˇ. Veˇta 3.4. Je-li funkce f diferencovatelna´ v bodeˇ (x0 , y0 ), je v tomto bodeˇ spojita´. Du˚kaz. Musı´me doka´zat, zˇe

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = f (x0 , y0 ). Oznacˇ´ıme-li x − x0 = h

a y − y0 = k, zrˇejmeˇ platı´ x → x0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ h → 0, a y → y0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ k → 0. Nejprve oveˇrˇ´ıme, zˇe lim ω(h, k) = 0. Vzhledem k vlastnostem funkce ω je (h,k)→(0,0)

ω(h, k) p 2 √ h + k 2 = 0 · 0 = 0. (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) h2 + k 2 Nynı´ jizˇ snadno du˚kaz dokoncˇ´ıme. Z (3.2) a spojitosti funkcı´ Ah, Bk dostaneme lim

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

ω(h, k) =

f (x, y) = =

lim

lim

f (x0 + h, y0 + k) =

lim

f (x0 , y0 ) + Ah + Bk + ω(h, k) =

(h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0)

Prˇ´ıklad 3.5. Oveˇrˇte, zˇe funkce f definovana´ vztahem ( 1 pro x = 0 nebo y = 0, f (x, y) = 0 jinak

+

= f (x0 , y0 ) + A · 0 + B · 0 + 0 = f (x0 , y0 ).

nenı´ v bodeˇ (0, 0) diferencovatelna´ — viz prˇ´ıklad 2.5. Rˇesˇenı´. V prˇ´ıkladu 2.5 jsme zjistili, zˇe funkce f nenı´ spojita´ v bodeˇ (0, 0), takzˇe podle veˇty 3.4 zde nemu˚zˇe by´t ani diferencovatelna´. Vsˇimneˇme si, zˇe ve zmıńeˇne´m prˇ´ıkladu jsme oveˇrˇili, zˇe parcia´lnı´ derivace v bodeˇ (0, 0) existujı´, prˇicˇemzˇ fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0. N

Prˇ´ıklad 3.6. Oveˇrˇte, zˇe funkce g definovana´ vztahem ( 2 x y pro (x, y) 6= (0, 0), 2 +y 2 x g(x, y) = 0 pro (x, y) = (0, 0) je spojita´ v bodeˇ (0, 0), ma´ v tomto bodeˇ parcia´lnı´ derivace, ale nenı´ zde diferencovatelna´ — viz prˇ´ıklad 1.28.

+

Dosud nezna´me jednoduchy´ na´stroj, jak poznat, zˇe je funkce diferencovatelna´ v neˇjake´m bodeˇ. Z prˇedchozıćh veˇt plyne, zˇe musı´ by´t v tomto bodeˇ spojita´ a musı´ zde mı´t prvnı´ parcia´lnı´ derivace. To ale obecneˇ nestacˇ´ı (viz na´sledujıćı´ prˇ´ıklad).


64

Rˇesˇenı´. V prˇ´ıkladu 1.28 jsme oveˇrˇili, zˇe funkce je spojita´ v bodeˇ (0, 0). Urcˇ´ıme parcia´lnı´ derivace v tomto bodeˇ. Platı´: g(x, 0) − g(0, 0) gx (0, 0) = lim = lim x→0 x→0 x−0

x 2 ·0 x 2 +02

−0

x

0 =0 x→0 x

= lim

a obdobneˇ gy (0, 0) = 0. Protozˇe mimo pocˇa´tek jde o raciona´lnı´ lomenou funkci dvou promeˇnnyćh, je tato funkce dokonce spojita´ a ma´ parcia´lnı´ derivace v cele´ R2 . Prˇesto v bodeˇ (0, 0) nenı´ diferencovatelna´. Jinak by totizˇ muselo platit, zˇe ω(h, k) √ =0 (h,k)→(0,0) h2 + k 2 lim

pro ω(h, k) = g(0 + h, 0 + k) − g(0, 0) − Ah − Bk.

Protozˇe g(0, 0) = 0 a A = gx (0, 0) = 0, B = gy (0, 0) = 0, muselo by platit ω(h, k) √ = lim lim (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) h2 + k 2

h2 k h2 +k 2

− 0 − 0h − 0k h2 k p √ = lim = 0. (h,k)→(0,0) h2 + k 2 (h2 + k 2 )3

Pro body tvaru (h, 0), h → 0+ , je h2 · 0 0 = lim 3 = 0, lim p h→0+ (h2 + 02 )3 h→0+ h kdezˇto pro body tvaru (h, h), h → 0+ , je h2 · h h3 1 1 √ = lim √ = √ , lim p = lim + + + 3 h→0 8 8 (h2 + h2 )3 h→0 h 8 h→0 N

takzˇe uvedena´ limita vu˚bec neexistuje. Lze vsˇak doka´zat, zˇe platı´:

Veˇta 3.7. Ma´-li funkce f (x, y) v bodeˇ (x0 , y0 ) spojite´ prvnı´ parcia´lnı´ derivace, je v tomto bodeˇ diferencovatelna´.

(x0 , y0 )

Du˚kaz. Podle definice 3.1 potrˇebujeme doka´zat, zˇe (x0 + h, y0 + k) pro funkci ω(h, k) definovanou vztahem (3.2) platı´ lim ω(h, k) = 0 pro (h, k) → (0, 0). Z veˇty 3.2 vı´me, zˇe pro konstanty A a B z (3.2) musı´ platit (x0 + h, y0 + ξ ) A = fx (x0 , y0 ) a B = fy (x0 , y0 ). Prˇedpoklady veˇty zarucˇujı´, zˇe v dostatecˇneˇ male´m okolı´ bodu (x0 , y0 ) je funkce definovana´, ma´ zde parcia´lnı´ derivace a platı´ (x0 + θ, y0 ) Obr. 3.3

lim

fx (x0 + h, y0 + k) = fx (x0 , y0 ),

lim

fy (x0 + h, y0 + k) = fy (x0 , y0 ).

(h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0)

(3.5)


65

Ve zbytku du˚kazu prˇedpokla´da´me, zˇe jsme v tomto okolı´. Pro urcˇitost necht’naprˇ. h > 0 a k > 0. Podle Lagrangeovy veˇty o strˇednı´ hodnoteˇ 2.6 existujı´ cˇ´ısla θ , ξ , kde 0 < θ < h, 0 < ξ < k, takova´, zˇe f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) = fy (x0 + h, y0 + ξ )k + fx (x0 + θ, y0 )h. K prave´ straneˇ te´to rovnosti prˇicˇteme a odecˇteme vy´raz fx (x0 , y0 )h + fy (x0 , y0 )k a upravı´me. Vyjde f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )h + fy (x0 , y0 )k + + fy (x0 + h, y0 + ξ ) − fy (x0 , y0 ) k + fx (x0 + θ, y0 ) − fx (x0 , y0 ) h. Zaved’me na´sledujıćı´ oznacˇenı´: ω1 (h, k) = fy (x0 + h, y0 + ξ ) − fy (x0 , y0 ), ω2 (h) = fx (x0 + θ, y0 ) − fx (x0 , y0 ), ω(h, k) = ω1 (h, k)k + ω2 (h)h. Tedy f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )h + fy (x0 , y0 )k + ω1 (h, k)k + ω2 (h)h = = fx (x0 , y0 )h + fy (x0 , y0 )k + ω(h, k). Aby byla splneˇna podmıńka (3.2), zby´va´ uka´zat, zˇe

lim

(h,k)→(0,0)

√ω(h,k) h2 +k 2

= 0. Vzhledem

k poloze ξ a θ — viz obr. 3.3 — musı´ pro (h, k) → (0, 0) platit ξ → 0 a θ → 0. Tedy lim ω1 (h, k) = 0 a lim ω2 (h) = 0. Tudı´zˇ podle (3.5) je (h,k)→(0,0)

(h,k)→(0,0)

ω(h, k) ω1 (h, k) · k ω2 (h) · h √ √ √ = lim + lim = 0. (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) h2 + k 2 (h,k)→(0,0) h2 + k 2 h2 + k 2 lim

Prˇi vy´pocˇtu vy´sˇe uvedenyćh limit jsme vyuzˇili faktu, zˇe funkce ohranicˇene´ ( √ 2k 2 5 1, √ 2h 2 5 1).

a

√ h h2 +k 2

jsou

h +k

Prˇ´ıklad 3.8. Oveˇrˇte, zˇe funkce f : z = 2xy − 3x 2 y + y ln x ma´ v bodeˇ (1, 2) tota´lnı´ diferencia´l, a najdeˇte jej. Rˇesˇenı´. Zadany´ prˇedpis ma´ smysl pro libovolne´ x > 0 a libovolne´ y, tedy definicˇnı´ obor je D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}. Vypocˇteme prvnı´ parcia´lnı´ derivace a dosadı´me: fx (x, y) = 2y − 6xy + fx (1, 2) = −6 ,

y , x

fy (x, y) = 2x − 3x 2 + ln x, fy (1, 2) = −1.

+

h +k

√ k h2 +k 2


66

Protozˇe jde o elementa´rnı´ funkce, jsou spojite´ na D(f ), zejmeńa tedy v bodeˇ (1, 2), a tudı´zˇ tota´lnı´ diferencia´l podle veˇty 3.7 existuje. Podle vzorce (3.3) dostaneme df(1,2) (h, k) = fx (1, 2) h + fy (1, 2) k = −6h − k resp. v jinyćh symbolikaćh df(1,2) (dx, dy) = −6 dx − 1 dy, df(1,2) (x − 1, y − 2) = −6(x − 1) − (y − 2) = −6x − y + 8.

+

V poslednı´m za´pisu sice po rozna´sobenı´ nevidı´me prˇ´ıru˚stky, ale tento za´pis bude zase vy´hodny´ trˇeba prˇi urcˇovańı´ tecˇne´ roviny. N Prˇ´ıklad 3.9. Oveˇrˇte, zˇe funkce g : z = arctg yx ma´ v bodeˇ (−1, 1) tota´lnı´ diferencia´l, a najdeˇte jej. Rˇesˇenı´. Zadany´ prˇedpis ma´ smysl pro libovolne´ x a libovolne´ y 6= 0, tedy definicˇnı´ obor je D(g) = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0}. V prˇ´ıkladu 2.3 c) jsme vypocˇ´ıtali, zˇe pro y 6= 0 je gx (x, y) =

x2

y , + y2

gy (x, y) = −

x2

x . + y2

Protozˇe derivace jsou na D(g) spojite´, tota´lnı´ diferencia´l existuje. Je gx (−1, 1) = 1/2 a gy (−1, 1) = 1/2, takzˇe dg(−1,1) (h, k) = gx (−1, 1) h + gy (−1, 1) k =

1 1 h + k. 2 2

N

Pozna´mka 3.10. Veˇta 3.7 uda´va´ postacˇujıćı´ podmıńku existence tota´lnı´ho diferencia´lu. Spojitost parcia´lnıćh derivacı´ ale nenı´ nutnou podmıńkou — viz na´sledujıćı´ cˇa´st pro za´jemce.

Pro za´jemce: Uvedeme prˇ´ıklad, kde funkce bude diferencovatelna´ v bodeˇ (0, 0), ale nebude mı´t v tomto bodeˇ spojite´ parcia´lnı´ derivace. Nale´zt takovou funkci nenı´ zcela trivia´lnı´. Nejprve najdeme pomocnou funkci ϕ(t), t ∈ R2 , ktera´ ma´ derivaci na cele´m definicˇnı´m oboru, jezˇ ale nenı´ spojita´ v t = 0 (uveˇdomte si, zˇe funkce majıćı´ derivaci, se ktery´mi beˇzˇneˇ pracujeme, majı´ obvykle spojitou derivaci). Polozˇme ( t 2 sin 1t pro t 6= 0, (viz obr. 3.4 a)) ϕ(t) = 0 pro t = 0. Pro t 6= 0 je ϕ 0 (t) = 2t sin

1 1 1 1 1 + t 2 cos · − 2 = 2t sin − cos t t t t t


67

1

0,062 5

t

2

cos 1t t

t

0,7

0,25 ϕ(t)

−1

−t 2 b) Graf funkce cos 1t

a) Graf funkce ϕ(t)

Obr. 3.4 a pro t = 0 vypocˇteme prˇ´ımo z definice t 2 sin 1t − 0 ϕ(t) − ϕ(0) 1 = lim = lim t sin = 0, t→0 t→0 t→0 t −0 t t

ϕ 0 (0) = lim

protozˇe lim t = 0 a −1 5 sin 1t 5 1, tedy sin 1t je ohranicˇena´. Z toho soucˇasneˇ plyne, zˇe lim ϕ 0 (t) t→0 t→0 neexistuje. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ by existovala i lim cos 1t = lim 2t sin 1t − ϕ 0 (t) , cozˇ nenı´ pravda, t→0

t→0

protozˇe tato funkce prˇi t → 0 cˇ´ım da´l tı´m rychleji osciluje mezi −1 a 1 — viz obr. 3.4 b). Nynı´ polozˇme f (x, y) = ϕ(x) + ϕ(y). Protozˇe fx (0, 0) = ϕ 0 (0) = 0 a fy (0, 0) = ϕ 0 (0) = 0, musı´ podle vztahu (3.2) a veˇty 3.2 v bodeˇ (0, 0) platit pro (h, k) 6= (0, 0) ω(h, k) = f (0 + h, 0 + k) − f (0, 0) − fx (0, 0)h − fy (0, 0)k = ϕ(h) + ϕ(k) . Da´le ϕ(h) ϕ(k) ω(h, k) √ = lim √ + lim √ = (h,k)→(0,0) h2 + k 2 (h,k)→(0,0) h2 + k 2 (h,k)→(0,0) h2 + k 2 h2 sin h1 k 2 sin k1 = lim √ + lim √ . (h,k)→(0,0) h2 + k 2 (h,k)→(0,0) h2 + k 2 √ √ Vzhledem k ohranicˇenosti h h2 + k 2 (platı´ h h2 + k 2 5 1) a sin h1 je lim

h2 sin h1 1 h √ = lim h sin √ =0 (h,k)→(0,0) h h2 + k 2 h2 + k 2 (h,k)→(0,0) lim


68

a tote´zˇ platı´ pro druhy´ scˇ´ıtanec. Tedy

lim

(h,k)→(0,0)

√ω(h,k) h2 +k 2

= 0 a funkce ma´ v bodeˇ (0, 0) to-

ta´lnı´ diferencia´l. Parcia´lnı´ derivace v tomto bodeˇ vsˇak nejsou spojite´, protozˇe fx (x, y) = ϕ 0 (x) a fy (x, y) = ϕ 0 (y).

Z prˇedchozı´ho vy´kladu je zrˇejme´, zˇe vztahy mezi spojitostı´, existencı´ parcia´lnıćh derivacı´ a diferencovatelnostı´ (tj. existencı´ tota´lnı´ho diferencia´lu) jsou znacˇneˇ slozˇite´. Proto na za´veˇr tohoto oddı´lu prˇ´ıslusˇne´ vztahy prˇehledneˇ shrneme. Prˇedpokla´dejme, zˇe jde o funkci f , a vsˇe uvazˇujeme v bodeˇ (x0 , y0 ). df existuje df existuje fx a fy existujı´ f je spojita´ a fx a fy existujı´ fx a fy jsou spojite´ df existuje

⇒ ⇒ pak pak ⇒ pak

f je spojita´ fx a fy existujı´ df nemusı´ existovat df nemusı´ existovat df existuje fx a fy nemusı´ by´t spojite´

(veˇta 3.4) (veˇta 3.2) (prˇ´ıklad 3.5) (prˇ´ıklad 3.6) (veˇta 3.7) (pozna´mka 3.10)

Poznamenejme, zˇe zˇa´dnou z implikacı´ nelze obra´tit.

Pro za´jemce: Zavedenı´ diferencia´lu funkce vıće promeˇnnyćh je jednoduche´. Necht’ f je funkce n promeˇnnyćh definovana ´ v okolı´ bodu x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . Necht’ √ n 2 h = (h1 , . . . , hn ) ∈ R . Pak khk = h1 + · · · + h2n . Necht’ da´le A = (A1 , . . . , An ) ∈ Rn . Uvazˇujme funkci ω(h1 , . . . , hn ) = f (x1 + h1 , . . . , xn + hn ) − f (x1 , . . . , xn ) − A1 h1 − · · · − An hn . Tu mu˚zˇeme strucˇneˇji zapsat ω(h) = f (x + h) − f (x) − hA, hi, kde h·, ·i je oznacˇenı´ skala´rnı´ho soucˇinu na Rn . (Toto oznacˇenı´ ma´ rˇadu prˇednostı´ prˇed tı´m, ktere´ znajı´ studenti znajı´ ze strˇednı´ sˇkoly, tj. oznacˇenı´ tecˇkou A · h.) Prˇedpokla´dejme, zˇe existuje takova´ n-tice A = (A1 , . . . , An ), zˇe platı´ ω(h) f (x + h) − f (x) − hA, hi = lim = 0. h→0 khk h→0 khk lim

Pak rˇ´ıka´me, zˇe funkce f je diferencovatelna´ v bodeˇ x a linea´rnı´ funkci dx (h) = hA, hi nazy´va´me jejı´ diferencia´l. Tedy dx (h) = A1 h1 + · · · + An hn . Vektor A nazy´va´me gradient funkce f v bodeˇ x a znacˇ´ıme jej grad f (x). Snadno se opeˇt oveˇrˇ´ı, zˇe nutneˇ Ai = fxi (x), i = 1, . . . , n. Tudı´zˇ gradient je urcˇen jednoznacˇneˇ a platı´ dx (h) = fx1 (x)h1 + · · · + fxn (x)hn = hgrad f (x), hi, grad f (x) = (fx1 (x), . . . , fxn (x)). Vsˇechny uvedene´ vy´sledky platne´ pro diferencia´l funkce dvou promeˇnnyćh platı´ i pro obecny´ prˇ´ıpad. Zejmeńa spojitost vsˇech prvnıćh parcia´lnıćh derivacı´ v bodeˇ x zajisˇt’uje diferencovatelnost v tomto bodeˇ.

3.2 Geometricky´ vy´znam diferencia´lu a jeho pouzˇitı´

3.2

69

Geometricky´ vy´znam diferencia´lu a jeho pouzˇitı´

Vı´me jizˇ, zˇe z existence tota´lnı´ho diferencia´lu v bodeˇ (x0 , y0 ) vyply´va´ existence parcia´lnıćh derivacı´ v tomto bodeˇ. Vzhledem ke geometricke´mu vy´znamu parcia´lnıćh derivacı´ — viz obr. 2.2 — to znamena ´ , zˇe ma´me dveˇ prˇ´ımky t1 , t2 , ktere´ jsou tecˇnami v bodeˇ M0 = = x0 , y0 , f (x0 , y0 ) ke dveˇma krˇivka´m lezˇ´ıcı´m na grafu funkce f (x, y), jezˇ dostaneme jako pru˚secˇnice grafu s rovinami jdoucı´mi bodem M0 kolmo k osa´m x a y — viz obr. 3.5. Prˇipomenˇme, zˇe fx (x0 , y0 ) = tg α a fy (x0 , y0 ) = tg β. Nejprve si rˇekneˇme, co to znamena´, zˇe rovina τ o rovnici g : z = Ax + By + C je tecˇnou rovinou ke grafu funkce dvou promeˇnnyćh. (Z nasˇich u´vah vyloucˇ´ıme roviny, ktere´ nejsou grafem funkce, tj. jsou rovnobeˇzˇne´ s osou z, takzˇe mu˚zˇeme prˇedpokla´dat, zˇe koeficient u promeˇnne´ z v rovnici roviny τ je nenulovy´.) z t1 t2 z = f (x, y) M0

y

O β (x0 , y0 )

x = x0

x α y = y0

Obr. 3.5: Tecˇny ke grafu funkce dvou promeˇnnyćh Definice 3.11. Rovina τ o rovnici g : z = Ax + By + C se nazy´va´ tecˇnou rovinou ke grafu funkce f (x, y) v bodeˇ M0 = x0 , y0 , f (x0 , y0 ) , jestlizˇe i) τ procha´zı´ bodem M0 , f (x, y) − Ax − By − C p ii) platı´ lim = 0. (x,y)→(x0 ,y0 ) (x − x0 )2 + (y − y0 )2 Nynı´ ukazˇme, zˇe rovina urcˇena´ prˇ´ımkami t1 a t2 je tecˇnou rovinou ke grafu funkce f (x, y) v bodeˇ M0 .


70

Z podmıńky i) dosta´va´me, zˇe platı´ f (x0 , y0 ) = Ax0 +By0 +C, takzˇe C = f (x0 , y0 )− − Ax0 − By0 a po dosazenı´ do rovnice roviny ma´me g : z = A(x − x0 ) − B(y − y0 ) + + f (x0 , y0 ). Cˇitatel v limiteˇ druhe´ podmıńky je roven f (x, y) − g(x, y) a tato podmıńka vlastneˇ vyjadrˇuje, zˇe pomeˇr (vertika´lnı´) vzda´lenosti mezi grafy obou funkcı´ v bodeˇ (x, y) a vzda´lenosti bodu˚ (x, y) a (x0 , y0 ) se neomezeneˇ blı´zˇ´ı k nule, jestlizˇe se (x, y) blı´zˇ´ı k (x0 , y0 ), tudı´zˇ cˇitatel se blı´zˇ´ı k nule rychleji nezˇ jmenovatel. Dosadı´me-li do druhe´ podmıńky za C, vyjde f (x, y) − f (x0 , y0 ) − A(x − x0 ) − B(y − y0 ) p = 0. (x,y)→(x0 ,y0 ) (x − x0 )2 + (y − y0 )2 lim

Polozˇ´ıme-li x = x0 + h a y = y0 + k a porovna´me-li vznikly´ vztah s definicı´ 3.1, je zrˇejme´, zˇe tato podmıńka je rovnocenna´ pozˇadavku na existenci tota´lnı´ho diferencia´lu v bodeˇ (x0 , y0 ). Musı´ tedy platit A = fx (x0 , y0 ), B = fy (x0 , y0 ). Celkoveˇ dosta´va´me: Veˇta 3.12. Tecˇna´ rovina τ ke grafu funkce f v bodeˇ x0 , y0 , f (x0 , y0 ) existuje pra´veˇ tehdy, kdyzˇ je funkce f diferencovatelna´ v bodeˇ (x0 , y0 ). Jejı´ rovnice je τ : z = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) + f (x0 , y0 ),

(3.6)

resp. oznacˇ´ıme-li z0 = f (x0 , y0 ), strucˇneˇji τ : z − z0 = df(x0 ,y0 ) (x − x0 , y − y0 ).

(3.7)

Pozna´mka 3.13. Necht’τ je tecˇna´ rovina ke grafu funkce f v bodeˇ T = x0 , y0 , f (x0 , y0 ) . Prˇ´ımka n procha´zejıćı´ dotykovy´m bodem T a kolma´ k rovineˇ τ se nazy´va´ norma´la ke grafu funkce f v bodeˇ T . Protozˇe norma´lovy´ vektor roviny τ je fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 ), −1 , jejı´ parametricke´ rovnice jsou

+

x = x0 + tfx (x0 , y0 ), y = y0 + tfy (x0 , y0 ), z = z0 − t.

t ∈ R,

Prˇ´ıklad 3.14. Najdeˇte rovnici tecˇne´ roviny a norma´ly ke grafu funkce f : z = 2x 2 y − − 3xy 3 + xy + ex+2y v bodeˇ (−2, 1, ?). Rˇesˇenı´. Vypocˇteme parcia´lnı´ derivace: fx = 4xy − 3y 3 +

1 + ex+2y , y

fy = 2x 2 − 9xy 2 −

x + 2 ex+2y . y2

Protozˇe jsou spojite´ v cele´m D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0}, tota´lnı´ diferencia´l a tudı´zˇ i tecˇna´ rovina existuje v kazˇde´m bodeˇ definicˇnı´ho oboru. Dosadı´me: f (−2, 1) = 8 + 6 − 2 + e0 = 13, fx (−2, 1) = −8 − 3 + 1 + e0 = −9,

fy (−2, 1) = 8 + 18 + 2 + 2 e0 = 30.


71

Protozˇe podle (3.3) je df(−2,1) (x + 2, y − 1) = −9(x + 2) + 30(y − 1), z (3.7) dostaneme z − 13 = −9(x + 2) + 30(y − 1)

9x − 30y + z + 35 = 0.

⇒

Norma´lovy´ vektor tecˇne´ roviny ke grafu funkce f v bodeˇ (−2, 1, 13) je tudı´zˇ roven n = (−9, 30, −1), takzˇe parametricke´ rovnice norma´ly jsou

t ∈ R, N

Prˇ´ıklad 3.15. Najdeˇte rovnici tecˇne´ roviny ke grafu funkce f (x, y) = 2x 2 − y 2 , ktera´ je rovnobeˇzˇna´ s rovinou ρ : 8x − 6y − z − 15 = 0. Rˇesˇenı´. Necht’τ znacˇ´ı hledanou tecˇnou rovinu. Protozˇe je rovina τ rovnobeˇzˇna´ s rovinou ρ, jsou take´ rovnobeˇzˇne´ jejich norma´love´ vektory, tj. nτ = knρ , kde k ∈ R, k 6= 0. Rovina ρ je zadańa v obecne´m tvaru, z neˇhozˇ ihned vidı´me sourˇadnice norma´love´ho vektoru nρ = (8, −6, −1). Pro norma´lovy´ vektor tecˇne´ roviny ke grafu funkce f platı´ nτ = (fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 ), −1). Platı´ nτ = knρ , tj. (fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 ), −1) = (8k, −6k, −k). Tedy k = 1. Porovnańı´m prvnıćh dvou slozˇek dostaneme rovnice fx (x0 , y0 ) = 8,

fy (x0 , y0 ) = −6.

Protozˇe fx (x0 , y0 ) = 4x0 , fy (x0 , y0 ) = −2y0 , je 4x0 = 8 a −2y0 = −6. Prvnı´ dveˇ sourˇadnice bodu dotyku tecˇne´ roviny jsou x0 = 2 a y0 = 3. Trˇetı´ sourˇadnici vypocˇteme dosazenı´m do funkce f . Bod dotyku je (x0 , y0 , z0 ) = (2, 3, −1). Zby´va´ dosadit bod dotyku a hodnoty parcia´lnıćh derivacı´ do rovnice tecˇne´ roviny: τ : z − (−1) = 8(x − 2) − 6(y − 3)

⇒

τ : 8x − 6y − z + 1 = 0.

N

Vsˇimneˇme si podrobneˇji geometricke´ho vy´znamu diferencia´lu. Vyjdeme prˇitom z oznacˇenı´ na obr. 3.6. (V nasˇem prˇ´ıpadeˇ jsou sourˇadnice vsˇech da´le uvazˇovanyćh vektoru˚ neza´porne´, takzˇe se de´lky u´secˇek na obra´zku secˇ´ıtajı´; obecneˇ by mohlojı´t i o rozdı´l.) Rovina ρ je vodorovna´ a procha´zı´ bodem M0 = x0 , y0 , f (x0 , y0 ) . Urcˇ´ıme sourˇad−−−→ −−−→ nice vektoru˚ M0 N1 a M0 N2 . Z pravou´hle´ho troju´helnı´ku M0 K1 N1 dostaneme −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ kK1 N1 k = kM0 K1 k · tg ^(M0 K1 , M0 N1 ) = hfx (x0 , y0 ),

+

x = −2 − 9t, y = 1 + 30t, z = 13 − t.


72

takzˇe

−−−→ M0 N1 = N1 − M0 = h, 0, hfx (x0 , y0 ) .

Analogicky dostaneme z pravou´hle´ho troju´helnı´ku M0 K2 N2 , zˇe −−−→ M0 N2 = N2 − M0 = 0, k, kfy (x0 , y0 ) , a tedy celkoveˇ −−→ −−−→ −−−→ M0 N = M0 N1 + M0 N2 = h, k, hfx (x0 , y0 ) + kfy (x0 , y0 ) = h, k, df(x0 ,y0 ) (h, k) . M z = f (x, y)

z

M2 N M1

t2 τ

t1

N2

N1 M0

ρ

K1

K2

K y0

y0 + k y

O x0

x0 + h x

(x0 + h, y0 + k)

Obr. 3.6: Geometricky´ vy´znam tota´lnı´ho diferencia´lu −−→ Avsˇak M0 N = (h, k, kKNk), cozˇ znamena´, zˇe kKNk = df(x0 ,y0 ) (h, k). Pro prˇ´ıru˚stek za´visle promeˇnne´ vyjde f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) = kKMk = kKNk + kNMk = df(x0 ,y0 ) (h, k) + kNMk. ´ sek kKNk = Srovna´me-li toto vyja´drˇenı´ se vztahem (3.2), vidı´me, zˇe kNMk = ω(h, k). U = df(x0 ,y0 ) (h, k) se nazy´va´ linea´rnı´ cˇa´st prˇ´ıru˚stku (jde o linea´rnı´ funkci), zatı´mco u´sek kN Mk = ω(h, k) nelinea´rnı´ cˇa´st prˇ´ıru˚stku. Geometricky prˇedstavuje diferencia´l v dane´m bodeˇ prˇ´ıru˚stek funkce na tecˇne´ rovineˇ. Skutecˇny´ prˇ´ıru˚stek f (x, y) − f (x0 , y0 ) je dań vztahem f (x, y) − f (x0 , y0 ) = df(x0 ,y0 ) (h, k) + ω(h, k).


73

Pokud nenı´ tecˇna´ rovina τ rovnobeˇzˇna´ s zˇa´dnou z os x a y (tj. nenı´ fx (x0 , y0 ) = 0 ani fy (x0 , y0 ) = 0), je nelinea´rnı´ cˇa´st prˇ´ıru˚stku ω(h, k) podstatneˇ mensˇ´ı nezˇ linea´rnı´ cˇa´st df(x0 ,y0 ) (h, k). Toho se vyuzˇ´ıva´ k prˇiblizˇny´m vy´pocˇtu˚m. Zanedbańı´m nelinea´rnı´ cˇa´sti dostaneme . f (x, y) = f (x0 , y0 ) + df(x0 ,y0 ) (h, k)

pro (x, y) blı´zke´ (x0 , y0 ).

(3.8)

Dnes v dobeˇ kalkulacˇek a pocˇ´ıtacˇu˚ ztratilo toto pouzˇitı´ diferencia´lu v numericke´ matematice na vy´znamu. Nic se ale nemeˇnı´ na jeho pouzˇitı´ prˇi odvozovańı´ rˇady vztahu˚ ve fyzice (limitnı´m prˇechodem se nelinea´rnı´ cˇa´st prˇ´ıru˚stku vu˚cˇi linea´rnı´ „ztratı´“) ani prˇi na´hradeˇ slozˇityćh nelinea´rnıćh u´loh jednodusˇsˇ´ımi (i kdyzˇ meńeˇ „prˇesny´mi“) linea´rnı´mi u´lohami (tzv. linearizace) v nejru˚zneˇjsˇ´ıch oblastech matematiky, fyziky a disciplıń na neˇ navazujıćıćh. Diferencia´l se cˇasto pouzˇ´ıva´ pro aproximaci absolutnıćh a relativnıćh zmeˇn velicˇin, ktere´ jsou zavedeny takto: Absolutnı´ zmeˇna:

1f (x0 , y0 ) = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ). 1f (x0 , y0 ) . f (x0 , y0 )

Relativnı´ zmeˇna:

Vzhledem ke vztahu (3.8) prˇiblizˇneˇ platı´: . 1f (x0 , y0 ) = df(x0 ,y0 ) (h, k), 1f (x0 , y0 ) . df(x0 ,y0 ) (h, k) = . f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 )

(3.9) (3.10)

Prˇ´ıklad 3.16. Vypocˇteˇte pomocı´ diferencia´lu prˇiblizˇneˇ na´sledujıćı´ hodnoty: p a) 1,042,02 , b) 2,982 + 4,052 . Rˇesˇenı´. a) Oznacˇme f (x, y) = x y . Ma´me urcˇit f (1,04; 2,02). Zvolme (x0 , y0 ) = (1, 2) a (x − 1, y − 2) = (h, k) = (0,04; 0,02). Podle (3.8) da´le . platı´ f (1,04; 2,02) = f (1, 2) + df(1,2) (0,04, 0,02). Je fx = yx y−1 , fy = x y ln x

⇒

fx (1, 2) = 2 · 11 = 2, fy (1, 2) = 12 ln 1 = 0.

Tedy df(1,2) (h, k) = 2h a celkem obdrzˇ´ıme . 1,042,02 = f (1, 2) + df(1,2) (0,04, 0,02) = 12 + 2 · 0,04 = 1,08.

+

Prˇi teˇchto aproximacıćh se dopousˇtı´me jiste´ chyby. Ta je dańa v prˇ´ıpadeˇ absolutnı´ zmeˇny funkcı´ ω(h, k) ze vztahu (3.2) a v prˇ´ıpadeˇ relativnı´ zmeˇny vy´razem ω(h, k)/f (x0 , y0 ). Odhad te´to chyby je mozˇne´ udeˇlat pomocı´ Taylorova vzorce, se ktery´m se sezna´mı´me v na´sledujıćı´ kapitole v oddı´lu 4.2.


74

p b) Oznacˇme g(x, y) = x 2 + y 2 . Ma´me urcˇit g(2,98; 4,05). Zvolme (x0 , y0 ) = (3, 4) a (x − 3, y − 4) = (h, k) = (−0,02; 0,05). Opeˇt podle (3.8) . platı´ g(2,98; 4,05) = g(3, 4) + dg(3,4) (−0,02; 0,05). Je x , gx = p x2 + y2

y gy = p x2 + y2

⇒

gx (3, 4) =

3 , 5

gy (3, 4) =

4 . 5

+

Tedy dg(3,4) (h, k) = 0,6h + 0,8k a celkem obdrzˇ´ıme p . 2,982 + 4,052 = g(3, 4) + dg(3,4) (−0,02; 0,05) = = 5 − 0,6 · 0,02 + 0,8 · 0,05 = 5,028.

N

Prˇ´ıklad 3.17. Va´lcova´ na´doba meˇla mı´t podle na´vrhu polomeˇr podstavy 1 dm a vy´sˇku 5 dm. Neprˇesnostı´ vy´roby byl polomeˇr veˇtsˇ´ı o 0,03 dm a vy´sˇka mensˇ´ı o 0,1 dm. Odhadneˇte pomocı´ diferencia´lu absolutnı´ a relativnı´ zmeˇnu objemu. Rˇesˇenı´. Objem na´doby je dań vzorcem V (r, v) = πr 2 v. Oznacˇme r0 = 1, v0 = 5, dr = 0,03 a dv = −0,1. Pro absolutnı´ zmeˇnu dostaneme ze vzorce (3.9) odhad . 1V (r0 , v0 ) = dV(r0 ,v0 ) (dr, dv) = Vr (r0 , v0 ) dr + Vv (r0 , v0 ) dv. Protozˇe Vr = 2πrv a Vv = πr 2 , platı´, zˇe dV(r0 ,v0 ) (dr, dv) = 2πr0 v0 dr + πr02 dv, a pro nasˇe hodnoty bude . dV(1,5) (0,03; −0,1) = 2π · 1 · 5 · 0,03 + π · 12 · (−0,1) = 0,2π = 0,63. Da´le pomocı´ vzorce (3.10) odhadneme relativnı´ zmeˇnu: 1V (r0 , v0 ) . dV(r0 ,v0 ) (dr, dv) dV(r0 ,v0 ) (dr, dv) , = = V (r0 , v0 ) V (r0 , v0 ) πr02 v0 takzˇe pro nasˇe hodnoty vyjde: dV(1,5) (0,03; −0,1) 0,2π = = 0,04. 2 π·1 ·5 5π Absolutnı´ zmeˇna objemu je tedy prˇiblizˇneˇ 0,63 dm3 a relativnı´ zmeˇna objemu je prˇiblizˇneˇ 0,04, tj. 4 %. N

3.3

Vztah diferencia´lu, gradientu a smeˇrove´ derivace

V tomto oddı´lu si vsˇimneme vy´znamu gradientu a jeho vztahu k derivaci ve smeˇru. Prˇipomenˇme, zˇe pro dva vektory u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) z V2 definujeme jejich skala´rnı´ soucˇin hu, vi vztahem hu, vi = u1 v1 + u2 v2 . (Na strˇednı´ sˇkole se pouzˇ´ıva´ oznacˇenı´ u · v, novy´ zpu˚sob oznacˇenı´ je prˇehledneˇjsˇ´ı.) Pro velikost vektoru kuk pak ma´me

3.3 Vztah diferencia´lu, gradientu a smeˇrove´ derivace

75

√ √ kuk = hu, ui = u21 + u22 a pro u´hel ϕ nenulovyćh vektoru˚ u a v platı´ hu, vi = = kuk · kvk cos ϕ, kde 0 5 ϕ 5 π. Veˇta 3.18. Necht’ je funkce f : z = f (x, y) diferencovatelna´ v bodeˇ (x0 , y0 ) a necht’ u = (u1 , u2 ) ∈ V2 je libovolny´ vektor. Pak existuje derivace funkce f v bodeˇ (x0 , y0 ) ve smeˇru vektoru u a platı´ ∂f ∂f df (x0 , y0 ) = hgrad f (x0 , y0 ), ui = (x0 , y0 ) u1 + (x0 , y0 ) u2 . du ∂x ∂y

(3.11)

Du˚kaz. Oznacˇ´ıme-li ϕ(t) = f (x0 + tu1 , y0 + tu2 ), je fu (x0 , y0 ) = ϕ 0 (0). Protozˇe f je diferencovatelna´ v (x0 , y0 ), pro mala´ h a k je f (x0+h, √ y0 +k)−f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )h+ + fy (x0 , y0 )k + ω(h, k), kde lim ω(h, k) h2 + k 2 = 0. Tedy (h,k)→(0,0)

ϕ(t) − ϕ(0) fx (x0 , y0 )tu1 + fy (x0 , y0 )tu2 + ω(tu1 , tu2 ) = lim = t→0 t→0 t t ω(tu1 , tu2 ) = fx (x0 , y0 )u1 + fy (x0 , y0 )u2 + lim = hgrad f (x0 , y0 ), ui, t→0 t

ϕ 0 (0) = lim

protozˇe lim ω(tu1 , tu2 )/t = 0. t→0

Ze vztahu (3.11) vyply´va´, zˇe je-li grad f (x0 , y0 ) = 0 = (0, 0), je fu (x0 , y0 ) = 0 pro kazˇdy´ vektor u ∈ V2 . Necht’ grad f (x0 , y0 ) 6= 0. Najdeme vektor u, pro ktery´ je fu (x0 , y0 ) nejveˇtsˇ´ı resp. nejmensˇ´ı. Aby nehra´la roli velikost vektoru u, omezı´me se na jednotkove´ vektory, tj. budeme prˇedpokla´dat, zˇe kuk = 1. Platı´ fu (x0 , y0 ) = k grad f (x0 , y0 )k · kuk cos ϕ = = k grad f (x0 , y0 )k cos ϕ, kde ϕ je u´hel mezi jednotkovy´m vektorem u a vektorem grad f (x0 , y0 ). Na intervalu h0, πi naby´va´ funkce cos ϕ nejveˇtsˇ´ı hodnoty, a to 1, pro ϕ = 0 a nejmensˇ´ı hodnoty, a to −1, pro ϕ = π. Tedy derivace ve smeˇru je maxima´lnı´, je-li u jednotkovy´ vektor souhlasneˇ kolinea´rnı´ s gradientem, a je minima´lnı´, je-li u jednotkovy´ vektor nesouhlasneˇ kolinea´rnı´ s gradientem. Je-li u 6= 0, pak u/kuk je souhlasneˇ kolinea´rnı´ jednotkovy´ vektor a −u/kuk je nesouhlasneˇ kolinea´rnı´ jednotkovy´ vektor s vektorem u. Platı´ tudı´zˇ na´sledujıćı´ tvrzenı´. Veˇta 3.19. Necht’ grad f (x0 , y0 ) 6= 0. Pak smeˇrova´ derivace fu (x0 , y0 ) ve smeˇru jedf (x0 ,y0 ) notkove´ho vektoru u je nejveˇtsˇ´ı pro vektor u = k grad grad f (x0 ,y0 )k a je nejmensˇ´ı pro vektor f (x0 ,y0 ) u = − k grad ´ lnı´ hodnota je fu (x0 , y0 ) = k grad f (x0 , y0 )k a minima´lnı´ grad f (x0 ,y0 )k . Maxima hodnota je fu (x0 , y0 ) = −k grad f (x0 , y0 )k.


76

Du˚kaz. Zby´va´ jen oveˇrˇit vzorce pro extrema´lnı´ hodnoty smeˇrove´ derivace. Pro maxima´lnı´ hodnotu je grad f (x0 , y0 ) fu (x0 , y0 ) = grad f (x0 , y0 ), = k grad f (x0 , y0 )k

1 = grad f (x0 , y0 ), grad f (x0 , y0 ) = k grad f (x0 , y0 )k k grad f (x0 , y0 )k2 = = k grad f (x0 , y0 )k. k grad f (x0 , y0 )k Analogicky se urcˇ´ı minima´lnı´ hodnota.

+

Gradient tedy urcˇuje smeˇr, v neˇmzˇ je smeˇrova´ derivace nejveˇtsˇ´ı resp. nejmensˇ´ı, tj. smeˇr, v neˇmzˇ funkce nejrychleji roste resp. klesa´. Gradient mu˚zˇeme prˇiblı´zˇit na´sledujıćı´m zpu˚sobem. Prˇedstavme si lyzˇarˇe stojıćı´ho na sˇikme´m svahu (jenzˇ je grafem funkce f (x, y)) tak, zˇe smeˇr lyzˇ´ı je kolmy´ k vrstevnicı´m a sˇpicˇky mı´rˇ´ı vzhu˚ru. Pak velikost gradientu je rovna tangenteˇ u´hlu, ktery´ svı´rajı´ lyzˇe s vodorovnou rovinou. Kolmy´ pru˚meˇt lyzˇ´ı do vodorovne´ roviny ma´ stejny´ smeˇr a orientaci (urcˇenou sˇpicˇkami) jako gradient. ∂f Prˇ´ıklad 3.20. Najdeˇte jednotkovy´ vektor u, pro neˇjzˇ je smeˇrova´ derivace ∂u funkce p 2 2 f (x, y) = 4 + x + y v bodeˇ (x0 , y0 ) = (2, 1) maxima´lnı´, a urcˇete jejı´ hodnotu.

Rˇesˇenı´. Podle veˇty 3.19 je smeˇrova´ derivace maxima´lnı´ ve smeˇru jednotkove´ho vektoru f (x0 ,y0 ) u = k grad ´. Stacˇ´ı tedy vypocˇ´ıtat gradient a jeho grad f (x0 ,y0 )k , pokud je gradient nenulovy velikost. Nejprve vypocˇteme hodnoty parcia´lnıćh derivacı´ v zadane´m bodeˇ: 2x fx (x, y) = p 2 4 + x2 + y2 2y fy (x, y) = p 2 4 + x2 + y2

⇒ ⇒

2 , 3 1 fy (2, 1) = . 3 fx (2, 1) =

Gradient a jeho velikost jsou 2 1 grad f (2, 1) = , , 3 3

r √ 2 2 1 2 5 k grad f (2, 1)k = + = . 3 3 3

Derivace je tedy maxima´lnı´ ve smeˇru vektoru 2 1 , 2 1 3√ 3 u= = √ ,√ 5 5 5 3

a jejı´ hodnota je

∂f ∂u (2, 1)

= k grad f (2, 1)k =

√ 5 3

.

N

3.3 Vztah diferencia´lu, gradientu a smeˇrove´ derivace

x2 4

−

y2 9

a body A = (3, −1), B = (1, 4).

−→ 2. derivaci funkce f ve smeˇru vektoru u = AB v bodech A a B, 3. bod C lezˇ´ıcı´ mezi A a B, v neˇmzˇ je derivace funkce f ve smeˇru u rovna nule, 4. derivaci funkce f v bodeˇ A ve smeˇru jednotkove´ho vektoru souhlasneˇ kolinea´rnı´ho s grad U (A). −→ Rˇesˇenı´. Ze sourˇadnic bodu˚ A a B urcˇ´ıme sourˇadnice vektoru u = AB = B −A = (−2, 5). Body A a B je urcˇena prˇ´ımka p, jejı´zˇ rovnice je 5x + 2y = 13. Graf funkce f , u´secˇka urcˇena´ body A a B a pru˚secˇnice roviny, ktera´ je rovnobeˇzˇna´ s osou z a procha´zı´ prˇ´ımkou p, s grafem funkce f jsou zna´zorneˇny na obr. 3.7. Vypocˇteme funkcˇnı´ hodnoty funkce f : f (A) = 4 −

32 1 59 − = , 4 9 36

f (B) = 4 −

1 42 71 − = . 4 9 36

Hodnoty f (A) a f (B) jsou zna´zorneˇny na obr. 3.7. z 4

f (C) f (B) f (A) p

A x

C

4

B

6

y

Obr. 3.7 Ad 1. Vypocˇteme gradient v bodeˇ (x, y): grad f (x, y) = (−x/2, −2y/9). Po dosazenı´ sourˇadnic bodu˚ A a B dostaneme gradienty v teˇchto bodech: grad f (A) = (−3/2, 2/9),

grad f (B) = (−1/2, −8/9).

Na obr. 3.8 jsou zna´zorneˇny vektory grad f (A), grad f (B) a u.

+

Prˇ´ıklad 3.21. Je dańa funkce f : z = 4 − Urcˇete: 1. gradient funkce f v bodech A a B,

77


78

−4

−6

6

O

y

grad f (B)

grad f (A)

B u

A 4

x

Obr. 3.8 Ad 2. Derivace funkce f ve smeˇru u v bodeˇ (x, y) je podle veˇty 3.18: x 2y 9x − 10y fu (x, y) = hgrad f (x, y), ui = − · (−2) − ·5= . 2 9 9 Po dosazenı´ sourˇadnic bodu˚ ma´me: −31 37 , fu (B) = . fu (A) = 9 9 Ad 3. Bod C, v neˇmzˇ je derivace fu rovna nule, lezˇ´ı na prˇ´ımce p, urcˇene´ body A a B. Podle prˇedchozı´ho tedy jeho sourˇadnice musı´ splnˇovat rovnice 9x − 10y = 0, 5x + 2y = 13. 9 Jejich rˇesˇenı´m dostaneme sourˇadnice bodu C: x = 130/68 ,

y = 117/68 .

Ad 4. Oznacˇme v jednotkovy´ vektor souhlasneˇ kolinea´rnı´ s grad f (A). Podle veˇty 3.19 pak platı´: r √ 3 2 2 2 745 fv (A) = k grad f (A)k = − + = . 2 9 18 N

Pro za´jemce: Je-li f : z = f (x1 , . . . , xn ) funkce n promeˇnnyćh, ktera´ je diferencovatelna´ v bodeˇ x ∗ = = (x1∗ , . . . , xn∗ ), ma´ v tomto bodeˇ derivaci fu (x ∗ ) v libovolne´m smeˇru u = (u1 , . . . , un ) ∈ Vn . Prˇitom platı´: fu (x ∗ ) = hgrad f (x ∗ ), ui = fx1 (x ∗ )u1 + · · · + fxn (x ∗ )un . Du˚kaz je zcela analogicky´ jako v prˇ´ıpadeˇ funkce dvou promeˇnnyćh. Platı´ i veˇta 3.19.

3.4 Derivace slozˇene´ funkce

3.4

79

Derivace slozˇene´ funkce

Pru˚vodce studiem

S Z

Podobneˇ jako u funkcı´ jedne´ promeˇnne´ je du˚lezˇite´ umeˇt zderivovat slozˇenou funkci, zna´me-li derivace vneˇjsˇ´ı slozˇky i vnitrˇnıćh slozˇek. Vzorce, ktere´ da´le uvedeme, majı´ velky´ vy´znam zejmeńa prˇi rˇesˇenı´ parcia´lnıćh diferencia´lnıćh rovnic. Pomocı´ nich je mozˇne´ transformovat takove´ rovnice na jednodusˇsˇ´ı tvary. Prˇi te´to aplikaci je vneˇjsˇ´ı slozˇkou nezna´me´ rˇesˇenı´ zadane´ rovnice, takzˇe se bez podobnyćh vzorcu˚ neobejdeme. Nejprve si prˇipomenˇme, jak se derivuje slozˇena´ funkce jedne´ promeˇnne´. Necht’funkce u = g(x) ma´ derivaci v bodeˇ x0 . Oznacˇme u0 = g(x0 ).Ma´-li funkce y = f (u) derivaci v bodeˇ u0 , pak slozˇena´ funkce y = F (x) = f g(x) ma´ derivaci v bodeˇ x0 a platı´ F 0 (x0 ) = f 0 (u0 )g 0 (x0 ). U funkce dvou promeˇnnyćh f (u, v) budeme dosazovat za obeˇ promeˇnne´ nove´ funkce u = u(x, y), v = v(x, y) dvou prome ˇ nnyćh x a y. Slozˇena´ funkce tedy bude mı´t tvar z = F (x, y) = f u(x, y), v(x, y) . Navıć si vsˇimneˇte, zˇe v na´sledujıćı´ veˇteˇ u vneˇjsˇ´ı slozˇky nestacˇ´ı pouhy´ prˇedpoklad existence parcia´lnıćh derivacı´. Veˇta 3.22. Necht’funkce u = u(x, y) a v = v(x, y) majı´ parcia´lnı´ derivace prvnı´ho rˇa´du v bodeˇ (x0 , y0 ). Oznacˇme u0 = u(x0 , y0 ), v0 = v(x0 , y0 ). Da´le necht’funkce z = f (u, v) je diferencovatelna´ v bodeˇ (u0 , v0 ). Pak slozˇena´ funkce z = F (x, y) = f u(x, y), v(x, y) ma´ parcia´lnı´ derivace prvnı´ho rˇa´du v bodeˇ (x0 , y0 ) a platı´: ∂f ∂u ∂f ∂v ∂F (x0 , y0 ) = (u0 , v0 ) (x0 , y0 ) + (u0 , v0 ) (x0 , y0 ), ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂F ∂f ∂u ∂f ∂v (x0 , y0 ) = (u0 , v0 ) (x0 , y0 ) + (u0 , v0 ) (x0 , y0 ). ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y

(3.12)

Zkraćeneˇ pı´sˇeme Fx = fu ux + fv vx , nebo take´

∂F ∂f ∂u ∂f ∂v = + , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

Fy = fu uy + fv vy

(3.13)

∂F ∂f ∂u ∂f ∂v = + . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y

(3.14)

Du˚kaz. Doka´zˇeme naprˇ. prvnı´ vztah v (3.12). Podle definice parcia´lnı´ derivace je ∂F F (x, y0 ) − F (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim = x→x0 ∂x x − x0 f u(x, y0 ), v(x, y0 ) − f u(x0 , y0 ), v(x0 , y0 ) = lim . x→x0 x − x0

(3.15)

V J


80

Oznacˇme ϕ(x) = u(x, y0 ), ψ(x) = v(x, y0 ).√Z definice diferencovatelnosti f v (u0 , v0 ) plyne existence funkce ω(h, k), lim ω(h, k)/ h2 + k 2 = 0 pro (h, k) → (0, 0), takove´, zˇe f ϕ(x), ψ(x) − f (u0 , v0 ) = = fu (u0 , v0 )(ϕ(x) − u0 ) + fv (u0 , v0 )(ψ(x) − v0 ) + ω ϕ(x) − u0 , ψ(x) − v0 ) . Po dosazenı´ do (3.15) vyjde: ∂F fu (u0 , v0 )(ϕ(x) − u0 ) + fv (u0 , v0 )(ψ(x) − v0 ) (x0 , y0 ) = lim + x→x0 ∂x x − x0 ω ϕ(x) − u0 , ψ(x) − v0 ) . (3.16) + x − x0 Da´le u(x, y0 ) − u(x0 , y0 ) ∂u ϕ(x) − u0 lim = lim = (x0 , y0 ), x→x0 x − x0 x→x0 x − x0 ∂x ψ(x) − v0 v(x, y0 ) − v(x0 , y0 ) ∂v lim = lim = (x0 , y0 ). x→x0 x − x0 x→x0 x − x0 ∂x Nynı´ pro x 6= x0 je ω ϕ(x) − u0 , ψ(x) − v0 ) = x − x0 s ω ϕ(x) − u0 , ψ(x) − v0 ) ϕ(x) − u0 2 ψ(x) − v0 2 =p + · sgn(x − x0 ). x − x0 x − x0 (ϕ(x) − u0 )2 + (ψ(x) − v0 )2 Z existence parcia´lnıćh derivacı´ u a v podle x v bodeˇ (x0 , y0 ) plyne, zˇe funkce ϕ(x) a ψ(x) jsou spojite´ v x0 , tj. lim ϕ(x) = u0 a lim ψ(x) = v0 . Tedy x→x0 x→x0 ω ϕ(x) − u0 , ψ(x) − v0 ) lim p = 0, x→x0 (ϕ(x) − u0 )2 + (ψ(x) − v0 )2 s q ϕ(x) − u0 2 ψ(x) − v0 2 lim + = u2x (x0 , y0 ) + vx2 (x0 , y0 ). x→x0 x − x0 x − x0 Protozˇe vy´raz sgn(x − x0 ) je ohranicˇeny´, je celkoveˇ ω ϕ(x) − u0 , ψ(x) − v0 ) lim = 0. x→x0 x − x0 Nynı´ z (3.16) ma´me ∂F ϕ(x) − u0 ψ(x) − v0 (x0 , y0 ) = fu (u0 , v0 ) lim + fv (u0 , v0 ) lim + x→x0 x − x0 x→x0 x − x0 ∂x ω ϕ(x) − u0 , ψ(x) − v0 ) + lim = x→x0 x − x0 = fu (u0 , v0 )ux (x0 , y0 ) + fv (u0 , v0 )vx (x0 , y0 ).

N


Prˇ´ıklad 3.23. Je dańa funkce f (u, v) = u2 + v 2 , kde u = x − y, v = xy . Urcˇete prvnı´ parcia´lnı´ derivace slozˇene´ funkce F (x, y) = f (x − y, xy ).

+

81

Rˇesˇenı´. Vsˇechny funkce majı´ spojite´ parcia´lnı´ derivace ve svyćh definicˇnıćh oborech, takzˇe mu˚zˇeme pouzˇ´ıt vzorec (3.13). Platı´: f (u, v) = u2 + v 2 u(x, y) = x − y x v(x, y) = y

fu = 2u, ux = 1, 1 vx = , y

⇒ ⇒ ⇒

fv = 2v, uy = −1, x vy = − 2 . y

Tedy 1 x 1 2x = 2(x − y) + 2 · = 2x − 2y + 2 , y y y y x x x 2x 2 Fy = 2u · (−1) + 2v · − 2 = −2(x − y) − 2 · 2 = −2x + 2y − 3 . y y y y

Fx = 2u · 1 + 2v ·

2

Prˇ´ıklad 3.24. Transformujte diferencia´lnı´ vy´raz yfx (x, y) − xfy (x, y) do pola´rnıćh sourˇadnic x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. Prˇedpokla´da´me, zˇe funkce f ma´ spojite´ prvnı´ parcia´lnı´ derivace. Rˇesˇenı´. Jak uvidı´me, budeme potrˇebovat vyja´drˇenı´ ρ a ϕ pomocı´ x a y. Dostaneme p x 2 + y 2 = ρ 2 cos2 ϕ + ρ 2 sin2 ϕ = ρ 2 ⇒ ρ = x 2 + y 2, ρ sin ϕ y y = = tg ϕ ⇒ ϕ = arctg pro x > 0 . x ρ cos ϕ x (Pro x < 0 musı´me prˇicˇ´ıst π.) Da´le ma´me f (x, y) = f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = F (ρ, ϕ) = F

p y x 2 + y 2 , arctg . x

Ve vzorci (3.13) se na´m tedy zameˇnila role f a F a vnitrˇnı´ slozˇky jsou oznacˇeny ρ a ϕ mı´sto u a v. Nynı´ si prˇipravı´me parcia´lnı´ derivace vnitrˇnıćh slozˇek. y 1 x 1 y ρx = (x 2 + y 2 )−1/2 · 2x = p , ϕx = · − = − , 2 2 x2 x2 + y2 x2 + y2 1 + yx 1 y 1 1 x = ρy = (x 2 + y 2 )−1/2 · 2y = p , ϕy = · . 2 x 2 x2 + y2 x2 + y2 1+ y x

+

Funkce F ma´ tvar F (x, y) = (x − y)2 + xy 2 , takzˇe prˇedchozı´ vy´sledek snadno obdrzˇ´ıme prˇ´ımy´m derivovańı´m (oveˇrˇte si to pro kontrolu) a vzorec pro derivovańı´ slozˇene´ funkce vu˚bec nepotrˇebujeme. Pokud vsˇak vneˇjsˇ´ı slozˇka nenı´ zna´ma´, je pouzˇitı´ tohoto vzorce nezbytne´ — viz naprˇ. na´sledujıćı´ prˇ´ıklad. N


82

Odtud a ze (3.13) x y fx = F ρ p , − Fϕ 2 x + y2 x2 + y2

y x fy = Fρ p . + Fϕ 2 x + y2 x2 + y2

Po dosazenı´ do zadane´ho vy´razu obdrzˇ´ıme xy y2 xy x2 p p yfx (x, y) − xfy (x, y) = Fρ − Fϕ 2 − Fρ − Fϕ 2 x + y2 x + y2 x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 = −Fϕ 2 = −Fϕ . x + y2 N V parcia´lnıćh diferencia´lnıćh rovnicıćh, ktere´ se vyskytujı´ v matematicke´ fyzice, hrajı´ du˚lezˇitou roli rovnice druhe´ho rˇa´du, tj. rovnice obsahujıćı´ druhe´ parcia´lnı´ derivace nezna´me´ funkce. Podı´va´me se proto, jak budou vypadat vzorce pro druhe´ parcia´lnı´ derivace slozˇene´ funkce. Lze doka´zat na´sledujıćı´ veˇtu: Veˇta 3.25. Necht’funkce u = u(x, y) a v = v(x, y) majı´ parcia´lnı´ derivace druhe´ho rˇa´du v bodeˇ (x0 , y0 ). Oznacˇme u0 = u(x0 , y0 ), v0 = v(x0 , y0 ). Da´le necht’funkce z = f (u, v) ma´ parcia´lnı´ derivace druhe´ho rˇa´du v okolı´ bodu (u0 , v0), ktere´ jsou v tomto bodeˇ spojite´. Pak slozˇena´ funkce z = F (x, y) = f u(x, y), v(x, y) ma´ parcia´lnı´ derivace druhe´ho rˇa´du v bodeˇ (x0 , y0 ) a platı´: Fxx = fuu u2x + 2fuv ux vx + fvv vx2 + fu uxx + fv vxx , Fxy = fuu ux uy + fuv ux vy + fuv uy vx + fvv vx vy + fu uxy + fv vxy , Fyy =

fuu u2y

+ 2fuv uy vy + fvv vy2

(3.17)

+ fu uyy + fv vyy .

Parcia´lnı´ derivace funkcı´ F , u a v majı´ argument (x0 , y0 ), parcia´lnı´ derivace funkce f majı´ argument (u0 , v0 ). Du˚kaz. Doka´zˇeme naprˇ. prvnı´ vzorec, du˚kaz ostatnıćh je analogicky´. Podle du˚sledku 2.8 aplikovane´ho na fu a fv dostaneme, zˇe v jiste´m okolı´ bodu (u0 , v0 ) jsou fu a fv spojite´, a tedy podle veˇty 3.7 je funkce f v tomto okolı´ diferencovatelna´. Zejmeńa tudı´zˇ v bodeˇ (x0 , y0 ) platı´ vztahy (3.13), tj. Fx = fu ux + fv vx . ∂ ∂ Uvazˇme, zˇe Fxx = ∂x Fx = ∂x (fu ux + fv vx ). Vy´raz, ktery´ ma´me derivovat, ma´ tvar soucˇtu a kazˇdy´ scˇ´ıtanec ma´ tvar soucˇinu. Prˇi derivovańı´ fu a fv vyuzˇijeme skutecˇnosti, zˇe fu = fu u(x, y), v(x, y) a fv = fv u(x, y), v(x, y) jsou opeˇt slozˇene´ funkce promeˇnnyćh x a y, a proto mu˚zˇeme k vy´pocˇtu jejich derivacı´ vyuzˇ´ıt vztahu˚ (3.13), ve kteryćh mı´sto f dosadı´me fu resp. fv (tyto funkce jsou diferencovatelne´ podle veˇty 3.7, protozˇe majı´ spojite´ prvnı´ parcia´lnı´ derivace — to je zajisˇteˇno prˇedpokladem o existenci spojityćh druhyćh parcia´lnıćh derivacı´ funkce f ). Prˇi u´pravaćh pak vezmeme v u´vahu, zˇe podle veˇty 2.11 je fuv = fvu .


83

∂ ∂ ∂ ∂ Fx = (fu ux + fv vx ) = (fu ux ) + (fv vx ) = ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ ∂ (fu ) ux + fu uxx + (fv ) vx + fv vxx = = ∂x ∂x = (fuu ux + fuv vx ) ux + fu uxx + (fvu ux + fvv vx ) vx + fv vxx =

Fxx =

= fuu u2x + fuv vx ux + fvv vx2 + fvu ux vx + fu uxx + fv vxx = = fuu u2x + 2fuv ux vx + fvv vx2 + fu uxx + fv vxx .

Prˇ´ıklad 3.27. Vypocˇteˇte druhe´ parcia´lnı´ derivace funkce f (2x − 3y, 3x + y), vı´te-li, zˇe f ma´ spojite´ parcia´lnı´ derivace druhe´ho rˇa´du. Rˇesˇenı´. Oznacˇme F (x, y) = f (2x − 3y, 3x + y) a u = 2x − 3y, v = 3x + y. Pak ux = 2, vx = 3,

uy = −3, vy = 1,

uxx = uyy = uxy = uyx = 0, vxx = vyy = vxy = vyx = 0.

Podle (3.13) je Fx = 2fu + 3fv , Fy = −3fu + fv a podle (3.17) je Fxx = fuu 22 + 2fuv 2 · 3 + fvv 32 = 4fuu + 12fuv + 9fvv , Fxy = fuu 2 · (−3) + fuv 2 · 1 + fuv (−3) · 3 + fvv 3 · 1 = −6fuu − 7fuv + 3fvv , Fyy = fuu (−3)2 + 2fuv (−3) · 1 + fvv 12 = 9fuu − 6fuv + fvv . Ze spojitosti plyne, zˇe Fyx = Fxy . Vzhledem k tomu, zˇe druhe´ derivace vnitrˇnıćh slozˇek jsou nulove´ (to se stane vzˇdy, kdyzˇ to budou linea´rnı´ funkce tvaru ax + by), je vy´hodne´ pouzˇ´ıt pozna´mku 3.26 ii). Naprˇ. Fx = 2fu + 3fv a forma´lnı´m umocneˇnı´m a na´hradou (fu )2 → fuu a pod. snadno dostaneme vy´sledek pro Fxx . N

+

Pozna´mka 3.26. i) Vzorec pro Fyx bude obdobny´ jako pro Fxy , jen mı´sto uxy a vxy bude obsahovat uyx a vyx (prˇedpoklady obecneˇ nezarucˇujı´ zameˇnitelnost). ii) Pro snadneˇjsˇ´ı zapamatovańı´ vzorcu˚ (3.17) existuje mnemotechnicka´ pomu˚cka. Naprˇ. pro Fxx umocnı´me pravou stranu vzorce Fx = fu ux + fv vx na druhou. Vyjde fu2 u2x + + 2fu fv ux vx + fu2 vx2 . Nahradı´me-li nynı´ druhe´ mocniny nebo soucˇin prvnıćh derivacı´ fu a fv odpovı´dajıćı´mi druhy´mi derivacemi, tj. fu2 → fuu , fu fv → fuv a pod., dostaneme fuu u2x +2fuv ux vx +fvv vx2 , cozˇ jsou pra´veˇ prvnı´ trˇi cˇleny ve vzorci pro Fxx . Nesmı´me zapomenout prˇidat zby´vajıćı´ dva cˇleny fu uxx + fv vxx , ktere´ odpovı´dajı´ druhy´m scˇ´ıtancu˚m prˇi derivovańı´ soucˇinu˚ fu ux a fv vx . Vzorec Fxy dostaneme forma´lnı´m rozna´sobenı´m (fu ux + fv vx )(fu uy + fv vy ), na´hradou za soucˇiny fu a fv a doplneˇnı´m dvou poslednıćh cˇlenu˚.


+

84

Prˇ´ıklad 3.28. Transformujte do pola´rnıćh sourˇadnic laplaciań 1f = fxx + fyy . Rˇesˇenı´. Vyuzˇijeme oznacˇenı´ a vy´pocˇty z prˇ´ıkladu 3.24. Opeˇt ma´me p y 2 2 f (x, y) = f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = F (ρ, ϕ) = F x + y , arctg , x takzˇe ve vzorcıćh (3.17) ma´me bohuzˇel zameˇneˇny role F a f . Da´le jsme vypocˇ´ıtali, zˇe x , ρx = p x2 + y2

y ρy = p , x2 + y2

ϕx = −

x2

y , + y2

ϕy =

x2

x . + y2

Odtud dostaneme druhe´ derivace (ρyy a ϕyy urcˇ´ıme ze symetrie): p x2 + y2 − x √

x x 2 +y 2

ρxx = ϕxx

y2 =p , (x 2 + y 2 )3

x2 + y2 2xy 0 − y · 2x =− 2 = 2 , 2 2 (x + y ) (x + y 2 )2

x2 ρyy = p , (x 2 + y 2 )3 2xy ϕyy = − 2 . (x + y 2 )2

Da´le podle (3.17) je (prˇedpokla´da´me, zˇe f ma´ spojite´ druhe´ parcia´lnı´ derivace) fxx = Fρρ ρx2 + 2Fρϕ ρx ϕx + Fϕϕ ϕx2 + Fρ ρxx + Fϕ ϕxx = = Fρρ

x2 xy y2 p − 2F + F + ρϕ ϕϕ x2 + y2 (x 2 + y 2 )2 (x 2 + y 2 )3 y2 2xy + Fρ p , + Fϕ 2 (x + y 2 )2 (x 2 + y 2 )3

fyy = Fρρ ρy2 + 2Fρϕ ρy ϕy + Fϕϕ ϕy2 + Fρ ρyy + Fϕ ϕyy = = Fρρ

y2 xy x2 p + 2Fρϕ + Fϕϕ 2 + x2 + y2 (x + y 2 )2 (x 2 + y 2 )3 x2 2xy p + Fρ − Fϕ 2 . (x + y 2 )2 (x 2 + y 2 )3

Celkoveˇ dostaneme po u´praveˇ (je ρ = fxx + fyy = Fρρ + Fϕϕ

x2

p x 2 + y 2 ):

1 1 1 1 + Fρ p = Fρρ + 2 Fϕϕ + Fρ . 2 +y ρ ρ x2 + y2

N


85

Pro za´jemce: Uvedeme nynı´ vzorec pro prvnı´ parcia´lnı´ derivace slozˇene´ funkce v obecne´m prˇ´ıpadeˇ. Uveˇdomme si, zˇe vneˇjsˇ´ı slozˇka a vnitrˇnı´ slozˇky mohou mı´t obecneˇ ru˚zne´ pocˇty promeˇnnyćh. Prˇedpokla´dejme, zˇe funkce f : z = f (y), kde y = (y1 , . . . , ym ) ∈ Rm , je diferencovatelna´ v bodeˇ y ∗ = (y1∗ , . . . , ym∗ ). Necht’ da´le funkce ϕ1 : y1 = ϕ1 (x), . . . , ϕm : ym = ϕm (x), kde x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , majı´ parcia´lnı´ derivace v bodeˇ x ∗ = (x1∗ , . . . , xn∗ ), prˇicˇemzˇ ϕi (x ∗ ) = yi∗ , i = 1, . . . , m. Pak slozˇena´ funkce F (x1 , . . . , xn ) = f ϕ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , ϕm (x1 , . . . , xn ) neboli strucˇneˇ F (x) = f ϕ1 (x), . . . , ϕm (x) ma´ v bodeˇ x ∗ parcia´lnı´ derivace prvnı´ho rˇa´du, prˇicˇemzˇ platı´ ∂F ∗ ∂f ∗ ∂ϕ1 ∗ ∂f ∗ ∂ϕm ∗ (x ) = (y ) · (x ) + · · · + (y ) · (x ), ∂xi ∂y1 ∂xi ∂ym ∂xi i = 1, . . . , n. Strucˇneˇ Fxi = fy1 ϕ1|xi + · · · + fym ϕm|xi . Obdobneˇ lze derivovańı´m prˇedchozıćh rovnostı´ odvodit vzorce pro druhe´ derivace. Vy´sledky jsou vsˇak dost neprˇehledne´ a je vy´hodneˇjsˇ´ı pouzˇ´ıt maticove´ za´pisy. Jako uka´zku uvedeme transformaci laplaciańu 1u(x) = ux1 x1 (x) + · · · + uxn xn (x) pro radia´lneˇ symetrickou funkci, tj. pro funkci, jejı´zˇ hodnota za´visı´ pouze na √ vzda´lenosti od poc √ ˇ a´tku r = kxk = 2 2 2 2 = x1 + · · · + xn . Prˇedpokla´dejme tedy, zˇe u(x) = v(r) = v x1 + · · · + xn , kde funkce v ma´ spojitou druhou derivaci v 00 pro r > 0. Pro x 6= (0, . . . , 0) a i = 1, . . . , n postupny´m derivovańı´m dostaneme: xi uxi = v 0 (r) · √ , x12 + · · · + xn2 1 xi2 xi + v 0 (r) · √ uxi xi = v 00 (r) · 2 − v 0 (r) · xi · √ . 2 2 2 2 x1 + · · · + xn x1 + · · · + xn (x1 + · · · + xn2 )3 Dosazenı´m do 1u(x) po u´pravaćh vyjde 1u(x) = v 00 (r) + v 0 (r) ·

n 1 n−1 0 − v 0 (r) · = v 00 (r) + v (r). r r r

Tento vy´sledek umozˇnˇuje snadno najı´t vsˇechna radia´lneˇ symetricka´ rˇesˇenı´ Laplaceovy parcia´lnı´ diferencia´lnı´ rovnice 1u(x) = 0.

Pojmy k zapamatovańı´ — — — — — —

diferencia´l funkce diferencovatelne´ funkce gradient funkce tecˇna´ rovina ke grafu funkce norma´la ke grafu funkce derivace slozˇene´ funkce

X


86

?

Kontrolnı´ ota´zky

!


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Kdy je funkce dvou promeˇnnyćh diferencovatelna´ v dane´m bodeˇ? Vysveˇtlete pojem tota´lnı´ diferencia´l. Vysveˇtlete geometricky´ vy´znam tota´lnı´ho diferencia´lu. Co je to gradient funkce v dane´m bodeˇ? Jaky´ je vztah gradientu a smeˇrove´ derivace? Jak pocˇ´ıta´me derivaci prvnı´ho rˇa´du slozˇene´ funkce dvou promeˇnnyćh? Jak pocˇ´ıta´me derivaci druhe´ho rˇa´du slozˇene´ funkce dvou promeˇnnyćh? Napisˇte rovnici tecˇne´ roviny a norma´ly ke grafu funkce v dane´m bodeˇ. Popisˇte mozˇnosti vyuzˇitı´ diferencia´lu dane´ funkce v praxi.

1. Vypocˇteˇte tota´lnı´ diferencia´l funkce f v bodeˇ A pro dane´ dx a dy, poprˇ. dz: a)

x 2 −y 2 xy

b)

, A = (2, 2), dx = 0,03; dy = 0,01; p f : z = x + y − x 2 + y 2 , A = (3, 4), dx = 0,1; dy = 0,2;

c)

f : z = exy , A = (1, 2), dx = −0,1; dy = 0,1;

d)

f : z = arctg xy , A = (1, 3), dx = 0,01; dy = −0,05;

e)

f : z = arccotg xy , A = (2, 1), dx = 0,01; dy = 0,05;

f)

f : u = 2x sin y arctg z, A = (−4, π2 , 0), dx = 0,05; dy = 0,06; dz = 0,08.

f:z=

2. Porovnejte tota´lnı´ diferencia´l df (A) a prˇ´ıru˚stek 1f (A) pro f , A a prˇ´ıru˚stky dx, dy : a)

f : z = 4xy, A = (3, 2), dx = −0,2; dy = 0,2;

b)

f : z = 4xy, A = (3, 2), dx = −0,02; dy = 0,02;

c)

f : z = ln(x 2 + y 2 ), A = (2, 1), dx = 0,1; dy = −0,1;

d)

f:z=

x−y x+y

, A = (1, 3), dx = 0,1; dy = −0,2.

3. Vypocˇteˇte tota´lnı´ diferencia´ly prvnı´ho rˇa´du funkce f v obecne´m bodeˇ : a) d) g) j)

f : z = 3x 2 − 2y 3 , x y

f:z=e , p f : u = x 2 + y 2 + z2 , p f : z = ln x 2 + y 2 ,

x 2 +y 2 x 2 −y 2 y

b)

f:z=

e)

f:z=x , xy z

,

h)

f:u=

k)

f : z = ln cotg xy ,

,

4. Pomocı´ diferencia´lu vypocˇteˇte prˇiblizˇneˇ: √ , b) a) arctg 1,02 1,023 + 1,973 , 0,95 d)

arcsin 0,48 , 1,05

e)

ln(0,972 + 0,052 ) ,

c)

f : z = y ln 2x ,

f)

f : z = arctg xy ,

i)

f : z = (x − y)2 ,

l)

f : z = arctg x−y . x+y

c)

1,03 √ 3

f)

e

V na´sledujıćıćh prˇ´ıkladech pouzˇijte pro vy´pocˇet tota´lnı´ diferencia´l a vzorce (3.10).

2

0,98·1,054 0,053 −0,02

, .


87

5. Vypocˇteˇte s prˇesnostı´ na dveˇ desetinna´ mı´sta objem kuzˇele V a urcˇete odhad absolutnı´ zmeˇny objemu, jestlizˇe vy´sˇka kuzˇele je h = (15 ± 0,3) cm a polomeˇr za´kladny je r = (8 ± 0,2) cm. Urcˇete relativnı´ zmeˇnu objemu. 6. Strany troju´helnı´ka jsou a = (200 ± 2) m, b = (300 ± 5) m, u´hel mezi nimi je γ = (60 ± 1)◦ . Vypocˇteˇte s prˇesnostı´ na dveˇ desetinna´ mı´sta de´lku strany c a odhad absolutnı´ zmeˇny de´lky strany. Urcˇete relativnı´ zmeˇnu strany c. 7. Odveˇsny pravou´hle´ho troju´helnı´ka, meˇrˇene´ s prˇesnostı´ 0,1 cm, jsou 12 a 16 cm. Vypocˇteˇte s prˇesnostı´ na dveˇ desetinna´ mı´sta de´lku prˇepony c a odhad absolutnı´ zmeˇny te´to de´lky. Urcˇete jejı´ relativnı´ zmeˇnu. 8. Rotacˇnı´ kuzˇel ma´ polomeˇr za´kladny r = (10,2 ± 0,1) cm a de´lku pobocˇne´ hrany s = = (44,6 ± 0,1) cm. Vypocˇteˇte s prˇesnostı´ na dveˇ desetinna´ mı´sta jeho objem V a odhad absolutnı´ zmeˇny tohoto objemu. Urcˇete jeho relativnı´ zmeˇnu. 9. Rovnoramenny´ troju´helnı´k ma´ de´lku ramene a = (25±1) cm a u´hel prˇi za´kladneˇ α = (30±1)◦ . Vypocˇteˇte s prˇesnostı´ na dveˇ desetinna´ mı´sta jeho obsah P a odhad absolutnı´ zmeˇny tohoto obsahu. Urcˇete relativnı´ zmeˇnu obsahu. 10. O kolik cm3 se zmeˇnı´ prˇiblizˇneˇ objem kuzˇele s polomeˇrem podstavy r = 10 cm a vy´sˇkou h = 10 cm, zveˇtsˇ´ıme-li polomeˇr podstavy o 5 mm a vy´sˇku o 5 mm zmensˇ´ıme? 11. O kolik prˇiblizˇneˇ musı´me zmeˇnit vy´sˇku komole´ho jehlanu se cˇtvercovou za´kladnou s de´lkami hran a = 2 m, b = 1 m a vy´sˇkou v = 1 m, jestlizˇe a zveˇtsˇ´ıme o 7 cm a b zmensˇ´ıme o 7 cm, chceme-li, aby objem zu˚stal nezmeˇneˇn? 12. Rozhodneˇte, zda je funkce z prˇ´ıkladu 2.15 diferencovatelna´ v bodeˇ (0, 0). 13. Oveˇrˇte, zˇe funkce f : z = √ xy 2

x +y 2

, (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0, je spojita´ a ma´ parcia´lnı´

derivace v R2 , ale nenı´ v bodeˇ (0, 0) diferencovatelna´. 14. Vypocˇteˇte parcia´lnı´ derivace fx (0, 0) a fy (0, 0). Je funkce f diferencovatelna´ v bodeˇ (0, 0)? ( a) f : z =

xy x 2 +y 2

0,

,

(x, y) 6= (0, 0), (x, y) = (0, 0),

( b) f : z =

x2y x 4 +y 2

,

0,

(x, y) 6= (0, 0), (x, y) = (0, 0).

15. Najdeˇte rovnici tecˇne´ roviny a norma´ly ke grafu funkce f v bodeˇ T : b)

z = ln(2x 3 − 8y 2 ) , T (2, 1, ?),

c)

z = 2x 2 y 2 + 3xy 3 , T (1, −1, ?), p z = 9 − x 2 − y 2 , T (1, −2, ?),

d)

z=

e)

z = x e3x+2y , T (−2, 3, ?),

f)

z = (x + y 2 ) sin πx , T (1, −2, ?),

g)

z = arctg yx , T (−2, 2, ?),

h)

z = e4−x

a)

x+y x−y 2

, T (2, 1, ?), 2 −y 2

, T (2, 0, ?).


88

16. Na grafu funkce f najdeˇte bod, v neˇmzˇ je tecˇna´ rovina rovnobeˇzˇna´ s rovinou ρ :

b)

f : z = x 3 + y 3 , ρ : 12x + 3y − z = 0, p f : z = 1 − x 2 − y 2 , ρ : ax + by − z = 0,

c)

f : z = x 2 − y 2 , ρ : x + y + z = 0,

d)

f : z = x y , ρ : x − z = 0.

a)

17. Najdeˇte jednotkovy´ vektor u, pro neˇjzˇ je smeˇrova´ derivace maxima´lnı´, a urcˇete jejı´ hodnotu. a)

f (x, y) = x 4 + x 2 y 2 + y 4 , (x0 , y0 ) = (1, 1),

b)

f (x, y) = cotg(xy), (x0 , y0 ) = ( π2 , 1),

c) d)

f (x, y) = (x − y)4 , (x0 , y0 ) = (2, 1), √ f (x, y) = arctg xy , (x0 , y0 ) = 23 , 21 ,

e)

f (x, y) = ln(x 2 + y 2 ), (x0 , y0 ) = (1, 2),

f)

f (x, y) =

g)

f (x, y, z) = x + y 2 − 2z, (x0 , y0 , z0 ) = (2, 0, 0).

4 , x 2 +y 2 2

∂f ∂u

funkce f (x, y) v bodeˇ (x0 , y0 )

(x0 , y0 ) = (−1, 2),

18. Urcˇete nejveˇtsˇ´ı spa´d grafu funkce f : z =

√ xy v bodeˇ (4, 2).

19. Vypocˇteˇte prvnı´ a druhe´ derivace slozˇene´ funkce F (x, y) = f u(x, y), v(x, y) , vı´te-li, zˇe f je diferencovatelna´ : a) d)

f (2x − 3y, x + 2y) , 2

b)

2

f (x + y, x − y) , f yx , yx ,

e)

f (xy, x − y ) ,

c)

f (−3x + y, 2x − 3y) ,

f)

f (x cos y, y cos x) .

20. Transformujte diferencia´lnı´ rovnici pro nezna´mou funkci z = f (x, y) na rovnici s nezna´mou funkcı´ Z = F (u, v), kde f (x, y) = F u(x, y), v(x, y) : a)

xzxx + yzxy = 0 ,

b)

zxx − 2zxy + zyy + 2zx = 0 , 2

u = y, v = 2

c)

x zxx − 2xyzxy + y zyy = 0 ,

d)

zxx + 3zxy + 2zyy = x + y ,

e)

zxx + 2zxy − 3zyy = 0 ,

y x

,

u = x + y, v = y, u = xy, v = y, u = y − 2x, v = y − x,

u = −3x + y, v = x + y.

21. Transformujte do pola´rnıćh sourˇadnic x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ diferencia´lnı´ vy´raz V — viz prˇ´ıklad 3.24. Funkce f ma´ spojite´ prvnı´ parcia´lnı´ derivace: a)

V = xfy − yfx ,

b)

V = fx2 + fy2 ,

c)

V = yfy + xfx .


89

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´

1. a)

0,02;

b)

0,08;

c)

d)

−0,739;

2. a) df (A) = 0,8; 1f (A) = 0,64; c) df (A) = 0,04; 1f (A) = 0,0431;

0,008;

h) j) 4. a) d)

π 4 π 6

0,018;

c)

y x

f)

1 (y 1+x 2 y 2

dz) , k)

f)

0,005.

b) df (A) = 0,08; 1f (A) = 0,0784; d) df (A) = 0,0625; 1f (A) = 0,0641.

dy−y dx) 3. a) 6x dx − 6y 2 dy , b) 4xy(x , (x 2 −y 2 )2 x y 1 d) e y dx − yx2 dy , e) x y−1 (y dx + x ln x dy) , 1 g) √ 2 2 2 (x dx + y dy + z dz) , x +y +z 1 (yz dx + xz dy − xy z2 1 (x dx + y dy) , x 2 +y 2

e)

2 − y 2 sin

2x y

(y dx − x dy) ,

. + 0,035 = 0,8204; . √ = 0,4716; − 0,09 3

b) e)

dx + ln 2x dy , dx + x dy) ,

i) 2(x − y)(dx − dy) , 1 l) x 2 +y 2 (y dx − x dy) .

2,95; −0,06;

c) f)

1; 0,98.

5. V = π3 r 2 h , V = (1005,31 ± 70,37) cm3 , 7 %. p 6. c = a 2 + b2 − 2ab cos γ , c = (264,58 ± 7,59) m, 2,9 %. √ 7. c = a 2 + b2 , c = (20 ± 0,14) cm, 0,7 %. √ 8. V = π3 r 2 s 2 − r 2 , V = (4730,41 ± 101,39) cm3 , 2,1 %. 9. P =

a2 2

10. V =

π 3

r 2 h , dV (10, 10) =

11. V =

h 3

(a 2 + ab + b2 ) , dV (2, 1) = 0 ⇒ dh = −0,01, tedy zmensˇit o 1 cm.

sin 2α , P = (270,63 ± 27,10) cm2 , 10 %. 50π 3

. = 52,36 cm3 .

12. Je. Bud’prˇ´ımo z definice (fx (0, 0) = 0 = fy (0, 0)), nebo oveˇrˇte, zˇe fx a fy jsou spojite´ v (0, 0) a pouzˇijte veˇtu 3.7. 13. fx (0, 0) = 0 = fy (0, 0). 14. a) b)

fx (0, 0) = 0 = fy (0, 0). Nenı´ diferencovatelna´, protozˇe nenı´ spojita´ — viz prˇ´ıklad 1.24. fx (0, 0) = 0 = fy (0, 0). Nenı´ diferencovatelna´, protozˇe nenı´ spojita´ — viz prˇ´ıklad 1.25.

15. a)

x + 5y − z + 3 = 0, x−1 1

c)

y+1 5

=

z+1 −1

=

y+2 −2

=

z−2 2

x−1 5π

=

y+2 0

=

z 1

,

d) g)

=

y−1 −2

=

z−ln 8 −1

,

2x − 4y + z − 3 = 0, x−2 2

,

5πx + z − 5π = 0,

3x − 2y − z − 4 + ln 8 = 0, x−2 3

,

x − 2y + 2z − 9 = 0, x−1 1

f)

=

b)

=

y−1 −4

=

z−3 1

=

y−2 1

=

z+π/4 2

5x + 4y + z = 0, x+2 5

,

x + y + 2z + 2 = 0, x+2 1

e)

,

h)

=

y−3 4

=

z+2 1

4x + z − 9 = 0, x−2 4

=

y 0

=

z−1 1

.

,


90

16. a) b) 17. a)

(2, 1, 9), (2, −1, 7), (−2, 1, −7), (−2, −1, −9). 1 1 √ −a √ −b √ 1 , , , c) − , , 0 , 2 2 2 2 2 2 2 2 1+a +b

√1 , √1 2 2

1+a +b

d)

1+a +b

√ , k grad f (1, 1)k = 6 2,

b)

− √ 22

π +4

, − √ π2

π +4

(1, 1, 1).

, √ π2 +4

c) e) g)

√ 2,

d)

,

f)

√1 , − √1 , k grad f (2, 1)k = 4 2 2 √ √ √ 5 2 5 2 5 , , k grad f (1, 2)k = 5 5 5

√2 , 0, − √1 5 5

√ , k grad f (2, 0, 0)k = 2 5. √

18. − grad f (4, 2) = − 19. a)

b)

c)

d)

e)

k grad f (π/2, 1)k = 2 , √ √ 1 3 , − , k grad f ( 3/2, 1/2)k = 1, 2 2 √ √1 , − √2 , k grad f (−1, 2)k = 8 5 , 25 5 5

√ 2 2 , − , 4 2

√ 10 4

k grad f (4, 2)k =

.

Fx = 2fu + fv , Fxx = 4fuu + 4fuv + fvv , Fyy = 9fuu − 12fuv + 4fvv , Fx = fu + fv , Fxx = fuu + 2fuv + fvv , Fyy = fuu − 2fuv + fvv , Fx = −3fu + 2fv , Fxx = 9fuu − 12fuv + 4fvv , Fyy = fuu − 6fuv + 9fvv , Fx = yfu + 2xfv , Fxx = y 2 fuu + 4xyfuv + 4x 2 fvv + 2fv , Fxy = xyfuu + 2(x 2 − y 2 ) fuv − 4xyfvv + fu , Fyy = x 2 fuu − 4xyfuv + 4y 2 fvv − 2fv , Fx = y1 fu − xy2 fv ,

Fy = −3fu + 2fv , Fxy = −6fuu + fuv + 2fvv , Fy = fu − fv , Fxy = fuu − fvv , Fy = fu − 3fv , Fxy = −3fuu + 11fuv − 6fvv , Fy = xfu − 2yfv ,

Fy = − yx2 fu + x1 fv ,

y2

Fxx = y12 fuu − x22 fuv + x 4 fvv + 2y f , x3 v y x 2 1 Fxy = − y 3 fuu + xy fuv − x 3 fvv − y 2 fu − x2 y4

f)

2 y2

1 x2

1 x2

fv ,

2x y3

Fyy = fuu − fuv + fvv + fu , Fx = cos y fu − y sin x fv , Fy = −x sin y fu + cos x fv , 2 2 2 Fxx = cos y fuu − 2y sin x cos y fuv + y sin x fvv − y cos x fv , Fxy = −x sin y cos y fuu + (xy sin x sin y + cos x cos y) fuv − − y sin x cos x fvv − sin y fu − sin x fv , Fyy = x 2 sin2 y fuu − 2x sin y cos x fuv + cos2 x fvv − x cos y fu . 2

20. a) d)

−v 2 Zuv + vu Zv = 0 , Zuv = −3v + 2u ,

21. a)

Fϕ ,

b) e) b)

Zvv + 2Zu = 0 , Zuv = 0 . Fρ2 +

1 ρ2

Fϕ2 ,

c)

Zvv −

2u v2

Zu = 0 ,

c)

ρFρ .

91

Kapitola 4 Vysˇsˇ´ı diferencia´ly a Tayloru˚v vzorec Pru˚vodce studiem V te´to kapitole se sezna´mı´me s diferencia´ly vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚. Da´le si zavedeme pojem Tayloru˚v mnohocˇlen rˇa´du m funkce dvou a vıće promeˇnnyćh se strˇedem v dane´m bodeˇ. U funkcı´ jedne´ promeˇnne´ jsme si uka´zali, jak lze pomocı´ Taylorova mnohocˇlenu (polynomu) nahradit danou (veˇtsˇinou slozˇitou) funkci v okolı´ bodu x0 funkcı´ jednodusˇsˇ´ı, jejı´zˇ hodnoty lze snadno spocˇı´tat. Take´ jsme si rˇekli, jak zvolit tuto polynomia´lnı´ funkci, abychom se prˇi vy´pocˇtu funkcˇnı´ hodnoty dopustili co nejmensˇ´ı chyby, jak lze tuto chybu odhadnout, jak za´visı´ chyba aproximace na tom, jak daleko jsme od zadane´ho bodu, atd. Podobny´m ota´zka´m se budeme veˇnovat v te´to kapitole pro funkce dvou a vıće promeˇnnyćh.

Cı´le Po prostudovańı´ te´to kapitoly budete schopni: • • • • •

4.1

definovat pojem tota´lnı´ diferencia´l m-te´ho rˇa´du, napsat vzorec pro tota´lnı´ diferencia´l druhe´ho a trˇetı´ho rˇa´du, definovat Tayloru˚v mnohocˇlen rˇa´du m a napsat Tayloru˚v vzorec, vyja´drˇit zbytek v Tayloroveˇ vzorci, vypocˇ´ıtat prˇiblizˇne´ hodnoty funkcı´ pomocı´ Taylorova vzorce (bez pouzˇitı´ kalkulacˇky).

Diferencia´ly vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚

U funkcı´ jedne´ promeˇnne´ se zava´dı´ pojem vysˇsˇ´ıch diferencia´lu˚. Pro m ∈ N symbol dm f(x0 ) (h) znacˇ´ı m-ty´ diferencia´l funkce f v bodeˇ x0 . Platı´ dm f(x0 ) (h) = f (m) (x0 )hm . Prˇitom h znacˇ´ı prˇ´ıru˚stek neza´visle promeˇnne´. Existence takove´ho diferencia´lu je tudı´zˇ rovnocenna´ existenci m-te´ derivace funkce f v bodeˇ x0 .

S Z

V J

ó

Vysˇsˇ´ı diferencia´ly a Tayloru˚v vzorec

92

Obdobny´ pojem nynı´ zavedeme pro funkci dvou promeˇnnyćh. Bylo by mozˇne´ postupovat induktivneˇ, tj. druhy´ diferencia´l by byl diferencia´lem prvnı´ho diferencia´lu atd. Preciznı´ definice tohoto druhu je ale forma´lneˇ dost obtı´zˇna´ (je nutne´ zave´st pojmy z linea´rnı´ algebry jako m-linea´rnı´ formy, m-indexove´ matice, tenzorovy´ soucˇin vektoru˚ apod. — viz naprˇ. [13, str. 44, 58]). Proto da´me prˇednost definici, v nı´zˇ prˇ´ımo uvedeme konecˇny´ tvar. Definice 4.1. Prˇedpokla´dejme, zˇe funkce f : z = f (x, y) ma´ v neˇjake´m okolı´ bodu (x0 , y0 ) parcia´lnı´ derivace m-te´ho rˇa´du, kde m ∈ N, ktere´ jsou v tomto bodeˇ spojite´. Tota´lnı´m diferencia´lem m-te´ho rˇa´du funkce f v bodeˇ (x0 , y0 ) rozumı´me funkci dvou promeˇnnyćh (h, k) ∈ R2 tvaru m

d f(x0 ,y0 ) (h, k) =

m X m j =0

j

∂ mf (x0 , y0 ) hm−j k j . ∂x m−j ∂y j

(4.1)

Poznamenejme, zˇe z du˚sledku 2.8 vyply´va´, zˇe za prˇedpokladu prˇedchozı´ definice jsou v jiste´m okolı´ bodu (x0 , y0 ) vsˇechny parcia´lnı´ derivace azˇ do rˇa´du m − 1 spojite´. Tedy u smı´sˇenyćh parcia´lnıćh derivacı´ azˇ do rˇa´du m neza´visı´ v bodeˇ (x0 , y0 ) na porˇadı´ derivovańı´. Vy´sˇe zavedeny´ tota´lnı´ diferencia´l m-te´ho rˇa´du je vlastneˇ tzv. homogennı´m mnohocˇlenem stupneˇ m dvou promeˇnnyćh h, k (vsˇechny jeho cˇleny majı´ stejny´ stupenˇ m). Podı´vejme se, co na´m da´ vzorec (4.1) pro m = 1, 2, 3. Pro m = 1 dostaneme df(x0 ,y0 ) (h, k) =

∂f ∂f (x0 , y0 ) h + (x0 , y0 ) k ∂x ∂y

resp. ve strucˇneˇjsˇ´ı symbolice df(x0 ,y0 ) (h, k) = fx (x0 , y0 ) h + fy (x0 , y0 ) k, cozˇ je (prvnı´) tota´lnı´ diferencia´l z prˇedchozı´ kapitoly. Pro m = 2 dostaneme vzorec pro tota´lnı´ diferencia´l druhe´ho rˇa´du d2 f(x0 ,y0 ) (h, k) =

∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f 2 (x , y ) h + 2 (x , y ) hk + (x0 , y0 ) k 2 . 0 0 0 0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y

(4.2)

Ve strucˇneˇjsˇ´ı symbolice vypada´ takto: d2 f(x0 ,y0 ) (h, k) = fxx (x0 , y0 ) h2 + 2fxy (x0 , y0 ) hk + fyy (x0 , y0 ) k 2 . Pozna´mka 4.2. Pro zapamatovańı´ vztahu (4.1) a rychlejsˇ´ı nalezenı´ vy´sledku na´m mu˚zˇe poslouzˇit na´sledujıćı´ pomu˚cka vycha´zejıćı´ z rozvoje mocniny dvojcˇlenu (a + b)m podle binomicke´ veˇty a z „forma´lnı´ho“ vzorce ∂ m ∂ m d f(x0 ,y0 ) (h, k) = h +k f (x0 , y0 ) ∂x ∂y

4.1 Diferencia´ly vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚

93

∂ ∂ pro m-ty´ tota´lnı´ diferencia´l. Nejprve je potrˇeba forma´lneˇ umocnit dvojcˇlen ∂x h + ∂y k, pak jej „rozna´sobit“ f (x0 , y0 ) a nakonec prove´st jiste´ na´hrady (viz da´le). Pro m = 2 jde o zna´my´ vzorec (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 . Po forma´lnı´m umocneˇnı´ 2 ∂ 2f ∂ ∂ ∂ 2 f → ∂∂xf2 , ∂x a rozna´sobenı´ f je trˇeba prove´st na´hrady ∂x ∂y f → ∂x∂y apod., zatı´mco prˇ´ıru˚stky h a k se „norma´lneˇ“ umocnı´. ∂ ∂ 2 2 d f(x0 ,y0 ) (h, k) = h f (x0 , y0 ) = +k ∂x ∂y 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ 2 f (x0 , y0 ) h + 2 f (x0 , y0 ) hk + f (x0 , y0 ) k 2 = = ∂x ∂x ∂y ∂y 2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f 2 = (x , y ) h + 2 (x0 , y0 ) k 2 . (x , y ) hk + 0 0 0 0 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

Pro m = 3 dostaneme s vyuzˇitı´m prˇedchozı´ pozna´mky a vzorce (a + b)3 = a 3 + + 3a 2 b + 3ab2 + b3 po potrˇebnyćh u´pravaćh vzorec pro tota´lnı´ diferencia´l trˇetı´ho rˇa´du d3 f(x0 ,y0 ) (h, k) = ∂ 3f ∂ 3f ∂ 3f ∂ 3f 3 2 2 = (x0 , y0 ) h + 3 2 (x0 , y0 ) h k + 3 (x0 , y0 ) hk + 3 (x0 , y0 ) k 3 3 2 ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y nebo ve strucˇneˇjsˇ´ı symbolice d3 f(x0 ,y0 ) (h, k) = = fxxx (x0 , y0 ) h3 + 3fxxy (x0 , y0 ) h2 k + 3fxyy (x0 , y0 ) hk 2 + fyyy (x0 , y0 ) k 3 . (4.3)

Prˇ´ıklad 4.4. Urcˇete druhy´ tota´lnı´ diferencia´l funkce f : z = x 2 y 3 v bodeˇ (1, −2). Rˇesˇenı´. Protozˇe funkce f ma´ spojite´ parcia´lnı´ derivace druhe´ho rˇa´du v libovolne´m bodeˇ v R2 , diferencia´l existuje. Podle (4.2) potrˇebujeme vypocˇ´ıtat druhe´ parcia´lnı´ derivace v bodeˇ (1, −2). fx = 2xy 3 ,

fy = 3x 2 y 2 ,

fxx = 2y 3 ,

fxy = 6xy 2 ,

fyy = 6x 2 y,

a tedy fxx (1, −2) = −16,

fxy (1, −2) = 24,

fyy (1, −2) = −12.

Dosazenı´m do (4.2) vyjde d2 f(1,−2) (h, k) = −16h2 + 48hk − 12k 2

+

Pozna´mka 4.3. Promeˇnne´ h a k v tota´lnı´m diferencia´lu m-te´ho rˇa´du majı´ opeˇt charakter prˇ´ıru˚stku˚ neza´visle promeˇnnyćh x a y v bodeˇ (x0 , y0 ). Proto se pro neˇ pouzˇ´ıvajı´ i dalsˇ´ı oznacˇenı´ zavedena´ v kapitole o diferencia´lu. Tedy h = x −x0 = 1x = dx a k = y − y0 = = 1y = dy.


94

nebo prˇi oznacˇenı´ prˇ´ıru˚stku˚ h = x − 1 a k = y + 2 d2 f(1,−2) (x − 1, y + 2) = −16(x − 1)2 + 48(x − 1)(y + 2) − 12(y + 2)2 resp. prˇi oznacˇenı´ prˇ´ıru˚stku˚ pomocı´ dx a dy d2 f(1,−2) (dx, dy) = −16 dx 2 + 48 dxdy − 12 dy 2 .

N

Pro za´jemce: V obecne´m prˇ´ıpadeˇ funkce vıće promeˇnnyćh f (x), kde x = (x1 , . . . , xn ), n ∈ N, se tota´lnı´ diferencia´l m-te´ho rˇa´du, m ∈ N, v bodeˇ x ∗ ∈ Rn zava´dı´ vztahem X m! ∂ mf j j (x ∗ ) h11 · · · hnn , dm fx ∗ (h) = j1 jn j ! . . . jn ! ∂x1 . . . ∂xn j1 +···+jn =m 1 j1 ,...,jn ∈ N0 n

kde h = (h1 , . . . , hn ) ∈ R . Prˇitom prˇedpokla´da´me, zˇe funkce f ma´ v neˇjake´m okolı´ bodu x ∗ vsˇechny parcia´lnı´ derivace m-te´ho rˇa´du, ktere´ jsou v tomto bodeˇ spojite´. Tento vzorec lze forma´lneˇ zapsat vztahem ∂ m ∂ ∗ dm fx (h) = h1 + · · · + hn f (x ∗ ), ∂x1 ∂xn z neˇhozˇ umocneˇnı´m a prˇ´ıslusˇny´mi na´hradami, popsany´mi v pozna´mce 4.2 dostaneme prˇedchozı´ vyja´drˇenı´. Prˇipomenˇme, zˇe obdobou binomicke´ formule je pro veˇtsˇ´ı pocˇet scˇ´ıtancu˚ multinomicka´ formule X m! j j (a1 + · · · + an )m = a11 · · · ann . j ! . . . j ! n j +···+j =m 1 1

n

j1 ,...,jn ∈ N0

4.2 S Z

V J

Tayloru˚v vzorec

Pru˚vodce studiem Z diferencia´lnı´ho pocˇtu funkcı´ jedne´ promeˇnne´ zna´me Tayloru˚v1 mnohocˇlen a Tayloru˚v vzorec. Nynı´ zavedeme tyto pojmy i pro funkce vıće promeˇnnyćh. Jednou z jejich du˚lezˇityćh aplikacı´ bude studium loka´lnıćh extre´mu˚ funkcı´ vıće promeˇnnyćh. S nimi a rovneˇzˇ s globa´lnı´mi extre´my se sezna´mı´me v na´sledujıćıćh kapitolaćh. Tayloru˚v mnohocˇlen rˇa´du m se strˇedem x0 funkce jedne´ promeˇnne´ meˇl tvar (x0 oznacˇuje strˇed, x jeho promeˇnnou; oznacˇenı´ strˇedu neˇkdy pro jednoduchost vynecha´va´me) 1 Tm (x; x0 ) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + f 00 (x0 )(x − x0 )2 + · · · + 2! (4.4) 1 (m) m + f (x0 )(x − x0 ) m! 1 Brook

Taylor (1685–1731) (cˇti tejlor) — anglicky´ matematik. Zaby´val se analy´zou, mechanikou a balistikou.

4.2 Tayloru˚v vzorec

95

a platilo pro neˇj, zˇe Tm (x0 ; x0 ) = f (x0 ), Tm0 (x0 ; x0 ) = f 0 (x0 ), . . . , Tm(m) (x0 ; x0 ) = f (m) (x0 ). To, zˇe se shodovaly hodnoty funkcı´ a jejich derivacı´ v bodeˇ x0 azˇ do pomeˇrneˇ vysoke´ho rˇa´du, geometricky znamenalo, zˇe f (x) a Tm (x; x0 ) si byly v jiste´m okolı´ O(x0 ) velmi blı´zke´. Protozˇe u funkce jedne´ promeˇnne´ je dm fx0 (x − x0 ) = f (m) (x0 )(x − x0 )m , je mozˇne´ prˇedchozı´ vztah zapsat pomocı´ diferencia´lu˚ takto: Tm (x; x0 ) = f (x0 ) + dfx0 (x − x0 ) +

1 2 1 m d fx0 (x − x0 ) + · · · + d fx0 (x − x0 ) . (4.5) 2! m!

Tayloru˚v vzorec pak rˇ´ıkal, zˇe f (x) = Tm (x, x0 ) + Rm (x), kde zbytek lze vyja´drˇit (m+1) (x +θ(x−x )) 0 0 ve tvaru Rm (x) = f (x − x0 )m+1 , kde 0 < θ < 1, tj. x0 + θ(x − x0 ) je (m+1)! cˇı´slo mezi x0 a x. Tedy f 0 (x0 ) f (m) (x0 ) f (x) =f (x0 ) + (x − x0 ) + · · · + (x − x0 )m + 1! m! f (m+1) x0 + θ(x − x0 ) + (x − x0 )m+1 . (m + 1)!

(4.6)

Vztah je opeˇt mozˇne´ prˇepsat pomocı´ diferencia´lu˚. Analogicky jako u funkce jedne´ promeˇnne´, budeme i u funkce dvou promeˇnnyćh f (x, y) chtı´t najı´t mnohocˇlen dvou promeˇnnyćh, ktery´ bude mı´t v neˇjake´m bodeˇ (x0 , y0 ) stejnou funkcˇnı´ hodnotu a stejne´ hodnoty vsˇech parcia´lnıćh derivacı´ azˇ do rˇa´du m, m ∈ N. Ukazuje se, zˇe takovy´ mnohocˇlen, jehozˇ stupenˇ je nejvy´sˇe m, existuje pra´veˇ jeden. Jeho za´pis ve tvaru (4.4) je, jak uvidı´me da´le, velmi komplikovany´. Ale jeho za´pis pomocı´ diferencia´lu˚ vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ je te´meˇrˇ shodny´ s (4.5). To je obsahem na´sledujıćı´ definice. Definice 4.5. Necht’funkce f ma´ v okolı´ bodu (x0 , y0 ) vsˇechny parcia´lnı´ derivace m-te´ho rˇa´du, m ∈ N, ktere´ jsou v tomto bodeˇ spojite´. Polozˇme h = x − x0 , k = y − y0 . Pak mnohocˇlen 1 2 d f(x0 ,y0 ) (h, k) + · · · + 2! 1 1 m + dm−1 f(x0 ,y0 ) (h, k) + d f(x0 ,y0 ) (h, k) (4.7) (m − 1)! m!

Tm (x, y; x0 , y0 ) = f (x0 , y0 ) + df(x0 ,y0 ) (h, k) +

nazy´va´me Taylorovy´m mnohocˇlenem rˇa´du m funkce f se strˇedem v bodeˇ (x0 , y0 ). Tedy x, y jsou promeˇnne´ mnohocˇlenu Tm a x0 , y0 jsou sourˇadnice strˇedu. Pro strucˇnost cˇasto vynecha´va´me oznacˇenı´ strˇedu a pı´sˇeme jen Tm (x, y), pokud je strˇed jasny´ z kontextu. Lze uka´zat, zˇe je to jediny´ mnohocˇlen stupneˇ nejvy´sˇe m s pozˇadovany´mi vlastnostmi.


96

Oznacˇme Rm (x, y) = f (x, y) − Tm (x, y; x0 , y0 ). Lze doka´zat na´sledujıćı´ veˇtu (vsˇimneˇte si, zˇe oproti prˇedchozı´ definici prˇibyl prˇedpoklad i na (m + 1)-nı´ parcia´lnı´ derivace): Veˇta 4.6 (Taylor). Necht’ funkce f ma´ v neˇjake´m okolı´ O(x0 , y0 ) bodu (x0 , y0 ) spojite´ parcia´lnı´ derivace rˇa´du m + 1, m ∈ N. Pak pro libovolny´ bod (x, y) ∈ O(x0 , y0 ) platı´ Tayloru˚v vzorec f (x, y) = Tm (x, y; x0 , y0 ) + Rm (x, y), (4.8) prˇicˇemzˇ tzv. zbytek v Tayloroveˇ vzorci Rm (x, y) lze vyja´drˇit ve tvaru Rm (x, y) =

1 dm+1 f(ξ,η) (x − x0 , y − y0 ) , (m + 1)!

(4.9)

kde (ξ, η) je vnitrˇnı´ bod u´secˇky spojujıćı´ body (x0 , y0 ) a (x, y).

y y η

y0 x O

x0

ξ

x

Obr. 4.1

Tedy parcia´lnı´ derivace v dm+1 f se pocˇ´ıtajı´ v jiste´m bodeˇ (ξ, η) — viz obr. 4.1, ale prˇ´ıru˚stky x − x0 a y − y0 jsou „norma´lnı´“. Bod (ξ, η) tedy za´visı´ na x a y. Geometricky jde o na´hradu funkce f jednodusˇsˇ´ım typem funkce — mnohocˇlenem — v okolı´ bodu (x0 , y0 ). Zbytek za. nedba´me a prˇiblizˇneˇ platı´ f (x, y) = Tm (x, y). Pro m = 1 jde o na´hradu tecˇnou rovinou — viz (3.8). Jak uvidı´me pozdeˇji, pro m = 2 bude (v nedegenerovane´m prˇ´ıpadeˇ) grafem T2 (x, y) elipticky´ nebo hyperbolicky´ paraboloid — str. 193. Pokud se domluvı´me, zˇe diferencia´l nulte´ho rˇa´du je roven funkcˇnı´ hodnoteˇ, tj. d0 f(x0 ,y0 ) (h, k) = f (x0 , y0 ), je mozˇne´ rovnost (4.8) zapsat s ohledem na (4.7) ve tvaru (prˇipomenˇme, zˇe 0! = 1)

m X 1 k f (x, y) = d f(x0 ,y0 ) (x − x0 , y − y0 ) + Rm (x, y) . k!

(4.10)

k=0

Du˚kaz veˇty 4.6. Zvolme pevneˇ (x, y) a oznacˇme h = x − x0 a k = y − y0 . Zaved’me pomocnou funkci jedne´ promeˇnne´ ϕ(t) = f (x0 + th, y0 + tk). Platı´ ϕ(1) = f (x0 + + h, y0 + k) = f (x, y) a ϕ(0) = f (x0 , y0 ). Na funkci ϕ(t) definovanou na intervalu h0, 1i pouzˇijeme Tayloru˚v vzorec pro funkci jedne´ promeˇnne´ (4.6), v neˇmzˇ zvolı´me x0 = 0 a x = 1. Dosta´va´me: ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ 0 (0) +

1 00 1 (m) 1 ϕ (0) + · · · + ϕ (0) + ϕ (m+1) (θ), 2! m! (m + 1)!

kde θ ∈ (0, 1). Prˇi vy´pocˇtu derivacı´ funkce ϕ vyuzˇijeme vztahu˚ pro parcia´lnı´ derivace


97

slozˇenyćh funkcı´. Vyjde d d ϕ(t)|t=0 = f (x0 + th, y0 + tk)|t=0 = fx (x0 , y0 ) h + fy (x0 , y0 ) k, dt dt 2 d2 d ϕ 00 (0) = 2 ϕ(t)|t=0 = 2 f (x0 + th, y0 + tk)|t=0 = dt dt d = fx (x0 + th, y0 + tk) h + fy (x0 + th, y0 + tk) k t=0 = dt = fxx (x0 , y0 ) h2 + 2fxy (x0 , y0 ) hk + fyy (x0 , y0 ) k 2 . ϕ 0 (0) =

Obecneˇ indukcı´ obdrzˇ´ıme (l)

ϕ (0) =

l X l j =0

∂lf (x0 , y0 )hl−j k j , j ∂x l−j y j

Prˇ´ıklad 4.7. Najdeˇte Tayloru˚v vzorec druhe´ho rˇa´du funkce f : z = x 3 y + x 2 y 2 v bodeˇ (1, −2) a vyja´drˇete zbytek. Rˇesˇenı´. Podle (4.10) bude platit 1 2 d f(1,−2) (h, k) + R2 (x, y) , 2 kde (h, k) = (x − 1, y + 2) Budeme potrˇebovat parcia´lnı´ derivace do trˇetı´ho rˇa´du. Protozˇe jde o mnohocˇleny, jsou spojite´, a tedy nebude za´viset na porˇadı´ derivovańı´. f (x, y) = f (1, −2) + df(1,−2) (h, k) +

fx = 3x 2 y + 2xy 2 ,

fxx = 6xy + 2y 2 ,

fxxx = 6y,

fy = x 3 + 2x 2 y,

fyy = 2x 2 ,

fyyy = 0,

2

fxy = 3x + 4xy,

fxxy = 6x + 4y, fxyy = 4x.

Po dosazenı´ vyjde f (1, −2) = 2, fxx (1, −2) = −4,

fx (1, −2) = 2, fyy (1, −2) = 2,

fy (1, −2) = −3, fxy (1, −2) = −5.

Da´le podle (3.3) a (4.2) dostaneme df(1,−2) (h, k) = 2h − 3k,

d2 f(1,−2) (h, k) = −4h2 − 10hk + 2k 2 ,

takzˇe po dosazenı´ za h a k ma´me 1 2 d f(1,−2) (x − 1, y + 2) = 2 = 2 + 2(x − 1) − 3(y + 2) − 2(x − 1)2 − 5(x − 1)(y + 2) + (y + 2)2 .

T2 (x, y) = f (1, −2) + df(1,−2) (x − 1, y + 2) +

+

l = 1, . . . , m. Stejneˇ postupujeme i prˇi vy´pocˇtu zbytku Rm (x, y). Po u´praveˇ ϕ (m+1) (ϑ) dostaneme, zˇe (ξ, η) = (x0 , y0 ) + (ϑh, ϑk).


98

Konecˇneˇ podle (4.9) k vyja´drˇenı´ zbytku potrˇebujeme d3 f(ξ,η) (h, k). Podle (4.3) platı´ d3 f(ξ,η) (h, k) = 6ηh3 + 3(6ξ + 4η)h2 k + 12ξ hk 2 , tedy 1 3 d f(ξ,η) (x − 1, y + 2) = 6 = η(x − 1)3 + (3ξ + 2η)(x − 1)2 (y + 2) + 2ξ(x − 1)(y + 2)2 .

R2 (x, y) =

Spojenı´m jednotlivyćh vy´sledku˚ dostaneme f (x, y) = T2 (x, y) + R2 (x, y) = = 2 + 2(x − 1) − 3(y + 2) − 2(x − 1)2 − 5(x − 1)(y + 2) + (y + 2)2 + + η(x − 1)3 + (3ξ + 2η)(x − 1)2 (y + 2) + 2ξ(x − 1)(y + 2)2 , kde (ξ, η) je vnitrˇnı´ bod u´secˇky spojujıćı´ body (1, −2) a (x, y).

N

+

Pozna´mka 4.8. Je-li f (x, y) mnohocˇlen stupneˇ m a napı´sˇeme-li jeho Tayloru˚v vzorec rˇa´du m se strˇedem (x0 , y0 ), bude vyja´drˇenı´ zbytku obsahovat (m+1)-nı´ parcia´lnı´ derivace. Ty vsˇak budou identicky nulove´, takzˇe pro libovolne´ (x, y) bude platit Rm (x, y) = 0 a bude platit zcela prˇesneˇ f (x, y) = Tm (x, y). To lze vyuzˇ´ıt k rˇesˇenı´ na´sledujıćı´ u´lohy: Vyja´drˇete dany´ mnohocˇlen pomocı´ mocnin x − x0 a y − y0 . Nebo prˇesneˇji: Najdeˇte mnohocˇlen Q(u, v) takovy´, aby P (x, y) = Q(x − x0 , y − y0 ). Stacˇ´ı napsat Tayloru˚v vzorec se strˇedem (x0 , y0 ) dostatecˇneˇ vysoke´ho rˇa´du. Naprˇ. v prˇedchozı´m prˇ´ıkladeˇ by platilo x 3 y + x 2 y 2 = f (1, −2) + df(1,−2) (x − 1, y + 2) + 12 d2 f(1,−2) (x − 1, y + 2) + 1 4 d f(1,−2) (x − 1, y + 2). + 61 d3 f(1,−2) (x − 1, y + 2) + 24 Prˇ´ıklad 4.9. Mnohocˇlen P (x, y) = x 3 + 3y 3 + xy 2 + 2x 2 + xy + x − 2y vyja´drˇete v mocninaćh u = x + 1, v = y − 2. Rˇesˇenı´. Podle prˇedchozı´ pozna´mky stacˇ´ı najı´t T3 (x, y) se strˇedem (−1, 2). Pak bude P (x, y) = T3 (x, y) = P (−1, 2) + dP(−1,2) (x + 1, y − 2) + 1 1 + d2 P(−1,2) (x + 1, y − 2) + d3 P(−1,2) (x + 1, y − 2). 2 6 Prˇipravı´me si potrˇebne´ derivace. Px = 3x 2 + y 2 + 4x + y + 1,

Pxxx = 6,

Px (−1, 2) = 6,

Py = 9y 2 + 2xy + x − 2, Pxx = 6x + 4, Pxy = 2y + 1, Pyy = 18y + 2x,

Pxxy = 0, Pxyy = 2, Pyyy = 18,

Py (−1, 2) = 29, Pxx (−1, 2) = −2, Pxy (−1, 2) = 5, Pyy (−1, 2) = 34.


99

Da´le podle (3.3), (4.2) a (4.3) dostaneme P (−1, 2) = 14, 2

dP(−1,2) (h, k) = 6h + 29k, 2

2

d P(−1,2) (h, k) = −2h + 10hk + 34k ,

d3 P(−1,2) (h, k) = 6h3 + 6hk 2 + 18k 3 .

Celkoveˇ tedy po dosazenı´ h = x + 1 a k = y − 2 platı´ P (x, y) = 14 + 6(x + 1) + 29(y − 2) − − (x + 1)2 + 5(x + 1)(y − 2) + 17(y − 2)2 + + (x + 1)3 + (x + 1)(y − 2)2 + 3(y − 2)3 . Mnohocˇlen Q(u, v) z pozna´mky 4.8 ma´ tvar N

Prˇ´ıklad 4.10. Pomocı´ Taylorova mnohocˇlenu druhe´ho rˇa´du vypocˇteˇte prˇiblizˇneˇ na´sledujıćı´ vy´razy. p a) 1,042,02 , b) 2,982 + 4,052 . Vy´sledek porovnejte s prˇ´ıkladem 3.16 a s hodnotou vy´razu zı´skanou na kalkulacˇce. . Rˇesˇenı´. Vyjdeme ze vztahu f (x, y) = T2 (x, y). Prˇitom pouzˇijeme vy´pocˇty z prˇ´ıkladu 3.16, takzˇe budeme videˇt srovnańı´ prˇi na´hradeˇ T1 (x, y) a T2 (x, y). a) Zvolı´me f (x, y) = x y , (x0 , y0 ) = (1, 2) a (h, k) = (0,04; 0,02). Druhe´ derivace jsme jizˇ jednou spocˇ´ıtali — viz prˇ´ıklad 2.10 c). fxx = y(y − 1)x y−2 , fxx (1, 2) = 2,

fxy = x y−1 + yx y−1 ln x, fxy (1, 2) = 1,

fyy = x y ln2 x, fyy (1, 2) = 0.

Tedy d2 f(1,2) (h, k) = 2h2 + 2hk, tj. d2 f(1,2) (0,04; 0,02) = 2 · 0,042 + 2 · 0,04 · 0,02 = 0,004 8 a vzhledem k 3.16 a) dosta´va´me 1 . 1,042,02 = f (1, 2) + df(1,2) (0,04; 0,02) + d2 f(1,2) (0,04; 0,02) = 2 = 1,08 + 0,002 4 = 1,082 4. Pro porovnańı´, hodnota urcˇena´ kalkulacˇkou je 1,082 448 755 31 . . .

+

Q(u, v) = 14 + 6u + 29v − u2 + 5uv + 17v 2 + u3 + uv 2 + 3v 3 .


100

p b) Zvolı´me g(x, y) = x 2 + y 2 , (x0 , y0 ) = (3, 4) a (h, k) = (−0,02; 0,05). Druhe´ derivace jsme jizˇ jednou spocˇ´ıtali (azˇ na gxy ) — viz prˇ´ıklad 3.28. y2 gxx = p , (x 2 + y 2 )3 16 , gxx (3, 4) = 125

−xy gxy = p , (x 2 + y 2 )3 12 gxy (3, 4) = − , 125

x2 gyy = p , (x 2 + y 2 )3 9 gyy (3, 4) = . 125

Tedy d2 g(3,4) (h, k) = 0,128h2 − 0,192hk + 0,072k 2 , tj. d2 g(3,4) (−0,02; 0,05) = 0,128 · 0,000 4 + 0,192 · 0,001 + 0,072 · 0,002 5 = = 0,000 423 2 a vzhledem k 3.16 b) dosta´va´me p

1 . 2,982 + 4,052 = g(3, 4) + dg(3, 4) + d2 g(3, 4) = 2 = 5,028 + 0,000 211 6 = 5,028 211 6.

Pro porovnańı´, hodnota urcˇena´ kalkulacˇkou je 5,028 210 417 23 . . .

N

Pro za´jemce: Definice Taylorova mnohocˇlenu rˇa´du m, m ∈ N, funkce f (x), x = (x1 , . . . , xn ), n promeˇnnyćh se strˇedem v bodeˇ x ∗ = (x1∗ , . . . , xn∗ ) je forma´lneˇ stejna´ jako u funkce dvou promeˇnnyćh: Tm (x, x ∗ ) = f (x ∗ ) + dfx ∗ (x − x ∗ ) +

1 2 1 m d fx ∗ (x − x ∗ ) + · · · + d fx ∗ (x − x ∗ ). 2! m!

Prˇitom prˇedpokla´da´me, zˇe funkce f ma´ v okolı´ bodu x ∗ vsˇechny parcia´lnı´ derivace m-te´ho rˇa´du, ktere´ jsou v tomto bodeˇ spojite´. Taylorova veˇta 4.6 zu˚sta´va´ v platnosti, vyja´drˇenı´ zbytku Rm (x) = f (x)−Tm (x, x ∗ ) je naprosto analogicke´.

X

Pojmy k zapamatovańı´ — — — — —

tota´lnı´ diferencia´l druhe´ho a trˇetı´ho rˇa´du tota´lnı´ diferencia´l m-te´ho rˇa´du Tayloru˚v mnohocˇlen rˇa´du m Tayloru˚v vzorec zbytek v Tayloroveˇ vzorci


101


?

1. Co rozumı´me pojmem tota´lnı´ diferencia´l m-te´ho rˇa´du? 2. Napisˇte vzorec pro tota´lnı´ diferencia´l druhe´ho a trˇetı´ho rˇa´du. 3. Jake´ podmıńky musı´ splnˇovat funkce f , aby existoval jejı´ tota´lnı´ diferencia´l m-te´ho rˇa´du v bodeˇ (x0 , y0 )? 4. Co je to Tayloru˚v mnohocˇlen rˇa´du m? 5. Jaky´ ma´ smysl nahrazenı´ funkce Taylorovy´m mnohocˇlenem? 6. Napisˇte Tayloru˚v vzorec. 7. Jak lze vyja´drˇit zbytek v Tayloroveˇ vzorci? 8. Jak bude vypadat zbytek po nahrazenı´ mnohocˇlenu stupneˇ m Taylorovy´m vzorcem rˇa´du m? 9. Za jakyćh podmıńek bude Tayloru˚v mnohocˇlen dobrou na´hradou funkce f (x, y) v okolı´ bodu (x0 , y0 )? 10. Pro jake´ funkce platı´ zcela prˇesneˇ rovnost f (x, y) = Tm (x, y)? 11. Popisˇte princip vy´pocˇtu prˇiblizˇne´ hodnoty funkcı´ (bez pouzˇitı´ kalkulacˇky).


!

1. Najdeˇte tota´lnı´ diferencia´ly druhe´ho a trˇetı´ho rˇa´du funkce f v bodeˇ A: a) f : z = x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 , A = (1, −1),

b) f : z = ex+2y , A = (−2, 1),

c) f : z = ln(x + y) , A = (2, 1),

d) f : z =

x y

, A = (−3, 1).

2. Najdeˇte Tayloru˚v mnohocˇlen druhe´ho rˇa´du funkce z = f (x, y) se strˇedem A: a) c) e) g)

z = yx , A = (1, 1),

b)

z = arcsin √ x2 2 , A = (0, 1), x +y p 2 z = ln x + y 2 , A = (1, 1), z = arctg

y , x

A = (1, 1),

z=

p 1 − x 2 − y 2, A = 1+x+y , 1−x+y

1 1 , 2 2

d)

z = arctg

f)

z=

h)

z = sin x sin y, A = (0, 0).

cos x , cos y

,

A = (0, 0),

A = (0, 0),

3. Napisˇte Tayloru˚v mnohocˇlen se strˇedem (0, 0) (neˇkdy nazy´vany´ Maclaurinu˚v1 mnohocˇlen) rˇa´du m pro funkci f : 1 , 1−x−y+xy x

a)

f (x, y) =

c)

f (x, y) = e ln(1 + y), m = 3,

1 Colin

m = 2,

b)

f (x, y) = ex sin y, m = 3,

d)

f (x, y) = e−2x−3y , m = 3.

Maclaurin (1698–1746) (cˇti meklorin) — skotsky´ matematik, zaby´val se analy´zou a geometriı´.


102

4. Vyja´drˇete mnohocˇleny P (x, y) v mocninaćh u a v: a) b) c) d) e) f)

P (x, y) = 24 + 11x − 9y − x 2 − 2xy + y 2 − x 3 , u = x + 2, v = y − 1, P (x, y) = 46 + 32x − 28y − 4x 2 − 20xy + 4y 2 + 3xy 2 − 2x 3 , u = x + 1, v = y − 3, P (x, y) = 9 − 16x − 5y + 8x 2 − xy − 7y 2 − x 3 + 2x 2 y + 3xy 2 − y 3 , u = x − 2, v = y + 1, P (x, y) = 2 + 4x + 2y + 3x 2 + xy − y 2 + x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 , u = x + 1, v = y − 1, P (x, y) = 13 + 16x − 4y + 11x 2 + 4xy + 4y 2 + 2x 3 − xy 2 − y 3 , u = x + 2, v = y − 2, P (x, y) = 9 − 10x − 8y + x 2 − 4xy − 8y 2 − xy 2 − 2y 3 , u = x − 3, v = y + 2.

5. Pomocı´ Taylorova mnohocˇlenu druhe´ho rˇa´du vypocˇteˇte prˇiblizˇneˇ na´sledujıćı´ vy´razy a porovnejte je s vy´sledkem zı´skany´m na kalkulacˇce: √ a) arctg 1,04 , b) sin 29◦ tg 46◦ , c) 3 2 − 1,02 · 0,98. 0,98

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ 1. a) b) c) d)

d2 f d2 f d2 f d2 f

= −4h2 − 8hk + 8k 2 , = h2 + 4hk + 4k 2 , = − 91 h2 − 29 hk − 19 k 2 , = −2hk − 6k 2 ,

d3 f d3 f d3 f d3 f

= −6h3 + 6h2 k + 30hk 2 − 6k 3 , = h3 + 6h2 k + 12hk 2 + 8k 3 , 2 3 2 3 = 27 h + 29 h2 k + 92 hk 2 + 27 k , 2 3 = 6hk + 18k .

2. a) 1 + (x − 1) − (y − 1) − (x − 1)(y − 1) − (y − 1)2 , √ √ √ 2 2 b) 22 + 22 x − 12 + y − 12 − 42 x − 12 + 2 x − 12 y − 21 + y − 21 , c) x − x(y − 1), e) g) 3. a) c)

d)

ln 2 + 12 [(x − 1) + (y − 1)] − 12 (x − 1)(y − 1), 2 π − 21 (x − 1) + 21 (y − 1) + 41 (x − 1)2 − 14 (y − 4

1 + x + y + x 2 + xy + y 2 , 2 2 2 y + xy − y2 + x2y − xy2 +

y3 3

,

π 4

f) 1 − 2

1) ,

xy , 2 y2 x2 + 2 , 2

+x−

h) xy. b) d)

2

3

y + xy + x2y − y6 , 2 1 − 2x+3y + (2x+3y) − 1! 2!

(2x+3y)3 3!

4. a) 2 + (x + 2) − 3(y − 1) + 5(x + 2)2 − 2(x + 2)(y − 1) + (y − 1)2 − (x + 2)3 , b) −3 + (x + 1) − 2(y − 3) + 2(x + 1)2 − 2(x + 1)(y − 3) + (y − 3)2 + + 3(x + 1)(y − 3)2 − 2(x + 1)3 , c) (x − 2)(y + 1) + 2(y + 1)2 − (x − 2)3 + 2(x − 2)2 (y + 1) + + 3(x − 2)(y + 1)2 − (y + 1)3 , d) 1 + (x + 1) + (y − 1) + (x + 1)2 + (x + 1)(y − 1) + (y − 1)2 + (x + 1)3 + + (x + 1)2 (y − 1) + (x + 1)(y − 1)2 + (y − 1)3 , e) 1 − (x + 2)2 + 2(x + 2)3 − (x + 2)(y − 2)2 − (y − 2)3 , f) (x − 3)2 + (y + 2)2 − (x − 3)(y + 2)2 − 2(y + 2)3 . . + 0,029 7 = 0,815 098; vy´sledek zı´skany´ na kalkulacˇce: 0,815 092 403 004 . . . , √ √ √ . 2− 3 π 2 6−4 3−1 π2 + 2 · 180 + · 2·180 2 = 0,504 445; 2 vy´sledek zı´skany´ na kalkulacˇce: 0,502 035 058 182 . . . , ¯ c) 1,000 13; vy´sledek zı´skany´ na kalkulacˇce: 1,000 133 315 56 . . .

5. a) b)

π 4 1 2

.

103

Kapitola 5 Loka´lnı´ extre´my Pru˚vodce studiem Prˇipomenˇme si, zˇe loka´lnı´ extre´m funkce jedne´ promeˇnne´ je spolecˇny´ na´zev pro loka´lnı´ maximum a minimum dane´ funkce. Loka´lnı´ minimum znamena´, zˇe v urcˇite´m okolı´ bodu x0 nema´ f (x) mensˇ´ı hodnotu nezˇ f (x0 ). V neˇktere´m vzda´leneˇjsˇ´ım bodeˇ tomu vsˇak jizˇ tak by´t nemusı´. Podobneˇ loka´lnı´ maximum znamena´, zˇe v jiste´m okolı´ bodu x0 nema´ f (x) veˇtsˇ´ı hodnotu nezˇ f (x0 ). Z prˇedcha´zejıćı´ho studia jizˇ vı´me, zˇe funkce mu˚zˇe mı´t loka´lnıćh extre´mu˚ vıće, nebo dokonce nekonecˇneˇ mnoho (naprˇ. funkce y = sin x, x ∈ R ma´ nekonecˇneˇ mnoho bodu˚ loka´lnı´ho maxima („vrcholku˚“) i minima („dolı´ku˚“). Je-li v neˇjake´m okolı´ O(x0 ) bodu x0 hodnota f (x0 ) skutecˇneˇ nejveˇtsˇ´ı, tj. platı´-li f (x) < f (x0 ) pro x ∈ O(x0 ), x 6= x0 , nebo nejmensˇ´ı, tj. f (x) > f (x0 ) pro x ∈ O(x0 ), x 6= x0 , mluvı´me o ostryćh loka´lnıćh extre´mech. V te´to kapitole na´m pu˚jde o podobny´ proble´m — urcˇenı´ loka´lnıćh extre´mu˚ funkce dvou a vıće promeˇnnyćh. Nejprve si zformulujeme podmıńky pro existenci extre´mu˚ funkcı´ dvou promeˇnnyćh, a pote´, cozˇ je na´rocˇneˇjsˇ´ı, i pro funkce trˇ´ı a vıće promeˇnnyćh. Budeme tedy hledat body, v nichzˇ je funkcˇnı´ hodnota dane´ funkce v jiste´m okolı´ nejveˇtsˇ´ı nebo nejmensˇ´ı. Podobny´ bude i postup. Nejprve nalezneme „podezrˇele´“ body a pak rozhodneme, ve kteryćh z nich je extre´m. Prˇi formulaci dostatecˇnyćh podmıńek pro existenci loka´lnıćh extre´mu˚ funkcı´ vıće promeˇnnyćh v obecne´m prˇ´ıpadeˇ budeme potrˇebovat z algebry neˇktere´ poznatky o kvadratickyćh formaćh. Ty jsou uvedeny v oddı´lu 5.2. Prˇipomenˇme si nejprve princip vy´pocˇtu pro funkci jedne´ promeˇnne´. Nasˇ´ım cı´lem bylo najı´t body, v nichzˇ ma´ dana´ funkce f (x) loka´lnı´ extre´my (tj. musı´ jı´t o vnitrˇnı´ body definicˇnı´ho oboru uvazˇovane´ funkce). Postup meˇl dva kroky: 1) Vytipujeme „podezrˇele´“ body (tj. body, v nichzˇ by mohl by´t loka´lnı´ extre´m; v jinyćh bodech extre´m by´t nemu˚zˇe). 2) Rozhodneme, ve ktere´m „podezrˇele´m“ bodeˇ extre´m je (byl „podezrˇely´“ pra´vem) a ve ktere´m extre´m nenı´ (byl „podezrˇely´“ nepra´vem).

S Z

V J

Loka´lnı´ extre´my

104

Ktere´ body mohou by´t „podezrˇele´“? Z prvnı´ho semestru vı´me, zˇe jestlizˇe funkce f (x) ma´ derivaci, ktera´ je nenulova´, pak f (x) je v tomto bodeˇ rostoucı´ nebo klesajıćı´ a v takove´m bodeˇ zrˇejmeˇ nemu˚zˇe by´t extre´m. Pokud tedy derivace existuje, prˇicha´zejı´ v u´vahu pouze body, v nichzˇ je f 0 (x) = 0. Ty nazy´va´me staciona´rnı´ body. Geometricky´ vy´znam je jasny´ — tecˇna ke grafu funkce je v takove´m bodeˇ rovnobeˇzˇna´ s osou x (tj. je vodorovna´). Druhou mozˇnostı´ je, zˇe f 0 (x) v dane´m bodeˇ neexistuje, tj. graf zde nema´ tecˇnu.

ó

Cı´le Po prostudovańı´ te´to kapitoly budete schopni: • nale´zt staciona´rnı´ body funkcı´ dvou (resp. vıće) promeˇnnyćh, • formulovat postacˇujıćı´ podmıńku pro existenci loka´lnı´ho extre´mu funkce dvou (resp. vıće) promeˇnnyćh, • rozhodnout, zda ve staciona´rnı´m bodeˇ nastane extre´m, • urcˇit typ dane´ho extre´mu — tj. loka´lnı´ minimum cˇi maximum, • rozhodnout, zda se jedna´ o ostry´ cˇi neostry´ extre´m, • definovat kvadraticke´ formy, • rozhodnout o druhu definitnosti kvadraticke´ formy.

5.1

Loka´lnı´ extre´my funkcı´ dvou promeˇnnyćh

Nejprve se budeme zaby´vat funkcemi dvou promeˇnnyćh. V cele´m oddı´lu budeme prˇedpokla´dat, zˇe definicˇnı´ obory jsou otevrˇene´ mnozˇiny. Pak je formulace nutnyćh a postacˇujıćıćh podmıńek existence loka´lnıćh extre´mu˚ jednodusˇsˇ´ı. Navıć pro lepsˇ´ı pochopenı´ problematiky ma´me mozˇnost graficke´ho zna´zorneˇnı´. Definice 5.1. Necht’f (x, y) je funkce dvou promeˇnnyćh a (x0 , y0 ) ∈ D(f ). a) Rˇekneme, zˇe funkce f ma´ v bodeˇ (x0 , y0 ) loka´lnı´ maximum, jestlizˇe existuje okolı´ O(x0 , y0 ) takove´, zˇe pro kazˇde´ (x, y) ∈ O(x0 , y0 ) platı´ f (x, y) 5 f (x0 , y0 ). ˇ ekneme, zˇe funkce f ma´ v bodeˇ (x0 , y0 ) loka´lnı´ minimum, jestlizˇe existuje okolı´ b) R O(x0 , y0 ) takove´, zˇe pro kazˇde´ (x, y) ∈ O(x0 , y0 ) platı´ f (x, y) = f (x0 , y0 ). Jestlizˇe pro (x, y) 6= (x0 , y0 ) jsou prˇedchozı´ nerovnosti ostre´, mluvı´me o ostre´m loka´lnı´m maximu resp. minimu. Spolecˇny´ na´zev pro (ostre´) loka´lnı´ maximum a minimum je (ostry´) loka´lnı´ extre´m. Na obr. 5.1 je schematicky zna´zorneˇno, jak mohou vypadat body loka´lnı´ho maxima. Obra´zky prˇedstavujı´ pouze vy´rˇez z cele´ho grafu funkce f . Prˇ´ıvlastkem „hladky´“ se v na´sledujıćı´m textu rozumı´, zˇe funkce ma´ spojite´ parcia´lnı´ derivace, tj. jejı´ graf ma´ spojiteˇ se meˇnıćı´ tecˇne´ roviny a je tudı´zˇ „obly´“.

5.1 Loka´lnı´ extre´my funkcı´ dvou promeˇnnyćh

105

a) V bodeˇ (x0 , y0 ) je ostre´ loka´lnı´ maximum. Graf („klobouk“) je „hladky´“. b) V bodeˇ (x0 , y0 ) je ostre´ loka´lnı´ maximum. Graf (kuzˇelova´ plocha) nenı´ v tomto bodeˇ „hladky´“. c) V bodeˇ (x0 , y0 ) je neostre´ loka´lnı´ maximum. V jeho sebemensˇ´ım okolı´ jsou vzˇdy dalsˇ´ı body, v nichzˇ jsou stejne´ funkcˇnı´ hodnoty jako v (x0 , y0 ). Na obra´zku tvorˇ´ı u´secˇku v O(x0 , y0 ), ktera´ odpovı´da´ hrˇebenu „strˇechy“. Graf („lomena´ strˇecha“) nenı´ v tomto bodeˇ „hladky´“. d) V bodeˇ (x0 , y0 ) je neostre´ loka´lnı´ maximum. V jeho sebemensˇ´ım okolı´ jsou vzˇdy dalsˇ´ı body, v nichzˇ jsou stejne´ funkcˇnı´ hodnoty jako v (x0 , y0 ). Na obra´zku tvorˇ´ı u´secˇku v O(x0 , y0 ), ktera´ odpovı´da´ hrˇebenu „strˇechy“. Graf („kulata´ strˇecha“) je v tomto bodeˇ „hladky´“. e) V bodeˇ (x0 , y0 ) je neostre´ loka´lnı´ maximum. V jeho sebemensˇ´ım okolı´ jsou vzˇdy dalsˇ´ı body, v nichzˇ jsou stejne´ funkcˇnı´ hodnoty jako v (x0 , y0 ). Na obra´zku tyto body vyplnˇujı´ cˇa´st O(x0 , y0 ) (vyznacˇeno sˇedeˇ). Graf (komoly´ kuzˇel) nenı´ v tomto bodeˇ „hladky´“. Pozna´mka 5.2. 1) Prˇedstavı´me-li si graf funkce f jako plastickou mapu, hleda´me vlastneˇ „kopecˇky“ a „dolı´ky“. Je zrˇejme´, zˇe loka´lnı´ extre´my nemusı´ existovat, ale na druhe´ straneˇ jich mu˚zˇe by´t nekonecˇneˇ mnoho. 2) Protozˇe prˇedpokla´da´me, zˇe definicˇnı´ obor D(f ) je otevrˇeny´, jsou body loka´lnıćh extre´mu˚ z definice 5.1 vzˇdy vnitrˇnı´ a funkce f je definovana´ v jiste´m okolı´ bodu (x0 , y0 ). z = f (x, y) z = f (x, y)

O(x0 , y0 )

z = f (x, y)

O(x0 , y0 )

a)

O(x0 , y0 )

b)

c)

z = f (x, y)

O(x0 , y0 )

z = f (x, y)

O(x0 , y0 )

d)

e)

Obr. 5.1: Loka´lnı´ maxima


106

Definice by se snadno dala modifikovat i na hranicˇnı´ body. Stacˇilo by pozˇadovat, aby prˇ´ıslusˇna´ nerovnost platila pouze pro (x, y) ∈ O(x0 , y0 ) ∩ D(f ) — viz obr. 1.9 b) a definice 5.16. Pak by vsˇak formulace na´sledujıćıćh veˇt byla podstatneˇ slozˇiteˇjsˇ´ı. 3) Z prˇedchozıćh obra´zku˚ je zrˇejme´, zˇe pojem ostry´ loka´lnı´ extre´m nema´ nic spolecˇne´ho s tı´m, zda graf funkce je „zakulaceny´“ nebo ne. Tato vlastnost jen znamena´, zˇe v jiste´m okolı´ bodu (x0 , y0 ) je f (x0 , y0 ) nejveˇtsˇ´ı (nejmensˇ´ı) funkcˇnı´ hodnotou a ostatnı´ jsou ostrˇe mensˇ´ı (veˇtsˇ´ı). Prˇipomenˇme, zˇe v tomto oddı´lu prˇedpokla´da´me, zˇe definicˇnı´ obory jsou otevrˇene´ mnozˇiny. Veˇta 5.3. Necht’ funkce f ma´ v bodeˇ (x0 , y0 ) loka´lnı´ extre´m. Pak platı´: a) Parcia´lnı´ derivace fx (x0 , y0 ) bud’ neexistuje, nebo je fx (x0 , y0 ) = 0. b) Parcia´lnı´ derivace fy (x0 , y0 ) bud’ neexistuje, nebo je fy (x0 , y0 ) = 0. Du˚kaz. Uvazˇujme funkci jedne´ promeˇnne´ ϕ(x) = f (x, y0 ). Ta je definovana´ v neˇjake´m okolı´ bodu x0 tvaru (x0 − δ, x0 + δ), δ > 0, a ma´ v bodeˇ x0 nutneˇ extre´m. To ovsˇem znamena´, zˇe pokud zde ma´ derivaci, ta musı´ by´t nulova´ — viz [11, str. 249]. Ale podle definice 2.1 je ϕ 0 (x0 ) = fx (x0 , y0 ) — viz te´zˇ obr. 2.2. Analogicky se doka´zˇe druha´ cˇa´st tvrzenı´. Prˇedchozı´ veˇta rˇ´ıka´, zˇe pokud v bodeˇ loka´lnı´ho extre´mu existujı´ parcia´lnı´ derivace, tj. pomocne´ funkce jedne´ promeˇnne´ majı´ tecˇny (viz obr. 3.5), musejı´ by´t tyto tecˇny vodorovne´. Tote´zˇ pak musı´ platit pro tecˇnou rovinu (pokud existuje). Tak by tomu bylo na obr. 5.1 a) a 5.1 d), zatı´mco na obr. 5.1 b), 5.1 c) a 5.1 e) asponˇ jedna parcia´lnı´ derivace neexistuje. Protozˇe my budeme pracovat veˇtsˇinou s funkcemi majıćı´mi parcia´lnı´ derivace, zavedeme na´sledujıćı´ pojem. Definice 5.4. Rˇekneme, zˇe bod (x0 , y0 ) je staciona´rnı´m bodem funkce f , jestlizˇe platı´ fx (x0 , y0 ) = 0 a fy (x0 , y0 ) = 0. Z prˇedchozı´ veˇty potom dosta´va´me na´sledujıćı´ nutnou podmıńku existence loka´lnı´ho extre´mu. Du˚sledek 5.5. Necht’funkce f ma´ v bodeˇ (x0 , y0 ), v neˇmzˇ existujı´ prvnı´ parcia´lnı´ derivace funkce f , loka´lnı´ extre´m. Pak (x0 , y0 ) je staciona´rnı´ bod. Ve staciona´rnı´m bodeˇ extre´m mu˚zˇe by´t, ale nemusı´, jak ukazuje obr. 5.2. Na neˇm je zna´zorneˇna funkce f : z = f (x0 , y0 )+(x −x0 )(y −y0 ), ktera´ ma´ staciona´rnı´ bod (x0 , y0 ), avsˇak v tomto bodeˇ nenı´ loka´lnı´ extre´m (takovy´ bod se nazy´va´ sedlo). Na´sledujıćı´ veˇta uda´va´ postacˇujıćı´ podmıńku existence loka´lnı´ho extre´mu pro funkce dvou promeˇnnyćh.


107

z

f (x0 , y0 )

O

y x

(x0 , y0 )

Obr. 5.2: Staciona´rnı´ bod typu sedlo Veˇta 5.6. Necht’ funkce f ma´ v bodeˇ (x0 , y0 ) a neˇjake´m jeho okolı´ spojite´ parcia´lnı´ derivace druhe´ho rˇa´du a necht’ (x0 , y0 ) je jejı´ staciona´rnı´ bod. Oznacˇme fxx (x, y) fxy (x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − f 2 (x, y). J (x, y) = xy fxy (x, y) fyy (x, y) Pak platı´: 1) Jestlizˇe je J (x0 , y0 ) > 0, je v bodeˇ (x0 , y0 ) ostry´ loka´lnı´ extre´m. Je-li fxx (x0 , y0 ) > 0, je to minimum, je-li fxx (x0 , y0 ) < 0, je to maximum. 2) Jestlizˇe je J (x0 , y0 ) < 0, nenı´ v bodeˇ (x0 , y0 ) loka´lnı´ extre´m. 3) Jestlizˇe je J (x0 , y0 ) = 0, neda´va´ veˇta odpoveˇd’ (extre´m zde mu˚zˇe by´t, ale nemusı´). Du˚kaz. Naznacˇ´ıme jen princip du˚kazu. Vzhledem k prˇedpokladu˚m lze funkci f vyja´drˇit ve tvaru f (x, y) = T2 (x, y) + R2 (x, y), kde T2 (x, y) je Tayloru˚v mnohocˇlen se strˇedem v (x0 , y0 ). Protozˇe tento bod je staciona´rnı´, je prvnı´ diferencia´l nulovy´ a mnohocˇlen ma´ tvar T2 (x, y) = f (x0 , y0 ) +

1 2 1 d f (x0 , y0 ) = f (x0 , y0 ) + fxx (x0 , y0 )(x − x0 )2 + 2 2 1 + fxy (x0 , y0 )(x − x0 )(y − y0 ) + fyy (x0 , y0 )(y − y0 )2 . 2

108


Lze uka´zat, zˇe v prˇ´ıpadeˇ 1) je grafem elipticky´ paraboloid (viz obr. 1.8 a), poprˇ. otocˇeny´ dolu˚) a v prˇ´ıpadeˇ 2) je grafem hyperbolicky´ paraboloid (viz obr. 5.2). V prˇ´ıpadeˇ 1) tedy ma´ T2 (x, y) v bodeˇ (x0 , y0 ) loka´lnı´ extre´m a v prˇ´ıpadeˇ 2) nema´. Da´le lze uka´zat, zˇe v teˇchto dvou prˇ´ıpadech je zbytek R2 (x, y) v okolı´ vysˇetrˇovane´ho bodu tak maly´, zˇe funkce f se chova´ obdobneˇ. Rozhodujıćı´ je tedy diferencia´l druhe´ho rˇa´du. V prˇ´ıpadeˇ 1) proto nastane extre´m a v prˇ´ıpadeˇ 2) nenastane. V prˇ´ıpadeˇ 3) zbytek zanedbat obecneˇ nelze. ´ plny´ du˚kaz, provedeny´ poneˇkud jinou technikou, uvedeme pozdeˇji pro obecneˇjsˇ´ı U prˇ´ıpad — viz veˇta 5.20 a du˚sledek 5.21. Pozna´mka 5.7. 1) Vsˇimneˇte si, zˇe v prˇ´ıpadeˇ 1) prˇedchozı´ veˇty nemu˚zˇe by´t fxx (x0 , y0 ) = 0. Jinak by 2 (x, y) 5 0, coz J (x0 , y0 ) = −fxy ˇ je spor. Tote´zˇ platı´ pro fyy (x0 , y0 ). Dokonce musejı´ mı´t tato cˇ´ısla stejne´ znameńko, protozˇe jinak by fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) < 0 a bylo by oproti prˇedpokladu J (x0 , y0 ) < 0. K rozhodnutı´ o maximu resp. minimu lze tedy pouzˇ´ıt rovnocenneˇ fyy (x0 , y0 ). 2) Uka´zˇeme na prˇ´ıkladech, zˇe v prˇ´ıpadeˇ 3) extre´m mu˚zˇe nastat, ale nemusı´. a) Pro funkci f : z = x 4 + y 4 je fx = 4x 3 , fy = 4y 3 a z rovnic 4x 3 = 0, 4y 3 = 0 dosta´va´me jediny´ staciona´rnı´ bod (0, 0). Da´le fxx = 12x 2 , fyy = 12y 2 , fxy = 0, tedy J (x, y) = 144x 2 y 2 a J (0, 0) = 0. V bodeˇ (0, 0) je loka´lnı´ minimum, protozˇe f (0, 0) = 0 a pro libovolne´ jine´ (x, y) (ne jen v okolı´) je f (x, y) > 0. b) Pro funkci f : z = x 3 + y 3 je fx = 3x 2 , fy = 3y 2 a z rovnic 3x 2 = 0, 3y 2 = 0 dosta´va´me jediny´ staciona´rnı´ bod (0, 0). Da´le fxx = 6x, fyy = 6y, fxy = 0, tedy J (x, y) = 36xy a J (0, 0) = 0. V bodeˇ (0, 0) nenı´ loka´lnı´ extre´m, protozˇe f (0, 0) = 0 a f (x, 0) = x 3 , takzˇe pro x > 0 je f (x, 0) > 0 a pro x < 0 je f (x, 0) < 0, cozˇ znamena´, zˇe v libovolneˇ male´m okolı´ jsou jak veˇtsˇ´ı tak mensˇ´ı funkcˇnı´ hodnoty nezˇ f (0, 0). Vysˇetrˇovańı´ loka´lnıćh extre´mu˚ tedy mu˚zˇeme shrnout do na´sledujıćıćh bodu˚: • Nejprve vytipujeme pomocı´ veˇty 5.3 nebo du˚sledku 5.5 „podezrˇele´“ body, v nichzˇ by mohl by´t extre´m (v ostatnıćh bodech by´t nemu˚zˇe). Nejcˇasteˇji pu˚jde o nalezenı´ staciona´rnıćh bodu˚, cozˇ znamena´ rˇesˇit dveˇ rovnice pro dveˇ nezna´me´. Obecneˇ jde o nelinea´rnı´ rovnice, jejichzˇ rˇesˇenı´ mu˚zˇe by´t velmi obtı´zˇne´. Zˇa´dny´ univerza´lnı´ postup neexistuje. Pokud je asponˇ jedna z nich linea´rnı´, je mozˇne´ z nı´ vyja´drˇit jednu promeˇnnou pomocı´ druhe´ a dosadit do zby´vajıćı´ rovnice. Tı´m dostaneme rovnici (obecneˇ opeˇt nelinea´rnı´) pro jednu nezna´mou, jejı´zˇ rˇesˇenı´ je prˇece jen snazsˇ´ı. I v prˇ´ıpadeˇ obou nelinea´rnıćh rovnic neˇkdy lze z jedne´ rovnice vyja´drˇit jednu nezna´mou pomocı´ druhe´ a dosadit nebo neˇjaky´mi u´pravami vyloucˇit jednu nezna´mou. Cˇasto je ućˇinne´, pokud se na´m podarˇ´ı rozlozˇit leve´ strany rovnic na soucˇin; na pravyćh stranaćh musı´ by´t nula. Aby soucˇin byl nulovy´, musı´ by´t nulovy´ neˇktery´ cˇinitel. Stacˇ´ı tudı´zˇ kombinovat jednotlive´ cˇinitele z obou rovnic, cˇ´ımzˇ dostaneme neˇkolik veˇtsˇinou jednodusˇsˇ´ıch rovnic. Pokud vsˇe selzˇe, nezby´va´ nezˇ pouzˇ´ıt numericke´ metody a nale´zt korˇeny alesponˇ prˇiblizˇneˇ.


109

• O kazˇde´m „podezrˇele´m“ bodu rozhodneme, zda v neˇm loka´lnı´ extre´m je nebo nenı´. K tomu pouzˇijeme veˇtu 5.6, pokud jsou splneˇny jejı´ prˇedpoklady.

Prˇ´ıklad 5.8. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce f : z = x 2 + xy + y 2 − 6x − 9y. Rˇesˇenı´. Funkce f je spojita´ v R2 a ma´ zde spojite´ parcia´lnı´ derivace (vsˇech rˇa´du˚). Podle du˚sledku 5.5 mohou by´t loka´lnı´ extre´my pouze ve staciona´rnıćh bodech. Vypocˇteme prvnı´ parcia´lnı´ derivace a urcˇ´ıme, kde jsou soucˇasneˇ nulove´: zx = 2x + y − 6, zy = x + 2y − 9,

⇒

2x + y − 6 = 0, x + 2y − 9 = 0.

Dostali jsme soustavu dvou linea´rnıćh rovnic o dvou nezna´myćh, jejı´mzˇ rˇesˇenı´m snadno dostaneme x = 1, y = 4. Ma´me tedy jediny´ „podezrˇely´“ staciona´rnı´ bod (1, 4). Nynı´ vypocˇteme druhe´ parcia´lnı´ derivace: zxx = 2,

zyy = 2,

zxy = 1.

Abychom mohli pouzˇ´ıt veˇtu 5.6, urcˇ´ıme J (x, y): zxx zxy 2 1 = = 3. J (x, y) = zxy zyy 1 2 V tomto prˇ´ıpadeˇ je hodnota konstantnı´ (obecneˇ je to funkce x a y, za neˇzˇ musı´me dosadit sourˇadnice staciona´rnıćh bodu˚). Protozˇe je kladna´, je v bodeˇ (1, 4) ostry´ loka´lnı´ extre´m. Jelikozˇ zxx = 2 > 0, jde o ostre´ loka´lnı´ minimum. Je f (1, 4) = −21. Graf funkce je zna´zorneˇn na obr. 5.3 (jde o elipticky´ paraboloid). N

z 20 10 0

−2

−10 −20

0 0

2

2

y

4

6

x

4 8

Obr. 5.3: Graf funkce f : z = x 2 + xy + y 2 − 6x − 9y

+

Pokud jejı´ prˇedpoklady splneˇny nejsou, nebo pokud v prˇ´ıpadeˇ 3) neda´ odpoveˇd’, je potrˇeba pouzˇ´ıt neˇjaky´ specia´lnı´ obrat. To mu˚zˇe by´t neˇkdy velmi jednoduche´, neˇkdy naopak znacˇneˇ netrivia´lnı´. Univerza´lnı´ na´vod bohuzˇel neexistuje.


+

110

Prˇ´ıklad 5.9. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce f : z = x 3 + y 3 − 3xy. Rˇesˇenı´. Funkce f je spojita´ v R2 a ma´ zde spojite´ parcia´lnı´ derivace (vsˇech rˇa´du˚). Podle du˚sledku 5.5 mohou by´t loka´lnı´ extre´my pouze ve staciona´rnıćh bodech. Vypocˇteme prvnı´ parcia´lnı´ derivace a urcˇ´ıme, kde jsou soucˇasneˇ nulove´: zx = 3x 2 − 3y, zy = 3y 2 − 3x,

⇒

3x 2 − 3y = 0, 3y 2 − 3x = 0,

⇒

x 2 = y, y 2 = x.

Dostali jsme soustavu dvou nelinea´rnıćh rovnic, ale nasˇteˇstı´ velmi jednoduchou. Z prvnı´ rovnice lze dosadit do druhe´ a vzniklou rovnici pak vyrˇesˇit. Postupneˇ vyjde: 2

(x 2 ) = x

⇒

x4 − x = 0

⇒

x(x 3 − 1) = 0

⇒

x(x − 1)(x 2 + x + 1) = 0.

K rozkladu vy´razu x 3 − 1 si bud’ vzpomeneme na strˇedosˇkolsky´ vzorecˇek a 3 − b3 = = (a − b)(a 2 + ab + b2 ), nebo najdeme celocˇ´ıselny´ korˇen 1 a pouzˇijeme naprˇ. Hornerovo sche´ma. Aby vznikly´ soucˇin byl roven nule, musı´ by´t bud’ x = 0, nebo x − 1 = 0, nebo x 2 + x + 1 = 0. Ale kvadraticka´ rovnice x 2 + x + 1 = 0 ma´ diskriminant D = 1 − − 4 = −3 < 0, takzˇe ma´ komplexnı´ korˇeny, ktere´ na´s nezajı´majı´. Tedy bud’ x = 0, nebo x = 1. Nynı´ z rovnice x 2 = y vypocˇteme, zˇe pro x = 0 je y = 0 a pro x = 1 je y = 1. Nasˇli jsme tedy dva staciona´rnı´ body (0, 0) a (1, 1). Prˇi rˇesˇenı´ nelinea´rnıćh rovnic musı´me by´t opatrnı´. Kdybychom pro urcˇenı´ hodnoty y pouzˇili rovnici y 2 = x, vysˇlo by na´m x = 1 ⇒ y = ±1. Ale bod (1, −1) nevyhovuje rovnici x 2 = y. Je tedy rozumne´ (spı´sˇe nezbytne´) udeˇlat zkousˇku vsˇech staciona´rnıćh bodu˚ a vyloucˇit prˇ´ıpadna´ chybna´ rˇesˇenı´. Je du˚lezˇite´ prˇi u´pravaćh zˇa´dne´ rˇesˇenı´ „neztratit“, ale take´ nesmı´me zˇa´dne´ nespra´vne´ „prˇidat“. Nynı´ vypocˇteme druhe´ parcia´lnı´ derivace a urcˇ´ıme J (x, y): zxx = 6x, zyy = 6y, zxy = −3,

⇒

zxx zxy 6x −3 = 36xy − 9. J (x, y) = = zxy zyy −3 6y

Podle veˇty 5.6 dostaneme: J (0, 0) = −9 < 0 J (1, 1) = 27 > 0

⇒ ⇒

v bodeˇ (0, 0) nenı´ loka´lnı´ extre´m, v bodeˇ (1, 1) je ostry´ loka´lnı´ extre´m.

Protozˇe zxx (1, 1) = 6 > 0, jde o ostre´ loka´lnı´ minimum. Je f (1, 1) = −1. Graf funkce je N zna´zorneˇn na obr. 5.4.


111

z 30 20 10 0 −10 0

x

2 0

−1

y

1

2

3

Obr. 5.4: Graf funkce f : z = x 3 + y 3 − 3xy

Prˇ´ıklad 5.10. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce f : z = (x 2 + y 2 ) e−x

2 −y 2

+

V dalsˇ´ıch prˇ´ıkladech uvedeme funkce, ktere´ budou mı´t i neostre´ loka´lnı´ extre´my. .

Rˇesˇenı´. Funkce f je spojita´ v R2 a ma´ zde spojite´ parcia´lnı´ derivace (vsˇech rˇa´du˚). Podle du˚sledku 5.5 mohou by´t loka´lnı´ extre´my pouze ve staciona´rnıćh bodech. Vypocˇteme tedy prvnı´ parcia´lnı´ derivace (prˇi vy´pocˇtu zy vyuzˇijeme symetrie): zx = 2x e−x

2 −y 2

+ (x 2 + y 2 ) e−x

zy = 2y(1 − x 2 − y 2 ) e−x

2 −y 2

2 −y 2

(−2x) = 2x(1 − x 2 − y 2 ) e−x

2 −y 2

,

.

Nynı´ napı´sˇeme rovnice pro staciona´rnı´ body. Prˇitom zva´zˇ´ıme, zˇe pro libovolne´ x a y je 2 2 e−x −y > 0: 2x(1 − x 2 − y 2 ) e−x

2 −y 2

2y(1 − x 2 − y 2 ) e−x

2 −y 2

= 0, = 0,

⇒

x(1 − x 2 − y 2 ) = 0, y(1 − x 2 − y 2 ) = 0.

Protozˇe obeˇ prave´ strany jsou nulove´, v kazˇde´ rovnici musı´ by´t asponˇ jeden cˇinitel nulovy´. Pokud platı´ 1 − x 2 − y 2 = 0, jsou automaticky splneˇny obeˇ rovnice. Celkem dostaneme dveˇ kombinace: x = 0, y = 0 1 − x2 − y2 = 0

(0, 0),

⇒ ⇒

(x, y) takove´, zˇe x 2 + y 2 = 1.

Ma´me tedy nekonecˇneˇ mnoho staciona´rnıćh bodu˚: pocˇa´tek (0, 0) a body na kruzˇnici se strˇedem (0, 0) a polomeˇrem 1. Nejprve si vsˇimneme bodu (0, 0). Je f (0, 0) = 0. Pro (x, y) 6= (0, 0) je x 2 + y 2 > 0 2 2 a e−x −y > 0, takzˇe pro libovolny´ bod ru˚zny´ od (0, 0) (ne jen v okolı´ tohoto bodu) je f (x, y) > 0 = f (0, 0). Proto je v bodeˇ (0, 0) ostre´ loka´lnı´ minimum.


112

Zkusı´me vysˇetrˇit tenty´zˇ bod pomocı´ veˇty 5.6. Vypocˇ´ıta´me druhe´ parcia´lnı´ derivace (u zyy vyuzˇijeme symetrii): zxx = (2 − 6x 2 − 2y 2 ) e−x

2 −y 2

+ (2x − 2x 3 − 2xy 2 ) e−x −x 2 −y 2

= (2 − 10x 2 + 4x 4 + 4x 2 y 2 − 2y 2 ) e

−x 2 −y 2

zyy = (2 − 2x 2 + 4y 4 + 4x 2 y 2 − 10y 2 ) e zxy = 2x(−2y) e−x

2 −y 2

+ 2x(1 − x 2 − y 2 ) e−x −x 2 −y 2

= (4x 3 y + 4xy 3 − 8xy) e

2 −y 2

(−2x) =

⇒ zxx (0, 0) = 2, ⇒ zyy (0, 0) = 2,

2 −y 2

(−2y) =

⇒ zxy (0, 0) = 0.

2 = 4 > 0, takz Dostaneme tudı´zˇ J (0, 0) = zxx zyy −zxy ˇ e extre´m zde je. Protozˇe zxx (0, 0) = = 2 > 0, je to ostre´ loka´lnı´ minimum. Vy´sledek je pochopitelneˇ stejny´, ale vy´pocˇet daleko pracneˇjsˇ´ı. Ne vzˇdy je tedy vy´hodne´ pouzˇitı´ veˇty 5.6, jina´ metoda mu˚zˇe by´t mnohem rychlejsˇ´ı. Nynı´ si vsˇimneme staciona´rnıćh bodu˚ na jednotkove´ kruzˇnici. Je-li x02 + y02 = 1, je f (x0 , y0 ) = 1 · e−1 = 1e , takzˇe y 2 funkcˇnı´ hodnota ve vsˇech teˇchto bodech je stejna´. V libovolx + y2 = 1 ne´m okolı´ takove´ho bodu (x0 , y0 ) jsou tedy body se stejnou y0 funkcˇnı´ hodnotou (viz obr. 5.5), takzˇe zde nemu˚zˇe by´t ostry´ loka´lnı´ extre´m a urcˇiteˇ neplatı´ J (x0 , y0 ) > 0. Bud’ zde exx tre´m nenı´, nebo je neostry´ (cozˇ pomocı´ veˇty 5.6 nelze zjistit). x0 O 1 Pokud by vysˇlo J (x0 , y0 ) < 0, extre´m by nenastal, pokud by vysˇlo J (x0 , y0 ) = 0 (cozˇ skutecˇneˇ platı´, o cˇemzˇ se po chvı´li pocˇ´ıtańı´ mu˚zˇeme prˇesveˇdcˇit — my to zjistı´me i bez toho z dalsˇ´ıch u´vah), odpoveˇd’ bychom nedostali. Pouzˇijeme proto rovnou jiny´ zpu˚sob. Obr. 5.5 Budeme uvazˇovat pomocnou funkci jedne´ promeˇnne´ g(u) = u e−u , u = 0. Ta je neza´porna´, spojita´, ma´ spojitou derivaci a f (x, y) = g(x 2 + y 2 ). Vysˇetrˇ´ıme jejı´ pru˚beˇh. Je g 0 (u) = e−u + u e−u (−1) = (1 − u) e−u , tedy g 0 (u) = 0 pro u = 1. Da´le

g 0 (u) > 0 pro u ∈ h0, 1) ⇒ g zde roste, g 0 (u) < 0 pro u ∈ (1, +∞) ⇒ g zde klesa´. z z = g(u) O

u

1

To znamena´ (viz obr. 5.6), zˇe v u = 1 je nejveˇtsˇ´ı hodnota a pro u ∈ h0, +∞), u 6= 1, je g(u) < g(1) = 1e . Protozˇe f (x, y) = g(x 2 + y 2 ), platı´ pro libovolne´ (x, y) ∈ R2 , x 2 + y 2 6= 1,

Obr. 5.6 1 = f (x0 , y0 ), kde x02 + y02 = 1. e Tedy v libovolne´m bodeˇ lezˇ´ıcı´m mimo jednotkovou kruzˇnici (at’vneˇ nebo uvnitrˇ) je funkcˇnı´ hodnota mensˇ´ı nezˇ v bodech te´to kruzˇnice. Proto je v libovolne´m bodeˇ jednotkove´ kruzˇnice f (x, y) = (x 2 + y 2 ) e−x

2 −y 2

<


113

neostre´ loka´lnı´ maximum. To potvrzuje, zˇe nutneˇ v teˇchto bodech platı´ J (x0 , y0 ) = 0 a veˇtu 5.6 nelze pouzˇ´ıt. Graf funkce f („kra´ter“) je zna´zorneˇn na obr. 5.7. N z 0,3 0,2 0,1

−2

−1

y

0

1

2

3

3

2

1

0

−1

−2

−3

x

Obr. 5.7: Graf funkce f : z = (x 2 + y 2 ) e−x

2 −y 2

Prˇ´ıklad 5.11. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce f : z = x 2 y 3 (6 − x − y). Rˇesˇenı´. Funkce f je spojita´ v R2 a ma´ zde spojite´ parcia´lnı´ derivace (vsˇech rˇa´du˚). Podle du˚sledku 5.5 mohou by´t loka´lnı´ extre´my pouze ve staciona´rnıćh bodech. Vypocˇteme prvnı´ parcia´lnı´ derivace: zx = 2xy 3 (6 − x − y) − x 2 y 3 ,

zy = 3x 2 y 2 (6 − x − y) − x 2 y 3 .

Pro staciona´rnı´ body dostaneme: 2xy 3 (6 − x − y) − x 2 y 3 = 0,

⇒

3x 2 y 2 (6 − x − y) − x 2 y 3 = 0,

xy 3 (12 − 3x − 2y) = 0, x 2 y 2 (18 − 3x − 4y) = 0.

V kazˇde´ rovnici musı´ by´t asponˇ jeden cˇinitel nulovy´. Pro x = 0 nebo y = 0 jsou splneˇny automaticky obeˇ rovnice. Celkoveˇ dosta´va´me trˇi kombinace: x=0 y=0

⇒ ⇒

(0, y), y ∈ R (osa y), (x, 0), x ∈ R (osa x),

3x + 2y = 12, 3x + 4y = 18,

⇒

(x, y) = (2, 3).

Ma´me nekonecˇneˇ mnoho staciona´rnıćh bodu˚: bod (2, 3) a vsˇechny body na osaćh x a y. Nejprve si vsˇimneme bodu (2, 3). Pouzˇijeme veˇtu 5.6. Vypocˇteme druhe´ parcia´lnı´ derivace a urcˇ´ıme jejich hodnoty v tomto bodeˇ: zxx = y 3 (12 − 3x − 2y) − 3xy 3

⇒

zxx (2, 3) = −6 · 27,

zyy = 2x y(18 − 3x − 4y) − 4x y

⇒

zyy (2, 3) = −6 · 24,

zxy = 3xy 2 (12 − 3x − 2y) − 2xy 3

⇒

zxy (2, 3) = −6 · 18.

2

2 2

+

0 −3


114

Je tedy 2 J (2, 3) = zxx (2, 3) · zyy (2, 3) − zxy (2, 3) = 36 · 27 · 24 − 36 · 182 =

= 36(23 · 34 − 22 · 34 ) = 36 · 22 · 34 > 0, cozˇ znamena´, zˇe je zde extre´m. Protozˇe zxx (2, 3) = −6 · 27 < 0, je to ostre´ loka´lnı´ maximum. Platı´ f (2, 3) = 108. Nynı´ vysˇetrˇ´ıme staciona´rnı´ body na osaćh x a y. Zrˇejmeˇ jak J (x, 0) = 0, tak J (0, y) = = 0, takzˇe veˇtu 5.6 nelze pouzˇ´ıt. Da´le si vsˇimneˇme, zˇe f (x, 0) = f (0, y) = 0, takzˇe ve vsˇech teˇchto staciona´rnıćh bodech je stejna´ funkcˇnı´ hodnota, a to 0. Vysˇetrˇ´ıme znameńko funkce f (x, y) = = x 2 y 3 (6 − x − y). Protozˇe funkce ma´ y tvar soucˇinu, je funkcˇnı´ hodnota nulova´ − pra´veˇ tehdy, kdyzˇ x = 0 nebo y = 0 nebo O2 6 x + y = 6. To jsou rovnice trˇ´ı prˇ´ımek, ktere´ − na´m rozdeˇlı´ rovinu R2 na sedm cˇa´stı´ — viz obr. 5.8. Ve vnitrˇnıćh bodech teˇchto cˇa´stı´ je funkcˇnı´ hodnota f nenulova´. Jelikozˇ f je x+y =6 vsˇude spojita´, je znameńko uvnitrˇ jednotliO3 + vyćh cˇa´stı´ konstantnı´. + Jinak by totizˇ existovaly dva ru˚zne´ body (x , ´ zˇe cˇa´sti takove´, zˇe 1 y1 ), (x2 , y2 ) v te O1 ´ secˇka spojujıćı´ f (x1 , y1 ) · f (x2 , y2 ) < 0. U O x 6 tyto body by lezˇela cela´ v prˇ´ıslusˇne´ cˇa´sti. + − − O4 Uvazˇujme funkci f jen na te´to u´secˇce. To je jista´ funkce jedne´ promeˇnne´ (dosadı´me-li parametricke´ rovnice u´secˇky do f ), ktera´ je Obr. 5.8 spojita´ na uzavrˇene´m intervalu (oboru parametru˚ u´secˇky) a ma´ v krajnıćh bodech tohoto intervalu opacˇna´ znameńka. Podle Cauchyovy-Bolzanovy veˇty (viz [11, str. 225]) existuje vnitrˇnı´ bod intervalu, v neˇmzˇ je tato funkce rovna nule, tj. uvnitrˇ u´secˇky je f v neˇktere´m bodeˇ nulova´. To je ale spor (u´secˇka neprotıńa´ zˇa´dnou ze trˇ´ı prˇ´ımek, v jejichzˇ bodech je jedineˇ f rovna nule). Stacˇ´ı tedy v kazˇde´ ze sedmi cˇa´stı´ urcˇit v jednom vnitrˇnı´m bodeˇ znameńko f , ktere´ je platne´ pro cely´ vnitrˇek te´to cˇa´sti. Vy´sledek je zna´zorneˇn na obr. 5.8. Nynı´ uzˇ je snadne´ rozhodnout, ve kteryćh staciona´rnıćh bodech os x a y jsou loka´lnı´ extre´my a ve kteryćh ne. Prˇipomenˇme, zˇe v teˇchto bodech je nulova´ funkcˇnı´ hodnota. V libovolne´m okolı´ bodu na ose x jsou body jak s kladny´mi tak za´porny´mi funkcˇnı´mi hodnotami, takzˇe zde loka´lnı´ extre´my nejsou — viz okolı´ O1 na obr. 5.8. Pokud jde o body na ose y, ze stejne´ho du˚vodu nenı´ loka´lnı´ extre´m v bodeˇ (0, 0) (to uzˇ vı´me) a (0, 6) — viz okolı´ O2 na obr. 5.8. V bodech (0, y), 0 < y < 6, je neostre´ loka´lnı´ minimum, protozˇe v dostatecˇneˇ male´m okolı´ naby´va´ f jen kladne´ a nulove´ hodnoty — viz okolı´ O3 na obr. 5.8. V bodech (0, y), y < 0 nebo y > 6, je neostre´ loka´lnı´ maximum, protozˇe v dostatecˇneˇ male´m okolı´ naby´va´ f jen za´porne´ a nulove´ hodnoty — viz okolı´ O4 na obr. 5.8.


115

z

z

108

0 −20 000

107

−40 000 −60 000

106

−80 000 0

1

2

y

3

4

5

6

6

4

5

3

x

2

1,9

0

1

2 105,2

a) (x, y) ∈ h−0,5; 6,5i × h−0,5; 6,5i

2,9

2,96

y

3

3,04

3,1

x

2,1

b) (x, y) ∈ h1,8; 2,2i × h2,8; 3,2i

z 0

−2

−2 0

y

2 4 6 0,5

0

−0,5

x

c) (x, y) ∈ h−0,5; 0,5i × h−4; 7i

Obr. 5.9: Graf funkce f : z = x 2 y 3 (6 − x − y)

Graf funkce f je zna´zorneˇn na obr. 5.9. Funkce velmi prudce klesa´ (vsˇimneˇte si, zˇe meˇrˇ´ıtko na ose z na obr. 5.9 a) je naprosto odlisˇne´ od meˇrˇ´ıtek na osaćh x a y). Chovańı´ v okolı´ bodu (2, 3), v neˇmzˇ je ostre´ loka´lnı´ maximum, je zcela nezrˇetelne´. Krouzˇek oznacˇuje funkcˇnı´ hodnotu v tomto bodeˇ, ktera´ je rovna 108. Tlustsˇ´ı cˇa´ry vyznacˇujı´ hodnoty ve staciona´rnıćh bodech na osaćh x a y (jsou nulove´). Prˇedstavme si, zˇe bychom chteˇli vyrobit model cˇa´sti tohoto grafu a mı´t na vsˇech osaćh stejne´ jednotky, naprˇ. centimetry. Pokud bychom vzali za definicˇnı´ obor mnozˇinu h0, 6i × h0, 6i, meˇli bychom cˇtverec o straneˇ 6 cm. Funkcˇnı´ hodnoty na dvou stranaćh tohoto cˇtverce odpovı´dajıćıćh osa´m x a y jsou nulove´. Funkcˇnı´ hodnota v bodeˇ (2, 3) je vsˇak 108, tedy neˇco prˇes metr. Ale funkcˇnı´ hodnota v bodeˇ (6, 6) je −66 = −46 656, tedy prˇes 466 metru˚ hluboko! Pokud bychom cˇtverec z kazˇde´ strany zveˇtsˇili o pu˚l centimetru, tj. uvazˇovali definicˇnı´ obor h−0,5; 6,5i × h−0,5; 6,5i jako na obr. 5.9 a), byla by hodnota funkce v bodeˇ (6,5; 6,5) uzˇ −7 · 6,55 = −81 220,34375, tudı´zˇ prˇes 812 metru˚ hluboko! Nynı´ je jasne´, procˇ na obr. 5.9 a) nenı´ videˇt ani chovańı´ v loka´lnı´m maximu (2, 3), ani v okolı´ extre´mu˚ na ose y. Funkcˇnı´ hodnoty v okolı´ teˇchto bodu˚ jsou nepatrne´ ve srovnańı´ s hodnotami kolem bodu (6,5; 6,5), takzˇe se zcela „ztratily“.


116

Na obr. 5.9 b) je detail grafu v okolı´ bodu (2, 3) a na obr. 5.9 c) zase detail v u´zke´m pa´su kolem osy y. Teprve z neˇho je cˇa´stecˇneˇ videˇt, zˇe v u´seku mezi 0 a 6 je jaky´si „kanˇon“ (jsou zde neostra´ loka´lnı´ minima), jehozˇ „u´bocˇ´ı“ je smeˇrem k bodu˚m (0, 0) a (0, 6) cˇ´ım da´l plosˇsˇ´ı. V teˇchto bodech jsou „sedla“ (nejsou tam extre´my) a za nimi ma´ graf tvar „hrˇbetu“ (jsou zde neostra´ loka´lnı´ maxima). N Prˇedstavit si chovańı´ grafu funkce z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu, jejı´zˇ prˇedpis je vcelku velmi jednoduchy´ a nenaznacˇuje prˇedem neˇjake´ proble´my, je bez mozˇnostı´, ktere´ na´m poskytujı´ soudobe´ programy s kvalitnı´m graficky´m vy´stupem jako naprˇ. Maple, Mathematica, Matlab, Mathcad apod., velmi obtı´zˇne´. I s nimi to vsˇak nemusı´ by´t snadna´ za´lezˇitost a bez du˚kladne´ho teoreticke´ho rozboru na´m obra´zky jako naprˇ. 5.9 a) te´meˇrˇ nic nerˇeknou. Mozˇnosti teˇchto programu˚ cˇasto vedou uzˇivatele k domneˇnce, zˇe teorii vlastneˇ vu˚bec nepotrˇebujı´. Prˇedchozı´ prˇ´ıklad (a to sˇlo o dost jednoduchou funkci!) snad jasneˇ uka´zal, zˇe je to naprosty´ omyl. Pouze spojenı´m obojı´ho jsme neˇco rozumne´ho zjistili. Teorie na´m rˇekla, kde hledat zajı´mava´ mı´sta (loka´lnı´ extre´my), a program na´m je zobrazil a umozˇnil udeˇlat si prostorovou prˇedstavu.

5.2

Kvadraticke´ formy

Abychom mohli zformulovat dostatecˇne´ podmıńky existence loka´lnıćh extre´mu˚ funkcı´ vıće promeˇnnyćh, budeme potrˇebovat z algebry tzv. kvadraticke´ formy a neˇktere´ jejich za´kladnı´ vlastnosti. Kvadraticky´mi formami nazy´va´me homogennı´ mnohocˇleny (neboli polynomy) stupneˇ dva. Podrobneˇji, je-li a ∈ R a k1 , . . . , kn jsou neza´porna´ cela´ cˇ´ısla, je ax1k1 . . . xnkn jednocˇlenem, jehozˇ stupenˇ je k1 + · · · + kn . Soucˇet konecˇneˇ mnoha takovyćh jednocˇlenu˚ nazy´va´me mnohocˇlen n promeˇnnyćh. Jestlizˇe majı´ vsˇechny jeho cˇleny stejny´ stupenˇ, nazy´va´ se tento mnohocˇlen homogennı´. A jak jizˇ bylo rˇecˇeno, homogennı´ mnohocˇleny stupneˇ dva se nazy´vajı´ kvadraticke´ formy. Jsou to tedy funkce n rea´lnyćh promeˇnnyćh definovane´ na cele´m Rn , jejichzˇ tvar je f (x) =

n X i=1

aii xi2 +

X

2aij xi xj .

(5.1)

15i5n 15j 5n i<j

Rea´lna´ cˇ´ısla aij nazy´va´me koeficienty kvadraticke´ formy. Koeficient u smı´sˇenyćh cˇlenu˚ je psań ve tvaru 2aij , i 6= j , z na´sledujıćı´ho du˚vodu: Sestavı´me symetrickou matici A = (aij ), tj. aij = aj i . Cha´peme-li x jako n-rozmeˇrny´ sloupcovy´ vektor a znamena´-li symbol T transponovańı´, snadno se oveˇrˇ´ı vyna´sobenı´m matic, zˇe platı´ f (x) = x T Ax. Tedy kazˇde´ kvadraticke´ formeˇ odpovı´da´ symetricka´ matice a naopak kazˇda´ symetricka´ matice urcˇuje neˇjakou kvadratickou formu. Dalsˇ´ı za´pis mu˚zˇeme zı´skat pomocı´ skala´rnı´ho soucˇinu. Protozˇe Ax je n-rozmeˇrny´ sloupcovy´ vektor, platı´ f (x) = x T Ax = hAx, xi. V dalsˇ´ım budeme pouzˇ´ıvat pra´veˇ tento za´pis. Prˇipomenˇme jesˇteˇ, zˇe s kvadraticky´mi formami se setka´va´me v rovnicıćh kuzˇelosecˇek (pro n = 2) a kvadratickyćh ploch (pro n = 3) — viz kapitola 9.

5.2 Kvadraticke´ formy

Definice 5.12. Symetricka´ matice A se nazy´va´ i) kladneˇ neboli pozitivneˇ definitnı´, jestlizˇe hAx, xi > 0 pro kazˇde´ x ∈ Rn , x 6= 0, ii) kladneˇ neboli pozitivneˇ semidefinitnı´, jestlizˇe hAx, xi = 0 pro kazˇde´ x ∈ Rn , iii) za´porneˇ neboli negativneˇ definitnı´, jestlizˇe hAx, xi < 0 pro kazˇde´ x ∈ Rn , x 6= 0, iv) za´porneˇ neboli negativneˇ semidefinitnı´, jestlizˇe hAx, xi 5 0 pro kazˇde´ x ∈ Rn , v) indefinitnı´, jestlizˇe nema´ zˇa´dnou z prˇedchozıćh cˇtyrˇ vlastnostı´. Spolecˇny´ na´zev pro vlastnosti i) a iii) je urcˇiteˇ definitnı´ a pro ii) a iv) urcˇiteˇ semidefinitnı´. Urcˇiteˇ definitnı´ matice je soucˇasneˇ urcˇiteˇ semidefinitnı´ stejne´ho typu. Protozˇe symetrickou matici lze jednoznacˇneˇ ztotozˇnit s prˇ´ıslusˇnou kvadratickou formou, mluvı´ se cˇasto o kladneˇ definitnı´ kvadraticke´ formeˇ mı´sto matici a obdobneˇ je tomu u ostatnıćh vlastnostı´. Existuje algebraicke´ krite´rium, jak zjistit druh definitnosti dane´ symetricke´ matice. Souvisı´ to se znameńkem minoru˚, tj. determinantu˚ podmatic vybranyćh z matice A. Minor se nazy´va´ hlavnı´, je-li vybrań z tyćhzˇ rˇa´dku˚ a sloupcu˚ matice A. Hlavnı´ minor se nazy´va´ rohovy´, je-li vytvorˇen z prvnı´ho azˇ k-te´ho rˇa´dku a sloupce, 1 5 k 5 n. Veˇta 5.13 (Sylvestrovo1 krite´rium). Necht’ A je symetricka´ matice. Pak platı´: 1) A je kladneˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ vsˇechny jejı´ rohove´ hlavnı´ minory jsou kladne´, tj. kdyzˇ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n a11 a12 > 0. > 0, . . . , a11 > 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . a21 a22 an1 an2 . . . ann 2) A je za´porneˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ jejı´ rohove´ hlavnı´ minory pravidelneˇ strˇ´ıdajı´ znameńko pocˇ´ınaje za´porny´m, tj. kdyzˇ a11 a12 . . . a1n a11 a12 n a21 a22 . . . a2n a11 < 0, > 0, . . . , (−1) > 0. a21 a22 . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann 3) A je kladneˇ semidefinitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ vsˇechny jejı´ hlavnı´ minory jsou neza´porne´. 4) A je za´porneˇ semidefinitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ vsˇechny jejı´ hlavnı´ minory majıćı´ lichy´ pocˇet rˇa´dku˚ jsou nekladne´ a vsˇechny hlavnı´ minory majıćı´ sudy´ pocˇet rˇa´dku˚ jsou neza´porne´. 5) A je indefinitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ nenastane zˇa´dny´ z prˇ´ıpadu˚ 1 azˇ 4. Du˚kaz. Viz naprˇ. [12, str. 181]. 1 James

Joseph Sylvester (1814–1897) — anglicky´ matematik. Zaby´val se algebrou, teoriı´ invariantu˚, teoriı´ matic, matematickou fyzikou a teoretickou a aplikovanou kinematikou.

117


+

118

Prˇ´ıklad 5.14. Urcˇete, kdy je kvadraticka´ forma f (x) = ax12 + 2bx1 x2 + cx22 kladneˇ definitnı´, kdy za´porneˇ definitnı´, kdy kladneˇ semidefinitnı´, ale ne definitnı´, kdy za´porneˇ semidefinitnı´, ale ne definitnı´ a kdy indefinitnı´. Rˇesˇenı´. Matice kvadraticke´ formy je A = 1) 2) 3) 4)

a b b c

. Podle Sylvestrova krite´ria je dana´ forma kladneˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ a > 0, ab bc = ac − b2 > 0, za´porneˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ a < 0, ab bc = ac − b2 > 0, kladneˇ semidefinitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ a = 0, c = 0, ab bc = ac − b2 = 0, za´porneˇ semidefinitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ a 5 0, c 5 0, ab bc = ac − b2 = 0,

5) indefinitnı´ v ostatnıćh prˇ´ıpadech. Vy´sledek lze podstatneˇ zjednodusˇit. Je-li ac − b2 > 0, nemu˚zˇe by´t rozhodneˇ a = 0 a a a c musı´ mı´t stejne´ znameńko. Proto nastane prˇ´ıpad 1, 2, 3 nebo 4. Je-li ac − b2 = 0, tj. ac = b2 , je pro b = 0 asponˇ jedno z cˇ´ısel a, c nula a pro b 6= 0 jsou a i c nenulova´ a stejne´ho znameńka. Kazˇdopa´dneˇ tedy nasta´va´ prˇ´ıpad 3 nebo 4. Prˇ´ıpad 5 proto nastane pra´veˇ pro ac − b2 < 0. Celkoveˇ tudı´zˇ platı´, zˇe kvadraticka´ forma ve dvou promeˇnnyćh je i) urcˇiteˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ ab bc = ac − b2 > 0, ii) urcˇiteˇ semidefinitnı´, ale ne definitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ ab bc = ac − b2 = 0, iii) indefinitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ ab bc = ac − b2 < 0. Pro kvadraticke´ formy s veˇtsˇ´ım pocˇtem nezna´myćh nezˇ dveˇ podobneˇ jednoduchy´ vy´sledek neexistuje. N Kromeˇ Sylvestrova krite´ria existuje tzv. Lagrangeu˚v1 algoritmus, ktery´m se dana´ kvadraticka´ forma prˇevede na soucˇty a rozdı´ly cˇtvercu˚; z vy´sledne´ho tvaru je opeˇt videˇt typ definitnosti. Postup vyuzˇ´ıva´ vzorec (b1 + · · · + bk )2 = b12 + · · · + bk2 + 2

X

bi bj ,

15i<j 5k

ktery´ je zobecneˇnı´m elementa´rnı´ho vzorce (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 . Z dane´ kvadraticke´ formy jsou postupneˇ „ubı´rańy“ druhe´ mocniny za´vorek. Jestlizˇe naprˇ. ve formeˇ (5.1) je a11 6= 0, figuruje x1 obecneˇ da´le jesˇteˇ v dalsˇ´ıch cˇlenech v soucˇinech s ostatnı´mi nezna´my´mi. Z formy (5.1) vycˇlenı´me druhou mocninu za´vorky tak, zˇe ve zbytku se jizˇ nebude vyskytovat nezna´ma´ x1 . Vyuzˇijeme rovnosti 1 Joseph

Louis Lagrange (1736–1813) (cˇti lagranzˇ) — vy´znamny´ francouzsky´ matematik a mechanik. Zaby´val se mechanikou, geometriı´, diferencia´lnı´mi rovnicemi, analy´zou, algebrou, teoriı´ cˇ´ısel a dalsˇ´ımi matematicky´mi obory a te´zˇ teoretickou astronomiı´. Rozpracoval za´kladnı´ pojmy variacˇnı´ho pocˇtu.

5.2 Kvadraticke´ formy

a11 x12 + 2(a12 x1 x2 + · · · + a1n x1 xn ) = 2 a12 a1n = a11 x1 + x2 + · · · + xn − a11 a11 2 2 a12 2 a1n 2 − x + ··· + x −2 a11 2 a11 n

119

X 25i<j 5n

a1i a1j xi xj . a11

Na zbytek kvadraticke´ formy, ktery´ obsahuje jizˇ pouze n−1 nezna´myćh, postup opakujeme atd. Stane-li se, zˇe zbytek formy jizˇ neobsahuje zˇa´dny´ kvadra´t nezna´me´, ale pouze smı´sˇene´ cˇleny, naprˇ. aij xi xj , aij 6= 0, zavedeme pomocne´ substituce xi = y + z, xj = y − − z, ktere´ dosadı´me do dosud neupravene´ cˇa´sti kvadraticke´ formy. Tı´m dostaneme opeˇt kvadra´ty nezna´myćh, nebot’xi xj = y 2 − z2 , a mu˚zˇeme pokracˇovat v prˇedchozı´m postupu. Vy´sledkem u´prav bude soucˇet nejvy´sˇe n kvadra´tu˚ za´vorek, u nichzˇ jsou kladne´ nebo za´porne´ koeficienty. Z definice 5.12 se celkem snadno nahle´dne, zˇe platı´ na´sledujıćı´ tvrzenı´: Forma (5.1) je 1) kladneˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ v upravene´m tvaru je n kvadra´tu˚ za´vorek a u vsˇech stojı´ kladne´ koeficienty, 2) za´porneˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ v upravene´m tvaru je n kvadra´tu˚ za´vorek a u vsˇech stojı´ za´porne´ koeficienty, 3) kladneˇ semidefinitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ v upravene´m tvaru je meńeˇ nezˇ n kvadra´tu˚ za´vorek a u vsˇech stojı´ kladne´ koeficienty, 4) za´porneˇ semidefinitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ v upravene´m tvaru je meńeˇ nezˇ n kvadra´tu˚ za´vorek a u vsˇech stojı´ za´porne´ koeficienty, 5) indefinitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ v upravene´m tvaru jsou kvadra´ty za´vorek s kladny´mi i za´porny´mi koeficienty. Prˇ´ıklad 5.15. Rozhodneˇte Lagrangeovou metodou o typu definitnosti kvadraticke´ formy 1 2 1 2 x + x + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 + x2 x4 . 4 2 4 3 Rˇesˇenı´. Nejprve vycˇlenı´me naprˇ. x1 . Dostaneme 1 1 f (x) = x12 + x22 + x32 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 + x2 x4 = 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 = x1 + x2 + x3 − x22 − x32 − x2 x3 + x22 + x32 + 2 2 4 4 2 4 4 2 1 1 1 + x2 x3 + x2 x4 = x1 + x2 + x3 + x2 x3 + x2 x4 . 2 2 2 f (x) = x12 +

+

Prˇesne´ zdu˚vodneˇnı´ lze nale´zt naprˇ. v [12]. Postup si uka´zˇeme na prˇ´ıkladu.


120

Protozˇe nema´me dalsˇ´ı kvadra´t nezna´me´, pouzˇijeme naprˇ. substituci x2 = y +z, x3 = y −z. Dostaneme 2 1 1 1 1 f (x) = x1 + x2 + x3 + y 2 − z2 + yx4 + zx4 = 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 y + 2yx4 − z2 + zx4 = = x1 + x2 + x3 + 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 = x1 + x2 + x3 + (y + x4 )2 − x42 − z2 + zx4 = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 = x1 + x2 + x3 + (y + x4 ) − x4 − 2zx4 − z2 = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 = x1 + x2 + x3 + (y + x4 )2 − (x4 − z)2 + z2 − z2 = 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = x1 + x2 + x3 + (y + x4 )2 − (x4 − z)2 . 2 2 2 2 Dosta´va´me trˇi kvadra´ty, prˇicˇemzˇ u dvou je koeficient kladny´ a u jednoho za´porny´. Tedy forma je indefinitnı´. N

5.3

Loka´lnı´ extre´my funkcı´ vıće promeˇnnyćh

Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme prˇistoupit ke studiu loka´lnıćh extre´mu˚ funkcı´ n promeˇnnyćh, kde n ∈ N. Vy´klad tedy zahrne i funkce jedne´ a dvou promeˇnnyćh, ktere´ byly probı´rańy jizˇ drˇ´ıve. Formulace vy´sledku˚ i provedenı´ du˚kazu˚ bude strucˇneˇjsˇ´ı a elegantneˇjsˇ´ı, ale pro zacˇ´ınajıćı´ho cˇtena´rˇe na´rocˇneˇjsˇ´ı. Pokud vsˇak cˇtena´rˇ symboliku a za´pisy pochopı´ a osvojı´ si je, bude moci ocenit jejich prˇednosti, zejmeńa strucˇnost, srozumitelnost a prˇesnost. Elementa´rneˇjsˇ´ı prˇ´ıstup by byl (zejmeńa pokud jde o za´pis) prˇ´ılisˇ komplikovany´. Zacˇneme definicı´ loka´lnıćh extre´mu˚. Ta je obdobna´ jako v prˇ´ıpadeˇ funkce dvou promeˇnnyćh — viz definice 5.1. S ohledem na problematiku va´zanyćh extre´mu˚, kterou budeme studovat v kapitole 8, vsˇak nebudeme prˇedpokla´dat, zˇe uvazˇovany´ bod musı´ by´t nutneˇ vnitrˇnı´. Definice 5.16. Necht’funkce f je definovana´ na mnozˇineˇ A ⊂ Rn a x0 ∈ A. Rˇekneme, zˇe f ma´ v bodeˇ x0 loka´lnı´ minimum, jestlizˇe existuje okolı´ O(x0 ) takove´, zˇe pro kazˇde´ x ∈ O(x0 ) ∩ A platı´ f (x) = f (x0 ). Jestlizˇe pro x 6= x0 je dokonce f (x) > f (x0 ), mluvı´me o ostre´m loka´lnı´m minimu. Analogicky se definuje loka´lnı´ maximum resp. ostre´ loka´lnı´ maximum, pouze se uvazˇuje nerovnost f (x) 5 f (x0 ) resp. f (x) < f (x0 ) Spolecˇny´ na´zev je loka´lnı´ resp. ostre´ loka´lnı´ extre´my.

5.3 Loka´lnı´ extre´my funkcı´ vıće promeˇnnyćh

121

Pozna´mka 5.17. 1) Jestlizˇe x0 je vnitrˇnı´ bod A, lze v definici loka´lnıćh extre´mu˚ prˇedpokla´dat, zˇe pozˇadovane´ okolı´ O(x0 ) je tak male´, zˇe lezˇ´ı cele´ v definicˇnı´m oboru funkce f , tj. v A. Tak je tomu v definici 5.1 v prˇ´ıpadeˇ funkcı´ dvou promeˇnnyćh definovanyćh na otevrˇenyćh mnozˇinaćh. Je-li x0 hranicˇnı´ bod, nenı´ f nikdy definovana´ na cele´m okolı´ tohoto bodu. 2) Funkce f mu˚zˇe mı´t na A vıće (i nekonecˇneˇ mnoho) loka´lnıćh extre´mu˚. Stacˇ´ı vzı´t naprˇ. funkci sin x sin y na cele´ rovineˇ R2 . Zkuste najı´t jine´ prˇ´ıklady, kde loka´lnıćh extre´mu˚ bude nekonecˇneˇ mnoho, ale funkcˇnı´ hodnoty v nich budou ru˚zne´.

Oznacˇenı´ a terminologie V dalsˇ´ı cˇa´sti te´to kapitoly a rovneˇzˇ v kapitole 8 budeme prˇeva´zˇneˇ pracovat s funkcemi, ktere´ majı´ prvnı´ nebo druhe´ (parcia´lnı´) derivace, poprˇ. dalsˇ´ı vlastnosti podobne´ho typu. Abychom mohli sna´ze zformulovat dalsˇ´ı vy´sledky, zavedeme neˇktera´ nova´ oznacˇenı´. Necht’ A ⊂ Rn a f : A → R.Derivacı´ funkce f ve vnitrˇnı´m bodeˇ x ∗ rozumı´me ∗ ∗ n-tici f 0 (x ∗ ) = ∂f∂x(x1 ) , . . . , ∂f∂x(xn ) . Je-li f diferencovatelna´ v x ∗ , jde vlastneˇ o gradient funkce f v tomto bodeˇ — srovnej cˇa´st Pro za´jemce na str. 68. V analy´ze je cˇasto potrˇeba vyja´drˇit, zˇe jedna velicˇina je „hodneˇ mensˇ´ı“ nezˇ druha´. Pouzˇ´ıva´ se na´sledujıćı´ terminologie. Necht’ funkce jedne´ promeˇnne´ ϕ(α) a ψ(α) jsou definovane´ v okolı´ nuly. Rˇekneme, zˇe ϕ(α) je „male´ o“ ψ(α), a pı´sˇeme ϕ(α) = o(ψ(α)), ϕ(α) = 0 (tj. cˇitatel ϕ(α) je v blı´zkosti nuly mnohem mensˇ´ı nezˇ jmenopokud platı´ lim ψ(α) α→0

vatel ψ(α)). Skutecˇnost, zˇe funkce f je diferencovatelna´ v bodeˇ x ∗ , lze pak zapsat takto: f (x ∗ + h) = f (x ∗ ) + hf 0 (x ∗ ), hi + o(khk).

(5.2)

Prˇipomenˇme, zˇe pro diferencia´l platı´ ∂f (x ∗ ) ∂f (x ∗ ) h1 + · · · + hn . ∂x1 ∂xn Funkce f se nazy´va´ spojiteˇ diferencovatelna´ v bodeˇ x ∗ , jestlizˇe f 0 (x ∗ ) existuje v neˇjake´m okolı´ bodu x ∗ a je spojita´ v x ∗ . Prˇitom spojitostı´ n-tice rozumı´me spojitost kazˇde´ jejı´ slozˇky. Z kapitoly 3 vı´me, zˇe ze spojite´ diferencovatelnosti vyply´va´ diferencovatelnost, ale opak neplatı´. 2 (x ∗ ) Druhou derivacı´ funkce f v bodeˇ x ∗ rozumı´me matici f 00 (x ∗ ) = ∂∂xfi ∂x , kterou j 1 rovneˇzˇ nazy´va´me hessiań. Tedy  2 ∗  ∂ f (x ) ∂ 2 f (x ∗ ) ∂ 2 f (x ∗ ) . . . ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂xn  1 ∂x1  ∂∂x 2 f (x ∗ ) ∂ 2 f (x ∗ ) ∂ 2 f (x ∗ )   . . . ∂x ∂x  ∂x ∂x ∂x ∂x f 00 (x ∗ ) =  . . .2. . 1. . . . . .2. . 2. . . . . . . . . . 2. . .n . .   ∂ 2 f (x ∗ ) ∂ 2 f (x ∗ ) ∂ 2 f (x ∗ ) . . . ∂xn ∂x1 ∂xn ∂x2 ∂xn ∂xn dfx ∗ (h) = hf 0 (x ∗ ), hi =

1 Ludwig

Otto Hesse (1811–1874) — neˇmecky´ matematik. Zaby´val se projektivnı´ geometriı´, teoriı´ algebraickyćh funkcı´ a teoriı´ invariantu˚. Zavedl pojem hessiańu.


122

Funkce f se nazy´va´ dvakra´t diferencovatelna´ v bodeˇ x ∗ , jestlizˇe existuje matice f 00 (x ∗ ), jezˇ je symetricka´, a pro vsˇechna dostatecˇneˇ mala´ h ∈ Rn platı´ f (x ∗ + h) = f (x ∗ ) + hf 0 (x ∗ ), hi + Prˇitom 00

∗

hf (x ) h, hi =

1 00 ∗ hf (x ) h, hi + o(khk2 ). 2

n X n X ∂ 2 f (x ∗ ) i=1 j =1

∂xi ∂xj

(5.3)

hi hj .

Vsˇimneˇte si, zˇe vztahy (5.2) a (5.3) jsou vlastneˇ Taylorovy vzorce rˇa´du jedna a dveˇ. Funkce f se nazy´va´ dvakra´t spojiteˇ diferencovatelna´ v bodeˇ x ∗ , jestlizˇe f 00 (x ∗ ) existuje v neˇjake´m okolı´ bodu x ∗ a je spojita´ v x ∗ . Opeˇt platı´, zˇe je-li f dvakra´t spojiteˇ diferencovatelna´, je i dvakra´t diferencovatelna´, ale opak neplatı´. Symetricˇnost matice f 00 (x ∗ ), tj. zameˇnitelnost druhyćh parcia´lnıćh derivacı´, je du˚sledkem Schwarzovy veˇty 2.12. ˇ ekneme, zˇe funkce f je diferencovatelna´ (spojiteˇ diferencovatelna´, dvakra´t diferenR covatelna´, dvakra´t spojiteˇ diferencovatelna´) na mnozˇineˇ X, ma´-li prˇ´ıslusˇnou vlastnost v kazˇde´m bodeˇ mnozˇiny X. Uveˇdomte si, zˇe f musı´ by´t definovana´ v okolı´ kazˇde´ho bodu mnozˇiny X, tedy pokud nenı´ X otevrˇena´, musı´ by´t f definovana´ na neˇjake´ otevrˇene´ nadmnozˇineˇ mnozˇiny X. V dalsˇ´ım se budeme zaby´vat u´lohou, kterou forma´lneˇ mu˚zˇeme zapsat na´sledovneˇ: f (x) → ext,

x ∈ P,

P = int P .

(5.4)

Za´pisem f (x) → ext rozumı´me nalezenı´ loka´lnı´ho extre´mu, tj. maxima resp. minima funkce f na otevrˇene´ mnozˇineˇ P . (Prˇipomenˇme, zˇe int P znacˇ´ı vnitrˇek mnozˇiny P .) V podmıńkaćh, ktere´ odvodı´me, se budou vyskytovat prvnı´ resp. druhe´ derivace funkce f . V prvnı´m prˇ´ıpadeˇ mluvı´me o podmıńkaćh prvnı´ho rˇa´du, ve druhe´m o podmıńkaćh druhe´ho rˇa´du.

5.3.1

Podmıńky prvnı´ho rˇa´du

Veˇta 5.18. Necht’funkce f je diferencovatelna´ v bodeˇ x ∗ . Je-li v x ∗ loka´lnı´ extre´m u´lohy (5.4), platı´ f 0 (x ∗ ) = 0. Du˚kaz. Necht’ jde naprˇ. o loka´lnı´ minimum. Pak pro libovolny´ vektor h ∈ Rn a dostatecˇneˇ male´ α platı´ f (x ∗ + αh) − f (x ∗ ) = 0. Protozˇe f je v x ∗ diferencovatelna´, je podle (5.2) pro mala´ kladna´ (i za´porna´) α splneˇno hf 0 (x ∗ ), αhi + o(α) = 0. Protozˇe hf 0 (x ∗ ), αhi = = αhf 0 (x ∗ ), hi, dostaneme vydeˇlenı´m cˇ´ıslem α > 0 a limitnı´m prˇechodem (ten zachova´va´ neostre´ nerovnosti), zˇe 0 ∗ hf (x ), αhi o(α) o(α) 0 5 lim + = hf 0 (x ∗ ), hi + lim = hf 0 (x ∗ ), hi. + + α α α α→0 α→0

5.3 Loka´lnı´ extre´my funkcı´ vıće promeˇnnyćh Jelikozˇ h bylo libovolne´, mu˚zˇeme volit naprˇ. h = −f 0 (x ∗ ). Dosta´va´me tedy, zˇe platı´ −hf 0 (x ∗ ), f 0 (x ∗ )i = 0. Avsˇak podle vlastnostı´ skala´rnı´ho soucˇinu soucˇasneˇ platı´ rovneˇzˇ hf 0 (x ∗ ), f 0 (x ∗ )i = 0. To vsˇak znamena´, zˇe hf 0 (x ∗ ), f 0 (x ∗ )i = 0 = kf 0 (x ∗ )k2 . Nulovou normu ma´ ale jedineˇ nulovy´ vektor, tedy f 0 (x ∗ ) = 0, cozˇ jsme meˇli doka´zat. Protozˇe f 0 (x ∗ ) = 0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ vsˇechny slozˇky tohoto vektoru, tj. (parcia´lnı´) derivace v bodeˇ x ∗ , jsou nulove´, dosta´va´me pro n = 1 beˇzˇneˇ zna´me´ tvrzenı´ ze za´kladnı´ho kurzu diferencia´lnı´ho pocˇtu funkcı´ jedne´ promeˇnne´ a pro n = 2 vy´sledek z prvnı´ho oddı´lu te´to kapitoly — viz du˚sledek 5.5. Body, v nichzˇ f 0 (x) = 0, se nazy´vajı´ staciona´rnı´. Cˇtena´rˇi, ktere´mu se zda´, zˇe v prˇedchozı´m du˚kazu by jako du˚sledek vztahu (5.2) meˇlo spra´vneˇ by´t o(kαhk) mı´sto o(α), doporucˇujeme, aby zva´zˇil, zˇe pro libovolne´ pevne´ h 6= 0 je o(kαhk) = o(|α|khk) = o(|α|) = o(α), cozˇ se snadno oveˇrˇ´ı vy´pocˇtem prˇ´ıslusˇnyćh limit. Pro h = 0 je platnost prˇ´ıslusˇne´ rovnosti trivia´lnı´. Podobnyćh „prohrˇesˇku˚“ se dopustı´me i v dalsˇ´ım textu, anizˇ na to budeme upozornˇovat.

5.3.2

Podmıńky druhe´ho rˇa´du

V za´kladnı´m kurzu se obvykle uva´deˇjı´ jen postacˇujıćı´ podmıńky druhe´ho rˇa´du. My si uvedeme i nutne´ podmıńky, uzˇ proto, zˇe jejich du˚kaz je pomeˇrneˇ snadny´. Soucˇasneˇ uvidı´me uzˇitecˇnost ru˚znyćh druhu˚ definitnosti symetrickyćh matic. Veˇta 5.19. Necht’ funkce f je dvakra´t diferencovatelna´ v bodeˇ x ∗ . Je-li v x ∗ loka´lnı´ minimum (maximum) u´lohy (5.4), je matice f 00 (x ∗ ) kladneˇ (za´porneˇ) semidefinitnı´.

Du˚kaz. Doka´zˇeme tvrzenı´ naprˇ. pro loka´lnı´ minimum. Podle veˇty 5.18 je f 0 (x ∗ ) = 0. Da´le pro libovolne´ h ∈ Rn a dostatecˇneˇ male´ cˇ´ıslo α 6= 0 z toho, zˇe v x ∗ je loka´lnı´ minimum, plyne, zˇe f (x ∗ + αh) − f (x ∗ ) = 0. Tedy z (5.3) dosta´va´me 1 α 2 00 ∗ 0 5 hf 00 (x ∗ )(αh), αhi + o(α 2 ) = hf (x ) h, hi + o(α 2 ). 2 2 Prˇedchozı´ vztah vydeˇlı´me cˇ´ıslem α 2 a udeˇla´me limitnı´ prˇechod pro α → 0. Protozˇe je lim o(α 2 )/α 2 = 0 a limita zachova´va´ neostre´ nerovnosti, dosta´va´me odtud nerovnost α→0

hf 00 (x ∗ )h, hi = 0, cozˇ je definice kladneˇ semidefinitnı´ matice. Nulovost prvnı´ derivace a semidefinitnost druhe´ derivace jsou tedy nutny´mi podmıńkami existence loka´lnı´ho extre´mu u´lohy (5.4). Ukazuje se, zˇe kdyzˇ zesı´lı´me semidefinitnost druhe´ derivace na definitnost, sta´vajı´ se tyto podmıńky postacˇujıćı´mi pro existenci loka´lnı´ho extre´mu, ktery´ je pak dokonce ostry´. V du˚kazu na´sledujıćı´ veˇty budeme potrˇebovat neˇktere´ poznatky o posloupnostech bodu˚ n v R . Ty lze nale´zt naprˇ. v [2] nebo [16]. Forma´lneˇ jsou ale analogicke´ jako u posloupnostı´ rea´lnyćh cˇ´ısel.

123


124

Veˇta 5.20. Necht’ funkce f je dvakra´t diferencovatelna´ v bodeˇ x ∗ . Prˇedpokla´dejme, zˇe f 0 (x ∗ ) = 0 a matice f 00 (x ∗ ) je kladneˇ (za´porneˇ) definitnı´. Pak ma´ u´loha (5.4) v x ∗ ostre´ loka´lnı´ minimum (maximum). To je izolovane´, pokud jsou navıć fx1 , . . . , fxn diferencovatelne´ v x ∗ . Du˚kaz. Necht’ naprˇ. f 00 (x ∗ ) je kladneˇ definitnı´. Prˇipust’me, zˇe v x ∗ nenı´ ostre´ loka´lnı´ minimum. Pak libovolneˇ blı´zko tohoto bodu lze nale´zt jiny´ bod, v neˇmzˇ je funkcˇnı´ hodnota stejna´ nebo mensˇ´ı. Je tedy mozˇne´ zkonstruovat posloupnost {xk } takovou, zˇe lim xk = x ∗ ,

k→∞

xk 6 = x ∗ ,

f (xk ) 5 f (x ∗ ).

Polozˇme αk = kxk −x ∗ k, hk = (xk −x ∗ )/αk . Pak je xk = x ∗ +αk hk . Protozˇe je khk k = 1, je tato posloupnost ohranicˇena´, a lze z nı´ tudı´zˇ vybrat konvergentnı´ podposloupnost {hkl }, hkl → h, khk = 1 (viz naprˇ. [16, str. 119]). Pro jednodusˇsˇ´ı oznacˇenı´ prˇedpokla´dejme, zˇe prˇ´ımo posloupnost {hk } je konvergentnı´. Z (5.3) dosta´va´me 1 0 = f (xk ) − f (x ∗ ) = hf 00 (x ∗ )(αk hk ), αk hk i + o(αk2 ) = 2 2 α = k hf 00 (x ∗ )hk , hk i + o(αk2 ). 2 Po vydeˇlenı´ αk2 a limitnı´m prˇechodu dostaneme, zˇe hf 00 (x ∗ )h, hi 5 0 pro nenulove´ h, cozˇ znamena´, zˇe f 00 (x ∗ ) nenı´ kladneˇ definitnı´. To je vsˇak spor s prˇedpokladem. Prˇipust’me nynı´, zˇe x ∗ nenı´ izolovany´ loka´lnı´ extre´m. Pak libovolneˇ blı´zko tohoto bodu lze nale´zt jiny´ bod, v neˇmzˇ je loka´lnı´ extre´m. Je tedy mozˇne´ zkonstruovat posloupnost {xk } takovou, zˇe lim xk = x ∗ ,

k→∞

xk 6= x ∗ ,

f ma´ v xk loka´lnı´ extre´m.

Analogicky jako v prvnı´ cˇa´sti du˚kazu prˇi stejne´m oznacˇenı´ najdeme konvergentnı´ posloupnost hk . Nynı´ vy´raz hhk , f 0 (xk )i vyja´drˇ´ıme pomocı´ (5.2). Podle tohoto vztahu platı´ fx1 (xk ) − fx1 (x ∗ ) = hfx01 (x ∗ ), αk hk i + o(αk ), fx2 (xk ) − fx2 (x ∗ ) = hfx02 (x ∗ ), αk hk i + o(αk ), ........................................ fxn (xk ) − fxn (x ∗ ) = hfx0n (x ∗ ), αk hk i + o(αk ). Nynı´ prvnı´ rovnost vyna´sobı´me h1 , druhou h2 atd. azˇ poslednı´ hn a vsˇechny je secˇteme. Uveˇdomı´me-li si, zˇe fx0i (x ∗ ) = (fxi x1 (x ∗ ), . . . , fxi xn (x ∗ )), i = 1, . . . , n, dostaneme, zˇe hhk , f 0 (xk )i = hhk , f 0 (x ∗ )i + hhk , f 00 (x ∗ )αk hk i + o(αk ). Podle veˇty 5.18 je f 0 (xk ) = 0 a rovneˇzˇ f 0 (x ∗ ) = 0. Tedy 0 = αk hhk , f 00 (x ∗ )hk i + o(αk ). Po vydeˇlenı´ αk a limitnı´m prˇechodu dostaneme, zˇe hf 00 (x ∗ )h, hi = 0 pro nenulove´ h, cozˇ je opeˇt spor.


125

Z du˚kazu je zrˇejme´, zˇe v jiste´m okolı´ bodu x ∗ nemu˚zˇe by´t ani zˇa´dny´ staciona´rnı´ bod ru˚zny´ od x ∗ . Z prˇedchozıćh dvou veˇt a prˇ´ıkladu 5.14 dosta´va´me bezprostrˇedneˇ na´sledujıćı´ vy´sledek, ktery´ je mı´rny´m zobecneˇnı´m veˇty 5.6 (navıć je tvrzenı´ o izolovanosti). Du˚sledek 5.21. Necht’ funkce dvou promeˇnnyćh f (x, y) je definovana´ na otevrˇene´ mnozˇineˇ P a ma´ spojite´ druhe´ parcia´lnı´ derivace v bodeˇ (x0 , y0 ). Necht’da´le platı´ fx (x0 , y0 ) = = fy (x0 , y0 ) = 0. 2 (x , y ) > 0, je v bode 1) Je-li fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 )−fxy ˇ (x0 , y0 ) izolovany´ ostry´ loka´lnı´ 0 0 extre´m. Pro fxx (x0 , y0 ) > 0 je to minimum, pro fxx (x0 , y0 ) < 0 je to maximum. 2 (x , y ) < 0, nenı´ v bode 2) Je-li fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − fxy ˇ (x0 , y0 ) loka´lnı´ extre´m. 0 0 2 (x , y ) = 0, mu ˚ zˇe, ale nemusı´ by´t v bodeˇ (x0 , y0 ) 3) Je-li fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − fxy 0 0 loka´lnı´ extre´m.

Prˇ´ıklad 5.22. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce f (x) = x14 + x24 − 4x1 x2 , x ∈ R2 . Rˇesˇenı´. Tento u´lohu jsme mohli rˇesˇit uzˇ v u´vodnı´m oddı´lu te´to kapitoly — srovnejte podobny´ prˇ´ıklad 5.9. Nynı´ ale provedeme rˇesˇenı´ v „nove´“ symbolice. Funkce f ma´ spojite´ parcia´lnı´ derivace vsˇech rˇa´du˚, zejmeńa je tedy v kazˇde´m bodeˇ dvakra´t diferencovatelna´. Nejprve musı´me podle veˇty 5.18 urcˇit „podezrˇele´“ cˇili staciona´rnı´ body. Spocˇ´ıta´me prvnı´ derivaci a polozˇ´ıme ji rovnu nule: f 0 (x) = (fx1 , fx2 ) = (4x13 − 4x2 , 4x23 − 4x1 ) = (0, 0). Dosta´va´me rovnice x13 = x2 , x23 = x1 . Dosazenı´m prvnı´ rovnice do druhe´ vyjde x19 = x1

=⇒

x1 (x1 − 1)(x1 + 1)(x12 + 1)(x14 + 1) = 0,

odkud x1 = 0 nebo x1 = −1 nebo x1 = 1. x13

Z rovnice x2 = urcˇ´ıme odpovı´dajıćı´ hodnoty x2 = 0, x2 = −1 resp. x2 = 1. Celkoveˇ existujı´ trˇi staciona´rnı´ body A = (0, 0), B = (−1, −1) a C = (1, 1). Jen v teˇchto bodech mohou by´t loka´lnı´ extre´my. Da´le vypocˇteme druhou derivaci: fx1 x1 fx1 x2 12x12 −4 00 f (x) = = . fx2 x1 fx2 x2 −4 12x22 Odtud 0 −4 = −16, det f (A) = −4 0 00

12 −4 = 128. det f (B) = det f (C) = −4 12 00

00

Podle du˚sledku 5.21 v bodeˇ A nenı´ loka´lnı´ extre´m a v bodech B a C jsou izolovane´ ostre´ loka´lnı´ extre´my, a to minima s hodnotami f (−1, −1) = f (1, 1) = −2. Graf funkce je zna´zorneˇn na obr. 5.10. N

+

Postup budeme ilustrovat na prˇ´ıkladech.


126

30

z

20

10 −1,5 −1

0 −1,5

−1

0 0

x2

x1

1 1 2

2

+

Obr. 5.10: Graf funkce f : z = x14 + x24 − 4x1 x2 Prˇ´ıklad 5.23. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce f (x) = x13 + x22 +

1 2 x − 3x1 x3 − 2x2 + 2x3 , x ∈ R3 . 2 3

Rˇesˇenı´. Stejneˇ jako v prˇedchozı´m prˇ´ıpadeˇ jsou splneˇny pozˇadavky na hladkost funkce f , protozˇe funkce f ma´ spojite´ parcia´lnı´ derivace vsˇech rˇa´du˚. Pro staciona´rnı´ body je f 0 (x) = (3x12 − 3x3 , 2x2 − 2, x3 − 3x1 + 2) = (0, 0, 0), tj. x12 = x3 ,

x2 = 1,

x3 = 3x1 − 2.

Dosazenı´m trˇetı´ rovnice do prvnı´ vyjde kvadraticka´ rovnice x12 − 3x1 + 2 = 0, ktera´ ma´ dveˇ rˇesˇenı´ x1 = 1 a x1 = 2. Ze trˇetı´ rovnice dostaneme po rˇadeˇ odpovı´dajıćı´ hodnoty x3 = 1 a x3 = 4. Existujı´ tedy dva staciona´rnı´ body A = (1, 1, 1) a B = (2, 1, 4). Druha´ derivace je     fx1 x1 fx1 x2 fx1 x3 6x1 0 −3 f 00 (x) = fx2 x1 fx2 x2 fx2 x3  =  0 2 0  . fx3 x1 fx3 x2 fx3 x3 −3 0 1 K posouzenı´ jejı´ho typu definitnosti pouzˇijeme Lagrangeovu metodu. V bodeˇ A ma´ kvadraticka´ forma tvar 1 1 2 hf 00 (1, 1, 1) h, hi = 6h21 + 2h22 + h23 − 6h1 h3 = 6 h1 − h3 + 2h22 − h23 2 2 a je indefinitnı´. Nenı´ tedy splneˇna nutna´ podmıńka (semidefinitnost) z veˇty 5.19, a proto v bodeˇ A nenı´ loka´lnı´ extre´m.


127

V bodeˇ B ma´ kvadraticka´ forma tvar 00

hf (2, 1, 4) h, hi =

12h21

+ 2h22

+ h23

1 2 1 − 6h1 h3 = 12 h1 − h3 + 2h22 + h23 4 4

a je kladneˇ definitnı´. Podle veˇty 5.20 je tedy v bodeˇ B ostre´ loka´lnı´ minimum, jehozˇ hodnota je f (2, 1, 4) = −1. N Pozna´mka 5.24. Veˇta 5.18 na´m da´va´ pro nalezenı´ staciona´rnıćh bodu˚ obecneˇ soustavu n nelinea´rnıćh rovnic. Jejı´ rˇesˇenı´ mu˚zˇe by´t velmi obtı´zˇne´ nebo explicitneˇ vu˚bec neproveditelne´. Pak by bylo nutne´ pouzˇitı´ numerickyćh metod. Tato situace mu˚zˇe nastat uzˇ i u algebraickyćh rovnic, tj. rovnic, na jejichzˇ stranaćh stojı´ mnohocˇleny jedne´ nebo vıće promeˇnnyćh. Stejne´ komplikace budou i v dalsˇ´ı cˇa´sti textu ty´kajıćı´ se va´zanyćh extre´mu˚. Z tohoto pohledu lze nalezenı´ staciona´rnıćh bodu˚ povazˇovat za nejobtı´zˇneˇjsˇ´ı mı´sto prˇi hledańı´ loka´lnıćh extre´mu˚. Uva´deˇne´ prˇ´ıklady jsou pochopitelneˇ voleny tak, aby staciona´rnı´ body bylo mozˇne´ explicitneˇ a bez velkyćh obtı´zˇ´ı urcˇit. Cˇtena´rˇ by vsˇak nemeˇl propadnout dojmu, zˇe je tomu tak vzˇdy. Hlavneˇ u u´loh vzniklyćh prˇi rˇesˇenı´ rea´lnyćh proble´mu˚ naprˇ. z inzˇeny´rske´ praxe je situace zcela jina´ a bez numerickyćh metod se veˇtsˇinou neobejdeme. Ty jsou cˇasto zalozˇeny (hleda´me-li minimum) na konstrukci tzv. minimalizujıćı´ posloupnosti, tj. takove´ posloupnosti {xk }, zˇe f (xk ) → f (x ∗ ), kde x ∗ je bod loka´lnı´ho minima.

Pojmy k zapamatovańı´ — — — — — — — — — — — — — — —

staciona´rnı´ body funkcı´ dvou (a vıće) promeˇnnyćh loka´lnı´ extre´my funkce dvou (a vıće) promeˇnnyćh loka´lnı´ minimum (maximum) funkce dvou (a vıće) promeˇnnyćh ostre´ loka´lnı´ minimum (maximum) funkce dvou (a vıće) promeˇnnyćh neostre´ loka´lnı´ minimum (maximum) funkce dvou (a vıće) promeˇnnyćh kladneˇ (za´porneˇ) definitnı´ symetricka´ matice kladneˇ (za´porneˇ) semidefinitnı´ symetricka´ matice indefinitnı´ symetricka´ matice kvadraticke´ formy kladneˇ (za´porneˇ) definitnı´ kvadraticka´ forma kladneˇ (za´porneˇ) semidefinitnı´ kvadraticka´ forma indefinitnı´ kvadraticka´ forma Lagrangeu˚v algoritmus Sylvestrovo krite´rium izolovany´ loka´lnı´ extre´m

X


128

?

Kontrolnı´ ota´zky 1. Jaka´ je nutna´ podmıńka pro existenci loka´lnı´ho extre´mu funkce dvou (a vıće) promeˇnnyćh? 2. Jaka´ je postacˇujıćı´ podmıńka pro existenci loka´lnı´ho extre´mu funkce dvou (a vıće) promeˇnnyćh? 3. Na za´kladeˇ cˇeho mu˚zˇete rozhodnout, zda ve staciona´rnı´m bodeˇ nastane extre´m funkce dvou (a vıće) promeˇnnyćh? 4. Jak urcˇ´ıte typ dane´ho extre´mu — tj. loka´lnı´ minimum cˇi maximum — funkce dvou (a vıće) promeˇnnyćh? 5. Podle jakyćh skutecˇnostı´ rozhodnete, zda se jedna´ o ostry´ cˇi neostry´ extre´m funkce dvou (a vıće) promeˇnnyćh? 6. Nacˇrtneˇte prˇ´ıklad grafu funkce, ktera´ ma´ v dane´m bodeˇ ostre´ (resp. neostre´) loka´lnı´ maximum. 7. Bod, ve ktere´m mu˚zˇe nastat loka´lnı´ extre´m, je vzhledem k mnozˇineˇ A ⊂ R2 na nı´zˇ je funkce definovańa: • vnitrˇnı´, • vneˇjsˇ´ı, • hranicˇnı´? 8. Co jsou to kvadraticke´ formy a k cˇemu na´m slouzˇ´ı? 9. Kdy se symetricka´ matice A nazy´va´: • kladneˇ definitnı´, • za´porneˇ definitnı´, • kladneˇ semidefinitnı´, • za´porneˇ semidefinitnı´? 10. Kdy se symetricka´ matice A nazy´va´: • urcˇiteˇ definitnı´, • urcˇiteˇ semidefinitnı´, • indefinitnı´?

!

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce z = f (x, y): a) c) e)

z = 1 + 6y − y 2 − xy − x 2 , z = 5 + 6x − 4x 2 − 3y 2 , z = x(x − 6) + y(y − 9) + xy,

b) d) f)

z = 4 − (x − 2)2 − (y + 3)2 , z = x(x − 1) + y(y − 1) − xy + 2, z = 2x 2 − 6xy + 5y 2 − x + 3y + 2,

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ g) i) k)

129

z = x 2 − 2y 2 − 3x + 5y − 1, h) z = x 2 − y 2 + 2x − 2y, 3 3 z = x + y − 18xy + 215, j) z = 27x 2 y + 14y 3 − 69y − 54x, z = x 4 + y 4 + 4(x 3 − y 3 ) + 5(x 2 + y 2 ) + 4(x − y) − 2xy + 2,

2. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce z = f (x, y): p a) z = 1 − x 2 + y 2 , c) z = (x − y + 6)2 , e) z = xy + x8 + y8 ,

2

b) d) f)

z = ex −y (5 − 2x + y), z = x 2 + xy + y 2 − 4 ln x − 10 ln y, z = xy ln(x 2 + y 2 ),

h) j) l) n)

z z z z

x

g) i) k) m)

z z z z

= (x + y 2 ) e 2 , = (x − 1)3 (y + 2)3 , = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2 , = x 3 − 3x 2 + y 3 − 3y + 1,

= 2x 3 − xy 2 + 5x 2 + y 2 , = x 2 + 4xy + 6y 2 − 2x + 8y − 5, = x 4 − 3x 2 y + 3y − y 3 , = e2x+3y (8x 2 − 6xy + 3y 2 ).

3. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce z = f (x, y): a) c) e) g) i) j) l) n) p) q) s) u)

z z z z z z z z z z z z

= −3x 4 − 5y 4 , = 2xy − 2x − 4y, = x 3 − 3xy − y 3 , = (x 2 + y) ey , = x 3 + 27y 3 − 6xy + 11, = 3(x 2 + y 2 )2 , = x 3 + xy 2 + 6xy, + 20 = xy + 50 x y = x 2 + y 2 − xy − 2x + y, = xy(4 − x − y), = 4(x − y) − x 2 − y 2 , √ √ = y 1 + x + x 1 + y,

b) d) f) h) k) m) o) r) t) v)

z = x 2 + xy + y 2 + 9x + 6y, z = 3 ln x6 + 2 ln y + ln(12 − x − y), 2 2 z = (5x + 7y − 25) e−(x +xy+y ) , z = sin x + cos y + cos(x − y), 0 < x, y < π2 , z = 8x 3 + y 3 − 6xy + 4, √ z = x y − x 2 − y + 6x + 3, z = sin x + sin y + sin(x − y), 0 < x, y < π2 , p z = x − 2y + ln x 2 + y 2 + 3 arctg yx , z = x 2 + xy + y 2 − ln x − ln y, 3 3 z = x 2 + xy + y 2 + ax + ay , a ∈ R.

4. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce u = f (x, y, z): a) c) d) e) f) h)

u = xyz(12 − x − 2y − 3z), 2

y2

b)

u=x+

y2 4x

+

z2 y

+ 2z , x, y, z > 0,

2

z u = xyz + xz + xy , x, y, z > 0, 2 n u = x1 x2 · · · · · xn (1 − x1 − 2x2 − . . . − nxn ), x1 , x1 , . . . , xn > 0, xn + x2n , x1 , . . . , xn > 0. u = x1 + xx21 + xx32 + · · · + xn−1 u = x 2 + y 2 + z2 + 2x + 4y − 6z, g) u = 2x 2 + y 2 + 2z − xy − xz, 2 2 2 u = x1 + xy + yz + z2 , x, y, z > 0, i) u = x 3 + y 2 + z2 + 12xy + 2z.

Na´poveˇda: V d) uzˇijte AG nerovnost.

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ V na´sledujıćı´m m znacˇ´ı loka´lnı´ minimum, M loka´lnı´ maximum a S staciona´rnı´ bod, v neˇmzˇ nenı´ loka´lnı´ extre´m. 1. a) M(−2, 4), b) M(2, −3), c) M 43 , 0 , d) m(1, 1), 3 3 5 g) S 2 , 4 , h) S(−1, −1), e) m(1, 4), f) m −2, − 2 ,


130 √

i)

m(6, 6), S(0, 0),

k)

m(0, 2), m(−2, 0), S(−1, 1).

2. a) M(0, 0),

h)

e) m(2, 2),

m ± √12e , ± √12e , M ± √12e , ∓ √12e m(0, 0), S − 53 , 0 , S(1, ±4),

14 √3 , 14 3

m(1, 1), M(−1, −1), S

b) S(1, −2),

d) m(1, 2), f)

j)

,S −

√ 14 √3 , , − 3 14

c) m v bodech prˇ´ımky x − y + 6 = 0,

, S(±1, 0), S(0, ±1),

g) m(−2, 0),

i) S(1, y), S(x, −2), x, y ∈ R,

j) m(7, −3),

k) q m(1, 1), −1), q m(−1, q S(0, q 0), 3 2 3 l) m(0, −1), M(0, 1), m ± 5 , − 5 , S ± 5 , 25 , n) m(0, 0), S − 41 , − 12 .

m) M(0, −1), m(2, 1), S(0, 1), S(2, −1),

Na´vod: V k) u S(−1, 1) zvazˇte, zˇe f (x, y) = d4 f (−1, 1), do diferencia´lu dosad’te u = x + 1, v = y − 1, vy´raz upravte a vysˇetrˇete v okolı´ (0, 0). 3. a) M(0, 0), e) M(−1, 1), S(0, 0), h) M π3 , π6 , k) m 12 , 1 , S(0, 0),

b) m(−4, −1),

4. a) c) d) e) f) h)

d) M(6, 4),

, g) m(0, −1), f) M(1, 3), m 2 2 i) m 3 , 9 , S(0, 0), j) m(0, 0), √ √ l) m( 3, −3), M(− 3, −3), S(0, 0), S(0, −6), n) m(5, 2), o) M π3 , π3 , p) m(1, 0),

m) M(4, 4), q) M 34 , 43 , S(0, 0), S(0, 4), S(4, 0), t) m(1, 1),

c) S(2, 1), 3 1 , − 26 − 26

u) m

− 23 , − 32

r) S(1, 1),

,

v) m

a 3√

3

,

a 3√

s) M(2, −2), 3

.

M 3, 32 , 1 , umax = 27 , b) m( 12 , 1, 1), umin = 4, 2 loka´lnı´ minima splnˇujıćı´ podmıńku x = y = z = t, t ∈ R, t > 0, n2 +n+2 2 2 2 M(x1 = · · · = xn = n2 +n+2 ), umax = n2 +n+2 , 1 2 n 1 m(x1 = 2 n+1 , x2 = 2 n+1 , . . . , xn = 2 n+1 ), umin = (n + 1)2 n+1 , m(−1,√−2, 3), umin g) nema´ loka´lnı´ extre´m, √ = −14, 15 √ 3 1 3 1 1 3 m 2 · 2, 2 , 2 · 2 , umin = 8 · 4, i) S(0, 0, −1), m(24, −144, −1), umin = −6913.

131

Kapitola 6 Globa´lnı´ extre´my funkcı´ Pru˚vodce studiem Na rozdı´l od prˇedchozı´ kapitoly, kde na´s zajı´malo loka´lnı´ chovańı´ funkcı´ dvou (resp. vıće) promeˇnnyćh, tj. pouze v okolı´ neˇjake´ho bodu, budeme ted’ studovat jejich chovańı´ na cele´m definicˇnı´m oboru a hledat body s nejveˇtsˇ´ımi a nejmensˇ´ımi funkcˇnı´mi hodnotami. Hledańı´ teˇchto bodu˚ je obecneˇ obtı´zˇne´. Proto se omezı´me pouze na definici a vysˇetrˇovańı´ ve specia´lnı´m prˇ´ıpadeˇ, kdy bude existence toho, co hleda´me, zajisˇteˇna. Uvedeme si obdobu Weierstrassovy veˇty pro funkci jedne´ promeˇnne´, ktera´ na´m existenci extre´mu zarucˇı´. Pouze na jednom slovnı´m prˇ´ıkladu si uka´zˇeme, jake´ proble´my lze obecneˇ ocˇeka´vat a jak se prˇistupuje k jejich rˇesˇenı´.

Cı´le Po prostudovańı´ te´to kapitoly budete schopni: • rozhodnout o existenci globa´lnıćh extre´mu˚ funkce dvou (resp. vıće) promeˇnnyćh, • rozhodnout, zda ve staciona´rnı´m bodeˇ funkce dvou (resp. vıće) promeˇnnyćh nastane globa´lnı´ extre´m, • urcˇit typ globa´lnı´ho extre´mu funkce dvou (resp. vıće) promeˇnnyćh. ˇ ekneme, zˇe Definice 6.1. Uvazˇujme funkci f (x, y) na mnozˇineˇ M ⊂ D(f ) ⊂ R2 . R funkce f naby´va´ v bodeˇ (x0 , y0 ) ∈ M globa´lnı´ho neboli absolutnı´ho maxima na M, jestlizˇe pro kazˇde´ (x, y) ∈ M platı´ f (x0 , y0 ) = f (x, y). Analogicky definujeme globa´lnı´ neboli absolutnı´ minimum. Spolecˇny´ na´zev je globa´lnı´ neboli absolutnı´ extre´my. Pozna´mka 6.2. 1) Bod, ve ktere´m naby´va´ funkce sve´ nejveˇtsˇ´ı nebo nejmensˇ´ı hodnoty, nemusı´ by´t jediny´. 2 2 Naprˇ. o funkci f : z = (x 2 + y 2 ) e−x −y z prˇ´ıkladu 5.10 jsme uka´zali, zˇe 1 2 2 f (0, 0) = 0 5 (x 2 + y 2 ) e−x −y 5 = f (x0 , y0 ), kde x02 + y02 = 1. e

S Z

V J

ó

Globa´lnı´ extre´my funkcı´

132

To znamena´, zˇe v bodeˇ (0, 0) je globa´lnı´ minimum a v bodech jednotkove´ kruzˇnice, kteryćh je nekonecˇneˇ mnoho, jsou globa´lnı´ maxima. Hodnota globa´lnı´ho minima je 0 a hodnota globa´lnı´ho maxima je 1/e — viz obr. 5.7. 2) Globa´lnı´ extre´my (jeden nebo oba) nemusı´ existovat. Podı´vejme se na neˇkolik prˇ´ıkladu˚. • Funkce f : z = x + y, (x, y) ∈ R2 , naby´va´ jak libovolneˇ velkyćh hodnot (kdyzˇ x a y budou velka´ kladna´ cˇ´ısla) tak libovolneˇ malyćh hodnot (kdyzˇ x a y budou velka´ za´porna´ cˇ´ısla). Zˇa´dna´ funkcˇnı´ hodnota tedy nebude ani nejveˇtsˇ´ı ani nejmensˇ´ı. Du˚vodem neexistence globa´lnıćh extre´mu˚ je neohranicˇenost mnozˇiny funkcˇnıćh hodnot. • Funkce g : z = tg x, (x, y) ∈ (−π/2, π/2) × (−1, 1) (zˇe explicitneˇ neza´visı´ na y, nevadı´) je rovneˇzˇ neohranicˇena´ shora i zdola, protozˇe funkce tangens je na intervalu (−π/2, π/2) shora i zdola neohranicˇena´. Na rozdı´l od prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu je jejı´ definicˇnı´ obor ohranicˇeny´. 2

2

• Funkce h : z = e−x −y , (x, y) ∈ R2 , naby´va´ v bodeˇ (0, 0) globa´lnı´ho maxima. Je totizˇ h(0, 0) = e0 = 1. Protozˇe pro (x, y) 6= (0, 0) je −x 2 − y 2 < 0 a exponencia´la 2 2 eu je rostoucı´, je e−x −y < e0 = 1. Tato funkce ale nema´ globa´lnı´ minimum. Pro (v absolutnı´ hodnoteˇ) velka´ x a y je −x 2 − y 2 velmi male´. Protozˇe lim eu = 0, u→−∞

naby´va´ funkce h libovolneˇ malyćh kladnyćh hodnot, ale nuly nikdy nedosa´hne, protozˇe exponencia´la je vzˇdy kladna´ — viz obr. 6.1 a). Definicˇnı´ obor je neohranicˇeny´. • Pokud bychom zmeˇnili definici funkce h v bodeˇ (0, 0) a polozˇili h(0, 0) = 1/2, neexistovalo by ani globa´lnı´ maximum. V okolı´ pocˇa´tku by se totizˇ funkcˇnı´ hodnoty prˇiblizˇovaly jedne´, ale te´to hodnoty zmeˇneˇna´ funkce h nenaby´va´ (pocˇa´tek byl jediny´m takovy´m bodem). Vsˇimneˇte si, zˇe po prˇedefinovańı´ by prˇestala by´t h spojita´ v pocˇa´tku. • Funkce k : z = x + y, (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1), nema´ zˇa´dny´ globa´lnı´ extre´m. Platı´ 0 < x < 1, 0 < y < 1, takzˇe 0 < x + y < 2. Obor hodnot je tudı´zˇ otevrˇeny´ interval (0, 2), ktery´ neobsahuje ani nejmensˇ´ı ani nejveˇtsˇ´ı cˇ´ıslo — viz obr. 6.1 b). Definicˇnı´ obor je tentokra´t ohranicˇeny´. z 2

1

z

0,8 0,6

1

0,4 0,2 0 −3

−2

−1

y

0

1

2

3

a) h : z =

3

2

1

0

−1

−2

−3

x

2 2 e−x −y

Obr. 6.1: Grafy funkcı´

1

0 0

x

1

0

b) k : z = x + y

y

133

3) Prˇi vysˇetrˇovańı´ globa´lnıćh extre´mu˚ cˇasto neuvazˇujeme funkce na maxima´lnıćh definicˇnıćh oborech, ktere´ prˇedpisy funkcı´ prˇipousˇteˇjı´. Viz definice 6.1, kde M ⊂ D(f ), ale mu˚zˇe by´t M 6= D(f ). Na to nesmı´me zapomıńat, abychom omylem nezahrnuli i funkcˇnı´ hodnoty v bodech lezˇ´ıcıćh sice v D(f ), ale nelezˇ´ıcıćh v M — viz funkce k z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu, jejı´zˇ maxima´lnı´ definicˇnı´ obor by byl R2 . Videˇli jsme, zˇe du˚vody neexistence globa´lnıćh extre´mu˚ jsou v podstateˇ dva: Bud’ je mnozˇina funkcˇnıćh hodnot neohranicˇena´, nebo se hodnoty neomezeneˇ prˇiblizˇujı´ neˇjake´mu cˇ´ıslu, ale nikdy je nedosa´hnou. Prˇedpoklady na´sledujıćı´ veˇty, ktera´ je obdobou tvrzenı´ pro funkce jedne´ promeˇnne´, zajisˇt’ujı´, zˇe se nic takove´ho nemu˚zˇe sta´t. Prˇedchozı´ prˇ´ıklady ukazujı´, zˇe zˇa´dny´ z prˇedpokladu˚ nelze vynechat. Veˇta 6.3 (Weierstrass1 ). Necht’ funkce f (x, y) je spojita´ na ohranicˇene´ a uzavrˇene´ mnozˇineˇ M ⊂ D(f ). Pak existujı´ globa´lnı´ extre´my te´to funkce na M, tj. existujı´ body (x1 , y1 ) ∈ M a (x2 , y2 ) ∈ M takove´, zˇe f (x1 , y1 ) 5 f (x, y) 5 f (x2 , y2 ) pro libovolne´ (x, y) ∈ M. Prˇi vysˇetrˇovańı´ globa´lnıćh extre´mu˚ funkce f (x, y), (x, y) ∈ M ⊂ D(f ), vyjdeme z toho, zˇe tyto extre´my existujı´. To veˇtsˇinou zarucˇ´ıme pomocı´ prˇedchozı´ veˇty. Pak je mozˇne´ postupovat podle na´sledujıćı´ho na´vodu. Zdu˚razneˇme jesˇteˇ jednou, zˇe prˇedpokla´da´me, zˇe to, co hleda´me, existuje! Pokud tomu tak nenı´, mu˚zˇeme dostat naprosty´ nesmysl (najdeme neˇco, co neexistuje). Jestlizˇe extre´m nastane v bodeˇ (x0 , y0 ) ∈ M ⊂ D(f ), pak je tento bod bud’ vnitrˇnı´m nebo hranicˇnı´m bodem M. 1) Je-li to vnitrˇnı´ bod, pak je funkce f definovana´ v jiste´m okolı´ tohoto bodu, a tudı´zˇ zde ma´ rovneˇzˇ loka´lnı´ extre´m. Podle veˇty 5.3 resp. du˚sledku 5.5 najdeme body, v nichzˇ neˇktera´ parcia´lnı´ derivace neexistuje, nebo je nulova´. V nich vypocˇteme funkcˇnı´ hodnoty. Nebudeme zjisˇt’ovat, zda jde skutecˇneˇ o loka´lnı´ extre´my. Tı´m sice mozˇna´ zbytecˇneˇ zahrneme neˇktere´ „prˇebytecˇne´“ body, ale rozhodovańı´, zda jde o extre´m nebo ne, je obvykle mnohem pracneˇjsˇ´ı nezˇ (zbytecˇny´) vy´pocˇet funkcˇnı´ hodnoty. Body „nepra´vem“ zahrnute´ se stejneˇ neuplatnı´. 2) Je-li to hranicˇnı´ bod, musı´me vysˇetrˇit hodnoty f na hranici mnozˇiny M ⊂ D(f ). Pro jednoduchost budeme prˇedpokla´dat, zˇe hranice je tvorˇena „rozumny´mi“ krˇivkami. Prˇesneˇji, hranici lze rozdeˇlit na cˇa´sti, ktere´ prˇedstavujı´ grafy funkce jedne´ promeˇnne´ tvaru y = g(x), x ∈ ha, bi nebo x = g(y), y ∈ ha, bi, poprˇ. obecneˇji jsou popsane´ tzv. parametricky´mi rovnicemi tvaru x = g(t), y = h(t), t ∈ ha, bi (specia´lnı´m prˇ´ıpadem jsou parametricke´ rovnice prˇ´ımky). Rovnice hranice dosadı ´ me do funkce f (x, y). Podle typu ˚ dostaneme f x, g(x) nebo f g(y), y , poprˇ. f g(t), h(t) , cˇ´ımzˇ u´lohu prˇevedeme na vysˇetrˇovańı´ globa´lnıćh extre´mu˚ funkce jedne´ promeˇnne´ na intervalu ha, bi — viz [11, str. 287]. I zde platilo, 1 Karl

Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897) (cˇti vajersˇtras) — vy´znamny´ neˇmecky´ matematik. Zaby´val se matematickou analy´zou, analyticky´mi funkcemi, variacˇnı´m pocˇtem, diferencia´lnı´ geometriı´ a linea´rnı´ algebrou. Jeden z nejvy´znamneˇjsˇ´ıch matematiku˚ vsˇech dob.


134

zˇe extre´m mu˚zˇe by´t pouze ve vnitrˇnı´m bodeˇ intervalu, kde je soucˇasneˇ loka´lnı´ extre´m, nebo v krajnı´m bodeˇ intervalu. Najdeme vsˇechny „podezrˇele´“ body (opeˇt nerozhodujeme, zda jde skutecˇneˇ o loka´lnı´ extre´my) pro vsˇechny cˇa´sti hranice a vypocˇteme v nich funkcˇnı´ hodnoty funkce f . 3) Ze vsˇech takto zı´skanyćh funkcˇnıćh hodnot vybereme nejveˇtsˇ´ı a nejmensˇ´ı. Ty prˇedstavujı´ globa´lnı´ maximum a minimum vysˇetrˇovane´ funkce.

+

Pokud nenı´ zarucˇena existence globa´lnıćh extre´mu˚, prˇedchozı´ postup v podstateˇ da´va´ nejveˇtsˇ´ı loka´lnı´ maxima resp. nejmensˇ´ı loka´lnı´ minima. To vsˇak rozhodneˇ nemusı´ by´t globa´lnı´ extre´my (funkce mu˚zˇe by´t naprˇ. neohranicˇena´). Nicmeńeˇ i v tomto prˇ´ıpadeˇ mu˚zˇeme rˇ´ıci, zˇe jinde nezˇ ve vytipovanyćh bodech globa´lnı´ extre´my by´t nemohou. Musı´me vsˇak nakonec doka´zat, zda o globa´lnı´ extre´my jde nebo ne. To mu˚zˇe by´t jednodusˇsˇ´ı, kdyzˇ uzˇ vı´me, kolik by extrema´lnı´ hodnota mohla jedineˇ by´t a ve ktere´m bodeˇ by nastala. Neexistuje ovsˇem zˇa´dny´ univerza´lnı´ na´vod, jak postupovat, a obecneˇ jde o velmi obtı´zˇnou u´lohu. Prˇ´ıklad 6.4. Najdeˇte globa´lnı´ extre´my funkce f : z = x 2 + 4xy − 8x − 8y + 20 na mnozˇineˇ M = {(x, y) ∈ R2 : 1 5 x 5 3, 0 5 y 5 3}. Rˇesˇenı´. Uvazˇovany´m oborem je obde´lnı´k. Protozˇe je to uzavrˇena´ a ohranicˇena´ mnozˇina a funkce f je spojita´ (dokonce na R2 — jde o mnohocˇlen), globa´lnı´ extre´my podle veˇty 6.3 existujı´. Podle prˇedchozı´ho na´vodu si vsˇimneme nejprve loka´lnıćh extre´mu˚ uvnitrˇ tohoto obde´lnı´ku. Protozˇe f ma´ parcia´lnı´ derivace (vsˇech rˇa´du˚), loka´lnı´ extre´my mohou podle du˚sledku 5.5 nastat pouze ve staciona´rnıćh bodech. fx = 2x + 4y − 8, fy = 4x − 8,

⇒

2x + 4y = 8, 4x = 8,

⇒

x = 2,

y = 1.

Protozˇe staciona´rnı´ bod A = (2, 1) lezˇ´ı uvnitrˇ M, je to prvnı´ „podezrˇely´“ bod. Hranice M je tvorˇena cˇtyrˇmi u´secˇkami rovnobeˇzˇny´mi se sourˇadny´mi osami. Oznacˇ´ıme je postupneˇ h1 , h2 , h3 a h4 — viz obr. 6.2 a). Platı´: h1 : y = 0, x ∈ h1, 3i h2 : x = 3, y ∈ h0, 3i

⇒ ⇒

f (x, y) = f (x, 0) = x 2 − 8x + 20 = g1 (x), f (x, y) = f (3, y) = 4y + 5 = g2 (y),

h3 : y = 3, x ∈ h1, 3i h4 : x = 1, y ∈ h0, 3i

⇒ ⇒

f (x, y) = f (x, 3) = x 2 + 4x − 4 = g3 (x), f (x, y) = f (3, y) = −4y + 13 = g4 (y).

Nynı´ vysˇetrˇ´ıme globa´lnı´ extre´my vzniklyćh cˇtyrˇ funkcı´ jedne´ promeˇnne´. Vsˇechny jsou definovane´ na ohranicˇenyćh uzavrˇenyćh intervalech a majı´ derivaci. Zajı´majı´ na´s tedy staciona´rnı´ body uvnitrˇ jednotlivyćh intervalu˚ a krajnı´ body.

135

g10 (x) = 2x − 8 = 0 g20 (y) g30 (x) g40 (y)

⇒

=4

⇒

= 2x + 4 = 0

⇒

= −4

⇒

x=4∈ / h1, 3i, krajnı´ body B = (1, 0), nema´ staciona´rnı´ bod, krajnı´ body C = (3, 0), x = −2 ∈ / h1, 3i, krajnı´ body E = (1, 3), nema´ staciona´rnı´ bod, krajnı´ body B = (1, 0),

C = (3, 0), D = (3, 3), D = (3, 3), E = (1, 3).

Nasˇli jsme tudı´zˇ peˇt bodu˚. Vypocˇteme funkcˇnı´ hodnoty a vybereme nejveˇtsˇ´ı a nejmensˇ´ı: f (A) = 8,

f (B) = 13,

f (C) = 5,

f (D) = 17,

f (E) = 1.

Globa´lnı´ maximum fmax = 17 je v bodeˇ (3, 3), globa´lnı´ minimum fmin = 1 je v bodeˇ (1, 3). Graf vysˇetrˇovane´ funkce je zna´zorneˇn na obr. 6.2 b). N

y h3

E

3

D z

h4

10

M C x

h1

B O

h2

A

1 1

2

3

16 2

2

1

1

x

3

a)

2 3

y

0

b)

Prˇ´ıklad 6.5. Najdeˇte globa´lnı´ extre´my funkce f : z = 2x 3 + 4x 2 + y 2 − 2xy na mnozˇineˇ M = {(x, y) ∈ R2 : x 2 − 2 5 y 5 4}. Rˇesˇenı´. Uvazˇovany´m oborem je u´secˇ paraboly. Protozˇe je to uzavrˇena´ a ohranicˇena´ mnozˇina a funkce f je spojita´ (dokonce na R2 — jde o mnohocˇlen), globa´lnı´ extre´my podle veˇty 6.3 existujı´. Opeˇt si nejprve vsˇimneme loka´lnıćh extre´mu˚ uvnitrˇ M. Protozˇe f ma´ parcia´lnı´ derivace (vsˇech rˇa´du˚), loka´lnı´ extre´my mohou podle du˚sledku 5.5 nastat pouze ve staciona´rnıćh bodech. fx = 6x 2 + 8x − 2y, fy = 2y − 2x,

⇒

6x 2 + 8x − 2y = 0, 2y − 2x = 0,

⇒

x = y, 6x 2 + 6x = 0.

+

Obr. 6.2: f : z = x 2 + 4xy − 8x − 8y + 20, 1 5 x 5 3, 0 5 y 5 3


136

Rovnice x 2 + x = x(x + 1) = 0 ma´ rˇesˇenı´ x = 0 a x = −1. Ma´me tudı´zˇ dva staciona´rnı´ body (0, 0) a (−1, −1). Staciona´rnı´ bod A = (0, 0) lezˇ´ı uvnitrˇ M. Bod (−1, −1) lezˇ´ı na hranici (vyhovuje rovnici x 2 − 2 = y), takzˇe jej zatı´m nebudeme uvazˇovat. Dostaneme se k neˇmu pozdeˇji prˇi vysˇetrˇovańı´ hranice. Hranice M je tvorˇena obloukem paraboly h1 a u´secˇkou h2 — viz obr. 6.3 a). Platı´: √ √ h1 : y = x 2 − 2, x ∈ h− 6, 6i ⇒ f (x, y) = f (x, x 2 − 2) = 2x 3 + 4x 2 + (x 2 − 2)2 − 2x(x 2 − 2) = = x 4 + 4x + 4 = g1 (x), √ √ h2 : y = 4, x ∈ h− 6, 6i ⇒ f (x, y) = f (x, 4) = 2x 3 + 4x 2 + 42 − 2x · 4 = 2x 3 + 4x 2 − 8x + 16 = g2 (x). Nynı´ vysˇetrˇ´ıme globa´lnı´ extre´my teˇchto dvou funkcı´ jedne´ promeˇnne´. Obeˇ jsou definovane´ na ohranicˇenyćh uzavrˇenyćh intervalech a majı´ derivaci. Zajı´majı´ na´s tedy staciona´rnı´ body uvnitrˇ jednotlivyćh intervalu˚ a krajnı´ body. √ √ g10 (x) = 4x 3 + 4 = 0 ⇒ x 3 = −1 ⇒ x = −1 ∈ h− 6, 6i, staciona´rnı´ bod B = (−1, −1), √ √ krajnı´ body C = (− 6, 4), D = ( 6, 4), √ √ √ −2 −8± 64+192 0 2 g2 (x) = 6x + 8x − 8 = 0 ⇒ x1,2 = = ∈ h− 6, 6i, 12 2/3 staciona´rnı´ body E = (−2, 4), F = (2/3, 4), √ √ krajnı´ body C = (− 6, 4), D = ( 6, 4). Nasˇli jsme tudı´zˇ sˇest bodu˚. Vypocˇteme funkcˇnı´ hodnoty a vybereme nejveˇtsˇ´ı a nejmensˇ´ı: √ . f (A) = 0, f (B) = 1, f (C) = 40 − 4 6 = 30,2, √ . . f (D) = 40 + 4 6 = 49,8, f (E) = 32, f (F ) = 352/27 = 13,03. √ √ Globa´lnı´ maximum fmax = 40 + 4 6 je v bodeˇ ( 6, 4), globa´lnı´ minimum fmin = 0 je v bodeˇ (0, 0). Graf vysˇetrˇovane´ funkce je zna´zorneˇn na obr. 6.3 b). N V za´veˇrecˇne´m prˇ´ıkladu budeme potrˇebovat na´sledujıćı´ lemma, ktere´ hraje v u´lohaćh na globa´lnı´ extre´my cˇasto vy´znamnou roli. Jeho vy´znam je ale mnohem sˇirsˇ´ı. Lemma 6.6. Necht’ n ∈ N a x1 , . . . , xn ∈ R+ (tj. jsou to kladna´ cˇ´ısla). Pak platı´: n 1 x1

+

1 x2

+ ··· +

1 xn

5

x1 + x2 + · · · + xn √ n x1 x2 · · · xn 5 . n

(6.1)

Prˇitom rovnosti nastanou pra´veˇ jen v prˇ´ıpadeˇ, zˇe vsˇechna cˇ´ısla xi , i = 1, . . . , n, jsou stejna´, tj. x1 = x2 = · · · = xn .

137 z

y C E

4 F

z = f (x, y)

50 40

D

30

h2

M

20 10

h1

M

4

A

√ − 6

O

x √ 6

2

y

B

0 −2

−2

−2

a)

3

2

1

0

−1

x

b)

Obr. 6.3: f : z = 2x 3 + 4x 2 + y 2 − 2xy, x 2 − 2 5 y 5 4

Prˇ´ıklad 6.7. Mezi vsˇemi kva´dry o dane´m povrchu najdeˇte ten, ktery´ ma´ nejveˇtsˇ´ı objem. Rˇesˇenı´. Oznacˇme x, y, z rozmeˇry kva´dru, x, y, z > 0, 2S povrch kva´dru, kde S > 0 je dane´ cˇ´ıslo, a V jeho objem. Pak platı´ 2(xy + xz + yz) = 2S

⇒

z(x + y) = S − xy

⇒

z=

S − xy . x+y

(6.2)

Prˇedchozı´ vztah da´va´ (prˇi dane´m povrchu 2S) vazbu mezi rozmeˇry x, y a z. Protozˇe x, y, z > 0 a S > 0, musı´ by´t xy < S. Zvolı´me-li tudı´zˇ libovolna´ x, y > 0 tak, aby xy < S, vzˇdy existuje kva´dr o rozmeˇrech x, y a z = S−xy x+y . Pro objem pak platı´ V = xyz =

Sxy − x 2 y 2 xy(S − xy) = = f (x, y), x+y x+y

prˇicˇemzˇ x, y > 0, xy < S.

Dı´ky vazebne´ podmıńce (6.2) se mu˚zˇeme zbavit jedne´ promeˇnne´, a na vy´raz pro objem se lze proto dı´vat jako na funkci jen dvou promeˇnnyćh f (x, y), uvazˇovanou na mnozˇineˇ M = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, xy < S} — viz obr. 6.4. Mnozˇina M nenı´ ani uzavrˇena´ (naopak je otevrˇena´) ani ohranicˇena´, takzˇe nelze pouzˇ´ıt veˇtu 6.3. Nema´me tudı´zˇ zarucˇeno, zˇe globa´lnı´ maximum, ktere´ hleda´me, existuje. Pokud ano, musı´ to by´t bod loka´lnı´ho maxima, protozˇe zˇa´dny´ hranicˇnı´ bod do M nepatrˇ´ı — viz komenta´rˇ na str. 134 prˇed prˇ´ıkladem 6.4.

y M y=

S x

x O

Obr. 6.4

+

Du˚kaz prave´ nerovnosti viz naprˇ. [19, str. 30]. Pouzˇijeme-li pak tuto nerovnost na cˇ´ısla 1/xi , dostaneme levou nerovnost. Vy´raz na leve´ straneˇ (6.1) se nazy´va´ harmonicky´ pru˚meˇr cˇ´ısel x1 , . . . , xn , vy´raz uprostrˇed geometricky´ pru˚meˇr cˇ´ısel x1 , . . . , xn a vy´raz na prave´ straneˇ aritmeticky´ pru˚meˇr cˇ´ısel x1 , . . . , xn . Proto se prˇedchozı´ nerovnost nazy´va´ nerovnost mezi aritmeticky´m, geometricky´m a harmonicky´m pru˚meˇrem.


138

Funkce f ma´ na M spojite´ parcia´lnı´ derivace (vsˇech rˇa´du˚), takzˇe loka´lnı´ extre´m mu˚zˇe nastat podle du˚sledku 5.5 pouze ve staciona´rnı´m bodeˇ. y 2 (S − x 2 − 2xy) (Sy − 2xy 2 )(x + y) − (Sxy − x 2 y 2 ) · 1 = , (x + y)2 (x + y)2 x 2 (S − y 2 − 2xy) fy = (ze symetrie). (x + y)2 fx =

Aby fx = 0, fy = 0, musı´ by´t nulove´ cˇitatele prˇedchozıćh zlomku˚. Ty majı´ tvar soucˇinu˚. Protozˇe x > 0, y > 0, je jedinou mozˇnostı´, zˇe S − x 2 − 2xy = 0,

⇒

2

S − y − 2xy = 0, Da´le

po odecˇtenı´ x 2 = y 2

S − x 2 − 2xy = 0, x = y,

⇒

protozˇe x, y > 0.

x = y,

r ⇒

2

S − 3x = 0

⇒

x=

S = y. 3

Ze (6.2) vyjde S− z= q

q q

S 3

S 3

+

q

S 3

S 3

r =

S , 3

a tudı´zˇ

s r 3 S S3 V = xyz = = . 3 27

p Jde tedy o krychli s objemem S 3 /27. Pomocı´ druhyćh derivacı´ bychom mohli zjistit, jestli jde o loka´lnı´ maximum. To by bylo dost pracne´ a stejneˇ bychom neveˇdeˇli, zda je tento extre´m globa´lnı´. ´m tedy vı´me, zˇe pokud globa´lnı´ maximum existuje, musı´ to by´t v bodeˇ q q jenom q Zatı S 3,

S 3,

S 3

a pu˚jde o krychli. K du˚kazu toho, zˇe tomu tak opravdu je, pouzˇijeme lemma 6.6. Pro n = 3 polozˇ´ıme x1 = xy, x2 = xz a x3 = yz. Z prave´ nerovnosti ve (6.1) dostaneme s ohledem na (6.2) (x, y, z jsou rozmeˇry kva´dru) r 3 p xy + xz + yz S S 3 2/3 x 2 y 2 z2 = (xyz) 5 = ⇒ xyz 5 . (6.3) 3 3 3

Nalezeny´ staciona´rnı´ bod je tedy skutecˇneˇ globa´lnı´m maximem a (jediny´m) rˇesˇenı´m nasˇ´ı u´lohy je krychle. N Na za´veˇr poznamenejme, zˇe celou u´lohu jsme mohli vyrˇesˇit jen s pomocı´ lemmatu 6.6 a mnohem sna´z. Nerovnost (6.3) totizˇ platı´ pro libovolna´ trˇi kladna´ cˇ´ısla x, y, z takova´, zˇe xy + xz + yz = S >0. Zmıńeˇne´ lemma ale jesˇteˇ uprˇesnˇuje, zˇe k rovnosti dojde pra´veˇ v prˇ´ıpadeˇ, kdyzˇ xy = xz = yz, z cˇehozˇ plyne x = y = z. Z q vazebnı´ podmıńky xy + xz + yz = S tak dostaneme, zˇe 3x 2 = S, tedy x = y = z = S3 , cozˇ je na´m jizˇ zna´my´ vy´sledek. Prˇedchozı´ vy´pocˇet parcia´lnıćh derivacı´ a hledańı´ staciona´rnıćh bodu˚ byly tedy zcela zbytecˇne´, vy´sledek sˇlo zı´skat mnohem jednodusˇsˇ´ım zpu˚sobem. To ukazuje, jak mocny´m na´strojem je nerovnost mezi algebraicky´m a geometricky´m pru˚meˇrem.

139

Pro za´jemce: Podı´vejme se jesˇteˇ pro zajı´mavost na to, zda funkce f (x, y) z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu 6.7 ma´ i globa´lnı´ minimum. Zrˇejmeˇ f (x, y) > 0 pro (x, y) ∈ M. Pro body (x, 1) ∈ M platı´ lim+ f (x, 1) = lim+

x→0

x→0

Sx − x 2 0 = = 0, x+1 1

cozˇ znamena´, zˇe f naby´va´ neomezeneˇ malyćh kladnyćh hodnot. Protozˇe ale nuly nikdy nedosa´hne, globa´lnı´ minimum neexistuje. Zkuste si prˇedstavit, jak bude vypadat kva´dr, jehozˇ povrch bude prˇedepsana´ hodnota 2S a objem bude velice maly´. (Volte naprˇ. x = y mala´ a ze (6.2) urcˇete z.) Situace se zmeˇnı´, kdyzˇ rozsˇ´ırˇ´ıme f i na hranici mnozˇiny M, ktera´ je tvorˇena dveˇma poloprˇ´ımkami a jednou veˇtvı´ hyperboly — viz obr. 6.4. Na te´to hranici je f rovna nule (kromeˇ pocˇa´tku, kde nenı´ definovana´). Pokud tedy uvazˇujeme f na uza´veˇru M (dodefinujeme naprˇ. f (0, 0) = 0), existuje i globa´lnı´ minimum, jehozˇ hodnota je nula a funkce ho naby´va´ v kazˇde´m hranicˇnı´m bodeˇ M. Takto dodefinovana´ funkce je dokonce spojita´, cozˇ nynı´ doka´zˇeme. Pro (x, y) 6= (0, 0) je to zrˇejme´. V bodeˇ (0, 0) musı´me vypocˇ´ıtat limitu. K tomu pouzˇijeme lemma 1.27. Funkci f vyja´drˇ´ıme v pola´rnıćh sourˇadnicıćh (v (1.3) volı´me x0 = y0 = 0). Po vykraćenı´ vyjde f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) =

ρ cos ϕ sin ϕ(S − ρ 2 cos ϕ sin ϕ) . cos ϕ + sin ϕ

Polozˇme v lemmatu 1.27 g(ρ) = ρ,

h(ρ, ϕ) =

cos ϕ sin ϕ(S − ρ 2 cos ϕ sin ϕ) cos ϕ + sin ϕ

a

L = 0.

√ Prˇitom ρ ∈ (0, ρ0 i, kde ρ0 < 2S (pak S − xy = S − ρ 2 cos ϕ sin ϕ > 0), a da´le ϕ ∈ I = h0, π/2i (zajı´majı´ na´s jen body v prvnı´m kvadrantu). Je lim g(ρ) = 0. ρ→0

Uka´zˇeme, zˇe h(ρ, ϕ) je ohranicˇena´. Pro ϕ ∈ I je cos ϕ = 0, sin ϕ = 0. Protozˇe sinus a kosinus nejsou nikdy soucˇasneˇ rovny nule, je cos ϕ + sin ϕ > 0. Tedy 0 5 sin ϕ 5 cos ϕ + sin ϕ

⇒

05

sin ϕ 5 1, cos ϕ + sin ϕ

0 5 cos ϕ 5 1, 0 < S − ρ 2 cos ϕ sin ϕ 5 S. Vyna´sobenı´m teˇchto nerovnostı´ dostaneme, zˇe 0 5 h(ρ, ϕ) 5 S. Podle lemmatu 1.27 je lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = L = 0 = f (0, 0),

takzˇe f je v tomto bodeˇ spojita´. Veˇtu 6.3 prˇesto nemu˚zˇeme ani ted’ pouzˇ´ıt, protozˇe M je neohranicˇena´. Graf funkce pro S = 3 je zna´zorneˇn na obr. 6.5.

S prˇedchozı´m prˇ´ıkladem souvisı´ tzv. u´lohy na va´zane´ extre´my. Jde o u´lohy najı´t loka´lnı´ resp. globa´lnı´ extre´my funkce dvou nebo vıće promeˇnnyćh, ktera´ je definovana´ na mnozˇineˇ, jejı´zˇ body vyhovujı´ neˇjake´ rovnici poprˇ. soustaveˇ rovnic nebo obecneˇji soustaveˇ


140 z 1

0,5

0 0 1 2

x

3 4 5 6

Obr. 6.5: f : z =

0

1

3xy−x 2 y 2 x+y ,

2

3

4

5

6

y

0 5 x < +∞, 0 5 y 5

3 x

rovnic a neostryćh nerovnic (tzv. vazebne´ podmıńky). Naprˇ. prˇedchozı´ prˇ´ıklad lze cha´pat jako u´lohu najı´t globa´lnı´ maximum funkce trˇ´ı promeˇnnyćh g(x, y, z) = xyz na mnozˇineˇ bodu˚ (x, y, z) vyhovujıćıćh rovnici xy + xz + yz = S. Vysˇetrˇovańı´ takovyćh u´loh souvisı´ s tzv. Lagrangeovou funkcı´. Touto problematikou a formulacı´ nutnyćh a postacˇujıćıćh podmıńek existence loka´lnıćh va´zanyćh extre´mu˚ se budeme zaby´vat v kapitole 8.

Pro za´jemce: Vsˇechny pojmy zava´deˇne´ v te´to kapitole se snadno prˇenesou na funkce vıće promeˇnnyćh. V platnosti zu˚sta´va´ i Weierstrassova veˇta. Vysˇetrˇovańı´ na hranicıćh mnozˇin je ale pro veˇtsˇ´ı pocˇet promeˇnnyćh cˇasto obtı´zˇne´. Ma´-li funkce f v bodeˇ x0 globa´lnı´ extre´m, musı´ zde by´t pochopitelneˇ i loka´lnı´ extre´m. Tedy nutne´ podmıńky pro existenci loka´lnıćh extre´mu˚ jsou soucˇasneˇ nutny´mi podmıńkami pro existenci bodu˚ globa´lnıćh extre´mu˚. Pokud ma´me existenci globa´lnıćh extre´mu˚ neˇjak zajisˇteˇnou, stacˇ´ı nale´zt vsˇechny body loka´lnıćh extre´mu˚ a z nich vybrat ty, v nichzˇ je nejveˇtsˇ´ı a nejmensˇ´ı funkcˇnı´ hodnota. Pokud vsˇak existence zarucˇena nenı´, mu˚zˇe by´t tento postup naprosto chybny´.

X

Pojmy k zapamatovańı´ — — — — —

globa´lnı´ (absolutnı´) extre´my funkce dvou promeˇnnyćh globa´lnı´ (absolutnı´) minimum funkce dvou promeˇnnyćh globa´lnı´ (absolutnı´) maximum funkce dvou promeˇnnyćh Weierstrassova veˇta nerovnosti mezi aritmeticky´m, geometricky´m a harmonicky´m pru˚meˇrem


141


?

1. Vysveˇtlete postup vy´pocˇtu globa´lnıćh (absolutnıćh) extre´mu˚ funkce dvou a vıće promeˇnnyćh. 2. Definujte globa´lnı´ extre´my funkce dvou promeˇnnyćh. 3. Udejte prˇ´ıklad takove´ funkce f definovane´ na mnozˇineˇ M, ktera´ nema´ globa´lnı´ extre´m. 4. Udejte postacˇujıćı´ podmıńky, aby funkce f meˇla na mnozˇineˇ M globa´lnı´ extre´m. 5. Muzˇe mı´t funkce vıće promeˇnnyćh na dane´ mnozˇineˇ vıće bodu˚ v nichzˇ naby´va´ sve´ho globa´lnı´ho maxima (minima)? 6. Ve kteryćh bodech mnozˇiny M ⊂ D(f ) mohou nastat globa´lnı´ extre´my funkce f ?

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Najdeˇte globa´lnı´ extre´my funkce z = f (x, y), (x, y) ∈ M: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o)

z = x 2 − 2y 2 + 4xy − 6x − 1, M = {x = 0, y = 0, y 5 3 − x}, z = xy 2 (4 − x − y), M = {x = 0, y = 0, x + y 5 6}, z = x 3 + y 3 − 3xy, M je obde´lnı´k s vrcholy A = (0, −1), B = (2, −1), C = (2, 2), D = (0, 2), z = x 2 − y 2 , M je kruh x 2 + y 2 5 4, 2 2 z = e−x −y (3x 2 + 2y 2 ), M je kruh x 2 + y 2 5 4, z = x 3 + y 3 − 9xy + 27, M = {0 5 x 5 4, 0 5 y 5 4}, z = x 2 + 2xy − 4x + 8y, M je obde´lnı´k ohranicˇeny´ prˇ´ımkami x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 3xy, M je kruh x 2 + y 2 5 2, 2 z = 3xp − y 2 , M je kruh x 2 + y 2 5 4, z =x p 1 − x 2 − y 2 , M je kruh x 2 + y 2 5 1, z = xy 1 − x 2 − y 2 , M je kruh x 2 + y 2 5 1, z = x 2 + y 2 + 12 (x + y + 16)2 , M je kruh x 2 + y 2 5 16, z = x 2 + xy − 4x − 8y, M je obde´lnı´k s vrcholy A = (0, 0), B = (3, 0), C = (3, 2), D = (0, 2), z = x 2 + y 2 + 16x − 12y, M je kruh x 2 + y 2 5 25, z = sin x + sin y − sin(x + y), M = {x = 0, y = 0, x + y 5 2π}.

2. Rˇesˇte slovnı´ u´lohy na globa´lnı´ extre´my: a) Soucˇet trˇ´ı kladnyćh cˇ´ısel je 21. Urcˇete jednotlive´ scˇ´ıtance tak, aby jejich soucˇin byl maxima´lnı´. b) Kladne´ cˇ´ıslo a rozlozˇte na soucˇin cˇtyrˇ kladnyćh cˇ´ısel tak, aby jejich soucˇet byl minima´lnı´. c) Urcˇete rozmeˇry bazeńu majıćı´ho tvar kva´dru tak, aby prˇi dane´m objemu V > 0 byl soucˇet obsahu˚ jeho dna a steˇn minima´lnı´. d) Urcˇete rozmeˇry rovnobeˇzˇnosteˇnu o dane´m objemu V > 0 tak, aby jeho povrch byl minima´lnı´. e) Z pa´su plechu o sˇ´ırˇce 24 cm se ma´ vyformovat zˇlab, jehozˇ pru˚rˇezem je rovnoramenny´ lichobeˇzˇnı´k, nahorˇe otevrˇeny´, tak, aby pru˚tocˇnost byla maxima´lnı´. Urcˇete de´lku a bocˇnıćh steˇn a jejich u´hel α se za´kladnou.

!


142

2

2

2

f) Urcˇete rozmeˇry kva´dru o maxima´lnı´m objemu, ktery´ je vepsań do elipsoidu xa 2 + yb2 + cz2 = 1, a, b, c > 0, a ma´ hrany rovnobeˇzˇne´ se sourˇadny´mi osami. g) Bodem K = (3, 6, 12) ∈ R3 ved’te rovinu, ktera´ spolecˇneˇ se sourˇadny´mi rovinami x = 0, y = 0 a z = 0 urcˇuje cˇtyrˇsteˇn o nejmensˇ´ım objemu. h) Urcˇete strany troju´helnı´ka o obvodu 120√m tak, aby meˇl co nejveˇtsˇ´ı obsah. Na´vod: Pouzˇijte Heronu˚v1 vzorec P = s(s − a)(s − b)(s − c), kde s =

a+b+c . 2

i) Mezi vsˇemi troju´helnı´ky vepsany´mi do kruhu o polomeˇru r > 0 najdeˇte ten, jehozˇ obsah je nejveˇtsˇ´ı. Na´vod: Za nezna´me´ volte strˇedove´ u´hly odpovı´dajıćı´ strana´m troju´helnı´ka. 3. Urcˇete staciona´rnı´ body funkce z = f (x, y), (x, y) ∈ R2 (resp. u = f (x, y, z), (x, y, z) ∈ R3 ), a oveˇrˇte, zda jsou v nich loka´lnı´ poprˇ. globa´lnı´ extre´my. a) z = xex − (1 + ex ) cos y, b) z = (x + y) e−x

2 −y 2

c) u = (x + y + z) e 2

2

,

−x−y−z

,

2

d) u = x + y + z − xy + x − 2z, e) z = 3xy − x 2 y − xy 2 .

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ 1. a)

fmin = −19 v (0, 3), fmax = −1 v (0, 0),

b)

fmin = −64 v (2, 4), fmax = 4 v (1, 2),

c)

fmin = −1 v (0, −1) a (1, 1), fmax = 13 v (2, −1),

d)

fmin = −4 v (0, ±2), fmax = 4 v (±2, 0),

e)

fmin = 0 v (0, 0), fmax = 2/e v (0, ±1),

f)

fmin = 0 v (3, 3), fmax = 91 v (4, 0) a (0, 4),

g)

fmin = −3 v (1, 0), fmax = 17 v (1, 2),

h)

fmin = −3 v (1, −1) a (−1, 1), fmax = 3 v (1, 1) a (−1, −1),

i)

fmin = −4 v (0, ±2), fmax = 12 v (±2, 0), √ √ fmin = −1/2 v (−1/ 2, 0), fmax = 1/2 v (1/ 2, 0), √ √ √ √ fmin = −1/3 v (−1/ 3, 1/ 3) a (1/ 3, −1/ 3), √ √ √ √ fmax = 1/3 v (1/ 3, 1/ 3) a (−1/ 3, −1/ 3), √ √ √ √ √ √ fmin = 160 − 64 2 v (−2 2, −2 2), fmax = 160 + 64 2 v (2 2, 2 2),

j) k) l) m)

fmin = −17 v (1, 2), fmax = 0 v (0, 0),

n)

fmin = −75 v (−4, 3), fmax = 125 v (4, −3), √ fmin = 0 na cele´ hranici , fmax = 3 3/2 v (2π/3, 2π/3).

o)

2. a) S = xyz, x + y + z = 21, x = y = z = 7, Smax = 343, 1 Heron

Alexandrijsky´ (asi 1. stol. n. l.) — starorˇecky´ mechanik a inzˇeny´r, odvodil mj. obsahy resp. objemy neˇkteryćh geometrickyćh u´tvaru˚ v rovineˇ a v prostoru.


143

√ √ b) S = x1 + x2 + x3 + x4 , x1 x2 x3 x4 = a, x1 = x2 = x3 = x4 = 4 a, Smin = 4 4 a (pouzˇijte lemma 6.6), √ √ √ 3 c) S = xy + 2xz + 2yz, xyz = V , x = y = 3 2V , z = 21 3 2V , Smax = 3 4V 2 , √ √ 3 d) S = 2(xy + xz + yz), V = xyz, x = y = z = 3 V , Smin = 6 V 2 , √ e) P = a sin α(24 − 2a + a cos α), a = 8 cm, α = π/3, Pmax = 48 3, f) V = 8xyz,

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

= 1, x =

pouzˇitı´ lemmatu 6.6 na funkci 3 p

1 6

6 q

√a , 3

V2 64a 2 b2 c2

√b , z = √c , 3 3 x 2 y 2 z2 · · ), a 2 b2 c2

y= =

Vmax =

8abc √ 3 3

(nejrychleji vede k cı´li

12 r

g) V = pqr, + + = 1 (z u´sekove´ rovnice roviny), p = 9, q = 18, r = 36, Vmin = 972. Oveˇrˇit, zˇe jde o globa´lnı´ minimum, lze pomocı´ lemmatu 6.6 (nerovnost mezi harmonicky´m a geometricky´m pru˚meˇrem). Celou u´lohu lze rˇesˇit jen pomocı´ tohoto lemmatu (bez pouzˇitı´ derivacı´), cozˇ je nerychlejsˇ´ı. y

q K

p

O

x

r

z h) S =

√ √ 60(60 − a)(60 − b)(60 − c), a + b + c = 120, a = b = c = 40, Smax = 400 3,

i) S = 12 r 2 (sin x + sin y + sin z), x + y + z = 2π, x = y = z = 2π , Smax = 3 vzorce pro obsah zvazˇte dveˇ mozˇnosti — viz na´sledujıćı´ obra´zky. C

√ 3r 2 3 . Prˇi odvozenı´ 4

C

B x y

A

x y O

O z

A z

B 3. Oznacˇenı´: lm (lM) . . . loka´lnı´ minimum (maximum), gm (gM) . . . globa´lnı´ minimum (maximum), sb . . . staciona´rnı´ bod, v neˇmzˇ nenı´ extre´m. a) lm v (0, 2kπ), k ∈ Z, sb v (0, (2k + 1)π), k ∈ Z, b) gM v 12 , 12 , gm v − 12 , − 12 , c) nekonecˇneˇ mnoho gM v bodech, ktere´ splnˇujı´ vztah x + y + z = 1, d) gm v − 23 , − 13 , 1 , e) lM v (1, 1), sb v (0, 0), (0, 3), (3, 0).

144

Kapitola 7 Implicitnı´ funkce S Z

V J

ó

Pru˚vodce studiem Funkce, se ktery´mi jsme se dosud setkali, tj. zejmeńa funkce jedne´ promeˇnne´ a funkce dvou promeˇnnyćh, vyjadrˇujı´ za´vislost jednoho cˇı´sla na jednom cˇı´sle resp. jednoho cˇı´sla na dvou cˇı´slech. Vyja´drˇenı´ te´to za´vislosti ve tvaru y = f (x) resp. z = f (x, y) nazy´va´me explicitnı´ a rˇ´ıka´me, zˇe funkce f je zadana´ explicitneˇ cˇili prˇ´ımo. Neˇkdy ale zna´me naprˇ. pouze rovnici F (x, y) = 0 o dvou nezna´myćh vyjadrˇujıćı´ vazbu mezi cˇı´sly x a y a chteˇli bychom vyja´drˇit y v za´vislosti na x, tj. vypocˇı´tat z te´to rovnice y pomocı´ x, tedy vyja´drˇit je ve tvaru y = f (x). Pak rˇ´ıka´me, zˇe funkce f je rovnicı´ F (x, y) = 0 zadana´ implicitneˇ cˇili neprˇ´ımo. Obdobneˇ mu˚zˇeme chtı´t z rovnice o trˇech nezna´myćh F (x, y, z) = 0 vypocˇı´tat velicˇinu z v za´vislosti na x a y ve tvaru z = f (x, y). Obecneˇ pak z neˇkolika takovyćh rovnic o vıće nezna´myćh mu˚zˇeme vyjadrˇovat neˇktere´ z nich pomocı´ zby´vajıćıćh. Touto problematikou se zaby´vajı´ tzv. veˇty o implicitnı´m zobrazenı´. Prˇi tomto prˇ´ıstupu jde vlastneˇ o teorii rˇesˇenı´ syste´mu˚ (nelinea´rnıćh) rovnic o vıće nezna´myćh. Situace je podstatneˇ slozˇiteˇjsˇ´ı nezˇ u syste´mu˚ linea´rnıćh rovnic, ktere´ zna´me z linea´rnı´ algebry. My se omezı´me s podrobneˇjsˇ´ım vy´kladem pouze na jednu rovnici a prˇ´ıpad funkcı´ s pocˇtem promeˇnnyćh jedna a dva. Vysveˇtlı´me si, co bude znamenat, zˇe funkce je zadana´ implicitneˇ, a zformulujeme du˚lezˇity´ vy´sledek, ktery´ je zna´m pod na´zvem veˇta o implicitnı´ funkci. Da´le si vsˇimneme ota´zky spojitosti a existence derivacı´ funkce zadane´ implicitneˇ. V cˇa´sti Pro za´jemce naznacˇı´me mozˇna´ zobecneˇnı´.

Cı´le Po prostudovańı´ te´to kapitoly budete schopni: • definovat funkci jedne´ promeˇnne´ danou implicitneˇ rovnicı´ F (x, y) = 0, • definovat funkci dvou promeˇnnyćh danou implicitneˇ rovnicı´ F (x, y, z) = 0,

7.1 Funkce jedne´ promeˇnne´ dane´ implicitneˇ

• vysveˇtlit rozdı´l mezi funkcı´ zadanou explicitneˇ a implicitneˇ, • rozhodnout, zda dana´ rovnice zada´va´ v okolı´ dane´ho bodu implicitneˇ funkci jedne´ resp. dvou promeˇnnyćh, • spocˇ´ıtat derivaci funkce jedne´ promeˇnne´ dane´ implicitneˇ, • spocˇ´ıtat parcia´lnı´ derivace funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ, • napsat rovnici tecˇny a norma´ly v dane´m bodeˇ k funkci dane´ implicitneˇ, • urcˇit staciona´rnı´ body funkce dane´ implicitneˇ, • nale´zt loka´lnı´ extre´my funkce jedne´ promeˇnne´ dane´ implicitneˇ, • nale´zt loka´lnı´ extre´my funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ, • definovat a urcˇit Tayloru˚v mnohocˇlen funkce jedne´ promeˇnne´ dane´ implicitneˇ, • definovat a urcˇit Tayloru˚v mnohocˇlen funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ.

7.1

Funkce jedne´ promeˇnne´ dane´ implicitneˇ

Je-li F (x, y) funkce dvou promeˇnnyćh, je F (x, y) = 0 rovnice o dvou nezna´myćh, jejı´zˇ rˇesˇenı´ jsou dvojice (x, y), ktere´ lze interpretovat jako sourˇadnice bodu˚ v rovineˇ. V tomto smyslu mu˚zˇeme tudı´zˇ o rˇesˇenıćh takove´ rovnice mluvit jako o bodech v rovineˇ. Definice 7.1. O funkci jedne´ promeˇnne´ y = f (x) rˇekneme, zˇe je implicitneˇ zadańa rovnicı´ F (x, y) = 0 o dvou nezna´myćh, jestlizˇe body grafu funkce f , tj. dvojice (x, f (x)), te´to rovnici vyhovujı´, tudı´zˇ platı´ F x, f (x) = 0 pro kazˇde´ x ∈ D(f ). Cozˇ lze take´ rˇ´ıci tak, zˇe graf funkce f je podmnozˇinou mnozˇiny vsˇech rˇesˇenı´ rovnice F (x, y) = 0. Uvazˇujme naprˇ´ıklad trivia´lnı´ rovnici y 2 − y = 0. Ta implicitneˇ zada´va´ naprˇ. funkce f1 (x) = 1 a f2 (x) = 0, ale rovneˇzˇ funkci f3 (x) danou vztahem ( 1 pro x raciona´lnı´, f3 (x) = 0 pro x iraciona´lnı´, zna´mou pod jmeńem Dirichletova1 Zatı´mco prvnı´ dveˇ funkce jsou spojita´, trˇetı´ je nespojita´. Takovyćh nespojityćh funkcı´, ktere´ naby´vajı´ pouze hodnot nula nebo jedna, a jsou proto implicitneˇ dane´ rovnicı´ y 2 − y = 0, lze snadno vymyslet nekonecˇneˇ mnoho. Pokud je mozˇne´ z rovnice F (x, y) = 0 o dvou nezna´myćh jednoznacˇneˇ vypocˇ´ıtat y pomocı´ x ve tvaru y = f (x), znamena´ to, zˇe mnozˇina rˇesˇenı´ te´to rovnice (tj. dvojice zna´zorneˇne´ jako body v rovineˇ) tvorˇ´ı graf funkce jedne´ promeˇnne´. Obecneˇ ovsˇem zdaleka nenı´ pravda, zˇe mnozˇina rˇesˇenı´ takove´ rovnice tvorˇ´ı graf funkce jedne´ promeˇnne´, i kdyzˇ se omezı´me pouze na spojite´ funkce. 1 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) (cˇti dirikle ´ ) — vy´znamny´ neˇmecky´ matematik.

Zaby´val se teoriı´ cˇ´ısel, matematickou analy´zou a rovnicemi matematicke´ fyziky.

145

Implicitnı´ funkce

146

y y=

y

√ 4 − x2 √ 2

y = −x √ 2

O

√ 2

x

√ 2

2

√ y = − 4 − x2

x

y=x

a) x 2 + y 2 − 4 = 0

b) x 2 − y 2 = 0

Obr. 7.1: Funkce dane´ implicitneˇ Ilustrujme si tuto situaci na dvou prˇ´ıkladech. Mnozˇina rˇesˇenı´ rovnice x 2 + y 2 − 4 = 0 tvorˇ´ı kruzˇnici se strˇedem v pocˇa´tku a polomeˇrem 2 — viz obr. 7.1 a). Mnozˇina rˇesˇenı´ rovnice x 2 − y 2 = 0 je tvorˇena dvojicı´ prˇ´ımek — viz obr. 7.1 b). Ani v jednom prˇ´ıpadeˇ tyto mnozˇiny neprˇedstavujı´ graf funkce jedne´ promeˇnne´ (libovolna´ rovnobeˇzˇka s osou y by totizˇ musela protıńat mnozˇinu rˇesˇenı´ nejvy´sˇe jednou). √ √ Z rovnice x 2 + y 2 − 4 = 0 je mozˇne´ vypocˇ´ıtat y = 4 − x 2 nebo y = − 4 − x 2 , −2 5 x 5 2, cozˇ jsou rovnice hornı´ resp. dolnı´ pu˚lkruzˇnice, a to uzˇ jsou grafy funkce. V tomto prˇ´ıpadeˇ se na´m tedy podarˇilo rozdeˇlit mnozˇinu vsˇech rˇesˇenı´ na dva grafy spojityćh funkcı´, jejichzˇ vzorecˇek jsme navıć snadno urcˇili. Z rovnice x 2 − y 2 = 0 lze vypocˇ´ıtat y = x, y = −x, ale take´ naprˇ. y = |x| nebo y = −|x|. Vsˇechny tyto cˇtyrˇi funkce jsou spojite´. Takove´ prˇ´ıpady ale nejsou typicke´. Obecneˇ vu˚bec nenı´ snadne´ osamostatnit pomocı´ elementa´rnıćh funkcı´ z rovnice F (x, y) = 0 nezna´mou y, prˇedstavte si naprˇ. ne prˇ´ılisˇ slozˇitou rovnici y + x ey − 1 = 0. Prˇ´ıklady s kruzˇnicı´ nebo dvojicı´ prˇ´ımek rovneˇzˇ ukazujı´, zˇe jedne´ rovnici mu˚zˇe odpovı´dat vıće (spojityćh) funkcı´ danyćh touto rovnicı´ implicitneˇ. Prˇed na´mi tudı´zˇ stojı´ na´sledujıćı´ proble´my: • Mnozˇina rˇesˇenı´ rovnice F (x, y) = 0 nemusı´ by´t grafem funkce jedne´ promeˇnne´ (veˇtsˇinou vu˚bec nevı´me, jak vypada´). • Nezna´mou y nedoka´zˇeme z rovnice F (x, y) = 0 vypocˇ´ıtat (vyja´drˇit pomocı´ elementa´rnıćh funkcı´ promeˇnne´ x), i kdyzˇ by mnozˇina rˇesˇenı´ tvorˇila graf funkce jedne´ promeˇnne´. Pra´veˇ v te´to situaci je nutne´ postupovat „neprˇ´ımo“ a informace o funkci f (jejı´zˇ existenci musı´me nejprve oveˇrˇit) zı´ska´vat, anizˇ zna´me jejı´ vzorecˇek. Pozna´mka 7.2. 1) K rovnici F (x, y) = 0 mu˚zˇeme dojı´t take´ tak, zˇe vysˇetrˇujeme vrstevnici u´rovneˇ nula


y

147

y = f (x) O

y0 + ε y0

F (x, y) = 0

y0 − ε

x O

x0 − δ

x0

x0 + δ

Obr. 7.2: Funkce dana´ implicitneˇ funkce z = F (x, y). Jejı´ rovnice je podle (1.1) pra´veˇ F (x, y) = 0. Je zrˇejme´, zˇe vu˚bec nemusı´ jı´t o graf funkce jedne´ promeˇnne´. V „rozumnyćh“ prˇ´ıpadech pu˚jde o „splet’“ krˇivek, ktere´ se mohou navza´jem slozˇiteˇ protıńat a doty´kat. Ale ani to nemusı´ by´t pravda. Naprˇ. konstantnı´ funkce z ≡ 0 ma´ za vrstevnici nulove´ u´rovneˇ celou rovinu R2 a zada´va´ implicitneˇ jakoukoli funkci. Podobneˇ funkce, jejı´mzˇ grafem je komoly´ kuzˇel majıćı´ „dno“ ve vy´sˇce nula, ma´ za vrstevnici nulove´ u´rovneˇ kruh a zada´va´ implicitneˇ jakoukoli funkci, jejı´zˇ graf lezˇ´ı v tomto kruhu. 2) O rovnici, kterou uvazˇujeme, prˇedpokla´da´me, zˇe ma´ nulovou pravou stranu. To nenı´ nijak na u´jmu obecnosti. Obecnou rovnici G(x, y) = H (x, y) lze totizˇ vzˇdy upravit a prˇeve´st vsˇechny jejı´ cˇleny na levou stranu, tj. G(x, y) − H (x, y) = 0. Pak stacˇ´ı polozˇit F = G − H . Nezˇ prˇistoupı´me k formulaci veˇty o implicitnı´ funkci, vysveˇtlı´me si, co bude nasˇ´ım cı´lem. Budeme prˇedpokla´dat, zˇe zna´me jedno rˇesˇenı´ (x0 , y0 ) rovnice, tj. zˇe platı´ F (x0 , y0 ) = 0. I kdyzˇ obecneˇ nemusı´ by´t cela´ mnozˇina rˇesˇenı´ grafem funkce jedne´ promeˇnne´ x, budeme chtı´t, aby asponˇ v jiste´m okolı´ bodu (x0 , y0 ) tato rˇesˇenı´ loka´lneˇ tvorˇila graf takove´ funkce. Prˇesneˇji budeme pozˇadovat, aby existovalo obde´lnı´kove´ okolı´ O (s tı´m se na´m bude le´pe pracovat nezˇ s kruhovy´m — viz pozna´mka 1.4 iii)) se strˇedem v (x0 , y0 ) takove´, zˇe mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ rovnice F (x, y) = 0, ktera´ padnou do O, bude tvorˇit graf funkce promeˇnne´ x procha´zejıćı´ bodem (x0 , y0 ). Situace je zachycena na obr. 7.2. Na libovolne´ rovnobeˇzˇce s osou y procha´zejıćı´ obde´lnı´kem O lezˇ´ı v tomto obde´lnı´ku pra´veˇ jedno rˇesˇenı´ rovnice F (x, y) = 0 (mimo tento obde´lnı´k na nı´ pochopitelneˇ mohou lezˇet dalsˇ´ı rˇesˇenı´). Sourˇadnice bodu, ktery´ odpovı´da´ tomuto rˇesˇenı´, jsou x, f (x) . Podı´va´me se nynı´ na rovnice, jejichzˇ rˇesˇenı´ jsou zna´zorneˇna na obr. 7.1, a zva´zˇ´ıme, ve kteryćh bodech lze najı´t takove´ dostatecˇneˇ male´ obde´lnı´kove´ okolı´ vyrˇeza´vajıćı´ z mnozˇiny vsˇech rˇesˇenı´ uvazˇovane´ rovnice graf funkce jedne´ promeˇnne´ x. Z obr. 7.1 a) je zrˇejme´, zˇe rovnice x 2 + y 2 − 4 = 0 zada´va´ implicitneˇ v okolı´ bodu

148

Implicitnı´ funkce √ √ √ ( 2, 2 ) funkci, a to y = 4 − x 2 . Stejneˇ tak je zrˇejme´, zˇe v sebemensˇ´ım okolı´ bodu (−2, 0) nebudou rˇesˇenı´ rovnice tvorˇit graf funkce promeˇnne´ x (at’ zvolı´me jakkoli maly´ obde´lnı´k se strˇedem v tomto bodeˇ, rovnobeˇzˇky s osou y procha´zejıćı´ vpravo od −2, ale libovolneˇ blı´zko tohoto cˇ´ısla, budou mı´t s mnozˇinou rˇesˇenı´, tj. kruzˇnicı´, uvnitrˇ zvolene´ho obde´lnı´ku dva pru˚secˇ´ıky). Obdobna´ situace je v bodeˇ (2, 0). Ve vsˇech ostatnı √ ćh bodech je loka´√ lneˇ jednoznacˇneˇ touto rovnicı´ dańa implicitneˇ bud’ funkce y = 4 − x 2 nebo y = − 4 − x 2 . Vsˇimneˇte si, zˇe kdybychom zameˇnili role x a y, vy´rˇez kruzˇnice v okolı´ bodu˚ (2, 0) a (−2, 0) by prˇedstavoval graf funkce promeˇnne´ y („sˇpatne´“ by naopak byly body (0, 2) a (0, −2)). Podobne ˇ z obr. 7.1 b) je zrˇejme´, zˇe rovnice x 2 − y 2 = 0 zada´va´ implicitneˇ v okolı´ √ √ bodu ( 2, 2 ) funkci, a to y = x. Naopak v sebemensˇ´ım okolı´ bodu (0, 0) nebudou rˇesˇenı´ rovnice tvorˇit graf funkce promeˇnne´ x (at’zvolı´me jakkoli maly´ obde´lnı´k se strˇedem v tomto bodeˇ, rovnobeˇzˇky s osou y blı´zke´ pocˇa´tku budou mı´t — kromeˇ osy y — s mnozˇinou rˇesˇenı´, tj. dvojicı´ prˇ´ımek, uvnitrˇ zvolene´ho obde´lnı´ku dva pru˚secˇ´ıky). Ve vsˇech ostatnıćh bodech je loka´lneˇ jednoznacˇneˇ touto rovnicı´ dańa implicitneˇ bud’ funkce y = x nebo y = −x. Vsˇimneˇte si, zˇe za´meˇna promeˇnnyćh x a y by v bodeˇ (0, 0) tentokra´t nepomohla. Prˇedchozı´ u´vahy byly zalozˇeny na tom, zˇe jsme veˇdeˇli, jak vypada´ mnozˇina rˇesˇenı´ dane´ rovnice, a dokonce jsme umeˇli vypocˇ´ıtat promeˇnnou y v za´vislosti na x. V takove´m prˇ´ıpadeˇ vystacˇ´ıme s dosavadnı´mi znalostmi o funkcıćh jedne´ promeˇnne´. Na´s vsˇak zajı´majı´ prˇ´ıpady, kdy tomu tak nebude. Proto uvedeme nynı´ veˇtu, ktera´ uda´va´ postacˇujıćı´ podmıńky, aby rovnice o dvou nezna´myćh implicitneˇ zada´vala loka´lneˇ jistou jednoznacˇneˇ urcˇenou funkci. Veˇta na´s za´rovenˇ informuje o vlastnostech te´to funkce. Veˇta 7.3. Necht’funkce F (x, y) ma´ spojite´ prvnı´ parcia´lnı´ derivace v okolı´ bodu (x0 , y0 ) a platı´: 1) F (x0 , y0 ) = 0, 2) ∂F ∂y (x0 , y0 ) 6 = 0. Pak rovnice F (x, y) = 0 implicitneˇ zada´va´ v okolı´ bodu (x0 , y0 ) jednoznacˇneˇ urcˇenou funkci y = f (x). Podrobneˇji existuje obde´lnı´kove´ okolı´ O = (x0 − δ, x0 + δ) × (y0 − ε, y0 + ε), δ > 0, ε > 0 a funkce f : (x0 − δ, x0 + δ) → (y0 − ε, y0 + ε) takove´, zˇe pro (x, y) ∈ O platı´ F (x, y) = 0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ y = f (x). Funkce f je spojita´ a ma´ spojitou prvnı´ derivaci, pro nizˇ platı´ Fx x, f (x) 0 pro x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). (7.1) f (x) = − Fy x, f (x)

Du˚kaz. Nejprve doka´zˇeme existenci funkce f . Z prˇedpokladu˚ veˇty vyply´va´ existence uzavrˇene´ho obde´lnı´ku O(x0 , y0 ) = hx0 − δ1 , x0 + δ1 i × hy0 − δ2 , y0 + δ2 i takove´ho, zˇe na neˇm Fy 6= 0. Prˇedpokla´dejme pro urcˇitost, zˇe naprˇ. Fy > 0. To znamena´, zˇe funkce ϕ(y) = F (x0 , y) je na intervalu hy0 −δ2 , y0 +δ2 i rostoucı´, protozˇe ϕ 0 (y) = Fy (x0 , y) > 0. Poneˇvadzˇ ϕ(y0 ) = F (x0 , y0 ) = 0, platı´, zˇe ϕ(y0 − δ2 ) < 0 a ϕ(y0 + δ2 ) > 0. Vzhledem ke spojitosti funkce F lze proto najı´t cˇ´ıslo δ0 , 0 < δ0 < δ1 , tak, zˇe F (x, y0 − δ2 ) < 0


a F (x, y0 + δ2 ) > 0 pro x ∈ (x0 − δ0 , x0 + δ0 ). Pro libovolne´ pevneˇ zvolene´ x¯ z tohoto intervalu je tudı´zˇ funkce ψ(y) = F (x, ¯ y) rostoucı´ na intervalu hy0 − δ2 , y0 + δ2 i, protozˇe 0 opeˇt ψ (y) = Fy (x, ¯ y) > 0, a ψ(y0 − δ2 ) < 0, ψ(y0 + δ2 ) > 0. Podle Cauchyovy-Bolzanovy veˇty (viz [11, str. 225]) proto existuje cˇ´ıslo y¯ ∈ (y0 − δ2 , y0 + δ2 ), pro neˇzˇ ψ(y) ¯ = 0. Vzhledem k ryzı´ monotonii funkce ψ je toto cˇ´ıslo jedine´. Polozˇme f (x) ¯ = y, ¯ x¯ ∈ (x0 − δ0 , x0 + δ0 ). Pak F x, ¯ f (x) ¯ = 0, tj. f (x) ¯ je jedine´ rˇesˇenı´ rovnice F (x, ¯ y) = 0 na intervalu (y0 − δ2 , y0 + δ2 ). Zejmeńa f (x0 ) = y0 . Da´le doka´zˇeme spojitost funkce f v bodeˇ x0 . Zvolme libovolne´ cˇ´ıslo ε, 0 < ε < δ2 . Postup z prˇedchozı´ho odstavce lze nynı´ zopakovat s vyćhozı´m obde´lnı´kem hx0 − δ1 , x0 + + δ1 i × hy0 − ε, y0 + εi a najı´t δ, 0 < δ < δ0 , takove´, zˇe pro x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) je f (x) ∈ (y0 − ε, y0 + ε). To vsˇak znamena´, zˇe lim f (x) = y0 , a tedy funkce f je spojita´ x→x0 v bodeˇ x0 . Nynı´ doka´zˇeme spojitost v libovolne´m bodeˇ x¯ ∈ (x0 − δ0 , x0 + δ0 ). Oznacˇme y¯ = = f (x). ¯ Protozˇe F (x, ¯ y) ¯ = 0 a Fy (x, ¯ y) ¯ 6= 0, jsou splneˇny prˇedpoklady dokazovane´ veˇty, zameˇnı´me-li bod (x0 , y0 ) bodem (x, ¯ y). ¯ Z jizˇ doka´zanyćh cˇa´stı´ vsˇak plyne existence implicitneˇ dane´ funkce g, definovane´ v okolı´ bodu x, ¯ ktera´ je v tomto bodeˇ spojita´. Ale vzhledem k jednoznacˇnosti musı´ platit f (x) = g(x). To znamena´, zˇe funkce f je spojita´ v x. ¯ (Vsˇimneˇte si, zˇe v dosavadnıćh cˇa´stech du˚kazu jsme vu˚bec nepotrˇebovali existenci parcia´lnı´ derivace Fx . Podobneˇ existence Fy a jejı´ nenulovost byly potrˇeba pouze k du˚kazu monotońnosti F (x, y) vzhledem k y. Cˇa´st veˇty o implicitnı´ funkci ty´kajıćı´ se existence a spojitosti by tedy bylo mozˇne´ zobecnit a prˇedpokla´dat jen spojitost funkce F a monotońnost vzhledem k y.) Konecˇneˇ doka´zˇeme, zˇe f ma´ derivaci. Necht’x1 , x ∈ (x0 − δ0 , x0 + δ0 ), x1 6= x. Pak platı´ F x1 , f (x1 ) = 0 a F x, f (x) = 0. Oznacˇme f (x1 ) = y1 . Protozˇe funkce F je diferencovatelna´ v bodeˇ (x1 , y1 ) (ma´ spojite´ spojite´ parcia´lnı´ derivace — veˇta 3.7), platı´ 0 = F x, f (x) − F x1 , f (x1 ) = = dF(x1 ,y1 ) x − x1 , f (x) − f (x1 ) + ω x − x1 , f (x) − f (x1 ) , √ kde lim ω(h, k)/ h2 + k 2 = 0 pro (h, k) → (0, 0). Dosazenı´m za diferencia´l a u´pravou dostaneme z prˇedchozı´ rovnosti 0 = Fx (x1 , y1 ) · (x − x1 ) + Fy (x1 , y1 ) · f (x) − f (x1 ) + ω x − x1 , f (x) − f (x1 ) x − x1 p +p (x − x1 ) + (x − x1 )2 + (f (x) − f (x1 ))2 (x − x1 )2 + (f (x) − f (x1 ))2 f (x) − f (x1 ) +p f (x) − f (x1 ) . (x − x1 )2 + (f (x) − f (x1 ))2

149


150

Oznacˇme ω x − x1 , f (x) − f (x1 )

τ (x) = p , (x − x1 )2 + (f (x) − f (x1 ))2 x − x1 τ1 (x) = p , (x − x1 )2 + (f (x) − f (x1 ))2 f (x) − f (x1 ) τ2 (x) = p . (x − x1 )2 + (f (x) − f (x1 ))2 S vyuzˇitı´m tohoto oznacˇenı´ ma´ prˇedchozı´ rovnost podobu 0 = Fx (x1 , y1 ) · (x − x1 ) + Fy (x1 , y1 ) · f (x) − f (x1 ) + + τ (x)τ1 (x)(x − x1 ) + τ (x)τ2 (x) f (x) − f (x1 ) . Po u´praveˇ ma´me 0 = Fx (x1 , y1 ) + τ (x)τ1 (x) (x − x1 ) + Fy (x1 , y1 ) + τ (x)τ2 (x) f (x) − f (x1 ) . Protozˇe je funkce f spojita´ v bodeˇ x1 , je lim f (x) − f (x1 ) = 0. Vzhledem k vlastnosti x→x1

funkce ω to znamena´, zˇe lim τ (x) = 0. Funkce τ1 (x) a τ2 (x) jsou zrˇejmeˇ ohranicˇene´ — x→x1

|τ1 (x)| 5 1, |τ2 (x)| 5 1 — takzˇe lim τ (x)τ1 (x) = 0, lim τ (x)τ2 (x) = 0. Z toho mimo x→x1

x→x1

jine´ plyne, zˇe pro x blı´zka´ x1 je Fy (x1 , y1 ) + τ (x)τ2 (x) 6= 0, nebot’ Fy (x1 , y1 ) 6= 0. Vzhledem k tomu mu˚zˇeme z prˇedchozı´ rovnosti vypocˇ´ıtat, zˇe Fx (x1 , y1 ) + τ (x)τ1 (x) f (x) − f (x1 ) =− . x − x1 Fy (x1 , y1 ) + τ (x)τ2 (x) Limitnı´m prˇechodem nynı´ vyjde Fx x1 , f (x1 ) f (x) − f (x1 ) Fx (x1 , y1 ) = f 0 (x1 ). lim =− =− x→x1 x − x1 Fy (x1 , y1 ) Fy x1 , f (x1 ) Tudı´zˇ funkce f ma´ v libovolne´m bodeˇ intervalu (x0 − δ0 , x0 + δ0 ) derivaci. Za´rovenˇ z jejı´ho vyja´drˇenı´ a skutecˇnosti, zˇe F i f jsou spojite´, plyne spojitost f 0 . Prˇipomenˇme, zˇe z prˇedchozı´ veˇty bezprostrˇedneˇ vyply´va´, zˇe F x, f (x) = 0, x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), a f (x0 ) = y0 .

(7.2)

Pozna´mka 7.4. 1) Veˇta nerˇ´ıka´ nic o velikosti definicˇnı´ho oboru D(f ). Zarucˇuje jen, zˇe v dostatecˇneˇ male´m obde´lnı´ku majıćı´m strˇed v (x0 , y0 ) tvorˇ´ı rˇesˇenı´ rovnice F (x, y) = 0 graf jiste´ funkce f (x) podobneˇ jako na obr. 7.2. Obde´lnı´k samozrˇejmeˇ nenı´ urcˇen jednoznacˇneˇ (lze ho naprˇ. zmensˇit).


151

2) Vzorec (7.1) sice uda´va´ hodnotu derivace f 0 (x) v libovolne´m bodeˇ definicˇnı´ho oboru D(f ), k jeho pouzˇitı´ vsˇak potrˇebujeme zna´t hodnotu f (x), kterou, jak uzˇ jsme vysveˇtlili, azˇ na trivia´lnı´ prˇ´ıpady nezna´me. S jedinou vy´jimkou — z (7.2) vı´me, zˇe f (x0 ) = y0 . V tomto bodeˇ je tedy jeho pouzˇitı´ efektivnı´. Zda´lo by se tudı´zˇ, zˇe vzorec nema´ velkou cenu. Jak ale uvidı´me, nenı´ tomu tak. Zna´me-li f 0 (x0 ), mu˚zˇeme najı´t rovnici tecˇny v bodeˇ x0 , ktera´ je prˇiblizˇnou na´hradou grafu funkce y = f (x) v okolı´ bodu x0 . A azˇ si da´le rˇekneme o existenci vysˇsˇ´ıch derivacı´, budeme moci funkci nahradit prˇesneˇji Taylorovy´m mnohocˇlenem vysˇsˇ´ıho ˇra´du, k jehozˇ sestrojenı´ potrˇebujeme jen derivace v bodeˇ x0 . 3) Vzorec (7.1) se cˇasto pı´sˇe ve tvaru f 0 (x) = − FFxy (x,y) ˇ strucˇneˇji y 0 = − FFyx . (x,y) nebo jesˇte Musı´me mı´t ale na pameˇti, zˇe dvojice (x, y) musı´ vyhovovat rovnici F (x, y) = 0, tj. y = f (x). Ilustrujme si pouzˇitı´ veˇty 7.3 na rovnicıćh, jejichzˇ rˇesˇenı´ je na obr. 7.1. √ √ a) Uvazˇujme rovnici x 2 + y 2 − 4 = 0 a bod (x0 , y0 ) = ( 2, 2 ). Funkce F (x, y) = = x 2 + y 2 − 4 ma´ spojite´ parcia´lnı´ derivace. Platı´: √ 2 √ 2 √ √ 2 + 2 − 4 = 2 + 2 − 4 = 0. F ( 2, 2 ) = Da´le: Fy = 2y

⇒

√ √ √ Fy ( 2, 2 ) = 2 2 6= 0.

Pr ˇedpoklady veˇty 7.3 jsou tedy splneˇny, a tudı´zˇ uvedena √ √ √´ rovnice √ zada´va´ v okolı´ bodu ( 2, 2 ) implicitneˇ funkci y = f (x), pro niz ˇ platı ´ f ( 2 ) = 2. Vypocˇteme derivaci √ 0 f (x) a urcˇ´ıme jejı´ hodnotu v x0 = 2. √ √ 2 Fx 2x x 0 0 f (x) = − =− =− ⇒ f ( 2 ) = − √ = −1. (7.3) Fy 2y y 2 Z prˇedchozı´ho ale vı´me, zˇe vzorec funkce je f (x) = vypocˇ´ıtat derivaci a vy´sledek oveˇrˇit: 1 1 −x f (x) = (4 − x 2 )− 2 (−2x) = √ 2 4 − x2

0

⇒

√ 4 − x 2 . Mu˚zˇeme tedy prˇ´ımo

√ √ − 2 f ( 2) = p = −1. √ 4 − ( 2 )2 0

Vsˇimneˇte si, zˇe pokud bychom uvazˇovali stejnou funkci, ale bod (−2, 0), pak bychom veˇtu 7.3 nemohli pouzˇ´ıt, protozˇe Fy (−2, 0) = 0. Ale Fx (−2, 0) = −4, takzˇe za´meˇnou x a y je mozˇne´ doka´zat, zˇe rovnice v okolı´ bodu (−2, 0) implicitneˇ zada´va´ funkci x = g(y). Stejna´ situace je v bodeˇ (2, 0). √ √ b) Uvazˇujme rovnici x 2 − y 2 = 0 a bod (x0 , y0 ) = ( 2, 2 ). Funkce F (x, y) = x 2 − y 2 ma´ spojite´ parcia´lnı´ derivace. Platı´: √ √ √ 2 √ 2 F ( 2, 2 ) = 2 − 2 = 2 − 2 = 0.


152

Da´le: Fy = −2y

⇒

√ √ √ Fy ( 2, 2 ) = −2 2 6= 0.

+

√ √ zada´va´ v okolı´ bodu ( 2, 2 ) Prˇedpoklady veˇty 7.3 jsou tedy splneˇny, a tudı´zˇ√rovnice√ implicitneˇ funkci y = f (x), √ pro nizˇ platı´ f ( 2 ) = 2. Vypocˇteme derivaci f 0 (x) a urcˇ´ıme jejı´ hodnotu v x0 = 2. √ √ Fx 2x x 2 0 0 f (x) = − =− = ⇒ f ( 2 ) = √ = 1. Fy −2y y 2 √ I v tomto prˇ´ıpadeˇ zna´me f : je totizˇ f (x) = x, takzˇe f 0 (x) = 1, tj. i f 0 ( 2 ) = 1, cozˇ je stejny´ vy´sledek. Vsˇimneˇte si, zˇe pokud bychom uvazˇovali stejnou funkci, ale bod (0, 0), pak bychom veˇtu 7.3 nemohli pouzˇ´ıt, protozˇe Fy (0, 0) = 0. Tentokra´t je ale take´ Fx (0, 0) = 0, takzˇe ani za´meˇna x a y nepomu˚zˇe. Prˇ´ıklad 7.5. Oveˇrˇte, zˇe rovnice 4xy 2 − 3x 3 y 2 + ln(x 2 + y 2 − 1) − 1 = 0 zada´va´ v bodeˇ (1, −1) implicitneˇ jedinou funkci y = f (x), a najdeˇte rovnice tecˇny a norma´ly ke grafu te´to funkce v bodeˇ (1, −1). Rˇesˇenı´. Je F (x, y) = 4xy 2 − 3x 3 y 2 + ln(x 2 + y 2 − 1) − 1 a (x0 , y0 ) = (1, −1). Funkce F ma´ ve sve´m definicˇnı´m oboru spojite´ parcia´lnı´ derivace. Platı´: F (1, −1) = 4 · 1 · (−1)2 − 3 · 13 · (−1)2 + ln(12 + (−1)2 − 1) − 1 = 4 − 3 + 0 − 1 = 0. Da´le: Fy = 8xy − 6x 3 y +

x2

2y + y2 − 1

Fy (1, −1) = −8 + 6 − 2 = −4 6= 0.

⇒

Prˇedpoklady veˇty 7.3 jsou splneˇny, a tudı´zˇ rovnice zada´va´ v okolı´ bodu (1, −1) implicitneˇ funkci y = f (x), pro nizˇ platı´ f (1) = −1. Jesˇteˇ urcˇ´ıme: Fx = 4y 2 − 9x 2 y 2 +

x2

2x + y2 − 1

Fx (1, −1) = 4 − 9 + 2 = −3.

⇒

Ze vzorce (7.1) ma´me f 0 (1) = −

−3 3 Fx (1, −1) =− =− . Fy (1, −1) −4 4

Rovnice prˇ´ımky procha´zejıćı´ bodem (x0 , y0 ) o smeˇrnici k je y − y0 = k(x − x0 ). Pro tecˇnu 1 je kt = f 0 (x0 ) a norma´lu (kolmice k tecˇneˇ jdoucı´ dotykovy´m bodem) je kn = − f 0 (x . 0) V nasˇem prˇ´ıpadeˇ je kt = − 34 a kn =

4 3

3 t : y − (−1) = − (x − 1) 4 4 n : y − (−1) = (x − 1) 3

. Tedy: ⇒

3x + 4y + 1 = 0,

⇒

4x − 3y − 7 = 0.

N


153

Uka´zˇeme si jesˇteˇ jeden zpu˚sob vy´pocˇtu prvnı´ derivace funkce dane´ implicitneˇ. Z (7.2) vı´me, zˇe f (x) splnˇuje rovnici F x, f (x) = 0 na intervalu (x0 − δ, x0 + δ). Vı´me-li, zˇe existuje f 0 (x), a zderivujeme-li prˇedchozı´ rovnost podle x s vyuzˇitı´m vzorce (3.13) pro derivaci slozˇene´ funkce, dostaneme 0 Fx x, f (x) 0 , Fx x, f (x) · 1 + Fy x, f (x) f (x) = 0 ⇒ f (x) = − Fy x, f (x) cozˇ je znovu vzorec (7.1). Naprˇ. pro rovnici x 2 + y 2 − 4 = 0 z obr. 7.1 a) vyjde x x 2 + [f (x)]2 − 4 = 0 ⇒ 2x + 2f (x)f 0 (x) = 0 ⇒ f 0 (x) = − . f (x) Pro strucˇnost cˇasto pı´sˇeme mı´sto f 0 (x) jen y 0 . Musı´me ale da´vat pozor a spra´vneˇ rozlisˇovat, kdy prova´dı´me parcia´lnı´ derivaci podle x (pak se y chova´ jako konstanta) a kdy y prˇedstavuje zkraćeny´ za´pis pro f (x). Prˇedchozı´ vy´pocˇet derivace by ve zkraćene´ symbolice vypadal takto: x x 2 + y 2 − 4 = 0 ⇒ 2x + 2yy 0 = 0 ⇒ y 0 = − , y cozˇ je stejny´ vy´sledek jako v (7.3). Ukazˇme si jesˇteˇ, jak by vypadal forma´lnı´ vy´pocˇet derivace v prˇ´ıkladu 7.5: 4xy 2 − 3x 3 y 2 + ln(x 2 + y 2 − 1) − 1 = 0

⇒

4y 2 + 8xyy 0 − 9x 2 y 2 − 6x 3 yy 0 +

2x + 2yy 0 =0 x2 + y2 − 1

a odtud vypocˇteme 0 y 8xy − 6x 3 y +

2x 2y = 9x 2 y 2 − 4y 2 − 2 ⇒ 2 2 x +y −1 x + y2 − 1 (9x 2 y 2 − 4y 2 )(x 2 + y 2 − 1) − 2x y0 = = (8xy − 6x 3 y)(x 2 + y 2 − 1) + 2y 9x 4 y 2 + 9x 2 y 4 − 13x 2 y 2 − 4y 4 + 4y 2 − 2x = . −6x 5 y − 6x 3 y 3 + 14x 3 y + 8xy 3 − 8xy + 2y

Po dosazenı´ (1, −1) za (x, y) vyjde y 0 (1) = jako v prˇ´ıkladu 7.5.

9+9−13−4+4−2 6+6−14−8+8−2

= − 43 , cozˇ je stejny´ vy´sledek

Tento zpu˚sob derivovańı´ na´m umozˇnı´ zı´skat vysˇsˇ´ı derivace funkce f (x) dane´ implicitneˇ. Za´kladem je na´sledujıćı´ veˇta, ktera´ se snadno doka´zˇe indukcı´ s pouzˇitı´m vztahu (7.1). Veˇta 7.6. Necht’ jsou splneˇny prˇedpoklady veˇty 7.3 a funkce F ma´ v okolı´ bodu (x0 , y0 ) spojite´ parcia´lnı´ derivace do rˇa´du k, k ∈ N. Pak implicitneˇ dana´ funkce y = f (x) ma´ spojite´ derivace do rˇa´du k. Jejich vzorce dostaneme opakovany´m derivovańı´m vztahu (7.1). Pouzˇitı´ veˇty si uka´zˇeme v na´sledujıćı´m prˇ´ıkladu.


+

154

Prˇ´ıklad 7.7. Oveˇrˇte, zˇe rovnice 3x 2 + 4y 2 + 7xy − 5 = 0 zada´va´ v bodeˇ (1, −2) implicitneˇ jedinou funkci y = f (x), a najdeˇte Tayloru˚v mnohocˇlen druhe´ho rˇa´du te´to funkce se strˇedem 1. Rˇesˇenı´. Je F (x, y) = 3x 2 + 4y 2 + 7xy − 5 a (x0 , y0 ) = (1, −2). Funkce F ma´ spojite´ parcia´lnı´ derivace (vsˇech rˇa´du˚) v R2 . Platı´: F (1, −2) = 3 · 12 + 4 · (−2)2 + 7 · 1 · (−2) − 5 = 0. Da´le: Fy (x, y) = 8y + 7x

⇒

Fy (1, −2) = 8(−2) + 7 · 1 = −9 6= 0.

Podle veˇty 7.6 je tedy touto rovnicı´ v okolı´ bodu (1, −2) implicitneˇ dańa funkce y = f (x) majıćı´ derivace vsˇech rˇa´du˚, pro nizˇ platı´ f (1) = −2. Protozˇe Fx (x, y) = 6x + 7y, je podle (7.1) y 0 = f 0 (x) = −

6x + 7y 8y + 7x

f 0 (1) = −

⇒

6 − 14 8 =− . −16 + 7 9

Pro napsańı´ Taylorova mnohocˇlenu T2 (x) potrˇebujeme jesˇteˇ druhou derivaci f 00 (x). Podle veˇty 7.6 derivovańı´m prvnı´ derivace dostaneme 6x + 7y 0 (6 + 7y 0 )(8y + 7x) − (6x + 7y)(8y 0 + 7) 00 0 0 y = (y ) = − = =− 8y + 7x (8y + 7x)2 6x+7y 6 − 7 · 8y+7x (8y + 7x) − (6x + 7y) −8 · 6x+7y + 7 8y+7x =− = (8y + 7x)2 6x 2 + 14xy + 8y 2 = . (8y + 7x)3 Odtud

6 · 12 + 14 · 1 · (−2) + 8 · (−2)2 10 = − . (8 · (−2) + t · 1)3 729 Tayloru˚v mnohocˇlen T2 (x) ma´ tvar f 00 (1) =

T2 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +

1 00 f (x0 )(x − x0 )2 , 2

kde x0 = 1,

tudı´zˇ

8 5 (x − 1) − (x − 1)2 . 9 729 Vy´sledek je zna´zorneˇn na obr. 7.3. Grafem T2 (x) je parabola. Na obra´zku je zna´zorneˇna i tecˇna. Jejı´ rovnice je y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ) — viz prˇ´ıklad 7.5. Tedy T2 (x) = −2 −

8 y + 2 = − (x − 1) 9

⇒

y = −2 −

8 (x − 1), 9


155

T1 (x)

y

f (x)

40 30

T2 (x)

20 10 x −50 −40 −30 −20 −10

Obr. 7.3: Graf funkce dane´ implicitneˇ cozˇ je pra´veˇ Tayloru˚v mnohocˇlen rˇa´du jedna T1 (x). Vsˇechny trˇi grafy v okolı´ bodu x = 1 te´meˇrˇ sply´vajı´. Uveˇdomte si, zˇe vzorec f (x) lze explicitneˇ najı´t, protozˇe zadana´ rovnice je vu˚cˇi y kvadratickou rovnicı´. Vyjde √ −7x − x 2 + 80 . f (x) = 8 N Pozna´mka 7.8. I vysˇsˇ´ı derivace lze obdobneˇ jako prvnı´ derivaci vypocˇ´ıtat opakovany´m derivovańı´m rovnice F (x, y) = 0 — viz prˇ´ıklad 8 z autotestu 2 na str. 214.

2

Prˇ´ıklad 7.9. Je dańa rovnice (x 2 + y 2 ) = 2(x 2 − y 2 ). Najdeˇte body (x0 , y0 ) ∈ R2 majıćı´ na´sledujıćı´ vlastnosti: a) V bodeˇ (x0 , y0 ) jsou splneˇny prˇedpoklady veˇty o implicitnı´ funkci 7.3. b) Funkce f , ktera´ je touto rovnicı´ implicitneˇ dana´, ma´ v x0 staciona´rnı´ bod. Pak zjisteˇte, zda jsou v teˇchto bodech loka´lnı´ extre´my. 2 Rˇesˇenı´. Oznacˇme F (x, y) = (x 2 + y 2 ) − 2(x 2 − y 2 ). Budeme hledat body (x0 , y0 ) vyhovujıćı´ zadane´ rovnici, tj. body, pro neˇzˇ platı´ F (x0 , y0 ) = 0, prˇicˇemzˇ Fy (x0 , y0 ) 6= 0. Podle veˇty 7.3 rovnice F (x, y) = 0 zada´va´ v okolı´ kazˇde´ho takove´ho bodu implicitneˇ

+

V za´veˇrecˇne´m prˇ´ıkladu si uka´zˇeme, jak lze postupovat prˇi vysˇetrˇovańı´ loka´lnıćh extre´mu˚ funkce jedne´ promeˇnne´ zadane´ implicitneˇ.


156

jistou funkci y = f (x). Da´le budeme chtı´t, aby tato funkce meˇla v bodeˇ x0 staciona´rnı´ (x0 ,y0 ) bod, tj. aby f 0 (x0 ) = − FFyx (x = 0. To bude platit, pra´veˇ kdyzˇ Fx (x0 , y0 ) = 0. Hledane´ 0 ,y0 ) body tudı´zˇ dostaneme jako rˇesˇenı´ soustavy rovnic F (x, y) = 0 a Fx (x, y) = 0. Protozˇe v nasˇem prˇ´ıpadeˇ Fx (x, y) = 2(x 2 + y 2 )2x − 4x, dostaneme soustavu rovnic 2

(x 2 + y 2 ) − 2(x 2 − y 2 ) = 0

4(x 2 + y 2 )x − 4x = 0.

a

Z druhe´ rovnice po vytknutı´ dostaneme 4x(x 2 + y 2 − 1) = 0

⇒

x = 0 nebo x 2 + y 2 = 1.

Po dosazenı´ do prvnı´ rovnice vyjde: Pro x = 0 :

y 4 + 2y 2 = 0,

tj. y 2 (y 2 + 2) = 0

y = 0,

⇒

Pro x 2 + y 2 = 1, tj. y 2 = 1 − x 2 :

1 − 2 x 2 − (1 − x 2 ) = 0 ⇒ √ 3 1 3 1 2 2 ⇒ x = , y = ⇒ x=± , y=± . 4 4 2 2 V druhe´m prˇ´ıpadeˇ jsou mozˇne´ vsˇechny kombinace znameńek. Dostali jsme body √ √ √ √ O = (0, 0), A = 23 , 21 , B = − 23 , 12 , C = − 23 , − 12 , D = 23 , − 12 .

Nynı´ vypocˇteme Fy a oveˇrˇ´ıme, zda je v zı´skanyćh bodech nenulova´. Je Fy (x, y) = = 2(x 2 + y 2 )2y + 4y = 4y(x 2 + y 2 + 1). Po dosazenı´ dostaneme Fy (O) = 0,

Fy (A) = 4,

Fy (B) = 4,

Fy (C) = −4,

Fy (D) = −4.

Bod O tedy z dalsˇ´ıch u´vah vyloucˇ´ıme. V okolı´ kazˇde´ho ze cˇtyrˇ zby´vajıćıćh bodu˚ A, B, C, D je rovnicı´ F (x, y) = 0 implicitneˇ zadańa funkce jedne´ promeˇnne´. Oznacˇme tyto funkce postupneˇ f1 (x), f2 (x), f3 (x), f4 (x). Nynı´ musı´me urcˇit druhe´ derivace teˇchto cˇtyrˇ funkcı´ a rozhodnout podle jejich znameńka, zda jde o loka´lnı´ extre´m a jaky´. Podle (7.1) platı´ (uveˇdomte si, zˇe je jedno, o kterou z funkcı´ f1 , . . . , f4 jde) fi0 (x) = −

4x(x 2 + y 2 − 1) , 4y(x 2 + y 2 + 1)

i = 1, . . . , 4.

Prˇ´ımy´ vy´pocˇet jako v prˇ´ıkladu 7.7 by byl sice mozˇny´, ale znacˇneˇ zdlouhavy´. Zkusı´me postupovat du˚myslneˇji. Oznacˇme na chvı´li f kteroukoli z funkcı´ f1 , . . . , f4 . Vypocˇteme (x)) nejprve f 00 (x) obecneˇ. K tomu musı´me derivovat vztah f 0 (x) = − FFxy (x,f (x,f (x)) . Nejprve si rozmyslı´me, jak budeme derivovat samostatneˇ vy´razy v cˇitateli a jmenovateli. Podle vzorce (3.13) (v nasˇem prˇ´ıpadeˇ je vneˇjsˇ´ı slozˇka Fx resp. Fy a vnitrˇnı´ slozˇky jsou x a f (x)) dostaneme (smı´sˇene´ druhe´ parcia´lnı´ derivace Fxy a Fyx jsou zameˇnitelne´) d Fx x, f (x) = Fxx x, f (x) · 1 + Fxy x, f (x) · f 0 (x) = Fxx + Fxy y 0 , dx d Fy x, f (x) = Fyx x, f (x) · 1 + Fyy x, f (x) · f 0 (x) = Fxy + Fyy y 0 . dx


157

y B

y = f2 (x)

A

1 2

√ − 23

y = f3 (x)

y = f1 (x) x

√ 3 2

− 12

C

y = f4 (x)

D

Obr. 7.4: Bernoulliova lemniska´ta Platı´ tedy d Fx x, f (x) (Fxx + Fxy y 0 )Fy − Fx (Fxy + Fyy y 0 ) f (x) = − . =− dx Fy x, f (x) Fy2 00

V bodech x0 , ktere´ na´s zajı´majı´, je f (x0 ) = y0 , f 0 (x0 ) = 0 a Fx (x0 , y0 ) = 0. Protozˇe Fxx (x, y) = 4(x 2 + y 2 − 1) + 4x · 2x, dosazenı´m do prˇedchozı´ho vztahu dostaneme f 00 (x0 ) = −

Fxx (x0 , y0 ) 4(x 2 + y 2 − 1) + 8x02 3x02 + y02 − 1 = − 0 20 2 =− . Fy (x0 , y0 ) 4y0 (x0 + y0 + 1) y0 (x02 + y02 + 1)

Postupneˇ tudı´zˇ vyjde f100

√ 3 2

=

− 23

,

f200

√ − 23

√

√

=

− 32

,

f300

−

3 2

=

3 2

,

f400

3 2

=

3 2

.

Je-li druha´ derivace ve staciona´rnı´m bodeˇ kladna´, je zde ´ lnı´ minimum, je-li za´porna´, √ loka 3 je zde maximum. Funkce f1 (x) ma´ tedy v bodeˇ x = 2 loka´lnı´ maximum s hodnotou 12 √

3 ´ v bodeˇ x 2 . Funkce f3 (x) ma √ funkci f4 (x) v bodeˇ x = 23 .

a tote´zˇ platı´ pro funkci f2 (x) v bodeˇ x = − − 21

√

=−

3 2

loka´lnı´

minimum s hodnotou a tote´zˇ platı´ pro ˇ esˇenı´ rovnice F (x, y) = 0 je zna´zorneˇno na obr. 7.4. Jde o krˇivku, ktera´ se nazy´va´ R Bernoulliova1 lemniska´ta. Jejı´ rovnice v pola´rnıćh sourˇadnicıćh ρ a ϕ — viz obr. 1.14 — je ρ 2 = 2 cos 2ϕ, o cˇemzˇ se lze snadno prˇesveˇdcˇit dosazenı´m vztahu˚ x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ do zadane´ rovnice a u´pravou. Pomocı´ tohoto vyja´drˇenı´, ktere´ je mnohem jednodusˇsˇ´ı nezˇ v karte´zskyćh sourˇadnicıćh, ji lze snadno nakreslit. Z obra´zku je videˇt, zˇe v zˇa´dne´m okolı´ bodu O = (0, 0) rovnice nevyjadrˇuje implicitneˇ funkci jedne´ promeˇnne´ x. Tluste´ cˇa´ry znacˇ´ı grafy funkcı´ fi (x), i = 1, . . . , 4. N 1 Jacob Bernoulli (1654–1705) (cˇti bernuli) — vy ´znamny´ sˇvyćarsky´ matematik. Pracoval v matematicke´

analy´ze, teorii diferencia´lnıćh rovnic, variacˇnı´m pocˇtu, pravdeˇpodobnosti atd. Jeden z rozsa´hle´ rodiny vy´znamnyćh matematiku˚ te´hozˇ jmeńa (prˇes 10 osob). Cˇlańek o krˇivce publikoval v r. 1694.


158

7.2

Funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ

Problematika je velmi podobna´ obsahu prˇedchozı´ho oddı´lu, proto budeme postupovat strucˇneˇji a rychleji. Je-li F (x, y, z) funkce trˇ´ı promeˇnnyćh, je F (x, y, z) = 0 rovnice o dvou nezna´myćh, jejı´zˇ rˇesˇenı´ jsou trojice (x, y, z), ktere´ lze interpretovat jako sourˇadnice bodu˚ v prostoru. V tomto smyslu mu˚zˇeme tudı´zˇ o rˇesˇenıćh takove´ rovnice mluvit jako o bodech v prostoru. Definice 7.10. O funkci dvou promeˇnnyćh z = f (x, y) rˇekneme, zˇe je implicitneˇ zadańa rovnicı´ F (x, y, z) = 0 o trˇech nezna´myćh, jestlizˇe body grafu funkce f , tj. trojice (x, y, f (x, y)), te´to rovnici vyhovujı´, tudı´zˇ platı´ F x, y, f (x, y) = 0 pro kazˇde´ (x, y) ∈ D(f ). Cozˇ lze take´ rˇ´ıci tak, zˇe graf funkce f je podmnozˇinou mnozˇiny vsˇech rˇesˇenı´ rovnice F (x, y, z) = 0. Mnozˇina vsˇech trojic (x, y, z) cha´panyćh jako sourˇadnice bodu˚ v R3 , ktere´ jsou rˇesˇenı´mi rovnice F (x, y, z) = 0, nemusı´ by´t grafem funkce dvou promeˇnnyćh (grafem je, pra´veˇ kdyzˇ libovolna´ rovnobeˇzˇka s osou z protne takovou mnozˇinu nejvy´sˇe jednou). Prˇ´ıkladem je kulova´ plocha majıćı´ rovnici x 2 + y 2 + z2 = r 2 — viz obr. 9.1 a). Bude na´s zajı´mat, zda alesponˇ v neˇjake´m okolı´ bodu (x0 , y0 , z0 ), ktery´ je rˇesˇenı´m uvazˇovane´ rovnice, tvorˇ´ı rˇesˇenı´ graf funkce dvou promeˇnnyćh. Mı´sto kulove´ho okolı´ se na´m bude le´pe hodit kva´drove´ okolı´. Prˇesneˇji budeme pozˇadovat, aby existovalo kva´drove´ okolı´ O se strˇedem v (x0 , y0 , z0 ) takove´, zˇe mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ rovnice F (x, y, z) = 0, ktera´ padnou do O, bude tvorˇit graf funkce promeˇnnyćh x, y procha´zejıćı´ bodem (x0 , y0 , z0 ). Situace je zna´zorneˇna na obr. 7.5. Uvedeme postacˇujıćı´ podmıńky, aby rovnice o trˇech nezna´myćh zada´vala implicitneˇ jistou jednoznacˇneˇ urcˇenou funkci dvou promeˇnnyćh. Da´le na´s bude zajı´mat spojitost a existence parcia´lnıćh derivacı´ funkce dane´ implicitneˇ. To vsˇe je obsahem na´sledujıćı´ veˇty, ktera´ se doka´zˇe analogicky jako veˇta 7.3. (x0 , y0 , z0 ) z = f (x, y)

F (x, y, z) = 0

Obr. 7.5: Funkce dvou promeˇnnyćh dana´ implicitneˇ

7.2 Funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ

159

Veˇta 7.11. Necht’ funkce F (x, y, z) ma´ spojite´ prvnı´ parcia´lnı´ derivace v okolı´ bodu (x0 , y0 , z0 ) a platı´: 1) F (x0 , y0 , z0 ) = 0, 2) ∂F ∂z (x0 , y0 , z0 ) 6 = 0. Pak rovnice F (x, y, z) = 0 implicitneˇ zada´va´ v okolı´ bodu (x0 , y0 , z0 ) jednoznacˇneˇ urcˇenou funkci dvou promeˇnnyćh z = f (x, y). Podrobneˇji existuje kva´drove´ okolı´ O = (x0 − δ1 , x0 + δ1 ) × (y0 − δ2 , y0 + δ2 ) × (z0 − ε, z0 + ε), δ1 > 0, δ2 > 0, ε > 0, a funkce f : (x0 − δ1 , x0 + δ1 ) × (y0 − δ2 , y0 + δ2 ) → (z0 − ε, z0 + ε) takove´, zˇe pro (x, y, z) ∈ O platı´ F (x, y, z) = 0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ z = f (x, y). Funkce f je spojita´ a ma´ spojite´ prvnı´ parcia´lnı´ derivace, pro neˇzˇ platı´ Fx x, y, f (x, y) Fy x, y, f (x, y) , . fx (x, y) = − fy (x, y) = − Fz x, y, f (x, y) Fz x, y, f (x, y) Z prˇedchozı´ veˇty vyply´va´, zˇe platı´ F x, y, f (x, y) = 0, (x, y) ∈ (x0 − δ1 , x0 + δ1 ) × (y0 − δ2 , y0 + δ2 ), a f (x0 , y0 ) = z0 .

(7.4)

(7.5)

Platı´ obdoba pozna´mky 7.4. Zejmeńa pouzˇ´ıva´me strucˇneˇjsˇ´ı oznacˇenı´ Fx (x, y, z) Fx Fy (x, y, z) Fy =− resp. fy (x, y) = − =− , Fz (x, y, z) Fz Fz (x, y, z) Fz kde trojice (x, y, z) vyhovuje rovnici F (x, y, z) = 0. Vzorce jsou efektivnı´ jen pro vy´pocˇet v bodeˇ (x0 , y0 , z0 ) (pro jina´ x, y nevı´me, kolik je odpovı´dajıćı´ z = f (x, y)). Spojite´ parcia´lnı´ derivace zarucˇujı´ existenci tota´lnı´ho diferencia´lu a tudı´zˇ i tecˇne´ roviny, viz veˇta 3.12. Postup jejı´ho nalezenı´ si uka´zˇeme v na´sledujıćı´m prˇ´ıkladu. Prˇ´ıklad 7.12. Oveˇrˇte, zˇe rovnice 3xyz−x 2 −y 2 −z2 = 0 zada´va´ v okolı´ bodu (1, −1, −1) implicitneˇ jedinou funkci z = f (x, y), a najdeˇte rovnici tecˇne´ roviny ke grafu f v tomto bodeˇ. Rˇesˇenı´. Oveˇrˇ´ıme prˇedpoklady veˇty 7.11 pro funkci F (x, y, z) = 3xyz − x 2 − y 2 − z2 . Zrˇejmeˇ F (1, −1, −1) = 3 · 1 · (−1) · (−1) − 12 − (−1)2 − (−1)2 = 0. Da´le Fz = 3xy − 2z

⇒

Fz (1, −1, −1) = 3 · 1 · (−1) − 2 · (−1) = −1 6= 0.

Rovnice tedy implicitneˇ zada´va´ spojitou funkci f , pro nizˇ platı´ f (1, −1) = −1. Tato funkce ma´ spojite´ parcia´lnı´ derivace. Podle (7.4) je 3yz − 2x Fx = 3yz − 2x ⇒ fx = − ⇒ fx (1, −1) = 1, 3xy − 2z 3xz − 2y Fy = 3xz − 2y ⇒ fy = − ⇒ fy (1, −1) = −1. 3xy − 2z

+

fx (x, y) = −


160

Podle veˇty 3.7 tudı´zˇ existuje tota´lnı´ diferencia´l df(1,−1) , cozˇ podle veˇty 3.12 znamena´, zˇe existuje hledana´ tecˇna´ rovina. Jejı´ rovnice je podle (3.7) z − (−1) = 1 · (x − 1) + (−1) · (y − (−1))

⇒

x − y − z − 3 = 0.

N

Podobneˇ jako u funkce jedne´ promeˇnne´ dane´ implicitneˇ i v prˇ´ıpadeˇ funkce dvou promeˇnnyćh je mozˇne´ odvodit vzorce pro parcia´lnı´ derivace s pouzˇitı´m vzorce pro derivaci slozˇene´ funkce. Protozˇe v okolı´ bodu (x0 , y0 ) platı´ F x, y, f (x, y) = 0, vyjde naprˇ. pro derivaci podle x: Fx x, y, f (x, y) · 1 + Fy x, y, f (x, y) · 0 + Fz x, y, f (x, y) · fx (x, y) = 0, z cˇehozˇ dostaneme prvnı´ vzorec v (7.4). Derivaci fx (x, y) pro strucˇnost oznacˇujeme zx . Nynı´ si vsˇimneme existence a vy´pocˇtu vysˇsˇ´ıch derivacı´ funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ. To je obsahem na´sledujıćı´ veˇty. Veˇta 7.13. Necht’ jsou splneˇny prˇedpoklady veˇty 7.11 a funkce F ma´ v okolı´ bodu (x0 , y0 , z0 ) spojite´ parcia´lnı´ derivace do rˇa´du k, k ∈ N. Pak implicitneˇ dana´ funkce z = = f (x, y) ma´ spojite´ parcia´lnı´ derivace do rˇa´du k. Jejich vzorce dostaneme opakovany´m derivovańı´m vztahu˚ (7.4).

+

Pouzˇitı´ si uka´zˇeme v na´sledujıćı´m prˇ´ıkladu. Prˇ´ıklad 7.14. Oveˇrˇte, zˇe rovnice x 2 + y 2 − z2 − 2x + 4y − 2z + 29 = 0 zada´va´ v okolı´ bodu (1, −2, 4) implicitneˇ jedinou funkci z = f (x, y). Rozhodneˇte, zda ma´ tato funkce f v bodeˇ (1, −2) loka´lnı´ extre´m, a pokud ano, urcˇete jaky´. Rˇesˇenı´. Oveˇrˇ´ıme prˇedpoklady veˇty 7.11 pro funkci F (x, y, z) = x 2 + y 2 − z2 − 2x + + 4y − 2z + 29 = 0. Je F (1, −2, 4) = 12 + (−2)2 − 42 − 2 · 1 + 4 · (−2) − 2 · 4 + 29 = 0. Da´le Fz = −2z − 2

⇒

Fz (1, −2, 4) = −2 · 4 − 2 = −10 6= 0.

Existuje tedy spojita´ funkce f , pro nizˇ f (1, −2) = 0. Protozˇe F ma´ spojite´ parcia´lnı´ derivace libovolne´ho rˇa´du, platı´ podle veˇty 7.13 tote´zˇ pro funkci f . Prvnı´ derivace zx = = fx (x, y) a zy = fy (x, y) urcˇ´ıme derivovańı´m rovnice x 2 + y 2 − z2 − 2x + 4y − 2z + 29 = 0. Odtud derivovańı´m podle x dostaneme 2x + 0 − 2zzx − 2 + 0 − 2zx = 0

⇒

zx =

x−1 z+1

⇒

zy =

y+2 . z+1

a podobneˇ derivovańı´m podle y vyjde 0 + 2y − 2zzy − 0 + 4 − 2zy = 0

7.2 Funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ

161

Platı´ tudı´zˇ zx (1, −2) = 0 a zy (1, −2) = 0, takzˇe bod (1, −2) je staciona´rnı´. Nynı´ pouzˇijeme veˇtu 5.6. Nejprve vypocˇteme druhe´ parcia´lnı´ derivace funkce f . ∂ ∂ x−1 1 · (z + 1) − (x − 1)zx 1 zxx = zx = = ⇒ zxx (1, −2) = , 2 ∂x ∂x z + 1 (z + 1) 5 ∂ y+2 1 · (z + 1) − (y + 2)zy 1 ∂ zy = = ⇒ zyy (1, −2) = , zyy = 2 ∂y ∂y z + 1 (z + 1) 5 ∂ ∂ x−1 0 · (z + 1) − (x − 1)zy zxy = zx = = ⇒ zxy (1, −2) = 0. ∂y ∂y z + 1 (z + 1)2 2 , tedy J (1, −2) = 1/5 · 1/5 − 02 = 1/25 > 0, takz Hessiań je J (x, y) = zxx zyy − zxy ˇe v bodeˇ (1, −2) ma´ f extre´m. Protozˇe zxx (1, −2) = 1/5 > 0, jde o loka´lnı´ minimum. N

Pozna´mka 7.15. Rovneˇzˇ u funkce dvou promeˇnnyćh f (x, y) zadane´ implicitneˇ rovnicı´ F (x, y, z) = 0 lze vysˇetrˇovat loka´lnı´ extre´my. Postup je obdobny´ jako u funkce jedne´ promeˇnne´ v prˇ´ıkladu 7.9. Hledane´ body musı´ splnˇovat rovnici F (x, y, z) = 0 a podmıńku F Fz (x, y, z) 6= 0. Aby sˇlo o staciona´rnı´ body, musı´ platit fx = − FFxz = 0 a fy = − Fyz = 0, tedy Fx (x, y, z) = 0 a Fy (x, y, z) = 0. Body tudı´zˇ najdeme rˇesˇenı´m soustavy trˇ´ı rovnic F (x, y, z) = 0,

Fx (x, y, z) = 0,

Fy (x, y, z) = 0.

Pro za´jemce: Prˇedchozı´ vy´sledky lze podstatneˇ zobecnit. Uvazˇujme nejprve jednu rovnici o n + 1 nezna´myćh, n ∈ N, tvaru F (x1 , . . . , xn , y) = = 0. Oznacˇ´ıme-li x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , ma´me strucˇneˇji F (x, y) = 0. Necht’ (x ∗ , y ∗ ) = = (x1∗ , . . . , xn∗ , y ∗ ) je rˇesˇenı´ te´to rovnice. Prˇedpokla´dejme, zˇe F ma´ v okolı´ bodu (x ∗ , y ∗ ) spojite´ prvnı´ parcia´lnı´ derivace a Fy (x ∗ , y ∗ ) 6= 0. Pak uvazˇovana´ rovnice vyjadrˇuje v okolı´ bodu (x ∗ , y ∗ ) implicitneˇ spojitou funkci f (x) o n promeˇnnyćh. Du˚kaz je analogicky´ jako pro n = 1 resp. n = 2. Podrobneˇji existuje kva´drove´ okolı´ (x1∗ −δ1 , x1∗ +δ1 )×· · ·×(xn∗ −δn , xn∗ +δn )×(y ∗ −ε, y ∗ +ε), δ1 , . . . , δn , ε > 0, s vlastnostı´, zˇe pro libovolne´ x ∈ (x1∗ − δ1 , x1∗ + δ1 ) × · · · × (xn∗ − δn , xn∗ + δn ) ∗ ∗ existuje pra´veˇ jedno y ∈ (y − ε, y + ε) takove´, zˇe (x, y) splnˇuje danou rovnici. Oznacˇ´ıme y = f (x). Tedy F x, f (x) = 0. F (x,f (x))

Funkce f ma´ spojite´ parcia´lnı´ derivace, pro neˇzˇ platı´ fxi (x) = − Fxyi(x,f (x)) . Ma´-li funkce F v okolı´ bodu (x ∗ , y ∗ ) spojite´ parcia´lnı´ derivace azˇ do rˇa´du k, k ∈ N, ma´ i f spojite´ parcia´lnı´ derivace azˇ do rˇa´du k, ktere´ lze obdrzˇet derivovańı´m prˇedchozı´ho vztahu obdobneˇ jako u implicitneˇ dane´ funkce jedne´ nebo dvou promeˇnnyćh. Du˚kaz tvrzenı´ je stejny´ jako u veˇty 7.3. Obecneˇji lze uvazˇovat soustavu m rovnic o m + n nezna´myćh, m, n ∈ N, tvaru F1 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0, F2 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0, ............................. Fm (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0. Oznacˇ´ıme-li x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn a y = (y1 , . . . , ym ) ∈ Rm , mu˚zˇeme soustavu zapsat strucˇneˇji: F1 (x, y) = 0, F2 (x, y) = 0, . . . , Fm (x, y) = 0. Necht’ (x ∗ , y ∗ ) = (x1∗ , . . . , xn∗ , y1∗ , . . . , ym∗ )


162

je rˇesˇenı´ te´to soustavy. Prˇedpokla´dejme, zˇe F1 , . . . , Fm majı´ v okolı´ bodu (x ∗ , y ∗ ) spojite´ prvnı´ parcia´lnı´ derivace a determinant F1|y1 (x ∗ , y ∗ ) F1|y2 (x ∗ , y ∗ ) . . . F1|ym (x ∗ , y ∗ ) F2|y1 (x ∗ , y ∗ ) F2|y2 (x ∗ , y ∗ ) . . . F2|ym (x ∗ , y ∗ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6= 0. Fm|y (x ∗ , y ∗ ) Fm|y (x ∗ , y ∗ ) . . . Fm|y (x ∗ , y ∗ ) m 1 2 Pak uvazˇovana´ soustava rovnic vyjadrˇuje v okolı´ bodu (x ∗ , y ∗ ) implicitneˇ m-tici spojityćh funkcı´ f1 (x), . . . , fm (x) o n promeˇnnyćh. Podrobneˇji existuje okolı´ (x1∗ −δ1 , x1∗ +δ1 )×· · ·×(xn∗ −δn , xn∗ +δn )×(y1∗ − ε1 , y1∗ + ε1 )×· · ·× ×(ym∗ −εm , ym∗ +εm ), δ1 , . . . , δn , ε1 , . . . , εm > 0, takove´, zˇe pro libovolne´ x ∈ (x1∗ − δ1 , x1∗ + δ1 )× × · · · × (xn∗ − δn , xn∗ + δn ) existuje pra´veˇ jedno y ∈ (y1∗ − ε1 , y1∗ + ε1 ) × · · · × (ym∗ − εm , ym∗ + εm ) takove´, zˇe (x, y) splnˇuje danou soustavu rovnic. Oznacˇme y1 = f1 (x), . . . , ym = fm (x). Tedy Fi x, f1 (x), . . . , fm (x) = 0, i = 1, . . . , m. Funkce f1 , . . . , fm majı´ spojite´ parcia´lnı´ derivace. Jejich vyja´drˇenı´ lze zı´skat rˇesˇenı´m (naprˇ. pomocı´ Cramerova pravidla) soustavy linea´rnıćh algebraickyćh rovnic s nezna´my´mi f1|xj (x) azˇ fm|xj (x), kterou dostaneme derivovańı´m identit Fi x, f1 (x), . . . , fm (x) = 0, i = 1, . . . , m, podle promeˇnne´ xj , j = 1, . . . , n, s vyuzˇitı´m vzorcu˚ pro derivaci slozˇene´ funkce. Oznacˇ´ıme-li pro strucˇnost f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)), je jejı´ tvar F1|xj x, f (x) + F1|y1 x, f (x)f1|xj (x) + · · · + F1|ym x, f (x)fm|xj (x) = 0, F2|xj x, f (x) + F2|y1 x, f (x) f1|xj (x) + · · · + F2|ym x, f (x) fm|xj (x) = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . Fm|xj x, f (x) + Fm|y1 x, f (x) f1|xj (x) + · · · + Fm|ym x, f (x) fm|xj (x) = 0. Prˇedpoklady zarucˇujı´, zˇe determinant matice soustavy je v okolı´ bodu x ∗ nenulovy´. Majı´-li funkce F1 , . . . , Fm v okolı´ bodu (x ∗ , y ∗ ) spojite´ parcia´lnı´ derivace azˇ do rˇa´du k, k ∈ N, majı´ i funkce f1 , . . . , fm spojite´ parcia´lnı´ derivace azˇ do rˇa´du k, ktere´ lze obdrzˇet derivovańı´m vzorcu˚ pro prvnı´ parcia´lnı´ derivace fi|xj (x). Tvrzenı´ lze doka´zat indukcı´ vzhledem k pocˇtu rovnic m — viz naprˇ. [8]. Jiny´ du˚kaz lze udeˇlat pomocı´ Banachovy veˇty o pevne´m bodu — viz naprˇ. [1, 13].

X

Pojmy k zapamatovańı´ — — — — — — — — —

funkce jedne´ promeˇnne´ dana´ implicitneˇ funkce dvou promeˇnnyćh dana´ implicitneˇ funkce dana´ explicitneˇ derivace funkce jedne´ promeˇnne´ dane´ implicitneˇ derivace funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ loka´lnı´ extre´my funkce jedne´ promeˇnne´ dane´ implicitneˇ loka´lnı´ extre´my funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ Tayloru˚v mnohocˇlen funkce jedne´ promeˇnne´ dane´ implicitneˇ Tayloru˚v mnohocˇlen funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ


163


?

1. Definujte funkci jedne´ promeˇnne´ danou implicitneˇ rovnicı´ F (x, y) = 0. 2. Vysveˇtlete, za jakyćh podmıńek existuje funkce jedne´ promeˇnne´ dana´ implicitneˇ rovnicı´ F (x, y) = 0. 3. Jak derivujeme funkci jedne´ promeˇnne´ danou implicitneˇ? 4. Jaky´ je geometricky´ vy´znam podmıńky Fy (x0 , y0 ) 6= 0? 5. Definujte funkci dvou promeˇnnyćh danou implicitneˇ rovnicı´ F (x, y, z) = 0. 6. Vysveˇtlete, za jakyćh podmıńek existuje funkce dvou promeˇnnyćh dana´ implicitneˇ rovnicı´ F (x, y, z) = 0. 7. Jak spocˇ´ıta´te derivaci funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ? 8. Jak spocˇ´ıta´te vysˇsˇ´ı derivaci funkce dvou promeˇnnyćh dane´ implicitneˇ? 9. Jaky´ je geometricky´ vy´znam podmıńky Fz (x0 , y0 , z0 ) 6= 0? 10. Jak najdete loka´lnı´ extre´my funkce dane´ implicitneˇ?

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Oveˇrˇte, zˇe dana´ rovnice zada´va´ v okolı´ bodu A = (x0 , y0 ) implicitneˇ jedinou funkci jedne´ promeˇnne´ y = f (x). Vypocˇteˇte jejı´ prvnı´ derivaci a napisˇte rovnici tecˇny a norma´ly ke grafu funkce f v bodeˇ (x0 , y0 ). a)

y 4 − x 2 = 0, A = (1, −1),

b)

x 2 + xy + y 2 = 3, A = (1, 1),

c)

x 3 + 3xy + y 2 = −3, A = (−1, 2),

d)

x − y + sin y = 0, A = (π, π),

2

2

e)

y (2 − x) = x , A = (1, −1),

f)

y 2 (2 − x) = x, A = (1, −1),

g)

h)

x y = y x , A = (1, 1),

i)

y 2 (x − 2) = x 2 , A = (3, −3), p ln x 2 + y 2 = arctg yx , A = (1, 0),

j)

x 4 + x = y 4 + y, A = (2, 2),

k)

(x 2 + y 2 )2 = 3x 2 y + y 3 , A = (0, 1),

l)

x 2 − 2xy + y 2 + x + y = 2, A = (1, 1),

m)

ln(y 2 − 2x 2 ) + y + x = 1, A = (0, 1),

n)

x sin y + ex cos y + cos x = 1, A = (0, π/2),

o)

x 3 y − 3xy 3 + x 2 − 2y 2 = 0, A = (−2, 1),

p)

xy + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 = 0, A = (1, −1).

2. K na´sledujıćı´m rovnicı´m najdeˇte body, v nichzˇ jsou splneˇny prˇedpoklady veˇty o implicitnı´ funkci a ktere´ jsou staciona´rnı´mi body takto implicitneˇ definovanyćh funkcı´ jedne´ promeˇnne´. Rozhodneˇte, zda jsou v teˇchto bodech loka´lnı´ extre´my. a)

x 4 + y 3 + 2x 2 y + 2 = 0,

c)

3x 2 + 2xy − y 2 − 3y + x −

5 4

= 0,

b)

x 2 − 2xy + 2y 2 + 2x = −1,

d)

x 2 y 2 − 2xy 4 − 7y 3 + 8 = 0.

!


164

3. Oveˇrˇte, zˇe dana´ rovnice zada´va´ v okolı´ bodu A = (x0 , y0 ) implicitneˇ jedinou funkci f (x). Vypocˇteˇte jejı´ prvnı´ a druhou derivaci a napisˇte jejı´ Tayloru˚v mnohocˇlen T2 (x) se strˇedem x0 . a) c) e) g)

3x ln y − y 3 + 1 = 0, A = (2, 1), xy + x 2 y 2 − x − y = 0, A = (1, 1), x sin x + y cos y = 0, A = (π, 0), x 3 + xy − y 3 = 7, A = (2, −1),

+ yx + y = 3, A = (1, 1), x ey − y ex = 0, A = (0, 0), ln(x 2 + y 2 ) + y = 1, A = (0, 1), x ex+y + y 2 = 0, A = (−1, 1). x y

b) d) f) h)

4. Oveˇrˇte, zˇe dana´ rovnice zada´va´ v okolı´ bodu A = (x0 , y0 , z0 ) implicitneˇ jedinou funkci dvou promeˇnnyćh z = f (x, y). Vypocˇteˇte jejı´ prvnı´ parcia´lnı´ derivace a napisˇte rovnici tecˇne´ roviny ke grafu funkce f v bodeˇ (x0 , y0 , z0 ). a)

x 2 + y 2 + z2 + xyz = 2, A = (1, −1, 1),

b)

x y

c)

z(x − y)2 + x 3 y 2 + xz2 = 9, A = (2, 1, −1),

d)

ln(x 2 + y 2 − 3z2 ) + xy − z = 8, A = (3, 2, −2),

e)

xy ez−1 + x 3 + y 3 + zex+y + 3 = 0, A = (2, −2, 1),

f)

(x + y) sin z + xz cos xy = π2 , A = (π, 1, −π),

g)

xyz + x 2 y 2 z2 + x 3 y 3 z3 = 3, A = (1, 1, 1),

h)

(x + y − z)2 + ln(x + y + z) = 1, A = (−1, 1, 1).

+

y x

+ z3 + xyz = 0, A = (1, 1, −1),

5. K na´sledujıćı´m rovnicı´m najdeˇte body, v nichzˇ jsou splneˇny prˇedpoklady veˇty o implicitnı´ funkci a ktere´ jsou staciona´rnı´mi body takto implicitneˇ definovanyćh funkcı´ dvou promeˇnnyćh. Rozhodneˇte, zda jsou v teˇchto bodech loka´lnı´ extre´my. √ a) x 2 + y 2 + z2 − xz − 2yz = 1, b) x 2 + y 2 + z2 − 2x + 2y − 4z = 10, c)

2x 2 + 2y 2 + z2 + 8xz − z = −8,

d)

x 2 + y 2 + z2 − 2x + 4y − 6z = 11,

e)

x 3 − y 2 − 3x + 4y + z2 + z = 8,

f)

3x 2 + 2y 2 − 3z2 − 6x + 8y = −23,

g)

x 2 + y 2 + z2 − xz − yz + 2x + 2y + 2z = 2.

6. Najdeˇte body, v nichzˇ pro na´sledujıćı´ rovnici nejsou splneˇny prˇedpoklady veˇty 7.3 o existenci implicitneˇ dane´ funkce y = f (x). a)

x 2 + 2xy − y 2 = 8,

b)

x2 a2

+

y2 b2

= 1, a, b > 0.

7. Najdeˇte body, v nichzˇ pro na´sledujıćı´ rovnici nejsou splneˇny prˇedpoklady veˇty 7.11 o existenci implicitneˇ dane´ funkce z = f (x, y). a)

z2 − 2px = 0, p > 0,

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ 1. a) b)

t : x + 2y + 1 = 0, n : 2x − y − 3 = 0, t : x + y − 2 = 0, n : x − y = 0,

b)

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

= 1, a, b, c > 0.


c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p)

t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t: t:

165

9x + y + 7 = 0, n : x − 9y + 19 = 0, x − 2y + π = 0, n : 2x + y − 3π = 0, 3x + 2y − 1 = 0, n : 2x − 3y − 5 = 0, x + y = 0, n : x − y − 2 = 0, x − 2y − 9 = 0, n : 2x + y − 3 = 0, x − y = 0, n : x + y − 2 = 0, x − y − 1 = 0, n : x + y − 1 = 0, x − y = 0, n : x + y − 4 = 0, y − 1 = 0, n : x = 0, x + y − 2 = 0, n : x − y = 0, x + 3y − 3 = 0, n : 3x − y + 1 = 0, x − y + π/2 = 0, n : x + y − π/2 = 0, 5x + 6y + 4 = 0, n : 6x − 5y + 17 = 0, x − y − 2 = 0, n : x + y = 0.

2. a) b) c) d)

√ ymax = −1 v x = 1, ymax = −1 v x = −1, ymin = − 3 2 v x = 0, ymax = 0 v x = −1, ymin = −2 v x = −3, ymin = −1/2 v x = 0, ymax = −2 v x = 1/2, ymin = 1 v x = 1, ymax = −2 v x = 4.

3. a) c) e) g)

T2 (x) = 1, T2 (x) = 1 − (x − 1) + 23 (x − 1)2 , T2 (x) = π(x − π) + (x − π)2 , T2 (x) = −1 + 11(x − 2) + 380(x − 2)2 ,

4. a) c) e) g)

x − y + z − 3 = 0, b) x + y − 4z − 6 = 0, 11x + 18y − 3z − 43 = 0, d) 8x + 7y + 11z − 16 = 0, 11x + 15y − 3z + 11 = 0, f) πx − (2π + 1)z − 3π2 − π = 0, x + y + z − 3 = 0, h) x + y − 3z + 3 = 0. √ √ zmin = −2 v (−1, − 2 ), zmax = 2 v (1, 2 ), zmin = −2 v (1, −1), zmax = 6 v (1, −1), zmin = 1 v (−2, 0), zmax = − 87 v ( 16 , 0), 7 zmin = −2 v (1, −2), zmax = 8 v (1, −2), zmin = 1 v (−1, 2), zmax = −2 v (−1, 2), ve st. b. (1, 2), z = −3 a 2 nenı´, zmin = 2 v (1, −2), zmax = −2 v (1, −2), √ √ √ zmin = −4 − 2 6 v (−3 − 6, −3 − 6 ), √ √ √ zmax = −4 + 2 6 v (−3 + 6, −3 + 6 ).

5. a) b) c) d) e) f) g)

b) d) f) h)

T2 (x) = 1 − (x − 1)2 , T2 (x) = x, T2 (x) = 1 − 13 x 2 , T2 (x) = 1 − 12 (x + 1)2 .

6. a)

(2, 2), (−2, −2),

b)

(a, 0), (−a, 0).

7. a)

x = 0, z = 0, tj. body osy y,

b)

z = 0,

x2 a2

+

y2 b2

= 1 (elipsa).

166

Kapitola 8 Va´zane´ extre´my S Z

V J

ó

Pru˚vodce studiem V praxi jsme pomeˇrneˇ cˇasto postaveni prˇed u´kol urcˇit tzv. va´zany´ extre´m. Jde o nalezenı´ extre´mu funkce neˇkolika promeˇnnyćh, ktere´ jsou va´zańy dalsˇ´ımi vedlejsˇ´ımi podmıńkami (tzv. vazbami). Naprˇ. funkce z = f (x, y) je ve spojenı´ s rovnicı´ (vazbou) g(x, y) = 0 vlastneˇ funkcı´ jedne´ promeˇnne´. Jejı´ za´pis ve tvaru z = f1 (x) resp. z = f2 (y) zı´ska´me, kdyzˇ z rovnice g(x, y) = 0 bude mozˇne´ jednu z promeˇnnyćh x, y vyja´drˇit jako funkci druhe´ promeˇnne´ a pak dosadit do z = f (x, y) za x nebo y. Vy´pocˇet va´zane´ho extre´mu se tak prˇevede na vy´pocˇet loka´lnı´ho extre´mu jedne´ promeˇnne´. Jestlizˇe to nebude mozˇne´ nebo to bude prˇ´ılisˇ slozˇite´, pouzˇ´ıva´ se k vy´pocˇtu tzv. Lagrangeovy funkce. Prˇi hledańı´ globa´lnıćh extre´mu˚ funkcı´ n promeˇnnyćh je trˇeba rovneˇzˇ vysˇetrˇit funkci na hranici definicˇnı´ho oboru, cˇı´mzˇ se proble´m snese o dimenzi nı´zˇ (na hledańı´ globa´lnıćh extre´mu˚ funkcı´ n − 1 promeˇnnyćh). Bez apara´tu va´zanyćh extre´mu˚ je nutne´ „sestoupit“ azˇ na jednodimenziona´lnı´ prˇ´ıpad, cozˇ je veˇtsˇinou velmi slozˇite´ a vede na neprˇehledne´ vy´pocˇty. V te´to kapitole je vy´klad od pocˇa´tku veden pro obecny´ prˇ´ıpad funkcı´ n promeˇnnyćh. Studium te´to kapitoly bude proto vy´razneˇ na´rocˇneˇjsˇ´ı.

Cı´le Po prostudovańı´ te´to kapitoly budete schopni: • zodpoveˇdeˇt, za jakyćh podmıńek ma´ dana´ funkce f v bodeˇ x ∗ va´zany´ extre´m, • urcˇit staciona´rnı´ body a oveˇrˇit, zda jsou v nich loka´lnı´ poprˇ´ıpadeˇ globa´lnı´ extre´my, • nale´zt va´zane´ extre´my dane´ funkce prˇi danyćh podmıńkaćh. V te´to kapitole se budeme zaby´vat tzv. klasickou u´lohou na va´zany´ extre´m. Jde o u´lohu nale´zt loka´lnı´ (poprˇ. globa´lnı´) extre´my funkce na mnozˇineˇ, ktera´ je zadana´ soustavou

167

rovnic. Forma´lneˇ lze popsat tuto u´lohu takto: f (x) → ext, gi (x) = 0,

i = 1, . . . , m,

x ∈ P,

P = int P .

(8.1)

Rovnice gi (x) = 0 se nazy´vajı´ vazebne´ podmıńky nebo funkciona´lnı´ omezenı´ a mnozˇina P prˇ´ıma´ omezenı´ (cˇasto je to Rn ). Prˇedpokla´da´me, zˇe P je otevrˇena´ mnozˇina a zˇe funkce f, g1 , . . . , gm jsou na nı´ dostatecˇneˇ hladke´ (majı´ potrˇebne´ parcia´lnı´ derivace). Hleda´ se tedy maximum resp. minimum funkce f na mnozˇineˇ X = {x ∈ P : gi (x) = 0, i = 1, . . . , m}. Pokud by se na´m podarˇilo vyja´drˇit neˇktere´ promeˇnne´ ze soustavy rovnic gi (x) = 0, i = 1, . . . , m, pomocı´ zby´vajıćıćh, mohli bychom je dosadit do funkce f a prˇeve´st danou u´lohu na u´lohu najı´t „obycˇejne´“ extre´my, kterou jsme studovali v kapitole 5. To jsme udeˇlali v prˇ´ıkladu 6.7. Obecneˇ bohuzˇel nedoka´zˇeme takovou soustavu explicitneˇ rˇesˇit a nezby´va´ nezˇ pouzˇ´ıt jine´ metody, zalozˇene´ na veˇteˇ o implicitnı´ funkci. Jejich studium je pra´veˇ obsahem te´to kapitoly. Obecneˇjsˇ´ı u´loha, kde vazebne´ podmıńky mohou by´t i typu neostryćh nerovnostı´, je popsańa naprˇ. v [4], [10] nebo [18]. Nezˇ zacˇneme vysˇetrˇovat dalsˇ´ı typy u´loh, zavedeme pojem, jehozˇ vy´znam je v dalsˇ´ı cˇa´sti textu klıćˇovy´. Funkce definovana´ vztahem L (x, y0 , y) = y0 f (x) +

m X

yi gi (x),

(8.2)

i=1

kde x = (x1 , . . . , xn ) ∈ P , y0 ∈ R a y = (y1 , . . . , ym ) ∈ Rm , se nazy´va´ Lagrangeova funkce u´lohy (8.1). Koeficienty y0 , . . . , ym se nazy´vajı´ Lagrangeovy multiplika´tory. Je-li y0 6= 0, nazy´va´ se Lagrangeova funkce regula´rnı´. Budeme prˇedpokla´dat, zˇe y0 = 0 pro u´lohu na minimum a y0 5 0 pro u´lohu na maximum. Parcia´lnı´ derivace Lagrangeovy funkce vzhledem ke slozˇka´m vektoru x majı´ tvar m

X ∂gi ∂f ∂L (x, y0 , y) = y0 (x) + yi (x), ∂xj ∂xj ∂xj

j = 1, . . . , n.

i=1

Vektor z nich sestaveny´ oznacˇ´ıme Lx0 (x, y0 , y), tj. Lx0 (x, y0 , y) = y0 f 0 (x) +

m X

yi gi0 (x).

i=1

Pojem loka´lnıćh extre´mu˚ pro tuto u´lohu byl jizˇ zaveden — viz definice 5.16. Podobneˇ jako v kapitole 5 rozdeˇlı´me vy´sledky na dveˇ cˇa´sti podle toho, zda se pouzˇ´ıvajı´ jen prvnı´ derivace (podmıńky prvnı´ho rˇa´du) nebo i druhe´ derivace (podmıńky druhe´ho rˇa´du). Poznamenejme, zˇe k pochopenı´ vy´sledku˚ te´to kapitoly jsou nezbytne´ za´kladnı´ znalosti z teorie konecˇneˇrozmeˇrnyćh vektorovyćh prostoru˚ se skala´rnı´m soucˇinem.

Va´zane´ extre´my

168

8.1

Podmıńky prvnı´ho rˇa´du

Nı´zˇe uvedena´ nutna´ podmıńka je zna´ma jako pravidlo Lagrangeovyćh multiplika´toru˚ a je asi nejjednodusˇsˇ´ım a nejzna´meˇjsˇ´ım vy´sledkem, v neˇmzˇ se objevı´ Lagrangeova funkce. Jejı´ du˚kaz nenı´ prˇ´ılisˇ obtı´zˇny´, ale rozhodneˇ nenı´ trivia´lnı´. Je k neˇmu trˇeba veˇta o implicitnı´ funkci nebo neˇktere´ jı´ ekvivalentnı´ tvrzenı´. S touto veˇtou se posluchacˇi obvykle v za´kladnı´m kurzu analy´zy setkajı´, ale veˇtsˇinou je obtı´zˇne´ jim uka´zat neˇjaky´ podstatny´ vy´sledek, prˇi jehozˇ du˚kazu se tato pro neˇ dost teoreticka´ veˇta pouzˇije, a tak je prˇesveˇdcˇit o vy´znamu tohoto tvrzenı´. Z tohoto du˚vodu uvedeme tzv. veˇtu o inverznı´ funkci, ktera´ je ekvivalentnı´ veˇteˇ o implicitnı´ funkci, a provedeme pomocı´ nı´ du˚kaz nutne´ podmıńky existence loka´lnı´ho extre´mu. Veˇta 8.1 (Veˇta o inverznı´ funkci). Necht’ s ∈ N. Prˇedpokla´dejme, zˇe funkce ψ1 (x1 , . . . , xs ), . . . , ψs (x1 , . . . , xs ) jsou spojiteˇ diferencovatelne´ v neˇjake´m okolı´ bodu x ) xb = (b x1 , . . . , xbs ). Necht’ jejich jakobiań1 J = det ∂ψ∂xi (b , i, j = 1, . . . , s, je nenulovy´. j Pak existujı´ cˇ´ısla ε0 > 0 a δ0 > 0 takova´, zˇe pro libovolne´ η = (η1 , . . . , ηs ), kηk 5 ε0 , existuje ξ , kξ k 5 δ0 , s vlastnostı´ ψi (b x + ξ ) = ψi (b x ) + ηi , i = 1, . . . , s, prˇicˇemzˇ ξ → 0 pro η → 0. Du˚kaz. Du˚kaz je zalozˇen na pouzˇitı´ veˇty o implicitnı´ funkci v podobeˇ, jak je uvedena v cˇa´sti Pro za´jemce na str. 161. Veˇta se aplikuje na soustavu s rovnic tvaru yi − ψi (x1 , . . . , xs ) = 0, i = 1, . . . , s. Podrobneˇji viz naprˇ. [16, str. 223], kde je doka´zań jesˇteˇ silneˇjsˇ´ı vy´sledek. Funkce z prˇedchozı´ veˇty urcˇujı´ zobrazenı´ 9, ktere´ bodu˚m x ∈ Rs prˇirˇazuje body 9(x) = = (ψ1 (x), . . . , ψs (x)) ∈ Rs . Veˇta rˇ´ıka´, zˇe 9(b x ) je vnitrˇnı´ bod oboru hodnot zobrazenı´ 9. Podrobneˇji lze uka´zat, zˇe 9 je v jiste´m okolı´ bodu xb proste´ a zˇe k neˇmu inverznı´ zobrazenı´ je spojiteˇ diferencovatelne´, tj. zejmeńa spojite´. Z te´to formulace vyply´va´ na´zev veˇty. Veˇta 8.2. Necht’ funkce f, g1 , . . . , gm jsou spojiteˇ diferencovatelne´ v neˇjake´m okolı´ bodu x ∗ ∈ P , m < n. Je-li x ∗ loka´lnı´ rˇesˇenı´ u´lohy (8.1), pak existuje cˇ´ıslo y0∗ a vektor ∗ ), ktere y ∗ = (y1∗ , . . . , ym ´ nejsou soucˇasneˇ nulove´, takove´, zˇe Lx0 (x ∗ , y0∗ , y ∗ ) = 0.

(8.3)

0 (x ∗ ) linea Jsou-li gradienty g10 (x ∗ ), . . . , gm ´ rneˇ neza´visle´ (podmıńka regularity), potom ∗ je y0 6= 0.

Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe jde naprˇ. o u´lohu na minimum. Uvazˇujme vektory f 0 (x ∗ ), 0 (x ∗ ). Jsou-li linea g10 (x ∗ ), . . . , gm ´ rneˇ za´visle´, musı´ existovat cˇ´ısla yk∗ , k = 0, . . . , m, ktera´ nejsou soucˇasneˇ vsˇechna nulova´, tak, zˇe je splneˇno (8.3). 1 Karl

Gustav Jacob Jacobi (1804–1851) (cˇti jakobi) — vy´znamny´ neˇmecky´ matematik. Zaby´val se teoriı´ funkcı´, teoriı´ cˇ´ısel, linea´rnı´ algebrou, diferencia´lnı´mi rovnicemi a mechanikou.

8.1 Podmıńky prvnı´ho rˇa´du

169

Prˇipust’me nynı´, zˇe tyto vektory jsou linea´rneˇ neza´visle´. Uka´zˇeme, zˇe tento prˇedpoklad vede ke sporu s tı´m, zˇe v x ∗ je loka´lnı´ minimum. Uvazˇujme zobrazenı´ 9(x) = (f (x) − f (x ∗ ), g1 (x), . . . , gm (x)). Neza´vislost zmıńeˇnyćh vektoru˚ znamena´, zˇe matice   ∂f (x ∗ ) ∂f (x ∗ ) . . . ∂xn  ∂x1  A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ ∗ ∂gm (x ) m (x ) . . . ∂g∂x ∂x1 n typu (m + 1) × n ma´ hodnost m + 1. Necht’pro jednoduchost naprˇ. prvnıćh m + 1 sloupcu˚ je linea´rneˇ neza´vislyćh, tj. ∂f (x ∗ ) . . . ∂f (x ∗ ) ∂x1 ∂xm+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6= 0. ∗ ∂gm (x ∗ ) ∂x . . . ∂g∂xm (x ) 1

m+1

Pak funkce ∗ ψ1 (x1 , . . . , xm+1 ) = f (x1 , . . . , xm+1 , xm+2 , . . . , xn∗ ) − f (x1∗ , . . . , xn∗ ), ∗ ψ2 (x1 , . . . , xm+1 ) = g1 (x1 , . . . , xm+1 , xm+2 , . . . , xn∗ ), .. . ∗ ψm+1 (x1 , . . . , xm+1 ) = gm (x1 , . . . , xm+1 , xm+2 , . . . , xn∗ )

splnˇujı´ prˇedpoklady veˇty o inverznı´ funkci. Polozˇme η1 = −ε a η2 = · · · = = ηm+1 = 0. Pro libovolne´ dostatecˇneˇ male´ ε > 0 najdeme prˇ´ıslusˇna´ cˇ´ısla ξk , k = = 1, . . . , m + 1, a polozˇ´ıme xk (ε) = xk∗ + ξk . Prˇi tomto oznacˇenı´ platı´ ∗ f (x1 (ε), . . . , xm+1 (ε), xm+2 , . . . , xn∗ ) − f (x ∗ ) = −ε, ∗ g1 (x1 (ε), . . . , xm+1 (ε), xm+2 , . . . , xn∗ ) = 0, .................................... ∗ gm (x1 (ε), . . . , xm+1 (ε), xm+2 , . . . , xn∗ ) = 0.

(8.4)

∗ Da´le xk (ε) → xk∗ pro ε → 0. Pak bod (x1 (ε), . . . , xm+1 (ε), xm+2 , . . . , xn∗ ), jenzˇ mu˚zˇe by´t libovolneˇ blı´zko bodu x ∗ , splnˇuje podle (8.4) vsˇechny vazebne´ podmıńky. Prˇitom ∗ f (x1 (ε), . . . , xm+1 (ε), xm+2 , . . . , xn∗ ) = f (x ∗ ) − ε < f (x ∗ ).

To vsˇak znamena´, zˇe v bodeˇ x ∗ nemu˚zˇe by´t loka´lnı´ minimum. Je-li splneˇna podmıńka regularity, je y0∗ 6= 0. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ by byl nenulovy´ ∗ a podle (8.3) by g 0 (x ∗ ), . . . , g 0 (x ∗ ) byly linea neˇktery´ z multiplika´toru˚ y1∗ , . . . , ym ´ rneˇ m 1 za´visle´, cozˇ je spor s prˇedpokladem.


170

Pozna´mka 8.3. 1) Podstatnou soucˇa´stı´ tvrzenı´ je, zˇe alesponˇ jeden z multiplika´toru˚ y0 , . . . , ym je nenulovy´. Tento fakt je prˇ´ıcˇinou obtı´zˇnosti du˚kazu. Pokud by byly vsˇechny multiplika´tory nulove´, je (8.3) trivia´lneˇ splneˇno a nenı´ co dokazovat. Takova´ veˇta by byla ovsˇem naprosto bezcenna´. 2) Je zrˇejme´, zˇe pokud neˇjaka´ soustava multiplika´toru˚ splnˇuje pozˇadavky veˇty, pak je splnˇujı´ i jejich k-na´sobky ky0 , . . . , kym , k > 0. Multiplika´tory jsou tedy urcˇeny azˇ na kladny´ na´sobek. Pokud je y0 6= 0, lze volit k = 1/|y0 |, takzˇe nova´ hodnota y0 je ±1. Stacˇ´ı se tedy omezit pouze na dva prˇ´ıpady: y0 = ±1 (regula´rnı´ prˇ´ıpad) a y0 = 0. 3) Rovnice (8.3) obsahuje celkem n + m + 1 nezna´myćh — x1 , . . . , xn a y0 , . . . , ym . Protozˇe multiplika´tory jsou urcˇeny azˇ na na´sobek, je pocˇet nezna´myćh vlastneˇ pouze m + n. Pro jejich urcˇenı´ ma´me n rovnic z (8.3) a m rovnic z vazebnyćh podmıńek, tedy pocˇet rovnic a nezna´myćh si odpovı´da´ a obecneˇ je sˇance dostat izolovana´ rˇesˇenı´. 4) Bod x ∗ , ktery´ splnˇuje vazebne´ podmıńky a je rˇesˇenı´m (8.3) prˇi neˇjakyćh multiplika´torech (y0∗ , y ∗ ) 6= 0, se nazy´va´ staciona´rnı´. 5) Prvnı´ zmıńka o pravidle multiplika´toru˚ pocha´zı´ od Eulera1 z r. 1744. Metodu rozpracoval Lagrange. Zajı´mave´ je, zˇe nejprve to bylo pro trˇ´ıdu proble´mu˚ variacˇnı´ho pocˇtu, tj. pro nekonecˇneˇrozmeˇrne´ u´lohy, v knize Mećhanique analytique z r. 1788, a teprve pozdeˇji pro jednodusˇsˇ´ı konecˇneˇrozmeˇrne´ u´lohy v knize Theórie des fonctions analytiques z r. 1797. Da´le si vsˇimneme geometricke´ interpretace veˇty 8.2. Prˇipomenˇme, zˇe hladinou vα rozumı´me mnozˇinu bodu˚, v nichzˇ funkce f naby´va´ stejne´ hodnoty α — viz definice 1.16. Tedy vα = {x ∈ Rn : f (x) = α}. Pro x ∈ R2 by´va´ hladina v „rozumne´m“ prˇ´ıpadeˇ krˇivkou. Je-li xb ∈ vα a gradient f 0 (b x ) 6= 0, je tento vektor kolmy´ k vα , tj. je to norma´lovy´ vektor, a ukazuje smeˇr, v neˇmzˇ funkce f nejrychleji roste (derivace v tomto smeˇru je nejveˇtsˇ´ı). Budeme uvazˇovat u´lohu (8.1) s jednou vazebnou podmıńkou g(x) = 0, cozˇ je v rovineˇ v „rozumne´m“ prˇ´ıpadeˇ take´ krˇivka. Splnˇuje-li xb tuto podmıńku a je-li g 0 (b x ) 6= 0, je tento gradient norma´lovy´m vektorem k prˇ´ıslusˇne´ krˇivce. Tvrzenı´ veˇty rˇ´ıka´, zˇe v bodeˇ extre´mu jsou tyto vektory linea´rneˇ za´visle´, tj. jeden je na´sobkem druhe´ho. Situaci ilustruje obra´zek 8.1. Prˇedpokla´dejme, zˇe hleda´me minimum. Pak se snazˇ´ıme najı´t co nejmensˇ´ı α takove´, zˇe hladina vα jesˇteˇ protıńa´ mnozˇinu g(x) = 0. Z na´zoru je celkem zrˇejme´, zˇe obeˇ krˇivky (tj. hladina a mnozˇina odpovı´dajıćı´ vazebne´ podmıńce) se musı´ v takove´m bodeˇ doty´kat, jak je tomu v bodeˇ x ∗ . V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ (pokud prˇedpokla´da´me spojitou za´vislost na α) by bylo mozˇne´ trochu zmensˇit cˇ´ıslo α tak, zˇe by hladina sta´le jesˇteˇ protıńala mnozˇinu odpovı´dajıćı´ vazebne´ podmıńce, tedy by libovolneˇ blı´zko existovaly body splnˇujıćı´ vazebnou podmıńku, v nichzˇ je funkcˇnı´ hodnota mensˇ´ı. V tako¯ Znameńka + ve´m bodeˇ ale nemu˚zˇe by´t loka´lnı´ minimum. Tato situace nastane v bodeˇ x. 1 Leonhard Euler (1707–1783) (cˇti ojler) — sˇvy ćarsky´ matematik, fyzik, mechanik a astronom. Pu˚sobil

prˇeva´zˇneˇ v Petrohradeˇ. Jeden z nejveˇtsˇ´ıch matematiku˚ vsˇech dob. Napsal kolem 850 pracı´ (vcˇetneˇ mnohodı´lnyćh monografiı´). Ovlivnil vsˇechny za´kladnı´ matematicke´ disciplıńy. Od r. 1766 byl slepy´ (diktoval svy´m zˇa´ku˚m).

8.2 Podmıńky druhe´ho rˇa´du

171 ¯ g 0 (x)

+ − + −

x¯ ¯ f 0 (x) + − g 0 (x ∗ ) x∗ f 0 (x ∗ )

f (x) = α f (x) = f (x ∗ )

g(x) = 0

¯ f (x) = f (x)

Obr. 8.1: Nutna´ podmıńka existence loka´lnı´ho extre´mu v klasicke´ u´loze na va´zany´ extre´m a − u hladin ukazujı´, ktery´m smeˇrem funkce f roste a ktery´m klesa´ (musı´ by´t ve shodeˇ s gradientem f 0 , ktery´ ukazuje smeˇr ru˚stu).

8.2

Podmıńky druhe´ho rˇa´du

Nejprve si uvedeme nutnou podmıńku druhe´ho rˇa´du. Oznacˇme 00 Lxx (x, y0 , y)

00

= y0 f (x) +

m X

yi gi00 (x)

i=1

matici druhyćh derivacı´ Lagrangeovy funkce vzhledem k sourˇadnicı´m vektoru x. Budeme uvazˇovat u´lohu na loka´lnı´ minimum, kdy y0 = 0. V prˇ´ıpadeˇ maxima stacˇ´ı vysˇetrˇit u´lohu s ućˇelovou funkcı´ −f a ty´mizˇ omezenı´mi, cozˇ odpovı´da´ y0 5 0. Jinou mozˇnostı´ je nechat y0 = 0 a ve vztazıćh (8.8) a (8.10) uvazˇovat opacˇne´ nerovnosti, cozˇ je ale tote´zˇ. K du˚kazu nutne´ podmıńky existence loka´lnı´ho extre´mu budeme potrˇebovat na´sledujıćı´ tvrzenı´. Lemma 8.4 (Ljusternik1 ). Necht’ funkce g1 (x), . . . , gm (x) jsou spojiteˇ diferencovatelne´ v neˇjake´m okolı´ bodu x ∗ ∈ Rn , prˇicˇemzˇ gi (x ∗ ) = 0, i = 1, . . . , m. Necht’ gradienty 1 Lazar

Aronovicˇ Ljusternik (1899–1981) — rusky´ matematik. Zaby´val se topologicky´mi metodami v analy´ze, variacˇnı´m pocˇtem a funkciona´lnı´ analy´zou.


172

0 (x ∗ ) spolecˇne ˇ s vektory am+1 , . . . , an tvorˇ´ı ba´zi v Rn . Prˇedpokla´dejme, zˇe g10 (x ∗ ), . . . , gm vektor h ∈ Rn splnˇuje podmıńky

hgi0 (x ∗ ), hi = 0,

i = 1, . . . , m.

(8.5)

Pak existujı´ funkce ri (α), i = 1, . . . , m, α ∈ R, takove´, zˇe prˇi oznacˇenı´ r(α) = = (r1 (α), . . . , rn (α)) platı´ pro dostatecˇneˇ mala´ α gi (x ∗ + αh + r(α)) = 0, hai , r(α)i = 0,

i = 1, . . . , m, i = m + 1, . . . , n,

(8.6) (8.7)

ri (α) = 0 , i = 1, . . . , n. α→0 α

prˇicˇemzˇ lim

Vy´znam tvrzenı´ je velmi na´zorny´. Pro n = 2 a m = 1 je zna´zorneˇn na obr. 8.2. h

g10 (x ∗ )

x ∗ + αh r(α)

a2 x∗

g1 (x) = 0

Obr. 8.2 Du˚kaz. Oznacˇme fi (r, α) = gi (x ∗ + αh + r), fi (r, α) = hai , ri,

i = 1, . . . , m, i = m + 1, . . . , n.

Uvazˇujme soustavu n rovnic fi (r, α) = 0, i = 1, . . . , n, o n + 1 nezna´myćh r1 , . . . , rn , α. Podle prˇedpokladu˚ je fi (0, 0) = 0, i = 1, . . . , n. Da´le platı´ 0 fi|r (0, 0) = gi0 (x ∗ ),

fi|α (0, 0) = hgi0 (x ∗ ), hi = 0,

i = 1, . . . , m,

0 fi|r (0, 0)

fi|α (0, 0) = 0,

i = m + 1, . . . , n.

= ai ,

Protozˇe vektory g1 (x), . . . , gm (x), am+1 , . . . , an jsou linea´rneˇ neza´visle´, existujı´ podle veˇty o implicitnı´ funkci (viz cˇa´st Pro za´jemce na str. 161) funkce ri (α), i = 1, . . . , n, splnˇujıćı´ soustavu (8.6) a (8.7) a majıćı´ derivace podle α. Najdeme rovnice pro urcˇenı´ ri0 (α), i = 1, . . . , n. Derivovańı´m rovnostı´ (8.6) a (8.7) podle α dostaneme: 0 hgi|r (x ∗ + αh + r(α)), h + r 0 (α)i = 0,

hai , r 0 (α)i = 0,

i = 1, . . . , m, i = m + 1, . . . , n,


173

Protozˇe r(0) = 0, dostaneme dosazenı´m α = 0 z prˇedchozı´ soustavy vzhledem k (8.5) , zˇe platı´ 0 hgi|r (x ∗ ), r 0 (0)i = 0, 0

hai , r (0)i = 0,

i = 1, . . . , m, i = m + 1, . . . , n.

To je cˇtvercova´ homogennı´ soustava linea´rnıćh algebraickyćh rovnic s nenulovy´m determinantem matice soustavy. Ma´ tedy jedine´, a to trivia´lnı´ rˇesˇenı´. Platı´ tudı´zˇ ri0 (0) = 0, tj. lim ri (α) α = 0, i = 1, . . . , n.

α→0

Veˇta 8.5. Necht’ funkce f, g1 , . . . , gm jsou dvakra´t diferencovatelne´ v bodeˇ x ∗ ∈ Rn 0 (x ∗ ) a spojiteˇ diferencovatelne´ v neˇjake´m jeho okolı´, prˇicˇemzˇ gradienty g10 (x ∗ ), . . . , gm jsou linea´rneˇ neza´visle´. Je-li x ∗ loka´lnı´ minimum u´lohy (8.1), je 00 hLxx (x ∗ , y0∗ , y ∗ ) h, hi = 0

(8.8)

pro libovolna´ y0∗ , y ∗ splnˇujıćı´ (8.3) a pro vsˇechna h takova´, zˇe hgi0 (x ∗ ), hi = 0,

i = 1, . . . , m.

(8.9)

0 (x ∗ ) jsou linea Du˚kaz. Protozˇe gradienty g10 (x ∗ ), . . . , gm ´ rneˇ neza´visle´, je mozˇne´ je doplnit (pokud je to nutne´, tj. pokud m < n) vhodny´mi vektory am+1 , . . . , an na ba´zi Rn . Zvolme libovolneˇ vektor h 6= 0 splnˇujıćı´ (8.9). Podle lemmatu 8.4 existujı´ funkce ri (α), i = 1, . . . , n, takove´, zˇe prˇi oznacˇenı´ r(α) = (r1 (α), . . . , rn (α)) platı´ gi (x ∗ + αh + + r(α)) = 0, i = 1, . . . , m, prˇicˇemzˇ lim ri (α)/α = 0, i = 1, . . . , n. α→0

Polozˇme x(α) = x ∗ + αh + r(α). Necht’y0∗ a y ∗ splnˇujı´ (8.3). Pak pro mala´ |α| platı´ L (x(α), y0∗ , y ∗ ) = y0∗ f (x(α)) + L (x ∗ , y0∗ , y ∗ ) =

m X

yi∗ gi (x(α)) = y0∗ f (x(α)),

i=1 m X y0∗ f (x ∗ ) + yi∗ gi (x ∗ ) i=1

= y0∗ f (x ∗ ).

Protozˇe lim ri (α) = lim ri (α)/α α = 0, je pro mala´ |α| bod x(α) blı´zko bodu x ∗ , α→0

α→0

v neˇmzˇ je loka´lnı´ minimum. To znamena´, zˇe f (x(α)) − f (x ∗ ) = 0. Protozˇe y0∗ = 0, dostaneme s pouzˇitı´m (5.3), zˇe pro mala´ |α| platı´ 0 5 y0∗ f (x(α)) − y0∗ f (x ∗ ) = L (x(α), y0∗ , y ∗ ) − L (x ∗ , y0∗ , y ∗ ) = 1 0 = hLx0 (x ∗ , y0∗ , y ∗ ), h(α)i + hLxx (x ∗ , y0∗ , y ∗ )h(α), h(α)i + o(α 2 ), 2


174

kde h(α) = αh + r(α). Vzhledem k (8.3) obdrzˇ´ıme po u´praveˇ, zˇe

0 Lxx (x ∗ , y0∗ , y ∗ )

r(α) r(α) o(α 2 ) h+ , h+ + = 0. α α α2

Limitnı´m prˇechodem pro α → 0 dostaneme tvrzenı´. Podmıńka (8.9) vyjadrˇuje skutecˇnost, zˇe vektory h majı´ by´t kolme´ ke vsˇem gradientu˚m Ty jsou podle prˇedpokladu˚ veˇty linea´rneˇ neza´visle´, a tudı´zˇ tvorˇ´ı ba´zi neˇjake´ho m-rozmeˇrne´ho podprostoru. Tento podprostor se nazy´va´ norma´lovy´ prostor k mnozˇineˇ X = {x ∈ P : gi (x) = 0, i = 1, . . . , m} v bodeˇ x ∗ . Vektory h majı´ by´t kolme´ ke vsˇem vektoru˚m tohoto podprostoru. V linea´rnı´ algebrˇe se dokazuje, zˇe tyto kolmice tvorˇ´ı rovneˇzˇ podprostor (tzv. ortogona´lnı´ doplneˇk), jehozˇ dimenze je n − m. Je to tzv. tecˇny´ prostor k mnozˇineˇ X = {x ∈ P : gi (x) = 0, i = 1, . . . , m} v bodeˇ x ∗ . Podmıńka (8.8) pak 00 (x ∗ , y ∗ , y ∗ ) je kladne rˇ´ıka´, zˇe druha´ derivace Lxx ˇ semidefinitnı´ na tomto tecˇne´m prostoru. 0 Bude-li tato derivace dokonce kladneˇ definitnı´, stane se nutna´ podmıńka z prˇedchozı´ veˇty podmıńkou postacˇujıćı´, cozˇ je obsahem na´sledujıćı´ho tvrzenı´. gi0 (x ∗ ).

Veˇta 8.6. Necht’ funkce f, g1 , . . . , gm jsou dvakra´t diferencovatelne´ v bodeˇ x ∗ ∈ Rn a jsou splneˇny vazebne´ podmıńky gi (x ∗ ) = 0, i = 1, . . . , m. Prˇedpokla´dejme, zˇe pro neˇktera´ y0∗ a y ∗ je splneˇna podmıńka (8.3) a navıć platı´ 00 hLxx (x ∗ , y0∗ , y ∗ ) h, hi > 0

(8.10)

pro vsˇechna nenulova´ h ∈ Rn splnˇujıćı´ (8.9). Pak je v x ∗ ostre´ loka´lnı´ minimum u´lohy (8.1). Vsˇimneˇte si, zˇe podmıńka (8.10) automaticky vynucuje (pokud vy´sˇe zmıńeˇny´ ortogona´lnı´ doplneˇk nenı´ roven nuladimenziona´lnı´mu prostoru), zˇe ne vsˇechny multiplika´tory jsou nulove´. Du˚kaz. Budeme postupovat obdobneˇ jako v du˚kazu veˇty 5.20. Je-li x ∗ izolovany´ bod mnozˇiny X = {x ∈ P : gi (x) = 0, i = 1, . . . , m} bodu˚, ktere´ splnˇujı´ vazebne´ podmıńky, tvrzenı´ platı´. Prˇedpokla´dejme tedy, zˇe x ∗ nenı´ izolovany´ bod mnozˇiny X. Prˇipust’me, zˇe v x ∗ nenı´ ostre´ loka´lnı´ minimum. Pak libovolneˇ blı´zko tohoto bodu lze nale´zt jiny´ bod, v neˇmzˇ je funkcˇnı´ hodnota stejna´ nebo mensˇ´ı. Je tedy mozˇne´ zkonstruovat posloupnost {xk } takovou, zˇe lim xk = x ∗ ,

k→∞

xk ∈ X,

xk 6= x ∗ ,

f (xk ) 5 f (x ∗ ).

Polozˇme αk = kxk −x ∗ k, hk = (xk −x ∗ )/αk . Pak je xk = x ∗ +αk hk . Protozˇe je khk k = 1, je tato posloupnost ohranicˇena´, a lze z nı´ tudı´zˇ vybrat konvergentnı´ podposloupnost {hkl }, hkl → h, khk = 1 (viz naprˇ. [16, str. 119]). Pro jednodusˇsˇ´ı oznacˇenı´ prˇedpokla´dejme, zˇe prˇ´ımo posloupnost {hk } je konvergentnı´.


175

Podle (5.2) platı´, zˇe 0 = gi (xk ) − gi (x ∗ ) = hgi0 (x ∗ ), αk hk i + o(αk ),

i = 1, . . . , m,

takzˇe po vydeˇlenı´ αk a limitnı´m prˇechodu pro k → +∞ vyjde hgi0 (x ∗ ), hi = 0. Da´le podle prˇedpokladu˚ platı´ hLx0 (x ∗ , y0∗ , y ∗ ), hi = 0. Tedy L (xk , y0∗ , y ∗ )

=

y0∗ f (xk ) +

m X

yi∗ gi (xk ) = y0∗ f (xk ) 5

i=1

5

y0∗ f (x ∗ )

=

y0∗ f (x ∗ ) +

m X

yi∗ gi (x ∗ ) = L (x ∗ , y0∗ , y ∗ ).

i=1

Opeˇt podle (5.3) platı´, zˇe L (xk , y0∗ , y ∗ ) = L (x ∗ , y0∗ , y ∗ ) + hLx0 (x ∗ , y0∗ , y ∗ ), αk hk i + 1 00 + hLxx (x ∗ , y0∗ , y ∗ )(αk hk ), αk hk i + o(αk2 ), 2 cozˇ podle prˇedchozı´ho znamena´, zˇe αk2 00 hLxx (x ∗ , y0∗ , y ∗ )hk , hk i + o(αk2 ) 5 0. 2

Prˇ´ıklad 8.7. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce f (x1 , x2 ) = x12 + x22 za podmıńky 5x12 + + 6x1 x2 + 5x22 − 8 = 0. Rˇesˇenı´. Jak funkce f (x1 , x2 ), tak funkce g1 (x1 , x2 ) = 5x12 + 6x1 x2 + 5x22 − 8 z vazebne´ podmıńky majı´ derivace vsˇech rˇa´du˚ v cele´ R2 . Lagrangeova funkce ma´ tvar L (x1 , x2 , y0 , y1 ) = y0 (x12 + x22 ) + y1 (5x12 + 6x1 x2 + 5x22 − 8). Budeme prˇedpokla´dat, zˇe y0 = 0 pro minimum i maximum (viz text prˇed veˇtou 8.5). Neza´vislost gradientu g10 (x1 , x2 ) = (10x1 + 6x2 , 6x1 + 10x2 ) znamena´, zˇe je nenulovy´. Ale soustava rovnic 10x1 + 6x2 = 0, 6x1 + 10x2 = 0 ma´ jedine´ rˇesˇenı´ x1 = x2 = 0, ktere´ nevyhovuje vazebne´ podmıńce. To tedy znamena´, zˇe y0 je nenulove´, a lze volit y0 = 1. Derivace Lagrangeovy funkce pak je Lx0 (x1 , x2 , y0 , y1 ) = (2x1 + y1 (10x1 + 6x2 ), 2x2 + y1 (6x1 + 10x2 )).

+

00 (x ∗ , y ∗ , y ∗ )h, hi 5 0 pro nenuPo vydeˇlenı´ αk2 a limitnı´m prˇechodu dostaneme, zˇe hLxx 0 love´ h splnˇujıćı´ (8.9), cozˇ je vsˇak spor s prˇedpokladem.


176

Ta musı´ by´t podle veˇty 8.2 nulova´. Pro urcˇenı´ staciona´rnıćh bodu˚ ma´me rovnice 2x1 + y1 (10x1 + 6x2 ) = 0, 2x2 + y1 (6x1 + 10x2 ) = 0.

(8.11)

Da´le musı´ platit vazebna´ podmıńka. Z rovnic (8.11) plyne, zˇe y1 6= 0. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ bychom dostali x1 = x2 = 0, ale toto rˇesˇenı´ nesplnˇuje vazebnou podmıńku. Z nenulovosti y1 plyne, zˇe x1 6= 0 a x2 6= 0. Kdyby totizˇ naprˇ. x1 = 0, vysˇlo by z prvnı´ rovnice v (8.11), zˇe x2 = 0, cozˇ je opeˇt spor s vazebnou podmıńkou. Platı´ tedy 5x1 + 3x2 1 = , y1 x1 1 3x1 + 5x2 − = y1 x2 −

=⇒

5x1 x2 + 3x22 = 3x12 + 5x1 x2

=⇒

x12 = x22 .

Odtud ma´me x2 = ±x1 . Tento vy´sledek dosadı´me do vazebne´ podmıńky. Vyjde √ 2 1 (I) x2 = x1 =⇒ 16x12 = 8 =⇒ x1 = ± =⇒ y1 = − , 2 8 √ 1 (II) x2 = −x1 =⇒ 4x12 = 8 =⇒ x1 = ± 2 =⇒ y1 = − . 2 √ √ √ √ Celkoveˇ jsme tudı´zˇ dostali cˇtyrˇi rˇesˇenı´, a to x 1 = 22 , 22 , x 2 = − 22 , − 22 , √ √ √ √ x 3 = ( 2, − 2 ) a x 4 = (− 2, 2 ). Dosazenı´m se mu˚zˇeme prˇesveˇdcˇit, zˇe vsˇechna vyhovujı´ rovnicı´m (8.11) i vazebne´ podmıńce, tj. jsou to staciona´rnı´ body. Da´le vypocˇteme druhou derivaci. Vyjde 2 + 10y1 6y1 00 Lxx (x1 , x2 , y0 , y1 ) = . 6y1 2 + 10y1 Nynı´ urcˇ´ıme vektory splnˇujıćı´ podmıńku (8.9). Ma´me g10 (x1 , x2 ) = (10x1 + 6x2 , 6x1 + 10x2 ). Nejprve vysˇ√ etrˇ´ıme√body x 1 a x 2 , jimzˇ odpovı´da´ ta´zˇ hodnota multiplika´toru y1 = −1/8. 0 1 Je g1 (x ) = (8 2, 8 2) = −g10 (x 2 ). Pro h = (h1 , h2 ) je √ √ hg10 (x 1 ), hi = 8 2 h1 + 8 2 h2 = 0 =⇒ h1 = −h2 , tj. h = (h, −h), h ∈ R. Pro x 2 majı´ vektory splnˇujıćı´ (8.9) stejny´ tvar. Tedy √

00 Lxx

√ 2 2 1 , , 1, − h, h 2 2 8

= (h, −h)

3 4 − 34

− 43 3 4

!

! h = 3h2 > 0 pro h 6= 0. −h

Vy´sledek pro x 2 je stejny´. V obou teˇchto bodech je proto podle veˇty 8.6 loka´lnı´ minimum. Jeho hodnota je f (x 1 ) = f (x 2 ) = 1.


177

Podobneˇ√ pro body x 3 a x 4 , jimzˇ odpovı´da´ tata´zˇ hodnota multiplika´toru y1 = −1/2, je √ g10 (x 3 ) = (4 2, −4 2 ) = −g10 (x 4 ). Pak √ √ hg10 (x 3 ), hi = 4 2 h1 − 4 2 h2 = 0 =⇒ h1 = h2 , tj. h = (h, h), h ∈ R. Pro x 4 majı´ vektory splnˇujıćı´ (8.9) stejny´ tvar. Tedy √

00 √ −3 −3 h 1 Lxx 2, − 2, 1, − 2 , h = (h, h) = −12h2 < 0 pro h 6= 0. −3 −3 h

Prˇ´ıklad 8.8. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce f (x) = x1 x2 x3 za platnosti podmıńek x12 + x22 + x32 = 1, x1 + x2 + x3 = 1. Rˇesˇenı´. Jak funkce f (x), tak funkce g1 (x) = x12 + x22 + x32 − 1 a g2 (x) = x1 + x2 + x3 − 1 majı´ v R3 derivace vsˇech rˇa´du˚. Lagrangeova funkce ma´ tvar L (x, y0 , y) = y0 x1 x2 x3 + y1 (x12 + x22 + x32 − 1) + y2 (x1 + x2 + x3 − 1). Gradienty g10 (x) = 2(x1 , x2 , x3 ) a g20 (x) = (1, 1, 1) mohou by´t linea´rneˇ za´visle´, jen kdyzˇ x1 = x2 √= x3 = t. Po dosazenı´ do prvnı´ vazebne´ podmıńky prˇitom vyjde 3t 2 = 1, tj. t = ±1/ 3. Podobneˇ z druhe´ podmıńky vyjde 3t = 1, tj. t = 1/3. To je vsˇak spor. Podle veˇty 8.2 je proto mozˇne´ volit y0 = 1. Nynı´ vypocˇteme derivaci Lagrangeovy funkce. Dostaneme Lx0 (x, 1, y) = (x2 x3 + 2x1 y1 + y2 , x1 x3 + 2x2 y1 + y2 , x1 x2 + 2x3 y1 + y2 ). Ta se musı´ rovnat nule. Prˇ´ıslusˇna´ soustava rovnic ma´ tvar x2 x3 + 2x1 y1 + y2 = 0, x1 x3 + 2x2 y1 + y2 = 0, x1 x2 + 2x3 y1 + y2 = 0.

(8.12)

Da´le musı´ platit obeˇ vazebne´ podmıńky. Secˇteme tyto trˇi rovnice. Dostaneme x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 + 2y1 (x1 + x2 + x3 ) + 3y2 = 0.

(8.13)

Protozˇe pro libovolna´ x1 , x2 a x3 platı´ identita (x1 + x2 + x3 )2 − (x12 + x22 + x32 ) = 2(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ), vycha´zı´ vzhledem k vazebny´m podmıńka´m jednak, zˇe x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = 0, jednak pak z (8.13), zˇe 2y1 + 3y2 = 0. (8.14)

+

Vy´sledek pro x 4 je stejny´. V obou teˇchto bodech je proto podle veˇty 8.6 loka´lnı´ maximum. Jeho hodnota je f (x 3 ) = f (x 4 ) = 4. ´ loha ma´ na´zornou geometrickou interpretaci. Vazebna´ podmıńka je rovnicı´ elipsy, U na nı´zˇ hleda´me nejblizˇsˇ´ı a nejvzda´leneˇjsˇ´ı bod od pocˇa´tku. N


178

Da´le od sebe odecˇteme prvnı´ a druhou rovnici z (8.12). Dostaneme x3 (x2 − x1 ) + 2y1 (x1 − x2 ) = 0

⇐⇒

(x1 − x2 )(2y1 − x3 ) = 0.

Obdobne´ rovnice dostaneme odecˇtenı´m prvnı´ a trˇetı´ a druhe´ a trˇetı´ rovnice z (8.12). Celkoveˇ dostaneme (x1 − x2 )(2y1 − x3 ) = 0, (x1 − x3 )(2y1 − x2 ) = 0, (x2 − x3 )(2y1 − x1 ) = 0.

(8.15) (8.16) (8.17)

V kazˇde´ z teˇchto rovnic musı´ by´t alesponˇ jedna za´vorka rovna nule. Budeme kombinovat ru˚zne´ mozˇnosti. 1) Necht’x1 − x2 = 0 a x1 − x3 = 0. Pak x1 = x2 = x3 , a je tedy splneˇno i (8.17). Dosazenı´m do vazebnyćh podmıńek dostaneme stejneˇ jako vy´sˇe prˇi oveˇrˇovańı´ neza´vislosti gradientu˚ g10 a g20 spor. Stejny´ spor dostaneme prˇi volbaćh x1 − x2 = 0, x2 − x3 = 0 a x1 − x3 = 0, x2 − x3 = 0. 2) Necht’x1 − x2 = 0 a 2y1 − x2 = 0. Pak x1 = 2y1 a je splneˇno i (8.17). Z vazebnyćh podmıńek vycha´zı´ ( 0, 8y12 + x32 = 1, =⇒ 8y12 + (1 − 4y1 )2 = 1 =⇒ 3y12 − y1 = 0 =⇒ y1 = 4y1 + x3 = 1 1/3. Prvnı´ hodnota da´va´ x1 = x2 = 0, x3 = 1, y2 = 0, druha´ pak x1 = x2 = 2/3, x3 = −1/3, y2 = −2/9. Tedy 1 1 2 2 2 2 1 1 2 , ,− , y = ,− . x = (0, 0, 1), y = (0, 0), x = 3 3 3 3 9 3) Necht’x1 − x3 = 0 a 2y1 − x1 = 0. Pak x3 = 2y1 a je splneˇno i (8.15). Obdobneˇ jako v prˇedchozı´m bodeˇ dostaneme 2 1 2 1 2 3 3 4 4 x = (0, 1, 0), y = (0, 0), x = ,− , , y = ,− . 3 3 3 3 9 4) Necht’x2 − x3 = 0 a 2y1 − x3 = 0. Pak x2 = 2y1 a je splneˇno i (8.16). Opeˇt obdobneˇ jako v bodeˇ 2) dostaneme 1 2 2 1 2 5 5 6 6 x = (1, 0, 0), y = (0, 0), x = − , , , y = ,− . 3 3 3 3 9 Zby´vajıćı´ kombinace neda´vajı´ zˇa´dna´ dalsˇ´ı rˇesˇenı´. Nynı´ vypocˇteme druhe´ derivace Lagrangeovy funkce. Dı´ky spojitosti jsou smı´sˇene´ parcia´lnı´ derivace lisˇ´ıcı´ se pouze porˇadı´m nezna´myćh, podle kteryćh se derivuje, stejne´. Vyjde Lx1 x1 = 2y1 , Lx2 x2 = 2y1 , Lx3 x3 = 2y1 , Lx1 x2 = x3 , Lx2 x3 = x1 , Lx1 x3 = x2 .


179

00 (x, 1, y), tj. matice druhy ćh parcia´lnıćh derivacı´, ma´ tvar Derivace Lxx   2y1 x3 x2 00 Lxx (x, 1, y) =  x3 2y1 x1  . x2 x1 2y1

(8.18)

Prˇipomenˇme si jesˇteˇ, zˇe g10 (x) = 2(x1 , x2 , x3 ) a g20 (x) = (1, 1, 1). Nejprve vysˇetrˇ´ıme staciona´rnı´ bod x 1 . K tomu musı´me urcˇit vsˇechny vektory h = = (h1 , h2 , h3 ), ktere´ splnˇujı´ podmıńky (8.9). Dostaneme g10 (x 1 ) = 2(0, 0, 1),

hg10 (x 1 ), hi = 0

=⇒

h3 = 0,

g20 (x 1 )

hg20 (x 1 ), hi

=⇒

h1 + h2 + h3 = 0.

= (1, 1, 1),

=0

Musı´ tedy platit h1 = −h2 , takzˇe h = (h, −h, 0), formu z (8.10). Vyjde  0 00 1 1  Lxx (x , 1, y ) = 1 0

h ∈ R. Da´le vycˇ´ıslı´me kvadratickou  1 0 0 0 . 0 0

Tedy 

  0 1 0 h 00 1 1    −h = −2h2 < 0 pro h 6= 0. hLxx (x , 1, y ) h, hi = (h, −h, 0) 1 0 0 0 0 0 0 Vzhledem k textu prˇed veˇtou 8.5 to znamena´, zˇe v bodeˇ x 1 podle veˇty 8.3 je loka´lnı´ maximum. Nynı´ vysˇetrˇ´ıme staciona´rnı´ bod x 2 . Urcˇ´ıme vektory h splnˇujıćı´ (8.9). Ma´me 2 (2, 2, −1), 3 g20 (x 2 ) = (1, 1, 1), g10 (x 2 ) =

hg10 (x 2 ), hi = 0

=⇒

2h1 + 2h2 − h3 = 0,

hg20 (x 2 ), hi = 0

=⇒

h1 + h2 + h3 = 0.

Opeˇt dosta´va´me h1 = −h2 , h3 = 0, takzˇe h = (h, −h, 0), h ∈ R. Druha´ derivace Lagrangeovy funkce je   2 −1 2 1 00 Lxx (x 2 , 1, y 2 ) = −1 2 2  , 3 2 2 2 takzˇe 

  2 −1 2 h 1 2 2 00    −h = 2h2 > 0 pro h 6= 0. hLxx (x , 1, y ) h, hi = (h, −h, 0) −1 2 2 3 2 2 2 0 V bodeˇ x 2 je tedy loka´lnı´ minimum.


180

Obdobneˇ se oveˇrˇ´ı, zˇe v bodech x 3 a x 5 je take´ loka´lnı´ maximum a v bodech x 4 a x 6 zase loka´lnı´ minimum. Prˇitom platı´ f (x 1 ) = f (x 3 ) = f (x 5 ) = 0,

f (x 2 ) = f (x 4 ) = f (x 6 ) = −

4 . 27

Definicˇnı´ obor, na neˇmzˇ jsme funkci f vysˇetrˇovali, je pru˚nikem kulove´ plochy x12 + + x22 + x32 = 1 a roviny x1 + x2 + x3 = 1. Je to tedy kruzˇnice, cozˇ je ohranicˇena´ a uzavrˇena´ mnozˇina, tedy je kompaktnı´. Podle Weierstrassovy veˇty naby´va´ f na te´to mnozˇineˇ globa´lnı´ maximum i minimum. Podle pozna´mky 5.17, cˇa´st 4, ma´ globa´lnı´ maximum v bodech x 1 , x 3 a x 5 a globa´lnı´ minimum v bodech x 2 , x 4 a x 6 . V jinyćh bodech globa´lnı´ extre´my jizˇ nastat nemohou, protozˇe by v nich musely by´t i loka´lnı´ extre´my, ale ty jizˇ zˇa´dne´ dalsˇ´ı nejsou, jelikozˇ jsme nasˇli vsˇechny. N

+

V prˇedchozı´m prˇ´ıkladu jsme mohli postupovat jinak. Nejprve jsme mohli na za´kladeˇ Weierstrassovy veˇty zdu˚vodnit, zˇe existujı´ globa´lnı´ extre´my. Pak jsme mohli pomocı´ veˇty 8.2 najı´t staciona´rnı´ body. Protozˇe v bodeˇ globa´lnı´ho extre´mu je soucˇasneˇ loka´lnı´ extre´m, a tudı´zˇ staciona´rnı´ bod, musı´ by´t globa´lnı´ extre´my mezi staciona´rnı´mi body. Stacˇilo tedy urcˇit funkcˇnı´ hodnoty ve staciona´rnıćh bodech a vybrat z nich nejveˇtsˇ´ı a nejmensˇ´ı. Protozˇe v nasˇem prˇ´ıpadeˇ byla ve trˇech staciona´rnıćh bodech stejna´ nejmensˇ´ı hodnota a ve zby´vajıćıćh trˇech stejna´ nejveˇtsˇ´ı hodnota, jednalo se o body globa´lnıćh, a proto i loka´lnıćh extre´mu˚. Jelikozˇ zˇa´dne´ dalsˇ´ı staciona´rnı´ body nebyly, nemuseli jsme tudı´zˇ pocˇ´ıtat druhou derivaci Lagrangeovy funkce a vysˇetrˇovat jejı´ definitnost. Rˇesˇenı´ by bylo v tomto konkre´tnı´m prˇ´ıpadeˇ podstatneˇ kratsˇ´ı. Nasˇ´ım cı´lem vsˇak bylo uka´zat pouzˇitı´ veˇty 8.6. Pra´veˇ popsany´ postup uplatnı´me v na´sledujıćı´m prˇ´ıkladu. Prˇ´ıklad 8.9. Najdeˇte globa´lnı´ a loka´lnı´ extre´my funkce f (x) = x12 + x22 − x32 prˇi splneˇnı´ podmıńky x12 /2 + x22 + x32 − 1 = 0. Rˇesˇenı´. Jak funkce f (x), tak funkce g(x) = x12 /2 + x22 + x32 − 1 majı´ v R3 derivace vsˇech rˇa´du˚, zejmeńa jsou tedy spojite´. Mnozˇina bodu˚ vyhovujıćıćh vazebne´ podmıńce je elipsoid — viz (9.12). Je to tedy ohranicˇena´ a uzavrˇena´ mnozˇina, takzˇe na nı´ funkce f podle Weierstrassovy veˇty (cˇa´st Pro za´jemce na str. 140) naby´va´ globa´lnı´ho maxima i minima. V prˇ´ıslusˇnyćh bodech budou proto rovneˇzˇ loka´lnı´ extre´my, a tudı´zˇ podle veˇty 8.2 i staciona´rnı´ body. Ty nynı´ nalezneme. Lagrangeova funkce ma´ tvar L (x, y0 , y1 ) = y0 (x12 + x22 − x32 ) + y1 (x12 /2 + x22 + x32 − 1). Urcˇ´ıme jejı´ derivaci a polozˇ´ıme ji rovnu nule: Lx (x, y0 , y1 ) = y0 (2x1 , 2x2 , −2x3 ) + y1 (x1 , 2x2 , 2x3 ) = (0, 0, 0).

(8.19)

Kdyby platilo y0 = 0, muselo by by´t y1 6= 0. Pak ovsˇem z prˇedchozı´ rovnice dosta´ loha je proto neme x1 = x2 = x3 = 0, ale tento bod nevyhovuje vazebne´ podmıńce. U


181

regula´rnı´ a mu˚zˇeme volit y0 = 1 (pro maximum i minimum — viz text prˇed veˇtou 8.5). Z rovnice (8.19) dostaneme soustavu x1 (2 + y1 ) = 0, x2 (1 + y1 ) = 0, x3 (−1 + y1 ) = 0.

(8.20)

Je-li y1 6= −2, −1, 1, dostaneme z prˇedchozıćh rovnic, zˇe x1 = x2 = x3 = 0, cozˇ je spor s vazebnou podmıńkou. Nynı´ probereme vsˇechny trˇi zby´vajıćı´ hodnoty multiplika´toru y1 . 1) Je-li y1 = −2, vyjde ze soustavy ńky pak √ (8.20), zˇe x2 = x3 = 0. Z vazebne´ 1podmı√ 2 ma´me x1 /2√− 1 = 0, tj. x1 = ± 2. Nasˇli jsme dva staciona´rnı´ body x = ( 2, 0, 0) a x 2 = (− 2, 0, 0). 2) Je-li y1 = −1, vyjde ze soustavy (8.20), zˇe x1 = x3 = 0. Z vazebne´ podmıńky pak ma´me x22 − 1 = 0, tj. x2 = ±1. Nasˇli jsme dva staciona´rnı´ body x 3 = (0, 1, 0) a x 4 = (0, −1, 0). 3) Je-li y1 = 1, vyjde ze soustavy (8.20), zˇe x1 = x2 = 0. Z vazebne´ podmıńky pak ma´me x32 − 1 = 0, tj. x3 = ±1. Nasˇli jsme dva staciona´rnı´ body x 5 = (0, 0, 1) a x 6 = (0, 0, −1). Da´le vypocˇteme funkcˇnı´ hodnoty ve staciona´rnıćh bodech: f (x 1 ) = f (x 2 ) = 2,

f (x 3 ) = f (x 4 ) = 1,

f (x 5 ) = f (x 6 ) = −1.

To ovsˇem znamena´, zˇe v bodech x 1 a x 2 naby´va´ funkce f globa´lnı´ho maxima, takzˇe zde ma´ i loka´lnı´ maxima, a v bodech x 5 a x 6 naby´va´ globa´lnı´ho minima, takzˇe zde ma´ i loka´lnı´ minima. O staciona´rnıćh bodech x 3 a x 4 nelze na za´kladeˇ prˇedchozıćh u´vah nic rˇ´ıci, pokud jde o loka´lnı´ extre´my. Musı´me tedy pouzˇ´ıt podmıńky druhe´ho rˇa´du. Lagrangeova funkce ma´ v tomto bodeˇ tvar L (x, 1, −1) = x12 + x22 − x32 − (x12 /2 + x22 + x32 − 1) = x12 /2 − 2x32 + 1, takzˇe Lx1 x1 = 1, Lx3 x3 = −4 a vsˇechny zby´vajıćı´ druhe´ parcia´lnı´ derivace jsou nulove´. 00 (x, 1, −1), tj. matice druhy Druha´ derivace Lxx ćh parcia´lnıćh derivacı´, ma´ tvar   1 0 0 00 0 . Lxx (x, 1, −1) = 0 0 0 0 −4 Nynı´ urcˇ´ıme vsˇechny vektory h = (h1 , h2 , h3 ), ktere´ splnˇujı´ podmıńky (8.9). Protozˇe g 0 x = (x1 , 2x2 , 2x3 ), dostaneme g 0 (x 3 ) = (0, 2, 0),

hg 0 (x 3 ), hi = 0

=⇒

2h2 = 0,

g 0 (x 4 ) = (0, −2, 0),

hg 0 (x 4 ), hi = 0

=⇒

2h2 = 0.


182

V obou prˇ´ıpadech je tedy h2 = 0, takzˇe h = (h1 , 0, h3 ), h1 , h3 ∈ R. Vycˇ´ıslı´me kvadratickou formu z (8.10). Pro x 3 vyjde    1 0 0 h1 00 0 0  = h21 − 4h23 . hLxx (x 3 , 1, y 1 ) h, hi = (h1 , 0, h3 ) 0 0 0 0 −4 h3

+

Vy´sledek pro x 4 je stejny´. To je vsˇak indefinitnı´ forma, takzˇe podle veˇty 8.5 v zˇa´dne´m z bodu˚ x 3 , x 4 nenı´ loka´lnı´ extre´m. N Prˇ´ıklad 8.10. Najdeˇte nejveˇtsˇ´ı vzda´lenost d pocˇa´tku O od smycˇky Descartova1 listu x13 + x23 − 3ax1 x2 = 0, a > 0.

x2 A

O

x1

Obr. 8.3 Rˇesˇenı´. Je-li A = (x1 , x2 ) bodem smycˇky Descartova listu (obr. 8.3), pak pro jeho vzda´lenost d od pocˇa´tku O = (0, 0) platı´ q d = x12 + x22 , takzˇe d 2 = x12 + x22 . 1 Rene ´

Descartes (1596–1650) (cˇti dekart) — francouzsky´ filosof a matematik. Zakladatel analyticke´ geometrie. Pouzˇitı´ sourˇadnic, ktere´ zavedl, umozˇnˇuje rˇesˇit geometricke´ proble´my vy´pocˇtem, nikoliv jen konstrukcı´, jako v synteticke´ geometrii. Latinsky´ prˇepis jeho jmeńa je Cartesius. Odtud pocha´zı´ na´zev karte´zske´ sourˇadnice a karte´zsky´ soucˇin. Je zna´m svy´m vy´rokem Cogito ergo sum (Myslı´m, tedy jsem).


183

Mı´sto extre´mu vzda´lenosti d mu˚zˇeme hledat extre´m mocniny d 2 . Prˇitom je tento extre´m va´zań podmıńkou, zˇe bod A = (x1 , x2 ) je bodem smycˇky Descartova listu. Jde tedy o urcˇenı´ extre´mu funkce d 2 = x12 + x22 uvnitrˇ prvnı´ho kvadrantu (tj. v (8.1) je P = (0, +∞) × (0, +∞) ) prˇi podmıńce x13 + x23 − 3ax1 x2 = 0. Jak funkce f (x1 , x2 ) = x12 + x22 , tak vazebna´ podmıńka g1 (x1 , x2 ) = x13 + x23 − 3ax1 x2 majı´ parcia´lnı´ derivace vsˇech rˇa´du˚. Sestavı´me Lagrangeovu funkci: L (x1 , x2 , y0 , y1 ) = y0 (x12 + x22 ) + y1 (x13 + x23 − 3ax1 x2 ). Derivace funkce g1 je g10 (x1 , x2 , y0 , y1 ) = (3x12 − 3ax2 , 3x22 − 3ax1 ). Urcˇ´ıme, kdy se rovna´ nule. Z rovnic 3x12 − 3ax2 = 0,

3x22 − 3ax1 = 0

dostaneme vyloucˇenı´m druhe´ nezna´me´, zˇe x14 = a 3 x1 . Tato rovnice ma´ dveˇ rea´lna´ rˇesˇenı´: x1 = 0 a x1 = a. Hodnoty druhe´ nezna´me´ jsou po rˇadeˇ x2 = 0 a x2 = a. Prvnı´ bod (0, 0) nepatrˇ´ı do mnozˇiny prˇ´ımyćh omezenı´ P a druhy´ bod (a, a) nevyhovuje vazebne´ podmıńce. Podle veˇty 8.2 je tudı´zˇ y0 6= 0 a mu˚zˇeme prˇedpokla´dat, zˇe y0 = 1. Derivace Lagrangeovy funkce je Lx0 (x1 , x2 , 1, y1 ) = 2x1 + y1 (3x12 − 3ax2 ), 2x2 + y1 (3x22 − 3ax1 ) . Pro urcˇenı´ staciona´rnıćh bodu˚ ma´me trˇi rovnice 2x1 + y1 (3x12 − 3ax2 ) = 0, 2x2 + y1 (3x22 − 3ax1 ) = 0, x13 + x23 − 3ax1 x2 = 0. Multiplika´tor y1 6= 0. Jinak by z prvnıćh dvou rovnic vysˇlo x1 = x2 = 0, ale tento bod nelezˇ´ı v mnozˇineˇ P . Vyna´sobı´me-li prvnı´ rovnici x2 , druhou x1 , odecˇteme je a vykra´tı´me y1 , dostaneme postupny´mi u´pravami x1 (ax1 − x22 ) = x2 (ax2 − x12 ), a(x12 − x22 ) = x1 x2 (x2 − x1 ), (x1 − x2 ) a(x1 + x2 ) + x1 x2 = 0. Protozˇe pro (x1 , x2 ) ∈ P je a(x1 + x2 ) + x1 x2 > 0, musı´ platit x1 = x2 . Po dosazenı´ do vazebne´ podmıńky vyjde vzhledem k tomu, zˇe x1 6= 0, 2x13 − 3ax12 = 0

⇒

x1 =

3 a. 2


184

Ma´me tudı´zˇ jediny´ staciona´rnı´ bod x ∗ = 32 a, 23 a . Lagrangeu˚v multiplika´tor naby´va´ pro 4 . tento bod hodnoty y1∗ = − 3a Da´le vypocˇteme druhou derivaci Lagrangeovy funkce. Vyjde 2 + 6x1 y1 −3ay1 00 Lxx (x1 , x2 , 1, y1 ) = . −3ay1 2 + 6x2 y1 Nynı´ urcˇ´ıme vektory splnˇujıćı´ podmıńku (8.9). Ma´me 9 29 2 0 ∗ ∗ g1 (x , 1, y1 ) = a a . 4 4 Pro h = (h1 , h2 ) je

0 ∗ 9 g1 (x , 1, y1∗ ), h = a 2 (h1 + h2 ) = 0 4

h1 = −h2 , tj. h = (h, −h), h ∈ R.

⇒

Tedy

00 Lxx (x1∗ , x2∗ , 1, y1∗ )h, h

−10 4 h = (h, −h) = −28h2 . 4 −10 −h √

Podle veˇty 8.3 je proto v bodeˇ x ∗ loka´lnı´ maximum, jehozˇ hodnota je dmax = 3a2 2 . Je zrˇejme´, zˇe prˇidańı´m pocˇa´tku k mnozˇineˇ bodu˚ splnˇujıćıćh vazebnou podmıńku dostaneme ohranicˇenou a uzavrˇenou mnozˇinu. Uzavrˇenost plyne ze spojitosti funkce g1 . O ohranicˇenosti se mu˚zˇeme prˇesveˇdcˇit vyja´drˇenı´m Descartova listu v pola´rnıćh sourˇadnicıćh. Polozˇ´ıme-li x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, ϕ ∈ h0, π/2i, dostaneme ρ 3 (cos3 ϕ + sin3 ϕ) − 3aρ 2 cos ϕ sin ϕ = 0. Na intervalu h0, π/2i jsou obeˇ funkce cos ϕ a sin ϕ neza´porne´ a nikdy nejsou soucˇasneˇ rovny nule. Tedy vy´raz cos3 ϕ + sin3 ϕ je na tomto intervalu kladny´. Podle Weierstrassovy veˇty pro funkci jedne´ promeˇnne´ zde naby´va´ absolutnı´ho minima, ktere´ je kladne´, tj. existuje konstanta c > 0 takova´, zˇe cos3 ϕ + sin3 ϕ = c, ϕ ∈ h0, π/2i. Hodnota ρ = 0 odpovı´da´ pocˇa´tku. Pro ostatnı´ body v prvnı´m kvadrantu vyjde ρ=

3a cos ϕ sin ϕ cos3 ϕ + sin3 ϕ

⇒

|ρ| 5

3a . c

Tı´m je ohranicˇenost oveˇrˇena. Podle Weierstrassovy veˇty tudı´zˇ existuje globa´lnı´ maximum, ktere´ musı´√by´t v bodeˇ x ∗ . Nejveˇtsˇ´ı vzda´lenost pocˇa´tku O od smycˇky Descartova listu je tudı´zˇ 3a2 2 a je rovna 3a vzda´lenosti od bodu x ∗ = 3a N 2 , 2 .


185

Pojmy k zapamatovańı´

X

— — — — — — —

vazebne´ podmıńky prˇ´ıma´ omezenı´ va´zany´ extre´m Lagrangeova funkce Lagrangeovy multiplika´tory staciona´rnı´ bod nutne´ a postacˇujıćı´ podmıńky existence loka´lnı´ho extre´mu

Kontrolnı´ ota´zky 1. Co rozumı´me tzv. klasickou u´lohou na va´zany´ extre´m? 2. Jaka´ je nutna´ podmıńka, aby bod x ∗ byl loka´lnı´m extre´mem u´lohy f (x) → ext, gi (x) = 0, i = 1, . . . , m, x ∈ P , P = int P ? 3. Jake´ podmıńky musı´ splnˇovat bod x ∗ , aby byl staciona´rnı´m bodem u´lohy na va´zany´ extre´m? 4. Co je to nutna´ podmıńka prvnı´ho rˇa´du pro existenci loka´lnı´ho extre´mu? 5. Jak lze geometricky interpretovat nutnou podmıńku prvnı´ho rˇa´du existence loka´lnı´ho extre´mu? 6. Jaka´ je nutna´ podmıńka druhe´ho rˇa´du pro existenci loka´lnı´ho extre´mu? 7. Uved’te jake´ podmıńky zarucˇujı´, aby v bodeˇ x ∗ bylo loka´lnı´ minimum u´lohy na va´zany´ extre´m. 8. Jak lze prˇeve´st vysˇetrˇovańı´ loka´lnıćh maxim na vysˇetrˇovańı´ loka´lnıćh minim?

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Nalezneˇte va´zane´ loka´lnı´ extre´my funkce f (x1 , x2 ) prˇi zadane´ podmıńce. a)

f : z = x13 + x23 , podmıńka x1 + x2 − 3 = 0,

b)

f : z = x1 + 2x2 , podmıńka x12 + x22 = 5,

c)

f : z = x12 + 2x22 , podmıńka x12 − 2x1 + 2x22 + 4x2 = 0,

d)

f : z = 6 − 4x1 − 3x2 , podmıńka x12 + x22 = 1,

e)

f : z = x1 x2 , podmıńka x1 + x2 = 2,

f)

f : z = 2(x12 + x22 ), podmıńka x1 + x2 = 2,

g)

f : z = 1/x1 + 1/x2 , podmıńka x1 + x2 = 2,

h)

f : z = cos2 x1 + cos2 x2 , podmıńka x1 − x2 = π/4,

i)

f : z = x1 + x2 + 2, podmıńka 2(x12 + x22 ) = x12 x22 ,

j)

f : z = x1 + x2 , podmıńka x1 x2 = 1,

k)

f : z = 1/x1 + 1/x2 , podmıńka 1/x12 + 1/x22 = 1.

?

!


186

2. Nalezneˇte extre´mnı´ hodnoty vzda´lenosti pocˇa´tku sourˇadne´ho syste´mu od krˇivky 5x12 −6x1 x2 + + 5x22 − 8 = 0. 3. Urcˇete staciona´rnı´ body a oveˇrˇte, zda jsou v nich loka´lnı´ poprˇ. globa´lnı´ extre´my. a) x1 x2 + x2 x3 → ext, x12 + x22 = 2, x2 + x3 = 2. Na´vod: Z Lx = 0 vyja´drˇete x1 , x2 , x3 pomocı´ y1 , y2 a dosad’te do vazebnyćh podmıńek. Z nich pak vylucˇte y1 . b) x12 + · · · + xn2 → ext, x1 + 2x2 + · · · + nxn = 1. Pomu˚cka: 12 + 22 + · · · + n2 = n6 (n + 1)(2n + 1). c) x1 x2 x3 → ext, x1 + x2 + x3 = 5, d) x1 − 2x2 + 2x3 → ext, e) x12 + 2x22 + 3x32 → ext, x12

f) 4x1 + 3x2 → ext, g)

x12 + x1 x2

h) e i) j)

5x12 3x12

x22

→ ext,

+

x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = 8, 2 2 x1 + x2 + x32 = 1, x12 + x22 + x32 = 1, x1 + 2x2 + 3x3 x22 = 1,

= 0,

3x1 + 4x2 = 1,

→ ext, x1 + x2 = 1,

+ 4x1 x2 + x22 → ext, x1 + x2 = 1, + 4x1 x2 + x22 → ext, x1 + x2 = 1,

k) x1 x22 x33 → ext, x1 + x2 + x3 = 1, l) x1 x2 x3 → ext, x12 + x22 + x32 = 1,

x1 + x2 + x3 = 0.

4. Najdeˇte globa´lnı´ a loka´lnı´ extre´my funkce f (x) = x12 + x22 − x32 prˇi splneˇnı´ podmıńky x12 + x22 + x32 − 1 = 0.

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ Oznacˇenı´: lm (lM) . . . loka´lnı´ minimum (maximum), gm (gM) . . . globa´lnı´ minimum (maximum), sb . . . staciona´rnı´ bod, v neˇmzˇ nenı´ extre´m. Vsˇechny u´lohy jsou regula´rnı´ a multiplika´tor y0 = 1, pokud nenı´ uvedeno jinak. 1. a) lm v 32 , 23 , y1 = − 27 , 4 b) lM v (1, 2), y1 = − 12 , lm v (−1, −2), y1 =

1 2

,

c) lm v (0, 0), y1 = 0, lM v (2, −2), y1 = −2, d) lm v 45 , 53 , y1 = 25 , lM v − 45 , − 35 , y1 = − 25 , e) lM v (1, 1), y1 = −1, f) lm v (1, 1), y1 = −4, g) lm v (1, 1), y1 = 1, h) lm v

π 8

+

kπ , − π8 2

i) lm v (2, 2), y1 =

1 8

+

kπ 2

, k liche´, y1 = − √12 , lM v

, lM v (−2, −2), y1 = − 18 ,

j) lm v (1, 1), y1 = −1, lM v (−1, −1), y1 = 1,

π 8

+

kπ , − π8 2

+

kπ 2

, k sude´, y1 =

√1 2

,


k) lM v

187

√ √ √ √ 2, 2 , y1 = − √12 , lm v − 2, − 2 , y1 =

√

2. gm v

√ 2 , − 22 , 2

√

−

√ 2 , 22 , 2

y1 = − 18 , gM v

√1 2

.

√ √ √ √ 2, 2 , − 2, − 2 , y1 = − 21 .

2 2 Na´vod: p Vysˇetrˇete funkci f (x1 , x2 ) = x1 + x2 , ktera´ ma´ stejne´ extre´my jako funkce g(x1 , x2 ) = 2 2 = x1 + x2 . Ohranicˇenost mnozˇiny splnˇujıćı´ vazbu (otocˇena´ elipsa) lze oveˇrˇit takto: Po 2 x22 = 8. Odtud x1 − 35 x2 5 √410 , |x2 | 5 √510 , u´praveˇ vazebne´ podmıńky je 5 x1 − 35 x2 + 16 5 a tedy |x1 | 5 x1 − 3 x2 + 3 |x2 | 5 √7 . Pak lze pouzˇ´ıt Weierstrassovu veˇtu. 5

5

10

3. a) lm v (−1, 1, 1), y = 21 , −1 , gM v (1, 1, 1), y = − 12 , −1 , √ √ √ √ √ gm v −1+2 3 , −1−2 3 , 5+2 3 , y = 2+2 3 , 1+2 3 , √ √ √ √ √ lM v −1−2 3 , −1+2 3 , 5−2 3 , y = 2−2 3 , 1−2 3 , 6·2 6n 6 −12 , n(n+1)(2n+1) , . . . , n(n+1)(2n+1) , b) gm v n(n+1)(2n+1) , y = n(n+1)(2n+1)

c) gm v (2, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2), y = (4, −2), , − 43 , gM v 34 , 34 , 73 , 43 , 37 , 43 , 73 , 43 , 43 , y = 16 9 d) gM v 13 , 32 , 23 , y1 = − 32 , gm v − 31 , − 23 , − 32 , y1 = q q √ q √ √ 13+9 2 1 10−6 2 1 1 , −2 , − 2 5−37 2 , e) gm v ± 2 7 7 √ √ √ 19−3 2 2 √ y = −12+3 , , ± 7 7 7 q q √ q √ √ 1 13−9 2 1 10+6 2 1 gM v ± 2 ,2 , − 2 5+37 2 , 7 7 √ √ √ 19+3 2 −12−3 2 √ y= , , ± 7 7 7 f) gm v − 45 , − 35 , y1 = 52 , gM v 45 , 53 , y1 = − 52 , 3 4 2 g) gm v 25 , 25 , y1 = − 25 , √ h) gM v 12 , 21 , y1 = − 12 4 e , i) gm v − 12 , 32 , y1 = −1,

3 2

,

j) nema´, 1 k) lM v 16 , 13 , 12 , y1 = − 72 , lM v (t, 0, 1 − t), t < 0 nebo t > 1, y1 = 0, lm v (t, 0, 1 − t), 0 < t < 1, y1 = 0, sb v (t, 1 − t, 0), t ∈ R, a (0, 0, 1), y1 = 0, l) gm v √16 , √16 , − √26 , √16 , − √26 , √16 , − √26 , √16 , √16 , y = 2√1 6 , 61 , gM v − √16 , − √16 , √26 , − √16 , √26 , − √16 , √26 , − √16 , − √16 , y = − 2√1 6 , 16 . 4. gm v (0, 0, ±1), y1 = 1, gM v (x, y, 0), x 2 + y 2 = 1 (tj. na kruzˇnici), y1 = −1.

188

Kapitola 9 Kvadraticke´ plochy S Z

V J

Pru˚vodce studiem Ze strˇednı´ sˇkoly zna´me du˚lezˇity´ prˇ´ıklad rovinnyćh krˇivek, tzv. kuzˇelosecˇky. Ty jsou definovańy jako mnozˇiny bodu˚, ktere´ obdrzˇ´ıme jako rˇezy kuzˇelove´ plochy rovinou. Mezi neˇ patrˇ´ı zejmeńa kruzˇnice, elipsa, parabola a hyperbola. O teˇchto kuzˇelosecˇkaćh rˇ´ıka´me, zˇe jsou nedegenerovane´. Mezi kuzˇelosecˇky vsˇak take´ patrˇ´ı bod, dvojice ru˚znobeˇzˇnyćh prˇ´ımek nebo jedna prˇ´ımka (tzv. dvojna´sobna´), ktere´ zı´ska´me, kdyzˇ rˇezna´ rovina bude procha´zet vrcholem kuzˇelove´ plochy. Tyto kuzˇelosecˇky se nazy´vajı´ degenerovane´. Da´le je zna´mo, zˇe sourˇadnice bodu˚ kuzˇelosecˇek vyhovujı´ kvadraticky´m rovnicı´m o dvou nezna´myćh. Prˇi vhodne´ volbeˇ sourˇadne´ho syste´mu jsou rovnice kuzˇelosecˇek v tzv. norma´lnı´m tvaru tyto: x2 + y2 = r 2 x2 y2 + =1 a 2 b2 x2 y2 − =1 a 2 b2 y 2 = 2px

kruzˇnice,

(9.1)

elipsa,

(9.2)

hyperbola,

(9.3)

parabola,

(9.4)

dvojna´sobny´ bod,

(9.5)

x2 y2 + =0 a 2 b2 x2 y2 − =0 a 2 b2 x 2 = a2

dvojice ru˚znobeˇzˇnyćh prˇ´ımek,

(9.6)

dvojice rovnobeˇzˇnyćh prˇ´ımek,

(9.7)

x2 = 0

dvojna´sobna´ prˇ´ımka.

(9.8)

Prˇitom a, b, p, r > 0. Dvojici rovnobeˇzˇnyćh prˇ´ımek nedostaneme jako rˇez kuzˇelove´ plochy rovinou. V te´to kapitole se pokusı´me vytvorˇit obdobu v R3 . Nepu˚jde o krˇivky, ale plochy. Prˇi jejich zavedenı´ vyjdeme z toho, zˇe mnozˇina bodu˚ tvorˇ´ıcıćh kuzˇelosecˇku vyhovuje jiste´ kvadraticke´ rovnici o dvou promeˇnnyćh a tuto vlastnost budeme chtı´t zachovat.

189

Cı´le Po prostudovańı´ te´to kapitoly budete schopni: • urcˇit, zda dana´ rovnice druhe´ho stupneˇ je rovnicı´ kvadriky, • rozhodnout, zda se jedna´ o strˇedovou cˇi nestrˇedovou kvadriku, • rozhodnout, zda je dana´ kvadrika degenerovana´ (regula´rnı´) cˇi nedegenerovana´ (singula´rnı´), • upravit rovnici kvadriky na norma´lnı´ tvar, • urcˇit strˇed a poloosy dane´ kvadriky, • rozpoznat konkre´tnı´ typ dane´ kvadriky. Kvadriky budou plochy v R3 tvorˇene´ body, jejichzˇ sourˇadnice vyhovujı´ kvadraticke´ rovnici o trˇech nezna´myćh. Prˇesna´ definice vypada´ na´sledovneˇ. Definice 9.1. Necht’ a11 , a22 , a33 , a44 , a12 , a13 , a14 , a23 , a24 , a34 ∈ R, prˇicˇemzˇ platı´ |a11 | + |a22 | + |a33 | + |a12 | + |a13 | + |a23 | > 0. Pak mnozˇinu vsˇech bodu˚ o sourˇadnicıćh (x, y, z) ∈ R3 , ktere´ vyhovujı´ rovnici a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0, (9.9) nazy´va´me kvadrikou neboli kvadratickou plochou. Jde tedy o kvadratickou rovnici o trˇech nezna´myćh x, y, z. Cˇ´ısla aij se nazy´vajı´ koeficienty. Podmıńka |a11 | + |a22 | + |a33 | + |a12 | + |a13 | + |a23 | > 0 ˇr´ıka´, zˇe asponˇ jedno z teˇchto cˇ´ısel nenı´ nula, tedy zˇe rovnice (9.9) skutecˇneˇ obsahuje alesponˇ jeden kvadraticky´ cˇlen x 2 , y 2 , z2 , xy, xz nebo yz. Cˇleny s x, y a z se nazy´vajı´ linea´rnı´ a a44 je absolutnı´ cˇlen. Koeficienty u smı´sˇenyćh kvadratickyćh cˇlenu˚ xy, xz a yz a linea´rnıćh cˇlenu˚ x, y a z jsou z forma´lnıćh du˚vodu˚ (nı´zˇe bude jasne´ procˇ) napsane´ ve tvaru soucˇinu 2 · cˇ´ıslo. Naprˇ. pro 4xz − 3y = 0 je a13 = 2 a a24 = − 23 , ostatnı´ koeficienty jsou nulove´. Kvadrika mu˚zˇe by´t i pra´zdna´ mnozˇina. Naprˇ. rovnici x 2 + y 2 + z2 + 1 = 0 nevyhovuje zˇa´dna´ trojice rea´lnyćh cˇ´ısel (x, y, z) — soucˇet neza´pornyćh cˇ´ısel zveˇtsˇeny´ o jednicˇku nemu˚zˇe da´t nulu. Kazˇde´ kvadrice prˇirˇadı´me matici jejıćh koeficientu˚ A. Jejı´ prvky budou cˇ´ısla aij . Chybı´ na´m ale prvky pod hlavnı´ diagona´lou. Ty doplnı´me tak, aby matice byla symetricka´, tj. polozˇ´ıme aij = aj i pro i > j , kde i, j = 1, . . . , 4. Vlastneˇ koeficienty u smı´sˇenyćh kvadratickyćh cˇlenu˚ a linea´rnıćh cˇlenu˚ rozdeˇlı´me „spravedliveˇ“ na poloviny. To je du˚vod pouzˇitı´ dvojek v rovnici (9.9). Naprˇ. cˇlen 6xy jakoby napı´sˇeme ve tvaru 3xy + 3yx. Pozna´mka 9.2. Pro snadneˇjsˇ´ı zapamatovańı´, jak se matice A vytvorˇ´ı, si vsˇimneˇte, zˇe nezna´my´m x, y a z postupneˇ odpovı´dajı´ indexy 1, 2 a 3. Naprˇ. u cˇlenu yz je koeficient

ó

Kvadraticke´ plochy

190

s indexy 2 a 3, tj. a23 . U cˇlenu zy by bylo podobneˇ a32 , ale protozˇe a23 = a32 a yz = zy, da´va´ to dohromady 2a23 yz. Pokud jedna nezna´ma´ chybı´, tj. jde o linea´rnı´ cˇleny, nebo chybı´ obeˇ dveˇ, tj. jde o absolutnı´ cˇlen, doplnı´ se za prˇ´ıslusˇny´ index cˇtyrˇka, naprˇ. a24 u y, resp. dveˇ cˇtyrˇky u a44 . Take´ si to lze prˇedstavit tak, zˇe ma´me ne trˇi nezna´me´ x, y a z, ale cˇtyrˇi, prˇicˇemzˇ poslednı´ je rovna jedne´, tj. x, y, z a 1. Tedy naprˇ. u a24 stojı´ y · 1 a u a44 stojı´ 1 · 1. Matice prˇ´ıslusˇejıćı´ kvadrika´m hrajı´ prˇi jejich hlubsˇ´ım studiu klıćˇovou roli. Protozˇe na´s budou zajı´mat jen za´kladnı´ vlastnosti kvadrik, nebudeme s nimi pracovat. Pouzˇijeme je pouze pro zavedenı´ na´sledujıćı´ho pojmu, ktery´ umozˇnı´ kvadriky klasifikovat do dvou skupin (podobneˇ jako kuzˇelosecˇky).

+

Definice 9.3. Kvadrika se nazy´va´ nedegenerovana´ (regula´rnı´), jestlizˇe det A 6= 0. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ, tj. kdyzˇ det A = 0, se nazy´va´ degenerovana´ (singula´rnı´). Prˇ´ıklad 9.4. Rozhodneˇte, zda na´sledujıćı´ kvadriky jsou degenerovane´ nebo ne. a) 2x 2 − 3z2 + 4xy − 2yz + 2y − 6z + 4 = 0, b) x 2 − 2y 2 − 2z2 − xy − xz + 5yz − x − 4y + 5z − 2 = 0. Rˇesˇenı´. Urcˇ´ıme nejprve koeficienty aij a z nich pak sestavı´me matici kvadriky a urcˇ´ıme jejı´ determinant. a) a11 = 2, a33 = −3, a44 = 4, a12 = 2, a23 = −1, a24 = koeficienty jsou nulove´, tj. a22 = a13 = a14 = 0. Tedy 2 2 0 0 0 −1 2 1 2 0 −1 1 det A = = 2 −1 −3 −3 − 2 0 0 −1 −3 −3 0 −3 0 4 0 1 −3 4

1, a34 = −3, zby´vajıćı´

−1 1 −3 −3 = 82 6= 0. −3 4

Prˇitom jsme det A rozvinuli podle prvnı´ho rˇa´dku. Protozˇe det A 6= 0, jde o nedegenerovanou kvadriku. b) a11 = 1, a22 = −2, a33 = −2, a44 = −2, a12 = − 12 , a13 = − 12 , a23 = 52 , a14 = − 12 , a24 = −2, a34 = 52 . Tedy 1 −1 −1 −1 2 2 2 1 5 − 2 −2 −2 2 = 0, det A = 1 5 5 − −2 2 2 2 1 5 − −2 2 2 −2 protozˇe determinant ma´ dva stejne´ rˇa´dky. Jde tedy o degenerovanou kvadriku.

N

191

Pru˚vodce studiem

S Z

Dalsˇ´ım nasˇ´ım cı´lem bude sezna´mit se s jednotlivy´mi typy kvadrik a jejich rovnicemi. Prˇitom se budeme snazˇit (podobneˇ jako u kuzˇelosecˇek) zvolit sourˇadny´ syste´m tak, aby rovnice byly co nejjednodusˇsˇ´ı. Lze uka´zat, zˇe otocˇenı´m sourˇadne´ho syste´mu kolem pocˇa´tku je mozˇne´ docı´lit, aby koeficienty u smı´sˇenyćh kvadratickyćh cˇlenu˚ xy, xz a yz byly nulove´. Protozˇe nalezenı´ prˇ´ıslusˇne´ transformace je poneˇkud obtı´zˇneˇjsˇ´ı, nebudeme se ucˇit rovnice tohoto otocˇenı´ hledat. Za´jemce odkazujeme naprˇ. na [21, str. 88], kde je u´loha tzv. ortogona´lnı´ transformace kvadraticke´ formy na kanonicky´ tvar popsańa. Jina´ mozˇnost je pouzˇitı´ tzv. invariantu˚ — viz naprˇ. [15]. V dalsˇ´ım budeme prˇedpokla´dat, zˇe rovnice kvadrik nebudou obsahovat smı´sˇene´ kvadraticke´ cˇleny (prˇesneˇji, koeficienty u nich budou nulove´), takzˇe jejich podoba bude a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z2 + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0.

(9.10)

Nynı´ si uvedeme prˇehled rovnic kvadrik v tzv. norma´lnı´m tvaru. Rozdeˇlı´me ho do trˇ´ı cˇa´stı´. Vsˇude v dalsˇ´ım prˇedpokla´da´me, zˇe a, b, c, p, q, r > 0. x 2 + y 2 + z2 = r 2 y 2 z2 + b2 c2 y 2 z2 + 2− 2 b c y 2 z2 + 2− 2 b c y 2 z2 + 2− 2 b c x2 y2 z= + 2p 2q x2 y2 z= − 2p 2q x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2

+

kulova´ plocha,

(9.11)

=1

elipsoid,

(9.12)

=1

jednodı´lny´ hyperboloid,

(9.13)

= −1

dvojdı´lny´ hyperboloid,

(9.14)

=0

kuzˇel,

(9.15)

elipticky´ paraboloid,

(9.16)

hyperbolicky´ paraboloid.

(9.17)

Prˇedchozı´ kvadriky jsou zna´zorneˇny na obr. 9.1 a 9.2. Vsˇechny tyto kvadriky kromeˇ kuzˇele jsou nedegenerovane´. Kulova´ plocha, elipsoid, oba hyperboloidy a kuzˇel jsou tzv. strˇedove´ kvadriky. (Neˇkdy se tento pojem zava´dı´ jen pro nedegenerovane´ kvadriky — srv. [17, str. 18].) Strˇedem je v tomto prˇ´ıpadeˇ pocˇa´tek O = (0, 0, 0). To znamena´, zˇe s kazˇdy´m bodem kvadriky o sourˇadnicıćh (x, y, z) take´ bod soumeˇrneˇ sdruzˇeny´ vzhledem k pocˇa´tku, tj. bod o sourˇadnicıćh (−x, −y, −z), je rovneˇzˇ bodem te´zˇe kvadriky. U kuzˇele se bod O = (0, 0, 0) take´ nazy´va´ vrchol. Vrchol tohoto typu majı´ pouze degenerovane´ kvadriky.

V J


192

z

r

z

c

0

−a

0 −r −r

−r 0

0

y

r

0

−c −b x

y

r

0

x

b a

a) Kulova´ plocha

b) Elipsoid

z

z

c 0

0

−c

−b y

0

b

a

−a

0

x

0 y

c) Jednodı´lny´ hyperboloid

0 x

d) Dvojdı´lny´ hyperboloid

z

0

y

0 x

0

e) Kuzˇel

Obr. 9.1: Kvadriky — prvnı´ cˇa´st

193

z

z

0

0

y

0

0 x

a) Elipticky´ paraboloid

y

0

0 x

b) Hyperbolicky´ paraboloid

Obr. 9.2: Kvadriky — druha´ cˇa´st

p Z rovnice kulove´ plochy je zrˇejmeˇ videˇt, zˇe x 2 + y 2 + z2 = r, cozˇ rˇ´ıka´, zˇe tato kvadrika je tvorˇena body, jejichzˇ vzda´lenost od pocˇa´tku je konstantnı´, a to r. Jde tedy o kulovou plochu se strˇedem v pocˇa´tku a polomeˇrem r — viz obr. 9.1 a). Cˇ´ısla a, b a c v rovnici elipsoidu se nazy´vajı´ (obdobneˇ jako u elipsy) poloosy elipsoidu. Protozˇe body (±a, 0, 0), (0, ±b, 0) a (0, 0, ±c) zrˇejmeˇ vyhovujı´ rovnici (9.12), jsou to de´lky u´seku˚, ktere´ tento elipsoid vytıńa´ na kladnyćh a za´pornyćh cˇa´stech os x, y a z — viz obr. 9.1 b). Jestlizˇe je neˇktera´ dvojice poloos stejna´ (a trˇetı´ poloosa je jina´), bude elipsoid rotacˇnı´ s osou rotace v sourˇadne´ ose odpovı´dajıćı´ odlisˇne´ poloose. Naprˇ. jestlizˇe bude a = c, bude osou rotace y. Jestlizˇe a = b = c = r, je videˇt, zˇe rovnice (9.12) prˇejde po u´praveˇ v rovnici (9.11). Kulova´ plocha je tedy specia´lnı´m prˇ´ıpadem elipsoidu. Rovneˇzˇ u hyperboloidu˚ se cˇ´ısla a, b a c nazy´vajı´ poloosy, geometricky´ vy´znam uzˇ ale nenı´ tak na´zorny´. U jednodı´lne´ho hyperboloidu protıńa´ rovina z = 0 tuto kvadriku 2 2 v elipse o rovnici xa 2 + yb2 = 1, cozˇ zjistı´me dosazenı´m nuly za z do rovnice (9.13). Cˇ´ısla a a b jsou tedy poloosami te´to elipsy — viz obr. 9.1 c). U dvojdı´lne´ho hyperboloidu zrˇejmeˇ bod (0, 0, ±c) vyhovuje rovnici (9.14), takzˇe cˇ´ıslo c je de´lka u´seku, ktery´ tato kvadrika vytıńa´ na kladne´ a za´porne´ cˇa´sti osy z — viz obr. 9.1 d). Jestlizˇe v rovnicıćh hyperboloidu˚ nebo kuzˇele je a = b, jde opeˇt o rotacˇnı´ kvadriku s osou rotace z. Paraboloidy jsou nestrˇedove´ kvadriky. Pro bod O = (0, 0, 0) se take´ pouzˇ´ıva´ na´zev vrchol, ale jeho vy´znam je zcela jiny´ nezˇ u degenerovanyćh kvadrik (naprˇ. kuzˇele). Pokud je u elipticke´ho paraboloidu p = q, je to rotacˇnı´ kvadrika s osou rotace z. Pokud je neˇktera´ z uvedenyćh kvadrik rotacˇnı´, lze ji vytvorˇit rotacı´ kuzˇelosecˇky lezˇ´ıcı´ v rovineˇ, prˇicˇemzˇ rotace se prova´dı´ kolem neˇktere´ osy symetrie te´to kuzˇelosecˇky. V prˇ´ıpadeˇ nedegenerovanyćh kuzˇelosecˇek tak z kruzˇnice zı´ska´me kulovou plochu, z elipsy rotacˇnı´ elipsoid, z hyperboly rotacˇnı´ jednodı´lny´ nebo dvojdı´lny´ hyperboloid a z paraboly rotacˇnı´ elipticky´ paraboloid.


194

V rovnicıćh hyperboloidu˚, kuzˇele a paraboloidu˚ figurovala nezna´ma´ z asymetricky. Cyklickou za´meˇnou x, y a z dostaneme tyte´zˇ typy kvadrik, jen je musı´me na obr. 9.1 resp. 9.2 v neˇktere´m smeˇru o 90◦ otocˇit. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Pomu˚ckou pro zapamatovańı´ prˇedchozıćh rovnic jsou na´sledujıćı´ skutecˇnosti: Ve vsˇech teˇchto rovnicıćh se vyskytujı´ s nenulovy´m koeficientem vsˇechny trˇi nezna´me´. V rovnicıćh kulove´ plochy, elipsoidu, obou hyperboloidu˚ a kuzˇele se vyskytujı´ s nenulovy´m koeficientem vsˇechny trˇi kvadraticke´ cˇleny. V rovnici kulove´ plochy jsou vsˇechny trˇi koeficienty u kvadratickyćh cˇlenu˚ stejne´. V rovnici elipsoidu majı´ vsˇechny trˇi koeficienty u kvadratickyćh cˇlenu˚ stejne´ znameńko (ale nejsou obecneˇ stejne´). V rovnicıćh hyperboloidu˚ a kuzˇele majı´ dva koeficienty u kvadratickyćh cˇlenu˚ stejne´ znameńko a trˇetı´ ma´ opacˇne´ znameńko. V rovnicıćh paraboloidu˚ jsou jen dva koeficienty u kvadratickyćh cˇlenu˚ nenulove´. U elipticke´ho paraboloidu majı´ koeficienty u teˇchto kvadratickyćh cˇlenu˚ stejna´ znameńka, u hyperbolicke´ho paraboloidu opacˇna´. Dalsˇ´ı skupinou budou tzv. kvadraticke´ va´lce. x2 + y2 = r 2 x2 y2 + =1 a 2 b2 x2 y2 − =1 a 2 b2 y 2 = 2px

rotacˇnı´ va´lec,

(9.18)

elipticky´ va´lec,

(9.19)

hyperbolicky´ va´lec,

(9.20)

parabolicky´ va´lec.

(9.21)

Tyto kvadriky jsou zna´zorneˇny na obr. 9.3. Jsou vsˇechny degenerovane´. Zdańliveˇ jde o rovnice kuzˇelosecˇek. Nesmı´me vsˇak zapomenout, zˇe jde o rovnici se trˇemi nezna´my´mi, pouze u cˇlenu˚ s nezna´mou z jsou nulove´ koeficienty. Jestlizˇe neˇjaky´ bod (x0 , y0 , 0) vyhovuje takove´ rovnici, pak te´to rovnici vyhovuje take´ bod (x0 , y0 , z) s libovolny´m z ∈ R, protozˇe na z neklade rovnice zˇa´dne´ podmıńky. To znamena´, zˇe tyto kvadriky s kazˇdy´m bodem soucˇasneˇ obsahujı´ prˇ´ımku rovnobeˇzˇnou s osou z a procha´zejıćı´ tı´mto bodem. Kuzˇelosecˇka odpovı´dajıćı´ dane´ rovnici, ktera´ lezˇ´ı v rovineˇ z = 0, se nazy´va´ rˇ´ıdıćı´ krˇivka. (Takto se definujı´ obecneˇ va´lcove´ plochy i v prˇ´ıpadeˇ, zˇe rˇ´ıdıćı´ krˇivka nenı´ kuzˇelosecˇka. Samozrˇejmeˇ to nejsou kvadriky.) V prˇ´ıpadeˇ rovnic (9.18)–(9.21) je tedy nutne´ du˚sledneˇ rozlisˇovat, jestli je uvazˇujeme v R2 nebo v R3 . V prvnı´m prˇ´ıpadeˇ jde o kuzˇelosecˇky (tedy krˇivky), v druhe´m prˇ´ıpadeˇ o kvadriky (tedy plochy). Jak uzˇ jsme poznamenali, typicky´m znakem teˇchto rovnic je, zˇe jedna nezna´ma´ (zdańliveˇ) chybı´. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ je to z, ale cyklickou za´meˇnou dostaneme dalsˇ´ı varianty. Povrchove´ prˇ´ımky kvadriky jsou rovnobeˇzˇne´ se sourˇadnou osou odpovı´dajıćı´ chybeˇjıćı´mu pı´smenu. Prˇedcha´zejıćı´ dveˇ skupiny kvadrik budou pro na´s z hlediska aplikacı´ nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı. Azˇ budeme probı´rat dvojny´ a trojny´ integra´l, budeme pocˇ´ıtat objemy a povrchy teˇles

195

z z

0 −r

−r

y

0

0 r

−a 0 −b

x

0 y

r

0 b

a) Rotacˇnı´ va´lec

x

a

b) Elipticky´ va´lec z

z

0 0 0 y

a

0 x

0

−a y

c) Hyperbolicky´ va´lec

0 x

d) Parabolicky´ va´lec

Obr. 9.3: Kvadraticke´ va´lce omezenyćh kvadrikami apod. S neˇktery´mi jsme se setkali i v prˇedcha´zejıćıćh kapitolaćh tohoto textu (loka´lnı´ extre´my, Tayloru˚v vzorec). Pro u´plnost vsˇak uvedeme i zby´vajıćı´ (nepra´zdne´) kvadriky. Obra´zky neuva´dı´me, protozˇe jsou zrˇejme´. x 2 y 2 z2 + + =0 a 2 b2 c2 x2 y2 + =0 a 2 b2 x2 y2 − =0 a 2 b2 x 2 = a2 x2 = 0

dvojna´sobny´ bod,

(9.22)

dvojna´sobna´ prˇ´ımka,

(9.23)

dvojice ru˚znobeˇzˇnyćh rovin,

(9.24)

dvojice rovnobeˇzˇnyćh rovin,

(9.25)

dvojna´sobna´ rovina.

(9.26)

Vsˇechny tyto kvadriky jsou degenerovane´. Na´zvy kvadrik jsou vy´stizˇne´. Rovnici (9.22) vyhovuje pouze bod (0, 0, 0). Rovnici (9.23) vyhovujı ´ body tvaru (0, 0, z), z ∈ R, cozˇ je osa z. Rovnici (9.24) lze upravit na tvar xa − yb xa + yb = 0. Musı´ tedy platit bud’ y = ab x nebo y = − ab x, cozˇ jsou rovnice dvou ru˚znobeˇzˇnyćh rovin, procha´zejıćıćh


196

osou z. Rovnici (9.25) lze upravit na tvar (x − a)(x + a) = 0, tedy bud’ musı´ platit x = a nebo x = −a. To jsou rovnice ru˚znyćh rovnobeˇzˇnyćh rovin, kolmyćh k ose x. Konecˇneˇ rovnici (9.26) vyhovujı´ body tvaru (0, y, z), y, z ∈ R. Jde tedy o sourˇadnou rovinu x = 0. Vıće se teˇmito kvadrikami nebudeme zaby´vat. Pokud kvadrika nenı´ v norma´lnı´m tvaru, ale ma´ rovnici (9.10), stacˇ´ı posunout sourˇadnou soustavu o vhodny´ vektor u = (x0 , y0 , z0 ). Tedy pocˇa´tek nove´ sourˇadne´ soustavy umı´stı´me do bodu (x0 , y0 , z0 ) stare´ sourˇadne´ soustavy. Smeˇr a orientace sourˇadnyćh os se nezmeˇnı´. Oznacˇ´ıme-li stare´ sourˇadnice x, y a z a nove´ sourˇadnice x 0 , y 0 a z0 , bude platit x = x 0 + x0 ,

y = y 0 + y0 ,

z = z 0 + z0 .

(9.27)

Po te´to transformaci bude mı´t kvadrika (v cˇa´rkovanyćh sourˇadnicıćh) norma´lnı´ tvar. V pu˚vodnıćh sourˇadnicıćh dostaneme jejı´ rovnici tak, zˇe v odpovı´dajıćı´m norma´lnı´m tvaru nahradı´me postupneˇ x 0 , y 0 a z0 vy´razy x − x0 , y − y0 a z − z0 . Bod (x0 , y0 , z0 ) prˇejde v novyćh sourˇadnicıćh do pocˇa´tku. Naprˇ. — viz (9.11) resp. (9.16) — (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 + + =1 a2 b2 c2

resp.

z − z0 =

(x − x0 )2 (y − y0 )2 + 2p 2q

+

jsou rovnice posunute´ho elipsoidu resp. elipticke´ho paraboloidu. Strˇed elipsoidu (ve staryćh sourˇadnicıćh) bude (x0 , y0 , z0 ), vrchol paraboloidu bude tenty´zˇ bod. Prakticke´ nalezenı´ tohoto posunutı´ je dobrˇe zna´ma´ u´loha — tzv. doplneˇnı´ na u´plny´ cˇtverec. Obdobneˇ se postupuje u kuzˇelosecˇek. Vy´raz u2 + αu se s vyuzˇitı´m vzorce 2 2 (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 upravı´ na tvar u2 + αu = u + α2 − α4 . Postup bude nejle´pe zrˇejmy´ z prˇ´ıkladu˚. Prˇ´ıklad 9.5. Najdeˇte norma´lnı´ tvary na´sledujıćıćh kvadrik a urcˇete, o jake´ kvadriky jde. a) x 2 + y 2 + z2 + 4x − 6y − 2z + 12 = 0, b) 2x 2 − y 2 + 4z2 − 12x − 2y − 16z + 29 = 0, c) x 2 + y 2 + 2x − 6y − 3z + 4 = 0, d) 9x 2 + 9z2 + 54x − 12z + 49 = 0. Rˇesˇenı´. Ve vsˇech prˇ´ıkladech se pokusı´me doprˇedu odhadnout, o jakou kvadriku by mohlo jı´t. K tomu vyuzˇijeme pozna´mky na str. 194. a) Rovnice obsahuje vsˇechny trˇi promeˇnne´ a vsˇechny ve druhe´ mocnineˇ, prˇicˇemzˇ koeficienty jsou u vsˇech kvadratickyćh cˇlenu˚ stejne´. Mohlo by jı´t o kulovou plochu. To zjistı´me azˇ po u´praveˇ. Vy´sledek bude za´viset na cˇ´ısle, ktere´ bude v (9.11) na prave´ straneˇ. (Pro nulu by sˇlo o dvojna´sobny´ bod, pro za´porne´ cˇ´ıslo o pra´zdnou mnozˇinu.) Doplneˇnı´m na cˇtverec postupneˇ dostaneme: x 2 + 4x = (x + 2)2 − 4,

y 2 − 6y = (y − 3)2 − 9,

z2 − 2z = (z − 1)2 − 1.

Dosazenı´m do zadane´ rovnice vyjde (x +2)2 −4+(y −3)2 −9+(z−1)2 −1+12 = 0 ⇒ (x +2)2 +(y −3)2 +(z−1)2 = 2. √ Jde tedy o kulovou plochu se strˇedem S = (−2, 3, 1) a polomeˇrem r = 2.

197

b) Rovnice obsahuje vsˇechny trˇi promeˇnne´ a vsˇechny ve druhe´ mocnineˇ, prˇicˇemzˇ koeficienty u dvou kvadratickyćh cˇlenu˚ jsou kladne´ a jeden je za´porny´. Dostaneme tedy jednu z rovnic (9.13), (9.14) nebo (9.15), takzˇe musı´ jı´t o neˇktery´ z hyperboloidu˚ nebo kuzˇel. Pokud vy´raz, ktery´ doplnˇujeme na cˇtverec, ma´ u druhe´ mocniny koeficient ru˚zny´ od 1, je vhodne´ tento koeficient nejprve vytknout. Vyhneme se tı´m zbytecˇny´m numericky´m chyba´m (i v prˇ´ıpadeˇ, zˇe jde o −1). Dostaneme: 2x 2 − 12x = 2[x 2 − 6x] = 2[(x − 3)2 − 9] = 2(x − 3)2 − 18, − y 2 − 2y = −[y 2 + 2y] = −[(y + 1)2 − 1] = −(y + 1)2 + 1, 4z2 − 16z = 4[z2 − 4z] = 4[(z − 2)2 − 4] = 4(z − 2)2 − 16. Dosazenı´m do zadane´ rovnice vyjde 2(x − 3)2 − 18 − (y + 1)2 + 1 + 4(z − 2)2 − 16 + 29 = 0 2

2

2

2(x − 3) − (y + 1) + 4(z − 2) = 4 (x

− 3)2

(y

⇒

⇒

+ 1)2

+ (z − 2)2 = 1. 2 4 Jde tedy √ o jednodı´lny´ hyperboloid se strˇedem S = (3, −1, 2), jehozˇ poloosy jsou a = 2, b = 2 a c = 1 a jehozˇ osa je rovnobeˇzˇna´ s osou y (oproti (9.13) je zameˇneˇna role y a z). c) Rovnice obsahuje vsˇechny trˇi promeˇnne´, ale pouze dveˇ ve druhe´ mocnineˇ, prˇicˇemzˇ koeficienty u obou kvadratickyćh cˇlenu˚ jsou kladne´. Mu˚zˇe jı´t tedy pouze o rovnici (9.16). Dostaneme: −

x 2 + 2x = (x + 1)2 − 1,

y 2 − 6y = (y − 3)2 − 9.

Dosazenı´m do zadane´ rovnice vyjde (x + 1)2 − 1 + (y − 3)2 − 9 − 3z + 4 = 0

⇒

(x + 1)2 (y − 3)2 + . 3 3 Jde tedy o elipticky´ paraboloid s vrcholem V = (−1, 3, −2), jehozˇ osa je rovnobeˇzˇna´ s osou z. Parametry jsou p = q = 32 . Protozˇe jsou stejne´, je rotacˇnı´. Upozorneˇme, zˇe pokud by oba koeficienty u kvadratickyćh cˇlenu˚ byly za´porne´, byl by elipticky´ paraboloid prˇevraćen vzhu˚ru nohama oproti obr. 9.2 a). d) Rovnice obsahuje pouze dveˇ promeˇnne´, pu˚jde tedy o va´lcovou plochu. Protozˇe chybı´ promeˇnna´ y, bude rˇ´ıdıćı´ krˇivka lezˇet v rovineˇ urcˇene´ osami x a z. Obeˇ nezna´me´ jsou ve druhe´ mocnineˇ. Koeficienty u kvadratickyćh cˇlenu˚ jsou stejne´, proto mu˚zˇe jı´t pouze o kruzˇnici — viz rovnice (9.1). Zda tomu tak je, zjistı´me azˇ po u´praveˇ (na prave´ straneˇ rovnice musı´ vyjı´t kladne´ cˇ´ıslo; pro nulu by to byl dvojna´sobny´ bod a pro za´porne´ cˇ´ıslo pra´zdna´ mnozˇina). Mu˚zˇe jı´t tedy o kruhovy´ va´lec (9.18). Dostaneme: 3z + 6 = (x + 1)2 + (y − 3)2

⇒

z+2=

9x 2 + 54x = 9[x 2 + 6x] = 9[(x + 3)2 − 9] = 9(x + 3)2 − 81, 2 2 9z2 − 12z = 9 z2 − 43 z = 9 z − 23 − 49 = 9 z − 23 − 4.


198

Dosazenı´m do zadane´ rovnice vyjde 2 9(x + 3)2 − 81 + 9 z − 32 − 4 + 49 = 0 ⇒ 2 2 9(x + 3)2 + 9 z − 32 = 36 ⇒ (x + 3)2 + z − 23 = 4. Jde tedy o kruhovy´ va´lec. Strˇed rˇ´ıdıćı´ kruzˇnice je S = −3, 0, 23 , polomeˇr r = 2 a osa va´lce, procha´zejıćı´ bodem S, je rovnobeˇzˇna´ s osou y (oproti (9.18) je zameˇneˇna role y a z). N Teorie kvadrik patrˇ´ı ke klasicky´m partiı´m geometrie. Souvisı´ u´zce s tzv. kvadraticky´mi formami a jejich ru˚zny´mi transformacemi na kanonicky´ tvar. My se nebudeme veˇnovat jejich podrobneˇjsˇ´ımu studiu. Za´jemcu˚m doporucˇujeme naprˇ. [14] nebo [17], kde najdou nejen vy´sledky v R2 a v R3 , ale i v Rn pro libovolne´ n ∈ N. V teˇchto pracıćh jsou kvadriky rovneˇzˇ studovańy obecneˇji v tzv. projektivnıćh prostorech, cozˇ je prˇirozene´ prostrˇedı´ pro vysˇetrˇovańı´ jejich vlastnostı´. V za´veˇrecˇne´ pozna´mce uvedeme jesˇteˇ neˇkolik du˚lezˇityćh vlastnostı´ kvadrik. Pozna´mka 9.6. 1) Lze uka´zat, zˇe rˇezem libovolne´ kvadriky rovinou dostaneme vzˇdy kuzˇelosecˇku. Naprˇ. u elipsoidu je to elipsa, u hyperboloidu elipsa, parabola, hyperbola, dvojice ru˚znobeˇzˇnyćh prˇ´ımek (u jednodı´lne´ho) nebo bod (u dvojdı´lne´ho), u elipticke´ho paraboloidu elipsa nebo parabola, u hyperbolicke´ho paraboloidu hyperbola, parabola, dvojice ru˚znobeˇzˇnyćh prˇ´ımek nebo prˇ´ımka atd. 2) Neˇktere´ kvadriky majı´ tu vlastnost, zˇe obsahujı´ cele´ prˇ´ımky. Takovy´m prˇ´ımka´m se rˇ´ıka´ tvorˇ´ıcı´. Kvadriky obsahujıćı´ prˇ´ımky se nazy´vajı´ prˇ´ımkove´, zatı´mco ostatnı´ jsou bodove´. Mezi prˇ´ımkove´ kvadriky patrˇ´ı zrˇejmeˇ kvadraticke´ va´lce a kuzˇel. Ale take´ nedegenerovane´ kvadriky mohou by´t prˇ´ımkove´ — viz prˇedchozı´ bod te´to pozna´mky o rˇezech rovinami. Takovy´mi jsou jednodı´lny´ hyperboloid a hyperbolicky´ paraboloid. Na obou existujı´ dveˇ soustavy prˇ´ımek. Naprˇ. protneme-li jednodı´lny´ hyperboloid o rovnici x 2 + y 2 − z2 = 1 rovinou o rovnici x = 1, ma´ pru˚secˇnice v te´to rovineˇ rovnici y 2 − z2 = 0, cozˇ je dvojice ru˚znobeˇzˇnyćh prˇ´ımek y = z a y = −z. Podobneˇ pru˚secˇnice hyperbolicke´ho paraboloidu o rovnici z = x 2 − y 2 s rovinou o rovnici z = 0 ma´ v te´to rovineˇ rovnici x 2 − y 2 = 0, cozˇ je dvojice ru˚znobeˇzˇnyćh prˇ´ımek x = y a x = −y. Viz te´zˇ cvicˇenı´ 6 a 7 na konci te´to kapitoly. 3) Veˇtsˇina kvadrik neprˇedstavuje grafy funkcı´ dvou promeˇnnyćh. Lze vsˇak na neˇ pouzˇ´ıt veˇtu 7.11 o implicitneˇ zadane´ funkci a pomocı´ tota´lnı´ho diferencia´lu sestrojit tecˇne´ roviny v bodech, v nichzˇ existujı´. Neˇkdy bude trˇeba ve veˇteˇ 7.11 zameˇnit role promeˇnnyćh x, y a z. 4) I kdyzˇ jsme rˇ´ıkali, zˇe se nebudeme zaby´vat kvadrikami obsahujıćı´mi smı´sˇene´ kvadraticke´ cˇleny s nenulovy´m koeficientem, jednu vy´jimku ucˇinı´me. Jde o velmi cˇasto se vyskytujıćı´ kvadriku majıćı´ rovnici z = xy. Otocˇenı´m kolem osy z o 45◦ lze uka´zat, 2 2 zˇe je to hyperbolicky´ paraboloid, jehozˇ rovnice v norma´lnı´m tvaru je z = x2 − y2 .


199

5) Kulova´ plocha je specia´lnı´m prˇ´ıpadem elipsoidu a rotacˇnı´ va´lec je zase specia´lnı´m prˇ´ıpadem elipticke´ho va´lce. Nejde tedy o samostatne´ typy kvadrik. Pro nasˇe ućˇely je ale vhodneˇjsˇ´ı uvazˇovat je samostatneˇ, protozˇe se s nimi setka´va´me nejcˇasteˇji. 6) Pominuli jsme pra´zdne´ kvadriky, ktere´ nemajı´ zˇa´dne´ rea´lne´ body (majı´ ale body v komplexnı´m rozsˇ´ırˇenı´ prostoru R3 ). Jejich rovnice v norma´lnı´m tvaru jsou: x 2 y 2 z2 + + = −1, a 2 b2 c2

x2 y2 + = −1, a 2 b2

x2 = −1. a2

Pojmy k zapamatovańı´ — — — — — — — —

X

kvadrika nedegenerovana´ (regula´rnı´) kvadrika degenerovana´ (singula´rnı´) kvadrika strˇedova´ kvadrika nestrˇedova´ kvadrika rotacˇnı´ kvadrika matice koeficientu˚ kvadriky norma´lnı´ tvar rovnice kvadriky

Kontrolnı´ ota´zky 1. Co rozumı´me pojmem kvadrika?

?

2. Kterou kvadriku nazveme nedegenerovanou (regula´rnı´)? 3. Kterou kvadriku nazveme degenerovanou (singula´rnı´)? 4. Udejte prˇ´ıklad neˇkteryćh strˇedovyćh kvadrik. 5. Vyjmenujte neˇktere´ nestrˇedove´ kvadriky. 6. Jake´ kvadriky nazy´va´me rotacˇnı´? 7. Co to je matice koeficientu˚ kvadriky a k cˇemu na´m slouzˇ´ı? 8. Napisˇte norma´lnı´ tvar rovnice kulove´ plochy, elipsoidu, kuzˇele, jednodı´lne´ho a dvojdı´lne´ho hyperboloidu elipticke´ho a hyperbolicke´ho paraboloidu. 9. Co jsou to kvadraticke´ va´lce? Uved’te jejich rovnice.

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Rozhodneˇte, ktere´ z na´sledujıćıćh kvadrik jsou degenerovane´ a ktere´ nejsou. a)

x 2 + 4y 2 + 9z2 − 4xy + 6xz − 12yz = 0,

!


200

b)

9x 2 + 4y 2 + z2 + 12xy − 6xz − 4yz + 12x + 8y − 4z + 4 = 0,

c)

2x 2 − 3y 2 − z2 − xy − xz + 4yz + 3x − 7y + 3z − 2 = 0,

d)

2x 2 + 2y 2 − 5xy + 3xz − 6yz + 6x − 3y + 9z = 0,

e)

8x 2 − 27y 2 + 35z2 − 44xy + 60xz + 6yz = 0,

f)

14x 2 − 40y 2 + 53z2 − 68xy + 92xz + 8yz − 6 = 0,

g)

23x 2 + 9y 2 + 98z2 − 46xy + 92xz − 72yz + 4 = 0,

h)

21x 2 + 8y 2 + 5z2 + 24xy + 6xz + 8yz − 6x − 8y − 10z + 5 = 0,

i)

9x 2 + 5y 2 − 7z2 + 36xy + 30xz − 4yz = 0,

j)

xy − z = 0,

k)

25x 2 + 9y 2 + 9z2 + 20xy − 2xz + 12yz + 12x + 2y + 4z + 17 = 0,

l)

16x 2 + 5y 2 + 8z2 + 8xy − 8xz + 8yz − 22x − 2y + 14z + 11 = 0,

m)

x 2 + 4y 2 + 9z2 − 4xy + 6xz − 12yz − 2 = 0,

n)

17x 2 + 19y 2 + 56z2 − 18xy + 44xz − 56yz − 22x + 22y − 32z + 11 = 0.

2. Najdeˇte rovnice v norma´lnı´m tvaru na´sledujıćıćh kvadrik a urcˇete jejich typ. a)

2x 2 − 5y 2 − z2 + 12x + 20y − 2z − 13 = 0,

b)

3x 2 − 4y 2 − 6z2 − 6x − 16y − 12z − 19 = 0,

c)

x 2 + 2y 2 + 3z2 − 4x + 4y + 12z + 12 = 0,

d)

3x 2 + 4y 2 + z2 + 6x − 16y − 2z + 8 = 0,

e)

x 2 + y 2 + 3z2 − 6x + 4y + 10 = 0,

f)

2x 2 + y 2 + 3z2 − 12x + 4y − 6z + 24 = 0,

g)

4x 2 + 9y 2 + 16z2 + 8x − 18y − 32z + 28 = 0,

h)

x 2 + y 2 + z2 + 6x − 6y − 8z + 30 = 0,

i)

2x 2 + 2y 2 + 2z2 − 2x − 10y + 12z + 27 = 0,

j)

x 2 + y 2 + z2 − 4x + 2y − 6z + 5 = 0,

k)

3x 2 + 2y 2 − 6z2 − 12x + 4y + 36z − 46 = 0,

l)

3x 2 + 2y 2 − 6z2 − 12x + 4y + 36z − 34 = 0,

m)

3x 2 + 2y 2 − 6z2 − 12x + 4y + 36z − 40 = 0,

n)

3x 2 − 2y 2 + 6z2 − 12x − 4y − 36z + 58 = 0,

o)

3x 2 − 2y 2 + 6z2 − 12x − 4y − 36z + 70 = 0,

p)

x 2 + y 2 − z2 − 4x + 2y + 6z − 5 = 0,

q)

x 2 + y 2 − z2 − 4x + 2y + 6z − 3 = 0,

r)

x 2 + y 2 − z2 − 4x + 2y + 6z − 4 = 0,

s)

2x 2 + 5y 2 + z2 + 12x − 20y + 2z + 29 = 0,

t)

2x 2 + 5y 2 − z2 + 12x − 20y − 2z + 27 = 0,

u)

2x 2 + 5y 2 − z2 + 12x − 20y − 2z + 47 = 0,

v)

2x 2 + 5y 2 − z2 + 12x − 20y − 2z + 37 = 0,


201

w)

2x 2 − 5y 2 − z2 + 12x + 20y − 2z + 7 = 0,

x)

2x 2 − 5y 2 + z2 + 12x + 20y + 2z − 1 = 0.


x 2 + y 2 + 2x − 2y − z + 4 = 0,

b)

x 2 − y 2 + 2x + 2y − z + 2 = 0,

c)

x 2 + y 2 + 2x − 2y + z = 0,

d)

2x 2 + 3y 2 − 8x + 6y − 6z − 7 = 0,

e)

2x 2 − 3y 2 − 8x − 6y − 6z − 13 = 0,

f)

2x 2 + y 2 + 8x − 4y − 2z + 10 = 0,

g)

2x 2 − y 2 + 8x + 4y + 2z + 8 = 0,

h)

y 2 + z2 − x + 6y − 2z + 11 = 0,

i)

y 2 − z2 − x + 6y + 2z + 9 = 0,

j)

x 2 + 2z2 − 2x − 2y + 4z − 5 = 0,

k)

x 2 − z2 − 2x + y − 2z + 4 = 0,

l)

4y 2 − 3z2 + 12x + 16y + 18z − 5 = 0.


x 2 + y 2 + 6x − 2y + 9 = 0,

b)

x 2 + y 2 − 4x + 2y + 2 = 0,

c)

x 2 + y 2 − 2x − 2y − 7 = 0,

d)

x 2 + z2 − 6x − 2z + 8 = 0,

e)

y 2 + z2 + 4y + 2z + 1 = 0,

f)

2x 2 + y 2 + 12x + 2y + 15 = 0,

g)

2x 2 + 3y 2 + 16x − 12y + 38 = 0,

h)

2x 2 + y 2 + 4x − 2y − 1 = 0,

i)

2x 2 − 5y 2 − 12x − 10y + 3 = 0,

j)

2x 2 − y 2 + 12x − 2y + 13 = 0,

k)

4x 2 − y 2 − 16x − 4y + 16 = 0,

l)

4y 2 − 3z2 + 16y − 12z + 16 = 0,

m)

2y 2 − z2 + 4y + 4z − 8 = 0,

n)

x 2 − z2 − 6x − 4z + 3 = 0,

o)

y 2 − 3x − 2y − 5 = 0,

p)

y 2 − 2x + 6y + 5 = 0,

q)

z2 − 2x + 2z = 0,

r)

x 2 − 4x + 4z − 4 = 0.

5. Rozhodneˇte, ktere´ kvadriky z prˇedchozıćh cvicˇenı´ 2, 3 a 4 jsou degenerovane´ a ktere´ nejsou. 6. Zjisteˇte, ktere´ roviny o rovnici y = kx + r, k, r ∈ R, protnou hyperbolicky´ paraboloid y2 x2 z = 2p − 2q , kde p, q > 0, v prˇ´ımce. Napisˇte parametricke´ rovnice te´to tvorˇ´ıcı´ prˇ´ımky. 2

2

2

7. Uvazˇujme jednodı´lny´ hyperboloid xa 2 + yb2 − cz2 = 1, a, b, c > 0. Rovina z = 0 jej protne v elipse. x2

Necht’(x0 , y0 , 0) je bod te´to elipsy, tj. platı´ a02 + bodem, jejichzˇ parametricke´ rovnice jsou p : x = x0 + a 2 y0 t, jsou tvorˇ´ıcı´.

y02 b2

= 1. Oveˇrˇte, zˇe prˇ´ımky p procha´zejıćı´ tı´mto

y = y0 − b2 x0 t,

z = ±abct,

t ∈ R,


202

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ V na´sledujıćıćh vy´sledcıćh D znacˇ´ı degenerovanou a N nedegenerovanou kvadriku. Da´le je pouzˇito toto oznacˇenı´: KP

kulova´ plocha

E

elipsoid

JH

jednodı´lny´ hyperboloid

DH

dvojdı´lny´ hyperboloid

EP

elipticky´ paraboloid

HP

hyperbolicky´ paraboloid

RV

rotacˇnı´ va´lec

EV

elipticky´ va´lec

HV

hyperbolicky´ va´lec

PV

parabolicky´ va´lec

K

kuzˇel

R prˇed oznacˇenı´m elipsoidu, hyperboloidu˚, kuzˇele a elipticke´ho paraboloidu znacˇ´ı, zˇe jde o rotacˇnı´ kvadriku. 1. a) h)

D, D,

2. a)

− (x+3) + 5

b) c) d) e) f)

b) i)

D, D,

c) j)

D, N,

d) k)

D, N,

2 (y−2)2 + (z+1) = −1, DH, 2 10 (y+2)2 (z+1)2 (x−1)2 − 4 + 3 + 2 = 0, K, 2 2 (x−2)2 + (y+1) + (z+2) = 1, E, 6 3 2 (y−2)2 (x+1)2 (z−1)2 + 3 + 12 = 1, E, 4 2 (x−3)2 + (y+2) + z2 = 1, RE, 3 3 2 2 2 2

2(x − 3) + (y + 2) + 3(z − 1) = 1, E,

g)

4(x + 1)2 + 9(y − 1)2 + 16(z − 1)2 = 1, E,

h) i)

(x + 3)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 = 4, KP, 2 2 x − 12 + y − 52 + (z + 3)2 = 2, KP,

j)

(x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 9, KP, (y+1)2 3 (y+1)2 3 (y+1)2 3 (y+1)2 3 (y+1)2 3

o)

(x−2)2 2 (x−2)2 2 (x−2)2 2 (x−2)2 2 (x−2)2 2

p)

(x − 2)2 + (y + 1)2 − (z − 3)2 = 1, JH,

q)

(x − 2)2 + (y + 1)2 − (z − 3)2 = −1, DH,

r)

(x − 2)2 + (y + 1)2 − (z − 3)2 = 0, K,

k) l) m) n)

s) t) u) v) w) x)

+ + + − −

− (z − 3)2 = 1, JH, − (z − 3)2 = −1, DH, − (z − 3)2 = 0, K, + (z − 3)2 = 1, JH, + (z − 3)2 = −1, DH,

2 2 (x+3)2 + (y−2) + (z+1) = 1, E, 5 2 10 (y−2)2 (x+3)2 (z+1)2 + 2 − 10 = 1, JH, 5 2 2 (x+3)2 + (y−2) − (z+1) = −1, DH, 5 2 10 (y−2)2 (x+3)2 (z+1)2 + 2 − 10 = 0, K, 5 2 2 (x+3)2 − 5 + (y−2) + (z+1) = 1, JH, 2 10 (y−2)2 (x+3)2 (z+1)2 − 2 + 10 = 0, K. 5

e) l)

D, N,

f) m)

N, D,

g) n)

N, D.


203

3. a) z − 2 = (x + 1)2 + (y − 1)2 , REP,

b) z − 2 = (x + 1)2 − (y − 1)2 , HP,

c) z − 2 = −(x + 1)2 − (y − 1)2 , REP, e) z + 3 =

(y+1)2 , HP, 2 (y−2)2 2 + 2) + 2 , HP, 2 2

(x−2)2 3

g) z + 2 = −(x

d) z + 3 =

f) z + 1 = (x +

−

(y+1)2 , EP, 2 (y−2)2 2 2) + 2 , EP, 2 2

(x−2)2 3

+

h) x − 1 = (y + 3) + (z − 1) , REP,

i) x − 1 = (y + 3) − (z − 1) , HP,

j) y + 4 =

k) y + 4 = −(x − 1)2 + (z + 1)2 , HP,

l) x +

1 2

=

(x−1)2 + (z + 1)2 , EP, 2 2 2 − (y+2) + (z−3) , HP. 3 4

4. a)

(x + 3)2 + (y − 1)2 = 1, RV,

b)

(x − 2)2 + (y + 1)2 = 3, RV,

c)

(x − 1)2 + (y − 1)2 = 9, RV,

d)

(x − 3)2 + (z − 1)2 = 2, RV,

e)

(y + 2)2 + (z + 1)2 = 4, RV,

f)

g) i) k) m) o) q)

(y−2)2 = 1, EV, 2 (y+1)2 − 2 = 1, HV, 2 = 1, HV, −(x − 2)2 + (y+2) 4 (y+1)2 (z−2)2 − 6 = 1, HV, 3 2 (x+4)2 3 (x−3)2 5

+

(y − 1) = 3(x + 2), PV, (z + 1)2 = 2 x + 12 , PV,

h) j) l) n)

2 (x+3)2 + (y+1) = 1, EV, 2 4 (y−1)2 (x+1)2 + 4 = 1, EV, 2 2 (x+3)2 − (y+1) = 1, HV, 2 4 (y+2)2 (z+2)2 − 3 + 4 = 1, HV, 2 (x−3)2 − (z+2) = 1, HV, 2 2 2

p)

(y + 3) = 2(x + 2), PV,

r)

(x − 2)2 = −4(z − 2), PV.

5. Kulova´ plocha, elipsoid, hyperboloidy a paraboloidy jsou nedegenerovane´ kvadriky, kuzˇel a rotacˇnı´, elipticky´, hyperbolicky´ a parabolicky´ va´lec jsou degenerovane´ kvadriky. q 6. Musı´ platit k = ± pq (po dosazenı´ rovnice roviny do rovnice hyperboloidu musı´ vypadnout kvadraticky´ cˇlen s x). Parametricke´ rovnice prˇ´ımek jsou naprˇ. r q r r2 x = t, y=± t +r z = ∓√ t − , t ∈ R. p pq 2q 7. Libovolny´ bod prˇ´ımek p vyhovuje rovnici dane´ho jednodı´lne´ho hyperboloidu.

204

Autotesty -

Autotest 1 √ 1. Nacˇrtneˇte a popisˇte definicˇnı´ obor funkce f : z = y − x · ln (x 2 y). p 2. Najdeˇte a nakreslete vrstevnice vc funkce z = 1 − x 2 − y 2 a nacˇrtneˇte rˇezy rovinami x = 0, y = 0. xy 3. Vypocˇ´ıtejte limitu funkce f : z = 2 v bodeˇ (0, 0). x + y4 4. Najdeˇte parcia´lnı´ derivace prvnı´ho rˇa´du funkce f : z = x 3 y 2 − x 2 sin y + 2y . x2 + 1 5. Vypocˇteˇte parcia´lnı´ derivace druhe´ho rˇa´du funkce f : z = ln 2 . y −1 6. Nahrad’te funkci f : z = 3x 2 y +sin2 x +5y −2 Maclaurinovy´m mnohocˇlenem (tj. Taylorovy´m mnohocˇlenem v bodeˇ (0, 0)) trˇetı´ho rˇa´du. 7. Vysˇetrˇete loka´lnı´ extre´my funkce f : z = x 3 + y 3 − 18xy + 215. 8. Najdeˇte rovnice tecˇny a norma´ly v bodeˇ A = (1, 1) ke grafu funkce y = f (x) dane´ implicitneˇ rovnicı´ xy + ln y − 1 = 0 v okolı´ bodu A.

-

Autotest 2 1. Vypocˇteˇte prvnı´ parcia´lnı´ derivace funkce z = arctg

√ xy .

2. Vysˇetrˇete loka´lnı´ extre´my funkce z = (x + y 2 ) ex/2 . 3. Aproximujte funkci f (x, y) = x 3 + x 2 y − xy + 2y v bodeˇ A = (1, 0) Taylorovy´m mnohocˇlenem prvnı´ho a druhe´ho rˇa´du. x 4. Urcˇete rovnici tecˇne´ roviny τ a norma´ly n plochy z = sin v bodeˇ T = (π, 1, ?). y 5. Vypocˇteˇte va´zane´ loka´lnı´ extre´my funkce f (x1 , x2 ) = x1 x2 za podmıńky x12 + x22 = 2. x2 6. Tereń je plocha urcˇena´ rovnicı´ z = 20 − − y 2 . V bodeˇ A = (2, 1) urcˇete gradient a jeho 4 velikost. ln sin(x + y) 7. Urcˇete definicˇnı´ obor funkce z = p . x − y2 8. Urcˇete druhou derivaci funkce y = f (x) dane´ implicitneˇ rovnicı´ x 2 + xy + y 2 = 3 v okolı´ √ bodu (0, 3 ).

Autotest 3

205

Autotest 3 x4 + y4 . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 2. Na grafu funkce f (x, y) = x 3 + y 3 najdeˇte bod, v neˇmzˇ je tecˇna´ rovina rovnobeˇzˇna´ s rovinou ρ : 12x + 3y − z = 0. 1. Vypocˇ´ıtejte limitu

lim

3. Oveˇrˇte, zˇe rovnice x 2 + xy + 2y 2 + x − y − 1 = 0 zada´va´ v okolı´ bodu (0, 1) implicitneˇ funkci y = f (x), a vypocˇteˇte f 0 (0). 4. Ma´ se zhotovit na´drzˇ dane´ho objemu V ve tvaru rotacˇnı´ho va´lce bez hornı´ podstavy. Prˇi jake´m pomeˇru jeho vy´sˇky h k polomeˇru dna r bude vy´roba nejlacineˇjsˇ´ı, stojı´-li plosˇna´ jednotka pla´sˇteˇ a Kcˇ, kdezˇto dna b Kcˇ, a, b > 0? 5. Transformujte diferencia´lnı´ vy´raz V : zxx + 5zxy + 6zyy − 2zx − 4zy = 0, kde z = f (x, y) ma´ spojite´ vsˇechny druhe´ parcia´lnı´ derivace, do novyćh sourˇadnic u, v, je-li u = y − 3x, v = y − 2x. 6. Nalezneˇte loka´lnı´ extre´my funkce z = 3xy − x 2 y − xy 2 . 7. Je dańa kvadrika 4x 2 − 9y 2 − 36z2 − 8x − 18y + 144z − 185 = 0. Urcˇete jejı´ typ, sourˇadnice strˇedu a velikosti poloos. 8. Napisˇte a nakreslete definicˇnı´ obor funkce z = arcsin[2y(1 + x 2 ) − 1].

-

Autotesty

206

Klıćˇ k autotestu 1 1. Nacˇrtneˇte a popisˇte definicˇnı´ obor funkce f : z =

√ y − x · ln (x 2 y).

Rˇesˇenı´. Pod odmocninou smı´ by´t pouze neza´porne´ cˇ´ıslo a prˇirozeny´ logaritmus je definovań pro kladna´ cˇ´ısla, proto musı´ by´t splneˇny na´sledujıćı´ dveˇ podmıńky: y−x =0 y=x

x 2y > 0 y>0

∧ ∧

∧

x 6= 0

D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0 ∧ y > 0 ∧ y = x}.

y

y=x

O

Obr. A.1: Definicˇnı´ obor funkce f : z =

x

√ y − x · ln (x 2 y)

N p 2. Najdeˇte a nakreslete vrstevnice vc funkce z = 1 − x 2 − y 2 a nacˇrtneˇte rˇezy rovinami x = 0, y = 0. Rˇesˇenı´. Protozˇe odmocnina je vzˇdy neza´porne´ cˇ´ıslo, pro c < 0 je vc = ∅. Pro c = 0 bude z = c:

c=

p 1 − x2 − y2

c2 = 1 − x 2 − y 2 x 2 + y 2 = 1 − c2 Z poslednı´ rovnice je zrˇejme´, zˇe hodnota parametru c musı´ by´t z intervalu h0, 1i, aby vc byla nepra´zdna´. Pro c =p 1 je vc = {(0, 0)} a pro c ∈ h0, 1) bude vc kruzˇnice se strˇedem v pocˇa´tku a polomeˇrem 1 − c2 — viz obr. A.2 a).

Klıćˇ k autotestu 1

207

Nynı´ urcˇ´ıme rˇezy rovinami x = 0, y = 0. x=0 p z = 1 − y2 z=0

z2 = 1 − y 2 z2 + y 2 = 1

Mnozˇinou rˇesˇenı´ je pu˚lkruzˇnice — obr. A.2 b).

y=0 p z = 1 − x2 z=0

z2 = 1 − x 2 x 2 + z2 = 1

Mnozˇinou rˇesˇenı´ je pu˚lkruzˇnice — obr. A.2 c).

y

z

1 x

−1

−1 1

O

z

1

y

−11

ˇ ez rovinou x = 0 b) R

a) Vrstevnice

O

1

x

c) Rˇez rovinou y = 0

Obr. A.2 N 3. Vypocˇ´ıtejte limitu funkce f : z =

xy v bodeˇ (0, 0). x2 + y4

Rˇesˇenı´. Zkusı´me se prˇiblizˇovat k pocˇa´tku po prˇ´ımkaćh y = kx, tj. po bodech (x, kx), x → 0. Pro k 6= 0 vyjde: kx 2 k = lim = k. 2 4 4 x→0 x + k x x→0 1 + k 4 x 2 lim

Limita dane´ funkce tudı´zˇ neexistuje, nebot’za´visı´ na smeˇrnici k, tj. na prˇ´ımce, po ktere´ se k bodu (0, 0) blı´zˇ´ıme. N 4. Najdeˇte parcia´lnı´ derivace prvnı´ho rˇa´du funkce f : z = x 3 y 2 − x 2 sin y + 2y . Rˇesˇenı´. zx = 3x 2 y 2 − 2x sin y,

zy = 2x 3 y − x 2 cos y + 2y ln 2.

N

Autotesty

208

5. Vypocˇteˇte parcia´lnı´ derivace druhe´ho rˇa´du funkce f : z = ln

x2 + 1 . y2 − 1

Rˇesˇenı´. Definicˇnı´ obor je D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : |y| > 1}. Na te´to mnozˇineˇ budou existovat i parcia´lnı´ derivace. zx =

y2 − 1 2x 2x · 2 = 2 , 2 x +1 y −1 x +1

−2y y 2 − 1 −2y(x 2 + 1) · = , zy = 2 x +1 (y 2 − 1)2 y2 − 1 zxx =

2 − 2x 2 2(x 2 + 1) − 2x · 2x = , (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2

zxy = zyx = 0, zyy =

−2(y 2 − 1) + 2y · 2y 2 + 2y 2 = . (y 2 − 1)2 (y 2 − 1)2

N

6. Nahrad’te funkci f : z = 3x 2 y +sin2 x +5y −2 Maclaurinovy´m mnohocˇlenem (tj. Taylorovy´m mnohocˇlenem v bodeˇ (0, 0)) trˇetı´ho rˇa´du. Rˇesˇenı´. Nejprve urcˇ´ıme funkcˇnı´ hodnotu v bodeˇ (x0 , y0 ) = (0, 0), tedy z(0, 0) = −2. Pote´ spocˇ´ıta´me vesˇkere´ potrˇebne´ derivace a opeˇt do nich dosadı´me bod (0, 0). zx = 6xy + 2 sin x cos x = 6xy + sin 2x, zy zxx zyy zxy zxxx zxxy zxyy

2

= 3x + 5, = 6y + 2 cos 2x, = 0, = 6x, = −4 sin 2x, = 6, = 0,

⇒

zx (0, 0) = 0,

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

zy (0, 0) = 5, zxx (0, 0) = 2, zyy (0, 0) = 0, zxy (0, 0) = 0, zxxx (0, 0) = 0, zxxy (0, 0) = 6, zxyy (0, 0) = 0.

Dostaneme: T3 (x, y) = −2 + 5y +

1 1 · 2x 2 + · 6 · 3x 2 y = −2 + 5y + x 2 + 3x 2 y. 2 6

7. Vysˇetrˇete loka´lnı´ extre´my funkce f : z = x 3 + y 3 − 18xy + 215. Rˇesˇenı´. Nejprve si spocˇ´ıta´me prvnı´ parcia´lnı´ derivace dane´ funkce. zx = 3x 2 − 18y, zy = 3y 2 − 18x.

N


209

Protozˇe existujı´ v R2 , mohou loka´lnı´ extre´my nastat pouze ve staciona´rnıćh bodech. Prvnı´ parcia´lnı´ derivace polozˇ´ıme rovny nule a urcˇ´ıme staciona´rnı´ body. 3x 2 − 18y = 0 3y 2 − 18x = 0 y=

x2 6

x4 − 6x = 0 36 x(x 3 − 63 ) = 0 x1 = 0, x2 = 6, dalsˇ´ı dva korˇeny budou komplexnı´. y1 = 02 /6 = 0 a y2 = 62 /6 = 6. Ma´me tedy dva staciona´rnı´ body A = (0, 0), B = (6, 6). Pro oveˇrˇenı´, zda v nich nasta´va´ cˇi nenasta´va´ extre´m, potrˇebujeme spocˇ´ıtat druhe´ parcia´lnı´ derivace. zxx = 6x, zxy = −18, zyy = 6y,

⇒ zxx (0, 0) = 0, ⇒ zxy (0, 0) = −18, ⇒ zyy (0, 0) = 0,

zxx (6, 6) = 36, zxy (6, 6) = −18, zyy (6, 6) = 36.

0 −18 = −182 < 0 . . . loka´lnı´ extre´m v bodeˇ A neexistuje, J (A) = −18 0 36 −18 = 362 − 182 > 0 . . . v bodeˇ B je loka´lnı´ extre´m. J (B) = −18 36 Protozˇe zxx (B) > 0, nasta´va´ v bodeˇ B loka´lnı´ minimum.

N

8. Najdeˇte rovnice tecˇny a norma´ly v bodeˇ A = (1, 1) ke grafu funkce y = f (x) dane´ implicitneˇ rovnicı´ xy + ln y − 1 = 0 v okolı´ bodu A. Rˇesˇenı´. Oznacˇme F (x, y) = xy + ln y − 1. Platı´ F (A) = 0, Fy = x + 1/y, tj. Fy (A) = 2 6= 0, takzˇe rovnice zada´va´ v okolı´ bodu A implicitneˇ jistou jednoznacˇneˇ urcˇenou funkci y = f (x). Pro urcˇenı´ tecˇny i norma´ly potrˇebujeme zna´t hodnotu prvnı´ derivace v dane´m bodeˇ. y + xy 0 +

1 0 y = 0, y −y y0 = x + y1

⇒

y 0 (1) = −1/2.

Nynı´ jizˇ jen dosadı´me do vzorce a obdrzˇ´ıme: 1 t : y − 1 = − (x − 1), 2 t : x + 2y − 3 = 0,

n : y − 1 = 2(x − 1), n : 2x − y − 1 = 0.

N

Autotesty

210

Klıćˇ k autotestu 2 1. Vypocˇteˇte prvnı´ parcia´lnı´ derivace funkce z = arctg

√ xy .

Rˇesˇenı´. Definicˇnı´ obor je D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}. √ 1 1 yx y y xy y −1/2 y−1 √ = zx = · · (x ) ·y·x = , 1 + xy 2 2x(1 + x y ) 2x(1 + x y ) x y √ x y ln x 1 1 y −1/2 y zy = · · (x ) · x · ln x = . 1 + xy 2 2(1 + x y )

N

2. Vysˇetrˇete loka´lnı´ extre´my funkce z = (x + y 2 ) ex/2 . Rˇesˇenı´. Funkce je spojita´ v R2 a ma´ zde spojite´ parcia´lnı´ derivace vsˇech rˇa´du˚. Loka´lnı´ extre´my mohou by´t pouze ve staciona´rnıćh bodech. Nejprve nalezneme staciona´rnı´ body, tj. vypocˇteme prvnı´ parcia´lnı´ derivace funkce z a polozˇ´ıme je rovny nule. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ tedy platı´: zx = ex/2 (1 + 1/2 x + 1/2 y 2 ),

zy = 2y ex/2 .

Rˇesˇenı´m soustavy rovnic 1 1 ex/2 1 + x + y 2 = 0, 2 2 2 y ex/2 = 0 dostaneme z druhe´ rovnice y = 0 a po dosazenı´ do prvnı´ rovnice x = −2, tj. jediny´ staciona´rnı´ bod A = (−2, 0). O tom, zda ve staciona´rnı´m bodeˇ je extre´m, rozhodneme pomocı´ znameńka determinantu fxx (x, y) fxy (x, y) . J (x, y) = fxy (x, y) fyy (x, y) Da´le tedy vypocˇteme druhe´ parcia´lnı´ derivace v bodeˇ A: 1 1 zxx = ex/2 1 + x + y 2 4 4 zxy = ex/2 y zyy = 2 ex/2

⇒ ⇒ ⇒

1 , 2e zxy (A) = 0, 2 zyy (A) = . e

zxx (A) =

Po dosazenı´ je J (x, y) = 1/e2 > 0, a proto v bodeˇ A nastane extre´m. Protozˇe zxx (A) > 0, jde o ostre´ loka´lnı´ minimum. N


211

3. Aproximujte funkci f (x, y) = x 3 + x 2 y − xy + 2y v bodeˇ A = (1, 0) Taylorovy´m mnohocˇlenem prvnı´ho a druhe´ho rˇa´du. Rˇesˇenı´. Pro na´hradu funkce Taylorovy´m mnohocˇlenem v bodeˇ A potrˇebujeme zna´t hodnotu funkce a hodnoty prvnıćh a druhyćh parcia´lnıćh derivacı´ funkce f (x, y) v bodeˇ A. z = x 3 + x 2 y − xy + 2y zx = 3x 2 + 2xy − y zy zxx zxy zyy

= x2 − x + 2 = 6x + 2y = 2x − 1 =0

⇒

z(A) = 1,

⇒

zx (A) = 3,

⇒ zy (A) = 2, ⇒ zxx (A) = 6, ⇒ zxy (A) = 1, ⇒ zyy (A) = 0.

Po dosazenı´ do vzorce (4.7) obdrzˇ´ıme T1 (x, y) = 1 + 3(x − 1) + 2y, T2 (x, y) = 1 + 3(x − 1) + 2y + 3(x − 1)2 + (x − 1)y. 4. Urcˇete rovnici tecˇne´ roviny τ a norma´ly n plochy z = sin

N

x v bodeˇ T = (π, 1, ?). y

Rˇesˇenı´. Tecˇna´ rovina ma´ rovnici τ : z = z0 + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ), norma´la n ma´ parametricke´ rovnice x = x0 + t fx (x0 , y0 ), y = y0 + t fy (x0 , y0 ), z = z0 − t.

t ∈ R,

V nasˇem prˇ´ıpadeˇ tedy platı´: z0 = sin π = 0 , 1 x zx = cos y y x x zy = − 2 cos y y

⇒

zx (π, 1) = −1,

⇒

zy (π, 1) = π.

Tecˇna´ rovina ma´ po u´pravaćh rovnici τ : z = −x + πy, norma´la ma´ parametricke´ rovnice n : x = π − t, y = 1 + πt, z = −t.

t ∈ R, N

Autotesty

212

5. Vypocˇteˇte va´zane´ loka´lnı´ extre´my funkce f (x1 , x2 ) = x1 x2 za podmıńky x12 + x22 = 2. Rˇesˇenı´. Jak funkce f (x1 , x2 ), tak funkce g(x1 , x2 ) = x12 + x22 − 2 z vazebne´ podmıńky majı´ derivace vsˇech rˇa´du˚ v cele´ R2 . Lagrangeova funkce ma´ tvar L (x1 , x2 , y0 , y1 ) = y0 x1 x2 + y1 (x12 + x22 − 2). Budeme prˇedpokla´dat, zˇe y0 = 0 pro minimum i maximum. Neza´vislost gradientu g 0 (x1 , x2 ) = (2x1 , 2x2 ) znamena´, zˇe je nenulovy´. Soustava rovnic 2x1 = 0 a 2x2 = 0 ma´ vsˇak jedine´ rˇesˇenı´ x1 = x2 = 0, ktere´ nevyhovuje vazebne´ podmıńce. To tedy znamena´, zˇe y0 je nenulove´, a lze volit y0 = 1. Derivace Lagrangeovy funkce pak je Lx0 (x1 , x2 , 1, y1 ) = (x2 + 2y1 x1 , x1 + 2y1 x2 ). Podle veˇty 8.2 mohou loka´lnı´ extre´my nastat pouze ve staciona´rnıćh bodech, ktere´ urcˇ´ıme z rovnic 2x2 + 2x1 y1 = 0, 2x1 + 2x2 y1 = 0, x12 + x22 − 2 = 0. Odtud dostaneme, zˇe y1 6= 0. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ bychom dostali x1 = x2 = 0, ale toto rˇesˇenı´ nesplnˇuje vazebnou podmıńku. Z nenulovosti y1 plyne, zˇe x1 6= 0 a x2 6= 0. Kdyby totizˇ naprˇ. x1 = 0, vysˇlo by z prvnı´ rovnice, zˇe x2 = 0, cozˇ je opeˇt spor s vazebnou podmıńkou. Platı´ tedy x2 x1 x1 y1 = − x2 y1 = −

⇒

x12 = x22 .

Odtud ma´me x2 = ±x1 . Tento vy´sledek dosadı´me do vazebne´ podmıńky a dostaneme (I) x2 = x1 (II)

x2 = −x1

⇒

2x12 = 2

⇒ x1 = ±1

⇒

y1 = −1,

⇒

2x12

⇒ x1 = ±1

⇒

y1 = 1.

=2

Celkoveˇ tedy ma´me cˇtyrˇi staciona´rnı´ body, a to A = (1, 1), B = (−1, −1), C = (1, −1) a D = (−1, 1). Da´le vypocˇteme druhou derivaci. Dostaneme 2y1 1 00 Lxx (x1 , x2 , 1, y1 ) = . 1 2y1 Nynı´ urcˇ´ıme vektory splnˇujıćı´ podmıńku hg 0 (x1 , x2 ), hi = 0. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ platı´ g 0 (x1 , x2 ) = (2x1 , 2x2 ).


213

Nejprve vysˇetrˇ´ıme body A a B, jimzˇ odpovı´da´ ta´zˇ hodnota multiplika´toru y1 = −1. Je g 0 (A) = (2, 2) = −g 0 (B). Pro h = (h1 , h2 ) obdrzˇ´ıme hg 0 (A), hi = 2 h1 + 2 h2 = 0 ⇒ h1 = −h2 , tj. h = (h, −h), h ∈ R. Pro B majı´ vektory splnˇujıćı´ hg 0 (B), hi = 0 stejny´ tvar. Tedy ! !

00 −2 1 h Lxx (1, 1, 1, −1), h = (h, −h) = −6h2 < 0 pro h 6= 0. 1 −2 −h Vy´sledek pro B je stejny´. V obou teˇchto bodech je proto podle veˇty 8.6 loka´lnı´ maximum. Jeho hodnota je f (A) = f (B) = 1. Podobneˇ pro body C a D, jimzˇ odpovı´da´ tata´zˇ hodnota multiplika´toru y1 = 1, je g 0 (C) = (2, −2) = −g 0 (D). Pak hg 0 (C), hi = 2 h1 − 2 h2 = 0 ⇒ h1 = h2 , tj. h = (h, h), h ∈ R. Pro D majı´ vektory splnˇujıćı´ hg 0 (D), hi = 0 stejny´ tvar. Tedy

00 2 1 h Lxx (1, −1, 1, 1), h = (h, h) = 6h2 > 0 pro h 6= 0. 1 2 h Vy´sledek pro D je stejny´. V obou teˇchto bodech je proto podle veˇty 8.6 loka´lnı´ minimum. Jeho hodnota je f (C) = f (D) = −1. N x2 6. Tereń je plocha urcˇena´ rovnicı´ z = 20 − − y 2 . V bodeˇ A = (2, 1) urcˇete gradient 4 a jeho velikost. Rˇesˇenı´. Pro vy´pocˇet gradientu stacˇ´ı vypocˇ´ıtat parcia´lnı´ derivace funkce z a oveˇrˇit, zˇe jsou spojite´ v bodeˇ A. x zx = − ⇒ zx (A) = −1, 2 zy = −2y ⇒ zy (A) = −2, tedy grad z = (−1, −2). p √ Pro jeho velikost platı´ k grad zk = (−1)2 + (−2)2 = 5. 7. Urcˇete definicˇnı´ obor funkce z =

N

ln sin(x + y) p . x − y2

Rˇesˇenı´. Prˇirozeny´ logaritmus je definovań pouze pro kladna´ cˇ´ısla, druha´ odmocnina je definovańa pro neza´porna´ cˇ´ısla, jmenovatel zlomku musı´ by´t nenulovy´. Odtud dosta´va´me pro urcˇenı´ definicˇnı´ho oboru dveˇ podmıńky: x − y2 > 0

∧

sin(x + y) > 0,

2

∧

2kπ < x + y < π + 2kπ, k ∈ Z,

x > y2

∧

2kπ − x < y < −x + π(1 + 2k), k ∈ Z.

x>y

Autotesty

214

D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x > y 2 ∧ 2kπ − x < y < −x + π(1 + 2k), k ∈ Z}. Definicˇnı´m oborem jsou plochy spolecˇne´ vnitrˇku˚m pa´su˚ mezi dvojicemi prˇ´ımek y = = −x + 2kπ, y = −x + π(1 + 2k) a vnitrˇku paraboly y 2 = x. y

π O

3π 2π

5π 4π

9π 10π

7π 6π

8π

x

sin(x+y) Obr. A.3: Definicˇnı´ obor funkce z = ln√ 2 x−y

N 2 2 8. Urcˇete druhou derivaci √ funkce y = f (x) dane´ implicitneˇ rovnicı´ x + xy + y = 3 v okolı´ bodu A = (0, 3 ). 2 2 Rˇesˇenı´. Oznac √ ˇ me F (x, y) = x + xy + y − 3. Platı´ F (A) = 0, Fy = x + 2y, Fy (A) = 2 3 6= 0, takzˇe rovnice implicitneˇ zada´va´ v okolı´ bodu A jistou jednoznacˇneˇ urcˇenou funkci y = f (x). Urcˇ´ıme prvnı´ derivaci:

x 2 + xy + y 2 = 3, 2x + y + xy 0 + 2yy 0 = 0, y 0 (x + 2y) = −2x − y, 2x + y . y0 = − x + 2y Prˇi vy´pocˇtu druhe´ derivace vyjdeme z rovnice 2x + y + xy 0 + 2yy 0 = 0, kterou jesˇteˇ jednou zderivujeme. 2 + y 0 + y 0 + xy 00 + 2(y 0 )2 + 2yy 00 = 0, y 00 (x + 2y) = −2 − 2y 0 − 2(y 0 )2 , y 00 =

−2 − 2y 0 − 2(y 0 )2 . x + 2y

Po dosazenı´ za y 0 obdrzˇ´ıme: y 00 =

−6(x 2 + xy + y 2 ) . (x + 2y)3

N


215

Klıćˇ k autotestu 3 1. Vypocˇ´ıtejte limitu

x4 + y4 . (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 lim

Rˇesˇenı´. Pro vy´pocˇet pouzˇijeme pola´rnıćh sourˇadnic, tj. x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. Dostaneme: ρ 4 (cos4 ϕ + sin4 ϕ) x4 + y4 = = ρ 2 (cos4 ϕ + sin4 ϕ). x2 + y2 ρ2 Protozˇe lim ρ 2 = 0 a 0 < cos4 ϕ + sin4 ϕ 5 2, tj. je to ohranicˇena´ funkce, platı´ podle ρ→0+

lemmatu 1.27, zˇe x4 + y4 = 0. (x,y)→(0,0) x 2 + y 2 lim

N

2. Na grafu funkce f (x, y) = x 3 + y 3 najdeˇte bod, v neˇmzˇ je tecˇna´ rovina rovnobeˇzˇna´ s rovinou ρ : 12x + 3y − z = 0. Rˇesˇenı´. Oznacˇme τ hledanou tecˇnou rovinu, jejı´ norma´lovy´ vektor ma´ sourˇadnice nτ = (3x 2 , 3y 2 , −1). Norma´lovy´ vektor roviny ρ ma´ sourˇadnice nρ = (12, 3, −1). Protozˇe je rovina τ rovnobeˇzˇna´ s rovinou ρ, jsou take´ rovnobeˇzˇne´ jejich norma´love´ vektory, tj. nτ = knρ , kde k ∈ R, k 6= 0. Tedy (3x 2 , 3y 2 , −1) = (12k, 3k, −k), z cˇehozˇ dostaneme k = 1. Porovnańı´m prvnıćh dvou slozˇek dostaneme 3x 2 = 12 a 3y 2 = 3, tj. x = ±2 a y = ±1. Rˇesˇenı´m budou cˇtyrˇi body A = (2, 1), B = (2, −1), C = (−2, 1) a D = (−2, −1). N 3. Oveˇrˇte, zˇe rovnice x 2 + xy + 2y 2 + x − y − 1 = 0 zada´va´ v okolı´ bodu (0, 1) implicitneˇ funkci y = f (x), a vypocˇteˇte f 0 (0). Rˇesˇenı´. Oznacˇme F (x, y) = x 2 + xy + 2y 2 + x − y − 1. Platı´ F (0, 1) = 0 a Fy = x + + 4y − 1, tj. Fy (0, 1) = 3 6= 0, takzˇe rovnice zada´va´ v okolı´ bodu (0, 1) implicitneˇ jistou jednoznacˇneˇ urcˇenou funkci y = f (x). Postup vy´pocˇtu derivace si uka´zˇeme obeˇma dveˇma mozˇny´mi zpu˚soby. Nejprve „prˇ´ımou derivacı´“ dane´ rovnice, pote´ za pomoci vzorce (7.1). 2x + y + xy 0 + 4yy 0 + 1 − y 0 = 0, y 0 (x + 4y − 1) = −1 − 2x − y, −1 − 2x − y y0 = , x + 4y − 1 1 + 2x + y y0 = , 1 − x − 4y 1+2·0+1 2 y 0 (0) = =− . 1−0−4·1 3

Autotesty

216

Postupujeme-li prˇi vy´pocˇtu podle vzorce, musı´me si nejprve spocˇ´ıtat prvnı´ parcia´lnı´ derivace dane´ funkce F (x, y) = x 2 + xy + 2y 2 + x − y − 1 a vypocˇ´ıtat jejich hodnotu v bodeˇ (0, 1). Fx = 2x + y + 0 + 1 − 0 − 0 = 2x + y + 1 Fy = 0 + x + 4y + 0 − 1 − 0 = x + 4y − 1 Fx 2x + y + 1 y0 = − =− , Fy x + 4y − 1 2 y 0 (0) = − . 3

⇒ Fx (0, 1) = 2, ⇒ Fy (0, 1) = 3,

N

4. Ma´ se zhotovit na´drzˇ dane´ho objemu V ve tvaru rotacˇnı´ho va´lce bez hornı´ podstavy. Prˇi jake´m pomeˇru jeho vy´sˇky h k polomeˇru dna r bude vy´roba nejlacineˇjsˇ´ı, stojı´-li plosˇna´ jednotka pla´sˇteˇ a Kcˇ, kdezˇto dna b Kcˇ, a, b > 0? Rˇesˇenı´. Obsah pla´sˇteˇ rotacˇnı´ho va´lce je dań vztahem S1 = 2πrh, obsah podstavy je S2 = πr 2 . Na´klady na na´drzˇ jsou tedy C = 2πrha + πr 2 b prˇi podmıńce V = πr 2 h. V a hledat minimum funkce jedne´ Z te´to podmıńky lze vyja´drˇit promeˇnnou h = πr 2 V 2V promeˇnne´ C(r) = 2πr 2 a + πr 2 b = a + πr 2 b, r > 0. Urcˇ´ıme staciona´rnı´ body πr r te´to funkce: 2V −2V a + 2πr 3 b a + 2πrb = = 0. r2 r2 r 3 aV Tato rovnice ma´ na intervalu (0, +∞) jediny´ korˇen r0 = . πb Da´le je C 0 (r) < 0 na intervalu (0, r0 ) a C 0 (r) > 0 na intervalu (r0 , +∞), tedy C(r) klesa´ na intervalu (0, r0 ) a roste na intervalu (r0 , +∞), tudı´zˇ r0 je bodem absolutnı´ho minima. Urcˇ´ıme vztah mezi promeˇnny´mi h a r. Po dosazenı´ za r0 do vztahu C 0 (r) = −

V h = r πr 3 dostaneme h0 V πb b = · = . r0 π aV a Nejmensˇ´ı na´klady na vodnı´ na´drzˇ tedy budou v prˇ´ıpadeˇ, zˇe pomeˇr vy´sˇky h k polomeˇru dna r bude b : a. N 5. Transformujte diferencia´lnı´ vy´raz V : zxx + 5zxy + 6zyy − 2zx − 4zy = 0, kde z = = f (x, y) ma´ spojite´ vsˇechny druhe´ parcia´lnı´ derivace, do novyćh sourˇadnic u, v, je-li u = y − 3x, v = y − 2x.


217

Rˇesˇenı´. Zrˇejmeˇ platı´ f (x, y) = f (v − u, 3v − 2u) = F (u, v) = F (y − 3x, y − 2x). Derivace vnitrˇnıćh slozˇek jsou: u = y − 3x v = y − 2x

⇒ ⇒

ux = −3, vx = −2,

uy = 1, vy = 1,

uxx = uxy = uyy = 0, vxx = vxy = vyy = 0.

Odtud po dosazenı´ do vztahu˚ (3.13) a (3.17) pro prvnı´ a druhe´ parcia´lnı´ derivace slozˇene´ funkce dostaneme: zx zy zxx zxy zyy

= −3Fu − 2Fv , = Fu + Fv , = 9Fuu + 12Fuv + 4Fvv , = −3Fuu − 5Fuv − 24Fvv , = Fuu + 2Fuv + Fvv .

Po dosazenı´ do zadane´ho vy´razu V obdrzˇ´ıme −Fuv + 2Fu = 0.

N

6. Nalezneˇte loka´lnı´ extre´my funkce z = 3xy − x 2 y − xy 2 . Rˇesˇenı´. Funkce ma´ parcia´lnı´ derivace vsˇech rˇa´du˚ v R2 , takzˇe loka´lnı´ extre´my mohou nastat pouze ve staciona´rnıćh bodech. Vypocˇteme prvnı´ parcia´lnı´ derivace zx a zy . zx = 3y − 2xy − y 2 , zy = 3x − x 2 − 2xy. Prvnı´ parcia´lnı´ derivace polozˇ´ıme rovny nule a spocˇ´ıta´me staciona´rnı´ body. y(3 − 2x − y) = 0, x(3 − x − 2y) = 0. ˇ esˇenı´m soustavy obdrzˇ´ıme cˇtyrˇi staciona´rnı´ body A = (0, 0), B = (1, 1), C = (3, 0) R a D = (0, 3). Pro oveˇrˇenı´, zda v nich nasta´va´ cˇi nenasta´va´ extre´m, potrˇebujeme spocˇ´ıtat druhe´ parcia´lnı´ derivace. zxx = −2y,

zxy = 3 − 2x − 2y,

zyy = −2x.

Hodnoty druhyćh parcia´lnıćh derivacı´ v bodech A, B, C, D jsou zxx (0, 0) = 0, zxy (0, 0) = 3, zyy (0, 0) = 0,

zxx (1, 1) = −2, zxy (1, 1) = −1, zyy (1, 1) = −2,

zxx (3, 0) = 0, zxy (3, 0) = −3, zyy (3, 0) = −6,

zxx (0, 3) = −6, zxy (0, 3) = −3, zyy (0, 3) = 0.

Hodnoty determinantu J (x, y) = zxx zyy − (zxy )2 jsou ve staciona´rnıćh bodech J (A) = −9 < 0 J (B) = 3 > 0 J (C) = −9 < 0 J (D) = −9 < 0

... ... ... ...

loka´lnı´ extre´m v bodeˇ A neexistuje, v bodeˇ B je loka´lnı´ extre´m, loka´lnı´ extre´m v bodeˇ C neexistuje, loka´lnı´ extre´m v bodeˇ D neexistuje.

Protozˇe zxx (B) < 0, nasta´va´ v bodeˇ B ostre´ loka´lnı´ maximum.

N

Autotesty

218

7. Je dańa kvadrika 4x 2 − 9y 2 − 36z2 − 8x − 18y + 144z − 185 = 0. Urcˇete jejı´ typ, sourˇadnice strˇedu a velikosti poloos. Rˇesˇenı´. Pokusı´me se odhadnout typ kvadriky. Vzhledem k tomu, zˇe rovnice obsahuje vsˇechny trˇi nezna´me´ v druhe´ mocnineˇ s ru˚zny´mi koeficienty a znameńky u druhyćh mocnin, pu˚jde bud’ o kuzˇel nebo o neˇktery´ hyperboloid. Rovnici tedy upravı´me na strˇedovy´ tvar a o vy´sledku rozhodneme podle hodnoty absolutnı´ho cˇlenu. 4x 2 − 9y 2 − 36z2 − 8x − 18y + 144z − 185 = 0, 4(x 2 − 2x) − 9(y 2 + 2y) − 36(z2 − 4z) = 185, 4(x − 1)2 − 9(y + 1)2 − 36(z − 2)2 = 36, (x − 1)2 (y + 1)2 (z − 2)2 − − = 1, 9 4 1 (x − 1)2 (y + 1)2 (z − 2)2 = −1. + + − 32 22 1 Jde tedy o dvojdı´lny´ hyperboloid se strˇedem v bodeˇ S = (1, −1, 2) a poloosami a = 3, b = 2 a c = 1, jehozˇ osa je rovnobeˇzˇna´ se sourˇadnicovou osou x. N 8. Napisˇte a nakreslete definicˇnı´ obor funkce z = arcsin[2y(1 + x 2 ) − 1]. Rˇesˇenı´. Funkce arkussinus je definovańa na intervalu h−1, 1i. Odtud dosta´va´me na´sledujıćı´ nerovnosti: −1 5 2y(1 + x 2 ) − 1 5 1, 0 5 2y(1 + x 2 ) 5 2, 0 5 y(1 + x 2 ) 5 1, 1 , 05y5 1 + x2 n Tedy D(f ) = (x, y) ∈ R2 : 0 5 y 5

protozˇe 1 + x 2 > 0 pro x ∈ R. 1 o . 1 + x2

Definicˇnı´m oborem je plocha ohranicˇena´ osou x a grafem funkce y =

1 . 1 + x2

y y= O

1 x 2 +1

x

Obr. A.4: Definicˇnı´ obor funkce z = arcsin[2y(1 + x 2 ) − 1] N

219

Literatura [1] Dosˇla´, Z. – Dosˇly´, O. Diferencia´lnı´ pocˇet funkcı´ vıće promeˇnnyćh. Skriptum. 3. vydańı´. Brno: Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta Masarykovy univerzity, 2006. iv, 144 s. ISBN 80-210-4159-5. [2] Dosˇla´, Z. – Dosˇly´, O. Metricke´ prostory. Skriptum. 3. vydańı´. Brno: Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta Masarykovy univerzity, 2006. 8+90 s. ISBN 80-210-4160-9. [3] Dosˇla´, Z. – Plch, R. – Sojka, P. Matematicka´ analy´za s programem MAPLE — Diferencia´lnı´ pocˇet funkcı´ vıće promeˇnnyćh. CD ROM. Brno: Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta Masarykovy univerzity, 1999. 424 s. ISBN 80-210-2203-5. [4] Dosˇly´, O. Za´klady konvexnı´ analy´zy a optimalizace v Rn . Skriptum. 1. vydańı´. Brno: Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta Masarykovy univerzity, 2005. viii, 186 s. ISBN 80-210-3905-1. [5] Fichtengol’c, G. M. Kurs differencial’nogo i integral’nogo iscˇislenija, dı´l I. 7. vydańı´. Nauka: Moskva, 1969. 607 s. [6] Fletcher, R. Practical Methods of Optimization. 2. vydańı´. Chichester: John Wiley & Sons, 1987. xiv, 438 s. ISBN 0-471-91547-5. [7] Jarnı´k, V. Diferencia´lnı´ pocˇet (I). 6. vydańı´. Praha: Academia, 1974. 391 s. [8] Jarnı´k, V.: Diferencia´lnı´ pocˇet (II). 3. vydańı´. Praha: Academia, 1976. 672 s. [9] Kuben, J. Linea´rnı´ programovańı´. Skriptum. 2. vydańı´. Brno: Vojenska´ akademie v Brneˇ, 2002. vi, 76 s. [10] Kuben, J.: Extrema´lnı´ u´lohy a optima´lnı´ rˇ´ızenı´. Skriptum. 2. vydańı´. Brno: Univerzita obrany, 2004. vi, 70 s. ISBN 80-85960-81-8. [11] Kuben, J. – Sˇarmanova´, P.: Diferencia´lnı´ pocˇet funkcı´ jedne´ promeˇnne´. Studijnı´ opora. Soucˇa´st projektu Operacˇnı´ program Rozvoje lidskyćh zdroju˚ cˇ´ıslo CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 Studijnı´ opory s prˇevazˇujıćı´mi distancˇnı´mi prvky pro prˇedmeˇty teoreticke´ho za´kladu studia. Ostrava: VSˇB–TU Ostrava, 2006. Dostupne´ z http://homel.vsb.cz/˜s1a64/cd/index.htm [cit. 2012-04-24]. Verze pro tisk ISBN 80-248-1192-8. vi, 346 s. Elektronicka´ verze ISBN 978-80-248-1304-2. 616 s.

220

Literatura

[12] Kurosˇ, A. G. Kurs vyssˇej algebry. 10. vydańı´. Moskva: Nauka, 1971. 432 s. [13] Nova´k, V. Diferencia´lnı´ pocˇet funkcı´ vıće promeˇnnyćh. Brno: Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta Univerzity J. E. Purkyneˇ v Brneˇ, 1983. 160 s. [14] Peschl, E. Analyticka´ geometrie a linea´rnı´ algebra. Praha: SNTL, 1971. 244 s. [15] Rektorys, K. a kol. Prˇehled uzˇite´ matematiky I, II. 5. vydańı´. Praha: SNTL, 1988. 1–607, 608–1138 s. [16] Sikorski, R. Diferencia´lnı´ a integra´lnı´ pocˇet. Funkce vıće promeˇnnyćh. Praha: Academia, 1973. 496 s. [17] Svoboda, K. Geometrie kvadrik. Skriptum. Praha: SPN, Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta Univerzity J. E. Purkyneˇ v Brneˇ. 1983. 62 s. [18] Sucharev, A. G. – Timochov, A. V. – Fedorov, V. V. Kurs metodov optimizacii. Moskva: Nauka, 1986. 328 s. [19] Vesely´, J. Za´klady matematicke´ analy´zy. Prvnı´ dı´l. Prvnı´ vydańı´. Praha: MATFYZPRESS, 2004. vi, 1-264, XI s. ISBN 80-86732-29-0. [20] Vesely´, J. Za´klady matematicke´ analy´zy. Druhy´ dı´l. Prvnı´ vydańı´. Praha: MATFYZPRESS, 2009. viii, 265-539, XI s. ISBN 978-80-7378-063-0. [21] Vetchy´, V. Sbı´rka u´loh z linea´rnı´ algebry. Skriptum. Brno: Vojenska´ akademie v Brneˇ, 1990. 98 s.

221

Rejstrˇ´ık A adherence mnozˇiny, 8 B Bernoulliova lemniska´ta, 157 bod hranicˇnı´, 5 hromadny´, 8 izolovany´, 8 staciona´rnı´, 123, 170 vneˇjsˇ´ı, 5 vnitrˇnı´, 5 D definicˇnı´ obor, 9 derivace funkce dane´ implicitneˇ, 148 parcia´lnı´, 159 mnozˇiny, 8 parcia´lnı´, 37 druha´, 44 n-te´ho rˇa´du, 44 slozˇene´ funkce, 79, 82 smı´sˇena´, 46 trˇetı´, 44 ve smeˇru, 50 druha´, 52 derivace funkce, 121 diferencia´l, 61 Frećhetu˚v, 61 silny´, 61 tota´lnı´, 61 druha´ derivace funkce, 121 dvojice rovnobeˇzˇnyćh prˇ´ımek, 188

rovnobeˇzˇnyćh rovin, 195 ru˚znobeˇzˇnyćh prˇ´ımek, 188 ru˚znobeˇzˇnyćh rovin, 195 dvojna´sobna´ prˇ´ımka, 188, 195 rovina, 195 dvojna´sobny´ bod, 188, 195 E elipsa, 188 elipsoid, 191 extre´m absolutnı´, 131 globa´lnı´, 131 loka´lnı´, 104, 120 ostry´, 104, 120 va´zany´, 139 F funkce diferencovatelna´, 61 dvakra´t, 122 dvakra´t spojiteˇ, 122 spojiteˇ, 121 Dirichletova, 145 hladka´, 104 inverznı´, 168 Lagrangeova, 167 regula´rnı´, 167 spojita´, 17 zadana´ explicitneˇ, 144 zadana´ implicitneˇ, 144 dvou promeˇnnyćh, 158 jedne´ promeˇnne´, 145 funkce rea´lna´

Rejstrˇ´ık

222

dvou rea´lnyćh promeˇnnyćh, 9 n rea´lnyćh promeˇnnyćh, 14 trˇ´ı rea´lnyćh promeˇnnyćh, 14 G gradient, 61 graf funkce, 12 H hessiań, 121 hladina, 13 hranice mnozˇiny, 6 hyperbola, 188 hyperboloid dvojdı´lny´, 191 jednodı´lny´, 191 J jednocˇlen, 116 K koeficient kvadraticke´ formy, 116 kruzˇnice, 188 kulova´ plocha, 191 kuzˇel, 191 kuzˇelosecˇka, 188 degenerovana´, 188 nedegenerovana´, 188 kvadraticka´ forma, 116 kvadraticka´ plocha, 189 kvadraticky´ va´lec, 194 kvadrika, 189 bodova´, 198 degenerovana´, 190 nedegenerovana´, 190 prˇ´ımkova´, 198 regula´rnı´, 190 singula´rnı´, 190 strˇedova´, 191 L Lagrangeu˚v multiplika´tor, 167 limita dvojna´, 24 dvojna´sobna´, 24

limita funkce dvou promeˇnnyćh, 15 linearizace, 73 linea´rnı´ cˇa´st prˇ´ıru˚stku, 72 M Maclaurinu˚v mnohocˇlen, 101 matice indefinitnı´, 117 kladneˇ definitnı´, 117 kladneˇ semidefinitnı´, 117 negativneˇ definitnı´, 117 negativneˇ semidefinitnı´, 117 pozitivneˇ definitnı´, 117 pozitivneˇ semidefinitnı´, 117 urcˇiteˇ definitnı´, 117 urcˇiteˇ semidefinitnı´, 117 za´porneˇ definitnı´, 117 za´porneˇ semidefinitnı´, 117 matice kvadriky, 189 maximum absolutnı´, 131 globa´lnı´, 131 loka´lnı´, 104, 120 ostre´, 104, 120 metricky´ prostor, 3 metrika, 3 minimum absolutnı´, 131 globa´lnı´, 131 loka´lnı´, 104, 120 ostre´, 104, 120 minor, 117 hlavnı´, 117 hlavnı´ rohovy´, 117 mnohocˇlen homogennı´, 116 n promeˇnnyćh, 116 mnozˇina ohranicˇena´, 6 otevrˇena´, 6 uzavrˇena´, 6 N nelinea´rnı´ cˇa´st prˇ´ıru˚stku, 72

Rejstrˇ´ık

norma, 4 norma´la, 70 normovany´ vektorovy´ prostor, 4 O okolı´ bodu v prostoru R trˇi, 9 v prostoru R n, 9 v rovineˇ, 4 omezenı´ funkciona´lnı´, 167 prˇ´ıme´, 167

223

mnohocˇlen, 95 vzorec, 96 tecˇna´ rovina, 69 rovnice, 70 tota´lnı´ diferencia´l funkce druhe´ho rˇa´du, 92 m-te´ho rˇa´du, 92 trˇetı´ho rˇa´du, 93 tvorˇ´ıcı´ prˇ´ımka, 198 U uza´veˇr mnozˇiny, 6

P parabola, 188 paraboloid elipticky´, 191 hyperbolicky´, 191 podmıńka vazebna´, 167 pola´rnı´ sourˇadnice, 20 poloosa, 193 pru˚meˇr aritmeticky´, 137 geometricky´, 137 pru˚meˇr harmonicky´, 137 prˇ´ıru˚stek neza´visle promeˇnne´, 60 za´visle promeˇnne´, 60

V va´lec elipticky´, 194 hyperbolicky´, 194 kruhovy´, 194 parabolicky´, 194 vazebna´ podmıńka, 140 vektorovy´ prostor, 2 veˇta Lagrangeova, 42 vneˇjsˇek mnozˇiny, 6 vnitrˇek mnozˇiny, 6 vrchol kvadriky, 191 paraboloidu, 193 vrstevnice, 13

R rovnice v norma´lnı´m tvaru kuzˇelosecˇky, 188 kvadriky, 191

Z zameˇnitelnost smı´sˇenyćh derivacı´, 46 zbytek v Tayloroveˇ vzorci, 96 zmeˇna absolutnı´, 73 relativnı´, 73

ˇ R rˇ´ıdıćı´ krˇivka, 194 S sedlo, 106 skala´rnı´ soucˇin, 3 staciona´rnı´ bod, 106 strˇed kvadriky, 191 T Tayloru˚v

Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry. univerzita v Plzni

Recommend Documents