TÉRBELI FOGAZOTT HAJTÓPÁROK GYÁRTÁSGEOMETRIAI VISZONYAINAK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE ÉS SZIMULÁCIÓJA. Ph.D. értekezés

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Gép- és Terméktervezés Tanszék

TÉRBELI FOGAZOTT HAJTÓPÁROK GYÁRTÁSGEOMETRIAI VISZONYAINAK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE ÉS SZIMULÁCIÓJA Ph.D. értekezés

Készítette: Groma István

[email protected]

Tudományos vezető: Dr. Bercsey Tibor

[email protected]

egyetemi tanár

Budapest 2010

Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, dr. Bercsey Tibornak az értekezés elkészítésében nyújtott segítségéért és útmutató tanácsaiért. Köszönetemet fejezem ki az Országos Tudományos Kutatási Alapprogramok szervezetnek, hogy a K 62875 számú kutatási szerződéssel doktoranduszi kutatásaimat a 3 év során anyagilag támogatta. Köszönet illeti a BME Gép- és Terméktervezés Tanszéken dolgozó kollégáimat, amiért kutatómunkám során különböző területeken szakmai segítséget nyújtottak. Külön megemlíteném dr. Horák Péter, dr. Karsai Géza, dr. Rick Tamás, dr. Krisch Róbert, Rádics János Péter, Vidovics Balázs, Magyar Balázs és Fábián Csaba konstruktív támogatását, közreműködését. Köszönöm dr. Laczik Bálintnak, dr. Balajti Zsuzsának, dr. Dudás Illésnek, dr. Dudás Lászlónak hasznos, a dolgozat színvonalát javító észrevételeit és szakmai tanácsait. Köszönöm továbbá a Nemzeti Kutatási és Technológiai Hivatalnak, amiért támogatta a „A Modeling Errors in Worm Gear Manufacture with Random Variables című szóbeli előadás a JSME International Conference on Motion and Power Transmissions konferencián” című pályázatomat, amely során színvonalas nemzetközi konferencián mutathattam be a disszertáció tárgyát képező eredményeket. Itt szeretném megköszönni a Fogaskerékgyár Kft. munkatársainak a disszertációban bemutatott és felhasznált fogazott elemek legyártását és a mérések elvégzését. Végül, de nem utolsó sorban, köszönetet mondok a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetemnek a disszertáció elkészítésére odaítélt rendszeres doktorjelölti ösztöndíjért.

1

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés

8

1.1. A kutatómunka tárgya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Az értekezés célja és megvalósítási módja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2. A szakirodalom áttekintése és elemzése

10

2.1. A fogazáselmélet kialakulása és fejlődése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. A csigahajtások története . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1. Fogazáselméleti kutatások Magyarországon . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. A hibaanalízis módszerei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1. A valószínűségszámítás és statisztika rövid története . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2. Fogazott elemek és hajtópárok hibaanalízise . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Fogazáselméleti alapok

16

4. Gyártási alakeltérések modellezése

19

4.1. Beállítási- és mérethibák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2. Zaj jellegű hiba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3. Egyesített leírásmód . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4. Valószínűségi gyártásgeometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

29

5.1. A fogazat ütése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2. Fogirányhiba

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3. Két közrefogott fogon mért többfogméret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.4. Profilhiba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.5. Alaposztáshiba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.6. Evolvens fogazat előállítása 0o -os Maag osztó-lefejtő eljárással . . . . . . . . . . 45

2

Ph.D. értekezés

Tartalomjegyzék

5.7. Az eredmények értékelése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

50

6.1. Csavarfelületek alakhibáit generáló számítógépes program bemutatása . . . . . . 57 6.2. Csavarfelületet generáló program alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7. Következtetések, összefoglalás

64

7.1. Tézisek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.2. Továbbfejlesztési irányok, lehetőségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Irodalomjegyzék

71

Szabványok és kézikönyvek jegyzéke

73

Mellékletek

74

A. Valószínűségi gyártásgeometriákat szimuláló MapleTM 13 program

75

B. Mérési eredmények részletezése

80

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

90

3

Ábrák jegyzéke

4.1. Normális eloszlású gyártási hiba méretszóródása . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2. Zaj jellegű gyártási hiba időbeli változása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3. A származtatott fogfelület reprezentációja egy folytonos leképezéssel a gyártási paraméterek felett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4. Gyártási paraméterek alakhibával rendelkező fogfelület implicit egyenletébe való behelyettesítésének általános menete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.1. A vizsgált hengeres fogaskerék számítógépes modellje . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2. Niles ZSTZ 315 C1 NDK gyártmányú fogköszörűgép működési elve . . . . . . . 31 5.3. Egyenes alkotójú köszörűkoronggal, elméletileg helyes legördítéssel kialakuló evolvens fogprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.4. Hengeres fogaskerék osztóköri ütésének vázlatos rajza a homloksíkkal párhuzamos mérési síkban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.5. A fogirányhiba modellezésének sematikus rajza, koordináta-rendszerek meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.6. Klingelnberg gyártmányú egyprofilos legördítőn mért profildiagram . . . . . . . 40 5.7. Evolvens fogazat profilhibájának szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.8. Elégtelen köszörűkoronggal, pontatlan legördítéssel kialakuló fogprofil . . . . . . 42 5.9. Evolvens fogazatok alaposztásának mérését lehetővé tevő geometriai tulajdonságot szemléltető ábra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.10. A 0o -os Maag osztó-lefejtő fogazási eljárás vázlata . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.11. A fog köszörülési vonalainak elméleti kezdőpontjai a fogaskerék homloksíkjában . 47 5.12. Evolvens profilú fogfelületek – véletlenszerűen kiválasztott hibatagok miatt kialakuló – hullámos köszörülési élekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.1. Körív profilú szerszám tengelymetszetben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.2. A koordináta-rendszer áttérés elemi lépéseinek vázlata . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.3. Köszörűkorong relatív mozgása során kialakuló konjugált felületek . . . . . . . . 55

4

Ph.D. értekezés

Ábrák jegyzéke

6.4. Egy elégtelen fogazatot bemutató felületmodell, ahol a fogmélység körkörösen változik a csiga tengelye mentén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.5. A véletlen mintából generált csavarfelület sűrűn lefedő háromszöglisták rendszere 58 6.6. A valószínűségi gyártásgeometria elemzéséhez kidolgozott általános algoritmus folyamatábrája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.7. A gyártási paraméterek tulajdonságait vezérlő, valamint a valószínűségi csavarfelületet előállító képernyő . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.8. A program által generált véletlen csavarfelület változatok nagy abszolút hibaértékek mellett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 B.1. max (Frr ) − min (Frr ) hisztogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

B.2. Fβr hisztogramok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

B.3. FvW r hisztogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 B.4. ff r hisztogramok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 B.5. ± max |fpbr | hisztogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 B.6. px hisztogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5

Jelölések jegyzéke

a a0 A b ∗ ca C [0, T ]

[mm] [mm] [mm] [mm]

d [mm] D

EXY f ff r fpbr fpxr Frr FvW r Fβr ~ G h ha h∗a hd hf hk ht ~ H (. . .) m M M ME p p pb px

[µm] [µm] [µm] [µm] [µm] [µm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm]

[mm] [mm] [mm]

A maximális kitérés általános jelölése. Kitérő tengelyű hajtópár tengelytávolsága. Amplitúdó általános jelölése harmonikus hullámok esetén. A hengeres fogaskerék foghossza. A fogasléc alakú szerszám fejhézag tényezője. A [0, T ] intervallum felett értelmezett folytonos függvények halmaza. A hengeres fogaskerék esetén az osztókör átmérője. A csavarfelületet generáló leképezés értelmezési tartománya. Az X-Y síkra vetítés mátrixa. Közelítési frekvencia. Profilhiba. Alaposztáshiba. Osztáshiba a csiga osztóhengerén. A fogazat ütése. A többfogméret ingadozása. Fogirányhiba. Egy valószínűségi gyártásgeometria általános jelölésmódja. A kúpos munkadarab hossza. := m (h∗a + x) Hengeres fogaskerék fejmagassága. A fogasléc alakú szerszám fejmagasság tényezője. A köszörűkorong működő felületének szélessége. A köszörűkorong működő felületének magassága. A köszörűkorong köríves profiljának a korong élétől számított középponttávolsága. A hengeres fogaskerék fogmagassága. A megmunkált fogfelület általános, implicit alakja. A hengeres fogaskerék modulja. Egy adott valószínűségi gyártásgeometriához tartozó véges, véletlen minta. Homogén lineáris transzformációk mátrixának általános jelölése. Konfidencia-intervallum. Gyártási paraméter általános jelölése. A hengeres fogaskerék osztása. A hengeres fogaskerék alaposztása. A hengeres csiga axiális osztása. 6

Ph.D. értekezés

Jelölések jegyzéke

Pˆ ∼ = f (x)

A Pˆ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az f (x) abszolút folytonos függvény. r [mm] A hengeres fogaskerék esetén az osztókör sugara. ra [mm] A hengeres fogaskerék fejkörének sugara. rax [mm] A köszörűkorong köríves profiljának sugara. rb [mm] A hengeres fogaskerék alapkörének sugara. rd1 [mm] A köszörűkorong működő felületének minimális sugara. rd2 [mm] A köszörűkorong működő felületének maximális sugara. rf [mm] A hengeres fogaskerék lábkörének sugara. rk [mm] A köszörűkorong köríves profiljának középponttávolsága a korong tengelyétől számítva. rmax [mm] A kúpos munkadarab maximális sugara. RN [.] (t) Hibával rendelkező gyártási paraméterek egységes leírásmódja. s Zaj esetén a bázisérték általános jele. S3 (t; . . .) Természetes köbös szplájn egy ponthalmaz felett a t paraméterrel kifejtve. t [s] Pillanatnyi megmunkálási idő. T, [T1 , T2 ] [s] Teljes megmunkálási idő, ill. teljes megmunkálási időtartam. vax (t) [mm/s] A szerszám tengelyirányú előtolási sebessége. vr (t) [mm/s] A szerszám sugárirányú kiemelési sebessége. W (2) [mm] 2 közrefogott fogon mért többfogméret. x (x1 , x2 ) A hengeres fogaskerék profileltolástényezője (kiskerék, nagykerék). 0 x [mm] := mx Fajlagos profileltolás. x0 , y0 , z0 [mm] A szerszám koordinátái indulási helyzetben, a munkadarab koordináta-rendszerében felvéve. z (z1 , z2 ) A hengeres fogaskerék fogszáma (kiskerék, nagykerék). α αk

α0 β γ0 Γ (t) δ (t) η

[rad] [rad] [rad] [rad] [rad] [rad]

λ [mm] ϕ [rad] ϕt [rad] Φ (x; µ, σ) ψ ω1 (t) ω2 (t)

Szignifikancia-szint. 0o osztó-lefejtő eljárással köszörült evolvens fogazat k. foghoz tartozó kezdőszöge a fogaskerék tengelyén elhelyezkedő koordinátarendszerben mérve. A hengeres fogaskerék alapprofilszöge. A hengeres fogaskerék foghajlásszöge. A kúpos munkadarab emelkedési félszöge. A csiga osztókúpján mért közepes emelkedési szög. A szerszám fogfelületre való döntésének szöge. q i h q 2 2 2 2 ∈ 0, rax − hk + 2hk hf − hf − rax − h2k Csavarfelület szabad koordináta változója. Hullámhossz általános jelölése. Harmonikus függvények esetén a fázis általános jele. := prbb Hengeres fogaskerék szögosztása. :=

[rad/s] [rad/s]

√1 σ 2π

Rx − (z−µ)2 2σ 2

e

−∞

dz Normális eloszlású valószínűségi változó el-

oszlásfüggvénye. ∈ [ 0, 2π ] Csavarfelület szabad koordináta változója. A munkadarab szögsebessége. A szerszám szögsebessége.

7

1. Bevezetés 1.1. A kutatómunka tárgya Az ipari fejlődés megkívánja az egyre pontosabb, jobb hatásfokú és nagyobb teherbírású hajtóművek kifejlesztését és előállítását, amelynek egyik feltétele, hogy – lehetőség szerint – a gyártás során a fogazat minél jobban megközelítse a matematikailag egzakt formát. A korábbi kutatások elsősorban, vagy az ideális fogazat tulajdonságainak vizsgálatával, vagy a gyártási elv elégtelenségéből adódó determinisztikus alakhibákkal foglalkoztak, vagyis a gyártás, ill. felhasználás során adódó sztochasztikus alakeltéréseket, alakváltozásokat csak kvalitatív módon (tűrések definiálása) vették figyelembe. A gyártási korlátok, nehézségek miatt a matematikai értelemben meghatározott geometria csak közelítőleg igaz egy megmunkált fogazatra. Az értekezés témája egy olyan matematikai modell, amely alkalmas az ilyen eltérések kezelésére és jól integrálódik napjaink számítógépes tervező és mérő rendszereinek alapmodelljéhez.

1.2. Az értekezés célja és megvalósítási módja A disszertáció célja egy olyan általános valószínűségi modell kidolgozása, amely illeszkedik a meglévő módszerekhez és képes matematikailag kezelni a megmunkálás során előforduló hibákat. Ennek érdekében a hajtópárok vizsgálatához, tervezéséhez korábban kidolgozott kinematikai módszert egy valószínűségi mezővel egészítettük ki, ahol a leképezési, gyártási mechanizmus paramétereit valószínűségi változók reprezentálják. A modell felépítésénél az alapvető geometriai ismereteken túl felhasználtuk a fogazáselmélet, és ezen belül a származtatáselmélet alapelemeit és megközelítési módját. Az új eredményekhez vezető kutatómunka során az információelmélet területéről származó ismeretekre is építettem. A fogaskerekek geometria leírását az ismert gyártástechnológia megoldások alapján végeztük el. A bevezetett valószínűségi mező alkalmazásával, a gyártásgeometria helyett egy ún. valószínűségi gyártásgeometriát kapunk, amelynek statisztikai jellemzői megegyeznek a gyártás során előállított, hajtópárokból álló mintáéval. Ebből adódóan, a módszer segítségével vizsgálhatóvá válnak a gyártás során megvalósuló fogazatok geometriai és kinematikai tulajdonságai. A modell verifikálásához egy Niles ZSTZ 315 C1 típusú fogköszörűvel megmunkált, egyenes fogú, evolvens profilú hengeres fogaskerék sorozat mérési adatait hasonlítottuk össze a modellen alapuló számítógépes szimuláció által előre jelzett eltérésekkel. A szimuláció során a 8

Ph.D. értekezés

1. Bevezetés

megközelítőleg ismert gépbeállítási pontosságokból indultunk ki. A modell felépítésénél, illetve vizsgálatához alapvető statisztika módszereket használtunk fel. A modell alkalmazhatóságának vizsgálatához implementáltunk egy számítógépes programot, amely kúpos- és hengeres csigák fogfelületéhez állít elő véletlen mintát a gépbeállítások, méretek és tűrések alapján. A kimenetként adódó mintán különböző analízisek végezhetők, valamint a gyártásgeometria mérhető jellemzői kiszámíthatók, amit egy esettanulmányon keresztül mutatunk be.

9

2. A szakirodalom áttekintése és elemzése 2.1. A fogazáselmélet kialakulása és fejlődése A gépekben alkalmazott hajtások között igen elterjedtek a fogaskerék hajtások. A fogaskerékhajtások az alakkal záró hajtások osztályába tartoznak, mivel a nyomaték átviteli módja a fogak közötti geometriai kényszerkapcsolaton alapszik. A fogaskerekek különféle kialakítása lehetővé teszi a forgómozgás átvitelét a tervezési gyakorlatban előforduló tengelyelrendezések között, éppen ezért elemi fogformájukat tekintve nagyon különbözőek lehetnek. A klasszikus, állandó áttétellel kapcsolódó fogaskerekek mellett napjainkban egyre több területen alkalmaznak nem kör alakú fogaskereket. A fogaskerékhajtások teherbírásának és pontosságának fokozása és a fogazás termelékenységének növelése újabb fogaskerékfajták feltalálásához vezetett. A gépgyártásban komoly erőfeszítéseket tettek a fogazógépek pontosságának növelése érdekében, egyre szélesebb körben elterjedtek a fogfelületek finom megmunkálásának módszerei: a köszörülés, a foghántolás és a tükrösítés. A fogaskerékhajtások szerkezetének és megmunkálásának előhaladását a fogazáselmélet kidolgozása és fejlődése tette lehetővé. A XVII- XVIII. században P. de La Hire, G. Desargues, C. É. L. Camus és P. V. Poncelet dolgozta ki a burkológörbék szerkesztését, amit ciklois profilú, hengeres fogaskerekek tervezésére használtak. Elsőnek L. Euler matematikus ajánlotta az evolvens fogprofil használatát [64], de a témában íródott publikációi sokáig feledésbe merültek, míg Karl Kutzbach német professzor újra közzé nem tette őket a XX. század elején. Tőle függetlenül, az evolvens fogazatok területén jelentős eredményeket ért el többek között F. Reuleaux, R. Willis, F. Redtenbacher, E. Buckingham, F. G. Altmann, H. F. Ketov, J. I. Diker, V. M. Kudrjavcev, V. A. Gavrilenko és I. A. Bolotovszkij, hozzájárulva ahhoz, hogy napjaink legelterjedtebb fogazatfajtájává váljon. A térbeli fogazatok elméletének alapjait T. Olivier francia geométer és H. I. Gohman orosz tudósok fektették le korai munkáikban a XIX. században. Olivier nagy érdemen, hogy elsőként alkalmazta a származtatófelületeket burkolófelületek képzésére, igaz, csupán elméleti burkolási kérdésekkel foglakozott [92]. Gohmannál találkozunk először azzal, hogy az analitikus modellt, már térbeli fogfelületek kapcsolódási viszonyainak vizsgálatához használja fel [52]. Gohman munkáját N. I. Kolcsin, ill. I. A. Freifeld folytatta. Kolcsin burkolófelületek görbületének meghatározásával foglalkozott, Freifeld nevéhez fűződik a lefejtő fogazószerszámok szükséges profiljának kiszámítása, kialakítása. A korszakban a fogazáselmélet területén kiemelkedő eredményeket értek el többek között A. F. Nikolaev, V. N. Kedrinszkij, K. M. Piszmanik, N. F. Kabatov, G. A. Lopato, M. G. Szegal, V. M. Deniszov és M. D. Zlotopolszkij. 10

Ph.D. értekezés

2. A szakirodalom áttekintése és elemzése

R. Willis a XIX. század közepén fogalmazta meg a síkgörbék érintkezésének általános törvényét (a kapcsolódás alaptétele), ami később a fogazáselmélet egyik alapvető posztulátuma lett. Gohman úttörő munkáját a szovjet V. A. Siskov, J. Sz. Davidov és különösen F. L. Litvin forradalmasította az ún. kinematikai módszer kidolgozásával [33, 32]. Az új módszer átvették D. W. Dudley, M. L. Baxter, H. Poritsky és O. Saary térbeli kapcsolódások vizsgálatához [16, 74]. A fogazáselmélet tenzor-módszerrel való kiegészítése elsősorban J. F. Moroskin, Sz. G. Kiszlicin, D. Mangeron, Cszsan Cü-Szjan és F. L. Litvin munkájának eredménye. A mozgás- és helyvektorok homogén-koordinátákkal történő leírása F. L. Litvinnél jelenik meg először. Térbeli fogazatok esetén az alámetszés elkerülése a kezdetektől indulóan komoly feladat volt, mellyel műveiben eredményesen foglalkozott I. I. Duszev, V. M. Vasziljev, M. L. Erihov és F. L. Litvin. A nagy teherbírású csavarkerekek geometriáját F. L. Litvin és V. V. Sulc dolgozta ki. Az ívelt profilú csigák kialakulásában nagy szerepe volt G. Niemannak, I. Sz. Krivenkonak, I. P. Bernackijnak és F. L. Litvinnek. A hengeres-kúpos kerekekkel elsősorban J. Sz. Davidov, K. A. Bogoljubszkij és L. J. Liburkin foglalkoztak [51, 33]. A gyártásgeometria tudománya az 1950-es évek végén indult virágzásnak elsősorban német mérnökök kezdeményezésére, amelyek közül kiemelkedik F. Bredendick, O. Kienzle és H. Weinhold munkássága [30, 73, 53].

2.2. A csigahajtások története Már az i. e. III. században Archimedesnél és alexandriai Heronnál megjelenik a csigahajtás ősének tekinthető hajtómű, a barulkon. Másik ókori forrás az i. e. I. században élő Vitruvius római építész, aki a hodométert1 publikálta. Később, a XVI. században az itáliai Francisco di Giorgio, valamint kortársa Leonardo da Vinci polihisztor fejlesztették tovább a csigahajtásokat. Az első, ipari méretekben való gyártást lehetővé tevő lefejtőmaró gép szabadalma Herman Pfauter mérnök nevéhez fűződik és a XIX. század legvégén (1897) jött létre. A csigahajtópárok igazi iparággá csak a XX. század közepétől váltak, mikor megjelentek az első nagy fordulatszámon üzemelő motorok, mivel ezekhez nagy áttételű, ugyanakkor kompakt hajtóművekre volt szükség. Csigahajtások esetén a működő fogfelület csavarfelületként írható le, amellyel először Robert Ball foglalkozott a XX. század elején a vektor-csavar fogalmának bevezetésével [79]. Vele egy időben Martin Disteli kitérő tengelyű fogaskerekeket vizsgált, az ő nevéhez fűződik a hajtáscsavar, ill. csavaraxoidok megfogalmazása [68]. Disteli elméleti munkásságát E. Wildhaber és J. Capelle ültette át a gyakorlatba. E. Wildhaber-nek köszönhetően sokáig az volt az uralkodó nézet, hogy az evolvens csiga megoldja a csigahajtás összes problémáját, ezért sokáig a kutatók kizárólag az evolvens csigával foglalkoztak. Az egyenes alkotójú csigák kinematikai tulajdonságait E. Buckingham és H. Ryffel fejlesztették tovább a szingularitások eliminálásával. Hengeres csigahajtóművekkel tudományos alapossággal G. Niemann, C. Weber és E. Heyer foglalkoztak a XX. század közepén, együtt dolgozták ki az ívelt profilú hengeres hajtópárt, amit 1

A hodométer a bérkocsik által megtett utat volt hivatott mérni az ókori Rómában. Egy kerékhez kapcsolt ütőfogas nagykerék forgatott egy hengeres kiskereket – így biztosítva a nagy áttételt –, ami minden elforduláskor egy golyót engedett az alsó tartályba. A tartályban összegyűlt golyókkal mérték a megtett távolságot.

11

Ph.D. értekezés

2. A szakirodalom áttekintése és elemzése

az 1950-es évektől kezdve gyártanak. Az ívelt profilú csiga a Flender gyártól a CAVEX nevet kapta. Az első globoid csigát az angol Hindley üzem gyártotta (1765), őt követte az USA-ban a Hughes és a Philips (1873), valamint Franciaországban a Crozef-Fourneyron (1884). Nagy jelentőséggel bír M. Cone egyesült államokbeli mérnök munkássága a terülten, az ő munkájának köszönhetően váltak a globoid hajtóművek teherbíróvá. M. Cone 1932-es szabadalma alapján, a Michigan Tool Co. amerikai gyárban megmunkált globoid hajtóművek sokáig a világ élvonalába tartoztak. Az áttétel és a teherbírás növelése érdekében dogozták ki a spiroid hajtást a Illionis Tool Works egyesült államokbeli gyárban F. Bohle vezetésével. A gyárban összegyűlt, spiroid hajtóművekkel kapcsolatot műszaki tapasztalatot később D. W. Dudley publikálta. A hipoid hajtóművek gyártása az 1920-as években alakult ki, a Gleason Works (USA) és az Oerlikon-Bührle egymással párhuzamosan álltak elő saját fogácsoló szerszámgéppel, ami alkalmas volt hipoid hajtóművek gyártására. Hipoid hajtópárt először a Ford autógyár épített be járműveibe. A hipoid fogaskerekek kialakulásához, fejlődéséhez nagyban hozzájárultak a palloid típusú ívelt fogú kúpkerekek, melyek gyártását a Klingelnberg (Németország) dolgozta ki. A XX. század végére a hipoid fogaskerékgyártás nagy fejlődésen ment keresztül, mivel elterjedtek a numerikus szabályozású, univerzális szerszámgépek [55]. A hipoid hajtóművek fogkapcsolódási viszonyainak vizsgálatára Theodore J. Krenzer dolgozott ki forradalmi módszert [91].

2.2.1. Fogazáselméleti kutatások Magyarországon Hazánkban a csigahajtóművekkel kapcsolatos kutatásokat Szeniczei Lajos kezdeményezte az ötvenes évek végén [86], aki egyben a konjugált felületpár gondolatát felvetette. Vele párhuzamosan evolvens és konvolut csavarfelületek kapcsolódási viszonyait Magyar József tanulmányozta [67]. Kiemelkedő eredményeket ért el a fogaskerék-hajtóművek, ezen belül is elsősorban sebességváltók fejlesztésében Botka Imre, amit a róla elnevezett díj is igazol. Fejlesztésivel javította a fogaskerekek gyártási minőségét, ill. teherbírásukat. Korszakos jelentőségű magyar nyelvű, fogaskerekekkel foglalkozó tankönyveket, ill. szakkönyveket írt Vörös Imre, valamint Erney György [28, 29]. A fogaskerék-bolygóművek területén végzett, iskolateremtő munkájával kiemelkedik Terplán Zénó akadémikus [90]. Lévai Imre fő területe a vonalfelületű, egymást keresztező tengelyű, valamint a hipoid hajtások voltak [65, 66]. Szerszámgépek mozgásleképezésének egységesített rendszerével, ill. mechanizmusok származtatásnak elméletével Tajnafői József [88, 89] foglakozott kitűnő eredményekkel. Globoid csigahajtások gyártástechnológiáját legkorábban Drobni József kutatta Miskolcon, az ő nevéhez fűződik a félig lefejtett köszörülhető globoid csigahajtás kidolgozása [21]. Bercsey Tibor globoid csiga és sík fogfelületű hiperbolikus kerék kapcsolódási viszonyait vizsgálta [9], később a toroidhajtások területén ért el eredményeket [10]. Sipos István jelentős eredményeket ért el új típusú globoidhajtások gyártása területén [83]. A Simon Vilmos által kidolgozott gyártástechnológia egyszerűsíti a globoid csigakerék gyártását, optimalizálja a súrlódási veszteséget, valamint javítja tribológiai tulajdonságait [82]. 12

Ph.D. értekezés

2. A szakirodalom áttekintése és elemzése

Spiroid hajtások gyártásgeometriájával Dudás Illéssel együttműködve Hegyháti József foglakozott [54], aki rendszerezte a geometriai-, kinematikai- és tribológiai kutatási eredményeket. Dudás László nevéhez fűződik az Elérés-modell, ami a kinematikai módszer alternatív megközelítése és kapcsolódó fogfelületek számítására alkalmas [25, 26]. A Elérés-modell numerikus realizációja a Surface Constructor nevű szoftver. Dudás Illés csigahajtások gyártásgeometriai, kapcsolódáselméletei és tribológiai problémáival foglalkozott, a csavarfelületek gyártásának átfogó fogazáselméletét dolgozta ki [22]. Eredményeket ért el csigahajtópárok fogkapcsolatának számítógépes modellezése, valamint spiriod hajtások optimalizálása területén. Csigahajtópárok kapcsolódás- és gyártáselméletét összefoglaló könyve nemzetközileg elismert [24]. A körívprofilú csigák kenési tulajdonságait Horák Péter elemezte [56, 11]. Dudás Illés munkáját később Balajti Zsuzsanna egészítette ki, elsősorban a hordkép elemzés területén [6]. Különös kutatási terület a belső csigás hajtások fejlesztése, amivel többek között Pay Eugen és fia Páy Gábor László foglalkoztak [77]. Bakondi Károly fogazott elemek szerszámozását vizsgálta [5]. Általános gyártásgeometriával hazánkban és külföldön is elismerten Drahos István foglalkozott [18, 19, 20].

2.3. A hibaanalízis módszerei 2.3.1. A valószínűségszámítás és statisztika rövid története A valószínűségszámítás korai előfutára volt Gerolamo Cardano (1501–1576), aki szerencsejátékokról írt művében már használja a valószínűség fogalmát [37], amit a kedvező és a lehetséges kimenetelek arányaként határoz meg. A könyvet csak 1663-ban, poszthumusz publikálták. A valószínűségszámításra nagy hatással volt a XVII. században Blaise Pascal (1623-1662) és Pierre de Fermat (1601-1665), két francia matematikus levelezése, akik egy korukban népszerű pisztolypárbaj igazságos fegyverelosztását számították ki. Az kidolgozott koncepciót és az eredményeket csak 1679-ben publikálták, amit megelőzött egy holland matematikus, Christiaan Huygens szerencsejátékokról szóló könyvével, amit az első publikált, valószínűségszámítással foglalkozó munkának tekintünk [14]. Huygens művében matematikai precizitással bevezeti a várható érték fogalmát. Huygens gondolatait később Johann de Witt (1625-1672) folytatta, aki elődeivel ellentétben, már túllépett a szerencsejátékok elemzésén és társadalmi problémák vizsgálatára használta fel az új módszert. A XVIII. században és később nagy jelentőséggel bírt Jakob Bernoulli (1654-1705) halála után publikált tanulmánya [61]. Bernoullit a bizonyítékok hitelességének számszerűsítése motiválta és először fogalmazta meg a nagy számok törvényét. Az enciklopédista Jean D’Alembert (1717-1783), aki a himlő elleni oltás kockázatát elemezte, Bernoulli megközelítését túlságosan elméletinek találta, mivel modellje nem veszi figyelembe sem a morális, sem a pszichológiai tényezőket. Abraham de Moivre a XVIII. században átfogó könyvet írt a valószínűségszámítás témakörében [1]. A könyvet az akkori szerencsejátékosok előszeretettel forgatták. 13

Ph.D. értekezés

2. A szakirodalom áttekintése és elemzése

A statisztikai hibaanalízis először Roger Cotes-nál jelenik meg [80], amit elsőként Thomas Simpson alkalmaz mérési eredmények vizsgálatához 1756-ban publikált tanulmányában. Daniel Bernoulli (1700–1782) elsősorban valószínűségszámításon alapuló kockázatelemzéssel foglalkozott [17]. Elméletét a gyakorlatban 1766-ban a himlő elleni oltás kockázati elemzésénél alkalmazta. Meg kell még említeni az olasz születésű francia matematikust, Joseph Louis Lagrange-ot (1736–1813), aki sikerrel alkalmazta a függvényanalízis eszközeit a valószínűségszámítás területén. Az ismert francia matematikus, Pierre-Simon, marquis de Laplace (1749–1827) a mérési eredmények szóródását már a valószínűségszámítás keretei között vezette le. 1812-ben kiadott tanulmánya nagy hatással volt a valószínűségszámítás fejlődésére [76]. Adolphe Quetelettől (1796-1874) származik az „átlagember” fogalma, ami a modern szociológia egyik alapgondolata és a bűnözési-, reprodukciós-, öngyilkossági- stb. statisztikák alapja. A függvényillesztéshez kidolgozott legkisebb négyzetek módszerét, három szerző, egymástól függetlenül dolgozta ki: Adrien-Marie Legendre (1805), Robert Adrain (1808) és Carl Friedrich Gauss (1809). Augustus De Morgan (1806-1871) angol matematikus külön esszében foglalkozik a valószínűségszámítással [4]. A valószínűségszámítás területén szerzett ismeretei hatással voltak a később általa kidolgozott matematikai logikára. Az amerikai Charles S. Peirce (18391914) munkássága során formalizálta a modern statisztikát és hipotéziselméletet [12, 13]. Nála erőteljesen érződik a valószínűség relatív gyakoriság alapú interpretációja, ami szakítást jelentet a klasszikus szemlélettel (Laplace, De Morgan), aki a bizonyosság mérőszámának tekintette a valószínűséget. Az orosz származású Pafnutyin Lvovich Csebisev (1821–1894) is nagyban hozzájárult a valószínűségszámítás fejlődéséhez [75]. Ő dolgozta ki többek között, a róla elnevezett Csebisevegyenlőtlenséget, valamint saját módszere volt egy adott vizsgálati tartományban előforduló legnagyobb hiba minimalizálása. Csebisev doktorandusza, Andrei Andreyevich Markov (1856–1922) a sztochasztikus folyamatok területén ért el jelentős eredményeket, róla kapták a nevüket az ún. Markov-láncok [2]. Művének német fordítása nagy sikereket ért el NyugatEurópában. A nagy orosz elődök követőjeként Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987) nevéhez fűződik a valószínűségszámítás axiomatikus felépítése, ami a modern valószínűségszámítás alapja [3]. Kolmogorov az információelméletben is jelentős eredményeket ért el. Az információelméletet Claude E. Shannon (1916–2001) alapozta meg, ő vezette be az informatikai entrópia fogalmát [15]. Az információelméletet kezdetekben a hírközlés területén alkalmazták, később több területen is sikeresnek bizonyult, így a méréstechnika, ill. gépgyártás területén is [63].

2.3.2. Fogazott elemek és hajtópárok hibaanalízise A térbeli fogaskerekek pontossági kérdéseivel alapvetőn kevés publikáció foglalkozik, a kevés kivételt orosz mérnökök munkái adják [32]. A szerkezetek pontosságával fogalakozó művek egyik korai példánya az orosz Sz. T. Zuckerman tanulmánya, ami gyártási-, szerelési- és a rugalmas alakváltozással járó hibák vizsgálatával foglalkozik [84]. Hengeres fogaskerekek pontossági kérdéseit, kimerítő részletességgel N. A. Kalasnyikov, Nyikolaj G. Bruevics és O. I. Bloh művei tárgyalják [70, 72]. A kinematika módszer alkalmazásának lehetősége térbeli fogazatok hibáinak vizsgálatához V. A. Siskov cikkeiben merül fel [94]. Kúpkerekek pontossági kérdéseivel N. I. Kolcsin írásaiban találkozunk [71].

14

Ph.D. értekezés

2. A szakirodalom áttekintése és elemzése

A hengeres fogaskerekek fogazási hibaanalízisének modern módszertanához német kutatók is nagyban hozzájárultak, a teljesség igénye nélkül megemlítjük G. Berndt, W. Höfler, E. Hultzsch, W. Dreyhaupt, W. Beyer és R. Wittekopf ide tartozó munkáit [35, 97, 27, 96, 95]. A Gépgyártás-technológia modern felfogásával, a technológia és a minőség kapcsolatával, összefüggéseinek bemutatásával és az MKGS rendszer2 elemzésével találkozunk többek között Dudás Illés átfogó szakkönyvében [23], valamint Szegh Imre összefoglaló jegyzetében [85]. Hengeres fogaskerekek gyártási és szerelési pontossági kritériumainak egységesítésére a XX. század közepétől léteznek hazai- és nemzetközi szabványok. Hazánkban korábban a KGSTs szabványok voltak a mérvadóak [30, 28, 27], az nyugat-európai országokban a DIN szabványok terjedtek el [12, 13, 10, 11, 9, 6, 7, 8, 5], a tengerentúlon az ANSI/AGMA szabványai vannak használatban [3, 2, 1]. A korábbi DIN szabványokat napjainkban többnyire a nemzetközi ISO szabványok váltják fel [17, 15, 16, 22, 24, 20, 21, 18, 19].

2

Munkadarab-Készülék-Gép-Szerszám

15

3. Fogazáselméleti alapok Alakkal záró hajtóművek esetén a hajtópár fogfelületeinek geometriája nagyban befolyásolja a hajtás minőségét (teherbírás, hatásfok, kinematikai pontosság stb.). Éppen ezért, a minél kisebb tűrésmezővel rendelkező fogfelületek tervezése és gyártása régóta foglalkoztatja a mérnököket. Míg a párhuzamos, vagy keresztező tengelyű hajtásoknál a hajtópár lefejtése egyszerűen megvalósítható, kitérő tengelyű hajtások gyártása nehezebb feladat. Általános térbeli hajtópár fogfelülete képezhető hiperboloid-, ill. Capelle-féle platoid-elvű lefejtéssel, valamint ún. félig lefejtett eljárással [66, 60]. A hiperboloid elv lényege, hogy egy szerszámfelületen csúszásmentesen legördítünk adott hiperboloidokhoz (másodrendű felület) kötött fogfelületeket. Megfelelő szerszámfelület megválasztásával biztosítható, hogy a generált fogfelületek vonal mentén kapcsolódjanak. A platoid-elvű megmunkálás a munkadarab egyenletes forgására és a szerszámtartó fej egyenletes csavarmozgására épül. A félig lefejtett eljárás során az egyik fogaskerék veszi át a szerszám szerepét, ami nem lefejtéssel, hanem profilozással készül. A hajtópár másik tagja lefejtéssel készül a szerszám szerepét betöltő profilozott fogfelületen úgy, hogy a kerekek üzemi tengelyállításának megfelelően, relatív mozgásba hozzuk a hajtópárt. A síkbeli-, ill. térbeli hajtópárok kialakításának nehézségei szükségessé tették a fogazáselmélet kifejlődését, ami a bonyolult fogfelületek elméletei leírásának, valamint az adekvát módon működő szerszámgép fejlesztésének a tudománya. A fogazáselmélet alapját képező kölcsönös burkolófelületek (konjugált felületek) alapgondolata Oliviernél jelenik meg [92]. Ezt a megközelítést később Gohman folytatta tovább, aki megalkotta a térbeli kinematikai geometriára épülő analitikai fogazáselméletet [52]. Az általa kidolgozott módszer egyszerűsítette a konjugált felületek érintkezési vonalainak számítását, amelyek a differenciálgeometriában elfogadott módszereken alapultak. Gohman számítási módszerei így is elég bonyolultak és nehezen alkalmazhatóak voltak, ami Litvint és társait a kinematikai módszer kidolgozására sarkallták [33]. A kinematikai módszer alapgondolata, hogy az egymást burkoló felületek viszonylagos elmozdulásvektorának meghatározásánál felhasználásra kerülnek a kinematikában (merev testek térbeli mozgása) alkalmazott módszerek. A módszer magját a kapcsolódás alaptörvénye adja, ami a következőket mondja ki [32]: Az egymást kölcsönösen burkoló fogprofilok érintkezési pontjaiban a viszonylagos elmozdulás sebességvektorának merőlegesnek kell lennie a fogfelületek közös normális vektorára. A törvény következménye, hogy a kapcsolódó felületek sebességkülönbségei a felületek érintősíkjába eső csúszással egyenlítődnek ki. A kapcsolódási tétel egyaránt igaz egy-, ill. kétparaméteres burkolás esetén is. A kapcsolódás alaptörvényét további törvényekkel szokás kiegészíteni, amelyek a felületi normálvektorok irányára, a sebességek normálvektor irányú vetületeinek azonos értékére, a kapcsolódási pontvándorlás sebességére, valamint az alámetszés elkerülésére vonatkoznak. A Tajnafői-féle származtatáselmélet szintén a kapcsolódás alaptörvényeiből indul ki [10, 89]. A származtatáselmélet túllép a korábbi, térbeli konjugált felületeken alapuló meg16

Ph.D. értekezés

3. Fogazáselméleti alapok

közelítésen, és az általánosabb mozgásleképezés alapgondolatából indul ki. A szerszám működő felületét (akár felülettel, akár éllel rendelkezik) általánosan származtató felületnek, a szerszám által metszett térrész burkolófelületét pedig munkadarab felületnek nevezi. A szármatató felületet egy tökéletesen merev, kopás-, hőtágulás- és súrlódásmentes elméleti szerszámfelületnek tekinti. A munkadarab felület a származtató felület, valamint a szerszámgép és a munkadarab közötti relatív elmozdulások rendszere alapján áll elő. A relatív mozgásokat együttesen leképezésnek, a mozgások kinematikai jellemzőit pedig relatív mozgásinformációnak nevezi. A mozgásinformáció azért szerencsés kifejezés, mert a megközelítés egyik központi gondolatát az információelmélet motiválta. A megmunkálás során a szerszámgép „közli” az általa hordozott információkat a megmunkált felülettel a leképezés során egy folytonos csatornán keresztül. Itt megjelennek a tapasztalat alapján feltételezett szerszámhibák, mint a teljes információhalmaz elkülöníthetetlen részei. Ezek a hibák aztán továbbterjednek a megmunkált felületre. Hasonló felfogással találkozunk Kaposvári Zoltán munkáiban, aki egyszerű mechanizmusok (főleg csuklós mechanizmusok) pontossági vizsgálata során alkalmazta az információelmélet – többek között C. E. Shannon által kidolgozott – alapjait [63]. A relatív mozgásinformációk feloszthatóak statikus, ill. dinamikus mozgásinformációkra. A statikus mozgásinformációk az állandóan ható információk (pl. az alapprofilszög), a dinamikus mozgásinformációk pedig a leképezés során változnak (pl. a szerszám és a munkadarab távolsága). A leképezés során a megmunkált felületre származtatott mozgásinformációk a fogkapcsolódás során visszaképződnek a hajtómű mozgására. Fontos, hogy a visszaképzett információk relatív és nem abszolút mozgásinformációk, így szerelési pontatlanság esetén szintén pontatlan mechanizmust kapunk. Kivételes eset, mikor a hajtópár mindkét eleme ugyanazzal a szerszámmal készül, ilyenkor az azonos mozgásinformációk, valamint a kapcsolódás alaptörvényei együtt segítik a helyes fogkapcsolódást (pl. evolvens fogazat). Bizonyos fogfelületek esetén ez nem járható út (pl. hipoid hajtópár), ilyenkor a hajtópár tagjaihoz tartozó, eltérő származtató felületeket közvetlenül profilozással állítjuk elő úgy, hogy a lehető legteljesebb módon kapcsolódjanak egymáshoz. Az előbbi az ún. közvetlen-, az utóbbi a közvetett mozgásleképezés módszerével gyártott hajtópárok esete. Természetszerű törekvés a hajtópárok tervezése során, hogy a folyamatos vonal menti kapcsolódás megvalósuljon a fogkapcsolódás során, azonban a valós gyártási eljárások nehezen tudják ezt biztosítani. Éppen ezért napjainkban már inkább a pont menti érintkezésre törekszenek. A vonal menti kapcsolat sérülését valójában a gyártási eljárás beállítási pontosságának korlátaiból adódó alakhibák1 okozzák, amelyek a leképezés szabálytalanságából, a megmunkált felület érdességéből, hullámosságából, esetleg burkolt poligont képző lefejtés esetén a közelítés hibájából stb. származhatnak. A különböző eredetű hibák együtt jelentkeznek és fejtik ki hatásukat a megmunkált felületre. A statikus mozgásinformációk eltérései általánosan jelentkező, determinisztikus alakhibákat eredményeznek, amelyek az egész gyártott sorozatra jellemzőek (pl. alapkörhiba). Ezen túl léteznek sztochasztikus hibák, amelyek munkadarabonként, előre nem meghatározható módon jelentkeznek (pl. hullámosság) és a dinamikus mozgásinformációkhoz köthetők. Minden olyan leírható hibaforrást, amely a matematikailag egzakt felülettől való eltérést eredményez és a gyártási eljárás során valószínűsíthető, általánosan hibatagnak fogjuk nevezni. Amennyiben ismert a szerszám- és a fogfelület (származtató- és megmunkált felület) közötti érintkezési görbe, az lehetővé teszi ezen felületek geometriai meghatározását. Direkt feladatnak nevezzük, amikor adott fogfelülethez tervezünk szerszámot, indirekt feladatnak alatt 1

A gépgyártási terminológiától eltérően, az egyszerűség kedvéért alakhibának nevezünk a megengedett tűrésen belüli eltéréseket is.

17

Ph.D. értekezés

3. Fogazáselméleti alapok

pedig azt értjük, amikor az ismert szerszám által kialakított fogfelületet határozzuk meg [6, 22]. Gyártásgeometriai hibák vizsgálatánál mindig egy alkalmazott megmunkálási eljárás származtatáselméleti modelljéből indulunk ki – ami nyilvánvalóan egy előre meghatározott fogfelület előállítására van kialakítva –, és határozzuk meg a végleges gyártásgeometriát, vagyis indirekt feladatokat vizsgálunk. Indirekt feladat esetén lehetőség van beépíteni a modellbe a szerszámgép hibáit, a pontatlan gépbeállításokat, ill. megmunkálási zajokat. A szerszám működő felülete – mint származtató felület –, illetve a leképezés során adódó mozgáspálya – mint relatív mozgásinformáció – matematikailag egyértelműen meghatározott, azonban tökéletesen pontosan nem valósítható meg. Itt kap szerepet a szerszám profilhibája, a kinematikai lánc áttételhibája, a megmunkálás során kialakuló mechanikai rezgések, pontatlan gépbeállítás stb. Ahhoz, hogy ezeket a hibákat be lehessen építeni a modellbe, fontos, hogy a leképezést a szerszámgépben valóságban végbemenő mozgások alapján írjuk le. Ez azt jelenti, hogy a relatív mozgásinformációkat egy olyan rendszerben írjuk fel, ami jól illeszkedik a szerszámgép kinematikai láncához. Ugyanazt a pályagörbét (pl. evolvens, ciklois stb.) ugyanis több, egymással ekvivalens módon is lehet formalizálni, hibatagok bevezetése szempontjából azonban mindig az alakítási mechanizmus közeli leírásmód a célravezető. A fogfelületen mérhető hibák ezen mechanizmus kinematikai hibáinak a következményei (ebbe beleértendők a befogási, pozicionálási pontatlanságok is). Az alakeltérés, vagy pontatlan gépbeállítás bevezetésének az egyik lehetséges módja az alábbi, linearizált formában történő konkrét, számszerűen meghatározás: p = p0 + δp.

(3.1)

A 3.1-es képlet szerint δp ismert, vagyis numerikusan meghatározott az elméleti és a valódi jellemző közti eltérés. Maga a linearizált hibatag nem kifejező, nem modellezi jól a valóságot, ráadásul minden egyes leképezés esetén más és más értékkel kell számolni. Ezzel szemben, a hibatagok lineáris formában való felírása a különböző analízisek során könnyen kezelhetővé teszi a hibákat. Munkánk során egy olyan modellt alakítottunk ki, amely egyrészt figyelembe veszi δp határozatlanságát, ill. alkatrészenkénti eltéréseit, másrészt alkalmazása visszavezethető numerikus hibatagokon alapuló számításokra.

18

4. Gyártási alakeltérések modellezése A gyártási alakhibák általában a gyártási paraméterek hibájára, pontatlanságára vezethetők vissza, de származhatnak a felhasznált szerkezeti anyag tulajdonságaiból is, ezért sztochasztikusak. Egy gyártásgeometriát egyrészt az alaksajátosságok, másrészt a gyártásgeometriát egyértelműen meghatározó mérethálózat jellemzik. A méreteket a tervezés során mindig tűréssel ellátott numerikus értékkel határozzuk meg, bizonyos szabványos alkatrészek esetén léteznek tömör leírásmódok (pl. metrikus csavarok). A méretek tűrésezésére azért van szükség, mert a 100%-ig pontos gyártás megvalósíthatatlan és általánosan igaz, hogy a megmunkálás költsége a pontossággal exponenciálisan nő. A tervezés során tehát szükséges figyelembe venni a legyártott alkatrészek szóródását és meg kell határozni a selejtekhez tartozó küszöböket. A küszöb meghatározásakor kiemelten figyelembe kell venni a gyártási technológia korlátait, illetve az alkatrésszel, vagy annak egy alaksajátosságával szemben támasztott funkcionális követelményeket. A fogfelületek fokozott pontossága mind a hajtás élettartama, mind hatásfoka szempontjából fontos. A lefejtéssel, ill. a félig lefejtett eljárással készülő fogfelület minőségét egyrészt a szerszám mérethibái, másrészt a lefejtés során végzett mozgáspálya eltérések határozzák meg. Ehhez adódhatnak még a szerkezeti anyag hibái, illetve a hőkezelés, felületképzés során kialakuló makróhibák, amelyek kétségkívül eltérésként jelentkeznek, de modellünkben – makroszkopikus volumenük miatt – eltekintünk tőlük. Annál fontosabbak a lefejtésre jellemző mozgások kinematikai jellemzői (sebességek, gyorsulások, irányítás). A kinematikai jellemzőket, a méretekhez hasonlóan, numerikus formában adjuk meg és ezeket is egy pontossági tartományon belül tartjuk, viszont itt figyelembe kell venni, hogy értékük az időben (a lefejtés során) ingadozhat. A geometriát leíró méretekben és a kinematikai jellemzőkben közös, hogy mérhető mennyiségek . Értéküket sorozatos méréssel, adott pontosságig becsülni lehet. A modellünkben ezeket a mennyiségeket nem numerikus értékként, hanem valószínűségi változóként fogjuk fel, a mérési adatsort pedig a változóhoz tartozó statisztikának tekintjük [7, 8, 34, 69]. Az azonos módon kezelt, de különböző gyökerű mért mennyiségeket egységesen gyártási paramétereknek nevezzük. 1

A mérési gyakorlatnak megfelelően a mérési minta statisztikái (átlag, szórás, ferdeség stb.) mögé egy normális eloszlású valószínűségi változót, vagy vektort képzelünk. A dolgozatban következetesen ezt alkalmazzuk, bár a modellbe, apróbb változtatásokkal, egyéb eloszlású gyártási paraméterek is beépíthetők. A dolgozatban bemutatott vizsgálatok során nem csak a megmunkálás bemeneti adatait tekintjük sztochasztikusnak, hanem a megmunkált fogfelületen mért kimeneti méreteket is. A gyártási paramétereknek tehát van egy olyan osztálya, ami kizárólag a már megmunkált fogfelületen mért mennyiségek mérési szóródását adja. 1

Beleértve a technológia okokból nem, vagy csak nehezen mérhető jellemzőket (pl. osztókör átmérőt) is.

19

Ph.D. értekezés

4. Gyártási alakeltérések modellezése

4.1. Beállítási- és mérethibák Azok a gyártási paraméterek, amelyek időben nem változnak (tipikusan a statikus mozgásinformációk) általában egy bázisértékkel és egy hibataggal jellemezhetők: (4.1)

p ± e.

A 4.1. képletben a hibasávon belüli méretszóródást szimmetrikusnak tekintjük. Az ISO 8015:1985 megengedi, hogy a megadott névleges érték N és a tűrésmező közepe (a felső határeltérés F E összege és az alsó határeltérés AE különbsége) egymáshoz képest eltolódjon [59] [25]. A szóródás ilyenkor a tűrésmezőn belül jelenik meg; a p értéke a tűrésmező közepének, e értéke pedig a tűrésmező félszélességének felel meg: p := N + AE + e :=

F E − AE . 2

F E − AE , 2 (4.2)

Magát a méretszóródást egy valószínűségi változóval fejezzük ki, ahol a szórásgörbe jellegéből következtethetünk a valószínűségi változó eloszlására. Az eloszlás gyakran szimmetrikus haranggörbe formájú, vagyis normális eloszlású valószínűségi változóról beszélünk. Bizonyos technológiák esetén a szóródás nem szimmetrikus, vagy a haranggörbe csúcsosabb, ill. laposabb lokális maximumot mutat. Ezt matematikailag a ferdeség és csúcsosság magasabb rendű momentumok fejezik ki [62].

4.1. ábra. Normális eloszlású gyártási hiba méretszóródása Habár a ferdeség és csúcsossági együttható ismeretében fel lehet írni az általánosított normális eloszlás sűrűségfüggvényét [32], az alkalmazott modellben feltételezzük, hogy a méretekhez tartozó gyártási paraméterek ferdesége és csúcsossága nulla, vagyis a mértet meghatározó valószínűségi változó egy p körüli normális eloszlást követ (4.1 ábra): Pˆ ∼ = Φ (x; µ, σ) , µ := p, 3σ := e.

(4.3) 20

Ph.D. értekezés

4. Gyártási alakeltérések modellezése

Normális eloszlású valószínűségi változók szórásának következetesen a hibatag harmadát vesszük fel, mert így a szóródó értékek 99,7%-a a hibasávon belül van (4.1. ábra). Az eloszlás jellegének rögzítése egyszerűsíti a modell használatát, azonban amennyiben egy méret szóródása jól ismert és az nem normális eloszlású, az adott konkrét gyártási eljárás pontosabb modellezésénél alkalmazható egyéb eloszlás is2 . A mérési adatok alapján az átlag és a tapasztalati szórás (ami általában a tűrés harmada) kiszámítható, majd a paraméterhez tartozó konkrét eloszlásfüggvény felírható. A szórást nullának választva, az eloszlásfüggvény az egységugrás-függvény, ami a konstans eloszláshoz tartozik, vagyis elveszik sztochasztikus jellege. Ez azt jelenti, hogy amennyiben valamelyik gyártási paramétert hibamentes konstansként kívánjuk modellezni, tekinthetjük ezt is egy speciális normális eloszlású valószínűségi változónak a névleges értékkel és nulla szórással:

p := N, e := 0.

(4.4)

A hibák a szórások nullával való helyettesítésével eliminálhatóak, ezzel visszatérünk az ideális parametrikus geometriához, tehát az új modell az eredeti kiterjesztésének fogható fel.

4.2. Zaj jellegű hiba A zaj jellegű hibákról elsősorban a dinamikus mozgásinformációkkal kapcsolatosan beszélhetünk. A pillanatnyi sebesség a megmunkálás során folytonosan változik, ez eredményezi a szerszám és a munkadarab viszonylagos mozgását. Az elméleti mozgáspálya – a méretekhez hasonlóan – gyakorlatban nem valósítható meg tökéletes pontossággal. Sőt, a pályától való eltérés mértéke, vagyis a hibatag időben ingadozhat. Általában a mechanizmusok időben ingadozó pontossági hibáját zajnak tekintjük.

4.2. ábra. Zaj jellegű gyártási hiba időbeli változása 2

Például egyenletes eloszlás, Fisher-eloszlás, exponenciális eloszlás, Laplace-eloszlás, γ-eloszlás, β-eloszlás, χ -eloszlás, Student-eloszlás, Cauchy-eloszlás, Lévy-Pareto-eloszlás stb. 2

21

Ph.D. értekezés

4. Gyártási alakeltérések modellezése

Magát a szerszámgépet egy bonyolult mechanizmusként kezeljük, ahol a relatív mozgásinformációk adják a mechanizmus kimeneti hibáit, ezek a hibák a megmunkált fogazat geometriai eltéréseit eredményezik (pl. fogprofilhiba). A zaj jellegű hibákat egyrészt sztochasztikusnak, másrészt időben folytonosnak tekintjük. A zajhullám analitikus jellegéről nincs ismeretünk (felharmonikusok stb.), ezért azzal a feltételezéssel élünk, hogy a sebességek időbeli hibája nagy valószínűséggel egy adott sávban marad. Ezt jó közelítéssel lehet modellezni ún. Gauss zajjal, ahol a pillanatnyi kitérés eloszlása a normális valószínűségeloszlást követi (4.2. ábra). Továbbá feltételezzük, hogy az egymástól időben eltérő pillanatnyi kitérések egymástól függetlenek, vagyis ún. fehér zajról beszélünk, amelynek energia, ill. teljesítményspektruma egy adott frekvenciatartományban állandó értékű [33]. A fehér zaj a fehér színű fényről kapta a nevét, mivel a fehér fény a szem különböző színkomponensekre érzékeny receptorait azonos erősséggel stimulálja. A modell alkalmazhatóságához tehát szükségünk van egy módszerre, ami jól megközelíti a fehér Gauss-zaj tulajdonságait és egy korlátos hibatartománnyal jellemezhető. Az általunk javasolt megközelítés lényege, hogy a megmunkálás elvi idejét [0, T ] egyenlő hosszú diszkrét időszeletekre bontjuk (ekvidisztáns felosztás): "

(i − 1) T iT .. Ii := n n

!

, i ∈ [1..n]

(4.5)

Az időszeletekben „mintavételezzük” a zaj pillanatnyi kitérését, vagyis minden időponthoz egy-egy független, normális eloszlású valószínűségi változót rendelünk. Mivel a fehér zaj ismert tulajdonsága az idősorban felvett értékek függetlensége, a véges számú, egymástól független pillanatnyi kitérés minta megfelelő közelítést biztosít. A Gauss zaj tulajdonságot azzal érjük el, hogy az időpontokhoz rendelt valószínűségi változókat normális eloszlásúnak tekintjük. A változók várható értékéül a gyártási paraméter bázisát választjuk (s), míg maximális kitérésnek – átlagtól való legnagyobb eltérés – (a) a szórás háromszorosát: Pˆi ∼ = Φ (x; µ, σ) , µ := s, 3σ := a.

(4.6)

Az így megválasztott paraméterezéssel biztosítjuk, hogy a zaj az s érték körül, nagy valószínűséggel a ±a sávban ingadozik. A diszkrét mintán felvett pontszerű értékek időben izoláltak, míg a sebességek időben folytonos mennyiségek. Éppen ezért szükséges az izolált pontokat valamilyen folytonos függvénnyel összekötni, ún. interpolációt végezni. Számos interpolációs módszer ismert, ezek egyik csoportja a polinom alapú interpolációk3 , más elven működnek a trigonometrikus-, racionális-, ill. szplájn interpolációk [36, 57]. Fontos, hogy az adott hibatartományba szorított pontszerű pillanatnyi kitérések interpolációja során ne sérüljön az a tulajdonság, hogy a zaj mértéke végig az adott hibatartományon belül maradjon. Például polinom alapú interpoláció esetén ez a feltétel könnyen sérülhet; ugyan az interpolációs polinom átmegy a megadott pontokon, de a köztes pontokban nagyobb kiugrások keletkezhetnek, más szóval oszcillál az interpoláció4 . Ezzel szemben, a természetes köbös szplájn függvényinterpoláció rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy az érintett pontok környezetében marad a pontok között is, ráadásul számítási igénye, kezelhetősége nem sokkal komplikáltabb a polinomoknál [87, 57]: 



Pˆ (t) := S3 t; Pˆ1 , . . . , Pˆn . 3 4

(4.7)

Lagrange-interpoláció, Hermite-interpoláció, Csebisev-interpoláció stb. Runge-jelenség

22

Ph.D. értekezés

4. Gyártási alakeltérések modellezése

Minél sűrűbb az intervallum felosztása, annál jobban megközelíti a 4.7. egyenlet a fehér Gauss-zajt, hiszen minél több független időpont van a folyamatban, annál inkább beszélhetünk fehér zajról, ami a természetes zajokat jellemzi. Maga a folytonos interpoláció ugyanis összefüggővé teszi a mintán kívüli pontokat, attól függően, hogy milyen interpolációt és milyen peremfeltételeket alkalmazunk. Ugyanakkor, minél több valószínűségi változót kell kezelnünk a modellezés során, annál jobban megnövekszik a statisztikailag szignifikáns minta mérete, vagyis a modell alkalmazásának számítási igénye. Javaslatunk szerint a felosztás megválasztásakor elsősorban a rendelkezésre álló számítási kapacitást kell figyelembe venni, és nem pedig a komplex fehér Gauss-zaj minél pontosabb közelítésére kell törekedni. Abban a speciális esetben, ha n = 1, maga az interpolációs függvény egy konstans függvény az idő intervallumon: Pˆ (t) := Pˆ1 , t ∈ [0, T ] .

(4.8)

Ez azt jelenti, hogy maga a gyártási paraméter időfüggetlen, vagyis ugyanúgy viselkedik, mint egy mérethiba. Ebből kifolyólag a zaj jellegű gyártási paraméter tekinthető a mérethiba általánosításának, ami lehetővé teszi egy általános leírásmód kidolgozását. Szót kell még ejtsünk a harmonikus zajokról, amelyek néhány jól meghatározott frekvencián rezegnek. Ilyen lehet például egy motor rezgése, ami forgácsoláskor a felület hullámosságát eredményezi. Ilyen esetekben a kinematikai jellemző az alábbi módon írható fel: v (t) := v0 (t) + A1 sin (ϕ1 + 2πf1 t) + . . . + Ak sin (ϕk + 2πfk t) , k ∈ N, t ∈ [0, T ] .

(4.9)

A 4.9. egyenletben az amplitúdók (Ai ), a frekvenciák (fi ) és a fázisok (ϕi ∈ [0, 2π]) külön-külön mérhető mennyiségek, vagyis helyettesíthetők egy-egy gyártási paraméterrel. Ilyen esetben tehát magát a mozgásegyenletet kell úgy megfogalmazni, hogy számításba vesszük a megmunkálás során végbemenő karakterisztikus, kimutatható rezgéseket, amelyek különösen befolyásolhatják a fogfelület geometriáját például egy hullámossági jellemzővel. Megjegyzendő, hogy a megmunkálás kezdetén a fázis szinte tetszőleges értékű lehet (ciklikusan változik), az ilyen gyártási paramétereket – az általánostól eltérően – egyenletes eloszlású valószínűségi változóval célszerű modellezni. Ezt egy lapított normális eloszlású valószínűségi változóval jól lehet közelíteni: √  K ∼  ϕˆ = Φ x; 0, 3 K , 0  K. π

(4.10)

4.3. Egyesített leírásmód Minden hibataggal rendelkező gyártási paraméter vagy mérethibával terhelt, vagy a megmunkálás ideje alatt zajos, vagy mindkettő fennáll. A különböző hibafajták egységes kezelése érdekében kidolgoztuk az ún. RN [.] (t) formalizmust5 . Az egységes kezelésmód hatására az összes gyártási paraméter azonos alakban felírható. Ez azt vonja maga után, hogy minden gyártási paraméternek van elméleti mérési hibája, legfeljebb eltűnik, vagyis a numerikus számítások során nem 5

„Random Noise” angol kifejezés alapján.

23

Ph.D. értekezés

4. Gyártási alakeltérések modellezése

kell figyelembe venni. Ugyanígy, az időfüggetlen gyártási paramétereket is zajosaknak tekintjük azzal a kiegészítéssel, hogy a zaj maga hatás nélküli, vagyis a kitérés minden pillanatban nulla, ami egy időben konstans paramétert eredményez. Bevezetjük az ún. közelítési frekvenciát f , amit a fehér Gauss-zaj adott pontosságú közelítéséhez használunk és az ekvidisztáns minta mintavételezési frekvenciája lesz. Átalakítva a 4.7. egyenlet paraméter indexelését kapjuk az alábbi összefüggést: RN [s ± a  f ] (t) := RN [±a  f ] (t) RN [p ± e] RN [p] RN [±e]

:= := := :=









a , t ∈ [0, T ] , S3 t; Pˆ0 , . . . , Pˆbf T c , ∀i : Pˆi ∼ = Φ x; s, 3 RN [0 ± a  f ] (t) , RN [p ± e  0] (t) , RN [p ± 0] , RN [0 ± e] .

(4.11) (4.12) (4.13) (4.14) (4.15)

A 4.1. táblázat a leggyakoribb esetekben a formalizmus használatát foglalja össze. Gyártási paraméter típusa Konstans paraméter a p valós értékkel. Méret jellegű (stacionárius) paraméter a p értékkel és e > 0 szimmetrikus tűréssel. Zajos paraméter s bázisértékkel, a > 0 maximális kitéréssel és f > 0 közelítési frekvenciával. Zajos paraméter v (t) időbeli változással, a > 0 maximális kitéréssel és f > 0 közelítési frekvenciával. A [−π, +π] intervallumon egyenletes eloszlást követő véletlen kezdeti fázis.

Formális ábrázolás RN [p] RN [p ± e] RN [s ± a  f ] (t) v (t) + RN [±a  f ] (t) π RN K

√ i ±3 K , 0  K

h

4.1. táblázat. A különböző típusú gyártási paraméterek egységes formalizmusának felhasználási módja

4.4. Valószínűségi gyártásgeometria Vonatkoztassunk el a fogfelület konkrét alakjától és a továbbiakban általános származtatott reguláris felületként fogjuk fel. Feltételezzük, hogy a fogfelület explicit alakban, egy folytonos vektorfüggvény formájában – 1 vagy 2 koordináta változó segítségével6 – felírható: ~ : D → R3 . H

(4.16)

A vektorfüggvény értelmezési tartománya tartalmazza a felület leírásához szükséges szabad paramétereket, valamint a geometria megjelenését befolyásoló valós geometriai paramétereket: 6

1 koordináta változóval térgörbét, ill. vonalfelületek esetén felületprofil írunk le (elhanyagolva binormális irányú egyeneseket), míg a 2 koordinátás alak a felület Gauss-féle paraméteres megadása.

24

Ph.D. értekezés

D⊆

4. Gyártási alakeltérések modellezése

k

| R {z }

koordináta

×

l

| R {z }

méret kény.

× C [0, T ]n−l , k ∈ {1, 2} , l ≤ n ∈ N0 . |

{z

}

(4.17)

kinem. kény.

A 4.17-es direkt szorzat első tényezője a felület pontjait futja be, míg a többi tényező az általános fogfelület – méretezett és térben elhelyezett – lehetséges változatainak halmazát adja. A második tényezőben szerepelnek a geometria mérhető tulajdonságai, míg a harmadik tényező valójában folytonos függvények tömbje, amelyek közvetlenül függenek az egyik szabad paramétertől és a felület kialakítási módját írják le, más szóval kinematikai jellemzők: ~ 1 , u2 ; p1 , . . . , pl ; pl+1 (u1 ) , . . . , pn (u1 )) H(u |

{z

} |

stat. mi.

{z

din. mi.

}

(4.18)

Ha a 4.18. leképezést a Tajnafői-féle származtatáselmélet eszközeivel értelmezzük, akkor elmondható, hogy a valós paraméterek reprezentálják a statikus-, a függvényparaméterek pedig ~ képviseli az egy-, ill. kétparaméteres burkolást, a dinamikus mozgásinformációkat. Maga a H konkrét paraméterértékek és a paramétereket alkalmazó egyenletek megoldásával megkapjuk a megmunkált felületet. Ebben a megközelítésben a származtató felület és a kinematika nem válik szét élesen, azonban az elkövetkező fejezetek példáin keresztül látni fogjuk, hogy implicit módon szerepelnek a leképezésben. 3D euklideszi tér

Paramétertér

ˆ ∼ P = RN FPˆ , fPˆ

~ |(u1 ,u2 ) H

~ (u1 , u2 ) ⊂ R3 R FR ~ , fR ~

4.3. ábra. A származtatott fogfelület reprezentációja egy folytonos leképezéssel a gyártási paraméterek felett A függvényparaméterek helyettesíthetők az adott mechanizmusra jellemző mozgásegyenlettel újabb mérhető paraméterek bevezetésével, valamint a csak sztochasztikusan jellemezhető mechanizmusok – mint arra a 4.3. alfejezetben rámutattunk – visszavezethetők egy mintavételezett ponthalmaz feletti interpolációra. Mivel ezek valójában pillanatnyi kitérések, tekintsük őket mérhető mennyiségeknek, vagyis mind az explicit felírható, mind a sztochasztikusan jellemezhető mechanizmusok visszavezethetők valós paraméterek leképezéseire: ~ (u1 , u2 ; p1 , . . . , pN ) , N  n. H

(4.19)

A 4.19-ben N -nel jelöltük a függvényparaméterek diszkretizálása után kapott független paraméterek számát (4.4. ábra).

25

Ph.D. értekezés

4. Gyártási alakeltérések modellezése

~ (u1 , u2 ; p1 , . . . , pn (u1 )) H . & RN [s1 ± a1  f1 ] (t) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , RN [sn ± an  fn ] (t) . & ˆ ˆ ˆ P1,0 , . . . , P1,bf1 T c , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , Pn,0 , . . . , Pˆn,bfn T c |

{z

}

N

4.4. ábra. Gyártási paraméterek alakhibával rendelkező fogfelület implicit egyenletébe való behelyettesítésének általános menete Ha elvonatkoztatunk a gyártásgeometriától, akkor valójában egy folytonos leképezésről beszélhetünk a paraméterek tere felett (4.3. ábra). Vagyis a megmunkálás utáni fogfelületet a paramétertér ponthalmazainak direkt szorzatával lehet reprezentálni. Azt, hogy éppen melyik áll elő egy konkrét származtatás során, modellünkben véletlennek tekintjük. Viszont nem egyforma az esélye a különböző előálló fogfelület változatoknak, éppen ezért a paramétertérhez egy eloszlást is rendelünk, amely egy ún. valószínűségi gyártásgeometriát eredményez. Az eloszlást úgy állítjuk elő, hogy minden valós paramétert helyettesítünk egy gyártási paraméterrel (4.4. ábra). A dolgozatban az így bevezetett összes valószínűségi változót továbbra is egységesen normális eloszlásúnak tekintjük, amit a centrális határeloszlás tétele, valamint a műszaki gyakorlat tesz indokolttá. Az általános megközelítés során feltételezzük, hogy a gyártási paraméterek páronként függetlenek egymástól, amire a mechanizmus modelljének felállítása során is figyelni kell! Ha két fizikai mennyiség vagy alaksajátosság között ismert összefüggés áll fenn, akkor azokat nem célszerű külön paraméterrel megkülönböztetni, helyette az egyik kifejezhető a másik segítségével. A paraméterek számának csökkentésére – ezáltal a paramétertér dimenziójának redukálására – a modell kezelhetőségének érdekében amúgy is törekedni kell. A gyártási paraméterek között fennálló kényszer relációkat (pl. a hosszúságok pozitívak, a fogmagasság nem lehet nagyobb a maximális átmérőnél stb.) az értelmezési tartomány írja le, amely tartalmazza az összes érvényes konfigurációt7 : D :=

  

(u1 , u2 ; p1 , . . . , pN )  

k1 (u1 , u2 ; p1 , . . . , pN ) ≤ K1 , ..., km (u1 , u2 ; p1 , . . . , pN ) ≤ Km

    

.

(4.20)

Fontos megjegyezni, hogy az elméleti foggeometria a paramétertér egyetlen izolált pontja (az ún. elvi fogfelület), ami nullmértékű, tehát nulla valószínűségű, hogy előáll egy megmunkálás során. Jól megkonstruált és beállított szerszámgép esetén azonban a valószínű fogfelületek e pont körül sűrűsödnek és azoknál a paramétereknél kicsi a szóródás, amelyek jelentősen befolyásolják a geometriát. vény:

A gyártási paraméterekre vonatkozó feltételek alapján felírható az fP ~ közös sűrűségfügg-

7

Ha kettő, vagy több gyártási paraméter között erős relációs kapcsolat van, az hatással van a valószínűségi változók függetlenségére!

26

Ph.D. értekezés

4. Gyártási alakeltérések modellezése

fPˆ (~x) = fPˆ1 (x1 ) . . . fPˆN (xN ) = =

1 √

σ1 2π

=

(x −µ )2 − 1 21 2σ 1

e

...

1

1 √

σN 2π

N  X xi

√ N√ σ1 . . . σN 2π ei=1

e

−

− µi σi

(xN −µN ) 2σ 2 N

függetlenség

(4.21)

norm. el.

(4.22)

2

=

(4.23)

2 .

A közös sűrűségfüggvény felírásánál a gyártási paraméterek feltételezett függetlenségét használtuk ki, ebből adódik a szorzat alak. A elméleti fogfelület egy névleges pontját az alábbi kifejezéssel határozzuk meg: ~ ∗ (u1 , u2 ) = H ~ (u1 , u2 ; µ1 , . . . , µN ) . R

(4.24)

A származtatott fogfelület – adott névleges pontjához tartozó – sztochasztikus pontjának az alábbi valószínűségi változót nevezzük: 



~ (u1 , u2 ) = H ~ u1 , u2 ; Pˆ1 , . . . , PˆN . R [63]:

(4.25)

A fogfelület adott sztochasztikus pontjára felírható az eloszlás-, ill. a sűrűségfüggvény8

FR(u ~ 1 ,u2 ) (x, y, z) =

ZZZ

fPˆ (~x) dxdydz,

n hxio ~ ~ x H(u x)≤ y 1 ,u2 ;~

(4.26)

z

fR(u ~ 1 ,u2 ) (x, y, z) =

∂3 F~ (x, y, z) . ∂x ∂y ∂z R(u1 ,u2 )

(4.27)

Annak a valószínűsége, hogy egy konkrét névleges pont a valóságban egy meghatározott térfogaton belül van: T := {(x, y, z) |x1 ≤ x ≤ x2 , y1 ≤ y ≤ y2 , z1 ≤ z ≤ z2 } , n

o

~ (u1 , u2 ) ∈ T = F ~ P R ~ 1 ,u2 ) (x1 , y1 , z1 ) . R(u1 ,u2 ) (x2 , y2 , z2 ) − FR(u

(4.28) (4.29)

A normális eloszlás a teljes számegyesen értelmezett, viszont a gyártási paramétereket csak bizonyos korlátok között értelmezzük. Éppen ezért egy sztochasztikus pont teljes térre vonatkozó előfordulási valószínűsége kisebb 1-nél. Fontos, hogy az eloszlások paramétereit úgy határozzuk meg, hogy a „veszteség” elhanyagolható legyen: n

o

~ (u1 , u2 ) ∈ R3 ≈ 1. P R 8

(4.30)

Amennyiben értelmezhető a deriválás az eloszlásfüggvényen, vagyis az eloszlás abszolút folytonos [34].

27

Ph.D. értekezés

4. Gyártási alakeltérések modellezése

A sztochasztikus pontok együttes halmazát nevezzük valószínűségi gyártásgeometriának. A valószínűségi gyártásgeometria, bonyolultsága miatt, közvetlenül nem alkalmazható gyakorlati problémák analízisénél, éppen ezért, a nagy számok törvényét kihasználva, statisztikus megközelítést alkalmazunk. Tegyük fel, hogy a valószínűségi gyártásgeometriához, mint populációhoz tartozik egy véletlen mintánk [69]: M := (m1 , m2 , m3 , . . .) , ∀j ∈ N : mj ∈ D.

(4.31)

Maga a véletlen minta a valószínűségi gyártásgeometria egy becslése, amennyiben megfelelő mértékben közelíti a fogfelületek eloszlását. Legegyszerűbb ilyen mintát előállítani, ha a gyártási paraméterekhez külön-külön generálunk egy-egy véletlen mintát, ami szignifikáns becslése az adott valószínűségi változónak. Miután a gyártási paramétereket egymástól páronként függetlennek tekintjük, ezért előállítható a minták direkt szorzata, vagyis egy gyártási paraméter összes értékét összerendeljük a többi gyártási paraméter összes értékével. Az így kapott mintavektorokat behelyettesítjük a 4.19 leképezésbe, ami hozzárendel minden mintaelemhez egy-egy konkrét gyártásgeometriát. A kapott véges fogfelület halmaz elemein az analízisek már egyenként elvégezhetőek, vagyis a valószínűségi gyártásgeometria analízisét visszavezettük konkrét (numerikusan kifejezhető) alakhibákkal rendelkező fogfelületek analízisére. A 3.1. összefüggésnél megemlítettük, hogy egy numerikusan kifejezhető hiba kezelése kézenfekvő a foggeometria tulajdonságainak vizsgálatánál, viszont nem modellezi jól egy gyártási folyamat sztochasztikus jellegét. A gyártási geometriát közelítő minta minden elemével dolgozhatunk úgy, mintha minden alakhiba numerikusan számszerűsíthető lenne a gyártási paramétereken keresztül. Ugyanakkor nem maga az elemen mért tulajdonság fogja jellemezni a gyártásgeometriát, hanem a teljes mintán végzett átfogó analízis összesítése, statisztikai kiértékelése. A szükséges mintanagyságot a normális eloszlásokra vonatkozó, ismert statisztikai módszertan alapján határozzuk meg, amelyet az ASTM E122-es szabvány is rögzít [4]: |M | =

N Y ˆ Pi

i=1

≥

N Y

i=1

$



σi Z ME

2

%

+ 1 , Φ (Z; 0, 1) = 1 −

α . 2

(4.32)

A 4.32. egyenletben α-val jelöltük a szignifikancia-szintet. A szignifikanciaszint egy százalékos arány, amelynek értékét a statisztikai közelítés elvárt megbízhatóságához igazodva kell megválasztani. Szokásos értékei a gyakorlatban: 50%, 5%, 1%, amelyek rendre 50%-os, 95%-os és 99%-os megbízhatóságok jelentenek. Az M E tulajdonképpen az egyedek a populáció átlagától való eltérésének a tűrése, vagyis a konfidencia-intervallum méretét határozza meg [69]. A konstans eloszlású valószínűségi változókhoz tartozó eltűnő szórásokat ki is hagyjuk a szorzatból, mivel ezek nem befolyásolják a mintaméretet és a fenti szorzatból is – σi = 0 miatt – eltűnnek. A vizsgált mennyiségekre úgy adunk statisztikai becslést, hogy egy megfelelően nagy, véletlen minta minden elemére elvégezzük a számítást, az eredményeket összegezzük, a statisztikai paramétereket pedig a kapott eredményekből kiszámítjuk. Az összes formális követelmény és megállapítás, ami megfogalmazható a névleges pontokra, a statisztikai megközelítés segítségével alkalmazható a sztochasztikus pontokra, ezáltal analóg módon a teljes térbeli valószínűségi gyártásgeometriára is. Statisztikai mintavételezéssel meghatározható például két névleges pont távolságának várható értéke, ill. szóródása adott gyártási hibák mellett. A módszer jelentősége, hogy becslést kaphatunk arra vonatkozóan, hogy a legyártott alkatrészen mennyire fog eltérni a bázisértéktől egy fogfelületre jellemző méret vagy egyéb mérhető tulajdonság. 28

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái A kidolgozott módszer alkalmazását és igazolását egy fogaskerék szivattyú egyenes fogú, evolvens fogazatú hengeres fogaskerekeinek (5.1. ábra) geometriai hibának vizsgálatán mutattuk be. A mintául szolgáló fogaskerekek 2008-ban Niles ZSTZ 315 C1 típusú fogköszörűvel, 7-C (MSZ 12869) pontossági fokozattal készültek a Fogaskerékgyár Kft. tatabányai üzemében [28].

5.1. ábra. A vizsgált hengeres fogaskerék számítógépes modellje A fogaskerekek szerkezeti anyaga betétben edzhető ötvözött acél (MSZ BC3, DIN 16MnCr5), amelyen a fogazat betétedzése során 60 HRc keménységű 1mm-es felületi réteg keletkezett. A vizsgált fogaskerekek geometriai jellemzői az alábbiak:

29

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

z1 m α0 β x1 h∗a c∗a b

= = = = = = = =

9; (z2 = 9); 5mm; 20◦ ≈ 0, 3491rad; 0◦ = 0rad; +0, 07; (x2 = +0, 389; aw = 47mm); 1, 17; 0, 25; 44, 8mm.

(5.1) (5.2) (5.3) (5.4) (5.5) (5.6) (5.7) (5.8)

A Niles ZSTZ 315 C1 fogköszörűgép nagyoló és simító köszörülést végez a korong palástfelületével a legördített fogfelületen. Lényegében három villanymotorral dogozik, ahol egy külön motor forgatja a köszörűkorongot (47s−1 ), egy másik biztosítja a köszörűorsó foghossz irányú alternáló mozgását (12, 5 − 25s−1 ), egy harmadik pedig a legördítést, ill. az osztást biztosító kinematikai láncot hajtja (25s−1 ). A gépben a kinematikai lánc úgy van kialakítva, hogy egy legördítési ciklus után egy fogosztás következik. Miután egy fogárok mindkét oldalát legördítettük az elméleti fogaslécet helyettesítő köszörűkorong oldalán, a tárgytartó asztal a munkadarabbal együtt gyorsjáratban eltávolodik a köszörűkorongtól és megtörténik az osztás, végül szintén gyorsjáratban visszatolja az asztalt és indul a újabb ciklus. A gép irányváltáskor kiküszöböli a fogárok és a köszörűkorong közötti méretkülönbséget. A fogfelületet a kő foghossz irányú előtolásából adódó érintőgörbék burkolják. A legördítés a munkadarab forgásából és a tárgytartó asztal érintő irányú előtolásából adódó mozgás a köszörűkoronghoz viszonyítva [81]. A hengeres fogaskerék adott fogfelületét egy inverz feladat megoldásával határozzuk meg [22]. Tekintsük a hengeres fogaskerék tengelyéhez mereven rögzített koordináta-rendszerből a köszörűkorong mozgását. Vegyük fel az O2 koordináta-rendszert a fogaskerék egyik homloksíkjában úgy, hogy kiindulási helyzetben a Z-tengelye essen egybe a fogaskerék tengelyével, a rá merőleges Y-tengelye a köszörűkorong szimmetriatengelyével a fogárok közepénél, az X-tengelye pedig a harmadik megmaradt merőleges irány legyen (5.2. ábra). Mivel egyenes fogú fogaskerék megmunkálását modellezzük, a foghossz irányában a mozgás mindig egy homloksíkra merőleges elméleti egyenes lesz, ezért a Z-koordináták feltüntetése irreleváns. Vegyünk még fel egy tárgyasztalhoz kötött (O20 ), ill. egy köszörűkoronghoz kötött koordináta-rendszert (O1 ), hogy a szerszám relatív mozgását le tudjuk írni a kinematikai módszer segítségével (5.2. ábra).

30

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

5.2. ábra. Niles ZSTZ 315 C1 NDK gyártmányú fogköszörűgép működési elve A szerszám mozgáspályája egyenes mentén haladó-, ill. forgó mozgásokra bontható, amelyek ún. homogén lineáris transzformációkkal írhatók le. Ebből adódóan, homogén koordináták bevezetésével maga a mozgás lineáris, tehát felírható egy mátrix segítségével [32]. A munkadarab koordináta-rendszeréből az asztal koordináta-rendszerébe egy (megmunkálási iránnyal ellentétes) forgatással jutunk el:

MO20 ,O2 (t) :=



!

Rt

ω2 (t) dt cos  0  !  Rt   sin ω2 (t) dt  0 

Rt

− sin cos

0

0

Rt 0

!

ω2 (t) dt

!

ω2 (t) dt 0



0

   , 0  

t ∈ [0, T ] .

(5.9)

1

A munkadarab forgása alatt az asztal és a köszörűkorong egy érintő irányú egyenes mentén távolodik egymástól, így a tárgyasztal helyzete a szerszámhoz képest: 

1 0 

MO1 ,O20 (t) :=  0 1  0 0

Rt 0



v (t) dt 0 1

 .  

(5.10)

31

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

A koordináta-rendszer áttérés paramétere a t megmunkálási idő, hiszen a két koordinátarendszer helyzete a megmunkálás során változik. Amennyiben a kapcsolószög azonos az alapprofilszöggel, a pontos fogprofil kialakításának érdekében törekedni kell arra, hogy az osztókör csúszásmentesen legördüljön a középvonalon az ingázás során, vagyis az előtolás sebességét lehetőség szerint az alábbiak szerint célszerű beállítani: v (t) ≈ rω2 (t) .

(5.11)

Adott alapprofilszög esetén eltérő kapcsolószögű evolvens fogazat is kialakítható, az előtolási sebesség megfelelő megválasztásával, ami a gép kinematikai láncába beépített cserekerekekkel biztosítható [32]. A bevezetett elemi transzformációk segítségével kifejezhető az a mátrix, ami adott időpontban megadja a koordináta-rendszer áttérés transzformációját: ~rO1 = MO1 ,O20 MO20 ,O2~rO2 .

(5.12)

Az inverz feladathoz az 5.12. egyenlet átrendezett formában, szabad változókkal kiegészítve (u, t) használható fel: 



X2 (u, t)   −1 −1  ~rO2 (u, t) :=   Y2 (u, t)  = MO20 ,O2 (t) MO1 ,O20 (t)~rO1 (u) . 1

(5.13)

A köszörülés több nagyoló fogással, egy rugózó fogással és egy simító fogással történik. Modellünkben feltételezzük, hogy a fogfelület geometriai hibája az utolsó lefejtő, vagyis a simító munkaszakaszban jön létre, a nagyoló fogásoknak csak a – kő beégésének elkerülésére szolgáló – fokozatos anyageltávolításban van szerepük [81]. A simítás során kialakul a fogfelület végleges formája, méghozzá – magából a gyártási elvből kifolyólag – a szerszám mozgása során kiadódó burkolófelület (síkmetszete a burkológörbe) formájában [32]. A burkolófelet meghatározásához szükség van a köszörűkorong működő felületének vektoros felírására saját koordináta-rendszerében, amit egy szabad paraméter bevezetésével teszünk meg (u): 









p + h∗a m tan (α0 ) u X1 (u) 1 0 0 4      0   , u ∈ [−1, 1] .   ~rO1 (u) :=  r + h∗a mu   Y1 (u)  = 0 1 −x   1 1 0 0 1

(5.14)

A szerszám felírásánál a jobboldali köszörűkorong alkotó helyzetét írtuk fel az O1 -es koordináta-rendszerben (5.2. és 5.3. ábra). Alapesetben a képzeletbeli fogasléc alakú szerszám középvonala érinti az osztókört. A fajlagos profileltolás egy külön elmozdulás mátrix segítségével vehető figyelembe, ami az Y-tengely irányában elmozdítja a szerszámélet. A koordináta-rendszer áttéréshez hasonlóan homogén koordinátákat használunk és a Ztengely menti koordinátát itt sem tüntetjük fel. A szerszámprofil, valamint a munkadarab viszonylagos mozgásának ismeretében megkapjuk a fogfelület profilgörbéjét, ami foghossz irányban vonalfelületet alkot [32]. Ehhez egyrészt felírjuk a felületi normálist: 32

Ph.D. értekezés

~nO2 (u, t) :=

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái





∂Y2

 ∂u     ∂X2  −   ∂u 

0



!

Rt

!



Rt 1 (u) + cos 1 ω2 (t) dt ∂X ω2 (t) dt ∂Y − sin ∂u ∂u (u)   0 0  

!

!

  Rt = , ∂X1 (u) − sin Rt ω (t) dt ∂Y1 (u) − cos  ω (t) dt 2 2   ∂u ∂u 0 0  

0

(5.15)

másrészt a munkadarab koordináta-rendszerében a szerszám relatív mozgását: 



=

                              

"

Rt

ω2 (t) − sin "

ω2 (t) v (t) cos "

v (t) sin "

0

Rt 0

"

ω2 (t) v (t) − sin v (t) cos

Rt 0

0

!

ω2 (t) dt sin (α0 ) + sin

Rt 0

Rt

ω2 (t) dt X1 (u) + cos

!

ω2 (t) dt sin (α0 ) − cos

ω2 (t) − cos "

0 Rt



∂X2  ∂t     ~vO(O21 ) (u, t) :=   ∂Y2  =  ∂t  1 !

!

0

ω2 (t) dt X1 (u) − sin

Rt 0

ω2 (t) dt sin (α0 ) + cos !

ω2 (t) dt sin (α0 ) + sin 1

Rt

Rt

Rt 0

!

#

ω2 (t) dt cos (α0 ) + !

#

ω2 (t) dt cos (α0 )

0

!

#

ω2 (t) dt Y1 (u) +

0

Rt

!

!

#

ω2 (t) dt Y1 (u) + Rt 0

!

#

ω2 (t) dt cos (α0 ) + !

ω2 (t) dt cos (α0 )

#



               .               

(5.16)

A kapcsolódás alaptörvényét felírva, az u szabad paramétert kifejezhetjük t segítségével: ~nO2 (u, t) ~vO(O21 ) (u, t) = 0 ⇐⇒ u = U (t) , t ∈ [T1 , T2 ] , 2 T1 ⇐⇒ ∂X ∂u (0, T1 ) = 0, 2 T2 ⇐⇒ ∂Y ∂u (0, T2 ) = 0.

(5.17)

Az egyenlet analitikus megoldása komplex feladat, de numerikus közelítéssel tetszőlegesen pontosan meg lehet határozni U (t) értékét minden t pontban (pl. Newton–Raphson-módszer). A munkadarabon lefejtett profilgörbét megkapjuk, ha az 5.17 egyenletébe behelyettesítjük az 5.13 függvényt, ahol az egyenlet szabad paramétere a t. Amennyiben az 5.11 egyenletnek megfelelően választjuk meg a előtolás és a forgatás sebességét, valamint egyenes alkotójú koronggal dolgozunk, evolvens profilt kapunk (5.3. ábra), melynek alapköre a szokásos módon számolható: z rb := m cos (α0 ) 2

(5.18) 33

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

5.3. ábra. Egyenes alkotójú köszörűkoronggal, elméletileg helyes legördítéssel kialakuló evolvens fogprofil A gyártási elvet követő, elméletileg helyes foggeometriát adó lefejtés a valós megmunkálás során pontatlanságokkal, hibatagokkal terhelt, ezért a megmunkált hengeres fogaskerekek is rendelkeznek geometriai hibákkal. A geometriai hibák származhatnak a legördítésen túl az előgyártás és a felfogás pontatlanságaiból, a szerszám hibájából stb. A fejezet célja, hogy rávilágítson a szerszám, ill. a gyártott fogaskerekek hibáinak kapcsolatára. Ehhez felhasználjuk a 4. fejezetben bevezetett valószínűségi gyártásgeometrián alapuló módszert. A hengeres fogaskerekek kvantitatív alakhibáinak reprezentálásához 40 darab, a Niles ZSTZ 315 C1 fogköszörűgépen gyártott munkadarab került véletlen mintavételezéssel kiválasztásra, amelyeken az alábbi szabványosított méréseket végeztük el: • A fogazat ütése (Frr ). • Fogirányhiba (Fβr ).

• 2 közrefogott fogon mért többfogméret (W (2)) és annak ingadozása (FvW r ). • Profilhiba (ff r ).

• Alaposztáshiba (fpbr ).

A mérési eredményeket részletesen a B. melléklet tartalmazza. Bár elméletileg lehetséges lenne a teljes hengeres fogaskereket egyetlen, egységes valószínűségi gyártásgeometriaként kezelni, az egyszerűség és átláthatóság kedvéért a különböző mérésekhez csupán a fogaskerék 34

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

adekvát részgeometriáját modelleztük. Például fogirányhiba esetén a fogfelület egyetlen egyenes alkotójára (fogirányvonal), profilhiba esetén csak a középsíkra szűkítettük a teljes geometriát. A mérési eredményeket és a kapcsolódó valószínűségi gyártásgeometriát alapvető statisztikák segítségével hasonlítottuk össze. A mérési adatsorból meghatároztuk a mért mennyiség átlagát és tapasztalati szórását. A mérési adatokhoz illeszkedőnek tekintünk egy valószínűségi gyártásgeometriát, amennyiben a geometria számított méretének valószínűségi jellemzői (várható érték, szórás1 ) nagyságrendileg azonosak az adatsor megfelelő statisztikáival. Bár a felvázolt valószínűségi gyártásgeometriákon mért hibák valószínűségi jellemzői elméletileg közvetlenül is számíthatók, a számítások komplexitása miatt egy közvetett meghatározási módot választottunk. Az egyes valószínűségi gyártásgeometriákhoz egy kifejlesztett számítógépes program segítségével megfelelően nagy elemszámú, véletlen mintát generáltunk – ami tulajdonképpen a gyártás, ill. mintavizsgálat elvi szimulációja – és a minta alapján becsültük a valószínűségi jellemzőket. A modellek igazolását tehát egy mért és egy szimulált minta statisztikai összehasonlításával tettük meg. A MapleTM 13 keretrendszer alá készült programokat az A. melléklet tartalmazza. A különböző valószínűségi gyártásgeometriák modellezése során a megmunkáló szerszám számszerű pontossági adatait a gyártó nem közölte, így nem áll rendelkezésre számszerű információ. Ezekben az estekben a mérési tartomány nagyságrendjével azonos hibataggal dolgoztunk.

5.1. A fogazat ütése A fogazat ütésén a fogaskerék forgástengelye és a kerék fogárkaiba helyezett, a szabványnak megfelelő alakú mérőelem között mért távolságok legnagyobb különbsége [81, 29]. Az ütés a fogazat excentricitásából, az alap- és osztókör szabálytalanságaiból, ill. a fogak egymáshoz viszonyított pontatlan elhelyezkedéséből adódhat. Az ütés fogirányban történő esetleges változásaitól eltekintünk, mivel ezzel a típusú alakhibával az 5.2. fejezetben foglalkozunk.

1

Ide tartozhat még a ferdeség és a csúcsosság.

35

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

5.4. ábra. Hengeres fogaskerék osztóköri ütésének vázlatos rajza a homloksíkkal párhuzamos mérési síkban A fogaskerék mintán egyesével mind a 9 fogárokban mértek ütést (B.1. táblázat), ahol az előírt tűrés Fr = 0, 037mm volt. Az osztókörhöz tartozó valószínűségi gyártásgeometriát a következő formában írtuk fel a fogaskerék homloksíkjával párhuzamos mérési sík vektorfüggvényeként: 

~ (t; x0 , y0 , d; ∆r (t)) :=  G

x0 + y0 +



d 2 d 2



+ ∆r (t) cos (t) 

+ ∆r (t) sin (t)

∆r (0) = ∆r (2π) .



,

t ∈ [0, 2π] ,

(5.19)

Ez a zárt görbe adja az ütéshez használt gyártásgeometriát. A hozzá tartozó ütést a görbén mérhető maximális és minimális sugarak különbségéből számítjuk ki (5.4. ábra):







0 ~ − min G ~ . Frr := max G

(5.20)

x0 = RN [±1µm] ; y0 = RN [±1µm] ; d = RN [45mm ± 1µm] ;   1 ∆r (t) = RN ±2µm  (t) . 100

(5.21) (5.22) (5.23)

t

2

t

2

A mintakerekekhez tartozó konkrét valószínűségi gyártásgeometriát (5.19. egyenlet) az alábbi paraméterezéssel láttuk el:

(5.24)

A két helykoordináta (x0 , y0 ) a fogástengely döféspontja a fogaskerék homloksíkján. A d az osztókör átmérője és a ∆r pedig a pillanatnyi sugár ingadozását leíró hibatag. A mintával azonos 36

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

számosságú (40 darab), számítógéppel előállított véletlen populáción rendre kiszámítottuk az ütést (mért és számított eredmény): 0 = 0, 0105 ± 0, 0012 [mm] . Frr = 0, 0106 ± 0, 0037; Frr

(5.25)

A kapott numerikus eredményekből jól látszik, hogy a mért- és a számított minta szórása jól illeszkedik, az átlagok viszont csak nagyságrendben egyeznek. Valószínűsíthető, hogy nagyobb mintán végzett vizsgálat esetén pontosabb egyezést tapasztalnánk.

5.2. Fogirányhiba A fogazat osztóhengerének és a fogfelület metszésvonalának eltérését az elméleti fogirányvonaltól a teljes foghosszra vonatkoztatva fogirányhibának nevezzük [81, 29]. Egyenesfogú hengeres fogaskerekek esetén a fogirányvonal egy, a homloksíkra merőleges egyenes. A fogirányhibát a gyakorlatban egy, az osztóhenger alkotóján fekvő vonalon mérik2 . A fogaskerék mintának csak 20%-án végeztek fogirányhiba méréseket, ezeken is csak néhány fog (1., 5. és 9.) kétoldali fogszalagját vizsgálták meg (B.2. táblázat). A mért értékeket külön-külön kezeltük, függetlenül attól, hogy azonos fogon, keréken vannak vagy sem. A gyártási dokumentációban az előírt tűrés Fβ = 0, 015mm volt.

5.5. ábra. A fogirányhiba modellezésének sematikus rajza, koordináta-rendszerek meghatározása A fogirányhibát a köszörűkorong foghossz irányú alternáló mozgását biztosító hajtáslánc, a vezeték és a munkadarab befogási hibáira vezetjük vissza. A forgácsolás közben fellépő 2

A nagy profileltolással készülő kerekek esetén a fog közepén vizsgálják a fogirányhibát.

37

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

rezgések miatt a fogfelületen hullámosság jelenhet meg3 , valamint a munkadarab felfogásának pontatlansága miatt sérülhet a fogszalag merőlegessége a homloksíkra. A hullámosság frekvenciáját az előtolás sebességéhez viszonyítva kell figyelembe venni a valószínűségi gyártásgeometria modellezése során. Az osztóhenger felületén futó fogirányvonalat – az 5.5. ábrán bemutatott módon – egy harmonikus hullám fogirányeltérésének elforgatásával képezzük. Ha kiterítjük az osztóhenger palástját, akkor a fogiránygörbe egy síkgörbe formájában felírható az 5.5. ábrán jelölt érintősíkban: "

#

~ 2D (t; β, A, ϕ, λ, b) := w (t) = G z (t)   # " #" cos (β) − sin (β) t A sin ϕ + 2πb λ , t ∈ [0, 1] . = sin (β) cos (β) tb

(5.26)

Amennyiben az 5.26-os összefüggéssel megadott síkgörbét az osztóhenger palástjára transzformáljuk (az 5.5. ábrán jelölt koordináta-rendszerbe), akkor megkapjuk a térbeli fogiránygörbét. A transzformáció lényegében abból a megfontolásból adódik, hogy a kiterített paláston lévő függőleges szakaszok a palást íveivel feleltethetők meg:  

~ 3D (t; β, A, ϕ, λ, b, r) :=  G 

r sin



 

w(t)  r  r cos w(t) r

z (t)

 , 

t ∈ [0, 1] .

(5.27)

Itt feltételezzük, hogy a szabatos fogiránytól való eltérés nem jelentős: w (t) r

<<

π , t ∈ [0, 1] . 2

(5.28)

A fogirányhiba a fogazat osztóhengerének és a fogfelület metszésvonalának eltérése az elméleti fogiránytól, a teljes foghosszra kifejezve [81]. Mivel egyenes fogú hengeres fogaskerék esetén az elméleti fogirány az osztóhenger egy egyenes alkotója, ezért a fogirányhiba tulajdonképpen a síkgörbe X tengely menti maximumának és minimumának különbsége osztóhengeri ívhosszban mérve4 : 

0 Fβr := r arcsin  







~ 3D − min G ~ 3D max G X

2r

X

  

(5.29)

A fogaskerékhez tartozó valószínűségi gyártásgeometriát (5.27. egyenlet) az alábbi paraméterezéssel írtuk fel:

3 4

Amely ellen a gyakorlatban rezgés- és lengéscsillapítással védekeznek. Amennyiben csak egyoldali az eltérés, akkor a megfelelő oldali határolóvonal az elvi fogirányegyenes.

38

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

β = RN [±30 ] ; A = RN [1µm] ; h √ i π ϕ = RN ±3 100 ; 100 λ = RN [1mm] ; b = RN [44, 8mm ± 1µm] ; r = RN [22, 5mm ± 1µm] .

(5.30) (5.31) (5.32) (5.33) (5.34) (5.35)

A harmonikus zaj hullámhosszát a DIN 4760:1982 szabványban meghatározott szintek alapján számszerűsítettük [14], amely a hullámossági profilra jellemző hullámhossz/amplitúdó arányt a 100 − 1000 közötti tartományban definiálja [58]. Szokásos még az ISO 4287:1997 hasz1 1 nálata a hullámosság értelmezéséhez [23], ami a λc alsó és λf felső határ-hullámhossz összetevők alapján definiálja a hullámossági profilt, ahol a határok a felületi érdesség szerint adódnak [31]. A vizsgált mintán a fogfelület Ra = 0, 8 átlagos érdességű, amihez a szabványban a λc = 0, 8mm alsó határ-hullámhossz tartozik. Egy Monte Carlo algoritmussal generált 30 darabos5 véletlen fogirány geometrián rendre kiszámítottuk a fogirányhibát (mért és számított eredmény): 0 Fβr = 0, 0069 ± 0, 0048; Fβr = 0, 0066 ± 0, 0043 [mm] .

(5.36)

A generált minta mérete megegyezett a mért minta méretével. Az eredményekből jól látszik, hogy a generált minta alapvető statisztikai jellemzői nagyságrendben követik a mért értékeket.

5.3. Két közrefogott fogon mért többfogméret A többfogmérést Wildhaber osztrák mérnök alkalmazta először a XX. század elején. A mérés az evolvens fogazat azon tulajdonságát használja ki, hogy az alapkör egy érintőjén mért, két ellentétes görbületű evolvens által kijelölt szakasz hossza konstans, ha az érintő metszi mindkét evolvenst. Ha növeljük a közrefogott fogak számát, a mért evolvens pontok egyre távolabb kerülnek az osztókörtől. Éppen ezért, a közrefogott fogak számát úgy kell meghatározni, hogy az érintett evolvens pontok az osztó-, gördülőkör közelében legyenek [81, 29]. A vizsgált fogaskerekek estén a közrefogott fogszám kettő (k = 2). A 40 mintadarab mind a 9 többfogmérete bevizsgálásra került (B.3. táblázat), a gyártásnál előírt érték és tűrés W2 = 23, 01−0,102 −0,211 mm, a méret ingadozása egy kerék esetén FvW = 0, 018mm volt. Többfogméret esetén valószínűségi gyártásgeometriának magát a megmért szakaszt választjuk, amit a szokásos képlet szerint számítunk:

Wki

5

(α0 , x , ∆w) := m cos (α0 ) 0







1 π + zinv (α0 ) + 2x0 sin (α0 ) + ∆w, i ∈ [1..z] . (5.37) k− 2

5 kerék, 3 fog, 2 oldal

39

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

Az 5.37. egyenletben a ∆w a mérési hibát reprezentálja, vagyis magára a mérésre vonatkozó „gyártási” paraméterről van szó. A valószínűségi gyártásgeometria segítségével meghatározható a számított többfogméret ingadozás: 







0 i i FvW r := max W2 − min W2 . i∈[1..z]

i∈[1..z]

(5.38)

A valószínűségi gyártásgeometriát az alábbi paraméterezéssel vizsgáltuk:

α0 = RN [20◦ ± 10 ] ; x0 = RN [0, 07mm ± 4µm] ; ∆w = RN [±1µm] .

(5.39) (5.40) (5.41)

Általánosabb modellt kapunk, amennyiben mind az alapprofilszöget, mind a fajlagos profileltolást dinamikus mozgásinformációnak választjuk, amitől a szimuláció során eltekintettünk. A szimuláció során kiszámítottuk a 360 darab6 többfogméret 40 kerékre eső ingadozását, amelynek statisztikai tulajdonságai a mért értékekhez jól közelítettek (mért és számított eredmény): 0 FvW r = 0, 0102 ± 0, 0029; FvW r = 0, 0133 ± 0, 0030 [mm] .

(5.42)

5.4. Profilhiba A profilhiba az elméleti és a valóságos evolvens fogprofil közötti eltérés egy összetett hiba (evolvens hiba, alapkörhiba, alapprofilszög hiba), amelynek a mérése egyprofilos legördülő készüléken történhet.

5.6. ábra. Klingelnberg gyártmányú egyprofilos legördítőn mért profildiagram Az egyprofilos legördítő berendezés a profilhibát egy lencseszerű tapintó legördítésével méri, amely egy ponton érinti a vizsgált fogoldalt [81, 29]. Az evolvens görbe geometriai tulajdonsága miatt, az alapkör érintője (alapvonal) mentén érintkező tapintó, a fogaskerekek forgatásának hatására, az alapvonalat megtartva, a forgásnak megfelelő irányban mozdul el. A 6

40 fogaskerék, 9 mérés

40

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

mérés során a tapintóhoz kötött, nagy áttételű kar végén egy írószerkezet rajzolja ki a tapintó mozgását. Elméletileg helyes evolvens profil esetén az írószerkezet a diagramra egy egyenes vonalszakaszt húz, amikor a tapintó eléri a fogfejet, hirtelen „leesik” egy körív mentén. Amennyiben az evolvens fogprofil kialakítása nem megfelelő, a rajzolaton eltérések, hullámok jelennek meg, melyek nagysága arányos a mért pont elméleti evolvens profiltól való eltérésével (5.6. ábra7 ). A diagramon megjelenik a fogaskerék esetleges alapkörhibája, amire a foglábtól a fogfej felé haladó görbe pozitív vagy negatív irányú meredekségéből lehet következtetni. A görbére illesztett egyenes (kiegyenlitő egynes) szögéből lehet következtetni az esetleges alapprofilszög hibára is [81]. A profilhiba mérése a 40 darab mintakerék három fogán (1., 5. és 9.), kétoldalt, Klingelnberg gyártmányú egyprofilos legördítő készüléken történt. A profildiagramot a berendezés az 5.6. ábrán látható diagramra rögzítette (B.4. táblázat). A kiértékelés során a görbék maximális eltérését vettük figyelembe, minden fogoldalt (az azonos keréken lévőket is) független mintának tekintettünk. A profilhiba előírt megengedett szimmetrikus tűrése fpb = ±0, 016mm volt.

5.7. ábra. Evolvens fogazat profilhibájának szemléltetése A profilhiba valószínűségi vizsgálata során a kinematikai módszer segítségével levezetett implicit 5.17. egyenletből indulunk ki. Az 5. fejezetben levezetett alapegyenletek mintájára különféle zajos, ill. sztochasztikus hibákkal terhelt fogazógép kinematika burkológörbéjét is elő tudjuk állítani. A profilgörbe hibáját a mért profilgörbét két oldali egyenközű görbék távolságaként határozták meg. A profilhiba számításánál úgy járunk el, hogy a valószínűségi profilgörbét ~ i pontok). Minden ponthoz kiszámítjuk numerikusan kiértékeljük egy diszkrét ponthalmazon (P a rajta átmenő evolvens görbét, ami az alapkörhöz közeli térrészen egyértelmű, az evolvensillesztés geometriai vázlata az 5.7. ábrán látható. A pontra illesztett evolvenst az alapkörén elhelyezkedő szinguláris pontjába húzott húr X-tengellyel bezárt szögével írjuk le8 : 7

Az egymás feletti vonalak egy kerék különböző fogoldalaihoz tartoznak (1., 5. és 9. fog), míg a vízszintes tagolás a más-más mintakerékre vonatkozó méréseket választja el egymástól. 8 A képletben szereplő határozatlan előjelet az evolvens görbületi irányítottságának megfelelően kell megvá-

41

Ph.D. értekezés





5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái





s

~ iX ±  ~ i := arctan P ~ iY , P Θ P

~ i )2 ~ i )2 +(P (P Y X rb2

s

− 1 − arctan 

~ i )2 ~ i )2 +(P (P Y X rb2

i ∈ [1..n] .



− 1 ,

(5.43)

5.8. ábra. Elégtelen köszörűkoronggal, pontatlan legördítéssel kialakuló fogprofil (az 5.3. ábrán látható elméleti profil itt szaggatott vonallal van jelölve) A profilhibát elsősorban az alapprofilszög és a legördítést vezérlő kinematikai lánc hibájára vezetjük vissza, ebből adódik a használt valószínűségi gyártásgeometria: ~ (t; α0 ; v (t)) := ~rO (U (t) , t) , t ∈ [0, T ] . G 2

(5.44)

Az 5.43. egyenlet segítségével formalizálni tudjuk a valószínűségi gyártásgeometria profilhibáját: 





~ (t) ff0 r := max Θ G t∈[0,T ]







~ (t) − min Θ G t∈[0,T ]

.

(5.45)

Érdemes megjegyezni, hogy az 5.14. vektoregyenletben nem vettük figyelembe a szerszám fejlekerekítési sugarát, valamint a burkológörbe meghatározásakor csak az egyik irányú legördítéssel számoltunk. Éppen ezért a szimulált számításban a fogtőgörbe nincs figyelembe véve, ami kis jelentőségű elhanyagolás, mivel a fogtőgörbének a kapcsolódásban nincs szerepe. lasztani (bal-, ill. jobb fogoldal). A jobb oldali összeg első tagja a komplex függvénytanból ismert, kétparaméteres   arkusz tangens trigonometrikus függvény: arctan (y, x) := −I ln

√x+yI . 2 2 x +y

42

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

A profilhibához tartozó valószínűségi gyártásgeometria paraméterezése a következő értékkel történt:

α0 = RN [20◦ ± 10 ] ;   mm ω2 µm ω2 1 v (t) = RN 21, 143 ±1  (t) . rad rad 50

(5.46) (5.47)

Mivel nem ismert a munkadarab megmunkáláskori szögsebessége, ezért az előtolási sebességet a szögsebesség függvényében fejeztük ki, ami megtehető, hiszen a profilhiba vizsgálatakor a fogprofil pontos megmunkálási ideje mellékes. A mért fogprofilokhoz kidolgozott valószínűségi gyártásgeometria profilhibáját egy 240 darabos9 véletlen mintán számítottuk ki. A gyártott, ill. a szimulált fogprofilok profilhibájának statisztikai közelségét az alábbi számok mutatják (mért és számított eredmény): ff r = 0, 0048 ± 0, 0037; ff0 r = 0, 0045 ± 0, 0012 [mm] .

(5.48)

A szimuláció átlaga közel van a mért átlaghoz, a tapasztalati szórások azonban csupán nagyságrendileg illeszkednek egymásra.

5.5. Alaposztáshiba Osztásnak nevezzük két egymást követő fog, egyoldali fogfelületének távolságát a fogaskerék tetszőleges körén ívben mérve. Ha az osztást az alapkörön mérjük, akkor alaposztásról beszélünk. Ebből következően az alaposztáshiba nem más, minta a mért és a számított alaposztás különbsége [81, 29]. Az alaposztás az alábbi formában kiszámítható: pb = mπ

r . rb

(5.49)

Az egyszerű számíthatóság ellenére az alaposztás közvetlenül nehezen mérhető. Kihasználható azonban az evolvens azon tulajdonsága, hogy egy alapkör két azonos irányú, különböző elhelyezkedésű evolvens görbéje között, a normális irányában mért távolságuk azonos az alapkörön ívhosszban mért távolságukkal (5.9. ábra). A vizsgált fogaskerékmintán mind a 9 fogköz osztását egyesével, Klingelnberg típusú berendezéssel mértük meg a jobboldali fogfelületek mentén (B.5. táblázat). Az ellenőrzés során az összegzett osztáshiba megengedett tűrése Fpb = ±0, 016mm volt.

9

40 kerék, 3 fog, 2 fogoldal

43

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

5.9. ábra. Evolvens fogazatok alaposztásának mérését lehetővé tevő geometriai tulajdonságot szemléltető ábra Az osztáshiba elsősorban a fogazószerszám osztásakor bekövetkező léptetési hibából származik, ami elsősorban az osztást végző kinematikai lánc hibájára vezethető vissza. Az osztás mért értékét természetesen befolyásolja az ütés, ill. a profilhiba is, de ezek hatása jelentősen kisebb a léptetési hibánál, ezért a modellünkben ezeket nem vesszük figyelembe. Adott fogszám mellett a szögosztás elméleti értéke két szomszédos fogoldal között: ϕi,i+1 = t

2π , ∀i ∈ [1..z − 1] z

(5.50)

Az alaposztáshibát ezeknek a szögeknek az eltéréseire alapozzuk úgy, hogy az alaposztást egy külön valószínűségi gyártásgeometriának tekintjük, amit körívek egy halmazaként definiáltunk a következő formában:





z−1,z ~ t, i; ϕ1,2 G := t , . . . , ϕt

       

rb sin



i−1 X j,j+1 

ϕt

j=1 i−1 X rb cos  ϕj,j+1 t j=1 Pz−1 j,j+1 , j=1 ϕt

ϕz,z+1 := 2π − t t ∈ [0, 1] , i ∈ [1..z] .

 

+ tϕi,i+1   

  ,   + tϕi,i+1  

(5.51)

Az alaposztáshibát a körívhalmazból számítjuk úgy, hogy a kapott ívhosszak elvi ívhossztól való eltérését maximalizáljuk:





0 ~ (t, i) − mπ cos (α0 ) . := ± max G fpb i∈[1..z]

2

(5.52)

Az 5.52. egyenlet előjele a legnagyobb eltérés előjelével azonos, a valószínűségi gyártásgeometria normája alatt pedig természetesen a körív hosszát értjük: ~ G (t, i)

2

= rb ϕi,i+1 , i ∈ [1..z] .

(5.53) 44

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

A gyártásszimuláció során a véletlen minta generálásához az alábbi paraméterezést használtuk: ϕt1,2 = RN [40◦ ± 10 ] ; .. . 8,9 ϕt = RN [40◦ ± 10 ] .

(5.54) (5.55)

A generált minta mérete megegyezett a mért minta darabszámával. A mérési adatok statisztikai értékelése és az alaposztáshoz tartozó valószínűségi gyártásgeometrián számított alaposztáshiba közeli értékeket adott (mért és számított eredmény): 0 = 0, 0064 ± 0, 0029 [mm] . fpbr = 0, 0071 ± 0, 0028; fpbr

(5.56)

5.6. Evolvens fogazat előállítása 0o-os Maag osztó-lefejtő eljárással Evolvens fogazatokat előállítására többféle, más-más elven működő, de azonos fogazatot adó megmunkálást is kidolgoztak. Egyik ilyen megoldás a Maag-tól származó 0o -os osztó-lefejtő eljárás (5.10. ábra). Az ilyen módon történő fogazásnál a származtató felület nem a klasszikus fogasléc, éppen ezért a burkolófelület, ill. a valószínűségi gyártásgeometria kialakítása is eltérő módon történik. A fejezet célja, hogy a származtatáselmélet eszközeinek segítségével bemutassuk, hogy valószínűségi gyártásgeometria és így az alakhibák kezelése más, például 0o -os osztó-lefejtő eljárás esetén is lehetséges, a gyártástechnológiának megfelelő leképzési, alakítási mechanizmusra általánosan alkalmazható. A 0o -os osztó-lefejtő eljárás a többfogméret mérésének elvével analóg módon az evolvens fogazat azon geometriai tulajdonságát használja ki, hogy az alapkört vízszintesen érintő egyenes, valamint a fogprofil közös metszéspontjában a profilérintő éppen egy merőleges egyenes. Minden osztásnál erre a képzeletbeli egyenesre állítjuk a függőlegesen felfogott köszörűkorongot, majd (egyenes fogazat esetén) foghossz irányú löketekkel eltávolítjuk az anyagot a munkadarabról. A legördülést a munkadarab (lassú vagy gyors) ingáztatásával biztosítjuk a fogköszörülés közben.

45

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

5.10. ábra. A 0o -os Maag osztó-lefejtő fogazási eljárás vázlata A k. fog jobboldali fogfelülete két futó paraméter (u, v) segítségével az alábbiak szerint formalizálható: 

~r (u, v) :=

     rb      

u∈

v cos (αk ) cos (u) − sin (αk ) sin (u) + +u (cos (αk ) sin (u) + sin (αk ) cos (u)) sin (αk ) cos (u) + cos (αk ) sin (u) + +u (sin (αk ) sin (u) − cos (αk ) cos (u))

"r

rf2 rb2

− 1,

r

ra2 rb2

#



     ,     

(5.57)

− 1 , v ∈ [0, b] .

Az 5.57. egyenletben bevezetett k. foghoz tartozó kezdőszög állandót (αk ) az alábbiak szerint értelmezzük: β0 := αk :=

π(z−4k−1) 2z

r

ra2 rf2

− arctan

− 1, 

sin(β0 )−β0 cos(β0 ) cos(β0 )+β0 sin(β0 )



.

(5.58)

46

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

5.11. ábra. A fog köszörülési vonalainak elméleti kezdőpontjai a fogaskerék homloksíkjában Maga az 5.57. egyenlet a megmunkált felületet, folytonosan differenciálható felületként írja le, ezzel szemben a klasszikus lefejtő eljárások során a nagyolt fogfelületet általában különböző állásokban, foghossz irányban köszörülik meg, vagyis a szerszám által burkolt poligonként képzik az evolvens profilt. Ebből adódóan az érintkezési egyenes, az ingáztatás eredményeként az elméleti profil más és más pontjából indul. Vagyis a nagyolt fogfelületet csak egy diszkrét ponthalmazon burkolja a szerszám mozgása. A bemutatott modellben ezt úgy kezeljük, hogy az u folytonos paramétert egy ui , i ∈ [0..n] diszkrét ponthalmazzal helyettesítjük, ezáltal a zárt felület helyett izolált térgörbéket kapunk. A köszörülési élek kezdőpontjai a gépbeállítások alapján kiszámíthatók és a hengeres fogaskerék homloksíkjában ábrázolhatók (5.11. ábra). Az izolált térgörbék a megmunkálási idő felosztásával, felületinterpolációs technikákkal (pl. B-szplájn felületek) folytonos felületté alakíthatók [87, 57]. ~ i ) rendre, csak adott pontossággal állíthaA köszörülési élek (löketek) indulási helyzetei (G tók be. Ráadásul az elvben egyenes éleket a valóságban hullámosság és érdesség is jellemezheti és a löketek sebessége is csak adott pontossággal állítható be. A keletkező fogfelületek ezen tulajdonságai az élekhez adott zaj jellegű hibatagok alkalmazásával fejezhetők ki az RN [.] (t) formalizmus segítségével: 

Rt

vax (t) dt   0 ~ Gi (t; vax (t) , ∆ry (t) , ∆rz (t)) :=  ~  r2 (ui , 0) + ∆ry (t) ~r3 (ui , 0) + ∆rz (t)



  , 

t ∈ [0, T ] , i ∈ [0..n] .

(5.59)

Mivel a köszörűkorongok előtolása nagy sebességgel történik a lefejtés során és a munkadarabbal csak a korong pereme érintkezik, ezért általánosságban elmondható, hogy a hullámosságot (a profil méreteihez viszonyítva) kis amplitúdó, ill. nagy hullámhossz jellemzi (λ ≈ 1−2mm), vagyis a zaj frekvenciája kicsi ezért a mintavételezési frekvencia is felvehető kis értékkel.

47

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

(a) vax = 0, 9670mm/s

(b) vax = 1, 0115mm/s

(c) vax = 0, 9231mm/s

(d) vax = 1, 0575mm/s

5.12. ábra. Evolvens profilú fogfelületek – véletlenszerűen kiválasztott hibatagok miatt kialakuló – hullámos köszörülési élekkel A valószínűségi gyártásgeometria előállításához készítettünk egy MapleTM 13 programot, amely segítségével ábrázoltuk az eloszlás néhány véletlen egyedét (5.12. ábra). A futtatott szimuláció során a hibatagokat – elsősorban a kitéréseket – szándékosan nagynak választottuk a modellben rejlő hibamodellezési lehetőségek vizuális megjelenítése érdekében:

15; 10s; 2mm; 21, 143mm; 25mm; 21, 143mm; 10mm;   µm mm ±1 × t; vax (t) = RN 1 s s # " b ∆ry (t) = RN ±50µm  (t) ; λT " # b ∆rz (t) = RN ±50µm  (t) . λT n T λ rb ra rf b

= = = = = = =

(5.60) (5.61) (5.62) (5.63) (5.64) (5.65) (5.66) (5.67) (5.68) (5.69)

A mai, modern fogazógépeket ennél jelentősen kisebb beállítási hibák jellemzik, ezáltal pontosabb gyártásgeometriával számolhatunk. 48

Ph.D. értekezés

5. Hengeres fogaskerék fogfelületének geometriai hibái

5.7. Az eredmények értékelése A fejezetben megvizsgáltuk az egyenes fogú, evolvens fogazatú hengeres fogaskerék néhány klasszikus származtatási módszeréhez tartozó leképezését. A leképezéseket rendre valószínűségi gyártásgeometriává alakítottuk (5.4., 5.6. alfejezetek), néhol viszont direkt módon alakítottuk át a gyártásgeometriát valószínűségi gyártásgeometriává (5.1., 5.2., 5.3., 5.5. alfejezetek). Több példán keresztül összehasonlítottuk egy számítógépes programmal generált gyártásgeometriai minta szimulált alakhibáit ismert szerszámmal készített mintafogaskerekeken mért adatsorral. Az összehasonlítás elsősorban statisztikai jellegű volt, általában a két különböző forrású adatsor átlagát és szórását mértük össze. Jól illeszkedőnek tekintettük a szimulációt, amennyiben a mért és a számított átlag és szórás 15% alatti relatív eltérést mutatott, rossznak, ha az 50%ot meghaladta. Amennyiben a relatív hiba a 100%-ot is meghaladja, úgy értékeltük, hogy a szimuláció nem modellezi az adekvát számításokat. A mért és a szimulált eredmények jó egyezése igazolja a valószínűségi gyártásgeometria és a kidolgozott módszer alkalmazhatóságát. 5.1. táblázat. A mért és a szimuláció során számított értékek összehasonlítása (átlag ± szórás) Mért mennyiség A fogazat ütése (Frr ) Fogirányhiba (Fβr ) Többfogméret ingadozása (FvW r ) Profilhiba (ff r ) Alaposztáshiba (fpbr )

Mérés

10, 6±3, 7µm 6, 9±4, 8µm 10, 2±2, 9µm 4, 8±3, 7µm 7, 1±2, 8µm

Szimuláció

10, 5±1, 2µm 6, 6±4, 3µm 13, 3±3, 0µm 4, 5±1, 2µm 6, 4±2, 9µm

Relatív eltérés 1±68% 4± 10% 30± 3% 6±68% 10± 4%

A közölt adatokból látszik, hogy jól megválasztott modellel megfelelően közelíthetők a legyártott fogaskerekek alakhibái a valószínűségi gyártásgeometria segítségével. Ebből azt a következtetést vonjuk le, hogy a gyártási, megmunkálási folyamat megkezdése előtt a valószínűségi gyártásgeometrián végzett célirányos analízis alkalmas a várható alakhibák mértékének előrejelzésére. Ha ezeket az eredményeket összevetjük azzal, hogy egy számítógépes analízis anyagi vonzata gyakran jelentősen alulmúlja egy tesztgyártás költségeit, számításba vehető a bemutatott módszer potenciális ipari hasznossága.

49

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései A valószínűségi gyártásgeometria és a kidolgozott módszer kiértékelésekor vizsgáljuk meg az egy- vagy több bekezdésű csigák fogfelületének megmunkálásból származó lehetséges geometriai eltéréseit. Nagy terhelésű csigahajtópárok esetén a csiga fogfelülete általában köszörüléssel készül (pl. Niemann-féle vagy Dudás-féle köszörülés), ami egy profilgörbe adott tengely körüli állandó szögsebességgel való forgatásából, ill. egyidejű egyenletes, tengelyirányú előtolásából származtatható [86, 29]. Az így keletkező vonalfelület az ún. hengeres csavarfelület. Még általánosabb esetben a torokhenger helyett egy kúpfelület mentén forgatjuk meg a profilgörbét, amit a csiga tengelyre merőleges sugárirányú egyenletes mozgás bevezetésével állítunk elő. A köszörűkorong és a munkadarab kerületi sebességeinek az arányát a hengeres palástköszörülésre vonatkozó technológiai ajánlások szerint kell megválasztani [78]. A műszaki gyakorlatban a csavarfelület származtató profilgörbéje többféle görbe lehet: egyenes (ZK, KK típusok), körív (ZT, KT, ZTA, KTA, ZT1, KT1, ZTN, KTN típusok), evolvens stb. [29]. A kis fogsúrlódás elérésének érdekében arra törekszünk, hogy a mozgásátvitel során állandó olajfilm réteg alakuljon ki a fogfelületek között. Ennek kialakulásához olyan kapcsolódási viszonyok kedveznek, ahol a hajtás relatív sebességvektora közel merőleges a közös érintkezési görbére [51]. Ezt a feltételt legjobban a körív profilú csavarfelületek elégítik ki, ilyen geometriájú csigát először az 1950-es években CAVEX néven a német Flender cég gyártott. Jó tulajdonságai, valamint ipari elterjedtsége miatt vizsgálatunk tárgyát a körív profilú szerszámmal képzett csavarfelületek jelentik. Ráadásul amennyiben a szerszám körív profiljának sugara közelít a végtelenhez a tórusz formájú származtató felület egyre inkább hasonlít egy kúphoz, így a ZK típusú csigákra is alkalmazható a modell. A leképezés meghatározásának kiinduló lépése a körív profilú köszörűkorong működő felületének formalizálása. A köszörűkorong profilgörbéje egy egyparaméteres (η) síkgörbe segítségével határozható meg [22, 24, 6]. Ennek felírásához egy Descartes-féle koordináta-rendszert (OR2 ) használunk homogén koordinátákkal, amelynek origója a korong tengelyén helyezkedik el.

50

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

6.1. ábra. Körív profilú szerszám tengelymetszetben A szerszám tengelymetszete az Y-Z síkban ábrázolva a 6.1. ábrán látható. A Z-tengely körül megforgatva a köszörűkorong élgörbéjét – egy forgatási paraméter segítségével (ψ) – megkapható a köszörűkorong működő felületének vektor-egyenlete:

r (η) := ~rR2 (η, ψ) :=

r     

q

2 − h2 − η 2 − h + h + r , h2k − 2η rax k f d1 k

sin (ψ) r (η) cos (ψ) r (η) η 1



  . 

(6.1) (6.2)

A 6.2. képletben szereplő rd1 a köszörűkorong működő felületének minimális sugarát jelöli, aminek elsősorban technológiai szerepe van, a fogfelület alakját nem befolyásolja, ezért a továbbiakban az egyszerűség kedvéért nullának fogjuk tekinteni. A szerszám és a munkadarab relatív mozgása felírható különböző koordináta-rendszerek segítségével. Homogén koordinátákat használva ezek a mozgások lineáris transzformációk segítségével meghatározhatók, ebből következően mátrixos formában felírhatóak. A komplex relatív mozgást Dudás, Balajti munkája alapján egymást követő elemi transzformációkra bontjuk [22, 6]. A korábbi irodalmaktól eltérő módon, itt minden elmozdulást a valódi fizikai mozgásra jellemző – nem pedig elvont geometriai – változókkal írunk le, mivel így válik lehetségessé a mérhető gyártási paraméterek beépítése a modellbe.

51

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

6.2. ábra. A koordináta-rendszer áttérés elemi lépéseinek vázlata A köszörűkorong saját tengelye körüli forgása, amelynek kizárólag technológiai szerepe van (6.2. ábra 1. transzformáció):

Cω2 := Sω2 :=

 t Z  cos ω2 (t)

dt ,

(6.3)

0



dt ,

(6.4)

0



 t Z sin  ω2 (t)    

M2,R2 (t) := 

Cω2 Sω2 −Sω2 Cω2 0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



  . 

(6.5)

A szerszám tengelyvonalának döntése az osztófelület alkotójának megfelelő irányba (6.2. ábra 2. transzformáció):

52

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

Cδ := cos (δ (t)) , Sδ := sin (δ (t)) ,  1 0 0  0 C −S δ δ MT1,2 (t) :=    0 Sδ Cδ 0 0 0

0 0 0 1



  . 

(6.6) (6.7) (6.8)

A szerszám befordítása a csiga osztókúpján mért közepes emelkedési szögének irányába (6.2. ábra 3. transzformáció):

CΓ := cos (Γ (t)) , SΓ := sin (Γ (t)) ,  CΓ 0 −SΓ  0 1 0  MT2,T1 (t) :=   S Γ 0 CΓ 0 0 0



0 0 0 1

  . 

(6.9) (6.10) (6.11)

Áttérés a köszörülési érintkezési pontból a munkadarab nagyobbik homlokkörlapjának középpontjába (6.2. ábra 4. transzformáció):    

MT3,T2 (t) := 

1 0 0 0

0 1 0 0



0 x0 0 −y0   . 1 −z0  0 1

(6.12)

A munkadarab tengelyirányú előtolása (6.2. ábra 5. transzformáció):

Dvr :=

Zt

vr (t) dt,

(6.13)

Dvax :=

Zt

vax (t) dt,

(6.14)

0

0

   

M1,T3 (t) := 

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 −Dvr 1 Dvax 0 1



  . 

(6.15)

A munkadarab saját tengelye körüli forgása megmunkálás során (6.2. ábra 6. transzformáció):

53

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

 t Z  cos ω1 (t)

Cω1 :=

dt ,

(6.16)

0



dt ,

(6.17)

0



 t Z sin  ω1 (t)

Sω1 :=

   

MR1,1 (t) := 

Cω1 Sω1 −Sω1 Cω1 0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



  . 

(6.18)

Az elemi transzformációk alapján a szerszámhoz rögzített koordináta-rendszerből a munkadarabhoz rögzített koordináta-rendszerbe való áttérés időben változó mátrixa az alábbiak szerint adódik: MR1,R2 (t) := MR1,1 M1,T3 MT3,T2 MT2,T1 MT1,2 M2,R2 .

(6.19)

A 6.2. ábrán vázolt megmunkálási modell esetén a szerszám és a munkadarab tengelytávolsága (transzverzálisa) az alábbi összetett összefüggés szerint számítható: a0 =

 sin(δ) cos(Γ)+y0 sin(Γ)|   |x0 √ 2 2 q 1−cos(Γ) cos(δ)  2 2  x +y 0

, x0 sin (δ) cos (Γ) 6= −y0 sin (Γ)

(6.20)

, különben.

0

A konjugált felület, vagyis a fogfelület egyenlete meghatározható a kapcsolódás alaptörvénye alapján [33, 32]. A törvény kinematikai értelemben úgy fogalmazható meg, hogy a fogfelületek érintkezési pontjaiban a relatív mozgás sebességvektorainak a közös érintősíkban kell feküdniük [66]: (2) 0 = ~nR1~vR1 =

= 

!T

∂~rR1 ∂~rR1 (η, ψ) × (η, ψ) ∂η ∂ψ

∂~rR2 ∂~rR2 (η, ψ) × (η, ψ) =  ∂η ∂ψ

(6.21)

!

∂~rR1 (η, ψ, t) = ∂t

!T

MT R1,R2



(6.22) !

∂MR1,R2 (t) (t)~rR2 (η, ψ) . ∂t

(6.23) (6.24)

A törvény a kapcsolódó felületek minden pontjára igaz és azt fejezi ki, hogy a kapcsolódási pontokban a konjugált felületpár relatív sebessége merőleges a közös felületi normálisra. A 6.21. egyenletet egy csavarfelület felírására alkalmazva az egyik szabad paraméter kifejezhető a másik segítségével: Ψ (η, t) :=

min

kEXY~rR1 (η,ψ,t)k2

n



(2)

o

ψ ~nR1 (η, ψ, t) ~vR1 (η, ψ, t) = 0 .

(6.25)

A parciális deriválás, ill. a vektoriális szorzás homogén koordináták estén az alábbi módon értelmezhető: 54

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései















 ∂m



y1 z2 − z1 y2 x2 x1 z x − x z  y  y   1 2  1  2 1 2    ×   :=  x1 y2 − y1 x2   z1   z2  1 1 1 (t)

1,1 m1,1 (t) m1,2 (t) m1,3 (t) m1,4 (t) ∂t  ∂m2,1 (t)   ∂  m2,1 (t) m2,2 (t) m2,3 (t) m2,4 (t) ∂t   :=   ∂m3,1 (t) ∂t m3,1 (t) m3,2 (t) m3,3 (t) m3,4 (t)  ∂t 0 0 0 1 0

∂m1,2 (t) ∂t ∂m2,2 (t) ∂t ∂m3,2 (t) ∂t

0

(6.26) ∂m1,3 (t) ∂t ∂m2,3 (t) ∂t ∂m3,3 (t) ∂t

0



∂m1,4 (t) ∂t ∂m2,4 (t)    ∂t ∂m3,4 (t)  (6.27)  ∂t

1

A megoldandó trigonometrikus egyenlet teljes kifejtése megtalálható a C. mellékletben. Az ott szereplő algebrai kifejezés alapján jól látszik, hogy a képletben szereplő nagyszámú tényező miatt a hibatagok formális kezelése (akár linearizált formában, akár valószínűségi változók bevezetésével) komplex, nehezen kivitelezhető feladat, annak ellenére, hogy az ilyen formájú trigonometrikus egyenleteknek létezik zárt formájú megoldása. Ezzel szemben a gyártási paraméterek véges mintával való helyettesítésével a vizsgálat numerikus számításokra egyszerűsödik, amit egy megfelelő számítógépes program – a korszerű számítási kapacitás mellett – könnyedén elvégez. – SΨ 1 – SΨ 2

6.3. ábra. Köszörűkorong relatív mozgása során kialakuló konjugált felületek A kapcsolódás első alaptörvénye (6.21) algebrai értelemben két burkolófelületet eredményez (SΨ1 és SΨ2 ). A két felület geometriailag úgy magyarázható, hogy a munkadarab tengelyéhez viszonyítva létrejön egy belső, ill. egy külső (kívülről burkoló) konjugált felület (6.3. ábra), amit korábban többek között Magyar József is feltárt [67]. A konjugált felületek közül műszaki szempontból csak annak van jelentősége, amelyik a munkadarab (henger vagy kúp) 55

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

belső térfogatába esik. A 6.25. egyenletben ezért választjuk az algebrai megoldások közül azt, amelyiknek X-Y síkban mért, OR1 origótól számított távolsága a legkisebb. A csavarfelületekre vonatkozó érvényes konfigurációk halmazát – a 4.20. általános képlettel összhangban – a következő relációk segítségével határoztuk meg:

D=

                                                        

rax , hk , hf , rmax , h, γ0 , x0 , y0 , z0 ; Γ (t) , δ (t) , vax (t) , vr (t) , ω1 (t) , ω2 (t)

!

(0 < hf ≤ hk ≤ rax ) ∧ (0 < rmax ) ∧ (0 < h ≤ rmax tan(γ0 )) ∧ 0 ≤ γ0 < π2 ∧ (0 ≤ min (Γ (t)))∧ max (Γ (t)) < π2 ∧ (0 ≤ min (δ (t)))∧ max (δ (t)) < π2 ∧ (0 < min (vax (t))) ∧ (0 ≤ min (vr (t))) ∧ (0 < min (ω1 (t))) ∧ (0 < min (ω2 (t))) ∧ ...

                                                        

.

(6.28)

Mivel a valószínűségi gyártásgeometria a képzett fogfelület térbeli elmozdulását eredményezheti, szükségünk van még egy további korlátozó feltételre is, ami azt fogalmazza meg, hogy a csavarfelület minden pontja a munkadarab fejhengerének, ill. fejkúpjának a belsejében helyezkedik el: kEXY~rR1 (η, t)k2 ≤ rmax − vr t.

(6.29)

Egy pontatlanul befogott munkadarab esetén például bizonyos részeken túl sok, máshol pedig a kelleténél kevesebb anyag kerülhet lefejtésre (6.4. ábra).

56

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

6.4. ábra. Egy elégtelen fogazatot bemutató felületmodell, ahol a fogmélység körkörösen változik a csiga tengelye mentén Az előzőeken bemutatott formalizmust összefoglalva a csavarfelület implicit egyenlete konkrét formában az alábbi alakot ölti: ~ (η, t; rax , hk , hf , rmax , h, γ0 , x0 , y0 , z0 ; Γ (t) , δ (t) , vax (t) , vr (t) , ω1 (t) , ω2 (t)) := H := ~rR1 (η, t) = MR1,R2 (t)~rR2 (η, Ψ (η, t)) .

(6.30)

A 6.30. egyenlet az ideális geometriára vonatkozik, vagyis a gyártási paraméterek ismeretében pontosan ezt a csavarfelületet kapjuk, ezt tekintjük az elméleti csavarfelület egyenletének. Az egyenletben szereplő paraméterek a 4.3. alfejezetben bemutatott módon helyettesíthetők az RN [.] (t) formalizmussal, megadva ezáltal az általános csavarfelület valószínűségi gyártásgeometriáját. Maga a felület előállítása számításigényes feladat, melyre kidolgoztunk egy számítógépes programot, ami az RN [.] (t) formalizmust követve, véletlen gyártási paraméterekkel dolgozik egy jól meghatározott tartományon belül.

6.1. Csavarfelületek alakhibáit generáló számítógépes program bemutatása A körív profilú csavarfelületek valószínűségi gyártásgeometriájának alkalmazásához létrehozott számítógépes programot Java SE 1.6 környezetben, Java 3D API 1.3 grafikus kezelő felett implementáltuk [26]. A probléma természetéből adódóan, a megvalósított algoritmus az ún. Monte Carlo algoritmus családjába tartozik. A Monte Carlo algoritmusok mindig a puszta véletlenre alapoznak, azt használják ki, hogy bizonyos számítási problémák1 – megfelelő véletlen minta segítségével – bizonyíthatóan hatékonyan megoldhatók [93]. A szükséges véletlen adatmintát a 1

sztochasztikus optimalizálás, genetikus algoritmusok, üzleti folyamatok modellezése, ütemezés, prímtesztek

stb.

57

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

program egy „véletlenszám szolgáltatótól” szerzi be az Interneten keresztül [31]. Ezt a véletlen adatot használja fel a gyártási paraméterek előállítására.

6.5. ábra. A véletlen mintából generált csavarfelület sűrűn lefedő háromszöglisták rendszere Minden egyes kiértékelésnél a gyártási paraméterek vektoreloszlását helyettesítjük egy konkrét számvektorral, amellyel már konkrét számítások végezhetők. A program bemenetét képezik a 6.30. egyenletben bevezetett gyártási paraméterek kvantitatív tulajdonságai, kimenete pedig egy véletlen választáshoz tartozó generált csavarfelület modell. Az előállított számvektort behelyettesítve a 6.19. mátrixba, a 6.25. egyenlet megoldható. Azokat a véletlen eredményeket, amelyek nem felelnek meg a 6.28. feltételnek automatikusan elvetjük és kihagyjuk a számításból. Miután ismert a 6.30 analitikus leképezés, egy sűrű hálón (mesh) pontonként kiszámoljuk a felület koordinátáit (6.5. ábra), majd egy háromszög szalag segítségével definiáljuk a felület grafikus reprezentációját [87, 57].

58

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

START Gyártási paraméterek tulajdonságainak meghatározása. Szignifikáns mintaméret meghatározása ⇒ m. M := {} Véletlen paramétertömb ~ generálása ⇒ P. Értelmezési tartomány ~ ∈ D. ellenőrzése: P Fogfelület generálása ~ háromszögelés segítségével ⇒ R. n

~ M := M ∪ R igen

o

|M | < m

nem Geometriai analízis kiértékelése M -en. VÉGE

6.6. ábra. A valószínűségi gyártásgeometria elemzéséhez kidolgozott általános algoritmus folyamatábrája Az így kapott felület haszna nem csupán a vizuális megjelenés, hanem az, hogy geometriai analízis végezhető rajta, a csavarfelületet jellemző mérések itt koordinátageometriai számításokkal helyettesíthetők. A csavarfelület generáló szoftver használata egyszerűen, mindösszesen 1 főképernyő segítséglével vezérelhető (6.7. ábra). A gyártási paramétereket a programképernyő bal oldalán lehet vezérelni („Gyártási paraméterek” keret). A legfelső paraméter maga a megmunkálás teljes időtartama, ehhez kell igazítani az összes kinematikai jellemzőt. Stacionárius paraméterek esetén a bal szélső számmezőbe kerül a méret névleges értéke, a tőle jobbra elhelyezkedőbe pedig a szimmetrikus tűrése. Időfüggő paraméterek esetén az első rubrika a bázis, a második a maximális kitérés és balról a harmadik pedig a mintavételezés darabszáma. A „Generálás” gomb 59

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

hatására a program generál egy véletlen egyedet, melynek grafikai reprezentációja megjelenik a „Gyártásgeometria” keretben. A paraméterektől balra elhelyezkedő nagyító gombokkal meg lehet tekinteni a konkrét egyedre jellemző numerikus értékét a gyártási paraméternek. Időfüggő paraméterek esetén a program egy idődiagrammot rajzol ki. A beállítások megtartásával, minden egyes generálásnál újabb véletlen egyedet kapunk. Az egyedek grafikai reprezentációja nem csupán megjelenítési célokat szolgál, hanem például CAD rendszerekbe importálva tetszőleges analízis végezhető rajtuk. A program által támogatott csereformátum a VRML 2.0, melyet az „Exportálás” gomb használatával érünk el.

6.7. ábra. A gyártási paraméterek tulajdonságait vezérlő, valamint a valószínűségi csavarfelületet előállító képernyő A „Kötegelt generálás” gomb segítségével az előre beállított gyártási paraméterekhez generálhatunk adott méretű véletlen populációt. A populáció minden egyes egyedéhez készül egy wrl kiterjesztésű grafikai reprezentáció, valamint egy txt kiterjesztésű szöveges fájl, ami a gyártási paraméterek, adott egyedre vonatkozó konkrét értékét tartalmazza. Ezek a kimeneti fájlok felhasználhatók egy külső szoftver által elvégzett, átfogó fogfelület analízishez.

60

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

(a) rmax = 5, 08mm; h = 10, 00mm

(b) rmax = 4, 96mm; h = 10, 01mm

(c) rmax = 5, 08mm; h = 9, 97mm

(d) rmax = 4, 95mm; h = 10, 03mm

6.8. ábra. A program által generált véletlen csavarfelület változatok nagy abszolút hibaértékek mellett

6.2. Csavarfelületet generáló program alkalmazása Az előző fejezetben bemutatott program segítségével előre jelezzük egy meghatározott bemeneti hibákkal terhelt megmunkálás során keletkező osztás-, illetve emelkedési hibát. A vizsgálathoz 61

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

egy körív profilú, egybekezdésű hengeres csiga csavarfelületének előállítását szimuláljuk, ahol a kiinduló paramétereket, ill. azok hibáit a következőképpen vesszük fel: rax = RN [10mm ± 0, 5mm] ; hk = RN [7, 5mm ± 0, 5mm] ; hf = RN [5mm ± 0, 5mm] ; rmax = RN [50mm ± 0, 5mm] ; h = RN [100mm ± 0, 5mm] ; γ0 = RN [0◦ ] ; x0 = RN [0mm] ; y0 = RN [45mm ± 0, 5mm] ; z0 = RN [95mm ± 0, 5mm] ; Γ (t) = RN [0◦ ] ; δ (t) = RN [0◦ ] ;   mm mm vax (t) = RN 10 ± 0, 5  2, 5 (t) ; s s  mm vr (t) = RN 0 ; s # " rad rad ± 0, 01  2, 5 (t) ; ω1 (t) = RN 3 s s " # rad rad ω2 (t) = RN 1 ± 0, 01  2, 5 (t) . s s

(6.31) (6.32) (6.33) (6.34) (6.35) (6.36) (6.37) (6.38) (6.39) (6.40) (6.41) (6.42) (6.43) (6.44) (6.45)

A valószínűségi paraméterek alapján egy 70 elemből álló mintát generáltunk, majd az előálló csavarfelületeken kiszámítottuk az osztást – jelen esetben az emelkedést – az osztóhenger következő alkotója mentén, ahol az egyenes a T3-as koordináta-rendszerben van felírva: 

0   rmax − u

hf 2



 ,

u ∈ (−∞, ∞) .

(6.46)

A csiga fogazott hosszán 5 teljes körülfordulás történik, ami tengelymetszetben 4 axiális osztás mérését teszi lehetővé. A szimuláció során kapott axiális osztásokat a B.3. táblázat foglalja össze. Az elméleti osztás a felhasznált paraméterek alapján kiszámítható: px =

2π v¯ax = 20, 9440mm. ω ¯1

(6.47)

Az elméleti és az egyedre jellemző értékek különbsége adja az osztás-, illetve emelkedési hibát, amely a szimuláció során előállított 70 csavarfelület 4 pontján mérve az alábbiak szerint alakul: fpxr = 0, 2978 ± 0, 2256 [mm] .

(6.48)

A bemutatott példából kitűnik, hogy a megmunkáló szerszámgépre jellemző hibatagok felvételével numerikus következtetéseket vonhatunk le a csiga várható osztás-, illetve emelkedési 62

Ph.D. értekezés

6. Körív profilú szerszámmal kialakított csavarfelületek geometriai eltérései

hibájára. Mindezt kiegészítve további lehetséges hibatagokkal és összevetve az 5. fejezetben kifejtett modell verifikációval, egy alkalmas és olcsó vizsgálati eljárást kapunk a megmunkált csiga pontosságára az effektív gyártás megkezdése előtt.

63

7. Következtetések, összefoglalás A disszertációban bemutatott valószínűségi gyártásgeometrián alapuló megközelítés segítségével vizsgálhatóvá válnak a síkbeli- és térbeli hajtópárok megmunkálásból fakadó hibái, pontatlanságai. Az újszerű módszertan lehetővé teszi a megmunkált munkadarab valósághűbb geometriai tulajdonságainak (pl. kapcsolódási viszonyok, tribológiai sajátosságok, szilárdságtani, hőtani tulajdonságok) statisztikai eszközökre alapozott értékelését. A vizsgálatok egy véletlen minta generálására alkalmas szimulációs szoftverrel támogathatók, ahol a szimuláció során az előirányzott analitikai számítások elvégezhetők. A modell segítségével a bemenetként kezelt szerszámmal és beállításokkal megmunkált fogazat várható alakhibáinak nagyságrendje, valamint egy adott fogazati minőség eléréséhez szükséges gyártási pontosság egyaránt meghatározható. A térbeli hajtópárok ilyen formában megvalósuló tárgyalásmódja szorosabb kapcsolatot eredményez a tervezési szakaszban dokumentált hajtópár és a választott megmunkálási technológia között. A megközelítés elsőrendű haszna, hogy a gyártást megelőzően a hajtópár kapcsolódási viszonyainak a jelenlegi módszereknél pontosabb analízise válik lehetővé. Az erre vonatkozó hipotéziseinket konkrét példákon keresztül mutattuk be, a modell alkalmazhatóságát és a benne rejlő potenciális előnyöket mért és számított eredmények párhuzamos értékelésével igazoltuk.

7.1. Tézisek Az értekezés új tudományos eredményeit az alábbi tézisek foglalják össze: 1. tézis: A szerszámgépek mozgásleképezési-, valamint a származtatott munkadarab geometriai alakeltérései az alakítási mechanizmus statikus- és dinamikus mozgásinformációinak valószínűségi változókkal való helyettesítésével általánosan, kvantitatív módon jellemezhetők, ami a korábban kidolgozott származtatáselméleti modell kiterjesztése és biztosítja a bemeneti hibatagok beépítését a formális gyártásgeometriába. A valószínűségi változók formális kifejtésénél mindig a vizsgált leképezési mechanizmusra jellemző sztochasztikus tulajdonságokhoz illeszkedő módon kell eljárni [39, 45, 42, 41, 50, 47, 38, 40, 44, 43, 46, 48, 49]. 2. tézis: Amennyiben a származtató felületnek a munkadarab felületére való leképezése felírható az egymástól független, relatív mozgásinformációkon értelmezett folytonos vektorfüggvénnyel, akkor a függvény értelmezhető egy megfelelően megválasztott bemeneti valószínűségi vektorváltozó transzformációjaként. A valószínűségi vektorváltozó transzformációja a koordináták sokaságához egy-egy térbeli ponteloszlást, a sztochasztikus pontok sokaságát rendeli. A koordináták teljes, folytonos sokaságához rendelt sztochasztikus pontokból álló eloszlás sokaságok együttese a valószínűségi gyártásgeometria. A lokális és globális 64

Ph.D. értekezés

7. Következtetések, összefoglalás

leképezési technikákat egyaránt figyelembe véve a származtató felület és a relatív mozgásinformációk valószínűségi vektorváltozóval való helyettesítésével adódik a megmunkált fogfelület valószínűségi gyártásgeometriája [39, 45, 42, 41, 50, 47, 38, 40, 44, 43, 46, 48, 49]. 3. tézis: A valószínűségi gyártásgeometria kezelésére a hibatagok eloszlását figyelembe vevő véges véletlen mintát előállító számítógéppel segített módszert és eljárást dolgoztam ki. A kidolgozott valószínűségi gyártásgeometriai modell, illetve eljárás alkalmasságát egy 40 darabból álló, evolvens fogazatú, egyenesfogú hengeres fogaskerék minta (z = 9; m = 5mm; α0 = 20◦ ; x1 = +0, 07) gyártásgeometriai alakeltéréseinek vizsgálatán keresztül igazoltam. A mért és a számítógéppel előállított véletlen mintán számított fogazási hibák (ütés, fogirányhiba, többfogméret hiba, profilhiba, alaposztáshiba) átlaga és tapasztalati szórása különböző mértékű, de általában jó egyezést mutatott, nagyságrendi eltérés (100%-nál nagyobb relatív eltérés) az értékek között sehol nem mutatkozott [49]. 4. tézis: A térbeli fogazatok, így a csavarfelületek gyártásgeometriáját leíró, a kinematikai módszeren alapuló általános leképezési modellt alkalmasan kiegészítve az alakítási mechanizmus és a származtató felület hibatagjaival, a csavarfelület és a térbeli fogazatok valószínűségi gyártásgeometriája szimulálható a kidolgozott véges, véletlen mintát előállító számítógépes program segítségével. A véges mintán a csavarfelület hibái koordinátageometriai módszerekkel kiadódnak, amelyek lehetővé teszik ismert beállítási pontossággal rendelkező alakítási mechanizmus esetén a fogfelület geometriájára vonatkozó, megbízható statisztikai becslést [39, 45, 42, 41, 50, 47, 38, 40, 44, 43, 46, 48, 49].

7.2. Továbbfejlesztési irányok, lehetőségek A kidolgozott és a dolgozatban bemutatott valószínűségi gyártásgeometriai modell és módszer lehetőséget ad a gyártásgeometria és a fogazáselmélet továbbfejlesztésére, kiterjesztésére. Az alábbiakban röviden felsoroljuk az általunk legfontosabbnak ítélt továbbfejlesztési irányokat: • A valószínűségi gyártásgeometria bevezetésénél a disszertációban kizárólag normális eloszlású valószínűségi változókra hagyatkoztunk. Bizonyos gyártási feltételek teljesülése esetén egy paraméter szóródása eltérő mintát mutathat, vagyis célszerű a valószínűségi gyártásgeometriák felépítését egyéb ismert eloszlásokra is kiterjeszteni. • A dolgozatban tárgyalt hajtópároknak csak bizonyos alaksajátosságait helyettesítettük valószínűségi gyártásgeometriával, vagyis részproblémákra koncentráltunk. Ez célszerű egyszerűsítés volt a kritikus alakhibák kiemelése és hatékony tárgyalása érdekében. Előremutató, átfogó megközelítés lenne a teljes hajtóelemet egy nagy valószínűségi gyártásgeometriaként kezelni. Az átfogó kezelés előnye kényszeres egyszerűsítések eliminálása, hátránya a megnövekedett komplexitás és a nagyobb számítási igény. • A modell mélyrehatóbb verifikálásához szükséges további kísérletek, mérési kampányok megszervezése, ahol a megmunkáló berendezés beállítási pontossága kimerítően ismert, illetve ahol a bizonytalanságot hozó, külső zavaró körülmények módszeresen elkerülhetők. • A valószínűségi gyártásgeometria – mint az alkatrész funkcionális jellemzője – beépítése geometriai analízisre alkalmas számítógépes tervező és gyártó rendszerekbe.

65

Ph.D. értekezés

7. Következtetések, összefoglalás

• A megmunkálást követően a hajtóműbe beépített hajtópár geometriája élettartama során további sztochasztikus jellegű változásokon megy keresztül (alakváltozás, kopás stb.). A disszertációban kidolgozott valószínűségi gyártásgeometriában ezek a dinamikus , üzemidő alatt bekövetkező változások nincsenek figyelembe véve. Elképzelhető az ilyen típusú dinamikus alakhibák integrálása a modellbe, szimulációba. • További – a dolgozatban nem tárgyalt – térbeli hajtópárok és kapcsolódó megmunkálási módszerek valószínűségi gyártásgeometriájának kidolgozása, szimulációja és a fellépő hibahatások elemzése.

66

Irodalomjegyzék [1] Abraham de Moivre: Doctrine of Chances. 1718. [2] Andrei Andreyevich Markov: Calculus of Probabilities. 1900. [3] Andrey Nikolaevich Kolmogorov: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1933. [4] Augustus De Morgan: An Essay on Probabilities. 1838. [5] Bakondi Károly: Hátraesztergált marók és fogazószerszámok tervezése. Budapest, 1974, Tankönyvkiadó. [6] Balajti Zsuzsanna: Kinematikai hajtópárok gyártásgeometriájának fejlesztése. Miskolc, 2007, Ph.D. értekezés, Miskolci Egyetem. [7] Baróti György – Bognár Jánosné – Fejes Tóth Gábor: A valószínűségszámítás klasszikus és aktuális problémái. Budapest, 1986, Műszaki Könyvkiadó. [8] Baróti György – Bognár Jánosné – Fejes Tóth Gábor: Valószínűségszámítás. Budapest, 1996, Nemzeti Tankönyvkiadó. [9] Bercsey Tibor: Globoid csiga és sík fogfelületű hengeres kerék kapcsolódási viszonyainak vizsgálata. Budapest, 1971, Egyetemi doktori értekezés, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. [10] Bercsey Tibor: Toroidhajtások elmélete. Budapest, 1977, Kandidátusi értekezés. [11] Bercsey Tibor – Horák Péter: Analyse der Schmierungsverhältnisse und Abweichungen von ZTA-Schneckengetrieben. In Dresdner Maschinenelemente Kolloquium (konferenciaanyag). Drezda, 2005, 209–218. o. [12] Charles S. Peirce: Illustrations of the Logic of Science. 1878. [13] Charles S. Peirce: A Theory of Probable Inference. 1883. [14] Christiaan Huygens: Libellus De Ratiociniis in Ludo Aleae. 1657. [15] Claude E. Shannon: A Mathematical Theory of Communication. 1948. [16] D. W. Dubley – H. Poritsky: On Cutting and Hobbing Gears and Worms. Journal of Applied Mechanics, 3–4. évf. (1943). [17] Daniel Bernoulli: Specimen theoriae novae de mensura sortis. 1738. 67

Ph.D. értekezés

Irodalomjegyzék

[18] Drahos István: A forgácsoló szerszámok gyártásgeometriájának alapjai. Budapest, 1974, Tankönyvkiadó. [19] Drahos István: A forgácsolószerszámok élgeometriája. Budapest, 1975, Tankönyvkiadó. [20] Drahos István: A kinematikai gyártásgeometria alapjai. Miskolc, 1987, Miskolci Egyetem. [21] Drobni József: Köszörülhető globoid csigahajtások. Budapest, 1968, Kandidátusi értekezés. [22] Dudás Illés: Csavarfelületek gyártásának elmélete. Miskolc, 1988, Akadémiai értekezés. [23] Dudás Illés: Gépgyártás-technológia I. Miskolc, 2002, Miskolci Egyetem. [24] Dudás Illés: The Theory and Practice of Worm Gear Drives. Sterling, 2004, Page US. [25] Dudás László: Kapcsolódó felületpárok gyártásgeometriai feladatainak megoldása az elérés modell alapján. Miskolc, 1991, Kandidátusi értekezés. [26] Dudás László: A consistent model for generating conjugate surfaces and determining all the types of local undercuts and global cut. In UMTIK’96 International Machine Design and Production Conference (konferenciaanyag). Ankara, 1996, 467–476. o. [27] E. Hultzsch: 30 Jahre registrierende Zeiss-Jena Evolventenprüfgeräte für Präzisionsmessungen. Jenaer Rundschau, 14. évf. (1969), 290–295. o. [28] Erney György: A fogaskerekek mérése és gyártásellenőrzése. Budapest, 1959, Műszaki Könyvkiadó. [29] Erney György: Fogaskerekek. Budapest, 1983, Műszaki Könyvkiadó. [30] F. Bredendick: Zur Gesamteinteilung der Fertigungsverfahren. Wissenschaftliche Zeitschrift der TU Dresden, 9. évf. (1960) 4. sz., 923–931. o. [31] Farkas Gabriella: Esztergált műszaki műanyag felületek mikrotopográfiai jellemzői. Gödöllő, 2010, Ph.D. értekezés, Szent István Egyetem. [32] Faydor L. Litvin: A fogaskerékkapcsolás elmélete. Budapest, 1971, Műszaki Könyvkiadó. [33] Faydor L. Litvin – Alfonso Fuentes: Gear Geometry and Applied Theory. Cambridge, 2004, Cambridge University Press. [34] Fazekas István: Valószínűségszámítás. Debrecen, 2000, Debreceni Egyetem. [35] Georg Berndt: Grundlagen für die Messung von Stirnzahnrädern. Berlin, 1935, Springer. [36] Gergó Lajos: Numerikus módszerek. Budapest, 2006, ELTE Eötvös Kiadó. [37] Gerolamo Cardano: Liber de Ludo Aleae. 1663. [38] Groma István – Bercsey Tibor: Csavarfelületek geometriai hibáinak modellezése. GÉP, LVII. évf. (2006), 57–60. o. [39] Groma István – Bercsey Tibor: Csavarfelületek geometriai hibáinak modellezése. In OGÉT 2007: XV. Nemzetközi Gépész Találkozó (konferenciaanyag). Kolozsvár, 2007, 57–60. o. 68

Ph.D. értekezés

Irodalomjegyzék

[40] Groma István – Bercsey Tibor: Csavarfelületek gyártási hibáinak modellezése valószínűségi változók használatával. GÉP, LVIII. évf. (2007), 51–54. o. [41] Groma István – Bercsey Tibor: Modeling shape errors of worm gears. In 2007 ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference (konferenciaanyag). Las Vegas, 2007. [42] Groma István – Bercsey Tibor: Modelling shape inaccuracies of worm milling cutter. In Proceeding of the 12th International Conference on Tools (konferenciaanyag). Miskolc, 2007, 163–168. o. [43] Groma István – Bercsey Tibor: Csavarfelületek gyártási hibáinak modellezése valószínűségi változók bevezetésével. GÉP, LIX. évf. (2008), 31–33. o. [44] Groma István – Bercsey Tibor: Evolvens fogazat megmunkálási hibáinak geometriai modellezése. GÉP, LVIII. évf. (2008), 40–43. o. [45] Groma István – Bercsey Tibor: Modeling errors in worm gear manufacture with random variables. In Proceedings of 6th Conference on Mechanical Engineering (konferenciaanyag). Budapest, 2008. [46] Groma István – Bercsey Tibor: Hengeres és kúpos csigák gyártási alakhibáinak modellezése. Gépgyártás, XLIX. évf. (2009) 4–5. sz., 17–22. o. [47] Groma István – Bercsey Tibor: Modeling errors in worm gear manufacture with random variables. In Proceedings of The JSME International Conference on Motion and Power Transmissions (konferenciaanyag). Sendai, 2009, 143–147. o. [48] Groma István – Bercsey Tibor: Modelling Shape Inaccuracies of Worm Gears. Journal of Machine Manufacturing, XLIX. évf. (2009) 6. sz., 9–13. o. [49] Groma István – Bercsey Tibor: Modelling Tooth-Shape Errors Using Random Variables. Periodica Polytechnica – Mechanical Engineering, 53. évf. (2009) 2. sz. [50] Groma István – Bercsey Tibor – Horák Péter: Modeling errors in worm gear manufacturing with random variables. In Dresdner Maschinenelemente Kolloquium (konferenciaanyag). Drezda, 2007, 171–182. o. [51] Gustav Niemann – Constantin Weber: Schneckentriebe mit flüssiger Reibung. VDIForschungsheft, 412. évf. (1942). [52] H. I. Gohman: Theory of Gearing Generalized and Developed Analytically. Odessza, 1886. [53] H. Weinhold: Zur fertigungsgeometrischen Deutung technologischer Prozesse. Fertigungstechnik und Betrieb, 3. évf. (1963), 150–154. o. [54] Hegyháti József: Untersuchungen zur Anwendung von Spiroidgetrieben. Drezda, 1988. [55] Hermann J. Stadtfeld: Handbook of Bevel and Hypoid Gears. Rochester, 1993, Rochester Institute of Technology. [56] Horák Péter: Körívprofilú csigahajtópárok tribológiai vizsgálata. Budapest, 2003, Ph.D. értekezés, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 69

Ph.D. értekezés

Irodalomjegyzék

[57] Horváth Imre – Juhász Imre: Számítógéppel segített gépészeti tervezés. Budapest, 1996, Műszaki Könyvkiadó. [58] Horváth Sándor: A felületi hullámosság 2D-s és 3D-s jellemzése, a működési tulajdonságokra gyakorolt hatásának vizsgálata és elemzése. Budapest, 2008, Ph.D. értekezés, Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem. [59] Házkötő István: Műszaki 2D-s ábrázolás. Budapest, 2006, Műegyetemi Kiadó. [60] J. Capelle: Théorie et calcul des engrenages hypoids. Párizs, 1949, Editions Dunod. [61] Jakob Bernoulli: Ars conjectandi. 1713. [62] John E. Brown: Statistical Methods in Engineering and Manufacturing. Milwaukee, 1990, Amer Society for Quality. [63] Kaposvári Zoltán: Műszermechanizmusok pontossági vizsgálata. Budapest, 1974, Kandidátusi értekezés. [64] Leonhard Paul Euler: Novi Comm. Acad. Sc.-Petersburg. Szentpétervár, 1781. [65] Lévai Imre: Néhány alapvető szempont a hipoid hajtások tervezéséhez. Budapest, 1980, Akadémiai értekezés. [66] Lévai Imre: Hipoidhajtások Tervezésének Alapjai. Miskolc, 1994, Miskolci Egyetem. [67] Magyar József: Csavarfelületű elemek kapcsolódása. Budapest, 1958, Kandidátusi értekezés. [68] Martin Disteli: Über instantane Schraubengeschwindigkeiten und die Verzahnung der Hyperboloidräder. Z. Math. u. Phys., 53. évf. (1904), 51–88. o. [69] Mogyoródi József: Matematikai statisztika. Budapest, 1995, Nemzeti Tankönyvkiadó. [70] N. A. Kalasnyikov: Issledovanie zubqatyh peredaq. Moszkva, 1941, Mashgiz. [71] N. I. Kolcsin: Analitiqeski rasqet ploskih i prostranstvennyh zacepleni. Moszkva, 1949, Mashgiz. [72] Nyikolaj G. Bruevics: Toqnost mehanizmov. Moszkva, 1946, Gostekhizdat. [73] O. Kienzle: Die Grundpfeiler der Fertigungstechnik. Werkstattstechnik und Maschinenbau, 46. évf. (1956) 5. sz., 209–210. o. [74] O. Saary: The Mathematical Background of Spiroid Geras. Industrial Mathematics, 7. évf. (1956). [75] Pafnutyin Lvovich Csebisev: An Experience in an Elementary Analysis of the Probability Theory. 1846. [76] Pierre-Simon Laplace: Theorie analytique des probabilitesm. 1812. [77] Páy Gábor László: Belső csigás hajtások. Miskolc, 2001, Ph.D. értekezés, Miskolci Egyetem. [78] Rábel György: Gépipari technológusok zsebkönyve. Budapest, 1979, Műszaki Könyvkiadó. 70

Ph.D. értekezés

Irodalomjegyzék

[79] Robert Ball: Theory of Screws. Cambridge, 1900. [80] Roger Cotes: Opera Miscellanea. 1722. [81] Rohonyi Vilmos: Fogaskerékhajtások. Budapest, 1980, Műszaki Könyvkiadó. [82] Simon Vilmos: Egy új típusú globoid csigahajtás jellemzői. Budapest, 1994, Akadémiai értekezés. [83] Siposs István: Globoid hajtások lefejtés nélkül készített csigakerékkel. Miskolc, 1990, Kandidátusi értekezés. [84] Sz. T. Zuckerman: Toqnye mehanizmy. Moszkva, 1941, Oborongiz. [85] Szegh Imre: Gyártástervezés. Budapest, 1996, Műegyetemi Kiadó. [86] Szeniczei Lajos: Csigahajtóművek. Budapest, 1957, Műszaki Könyvkiadó. [87] Szirmay-Kalos László – Antal György – Csonka Ferenc: Háromdimenziós grafika, animáció és játékfejlesztés. Budapest, 2000, ComputerBooks. [88] Tajnafői József: Szerszámgépek mozgásleképező tulajdonságának elvei és néhány alkalmazása. Miskolc, 1965, Kandidátusi értekezés. [89] Tajnafői József: Mechanizmusok származtatáselméletének alapjai és hatása a kreatív gondolkodásra. Miskolc, 1991, Akadémiai értekezés. [90] Terplán Zénó: A fogaskerék-bolygóművek méretezési kérdései. Miskolc, 1965, Akadémiai értekezés. [91] Theodore J. Krenzer: Tooth Contact Analysis of Spiral Bevel and Hypoid Gears Under Load. 1981, SAE Technical Paper No. 810688. [92] Théodore Olivier: Théorie géometrique des engrenages. Párizs, 1842. [93] Thomas H. Cormen – Charles E. Leiserson – Ronald L. Rivest: Introduction to Algorithms. 1990, The Massachusetts Institute of Technology. [94] V. A. Siskov: Vlinie pogrexnoste sborki qervqno peredaqi na plavnost~ zacepleni. Stanki i instrument, 10. évf. (1959). [95] W. Beyer – R. Wittekopf: Messdaten digital erfassen und rechnerunterstützt auswerten bei Verzahnungen. In Maschinenmarkt 83 (konferenciaanyag). 1977, 1614–1616. o. [96] W. Dreyhaupt: Oberflächenprüfung von Zahnflanken. Werkstatt und Betrieb, 109. évf. (1976), 381–388. o. [97] W. Höfler: A fogaskerékellenőrzés új módszerei. Budapest, 1967, Műszaki Könyvkiadó.

71

Szabványok és kézikönyvek jegyzéke [98] ANSI/AGMA 1102-A03. Tolerance Specification for Gear Hobs. 2003. [99] ANSI/AGMA 2009-B01. Bevel Gear Classification, Tolerances and Measuring Methods. 2001. [100] ANSI/AGMA 2011-A98. Cylindrical Wormgearing Tolerance and Inspection Methods. 1998. [101] ASTM E122 - 09. Standard Practice for Calculating Sample Size to Estimate, With Specified Precision, the Average for a Characteristic of a Lot or Process. 2007. [102] DIN 3961. Tolerances for Cylindrical Gear Teeth; Bases. 1978. [103] DIN 3962-1. Tolerances for Cylindrical Gear Teeth; Tolerances for Diviations of Individual Parameters. 1978. [104] DIN 3962-2. Tolerances for Cylindrical Gear Teeth; Tolerances for Tooth Trace Deviations. 1978. [105] DIN 3962-3. Tolerances for Cylindrical Gear Teeth; Tolerances for Pitch-span Deviations. 1978. [106] DIN 3963. Tolerances for Cylindrical Gear Teeth; Tolerances for Working Deviations. 1978. [107] DIN 3964. Deviations of Shaft Centre Distances and Shaft Position Tolerances of Casings for Cylindrical Gears. 1980. [108] DIN 3967. System of Gear Fits; Backlash, Tooth Thickness Allowances, Tooth Thickness Tolerances; Principles. 1978. [109] DIN 3974-1. Accuracy of worms and worm gears – Part 1: General bases. 1995. [110] DIN 3974-2. Accuracy of worms and worm gears – Part 2: Tolerances for individual errors. 1995. [111] DIN 4760. Form deviations; Concepts; Classification system. 1982. [112] ISO 1328-1. Cylindrical gears – ISO system of accuracy – Part 1: Definitionsand allowable values of deviations relevant to corresponding flanksof gear teeth. 1995.

72

Ph.D. értekezés

Szabványok és kézikönyvek jegyzéke

[113] ISO 1328-2. Cylindrical gears – ISO system of accuracy – Part 2: Definitionsand allowable values of deviations relevant to radial compositedeviations and runout information. 1997. [114] ISO 17485. Bevel gears – ISO system of accuracy. 2006. [115] ISO 2768-1. General tolerances – Part 1: Tolerances for linear and angulardimensions without individual tolerance indications. 1989. [116] ISO 2768-2. General tolerances – Part 2: Geometrical tolerances for featureswithout individual tolerance indications. 1989. [117] ISO 286-1. ISO system of limits and fits – Part 1: Bases of tolerances,deviations and fits. 1988. [118] ISO 286-2. ISO system of limits and fits – Part 2: Tables of standard tolerancegrades and limit deviations for holes and shafts. 1988. [119] ISO 4156. Straight cylindrical involute splines – Metric module, side fit – Generalities, dimensions and inspection. 1981. [120] ISO 4287. Geometrical Product Specifications (GPS) - Surface texture: Profile method Terms, definitions and surface texture parameters. 1997. [121] ISO 4468. Gear hobs – Single start – Accuracy requirements. 1982. [122] ISO 8015. Technical drawings – Fundamental tolerancing principle. 1985. [123] Java. Programozási nyelv. 2009. december. URL http://java.sun.com/. [124] MSZ-05-80.7105. Fogaskerekek. Fogazatok felületi érdessége. 1972. [125] MSZ 12869. Nagymodulú hengereskerékhajtások tűrései. 1977. [126] MSZ 7490/4. Fogaskerekek fogalommeghatározásai. Csigahajtások. 1982. [127] MSZ 7491. Fogaskerékhajtások általános hibáinak és tűréseinek fogalommeghatározásai. 1980. [128] RANDOM.ORG. Igazi véletlen számok. 2009. december. URL http://www.random.org/. [129] Wikipedia. A szabad enciklopédia. 2009. november. URL http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_normal_distribution. [130] Wikipedia. A szabad enciklopédia. 2009. november. URL http://en.wikipedia.org/wiki/White_noise.

73

Mellékletek

74

A. Valószínűségi gyártásgeometriákat szimuláló MapleTM 13 program restart: with(LinearAlgebra): with(stats): with(random): with(CurveFitting): with(plots): # Általános segédfüggvények maxf := proc(f, umin, umax) local p1, points, maxval, maxpt; p1 := plot(f, u = umin .. umax): points := op([1, 1], p1): maxval := max(op(map(t -> t[2], points))): return(maxval): end proc: minf := proc(f, umin, umax) local p1, points, minval, minpt; p1 := plot(f, u = umin .. umax): points := op([1, 1], p1): minval := min(op(map(t -> t[2], points))): return(minval): end proc: # Valószínûségi geometria segédfüggvények protect(’_t_’): Noise:=proc(s::numeric, a::numeric, f::numeric, ciclic::boolean := false) local m, xdata, ydata: global T: if a < 0 then error "Invalid a: %1", a end if: if f < 0 then error "Invalid f: %1", f end if: if (not type(T, numeric)) or (T < 0) then error "Invalid T: %1", T end if: m:=round(T * f): if m > 0 then xdata := [seq(T * i / m, i = 0 .. m)] else xdata := [0] end if:

75

Ph.D. értekezés

A. Valószínűségi gyártásgeometriákat szimuláló MapleTM 13 program

if a > 0 then ydata := [random[normald[s, a]](m + 1)] else ydata := [seq(s, i = 0 .. m)] end if: if ciclic then ydata[m + 1]:=ydata[1]; end if: if nops(xdata) = 0 then return 0 elif nops(xdata) = 1 then return ydata[1] elif nops(xdata) >= 2 then return Spline(xdata, ydata, _t_, degree=3, endpoints=’natural’) end if: end proc: MakeNoise:=proc(s::numeric, a::numeric, f::numeric, ciclic::boolean := false) return module() export val, der, ader, new; new := proc() val := Noise(s, a, f, ciclic): end; der := () -> diff(val, _t_); ader := () -> int(algsubs(_t_ = tau, val), tau = 0 .. _t_); new(); end module: end proc: MakeTol:=proc(v::numeric, t::numeric) return MakeNoise(v, t / 3, 0) end proc: MakeConst:=proc(c::numeric) return MakeNoise(c, 0, 0) end proc: # Hengeres fogaskerék paraméterei T := 1; z := 9; m := 5; alpha0 := evalf(Pi) / 9; beta := 0; x := 0.07; b := 44.8; d := m * z; r := d / 2; r_w := r + m * x; r_b := r * cos(alpha0); h_a := 1.17 * m; r_a := r + h_a; phi := 2 * evalf(Pi) / z; p := m * evalf(Pi); # A fogazat ütése G := (u, x_0, y_0, d ) -> [ x_0 + (d/2 + deltar) * cos(u), y_0 + (d/2 + deltar) * sin(u) ]: data := []:

76

Ph.D. értekezés

A. Valószínűségi gyártásgeometriákat szimuláló MapleTM 13 program

for i from 1 to 40 do: GG := subs( deltar=subs(_t_=T * u / 2 / Pi, MakeNoise(0, 2e-3, 100):-val), G(u, MakeTol(0, 1e-3):-val, MakeTol(0, 1e-3):-val, MakeTol(d, 1e-3):-val) ): data := [op(data), maxf(sqrt(GG[1]^2 + GG[2]^2), 0, 2 * Pi) minf(sqrt(GG[1]^2 + GG[2]^2), 0, 2 * Pi) ]: od: describe[count](data); describe[mean](data); describe[standarddeviation](data); # Fogirányhiba G_2D := (u, beta, A, phi, lambda, b) -> <|<-sin(beta), cos(beta)>> . : G_3D := (u, beta, A, phi, lambda, b, r) -> [ r * sin(G_2D(u, beta, A, phi, lambda, b)[1] / r), r * cos(G_2D(u, beta, A, phi, lambda, b)[1] / r), G_2D(u, beta, A, phi, lambda, b)[2]]: data := []: for i from 1 to 5 * 3 * 2 do: GG := G_3D( u, MakeTol(0, 3 * 2 * evalf(Pi) / 360 / 60):-val, MakeConst(1e-3):-val, Pi * MakeTol(0, 100):-val / 100, MakeConst(1):-val, MakeTol(b, 1e-3):-val, MakeTol(r, 1e-3):-val ); data := [ op(data), r * arcsin((maxf(GG[1], 0, 1) - minf(GG[1], 0, 1)) / 2 / r) ]: od: describe[count](data); describe[mean](data); describe[standarddeviation](data); # Többfogméret (2 közrefogott fogon) k := 2: inv := (x) -> tan(x) - x: G := (alpha0, x, deltaw) -> m * cos(alpha0) * ((k - 0.5) * Pi + z * inv(alpha0)) + 2 * x * m * sin(alpha0) + deltaw: data := []: for i from 1 to 40 do:

77

Ph.D. értekezés

A. Valószínűségi gyártásgeometriákat szimuláló MapleTM 13 program

gear_data := []: for j from 1 to z do: GG := G( MakeTol(alpha0, 2 * evalf(Pi) / 360 / 60):-val, MakeTol(x, 4e-3):-val, MakeTol(0, 1e-3):-val ): gear_data := [op(gear_data), evalf(GG)]: od: data := [op(data),max(op(gear_data)) - min(op(gear_data))]: od: describe[count](data); describe[mean](data); describe[standarddeviation](data); # Profilhiba omega(t) := 2 * evalf(Pi) * t: theta := (p) -> arctan(p[2], p[1]) arctan(sqrt((p[1]^2 + p[2]^2) / r_b^2 - 1)) + sqrt((p[1]^2 + p[2]^2) / r_b^2 - 1): X2 := (x1, y1) -> (M^(-1).<x1,y1,1>)[1]: Y2 := (x1, y1) -> (M^(-1).<x1,y1,1>)[2]: R := < , <sin(omega(t))|cos(omega(t))|0>,<0|0|1> >: X := < <1|0|0>, <0|1|-x * m>, <0|0|1> >: data := []: for i from 1 to 40 * 3 * 2 do: alpha0_ := MakeTol(alpha0, evalf(2 * Pi / 360 / 60)):-val: v_(t) := r * omega(t) + subs(_t_= T * (t - min_t) / (max_t - min_t), MakeNoise(0, 1e-3, 50):-val): V := < <1|0|v_(t)>, <0|1|0>, <0|0|1> >: M := X.V.R: X1 := (u) -> p / 4 + h_a * tan(alpha0_) * u: Y1 := (u) -> r + h_a * u: min_t := 0: max_t := evalf(subs(u = 0, solve(diff(Y2(X1(u), Y1(u)), u) = 0, t))): diff_t := 60: eq := diff(X2(X1(u), Y1(u)), u) * diff(Y2(X1(u), Y1(u)), t) diff(X2(X1(u), Y1(u)), t) * diff(Y2(X1(u), Y1(u)), u): U := [seq(

78

Ph.D. értekezés

A. Valószínűségi gyártásgeometriákat szimuláló MapleTM 13 program

fsolve(subs(t = min_t + (i - 1) * (max_t - min_t) / diff_t, eq = 0)), i = 1 .. diff_t + 1 )]: inv := [seq( evalf(subs( t = min_t + (i - 1) * (max_t - min_t) / diff_t, [X2(X1(U[i]), Y1(U[i])), Y2(X1(U[i]), Y1(U[i]))] )), i = 1 .. nops(U) )]: _theta := select(type, map(evalf, map(theta, inv)), numeric): dtheta := evalf((max(op(_theta)) - min(op(_theta)))): data := [op(data), r_b * dtheta]: od: describe[count](data); describe[mean](data); describe[standarddeviation](data); # Alaposztáshiba G := (t, i, phi_i) -> [ r_b * sin(add(phi_i[j], j = 1 .. i - 1) + t * phi_i[i]), r_b * cos(add(phi_i[j], j = 1 .. i - 1) + t * phi_i[i]) ]: data := []: for i from 1 to 40 do: phi_i := [seq(MakeTol(phi, 1.2 * evalf(2 * Pi / 360 / 60)):-val, i = 1 .. z - 1)]: phi_i := [op(phi_i), evalf(2 * Pi - add(phi_i[i], i = 1 .. nops(phi_i)))]: data := [op(data), max(seq( abs(evalf(r_b * phi_i[i] - m * Pi * cos(alpha0))), i = 1 .. z ))]: od: describe[count](data); describe[mean](data); describe[standarddeviation](data);

79

B. Mérési eredmények részletezése

B.1. táblázat. Frr , evolvens fogazat ütése (µm) 1. fog 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2. fog -8 -2 -10 0 1 -1 11 3 2 -3 -4 2 1 2 -1 -1 3 -2 2 -8 -6 -5 -4 3 3 -3 -6 0 0 -1 -6 -8 -3

3. fog -10 -5 -14 0 1 1 11 1 6 3 -4 4 -1 4 -2 -3 -2 2 3 -12 -2 -4 -2 3 -3 0 -4 0 -3 2 -4 -10 -5

4. fog -6 -5 -15 -5 -1 2 13 -4 4 -2 -5 0 -8 5 -6 -5 2 2 3 -6 0 -2 -4 2 -3 2 -2 -2 -2 -2 -6 -11 -1

5. fog 0 -4 -13 -7 -2 -5 14 -3 0 0 -3 5 -10 3 -6 -2 3 5 10 3 5 -3 -6 4 -4 0 -4 -6 -2 -3 -12 -15 1

6. fog 7 -6 -6 -5 -6 -3 10 -4 -8 1 3 6 -12 -6 -8 -4 10 2 8 13 9 1 -4 0 -8 4 2 0 -1 -8 -6 -14 3

7. fog 8 -9 -4 1 -1 -5 7 -2 -6 2 3 5 -14 -6 -6 0 8 5 4 10 3 3 -6 0 -7 -3 -2 -4 -6 -8 -7 -10 3

8. fog 1 -1 -6 -2 -6 -7 3 3 -7 -2 0 7 -10 -6 -2 0 8 2 7 10 1 2 -2 -6 -3 -8 -4 2 -4 -6 -7 -7 -1

9. fog 5 0 -5 3 -2 -3 2 1 -8 -2 3 3 -12 -2 3 2 5 1 4 3 0 -2 -3 0 -4 -3 -2 0 -2 2 -4 -6 -3

Max. 18 9 15 10 7 9 14 7 14 6 8 7 15 11 11 7 12 7 10 25 15 8 6 10 11 12 8 8 6 10 12 15 8 80

Ph.D. értekezés

B. Mérési eredmények részletezése B.1. táblázat. Frr , evolvens fogazat ütése (µm)

1. fog 0 0 0 0 0 0 0

2. fog 3 -2 1 -6 6 1 0

3. fog 8 -2 6 -4 6 -3 5

4. fog 13 1 10 -8 9 -6 5

5. fog 8 -6 10 -10 10 -3 5

6. fog 5 -3 10 -9 13 -2 3

7. fog 0 0 8 -4 10 -5 3

8. fog 3 3 7 -5 8 -8 0

9. fog 0 2 0 -3 5 -6 -4

Max. 13 9 10 10 13 9 9

B.1. ábra. max (Frr ) − min (Frr ) hisztogram B.2. táblázat. Fβr , hengeres fogaskerék fogirányhibája (µm) Oldal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal

1. fog 12 2 12 2 12 4 11 7 14 2

5. fog 12 0 10 0 12 4 8 2 10 2

6. fog 12 2 11 2 14 5 8 2 12 0

Max. 12 2 12 2 14 5 11 7 14 2

81

Ph.D. értekezés

B. Mérési eredmények részletezése

(a) Bal oldal

(b) Jobb oldal

B.2. ábra. Fβr hisztogramok B.3. táblázat. W (2), hengeres fogaskerék 2 közrefogott fogon mért többfogmérete (mm) 1. fog 22,850 22,862 22,848 22,860 22,847 22,895 22,844 22,878 22,858 22,843 22,875 22,880 22,875 22,830 22,868 22,890 22,883 22,888 22,810 22,805 22,865 22,860 22,895 22,848

2. fog 22,840 22,865 22,843 22,860 22,855 22,892 22,850 22,875 22,862 22,840 22,872 22,882 22,872 22,835 22,868 22,890 22,875 22,890 22,812 22,805 22,852 22,850 22,890 22,848

3. fog 22,848 22,868 22,840 22,860 22,850 22,891 22,852 22,875 22,855 22,848 22,874 22,882 22,872 22,835 22,870 22,895 22,880 22,892 22,812 22,800 22,862 22,850 22,895 22,850

4. fog 22,851 22,867 22,846 22,858 22,848 22,890 22,848 22,872 22,853 22,840 22,870 22,878 22,872 22,832 22,870 22,892 22,880 22,892 22,812 22,805 22,868 22,852 22,895 22,848

5. fog 22,852 22,870 22,848 22,860 22,848 22,888 22,845 22,872 22,853 22,842 22,878 22,882 22,865 22,838 22,875 22,895 22,878 22,892 22,814 22,800 22,865 22,858 22,888 22,860

6. fog 22,855 22,870 22,846 22,860 22,843 22,890 22,843 22,872 22,855 22,842 22,880 22,885 22,870 22,830 22,870 22,897 22,880 22,895 22,818 22,800 22,868 22,860 22,892 22,852

7. fog 22,855 22,869 22,848 22,868 22,848 22,890 22,849 22,870 22,853 22,848 22,882 22,882 22,870 22,828 22,875 22,900 22,885 22,895 22,818 22,800 22,863 22,860 22,890 22,850

8. fog 22,850 22,872 22,850 22,862 22,848 22,888 22,842 22,860 22,850 22,840 22,875 22,880 22,875 22,828 22,875 22,895 22,878 22,892 22,815 22,800 22,863 22,860 22,890 22,850

9. fog 22,852 22,870 22,849 22,862 22,845 22,889 22,845 22,887 22,855 22,840 22,875 22,880 22,875 22,830 22,872 22,885 22,885 22,885 22,815 22,800 22,860 22,852 22,888 22,850

FvW r (µm) 15 10 7 10 12 7 10 18 12 8 12 7 10 10 7 15 10 10 8 5 16 10 7 12 82

Ph.D. értekezés

B. Mérési eredmények részletezése

B.3. táblázat. W (2), hengeres fogaskerék 2 közrefogott fogon mért többfogmérete (mm) 1. fog 22,860 22,865 22,864 22,880 22,905 22,860 22,885 22,860 22,880 22,880 22,883 22,880 22,895 22,890 22,885 22,902

2. fog 22,865 22,872 22,858 22,880 22,898 22,858 22,888 22,855 22,880 22,890 22,880 22,890 22,890 22,892 22,880 22,886

3. fog 22,862 22,872 22,858 22,880 22,898 22,860 22,885 22,855 22,880 22,885 22,875 22,890 22,893 22,890 22,885 22,900

4. fog 22,860 22,875 22,850 22,875 22,899 22,855 22,890 22,855 22,890 22,885 22,875 22,890 22,890 22,890 22,880 22,904

5. fog 22,860 22,868 22,865 22,875 22,895 22,860 22,892 22,855 22,885 22,885 22,880 22,890 22,890 22,895 22,875 22,896

6. fog 22,858 22,868 22,855 22,870 22,898 22,855 22,895 22,855 22,880 22,885 22,875 22,890 22,890 22,892 22,880 22,890

7. fog 22,855 22,865 22,860 22,880 22,900 22,855 22,890 22,858 22,885 22,885 22,875 22,880 22,892 22,885 22,880 22,900

8. fog 22,860 22,865 22,860 22,880 22,900 22,862 22,890 22,585 22,885 22,885 22,870 22,885 22,890 22,890 22,875 22,895

9. fog 22,860 22,865 22,860 22,875 22,904 22,862 22,892 22,858 22,875 22,885 22,872 22,885 22,892 22,890 22,880 22,892

FvW r (µm) 10 10 10 5 6 10 12 15 8 13 9 10 10 13 9 9

B.3. ábra. FvW r hisztogram B.4. táblázat. ff r , evolvens fogazat profilhibája (µm) Oldal Jobb Bal Jobb Bal

1. fog 8 0 18 10

5. fog 4 5 12 8

9. fog 6 4 12 12

Max. 8 5 18 12 83

Ph.D. értekezés

B. Mérési eredmények részletezése B.4. táblázat. ff r , evolvens fogazat profilhibája (µm) Oldal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal

1. fog

5. fog

9. fog

Max.

4 2 8 2 2 2 0 0 0 2 4 6 2 8 0 6 0 0 2 6 0 2 8 6 10 4 8 8 4 6 2 4 4 2 6 2 4 2 6 4

4 6 10 2 2 2 0 0 0 2 6 4 2 10 0 4 2 0 4 4 0 2 10 6 10 8 4 6 0 6 4 4 4 2 0 8 0 0 6 8

4 8 6 0 2 2 6 0 4 2 0 4 0 8 2 4 0 2 0 8 0 0 8 4 4 6 4 7 4 6 4 4 4 4 8 8 6 2 4 8

4 8 10 2 2 2 6 0 4 2 6 6 2 10 2 6 2 2 4 8 0 2 10 6 10 8 8 8 4 6 4 4 4 4 8 8 6 2 6 8

84

Ph.D. értekezés

B. Mérési eredmények részletezése B.4. táblázat. ff r , evolvens fogazat profilhibája (µm) Oldal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal Jobb Bal

1. fog

5. fog

9. fog

Max.

6 0 4 8 2 0 4 8 4 2 4 8 4 8 4 6 4 0 8 8 4 4 14 2 12 10 6 0 2 6 6 2 8 2 12 0

6 4 10 6 4 0 2 8 8 0 10 6 0 6 8 6 0 2 8 8 2 4 14 6 12 8 10 4 6 0 10 4 10 0 12 2

4 0 8 4 2 2 6 4 8 2 6 6 2 6 6 4 6 0 6 12 6 2 14 2 12 8 12 2 8 0 14 6 16 0 16 0

6 4 10 8 4 2 8 8 8 2 10 8 4 8 8 6 6 2 8 12 6 4 14 6 12 10 12 4 8 6 14 6 16 2 16 2

85

Ph.D. értekezés

B. Mérési eredmények részletezése

(a) Bal oldal

(b) Jobb oldal

B.4. ábra. ff r hisztogramok B.5. táblázat. ±fpbr , hengeres fogaskerék alaposztáshibájának felső/alsó határeltérése (µm) 1. fog 0 8 4 0 -2 -6 -3 -1 1 0 -6 -2 2 -5 -7 -9 -2 -8 -4 0 0 3 -2 1

2. fog 0 -16 0 5 3 -1 -1 -3 -1 3 -5 -4 -7 -6 -3 -7 -9 -8 -5 7 -5 -5 -5 0

3. fog -1 8 0 -4 -2 -6 -6 -1 -1 -3 -5 -1 0 -1 -8 -5 -1 -10 0 2 -4 -3 0 -8

4. fog -3 3 0 2 -1 -3 -1 -2 0 4 -3 0 1 -4 -7 -6 -1 -7 -3 -2 -3 -3 -9 7

5. fog 0 5 0 2 -1 -5 -4 3 2 2 -1 -8 2 -5 -4 -5 -6 -7 -4 5 -5 0 -4 -4

6. fog 1 4 -1 0 1 -5 -5 -3 -3 3 -6 -4 -3 -5 -8 -4 -5 -8 0 0 -3 -5 -2 -3

7. fog -3 7 0 2 2 -5 -3 -1 -2 0 -3 -9 -2 -4 -2 -7 -4 -7 -2 5 -5 -1 -4 4

8. fog -2 1 -1 -2 -1 -6 -3 0 -1 4 -2 -1 -2 -2 -4 -5 -7 -11 -4 2 1 -1 -3 -2

9. fog 2 4 -3 -3 -1 -1 2 1 -5 2 -4 -1 -6 0 -4 -3 -7 -11 3 -1 0 -7 -6 -3

Max. -3 -16 4 5 3 -6 -6 3 -5 4 -6 -9 -7 -6 -8 -9 -9 -11 -5 7 -5 -7 -9 -8

86

Ph.D. értekezés

B. Mérési eredmények részletezése

B.5. táblázat. ±fpbr , hengeres fogaskerék alaposztáshibájának felső/alsó határeltérése (µm) 1. fog 1 0 -1 -7 -6 -3 -3 -3 -1 -2 0 -3 -4 -7 -2 -3

2. fog -2 1 -3 -1 -8 -5 -4 1 -7 -5 -3 -6 -12 -6 -6 -2

3. fog 2 -5 6 1 -8 -9 -7 1 -3 -3 -2 -2 -7 -11 -5 -5

4. fog 4 1 -1 -6 -6 0 -6 -4 -7 0 -1 -3 -10 -8 -7 -5

5. fog -3 2 1 2 -6 -5 -4 -4 -3 -4 -2 -5 -9 -5 -6 5

6. fog 0 -10 0 -2 -4 0 -3 5 -7 -5 -7 -3 -12 -11 -2 3

7. fog 0 0 -2 -3 -6 -4 -6 -2 -9 1 0 -6 -10 -6 -6 -2

8. fog -1 0 -2 -5 -7 -2 -4 0 -7 -3 -2 -3 -7 -7 -6 -1

9. fog 2 -2 -4 -1 -8 -6 -6 -3 -8 -6 -4 -8 -14 -7 -4 0

Max. 4 -10 6 -7 -8 -9 -7 5 -9 -6 -7 -8 -14 -11 -7 -5

B.5. ábra. ± max |fpbr | hisztogram B.6. táblázat. px , körív alkotójú hengeres csiga axiális osztása (mm) 1. osztás 20,7147 20,3013 20,4400 22,2090 21,3547

2. osztás 21,3586 20,9172 20,2537 21,2017 20,6254

3. osztás 20,8703 21,0658 20,6398 20,6858 20,4885

4. osztás 19,9565 20,7474 21,2806 21,1625 20,9836 87

Ph.D. értekezés

B. Mérési eredmények részletezése

B.6. táblázat. px , körív alkotójú hengeres csiga axiális osztása (mm) 1. osztás 20,8841 21,3495 20,8355 21,1420 20,7273 21,4347 21,4768 21,6315 21,8511 20,5436 20,7241 21,2870 20,8820 21,4302 20,9217 20,6270 20,9882 21,4244 20,3155 21,3923 21,3322 21,7646 20,7489 20,5428 20,9107 21,5881 21,3847 20,3489 20,9829 20,7951 20,4552 20,4805 20,1683 20,5752 20,8468 20,9894 20,4770 20,8802 20,7659 21,3528 20,9984 20,1631 21,6502 21,1343

2. osztás 21,4208 21,0336 21,0831 21,2284 20,8462 20,8422 20,8931 20,8421 21,3536 21,1480 21,2269 20,7797 20,7591 20,5065 21,0143 21,3611 20,9746 20,8105 20,5866 20,7164 20,6282 20,9179 20,7575 20,9027 20,4074 20,8435 20,8696 20,6942 20,5529 21,4479 20,6873 21,2094 21,1844 20,9446 20,6410 21,0946 21,3220 20,4400 21,1514 20,4476 21,0892 20,4375 21,1998 21,0778

3. osztás 21,4113 20,7834 21,2704 20,9646 20,6570 20,5994 20,7764 20,6487 20,7560 21,0002 20,9270 20,9060 20,6763 20,5245 21,0229 21,5445 21,6013 20,9740 21,1240 20,7863 20,7187 20,3820 20,5457 20,8966 20,4024 20,6999 20,7579 21,2541 20,6584 21,6083 21,2433 21,0494 21,6566 20,8276 20,8475 21,2806 21,6127 20,8089 21,2232 20,7146 21,1802 20,8521 20,5851 20,9043

4. osztás 21,0669 20,5965 21,1720 20,6726 20,5789 20,9261 20,9528 21,2341 20,7076 20,5236 20,2907 21,6805 20,7064 21,2119 21,1062 21,0506 21,9374 21,5653 21,3808 21,3782 21,2571 20,5570 20,3382 20,7065 20,7453 21,1886 21,2048 21,2548 21,0780 21,2070 21,4203 20,4280 21,0800 20,1826 21,3332 21,0840 20,8922 21,5208 20,8671 21,6515 21,1550 20,9364 20,6094 20,8290 88

Ph.D. értekezés

B. Mérési eredmények részletezése

B.6. táblázat. px , körív alkotójú hengeres csiga axiális osztása (mm) 1. osztás 21,2235 20,9174 21,2412 21,3012 21,1213 21,1727 21,0599 21,0740 21,0417 20,9650 21,6128 21,6904 21,1311 20,2902 21,0280 21,1321 21,0783 21,6226 21,4801 21,0101 20,7924

2. osztás 21,0805 20,6801 20,6872 21,2058 20,8142 20,6931 20,9173 20,7533 20,6399 21,1316 21,4635 21,5050 21,0064 20,7530 21,0055 21,7021 20,4812 21,2797 20,5815 20,8962 21,0578

3. osztás 20,7259 20,7206 20,6420 20,9721 20,7623 20,3853 20,8396 21,0483 20,4712 21,0145 20,7748 21,1573 20,7698 21,1096 20,8205 21,2679 21,1110 21,1173 20,7745 21,0429 21,3003

4. osztás 20,4548 21,0679 21,1099 20,9934 20,9547 20,6980 20,7888 21,7104 20,7700 20,8372 20,1623 20,7933 20,8219 20,9272 20,7521 20,3776 22,1429 21,4110 21,6344 21,2973 21,2984

B.6. ábra. px hisztogram

89

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához Az egyenlet szimbolikus: (2)

~nR1 (η, ψ, t) ~vR1 (η, ψ, t) = 0

és kifejtett formában: (q

2 − h2 − η 2 rax k   t  t t R R R δ(t)dt hk − Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t) sin −x0 cos 0    t0  t  0t R R R δ(t)dt hk − Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt cos −x0 sin  0t   0t  t 0  R R R −x0 sin ω2 (t)dt sin Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t)hk − 0 0 t  t0  t  p R R R 2 2 −2 rax − hk sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt hk +    0t   0t  0t p R R R 2 2 ω2 (t)dt hf + Γ(t)dt cos δ(t)dt ω1 (t) cos +2 rax − hk sin    0t  0t   0t p R R R 2 − h2 sin +2 rax ω (t)dt rd1 + Γ(t)dt cos δ(t)dt ω (t) cos 1 2 k 0 t  0 t  0 t R R R ω2 (t)dt hf + +η sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos 0 0 0     Rt Rt Rt +x0 cos ω2 (t)dt ω2 (t) sin Γ(t)dt sin δ(t)dt hf +  t 0  t 0   t0 R R R δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt rd1 + +η sin 0 0  0 t    Rt Rt R ω2 (t)dt ω2 (t) sin Γ(t)dt sin δ(t)dt rd1 + +x0 cos 0   t  t0   0t R R R +x0 sin ω2 (t)dt cos Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt hf +   0t   0t   0t R R R ω2 (t)dt cos Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt rd1 − +x0 sin 0  0t   t0  t R R R −z0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt hf −  0t   0t   0t  R R R −z0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt rd1 −

sin (ψ)

h2k − 2η

"

p

0

0

0

90

Ph.D. értekezés

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

t R

 t  t  R R Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) sin ω2 (t)dt hk +  0t   0t   0t  R R R +z0 cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) sin ω2 (t)dt hf +  0t   0t   0t  R R R +z0 cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) sin ω2 (t)dt rd1 −  0t   0t  t 0  R R R −z0 cos Γ(t)dt sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)hk +  0t   0t   0t  R R R +z0 cos Γ(t)dt sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)hf +  0t   0t   0t  R R R +z0 cos Γ(t)dt sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)rd1 − 0 0 0    t  Rt Rt Rt R − vax (t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt hk + 0  0t   0t   0t  Rt R R R + vax (t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt hf + 0 0 0 0       Rt Rt Rt Rt + vax (t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt rd1 + 0 0t  t 0  0t  Rt R R R + vax (t)dt cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) sin ω2 (t)dt hk − 0    0t   0t  0t R R R Rt ω2 (t)dt hf − δ(t)dt δ(t) sin Γ(t)dt cos − vax (t)dt cos 0 0 0 0       Rt Rt Rt Rt − vax (t)dt cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) sin ω2 (t)dt rd1 + 0  0t   0t  t 0  Rt R R R + vax (t)dt cos Γ(t)dt sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)hk − 0  0t   0t   0t  t R R R R − vax (t)dt cos Γ(t)dt sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)hf − 0 0 0 0       Rt Rt Rt Rt ω2 (t)dt ω2 (t)rd1 + δ(t)dt cos Γ(t)dt sin − vax (t)dt cos 0 0 0 0 t t t R R R δ(t)dt δ(t)hf − Γ(t)dt cos ω2 (t)dt sin +x0 sin 0 0  t0    R Rt Rt −η sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt hk + 0 t  t 0  t 0  R R R +x0 sin ω2 (t)dt sin Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t)rd1 + 0 0     0t Rt Rt R Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt hk − +z0 sin 0 0  t  t   0t R R R Rt δ(t)dt hk − y0 sin ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)hf − ω2 (t)dt ω2 (t) cos −y0 cos 0 0  0  t t  t  0t p R R R R 2 2 ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt hk + −y0 sin ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)rd1 − 2 rax − hk sin 0 0 0    t t t 0 t p p R R R R 2 2 2 2 +2 rax − hk sin ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt hf + 2 rax − hk sin ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt rd1 − 0t  t0   t0  t 0  p p R R R R 2 − h2 cos 2 − h2 cos −2 rax δ(t)dt Γ(t) cos ω (t)dt h + 2 r δ(t)dt Γ(t) cos ω (t)dt hf + 2 k 2 ax k k  t 0 t 0  0t   0t p R R R R 2 − h2 cos +2 rax ω2 (t)dt rd1 − η cos δ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt hk + δ(t)dt Γ(t) cos k 0 t  0 t 0 t  0 t R R R R ω2 (t)dt rd1 + δ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt hf + η cos δ(t)dt Γ(t) cos +η cos 0 0 0  0t      R Rt Rt Rt +η sin ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt hf + η sin ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt rd1 + 0 0 0 0 t      R Rt Rt Rt +y0 cos ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt hf + y0 cos ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt rd1 +

−z0 cos

0

0

0

0

91

Ph.D. értekezés

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

t R

 t  t  t  R Rt R R ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)hk + vr (t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt hf − 0 0 0 t  t  0 t  0 t  Rt R Rt R R R − vr (t)dt sin ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)hf − vr (t)dt sin ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)rd1 − 0 0 0 0 t t 0   0 t R R Rt R −x0 sin Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt hf − x0 sin Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt rd1 − 0t  t 0  0 t  t 0  R R R R −x0 cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hf − x0 cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)rd1 + 0  0   0t   t0   R Rt R Rt +x0 sin Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt hk − η sin ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt hk − 0 0 t  0 t  t  0 t  t R R R R R − vr (t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt hk + x0 cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hk + 0 0 0 0 0      t  Rt Rt Rt Rt Rt R + vr (t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt rd1 + vr (t)dt sin ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)hk + 0 0 0 0  t t   t0  0 R R R Rt +z0 cos Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt hk − z0 cos Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt hf −  0t   0t  0t  t 0  R R R R −z0 cos Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt rd1 − z0 sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hk + 0  0t  t   0t   0t  R R R R +z0 sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hf + z0 sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)rd1 − 0 0 0   t  0 t t t R R R Rt R Rt ω2 (t)dt hf + Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt hk + vax (t)dt cos Γ(t)dt Γ(t) cos − vax (t)dt cos 0 0 0 0 0 0         Rt Rt Rt Rt Rt Rt + vax (t)dt cos Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt rd1 + vax (t)dt sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hk − 0 0 0  0t  t   0t   0t  Rt R R Rt R R − vax (t)dt sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hf − vax (t)dt sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)rd1 + 0 0 0 0  t0   t0  t R R R +vax (t)hk cos Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt −   0t  0t 0t R R R ω2 (t)dt − δ(t)dt sin Γ(t)dt sin −vax (t)hf cos  t   0 t  0 t 0 t p R R R R 2 2 ω2 (t)dt δ(t)hk − ω2 (t)dt + 2 rax − hk sin δ(t)dt sin Γ(t)dt sin −vax (t)rd1 cos 0 0 0 0    t  p p R Rt Rt 2 − h2 sin 2 − h2 sin ω (t)dt δ(t)hk − ω (t)dt δ(t)h − 2 ω (t)dt δ(t)r + η sin −2 rax r 2 2 f 2 d1 ax k k 0 t 0 t  t 0  R R R −η sin ω2 (t)dt δ(t)rd1 + rd1 sin ω2 (t)dt cos δ(t)dt vr (t)+ 0 0 0       t  Rt Rt Rt R +hf sin ω2 (t)dt cos δ(t)dt vr (t) − hk sin ω2 (t)dt cos δ(t)dt vr (t)− 0 0  t0  t 0 t R R R ω2 (t)dt + −η sin ω2 (t)dt δ(t)hf − vax (t)hk sin Γ(t)dt cos 0 0 0 # t  t  t  t R R R R Γ(t)dt cos ω2 (t)dt + +vax (t)hf sin Γ(t)dt cos ω2 (t)dt + vax (t)rd1 sin 0  t 0 t  0 t  0 t R R R R sin ω2 (t)dt cos δ(t)dt vr (t)hk 2 − sin ω2 (t)dt cos δ(t)dt vr (t)η 2 − 0 0 0 0 t  t  p p R R 2 − h2 h 2 sin 2 − h2 r 2 sin −2 rax ω (t)dt δ(t) − r ω (t)dt δ(t)− 2 2 ax k k k d1  t 0  t 0 t t  p R R R R 2 2 2 2 2 ω2 (t)dt δ(t) + vax (t) sin Γ(t)dt cos ω2 (t)dt hk − rax − hk hf sin −3ηhk sin ω2 (t)dt δ(t)−  0  t  0 t0  t 0t R R R R ω2 (t)dt δ(t)rax 2 + Γ(t)dt cos ω2 (t)dt η 2 − ηrd1 2 sin ω2 (t)dt δ(t) + 2η sin −vax (t) sin 0 0 0 0 t  t  t  t  p R R R R 2 2 2 2 +η sin ω2 (t)dt δ(t) rax − hk − ηhf sin ω2 (t)dt δ(t) − 2ηhk cos δ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt hf − 0 0 0 0  t  t   t t R R R R −2ηhk cos δ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt rd1 + 2ηhf cos δ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt rd1 +

+y0 sin

0

0

0

0

92

Ph.D. értekezés

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

t  t  t  p R R R 2 − h2 h 2 sin +2 rax δ(t)dt ω (t) cos Γ(t)dt cos ω (t)dt − k 1 2 k 0  t0  0t  p R R 2 − h2 h sin ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt hf − −2 rax k k  0t   0t  p R R 2 2 ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt rd1 − −2 rax − hk hk sin 0t  t0  p R R 2 − h2 h cos δ(t)dt Γ(t) cos ω (t)dt hf − −2 rax 2 k k  0t   0t  p R R 2 − h2 h cos −2 rax δ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt rd1 + k k 0t  0t  t  t  p p R R R R 2 2 2 − h2 − δ(t)dt Γ(t) cos +2 rax − hk hf cos ω2 (t)dt rd1 − 2 sin ω2 (t)dt cos δ(t)dt vr (t)η rax k 0 0 0 0 t  t  t  p R R R 2 − h2 h sin −2 rax δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt hf − k k  0t   0t   0t  p R R R 2 2 δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt rd1 + −2 rax − hk hk sin 0t  0t  0t  p R R R 2 − h2 h sin +2 rax δ(t)dt ω (t) cos Γ(t)dt cos ω (t)dt rd1 + f 1 2 k 0 t 0 t 0 t R R R +3ηhk 2 sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt − 0 t 0   t t 0 R R R δ(t)dt η 2 + Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt cos −x0 sin 0 0 0   t Rt R Γ(t)dt rd1 − +2ηhf sin ω2 (t)dt ω1 (t) sin  t0   t0  p R R 2 − h2 + −2y0 cos ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt η rax k 0 t  0 t  t  p R R R 2 2 2 + rax − hk hf sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt +   0 t  0 t 0 t p R R R 2 − h2 r 2 sin ω (t)dt + Γ(t)dt cos δ(t)dt ω (t) cos + rax 2 1 k d1  0  0 t  0 t t R R R δ(t)dt hk 2 + Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t) sin +x0 cos 0 0 0 t  t  t  R R R +x0 sin ω2 (t)dt cos Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt hk 2 +  0t   0t  t 0  R R R +x0 sin ω2 (t)dt sin Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t)hk 2 − 0  0t  t 0  t R R R δ(t)dt η 2 + −x0 cos ω2 (t)dt ω2 (t) sin Γ(t)dt sin 0 0 0  t  t  t  t p p R R R R 2 − h2 + 2x cos 2 − h2 + Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt η rax +2x0 sin ω (t)dt ω2 (t)η rax Γ(t)dt sin 2 0 k k 0 0 0 0  t  t t p R R R 2 − h2 − ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)η rax +2 vr (t)dt sin k 0 0 0     t t t p R R R 2 − h2 + δ(t)dt η rax −2 vr (t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t) cos k 0 0 0 t  t  p R R 2 − h2 − +2y0 sin ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)η rax k 0  t  t 0 t p R R R 2 2 Γ(t)dt cos ω2 (t)dt η 2 + − rax − hk sin δ(t)dt ω1 (t) cos 0 0 0  t  t  t R R R δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt + +ηrd1 2 sin 0  0 t 0 t p R R 2 − h2 h sin +2 rax ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt rd1 − k f t 0 t 0 t  t  R R R R −2ηhk sin ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt hf − 2ηhk sin ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt rd1 − 0

0

0

0

93

Ph.D. értekezés

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

t R

 t  t  R R δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt ηrax 2 + 0  0    0 t  Rt Rt R 2 +ηhf sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt − 0 0 t 0  t t R R R −x0 sin ω2 (t)dt sin Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t)η 2 − 0 0 0 t  t  p R R 2 − h2 − −2z0 sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)η rax k 0 0 t  t  t p R R R 2 − h2 + −2 vax (t)dt cos Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt η rax k 0 0 0 t  t p R R 2 − h2 + +2z0 cos Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt η rax k 0 0 t  t  p Rt R R 2 − h2 + +2 vax (t)dt sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)η rax k 0 t 0  t 0  t  p R R R 2 − h2 + +2vax (t) cos Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt η rax k 0 0 0 t  t  t  R R R +z0 cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) sin ω2 (t)dt hk 2 − 0 0 0 t  t  t  R R R −z0 cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) sin ω2 (t)dt η 2 +   t 0   0t  0t R R R ω2 (t)dt ω2 (t)hk 2 − δ(t)dt cos Γ(t)dt sin +z0 cos 0 0 0   t t  t R R R ω2 (t)dt ω2 (t)η 2 + δ(t)dt cos −z0 cos Γ(t)dt sin 0 0 t t 0  t  Rt R R R + vax (t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt hk 2 − 0  0t   0t   0t  Rt R R R − vax (t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt η 2 − 0 0 0 0   t  t t R R R ω2 (t)dt hk 2 + δ(t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin −z0 sin    0t   0t  0t R R R ω2 (t)dt η 2 − δ(t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin +z0 sin 0 0 0   t t  t Rt R R R ω2 (t)dt hk 2 + − vax (t)dt cos δ(t)dt δ(t) sin Γ(t)dt cos 0  0t   0t   0t  Rt R R R + vax (t)dt cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) sin ω2 (t)dt η 2 − 0  0t   0t  t 0  Rt R R R − vax (t)dt cos Γ(t)dt sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)hk 2 + 0 0 0 0  t   t t R Rt R R δ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)η 2 + Γ(t)dt sin + vax (t)dt cos 0 0  t t 0  t 0 p R R R 2 − h2 + δ(t)dt sin ω2 (t)dt η rax +2z0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin k 0 0 0       t t t t p R R R R 2 − h2 − δ(t)dt δ(t) sin ω2 (t)dt η rax +2 vax (t)dt cos Γ(t)dt cos k 0 0 0 0  t  t  t p R R R 2 − h2 − ω2 (t)dt η rax −2z0 cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) sin k  t 0   0t   0t p R R R 2 − h2 − δ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)η rax −2z0 cos Γ(t)dt sin k 0 0 0  t  t  t p R R R 2 − h2 − −2x0 cos ω2 (t)dt ω2 (t) sin Γ(t)dt sin δ(t)dt η rax k 0 0 0 t  t  t  p R R R 2 − h2 − −2x0 sin ω2 (t)dt cos Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt η rax k  0t   0t  t 0  p R R R 2 − h2 − −2x0 sin ω2 (t)dt sin Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t)η rax k −2 sin

0

0

0

94

Ph.D. értekezés

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

t R

 t  t  R R δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt hf −  0t   0t   0t  R R R −2ηhk sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt rd1 + 0t  0t  0t  R R R +2ηhf sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt rd1 − 0 0 0       p Rt Rt Rt Rt 2 − h2 + −2 vax (t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt η rax k 0 0 0 0 t  t  t  t p R R R R 2 − h2 − +2 vax (t)dt cos Γ(t)dt sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)η rax k 0 0 0 0    t t p p R R 2 − h2 h sin 2 − h2 h sin −2 rax ω2 (t)dt δ(t)rd1 + 2 rax ω2 (t)dt δ(t)hf + k f k k 0 t 0 R +2ηhk sin ω2 (t)dt δ(t)hf + t   0t  t  p R R R 2 2 ω2 (t)dt δ(t)rd1 + +2ηhk sin ω2 (t)dt δ(t)rd1 − 2ηhf sin ω2 (t)dt δ(t)rd1 + 2 rax − hk hk sin 0 0 t   t0  t   p R R R Rt 2 2 − h2 h 2 cos +2 rax δ(t)dt Γ(t) cos ω (t)dt + 3ηh cos δ(t)dt Γ(t) cos ω (t)dt + k 2 k 2 k 0 t 0 t t  0 t 0 R R R R +3ηhk 2 sin ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt − y0 cos ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt η 2 − 0 0  t   t0  t t 0 R R R R δ(t)dt δ(t)hk 2 − ω2 (t)dt sin ω2 (t)dt hk 2 − y0 sin Γ(t)dt Γ(t) cos −x0 sin 0 0 0 0    t t  t t p Rt R R R R 2 − h2 − rax δ(t)dt − vr (t)dt sin δ(t)dt δ(t)hk 2 − η 2 cos ω2 (t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt sin k 0 0 0 0 0 t  t  t  t  t R R R R R − vr (t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt η 2 − x0 cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hk 2 + 0 0  0  0  0t  t    p p R R Rt Rt 2 2 2 2 2 2 ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt − ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt + rax − hk rd1 sin + rax − hk hf sin 0 0  0  0 t t t t p R R R R 2 − h2 h 2 sin ω2 (t)dt rax 2 + 2 rax δ(t)dt Γ(t) cos Γ(t)dt − −2η cos ω2 (t)dt ω1 (t) sin k k 0 0 0  t  t 0 t t p R R R R 2 − h2 sin Γ(t)dt ηrax 2 + ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt η 2 − 2 sin − rax ω2 (t)dt ω1 (t) sin k 0 0 0 0     t  t t p p R R Rt R 2 − h2 h 2 cos 2 − h2 r 2 cos + rax ω (t)dt + ω (t)dt + δ(t)dt Γ(t) cos r δ(t)dt Γ(t) cos 2 2 f d1 ax k k 0 0 0 t 0 t t   R R R Rt +ηhf 2 sin ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt + ηrd1 2 sin ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt + 0t  t0   t0  t 0  R R R R 2 2 +ηhf cos δ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt + ηrd1 cos δ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt + 0  t  t 0 t 0  t 0 R R R R ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)η 2 + ω2 (t)dt η 2 + y0 sin +x0 sin Γ(t)dt Γ(t) cos 0 0 0 0   t  t t  t R Rt R R Rt R 2 ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt hk 2 + ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)η + vr (t)dt cos + vr (t)dt sin 0 0 0 0 0 t  0 t t R R Rt R 2 ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt hk 2 − +x0 cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)η + y0 cos 0 0  0 0  t  t  t  p Rt R R R 2 − h2 + z sin Γ(t)dt cos ω2 (t)dt η rax −2vax (t) sin Γ(t)dt sin ω (t)dt ω2 (t)hk 2 − 0 2 k 0  0 t t  t 0  0t  R R R R Rt 2 −z0 sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)η vax (t)dt cos Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt hk 2 − 0 0 0 0 0  t  t  t  t R R R Rt R Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt η 2 − z0 cos Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt hk 2 + − vax (t)dt cos 0 0 0 0 t  t  t0  t  t R R R R R +z0 cos Γ(t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt η 2 − vax (t)dt sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hk 2 + 0 0 0 t  0t  0 Rt R R 2 + vax (t)dt sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)η − −2ηhk sin

0

0

0

95

Ph.D. értekezés

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

t R

 t  t  R R Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt hk 2 +  0t   0t   0t  ) R R R +vax (t) cos Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt η 2 + 0 0 0 " (q p 2 − h2 − η 2 h2k − 2η rax + cos (ψ) k t  t  t  t  R R R R −vax (t)hk sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt + vax (t)hf sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt + 0  0 0 t  0 t  t R R R +vax (t)rd1 sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt + η cos ω2 (t)dt δ(t)hf − 0 0 0 t   p p Rt R 2 − h2 cos 2 − h2 cos r ω (t)dt δ(t)h + 2 ω (t)dt δ(t)rd1 + −2 rax 2 k 2 ax k k  0t  t 0 p R R 2 − h2 cos ω2 (t)dt δ(t)hf − η cos ω2 (t)dt δ(t)hk + +2 rax k 0 t 0 t  t  R R R +η cos ω2 (t)dt δ(t)rd1 − hf cos ω2 (t)dt cos δ(t)dt vr (t)− 0 t  t  0  t0  t  R R R R −rd1 cos ω2 (t)dt cos δ(t)dt vr (t) + hk cos ω2 (t)dt cos δ(t)dt vr (t)− 0  0 0  t0       R Rt Rt Rt −y0 sin ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt hk − y0 cos ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)hk + 0 0t   t  0 t  t 0  t R R R R R ω2 (t)dt − δ(t)dt cos Γ(t)dt sin +x0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt hk + vax (t)hf cos 0 0 0 t  t  t  0 t t 0  R R R R R −vax (t)hk cos Γ(t)dt sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt − z0 cos Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt hf + 0  0 0 t t0  t  0 t  R R R R +z0 cos Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt hk − z0 sin Γ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)hf + 0     0 t  t 0  0t Rt R R R ω2 (t)dt rd1 − Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt ω2 (t)hk − z0 cos Γ(t)dt cos +z0 sin 0   0 t  t   0t  0t R R R Rt R ω2 (t)dt ω2 (t)hk + Γ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)rd1 − vax (t)dt sin Γ(t)dt cos −z0 sin 0 0 0 0 0 t  t  t t Rt R R Rt R R + vax (t)dt cos ω2 (t)dt hf − Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt rd1 + vax (t)dt cos Γ(t)dt Γ(t) sin 0  0 0 0 0 0        p Rt Rt Rt Rt Rt 2 − h2 cos ω (t)dt ω (t) sin Γ(t)dt hf + − vax (t)dt cos Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt hk − 2 rax 2 1 k 0 0 0 0 0         p Rt Rt Rt Rt 2 − h2 cos +2 rax ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt hk − η cos δ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt hk + k 0 0  t  0  t t 0  t R R R R Γ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)hf − ω2 (t)dt ω2 (t)rd1 + x0 cos +x0 cos Γ(t)dt cos 0 0  t  t   t  0t   0t R R R R R Γ(t)dt sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt + ω2 (t)dt ω2 (t)hk + vax (t)rd1 cos −x0 cos Γ(t)dt cos 0  0 0 0  0 t t t t  Rt Rt R R R R ω2 (t)dt ω2 (t)rd1 + vax (t)dt sin Γ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)hf − + vax (t)dt sin Γ(t)dt cos 0 0 0 0 0 0      t  p p Rt Rt Rt R 2 − h2 cos 2 − h2 cos −2 rax ω (t)dt ω (t) sin Γ(t)dt r − 2 r δ(t)dt Γ(t) sin ω (t)dt hk + 2 1 d1 2 ax k k 0 0       0t  t 0 p Rt R Rt Rt R 2 − h2 cos +2 rax ω2 (t)dt hf + vr (t)dt cos ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)hf + δ(t)dt Γ(t) sin k 0 0 0 0 t  t0  t t R R R R ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt rd1 + +y0 sin ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt hf + y0 sin 0  0 0t  t  t0  t R R R R +y0 cos ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)hf + y0 cos ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)rd1 + 0 0 0 0       t  Rt Rt Rt Rt Rt R + vr (t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt hf + vr (t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt rd1 + 0 0  0 0t  t t 0 t 0 t R R R R R + vr (t)dt cos ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)rd1 + η cos δ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt rd1 − −vax (t) cos

0

0

0

0

0

96

Ph.D. értekezés

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

t R

 t  t  t  R R R ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt hf − η cos ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt rd1 − 0 0 t  0 t  t  0 t  Rt R R R R − vr (t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt hk + ηhf sin ω2 (t)dt Γ(t) cos δ(t)dt − 0 0 0 t t  t 0 t 0 R R R R −x0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt hf − x0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt rd1 − 0 0  0 0   t     p Rt R Rt Rt Rt 2 − h2 cos δ(t)dt Γ(t) sin ω (t)dt rd1 + − vr (t)dt cos ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)hk + 2 rax 2 k 0 0 0 0 t t 0  R R +η cos ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt hk + 0 t  0 t  t  p R R R 2 2 δ(t)dt ω1 (t) cos +2 rax − hk sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt hf +  0t   0t   0t  p R R R 2 − h2 sin δ(t)dt ω (t) cos Γ(t)dt sin +2 rax ω (t)dt rd1 − 1 2 k 0 t 0  t  t 0 R R R −x0 cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt Γ(t) sin δ(t)dt hf − 0  0t  t  0 t  R R R −x0 sin ω2 (t)dt ω2 (t) sin Γ(t)dt sin δ(t)dt hk −  t0  t 0  t 0  R R R −η sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt hk − 0   t 0  t 0  R R Rt δ(t)dt δ(t)rd1 − Γ(t)dt cos ω2 (t)dt sin −x0 cos    0t  0t   0t R R R δ(t)dt δ(t)hf − Γ(t)dt cos −x0 cos ω2 (t)dt sin 0   0t   t0   R R Rt −x0 cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt Γ(t) sin δ(t)dt rd1 +  0t   0t   0t  R R R +x0 cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt Γ(t) sin δ(t)dt hk + 0   0 t  t  0t R R R δ(t)dt hf + Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t) sin +x0 sin   t 0  t 0  t0 R R R ω2 (t)dt hf + Γ(t)dt sin δ(t)dt ω1 (t) cos +η sin    0t  0t   0t R R R ω2 (t)dt rd1 + Γ(t)dt sin +η sin δ(t)dt ω1 (t) cos 0 0 t   0 t  R Rt R +x0 sin ω2 (t)dt ω2 (t) sin Γ(t)dt sin δ(t)dt rd1 +  0t  t 0  t 0  R R R +z0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt hf −   0t    0t  0t R R R δ(t)dt cos ω2 (t)dt hk + Γ(t)dt Γ(t) sin −z0 sin  0 t  t 0  t 0 R R R Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t)hk + +x0 cos ω2 (t)dt sin 0    0t   t0 R R Rt Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) cos ω2 (t)dt hk + +z0 cos 0  0     0t  R Rt Rt δ(t)dt cos ω2 (t)dt rd1 + +z0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin  t 0  t 0  0t R R R Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hf − +z0 cos   0t   0t   0t R R R Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hk − −z0 cos 0   0t  0t   R R Rt −z0 cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) cos ω2 (t)dt rd1 −  0t   0t   0t  R R R −z0 cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) cos ω2 (t)dt hf −

−η cos

0

0

0

97

Ph.D. értekezés

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

t  t  t  Rt R R R − vax (t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt rd1 − 0  0t   0t   0t  Rt R R R − vax (t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt hf + 0  0t   0t   0t  Rt R R R + vax (t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt hk + 0 0 t  t  0 t  0 R R R +z0 cos Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)rd1 + 0 0 0   t  Rt Rt Rt R + vax (t)dt cos Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hk + 0 0   0t  0t   t R R R Rt + vax (t)dt cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) cos ω2 (t)dt rd1 + 0 0 0 0       Rt Rt Rt Rt + vax (t)dt cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) cos ω2 (t)dt hf − 0  0t   0t   0t  Rt R R R − vax (t)dt cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) cos ω2 (t)dt hk − 0 0 0 0       Rt Rt Rt Rt − vax (t)dt cos Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hf − 0  0t   0t   0t  Rt R R R − vax (t)dt cos Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)rd1 − 0 0 0 0  #  t  t  p R R Rt 2 2 − h sin ω2 (t)dt hk − Γ(t)dt sin δ(t)dt ω1 (t) cos −2 rax k 0 0 0   t  t  t t p R R R R 2 − h2 + ω2 (t)dt η rax Γ(t)dt sin ω2 (t)dt η 2 − 2vax (t) sin Γ(t)dt Γ(t) sin x0 sin k 0 0 0  0 t t t R R R ω2 (t)dt hk 2 − Γ(t)dt Γ(t) sin + vax (t)dt cos 0  0  0  t t t p R R R 2 − h2 − δ(t)dt η rax Γ(t)dt sin −2x0 sin ω2 (t)dt ω2 (t) sin k 0 0 0 t  t  t  p R R R 2 − h2 h sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt rd1 − −2 rax k k  0t   0t   0t  p R R R 2 2 −2 rax − hk hk sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt hf + 0  0  t 0 t t R R R ω2 (t)dt rd1 − Γ(t)dt sin δ(t)dt ω1 (t) cos +2ηhf sin   0t    0t  0t R R R Γ(t)dt sin ω2 (t)dt rd1 − δ(t)dt ω1 (t) cos −2ηhk sin   0t   0t   0t R R R ω2 (t)dt hf + −2ηhk sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt sin 0  0 t  0 t t  p R R R 2 − h2 h sin +2 rax δ(t)dt ω (t) cos Γ(t)dt sin ω (t)dt rd1 + 1 2 k f 0 t 0  t  0t  p R R R 2 − h2 + +2x0 cos ω2 (t)dt sin Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t)η rax k 0   0t   t0   p Rt R R 2 − h2 + +2x0 cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt Γ(t) sin δ(t)dt η rax k 0 0 0  t  t  t p Rt R R R 2 − h2 + Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)η rax +2 vax (t)dt cos k 0  0  0 0     t t t t p R R R R 2 − h2 + ω2 (t)dt η rax Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt cos +2 vax (t)dt sin k 0 0 0 0  t  t  t p R R R 2 − h2 − δ(t)dt δ(t) cos ω2 (t)dt η rax +2z0 cos Γ(t)dt cos k 0 0 0 t  t  t  p Rt R R R 2 − h2 − −2 vax (t)dt cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) cos ω2 (t)dt η rax k 0 0 0 t  t 0  t p R R R 2 − h2 − −2z0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt η rax k 0

0

0

98

Ph.D. értekezés

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

t R

 t  t  p R R 2 − h2 − Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)η rax k 0 0 0 t  t  p R R 2 − h2 − −2x0 cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)η rax k 0 t 0     t  t t R R R R 2 2 −2 sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt ηrax + ηhf cos ω2 (t)dt δ(t)+ 0 0  0 t t  0 p p R R 2 − h2 r 2 cos 2 − h2 h 2 cos ω2 (t)dt δ(t) + rax ω2 (t)dt δ(t)+ + rax k d1 k f t 0  t  t 0  t  R R R R 2 +vax (t) sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt hk − vax (t) sin Γ(t)dt sin ω2 (t)dt η 2 + 0 0 0  t   0t  p R Rt R 2 2 2 2 ω2 (t)dt δ(t)η − 2η cos ω2 (t)dt δ(t)rax 2 + +3ηhk cos ω2 (t)dt δ(t) − rax − hk cos 0 0 0 t  t t   t  p R R R R 2 − h2 h 2 cos ω (t)dt δ(t) + cos +ηrd1 2 cos ω2 (t)dt δ(t) + 2 rax ω (t)dt cos δ(t)dt vr (t)η 2 − 2 2 k k 0 0 0 t  t  t  t 0 R R Rt R R 2 − cos ω2 (t)dt cos δ(t)dt vr (t)hk − vax (t)dt cos Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt η 2 + 0 0 0 0 0 t  t  t  t  Rt R R Rt R R + vax (t)dt sin Γ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)hk 2 − vax (t)dt sin Γ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)η 2 + 0 0 0 t 0  t 0  t  0 R R R 2 +vax (t) cos Γ(t)dt sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt hk −   t  t   0t   0t  0t R R R R R 2 ω2 (t)dt hk 2 + Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt η − z0 cos δ(t)dt cos Γ(t)dt sin −vax (t) cos 0 0 0 0 0   t  t t  t R R R R ω2 (t)dt ω2 (t)hk 2 + Γ(t)dt cos ω2 (t)dt η 2 − z0 sin +z0 cos Γ(t)dt Γ(t) sin 0  t0  t   0t  t 0  p R R R R 2 2 2 2 ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt − +z0 sin Γ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)η − 2 rax − hk hk cos 0  0  t 0  t  0 t  t p R R R R 2 − h2 cos δ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt η 2 − −ηrd1 2 cos ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt − rax k 0 0 0 0   t t p R R 2 − h2 h 2 cos Γ(t)dt − − rax ω (t)dt ω (t) sin 2 1 k f   t  t  0 t 0 t p R R R R 2 2 2 2 Γ(t)dt − ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt − 3ηhk cos − rax − hk rd1 cos ω2 (t)dt ω1 (t) sin 0 0 t 0 t   t0 p R R R 2 − h2 h cos −ηhf 2 cos Γ(t)dt − 2 rax ω2 (t)dt ω1 (t) sin ω2 (t)dt δ(t)hf − k k 0 t  0 t  0 t  p R R R 2 − h2 h cos −2 rax ω (t)dt δ(t)r − 2ηh cos ω (t)dt δ(t)h − 2ηh cos ω (t)dt δ(t)rd1 + 2 d1 k 2 f k 2 k k 0 t  0 t  0 t  t  R R R R +3η sin ω2 (t)dt Γ(t) cos δ(t)dt hk 2 − y0 sin ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt η 2 − 0 0 0 0  t   t t  t R R R Rt R ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt η 2 − δ(t)dt δ(t)η 2 − vr (t)dt sin −y0 cos ω2 (t)dt sin 0 0 0  0  0 t  t  t t Rt R R R R 2 2 ω2 (t)dt − ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)η + ηhf cos δ(t)dt Γ(t) sin − vr (t)dt cos 0 0 0  0 0 t t t t R R R R ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt ηrax 2 + −x0 cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)η 2 + 2 cos 0 0 0 0 t  t  p R R 2 − h2 h 2 cos +2 rax δ(t)dt Γ(t) sin ω (t)dt + 2 k k t  0 t   t0  R R R +x0 cos ω2 (t)dt sin Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t)η 2 + 0 0 0  t  t  t R R R ω2 (t)dt Γ(t) sin δ(t)dt η 2 + +x0 cos Γ(t)dt cos 0 0 0 t t  t  Rt R R R + vax (t)dt cos Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)η 2 − 0  0t   0t   0t  Rt R R R − vax (t)dt cos Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hk 2 + −2z0 cos

0

0

0

0

99

Ph.D. értekezés

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

t  t  t  Rt R R R + vax (t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt η 2 − 0  0t   0t   0t  Rt R R R − vax (t)dt sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt hk 2 + 0 0 0 t  t  0 t R R R +z0 cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) cos ω2 (t)dt η 2 − 0 0 0 t  t  t  R R R −z0 cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) cos ω2 (t)dt hk 2 − 0 0 t t  0 t  Rt R R R − vax (t)dt cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) cos ω2 (t)dt η 2 + 0 0 0 0       Rt Rt Rt Rt + vax (t)dt cos Γ(t)dt cos δ(t)dt δ(t) cos ω2 (t)dt hk 2 − 0 0 0 0 t  t  t  R R R −z0 cos Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)η 2 +  0t   0t   0t  R R R +z0 cos Γ(t)dt sin δ(t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t)hk 2 − 0 0 0 t  t  t  R R R −z0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt η 2 +  0t   0t   0t  R R R +z0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt hk 2 + 0   t 0 0 t p R R 2 − h2 + ω2 (t)dt ω2 (t)η rax Γ(t)dt cos +2z0 sin k 0 0  t  t p R R 2 − h2 − ω2 (t)dt η rax +2z0 cos Γ(t)dt Γ(t) sin k 0 0   t  t  t p R R R 2 − h2 − −2vax (t) cos Γ(t)dt sin δ(t)dt cos ω2 (t)dt η rax k 0  0  0   t t t p R R R 2 − h2 − −2 vax (t)dt sin Γ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)η rax k 0 0 0   t t  t p p R R Rt R 2 − h2 + 2 r 2 − h2 h cos ω2 (t)dt η rax Γ(t)dt Γ(t) sin −2 vax (t)dt cos ω (t)dt δ(t)rd1 + 2 ax k k f 0 0  0 0    t Rt Rt R δ(t)dt rax 2 + ω2 (t)dt Γ(t) cos ω2 (t)dt δ(t)rd1 − 2η sin +2ηhf cos 0 0 0   t  t  t t p p R R R R 2 2 − h2 cos 2 − h2 r 2 cos + rax Γ(t)dt η + ω (t)dt ω (t) sin ω (t)dt + r δ(t)dt Γ(t) sin 2 1 2 d1 ax k k 0 0  t t t 0 t 0 p R R R R 2 − h2 h 2 cos +ηrd1 2 cos δ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt + rax δ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt + k f 0 t 0  t t 0  t 0  p R R R R 2 2 +2 cos ω2 (t)dt cos δ(t)dt vr (t)η rax − hk − x0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt hk 2 + 0 0 0 0  t   t t  t R R R R ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)hk 2 + δ(t)dt hk 2 + y0 cos +y0 sin ω2 (t)dt ω2 (t) cos 0 0 0 0  t  t Rt R R 2 ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt hk + + vr (t)dt sin 0  0 t  t  0t  t t R R R R R 2 ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)hk + x0 cos Γ(t)dt cos ω2 (t)dt ω2 (t)hk 2 + + vr (t)dt cos 0 0 0 0 0  t  t  t p R R R 2 − h2 h 2 sin +2 rax ω (t)dt + δ(t)dt ω (t) cos Γ(t)dt sin 2 1 k k t 0 t 0  t 0 R R R +3ηhk 2 sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt +  t 0  t 0  t 0 R R R Γ(t)dt sin δ(t)dt hk 2 + +x0 sin ω2 (t)dt ω2 (t) sin 0 t 0 t 0  t  p R R R 2 2 − h2 h + rax sin δ(t)dt ω (t) cos Γ(t)dt sin ω (t)dt + 1 2 k f 0 t  0 t  0 t  p R R R 2 − h2 r 2 sin + rax δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt + k d1 0

0

0

100

Ph.D. értekezés

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

t R

 t  t  R R δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt + 0 t  0 t  0 t  R R R +ηrd1 2 sin δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt − 0 0 t  t 0  t  p R R R 2 2 δ(t)dt ω1 (t) cos Γ(t)dt sin ω2 (t)dt η 2 + − rax − hk sin 0  0 0  t  p Rt R 2 − h2 h cos ω (t)dt ω (t) sin Γ(t)dt hf + +2 rax 2 1 k k  0t   0t  p R R 2 − h2 h cos +2 rax ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt rd1 − k k 0t  0t  t  t  p R R R R 2 2 ω2 (t)dt ω1 (t) sin −2 rax − hk hf cos Γ(t)dt rd1 + 2ηhk cos ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt hf + t 0 t 0 t 0 t 0 R R R R +2ηhk cos ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt rd1 − 2ηhf cos ω2 (t)dt ω1 (t) sin Γ(t)dt rd1 − 0 0 t0   t0  p R R 2 − h2 − −2y0 sin ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt η rax k 0 0     p Rt Rt Rt 2 − h2 + −2 vr (t)dt cos ω2 (t)dt sin δ(t)dt δ(t)η rax k 0 0 0 t  t  p R R 2 − h2 − +2x0 sin Γ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt η rax k 0  0 t t p R R 2 − h2 h cos ω2 (t)dt hf − δ(t)dt Γ(t) sin −2 rax k k    0t  0t p R R 2 − h2 h cos −2 rax ω (t)dt rd1 + δ(t)dt Γ(t) sin 2 k k 0t  0t  t  t  p R R R R 2 2 +2 rax − hk hf cos δ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt rd1 − 2ηhk cos δ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt hf − t 0 t 0 t 0 t 0 R R R R −2ηhk cos δ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt rd1 + 2ηhf cos δ(t)dt Γ(t) sin ω2 (t)dt rd1 − 0  0 0  t  t t 0 R R R δ(t)dt hk 2 − ω2 (t)dt Γ(t) sin Γ(t)dt cos −x0 cos  t 0   0 t  0t R R R δ(t)dt δ(t)hk 2 − Γ(t)dt cos ω2 (t)dt sin −x0 cos 0 0 0  t  t p R R 2 − h2 − δ(t)dt δ(t)η rax −2y0 cos ω2 (t)dt sin k 0 0 t  t  p Rt R R 2 − h2 − −2 vr (t)dt sin ω2 (t)dt ω2 (t) cos δ(t)dt η rax k 0 0 0 t  t  t  ) R R R −x0 sin ω2 (t)dt ω2 (t) sin Γ(t)dt sin δ(t)dt η 2 + 0 0 " 0 q p 2 − h2 − η 2 + h2k − 2η rax k  t  t  t  t R R R R δ(t)dt δ(t)+ Γ(t)dt Γ(t) cos δ(t)dt + ηx0 sin Γ(t)dt sin 1 − ηx0 cos 0 0 0 0     p Rt Rt Rt 2 − h2 sin + rax Γ(t)dt cos δ(t)dt ω1 (t) vr (t)dt+ k 0  t  t   0t   0t p R R R R 2 − h2 sin + rax δ(t)dt ω (t)y + ηz sin Γ(t)dt Γ(t) cos δ(t)dt + Γ(t)dt cos 1 0 0 k 0 0 0 0     t t Rt R R Rt Rt Γ(t)dt Γ(t) cos δ(t)dt − Γ(t)dt sin δ(t)dt δ(t) − η vax (t)dt sin +ηz0 cos 0 0 0 0 0      Rt Rt Rt Rt Rt −η vax (t)dt cos Γ(t)dt sin δ(t)dt δ(t) + η vr (t)dt cos δ(t)dt δ(t)+ 0 0 0 0 t  t 0 p R R 2 − h2 sin +ηy0 cos δ(t)dt δ(t) + rax δ(t)dt ω1 (t)x0 + k 0 0  t  t  t  t p R R R R 2 2 +vax (t) cos Γ(t)dt cos δ(t)dt rax − hk + vax (t) cos Γ(t)dt cos δ(t)dt η+ +ηhf 2 sin

0

0

0

0

101

Ph.D. értekezés

C. Kapcsolódás alaptörvényének kifejtése csavarfelületek felírásához

t  p Rt R Rt 2 − h2 sin +y0 vr (t) + vr (t)dtvr (t) − vax (t)z0 + vax (t) vax (t)dt + rax δ(t)dt vr (t)+ k 0 0 # t 0  R +η sin δ(t)dt vr (t) + 0 t t     p p R R Rt 2 2 2 2 ηrd1 sin δ(t)dt ω1 (t)x0 + rax − hk rd1 sin δ(t)dt ω1 (t)x0 − δ(t)dt ω1 (t)x0 + rax − hk hf sin 0 t 0 t   t 0 p R R R 2 − h2 h sin −ηhk sin δ(t)dt ω1 (t)x0 − rax δ(t)dt ω1 (t)x0 + ηhf sin δ(t)dt ω1 (t)x0 − k k 0 0 0 t  t  p R R 2 − h2 h sin Γ(t)dt cos δ(t)dt ω1 (t)y0 − − rax k k  0t   0t  p R R Rt 2 2 − rax − hk hk sin Γ(t)dt cos δ(t)dt ω1 (t) vr (t)dt− 0  t 0  t 0  t  R R Rt R Rt −ηhk sin Γ(t)dt cos δ(t)dt ω1 (t)y0 − ηhk sin Γ(t)dt cos δ(t)dt ω1 (t) vr (t)dt− 0 0  0 0 t   t0  p p R Rt R 2 2 2 2 δ(t)dt vr (t) + rax − hk rd1 sin δ(t)dt vr (t) + ηrd1 sin δ(t)dt vr (t)− − rax − hk hk sin 0 t  0 t 0 t  p R R R 2 − h2 h sin δ(t)dt vr (t)+ −ηhk sin δ(t)dt vr (t) + ηhf sin δ(t)dt vr (t) + rax k f 0 0 t   t0    t  p R R Rt Rt R 2 2 Γ(t)dt cos δ(t)dt ω1 (t) vr (t)dt + ηhf sin Γ(t)dt cos δ(t)dt ω1 (t)y0 + + rax − hk rd1 sin 0 t 0  t 0 t 0  t 0 t R R R R R +ηhf sin Γ(t)dt cos δ(t)dt ω1 (t) vr (t)dt + ηrd1 sin Γ(t)dt cos δ(t)dt ω1 (t)y0 + 0 0 0   t    0 t 0 t p R Rt R Rt R 2 − h2 h sin δ(t)dt ω1 (t)y0 + Γ(t)dt cos δ(t)dt ω1 (t) vr (t)dt + rax Γ(t)dt cos +ηrd1 sin k f 0 0 0  0 0 t t p R Rt R 2 − h2 h sin δ(t)dt ω1 (t) vr (t)dt+ + rax Γ(t)dt cos k f 0   0 t 0 t p R R 2 2 + rax − hk rd1 sin δ(t)dt ω1 (t)y0 − Γ(t)dt cos 0 0 t t  t  t  p p R R R R 2 − h2 h + v (t) cos 2 − h2 h + −vax (t) cos Γ(t)dt cos δ(t)dt rax Γ(t)dt cos δ(t)dt rax ax k k k f  0t   0t  0 t  0 t  p R R R R 2 − h2 r +vax (t) cos Γ(t)dt cos δ(t)dt rax Γ(t)dt cos δ(t)dt ηhk + k d1 − vax (t) cos 0 0  t  t   0t  0t R R R R δ(t)dt ηrd1 = 0 Γ(t)dt cos δ(t)dt ηhf + vax (t) cos Γ(t)dt cos +vax (t) cos 0

0

0

0

102