Teorie sítí: společný jazyk buňky a internetu

Teorie sítí: společný jazyk buňky a internetu RNDr. František Slanina,CSc. Fyzikální ústav AV ČR

[email protected], www.fzu.cz/~slanina

Řekne-li se, že všechno souvisí se vším, zní to jako pustá banalita. Stejně trapné by nám připadalo, kdyby nám dnes někdo nadšeně vykládal, že je člověk společenský tvor. Kdybychom ale měli říci, jak přesně spolu souvisí zdánlivě odlehlé věci a kudy vlastně vedou rušné tepny společenského života, ukázalo by se, jak málo o tom všem víme a jak jsou ty otřepané pravdy skutečně banální. Abychom jim totiž opravdu porozuměli, musíme se podívat mnohem hlouběji na strukturu lidské společnosti, musíme zmapovat topografii světa kolem nás. A k tomu právě v posledních letech dochází. Jsme svědky bouřlivého rozvoje oboru, kterému se začalo říkat teorie komplexních sítí, a sítě, o nichž zde mluvíme, nacházíme snad všude, kamkoli se jen podíváme.

1. Pro matematiky to není zase až tak nic nového. Jako už tolikrát se ukázalo, že matematikové tvořili, svým obvyklým tichým a skromným způsobem, teorémy a teorémy, které teprve nedávno lidé oprášili a poznali jejich praktický význam. Matematicky řečeno mluvíme zde o teorii náhodných grafů. Graf, to je abstraktní objekt, který si můžeme představit například jako schéma známostí mezi obyvateli jednoho města. Takové schéma snadno nakreslíme, stačí jen mít dostatečně velký papír (pro Prahu by musel být opravdu dost velký!). Každého člověka si zakreslíme jako malý plný kroužek,

a pokud se nějací dva lidé osobně znají, spojíme jejich kroužky čárou. V matematické hantýrce říkáme kroužkům uzly a čarám hrany. Fyzikové někdy místo „hrany“ říkají „vazby“, podle chemických vazeb, poutajících k sobě atomy v molekulách. Jistě všichni známe modely molekul z chemického kabinetu, kde vazby – či hrany – ztělesňují umělohmotné tyčinky. Nic překvapivého: například schéma molekuly benzenu je také jedním z příkladů grafu, jak mu rozumějí matematici. Jiným příkladem je schéma propojení elektrorozvodné sítě či sítě počítačů v rámci jedné firmy či školy. Další příklady si čtenář jistě snadno doplní sám. Teorie grafů dlouhá léta přistupovala ke grafům jako k přesně daným objektům, které sice mohly být – a byly – velmi složité a nepřehledné, ale na nichž nebylo nic neurčitého. Nedovedli jsme se sice často vyznat v jejich spletitých vlastnostech, ale měli jsme alespoň jejich jednoznačnou definici. Tak například rovinný graf je takový graf, který lze nakreslit na papír způsobem, aby se jeho hrany nikde nekřížily. (Tato vágní definice se dá formulovat velmi přesně, ale to pro nás nyní není důležité.) O rovinných grafech platí nejrůznější teorémy, například že k jejich obarvení stačí pouhé čtyři barvy. (Dokázání tohoto teorému dalo vědcům pořádně zabrat a dodnes není znám důkaz, který by nevyžadoval použití počítače…) Nicméně jakmile víme, že graf, který máme před sebou, je rovinný, máme také jistotu o jeho obarvitelnosti. To se ovšem změní, pokud si dovolíme do určité míry o povaze grafu pochybovat: možná že je rovinný, ale možná také ne, víme jen, s jakou pravděpodobností nastane první či druhá možnost. V tom okamžiku i všechny ostatní vlastnosti grafu mají jen pravděpodobnostní platnost. Můžeme se například ptát, s jakou pravděpodobností je graf souvislý neboli se skládá jen z jednoho kusu, nerozpadá se na více nesouvisejících částí.

2. První matematické výsledky týkající se náhodných grafů získali v padesátých letech maďarští matematici Pál Erdős a Afred Rényi. Svůj náhodný graf konstruovali podle jednoduchého receptu. Vzali určitý počet vrcholů a ty spojovali hranami zcela náhodně. Každá náhodně vybraná dvojice uzlů má pravděpodobnost p, že bude spojena hranou, a pravděpodobnost 1 - p, že mezi nimi hrana nebude. Tento Erdősův-Rényiho graf lze prostudovat poměrně podrobně. Jednou z otázek, které si matematikové kladli, bylo například pravděpodobnostní rozdělení konektivit. Konektivitou uzlu zde myslíme počet hran, které z uzlu vycházejí (někdy se také používá termín řád uzlu, my se pro jednotnost přidržíme termínu konektivita). Otázka pak zní takto: vyberu-li zcela náhodně jeden uzel grafu, jaká je

pravděpodobnost, že bude mít konektivitu právě k? Tato veličina, označme si ji P(k), má pro nás obrovský význam, protože mimo jiné určuje míru homogenity grafu či sítě, její kompaktnost, stabilitu, a nebo také, máme-li na mysli graf popisující mezilidské styky, jak snadno se budou šířit infekční nemoci. Erdős s Rényim vypočetli, že se konektivita v jejich grafu řídí Poissonovým rozdělením, které je dáno vzorcem P(k ) = e − λ e λk / k! Toto rozdělení se vyznačuje velmi strmým maximem v okolí průměrné konektivity. To znamená, že téměř všechny uzly budou mít konektivitu nepříliš vzdálenou od průměru a pravděpodobnost, že konektivita výrazně přesáhne průměr, je zcela zanedbatelná. ErdősovaRényiho síť je velmi homogenní.

3. Po dlouhá desetiletí, která následovala, se v teorii náhodných grafů zdánlivě nic nedělo. Do určité míry to byla pravda, protože matematikové stále jen vylepšovali a oprašovali, co před nimi vybudovali Erdős a Rényi. Na druhé straně zde byli různí „neexaktní“ vědci, např. ekonomové a sociologové, které čím dále tím více zajímala skutečná struktura sítě skrývající se za lidskou společností. Například americký sociolog Mark Granovetter si na začátku šedesátých let kladl otázku, jakými cestami si lidé hledají zaměstnání. Došel k paradoxnímu závěru, že nejvíce jim při tom pomáhají vzdálení známí, nikoli nejbližší přátelé. Své výzkumy zahrnul do práce s názvem Síla slabých vazeb, kde prezentoval vizi společnosti jakožto sítě složené z mnoha „modulů“ neboli těsně propojených shluků uzlů, kde se každý zná s každým, přičemž moduly jsou spolu navzájem spojeny malým počtem vzdálených slabých vazeb. Tyto slabé vazby spojující lidi, kteří si jinak nejsou příliš blízcí, hrají při hledání nové práce rozhodující roli: mí nejbližší přátelé mají většinou podobné informace jako já a málokdy mi poradí hledat něco, o čem bych již sám předtím nevěděl. Zato někdo, koho znám jen letmo, kdo se častěji vyskytuje v mně neznámém prostředí, mi může spíše poradit něco, na co bych vlastními silami nepřišel. Modulární struktura společnosti, představená Granovetterem, opsala standardní kruh, který bývá osudem velkých objevů. Nejprve Granovetterovu práci všichni šmahem odmítli,

takže se mu nepodařilo publikovat svůj článek v žádném z odborných časopisů. Když se mu to s velkým zpožděním povedlo, stal se rázem slavným a jeho článek patří dnes mezi nejcitovanější ve společenských vědách vůbec. Dnes je jeho představa tak přirozená, že ji mnozí považují za banalitu. Jiný americký sociolog, Stanley Milgram, pracoval nevědomky na stejném poli, i když úplně jinými prostředky. Milgramovou doménou byla experimentální sociologie a někomu se možná vybaví jeho pokusy s lidmi, kteří byli nuceni dávat elektrické šoky jiným pokusným osobám (což by dnes žádná etická komise nepovolila, ale v šedesátých letech bylo možné leccos). V pokusu, o který nám nyní jde, neobíhal lidmi elektrický proud, ale kolovaly obyčejné dopisy. Milgrama zajímalo, jak složitou cestou bude dopis putovat z jednoho místa v Americe na jiné, pokud si jej budou moci předávat jen lidé osobně, a to jen mezi dobrými známými. Rozdal tedy odesílatelům větší množství dopisů a zvědavě čekal, zda některý z nich skutečně dorazí do cíle. Větší části z nich se to podařilo a Milgram nyní počítal, kolik prostředníků bylo potřeba, než se dopis dostal tam, kam měl. Výsledek byl překvapující: Průměrně stačilo neuvěřitelně málo, pouhých šest kroků. Co z tohoto překvapivého výsledku plyne? Síť mezilidských vazeb obepínající celou planetu je podivuhodně hustá a v průměru dělí libovolné dvě osoby, ať je to opravář televizorů v indické vesnici nebo obchodník s kůžemi v Patagonii, řetězec známostí čítající šest kroků. Když si to rozmyslíme, není to až tak překvapivé: například někdo (říkejme mu pro jistotu X) zná někoho, kdo je dobrým známým Václava Havla, který se jistě zná s Billem Clintonem, a ten měl určitě co do činění s Georgem Bushem mladším (i starším), který se pravidelně stýká se zahradníkem na svém soukromém ranči, a tedy manželku Bushova zahradníka dělí od našeho X právě šest kroků. Pojem „šest kroků od sebe“ se svého času stal tak populárním, že byl i umělecky zpracován. Světu, kde od člověka k člověku je vlastně velice blízko, se začalo říkat malý svět. Jak uvidíme dále, teorie náhodných grafů má pro malé světy velmi přímočaré vysvětlení.

4. Vraťme se nyní opět k matematice a k tomu, jak je zde užitečná statistická fyzika. Lidé si přirozeně kladli otázku, jak by se daly sítě mezilidských vztahů modelovat matematicky. Erdősovy-Rényiho náhodné grafy se nabízely jako skvělé východisko. Nicméně zjištění, k nimž došli sociologové, tak jak jsme je naznačili v předchozí kapitolce, rozhodně s Erdősem

a Rényim nesouhlasily. Především modulární struktura byla tím prvkem, který se modelování náhodnými grafy vzpouzel. A tak jsme museli čekat až na konec devadesátých let, kdy se najednou jako houby po dešti začaly objevovat zcela nové myšlenky vtělené do originálních modelů. Nejprve to byli Duncan Watts a Steven Strogatz, kteří přišli s ideou, které říkali prostě sítě malého světa (small world networks). Jejich nápad je tak průzračný, že je s podivem, že na něj lidstvo muselo čekat tak dlouho. Wattsův-Strogatzův model vychází z představy, že v zásadě jsou lidé vázáni na dvourozměrný povrch zeměkoule, a tudíž největší počet vzájemných kontaktů je určen geografickou blízkostí. Není nic překvapivého na tom, že velkou část našich přátel tvoří naši spolužáci, kteří se jimi stali prostě proto, že bydleli v tomtéž městě nebo v téže čtvrti jako my. To ale není všechno. Kromě toho máme pár přátel a známých v jiných městech, jiných státech a na jiných kontinentech. Wattsův-Strogatzův model tedy bere za základ sítě pravidelnou mřížku (dvourozměrnou či pro jednoduchost jednorozměrnou), kterou doplní malým množstvím vazeb, které mohou spojovat libovolně vzdálené uzly sítě. Ilustrativní příklad vidíme na obr. 1.

Obr. 1. Síť malého světa Nalevo vidíme pravidelnou jednorozměrnou mřížku, stočenou do kruhu. Graf vpravo znázorňuje přidané dalekodosahové vazby, které vedou k efektu „malého světa“.

To, co se u Granovettera popisovalo jako modulární struktura sítě, měří Watts se Strogatzem pomocí veličiny, kterou nazvali koeficient shlukování. Jde o to, že znám-li já X a také Y, pak se dá očekávat, že X a Y se budu také navzájem znát. My tři tvoříme malý shluk, kde se všichni navzájem známe. U Erdősovy-Rényiho sítě tomu tak ale není. Jelikož všechny vazby jsou na sobě nezávislé a náhodné, nedá se z existence vazby mezi mnou a X a mezi mnou a Y vyvodit nic o existenci vazby mezi X a Y. Koeficient shlukování bude zanedbatelně malý. Naproti tomu v pravidelné síti dané prostorovou blízkostí bude shlukování samozřejmě velké, protože dva body blízké třetímu bodu musí být k sobě blízko, jak nám říká trojúhelníková nerovnost. U Wattse a Strogatze zajišťuje vysoké shlukování základní pravidelná mřížka. Dalekodosahové vazby v jejich modelu naopak vedou k tomu, že jejich svět je opravdu „malý“, že i mezi geograficky vzdálenými jednotlivci mohou vznikat krátké

posloupnosti známostí. V našem příkladu s manželkou Bushova zahradníka je takovou vzdálenou vazbou známost Havla s Clintonem, která překračuje oceán. Wattsův-Strogatzův model mohl zůstat jen zajímavou hříčkou, která možná vysvětluje některá sociologická pozorování, ale nic víc, kdyby jeho autoři nešli dál a neprovedli důkladné srovnání reálných sítí s předpovědí jejich modelu. A nyní se ukázalo, že řada sítí kolem nás úžasně dobře s Wattsovým-Strogatzovým modelem souhlasí. A to nejen sociální sítě, jako jsou vazby mezi herci v Hollywoodu (ty mají výhodu, že se dají poměrně snadno dokumentovat), mezi členy správních rad velkých korporací (to už je těžší, ale stále ještě to lze, protože všechna jména jsou veřejně známá) a tak podobně, ale i potravní sítě popisující vztahy v ekosystému. Kupodivu to však funguje stejně dobře i u neživých objektů, jako je elektrorozvodná síť v USA nebo schéma zapojení mikroprocesoru.

5. Pravé překvapení nás však čekalo, když se badatelé, inspirovaní Wattsem a Strogatzem, pustili do studia sítě, která je snad běžnému člověku ze všech nejznámější: internetu, nebo přesněji world-wide webu. Není totiž problém napsat krátký program, který stáhne webovou stránku, zanalyzuje její obsah, najde všechny odkazy, pak jednu po druhé stáhne všechny stánky, na které první stránka odkazovala, opět vyhledá všechny odkazy na stažených stránkách a pokračuje stále dál, dokud jej nezastavíme. Takovéto roboty rutinně používají všechny internetové vyhledávače, jako je např. Google, a příklady jednoduchých robotů najdeme v řadě učebnic programování (ne pro začátečníky, samozřejmě). Podobného robota sestavili studenti na univerzitě Notre Dame v South Bendu ve státě Indiana, ve skupině profesora teoretické fyziky Alberta-László Barabásiho. Podařilo se jim stáhnout všechny webové stránky uvnitř jejich vlastní domény nd.edu (bylo jich něco přes 300 tisíc) a získanou síť potom analyzovali. Zjistili, že web tvoří také „malý svět“, i když vzdálenost mezi uzly je znatelně větší než u sociálních sítí: průměrná hodnota se pohybovala kolem devatenácti. Nečekaný výsledek se dostavil, když vypočetli pravděpodobnostní rozdělení konektivity. V získaném grafu nebylo ani památky po výrazném maximu, charakteristickém jak pro Erdősův-Rényiho, tak pro Wattsův-Strogatzův model. Ve skutečnosti se rozdělení řídilo mocninným zákonem, P ( k ) ≈ k −γ

(viz obr. 2ab). Laikovi možná na mocninném rozdělení nepřipadá nic zvláštního,

koneckonců

funkce

jako

funkce.

Odborník, a zvláště teoretický fyzik toho ražení, jako byl Barabási, však musel při takovém

objevu

pocítit

lehkou

závrať.

Přítomnost mocninných zákonů v různých fyzikálních systémech byla totiž dlouhá

a)

b)

desetiletí velikou záhadou. Mocninné zákony například řídí chování řady veličin, jako např. měrného tepla nebo susceptibility, v okolí kritického bodu u fázových přechodů. Odvození těchto mocninných zákonů z teorie bylo velmi tvrdým oříškem a teprve v polovině sedmdesátých let došlo k výraznějšímu pokroku, když byla zformulována metoda renormalizační grupy. Kennethu Wilsonovi, jejímu autorovi, byla krátce poté za tento počin udělena Nobelova cena za fyziku.

Mocninné zákony také charakterizují

c)

fraktály, široce populární vizuální objekty. Obr. 2. Bezškálová síť Není to náhoda; charakteristickou vlastností V horních dvou panelech vidíme rozdělení konektivit fraktálů je totiž to, že se při změně měřítka na WWW, a to odděleně pro odkazy vycházející z jedné na pohled nemění. Vyříznutím malé části stránky (a) a mířící na jednu stránku (b). V panelu (c) a zvětšením na původní velikost dostaneme

je znázorněno rozdělení konektivity získané simulací modelu Barabásiho-Albertové. Mocninná závislost se

opět tentýž tvar. Tato absence charakte- projevuje jako přímka v dvojitém logaritmickém ristické délky, někdy zvaná bezškálovost, je měřítku. matematicky dobře vyjádřena mocninným

rozdělením. Mocninné rozdělení pravděpodobnosti má také následující vlastnost. Změníme-li jednotky, tedy vynásobíme-li naši veličinu x číslem s, pak dostáváme

P( sx) ∝ ( sx) −γ ∝ x −γ ∝ P( x) ,

a pravděpodobnostní rozdělení tudíž nemění svůj tvar. Ve skutečnosti se dá dokázat, že mocnina je právě jediný možný typ funkce, která je bezškálová. Barabási tehdy zajásal, když zjistil, že rozdělení konektivit na webu je mocninné a souvisí tedy jakýmsi záhadným způsobem s fázovými přechody a kritickými jevy a navíc odhaluje skrytou fraktální strukturu této sítě. Přinejmenším to znamenalo, že ani ErdősůvRényiho, ani Wattsův-Strogatzův model se nedají v žádném případě použít pro popis struktury webu. Narazili jsme na cosi úplně nového, na něco, co vyžaduje zcela neotřelé myšlenky – na bezškálové sítě (scale-free networks).

6. Barabásiho invence plně dostála této výzvě. Prakticky ihned po objevu bezškálové povahy sítě webových stránek přišel, spolu se svou studentkou Rékou Albertovou, s modelem, který mocninné rozdělení elegantně vysvětloval. Podstatou je souhra a vzájemné vyvažování dvou mechanismů. Prvním z nich je neustálý růst sítě. Síť je dynamická a neustále se proměňuje. V každém kroku časového vývoje se k síti přidá jeden uzel. Druhým principem je preferenční připojování nového uzlu k starším. Nový uzel, nová webová stránka, s sebou nese určitý počet vazeb, otázkou ale je, ke kterým stávajícím uzlům se mají připojit. Pravidlo preferenčního připojování říká, že pravděpodobnost připojení nové vazby je přímo úměrná počtu vazeb, které již starý uzel má. Je to koneckonců přirozené: na oblíbené stránky, na něž odkazuje mnoho jiných stránek, se nově příchozí připojí s větší pravděpodobností než na nějaké nekvalitní, které si žádnou oblibu nezískaly. Skutečná hodnota stránek je přitom druhořadá. Podstatný je efekt napodobování, který dobře známe u knih a populární hudby: všichni to poslouchají, pustím si to taky; všichni to už četli, musím si to taky přečíst. Na obrázku 2c vidíme výsledky simulací modelu Barabásiho-Albertové (BA) a můžeme je srovnat s daty pro web. Vidíme, že shoda je nápadná. Nemusíme však ještě cítit uspokojení. Možná, že je web mezi sítěmi naprostou výjimkou. Možná, že se model BA na nic jiného nehodí.

Ukázalo se ale, že opak je pravdou. Když byla provedena analýza americké elektrorozvodné sítě, získali jsme stejnou mocninnou závislost jako u webu. A totéž nás čekalo u sítě vztahů mezi hollywoodskými herci nebo při zkoumání sítě reprezentující vzájemné citace vědeckých prací. Najednou se začalo ukazovat, že bezškálové sítě ovládají velkou část lidské společnosti a vévodí i technickým výtvorům. Nebylo už pak velkým překvapením, když se zjistilo, že také internet, jakožto fyzická struktura kabelů, počítačů a směrovačů, má bezškálovou strukturu (pro ilustraci viz obr. 3).

Obr. 3. Struktura internetu Mapa části internetu v roce 1999. Různé barvy odpovídají různým doménám.

Nyní začaly přicházet rychle za sebou objevy dalších bezškálových sítí. Zmiňme se ještě o dvou, které jsou obzvlášť nečekané a důležité. V každé živé buňce probíhá neustále spousta biochemických reakcí. Schémata těchto reakcí se dají nakreslit do takzvaných metabolických drah. Jejich schéma je skutečně velice

komplikované. My se na takový diagram můžeme dívat jako na graf, na metabolickou síť, v níž uzly představují jednotlivé chemikálie (voda, cukry, proteiny atd.) a hrany spojují látky, které spolu reagují. Podobná síť se dá nakreslit pro vzájemnou interakci proteinů nebo pro genetickou regulaci. Tato poslední síť je pro buňku obzvlášť důležitá a popisuje, jak geny vzájemně ovládají své „zapínání“ a „vypínání“. A všechny tyto tři sítě řídící buněčné pochody jsou bezškálové. Schéma proteinové interakční sítě v buňce kvasinky vidíme na obr. 4. Obr. 4. Interakční síť proteinů kvasinky Každý uzel odpovídá jednomu proteinu.

Další bezškálovou síť objevili matematičtí lingvisté. Představme si jednotlivá slova jazyka jako uzly a gramatické a sémantické vazby mezi nimi jako hrany. Například v češtině se velmi často vyskytuje slovní spojení „byl jsem“, a tudíž slova „byl“ a „jsem“ jsou spojena vazbou. Naproti tomu „kytara“ a „cihla“ se zřídkakdy dostanou do vzájemné souvislosti, vazba tedy mezi nimi není. Tato lingvistická síť je bezškálová a nikdo dosud nepřišel s vysvětlením proč.

7. Nyní se dostáváme k praktické otázce: jaké důsledky má bezškálová struktura na fungování sítí, o nichž zde byla řeč? U internetu nás například zajímá, jak odolný bude vůči selhání některých jeho uzlů. Na tom bude také záviset jeho spolehlivost jako informačního média. Barabási a další provedli jednoduchou simulaci; ze sítě představující internet odebírali jeden po druhém uzly a čekali, kdy se síť rozpadne na nesouvislé kusy. To je okamžik, kdy se internet zhroutí. Problémy tohoto typu jsou poměrně dobře známé ve statistické fyzice, kde se jim říká perkolace. Představme si například desku, do níž vrtáme jednu díru za druhou. Nějakou dobu to potrvá, než otvory zeslabí desku natolik, že se nám rozpadne. Taková hustota otvorů, která vede právě k rozpadu, se nazývá perkolační práh. Nízký perkolační práh

znamená malou odolnost k poškození, vysoký perkolační práh naopak velkou robustnost. Kupodivu se ukázalo, že bezškálová síť má neobyčejně vysoký perkolační práh a zůstává funkční, i když narušíme většinu jejích uzlů. Proto je internet vysoce stabilní vůči náhodným poruchám. Něco jiného je ovšem útok zlomyslných hackerů. Ti se sotva budou zaměřovat na náhodně vybrané uzly, protože s největší pravděpodobností budou jen málo významné. Místo toho se soustředí na nejvýznamnější centra s vysokou konektivitou. A tady se ukazuje, že bezškálový charakter sítě je naopak obrovskou nevýhodou. Internet tedy ztělesňuje příklad sítě velmi odolné k náhodným poruchám a zároveň velice citlivé na nepřátelský útok. Jelikož metabolická síť v buňce je také bezškálová, vysvětluje se tím, proč buňka dokáže přežít, i když ji neustále ohrožuje řada nepříznivých vlivů okolního prostředí. Jiný zajímavý výsledek se týká šíření počítačových virů. Běžné epidemiologické modely, úspěšné při popisu epidemií spalniček a jiných chorob, mají jeden společný rys. Říkají totiž, že osud epidemie, tedy zda se zastaví či zda přetrvá, závisí na stupni nakažlivosti viru. Pokud je nakažlivost menší než určitá kritická hodnota, vznikne nanejvýš krátkodobá lokální epidemie a nemoc zase vymizí. Když ale nakažlivost přesáhne kritickou hodnotu, epidemie se stále stupňuje, až zasáhne vše, co jen může. A nyní se ukazuje, že výše kritické hodnoty je dána strukturou sítě, po níž se nemoc šíří. Máme-li studovat počítačové viry, je touto sítí internet, u němž víme, že je bezškálový. K překvapení všech se ukázalo, že na bezškálové síti je práh nakažlivosti nulový. To znamená, že sebeméně nakažlivý virus dříve nebo později zachvátí celý systém, a co je horší, přetrvává v něm velmi dlouho. A to se u počítačových virů skutečně pozoruje. Nejenže jsme pravidelně svědky celoplanetárních poplachů vyvolaných e-mailovými červy, ale dokonce i staré viry, proti nimž již dlouho existuje antivirová ochrana, se stále tu a tam objevují. Není je možné vymýtit. Obr. 5. Síť sexuálních kontaktů Konektivita uzlu – jedince – je dána počtem jeho/jejích partnerů. Mocninné rozdělení, demonstrované tímto grafem, ukazuje, že síť je bezškálová.

Zakončeme naši procházku složitými sítěmi jednou varovnou zprávou. Dokážeme-li tak dobře studovat šíření virů počítačových, co nám

to napoví o šíření virů lidských? K tomu potřebujeme mít informace o síti mezilidských kontaktů, jimiž se nemoc přenáší. Pokud jde o pohlavní choroby, je to síť sexuálních styků. Ačkoli se jedná o informace, které jen málokdo hodlá prozrazovat, byly ve Švédsku prováděny studie sexuálního chování, které hodně napovídají o struktuře takové sítě. Pro nás je podstatné, že se jedná o síť bezškálovou, jak naznačují data vynesená na obrázku 5. Když si to dáme dohromady s děsivou snadností, s jakou se v bezškálových sítích šíří viry, můžeme se jen neklidně ptát, spolu s autory uvedené švédské studie: „Dokážeme vůbec někdy zastavit epidemii AIDS?“ LITERATURA: „ [1] Barabási, A.-L.: V pavučině sítí, Paseka, 2005.