“Teori Tiga Dunia Matematika David Tall” Untuk Memenuhi Tugas Mata kuliah Seminar Pendidikan Matematika
Dosen Pembi mbing : Drs. H. K ari m , M.Si Drs. Hidayah Ansori , M.Si
OLEH : Rahmatya Nurmeidina NIM : A1C108059
Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Lambung Mangkurat Banjarmasin 2011
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
ii
I. PENDAHULUAN
1
A. Latar Belakang
1
B. Rumusan masalah
3
C. Tujuan Penulisan
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
4
A. Sekilas Tentang Ddavid Tall
4
B. Teori Tiga Dunia Matematika yang Dikembangkan oleh David Tall
5
III. PEMBAHASAN
13
Implikasi dalam Belajar Matematika DAFTAR PUSTAKA
14 18
BAB 1
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Pengertian belajar secara kualitatif adalah proses memperoleh arti-arti dan pemahaman–pemahaman serta cara-cara menafsirkan dunia di sekeliling siswa. Belajar dalam pengertian ini difokuskan pada tercapainya daya pikir dan tindakan yang berkualitas untuk memecahkan masalah-masalah yang kini dan nanti dihadapi siswa. (Syah, 2009) Dari pengertian di atas, dapat kita pahami bahwa dengan belajar diharapkan siswa dapat mencapai daya pikir yang berkualitas. Sehingga dapat disimpulkan bahwa belajar dan berpikir memiliki keterkaitan yang erat. Pengertian berpikir adalah proses yang dinamis yang dapat dilukiskan menurut proses atau jalannya. Proses berpikir, terbagi beberapa macam, diantaranya, berpikir deduktif (umum ke khusus) dan berpikir induktif (khusus ke umum) (Lestariani, 2010). Transisi
berpikir
secara
sederhana
adalah
masa
perpindahan/perubahan cara berpikir, misalnya dari berpikir konkret ke berpikir fomal (Abdussakir, 2011) Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Dalam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori, dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat
dibuktikan
secara
Dalam belajar matematika, siswa
deduktif.
(Tim
MKPBM,
2001).
diharapkan dapat melaui proses transisi
berpikir dari berpikir konkret ke berpikir formal. Seperti menggunakan
penalaran dan mulai mengenal bukti-bukti atau teorema yang mendasari konsep yang sedang diajarkan. Sesuai aturan dari Principles and Standarts for School Mathematics NCTM 2000, bukti (proof) dan penalaran (reasoning) harus dikenalkan mulai dari sekolah dasar sampai menengah. Misalnya mencoba membuktikan kebenaran suatu pernyataan secara deduktif. (Abdussakir, 2011) Tetapi, pada umumnya siswa sekolah dasar dan menengah masih berpikir secara induktif cenderung melihat contoh dalam menjawab, karena mereka masih belum terbiasa dalam proses penalaran, berpikir secara deduktif atau berpikir dari konkret ke fomal. Untuk itu, diperlukan serangkaian proses berpikir dari pemahaman konsep, mengenalkan simbol, sampai memahami definisi dan bukti matematika yang menunjukkan bahwa siswa telah mencapai pemahaman dunia formal. Seiring dengan hal di atas, David
Tall
seorang
professor
di
bidang
pemikiran
matematika
mengemukakan Teori Tiga Dunia Matematika, yaitu Dunia KonseptualDiwujudkan, Proceptual-Simbolik, dan Aksiomatik-Formal. Maka, hal ini pulalah yang melatarbelakangi penulis dalam membuat makalah yang penulis beri judul “Teori Tiga Dunia Matematika David Tall”
B. Tujuan Penulisan 1. Untuk mengetahui seperti apa Teori Tiga Dunia Matematika David Tall. 2. Untuk mengetahui implikasi Teori Tiga Dunia Matematika David Tall terhadap proses belajar matematika. BAB II
PEMBAHASAN
A. Sekilas Tentang David Tall David Orme Tall, lahir 15 Mei 1941. Ia adalah seorang “Professor in Mathematical Thinking” Profesor di Bidang Pemikiran Matematika (1992) di Universitas Warwick, United Kingdom, dan pada tahun 2006 beliau menjadi profesor Emeritus (Gelar profesor yang didapatkan ketika seseorang telah
pensiun).
Seluruh
hidupnya
dalam
pendidikan
matematika,
didedikasikan untuk memahami perkembangan matematika di segala usia dengan individu yang berbeda. Dalam beberapa tahun terakhir Tall telah bekerja pada apa yang disebutnya 'Tiga Cara Operasi Mendasar yang Berbeda', salah satunya melalui perwujudan fisik, termasuk tindakan fisik dan penggunaan indera visual dan lainnya, yang kedua melalui penggunaan simbol-simbol matematika yang beroperasi sebagai proses dan konsep (prosep) dalam aritmatika, aljabar dan kalkulus simbolis, dan ketiga melalui matematika formal dalam ‘Advanced Mathemathic Thinker (Berpikir Matematika Maju/Tingkat Tinggi)'.
Ketiga cara tersebut dikenal sebagai Teori Tiga
Dunia Matematika, yaitu Perwujudan (Konseptual), Simbolik (Proceptual) dan Formal (Aksiomatik).
B. Teori Tiga Dunia Matematika yang Dikembangkan oleh David Tall
David Tall (2008a) menggunakan istilah ‘set-before’ untuk merujuk kepada struktur mental manusia yang dibawa sejak lahir, yang mungkin memerlukan sedikit waktu untuk matang saat otak manusia membuat koneksi pada awal kehidupan. Sebagai contoh, struktur visual otak memiliki sistem built-in untuk mengidentifikasi warna dan corak, untuk melihat perubahan dalam corak, mengidentifikasi sisi, mengkoordinasikan sisi untuk melihat benda-benda dan melacak gerakan mereka. David Tall (2008a) juga menyatakan ada tiga set-before mendasar yang menyebabkan manusia berpikir secara matematis dengan cara tertentu. Yaitu : 1. Pengenalan pola, persamaan dan perbedaan 2. Pengulangan rangkaian tindakan sampai menjadi otomatis 3. Bahasa untuk menggambarkan dan memperbaiki cara kita berpikir tentang sesuatu, Meskipun pengenalan dan pengulangan untuk berlatih kebiasaankebiasaan juga ditemukan pada spesies lain, kekuatan bahasa, dan penggunaan simbol-simbol yang terkait, yang memungkinkan manusia untuk fokus pada ide-ide penting, untuk menamai mereka dan berbicara tentang mereka untuk memperbaiki makna. Pengenalan pola adalah fasilitas penting untuk matematika, termasuk pola dalam bentuk dan bilangan. David Tall (2008a) selanjutnya menggambarkan cara berpikir ini ke dalam ‘Tiga Dunia Matematika’ yang berkembang dalam pengalaman
duniawi dengan cara yang cukup berbeda. Tiga Dunia Matematika ini sebagai berikut. 1. Dunia ‘perwujudan-konseptual’, berdasarkan persepsi dan refleksi pada sifat-sifat objek, pada awalnya terlihat dan dirasakan dalam dunia nyata tapi kemudian dibayangkan dalam pikiran, 2. Dunia ‘simbolis-proseptual’, yang tumbuh keluar dari dunia perwujudan melalui tindakan (seperti menghitung) dan disimbolkan sebagai konsep masuk akal (seperti angka) yang berfungsi sebagai proses untuk berbuat dan konsep untuk berpikir (prosep), dan 3. Dunia ‘formal-aksiomatik’, dari kerangka teoritik definisi konsep dan bukti matematika, yang membalik urutan konstruksi makna dari definisi yang didasarkan pada objek dikenal menuju konsep formal berdasarkan pada set-teoritik definisi (Tall, 2004:285, 2008a:5). Setiap ‘dunia’ mempunyai urutan pengembangan sendiri dan bentukbentuk bukti sendiri yang dapat dipadukan untuk menghasilkan berbagai macam cara berpikir secara matematis (Tall, 2008a:5, Tall dan Mejia-Ramos, 2006:5) ‘Perwujudan konseptual’ tidak hanya mengacu pada klaim yang lebih luas dari Lakoff (1987) bahwa semua pemikiran adalah perwujudan, tapi lebih khusus untuk representasi perseptual sesuatu. Secara konseptual, kita dapat mewujudkan figur geometris, seperti segitiga yang terdiri dari tiga segmen garis lurus; kita membayangkan segitiga seperti itu dan menjadikan suatu segitiga khusus yang bertindak sebagai prototipe untuk mewakili
seluruh kelas segitiga. Kita ‘melihat’ gambaran suatu grafik tertentu yang mewakili suatu fungsi spesifik atau generik. ‘Proceptual simbolisme’ mengacu pada penggunaan simbol-simbol yang muncul dari skema aksi, seperti menghitung, yang menjadi konsepkonsep, seperti bilangan (Gray & Tall, 1994). Suatu simbol seperti 3 + 2 atau √
− 4
mewakili proses yang harus dilakukan sekaligus konsep yang
dihasilkan oleh proses tersebut. ‘Aksiomatik formalisme’ mengacu pada formalisme Hilbert yang membawa kita melampaui operasi formal Piaget. Perbedaan utama dari perwujudan dan simbolisme matematika dasar matematika adalah bahwa dalam matematika dasar, definisi muncul dari pengalaman dengan bendabenda yang sifatnya dijabarkan dan kemudian digunakan sebagai definisi. Perhatikan Gambar
Matematika sekolah berkembang dari perwujudan konsepsi tindakan fisik, bermain dengan bentuk, menempatkan mereka dalam koleksi, menunjuk dan menghitung, membagi, dan mengukur. Setelah operasi ini dilakukan dan menjadi rutinitas, mereka dapat disimbolkan sebagai bilangan dan digunakan
secara dual sebagai operasi atau sebagai entitas mental. Saat fokus perhatian beralih dari perwujudan ke manipulasi simbol, berpikir matematika berubah dari perwujudan ke dunia simbolik (proseptual). Melalui matematika sekolah, perwujudan memberikan arti khusus dalam berbagai konteks, sementara simbolisme dalam aritmetika dan aljabar menawarkan dunia mental daya komputasi. Kemudian transisi ke dunia aksiomatik formal didasarkan pada pengalaman perwujudan dan simbolisme ini untuk merumuskan definisi formal dan untuk membuktikan teorema dengan menggunakan bukti matematis. Bukti formal yang tertulis adalah tahap akhir berpikir matematika. (Tall, 2008) Selanjutnya, masing-masing ‘dunia’ mempunyai caranya sendiri untuk membangun dalam pengalaman sehari-hari.
Dunia Perwujudan
didasarkan pada sensor (organ) persepsi, tapi penerimaannya itu kemudian di analisa, didiskripsikan, didefinisikan dan dikembangkan argumen formal untuk memformulasikan kesimpulan jenis-jenis Geometri Euclide. Dunia simbol berganti dari fokus ke tindakan untuk meningkatkan prosedur sophistikasi (canggih) dan untuk mengonsep struktur aritmatika dan simbol umum
pada
aljabar.
Pemikiran
formal
berkebalikan
dari
pengalaman.Selanjutnya, menganalisa konsep yang ada untuk menentukan sifatnya.itu dimulai dengan memilih sifat-sifat sebagai aksioma dan menyusun sifat-sifat lain dari struktur pemikiran dunia formal.
Tingkat pemahaman dalam tiga dunia matematika tersebut dapat dilihat pada gambar berikut :
Tall juga mebuat kerangka untuk kalkulus dan Matematika Analisis, yaitu
Dalam kerangka ini, grafik dan gagasan mendiami lereng konseptual diwujudkan dunia benda dan sifat mereka dalam hal kontinuitas alami dan lokal kelurusan. Simbolik konsep fungsi dan turunan dalam dunia simbolisme proseptual. Kalkulus dasar berkembang sebagai campuran dari keduanya. Sementara itu, analisis matematis berada pada dunia aksiomatik formal yang melibatkan perubahan substansial dalam pengertian dari definisi formal termasuk definisi limit epsilon-delta. Sementara itu dunia
matematika formal aksiomatik adalah sebuah lingkungan kerja untuk penyajian definisi formal dan bukti formal, itu lingkungan yang tidak cocok untuk kalkulus dasar yang membangun lebih alami pada perwujudan dan simbolisme. (Tall, 2010) Teori David Tall merupakan teori tentang berpikir, sehingga temasuk dalam aliran kognitif. hanya implikasi dalam pembelajaran dapat ditunjukkan bahwa jika pembelajaran langsung dimulai dengan dunia formal, maka pemahaman siswa kurang terintegrasi. Pembelajaran hendaknya dimulai dari dunia perwujudan, lalu simbolik, lalu formal. Di setiap proses belajar, entah materi apapun, pasti ada kegiatan berpikir. Dengan demikian, teori ini mencakup semua proses berpikir untuk materi apa saja dalam matematika. ini adalah teori berpikir matematika. Berpikir itu terjadi di kognitif siswa, tidak nampak secara eksplisit. Hanya saja, proses berpikir bisa dilihat dari cara siswa mengerjakan sesuatu melalui representasi yang digunakan. (Abdussakir,2011)
C. Implikasi dalam Belajar Matematika Seperti di jelaskan di bagian awal makalah ini, belajar dan berpikir merupakan bagian yang tak terpisahkan. Belajar dapat diwujudkan dalam sebuah proses berpikir, dan belajar dapat membentuk daya pikir menjadi lebh maju dan berkualitas. Oleh karena itu, Teori Tiga Dunia Matematika ini dapat diimplementasikan dalam dunia pengajaran dengan cara pembentukan pengajaran
dari
guru
yang
bertahap
dari
pengenalan
konsep,
merepresentasikannya dalam bentuk simbol, sampai siswa sudah mulai dikenalkan dengan definisi dan aksioma. Dapat dilihat pada contoh berikut : 1. Penjumlahan Bilangan Bulat bersifat Komutatif Dunia Perwujudan/Konsep Kita dapat melihat penambahan adalah komutatif dengan menyusun kembali 5 sebagai 3 + 2 atau 2 + 3 Dunia Simbol Seorang anak dapat menghitung 2 buah penjumlahan dengan memberikan jawaban yang sama Dunia Formal Axioma x + y = x + y 2. Penjumlahan Vektor bersifat Komutatif Dunia Perwujudan/Konsep Karena pada gambar kedua u dan v saling sejajar maka u+v = v+u Dunia Simbol Vektor dapat dituangkan dalam bentuk matrik. Sehingga, vektor bersifat komutatif sesuai dengan sifat Matriks, penjumlahan matrik bersifat komutatif karena penjumlahan komponennya besifat komutatif. Dunia Fomal 10 aksioma dalam Ruang Vektor 3. Fungsi
Dunia Perwujudan Pengenalan pola awal mengenai fungsi di gambarkan melalui diagram panah
.
1.
.1
2.
.4
3.
.9
4.
.16
Dunia Simbol Setelah siswa mengerti konsep yang dimaksud pada diagram panah, siswa mengenal f(x) sebagai simbol yang menunjukan pegulangan rangkaian. Berdasarkan gambar konsep, maka f( x) = x2 Dunia Formal Setelah itu, siswa mulai dikenalkan dengan definisi fungsi f: A —> B jika dan hanya jika 1. untuk setiap a di A ada b di B sehinga f(a) = b 2. a, b di A dengan a = b, maka f(a) = f(b). 4. Teori Rantai Kalkulus Dunia Perwujudan
Dunia Simbolis
Dunia Formal Diberikan I , Interval di ℛ g : I → ℛ, f : j → ℛ, dengan f (j) ⊆ i, c ∈ j, jika, f terdiferensial di c dan g terdiferensial di f(c) maka g ∘
,
terdiferensial di c dan (g ∘ )’(c) = g ‘ (f (c)) f ’ (c) 5.
Pola dan Barisan Bilangan. Dunia Perwujudan
Dunia Simbolik Berdasarkan pola bilangan persegi di atas didapatkan hasil di setiap pola : 1,4,9.16.25. Sehingga didapatkan rumus Barisan Bilangan : n2. Dunia Formal Pengertian barisan bilangan real Bila N adalah himpunan bilangan asli dan R adalah himpunan bilangan real maka fungsi (pemetaan) a: N →R disebut barisan bilangan real.
Kekonvergenan barisan Definisi: (an) konvergen ke a ↔ lim ∀
>
→ |
−
|<
→∞
=a↔∀ >0∃
=
∋
BAB III SIMPULAN
1.
David Orme Tall, lahir 15 Mei 1941. Ia adalah seorang Profesor di Bidang Pemikiran Matematika (1992) di Universitas Warwick, United Kingdom, dan pada tahun 2006 beliau menjadi profesor Emeritus. Seluruh hidupnya dalam pendidikan matematika, didedikasikan untuk memahami perkembangan matematika di segala usia dengan individu yang berbeda.
2. Pengenalan pola, pengulangan rangkaian, dan bahasa merupakan tiga setbefore yang mendasari manusia untuk berpikir matematis. Atas dasar tiga setbefore itulah David Tall mengembangkan Teori Tiga Dunia Matematika ini, pengenalan pola termuat di dalam Dunia Perwujudan (Konsep), pengulangan rangkaian merupakan bagian dari Dunia Simbolis Proceptual, dan bahasa untuk menggambarkan dan memperbaiki cara kita berpikir sesuatu, juga merupakan representasi dari Dunia Formal Aksiomatik. 3. Teori Tiga Dunia Matematika David Tall tediri dari: a. Dunia Perwujudan-konsep : persepsi, atau gambaran dari objek, termasuk pengenalan pola, melihat persamaan dan perbedaan. Awalnya masih diamati langsung, kemudian kita harus membiasakan diri untuk menuangkan apa yang ada di gambar itu ke dalam pikiran melalui konsep. b. Dunia Simbolis Proceptual : tindak lanjut dari dunia perwujudan melalui tindakan (menghitung) dan disimbolkan kembali. Bisa diarahkan ke dalam bentuk aljabar dan aritmatika.
c. Dunia Formal Aksiomatik : penggunaan definisi-definisi dan aksioma. Representasi Konsep dan simbol berkembang lebih lanjut dengan penggunaan bahasa untuk mendefinisikan dan merumuskan aksioma, bagian ini juga bisa disebut sebagai tingkatan matematika yang maju atau mahir, ‘Advanced Mathematic Thinker’. Dunia Formal inilah yang dituju ketika kita belajar matematika. Tapi dalam perjalanannya, di mulai berurutan dari bagaimana kita memahami konsepnya. 4.
Teori Tiga Dunia Matematika David Tall ini merupakan teori tentang berpikir dalam matematika. Sehingga teori ini dapat diimplikasikan pada proses bepikir siswa ketika belajar matematika dalam setiap pokok bahasan (tidak seperti Teori Van Hiele yang hanya khusus umtuk geometri). Misalnya ketika belajar tentang konsep sifat komutatif pada penjumlahan bilangan real,sifat komutatif pada penjumlahan vektor, Fungsi, Barisan dan Teori rantai pada kalkulus.
DAFTAR PUSTAKA Abdussakir. 2011. Transisi berpikir dari Dunia Sekolah Menengah Ke Perguruan tinggi. http://abdussakir.wordpress.com/2010/10/04/transisi-berpikir-dari-sekolahmenengah-ke-perguruan-tinggi/Diakses tanggal 27 februari 2011. Danaryanti, Agni. 2005. Analaisis Real 1. Banjarmasin Lestariani, Asih, 2010. Berpikir dan Belajar . http://edukasi.kompasiana.com/2010/12/07/berpikir-dan-belajar/ (Diakses tanggal 26 Maret 20011) http://en.wikipedia.org/wiki/David_O._Tall, (Diakses tanggal 31 Maret 2011) http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/downloads.html. (Diakses tanggal 12 Maret 2011) Syah, Muhibbin. 2009. Psikologi Belajar. Jakarta : Rajawali Pers. Tall, D. O. 2004. Thinking Through Three Worlds of Mathematics, Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Bergen, Norway.all. (Makalah diunduh tanggal 31 Maret 2011). Tall. D. O. 2005. The Transition from Embodied Thought Experiment and Simbolic Manipulation to Formal Proof . (Makalah Diunduh Tanggal 20 Maret 2011) Tall, D.O. 2008a. The Transition to Formal Thinking in Mathematics. Mathematics Education Research Journal, Vol.20No.2Hal:5-24. (Makalah diunduh tanggal 26 Maret 2011). Tall, D.O. 2010. A Sensible approach to the Calculus. (Makalah diunduh tanggal 31 Maret 2011). Tall. D.O. Prof David Tall-CV. (Diunduh tanggal 5 Maret 2011) Tim
MKPBM.
2001.
Strategi
Pembelajaran Matematika Kontemporer.
Universitas Pendidikan Indonesia, Bandung. Zholieh. 2011.Pola Bilangan Persegi dan Persegipanjang http://zholieh.wordpress.com/2011/01/09/pola-bilangan-persegi-danpersegipanjang/ Diakses tanggal 27 April 2011.
