Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie
Tentamen: Kwantitatieve methoden 1.2 (wiskundige methoden) Opleiding: Vakcode:
Bacheloropleiding Economie 60121110
Datum:
18 december 2007
Aanvang: Tijdsduur:
8.45 uur 2 uur
Opmerkingen: 1. Alle 6 opgaven zijn ’open’ vragen. Dit tentamen telt in totaal 4 pagina’s. Op de pagina 4 staan enige formules, waarvan u bij de uitwerking van de opgaven gebruik kunt maken. 2. Bij de beantwoording van de vragen moet er voldoende toelichting of uitwerking worden verstrekt. Alleen een uitkomst is beslist niet voldoende. 3. Het gebruik van een grafische rekenmachine van een goedgekeurd type is toegestaan. 4. Dit tentamen zal behoudens calamiteiten op 15 januari 2008 zijn nagekeken. Op maandag 4 februari 2008 zal van 12:45 - 13:20 uur gelegenheid tot inzage worden gegeven. De precieze organisatie van de inzage zal middels een mededeling op de monitoren in de buurt van de studentenbalie op de tweede etage bekend worden gemaakt en via Blackboard. 5. De normering van de vraagstukken is als volgt: opgave 1a 1b 2a 2b punten 6 6 5 13
3 20
4a 4b 5 10
1
5 6a 6b cadeau 10 10 5 10
opgave 1 (a) Bepaal alle afgeleiden van de eerste orde van f(x, y) = y ln(yx + x3 ). (b) Los x op uit 2
4 = e16x .
opgave 2
3 A= 1 1
Gegeven zijn de matrices 4 2 1
a 2 1
en
b − 14 B= 1 4
−1 c
2
3 4
− 32
1 2
.
(a) Bereken A2 . (b) Zij nu a = 0. Voor welke waarden van b en c is B de inverse matrix van A?
opgave 3
Gegeven is de functie 1
1
f (x, y) = 4x 4 y 2 , voor x, y > 0. Bepaal met behulp van de Lagrangemethode het maximum van deze functie onder de nevenvoorwaarde x + y = 2.
2
opgave 4 De vraagfunctie (demand curve) zij f(Q) = 62−2Q en de aanbodfunctie (supply curve) zij g(Q) = Q + 2. (a) Bepaal het marktevenwicht. Q∗ (b) Bereken het consumenten surplus (CS= 0 (f(Q) − P ∗ )dQ).
opgave 5
Gebruik de methode van de impliciete differentiatie om van de kromme
y 3 + 2x + y 2 = 2 dy dx
te bepalen in het punt (0, 1).
opgave 6
Gegeven zij de functie
f (x, y) = x2 + (1 + 2y)2 + xy. (a) Bepaal indien mogelijk het maximum van de functie. Geef ook de x-waarde en de y-waarde waar het eventuele maximum wordt aangenomen. (b) Bereken een lineaire benadering van g(x) = f(x, 2) in de omgeving van x = 1.
3
Formulas Mathematics Function A Af (x) xa f (x) + g (x) f (x) × g (x) u(x) v(x)
y (u (x)) ex ln (|x|) Logarithms:
December 3, 2007
Derivatives 0 Af ′ (x) axa−1 f ′ + g′ f ′ g + fg ′
Remarks constant function
only valid if a = 0 sum rule product rule u′ v−v ′ u quotient rule v2 ′ ′ y (u (x)) × u (x) chain rule dy dy du of: dx = du chain rule dx ex exponential function 1 x = 0, logarithmic function x
ax = ex ln a Effective interest rate: r n −1 R = er − 1 R= 1+ n Limits: 1 1 n lim 1 + = lim (1 + x) x = e n→∞ x→0 n N−1
kN − 1 ak = a k−1 n=0 n
a n lim 1 + = ea n→∞ n ∞
(k = 1)
n=0
ak n =
a 1−k
(|k| < 1)
Taylor: f (x) ≈ f (a) +
f (n) (a) f ′′ (a) f ′ (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n 1! 2! n!
Extremum: 2 2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f − >0 ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y Matrices: (AB)′ = B′ A′ (AB)−1 = B−1 A−1 abc−formula: 2
ax + bx + c = 0 ⇒ x1,2 =
−b ±
√ b2 − 4ac 2a
Elasticity: Elx f (x) =
x ′ f (x) f (x) 4
Uitwerking opgave 1: Voor (a) gebruiken we de kettingregel en de productregel: ∂ 1 y 2 + 3x2 y 2 (y + 3x ) = . y ln(yx + x3 ) = y ∂x yx + x3 yx + x3 ∂ 1 y 3 y ln(yx + x3 ) = y x + ln(yx + x ) = + ln(yx + x3 ). ∂y yx + x3 y + x2 Voor (b): ln(4) ln(4) 2 = x2 ⇔ x = ± . 4 = e16x ⇔ ln(4) = 16x2 ⇔ 16 4
Uitwerking opgave 2: (a) 13 + a : : 5a + 4 : : 16 + 2a : 7 6+a 10 A2 = 5 3+a 7 (b) Er moet gelden dat AB = I3 dat wil zeggen b −1 2 3 0 4 1 0 0 1 1 2 2 −1 c = 0 1 0 . 4 2 1 3 3 1 1 1 0 0 1 −2 4 4 Als we het 3 1 1
matrixproduct AB uitrekenen, vinden we 0 4 b −1 2 3b + 1 0 0 1 2 2 − 14 c 2c + 12 0 = b 2 1 3 1 1 b c − 14 1 − 32 4 4
Deze laatste matrix moet dus gelijk zijn aan de eeheidsmatrix I3 . Omdat alle elementen op de hoofddiagonaal gelijk aan 1 moeten zijn, vinden we 3b + 1 = 1 en 2c + 12 = 1. Deze vergelijkingen laten zich makkelijk oplossen: b = 0 en a = 14 . Nu moet nog gecontroleerd worden of de matrixelementen buiten de hoofddiagonaal allemaal precies 0 te zijn. Dit blijkt inderdaad het geval, zodat geldt: AB = I3 .
Uitwerking opgave 3: 1
1
L(x, y) = 4x 4 y 2 − λ(x + y − 2) −3 1 ∂ L(x, y) = x 4 y 2 − λ ∂x 1 1 ∂ L(x, y) = 2x 4 y − 2 − λ ∂y ∂ L(x, y) = −(x + y − 2) ∂λ
5
Nul stellen en oplossen. Uit de eerste twee vergelijkingen volgt −3
⇔
1
1
1
x 4 y 2 = 2x 4 y − 2 y = 2x.
Invullen in derde vergelijking geeft x + 2x = 2 oftewel x = 2/3 en y = 4/3. Dit is het unieke stationaire punt van de Lagrangefunctie en dus de oplossing.
Uitwerking opgave 4: (a) ⇔ ⇔
62 − 2Q = Q + 2 60 = 3Q 20 = Q.
Het marktevenwicht is Q∗ = 20 en P ∗ = 22. Onderdeel (b) 20 Q∗ ∗ (f (Q) − P )dQ = (62 − 2Q − 22)dQ CS = 0 0 20 = (40 − 2Q)dQ 0
2 = |20 0 (40Q − Q ) = 800 − 400 = 400.
Het consumer surplus is 400 (CS=400).
Uitwerking opgave 5: Dit is wezenlijk anders dan partieel differentieren. Hier is y geen onafhankelijke variabele, maar een functie van x. Schrijf daarom eerst y = f (x) (f (x))3 + 2x + (f(x))2 = 2 Differentieer nu zowel het linker als het rechter lid naar x : 3(f(x))2 f ′ (x) + 2 + 2(f (x))f ′ (x) = 0. Vul nu in het punt (0, 1), dat wil zeggen x = 0 en y = f(0) = 1
2 dy ′ ′ ′ 3f (0) + 2 + 2f (0) = 0 ⇒ f (0) = − = 5 dx (0,1)
6
Uitwerking opgave 6: [a] ∂ f (x, y) = 2x + y ∂x ∂ f (x, y) = 4 + 8y + x ∂y Berekenen van stationaire punten: 4 + 8y + x = 0 en 2x + y = 0. Vermenigvuldig de eerste vergelijking met 2 en trek de tweede ervan af: 8 + 15y = 0 We vinden y = −8/15 en als we dit invullen in de tweede vergelijking vinden we x = 4/15. Dus (4/15, −8/15) is het enige stationaire punt. Aard van dit stationaire punt: ∂2 f(x, y) = 2 ∂x2 ∂2 f (x, y) = 8 ∂y 2 ∂2 f (x, y) = 1 ∂y∂x 2 2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f − = 2 · 8 − 12 = 15 > 0 2 2 ∂x ∂y ∂x∂y er bestaat een extremum. Uit
∂2 f (x, y) ∂x2
> 0 volgt dat het punt een minimum is.
[b] g(x) = f(x, 2) = x2 +2x+25, dus g(1) = 28. Differentieren leert ons dat g ′ (x) = 2x+2, zodat g ′ (1) = 2 + 2 = 4. De benadering in het punt x = 1 wordt dan g(1 + h) = g(1) + g ′ (1)h = 28 + 4h.
7
