Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Vlivem vzájemné polohy Slunce, Země a dalšího tělesa (např. jiné planety nebo Měsíce) dochází k jevu, kdy pozorovatel ze Země nevidí celý osvětlený kotouč třetího tělesa, ale pouze část (srpek). Jaká část plochy kotouče třetího tělesa je ze Země viditelná se popisuje pojmem fáze nebeského tělesa. Rozumíme jí poměr f plochy ze Země viditelné a současně Sluncem osvětlené části kotouče třetího tělesa, ku ploše celého kotouče. Fáze f je tedy bezrozměrný parametr ležící v intervalu h0, 1i. Po pronásobení stem ji lze udávat též v procentech. Je-li f = 0 říkáme, že těleso je v novu, je-li f = 1 říkáme, že těleso je v úplňku, je-li f = 12 a současně fáze roste (tedy df > 0), říkáme, že těleso je v první čtvrti, dt df 1 je-li f = 2 a současně fáze klesá (tedy dt < 0), říkáme, že těleso je v poslední čtvrti. Odvodíme závislost fáze Měsíce a planet na čase, ovšem za zjednodušujících předpokladů kruhových drah těchto těles (ε = 0) v rovině ekliptiky (i = 0).
Fáze vnitřních planet Na obrázku 1 je znázorněna kruhová dráha Země (Z) a uvnitř ní rovněž kruhová dráha vnitřní planety (Merkura nebo Venuše) se Sluncem (S) jakožto společným středem obou drah. Protože pozemský pozorovatel registruje pouze relativní pohyb planety vůči Zemi, lze bez újmy na obecnosti uvažovat polohu Země za neměnnou (na obrázku v ”dolní” poloze). Vzhledem k platnosti III. Keplerova zákona vnitřní planeta při svém oběhu kolem Slunce Zemi předbíhá, takže probíhá relativní pohyb planety v kladném smyslu. Při pohledu na planetární dráhy od severního ekliptikálního pólu nechť je poloha středu planety P. Polohu průvodiče planety oproti průvodiči Země budeme popisovat úhlem ϕ. Tento úhel tedy vyjadřuje úhlovou odchylku průvodiče planety od polohy dolní konjunkce se Sluncem. Na obr.1 znázorňujeme jako kruh planetární kouli v řezu rovinou ekliptiky. Zřejmě polokoule osvětlená Sluncem (na řezu polokruh) je polokoule přivrácená ke Slunci oddělená rovinou procházející středem planety kolmo na spojnici jejího středu (v řezu je dělící rovina znázorněna jako úsečka). Vodorovnými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule (polokruh) osvětlený Sluncem. Ze Země je viditelná pouze polokoule přivrácená k Zemi, oddělená rovinou procházející středem planety kolmo na spojnici se Zemí. Svislými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule (polokruh) viditelný ze Země. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež je současně viditelná ze Země a osvětlená Sluncem, jež se pozemskému pozorovateli jeví jako příslušná fáze vnitřní planety. Popíšeme závislost fáze na úhlu ϕ. Poznámka: Úhel ϕ souvisí s časem t uplynuvším od doby poslední dolní konjunkce planety se Sluncem (datum a čas této události je tabelován v astronomických ročenkách) jednoduchým vztahem. Vzhledem k předpokladu kruhových drah jsou úhlové rychlosti Země ωZ i planety ω při pohybu kolem Slunce konstantní. Relativní pohyb planety vůči Zemi proto charakterizuje úhlová rychlost rozdílová ω − ωZ (v tomto pořadí). Potom 1
PHK
S ϕ , υ
P
P DK
Z
Obrázek 1:
zřejmě je ϕ = (ω −ωZ )t. Protože úhlové rychlosti při rovnoměrných pohybech souvisejí s příslušnými dobami oběhu kolem Slunce (o 360 stupňů) TZ a T známými výrazy ω = 2π T a ωZ = T2πZ , dostáváme odtud pro úhel ϕ vztah 1 1 − ϕ = 2π T TZ
· t.
T Odtud plyne, že pro t = TTZZ−T je ϕ = 2π. Všechny fáze se proto opakují po synodické době oběhu planety (viz příslušné téma). V trojúhelníku SZP (viz obr.1) označme úhel u vrcholu P jako ϑ′ . Středový úhel ϑ, příslušející současně Sluncem osvětlené a ze Země viditelné části kotouče má k výše popsanému úhlu kolmá ramena. Úhly s kolmými rameny jsou buď totožné nebo doplňkové do π. Z obrázku 1 je patrno, že v našem případě je ϑ = π − ϑ′ . Označíme-li RZ poloměr zemské dráhy kolem Slunce (tedy astronomická jednotka) a R poloměr dráhy planety kolem Slunce, dostáváme aplikací sínové a kosínové věty v trojúhelníku SZP, že
q sin ϑ′ RZ ; ZP = RZ2 + R2 − 2RZ R cos ϕ , = sin ϕ ZP
odkud rozšířením výrazu zlomkem R1Z a zavedením veličiny R′ = dráhy planety v astronomických jednotkách) dostaneme vztah sin ϑ′ = √
1+
sin ϕ . − 2R′ cos ϕ
R′2
R RZ
(to jest poloměr
(1)
Z obrázku 1 je patrno, že pro ϕ = 0 (planeta v dolní konjunkci) je ϑ′ = π, takže Tsy ϑ = 0 a planeta se nachází v novu. V průběhu času t ∈ 0, 2 ϕ roste od nuly do π, ϑ′ klesá od π k nule, a tudíž ϑ zase roste od nuly do π. Fáze vnitřní planety tedy v tomto období roste. Pro ϕ = π2 − β, kde β je maximální elongační úhel vnitřní planety, 2
je zřejmě ϑ′ = π2 (protože tečna ke kružnici je kolmá k příslušnému průvodiči), a proto i ϑ = π2 a planeta se nachází v první čtvrti (a současně v největší západní elongaci). Pro t = T2sy je ϕ = π, takže ϑ′ = 0 a ϑ = π. V této poloze (horní konjunkci se Sluncem) je tedy planeta v úplňku. Pro t ∈ h T2sy , Tsy i je situace analogická v tom smyslu, že grafy příslušných veličin jsou symetrické podle přímky t = T2sy (nebo ϕ = π). Fáze v tomto + β) je intervalu klesá opět k nule a v poloze největší východní elongace (kdy ϕ = 3π 2 planeta v poslední čtvrti. Poznámka: 1. Z obrázku 1 je patrno, že v období růstu fáze vnitřní planety je ze Země viditelný kruhový obrys jejího kotouče ”zleva”. Srpek planety má tedy tvar písmene C. Mnemotechnická pomůcka pro určování fází Měsíce (D=dorůstá-fáze roste a C=couvá-fáze klesá) zde funguje přesně obráceně. 2. Protože v okolí konjunkcí není vnitřní planeta pozorovatelná (jest přezářená Sluncem), nelze ji pozorovat ani v okolí novu ani v okolí úplňku. Vnitřní planety nejlépe pozorujeme v okolí největších elongací, kdy se z hlediska fáze nachází ve čtvrtích (první nebo poslední). Z výrazu (1) a z definice funkce arcsin vyplývá, že pro ϑ′ ∈ h0, π2 i (to jest pro ϕ ∈ h0, π2 − βi) je ϑ′ = arcsin √
sin ϕ 1 + R′2 − 2R′ cos ϕ
(2)
a pro ϑ′ ∈ h π2 , πi (to jest pro ϕ ∈ h π2 − β, πi) je ϑ′ = π − arcsin √
1+
sin ϕ . − 2R′ cos ϕ
R′2
(3)
ρ ρcos υ S
Obrázek 2: Na obrázku 1 jsme na kotouček planety pohlíželi od severního ekliptikálního pólu. Podíváme-li se na něho ze Země, objeví se pohled znázorněný na obrázku 2. Tloušťka srpku planety v rovině ekliptiky (tedy v místě, kde je nejsilnější) je zřejmě ρ(1 − cos ϑ), kde ρ je (fiktivní) poloměr planetárního kotoučku (také jej můžeme brát jednotkový). Pro ϑ = 0 se zřejmě jedná o nov (nulová tloušťka srpku), pro ϑ = π2 se jedná o (první) 3
y y = ρ2 − x2 y = ρ2 − x2 cos υ
−ρ
ρ
x
Obrázek 3:
čtvrť (tloušťka srpku je rovna poloměru kotoučku) a pro ϑ = π se jedná o úplněk, kdy tloušťka ”srpku” je rovna průměru kotoučku. Poznamenejme, že nekruhový obrys srpku má zřejmě v souřadnicové soustavě x, y √ 2 z obrázku 3 rovnici y = ρ2 − x2 cos ϑ. Jestliže tedy A = πρ2 je plocha poloviny ko2 toučku, je zřejmě plocha ”dolní” (neosvětlené) části kotoučku rovna A′ = πρ2 cos ϑ. Plocha osvětlené části je pak rozdíl obou ploch, a tedy fáze planety je podle definice 1 A′ A − A′ = 1− f= 2A 2 A
!
=
1 + cos ϑ 1 − cos ϑ′ = , 2 2
(4)
protože platí cosϑ = cos(π − ϑ′ ) = − cos ϑ′ . Pro libovolný čas mezi nulou a synodickou dobou oběhu planety (pro Merkura 0.318 roku, pro Venuši 1.597 roku) pak nejprve z rovnice (1) určíme úhel ϕ, poté z rovnice (2) nebo (3) určíme úhel ϑ′ a nakonec podle (4) určíme odpovídající fázi vnitřní planety. Závislost f (ϕ) je pro obě vnitřní planety uvedena na obrázku 4.
Zavislost faze vnitrnich planet a Mesice na uhlove odchylce oproti Zemi 100
90
80
faze f [procent]
70 Mesic Merkur Venuse
60
50
40
30
20
10
0
0
50
100
150
200 ∆φ [stupnu]
Obrázek 4: 4
250
300
350
Fáze vnějších planet Na obrázku 5 je znázorněna kruhová dráha Země (Z) a vně ní rovněž kruhová dráha vnější planety (Marsu až Neptuna) se Sluncem (S), jakožto společným středem obou drah. Protože pozemský pozorovatel registruje pouze relativní pohyb planety vůči Zemi, lze bez újmy na obecnosti opět uvažovat polohu Země za neměnnou (na obrázku v ”dolní” poloze). Vzhledem k platnosti III. Keplerova zákona vnější planeta při svém oběhu kolem Slunce se za Zemí zpožďuje, probíhá relativní pohyb planety v záporném smyslu. Při pohledu na planetární dráhy od severního ekliptikálního pólu nechť je poloha středu planety P. Polohu průvodiče planety oproti průvodiči Země budeme opět popisovat úhlem ϕ. Tento úhel tedy vyjadřuje úhlovou odchylku průvodiče planety od polohy opozice planety ke Slunci. Svislými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule (polokruh) viditelný ze Země, vodorovnými šrafami je znázorněna polokoule (polokruh) osvětlený Sluncem. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež se pozemskému pozorovateli jeví jako příslušná fáze vnější planety.
PK
S ϕ υ
,
P Z PO
Obrázek 5: Označíme-li, stejně jako v případě vnitřní planety, symbolem ϑ′ úhel mezi směry ze středu planety na (střed) Slunce a na (střed) Země. Aplikací sínové a kosínové věty na trojúhelník ZSP získáme výraz sin ϑ′ = √
1+
sin ϕ , − 2R′ cos ϕ
R′2
(5)
který má formálně stejný tvar jako (1) pro případ vnitřní planety. Veličina R′ , jakožto poloměr dráhy planety v astronomických jednotkách, je v tomto případě větší než jedna. Pro středový úhel ϑ, charakterizující příslušnou fázi, platí opět ϑ = π −ϑ′ . Rovněž vztah (4) zůstává v platnosti. 5
′ Z obrázku 5 je patrno, že pro ϕ = 0 (planeta v opozici) je ϑ = 0, takže ϑ = π a planeta se nachází v úplňku. V průběhu času t ∈ 0, T2sy úhel ϕ roste od nuly do π, ale úhel ϑ′ nejprve roste do jisté maximální hodnoty a poté zase klesá k nule. Proto úhel ϑ nejprve klesá do jisté minimální hodnoty a poté opět roste do π. Fáze planety proto také nejprve klesá do jisté minimální hodnoty a poté opět roste do jedničky. Pro t = T2sy je ϕ = π, ϑ′ = 0 , ϑ = π a f = 1. Vnější planeta je proto opět v úplňku. Pro t ∈ h T2sy , Tsy i je situace symetrická vzhledem k hodnotě t = T2sy . Určíme nyní výše popsanou minimální fázi vnější planety. Protože funkce f = f (ϑ′ ) ve vztahu (4) je monotónně rostoucí na intervalu h0, πi, stačí najít hodnotu ϕmin , ve které nabývá funkce ϑ′ (ϕ) svého maxima. Tato hodnota dosazena do (5) a posléze do (4) dá hledanou minimální fázi fmin . Nutnou podmínkou extrému funkce ϑ′ (ϕ) je nulovost její derivace. Derivujme tedy rovnici (5) podle ϕ. Dostaneme po dílčí úpravě
cos ϕ(1 + R′2 − 2R′ cos ϕ) − R′ sin2 ϕ dϑ′ q . = dϕ cos ϑ′ (1 + R′2 − 2R′ cos ϕ)3
Nulovost zlomku je ekvivalentní nulovosti jeho čitatele. Jestliže navíc dosadíme sin2 ϕ = = 1 − cos2 ϕ, dostaneme nutnou podmínku extrému ve tvaru R′ cos2 ϕ − (1 + R′2 ) cos ϕ + R′ = 0 , což je kvadratická rovnice pro cos ϕ. Jejím řešením obdržíme cos ϕ1,2 =
1 + R′2 ±
q
(1 + R′2 )2 − 4R′2 2R′
.
Úpravou odtud 1 . R′ Protože se zabýváme vnějšími planetami, pro které jest R′ > 1, je jediným řešením cos ϕmin = R1′ . Vzhledem k tomu, že se jedná zřejmě o úhel svojí hodnotou mezi nulou a π2 , je cos ϕ1 = R′ ; cos ϕ2 =
sin ϕmin =
q
1 − cos2 ϕmin =
√
R′2 − 1 . R′
Dosazením do (5) dostaneme po úpravě sin ϑ′max = √
1+
Odtud
1 sin ϕmin = ′. ′ R − 2R cos ϕmin
R′2
√
R′2 − 1 . R′ Vzhledem k monotónně klesající funkci f (ϑ′ ) odtud dosazením do (4) konečně dostaneme cos ϑ′max
fmin
=
q
1 − sin2 ϑ′max =
√ 1 + cos ϑ′max R′ + R′2 − 1 = = . 2 2R′ 6
(6)
Postačující podmínky extrému není třeba ověřovat, neboť vzhledem k fyzikální podstatě úlohy je v (6) určena skutečně minimální fáze vnější planety. Pro všech pět vnějších planet jsou výsledky znázorněny v následující tabulce. Tabulka 1: Planeta R′ [au] ϕmin [o ] fmin
Mars Jupiter Saturn Uran Neptun 1.524 5.203 9.539 19.182 30.058 49.0 78.9 84.0 87.0 88.1 0.8773 0.9907 0.9972 0.9993 0.9997
Z tabulky je patrno, že minimální fáze velkých vnějších planet je větší než 99 procent. Tyto planety jsou proto prakticky stále v úplňku. Svůj význam má tato hodnota pouze u Marsu, kde fáze klesá až pod 88 procent. Konkrétní závislost f (ϕ) je pro Mars, Jupiter a Saturn uvedena na obrázku 6. Zavislost faze vnejsich planet na uhlove odchylce oproti Zemi 100
98
faze f [procent]
96
94
92
90
Mars Jupiter Saturn
88 0
50
100
150
200 ∆φ [stupnu]
250
300
350
Obrázek 6:
Fáze Měsíce Na obrázku 7 je znázorněna kruhová dráha Země (Z) kolem Slunce S a rovněž kruhová dráha Měsíce M kolem Země. Stejně jako výše lze bez újmy na obecnosti předpokládat trvalou polohu Země tak, jak je zakreslena a sledovat pouze relativní pohyb Měsíce vůči Zemi úhlovou rychlostí ω = ωM − ωZ , kde ωM je úhlová rychlost Měsíce při jeho pohybu 7
kolem Země. Protože ωM > ωZ , koná se relativní pohyb Měsíce v kladném smyslu. Obecná poloha středu Měsíce je popsána úhlem ϕ průvodiče Měsíce od jeho polohy v opozici se Sluncem. V trojúhelníku SZM je proto vnitřní úhel u vrcholu Z roven π − ϕ.
S MK
π−ϕ Z ϕ
υ
, M
MO
Obrázek 7: Označme periodu, příslušející relativní úhlové rychlosti ω Měsíce jako TsyM . Jedná se o analogii synodické doby oběhu planet a je to doba mezi dvěma sousedními stejnými polohami Měsíce ve vztahu ke Slunci a k Zemi. Nazýváme ji synodickým měsícem a platí pro ni 1 TZ TsyM ⇔ TsiM = , TsyM TsiM TZ TZ − TsyM kde TsiM je perioda tzv. siderického měsíce, tedy doba, za kterou Měsíc vykoná kolem Země úplné otočení o úhel 360o . Perioda TZ je doba otočení Země kolem Slunce (tzv. siderický rok). Protože TsyM je perioda změny fází Měsíce, kterou můžeme snadno pozorovat na obloze, víme, že je TsyM =29.53 dní (středních slunečních). Protože siderický rok má 365.25636 dní, dostáváme z předchozího výrazu, že délka siderického měsíce (který na obloze pozorovati nemůžeme) je 27.3217 dní. Svislými šrafami je na obrázku 7 znázorněna polokoule (polokruh) Měsíce viditelný ze Země, vodorovnými šrafami je znázorněna polokoule (polokruh) osvětlený Sluncem. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež se pozemskému pozorovateli jeví jako příslušná fáze Měsíce. Označíme-li symbolem ϑ′ úhel mezi směry ze středu Měsíce na (střed) Slunce a na (střed) Země, získáme aplikací sínové a kosínové věty na trojúhelník ZSM výraz 1
=
1
−
8
sin ϑ′ = √
sin ϕ , 1 + R′2 + 2R′ cos ϕ
(7)
′ kde RM je poloměr dráhy Měsíce kolem Země v astronomických jednotkách. Oproti analogickému výrazu pro planety je ve třetím sčítanci jmenovatele zde znaménko plus. Pro středový úhel ϑ, charakterizující příslušnou fázi, platí opět ϑ = π −ϑ′ . Rovněž vztah (4) zůstává v platnosti. Z obrázku 7 je patrno, že pro ϕ = 0 (Měsíc v opozici) je ϑ′ = 0, takže ϑ = π a Měsíc T se nachází v úplňku. V průběhu času t ∈ 0, syM úhel ϕ roste od nuly do π, úhel ϑ′ 2 rovněž roste od nuly do π, což znamená, že středový úhel ϑ klesá od π k nule a fáze T rovněž klesá od jedničky k nule. Pro t = syM je ϕ = π, ϑ′ = π, ϑ = 0 a tedy i f = 0. 2 TsyM Měsíc se nachází v novu. Pro t ∈ h 2 , TsyM i je situace symetrická vzhledem k hodnotě T t = syM . 2
Poznámka: Z obrázku 7 je patrno, že v období poklesu fáze Měsíce je ze Země viditelný kruhový obrys jejího kotouče ”zleva”. Srpek Měsíce má tedy tvar písmene C. Mnemotechnická pomůcka pro určování fází Měsíce (D=dorůstá-fáze roste a C=couvá-fáze klesá) zde funguje. Závislost f (ϕ) je pro Měsíc rovněž uvedena na obrázku 4.
Planetární hvězdné a sluneční dni Tak jako u Země rozeznáváme hvězdný den jako dobu otočení Země kolem její osy a sluneční den jako dobu mezi dvěma sousedními průchody Slunce místním poledníkem, lze totéž učinit i u ostatních planet. První periodu označujeme jako hvězdný (siderický) den tsi a druhou jako sluneční (synodický) den tsy .
ϕ
A
A ϕ
S
A
S
S ϕ
t=0
t=t
si
t=t
sy
Obrázek 8: Na obrázku 8 máme znázorněn pohled na dráhu planety ze směru kolmého na rovinu její dráhy (tedy vzhledem k platnosti předpokladu i = 0 ze směru severního ekliptikálního pólu). Levý obrázek označuje stav, kdy začínáme měřit čas, kdy Slunce svítí kolmo na místo A na planetě. Prostřední obrázek ukazuje stav po uplynutí periody tsi , kdy ovšem Slunce ještě nesvítí kolmo na místo A na planetě, protože tato se za tuto periodu posunula na svojí dráze kolem Slunce. Pravý obrázek znázorňuje stav po uplynutí periody tsy , kdy Slunce opět svítí kolmo na místo A na planetě. Za tu dobu se planeta posunula na své dráze kolem Slunce o úhel průvodiče ϕ. Protože předpokládáme 9
kruhové dráhy kolem Slunce (ε = 0), pohybují se planety kolem Slunce rovnoměrně. Protože rotace planet kolem svých os je rovněž rovnoměrná, můžeme psát následující úměrnosti: 1. Pro pohyb kolem Slunce ϕ tsy = . T 2π
(8)
tsy 2π + ϕ = ., tsi 2π
(9)
2. Pro pohyb kolem planetární osy
kde T je doba oběhu planety kolem Slunce (tzv. siderický rok planety). Dosazením za
ϕ 2π
z (8) do (9) dostaneme 1 1 tsi T 1 = − . ⇔ tsy = tsy tsi T T − tsi
(10)
Předchozí výpočet byl proveden za automatických předpokladů, že u všech planet je siderický rok delší než hvězdný den (což je u všech planet s výjimkou Venuše splněno) a že rotace všech planet kolem osy je prográdní, tedy v matematicky kladném smyslu, jako pohyb kolem Slunce (což je opět u všech planet s výjimkou Venuše splněno). V následující tabulce jsou uvedeny popisované časové parametry u všech planet s výjimkou Venuše. Údaje jsou uvedeny ve středních slunečních (pozemských) dnech, které užíváme v běžném životě. Tabulka 2: Planeta Merkur Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun
T tsi tsy 88 58.646 176 365 0.997 1.000 687 1.026 1.028 4333 0.410 0.410 10789 0.426 0.426 30685 1.000 1.000 60189 0.767 0.767
Z tabulky je patrno, že velké planety (Jupiter až Neptun) mají natolik velký časový rozdíl mezi svým siderickým rokem a siderickým dnem, že jejich sluneční den je přesně totožný s hvězdným. Slunce i hvězdy se na tamní obloze zdánlivě pohybují prakticky se stejnou úhlovou rychlostí. Země a Mars mají sluneční den o dvě nebo tři promile delší než den hvězdný. Hvězdy se pohybují zdánlivě na oblohách těchto planet nepatrně větší úhlovou rychlostí než Slunce (rozdíl mezi hvězdným a slunečním časem na Zemi - viz příslušné téma). Merkur má sluneční den cirka třikrát delší než hvězdný. Slunce se tedy na obloze Merkura pohybuje (v průměru) třikrát menší úhlovou rychlostí než hvězdy. Venuše se vymyká všem planetám sluneční soustavy, neboť její pohyb kolem osy je retrográdní a navíc úhlově pomalejší než pohyb kolem Slunce. Její parametry jsou T = 225 (středních slunečních pozemských) dní a tsi = 243 dní. Obrázek 9 znázorňuje 10
ϕ ϕ S
S
A
A
S A
t=0
t=t
t=T
sy
Obrázek 9:
analogii k obrázku 8 ovšem pouze pro Venuši. Levý obrázek označuje stav, kdy začínáme měřit čas, kdy Slunce svítí kolmo na místo A na planetě. Prostřední obrázek ukazuje stav po uplynutí periody T , kdy ovšem Slunce ještě nesvítí kolmo na místo A. Tato se za tuto periodu při pohybu kolem osy posunula o menší úhel než 360o . Pravý obrázek znázorňuje stav po uplynutí periody tsy , kdy Slunce opět svítí kolmo na místo A. Za tu dobu se planeta posunula na své dráze kolem Slunce o úhel průvodiče 2π + ϕ a na své pouti kolem osy o úhel 2π − ϕ. Úměrnosti (8) a (9) mají zde tvar 2π + ϕ tsy 2π − ϕ tsy = ; = . 2π T 2π tsi Vyloučením
ϕ 2π
z těchto výrazů dostaneme 2−
tsy tsy tsi T = ⇔ tsy = 2 . T tsi tsi + T
(11)
Po dosazení číselných hodnot parametrů T a tsi dostáváme délku Venušina slunečního dne tsy = 234 dní. Zastavíme se ještě u Merkura, jehož trajektorie kolem Slunce je zdaleka nejvýstřednější. Předpoklad ε = 0 pro něho tedy platí nejméně přesně. Navíc na Merkuru siderický rok je řádově srovnatelný se siderickým dnem. Tato fakta mají zajímavý důsledek, který popíšeme. Označme ω okamžitou úhlovou rychlost Merkura při jeho pohybu kolem Slunce a r jeho okamžitou vzdálenost od Slunce. Indexem s budeme značit střední hodnoty veličin, indexem a hodnoty v afeliu a indexem p hodnoty v periheliu. Podle II. Keplerova zákona platí rs2 ωs = rp2 ωp = ra2 ωa (= 2w) ,
(12)
kde w je plošná rychlost Merkura při jeho pohybu kolem Slunce. Dále zřejmě platí r p = a ; r p = a − e ; ra = a + e ,
(13)
kde a je délka velké poloosy Merkurovy dráhy a e její délková výstřednost. Dosazením (13) do (12) a rozšířením zlomků výrazem a1 vzniká ωp = ωs
rs rp
!2
=
a a−e
2
=
ωa rs 1 ; = 2 (1 − ε) ωs ra
11
2
=
a a+e
2
=
1 . (1 + ε)2
(14)
Označme nyní Tx (x = s, p, a) periody oběhu Merkura kolem Slunce příslušející k úhlovým rychlostem ωx za předpokladu, že by pohyb byl rovnoměrný po celý oběh. S ohledem na (14) pak platí ωs Ta ωs Tp = = (1 − ε)2 ; = = (1 + ε)2 . Ts ωp Ts ωa Dosadíme-li do těchto výrazů číselné hodnoty pro Merkura Ts =88 dní a ε=0.206, dostaneme Tp =55.5 dní a Ta =128 dní. Tyto výsledky ukazují jednak na velké kolísání rychlosti Merkura na jeho cestě kolem Slunce a jednak na fakt, že v okolí perihelia se Merkur pohybuje kolem Slunce úhlově rychleji než kolem své osy. Tato skutečnost snadno plyne ze srovnání periody Tp s periodou hvězdného dne na Merkuru (58.646 dní). To má za následek, že v okolí prerihelia Merkurovy dráhy se Slunce zdánlivě pohybuje po obloze opačně než hvězdy. Dvakrát za Merkurův rok (88dní) se tedy Slunce na své zdánlivé pouti po Merkurově obloze zastaví, aby vzápětí změnilo orientaci svého zdánlivého pohybu. To je situace na planetách sluneční soustavy zcela ojedinělá.
12
