Technische Universiteit Eindhoven Faculteit der Elektrotechniek vakgroep Telecommunicatie. Een optische coherente

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit der Elektrotechniek vakgroep Telecommunicatie

Een optische coherente DPOLSK-ontvanger door: E.J.E. van der Put

Verslag van een afstudeeronderzoek, uitgevoerd in de periode van juni 1991 Urn april 1992.

Afstudeerhoogleraar Begeleiders

prof. ir. G.D. Khoe dr. ir. W. van Etten ir. W.H.C. de Krom

De Faculteit der Elektrotechniek van de Technische Universiteit Eindhoven aanvaardt geen verantwoordelijkheid voor de inhoud van afstudeerverslagen.

Samenvatting

Samenvatting

In dit verslag wordt nader ingegaan op de invloed van shot-noise en faseruis op de kwaliteit van een DPOLSK (Differential POLarisation Shift Keying) ontvanger. In een optisch communicatiesysteem dat gebaseerd is op DPOLSK-modulatie/demodulatie wordt de informatie verzonden door de polarisatietoestand van het licht te moduleren. Van het ontvangen optische signaal worden in de coherente DPOLSK-ontvanger de Stokes-parameters bepaald. Vervolgens wordt uit de Stokes-parameters door middel van differentiële detectie het verzonden binaire signaal teruggewonnen. Door uit te gaan van de kansdichtheidsfuncties van de ingangsvariabelen van de DPOLSK-ontvanger, zijn we er niet in geslaagd een eenvoudige analytische uitdrukking af te leiden voor de bitfoutenkans van de ontvanger. Daarom is besloten de invloed van shot-noise en faseruis op de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger door middel van simulaties te onderzoeken. Hiervoor is de zogenaamde 'Monte Carlo'-simulatiemethode gebruikt. Voor het geval er alleen shot-noise in beschouwing wordt genomen, komen de simulatieresuitaten overeen met de analytisch bepaalde bitfoutenkansen uit [4]. Als er naast shot-noise ook faseruis aanwezig is, treedt er een aanzienlijke verslechtering op in de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger. Deze degradatie blijkt echter, rekening houdend met de nauwkeurigheid van de simulaties, volledig het gevolg te zijn van de invloed van het gekozen IF-filter. Als de simulatieresultaten worden gecompenseerd voor de invloed van het IF-filter, blijkt dat er vrijwel geen verschil waarneembaar is met de simulatie waarbij alleen shot-noise is meegenomen. Hieruit kan geconcludeerd worden, dat het principe van de beschouwde DPOLSK-ontvanger in hoge mate ongevoelig is voor faseruis, zoals in [4] wordt beweerd.

Inhoudsopgave

Inhoudsopgave Samenvatting 1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 2 Het principe van de DPOLSK-ontvanger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5 2.1 De polarisatietoestand van licht 5 2.1.1 Jones-vectoren 7 2.1.2 Stokes-parameters en Poincaré-bol 8 2.2 De DPOLSK-zender 10 2.3 De ontvanger 12 2.3.1 Het optische deel 12 2.3.2 Opto-elektrische conversie en IF-filtering 13 2.3.3 Bepaling van de Stokes-parameters 14 2.3.4 Differentiële detectie 15 3 De introductie van shot-noise en faseruis 3.1 Shot-noise 3.2 Faseruis 3.3 Spectrale analyse 3.3.1 Laserspectrum 3.3.2 Signaalspectrum 3.3.3 Spectrum na coherente detectie

18 18 20 21 21 22 23

4 Analyse van de DPOLSK-ontvanger 4.1 Shot-noise 4.2 Faseruis

25 25 27

5 Simulatiemethode 5.1 Pseudo-random-generator 5.2 Definitie signaal-ruis-verhouding 5.2.1 Shot-noise 5.2.2 Shot-noise en faseruis

32 33 33 34 35

6 Resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.1 Shot-noise 39 6.2 Shot-noise en faseruis 41 6.3 Gausse benadering 45 6.4 Aanvullende simulaties 48 7 Conclusies en aanbevelingen

50 -1-

Hoofdstuk 1: Inleiding

1 Inleiding In moderne communicatiesystemen wordt op steeds grotere schaal gebruik gemaakt van glasvezels in plaats van koperen geleiders. De optische transmissie van een datasignaal via een glasvezel biedt een aantal voordelen ten opzichte van de elektrische transmissie via een koperen geleider. Zo is bijvoorbeeld de beschikbare bandbreedte van een glasvezel vele malen groter dan die van een koperen geleider en heeft een glasvezel een veel lagere demping. De beschikbare capaciteit van een glasvezel kan efficiënt benut worden door gebruik te maken van coherente detectietechnieken. In een coherente ontvanger wordt het ontvangen optische signaal gemengd met het licht van een lokale laser. Na opto-elektrische conversie wordt een fotostroom verkregen die bestaat uit een constant deel en een midden-frequent deel. Uit dit elektrische signaal kan met behulp van eenvoudige elektrische bouwstenen de verzonden data worden teruggewonnen. Coherente optische communicatiesystemen die gebruik maken van onder andere ASK, FSK en PSK modulatie/demodulatie technieken zijn reeds diepgaand onderzocht. Via een glasvezel kan ook nog op een andere manier informatie worden verzonden. Dit kan gedaan worden door de polarisatietoestand van het verzonden licht te moduleren. Deze modulatie/demodulatie techniek is nog vrij nieuw. Er zal dieper worden ingegaan op de werking van een ontvanger die gebaseerd is op dit principe. Één van de eerste publikaties waarin een POLSK (pOLarisation Shift Keying) systeem wordt gepresenteerd, dateert uit 1988 [1]. Een POLSK-systeem waarbij in de ontvanger de Stokes-parameters worden bepaald, is voor het eerst door Betti [2] beschreven. Van dezelfde auteur is in 1989 een artikel verschenen waarin een DPOLSK (Differential POLarisation Shift Keying) ontvanger wordt gepresenteerd die gebruik maakt van Stokes-parameter-detectie [3]. Het voordeel van een DPOLSK-ontvanger ten opzichte van een POLSK-ontvanger is dat door de differentiële detectie in de DPOLSK-ontvanger geen polarisatie-controller nodig is. In [4] is van een DPOLSK-ontvanger de bitfoutenkans berekend voor het geval er alleen shot-noise in beschouwing wordt genomen. In dit verslag wordt naast de invloed van shot-noise ook naar de invloed van faseruis op de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger gekeken.

In hoofdstuk 2 worden enkele begrippen, zoals de polarisatietoestand, Jones-vectoren en Stokes-parameters, geïntroduceerd. Aan de hand hiervan wordt vervolgens de werking van de DPOLSK-ontvanger uitgelegd. In hoofdstuk 3 wordt beschreven hoe shot-noise en faseruis in de uitdrukkingen die in hoofdstuk 2 zijn afgeleid, kunnen worden geïntroduceerd. Dit hoofdstuk wordt afgesloten -3-

Hoofdstuk 1: Inleiding

met een spectrale analyse. Vervolgens wordt in hoofdstuk 4 gekeken of het mogelijk is om, uitgaande van de kansdichtheidsfuncties van de ingangssignalen van de DPOLSK-ontvanger, een eenvoudige analytische uitdrukking af te leiden voor de bitfoutenkans van de ontvanger. Aangezien dit niet mogelijk blijkt te zijn, is besloten de invloed van de shot-noise en de faseruis op de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger door middel van simulaties te onderzoeken. De gebruikte simulatiemethode en de uitgangspunten van de simulaties worden beschreven in hoofdstuk 5. In hoofdstuk 6 worden de simulatieresultaten gepresenteerd. Uit deze resultaten zal onder andere blijken dat de faseruis vrijwel geen invloed heeft op de kwaliteit van de DPOLSKontvanger. Tot slot worden in hoofdstuk 7 de conclusies en aanbevelingen die uit het onderzoek naar voren zijn gekomen, op een rijtje gezet.

-4-

Hoofdstuk 2: Het principe van de DPOLSK-ontvanger

2 Het principe van de DPOLSK-ontvanger Alvorens in te kunnen gaan op de werking van de DPOLSK-ontvanger zal er eerst een beschrijving worden gegeven van de polarisatietoestand van licht. Aan de hand van deze beschrijving zullen vervolgens de Stokes-parameters en de Poincaré-bol worden geïntroduceerd. Hierna wordt in het kort een DPOLSK-zender besproken en het principe van de DPOLSK-ontvanger uitgelegd.

2.1 De polarisatietoestand van licht Licht kan gekarakteriseerd worden door de golflengte en de polarisatietoestand [5]. Een 1 zich in de z-richting voortplantende IE-golf kan als volgt worden weergegeven (zie Figuur 2.1):

A Figuur 2.1:

x

Voorbeeld van een zich in de z-richting voortplantende IE-golf, waarbij het E-veld is gesplitst in een x- en een y-component.

Het elektrische veld van een zich in positieve z-richting voortplantende harmonische IEgolf kan door middel van de volgende vergelijkingen worden weergegeven:

-5-


Ex = alCOS(T+Ó I ) Ey = a coS(T+Ó 2)

(1)

{ Ez =02 met

T =

wt -kz;

óI en ó2 de momentane fasen

Als uit bovenstaande vergelijkingen

Ex] [ al

2+

[E

y ] 2_

a2

2 EXEy cosó a l a2

=

T

geëlimineerd wordt ontstaat:

sin2ó

(2)

De polarisatietoestand van de golf beschreven in het stelsel vergelijkingen (1) wordt bepaald door de drie onafhankelijke variabelen al' a 2 en Ó (Ó=Ó2-Ó I ). Uit vergelijking (2) kan verder afgeleid worden dat: (3)

Grafisch kan dit als volgt worden weergegeven, zie Figuur 2.2.

2 a21-I

- -----------------

.

----------~

x

I I

.1

-------------------~------------------~

2a 1

Figuur 2.2:

Grafische weergave van de polarisatietoestand volgens formule (2). waarbij tan(21f)

=

tan(2a) ·cosó (4)

-6-


De lineaire en circulaire polarisatietoestanden worden gekarakteriseerd door de volgende waarden van de variabelen : - lineair gepolariseerd:

- rechts circulair :

-2=(-1)/11

E

a -2

Ex

al

Ex al

=e

=a 2

(5)

1r' 0 =2

al = a 2

E -2

- links circulair:

0 =m1r'

(6)

_jW

"'1

=-j

0=_1r'

2

(7)

Een polarisatietoestand is gedefinieerd als zijnde rechtsdraaiend, wanneer de veldvector een rechtsomdraaiende beweging maakt indien er gekeken wordt in richting van de bron [5]. Alle mogelijke tussenliggende waarden van de variabelen al' a2 en 0 (waarbij al ~O en a2 ~ 0) leveren een bepaalde elliptische polarisatietoestand op.

2.1.1 Jones-vectoren Een andere manier om gepolariseerd licht te beschrijven, is door middel van Jones-vectoren [6]. Een Jones-vector is een tweedimensionale, in het algemeen complexe, kolomvector die de x- en y-component van het elektrische veld van het licht bevat. De Jones-vector die bij de beschrijving van het E-veld van gepolariseerd licht uit de vergelijkingen (1), (2) en (3) hoort, kan als volgt worden geschreven: (8)

In (8) zijn de drie onafhankelijke variabelen ah a2 en 0 aanwezig, waardoor de polarisatietoestand van het licht wordt bepaald. Als de Jones-vector van een veld bekend is, ligt hiermee ook de polarisatietoestand eenduidig vast. -7-


Twee reële vectoren A en B worden orthogonaal genoemd als hun inprodukt nul is, (A' B=O). Twee complexe vectoren A en B zijn orthogonaal als A •B· = 0. Analoog hieraan is de orthogonaliteit van twee polarisatietoestanden gedefinieerd [6]. Twee polarisatietoestanden worden orthogonaal genoemd, als de bijbehorende Jones-vectoren orthogonaal zijn.

2.1.2 Stokes-parameters en Poincaré-bol Uit de drie onatbankelijke variabelen ah a2 en ~ die de polarisatietoestand bepalen, kunnen de Stokes-parameters als volgt worden bepaald [5]: So

2

= al + 2

SI = al -

S2 S3

2

a2

2

a2

(9)

= 2ala2cos{~(t)} = 2ala2sin{~(t)}

Hierbij is So een maat voor het optische vermogen van het licht en zijn Sh S2 en S3 de x, y en z coördinaten van een punt S op een bol met middelpunt (0,0,0) en straal so. Deze bol wordt de Poincaré-bol genoemd. In Figuur 2.3 is hiervan een voorbeeld gegeven.

z

y

x Figuur 2.3: Voorbeeld van de Poincaré-bol. Door de plaats van het punt S op de schil van de Poincaré-bol ligt de polarisatietoestand -8-


eenduidig vast. Een lineaire polarisatietoestand komt overeen met de ligging van het punt S op de Poincaré-bol in het XY-vlak. Een rechts circulaire polarisatietoestand komt overeen met S=(O,O,so) en een links circulaire polarisatietoestand met S=(O,O,-so). Alle mogelijke tussenliggende coördinaten van het punt S komen overeen met een bepaalde elliptische polarisatietoestand. Alle punten S met een positieve S3' liggend boven het XY-vlak, komen overeen met een rechtsdraaiende polarisatietoestand en alle punten S met een negatieve S3 met een linksdraaiende. Een eigenschap van de Stokes-parameters, S I1 en S l, van twee orthogonale polarisatietoestanden, is dat deze, in het ideale geval, in de Stokes-ruimte antipodaal zijn. Dit kan op de volgende manier aangetoond worden: Er wordt uitgegaan van de Jones-vectoren van de twee orthogonale polarisatietoestanden. Deze Jones-vectoren worden A en B genoemd. Omdat het om orthogonale polarisatietoestanden gaat, geldt er voor de Jones-vectoren : A . BO =0. Als A wordt geschreven als:

dan betekent dit dat er voor B moet gelden:

Door deze uitdrukkingen voor A en B respectievelijk in te vullen in (9) kan voor de Stokes-parameters, S 11 en S l, die bij de twee orthogonale polarisatietoestanden horen, worden geschreven: 2

2

2

2 -a2

sO,1

= al +a2

Sq

=

al

SO.l =

2

al

2 +a2

2 2 Sl,l =a2 -al

2

S2,1 =

a l a2 COS(Öa )

S2,l = -a l a 2 COS(öa )

S3.I

a l a2 sin(öa )

S3,l = -a l a 2 sin(öa )

=

2

= -(al-a2)

Met ander woorden: (Sl.l' S2.l, S3,l) = (-Sq, -s2,1I' -s3.II) en SO,l = sO,II' Op de Poincaré-bol betekent dit dat de punten S 11 en Sleikaars spiegelbeeld vormen bij puntspiegeling ten opzichte van het middelpunt van de Poincaré-bol. In paragraaf 2.3.4 zal blijken dat het demodulatieprincipe van de DPOLSK-ontvanger is gebaseerd op het feit dat deze wisselingen van teken in SI. S2 en S3 optreden bij de overgang van een polarisatietoestand naar zijn orthogonale polarisatietoestand.

-9-


2.2 De DPOLSK-zender Aan de zendzijde van een communicatiesysteem dat gebaseerd is op DPOLSK-modulatie/demodulatie dient de polarisatietoestand, afhankelijk van een binair datasignaal dat differentieel gecodeerd is, gemoduleerd te worden. In deze context betekent polarisatie-moduleren dat het te verzenden signaal, afhankelijk van de bitwaarde, wordt geschakeld tussen twee orthogonale polarisatietoestanden. In de praktijk zal dit erop neer komen dat er in de DPOLSK-zender tussen twee lineaire orthogonale polarisatietoestanden wordt geschakeld. Het DPOLSK-signaal dat wordt verzonden, kan als volgt beschreven worden [4]: -v,(t) = Atl!'"st

t[ bO

mi; ] UT(t-kT) (I-mi;)

(I0)

Hierin worden door middel van een vectomotatie de twee orthogonale polarisatietoestanden weergegeven. In (10) is UT een rechthoekige blokgolf met amplitude 1 en tijdsduur T (gelijk aan de bittijd),
waarbij Q de Jones matrix is die de invloed van de glasvezel op de polarisatietoestand van het verzonden signaal weergeeft. (12)

met

(zie bijlage A)

De voorwaarde waaraan Q moet voldoen, houdt in dat onder invloed van de vezeleigenschappen de polarisatietoestand van het signaal wel kan veranderen, maar dat dit zodanig gebeurt, dat twee orthogonale signalen aan het begin van de vezel deze aan het einde ook orthogonaal verlaten. In de praktijk mag in het algemeen ook verondersteld worden, dat aan deze voorwaarde wordt voldaan [7,8]. -10-


In Figuur 2.4a en Figuur 2.4b wordt een voorbeeld gegeven van een DPOLSK-signaal zoals het respectievelijk verzonden en ontvangen kan worden. '1·

'1·

·0' x

x

Figuur 2.4a: Voorbeeld van verzonden polarisatietoestanden horende bij een bitwaarde "0" en "1".

Figuur 2.4b: Voorbeeld van ontvangen polarisatietoestanden.

Een andere manier om het ontvangen signaal te beschrijven is volgens formule (13) [3]. De afleiding van formule (11) naar formule (13) is in bijlage B gegeven.

(13)

waarbij:

{3 m=mA; {](t-k1) Ws PSx,Sy

: : : :

faseverschil tussen de twee veldcomponenten bitwaarde van het Jte-verzonden bit (m= 0, 1). optische hoekfrequentie vermogen van de X-, y-component van het ontvangen signaal voor m = 1.

Uit de verklaring voor m blijkt, dat deze variabele afbankelijk is van de tijd en de waarde van k. Dit betekent dat er eigenlijk mA;(t) zou moeten worden geschreven. Vanwege de overzichtelijkheid van de formules is deze tijdsafhankelijkheid en de k als onderschrift van m achterwege gelaten.

-11-


2.3 De ontvanger Aan de hand van het ontvangen signaal volgens formule (13) zal de werking van de DPOLSK-ontvanger worden beschreven. In Figuur 2.5 is het blokschema van de ontvanger weergegeven. In bijlage C is een grotere weergave van het blokschema opgenomen.

"ti" '"1"

Figuur 2.5: Het blokschema van de DPOLSK-ontvanger.

De ontvanger kan in grote lijnen in vier delen worden onderverdeeld: - het optische deel, - het deel waarin de opto-elektrische conversie en de IF-filtering plaatsvindt, - het deel waarin de Stokes-parameters worden bepaald, - het deel waarin de differentiële detectie plaatsvindt.

2.3.1 Het optische deel In het optische deel van de ontvanger wordt eerst het ontvangen optische signaal door middel van een Polarisation BeamSplitter (PBS) gesplitst in twee orthogonale polarisatiecomponenten. Na splitsing worden beide gemengd met een lokale laser. De polarisatietoestand van de lokale laser is zodanig gekozen, dat deze een hoek van 45° maakt met de twee orthogonale componenten waarin de PBS het ontvangen signaal heeft gesplitst. Daarnaast wordt verondersteld dat het vermogen van de lokale laser gelijk wordt verdeeld over de x- en y-tak van de ontvanger. In formulevorm kan het veld van de lokale laser, identiek aan de gebruikte notatie in formule (13), als volgt worden weergegeven: -12-


EL(t) =

/

~ PL

/

~ PL

waarbij:

(14)

tI"'L'

(IJL PL

: optische hoekfrequentie van de lokale laser : vermogen van de lokale laser

Na het optellen van de twee componenten van het ontvangen signaal met de lokale laser kan het verkregen signaal als volgt worden geschreven: ET.(t) = Es>:(t) + ~ { Ey(t)

..fi EL(t) = ESy(t) + ~ ..fi EL(t)

(15)

In formule (15) komen Es>: en ESy respectievelijk overeen met de x- en y-componenten van Es uit formule (13).

2.3.2 Opto-elektrische conversie en IF-filtering Nadat het optellen van de optische signalen heeft plaatsgevonden, wordt het verkregen EM-veld door twee fotodiodes in een fotostroom omgezet. Voor de fotodiodes kan de volgende relatie tussen het optische ingangssignaal en het elektrische uitgangssignaal (fotostroom) worden opgeschreven: (16)

i(t) = R P(t)

met

i(t) R p(t)

: fotostroom aan de uitgang van de fotodiode [Al : responsiviteit van de fotodiode [A/W] : het ontvangen optische vermogen [W]

Het vermogen van een optisch signaal kan uit het veld van dit signaal worden bepaald door dit veld te vermenigvuldigen met de complex toegevoegde van het veld. (17)

Pop,(t) ex E (t)·E· (t)

Invullen van (15) in respectievelijk (17) en (16) levert voor de fotostromen, (,Jt) en iy(t) , de volgende uitdrukkingen:

-13-


i;(t) oe R (ESI;{t) + ~ i/t) oe R(ESy(t) +

f2 EL (t») (ESI;{t) + ~ f2 EL (t»).

(18)

~ f2 EL(t»)(ESy(t) + ~ f2 EL(t)f

Als in formule (18) de uitdrukkingen voor ESI;(t), ESy(t) en EL(t) worden ingevuld kan voor iit) en iy(t) , na IF-filtering en vereenvoudiging van de verkregen relaties, formule (19) worden afgeleid. Voor het IF-filter is een banddoorlaatfilter genomen dat de verschilfrequentie van de zend- en de lokale laser (wlF = I WS-WL I ) doorlaat. i;(t) iy(t)

waarbij:

= 2R JpSI; ~PL m cos(WlFt+{3) + 2R JpSy ~PL (l-m) cos(wlFt)

=2RJpSy~PL mcos(wlFt)-2RJpSI;~PL

(19) (l-m)cos(wlFt-{3)

: verschilfrequentie van de zend- en lokale laser

2.3.3 Bepaling van de Stokes-parameters Zoals in hoofdstuk 2.1 is vermeld, is het noodzakelijk voor het bepalen van de Stokes-parameters over drie gegevens van een golf te beschikken. Dit zijn de amplitudes van de xen y-component van het gegeven veld en het faseverschil tussen deze twee componenten. Deze informatie is in (19) aanwezig. De amplitudes van de twee veldcomponenten zijn vertegenwoordigd in de wortels van PSI; en PSy' Het faseverschil tussen de veldcomponenten wordt in (19) vertegenwoordigd door de term B. De responsiviteit van de fotodiodes (R) en het vermogen van de lokale laser (PJ worden constant verondersteld. Deze hebben, ervan uitgaande dat de responsiviteit van beide fotodiodes gelijk is, geen invloed op de polarisatietoestand van het ontvangen signaal en dus ook niet op het feit of er uiteindelijk een "0" of een "1" wordt gedetecteerd. Met behulp van een elektrisch netwerk bestaande uit vermenigvuldigers, optellers, een fasedraaier en basisbandfilters kunnen uit (19) eenvoudig de Stokes-parameters worden bepaald. In Figuur 2.6 is het deel van het blokschema van de DPOLSK-ontvanger, waarin deze bewerkingen worden uitgevoerd, afgebeeld.

-14-


s,

s

s

Figuur 2.6:

Het deel van het blokschema waarin de Stokes-parameters worden bepaald.

Uitgaande van (19) kan voor Sll S2 en S3 worden afgeleid:

S1 =2R2(PSx~PL-Psy~PL)'(m-(1-m») S2

=4R2JpSx~PL Jpsy~PL

S3

=

-4R2JpSx~PL Jpsy~PL

cos(3 ·(m-(l-m»)

(20)

sin(3 ·(m-(l-m»)

Uit de manier waarop de uitdrukkingen voor Sll S2 en S3 in (20) zijn opgeschreven blijkt meteen dat de betreffende Stokes-parameters voor een bitwaarde gelijk aan "1" (m = 1) tegengesteld van teken zijn aan S1l S2 en S3 voor een bitwaarde gelijk aan "0" (m=O). In (20) is de tijdsafhankelijkheid van de signaaltermen ten gevolge van de basisbandfiltering weggevallen. Uiteraard is m nog altijd van de tijd afhankelijk, ook al blijkt dit niet uit (20).

2.3.4 Differentiële detectie Nadat de Stokes-parameters zijn bepaald, komen de signalen bij het deel van de ontvanger waarin de differentiële detectie plaatsvindt. Hier wordt gebruik gemaakt van de eigenschap van de Stokes-parameters dat deze van teken wisselen als de polarisatietoestand wordt geschakeld tussen twee orthogonale toestanden. In Figuur 2.7 is het laatste deel van de DPOLSK-ontvanger, het deel waarin de differentiële detectie plaatsvindt, weergegeven.

-15-


+

LP

"0"'''1''

rI:LTER

TJDlI:SXOLlJ

LZYZL -

Figuur 2. 7:

0

Het deel van de DPOLSK-ontvanger waarin de differentiële detectie plaatsvindt.

Voor een goede werking van de ontvanger is het uiteraard noodzakelijk dat de vertragingstijd T van de vertragingselementen in de ontvanger gelijk is aan de bittijd van het ontvangen signaal. Het signaal d dat voor de beslissingsdetector (drempeldetector) staat, kan in termen van s., S2 en S3 als volgt worden geschreven: (21)

Waarin T in de exponent van Sj betekent dat het hier gaat om een Sj die T seconden is vertraagd. Aangezien de polarisatietoestand van het ontvangen signaal wordt geschakeld tussen twee orthogonale toestanden kan er voor (st, s/, s/) alleen maar gelden dat (SIT, s/, s/) = (S., S2' S3) of (SIT, s/, s/) = - (S., S2' S3). In het eerste geval heeft er geen verandering in de polarisatietoestand van het ontvangen signaal plaatsgevonden en in het tweede geval is dat wel gebeurd. Dit betekent dat d de volgende waarden kan aannemen: (22)

Het plus-teken geldt voor het geval dat er achtereenvolgens twee dezelfde polarisatietoestanden zijn ontvangen en het min-teken voor het geval er achtereenvolgens twee orthogonale polarisatietoestanden zijn ontvangen. Het drempelniveau van de beslissingsdetector wordt ingesteld op 0, dit is precies midden tussen de twee mogelijke signaalwaarden die d kan aannemen. Aan de uitgang van de beslissingsdetector, tevens uitgang van de DPOLSK-ontvanger, staat nu een hoog niveau (" 1") of een laag niveau ("0"). Hiermee is de werking van de DPOLSK-ontvanger beschreven. Er is echter tot nu toe -16-


geen aandacht geschonken aan de invloed van ruis op de werking van ontvanger. In de volgende hoofdstukken zal hier uitgebreid op worden ingegaan.

-17-

Hoofdstuk 3: De introductie van shot-noise en faseruis

3 De introductie van shot-noise en faseruis In [4] wordt aangetoond, dat de veronderstelling dat er een optisch signaal wordt ontvangen met een lineaire polarisatietoestand waarvan al het vermogen in de x-tak zit geen afbreuk doet aan de algemeenheid van het probleem. Ook wordt er aangetoond dat het vanwege de symmetrie gerechtvaardigd is de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger te analyseren voor het geval er alleen maar "1 "-en (m= 1) worden verzonden. Gebruik makend van het bovenstaande feit kunnen de volgende substituties in (19) worden toegepast: ~

p Sx =pS

m =1 (3=0

Ingevuld in (19) levert dit:

(23)

Indien niet anders vermeld, wordt bij de analyse van de DPOLSK-ontvanger uitgegaan van (23).

3.1 Shot-Doise De shot-noise termen, die naast de signaaltermen in de ontvanger aanwezig zijn, worden verondersteld alleen van de lokale laser afkomstig te zijn. Deze veronderstelling is gerechtvaardigd als er aan de voorwaarde wordt voldaan, dat het vermogen van de lokale laser vele malen groter is dan het vermogen van het ontvangen signaal. Ook in de praktijk zal aan deze voorwaarde moeten worden voldaan. Voor de shot-noise, zoals deze in (19) en (23) in de x- en y-component aanwezig is, zal de volgende notatie (narrowband notatie) gebruikt worden:

-18-


nx(t) = Xc cos(WIF t) -xssin(wIFt) { ny(t)

(24)

=YeCOS(wIFt) -Yssin(wIFt)

Hierin zijn xc' ke variabelen deze variantie

Xs' Ye en Ys vier van de tijd afhankelijke, Gaussisch verdeelde, onafhankelijmet een gemiddelde gelijk aan 0 en met allen dezelfde variantie rr. Voor geldt:

(25)

waarin:

: : : :

elementaire lading responsiviteit van de fotodiodes enkelzijdige equivalente ruisbandbreedte van het IF-filter vermogen van de lokale laser

Als bij de x- en y-componenten van de signaaltermen uit (23) de ruistermen uit (24) worden opgeteld, levert dit de volgende uitdrukking op voor de fotostromen i'it) en i'y(t):

(26)

Als met deze uitdrukkingen voor i 'it) en i 'y(t) verder wordt doorgerekend, kan er voor de Stokes-parameters worden afgeleid:

(27)

We zien nu dat, naast de oorspronkelijke ruisvrije signaalterm in s'., in alle drie de Stokes-parameters kruisprodukten van het ontvangen signaal met ruis en ruistermen voor komen. Vanwege de gedane veronderstellingen (lineaire polarisatietoestand en alle vermogen in de x-tak) ziet uitdrukking (27) er nog relatief eenvoudig uit. Indien er echter van een willekeurige polarisatietoestand wordt uitgegaan, neemt het totale aantal termen in (27) met acht toe.

-19-


3.2 Faseruis De faseruis die in het ontvangen signaal aanwezig zal zijn, is het gevolg van het feit dat de in het systeem aanwezige lasers (zend- en lokale laser) een lijnbreedte hebben die ongelijk aan nul is. In Figuur 3.1 is een voorbeeld gegeven van het spectrum van een laser. Aan de hand van dit figuur zal de 3dB-lijnbreedte van een laser worden gedefinieerd. LASf:~

SPf:CT~UM

0.9

..

0.8 0.7

...g.

0.8

I

O.~

i i

O."!-

!3dB-llJnbreedte!

0.3

I i I i I

0.2 O. ,

0

-\

-o.e

-o.e

-O,,,!-

(3DM~)

-0.2

o

i i i i I 0.2

F'REQUENTIE (In Hz)

Figuur 3.1:

o.e

)C' O.

Voorbeeld van het equivalente basisband vermogensspectrum van een laser.

Zoals uit Figuur 3.1 blijkt is de 3dB-lijnbreedte gedefinieerd als de volledige breedte van het spectrum (in Hz) op de helft van het maximale vermogen. In tegenstelling tot de shot-noise moet bij de faseruis wel met beide lasers (zend- en lokale laser) rekening worden gehouden. In (26) kan de faseruis 1/;(t) op de volgende manier geïntroduceerd worden:

(28)

t;' (t) = Waarbij het verschil van 1/;(t) en 1/;(t-1) Gaussisch verdeeld is [9]. Voor de variantie van 1/;(t) geldt: (29)

waarin

I:1f

: som van de 3dB-lijnbreedte van de zend- en de lokale laser [Hz] -20-


T

: bittijd

[sj

Het gemiddelde van 1/;(t) is gelijk aan de waarde van 1/;(t) één bittijd geleden ( 1/;(t-1) ). De kansdichtheidsfunctie van 1/;(t) kan hiermee als volgt worden geschreven:

f,,(1/;(t»

1

=

exp [

{1/;(t)-1/;~-T)F]

J2 TU"

(30)

2u"

Als er naast shot-noise ook faseruis wordt meegenomen in de beschrijving van de Stokes-parameters, dan komen deze er als volgt uit te zien:

s:' = 2R Ps 1PL + 2R Jps ~PL [xccos{ 1/;(t)} +xssin{1/;(t)}] + 1~; +x; -y; -yn 2

s~' = 2R Jps ~PL [Yccos{1/;(t)} +Yssin{1/;(t)}] + XcYc +XsYs

(31)

s~' = 2R JPs ~PL [Yscos{ 1/;(t)} -yc sin {1/;(t)}] + XcYs -XsYc

3.3 Spectrale analyse 3.3.1 Laserspectrum Het vermogensdichtheidsspectrum van een niet-ideale laser (lijnbreedte .,t. 0) heeft de vorm van een Lorentzprofiel [10].

2PL S(j)=L Tl1f

1 1+

[

f-h !.l1f

(32)

]2

2

met

: optische frequentie van de laser.

Het genormeerde vermogensdichtheidsspectrum van een laser getransformeerd naar basisband en met een 3 dB-lijnbreedte, l1f = 60 MHz is weergegeven in Figuur 3.2.

-21-


LASERSPECTRUIol

-4

-3

-2

-1

o

rREQUENTIE (in Hz)

2

3

xloa

Figuur 3.2: Het genormeerde equivalente basisband laserspectrum met 11/=60 MHz. Bij de DPOLSK-ontvanger is sprake van twee lasers, namelijk de zendlaser en de lokale laser, die beide een bepaalde lijnbreedte hebben en beide, in tegenstelling tot de shot-noise, bijdragen aan de introductie van faseruis. Als beide signalen worden opgeteld blijkt, dat de 3 dB-lijnbreedte van het verkregen signaal gelijk is aan de som van de twee afzonderlijke 3 dB-lijnbreedtes [10]. Hieruit volgt dat ook de faseruiscomponent 1/;(t) van het verkregen signaal gelijk is aan de som van de twee oorspronkelijke faseruiscomponenten 1/;L(t) en 1/;J..t). De beschrijving van de totale faseruis zal worden opgenomen in de beschrijving van de lokale laser. Als in het vervolg wordt gesproken over de 3 dB-lijnbreedte (l1fJ wordt steeds de som van de 3 dB-lijnbreedtes van de zend- en de lokale laser bedoeld.

3.3.2 Signaalspectrum Het vermogensdichtheidsspectrum van het ontvangen DPOLSK-signaal kan per tak: van de ontvanger (x- en y-polarisatiecomponent) beschouwd worden als een ASK gemoduleerd signaal. Het vermogensspectrum bestaat uit twee termen. Een term die het modulatiespectrum vertegenwoordigt en een term die het spectrum van de zendlaser, de draaggolf, vertegenwoordigt. Aangezien de lijnbreedte van de zendlaser is opgenomen in het hiervoor beschreven (lokale) laserspectrum, wordt in het spectrum van het ontvangen DPOLSK-signaal de zendlaser ideaal verondersteld. Het vermogensdichtheidsspectrum van het ontvangen signaal kan hiermee als volgt worden geschreven [11]:

-22-


(33)

met

Is

: optische frequentie van de zendlaser.

Voor een bitrate r b = 140 Mbit/s en met weglaten van de draaggolfcomponent (lhPs ö(j'IJ is in Figuur 3.3 het genormeerde, naar basisband getransformeerde vermogensspectrum van het ingangssignaal van de DPOLSK-ontvanger getekend (modulatiespectrum). IoI0DUL,ATIESPECTRUIoI

O.i

0.8

I i ~

0.7

o.e o.~

0.<10.3 0.2 0.1 0

-5

-
-3

-2

-1

0

3

5

F'REOUENTIE (In Hz)

Figuur 3.3:

Het genonneerde equivalente basisband modulatiespectrum met rb =140 Mbitis.

3.3.3 Spectrum na coherente detectie Het vermogensdichtheidsspectrum van het signaal dat verkregen wordt na het optellen van het ontvangen signaal en de lokale laser kan bepaald worden door het convolutieprodukt van het laserspectrum (32) en het signaalspectrum (33) te bereken. (34)

In Figuur 3.4 is het genormeerde convolutiespectrum SL+JfJ weergegeven, met rb = 140 Mbit/s en ~I = 60 MHz.

-23-


CONVOLUTlESPECTRUIo4 VAN ONTVANCEN SICNAAL Io4ET LOKALE LASER

-2S L . . - _ " ' - - _ " " " ' - _........._ -S -4 -3 -2

........._ - - . . . . . . _ - - - - ' - _ - - - - ' _ - - - - ' ' - - _ ' ' - - - - - l

-1

o

2

3

FREQUENTIE (in Hz)

Figuur 3.4:

Het genormeerde equivalente basisband convolutiespectrum van het ingangssignaal en de lokale laser.

Als er alleen naar het informatiedragende deel van het ontvangen signaal wordt gekeken, moet uit het spectrum van het ontvangen signaal de draaggolf worden weggelaten. Het modulatiespectrum SmotJif) blijft dan over. Ps Smod(f) = 2T

sin2( T (f-f) T) -i1(f-fs)2

(35)

De convolutie van het laserspectrum en het modulatiespectrum is in Figuur 3.5 weergegeven (met r b = 140 Mbit/s en t:..f = 60 MHz). CONVOLUTIE VAN LASER- EN 10400ULATlESPECTRUlo4

-4

-3

-2

-1

o

2

3

FREQUENTIE (in Hz)

Figuur 3.5:

Genormeerde convolutie van het modulatiespectrum en het laserspectrum.

-24-

Hoofdstuk 4: Analyse van de DPOLSK-ontvanger

4 Analyse van de DPOLSK-ontvanger In dit hoofdstuk zal achtereenvolgens worden ingegaan op de invloed van shot-noise en faseruis op de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger. Een maat voor de kwaliteit van een ontvanger wordt gegeven door de bitfoutenkans als functie van de signaal-ruis-verhouding aan de ingang van de ontvanger.

4.1 Shot-noise In [4] is naar de kwaliteit van een DPOLSK-ontvanger gekeken voor het geval er alleen shot-noise in beschouwing wordt genomen. In dit artikel is men erin geslaagd tot in een ver stadium een analytische uitdrukking af te leiden voor de kansdichtheidsfuncties van de verschillende variabelen, gebruik makend van een aantal transformaties van de oorspronkelijke variabelen. Om uiteindelijk echter tot de foutenkans van de DPOLSKontvanger te komen moet een tweevoudige integraal worden opgelost. Deze integraal blijkt niet analytisch opgelost te kunnen worden. Voor het oplossen van de integraal is gebruik gemaakt van een numeriek integratie-algoritme en zijn volgens eigen zeggen "enkele algebraïsche manipulaties" uitgevoerd [4]. In het kader van dit afstudeeronderzoek is mede getracht om tot een volledige analytische beschrijving van de DPOLSK-ontvanger te komen. Hiertoe wordt uitgegaan van de veronderstellingen uit hoofdstuk 3 en de beschrijving van de signalen i 'x(t) en i 'y(t) in formule (26). Voor het gemak zal in het volgende i ~(t) vervangen worden door x en i 'y(t) door y. Deze x en y zijn twee onafhankelijke, Gaussisch verdeelde variabelen. Waarbij het gemiddelde van x gelijk is aan 2R(P/12PJ'h en het gemiddelde van y gelijk is aan nul. Voor de variantie van beide geldt, dat deze gelijk is aan de variantie van de shot-noise, formule (25). De kansdichtheidsfuncties van x en y kunnen hiermee als volgt worden geschreven:

-25-


.fx(X) =

f,(y)

=

exp [ (x - X)2] 2 J27: CT 2CT 1

(36)

1 exp [- y22] J27: CT 2CT en

x =2RJps~PL

Uitgaande van de kansdichtheidsfuncties van x en y uit formule (35) is geprobeerd een analytische uitdrukking voor de kansdichtheidsfunctie van de beslissingsvariabele d af te leiden. Als dit lukt, kan de bitfoutenkans (PIJ van de ontvanger eenvoudig bePaald worden. Indien er alleen maar "I "-en verzonden worden, geldt er voor de bitfoutenkans: (37)

waarin Ijd) de kansdichtheidsfunctie van de beslissingsvariabele dis. In Figuur 4.1 wordt de manier waarop de foutenkans uit de kansdichtheidsfunctie van d bepaald kan worden grafisch weergegeven.

P

E=

opperv lak

d

Figuur 4.1:

d

Grafische toelichting op de bepaling van de bitfoutenkans uit de kansdichtheidsfunctie van de beslissingsvariabele d.

Uit het blokschema van het deel van de DPOLSK-ontvanger waarin de Stokes-parameters worden bepaald, Figuur 2.6, blijkt dat er in alle drie de takken van de ontvanger vermenigvuldigingen worden uitgevoerd. Een eerste vereiste om verder te komen met de bepaling van de kansdichtheidsfunctie van d is om een analytische uitdrukking af te leiden voor de kansdichtheidsfunctie van een variabele z waarvoor geldt z = x . y , waarbij x en -26-


y onafhankelijke variabelen zijn. Met de beschikbare technieken uit de kansrekening [12,13,14] blijkt het niet mogelijk te zijn een uitdrukking voor de kansdichtheidsfunctie van z te vinden waarin geen integraal meer aanwezig is. Een mogelijke uitdrukking die voor de kansdichtheidsfunctie van z bepaald kan worden, is de volgende: ~2

00

J;(z) =

1 2'l1"0'2

J-x exp 1

-00

[

-

x2

+

(X-i)2 ] 2

(38) dx

40'

Als er met deze uitdrukking voor de kansdichtheidsfunctie van z wordt doorgerekend om een uitdrukking voor de kansdichtheidsfunctie van de beslissingsvariabele d af te leiden, levert dit een veel ingewikkeldere uitdrukking op dan de uitdrukking die wordt verkregen in [4]. Op deze manier, uitgaande van de kansdichtheidsfuncties van i/(t) en i/(t), blijkt het niet mogelijk te zijn een eenvoudige analytische uitdrukking voor de kansdichtheidsfunctie van d af te leiden. Het lijkt erop dat de methode die in [4] wordt gebruikt de eenvoudigste manier is om tot een uitdrukking voor de bitfoutenkans van de DPOLSK-ontvanger te komen. Aangezien het niet zinvol is om via een moeilijkere weg tot (waarschijnlijk) dezelfde resultaten te komen, is besloten ervan af te zien om op een analytische manier de bitfoutenkans van de DPOLSK-ontvanger te bepalen. Er zal nu door middel van simulaties naar de invloed van de shot-noise op de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger worden gekeken. In hoofdstuk 5 wordt dit beschreven.

4.2 Faseruis Bij het onderzoek naar de invloed van faseruis op de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger, zal in eerste instantie worden gekeken naar de mogelijkheid om de faseruis in te voeren in de methode die Benedetto [4] heeft gebruikt. In [4] is alleen naar de invloed van shot-noise op de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger gekeken. Analoog aan de aanpak die in [4] is gebruikt, ziet de analyse van de DPOLSK-ontvanger met shot-noise en faseruis er als volgt uit. Wederom wordt er verondersteld, dat al het ontvangen signaalvermogen in de x-tak zit en dat er alleen maar "1"-en worden verzonden. Indien in (31) de volgende substitutie

-27-


(39)

wordt uitgevoerd, komen de Stokes-parameters met shot-noise en faseruis er als volgt uit te zien:

s:' = ~A2 + A [xecos{1f(t)} +xssin{1f(t)}]

+~

~~ +x; -y~ -Y;)

s~' =A [yecos{ 1f(t)} +Yssin{1f(t)} ] + xeYe+x,Ys

(40)

s~' =A [y,cos{ 1f(t)} - yesin{1f(t)} ] + xeY, - x,Ye

Om nu de ruiseigenschappen van de Stokes-parameters te bepalen, gaan we de ontvangen Stokes vector, !';., beschrijven ten opzichte van de ideale, ruisvrije Stokes-vector, -s; (Figuur 4.2).

(41)

en

Bij de definitie van !';. en

-s; is uitgegaan van (40).

-28-


Figuur 4.2: Weergave van het ontvangen signaal -s-;. in holcoördinaten ten opzichte van het ideale, ruisvrije signaal ~. Uit Figuur 4.2 blijkt dat het ontvangen signaal in bolcoördinaten kan worden uitgedrukt ten opzichte van het ideale, ruisvrije signaal. Verder is de eenheidsvector van het ruisvrije signaal zo gekozen dat hij samenvalt met de polaire as van het coördinatenstelsel. In overeenstemming met (41) wordt deze ~ genoemd.

r,. =(p,8 ,a)

(42)

De hoek 8 kan als volgt worden beschreven: 8=arccos

~'S: N

I

[ 1r,.11~1

1

(43)

Voor SNJ. wordt de projectie van -s-;. op het vlak loodrecht op ~ genomen, in dit vlak wordt een willekeurige eenheidsvector ~ = ~ gekozen. Voor de hoek a kan de volgende uitdrukking worden geschreven:

-29-


(44)

Tenslotte kan voor p worden geschreven: (45)

Indien het mogelijk is om een volledige statistische beschrijving te geven van de variabelen p, 8 en CL kan van hieruit een uitdrukking voor de bitfoutenkans van de DPOLSKontvanger worden afgeleid. Benedetto [4] heeft op deze manier de bitfoutenkans van een DPOLSK-ontvanger bepaald, waarbij hij echter de invloed van de faseruis buiten beschouwing heeft gelaten. Substitutie van (40) in (45), met weglaten van de tijdsafhankelijkheid van de shot-noise en de faseruistermen, leidt tot de volgende uitdrukking voor PN:

Hieruit valt met de kennis van de kansdichtheidsfuncties van de afzonderlijke variabelen uit (46) geen mooie kansdichtheidsfunctie voor PN af te leiden. In het geval dat de faseruis buiten beschouwing wordt gelaten, reduceert (46) tot de volgende vorm: (47)

Waaraan meteen gezien kan worden dat de kansverdelingsfunctie van P een niet-centrale chi-square verdeling met vier vrijheidsgraden is. Door substitutie van (40) in (43) kan voor 8 de volgende uitdrukking worden gevonden: (48)

De verkregen uitdrukkingen voor PN en 8 zijn dermate complex en onoverzichtelijk, dat het hiermee niet mogelijk is analoog aan de methode van Benedetto door te werken. Daarom is besloten, net als in het geval waar alleen shot-noise in de analyse van de -30-


ontvanger wordt meegenomen, de bitfoutenkans van de DPOLSK-ontvanger door middel van simulaties te bepalen.

-31-

Hoofdstuk 5: Simulatiemethode

5 Simulatiemethode De DPOLSK-ontvanger wordt gesimuleerd met behulp van de zogenaamde 'Monte Carlo' of 'Brute force' simulatiemethode. Bij deze simulatiemethode komt het erop neer dat elke keer een samplewaarde uit de kansdichtheidsfunctie van iA: '(t) en iy'(t) wordt getrokken en dat op deze waarden alle bewerkingen die in de ontvanger plaatsvinden, worden uitgevoerd. Op deze manier wordt er uiteindelijk een getalwaarde voor de beslissingsvariabele d verkregen. Ervan uitgaande dat er alleen maar "1"-en zijn verzonden zal deze d een positieve waarde moeten hebben. Als er ten gevolge van de aanwezige ruis een fout optreedt, komt dit in de beslissingsvariabele d tot uiting doordat deze dan negatief is. Voor een bepaalde waarde van de signaal-ruis-verhouding moeten nu achtereenvolgens bij de simulatie van de DPOLSK-ontvanger de volgende stappen uitgevoerd worden:

1. een waarde voor m trekken en hiermee iit) en iy(t) (19) bepalen, 2. de vier Gaussisch verdeelde, onafhankelijke narrowband shot-noise-componenten xe, xs' Ye en Ys en de faseruiscomponent y; trekken, 3. met behulp van de in stap 1 en 2 verkregen signaalwaarden de Stokes-parameters (9) berekenen, 4. met de Stokes-parameters uit het vorige tijdsinterval en de nieuwe Stokes-parameters de waarde van de beslissingsvariabele d (21) bepalen, 5. aan de hand van het teken van d, de laatste en de voorlaatste bitwaarde, controleren of er een fout is opgetreden, 6. deze hele procedure (stap 1 tot en met 5) herhalen totdat er een bepaald aantal fouten is opgetreden. De bitfoutenkans kan dan als volgt worden bepaald:

PE

· ,SUIl

aantal opgetreden fouten = ---:------"'-7----~=_=_-

(49)

totaal aantal ontvangen bits

Vanwege het feit dat bij de uitgevoerde simulaties ervan uitgegaan wordt, dat er alleen maar "1"-en worden verzonden en dat al het ontvangen vermogen zich in de x-tak van de ontvanger bevindt, hoeft stap 1 slechts éénmaal, voor m=l, uitgevoerd te worden. In stap 4 worden als initiële waarden voor de vertraagde Stokes-parameters de ruisvrije waarden van de Stokes-parameters, horende bij m = 1, gebruikt. -32-


In stap 5 hoeft bij de uitgevoerde simulatie, vanwege de gemaakte veronderstellingen, slechts naar het teken van d te worden gekeken. Als d negatief is, is er een fout opgetreden. Bij stap 6 is voor het aantal fouten waarna de herhaling stopt, 10 genomen. Hierdoor ligt volgens [15] het 9O%-betrouwbaarheidsinterval van de door de simulatie bepaalde bitfoutenkans PE,sim tussen 0,6 en 1,6 maal de werkelijke bitfoutenkans, PE ( 0,6 PE < PE,sim < 1,6 PE ).

5.1 Pseudo-random-generator De simulaties zijn uitgevoerd door middel van een in Turbo Pascal versie 5.5 geschreven programma. In bijlage D is een voorbeeld van de programmatekst opgenomen. Er wordt bij de simulaties met zeer lange reeksen pseudo random getallen gewerkt. Om bijvoorbeeld door middel van een simulatie een bitfoutenkans van 10-8 te bereiken wordt circa 5'109 maal een ruiscomponent getrokken. De trekking van de ruistermen wordt gedaan met behulp van de in Turbo Pascal aanwezige pseudo-random-generator en een procedure (Gasdev.PAS [16]) die van de uniforme verdeling van de pseudo-random-generator een Gausse verdeling met gemiddelde nul en variantie één maakt. Voor de betrouwbaarheid van de simulatie is het van groot belang dat er geen afhankelijkheid aanwezig is tussen de verschillende ruistermen . Om de kwaliteit van de pseudo-random-generator van Turbo Pascal te testen, is de lengte van de door deze generator gegenereerde pseudo-random reeks bepaald. Door middel van een programma dat controleert wanneer een reeks van vijf opeenvolgende door de pseudo-random-generator gegenereerde getallen zich herhaalt, is de reekslengte bepaald op 4.294.967.296. Dit betekent dat door middel van een simulatie met de standaard pseudo-random-generator van Turbo Pascal een kleinste bitfoutenkans van circa 10-8 betrouwbaar bepaald kan worden. Als er een kleinere bitfoutenkans dan 10-8 wordt gesimuleerd zal er op een gegeven moment een exacte herhaling optreden in de getrokken ruistermen. Vanaf dat moment is het uiteraard zinloos om door te gaan met de simulatie, omdat er dan geen nieuwe informatie meer wordt verkregen.

5.2 Definitie signaal-ruis-verhouding In de simulaties wordt de bitfoutenkans als functie van de signaal-ruis-verhouding bepaald. Tot nu toe is de term signaal-ruis-verhouding wel gebruikt, maar de in dit onderzoek gebruikte definitie van de signaal-ruis-verhouding is nog niet gegeven. Bij de bepaling van de signaal-ruis-verhouding wordt gebruik gemaakt van de uitdrukking

-33-


voor ix '(t) uit formule (26):

i~(t) = 2R Jps ~PL cos(wlFt) + XCcos(wlFt) -xssin(wlFt)

(50)

met Genormeerd op de standaard deviatie van de ruis (ux ) kan voor i/(t) uit (50) geschreven worden: (51) 2 - u2 - 1 u x;x;-

met

De signaal-ruis-verhouding (SNR) is nu als volgt gedefinieerd: RP - 2eBN

SNRt:. _ _ s

(52)

Hierin is de enkelzijdige equivalente ruisbandbreedte, BN , van een laagdoorlaatfilter met overdrachtsfunctie H(j) gedefinieerd als [17]:

! = co

BN

2

IH(f)1 df IH(O) 1

(53)

2

5.2.1 Shot-Doise In het geval er alleen maar shot-noise in beschouwing wordt genomen, kan voor het lP-filter het beste een matched-filter worden genomen [11]. Voor een matched-filter geldt dat de enkelzijdige equivalente ruisbandbreedte gelijk is aan de helft van de bitrate (rb) van het ontvangen DPOLSK-signaal. De signaal-ruis-verhouding kan in dit geval als volgt geschreven worden: RPs

(54)

SNRmIJlched -jiJur =e-rb

Uit een dimensie beschouwing van (54) kan worden afgeleid, dat de signaal-ruis-verhouding in dit geval kan worden uitgedrukt in het aantal ontvangen signaalfotonen per bit.

-34-


5.2.2 Shot-noise en faseruis Als er naast shot-noise ook faseruis aanwezig is in het door de DPOLSK-ontvanger te demoduleren signaal, zal het IF-filter moeten worden aangepast. In dit geval kan er geen matched-filter gebruikt worden. Bij de simulaties wordt nu uitgegaan van een IF-filter dat in het frequentiedomein een rechthoekige overdracht heeft. De bandbreedte van dit filter is zodanig gekozen, dat 95 % van het informatiedragende deel van het ontvangen signaal wordt doorgelaten. De berekening van deze bandbreedte zal worden uitgevoerd aan de hand van de spectrale analyse uit hoofdstuk 3.3. Voor de convolutie van het laserspectrum met het DPOLSK-modulatiespectrum, die in Figuur 3.5 is weergegeven, kan de volgende uitdrukking worden opgeschreven [18]: GO

SL+mot/(f) = Smot/(f) * SL(f) =

JSmod(x) SL(!-X) dx

(55)

-GO

Het signaalvermogen dat door het IF-filter (rechthoekig in het frequentiedomein, met enkelzijdige bandbreedte B) wordt doorgelaten, kan als volgt worden berekend: B

P(B) =

GO

B

GO

J JSmot/(x) SL(f-x ) dx df= JSmot/(x) JSL(f-x) df dx -B

(56)

-GO-B

-GO

Uit (56) wordt eerst de integraal over de frequentie uitgerekend (voor h =0 enh=O). B

_ _1_~ df=

L

1+

--.1......-

2

X ] I-B 2PL arctan[_f-_ T li.f lli.f ï

] [ ~li.f 2

= P T

L

I--B

(57)

[arctan [~li.f B-x ] arctan [~li.f B+x ] +

2

=

]

2

Als de oplossing van de integraal, (57), in formule (56) wordt gesubstitueerd en voor T= lIrb = 1 wordt ingevuld, kan voor het doorgelaten vermogen de volgende uitdrukking worden opgeschreven: Gebruik makend van de symmetrie in (58) kan voor P(B) ook worden geschreven:

-35-


(58)

Gebruik makend van de symmetrie in (58) kan voor P(B) ook worden geschreven:

7 t

2

sin

(

TX)

[arctan [ B-x ] ~~f

TX

+

(59)

arctan [ B+x ] ] dx

2

~~f 2

De bandbreedte van het IF-filter, B 9S , waarvoor 95% van het totale signaalvermogen door het filter wordt doorgelaten, wordt met behulp van een numeriek integratie-algoritme uit (59) bepaald. Er wordt voor een aantal waarden van de 3 dB-lijnbreedte naar een bandbreedte B9S gezocht waarvoor geldt: P(B9S ) = 0,95 PlOIOIl1

met

PlOIOIl1

(60)

= P(B = 00)

In tabel 5.1 is voor een aantal waarden van de 3 dB-lijnbreedte de enkelzijdige 95%-bandbreedte van het IF-filter weergegeven. Tabel 5.1:

Enkele waarden van de enkelzijdige 95 %-bandbreedte van het IF-filter voor verschillende waarden van de 3 dB-lijnbreedte.

3 dB-lijnbreedte,

~f (in

% van rb )

95%-bandbreedte lP-filter ( *rb

0

2

5

2,4

10

2,6

15

2,9

20

3,3

25

3,6

30

3,9

60

5,7

-36-

)


De in tabel 5.1 gepresenteerde waarden blijken goed door de volgende vergelijking benaderd te kunnen worden:

B95

=

(2

+

(61)

6,17 .10-2 !:af) rb

waarin !:af is uitgedrukt als percentage van de bitrate. In Figuur 5.1 zijn de waarden uit tabel 5.1 en de lijn die uit vergelijking (61) volgt, weergegeven. •

: berel:ende waarden : 8 95 = (2 + 0,0617 Af)

-

8

ro // /

/

i/ 5 /

/

/

1/ /

~/

/

V

/

/

/

/

/

/~

,./

/ /

// 2

o

10

20

30

40

50

80

3 dB-lijnbreedte (in 96 van de bitrate)

Figuur 5.1:

Weergave van de 95%-bandbreedte als functie van de 3 dB-lijnbreedte.

Voor de enkelzijdige 95 %-bandbreedte van het IF-filter als functie van de 3 dB-lijnbreedte wordt nu uitgegaan van vergelijking (61). De enkelzijdige equivalente ruisbandbreedte (53) van het IF-filter is hiermee gelijk aan:

BN

=

B95

=

(2

+

6,17 .10- 2 !:af) rb

(62)

met !:af in % van rb • Uit (62) en het feit dat het IF-filter zodanig gekozen is dat 95 % van het signaalvermogen wordt doorgelaten, kan voor de signaal-ruis-verhouding (52) achter het IF-filter worden geschreven:

-37-


SNR lF-jilIer

=

0,95 RPs 2 e (2 + 6, 17 '10- 2..1/) rb

=

0,95 SNR 2 (2 + 6, 17 '10-2..1/) 1tIiIlCh«J-jilIer

(63)

Door de gemaakte keuze van het IF-filter zien we dat, in vergelijking met het geval waarin een matched-filter wordt gebruikt, een afname in de signaal-ruis-verhouding optreedt van circa 6,2 dB (voor gelijke PL en 4{=0). Dit komt omdat er door de keuze van het IF-filter minder signaalvermogen en tegelijkertijd meer ruisvermogen (shot-noise) wordt doorgelaten. Ongeacht de invloed van de faseruis op de kwaliteit van de DPOLSKontvanger zal er dus alleen al door de gemaakte keuze voor het IF-filter een aanzienlijke verslechtering in de kwaliteit van de ontvanger optreden.

-38-

Hoofdstuk 6: Resultaten

6 Resultaten In dit hoofdstuk zullen de resultaten van de uitgevoerde simulaties worden gepresenteerd. Eerst zullen de resultaten worden gepresenteerd van de simulaties waarbij alleen rekening is gehouden met shot-noise. Daarna zal worden gekeken naar de invloed van faseruis op de DPOLSK-ontvanger. Vervolgens zal worden gekeken of het mogelijk is een betrouwbare schatting van de bitfoutenkans van de DPOLSK-ontvanger te maken, door uit te gaan van een Gausse benadering voor de kansdichtheidsfunctie van de beslissingsvariabele d. En tot slot zijn nog enkele aanvullende simulaties uitgevoerd. In deze simulaties is afgeweken van de aannames dat al het ontvangen vermogen in de x-tak zit en er alleen maar "1 "-en worden verzonden.

6.1 Shot-noise De simulatie van de DPOLSK-ontvanger is in eerste instantie uitgevoerd voor het geval er alleen maar shot-noise aanwezig is. Hierbij is te werk gegaan volgens de beschrijving uit hoofdstuk 5. De uitgangspunten van de simulatie zijn: - er worden alleen maar "1"-en verzonden, - al het ontvangen vermogen zit in de x-tak, - voor het IF-filter is een matched-filter genomen. In Figuur 6.1 zijn de simulatieresultaten weergegeven. In deze figuur is de bitfoutenkans als functie van de signaal-ruis-verhouding (54) uitgezet. Naast de simulatieresultaten ( ... ) is in Figuur 6.1 ook de kromme afgebeeld die de in [4,19,20] analytisch bepaalde bitfoutenkans weergeeft.

-39-


10 - 4 =====================

::::::~:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::co::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::co::::::::::::::::::::::::::::::

•.•••••••••••. ~••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.•..••••..••••••...•••••••..••.••••••••••••••••••..••.••••••

. . •. . ••.. .•. . . . .• .•. . . . . •. ~ ~.• . •. . •. . ·11·····.·.• .•. .•. • • • • . .• . • . . .•.• . •.• • ....................•.........................................~~:~:-

.

- - : analytisch [4]

(J)

c

~

10- 7

C

([)

..............................................•..•••.............~............. •....•....

--A-- : simulatie

-+-'

::::J

o

4-

~ 10- 8

......................•.........•.............•............................................

.

;~

: mmmm !:mmmm:::~:::::~::~~~~ ~~~mm~::~:!!H~mmm :~:~::~::~:m~:HHm~~~ ~m:::~~:~~~~~:mm ::m:m:~~:: :::::::::: ::::::::::::::::::::: :::::::: ::::: :::::: ::::::::._:::-_::::::::::::::::-::::::::::.::::::::::::::.::: ::\::.::::::::::::::

.......

10- 10

..

..•. ..

..

..

..

....

-------_._----- -----._-------------------_ .. - -------------------_._-------- ._---------------------_._ .... -_ ..... _-------_._-_._._.,,\: ---_._--------::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::\ :::::::::::::: .

•••••••..••..•.•••••••••••••••••••••••.••••••••••••..••.••.••.••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••..•.••.•. •.•.• ~ •••.•.• 10- 11

15

16

17

18

SN Rmatched-f liter

Figuur 6.1:

19

(dB)

De bitfoutenkans van de DPDLSK-ontvanger bij aanwezigheid van shot-noise.

Uit bovenstaande figuur blijkt dat de simulatieresultaten (.) zeer goed overeenkomen met de analytisch bepaalde waarden voor de bitfoutenkans [4]. Over de betrouwbaarheid van de gesimuleerde bitfoutenkansen kan nog vermeld worden, dat deze hoger is dan de vermelde betrouwbaarheid in hoofdstuk 5 (pagina 33). Dit komt omdat de resultaten in Figuur 6.1 uit het gemiddelde van meerdere onafhankelijke simulaties bepaald zijn. De bitfoutenkansen die groter zijn dan 10-8 zijn bepaald uit het totaal aantal verzonden bits waarin 50 fouten zijn opgetreden (49). Voor het 90%-betrouwbaarheidsinterval geldt hiermee [15]: 0,8 PE < PE,sim < 1,2 PE.

-40-


6.2 Shot-noise en faseruis Er zijn ook simulaties uitgevoerd voor het geval er naast shot-noise ook faseruis in beschouwing wordt genomen. De lijnbreedte, Af, wordt uitgedrukt als percentage van de bitrate. De simulaties zijn uitgevoerd voor Af= 0%, 25%, 50%, 100% en 200% van de bitrate. Het IF-filter is een rechthoekig banddoorlaatfilter met een bandbreedte gelijk aan de 95%-bandbreedte die in hoofdstuk 5.2.2 is afgeleid (61). Bij de simulaties met faseruis wordt wederom de bitfoutenkans als functie van de signaal-ruis-verhouding bepaald, waarbij voor de signaal-ruis-verhouding van dezelfde definitie is uitgegaan als bij de simulatie met een matched-filter (SNRtrtalch«J-jiJIer (54». Hierdoor kunnen de verschillende simulatieresultaten eenvoudig met elkaar vergeleken worden. Het verband tussen de signaal-ruis-verhouding achter het gekozen IF-filter en een matched-filter is weergegeven in formule (63). De resultaten van de simulaties met faseruis zijn weergegeven in Figuur 6.2.

-41-


,------.r------.,,---------,..-------.--.-------.-------,. ~::::::::::::::::::::::: .. ::::::::::::::::: \:::::::::::::::::::.:::::::::::::::::::::::::~::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::

-n-3 PLJ

,

. ' - • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ~ • • • • • • • • • • • _ • • • • • • • • • • • • _ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •6• • • • __ • __ • • • • • • • • • • • • • • • __ • • • • • • • • • • •

...

:

...

::~:::::::::::::::::::::: .. ..:::::::::::::,::::::::::::::::: .......\

1CJ'

:::::::::::::::::::::\:::::::::::::::::::::::::::::::

,

······················:·i····

+~

\

............ .\

\~

:.,

;..

••••.•••••••• .1 ••••••••••.••••••••••••.••••••••••••••.. ~._

..............\ ...............\-.....

.

~

~

.

~......

~

.

..

,

.

. .

•

:lIf=O%

•

·lIf = 25%

:::::::::::::::\::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::\::.:::::::::::::::::..:::::::::::::::::::::::.\:::::::::::::::::::

\

....................\

~

~

(J)

~

lJ-5

':.

~:~~~~~~:~~:~ ::~:::::: y~~~~~~~~:~:~~~~~~ ~~~~~~:.::~~~~~~~~~~~~~ \~~~~~~~~~~~~~~:~~~ ~:.:::~~~~~::::~~~~~~~ ~~~:~~y~~~~~~~~~~~~ ·.4·················· '

~

C

~

~

.

~

~

~

:::::::::::::::::::::::::r:::::::::::::::::::::::··:::::::::::::,:::::::::::::::::::.. :::::::::::::::.::::::::,:::::::::: .....+...... :lIf = 50%

o

·····l·············· ,

'+-

~ tt .......................\~,

······l············· ,

••••••••••••••••.•••••••••••••

.

,"

...................................,......... .......................

.

'0-7

...................... .................•.... ...•..................

...................... ......................

lJ-8

20

22

.

;......... :

\........

.

~':,

..

~

.

. . . .

:

;

,,

: lIf =10096

......f1A...... : lIf =20096

.

;-

•

\.

\

!., .

\

;. ~

24

':.

':.

.

;

,,

L -_ _~_ _----'-

. ,

~

, ,

~

\

~.........>~\

......................................\

L..-_ _--'---_ _----'-_ _-----'

26

32

28

SNRmatChed-filter

Figuur 6.2:

.

(dB)

De bitfoutenkans van de DPOLSK-ontvanger bij aanwezigheid van shot-noise en faseruis.

Uit deze figuur blijkt dat er bij de simulaties met faseruis een aanzienlijke verslechtering van de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger optreedt. Van deze degradatie kan worden uitgerekend welk deel het gevolg is van de keuze van het IF-filter. Uit de uitdrukkingen voor de equivalente ruisbandbreedtes van het IF-filter en het matched-filter, kan voor de toename van het ruisvermogen bij gebruik van het IF-filter ten opzichte van het matched-filter, worden afgeleid:

-42-


N(BN =B9S )

(64)

N(BN =0,5 r,)

Naast de toename van het ruisvermogen vindt er ten gevolge van het gekozen IF-filter ook nog een afname van het signaalvermogen plaats. Als in formule (64) de waarden van Af worden ingevuld die bij de simulaties zijn gebruikt, levert dit voor de gevolgen van het IF-filter op de kwaliteit van de DPOLSKontvanger de volgende resultaten op: Tabel 6.1:

Af

(% van rb)

Degradatie van de signaal-ruis-verhouding ten gevolge van het gekozen IF-filter ten opzichte van een matched-filter.

toename ruisvermogen (dB)

afname signaalvermogen (dB)

totale degradatie (dB)

6,0

0,2

6,2

25

8,5

0,2

8,7

50

10,1

0,2

10,3

100

12,1

0,2

12,3

200

14,6

0,2

14,8

°

De simulatieresultaten kunnen voor de invloed van het IF-filter worden gecompenseerd. Hiertoe dienen de krommen uit Figuur 6.2 over het aantal dB's uit de laatste kolom van tabel 6.1 naar links verschoven te worden. Het verschil dat dan nog overblijft tussen de simulaties met een matched-filter en het gekozen IF-filter, is het gevolg van de invloed van de faseruis op de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger. In Figuur 6.3 zijn de bitfoutenkansen die voor de invloed van het lP-filter zijn gecompenseerd samen met de simulatieresultaten van de simulatie met het matched-filter (uit Figuur 6.1) weergegeven.

-43-


{)3 ::::::::::::::.'

û-4 ::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::....:::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::

•

:t>f=O%

•

:t>f = 25 %

......+ .-

eo ~

1-..._...._...._..._...._...._...+ ...-....-....-...-....-....-...-....+-...-....-...-....-....-....-...+ ...-....-....-...--i .. ~--+-- __- - - j

{)7 .--

__

---------_._-_

---_

...........................

~~_ _----"---

13

Figuur 6.3:

14

:t>f

=50%

•

: t>f = 100 %

...... ~.......

:t>f = 200 %

--

. matched-filter

.--.

-._.--.--_---_ .. _--_._-_ .....................................................................•. - - -- .. - --- ----------------_._--_.:\ -

-'-----_ _----'---

-'-----_ _...1J

'6

16

17

SNR matched-fllter

(dB)

18

De bitfoutenkansen die voor de invloed van het IF-jilter gecompenseerde zijn, samen met de bitfoutenkans horend bij een matched-jilter (figuur 6.1).

In deze figuur valt op dat de simulatieresultaten die voor de invloed van het IF-filter zijn gecompenseerd rond de resultaten van de simulaties met het matched-fIlter liggen. Zelfs voor toenemende waarden van de faseruis valt geen trend in de simulatieresultaten te ontdekken, die wijst op een verslechtering van de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger. Hieruit kan geconcludeerd worden, dat de faseruis zelf, afgezien van de invloed van het lP-filter, geen merkbare invloed heeft op de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger.

-44-


6.3 Gausse benadering Er is onderzocht of het eventueel mogelijk is de verwachte bitfoutenkans van de DPOLSK-ontvanger te berekenen, door uit te gaan van een Gausse verdeling van de beslissingsvariabele d. Hiertoe is door middel van simulaties de variantie en het gemiddelde van de beslissingsvariabele bepaald. Voor het gemiddelde van d kan door invullen van de uitdrukkingen voor de ruisvrije Stokes-parameters voor m = 1, eenvoudig worden afgeleid dat deze evenredig is aan het signaalvermogen. Voor de simulatie is gebruik gemaakt van vrijwel hetzelfde programma waarmee in hoofdstuk 6.1 ook de bitfoutenkans van de DPOLSK-ontvanger bepaald is. Er is in dit geval echter nadat de beslissingsvariabele d is bepaald, niet gekeken of er een fout is opgetreden, maar de berekende waarde van d wordt gebruikt om de variantie, ui, en het gemiddelde, d, te berekenen. (65)

(66) Bij de simulaties is voor het aantal waarden, N, van d waarover het gemiddelde en de variantie berekend zijn, lOS genomen. In tabel 6.2 zijn de resultaten weergegeven.

-45-


De variantie (ui) en het gemiddelde (a) van de beslissingsvariabele d voor een aantal waarden van de signaal-ruis-verhouding (SNRntIJlch«J-ji/ler).

Tabel 6.2:

I

SNRmlJ/cM/-jiJler

(dB)

I

aberekend

asin!

(ex Ps)

ui

15,05

1024

1023,9

1,482 lOS

16,07

1640,25

1640,2

2,930 lOS

16,99

2500

2500,1

5,410 lOS

17,82

3660,25

3660,1

9,457 lOS

18,57

5184

5184,0

1,577 1()6

19,27

7140,25

7140,4

2,530 106

19,91

9604

9603,9

3,921 1()6

21,07

16384

16384

8,653 1()6

22,10

26244

26244

1,743 107

23,01

40000

39999

3,264 107

Vanwege de veronderstelling dat d Gaussisch verdeeld is, kan de bitfoutenkans op de manier zoals beschreven in hoofdstuk 4.1 worden berekend. Invullen van de kansdichtheidsfunctie van d in (37) levert voor de bitfoutenkans de volgende uitdrukking: (67)

a

Door voor de theoretisch bepaalde waarde uit de tweede kolom van tabel 6.2 en voor ui de waarde uit de vierde kolom in formule (67) in te vullen, is met behulp van een numeriek integratie-algoritme de bitfoutenkans voor een Gausse benadering van de kansdichtheidsfunctie van de beslissingsvariabele d uitgerekend. In Figuur 6.4 zijn de op deze manier bepaalde bitfoutenkansen samen met de door middel van de simulaties uit hoofdstuk 6.1 bepaalde en de in [4] analytisch bepaalde bitfoutenkansen uitgezet.

-46-


XJ4 ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~:~~~~~~~ ~~~~~~:~~~~~:s ::~~:~~~:~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~:~~:~ :::~~~~~~~~~~:~~~ ~~~~:~~~~~~~~~~~ :~~~:~~~~:~~:~~~:

S\~·················K·································· • • • . • .• •.• • .• • • •.• • tJ5 ~~~~~~~~~:~~~~ ~:~~:~~~~~~~:~~ :~::~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~: :~~:~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~. ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~

~ • • • • ~: . . . . . . ; ~;~i:=~;:

"' IJ' •••••••••••••••.•••••••••••••••. ~...

..................r\....

.

I .• • • .• • • .• • • • • • • .• • • •.• • .• •. •. •. •.• • ~

~~

~ ~mm •· · • • • • • • mI'~\ • • • • · ·• •· •·• ····.········0················ rJ9

- - :Gausse benadering

••••••• :simulatie (matched-filter)

- - :analytisch [4]

l-::-:==::±-:c==::J==::±::-:,::\\:-::=-:±==+==-:::±:=:::::\::\=::I::===:l

~••••••••••••••••••••••••••••••••••.••••••••••~~•••••••••••••

IJ' ••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

. . . . . . . . •. . •. •••.. . .•.•. ••.•.•••.•• • .• • • • • '~• • • • • • •. .• • •. . .•. .• . .•. .···.····0 u-n

---'-----_-----'-I---->...-\_--'-----_-----'--__.L-_::::\-'------"

e--_----"---_------'_ _

15

16

17

18

13

20

22

23

(dB)

SNRmatChed-filter

Figuur 6.4:

21

De bitfoutenkans van de DPOLSK-ontvanger volgens de Gausse benadering.

In deze figuur valt op dat de bitfoutenkansen horend bij de Gausse benadering circa 3 dB naar rechts zijn verschoven ten opzichte van de simulatieresultaten. Hieruit blijkt dat de kansdichtheidsfunctie van de beslissingsvariabele d, niet door een Gausse verdeling benaderd mag worden. Als echter de bijbehorende waarde van de signaal-ruis-verhouding met een empirisch bepaalde factor wordt aangepast, kan vanwege het feit dat in het beschouwde interval voor de bitfoutenkans beide krommen nagenoeg evenwijdig lopen, de Gausse benadering toch gebruikt worden. Zoals uit Figuur 6.4 blijkt, zal deze factor waarmee de signaal-ruis-verhouding vermenigvuldigd moet worden ongeveer gelijk zijn aan 0,5.

-47-


6.4 Aanvullende simulaties Aanvullend op de simulaties zoals beschreven in de paragrafen 6.1 en 6.2, zijn ook simulaties uitgevoerd waarbij is afgeweken van de gemaakte veronderstellingen dat al het ontvangen vermogen in de x-tak zit en er alleen maar "l"_en worden verzonden. Er is een simulatie uitgevoerd waarbij het ontvangen vermogen gelijk is verdeeld over de x- en y-tak van de ontvanger, terwijl er alleen maar "lil-en worden verzonden. En er is een simulatie uitgevoerd voor het geval er afwisselend "1 "-en en "Dil-en (0101010...) worden verzonden, waarbij al het ontvangen signaalvermogen of in de x-tak (" 1" verzonden) of in de y-tak (liD" verzonden) van de DPOLSK-ontvanger zit. Beide simulaties zijn uitgevoerd voor het geval er alleen maar shot-noise aanwezig is. Voor het IF-filter is een matched-filter genomen. In Figuur 6.5 zijn de resultaten van deze simulaties samen met de in hoofdstuk 6.1 verkregen resul taten weergegeven.

-48-


10 -2

:.::::::::: ::::::::::: :::::::::::

·FSL? • • • • • • • • • • • ••• •. . . . 10- 3

. . . . . . . ?SQ.. ·.ii .i. . ···i.· . ·•··•·. ~

!

10-4

?~.··

(J)

c

~

10- 5

C +-' =:l

~

::: :::::::: ::::::::::: ::::::: cc::

::.:::::.::

~::::~:~~:~

Q)

10 -6

r.:-:--:-:-:-..:-,-.-..=-:

r..-=-: ••-,--, ••c:-.:-,•• -=-:.:c:-.

•••• H

: vermogen verdeeld over x· en y-tak

:::::::::

::::::::::~:::::::::::::::

:~~~:::::::

\::::::~:::::::::~::~:

--+-

-,- ,.\ ,.". ~":~~.:",.

r.-.:-,.. -=-:::-,--, ..,."...,...,. .. -,-j.-,--,.:c:-:,...,.: : -=-:::-,--,::c:-.,-j.-=-: ..

-,-j.

:,."..::,-+:,...,.::-=-:::-,--,::,."..:-=-:::..,...,.-,1: : :

: shot-noise simulatie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .•. .•. •.•.•.•.•.·················.·.·.·.·.·.·.·.o\· . ... . .. . ..

.. _.....

- - _.

10-8

__

~.

12

Figuur 6.5:

L

13

_

.. .... ,._..... ..

-'----_ _----'-

14 15 SN Rmatched-filter

: D1D1D1D1....-patroon

::-

- :. -..

"\

...

\

..

.

.

Uit figuur 6.1

.-

.. .. . _._ ..

.L..-_ _----'--_ _----'-'

16 (dB)

17

18

Aanvullende simulatieresultaten (alleen voor shot-noise) samen met de resultaten uit figuur 6.1.

Uit bovenstaande figuur blijkt, dat de aanvullende simulatieresultaten samenvallen met de oorspronkelijke simulatieresultaten. Hieruit kan geconcludeerd worden, dat het gerechtvaardigd is, gebruik te maken van de veronderstellingen dat al het ontvangen vermogen in de x-tak zit en er alleen maar "1"-en worden verzonden.

-49-

Hoofdstuk 7: Conclusies en aanbevelingen

7 Conclusies en aanbevelingen Bij het onderzoek n8aar de invloed van faseruis en shot-noise op de DPOLSK-ontvanger is het niet gelukt om uitgaande van de kansdichtheidsfuncties van de ingangsvariabelen, een eenvoudige analytische uitdrukking af te leiden voor de bitfoutenkans van de ontvanger. Ook is het niet mogelijk gebleken om de invloed van faseruis op de ontvanger te onderzoeken door uit te gaan van de methode waarmee in [4] de invloed van de shot-noise op de DPOLSK-ontvanger is beschreven. De gebruikte simulatiemethode ("Monte Carlo") biedt ten opzichte van een volledige analytische beschrijving van de DPOLSK-ontvanger, waarbij voor de bitfoutenkans een uitdrukking kan worden afgeleid die moeilijk numeriek oplosbaar is, het voordeel dat op een relatief eenvoudige manier toch de invloed van shot-noise en faseruis op de kwaliteit van de DPOLSK-ontvanger onderzocht kan worden. De resultaten van de simulaties waarbij alleen shot-noise in beschouwing is genomen, komen zeer goed overeen met de in [4] analytisch bepaalde bitfoutenkansen. Hieruit kan geconcludeerd worden, dat de gebruikte simulatiemethode een goede beschrijving van de DPOLSK-ontvanger geeft. Bij de simulaties waarbij naast shot-noise ook faseruis in beschouwing is genomen, valt op dat er een aanzienlijke verslechtering optreedt in de kwaliteit van de ontvanger. Als echter naar het aandeel van de invloed van het gekozen IF-filter wordt gekeken, blijkt dat dit filter vrijwel volledig verantwoordelijk is voor de optredende degradatie. Hieruit blijkt dat de DPOLSK-ontvanger, afgezien van de invloed van het IF-filter, in hoge mate ongevoelig is voor faseruis. Uit de overeenkomst van de resultaten van de simulaties waarbij is afgeweken van de uitgangspunten dat al het ontvangen vermogen in de x-tak van de ontvanger zit en er alleen maar lil-en worden verzonden, met de simulaties waarbij wel van deze veronderstellingen is uitgegaan, blijkt dat deze uitgangspunten gebruikt mogen worden. 11

Bij de definitie van het IF-filter is geëist dat dit filter 95 % van het signaalvermogen moet doorlaten. Dit percentage is willekeurig gekozen. Bij de implementatie van een DPOLSKontvanger is het aan te raden de bandbreedte van het IF-filter zodanig te kiezen, dat de signaal-ruis-verhouding achter het filter maximaal is. Uit het onderzoek blijkt dat een Gausse benadering voor de kansdichtheidsfunctie van de beslissingsvariabele niet zomaar toegestaan is. Als echter de signaal-ruis-verhouding met een experimenteel bepaalde correctiefactor wordt aangepast, kan er wel gebruik worden gemaakt van een Gausse benadering. Aan de hand van deze Gausse benadering kan een post-detectiefilter worden ontworpen. Met een dergelijk filter moet het mogelijk zijn een deel van de extra shot-noise die door het IF-filter wordt doorgelaten, weg te filteren. -50-

Literatuurlijst

Literatuurlijst 1.

Dietrieh, E. et al. HETERODYNE TRANSMISSION OF A 560 MbitJs. OPTICAL SIGNAL BY MEANS OF POLARISATION SHIFT KEYING. Electronics Letters, Vol. 23(1987), No. 8, p. 421-422.

2.

Betti, S. et al. STATE OF POLARISATION AND PHASE NOISE INDEPENDANT COHERENT OPTICAL TRANSMISSION SYSTEM BASED ON STOKES PARAMETER DETECTION. Electronics Letters, Vol. 24(1988), No. 23, p. 1460-1461.

3.

Betti, S. et al. COHERENT OPTICAL SYSTEM BASED ON POLARISATION MODULATION AND STOKES PARAMETERS DIFFERENTlAL DETECTION TAILORED FOR LAN APPLICATION. Microwave & Optical Technology Letters, Vol. 2 (1989), No.5, p. 188-190.

4.

Benedetto, S. et al. THEORY OF POLARISATION SHIFT KEYING MODULATION. submitted to the IEEE Transactions on Communications in sept. 1989.

5.

Bom, M. & Wolf, E. PRINCIPLES OF OPTICS. Pergamon Press LTD, Oxford, 1965.

6.

Hecht, E. & zajac, A. OPTICS Addison-Wesley publishing company, Inc., Massachusetts, 1974.

7.

Cimini, L.J. et al. PRESERVATION OF POLARISATION ORTHOGONALITY THROUGH A LINEAR OPTICAL SYSTEM. Electronics Letters, Vol. 23 (1988), No.25, p. 1365-1366.

8.

Betti, S. et al. DICHROISM EFFECT ON POLARISATION-MODULATED OPTICAL SYSTEMS USING STOKES PARAMETERS COHERENT DETECTION. Joumal of Lightwave Technology, Vol. 8 (1990), No.lI, p. 1762-1768.

9.

Franz, J. OPTISCHE ÜBERTRAGUNGSSYTEME MIT ÜBERLAGERUNGSEMPFANG. -51-

Literatuurlijst

deel 17 uit de reeks Nachrichtentechnik. Springer-Verlag, Berlin, 1988. 10.

Tol, J.F.L. METEN AAN EN MET 1550nm LASERS. Afstudeerverslag, Faculteit der Elektrotechniek van de Technische Universiteit Eindhoven, Aug. 1989.

11.

Shanmugam, K. Sam. DIGITAL AND ANALOG COMMUNICATION SYSTEMS. John Wiley & Sons, Inc., New Vork, 1985.

12.

Papoulis, A. PROBABILITY, RANDOM VARIABLES AND STOCHASTIC PROCESSES. McGraw-Hill, Inc., New Vork, 1965.

13.

Helstrom, C.W. PROBABILITY AND STOCHASTIC PROCESSES FOR ENGINEERS. Macmillan Publishing company, New Vork, 1984.

14.

Davenport, W.B. jr. & Root, W.L. AN INTRODUCTION TO THE THEORY OF RANDOM SIGNALS AND NOISE. IEEE Press, Inc., New Vork, 1987.

15.

Jeruchim, M.C. TECHNIQUES FOR ESTIMATING THE BIT ERROR RATE IN THE SIMULATION OF DIGITAL COMMUNICATION SYSTEMS. IEEE Joumal on Selected Areas in Communications, Vol. 1 (1984), No. 1, p. 153-170.

16.

Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A. & Vetterling, W.T. NUMERICAL RECIPES IN PASCAL, THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

17.

Etten, W., van SIGNALEN 11, DEEL A: STOCHASTISCHE SIGNALEN. Diktaat Technische Universiteit Eindhoven, Nr. 5632.

18.

Krom, W.H.C., de OPTICAL COHERENT PHASE DIVERSITY SYSTEMS. Proefschrift, Faculteit der Elektrotechniek van de Technische Universiteit Eindhoven, 1992.

-52-

Literatuurlijst

19.

Benedetto, S. et al. PERFORMANCE EVALUATION OF POLARISATION SHIFT MODULATION SYSTEMS. Electronics Letters, Vol. 26 (1990), NoA, p. 256-258.

KEYING

20.

Benedetto, S. et al. PERFORMANCE EVALUATION OF POLARISATION SHIFT KEYING MODULATION SYSTEMS. Proceeding OFC'90, San Francisco, jan. 1990, p. 134-135.

21.

Libbrecht, F. STUDIE EN SYSTEEMSIMULATIE VAN OPTISCHE INFORMATIETRANSMISSIE. Proefschrift, Faculteit van de Toegepaste Wetenschappen van de Rijksuniversiteit te Gent, 1990.

-53-

Bijlage A

Bijlage A In deze bijlage wordt bewezen, dat als de Jones-matrix in (12) aan de gestelde voorwaarde voldoet, geldt dat de orthogonaliteit behouden blijft. (12) •

met

q12 = -q21

en

•

q22 = qll

Veronderstel twee orthogonale vectoren, en d. Voor deze vectoren geldt:

frl.·

(A.l)

=0

Als Q aan de gestelde voorwaarde voldoet moet er gelden: (A.2) Formule (A.2) kan op de volgende manier herschreven worden: (A.3)

Met het gegeven dat, en d twee orthogonale vectoren zijn kan (A.3) tot de volgende vorm gereduceerd worden: (AA)

met I de eenheidsmatrix en keen scalar. Invullen van de coëfficiënten van Q in (AA) levert:

-54-

Bijlage A

[qn q21

q,; ] =kl

[qn q,; +q21q,;

MI: +q21 q~ ]

1 [q,: q12 q22 q21

• • q12qll +q22q21

• q22

q12q12 +q22q22

=k

[~ ~l

(A.5)

Uit (A.5) kunnen de volgende vergelijkingen voor de elementen uit Q worden afgeleid: qll ql; + q21 ql; = q12ql; +q22q2;

(= k)

(A.6)

Door substitutie van de voorwaarden, q21=-q12· en q22=qll·' die aan (12) zijn gesteld, in (A.6), kan eenvoudig worden aangetoond dat als de elementen van Q aan deze voorwaarden voldoen, aan de gestelde eis wordt voldaan. (A.7)

QED.

-55-

Bijlage B

Bijlage B In deze bijlage zullen de tussenstappen worden gegeven, die van formule (10) via (11) tot formule (13) leiden. Het aan de zendzijde verzonden DPOLSK-signaal kan als volgt beschreven worden [4]: -v,(t) = A ,ei"'"

f[ 1;-0

mI; ] UT (t-kT) (I-mI;)

(10)

Het ontvangen signaal kan beschreven worden door: (11)

waarbij Q de Jones-matrix is die de invloed van de glasvezel op de polarisatietoestand van het verzonden signaal weergeeft. (I 2)

met

Meer in het algemeen kan het ontvangen signaal ook op de volgende manier worden geschreven [3]:

(13)

Aan de hand van de Jones-matrix waarmee de overdracht van de glasvezel wordt beschreven, wordt aangetoond hoe uitgaande van het verzonden signaal (10) het ontvangen signaal als (13) kan worden geschreven. Door een looptijdverschil tussen de twee orthogonale componenten in de glasvezel, ontstaat er een faseverschil tussen de x- en y-component van het DPOLSK-signaal. Door middel van een Jones-matrïx kan dit faseverschil ö als volgt worden beschreven:

-56-

Bijlage B

(B.l)

Het orthogonale assenstelsel (x- en y-as) van de ontvanger zal in het algemeen niet samenvallen met het assenstelsel aan de zendzijde. De rotatie a van het assenstelsel van de ontvanger ten opzichte van dat van de zender, kan door de volgende rotatie-matrix in rekening worden gebracht: R

=

[~sa

(B.2)

-sina]

cosa

sma

De Jones-matrix van de totale overdracht van de zender naar de ontvanger kan hiermee als volgt worden geschreven:

[cos~smaei

6

Q = Q'R =

6

-sina ei

(B.3)

]

cosa

waarbij Q' gedefinieerd is voor het assenstelsel aan de ontvangkant. Uitgaande van de beschrijving van het verzonden signaal volgens (10) kan er met m =1 voor de Jones-vectoren worden geschreven: verzonden volgens (10): (BA)

ontvangen volgens (11): en voor m=O: verzonden volgens (10) (B.5) 6

ontvangen volgens (11):

- A,sina ei

]

[ A,cosa

_

[

-

A,sina.] == [

A,cosa e -J6

A,sina -

]

A,cosa e -j6

Het ontvangen DPOLSK-signaal kan in de vorm van formule (13) geschreven worden door de volgende substituties in de uitdrukkingen voor het ontvangen signaal voor m = 1 en m=O uit te voeren: -57-

Bijlage B

Jp

Sx

=A,cosa (B.6)

JPSy

=A,sina

ó={3

-58-

t:7:l

-

c::: ~

(J'Q ~

(1 ••

= .... ~

r::r

0

~ ~

::r' ~

"0"' "1"

a ~

I

VI \Cl

-< ~

I

= Q..

Lacale Laser

t,,"..

~ L

Cl

I P

~

0

~

ti.)

Figuur C.l:

H~t voll~dig~ bloksch~ma van

ik

DPOLSK-ontvang~r.

~ I

0

.= ... -<" ~

=

(J'Q

... ~

tl:l

c.:::

i

(t

n

Bijlage D

Bijlage D: Voorbeeld van het simulatieprogramma In deze bijlage wordt de programmatekst van een simulatieprogramma gegeven. Het simulatieprogramma is in de programmeertaal Turbo Pascal versie 5.5 geschreven. Het onderstaande voorbeeld betreft een simulatie waarbij alleen shot-noise in beschouwing wordt genomen, al het ontvangen vermogen in de x-tak zit en alleen maar "1 "-en worden verzonden.

program DPOLSK_receiver (input,output); uses CRT; CONST BoverR Nmax Abegin dBfac

= 0;

=

{ Linewidth(B)-Bitrate(R) ratio}

lE+012;

= 4.472;

=

1.05925;

{SQRT(lOA(dBstep/lO»}

VAR Gasdevlset : integer; GasdevGset : double; xC,xs,yc,ys,phi,phiT,cphi,sphi,sl ,sIT,s2,s2T,s3,s3T,D : double; Nerrors : integer; A,N,SNR,PE,SigmaPHI : double; data : text;

FUNCTION gasdev : double; VAR : double; fac,r, vI,v2 BEGIN IF Gasdevlset = 0 THEN BEGIN REPEAT vI : = 2.0*random-1.0; v2 : = 2.0*random-1.0; r : = sqr(v1) +sqr(v2); UNTIL (r < 1.0) AND (r > 0.0); fac : = sqrt(-2.0*ln(r)/r); GasdevGset : = vI *fac; gasdev : = v2*fac;

-60-

Bijlage D

GasdevIset : = I END ELSE BEGIN GasdevIset : = 0; gasdev : = GasdevGset; END END; BEGIN clrscr; randomize; GasdevIset : = 0; { initializes routine Gasdev } ASSIGN(data, 'C:\datafile.dat');REWRITE(data); writeln(data,' Number of Bits: Errors: A: SNR(dB):

BER: B/R:');

writeln(data); writeln('Number of Bits:

Errors:

A:

SNR (dB):

BER: B/R:');

A : = Abegin/dBfac; N:= 0; SigmaPHI : = 2*pi*BoverR; WHILE (N < Nmax) do BEGIN A : = dBfac*A; slT : = 0.5*SQR(A); s2T : = 0; s3T : = 0; phiT : = 0; phi : = 0; N:= 0; Nerrors : = 0; WHILE «N < Nmax) AND (Nerrors < 50» do BEGIN N := N+I; xc : = gasdev; xs : = gasdev; yc : = gasdev; ys : = gasdev; phi : = SigmaPHI*gasdev + phiT; cphi : = COS(Phi); sphi : = SIN(Phi); sI : = A*(0.5*A + xc*cphi + xs*sphi) + 0.5*(xc*xc + xs*xs - yc*yc - ys*ys); s2 : = A*(yc*cphi + ys*sphi) + xc*yc + xs*ys; s3 : = A*(ys*cphi - yc*sphi) + xc*ys - xs*yc; D : = sI *slT + s2*s2T + s3*s3T; -61-

rI

, 'I .~

.

ij

1

.'

Bijlage D

IF D < 0 THEN Nerrors : = Nerrors + I; slT := sI; s2T : = s2; s3T : = s3; phiT : = phi; END; { While Nerrors < 10 } SNR : = 1O*ln(O.5*sqr(A»/ln(lO); PE : = Nerrors/N; , ,PE: 12,BoverR: 10); writeln(N: 14:0,Nerrors:9,A: 1O:2,SNR: 10: 1,' ,,PE: 12,BoverR: 10); writeln(data,N: 18:0,Nerrors:9,A: IO:3,SNR:9: 1,' END; { While number of bits (N) < Nmax } CLOSE(data); END.

-62-

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit der Elektrotechniek vakgroep Telecommunicatie. Een optische coherente

Recommend Documents