TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEI\ Faculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 13 april 2011, 9.00 12.00 uur. Ceef op bet eerste ye! met uitwerkingen aan welk programma (Schakeiprogramma of TU/e-minor) u volgt. Het tentamen bestaat uit 12 opgaven. De antwoorden en uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en over zichtelijk opgeschreven te worden. U mag géén gebruik maken van een laptop, een grafische of programmeerbare rekenma chine, een formulekaart, boeken en ander schriftelijk materiaal. U mag een eenvoudige rekenmachine alleen ter controle gebruiken.
1. Beschouw de functie
f gegeven
door f(x)
=
4
x2 +
Bepaal de plaats en de aard van de extrema van de functie I. Ceef bet dornein D(f) en bet bereik R f) van de functie f Schets de grafiek van f. 2. Differentieer de u tdrukking arctan V’x2 Notatie: arctan = tant 3. Bepaal de ilmiet urn x—’I
—
1 naar x en vereenvoudig het resultaat.
—2 x x—1 —
4. Bepaal alle oplossingen x van de ongelijkheid x > 5. Bepaa! alle oplossingen z van de vergelijking cosfr) 6. De functie
f
is gegeven door f(x)
(a) Laat zien dat de functie (b) Bepaal de inverse 7.
f~
f
I
—
<~
1—e~
, ,
=
cos2(x)
—
sin2Cr).
x
~
eenduidig (one-to-one) is.
van de functie
f.
(a) Bepaal alle exacte x waarvoor geldt dat sin(arctan(x))
=
(b) Vereenvoudig de uitdrukking sin(arctan(x)). Notatie: arctan
tan
zie volgende pagina
Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 13 april 2011, 9.00 12.00 uur
8. Beschouw de functie
f
met
1
f(x)
voor z > 0.
— —
(a) Geef de linearisatie van de functie (b) Geef een benadering voor
~/_.
f
rond het punt a
=
4.
met behulp van de linearisatie uit onderdeel
(a). (c) Is de benadering uit onderdeel (b) groter dan 9. Beschouw de functies
f
met f(x)
—
(a) Geef het Taylorpolynoom van
~
?
ln(1 + x) en g met g(x)
f
=
In(1 + x2).
van de orde 4 rond het punt a
=
0.
(b) Geef het Taylorpolynoom van g van de orde 4 rond het punt a
=
0.
tan(x)
‘~
10. Beschouw de integraal J~
=
1 .
Jo
(tan2(x) + 3)2
cos2(x)
dx
(a) Herschrijf de integraal 1o met behuip van de substitutie
u
=
tan2(x)
+ 3.
(b) Bereken de integraal 1o~ 11. Bereken de integraal 12. L~t zien dat
f
f
V9x2
x2 ln~(x) dx. + x8 dx >
zonder de integraal zeif uit te rekenen.
zie volgende pagina
Tentarnen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 13 april 2011, 9.00 12.00 uur Voor de onderdelen van de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave
1: 2: 3: 4: 5: 6a:
3 3 3 3 3 2
punten punten punten punten punten punten
Opgave Opgave Opgave
6b: 7a: 7b: 8a: 8b: 8c:
2 2 2 2 1 1
punten punten punten punten punt punt
Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave
9a: 9b: lOa: lob: 11: 12:
2 2 2 i 3 3
punten punten punten punt punten punten
Het cijfer voor het tentamen wordt bepaald door het totaal der behaalde punten van dit gedeelte door 4 te delen en tot een geheel getal af te ronden.
EINDHOVEN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Mathematics and Computer Science
Examination Basic Mathematics, 2DL03, Wednesday 13 April 2011, 9.00 12.00 uur. Write clearly the program (Pre-master program or TU e-minor) you are following on the first page of your work. The exam consists of 12 problems. The answers and the computations should be written out well-formulated and wellorganized. It is not allowed to use a laptop, graphical or programmable calculator, chart with for mulas, a book or other written material. You may use a simple calculator simply and solely to check your answers.
1. The function
f
is defined by
f c~
x2 +
4
Locate and classify the extreme values of the function f. Find the domain D(f) and the range RU) of the function Sketch the graph of f. 2. Differentiate the expression arctan(vt’x2 result. Notation; arctan = tant.
1) with respect to x and simplify the
—
—2 x x—1 —
3. Determine the limit lim x—.i
4. Find all x which satisfy the inequality x> 5. Find all solutions x of the equation cos(x) 6. The functionf is defined by f(x)— (a) Show that the function (b) Find the inverse 7.
f
f.
‘
f
{
X
x+1 =
~
cos2(x) 1
—
sin2(x)
~
is one-to-one.
of the function
f.
(a) Find all exact x that satisfy sin(arctan(.
))
=
(b) Simplify the expression sin(arctan(x)). Notation; arctan
=
tan’ see next page
Examination Basic Mathematics, 2DL03, Wednesday 13 April 2011, 9.00 12.00 uur
8. Consider the function
f
which is defined by f(x)
f
a) Find the linearization of the function b) Find an approximation for
for all x> 0.
=
about the point a
f
4.
using the linearization from part (a
c Is the approximation from part (b) greater than 9. Consider the functions g(x) = ln(1 + x2).
=
392
and g which are defined by f(x)
(a) Determine the Taylor polynomial for
f
=
ln(1 + x) and by
of the order 4 about a
=
0.
(b) Determine the Taylor polynomial for g of the order 4 about a
=
0.
‘~
10. Consider the integral I~
=
I
Jo
tan(x)
1 .
(tan2(x) +
3)2
cos2(x)
dx
(a) Transform the integral k with the aid of the substitution u
=
tan2(x
3.
(b) Compute the integral J~. 11. Compute the integral 12. Show that
V9x2
f
x2 1n2(x) dx.
+ x8 dx>
is true without computing the integral itself.
see next page
Examination Basic Mathematics, 2DL03, Wednesday 13 April 2011, 9.00 12.00 uur The division of the points over the problems is as follows:
Problem Problem Problem Problem Problem Problem
1: 2: 3: 4: 5: 6a:
3 3 3 3 3 2
points points points points points points
Problem Problem Problem
6h: 7a: 7b: 8a: 8b: 8c:
2 2 2 2 1 1
points points points points point point
Problem Problem Problem Problem Problem
9a: 9b: lOa: lob: 11: 12:
2 2 2 1 3 3
points points points point points points
The mark for the examination is obtained by dividing the total of scored points by 4 and rounding off to an integer.
Taylor Polynomials Function
Taylor polynomial plus 0-term 1
+
± Zn + 72!
cos(x)
1_~x2+~x4+...+\ I 4 (2n)!
sin(x)
Z—~x~+~x~++
(—l)~x2~ (21)’
+O(x2~2)
1 1+x 12 1 x— ~x +ax3+.+
ln(1+x)
‘
ii+
x’~1 +O(x”42)
1
1 1 + x2 arctan(x)
+
?‘
I
x+ i(aNI
IIaNI
\1J
~2)
\nJ
1+1
(1÷x)a
“ 1~’~ (2n+1) “
xn1+O(xh1+j
• All Taylor polynomials are polynomials around the point 0. • The binomial coefficients are defined by (a~
a
k)
1
IaN
I
~o)
1
(a—i)~ (a 2
2 3
a—
k—i)) k
k=i,2,3,...
Integral Table
f g(x)dx
g(x)
0
—1
xfl+I ii+
1
a,
in (lxi)
f(x)
ln(If(x)I)
a > 0, a ~ 1
a’ ln(a)
cos(x)
sin(x)
—
cos(x)
sin(x)
sin1(x)
tan (x)
cos2(x)
tan(x)
—
in(i cos(x)i)
mU tan(~)i) mU tan(~ + ~)
sin(x) cos(x)
eal~ sin(bx), a2 + b2 > 0 e”’ cos(bx), a2 + b2 > 0 >0
>0 a > 0 >0 —
x2. a> 0
Va2 + x2, a> 0 —
a2,a> 0
~
(asin(bx)
~
(acos(bx) + bsin(bx))
—
bcos(bx))
1 arctan(~)
arcsin(~) ln(x + ‘./x2 + a2)
mix + ~/x2 ~ Va~
—
—
a2)
x2 + ~ arcsin(~)
~ Va2 + x2 + ~ ln(x + \/x2 + a2) ~Vx2_a2+c ln(~x+v’~ _a2~)
sinh(x)
cosh(x)
cosh(x)
sinh(x)
tanh x)
ln(cosh(z))
Remarks All parameters are real numbers. The constants of integration have been omitted.
