© Typotex Kiadó, 2010
Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek
15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban . . 15.2. Elméleti háttér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3. Véges dierencia eljárások II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1. A Poissonegyenlet approximációja dierenciasémával 15.3.2. A diszkrét maximumelv . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.3. A diszkrét Poissonegyenlet megoldása . . . . . . . . 15.3.4. Harmadfajú peremfeltételek . . . . . . . . . . . . . . 15.3.5. A Poissonegyenlet általános tartományban . . . . . 15.4. A többrácsos módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1. Az alapötlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.2. A simító iterációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.3. Alapvet® többrácsos algoritmusok . . . . . . . . . . . 15.4.4. A többrácsos iterációk m¶velet- és tárigénye . . . . . 15.4.5. A kétrácsos módszer konvergenciája . . . . . . . . . . 15.4.6. Az egydimenziós eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.7. A simítási és az approximációs tulajdonság . . . . . . 15.4.8. A többrácsos módszer konvergenciája . . . . . . . . . 15.4.9. Nemlineáris egyenletek megoldása . . . . . . . . . . . 15.4.10. Befejez® megjegyzések . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5. Dierencia-approximációk, kiegészítések . . . . . . . . . . . 15.5.1. A diszkrét Green-féle függvény becslése . . . . . . . 15.5.2. Változó együtthatójú dierenciáloperátorok . . . . . 15.5.3. Diszkrét beágyazási tételek . . . . . . . . . . . . . . 15.5.4. Dierenciasémák L2 -beli jobboldal esetén . . . . . . . 15.5.5. Dirac-féle δ -függvényt tartalmazó jobboldal . . . . . 15.6. Véges térfogat módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.2. A diszkretizáció levezetése . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.3. A véges térfogat módszer háromszögek esetén . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7 9 14 14 18 30 35 41 47 47 49 52 57 59 61 68 77 81 84 85 85 90 95 98 105 110 110 112 119
5
www.interkonyv.hu
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó, 2010 6
TARTALOMJEGYZÉK 15.6.4. A véges térfogat módszer mátrixai . . . . . . . . . . . . 15.6.5. Speciális kérdések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7. A végeselem módszer II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7.2. A peremfeltételekr®l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7.3. A variációs feladat megoldhatósága . . . . . . . . . . . 15.7.4. Véges elemek 2- és 3-dimenziós feladatokban . . . . . . 15.7.5. A végeselem módszer pontossága . . . . . . . . . . . . 15.7.6. Numerikus integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7.7. Algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7.8. Modellfeladat végeselem megoldása . . . . . . . . . . . 15.7.9. Végeselem és véges térfogat módszer . . . . . . . . . . 15.7.10. Az izoparametrikus módszer . . . . . . . . . . . . . . 15.7.11. Rácsszerkesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8. A lineáris rendszerek megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8.1. Beágyazott végeselem terek . . . . . . . . . . . . . . . 15.8.2. A végeselem alapú többrácsos módszer konvergenciája . 15.8.3. A többrácsos módszer a szimmetrikus esetben . . . . . 15.8.4. Tartomány dekompozíciós és párhuzamos módszerek, bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8.5. Alstruktúra-eljárás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8.6. Dirichlet tartomány dekompozíciós módszer . . . . . . 15.9. Elliptikus sajátérték feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.9.1. Elméleti háttér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.9.2. A diszkrét Laplaceoperátor sajátérték feladata . . . . 15.9.3. Gradiens módszerek az általánosított sajátérték feladat megoldására . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.9.4. A RayleighRitz- és a Lánczosmódszer . . . . . . . . . 15.10.Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.11.Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16. Parabolikus egyenletek
16.1. Parabolikus egyenletek eredete . . . . . . . . . . 16.1.1. Környezetvédelmi balesetek . . . . . . . 16.1.2. A BlackScholes egyenlet . . . . . . . . . 16.1.3. A h®vezetési egyenlet . . . . . . . . . . . 16.2. Elméleti tudnivalók . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3. Néhány hasznos fogás . . . . . . . . . . . . . . . 16.4. A súlyozott dierenciaséma . . . . . . . . . . . 16.4.1. A súlyozott dierenciaséma . . . . . . . 16.4.2. A súlyozott dierenciaséma képlethibája
www.interkonyv.hu
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
123 127 128 128 133 136 140 149 158 164 167 174 178 182 186 187 190 194 200 200 205 215 216 220 225 235 238 239
257
257 257 258 259 261 266 269 269 273
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó, 2010 TARTALOMJEGYZÉK
7
16.4.3. A súlyozott dierenciaséma stabilitása a szimmetrikus esetben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.4. A súlyozott dierenciaséma konvergenciája . . . . . . 16.4.5. Más peremfeltételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.6. A végeselem séma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.7. Pozitivitástartás, maximumelv, konvergencia a maximumnormában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.8. A tömegmátrix kiszámításáról . . . . . . . . . . . . . 16.4.9. Vizsgálatok Fouriermódszer segítségével . . . . . . . 16.4.10. Stabilitás a nemszimmetrikus esetben . . . . . . . . 16.4.11.További súlyozott dierenciasémák . . . . . . . . . . 16.5. Változó együtthatójú egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5.1. Egydimenziós h®vezetési egyenlet helyt®l függ® együtthatóval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5.2. Id®t®l is függ® együttható esete . . . . . . . . . . . . 16.5.3. A h®vezetési egyenlet hengerszimmetriában . . . . . . 16.5.4. A h®vezetési egyenlet gömbszimmetriában . . . . . . 16.6. Nemlineáris parabolikus egyenletek . . . . . . . . . . . . . . 16.7. Többdimenziós parabolikus egyenletek . . . . . . . . . . . . 16.7.1. A kétdimenziós eset : PeacemanRachford módszer . 16.7.2. A PeacemanRachford módszer mint simító eljárás . 16.7.3. Kett®nél több dimenziós parabolikus egyenletek megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.4. Többdimenziós egyenletek többrácsos megoldása . . . 16.8. Variációs eljárás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.8.1. Szemidiszkretizáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.8.2. Teljes diszkretizáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.9. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.10.Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.A NavierStokes egyenletek
. . . .
275 284 285 293
. . . . . .
297 305 306 314 316 317
. . . . . . . .
317 320 322 328 333 341 343 351
. . . . . . .
354 359 361 361 369 371 372
383
17.1. Bevezetés: zikai háttér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 17.2. Numerikus problémák, az áramfüggvény . . . . . . . . . . . . 389 17.2.1. Az áramfüggvény peremértékei és létezése . . . . . . . 391 17.2.2. Az ω − ψ -rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 17.2.3. ω és p peremfeltételei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 17.3. Lassú áramlások számítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 17.4. A véges térfogat módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 17.4.1. A központi dierenciaséma és az upwind-séma . . . . . 407 17.4.2. Egydimenziós konvekció-diúzió egyenlet Frjazinovapproximációja415
www.interkonyv.hu
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó, 2010 8
TARTALOMJEGYZÉK 17.4.3. A kétdimenziós NavierStokes rendszer Frjazinovapproximációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.4. A nemlineáris egyenletek numerikus megoldása . . . . 17.4.5. Nyeregpont feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5. Végeselem megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1. A variációs megfogalmazás . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.2. A vegyes variációs feladat és megoldása . . . . . . . . 17.5.3. A vegyes végeselem megoldás tulajdonságai . . . . . 17.5.4. A diszkrét inf-sup-feltétel . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.5. Megjegyzések a végeselem módszer numerikus megvalósításához . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.Hiperbolikus egyenletek
18.1. Hiperbolikus egyenletek alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . 18.1.1. Hiperbolikus egyenletekkel kapcsolatos feladatok . . . 18.1.2. További hiperbolikus feladatok . . . . . . . . . . . . 18.2. Másodrend¶ egyenletek : elméleti tudnivalók . . . . . . . . . 18.2.1. Az általános másodrend¶ hiperbolikus egyenlet . . . 18.2.2. Az energiamegmaradási tétel . . . . . . . . . . . . . . 18.2.3. Megoldási képlet konstans együtthatók esetén . . . . 18.3. A hullámegyenlet approximációja . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.1. Dierencia-approximáció . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.2. Végeselem approximáció, és a szemidiszkretizáció pontossága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4. Dierenciasémák stabilitása, konvergenciája . . . . . . . . . 18.4.1. Friedrichs-féle elv és CourantFriedrichsLewy feltétel 18.4.2. A Neumann-féle stabilitási vizsgálat : szükséges stabilitási feltételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4.3. Elégséges stabilitási feltételek . . . . . . . . . . . . . 18.4.4. Példák a Neumann-féle stabilitási vizsgálatra . . . . . 18.4.5. Háromréteges sémák Szamarszkij-féle stabilitási vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4.6. Konvergencia vizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5. Másodrend¶ egyenletek numerikus megoldása . . . . . . . . 18.5.1. Csillapított rezgések számítása, a távíróegyenlet . . . 18.5.2. Szuperpozíciós módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.3. Háromréteges sémák megoldása . . . . . . . . . . . . 18.6. Els®rend¶ hiperbolikus egyenletek . . . . . . . . . . . . . . .
www.interkonyv.hu
. . . . . . . .
429 442 449 454 454 458 464 475
. 484 . 488 . 489 . . . . . . . . .
497
497 497 501 505 505 508 509 510 510
. 514 . 521 . 521 . 524 . 526 . 536 . . . . . . .
545 554 556 556 562 564 567
© Stoyan Gisbert
© Typotex Kiadó, 2010 TARTALOMJEGYZÉK
9
18.6.1. A transzport-egyenlet és a lineáris hiperbolikus rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.2. A transzport-egyenlet dierencia-approximációja, lineáris homogén sémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.3. Térben egydimenziós megmaradási rendszerek elméletér®l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.4. Egydimenziós megmaradási rendszerek dierencia megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.5. ENO-sémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.6. Implicit sémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.7. Többdimenziós hiperbolikus egyenletek megoldása . . . 18.7. Összefogalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.8. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
568 574 582 587 596 600 606 610 610
19.Kiegészít® információk, jelölések III
619
20.Irodalom III
623
21.Tárgymutató III
645
21.1. Címszavak jegyzéke . . . . . . . . . . 21.2. Tételek, lemmák jegyzéke . . . . . . 21.3. Pszeudokódos algoritmusok jegyzéke 21.4. Táblázatok jegyzéke . . . . . . . . .
www.interkonyv.hu
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
645 655 659 660
© Stoyan Gisbert
