2013.02.02.
COEDU // NYOMTATÁS
//
KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás
21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 4.7., 4.8. fejezet
Elméleti összefoglaló Ha A és B egy kísérlettel kapcsolatos két tetszőleges esemény és P( B )>0 , akkor az A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűségét a P( A|B )= P( A⋅B ) P( B ) kifejezéssel definiáljuk. Egy más megfogalmazás: feltéve, hogy B bekövetkezik, mi a valószínűsége, hogy A bekövetkezik. A fentiekből kifejezett P( A⋅B )=P( A|B )⋅P( B ) egyenlőséget a valószínűségek szorzási szabályának nevezzük.
Kidolgozott feladatok 21.1. Egy versenyen 4 magyar, 5 orosz és 3 amerikai állt rajthoz. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az első helyezett magyar, a második orosz, a harmadik szintén magyar lett, ha a versenyzők azonos esélyekkel indultak? Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: A 1 : az első magyar lett A 2 : a második orosz lett A 3 : a harmadik magyar lett A három esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét kell kiszámítani, azaz P( A 1 ⋅ A 2 ⋅ A 3 ) értékét. A valószínűségek szorzási szabályát felhasználva: P( A 1 ⋅ A 2 ⋅ A 3 )=P( A 1 | A 2 ⋅ A 3 )⋅P( A 2 ⋅ A 3 )=P( A 1 | A 2 ⋅ A 3 )⋅P( A 2 | A 3 )⋅P( A 3 ) Számítsuk ki a jobboldalon álló tényezőket! Összesen 12 versenyző indult, ebből 4 magyar, vagyis P( A 3 )= 4 12 = 1 3 . P( a második orosz, feltéve, hogy a harmadik magyar )=P( A 2 | A 3 )= 5 11 , mivel a jó esetek száma 5 (hiszen ennyi orosz versenyző indult), az összes eset pedig 11 (mivel feltételeztük, hogy a harmadik helyezett magyar lett, így már csak 11 versenyző közül választhatunk). P( az első magyar, feltéve, hogy a második orosz és a harmadik magyar )=P( A 1 | A 2 ⋅ A 3 )= 3 10 , mert ekkor a jó esetek száma 3, az összes esetek száma pedig 10. coedu.sze.hu/print.php4?print_items=
1/7
2013.02.02.
COEDU // NYOMTATÁS
A fentiekből következik, hogy P( A 1 ⋅ A 2 ⋅ A 3 )= 3 10 ⋅ 5 11 ⋅ 1 3 = 1 22 ≈0,045 . 21.2. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre ( P( C )≠0 esetén) teljesül a következő egyenlőség: P( A+B|C )=P( A|C )+P( B|C )−P( AB|C ) . Megoldás: Alakítsuk át a baloldali kifejezést: P( A+B|C )= P( ( A+B )⋅C ) P( C ) . A számláló: P( ( A+B )⋅C )=P( AB+BC )=P( AB )+P( BC )−P( ABC ) . Ezt felhasználva kapjuk: P( A+B|C )= P( AC )+P( BC )−P( ABC ) P( C ) = P( A|C )⋅P( C )+P( B|C )⋅P( C )−P( AB|C )⋅P( C ) P( C ) = P( A|C )+P( B|C )−P( AB|C ) , ami megegyezik a jobb oldalon álló kifejezéssel. Tehát az állítást igazoltuk. 21.3. Ismertek a következő valószínűségek: P( A|B )= 8 10 , P( B|A )= 1 4 és P( A| B ¯ )= 1 7 . Határozzuk meg a P( A ) és P( B ) értékét! Megoldás: A feltételes valószínűségek definíciója alapján P( AB ) kétféleképpen is felírható: P( AB )=P( A|B )⋅P( B ) , illetve P( AB )=P( B|A )⋅P( A ) . Vagyis P( A|B )⋅P( B )=P( B|A )⋅P( A ) . Behelyettesítve a megadott értékeket: 8 10 ⋅P( B )= 1 4 ⋅P( A ) ⇒ P( A )= 16 5 ⋅P( B ) . Fejezzük ki P( A ) -t P( B ¯ ) segítségével! P( A )=P( AB+A B ¯ )=P( AB )+P( A B ¯ ) (itt felhasználtuk, hogy AB és A B ¯ egymást kizáró események) =P( A|B )⋅P( B )+P( A| B ¯ )⋅P( B ¯ )= 8 10 ⋅P( B )+ 1 7 ⋅( 1−P( B ) ) Ezt visszahelyettesítjük az előzőleg kapott összefüggésbe: 16 5 ⋅P( B )= 8 10 ⋅P( B )+ 1 7 ⋅( 1−P( B ) ) 16 5 ⋅P( B )= 8 10 ⋅P( B )+ 1 7 − 1 7 ⋅P( B ) 224 70 ⋅P( B )= 56 70 ⋅P( B )+ 10 70 − 10 70 ⋅P( B ) 178 70 ⋅P( B )= 1 7 P( B )= 5 89 Ebből P( A )= 16 5 ⋅P( B )= 16 5 ⋅ 5 89 = 16 89 Vagyis a kérdéses valószínűségek: P( A )= 16 89 és P( B )= 5 89 . 21.4. Feltéve, hogy egy háromgyerekes családban van fiú, mi a valószínűsége annak, hogy 1, 2 vagy 3 fiú van? Megoldás: Tegyük fel, hogy a fiúgyermek születésének valószínűsége 1 2 (lányé szintén 1 2 ). A1: 1 fiú van A2: 2 fiú van A3: 3 fiú van B: van fiú P( A 1 |B )= P( A 1 B ) P( B ) = P( 1 fiú és 2 lány van ) ( 1−P( nincs fiú ) ) = ( 3 1 )⋅ 1 2 ⋅ ( 1 2 ) 2 1− (12)3=3878=37 Ugyanis a 3 közül kell kiválasztani azt az egyet, amelyik fiú és ezt ( 3 1 ) -féleképpen tehetjük meg. Hasonlóan P( A 2 |B )= P( A 2 B ) P( B ) = ( 3 2 )⋅ ( 1 2 ) 2 ⋅ 1 2 7 8 = 3 8 7 8 = 3 7 coedu.sze.hu/print.php4?print_items=
2/7
2013.02.02.
COEDU // NYOMTATÁS
P( A 3 |B )= P( A 3 B ) P( B ) = ( 1 2 ) 3 7 8 = 1 8 7 8 = 1 7 Vagyis a kapott valószínűségek: 3 7 ; 3 7 ; 1 7 . 21.5. Az 52 lapos francia kártyát 4 játékos között osztják szét. Jancsi kezében 5 pikk van. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a sorrendben előtte ülőnek is 5 pikk van a kezében? (Francia kártya: 4 szín (káró, pikk, treff, kör), minden színből 13 különböző lap.) Megoldás: Vezessük be a következő eseményeket: A: Jancsi kezében 5 pikk van B: az előtte ülő kezében is 5 pikk van Ezek szerint keresett a P( B|A ) valószínűség. P( B|A )= P( AB ) P( A ) Az összes lehetséges leosztások száma: ( 52 13 )⋅( 39 13 )⋅( 26 13 )⋅( 13 13 ) (az első 52 lapból kap 13-at, a második a maradék 39-ből 13at stb.) Azon esetek száma, mikor Jancsinál 5 pikk van: [ ( 13 5 )⋅( 39 8 ) ]⋅( 39 13 )⋅( 26 13 )⋅( 13 13 ) (Jancsi a 13 pikkből kap 5-öt, majd a 39 nem pikkből még 8-at, a többiek a maradék 39 lapon osztozkodnak) Vagyis annak a valószínűsége, hogy Jancsi kezében 5 pikk van: P( A )= ( 13 5 )⋅( 39 8 ) ( 52 13 ) ≈0,1247 . Azon esetek száma, mikor Jancsinál is és az előtte ülőnél is 5 pikk van: [ ( 13 5 )⋅( 39 8 ) ]⋅[ ( 8 5 )⋅( 31 8 ) ]⋅( 26 13 )⋅( 13 13 ) (A 13 pikk közül 5-öt kap Jancsi és még 8at a nem pikkekből; a maradék 8 pikkből 5-öt megkap az előtte ülő és még 8 lapot kap a nem pikkekből; a másik két játékosnak a maradék 26 lapot osztják ki) Vagyis így P( AB )= ( 13 5 )⋅( 39 8 )⋅( 8 5 )⋅( 31 8 ) ( 52 13 )⋅( 39 13 ) ≈0,0068 . Ezzel P( B|A )= P( AB ) P( A ) ≈0,0545 . Tehát a kérdéses esemény valószínűsége 0,0545. 21.6. Hasonlóan az előző feladathoz most is kiosztjuk a francia kártya 52 lapját négy játékos között. Feltéve, hogy Jancsinál van pikk, mi a valószínűsége, hogy 2-nél több van nála? Megoldás: Vezessük be a következő eseményeket: A: Jancsinál van pikk; A ¯ : Jancsinál nincs pikk. B: Jancsinak 2-nél több pikkje van Így a keresett valószínűség: P( B|A ) . P( A )=1−P( A ¯ )=1− ( 39 13 )⋅( 39 13 )⋅( 26 13 )⋅( 13 13 ) ( 52 13 )⋅( 39 13 )⋅( 26 13 )⋅( 13 13 ) =1− ( 39 13 ) ( 52 13 ) ≈0,987 . (Ugyanis Jancsi csak a 39 nem pikk közül kaphat lapot, majd a többiek a megmaradt 39 lapon osztozhatnak.) P( AB )=P( B ) coedu.sze.hu/print.php4?print_items=
3/7
2013.02.02.
COEDU // NYOMTATÁS
(Ugyanis P( AB ) jelentése Jancsinál van pikk (A) és 2-nél több van nála (B), ha B esemény teljesül (2-nél több van nála), akkor az A esemény is biztosan teljesül). P( B )=1−P( B ¯ )=1−P( legfeljebb 2 pikk van nála ) P( legfeljebb 2 pikk van nála )= P( nincs pikk nála )+P( 1 pikk van nála )+P( 2 pikk van nála )= ( 39 13 ) ( 52 13 ) + ( 13 1 )⋅( 39 12 ) ( 52 13 ) + ( 13 2 )⋅( 39 11 ) ( 52 13 ) ≈ 0,0127+0,08+0,2≈0,298 . Ezzel P( B|A )= P( AB ) P( A ) = 0,298 0,987 ≈0,3 . Tehát a kérdéses esemény valószínűsége 0,3. 21.7. A és B legyenek független események, P( A )=0,6 és P( B )=0,3 . Határozzuk meg az alábbiakat:
a)
P( A⋅B )=?
b)
P( A ¯ ⋅B )=?
c)
P( A ¯ ⋅ B ¯ )=?
d)
P( A|B )=?
e)
P( B ¯ |A )=?
Megoldás: a) Mivel A és B függetlenek, ezért P( A⋅B )=P( A )⋅P( B ) , így P( A⋅B )=0,6⋅0,3=0,18 . b) Tudjuk, hogy ha A és B függetlenek, akkor A ¯ és B is függetlenek, így P( A ¯ ⋅B )=P( A ¯ )⋅P( B )=( 1−P( A ) )⋅P( B )=0,4⋅0,3=0,12 . c) Hasonlóan az előzőhöz A ¯ és B ¯ is függetlenek, így P( A ¯ ⋅ B ¯ )=P( A ¯ )⋅P( B ¯ )=( 1−P( A ) )⋅( 1−P( B ) )=0,4⋅0,7=0,28 . d) Definíció szerint P( A|B )= P( A⋅B ) P( B ) , a függetlenség miatt pedig P( A⋅B ) P( B ) = P( A )⋅P( B ) P( B ) =P( A )=0,6 . e) Az előző mintájára P( B ¯ |A )= P( B ¯ ⋅A ) P( A ) = P( B ¯ )⋅P( A ) P( A ) =P( B ¯ )=0,7 .
Ellenőrző feladatok 1. feladat Egy kockával háromszor dobunk egymás után. Feltéve, hogy dobunk hatost, mi a valószínűsége, hogy pontosan kétszer dobunk hatost? 0,1648 coedu.sze.hu/print.php4?print_items=
4/7
2013.02.02.
COEDU // NYOMTATÁS
0,1388 0,0277 0,2276
2. feladat Jancsi 0,7 valószínűséggel visz virágot Juliskának. Ha Juliska virágot kap, 0,6 valószínűséggel puszit ad érte. Mi a valószínűsége, hogy Jancsi virágot visz és puszit is kap érte? 0,18 0,42 0,85 0,46
3. feladat Holnap 0,8 valószínűséggel esni fog az eső. Annak valószínűsége, hogy esik az eső és kirándulni megyünk 0,6. Feltéve, hogy holnap esik az eső, mekkora valószínűséggel megyünk kirándulni? 0,75 0,5 0,48 0,6
4. feladat Egy osztályban 10 fiú és 12 lány van. Három tanuló felel egy órán. Mi a valószínűsége, hogy az első fiú, a második lány, a harmadik ismét fiú, ha mindenki ugyanakkora valószínűséggel felel (egy tanuló legfeljebb egyszer felehet az órán)? 0,0183 coedu.sze.hu/print.php4?print_items=
5/7
2013.02.02.
COEDU // NYOMTATÁS
0,3381
0,1168 0,3506
5. feladat A fenti osztályban mi annak a valószínűsége, hogy egymás után három fiú felel (egy tanuló legfeljebb egyszer felelhet)? 0,0779 0,0922 0,2315 0,0632
6. feladat Egy bajnokságban 4 budapesti és 12 vidéki csapat játszik. Mi a valószínűsége, hogy az első helyezett budapesti, a második vidéki, és a harmadik is vidéki csapat lesz? (Feltételezzük, hogy a csapatok azonos eséllyel versenyeznek a bajnoki címért.) 0,0740 0,1406 0,1289 0,1571
7. feladat A és B legyenek független események, P( A )=0,5 és P( B )=0,4 . Ekkor P( A⋅ B ¯ )=? 0,2 0,3 coedu.sze.hu/print.php4?print_items=
6/7
2013.02.02.
COEDU // NYOMTATÁS
0,4
0,5
8. feladat Ha A és B független események, és P( A )=0,1 , P( B )=0,7 , akkor P( A ¯ | B ¯ )=? 0,1 0,7 0,9 0,27
coedu.sze.hu/print.php4?print_items=
7/7
