TÁJÉKOZTATÓ A BME TERMÉSZETTUDOMÁNYI KARÁRA FELVÉTELT NYERT MATEMATIKUS HALLGATÓK SZÁMÁRA

TÁJÉKOZTATÓ A BME TERMÉSZETTUDOMÁNYI KARÁRA FELVÉTELT NYERT MATEMATIKUS HALLGATÓK SZÁMÁRA

2008

Kedves Elsıéves Matematikus Hallgató! Szeretettel köszöntöm abból az alkalomból, hogy a Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem (BME) polgára lett. Tanártársaimmal arra fogunk törekedni, hogy Önnel közös erıfeszítéseink eredményeképpen sok hasznos ismeretre tegyen majd szert, látóköre szélesedjék, hogy amikor néhány – meglepıen gyorsan elmúló – év után kezébe veheti a diplomáját, ne legyen gondja az elhelyezkedéssel és olyan munkát választhasson, ami nemcsak megélhetést biztosít, hanem érdekes is. Külön örülök annak, hogy a Természettudományi Kar matematika szakán kezdi meg a tanulmányait. A matematika szak viszonylag új a BME-n, de már tekintélyt szerzett magának. A felvételi ponthatár általában jóval az átlagos felett van, a hallgatók érdeklıdıek és teljesítményorientáltak. Azt szeretnénk, ha Ön még tovább javítaná a kialakult képet, ami persze elsısorban az Ön érdeke. Járuljon hozzá, hogy évfolyamában kialakuljon az egymást segítés és egymással versengés jó aránya, vagyis egy jó csapat. Az egyetemi évek mindenki életében meghatározóak, nemcsak a megszerzett ismeretanyag miatt (hiszen manapság a tanulás egész életre szóló program), hanem az egyetemi élet, az itt létrejövı kapcsolatok, az itt kialakuló szemlélet miatt is. Arra bíztatjuk, hogy használja ki jól a lehetıségeket! Tájékozódjék, keresse a kapcsolatokat a felsıbb éves hallgatókkal és tanáraival! Nem fog csalódni, ha problémáival professzoraihoz, tanáraihoz fordul. De most nem a problémák, hanem az öröm perceit éljük: Örülünk, hogy Ön csatlakozott hozzánk és bizonyára Ön is örül annak, hogy mőegyetemi polgár lehet. Ehhez szívbıl gratulálok!

DR. MOSON PÉTER dékán

TÁJÉKOZTATÓ A MATEMATIKA ALAPKÉPZÉSRİL Miért ajánljuk a Mőegyetemi matematikusképzést? A világ rangos mőszaki egyetemeinek gyakorlatát követve és saját jó hagyományát felelevenítve, a Mőegyetem Természet- és Társadalomtudományi Kara – az 1998-ban alakult Természettudományi Kar jogelıdje – 1997-ben beindította a matematikus képzést. A képzést a Kar Matematika Intézete gondozza. Olyan szakembereket képzünk, akik érzékenyek a gyakorlati problémák iránt és képesek alkotó módon felhasználni ismereteiket; akik, amellett, hogy a matematika elvont területein otthonosan mozognak, kommunikálni és együttmőködni tudnak a matematikán kívüli szakemberekkel is. Az egyesült Európához tartozó, fejlıdı magyar gazdaságnak nagy szüksége van ilyen szakemberekre. Matematikus képzésünk szervesen illeszkedik a Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetemen folyó alkalmazás-orientált tudományos képzés széles spektrumába, mely a klasszikus mérnökképzés mellett felölel olyan matematikaigényes új területeket is, mint informatika, közgazdaságtudomány, anyagtudomány, gazdasági tervezéselemzés, mőszaki menedzsment, rendszerelmélet stb. A Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem matematikus szakát elsısorban azoknak a végzıs gimnazistáknak ajánljuk, akik amellett, hogy szeretik és tudják a matematikát, indíttatást éreznek magukban a matematika alkalmazásai iránt is. A matematikai modellalkotás és elemzés egyre inkább szerves részét képezi a mőszaki, gazdasági és természettudományos tevékenység kreatív ágainak. E tevékenység jól képzett, invenciózus, mozgékony elméjő fiatal matematikusokat igényel. Az ilyen szakemberek iránti társadalmi igény látványosan növekszik. A képzésre vonatkozó aktuális információkat, szabályozásokat és egyéb adatokat figyelemmel kísérheti a http://www.ttk.bme.hu Internet címen. A matematika alapképzés tantervi irányelvei A szak – alkalmazkodva az új európai képzési rendhez – hat féléves alapképzéssel indul. A követelményeket sikeresen teljesítı hallgatók tanulmányaik befejeztével oklevelet kapnak, amelyben szakképzettségük megnevezése matematikus (BSc) lesz. Az elsı három félévben a matematika alapismereteinek elsajátítása folyik. Ezt követıen hallgatóink két szakirány közül választhatnak. Az „A” elméleti szakirányt azon hallgatóinknak ajánljuk, akik szeretnék a matematika egyes ágait mélyebben megérteni, és azt tervezik, hogy tanulmányaikat folytatják majd egy erre épülı mesterszakon. A „B” alkalmazott szakirányt azon hallgatóinknak ajánljuk, akik az elméleti kutatómunka helyett inkább a gyakorlati hasznosításhoz éreznek nagyobb kedvet. Számukra olyan kurzusokat dolgoztunk ki, amelyek segítenek a matematika információtechnológia, gazdasági, mőszaki stb. alkalmazásaiban eligazodni. Természetesen ezt a szakirányt választó hallgatóknak is van lehetısége, ha kívánják, tanulmányaikat valamely mesterszakon folytatni. A matematika alapszak fıbb tanulmányterületei: algebra, analízis, geometria, informatika, numerikus módszerek, valószínőségszámítás és statisztika, fizika, szakirány tárgyak. A hallgatók számára lehetıség nyílik nem szakterületi, ún. közismereti tárgyak hallgatására is. Ezek a szabadon választható tárgyak csoportjában (legalább 9 kreditpont erejéig) vehetık fel. A kreditrendszer A Mőegyetemen az 1993/94-es tanévtıl felmenı rendszerben bevezették a kreditrendszerő oktatást. Az elfogadott rendszer alapelveit és fontosabb elemeit az alábbiak szerint foglalhatjuk össze. A kreditrendszer a hallgatói munka mennyiségi és minıségi értékelésére szolgál. A kreditpont a tantervben szereplı kötelezı, kötelezıen választható és szabadon választható tárgyakra fordítandó átlagos hallgatói munkamennyiség egysége. A kreditrendszerő képzés szóhasználatában a szemeszter és a félév két különbözı fogalom: A szemeszter a diploma megszerzéséhez szükséges tanulmányi munka elıírt része (pl. matematika alapképzés esetén 1/6 része). A félév kifejezés pedig szorgalmi idıszakot (1 regisztrációs hét majd

14 oktatási hét), pótlási idıszakot (1 hét) és vizsgaidıszakot (4 hét) takar. A szemeszter tehát egy adott munkamennyiséget, a félév pedig egy idıtartamot jelöl. A kreditpont az adott tárgyra fordítandó munkamennyiséget fejezi ki, azaz az elıadási órákon kívül a gyakorlatok, laborok, házi feladatok, vizsgára készülés együttes munkaigényét adja meg. A kredit megszerzése az adott tárgy félévközi és vizsgakövetelményeinek maradéktalan teljesítését jelenti. A kreditrendszerő képzés fogalomkörébe tartozik még az ún. kritérium-feltétel, ami a továbbhaladáshoz kötelezıen elıírt, de kreditponthoz nem kapcsolt tantárgyak vagy egyéb feltételek teljesítését jelenti. A kötelezı tárgyak felvételének sorrendjét, kötelezı érvényő elıtanulmányi rend határozza meg. A tanulmányokat szabályozó általános elıírások A beiratkozás, tárgyválasztás részletes feltételeit az egyetem Tanulmányi és Vizsgaszabályzata (TVSZ) tartalmazza. Ez lehetıvé teszi, hogy a hallgatók más karon illetve más egyetemen korábban folytatott tanulmányaik beszámítását kérjék, illetve más karon vagy egyetemen elıadott tárgyak meghallgatásával kreditpontot szerezzenek. Ehhez a korábbi tanulmányaikat, illetve a felvenni kívánt tárgyakat el kell ismertetniük a Kari Akkreditációs, Kreditátviteli és Tantárgybefogadó Bizottsággal. A hallgatók ilyen irányú kéréseit az erre a célra összeállított kérdıív kitöltésével (melyhez mellékelni kell az elismertetni kívánt tárgyak tematikáit) a Központi Tanulmányi Hivatalban (KTH) kell elıterjeszteni. Az adott szakra vonatkozó szabályozásokat (pl. a záróvizsga letételének feltételeit, a diplomamunka elkészítését) a szak Tanrendje tartalmazza. Az ütemes elırehaladás garanciája, ha a hallgatók a Mintatanterv szerint veszik fel a tantárgyakat. Az egyes tantárgyak felvételéhez szükséges kötelezı elıismereteket az Elıtanulmányi rend tartalmazza, amit a tárgyak részletes leírásában ismertetünk. Felhívjuk a figyelmet, hogy a következı információk tájékoztató jellegőek. Kisebb kiigazító módosítások a Hallgatói Képviselet, a Matematikus Szakbizottság és a Kari Tanács egyetértésével a tanulmányok során elıfordulhatnak. A dokumentumok érvényes változata a Kar honlapján olvasható.

A MATEMATIKA ALAPSZAK TANRENDJE (1) A matematika alapszak képesítési követelményeit kormányrendelet tartalmazza. (2) A szak Mintatantervét és az Elıtanulmányi rendet a jelen dokumentumhoz csatolt táblázatok tartalmazzák. (3) A kritériumkövetelmények teljesítésének határideje: A kritérium jellegő követelményeket (a nyelvvizsga kivételével) a szakdolgozat címő tárgy felvétele elıtt teljesíteni kell. (4) A szakirányválasztás feltételei és szabályai: – A matematikus hallgatók a 3. félév után választhatnak az „A” elméleti és a „B” alkalmazott szakirány közül. Az egyes szakirányok számára elıírt kurzusokat és kreditszámokat a mintatanterv tartalmazza. A szakirányválasztást a hallgató a NEPTUN rendszerben rögzíti. – A szakirányválasztással kapcsolatos speciális kérdésekkel vagy kérésekkel (pl. szakirányválasztás módosítása) a hallgatónak a Matematikus Szakbizottsághoz kell írásban fordulnia. E kérdések egyéni elbírálás alá esnek. (5) A záróvizsgára bocsátás feltételei: – Záróvizsgára az a hallgató bocsátható, aki az alapozó képzés és a szakirányos képzés kötelezı tárgyait, továbbá a kritériumkövetelményeket a teljesítette, valamint a választható tárgyakkal és diplomamunkával együtt a 180 kreditet összegyőjtötte. – Végbizonyítvány (abszolutórium) megléte (ld. TVSZ). – A záróvizsgára bocsáthatóság általános feltételeit, a határidıket és egyéb körülményeket a TVSZ tartalmazza. (6) A záróvizsga lebonyolítása, tantárgyai, illetve a kiválasztás szabályai: – A záróvizsga tárgyait és azok tematikáját a Matematikus Szakbizottság elıterjesztése alapján, a Matematikai Intézet a szakdolgozati témák meghirdetésével egy idıben közzéteszi. – A záróvizsgák idıpontjának kitőzése, a vizsgák megszervezése a TVSZ és a Tanulmányi Ügyrend rendelkezéseinek figyelembevételével a Matematikai Intézet feladata. – A záróvizsga két részbıl áll (amelyek nem feltétlenül egy idıben kerülnek lebonyolításra.): – Az elsı rész egy szigorlat jellegő alaptárgyi vizsga, amelyben az analízis és valószínőségszámítás, továbbá az algebra és geometria tárgypárosokból kap kérdést a vizsgázó. Ennek a vizsgának az alapja a két szakirány közös törzsanyaga. – A második rész a szakdolgozat rövid ismertetésébıl és megvédésébıl áll. A vizsgázó hallgató válaszol a témavezetı, a bíráló, illetve a Záróvizsga Bizottság által feltett kérdésekre. A szakdolgozat osztályzatát a témavezetı és a bíráló javaslata alapján, valamint a vizsgán elhangzottak figyelembe vételével a Záróvizsga Bizottság állapítja meg. – A záróvizsga menetének szabályai és követelményei az Egyetem Tanulmányi és Vizsgaszabályzatában, valamint a Képzési Kódexében vannak rögzítve. (7) A szakdolgozat elkészítésének szabályai: – A matematikus alapképzésben a szakdolgozat elkészítésére a 6. félévben heti 10 óra áll a hallgatók rendelkezésére, de ezt elıkészítheti az Önálló kutatási feladat és a Programozási feladat címő tárgyak keretében végzett munka. – A Szakdolgozat c. tárgyat az a hallgató veheti fel, aki a Mintatanterv szerinti kreditekbıl legalább 144-et teljesített. – A szakdolgozati témákat az érintett tanszékek legkésıbb a tavaszi félév 10. oktatási hetének végéig meghirdetik.

– Szakdolgozati témát legalább Ph.D. minısítéssel rendelkezı oktató, vagy kutató, illetve vezetı oktató, kutató hirdethet meg. Egy személy legfeljebb 2 hallgató témavezetıje lehet ugyanabban a félévben. – A szakdolgozat témáját minden esetben a Matematikai Intézet egyik tanszékvezetıje vagy a Számítástudományi és Információelméleti Tanszék vezetıje hagyja jóvá („anyatanszék”). Ez érvényes abban az esetben is, ha a témát külsı oktató vagy kutató hirdette meg. Ebben az esetben a Matematikus Szakbizottság az érdekeltekkel konzultálva felkér egy anyatanszéket a szakdolgozati téma jóváhagyására, illetve a szakdolgozat elkészítésének felügyeletére. – Így biztosítható egyrészt, hogy a témák harmonikusan illeszkedjenek a BME matematikus alapképzés céljaihoz, a meghirdetett szakirányokhoz, másrészt az anyatanszék felel a diplomával, záróvizsgával kapcsolatos oktatásszervezési tennivalók lebonyolításáért. – A meghirdetett szakdolgozati témákat a Matematikai Intézet, illetve a Tanszékek honlapján teszik közzé. A hallgatók jelentkezéseiket a Matematikai Intézet adminisztrációjában adják le két példányban az 1. melléklet szerinti formanyomtatványon. – A szakdolgozatot két példányban és rövid tartalmi kivonatot öt példányban, a szorgalmi idıszak utolsó tanítási napján déli 12 óráig az anyatanszéken kell leadni. Ez a Szakdolgozat c. tárgy aláírás megszerzésének feltétele. – A szakdolgozatot értékeli egyrészt a témavezetı, másrészt az illetékes tanszék vezetıje felkér egy külsı bírálót, aki a téma elismert szakembere. – A bírálatot írásban, egy héttel a kitőzött záróvizsga idıpontja elıtt kell eljuttatni a szakdolgozatot kiadó anyatanszékre. Ugyanerre az idıpontra a témavezetınek is le kell adni egy értékelést (bírálatot). Ezeket a hallgató minimum 5 nappal a záróvizsga elıtt kézhez kapja. A rövid tartalmi kivonatot eljuttatják a záróvizsga bizottság tagjainak. A bíráló és a témavezetı is írásban, a bírálattal elkülönítve javaslatot tesz az osztályzatra is.

A MATEMATIKA ALAPKÉPZÉSI (BSC) SZAK MINTATANTERVE Képzések és tantárgyak megnevezése

Tárgy -típus

Szemeszterek óra/kredit 1 2 3 4 5 6 ALAPOZÓ ISMERETEK Analízis 1 ea. K 4/0/0/v/4 4/4 Analízis 1 gy. K 0/2/0/f/2 2/2 Lineáris algebra ea. K 4/0/0/v/4 4/4 Lineáris algebra gy. K 0/2/0/f/2 2/2 Informatika 1 K 2/0/2/f/5 4/5 Fizika 1, 2 K 2/0/0/f/2 2/0/0/f/2 4/4 Összesen 16/17 2/2 2/2 20/21 GAZDASÁGI ÉS HUMÁN ISMERETEK Mikroökonomia K 2/0/0/f/2 2/2 Makroökonomia K 2/0/0/f/2 2/2 Gazdasági és humánismeretek* KV 2/0/0/f/2 2/0/0/f/2 2/0/0/f/2 6/6 SZAKMAI TÖRZSANYAG Algebra 1 ea. K 2/0/0/v/2 2/2 Algebra 1 gy. K 0/2/0/f/2 2/2 Analízis 2 ea. K 4/0/0/v/4 4/4 Analízis 2 gy. K 0/2/0/f/2 2/2 Geometria ea. K 4/0/0/v/4 4/4 Geometria gy. K 0/2/0/f/2 2/2 Számelmélet ea. K 2/0/0/v/3 2/3 Számelmélet gy. K 0/2/0/f/2 2/2 Összesen 4/5 16/16 20/21 DIFFERENCIÁLT SZAKMAI ISMERETEK Algoritmuselmélet K 2/2/0/v/4 4/4 Analízis 3 ea. K 2/0/0/v/2 2/2 Analízis 3 gy. K 0/2/0/f/2 2/2 Differenciálegyenletek ea. K 4/0/0/v/4 4/4 Differenciálegyenletek gy. K 0/2/0/f/2 2/2 Differenciálgeometria 1 K 2/1/0/f/3 3/3 Feladatmegoldó szeminárium 1, 2 K 0/2/0/f/2 0/2/0/f/2 4/4 Informatika 2, 3, 4 K 1/0/1/f/2 1/0/1/f/2 0/0/4/f/4 8/8 Kombinatorika és gráfelmélet 1 K 2/1/0/v/4 3/4 Kombinatorika és gráfelmélet 2 K 2/1/0/f/3 3/3 Matematikai logika K 2/0/0/v/2 2/2 Matematikai statisztika K 2/2/0/v/4 4/4 Numerikus módszerek K 4/0/2/v/6 6/6 Operációkutatás K 2/2/0/f/4 4/4 Szakirány tárgyak K 10/10 10/10 8/12 28/32 Valószínőségszámítás 1 ea. K 2/0/0/v/2 2/2 Valószínőségszámítás 1 gy. K 0/2/0/f/2 2/2 Valószínőségszámítás 2 K 1/1/0/f/2 2/2 Összesen 5/6 7/7 21/21 20/20 20/20 12/16 85/90 EGYÉB TÁRGYAK, SZABADON VÁLASZTHATÓ TÁRGYAK Szakdolgozat K 0/0/0/f/10 0/10 Önálló kutatási feladat 1, 2, 3 KV 0/0/0/f/3 0/0/0/f/3 0/0/0/f/3 0/9 Programozási feladat 1, 2, 3 KV 0/0/0/f/3 0/0/0/f/2 0/0/0/f/3 0/8 Választható mőszaki tárgy KV 2/0/0/f/2 2/2 Szabadon választható tárgy 1 SZV 2/0/0/f/2 2/2 Szabadon választható tárgy 2 SZV 2/0/0/f/3 2/3 Szabadon választható tárgy 3 SZV 2/0/0/f/2 2/2 Szabadon választható tárgy 4 SZV 2/0/0/f/2 2/2 Összesen 2/5 2/7 0/6 2/6 4/14 10/38 KRITÉRIUM KÖVETELMÉNYEK Testnevelés KR 0/2/0/a/0 0/2/0/a/0 0/2/0/a/0 0/2/0/a/0 8/0 Idegen nyelv KR ÖSSZESEN Heti óraszám 29 29 27 26 26 16 153 Összes kredit 30 30 30 30 30 30 180 Vizsgaszám (K / SZV) 4 4 4 4 4 3 23

„A” elméleti szakirány Tárgynév Algebra 2 ea. Algebra 2 gy. Analízis 4 Differenciálgeometria 2 ea. Differenciálgeometria 2 gy. Funkcionálanalízis ea. Funkcionálanalízis gy. Halmazelmélet Parciális differenciálegyenletek Sztochasztikus folyamatok Valószínőségszámítás 3 óra/kredit

Tárgytípus K K K K K K K K K K K

1

2

3

4

5

6

2/0/0/v/2 0/2/0/f/2 1/1/0/f/2 2/0/0/v/2 0/2/0/f/2 4/0/0/v/4 0/2/0/f/2 2/0/0/v/2 2/2/0/v/6 2/2/0/v/6 10/10

1/1/0/f/2 10/10

8/12

óra/kr. 2/2 2/2 2/2 2/2 2/2 4/4 2/2 2/2 4/6 4/6 2/2 28/32

„B” alkalmazott szakirány Tárgynév Biztosításmatematika Dinamikai modellek a biológiában JAVA és WEB programozás Közgazdasági és pénzügyi matematika Kriptográfia és kódelmélet Matematikai modellalkotás szeminárium Mesterséges intelligencia logikai módszerei Optimalizálási modellek Statisztikai programcsomagok Számítógépes grafika Sztoch. modellek a bioinformatikában óra/kredit

Tárgy -típus K K K K K K K K K K K

1

2

3

4

5

6

óra/kr.

2/0/0/v/3

2/3 2/2 3/3 4/6 3/3 2/2 2/2 2/2 2/2 4/4 2/3 28/32

2/0/0/v/2 1/0/2/f/3 2/2/0/v/6 3/0/0/v/3 0/2/0/f/2 2/0/0/v/2 0/0/2/f/2 0/0/2/f/2 2/0/2/f/4

Jelmagyarázat: 1. Tárgytípus: K: Kötelezı tantárgy, KV: kötelezıen választható tantárgy, SZV: szabadon választható tantárgy, KR: kritérium feltétel. 2. A gazdasági és humánismeretek tárgy (*) az alábbiak közül választható: Információmenedzsment (BMEGT46A001), Innovációmenedzsment (BMEGT44A001), Kutatási módszertan (BMEGT41A002), Környezetgazdaságtan (BMEGT42A001), Pénzügyek (BMEGT35A001), Számvitel (BMEGT35A002). 3. 2/0/1/v/4 elıadás/gyakorlat/labor/vizsga vagy félévközi jegy/kredit. 4. Az Egyetem 5 féléven át heti 4 órában ingyenes nyelvoktatást biztosít

10/10

10/10

2/0/0/v/3 8/12

1. SZEMESZTER tárgykód elıadás gyakorlat BMETE92AM05 4 0

Labor 0

követelmény vizsga

kredit 4

tárgytípus kötelezı

Analízis 1 Tematika: 1. Valós számsorozatok (Konvergencia, nagyságrendek. Cantor és Dedekind tulajdonság. BolzanoWeierstrass kiválasztási tétel. Cauchy konvergencia kritérium.) 2. Valós számsorok. (Geometriai sor. Konvergencia kritériumok. Abszolút és feltételes konvergencia.) 3. Elemi függvények folytonossága és differenciálhatósága. 4. Egyváltozós valós, folytonos függvények tulajdonságai. 5. Egyváltozós valós függvények differenciálhatósága (nevezetes határértékek, középérték tételek, függvényvizsgálat, hiperbolikus függvények és inverzeik, lokális tulajdonságok.) 6. Határozott és határozatlan integrálok (az integrálszámítás technikája, alkalmazások.) 7. Improprius integrálok. 8. Valós és komplex hatványsorok (Konvergencia tartomány. Valós hatványsorok összegfüggvényének határértéke, integrálja, deriváltja. Elemi függvények Taylor sorai. Alkalmazások.) Jegyzet, tankönyv, irodalom: Leindler László: Analízis, Polygon, 2001 Császár Ákos: Analízis I.

tárgykód elıadás gyakorlat BMETE92AM06 0 2

labor 0

követelmény kredit félévközi jegy 2


Analízis 1 gyakorlat Tematika: 1. Valós számsorozatok (Konvergencia, nagyságrendek. Cantor és Dedekind tulajdonság. BolzanoWeierstrass kiválasztási tétel. Cauchy konvergencia kritérium.) 2. Valós számsorok. (Geometriai sor. Konvergencia kritériumok. Abszolút és feltételes konvergencia.) 3. Elemi függvények folytonossága és differenciálhatósága. 4. Egyváltozós valós, folytonos függvények tulajdonságai. 5. Egyváltozós valós függvények differenciálhatósága (nevezetes határértékek, középérték tételek, függvényvizsgálat, hiperbolikus függvények és inverzeik, lokális tulajdonságok.) 6. Határozott és határozatlan integrálok (az integrálszámítás technikája, alkalmazások.) 7. Improprius integrálok. 8. Valós és komplex hatványsorok (Konvergencia tartomány. Valós hatványsorok összegfüggvényének határértéke, integrálja, deriváltja. Elemi függvények Taylor sorai. Alkalmazások.) Jegyzet, tankönyv, irodalom: Leindler László: Analízis, Polygon, 2001 Császár Ákos: Analízis I.

tárgykód BMETE91AK00

elıadás gyakorlat 4 0

labor 0


kredit 4


Lineáris algebra Tematika: Komplex számok, polinomok, mátrixok, determináns, lineáris egyenletrendszerek. Vektorterek, bázis, dimenzió, koordinátázás. Direkt felbontás, faktortér, tenzorszorzat, duális tér. Lineáris operátorok és transzformációk. Báziscsere. Skaláris és vektoriális szorzat. Sajátérték, sajátvektor. Jordan-féle normálalak, mátrixfüggvények. Bilineáris függvények és kvadratikus alakok. Euklideszi terek. Önadjungált, unitér, ortogonális, szimmetrikus, normális transzformációk. Fıtengelytétel. Felbontási tételek. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Horváth Erzsébet: Lineáris algebra, Mőegyetemi Kiadó, 1995. 45021. számú jegyzet.

tárgykód BMETE91AK01


labor 0



Lineáris algebra gyakorlat Tematika: Feladatok megoldása az alábbi témakörökben: Komplex számok, polinomok, mátrixok, determináns, lineáris egyenletrendszerek. Vektorterek, bázis, dimenzió, koordinátázás. Direkt felbontás, faktortér, tenzorszorzat, duális tér. Lineáris operátorok és transzformációk. Báziscsere. Skaláris és vektoriális szorzat. Sajátérték, sajátvektor. Jordan-féle normálalak, mátrixfüggvények. Bilineáris függvények és kvadratikus alakok. Euklideszi terek. Önadjungált, unitér, ortogonális, szimmetrikus, normális transzformációk. Fıtengelytétel. Felbontási tételek. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Fagyejev – Szominszkij: Felsıfokú algebrai feladatok, Mőszaki Könyvkiadó, 1973


labor 2


Informatika 1 Tematika: A számítógép felépítése, a Neumann-féle számítógép-architektúra. Operációs rendszerek. LINUX és WINDOWS elemi szintő megismerése. Számítógépprogram, adat, állomány -- állományformátumok. Felhasználói felület: parancssoros, grafikus. A számítógép és az Internet hatékony használatának elemei.


Dokumentumszerkesztés. Szövegszerkesztı, dokumentumszerkesztı, szedıprogram, kiadványszerkesztı. Egy szövegszerkesztı megismerése. TeX, LaTeX, matematikai szöveg szerkesztése. HTML, XML, MathML. Programozás alapfogalmai. Burokprogramozás. A C nyelv alapelemei. A komputer algebra programrendszerek (Maple, Mathematica, GAP) kalkulátor szintő használata és nyelvük alapelemei. Változó, értékadás, szekvencia, elágazás, ciklus, függvényhívás. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Online oktatási anyagok ECDL tankönyvek Wettl Ferenc, Mayer Gyula, Szabó Péter: LaTeX kézikönyv. Panem. 2004.


labor 0

követelmény Vizsga

kredit 3


Számelmélet Tematika: Oszthatóság, euklideszi algoritmus, a számelmélet alaptétele. Kongruenciák, lineáris kongruenciák és lineáris diofantikus egyenletek, Euler-, Fermat- és Wilson-tétel, mőveletek maradékosztályokkal. Magasabb fokú kongruenciák, primitív gyök, diszkrét logaritmus, hatványmaradék. Chevalley-tétel és alkalmazásai. Legendre-szimbólum, kvadratikus reciprocitás, Jacobi-szimbólum. Prímszámok eloszlása, Fermatés Mersenne-prímek. Prímtesztek. Számelméleti függvények: Euler-függvény, Möbius-függvény, Möbius-féle inverziós formula. Diofantikus egyenletek, pitagoraszi számhármasok. Gauss-egészek, számok négyzetösszegként való elıállításai. A számelmélet alkalmazásai, RSA algoritmus. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Freud R. – Gyarmati E.: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000. I. Niven – H. S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe. Mőszaki Könyvkiadó, 1978.


labor 0


Számelmélet gyakorlat Tematika: Oszthatóság, euklideszi algoritmus, a számelmélet alaptétele. Kongruenciák, lineáris kongruenciák és lineáris diofantikus egyenletek,


Euler-, Fermat- és Wilson-tétel, mőveletek maradékosztályokkal. Magasabb fokú kongruenciák, primitív gyök, diszkrét logaritmus, hatványmaradék. Chevalley-tétel és alkalmazásai. Legendre-szimbólum, kvadratikus reciprocitás, Jacobi-szimbólum. Prímszámok eloszlása, Fermatés Mersenne-prímek. Prímtesztek. Számelméleti függvények: Euler-függvény, Möbius-függvény, Möbius-féle inverziós formula. Diofantikus egyenletek, pitagoraszi számhármasok. Gauss-egészek, számok négyzetösszegként való elıállításai. A számelmélet alkalmazásai, RSA algoritmus. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Freud R. – Gyarmati E.: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000. I. Niven – H. S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe. Mőszaki Könyvkiadó, 1978.


labor 0



Feladatmegoldó szeminárium 1 Tematika: A félév folyamán a hallgatók heti rendszerességgel kapnak feladatsorokat a matematika különbözı témaköreibıl. Hangsúlyosan szerepelnek kombinatorikai, analízisbeli és a lineáris algebra témakörébe vágó feladatok. A feladatok nehézségi spektruma széles: bevezetı és gyakorló feladatok mellett minden témakörben rafinált, ötletes megoldásokat igénylı feladatok is szerepelnek. A szeminárium felkészíti a hallgatót az önálló feladatelemzıi és feladatmegoldói munkára. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Haladó feladatgyőjtemények

tárgykód BMEVISZA030


labor 0


kredit 4


Kombinatorika és gráfelmélet 1 Tematika: Leszámlálások (permutációk, variációk, kombinációk, binomiális tétel, binomiális együtthatókra vonatkozó tételek). Nevezetes leszámlálási módszerek, skatulya-elv, szita-módszer. Rekurziók és generátorfüggvények, Fibonacci számok, homogén lineáris rekurziók általában, halmazelméleti és számelméleti partíciók, Catalan-számok. Gráfelméleti alapfogalmak (pont, él, fokszám, izomorfia, út, kör, összefüggıség). Fák, Cayley-tétel, Prüfer-kód. Mohó algoritmus, Kruskal-tétel. Páros gráfok, jellemzésük. Párosítások, König-Hall-Frobenius tétel, Tutte-tétel, Gallai tételei, König tétele. Hálózati folyamok, Ford-Fulkerson tétel, Edmonds-Karp tétel. Kiterjesztések. Menger tételei, gráfok magasabb pont- és él-összefüggıségi számai, Dirac-tétel. Euler-bejárások, Euler tétele. Hamilton-körök és utak, létezésük szükséges feltétele. Elégséges feltételek (Dirac, Ore, Pósa és Chvátal tételei).

Jegyzet, tankönyv, irodalom: Katona Gyula Y., Recski András, Szabó Csaba: A számítástudomány elemei, Typotex, Budapest, 2002 Friedl Katalin, Recski András, Simonyi Gábor: Gráfelmélet példatár, Typotex, Budapest, 2006.

tárgykód BMEGT41A002


labor 0

követelmény kredit tárgytípus félévközi jegy 2 kötelezıen választ.

Kutatásmódszertan Tematika: Célkitőzés, hogy a hallgatók tudatos viszonyt alakítsanak ki saját tudományterületük fogalmi és módszertani eszközeivel. A kurzusban a tudományos megismerés alapvetı jellemzıit és a kutatás legfontosabb módszertani normáit tárgyaljuk. Elemezzük a tudományos gondolkodás fogalmi alapjait (mit értünk tudás alatt, mi az oksági viszony, mi a természeti törvény), valamint megvizsgáljuk a megismerés folyamatának fázisait (tapasztalás, hipotézis- és elméletalkotás). A kutatási módszerek közül tárgyaljuk a kísérlet, a mérés, a kvantifikáció és a hipotézis-ellenırzés (bizonyítás és cáfolás) problémáit, a matematika szerepét a természettudományokban. Megvizsgáljuk, mikor tekinthetünk egy elméletet bizonyítottnak, avagy megcáfoltnak, és hogy milyen vizsgálati eredmények támasztanak alá egy adott elméletet. A kurzus folyamán történeti és kortárs példákkal illusztráljuk, hogy a tudomány mőködése során hogyan valósulnak meg a bemutatott módszertani szabályok. A tudománymetodológia; Tudás és igazolás, avagy mit nevezünk propozicionális tudásnak? (Platóntól Gettier-ig). Okság és szabályszerőség. Az indukció és problémái. A kísérlet helye és szerepe a tudományos megismerésben. Konfirmáció, és a konfirmációs paradoxonok. A bizonyítás logikai fogalmának kialakulása. Kvantifikáció és mérés. A tudományos modellalkotás. Realizmus, instrumentalizmus, és aluldetermináltság. A természeti törvény-fogalom kialakulása és fejlıdése. A természet törvények és a véletlenek. A tudományfejlıdés kérdése. Jegyzet, tankönyv, irodalom: David Papineau: Metodológia: a tudományfilozófia elemei. A. C. Grayling, ed.: Filozófiai Kalauz (Budapest: Akadémiai Kiadó, 1997), 141-202.


labor 0


kredit 2


Algebra 1 Elıkövetelmény: Lineáris algebra ÉS Számelmélet Tematika: Csoport bevezetése, példák. Részcsoport, homomorfizmus, izomorfizmus, automorfizmus, faktorcsoport. Ezen fogalmak megfelelıi győrőkre. Homomorfizmustétel, izomorfizmustételek.

Részcsoport mellékosztályai, index, Lagrange tétele. Normálosztó, normállánc, Jordan-Höldertétel. Kommutátor-részcsoport, centrum, konjugált osztályok, osztályegyenlet, p-csoportok, feloldható csoportok. Permutációcsoportok alapfogalmai, csoporthatás. Az alternáló csoportok egyszerősége. Direkt szorzat és szemidirekt szorzat. Véges Abel-csoportok alaptétele. Sylow-tételek és alkalmazásai. Kis rendő csoportok leírása. Szabad csoportok, definiáló relációkkal megadott csoportok. Dyck tétele. Test feletti polinomok győrője. F[x] ideáljai, maximális ideáljai, faktorai. Z ideáljai és faktorai. Bevezetés a testelméletbe. Testbıvítések, felbontási test. Véges testek, Wedderburn tétele. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Fuchs László, Algebra, Tankönyvkiadó, 1974. Fried Ervin, Algebra II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002 Kiss Emil- Hermann Péter, Bevezetés az absztrakt algebrába, www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook


labor 0



Algebra 1 gyakorlat Elıkövetelmény: Lineáris algebra ÉS Számelmélet Tematika: Csoport bevezetése, példák. Részcsoport, homomorfizmus, izomorfizmus, automorfizmus, faktorcsoport. Ezen fogalmak megfelelıi győrőkre. Homomorfizmustétel, izomorfizmustételek. Részcsoport mellékosztályai, index, Lagrange tétele. Normálosztó, normállánc, Jordan-Höldertétel. Kommutátor-részcsoport, centrum, konjugált osztályok, osztályegyenlet, p-csoportok, feloldható csoportok. Permutációcsoportok alapfogalmai, csoporthatás. Az alternáló csoportok egyszerősége. Direkt szorzat és szemidirekt szorzat. Véges Abel-csoportok alaptétele. Sylow-tételek és alkalmazásai. Kis rendő csoportok leírása. Szabad csoportok, definiáló relációkkal megadott csoportok. Dyck tétele. Test feletti polinomok győrője. F[x] ideáljai, maximális ideáljai, faktorai. Z ideáljai és faktorai. Bevezetés a testelméletbe. Testbıvítések, felbontási test. Véges testek, Wedderburn tétele. Jegyzet, tankönyv, irodalom: B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á., Absztrakt algebrai feladatok JATEPress, 1983. Fuchs László, Algebra, Tankönyvkiadó, 1974. Kiss Emil- Hermann Péter, Bevezetés az absztrakt algebrába, www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook


labor 0


kredit 4


Analízis 2 Elıkövetelmény: Analízis 1 ÉS Lineáris algebra Tematika: 1. Függvénysorozatok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Folytonos függvények tere, uniform norma, teljesség. Egyenletesen konvergens függvénysorozatok határfüggvényének folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága. 2. Függvénysor pontonkénti és egyenletes konvergenciája, Cauchy kritérium, Weierstrass kritérium. Hatványsor tulajdonságai. Feltételek egy függvény és Taylor sorának azonosságára. Elemi függvények megegyeznek a Taylor soraikkal. Binomiális sor. 3. Trigonometrikus sor. Szakaszonként folytonos függvények Fourier sora, egyenletes és pontonkénti konvergencia. 4. Metrikus és Euklideszi tér. A tér teljessége, lokális kompaktsága, Borel tétel. 5. Többváltozós függvények határértéke, folytonossága. Parciális deriváltak, totális differenciálhatóság, derivált mátrix. Láncszabály. Iránymenti derivált. Szélsıérték-számítás. 6. Jordan mérték. Kettıs és hármas integrál. Integrálok transzformációja. 7. Vonalintegrál, potenciálelmélet, felületi integrál. 8. Komplex függvények folytonossága, regularitása. Cauchy-Riemann parciális differenciálegyenletek, harmonikus függvények. Elemi függvények regularitása. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Leindler László: Analízis, Polygon, 2001 Császár Ákos: Analízis I – II.


labor 0



Analízis 2 gyakorlat Elıkövetelmény: Analízis 1 ÉS Lineáris algebra Tematika: 1. Függvénysorozatok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Folytonos függvények tere, uniform norma, teljesség. Egyenletesen konvergens függvénysorozatok határfüggvényének folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága. 2. Függvénysor pontonkénti és egyenletes konvergenciája, Cauchy kritérium, Weierstrass kritérium. Hatványsor tulajdonságai. Feltételek egy függvény és Taylor sorának azonosságára. Elemi függvények megegyeznek a Taylor soraikkal. Binomiális sor. 3. Trigonometrikus sor. Szakaszonként folytonos függvények Fourier sora, egyenletes és pontonkénti konvergencia. 4. Metrikus és Euklideszi tér. A tér teljessége, lokális kompaktsága, Borel tétel. 5. Többváltozós függvények határértéke, folytonossága. Parciális deriváltak, totális differenciálhatóság, derivált mátrix. Láncszabály. Iránymenti derivált. Szélsıérték-számítás.

6. Jordan mérték. Kettıs és hármas integrál. Integrálok transzformációja. 7. Vonalintegrál, potenciálelmélet, felületi integrál. 8. Komplex függvények folytonossága, regularitása. Cauchy-Riemann parciális differenciálegyenletek, harmonikus függvények. Elemi függvények regularitása. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Leindler László: Analízis, Polygon, 2001 Császár Ákos: Analízis I – II.


labor 0


kredit 4


Geometria Elıkövetelmény: Lineáris algebra gyakorlat Tematika: Az elemi euklideszi és hiperbolikus sík- és térgeometria axiomatikus felépítésének vázlata. Modellek. Az egybevágósági transzformációk osztályozása tükrözésekkel. Inverzió. Vektorgeometria elemei, vektoriális és vegyes szorzat, elemi terület- és térfogatmérés. Koordinátázás, az egybevágóságok analitikus kezelése. Térelemek analitikus geometriája, homogén koordináták, kollineációk analitikus alakja. Összefüggıség, homeomorfizmus, görbe, felület fogalma. Sokszögek és poliéderek. Euler féle poliédertétel. Szabályos poliéderek, Cauchy poliédertétel. Gömbi geometria és trigonometria. Az n-dimenziós szabályos poliéderek. Másodrendő felületek, másodrendő görbék szintetikus és analitikus kezelése. Bezout tétele, rend fogalma. Az ábrázoló geometria elemei, egyszerő poliéderek síkmetszete, képsíktranszformáció, méretes alapszerkesztések. Egyképsíkos ábrázolások, axonometriák, perspektívák. Centrális vetítés és projektív bıvítés. Desargues és Pappus-Pascal tétel. Pascal-Brianchon tétel. A projektív síkgeometria önálló felépítése Jegyzet, tankönyv, irodalom: Hajós György: Bevezetés a geometriába, (1960 és további 7 kiadás); (4218) Strommer Gyula: Geometria, (1988, 1992); (44518) G. Horváth Á. – Szirmai. J.: Nemeuklideszi geometriák modelljei, (2004)


labor 0



Geometria gyakorlat Elıkövetelmény: Lineáris algebra gyakorlat Tematika: Hamis bizonyítások, részekre osztások síkban és térben, teljes indukció alkalmazása geometriai feladatoknál. Egybevágósági transzformációk síkban és térben. Komplex számok a geometriai feladatokban. Vektorgeometria elemei, osztóviszony, súlypont, skaláris, vektoriális és vegyes szorzat. Egybevágósági transzformációk leírása (ortogonális trafók). Térelemek analitikus geometriája. Homogén koordinátázás és alkalmazásai. Másodrendő görbék és felületek – koordinátarendszer elforgatása, eltolása, fıtengelytranszformáció, példák. Ábrázoló geometria – testek ábrázolása, síkmet-

szete, metrikus alapfeladatok – perspektívikus ábrázolás – axonometria – projektív bıvítés – a Pappus-Pascal, Pascal-Brianchon és Desargues tételek alkalmazásai feladatokban. Projektív geometria alaptételének alkalmazásai, fixelemek keresése – lencse leképezés. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Reiman István – Nagyné Szilvási Márta: Geometriai feladatok, (1991); (41007) Vermes Imre: Geometria útmutató és példatár, (1993, 1994); (410661) Reiman István: A geometria és határterületei, (1986)


labor 0



Feladatmegoldó szeminárium 2 Elıkövetelmény: Feladatmegoldó szemin. ÉS Analízis 1 gyakorlat ÉS Lineáris algebra gyak. Tematika: A félév folyamán a hallgatók heti rendszerességgel kapnak feladatsorokat a matematika különbözı témaköreibıl. Hangsúlyosan szerepelnek kombinatorikai, analízisbeli és a lineáris algebra témakörébe vágó feladatok. A feladatok nehézségi spektruma széles: bevezetı és gyakorló feladatok mellett minden témakörben rafinált, ötletes megoldásokat igénylı feladatok is szerepelnek. A szeminárium felkészíti a hallgatót az önálló feladatelemzıi és feladatmegoldói munkára. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Haladó feladatgyőjtemények


labor 1



Informatika 2 Elıkövetelmény: Informatika 1 Tematika: Alcím: Imperatív és objektumorientált programozás A tárgy célja az imperatív és az objektumorientált programozás megismerése egy alkalmas nyelv, lehetıleg egy scriptnyelv segítségével (pl. Ruby, Perl). Az egyes nyelvi elemek összehasonlító elemzése során más nyelvek is vizsgálhatók (pl. C++, JAVA, stb.) Tematika: Egyszerő algoritmusok leírása metanyelven, blokkdiagram, stuktogram. Változók, típusok, sztringek, tömbök, értékadás. Szekvencia, elágazás, ciklus. Iteráció, rekurzió. Függvények és eljárások. I/O, fájlkezelés. Adatstruktúrák: lista, verem, fa. Az objektumorientált programozás alapjai: osztály, példány, tagváltozók, metódusok, bezárás, konstruktor, destruktor, operátor overload, öröklés. Szabványos sablon könyvtárak. Kivétel kezelés.

Jegyzet, tankönyv, irodalom: www.ruby-lang.org www.perl.org

tárgykód BMEVISZA031


labor 0



Kombinatorika és gráfelmélet 2 Elıkövetelmény: Kombinatorika és gráfelmélet 1 ÉS Lineáris algebra Tematika: Síkbarajzolhatóság, viszonya a gömb és a tórusz felszínére való rajzolhatósághoz, sztereografikus projekció, Euler-formula. Kuratowski-tétel, Fáry-Wagner tétel. Geometriai és absztrakt dualitás, gyenge izomorfia (2-izomorfia), Whitney tételei. Pont- és élszínezési alapfogalmak, Mycielsky-konstrukció, Brooks-tétel. Ötszíntétel. Vizing tétele, élszínezés kapcsolata a teljes párosításokkal, Petersen-tétel. Dinitz-probléma, listaszínezés, Galvin tétele. Perfekt gráfok, intervallumgráfok, Perfekt gráf tétel. Ramsey-tétel, Erdıs-Szekeres tétel, Erdıs-féle alsó becslés, pár szó a valószínőságszámítási módszerrıl. Turán-tétel, Erdıs-Stone tétel, Erdıs-Simonovits tétel. Hipergráfok, Erdıs-Ko-Rado tétel, Sperner-tétel. LYM egyenlıtlenség. De Bruijn - Erdıs tétel, véges síkok, konstrukciójuk véges testbıl, differencia-halmazokból, BruckRyser tétel. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Katona Gyula Y. – Recski András – Szabó Csaba: A számítástudomány elemei, Typotex, Budapest, 2002 Friedl Katalin – Recski András – Simonyi Gábor: Gráfelmélet példatár, Typotex, Budapest, 2006.


labor 0



Programozási feladat 1 Elıkövetelmény: Informatika 1 Tematika: A tárgy célja, hogy a korábban megszerzett informatikai ismereteket szinten tartsa, illetve elmélyítse. A problémának az Informatika 1 tárgyban tanultakra kell épülnie. A probléma lehet tisztán informatikai tartalmú, de kapcsolódhat az elsı félévben tanult matematikai ismeretek valamelyikéhez is. A

félév folyamán a hallgatónak egy maga által választott, az intézet által kitőzött problémát kell megoldania. A félév végén egy rövid, néhány perces demonstráción kell a mőködı programot bemutatnia az évfolyam többi hallgatója és a témavezetı oktatók elıtt, egyúttal át kell adnia a dokumentált programkódot, és a problémáról és annak megoldásáról írt rövid dolgozatot. Ütemterv: (1) A hallgató a félév elsı két hetében az intézet által kitőzött problémák közül választ egyet. A hallgatónak lehetısége van arra is, hogy saját problémajavaslattal jelentkezzen, ami ha megfelelı, felvehetı a kitőzött problémák közé. (2) A hallgatónak a harmadik hét végéig fel kell vennie a kapcsolatot a feladat témavezetı oktatójával. (3) Legkésıbb öt héttel a félév vége elıtt el kell készülni a programmal, és a róla írt dolgozattal. (4) A következı két hétben a témavezetı oktató áttekinti a megoldást és javaslatokat tesz a hibák kijavítására. (5) Elıre kijelölt idıpontban, de legkésıbb 2 héttel a félév vége elıtt a hallgató egy rövid, néhány perces elıadásban ismerteti a megoldandó feladatot, és a saját, már kijavított megoldását.



labor 0


Információmenedzsment Tematika: Célkitőzés: Megismertetni a hallgatókat a minden vezetı számára szükséges információmenedzsment alapokkal. Saját vezetıi munkájának informatikai támogatása, valamint a különbözı típusú szervezetek informatikai stratégiájának meghatározása, folyamatainak nem-informatikusi felügyelete érdekében. Kitekintést adni a hallgatóknak az információmenedzsment, mint szakma szemléletmódjáról, módszereirıl és fıbb alkalmazási területeirıl. Szervezési célok, erıforrások, stratégiák. Az informatikai stratégiák szerepe. Az információ- és tudásvagyon. Információ győjtés, tárolás, értékelés, felhasználás. A vezetıi munka információtechnológiai támogatása (MIS, EIS, DSS); funkciók, értékek, költségek. A szervezet-mőködtetés információtechnológiai bázisa; funkciók, értékek, költségek. Internet, intranet, extranet üzleti jelentısége a szervezet számára. Az informatikai beruházás és projekt. Az információmenedzser, mint szakmacsoport (információ-bróker, információs tanácsadó, adatraktár menedzser, tudásmérnök, tudásmenedzser



labor 0


Pénzügyek Tematika: A tárgy a befektetési és finanszírozási döntések témakörében alapfokú rendszerismeretet valamint alapfokú döntési feladatok készségszintő megoldását tőzi ki célként. A hallgatók megismerik a fontosabb pénzügyi intézményeket, ezek mőködését, valamint azokat az ügyleteket és pénzügyi terméket, amelyek a pénzügyi piacokat legjobban jellemzik.

Pénzügyi környezet. Pénzügyi rendszer – alapfogalmak és alapelvek. Makrogazdasági tényezık. A pénzügyi közvetítı rendszer. Pénzügyi piacok és piaci struktúrák. Fejlıdésük tendenciái. Pénzügyi termékek - értékpapírok. Pénzügyi termékekhez kötıdı pénzáramok, pénz idıérték számítások. Értékpapírok fogalma, megjelenési formái, csoportosítása. Hitelviszonyt, részesedést megtestesítı értékpapírok, speciális értékpapírok. Értékpapír hozam és árfolyam számítása. Kockázat és hozam preferenciák. Opciók és származtatott ügyletek. Pénzügyi piacok. Pénzpiac és tıkepiac. Elsıdleges és másodlagos piac. Azonnali és határidıs piac. Állampapírpiac. Devizapiac. Budapesti Értéktızsde. Banki mőködés alapjai. A banki mőködés jellemzıi, a bankszektor szabályozása. Banki tevékenység, likviditás és kockázatkezelés. Aktív és passzív bankügyletek. Befektetés elemzés. Vállalati projekt, reáleszköz beruházás gazdasági elemzése. Projekt és vállalatfinanszírozás kérdései. Pénzügyi befektetések elemzési eszközei. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Magyar Gábor: Pénzügyi navigátor, Budapest, 2004.


labor 0


kredit 2


Analízis 3 Elıkövetelmény: Analízis 2 Tematika: 1. Banach fixpont tétele. Implicit függvény tétel, inverz függvény tétel. 2. Mérhetı halmazok, mérték. (Külsı mérték kiterjesztése teljes mértékké, Radon-mértékek.) 3. Lebesgue mérték euklideszi térben. Nem Lebesgue mérhetı halmaz létezése. Lebesgue-Stieltjes mérték. 4. Mérhetı függvények (valós és metrikus térbeli értékő). Luzin, Jegorov, Riesz approximációs és konvergencia tételei. 5. Integrál. Fatou lemma. Beppo-Levi tétel. Lebesgue majorált konvergencia tétele, az integrál szigma-additivitása, abszolút folytonossága. 6. Integrálok kiszámítása. Fubini tétele. Newton-Leibniz formula. Parciális integrálás. RadonNikodym tétel. Integrálok transzformációja. 7. Analitikus függvények. Zérushelyek izoláltsága. Analitikus folytatás. 8. Komplex függvények integrálja. Cauchy alaptétele és annak következményei. Cauchyintegrálformulák, Cauchy-egyenlıtlenség, az algebra alaptétele. 9. Laurent sor. Izolált szingularitások osztályozása. Reziduum-tétel, komplex integrálok meghatározása. Rouchet-tétel, argumentum elv. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Járai A.: Mérték és integrál (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002) Duncan: Komplex függvénytan (Mőszaki Könyvkiadó, 1978) Rudin: Real and Complex Analysis (McGraw-Hill, 1974)


labor 0



Analízis 3 gyakorlat Elıkövetelmény: Analízis 2 Tematika: 1. Banach fixpont tétele. Implicit függvény tétel, inverz függvény tétel. 2. Mérhetı halmazok, mérték. (Külsı mérték kiterjesztése teljes mértékké, Radon-mértékek.) 3. Lebesgue mérték euklideszi térben. Nem Lebesgue mérhetı halmaz létezése. Lebesgue-Stieltjes mérték. 4. Mérhetı függvények (valós és metrikus térbeli értékő). Luzin, Jegorov, Riesz approximációs és konvergencia tételei. 5. Integrál. Fatou lemma. Beppo-Levi tétel. Lebesgue majorált konvergencia tétele, az integrál szigma-additivitása, abszolút folytonossága. 6. Integrálok kiszámítása. Fubini tétele. Newton-Leibniz formula. Parciális integrálás. RadonNikodym tétel. Integrálok transzformációja. 7. Analitikus függvények. Zérushelyek izoláltsága. Analitikus folytatás. 8. Komplex függvények integrálja. Cauchy alaptétele és annak következményei. Cauchyintegrálformulák, Cauchy-egyenlıtlenség, az algebra alaptétele. 9. Laurent sor. Izolált szingularitások osztályozása. Reziduum-tétel, komplex integrálok meghatározása. Rouchet-tétel, argumentum elv. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Járai A.: Mérték és integrál (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002) Duncan: Komplex függvénytan (Mőszaki Könyvkiadó, 1978) Rudin: Real and Complex Analysis (McGraw-Hill, 1974)


labor 0


kredit 4


Differenciálegyenletek Elıkövetelmény: Analízis 2 Tematika: Közönséges differenciálegyenletek: Explicit módon megoldható egyenlettípusok, egzakt és lineáris egyenletek. A kezdetiérték-probléma korrekt kitőzöttsége, egzisztencia, unicitás, folytonos függés a kezdeti értékektıl. Közelítı megoldási módszerek. Lineáris egyenletrendszerek, variációs rendszer. A stabilitáselmélet elemei, stabilitás, aszimptotikus stabilitás, Ljapunov függvények, stabilitás a lineáris közelítés alapján. Síkbeli autonóm egyenletek fázisportréi. Periodikus megoldások. Elemi parciális egyenletek: Elsırendő egyenletek, kapcsolat közönséges egyenletekkel, karakterisztikák módszere. Véges húr transzverzális rezgései: D'Alambert formula, Fourier módszer. Hıvezetési egyenlet: Fourier módszer, diszkretizáció. Maximum-elv.

Jegyzet, tankönyv, irodalom: Simon Péter, Tóth János, Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, Typotex, Budapest, 2005.


labor 0



Differenciálegyenletek gyakorlat Elıkövetelmény: Analízis 2 Tematika: Közönséges differenciálegyenletek: Explicit módon megoldható egyenlettípusok, egzakt és lineáris egyenletek. A kezdetiérték-probléma korrekt kitőzöttsége, egzisztencia, unicitás, folytonos függés a kezdeti értékektıl. Közelítı megoldási módszerek. Lineáris egyenletrendszerek, variációs rendszer. A stabilitáselmélet elemei, stabilitás, aszimptotikus stabilitás, Ljapunov függvények, stabilitás a lineáris közelítés alapján. Síkbeli autonóm egyenletek fázisportréi. Periodikus megoldások. Elemi parciális egyenletek: Elsırendő egyenletek, kapcsolat közönséges egyenletekkel, karakterisztikák módszere. Véges húr transzverzális rezgései: D'Alambert formula, Fourier módszer. Hıvezetési egyenlet: Fourier módszer, diszkretizáció. Maximum-elv. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Simon Péter, Tóth János, Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, Typotex, Budapest, 2005.


labor 0



Differenciálgeometria 1 Elıkövetelmény: Geometria ÉS Analízis 2 Tematika: Görbék differenciálgeometriája eukideszi térben: görbület, torzió, kísérı triéder, Frenet-formulák. A térgörbe meghatározása görbületébıl és torziójából (numerikus megoldás vázlata). Görbesereg burkolója síkban. Evolvens és evolúta síkban. Síkmozgás pályagörbéi, pólusgörbék gördülése. Felületek differenciálgeometriája, elsı és második alapmennyiségek. Simuló paraboloid. Síkmetszet görbék görbülete, Meusnier tétele, fıgörbületek, fıirányok. Felületi pontok osztályozása. Christoffel szimbólumok, Gauss és Weingarten egyenletek. Theorema egregium. Bonnet féle fıtétel (bizonyítás nélkül). Geodetikus, fıgörbületi és aszimptota vonalak. Állandó görbülető forgásfelületek. A variációszámítás elemei, ívhossz és felszín variációja. Euler-Lagrange egyenlet, geodetikusok és minimálfelületek. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Szıkefalvi-Nagy Gyula – Gehér László – Nagy Péter: Differenciálgeometria, 1979 Strommer Gyula: Geometria, 1988, 1992; (44518) Vermes Imre: Geometria útmutató és példatár, 1991; (410661)


labor 1



Informatika 3 Elıkövetelmény: Informatika 1 Tematika: Alcím: Imperatív és objektumorientált programozás A tárgy célja az imperatív és az objektumorientált programozás megismerése, és egy univerzális nyelv használatának elsajátítása. Tematika: Imperatív és objektumorientált programozás megismerése C++ nyelven. PERL vagy RUBY vagy JAVA szóba jön a kapcsolódó tárgyak tartalmának jelentıs megváltozása esetén. Egyszerő algoritmusok leírása metanyelven, blokkdiagram, stuktogram. Változók, típusok, sztringek, tömbök, értékadás. Szekvencia, elágazás, ciklus. Iteráció, rekurzió. Függvények és eljárások. I/O, fájlkezelés. Adatstruktúrák: lista, verem, fa. Az objektumorientált programozás alapjai: osztály, példány, tagváltozók, metódusok, bezárás, konstruktor, destruktor, operátor overload, öröklés. Szabványos sablon könyvtárak. Kivétel kezelés. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Az ismertetett rendszer saját belsı és interneten fellelhetı dokumentációja. Az ismertetett rendszer kutatóinak internetes publikációi. Az elérhetıség (URL/URI) a félév folyamán közzétéve.


labor 0

követelmény Vizsga

kredit 2


Matematikai logika Elıkövetelmény: Algebra 1 Tematika: Az elsırendő logika nyelve és kitekintés a magasabb rendő nyelvekre. Struktúra fogalom, igazságértékelés, igazsághalmazok és tulajdonságaik. Formalizálás fogalma. Logikai következmény fogalma és összevetése az implikációval. Egyszerő tételek: Dedukció tétel, a következmény jellemzése az ellentmondásosság fogalmával. Normálformák: konjunktív, prenex, Skolem. Kompaktsági tétel és alkalmazásai. A bizonyításelméletrıl, levezetési és cáfolati rendszerek. Analitikus fák, a kalkulus és szemantikai háttere. A teljességi tétel és jelentısége. Logikai tulajdonságok szemantikai és bizonyításelméleti definícióinak összehasonlítása. A modell módszerrıl. Löwenheim-Skolem típusú tételek. Néhány modell konstrukció. Standard és nem-standard modellek, valós számok, természetes számok. Kategoricitás, komplettség fogalma, egyszerő tételek. Diszkrét és sőrő rendezések. Az elsırendő logika korlátjairól: nemkomplettség, eldönthetetlenség, Gödel és Church eredményeirıl. Az állításlogika és a Boole algebrák kapcsolatáról. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Ferenczi Miklós: Matematikai Logika, Mőszaki kiadó, 2002 Serény György: A modellelmélet alapjai, BME soksz., 1994


labor 0


kredit 2


Valószínőségszámítás 1 Elıkövetelmény: Analízis 2 ÉS Kombinatorika és gráfelmélet 1 Tematika: 1. Bevezetı, alapfogalmak: empirikus háttér, eseménytér, események algebrája, valószínőség, kombinatorikus megfontolások, szitaformula, urnamodellek, geometriai valószínőség. 2. Feltételes valószínőség: alapfogalmak, teljes valószínőség tétele, Bayes tétel, alkalmazások. Sztochasztikus függetlenség. 3. Diszkrét valószínőségi változók: alapfogalmak, diszkrét eloszlás, bináris-, binomiális-, hipergeometrikus-. geometriai-, negatív binomiális eloszlások. Poisson approximáció, Poisson eloszlás. Alkalmazások. 4. Valószínőségi változók általános fogalma: eloszlásfüggvények és alaptulajdonságaik, abszolút folytonos, folytonos szinguláris eloszlások. Nevezetes abszolút folytonos eloszlások: egyenletes, exponenciális, normális (Gauss), Cauchy. Valószínőségi eloszlások transzformáltjai, sőrőségfüggvény transzformációja. 5. Valószínőségi eloszlások jellemzıi: várható érték, medián, szórásnégyzet, alaptulajdonságaik. Nevezetes eloszlásoknál ezek számolása. Steiner tétel. Alkalmazások. 6. Együttes eloszlások: együttes eloszlásfüggvények, peremeloszlások, feltételes eloszlások. Nevezetes együttes eloszlások: polinomiális, polihipergeometrikus, többdimenziós normális. Feltételes eloszlás- és sőrőségfüggvények. Várható érték vektor, kovariancia mátrix, Schwarz tétel. 7. Nagy számok gyenge törvénye: NSZT binomiális eloszlásra (Bernoulli). Markov. és Csebisev egyenlıtlenség. Nagy számok gyenge törvénye teljes általánosságban. Alkalmazás: Weierstrass approximációs tétele. 8. Binomiális eloszlás normális approximációja: Stirling formula, DeMoivre-Laplace tétel. Alkalmazások. Normális fluktuációk általában, Centrális határeloszlás-tétel. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Rényi Alfréd: Valószínőségszámítás. Tankönyvkiadó 1972 William Feller: An Introduction to Probability Theory and its Applications (magyar kiadás: Mőszaki Könyvkiadó)


labor 0


Valószínőségszámítás 1 gyakorlat Elıkövetelmény: Analízis 2 ÉS Kombinatorika és gráfelmélet 1 Tematika: 1. Eseménytér, események algebrája, valószínőség, stb. 2. Kombinatorikus valószínőség, szitaformula, stb. 3. Feltételes valószínőség, Bayes tétel, stb.


4. Függetlenség, geometriai valószínőségek, stb. 5. Diszkrét valószínőségi változók I.: binomiális-, Poisson-, geometriai-. stb. eloszlás 6. Diszkrét valószínőségi változók II.: várható érték, szórásnégyzet, stb. 7. Folytonos eloszlások, sőrőségfüggvény, stb. 8. Valószínőségi változók transzformáltjai, stb. 9. Várható érték, szórásnégyzet, kovariancia, stb. II. 10. Együttes eloszlások, valószínőségi változók függvényei II. 11. A normális eloszlás (egyes többdimenziós) 12. De Moivre - Laplace tétel és alkalmazásai Jegyzet, tankönyv, irodalom: Rényi Alfréd: Valószínőségszámítás. Tankönyvkiadó 1972 William Feller: An Introduction to Probability Theory and its Applications (magyar kiadás: Mőszaki Könyvkiadó)


labor 0



Önálló kutatási feladat 1 Elıkövetelmény: Analízis 2 ÉS Kombinatorika és gráfelmélet 1 Tematika: A hallgató a félév folyamán egy választott vezetı oktató (tutor) szakmai felügyelete mellett egy cikket vagy könyvfejezetet dolgoz fel önállóan a modern matematika körébıl. A foglalkozás célja az, hogy a hallgatók elsajátítsák az önálló kutatás elemi szabályait, technikáit: idegen nyelvő szakszöveg pontos értése, könyvtár és internet használat, stb. A félév végére a hallgató néhány oldalas írott összefoglalást készít a feldolgozott anyagból angol nyelven, amit rövid szemináriumi elıadásban ismertet.


labor 0



Programozási feladat 2 Elıkövetelmény: Informatika 2 Tematika: A tárgy célja, hogy a korábban megszerzett informatikai, azon belül komputer algebrai ismereteket szinten tartsa, illetve elmélyítse. A problémának az Informatika 2 tárgyban tanultakra kell épülnie. A probléma lehet tisztán informatikai tartalmú, de kapcsolódhat az elsı két félévben tanult matematikai ismeretek valamelyikéhez is. A félév folyamán a hallgatónak egy maga által választott, az intézet által kitőzött problémát kell megoldania. A félév végén egy rövid, néhány perces demonstráción kell a mőködı programot bemutatnia az évfolyam többi hallgatója és a témavezetı oktatók elıtt, egyúttal át kell adnia a doku-

mentált programkódot, és a problémáról és annak megoldásáról írt rövid dolgozatot. Összetett, nagyobb bonyolultságú feladatok megoldására 2-3 fıs csoportok is jelentkezhetnek. Ütemterv: (1) A hallgató a félév elsı két hetében az intézet által kitőzött problémák közül választ egyet. A hallgatónak lehetısége van arra is, hogy saját problémajavaslattal jelentkezzen, ami ha megfelelı, felvehetı a kitőzött problémák közé. (2) A hallgatónak a harmadik hét végéig fel kell vennie a kapcsolatot a feladat témavezetı oktatójával. (3) Legkésıbb öt héttel a félév vége elıtt el kell készülni a programmal, és a róla írt dolgozattal. (4) A következı két hétben a témavezetı oktató áttekinti a megoldást és javaslatokat tesz a hibák kijavítására. (5) Elıre kijelölt idıpontban, de legkésıbb 2 héttel a félév vége elıtt a hallgató egy rövid, néhány perces elıadásban ismerteti a megoldandó feladatot, és a saját, már kijavított megoldását.



labor 0


Innovációmenedzsment Tematika: Az innováció és menedzselése a modern ipari fejlıdés döntı tényezıjévé vált. Az innováció folyamata bizonytalanságokkal terhelt bonyolult út a kifejlett innovációs termékig. Bemutatjuk az innováció un. láncmodelljeit, majd a korszerő hálómodellt. Az innovációs folyamat legfontosabb intézményi szereplıi, az egyetemek (tágabban a tudástermelés szférája), a vállalkozások és az állam az un. „hármas spirálban” hatnak egymásra. A tárgy elemzi ennek dinamikáját, valamint a nemzeti és a regionális innovációs rendszerek szerepét. Ebben a vonatkozásban kiemelten elemzi az egyetemek és az ipar közötti tudástranszfer sajátosságait. A félév során sor kerül a szabadalmi védelem alapvetı sajátosságainak számbavételére.



labor 0


Számvitel Tematika: A számbavétel kialakulása, fejlıdése. ( A számbavételi területek céljai és feladatai. Az újratermelési folyamat modellje. A számbavétel hagyományos témakörei. A beszámolórészek kapcsolódási pontjai.) A számvitel fogalomkészlete. (A pénzforgalmi és az eredményszemlélethez kapcsolódó fogalmak. Gazdasági események hatása a pénzáramlásra és az eredményre. Tartós eszközökhöz kapcsolódó fontosabb fogalmak. Leltározáshoz kapcsolódó fogalmak. Bruttó-nettó szóhasználat a számvitelben.) A Könyvelés eszköztára és módszerei. (A könyvviteli és számviteli fogalmi rendszerezés. (Mintapélda a kettıs könyvvitel logikai rendszerére.) Könyvelés technikai alapok gyakorlása (alapmőveletek, számlasoros könyvelés, idısoros könyvelés analitikával, összesítı ellenırzı kimutatások, nyitás, zárás, mérleg, eredmény kimutatás, zárlati tételek). Beszámolás és könyvvezetés. A számviteli beszámolók általános kérdései. Mérleg értékelése és a fıbb vagyonmozgások. A jöve-

delmezıség (eredmény) számbavételéhez kapcsolódó ismeretek. Hozamok és ráfordítások. Eredmény kimutatás kétféle megközelítésben. Mintapélda az eredmény kimutatás összeállítására. Eredménykategóriák. Mintapélda az eredménykategóriákra. Költségek számbavételéhez kapcsolódó ismeretek. Mintapélda a kiadások, költségek és ráfordítások közötti eltérésre. Költségek csoportosítása. Költségkimutatások. Költség elszámolási technikák (vásárolt és saját termeléső készletekre). Néhány kiemelt vagyon- és forráselem értelmezése, struktúrája, elszámolási szabályai. (Befektetett eszközök számviteli szabályozása. Saját tıke értelmezése, struktúrája, elszámolási szabályai. Osztalékfizetés. Alapítás és a különleges céghelyzetek.)



labor 0


Környezetgazdaságtan Tematika: A gazdaság és környezet konfliktusának ökológiai és közgazdaságtani megközelítése. Schumacher: „A kicsi szép” alapkoncepciója. K. Boulding, H. Daly gazdaság- és piaceszménye. A technikai fejlıdés útjai és az emberi környezet viszonya. Az emberarcú technika, az „őrhajós” gazdaság. A fenntartható fejlıdés fogalma és a megvalósítás lehetséges újai. A Brundtland jelentéstıl a riói Környezet és Fejlıdés Világkonferenciáig. A környezet közgazdasági tartalma. A termelési lehetıségek természeti és gazdasági korlátai. A TL görbék elemzése környezetgazdaságtani összefüggésben. A hagyományos makromutatók hiányosságai (a GDP, GNP torzító jellege) Az új típusú jóléti mutatók: Nettó Gazdasági Jólét (NEW) és a Fenntartható Gazdasági Jólét (ISEW) indexe. A piac lehetıségei és korlátai. A környezeti szabályozáselmélete és gyakorlat.

4. SZEMESZTER, KÖZÖS TÁRGYAK Tárgykód elıadás gyakorlat BMETE13AM16 2 0

labor 0



Fizika 1 matematikusoknak Elıkövetelmény: Analízis 2 Tematika: Tömegpont kinematikája: kinematikai mennyiségek és összefüggéseik különbözı mozgások esetén. Differenciál- és integrálszámítás a fizikában. Az inerciarendszer fogalma. Newton-törvények. A mozgásegyenlet és néhány alkalmazása. Differenciálegyenletek a fizikában. Fizikai kölcsönhatások és erıtörvények. Az erıtér fogalma, vektorterek a klasszikus fizikában. Koordináta-transzformációk és a relativitás elve, a speciális relativitáselmélet alapgondolata. A munka fogalma, a mozgási és helyzeti energia. Tömegpontrendszer mozgása, tömegközépponti tétel, a lendület-, energia- és perdület megmaradásának tétele. A megmaradási tételek szerepe a fizikában. A disszipált mechanikai energia, termikus jelenségek. Az elektrosztatika alapjelenségei, elektromos töltés, elektromos térerısség és elektromos potenciál. Az elektrosztatika I.- és II. alaptörvénye (örvényerısség és forráserısség elektrosztatikus erıtérben).

Az elektromos áram jellemzése. Az elektrosztatika I. alaptörvénye stacionárius áramoknál: Kirchhoff II. törvénye. A kontinuitási egyenlet és speciális esete: Kirchhoff I. törvénye. Mágneses alapjelenségek, a mágneses erıtér jellemzése, a mágneses indukcióvektor. Az állandó mágneses erıtér I. és II. alaptörvénye (örvényerısség és forráserısség). Az elektromágneses indukció alapjelenségei, a Faraday-féle idukciótörvény, Lenz-törvénye. A kontinuitási egyenlet és a mágneses tér I. alaptörvényének ellentmondása: az eltolási áram. Maxwell-egyenletek változó elektromágneses térben (integrális alakban). Jegyzet, tankönyv, irodalom: Budó Á. – Pócza J., Kísérleti fizika I., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest 2000 Hevesi I., Elektromosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest 1999 Tóth A.: Kibıvített óravázlat (internetrıl letölthetı anyag)

Tárgykód BMEGT30A014


labor 0



Mikroökonómia Elıkövetelmény: Valószínőségszámítás 1 gyakorlat Tematika: A piac. A költségvetési korlát. A preferenciák. Hasznosság. Választás. A kereslet. A kinyilvánított preferencia. A Slatsky egyenlet. Vétel és eladás. A munka kínálata. Intertempoláris választások. Az aktívák piacai. Bizonytalanság. Kockázat. A fogyasztói többlet. A piaci kereslet. Az egyensúly. Technológia. Profitmaximalizálás. Költségminimalizálás. Költséggörbék. Vállalati kínálat. Iparági kínálat. Piacok. Monopólium. Oligopólium. Játékelmélet. Csere. Termelés. Jólét. Külsı gazdasági hatások. Közjavak. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Kerékgyártó György: Mikroökonómia. Mőegyetemi Kiadó 2003

Tárgykód BMEVISZA213


labor 0


kredit 4


Algoritmuselmélet Elıkövetelmény: Kombinatorika és gráfelmélet 2 Tematika: Keresı algoritmusok. Alapvetı adatszerkezetek: keresıfa, kiegyensúlyozott keresıfa (AVL-fa), Bfa, hash-tábla, kupac. Rendezı algoritmusok: buborék rendezés, beszúrásos rendezés, összefésülés, kupacos rendezés, gyorsrendezés, láda- és radixrendezés. Alsó becslés az összehasonlító rendezések lépésszámára. Alapvetı gráfelméleti algoritmusok: Mélységi és szélességi bejárás, összefüggı és erısen összefüggı komponensek meghatározása, maximális párosítás keresése páros gráfban.

Legrövidebb utak keresése Dijkstra, Bellman-Ford és Ford algoritmussal. Minimális költségő feszítıfa keresése Prím módszerével, Kruskal algoritmusa és az unióüholvan adatszerkezet. Általános algoritmus-tervezési módszerek: mohó algoritmus, oszd meg és uralkodj, dinamikus programozás, elágazás és korlátozás. Közelítı algoritmus a ládapakolás és az euklideszi utazóügynök problémára. A bonyolultságelmélet alapjai: kiszámíthatóság, NP, NP-teljesség Jegyzet, tankönyv, irodalom: Rónyai Lajos – Ivanyos Gábor – Szabó Réka: Algoritmusok, Typotex, Budapest, 1999. T. Corman – C. Leiserson – R. Rivest – C. Stein: Új algoritmusok, Scolar Kiadó, 2003. Feladatgyőjtemény: http://cs.bme.hu/algel/fasor.pdf

Tárgykód elıadás gyakorlat BMETE93AM05 2 2

labor 0



Operációkutatás Elıkövetelmény: Analízis 2 Tematika: Az LP alap-feladata, példák (táplálási és termék összetételi feladat). A szimplex módszer (táblázat, algoritmus) részletei és használata. A szimplex tábla transzformálása, kétfázisú szimplex módszer. Geometriai szemléltetés, alkalmazások, numerikus példák. Duál szimplex módszer. Dualitás, dualitási tétel, játékelmélet. Szállitási feladat, hozzárendelési feladat. Szimplex a szállítási feladatra: megoldó algoritmus. Nemlineáris programozás, feltétel nélküli és feltételes szélsıérték. Az optimalitás elsı és másodrendő feltételei. Kuhn-Tucker tétel. Konvex optimalizálás. Egész értékő programozás, hátizsák feladat, Gomory metszısík algoritmusa. Hálózati folyamok, Ford-Fulkerson, cimkézési technika és optimalizálás. Sztochasztikus optimalizálás alapjai, konvexitás, kvázikonvexitás. Sztochasztikus optimalizálás: valószínőséggel korlátozott modellek. A pótló függvény és kétlépcsıs feladatok. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Prékopa A.: Lineáris programozás, Bolyai, 1968 (új kiadás megjelenése várható) Wayne L. Winston: Operációkutatás, Módszerek és alkalmazások, I-II. kötet,Aula, Budapest, 2003. Prékopa A.: Stochastic Programming, Akadémia Kiadó, Budapest, 1995


labor 0


Valószínőségszámítás 2 Elıkövetelmény: Valószínőségszámítás 1 ÉS Analízis 3


Tematika: 1. Konvolúció: diszkrét és abszolút folytonos konvolúció; stabilitás (normális és Cauchy); exponenciális konvolőciói: gamma eloszlások, khi-négyzet próba; exponenciális és Poisson eloszlasok kapcsolata; CHT gamma eloszlásokra. 2. Generátor függvény: konvolúció, keverék-eloszlás, véletlen tagszámú összeg generátorfüggvénye; elágazó folyamatok; egydimenziós bolyongások: elérési és visszatérési idık generátor függvényei, rekurrencia, tranziencia. 3. Karakterisztikus függvény: alaptulajdonságok, kapcsolat momentumokkal, momentum probléma; eloszlás függvény rekonstrukciója a karakterisztikus függvénybıl; kontinuitási tétel; centrális határeloszlás-tétel bizonyítása karakterisztikus függvények módszerével. (Vázlatos bizonyításokkal. E pont alatti tételek teljes bizonyítása a Valószínőségszámítás 3 c. tárgyban.) 4. Véges állapotterő Markov láncok: alapfogalmak és példák; sztochasztikus mátrixok lineáris algebrája; állapotok osztályozása: zárt és irreducibilis osztályok, elnyelı és lényegtelen állapotok, periódus; irreducibilis Markov láncok stacionárius eloszlása, ergodikus viselkedése; reverzibilitás és MCMC. 5. megszámlálható Markov láncok: bolyongások Zd-n; rekurrencia, tranziencia, Pólya György tétele; tranziencia, null-rekurrencia, pozitív rekurrencia megszámlálható Markov láncoknál általában; születési-halálozási folyamatok. A gyakorlatok anyaga: feladatsorok a fenti témakörökben. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Rényi Alfréd: Valószínőségszámítás. Tankönyvkiadó 1972 William Feller: An Introduction to Probability Theory and its Applications (magyar kiadás: Mőszaki Könyvkiadó)


labor 0



Önálló kutatási feladat 2 Elıkövetelmény: Önálló kutatási feladat 1 Tematika: A hallgató a félév folyamán egy választott vezetı oktató (tutor) szakmai felügyelete mellett egy cikket vagy könyvfejezetet dolgoz fel önállóan a modern matematika körébıl. A foglalkozás célja az, hogy a hallgatók elsajátítsák az önálló kutatás elemi szabályait, technikáit: idegen nyelvő szakszöveg pontos értése, könyvtár és internet használat, stb. A félév végére a hallgató néhány oldalas írott összefoglalást készít a feldolgozott anyagból angol nyelven, amit rövid szemináriumi elıadásban ismertet.


labor 0


Programozási feladat 3 Elıkövetelmény: Informatika 3


Tematika: A tárgy célja, hogy a korábban megszerzett informatikai, azon belül komputer algebrai ismereteket szinten tartsa, illetve elmélyítse. A problémának az Informatika 3 tárgyban tanultakra kell épülnie. A probléma lehet tisztán informatikai tartalmú, de kapcsolódhat az elsı három félévben tanult matematikai ismeretek valamelyikéhez is. A félév folyamán a hallgatónak egy maga által választott, az intézet által kitőzött problémát kell megoldania. A félév végén egy rövid, néhány perces demonstráción kell a mőködı programot bemutatnia az évfolyam többi hallgatója és a témavezetı oktatók elıtt, egyúttal át kell adnia a dokumentált programkódot, és a problémáról és annak megoldásáról írt rövid dolgozatot. Összetett, nagyobb bonyolultságú feladatok megoldására 2-3 fıs csoportok is jelentkezhetnek. Ütemterv: (1) A hallgató a félév elsı két hetében az intézet által kitőzött problémák közül választ egyet. A hallgatónak lehetısége van arra is, hogy saját problémajavaslattal jelentkezzen, ami ha megfelelı, felvehetı a kitőzött problémák közé. (2) A hallgatónak a harmadik hét végéig fel kell vennie a kapcsolatot a feladat témavezetı oktatójával. (3) Legkésıbb öt héttel a félév vége elıtt el kell készülni a programmal, és a róla írt dolgozattal. (4) A következı két hétben a témavezetı oktató áttekinti a megoldást és javaslatokat tesz a hibák kijavítására. (5) Elıre kijelölt idıpontban, de legkésıbb 2 héttel a félév vége elıtt a hallgató egy rövid, néhány perces elıadásban ismerteti a megoldandó feladatot, és a saját, már kijavított megoldását.

4. SZEMESZTER, ELMÉLETI SZAKIRÁNY tárgykód elıadás gyakorlat labor BMETE91AM04 2 0 0


kredit tárgytípus 2 szakirányon kötelezı

Algebra 2 Elıkövetelmény: Algebra 1 Tematika: Testbıvítések, Galois-bıvítés, Galois-csoport. Galois-elmélet fıtétele. Polinomegyenlet gyökökkel való megoldhatósága, geometriai szerkeszthetıség. Nemkommutatív győrők, ideálok és egyoldali ideálok, test feletti mátrixgyőrő. Ferdetest. Integritási tartományok, egyértelmő faktorizációs tartományok, Euklideszi- és fıideáltartományok. Gauss lemma. Irreducibilis polinomok egyértelmő faktorizációs tartományok és hányadostestük felett. Körosztási polinom. Noether-győrő, Hilbert bázis tétele. Féligegyszerő Artin-győrők, Wedderburn-Artin-tétel. Modulusok, teljes reducibilitás. Csoportalgebra, Maschke-tétel. Szabad, projektív és injektív modulusok. Egzakt sorozatok. Kategóriák. Kovariáns és kontravariáns funktorok. Hom és tenzorszorzásfunktorok. Funktorok természetes transzformációja, kategóriák ekvivalenciája.

Hálók, modularitás, disztributivitás. Véges dimenziós algebrák R felett, Frobenius tétele. Lie-algebrák. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Fuchs László: Algebra, Tankönyvkiadó, 1974. Fried Ervin: Algebra II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002 Kiss Emil – Hermann Péter: Bevezetés az absztrakt algebrába www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook

tárgykód elıadás gyakorlat labor BMETE91AM05 0 2 0

követelmény félévközi jegy


Algebra 2 gyakorlat Elıkövetelmény: Algebra 1 Tematika: Testbıvítések, Galois-bıvítés, Galois-csoport. Galois-elmélet fıtétele. Polinomegyenlet gyökökkel való megoldhatósága, geometriai szerkeszthetıség. Nemkommutatív győrők, ideálok és egyoldali ideálok, test feletti mátrixgyőrő. Ferdetest. Integritási tartományok, egyértelmő faktorizációs tartományok, Euklideszi- és fıideáltartományok. Gauss lemma. Irreducibilis polinomok egyértelmő faktorizációs tartományok és hányadostestük felett. Körosztási polinom. Noether-győrő, Hilbert bázis tétele. Féligegyszerő Artin-győrők, Wedderburn-Artin-tétel. Modulusok, teljes reducibilitás. Csoportalgebra, Maschke-tétel. Szabad, projektív és injektív modulusok. Egzakt sorozatok. Kategóriák. Kovariáns és kontravariáns funktorok. Hom és tenzorszorzásfunktorok. Funktorok természetes transzformációja, kategóriák ekvivalenciája. Hálók, modularitás, disztributivitás. Véges dimenziós algebrák R felett, Frobenius tétele. Lie-algebrák. Jegyzet, tankönyv, irodalom: B. Szendrei M. – Czédli G. – Szendrei Á.: Absztrakt algebrai feladatok JATEPress, 1983. Fuchs László: Algebra, Tankönyvkiadó, 1974. Kiss Emil – Hermann Péter: Bevezetés az absztrakt algebrába, www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook



Funkcionálanalízis Elıkövetelmény: Analízis 3


Tematika: 1. Lineáris terek (lineáris leképezések, algebrai duális, lineáris leképezések mátrixa). 2. Lineáris terek tenzorszorzata (szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorszorzat, bázisok, determináns). 3. Normált terek (példák, Hölder és Minkowski-egyenlıtlenségek, lineáris leképezések folytonossága és korlátossága, operátor normája). 4. Banach-terek (abszolút konvergens sorok konvergenciája és átrendezhetısége, az exponenciális függvény, Neumann-sor). 5. Nevezetes tételek Banach terekben (nyílt leképezés tétele, egyenletes korlátosság tétele, alkalmazás Fourier-sorokra). 6. Duális tér (elpé terek duálisa, Hahn-Banach-tétel, a folytonos függvények terének duálisa). 7. Hilbert-tér (bázis szerinti kifejtés, Riesz lemma, projekció tétel, Riesz-féle reprezentációs tétel). 8. Speciális függvények (Hermite-, és Legendre-polinomok, sorfejtések). 9. Hilbert-terek és lineáris operátorok tenzorszorzata (az algebrai tenzorszorzat és Hilbert-terek tenzorszorzata közötti különbség, L2-terek tenzorszorzata , elemi tenzor normája). 10. Az adjungált (korlátos operátor adjungáltja, önadjungált operátorok, unitér operátorok és projekciók, példák). 11. Topológiák (gyenge topológia a Hilbert-téren, operátorok ponkénti és pontonkénti gyenge konvergenciája, önadjungált operátorok monoton sorozata, unitérek topologikus csoportja). 12. Korlátos operátor spektruma (a spektrum osztályozása, spektrál sugár, rezolvens, spektrum nem üres zárt halmaz állítás bizonyítása.). 13. Kompakt operátorok (a kompakt operátorok ideálja, Hilbert-Schmidt-féle integráloperátor, Green-függvény, Riesz-Schauder tétel). 14. A Fourier-transzformáció (az L1-téren, kiterjesztés az L2-tér unitér operátorává, spektruma, a Fourier-transzformált differenciálhatósága, a Schwartz-tér és topológiája, duálisa, disztribúciók). 15 Nemkorlátos operátorok (az adjungált és szimmetrikus operátorok, a Laplace-operátor, példák). 16. A spektráltétel. 17. Egy-paraméteres unitér csoportok. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Petz Dénes: Lineáris analízis (Akadémiai Kiadó, 2004) Reed – Simon: Functional Analysis Kolmogorov-Fomin: A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei




Funkcionálanalízis gyakorlat Elıkövetelmény: Analízis 3 Tematika: 1. Lineáris terek (lineáris leképezések, algebrai duális, lineáris leképezések mátrixa). 2. Lineáris terek tenzorszorzata (szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorszorzat, bázisok, determináns).

3. Normált terek (példák, Hölder és Minkowski-egyenlıtlenségek, lineáris leképezések folytonossága és korlátossága, operátor normája). 4. Banach-terek (abszolút konvergens sorok konvergenciája és átrendezhetısége, az exponenciális függvény, Neumann-sor). 5. Nevezetes tételek Banach terekben (nyílt leképezés tétele, egyenletes korlátosság tétele, alkalmazás Fourier-sorokra). 6. Duális tér (elpé terek duálisa, Hahn-Banach-tétel, a folytonos függvények terének duálisa). 7. Hilbert-tér (bázis szerinti kifejtés, Riesz lemma, projekció tétel, Riesz-féle reprezentációs tétel). 8. Speciális függvények (Hermite-, és Legendre-polinomok, sorfejtések). 9. Hilbert-terek és lineáris operátorok tenzorszorzata (az algebrai tenzorszorzat és Hilbert-terek tenzorszorzata közötti különbség, L2-terek tenzorszorzata , elemi tenzor normája). 10. Az adjungált (korlátos operátor adjungáltja, önadjungált operátorok, unitér operátorok és projekciók, példák). 11. Topológiák (gyenge topológia a Hilbert-téren, operátorok ponkénti és pontonkénti gyenge konvergenciája, önadjungált operátorok monoton sorozata, unitérek topologikus csoportja). 12. Korlátos operátor spektruma (a spektrum osztályozása, spektrál sugár, rezolvens, spektrum nem üres zárt halmaz állítás bizonyítása.). 13. Kompakt operátorok (a kompakt operátorok ideálja, Hilbert-Schmidt-féle integráloperátor, Green-függvény, Riesz-Schauder tétel). 14. A Fourier-transzformáció (az L1-téren, kiterjesztés az L2-tér unitér operátorává, spektruma, a Fourier-transzformált differenciálhatósága, a Schwartz-tér és topológiája, duálisa, disztribúciók). 15 Nemkorlátos operátorok (az adjungált és szimmetrikus operátorok, a Laplace-operátor, példák). 16. A spektráltétel. 17. Egy-paraméteres unitér csoportok. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Petz Dénes: Lineáris analízis (Akadémiai Kiadó, 2004) Reed – Simon: Functional Analysis Kolmogorov-Fomin: A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei

4. SZEMESZTER, ALKALMAZOTT SZAKIRÁNY tárgykód elıadás gyakorlat labor BMETE91AM17 1 0 2



JAVA és WEB programozás Elıkövetelmény: Informatika 2 Tematika: Dinamikus weboldalak vezérlése JAVAScriptben. Weboldalba ágyazott egyedi célú JAVA kisalkalmazások. Többnézető weboldal-fejlesztés (a telepített plugin-ek kihasználása, képek nélküli verzió, böngészıfüggetlen weboldalfejlesztés, nyomtatóbarát weboldal...) Megjelenítési témák. Tipográfiai korlátok és lehetıségek a web-en. Interaktív oldalak készítése. w3c szabványok, (HTML, XHTML, XML, MATHML, CSS2...), validálás. A weboldal téglalapokra osztása (framek, táblázatok, css2-presentation)

Állapot tárolása a lekérések között: kliens oldalon (cookie) szerver oldalon (session). Kommunikáció a kliens és szerveroldalon futó programok között (XML web-szolgáltatások). Szerveroldali szabványok, CGI, FastCGI. Integrált szerveroldali megoldások: PHP, EJB, ASP.NET A nemprogramozók bevonása a tartalom fejlesztésébe (content management framework: DRUPAL, ZOPE). Adatbázis kezelés alapjai, relációs adatmodell. Az SQL nyelv, egy programváltozat (pl. mySQL) megismerése. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Eckel, B.: Thinking in Java, 4th ed. Prentice-Hall, 2006 Flanagan, D.: JavaScript: The definitive guide, 4th ed., O'Reilly, 2004 Greenspun, P.: Internet Application Workbook, elektronikus jegyzet, MIT




Matematikai kriptográfia és kódelmélet Elıkövetelmény: Algebra 1 Tematika: Klasszikus kripotgráfia elemei. A modern kripotgráfia alapjai: a bonyolultságelmélet, számelmélet, valószínőségszámítás kriptográfiában felhasznált fogalmainak rövid áttekintése. Kiszámíthatóság egyirányú függvények (diszkrét logaritmus, RSA-függvény, Rabin négyzetre emelés függvénye, prím faktorizációval való kapcsolatuk). Álvéletlen generátorok, álvéletelen függvények. Nemfeltáró bizonyítások, és létezésük NPproblémákra. Kódolás és hitelesítés módszerei (privát kulcsú rendszerek, szimmetrikus titkosítási sémák, nyilvános kulcsú rendszerek: RSA-, Rabin-, hátizsák rendszerek, digitális aláírás), kulcs csere (Diffie-Hellman). Kriptográfiai protokollok: két résztvevıs protokollok (oblivious transzfer, bit rábízás, ..), több résztvevıs protokollok, titokmegosztás, elektronikus választás, digitális pénz. Alapvetı kommunikációs-és hibamodellek. A bináris szimmetrikus csatorna. Kódolás, dekódolás, Hamming-távolság. A (blokk) kódok alapvetı paraméterei. Ismétlés: véges testek aritmetikájának rövid áttekintése, létezés, bázisok, primitív elemek, polinomok véges testek felett, számolás véges testekben. Lineáris kódok, generátormátrix, paritás-ellenırzı mátrix. Szindrómákon alapuló dekódolás. A Hamming-kód. Ciklikus kódok, generátor-polinom, ellenırzı polinom. Ciklikus kódok és ideálok. BCH-kódok. Korlát hibajavító képességükre. Berlekamp-Massey-algoritmus. Reed-Solomon- és Justensen-kódok. Az MDS-korlát, optimális kódok. Golay-kódok, perfekt kódok. Korlátok a kódparaméterekre: Varshamov-Gilbert, Delsarte, gömbkitöltési. Reed-Muller-kódok. Kapcsolatuk a Boole-függvényekkel. Goppa-kódok, nem lineáris kódok, konvolúciós kódok. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Buttyán L. – Vajda I.: Kriptográfia és alkalmazásai. Typotex Kiadó, 2004. F.J. MacWilliams – N.J.A. Sloane: The Theory of Error-Correcting Codes. North-Holland, 1977.




Számítógépes grafika Elıkövetelmény: Differenciálgeometria 1 ÉS Informatika 2 Tematika: A számítógépi geometriai modellezés mőveletei (térbeli alakzatok definiálása, összetett modellek szerkesztése, vetítések). Pont-transzformációk és koordináta-transzformációk és alkalmazásaik alakzatok vetületeinek számítására (képsík felvétele, vetítési irány változtatása, ablakra való vágás) Párhuzamos és centrális vetületek számítási módjai. Térbeli alakzatok definiálási módjai CADrendszerekben, testmodellek és felületmodellek. Térbeli alakzatok numerikus leírásának módjai, diszkrét adatrendszerek és analitikus leírás. A spline-technika elemei. A láthatóság szerinti megjelenítés módszerei. Jegyzet, tankönyv, irodalom: J.D. Foley – A. van Dam – S.K. Feiner – J.F. Hughes: Computer Graphics: Principles and Practice (Addison-Wesley) Nagyné Szilvási Márta: Cadkey gyakorlókönyv (Mőegyetemi Kiadó) Nagyné Szilvási Márta: CAD-iskola (Typotex)


labor 0



Fizika 2 matematikusoknak Elıkövetelmény: Fizika 1 matematikusoknak Tematika: A rezgés és hullámtan elemei. Rugalmas hullámok. Az egydimenziós hullámegyenlet származtatása. Hullámok két- és három dimenzióban. Energiaterjedés hullámban. Hullámok szuperpozíciója. Fázis- és csoportsebesség. A Maxwell-egyenletek differenciális alakjainak származtatása. Az elektromágneses hullámegyenlet. Elektromágneses hullámok, energiaterjedés elektromágneses hullámban. A speciális relativitáselmélet alapjai. A Michelson–Morley-féle kísérlet. A Lorentz-transzformáció. Idıdilatáció és Lorentz-kontrakció. Invariáns távolságnégyzet és sajátidı. Energia–impulzusnégyesvektor és megmaradás. Energia-tömeg ekvivalencia. A kvantumfizika bevezetı kísérletei: fotoeffektus és Compton-effektus. A de Broglie-féle hullámhipotézis. Részecske-hullám dualizmus a mikrovilágban. Az atomi színképek és a Bohr-féle posztulátum. A Rutherford-féle kísérlet és a Bohr-modell. A hullámmechanika alapjai. A stacionárius Schrödinger-egyenlet és a hullámfüggvény valószínőségi értelmezése. A stacionárius Schrödingeregyenlet megoldása néhány egyszerőbb esetben. Az alagúteffektus. A határozatlansági relációk és jelentésük. A hidrogénatom: sajátfüggvények és sajátértékek. Az indukált emisszió és a természetes vonalszélesség. A lézer mőködésének alapgondolata. Néhány lézertípus és a lézerek gyakorlati felhasználása.

Az erıs kölcsönhatás mezonelméletének alapgondolata, az atommag-erık eredete. Az atommagok tulajdonságai, kötési energia. A gyenge kölcsönhatás. Magsugárzások. Maghasadás és atommagfúzió. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Budó Á. – Pócza J.: Kísérleti fizika I., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest 2000 Budó Á. – Mátrai T.: Kísérleti fizika III., Tankönyvkiadó, Budapest 1970 Alonso M. – Finn E.J.: Fundamental University Physics Vol. II-III., Addison Wesley, Reading Massachusets, 1980

Tárgykód BMEGT30A015


labor 0



Makroökonómia Elıkövetelmény: Valószínőségszámítás 1 gyakorlat Tematika: A nemzetgazdasági teljesítmény mérése. A makroökonómia legfontosabb mutatószámai: Brutto Hazai Termék (GDP); Brutto Nemzeti Termék (GNP); nominál és reál GDP; a GDP deflátor. A megélhetési költségek mérése: a fogyasztói árindex (CPI); a CPI és a GDP deflátor. A nemzeti jövedelem (NI): termelése, elosztása, felhasználása. A gazdasági növekedés fogalma és fı tényezıi. A munkanélküliség fajtái, szerkezete és következményei. A termelési tényezık nemzetközi áramlása. Globalizáció és regionális integráció. A gazdasági ingadozások elmélete: aggregált kereslet és aggregált kínálat. Az ingadozások magyarázata az IS-LM modellel. Az árupiac és a IS görbe. A pénzpiac és az LM görbe. A keynesi kereszt. Aggregált kereslet és kínálat a nyitott gazdaságban: a Mundell-Fleming-modell. Az infláció, munkanélküliség és a Philips görbe. A gazdasági ingadozások legújabb elméletei. A makroökonómia mikroökonómiai háttere. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Kerékgyártó György: Makroökonómia. Mőegyetemi Kiadó 2004


labor 0


kredit 4


Matematikai statisztika Elıkövetelmény: Valószínőségszámítás 2 Tematika: 1. Statisztikai alapfogalmak. Statisztikai mezı, statisztikai minta, adatok áttekintése, statisztikák, rendezett minták. Glivenko-Cantelli tétel, Kolmogorov-Szmirnov tételkör. Elégségesség, teljesség, exponenciális eloszláscsalád. 2. Becsléselmélet. Pontbecslések tulajdonságai: torzítatlanság, konzisztencia, efficiencia. Fisherinformáció, Cramer-Rao egyenlıtlenség, Rao-Blackwell-Kolmogorov tétel. Becslési módszerek: maximum likelihood elv, momentumok módszere, Bayes módszer. Intervallumbecslések.

3. Hipotézisvizsgálat. Statisztikai próbák általános elmélete. Neyman-Pearson alaplemma. Próbák konstrukciója. Paraméteres- és nemparaméteres próbák. Szekvenciális eljárások (Wald-féle valószínőséghányados próba). 4. Lineáris modell, legkisebb négyzetek módszere. Gauss-Markov tétel. Regressziós görbe és felület. Lineáris regresszióra visszavezethetı modellek illesztése statisztikai mintára. Hipotézisvizsgálat Gauss háttéreloszlás esetén. 5. Eloszlásfüggvény és funkcionáljainak becslése. Sőrőségfüggvény becslése. Alakfelismerés. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Bolla Marianna – Krámli András: Statisztikai következtetések elmélete, tankönyv, Typotex, Budapest (2005). Borovkov, A. A.: Matematikai statisztika, Typotex, Budapest (1999). Móri, F. T. – Szeidl, L. – Zempléni, A.: Matematikai statisztika példatár, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest (1997).


labor 2


kredit 6


Numerikus módszerek Elıkövetelmény: Analízis 2 ÉS Differenciálegyenletek Tematika: MATLAB numerikus szoftver használata. Hibaszámítás. Lineáris egyenletrendszerek direkt es iteratív megoldása: Gauss elimináció, Gauss transzformáció. Mátrixok faktorizációi. Lineáris egyenletrendszerek kondicionáltsága. Jacobi-, Seidel-, SOR iteráció; az iteráció konvergenciája, hibabecslése. Optimalizációs típusú eljárások lineáris egyenletrendszerek megoldására. Sajátértékek becslése. Hatványmódszer mátrixok sajátérték - sajátvektor feladatára. Inverz hatvány módszer. Mátrixok speciális alakra való transzformálása. Jacobi módszer sajátértékek és sajátvektorok meghatározására. QR módszer sajátértékek meghatározására. Közönséges interpoláció polinommal. Hermite-féle interpoláció. Interpoláció harmadfokú spline-nal. Közelítés legkisebb négyzetek értelemben polinommal és trigonometrikus polinommal; trigonometrikus interpoláció; a gyors Fouriertranszformáció alapja. Numerikus integrálás: Newton – Cotes formulák és alkalmazásuk. Gausstípusú kvadratúrák. Nemlineáris egyenlet-rendszerek megoldása. Polinomok gyökei. Közönséges differenciálegyenletek kezdetiérték feladatainak numerikus megoldása: egylépéses módszerek alapfogalmai; Runge-Kutta formulák, egylépéses módszerek stabilitása, konvergenciája és hibabecslése. Többlépéses módszerek. Jegyzet, tankönyv, irodalom: A. Quarteroni – R. Sacco – F. Saleri: Numerical Mathematics, New York, Springer 2000 J. Stoer – R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis, New York, Springer 2002 Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus Módszerek I-II. ELTE Typotex 1993, 1995


labor 0


Tárgytípus Kötelezı

Önálló kutatási feladat 3 Elıkövetelmény: Önálló kutatási feladat 2 Tematika: A hallgató a félév folyamán egy választott vezetı oktató (tutor) szakmai felügyelete mellett egy cikket vagy könyvfejezetet dolgoz fel önállóan a modern matematika körébıl. A foglalkozás célja az, hogy a hallgatók elsajátítsák az önálló kutatás elemi szabályait, technikáit: idegen nyelvő szakszöveg pontos értése, könyvtár és internet használat, stb. A félév végére a hallgató néhány oldalas írott összefoglalást készít a feldolgozott anyagból angol nyelven, amit rövid szemináriumi elıadásban ismertet.



kredit Tárgytípus 2 szakirányon kötelezı

Analízis 4 Elıkövetelmény: Analízis 3 Tematika: 1. Euklideszi térben klasszikus trigonometrikus és algebrai ortogonális rendszerek. 2. Normált terek, ortogonális sorfejtések, konvergencia és divergencia tételek különbözı normákban. 3. Polinom approximáció véges és végtelen intervallumokon. 4. Szummációs eljárások, Lebesgue függvény, szaturációs tételek. 5. Speciális növekedéső polinomok, kapcsolatuk a potenciál elmélettel. 6. Interpolációs eljárások, optimális pontrendszerek. 7. Spline függvények. 8. Bevezetés a wavelet elméletbe. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Szıkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó 1975. G.G. Lorentz – M. V. Golitschek – Y. Makorov: Constructive Approximation, Springer, 1966.



Differenciálgeometria 2 Elıkövetelmény: Differenciálgeometria 1


Tematika: Felületek leképezése és a térképkészítés, szög- és területtartás feltétele. Topológiai alapok, differenciálható függvények és leképezések. Differenciálható sokaságok, nevezetes példák (gömb, projektív sík d-dimenziós általánosítás). Felületek topológiai osztályozása, fundamentális csoport. Tenzorok elmélete, differenciálformák, külsı deriválás, általános Stokes tétel, de Rham kohomológia fizikai alkalmazások. Riemann sokaságok, komplex koordináták, állandó görbülető terek és Lie csoportok. Érintıtér, érintı lineáris leképezés, érintınyaláb. Vektormezık, Lie-zárójel, torzió- és görbületi tenzor és ezek lokális komponensei. Morse elmélet és Gauss-Bonnet tétel. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Szıkefalvi-Nagy Gyula – Gehér László – Nagy Péter: Differenciálgeometria (1979) Dubrovin – Fomenko – Novikov: Modern Geometry I, II Szenthe János: Bevezetés a sima sokaságok elméletébe




Differenciálgeometria 2 gyakorlat Elıkövetelmény: Differenciálgeometria 1 Tematika: Felületek leképezése és a térképkészítés, szög- és területtartás feltétele. Topológiai alapok, differenciálható függvények és leképezések. Differenciálható sokaságok, nevezetes példák (gömb, projektív sík d-dimenziós általánosítás). Felületek topológiai osztályozása, fundamentális csoport. Tenzorok elmélete, differenciálformák, külsı deriválás, általános Stokes tétel, de Rham kohomológia fizikai alkalmazások. Riemann sokaságok, komplex koordináták, állandó görbülető terek és Lie csoportok. Érintıtér, érintı lineáris leképezés, érintınyaláb. Vektormezık, Lie-zárójel, torzió- és görbületi tenzor és ezek lokális komponensei. Morse elmélet és Gauss-Bonnet tétel. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Szıkefalvi-Nagy Gyula – Gehér László – Nagy Péter: Differenciálgeometria (1979) Dubrovin – Fomenko – Novikov: Modern Geometry I, II Szenthe János: Bevezetés a sima sokaságok elméletébe




Halmazelmélet Elıkövetelmény: Matematikai logika Tematika: Halmazok ekvivalenciája. Halmaz és hatványhalmaza nem ekvivalens. Számosság naiv definíciója és a definíció ellentmondásossága. A ZFC axióma rendszer. Új operációk és relációk bevezetése. Rendezett pár, függvény, reláció, direkt szorzat fogalma.

Rendezett halmaz, jólrendezés, kezdıszelet fogalma. Rendszámok és alaptulajdonságaik. A rendszámok valódi osztályt alkotnak. Rákövetkezı és limesz rendszámok. Transzfinit indukció és rekurzió. A kiválasztási axióma ekvivalensei. Számosság operációk, számosságok rendezése, a számosság aritmetika alap tétele. Kofinalitás operáció. Néhány nevezetes ZFC-tıl független állítás. ZFC eldönthetetlensége. A halmazelmélet modelljeirıl. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Hajnal András, Hamburger Péter, Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, 1983 Ferenczi Miklós, Matematikai Logika, Mőszaki Kiadó, 2002 Serény György, Halmazelmélet, BME Soksz. jegyzet




Valószínőségszámítás 3 Elıkövetelmény: Valószínőségszámítás 2 Tematika: 1. Nagy számok törvényei: Markov és Csebisev egyenlıtlenségek, nagy számok gyenge törvénye (ism); Borel-Cantelli lemma, nagy számok erıs tırvénye negyedik momentummal; Kolmogorov egyenlıtlenség és Kolmogorov féle nagy számok erıs törvénye teljes pompájában; Kolmogorov null-egy törvény. 2. Karakterisztikus függvények: általánosságok (ism); Fourier analízis elemei: Fourier inverzió, Bochner tétel. 3. Valószínőségi mértékek sorozatának gyenge konvergenciája metrikus tereken; feszesség és Prohorov tétel; eloszlások gyenge konvergenciája és karakterisztikus függvények pontonkénti konvergenciája, kontinuitási tétel; határeloszlás-tételek bizonyítása karakterisztikus függvények módszerével, centrális határeloszlás-tétel; stabilis eloszlások és határeloszlások. 4. Kiegészítések a centrális határeloszlás-tételhez: a konvergencia sebessége (Berry-Essén), lokális CHT, Lindeberg-Feller tétel. 5. Iterált logaritmus tétel. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Rényi Alfréd: Valószínőségszámítás. Tankönyvkiadó 1972 R. Durrett: Probability Theory with Examples David Williams: Probability with Martingapes. Cambridge Univ. Press




Dinamikai modellek a biológiában Elıkövetelmény: Analízis 2 ÉS Differenciálegyenletek Tematika: Populációdinamika. Diszkrét idejő modellek, diszkrét generációk, Leslie mátrix, korstruktúra. Folytonos idejő modellek. Kétdimenziós modellek. Rosenzweig-MacArthur grafikus kritérium. Táplálékláncok. Kompetitív és kooperatív rendszerek. n-dimenziós Lotka-Volterra és Kolmogorov rendszerek, osztályozás. Ökológiai nichek átfedése, a versengı kizárás elve. r-stratéga és K-stratéga versenye. Korstruktúrával rendelkezı populációk. Térben elhelyezkedı ökológiai rendszerek dinamikája, migráció. Mintázatképzıdés és populációs hullámok. A stabilitás és komplexitás viszonya ökológiai rendszerekben. Járványterjedés. SIR modellek és ezek gyakorlati alkalmazásai, a járványküszöb meghatározása. Járvány terjedése térben, haladó hullám a járványmentes térben. A populációmentes védısáv becslése. Nemi úton terjedı betegségek. Párképzıdés modellezése, a "házasodási függvény". Nemi betegségek terjedése több csoportra osztható populációban. Kortól függı járványterjedési modellek. Evolúcióelmélet és populációgenetika. A szelekció, a rekombináció és a mutáció modellezése. A Fisher egyenlet, a természetes kiválasztás alaptétele. A Kimura-féle maximumelv, Shahshahani metrika. Epistasis. A hiperciklus, a DNS és az RNS autokatalízisének kialakulása. Játékelméleti modellek, az ivaros szaporodás kialakulása, altruizmus. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Farkas M., Dynamical models in biology. Academic Press, 2001. Svirezhev, Logofet, Stability of biological communitics. MIR, 1983. Murray, Mathematical biology. Springer-Verlag, 1989.




Matematikai modellalkotás szeminárium Elıkövetelmény: Analízis 2 ÉS Algebra 1 Tematika: Külsı és belsı elıadók megismertetnek a matematikai modellalkotásnak, a matematika különféle típusú alkalmazásainak példáival, esettanulmányokkal, konkrét esetek bemutatásától elvi jelentıségő taglalásáig.




Mesterséges intelligencia logikai módszerei Elıkövetelmény: Algoritmuselmélet ÉS Informatika 1

Tematika: A logika szerepe a mesterséges intelligenciában: hétköznapi gondolkodás formalizálása, tudásreprezentáció, tervezés. Tudásreprezentáció kijelentés és elsırendő logikában. Praktikus elsırendő logika, az elsırendő logika variánsai és gyengítései: szemantikus hálók, leíró logikák, igazság-karbantartó rendszerek. Játékstratégiák és formális logika, játékok, mint keresési stratégiák. Modális logika: Kripke-szemantika, teljességi tételek, véges frame tulajdonság, eldönthetıség, temporális logika, dinamikus logika, elsırendő modális logika. Modális logika egy alkalmazása: tudásról való érvelés többszereplıs rendszerekben. A tervezés logikái: szituációkalkulus, eseménykalkulus. Bizonytalan tudás és következtetés: valószínőségi (induktív) logika, következtetések valószínőséggel, valószínőségi hálók, nem-monoton logika. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Fagin, R. – Halpern, J.Y. – Moses, Y. – Vardi, M.Y.: Reasoning About Knowledge, MIT Press, 1995. Goldblatt, R.: Logics of Time and Computation, 2nd ed, CSLI Publications, 1992. Russell, S. – Norvig, P.: Mesterséges intelligencia modern megközelítésben, PANEM, 2000.




Optimalizálási modellek Elıkövetelmény: Analízis 2 ÉS Informatika 1 Tematika: Matematikai programozási feladatok, ezek osztályozása. A számítógépes megoldás lépései. Modell leírási technikák, fájlformátumok, modellezési nyelvek. Solverek. Az AMPL modellezı nyelv. Bevezetés a CPLEX solver használatába. A megoldási algoritmusok sajátosságai, kiválasztásuk. Paraméterek beállításai. A megoldás értelmezése. A Neos server használatának ismertetése. Általános és speciális lineáris programozási, egészértékő, nem lineáris és sztochasztikus modellek és megoldásuk. Jegyzet, tankönyv, irodalom: http://www-neos.mcs.anl.gov/neos/ http://www.ampl.com/ http://www.ilog.com/products/cplex/




Statisztikai programcsomagok Elıkövetelmény: Valószínőségszámítás 2 ÉS Informatika 1

Tematika: 1. Adatkezelés. Statisztikai adatok típusai, rögzítése. Az Excel nyújtotta táblázatkezelési lehetıségek, alapstatisztikák számolása. 2. A legfontosabb statisztikai programcsomagok alkalmazásorientált áttekintése: az alkalmazási problémának megfelelı programok kiválasztása és az output eredmények interpretálása. Tesztadatok és a valódi életbıl vett adatok vizsgálata ilyen szempontból. 3. Egy, a tanszéken hozzáférhetı statisztikai programcsomag (jelenleg SPSS: Statistical Package for Social Sciences) használata és lehetıségeinek áttekintése: adatkezelés, grafikus megjelenítés, statisztikai programok. A hangsúly az utóbbiak részletes megismerése a leíró statisztikáktól és egyszerő statisztikai próbáktól kezdve a többváltozós statisztikai módszerekig (regresszió-, variancia-, fıkomponens-, faktor-, korreláció-, cluster-, korrespondanciaanalízis, többdimenziós skálázás), idısoros és túlélési modellekig. 4. Egyéb programcsomagok (pl. BMDP, SAS) lehetıségeinek vázlatos áttekintése. 5. Egy többváltozós adatrendszer önálló elemzése a rendelkezésre álló módszerekkel. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Ketskeméty László – Izsó Lajos: Bevezetés az SPSS programrendszerbe, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest (2005). Bolla, M. – Krámli A.: Statisztikai következtetések elmélete, Typotex, Budapest (2005). Barna, M.: SPSS túlélıkészlet, Typotex, Budapest (2004).


labor 4



Informatika 4 Elıkövetelmény: Informatika 2 ÉS Informatika 3 Tematika: Alcím: Egy programozási rendszer magas szintő megismerése, a szoftverfejlesztés alapjai Cél: Egy, a természettudományos problémák kezelésére kifejezetten alkalmas nyelv (pl. C++) megismerése, és segítségével egy összetettebb feladat megoldása. Tematika: A nyelv (C++) haladó szintő megismerése (pl. C++ esetén portábilis GUI (wxWidgets), ASCII nyelvi interfészek (XML parzerek, flex, bison, …)). Nagy programok csomagokra bontása. Programrészek kommunikációs felületei, interfészek, absztrakt osztályok, szerializáció, XML WEB-szolgáltatások. Eseményvezérlet programozás. Grafikus (web-es) felhasználói felület. Model-view-kontroller architektúra. Integrált fejlesztıkörnyezetek megismerése (pl. KDevelop, Eclipse). Felhasználóbarát szoftverfejlesztés. Szoftvertesztelés, szoftver minısége (regressziós teszt, fordítási figyelmeztetések, típusosság, futási idejő memóriahasználat ellenırzés, futási idejő nyomkövetés). Modell alapú szoftverfejlesztés (Petri háló, UML). Jegyzet, tankönyv, irodalom: C++ és egyéb online oktatási anyagok Stroustrup – Bjarne: A C++ programozási nyelv. Budapest, Kiskapu 2001.


labor 0



Szakdolgozat Elıkövetelmény: Önálló kutatási feladat 2 Tematika: E tárgy keretében készítik el a végzıs hallgatók szakdolgozatukat, amelyben számot adnak arról, hogy az elsajátított ismereteket önállóan és alkotó módon tudják használni.




Parciális differenciálegyenletek Elıkövetelmény: Differenciálegyenletek ÉS Funkcionálanalízis Tematika: Laplace-Poisson egyenlet Dirichlet peremfeltétellel. Klasszikus megoldások: unicitás és folytonos függés, maximum-elv, integrálreprezentációk, példa klasszikus megoldás nemlétezésére. Általánosított/gyenge megoldások: Szoboljev terek, variációs elv, korrekt kitőzöttség, végeselem módszer. Kapcsolat a funkcionálanalízissel: a változók szétválasztása módszer jogosultsága. Közönséges differenciálegyenletek peremérték-problémái, variációszámítás. Elliptikus, parabolikus, hiperbolikus egyenletek: összehasonlítás. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Jürgen Jost: Partial Differential Equations, Springer, Berlin, 2002.




Sztochasztikus folyamatok Elıkövetelmény: Valószínőségszámítás 3 Tematika: 1. Alapfogalmak: sztochasztikus folyamat; véges dimenziós peremeloszlások; Kolmogorov alaptétel; stacionárius, stacionárius növekményő, független növekményő folyamatok. 2. Ismétlés a Valószínőségszámítás 3 címő tárgy anyagából: véges és megszámlálható Markov láncok elméletének alapjai. 3. Bolyongások Z1-en: tükrözési elv és a maximum határeloszlása; differenciaegyenletek valószínőségszámítási jelentése; kapcsolat parabolikus es elliptikus parciális differenciálegyenletekkel.

4. Folytonos idejő, diszkrét állapotterő Markov folyamatok: a Poisson folyamat; folytonos idejő, diszkrét állapotterő Markov láncok fenomenologikus leírása: ugrási ráták, exponenciális órák; átmenet valószínőségek mátrixának félcsoportja: Kolmogorov-Chapman egyenlet, infinitezimális generátor; véges állapottér: konkrét példák; megszámlálható állapottér: születési-halálozási és sorbanállási folyamatok, tranziencia, null-rekurrencia, pozitív rekurrencia jellemzése. 5. Mértékelméleti kiegészítések: filtrációk, adaptált folyamatok, természetes filtráció; feltételes valószínőség: létezés és egyértelmőség (Kolmogorov tétele), alaptulajdonságok. 6. Diszkrét idejő martingálok: martingál, szubmartingál, szupermartingál, konkrét példák; megállási idı; megállított martingál, Doob tétele; martingál konvergencia tétel; szubmatringál egyenlıtlenség; Azuma-Höffding egyenlıtlenség, következmények. 7. A Brown mozgás: definiáló tulajdonságok; kovarianciastruktúra; P. Lévy konstrukciója; néhány alaptulajdonság: folytonos, de sehol sem differenciálható trajektóriák, tükrözési elv, önhasonlóság (self-similarity), skála-invariancia, szinthalmazok fraktális szerkezete; néhány alkalmazás. 8. Diffúziók: Brown mozgás kapcsolata a hıvezetés egyenletével; diffúziós félcsoportok infinitezimális tulajdonságai: lokális struktúra: lokális drift és diszperzió; a diffúziós egyenlet: parabolikus parciális differenciálegyenlet; infinitezimális generátor; konkrét példák: standard, sodródó és tükrözött Brown mozgás, Ornstein-Uhlenbeck Bessel, stb. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Rényi Alfréd: Valószínőségszámítás. Tankönyvkiadó 1972 Richard Durrett: Probability Theory with Examples. David Williams: Probability with Martingales. Cambridge Univ. Press.




Biztosításmatematika Elıkövetelmény: Valószíőségszámítás 1 Tematika: a) Biztosítási alaptípusok: Élet, vagyon, felelısség, baleset, egészség. b) Egyéni kockázat modellje – Kárösszeg meghatározása, Normális közelítés c) Nevezetes kárszám eloszlások (Poisson, negatív binomiális, stb.) d) Nevezetes káreloszlások (Exponenciális, gamma, Pareto, lognormális, stb.) e) Összetett kockázat modellje – Panjer - rekurzió, Összetett Poisson eloszlások f) Díjkalkulációs elvek – Klasszikus díjelvek: várhatóérték elve, maximális veszteség elve, kvantilis elv, szórás ill. szórásnégyzet elve, – Átlagos érték elve – Elméleti díjelvek: zéró hasznosság elve, svájci díjkalkulációs elv, veszteségfüggvény elv. g) A díjkalkulációs elvek tulajdonságai ( Várható érték túllépése, no-ripoff feltétel, Rendezés megtartás, Homogenitás, additivitás, eltolás invariancia, iterálhatóság, szubadditivitás)

h) életbiztosítás díjszámítása, tartalékolás i) Credibility elmélet, Bühlmann modell, Bühlmann - Straub modell, Tapasztalati díjszámítás j) Bónusz rendszerek, Kármentességi díjvisszatérítések, engedmények, Bónusz - málusz rendszer j) Tartalékszámítás, Meg nem szolgált díjak tartaléka, függıkár, IBNR, matematikai tartalék, kifutási háromszög, stb. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Arató Miklós, Általános biztosításmatematika. ELTE jegyzet, 2000.




Közgazdasági és pénzügyi matematika Elıkövetelmény: Valószínőségszámítás 2 Tematika: A közgazdaságtan a társadalom gazdasági folyamatait elemzi. Egy bevezetésben célszerő a részletek mellızésével az egész közgazdaságtant áttekinteni. A közgazdaságtan magva a mikroökonómia, amely a fogyasztók és a vállalatok döntéseit adott gazdasági keretek mellett vizsgálja. Bemutatja, hogy a profitmaximalizáló vállalatok és a hasznosságmaximalizáló egyének összjátékából hogyan alakul ki a piaci egyensúly, amely bizonyos értelemben optimális. Vannak olyan gazdasági kérdések, (például a gazdasági növekedés, az infláció vagy a munkanélküliség), amelyeket nem lehet egyszerően mikroökonómiai alapon levezetni. Ezek vizsgálatával a makroökonómia foglalkozik. A hagyományos közgazdaságtan elsısorban a tökéletes verseny, vagy a tökéletes monopólium esetét vizsgálja, vannak azonban fontos köztes esetek, amikor egynél több szereplı hat egymásra, de olyan kevesen vannak, hogy nem lehet elhanyagolni egymásra hatásukat: játékelmélet. A gazdasági szereplık tényleges viselkedését matematikai statisztika eszközeivel is vizsgálhatjuk: ökonometria. Bár a közgazdaságtan alapmodelljei általában statikusak, egyre inkább elıtérbe kerülnek a dinamikus elemzések is (pl. a már említett gazdasági növekedés mellett a ciklusoké). Végül nem lehet figyelmen kívül hagyni a pénzügyi matematikát sem, amely a nagy matematikai tudást igénylı sztochasztikus folyamatokra épül. Jegyzet, tankönyv, irodalom: Varian, H.: Mikroökonómia középfokon, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 2001. Hall, R. – Taylor, J.: Makroökonómia, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1997.

Tárgykód elıadás gyakorlat labor BMETE9_AM__ 2 2 0



Sztochasztikus modellek a bioinformatikában Elıkövetelmény: Valószínőségszámítás 2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR DÉKÁNI HIVATALA ÉS HALLGATÓI KÉPVISELETE A Dékáni Hivatalának címe: 1111 Budapest, Mőegyetem rkp. 3. K. ép. I. em. 56. Dékán: DR. MOSON PÉTER egyetemi docens Dékánhelyettesek: Gazdasági: DR. LÁNGNÉ DR. LÁZI MÁRTA egyetemi docens Nemzetközi és tudományos: DR. MAKAI MIHÁLY egyetemi tanár Oktatási: DR. PIPEK JÁNOS egyetemi docens Dékáni Hivatal Titkárság: Telefon: 463-3561, Telefax: 463-3560 Hivatalvezetı: DR. CSÁKÁNY ANIKÓ egyetemi adjunktus Ügyintézı: OZSVÁTHNÉ BENKÓ RITA (nemzetközi és tudományos ügyek) Titkárnı: GYULAI TÜNDE Gazdasági csoport: Telefon: 463-3756 Gazdasági ügyek: HARTL BÉLÁNÉ elıadó Munkaügyek: TORMA ANTALNÉ elıadó Tanulmányi csoport: telefon: 463-1919 Doktori iskolák: VIDA MÁRIA elıadó Kari Hallgatói Képviselet cím: Wigner Jenı Kollégium, 1117 Budapest, Dombóvári út 3. B.401 telefon: (1) 463-4155 e-mail: [email protected] honlap: http://hk.wigner.bme.hu Kari lap: Pikkász a szerkesztıség címe: Wigner Jenı Kollégium, 1117 Budapest, Dombóvári út 3. B.402. telefon: (1) 463-4155 e-mail: [email protected] honlap: http://pikkasz.wigner.bme.hu

A TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR INTÉZETEI ÉS TANSZÉKEI Fizikai Intézet – igazgató: DR. KERTÉSZ JÁNOS akadémikus, egyetemi tanár 1111 Budapest, Budafoki út 8. F. épület, III. lh., mf. 5 Telefon: 463-4107, Telefax: 463-3567. Atomfizika Tanszék – tanszékvezetı: DR. RICHTER PÉTER egyetemi tanár 1111 Budapest, Budafoki út 8. F. épület, III. lh., mf. 44 Telefon: 463-4193, Telefax: 463-4194. Elméleti Fizika Tanszék – tanszékvezetı: DR. SZUNYOGH LÁSZLÓ egyetemi docens 1111 Budapest, Budafoki út 8. F. épület, III. lh., mf. 5 Telefon: 463-4107, Telefax: 463-3567. Fizika Tanszék – tanszékvezetı: DR. MIHÁLY GYÖRGY akadémikus, egyetemi tanár 1111 Budapest, Budafoki út 8. F. épület, III. lh., II. em. 16 Telefon: 463-2312, Telefax: 463-4180. – Kémiai Fizika Tanszéki Csoport – vezetıje: DR. NOSZTICZIUS ZOLTÁN egyetemi tanár 1111 Budapest, Budafoki út 8. F. épület, III. lh., I. em. CP4 Telefon: 463-1341. Telefax: 463-1896. Kísérleti Fzika Tanszék – tanszékvezetı: DR. JÁNOSSY ANDRÁS akadémikus, egy. tanár 1111 Budapest, Budafoki út 8. F. épület, I. lh., I. em. 10/14 Telefon: 463-1171, Telefax: 463-3819. Nukleáris Technikai Intézet – igazgató: DR. ASZÓDI ATTILA egyetemi docens 1111 Budapest, Mőegyetem rkp. 7-9. R. ép. III. em. 17. Telefon: 463-2523, Telefax: 463-1954. Nukleáris Technika Tanszék – tanszékvezetı: DR. SÜKÖSD CSABA egyetemi docens 1111 Budapest, Mőegyetem rkp. 7-9. R. ép. III. em. 17. Telefon: 463-2523, Telefax: 463-1954. Atomenergetika Tanszék – tanszékvezetı: DR. ASZÓDI ATTILA egyetemi docens 1111 Budapest, Mőegyetem rkp. 7-9. R. ép. III. em. 17. Telefon: 463-2523, Telefax: 463-1954. Matematika Intézet – igazgató: DR. TÓTH BÁLINT egyetemi tanár 1111 Budapest, Egry József utca 1. H ép. III. em. 12. Telefon: 463-2762, Telefax: 463-2761. Algebra Tanszék – tanszékvezetı: DR. RÓNYAI LAJOS akadémikus, egyetemi tanár 1111 Budapest, Egry József utca 1. H ép. V. em. 54. Telefon: 463-2094, Telefax: 463-1780. Analízis Tanszék – tanszékvezetı: DR. HORVÁTH MIKLÓS egyetemi tanár 1111 Budapest, Egry József utca 1. H ép. V. em. 25. Telefon: 463-2324, Telefax: 463-3172. Differenciálegyenletek Tanszék – tanszékvezetı: DR. SZÁNTAI TAMÁS egyetemi tanár 1111 Budapest, Egry József utca 1. H ép. IV. em. 42. Telefon: 463-2140, Telefax: 463-1291. Geometria Tanszék – tanszékvezetı: DR. G. HORVÁTH ÁKOS egyetemi docens 1111 Budapest, Egry József utca 1. H ép. II. em. 22. Telefon: 463-2645, Telefax: 463-1050. Sztochasztika Tanszék – tanszékvezetı: DR. TÓTH BÁLINT egyetemi tanár 1111 Budapest, Egry József utca 1. H ép. V. em. 57. Telefon: 463-1101, Telefax: 463-1677.

TÁJÉKOZTATÓ A BME TERMÉSZETTUDOMÁNYI KARÁRA FELVÉTELT NYERT MATEMATIKUS HALLGATÓK SZÁMÁRA

Recommend Documents