Szétválasztási hálózatok szintézise: Különböző tulajdonságokon alapuló szétválasztó módszerek egyidejű alkalmazása Doktori (PhD) értekezés
Heckl István témavezető: Dr. Friedler Ferenc
Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Informatikai Tudományok Doktori Iskola 2007
Szétválasztási hálózatok szintézise: Különböző tulajdonságokon alapuló szétválasztó módszerek egyidejű alkalmazása Értekezés doktori (PhD) fokozat elnyerése érdekében Írta: Heckl István Készült a Pannon Egyetem Informatikai Tudományok Doktori Iskolája keretében Témavezető: Dr. Friedler Ferenc Elfogadásra javaslom (igen / nem) (aláírás) A jelölt a doktori szigorlaton ..........%-ot ért el Veszprém
............................................. a Szigorlati Bizottság elnöke
Az értekezést bírálóként elfogadásra javaslom: Bíráló neve: .................................................. (igen / nem) (aláírás) Bíráló neve: .................................................. (igen / nem) (aláírás) A jelölt az értekezés nyilvános vitáján ..........%-ot ért el Veszprém
........................................ a Bíráló Bizottság elnöke
A doktori (PhD) oklevél minősítése: ................................. ......................... Az EDT elnöke
ii
Tartalomjegyzék
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék .............................................................................................................. iii Táblázatok jegyzéke ..........................................................................................................v Ábrák jegyzéke .................................................................................................................vi Kivonat .............................................................................................................................ix Abstract..............................................................................................................................x Abstrakt ............................................................................................................................xi Köszönetnyilvánítás........................................................................................................ xii 1. Bevezetés.......................................................................................................................1 1.1. Szétválasztó hálózatok szintézise (SNS) ................................................................1 1.2. Hőcserélő hálózatok szintézise (HENS).................................................................2 1.3. Célkitűzések...........................................................................................................2 1.4. Alapfogalmak.........................................................................................................3 1.4.1. SNS..................................................................................................................3 1.4.2. HENS...............................................................................................................6 2. Szakirodalom áttekintése...............................................................................................9 2.1. SNS........................................................................................................................9 2.1.1. Heurisztikus módszerek .................................................................................10 2.1.2. Evolúciós módszerek .....................................................................................11 2.1.3. Algoritmikus módszerek ................................................................................12 2.2. HENS...................................................................................................................14 2.2.1. HENS hálózatok ............................................................................................14 2.2.2. Energiaintegrált SNS hálózatok .....................................................................16 3. SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával ................................................20 3.1. Szétválasztó családok...........................................................................................20 3.2. Az SNS-Multi feladat definiálása.........................................................................23 3.3. A szétválasztók tulajdonságai ..............................................................................25 3.4. Szigorú szuperstruktúra........................................................................................30 3.5. Az SNS-Multi feladattípus szigorú szuperstruktúrája ..........................................33 3.5.1. Az SNS-Multi optimális struktúráinak tulajdonságai.....................................33 3.5.2. Az RSS-Multi algoritmus...............................................................................38 3.6. Az SNS-Multi matematikai modellje ...................................................................44 3.7. Feladatok..............................................................................................................52 4. Energiaintegrált SNS feladat .......................................................................................69 4.1. Bevezetés .............................................................................................................69 4.2. Feladat definiálása ...............................................................................................71 4.3. Az SNS rész szuperstruktúrája .............................................................................71 4.4. Hőforrások és hőnyelők azonosítása ....................................................................72 4.5. Hőmérséklet intervallum diagram ........................................................................76 4.6. Lehetséges hőcserék.............................................................................................80 4.7. Matematikai modell .............................................................................................81 4.8. Feladatok..............................................................................................................86 5. Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája ......................................................102 iii
Tartalomjegyzék 5.1. Bevezetés ...........................................................................................................102 5.2. Egyszerűsítések..................................................................................................102 5.2.1. Egyszerűsítés azonos megosztási arány alapján ...........................................102 5.2.2. Egyszerűsítés azonos bemeneti összetétel alapján .......................................104 5.3. A redukált szuperstruktúra generálása................................................................109 5.4. A redukált szuperstruktúra matematikai modellje ..............................................111 5.5. Matematikai komplexitás ...................................................................................112 5.6. Feladat................................................................................................................116 6. SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel ..............................................................122 6.1. Bevezetés ...........................................................................................................122 6.2. Tiszta termékes feladat.......................................................................................123 6.2.1. Három komponenst tartalmazó feladat.........................................................124 6.2.2. Négy komponenst tartalmazó feladat ...........................................................128 6.2.3. A tiszta termékes feladat korlátjai ................................................................130 6.3. Több szétválasztó család ....................................................................................130 6.4. Kevert termékek.................................................................................................132 7. Összefoglalás.............................................................................................................137 8. Melléklet: Hőcsere módozatok összehasonlítása .......................................................140 Új tudományos eredmények...........................................................................................143 Tézisek ......................................................................................................................143 Theses .......................................................................................................................144 A doktori képzés ideje alatt végzett publikációs tevékenységem ..............................145 Irodalomjegyzék ............................................................................................................148 Jelölésjegyzék ................................................................................................................154
iv
Tartalomjegyzék
Táblázatok jegyzéke 3.1. táblázat: Extra szétválasztók száma a komponens szám függvényében ....................29 3.2. táblázat: SNS hálózatok anyagmérlegeinek típusai különböző matematikai modellek esetén ...............................................................................................................................48 3.3. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 3.7.1. feladatnál...............52 3.4. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 3.7.1. feladatnál ......................................53 3.5. táblázat: Célfüggvény értékek összehasonlítása a 3.7.1. feladatnál...........................59 3.6. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 3.7.2. feladatnál...............60 3.7. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 3.7.2. feladatnál ......................................61 3.8. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 3.7.3. feladatnál...............62 3.9. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 3.7.3. feladatnál ......................................63 3.10. táblázat: A betáplálás komponensáramai és a termékekre vonatkozó feltételek a 3.7.4. feladatnál................................................................................................................64 3.11. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 3.7.4. feladatnál ....................................64 3.12. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 3.7.5. feladatnál.............66 3.13. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 3.7.5. feladatnál ....................................66 3.14. táblázat: A 9C3F4P és 10C4F4P feladat méretének összehasonlítása.....................68 4.1. táblázat: A 4.8.1. feladat adatai .................................................................................87 4.2. táblázat: A szétválasztók adatai a 4.8.1. feladatnál ...................................................87 4.3. táblázat: A komponens és kompozit áramok arányai a 4.8.1. feladatnál ...................91 4.4. táblázat: A hőcserélők egyesített költségegyütthatói a 4.8.1. feladatnál....................91 4.5. táblázat: A soros és az energiaintegrált módszer összehasonlítása a 4.8.1. feladatnál .........................................................................................................................................95 4.6. táblázat: A 4.8.2. feladat adatai .................................................................................96 4.7. táblázat: A szétválasztók adatai a 4.8.2. feladatnál...................................................96 4.8. táblázat: A 4.8.3. feladat adatai .................................................................................98 4.9. táblázat: A szétválasztók adatai a 4.8.3. feladatnál...................................................98 4.10. táblázat: A soros és az energiaintegrált módszer összehasonlítása a 4.8.3. feladatnál .......................................................................................................................................101 5.1. táblázat: SN(n) és CN(n) értéke néhány n esetén.....................................................115 5.2. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai az 5.6. feladatnál..............116 5.3. táblázat: A felhasználható szétválasztók az 5.6. feladatnál .....................................116 6.1. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 6.2.1. feladatnál ....................................124 6.2. táblázat: A felhasználható csomópontok a 6.2.1. feladatnál ...................................126 6.3. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 6.2.2. feladatnál ....................................128 6.4. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 6.3.1. feladatnál ....................................131 6.5. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 6.4.1. feladatnál.............135 6.6. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 6.4.1. feladatnál ....................................135
v
Tartalomjegyzék
Ábrák jegyzéke 1.1. ábra: Összetett, nem-éles szétválasztó grafikus ábrázolása. ........................................4 1.2. ábra: Egyszerű, éles szétválasztó grafikus ábrázolása. ................................................5 1.3. ábra: Keverő grafikus ábrázolása. ...............................................................................5 1.4. ábra: Megosztó grafikus ábrázolása. ...........................................................................6 1.5. ábra: Hőcserélő grafikus ábrázolása............................................................................8 3.1. ábra: Egyszerű, éles szétválasztókat tartalmazó szétválasztó család tagjai................20 3.2. ábra: Két szétválasztó család lehetséges tagjai..........................................................22 3.3. ábra: Műveletei egységek hatása a folytonosságra. ...................................................27 3.4. ábra: Nem folytonos komponensáram vektor............................................................28 3.5. ábra: Extra szétválasztók 4 komponens esetén..........................................................29 3.6. ábra: Példa szétválasztók megadására. ......................................................................30 3.7. ábra: Algoritmikus módszerek lépései. .....................................................................30 3.8. ábra: Matematikai programozási modellek típusai....................................................32 3.9. ábra: Egyszerű út a betáplálástól az S szétválasztóig. ...............................................35 3.10. ábra: Nem-egyszerű út a betáplálástól az Sb szétválasztóig.....................................35 3.11. ábra: tr1 transzformáció szemléltetése. ...................................................................36 3.12. ábra: N* partícionálása a tr1 transzformációkat követően. ......................................37 3.13. ábra: tr2 transzformáció szemléltetése. ...................................................................38 3.14. ábra: Operátorok szemléltetése. ..............................................................................41 3.15. ábra: Különböző családba tartozó, de azonos hatású szétválasztók.........................44 3.16. ábra: Az SNS feladat műveleti egységei. ................................................................46 3.17. ábra: Azonos típusú szétválasztók összevonása: összevonás előtt. .........................51 3.18. ábra: Azonos típusú szétválasztók összevonása: összevonás után...........................51 3.19. ábra: Keverők és megosztók összevonása. ..............................................................52 3.20. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: Iniciálás................54 3.21. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: 1. iteráció. ............54 3.22. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: 2. iteráció. ............55 3.23. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: 3. iteráció. ............55 3.24. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: 13. iteráció, teljes szuperstruktúra.................................................................................................................56 3.25. ábra: A 3.7.1. feladat optimális struktúrája: mindhárom szétválasztó család felhasználható. .................................................................................................................58 3.26. ábra: A 3.7.1. feladat optimális struktúrája: az 'a' szétválasztó család használható fel.....................................................................................................................................58 3.27. ábra: A 3.7.1. feladat optimális struktúrája: a 'b' szétválasztó család használható fel. .........................................................................................................................................59 3.28. ábra: A 3.7.1. feladat optimális struktúrája: a 'c' szétválasztó család használható fel. .........................................................................................................................................59 vi
Tartalomjegyzék 3.29. ábra: A 3.7.2. feladat optimális struktúrája. ............................................................61 3.30. ábra: A 3.7.2. feladat egyszerűsített optimális struktúrája.......................................61 3.31. ábra: A 3.7.3. feladat optimális struktúrája. ............................................................63 3.32. ábra: A 3.7.4. feladat optimális struktúrája, a termékek feltételekkel adottak. ........65 3.33. ábra: A 3.7.4. feladat optimális struktúrája, a feltételeket kielégítő termékek adottak. .........................................................................................................................................65 3.34. ábra: A 3.7.5. feladat optimális struktúrája. ............................................................67 4.1. ábra: Vegyipari rendszer tervezésének fő lépései......................................................69 4.2. ábra: Lehetséges hőcsere módozatok szétválasztó előtti keverő léte vagy hiánya esetén: a) izoterm keverés; b) nincs keverés; c) direkt hőközlés. .....................................72 4.3. ábra: Lehetséges hőcsere módozatok. .......................................................................73 4.4. ábra: Példa a fajhő automatikus számítására. ............................................................75 4.5. ábra: Elemi áramok és látens hők hőmérséklet intervallum diagramon ábrázolva. ...77 4.6. ábra: Hőáram és hőmérséklet intervallum megosztása..............................................77 4.7. ábra: Hőátadás 2 illetve 1 hőcserélővel. ....................................................................79 4.8. ábra: Kompozit áramok.............................................................................................80 4.9. ábra: Lehetséges hőcserék HSS2-ből.........................................................................81 4.10. ábra: A 4.8.1. feladat szuperstruktúrája és az azonosított hőforrások és hőnyelők..88 4.11. ábra: A 4.8.1. feladat elemi áramai és látens hői hőmérséklet intervallum diagramon. .......................................................................................................................89 4.12. ábra: A 4.8.1. feladat kompozit áramai és látens hői hőmérséklet intervallum diagramon. .......................................................................................................................89 4.13. ábra: A 4.8.1. feladat optimális struktúrája. ............................................................94 4.14. ábra: A 4.8.1. feladat soros megoldásához tartozó szétválasztó hálózat..................95 4.15. ábra: A 4.8.1. feladat soros megoldásához tartozó hőcserélő hálózat......................95 4.16. ábra: A 4.8.2. feladat energiaintegrált megoldásához tartozó szétválasztó hálózat. 97 4.17. ábra: A 4.8.2. feladat energiaintegrált megoldásához tartozó hőcserélő hálózat. ....97 4.18. ábra: A 4.8.3. feladat energiaintegrált megoldásához tartozó szétválasztó hálózat. 99 4.19. ábra: A 4.8.3. feladat energiaintegrált megoldásához tartozó hőcserélő hálózat. ..100 4.20. ábra: A 4.8.3. feladat soros megoldásához tartozó szétválasztó hálózat................100 4.21. ábra: A 4.8.3. feladat soros megoldásához tartozó hőcserélő hálózat....................101 5.1. ábra: Azonos típusú szétválasztók összevonása: összevonás előtt. .........................103 5.2. ábra: Azonos típusú szétválasztók összevonása: összevonás után...........................103 5.3. ábra: Szétválasztók összevonása azonos összetételű bemenet esetén......................106 5.4. ábra: Azonos részek az RSS-Multi szuperstruktúrájában........................................107 5.5. ábra: Összevont szétválasztók a szuperstruktúrában. ..............................................108 5.6. ábra: Megosztók és keverők hálózatának egyszerűsítése. .......................................108 5.7. ábra: Szemléltető ábra az 5.19. egyenlethez............................................................112 5.8. ábra: SN(n) és CN(n) növekedésének összehasonlítása. ..........................................116 5.9. ábra: Redukált szuperstruktúra generálása: iniciálás és az 1. iteráció......................117
vii
Tartalomjegyzék 5.10. ábra: Redukált szuperstruktúra generálása: 2. iteráció. .........................................118 5.11. ábra: Redukált szuperstruktúra generálása: 3. iteráció. .........................................119 5.12. ábra: Redukált szuperstruktúra generálása: 18. iteráció, teljes szuperstruktúra. ....120 5.13. ábra: Az 5.6. feladat optimális struktúrája.............................................................121 6.1. ábra: Műveleti egység grafikus reprezentációja. .....................................................123 6.2. ábra: PNS hálózat grafikus reprezentációja.............................................................123 6.3. ábra: A 3C1FPP feladat szuperstruktúrája. .............................................................125 6.4. ábra: Szétválasztó és vele ekvivalens műveleti egység. ..........................................126 6.5. ábra: A 6.2.1. feladat maximális struktúrája...........................................................127 6.6. ábra: SSG által előállított lehetséges struktúrák a 6.2.1. feladatnál. .......................127 6.7. ábra: 6.2.1. feladat optimális SNS struktúrája. .......................................................127 6.8. ábra: A 6.2.2. feladat maximális struktúrája............................................................128 6.9. ábra: A 6.2.2. feladat optimális PNS struktúrája. ....................................................129 6.10. ábra: A 6.2.2. feladat optimális SNS struktúrája. ..................................................129 6.11. ábra: A 6.3.1. feladat maximális struktúrája..........................................................131 6.12. ábra: A 6.3.1. feladat optimális PNS struktúrája. ..................................................132 6.13. ábra: A 6.3.1. feladat optimális SNS struktúrája. ..................................................132 6.14. ábra: Keverők és kevert termékek bevezetése a maximális struktúrába. ...............133 6.15. ábra: Keverő megvalósítása több műveleti egységgel a maximális struktúrában. .133 6.16. ábra: Termék megvalósítása több anyaggal, a 6.4.1. feladat maximális struktúrája. .......................................................................................................................................135 6.17. ábra: A 6.4.1. feladat optimális PNS struktúrája. ..................................................136 6.18. ábra: A 6.4.1. feladat optimális SNS struktúrája. ..................................................136 7.1. ábra: Vizsgált témák. ..............................................................................................137 8.1. ábra: Lehetséges hőcsere módozatok. .....................................................................140 8.2. ábra: Hőátadás 2 illetve 1 hőcserélővel. ..................................................................141
viii
Kivonat
Kivonat Szétválasztási hálózatok szintézise: Különböző tulajdonságokon alapuló szétválasztó módszerek egyidejű alkalmazása A szétválasztási hálózatok szintézisénél (SNS) általánosan alkalmazott feltevés az, hogy a felhasználható szétválasztók egy szétválasztó családba tartoznak, vagyis egy adott fiziko-kémiai tulajdonságot használnak fel az összes szétválasztás elvégzésénél. A disszertációban kiterjesztettük az SNS feladatot több szétválasztó család egyidejű alkalmazására egyszerű és éles szétválasztók esetére. Az optimális megoldást garantáló szuperstruktúra, az úgynevezett szigorú szuperstruktúra, meghatározására alkalmas algoritmust dolgoztunk ki. Megadtuk a szigorú szuperstruktúrához tartozó matematikai modellt, amelynek megoldásából meghatározható a garantáltan optimális struktúra. Kidolgoztuk a szétválasztó hálózat és a kapcsolódó hőcserélő hálózat integrált módon való szintézisére alkalmas módszert, majd összehasonlítottuk a soros és az integrált megközelítést bemutatva az utóbbi előnyeit. Módszert adtunk az egy és több szétválasztó családon alapuló SNS feladatok folyamat hálózat szintézis (PNS) feladatokká való transzformálására, lehetővé téve a PNS-hez kidolgozott algoritmusok alkalmazását.
ix
Abstract
Abstract Separation Network Synthesis: Simultaneously Considering Separation Methods Based on Different Properties In the available separation network synthesis methods the separators are assumed to belong to the same separator family, i.e., all the separations are effected by a single physical or chemical property. In the present thesis, the SNS problem is extended to simultaneously considering multiple families of simple and sharp separators. An algorithm is developed for generating such a superstructure, which guarantees the optimal solution, termed as the rigorous superstructure. The mathematical programming model based on the rigorous superstructure is also given. The network generated from this model is proved to be optimal. A novel method is elaborated for the integrated synthesis of the separation and the heat-exchanger network. The comparison of the sequential and the integrated approaches shows the advantages of the latter. A method is given for the transformation of an SNS problem comprising a single or multiple separation families to a process network synthesis (PNS) problem. This renders it possible to use algorithms available for PNS.
x
Abstrakt
Abstrakt Die Syntese von Trennungsnetzen: Die gleichzeitige Anwendung von auf verschiedenen Eigenschaften basierenden Trennungsmethoden Bei der Syntese der Trennungsnetze (STN) ist eine allgemein angewandte Annahme, dass die anwendbaren Trenner zu einer Trennergruppe gehören, das bedeutet, dass sie bei der Verwirklichung von allen Trennungen eine bestimmte physisch-chemische Eigenschaft verwenden. In der Dissertation haben wir die STN-Aufgabe auf die gleichzeitige Anwendung verschiedener Trennungsfamilien im Falle von einfachen und scharfen Trennern. Wir haben einen geeigneten Algorythmus zur Bestimmung der die optimale Lösung garantierenden Superstruktur, der sogenannten strengen Superstruktur ausgearbeitet. Wir haben das zur strengen Superstruktur gehörende mathematische Modell angegeben, aus dessen Lösung die garantiert optimale Struktur festzustellen ist. Wir haben die Methode, die zur integrierten Synthese von dem Trennungsnetz und dem anschließenden Wärmeaustauscher-Netz geeignet ist, ausgearbeitet, dann haben wir die reihige und die integrierte Annäherung verglichen, gezeigt dabei auch die Vorteile der integrierten Annäherung. Wir haben eine Methode für die Transformierung der auf einer oder mehrerer Trennungsfamilien basierenden STN-Aufgaben zur Prozess-Netz-Synthese (PNS) – Aufgaben angegeben, und dabei auch die Anwendung der zur PNS ausgearbeiteten Algorythmen ermöglicht.
xi
Köszönetnyilvánítás
Köszönetnyilvánítás
Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Dr. Friedler Ferenc professzor úrnak, folyamatos útmutatásáért és támogatásáért, mellyel a bemutatásra kerülő eredményeim és PhD dolgozatom megszületését segítette. Köszönetet mondok L. T. Fan professzor úrnak, aki eredményeim és dolgozatom megszületéséhez a kémiai előismereteket és a szakirodalmat biztosította. Köszönöm minden kollégámnak a kreatív, együttműködő és jó hangulatú légkört, amiben dolgozhattam. Mindezek felett szeretném megköszönni szüleimnek azt a céltudatos, elszánt és kitartó ösztönzést és támogatást, amellyel tanulmányaim során elkísértek.
xii
Bevezetés
1. Bevezetés 1.1. Szétválasztó hálózatok szintézise (SNS) A dolgozat témája szétválasztási hálózatok szintézise, amely a folyamatszintézis egy fontos területe. Ez utóbbi általában foglalkozik azzal, hogy hogyan kell megvalósítani valamilyen ipari, vegyi vagy bármilyen más folyamatot, ha adottak a kívánt termékek és a rendelkezésre álló különböző nyersanyagok és elemi folyamatok. Folyamatszintézis feladat lehet például egy szennyvíztisztító, egy kőolaj finomító vagy egy műanyag gyár megtervezése. A feladat szintézis jellege azt jelenti, hogy sok elemi lépést kell összekapcsolni és belőlük egy hálózatot építeni úgy, hogy az megvalósítsa a kívánt feladatot. A hangsúly a hálózat szerkezetén és nem annak építőkockáin van. A szétválasztási hálózatok szintézise vagy angol elnevezés alapján separation network synthesis, röviden SNS feladat eredeti célja, hogy az adott többkomponensű folyamok összetevőit szétválassza. Ezt nevezzük tiszta termékes (pure products - PP) feladatnak. Mivel ekkor a szétválasztók sorrendje teljesen meghatároz egy struktúrát, a feladatot szétválasztási sorrend meghatározásának (separation sequencing) is hívják. Később a feladat értelmezése úgy bővült, hogy az előállítandó termékek már több komponenst is tartalmazhatnak (mixed products - MP). Mi úgy fogalmazzuk meg az SNS feladatot, hogy célunk valahány, több komponensből álló, homogén folyam összetételének és folyam nagyságának a megváltoztatása úgy, hogy azok teljesítsék a kívánalmakat. A szétválasztó hálózatok jelen vannak az élet minden területén a vegyipartól kezdve, az élelmiszeriparon és a mezőgazdaság feldolgozó iparain át egészen a gyógyszeriparig. Legfontosabb alkalmazásuk még ma is az olajiparban van, a feladat felvetése is innen ered, de a téma jelentősége rohamosan nő, különösen a bió-technológia területén. Egy szétválasztási feladat számtalan módon megoldható. Ezek közül a valamilyen szempontból legkedvezőbb, általában legolcsóbb, megoldást szeretnénk megtalálni. A szétválasztási hálózat költsége egy termelő rendszer költségének jelentős része, akár 50%-a, ezért az optimális szétválasztó hálózat azonosítása önmagában és a teljes termelő rendszer szintjén is fontos. Az SNS feladat megoldása egy szétválasztási hálózat, amelynek fő alkotóelemei a szétválasztók, de tartalmazhat még megosztókat, keverőket, tárolókat és csővezetékeket. Ezeknek a költsége általában elhanyagolható a szétválasztók költségéhez képest, így a hálózat költségét leggyakrabban a benne lévő szétválasztók költségének összegeként definiálják. Egy szétválasztási hálózat folyamat ábráján néha a megosztókat és a keverőket is ábrázolják, mert itt a folyamok elágaznak, illetve egyesülnek.
1
Bevezetés Az SNS feladat megoldási módszerei különböznek abban, hogy milyen részletességgel modelleznek egy szétválasztót. Minél pontosabb a modell, annál jobban írja le a tényleges szétválasztót, azáltal, hogy egyre több és több működési paramétert vesz figyelembe, optimalizálási változóként kezelve azokat. Másik oldalról viszont egy pontosabb, ezért bonyolultabb modellt csak sokkal kisebb méretben lehet megoldani belátható időn belül. Tapasztalataink azt mutatják, hogy a hálózat struktúrájának nagyobb hatása van a költségre, mint az egyes szétválasztók működési paramétereinek, valamint számos strukturális kérdés tisztázatlan, ezért a dolgozatban az optimális struktúra meghatározására törekszünk egyszerű és éles szétválasztókat feltételezve.
1.2. Hőcserélő hálózatok szintézise (HENS) A hőcserélő hálózat szintézis feladat, angol elnevezés alapján heat exchanger network synthesis, röviden HENS, lényege, egy olyan rendszer tervezése, amely kielégíti a fellépő fűtési és hűtési igényeket. Kezdetben ezeket az igényeket kizárólag a rendszerbe kívülről behozott eszközökkel, például forró gőzt előállító bojlerrel, hűtőtoronnyal elégítették ki. Később, a növekvő energiaárak hatására előtérbe került az a törekvés, hogy amennyire lehetséges, a kívülről hozott eszközök használatát mérsékelni kell úgy, hogy a rendszerben amúgy is jelenlevő hűtési igényt, mint hőforrást használják, és ezzel csökkentsék a bojler terhelését. Hasonlóképpen, a rendszer egy fűtési igénye egy másik részről történő hőelvonást is jelent, amit kihasználva a hűtőtorony méretét csökkenthetjük. Az optimális HEN meghatározásakor ma már figyelembe veszik a felhasznált hőcserélők költségét is és egy az összköltségre optimális hálózat megtervezése a cél. A HENS egy bonyolult, kombinatorikus jellegű feladat, ami abból adódik, hogy egy rendszerben számtalan módon lehet a hőcseréket végrehajtani. Az optimális hőcserélő hálózat megtalálása nagyon fontos feladat. Majdnem minden vegyipari rendszernek része a HEN, amely a teljes költség jelentős hányadát képviseli. Az SNS és a HENS feladat szoros kapcsolatban áll egymással, mert hagyományosan egy termelő rendszer tartalmaz mind szétválasztási hálózatot, mind hőcserélő hálózatot. Ami ennél is fontosabb, hogy a fűtési és hűtési igények jelentős része a szétválasztó hálózat működéséhez szükséges.
1.3. Célkitűzések A dolgozat célja, különböző típusú SNS feladatok strukturális vizsgálata és olyan algoritmusok és modellek tervezése, amelyek hatékonyan alkalmazhatóak a vizsgált feladattípusok megoldására. A dolgozat második fejezete bemutatja az SNS témakör irodalmát, külön hangsúlyt helyezve az egyszerű és éles szétválasztás algoritmikus módszereire. A
2
Bevezetés harmadik fejezet olyan SNS feladatokat vizsgál, ahol több szétválasztó család áll rendelkezésre. Egy szétválasztó család alatt azokat a szétválasztókat értjük, amelyek ugyanazon elv alapján működnek. Például a desztillációt alkalmazó szétválasztók egy családot alkotnak. A dolgozat negyedik fejezete energiaintegrált szétválasztási hálózatok generálásával foglalkozik. A bemutatott módszer lehetőséget ad a szétválasztókban jelentkező látens hők és a szétválasztók között futó hideg és meleg folyamok közötti hőcserére. Az optimalizálás alatt figyelembe vesszük a szétválasztók, a hőforrások, hőnyelők és a hőátadás költségét. Az ötödik fejezet strukturális szempontból újravizsgálja a lineáris költségű éles szétválasztókat tartalmazó SNS feladat szuperstruktúráját. Bemutatjuk, hogyan lehet egyszerűsíteni a szuperstruktúrát úgy, hogy közben nem zárunk ki lehetségesen optimális megoldásokat. A csökkenés nagyságát számszerűen mutatjuk be. Végül a hatodik fejezetben megmutatjuk, hogyan lehet alkalmazni a folyamat hálózat szintézisben megismert eszközöket SNS feladatokra.
1.4. Alapfogalmak 1.4.1. SNS Hogy a dolgozat pontos, világos és egyértelmű legyen a fontosabb fogalmakat, illetve azok szinonimáit itt definiáljuk. A folyam a tudományos életben folytonosan haladó anyagot (általában folyadékot) jelent, amelynek nagyságát (hozamát) tömeg/idő illetve térfogat/idő típusú mértékegységben adják meg. Például egy reaktor és egy tároló között lévő csővezetékben mozgó anyagot folyamnak tekinthetünk. A folyam nagyságának van olyan értelmezése is, hogy az az egységnyi területen, egységnyi idő alatt áthaladó dolog (anyag, energia, elektron, hő, űrtartalom, stb.) mennyisége. Ebből az értelmezésből úgy kapjuk meg az előzőt, hogy a csővezeték teljes felületére integrálunk. Egy folyamot felfoghatunk a benne lévő komponensekhez tartozó komponensáramok összegeként úgy, mintha az egyes komponensek egymás mellett lévő, de különálló csövekben futnának. Ha ismerjük a teljes folyam nagyságát és az összetételét, akkor a komponensáramok nagysága egyszerűen kiszámolható. A folyamokat elhelyezkedésük szerint csoportokra bonthatjuk. Az SNS feladat által feldolgozandó folyamokat betáplálásnak, az előállítandó folyamokat termékeknek és minden más folyamot köztes folyamnak hívunk. Egy szétválasztóba belépő folyamot bemenetnek, a kilépő folyamokat pedig felső és alsó kimenetnek nevezzük. Ha lepárló típus szétválasztóról van szó, akkor a felső kimenetet párlatnak, az alsó kimenetet fenékterméknek hívjuk. A gyakorlatban léteznek összetett szétválasztók, amelyek kettőnél több kimenettel rendelkeznek, de a jelen dolgozatban csak egyszerű szétválasztókat tekintünk, amelyeknek egy bemenete és két kimenete van. Egy folyamban lévő komponenseket a szétválasztás alapjául szolgáló tulajdonság, például relatív illékonyság, alapján sorba szokás állítani. Az így kapott komponens
3
Bevezetés sorrend lehetőséget ad arra, hogy a komponensekre ne névvel, hanem sorszámmal hivatkozzunk. Egy folyamot általában komponensáram vektorral reprezentálunk úgy, hogy egy sorvektorban megadjuk a komponensáramok nagyságát a komponens sorrend szerint. Például a [12, 2, 6] folyam nagysága 20, az első komponens aránya 60%, a másodiké 10%, a harmadiké pedig 30%. Azt mondjuk, hogy egy szétválasztó az i-dik komponens után vág, ha a bemenetét úgy alakítja át, hogy az i-nél nem nagyobb sorszámú komponensek a felső kimenetbe, az i-nél nagyobb sorszámú komponensek az alsó kimenetben koncentrálódnak. Éles szétválasztásról beszélünk akkor, ha a koncentrálódás tökéletes, vagyis a kérdéses komponensek teljes egészében a felső illetve alsó kimenetbe kerülnek. Ellenkező esetben nem-éles szétválasztásról beszélünk. Egy tetszőleges, k kimenetelű szétválasztó matematikailag egy rendezett k+1-esel írható le strukturális szempontból, lásd Kovács (2000). Az első k tag mindegyike egy-egy diagonális mátrix, amelyek az adott kimenetekhez tartoznak, a k+1-dik tag pedig a szétválasztó költségfüggvénye. Amennyiben a főátló elemei vagy nullák, vagy egyesek, akkor a szétválasztás éles. Egy általános szétválasztó működését, lásd az 1.1. ábra, az 1.1. és 1.2. egyenletek írják le, ahol f a a bemenet, fbi a kimenetek komponensáramainak a vektorai, Li az egyes kimenetekhez tartozó mátrixok, I pedig az egység mátrix. Az 1.2. ábra egy olyan egyszerű és éles szétválasztót ábrázol, amely az i-dik komponens után vág, a szétválasztó működését az 1.3.-1.6. egyenletek írják le. fb1 = [ fb1 ,1 , fb1,2 ,..., f b1 ,n ]
fb2 = [ fb2 ,1, fb2 ,2 ,..., fb2 ,n ]
f a = [ f a ,1 , f a ,2 ,..., f a ,n ]
S
fbk = [ fbk ,1 , fbk ,2 ,..., fbk ,n ] 1.1. ábra: Összetett, nem-éles szétválasztó grafikus ábrázolása.
f a Li = fbi
i = 1, 2, …, k
1.1.
k
å Li = I
1.2.
i =1
4
Bevezetés
fb1 = [ fb1 ,1 , fb1 ,2 ,..., fb1 ,n ] = [ f a ,1 , f a ,2 ,..., f a ,i , 0, 0,..., 0]
f a = [ f a ,1 , f a ,2 ,..., f a ,n ]
Si
fb2 = [ fb2 ,1 , fb2 ,2 ,..., f b2 ,n ] = [0, 0,..., 0, f a ,i +1 , f a ,i + 2 ,..., f a ,n ] 1.2. ábra: Egyszerű, éles szétválasztó grafikus ábrázolása.
f a ,k = fb1,k
k = 1, 2, …, i
1.3.
0 = fb1,k
k = i+1, ... n
1.4.
0 = fb2 ,k
k = 1, 2, …, i
1.5.
f a ,k = fb2 ,k
k = i+1, ... n
1.6.
Egy keverő egy kimenettel és kettő vagy több bemenettel rendelkezik, lásd 1.3. ábra. A bemeneteire érkező folyamokat egyesíti úgy, hogy minden komponensáramra érvényes az anyagmegmaradás. Egy keverő költségét nullának tekintjük, hiszen ez sokszor nem más, mint két cső egyesülése. A keverő működését az 1.7. egyenlet írja le, ahol f ai , j az i-dik bemenet j-dik komponensárama és fb, j pedig a kimenet j-dik komponensárama. k
å f ai , j = fb, j
j = 1, 2, …, n
1.7.
i =1
f a1 = [ f a1,1 , f a1,2 ,..., f a1,n ] f a2 = [ f a2 ,1 , f a2 ,2 ,..., f a2 ,n ]
.. .
M
fb = [ fb,1 , fb,2 ,..., fb,n ]
f ak = [ f ak ,1, f ak ,2 ,..., f ak ,n ] 1.3. ábra: Keverő grafikus ábrázolása.
Egy megosztó egy bemenettel és kettő vagy több kimenettel rendelkezik, lásd 1.4. ábra. A megosztó úgy bontja szét a bemenetét több kimenetre, hogy a bemenetek és a kimenetek összetétele megegyezik. A D megosztó minden kimenete jellemezhető egy megosztási arány lbi nevű változóval, amely kifejezi, hogy az egyes kimenetekbe a bemenet hány százaléka kerül. A megosztó költségét szintén nullának tekinthetjük, mert
5
Bevezetés az elhanyagolható a szétválasztók költsége mellett. Egy keverő az 1.8. és 1.9. egyenletekkel írható le, ahol fbi , j az i-dik kimenet j-dik komponensárama és fa,j a bemenet j-dik komponensárama. A szétválasztó, a keverő és a megosztó közös elnevezése műveleti egység. A műveleti egységek minden változója nem-negatív.
lbi f a = fbi
i = 1, 2, …, k
1.8.
k
1 = å lbi
1.9.
i =1
fb1 = [ fb1,1 , fb1 ,2 ,..., fb1,n ]
f a = [ f a ,1 , f a ,2 ,..., f a ,n ]
f b2 = [ fb2 ,1 , f b2 ,2 ,..., f b2 ,n ]
D
.. . fbk = [ fbk ,1 , fbk ,2 ,..., fbk ,n ]
1.4. ábra: Megosztó grafikus ábrázolása.
1.4.2. HENS A hőcserélő hálózat egy olyan, általában folytonos, rendszer, amelyben egyes folyamok hőmérsékletét növelni, másokét pedig csökkenteni kell. Az első csoport tagjait hidegáramoknak hívjuk, mert bemeneti hőmérsékletük alacsonyabb, mint a kimeneti. Hasonló megfontolásból a második csoport tagjait melegáramoknak nevezzük. A két csoportot együttesen hőáramoknak hívjuk. Ahhoz, hogy adott m tömegű anyag hőmérsékletét DT-el megváltoztassuk DQ energiára van szűkség, amelynek értékét az 1.10. képlet segítségével számolhatjuk ki, ahol c az anyag fajhője. Mivel folytonos rendszert vizsgálunk, ezért m helyett f-t, vagyis folyam nagyságot használunk, DQ alatt pedig az időegység alatt szükséges energiamennyiséget értjük.
DQ = c × m × DT
1.10.
Egy hőcserélő hálózat működését a termodinamika tételei irányítják. Az első tétel az energia megmaradást fogalmazza meg, vagyis azt, hogy zárt rendszerben az energia összértéke nem változik, csak egyik formából alakul át egy másikba. A második tétel hőáramlás irányát szabja meg, mindig a melegebb helyről a hidegebb hely felé. Érdemes megvizsgálni egy desztilláló oszlopot ezeknek a tételeknek a fényében. Az oszlop általában, nem fogyasztja az energiát, hiszen a lepárlón keresztül körülbelül annyi energiát veszünk ki az oszlopból, mint amennyit a kiforralón keresztül betáplálunk. Ilyenkor valójában az exergia, a felhasználható energia, csökken. Az exergia egy rendszer tényleges munkavégző képessége, amely csak a rendszer környezetével együtt értelmezhető. Az exergia csökkenése mindig az entrópia növekedésével jár együtt, mértékegysége az energiához hasonlóan Joule. A desztilláló oszlop csökkenti az exergiát,
6
Bevezetés hiszen kiforralójába nagyobb hőmérsékleten szállítjuk a hőt, mint azt a lepárlójából visszakapjuk, vagyis egy sok mindenre felhasználható hőből egy kevesebb dologra használható, ilyen tekintetben rosszabb, hőt kapunk. A hőcserélő hálózatok lényege az, hogy az egyszer már használt hőt újból és újból felhasználjuk egészen addig, amíg ezt a második tétel engedi. Egy hőcserélő hálózat tartalmazhat látens hő forrásokat és nyelőket, amelyek alatt olyan hűtési illetve fűtési igényeket értek, amelyek nem járnak hőmérsékletváltozással. Például egy desztilláló oszlop kiforralója látens hő nyelőnek tekinthető, mert az energia bevitel halmazállapot változást eredményez. Szétválasztás szempontjából nézve egy többkomponensű elegy hőmérséklete változik elpárologtatás közben, de a hőcserélő hálózatot tekintve a desztilláló oszlop kiforralójának hőmérséklete állandónak tekinthető állandósult állapotban. Ilyen értelemben például egy exoterm reakciót látens hő forrásnak tekinthető, ha a keletkező hőt folyamatosan elszállítják és így a reakció izoterm. Látens hő források és nyelők jellemzően reaktorokban és szétválasztókban jelentkeznek. A párolgáshő megadja, hogy tömegegységekként mennyi hő szükséges egy elegy elpárologtatásához. Hasonlóan, a reakcióhő megadja, hogy adott mennyiségű anyagban végbemenő reakció mennyi hőt szabadít fel vagy igényel. Az értekezésben a párolgáshőt és a reakcióhőt közös néven a látens hő együtthatójának nevezem, és L-el jelölöm. Segítségével adott mennyiségű anyag energiaigénye kiszámolható, lásd 1.11. m a forrásban vagy reakcióban résztvevő anyag tömege. Folytonos rendszerek esetén tömeg helyett folyam nagyságot használunk, ekkor az időegység alatt szükséges energia mennyiséget kapjuk meg. DQ = L × m
1.11.
Melegenergia szolgáltatóknak, angolul hot utility, nevezzük azokat az eszközöket, amelyek a rendszeren kívülről hoznak be hőt azon igények kielégítésére, amelyek máshogy már nem teljesíthetőek gazdaságosan. Melegenergia szolgáltató lehet például egy bojler, amely nagy nyomású gőzt állít elő vagy egy megcsapolt turbina, amelyből közép illetve kisnyomású gőz nyerhető. A hidegenergia szolgáltatók, angolul cold utility, a rendszerben fel nem használható hőt vonják ki. Általában vizet vagy levegőt használnak hűtő közegnek, például hűtőtorony. Az energiaszolgáltatók lehetnek meleg- illetve hidegáram típusúak, például forró olaj és hűtővíz, de lehetnek látens hő típusúak is, például nagy nyomású gőz. A melegenergia szolgáltatók költsége általában többszöröse a hidegenergia szolgáltatókénak. Kivétel ez alól, amikor a környezeti hőmérsékletnél alacsonyabb hőfokú hidegenergia szolgáltatóra van szükség. A melegáramokat, látens hő forrásokat és melegenergia szolgáltatókat együttesen hőforrásoknak nevezzük. Hasonlóan a hidegáramokat, látens hő nyelőket és hidegenergia szolgáltatókat hőnyelőknek hívjuk. A hőnyelők és a hőforrások közötti hőátadás hőcserélőkön keresztül valósul meg. A hőcserélőket többféleképpen szokás ábrázolni,
7
Bevezetés lásd 1.5. ábra. A hőcserélőket csoportosíthatjuk a bennük lévő áramok egymáshoz viszonyított iránya alapján. Eszerint léteznek egyenáramú, ellenáramú, keresztáramú illetve vegyes áramú hőcserélők. A gyakorlatban a vegyes áramú hőcserélők a legáltalánosabbak. A fizikai kialakítás szerint csőköteges (shell and tube) és lemezes (plate) hőcserélőket különböztetünk meg. Az utóbbi nagyobb hőátadó felülete révén hatékonyabb, ugyanakkor drágább is. A termodinamika második tétele alapján hőcsere akkor lehetséges, ha a hőforrás melegebb, mint a hőnyelő. Gyakorlatban megkövetelünk egy minimális hőmérséklet különbséget, DTmin, a hőforrás és a hőnyelő között. Úgy vesszük, hogy ennél kisebb hőmérséklet különbségek esetén hőcsere nem lehetséges. 52 °C H2 2640 kJ
C3 15 °C
41 °C
52 °C
25 °C
H7
7950 kJ C8 13 °C
1230 kJ
22 °C
C1
ST 38 °C
38 °C a)
b)
14 °C c)
1.5. ábra: Hőcserélő grafikus ábrázolása.
A hőcserélő hálózatokat rács diagram segítségével szokás megjeleníteni, amelynek felső része a meleg- alsó része pedig a hidegáramokat tartalmazza. Egy hidegés melegáramot összekötő szakasz egy hőcserélőt reprezentál, lásd az 1.5. ábra c) részét .
8
Szakirodalmi áttekintése
2. Szakirodalom áttekintése 2.1. SNS Az SNS feladatok szakirodalma a téma fontossága miatt hatalmas. A feladatok különbözhetnek megfogalmazásban és megoldási módszerben. A cikkeket különböző szempontok alapján csoportosíthatjuk. Értelemszerűen egy cikk több csoportba is tartozhat, de az is előfordulhat, egy adott csoportosítási szempont egy adott cikkre nem értelmezhető. Betáplálás szám szerint lehetnek egy vagy több betáplálásos feladatok. Az egy betáplálásos módszerek jelenleg még elterjedtebbek, mert a gyakorlati példák nagy részénél csak egy betáplálás van, de a több betáplálásos módszerek is fokozatosan teret nyernek, hiszen a betáplálásokat függetlenül kezelve általában nem lehet megkapni az optimális megoldást. A termékek minőségét tekintve vannak tiszta termékes és kevert termékes feladatok. Az előbbi az utóbbinak egy speciális esete. A komponens szám, a betáplálás szám, a termékek száma és minősége alapján egy konkrét feladatot gyakran jelölnek a következő képen: xCyFzP, ahol x a komponens szám, y a betáplálás szám és z a termékek száma vagy P tiszta termékek esetén. Például 3C1F2P feladat esetén egy három komponenst tartalmazó betáplálásból kell előállítani két kevert terméket. Az alkalmazott matematikai modell lehet lineáris (LP), konvex, nem-lineáris (NLP), egész változókat tartalmazó lineáris (MILP) és egész változókat tartalmazó nem-lineáris (MINLP). Habár az operációkutatás fejlődése és a számítástechnikai teljesítmény növekedése miatt a megoldók egyre jobbak, mindegyik modelltípusra meg lehet mondani, hogy mi az a változó szám, amelyre még reális időn belül tud megoldást mondani. Például egy LP megoldó jelenleg néhány százezer változó nagyságú feladatnak tudja meghatározni az optimális megoldását személyi számítógépen. A modellek megoldása történhet sztochasztikus és determinisztikus módszerekkel. Például a szimulált hűtés vagy a genetikus programozás sztochasztikus, a korlátozás és szétválasztás valamint a külső közelítés módszere determinisztikus. A sztochasztikus módszerek elméletileg sem tudják garantálni az optimális megoldást, mégis eléggé elterjedtek, mert nagyméretű feladatokra is jól alkalmazhatóak. A determinisztikus módszerek elméletben garantálják az optimumot, de a gyakorlatban a számítógépek számábrázolási pontatlansága akadályozhatja őket. Az intervallum aritmetikán alapuló megoldók figyelembe veszik ezt a pontatlanságot, de ezek a megoldók még nem elterjedtek és a számítási igényük is nagyobb. A szétválasztók modellje alapján megkülönböztetünk egyszerű és összetett, valamint éles és nem-éles szétválasztókat. Egyszerű szétválasztó esetén pontosan egy bemenetet és két kimenetet tételezünk fel, míg összetett szétválasztóknál a bemenetek és 9
Szakirodalmi áttekintése a kimenetek száma több lehet. Éles szétválasztás esetén adott komponens a szétválasztónak csak az egyik kimenetén jelenik meg, nem-éles szétválasztónál pedig kettő vagy több komponens mindkét kimeneten jelen van. Az éles szétválasztó gyakorlatban csak nehezen valósítható meg, mégis sokan használják ezt a fajta modellt, mert legtöbbször a szétválasztási hálózat struktúrája a legfontosabb költségtényező. A megoldási módszerek integráltság szerint is csoportosíthatóak. Nagyobb részük csak a szétválasztási hálózat szintézisével foglalkozik, de sok módszer az energiaintegrációt is figyelembe veszi, néhány pedig a teljes folyamatszintézis megvalósítását tűzte ki, aminek egyik fontos része a szétválasztó hálózat. A megoldási módszerek egyik legelterjedtebb osztályozása a keresési technika alapján történik. Eszerint megkülönböztethetünk heurisztikus, evolúciós és algoritmikus módszereket. A heurisztikus módszerek lényege, hogy gyorsan és viszonylag egyszerűen kapjunk egy kedvező megoldást úgy, hogy végrehajtunk adott számú heurisztikus szabályt, amelyeket a mérnöki tudás és tapasztalat alapján alkottunk meg. Ma is születnek heurisztikus módszerek, mert azok lehetőséget adnak olyan nagy méretű feladatok vizsgálatára, amelyek máshogyan nem lehetségesek. Az evolúciós módszerek két részből állnak. Először egy lehetséges megoldás megtalálása a cél, amelyet azután iteratív módon javítunk különböző szabályok figyelembe vételével egészen addig, amíg további javulás már nem érhető el. Az evolúciós módszerek a heurisztikus módszerekből alakultak ki úgy, hogy amikor már sok heurisztikus szabályt írtak fel egy feladatra, akkor prioritásokat kellett köztük megállapítani, és eljárásokat kidolgozni a szabályok alkalmazásának mikéntjére. Az algoritmikus módszerek számítógépen vannak megvalósítva, szisztematikus megoldás menetet biztosítanak az optimum garantálhatóságát szem előtt tartva. A szisztematikusságot általában úgy biztosítják, hogy megadnak egy úgynevezett szuperstruktúrát, amely az összes megoldás struktúrát tartalmazza. A szuperstruktúrából egy matematikai programozási modellt generálnak, amelyet valamilyen módszerrel megoldanak. Az utóbbi három osztály nemcsak SNS feladatokra, hanem általában a folyamatszintézis feladatokra is értelmezhetőek.
2.1.1. Heurisztikus módszerek Siirola és Rudd (1971) kifejlesztették az AIDES programot szétválasztási hálózatok szintézisére. A program a termékek és a források párosításán alapszik. A párosítások kiértékelése egy pontozó függvény segítségével történik, amelyet heurisztikus szabályok segítségével alkottak. A kiértékelések után egy LP választotta ki úgy a párokat, hogy a pontszámokat maximálják. Ezután ismételten heurisztikus szabályokat használtak, hogy a kiválasztott párokból megkapják a szétválasztási sorrendet. Gomez és Seader (1976) egy új módszert mutatott be különböző struktúrák becslésére. A becslés lehetővé tette a keresési tér csökkentését, ezáltal könnyítve meg egy optimális közeli megoldás megtalálását. Mahalec és Motard (1977) bemutatták a Baltazar programot több SNS
10
Szakirodalmi áttekintése hálózatot generálására, amelyekből különböző szempontok alapján lehet választani, illetve a modellt tovább finomítani. Westerberg (1985) alapos áttekintést adott a desztilláción alapuló szétválasztási hálózatok szintéziséről. Definiálta az alapproblémát és annak különféle kiterjesztéseit. Bemutatta a TQ diagram használatának előnyét a több-hatású desztilláló oszlopok esetén és hangsúlyozta a nem-éles szétválasztás fontosságát. Fonyó és munkatársai (1985) az SNS feladat energia integrációval történő megoldását tűzték ki célul. Ehhez a hőcserélő hálózatokból ismert pinch technológiát alkalmazták, amely jellegét tekintve heurisztikus. Cheng és Liu (1988) nem-éles szétválasztókat tartalmazó SNS feladatot oldott meg. Definiálta, hogy mit tekint éles, majdnem-éles, fél-éles és nem-éles szétválasztónak (a desztillátumban a könnyű kulcs komponensből rendre több, mint 98, 95, és 80 százalék van). Példával igazolta, hogy létezik olyan feladat, ahol nem-éles szétválasztókat használva jobb megoldás érhető el, mint éles szétválasztókat használva. A probléma reprezentálásához és vizsgálatához grafikus eszközöket hozott létre, a komponens hozzárendelési diagramot és a szétválasztási specifikus táblázatot, valamint megalkotott hat heurisztikus szabályt, amelyek között a prioritásokat is meghatározta. Bamopoulos és munkatársai (1988) nem-éles szétválasztók felhasználásával terveztek szétválasztási hálózatokat. Munkájukat grafikus (anyag hozzárendelési diagram) és algebrai eszközök (visszanyerési mátrix, szétválasztási faktor mátrix) segítségével végezték. Heurisztikus szabályokat fogalmaztak meg, amelyeket az előbb említett mátrixokra alkalmazták. Hu és szerzőtársai (1993) heurisztikus szabályok és a köztük fennálló prioritások megadásával alkottak módszert egyszerű és éles szétválasztókat tartalmazó SNS feladat megoldására. A módszer lehetőséget ad a betáplálás egy részének közvetlen termékbe történő vezetésére illetve korlátozott mértékben szétválasztók párhuzamos működésére. Shah és Kokossis (1997) felismerték, hogy a tisztán heurisztikus szabályokon alapuló módszerek nem lehetnek eredményesek. Olyan új eljárást dolgoztak ki, amely heurisztikus szabályok, egyszerűsített modellek és matematikai programozási modellek együttes használatával állít elő néhány optimum közeli szétválasztási hálózatot. Emtir és munkatársai (1999) olyan heurisztikus módszert alkalmaztak, amely figyelembe veszi a háromkomponenses bemenettel rendelkező szétválasztók energia igényét. Összehasonlították az integrált és a csatolt szétválasztók energia igényét különböző költségű hőforrásokra.
2.1.2. Evolúciós módszerek Westerberg és munkatársai (1974) részletesen leírták az evolúciós módszer menetét és az elvárt tulajdonságait. Ilyen tulajdonság például a teljesség, amely szerint az evolúciós szabályokat alkalmazva minden lehetséges struktúrába el kell tudni jutni vagy a megfordíthatóság, amely kimondja, hogy két szomszédos struktúra között mindkét irányban kell lenni egyikből a másikba átvivő szabálynak. Példaképpen a szétválasztási
11
Szakirodalmi áttekintése hálózatok szintéziséhez megadtak egy evolúciós módszert. Stephanopoulos és Westerberg (1976) az evolúciós folyamatszintézisről készítettek tanulmányt. Összegyűjtötték és összehasonlították az evolúciós lépések szabályait, különböző stratégiákat mutattak be e szabályok alkalmazására, és módszereket dolgoztak ki a folyamat hálózatok összehasonlítására. Seader és Westerberg (1977) hét különböző heurisztikán alapuló szabályt gyűjtött össze, amelyek felhasználásával egy leszámláláson alapuló evolúciós stratégiát dolgoztak ki. A szabályaik közül a legfontosabbak: először a legkönnyebb szétválasztást végezzük el; először azt a komponenst válasszuk le, amelyből sok van; illékonyság szerint csökkenő sorrendbe válasszuk le a komponenseket. Az algoritmus következő változata figyelembe vette következő szabályokat is: a szennyeződés minimalizálásának érdekében lehetőleg párlatként állítsuk elő a termékeket; a korrózív komponenseket minél előbb válasszuk ki, lásd Rudd és szerzőtársai (1973). Nath és Motard (1981) a hálózatszintézis feladat megoldására egy új evolúciós módszert javasoltak. Kifejlesztettek egy rang függvényt, amelynek segítségével számszerűsíteni lehetett adott szétválasztó kicserélésének a jóságát. Nem csak a legjobb cserét hajtották végre, hanem minden olyant is, amelynek a rangja a legjobbétól csak maximum adott százalékban tért el. Ezt a munkát folytatta Lu és Motard (1985). Egy olyan hierarchikus módszert mutattak be, amelyben a felső szint által választott szétválasztási problémát az alsó szint oldja meg éles szétválasztókat használva. A két szint automatikusan kommunikál egymással, de lehetőséget ad felhasználó által történő beavatkozásra is. Mindkét szint működése heurisztikus szabályokon és belőlük alkotott evolúciós algoritmuson alapul. Muraki és Hayakawa (1984) két részből álló evolúciós módszert mutatott be, egy betáplálás két többkomponensű termékké történő szétválasztására. Az első részben az optimális elrendezésű hálózatot határozták meg, a második részben az így kapott hálózat folyamait optimalizálták. A két lépést addig ismételték, amíg további javulást már nem lehetett elérni. Később módszerűket javították, Muraki és szerzőtársai (1986), ezután pedig nem-éles szétválasztók kezelésére is alkalmassá tették, lásd Muraki és Hayakawa (1988). Fraga és McKinnon (1994) párhuzamosan működő számítógépekkel oldott meg szintézis feladatot úgy, hogy postorder módon járta be a szuperstruktúrát.
2.1.3. Algoritmikus módszerek Thompson és King (1972) az elsők között foglalkoztak szétválasztási hálózatok szintézisével. Részben algoritmikus, részben heurisztikus módszert adtak, amelyet már akkor számítógéppel valósítottak meg. Egyik fontos eredményük a tiszta terméket előállító hálózatok számának megadása. A képlet zárt alakja megmutatja, hogy már ennél a feladattípusnál is exponenciálisan nő a lehetséges megoldások száma. Whal és Lien (1990) megadja a három kimenettel rendelkező, összetett szétválasztókból álló, tiszta
12
Szakirodalmi áttekintése termékeket előállító hálózatok számát rekurzív és zárt formulával. A képlet zárt alakja bonyolult, de Floquet és szerzőtársai (1993) egy ekvivalens egyszerűbb formulát adott meg. Ezen kívül megadták n komponens esetén a k kimenettel rendelkező szétválasztók számát is. Floudas (1987) az egybetáplálásos, kevert termékeket előállító, éles szétválasztókat tartalmazó szétválasztási hálózatok szintézisét vizsgálta. A szétválasztók költségét nem-lineáris függvénnyel írta le és megadott egy szuperstruktúrát, amely feltételezése szerint tartalmazza az összes lehetségesen optimális struktúrát. A szuperstruktúra n komponens esetén n-1 szétválasztót tartalmaz és minden szétválasztó előtt van egy keverő is. A betáplálás egy kezdeti megosztás után kapcsolódik az összes szétválasztóhoz. A szétválasztók kimenetei egyrészt kapcsolódnak a termékekhez, másrészt pedig a keverőkhöz is, amennyiben a keverő utáni szétválasztó tud vágni az adott folyamon. A matematikai modell változói az anyagáramok összetételei és nagyságai. A kapott modellt GAMS-ben oldották meg. Később Aggarwal és Floudas (1990) kiterjesztették a korábbi módszert nem-éles szétválasztók használatára is, azzal a feltételezéssel, hogy csak a kulcs komponensek találhatóak meg a szétválasztó mindkét kimenetén. Az egyes szétválasztók költségét szimulációs eljárással és regressziós analízissel számolták ki és minden szétválasztóból pontosan egyet vettek fel a szuperstruktúrába. Az alkalmazott MINLP matematikai modellben az egyes szétválasztók élessége optimalizálási változóként szerepel. A matematikai modell megoldása egy olyan dekompozíciós módszerrel történik, amelynek lényege, hogy a mester és a szolga feladat is lehetőleg konvex legyen. A megoldót megvalósították GAMS alatt. Wehe és Westerberg (1987) három-, négy- és ötkomponenses feladatokkal foglalkoztak. A háromkomponenses feladatra sikerült felírniuk egy lineáris modellt, a négy- és ötkomponenses feladatra pedig megadtak egy algoritmust, amelyben LP-vel számoltak alsó, NLP-vel felső korlátokat és MILP segítségével határozták meg a megosztó anyagáramainak a tulajdonságait. Szintén Wehe és Westerberg (1989) foglalkozott a szétválasztók minimális számával olyan hálózatokban, amelyek nem-éles szétválasztókat tartalmaznak. Három különböző módszerrel próbálták a minimumot meghatározni. Az első, a betáplálás és a termékek komponensáramaiból képzett mátrix szabadsági fokán alapszik, a második, egy újonnan bevezetett paraméteren, a szétválasztás fokon alapszik, a harmadik pedig a kívánt terméktisztaságoktól függ. Habár a kapott minimumok nem mindig élesek, mégis alkalmasak arra, hogy jelentősen szűkítsék a keresési teret. Quesada és Grossmann (1995) bemutatták a gyakran használt összetétel és komponensáram alapú modelleket. Az összetétel alapú modellben a szétválasztókat leíró egyenletek nem-lineárisak, a komponensáram alapú modellben, pedig ugyanez igaz a megosztók egyenleteire. A modelleket vizsgálva megmutatták, hogy komponensáram alapú modell felírható a megosztókra vonatkozó megosztási hányad típusú változók nélkül is. Bemutattak olyan speciális eseteket is, amikor a modell lineárissá válik,
13
Szakirodalmi áttekintése például, ha a megosztók csak két kimenettel rendelkeznek, illetve, amikor csak az azonos összetételű folyamok keverése megengedett. A két modellt úgy vonták össze, hogy az eredeti modellekből kiválasztották a lineáris egyenleteket és új egyenleteket vezettek be a két modell változói között fennálló viszony leírására. Az így alkotott egyesített modell alsó korlátot kiszámítására alkalmas. A modellt szétválasztás és korlátozás algoritmusban használták fel, amelyet a Floudas (1987) által bemutatott szuperstruktúrára alkalmaztak lineáris költségű szétválasztókat feltételezve. Kovács és szerzőtársai (1993) a struktúra szempontjából vizsgáltak különböző típusú SNS problémákat. Megállapították, hogy egyes általánosan elfogadott feltételezések nem minden esetben igazak. Megadtak egy olyan feladatot, amely esetében az optimális megoldás recirkulációt tartalmaz, holott az eddig ismert módszerek eleve kizárták a kör lehetőségét az optimális megoldásban. Később példát adtak olyan SNS feladatokra is, amelyek optimális megoldásában redundáns szétválasztó szerepelt, illetve a kikerülő folyam nem volt maximális, lásd Kovács és szerzőtársai (1995). Ezek a példák arra ösztönözték őket, hogy a kérdést matematikai szigorúsággal kezeljék. Bevezették a szigorú szuperstruktúra fogalmát, amely nem csak feltételezhetően, hanem bizonyítottan tartalmaz minden lehetségesen optimális struktúrát. Megadták a szigorú szuperstruktúrát a 2F3CPP feladatra konkáv költségfüggvény esetén és több betáplálásos, kevert termékes feladatra lineáris költségfüggvény esetén, lásd Kovács és szerzőtársai (2000). Az utóbbi feladathoz megadtak egy lineáris matematikai modellt, ami azért fontos, mert korábban lineáris költség esetén is csak nem-lineáris modellek voltak ismertek. Munkájuk értékét növeli, hogy folyóiratban publikált, korábban optimálisnak vélt megoldásnál jobb struktúrát találtak, sőt bizonyították, hogy valóban a globális optimumot adták meg. Demicoli és Stichlmair (2003) a szakaszos működésű, összetett szétválasztókat vizsgálták. Egy olyan új működési módot javasoltak, amelyben a háromkomponenses betáplálás középső komponense hatékonyan kinyerhető. Első lépésben a szétválasztó zárt üzemmódban dolgozik teljes refluxxal. A második lépésben, nyílt üzemmódban, az összetett oszlop úgy viselkedik, mint egy egymáson elhelyezkedő normál és fordított működésű desztilláló oszlop.
2.2. HENS 2.2.1. HENS hálózatok Linnhoff és szerzőtársai (1979) áttekintették az addig ismert hőcserélő hálózatok szintézisére szolgáló eljárásokat, abból a szempontból, hogy azok a gyakorlatban mennyire alkalmazhatóak. Megállapították, hogy habár számos eljárást tettek közzé a szakirodalomban, azok ipari felhasználása nem terjedt el. Felhívták arra is a figyelmet, hogy hálózat tervezésekor nem csak az egyes műveleti egységek, de a hálózat tulajdonságait is szem előtt kell tartani.
14
Szakirodalmi áttekintése A hőcserélő hálózatok tervezésének új lendületet adott a pinch technológia kifejlesztése, lásd például Linnhoff és Flower (1978), Linnhoff és Hindmarsh (1983). A pinch vagy szűkületi hőmérséklet olyan hőmérséklet értéket jelent, amelyen keresztül nem történik hőcsere egy minimális energia felhasználású hőcserélő hálózatban. A pinch hőmérsékletet például a kaszkád diagram segítségével lehet meghatározni, amely tartalmazza, hogy az egyes hőmérséklet intervallumokban mekkorák az eredő hőigények. Egy intervallum csak az alatta levő intervallumnak adhat át energiát, hiszen az alacsonyabb hőmérsékletű. Ha egy intervallum energiaigénye akkora, hogy azt a felette lévő intervallumokból nem lehet kielégíteni, akkor melegenergia szolgáltatót kell alkalmazni. Az ilyen intervallum alsó határa a pinch hőmérséklet. A hőmérséklet intervallumokat a hideg- és melegáramok kezdeti és vég hőmérsékletei határozzák meg. A kaszkád diagram megadja a rendszer hideg- illetve melegenergia igényét is. Nagyon szemléletesen jellemzik a rendszert a hideg és a meleg kompozit görbék, amelyek az összes hideg- illetve melegáramot egyesítik hőmérséklet - entalpia diagramon. A két görbe legközelebbi pontja a pinch hőmérsékletet mutatja, a görbék végeinek a különbsége az entalpia tengelyen pedig a hideg- illetve melegenergia igényt adja meg. Hasonlóan hasznos a nagy kompozit görbe, amely mind a hideg-, mind a melegáramokat magába foglalja. A pinch technológia segít a minimális szétválasztó szám meghatározásában is. Érdekes tulajdonság, hogy a minimális hőcserélő szám csak akkor érhető el, ha a pinchen keresztül is történik hőcsere vagyis a minimálisnál nagyobb az energia befektetés. Nyilvánvaló, hogy egyensúlyra kell törekedni a hőcserélők befektetési költsége és a rendszer energia költsége között. Linnhoff és Ahmad (1990) egy a pinch technológián alapuló tervezési módszert mutatott be. A módszer költség célokat definiál és ezeket a célokat még a tervezés előtt optimalizálja úgy, hogy közben lehetővé teszi a felhasználói közbeavatkozást. A kapott megoldás általában 5%-nál nem rosszabb a globális optimumnál. A pinch technológia ma is folyamatosan fejlődik, ma már hőcserélő hálózatok tervezése mellett egyéb területeken is használják. Előnye, hogy segíti a probléma megértését és nagyobb méretű feladatokra is alkalmazható. Mára az algoritmikus módszerek is előtérbe kerültek. Közéjük tartoznak az úgynevezett szállítási modellek, amelyeknek számos változata létezik. A kaszkád diagramon alapszanak, vagyis hőmérséklet intervallumokat határoznak meg, amelyeken belül szabadon történhet hőcsere, de egy intervallum maradék hője, csak az alatta lévő intervallumba továbbítható, lásd Cerda és szerzőtársai (1983), Papoulias és Grossmann (1983). Barbaro és Bagajewicz (2005) szintén a szállítási modell egy tovább fejlesztett változatát dolgozták ki. Módszerük különbözik mind a hagyományos dekompozíción és pinch technikán, mind pedig a szuperstruktúrán alapuló módszerektől. Egy lépésben határozzák meg az optimális megoldást egy MILP modell segítségével. A módszer erőssége, hogy figyelembe veszi az áramok megosztását és a nem izotermikus keverést. 15
Szakirodalmi áttekintése Az algoritmikus módszerek fejlődése és a számítógépes teljesítmény növekedése lehetővé tette az egyre összetettebb HENS problémák vizsgálatát, mint például a periódusos vagy a bemeneti adatokban bizonytalanságot tartalmazó HENS, lásd Ciric és Floudas (1991). Gundersen és Naess (1988) átfogó képet adott a legfontosabb hőcserélő hálózatokkal foglalkozó cikkekről, értékelték és különböző szempontok alapján, csoportosították azokat. Furman és Sahinidis (2002) újból összegyűjtötte a legjelentősebb munkákat kiegészítve őket a legújabb eredményekkel. Lin és Miller (2004) tabu-kereséssel oldották meg a HENS feladatot. A tabu-keresés a sztochasztikus optimalizálási módszerek családjába tartozik, amely úgynevezett tabu listát használ rövid és hosszú távú memóriaként. Legegyszerűbb esetben egy megoldásból a szomszédos megoldások közül a legkedvezőbbe lép át, hacsak az nem szerepel a tabu listában. A listát minden lépés után aktualizálja, általában felveszi az előző megoldást, illetve törli a legrégebbit. A szerzők megmutatták, hogy a tabu-keresés jól alkalmazható HENS feladatokra, mert nagy valószínűséggel megtalálja a globális optimumot, miközben számítási igénye mérsékelt. Petterson (2005) nagy, ipari feladatok megoldására koncentrált. Rámutatott arra, hogy minden megoldó módszernek van egy méretbeli korlátja, amely felett az gyakorlatilag nem alkalmazható. Az ipari feladatok mérete hatalmas lehet, így azok megoldásához speciális algoritmusok szükségesek. Olyan újszerű megközelítést javasolt, amelyben egy feladatot többször egymás után oldanak meg. A megoldás menete olyan, hogy minden lépésben részletesebb modellt használnak, de egyúttal minden lépésben kizárnak bizonyos hőcseréket az előző lépés eredményei alapján, így csökkentve a keresési teret. A javasolt eljárás nem garantálja a globális optimumot, de a vizsgált feladat méretnél erre egy módszer sem volt eddig képes. A gyakorlatban a vizsgált módszer legtöbbször jobb vagy hasonló megoldást adott, mint a korábbiak. Ravagnani és szerzőtársai (2005), a HENS feladatot genetikus algoritmussal oldották meg. A megoldáshoz felhasználták a pinch analízist is. Módszerükben a minimális hőmérséklet különbség, a legtöbb eljárással ellentétben, optimalizálási változó. Ennek fontosságát egy olyan példán keresztül demonstrálták, ahol e változó optimális értéke 24 °C, szemben az általánosan feltételezett 10-el. A megoldásban az energia költség nagyobb, de a beruházási és a teljes költség is kisebb.
2.2.2. Energiaintegrált SNS hálózatok A szétválasztási hálózatok költségének jelentős része a felhasznált energia költségéből adódik. Amíg az energia világpiaci ára nem volt jelentős, addig az energiaintegráció másodlagos kérdés volt. Mivel ez már nem igaz, egyre fontosabbá válik, hogy egy folyamat tervezésekor az energia igényeket is figyelembe vegyük. Rathore és munkatársai (1974a) elsőként vizsgálták az energiaintegrált szétválasztási hálózatok szintézisét. Egy dinamikus programozás alapú algoritmust fejlesztettek ki az optimális
16
Szakirodalmi áttekintése hálózat megtalálására. Kezdetben nem vették figyelembe a különböző nyomású lepárlók által nyújtott lehetőséget, amit azonban később orvosoltak, lásd Rathore és munkatársai (1974b). Aggarwal és Floudas (1992) algoritmikus módszert adtak a nem-éles szétválasztókat tartalmazó hő-integrált szétválasztási hálózatok szintézisére. Módszerük Aggarwal és Floudas (1990) közvetlen folytatásaként tekinthető. Részletes költség analízissel határozták meg a desztilláció oszlopok költségfüggvényeit és megadták a lehetséges hiba nagyságát is (10%). Ugyanazt a szuperstruktúrát használták, mint a korábbi cikkükben és ezen a struktúrán határozták meg a lehetséges hőcseréket. Úgy tekintették, hogy a kiforralók, kondenzátorok és a hőforrások között lehetséges hőcsere, hideg és meleg folyamok létének lehetőségét nem vették figyelembe. A felírt MINLP matematikai modellt egy általuk kifejlesztett dekompozíciós eljárással oldották meg. Finn (1996) megmutatta, hogy a hagyományos Fenske - Underwood - Gilliland módszer alkalmazható csatolt desztilláló oszlopok esetén is és számos összehasonlítást végzett hagyományos és hő-integrált oszlopok között. Wang és szerzőtársai (1998) genetikus algoritmussal oldották meg a tiszta termékes, energiaintegrált SNS feladatot. Módszerükben desztilláló oszlopok használatát feltételezték és az oszlopok nyomását optimalizálási változóként kezelték. Bemutatták az egyedek kódolási módját, az indulási populáció meghatározását és az új egyedek generálásának mikéntjét. Cisternas és munkatársai (2001) a kristályosításon alapuló szétválasztókat tartalmazó, energiaintegrált SNS feladat megoldását tűzték ki. A módszer alapját három különböző hálózat teszi ki, úgymint a termodinamikai állapot hálózat, a feladat hálózat és a hőcserélő hálózat. Az egyes hálózatok modelljeinek összegzése egy diszjunktív programozási modell, amelyet egy MILP feladattá transzformáltak. A feladat energiaintegrációs részét egyszerű szállítási mollként fogalmazták meg. Sobocan és Glavic (2002) tiszta termékes, hő-integrált SNS hálózatok tervezésével foglalkoztak. Két feltételt mutattak be a kedvezőtlen hálózatok kiszűrésére és megállapították, hogy az úgynevezett minimum feltétel a hatékonyabb. Tervezési stratégiájuk a következő: első lépésben generálják az összes lehetséges struktúrát. Tiszta termékes feladatnál, tíz komponensre ez 4862 hálózat, ami még kezelhető mennyiség. Ezután egyszerűsített modellt használva alkalmazták a minimum kritériumot. Kiválasztották a legjobb megoldásokat, ezeket már részletesen modellezték és ismételten alkalmazták rájuk a minimum feltételt. Fraga és Zilinskas (2003) egy hibrid optimalizálási módszert fejlesztett ki, amely képes kezelni nem-lineáris, nem-konvex és nem differenciálható célfüggvényeket. A hibrid módszer két szintből áll, a felső szinten egy lokális kereső határoz meg egy lehetséges szétválasztási hálózatot, az alsó szinten pedig egy genetikus algoritmus keresi meg a hozzá illeszkedő optimális hőcserélő hálózatot. A módszer előnye, hogy részletes vizsgálatok után az alsó és felső részre is olyan módszert választott, amely az adott feladathoz jól illeszkedik. Kim és munkatársai (2003)
17
Szakirodalmi áttekintése demonstrálták, hogy akár egy négykomponenses betáplálás is elvégezhető egy darab komplex szétválasztó segítségével. A tervezett szétválasztó egy-egy kiforralóval, kondenzátorral és fő oszloppal valamint két segéd oszloppal rendelkezett. Habár a tervezett oszlop energia igénye 9,7%-al kevesebb, mint a hagyományos három szétválasztóból álló rendszeré, de szétválasztó bonyolultsága miatt irányítási nehézségekre lehet számítani, valamint a kiforraló és a kondenzátor hőmérséklete olyan, hogy az kizárja a további energiaintegráció lehetőségét. Cabalerro és Grossmann (2001) a tiszta termékes SNS feladatot tekintették csatolt desztilláló oszlopok segítségével. Az általuk javasolt szuperstruktúra az állapot-feladat hálózat formalizmuson alapult, ahol a feladatok definiáltak, de az eszközök nem. A modellezés eredménye egy általánosított diszjunktív programozási feladat, amelynek közvetlen átalakítása MINLP feladattá lehetséges, de nem praktikus. Ennek az oka az, hogy egy így alkotott modell megoldása valószínűleg igen nehéz. Elképzelhető, hogy még megengedett megoldást sem lehet találni, ha pedig igen, akkor is valószínű, hogy a megoldó algoritmus lassan konvergál vagy egy rossz, lokális optimumot ad vissza. Éppen ezért a szerzők egy általuk készített egyedi megoldó alkalmazásához fordultak, lásd Yeomans, Grossmann (1999). Később munkájukat folytatva Cabalerro és Grossmann (2003) módszert adtak arra, hogyan lehet meghatározni adott szétválasztási hálózat esetén az összes termodinamikailag ekvivalens hálózatot. Kezdve a teljes integrációtól, összesen egy kiforraló és egy kondenzátor, a hagyományos elrendezésig, egy kiforraló és egy kondenzátor minden oszlophoz, minden lehetőséget figyelembe vettek. Megfogalmaztak olyan feltételeket, amelyek lehetőséget adtak a nehezen irányítható hálózatok kiszűrésére. Iwakabe és szerzőtársai (2006) termikusan csatolt desztilláló oszlopot mutatták be és konkrét példákon keresztül demonstrálták annak hatékonyságát. Egy hagyományos desztilláló oszlop a következő részekből áll: kiforraló, szegényítő rész, dúsító rész, kondenzátor. A hőenergiát a kiforraló viszi be a toronyba és a kondenzátor távolítja el. Ennek megfelelően a hőmérséklet a torony aljától felfelé fokozatosan csökken, ami kizárja a tornyon belüli energiaintegrációt. A javasolt új elrendezésben a kiforraló és a szegényítő rész elkülönül a dúsító résztől és kondenzátortól. A nyomás növelésével elérhető, hogy a dúsító rész hőmérséklete nagyobb legyen, mint a szegényítő részé, így a két elem között megvalósítható a hőcsere. A javasolt elrendezés 30%-al tudta csökkenteni a torony energia igényét, ugyanakkor csökkenti a hagyományosan tornyok között megvalósuló energiaintegráció lehetőségét. Gadalla és szerzőtársai (2006) szintúgy termikusan csatolt desztilláló oszlopot vizsgálták a propilén-propán szétválasztás példáján keresztül, a CO2 kibocsátás szempontjából. Azt találták, hogy ideális esetben, amikor a kiforraló teljes egészében elhagyható, a hagyományos oszlophoz képest 83%-al csökken a CO2 kibocsátás, ami az eddigi legkorszerűbb hőszivattyús alternatívához képest is 36%-os a csökkenést jelent. Proios és szerzőtársai (2005) egy három lépcsős módszert dolgoztak ki hő-integrált desztilláló oszlopok tervezésére. A módszer átmenetet
18
Szakirodalmi áttekintése képez az egyszerűsített és modellezési módszerek között. Az eljárás hatásosságát példákkal illusztrálták, amelyeknél jelentős energia megtakarítást értek el. Douglas és szerzőtársai (1985) a termelő hálózat és a szétválasztó hálózat közötti kapcsolatot vizsgálták. Megállapították, hogy a kettő szorosan összefügg, mert a termelő hálózat optimalizálásakor egyaránt mérlegelni kell az alapanyag és a recirkuláció költségét, a recirkuláció viszont általában szétválasztást igényel. Azt javasolták, hogy egyszerűsített modell segítségével határozzák meg az összevont feladat optimum közeli megoldását illetve zárjanak ki kedvezőtlen lehetőségeket. Bemutattak különböző egyszerűsített modelleket és heurisztikus tervezési elveket. Douglas (1988) a termelő hálózatok tervezését gyakorlati szempontból vizsgálta. Számos esettanulmányt vizsgált meg és ezeken keresztül magyarázta el a fontos tervezési elveket. Az alkalmazott egyszerűsített modellek lehetővé tették, hogy gyorsan legyen meghatározható egy viszonylag jó megoldás.
19
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
3. SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával A szétválasztás mindig az anyagáramokban szereplő komponensek valamilyen tulajdonsága alapján történik. Ez lehet szemcseméret, oldhatóság, sűrűség vagy egyéb más fizikai, kémiai tulajdonság. Ebben a fejezetben, olyan SNS feladatokat vizsgálunk, amelyek esetében a felhasználható szétválasztó berendezések különböző technológiák alapján működhetnek, azaz nem ugyanazt a fizikai, kémiai, stb. tulajdonságot felhasználva választják szét az anyagáramokban szereplő komponenseket. A petrolkémiai gyakorlatban legtöbbször eltérő illékonyságuk alapján választják el egymástól a komponenseket. A desztilláción alapuló szétválasztók használata annyira elterjedt és természetesnek tekintett, hogy a megoldó módszerek szerzői sokszor nem is említik külön, hogy a rendelkezésre álló szétválasztók alatt a desztilláló oszlopokat értik. Ez a feltételezés több következménnyel jár. Először is, a komponens sorrend értelemszerűen megegyezik az illékonyság, legtöbbször csökkenő, sorrendjével. Másodszor, ha egy folyamban n különböző komponens van, akkor pontosan n-1 illékonyságon alapuló szétválasztó típus létezhet, lásd 3.1 ábra. A vágás kifejezés is azért terjedt el, mert ha csak lepárlókat tekintünk, akkor a lepárló típusát egyértelműen meghatározza, hogy hányadik komponens után történik a szétválasztás, azaz a vágás. [c1, 0, 0, 0]
[c1, c2, c3, c4]
S1
[c1, c2, c3, c4]
[0, c2, c3, c4]
[c1, c2, 0, 0]
S2
[c1, c2, c3, c4]
[0, 0, c3, c4]
[c1, c2, c3, 0]
S3
[0, 0, 0, c4]
3.1. ábra: Egyszerű, éles szétválasztókat tartalmazó szétválasztó család tagjai.
3.1. Szétválasztó családok Manapság a lepárlástól különböző elven működő szétválasztók használata egyre általánosabb a vegyipar egészében, de különösen a bió-technológia és a gyógyszerészet területén. A teljesség igénye nélkül felsoroljuk a különböző szétválasztási módszereket, hogy rávilágítsunk, a módszerek sokféleségére. Extrakció során azt használjuk ki, hogy egy anyag oldhatósága folyadékonként különbözik. Két, egymással csak korlátozott mértékben keveredő folyadékot összekeverve egy komponens abban a folyadékban fog koncentrálódni, amelyikben
20
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával nagyobb az oldhatósága. A folyamatot többször ismételhetjük a nagyobb koncentráció érdekében. Abszorpció alatt gázok folyadékban történő elnyeletését értjük. Adszorpció során pedig egy gáz egyes komponenseit kötjük meg valamilyen szilárd anyaggal, például aktív szén, felhasználásával. A desztilláció azon alapszik, hogy egy oldatot folyamatosan forralva a keletkezett gőzben az alacsonyabb forráspontú komponens koncentrálódik. A nagyobb koncentráció elérése érdekében a párlatot hűtéssel ismét cseppfolyósítani kell és újra lehet kezdeni az eljárást. Egy desztilláló toronyban sok tálca (vagy töltet) helyezkedik el és mindegyik tálcán forrás közbeni folyadék található. A forráshoz az energiát a legalsó szinten elhelyezkedő kiforraló biztosítja, amelynek hőtartalmát a tálcákról felszálló gőz felfelé továbbítja. A torony legtetején egy kondenzátor található, amely a párlat egy részét cseppfolyósítja. Az így keletkezett folyadék lecsorog a lentebb lévő tálcákra. A desztillációnak rengeteg változata van, ezek közül csak flash desztillációt említjük külön, amelynél egy folyadék alacsony nyomású térbe érkezik, ahol ennek hatására egy része hirtelen elpárolog. A szemcse méret alapján történő szétválasztási módszerek közé tartozik a szűrés, a rostálás és a membrán szétválasztás. Ez utóbbi napjaink egyik élénken kutatott területe. A fő feladat olyan megfelelően szelektív membrán létrehozása, amely viszonylag huzamos ideig működőképes és előállítása nem túl költséges. Kicsapatás és kristályosítás közben halmazállapot változás segítségével érjük el a komponensek szétválasztását. A komponensek súlyai közötti különbséget használja ki az ülepítés és a centrifugálás. Kromatográfia segítségével csak kis mennyiségű anyag választható szét, gyakran használják egy anyag komponenseinek az azonosítására. Sok fajtája létezik, úgymint a gáz és folyadék kromatográfia, a nagynyomású kromatográfia, a vékonyréteg és a papír kromatográfia, stb. A pervaporizáció egy nem pórusos membránt alkalmazó szétválasztási technika. A membrán egyik oldalán folyadék, a másik oldalán vákuum található. A folyadékban lévő termék, a reá szelektív membránon keresztül diffundál át a másik oldalra, ahol a vákuum hatására rögtön elpárolog. A pervaporizáció kifejezés a permeation és vaporization angol szavakból származik. Elméletileg minden olyan tulajdonság felhasználható szétválasztásra, amely egy elegyben komponensekként megfelelő mértékben különbözik. A szétválasztó család egy halmaz, amelynek elemei az azonos elven működő szétválasztó típusok. Például a desztilláción alapuló szétválasztók egy családot alkotnak, csakúgy, mint az extrakciót felhasználó szétválasztók. Minden szétválasztó családhoz tartozik egy szétválasztási sorrend, amelyet úgy kapunk, hogy a komponenseket rendezzük, a szétválasztás alapjául szolgáló fizikai, kémiai tulajdonság szerint. A 3.2. 21
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával ábrán két szétválasztó család tagjait ábrázoltuk négykomponenses bemenet esetén. A rektifikáláson alapuló szétválasztó családnál a komponens sorrend: c1, c2, c3, c4, az extrakción alapuló szétválasztó családnál pedig c4, c3, c1, c2. Ennél az ábránál a két család komponensáram vektorainál a saját családhoz tartozó komponens sorrendet használtuk. rektifikáláson alapuló szétválasztó család [c1, 0, 0, 0] [c1, c2, c3, c4]
SR1
extrakción alapuló szétválasztó család
[c1, c2, 0, 0]
[c1, c2, c3, c4]
SR2
[0, c2, c3, c4]
[0, 0, c3, c4]
[c4, c3, c1, c2]
SE1
[c4, c3, c1, c2]
[0, c3, c1, c2]
[c1, c2, c3, 0] [c1, c2, c3, c4] SR
[c4, c3, 0, 0]
[c4, 0, 0, 0]
SE2
[0, 0, c1, c2]
[c4, c3, c1, 0] [c4, c3, c1, c2]
3
[0, 0, 0, c4]
SE3
[0, 0, 0, c2]
3.2. ábra: Két szétválasztó család lehetséges tagjai.
A következő gyakorlati feladat azt mutatja, hogy már három komponens esetén is több szétválasztási sorrend létezik, amelyek mindegyike egy-egy szétválasztási módszerhez tartozik. Például, ha egy folyam propilénből (c1), propánból (c2) és propadiénből (c3) áll, akkor három szétválasztási módszer közül választhatunk, lásd King (1980). Ezek a desztilláció, extraktív desztilláció poláris oldószerrel és az extrakció. Mindegyik módszert egyedi komponens sorrend jellemez, így mindegyik módszerre, szétválasztók egy teljes családját lehet alapozni. A komponens sorrend az első módszer esetén, c1, c2, c3, a második módszer esetén: c2, c1, c3 és a harmadik módszer esetén c3, c1, c2. Egy szétválasztási családnak n komponens esetén maximum n-1 hagyományos eleme lehet, de ez csak felső korlát, mert előfordul, hogy a szétválasztási technika jellege miatt nem valósítható meg mind az n-1 fajta szétválasztás. Például, ha két molekulának a mérete ugyanaz vagy nagyon hasonló, akkor közöttük nem valósítható meg vágás membrán szűrő segítségével. Mivel korábban csak egy szétválasztó családot tekintettek, így csak egy komponens sorrend volt, ami egyértelművé tett, hogy a komponensáram vektorban melyik pozíció melyik komponenshez tartozik. Több szétválasztó család, így több komponens sorrend esetén két megközelítés lehetséges. Minden szétválasztónál a szétválasztó családjához tartozó komponens sorrendet használjuk a komponensáram vektorokban. Mivel ekkor több különböző sorrendet használunk, minden esetben jelölni kell, hogy éppen melyikre gondolunk. A másik megközelítés szerint szabadon kiválasztjuk az egyik komponens sorrendet és mindig azt használjuk, függetlenül attól,
22
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával hogy milyen szétválasztóról van szó. A dolgozatban általában az utóbbi módszert alkalmazzuk. Több szétválasztó család figyelembe vételével, az eddiginél jobb megoldást találhatunk. Ennek oka az, hogy a keresési tér nő, hiszen jóval több olyan hálózatot tudunk generálni, amely megvalósítja a kitűzött feladatot. A nagyobb keresési térben pedig valószínűleg találunk, olyan megoldást, amely jobb, mint az eredeti tér optimális megoldása. Ennek gyakorlati oka a következő. Tekintsük az n komponenses tiszta termékes feladatot desztilláción alapuló szétválasztók felhasználásával. Ennek a feladatnak az optimális megoldását ismert módszerekkel megkaphatjuk. Tegyük fel, hogy két komponens relatív illékonysága egymáshoz nagyon közeli, vagyis köztük a vágás desztillációval nagyon költséges. Nyilvánvaló, ha találunk egy olyan szétválasztót, például extraktort, amely az előbbi komponensek szétválasztását olcsóbban megvalósítja, akkor költségmegtakarítást érhetünk el. A módszer hátránya szintén a megnőtt keresési térből adódik, hiszen nagyobb térben az optimum megtalálása hosszabb időt vesz igénybe. Mindazonáltal úgy véljük, hogy az elért költségcsökkenés igazolja a futási idő megnövekedését.
3.2. Az SNS-Multi feladat definiálása A több szétválasztó család figyelembe vételének gondolatát szétválasztási hálózatok szintézisénél már mások is felvetették. Például Biegler és szerzőtársai (1997) a Thompson képlet olyan formáját adták meg, amely több szétválasztó családot is figyelembe vesz. Azonban korábban nem létezett olyan algoritmikus módszer, amely ezt a gondolatot továbbfejlesztve és kidolgozva ténylegesen lehetőséget adott volna, különböző elveken működő szétválasztók felhasználására egy SNS feladatban. Célunk, hogy pótoljuk ezt a nyilvánvaló hiányosságot és hogy megmutassuk, hogy milyen előnyökkel jár különböző szétválasztó családokba tartozó szétválasztók együttes használata. Az SNS módszereket illusztratív és ipari példák segítségével szokás összehasonlítani. Amíg a desztillációs hálózatok szintéziséhez számtalan irodalmi feladat létezik, addig a több szétválasztó családot figyelembe vevő SNS feladatokhoz ezek nem állnak rendelkezésre. Ezért feladatunknak tekintjük azt is, hogy különböző méretű és tulajdonságú példákat tegyünk közzé. Ezen fejezetnek a célja, hogy egy konkrét feladattípuson keresztül mutassa meg, több szétválasztó család figyelembevételének a fontosságát. Ennek megfelelően az első lépés a probléma pontos megfogalmazása. Ez azt jelenti, hogy megadjuk a kitűzött SNS feladat jellemzőit, úgymint a betáplálás, termék és komponens számot, hogy a termékek tiszták vagy többkomponensesek, a felhasználható szétválasztók tulajdonságait, az energiaintegráció lehetőségét, stb. Mivel a célunk az, hogy a különböző fizikai, kémiai
23
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával tulajdonságokat kihasználó szétválasztók használatának fontosságát hangsúlyozzuk az egyes szétválasztók működési paramétereivel szemben, egyszerű és éles szétválasztók használatát feltételezzük. A szétválasztók működési költségét lineáris függvénnyel írjuk le, azaz egy szétválasztó költsége betáplálásának nagyságával arányos. A szétválasztók részletes leírását a következő alfejezetben tárgyaljuk. Feladatunk, hogy az adott tulajdonságú szétválasztókból felépítsünk egy olyan hálózatot, amely tetszőleges komponens számú bemenetből vagy bemenetekből létrehozza a kívánt tiszta vagy többkomponenses termékeket. Sem a betáplálások, sem a termékek számára nem teszünk kikötéseket. A termékeket megadhatjuk a komponensáram vektorukkal, a komponensáramaikra vonatkozó lineáris feltételekkel, vagy a kettő kombinációjával. Például megadhatjuk a termékben két komponens arányát, korlátozhatjuk egy adott komponens mennyiségét, vagy megmondhatjuk, hogy a termékből legalább mennyit akarunk előállítani. Ilyenkor a mi felelőségünk, hogy a megadott feltételek konzisztensek legyenek. Például, ha kikötjük, hogy az egyik termékben legalább öt, a másikban legalább háromegységnyi legyen egy adott komponensből, ugyanakkor a betáplálásban nincs összesen ennyi, akkor a feladat nyilvánvalóan nem megoldható. Az energiaintegráció lehetőségével a következő fejezetben foglalkozunk. Az előbbiekben felvázolt feladattípust SNS-Multi-nak nevezzük el, ahol a "multi" arra utal, hogy a felhasználható szétválasztók halmazát több szétválasztó család tagjai alkothatják. Az SNS-Multi feladattípus tömör megfogalmazása a következő: adottak a folyamokban előforduló komponensek, a betáplálások, a termékek expliciten vagy impliciten és a felhasználható egyszerű, éles, lineáris költségű szétválasztók, amelyek különböző elveken működhetnek; keressük a feladathoz tartozó optimális költségű szétválasztó hálózatot. Az adott feladattípus hagyományos változatát, ahol csak egy szétválasztó család tagjai használhatóak fel, SNS-Single-nek hívjuk. Az SNS-Multi az SNS-Single általánosításának tekinthető. Kovács és szerzőtársai (1993, 1995, 1999, 2000) az SNS-Single feladattípust vizsgálták és számos fontos eredményt értek el. Ezek az eredmények a jelen dolgozatban is hasznosulnak. Amikor az SNS-Single feladattípust választottuk ki általánosításra, akkor a következő két fő szempontot tartottuk szem előtt: legyen a feladattípus széles körben ismert és a szétválasztási hálózat struktúrája legyen hangsúlyos, szemben az egyes szétválasztók működési paramétereivel. Ezért döntöttünk úgy, hogy éles és lineáris költségű szétválasztók használatát feltételezzük. Tökéletesen éles szétválasztó csak elméletben létezik. Például egy desztilláló oszlopban az élesség növelése a reflux illetve a tányérszám növelésével érhető el. A refluxot csak a teljes refluxig lehet növelni és a tányérszám sem lehet végtelen. A gyakorlatban azonban általában nincs szükség teljes élességre. Minden alkalmazáshoz lehet mondani egy százalékos értéket, amely felett a szétválasztás már élesnek tekinthető. A lineáris költségfüggvény használata is pontatlansághoz vezethet, mégis általánosan használt a szakirodalomban, mert
24
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával kielégítően írja le egy szétválasztó bemeneti anyagárama és a szétválasztó költsége közötti viszonyt. Minden modell a valóságnak csak egy absztrakciója, azt csak adott részletességgel írja le. A kérdés az, hogy ez a részletesség megfelelő-e az adott felhasználást tekintve. Esetünkben az alkalmazott modell részletessége elégséges ahhoz, hogy megkapjuk az optimális szétválasztási struktúrát, vagyis, hogy az egyes szétválasztók milyen sorrendben kapcsolódnak egymáshoz, de a szétválasztók pontos tulajdonságainak meghatározásához később részletesebb modelleket kell használni. A módszer még akkor is hasznos, amikor a költség a lineáristól jelentősen eltér. Ekkor a megoldás struktúra egy részletesebb modellből származtatott MINLP feladatnak biztosíthat egy jó kezdőpontot vagy egy szétválasztás és korlátozás algoritmusban használható alsó korlát kiszámítására.
3.3. A szétválasztók tulajdonságai Egyszerű és éles szétválasztók használatát feltételezve, egy szétválasztó a következő strukturális tulajdonságokkal jellemezhető: milyen komponenseket tartalmazhat a szétválasztó bemenete; ezek közül melyek jelennek meg a felső és melyek az alsó kimeneten; valamint, hogy mi a szétválasztó költségfüggvénye. Ezen adatokból a szétválasztó bemenetének ismeretében kiszámítható a szétválasztó költsége, valamint a kimenetek nagysága és milyensége. Két fő oka lehet annak, hogy egy szétválasztó bemenete nem tartalmazhat egy adott komponenst. Az első ok technológiai jellegű, például, ha egy komponens maró vagy más módon károsítaná a szétválasztót. Nyilvánvaló, hogy az ilyen szétválasztót csak abban az esetben lehet használni, amennyiben a kérdéses komponenst már eltávolítottuk, egy a károsító hatásra nem érzékeny szétválasztó segítségével. A második ok az alkalmazott modell jelegéből adódik. Elképzelhető, hogy egy adott komponens ugyan nem veszélyes a szétválasztóra, de a komponens hiányában a szétválasztás jelentősen olcsóbban elvégezhető. Ekkor definiálhatunk két külön szétválasztót, egy drágábbat, amely megengedi bemenetén az adott komponenst és egy olcsóbbat, amely nem. Az olcsóbb szétválasztó csak akkor használható, ha a kérdéses komponenst már korábban eltávolítottuk egy másik szétválasztó segítségével. A lineáris költségű szétválasztókhoz tartozó együttható elnevezése a szakirodalomban nem következetes. Hívják a szétválasztás nehézségének, a szétválasztás fokának, költségegyütthatónak, szétválasztási együtthatónak, stb. Mi a szétválasztás nehézsége alatt olyan számot értünk, amely kifejezi, hogy két komponens közötti vágás megvalósítása mennyire bonyolult. A konkrét értékét a tekintett komponensek azon tulajdonságainak a különbségéből számolják, amely a szétválasztás alapjául szolgál. Minél kisebb a különbség, annál nehezebb a szétválasztás. Például, ha a szétválasztás alapja a relatív illékonyság, és két komponens relatív illékonysága egymáshoz közeli, akkor a szétválasztás nehézsége nagy és a desztilláló oszlopnak sok tálcát vagy töltetet 25
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával kell tartalmaznia, működtetéséhez sok energia szükséges. Amennyiben csak egy szétválasztó család tagjait használjuk fel és a szétválasztók költségfüggvényei lineárisnak tekinthetőek, akkor más együtthatóra nincs szükség. A szétválasztás nehézségének és a szétválasztó bemenetén lévő folyam nagyságának a szorzata arányos a költséggel és e szorzatok összege pedig arányos a hálózat költségével. Amennyiben különböző elveken működő szétválasztókat használhatunk fel, akkor az előbbi szorzatot a költségegyütthatóval is meg kell szorozni, amely szétválasztási családonként különbözik. Az így kapott szorzat már ténylegesen pénznem/idő dimenziójú. A szétválasztás nehézségének és a költségegyütthatónak a szorzatát teljes költségegyütthatónak hívjuk, hiszen lineáris költségfüggvényt használva ez az egyetlen paraméter megmondja, hogy mennyibe kerül egy egységnyi folyam szétválasztása. Amennyiben a teljes költségegyütthatókra nagy pontossággal van szükségünk, akkor azokat minden szétválasztó család minden típusára egyenként kell meghatározni. Már utaltunk arra, hogy egy szétválasztó család hagyományosan definiált n-1 szétválasztója mellé megadhatunk olyan extra szétválasztókat is, amelyek az előbbiekkel megegyező elven működnek, de egy vagy több komponens nem szerepel a szétválasztó bemenetében. Az extra szétválasztók általában azt használják ki, hogy bemenetükön a komponensáram vektor nem folytonos. Egy komponensáram vektort adott tulajdonság szerint nem folytonosnak nevezünk, ha a komponensáramokat az adott tulajdonság szerint rendezve, két nem nulla értékű komponensáram között van nulla értékű komponensáram. Például, ha relatív oldhatóság szerint a komponens sorrend c1, c2, c3, de olyan folyamot akarunk szétválasztani, amiben csak c1 és c3 van jelen, mert c2-t már korábban eltávolítottuk egy nem az adott családba tartozó szétválasztó segítségével, akkor egy extra szétválasztó alkalmazható. Az extra szétválasztó költsége kisebb, mint c1 és c2 illetve c2 és c3 között vágó szétválasztók költségének bármelyike. Ennek az oka az, hogy a szétválasztás nehézsége kisebb c1 és c3 között, mert nagyobb köztük a különbség relatív oldhatóságban. 3-1. tétel: Ha egy szétválasztási hálózat bemenetei t tulajdonság szerint folytonosak, csak t tulajdonságon alapuló szétválasztókat tartalmaz a hálózat és a termékek előtti keverőktől eltekintve csak olyan folyamok keverése engedett, amelyeknek legalább egy közös eleme van vagy a szélső elemei szomszédosak, akkor a hálózat minden szétválasztójának a bemenete t tulajdonság szerint folytonos. Bizonyítás: Elegendő belátni, hogy egy tetszőleges t tulajdonság szerint folytonos folyamot rávezetve egy megosztóra, keverőre vagy egy a t tulajdonságot kihasználó szétválasztóra a kimeneti folyamok is folytonosak lesznek. Lásd a 3.3 ábrát, ahol mind a bemenetek, mind a kimenetek folytonosak, a műveleti egységek definícióiból adódóan. n
26
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
i £ k, k-j £ m 3.3. ábra: Műveletei egységek hatása a folytonosságra.
Az előbbi állításból az következik, hogy az egy szétválasztó családot felhasználó hálózatok esetén, általában nincs szükség extra szétválasztók definiálására. Ennek oka az, hogy az adott feltételek mellett a hálózat minden komponensáram vektora folytonos t tulajdonság szerint és csak nem folytonos komponensáram vektorok jelenléte esetén van szükség extra szétválasztók definiálására. Keverők segítségével természetesen nem folytonos komponensáram vektort is létre lehet hozni, de ez csak termékek esetében szükséges. Amennyiben több szétválasztó család használata engedélyezett, akkor nem folytonos komponensáram vektorok jelennek meg és így az extra szétválasztók használata lényegessé válik. A komponensáram vektorok folytonosságát minden szétválasztó megőrzi a saját komponens sorrendje alapján. Azonban egy adott tulajdonság alapján folytonos komponensáram vektor, általában nem folytonos egy másik tulajdonság szerint. A 3.4. ábrán egy háromkomponenses folyamot elválasztunk extrakció segítségével. Az alsó kimenetet tekintve a folyam extrakció szerint továbbra is folytonos, de relatív illékonyság szerint nem. Ha a további szétválasztást desztillációval akarjuk megvalósítani, akkor az illékonyság szerint nem folytonos folyamot érdemes egy extra szétválasztóra rávezetni.
27
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
c2 c1 c3
T
15 = 10 5
T
c2 c1 c3
T
15 = 0 0
T
SE1
c2 relatív oldhatóság szerint folytonos c1 c3
T
0 = 10 5
T
relatív illékonyság szerint nem folytonos T T
c1 c2 c3
=
10 0 5
3.4. ábra: Nem folytonos komponensáram vektor.
Egy szétválasztási hálózat bemenete vagy közvetlenül tartalmazza a szétválasztók teljes költségegyütthatóit vagy a komponensek jellemző tulajdonságai adottak benne, amelyekből ki tudjuk számolni azokat. Ha nem ismert olyan képlet, amellyel pontosan számolhatók a teljes költségegyütthatók, akkor az első módszert kell alkalmazni. Ekkor általában egyedi mérésekkel határozzák meg a kívánt értékeket. Extra szétválasztók esetén is vagy automatikusan, vagy egyedileg határozzuk meg a teljes költségegyütthatókat. Az előbbi módszer esetén az első lépés a szétválasztás nehézségének meghatározása. Ehhez tudni kell a komponenseknek azon tulajdonságát, amely a szétválasztás alapjául szolgál, például desztilláció esetén a relatív illékonyságot. Ezekből, a szétválasztó családra jellemző képlet segítségével, ki lehet számolni a szétválasztás nehézségét, amit meg kell szorozni a költségegyütthatóval. Ez a módszer pontatlanabb, de lényegesen gyorsabb, mint a teljes költségegyütthatók egyedi meghatározása. Az utóbbi esetben az összes felhasználható extra szétválasztót külön-külön kell megvizsgálni. Míg n komponens esetén a hagyományos szétválasztók maximális száma n-1, addig az extra szétválasztók száma a 3.1. képlet segítségével számítható ki. n-2
ænö
å ç k ÷ (n - k - 1) k =1 è
ø
3.1.
A képletben k a nulla értékű komponensáramok számát jelenti, amelyek az n lehetséges pozíció bármelyikén lehetnek, úgy hogy a sorrend nem számít, ami pontosan a két érték kombinációja. Amennyiben a 0-k helyét lerögzítettük, akkor az n-k nem nulla komponens között n-k-1 különféle helyen lehet vágni. Érdemes megjegyezni, hogy k = 0tól indítva az összegzést az összes szétválasztó számát kapjuk meg, hiszen az összeg első
28
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával tagja éppen a hagyományos szétválasztók száma, azaz n-1. A 3.1. táblázat mutatja az extra szétválasztók számát adott komponens számokra. 3.1. táblázat: Extra szétválasztók száma a komponens szám függvényében
komponens szám: extra szétválasztók száma:
3 3
4 14
5 45
6 124
7 315
8 762
A 3.5. ábrán látható a 14 lehetséges extra szétválasztó 4 komponens esetén. [0, c2 | c3, c4] olyan szétválasztó, amely bemenete nem tartalmazhat c1-es komponenst, például azért, mert a szétválasztó olyan hőmérsékleten dolgozik, amin c1 károsodik. [c1 | 0, 0, c4] pedig olyan szétválasztót jelképezhet, amely nagyon olcsón működik, hiszen c1 és c4 könnyedén szétválasztható.
3.5. ábra: Extra szétválasztók 4 komponens esetén.
Amikor felsoroljuk a felhasználható szétválasztókat, akkor strukturálisan nem különböztetjük meg a hagyományos és az extra szétválasztókat és azt sem kell külön megadni, hogy egy szétválasztó típus melyik családba tartozik. Ezek az információk meghatározottak azáltal, hogy megadjuk, hogy milyen komponenseket tartalmazhat a szétválasztó bemenete és ezek közül, melyek kerülnek a felső és melyek az alsó kimenetre. Ezen kívül csak a kérdéses szétválasztó teljes költségegyütthatóját kell megadni. A könnyebb megértés érdekében a szétválasztó azonosítója általában utal arra, hogy az adott típus melyik családba tartozik, hogy a hozzá tartozó komponens sorrend szerint hol vág, illetve, hogy hagyományos vagy extra szétválasztóról van-e szó. A 3.6. ábrán a S3D nevű szétválasztó desztilláción alapszik és relatív illékonyság szerint rendezve a szétválasztókat a harmadik komponens után vág. A bemenetnél a komponenseket a szétválasztás alapjául szolgáló tulajdonság szerint soroljuk fel, de ez se kötelező, hanem csak a könnyebb megértést szolgálja. Strukturális szempontból a bemenetnél valamint a felső és alsó kimeneteknél komponenseknek egy-egy halmazát E adjuk meg, vagyis a sorrend nem számít. Az ábra másik szétválasztója S12-4 egy extra szétválasztó, amely bemenetén c3 komponens nem lehet jelen és a c4 komponenst
29
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával különíti el a többitől. Vegyük észre, hogy az extra szétválasztó teljes költségegyütthatója kisebb, mint a hagyományos szétválasztóé.
3.6. ábra: Példa szétválasztók megadására.
3.4. Szigorú szuperstruktúra Az SNS feladatok algoritmikus megoldása általában a következő lépésekből áll: strukturális modell megalkotása, matematikai modell generálása, majd ennek a megoldása. Strukturális modell alatt egy olyan reprezentációt értünk, amely a felhasználható eszközöket, szétválasztókat, megosztókat, keverőket valamint a köztük lévő lehetséges összeköttetéseket tartalmazza. A strukturális modelleknél a fő kérdés az, hogy az egyes alkotó elemek, benne lesznek-e az optimális megoldásban vagy nem. Ezzel szemben a matematikai programozási modell változókból és egyenletekből áll és a megoldása kvantitatív jellegű, hiszen egy folyam léte mellett megadja azt is, hogy annak pontosan mekkora a nagysága. Egy megoldó módszert akkor hívunk algoritmikusnak, ha egy konkrét feladatból kiindulva pontosan meghatározza, hogyan kell felépíteni a strukturális modellt, azt hogyan kell lefordítani matematikai modellé, hogyan kapjuk meg a matematikai modell megoldását és ebből a megoldásból hogyan képezzük az optimális struktúrát. Az algoritmikus módszerek lépéseit a 3.7. ábra szemlélteti. Az algoritmikus módszerek általában számítógépen megvalósítottak és azt várjuk tőlük, hogy a bemenet megadása után gombnyomásra szolgáltassák az optimális megoldást. Ahhoz, hogy a megoldás optimalitását garantálni lehessen, minden lépés helyességét vizsgálni kell. bemeneti adatok
matematikai optimális matematikai programozási struktúra modell modell meghatározá megoldása generálása sa 3.7. ábra: Algoritmikus módszerek lépései.
strukturális modell generálása
optimális struktúra
Az optimalizálási modell megoldásából az optimális struktúra meghatározása általában egyszerű feladat. Ismerjük az eszközök modelljeit, vagyis a hozzájuk kapcsolódó változók jelentését és ismerjük e változók értékeit is, így meg tudjuk határozni az eszközök állapotát. Egy eszköz vagy egy eszközök közötti kapcsolat, általában akkor része az optimális struktúrának, ha a hozzá kapcsolódó változok közül legalább az egyik nem nulla. A programozási modellből az optimális megoldás meghatározása összetett feladat, ezzel egy önálló tudományág az operációkutatás foglalkozik. Ennek célja a 30
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával bizonyítottan optimális megoldás megkeresése, de ez bizonyos körülmények megléte esetén nehézségekbe ütközik. Például, ha a feladat mérete túl nagy, akkor előfordulhat, hogy egy sokprocesszoros gépen sem kapunk belátható időn belül megoldást. A sztochasztikus megoldó módszerek általában az optimumhoz közeli megoldást adnak, de a megoldás optimalitása a megoldó jellegéből adódóan nem garantálható. Nem-lineáris feladatok esetén epszilon optimális megoldást keresünk, ami azt jelenti, hogy a kapott eredmény legfeljebb epszilon távolságra van a globális optimumtól. Nyilvánvalóan epszilon értékét csökkentve a számítási igény nő. Egyes feladatok megoldása során a számítógép számábrázolási pontatlansága miatti hibák annyira felhalmozódnak, hogy a lehetetlenné teszi az optimális megoldás megtalálását. Sok feladat esetén még megengedett megoldás keresése is hatalmas kihívás. Ezek a problémák általánosan ismertek, éppen ezért csak annyira állíthatjuk egy struktúráról, hogy az optimális, amennyire ezt tudjuk a matematikai modell megoldásáról. A strukturális modellből a matematikai modell elkészítése többféle képen történhet. Az első feladat az, hogy eldöntsük, milyen változókat alkalmazzunk, a második pedig, hogy ezeknek a változóknak a segítségével leírjuk az eszközök működését. Elméletileg a különféle matematikai modellek ugyanazon optimális megoldáshoz vezetnek, amennyiben a kiindulási strukturális modell azonos volt. Az "elméletileg" kitétel fontossága az előző bekezdésből tűnik ki, ahol leírtuk, hogy milyen okok miatt hiúsulhat meg az optimális megoldás megtalálása. A matematikai modell, akkor megalapozott, ha helyesen írja le az összes eszközt és a köztük lévő kapcsolatokat. Ha például a matematikai modell nem tükrözi, hogy az extra szétválasztók bemenetén bizonyos komponensek nem szerepelhetnek, akkor nincs garancia arra, hogy az optimális megoldást fogjuk megkapni. Felvetődik a kérdés, hogy a különböző, de egymással ekvivalens matematikai modellek közül melyik a legkedvezőbb. Az egyszerű válasz erre az, amelyik gyorsabban megoldható. A megoldási idő alapvetően két tényezőtől függ, a modell típusától és a változók számától. Általában a modell típusa a döntő tényező. A 3.8. ábra mutatja be az alapvető optimalizálási modell típusokat. A legkönnyebben egy LP oldható meg legnehezebben pedig egy MINLP. Egy NLP modell MILP modellé konvertálható úgy, hogy a nem-lineáris egyenleteket szakaszonként lineáris kifejezésekkel helyettesítjük és új egész változókat vezetünk be, annak kifejezésére, hogy éppen melyik szakaszt tekintjük. A matematikai modell típusa elsősorban attól függ, hogy milyen részletességgel akarjuk reprezentálni az egyes eszközöket. Ennek a döntésnek a meghozatalakor figyelembe kell venni, hogy minél részletesebb a modell, annál kisebb a reális időn belül megoldható feladatméret.
31
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
bonyolultság bonyolultság
lineáris feltételek
nem lineáris feltételek
nincsenek egész változók
LP
NLP
vannak egész változók
MILP
MINLP
3.8. ábra: Matematikai programozási modellek típusai.
Az eddigiekben bemutatott, az optimális struktúrához vezető lépések helyességét vagy vizsgálták korábban is vagy azok viszonylagos egyszerűsége miatt, ilyen vizsgálatra nem volt szükség. Sokan úgy vélik, hogy a strukturális modell elkészítése is ilyen egyszerű lépés, így azt nem vizsgálták matematikai szigorúsággal. Kovács és szerzőtársai (2000) megmutatták, hogy ez távolról sem igaz, ha az első lépés nem bizonyítottan helyes, akkor a további lépések helyessége esetén sem garantálható az optimális struktúra meghatározása. A strukturális modellt gyakran szuperstruktúrának hívják, azért mert feltételezik, hogy az tartalmazza az összes lehetségesen optimális struktúrát. A szuperstruktúra tehát akkor konstruálható meg, ha expliciten vagy impliciten ismerjük az összes lehetségesen optimális struktúrát. Az előbbi eset igen ritka, hiszen az egyik legegyszerűbb feladattípus, n komponens, 1 betáplálás, tiszta termékek, egyszerű, éles, lineáris költségű szétválasztók használata esetén is rohamosan növekszik a megoldás struktúrák száma, lásd Thomson és King (1972), és mindegyik struktúra potenciálisan optimális. A lehetségesen optimális struktúrák implicit ismerete azt jelenti, hogy meg tudjuk adni ezeknek a struktúráknak valamilyen jellemző közös tulajdonságát. A mérnöki tapasztalat több ilyen tulajdonságot megfogalmazott különböző feladattípusokra, de ezek helyességét nem vizsgálták, csak feltételezték. Később találtak példát olyan optimális megoldásokra, amelyek nem rendelkeztek ezekkel a tulajdonságokkal, így bebizonyosodott, hogy azok mégsem jellemzőik a lehetségesen optimális megoldásoknak. Például, általános vélekedés, hogy egy SNS feladat optimális megoldása nem tartalmazhat recirkulációt, hiszen ez azt jelenti, hogy egy szétválasztóra a bemenet egy része egy irányított körön visszakerül és ez indokolatlanul növeli a költséget. Kovács és szerzőtársai (1993), bemutattak, egy olyan konkáv költségfüggvényű szétválasztókat tartalmazó példát, amely esetében az optimális hálózat recirkulációt tartalmaz. Ezen kívül Kovács (2000) példát mutatott olyan optimális hálózatokra, amelyben egy anyagáram megosztás után két ugyanolyan típusú szétválasztóra kerül rá, egy irányított út két ugyanolyan típusú szétválasztót tartalmaz, a kikerülő folyam nem maximális. Kikerülő folyamnak nevezzük az olyan utat, amely szétválasztó érintése nélkül köti össze a betáplálást a termékkel. Az előbbi példák mind azt mutatják, hogy a szuperstruktúra meghatározásánál rendkívül körültekintően kell eljárni, mert egy rossz kezdőlépés veszélyezteti a megoldás struktúra optimalitását. A probléma megoldása érdekében Kovács és szerzőtársai (2000) 32
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával bevezették a szigorú szuperstruktúra fogalmát. Ez azért hasznos, mert így meg lehet különböztetni a helyesnek gondolt és a bizonyítottan helyes szuperstruktúrákat. A szigorú szuperstruktúra abban különbözik a hagyományos szuperstruktúrától, hogy az előbbinek van pontos definíciója, ami megköveteli, hogy bizonyítottan tartalmazzon minden lehetségesen optimális megoldást. Az előbb említett cikk megadja az SNS-Single, Ercsey (2000) pedig a 2F3CPP, valamint a 2F4CPP feladattípus egy speciális esetéhez tartozó szigorú szuperstruktúráját. Magának a szigorú szuperstruktúrának a definíciója a következő: Legyen adva a műveleti egységek halmaza a műveleti egységek matematikai modelljeivel együtt. Feltételezünk továbbá egy szisztematikus eljárást, mely az adott műveleti egységekből álló bármely hálózathoz olyan matematikai programozási modellt generál, amelynek megoldásával az optimális részhálózatát garantáltan meghatározza. Egy hálózatot szigorú szuperstruktúrának nevezünk, ha a feladatosztályba tartozó bármely feladatra e szigorú szuperstruktúra alapján generált matematikai modell megoldásánál kisebb költségű megoldás nem kapható más hálózat és modellgenerálás alapján. Fontos megjegyezni, hogy adott feladattípushoz több fajta szigorú szuperstruktúra tartozhat, például egy már meglévő szigorú szuperstruktúrához új eszközöket illetve összeköttetéseket adva az eredményül kapott struktúra szintén szigorú szuperstruktúra lesz. Természetesen a szigorú szuperstruktúra ilyen növelése öncélú, hiszen definíció szerint már a minimális szigorú szuperstruktúrából is meghatározható a globális optimum. Az ideális az lenne, ha mindig a minimális szigorú szuperstruktúrát tudnánk megadni, de látni fogjuk, hogy még a szigorúságot sem egyszerű bebizonyítani, még a legegyszerűbb feladattípusoknál sem. A szigorú szuperstruktúra definíciójából az sem következik, hogy több optimális struktúra esetén mindegyiket tartalmazza csak az, hogy egyet biztosan.
3.5. Az SNS-Multi feladattípus szigorú szuperstruktúrája 3.5.1. Az SNS-Multi optimális struktúráinak tulajdonságai Ez az alfejezet az SNS-Multi feladattípus szigorú szuperstruktúráját határozza meg. Az SNS-Multi feladattípus célja, hogy megtalálja azt a legolcsóbb szétválasztó hálózatot, amely n komponenses betáplálásból vagy betáplálásokból előállítja a tiszta vagy kevert termékeket, megosztók, keverők és olyan egyszerű, éles, lineáris költségű szétválasztók felhasználásával, amelyek különböző elveken működhetnek. Egy hálózat költsége a benne lévő szétválasztók költségéből számítható. Ahogy korábban említettük az SNS-Multi feladattípus az SNS-Single kiterjesztése, ezért az SNS-Multi szigorú szuperstruktúrájának a meghatározása hasonló
33
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával az SNS-Single szigorú szuperstruktúrájának a meghatározásához. A különbség abban rejlik, hogy SNS-Multi esetén a felhasználható szétválasztók nem feltétlenül egy szétválasztó családba tartoznak, amit a szuperstruktúrát generáló algoritmus során figyelembe kell venni. Ehhez az algoritmushoz úgy jutunk el, hogy bebizonyítjuk, hogy SNS-Multi minden példájának van olyan optimális struktúrája, amelyben keverők csak közvetlenül a termékek előtt találhatóak és az ilyen struktúráknak az unióját állítjuk elő. A bizonyítás azért is fontos, mert az meghatározza a keverők számát és helyzetét, ezáltal nagymértékben csökkenti a keresési teret. A bizonyítás két lépésben történik. Először azt mutatjuk meg, hogy minden az adott típusba tartozó feladatnak létezik körmentes megoldása, ezután pedig azt, hogy olyan megoldás is létezik, amelyben keverők csak közvetlenül a termékek előtt helyezkednek el. A bizonyítások konstruktívak, vagyis egy kört tartalmazó optimális megoldás ismeretében, elő tudjuk állítani a keverőket csak a termékek előtt tartalmazó optimális hálózatot. Kovács és szerzőtársai (2000) megadták a bizonyításokat az SNS-Single feladattípusra. Megmutatjuk, hogy ezeknek a bizonyításoknak egyik lépése sem alapszik azon, hogy a felhasználható szétválasztók egy szétválasztó családnak tagjai, így azok az SNS-Multi feladattípusra is alkalmazhatóak. Ezután megadjuk az SNS-Multi szigorú szuperstruktúráját generáló algoritmust, amely lényegileg különbözik az SNS-Single szigorú szuperstruktúráját generáló algoritmustól, hiszen több szétválasztó családba tartozó, valamint az extra szétválasztókat is kezelnie kell. 3-2. tétel: Az SNS-Multi feladattípus minden példájának létezik körmentes optimális megoldása. Bizonyítás: Teljes indukcióval történik a betáplálások komponens száma (k) alapján. Triviális eset: k = 2. Minden betáplálás 2 fajta komponenst tartalmaz. Ekkor betáplálásokként legfeljebb egy szétválasztóra van szükség, olyanra, amely a legkisebb költséggel választja szét a két komponenst. Nyilvánvaló, hogy a szétválasztók kimenetei már tiszta termékek és hogy a körmentes optimális hálózat kapjuk. Indukciós feltevés: Az SNS-Multi feladattípus minden, legfeljebb k komponenses betáplálásokkal rendelkező példájának létezik körmentes optimális megoldása. Bizonyítás k+1-re: A feladat kört tartalmazó optimális hálózatából indulunk ki. Amennyiben ez a hálózat tartalmaz kikerülő folyamot, akkor azt töröljük és annak komponensáramaival csökkentjük a hozzá tartozó betáplálás és termék komponensáramait. Az így kapott hálózatot N-nek és a hozzá tartozó feladatot P-nek hívjuk. Megpróbáljuk N-t úgy átalakítani, hogy alkalmazható legyen rá az indukciós feltevés. Ehhez a bevezetjük az egyszerű út fogalmát, amely alatt egy olyan irányított utat értünk, amely betáplálással kezdődik és csak megosztókat valamint keverőket tartalmaz. Nem-egyszerű út alatt pedig olyan irányított utat értünk, amely betáplálással kezdődik és tartalmaz szétválasztót is. A 3.9. ábra példát mutat az egyszerű útra a 3.10. ábra pedig a
34
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával nem-egyszerű útra. Ha egy egyszerű út végéről elhagyunk megosztókat vagy keverőket, akkor az eredmény még mindig egyszerű út. Például a 3.9. ábrán egyszerű út található a betáplálástól az S szétválasztóig, de ennek az útnak a betáplálástól az M keverőig tartó része szintén egyszerű út. Nevezzük egy szétválasztót π tulajdonságúnak, ha igaz rá, hogy egyszerű és nem-egyszerű utak is vezetnek hozzá. Minden π tulajdonságú szétválasztóra végezzük el a tr1 transzformációt, lásd 3.11. ábra. Tr1 lényege a π tulajdonságú szétválasztók kiküszöbölése. Ezt úgy éri el, hogy a kiválasztott szétválasztót megduplázza olymódon, hogy az egyszerű utak az egyik, a nem-egyszerű utak a másik szétválasztóra lesznek rávezetve. A keletkezett hálózat, N*, ekvivalens N-el, hiszen tr1 úgy módosítja a hálózatot, hogy a módosított részbe befolyó és az onnan kifolyó folyamok nem változnak. N és N* költsége megegyezik, mert a hálózat költsége a szétválasztók költségéből adódik és lineáris költségfüggvény esetén egy nagyobb szétválasztó, helyettesíthető több kisebbel. Fontos megjegyezni, hogy ha egy szétválasztó nem rendelkezett π tulajdonsággal a tr1 transzformáció előtt, akkor utána sem fog vele rendelkezni, így N* véges sok lépésben előállítható.
Betáplálás D
S
M
3.9. ábra: Egyszerű út a betáplálástól az S szétválasztóig.
Betáplálás D1
Sa
D2
Sb
3.10. ábra: Nem-egyszerű út a betáplálástól az Sb szétválasztóig.
35
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
3.11. ábra: tr1 transzformáció szemléltetése.
N* két részre vágható az egyszerű utakat követő szétválasztók kimenetei mentén, lásd 3.12. ábra. A betáplálásokat tartalmazó részt N1* -nak, a termékeket tartalmazó részt N 2* -nak nevezzük. Lemma: A két rész között a folyamok csak egy irányba, N1* -ből N 2* -be, haladnak. Bizonyítás índirekcióval: Tegyük fel, hogy létezik egy folyam az ellenkező irányba. Ekkor ez a folyam egy nem-egyszerű utat jelent, amely elvezet egy szétválasztóig N1* -ban. Mivel N1* szétválasztóihoz egyszerű utak is vezetnek, N1* -ban lennie kell egy π tulajdonságú szétválasztónak. Az előbbi megállapítás ellentmond annak a ténynek, hogy N* nem tartalmaz π tulajdonságú szétválasztókat, így a kezdeti feltevés hamis. o
N 1* nem tartalmaz kört, hiszen a benne lévő szétválasztók kimenetei egyúttal N1* határát is jelentik. N 1* bemenetei, azaz N* bemenetei, tartalmaznak, a folyamok
N1* -ban
legfeljebb k+1 komponenst
pontosan egy szétválasztón mennek keresztül, így N 1*
kimenetei, azaz N 2* bemenetei, egyenként legfeljebb k nem nulla komponenst tartalmaznak. Az N 2* -hoz tartozó feladatot nevezzük P2-nek. Lemma: N 2* optimális megoldása P2-nek.
36
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával Bizonyítás índirekcióval: Tegyük fel, hogy N 2* nem optimális megoldása P2-nek. Ha
N 2* nem optimális megoldása P2-nek, akkor N*-ban N 2* -t kicserélve P2 optimális megoldására N*-nál olcsóbb megoldást kapunk. Ez ellentmond annak, hogy N* optimális megoldása P-nek. o Az indukciós feltétel szerint létezik egy az N 2* -al ekvivalens körmentes hálózat, amit nevezzünk N3* -nak. N 2* és N3* költsége megegyezik, mert mindkettő optimális megoldása P2-nek. N1* -t összekapcsolva N3* -al körmentes hálózatot kapunk, mert mindkét részhálózat körmentes és köztük a folyamok N1* -ből N3* felé haladnak. Az így kapott hálózathoz hozzáadva a bizonyítás elején törölt kikerülő folyamokat megkapjuk az eredeti feladat körmentes, optimális hálózatát. Ezzel az eredeti állítást bizonyítottuk. n anyagáramok
N1*
N2*
k komponens
P1
F
P2
1
k+1 komponens
P3
F 2
3.12. ábra: N* partícionálása a tr1 transzformációkat követően.
3-3. tétel: Az SNS-Multi feladattípus minden példájának létezik olyan optimális megoldása, amelyben keverők csak a termékek előtt fordulnak elő. Bizonyítás: A feladat egy optimális megoldásából indulunk ki. Amennyiben az kört tartalmaz, akkor az előző tétel segítségével képezzük belőle a kört nem tartalmazó optimális hálózatot. Ha az így kapott hálózatban van olyan szétválasztó vagy megosztó, amely előtt egy keverő szerepel, akkor alkalmazzuk rá a tr2 transzformációt, lásd 3.13. ábra, ahol a megosztó közvetlenül egy szétválasztó előtt helyezkedik el. A transzformáció lényege, hogy a keverő bemeneteinek a számát csökkentjük eggyel, úgy hogy ezt a
37
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával bemenetet a szétválasztó vagy megosztó egy másolatára vezetjük rá. Tr2 lényegileg nem módosítja a struktúrát, mert a módosított részbe befolyó és az onnan kifolyó áramok nem változnak. Ezenfelül a költség sem módosul, hiszen az SNS-Multi feladatban a szétválasztók költségfüggvénye lineáris, a keverők költsége pedig nulla. Ha tr2 után két megosztó közvetlenül egymás után kerül, akkor azokat összevonjuk. Tr2 transzformációt addig ismételjük, amíg a hálózatban a termékek előtti keverőkön kívül más keverő is előfordul. Tr2 az aktuális szétválasztó vagy megosztó előtti keverő bemeneteinek a számát csökkenti, de utánuk új keverőt vezet be vagy egy meglévőnek növeli a bemenet számát. Tr2 tehát úgy is tekinthető, hogy a hálózat keverőit hátrébb helyezi a termékek felé. Amikor egy keverő bemeneteinek a száma egyre csökken, akkor az gyakorlatilag megszűnik. Az optimális struktúra körmentessége biztosítja az eljárás végességét, hiszen a termékek előtti keverőket már nem lehet tovább mozgatni. n
D1
.. .
S1i
M1
D1
.. .
S2i
M2
D2
...
tr2 transzformáció .. .
M
Si
D2
...
...
M
3.13. ábra: tr2 transzformáció szemléltetése.
A bizonyítások során a szétválasztók tulajdonságai közül két dolgot használtunk ki. Először is, hogy egy szétválasztó kimenetein, a kimeneteket külön-külön tekintve, a komponens szám legalább eggyel kisebb, mint a bemenet komponens száma, éles szétválasztás esetén. Másodszor azt, hogy a költségfüggvény lineáris volta miatt, egy szétválasztó költsége megegyezik, két azonos típusú, kisebb szétválasztó költségével, ha a kisebb szétválasztók kapacitásainak az összege ugyanannyi, mint az eredeti szétválasztó kapacitása. Ellenben nem használtunk ki a szétválasztók típusára vonatkozó információkat illetve, hogy egy vagy több szétválasztó család tagjai szerepelnek az optimális hálózatban. Ebből következik, hogy mindkét bizonyítás egyaránt érvényes az SNS-Single és az SNS-Multi feladatosztályra is.
3.5.2. Az RSS-Multi algoritmus Kovács (2000) a következő módon fogalmazta meg az SNS feladatot: adott egy (F, P, ST) hármas, ahol F a betáplálások, P a termékek, ST pedig a felhasználható szétválasztó 38
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával típusok halmaza. A megfogalmazás tetszőleges feladattípusra vonatkozhat, de most csak az SNS-Multi feladattípust tekintjük. A betáplálások és termékek komponensáram vektoraikkal, a szétválasztók pedig a kimeneteiket meghatározó mátrixokkal illetve költségfüggvényeikkel adottak. Az SNS feladat adatait két csoportba lehet osztani. Az első csoportba tartoznak a komponens szám, betáplálás és termék szám, a felhasználható szétválasztók típusai és hogy a komponensáram vektorokban, hol vannak nulla értékek. A második csoportba tartoznak a komponensáram vektorok nem nulla elemeinek az értékei. Látni fogjuk, hogy ha két SNS feladat csak a második csoportba tartozó adatokban tér el egymástól, akkor szigorú szuperstruktúrájuk megegyezik, mert annak konstruálása során csak az első csoport adatait használjuk fel. A szigorú szuperstruktúra az összes olyan SNS-Multi feladattípusba tartozó SNS feladat optimális struktúrájának az uniója, amelyeknél az első csoportba tartozó adatok megegyeznek. Megállapítottuk, hogy az SNS-Multi feladattípus minden példájának létezik, olyan optimális hálózata, amelyben keverők csak közvetlenül a termékek előtt találhatóak. A következő lépés egy adott SNS feladat szigorú szuperstruktúrájának megadása ennek a tulajdonságnak a felhasználásával. Ehhez a stratégiánk az, hogy először felvesszük a betáplálásokat, a termékeket és az előttük lévő keverőket, hiszen ezeknek a helye rögzített. Ezután iteratív módon minden feldolgozatlan folyamhoz felveszünk minden hasznos műveleti egységet, konkrétan egy megosztót és minden olyan szétválasztót, amely az adott folyamon képes szétválasztást végrehajtani. A következőkben felvesszük a műveleti egységek közötti kapcsolatokat. Ez az új megosztó és az új szétválasztók közötti valamint az új megosztó és keverők közötti kapcsolatot jelenti. Összefoglalásul elmondhatjuk, hogy a rögzített részek felvétele után, felveszünk minden lehetséges műveleti egységet és köztük minden lehetséges kapcsolatot. Ebből következik, hogy az így kapott struktúra tartalmaz minden olyan struktúrát, amelynél keverő csak a termék előtt létezik, vagyis a struktúra ténylegesen szigorú szuperstruktúra. Halmazok: C D F M P S TD ST N A G(N, A)
komponensek halmaza megosztók véges halmaza betáplálások véges halmaza keverők véges halmaza termékek véges halmaza szétválasztók véges halmaza megosztók átmeneti halmaza felhasználható szétválasztó típusok halmaza a csúcsok halmaza (a, b) irányított élek halmaza hálózat; az algoritmus outputja
39
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával Operátorok: ì1 δ(n1, n 2)= í î0
ha létezik út n1és n 2 között G -ben
ì1 ï δ(n1, n2, c)= í ï0 î
egyébként
ha létezik olyan út n1és n2 között G -ben, amely teljes hosszában tartalmazza c komponenst egyébként
prev(n) prev2(n) prev3(n) next(n) first(n) qv(a)
a hálózatban az n-t megelőző csúcsok halmaza prev(prev(n)) prev(prev2(n)) a hálózatban az n-t követő csúcsok halmaza a hálózatban az n-t tartalmazó út első csúcsa az a élhez tartozó minőség vektor
Paraméterek: PRq,c [kg/s] FEf,c [kg/s] STUt STLt
a q termék c komponensárama az f betáplálás c komponensárama a t szétválasztó típus felső kimenetéhez tartozó mátrix a t szétválasztó típus alsó kimenetéhez tartozó mátrix
Az RSS-Multi (rigorous superstructure) algoritmus előállítja az SNS-Multi feladattípus szigorú szuperstruktúráját. Az algoritmus egzakt leírásához bevezetünk egy jelölés rendszert, amit a későbbiekben is felhasználunk. A δ operátor pontos definíciója is itt található meg, feladata a szuperstruktúra leírására. Értéke különböző paraméterekre, kiszámolható a bemeneti adatok, úgymint FEf,c, STUt, STLt, valamint G(N, A) segítségével. Egy folyam minőség vektorán egy olyan vektort értünk, amely 0-t tartalmaz azon komponenseknél, amelyek nem szerepelhetnek az adott folyamban. Az, hogy a nem nulla értékeknél ténylegesen mi fog állni, csak az optimalizálás után derül ki. δ megadja, hogy egy adott útvonal utolsó folyamának mi a minőség vektora. Például a 3.14. ábrán a (F2, D1) folyamot a [c1, c2, c3, 0] minőség vektorral jellemezhetjük, hiszen FE2,4 = 0. Ebből következik, hogy δ(F2, D1, c3) = 1, de δ(F2, D1, c4) = 0. Két folyam minőségvektora csak akkor lehet azonos, ha mindkét folyam ugyanabból a betáplálásból származik. Mivel a megosztók a minőség vektort nem módosítják az előbbi vektor jellemzi a (F2, S1) folyamot is. qv(a)-al jelöljük az a élhez tartozó minőség vektort. Egy szétválasztó típusának megfelelően módosítja a minőség vektort. (F2, D2) minőség vektorát úgy kapjuk meg, hogy S1 bemenetének vektorát beszorozzuk STU 1 -el, így a S
[c1, 0, 0, 0]-t kapjuk. A prev, next és first operátorok szintén a szuperstruktúrát írják le. Egyértelmű esetekben az operátorok egy konkrét csomópontot adnak vissza, egyébként pedig csomópontok egy halmazát. A prev és a next operátort nem csak csomóponton, hanem azok halmazán is értelmezzük. Például prev(D2)=S1, next(M1)=P2, first(S2)=F2, next(D1)={M1, S1}, prev({D2, M1})= {S1, D1}, prev3(S2)=D1. 40
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
D2
c1 c2 S1 [0, c2, 0, 0] c3 c4 [0, c2, c3, 0]
[4, 7, 9, 0] F2
[c1, 0, 0, 0]
D1
D3 M1
P2
c1 c2 c3 c4
S2
[0, 0, c3, 0] 3.14. ábra: Operátorok szemléltetése.
Az alábbiakban megadom az RSS-Multi algoritmust. bemenet: (F, P, ST) kimenet: G(N, A) szigorú szuperstruktúra eljárás: RSS-Multi megjegyzés: iniciálás, kezdeti megosztók és keverők felvétele S = Æ; D = Æ; M = Æ; A = Æ; TD = Æ; ciklus " f Î F legyen d egy új megosztó TD = TD È {d} D = D È {d} A = A È {(f, d)} ciklus vége ciklus " p Î P legyen m egy új keverő M = M È {m} A = A È {(m, p)} ciklus vége ciklus amíg TD ¹ Æ legyen d egy elem TD halmazból TD = TD \ {d} legyen f Î F olyan, hogy δ(f, d) = 1 megjegyzés: megosztó összekötése új szétválasztókkal ciklus " t Î ST ha ($ i Î C, δ(f, d, i)*STUt,ii ≠ 0) és ($ i Î C, δ(f, d, i)*STLt,ii ≠ 0) akkor legyen s egy új t típusú szétválasztó S = S È {s} 41
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával A = A È {(d, s)} legyen d1 és d2 új megosztók TD = TD È {d1, d2} D = D È {d1, d2} A = A È {(s, d1), (s, d2)} feltétel vége ciklus vége megjegyzés: megosztó összekötése keverőkkel ciklus " p Î P ha " i Î C, (δ(f, d, i) = 1 és PRp,i > 0) vagy δ(f, d, i) = 0 akkor legyen m Î M olyan, hogy (m, p) Î A A = A È {(d, m)} feltétel vége ciklus vége ciklus vége N=FÈPÈSÈDÈM eljárás vége Az algoritmus menete a következő. Az első lépés a szuperstruktúrát leíró halmazok iniciálása, ezek a szétválasztók, megosztók, keverők és összeköttetések halmazai. Ezután minden betápláláshoz felveszünk egy megosztót, amit összekötünk a hozzá tartozó bemenettel. Hasonlóan minden termékhez felveszünk egy keverőt és összekötjük a megfelelő keverő, termék párokat. Az algoritmus második részét végrehajtjuk egyszer minden a hálózatban lévő megosztóra. TD halmaz tartalmazza azokat a megosztókat, amelyekre az algoritmusnak ezt a részét még nem hajtottuk végre. Egy d megosztó kiválasztása után a TD halmazból, d-t eltávolítjuk TD-ből és minden szétválasztó típusról eldöntjük, hogy az képes-e effektív szétválasztásra a d-hez tartozó folyamon. A szétválasztás akkor effektív, ha a potenciális szétválasztó mindkét kimenetén megjelenik egy-egy folyam. Ehhez az δ(f, d, i)*STUt,ii és az δ(f, d, i)*STLt,ii szorzatokat kell megvizsgálni különböző i értékekre. Ha δ(f, d, i) = 1, akkor a d szétválasztóhoz tartozó folyamban jelen van az i komponens, ha ezt az STUt mátrix i-dik sorához és oszlopához tartozó elemmel megszorozva szintén 1-t kapunk, akkor ez a komponens a szétválasztó felső kimenetén jelenik meg ellenkező esetben az alsó kimeneten. Ha a felső és alsó kimenet komponensáram vektorában is legalább egy elem nem nulla, akkor felveszünk egy új t típusú szétválasztót a d-vel való összeköttetéssel együtt. Ezen felül az új szétválasztó mindkét kimenetét hozzákötjük egy-egy új megosztóhoz. Az új megosztók egyúttal TD-nek is az elemei lesznek. A szétválasztók létrehozása után kikerülő folyamokat hozunk létre d és az egyes keverők között. A d megosztó pontosan akkor kapcsolható össze egy m keverővel, ha a d-hez tartozó komponensáram vektor minden nem nulla eleme esetén, az m-hez tartozó termék komponensáram vektorának azonos pozíciójú eleme is nem nulla értékű. Ha egy termék
42
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával például nem tartalmazza a kettes komponenst, akkor egy azt tartalmazó betáplálásból nem vezethet kikerülő folyam az adott termékhez. 3-4. tétel: Az RSS-Multi algoritmus véges. Bizonyítás: A betáplálások és a termékek halmazai végesek, ezért a kezdeti megosztók és keverők generálása is véges sok lépésben befejeződik. Az algoritmus második részében minden egyes iteráció végrehajtásával a TD halmaz eggyel csökken, ugyanakkor minden szétválasztóhoz két új megosztót hozunk létre, ami a TD halmazt növeli. Tudjuk, hogy egy szétválasztó kimenetein a komponensek száma legalább eggyel kisebb, mint a bemeneten, így mivel a komponensek száma is véges, véges sok szétválasztás után a kimenetek tiszták. Az egykomponensű folyamokhoz már nem hozunk létre új szétválasztókat, így a TD halmaz mérete ilyen iteráció esetén csak csökken. Ez azt jelenti, hogy véges sok lépés után a TD halmaz üres lesz és az algoritmus befejeződik. n Vizsgáljuk meg az RSS-Multi algoritmus következő módosítását. Mielőtt d megosztóhoz létrehozunk egy új t1 típusú szétválasztót ellenőrizzük, hogy létezik-e olyan d-hez kapcsolódó, t2 típusú szétválasztó, amelynek kimenetei megegyeznek t1 kimeneteivel. Csak azt ellenőrizzük, hogy a kimenetek egyeznek, és nem azt, hogy a felső a felsővel és az alsó az alsó kimenettel egyezik. Ha létezik t2, akkor ne vegyünk fel új szétválasztót, de ha t1 teljes költségegyütthatója kisebb, mint t2-é, akkor a t2 típusú szétválasztót módosítsuk t1 típusúvá. Amennyiben nem létezik, az adott tulajdonságú szétválasztó, akkor a megszokott módon vegyünk fel egy új t1 típusú szétválasztót a d-vel való kapcsolatával együtt. A módosítás azt eredményezi, hogyha egy folyamon több szétválasztó ugyanazt a feladatot végzi el, akkor közülük csak a legolcsóbbat vesszük bele a szuperstruktúrába. 3-5. tétel: Az RSS-Multi algoritmus az előbbi módosítás után is az SNS-Multi szigorú szuperstruktúráját generálja. Bizonyítás: Tekintsük az eredeti szigorú szuperstruktúrát és nevezzük az azonos megosztóhoz kapcsolódó, azonos kimenetű szétválasztókat ekvivalencia csoportnak. Az optimális megoldás minden szétválasztójára igaz, hogy az a szuperstruktúra szerinti ekvivalencia csoportjának legkisebb teljes költségegyütthatóval rendelkező tagja. Ha nem így lenne, akkor az adott szétválasztót kicserélve a minimális együtthatójú tagra jobb megoldást kapnánk, ami ellentmond a struktúra optimális voltának. Ebből következik, hogy a szigorú szuperstruktúrára, ami az optimális megoldások uniójának tekinthető, is igaz, hogy az ekvivalencia csoportoknak csak a legkedvezőbb elemét kell tartalmaznia. A módosított algoritmus pontosan ilyen tulajdonságú struktúrát hozz létre. n Az SNS-Single feladattípusnál ilyen egyszerűsítés nem lehetséges, mert ott minden szétválasztó különböző kimeneteket állít elő. A 3.15. ábra példát mutat arra, hogy két különböző családba tartozó szétválasztó, adott folyamon hogyan hajthatja végre 43
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával ugyanazt a szétválasztást. Az OC paraméter a teljes költségegyütthatót jelenti és az összes komponensáram vektor a hagyományos komponens sorrend szerint van felírva. Ezentúl az RSS-Multi algoritmus alatt mindig a módosított algoritmust értjük, mert a 3-5. tétel alapján az is az SNS-Multi szigorú szuperstruktúráját generálja. Ráadásul a módosított algoritmus által generált szuperstruktúra kisebb, mint az eredeti, így a belőle származtatott matematikai modell gyorsabban megoldható. [4, 0, 0, 0] c1 c2 c3 c4
OCt1=4.7 $/kg
[0, 7, 0, 9] [4, 7, 0, 9] [4, 0, 0, 0] c1 c3 c2 c4
OCt2=3.2 $/kg
[0, 7, 0, 9]
3.15. ábra: Különböző családba tartozó, de azonos hatású szétválasztók.
3.6. Az SNS-Multi matematikai modellje A szakirodalomban az SNS struktúráknak általában két fajta modelljét használják, az összetétel és a komponensáram alapút. Például Floudas (1987) az első fajta modellt alkalmazta, míg Quesada és Grossmann (1995) a másodikat. Mindkét modell nem-lineáris, de a nem-lineáris egyenletek nem ugyanazon eszközöknél jelennek meg. Komponensáram alapú modellek esetében két eltérő típusú változót használunk. Egyrészt a struktúra miden folyamának minden komponensáramához hozzárendelünk egy változót a komponensáramok nagyságának jelölésére, másrészt minden megosztó minden kimenetéhez hozzárendelünk egy megosztási arány nevű változót, amely kifejezi, hogy a bemenet hányad része halad át az adott kimeneten. A bevezetésben a szétválasztók, megosztók és keverők tulajdonságainak meghatározására komponensáram alapú modellt használtunk, lásd az 1.2.-1.4. ábrákat és az 1.3.-1.9. egyenleteket. Ezekből kitűnik, hogy amíg a szétválasztó és a keverő leírható kizárólag lineáris egyenletekkel, addig ez a megosztóra nem igaz. A megosztó leírásából a megosztási hányados típusú változók kiküszöbölhetőek, a 3.2. és 3.3. egyenletek segítségével, de a nem-linearitás így is megmarad. A 3.2. egyenlet kifejezi azt, hogy a bemenetben és az összes kimenetben a komponenseknek az arányai megegyeznek, 3.3. pedig az anyagmegmaradást.
44
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
f a ,i f a, j
fb1,i
=
fb1, j
=
fb2 ,i fb2 , j
= ... =
k
f a ,i = å fb j ,i
fbk ,i fbk , j
" (i, j) Î C ´ C
3.2.
"iÎC
3.3.
j =1
Összetétel alapú modellek esetén is kétféle változótípust kell bevezetni. Minden folyamra egyet a teljes folyam nagyságához és folyamonként komponens számút, annak kifejezésére, hogy a teljes folyam hányad részét teszi ki az adott komponensáram. A szétválasztóhoz, keverőhöz és megosztóhoz tartozó folyamok elnevezései a 3.16. ábrán láthatóak. A szétválasztó működését a 3.4.-3.7., a keverőét a 3.8. és a megosztóét pedig a 3.9. és 3.10. egyenletek írják le. ta jelöli az a folyam teljes nagyságát, za,2 pedig a 2. komponens arányát az a folyamban. Ezen kívül minden folyamra igaz, hogy az adott folyamra vonatkozó kompozíciók összege egy, valamint minden változó nem-negatív. Látható, hogy kompozíció alapú leírás esetén bilineáris tagok jelennek meg a szétválasztó és a megosztó egyenleteiben, vagyis ez a matematikai modell is nem-lineáris. ta × za , j = tb1 × zb1, j
j = 1, 2, ..., i
3.4.
0 = zb1, j
j = i+1, i+2, ..., n
3.5.
0 = zb2 , j
j = 1, 2, ..., i
3.6.
ta × za , j = tb2 × zb2 , j
j = i+1, i+2, ..., n
3.7.
j = 1, 2, ..., n
3.8.
k
å tai × zai , j = tb × zb, j i =1
k
ta = å tbi
3.9.
i =1
za , j = zbi , j
i=1, 2; j = 1, 2, ..., n
3.10.
45
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
b1
a1 a2 .. .
M
b
ak a
Si
b2
a
D
b1 b2 .. . bk
3.16. ábra: Az SNS feladat műveleti egységei.
Kovács és szerzőtársai (2000) bemutatták a betáplálási megosztás arány alapú modellt az SNS-Single feladattípusra, amelyet most adaptálunk SNS-Multi-ra. Első lépésként betáplálási megosztás arány típusú változókat vezetünk be a szétválasztók kimeneteihez. Jelölje a D megosztó bi kimenetéhez tartozó változót xbi . xbi kifejezi azt, hogy a bi -hez tartozó betáplálás, azon komponensáramainak, amelyek jelen vannak bi -ben, hányad része jut az adott kimenetbe. Minden olyan komponensre, amely jelen van bi -ben ez az érték megegyezik, ezért minden megosztó kimenethez csak egy ilyen változóra van szükség. A változó definiálás azt feltételezi, hogy egy megosztó kimenetéhez pontosan egy betáplálásból vezet irányított út. Az RSS-Multi algoritmus által generált szigorú szuperstruktúra pontosan ilyen tulajdonságú a 3-3. tétel alapján. Ebből az is következik, hogy egy adott betáplálásból egy keverőig tartó út minden folyamára igaz, hogy a folyamban jelenlevő komponensek aránya ugyanaz, mint a betáplálásban ugyanazon komponenseknek az aránya. Az egyszerűbb szemléltetés érdekében bevezetünk betáplálási megosztás arány változókat a megosztók bemeneteihez is. Ezek a változók redundánsak, mert egy megosztó bemenetéhez tartozó betáplálási megosztás arány egyenlő a megosztó előtti szétválasztó bemenetéhez, ami egy másik megosztó kimenete, tartozó változóval. A változó definíciójából következik, hogy azt egy szétválasztó nem módosítja. A matematikai modell felírásakor már nem használjuk a redundáns változókat, hanem helyettük mindig a velük ekvivalens változóra hivatkozunk. A szigorú szuperstruktúrában előforduló folyamok komponensáramai leírhatók a 3.11. egyenlet segítségével. fa,c értéke függ az a folyamhoz tartozó betáplálásban a c komponensáram nagyságától, hogy ez a komponensáram a folyamban egyáltalán jelen van-e, és a folyamhoz tartozó betáplálási megosztás aránytól.
f a ,c = xa × d ( first (a), a, c) × FE first ( a ),c
" c Î C, " a Î A, a = (i, j), j Ï P
3.11.
46
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával A következőkben megadjuk a betáplálási megosztás arány alapú modellben az egyes eszközök egyenleteit. Szétválasztó esetében a komponensáram alapú modellben látott módon írjuk le, hogy egyes komponensáramok pontosan a felső, a többi pontosan az alsó kimeneten jelennek meg. A 3.11. egyenletet behelyettesítve az 1.3. egyenletbe kapjuk a 3.12. egyenletet. Ez az egyenlet azokra a komponensekre vonatkozik, amelyek a felső anyagáramban jelennek meg. Mivel first(a) = first(b1) és δ értéke mindkét oldalon 1, így az egyenlet egyszerűsített formája xa = xb1 . Ez azonban már a betáplálási megosztás arány definíciójából is következik, azaz a 3.12. egyenlet valójában azonosság. A 3.13. egyenlet írja le, hogy a felső kimenetben mely komponensáramok nulla értékűek. Mivel ez az egyenlet olyan komponensekre vonatkozik, amelyekre δ(first(b1), b1, c) = 0, így az egyenlet jobb oldalának értéke nulla, vagyis megint azonossághoz jutunk. Hasonló képleteket írhatunk fel az alsó kimenetre is. Megállapítjuk tehát, hogy betáplálási megosztás arány alapú modell esetén a szétválasztók egyenletekkel történő leírása nem szükséges, mert azok azonosságokhoz vezetnek.
xa × d ( first (a), a, c) × FE first ( a ),c = xb1 × d ( first (b1 ), b1 , c) × FE first (b1 ),c 0 = xb1 × d ( first (b1 ), b1 , c) × FE first (b1 ),c
" c Î C, δ(k, b1, c) = 1
3.12.
" c Î C, δ(k, b1, c) = 0
3.13.
Egy m keverő esetén az egyes komponensáramokra kell felírni az anyagmegmaradást, ahogy ezt a komponensáram és kompozíció alapú modellek esetén is megtettük. A 3.11. egyenletet behelyettesítve az 1.7.-be kapjuk a 3.14. egyenletet az m keverőre vonatkozóan. Kihasználjuk azt, hogy a keverők közvetlenül a termékekhez kapcsolódnak, így a jobb oldalra a keverőhöz tartozó termékek komponensáramai kerülnek.
å ( xi,m × d ( first (i), i, c) × FE first (i ),c ) = PRnext (m),c
"cÎC
3.14.
{iÎ prev ( m )}
Megosztónál a komponensáramok anyagmegmaradása mellett biztosítani kell azt is, hogy a komponens kompozíciók egyenlők legyenek a bemenetben és a kimenetekben, lásd a 3.2. és 3.3. egyenleteket. Megállapítottuk, hogy az utóbbi kikötés a vizsgált szuperstruktúra esetén automatikusan teljesül, ezért csak a 3.15. egyenletet írjuk fel a d megosztóra. Mivel d ( first (d ), d , c) = d ( first ( j ), j , c ) és FE first ( d ),c = FE first ( j ),c , ezért a 3.15. egyenlet 3.16.-á egyszerűsödik. Vegyük észre, hogy ez az egyenlet nem függ c-től, ezért minden megosztóra csak egy ilyen egyenletet kell felírni.
x prev ( d ),d × d ( first (d ), d , c) × FE first ( d ),c =
å
{ jÎnext ( d )}
xd , j × d ( first ( j ), j , c) × FE first ( j ),c "cÎC
3.15.
47
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
x prev ( d ),d =
å
{ jÎnext ( d )}
xd , j
3.16.
A 3.2. táblázat összehasonlítja az eddig bemutatott matematikai modelleket, abból a szempontból, hogy az egyes eszközök anyagmérlegei, milyen típusú egyenletekkel írhatóak le. Kitűnik belőle, hogy a betáplálási megosztás arány alapú modell esetén nincs szükség nem-lineáris egyenletekre. Ez a másik két modellhez képest hatalmas előny, hiszen az NLP feladatok megoldásai nemcsak, hogy jóval több időt igényelnek, hanem gyakran csak lokális optimumot adnak. Viszont a betáplálási megosztás arány alapú modellben a komponens szám növelésével a szétválasztó szám exponenciálisan nő, amiből a változók számának hasonló arányú növekedése is következik. Tapasztalataink azt mutatják, hogy a végrehajtási idő szempontjából két ellentétes hatás, a lineárisság és az exponenciális növekedés, közül az elsőnek nagyobb a szerepe. Szigorúsága és lineárissága miatt a betáplálási megosztás arány alapú modellt használjuk az SNS-Multi megoldása során. 3.2. táblázat: SNS hálózatok anyagmérlegeinek típusai különböző matematikai modellek esetén
Komponensáram alapú modell
Kompozíció alapú modell
lineáris nem-lineáris lineáris
nem-lineáris lineáris nem-lineáris
Szétválasztó Megosztó Keverő
Betáplálási megosztás arány alapú modell azonosság lineáris lineáris
æ ö ç OCs × x prev ( s ),s × å d ( first ( s ), s, c ) × FE first ( s ),c ÷ ç ÷ {"sÎS } è {"cÎC } ø
å
min
3.17.
ahol
å
1=
{"jÎnext ( d )}
xd , j
x prev 2( d ), prev ( d ) =
å
{"iÎ prev ( m )}
å
{"jÎnext ( d )}
xd , j
" d Î next ( F )
3.18.
" d Î D \ next ( F )
3.19.
( xi,m × d ( first (i), i, c) × FE first (i),c ) = PRnext (m),c
0 £ xd , j £ 1
" m Î M és " c ÎC
" (d , j ) Î A, d Î D
3.20. 3.21.
Az SNS-Multi probléma megoldása érdekében már elkészítettük az SSG-Multi algoritmust, amely megadja a feladat szigorú szuperstruktúráját, most pedig megadjuk az azon alapuló matematikai modellt, amelyet a 3.17.-3.21. egyenletek írnak le. A cél a költségfüggvény, 3.17., minimalizálása, amely az egyes szétválasztók költségeinek az összege. Egy szétválasztó költsége a szétválasztóhoz tartozó teljes költségegyüttható és a 48
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával rajta átfolyó áram teljes nagyságának szorzata. Az utóbbi értéket a komponensáramok összegeként számoljuk ki. 3.19. a megosztók, 3.20. a keverők anyagegyensúlyai. Megállapítottuk, hogy a betáplálási megosztás arány alapú modell esetén a szétválasztókat nem kell egyenletekkel leírni. A betáplálásokhoz közvetlenül kapcsolódó megosztókhoz külön kell felírni az anyagegyensúlyokat. Egy ilyen megosztó kimeneteihez kapcsolódó betáplálási megosztás arányok összege, a változó definíciójából következően 1, lásd 3.18. egyenlet. 3.21. a változók nem-negatív voltát köti ki. A komponensáram alapú modellnél ismertetett megosztási arány és a jelenleg használt betáplálási megosztás arány típusú változók közötti hasonlóság, hogy mindkettő az anyagmegmaradást írja le a megosztók körül. Míg az előbbinél, adott szétválasztó kimeneteire összegezve a változókat egyet kapunk, addig az utóbbinál a megosztó bemenetéhez tartozó értéket kapjuk. Elképzelhető, hogy egy termék expliciten nem ismert, hanem különböző feltételek adottak komponensáramaira. Például egy SNS feladat harmadik termékét megadhatjuk úgy, hogy benne c1 és c2 aránya 2:3 és c3 mennyisége pedig kevesebb, mint 8. Ezeket a feltételeket a 3.22. és 3.23. egyenletek írják le. Adott termék adott komponensáramát a 3.20. egyenlet bal oldala adja meg. Bármilyen feltételt felírhatunk, amelyben a termék komponensáramai, mint változók szerepelnek tetszőleges paraméterekkel és jobb oldallal, amennyiben ezekre a változókra az egyenlet lineáris. 3×
å
{iÎ prev ( M 3 )}
2×
( xi , M 3 × d ( first (i ), i, c1) × FE first (i ),c1 ) -
å
{iÎ prev ( M 3 )}
å
{iÎ prev ( M 3 )}
( xi , M 3 × d ( first (i ), i, c 2) × FE first (i ),c 2 ) = 0
( xi ,M 3 × d ( first (i ), i, c3) × FE first (i ),c 3 ) £ 8
3.22.
3.23.
Az SNS-Multi feladattípus megoldása során ugyanazt a fajta matematikai modellt használjuk, amelyet SNS-Single esetében is, de azt más szuperstruktúrára alkalmazzuk. Azt, hogy a modell ténylegesen adaptálható erre a feladattípusra is a 3-3. tétel bizonyításával mutattuk meg. A matematikai modell megoldásához egy akadémiai LP megoldót választottunk, lásd Mészáros (1996), amely különösen alkalmas nagyon nagy méretű feladatok megoldásához. A matematikai modell megoldása után úgy kapjuk meg az optimális struktúrát, hogy a szuperstruktúrából töröljük azokat az éleket, amelyekhez a betáplálási megosztás arány változó értéke nulla. Ezután töröljük azokat a műveleti egységeket, amelyekhez már nem kapcsolódnak élek. Az SNS-Multi általunk javasolt szuperstruktúrája nagyszámú szétválasztót tartalmaz és a lineáris költségfüggvénye miatt, lásd 3.17. egyenlet, elképzelhető, hogy ez az optimális megoldásra is igaz lesz. Gyakorlati szempontból kedvező, ha az optimális megoldás a lehető legkevesebb szétválasztót tartalmazza, ezért az elkövetkezőkben
49
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával bemutatunk egy módszert az optimális struktúra egyszerűsítésére. Általános esetben nem lehet megmondani, hogy az egyszerűsítő eljárás végrehajtása mennyivel csökkenti a szétválasztók számát és az sem garantálható, hogy az egy adott érték, például n-1, alatt lesz. Ez abból következik, hogy célunk nem a szétválasztók, hanem az adott feltételek mellett a költség minimalizálása volt. A későbbi fejezetben megmutatjuk az SNS-Multi egy új szigorú szuperstruktúráját, amely adott feladatra lényegesen kevesebb szétválasztót tartalmaz. Bizonyos feltételek mellett az optimális struktúra egyszerűsíthető. A 3.13. ábrán már láthattuk, hogy egy szétválasztó két kisebbel felcserélhető költségváltozás nélkül, most pedig ennek a folyamatnak az ellentettjét mutatjuk meg. Amennyiben az optimális struktúra tartalmaz két olyan szétválasztót, amelyekre igaz, hogy azonos típusúak, az egyik szétválasztó felső kimenetéhez kötött megosztó megosztási arányai egyenlők a másik szétválasztó hasonló értékeivel, a kimenetek páronként ugyanahhoz a keverőkhöz kapcsolódnak és hasonló állítások igazak az alsó kimenetekre, akkor a két szétválasztó összevonható. Az összevonás a költséget nem befolyásolja, vagyis az így konstruált struktúra is optimális, de rá már nem teljesül, hogy keverő csak a termékek előtt jelenik meg. A 3.17. és 3.18. ábrák egy konkrét példán szemléltetik az azonos típusú szétválasztók összevonását. Az első ábra az összevonás előtti állapot mutatja, ahol a szétválasztók kimenetei ketté vannak osztva egy megosztó segítségével, de a b1, c1, a b2, c2, a b3, c3, a b4, c4 kimenetek páronként ugyanahhoz a keverőhöz csatlakoznak és lb1 = lc1 , lb2 = lc2 , lb3 = lc3 , lb4 = lc4 . A megosztási arányokat a betáplálási megosztás arányok egyre történő normalizálásával számolhatjuk ki. A 3.18. ábra az egyszerűsítés utáni állapotot mutatja be.
50
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
D1
b1 M1
b2 c1 c2 c3 c4
a1
M2
D2
c1 c2 c3 c4
a2
M3
b4
c1 D3
b3
c2 M4
c3 D4
c4
3.17. ábra: Azonos típusú szétválasztók összevonása: összevonás előtt.
D1
b1+c1 M1
b2+c2 a1 a2
M0
c1 c2 c3 c4
M2
D2
b3+c3 M3
b4+c4
M4
3.18. ábra: Azonos típusú szétválasztók összevonása: összevonás után.
Ezek után az egyszerűsítő eljárás a következő. Ha egy keverő vagy megosztó pontosan egy bemenettel és egy kimenettel rendelkezik, akkor azt elhagyhatjuk. Ha két keverő vagy két megosztó egymás után helyezkedik el, akkor őket össze lehet vonni, lásd 3.19. ábra. Szisztematikusan ellenőrizzünk minden szétválasztó párt, hogy azok összevonhatóak-e. Az első a feltételeket kielégítő párra végezzük el az összevonást és kezdjük a legelejéről az egyszerűsítő eljárást, ha nincs ilyen pár, akkor vége az eljárásnak. Azért csak az első párra kell elvégezni az összevonást, mert ekkor a struktúra megváltozik, így a korábbi struktúrán történő keresésnek nincs értelme. Elképzelhető, hogy egy összevonás után, addig nem összevonható pár is összevonhatóvá válik. 51
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
a1 a2
M1
M2
a1 a2 a3
b
a3 a
D2
D1 b3
b1 b2
a
M3
b1 D1
b
b2
b3
3.19. ábra: Keverők és megosztók összevonása.
3.7. Feladatok A jelen alfejezetben néhány az SNS-Multi feladattípusba tartozó példát mutatunk be és oldunk meg. A példák a feladattípus különböző jellegzetességeire koncentrálnak, úgymint a több szétválasztó család, extra szétválasztók, impliciten meghatározott termékek, optimális struktúra egyszerűsítése, nagy méretű példák végrehajtási ideje.
3.7.1. Feladat Az első példával célunk a megoldás menetének részletes bemutatása és az SNS-Multi eredményének összehasonlítása az SNS-Single eredményével. Egy háromkomponenses betáplálásból kell két terméket létrehozni, három különféle szétválasztó család tagjainak a felhasználásával. A betáplálások és termékek komponensáramait a 3.3., a szétválasztók leírását pedig a 3.4. táblázat tartalmazza. Minden szétválasztónak megadjuk a nevét, a teljes költségegyütthatóját és hogy milyen módon válassza szét a komponenseket. Például az Sb2 szétválasztó teljes költségegyütthatója 1,3 és felső kimenetén a c2 és a c1 komponens jelenhet meg, az alsó kimenetén pedig c3, hiszen a szétválasztó a b családhoz tartozó komponens sorrend szerint a második komponens után vág. 3.3. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 3.7.1. feladatnál
F1 P1 P2
c1 (kg/s) c2 (kg/s) c3 (kg/s) 12 10 14 2 8 6 10 2 8
52
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával 3.4. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 3.7.1. feladatnál
a. család Komponens sorrend Szétválasztó Teljes költségegyüttható ($/kg)
c1 c2 c3 a1 S Sa2 1 1,5
b. család Komponens sorrend Szétválasztó Teljes költségegyüttható ($/kg)
c2 c1 c3 b1 S Sb2 0,4 1,3
c. család Komponens sorrend Szétválasztó Teljes költségegyüttható ($/kg)
c3 c1 c2 c1 S Sc2 0,9 1,3
Az első lépés a módosított RSS-Multi végrehajtása, amelyet 3.20.-3.24. ábrák szemléltetnek. A 3.20. ábra mutatja a feladat iniciálását, amikor felvesszük a betáplálást megosztójával és a termékeket a hozzájuk tartozó keverőkkel. A következő ábra, 3.21., mutatja az algoritmus első fő iterációját. A bekarikázott megosztót választjuk ki és felveszünk minden olyan szétválasztót, amely a hozzá tartozó folyamon szétválasztást tud végrehajtani. Mind a 6 szétválasztó képes erre, de az algoritmus módosítása értelmében, ha két szétválasztó ugyanazokat a kimeneteket állítja elő, akkor közülük csak az olcsóbbat kell bevenni a szuperstruktúrába. Ezek szerint Sa2, Sb2 és Sc1 közül Sc1, Sb1és Sc2 közül Sb1 a kedvezőbb, Sa1-nak pedig nincs párja, így azt mindenképpen be kell venni. A felvett szétválasztók alsó és felső kimeneteihez rögtön létrehozunk egy-egy új megosztót. Az iteráción belül a második lépés a kiválasztott megosztó összekötése a keverőkkel. Mivel mind a két termékben jelen van minden komponens ezért a megosztót mindkét keverővel összekötjük és ezzel zárjuk az első iteráció végrehajtását. A második iterációban, 3.22. ábra, szintén kiválasztunk egy megosztót. Mivel ezen megosztó bemenetén csak a c1 komponens lehet jelen, ezért nincs értelme új szétválasztót létrehozni, hanem rögtön a második lépéssel kezdünk, a megosztó és a keverők összekötésével. Valójában minden megosztó-keverő kapcsolathoz külön él tartozik. Azért, hogy az ábra egyszerű maradjon, az azonos keverőkbe futó éleket csak egy vonallal jelöljük. Az egyértelműség érdekében pontokkal jelezzük azt, ha két él ilyen módon csatlakozik egymáshoz. A harmadik iterációban újabb megosztót választunk ki, lásd 3.23. ábra. Ha a kiválasztott megosztó benne lesz az optimális megoldásban, akkor bemenetén a c2 és c3 komponens található meg. Ezeket a komponenseket az Sa2, Sb1, Sb2, Sc1és Sc2 tudja elválasztani, de közülük az Sb1 a legolcsóbb, így csak azt vesszük fel. Ezután ismételten a megosztók és a keverők összekötése következik. Az algoritmust addig folytatjuk, amíg minden megosztót ki nem választunk egyszer. A teljes
53
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával szuperstruktúrát a 3.24. ábra mutatja. Az ábrán a szétválasztók felső indexe továbbra is azok a típusát jelöli, míg az alsó index egy egyértelmű azonosító.
[2, 8, 6] P1 [12, 10, 14] F1
[10, 2, 8] P2 3.20. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: Iniciálás.
Sa1 [2, 8, 6] P1 [12, 10, 14] F1
Sb1 [10, 2, 8] P2 Sc1
3.21. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: 1. iteráció.
54
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
Sa1 [2, 8, 6] P1 [12, 10, 14] F1
Sb1 [10, 2, 8] P2 Sc1
3.22. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: 2. iteráció.
Sa1 [2, 8, 6] Sb1
P1
[12, 10, 14] F1
Sb1 [10, 2, 8] P2 Sc1
3.23. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: 3. iteráció.
55
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
D2 Sa1 1
D8
D3 S4b1 [12, 10, 14] F1
D9
D4 D1
[2, 8, 6] M1
P1
Sb1 2 D5
D10 S5c1
[10, 2, 8] D11
D6
M2
P2
Sc1 3 D7
D12 S6b1 D13
3.24. ábra: A 3.7.1. feladat szigorú szuperstruktúrájának generálása: 13. iteráció, teljes szuperstruktúra.
A második lépés a matematikai modell felírása. Ehhez először meg kell határozni a hálózatot alkotó halmazokat, azután ezek segítségével fel tudjuk írni a modellt alkotó egyenleteket, lásd 3.24.-3.43. egyenletek. F = {F1} P = {P1, P2} D = {D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9, D10, D11, D12, D13} M = {M1, M2} S = {S1, S2, S3, S4, S5, S6} A = { (F1, D1), (D1, S1), (D1, S2), (D1, S3), (D1, M1), (D1, M2), (S1, D2), (S1, D3), (S2, D4), (S2, D5), (S3, D6), (S3, D7), (D2, M1), (D2, M2), (D3, S4), (D3, M1), (D3, M2), (S4, D8), (S4, D9), (D4, M1), (D4, M2), (D5, S5), (D5, M1), (D5, M2), (S5, D10), (S5, D11), (D6, M1), (D6, M2), (D7, S6), (D7, M1), (D7, M2), (S6, D12), (S6, D13), (D8, M1), (D8, M2), (D9, M1), (D9, M2), (D10, M1), (D10, M2), (D11, M1), (D11, M2), (D12, M1), (D12, M2), (D13, M1), (D13, M2), (M1, P1), (M2, P2) } æ1 × xD , S × (12 + 10 + 14) + 0, 4 × xD , S × (12 + 10 + 14) + 1 1 1 2 ç min ç 0,9 × xD1 ,S3 × (12 + 10 + 14) + 0, 4 × xD3 , S4 × (10 + 14) + ç ç 0,9 × xD ,S × (12 + 14) + 0, 4 × xD , S × (12 + 10) 5 5 7 6 è
ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø
3.24.
56
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával ahol 1 = xD1, S1 + xD1, S2 + xD1,S3 + xD1, M1 + xD1, M 2
3.25.
xD1,S1 = xD2 , M1 + xD2 , M 2
3.26.
xD1,S1 = xD3 ,S4 + xD3 ,M1 + xD3 ,M 2
3.27.
xD1,S2 = xD4 ,M1 + xD4 ,M 2
3.28.
xD1,S2 = xD5 , S5 + xD5 ,M1 + xD5 , M 2
3.29.
xD1,S3 = xD6 , M1 + xD6 ,M 2
3.30.
xD1,S3 = xD7 ,S6 + xD7 , M1 + xD7 , M 2
3.31.
xD3 , S4 = xD8 , M1 + xD8 ,M 2
3.32.
xD3 , S4 = xD9 , M1 + xD9 , M 2
3.33.
xD5 ,S5 = xD10 ,M1 + xD10 , M 2
3.34.
xD5 ,S5 = xD11,M1 + xD11,M 2
3.35.
xD7 , S6 = xD12 ,M1 + xD12 , M 2
3.36.
xD7 , S6 = xD13 ,M1 + xD13 ,M 2
3.37.
( xD1, M1 + xD2 ,M1 + xD5 , M1 + xD7 , M1 + xD11,M1 + xD13 ,M1 ) ×12 = 2
3.38.
( xD1, M1 + xD3 ,M1 + xD4 ,M1 + xD7 ,M1 + xD8 ,M1 + xD12 ,M1 ) ×10 = 8
3.39.
( xD1, M1 + xD3 ,M1 + xD5 , M1 + xD6 ,M1 + xD9 ,M1 + xD10 , M1 ) ×14 = 6
3.40.
( xD1, M 2 + xD2 ,M 2 + xD5 ,M 2 + xD7 , M 2 + xD11 ,M 2 + xD13 , M 2 ) ×12 = 10
3.41.
( xD1, M 2 + xD3 , M 2 + xD4 ,M 2 + xD7 , M 2 + xD8 ,M 2 + xD12 ,M 2 ) ×10 = 2
3.42.
( xD1,M 2 + xD3 , M 2 + xD5 , M 2 + xD6 , M 2 + xD9 ,M 2 + xD10 ,M 2 ) ×14 = 8
3.43.
0 £ xd , j £ 1
3.44.
" ( d , j ) Î A, d Î D
A matematikai modellt megoldva kapjuk, hogy a minimális megoldás költsége 14,777 $/s, miközben xD1,M1 = 0,167 , xD1,M 2 = 0, 2 , xD1,S1 = xD2 , M 2 = xD3 ,M1 = 0, 262 ,
xD1,S2 = xD4 , M1 = xD5 , M 2 = 0,371 és a többi betáplálási megosztás arány értéke nulla. Ezekből az értékekből felírhatjuk az optimális hálózatot, lásd 3.25. ábra. Az összehasonlítás érdekében meghatároztuk az optimális hálózatot azokra az esetekre is, amikor csak egy-egy szétválasztó család elemei használhatóak fel, vagyis három 57
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával különféle SNS-Single feladatot oldottunk meg. Az egyes feladatokhoz tartozó optimális megoldások a 3.26.-3.28. ábrákon láthatóak. Figyeljük meg, hogy a 3.28. ábrán az S2-es szétválasztó előtt keverő áll. Ez azért van így, mert az ábra az optimális megoldás összevont formáját mutatja. A négy hálózat célfüggvény értékét a 3.5. táblázat hasonlítja össze. Az SNS-Multi megoldása 17%-al kedvezőbb, mint a legolcsóbb SNS-Single megoldás. xD1, M1 = 0,167 xD1 ,M 2 = 0, 2
[12, 10, 14] D1 F1
[2, 8, 6]
M1
S1a1
P1
xD1, S1 = 0, 262
költség=14,777 $/s
xD1, S2 = 0,371
[10, 2, 8] P2
M2
Sb1 2
3.25. ábra: A 3.7.1. feladat optimális struktúrája: mindhárom szétválasztó család felhasználható.
xD1, M1 = 0,167
xD1, M1 = 0, 262
M1
[2, 8, 6] P1
xD1, M 2 = 0, 2 [12, 10, 14] F1
D1
xD1, S1 = 0, 633
költség=36,171 $/s Sa2 2
Sa1 1 D2
xD2 , S2 = 0,371
M2
[10, 2, 8] P2
3.26. ábra: A 3.7.1. feladat optimális struktúrája: az 'a' szétválasztó család használható fel.
58
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
xD1 , M1 = 0,167
M1
xD2 ,M 2 = 0,371
[2, 8, 6] P1
xD1, M 2 = 0, 2 [12, 10, 14] D 1 F1 S1b1 x1,3=0.633
költség=17,972 $/s Sb2 2 D2 M2 [10, 2, 8] P2
xD2 ,S2 = 0, 262
3.27. ábra: A 3.7.1. feladat optimális struktúrája: a 'b' szétválasztó család használható fel.
xD1 , M1 = 0,167
[2, 8, 6]
xD1,M 2 = 0, 2
S1c1
[12, 10, 14] F1 D1
P1 M1
xD1, S1 = 0, 262
xD1, M 3 = 0,371 M3
költség=33,359 $/s
[10, 2, 8] P2
S2c2 M2
3.28. ábra: A 3.7.1. feladat optimális struktúrája: a 'c' szétválasztó család használható fel. 3.5. táblázat: Célfüggvény értékek összehasonlítása a 3.7.1. feladatnál
Felhasználható szétválasztók
'a', 'b' és 'c' szétválasztó család
'a' szétválasztó család
'b' szétválasztó család
'c' szétválasztó család
Célfüggvény érték ($/s)
14,777
36,171
17,972
33,359
3.7.2. Feladat A második példával célunk az optimális struktúra egyszerűsítésének bemutatása. SNS feladatok megoldásakor legtöbbször feltételezik, hogy egy n komponenses feladat esetén az optimális megoldás n-1 szétválasztót tartalmaz. Ebből a feltételezésből kiindulva született olyan optimálisnak gondolt megoldás, amelyről később bizonyították, hogy nem volt az, lásd Kovács és szerzőtársai (2000). Az SNS-Multi az optimális költséget garantálja, de nem korlátozza az optimális megoldásban előfordulható szétválasztók
59
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával számát. Mindazonáltal, gyakorlati szempontból az a kedvező, ha az optimális megoldás a lehető legkevesebb szétválasztót tartalmazza, ezért ha lehetséges, a megoldást mindig egyszerűsítjük. Egy négy komponenses betáplálásból kell előállítunk három különféle terméket, két szétválasztó család tagjainak a felhasználásával. A betáplálások és termékek komponensáramait a 3.6., a szétválasztók leírását pedig a 3.7. táblázat tartalmazza. A szigorú szuperstruktúra 20 szétválasztót tartalmaz, az optimális struktúra pedig 4-t, lásd 3.29. ábra. Megjegyezzük, hogy a könnyebb átláthatóság végett már ezen az ábrán is elvégeztük a megosztókra és keverőkre vonatkozó egyszerűsítéseket. Például az S4 szétválasztó esetén, az alsó kimeneten megjelenik egy megosztó, de a felsőn nem, mert annak csak egy kimenete lenne, így a megosztó a struktúra lényegi módosulása nélkül elhagyható. Az egyszerűsítés következő lépése egy összevonható szétválasztó pár megtalálása. Hatékonyság szempontjából érdemes mindig azt ellenőrizni először, hogy két szétválasztó ugyanolyan típusú-e és csak utána a többi feltételt. Ezenkívül célszerű először a termékekhez közelebb lévő szétválasztó párokat megvizsgálni, mert ezen szétválasztók alsó és felső anyagáramához tartozó megosztók kimenet száma általában kisebb, így nagyobb az esély az összevonhatóságra. A jelen példában az S1 és az S3 szétválasztók összevonhatóak, mert mindegyik b3-as típusú és a felső kimenetek az M2 az alsó kimenetek pedig az M1 keverőkhöz vannak kapcsolva. Mivel a kimenetek nincsenek megosztva, így az arányokra vonatkozó feltételek automatikusan teljesülnek. A módosított struktúrában nincs mód további egyszerűsítésre, hiszen minden szétválasztó típusa különbözik, vagyis megkaptuk az egyszerűsített optimális megoldást, lásd 3.30. ábra. A struktúra egyszerűsítése felfogható úgy is, hogy az optimális megoldás meghatározása után alternatív optimális megoldásokat keresünk. Ha az optimális megoldás egyedi, akkor egyszerűsítés nem lehetséges. 3.6. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 3.7.2. feladatnál
F1 P1 P2 P3
c1 (kg/s) 9 3 0 6
c2 (kg/s) 6 0 2 4
c3 (kg/s) 12 9 1 2
c4 (kg/s) 7 0 3 4
60
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával 3.7. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 3.7.2. feladatnál
a. család Komponens sorrend c1 c2 c3 a2 Szétválasztó S Teljes költségegyüttható ($/kg) 2 b. család Komponens sorrend c3 c2 c4 b1 b2 Szétválasztó S S Teljes költségegyüttható ($/kg) 7 5
c4 a3
S 9
c1 b3
S 3
[3, 0, 9, 0]
xD1, M 3 = 0,1666
P1 S1b3
xD1,S1 = 0, 0833
S3b3
M1 költség=142 $/s
[9, 6, 12, 7]
[0, 2, 1, 3]
F1
xD2 ,M 3 = 0,5
D1
D2
xD1, S2 = 0, 75
P2 M2
xD2 , S3 = 0, 25
S2a2
S4b2
[6, 4, 2, 4] P3
D3 xD3 ,M 2 = 0,3452
M3 xD3 , M 3 = 0, 4047
3.29. ábra: A 3.7.2. feladat optimális struktúrája. [3, 0, 9, 0]
xD1, M 3 = 0,1666
P1
xD1,S1 = 0, 0833
M4
b3 S1-3
M1 költség=142 $/s
[9, 6, 12, 7]
[0, 2, 1, 3]
F1
xD2 ,M 3 = 0,5
D1
D2
xD1, S2 = 0, 75
S2a2
P2 M2
xD2 , S3 = 0, 25
S4b2
[6, 4, 2, 4] P3
D3 xD3 ,M 2 = 0,3452
M3 xD3 , M 3 = 0, 4047
3.30. ábra: A 3.7.2. feladat egyszerűsített optimális struktúrája.
61
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
3.7.3. Feladat A harmadik példával célunk, hogy bemutassuk az extra szétválasztók használatának fontosságát. Az extra szétválasztókat úgy definiáltuk, hogy esetükben a bemenet komponensáram vektora nem folytonos az adott szétválasztó komponens sorrendje alapján. Az ilyen szétválasztóknak a jelenléte erősen befolyásolhatja az optimumot. Egy háromkomponenses betáplálásból kell előállítunk két terméket, két szétválasztó család tagjainak, összesen hat szétválasztónak, a felhasználásával. A betáplálások és a termékek komponensáramait a 3.8., a szétválasztók leírását pedig a 3.9. táblázat tartalmazza. Mivel a szétválasztók között most extra szétválasztók is vannak, nem elégséges csak azt megadni, hogy hol vág az adott szétválasztó. Ehelyett minden szétválasztó esetén megadjuk, hogy mely komponensek szerepelhetnek a bemenetén és a kimenetein. Tekintsük például az R3-as jelzésű extra szétválasztót. Bemenetén a c1 és c3 komponens előfordulhat, de a c2 nem, holott az a c1 és a c3 között helyezkedik el. Az extra szétválasztók hiányában a c1 és c3-ból álló folyam szétválasztásához R1 típusú szétválasztót használnánk. R1 ugyanis el tudja végezni a feladatot, mert bemenetén megjelenhet a c2 komponens, valamint R1 olcsóbb, mint R2, amely szintén végrehajtaná a szétválasztást. Az optimális struktúra meghatározását követő, részletesebb modelleken alapuló, pontosabb költség meghatározás után kiderülne, hogy R1 helyett R3-t lenne érdemes használni. Az így kapott eredmény azonban eltérhet attól, amit akkor kapunk, amikor R3-t már az optimális struktúra meghatározásánál figyelembe vesszük. Az aktuális feladat optimális megoldása a 3.31. ábrán látható. A szétválasztók teljes költségegyütthatóiból az következik, hogy csak egy család szétválasztóit alkalmazva nagyon drága megoldásokat kapunk. Ha először az egyik család egy tagját alkalmazzuk, azután a másik család egy tagját, akkor a második családból az extra szétválasztót érdemes választani. Esetünkben, az optimális megoldásban először egy R1 típusú szétválasztót alkalmazunk, ennek alsó kimenete a c2 és c3 komponenseket tartalmazza. Az adott vektor a második család komponens sorrendje alapján nem folytonos, így ennek a családnak az extra szétválasztója E3 valósítja meg a hátralévő szétválasztási feladatot. 3.8. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 3.7.3. feladatnál
F1 P1 P2
c1 (kg/s) 10 8 2
c2 (kg/s) 15 2 13
c3 (kg/s) 5 4 1
62
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával 3.9. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 3.7.3. feladatnál
szétválasztó típus
bemeneti komponensek
felső kimeneti komponensek
alsó kimeneti komponensek
SR1 SR2 SR3 SE1 SE2 SE3
c1, c2, c3 c1, c2, c3 c1, c3 c2, c1, c3 c2, c1, c3 c2, c3
c1 c1, c2 c1 c2 c2, c1 c2
c2, c3 c3 c3 c1, c3 c3 c3
teljes költségegyüttható, OC ($/kg) 2 11 1,7 32 4 3,5 [8, 2, 4]
xD1 , M1 = 0,133
M1 F1 D1
xD1 , S1 = 0, 666
R1
S1
E3
S2
P1
költség=86,666 $/s
[10, 15, 5]
[2, 13, 1] xD1, M 2 = 0, 2
M2
P2
3.31. ábra: A 3.7.3. feladat optimális struktúrája.
3.7.4. Feladat A negyedik példával célunk, hogy bemutassuk azt, hogy az egyes termékeket megadhatjuk a komponensáramaikra vonatkozó lineáris feltételekkel. Ekkor nem egy konkrét termékeket akarunk előállítani, hanem termékek halmazaiból választunk úgy, hogy azok kielégítsék az előírt feltételeket és a hálózat teljes költsége minimális legyen. Az ilyen típusú feladatok a gyakorlatban fontosak. Például meg tudjuk fogalmazni, hogy adott szennyező komponensek mennyisége kisebb legyen, mint egy környezetvédelmi határérték vagy két komponens arányát, amelyeket később esetleg reagáltatni akarunk egymással, köthetjük ki. Egy 4C3F3P típusú feladatot akarunk megoldani 2 szétválasztó család tagjainak a felhasználásával. A bemenetek és a termékre vonatkozó feltételek a 3.10. táblázatban találhatóak meg. A három terméket összesen 12 feltétel definiálja. Ezek közül néhány csak egy komponensre vonatkozik, például az első termék második komponensárama maximum 3 lehet, míg mások összetettebbek, például a második termékben az első és a negyedik komponens aránya 2:1. Ha kettőnél több komponens arányát akarjuk kifejezni, akkor azt több egyenlet segítségével tehetjük meg. Ezeken az explicit feltételeken kívül még az anyagegyensúlyoknak is teljesülnie kell a betáplálások és a termékek között komponensenként, vagyis minden betáplálást teljes egészben fel kell dolgozni. A feladat
63
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával megoldása során felhasználható szétválasztók adatai a 3.11. táblázatban vannak összefoglalva. A feladat optimális megoldása a 3.32. ábrán látható. Vegyük észre, hogy ez már az egyszerűsített megoldás, hiszen az S3 szétválasztó elé csak így kerülhetett keverő. A feladat érdekessége, hogy az F3 szétválasztón történő áthaladás nélkül, közvetlenül jut a P3-ba. Az optimális megoldás célfüggvény értéke 86,133 $/s. Az ezen megoldáshoz tartozó termékek és betáplálási megosztás arányok a 3.32. ábrán találhatóak meg. Amennyiben a termékek feltételekkel történő megadása helyett, véletlenszerűen választunk a feltételeknek megfelelő termékeket és az SNS-Multi bemenetének ezeket a konkrét termékeket tekintjük, akkor az előbbinél rosszabb megoldást kapunk. Például a [10, 2, 3, 0], [4, 7, 7, 2], [0, 1, 5, 9] komponensáram vektorokkal leírt termékek teljesítik az összes rájuk vonatkozó feltételt, de a konkrétan ezeket a termékeket előállító optimális hálózat költsége 99,333 $/s, lásd 3.33. ábra. 3.10. táblázat: A betáplálás komponensáramai és a termékekre vonatkozó feltételek a 3.7.4. feladatnál
F1 F2 F3
c1 (kg/s) 6 8 0 min 9
c2 (kg/s) 4 6 0 max 3
c3 (kg/s) 0 10 5 max 3
c4 (kg/s) 0 6 5 0
4
P1
å ci = 15 i =1
min 7
min 7
4
P2
å ci = 20 , c1 : c4 = 2 :1 i =1
0 P3
min 9 4
å ci = 15 i =1
3.11. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 3.7.4. feladatnál
a. család Komponens sorrend c1 c2 c3 c4 a1 a2 a2 Szétválasztó S S S Teljes költségegyüttható ($/kg) 4 1,5 4 b. család Komponens sorrend c3 c1 c4 b1 b2 Szétválasztó S S Teljes költségegyüttható ($/kg) 2 4,5
c2
64
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával xD1, M1 = 0, 75 [6, 4, 0, 0] F1 D1 xD2 , M 2 = 0,333
xD3 ,M 2 = 0,166
[8, 6, 10, 6] F2 xD2 ,S1
[10, 3, 2, 0]
xD1, M 4 = 0, 25
D2 = 0, 666
S1a2
M4
D3 xD3 ,M 4 = 0,5 xD4 ,M 3 = 0,1
D4
[0, 0, 5, 5]
P1 M1
Sa1 3
költség=86,133 $/s [4, 7, 7, 2]
xD5 ,M1 = 0, 2 D5
xD5 ,M 2 = 0,366
P2 M2
S2b1
xD4 ,S2 = 0,566
[0, 0, 6, 9]
F3
P3 M3 3.32. ábra: A 3.7.4. feladat optimális struktúrája, a termékek feltételekkel adottak.
xD1, M1 = 0,5 [6, 4, 0, 0] F1
D1
xD1, S1 = 0,5
Sa1 1 xD3 ,M 2 = 0,316
D3 xD3 ,M 3 = 0,184 xD2 , M 2 = 0,333 [8, 6, 10, 6] F2
xD4 ,M 2 = 0,166
D2
xD2 ,S2 = 0, 666
S2a2
[10, 2, 3, 0] P1 M1
S3a1 xD5 ,M2 = 0, 456 D5
D4 xD4 , S3 = 0,5 xD5 , M 2 = 0, 044 S4b1
D6 xD6 , M 2 = 0,366
költség=99,333 $/s [4, 7, 7, 2] P2 M2 xD6 , M1 = 0,3
[0, 0, 5, 5]
[0, 1, 5, 9]
F3
P3 M3
3.33. ábra: A 3.7.4. feladat optimális struktúrája, a feltételeket kielégítő termékek adottak.
3.7.5. Feladat Az ötödik feladat, egy C7F2P4 feladat, azt demonstrálja, hogy a javasolt módszer nagy méretű feladatok esetén is alkalmazható. A betáplálások és az előállítandó termékek a 3.12. a felhasználható szétválasztók pedig a 3.13. táblázatban találhatóak meg. Két szétválasztó család, összesen 12 fajta szétválasztója segítségével kell előállítani négy terméket két betáplálásból. A feladat méretére jellemző, hogy a szigorú szuperstruktúra 65
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával 6.348 szétválasztót és 12.698 megosztót tartalmaz. A szuperstruktúrából alkotott matematikai programozási modell pedig 12.726 feltételből és 57.140 változóból áll. Ezen feladat megoldása egy PC-n (processzor: AMD Athlon 2000+, memória: 1 GB) 24 másodpercig tartott. Az optimális megoldás a 3.34. ábrán látható, amelyhez 261,074 $/s költség tartozik. A feladatot csak az 'a' illetve csak a 'b' szétválasztó család tagjaival megoldva az optimális megoldáshoz tartozó célfüggvény érték: 442,138 $/s illetve 358,529 $/s, ami 41 illetve 27%-os megtakarítást jelent. Ezek a megtakarítások általánosnak tekinthetőek, ha a szétválasztók teljes költségegyütthatója családtól függetlenül azonos nagyságrendűek. Ilyen esetben minél nagyobb a feladat mérete és minél több szétválasztó család érhető el, annál nagyobb megtakarítás valószínűsíthető. 3.12. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 3.7.5. feladatnál
F1 F2 P1 P2 P3 P4
c1 (kg/s) 12 23 9 14 5 7
c2 (kg/s) 11 19 3 10 10 7
c3 (kg/s) 8 25 6 8 10 9
c4 (kg/s) 6 21 8 8 3 8
c5 (kg/s) 2 26 4 11 1 12
c6 (kg/s) 6 26 10 5 4 13
c7 (kg/s) 15 12 13 9 2 3
3.13. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 3.7.5. feladatnál
a. család Komponens sorrend A B C D E F G a1 a2 a3 a4 a5 Szétválasztó S S S S S Sa6 Teljes költségegyüttható ($/kg) 1,5 3 2 2,5 4 4 b. család Komponens sorrend D F C A G B E b1 b2 b3 b4 b5 Szétválasztó S S S S S Sb6 Teljes költségegyüttható ($/kg) 4,5 1 2,5 3,5 1,75 4,5
66
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával
M1
xD1M1 =0, 086
xD1M3 =0,109
[9, 3, 6, 8, 4, 10, 13]
a3
b5
xD1M2 =0, 279
S1
P1
S2
xD1S1 =0, 02
xD1S3 =0,506
F1
D1
D3
[12, 11, 8, 6, 2, 6, 15] a1
D2
a3 S3
S4
xD3M1 =0, 249 xD3M2 =0,188
xD3M4 =0, 065
P2
[14, 10, 8, 8, 11, 5, 9]
költség=99,333 $/s
xD2S4 =0,502 xD2M3 =0, 004
xD4 M1 =0,108 xD4 M2 =0,128
M3
P3
[5, 10, 10, 3, 1, 4, 2]
xD4M3 =0, 03 xD4M4 =0, 25
D5
xD4 S6 =0,134 xD4 S7 =0, 252 xD4 M8 =0, 098
F2
M2
b3
S6
xD5M3 =0, 044 xD5M4 =0, 089
D4
M4
a4
S9
[23, 19, 25, 21, 26, 26, 12] D6
b2
S7
xD7 M2 =0,102 xD7 S8 =0,148
P4
[7, 7, 9, 8, 12, 13, 3]
D10
xD6M3 =0, 036 xD6S9 =0,173 xD6M4 =0, 041
D7
xD10M1 =0, 037 xD10M3 =0, 017 xD10M4 =0,119
D8
a3 S8
xD8M3 =0,128 xD8M4 =0, 02 xD9M8 =0,112 xD9M2 =0, 036
D9
M8
b5
S5
3.34. ábra: A 3.7.5. feladat optimális struktúrája.
3.7.6. Feladat A hatodik (9C3F4P) és hetedik (10C4F4P) feladat részletes leírása az elektronikus mellékletben található meg. Mindegyik feladat két szétválasztó család tagjait tudja felhasználni. Célunk, hogy megmutassuk, hogy hogyan változik a végrehajtási idő a feladat méretével. Minél több a komponens, a betáplálás és a felhasználható szétválasztók száma annál nagyobb a szigorú szuperstruktúra és ebből következik, hogy a generált
67
SNS feladat több szétválasztó család felhasználásával matematikai programozási modell is. A 3.14. táblázat bemutatja a két feladathoz tartozó szuperstruktúra és programozási modell nagyságát, valamint a végrehajtási időket. 3.14. táblázat: A 9C3F4P és 10C4F4P feladat méretének összehasonlítása
Szétválasztók száma: Megosztók száma: Feltételek száma: Változók száma: Nem nulla elemek száma: Futási idő:*
9C3F4P 16.062 32.127 32.163 144.570
10C4F4P 39.364 78.732 78.772 354.292
364.806
905.404
1,5 perc
7 perc
*processzor: AMD Athlon 2000+, memória: 1 GB
68
Energiaintegrált SNS feladat
4. Energiaintegrált SNS feladat 4.1. Bevezetés Egy vegyipari gyár tervezése majdnem mindig több lépésben történik, lásd 4.1. ábra. Az első, az előállítandó terméket közvetlenül legyártó rész megtervezése. Ez a termék létrehozásának lehetséges módjai közötti döntést, a reaktorok kiválasztását és a köztük létesítendő kapcsolatok meghatározását jelenti. Ezt követi a szétválasztó hálózat tervezése. A termék előállítása során gyakran felhasználunk katalizátorokat, segédanyagokat, amelyeket vissza szeretnénk nyerni. Az is lehetséges, hogy a termék szorul tisztításra vagy a melléktermékben kell elkülöníteni a káros, nem káros és az újrafelhasználható részeket. A harmadik lépés a hőcserélő hálózat tervezése. Az eddig megtervezett rendszerben számtalan hőigény van jelen. Egyes anyagokat le kell hűteni, míg mások fűtést igényelnek. Minden egyes reakciónál meg lehet adni, hogy mi az egyes reagensek ideális hőmérséklete. Ipari rendszerekben általában nagy anyagmennyiségeket kell hűteni vagy fűteni. Ezt úgy tehetjük meg gazdaságosan, hogy a hűtendő folyam és egy nála alacsonyabb hőmérsékletű fűtendő folyam között létrehozunk hőcserét. A hőcserélő hálózat azt határozza meg, hogy mely folyamok között kell hőcserélőt alkalmazni. Azon hőigények kielégítését, amelyek a rendszerben lévő forrásokkal nem megoldhatóak, hideg- illetve melegenergia szolgáltatók bevonásával oldják meg. Ezen energiaszolgáltatók rendszerének megtervezése az utolsó lépés. energia szolgáltató hálózat hőcserélő hálózat szétválasztó hálózat termelő hálózat 4.1. ábra: Vegyipari rendszer tervezésének fő lépései.
Hagyományosan az előbb bemutatott tervezési lépéseket egymás után hajtják végre. Ennek oka az, hogy egy ipari méretű feladat esetén már egy ilyen lépés is nagyon számításigényes, a feladatok exponenciális jellege miatt pedig, két lépés összevonása rendkívül nehéz problémát eredményez. Ennek ellenére egyre több figyelmet kap az integrált tervezés, amelyet részben a számítógépek megnövekedett teljesítménye tett lehetővé. Például Douglas és munkatársai (1985) a termelő és szétválasztó hálózat, 69
Energiaintegrált SNS feladat Mizsey és Fonyó (1990a), Mizsey és Fonyó (1990b), Mizsey (1991) pedig a teljes termelő rendszer egyidejű tervezésével foglalkozott. Ha egy tervezési feladatot részekre bontunk, a részeket egyenként egymás után megoldjuk, akkor általában rosszabb eredményt kapunk, mint akkor, ha az eredeti feladatot egy az egyben oldjuk meg. Dekompozíció esetén ugyanis a részfeladatok közötti kapcsolatokat csak korlátozott mértékben lehet figyelembe venni és a korlátot éppen a feladat határok jelentik. Mindegyik részfeladatnak az optimális megoldását keressük, de ez a mohó megközelítés tévútra vezethet. Ekkor nem lehet figyelembe venni azokat az eseteket, amelyeket akkor kapnánk, ha egy részfeladatnak az optimálisnál x-el rosszabb megoldásából indulnánk ki. Ebben az esetben ugyanis megtörténhetne, hogy a következő részfeladat megoldása x-t meghaladó mértékben lenne kedvezőbb, így az összköltség csökkenne. Leggyakrabban a szétválasztó és a hőcserélő hálózatot tervezik meg párhuzamosan. A két feladat között igen szoros a kapcsolat. Például, egy relatív illékonyságon alapuló szétválasztó, egy egyszerű desztilláló oszlop, egy látens hő forrást azaz kondenzátort és egy látens hő nyelőt vagyis kiforralót tartalmaz. A szétválasztó szerkezetéből adódóan a kondenzátornak alacsonyabb a hőmérséklete, mint a kiforralónak így azok a szétválasztón belül csak egy extra eszköz, egy hőszivattyú segítségével integrálhatóak. Ellenben, a különböző szétválasztókban lévő látens hő forrás és nyelő esetében, lehetséges lehet a közvetlen párosítás. Ha már a szétválasztó hálózat szintézise során úgy választjuk ki szétválasztókat, hogy azok később integrálhatóak legyenek, akkor jelentős megtakarítást tudunk elérni. Az optimális szétválasztási rendszerek tervezésében a hő-integrált oszlopok tervezése mellett a másik irány a termikus csatolás. Például egy három komponenst szétválasztó rendszer esetében az egyenes és a fordított szétválasztó sorrendet alkalmazó hálózat legtöbbször drágább, mint a termikusan csatolt desztilláló rendszerek. Ilyen rendszerek például az oldal-rektifikálóval vagy oldal-sztripperrel kiegészített desztilláló oszlop, illetve a Petlyuk oszlop, lásd (Petlyuk és munkatársai, 1965), amely általában a legjelentősebb költségcsökkenést ígéri. A Petlyuk oszlop hátrányaként említik, hogy használatánál működtetési nehézségek léphetnek fel. Ez az oka annak, hogy habár a Petlyuk oszlop tetszőleges számú komponensre kiterjeszthető, a gyakorlatban általában csak a háromkomponenses változat használt. A Kaibel oszlopot, lásd (Kaibel, 1987) könnyebb megvalósítani, mivel csak egy függőleges elválasztás szükséges az oszlopon belül. Újfajta oszlop elrendezések ma is sok vizsgálat tárgyát képezik. Kim és munkatársai (2003) több szétválasztás egyidejű elvégzésére alkalmas komplex szétválasztók tervezésével foglalkozott. Az általuk vizsgált szétválasztó három egybeépített desztilláló oszlopnak tekinthető, amelyeknek azonban csak egy kiforralója és egy kondenzátora van. Gadalla és szerzőtársai (2006) egyszerű szétválasztót vizsgált, 70
Energiaintegrált SNS feladat amelyben egy újfajta kialakítás teszi lehetővé az oszlopon belüli energiaintegrációt. Mindkét módszerre igaz, hogy az oszlopon belüli energiaintegráció után, csökken az oszlopok közötti energiaintegráció lehetősége. A jelen dolgozatban nem vizsgáljuk a termikusan csatolt oszlopok használatának a lehetőségét. Energiaintegráció alatt nem csak a desztilláló oszlopok kiforralóinak és kondenzátorainak a párosítását értjük, hiszen tetszőleges szétválasztó berendezést figyelembe tudunk venni, valamint nemcsak látens hők forrásokat és nyelőket, hanem a hideg- és melegáramokat is kezelni fogjuk. Látni fogjuk, hogy a hideg- és melegáramok figyelmen kívül hagyása a feladat nagymértékű egyszerűsítése. A gyakorlatban hideg- és melegáramok előfordulhatnak magában a szétválasztó hálózatban illetve a reaktor hálózatban is. Az első esetre példa, amikor egy szétválasztó bemenetét adott hőmérsékletűre kell hozni, a másodikra pedig, amikor egy reaktor kimenetét hűteni kell, mielőtt tovább vezetnénk. A két eset között tervezési szempontból lényeges a különbség. Az, hogy a szétválasztó hálózaton belül milyen hőáramokat kell figyelembe venni, attól függ, hogy milyen lesz ténylegesen a szétválasztó hálózat. Ellenben a reaktor hálózatban jelentkező hőáramok eleve adottak, azok mindenképpen jelentkeznek a hőcserélő hálózatban.
4.2. Feladat definiálása Az energiaintegrált szétválasztási hálózatok szintézise feladaton a következő problémát értjük. Adott egy olyan SNS feladat, amelyben több szétválasztó család elemei használhatóak fel. Ezenkívül adottak a hőmérséklettel, fajhővel kapcsolatos adatok. Például minden szétválasztó esetében adott, hogy mekkora legyen a bemenet hőmérséklete, mekkora az alsó és felső kimenet hőmérséklete, a betáplálások hőmérséklete, illetve a szétválasztóban jelenlevő látens hő források és nyelők reakcióhői. Adottak még azok a hideg- és melegáramok is, amelyek a reaktorhálózat tervezésekor jelentkeztek és a szétválasztó hálózatban jelenlévő komponensek fajhői. Az előbbieken túl ismerni kell még a környezeti hőmérsékletet, a hideg- és melegenergia szolgáltatók hőmérsékleteit, valamint a velük és a hőcserélőkkel kapcsolatos költségegyütthatókat. Ezeknek az adatoknak a felhasználásával akarjuk megalkotni az összköltségre optimális szétválasztó és hőcserélő hálózatot, a hőáramok megosztásának lehetőségét is figyelembe véve. Ezt a feladatot hSNS-Multi-nak nevezzük.
4.3. Az SNS rész szuperstruktúrája Mivel célunk, hogy több szétválasztó család tagjait is felhasználhassuk, ezért az RSS-Multi algoritmus által előállított szuperstruktúrát használjuk fel. A szuperstruktúrára igaz az, hogy keverők csak közvetlenül a termékek előtt találhatóak és hogy tőlük eltekintve minden betápláláshoz faszerűen kapcsolódnak a szétválasztók. A szétválasztók a fa élei, a megosztók, pedig a csúcsai. Megmutattuk, hogy az RSS-Multi algoritmus a 71
Energiaintegrált SNS feladat feladat szuperstruktúráját generálja és bemutattuk, hogy a szuperstruktúrának létezik egy egyszerűsített változata. Az egyszerűsítés lényege az, hogyha két szétválasztó ugyanolyan összetételű áramokat állít elő, akkor közülük csak az olcsóbbat kell bevonni a szuperstruktúrába. Energiaintegrált SNS esetén ez az egyszerűsítés nem alkalmazható, mert az azonos alsó és felső kimenetekkel rendelkező szétválasztókat nem csak a teljes költségegyüttható, hanem a ki- és bemeneti hőmérsékletek és a látens hő együtthatók is megkülönböztethetik. Természetesen, ha teljes költségegyütthatón kívül, minden más paraméter megegyezik, akkor az egyszerűsítés továbbra is elvégezhető, de ez az eset nem túl valószínű. A hőcserélő hálózat szintézisével foglalkozó szakirodalom jelentős részében alkalmazzák azt a feltevést, hogy csak izoterm keverés lehetséges, vagyis két áram csak akkor keverhető össze, ha azonos hőmérsékletűek, lásd Lin és Miller (2004), Yee és Grossmann (1991). Ezzel a feltevéssel impliciten mi is éltünk, amikor az RSS-Multi által generált szuperstruktúrát alkalmaztuk. A szuperstruktúra szigorúságának bizonyítása közben feltételeztük, hogy a tr1 transzformáció a 3.5.1. alfejezetben, nem módosítja a költséget. Amennyiben izoterm keverést feltételezünk, akkor ez továbbra is igaz. A tr1 transzformáció lényege, hogy a 4.2. ábra a) része költség szempontjából ekvivalens a b) résszel, ha a szétválasztó költsége lineáris. Ha nem-izoterm keverés, azaz direkt hőközlés, is lehetséges, akkor a keverés maga is egy hőcserének tekinthető és a keverő utáni tényleges hőcserélő terhelése már lényegesen kisebb, lásd 4.2. ábra c) része. A termékek előtti keverőknél már engedélyezett a direkt hőközlés, hiszen ezután szétválasztó már nem szerepelhet.
4.2. ábra: Lehetséges hőcsere módozatok szétválasztó előtti keverő léte vagy hiánya esetén: a) izoterm keverés; b) nincs keverés; c) direkt hőközlés.
4.4. Hőforrások és hőnyelők azonosítása A szuperstruktúra megalkotása után a következő feladat a hőforrások és hőnyelők azonosítása. Először a hideg- és melegáramokat, azután a látens hő forrásokat és nyelőket
72
Energiaintegrált SNS feladat keressük meg. A hőáramok két csoportba oszthatóak, a külső hőáramok bemenetként adottak, általában a reaktorhálózat szintézisekor jelentkeztek, a másodikba pedig az energiaintegrált SNS tervezésekor fellépő lehetséges hőáramok kerülnek. A lehetséges jelző itt fontos jelentéssel bír. A szuperstruktúrában azonosított hőáramok léte attól függ, hogy azok az eszközök, amelyekhez kapcsolódnak benne lesznek-e az optimális struktúrában. A hSNS-Multi feladat lényege éppen az, hogy ezt előre nem lehet megállapítani, ezért minden lehetséges hőáramot figyelembe kell venni. A lehetséges hőáramokat úgy azonosítjuk, hogy a szuperstruktúrán jelöljük az ismert hőmérsékleteket. Ezek a betáplálások, a környezet valamint a szétválasztók be- és kimeneteinek a hőmérsékletei. Tudjuk azt is, hogy a megosztók nem módosítják a hőmérsékletet. Minden olyan folyam, amelynek be- és kimeneti hőmérséklete különbözik hideg- illetve melegáramnak tekinthető. A látens hő forrásokat és nyelőket később tekintjük. Hideg- és melegáramok lehetnek a betáplálások és megosztók, a megosztók és szétválasztók, a szétválasztók és a megosztók és a megosztók és termékek között. Az előbb felsoroltak közül néhány hőáram egymástól függ. Például, ha egy megosztó bemenetének a hőmérsékletét növeljük, akkor a kimeneteinek is nő a hőmérséklete. Amennyiben egy megosztó egyik kimenetét melegíteni, a másikat hűteni kell, akkor egyértelmű, hogy a megosztó bemenetének a módosítása nem célszerű. Ellenben, ha egy megosztó mindkét kimenetét csak fűteni vagy csak hűteni kell, akkor azt kétféle elrendezésben is megtehetjük, lásd 4.3. ábra. A költségelemzés azt mutatta, hogy az a) eset szerinti hőáram elrendezés sosem rosszabb, mint a b). Ennek bizonyítása a mellékletben található, lásd 8-1. tétel. Ezek szerint csak a megosztók és szétválasztók valamint a megosztók és keverők közötti folyamokat kell tekinteni a lehetséges hőáramok azonosításakor. T=110 °C
Hidegáram 1
T=110 °C
c1 c2 c3
c1 c2 c3
f1 Hidegáram 3
F1 T=60 °C
F1 T=60 °C
T=60 °C
Hidegáram 2
f2
T=160°C
c1 c2 c3
f1+f2
T=110 °C f2
Hidegáram 4
a)
T=160 °C
c1 c2 c3
b)
4.3. ábra: Lehetséges hőcsere módozatok.
73
Energiaintegrált SNS feladat A lehetséges folyamok időegységenkénti energia szükséglete a hőmérséklet különbségtől, a folyam nagyságától és a fajhőtől függ. Ezen értékek közül a hőmérséklet különbség ismert, a folyamérték pedig változó. Ideális elegyek esetében az elegy fajhője kiszámítható a komponensek fajhőinek a komponensáramok nagyságaival súlyozott átlagaként, lásd 4.1. egyenlet, ahol CSc jelöli a c komponens fajhőjét és az összegzés azon c komponensekre történik, amelyek jelen vannak az adott folyamban. A 4.1. egyenletben fa,c helyére behelyettesítve a 3.11. egyenletet kapjuk 4.2.-t, majd az egyszerűsítést elvégezve 4.3.-t. Ez utóbbi azt mondja, hogy a fajhőt megkaphatjuk úgy is, hogy a megfelelő betáplálás komponensáramait használjuk súlytényezőkként. Ez azért lehetséges, mert a javasolt szuperstruktúrában ismertek az egyes folyamokban jelenlevő komponensek arányai. Ennek következtében a folyamok fajhői automatikusan kiszámolhatóak ideális elegyek esetén. A kőolaj például ideális elegynek tekinthető, de a víz alkohol keverék nem. Azokban az esetekben, ahol a 4.3. képlet nem ad kellőképpen pontos eredményt részletesebb számításokat vagy mérést kell alkalmazni. A folyamonkénti fajhő meghatározás lehetséges, mert véges sok folyam van és a folyamok összetétele ismert. A 4.4. ábra a fajhő automatikus számolására mutat példát.
å
CSa =
{c ÎC:d ( first ( a ),a ,c ) =1}
f a ,c × CSc
å
{cÎC :d ( first ( a ),a ,c ) =1}
å
CSa =
{cÎC :d ( first ( a ),a ,c ) =1}
{c ÎC:d ( first ( a ),a ,c ) =1}
å
CSa =
å
" a Î A, a = (i, j), j Ï P 4.1.
xa × d ( first (a ), a, c ) × FE first ( a ),c × CSc
å
{cÎC :d ( first ( a ),a ,c ) =1}
f a ,c
xa × d ( first (a ), a, c ) × FE first ( a ),c
4.2.
FE first ( a ),c × CSc
{cÎC :d ( first ( a ),a ,c ) =1}
FE first ( a ),c
4.3.
74
Energiaintegrált SNS feladat
CSA = 2, CSB = 3, CSC = 1 xD1,S1 [15, 10, 5] D1
CSD1,S1=
D2 A B S1 C D3
2*15+3*10+1*5 = 2,166 15+10+5
CSD2,M1= xD2,M1
xD3,S3
CSD3,S3=
2*15 =2 15
A B C
S3
3*10+1*5 10+5
= 2,33
4.4. ábra: Példa a fajhő automatikus számítására.
Megállapítottuk, hogy a hSNS-Multi feladat esetén lehetséges hőáramok megosztók és szétválasztók illetve megosztók és keverők között lehetnek. Nevezzük az előbbieket hagyományos hőáramoknak, az utóbbiakat pedig maradék hőáramoknak. Ha egy hagyományos hőáram ténylegesen szerepel a megoldásban, akkor annak hideg- vagy melegenergia igényét ki kell elégíteni, hiszen definíció szerint a folyam kimeneti hőmérsékletének egyezni kell a folyam után lévő szétválasztó bemeneti hőmérsékletével. Maradék hőáramnál ellenben nincs ilyen kötelezettség, a maradék hőáram energia tartalmát csak akkor használjuk fel, ha arra máshol szükség van. Ilyen értelemben egy maradék hőáram korlátozott kapacitású hideg- vagy melegenergia szolgáltatónak tekinthető. Ha a maradék hőáram energiájára nincsen szükség, akkor az a termék hőmérsékletét fogja módosítani. Ahhoz, hogy egy maradék hőáram energiatartalmát ki tudjuk számolni, definiálni kell az áram kimeneti hőmérsékletét. Ennek a hőmérsékletnek 30°C-t választottuk, ami a módszert megvalósító program egyik paramétere. További terveink között szerepel a feladat olyan kiterjesztése, amelyben biztosítani lehet a termékek véghőmérsékletét. A látens hők a hőáramokhoz hasonlóan sorolhatók csoportokba. Vannak bemenetben megadott látens hők, amelyek nem a szétválasztó hálózathoz kapcsolódnak, ezeket külső látens hőknek hívjuk, valamint lehetséges látens hők, amelyek léte, az egyes szétválasztók a megoldásban való jelenlététől függ. A lehetséges látens hők meghatározását a szuperstruktúra generálása után kell elvégezni. Összeszámoljuk, hogy a szuperstruktúrában hány szétválasztó van az egyes típusokból, a feladat bemenetében pedig ellenőrizzük, hogy adott típusú szétválasztóhoz milyen típusú látens hők tartoznak és azoknak mik a paraméterei. Általában egy szétválasztóhoz két látens hő tartozik, de a módszerünk nem korlátozza a szétválasztók látens hőinek a számát . A látens hő energia igénye az 1.11. egyenlet szerint a látens hő paraméterétől és a látens hőt tartalmazó szétválasztó bemeneti folyamának nagyságától függ. Lehetséges látens hőnél ez utóbbi érték változó, külső látens hőnél pedig paraméter.
75
Energiaintegrált SNS feladat
4.5. Hőmérséklet intervallum diagram A matematikai modell megadásához még további fogalmak definiálása szükséges. Egy hőáram teljes igényét nem feltétlenül csak egy hőcserélő biztosítja. A hőcserélők elhelyezkedhetnek sorosan, illetve, ha a módszer lehetőséget ad a hőáramok megosztására, párhuzamosan is. Az általunk javasolt eljárás engedélyezi a hőáramok megosztását. Az előzőekben azonosított lehetséges hőáramok, hőátadás szempontjából, nem tekinthetőek elemieknek. A probléma kezeléséhez bevezetjük a Nagy és szerzőtársai (2001) által javasolt komponens és kompozit áram fogalmat, amelyet az energiaintegrált folyamathálózat szintézis problémára alkalmaztak sikeresen. Az első lépés a probléma vizualizálása a hőmérséklet intervallum diagramon. A diagram tartalmazza az összes azonosított hőáramot és látens hőt. A hatékony hőcsere érdekében szükség van a minimális hőmérséklet különbségre, DTmin, amely kifejezi, hogy mennyivel melegebbnek kell lennie egy melegáram bemenetének egy hidegáram kimeneténél, illetve egy melegáram kimenetének egy hidegáram bemeneténél, ahhoz hogy a két áram között létrejöhessen hőcsere. DTmin értékét 10 °C-nak tekintjük a dolgozatban. Ez a választás önkényesnek tűnhet, de a hőcserélő költségének vizsgálatakor megmutatjuk, hogy általában kisebb érték esetén sem kapunk jobb megoldást, ellenben a futási idő megnő. A hőmérséklet intervallum diagram megszerkesztéséhez azért szükséges a DTmin, mert hagyományosan a hidegáramokat és látens hőket ennyivel feljebb ábrázolják a diagramon. A diagram intervallumainak a határait a hőáramok ki- és bemeneti hőmérsékletei és a látens hők hőmérsékletei határozzák meg. Ebből következik, hogy a látens hők mindig intervallum határon vannak, a hőáramok pedig egy vagy több intervallum teljes hosszán ívelnek keresztül. Elemi áramnak nevezzük egy hőáram egy intervallumba eső részét. A 4.5. ábra példát mutat egy hőmérséklet intervallum diagramra és a benne ábrázolt látens hőkre és hőáramokra. A meleg elemi áramok elnevezése HNSi a hidegeké pedig CNSj. Egy meleg elemi áram hőt cserélhet a saját vagy a lejjebb lévő intervallumokban elhelyezkedő hideg elemi áramokkal, valamint az intervalluma alsó határán vagy lejjebb lévő látens hőkkel.
76
Energiaintegrált SNS feladat Tmin=10 °C
T (oC) 250
HU1
CLH2
Látens hők HS1 HLH2 170 Hőmérséklet intervallumok
HNS1
CS1
CLH1
CNS1
120 110
CNS2
hőáramok
CNS3
70 HLH1
CNS4 30
CU1
4.5. ábra: Elemi áramok és látens hők hőmérséklet intervallum diagramon ábrázolva.
Az elemi áram elnevezése abból adódik, hogy a hőmérséklet változása nem lehet kevesebb, mint a hőmérséklet intervallumának a nagysága. Azonban egy elemi áram megosztható, így olyan hőcsere is megvalósítható, ahol nincs szükség az elemi áram teljes energiájára. Ekkor is igaz, hogy a megosztott áram mindkét ágán intervallum határtól intervallum határig történik a hőmérsékletváltozás, lásd 4.6. ábra. Ez a megközelítés biztosítja azt, hogy az elemi áramok be- és kimeneti hőmérsékletei konstansok legyenek, ami a matematikai modell megfogalmazásakor lesz majd hasznos. Későbbi terveink között szerepel, hogy az elemi áramok hőmérsékleteit változókként kezeljük. Látni fogjuk, hogy a jelenlegi megközelítés egyszerűbb modellt eredményez, amelynek azonban sok változója van, hiszen egy gyakorlati problémánál sok kicsi hőmérséklet intervallum, így sok elemi áram jelentkezik.
4.6. ábra: Hőáram és hőmérséklet intervallum megosztása.
A hőcserélés költsége az e hőforrás és g hőnyelő között a 4.4. képlettel számolható, ahol B az egységnyi hőcserélő felület költsége, U a hőátbocsátási együttható,
77
Energiaintegrált SNS feladat LMTD (logarithmic mean temperature difference) az e és g hőmérséklet különbségeinek logaritmikus közepe, qe,g pedig az átadott hő. U azt fejezi ki, hogy két anyag között milyen gyorsan megy végbe a hőcsere, értéke attól függ, hogy milyen anyagokról van szó. Mivel a szuperstruktúra minden folyamának ismerjük az összetételét, így minden párra meghatározhatjuk U-nak az értékét. Hasonlóan B értéke is különbözhet hőcserélőről hőcserélőre, ami akkor fontos, ha nem minden hőcserélő ugyanolyan típusú. Egy hidegés egy melegáram között annál intenzívebb a hőátadás, minél nagyobb közöttük a hőmérséklet különbség, ha a többi feltétel megegyezik. Hőáramok esetében két hőmérséklet különbség létezik, egyrészt a melegáram bemenetének, Te,in, és a hidegáram kimenetének, Tg,out, illetve a melegáram kimenetének, Te,out, és a hidegáram bemenetének, Tg,in, a hőmérsékletei között. Ezeknek a különbségeknek a logaritmikus átlaga LMTD, lásd 4.5. egyenlet. Fontos, hogy az LMTD kiszámításakor a hőnyelők eredeti hőmérsékleteivel kell számolni és nem a DTmin -el eltolt értékekkel. Az LMTD látens hők esetében is megkapható csak esetükben a be- és kimeneti hőmérséklet megegyezik. Az LMTD értékeket a szuperstruktúra meghatározása után ki lehet számítani minden lehetséges hőcserére, így a 4.4. képletben csak qe,g változó. Általánosan használt az egyszerűsítés, hogyha x/y < 2, akkor LMTD x és y számtani átlagaként meghatározható.
Coste, g =
LMTDe , g
Be, g U e, g × LMTDe , g
× qe, g
ì x- y ï æ x ö ha x ¹ y ï = í ln ç ÷ ï è yø ïî x különben
4.4.
4.5.
x = Te ,in - Tg ,out , y = Te ,out - Tg ,in , x, y ³ DTmin Látható, hogy az LMTD nem lineárisan függ e és g hőmérsékleteitől, vagyis LMTD nem additív. Két hőcsere költségének az összege egy melegáram két szomszédos elemi árama és egy hidegáram között nem egyezik meg a két elemi áram összetétele és a hidegáram közötti hőcserélés költségével, lásd 4.7. ábra. Következésképpen, ha csak az elemi áramok közötti hőcserét tekintjük, akkor a modellünk nem lesz kellőképpen pontos. Ez a felismerés vezetett el a kompozit áram fogalmának bevezetéséhez. A kompozit áramokat az azonos hőáramhoz tartozó egymással szomszédos elemi áramokból képezzük. Egy kompozit áram állhat csupán egyetlen elemi áramból is. A 4.8. ábra példát ad a kompozit áramok definiálására, HSS jelöli a meleg kompozit áramokat és CSS a hidegeket. A kompozit áramok segítségével már pontosan meg lehet határozni a hőáramok közötti hőcserék költségét. A pontosságnak azonban ára van, hiszen egy n elemi áramból álló hőáram tartalmaz n darab 1 elemi áramból álló, n-1 darab 2 elemi áramból álló, ..., 1 darab n elemi áramból álló, azaz összesen n(n+1)/2 kompozit áramot.
78
Energiaintegrált SNS feladat Fontos megjegyezni, hogy ugyan az LMTD nem lineárisan függ e és g hőmérsékleteitől, de ezeket a hőmérsékleteket a szuperstruktúra generálása után már ismerjük, így az LMTD-k a matematikai modellben már csak konstansok. Azt is fontosnak tartjuk megemlíteni, hogy mivel az energiaintegrációval foglalkozó korábbi módszerek jelentős része kizárólag a szétválasztók látens hőinek tekintették az integrációját, így nem kellett törődniük a hőáramokkal és azok kezelésével. Mi több, ebben az esetben még az LMTD is lineáris, hiszen ekkor a két hőmérséklet különbség megegyezik. Ezt kihasználva kisebb méretű modellt tudtak előállítani. Érdemes megemlíteni, hogy a dolgozatban használt kompozit áram kifejezés nincs összefüggésben a Linnhoff által használt kompozit görbével. A jelen módszer és a pinch technológián alapuló módszerek között annyi a hasonlóság, hogy mindegyik használja a hőmérséklet intervallum diagramot, de a jelen módszer teljes egészében algoritmikus, szuperstruktúrán és belőle képzett matematikai programozási modellen alapszik.
4.7. ábra: Hőátadás 2 illetve 1 hőcserélővel.
79
Energiaintegrált SNS feladat
4.8. ábra: Kompozit áramok.
4.6. Lehetséges hőcserék A hőáramok és látens hők azonosítása, valamint a kompozit áramok definiálása után már egyszerű a lehetséges hőcserék azonosítása. Egy hőforrás és egy hőnyelő között akkor létesíthető egy hőcserélő, ha az termodinamikailag megengedett. Ez a hőmérséklet intervallum diagramon is jól ábrázolható, lásd 4.9. ábra. A maradék hőáramok jelentéséből következik, hogy közöttük nem definiálunk hőcserét, csakúgy ahogy egy hideg- és egy melegenergia szolgáltató között sem. A lehetséges hőcserék azonosításának az eredményei az FMe halmazok, amelyek tartalmazzák azokat a g hőnyelőket, amelyek párosíthatóak e-vel, illetve az FMg halmazok, amelyek megadják azokat a e hőforrásokat, amelyek párosíthatóak g-vel. Az FM halmazokat befolyásolja, hogy milyen értéket választunk DTmin számára. Minél kisebb ez az érték, annál kevésbé kell feljebb csúsztatni a hőmérséklet intervallum diagram hideg oldalát, így több hőcsere lehetséges. DTmin csökkentése tehát a változók számát, így a keresési teret is, megnövelné. Az utóbbiból az következik, hogy az optimálisság garantálása végett érdemes lenne DTmin számára 0-hoz közeli kis értéket választani. Azonban az újonnan jelentkező hőcsere lehetőségek költségegyütthatói, lásd a 4.4. egyenletet, rendkívül nagyok lennének. Ezért az új hőcsere lehetőségek az optimális megoldásban nem szerepelnének, vagyis nem kapnánk jobb megoldást, ellenben a futási idő megnőne. Hőcserélő hálózatok tervezésekor természetes igény, hogy legyen egy olyan hidegenergia szolgáltató, amely alacsony hőmérséklete révén bármely hőforrás energiáját képes fogadni és egy olyan melegenergia szolgáltató, amely bármelyik hőnyelőbe tud energiát átadni. A számtalan lehetséges hőcserélő közül majd csak kis számú fog realizálódni, hiszen egyrészt a kompozit áramok egymást átfedők, másrészt a rendszerben 80
Energiaintegrált SNS feladat sok a lehetséges hőáram és látens hő, amelyek léte a szétválasztó hálózat kialakításától függ.
4.9. ábra: Lehetséges hőcserék HSS2-ből.
4.7. Matematikai modell A szakirodalomból ismert energiaintegrált SNS feladatot megoldó algoritmikus módszerek mindegyike nem-lineáris, még azokban az esetekben is, amikor a szétválasztók költségfüggvényei lineárisak, leggyakrabban egész és bináris változókat is tartalmaznak. Az ilyen modellek megoldása általában igen nehéz, sokszor még egy kiinduló lehetséges megoldás megtalálása is problémás. Ezen okok miatt célul tűztük ki, hogy a hSNS-Multi feladatnak lineáris modellt alkossunk. Ezt a célt a módszerünk kialakítása közben már a kezdetektől figyelembe vettük. A hSNS-Multi feladatot, ahogy azt neve is mutatja, az előző fejezetben bemutatott SNS-Multi feladatra építettük, amely amellett, hogy lineáris modellel rendelkezik, bizonyítottan tartalmazza az optimális megoldást és több szétválasztó család tagjait is felhasználhatja az optimális hálózatban. A szuperstruktúra létrehozása után azonosítottuk a hőforrásokat és a hőnyelőket, összegyűjtöttük a lehetséges hőcseréket és minden lehetséges hőcseréhez kiszámítottuk a hozzá tartozó LMTD értéket. Ahhoz, hogy az itt bemutatandó lineáris modell ugyanolyan pontos eredményeket szolgáltasson, mint a szakirodalomból ismert nem-lineáris modellek, jóval több változóra van szükség. Egyrészt a szétválasztó hálózat javasolt szuperstruktúrája rohamosan nő a komponens számmal, ami egyre több lehetséges hőáramot, ezzel együtt pedig, elemi áramot, illetve lehetséges látens hőt jelent. Másrészt pontosabb költség számolás érdekében bevezetett kompozit áramok ismételten tovább növelik a lehetséges hőcserék számát. Mindazonáltal, lineáris optimalizálási modellek megoldásához nagyon hatékony és megbízható megoldók állnak rendelkezésre. Ma már egy asztali számítógépen is meg lehet oldani többszázezer változót tartalmazó feladatokat reális időn belül.
81
Energiaintegrált SNS feladat A hSNS-Multi feladat matematikai modelljében betáplálási megosztás arány, xbi , és hőcsere, qe,g, típusú változók vannak. A betáplálási megosztás arány típusú változókat ugyanúgy definiáljuk, mint korábban, vagyis xbi kifejezi azt, hogy a bi folyamhoz tartozó betáplálás, azon komponensáramainak, amelyek jelen vannak bi -ben, hányad része jut el bi -be. A hőcsere típusú változók a lehetséges hőcserékhez kapcsolódnak. qe,g megadja, hogy mekkora az átszármaztatott hő az e hőforrás és a g hőnyelő között. Mivel folyamatos üzemeltetésű rendszerről van szó, qe,g valójában időegység alatt átszármaztatott hőmennyiséget jelenti. Mielőtt rátérünk a matematikai modell részletes tárgyalására, összegyűjtjük azokat a jelöléseket, amelyek az energiaintegrációhoz kapcsolódnak. Természetesen a modellben megjelennek a szétválasztó hálózat szuperstruktúrájához kapcsolódó jelölések is. Ezek összefoglalva megtalálhatóak a 3.5.2. alfejezetben és a disszertáció végén a jelölésjegyzékben is. Halmazok: CBS CLH
maradék hőáramokból képzett hideg elemi áramok halmaza látens hő nyelők halmaza (a hidegenergia szolgáltatókat nem beleértve) CNS hagyományos hőáramokból képzett hideg elemi áramok halmaza CS hidegáramok halmaza CSS hideg kompozit áramok halmaza CU hidegenergia szolgáltatók halmaza HBS maradék hőáramokból képzett meleg elemi áramok halmaza HLH látens hő források halmaza (a melegenergia szolgáltatókat nem beleértve) HNS hagyományos hőáramokból képzett meleg elemi áramok halmaza HS melegáramok halmaza HSS meleg kompozit áramok halmaza HU melegenergia szolgáltatók halmaza CSLU = CSS È CLH È CU HSLU = HSS È HLH È HU FMe azon g Î CSLU halmaza, amelyekre lehetséges hőátadás e és g között, e Î HSLU FMg azon e Î HSLU halmaza, amelyekre lehetséges hőátadás e és g között, g Î CSLU Paraméterek: Be,g [$/(m2 s)] CCUe [$/(kW s)] CHe,g [$/kJ]
az egységnyi hőcserélő felület költsége, e Î HSLU, g Î CSLU az e energiaszolgáltató költségegyütthatója a qe,g hőcsere eredő költségegyütthatója, e Î HSLU, g Î CSLU
82
Energiaintegrált SNS feladat CSc [kJ/(kg °C)] CSi,j [kJ/(kg °C)] ΔTmin [°C] LMTDe,g [°C] PLHg [kJ/kg] Rn,e [-] Ue,g [kW/(m2 °C)]
a c komponens fajhője az (i, j) Î A folyam fajhője minimális hőmérséklet különbség e és g hőmérséklet különbségeinek logaritmikus közepe, e Î HSLU, g Î CSLU a g látens hő paramétere (párolgáshő, reakcióhő, stb.) az n komponens és e kompozit áram aránya hőátbocsátási együttható, e Î HSLU, g Î CSLU
Változók: qe,g [kW] qlhg [kW] qnse [kW] xi,j [-]
a hőátadás nagysága e Î HSLU és g Î CSLU között a g látens hő energia tartalma az e komponens hő energia tartalma az (i, j) Î A folyamhoz tartozó betáplálási megosztás arány
Ezek után a javasolt matematikai modell a következő: æ ö OC x first s s c FE × × d ( ( ), , ) × + ç å ç s å prev( s ),s first ( s ),c ÷ ÷ {"sÎS } è {"cÎC } ø Be, g × qe, g + å eÎ HSLU Ue, g × LMTDe, g
min
{gÎFM }
4.6.
e
æ ö æ ö ç CCUe × å qe, g ÷ + å ç CCUg × å qe, g ÷ ç ÷ { g ÎCU } ç ÷ gÎ FMe eÎ FM g {eÎ HU } è ø è ø
å
ahol
å
1=
{"jÎnext ( d )}
xd , j
x prev 2( d ), prev ( d ) =
å
{"iÎ prev ( m )}
0 = qnsn 0 = qnsn + 0 £ qnsn -
å
{"jÎnext ( d )}
xd , j
" d Î next ( F )
4.7.
" d Î D \ next ( F )
4.8.
( xi ,m × d ( first (i ), i, c) × FE first (i ),c ) = PRnext ( m ),c
å
( Rn,e (
å
( Rn, g (
å
( Rn,e (
{"eÎ HSS :nÍ e}
{"eÎ HSS :n Í g }
{"eÎ HSS :nÍe}
" m Î M és " c ÎC
4.9.
å
qe, g ))
"n Î HNS
4.10.
å
qe, g ))
"n Î CNS
4.11.
å
qe, g ))
"n Î HBS
4.12.
gÎ FMe
eÎ FM g
gÎ FMe
83
Energiaintegrált SNS feladat 0 ³ qnsn +
å
{"eÎ HSS :nÍ g }
( Rn, g (
å
eÎ FM g
qe, g ))
"n Î CBS
4.13.
å
qe, g
"e Î HLH
4.14.
å
qe, g
"g Î CLH
4.15.
0 £ xd , j £ 1
" (d , j ) Î A, ahol d Î D
4.16.
0 £ qe, g
e Î HSLU , g Î CSLU
4.17.
0 = qlhe 0 = qlhg +
gÎ FMe
eÎ FM g
Az optimalizálási modell összesen négy részből áll, a célfüggvény, az anyagegyensúly egyenletek, a hőegyensúly egyenletek és a nem-negatívitási feltételek. Úgy is tekinthetjük a modellt, hogy az az SNS-Multi modelljének kibővítése az energiaintegrációra vonatkozó feltételekkel. A célfüggvény három tagból áll, a szétválasztás, a hőcserélés és az energiaszolgáltatók költségeiből. Az első tag formailag megegyezik az előző modell célfüggvényével. Azt fejezi ki, hogy a szétválasztó hálózat költsége az egyes szétválasztók költségeinek az összege, valamint, hogy egy szétválasztó költsége bemenetének nagyságától lineárisan függ és az arányossági tényező a teljes költségegyüttható. A bemenetnek a nagyságát a komponensáramok összegeként kapjuk meg és egy komponensáram nagyságát a 3.11. egyenlettel fejezhetjük ki. A szétválasztók teljes költségegyütthatói ebben a modellben általában kisebbek, mint az előzőben, hiszen nem tartalmazzák a szétválasztókban jelenlévő látens hők költségeit. A második tag a hőcserélők költségét fejezi ki. Egyenként kell tekinteni az egyes hőforrásokat, majd az FMe halmazok segítségével, egy hőforrással párosítható összes hőnyelőt. Egy párosítás, azaz egy lehetséges hőcsere költségét a 4.4. egyenlet fejezi ki. Ne felejtsük el, hogy ebben a tagban csak q a változó, U és LMTD értékét a matematikai modell megalkotása előtt számoljuk ki. A harmadik tag az energiaszolgáltatók költségét fejezik ki. Egy szolgáltató költsége az általa leadott vagy felvett energia nagyságának lineáris függvénye, ahol a költségegyüttható CCUe illetve CCUg. Általában, minél nagyobb hőmérsékleten adja le a hőt a melegenergia szolgáltató CCUe annál nagyobb, hidegenergia szolgáltató esetén pedig az alacsonyabb hőmérsékletű a drágább. A 4.7. és 4.8. egyenletek a megosztók körüli anyagegyensúlyok egyszerűsített formái. A 3.6. alfejezetben mutattuk meg, hogy az adott szuperstruktúra esetén, hogyan végezhető el az egyszerűsítés. Ugyanitt bizonyítottuk azt is, hogy modellünkben a szétválasztók körüli anyagegyensúlyok automatikusan teljesülnek. A 4.9. egyenlet a termékek előtti keverők anyagegyensúlyát írja le. A 4.10. egyenlet a meleg elemi áramokra vonatkozó hőegyensúly. Azt fejezi ki, hogy egy meleg elemi áram hőtartalma megegyezik az elemi áramból elszállított hő mennyiségével. Ez azt jelenti, hogy a meleg elemi áram hőmérséklete az elvárt módon
84
Energiaintegrált SNS feladat lecsökken. Nyilvánvaló, ha az összes meleg elemi áramra teljesül, hogy hőmérsékletük lecsökken az előírt módon, akkor ez minden melegárama is teljesül. Lehetséges hőáramok esetében a 4.18. egyenlettel számoljuk ki az a folyamon definiált n elemi áram hőtartalmát. Az egyenletet úgy kapjuk, hogy az 1.10. egyenletbe behelyettesítjük a 3.11. egyenletet. Láthatjuk, hogy qnsn nem független változó, értéke lineárisan függ xa-tól. Valójában csak azért vezettük be, hogy a modell matematikai leírása érthetőbb és egyszerűbb legyen. A 4.18. egyenlet azt is megmutatja, hogy egy lehetséges hőáram hő tartalma struktúrafüggő. Ha xa értéke például 0, akkor a hőáram egyáltalán nem is létezik. Ezzel szemben a külső hőáramok mindig szerepelnek a hőcserélő hálózatban. Esetükben qnsn nem változó, hanem konstans, hiszen egy külső hőforrásnak konkrétan adott a folyamértéke. æ ö qnsn = CSa × ç å xa × d ( first (a ), a, c ) × FE first ( a ),c ) ÷ × DT ç {"cÎC} ÷ è ø n Î HNS È CNS, " a = (d , j ) Î A, ahol d Î D
4.18.
A 4.10. egyenletben minden olyan hőcserét figyelembe kell venni, amelynek egyik oldala olyan kompozit áram, amely tartalmazza az n elemi áramot. Ezért definiáljuk a {"eÎ HSS : n Í e} halmazt, amely azokat a meleg kompozit áramokat tartalmazza, amelyeknek része az n elemi áram. Ugyanakkor azt is figyelembe kell venni, hogy egy e kompozit áram több elemi áramon is átívelhet, ezért a kompozit áramból történő hőátadás csak részben írható jóvá az n elemi áramnak. A pontos arányt az Rn,e paraméter fejezi ki, amelyet az n elemi áram és az e kompozit áram energiatartalmának hányadosaként számolhatunk ki a 4.19. képlet szerint. A képletbe behelyettesítve 4.18.-t és az egyszerűsítéseket elvégezve kapjuk a 4.20. egyenletet, ami szerint, Rn,e a kompozit és az elemi áram által átfogott hő tartományok arányaként számolható ki. Amennyiben a kompozit áram csak az n elemi áramot tartalmazza, akkor ez az arány egy.
Rn,e =
qnsn qnse
n Î HNS È CNS, e Î HSS È CSS
4.19.
Rn,e =
DTn DTe
n Î HNS È CNS, e Î HSS È CSS
4.20.
A 4.11. egyenlet a hideg elemi áramokra vonatkozó hőegyensúlyt fejezi ki. Az előző egyenlethez képes az a különbség, hogy hideg elemi áramok esetében a qnsn negatív, így a hőcseréket is negatív előtaggal kell összegezni. Ennél az egyenletnél is igaz, hogy külső áramok esetén qnsn paraméter, lehetséges hőáramok esetén pedig változó. A 4.12. és a 4.13. egyenlőtlenségek a meleg illetve hideg maradék hőáramokból előállított elemi áramok hőegyensúlyai. Azért használunk egyenlőtlenséget, mert definíciónk szerint a maradék hőáram hő tartalmát fel lehet használni, de nem kötelező.
85
Energiaintegrált SNS feladat A 4.14. és a 4.15. egyenletek a látens hő forrásokra és nyelőkre vonatkozó hőegyensúlyok. Azt fejezik ki, hogy a látens hő hőtartalma megegyezik a belőle elszállított illetve odaszállított hők összegével. Lehetséges látens hők esetén a hőtartalmat a 4.21. egyenlet segítségével számoljuk, ahol s a látens hőt tartalmazó szétválasztó. Az egyenletet a 3.11. egyenletet 1.11.-be történő behelyettesítésével kapjuk. A modell számítógépes implementációjakor nem hozunk létre külön qlhe változókat, mert az feleslegesen megnövelné a változók számát, qlhe helyett közvetlenül a 4.21. egyenlet jobb oldalát használjuk. Külső látens hők esetén qlhe konkrét paramétert jelöl, amelynek értékét a feladat bemenetében kell megadni. Végezetül, a modellt az elemi változókra, betáplálási megosztás arányokra és hőátadásokra vonatkozó nem-negatívitási feltételek teszik teljessé, lásd a 4.16., 4.17. egyenletek. æ ö qlhe = PLH e × ç å xs × d ( first ( s ), s, c) × FE first ( s ),c ) ÷ ç {"cÎC} ÷ è ø
e Î HLH È CLH, s Î S 4.21.
Modellünkben a szétválasztók hőmérsékletei paraméterek, vagyis fixen adottak. Elképzelhető viszont, hogy kedvezőbb megoldást kapnánk, ha egy szétválasztó be- és kimeneti hőmérsékleteit egységesen eltolnánk. Ezt a lehetőséget úgy tudjuk figyelembe venni, hogy a feladat bemenetében egy szétválasztó típust többször veszünk fel, különböző hőmérséklet értékekkel. Ez természetesen megnöveli a feladat méretét.
4.8. Feladatok 4.8.1. Feladat Az első példán keresztül részletesen bemutatjuk a hSNS-Multi megoldás menetét és összehasonlítjuk az integrált megoldást a soros végrehajtással. A cél egy háromkomponenses szétválasztási feladat energiaintegrált optimális megoldásának a meghatározása. A feladat bemenete a 4.1. és a 4.2. táblázatokban található, ahol megadjuk mind a szétválasztással, mind az energiaintegrációval kapcsolatos adatokat. Az egyszerűség kedvéért minden lehetséges hőcserélésnél ugyanazt a hőátbocsátási együttható értéket használjuk, habár ez nem kötelező, ahogy ezt a matematikai modell tárgyalásánál kifejtettük. Hasonlóképpen a hőcserélők egységnyi felületének a költsége, Be,g, is ugyanaz minden e, g párra ennél a feladatnál, de ennek sem kellene feltétlenül így lenni. A szétválasztási hálózat folyamait ideális elegyeknek tekintjük, így azok fajhőit a komponenseik fajhőiből számoljuk. Ebben a példában az energiaintegráció során nem vesszük figyelembe a maradék hőáramokat, azaz azoknak a folyamoknak a hő-tartalmát, amelyek keverőben végződnek. A rendszerben csak egy hideg és egy melegenergia szolgáltató van és csak egy szétválasztó család, a relatív illékonyságon alapuló, tagjait tekintjük, amelyek mindegyike egy látens hő forrást és egy látens hő nyelőt tartalmaz. Külső látens hőket és hőáramokat most nem tekintünk.
86
Energiaintegrált SNS feladat 4.1. táblázat: A 4.8.1. feladat adatai
Komponensek és folyamok c1 c2 F1 (kg/s) 15 10 P1 (kg/s) 15 5 P2 (kg/s) 0 5 CS (kJ/(kg °C)) 2 3
c3 5 0 5 1
Energiaszolgáltatók Típus
T° (C)
Nagy nyomású gőz Hűtővíz
250 20
CCU ($/(kW s)) 0,011 0,0016
Hőcserélők ΔTmin B U
10 °C 0,0032 $/(m2 s) 0,48 kW/(m2 °C)
4.2. táblázat: A szétválasztók adatai a 4.8.1. feladatnál
Szétválasztók Sa1 Sa2
Komponensek Tin PLHa Ta PLHb Tb OC a felső az alsó (°C) (kJ/kg) (°C) (kJ/kg) (°C) ($/kg) kimenetben kimenetben c1 c2, c3 110 300 30 -450 160 0,33 c1, c2 c3 160 600 170 -750 240 0,8
A feladat szuperstruktúrájának generálása, megegyezik az SNS-Multi feladat osztálynál bemutatottal, így arra itt nem térünk ki külön. A szuperstruktúra generálása után a következő feladat a hőforrások és a hőnyelők azonosítása. Egyrészt tudjuk, hogy minden szétválasztó tartalmaz egy lehetséges látens hő forrást és lehetséges látens hő nyelőt. Másrészt a hőáramokat úgy találjuk meg, hogy a szuperstruktúrán feltüntetjük a feladat bemenetében adott hőmérsékleteket. Ha egy folyam kiinduló és befejező hőmérséklete különbözik, akkor az egy lehetséges hőáramot jelöl. A 4.10. ábra megmutatja a feladat szuperstruktúráját, a hőmérsékleteket, hőáramokat és a látens hőket. Az ábra egyúttal definiálja a következő halmazokat. FS = {F1} P = {P1, P2} D = {D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9} M = {M1, M2} S = {S1, S2, S3, S4} A = { (F1, D1), (D1, S1), (D1, S3), (S1, D2), (S1, D3), (S3, D4), (S3, D5), (D3, M2), (D3, S2), (D3, M2), (D2, M1), (D9, M1), (D9, M2), (D6, M1), (D6, M2), (S2, D6), (S2, D7), (S4, D8), (S4, D9), (D5, M2), (D4, M1), (D4, S4), (D8, M1), (D7, M2), (M1, P1), (M2, P2) }
87
Energiaintegrált SNS feladat
4.10. ábra: A 4.8.1. feladat szuperstruktúrája és az azonosított hőforrások és hőnyelők.
A következő feladat a hőmérséklet intervallum diagram megkonstruálása és a két hidegáram illetve egy melegáram felbontása elemi és kompozit áramokká. A feladat bemenetében levő hőmérsékletek alapján öt intervallumot definiálunk, amelyek két meleg és öt hideg elemi áramra vágják a hőáramokat, lásd 4.11. ábra. Az elemi áramokat minden lehetséges módon összekapcsoljuk és így kapjuk meg a kompozit áramokat, lásd 4.12. ábra.
88
Energiaintegrált SNS feladat HU1
HS1
Tmin=10 °C
HLH2 HLH3
T (oC) 250
170
HNS1 HNS2
CLH2 CLH3
CS1
CLH1 CLH4
CNS1 120 110
CS2 CNS2
CNS4
CNS3
CNS5
70 HLH1 HLH4
30
CU1
4.11. ábra: A 4.8.1. feladat elemi áramai és látens hői hőmérséklet intervallum diagramon.
4.12. ábra: A 4.8.1. feladat kompozit áramai és látens hői hőmérséklet intervallum diagramon.
Ezek után határozzuk meg a lehetséges hőcseréket, amik az FM halmazok definiálását jelentik. Akkor lehetséges hőcsere egy meleg és egy hideg kompozit áram között, ha egyrészt a melegáram bemeneti hőmérséklete legalább DTmin-el magasabb,
89
Energiaintegrált SNS feladat mint a hidegáram kimeneti hőmérséklete, másrészt hasonló összefüggés áll fenn a melegáram kimenetének és a hidegáram bemenetének a hőmérséklete között is. Ne felejtsük el, hogy a hőmérséklet intervallum diagramon, a hideg oldal el van tolva felfelé DTmin-el. FMHSS1 = {CSS1, CSS2, CSS3, CSS4, CSS5, CSS6, CSS7, CSS8, CSS9, CU1} FMHSS2 = {CSS2, CSS3, CSS5, CSS7, CSS8, CSS9, CU1} FMHSS3 = {CSS2, CSS3, CSS4, CSS5, CSS6, CSS7, CSS8, CSS9, CU1} FMHLH1 = {CU1} FMHLH2 = {CSS1, CSS2, CSS3, CSS4, CSS5, CSS6, CSS7, CSS8, CSS9, CLH1, CLH4, CU1} FMHLH3 = {CSS1, CSS2, CSS3, CSS4, CSS5, CSS6, CSS7, CSS8, CSS9, CLH1, CLH4, CU1} FMHLH4 = {CU1} FMHU1 = {CSS1, CSS2, CSS3, CSS4, CSS5, CSS6, CSS7, CSS8, CSS9, CU1} FMCSS1 = {HSS1, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS2 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS3 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS4 = {HSS1, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS5 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS6 = {HSS1, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS7 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS8 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCSS9 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH2, HLH3, HU1} FMCLH1 = {HLH2, HLH3, HU1} FMCLH2 = {HU1} FMCLH3 = {HU1} FMCLH4 = {HLH2, HLH3, HU1} FMCU1 = {HSS1, HSS2, HSS3, HLH1, HLH2, HLH3, HLH4, HU1} A következő feladat a matematikai modell felírásához szükséges különféle paraméterek kiszámolása. A hőáramok fajhőit, ideális elegyek lévén, a 4.3. egyenlet segítségével számoljuk ki, a komponens és kompozit áramok arányait pedig a 4.20. egyenlettel, lásd 4.3. táblázat. Ipari feladat esetén az egyes hőátbocsátási együtthatókat is itt kéne kiszámolni. Ezután jön a lehetséges hőcserékhez tartozó LMTD értékek kiszámítása, majd a 4.4. képlet szerint a hőcserélőkhöz tartozó egyesített költségegyütthatók meghatározása, lásd 4.4. táblázat. Ez utóbbi magába foglalja az egységnyi hőcserélő felület költségét, a hőátbocsátási együtthatót és az LMTD-t. Az e és g közötti hőcserélőhöz tartozó egyesített költségegyütthatót CHe,g-el jelöljük. CSD4,S4=CSHNS1=CSHNS2=(15*2+3*10)/(15+10)=2,4 CSD1,S3=CSCNS1=CSCNS2=CSCNS3=(15*2+3*10+1*5)/(15+10+5)=2,166 CSD1,S1=CSCNS4=CSHNS5=(15*2+3*10+1*5)/(15+10+5)=2,166 90
Energiaintegrált SNS feladat 4.3. táblázat: A komponens és kompozit áramok arányai a 4.8.1. feladatnál
CNS1 CNS2 CNS3
CS1 CSS1 CSS2 CSS3 CSS4 CSS5 CSS6 1 0,833 0,5 1 0,166 0,2 0,1 1 0,8 0,4
CNS4 CNS5
CS2 CSS7 CSS8 CSS9 1 0,2 1 0,8
HNS1 HNS2
HS1 HSS1 HSS2 HSS3 1 0,833 1 0,166
4.4. táblázat: A hőcserélők egyesített költségegyütthatói a 4.8.1. feladatnál
HSS1 CSS1 CSS2 CSS3 CSS4 CSS5 CSS6 CSS7 CSS8 CSS9 CLH2, CLH3 CLH1, CLH4 CU1
0,6667 0,1831 0,1028 0,4621 0,1111 0,2389 0,1831 0,1028 0,1111
0,0541
HSS2
HSS3
0,6667 0,2036
0,2389 0,1122 0,6667 0,1215 0,2682 0,2389 0,1122 0,1215
HLH2, HLH3 0,2389 0,1028 0,0753 0,2162 0,0808 0,1599 0,1028 0,0753 0,0808
0,0568
0,6667 0,0444
0,2682 0,6667 0,2036 0,2682
0,0702
HLH1, HLH4
0,6667
HU1 0,0589 0,0460 0,0394 0,0568 0,0407 0,0498 0,0460 0,0394 0,0407 0,6667 0,0741 0,0290
A matematikai modell felírása előtti utolsó lépés az elemi áramok és a látens hők hőtartalmainak a meghatározása a 4.18. és a 4.21. egyenletek segítségével. qnsHNS1 = 2.4(xD4,S4(15+10))(170-120) = 3000x4,2 qnsHNS2 = 2.4(xD4,S4(15+10))(120-110) = 600x4,2 qnsCNS1 = 2.166(xD1,S3(15+10+5))(110-160) = -3250x1,2 qnsCNS2 = 2.166(xD1,S3(15+10+5))(100-110) = -650x1,2 qnsCNS3 = 2.166(xD1,S3(15+10+5))(60-100) = -2600x1,2 qnsCNS1 = 2.166(xD1,S1(15+10+5))(100-110) = -650x1,1 qnsCNS2 = 2.166(xD1,S1(15+10+5))(60-100) = -2600x1,1 qlhHLH1 = 300(xD1,S1(15+10+5)) = 9000x1,1 qlhHLH2 = 600(xD3,S2(10+5)) = 9000x3,1
91
Energiaintegrált SNS feladat qlhHLH3 = 600(xD1,S3(15+10+5)) = 18000x1,2 qlhHLH4 = 300(xD4,S4(15+10)) = 7500x4,2 qlhCLH1 = -450(xD1,S1(15+10+5)) = -13500x1,1 qlhCLH2 = -750(xD3,S2(10+5)) = -11250x3,1 qlhCLH3 = -750(xD1,S3(15+10+5)) = -22500x1,2 qlhCLH4 = -450(xD4,S4(15+10)) = -11250x4,2 Ezek után a matematikai modell a 4.6.-4.17. egyenletek alapján: æ 330 × (15 + 10 + 5) × xD1, S1 + 800 × (10 + 5) × xD 3,S 2 + 800 × (15 + 10 + 5) × xD1,S 3 + ç CHe, g × qe, g + ç 330 × (15 + 10) × xD 4, S 4 + å min ç eÎ HSLU , gÎ FMe ç ç 11 × å qHU 1, g + 1, 6 × å qe,CU 1 eÎ FMCU 1 è gÎ FM HU 1
ö ÷ ÷ ÷ 4.22. ÷ ÷ ø
ahol 1 = xD1,S1 + xD1,S3
4.23.
xD1,S1 = xD2,M1
4.24.
xD1,S1 = xD3,S2 + xD3,M2
4.25.
xD1,S3 = xD4,M1 + xD4,S4
4.26.
xD1,S3 = xD5,M2
4.27.
xD3,S2 = xD6,M1 + xD6,M2
4.28.
xD3,S2 = xD7,M2
4.29.
xD4,S4 = xD8,M1
4.30.
xD4,S4 = xD9,M1 + xD8,M2
4.31.
15(D2,M1 + xD4,M1 + xD8,M ) = 15
4.32.
10(xD6,M1 + xD4,M1 + xD9,M1) = 5
4.33.
10(xD6,M2 + xD3,M2 + xD9,M2) = 5
4.34.
5(xD7,M2 + xD3,M2 + xD5,M2) = 5
4.35.
0 = 3000 × xD 4, S 4 - 1 × (
0 = 600 × xD 4, S 4 - 1 × (
å
gÎ FM HSS 1
å
gÎ FM HSS 2
qHSS 1, g ) - 0,833 × (
qHSS 2, g ) - 0,166 × (
å
qHSS 3, g )
4.36.
å
qHSS 3, g )
4.37.
gÎ FM HSS 3
gÎ FM HSS 3
92
Energiaintegrált SNS feladat
0 = -3250 × xD1, S 3 + 1 × ( 0 = -650 × xD1, S 3 + 1 × ( + 0,1 × (
å
eÎ FM CSS 6
å
å
eÎ FM CSS 3
qe ,CSS 7 ) + 0, 2 × (
å
qe ,CSS 8 ) + 0,8 × (
eÎ FM CSS 8
å
eÎ FM CSS 4
qe ,CSS 4 ) + 0,5 × (
qe ,CSS 4 ) + 0, 2 × (
å
qe ,CSS 6 )
å
qe ,CSS 5 )
eÎ FM CSS 6
eÎ FM CSS 5
å
eÎ FM CSS 5
qe ,CSS 5 ) + 0, 4 × (
å
eÎ FM CSS 6
qe ,CSS 6 )
4.38.
4.39.
4.40.
å
qe ,CSS 9 )
4.41.
å
qe ,CSS 9 )
4.42.
eÎ FM CSS 9
eÎ FM CSS 9
å
qHLH 1, g
4.43.
å
qHLH 2, g
4.44.
å
qHLH 3, g
4.45.
å
qHLH 4, g
4.46.
gÎ FM HLH 1
gÎ FM HLH 2
0 = 18000 × xD1, S 3 -
qe ,CSS 3 ) + 0,8 × (
å
eÎ FM CSS 7
0 = -650 × xD1, S 1 + 1 × (
0 = 7500 × xD 4, S 4 -
å
eÎ FM CSS 4
qe ,CSS 6 )
0 = -650 × xD1, S 1 + 1 × (
0 = 9000 × xD 3, S 2 -
qe ,CSS 1 ) + 0,833 × (
qe ,CSS 2 ) + 0,166 × (
eÎ FM CSS 2
0 = -2600 × xD1, S 3 + 1 × (
0 = 9000 × xD1, S 1 -
å
eÎ FM CSS 1
gÎ FM HLH 3
gÎ FM HLH 4
0 = -13500 × xD1, S 1 +
å
qe ,CLH 1
4.47.
å
qe ,CLH 2
4.48.
å
qe ,CLH 3
4.49.
å
qe ,CLH 4
4.50.
eÎ FM CLH 1
0 = -11250 × xD 3, S 2 + 0 = -22500 × xD1, S 3 + 0 = -11250 × xD 4, S 4 -
eÎ FM CLH 2
eÎ FM CLH 3
eÎ FM CLH 4
0 £ xi,j £ 1
" (d , j ) Î A, ahol d Î D
4.51.
0 £ qe,q
e Î HSLU , g Î CSLU
4.52.
A matematikai modell megoldásaként kapjuk a 4.13. ábrán látható optimális hálózatot. Az ábrán feltüntettük a nem nulla értékű változókat valamint ábrázoltuk a kiforralóhoz és a kondenzátorokhoz tartozó refluxokat, azért, hogy meg tudjuk jeleníteni
93
Energiaintegrált SNS feladat a látens hőkhöz kapcsolódó hőcseréket is. Az ábra megmutatja, hogy az S3 szétválasztó kondenzátorában jelentkező hő elegendő arra, hogy az S1 és az S3 szétválasztó bemenetét is teljes egészében előmelegítse, valamint az S1 kiforraló hőigényét is részben fedezni tudja. A többi hőigényt hideg- és melegenergia szolgáltatók elégítik ki. A hálózat teljes költsége 190,871 $/s.
4.13. ábra: A 4.8.1. feladat optimális struktúrája.
Azért, hogy az energiaintegrált szintézis hatékonyságát demonstráljuk, az előzőekben definiált feladatot megoldjuk sorosan is, azaz először tekintjük az SNS feladatot és csak azt követően a HENS feladatot. A fő különbség a két módszer között, hogy az energiaintegrált megközelítésnél lehetséges hőáramok és lehetséges látens hők szerepelnek, amelyek léte a szétválasztó struktúrától függ, soros megközelítésnél azonban a szétválasztó struktúra és így a hőforrások és hőnyelők megléte is rögzített. A soros megközelítés első lépése az, hogy úgy oldjuk meg a feladatot, hogy az energiaintegrációhoz kapcsolódó költségegyütthatókat nullának tekintjük. Ugyanezt a megoldást kapjuk akkor is, ha a feladatnak az SNS-re vonatkozó részét az előző fejezetben megismert eljárással megoldjuk. Ezután, úgy hajtjuk végre a hSNS-Multi feladatot, hogy az előző lépésben kapott megoldást tekintjük szuperstruktúrának. Ekkor már figyelembe vesszük az energiaintegrációhoz kapcsolódó költségegyütthatókat. Ebben a lépésben gyakorlatilag már csak a hőcsere változók értékéről születik döntés. Ennek az eljárásnak a megoldása és a hozzá tartozó hőcserélő hálózat a 4.14. és a 4.15. ábrán látható. A 4.5. táblázat megmutatja, hogy a soros megközelítés esetén kisebb a szétválasztó hálózat és a hőcserélők költsége, de ezeket meghaladó mértékben nagyobb az energiaszolgáltatók költsége és így az összköltség is.
94
Energiaintegrált SNS feladat
F1
P1
M1
[15, 10, 5] a1 S1
XD3,S2=0.5
[15, 5, 0] a2 S2
S2
D3 M2
[0, 5, 5] P2
XD3,M2=0.5 4.14. ábra: A 4.8.1. feladat soros megoldásához tartozó szétválasztó hálózat. S1 kiforralója T=160 °C S1 kondenzátora T=30 °C S2 1250 kW kondenzátora T=170 °C 12250 kW HU
S2 kiforralója T=240 °C
S1 CU bemenete T=60 °C T=20 °C 9000 kW
3250 kW 5625 kW
T=110 °C
4.15. ábra: A 4.8.1. feladat soros megoldásához tartozó hőcserélő hálózat. 4.5. táblázat: A soros és az energiaintegrált módszer összehasonlítása a 4.8.1. feladatnál
Költségek
Soros ($/s) 15,900 11,753
SNS Hőcsere Energia 211,025 szolgáltatók Összesen 238,678
Energiaintegrált ($/s) 16,950 14,096 159,825 190,871
4.8.2. Feladat A második feladat adatai a 4.6. és a 4.7. táblázatban vannak összefoglalva. Egy négykomponenses feladatot tekintünk, amelyben felhasználhatjuk a maradék áramok hőtartalmát is. Az optimális megoldást és a hozzá tartozó hőcserélő hálózatot a 4.16. és a 4.17. ábrák mutatják be. A célfüggvény értéke 68,99 $/s. Ennél a feladatnál is feltételezzük, hogy minden szétválasztó pontosan egy látens hő forrást és egy látens hő nyelőt tartalmaz, ezért az S1-ben lévő látens hő forrást HLH1, a látens hő nyelőt pedig CLH1 jelöli. A megoldás azt mutatja, hogy HS2 maradék hőáram és hőtartalmának csak egy részét használják fel. Ezzel szemben HS1 hőtartalmát teljes egészében el kell szállítani. Amikor az egyéb hőcserélési lehetőségek elfogytak, akkor hűtővizet kell használni. 95
Energiaintegrált SNS feladat 4.6. táblázat: A 4.8.2. feladat adatai
Komponensek és folyamok c1 c2 c3 F1 (kg/s) 13 12 20 P1 (kg/s) 8 0 15 P2 (kg/s) 0 5 5 P3 (kg/s) 5 7 0 CS (kJ/(kg °C)) 3 3 5 Energiaszolgáltatók T Típus (°C) nagy nyomású gőz 260 közép nyomású gőz 200 hűtővíz 20
c4 8 5 3 0 2
CCU ($/(kW s)) 0,00085 0,00012 0,000065
Hőcserélők ΔTmin B U
10 °C 0,0007 $/(m2 s) 0,1 kW/(m2 °C)
4.7. táblázat: A szétválasztók adatai a 4.8.2. feladatnál
Sr1 Sr2 Sr3 Se1 Se2 Se3
Komponensek a felső az alsó kimenetben kimenetben c1 c2, c3, c4 c1, c2 c3, c4 c1, c2, c3 c4 c3 c4, c1, c2 c3, c4 c1, c2 c3, c4, c1 c2
Tin (°C)
PLHa (kJ/kg)
Ta (°C)
PLHb (kJ/kg)
Tb (°C)
OC ($/kg)
110 160 120 160 120 110
350 550 450 250 300 400
30 120 30 120 30 30
-480 -750 -400 -220 -280 -600
160 200 160 200 200 160
0,75 0,6 1,15 0,8 0,55 1,1
96
Energiaintegrált SNS feladat
[8, 0, 15, 5] e3 S1
P1 38,035 °C 0,041 0,199
0,24
[0, 5, 5, 3]
[13, 12, 20, 8]
0,385 e2 S2 CS2
F1 110 °C
P2 160 °C HS2
0,125
[5, 7, 0, 0] CS1
P3
e1
S3
160,64 °C
HS1
0,25
r1
S4
4.16. ábra: A 4.8.2. feladat energiaintegrált megoldásához tartozó szétválasztó hálózat. HS1 200 °C
HU1 260 °C 5708 kW
HS2 200 °C
CLH2
62 kW
200 °C
1458 kW 170 °C
1067 kW
CS1 110 °C
65 kW
160 °C
200 °C
HU2 200 °C
160 °C
170 °C
82 kW
CS2 110 °C
CLH3
7644 kW CLH1
652 kW 120 °C
160 °C
8340 kW CLH4
160 °C
130 °C HLH2 30 °C
HLH1 30 °C 5096 kW 228 kW CU1 20 °C
6115 kW
HLH3 120 °C 1656 kW
HLH4 30 °C 6081 kW
110 °C
4.17. ábra: A 4.8.2. feladat energiaintegrált megoldásához tartozó hőcserélő hálózat.
97
Energiaintegrált SNS feladat
4.8.3. Feladat A jelen feladat ötkomponenses, amelyben egy betáplálásból kell előállítani három terméket. Két különböző melegenergia szolgáltató, egy hidegenergia szolgáltató és összesen öt különböző típusú szétválasztó használható fel, amelyek nem mind egy szétválasztó családba tartoznak. A feladat megoldása során figyelembe vesszük a maradék hőáramok hőtartalmát és a folyamok fajhőit azok komponenseinek a fajhőiből számoljuk. A feladathoz tartozó paraméterek értékei a 4.8. és a 4.9. táblázatokban találhatóak. 4.8. táblázat: A 4.8.3. feladat adatai
Komponensek és folyamok c1 c2 c3 F1 (kg/s) 10 12 30 P1 (kg/s) 8 0 15 P2 (kg/s) 2 5 5 P3 (kg/s) 0 7 10 CS (kJ/(kg °C)) 2 3 5 Energiaszolgáltatók T Típus (°C) nagy nyomású gőz 250 közép nyomású gőz 200 hűtővíz 20
c4 20 10 5 5 4
c5 18 6 6 6 3
CCU ($/(kW s)) 0,0008 0,0002 0,000085
Hőcserélők ΔTmin B U
10 °C 0,0009 $/(m2 s) 0,1 kW/(m2 °C)
4.9. táblázat: A szétválasztók adatai a 4.8.3. feladatnál
Sa1 Sa2 Sa3 Sa4 Sb2
Komponensek a felső az alsó kimenetben kimenetben c1 c2, c3, c4, c5 c1, c2 c3, c4, c5 c1, c2, c3 c4, c5 c1, c2, c3, c4 c5 c3, c4 c1, c2, c5
Tin (°C)
PLHa (kJ/kg)
Ta (°C)
PLHb (kJ/kg)
Tb (°C)
OC ($/kg)
110 160 120 120 160
350 550 450 400 250
30 120 30 30 120
-450 -750 -400 -600 -250
160 200 160 200 200
0,85 0,12 1,15 0,29 0,04
A 4.18. és a 4.19. ábrák mutatják be a feladat energiaintegrált megoldását, a 4.20. és 4.21. ábrák pedig a soros megoldást. A 4.10. táblázat összehasonlítja a kétféle megközelítés költségeit. Az energiaintegrált megoldás összköltsége azért lehet kisebb,
98
Energiaintegrált SNS feladat mint a sorosé, mert az első esetben a szétválasztó hálózatot úgy alakítjuk ki, hogy minél több hőcsere legyen lehetséges. A soros esetben a hőcserélők költsége azért kisebb, mert kevés energiaintegrációs lehetőség lévén, az energiaszolgáltatókat kell használnunk, ami viszont nagy LMTD-ket okoz. A táblázatból az is kitűnik, hogy az energiaintegrált megközelítésnek lényegesen nagyobb a számítási igénye. Ez abból adódik, hogy jóval több féle hőcserére van lehetőség, hiszen az összes lehetséges hőáramot és lehetséges látens hőt figyelembe kell venni. Ez az ár, amit jobb megoldásért fizetnünk kell. 0.5
0.25 [8, 0, 15, 10, 6]
0.167 a3 S2
0.083
[10, 12, 30, 20, 18] F1
b2
0.833 CS1
P1
S1
HS5 0.033
HS3
a1
S5
[2, 5, 5, 5, 6]
0.333 HS2 a2 S3
0.083
P2
0.25 HS1
HS4 0.467
[0, 7, 10, 5, 6] P3
a1
S4
0.134
0.333
4.18. ábra: A 4.8.3. feladat energiaintegrált megoldásához tartozó szétválasztó hálózat.
99
Energiaintegrált SNS feladat
4.19. ábra: A 4.8.3. feladat energiaintegrált megoldásához tartozó hőcserélő hálózat.
0.5
0.25 [8, 0, 15, 10, 6]
0.167 a3 S2
0.083
[10, 12, 30, 20, 18] b2
F1 0.833 CS1
P1
S1
HS5 HS6
0.033
a1
S4
[2, 5, 5, 5, 6]
HS1 0.8
a2
S3
0.583
HS4 0.134 HS3 0.333
P2
0.217
0.333 HS2 [0, 7, 10, 5, 6] P3
4.20. ábra: A 4.8.3. feladat soros megoldásához tartozó szétválasztó hálózat.
100
Energiaintegrált SNS feladat
HS1 200 °C
HS2 200 °C
HS3 200 °C
HS4 200 °C
HS5 200 °C
HU1 250 °C 18750 kW
HS6 120 °C
CLH1
3520 kW
200 °C
24000 kW CLH3
720 kW
200 °C
HU2 200 °C
288 kW 720 kW
CS1 110 °C
1667 kW 147 kW
CLH2
160 °C
7920 kW CLH4
160 °C 160 °C
8772 kW HLH2 30 °C
HLH1 30 °C 18750 kW CU1 20 °C
448 kW
160 °C
160 °C
160 °C
160 °C
160 °C
1875 kW
HLH3 120 °C 17600 kW
HLH4 30 °C 6160 kW
110 °C
4.21. ábra: A 4.8.3. feladat soros megoldásához tartozó hőcserélő hálózat. 4.10. táblázat: A soros és az energiaintegrált módszer összehasonlítása a 4.8.3. feladatnál
Költségek
Soros Energiaintegrált ($/s) ($/s) 26.592 31.492 22.764 23.120
SNS Hőcsere Energia41.683 szolgáltatók Összesen 91.039 Futási idő:* 15 s
30.574 85.186 6 perc
*processzor: AMD Athlon 2000+, memória: 1 GB
101
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája
5. Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája 5.1. Bevezetés A 3. fejezetben bemutatott, az SNS-Multi feladatra vonatkozó szuperstruktúra nagy előrelépés a korábbi megközelítésekhez képest abban a tekintetben, hogy segítségével lineáris matematikai programozási modell állítható elő. Egy lineáris modellt nemcsak, hogy sokkal gyorsabban lehet megoldani, mint egy hasonló méretű nem-lineáris modellt, de a lokális minimumba történő ragadás veszélye sem áll fenn és megengedett megoldást is könnyű találni. Ugyanakkor megállapítottuk, hogy a javasolt szuperstruktúra rohamosan nő a komponens számmal és a gyakorlati tapasztalat azt mutatta, hogy tíznél több komponens esetén a végrehajtási idő már igen jelentős. Ebben a fejezetben bemutatjuk az SNS-Multi egy új szuperstruktúráját, amellyel a kitűzött feladat hatékonyabban elvégezhető. Az új struktúra alapja egy egyszerűsítő eljárás, amelyet a matematikai modell végrehajtása előtt tudunk elvégezni. Az eljárás megkeresi és egyesíti az összevonható szétválasztókat és így lecsökkenti a szuperstruktúra méretét.
5.2. Egyszerűsítések 5.2.1. Egyszerűsítés azonos megosztási arány alapján A 3.6. alfejezetben már példát adtunk arra, hogy milyen feltételek mellett lehet egy SNS-Multi feladat megoldás struktúrájának két azonos típusú szétválasztóját összevonni. Most matematikai szigorúsággal újravizsgáljuk a problémát, hogy megállapítsuk, hogy az összevonás elvégezhető-e más feltételek esetén is. Összevonás elsősorban azért lehetséges, mert az SNS-Multi feladat arányos költségű szétválasztókat tekint, így két azonos típusú, kisebb terhelésű szétválasztó helyettesítése egy nagyobb terhelésűvel nem módosítja a költséget. A 3.6. alfejezetben azt mondtuk, hogy két azonos típusú szétválasztó összevonható, ha az egyik szétválasztó felső kimeneti megosztója ugyanazokkal a keverőkkel van összekötve, mint a másik szétválasztó felső kimeneti megosztója és ha hasonló állítás igaz az alsó kimenetekre is. Ezek a strukturális feltételek teljesülnek az 5.1. ábra esetén, amelynek egyszerűsített változata az 5.2. ábra. Ezen kívül teljesülnie kell annak is, hogy a két felső, illetve a két alsó kimeneti megosztó megfelelő kimenet párjainak a megosztási arányai megegyeznek. A következőkben megvizsgáljuk, hogy matematikailag hogyan lehet levezetni az előbbi feltételt.
102
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája
b1
D1
M1
b2 c1 c2 c3 c4
a1
M2
D2
a2
c1 c2 c3 c4
M3
b4
c1 D3
b3
c2 M4
c3 D4
c4
5.1. ábra: Azonos típusú szétválasztók összevonása: összevonás előtt.
D1
d1 M1
d2 a1 a2
M0
c1 c2 c3 c4
M2
D2
d3 M3
d4
M4
5.2. ábra: Azonos típusú szétválasztók összevonása: összevonás után.
Az összevont szétválasztótól azt várjuk, hogy a felső kimeneti megosztójánál az egyes kimeneteknek a nagysága megegyezzen az eredeti kimenetek nagyságainak az összegével, lásd az 5.1. és 5.2. egyenleteket. Annyi egyenletre van szükség, ahány kimenettel rendelkezik a megosztó.
b1 + c1 = d1
5.1.
b2 + c2 = d2
5.2.
103
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája Az egyes folyamokat vektoros formában kifejezve és a szétválasztó típusát figyelembe véve kapjuk az 5.3. és 5.4. egyenleteket, ahol fb1 ,2 az b1 folyam második komponenséhez tartozó komponensáram.
[ fb1,1 , fb1,2 , 0, 0] + [ fc1,1 , fc1 ,2 , 0, 0] = [ fd1,1 , fd1 ,2 , 0, 0]
5.3.
[ fb2 ,1 , fb2 ,2 , 0, 0] + [ fc2 ,1 , fc2 ,2 , 0, 0] = [ fd2 ,1 , fd2 ,2 , 0, 0]
5.4.
A megosztó kimeneteit a szétválasztó bemenetével és a megosztási arányokkal felírva kapjuk az 5.5. és az 5.6. egyenleteket, ahol ld1 a d1 folyamhoz tartozó megosztási arány.
[ fa1,1 , fa1,2 ] × lb1 + [ fa2 ,1 , fa2 ,2 ] × lc1 = ([ fa1,1 , fa1,2 ] + [ fa2 ,1 , fa2 ,2 ]) × ld1
5.5.
[ fa1,1 , fa1,2 ] × lb2 + [ fa2 ,1 , fa2 ,2 ] × lc2 = ([ fa1,1 , fa1 ,2 ] + [ fa2 ,1 , fa2 ,2 ]) × ld2
5.6.
A matematikai modell megoldása után kiszámolhatóak a komponensáramok és az összevonás előtti struktúra megosztási arányai, így az 5.5. egyenletben ld1 , az 5.6. egyenletben pedig ld2 marad az egyetlen változó. Mivel mindkét kifejezés két-két egyenletet jelöl és csak két változónk van, ezért a rendszer túldefiniált és csak abban az esetben állhat fenn az egyenlőség, vagyis csak akkor vonható össze a két szétválasztó, ha az egyenletek paraméterei speciálisak. Ilyen specialitást fogalmaztunk meg a 3.6. alfejezetben, lásd 5.7. és 5.8. egyenletek.
lb1 = lc1
5.7.
lb2 = lc2
5.8.
Ebből következik az is, hogy lb1 = ld1 és lb2 = ld2 . A megosztási arányokat a betáplálási megosztás arányok egyre történő normalizálásával számolhatjuk ki. Ne felejtsük el, hogy hasonló egyenleteket kell felírni az alsó kimeneti megosztóra is és hogy az összevonhatóságot csak a matematikai modell megoldása után tudjuk ellenőrizni, hiszen az 5.7. és 5.8. egyenletekben szereplő változók csak ekkor kapnak értéket. Most már érthető az is, hogy miért tettük fel, hogy a két szétválasztó ugyanazokkal a műveleti egységekkel áll kapcsolatban. Az anyagáramokat úgy neveztük el, hogy az azonos indexűeknek a végpontjai is azonosak. Például b2 és c2 is M2-ben végződik. Ha a megoldás struktúrában van egy olyan anyagáram, b3, amelynek nincs párja , akkor lb3 ¹ 0 , de lc3 = 0 , így rá nem teljesülhet egy 5.7. típusú egyenlet.
5.2.2. Egyszerűsítés azonos bemeneti összetétel alapján Az 5.5. és az 5.6. feltételek egy másik olyan esetben is teljesülhetnek, amit eddig nem vizsgáltunk. Ha az 5.9. egyenlőség fenn áll, vagyis a két szétválasztó bemenetének az
104
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája összetétele megegyezik, akkor az előbb említett két egyenlet az 5.10. és 5.11. egyenletekké egyszerűsödik. A felső kimeneti megosztó minden kimenetére fel kell írni egy ilyen egyenletet és hasonló egyenleteket kell alkalmazni az alsó kimeneti megosztóra is.
g × [ fa1 ,1 , fa1,2 ] = [ fa2 ,1 , fa2 ,2 ] lb1 + lc1 × g 1+ g
lb2 + lc2 × g 1+ g
5.9.
= ld1
5.10.
= ld2
5.11.
Az 5.10. és 5.11. egyenletek nem követelik meg, hogy mindegyik megosztási arány nem nulla legyen, azaz az egyszerűsítés akkor is végrehajtható, ha a két szétválasztó nem ugyanazokhoz a műveleti egységekhez kapcsolódik. Az egyesített szétválasztó összeköttetésben lesz minden olyan műveleti egységgel, amelyek kapcsolódnak az eredeti szétválasztók valamelyikéhez. Az 5.3. ábra példát mutat ilyen típusú egyszerűsítésre. A két szétválasztó bemenetére fennáll az 5.9. egyenlőség, g = 2 értékre. A két felső kimeneti megosztó összesen három különböző műveleti egységhez kapcsolódik, így három megosztási arányt kell kiszámolni, lásd az 5.12.-5.14. kifejezéseket.
0, 3 + 0 × 2 = 0,1 1+ 2
5.12.
0 + 0, 2 × 2 = 0,133 1+ 2
5.13.
0, 7 + 0,8 × 2 = 0, 766 1+ 2
5.14.
105
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája
S1 b1=[10, 4, 0]*0,3
a1=[10, 4, 3]
b2=[10, 4, 0]*0,7 S
2
M1
c3=[20, 8, 0]*0,2
a2=[20, 8, 6]
c2=[20, 8, 0]*0,8
S2
M2
S1 d1=[30, 12, 0]*0,1 M1
d2=[30, 12, 0]*0,766
a1=[10, 4, 3] M0
a2=[20, 8, 6]
S
2
M2
d3=[30, 12, 0]*0,133
5.3. ábra: Szétválasztók összevonása azonos összetételű bemenet esetén.
A bemutatott egyszerűsítés hasznos, de csak a matematikai modell megoldása után alkalmaztuk. Az elkövetkezőkben megmutatjuk, hogy a most tárgyalt egyszerűsítés már a szuperstruktúrán is elvégezhető, vagyis amikor az 5.9. egyenlőség paraméterei még nem ismeretek. Idézzük fel, hogy az RSS-Multi által generált strukturális modellt, a betáplálási megosztás arány alapú matematikai modellel írtuk le. E modell szerint egy Si típusú szétválasztó a-val jelölt bemenetének a komponensáram vektorát a 3.11. egyenletet felhasználva az 5.15. kifejezéssel írhatjuk le. a = [d ( first (a ), a, c1) × FE first ( a ),c1 , d ( first (a ), a, c 2) × FE first ( a ),c 2 ,...] × xa
5.15.
Tegyük fel, hogy létezik egy a-tól különböző b-vel jelölt folyam, amely szintén egy Si típusú szétválasztó bemenete, first (a) = first (b) és teljesül rá az 5.16. egyenlet. Más szavakkal, a és b ugyanazon betáplálásból származik, valamint ugyanazok a komponensek szerepelhetnek bennük. Ekkor a két folyamra biztosan fennáll az 5.9.
106
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája egyenlőség, mégpedig g = xb / xa értékkel, vagyis a két folyamot követő szétválasztó összevonható.
d ( first (a ), a, c ) = d ( first (b), b, c )
"c Î C
5.16.
A legfontosabb itt az, hogy ezt a típusú összevonhatóságot már a szuperstruktúrán ellenőrizhetjük, mielőtt még a matematikai modellt megoldanánk. Ez azért lényeges, mert az összevonást elvégezve a szuperstruktúra méretét és vele együtt a matematikai modell méretét is lecsökkentjük, ami gyorsabb megoldást eredményez. Az RSS-Multi által generált szuperstruktúrát azért lehet csökkenteni, mert az tartalmaz azonos részeket. Tekintsük az 5.4. ábrát, amelyen egy ötkomponenses betáplálás szuperstruktúrájának egy része látható. Az a és a b folyam minőség vektora is [0, c2, c3, c4, 0], de az RSS-Multi mindkét folyamra külön-külön épít fel egy azonos rész-szuperstruktúrát.
S2 [0, c2, c3, c4, 0] a
S S
S3
4
1
F1 [c1, c2, c3, c4, c5]
S2
S1 S4
b [0, c2, c3, c4, 0]
S3
5.4. ábra: Azonos részek az RSS-Multi szuperstruktúrájában.
Az előbbiekben bemutatottak szerint az 5.4. ábrán összevonhatjuk a két S2 és a két S3 típusú szétválasztót. Az egyszerűsítést az 5.5. ábra illusztrálja. A bekeretezett rész két megosztót és két keverőt tartalmaz és azt is tudjuk, hogy a megosztók bemeneteinek az összetétele azonos. Ez lehetővé teszi, hogy átalakítsuk ezt a részt úgy, hogy először végrehajtunk egy keverést és utána egy megosztást, lásd 5.6. ábra. Ez azért előnyös, mert a megosztók kimeneteinek a számát és így a változók számát újból csökkentetjük.
107
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája
S2 [0, c2, c3, c4, 0] a S3
4
S S
1
F1 [c1, c2, c3, c4, c5]
S1 S4
b [0, c2, c3, c4, 0]
5.5. ábra: Összevont szétválasztók a szuperstruktúrában.
S2 [0, c2, c3, c4, 0] a S3
4
S S
1
F1 [c1, c2, c3, c4, c5]
S1 S4
b [0, c2, c3, c4, 0]
5.6. ábra: Megosztók és keverők hálózatának egyszerűsítése.
Az SNS-Multi redukált szuperstruktúrájának nevezzük azt a struktúrát, amelyet úgy kapunk, hogy az RSS-Multi által generált szuperstruktúrán elvégezzük az összes lehetséges egyszerűsítést. Az SNS-Single feladattípusnak hasonló módon konstruálhatjuk meg a redukált szuperstruktúráját. A redukált szuperstruktúrára nem érvényes az a 108
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája tulajdonság, hogy keverők csak a termékek előtt találhatóak, mert az egyszerűsítések keverők felvételével járnak. A redukált szuperstruktúra is az SNS-Multi szigorú szuperstruktúrája, hiszen úgy kapjuk meg, hogy egy szigorú szuperstruktúrából indulunk ki és azon csak olyan átalakításokat végezünk, amelyek az eredeti struktúra redundanciáját csökkentik. Ebből következik, hogy a hagyományos és a redukált szuperstruktúrából is ugyanolyan költségfüggvényű optimális struktúra származtatható. Ha az optimum egyedi, akkor a két megoldás struktúra közötti egyezőség akkor lesz nyilvánvaló, ha mindkettőn végrehajtjuk a 3.6. alfejezetben leírt egyszerűsítő eljárást. Értelemszerűen, a redukált szuperstruktúrából származtatott megoldáson kevesebb egyszerűsítés végezhető el, hiszen az egyszerűsítések nagyobb részét már a szuperstruktúrán elvégeztük.
5.3. A redukált szuperstruktúra generálása Az SNS-Multi redukált szuperstruktúráját előállíthatjuk úgy, hogy először az RSS-Multi algoritmus segítségével generáljuk a hagyományos szuperstruktúrát, majd azon addig ismételjük az 5.2.2. alfejezetben leírt egyszerűsítéseket, amíg az lehetséges. A másik lehetőség, hogy a redukált szuperstruktúrát közvetlenül állítjuk elő a bemeneti adatok ismeretében. Az 5.4. és 5.6. ábrákat megvizsgálva láthatjuk, hogy a redukált szuperstruktúra úgy alakul ki, hogy a hagyományos szuperstruktúrából elhagyunk részeket és az ezekbe tartó folyamokat új keverők segítségével a megfelelő szétválasztók kimeneteivel egyesítjük. A redukált szuperstruktúrába tehát a szétválasztók kimeneteinek a megosztói elé egy-egy keverőt is beiktatunk. Ez a matematikai modell méretét nem növeli, mert csak a megosztók kimeneteihez tartoznak független változók. A rRSS-Multi algoritmus közvetlenül generálja a redukált szuperstruktúrát. Az algoritmus leírásánál a 3.5.2. alfejezetben leírt jelöléseket használjuk, amelyeket kiegészítünk az alábbi halmazokkal. Halmazok: PM IM Q QMf
termékek előtti keverők halmaza azon keverők halmaza, amelyek nem közvetlenül a termékek előtt vannak minőség vektorok halmaza Ì Q´IM, " f Î F, olyan halmaz amelynek elemei megadják, hogy egy keverő bemeneteinek mi a minőség vektora
Az alábbiakban megadom az rRSS-Multi algoritmust. eljárás: S_kimenet(e, s) ha ($ m Î IM, (qv(e), m) Î QMf) akkor A = A È {(s, m)} egyébként 109
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája legyen m új keverő és d1 új megosztó IM = IM È {m} TD = TD È {d1} A = A È {(s, m), (m, d1)} QMf = QMf È {(qv(e), m)} feltétel vége eljárás vége bemenet: (F, P, ST) kimenet: G(N, A) redukált szuperstruktúra eljárás: rRSS-Multi megjegyzés: iniciálás, kezdeti megosztók és keverők felvétele S = Æ; D = Æ; PM = Æ; IM = Æ; A = Æ; TD = Æ; ciklus " f Î F legyen d egy új megosztó TD = TD È {d} D = D È {d} A = A È {(f, d)} QMf = Æ ciklus vége ciklus " p Î P legyen m egy új keverő PM = PM È {m} A = A È {(m, p)} ciklus vége ciklus amíg TD ¹ Æ legyen d egy elem TD halmazból TD = TD \ {d} legyen f Î F olyan, hogy δ(f, d) = 1 megjegyzés: megosztó összekötése új szétválasztókkal ciklus " t Î ST ha ($ i Î C, δ(f, d, i)*STUt,ii ≠ 0) és ($ i Î C, δ(f, d, i)*STLt,ii ≠ 0) akkor legyen s egy új t típusú szétválasztó S = S È {s} A = A È {(d, s)} legyen e az s felső kimenete S_kimenet(e, s) legyen e az s alsó kimenete S_kimenet(e, s) feltétel vége ciklus vége megjegyzés: megosztó összekötése keverőkkel 110
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája ciklus " p Î P ha " i Î C, (δ(f, d, i) = 1 és PRp,i > 0) vagy δ(f, d, i) = 0 akkor legyen m Î PM olyan, hogy (m, p) Î A A = A È {(d, m)} feltétel vége ciklus vége ciklus vége M = PM È IM eljárás vége A rRSS-Multi algoritmus az RSS-Multi módosított változata, ezért itt csak a különbségeket részletezzük. Az iniciálás keretében most is létrehozunk egy megosztót minden betápláláshoz és egy keverőt minden termékhez. Ezenkívül a QMf , PM és IM halmazoknak is meg kell adni a kezdő értéket. Ezután kiválasztunk egy megosztót és azt az eddigiek szerint összekötjük új szétválasztókkal és termékek előtti megosztókkal. Egy szétválasztó létrehozása után az S_kimenet(e, s) eljárásban hajtjuk végre a következő lépéseket, ahol e a szétválasztó egyik kimenete. Megvizsgáljuk, hogy az e minőség vektora szerepel-e a QMf halmazban tárolt párok valamelyikében. Két folyam minőségvektora csak akkor lehet azonos, ha mindkét folyam ugyanabból a betáplálásból származik. Ha e benne van valamelyik párban, akkor az azt jelenti, hogy már felvettünk egy olyan keverőt, amely bemenetének az összetétele megegyezik az e összetételével és ehhez a keverőhöz kötjük e-t. Egyébként létrehozunk egy keverőt és egy megosztót és ebben a sorrendben összekötjük őket a szétválasztóval. Ezután a QMf halmazt bővítjük úgy, hogy rögzítjük, hogy az új keverőnek milyen a bemenete. Az S_kimenet eljárást a szétválasztó mindkét kimenetére végrehajtjuk. Ezután a kiválasztott megosztót összekötjük azokkal a PM-beli keverőkkel, amelyek termékei tartalmaznak minden olyan komponenst, amelyet a keverőhöz kapcsolódó folyamok is tartalmaznak. Az algoritmus utolsó lépése az M halmaz meghatározása PM és IM uniójaként.
5.4. A redukált szuperstruktúra matematikai modellje A redukált szuperstruktúrára a 3.6. alfejezetben ismertetett, betáplálási megosztás arány alapú modellt adaptáljuk, figyelembe véve a megváltozott struktúrát. A first és a d operátor használata most problémásnak tűnhet, hiszen a redukált szuperstruktúrában többféle úton is el lehet jutni egy belső keverőig. Azonban tudjuk, hogy a belső keverők bemenetei azonos összetételűek, így a d operátor egyértelmű. Hasonló állítás igaz a first operátorra is, mert csak azonos betáplálásból származó utak egyesülhetnek egy belső keverőben. min
æ ö OC × x × d ( first ( s ), s , c ) × FE ç å ç s prev( s ),s å first ( s ),c ÷ ÷ {"sÎS } è {"cÎC } ø
5.17.
111
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája ahol
å
1=
{"jÎnext ( d )}
å
{"iÎ prev 3( d )}
å
{"iÎ prev ( m )}
xd , j
xi ,next (i ) =
å
{"jÎnext ( d )}
xd , j
" d Î next ( F )
5.18.
" d Î D \ next(F)
5.19.
( xi,m × d ( first (i), i, c) × FE first (i),c ) = PRnext (m),c
0 £ xd , j £ 1
" m Î PM és " c ÎC
" (d , j ) Î A, d Î D
5.20. 5.21.
A redukált szuperstruktúra matematikai modellje is ugyanolyan részekből áll, mint a hagyományos szuperstruktúráé. Az 5.17. kifejezés a célfüggvény, 5.18. a kezdeti megosztók anyagegyensúlyai, ahol next(F) jelöli a betáplálásokhoz közvetlenül kapcsolódó megosztókat. 5.19. írja le az összes többi megosztó működését, pontosabban a megosztó és az előtte lévő keverő működését. Végezetül 5.20. a termék követelmények, 5.21. pedig a nem-negatívitási feltételek. Az 5.19. egyenletben prev(d) jelenti a megosztó előtti keverőt, prev2(d) a keverő előtti szétválasztók halmazt, prev3(d) pedig ezen szétválasztók előtt lévő megosztókat. Az egyenlet személtetéséhez tekintsük az 5.7. ábrát és azon belül M1-t és D3-t. Mivel prev3(D3)={D1, D2}, next(D3)={S2, S3, M2}, így a bekeretezett rész anyagegyensúlyát az 5.22. egyenlet írja le.
x
D1 , S 4
+x
D2 , S1
=x
D3 , S 2
+x
D1
D3 , S 3
+ xD3 ,M 2
5.22.
S2
S4
M1 D3 D2
S3
S1 M2
5.7. ábra: Szemléltető ábra az 5.19. egyenlethez.
5.5. Matematikai komplexitás A redukált és a hagyományos szuperstruktúra segítségével ugyanazt a feladatot oldottuk meg és megállapítottuk, hogy a megoldás is ugyanaz, ha az optimum egyedi. A redukált szuperstruktúra hatalmas előnye, hogy ugyanahhoz a feladathoz kisebb matematikai
112
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája modellt generál, így azt gyorsabban lehet megoldani. Ebből az is következik, hogy nagyobb méretű feladatokat lehet megoldani reális időn belül. Ebben az alfejezetben meghatározzuk, hogy a redukált és a hagyományos szuperstruktúra mérete hogyan aránylik egymáshoz, mert ebből következtethetünk a végrehajtási időre is. A matematikai modell pontos mérete a feladat paramétereitől függ, úgymint a betáplálások száma és milyensége, komponensek száma, a felhasználható szétválasztók fajtái, a termékek száma. Tegyük fel, hogy csak egy betáplálás van és csak egy szétválasztó család tagjait használhatjuk fel. Ekkor a legfontosabb paraméter a komponens szám. Tudjuk, hogy a változók száma a strukturális modellben lévő megosztók kimeneteinek összegével egyezik meg. A kimenetek közvetlenül kapcsolódnak vagy a termékek előtti keverőkhöz vagy a szétválasztókhoz. A keverőkhöz kapcsolódó kimenetek száma függ attól, hogy hány termék van és hogy azok milyen komponenseket tartalmaznak. Ezért a megosztók kimeneteinek a számát pontosan nem tudjuk meghatározni. Azt azonban biztosan tudjuk, hogy a hagyományos szuperstruktúra jóval több ilyen kapcsolatot tartalmaz, mint a redukált. Ellenben a szétválasztókhoz kapcsolódó kimenetek számát meg tudjuk adni a komponens szám függvényében, ami egyenlő a szétválasztók számával. Jelölje SN(n) a hagyományos és CN(n) a redukált szuperstruktúrában lévő szétválasztók számát. SN(n)-t az 5.23. képlet segítségével számolhatjuk ki. A triviális esetben, amikor csak egy komponenst tartalmaz a betáplálás, nincs szükség szétválasztóra. Ha a betáplálás n komponenst tartalmaz, akkor tegyük fel, hogy az i-dik komponens után vágunk, ez egyszer egy szétválasztás. Ehhez hozzáadódik a felső kimenet teljes feldolgozása, ami SN(i) szétválasztót igényel, mert az i komponenst tartalmaz. Hasonlóan az alsó kimenet feldolgozása SN(n-i) szétválasztót igényel. Mivel a kezdeti szétválasztást n-1 helyen hajthatjuk végre, ezekre az i-t összegezni kell. ha n = 1 ì0 ï n-1 SN (n) = í ïå (1 + SN (i ) + SN (n - i )) különben î i =1
5.23.
Ahhoz, hogy a függvény növekedését megállapítsuk, azt előbb át kell alakítani nem rekurzív formára. Ehhez első lépésként fejtsük ki az összegzést, lásd 5.24. egyenlet, majd módosítsuk a tagok sorrendjét, lásd 5.25. egyenlet. Láthatjuk, hogy SN(n) tartalmazza SN(n-1)-t, így felírhatunk egy egyszerűbb, rekurzív alakot, 5.26. egyenlet. ì1 + SN (1) + SN (n - 1) + ï1 + SN (2) + SN (n - 2) + ï ï1 + SN (3) + SN (n - 3) + SN (n) = í ï... ï1 + SN (n - 2) + SN (2) + ï î1 + SN (n - 1) + SN (1)
n>1
5.24.
113
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája ì1 + SN (1) + SN (n - 2) + ü ï ï ï1 + SN (2) + SN (n - 3) + ï ïï1 + SN (3) + SN (n - 4) + ýï SN (n - 1) SN (n)= í ï ï... ï ï1 + SN (n - 2) + SN (1) + ïþ ï ïî1 + SN (n - 1) + SN (n - 1)
ì0 SN (n) = í î3 × SN (n - 1) + 1
n>1
ha n = 1 különben
5.25.
5.26.
A további átalakítás úgy történik, hogy az 5.27. egyenlet mindkét oldalához hozzáadunk 1/2-t, majd 5.28.-ben bevezetünk egy új jelölést g(n)-t. g(n) zárt alakját könnyen meg tudjuk határozni, lásd az 5.29.-5.32. egyenletek. g(n) definíciójából adódik az 5.33., amelybe a zárt alakot behelyettesítve kapjuk 5.34.-t, SN(n) zárt alakját. A zárt alak egyértelműen mutatja, hogy SN(n) exponenciálisan nő. SN (n) = 3 × SN (n - 1) + 1 SN (n) +
1 3 = 3 × SN (n - 1) + 2 2
g (n) = 3 × g (n - 1)
1 /+ , n > 1 2
5.27.
1 / g (n) = SN (n) + , n > 1 2
5.28.
/ g (n - 1) = 3 × g (n - 2), n > 1
5.29.
g (n) = 3 × 3 × g (n - 2) = ... = 3n -1 × g (1) n > 1
5.30.
1 1 1 = 0+ = 2 2 2
5.31.
g (1) = SN (1) +
3n-1 g ( n) = ,n >1 2
5.32.
1 SN (n) = g (n) - , n > 1 2
5.33.
ì0 ï SN (n) = í 3n-1 - 1 ï î 2
ha n = 1 különben
5.34.
CN(n) rekurzív alakját a következő gondolatmenettel kapjuk meg. A redukált szuperstruktúrában a szétválasztók száma a lehetséges folyamösszetételek számától függ, hiszen minden i darab komponenst tartalmazó összetételhez pontosan i-1 féle szétválasztó tartozik egy szétválasztó család esetén. Mivel egy betáplálást feltételezünk, a lehetséges összetételek száma annyi, ahányféleképpen ki lehet választani n komponensből legalább 2 egymás melletti komponenst. Tegyük fel, hogy i darab egymás melletti komponenst
114
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája akarunk kiválasztani. Ekkor n komponens esetén n+1-i féleképpen lehet kiválasztani az egymás melletti komponenseket. CN(n)-t tehát úgy kapjuk, hogy az összetételek számát megszorozzuk az összetételenkénti szétválasztók számával és a szorzatot összegezzük i-re, kettőtől n-ig, lásd 5.35. egyenlet. Az egyenletet kifejtjük, 5.36., részekre bontjuk, 5.37., és az egyes részek zárt alakjait meghatározzuk, 5.38.-5.40. Ezek után CN(n) zárt alakját az 5.41. egyenlet írja le, amiből látjuk, hogy CN(n) polinomiális növekedésű. n
CN (n) = å ( (n + 1 - i ) × (i - 1) )
5.35.
i =2 n
(
)
CN (n) = å -i2 + n × i + 2 × i - n - 1 i=2 n
( )
5.36.
n
n
i=2
i =2
CN (n) = å -i2 + å ( i × (n + 2) ) + å (-n - 1) i =2
n
æ
n
ö
æ
ø
è
3
2×n å ( -i ) = - ç å ( i ) - 1÷ = - çç 2
2
è i =1
i =2
æ
n
n
5.37.
+ 3 × n2 + n ö - n3 n2 n - 1÷÷ = - - +1 6 3 2 6 ø
ö
5.38.
n × (n + 1) ö n3 3 × n2 - 1÷ = + -2 2 2 è ø 2
æ å ( i × (n + 2) ) = (n + 2) × ç å i ÷ = (n + 2) × ç è i=2 ø
i =2
5.39.
n
å (-n - 1) = (n - 2) × (-n - 1) = -n2 + 1
5.40.
i =2
CN (n) =
n3 - n 6
5.41.
SN(n) és CN(n) értékét zárt alakra hozásuk után közvetlenül kiszámolhatjuk és összehasonlíthatjuk a két függvény növekedését. Azt korábban is tudtuk, hogy CN kevésbé meredeken növekszik, mint SN, de csak a fenti számítások bizonyították be, hogy CN minőségileg kedvezőbb, ugyanis CN a polinomiális, SN pedig az exponenciális függvények osztályába. Mi több CN a polinomiális függvények között sem számít nehéznek, hiszen csak köbös bonyolultságú. Az 5.1. táblázat SN(n) és CN(n) értékeit hasonlítja össze néhány n esetén, az 5.8. ábra pedig grafikusan ábrázolja a két függvényt. Láthatjuk, hogy az első néhány n-re a két függvény megegyezik és még négy komponens esetén sem nagyon nagy az eltérés, de utána a különbség rohamosan nő. Ebből az következik, hogy a redukált szuperstruktúrán alapuló megoldó módszer jelentős gyorsulást eredményez. 5.1. táblázat: SN(n) és CN(n) értéke néhány n esetén
n SN(n) CN(n)
1 0 0
2 1 1
3 4 4
4 13 10
5 40 20
6 121 35
7 364 56
8 1093 84
9 3280 120
10 9841 165
115
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája
10000 8000 6000
SN(n) CN(n)
4000 2000 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
5.8. ábra: SN(n) és CN(n) növekedésének összehasonlítása.
5.6. Feladat A módszer működését egy szemléltető példán keresztül mutatjuk be. Láttuk, hogy legalább négykomponenses betáplálás szükséges ahhoz, hogy a redukált szuperstruktúra, szétválasztó számot tekintve, kisebb legyen, mint a hagyományos. Az 5.2. és az 5.3. táblázat tartalmazza a feladat paramétereit. Egy betáplálásból három kevert terméket kell előállítani egy szétválasztó család tagjainak a felhasználásával. 5.2. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai az 5.6. feladatnál
F1 P1 P2 P3
c1 (kg/s) 10 2 3 5
c2 (kg/s) 8 3 1 4
c3 (kg/s) 12 5 2 5
c4 (kg/s) 4 1 1 2
5.3. táblázat: A felhasználható szétválasztók az 5.6. feladatnál
Komponens sorrend Szétválasztó Teljes költségegyüttható ($/kg)
c1
c2 1
S 4
c3 2
S 2
c4 3
S 3
Az első lépésben előállítjuk a redukált szuperstruktúrát a rRSS-Multi algoritmus segítségével. Az iniciálás során létrehozunk egy megosztót a betáplálásnak és egy-egy keverőt a termékeknek. Ezután az első iterációban kiválasztunk egy még nem vizsgált megosztót és új szétválasztókat hozzunk létre hozzá. A szétválasztók kimeneteire egyenként meghívjuk az S_kimenet eljárást, amely most minden kimenethez egy új keverő, megosztó párt hoz létre, valamint a QMf halmazt is bővíti. Ezután a kiválasztott keverőt hozzákötjük a termék előtti megosztókhoz is, lásd 5.9. ábra.
116
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája A második iterációban tiszta terméket kell kezelnünk, amit csak a megfelelő keverőkkel kell összekötni, lásd 5.10. ábra. A harmadik iterációban is összekötjük a termékek előtti keverőkkel az aktuális megosztót, de új szétválasztókat is létre kell hozni. Tekintsük az S4-es szétválasztó kimeneteit. A felső kimenethez, az eddigiekhez hasonlóan létrehozunk egy megosztót és egy keverőt. Az alsó kimenet minőség vektora, [0, 0, c3, c4], azonban már létezik az S2 alsó kimeneténél, ezért S4 alsó kimenetét ide kötjük, lásd 5.11. ábra. Összesen 18 iterációt végzünk el, hogy megkapjuk a redukált szuperstruktúrát, lásd 5.12. ábra. [c1, 0, 0, 0]
S11
[2, 3, 5, 1] P1
[0, c2, c3, c4] [c1, c2, 0, 0] [10, 8, 12, 4] F1
S22
[3, 1, 2, 1] P2
[0, 0, c3, c4] [c1, c2, c3, 0]
[5, 4, 5, 2] P3
S33
[0, 0, 0, c4]
5.9. ábra: Redukált szuperstruktúra generálása: iniciálás és az 1. iteráció.
117
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája
[c1, 0, 0, 0]
S11
[2, 3, 5, 1] P1
[0, c2, c3, c4] [c1, c2, 0, 0] [10, 8, 12, 4] F1
S22
[3, 1, 2, 1] P2
[0, 0, c3, c4] [c1, c2, c3, 0]
[5, 4, 5, 2] P3
S33
[0, 0, 0, c4]
5.10. ábra: Redukált szuperstruktúra generálása: 2. iteráció.
118
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája
[c1, 0, 0, 0]
[0, c2, 0, 0] S42
S11
[0, c2, c3, c4]
[0, c2, c3, 0] S53
[2, 3, 5, 1] P1 [c1, c2, 0, 0] [10, 8, 12, 4] F1
S22 [3, 1, 2, 1] [0, 0, c3, c4]
P2
[5, 4, 5, 2] P3 [c1, c2, c3, 0]
S33
[0, 0, 0, c4]
5.11. ábra: Redukált szuperstruktúra generálása: 3. iteráció.
119
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája
[c1, 0, 0, 0]
[0, c2, 0, 0] S42 2 S10
S11
[0, c2, c3, c4]
[0, c2, c3, 0] S53
[2, 3, 5, 1] P1 [c1, c2, 0, 0]
S61
[10, 8, 12, 4] F1
S22
[0, 0, c3, c4]
[0, 0, c3, 0] S73
S81
[3, 1, 2, 1] P2
[5, 4, 5, 2] P3
[c1, c2, c3, 0]
S33
S92
[0, 0, 0, c4]
5.12. ábra: Redukált szuperstruktúra generálása: 18. iteráció, teljes szuperstruktúra.
Ezután következik a matematikai programozási modell felírása, amelyben a megosztók minden kimenetéhez tartozik egy betáplálási megosztás arány típusú változó. Jelen példánál az összes megosztó kapcsolatban van mindhárom termékkel és minden szétválasztóhoz kapcsolódik egy-egy megosztó kimenet. Ezt felhasználva a változók száma a redukált szuperstruktúra esetében 10*3+10 = 40, míg a hagyományosnál 27*3+13 = 94. A redukált szuperstruktúrához tartozó modellben az egyenletek száma 17-el kevesebb, mint a hagyományos esetben, mert ennyivel kevesebb a megosztók száma. A modell GAMS nyelvű megvalósítása megtalálható az elektronikus mellékletben. Az optimalizálás végrehajtása után az eredményül kapott hálózatot egyszerűsítésével kapjuk az optimális struktúrát, lásd 5.13. ábra. Az eredeti feladatot a hagyományos szuperstruktúrán alapuló módszerrel megoldva ugyanezt a megoldást kapjuk.
120
Az SNS-Multi feladat redukált szuperstruktúrája
xD1,M1 = 0, 2 xD1,M2 = 0,125
xD2 ,M3 = 0,083
xD1,M3 = 0, 417
[10, 8, 12, 4]
F1
D1
[2, 3, 5, 1]
xD1,M4 = 0,05
D2 S22
x
D1, S 2
1 S1-6
M4
[3, 1, 2, 1] xD2 ,M 4 = 0,125
P2
M2
= 0, 208
költség=37,966 $/s
P1
M1
D3
xD3 ,M 2 = 0,166 x 3 = 0,042 D3 ,S
[5, 4, 5, 2]
S73 D4 xD4 ,M2 = 0,083
M3
P3
xD4 ,M3 = 0,083
5.13. ábra: Az 5.6. feladat optimális struktúrája.
121
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel
6. SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel 6.1. Bevezetés Az SNS probléma a folyamatszintézis témakörébe tartozik. Ebben a fejezetben megvizsgálunk néhány a folyamatszintézisben használt eszközt, és hogy azok mennyire alkalmazhatóak SNS feladatok megoldására. A folyamat hálózat szintézis vagy angol elnevezés alapján process network synthesis, röviden PNS feladat célja, hogy adott anyagok és műveleti egységek felhasználásával, különféle termékek előállítására alkalmas hálózatokat generáljon. Friedler és munkatársai (1992a) gráfelméleti szempontból közelítették meg a feladatot, definiálták az egyes fogalmakat és axiómákkal jellemezték a megoldás struktúrákat. Ezekre az alapokra építkezve különféle algoritmusokat dolgoztak ki. A maximális struktúra generáló algoritmust (MSG), Friedler és munkatársai (1993), az összes megoldás struktúrát generáló algoritmust (SSG), Friedler és munkatársai (1992b), és az optimális struktúrát előállító algoritmust (ABB), Varga és munkatársai (1995). Egy PNS hálózat kétféle csomópontból áll, anyagokból és műveleti egységekből. Ezt a felosztást használva egy PNS hálózat leírható egy páros gráffal. Az anyagok lehetnek, alapanyagok, termékek vagy köztes anyagok. A maximálisan felhasználható mennyiséget az alapanyagok esetében lehet, az előállítandó mennyiséget pedig a termékeknél kötelező megadni. A műveleti egységek olyan eszközök, amelyek adott bemeneti anyagokból adott kimeneti anyagokat hoznak létre. Egy műveleti egység csak akkor működőképes, ha minden bemeneti anyag a rendelkezésére áll. Ekkor a bemeneti anyagokat az egység a rá jellemző arányok szerint fogyasztja és a kimeneti anyagokat is adott arányok szerint termeli. Ezek az arányok a műveleti egység nagyságával együtt határozzák meg, hogy az egyes ki- és bemeneteknek mekkora a folyama. A műveleti egység nagyságának lehet alsó, illetve felső korlátja. Az anyag típusú csomópontokra teljesül az anyagmegmaradás abban az értelemben, hogy a kimenő anyagok folyamainak az összege nem lehet nagyobb, mint a bemenőké. Ez a feltétel megengedi azt, hogy a bemenet egy részét eldobjuk. Az 6.1. ábra egy olyan műveleti egységet mutat be, amelynek 2 be- és 3 kimenete van. A műveleti egység élein a hozzá tartozó arányok szerepelnek. Az 6.2. ábrán egy PNS hálózat található, amely 3 műveleti egységből és 6 anyagból áll.
122
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel
M1
Bemeneti anyagok
M2
2
7
4 1
4
O1 Kimeneti anyagok
M3 M4 M5
6.1. ábra: Műveleti egység grafikus reprezentációja.
Nyersanyagok
M1 O1
M2
M3
O2 Termékek
M4 O3
M5
M6
6.2. ábra: PNS hálózat grafikus reprezentációja.
Az MSG algoritmus a rendelkezésre álló anyagokból és műveleti egységekből egy olyan struktúrát állít elő, amely minden lehetséges megoldás struktúrát tartalmaz. Az algoritmus két részből áll. A redukciós rész során eldobjuk azokat a műveleti egységeket, amelyek nem működhetnek, mert valamelyik bemenetük nem áll rendelkezésre. Az építő rész alatt a termékektől kezdve felvesszük azokat a műveleti egységeket, amelyek a még le nem gyártott anyagokhoz kellenek. Az SSG a maximális struktúrából kiindulva rekurzív módon generálja az összes lehetséges megoldás struktúrát. Ez a keresési tér, amelyből valamilyen szempont szerinti legjobb megoldást kell kiválasztani. PNS során általában költségre optimalizálunk, ahol a hálózat költsége az egyes műveleti egységek költségeinek az összege, plusz az alapanyagok ára. Egy műveleti egység költsége pedig annak méretétől függ. Az ABB algoritmus a korlátozás és szétválasztás elven működik, egy olyan gyorsítással, amely lehetővé teszi, hogy egy lépésben több műveleti egységet tudjunk bevenni vagy kizárni egy részleges megoldásba.
6.2. Tiszta termékes feladat Egy tetszőleges SNS feladatot nem lehet átalakítani PNS feladattá, mert PNS esetében az anyagpontok száma véges, általános SNS feladatnál azonban végtelen. Vegyünk egy csak két komponensből álló elegyet. A két komponens aránya végtelen féle lehet és minden arányhoz egy-egy anyagpont tartozik. A lineáris költségű szétválasztókat használó feladattípus esetében megmutattuk, hogy létezik olyan optimális megoldás, amelyben keverők csak közvetlenül a termékek előtt fordulnak elől. Ez azért fontos, mert a keverő az a műveleti egység, amely lényegileg megváltoztatja a folyamok összetételeit. A
123
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel megosztó nem változtatja az összetételt, az éles szétválasztó megváltoztatja ugyan, de úgy, hogy egy komponensáram értékét vagy 0-ra csökkenti, vagy nem módosítja. Ebből következik, hogy a korábban javasolt szigorú szuperstruktúrában csak véges sok összetétel, így véges sok anyag létezik. Például, ha egy nem termékhez kapcsolódó folyamban két komponens van jelen, akkor arányuk ugyanaz, mint a folyamhoz tartozó betáplálásban ugyanezen komponenseknek az aránya. Az állítás a redukált szuperstruktúrára is igaz. Ott keverők nem csak a termékek előtt helyezkednek el, de a belső keverőknek a bemenetei azonos összetételűek, így a kimenetükön nem jelenik meg új összetétel. Tekintsük először a tiszta termékes feladatot, amelyben nem kell biztosítani a termékekben a komponensek arányait. Az első lépésben meg kell határoznunk a PNS feladat bemenetét. Ehhez szükségünk van az SNS feladat szigorú szuperstruktúrájára. A szuperstruktúra minden folyamához felveszünk egy egyedi anyagpontot és minden szétválasztóhoz egy egyedi műveleti egységet. Ezekből a csomópontokból az MSG algoritmus ugyanolyan szerkezetű maximális struktúrát hoz létre, mint az SNS feladat szuperstruktúrája.
6.2.1. Három komponenst tartalmazó feladat Tekintsük a [10, 8, 12] betáplálást, amelyet komponenseire akarunk bontani, egy szétválasztó család tagjainak a felhasználásával. Ez egy 3C1FPP probléma. A szétválasztók adatai a 6.1. táblázatban találhatóak, a feladat szuperstruktúrája pedig a 6.3. ábrán látható. Az előző fejezetben beláttuk, hogy a redukált szuperstruktúra hatékonyabb, mint a hagyományos, ezért belőle kiindulva fogjuk létrehozni a PNS feladat alkotóelemeit. A 6.3. ábra minden minőség vektorához létrehozunk egy-egy anyagpontot, amelyeket a nem nulla értékű komponensáramai alapján nevezünk el, például c1c2. A [c1, 0, 0] vektor két helyen is megjelenik, de mivel ugyanahhoz a keverőhöz kapcsolódnak, ezért valójában csak egy anyagpontot alkotnak. A PNS feladat nyersanyagainak meg lehet adni egy maximális folyamértéket, ez legyen a nyersanyaghoz tartozó betáplálás komponensáramainak az összege. Hasonlóan, a PNS feladat termékeinek minimális folyam értéket kell biztosítani, ezek legyenek rendre a megfelelő SNS termékek komponensáramai. 6.1. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 6.2.1. feladatnál
Komponens sorrend Szétválasztó Teljes költségegyüttható ($/kg)
c1
c2 1
S 2
c3 2
S 3
124
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel [10, 0, 0] [c1, 0, 0]
P1
[0, c2, 0]
S1 [0, c2, c3] S2
[10, 8, 12] F1 [c1, c2, c3]
[0, 8, 0] [0, 0, c3]
[c1, c2, 0] S2
P2
[c1, 0, 0]
[0, 0, c3] S1
[0, c2, 0]
[0, 0, 12] P3
6.3. ábra: A 3C1FPP feladat szuperstruktúrája.
A szuperstruktúra minden szétválasztójához külön-külön hozunk létre műveleti egységeket, akkor is, ha azok ugyanolyan típusúak. A műveleti egységek elnevezésében megjelenítjük a szétválasztó bemenetének minőség vektorát, valamint, hogy hol történik a vágás, például c1|c2c3. Ezeket a szabályokat felhasználva 6 anyagot és 4 műveleti egységet hozunk létre, lásd 6.2. táblázat. A táblázatban megadjuk a műveleti egységek PNS szerinti definícióját, egy párt, aminek az első eleme a bemeneti, a második a kimeneti anyagok halmaza. Egy műveleti egység be- és kimenő éleihez tartozó arányokat a hozzá tartozó szétválasztó bemenetének komponens arányaiból határozzuk meg. Egy él arányszáma egyenlő a szétválasztóhoz tartozó betáplálás azon komponensáramainak az összegével, amelyek áthaladnak az adott élen. A PNS formalizmus megengedné, hogy az arányokat egyszerűsítsük, ekkor azonban elvesztenénk azt a hasznos tulajdonságot, hogy a PNS feladatot megoldva, egy műveleti egység mérete éppen a hozzátartozó szétválasztó bemenetének a betáplálási megosztás aránya. A műveleti egység költsége a hozzátartozó szétválasztó költségének és a szétválasztón maximálisan átmenő folyam nagyságának a szorzata. Ezt azért számoljuk így, mert egy szétválasztó költsége a bemenetének, a műveleti egység költsége pedig magának az eszköznek a nagyságától függ. A 6.4. ábra egy szétválasztót ábrázol az SNS-ben megszokottak szerint, valamint a neki megfelelő műveleti egységet.
125
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel 6.2. táblázat: A felhasználható csomópontok a 6.2.1. feladatnál
Anyagok Nyersanyagok Köztes termékek Végtermékek
c1c2c3 c1c2, c2c3 c1, c2, c3
Műveleti egységek PNS definíció Név ({c1c2c3}, {c1, c2c3}) c1|c2c3 ({c1c2c3}, {c1c2, c3}) c1c2|c3 ({c1c2}, {c1, c2}) c1|c2 ({c2c3}, {c2, c3}) c2|c3 [c1, c2, 0] [c1, c2, c3]
S2 költség: 3
[10, 8, 12] F1
D0
[0, 0, c3]
c1c2c3 30
költség: 90 c1c2|c3
18 12 c1c2
c3
6.4. ábra: Szétválasztó és vele ekvivalens műveleti egység.
A generált csomópontokból az MSG algoritmus előállítja a maximális struktúrát, lásd 6.5. ábra. A maximális struktúra nem tartalmaz expliciten megosztókat és keverőket. Egy olyan anyagpont azonban, amelynek egynél több bemenete van valójában egy keverőt is jelent, hasonlóan egy anyag kettő vagy több kimenettel egy megosztót is reprezentál. Mivel 4 műveleti egység van és egy egység vagy benne van egy megoldásban vagy nincs, maximálisan 24 fajta megoldás hálózat létezhet. Az SSG algoritmus az egységek egymásra épülését figyelembe véve 5 lehetséges struktúrát állít elő, lásd 6.6. ábra. A keresési tér szűkülése abból adódik, hogy az SSG kizárja a kombinatorikusan nem lehetséges struktúrákat. Például az a hálózat, amely a c1|c2c3 és a c1|c2 műveleti egységeket tartalmazza nem működőképes. Az SSG algoritmust általános PNS feladatokhoz készítették. Tudva, hogy most egy szétválasztási feladatról van szó az algoritmus hatékonysága fokozható. Azok a megoldások, amelyekben melléktermékek vannak jelen feleslegesek. Ilyen a 2-es struktúra, ahol a melléktermék c1c2 és a 4-es struktúra, c2c3-al. A lehetséges megoldások száma így 3-ra csökken. Nagyobb feladatoknál a keresési tér csökkenése arányaiban még nagyobb lehet. Az ABB algoritmus a lehetséges megoldások közül meghatározza az optimálist. Ez a 6.6. ábra 3. struktúrája. A célfüggvény értéke 120 $/s és a hálózatban lévő műveleti egységek mérete 1. A PNS hálózatot SNS hálózattá visszaalakítva kapjuk a 6.7. ábrát.
126
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel Ellenőrzésképpen megoldjuk az eredeti feladatot a 3. fejezetben bemutatott módszerrel. Ekkor is a 6.7. ábrán bemutatott hálózat a megoldás. c1c2c3 c1|c2c3
c1c2|c3 c1c2
c2c3 c2|c3
c1|c2 c2
c1
c3
6.5. ábra: A 6.2.1. feladat maximális struktúrája. c1c2c3
c1c2c3
c1c2c3 c1|c2c3
c1|c2c3
c1c2|c3 c1c2
c2c3
c2
c1c2
c2c3
c2|c3
c1|c2 c1
c1c2|c3
c3
c1
1)
c2|c3 c2
c3
2)
c3
3)
c1c2c3
c1c2c3
c1|c2c3
c1c2|c3 c2c3
c1|c2c3
c1c2
c2
c3
c1c2|c3 c2c3
c1c2
c2|c3
c1|c2 c1
c2
c1
c1
c1|c2 c2
c3
4) 5) 6.6. ábra: SSG által előállított lehetséges struktúrák a 6.2.1. feladatnál.
[10, 0, 0] P1
költség=120 $/s
[0, 8, 0] P2
[10, 8, 12] F1
S1
S2 [0, 0, 12] P3
6.7. ábra: 6.2.1. feladat optimális SNS struktúrája.
127
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel
6.2.2. Négy komponenst tartalmazó feladat Megvizsgálunk egy 4 komponenses tiszta termékes feladatot. Célunk az, hogy a [10, 8, 12, 4] folyamot alkotóelemeire bontsuk a 6.3. táblázatban lévő szétválasztók segítségével. A feladat redukált szuperstruktúrájából indulunk ki és az előzőekben bemutatottak szerint definiáljuk a benne lévő anyagokat és műveleti egységeket és ezek tulajdonságait. Ezután végrehajtjuk az MSG algoritmust, amelynek eredményét a 6.8. ábra mutatja. Az optimális struktúrát az ABB algoritmus segítségével határozzuk meg, lásd 6.9. ábra. Érdemes megjegyezni, hogy az ABB algoritmusnak van olyan megvalósítása, amely felismeri, hogy a műveleti egységek költségfüggvénye fix rész nélküli lineáris, így nem LP-k sorozatával, hanem egy darab LP-vel oldja meg a feladatot. Az optimális megoldás SNS hálózatként való megjelenítése a 6.10. ábrán található. 6.3. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 6.2.2. feladatnál
Komponens sorrend Szétválasztó Teljes költségegyüttható ($/kg)
c1 S1 2
c2
S2 3
c3
c4 S3 4
c1c2c3c4 c1|c2c3c4
c1c2|c3c4
c1c2c3|c4
c2c3c4 c2|c3c4
c1c2c3
c2c3|c4
c1|c2c3
c2c3
c1c2 c1|c2
c1
c2|c3
c2
c1c2|c3
c3c4 c3|c4 c3
c4
6.8. ábra: A 6.2.2. feladat maximális struktúrája.
128
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel c1c2c3c4 c2|c3
c1c2
c3c4
c1|c2
c1
c3|c4 c2
c3
c4
6.9. ábra: A 6.2.2. feladat optimális PNS struktúrája.
[10, 0, 0, 0] P1
költség=202 $/s S1
P2 [0, 8, 0, 0]
[10, 8, 12, 4] F1
S2
[0, 0, 12, 0] P3 S3
P4 [0, 0, 0, 4] 6.10. ábra: A 6.2.2. feladat optimális SNS struktúrája.
A feladat megoldható úgy is, hogy a hagyományos szuperstruktúrából indulunk ki. Az eddigiekhez képest, ekkor csak annyi a különbség, hogy mind az anyagok, mind a műveleti egységek elnevezése máshogy történik. Tudjuk, hogy a hagyományos szuperstruktúrában ugyanaz a minőség vektor több helyen is megjelenhet, ezért a csak a minőség vektor alapján történő anyag elnevezés nem lenne egyedi. Az egyik megoldás erre az, hogy az azonos összetételű anyagokat elhelyezkedés alapján különböztetjük meg, például c2c3_pos1, c2c3_pos2. Egy másik megoldás, hogy minden anyagnak sorszám alapján adunk egyedi elnevezést, például mat1, mat2. Hasonlóképpen biztosítani kell azt is, hogy a szétválasztók elnevezése is egyedi legyen. Ezután már használhatóak az MSG, SSG és ABB algoritmusok.
129
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel A feladatot úgy is el kezdhetjük, hogy nem az SNS szuperstruktúrából generáljuk a felhasználható anyagokat és a műveleti egységeket, hanem a feladat bemenetéből szisztematikusan állítjuk elő azokat. Ennél a példánál tudjuk, hogy a betáplálás 4 komponenses és csak egy szétválasztó család tagjait használhatjuk fel. Ezekből következik, hogy az anyagok között van 4 egykomponenses, c1, c2, c3, c4, 3 kétkomponenses, c1c2, c2c3, c3c4, 2 háromkomponenses c1c2c3, c2c3c4 és egy négykomponenses c1c2c3c4. Ezután minden 2-nél több komponenst tartalmazó anyaghoz létrehozunk szétválasztókat, egy n komponenst tartalmazó anyaghoz n-1-t. Például a c2c3c4 anyaghoz létrehozzuk a c2|c3c4, c2c3|c4 szétválasztókat. Az eljárást végrehajtva ugyanazokat az anyagokat és műveleti egységeket kapjuk meg, mint amikor az SNS feladata redukált szuperstruktúrájából indulunk ki.
6.2.3. A tiszta termékes feladat korlátjai Az SNS-Multi feladattípus nem tesz megkötést a betáplálások számára. Ezért érdekes megvizsgálni, hogy az eddig bemutatott, PNS feladattá történő átalakítás alkalmazható-e több betáplálás esetén. A válasz igen, az SNS szuperstruktúrából kiindulva ugyanúgy megfogalmazhatunk egy PNS feladatot, mint korábban, de az anyagok és műveleti egységek egyedi elnevezésére figyelnünk kell. Egy anyag nevének például tartalmaznia kell a minőség vektort és a betáplálást is, amiből származik, például F1_c2c3. Meg kell jegyeznünk, hogy mivel tiszta termékes, lineáris költségfüggvényű feladatot tekintünk, úgy is megkaphatjuk a megoldást, ha minden betáplálást külön-külön feladatnak fogunk fel. Ekkor ráadásul a végrehajtási idő is kisebb lesz, mert az eredeti feladatot dekomponáltuk. Az ABB algoritmus megengedi, hogy a műveleti egységek költsége fix részt is tartalmazzon. Nyilvánvaló kérdés, hogy PNS feladattá alakított SNS problémák esetén alkalmazható-e ez a lehetőség, hiszen adott egy hatékony matematikai megoldó. A válasz nem, mert a matematikai modell megoldása csak akkor megoldása az eredeti feladatnak, ha a matematikai modell egy bizonyítottan helyes strukturális modellen alapszik. Ilyen modell jelenleg nem ismert olyan szétválasztási probléma esetén, amelyben a felhasználható szétválasztók költségfüggvénye fix tagot is tartalmazhat.
6.3. Több szétválasztó család A következő lépés a módszer kiterjesztése több szétválasztó család figyelembe vételére. Most is kétféle képen indulhatunk el, vagy az SNS feladat hagyományos illetve redukált szuperstruktúrájából, vagy automatikusan generálhatjuk az előforduló anyagokat és műveleti egységeket. A műveleti egységeket úgy nevezzük el, hogy a név tartalmazza a szétválasztó típusát és bemenetének a nevét is. Ez azért szükséges, mert a korábbi nevezéktan nem eredményez egyedi elnevezéseket. Több szétválasztó család használata módosítja az anyagok és a műveleti egységek automatikus generálását. Egy anyagot nem
130
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel csak egymás melletti komponensek alkothatják, hiszen a c1c3 is érvényes anyagpont. Egy új műveleti egység létrehozásakor pedig megvizsgáljuk, hogy létezik-e már olyan műveleti egység, amelynek ugyanazok a ki- és bemenetei, mint az aktuálisnak. Ha igen, akkor csak olcsóbbat tartjuk meg. Ez valójában a 3-5. tétel szerinti egyszerűsítés. Előfordulhat, hogy a szisztematikus generálás során olyan anyagot hozunk létre, amelyet egyik műveleti egység sem tud létrehozni. Az MSG algoritmusnak azonban éppen az a lényege, hogy az ilyen felesleges csomópontokat kiszűrje.
6.3.1. Feladat Egy 3 komponenses tiszta termékes feladatot tekintünk, amelyben két szétválasztó család tagjait használhatjuk fel. Célunk a [10, 8, 12] folyam alkotóelemeire bontása, a 6.4. táblázatban lévő szétválasztók segítségével. Az egyszerűség kedvéért extra szétválasztók használatát most nem tekintjük. A feladat maximális struktúrája a 6.11. ábrán látható, az optimális megoldás pedig a 6.12. illetve 6.13. ábrákon. 6.4. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 6.3.1. feladatnál
a. család Komponens sorrend Szétválasztó Teljes költségegyüttható ($/kg)
c1 c2 c3 a1 S Sa2 2 3
b. család Komponens sorrend Szétválasztó Teljes költségegyüttható ($/kg)
c2 c3 c1 b1 S Sb2 5 1
c1c2c3 c1c2c3_Sb2
c1c2c3_Sb1
a2
c1c2c3_S c1c2
c1c3
c2c3
c2c3_Sa2
c1c2_Sb2
c1
c1c3_Sb2
c2
c3
6.11. ábra: A 6.3.1. feladat maximális struktúrája.
131
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel c1c2c3 c1c2c3_Sb2 c2c3 c2c3_S
a2
c2
c1
c3
6.12. ábra: A 6.3.1. feladat optimális PNS struktúrája.
[10, 0, 0] P1 [10, 8, 12] [0, 8, 0] P2
Sb2
F1
Sa2 költség=90 $/s
[0, 0, 12] P3
6.13. ábra: A 6.3.1. feladat optimális SNS struktúrája.
6.4. Kevert termékek Az SNS feladatok PNS feladattá történő konvertálása során eddig a tiszta termékes feladatokat tekintettük, először egy, aztán több szétválasztási család figyelembe vételével. Kevert termékek esetén az eddig használt megközelítés nem alkalmazható, mert új anyagokra van szükség, amelyek a termékeket reprezentálják. A termékek és a többi anyag közötti kapcsolatot új műveleti egységek, keverők valósítják meg. Ezek szerint 3 komponenses betáplálás esetén a maximális struktúra a 6.14. ábrán bemutatott módon nézne ki.
132
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel
6.14. ábra: Keverők és kevert termékek bevezetése a maximális struktúrába.
Megvizsgáljuk, hogy ez az ábra megfelelően reprezentálja-e az eredeti feladatot. A 6.5. ábrához képest az aktuális pluszban tartalmaz explicit keverőket, amelynek bemenetei a kikerülő folyamok és kimenetei a termékek. A kérdés tehát az, hogy az új műveleti egységek ténylegesen keverőknek tekinthetőek-e. Sajnos nem, mert egy műveleti egység csak akkor működőképes, ha az összes bemeneti anyagát előállítja egy másik műveleti egység vagy az nyersanyag. Ellenben egy keverő akkor is működik, ha a bemenetei anyagai közül csak egyetlen érhető el. Ezt az elvárást úgy teljesíthetjük, hogy a keverőt több műveleti egységgel valósítjuk meg. Az előbbi ábrán lévő keverők minden bemenetéhez felveszünk egy olyan műveleti egységet, amelyeknek egy bemenete és egy kimenete van, lásd 6.15. ábra. A keverőt alkotó műveleti egységekre egyenként továbbra is igaz, hogy csak akkor működnek, ha a bemenetüket előállítják vagy az nyersanyag. Mivel azonban a műveleti egységek önállóak, egynek a működése nem befolyásolja többiét.
6.15. ábra: Keverő megvalósítása több műveleti egységgel a maximális struktúrában.
133
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel Ez az elrendezés még mindig nem elégséges, mert nem tudjuk kikötni a termékek összetételét, csak azoknak a mennyiségét. A megoldás az, hogy egy termékeket annyi anyaggal reprezentálunk ahány komponenst tartalmaz. Amennyiben egy termék komponenseinek a nagyságát kikötjük, úgy egyúttal a kompozícióját is meghatározzuk. Ezek után a termékek előtti keverőket alkotó műveleti egységeket újraértelmezzük a következő módon. Egy ilyen műveleti egység a terméket alkotó anyagok közül azokhoz kapcsolódik, amelyek olyan komponenseket reprezentálnak, amik a műveleti egység bemenetében is jelen vannak. Ezeknek a műveleti egységeknek a költsége zéró, az éleikhez tartozó arányszámokat pedig ugyanúgy határozzuk meg, mint a többi műveleti egység arányszámát. Megállapíthatjuk tehát, hogy mind az SNS-Single, mind az SNS-Multi feladatosztály vizsgálható PNS eszközökkel. Nem szabad azonban elfelejteni, hogy a PNS feladattá történő átalakításhoz tudnunk kell az SNS feladat szuperstruktúráját. Amikor közvetlenül a bemenet segítségével definiáljuk az anyagokat és a műveleti egységeket, akkor is azt használjuk ki, hogy ismerjük a szuperstruktúra szerkezetét. Lényegében úgy jutunk el a megoldásig, hogy először előállítjuk a szuperstruktúrát, ez alapján definiáljuk a PNS csomópontjait, megoldjuk a PNS feladatot, majd az eredményt SNS struktúrává alakítjuk. Természetesen az SNS feladat közvetlen megoldása a 3. fejezetben bemutatott módszerrel hatékonyabb. A PNS-ben alkalmazott eszközök nem lettek felkészítve arra, hogy kihasználják az SNS jellegzetességeit, így például arra sincs lehetőség, hogy olyan termékeket határozzunk meg, amelyek komponensáramai nem konkrétan, hanem lineáris feltételekkel adottak.
6.4.1. Feladat Tekintsünk a 6.5. táblázat által meghatározott feladatot, amely egy háromkomponenses betáplálást és kettő kevert terméket tartalmaz. A termékek előállításához a 6.6. táblázatban szereplő szétválasztókat használhatjuk fel. Az SNS feladat redukált szuperstruktúrájából indulunk ki, amely alapján az előbbiek szerint definiáljuk az anyagokat és a műveleti egységeket. Mivel mindkét termék 3-3 komponenst tartalmaz, ezért így a hozzájuk tartozó anyagok elnevezései P1c1, P1c2, stb. Az SNS szuperstruktúra termék előtti keverőinek minden bemenetéhez hozzárendelünk egy-egy műveleti egységet, M1a, M1b, stb. Ezeknek a műveleti egységeknek annyi kimenetük van, ahány komponenst tartalmaz a bemenetük és a bemeneti komponensek határozzák meg azt is, hogy a kimenetek mely anyagokhoz kapcsolódnak a kérdéses termékben. Tekintsük például az M2c műveleti egységet, amelynek bemenete c2c3, amiből az következik, hogy két kimenete van, méghozzá P2c2 és P2c3. M2c éleinek arányszámait ugyanúgy számoljuk ki, mint a szétválasztókat reprezentáló műveleti egységek esetén, azaz bemenetén az arányszám 14, kimenetein pedig 5 és 9. A műveleti egység költsége nulla, hiszen az egy keverő reprezentációjának egy része és a keverők költsége nulla. A
134
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel definiált csomópontokból az MSG algoritmus a 6.16. ábrán lévő maximálás struktúrát állítja elő. Az ABB által meghatározott optimális struktúra a 6.17. ábrán látható, amely ekvivalens az SNS-Multi által adott megoldással, lásd 6.18. ábra. 6.5. táblázat: A betáplálás és a termékek komponensáramai a 6.4.1. feladatnál
F1 P1 P2
c1 (kg/s) 6 4 2
c2 (kg/s) 5 2 3
c3 (kg/s) 9 7 2
6.6. táblázat: A felhasználható szétválasztók a 6.4.1. feladatnál
Komponens sorrend Szétválasztó Teljes költségegyüttható ($/kg)
c1 c2 c3 S1 S2 4 2
c1c2c3 c1|c2c3
c1c2|c3 c2c3
c1c2
c2|c3 c1 M1a
M1b M1c
M1d M1e M1f
c1|c2 c2 M2a
c3 M2b M2c M2d M2e
M1
M2f
M2 P1 P1c1 P1c2 P1c3
P2 P2c1 P2c2 P2c3
6.16. ábra: Termék megvalósítása több anyaggal, a 6.4.1. feladat maximális struktúrája.
135
SNS feladatok vizsgálata PNS eszközökkel
6.17. ábra: A 6.4.1. feladat optimális PNS struktúrája.
xD1, M 2 = 0, 4 xD1, M1 = 0, 222
[6, 5, 9]
xD2 ,M 2 = 0,111 x
D2
D1
F1 x
D1 , S 2
D2 , S1
[4, 2, 7] P1
= 0, 267
S2
S1
költség=26,844 $/s
= 0,378
[2, 3, 2] P2
6.18. ábra: A 6.4.1. feladat optimális SNS struktúrája.
136
Összefoglalás
7. Összefoglalás Dolgozatomban a szétválasztási hálózatok szintézise témakört vizsgáltam. Egyik fő célom az volt, hogy rámutassak a több szétválasztó családon alapuló SNS feladatok fontosságára, és hogy kidolgozzak módszereket ilyen típusú feladatok megoldására. Az SNS-Single feladattípust, amely egyszerű, éles, lineáris költségű szétválasztókat használ fel, kiterjesztettem több szétválasztó család figyelembevételére. Elindultam az energiaintegráció megvalósítása irányába, azután vizsgáltam a két kiterjesztés kombinációját is. Kidolgoztam az SNS-Multi feladathoz egy kisebb szuperstruktúrát, amely lehetővé teszi nagyobb méretű feladatok megoldását. Ezek után az SNS feladatok PNS feladattá történő átfogalmazásával foglalkoztam. Munkám egyes lépései és a köztük lévő kapcsolatok a 7.1. ábrán láthatóak. PNS
hPNS
SNS-Single
hSNS-Single
SNS-Multi
hSNS-Multi kiterjesztés
hagyományos és kompakt szuperstruktúra
saját munka
átfogalmazás
7.1. ábra: Vizsgált témák.
A 3. fejezetben megfogalmaztam és megoldottam az SNS-Multi feladatot. Rámutattam arra, hogy a szakirodalomban korábban nem, vagy csak érintőlegesen foglalkoztak olyan szétválasztó hálózatokkal, amelyekben nem minden szétválasztó ugyanazon elv alapján működött. Az azonos fiziko-kémiai tulajdonságot felhasználó szétválasztók halmazát, szétválasztó családnak neveztem el. Célul tűztem ki, hogy megmutassam az olyan SNS feladatok fontosságát, amelyek megengedik több szétválasztó család tagjainak a felhasználását. Kiválasztottam a több betáplálásos, kevert termékes, lineáris költségű szétválasztókat alkalmazó SNS feladatot, amelyet egy szétválasztó család tagjainak a felhasználásával már megoldottak. A feladat több szétválasztó családos változatát SNS-Multi-nak neveztem el. Bebizonyítottam, hogy az SNS-Multi feladatosztály minden tagjának létezik körmenetes optimális megoldása, az egy szétválasztó családos változathoz hasonlóan. Ennek következménye, hogy mindig létezik olyan optimális megoldás is, amely keverőt csak a termékek előtt tartalmaz. Az ilyen típusú hálózatok uniójaként megadtam a feladat szigorú szuperstruktúráját és kidolgoztam egy algoritmust a szuperstruktúra közvetlen generálására. Javasoltam a
137
Összefoglalás szuperstruktúra azon részeinek az elhagyását, amelyek nem jelenhetnek meg optimális megoldásban. Bevezettem az extra szétválasztók fogalmát, amellyel olyan szétválasztókat jelöltem, amelyek a szétválasztóra jellemző komponens sorrend alapján nem szomszédos komponensek között vágnak. Megvizsgáltam a szétválasztó hálózatokra alkalmazható matematikai modelleket és közülük a betáplálási megosztás arányon alapulót adaptáltam az SNS-Multi szuperstruktúrájára. Elkészítettem a módszer számítógépes implementációját és öt példával demonstráltam annak alkalmazhatóságát. A 4. fejezetben az SNS-Multi energiaintegrált változatát oldottam meg. Rámutattam, hogy a szétválasztási és a hőcserélő hálózatok között szoros kapcsolat van, ezért érdemes megvizsgálni a két hálózat együttes generálásnak a lehetőségét. Az SNS-Multi előző fejezetben bemutatott szigorú szuperstruktúrájából indultam ki, amelyen azonosítottam a lehetséges hőforrásokat és hőnyelőket. Nem csak szétválasztók látens hőit tekintettem, ami a szakirodalomban megszokott, hanem figyelembe vettem a lehetséges hőáramokat, valamint külső forrásokat is. Megmutattam, hogy megosztó körül kétféleképpen is definiálhatóak a lehetséges hőáramok és meghatároztam, hogy melyik a kedvezőbb. Egy hatékony matematikai modell felírása érdekében a hőáramokat elemi áramokra bontottam a hőmérséklet intervallum diagram intervallum határainak az alapján. Az egymáshoz kapcsolódó elemi áramokból kompozit áramokat alkottam, hogy a hőcsere költségét pontosabban számíthassam. A strukturális modellhez elkészítettem egy matematikai modellt. A modell sok változót tartalmaz, mert a hőáramok és különösen a kompozit áramok figyelembe vételével a lehetséges hőcserék száma nagyon nagy. Másrészről viszont a modell lineáris, ezért többszázezer változó nagyságú feladatot is meg tudunk oldani belátható időn belül. Programot készítettem a módszer megvalósítására és a hatékonyságát több példával demonstráltam. Összehasonlítottam a soros és az integrált megoldás eredményét, amely megmutatta, hogy a költségcsökkenés igazolja az integráció szükségességét. Az 5. fejezetben az SNS-Multi feladatosztályhoz kidolgoztam egy új szuperstruktúrát, amely a hagyományosnál kisebb méretű, így a belőle származtatható matematikai modell gyorsabban megoldható, illetve nagyobb méretű feladatok is megoldhatóak segítségével reális időn belül. A hagyományos szuperstruktúrából indultam ki, és megvizsgáltam, hogy az milyen feltételek mellett egyszerűsíthető. A megoldás struktúra két szétválasztójának összevonhatóságára már a 3. fejezetben megadtam egy feltételt szövegesen, amit ebben a fejezetben egzakt módon, egyenletrendszer segítségével is megfogalmaztam. Az egyenletrendszer elemzése megmutatta, hogy az összevonás akkor is elvégezhető, amikor két azonos típusú szétválasztó bemeneteinek az összetételei megegyeznek. Felhívtam a figyelmet arra, hogy ezeket a feltételeket már a matematikai modell megoldása előtt tudjuk ellenőrizni. Redukált szuperstruktúrának neveztem el azt a struktúrát, amelyet úgy kaptam, hogy a hagyományos szuperstruktúrán elvégeztem az új típusú összevonásokat. A 138
Összefoglalás redukált szuperstruktúra azért előnyös, mert kevesebb megosztót tartalmaz, így a változók száma is kisebb. Kidolgoztam egy algoritmust, amely a hagyományos szuperstruktúra létrehozása nélkül, közvetlenül a feladat bemenetéből állítja elő a redukált szuperstruktúrát. Felírtam a redukált szuperstruktúrához tartozó matematikai modellt, amelyben egy megosztót és az előtte lévő keverőt egy egyenlet ír le. Összehasonlítottam a hagyományos és a redukált szuperstruktúra méretét, az általuk tartalmazott szétválasztók száma alapján. Mindkét szuperstruktúra méretét megadtam formulával, majd azokat egyszerűsítettem. Megállapítottam, hogy amíg a hagyományos szuperstruktúra mérete exponenciálisan növekszik a komponensszám változásával, addig a redukált szuperstruktúra esetén a növekedés csak köbös. A 6. fejezetben megvizsgáltam, hogy a PNS feladatokhoz kifejlesztett eszközöket és módszereket lehetséges-e és ha igen, akkor hogyan, alkalmazni SNS feladatokra. Megállapítottam, hogy habár az SNS a PNS feladatosztály része, mégis alapvetően különböznek egymástól. PNS feladatnál véges, SNS feladatnál végtelen számú anyag jelentkezhet. Megmutattam, hogy az általam vizsgált SNS-Multi feladatosztály esetén lehetséges egy SNS feladatot PNS feladattá alakítani. Ezt az tette lehetővé, hogy az SNS feladatnak két olyan szuperstruktúráját adtam meg, amelyben az anyagok száma véges. Részletesen leírtam, hogy az SNS szuperstruktúrából kiindulva, hogyan definiálhatunk anyagokat és műveleti egységeket, amelyek a PNS feladat bemenetei. Eljárást adtam ezeknek az anyagoknak és műveleti egységeknek az SNS feladat bemenetéből történő közvetlen generálásra is. Megmutattam, hogy az eredeti SNS feladat PNS feladattá alakítása után az MSG, SSG és ABB algoritmusok bizonyos megszorításokkal alkalmazhatóak. Ilyen megszorítás például az, hogy a műveleti egységek költségfüggvényeinek nem lehet fix része. Példákat adtam három és négykomponenses, tisztatermékes SNS feladatok átalakítására. Megmutattam azt is, hogyan kell bővíteni a módszert ahhoz, hogy több bemenetet, több szétválasztó családot illetve kevert termékeket is figyelembe lehessen venni.
139
Melléklet
8. Melléklet: Hőcsere módozatok összehasonlítása 8-1. tétel: A hőáramok a 8.1. a) ábra szerinti kiválasztása sosem rosszabb költség szempontjából, mint a b) elrendezés. (Konkrét hőmérsékletek csak a példa kedvéért vannak feltüntetve.) t4=110 °C
c1 c2 c3
g1(c, f1, t4-t5) F1 t5=60 °C
t5=60 °C
g2(c, f2, t3-t5)
t1=200 °C e
t4=110 °C
t2=170 °C g3(c, f1+f2, t4-t5)= g31(c, f1, t4-t5)+ g32(c, f2, t4-t5) F1 t5=60 °C
c1 c2 c3
t4=110 °C
g4(c, f2, t3-t4) t3=160 °C
c1 c2 c3
t3=160 °C
a)
c1 c2 c3
b)
8.1. ábra: Lehetséges hőcsere módozatok.
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy mindkét esetben ugyanazzal a hőforrással (e) elégítjük ki az energia igényeket. A következő egyenlőtlenséget akarjuk belátni. coste,g1+coste,g2£coste,g3+coste,g4
8.1.
Az e és g közötti hőcseréhez tartozó költséget az 8.2. egyenlet írja le.
coste, g =
Be , g U e , g × LMTDe, g
× qe, g
8.2.
Mivel a hőcsere költsége az átadott hőtől lineárisan függ, így coste,g3 = coste,g31 + coste,g32, ahol g31-t és g32-t úgy kapjuk, hogy g3-t megosztjuk f1:f2 arányban. Mivel g31=g1, így behelyettesítve és egyszerűsítve kapjuk a következő egyenlőtlenséget. coste,g2£coste,g32+coste,g4
8.3.
g2, g32 és g4 fajhői és folyamértékei megegyeznek, valamint g32 és g4 együttesen ugyanazt a hőmérséklet tartomány öleli fel, mint g2. A 8.3. egyenlőtlenség tehát azt fejezi ki, hogy egy hőmérséklet alapján kétfelé vágott folyam esetén, a két részen külön
140
Melléklet végrehajtott hőcsere nem olcsóbb, mint az eredeti folyamon végrehajtott hőcsere, lásd 8.2. ábra.
8.2. ábra: Hőátadás 2 illetve 1 hőcserélővel.
A 8.3. egyenlőtlenséget 8.2. segítségével kifejtve kapjuk:
Be, g 2 Be, g 4 c × f 2 × (t 3 - t 5) £ c × f 2 × (t 3 - t 4) + (t1 - t 3) - (t 2 - t 5) (t1 - t 3) - (t 2 - t 4) U e, g 2 U e, g 4 æ t1 - t 3 ö æ t1 - t 3 ö ln ç ln ç ÷ ÷ è t 2 - t5 ø è t2 - t4 ø Be, g 32 c × f 2 × (t 4 - t 5) (t1 - t 4) - (t 2 - t 5) U e, g 32 æ t1 - t 4 ö ln ç ÷ è t 2 - t5 ø
8.4.
Mivel ugyanolyan típusú hőcserélőket használunk a B-k megegyeznek, és mert a három folyam ugyanolyan összetételű az U-k és a fajhők is azonosak. Egyszerűsítés után kapjuk a következő egyenlőtlenséget.
æ t1 - t 3 ö æ t1 - t 3 ö æ t1 - t 4 ö ln ç ln ç ln ç ÷ ÷ ÷ è t 2 - t 5 ø (t 3 - t 5) £ è t 2 - t 4 ø (t 3 - t 4) + è t 2 - t 5 ø (t 4 - t 5) (t1 - t 3) - (t 2 - t 5) (t1 - t 3) - (t 2 - t 4) (t1 - t 4) - (t 2 - t 5)
8.5.
Az egyenlőtlenséget úgy bizonyítjuk, hogy megoldjuk a következő optimalizálási feladatot. Ha az optimális megoldás negatív, akkor a 8.6. egyenlőtlenség nem igaz, mert az azt jelenti, hogy van olyan eset, amikor egy nagy hőcserélő drágább, mint kettő kicsi. A probléma feltételei a termodinamika 2. tételéből adódnak.
141
Melléklet
æ t1 - t 3 ö æ t1 - t 4 ö æ t1 - t 3 ö ln ç ln ç ln ç ÷ ÷ ÷ t2 - t4 ø t 2 - t5 ø t 2 - t5 ø è è è min (t 3 - t 4) + (t 4 - t 5) (t 3 - t 5) 8.6. (t1 - t 3) - (t 2 - t 4) (t1 - t 4) - (t 2 - t 5) (t1 - t 3) - (t 2 - t 5) ahol t1 ³ t 2
8.7.
t3 ³ t 4
8.8.
t 4 ³ t5
8.9.
t2 ³ t4
8.10.
t1 ³ t 3
8.11.
A [200; 170; 160; 110; 60] kezdőpontból kiindulva az optimális célfüggvény érték 0 a [233,799; 233,799; 144,887; 105,884; 60,7] pontban, vagyis a tétel igaz. Mindazonáltal elegánsabb lenne a 8.5. egyenlőtlenséget algebrailag bebizonyítani, hiszen az optimalizálással történő bizonyítás csak akkor érvényes, ha az NLP megoldó bizonyosan megtalálta a globális optimumot. n
142
Új tudományos eredmények
Új tudományos eredmények Tézisek 1. Módszert dolgoztam ki a különböző fiziko-kémiai tulajdonságokat felhasználó, egyszerű, éles, lineáris költségfüggvényű szétválasztókon alapuló szétválasztási hálózatok szintézise feladat (SNS-Multi) optimumának meghatározására. 1.1. Egy adott tulajdonságon alapuló szétválasztók halmazát szétválasztó családnak neveztem el. Általánosítottam az SNS feladat fogalmát úgy, hogy több szétválasztó család is felhasználható a szétválasztó hálózatokban. 1.2. Algoritmust dolgoztam ki az SNS-Multi feladat szigorú szuperstruktúrájának meghatározására. Figyelembe vettem azt is, hogy adott megosztóhoz kapcsolódó különböző típusú szétválasztók előállíthatnak azonos összetételű folyamokat. Az algoritmus helyességét és végességét bizonyítottam. 1.3. Az egyszerű SNS feladatra vonatkozó, betáplálási megosztás arány alapú matematikai modellt terjesztettem ki az SNS-Multi feladatra. 2. A több szétválasztó energiaintegrációra.
családon
alapuló
SNS
feladatot
kiterjesztettem
2.1. Definiáltam az energiaintegrált SNS-Multi feladatot, amelyben a szétválasztó hálózatban fellépő energia költségek, a hozzájuk tartozó hőcserélő költségek és a szétválasztó költségek összegére kerestem az optimális megoldást. 2.2. Azonosítottam a szétválasztó hálózatban jelenlevő lehetséges hőáramokat és látens hőket. A hőáramokat elemi és kompozit áramokra bontottam úgy, hogy kombinatorikus módon figyelembe vehessem az összes lehetséges hőcserét. 2.3. Az egyébként nemlineáris matematikai modellt a 2.2. segítségével lineárissá tettem, amely általánosan alkalmazott optimalizálási eszközökkel megoldható. 3. Meghatároztam a több szétválasztó családon alapuló SNS feladat redukált szuperstruktúráját. 3.1. Az 1.2. szerinti szuperstruktúra olyan átalakítását azonosítottam, amely a szuperstruktúra szigorúságát megőrzi és egyúttal a kapcsolódó matematikai modell méretét csökkenti. 3.2. Algoritmust dolgoztam ki a redukált szuperstruktúra közvetlen generálására. 3.3. Megadtam a redukált szuperstruktúrán alapuló matematikai modellt. 143
Új tudományos eredmények 3.4. Meghatároztam az 1.2. szerinti és a redukált szuperstruktúra méreteinek felső korlátjait a szétválasztók számának függvényében. 4. Az egy és több szétválasztó családon alapuló SNS feladatot transzformáltam a folyamat hálózat szintézisből (PNS) ismert P-gráf módszertanra. 4.1. Összehasonlítottam az SNS és a P-gráf modelleket és megállapítottam, hogy az 1.2. illetve 3.2. pontokban bevezetett szuperstruktúrák PNS feladatokra transzformálhatóak. 4.2. Módszert dolgoztam ki a tiszta termékeket előállító SNS-Multi feladat P-gráf módszertanra történő konvertálására. 4.3. Algoritmust adtam a többkomponenses termékeket előállító SNS-Multi feladat P-gráf módszertanra történő transzformálására.
Theses 1. I have developed a method for determining the optimal solution of a separation network synthesis problem involving simple and sharp separators of different types (SNS-Multi), having linear cost functions. 1.1. I have defined the separator family to be a set of separators, which are effected by a single property. I have generalized the SNS problem so that separators from different separator families are available in separation networks. 1.2. I have developed an algorithm for generating the rigorous superstructure of the SNS-Multi problem. I have handled that case when separators connected to the same divider produce streams with identical composition. I have proved that the algorithm is correct and finishes in a finite number of steps. 1.3. I have extended the mathematical model of the simple SNS problem based on feed allocation ratio to the SNS-Multi problem. 2. I have extended the SNS problem comprising different separator families to energy integration. 2.1. I have defined the energy integrated SNS-Multi problem to determine the optimal solution for the sum of the cost of external energy consumed by the separation network, the costs of the heat exchanges, and that of the separators. 2.2. I have identified the candidate sources and sinks of sensible and latent heat in the separation network. I have partitioned the sensible heats into elementary and
144
Új tudományos eredmények composite streams in order to take into account systematically all possible opportunities for heat exchange. 2.3. I have linearized the otherwise non-linear mathematical model with the help of 2.2., so that it can be solved with commonly used optimization methods. 3. I have determined the reduced superstructure of the SNS problem comprising multiple separation methods. 3.1. I have identified such a transformation of the superstructure introduced in 1.2., which preserves its rigorousness and at the same time reduces the size of the corresponding mathematical model. 3.2. I have developed an algorithm for the direct generation of the reduced superstructure. 3.3. I have formulated the mathematical model of the reduced superstructure. 3.4. I have calculated the upper bound on the number of separators in the superstructure introduced in 1.2. and in the reduced superstructure. 4. I have transformed the SNS problem comprising a single or multiple separator families to the representation required by the P-graph methodology known from process network synthesis (PNS). 4.1. I have compared the SNS and P-graph models and concluded that the superstructures introduced in 1.2. and 3.2. can be transformed into PNS problems. 4.2. I have developed a method for transforming SNS-Multi problems producing pure products into P-graph methodology. 4.3. I have devised an algorithm for transforming SNS-Multi problems producing mixed products into P-graph representation.
A doktori képzés ideje alatt végzett publikációs tevékenységem Lektorált nemzetközi folyóiratcikkek 1. Heckl, I., Kovács, Z., Friedler, F., Fan, L. T., Liu, J., Algorithmic Synthesis of an Optimal Separation Network Comprising Separators of Different Classes, Chemical Engineering and Processing, in Press. (IF=1,159; 2005-ben)
145
Új tudományos eredmények 2. Heckl, I., Friedler, F., Fan, L. T., Integrated Synthesis of Optimal Separation and Heat Exchanger Networks Involving Separations Based on Various Properties, Heat Transfer Engineering, 26, pp. 25-41, 2005. (IF=0,495) 3. Strouvalis, A., Heckl, I., Friedler, F., Kokossis, A. C., An Accelerated Branch and Bound Algorithm for Assignment Problems of Utility Systems, Computers & Chemical Engineering, 26, pp. 617-630, 2002. (IF=0,784) 4. Strouvalis, A., Heckl, I., Friedler, F., Kokossis, A. C., Customized Solvers for the Operational Planning and Scheduling of Utility Systems, Computers & Chemical Engineering, 24, pp. 487-493, 2000. (IF=0,709) További lektorált folyóiratcikkek 1. Heckl, I., Kovács, Z., Friedler, F., Fan, L. T., Super-structure Generation for Separation Network Synthesis Involving Different Separation Methods, Chemical Engineering Transactions, 3, pp. S1209-S1214, 2003. 2. Strouvalis, A., Heckl, I., Friedler, F., Kokossis, A. C., An Accelerated Branch and Bound Algorithm for Assignment Problems of Utility Systems, Computer-Aided Chemical Engineering, 9, pp. S541-S546, 2001. 3. Heckl, I., Kovács, Z., Ercsey, Z., A matematikai szigorúság fontossága a kiindulási struktúra meghatározásakor szétválasztási hálózatok szintézise esetén (in Hungarian), Magyar Kémikusok Lapja, 56, pp. 372-377, 2001. Előadások nemzetközi konferencián 1. Weber, C., Heckl, I., Friedler, F., Maréchal, F., Favrat, D., Network synthesis for a district energy system: A step towards sustainability, presented at ESCAPE-16, Garmisch-Partenkirchen, Germany, July 9 - 13, 2006. 2. Heckl, I., Friedler, F., Fan, L. T., Algorithmic Synthesis of Optimal Heat Integrated Separation Networks, presented at PRES'03, Hamilton, Ontario, Canada, October 2629, 2003. 3. Heckl, I., Kovács, Z., Friedler, F., Fan, L. T., Super-Structure Generation for Separation-Network Synthesis Involving Different Separation Methods, presented at ICheaP-6, Pisa, Italy, June 8-11, 2003. 4. Holczinger, T., Heckl, I., Kokossis, A. C., Friedler, F., Accelerated contextual optimization for scheduling large-scale HPC liquid factories, presented at the AIChE Annual Meeting, Reno, NV, U.S.A., November 4-9, 2001. 5. Strouvalis, A., Heckl, I., Friedler, F., Kokossis, A. C., An Accelerated Branch and Bound Algorithm for Assignment Problems of Utility Systems, presented at ESCAPE-11 (Eleventh European Symposium on Computer Aided Process Engineering), Kolding, Denmark, May 27-30, 2001. 6. Strouvalis, A., Heckl, I., Friedler, F., Kokossis, A. C., Flexible Utility Networks for Maintenance and Operational Variations: A Customised Framework and an Accelerated Branch and Bound Algorithm, presented at the AIChE Annual Meeting, Los Angeles, CA, U.S.A., November 12-17, 2000.
146
Új tudományos eredmények 7. Strouvalis, A., Heckl, I., Friedler, F., Kokossis, A. C., Accelerated Branch and Bound Methods for Utility Network Optimisation, presented at the CHISA 2000 (14th International Congress of Chemical and Process Engineering), Praha, Czech Republic, August 27-31, 2000. 8. Strouvalis, A., Heckl, I., Friedler, F., Kokossis, A. C., Customized Solvers for the Operational Planning and Scheduling of Utility Systems, presented at the PSE 2000 (7th International Symposium on Process System Engineering), Keystone, CO, U.S.A., July, 16-21, 2000. 9. Strouvalis, A., Heckl, I., Friedler, F., Kokossis, A. C., The Design of Intelligent Optimization Solvers for Utility Networks, presented at the AIChE Annual Meeting, Dallas, TX, U.S.A., October 31 - November 5, 1999. 10. Strouvalis, A., Heckl, I., Friedler, F., Kokossis, A. C., Intelligent Solvers for Utility Networks, presented at the AIChE Annual Meeting, Dallas, TX, U.S.A., October 31 November 5, 1999.
147
Irodalomjegyzék
Irodalomjegyzék Aggarwal, A., Floudas, C. A., Synthesis of general distillation sequences – nonsharp separation, Computers & Chemical Engineering, 14, pp. 631-653, 1990. Aggarwal, A., Floudas, C. A., Synthesis of heat integrated nonsharp distillation sequences, Computers & Chemical Engineering, 16, pp. 89-108, 1992. Bamopoulos, G., Nath, R., Motard, R. L., Heuristic synthesis of nonsharp separation sequences, AIChE Journal, 34, pp. 763-780, 1988. Barbaro, A., Bagajewicz, M. J., New rigorous one-step MILP formulation for heat exchanger network synthesis, Computers & Chemical Engineering, 29, pp. 19451976, 2005. Biegler, L. T., Grossmann, I. E., Westerberg, A. W., Systematic methods of chemical process design, Prentice Hall PTR, 1997. Caballero, J. A., Grossmann, I. E., Generalized disjunctive programming model for the optimal synthesis of the thermally linked distillation columns, Industrial & Engineering Chemistry Research, 40, pp. 2260-2274, 2001. Caballero, J. A., Grossmann, I. E., Thermodynamically equivalent configurations for thermally coupled distillation, AIChE Journal, 49, pp. 2864-2884, 2003. Cerda, J., Westerberg, A. W., Mason, D. R., Linnhoff, B., Minimum utility usage in heat exchanger network synthesis: A transportation problem, Chemical Engineering Science, 38, pp. 373-387, 1983. Cheng, S-H., Liu, Y. A., Studies in chemical processes design and synthesis. 8. A simple heuristic method for the synthesis of initial sequences for sloppy multicomponent separations, Industrial & Engineering Chemistry Research, 27, pp. 2304-2322, 1988. Ciric, A. R., Floudas, C. A., Heat-exchanger network synthesis without decomposition, Computers & Chemical Engineering, 15, pp. 385-396, 1991. Cisternas, L. A., Guerrero, C. P., Swaney, R. E., Separation system synthesis of fractional crystallization processes with heat integration, Computers & Chemical Engineering, 25, pp. 595-607, 2001. Demicoli, D., Stichlmair, J., Novel operational strategy for the separation of ternary mixtures via cyclic operation of a batch distillation column with side withdrawal, Chemical Engineering Transactions, 3, pp. 361-366, 2003. Douglas, J. M., Conceptual design of chemical processes, McGraw-Hill, New York, 1988. 148
Irodalomjegyzék Douglas, J. M., Malone, M. F., Doherty, M. F., The interaction between separation system synthesis and process synthesis, Computers & Chemical Engineering, 9, pp. 447-462, 1985. Emtir, M., Rév, E., Mizsey, P., Fonyó, Z., Comparison of integrated and coupled distillation schemes using different utility prices, Computers & Chemical Engineering, S23, pp. 799-802, 1999. Ercsey, Z., Szétválasztási hálózatok szintézise: Feladatosztályok tulajdonságai, PhD disszertáció, 2000. Finn, A., Rapid assessment of thermally coupled side columns, Gas Separation & Purification, 10, pp. 169-175, 1996. Floquet, P., Domenech, S., Pibouleau, L., Aly, D. M., Some complement in combinatorics of sharp separation system synthesis, AIChE Journal, 39, pp. 975-978, 1993. Floudas, C. A., Separation synthesis of multicomponent feed streams into multicomponent product streams, AIChE Journal, 33, pp. 540-550, 1987. Fonyó, Z., Mészáros, I., Rév, E., Kaszás M., Pinch oriented synthesis strategy for multicomponent separation systems with energy integration, Hungarian Journal of Industrial Chemistry, 13, pp. 121-134, 1985. Fraga, E. S., McKinnon, K. I. M., Process synthesis using parallel graph traversal, Computers & Chemical Engineering, S18, pp. 119-123, 1994. Fraga, E. S., Zilinskas, A., Evolution of hybrid optimization methods for the optimal design of heat integrated distillation sequences, Advances in engineering software, 34, pp. 73-86, 2003. Friedler, F., Tarján, K., Huang, Y. W., Fan, L. T., Combinatorial algorithms for process synthesis, Computers & Chemical Engineering, S16, pp. 313-320, 1992. Friedler, F., Tarján, K., Huang, Y. W., Fan, L. T., Graph-theoretic approach to process synthesis: axioms and theorems, Chemical Engineering Science, 47, pp. 1973-1988, 1992. Friedler, F., Tarján, K., Huang, Y. W., Fan, L. T., Graph-theoretic approach to process synthesis: polynomial algorithm for maximal structure generation, Computers & Chemical Engineering, 17, pp. 929-942, 1993. Furman, K. C., Sahinidis, N. V., A critical review and annotated bibliography for heat-exchanger network synthesis in the 20th century, Industrial & Engineering Chemistry Research, 41, pp. 2335-2370, 2002.
149
Irodalomjegyzék Gadalla, M., Olujic, Ž., de Rijke, A., Jansens, P.J., Reducing CO2 emissions of internally heat-integrated distillation columns for separation of close boiling mixtures, Energy (In Press), 2006. Gomez, A. M., Seader, J. D., Separation sequence synthesis by a predictor based ordered search, AIChE Journal, 22, pp. 970-979, 1976. Gundersen, T., Naess, L., The synthesis of cost optimal heat exchanger networks, Computers & Chemical Engineering, 12, pp. 503-530, 1988. Hu, Z., Chen, B., He, X., Heuristic synthesis for multicomponent products with simple and sharp separators, Computers & Chemical Engineering, 17, pp. 379-397, 1993. Iwakabe, K., Nakaiwa, M., Huang, K., Nakanishi, T., Røsjorde, A., Ohmori, T., Endo A., Yamamoto T., Energy saving in multicomponent separation using an internally heat-integrated distillation column (HIDiC), Applied Thermal Engineering, 26, pp. 1362-1368, 2006. Kaibel, G., Distillation columns with vertical partitions, Chemical Engineering Technology, 10, pp. 92-98, 1987. Kim, Y. H., Choi, D. W., Hwang, K. S., Industrial application of an extended fully thermally coupled distillation column to btx separation in a naphta reforming plant, Korean Journal of Chemical Engineering, 20, pp. 755-761, 2003. King, C. J., Separation Processes, McGraw-Hill, New York, 1980. Kovács, Z., Ercsey, Z., Friedler, F., Fan, L. T., Exact super-structure for the synthesis of separation-networks with multiple feed-streams and sharp separators, Computers & Chemical Engineering, S23, pp. 1007-1010, 1999. Kovács, Z., Ercsey, Z., Friedler, F., Fan, L. T., Separation-network synthesis: global optimum through rigorous super-structure, Computers & Chemical Engineering, 24, pp. 1881-1900, 2000. Kovács, Z., Friedler, F., Fan, L. T., Parametric study of separation network synthesis: extreme properties of optimal structures, Computers & Chemical Engineering, S19, pp. 107-112, 1995. Kovács, Z., Friedler, F., Fan, L. T., Recycling in a separation process structure, AIChE Journal, 39, pp. 1087-1089, 1993. Kovács, Z., Szétválasztási rendszerek szintézise: Matematikai modell algoritmikus generálása, PhD disszertáció, 2000. Lin, B., Miller, D. C., Solving heat exchanger network synthesis problems with tabu search, Computers & Chemical Engineering, 28, pp. 1451-1464, 2004.
150
Irodalomjegyzék Linnhoff, B., Ahmad, S., Cost optimum heat exchanger networks - 1. Minimum energy and capital using simple models for capital cost, Computers & Chemical Engineering, 14, pp. 729-750, 1990. Linnhoff, B., Flower, J. R., Synthesis of heat-exchanger networks, part 1, systematic generation of energy optimal networks, AIChE Journal, 24, pp. 633-654, 1978. Linnhoff, B., Hindmarsh, E., The pinch design method for heat exchanger networks, Chemical Engineering Science, 38, pp. 745-763, 1983. Linnhoff, B., Mason D. R., Wardle, I., Understanding heat exchanger networks, Computers & Chemical Engineering, 3, pp. 295-302, 1979. Lu, M. D., Motard, R., Computer-aided total flowsheet synthesis, Computers & Chemical Engineering, 9, pp. 431-445, 1985. Mahalec, V., Motard, R. L., Procedures for the initial design of chemical processing systems, Computers & Chemical Engineering, 1, pp. 57-68, 1977. Mészáros, Cs., Fast cholesky factorization for interior point methods of linear programming, Computers & Mathematics with Applications, 31, pp. 49-51, 1996. Mizey, P., A Global Approach to the Synthesis of Entire Chemical Processes, PhD disszertáció, 1991. Mizsey, P., Fonyó, Z., A predictor-based bounding strategy for synthesizing energy integrated total flowsheets, Computers & Chemical Engineering, 14, pp. 1303-1310, 1990. Mizsey, P., Fonyó, Z., Toward a more realistic overall process synthesis—the combined approach, Computers & Chemical Engineering, 14, pp. 1213-1236, 1990. Muraki, M., Hayakawa, T., Separation process synthesis for multicomponent products, Journal of Chemical Engineering of Japan, 17, pp. 533-538, 1984. Muraki, M., Hayakawa, T., Synthesis of a multicomponent, multiproduct separation process with nonsharph separators, Chemical Engineering Science, 43, pp. 259-268, 1988. Muraki, M., Kataoka, K., Hayakawa, T., Evolutionary synthesis of a multicomponent, multiproduct separation process, Chemical Engineering Science, 41, pp. 1843-1851, 1986. Nagy, A. B., Adonyi, R., Halasz, L., Friedler, F., Fan, L. T., Integrated synthesis of process and heat-exchanger networks: algorithmic approach, Applied Thermal Engineering, 21, pp. 1407-1427, 2001. Nath, R., Motard, R. L., Evolutionary synthesis of separation processes, AIChE Journal, 27, pp. 578-587, 1981.
151
Irodalomjegyzék Papoulias, S. A., Grossmann, I. E., A structural optimization approach in process synthesis-ii: heat recovery networks, Computers & Chemical Engineering, 7, pp. 695706, 1983. Petlyuk, F. B., Platonov, V. M., Slavinskii, D.M., Thermodynamically optimal method for separating multicomponent mixtures, International Chemical Engineering, 5, pp. 555-561, 1965. Pettersson, F., Synthesis of large-scale heat exchanger networks using a sequential match reduction approach, Computers & Chemical Engineering, 29, pp. 993-1007, 2005. Proios, P., Goula, N. F., Pistikopoulos, E. N., Generalized modular framework for the synthesis of heat integrated distillation column sequences, Chemical Engineering Science, 60, pp. 4678-4701, 2005. Quesada, I., Grossmann, I. E., Global optimization of bilinear process networks with multicomponent flows, Computers & Chemical Engineering, 19, pp. 1219-1242, 1995. Rathore, R. N. S., Van Wormer, K. A., Powers, G. J., Synthesis of distillation systems with energy integration, AIChE Journal, 20, pp. 940-950, 1974. Rathore, R. N. S., Van Wormer, K. A., Powers, G. J., Synthesis strategies for multicomponent separation systems with energy integration, AIChE Journal, 20, pp. 491-502, 1974. Ravagnani, M. A. S. S., Silva, A. P., Arroyo, A. P., Constantino, A. A., Heat exchanger network synthesis and optimisation using genetic algorithm, Applied Thermal Engineering, 25, pp. 1003-1017, 2005. Rudd, D. F., Powers, J., Siirola, J. J., Process synthesis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1973. Seader, J. D., Westerberg, A. W., A combined heuristic and evolutionary strategy for synthesis of simple separation sequences, AIChE Journal, 23, pp. 951-954, 1977. Shah, P., Kokossis, A., Design targets of separator and reactor-separator systems using conceptual programming, Computers & Chemical Engineering, S21, pp. 10131018, 1997. Siirola, J. J., Rudd, D. F., Computer-aided synthesis of chemical process design, Industrial Engineering Chemical Fundamentals, 10, pp. 353-362, 1971. Sobocan, G., Glavic, P., A simple method for systematic synthesis of thermally integrated distillation sequences, Chemical Engineering Journal, 89, pp. 155-172, 2002.
152
Irodalomjegyzék Stephanopoulos, G., Westerberg, A. W., Studies in process synthesis—II: evolutionary synthesis of optimal process flowsheets, Chemical Engineering Science, 31, pp. 195-204, 1976. Thompson, R. W., King, C. J., Systematic synthesis of separation schemes, AIChE Journal, 18, pp. 941-948, 1972. Varga, J. B., Friedler, F., Fan, L. T., Parallelization of the accelerated branch-andbound algorithm of process synthesis: application in total flowsheet synthesis, Acta Chimica Slovenica, 42, pp. 15-20, 1995. Wahl, P. E., Lien, K. M., Combinatorial aspects of sharp split separation system synthesis, AIChE Journal, 36, pp. 1601-1604, 1990. Wang, K., Quian, Y., Yuan, Y., Yao, P., Synthesis and optimization of heat integrated distillation systems using an improved genetic algorithm, Computers & Chemical Engineering, 23, pp. 125-136, 1998. Wehe, R. R., Westerberg, A. W., An algorithmic procedure for the synthesis of distillation sequences with bypass, Computers & Chemical Engineering, 11, pp. 619627, 1987. Wehe, R., Westerberg, A., A bounding procedure for the minimum number of columns in nonsharp distillation sequences, Chemical Engineering Science, 45, pp. 111, 1989. Westerberg, A. W., Stephanopoulos, G., Shah, J., The synthesis problem with some thoughts on evolutionary synthesis in the design of engineering systems, in: W. R. Spillers: Basic questions of design theory, American Elsevier, 1974. Westerberg, A. W., The synthesis of distillation-based separation systems, Computers & Chemical Engineering, 9, pp. 421-429, 1985. Yee, T. F., Grossmann, I. E., Simultaneous optimization model for heat exchanger network synthesis, Chemical engineering optimization models with GAMS, CACHE6, 1991. Yeomans, H., Grossmann, I. E., Nonlinear disjunctive programming models for the synthesis of heat integrated distillation sequences, Computers & Chemical Engineering, 23, pp. 1135-1151, 1999.
153
Jelölésjegyzék
Jelölésjegyzék Azonosítók: ci Di Mi Oi SE Si
i. komponens i. megosztó i. keverő vagy i. anyag i. műveleti egység E típusú szétválasztó i. szétválasztó
Halmazok: A C CBS CLH
(a, b) irányított élek halmaza komponensek halmaza maradék hőáramokból képzett hideg elemi áramok halmaza látens hő nyelők halmaza (a hidegenergia szolgáltatókat nem beleértve) CNS hagyományos hőáramokból képzett hideg elemi áramok halmaza CU hidegenergia szolgáltatók halmaza CS hidegáramok halmaza CSLU = CSS È CLH È CU CSS hideg kompozit áramok halmaza D megosztók véges halmaza F betáplálások véges halmaza. FMe azon g Î CSLU halmaza, amelyekre lehetséges hőátadás e és g között, e Î HSLU FMg azon e Î HSLU halmaza, amelyekre lehetséges hőátadás e és g között, g Î CSLU G(N, A) hálózat HBS maradék hőáramokból képzett meleg elemi áramok halmaza HLH látens hő források halmaza (a melegenergia szolgáltatókat nem beleértve) HNS hagyományos hőáramokból képzett meleg elemi áramok halmaza HS melegáramok halmaza HSLU = HSS È HLH È HU HSS meleg kompozit áramok halmaza HU melegenergia szolgáltatók halmaza IM azon keverők halmaza, amelyek nem közvetlenül a termékek előtt vannak M keverők véges halmaza N csúcsok halmaza 154
Jelölésjegyzék P PM Q QMf S ST TD
termékek véges halmaza termékek előtti keverők halmaza minőség vektorok halmaza Ì Q´IM, " f Î F, olyan halmaz, amelynek elemei megadják, hogy egy keverő bemeneteinek mi a minőség vektora szétválasztók véges halmaza felhasználható szétválasztó típusok halmaza megosztók átmeneti halmaza
Paraméterek: Be,g [$/(m2 s)] CCUe [$/(kW s)] CHe,g [$/kJ] CSc [kJ/(kg °C)] CSi,j [kJ/(kg °C)] FEk,c [kg/s]
az egységnyi hőcserélő felület költsége, e Î HSLU, g Î CSLU az e energiaszolgáltató költségegyütthatója a qe,g hőcsere eredő költségegyütthatója, e Î HSLU, g Î CSLU a c komponens fajhője az (i, j) Î D × (M È S) folyam fajhője a k betáplálás c komponensárama
I [-] Lg [kJ/kg]
egység mátrix a g látens hő paramétere
Li [-]
egy szétválasztó i. kimenetére jellemző mátrix
LMTDe,g [°C] n [-] PLHg [kJ/kg] PRq,c [kg/s] Rn,e [-] STLt [-] STUt [-] Te,in [°C] Te,out [°C] Ue,g [kW/(m2 °C)] ΔTmin [°C]
e és g hőmérséklet különbségeinek logaritmikus közepe, e Î HSLU, g Î CSLU komponens szám a g látens hő paramétere (párolgáshő, reakcióhő, stb.) a q termék c komponensárama az n komponens és e kompozit áram aránya a t szétválasztó típus alsó kimenetéhez tartozó mátrix a t szétválasztó típus felső kimenetéhez tartozó mátrix az e hőáram bemeneti hőmérséklete az e hőáram kimeneti hőmérséklete hőátbocsátási együttható, e Î HSLU, g Î CSLU minimális hőmérséklet különbség
Változók: qe,g [kW] qlhg [kW] qnse [kW] xi,j [-] f a [kg/s]
az átszármaztatott hő nagysága e Î HSLU és g Î CSLU között a g látens hő energia tartalma az e elemi hő energia tartalma az (i, j) Î A folyamhoz tartozó betáplálási megosztás arány az a folyam komponensáram vektora
f a ,i [kg/s]
az a folyam i. komponensárama
155
Jelölésjegyzék
lbi [-]
egy megosztó bi elnevezésű kimenetéhez tartozó megosztási arány
ta [kg/s] za,i [-]
az a folyam teljes nagysága az i. komponens aránya az a folyamban
Operátorok: ì1 δ(n1, n 2)= í î0
ha létezik út n1és n 2 között G -ben
ì1 ï δ(n1, n2, c)= í ï0 î
egyébként
first(n) next(n) prev(n) prev2(n) prev3(n) qv(a)
ha létezik olyan út n1és n2 között G -ben, amely teljes hosszában tartalmazza c komponenst egyébként az n-t tartalmazó út első csúcsa az n-t követő csúcsok halmaza az n-t megelőző csúcsok halmaza prev(prev(n)) prev(prev2(n)) az a élhez tartozó minőség vektor
156
