SZENT ISTVÁN EGYETEM
Fa, mint energetikai növény szárításának és a szárítás méréstechnikai problémáinak vizsgálata Doktori értekezés Seres István
Gödöllő 2003
SZENT ISTVÁN EGYETEM
Fa, mint energetikai növény szárításának és a szárítás méréstechnikai problémáinak vizsgálata Doktori értekezés Seres István
Gödöllő 2003
A doktori iskola megnevezése: Műszaki Tudományi Doktori Iskola
Tudományága:
Agrárenergetika és Környezettechnika
Vezetője:
Dr. Szendrő Péter egyetemi tanár, DSc SzIE Gépészmérnöki Kar Géptani Intézet
Témavezető:
Dr. Farkas István, egyetemi tanár, DSc SZIE Gépészmérnöki Kar, Fizika és Folyamatirányítási Tanszék
Az iskolavezető jóváhagyása
A témavezető jóváhagyása
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Tartalomjegyzék
Oldal 5
1. Bevezetés 2. Irodalmi áttekintés
9
2.1 A víz tárolása az anyagban, a száradási folyamat szakaszai
9
2.2 A szárítás modellezése
11
2.3 A szárítandó anyag hő- és anyagtranszport tulajdonságai
14
2.4 A hőmérsékletmérés módszereinek irodalmi áttekintése
14
2.5 A termoelem
21
2.6 A referenciapont megvalósításának lehetősége
26
2.7 A termofeszültség értelmezése a klasszikus fizika alapján
30
2.8 A termoelem közelítő függvénye a klasszikus irodalom alapján
33
2.9. Probléma a klasszikus közelítéssel
35
2.10. A Fermi Dirac statisztika
36
2.11. Termoelektromos alapjelenségek
40
2.12. Termoelektromos kapcsolat az Onsager-elv alapján
42
3. Anyag és módszer
47
3.1 A száradást leíró fizikai alapú modell differenciálegyenlet rendszerének felállítása
47
3.2 Az alkalmazott numerikus megoldási módszerek: végeselem, véges differencia módszer
53
3.3 A fűzfa száradásának mérése
62
3.4 Kiegészítő mérések a fűzfa száradáshoz
64
3.5 A termofeszültségre vonatkozó függvényegyenlet rendszer matematikai kiértékelése
68
1
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
4. Eredmények
70
4.1 A választott geometriára felírt numerikus modellek összehasonlítása, a feladat szempontjából legalkalmasabb módszer kiválasztása
70
4.2 Egy gyakorlati esetre vonatkozó kombinált peremfeltétel megalkotása
73
4.3 A villamos ellenállással való analógián alapuló kétrétegű ellenállásmodell
80
4.4 A mérési eredmények és az azonos paraméterekkel futtatott elméleti szárítási modell összevetése
83
4.5 A szárítási modell alkalmazása hosszú idejű szárítás modellezésére
84
4.6 A termofeszültség függvény függvényegyenletek alapján
a
89
4.7 A termofeszültség keletkezésének elmélete a Fermi Dirac statisztika alapján
90
4.8 Új közelítő függvény a fémek potenciálkád modellje alapján
95
4.9 A kapott közelítő függvény ellenőrzése az alapazonosságokra
99
4.10 Termoelemes mérőkör hibaanalízise
100
4.11 A termoelemes mérőkörnél a kapott termofeszültség függvényének a termoelem kalibrációs adatokkal való összevetése
105
4.12 Az irodalomból már ismert modellekkel való összehasonlítás
108
4.13 Referenciapont nélküli termoelemes mérőkör és szoftver
114
4.14 Termoelemes mérőkör használata vákuumhűtésnél
117
5. Tézisek
121
6. Következtetések és javaslatok
123
7. Összefoglalás
124
8. Summary
126
Jelölésjegyzék
128
Mellékletek
130 2
meghatározása
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
A felhasznált irodalom
130
A kutatási témával kapcsolatos saját irodalom
137
Matlab programlisták:
139
Data3.m
139
difmod1.m
141
difpart.m
142
difmodfi.m
143
Termofeszültség táblázatok
144
Köszönetnyilvánítás
145
3
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
4
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
1
BEVEZETÉS
A téma aktualitása, jelentősége Az utóbbi időben egyre fontosabb szerephez jutó szemléletváltás miatt mind nagyobb hangsúlyt kap az energiafelhasználás racionalizálása, illetve a szénhidrogén alapú energiaforrásoknak a megújuló energiaforrásokkal való helyettesítése. Ez utóbbi kérdés megoldása mind nagyobb figyelmet, és az egyre fontosabb környezetvédelmi szempontok miatt is igen nagy szerepet kell(ene) hogy kapjon, hiszen közismert, hogy a fejlett világban a növekvő energiafelhasználás miatt az ilyen irányú törekvések ellenére is nő a kibocsátott szennyező anyagok abszolút mennyisége. Napjainkban a médiában is mindennapi információvá válnak az üvegházhatás következményei, a légkör melegedésének bizonyítékai. Ebből a szempontból a biomassza felhasználás igen kedvező, hiszen az energiatermelés során felszabaduló szennyező anyagok (pl. CO2) kibocsátása a fa növekedése során felvett anyagokból áll, vagyis ezen anyagokra nézve a biomassza felhasználás néhány éves periódusidejű zárt ciklust jelent, ami a légkörben felhalmozódó szennyező anyagok mennyiségét nem növeli (szemben például a szénhidrogénekkel). Ezen felismerés alapján nagyon sok országban, kutatásokat folytatnak az energetikai céllal termesztett növények felhasználására. Az energiaerdő fájának kiválasztásához nagyon sokrétű szempontrendszert kell tekintetbe venni. A legfontosabb szempontok között szerepel a gyors növekedés, az hogy a növény ne igényeljen jó minőségű termőföldet, a kedvező száradási paraméterek, s mivel az így termelt fát általában energiatermelésre használják fel, a nagy fűtőérték. Hollandiában például (azért ezt az országot választom példaként, mert innét személyes tapasztalataim vannak) a tengertől elhódított területeken (poldereken) a mezőgazdasági termelés megindulása előtt nagyon sok helyen termesztenek energianövényeket (elsősorban fűzfát illetve Mischantust). Ebben a dolgozatban a fűzfával, pontosabban annak száradásának modellezésével foglakozom. A kutatás kísérleti hátterét a wageningeni IMAG-DLO kísérleti eszközei, illetve a hozzá tartozó, a poldereken levő farm jelentette, ahol mintegy 600 hektár területen termesztenek fűzfát energetikai céllal. A dolgozatban bemutatott munka a hollandiai példán alapul, de az energiaárak növekedése, a mezőgazdasági termelésből kivont területek egyre nagyobb volta Magyarországon is mind reálisabbá teszi a tudatos biomassza termelés elterjedését. Ezt igazolja az utóbbi időben egyre több helyen nyilvánosságot kapó, s az országban több helyen is megkezdett energiaerdő program, például a szombathelyi távfűtű vagy bizonyos erőműveknél az energiaerdő fájának a hasznosítása. Az ebben rejlő lehetőségeket az egyre könnyebben elérhető papír alapú irodalom 5
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
(Kacz-Neményi, 1998), és az elektronikus megjelenés is segíti (http://www.energyforest.com), bár ez utóbbi engyenlőre inkább csak angolul. A fenti kérdéskörhöz az elvégzett kutatási tevékenység több ponton is kapcsolódik. Az egyik fontos kapcsolódási pont az, hogy az energetikai felhasználás céljából folyó biomassza termelés betakarítás utáni egyik fontos művelete a szárítás, amelynek modellezése adja a munka egyik részét. Az energiaerdő fáját pl. a fűzfát (fajtától függően) általában három-öt éves korában vágják ki, és energiatermelésre használják. A frissen kivágott fa nedvességtartalma azonban nagyon magas (szárazanyag-tartalomra vetítve általában 1 feletti), így az azonnali felhasználás nem lehetséges. Ez egyrészt az égetéskor keletkező környezeti hatás miatt (nagy füst) van, másrészt amiatt, hogy a magas nedvességtartalom esetén a keletkező hő tetemes része fordítódik a fában meglévő víz elpárologtatására, ami komoly hőveszteséget okoz. A betakarítás általában a fa nyugalmi állapotában (tehát télen) történik. A betakarítástól a felhasználásig terjedő időszakban a fát 2-3 m magas, 8-10 m széles farakatokban halmozzák fel, maguk a fatörzsek, ágak 4-6 m méter hosszúak. A szárítási technológia fejlesztéséhez általában szükség van a szárítási folyamat során lezajló folyamatok minél pontosabb ismeretére. Ez egyrészt a fizikai folyamatok megfelelő szintű elméleti modelljeinek felépítésével lehetséges, de a modelleknek a valóságban végbemenő folyamatokkal való összevetéséhez, a modellek érvényességének ellenőrzéséhez mindenképpen szükség van a megfelelő pontosságú méréseket tartalmazó kísérletekre. A szárítási folyamatok során általában a szárítandó anyag diffúziós tényezője és a nedvességtartalma, a szárító levegő hőmérséklete, sebessége és relatív nedvességtartalma játszik jelentős szerepet. Ezeknek a mennyiségeknek a mérésére megvannak a hagyományos mérési eljárások. A nagyszámú mérést lehetővé tevő automatikus – általában számítógéppel vezérelt és végzett – méréseknél azonban közvetlen villamos jel mérésére van szükség, ami néhány esetben (pl. a szárítandó termék nedvességtartalmának megállapításánál), a hagyományos módon nem megoldott, a példaként említett nedvességtartalmat is általában közvetett módon (pl. tömegméréssel) határozzák meg. A dolgozatomban nem csak a szárítás modellezésével, hanem a felsorolt mennyiségek méréstechnikájával is foglalkozom. Munkám során többféle érzékelő (termoelem, alacsony sebességtartományú légsebességmérő, termék nedvességtartalom mérés optikai úton) vizsgálatával foglalkoztam, amelyek közül a dolgozatban a hőmérsékletmérést emeltem ki, a többi méréstechnikai problémára jelen dolgozatban –elsősorban terjedelmi okokból- nem térek ki.
6
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Ugyanakkor a szárítás, mint technológiai folyamat általában is szorosan kapcsolódik az energiafelhasználás kérdésköréhez tekintve annak igen nagy energiaigényét. Vagyis a szárítás nem csak a biomassza szárítás folyamataival, hanem általánosan a szárítási technológia fejlesztésével is szorosan kapcsolódik az energia-racionalizáláshoz. Célkitűzések A biomassza relatív alacsony energiatartalma a mesterséges szárítást nagyon költségessé teheti, érdemes tehát megfontolni a természetes száradási folyamat beiktatását, még az aránylag csapadékos területeken is. A jelen dolgozatban nem tárgyalt, de az energiaerdőnek a többi energiaforrással való összevetésében a gazdasági szféra szempontjából fontos kérdés, hogy a fa természetes száradása (száradni hagyni a földeken kb. egy évig, a következő fűtési szezonig), vagy a mesterséges szárítás (olyan nedvességtartalomra szárítani rögtön a betakarítás után, hogy még az adott fűtési szezonban felhasználható legyen) kifizetődőbb-e. A gazdaságossági számításokat természetesen meg kell előznie a folyamat jellemző tulajdonságainak megismerésének, azonban az ezzel kapcsolatos kísérletek nagyon időigényesek a kísérletek hosszú időtartama (pár hónap – 1 év), illetve az évről évre különböző időjárási viszonyok miatt. Emiatt merült fel a numerikus modellezés gondolata, ahol az ilyen jellegű modell lefuttatása a kísérlethez képest nagyságrendekkel rövidebb idejű. Ráadásul a modellbe tetszőleges környezeti paraméterek betáplálhatóak, így például a környezeti hatásokra való érzékenységvizsgálat is elvégezhető. Az egyik célkitűzésem tehát egy száradási modell kidolgozása volt először egy idealizált háncs nélküli farönkre, majd ebből általánosítva egy hánccsal együtt száradó fára, s végül egy farakatra. A következő célkitűzés a problémának legmegfelelőbb modellezési eljárás kiválasztása (fizikai alapú, „black box”, stb.). A modellválasztásban fontos szempont, hogy hosszú távú kísérleti eredmények nem álltak a rendelkezésemre, ugyanakkor a fa anyagi állandóinak meghatározására vonatkozó kísérleteket tudtam végezni, a szükséges eszközök (szárítókamra, hőmérséklet és nedvességtartalom stabilizálását lehetővé tevő szárítótér, megfelelő pontosságú mérlegek, a szorpciós izoterma méréséhez szükséges vegyszerek) rendelkezésemre álltak. A folyamat modelljének felépítésével (megfelelő kontrollmérések és a különböző szintű kísérleti ellenőrzések után) ugyanakkor a szárítás optimalizálása (milyen geometriában és milyen fekvés esetén érhető el a leghatékonyabb szárítás) már számítógépes úton, a kísérleteknél sokkal gyorsabban és kevesebb energia-befektetéssel elvégezhető. A szárításhoz kapcsolódó méréstechnikai problémák közül terjedelmi 7
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
okokból a disszertációban csak a hőmérsékletmérés problémájával kívánok részletesen foglalkozni Az adatgyűjtéssel egybekötött hőmérsékletmérés általában villamos mérőérzékelővel, jellemzően ellenállás-hőmérővel vagy termoelemmel oldható meg a legegyszerűbben. Az előbbi nagy stabilitású tápfeszültséget és pontos ellenállásmérést igényel, míg a termoelem maga állítja elő a feszültséget, bár kis hőmérsékletkülönbségek mérése termoelem esetén is csak megfelelő érzékenységű műszerrel lehetséges. Célkitűzésem megmutatni, az irodalomban a termoelemre használt termofeszültség - hőmérséklet összefüggés ellentmond az alapvető fizikai összefüggéseknek. Megfelelő matematikai pontosság esetén a közelítő függvény hibája miatt a mérés hibája általában nem módosul jelentősen, a mérési pontosság növelése azonban csak elméletileg jó modell alapján lehetséges. Miután az általánosan használt közelítő függvény elméletileg helytelen, célkitűzésem egy, az elmélettel összhangban levő közelítő függvény alak megkeresése, amely jobb közelítést ad, mint a jelenleg használt összefüggés.
8
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
2
IRODALMI ÁTTEKINTÉS
A kutatással kapcsolatos érdemi munka előtt először a szakirodalomnak a témával kapcsolatos részét tekintettem át, amelynek a munkámmal kapcsolatos vonatkozásait emelem ki. Részben azokat a fontosabb megállapításokat, amelyeken a saját munkám alapszik, másrészt kitérek azon pontokra is, amelyeket saját eredményeim nem igazoltak. Szárítási problémák A bevezetésben megfogalmazott célok megvalósításához először a szakirodalomban megtalálható, a feladathoz kapcsolódó információk összegyűjtése történt meg, hiszen ezek hozzásegítettek a cél eléréséhez szükséges eszközök alaposabb megismeréséhez, a célok pontosításához, illetve a kutatási módszerek kiválasztásához. Számos irodalom foglalkozik a szárítás folyamatának, a száradás anyagának és módszereinek vizsgálatával. Az általános művek mellett az irodalomban található művek egy jó része a szárítási probléma valamely részterületével foglalkozik, s a fizika jellemzők mellett a beltartalmi változásokat is vizsgálja (Lengyel, 1997). Mivel a fa szárítása során a leggyakrabban a konvektív szárítási módot alkalmazzák, ezért ennek a szárítási eljárásnak a szakirodalmát tekintettem át. A szakirodalom elemzése során a következő fontosabb kérdéseket vizsgáltam: • A lehetséges szárítási technológiákat, • A száradás modellezésére használatos módszereket, • A szárítandó anyag hő- és anyagtranszport jellemzőit, az azok mérésére használatos módszereket, • A konvektív szárítás kapcsán publikált kísérleteket és az elért kutatási eredményeket. Mivel a szárításnak nagyon széleskörű irodalma van a mezőgazdasági anyagok szárításával kapcsolatban, s az ott elért tudományos eredmények sokszor más anyagok (pl. a fa) szárítási problémáinak megoldásánál is felhasználható, az irodalom-feldolgozás során ezeket a műveket is feldolgoztam. 2.1 A víz tárolása az anyagban, a száradási folyamat szakaszai A biológiai rendszerekben tárolt víz mennyisége nagyon fontos szempont a termék tárolhatósága, feldolgozása, felhasználása, stb. szempontjából. SITKEI (1986) a víz tárolásának két alapvetően különböző módját írja le, alapvető különbséget téve a molekulárisan és a kapillárisan kötött víz között. 9
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
A molekulárisan kötött víz (a molekulát körülvevő pár molekula vastag vízréteg) esetén a fizikai jellemzők is mások, mint a szabad víz esetén. A kapillárisan kötött víz esetén viszont felületi feszültségből eredő erőhatások érvényesülnek, befolyásolva például a kapillárisban kialakuló telített gőznyomást. BEKE(1997) a BET multimolekuláris elmélet alapján a kötött vizet további rétegekre osztja, de hangsúlyozza, hogy mivel a szabad víz vesz csak részt a kémiai, illetve enzim reakciókban, a minőségmegőrzés céljából végzett szárításnál a szabad vizet kell eltávolítani. SZŐKE (1974) ismerteti, hogy a fának óriási belső felülete van (fajtától függően 75-500 m2/cm3), s részint az üregekben érvényre jutó felületi erők miatt, részint a pedig a cellulóz és hemicellulóz molekulák OH gyökei miatt a faanyag természetes állapotban mindig tartalmaz nedvességet, amely nedvesség csak 100-105°C-os tartós hevítéssel távolítható el. Ez a vízmennyiség a száraz faanyag súlyának kb. 6 %-a. Emellett a fa higroszkópos tulajdonságú is. A víztárolás elmélete alapján az irodalomban a száradási folyamatnak általában három fő szakaszát különböztetik meg SITKEI (1986), BEKE (1977): •
a kezdeti vagy konstans száradási sebesség szakaszát azzal magyarázza, hogy ilyenkor a felületen telített levegőréteg alakul ki, amely a felületen levő nedvesség párolgását limitálja. A száradási sebesség ilyenkor a nedvességnek a levegőben való mozgásától függ, állandó száradási sebességgel jellemezhető.
•
A második szakaszban, amikor a felületi nedvességtartalom az egyensúlyi nedvességtartalom értéke alá süllyed, a diffúzió válik a meghatározó tényezővé, a száradási sebesség csökken, ilyenkor a szárító levegő sebességétől és nedvességtartalmától a folyamat sebessége gyakorlatilag független.
•
A harmadik szakaszban, mikor a kapillárisokban levő víz eltávozott az anyagból, a víztartalom a higroszkopikus érték alá csökken, a száradás sebessége aszimptotikusan tart a nullához. Mivel ez az állapot csak állandó szárítással tartható fenn (egyébként bekövetkezik a visszanedvesedés), ez utóbbi eset a gyakorlati alkalmazások szempontjából általában kevésbe fontos.
SZŐKE (1974) fa száradására is három szakaszt ad meg, amelyek rendre: - a kezdeti szakaszban a felszíni sejtüregekben levő szabad víz távozik, addig tart, amíg a felület eléri a rosttelítettségi határt.
10
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
- A hajszálcsövekben, rostokban tárolt szabad víz eltávozása. A folyamat addig tart, amíg a faanyag közepe is eléri a rosttelítettségi határt. - A rosttelítettségi határ alatti nedvességtartalom párolog el (kötött víz), az anyag felszíne az egyensúlyi nedvességtartalom értékére álla be. SZENTGYÖRGYI et al. (2000) megállapítja, hogy az állandó sebességű szárítási szakaszban a konvektív hőátadási tényező is nagyobb. Az alábbiakban a gyakorlatban alkalmazott főbb szárítási technológiákat ismertetjük SZŐKE (1974) alapján fa szárítására. A hagyományos technológiák között legelterjedtebb eljárás a fűrészanyag szárításra vonatkozóan a 100 °C foknál kisebb hőmérsékletű levegővel történő konvekciós szárítás. A szárítás általában szárítási menetrend alapján történik, amely a fa fajtája, vastagsága, nedvességtartalma függvényében megadja a szárító levegő hőmérsékletét, nedvességtartalmát, sebességét. A kamrás szárítókban a faanyag áll szárítás közben, és a kamrában a szárító levegő állapotát változtatják időben, míg az alagútszárítókban a faanyag halad a szárítóban, és az alagút különböző szakaszain más-más levegőállapotokat állítanak be. A szárítókat osztályozhatjuk még aszerint is, hogy milyen a levegőáramlás iránya (rakat fölötti, rakat melletti ventillátoros szárítók). Használatos, bár kevésbé elterjedt szárítási technológiák még a 100 °C fokon felüli konvekciós szárítók, nagyfrekvenciás villamos erőtérrel működő szárítók, ahol a belülről való melegítés miatt a termo-diffúzió nem akadályozza, hanem segíti a diffúziót, vákuumszárítók (DEFO 2000), centrifugál szárítók, forróolajos szárítók. Az egyéb faipari szárítási technológiákra, mint pl. a forgácsszárítás vagy furnérszárítás speciális eszközei itt nem térünk ki, mert a kutatási feladat szempontjából ezek nem alkalmazható eljárások. Széles körben, bár nem a fa szárítására specializálódva foglalkozik a szárítók gyakorlati megvalósításával és gyakorlati üzemeltetési kérdéseivel COOK és DUMONT (1991). A nedvesség gradiens helyett a külső nyomás, a kapilláris nyomás, az abszorpció, az ozmózisnyomás és a gravitáció által létrehozott nedvességpotenciál (vízpotenciál) használatát javasolja Sitkei(1997), mivel az a teljes nedvességtartományban használható, s amelynek használatát nagyon sokrétűen (pl. oldott sók terjedése a talajban, folyadékáramlás növényekben, csírázó magok vízfelvétele) igazolja.
11
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
2.2 A szárítás modellezése A folyamatok modellezésének FARKAS (1997b) három fő eljárását ismerteti, a fizikai modellezést (kismintán megvalósított mérés), az analóg modellezést (hasonló törvényszerűségen alapuló, általában villamos modell) és mint a leggyakrabban használt módszert, a matematikai modellezést. A matematikai modellek előállítására a következő módszerek jöhetnek szóba: • Fizikai alapú modellezés: (white box modell), amikor a folyamat fizikai (rendszerint differenciál) egyenleteit használjuk fel a modellezésben. Előnye, hogy a paramétereknek konkrét fizikai jelentése van, hátránya, hogy általában nagyon bonyolult. (Boxtel et. al. [1996]) • Modell-identifikáció (black box modell): Ebben az esetben a modell felépítése csak kísérleti, mérési eredményekre támaszkodik. Előnye a relatív egyszerűség, hátránya hogy a paramétereknek nincs valós fizikai jelentése. (Farkas - Rendik [1996]) • Grey box modell: az előző két eljárás kombinációja. A modellek jellegét tekintve: statikus-dinamikus, koncentrált paraméterű - elosztott paraméterű, lineáris - nemlineáris, folytonos - nem folytonos, determinisztikus -sztochasztikus jellegű modellekről beszélhetünk. FARKAS (1997a) a blokkorientált modellezés példáját mutatja be a megszakításos szárításra alkalmazva. Hasonló modellezést mutat be Toyoda (1996) rizsre. Mivel a kutatáshoz kapcsolódó feladat a mérésekre épülő black box modellezést nem tette lehetővé a hosszú távú, megbízható mérési adatok hiánya miatt, a továbbiakban csak a fizikai alapú modellezés módszerét tekintjük. A száradás során a nedvesség (a kezdeti felületi nedvesség kivételével) diffúzió útján jut ki a termék felületére, így a fizikai modellezés talán legfontosabb egyenlete a diffúziós egyenlet. CRANK (1956) a diffúzió matematikájáról írt könyvében megadja a diffúziós egyenletet a szokásos Descartes, illetve henger és gömbi koordinátarendszerben kifejezve is, megadva az adott geometriához legjobban illeszkedő felírási mód kiválasztásának lehetőségét. Foglalkozik az anizotrop közegekben végbemenő diffúzió differenciálegyenletével is, amelyről megmutatja, hogy egy megfelelő háromdimenziós bázis kiválasztása esetén (diffúziós főirányok) az egyenlet az izotrop közegre felírható esethez hasonló alakban adható meg. Mivel a szerkezete miatt a fa is anizotrop szerkezetű (szimmetriatengellyel párhuzamos kapillárisok) elvileg ez a fa szárításánál is fontos összefüggés, de mint majd látjuk, az általunk vizsgált esetben a 12
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
méretekben előálló nagyságrendi különbségek (és a végek beszáradása) miatt a hosszirányú diffúzió elhanyagolható, az erre merőleges irányú diffúzió viszont már általában izotrópnak tekinthető. SITKEI (1986) az anyag belsejében a folyadékmozgás leírásánál hangsúlyozza, hogy szárításnál az izoterm folyadékmozgással ellentétben a hőmérséklet-gradiens hatását is figyelembe kell venni, ami miatt a hőáram irányába egy nedvességáram is kialakul a hőmérséklet-gradiens miatt. A hőáram okozta termo-diffúzió "viszonyszámát" (a termo-diffúziós és diffúziós együttható arányát) bevezetve IMRE(1974) rámutat, hogy bizonyos hőközlési módok esetén (pl. hősugárzással való hőközlés) a kialakuló nagy hőmérséklet-gradiens miatt a diffúziós és termo-diffúziós hatás ki is egyenlítheti egymást, s ezáltal a folyamat "befagyhat". Ennek speciális eseteként említi LIKOV (1952) a sütés esetét, amikor a belső részek nedvességtartalma magas marad, és csak az un. párolgási zóna mélyülése miatt van nedvességvesztés. Ugyancsak az egyidejű hő és anyagtranszportot írja fel BEKE (1997) transzportfolyamatok elosztott paraméterű leírásában, illetve a vékonyrétegű konvektív szárítás modellezésének alapegyenleteként, de az általa vizsgált szemes terményekre - a homogén belső szerkezet illetve a szemenként változó diffúziós tényező miatt- félempirikus modellezési módszert javasol, részben kísérleti eredményeket, részben a Newton-féle lehűlési törvényt alkalmazva. Több szerző (IMRE (1983), SITKEI (1986)) javasolja a villamos áramkörökkel való analógia alapján a hő- és anyagtranszport folyamatoknak a termikus illetve diffúziós ellenállással történő leírását. Ezen művekben azonban az ellenállásérték általában egy téglatest illetve adott vastagságú henger- vagy gömbfelületre értelmezett érték, amely a tömör hengernek illetve a tömör gömbnek tekinthető testekre módosítás nélkül nem alkalmazható. Az általunk vizsgált esetben tehát ilyen jellegű modell csak a módszer továbbfejlesztésével alkalmazható. A diffúziós (differenciál) egyenlet peremfeltételeinek megfogalmazásával is széles körben foglalkozik az irodalom. Közismert, hogy peremfeltétel megválasztásának leggyakoribb esetei IMRE (1972), BRONSTEJN (1980): •
Elsőfajú (Dirichlet típusú) peremfeltétel, amikor az adott mennyiség (esetünkben nedvességtartalom) értékét ismerjük a felületen.
•
Másodfajú (Neumann típusú) peremfeltétel, amikor a keresett mennyiség normálirányú gradiensét ismerjük a határfelületen (pl. időben állandósult esetben állandó forrás van a felület belsejében.
•
Harmadfajú peremfeltétel, amikor a keresett mennyiség normálirányú gradiensének értékét a rendszer és a környezete együtt határozzák meg. 13
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Hasonló peremfeltételeket fogalmaz meg CRANCK (1956) állandó felületi koncentráció, illetve változó felületi koncentráció eseteit vizsgálva, ez utóbbit felületi párolgás és állandó fluxusú feltétel esetére bontva. A termék elosztott paraméterű vizsgálatáról a koncentrált paraméterű leírásra áttérve található meg általában az irodalomban a száradó termék és a szárító levegő között felépített csatolt hő- és anyagtranszportot leíró modell. A szimultán hő- és anyagtranszport miatt általában 2*2 leíró egyenletet használnak, amely mind a termék, mind a szárító levegő esetén egy-egy egyenlet a belső energia illetve az átlagos nedvességtartalommérlegre. IMRE (1972) többek között a konvektív szárításra is megadja különböző hatások figyelembe vételével. Ugyancsak többféle szárítási eljárásra (konvektív, infravörös, szublimációs) adja meg a folyamatot leíró hő- és anyagtranszportot LIKOV (1952). BEKE (1997) is megadja az egyidejű hő- és anyagtranszport folyamatot leíró parciális differenciálegyenlet rendszerének felállításának szempontjait, de a számolásokhoz inkább kísérleti adatokra támaszkodó félempirikus modellt javasol, amelyben a száradást három szakaszra bontva, mindhárom szakaszban egy általa paraméteresen kifejezett időállandójú exponenciális függvénnyel jellemzi a folyamatot. MUJUMDAR (1987) is megadja a négy egyenlettel leírható fizikai modellt, de bizonyos esetekben a száradási sebesség leírására empirikus modell alkalmazását javasolja. A fenti egyenletekkel megadható fizikai modell alapján, azok analitikus megoldásának hiányában sok kutató foglalkozik a diffúziós egyenlet numerikus megoldás vizsgálatával. Például a végeselem módszer (SLADE (1996), KEREKES et al. (1998)), a véges térfogatok módszere (SOUZANEBRA, 1996), a véges differencia módszer (CHEN et al.(1996), SCHUALKO et al. (1998)) kerül leggyakrabban alkalmazásra, és ez alapján már felírható a többi egyenlet segítségével egy anyaghalmazra vett numerikus szimuláció is, mint például TARASIEWICZ (1998) alkalmazása farakatra. Az adott termék belsejében vett nedvességeloszlás mérésére kevés módszer használatos, az egyik lehetséges megoldás a NEMÉNYI (1998) által kukoricára bemutatott, mag-mágneses rezonancia vizsgálat. 2.3 A szárítandó anyag hő- és anyagtranszport tulajdonságai Szorpciós izoterma A szorpciós izoterma, azaz az adott környezeti hőmérsékleten a különböző relatív nedvességtartalomhoz (levegő nedvességtartalomhoz) tartozó termék egyensúlyi nedvességtartalom értékeket megadó görbe a szárítási folyamat 14
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
szempontjából igen jelentős, ennek megfelelő súllyal szerepel az értéke az irodalomban is. BEKE (1997) a kolloid-kapilláris pórusos test higroszkópikus tulajdonsága alapján magyarázza az egyensúlyi nedvességtartalom kialakulását. IMRE (1974) az egyensúlyi koncentráció és a kémiai potenciál összefüggése alapján állítja fel a szorpciós izoterma egyenleteit különféle adszorpció elméletek alapján. A szorpciós izoterma hiszterézisét a pórusméret függvényeként értelmezi. A kolloidtestek, a kapilláris-kolloid testek és a kapilláris-pólusos kolloid testek (ez utóbbiba tartozik a fa) szorpciós izotermáit külön vizsgálja LIKOV (1952). SZŐKE (1974) különböző kutatók mérési adataira hivatkozva megállapította, hogy az egyes fafajok egyensúlyi nedvességadatai nagyon kismértékben térnek csak el egymástól, így egyetlen diagrammot javasol minden fafajra. Ugyancsak megállapította, hogy az adszorpciós és deszorpciós görbék nagyon csekély mértékben térnek csak el egymástól. Az általa megadott táblázattal összhangban hollandiai mérések alapján (GIGLER et al., 2000) megállapítható, hogy fűzfára a szorpciós izoterma két alapvetően különböző tartományra osztható. Számos kutató foglakozott a szorpciós izotermákat megadó matematikai egyenletek felírásával. LENGYEL (1992) pl. zöldség és gyümölcsfajtákra, DERBYSHIRE (1988) burgonyára végzett hasonló kísérleteket, de BEKE (1997) is számos kutató eredményeit ismerteti az időrendben elsőnek tekintett Thomson modelltől kezdve a Henderson modelljein át a számos kutató szerint igen jól alkalmazható GAB (Guggenheim Anderson-de Boer) modellig. A szorpciós izotermára felírt egyetlen egyenlet helyett az izotermák szakaszokra bontását javasolja GINZBURG (1976). GIGLER et al. (2000) mérései fűzfára azt mutatják, hogy az izoterma két alapvetően különböző szakaszra bontható, mindkét szakasz egyesessel közelíthető. A szorpciós izoterma lineáris közelítését javasolja BEKE (1997) is bizonyos (nedvességtartalom) határok között. Hasonló (lineáris) modell alkalmazását más kutatók munkájában is megtalálhatjuk, pl. ADAM (2000) mérési adatai hagyma esetén mutatnak lineáris viselkedést nem túl magas nedvességtartalom mellett, míg LOPEZ et al. (2000) munkája alapján zöldségfélék esetén mondható el ugyanez. Más kutatók a különböző biológiai anyagokra sokkal bonyolultabb görbéket mértek, mint pl. DEFO (2000) juharfa esetén. A szorpciós izoterma meghatározására a klasszikus statikus módszer, (YOUNG (1967), IMRE (1974)) amikor állandó hőmérsékleten tartott, ismert koncentrációjú sav- vagy sóoldattal állandó gőztenziót tartunk fenn, és az állandó környezeti paraméterek hatására az egyensúlyi nedvességtartalom kialakul. A minta tömegének állandósulásából következtethetünk az egyensúlyi állapot kialakulására, ennek beállási ideje azonban általában nagyon hosszú, emiatt romlékony minták esetén a módszer nem is alkalmazható. Fára azonban a módszer felhasználható GIGLER (2000), 15
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
ahogyan az például a saját mérési eredmények alapján is megmutatható SERES (1999). IMRE (1974) leírja a módszer dinamikai változatát is, amely segítségével a mérés ideje csökkenthető, de ott meg egyéb problémák (pl. hőmérséklet stabilizálása) lépnek fel. A szorpciós hiszterézis figyelmen kívül hagyásával, de az előbb elmondottak szerint fára jól alkalmazható módszer a mért súlyváltozások interpolációján alapuló eljárás. Ebben az esetben az azonos mintákat különböző gőztenziójú, de azonos hőmérsékletű mérőterekbe tesszük, és egy adott idő alatt az egyes minták tömegváltozását a környezeti gőztenzió függvényeként ábrázoljuk. A súlyváltozások interpolációjával a nulla súlyváltozású hely megkereshető, amely éppen az adott nedvességtartalomhoz tartozó gőztenzió (azaz relatív nedvességtartalom) lesz. Hőátvitel Az általános fizika könyvekben (BUDÓ, 2000)) megadott hőátviteli formák közül a szárításnál a hővezetés (CARSLAW et al., 1986), a felületi hőátadás, és bizonyos esetekben a hősugárzás játszik szerepet. A homogén test hővezetésére a hővezetési törvény alkalmazható, ami egy A keresztmetszetű állandósult hőmérséklet-eloszlású test esetén a hőáramot (2.3.1)
Φ = −λ ⋅ A⋅ gradT
alakban adja meg, itt λ a közegre jellemző hővezetési tényező, T a test hőmérséklete, amely általában a helynek és az időnek is függvénye. Ez az egyenlet speciális esete a hővezetési Fourier-féle differenciálegyenletének, amelyet általában (2.3.2)
∂T 1 = div(λ ⋅ gradT ) ∂t ρc
alakban adnak meg. Homogén közeg esetén (λ=állandó) az egyenletet λ ∂T λ λ = ∇ 2T = ∆T alakban szokás felírni, ahol az a = tényező, az ∂t cρ cρ cρ úgynevezett hőmérsékletvezetési tényező. Egy T hőmérsékletű szilárd test és a T1 hőmérsékletű környező levegő vagy folyadék közötti felületi hőátadás esetén a hőáramot az (2.3.3)
Φ = −α ⋅ A ⋅ (T − T1 )
egyenlettel fejezhetjük ki, ahol α a felületi hőátadási tényező. Ha a hő hővezetés és felületi hőátadás során jut el az egyik helyről a másikba, akkor a
16
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
fenti egyenlethez hasonló egyenlettel kell számolnunk, csak az α helyét a κ 1 d 1 hőátbocsátási tényező foglalja el, ahol = + . κ λ α
A hősugárzás összefüggéseivel (Wien törvény, Kirchhoff törvény, stb.) nem foglalkozom, mert ezek a kutatás szempontjából fontos szárítási módnál elhanyagolható hőátvitelt jelentenek. Anyagátvitel Fick első törvénye hogy a diffúziós tömegáramra, stacioner esetre: ∂m = − D ⋅ A ⋅ gradρ , ∂t
(2.3.4)
ahol D a diffúziós együttható, A az anyagátadás irányára merőleges felület és ρ a sűrűség. Nem stacioner diffúziónál Fick második törvénye alkalmazható: ∂ρ = div(− D ⋅ gradρ) , ∂t amely homogén közeg (állandó D) esetén
(2.3.5)
∂ρ = D ⋅ ∇ 2 ρ = D ⋅ ∆ρ alakba ∂t
írható. A nedvességnek a szilárd-levegő határfelületen való átáramlásának, azaz a párolgási sebességnek az értékét a tömegárammal jellemezhetjük, amire dm = k ⋅ A ⋅ (ρ gt − ρ g ) . dt
(2.3.6)
Ez utóbbi egyenletben ρg illetve ρgt a levegő sűrűsége, illetve a telített levegő sűrűsége, A a szilárd-légnemű határfelület nagysága, és k a párolgás körülményeit magába foglaló anyagátadási tényező. Hő- és anyagtranszport folyamatok hasonlósága A fenti részből egyértelműen kitűnik, hogy a hő- és anyagtranszport folyamatok ugyanolyan természetű fizikai törvényeknek tesznek eleget, s emiatt közöttük nagyon erős analógia adódik. Az analógia alapján az egymásnak megfeleltethető mennyiségeket az alábbiakban ismertetjük. Átadási tényezők kapcsolata és számítása A dimenzióanalízis alapján két jelenségre akkor mondhatjuk, hogy fizikailag hasonlóak, ha jelenség lefolyásában fontos fizikai mennyiségekből képzett dimenzió nélküli szám az un. hasonlósági szám számértéke a két jelenségre azonos VINCZE (1987). A dimenzió-analízisnek talán legismertebb 17
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
alkalmazása az áramlástan, nevezetesen a viszkózus folyadékok lamináristurbulens áramlására alkotott Reynolds szám, de ugyanez az elv a fizika más területein is alkalmazható. Egy másik, nagyon elterjedt alkalmazás a hő- és anyagtranszport átadási tényezőinek meghatározása. A hővezetésnél jellemző, esetünkben fontos hasonlósági számok a Fourier szám
Fo =
ατ , δ2
Nusselt szám:
Nu =
αδ , λ
illetve a nekik megfelelő tömegátviteli hasonlósági számok, a Fo m =
tömegdiffúziós Fourier szám
Dτ
δ2
Sh =
kδ , D
Biot szám (a szilárd összetevőre):
Bi =
kδ , D
Peclet szám:
Pe =
vδ D
Sherwood szám
:
,
Az egyidejű hő- és anyagtranszport legfontosabb invariánsai a Prandtl szám:
Pr =
ν η⋅c = , és a λ a
Schmidt szám
Sc =
Pe ν = . Re D
A Schmidt és a Prandtl szám hányadosaként értelmezzük a Lewis kritériumot: Le =
Lewis szám
Sc a = . Pr D
Áramlásos hőcserefolyamatok esetén BEKE (2000) a Nu = f (Fo, Re, Gr, Pr, l / d ) általános formában megadott összefüggést állandósult állapotban (2.3.7) Nu = C·Rem·Prn alakban javasolja meghatározni. A megfelelő feltétel a tömegátvitelre
18
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
(2.3.8)
Sh = C ⋅ Re m ⋅ Sc n ⋅
p1 . p
Hengeres testekre merőleges kényszeráramlás esetén a Nusselt szám értékére Richardson az alábbi formulát javasolta: (2.3.9)
2 µ Nu = 0,4 ⋅ Re 0.5 + 0,6 Re 3 Pr 0.4 µf
0 ,14
.
SCHENK (1995) a fenti formulához nagyon hasonló formulát javasolt: 2 3 µ Nu = 0.5 ⋅ Re 0.5 + Re Pr 0.33 b µ0
0.14
,
(2.3.10)
ahol µb illetve µ0 a levegő dinamikus viszkozitása a határrétegben illetve a fő légáramban. Hasonló formulát ad WHITAKER (1972) is erre az esetre. Ahogyan azt a bevezetésben is említettem a szárítás modellezéshez kapcsolódó általam tanulmányozott méréstechnikai vizsgálatok (hőmérsékletmérés, légsebesség mérés, nedvességtartalom mérés) közül jelen dolgozatban a hőmérsékletméréssel kapcsolatos eredményeimet szeretném bemutatni. Az irodalom feldolgozás további részében emiatt az ezzel kapcsolatos eredményeket tekintem át. 2.4 A hőmérsékletmérés módszereinek irodalmi áttekintése
A hőmérséklet mérése az alábbi három alapfeltevésen alapul (Budó, 2000): 1. A testek anyagi jellemzői hőmérsékletfüggők (pl. térfogat, villamos ellenállás, stb.), amely alapján hőmérők készíthetők. 2. Ha különböző hőmérsékletű testeket egymással termikus kapcsolatba hozunk, akkor hő áramlik a melegebb helyről a hidegebb felé, s ezáltal egy idő után beáll a hőmérsékleti egyensúly. 3. Vannak bizonyos jól reprodukálható hőmérsékletek (általában bizonyos anyagok fázisátalakulási hőmérsékletei adott nyomáson), amelyek lehetővé teszik a hőmérsékleti skálák fix pontjainak a megadását és használatát. A különböző skálák az irodalomból megismerhetők. (MICHALSKI (1991), BUDÓ (2000), HARGITTAI (1970)) Tekintsük most át röviden a leggyakrabban használt hőmérőket, illetve azok néhány jellemzőjét (MICHALSKI (1991), BENEDICT (1984), BUDÓ 19
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
(2000), HARGITTAI (1970), WEIDMER (1969)). Az itt említett eszközök jellemző mérési tartományát a 2.4.1. ábrán láthatjuk.
- szokásos alkalmazás
- különleges alkalmazás Szerves folyadék hõmérõk Higanyos hõmérõk Gõznyomás hõmérõk Bimetall hõmérõk Dilatációs hõmérõk ellenállás hõmérõk
-200
0
1000
2000
3000°C
termoelemek
3000°C
összsugárzás pirométerek
hõmérséklet °C
2.4.1. ábra: A leggyakoribb hőmérő típusok és méréstartományuk A hőmérsékletmérés talán legelterjedtebb módja a hőtágulás jelenségén alapuló hőmérsékletmérés, a köznapi életben ezek közül is a folyadékok hőtágulását kihasználó folyadék hőmérők alkalmazása. A tudományos igényű hőmérsékletmérésnél is használatosak, de a pontos méréshez szükséges kis léptékű skálabeosztás általában szűk mérési tartománnyal párosul. Így egy szélesebb hőmérsékleti tartományban általában több, különféle folyadékot használó hőmérőt kell alkalmazni - mindegyiket a neki megfelelő hőmérséklet tartományban. Bizonyos kísérletekben a mechanikai hatások miatt nem alkalmazhatóak. A szilárd testek hőtágulásán alapuló dilatációs illetve bimetall hőmérők a mechanikai hatásokra kevésbé érzékenyek és széles hőmérsékleti tartományt képesek átfogni, de a mérési pontosságuk ebben az esetben korlátozott. Nagyon elterjedt viszont a kapcsolóelemként való használatuk a jó villamos vezetőképességük miatt. A gázok hőtágulásán, pontosabban az állandó térfogaton tartott gáz nyomásváltozásán alapuló gázhőmérők kevésbé elterjedtek. Főként az villamos jelfeldolgozás, az automatizálás megjelenése után kaptak egyre nagyobb jelentőséget az villamos anyagi jellemzők hőmérsékletfüggésén alapuló passzív és aktív érzékelők. Az előbbiek közül az villamos ellenállás hőmérséklet függésén alapuló ellenállás-hőmérők és termisztorok a leginkább használatosak, itt a külső 20
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
feszültségforrás által az ellenállás-hőmérőn áthajtott áram értéke függ a hőmérsékletfüggő - ellenállástól. Az ellenállás - hőmérséklet függvény ismeretében a hőmérséklet meghatározható. A módszer előnyei közé sorolható, hogy általában kis hőkapacitású mérőeszköz készíthető ily módon, és hogy a mért jel pl. feszültség ill. áramerősség alakjában jelenik meg közvetlenül, ami akár további feldolgozásra, akár felerősítve távérzékelésre, akár elektromos adattárolásra alkalmas. [BOROS (1985), LABFACILITY (1993)] Az aktív - külső feszültségforrás nélkül is jelet szolgáltató - villamos hőmérsékletmérők közül a legelterjedtebb a termoelemek használata. Mivel a dolgozatban éppen a termoelemes mérőkör vizsgálatát végzem, emiatt ezzel a mérőeszközzel részletesebben foglalkozom a 2.5 fejezetben. [HENNING (1951), ASTM MANUAL (1981), BOROS (1985), LABFACILITY (1993)] Az igen magas (2600 °C fokon felül) hőmérsékletek mérésére szinte kizárólag a hőmérsékleti sugárzás mérésén alapuló pirométerek szolgálnak, de mivel a szárítási folyamat során ekkorahőmérséklet nem állhat elő, velük nem is foglalkozom részletesen. 2.5 A termoelem
A termoelemes mérőkör általában a 2.5.1.-es számú sematikus ábrán látható mérési elrendezésben használatos. mV C
C T2 A
A B T0
T
2.5.1. ábra: Termoelemes mérőkör sematikus vázlata Az ábrán A és B két, különböző anyagi minőségű fémből készült vezeték, ezek alkotják a termoelemet. A két fém közös érintkezési tartományai közül az egyiknek a hőmérsékletét viszonyítási alapnak választjuk, emiatt ezt az érintkezési helyet referenciapontnak illetve hidegpontnak nevezzük. Ezen a 21
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
helyen a hőmérséklet az úgynevezett referencia hőmérséklet vagy hidegponti hőmérséklet, amit rendszerint T0- al jelölünk. A másik érintkezési pont az úgynevezett melegpont illetve mérőpont, ennek az érintkezési tartománynak a hőmérsékletét melegponti illetve mérőponti hőmérsékletnek nevezzük (az ábrán T - vel jelöltük). Az ábrán mV - vel jelölt érzékeny feszültségmérőt általában egy kémiailag tiszta C fémmel kötjük a termoelemre a T2 környezeti hőmérsékleten. Az azonos hőmérsékletű tartományokat a 2.5.1 ábrán látható módon, bekerítve és a hőmérsékletet bejelölve (T2) fogjuk jelölni. A feszültségmérő helyett bizonyos esetekben kompenzációs kapcsolást, esetleg újabban adatgyűjtőt illetve AD konvertert is alkalmaznak. Ha egy ilyen termoelemen a T0 úgynevezett referencia hőmérséklet és a T mérőponti hőmérséklet nem egyezik meg, akkor a termoelemen termofeszültség keletkezik, amely az mV voltmérővel mérhető. A termofeszültség és a T0 referenciahőmérséklet ismeretében a mérőpont T hőmérséklete viszont meghatározható. Tekintsük most át röviden a termoelemes hőmérsékletmérés előnyeit, illetve a termoelem alkalmazása során fellépő nehézségeket: [ASTM Manual (1981), HARGITTAI (1970), WEIDMER (1969)]
Nehézségek: Mivel a termoelemen indukált termofeszültség aránylag kicsi - az alkalmazott fémektől függően 6 ~ 60 µV/°C -, a termoelem használata gondos előkészítést, és alacsony feszültségtartományban jó feszültségmérési lehetőséget igényel. Különös gonddal kell ügyelni a csatlakozó vezetékek kiválasztására (azonos anyagi minőségű, lehetőleg homogén vezetékek) illetve a csatlakozási pontok azonos hőmérsékleten tartására. Az igen alacsony jelfeszültség miatt gondosan ügyelni kell a lehetséges zavarforrások kiszűrésére (pl. a termoelem vezeték-párját célszerű összesodorva vezetni, illetve különösen zajos környezetben külön árnyékolni, hiszen méteres nagyságrendű vezetékhosszoknál már az esetleges hurkokban a környező elektromágneses tér által indukált feszültség akár meg is haladhatja és elnyomhatja a termofeszültséget). Ha a termofeszültséget nem csak egyszerűen leolvassuk a mérőműszerünkről, hanem további feldolgozást, tárolást szeretnénk végezni rajta, akkor az alacsony jelfeszültség miatt mindenképpen célszerű erősítőt a körbe iktatni. Az erősítő kis zajú kell hogy legyen, és kalibrációs méréssel az erősítőnek a termofeszültségre gyakorolt torzító hatását pontosan meg kell határozni.
22
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Mivel a termoelem mérőpontja általában kis méretű, a pontos pozicionálásra gondot kell fordítani. A klasszikus mérési elrendezés nagy gondja volt a T0 referenciapont állandó értéken tartása, ami általában egy adott anyag (pl. víz) fázisátalakulási hőmérsékletén volt biztosítható. A stabilizált referenciapont kiváltása azonban ma már technikailag megoldott.
Előnyök: A termoelem az előző részben felsoroltak betartásával egy jól alkalmazható, más módon ki nem váltható hőmérsékletmérő eszköz, amelynek alkalmazása az alábbi előnyökkel jár: A termoelem mérőpontjának érintkezési felülete megfelelő technológiával kellően kicsivé tehető, ami miatt a termoelem mérőpontjának kicsi lesz a hőkapacitása. Ennek több területen is megmutatkozik a haszna: •
Egyrészt a kis hőkapacitás miatt még a kis méretű mintáknál sem kell attól tartani, hogy mérés közben a mérőeszköz megváltoztatja a mérendő tárgy hőmérsékletét.
•
Másrészt a kicsi hőkapacitás, illetve a termoelemet alkotó fémek jó hővezetése miatt általában a termoelem beállási ideje lényegesen kisebb az egyéb hőmérők beállási idejénél (0, 3 s - 1 s, szemben az ellenálláshőmérő 1 - 50 s-os beállási idejével). Ez a tulajdonság nélkülözhetetlen a gyorsan változó hőmérsékletek valósághű regisztrálásához.
•
Végül a mérőpont kis mérete a mért hőmérséklet helyének pontos lokalizálását teszi lehetővé. Különösen fontos ez, ha egy tartomány hőmérséklet - eloszlásának, illetve a hőmérséklet gradiensnek az értékére vagyunk kíváncsiak, s egyidejűleg a tartomány több pontján mérjük az éppen aktuális hőmérsékletet.
Nagy előnye a termoelemes mérési elrendezésnek, hogy a termoelem mérési tartománya igen széles skálát ölel fel, a termolemet alkotó fémek olvadáspontjától függően -200 °C-tól 600-1500 °C-ig (speciális fémekkel 2500-3000 °C-ig is alkalmazhatók). A 2.5.1. táblázatban a standard termoelem fajták, és azok szokásos működtetési tartománya látható [MICHALSKI (1991), BENEDICT (1984), ASTM Manual (1981), HARGITTAI (1970), LABFACILITY (1993)] .
23
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
2.5.1. táblázat: A standard termoelemek jele és működési tartománya (*Az anyagnevek mellé írt alsó indexek az adott elem százalékos arányát mutatják.)
Termolem fajtája
Jele szokásos műk. Termofeszültség tartomány [°C] 100 °C-on mV (T0 =0 °C)
PlatinaRódium10 - Platina*
S
0 - 1400
0,645
PlatinaRódium13 - Platina*
R
0 - 1400
0,647
Platinaródium30Platinaródium6*
B
800-1700
0,033
Vas - Konstantán
J
0 – 800
5,268
Nikkelkróm10 - Alumel*
K
-200 - 1200
4,095
Réz – Konstantán
T
-200 - 400
4,227
Nikkelkróm10-Konstantán*
E
-200 - 900
6,137
A villamos jelfeldolgozás és jelrögzítés elterjedésével a termoelem jelentősége megnőtt, mert a mért hőmérsékletre jellemző termofeszültség már eleve villamos jel formájában jelenik meg, amely az esetleges erősítés után rögtön egy rögzítő illetve feldolgozó egység bemenetére köthető, ezáltal akár automatikus mérőrendszerként alkalmazva. Ugyanez a tulajdonság teszi alkalmassá - persze megfelelő erősítést alkalmazva - a távérzékelésben való használatát is. Mivel aktív érzékelőről van szó, ezért ha a termofeszültséget mérő eszköz azt nem igényli, pl. különböző hisztográfok), akkor villamos áramforrás nélkül, a villamos hálózattól távol is alkalmazható. Bizonyos hőmérsékletmérési feladatoknál - pl. erős mechanikai rezgéseknek kitett gépalkatrészek, vagy gyorsan forgó tengelyek hőmérséklet eloszlásának meghatározása - nagyon fontos a mérőeszköz mechanikai terhelhetősége. Mivel a termoelem fémből készül, ebből a szempontból is kitűnően alkalmazható, bár a túlságosan erős mechanikai igénybevétel által okozott deformációk a termofeszültség értékét korlátozott mértékben befolyásolhatják. Nagyon fontos tulajdonsága a termoelemnek az időbeni "stabilitása", ez a gyakorlatban való használat során azt jelenti, hogy a kalibrált termofeszültség hőmérséklet függvény hosszú időn át ugyanaz marad.
24
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Az elmondottak alapján látható, hogy a termoelem egy nagyon sokrétűen alkalmazható eszköz, de a használata pontos odafigyelést igényel.
A termoelem szárainak kötése [MICHALSKI (1991), ASTM Manual (1981), HARGITTAI (1970)] Mivel a termoelemes mérőkör hibaanalízisénél foglalkozni fogunk vele, tekintsük át röviden, hogy a termoelem szárainak (a termoelemet alkotó kétféle fémnek) az összeillesztésére milyen technikákat alkalmaznak. Az érintkezési pontok kialakításánál a kellő mechanikai szilárdság és a jó villamos érintkezés a döntő fontosságú. Ahogy azt majd a 9. fejezetben látni fogjuk, a használt anyagok kémiai tisztasága akkor válik döntő jelentőségűvé, ha az adott helyen hőmérséklet gradiens van. Mivel a termoelem melegpontja (illetve hidegpontja) és a velük közvetlenül szomszédos részek azonos hőmérsékleten vannak -, a kötési pontokban a szennyezés vagy a kötőanyagok jelenléte nem okoz mérési hibát. Más esetekben, pl. felületi hőmérsékletmérésnél, gyakorlatilag csak a mérőpont van a keresett hőmérsékleten, ekkor viszont az illesztések kémiai tisztasága a mérés szempontjából döntő fontosságú. A kötés megvalósítási módjára a legegyszerűbb a csavarással történő kötés (amikor a kétféle fém végeit egymással összecsavarjuk). Ezt a módszert azonban nem nagyon alkalmazzák, mert általában nem elégíti ki a jó villamos kontaktus, illetve a megfelelő mechanikai szilárdság iránti elvárásokat. Ráadásul ez a megoldás általában a többi lehetőséghez viszonyítva lényegesen nagyobb méretet eredményez az érintkezési tartományban a megfelelő villamos kontaktus érdekében. A gyakorlatban használatos illesztések közül a lágyforrasztást mintegy 150 °C-ig, a keményforrasztást kb. 400 °C-ig használják, az ennél magasabb hőmérséklettartományban használatos termoelemek szárait pedig hegesztéssel (láng, ív, kondenzátor kisütési) erősítik össze. Itt a felületi hőmérsékletméréssel kapcsolatos előbbi megjegyzésünkhöz csak annyit kell hozzáfűzni, hogy a forrasztásnál a forrasztóanyag, a hegesztésnél a hegesztett anyagok ismeretlen összetételű átmeneti zónája ilyenkor mérési pontatlanságot okozhat.
Villamos szigetelés [MICHALSKI HARGITTAI (1970)]
(1991),
ASTM
Manual
(1981),
Az termoelem két vezetékét egymás mellett - sokszor egy közös védőcsőben - vezetik, ekkor viszont nagyon nagy hibákat okozhat a mérésben, ha a fémek nincsenek egymástól megfelelő módon elektromosan szigetelve. Amikor ugyanis a kétféle fém a T0 referencia és a T mérőponti hőmérsékleteken kívül 25
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
még T1 hőmérsékleten is érintkezik, a mért termofeszültség a T0 és T1 hőmérsékletű pontok által alkotott körben keletkezik, azaz ilyenkor a T mérőponti hőmérséklet szerepét a T1 veszi át. Mivel azonban T1 nem ismert, ez abszolút hamis (T és T1 viszonyától függő) termofeszültséget szolgáltat.
A termofeszültség mérése Ahogyan azt már korábban is említettük, a termoelem által szolgáltatott termofeszültség még száz fokos hőmérsékletkülönbség esetén is csak mV nagyságrendű, ami nagyon pontos feszültségmérést igényel, ami a klasszikus mérésekben még komolyabb méréstechnikai feladatot jelentett (Poggendorfféle kompenzációs kacsolású termoelemes mérőkör [BUDÓ (2000), MICHALSKI (1991), WEIDMER (1969)]), de a mai méréstechnikai eszközökkel megoldható. 2.6 A referenciapont megvalósításának lehetőségei
Mint azt már korábban is jeleztem, a klasszikus termoelemes mérésben az állandó értéken tartott T0 referencia hőmérséklethez viszonyítjuk a mérőpont hőmérsékletét, a körön mért termofeszültség alapján. A referencia hőmérséklettel kapcsolatosan az alábbi két technika valamelyikét szokás alkalmazni: [MICHALSKI (1991), ASTM Manual (1981), HARGITTAI (1970)] a, stabilizált referenciapont használata, b, változó referenciapont használata villamos kompenzáló áramkörrel, c, változó referenciapont használata a referenciapont hőmérsékletének mérésével és a termoelemen mért mérőponti hőmérséklet visszaszámolásával. Régebben a változó referenciapont használata mechanikus kompenzációval (pl. bimetall szalagból készült feszültségmérő-mutató) is használatos volt, de a mai korszerű villamos megoldások általában sokkal egyszerűbb és pontosabb kompenzációt adnak. a, A referencia hőmérséklet stabilitását általában valamely anyag fázisátalakulási hőmérsékletén próbálták biztosítani (pl. víz-jég keverék), de ez a módszer a nehézkessége miatt (víz-jég keverék állandó keverése, védőcső miatt hosszú beállási idő, stb.) laboratóriumi körülmények között esetleg még alkalmazható, de az ipari alkalmazásoknál már nem használatos. Az ipari gyakorlatban un. hidegpont termosztátokat alkalmaznak az állandó referencia hőmérséklet biztosítására, ahol a termoelem referenciapontja a termosztát belsejében levő nagy hőkapacitású fémtömbben helyezkedik el. A 26
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
fémtömb hőmérsékletét villamos fűtés be-ki kapcsolásával oldják meg, az alkalmazott hőmérséklet legtöbbször 50 °C (illetve 66 °C). Újabban elterjedtek a Peltier effektus (lásd részletesen a 8.5. fejezetet) alapján hűtő illetve fűtő berendezések, amelyben egy speciális termoelemen átvezetett áram hűti (fűti) az érintkezési tartományt. b, Vizsgáljuk most meg a stabilizált referenciapontot nem igénylő technikákat. Először egy klasszikus elrendezésen nézzük meg a kompenzálás alapelvét: A 2.6.1. ábrán látható mérési elrendezésben a T0 - nem feltétlenül állandó referenciahőmérsékletet biztosítjuk a " kompenzációs doboz " belsejében. Az egyszerűség miatt tekintsük azt az esetet, amikor a T mérőponti hőmérséklet állandó. A kompenzációs áramkör hiányában ez persze nem jelent feltétlenül állandó termofeszültséget, mert a referenciaponti hőmérséklet változására éppúgy változik a termofeszültség, ahogy a mérőponti hőmérsékletére. Ue T0
R
R
U*
Uk R
RCu
U
B
A
T
2.6.1. ábra: Automatikus kompenzálású termoelemes mérőkör Vizsgáljuk meg, hogy a kompenzációs kapcsolás miként biztosítja ilyen körülmények között az állandó feszültséget: A kompenzációs áramkör hídkapcsolásában használt négy ellenállás közül az R-el jelöltek hőmérsékletfüggése elhanyagolható, míg az RCU réz ellenállás hőmérsékletfüggő. Állandó T (T > T0) mellett az ábrázolt kapcsolásban T0 növekedése esetén az U termofeszültség értéke csökken, viszont a kompenzációs kapcsolás U* egyenfeszültségű tápfeszültségéből: 27
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
UCU = U·RCU / (RCU + R) jut az RCU ellenállásra, és U*/2 jut a másik ág R ellenállásaira. Így aztán a kompenzációs áramkör által szolgáltatott Uk kompenzációs feszültségre: 1 R U k = U ∗ − 2 R R + Cu
Ha viszont a T0 hőmérséklet az előbb elmondottak értelmében nő, akkor RCU is nő (mivel a referencia hőmérséklet általában viszonylag szűk tartományban változik, mondhatjuk, hogy RCU első közelítésben lineárisan függ a hőmérséklettől). RCU növekedésére viszont az Uk kompenzációs feszültség értéke is nő, hiszen a zárójelben levő kivonandó értéke csökken. Megállapítható tehát, hogy a referencia pont hőmérsékletének növekedésére az U termofeszültség értéke csökken, az Uk kompenzációs feszültség értéke pedig nő. A termoelem termofeszültség-hőmérséklet függvényének ismeretében ezek alapján tudunk olyan R és RCU ellenállásértékeket választani, hogy a két feszültségérték a T0 egy korlátozott mértékű változására azonos nagyságú, (de persze ellentétes előjelű) változást produkáljon, azaz a 2.6.1. ábrán látható Ue=U+Uk kompenzált termofeszültség értéke állandó maradjon. c, A méréstechnikai és számítástechnikai eszközök fejlődése lehetővé tette, hogy a referenciapont hőmérsékletét nem stabilizálva, annak pontos mérésével a termofeszültség ismeretében a mérőpont hőmérséklete szoftveres úton meghatározható. Erre az egyik lehetséges megoldás az, hogy a termoelem referenciapontjának hőmérsékletét pl. egy ellenállás-hőmérővel mérjük. Mivel a referenciapont hőmérséklete általában szűk határok között változik, ennek pontos mérése technikailag megoldott. Így aztán a 2.6.2. ábrán látható elrendezésben ha az ellenállás-hőmérő U(t) függvényét ismerjük (kalibráltuk az eszközt), akkor a termofeszültség U(T,T0) függvényének ismeretében - amelyről a későbbiekben lesz szó - a T mérőponti hőmérséklet szoftveres úton meghatározható.
28
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
T0 PC
Rt
AD
B konverter A
2.6.2. ábra: Mérőkör nem stabilizált refrenciapontú termoelemes méréshez Ezzel a megvalósítással egyetlen probléma adódhat, a termoelem csatlakozásának hőmérsékletét adott esetben elég nehéz pontosan mérni, pedig ennek a pontossága értelemszerűen befolyásolja a mérőpontra számított hőmérsékletet is. Emiatt az előbb ismertetett mérési elrendezés helyett nézzük inkább az alábbit:
Rt PC
A
AD
T0
konverter
T1
B B
T
A
2.6.3. ábra: Mérőkör nem stabilizált refrenciapontú termoelemes méréshez, ha T0 nehezen mérhető Ahogy azt a későbbiekben látni fogjuk, az ábrán látható módon összekapcsolt termoelemeken az eredő termofeszültség nem függ a T0-tól csak a T és T1 hőmérsékletektől. Ez annyiban egyszerűsíti a mérési elrendezésünket, hogy ekkor a mérendő hőmérséklet mellett elegendő egy kis mértékben változó hőmérsékletű helyet keresnünk, amelynek hőmérsékletét pontosan mérve (pl. az RT ellenálláshőmérővel), az ellenálláshőmérő U(T) illetve a termoelemek eredő U(T,T1) függvényeiből szoftveres úton T meghatározható, mint ahogyan azt a 6. fejezetben konkrétan megvizsgáljuk. Ilyenkor tehát a T1 hőmérsékletű hely nem egy csatlakozási pont, az lehet például valamilyen folyadéktartály, amelybe az egyik termoelemet és az ellenálláshőmérőt elhelyezzük, s ez a megvalósítás semmiféle technikai nehézséget nem okoz.
29
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
2.7 A termofeszültség értelmezése a klasszikus fizika alapján
A klasszikus irodalom a termofeszültség keletkezéséről a következőt mondja: Már a Volta-féle alapkísérlet kimutatta, hogy ha különböző anyagi minőségű fémeket (A és B utal a kétféle fémre) egymással érintkezésbe hozunk, akkor a két fémfelület között potenciálkülönbség alakul ki (2.7.1. ábra). [BUDÓ (2000)] Ha a kialakuló feszültséget a két érintkező fém között nézzük (R és S pontok), akkor Galvani feszültségről beszélünk, míg ha a feszültséget a két fémfelület körülvevő szigetelőben mérjük (P és Q pontok), akkor Volta féle feszültségről beszélünk. (Ez utóbbi tartalmazza a fém és a szigetelő között kialakuló potenciálkülönbséget is.) Mint ahogy azt a későbbiekben is látni fogjuk, számunkra a Galvani feszültség értéke lesz majd fontos. P Q
A
B
R
S
2.7.1. ábra: A Galvani (R,S) illetve Volta (P,Q) feszültség keletkezési helye Volta óta ismert, hogy ennek a potenciálkülönbségnek az értéke a két fém anyagi minőségétől, illetve a hőmérséklettől függ.(Volta féle feszültségi sor). A 7.2. fejezet 7.2.4. egyenletében leírt "elnyelési" tulajdonság egyenes következménye a Volta törvénynek, amely kimondja, hogy a Volta féle feszültségi sor két tagja között a feszültség független attól, hogy a két tag közvetlenül, vagy akárhány más tag közbeiktatásával érintkezik egymással, feltéve, hogy valamennyi érintkezési hely azonos hőmérsékletű. Vizsgáljuk most meg, hogy a Volta által leírt érintkezési feszültség keletkezése hogyan magyarázható meg klasszikus fizika alapján: [BUDÓ (2000), BENEDICT (1984), FEYNMAN (1970)] A vezetési elektronok a fém belsejében csaknem teljesen szabadon mozoghatnak. (Bár a fémrács kialakulásakor a leváló vezetési elektronok pozitív rácsionokat hagynak vissza, melyek a rácshibáktól eltekintve egyenletesen, periodikus elrendezésben töltik ki a teret. Így a fémrács belsejében elhelyezkedő vezetési elektronokra az őket szimmetrikusan 30
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
körülvevő rácsionok eredő hatása jó közelítéssel elhanyagolható). (2.7.2. ábra). Ugyanez a magyarázata annak, hogy ezek az elektronok "szabadon" elmozdulhatnak a fém belsejében a rákapcsolt külső elektromos tér hatására.
E
e2.7.2. ábra: A fémrács elektromos terének hatása a fémből kilépő elektronokra Ha azonban a vezetési elektron valamilyen oknál fogva ki próbál lépni a fém belsejéből, s emiatt eljut a fémfelület szélére, akkor a rácsionok előbb említett vonzó hatásának szimmetriája megbomlik, s a vezetési elektronra egy, a fém belseje felé mutató eredő erő adódik, azaz a rácsionok által keltett eredő elektromos tér a fémfelület szélén megakadályozza az elektron kilépését. Összefoglalva tehát azt mondhatjuk, hogy a fémet elhagyni próbáló elektron a fémrács pozitív ionjainak közös potenciálterében van, vagyis a fém belsejében a potenciál nagyobb, s így a vezetési elektron potenciális energiája kisebb, mint a fémet körülvevő szigetelőben. Természetesen a fém belseje és a külső tér közötti potenciálkülönbség az adott fémre jellemző érték, függ például az adott fémrács térbeli szimmetriájától, a rácsionok egymástól mért távolságától, stb. A fentiek alapján ezek szerint ha két különböző anyagi minőségű fémet villamos kontaktusba hozunk, akkor mivel a környező szigetelőhöz viszonyítva mindkét fém belsejében más lesz a potenciál, a két fémfelület belseje között potenciálkülönbség alakul ki. Ekkor viszont az alacsonyabb potenciálú fémről elektronok áramolnak a magasabb potenciálú fém felé, s átlépnek annak a felületére (Az elektron negatív elektromos töltése folytán - a növekvő potenciál irányába mozdul el). Ez az elektronátlépés a két fémfelület között egy, a 2.7.3. ábrán látható elektromos kettős réteg kialakulásához vezet, amelynek a kiépülése addig folytatódik, míg az elektromos kettős réteg által keltett, az eredeti elektromos tér (E) által keltett potenciálkülönbséggel ellentétes előjelű potenciálkülönbség a további elektronáramlást meg nem akadályozza (Amíg a kétféle potenciálkülönbség eredője nulla nem lesz).
31
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
B E
2.7.3. ábra: elektromos kettős réteg kialakulása két fém érintkezési felületén Tehát ezek szerint a két fémfelület határán elektrosztatikus tér jelenik meg (2.7.3. ábra). Természetesen ez nem azt jelenti, hogy sztatikus állapot alakul ki a fémek érintkezési felületén, csupán azt, hogy az elektromos kettős réteg töltései egy dinamikus egyensúlyi állapotban közelítőleg állandó elektromos teret hoznak létre. Viszont az elektromos térerősség jelenléte a két felület között az összefüggéssel definiált feszültséget hozza létre, ami nem más, mint a két fém belseje között ébredő Galvani feszültség. Felhasználva az előbbi állításunkat, mely szerint "a fém belseje és a külső tér közötti potenciálkülönbség az adott fémre jellemző érték", amelyből levezettük a Galvani feszültség létezését, valamint figyelembe véve, hogy a potenciálkülönbségért felelős mennyiségek - pl. rácsionok távolsága - a hőmérséklettől függő értékek, eléggé nyilvánvalóan látszik, hogy maga a Galvani feszültség is hőmérsékletfüggő kell, hogy legyen. Ha viszont a Galvani feszültség értéke függ az érintkezési tartomány hőmérsékletétől, akkor a 2.5.1. ábrán sematikusan ábrázolt termoelemes mérőköri rajzán a T és a T0 hőmérsékletű érintkezési helyeken nem lesz azonos a Galvani feszültség, azaz a körbe kapcsolt érzékeny (mV) feszültségmérő az úgynevezett termofeszültséget (a Galvani feszültségek különbségét) mérni tudja. Az újabb kiadású irodalmakban már megjelenik a termofeszültségnek a termoelektromos jelenségeken, nevezetesen a Seebeck - effektuson alapuló magyarázata is. [DUNLAP (1988), MICHALSKI (1991), ASTM Manual (1981), McGRAW-HILL (1993)] amely alapján megmutatható a termofeszültség keletkezésének tényleges helye, ennek alapjait a későbbiekben fogjuk részletesen tárgyalni. Ebben a fejezetben megadtuk, hogy a klasszikus irodalom hogyan magyarázza a termofeszültség keletkezését. A későbbiekben belátjuk, hogy az ez alapján felállított közelítés a fizikai alapelveknek nem tesz eleget, így
32
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
majd a többek között az elektron sokaságok leírására szolgáló Fermi - Dirac statisztika segítségével keresünk egy jobb közelítést. 2.8 Termofeszültség közelítő függvénye a klasszikus irodalom alapján A termofeszültség leírására a következő jelölést használják: UAB(T,T0),
ahol A és B a termoelemet alkotó kétféle fémre, T a mérendő és T0 a referencia hőmérsékletre utal. A termoelemmel történő hőmérsékletmérésnél a klasszikus irodalom a termoelem termofeszültségére az (2.8.1) UAB(T,T0) = α (T-T0)+β (T-T0)2+γ (T-T0)3+ ... összefüggést adja, ahol U a mért termofeszültség, T a mérőpont- , To a referenciapont hőmérséklete, az α, β, γ együtthatók pedig az adott termoelem A és B fémének anyagi minőségére jellemző (és rendszerint a To-tól függő) együtthatók. [BUDÓ (2000), DUNLAP (1988), Henning (1951)] Termofeszültségre vonatkozó szabályok
Vizsgáljuk a következőkben azt, hogy a termoelem, és az általa szolgáltatott termofeszültség milyen fizikai "szimmetriáknak" és "műveleteknek" tesz eleget, s hogy ezeket mennyire írja le jól a fent megadott közelítő függvény: A témakör irodalmából ismeretesek a következő tulajdonságok [MICHALSKI (1991), BENEDICT (1984), ASTM Manual (1981)]: I. Homogén fémre vonatkozó szabály: Ha a termoelemünk mindkét fele azonos anyagi minőségű fémből készül, akkor - mivel az érintkezési felületeken nem indukálódik Galvani feszültség - természetesen az eredő feszültség (a Galvani feszültségek különbsége) nulla lesz, azaz UAA(T,T0) = 0
(2.8.2)
II. Izoterm termoelemre vonatkozó szabály : Ha egy termoelem referenciapontja és mérőpontja azonos hőmérsékletű, akkor a két érintkezési ponton azonos az indukált Galvani feszültség, ami Kirchhoff II. törvénye szerint azt jelenti, hogy a teljes körben keletkező termofeszültség értéke nulla. azaz 33
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
(2.8.3)
UAB(T,T) = 0 .
III. Antiszimmetrikus tulajdonság : Ha a termoelem két érintkezési pontjának hőmérsékletét felcseréljük, akkor a mért termofeszültség abszolút értéke nem változik ugyan meg, de az előjele igen, hiszen az így végzett művelet egyenértékű azzal, mint ha a mérőműszer polaritását cserélnénk meg. (7.2.1. ábra ).
T0 A
A
A
B
B T
To
T
2.8.1 ábra: termoelem sematikus rajza Matematikailag a most említett szabály a (2.8.4)
UAB(T,T0) = - UAB(T0,T)
alakba írható fel. IV. Közbülső fémre vonatkozó tulajdonság: Ha két termoelemet - amelyek A és C illetve C és B betűkkel jelölt anyagi minőségű fémekből állnak, és mindkettő ugyanazon T, To érintkezési hőmérsékletekkel bír - sorba kapcsolunk akkor a két termoelem C fémének anyagi minősége az eredő termofeszültséget nem befolyásolja; mindegy milyen fém van ott, a termofeszültség ettől nem függ.
T0
B
A C T0
A T
A
C
B T
C
T0
C
T
2.8.2 ábra: sematikus rajz a közbülső fém esetéhez 34
B T
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Képlettel kifejezve : UAB(T,T0) = UAC(T,T0) +UCB(T,T0)
(2.8.5)
Ez a szabály egyenes következménye Volta törvényének. V. Közbülső hőmérsékletekre vonatkozó szabály: Ha egy termoelem T1 és T2 hőmérséklethatárok között UAB(T1,T2) termofeszültséget indukál, s ugyanez a termoelem T2 és T3 hőmérséklethatárok között UAB(T2,T3) termofeszültséget kelt, akkor T1 és T3 hőmérséklethatárok között UAB(T1,T3) termofeszültségre: (2.8.6) U (T ,T ) = U (T ,T ) +U (T ,T ) AB
1
3
AB
1
2
AB
A
3
A B
T1
2
B
A T2
T2
T3
2.8.3 ábra: sematikus rajz a közbülső hőmérséklet esetéhez Ez tehát az öt fontos tulajdonság, amely a termofeszültségre fennáll. 2.9 Probléma a klasszikus közelítéssel Nyilvánvaló, hogy mivel a most felírt öt szabály teljesül a termoelemek által szolgáltatott termofeszültségre, így teljesülnie kell az azt leíró közelítő függvényre is. Ha megvizsgáljuk az előző fejezet elején megadott (2.8.1) függvényt akkor azt tapasztaljuk, hogy az első két triviális állítást minden további nélkül kielégíti, mert
(2.8.2) - re vonatkozóan, ha homogén a fém, akkor α,β,γ együtthatók nullával egyenlők, míg (2.8.3) egyenletbe a klasszikus közelítő függvényt beírva : α (T-T)+β (T-T)2+γ (T-T)3+ ... = 0 egyenlet megint nyilvánvalóan igaz. Az antiszimmetrikus tulajdonság viszont a fenti összefüggésre a következő feltételt adja:
α (T-T0)+β (T-T)2+γ (T-T0)3+ ...=-α (T0-T)-β (T0-T)2-γ (T0-T)3+ ...
35
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
A feltétel a páratlan kitevőjű hatványokra igaz, de a páros kitevők esetén nem, így persze az összegre, vagyis a közelítő függvényre sem teljesül ez a tulajdonság. Ugyanígy nem teljesül általánosan az V. tulajdonság sem, mert ott az α (T1-T2)+β (T1-T1)2+γ (T1-T1)3+ ...+α (T2-T3)+β (T2-T3)2+γ (T2-T3)3+ ... összegben az α (T1-T2)+α (T2-T3) = α (T1-T3) még teljesül is , de ugyanez például a másodfokú tag esetén már nem igaz. A fent elmondottak alapján megállapíthatjuk: a termoelem termofeszültségére a klasszikus irodalomban használt közelítő törvény nem tesz eleget a tapasztalatból és az elméletből adódó elvárásoknak. Ezért kezdtem vizsgálni, hogy a (2.8.1) függvény helyett milyen közelítő függvénnyel lehetne leírni a termofeszültséget, most már fizikailag is helyesen. 2.10
Fermi-Dirac statisztika:
A klasszikus felfogás alapján, tudniillik hogy a fémek szabad vezetési elektronjainak viselkedése hasonló a gázokéhoz, s külső elektromos tér hiányában rendezetlen hőmozgást végeznek, kidolgozták a fémek szabadelektron modelljét. Ez a fémes vezetés számos törvényszerűségére kielégítő magyarázatot adott, de voltak olyan problémák, amire nem tudott választ adni ( Pl. Dulong Petit szabály ) [BUDÓ (2000), SIMONYI (1969)]. A kvantumfizika felfedezése után a klasszikus fizikában használt Boltzmann statisztikáról kiderült, hogy az elemi részekből álló anyaghalmaz viselkedését nem tudja kielégítő módon leírni. Ennek legfőbb oka, hogy míg a Boltzmann statisztika felhasználja az anyaghalmazt alkotó részecskék megkülönböztethetőségét, addig ez a kvantumstatisztikáknál nem áll fenn. Emellett például a klasszikus Boltzmann statisztika alkalmazhatóságát megkérdőjelezi a Heisenberg-féle határozatlansági reláció is, amely kimondja, hogy a Boltzmann statisztika elemi celláit (a hely- és impulzustérben) nem lehet egyidejűleg tetszőlegesen kicsire választani. Ha a részecskék megkülönböztethetetlensége mellé még a Pauli elv teljesülését is feltételül szabjuk, vagyis hogy egyazon elemi "cellában", tehát azonos "kvantumszámmal" legfeljebb két, - ellentétes spinű - elektron lehet, akkor eljutunk a feles spinű részecskék ( elektron, proton, neutron ) által alkotott "gázok" leírására szolgáló Fermi - Dirac statisztikához. [BUDÓ (2000), SIMONYI (1969)]
36
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Bár a statisztika szabadon mozgó anyaghalmazra vonatkozik, a 8.4. fejezetben elmondottak miatt a vezetési elektronok a fém belsejében gyakorlatilag szabadon elmozdulhatnak, emiatt alkalmazhatjuk rájuk az elektrongázra vonatkozó statisztikát. A 2.10.1. illetve a 2.10.2. ábrán látható a Boltzmann és a Fermi-Dirac statisztikák közötti, számunkra leglényegesebb különbség: ρ( w )
Τ= 300 Κ
Τ= 600 Κ w 2.10.1 ábra: Boltzmann statisztika energia-eloszlás függvénye
ρ( w ) T=0K T = 3000 K T = 300 K w 2.10.2 ábra: Fermi-Dirac statisztika energia-eloszlás függvénye Míg a Boltzmann statisztikában a 0 K hőmérséklethez tartozó energia minden szabad részecskére nulla, ( hisz ott f/2 k T adja egy részecske energiáját ), addig a Fermi-Dirac statisztikában az abszolút nulla fokon is rendelkeznek a részecskék úgynevezett nullponti energiával. Azt a maximális energiát, amivel egy feles spinű részecske - a továbbiakban fermion - az abszolút nulla fokon rendelkezhet Fermi - energiának nevezzük, és wF0-al jelöljük. A Fermi-Dirac statisztika az elektronok sebesség és energia eloszlására a következő 37
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
(2.10.1)
ρ(W ) =
dN 4 ⋅ π ⋅ V ⋅ (2m ) = dW h3
(2.10.2)
ρ(v ) =
W 1/2 dN 8 ⋅ π ⋅ V ⋅ (m ) 2 = ⋅ v dv h3 e ( W − WF )/kT + 1
⋅
W 1/2 e ( W − WF )/kT + 1
3
3
m ρ(v x , v y , v z ) = 2V ⋅ h
(2.10.3)
3/2
1 e
w −w F kT
= +1
dN dv x dv y dv z
összefüggéseket adja, ahol - ρ(v) a sebességsűrűség függvény, ( dN = ρ(v) dv a v és v+dv sebességhatárok közé eső sebességgel mozgó részecskék száma ); - ρ(w) az energiasűrűség függvény, ( dN = ρ(w) dw a w és w+dw energiahatárok közé eső energiával rendelkező részecskék száma ); - ρ(vx , vy , vz ) a sebességkomponens eloszlás; - m az elektron tömege; - e az elemi töltés; - h a Planck állandó; - k a Boltzmann állandó; - T az elektrongáz abszolút hőmérséklete.; - V az elektrongáz térfogata. Az eloszlás függvényeket a 2.10.3 és a 2.10.4 ábrákon ábrázoltam. T=300K 1.0 T=0K 0.5
T=3000K
0.25
0.5
0.75
1.0
1.25
1.5
2.10.3 ábra: A Fermi Dirac statisztika sebességeloszlás függvénye
38
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
ρ( v x , vy , vz ) T=0K T = 3000 K T = 300 K w 2.10.4 ábra: A Fermi Dirac statisztika sebességkomponens eloszlás függvénye Érdekes eredményt ad a a most felírt sebességeloszlás függvény T → 0 K esetén. A Fermi energia (wF ) 0 Kelvinen vett értékét wF0 - al jelölve a (w − w F )
függvény határértékeket a e
kT
kifejezés értéke szabja meg.
Ha w < wF0 akkor (w-wF0)/kT értéke mínusz végtelenhez, s így a fenti kifejezés értéke 0-hoz tart, míg w>wF0 esetén(w-wF0)/kT értéke plusz végtelenhez és a fenti kifejezés is végtelenhez tart. Ennek következtében a sebességeloszlás függvényt vizsgálva azt tapasztaljuk, hogy a T=0 K esetén ha w< wF0 , akkor a valószínűségi függvény értéke egy konkrét érték, míg w<wF0 esetén ρ(v) értéke nulla (2.10.4 ábra ). Ez pedig azt jelenti, hogy nulla Kelvinen a fermionoknak van energiája, nevezetesen a w<wF0 "energiaszintek" be vannak töltve, w>wF0 energiával viszont egyetlen fermion sem rendelkezhet. Ez teszi érthetővé a nullponti Fermi energia jelentését. Ebben az esetben tehát a sebességtérben a részecskék egy origó középpontú gömböt alkotnak, s ennek a gömbnek a sugara nem nulla! ( A Pauli elv nem engedi meg, hogy egyazon cellába egynél több fermion kerülhessen , tehát az összes fermion nem lehet az origóban.) A statisztika ezen eredményeit a 4.7 fejezetben bemutatott számolásokban használjuk majd fel.
39
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
2.11 Termoelektromos alapjelenségek Seebeck - effektus
A szakirodalom így nevezi a termofeszültség létrejöttéért felelős effektust, amellyel a dolgozatban foglalkozom. Röviden összefoglalva a lényege, hogy ha a zárt kör kétféle fémének érintkezési felületei nem azonos hőmérsékletűek (2.12.1 ábra T1 és T2 hőmérsékletei), akkor a körben az eredő feszültség értéke sem lesz nulla, s ebből a feszültségből az egyik érintkezési hőmérséklet ismeretében a másik hőmérséklet meghatározható. A Seebeck effektusra vonatkozó (relatív, A és B fémekből álló termoelemre vonatkozó) ∈AB Seebeck együtthatóból: T2
(2.11.1)
∆U = ∫ ∈AB dT T1
Ahol ∆U az eredő feszültség a körben, (termofeszültség vagy Seebeck feszültség) a relatív Seebeck együttható ( ∈AB) pedig az abszolút együtthatók különbsége: (2.11.2)
∈AB = ∈A - ∈B
- Peltier - effektus :
A Peltier effektus a Seebeck hatás fordítottja. Míg a Seebeck effektusnál ha a termoelem érintkezési pontjainál hőmérséklet különbség van, akkor a körön feszültség, s ha zárt a kör, akkor áram indukálódik, addig a Peltier effektus azzal foglalkozik, hogy ha egy termoelemen áramot vezetünk keresztül, akkor a kétféle fém érintkezési helyén az áram irányától függően felmelegedés, illetve lehűlés következik be. (A hőmérsékletváltozás olyan irányú, hogy az általa keltett termofeszültség hatására meginduló áram a Peltier effektust létrehozó árammal ellentétes irányú lesz (Lenz szabály)). A jelenséget úgy képzelhetjük el, hogy a külső áramot alkotó elektronok az érintkezési felületen áthaladva, az ott levő Galvani feszültség hatására, annak polaritásától függően felgyorsulnak vagy lelassulnak. S mivel az így nyert többlet (hiányzó) energiát a rácsionokkal való ütközések során leadják (pótolják), ez az érintkezési hely környezetében a rács energiatöbbletében (hiányában), azaz hőmérsékletnövekedésben, (csökkenésben) nyilvánul meg. Képlettel kifejezve a fejlődő Peltier hő értéke: (2.11.3)
QP = πAB·I·t
ahol πΑΒ a kétféle fémre jellemző Peltier együttható, I a körön áthajtott áram, t a folyamat időtartama. 40
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
- Thomson - effektus :
Ha egy homogén villamos vezető nem izoterm, hanem pl. valamilyen függvény szerint nő a hőmérséklet a vezető mentén egy adott irányba haladva, akkor a vezetőn áramot áthajtva azt tapasztalhatjuk, hogy a Joule hő mellett - az áram és a hőmérséklet gradiens irányától függően - pozitív vagy negatív hő, úgynevezett Thomson - hő keletkezik, s emiatt a vezetőben megváltozik a hőmérséklet eloszlás. A pozitív hőtermelést úgy képzelhetjük el, hogy az elektronok mozgásuk során a melegebb helyről energiát szállítanak a hidegebb hely felé. A vezető egységnyi térfogatában t idő alatt fejlődő hő:
WTH = τ ·
dT ·I, dx
(2.11.4)
dT az adott helyen a dx hőmérséklet gradiens, amely vékony vezeték esetén a hosszirányú deriválttal egyezik meg, I pedig a vezetőn átfolyó áram erőssége.
ahol τ az adott anyag Thomson együtthatója,
A Joule hőt megvizsgálva láthatjuk, hogy ott az áramiránytól függetlenül a hő mindig termelődik, (Q = I2· R ·t > 0), így ebből a szempontból a Peltier és a Thomson hő alapvetően különbözik a Joule hőtől. Ugyanis a két utóbbi effektusban leírt hő mindegyike a vezetőn átfolyó áramnak első fokú függvénye, azaz a hő előjele, (vagyis hogy az adott hő termelődik, vagy elnyelődik) az áramiránytól függ. Az áramirány megfordításával a keletkezett hő elnyelődik és viszont. Ezért e két utóbbi hőt reverzibilis hőnek fogjuk nevezni. Összefüggések a termoelektromos együtthatók között. Kelvin relációk
A következőkben megadjuk a fent ismertetett jelenségekre jellemző anyagi együtthatók közötti kapcsolatot: [BENEDICT (1984), ASTM Manual (1981), HARMAN (1967), CALLEN (1966), McGRAW-HILL (1993)] A Seebeck - és a Peltier - együttható között a πAB = T· ∈AB
(2.11.5)
kapcsolat áll fenn, míg a Thomson együttható a τA = T
d ∈A dT
képlet szerint függ az ∈A abszolút Seebeck együttható helyi értékétől. 41
(2.11.6)
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Ezen összefüggések és a (2.11.5) és a (2.11.6) képletek alapján a Peltier illetve a Thomson hő még a következő alakban is felírható: (2.11.7) QP = T· ∈·I·t. illetve (2.11.8)
wTH = T
d ∈ dT ⋅ ·I dT dx
(2.9.6.) felhasználásával : (2.11.9)
τA − τB = T
d ∈A d ∈B d ∈AB −T =T dT dT dT
Ha itt figyelembe vesszük, hogy (2.11.5) szerint πAB = T · ∈AB, akkor az előző egyenlet a deriválást elvégezve a következő alakot ölti. (2.11.10)
τA − τB = T
d (π AB / T ) dπ AB π AB . = − dT dT T
Mivel (2.11.5) és (2.11.2) egyenletek miatt πAB = T· ∈AB = T· ( ∈A - ∈B ), így végül a (2.11.11)
τA − τB =
d (T⋅ ∈AB ) − ∈A + ∈B dT
összefüggéshez jutunk, amit majd a 4.10 fejezetben használok fel.
2.12 Termoelektromos kapcsolat az Onsager - elv alapján
Mivel a termoelektromos jelenségek tipikusan két, klasszikusan teljesen különböző leírási rendszert használó határterülethez - a termodinamikához és az elektrodinamikához - tartoznak, felmerült, hogy a klasszikus leírás mellett az ezen a területen alkalmazott egyéb elméleteket is próbáljuk alkalmazni. A termodinamika a klasszikus tárgyalásmódjával eltér a fizika egyéb területein alkalmazott térelméleten alapuló leírási módtól, de a nemegyensúlyi termodinamikában leírt térelméleti módszer már az egységes leírás fele mutat. (GYARMATI (1967) Alkalmazzuk a nemegyensúlyi termodinamika Onsager - elvét a termoelektromosságra. Az elv az elektromos áramsűrűségre (je ) és a hőáram sűrűségre ( jq ) a következő összefüggéseket adja (CALLEN (1966), WALSTROM (1988)):
42
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
(2.12.1)
∇µ j = δ⋅ − ∈ ⋅∇T e e ∇µ j = T ⋅ δ⋅ ∈ ⋅ + T ⋅ δ⋅ ∈2 +λ ⋅ ∇T q e
(
)
(2.12.2)
Az összefüggésekben szereplő mennyiségek: δ - villamos vezetőképesség, T - abszolút hőmérséklet, e - elemi töltés, λ - hővezetési tényező
∈ - abszolút Seebeck - együttható, A µ úgynevezett elektrokémiai potenciál egy "kémiai" és egy U elektromos potenciálból áll össze. (2.12.3) µ = µ* - eU Az eredő hatásról "leválasztva" a külső elektromos tér által keltett tagot: µ* ot kapjuk, ahol a "kémiai" jelző csak arra kíván utalni, hogy itt az elektronokra ható erő nem csak az U gradiensétől, hanem a hőmérséklet gradienstől és az elektron koncentráció függvény gradiensétől is függ. A " kémiai " potenciál itt csak a helynek és a hőmérsékletnek a függvénye. A nemegyensúlyi termodinamika segítségével µ* és U külön - külön nem határozható meg, csak a két mennyiség (2.12.3) - beli lineáris kombinációja jelenik meg a (2.12.1) illetve (2.12.2) egyenletekben. Az ∈ abszolút Seebeck - együttható szerepét a következőképpen értelmezhetjük: Ha a (2.12.1.) egyenletből kifejezzük ∇µ -t, és beírjuk azt a (2.12.2.) - be , akkor az a következő alakot veszi fel: (2.12.4) j = T⋅ ∈ ⋅ j − λ ⋅ ∇T q e Ebből az egyenletből látszik, hogy a Seebeck együttható a termoelektromos kapcsolat kifejezője, hisz ez ad kapcsolatot az villamos áramsűrűség és a hőáram sűrűség között. Ez abból is látható, hogy ha ∈ = 0, akkor (2.12.1) illetve (2.12.2) egyenletek az alábbi alakot veszik fel : ∇µ j = δ⋅ , illetve j = λ ⋅ ∇T e q e 43
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Az első egyenlet nem más, mint az Ohm törvény differenciális alakja, míg a második a hővezetés Fourier egyenlete. Azaz ∈ = 0 esetén a két egyenletből álló egyenletrendszer szétesik két, egymástól független egyenletre, tehát ekkor a hővezetés és a villamos vezetés függetlenné válik egymástól. Termoelemes érzékelőként általában a 2.12.1. ábrán látható elrendezést használják. Itt A-val és B-vel jelöltem a kétféle fémet, s0,s1,s2,...,s5 pedig az egyes anyagok közötti érintkezési felületét jelöli. Az s1 és s2, valamint az s3 és s4 közötti rész a kétféle fém közötti átmeneti zóna, amely pl. hegesztés, forrasztás esetén mindenképpen kialakul, ezzel a későbbiekben külön foglalkozunk, az s0 és az s5 pedig a feszültségmérő két csatlakozópontja. s0
s5 A s4
A
G T3
T3
Illesztés T2 hõmérsékleten
s1 Illesztés T1 hõmérsékleten s2
s3
B
2.12.1 ábra termoelemes érzékelő elvi rajza Mivel az ábra szerinti G jelű feszültségmérő vezetékei általában azonos anyagi minőségűek és azonos hőmérsékletűek (ha nem akkor ezt a mérésnél külön figyelembe kell venni, ez befolyásolja a mérést, mert akkor azon a szakaszon is termelődik termofeszültség), ezért az s0 és az s5 pontokban a µ* "kémiai" potenciál értéke azonos, vagyis ezen pontok között a kémiai potenciálkülönbség nulla. ( A "kémiai" potenciál csak a helytől és a hőmérséklettől függ.) Képlettel kifejezve: (2.12.5)
µ*(s5) - µ*(s0) = 0.
Felhasználva az (2.12.3) egyenletben megfogalmazott µ = µ* - e U összefüggést, ezzel µ* helyére helyettesítve a feszültségmérő feszültségére az alábbi egyenlet adódik: (2.12.6)
U(s5) - U(s0) = - ( µ(s5) - µ(s0) ) / e
Az (2.12.1) összefüggésből látszik, hogy ha je = 0 elektromos áramsűrűség esetén grad µ = e ∈ grad T.
44
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Mivel a termoelem egy hosszához képest elhanyagolható átmérőjű huzal, a benne kialakuló tér jellege miatt a vektorok a huzal tengelye irányába mutató komponenseikkel, a gradiensek a drót tengelyével párhuzamos koordináta szerinti deriváltakkal egyeznek meg. Ezek alapján a µ változását s0 és s5 között megkapom, ha a kifejezés jobb oldalát (e ∈ dT/ds ) integrálom: s
µ(s ) = µ(s0) + e ⋅ ∫ ∈ (s, T ) ⋅ s0
dT ds ds
(2.10.7.)
Itt dT/ds a hőmérsékletnek a drót mentén vett elmozdulás szerinti deriváltja. Felhasználva, hogy az integrálási tartományomat véges sok elemű diszjunkt halmazra bonthatom, s az integrálást elvégezhetem az egyes halmazokon, majd a teljes integrált megkapom a részintegrálok összegeként, az (2.12.7) egyenlet segítségével a termofeszültség (2.12.6) - beli kifejezése a következő (2.12.8) alakba írható: (2.12.8) s1
− ∆U =
s2
s3
s4
s5
dT dT dT dT dT ∆µ = ∫ ∈A ds + ∫ ∈ (s, T ) ds + ∫ ∈B ds + ∫ ∈ (s, T ) ds + ∫ ∈A ds e ds ds ds ds ds s0 s1 s2 s3 s4
Itt ∈A illetve ∈B a kétféle fém abszolút Seebeck együtthatóját jelenti, a két fém közötti átmeneti zónában pedig ∈ a helynek és a hőmérsékletnek egy általában ismeretlen függvénye ∈ = ∈(s,T). Ha a két vezeték érintkezési tartományában a hőmérséklet gradiens nulla (aminek jelentőségére a 4.10 fejezetben még külön kitérek), akkor az integrálból a második és a negyedik tag eltűnik, és a következő eredmény adódik: (2.12.9): s1
s3
s5
T1
T2
T′
dT dT dT U(s5) − U(s0) = ∫ ∈A ds + ∫ ∈B ds + ∫ ∈A ds = ∫ ∈A dT + ∫ ∈B dT + ∫ ∈A dT ds ds ds s0 s2 s4 T′ T1 T2
Itt közben áttértünk a hossz szerinti integrálásról a hőmérséklet szerinti integrálásra, amit az tesz lehetővé, hogy homogén vezeték esetén .abban a tartományban ∈A illetve ∈B az s - től nem függ. Ha az integrálás alaptulajdonságai közül az additivitást és a határok felcserélésére vonatkozó szabályokat felhasználjuk, akkor a termofeszültség az alábbiak alapján alakítható tovább: (2.12.10) T1
T2
T2
T2
T2
T2
T1
T1
T1
T1
− ∆U = ∫ ∈A dT + ∫ ∈B dT = − ∫ ∈A dT + ∫ ∈B dT = ∫ (∈B - ∈A )dT .
45
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Az ∈AB = ∈A - ∈B képlettel definiált relatív Seebeck együttható bevezetésével megkapjuk a Seebeck feszültség szokásos kifejezését, azaz hogy : (2.12.11)
T2
∆U = ∫ ∈AB dT . T1
Az itt bemutatott irodalmi eredményeket a termoelemes hibaanalízisénél (4.10 fejezet) fogom alkalmazni.
46
mérőkör
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
3. ANYAG ÉS MÓDSZER
Ebben a fejezetben azokat a módszereket mutatom be, amelyeket a munkám során felhasználtam. Az első részben a matematikai modellépítés gondolatmenetét ismertetem, majd a kutatáshoz kapcsolódó méréseket mutatom be. Ezután a méréstechnikai vizsgálatokhoz használt matematikai elméletet ismertetem.
3.1 A száradást leíró fizikai alapú modell differenciálegyenlet rendszerének felállítása Halmazjellemzők
Mielőtt felírnánk a megfelelő egyenleteket, nézzük meg, hogy a szárítandó anyaghalmazra milyen halmazjellemzőket fogunk alkalmazni. A szárítandó fát tartalmazó anyaghalmaz modellezésére egy h magasságú, w szélességű farakatot választunk, amelybe azonos, l hosszúságú fadarabokat raktak. A fadarabok átlagos átmérője d, egymástól mért átlagos távolságuk pedig z. A halmazban mérhető átlagos sűrűség az úgynevezett halmazsűrűség (ρb ) meghatározása a következőképpen lehetséges:
3.1.1 ábra farakat sematikus rajza
h w d 2π ⋅ ⋅ l ⋅ ρ fa m fa N·V1 ⋅ ρ fa d + z d + z 4 d2π ρb = = = = ρ . 2 fa V V h ⋅ w ⋅l 4(d + z )
Méréseink szerint a farakatban d ~ z, s ez alapján a halmazsűrűség ρb =
π ρ fa 16
alakban határozható meg. A fa és a levegő közötti hő- és anyagcsere meghatározásánál szükség lesz a fajlagos felület fogalmára, azaz a halmaz 1 m3 térfogatában levő fa teljes felületére (mivel az általunk választott problémában a későbbiekben tárgyaltak szerint a diffúzió a fa tengelyével párhuzamosan elhanyagolható, csak a palást területét kell figyelembe vennünk). Halmazban levő összes fafelület: 47
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
A = fadarabok száma ⋅ egy darab felülete =
h w ⋅ ⋅d ⋅π⋅l d+z d+z
Így a fajlagos felület: h w ⋅ ⋅d ⋅π⋅l A d+z d+z d⋅π Af = = = . V h ⋅ w ⋅l (d + z )2 A d ~ z értékkel behelyettesítve: Af =
π 4d
A tömegátadási tényező a hő- és anyagtranszport folyamatok analógiája alapján került meghatározásra. A Reynolds és Prandtl számok [WHITAKER (1972)] Re =
µa ⋅ cp ρ⋅v⋅R , illetve Pr = η λa
segítségével a Nusselt száma következő alakban került meghatározásra [Schenk,1995]:
(
Nu = 0.5 ⋅ Re + 0.2 ⋅ Re 0.5
0.667
)Pr
0.33
µb µ0
0.14
,
ahol a határrétegben és a határrétegtől távol mérhető viszkozitások arányára µ felírt b µ0
0.14
≈ 0.8 − 1.2 , így a számolásokban ez a tag 1-el helyettesíthető.
α⋅R definíciója alapján így az α hőátadási vagy λa hőszállítási tényező meghatározható. A Nusselt szám Nu =
Az α ismeretében a Nu/Sh hányadosból a k értéke meghatározható [BEKE (1997)]: p α = ρ ⋅ c p ⋅ Le1−n l . k p Tiszta turbulens határréteg esetén (Le ~ 1) ha a gőz parciális nyomása elég α kicsi (pl/p ~ 1), a k = összefüggés használható. ρ ⋅ cp
48
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Lamináris határrétegben (a Nusselt és Sherwood számok értékét beírva) 2 p α ugyanez = ρ ⋅ c p ⋅ Le 3 l . Mivel a vizsgált hőmérsékleten pl/p ~1, a k p α tömegátadási tényező az alábbi alakban meghatározható: k = 2 a 3 ρ ⋅ cp ⋅ D Természetes konvekció esetén a az átadási tényezők aránya alakilag azonos a kényszerkonvekcióra felírt esettel. A peremfeltételek meghatározásához szükség van a telített gőz nyomásának és sűrűségének hőfokfüggésére. Az irodalomból jól ismert a telített vízgőz sűrűség-hőmérséklet függése, amit egy másodfokú polinom-illesztéssel a táblázati adatokból kellő pontossággal bármely értékre kiszámolhatunk ρgt = 2,1·10-5·Tgt2 - 0,0113·103·Tgt + 1,52 alakban. (lásd 3.1.2 ábra) Az irodalomból jól ismert a telített gőznyomásra vonatkozó hasonló görbe, melynek bemutatását most mellőzzük.
0.035
telítési sűrűség (kg/m3)
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0 270
275
280
285
290
295
300
305
hőmérséklet (K)
3.1.2 ábra telített vízgőz nedvességtartalom-hőmérséklet illesztése táblázati adatokra
49
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
A munka során összehasonlítása.
használt
nedvességtartalom
mennyiségek
A kutatómunka során háromféle mennyiséget használtam a nedvességtartalom kifejezésére. Ezen mennyiségek elsősorban az angol nyelvű szakirodalomban megszokott jelölések, ennek indoka az, hogy a kutatómunkát részben nemzetközi együttműködés keretében végeztem. A nedves bázisra vetített nedvességtartalom ([W]=kg víz/kg nedves anyag) az egységnyi tömegű nedves anyagban levő víz tömegét adja meg, míg a száraz bázisra vetített nedvességtartalom ([M]=kg víz/kg száraz anyag) az egységnyi tömegű szárazanyag tartalomra jutó víz tömegét adja meg. Használtam még a térfogati nedvességtartalom (sűrűség) fogalmát ([C]=kg víz/m3 nedves anyag) amely az egységnyi nedves térfogatban levő víz tömegét adja meg. (A szárazanyag tömegét az MSZ 3607/1-71 szabvány szerint 105±1 °C fokon való szárítás során az 50-100 g-os mintáknak a 0,001 g-nál kisebb tömegváltozás beálltáig való szárítással lehet megkapni, a mérések során én is ezt a módszert alkalmaztam). Mivel az utóbb meghatározott térfogati nedvességtartalom fogalom az irodalomban csak részben használatos az alábbiakban megadom ennek összefüggését a másik két mennyiséggel: Tegyük fel, hogy 1 m3 nedves fában a víz tömege C, (azaz a térfogati C (ρv nedvességtartama C kg/m3). Ekkor az 1 m3 térfogatból a víz térfogata ρv C a víz sűrűsége), tehát a fa térfogata 1 − .Ez alapján az 1 m3 térfogatban a ρv C fa tömege 1 − ρv
⋅ ρ fa
Tehát a fa szárazanyagra vetített nedvességtartalma, azaz a benne levő víz tömegének és a (száraz) fa tömegének az aránya C-vel kifejezve:
M=
m víz C = m fa C 1 − ρv
ρ fa
ρv ⋅C ρ fa = . ρv − C
Természetesen ez visszafele is megtehető, azaz C is kifejezhető M-bőL:
C=
M ⋅ ρv ρ M+ v ρf
Az M és W között pedig az irodalomból (Beke [1997]) jól ismert 50
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
W=
M W , illetve M = 1+ M 1− W
egyenletek adnak összefüggést. A levegő száraz bázison vett nedvességtartalmát (kg víz/kg száraz levegő) az irodalomban használatos x helyett (Beke [1997]) az angol rövidítéséből H-val jelöltem annak érdekében, hogy az egyenletekben kevésbé legyen összetéveszthető az x térkoordinátával. A száradást leíró egyenletek
A száradás folyamatának fizikai alapú leírásához a szárító levegő és a száradó termék hő- és anyagtranszport folyamatait kell figyelembe vennünk. Diffúziós egyenlet
Elsőként tekintsük a száradó termék, esetünkben a száradó fa tömegmérlegét. Ismert, hogy száradás közben a víz diffúzió útján távozik a termékből, tehát a diffúziós egyenletet kell rá alkalmaznunk, amelynek általános alakja: ∂C = div(D ⋅ gradC) , ∂t
(3.1.1)
ahol C a fa térfogati nedvességtartalma. Egy hengerszimmetrikus rendszerre a diffúziós egyenletet hengerkoordináta rendszerben a legcélszerűbb felírni, amely esetben a 4.1.1. egyenlet az alábbi alakban jelenik meg: ∂ 2C ∂C D ∂C +D 2 . = r ∂r ∂t ∂r
(3.1.2)
A szárító levegő tömegmérlege
Tegyük fel, hogy egy h magasságú rakat , egy kicsiny dx szélességű részében l hosszúságú fadarabok vannak. Ekkor a rakat térfogata h·l·dx, a dt idő alatt a rakaton átáramló levegő térfogata pedig h·l·v·dt, ahol v az áramló levegő sebessége. Ezen jelöléssel a száradó fából eltávozó víz miatt a tömegváltozás: ∆m = -mfa·∆Μ. Ugyanez a tömegváltozás a levegőre (mivel a víz oda távozik): ∆m = -mlev·∆Η, ahol H a levegő egységnyi száraz tömegre eső nedvességtartalma (kg víz/kg száraz levegő). Mivel a két mennyiség azonos, így 51
3.1.3 ábra farakat sematikus rajza a levegő áramlási irányával
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
− ρb·h·l·dx·∆Μ = ρlev h·l·v·dt·∆H Az egyenletet h, l, dx. és dt értékkel elosztva, valamint bevezetve a G = ρlev·v tömegáram-sűrűség fogalmát (az egységnyi keresztmetszeten időegység alatt átáramló tömeg), az egyenlet az alábbi alakot ölti: G
∆H ∆M = −ρ b ∆t ∆x
∆H ∂H ∆M ∂M , illetve a lim = jelöléseket, a fenti = ∆x →0 ∆x ∆t →0 ∆t ∂x ∂t egyenlet az alábbi alakot ölti: alkalmazva a lim
(3.1.3)
G
∂H ∂M = −ρ b ∂x ∂t
A száradó fa energiamérlege:
Tekintsünk most egy h magasságú, w szélességű, farakatot l hosszúságú fadarabokkal. A fa halmaztérfogata h·w·l, a dt idő alatt a rakaton átáramló levegő térfogata pedig h·l·v·dt, ahol v az áramló levegő sebessége. A fa belső energia változása ezen idő alatt ∆U = cf·mfa·∆Θ , ahol cf a fa (szárazanyagának) fajhője, és Θ a fa hőmérséklete. Ugyanez a mennyiség a fában levő vízre: cv·mfa·M·∆Θ, ahol cv a víz fajhője. A fa hőtechnikai jellemzői saját mérések alapján (lásd később) illetve az irodalom alapján kerültek (Mohsenin [1980]) meghatározásra. A belső energia megváltozása az energia-megmaradás elve miatt a párolgás által elvitt hő (Qp) és a levegővel való hőcsere (Qh) összegével egyezik meg, ahol: Qp = mfa·∆M·L(Θ), ahol L(Θ) a párolgáshő értéke Θ hőmérsékleten, és Qh = α·Af·(T-Θ)·∆t, ahol α a felületi hőátadási tényező, Af a fajlagos felület, és T a szárító levegő hőmérséklete. Ezek alapján az energiamérleg az alábbi alakba írható: ρb·h·w·l·(cf + X·cv)·∆Θ = ρb·h·w·l·∆ΜL(Θ) + α·Af·h·w·l·(T-Θ)·∆t Az egyenletet h, w, l, és ∆t értékekkel elosztva, és bevezetve az U = α·Af átlagos hőátadási tényezőt, a ∆t→0 és ∆x→0 határátmenetekkel (3.1.4)
ρ b (c f + c v X )
∂Θ ∂M = ρ b ⋅ L(Θ ) + U ⋅ (T − Θ ) ∂t ∂t
52
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
egyenlethez jutunk. Az egyenlet tehát azt mutatja, hogy a nedves levegő belső energiájának megváltozása a felületi hőátadás során felvett és a párolgás során leadott energiával egyezik meg. A szárító levegő energiamérlege
Tegyük fel, hogy egy h magasságú rakat , egy kicsiny dx szélességű részében l hosszúságú fadarabok vannak. Ekkor a rakat térfogata h·l·dx, a dt idő alatt a rakaton átáramló levegő térfogata pedig h·l·v·dt, ahol v az áramló levegő sebessége, és v·dt >> dx. A levegő belső energiájának megváltozása ezen idő alatt clev·mlev·∆T alakba írható, ahol clev a (száraz) levegő fajhője, T a hőmérsékletváltozása. Ugyanez a mennyiség a levegőben levő nedvességre (párára): cvg·mlev·H·∆T, ahol a cvg a vízgőz fajhője. A belső energia változása egyrészt az elpárolgott vízgőznek a fa hőmérsékletéről a levegő hőmérsékletére való felmelegítésére (Qvg), másrészt a levegőből a fa felé irányuló hőátadásnak a fedezésére (Qh) fordítódik. Numerikusan: Qvg = mfa·∆Μ·cvg (T-Θ), ahol mfa·∆M az elpárolgott víz tömegét adja meg, és Qh = α·As·(T-Θ)·∆t, ahogy azt a fa energiamérlegénél már részletesen megvizsgáltuk. A fenti energia és hő értékeket egyenletbe foglalva: ρlev·h·w·v·∆t·(clev + H·cvg)·∆Τ = ρβ·h·w·l·∆Μ·cvg·(T-Θ) + α·As·h·w·l·(T-Θ)·∆t Az egyenletet h,l,∆x és ∆t értékekkel osztva, és a ∆t→0 és ∆x→0 határátmeneteket elvégezve: ρ lev (c lev + c vg ⋅ H )
∂T ∂M = ρb ⋅ ⋅ c vg ⋅ (T − Θ ) + U ⋅ (T − Θ ) ∂x ∂t
(3.1.5)
egyelethez jutunk. Az egyenlet kifejezi, hogy a szárító levegő belső energiájának változása az elpárolgott vízgőz hőmérsékletének növelésére, másrészt a hidegebb fa irányába mutató hőátadásra fordítódik
3.2 Az alkalmazott numerikus megoldási módszerek: végeselem módszer, véges differenciák módszere Az előző részben felállított parciális differenciálegyenlet-rendszer analitikus módon nem oldható meg, így a megoldásra közelítő módszerek alkalmazására volt szükség. Mivel az egyenletrendszer minden egyenlete a 53
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
nedves fa tömegveszteségétől függ, először ennek az egyenletnek a megoldása történt meg. Az alábbiakban a megoldás érdekében tesztelt módszerek kerülnek bemutatásra. Az egyes modellek összehasonlíthatóságának érdekében mindegyik módszert ugyanazzal a peremfeltétellel teszteltük, nevezetesen annak feltételezésével, hogy a fa szélén a nedvességtartalom az egyensúlyi nedvességtartalommal egyezik meg. (Feltételezve hogy a felületi anyagátadási tényező nagyságrendekkel nagyobb a diffúziós együtthatónál, (a Biot szám=kR/D ≅ 104) csak a diffúziót, mint limitáló tényezőt vettem az összehasonlításhoz figyelembe. Közelítő megoldás a Bessel függvények segítségével
Crank (1956) ismerteti, hogy konstans értékű peremfeltétel esetén (és homogén kezdeti nedvességeloszlás mellett) az átlagos nedvességtartalom a következő kifejezéssel számolható: (3.2.1)
4 − D⋅α2i ⋅t C(t ) = C e + (C 0 − C e ) ⋅ ∑ 2 e R , i =1 α i n
2
ahol az αi számok a az első fajú, nulladrendű Bessel függvények gyökei. (Crank [1956]) Az elsőrendű, nulladfokú Bessel függvény az un. nulladrendű Bessel-féle differenciálegyenlet d 2 u 1 du + + α2u = 0 dr 2 r dr megoldása. A matematikailag helyes eredményt n→∞ esetén kapjuk meg, de a számítások azt mutatták, hogy n=30 esetén az eltérés 1%-nál kisebb. 30-nál kisebb n-ekre a folyamat kezdetén nagy eltéréseket tapasztaltunk ennél a modellnél (n értékének tesztelésére 1 és 150 értékek között került sor). Végeselem módszer (MATLAB PDE Toolbox)
Egy legfeljebb kétdimenziós parciális differenciálegyenlet (két térbeli + az időbeli dimenzió) megoldására a MATLAB program PDE (Partial Differential Equation) toolboxa is alkalmas. A toolbox a végeselem módszert alkalmazva számolja ki a függvény értékeit egy adott háromszögekből álló háló rácspontjaiban, a szükséges időpillanatokban.
54
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
A programban először a geometriát definiáltam (esetünkben, mivel a tengelyirányú diffúzió a fa hossza miatt elhanyagolható a sugárirányú diffúzióval szemben, az egyszerűbb modellekben a geometria egy kör volt), majd megadtam a peremfeltételt (ami ebben az esetben is egy konstans egyensúlyi nedvességtartalom volt), és az anyagtranszport együtthatókat (esetünkben a fa diffúziós együtthatóját). A program segítségével az általa meghatározott pontokban, az előre beállított időintervallumon végigszámoltam a problémát, és a nedvességtartalom függvény értékeit egy mátrixba importáltam. A módszerek összehasonlításához az átlagos nedvességtartalom kiszámolására volt még szükség, amit a módszer alklamazásánál mutatok be. Véges differencia módszerek
Közismert, hogy egy u(x) egyváltozós fizikai mennyiségnek az x mennyiség ∆u ∆x változása hatására bekövetkező megváltozása a ∆u = ∆x formula ∆x du ∆x alapján, a ∆x→0 határátmenet felhasználásával felírható ∆u = dx du az adott mennyiség x szerinti deriváltja, azaz a függvény alakban, ahol dx ∆u deriváltja a differenciálhányadossal (azaz az érintő iránytangense egy ∆t szelő iránytangensével) helyettesíthető (lásd 3.2.1 ábra). Természetesen ez a helyettesítés a számolásba egy (előre ismert mértékű) eltérést visz, nevezetesen az adott pontban az érintő és a szelő közötti eltérést, de ez az eltérés a ∆x csökkentésével tetszőlegesen kicsivé tehető. Az eltérés miatt azonban a véges differencia módszerek ∆x lépésköze nem lehet akármilyen nagy, mert egy idő után az eltérésből adódó hibák összegződése lényegesen meghamisítja az eredményt.
55
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
u
x
x+∆x
x
3.2.1 ábra érintő és szelő viszonya egy adott függvényre Ugyanez többváltozós függvény, pl. az u(x,t) függvény esetén változónként ∂u u (t + ∆t ) − u ( t ) = az idő változóra, alkalmazható az alábbi formulákkal: ∂t ∆t ∂u u (x + ∆x ) − u ( x ) = illetve a helyváltozóra. Ezen formulák ∆t illetve ∆x ∂x ∆x értékétől függő, úgynevezett elsőrendben pontos közelítő formulák. Ha ∂u u (x + ∆x ) − u ( x − ∆x ) = alakban adjuk meg, akkor térbeli közelítést ∂x 2∆x úgynevezett másodrendben pontos (∆x2 - től függő)formulát kapunk, amelynek az előzőnél jobb közelítése az iránytangensre a 3.2.2 ábrán is látható. u
x-∆x
x
x+∆x
x
3.2.2 ábra érintő és szelő viszonya másodrendű formulánál A különböző véges differencia módszerek közül a Crank-Nicholson módszer (Cranck [1956]) került alkalmazásra a jó közelítése és stabilitása miatt (relatíve nagy lépésközzel alkalmazható). A módszer másodrendben pontos 56
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
formulával, az időlépés elején és végén vett értékek átlagával határozza meg a függvény változását, ahogy azt az alábbiakban megmutatjuk. Az alkalmazott modellben, egy hengerszimmetrikus elrendezésre (fára) felírt (3.1.2) diffúziós egyenletet kell diszkretizálni: ∂C D ∂C ∂ 2C = +D 2 r ∂r ∂t ∂r Mivel az általunk vizsgált esetben a diffúzió alapvetően sugárirányú, így a probléma egy helyváltozóval (r) és egy időváltozóval (t) leírható. Az időváltozó lépésközét dt-vel jelölve az i.-ik lépésközig eltelt idő t=i·dt alakban adható meg (tehát i-vel jelöljük az időbeli diszkretizálás indexét), míg a helyváltozó szerinti diszkretizálás indexe j, azaz a szimmetriatengelytől mért aktuális r távolság (0
alakú, míg az idő szerinti derivált a alábbi formulával számolható ∂C C( j, i + 1) − C( j, i) = . ∂t dt
(3.2.4) Ezen
diszkretizált
deriváltakat a (4.1.2) diffúziós egyenletbe D ⋅ dt jelölést bevezetve az alábbi egyenletet kapjuk: visszahelyettesítve a h = dr 2 h 1 h 1 ⋅ C( j + 1, i + 1) + (1 + h ) ⋅ C( j, i + 1) − 2 + ⋅ C( j − 1, i + 1) = − 2 − (3.2.5) 4 j − 1 4 j − 1 h 1 h 2 − ⋅ C( j + 1, i ) + (1 − h ) ⋅ C( j, i ) + C( j − 1, i ) 4 j − 1 4
Ugyanez vektorszorzással felírva: (3.2.6) 57
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
C( j + 1, i + 1) h h 1 1 h 1 1 + h − 2 + ⋅ C( j, i + 1) = 2 − 1− h − 2 − − − − j 1 4 j 1 4 j 1 4 C( j − 1, i + 1)
C( j + 1, i ) 1 h 2 + ⋅ C( j, i ) j − 1 4 C( j − 1, i )
Ez az egyenlet a 2 ≤ j ≤ n-1 pontokban alkalmazható, tehát a j=1 és j=n pontokat külön kell vizsgálnunk. A j=1 pontban (azaz középen) a következő feltétellel számolhatunk: C gradiense itt nulla a hengerszimmetrikus nedvesség eloszlás miatt, azaz (4.2.1)-ből: ∂C ∂r
= j=1
1 C(2, i) − C(0, i) C(2, i + 1) − C(0, i + 1) + =0 2 2 ⋅ dr 2 ⋅ dr
(3.2.7)
Megoldva az egyenlőséget C(0, i ) + C(0, i + 1) = C(2, i ) + C(2, i + 1) egyenlethez jutunk. Természetesen a 0 indexű helykoordinátának itt nincs semmiféle fizikai jelentése hiszen a j=1 koordináta szimbolizálja a középpontot, csak formálisan számolunk vele és hamarosan el is tűnik az egyenleteinkből. Ugyanis ha a (3.2.5) diszkretizált diffúziós egyenletbe is behelyettesítünk j=2 értékkel, akkor ott is megjelennek C(0,i+1) és C(0,i) értékek. E két utóbbi egyenletből C(0,i+1) és C(0,i) éppen kiesik, és a (3.2.8) (1 + h ) ⋅ C(1, i + 1) − h ⋅ C(2, i + 1) = (1 − h ) ⋅ C(1, i ) + h ⋅ C(2, i ) Ugyanezt vektorszorzással az (3.2.9)
[1 + h
C(1, i + 1) C(1, i) − h]⋅ = [1 − h h ] ⋅ C(2, i + 1) C(2, i)
alakban adható meg. Nézzük most a j=n esetet. Ez a pont a fa-levegő határfelület, ahol egy határfeltételt kell felépítenünk. Egyenlőre tekintsük azt a (extrém környezeti körülményeket, illetve nagyon nagy felületi nedvességtartalmat nem jól leíró) peremfeltételt, hogy a határfelületen a nedvességtartalom a szorpciós izotermából nyerhető Ce egyensúlyi nedvességtartalom, azaz C(n,i) = Ce, bármely i-re. A peremfeltételekkel, és az aszerint felépített modellel a későbbiekben még foglalkozunk. Jelen modellben ezt a választást az indokolja, hogy a többi modellben is ez a peremfeltétel valósítható meg legegyszerűbben, illetve pl. a Bessel függvényekkel felépített modell csak ezt a peremfeltételt tudja kezelni, s így a modellek összehasonlíthatóságához itt is ezt a feltételt kell alkalmaznunk. Összegzésként elmondható, hogy a t= (i+1)·dt időpontban a nedvességtartalom eloszlása meghatározható az előző (i·dt) pillanatbeli 58
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
eloszlásfüggvényből az alább megadott módon. A fentiekben megadott vektorszorzásokat mátrixszorzásként megadva: (3.2.10) M1·C(:,i+1) = M2·C(:,i) ahol az M1 mátrixra: (3.2.11) 1+ h h 1 − 2 − 4 j − 1
−h 1+ h −
0 M
h 1 2 − 4 j − 1 M
0 h 1 − 2 + 4 j − 1 1+ h M
0
L
0
0
0
L
0
0
1 j − 1
L
0
0
1 j − 1
M
M
1+ h
M h 1 − 2 + 4 j − 1
h 2 + 4 M h − 2 − 4
−
0
0
L
0
0
L
0
0
0
L
0
−
h 1 2 − 4 j − 1 0
1+ h
0 −
0
h 1 2 + 4 j −1 1
és az M2-re az alábbi adódik: 1− h h 1 2 − 4 j − 1
h 1− h
0 h 1 2 + 4 j − 1
0
L
0
0
0
L
0
0
L
0
0
M
M h 1 2 + 4 j − 1
M
M
h 1 2 − 4 j − 1 M
0
0
L
0
0
L
0
0
0
L
0
0
(3.2.12)
1− h M
h 1 2 + 4 j − 1 M h 1 2 − 4 j − 1
1− h h 1 2 − 4 j − 1 0
1− h 0
0 h 1 2 + 4 j − 1 1
A mátrixok utolsó sorának [0 0 0 … 0 1] értéke a modell egymással azonos (C(n,i)=Ce) értékeket ad vissza a választott peremfeltétel miatt a felületi pontokra. Egy ismert (pl. homogén) kezdeti nedvességeloszlást feltételezve a nedvességtartalom egy tetszőleges későbbi t=i·dt időpontban a modell segítségével numerikusan kiszámolható. A modell felprogramozása a Matlab program segítségével történt meg, a program listája a függelékben megtalálható (difmod1.m). A program futtatására egy példa egy 3 cm átmérőjű fahasábban szimulált nedvességeloszlás változás az idő függvényében (3.2.3 ábra). 59
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
350
nedvességtartalom (kg/m3)
300
250
200
150
100
50 -0.03
-0.02
-0.01
0 sugár (m)
0.01
0.02
0.03
3.2.3 ábra nedvességtartalom eloszlás változása fában (szimuláció) Nézzük most a fában fellépő hosszirányú diffúziót! Az általunk vizsgált probléma esetén a vizsgálataink szerint a hosszirányú diffúziónak kisebb szerepe van. Ennek oka az, ahogy bár a diffúziós együttható rostirányban nagyobb, mint az egyéb főirányokban, de ebben az irányban legalább két nagyságrenddel nagyobb a méret is (a 4-6 méter hosszúság összevetve a 3-5 cm-es átmérővel). Ennek ellenére a hosszirányú diffúzió hatásának meghatározása az előbb vázolt esethez nagyon hasonlóan elvégezhető, sőt annál még némileg egyszerűbb modellezési problémát jelent, hisz ebben az esetben a diffúziós egyenlet alakja a 3.1.2 egyenletben megadott hengerszimmetrikus esettel ellentétben egy egydimenziós ∂C = div(D ⋅ gradC) problémára redukálódik, azaz a 3.1.1 egyenlet: ∂t általános alakja ekkor: (3.2.13)
∂ 2C ∂C =D 2 ∂t ∂x
alakban adható meg.
60
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Ekkor a Crank-Nicholson modellben a nedvességtartalom hely szerinti deriváltja (3.2.3) egyenletét az egydimenziós esetre felírva: ∂ 2 C 1 C( j + 1, i) − 2C( j, i) + C( j − 1, i) C( j + 1, i + 1) − 2C( j, i + 1) + C( j − 1, i + 1) = + ∂x 2 2 dx 2 dx 2
∂C C( j, i + 1) − C( j, i) = idő szerinti differencia tagot a dt ∂t 3.2.13 egyenletbe visszaírva: (3.2.14)
Ezt illetve a (3.2.4)
−
h h ⋅ C( j + 1, i + 1) + (1 + h ) ⋅ C( j, i + 1) − ⋅ C( j − 1, i + 1) = 2 2 h h ⋅ C( j + 1, i ) + (1 − h ) ⋅ C( j, i ) + C( j − 1, i ) 2 2
Mivel a két szélső (pontosabban a középső és a felületi) pontra a feltétel ugyanolyan alakba adható meg, mint a hengerszimmetrikus esetre, így ez az eset is M1·C(:,i+1) = M2·C(:,i) alakban fogalmazható meg, ahol az M1 és M2 mátrixokra: (3.2.15) M1 M2 1+ h − h 0 0 0 0 L h h 0 0 0 1+ h − − L 2 2 h h 0 1+ h − 0 0 − L 2 2 M M M M M M M h h 0 1+ h − 0 0 L − 2 2 h h 0 0 0 1+ h − L − 2 2 0 0 0 0 0 1 L
1− h h 0 h h 1− h 2 2 h 0 1− h 2 M M M 0
0
L
0
0
L
0
0
L
0
L
0
0
0
L
0
0
h L 0 2 M M M h h 1− h 2 2 h 0 1− h 2 0 0 0
0 M 0 h 2 1
A fenti egyenlet numerikus szimulációjának eredménye a 3.2.3 ábrához hasonló lefolyású görbéket ad. Ha a diffúzió mindkét nagyságrendű, akkor a
(sugár
és hossztengely)
∂ 2 C 1 ∂C ∂ 2 C ∂C = D 2 + + ∂t r ∂r ∂r 2 ∂x
irányban
azonos (3.2.16)
egyenletet kell diszkretizálni. Mivel a véges differencia módszer ekkor az x=i*h, r=j*h koordinátájú pontban az alábbi alakba írható (Cranck, 1956):
61
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
(3.2.17)
∂C j, k ∂t
=
D (C j+1,k + C j−1,k + C j,k +1 + C j,k −1 − 4C j,k ) h2
Hasonló módon a hely szerinti első és második deriváltakat is felépítve és az egyenletbe visszahelyettesítve a véges differencia modell felépíthető. Mivel azonban ebben az esetben a nedvességeloszlás egy kétdimenziós mátrixszal írható le, az egyes időlépések számolása során az időfüggést is leíró mátrix háromdimenziós lesz, aminek a képi megjelenítése problémákat okoz. 3.3 A fűzfa száradásának mérése
A fűzfával kapcsolatos mérések közül a legfontosabb a betakarított fűzfa száradásának mérése volt. A méréseket Hollandiában a wageningeni IMAGDLO kutatóintézetben végeztem. A kísérleti anyag az intézettől mintegy 200 km távolságban, a poldereken nőtt, és a kísérlethez a frissen levágott fát nejlonzsákba csomagolva szállítottam a mérés helyszínére. A faháncs szerepét tisztázandó kétféle méréssorozatra került sor. Az egyik méréssorozatban a fa hánccsal együtt, míg a másik sorozatban háncs nélkül került szárításra. A mérőeszközbe mintegy 30 cm hosszú fadarabok fértek be, így a fát a kísérlet megkezdése előtt kb. 25 cm-es darabokra vágtam, és hogy a tényleges száradás közbeni nedvességáramlást modellezzem, a végeit nejlonfóliával szigeteltem. (A mezőn való szárításnál a 4-6 m hosszú darabokban a végek beszáradása miatt a mérések szerint elhanyagolható a tengely irányú diffúzió, a szállítás közben a végek beszáradása elhanyagolható volt, de a mintákat a középső részekről vettem.) A mérőeszköz egy állandó szárítási környezetet (levegő hőmérsékletet és nedvességtartalmat) biztosítani tudó berendezés volt, ahol egyidejűleg 12 tartóban, előre beállított időközönként (esetünkben 15 percenként) automatikusan mérte a berendezés a belehelyezett termék tömegét. A mérés idejére az egyébként folyamatosan keringetett levegő légárama lekapcsolódott. A mérési adatok (levegő hőmérséklet, relatív nedvességtartalom, az egyes tartók tömege) egy AD konverteren keresztül egy számítógépben kerültek eltárolásra. A berendezés sematikus rajza az 3.3.1. ábrán látható.
62
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Mérhető kamra
Mérhető kamra
Hőmérséklet és nedvességtartalo m szabályozás
3.3.1 ábra szárítóberendezés sematikus vázlata A berendezés beállítási a mérés közben az alábbiak voltak (a modellezésben ugyanezen környezeti paraméterekkel számoltunk): Relatív nedvességtartalom: 60 % Levegő hőmérséklet: 20 °C Légsebesség: 10 cm/s A mérés során begyűjtött tömegadatok alapján, illetve a méréssel párhuzamosan elkezdett nedvességtartalom-mérés alapján meghatározásra került a fa állandó bázisú (szárazanyagra vetített) nedvességtartalma, amely az alábbi összefüggéssel határozható meg:
M=
aktuális tömeg − száraztömeg , száraztömeg
(3.3.1)
ahol a száraztömeg a fa szárazanyagának tömege, amely 105 °C-on végzett, 48 órás szárítással került meghatározásra. Az ily módon meghatározott relatív nedvességtartalom a szárítási idő függvényében az 3.3.2 ábrán látható.
63
Száraz anyagra vett nedvességtrtalom kg/kg
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
1 0.9
Hánccsal együtt szárított fa
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4
Háncs nélkül szárított fa
0.3 0.2 0.1 0
0
139
278
417 556 694 Szárítási idő (h)
833
972 1111
3.3.2 ábra relatív nedvességtartalom a száradási idő függvényében Az ábrán nagyon jól látható a háncs nélküli fa lényegesen gyorsabb száradása, amelyet 340 óra után le is állítottunk, míg a hánccsal együtt szárított fa 1000 óra alatt sem érte el az egyensúlyi állapotot. 3.4 Kiegészítő mérések a fűzfa száradáshoz Nedvességtartalom mérés
A nedvességtartalom mérések egy szárítószekrényben 105 °C-os hőmérsékleten, 48 órás szárítás során elért tömegveszteség mérésével történtek. A kisebb tömegű (max. 3 kg) mintákat egy 0,01g méréshatárú Sartorius mérleggel, a nagyobb mintákat (pl. porozitás-számoláshoz) egy 60 kg méréshatárú, 1 g pontosságú mérleggel mértem. (néhány jellemző mérési eredmény az 3.4.1 táblázatban látható, a táblázatban szereplő méretbesorolás –vastag, közepes, vékony-a 3.4.2 táblázatban bemutatott értékekkel történt). 3.4.1 táblázat nedvességtartalom értékek Méret Vastag száraz Közepes száraz Vékony száraz Vékony nedves
Száraz anyagra vetített nedvességtartalom (kg/kg) 0.1068 0.1255 0.1666 0.813 64
Szórás (%) 4.88 2.82 5.69 10.3
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Méret meghatározás
A felhasznált minták méretének meghatározására egy átlagos átmérő és egy hossz meghatározására volt szükség. Az átlagos átmérő meghatározása tolómérővel, a hossz mentén mért három különböző részen (két vége + közepe) mindegyik részen két, egymásra merőleges helyzetben került meghatározásra, majd átlagolásra Egy jellemző méréssorozat eredményei az 3.4.2 táblázatban láthatók: 3.4.2 táblázat átmérőmérés eredményei Átlagos átmérő (mm) 30.0 20.5 11.3
Vastag Közepes Vékony
szórás (mm) 5.0 2.7 3.0
Sűrűségmérés
A fa aktuális sűrűségének meghatározása a sűrűség definícióján alapulva történt meg, azaz a minta tömegének és térfogatának hányadosaként került meghatározásra. A minták térfogatát a mintának egy fémhálóval a víz alá szorításával a kiszorított víz térfogatának segítségével határoztam meg: V=
fémháló
fa minta
víz
m fa + m víz − m közös , ρv
ahol mfa a minta, mvíz a víz kezdeti tömege, mközös pedig a mérés végén a víz és fa együttes tömege. 3.4.3 táblázat fa sűrűségmérésének az eredményei Vastag Közepes Vékony
sűrűség (kg/m3) 542 436 416
szórás (kg/m3) 18 14 11
Porozitás
A szárításnál fontos jellemző a porozitás, azaz a száradó halmazba a levegő térfogatának a teljes térfogathoz viszonyított arányát, amely például a nyomásesés vizsgálatoknál az alábbi módon került meghatározásra: Egy 65
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
adott, ismert térfogatban (V) megmértük a benne levő fa tömegét (mfa), a fa aktuális sűrűségét (ρfa). Ekkor a porozitás: m fa ε = 1 − ρ fa ⋅ V
Egyensúlyi nedvességtartalom mérés
Közismert, hogy egyes eseteket kivéve (amelyekről a továbbiakban ebben a fejezetben még lesz szó) a szárításnál általában a diffúzió a limitáló tényező, azaz ha a nedvesség eljut a termék-levegő határfelületre, akkor onnét már gyorsabban eltávozik, mint ahogyan helyette újabb nedvesség jut ki a felületre. Ilyenkor a szabad felszín párolgását egy dinamikus egyensúlyi állapot határozza meg, amely a szárítandó termék jellegétől, és a szárító levegő relatív nedvességtartalmától függ. Az azonos hőmérsékletű, de különböző relatív nedvességtartalmú környezetben kialakuló egyensúlyi nedvességtartalomnak a relatív nedvességtartalomtól való függését leíró függvény a szorpciós izoterma. Ennek kimérése például az alábbiakban ismertetett módon lehetséges: Egy vegyileg tiszta , légmentesen zárható üvegben kb. 60 °C-ra melegített desztillált vízből túltelített oldatot létrehozva alacsonyabb hőmérsékleten az oldat bizonyosan hogy túltelített marad. Egy kis fémháló és egy tartószerkezet segítségével a belső légtérbe fa mintát helyezünk el, ezáltal (az egész rendszert állandó hőmérsékleten tartva) állandó relatív nedvességtartalmú levegő állítható elő. (Imre, 1974)
Fa minta
fémháló telített oldat
20 °C-os környezeti hőmérséklet esetén KNO3 oldattal és ZnSO4 oldattal mérve zajlottak egyensúlyi nedvességtartalom mérések. Az 3.4.1 ábrán egy ilyen méréssorozat időbeli lefolyásának alakulása látható.
66
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
KNO3
tömeg (g)
1 0,9 0,8 0,7 0
100
200
300
400
500
600
idő (óra)
3.4.1 ábra egyensúlyi nedvességtartalom mérés fa mintákkal Az állandósuló tömeg határértékének nedvességtartalom a már ismertetett meghatározható.
ismeretében az egyensúlyi nedvességtartalom méréssel
Fűzfa esetére mért értékek (szárazanyagra vetített relatív nedvességtartalom) az 3.4.2 ábrán láthatók. 450
egyensúlyi nedvességtartalom (kg/m3)
400 350 300 250 200 150 100 50 0
0
10
20
30
40 50 60 relatív páratartalom (%)
70
80
90
100
3.4.2 ábra egyensúlyi nedvességtartalom fűzfára A fűzfaháncs vastagságának változása száradás közben
A fűzfa háncs vastagságának jelentős szerepe van a hánccsal együtt szárított fa nedvességleadásában, emiatt mérések történtek annak az átlagos nedvességtartalomtól való függésének megállapítására.
67
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
A mérések szerint a háncs vastagsága az átlagos 1,5 mm értékről 0,5 mm értékre csökkent a száradás során (így ha egyetlen értékkel kellene jellemeznünk, akkor 0,75 mm lenne a közelítő érték). A folyamat jellege az 3.4.3 ábrán látható: -3
1.5
x 10
Háncs vastagság [m]
1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
Szárazanyagra vett nedvességtartalom[kg/kg] 3.4.3 ábra a háncs vastagságának változása a nedvességtartalommal
3.5 A termofeszültségre vonatkozó (fizikai alapú) függvényegyenletrendszer matematikai kiértékelése
Mint ahogy azt az irodalmi részben megmutattam (2.8 alfejezet), a termofeszültség függvényre a fizikai alapösszefüggések öt alapegyenletet adnak, amelyet a keresett függvénynek ki kell elégíteni. Azt is leellenőriztem, hogy a (2.8.1) képletben megadott szokásos termofeszültség-hőmérséklet függvényre ez az 5 egyenlet nem teljesül teljes mértékben és minden körülmények között. Így aztán érthetően felmerül az igény annak a vizsgálatára, hogy a függvényegyenletek elmélete milyen függvényeket ad megoldásnak erre az öt egyenletre vonatkozóan. A (2.8.2) UAA(T,To) = 0 és a (2.8.3) UAB(T,T) = 0 egyenletek annyira triviális állítást fogalmaznak meg, hogy ezeket ebből a szempontból nem hasznosíthattam.
68
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
A (2.8.6) UAB (T1,T3) = UAB(T1,T2) +UAB(T2,T3) egyenlet a függvényegyenletek szempontjából már perspektivikusabb. Az ilyen "elnyelési" tulajdonságú (a jobboldali összeadandó függvények mindegyikében szerepel T2 de a baloldali eredményfüggvényben már nem) függvényekre [PRUDNYIKOV (1981)] alapján a következő teljesül: A Sinzow - féle függvényegyenlet
Legyen a fenti elnyelési tulajdonságot leíró (úgynevezett Sinzow - féle függvényegyenlet) :
függvényegyenletünk
F(x,z) = G(x,y) + H(y,z)
(3.5.1)
Ekkor x=a rögzítése mellett vezessük be a következő jelöléseket: F(a,z) = h(z), illetve G(a,y) = g(y) , az így nyert függvények ilyenkor egyváltozós függvények. Hasonlóképpen z= c rögzítése esetén: f (x) = h(c) - F(x,c)
(3.5.2)
definíciót alkalmazzuk. Az így kapott f, g és h függvényekből F,G és H (3.5.1) felhasználásával az alábbi módon nyerhető: H(y,z) = F(a,z) - G(a,y) = h(z) - g(y)
(3.5.3)
Hasonlóképpen (3.5.1) és (3.5.3) felhasználásával : G(x,y) = F(x,c) - H(y,c) = F(x,c) - h(c) + g(y)
(3.5.4)
Ebben az egyenletben az első két tag összege éppen - f(x) , ahogy azt a (3.5.2) definíciós egyenletben leírtuk, azaz így a G(x,y) = g(y) - f(x) egyenlethez jutunk. Ugyanez F(x,y) -ra az alábbiakban látható módon számolható az előbbi két egyenletből : F(x,z) = G(x,y) + H(y,z) = g(y) - f(x) + h(z) - g(y) = h(z) - f(x). (3.5.5) Ezek alapján tehát a következőket megállapítható, hogy a (3.5.1) egyenlettel jellemzett, úgynevezett elnyelési tulajdonsággal bíró kétváltozós függvényekre vonatkozó függvényegyenletek megoldásai előállnak két egyváltozós függvény különbségeként.
69
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
4
EREDMÉNYEK
Az eredmények közül először a száradás modellezésével kapcsolatosan elért eredményeket mutatom meg. A száradás modellezés során a numerikus módszer kiválasztása és felépítése, a fa-levegő határfelületen a megfelelő peremfeltétel kiválasztása, hánccsal együtt szárított fa esetén az átlagos diffúziós ellenállás bevezetésével egy kétrétegű ellenállásmodell felépítése kerül bemutatásra. A felsoroltak alapján felépített halmazmodell egy rakat belsejében kialakuló nedvességtartalom és hőmérséklet eloszlás modellezésére szolgál. A kísérleti eredmények ellenőrzésére a modellezés fontos kontrollja. A száradási paraméterek terjedelmi okok miatt jelen dolgozatban a hőmérsékletméréssel kapcsolatos kutatási eredményeimet ismertetem. A termoelem termofeszültségére egy új közelítő függvény felállítása után annak elméleti ellenőrzését, illetve egy konkrét termoelemre a gyártók adataival való analízist mutatom be, összevetve az irodalomban használatos egyéb függvényekkel. Az eredmények értékelésének befejezéseként egy gyakorlati alkalmazást mutatok be.
4.1 A választott geometriára felírt numerikus modellek összehasonlítása, a feladat szempontjából legalkalmasabb módszer kiválasztása Ahogyan azt a 3. fejezetben megmutattam, a száradási folyamatot meghatározó differenciálegyenlet rendszer legfontosabb eleme a diffúziós egyenlet, amelynek megoldására többféle numerikus módszert is alkalmazható. Az alkalmazott módszerek közül a legmegfelelőbb kiválasztása céljából megtörtént az egyes módszerek összehasonlítása. A 3.2 fejezetben leírt mindhárom módszer (Bessel függvényes közelítés, véges elem módszer, véges differencia módszer) ugyanazzal a peremfeltétellel, nevezetesen a konstans felületi nedvességtartalom feltételezésével került összehasonlításra. Mivel a Bessel függvényekre építő közelítő eljárás az átlagos nedvességtartalmat adja meg, a másik két módszer pedig a fán belüli nedvességeloszlást is megmutatja, ez utóbbi módszereknél az átlagos nedvességtartalmat külön ki kell számolni az eloszlásfüggvényből. A végeselem módszernél a Matlab PDE toolbox az nedvességtartalom eloszlás értékeit egy mátrixba exportálja. Hogy a geometria mely pontjaiban ismerjük a függvényértékeket, az átlagos nedvességtartalmat használt végeselem háló adataiból (a csúcspontok és élek jellemzőit a programból egy mátrixba kiírva), és a nedvességtartalom mátrix adataiból a 70
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata n
C=
∑C i =1
n
⋅ Tn
(4.1.1)
n
∑T
n
i =1
összefüggésből határozhatjuk meg, ahol Cn az n.-ik háromszög három csúcsában kiszámolt nedvességtartalom értékek számtani közepe, Tn pedig (az adott háromszög területe) a háromszög három csúcspontjának koordinátáiból az alábbi módon felépített determinánssal számolható: p i1 (1) p i1 (2 ) 1
(4.1.2)
Tn = p i 2 (1) p i 2 (2 ) 1 p i 3 (1) p i 3 (2 ) 1
A számolást végző MATLAB rutin a függelékben megtalálható (avcalc.m) A véges differencia módszernél szintén szükség van az átlagos nedvességtartalom meghatározására, de mivel itt egy j·dr és (j+1)·dr sugarakkal határolt körgyűrűre ismerjük egy adott pillanatban a C(j,i) értéket. R
Az elmélet által adott C a =
∫ C(r) ⋅ 2rπ ⋅ dr 0
R 2π
érték diszkretizálásával a feladat
az alábbi formában oldható meg:
∑ C( j, i ) ⋅ (( j ⋅ dr ) n
Ca =
2
π − (( j − 1)dr ) π
j= 2
R π 2
2
) .
(4.1.3)
Miután mindhárom módszer esetében megkaptam az átlagos nedvességtartalmat, most már össze tudom hasonlítani a három modell által azonos kezdeti és peremfeltételekkel adott eredményeket. A 4.1.1 ábrán a három modell összehasonlítása látható.
71
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
320
Végeselem és véges differencia módszer
Térfogati nedvességtartalom (kg/m3)
300
280
260
Bessel függvényekre épülő modell
240
220
0
10
20
30
40 50 idő (h)
60
70
80
90
4.1.1 ábra az alkalmazott numerikus modellek összehasonlítása Mivel a három modell között a modellekkel általában futtatott 1000 szimulált órás időtartamban nincs szemmel látható eltérés, a száradás első 100 órájának összehasonlítását láthatjuk a grafikonon. A folyamat kezdetén a Bessel függvényekkel való közelítés mintegy 5 %-al eltér a másik kettőtől, emiatt ezt a módszert (gyorsasága miatt) inkább csak a modellek tesztelésére használtam fel. Ezen előzetes számolások azt mutatták, hogy mind a véges differencia módszer, mind a véges elem módszer egyaránt alkalmas a vizsgált probléma kezelésére. A kettő között végül is az döntötte el az előbbi javára a kérdést, hogy a végeselem módszert a Matlab PDE Toolbox segítségével teszteltem, amelynek előre gyártott rutinjaiba nem minden paraméter volt egyszerűen átlátható. Például a program maga generálta a számoláshoz használt rácspontok halmazát, amely rácspontoknak a tengelytől mért távolságát csak külön számolással lehetséges meghatározni. (Elvileg lehetséges egy meghatározott rácsponthalmaz bevitele is, de ez –nem megfelelő rácspont rendszer megadása esetén - befolyásolhatja a Matlab program számolási pontosságát). A véges differencia módszert viszont a feladathoz kapcsolva került felépítésre, így ott ilyen probléma nem volt. Ezen okok miatt a feladat megoldásához a véges differencia módszer került kiválasztásra, ami módszer a későbbiekben bemutatottak alapján a mérésekkel jól korreláló modellezést tett lehetővé. 72
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
4.2 Egy gyakorlati esetre vonatkozó kombinált peremfeltétel megalkotása Ebben a fejezetben a modellekhez használt peremfeltételek vizsgálatát és az adott problémához legjobban alkalmazható peremfeltétel kiválasztásának szempontjait mutatom be. Konstans felületi nedvességtartalom
Ebben az esetben egy elsőfajú (Dirichlet típusú) peremfeltétellel kell dolgozni, azaz meg kell adni a nedvességtartalom függvényértékét a határfelületen. Ahogy azt az előző fejezetben bemutattam a modellek teszteléséhez végig ugyanazt a peremfeltételt használtam, nevezetesen a környező levegő hőmérséklet és relatív nedvességtartalom értékétől függő egyensúlyi nedvességtartalom értékét. Először ezen peremfeltétel felépítéséről lesz szó. A szorpciós izoterma meghatározásával és mérésével, a szorpció deszorpció közötti hiszterézissel nagyon sokan foglalkoztak. Az irodalom feldolgozásban ismertetett hollandiai méréssorozat alapján fűzfa esetén a szorpciós izoterma hőfokfüggése elhanyagolható, és a 3. fejezetben bemutatott mérési eredmények alapján a szorpciós izoterma két elsőfokú függvény segítségével meghatározható ahogy a 4.2.1. ábrán is látható. (Az itt használt közelítés természetesen egy erős idealizációja a tényleges szorpciós izoterma függvénynek, amelyet az irodalomban szokásos alakja alapján az ábrához illesztettem, de a számunkra fontos tartományokban várhatóan megfelelő közelítést ad, s ugyanakkor lényegesen egyszerűbb számolást tesz lehetővé, mint a tényleges görbe használata.)
73
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
500 450
egyensúlyi nedvességtartalom (kg/kg)
400 350 300 250 200 150 100 50 0
0
20
40 60 80 relatív nedvességtartalom (%)
100
120
4.2.1. ábra: Szorpciós izoterma fűzfára 20 °C hőmérsékleten A legegyszerűbb esetben tehát a modellek mindegyikében a környezeti hőmérsékletnek és nedvességtartalomnak megfelelő, az itt ismertetett modellből számítható értékre állítottuk be a fa felületén a nedvességtartalom értékét, azaz egy konstans felületi nedvességtartalommal adtuk meg a peremfeltételt. Ez a nagyon egyszerű modell gyors számolást tesz lehetővé, de nem adott megfelelő eredményt a száradási folyamat kezdetére, amikor nagy nedvességtartalmú réteg volt kívül. Emiatt ez a peremfeltétel csak a modellek tesztelésére volt alkalmas. Telített gőz állapotot feltételező peremfeltétel
Ebben az esetben egy másodfajú (Neumann féle) határfeltétellel dolgozunk azaz a nedvességtartalom felületre merőleges gradiensére adunk feltételt. A feltételezés lényege, hogy magas felületi nedvességtartalom esetén (általában a folyamat kezdetén) a nedvességelvonás limitáló tényezője nem a diffúzió (a diffúzió igazából ebben az esetben nem is fontos a vízelvonás szempontjából, hisz a felületen is sok nedvesség van jelen) hanem a nedvességnek a levegőben való terjedése. Nevezetesen a termék környezetében kialakul ilyenkor egy határréteg, amelynek a 74
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
nedvességtartalma telített lesz a gyors párolgás miatt, emiatt az adott idő alatt elpárolgó víz mennyisége a határrétegből a fő levegőtömeg felé átadott víz mennyiségével lesz azonos, hiszen a termék-levegő határfelületen a feltételezésünk szerint elegendő nedvesség áll rendelkezésre a telített állapot fenntartásához). A peremfeltételt mennyiségi mutatókkal (tömegáram) kifejezve: (4.2.1)
−D⋅
∂C = k ⋅ (ρ gt − ρ g ), ∂r
ahol ρgt és ρg a telített illetve a párolgó felülettől távol levő levegő nedvességtartalma (kg/m3), k pedig a tömegátadási tényező. Mivel a környező levegő nedvességtartalma ismert, az adott hőmérsékleten a telítési nedvességtartalom pedig a szorpciós izotermából kiolvasható, ily módon (5.2.1.) egyenletből a párolgást limitáló nedvesség tömegáram, s ezáltal a száradó fa tömegcsökkenése az egyenletből meghatározható. Nézzük most, hogy ez az elméleti feltételezés hogyan illeszthető bele a véges differencia modellbe. A nedvességtartalom helyszerinti deriváltjának másodrendben pontos véges differencia megfelelőjét (3.2.1) egyenlet a (4.2.1) be beírva: 1 C(n + 1, i) − C(n − 1, i) C(n + 1, i + 1) − C(n − 1, i + 1) ∂C = + = k ⋅ (ρ gt −ρ g ) (4.2.2) ∂r j= n 2 2 ⋅ dr 2 ⋅ dr egyenlethez jutunk. Az egyenletben szereplő j=n+1 indexű helynek nincs fizikai jelentése, azt az egyenletből mindjárt kiküszöböljük. Ugyanez az index megjelenik ugyanis akkor is, ha a differenciálegyenlet (3.2.4) pontjában megadott diszkretizált formájába is j=n-el behelyettesítünk. A két egyenlet összevetésével C(n+1,i+1) illetve C(n+1,i) kiküszöbölhető, és a az C(n , i ) − C e jelölés bevezetésével: alábbi feltétel adódik az m = ρ gt − ρ g (4.2.3) 0 h h 2 ⋅ dr ⋅ k C(n − 1, i) h h 2 ⋅ dr ⋅ h h 2 ⋅ dr ⋅ k C(n − 1, i + 1) h 1 h h 1 h ⋅ + = − − + ⋅ − + + + 4n 2 D ⋅ m C(n , i) 4n + 2 D ⋅ m 4n 2 D ⋅ m C(n , i + 1)
Azaz a (3.2.10) illetve (3.2.11) összefüggésben megadott M1 és M2 mátrixok utolsó sorának utolsó két eleme az alábbiak szerint módosul:
75
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
h h 2 ⋅ dr ⋅ k M1(n-1,n)=-h; M2(n-1,n)=h, M1(n, n ) = 1 + h + + , 4n 2 D ⋅ m h h 2 ⋅ dr ⋅ k .A M 2(n, n ) = 1 − h − + 4n 2 D ⋅ m
0 M B= 0 h h 2 ⋅ dr ⋅ k + 4n 2 D ⋅ m
(4.2.4)
vektor bevezetésével a diffúziós egyenlet diszkretizált formája ekkor a M1·C(:,i+1) = M2·C(:,i) + B
(4.2.5)
alakban adható meg. A peremfeltétellel számoló programlista difpart.m néven a függelékben található. Állandó fluxussal vett peremfeltétel
Ebben az esetben is egy másodfajú (Neumann féle) határfeltétellel dolgozunk azaz a nedvességtartalom felületre merőleges gradiensére adunk feltételt. Nézzük meg, hogy milyen problémák adódhatnak az előző modellel magas nedvességtartalmú felület esetén. Közismert, hogy a párolgás során a vizet leadó anyag lehűl. A párolgó test olyan termikus egyensúlyi állapotot alakít ki a környezetével, hogy a lehűléskor leadott hőt a környezettől felvett hővel pótolja (pl. nedves hőmérséklet). Ez azt jelenti, hogy ilyenkor a párolgó test hőmérséklete alacsonyabb a környezeti hőmérsékletnél. Ez lassú párolgás esetén nem számottevő, de gyors párolgás esetén lényegesen eltérhet a környező közeg hőmérsékletétől, azaz befolyásolhatja a párolgás sebességét (ami szintén hőmérsékletfüggő). Azaz ilyenkor a limitáló tényező nem a diffúzió, nem is a nedvességnek a levegőben való terjedése, hanem a levegőből a termék fele irányuló hőáram. ∂C = k ⋅ (ρ gt − ρ g ) alakú lesz, de a ρgt telítési ∂r nedvességtartalom értéke nem a környezeti hőmérséklettel, hanem a határréteg Tgt hőmérsékletével határozható meg. A párolgás során a felületről eltávozó víz tömegárama, és a levegő felől a fa felől irányuló hőáram egységnyi felületre:
A peremfeltételünk itt is − D ⋅
Φm = k·(ρgt - ρg),
(4.2.6)
ΦQ = α·(Tgt - Tg).
(4.2.7)
76
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Mivel a fa belső energiájának megváltozása (azaz a fa által leadott hő) kicsiny véges érték, emiatt hosszabb idő alatt ez a párolgást nem indokolhatja, tehát a párolgáshoz szükséges hő az egyensúlyi hőmérséklet beállta után csak a levegőből érkező hőáramból származhat Φm·L(Θ) = ΦQ, azaz: (4.2.8)
k·(ρgt - ρg)·L(Θ) = α·(Tgt - Tg)
Ugyanakkor persze a ρgt és a Tgt telítési értékek nem függetlenek egymástól. Az irodalomból jól ismert a telített vízgőz sűrűség-hőmérséklet görbéje, amit egy másodfokú polinom-illesztéssel a táblázati adatokból kellő pontossággal bármely értékre kiszámolhatunk ρgt = 2,1·10-5·Tgt2 - 0,0113·103·Tgt + 1,52 alakban. A táblázati értékekre illesztett görbe illeszkedését a 3.1.2. ábra mutatja. A másodfokú kapcsolatot kifejező egyenlet és a (4.2.8) egyenlet segítségével ρgt és Tgt értéke már meghatározható (két egyenlet, két ismeretlen). A görbeillesztés segítségével a relatív nedvességtartalom és a hőmérséklet ismeretében a levegő nedvességtartalma (ρg) a terméktől távol is meghatározható, így Φm értéke, vagyis a távozó nedvesség mértéke is számolható. A numerikus modellünkbe ezt a peremfeltételt az alábbiakban megmutatott módon lehet beépíteni: Most a peremfeltétel a ∂C 1 C(n + 1, i) − C(n − 1, i) C(n + 1, i + 1) − C(n − 1, i + 1) + (4.2.9) = = Φm ∂r j= n 2 2 ⋅ dr 2 ⋅ dr alakot veszi fel, az előzőz részben is ismertetet módon itt az egyenletben szereplő j=n+1 indexű helynek nincs fizikai jelentése, azt az egyenletből mindjárt kiküszöböljük. Ugyanez az index megjelenik ugyanis akkor is, ha a differenciálegyenlet (3.2.4) pontjában megadott diszkretizált formájába is j=n-el behelyettesítünk. A két egyenlet összevetésével C(n+1,i+1) illetve C(n+1,i) kiküszöbölhető, és a az alábbi feltétel adódik 0 C(n − 1, i) h h 2 ⋅ dr ⋅ k C(n − 1, i + 1) . + [− h 1 + h ]⋅ [ ] = − ⋅ h 1 h (4.2.10.) C( n , i ) + ⋅Φm C ( n , i 1 ) + 4n 2 D
Ez alapján a numerikus modellben az M1 és M2 mátrixok utolsó sorának utolsó két eleme az alábbiak szerint változik meg a (3.2.10.) és (3.2.11.)-ben megadottakhoz képest: M1(n-1,n)=-h; M2(n-1,n)=h, M1(n,n)=1+h; M2(n,n)=1-h. A 77
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
0 M B= 0 h h 2 ⋅ dr ⋅ k ⋅Φm + 4n 2 D
(4.2.11)
vektor bevezetésével a diffúziós egyenlet diszkretizált formája ekkor is a (4.2.5)-ben megadott M1·C(:,i+1) = M2·C(:,i) + B alakú lesz. A módszer programbeli megvalósítása a difmodfi.m állományban tanulmányozható. Kombinált peremfeltétel
Ahogyan az előbbiekből kiderült, a száradási folyamat egyes szakaszaiban más-más peremfeltétel használata célszerű, mert más és más lesz a limitáló tényező. (Elvileg az összes peremfeltétel beépíthető egy modellbe, de az a számolási idő növekedésével gyakorlatilag kizárja, hogy a felépített modellt egy halmazbeli számolás (lásd következő fejezet) alapmoduljaként lehessen használni. Mivel a mérések is egy magas felületi nedvességtartalmú állapotról kezdődtek, ugyanezen kezdeti feltétellel történt a modellek vizsgálata is. A modellek lefuttatása és összehasonlítása alapján az alábbi megállapításokat lehet tenni: A konstans felületi nedvességtartalom modell csak akkor ad jó eredményt, ha alacsony a felületi nedvességtartalom, és a diffúzió válik a limitáló tényezővé. A folyamat elején vagy a telített gőz állapotot feltételező peremfeltétel, vagy a (még számolásigényesebb) állandó fluxussal vett peremfeltétel alkalmazása szükséges, a kezdeti nedvesség tartalom függvényeként. Kombinált peremfeltételként a kezdeti folyamatra mindkét peremfeltétel alkalmazása célszerű, s egészen addig, amíg az állandó fluxusú peremfeltétel kisebb tömegáramot szolgáltat, addig azt szükséges alkalmazni. Mikor már a telített gőz állapotot feltételező peremfeltétel nem ad (szignifikánsabban) nagyobb értéket, akkor már alkalmazhatjuk azt a modellt is mindaddig, míg az általa szolgáltatott tömegáram nem lesz, s így a termék tömegvesztesége nem lesz lényegesen nagyobb a konstans felületi nedvesség tartalmat feltételező peremfeltétellel felépített modellénél. Ezután áttérhetünk ez utóbbi, leggyorsabb számolást végző modellre, amely így már kielégítő eredményt ad. Az itt leírt, bonyolultnak tűnő módszer lényege, hogy a sok számolást igénylő peremfeltételek alkalmazása csak a száradási idő mintegy első száz órájának modellezésében szükséges, s ezután már a jóval gyorsabb modell használható. Egy adott anyaghalmaz száradásának modellezése ezen gyorsított eljárással is akár egy napig is futhat egy korszerű PC-n. Az egyes peremfeltételeket használó modellek összehasonlítása a 4.2.2 ábrán látható: 78
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
1.05
Relatív nedvességtartalom (kg víz/kg szárazanyag)
1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
idő (h)
4.2.2 ábra: Különböző peremfeltételekkel, de azonos kezdeti feltételekkel futtatott numerikus modellek 79
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
A diffúziós együttható változása A dimenzió nélküli nedvességtartalom (nedvességviszony) fogalmát bevezetve, a nedvességtartalom aktuális értékét C-vel, kezdeti értékét C0-al, az adott környezetben egyensúlyi nedvességtartalmat Ce-vel jelölve a (3.2.1.) egyenlet alapján a D ⋅α ⋅ t n C − C0 4 − 2i u(t) = = ∑ 2 e R C e − C 0 i =1 α i 2
dimenzió nélküli relatív nedvességtartalom értéke a kezdeti 1-ről az egyensúlyi állapot eléréséig 0-ra csökken, ahol az αi számok az elsőfajú, nulladrendű Bessel függvény gyökei. Ahogyan az irodalmi hivatkozások is utalnak rá, a közelítés a száradási folyamat elején nem ad túl jó közelítést, de elegendő hosszú idő után a sorösszeg első tagja is elég jó közelítést ad. Ily módon a diffúziós együttható időbeli változását az alábbi módon számolhatjuk: (4.2.12)
u ( t ) ⋅ α 12 R2 D(t ) = ⋅ ln 4 − α 12 ⋅ t
Mivel a folyamat elején a diffúzió nem kap szerepet (ahogyan azt az előző részben is láttuk, van egy állandó fluxusú periódus), a számolásban is a mért értékekből (lásd 3.4 fejezet) csak egy időbeli csúsztatással kezdhetjük el a diffúziós együttható értékét meghatározni. A mérési adatokból meghatározott értékeket, és a rájuk illesztett görbét a 4.2.3 ábrán tettem láthatóvá:
79
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
x 10-10 2
Diffúziós együttható (m2/s)
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
nedvességtartalom (kg/kg) 4.2.3 ábra: Fa diffúziós együtthatója a nedvességtartalom függvényeként Ahogy az ábrán is látható a kezdeti (nagy nedvességtartalmú) esetekben a fenti közelítés nem jó, de ebben az esetben nincs is jelentősége, mert a nagy nedvességtartalmú esetben a felületi nedvességátadás jelenti a limitáló tényezőt, ebben a tartományban a modellt nem használjuk.
4.3 A villamos ellenállással való analógián alapuló, kétrétegű diffúziós ellenállásmodell L 1 L 1 d = összefüggéssel analóg ℜ = A σA DA "diffúziós ellenállás" fogalmán alapulva ki tudjuk számítani egy r és R sugarakkal határolt, L hosszúságú henger alakú közeg diffúziós ellenállását:
A villamos ellenállás R e = ρ
(4.3.1)
R ln 1 dx 1 1 r ℜ=∫ = dx = . ∫ D 2 xπL 2DπL r x 2DπL r R
r
De esetünkben a problémát fokozza, hogy a fa belsejét teljesen kitölti az adott közeg, azaz r=0, ami persze (4.3.1) egyenletben ellentmondásra vezetne, így a formula az esetünkben felmerülő problémára nem alkalmazható automatikusan. 80
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Ehelyett próbáljuk meghatározni az átlagos diffúziós ellenállást, ami a fenti diffúziós ellenállás térfogatra vett súlyozásával jön ki az alábbi összefüggés alapján: R
ℜa =
ln( R / r )
∫ 2rπ ⋅ dr ⋅ D ⋅ 2π ⋅ l 0
R
(4.3.2)
.
∫ 2rπ ⋅ dr 0
A nevező integrálását elvégezve (az eredménye R2π) és a konstansokat R R R kiemelve egy ∫ r ln dr integrál marad meg, amit z = , s emiatt a r r 0 dr = −
R dz helyettesítéssel z2
1
ln z dz értékké alakíthatjuk. 3 ∞ z
∫
A parciális integrálás szabályát alkalmazva: (4.3.3) 1
1
1
1 lim lim lim z −2 z −2 1 z −2 z −2 ∫ ln z ⋅ z dz = b → ∞ ln z ⋅ − 2 − ∫b z − 2 dz = b → ∞ ln z ⋅ − 2 − b → ∞ (− 2)2 ∞ b b b 1
−3
De a L'Hospital szabály alapján: 1
1 lim ln z 1 lim 1 z lim 1 = = = 0. b → ∞ z 2 b b → ∞ 2z b b → ∞ 2z 2 b
Ugyanígy
lim b→∞
z −2 = 0
Ezekután kihasználva hogy ln(1)=0, visszahelyettesítve (4.3.3) egyenletbe: ℜa =
1 D b ⋅ 4π ⋅ l
(4.3.4)
adódik. Tehát a fa belső részének ekkora az átlagos diffúziós ellenállása. A háncsot felületéhez képest vékony rétegnek tekintve a diffúziós ellenállása egy d vastagságú síklap ellenállásának tekinthető, azaz Rh =
d . D h ⋅ 2 Rπ ⋅ l
(4.3.5)
Mivel a nedvesség mindkét rétegen át kell hogy áramoljon, egy soros kapcsolással számolva a fa eredő diffúziós ellenállása: 81
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
(4.3.6)
ℜe =
1 d + . D b ⋅ 4 π ⋅ L D h ⋅ 2 Rπ ⋅ L
Mivel a diffúzió (nedvesség) szempontjából a térfogat egy kapacitásként működik, egy RC kör bekapcsolási jelenségéhez hasonlóan itt is egy exponenciális beállás következik be, amelynek időállandója: 2 1 2 1 d d (4.3.7) R π ⋅ l = R τ = ℜ ⋅ V = + + ⋅ π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ l l D 4 D 2 R D 4 D 2 R h h b b
Az időállandó ismeretében a nedvességtartalom függvény a
(4.3.8)
C( t ) = C e + (C 0 − C e ) ⋅ e
−
t τ
összefüggéssel határozható meg. A háncssal együtt szárított fa modellezése a kétrétegű ellenállás modellel Az előzetesen bemutatott ellenállás modell alkalmazása a hánccsal együtt szárított fa esetén vált szükségszerűvé, mert a diffúziós egyenleten alapuló módszert a nagy diffúziós ellenállást mutató háncs esetén nem célszerű alkalmazni. Ennek magyarázata hogy a háncs megléte a száradási folyamatot annyira lelassítja, hogy folyadéknak a fa belsejében való mozgása ehhez képest gyors folyamat lesz, vagyis ebben az esetben a fa belsejében egy homogéntől alig különböző eloszlásfüggvényt kapunk eredményül. Ráadásul a háncs anyaga sokkal nagyobb fizikai változáson megy keresztül a száradás során mint a fa, ezért a diffúziós együttható változását itt is figyelembe kell venni. Az előzőekben már ismertetett dimenzió nélküli nedvességtartalom (nedvesség viszony) fogalma felhasználásával: (A relatív nedvességtartalom aktuális értékét C-vel, kezdeti értékét C0-al, az adott környezetben egyensúlyi nedvességtartalmat Ce-vel jelölve) az (4.3.8) egyenlet alapján −
(4.3.9)
C − C0 u(t) = =e Ce − C0
t d 1 D ⋅2 R + 4 D b h
2 R
dimenzió nélküli relatív nedvességtartalom értéke a kezdeti 1-ről az egyensúlyi állapot eléréséig 0-ra csökken, ahol az αi számok az elsőfajú, nulladrendű Bessel függvény gyökei. A háncs esetén a vastagságváltozás igen jelentős, ahogyan azt az 4.2.6 ábrán is láttuk. Ennek alapján a nedvességtartalom-idő függvényhez hasonlóan egy 82
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
logaritmikus kapcsolatot feltételeztünk a nedvességtartalom és a háncsvastagság között is, amit meghatározva a (4.3.9) egyenletben használt D(M) függvény ismertté válik. A fa belsejének diffúziós együtthatójának ismeretében a háncs diffúziós együtthatója is meghatározható az (4.3.9) egyenlettel a mérési adatok alapján. A számolás eredményét, vagyis a háncs diffúziós együtthatójának változását a nedvességtartalom függvényében az 4.3.1 ábrán ábrázoltam az illesztett közelítő függvényével együtt: x 10-12
Diffúziós együttható (m2/s)
8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
relatív nedvességtartalom (kg/kg)
4.3.1 ábra: Háncs diffúziós együttható-nedvességtartalom függvény illesztése
4.4 A mérési eredmények és az azonos paraméterekkel futtatott elméleti szárítási modell összevetése A felépített, kombinált peremfeltételt használó modell és a mérési adatok összehasonlításával ellenőrizzük a modell helyességét. Az ábrán a kombinált peremfeltétellel felépített véges differencia modell futási eredményét és a háncs nélkül szárított fa mérési eredményeit láthatjuk közös koordinátarendszerben, ahol a száraz anyagra vetített nedvességtartalmat ábrázoltuk a (szárítási illetve a modellnél a szimulált szárítási) idő függvényében. Az ábra alapján elmondhatjuk, hogy a kielégítő eredménnyel adja vissza a mérési eredményeket. A modell és a mérési adatok közötti korrelációs együttható értéke R = 0,9998.
83
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
1.1
1
Relatív nedvességtartalom (kg/kg)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
55,6
111,1
166,7
222,2
277,8
Idő (h) 4.4.1. ábra a száradási modell és a mérési adatok összehasonlítása
4.5 A szárítási modell alkalmazása a hosszú idejű szárítás gyors modellezésére A kidolgozott modell a diffúziós egyenlet felhasználásával meg tudja határozni, hogy egy adott fadarab átlagos nedvességtartalma hogyan változik meg egy adott idő alatt ismert paraméterekkel rendelkező környezetben, vagyis hogy mennyi nedvességet ad át eközben a szárító levegőnek. A 3. fejezetben megadott (3.1.3)- (3.1.5) differenciálegyenletek segítségével azt is meg tudjuk határozni, hogy eközben mennyi lesz a termék és a környezetének hőmérsékletváltozása, illetve hogy hogyan változik meg emiatt a levegő nedvességtartalma. Figyelembe véve, hogy az ily módon megváltoztatott paraméterekkel bíró levegő megy tovább a halmaz következő eleméhez, a modellt tovább tudjuk fejleszteni egy farakáson átáramló levegő 84
333,3
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
szárítási paramétereinek, illetve a farakás különböző részein található fa száradási paramétereinek meghatározásához. Az így felépített halmazmodell a következő feltételezéseket teszi: A szárítandó fát tartalmazó anyaghalmaz modellezésére egy h magasságú, w szélességű farakást választunk, amelybe azonos, l hosszúságú fadarabokat raktak. Tegyük fel, hogy a fadarabok átlagos átmérője d, egymástól (tengelyeik) átlagos távolsága d'. Feltesszük továbbá, hogy a szárító levegő a fadarabokra, azaz az ábra síkjára merőlegesen, a talajjal párhuzamosan halad át a rendszeren. Ekkor a probléma szempontjából két fontos változónk lesz, a levegő útja a fahasábban (x), illetve a folyamat kezdete óta eltelt idő (t). Ez a kétváltozós probléma hasonlóképpen diszkretizálható, mint ahogy azt a diffúziós egyenlet megoldásánál is láttuk (x=ww·dx, illetve t=www·dt), de itt minden egyes (ww, www) indexekkel bíró rácspontban végig kell számolni a diffúziós egyenlet megoldására felírt, az előzőekben ismertett modellt az éppen aktuális környezeti paraméterekkel. A probléma megoldásához felhasznált rács tehát a következő (4.5.1 ábra): Időkoordináta 1 egység = 6 perc www=3 www=2 www=1 www=0 ww=0
1
2
helykoordináta
4.5.1 ábra: Rácspontok a halmazbeli eloszlások számolásához Az egyes rácspontokban a diffóziós modell alapján meghatározott M és Θ ( a fa relatív nedvességtartalma és hőmérséklete), és a H és T ( a levegő relatív nedvességtartalma és hőmérséklete) értékeit kell meghatározni, így ezen mennyiségek kétdimenziós mátrixok formájában kerülnek tárolásra, ahol a sorok az egyes helyeken a mennyiség időfüggését, az oszlopok az egyes időpontokban a halmaz különböző "mélységébe" levő pontok jellemzőit adják vissza. A halmaz modell perem és kezdeti feltételei: Kezdeti feltétel: a kezdő pillanatban (www=1 esetén) a fa jellemzői a mérésekben meghatározott kezdeti nedvességtartalom és hőmérséklet érték, azaz M(x,1)=M0 = 0,9 kg/kg és Θ(x,1)=Θ0 = 293 K bármely x-re.
85
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Peremfetétel: a halmazba belépő levegő (ww=1 helykoordináta) bármely pillanatban a környezeti érték, azaz H(1,t) =H0 = 0,9 és T(1,t)= T0=293 K bármely t-re. A számolás a helykoordináta irányába indul, és miután végighaladt a helykoordinátákon, az időkoordináta eggyel megnő, s a számlás előről kezdődik. Mivel a fa nedvességeloszlása a környezeti paraméterektől függően változik, a rácspontokban a diffúziós modellt minden lépésben végig kell futtatni. A modell futtatásaként kapott halmazbeli eloszlásfüggvényeket a 4.5.2 – 4.5.5 ábrákon ábrázoltuk.
4.6.2. ábra Fa nedvességtartalmának eloszlása egy halmazban száradás közben
86
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
4.5.3 ábra Fa hőmérséklet eloszlása egy halmazban száradás közben
4.5.4 ábra Levegő relatív nedvességtartalmának változása a halmazon való áthaladás során 87
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
4.5.5 ábra Levegő hőmérsékletének változása a halmazon való áthaladás során A modell jelentőségét az adja, hogy a környezeti paraméterek bemenő adatainak (hőmérséklet, nedvességtartalom) értékei nem kell hogy konstans értékeke legyenek, azok lehetnek valós, mért értékek is, és ily módon a modell segítségével modellezni lehet pl. természetes körülmények között végbemenő száradási folyamatot is. Az egyenletek jelen pillanatban kezelni tudják pl. a visszanedvesedést is, hiszen az egyenletekben a hőmérséklet, vagy a nedvességtartalom-különbség előjelváltás esetén a hő illetve tömegáram is előjelet vált. Természetesen ebben az esetben a deszorpciós izoterma adataira is szükség van, hiszen a folyamat hiszterézise miatt ez némileg eltér a szorpciós izotermától. Mivel ilyen jellegű mérési adatok nem álltak rendelkezésre, így a visszanedvesedés számolásához a modellnek minimális módosítására (egy feltételvizsgálat aktiválására és a deszorpciós adatoknak a bevitelére) van szükség. A modell azonban jelen pillanatban nem tudja kezelni a szabad téren végbemenő száradást, mert a visszanedvesedés és a csapadék hatása jelen pillanatban a modellbe nincs beépítve.
88
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
4.6 A termofeszültség függvény meghatározása a függvényegyenletek alapján
A továbbiakban a modellezéshez kapcsolódó - hőmérsékletméréssel kapcsolatos – méréstechnikai eredményekkel kapcsolatos eredményeket ismertetem. A termofeszültségre felállított (2.8.6) UAB(T1,T3) = UAB(T1,T2) +UAB(T2,T3) egyenlet elnyelési tulajdonsága alapján a termofeszültség a Sinzow típusú, s így a Sinzow egyenletek kapcsán ismertetett (3.5.3) ... (3.5.5) egyenletekhez hasonlóan : UAB(T,T0) = f(T) - g(T0) alakú függvényként állítható elő. Ha megvizsgáljuk a termofeszültségre jellemző (2.8.2) UAB(T,T0) = UAC(T,T0) +UCB(T,T0) alaptulajdonságot is, akkor látható, hogy ez a függvényegyenlet az indexeire, mint az anyagi minőségtől való függés változóira nézve szintén Sinzow típusú, hiszen ez is elnyelési tulajdonsággal bír. Kézenfekvő tehát, hogy az előbb bemutatott egyenlet alak ehhez a függvényegyenlethez is alkalmazható. Nézzük végül az antiszimmetrikus tulajdonságot leíró (2.8.4) UAB(T,T0) = -UAB(T0,T) egyenletet. Az UAB(T,T0) = f(T) - g(T0) függvényalakot a fenti egyenletbe beírva : f(T)-g(T0)= -( f(T0) - g(T) ) egyenlethez jutunk, amiből a zárójel felbontásával: f(T) + f(T0) = g(T) + g(T0) adódik. Ennek az egyenletnek a triviális f(T) = g(T) megoldását megkapjuk majd a fizikai elvek alapján is a következő fejezetben. Emellett még teljesülnie kell a (2.8.2) UAA(T,T0) = 0 illetve a (2.8.3) UAB(T,T) = f(T) - g(T) = 0 egyenleteknek is, azaz f(T) = g(T) bármely T mellett itt is adódik. Azt tapasztaltuk tehát, hogy a 2.8 fejezetben megadott öt alapazonosság alapján, pusztán matematikai megfontolások felhasználásával belátható, hogy a termofeszültség függvényt két egyváltozós ( T illetve T0 argumentumú ) függvény különbségeként állíthatjuk elő. Ez mintegy megerősíti azt, amit
89
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
majd következő fejezetben az elektronfizikai elmélettel meghatározott UAB(T,T0) = UAB(T)-UAB(T0) függvényünk is mutat. Érdemes megjegyezni, hogy a függvényegyenletek a fenti értelemben megszabják hogy milyen jellegű függvények között kell keresni a termofeszültséget, sőt a Taylor sorfejtés alapján az is látható, hogy itt várhatóan ( Ti - T0i ) alakú tagokból álló függvényösszegről van szó . Arról azonban ez az elmélet nem tud számot adni, hogy miért csak a páros kitevős tagok maradnak meg a termofeszültséget leíró egyenletben.
4.7 A termofeszültség keletkezésének elmélete a Fermi-Dirac statisztika alapján A 2.10 fejezetben ismertetett Fermi-Dirac statisztika eredményeiből indulunk ∞
ki. A statisztikáról elmondottak alapján N = ∫ dN = ∫ ρ(w )dw kiadja az 0
összes részecske számát, és hogy az felhasználva, hogy ott ismertetettek 1 szerint w< wF0 esetén az ( w − w ) kifejezés értéke 1, w>wF0 esetén pedig F0
e 0, a következőket kapjuk :
kT
+1 3
4 ⋅ π ⋅ V ⋅ (2m ) 2 N= ⋅ h3
w F0
∫
1
w 2 dw azaz
0
3 2
4 ⋅ π ⋅ V ⋅ (2m ) 2 2 N= ⋅ w F0 3 h3 3
(4.7.1)
Bevezetve a ρ=N/V részecskesűrűség függvényt, amely a térfogategységben előforduló részecskék számát adja, a nullponti Fermi energiára a következőt kapjuk: 2
w F0
h 2 3ρ 3 = ⋅ 2 m 8π
(4.7.2)
∞
A T ≠ 0 K esetben az N = ∫ dN = ∫ ρ (w )dw integrálból kapjuk, hogy 0
4 ⋅ π ⋅ V ⋅ (2m ) N= h3
3/2 ∞
∫ e( 0
W 1/2 W − WF )/kT
dW +1
Mivel az elektronszám nem függ a gáz hőmérsékletétől, így 90
(4.7.3)
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
∂N =0 ∂ T V
(4.7.4)
A konstans értékével osztva, az 1 2 W d W − W F 1 W − WF ∞ ∞ 2 kT + 1 e W ⋅e kT dw = ∫ ⋅ ∫0 2 W − WF dT 0 e kT + 1
( )
∂WF ∂T V , N
(4.7.5) ⋅ T + W − WF k ⋅T 2
dw = 0
egyenlethez jutunk. [ KIESS (1984) ] dw W −W F = kT helyettesítéssel , W-WF = kTx és dx kT felhasználásával
Az x =
a következő egyenletet kapjuk :
∞
∫
1 ∂W + e x ⋅ (WF + kTx ) 2 ⋅ kx ∂T V , N
(e
W − F kT
x
+ 1)
2
⋅dx = 0
(4.7.6)
Az egyszerűbb számolás érdekében az alsó határt 0-val helyettesítjük, −w kT
eközben a pontos értéktől való eltérésünk e nagyságrendű, amely fémekre a 100 K-es hőmérsékleti nagyságrendben e-100 ~ 10-44. [KIESS (1984)] 1
Ha az egyenletet W F2 - el osztjuk, akkor a következő egyenlethez jutunk: 1
kTx 2 e x ⋅ 1 + ∞ WF
∫ 0
(e
x
∂W ⋅ + kx ∂T V , N
)
+1
2
⋅dx = 0
(4.7.7)
A kifejezésben szereplő, 1 − z alakú kifejezés Taylor sorát felírva alakíthatjuk a fenti integrált olyan alakba, amelyet -tagonként kiintegrálvamár meg tudunk határozni. Problémát jelent, hogy a 1 − z alakú függvény Taylor polinomának z=0 pont körüli konvergenciasugara 1, nekünk viszont az integrálási tartományunk a (0,∞) intervallum. Esetünkben z értéke
91
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
W − WF W −W F kTx , ahol x = . Innét z = . z abszolút értéke kisebb kT WF WF mint 1, ha W < 2WF. Vizsgáljuk meg a problémát jelentő, W>WF tartományt! Mivel WF ~ 3-5 eV ~ 10-18 J, így W-WF > 10-18 J, másrészt a kT értéke még az általában a fémek olvadáspontját jelentő 1000 K hőmérsékleti nagyságrenden is legfeljebb 10-20 J nagyságrendbe esik, így x > 100, azaz a 4.7.7. összefüggés integráljának nevezőjében szerepel egy legalább (e100+1)2 kifejezés, ami a függvény értékét ebben a tartományban negligálja.
z=
Taylor sorfejtésből:
(4.7.8) 2
3
4
kTx 1 kTx 1 kTx 1 kTx 5 kTx − ⋅ + ⋅ − ... 1+ = 1 + ⋅ ⋅ WF 2 WF 8 ⋅ WF 16 WF 128 WF mellyel (4.7.9) 2 3 4 1 kTx 1 kTx 1 kTx 5 kTx kTx ∂WF ∂WF ⋅ 1+ ⋅ 1+ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = 2 WF 8 ⋅ WF 16 WF 128 WF WF ∂T V , N ∂T V , N és (4.7.10)
kx 1 +
kTx 1 kT 2 1 kT x − ⋅ = k ⋅ x + WF 2 WF 8 ⋅ WF
3 1 kT x + ⋅ 16 WF
4 5 kT x − ⋅ 128 WF
Felhasználva továbbá, hogy ∞
Ik = ∫
(4.7.11)
0
ex xk
(e
x
dx ,
)
+1
2
az integráltáblázatokból egy ilyen típusú integrálra [PRUDNYIKOV et al. (1981)]: (4.7.12) ∞
Ik = ∫ 0
∞
ex x k
(e
x
+ 1)
2
dx = k ∫ 0
(
)
∞ x k −1 − 1i +1 ( ) dx = 2 k ! = 2(k!) 1 − 21− k ζ(k ) , ∑ x k e +1 i i =1
(
)
(
)
ahol ζ(k) a Riemann zéta függvény, melynek értékére [BRONSTEIN]: (4.7.13)
∞
ζ (x ) = ∑ k =1
1 kx
illetve a számunkra fontos páros argumentumokra : (4.7.14)
2 2k −1 ⋅ π 2k ζ (2k ) = ⋅ B 2k , (2k )! 92
5 x ⋅ ⋅ ⋅
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
ahol B2k az úgynevezett Bernoulli számok megfelelő elemei [ BRONSTEIN ], azaz: B0 = 1; B2 = 1/6 ; B4 = -1/30 ; B6 = 1/42 ; B8 = -1/30 Ha a Riemann - féle zéta függvényre vonatkozó kifejezést a (4.7.1) képletbe visszahelyettesítjük, akkor a (4.7.15) I = 2 ⋅ (2 2k -1 - 1) ⋅ π 2k B 2k
2k
összefüggéshez jutunk, s ha ebbe k = 0, 1, 2, 3, 4 értékeivel rendre behelyettesítünk, az Ik integrál értékeire rendre : (4.7.16)
I0 = 1, I2 = π2 / 3, I4 = 7·π4 / 15, I6 = 31·π6 / 21 és I8 = 127·π8 / 15
adódik.
Az integrálokban szorzóként szereplő
(e
ex x
)
+1
2
páros függvény , hiszen
ex e −2 x e −x e −x , így ⋅ = = 2 2 e 2 x + 2e x + 1 e − 2 x 1 + 2e − x + e − 2 x e x +1 e −x + 1 sorfejtésekből csak a páros kitevőjű tagok vesznek részt az integrálban.
(
ex
)
=
(
)
a
Ennek alapján (4.7.7) egyenletben a kapcsos zárójelet felbontva : 1
1
∞ x e x ⋅ (WF + kTx ) 2 e ⋅ kx (WF + kTx ) 2 ∂ WF ⋅dx + ∫ ⋅dx = 0 ∫0 ∂ T V, N 2 2 ex + 1 ex + 1 0
∞
(
)
(
)
egyenlethez jutunk. Az egyes integrálokba (4.7.9) illetve (4.7.10) sorfejtésekből a páros kitevőjű tagokat behelyettesítve, és felhasználva, hogy ∞ ex xk az egyes tagok mind I k = ∫ dx alakú integrálokat tartalmaznak, s 2 x 0 e +1 hogy a hatodiknál magasabb rendű tagokat elhanyagoljuk, a (4.7.17)
(
)
93
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
∂ w F 1 kT 0= 1 − ∂ T V , N 8 w F
2
5 kT I 2 − 128 w F
4
21 kT I 4 − 1024 w F
6 k kT k kT I 6 + I 2 + 2 wF 16 w F
egyenlethez jutunk, amibe ha az Ii értékeket (4.7.16) -ból behelyettesítjük, és w 6F - al az egyenletet végigszorozzuk akkor a 1 ∂ wF 6 (kTπ)2 w 4F − 7 (kTπ)4 w 2F − 3 (kTπ)6 0= wF − (4.7.18) 24 384 1024 ∂ T N ,V +
k 2 π 2 T 5 7k 4 π 4 T 3 3 31k 6 π 6 T 5 wF + wF + wF 6 240 768
differenciálegyenlethez jutunk. A megoldást WF = wF0 + a1·T + a2·T2 + + a3·T3 + a4·T4 + + a5·T5++ a2·T2 + a6·T6... alakban keresve, azaz ezt a kifejezést a (4.7.18) egyenletbe behelyettesítve az a T hatványai szerint hat különálló egyenletre esik szét. Mivel mindegyik egyenletben az együtthatók nullát kell hogy adjanak, az így nyert, hat egyenletből álló egyenletrendszerből az a1,... , a6 együtthatók meghatározhatók. A számolást elvégezve: (4.7.19)
a1 = a3 = a5 = 0, és a2 = −
1 π2 k 2 , 12 w F0
a4 = −
1 π4k4 , 80 w 3F0
247 π 6 k 6 , a6 = − 25920 w 5F0 adódik az együtthatókra. Így tehát a hatodiknál magasabb rendű tagokat elhanyagolva a Fermi energiára kapjuk hogy 2 4 6 1 π⋅k⋅T 1 π⋅k⋅T 247 π ⋅ k ⋅ T − ⋅ − ⋅ WF = WF 0 ⋅ 1 − ⋅ (4.7.20) 12 WF0 80 WF 0 25920 WF0
94
3
7k k I 4 + 256 w
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
4.8 Új közelítő függvény a fémek potenciálkád modellje alapján A 2.7. fejezetben megmutattuk, hogy a fémfelület belsejében a vezetési elektronoknak negatív potenciális energiájuk van a környezetükhöz képest. Ez teszi érthetővé a potenciálkád-modell használatát, amikor is azt az analógiát használjuk ki, hogy a fém belsejében a vezetési elektronok potenciális energiája kisebb mint a külső térben, éppen úgy, ahogy egy "gödörben" levő test mechanikai helyzeti energiája is kisebb mint a gödör felső szélénél, amely a nulla helyzeti energia szintet reprezentálja. Vagyis ilyen értelemben a fémben levő vezetési elektronok egy "potenciálgödörben" vagy más szóval potenciálkádban vannak, az összes energiájuk negatív, vagyis kötött állapotban vannak (4.8.1 ábra ). A potenciálgödör mélységét W-vel jelölve az adott hőmérsékleten a WF Fermi energiáig az energiaszintek be vannak töltve, így az ionizáláshoz szükséges WW a kettő különbségéből adódik. ( A "potenciálgödör" persze csak akkor lesz az ábrán látható lapos fenekű kád, ha közben az elektron(ok)ra erő nem hat, azaz praktikusan abban az esetben, ha a körön nem folyik áram ).
W
WW WB WF ρ(w)
4.8.1 ábra: potenciálkád modell szemléltetése A Fermi energia értelmezésével érthetővé válik a fémek potenciálkád modellje: Tételezzük fel, hogy két különböző fémfelület ( A és B ) potenciális energiájának alapszintjei egymáshoz képest kezdetben W0* - al el van tolódva (4.8.2 ábra )
95
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
B W W2
A
W B2
WW1
2
W0*
WF2
B1
WF1
W
2
4.8.2. ábra: potenciálkád modell szemléltetése Fermi energiaszintekkel a két fém összeérintése előtt Ha a két különböző fémet összeérintjük, akkor a két fémfelület között elektronáramlás indul meg a 2.7. fejezetben leírtaknak megfelelően. Ha beáll a dinamikus egyensúly, akkor az érintkezési felületen adott idő alatt átlépő elektronok száma mindkét irányban azonos kell hogy legyen, emiatt nem változik már egyik rész töltése, s így potenciálja sem. Ez viszont a Fermi-Dirac statisztika (2.10.3.) egyenletét felhasználva azt adja, hogy 3
m (4.8.1)2 ⋅ h
3
v x1 e
w 1 − w F1 kT
+1
m dv x dv y dv z = 2 ⋅ h
v x2 e
w 2 −w F2 kT
dv x dv y dv z +1
A fémek potenciál - alapszintjei között a stacionárius állapot beállta utáni energiaszint - különbségét W* - al jelölve, és -x normálisú érintkezési felületet feltételezve : (4.8.2)
1 1 mv 2x1 = mv 2x 2 + W ∗ 2 2
(4.8.3)
v y1 = v y 2
(4.8.4)
v z1 = v z2
egyenletekhez jutunk, amiből egyrészt (4.8.5)
W1 = W2 + W*
egyenlőség adódik, másrészt ezen egyenletek deriválásából: (4.8.6)
vx1 dvx1 = vx2 dvx2
(4.8.7)
dvy1 = dvy2 96
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
(4.8.8)
dvz1 = dvz2 Ezek alapján (4.8.1) - ben az egyszerűsítéseket elvégezve 1
e
w1 − wF1 kT
1
= +1
e
w2 − wF 2 kT
(4.8.9) +1
adódik, és (4.8.5) első tagját felhasználva : 1
e
w2 + w∗ − wF1 kT
1
= +1
e
w2 − wF 2 kT
(4.8.10)
+1
egyenlethez jutunk. Ha ez az egyenlőség teljesül, akkor : W2 + W* - WF1 = W2 – WF2 egyenlőségnek is teljesülnie kell, azaz W* - WF1 = - WF2 Más alakba felírva : (4.8.11)
W* = WF1 – WF2 B A WAB WW1
W*
WF1
WB2 WB1
W W2 WF2 2
4.8.3 ábra: potenciálkád modell szemléltetése Fermi energiaszintekkel a két fém összeérintése után Ez viszont a 4.8.3 ábra alapján azt jelenti, hogy a különböző fémek összeérintésekor kialakuló egyensúlyi helyzet beállta után az energia alapszintek különbsége akkora, hogy a Fermi - szintek lesznek egy magasságban. Ekkor a két fém felülete között kialakuló potenciális energia-különbség WAB = WW1 –WW2, és a két fém belseje között a Galvani feszültség : 97
(4.8.12)
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
U AB =
(4.8.13)
WF1 − WF2 e
ahol e az elemi töltés nagysága. Felhasználva az előző részben a (4.7.20) egyenletben a Fermi energiára nyert összefüggést, azaz, hogy 2 4 6 1 ΠkT 1 ΠkT 247 ΠkT − − WF = WF0 ⋅ 1 − 12 WF 0 80 WF0 25920 WF0
-ahol WF0 a nullponti Fermi energia - a Galvani feszültség az alábbi alakba írható : (4.8.14) U AB (T ) = (W0 A − W0 B
2 ( Πk ) )−
1 1 − 12e W0 A W0 B
2 (Πk )4 T − 80e
1 1 3 − 3 W 0 A W0 B
4 247 ⋅ (Πk )6 T − 25920e
itt W0A illetve W0B a termoelemet alkotó kétféle fém nullponti Fermi energiája. A (4.8.15)
α=
(Πk )2
β=
(Πk )4
(4.8.16)
(4.8.17)
1 1 − 12e W0 A W0 B
1 1 − 3 3 80e W0 A W0 B
247 ⋅ (Πk ) 25920e
6
γ=
1 1 5 − 5 W0 A W0 B
jelöléseket bevezetve tehát: (4.8.18)
UAB(T) = W0A – W0B - α T2 - β T4 - γ T6
alakban jelenik meg e függvény. Ha alkalmazzuk ezt a 2.5. fejezetben bemutatott termoelemre, ahol az egyik érintkezési felület T0, a másik T hőmérsékleten van, akkor a huroktörvény szerint a teljes áramkörben az eredő feszültség a Galvani feszültségek előjeles összege - tehát azok különbsége-, így ez alapján az áramkörben megjelenő termofeszültségre az alábbi függvényt kapjuk : 2 4 6 2 4 6 (4.8.19)UAB(T,T0) = UAB(T)-UAB(T0) = α(T -T0 ) + β(T -T0 )+γ(T -T0 )
98
1 1 5 − W 0A W
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
4.9 A kapott közelítő függvény ellenőrzése az alapazonosságokra Vizsgáljuk meg, hogy ez a függvény eleget tesz-e a 2.8 fejezetben megfogalmazott fizikai alaptulajdonságoknak ! A (2.8.2) számú UAA(T,T0) = 0 feltételt triviálisan teljesíti a (4.8.19) függvény, hiszen ha a termoelemet alkotó "két" fém azonos, azaz az A fém megegyezik a B fémmel, akkor W0A illetve W0B azonossága miatt az α,β,γ együtthatók értéke 0. (4.8.15-4.8.17 összefüggések miatt) A (2.8.3) számú UAB(T,T) = 0 feltétel teljesülése viszont a (4.8.19) összefüggésből látható teljesen nyilvánvalóan, hiszen ha a zárójeles tagok mindegyike nulla, akkor azok lineáris kombinációjára is igaz ez A (2.8.4) számú UAB(T,T0) = - UAB(T0,T) feltétel teljesülése a i
( Ti – T0 ) = - ( T0i – Ti ) azonosságon alapszik, ez a (4.8.19) összefüggés összeadandóira tagonként igaz, így az összegükre is igaz. A (2.8.5.) feltétel teljesüléséhez a közelítő függvények együttkövetkező jelöléseket használom (4.9.1.) AB termoelem α AB
2 ( Πk ) =
β AB =
CB termoelem
(Πk )2 1 − 1 , α = (Πk )2 1 − 1 , α AC = CB 12e W0 A W0 C 12e W0 C W0 B (Πk )4 1 − 1 , β = (Πk )4 1 − 1 1 − 3 , β AC = CB 80e W03A W03C 80e W03C W03B W0 B
1 1 − 12e W0 A W0 B
(Πk )4
1 80e W03A
247(Π k ) 25920e
6
γ AB =
AC termoelem
6 1 1 247(Πk ) 5 − 5 , γ AC = 25920e W0 A W0 B
6 1 1 247(Π k ) 5 − 5 , γ CB = 25920e W0 A W0 C
1 1 5 − 5 W0 C W0 B
Ha az UAB(T,T0) = UAC(T,T0) +UCB(T,T0) azonosságába behelyettesítve a (4.8.19) helyettesítési függvényt, a következőt kapjuk: αAB (T2 - T02) + βAB(T4 - T04) + γAB (T6 -T06) = α AC(T2 - T02) + βAC(T4 – T04) + γAC (T6 -T06) + αCB (T2 - T02) + βCB(T4 - T04) + γCB (T6 -T06)
99
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Ez az egyenlet láthatólag három, egymástól független egyenletre bontható: A (T2 – T02) tagok együtthatóinak azonosságából : (4.9.2) αAB = αAC + αCB . Az egyenletbe a fenti (4.9.1)-ből behelyettesítve, és a szorzótaggal egyszerűsítve a (4.9.3)
1 1 1 1 − = − W0 A W0 B W0 A W0C
1 1 + − W0C W0 B
egyenlethez jutunk, ami láthatóan azonosság. Mivel a (T4 - T04) és a (T6 - T06) tagok β, illetve γ együtthatóira az egyszerűsítés után ugyanez a feltétel adódik, ezt nem írom le még egyszer. Ezzel tehát igazoltuk a (2.8.5) összefüggés teljesülését. Végül vizsgáljuk meg a (2.8.6) azonosságot! Az UAB(T1,T3) = UAB(T1,T2) +UAB(T2,T3) egyenletbe a (4.8.19) közelítő függvényt behelyettesítve : α(T12-T32)+β(T14 - T34) + γ (T16 -T36)= α(T12-T22)+β(T14 - T24) + γ (T16 -T26) + α(T22-T32)+β(T24-T34) + γ (T26 -T36) Ez az egyenlet láthatólag megint három egyenletté alakítható: Az α együtthatós tagokra (4.9.4)
α( T12 - T32 ) = α( T12 - T22 ) + α( T22 - T32 )
egyenletet kapjuk, amelyről a zárójelek felbontásával látható be hogy azonosság, s ugyanez a másik két egyenletről is látható : (4.9.5) β( T14 - T34 ) = β( T14 - T24 ) + β( T24 - T34 ) (4.9.6)
γ ( T16 - T36 ) = γ ( T16 - T26 ) + γ( T26 - T36 )
Ezen egyenletek teljesülése viszont a (2.8.6) feltétel teljesülését jelenti. Így tehát a 2.8 fejezetben felállított összes feltételünket kielégíti az újonnan felállított közelítő függvény.
100
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
4.10
Termoelemes mérőkör hibaanalízise
A 2.11. fejezetben ismertetett reverzibilis hőkről ismertetett definíciókat alkalmaztam egy termoelemes mérőkörre: Egy egységnyi keresztmetszetű, árammal átjárt vezető esetén a vezetékben folyó teljes energiaáram (ju) a hőáram (jq) és az elektrokémiai potenciális energia-áram (µ·je·/e) figyelembe vételével a kettő összegeként adható meg : ju = jq - µ·je·/ e
(4.10.1)
Ha az (2.12.4.) -el jelzett j = T⋅ ∈ ⋅ j − λ ⋅ ∇T egyenletet az (4.10.1) q e egyenletbe helyettesítve figyelembe vesszük, akkor a dT µ je j = T∈ j −λ − u e ds e
(4.10.2)
összefüggéshez jutunk. A nemegyensúlyi termodinamika első főtétele matematikailag a ∂u + div j = 0 u ∂t
(4.10.3)
alakban írható fel, ahol az u a fajlagos belső energia. Mivel a vezeték keresztmetszete a hosszához viszonyítva elhanyagolható, a ju vektor divergenciájában csak a vezeték tengelyével párhuzamos koordináta szerinti derivált tag lesz nullától különböző, azaz itt a div ju helyett dju / ds írható. Ezzel a (4.10.3) egyenlet a (4.10.2) alapján ju -t behelyettesítve a (4.10.4)
( )
dj dj dT d∈ d dT µ dje je dµ ∂u − =− u = ∈ j + Tj + T ∈ e − λ − e e ds ds ds ds ds ds e ds e ds ∂t alakot ölti. A lehetséges összevonásokat elvégezve, és felhasználva, hogy egy állandó keresztmetszetű vezetéken az elektromos áramsűrűség vektor ( je ) nagysága állandó kell hogy legyen, azaz annak s szerinti deriváltja nulla, a ∂u d ∈ d dT dT 1 dµ −j −∈ = Tj − λ e ds ds ds e e ds ∂t ds
(4.10.5)
egyenlethez jutunk. Ennek az egyenletnek az utolsó tagját ha összevetjük az (2.12.1) -el jelzett ∇µ j = δ⋅ − ∈ ⋅∇T egyenlettel ( amelyben most a fentebb leírt okok miatt e e a gradiensek s szerinti deriváltakat jelölnek), akkor azt tapasztaljuk, hogy az 101
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
utolsó tag zárójeles kifejezése éppen je/δ hányadossal egyezik meg. Ezt (4.10.5) - be visszahelyettesítve : j2 ∂u d ∈ d dT = − e +T⋅ j − λ e ∂t δ ds ds ds
(4.10.6)
Az így kapott egyenletben az első tag a Joule hő (Q=I2Rt) a térfogategységre és az időegységre vonatkoztatva, míg az utolsó tag az árammentes vezeték hővezetésére, pontosabban az eredő hőáramra jellemző tag. Számunkra a középső tag az érdekes, hisz ez a forrása a termoelektromos erőnek, illetve - mivel je - nek első fokú függvényéről van szó, az ebből a tagból adódó hők reverzibilis hők lesznek. Vizsgáljuk meg először a középső tag által adott hőtermelést illetve hőelvonást az érintkezési tartományban. Az ∈(s,T) függvény teljes differenciáljából: d ∈ ∂ ∈ ∂ ∈ dT = + . ds ∂ s ∂ T ds
(4.10.7)
Ha a (2.12.8.) egyenletnél már említettek értelmében az érintkezési ( a két fém közötti átmeneti ) tartományban a hőmérséklet gradiens nulla, akkor (4.10.6) középső tagja az 2.12.1. ábra első (T1) érintkezési tartományán keletkező (elnyelt) hőre : s2
(4.10.8)
σu =
∂∈ ∫ je ⋅ T ⋅ ∂ s ds = je ⋅ T ⋅ [∈ (T )− ∈ (T )] 1
B
1
A
1
s1
összefüggést adja, ami az 2.11. pontban ismertetett Peltier hőt adja a T1 hőmérsékletű átmenetnél, az ∈BA = ∈B - ∈A pedig az átmenet Peltier együtthatója. Természetesen ugyanez a kifejezés felírható a T2 hőmérsékletű átmenetnél is. Látható, hogy ha az illesztési helyen nincs hőmérséklet gradiens, akkor a Peltier - hő nem függ az illesztés összetételétől , ami összhangban áll azzal a megfigyeléssel, hogy a teljes Peltier hő nem függ az illesztés módjától (csavart, forrasztott, hegesztett csatlakozás). Abban az esetben , ha a két vezeték kontaktusát a vezetékvégek összecsavarásával hozzuk létre (azaz ha a kétféle fém között nem lehet egy " kevert " átmeneti zóna, mint például hegesztett vagy forrasztott kivitelnél), akkor a következőket mondhatjuk: ∇µ Ha az (2.12.1.)- el jelölt j = δ ⋅ − ∈ ⋅∇T egyenletet egy izoterm e e du = j e· e / δ csavart átmenetre felírjuk, akkor grad T = 0 miatt grad u = ds 102
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
alakba írható, s ezt az átmenetre ( egy elemi hosszúságú szakaszra ) integrálva (4.10.9)
∆µ = e·I·Ri
összefüggést kapjuk, ahol Ri az illesztési tartomány villamos ellenállása, I pedig a tartományon átfolyó áram. grad T = 0 miatt az (2.10.4.) egyenlet jq = T ∈ ·je alakba írható, s ha ez utóbbit és (4.10.9) -et is beírjuk az (4.10.1)-el jelölt ju = jq - µ·je·/ e egyenletbe , akkor (4.10.10) σu = ∆ju = T·je·[ ∈ B - ∈ A ] - I2·Ri/A alakban kapjuk meg a hőáram sűrűség változását az érintkezési felületen, ami nem más mint az adott érintkezésen felszabaduló Peltier - hőnek ( első tag ) és a Joule hőnek a az egységnyi keresztmetszetre, és időegységre jutó fajlagos értéke. Az érintkezési helyektől távol, ahol a fém homogénnek tekinthető, Az (4.10.7) összefüggésből az első tag kiesik (a fém homogenitása miatt ∈ nem függ a helytől), így ott az (4.10.6) egyenlet középső tagja σ u = je ⋅ T ⋅
∂ ∈A (T ) dT ∂ T ds
(4.10.11)
alakú lesz ami az 2.11 fejezetben már bemutatott Thomson hő differenciális ∂ ∈A (T ) pedig az adott helyre vonatkozó Thomson együttható. alakja, a T ⋅ ∂T Természetesen egy ezzel analóg kifejezést felírhatunk a B fémre is. Ezzel tehát bemutattuk, hogy a nemegyensúlyi termodinamikára alapozva a termoelektromos effektusok egy adott termoelemre szépen levezethetők.
A termoelemes mérőkör hibaanalízise.
A mérés elmélete a 2.8 fejezetben megfogalmazott alapazonosságokon alapul, így a kapott termofeszültség függvénynek ezeket az azonosságokat mindig ki kell elégítenie. A továbbiakban most azt vizsgáljuk, hogy az előző alfejezetekben megtárgyalt összefüggések a termofeszültséget hogyan befolyásolhatják, s ezáltal milyen mérési hibát okozhatnak. Mint azt a 2.10 fejezetben leírt termoelem vizsgálatakor kifejtettük, a kémiai potenciál hőmérséklet és anyagösszetétel - függő mennyiség. Ez azt jelenti, hogy a pontos mérés érdekében nagyon fontos, hogy a mérőműszer vezetékei 103
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
azonos anyagi minőségűek legyenek, és azonos hőmérsékletű pontokon kapcsolódjanak a termoelemhez, mert különben a műszer csatlakozási pontjain is indukálódik termofeszültség, ami a mért értéket meghamisítja. Először vizsgáljunk egy olyan termoelemet, ahol a vezetékek forrasztással, illetve hegesztéssel lettek összeerősítve. A termofeszültségre a nemegyensúlyi termodinamika segítségével nyert (2.12.8.) egyenletben s1
− ∆U =
s2
s3
s4
s5
∆µ dT dT dT dT dT = ∫ ∈A ds + ∫ ∈ (s, T ) ds + ∫ ∈B ds + ∫ ∈ (s, T ) ds + ∫ ∈A ds e ds ds ds ds ds s0 s1 s2 s3 s4
az átmeneti tartományban ( 2. és 4. integrál tag ) megjelenik az ismeretlen ∈(s,T) függvény, amelynek a termofeszültséghez adott járuléka : s2
∫ ∈ (s, T )
s1
dT ds illetve ds
s4
dT
∫ ∈ (s, T ) ds ds .
s3
Mivel ezeken a tartományokon az ∈(s,T) függvény nem adható meg, így a reprodukálható és pontos mérés érdekében ezt a tényezőt ki kell ejtenünk, ami csak úgy érhető el, ha az érintkezési tartományon (és a vele közvetlenül szomszédos vezetékszakaszokon) a hőmérséklet gradienst nullává tesszük, azaz izoterm tartományt hozunk itt létre. A gyakorlati kivitel szempontjából ez azt jelenti, hogy az illesztési helyek, és a csatlakozó vezetékszakaszok egy része jó termikus kapcsolatban kell hogy legyen a mérendő közeggel illetve tárggyal. Az itt felmerült probléma nem fordulhat elő abban az esetben, ha a termoelem különböző fémeit összecsavarással, vagy valamilyen mechanikai kötéssel hozzuk kontaktusba úgy, hogy a kétféle fém élesen elkülönül egymástól, ebben az esetben viszont a Joule illetve a reverzibilis Peltier hő megjelenése jelenthet problémát. Bár nem az érintkezési területekre vonatkozik, de itt szeretnék röviden kitérni arra, amit az irodalom "parazita" hőelemnek nevez. "Ha a hőelemhuzal nem homogén és a hőelem mentén a hőmérséklet változik, az inhomogén szakaszok határai mint önálló hőelemek a hőmérsékletkülönbségnek megfelelő másodlagos termofeszültséget szolgáltatnak." [HARGITTAI (1980)] Bár az idézett szöveg olyan szempontból nem jó, hogy azt sugallja, hogy a termofeszültség az érintkezési felületen keletkezik, de rámutat arra, hogy a termofeszültség keletkezéséhez a hőmérséklet gradiensnek nem szabad
104
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata s4
dT ds . alakú tagok jelentik a " parazita ds s3 ∈(s,T) nem " hőelemek másodlagos termofeszültségét, ugyanis itt megadható függvény, s emiatt a járuléka sem ismert.
nullának lennie. Konkrétan a ∫ ∈ (s, T )
Tekintsük át röviden, hogy a reverzibilis hők megjelenése milyen hibát okozat ! Egy adott helyen a fajlagos belső energia - s ezzel a hőmérséklet, az (4.10.6) egyenletben felsorolt hatások következtében változhat meg. Ennek akkor van jelentősége, ha az adott hő a termoelemet alkotó fémek érintkezési tartományának hőmérsékletét módosítja, ugyanis ettől nem ellenőrizhető módon változik a hidegpont illetve a mérőpont hőmérséklete, ami a mérésben hibát okoz. Különösen akkor kell erre figyelni, ha a mérendő test kis hőkapacitású. A (4.10.6) egyenletben felsorolt hatások a következők: - Hegesztett illetve forrasztott kivitelű csatlakozásnál a Joule - hő értéke elhanyagolható, hisz itt jó kontaktus, s ezzel megfelelően kicsi illesztési ellenállás biztosítható. Ebben az esetben viszont jelentkezik a második, reverzibilis hőket leíró tagból a Peltier - hő, amire s2
σu =
∂∈ ∫ je ⋅ T ⋅ ∂ s ds = je ⋅ T ⋅ [∈ (T )− ∈ (T )] B
A
s1
adódik. Ennek a tagnak az értéke egyedül a je csökkentésével csökkenthető. A harmadik, hővezetésből származó taggal általában csak akkor kell foglalkozni, ha termoelem mentén nagy hőmérséklet különbségek lépnek fel. - Sodrott kivitelű érintkezésnél az (4.10.10) egyenlet szerint kétféle hatásra kell tekintettel lennünk. Az egyik a Joule - hőből származó tag, az aránylag nagy illesztési ellenállás, a rosszabb kontaktus miatt, a másik itt is az illesztésen megjelenő Peltier - hő. Mivel azonban mindkét tag je függvénye, az áramsűrűség csökkentésével mindkét tag tetszőlegesen kicsivé tehető. 4.11 A termoelemes mérőkörnél a kapott termofeszültség függvénynek a termoelem kalibrációs adatokkal való egybevetése
A továbbiakban vizsgáljuk meg, hogy az előző fejezet végén megkapott új közelítő függvény mennyire adja vissza hűen a termofeszültséget. Az ebben a 105
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
fejezetben folytatott numerikus számolások, görberajzolások és kiértékelések a Matlab matematikai programmal készültek. Mivel a gyakorlati alkalmazásnál ( lásd 4.13 fejezet ) a réz-konstantán termoelemet használtuk a 0 °C - 50 °C hőmérséklettartományban, először nézzük meg erre az esetre, hogy mennyire alkalmazható az általunk megadott új közelítő függvény Az aránylag szűk hőmérsékleti tartomány miatt a negyedrendűnél magasabb kitevőjű T hatványokat elhanyagoljuk, mert ahogy azt a következő fejezetben majd látni fogjuk, ebben az esetben a hőmérséklet visszaszámolása a termofeszültségből csak egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti, míg ha a magasabb rendű tagokat is figyelembe kívánjuk venni, akkor egy hatványfüggvény közelítő gyökkeresését kell végigvinnünk. Látni fogjuk, hogy ebben a tartományban a negyedrendűnél magasabb kitevőjű tagok elhanyagolásával kapott függvény is elegendő pontosságú közelítést ad. Határozzuk meg először az U(T,T0) = α·(T2-T02) + β·(T4 - T04) közelítő függvény α és β együtthatóit. Ehhez a réz- konstantán termoelem 0 °C-os referencia hőmérsékletére vonatkoztatott termofeszültségeinek a szakkönyvekben megadott értékeit használjuk. [MICHALSKI et al. (1991), BENEDICT(1984), ASTM MANUAL (1981), TEMPERATURE SENSING (1993) ] Mivel ezekben az irodalmakban a termofeszültség °C pontossággal adott, ezért mi is Celsius fokonként vizsgáljuk a javasolt közelítő függvényt, illetve annak az irodalmi adatoktól való eltérését. A közelítő függvény együtthatóinak a megkereséséhez használjuk a legkisebb négyzetek módszerét. Definiáljuk az (4.11.1)
n
[(
) (
)
S(α, β ) = ∑ α Ti2 − T02 + β Ti4 − T04 − U i
]
2
i =1
eltérésfüggvényt, amelynek minimalizálásával jutunk el a keresett együtthatókhoz. Itt Ui a megadott Ti mérőponti hőmérsékletű, T0 = 273 K referenciahőmérsékletű réz-konstantán termoelem termofeszültsége. A szélsőérték számításból ismert, hogy ha egy kétváltozós függvénynek minimuma van, akkor ott a parciális deriváltak értéke zérus kell hogy legyen. Elvileg ugyan a deriváltak nulla volta még nem árulja el, hogy az adott pontban milyen szélsőérték van, illetve van-e egyáltalán, de a kifejezés geometriai jelentéséből adódóan itt biztosan függvény minimumot kapunk. Azaz 106
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
(4.11.2)
[ ((
) (
[ ((
) (
)]
∂S = ∑ 2 ⋅ α T 2 − T02 + β T 4 − T04 − U i T 2 − T02 = 0 ∂α i
)
)(
illetve
)]
∂S = ∑ 2 ⋅ α T 2 − T02 + β T 4 − T04 − U i T 4 − T04 = 0 ∂β i
)
)(
(4.11.3)
A fenti két egyenletből α és β együtthatókra egy egyenletrendszert nyerünk, amelynek megoldásából ( amely részletesen a függelékben található ) α= 8,238·10-5 mV/K2 illetve β = - 7,893·10-11 mV/K4
(4.11.4)
együtthatókat kapjuk. Tehát az általunk javasolt termofeszültség - hőmérséklet közelítő függvény U(T,T0) = 8,238·10-5(Ti2 - T02) - 7,893·10-11·( Ti4 - T04)
(4.11.5)
termofeszültség
alakban írható fel, ahol most T0 = 273,15 K. Vizsgáljuk meg elsőként, hogy az így megadott függvénytől mennyivel térnek el a termoelem gyártó által megadott termofeszültség értékek. Ennek vizsgálatára ábrázoljuk az U(T,T0) függvényt illetve a termoelem gyártó által megadott termofeszültség értékek (Ui) a 0 °C-tól 50 °C - ig terjedő hőmérsékleti tartományon (4.1.1 ábra ).
Mérőponti hőmérséklet 4.11.1 ábra.: Termofeszültség-mérőponti hőmérséklet függvény Mivel a függvény grafikonjára olyan jól illeszkednek a (Ti , Ui ) pontok, hogy szabad szemmel nem látható jól az eltérés, ábrázoljuk a ∆U=U(T,T0)-Ui különbséget ugyanezen a hőmérséklet tartományon (4.11.2 ábra ). 107
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
0
10
20
30
40
4.11.2 ábra. A termofeszültségfüggvény abszolút eltérése a gyártó által megadott adatoktól Figyelembe véve, hogy ebben a hőmérséklettartományban az 1 °C hőmérsékletváltozásra eső termofeszültség változás ~ 0.039 mV/°C, sokkal értékelhetőbb és közérthetőbb képet kapunk a pontosságról, ha megadjuk, hogy a ∆U feszültségeltérés a hőmérsékletben mekkora eltérést okoz, ez látható a 4.11.3. ábrán.
4.11.3 ábra. A termofeszültségfüggvény hőmérsékletre átszámötott eltérése a gyártó által megadott adatoktól Az ábráról leolvasható, hogy a megadott új közelítő függvény a 0 °C - 50 °C hőmérséklet tartományban 0,03 fok pontosságon belül adja vissza a termoelem hitelesítő adatait. Felmerülhet a kérdés, hogy ez az eltérés függvény miért ilyen "ugráló", miért vannak benne törési pontok, amelyek a valóságos eltérésnél nem lehetnek jelen. Erre magyarázatul szolgál, hogy a termofeszültség - táblázat , ahonnét az adatok származnak µV pontossággal (µV-ra kerekítve) tartalmazza a termofeszültségeket, és az ábrán a törési pontok abból adódnak, hogy a kerekítések miatt a táblázat egy kicsit "csal".
108
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
4.12
Az irodalomból ismert más modellekkel való összehasonlítás
Vizsgáljuk meg, hogy a megadott új közelítő függvény hogyan viszonyul a hagyományosan alkalmazott közelítő függvényekhez. Tekintsük először a lineáris regresszióval kapott közelítő függvény és az új közelítő függvény viszonyát. Ha a 0 °C - 50 °C hőmérséklet tartományban a függelékben ( táblázatban ) felsorolt termofeszültség értékeire egyenest illesztünk, akkor annak az egyenletére ( lásd függelék ): (4.12.1.) U(T) = m·T +c; ahol m=0.041 mV/K;
c=-11.124 mV
összefüggés adódik, ha T-t Kelvinben, U-t mV-ban mérjük.
A függvények eltérése
A lineáris közelítés és az új közelítő függvény összehasonlítására nézzünk meg ismét egy grafikont. Ha egy koordinátarendszerben ábrázoljuk a lineáris közelítésnek a gyári adatoktól való eltérését az új függvény ugyanezen jellemzőjével, akkor a 4.12.1. ábrát kapjuk.
Mérőponti hőmérséklet 4.12.1. ábra.A lineáris és az új közelítő függvény összehasonlítása a gyártó által megadott adatokkal Az ábrán ábrázolt eltérések alapján bizonyára nem szükséges különösképpen magyarázni az új közelítő függvénynek a lineáris közelítéshez viszonyítva sokkal jobb korrelációját. Nézzük meg hogy a lineárisnál " finomabb " közelítéssel összevetve mit mutat az új közelítő függvény. A nem lineáris közelítésnél a Taylor sorfejtéshez hasonló hatványsorral szokták megadni a közelítő függvényt. R. P. Benedict nyomán [BENEDICT (1984)] a közelítő függvény a negyedrendű tagig kifejtve 109
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
(4.12.2.) U(t)= 3,874·10-2·t +3,319·10-5·t2 + 2,0714·10-7·t3 -2.1946·10-9·t4 alakú, ahol t a mérőponti hőmérséklet Celsiusban. A 4.12.2. ábrán látható ennek a függvénynek az új függvénnyel való egybevetése.
1
x 10
-3
új
feszültségkülönbség, V
0.5 0 -0.5 -1
Benedict
-1.5 -2 -2.5 -3
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
hőmérséklet, °C 4.12.2 ábra. A Benedict-féle függvény és az új közelítő függvény összehasonlítása a gyártó által megadott adatokkal Látható, hogy a klasszikus függvény, lényegesen bonyolultabb megadása révén sem közelíti jobban a tényleges hőmérsékletet, mint az új közelítő függvény. Végül nézzünk meg egy egészen speciális, kimondottan a réz - konstantán termoelemhez erre a tartományra kiszámolt közelítő függvényt is, az új függvényünkkel egybevetve. Bodry nyomán [BODRY (1976) ] ismert az (4.12.3)
t (U ) = 238,29 + 13,364 ⋅ U −
110
4776,4 154,83 − U + 21,867 U + 7,8242
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
közelítő függvény, amely már hőmérséklet - termofeszültség függvény, méghozzá ha a feszültséget mV-ban adjuk meg, akkor a hőmérséklet Celsiusban adódik. Ha az (10.1.4.) alatt kifejtett α és β együtthatókat beírjuk a (4.11.5) függvénybe, akkor onnét a következő fejezetben részletezett módon
T=
(
)
α 2 + 4β αT02 + βT04 + U e − α
(4.12.5)
2β
összefüggést nyerjük, s ebből t = T-273,15 képlettel kapjuk a hőmérsékletet Celsiusban. A kétféle hőmérséklet függvény eltérése a táblázatban megadott értékektől az 4.12.3 ábrán látható.
0.1 0.08 0.06
Bodry
hőmérséklet, °C
0.04
új
0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06
0
0.5
1
1.5
2
2.5
feszültségkülönbség, mV 4.12.3 ábra. A Bodry-féle függvény és az új közelítő függvény összehasonlítása Az ábráról látható, hogy ez a láthatólag "testre szabott" függvény sem ad jobb közelítést, mint az általunk megadott új közelítő függvény, és az általunk adott függvény általános alakjával szemben ez nagyon speciális. 111
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Mindamellett persze a Bodry-féle megoldás nem tesz termofeszültségre a 2. fejezetben leírt alapazonosságoknak sem.
eleget
a
Összefoglalóan tehát megállapíthatjuk, hogy az általunk javasolt új közelítő függvény általában legalább ugyanolyan jó (ha nem jobb) közelítést ad, mint a szokásos közelítő függvények, és a gyakorlatban az itt bemutatott 0,3 fokos abszolút eltérés a mérés során nem lehet " szűk " keresztmetszet, vagyis a mérési hiba várhatóan ennél lényegesen nagyobb lesz, így a közelítést magasabb rendű tagok bevezetésével - tovább felesleges fokozni. Természetesen a mérési alkalmazás miatt itt vizsgált 0 - 50 °C tartományon kívül is vizsgáltuk a közelítő függvény jóságát, pl. a -50°C-150°C hőmérséklettartományon a megadott új függvényalak hasonlóan jó eredményt ad a hagyományos függvényekhez képest. Ebben a tartományban persze a lineáris regresszió már nem alkalmas a megfelelő szintű közelítésre, de például az 4.12.2 egyenletben megadott aránylag speciális, Benedict-féle közelítő függvény és az általunk nyert új közelítő függvény összevetéséből még mindig ez utóbbi kerül ki győztesen:
112
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Termofeszültság különbság Celsiusra konvertálva
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5 -50
benedict új 0
50 Hőmérséklet (°C)
4.12.4 ábra. A Benedict és az új közlítő függvény összehasonlítása
113
100
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
4.13 Referenciapont nélküli termoelemes mérőkör és szoftver A mérés elvi megvalósítása Mind ahogy azt az 2.6. fejezetben már kifejtettem, a mai mérés és számítástechnikai eszközök lehetővé teszik a termoelemes mérőkör stabilizált referenciapont nélküli használatát. Ehhez a termofeszültség mérése mellett a referenciapont hőmérsékletének éppen aktuális értékét kell kellő pontossággal meghatároznunk. Ez - mivel ha változik is a hidegpont hőmérséklete, az a mérési tartományhoz képest rendszerint nagyon szűk tartományban történik -, elvileg nem is okozna problémát, azonban ez a rész kapcsolódási pontokat ( csatlakozókat és szigetelő anyagokat ) tartalmaz, így a fémek érintkezési felületeinek pontos hőmérséklete nem biztos, hogy megfelelően detektálható. Ráadásul a villamos szigetelők általában hőszigetelők is, ezért aztán a hőmérsékletkiegyenlítődések általában sok időt vehetnek igénybe egy ilyen környezetben. Ilyen megfontolások alapján a mérőkör elvi kapcsolási rajzára a 2.6.3. ábrán bemutatott mérési elrendezés alkalmasabbnak tűnik. Ekkor ugyanis a termoelem eredő Ue feszültségére : (4.13.1) Ue = UAB(T,T0) + UBA(T1,T0) = UAB(T,T0) - UAB(T1,T0) a 2.8 fejezetben megfogalmazottak alapján, és az antiszimmetrikus tulajdonság (2.2.3. egyenlet ) alapján ez : (4.13.2) Ue = UAB(T,T0) + UAB(T0,T1) alakba írható. Felhasználva a (4.8.19.) egyenletben meghatározott UAB(T,T0) = α (T2-T02) + β (T4-T04)+γ (T6-T06) összefüggést, ez alapján (4.13.2) egyenletbe behelyettesítve az alábbi egyenlethez jutunk: Ue=[α(T2-T02)+β(T4-T04)+γ(T6-T06)] + [ α(T02-T12) + β(T04-T14)+γ(T06-T16) ] A zárójeleket felbontva a T0 hatványokat tartalmazó tagok kiesnek, és : (4.13.3)
Ue = α (T2-T12) + β (T4-T14)+γ (T6-T16)
egyenlethez jutunk. Azaz ebben az esetben a sorba kapcsolt két termoelemen az eredő termofeszültség nem függ a T0 referenciaponti hőmérséklettől. Felmerülhet a kérdés, hogy mindez mire jó, mert lényegében most a T0 hidegpontot átjátszottuk a T1 - re , ami ugyanúgy referenciapontként viselkedik, tehát annak a hőmérsékletét pontosan mérnünk kell. Vegyük 114
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
azonban figyelembe, hogy a T1 hőmérsékletű tartomány egy általunk kiválasztott (célszerűen egy kb. környezeti hőmérsékletű, nem stabilizált és könnyen mérhető hőmérsékletű) hely. Ez lehet például egy folyadéktartály, vagy egy nagyobb méretű fémtömb, az a fontos, hogy jó hővezető legyen, s ezáltal az alkalmazott ( T1 mérőpontú ) termoelem érintkezési felülete és az RT ellenállás-hőmérő izoterm legyen. Így aztán ez a megoldás a gyakorlatban sokkal egyszerűbben megvalósítható, mint a T0 referencia hőmérséklet pontos mérése. A fenti kapcsolás esetén fontos, hogy az RT ellenállás-hőmérőt kalibráljuk, illetve valahonnét tudjuk a rá jellemző T(RT) { pontosabban mivel feszültségjelet veszünk le az ellenállás-hőmérőről T(U(RT)) } függvényt, ugyanis a segéd-termoelem T1 mérőponti hőmérsékletét ezzel fogjuk meghatározni. Mindezek ismeretében a mérés a következőképpen zajlik. Ue illetve U(RT)) éppen aktuális értékét az AD konverteren keresztül beolvassuk a számítógépbe, ahol az ezekkel az adatokkal az alábbi műveleteket végzi : a, Ha a termofeszültség közelítő függvényében a negyedfokúnál magasabb rendű tagokat elhanyagoljuk, akkor az egyenletünk : Ue = α (T2-T12) + β (T4-T14) alakú lesz, itt T1 = T(U(RT)) átszámítást a gép a beprogramozott függvény alapján elvégzi. Tehát az egyenletben T kivételével az összes értéket ismerjük ( α,β a termoelemre jellemző, ismert együtthatók ). Ez a kifejezés tehát T2-re másodfokú egyenlet, amit megoldva, és a gyökvonást elvégezve a fizikailag szóba jöhető megoldásra : T=
(
)
α 2 + 4β αT12 + βT14 + U e − α 2β
(4.13.4)
képlethez jutunk, amibe a számítógéppel behelyettesítve T értékét rögtön a képernyőn megjeleníthetjük, illetve szükség esetén rögzíthetjük. b, Ha a feladat úgy kívánja, hogy a negyedfokúnál magasabb rendű tagokat is vegyük figyelembe, akkor a hőmérséklet kiszámolásához már általában nem áll rendelkezésre a (4.13.4)-hez hasonló, zárt alakban felírható összefüggés. A mai gyors mikroprocesszorokkal viszont a (4.13.3) egyenlet nullára redukált alakjából kapott : f(T) = { α (T2-T12) + β (T4 - T14)+γ (T6-T16) + ... } - Ue (4.13.5)
115
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
függvény zérushelyének megkeresése egyenértékű a fenti egyenlet megoldásával. Egy függvény zérushelyének megkeresésére viszont nagyon kiforrott matematikai eljárások vannak (pl. lineáris interpoláció, iteráció, Newton- módszer), amelyeket lefuttatva T értékét a kívánt pontossággal rövid időn belül megkaphatjuk. Mivel a hőmérséklet általában lassan változó fizikai mennyiség, így az utóbbi módszer használata esetén is általában megvalósítható az egyidejű (illetve értelemszerűen a feldolgozás-kiértékelés néhány ms-os idejével késleltetett ) megjelenítés.
A mérőkör megvalósítása A konkrét mérőkör megvalósításánál először az 2.6.2. ábrán bemutatott mérési eljárást, később a mérőkörnek a 2.6.3. ábrán látható kapcsolást valósítottam meg. Az adatfeldolgozásra, megjelenítésre illetve tárolásra egy IBM-AT kompatibilis számítógépet használtam, amelyhez egy IEEE-488 -as nagysebességű kommunikációs buszon keresztül csatlakozott egy ADC-488 típusjelű analóg-digitál konverter (ADC). A konverter 8 digitális be és kimenettel illetve közösített módban 16, differenciális módban 8 bemenő analóg csatornával rendelkezik. Ezenkívül külső trigger forrás egy BNC csatlakozón keresztül csatlakoztatható. A konverter 512 kbyte saját memóriával rendelkezik, innét tudja a mért adatokat a számítógép felé letölteni. A konverter saját memóriájára főként akkor van szükség, ha kihasználjuk a konverter 0,02 Hz - 100 000 Hz között előre megadott értékek szerint állítható mintavételezési frekvencia sávjának felső tartományát, amire persze hőmérséklet jel mérésekor nincs feltétlenül szükség. ( A számítógépről vezérelve természetesen a beállított gyári értékektől eltérő mérési frekvencia is beállítható.) A mérés során egyébként azt tapasztaltam, hogy az azonnali feldolgozás és ábrázolás mellett az IBM-AT mintegy 180 Hz-es mérési frekvenciáig mutatott online adatokat. 5V=
IBM AT
IEEE 488
ADC 488 konverter
a n a l ó g
Cu T0
b e m.
4.13.1 ábra: A mérőkör megvalósítása
T1
Con Con
Cu
116
Pt
SB 05
Cu
T
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Az általunk használt termoelemek réz- konstantán termoelemek voltak. Ennek oka egyrészt ennek a leggyakoribban használt termoelemnek a könnyű hozzáférhetősége, másrészt hogy a következő fejezetben ismertetett alkalmazás a 0 °C - 30 °C hőmérséklet tartomány mérését igényelte, ami ezen termoelemfajtával jól megvalósítható, ráadásul a relatíve nagy termoelektromos erő ( kb. 40 µV / °C ebben a tartományban ) a feszültségmérést is segítette. A referenciapont mérésére egy 100 Ω - os Platina ellenállás hőmérőt alkalmaztunk, amely a referencia hőmérséklet tartományában pontos mérést tett lehetővé. Az ellenállás hőmérőt egy - 5 V-os egyenfeszültségről táplált SB 05-ös típusjelű ellenállás-feszültség jelátalakítón keresztül csatlakoztattuk a konverterhez A fent ismertetett mérőkör működtetéséhez egy Turbo Pascal programozási nyelven írt működtető szoftvert készítettem. A szoftver elkészítése közben a hagyományos Turbo Pascal rutinok mellett felhasználtam egy speciális rutingyűjteményt (IOTTP60 unit) , amely az IEEE-488 - as kommunikációs busz és az ADC-488-as analog digitál konverter között a vezérlő és az adatjelek küldését illetve fogadását intézte. [ADC488 User Manual (1991), IOTTP60 (1991)] A szoftver elindítása után az alábbi választási lehetőségeket kínálja fel : mérőcsatornák beállítása, mérési paraméterek beállítása, adatok elmentése, mérés indítása, adatok ábrázolása, program vége A mérőcsatornák beállításánál az alábbi beállítási lehetőségeink vannak. Csatorna bekötési mód (közösített végű vagy differenciális, használt csatornák darabszáma, használt csatornák sorszáma. A mérési paraméterek beállításánál a következő lehetőségeink vannak: mérési frekvencia, mérések száma, folyamatos mérés, előre megadott számú mérés, mérés indítás módja, indítójel nagysága (trigger esetén) Az adatok elmentése menüpontban az alábbi lehetőségeink vannak: mentés, az adatfile neve, Az adatok típusa(dat, ASCII) Az adatok kijelzése.
4.14
A termoelemes mérőkör használata vákuumhűtésnél
Az összeállított mérőkör és mérési szoftver gyakorlati alkalmazására a SZIE Agrárenergetika Tanszékének laboratóriumában nyílt lehetőség.
117
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
A téma vezetője, dr. Várszegi Tibor egyetemi adjunktus egy vákuumhűtőt telepített az említett laborba, és ott bizonyos mezőgazdasági - főként élelmiszeripai - termékek vákuumhűtését tanulmányozza.
Vákuumhűtés A vákuumhűtés azt jelenti, hogy ha a folyadék- ( általában víz- ) tartalmú testeket alacsony nyomású térbe teszünk, akkor azok nagyon gyorsan lehűlnek. ugyanis ha eléggé lecsökkentjük a külső nyomást, akkor már alacsony hőmérsékleten is forrni kezd a víz, s ettől intenzíven hűl. Ezen az elven alapulnak a különböző vákuumhűtő készülékek, az általam használt vákuumhűtő szivattyúja mintegy 5 mbar ~ 3,6 torr nyomású vákuumot tud előállítani, azaz a víz még akkor is forr, ha 0 °C-os.
A mérőberendezés bemutatása A mérés során használt berendezés főbb egységei a 4.14.1 ábrán láthatók. hûtõ
nyomásérzékelõ
hûtõbordák
IBM PC
gomba
nyomás mérõ
ADC 488
vákuum szivattyú
T0
hûtõtér 4.14.1 ábra. Vákuumhűtő sematikus rajza
termoelemek
A hűtőtér egy kb. 500 l-es nyomásálló tartály, amelybe az ábrán látható módon hűtőbordákat illetve elszívó csöveket építettek. A tartályban uralkodó nyomás egy nyomás jeladóval, a behelyezett test hőmérséklete réz konstantán termoelemekkel mérhető.
Mérési eredmények A mérés során a vákuumhűtött gombában mértük a hőmérsékletet és a nyomást. A mérés kezdeti fázisában a az 2.6.2. ábrán ábrázolt, és ott leírt módszert próbáltuk alkalmazni, de a referenciapont nem pontosan mérhető 118
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
változásai miatt a mérési eredmények nem voltak igazán megnyugtatóak. Emiatt térünk át a 2.6.3. ábrán látható mérési elrendezésre. A 4.14.2 ábrán látható annak a kísérletnek az eredménye, amikor a termofeszültséget erősítő közbeiktatása nélkül, közvetlenül a konverterre vezetve vettük, s belőle szoftveres úton állítottuk elő a hőmérsékletfüggvényt, feltéve hogy a mért értékek a jelből, és az arra rárakódó zajból állnak.
4.14.2 ábra. Hőmérséklet-idő függvény erősítő nélküli termoelemmel mérve Ezzel szemben a 4.14.3 ábrán egy erősítőn keresztül mért termoelemből származó hőmérsékletfüggvény látható.
4.14.3 ábra. Hőmérséket-idő függvény erősítőn keresztül mért termoelemmel
119
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
A 4.14.4 ábrán ábrázoltuk a különböző mélységben elhelyezkedő termoelemek és a nyomás viszonyát megadó grafikonok. 4.14.4 ábra. Hőmérséklet-idő függvény különböző mélységben elhelyezett
termoelemek esetén A mérési elrendezés lehetővé teszi, hogy a megfelelő mérési eljárás megtalálása és a mérőrendszer bemérése után a különböző helyeken pozícionált termoelemek által mért hőmérsékletfüggvényekből meghatározható egy test belsejében a hőmérséklet eloszlást, kimérhető a hőmérséklet gradiens. Ennek alapján lehet aztán a vákuumhűtést egy optimalizálásnak alávetni, amelyben meg lehet határozni, hogy a hűtési folyamatban mennyi ideig, milyen intenzitással és milyen megszakításokkal célszerű a berendezést működtetni.
120
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
5 TÉZISEK A doktori tevékenység során a következő új tudományos eredményeket kaptam: 1. Kidolgoztam egy háncs nélküli fadarab mint hengerszimmetrikus homogén test hő- és anyagtranszport folyamatait leíró differenciálegyenletrendszert, és elkészítettem és a fenti rendszer numerikus modelljét. A numerikus modellhez kifejlesztettem egy olyan kombinált peremfeltételt, amely a kezdeti, nagy felületi nedvességű szakaszban is a kísérleti adatokkal összhangban adta vissza a száradás sebességét. A mért és a modell által számított adatok között a legnagyobb eltérés 3%, a korrelációs együttható értéke R = 0,9998. 2. A hánccsal együtt szárított fára a villamos ellenállás analógiája alapján kidolgoztam egy kétrétegű diffúziós ellenállás modellt, ahol a fa belsejének átlagos diffúziós ellenállását egy improprius integrál segítségével, a héj ellenállását egy síklap ellenállásával számoltam.
ℜe =
1 d + . D b ⋅ 4 π ⋅ L D h ⋅ 2 Rπ ⋅ L
Az így kapott eredő ellenállás segítségével határoztam meg a száradást leíró exponenciális függvény időállandóját. 3. Rakatban lévő fára, a halmazjellemzőkkel felírt differenciálegyenletek felhasználásával kidolgoztam a fa és a szárító levegő nedvességtartalmát és hőmérsékletét meghatározó numerikus modellt, és kifejlesztettem a hozzá tartozó számítógépes szimulációs programot. A szimulációs program segítségével meghatároztam a halmazjellemzőket hosszú távú szárítás esetén adott konstans környezeti hőmérséklet és levegő nedvességtartalom esetén. 4. Kimutattam, hogy a termoelem termofeszültségére a szakirodalomban általánosan használt, UAB(T,T0) = α (T-T0)+β (T-T0)2+γ (T-T0)3+… alakú közelítő függvény a termoelem működését meghatározó fizikai elveknek nem felel meg. a, A függvényegyenletek elméletének felhasználásával meghatároztam, hogy a keresett új, elvileg helyes termofeszültség függvényt két egyváltozós függvény különbségeként állítható elő, ahol a mérőpont és a hidegpont abszolút hőmérséklete a két változó, azaz U(T,T0) = f(T)f(T0). b, A Fermi-Dirac statisztika eloszlásfüggvényeinek felhasználásával megadtam a termoelem termofeszültségére egy új, a fizikai alapelveknek maradéktalanul eleget tevő közelítő függvényt, ami 121
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
UAB(T,T0) = UAB(T)-UAB(T0) = α·(T2-T02) + β·(T4-T04)+γ·(T6-T06)+ … alakú. c, A termoelem gyártók adatainak felhasználásával összehasonlítottam az általánosan használt és a kidolgozott közelítő függvényeket. Ennek alapján megállapítottam, hogy az újonnan kidolgozott közelítő függvény a -50 − +150 °C hőmérséklettartományban jobb közelítést ad, mint az irodalomban hagyományosan használt függvények. 5. A nemegyensúlyi termodinamika felhasználásával áttekintettem azokat az elvi mérési hibákat, amelyek a termoelemes mérőkör használata során előfordulhatnak. Ennek kapcsán megállapítottam, hogy a termoelemet alkotó fémek érintkezési tartományában a hőmérséklet gradiens jelenléte mérési hibát okoz. Ezen vizsgálatok alapján megadtam az elméleti hátterét annak a ténynek, hogy ahol a hőmérséklet gradiens nem nulla, ott homogén fémnek kell lennie, különben mérési hibák lépnek fel.
122
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
6
KÖVETKEZTETÉSEK ÉS JAVASLATOK
A doktori tevékenység során végzett vizsgálatok, a kapott eredmények természetesen sok egyéb kérdést és a kutatómunka folytatásának különböző irányba történő kiterjesztését is felvetették. A szárítás modellezési feladat kapcsán felépített modell elsősorban a mesterséges körülmények között folytatott száradás leírására készült. A modellnek az általános körülményekre –valós időjárási körülmények közötti modellezés- való alkalmazhatóságához többféle kiegészítést szükséges tenni, amelyeket részben a modellben előkészítettem. Például a modell alapvetően a szorpciós izotermából számolja a felületi nedvességtartalmat, ami a konstans száradási körülményekhez megfelelő volt. Természetes körülmények közötti szárításhoz be kell illeszteni a deszorpciós adatokat a modellbe, hogy a hiszterézis hatását a modell a valóságnak megfelelően kezelje. A modellnek ilyen jellegű bővítése az adatok ismeretében egyszerűen elvégezhető. Technikailag ugyancsak aránylag egyszerűen beilleszthető a modellbe a légsebesség változásának hatása. Itt a fő problémát a az áramlás jellegének megváltozása (a légsebesség változásával a természetes konvekció lamináris áramlásának turbulensbe fordulása). Mivel erre a megfelelő modellek (ahogy azt a dolgozatban részben ismertettem is) megvannak, ezeknek a programba illesztése ismét inkább technikai jellegű feladat. Komolyabb bővítést igényel az, ha a szabadtéri alkalmazásokhoz a modellt a csapadék figyelembe vételére is meg kívánjuk tanítani. Ez a modell magját alkotó –egy hasáb viselkedését leíró- differenciálegyenletekben is egy újabb fizikai effektus bevitelét jelenti, a rakás egészét leíró modellbe pedig egy inhomogenitást (fentről lefele egyre kevesebb a bejutó nedvesség) visz. A gyakorlati alkalmazhatóságot növelné, ha a hasonló célból tenyésztett egyéb fafajtáknak a hő- és anyagtranszport jellemzői is ismertek lennének. Mivel az élő anyagokra ezek ez irodalmi adatok esetenként meglehetősen hiányosak, az ezzel kapcsolatos mérések végzése, és publikálása is fontos feladat. A termoelemes mérőkör vizsgálata során kérdésként merült fel, hogy a termoelemes mérőkört gyártó és forgalmazó cégek miért adnak meg fizikailag nem feltétlenül helytálló hitelesítési függvényeket a felhasználóknak. Ennek a valószínű oka, hogy a jelfeldolgozó egységek érzékenysége és az igényelt mérési pontosság ezekkel is teljesíthető, nem beszélve a matematikailag egyszerűbb függvényekkel való számolás könnyebbségéről. Emiatt a dolgozatban kidolgozott elméleti modell valószínűleg inkább a speciális mérési feladatokat igénylő mérőrendszereknél válhat közvetlenül hasznosíthatóvá. 123
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
7 ÖSSZEFOGLALÁS A megújuló energiaforrások között jelentős szerep jut a biomassza hasznosításnak, s azon belül is –immár Magyarországon is- egyre többször vetődik fel az energiaerdő szerepe. Ez az EU tagsággal várhatóan még nagyobb szerepet kap, ugyanis a gyenge minőségű termőföldeken a hagyományos mezőgazdasági termények várhatóan nem termeszthetők versenyképesen. Ilyen esetekben az esetleges dotációkat is figyelembe véve az energiaerdő megfelelő alternatíva lehet. Jelen kutatás is az energiatermelés céljából termesztett fához kapcsolódik. A fa ugyanis betakarítás után nem használható fel azonnal a nagy nedvességtartalma miatt. A dolgozatban a fa száradásának modellezésével, és a száradással kapcsolatos méréstechnikai problémákkal foglalkoztam. Terjedelmi okokból a száradással kapcsolatos, s általam vizsgált méréstechnikai problémák közül (termoelemes hőmérsékletmérés, a szárító levegő sebességének mérése alacsony sebességtartományban, nedvességtartalom mérés optikai úton) a dolgozatban részletesen csak a hőmérsékletméréssel foglalkozom. A száradás modellezése során a háncs nélkül szárított fára felállítottam a száradást leíró differenciálegyenlet rendszert, majd ahhoz –általános analitikus megoldás hiányában- numerikus megoldást kerestem. Ebből a célból a végeselem és a véges differencia módszereket alkalmazta, végül is ez utóbbit választva. A numerikus megoldáshoz egy nedvességtartalomtól függő peremfeltételt fogalmaztam meg. A hánccsal együtt szárított fára egy kétrétegű ellenállásmodellt állítottam fel. A numerikus modelleket a mérési eredmények alapján meghatározott anyagi jellemzőkkel futtatva száradási görbékkel vetettem össze, így ellenőrizve azokat. A fahasáb száradásának modellje segítségével felépítettem egy halmazmodellt, amelynek segítségével egy farakás különböző részein levő fahasábok száradását, és ezáltal a száradási halmazjellemzőket meg tudtam határozni. A méréstechnikai részben –terjedelmi okokból- a szárítás egyik legfontosabb paraméterének a hőmérsékletmérésnek a problematikájával, és azon belül is a termoelemes hőmérsékletméréssel foglalkoztam. Megmutattam, hogy a termofeszültségre általánosan használt közelítő függvény ellentmond a működését meghatározó fizikai alapelveknek. A probléma feltárása után keresni kezdtem olyan a fizikai alapelvekkel összhangban levő közelítő függvényt, amelynek a közelítése legalább olyan jó, mint a Taylor sorfejtésből származó szokásos közelítő függvényé. A probléma analizálásához felhasználtam a matematikának a függvényegyenletekre vonatkozó Sinzow-féle elméletét, illetve a fizikából az elektronhalmazokra vonatkozó Fermi-Dirac statisztika eredményeit. A 124
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
potenciálkád modell alapján sikerült egy olyan közelítő függvényt alkotni, amely a fizikai alapelveknek maradéktalanul megfelel. A kapott közelítő függvényt az egyik legszélesebb körben elterjedt termoelemre a réz – konstantán termoelemre alkalmazva meghatároztam annak alakját, és megállapítottam, hogy a termoelem gyártók adatai alapján a 0°C - 50°C illetve a -50°C – 250°C hőmérséklet tartományban jobb közelítést ad a termofeszültségre, mint az ugyanebben a tartományban felírt speciális – teljesen matematikai szempontok alapján felírt, és fizikai jelentést nem hordozó- függvények. Az elmélet alapján felépített termoelemes mérőkörrel példaképpen gomba belsejében mértem a hőmérséklet eloszlást vákuumhűtés közben.
125
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
8 SUMMARY Nowadays the environmental protection and the use of the renewable energy resources have greater and greater importance. Among the renewable energy resources the role of the biomass is very important, from which the energy forest can have a bigger role even in Hungary. In case of Hungary joins the EU the agricultural fields with low quality can not produce their products economically, and for them the energy forest is an alternative. The presented research results are in connection with the wood of the energy forest, too. The wood of the energy forest can not be used immediately because of its high water content. During the research the modeling of the drying of the wood and some measuring methods of the drying were studied. From the measurement problems only the question of the temperature measurement is presented because of the limited size of the thesis, other investigations such as sensor development for the free air convection for natural drying, or optical moisture content measurement are presented in other papers. During the modeling of the drying of a stem a differential equation system was set up and –in absence of an analytical solution- numerical methods were used for the evaluation. For this purpose he finite element and the finite difference method were considered, and finally the later was chosen. For the numerical solution difference boundary conditions were tested, finally a moisture content dependent, combined boundary condition was developed. For the wood with peel a two layer resistance model was set up. The numerical models were tested with physical properties from different measurements, and the results of the tests were compared with drying experimental data. With the use of drying model of a stem a model of a pile was set up, in which the stems in the different parts of the pile could be modeled and average properties for the pile were possible to get. Research was carried out on the measurement methods of a drying process as well, e.g. optical moisture content or natural air convection measurement but the thesis –because of the limited space- only the results on the temperature measurement are presented as one of the most important parameter of the drying is the temperature. This time the temperature measurement with thermocouple is investigated. I proved, that the thermo-voltage function of the thermocouple provided in the literature (and based on the Taylor theory) is not correct, it contradicts to the basic physical principles. I searched a new approximate function, which agree with the physical principles and the approximation of the function is as good, or better than for the usual functions. During the solution the Sinzow theory of the function 126
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárításának és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
equations and Fermi-Dirac statistics for the electron gas in a metal were used. Based on this theory with the help of the potential valley model the new function was developed. I tested that the function agree all the basic physical principles. The new function was calculated for the most common thermocouple, the Cu-Ko thermocouple, and from the investigations it had turn out, that this function gives better approximation in the tested 0°C - 50°C or -50°C – 250°C temperature range than the special, physically baseless models. The cited measurement method was used as an example for measuring temperature distribution inside a mushroom during vacuum cooling.
127
Seres I.: Fa , mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
JELÖLÉSJEGYZÉK Latin betűk A Felület, m2 Af Fajlagos felület, m2/m3 a Hőmérsékletvezetési tényező, m2/s c Fajhő, J/kgK C Nedvességtartalom (n.b.), kg/m3 d Átmérő, vastagság, m D Diffúziós együttható, m2/s e Elemi töltés, C E Elektromos térerősség, V/m G Tömegáram sűrűség, kg/m2s h Magasság, m h Planck Állandó, Js H Levegő nedvességtartalom, kg/kg I Áramerősség, A Je Elektromos áramsűrűség, A/m2 Jq Hőáram sűrűség, W/m2 k Felületi anyagátadási tényező, m/s k Boltzmann állandó, J/K L Hossz, m L Párolgáshő, J/kg m Tömeg, kg M Nedvességtartalom (sz. b.), kg/kg N Részecskeszám, P Teljesítmény, W Q Hő, J R Sugár, m R Villamos ellenállás, Ω Re Reynolds szám Rt Hőmérsékletfüggő ellenállás (szenzor), Ω T Idő, s T Hőmérséklet, K T0 Hidegponti (referencia) hőmérséklet, K U Fajlagos hőátadási tényező, W/m3s UAB Termofeszültség, V V Térfogat, m3 v Sebesség, m/s W Nedvességtartalom (n. b.), kg/kg
indexek A,B,C Adott fém b Belső rész ha Halmazjellemző f, fa Fa e Egyensúlyi érték h Háncs lev Levegő 0 Kezdeti érték v Víz vg Vízgőz
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
w WF WF0 Ww x z
Szélesség, m Fermi energia, J Nullponti Fermi energia, J Kilépési munka, J Helykoordináta, m Távolság, m
Görög betűk
α α, β, γ δ δ ∈A ∈AB Φ ρ ρ(v) ρ(W) λ η κ λ µ µ∗ πAB ν ρ ρb σ Θ τ
Felületi hőátadási tényező, W/m2K Együtthatók, V/K (V/K2, V/K3, …) Rétegvastagság, m Elektromos vezetőképesség, 1/Ωm Abszolút Seebeck együttható, V/K Relatív Seebeck együttható, V/K Hőáram, W A Fermi Dirac statisztika részecskesűrűsége , db/m3 Sebesség-eloszlás sűrűség függvénye Energia-eloszlás sűrűség függvénye Hővezetési tényező, W/mK Dinamikai viszkozitás, Pas Hőátbocsátási tényező, W/m2K Hővezetési tényező, W/mK Elektrokémiai potenciál, J Kémiai potenciál, J Peltier együttható, W/A Kinematikai viszkozitás, m2/s Sűrűség, kg/m3 Halmazsűrűség, kg/m3 Teljesítménysűrűség, W/m3 Anyaghőmérséklet, K Thomson együttható, Wm/AK
1
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
MELLÉKLETEK M1, Irodalomjegyzék a, Felhasznált irodalmak jegyzéke: Aczél, J. (1961): Vorlesungen über funktionalgleichungen und ihre anwendungen, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 331 p. Adam et al.(2000): Effect of temperature on water sorption equilibrium of onion, Drying Technology, Vol. 18 No. 9, pp. 2117-2129, ADC 488 User Manual (1991), IOtech Inc. Cleveland , 257 p. ASTM Manual on the Use of Thermocouples in Temperature Measurement (1992), ASTM, Philadelphia, 258 p. Beke J.(1994): Hőtechnika a mezőgazdasági és az élelmiszeripari gépészetben, Agroinform Kiadó, Budapest, 336 p. Beke J.(1997): Terményszárítás, Agroinform Kiadó, Budapest, 419 p. Beke J. (2000): Műszaki hőtan mérnököknek, Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 541 p. Benedict, R.P. (1984): Fundamentals of Temperature, Pressure and Flow Measurements, Wiley, New York, 531 p. Bodry (1976): A simple comversion formula for "T" ( copper - constantan ) thermocouple readings, Journal of Sci. Instr. Boros, A.(1985): Electrical Measurement in Engineering, Akadémiai Kiadó, Budapest, 355 p.
2
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Boxtel, A.J.B.-Farkas,I.-Lukasse,L.-Rendik,Z.: Physically based modelling and optimal operation for product drying during post-harvest processing, Acta Horticulturae, No 406, April 1996, p. 313-320. Bronstejn, I. N. - Szemengyejev, K. A.(1980): Matematikai zsebkönyv , Múszaki Könyvkiadó, Budapest, 758 p. Budó Á.: Kísérleti fizika I. (2000), Tankönyvkiadó, Budapest, 517 p. Budó Á.: Kísérleti fizika II.(2000), Tankönyvkiadó, Budapest, 395 p. Budó Á.: Kísérleti fizika III.(2000), Tankönyvkiadó, Budapest, 525 p. Callen H. B.(1985): Thermodynamics , John Wiley & Sons Inc., New York, 493 p. Carslaw – Jaeger (1986): Conduction of heat in solids, Oxford Univ. Press, Oxford, 510 p. Chen - Keey – Walker(1996): Moisture content profiles in sapwood boards on drying, DRYING'96, Proceedings of the 10th International Drying Symposium (IDS'96), Krakow, Poland, 30 July-2 August, 1996, vol. A, 679687. Cook, E. M. - DumMONT, H. D.(1991): Process Drying Practice, McGrawHill Inc., New York, 256 p. Crank (1985): The Mathematics of Difusion, Clarendon Press, Oxford, 414 p. Derbyshire, P.M. - Owen, I.(1988): Transient heat transfer in a boiled potato, a study related to food process engineering, International Journal of Heat and Fluid Flow, 9(2), 254-256, Defo - Cloutier – Fortin (2000): Vacuum-contact drying of wood, Drying Technology, 18(8), pp. 1737-1778. 3
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Dunlap, R. A.(1988): Experimental Physics, Modern Methods, Oxford University Press, Oxford, 377 p. Farkas,I.-Rendik,Z.: Block oriented modeling of drying processes, Mathematics and Computers in Simulation, Vol. 42, 1996, p. 213-219. (imp. fakt.: 0.090) Farkas,I.-Rendik,Z.: Intermittent thin layer corn drying, Drying Technology, Vol. 15, 1997, p. 1951-1963. (imp. fakt.: 0.332) Farkas, I. (1997): Folyamatirányítás, Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar, jegyzet, Gödöllő, 145 p. Feynman - Leighton - Sands (1970): Mai fizika 5., Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 216 p. Gigler, J. K. - Loon, W. K. P. - Seres, I. - Meerdink, G. Coumans, , W. J.(2000): Drying charasteristics of willow chips and stems, Journal of Agricultural Engineering Research, London, 77(4), pp. 391-400. Ginzburg, A. Sz.(1968): Szárítás az élelmiszeriparban, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 469 p. Gyarmati I. (1967): Nemegyensúlyi termodinamika , Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 159 p. Hargittai E. (1980): A hõmérséklet mérése, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 454 p. Harman T. C. - Honig J. M.(1967): Thermoelectric and Thermomagnetic Effects and Applications , McGraw-Hill , New York, 337 p. Henning, F. (1951): Temperatur Messung, J. A. Barth Verlag, Leipzig, 294 p.
4
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Hütte (1993): A mérnöki tudományok kézikönyve, Springer Verlag, Budapest, 1468 p. http://www.energyforest.com/ Imre L.(1974): Szárítási kézikönyv, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1122 p. Imre L.(1983): Hőátvitel összetett szerkezetekben, Akadémiai Kiadó, Budapest, 697 p. IOTTP60 User Manual (1991), ASTM, Philadelphia, 296 p. Kacz K. -Neményi M.: Megújuló energiaforrások, Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1998, 160 p.
Kiess, E. (1987): Evaluation of chemical potential end energy for an ideal Fermi-Dirac gas, American Journal of Physics, 55(11), pp. 1006-1007 Kerekes, B. - Lengyel, A. - Sikolya, L. (1998): Thermophysical and transport properties in curing of tobacco, DRYING'98, Proceedings of the 11th International Drying Symposium (IDS'98), Khalkidiki, Greece, August 1922, 1998. Vol. A, 719-726. Lebedev, P. D. - Ginzburg, A. S.(1971): General problems of drying theory and technique, Progress in heat and mass transfer, Pergamon Press, New York, Vol. IV, 55-77. Lengyel A.(1997): Gyümölcsök szárítási paramétereinek meghatározása különös tekintettel a szárítmányok minőségére, kandidátusi értekezés, Nyíregyháza, 120 p. Likov, A. V. (1952): A szárítás elmélete, Nehézipari Könyvkiadó, Budapest, 1952. 328 p.
5
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Lopez - Iguaz -Esnoz – Virseda(2000): Modelling of sorption isotherms of dried vegetable wastes from wholesale market, Drying Technology, Vol. 18., No. 4-5, pp. 985-994, McGraw – Hill (1993) Encyclopedica of Physics , McGraw - Hill, New York, 1624 p. Michalski - Eckersdorf - McGhee (1991): Temperature Measurement, Wiley, New York, 518 p. Mohsenin, N. N.(1980): Thermal Properties of Foods and Agricultural Materials, Gordon and Breach Science Publisher, New York, 407 p. Mujumdar (editor)(1987): Handbook of Industrial Drying, Dekker , New York, 948 p. Neményi, - Kovács (1998):Inside moisture migration of maise kernels during artifical drying examined by NMRI, DRYING'98, Proceedings of the 11th International Drying Symposium (IDS'98), Khalkidiki, Greece, August 1922, 1998. Vol. A, 727-731. Prudnyikov A. L.- Bricskov J. A.- Maricsev O. I.: Integrali i rjadi , Nauka, Moszkva, 1981. Schenk, J. (1995): Fysiche Transportvertrerschijnselen, Landbouwuniversiteit Wageningen, Vakgroup Agrotechniek en Fysica, Wageningen, Schmalko - Ramallo - Morawicki: An aplication of simultaneous heat and mass transfer in a cylinder using the finite difference method, Drying Technology, Vol. 16. No. 1-2, pp. 283-296. Simonyi K.(1985): Elektronfizika , Tankönyvkiadó, Budapeest, 735 p. Sitkei Gy.(1986): Mezőgazdasági anyagok mechanikája, Akadémiai Kiadó, Budapest, 460 p. 6
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Sitkei Gy. (1997): Gyakorlati áramlástan, Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 504 p. Slade, J.-G. (1996): A study of heat and mass transfer during high temperature softwood drying, DRYING'96, Proceedings of the 10th International Drying Symposium (IDS'96), Krakow, Poland, 30 July-2 August, 1996, vol. A, 719-727. Souza – Nebra (1996): Heat and mass transfer in the drying of wood, DRYING'96, Proceedings of the 10th International Drying Symposium (IDS'96), Krakow, Poland, 30 July-2 August, 1996, vol. A, 695-702. Szőke B. (1974): Faanyagok szárítása, (Szárítási kézikönyv, szerkesztő: Imre László,) Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1122 p. Tarasiewicz - Kücükada - Léger – Point (1998): Dynamic simulation of the wood drying process, DRYING'98, Proceedings of the 11th International Drying Symposium (IDS'98), Khalkidiki, Greece, August 19-22, 1996. Vol. B, 1652-1659. Temperature Sensing with Thermocouples and Resistance Thermometers, Labfacility Ltd. Teddington, 1993. Toyoda,K. - Kojima, H. - Farkas,I.: Modelling intermittent drying of rough rice and control of the drying and tempering stages, Acta Horticulturae, No 406, April 1996, p. 351-359. Young (1967): Humidity Control in the laboratory using salt solutions - A preview, Journal of Applied Chemistry, Vol. 17 pp. 241-245., Walstrom P. L. (1998): Spatial dependence of thermoelectric voltages and reversible heats, American Journal of Physics, 56(10) pp. 890-894
7
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Weidmer (1969): Technical information Measurement - Control, Werbezentrum der VVB Regelungstechnik,Geratebau und Optik, Berlin, 256 p. Whitaker, S. (1972): Forced convection heat transfer correlations of flow in pipes, past flat plates, single cylinders, single spheres, and air flow in packed beds and tube bundles, AIChE Journal, Vol. 18., pp. 361-371. Whitaker (1977): Simultaneous heat, mass and momentum trasfer in porous media: a theory of drying, Advances in heat transfer, Academic Press, New York, Vol. 13., pp. 119-203.
8
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
b, a kutatási témával kapcsolatos saját irodalom: 1. Seres I. - Vincze Gy.: Hőmérséklet mérés termopárral hidegőpont nélkül, MTA-AMB Kutatási és Fejlesztési Tanácskozás, Gödöllő, 1989 2. Seres I. - Vincze Gy.: Hőmérsékletmérés stabilizált referenciapont nélküli termopárral, MTA - AMB Kutatási és Fejlesztési Tanácskozás, Gödöllő, 1992, pp. 346-349. 3. Seres I.: - Vincze Gy.: Termopárral felépített mérőkör mérési hibáinak elemzése, MTA - AMB Kutatási és Fejlesztési Tanácskozás, Gödöllő, 1993 pp. 65-70. 4. Seres I. - Vincze Gy.: Analysis measuring errors of measuring circuit built with thermocouple, Hungarian Agricultural Engineering, 1993/6. szám pp. 42-44. 5. Seres I.: Stabilizált hidegpont nélküli termoelemes mérőkört vezérlő és kiértékelő program, (MTA - AMB Kutatási és Fejlesztési Tanácskozás, Gödöllő, 1994 ) pp. 93-98 6. Vincze Gy. - Seres I.: Some Details of Temperatuire Measuring with Thermocouple without Stabilized Reference Point Advances in Agricultural Engineering Conference, Nyitra, 1994. 7. Seres I.: Wood drying models, TEMPUS Report, Wageningen, The Netherlands, 1997. p. 47 8. Seres I.-Farkas I.-van Loon,W.-Gigler,J.: Fa szárítási modellek, Magyar Szárítási Szimpózium, Gödöllő, 1997. dec. 5, 20. o.
2.
9. Seres I. - Farkas I.: Nyomásesés vizsgálatok fűzfa chips rétegeken, 3. Magyar Szárítási Szimpózium, Nyíregyháza, 1999. Szeptember 22.-23., 38-42. o. 10. Seres, I., Farkas, I, van Loon, W.K.P. and Gigler. J. K.: Air pressure drop measurement through packed bed of willow chips and chunks, Bulletin of Polish Academy of Sciences, Vol. 48, No. 3, 2000, p. 445-454. 11. Gigler JK, Van Loon WKP, Seres I, Meerdink G, Coumans WJ.: Drying characteristics of willow chips and stems. Journal of Agricultural Engineering Journal 2000, 77(4), pp. 391-400. 12. Seres I.-Farkas I.-Font L.: Nedvességtartalom mérése optikai úton, MTA Agrár-Műszaki Bizottság, XXV. Kutatási és Fejlesztési Tanácskozás, Gödöllő, 2001. jan. 23-24. 13. o. 13. Seres, I. - Farkas, I.: Development of a thermovoltage function with thermocouple temperature measurement, Research and Teaching at 9
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
Department of Physics in Context of University Ecducation, Nitra, 2001. január 26., Proceedings, pp. 65-68. 14. Seres I. - Farkas I.: Temperature measurement and control during quality drying of apple, CAPPT'2001, Peking
10
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
M2, MATLAB PROGRAM LISTÁK Data3. m Theta0=293;c_v=1840;T0=293;c_a=1010;L=0.032;eta=17e5;lambda=0.021; deltaH=2.26e6;c_g=2720;c_w=4180;G=0.133;rho_g=500;c_a=1010;RV= 0.8;rho_a=1.293; v=G/rho_a; Dis=L; Dwilg=2e-11;M0=0.9;Tair=293; R=L/2; poros=1-pi*L^2/4/(L+Dis)^2; Re=G*L/eta*1.5/(1-poros); Pr=eta*c_a/lambda; alfa=lambda/L/1.5*(0.5*Re^0.5+0.2*Re^(2/3))*Pr^(1/3)* (1poros)/poros; U=pi*alfa/4/L; Sc=eta/rho_a/Dwilg; k=alfa/(rho_a*c_a*(0.18/0.22)^(2/3)); rho_b=rho_g*(1-poros); data20;
% datapunten
p3=polyfit(RV20(1:36),C20(1:36),1); p4=polyfit(RV20(36:42),C20(36:42),1); p1(1)=1/p3(1);p1(2)=-p3(2)/p3(1);
% rel-rel !!!!!!;
p2(1)=1/p4(1);p2(2)=-p4(2)/p4(1); % VERZADIGDE DAMPSPANNINGSCURVE load air; p5=polyfit(Tsatair,rhosatair,2); %p51=p5(1);p52=p5(2);p53=p5(3);p54=p5(4); le=(rho_a*c_a*(0.18/0.22)^(2/3))/deltaH; rho_sv=polyval(p5,T0); if RV<0.8673; Ce = polyval(p3,RV*100); else
Ce = polyval(p4,RV*100);
11
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata end Me=2*Ce/(1000-Ce); C0=1000*M0/(2+M0); for kkkk=1:19; root(kkkk)=fzero('Bessel0',3.1*kkkk); end; root(20)=62.0;root(21)=65.2;root(22)=68.3; root(23)=71.5;root(24)=74.6;root(25)=77.7; root(26)=80.9;root(27)=84;root(28)=87.2; root(29)=90.3;root(30)=93.5; Nt=100;Nx=34;nhours=0.1;nlayers=29; dx=(L+Dis); dt=nhours*3600;dtsi=min(dt/10,360); qqq=30; %No of roots in the Bessel model n=nlayers+1; Clast=C0*ones(n,1); Clast1=Clast;Clast1(n)=Ce; dr=R/(n-1); m=nhours*3600/dtsi; h=Dwilg*dtsi/dr^2; for zz=1:n-1 A(zz)=pi*dr^2*((zz)^2-(zz-1)^2); end; AA=sum(A); M1=zeros(n); M2=zeros(n); for zz=2:n-1 M1(zz,zz-1)=-h/4*(2-1/(zz-1)); M1(zz,zz)=1+h; M1(zz,zz+1)=-h/4*(2+1/(zz-1)); end;
12
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
for zz=2:n-1 M2(zz,zz-1)=h/4*(2-1/(zz-1)); M2(zz,zz)=1-h; M2(zz,zz+1)=h/4*(2+1/(zz-1)); end; M1(1,1)=1+h; M1(1,2)=-h; M2(1,1)=1-h; M2(1,2)=h; M1(n,n)=1; M2(n,n)=1;
Difmod1.m dx=(L+Dis); dt=nhours*3600;dtsi=dt/10; qqq=30; %No of roots in the Bessel model Cbegin=C0*ones(nlayers+1,1);Cbegin(nlayers+1)=Cer; n=nlayers+1; dr=R/(n-1); m=nhours*3600/dtsi; h=Dwilg*dtsi/dr^2; M11=zeros(n); M21=zeros(n); for zz=2:n-1 M11(zz,zz-1)=-h/4*(2-1/(zz-1)); M11(zz,zz)=1+h; M11(zz,zz+1)=-h/4*(2+1/(zz-1)); end; for zz=2:n-1 M21(zz,zz-1)=h/4*(2-1/(zz-1));
13
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata M21(zz,zz)=1-h; M21(zz,zz+1)=h/4*(2+1/(zz-1)); end; M11(1,1)=1+h; M11(1,2)=-h; M21(1,1)=1-h; M21(1,2)=h; M11(n,n)=1; M21(n,n)=1; C1(:,1)=Clast1; for kk=1:m C1(:,kk+1)=M11\M21*C1(:,kk); end; Clast1=C1(:,m+1); for zz=1:n-1 A1(zz)=pi*dr^2*((zz)^2-(zz-1)^2); end; AA1=sum(A1); C11=0.5*(C1(1:n-1,:)+C1(2:n,:)); Mave1=A1*C11/AA1; Cgemds=Mave1(m+1); %r=-0.03:0.03/(n-1):0.03;
Difpart.m M11=M1;M22=M2; CC(:,1)=Clast; for kk=1:m rho_sv=polyval(p5,Tair); if CC(n,kk)>100 RVstar(kk)=polyval(p2,CC(n,kk))/100; else RVstar(kk)=polyval(p1,CC(n,kk))/100;end; partcoef(kk)=(CC(n,kk)-Ce)/(RVstar(kk)-RV)/rho_sv; M11(n,n)=1+h+(h/4/n+h/2)*2*k*dr/Dwilg/partcoef(kk); M11(n,n-1)=-h; M22(n,n)=1-h-(h/4/n+h/2)*2*k*dr/Dwilg/partcoef(kk); M22(n,n-1)=h;
14
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
end;
lastb=(h/4/n+h/2)*4*k*dr/Dwilg/partcoef(kk)*Ce; CC(:,kk+1)=M11\M22*CC(:,kk)+[zeros(n-1,1); lastb];
Clast=CC(:,m+1); CC1=0.5*(CC(1:n-1,:)+CC(2:n,:)); MaveC=A*CC1/AA; Cgemds=2*MaveC(m+1)/(1000-MaveC(m+1));
Difmodfi.m rho_sv=polyval(p5,Tair); rho_bu=rho_sv*RV; Roots=roots([p5(1) p5(2)+le p5(3)-rho_bu-le*Tair]); Tbo=Roots(1); rhobo=le*(Tair-Tbo)+rho_bu; Fi=k*(rhobo-rho_bu); M11=M1;M22=M2; M11(n,n)=1+h; M11(n,n-1)=-h; M22(n,n)=1-h; M22(n,n-1)=h; C(:,1)=Clast; for kk=1:m if C(n,kk)>Ce; lastb=-(h/4/kk+h/2)*4*dr*Fi/Dwilg; C(:,kk+1)=M11\M22*C(:,kk)+[zeros(n-1,1); lastb]; else C(n,kk)=Ce; C(:,kk+1)=M1\M2*C(:,kk); end; end; Clast=C(:,m+1); for zz=1:n-1 A(zz)=pi*dr^2*((zz)^2-(zz-1)^2); end; AA=sum(A); C1=0.5*(C(1:n-1,:)+C(2:n,:)); Mave=A*C1/AA; Cgemds=2*Mave(m+1)/(1000-Mave(m+1)); %r=-0.03:0.03/(n-1):0.03;
15
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
K TÍPUSÚ TERMOELEM TERMOFESZÜLTSÉG ÉRTÉKEI (mVban) A HŐMÉRSÉKLET (°C) FÜGGVÉNYEKÉNT 0 °C REFERENCIA HŐMÉRSÉKLET ESETÉN °C
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
-3.554 -3.243 -2.920 -2.587 -2.243 -1.889 -1.527 -1.156 -0.778 -0.392 0.000 0.000 0.397 0.798 1.203 1.612 2.023 2.436 2.851 3.267 3.682 4.096 4.509 4.920 5.328 5.735 6.138
-3.584 -3.274 -2.953 -2.620 -2.278 -1.925 -1.564 -1.194 -0.816 -0.431 -0.039 0.039 0.437 0.838 1.244 1.653 2.064 2.478 2.893 3.308 3.723 4.138 4.550 4.961 5.369 5.775 6.179
-3.614 -3.306 -2.986 -2.654 -2.312 -1.961 -1.600 -1.231 -0.854 -0.470 -0.079 0.079 0.477 0.879 1.285 1.694 2.106 2.519 2.934 3.350 3.765 4.179 4.591 5.002 5.410 5.815 6.219
-3.64 -3.337 -3.018 -2.688 -2.347 -1.996 -1.637 -1.268 -0.892 -0.508 -0.118 0.119 0.517 0.919 1.326 1.735 2.147 2.561 2.976 3.391 3.806 4.220 4.633 5.043 5.450 5.856 6.259
-3.675 -3.368 -3.050 -2.721 -2.382 -2.032 -1.673 -1.305 -0.930 -0.547 -0.157 0.158 0.557 0.960 1.366 1.776 2.188 2.602 3.017 3.433 3.848 4.262 4.674 5.084 5.491 5.896 6.299
-3.705 -3.400 -3.083 -2.755 -2.416 -2.067 -1.709 -1.343 -0.968 -0.586 -0.197 0.198 0.597 1.000 1.407 1.817 2.230 2.644 3.059 3.474 3.889 4.303 4.715 5.124 5.532 5.937 6.339
-3.734 -3.431 -3.115 -2.788 -2.450 -2.103 -1.745 -1.380 -1.006 -0.624 -0.236 0.238 0.637 1.041 1.448 1.858 2.271 2.685 3.100 3.516 3.931 4.344 4.756 5.165 5.572 5.977 6.380
-3.764 -3.462 -3.147 -2.821 -2.485 -2.138 -1.782 -1.417 -1.043 -0.663 -0.275 0.277 0.677 1.081 1.489 1.899 2.312 2.727 3.142 3.557 3.972 4.385 4.797 5.206 5.613 6.017 6.420
-3.794 -3.492 -3.179 -2.854 -2.519 -2.173 -1.818 -1.453 -1.081 -0.701 -0.314 0.317 0.718 1.122 1.530 1.941 2.354 2.768 3.184 3.599 4.013 4.427 4.838 5.247 5.653 6.058 6.460
-3.823 -3.523 -3.211 -2.887 -2.553 -2.208 -1.854 -1.490 -1.119 -0.739 -0.353 0.357 0.758 1.163 1.571 1.982 2.395 2.810 3.225 3.640 4.055 4.468 4.879 5.288 5.694 6.098 6.500
16
Seres I.: Fa, mint energetikai növény szárítási és méréstechnikai problémáinak vizsgálata
KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A dolgozat a szerzőnek a Szent István Egyetem, Gépészmérnöki Karának Fizika és Folyamatirányítási Tanszékén elvégzett kutatási tevékenysége alapján jött létre. A dolgozat elkészültéért ezért elsősorban a tanszék vezetőjének, Dr. Farkas István professzornak, témavezetőmnek szeretnék köszönetet mondani, akinek segítsége nélkül a wageningeni kollégákkal való együttműködés sem jöhetett volna létre. Ugyanitt szeretnék köszönetet mondani kollégáimnak, akik az idők során sok hasznos tanáccsal és ötlettel segítették a munkámat. Bár már nem a Tanszékünk dolgozója, de külön köszönet illeti Dr. Vincze Gyulát, aki a termoelemes mérőkör hibaanalízise, illetve a termofeszültség függvény fizikailag helyes alakjának keresése során segítette a munkámat, nélküle a kutatási munka ezen ágába valószínűleg bele sem kezdtem volna. Gerard Bot professzor és Dr. Wilko van Loon egyetemi docens, a Wageningeni Egyetem és Kutatóközpont Alkalmazott Fizika Csoportjának munkatársai, valamint Dr. Jörg Gigler a wageningeni IMAG kutatóintézet kutatója volt az akikkel nagyon sokat dolgoztunk együtt a méréseken, segítségükért ezúton is szeretnék köszönetet mondani. Szeretném megköszönné a SZIE Gépészmérnöki Karának és a karon dolgozó kollegáknak a munkámhoz nyújtott támogatását, külön is kiemelve Dr. Várszegi Tibort, és a laboratóriumát, ahol a mérések egy részét végeztem. Végül, de nem utolsósorban szeretnék köszönetet mondani a családomnak, akiknek háttérbeli támogatása, türelme és lemondása lehetővé tette, hogy ez a munka elkészüljön.
17