Szabályozástechnika 0.gyak ellenőrző kérdések 1. Sorolja fel a szabályozási kör jeleit, és szerveit!
2. Mikor állásos–, arányos–, és integráló a szabályozás? u ‐ arányos:
y
y = K *u
K u(t)
‐ integráló:
u(s)
y (t ) = ∫ u (t )dt
y K
1 y(s) = u ( s) s
‐ A kétállású állásos szabályozó kimenő jelének – miközben a bemenő jele befutja a működésének teljes intervallumát – két diszkrét értéke van.
3. Adja meg a szabályozás hatásvázlatát!
4. Mi a jelentősége az arányos szabályozás hurokerősítésének? Ez szabja meg a statikus zavarelhárítás minőségét. k
= −tgα * tgβ > 0 , ahol tgα a folyamat sajátossága
5. f(t) abszolút integrálható–, belépő függvény. L{f(t)}=?, L{df(t)/dt}=? ∞
L{ f (t )} = F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt 0
⎧ df (t ) ⎫ L⎨ ⎬ = sL{ f (t )} − f (0) = sF ( s ) − F (0) ; F(0)=0 ⎩ dt ⎭
6. Miért előnyös a Laplace transzformáció használata a lineáris rendszer analízisekor?
‐ ‐
algebrai kifejezésekkel dolgozhatunk nem kell differenciál egyenletet megoldani
7. Mit értünk a lineáris SISO tag W(s) átviteli függvénye alatt? A kimenő jel o(s) Laplace transzformáltjának, és a bemenő jel i(s) Laplace transzformáltjának hányadosa zérus kezdeti feltételek mellett: W(s)=o(s)/i(s). Az átviteli függvény a lineáris SISO tag differenciálegyenletének az s tartományban értelmezett alakja.
W (s) =
o( s ) i(s)
8. Mit értünk a lineáris szabályozási rendszer aszimptotikus stabilitása alatt? Ha a nyugalmi helyzetéből kimozdított, majd magára hagyott rendszer mozgása visszatér a nyugalmi helyzetébe, vagy annak a kimozdítás mértékétől függő környezetébe, akkor a rendszer aszimptotikusan stabilis (= kezdőérték függő stabilis).
9. Egy integráló tag bemenő jele u(t)=1(t), y kimenő jele a t=0 időpontban y(0)=0. Írja fel a kimenő jel y(t) időfüggvényét! y (t ) = y (0) + ∫ u (t ) dt = 0 + ∫ 1dt = t 10. Mit értünk az átviteli függvény tf, zpk, rpk alakjai alatt? m
W (s) =
∏ (s − z )
m −1
i n r G ( s ) g 0 s + g1 s + L + g m−1s + g m g 0 1 = = =∑ i n n n −1 H ( s) h0 s + h1s + L + hn−1 s + hn h0 s − p 1 1444442444443 424 3i ( s − pi ) 1 ∏ tf alak rpk alak 1 144 244 3 m
zpk alak
G ( s ) s = z = 0, i
H ( s ) s = p = 0, k = i
g0 h0
11. Egy SISO tag átviteli függvénye W(s)=y(s)/u(s)=10/(1+5s). Írja fel a tag differenciálegyenletét! 5
dy(t ) + y(t ) = 10u(t ) dt
12. Mire használható a MATLAB [r,p,k]=residue(G,H) függvénye? r G Részlettörtekre bontáshoz használható. = ∑ i + k , ha egyszeresek a gyökök. H i s − p1 13. Írja fel a lineáris SISO dinamikus rendszer állapotegyenletét! d x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) dt y (t ) = Cx(t ) + Du (t )
14. Mit értünk a lineáris alaptagok alatt? arányos‐, integráló‐, és összegző tag és differenciáló és holtidős
15. Mit értünk a lineáris szabályozás nyitott körének eredő átviteli függvénye alatt?
Wo = Wc *W f 16. Adott a szabályozás nyitott körének W0(s) átviteli függvénye. Mi a zárt szabályozás aszimptotikus stabilitásának a feltétele? Aszimptotikusan stabilis a zárt szabályozási rendszer, ha az 1+W0(s)=0 karakterisztikus egyenletének minden pRi gyökére (WR(s) minden pRi pólusára) a real(pRi)<0 feltétel teljesül.
17. Mit fejez ki az alábbi képlet: Δy=(Δy)n/(1+k) ? Azt mutatja meg, hogy ha egy zavarás szabályozá nélkül, a szabályozott jellemző Δyn megváltozását idézi elő állandósult állapotban, akkor arányos szabályozást alkalmazva ez csupán fenti változást okoz. Vagyis a zavarás hatása 1+k‐ad részre csökken. 18. Mit jelent, és mikor alkalmazható a szuperpozíció tétele? Ha u1 bemenő jelre y1 válasz, u2 bemenő jelre y2 válasz keletkezik, akkor a bemenő jelekből képzett u=c1 u1+c2 u2 gerjesztésre létrejövő válasz y= c1 y1+c2y2. A szuperpozíció tétel LR esetében alkalmazható (c1 és c2 állandók).
19. Mire használható a MATLAB [G,H]=ss2tf(A,B,C,D) függvénye? Megadja az irányíthatósági kanonikus alakból a transzferfüggvényt. (Állapotegyenletrendszerből átviteli függvényt számol.)
20. Mi a statizmus? 1 tgα * tgβ
Minél kisebb a statizmus, annál nagyobb a labilitás veszélye.
Szabályozástechnika 1.gyak ellenőrző kérdések 1. Adja meg a lineáris tag rendszerjellemző függvényeit! 1.) A differenciálegyenlet, vagy az állapotegyenlet, áviteli, ámeneti, súly és impulzus függvények is. 2.) A súlyfüggvény: az u(t)=δ(t) Dirac deltára adott y(t)=w(t) válasz, zérus kezdeti feltételek mellett. 3.) Az átmeneti függvény: az u(t)=1(t) egységugrásra adott y(t)=v(t) válasz, zérus kezdeti feltételek mellett. 4.) Az átviteli függvény: a w(t) súlyfüggvény L{w(t)}=W(s) Laplace transzformáltja, vagy az y(t) kimenőjel és az u(t) bemenőjel Laplace transzformáltjainak W(s)=y(s)/u(s) hányadosa, zérus kezdeti feltételek esetén. 5.) A frekvencia függvény: a w(t) súlyfüggvény F{w(t)}=W(jω) Fourier transzformáltja,vagy az u(t) bemenőjel és az y(t) kimenőjel Fourier transzformáltjainak W(jω)=y(jω)/u(jω) hányadosa,zérus kezdeti feltételek esetén. LDE, LÁE x(t)
u(t)
y(t)
y(t): a lineáris differenciálegyenlet, vagy a lineáris állapotegyenlet megoldása t
Súlyfüggvény
δ(t)
w(t)
v(t)
y (t ) = u (0)v(t ) + ∫
y(s)
y ( s ) = W ( s )u ( s )
y(jω)
y( jω) = W ( jω)u( jω) y(t ) = F −1{ y( jω)}
0
t
du (τ ) v(t − τ )dτ dτ 0
Átmeneti fv
1(t)
v(t)
Átviteli függvény
u(s)
W(s) Frekvencia fv
u(jω)
w(t)
y (t ) = ∫ w(t − τ )u (τ ) dτ
W(jω)
y (t ) = L−1{y ( s )}
2. Mi a kapcsolat a w(t), v(t) és W(s) rendszerjellemző függvények között? dv(t ) dt
w(t ) = t
v (t ) = ∫ w(t )dt 0
W ( s ) = L{w(t )} L{v(t )} = v( s ) =
W (s) s
W ( j ω ) = W ( s ) s = jω
3. Adja meg az állapotegyenletével leírt tag hatásvázlatát! x(0)
u(t)
(j)
P
B
I dx/dt
∫
x(t) (n)
n×j
Σ y(t)
C k×n
A
n×n
D k×j
(k)
‐1
‐1
4. Mit jelent az alábbi képlet y(t)=L {[C(sI–A) B+D]u(s)}
Kimenő jel időfüggvénye az átviteli függvény és a gerjesztés ismeretében az inverz L‐el meghatározható
{[
] }
−1 y(t) = L−1 C (sI − A) B + D u(s) = L−1{ W (s)u(s) } , ahol W(s) a tag átviteli mátrixa
5. L{f(t)}=F(s). Hogyan lehet meghatározni az f(t)=L‐1{F(s)} időfüggvényt?
δ (t )
1 1 s k! s k +1 1 s−a a s(s + a) 1 ( s + a) 2 1 ( s + a)k
1(t )
∫ F (s)e ds st
tk
c − j∞
e at
6. L{δ(t)}=?, L{1(t)}=?, L{eat}=?, L{1–exp(–t/T)}=?
L{δ (t )} = 1
1 − e − at
L{1(t )} =
1 L{e } = s−a
F ( s ) = L{ f (t )}
c + j∞
1 L−1{F ( s )} = f (t ) = 2πj
L{1 − e
at
f (t ) = L−1{F ( s )}
−
t T
}=
1 s
te − at t k −1 − at e (k − 1)!
1
sin(ωt )
1⎞ ⎛ s⎜ s + ⎟ T⎠ ⎝
cos(ωt )
ω
s2 + ω 2 s s2 + ω 2
7. Adja meg a kéttárolós lengő tag (Tξ tag) átviteli függvényét, ennek pólus–zérus eloszlását, és a differenciálegyenletét!
átviteli függvény
pólus − zérus eloszlás
k 1 + 2ξTs + T 2 s 2
p=
−ξ ±
(1 − ξ )
differenciálegyenlet
2
T
h0
d2y dy + h1 + h2 y = g 2 u 2 dt dt
k=
g2 átviteli tényező ; h2
⎛h ⎞ T = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ idődőállandó; ⎝ h2 ⎠
2ξT =
h1 , 0 < ξ < 1 csillapítási tényező h2
8. A W(s) átviteli függvény G(s) számlálójának fokszáma m, H(s) nevezőjének fokszáma n. Mikor realizálható W(s)?
Realizálható az átviteli függvény, ha n≥m.
9. 4dy(t)/dt+3y(t)=2u(t), y(0)=0, u(t)=1(t), y(t)=?
2 m=2 u 2 2 s ⇒ n = [4 3 0] ⇒ y (t ) = − e − 0, 75t + y 2 1 3 3 W (s) = = r p k = residue m n [ , , ] ( , ) u s (4 s + 3) y (4 s + 3) =
y 2 1 vagy: W ( s ) = = ⇒ u s (4 s + 3)
A B 2 − = s 4 s + 3 s (4 s + 3) (4 A − B) s + 3 A = 2
4A − B = 0 ⇒ 3A = 2
A=
2 3
2 8 1 3 ⇒ ⇒ 3− 3 s 4 8 s+ B = 4A = 4 3
10. Mit értünk az átviteli függvény időállandós normálalakja alatt? m1
W ( s) =
G ( s) = k0 H ( s)
m2
∏ (1 + sτ )∏ (1 + 2μ τ s
l
l =1 n1 i
l =1 n2
l
0l
∏ (1 + sT )∏ (1 + 2ξ T l
l =1
l =1
l
s + τ 02l s 2 )
0l
s + T02l s 2 )
i a típusszám 11. Mit jelent az átviteli függvény közvetlen felbontása? Ha a tag P,I,Σ alaptagokból felépített hatásvázlatát a W(s) polinom/polinom alakjából állítjuk elő.
12. Mit jelent az átviteli függvény párhuzamos felbontása? Ha a tag P,I,Σ alaptagokból felépített hatásvázlatát az átviteli függvény részlettörtes alakjából állítjuk elő.
13. Mi az állapotegyenlet irányíthatósági kanonikus alakja? (integrátorok láncolata) A közvetlen felbontásból származik. Az az alak, mikor az állapotmátrixának első sorában a karakterisztikus polinom negatív együtthatói állnak. Ennek a jelentése pedig az, hogy az xi(t) állapotváltozó dxi(t)/dt sebessége az xi‐1(t) állapotváltozótól függ (dxi(t)/dt=xi‐1(t), i=2,3,…n), és csupán az x1 állapotváltozó dx1(t)/dt állapotsebessége függ minden állapotváltozótól, hacsak a hi (i=1,2,…n), együtthatók valamelyike nem zérus.
⎡− h1 − h2 ⎢ 0 ⎢ 1 ⎢ 0 1 A=⎢ M ⎢ M ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎣⎢ 0
−h3 L − hn −1 −hn ⎤ ⎥ 0 L 0 0 ⎥ 0 L 0 0 ⎥ ⎥ M M M M ⎥ 0 1 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 1 0 ⎦⎥
dx1 (t ) dt dx2 (t ) dt M dxn −1 (t ) dt dxn (t ) dt
⎡ x1 (t ) ⎤ ⎡ p1 0 L 0 ⎤ ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎡ r1 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ d ⎢ x2 (t ) ⎥ ⎢ 0 p2 L 0 ⎥ ⎢ x2 (t )⎥ ⎢r2 ⎥ u (t ) + = dt ⎢ M ⎥ ⎢ 0 0 M 0 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 pn ⎦ ⎣ xn (t )⎦ ⎣rn ⎦ ⎣ xn (t )⎦ ⎣10440424 { 44 3 A
B
⎡ x1 (t ) ⎤ ⎢ x (t ) ⎥ y (t ) = [1 1 0] u (t ) L 1] ⎢ 2 ⎥ + [{ 14442444 3⎢ M ⎥ D C ⎢ ⎥ ⎣ xn (t )⎦
= −h1x1 (t ) − h2 x2 (t )L − hn xn (t ) + f (u ) = x1 (t )
= xn − 2 (t )
= xn −1 (t )
14. Mi az állapotegyenlet első kanonikus alakja? (integrátorok párhuzamos kapcsolása) A párhuzamos felbontásból származik. Az A állapotmátrix – a W(s) párhuzamos (a részlettörteken alapuló) felbontásának eredményeként – most diagonális, főátlójában az egymástól különböző pi sajátértékekkel.
15. Mit érünk önbeálló–, és nem önbeálló tagok alatt? Önbeálló tagok: röviden: u(t)=u0=állandó bemenőjel hatására állandósult állapotban y(t)t=∞=y(∞)=y0=állandó értéket ad. részletesebben: Az önbeálló (arányos jellegű) lineáris tagok jellegzetes tulajdonsága, hogy átmenti függvényük végértéke v(∞)=k≠0 állandó érték (k az önbeálló tag átviteli tényezője). Ennek jelentése az, hogy a bemeneten működtetett u(t)=u01(t) gerjesztés hatására keletkező y(t) kimenő jel a tranziensek lejátszódása után egy y(∞)=ku0 állandó (de nem zérus) értékre beáll. Mindezekből az is következik, hogy az önbeálló tagnak értelmezhető az y0=y(u0)=ku0 statikus karakterisztikája, amely az állandósult y0 és u0 közötti kapcsolatot egy grafikon alakjában fejezi ki. Ez a karakterisztika lineáris tag esetében egy (az u független változó koordináta tengelyével α szöget bezáró) k meredekséggel rendelkező, és az origón átmenő egyenes. Az önbeálló tag átviteli függvényének minden pólusa negatív, vagy negatív valós részű, vagyis az önbeálló tag aszimptotikusan stabilis. A zárt szabályozási rendszer ua alapjele, és y szabályozott jellemzője közötti jelátviteli tulajdonságot is az önbeállóságnak kell jellemeznie, mivel állandósult állapotban a szabályozott jellemzőnek arányosnak kell lennie az yA alapértéket megjelenítő alapjellel. Az önbeálló tag átmeneti függvényének jellegzetes grafikonja: v(t)
j
Önbeálló tag v(t) átmeneti függvényének végértéke v(∞)=k
k +
u(t)=1(t)
t
Stabilis tartomány
Önbeálló tag átmeneti függvénye
Nem önbeálló tagok: A nem önbeálló tagok jellegzetes tulajdonsága, hogy: ◘ átmeneti függvényük végértéke zérus (differenciáló jellegű tagok), vagy ◘ átmeneti függvényük végértéke végtelen (integráló jellegű tagok), vagy ◘ átmeneti függvényük kvázistacioner állapotban periodikus lengőmozgást végez (lengő jellegű tagok). A nem önbeálló tagokra a statikus karakterisztika nem értelmezhető, mivel ezek az állandó bemenő jelre és állandósult állapotban vagy zérus–, vagy pedig nem állandó kimenő jellel válaszolnak.
Az önbeálló tag minden pólusa az s komplex sík negatív valós részű (stabilis) félsíkján van: real(p)<0
Időben exponenciálisan növekvő időfüggvény
v
v
v Idő hatványfüggvénye szerint növekvő függvény
Periodikus lengőmozgást végző függvény
u(t)=1(t) Időben lengve növekvő függvény
v(∞)→0
1
v(∞)→ ∞
t
v(∞): periodikus
t
Differenciáló jellegű tagok
t
Integráló jellegű tagok
Lengő jellegű tagok
Nem önbeálló tagok átmeneti függvényei j
j
j
zérus! +
Stabilis tartomány
A differenciáló jellegű tag minden pólusa az s komplex sík negatív valós részű (stabilis) félsíkján van, és zérusa van az origóban:
real(p)<0, z=0!
+
+
Stabilis tartomány
Az integráló jellegű tagnak pólusai vannak az s komplex sík negatív valós részű (stabilis) félsíkján, a sík pozitív valós részű (labilis) félsíkján, vagy az origóban :
Stabilis tartomány
A lengő jellegű tagnak pólusai vannak az s komplex sík negatív valós részű (stabilis) félsíkján, és egyszeres multiplicitású pólusa van az s komplex sík képzetes tengelyén:
real(p)<0, real(p)=0 real(p)<0, real(p)>0, p=0
16. Mi az átviteli mátrix? A bemenetek és kimenetek közti kapcsolat.
⎡ y1 ( s) ⎤ ⎡W11 ( s ) W12 ( s ) L W1 j ( s ) ⎤ ⎢ y ( s ) ⎥ ⎢W ( s ) W ( s ) L W ( s )⎥ ⎡ u1 ( s ) ⎤ 22 2j ⎥⎢ M ⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 ⎥ M L M ⎥⎢ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎢ u ( s ) ⎥ ⎣ j ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ W ( s ) W ( s ) L W ( s ) y ( s ) ⎢ k k kj 1 2 k ⎣ ⎦ 1 ⎣ 444442444443⎥⎦
A W ( s ) átviteli mátrix
yi ( s ) = Wi1 ( s )u1 ( s ) + Wi 2 ( s )u2 ( s ) + KWij ( s )u j ( s ) i : 1,2,L k 17. Hogyan lehet kiszámítani az Φ(t)=eAt alapmátrixot?
{
Φ (t ) = L−1 {Φ ( s )} = L−1 (sI − A)
−1
}= e
At
18. Mi a jelentősége az A állapotmátrix λi sajátértékeinek? Nem csak vizsgálatra használható, de ez a definició, akkor stabil ha a sajátértékek negatív valósrészüek ez ekvivalens a karakterisztikus egyenlet gyökeivel. Stabilitásvizsgálatra használhatók, ezek adják a rendszer pólusait.
19. Mire használható a MATLAB [y,t,x]=lsim(sys,u,t,x0) függvénye? A lineáris rendszer adott u(t) gerjesztésre és x(0) kezdeti feltételre vonatkozó mozgásának számítása és ábrázolása.
20. Mi az állapotegyenletével jellemzett lineáris rendszer aszimptotikus stabilitásának általános feltétele? Ha a det(sI‐A)=0 karakterisztikus egyenletének minden pi gyöke negatív, vagy negatív valós részű. Ha Φ(t) alapmátrixa t → ∞ esetén a zérus mátrixhoz tart. Ha a sajátmozgása t → ∞ esetén az állapottér origójához tart.
21. Mi az állapottrajektória? Az x(t) állapotvektor végpontjának mértani helye az n dimenziós állapottérben, miközben a rendszer mozgásban van.
22. Egy dinamikus rendszer állapotmátrixa A=5. Indokolja meg a rendszer labilis tulajdonságát! 5 sajátérték, tehát labilis, dx/dt=5x +……, pozitiv visszacsatolás…. 23. Adja meg az egyenáramú motor uk kapocsfeszültségre–, és mT terhelő nyomatékra vonatkozó ω(s)/uk(s), ω(s)/mT(s) átviteli függvényeit!
W p (s) =
kp 1 + sTm + s TmTv 2
=
ωu ( s ) u k (s)
Wz ( s) = −
k z (1 + sTv ) 1 + sTm + s TmTv 2
=
ω m (s)
mT ( s )
24. Mit jelent az alábbi képlet: y(s)=[–Zv(s)/ZB(s)]u(s) ? A kimenőjel egy –Zv(s)/Zb(s)‐ re kapcsolt U(s) eredménye. Tudnom kéne honnan van!!! 25. A terheletlen (mT=0) egyenáramú gép armatúrájára uk=állandó feszültséget kapcsolunk. Adjunk magyarázatott arra, hogy állandósult állapotban az armatúra áram értéke miért zérus? A motor működési elvéből következik (lásd 1. Füzet függelék), hogy a terheletlen gép mv=ci villamos nyomatéka a Θd2ω(t)/dt2=cia mozgásegyenletnek megfelelően gyorsítja a forgórészt. Az ia áramot az uk kapocsfeszültség és az ui=cω indukált feszültség különbsége hozza létre, és az ui a szögsebesség növekedésével arányosan növekszik, aminek következtében az uk-ui csökken. Ennek eredményeként csökken az ia áram, az mv nyomaték, és így a gyorsulás is. Előbb-utóbb (elvileg a t=∞-ben) az ia áram zérussá válik. Ekkor a forgórész tovább nem gyorsul, és a gép egyenletes szögsebességgel forog. Tehát az ia armatúraáram állandósult értéke zérus.
26. Mit értünk egy lineáris rendszer sajátmozgása, illetve gerjesztett mozgása alatt? sajátmozgás: Az x (0) ≠ 0 kezdeti feltételek által generált xs(t) mozgás u (t ) ≡ 0 gerjesztés mellett. gerjesztett mozgás: Az u (t ) ≠ 0 gerjesztés által generált xg(t) mozgás x (0) ≡ 0 kezdeti feltételek mellett.
x(t ) = xs (t ) + xg (t ) t
xs (t ) = e At x(0) = φ (t ) x(0)
t
∫
∫
xg (t ) = e A(t −τ ) Bu (τ )dτ = φ (t − τ ) Bu (τ )dτ 0
0
27. Hol vannak a W(s)=G(s)/H(s) átviteli függvényű rendszer A állapotmátrixának sajátértékei? y ( s ) = v( s ) = W ( s )u ( s ) =
G ( s) 1 H ( s) s
⎧ G ( s ) ⎫ G (0) y (t ) = v(t ) = L−1 ⎨ + ⎬= ⎩ sH ( s ) ⎭ H (0)
n
∑ s dHG((sp) ) i
i =1
ds
e pit
s = pi
A pi egymástól különböző és nem zérus pólusok, a H(s)=0 karakterisztikus egyenlet λi=pi gyökei, amelyek egyébként a rendszer A állapotmátrixának sajátértékei.
28. Miért előnyös, ha a lineáris dinamikus rendszer A állapotmátrixa diagonális? Az állapotváltozók nem függnek egymástól. (sajátértékek vannak a főátlóban. )
29. Aszimptotikusan stabilis lineáris rendszer paramétermátrixai A, B, C, D, a rendszer bemenő jele u0=állandó. Adjuk meg az állapotváltozók x0–, és a kimenő jel y0 állandó értékeit! t
x(t ) = e x(0) + ∫ e At
A( t −τ )
0
t
Bu (τ )dτ = φ (t ) x(0) + ∫ φ (t − τ ) Bu (τ )dτ 0
és φ (t ) = e At
y (t ) = Cx(t ) + Du (t )
az alapmátrix
X(0)=x(0), y(0)=Cx(0)+Du0 30. Az n rendszámú lineáris rendszer A állapotmátrixa zérus mátrix. Adjunk magyarázatott arra, hogy a rendszer miért nem lehet aszimptotikusan stabilis! t
x ( t ) = x (0) + ∫ Bu ( τ)dτ
0
y( t ) = Cx ( t ) + Du ( t )
és φ( t ) = 1 az alapmátrix
31. W1(s),W2(s) adott átviteli függvények. Hogyan kell kiszámítani a soros‐, a párhuzamos‐, és a visszacsatolást alkotó struktúrák eredő átviteli függvényeit? Indokoljuk meg, hogy soros‐, és párhuzamos kapcsolás esetében az eredő struktúra is aszimptotikusan stabilis, ha W1(s),és W2(s) is rendelkezik ezzel a tulajdonsággal! soros: u(s)
W1(s)
y1(s)
W2(s)
y1(s)=W1(s)u(s); y (s)=W2(s)y1(s)
y(s)
u(s)
WR(s)=W1(s)W2(s)
y(s)
y(s)=W2(s)y1(s)=W2(s)W1(s)u(s)=WR(s)u(s)
párhuzamos: W1(s)
y1(s) y(s)
u(s)
W2(s)
u(s)
WR(s)=W1(s)+W2(s)
y(s)
y2(s) y(s)=y1(s)+y2(s)=W1(s)u(s)+ W2(s)u(s)= =[W1(s)+W2(s)]u(s)=WR(s)u(s)
y1(s)=W1(s)u(s); y2(s)=W2(s)u(s)
visszacsatolt: u(s)
ε(s)
W1(s)
y(s)
u(s)
W1 ( s ) WR ( s ) = 1 ± W1 ( s )W2 ( s )
±v(s)
W2(s)
y(s)
y(s)=W1(s)ε(s)=W1(s)[u(s)±v(s)]= =W1(s)[u(s)±W2(s)y(s)] y(s)=W1(s)/[1±W1(s)W2(s)]u(s)=WR(s)u(s) + előjel: negatív visszacsatoláskor érvényes – előjel: pozitív visszacsatoláskor érvényes
y(s)=W1(s)ε(s); v(s)=W2(s)y(s) ε(s)=u(s)±v(s)
32. W1(s),és W2(s) visszacsatolt struktúrát alkot. Mi az eredő rendszer aszimptotikus stabilitásának feltétele? Stabilis a WR(s)=W0(s)/[1+W0(s)] eredő átviteli függvénnyel rendelkező zárt szabályozási rendszer, ha a nyitott kör W0(s) =Wc(s)Wp(s) eredő átviteli függvényéhez rendelhető W0(jω) teljes (negatív ω körfrekvenciákra kiterjesztett) frekvencia függvénye (Nyquist diagramja) annyiszor fogja körül az óramutató járásával ellentétes irányban a komplex sík –1+j0 pontját, ahány labilis pólusa van a W0(s) nyitott kör átviteli függvényének (–∞<ω<∞).
Szabályozástechnika 2.gyak ellenőrző kérdések 1.
Mi a feltétele annak, hogy a H(s)=det(sI–A) karakterisztikus polinom gyökeinek valós része negatív érték legyen(real(λi)<0)? Hol vannak az s5+1, és az (s+1)5 polinomok gyökei? Melyik Hurwitz polinom?
Stabilis, aszimptotikusan stabilis rendszer szükséges. A Hurwitz stabilitási kritérium szerint az a0s3+a1s2+a2s+a3=0 polinom mindhárom gyöke negatív valós résszel rendelkezik, ha: ◘ minden együttható azonos előjelű, valamint ◘ az együtthatókból képzett a1 H Δ = a0
a3 a2
0 0 = a3 (a1a2 − a0 a3 ) > 0
0
a1
a3
determináns nagyobb, mint zérus. Az együtthatóra felírt feltételek alapján határozzuk meg a szabályozó Ti integrálási idejének azon értékét, amely mellett a zárt rendszer bármekkora kc>0 mellett stabilis (strukturálisan stabilis zárt rendszer)! Ez kell n dimre!!! És a következőre is.
2.
Lineáris rendszer karakterisztikus egyenlete: det(sI–A)= a0s3+ a1s2+ a2s+ a3=0 Az a0, a1, a2, a3 együtthatókra vonatkozóan milyen feltételek mellett aszimptotikusan stabilis a rendszer? Hány integráló tag szerepelne a rendszer alaptagokból felépülő hatásvázlatán? 3 darab
Akkor aszimptotikusan stabilis, ha ai > 0. MIMO
SISO
⎡ y1 ( s ) ⎤ ⎡W11 ( s ) W12 ( s ) ⎥ ⎢W ( s ) W ( s ) ⎢ y (s) 21 22 y ( s ) = W ( s )u ( s ) = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ M ⎢ M ⎥ ⎢ ⎢ ( ) W s W ( ) y s k 2 ( s) ⎣⎢ k ⎦⎥ ⎣⎢ k1
L W1 j ( s ) ⎤ ⎥ ⎡ u ( s) ⎤ L W2 j ( s ) ⎥ ⎢ 1 ⎥ M ⎥ L M ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣u j ( s )⎥⎦ L Wkj ( s ) ⎦⎥
y ( s ) = W ( s )u ( s ) =
G (s) u ( s) H (s)
****************************************************************** stabilitás vizsgálat : lim {φ (t ) x(0) = 0 ha real ( pi ) = real[eig ( A)] < 0 (i : 1,2, L n)
t →∞
det( sI − A) = H ( s ) = 0 ⇒ a 0 s n + a1 s n −1 + L + a n −1 s + a n = 0
real ( pi ) < 0
Hurwitz kritérium : H ( s ) Hurwitz polinom, ha
3.
a1 a0 0
a3 a2 a1
a5 a4 a3
ai > 0; H Δ = 0 0 0 M
a0 0 0 M
a2 a1 a0 M
a7 L 0 0 a6 L 0 0 a5 L L L
a 4 L L L > 0; H Δ i > 0 a3 L L L a2 L L L M M M M
Adjunk magyarázatot arra, hogy a lineáris rendszer B, C, és D paramétermátrixaitól miért nem függ a rendszer stabilitása!
Mivel a rendszer stabilitását, és tranziens tulajdonságait a det(λI–A)=0 karakterisztikus egyenletének λi gyökei (az A állapotmátrixának sajátértékei) határozzák meg. 4.
Mi a jelentősége a MATLAB lambda=eig(A) függvényének?
Megadja az A mátrix sajátértékeit. 5.
6.
A soros kompenzációs szabályozási rendszer átviteli függvényei Wc(s), Wp(s), Wz(s). Az uz(s) zavaró jel a Wz(s) átviteli függvényen keresztül a szabályozott jellemző hatásvonalában „támadja” a rendszert. Adjuk meg, hogy az u(s) irányító jel, és az y(s) szabályozott jellemző miként függ az ua(s) alapjeltől, és az uz(s) zavaró jeltől!
y( s) =
W0 ( s ) W z (s) u a (s) + u z (s) 1 + W0 ( s ) 1 + W0 ( s )
u ( s) =
Wc ( s ) W ( s )W z ( s ) u a (s) − c u z (s) 1 + W0 ( s ) 1 + W0 ( s )
A szabályozás nyitott körének átviteli függvénye W0(s)=G0(s)/H0(s). Mi a zárt kör stabilitásának az általános feltétele?
A nyitott kör W0(jω) átviteli függvényének ki kell elégítenie az általános és az egyszerűsített Nyquist stabilitási kritériumot.
W0 ( s ) = Wc ( s )W p ( s) =
Gc ( s )G p ( s) H c ( p) H p (s)
1 + W0 ( s ) = 0 ⇒ 1 + Hurwitz , 7.
Nyquist
stabilitási
=
G0 ( s) H 0 (s)
G0 ( s) =0 ⇒ H 0 ( s)
WR ( s ) =
W0 ( s) G0 ( s) = 1 + W0 ( s) H 0 ( s) + G0 ( s)
H 0 ( s ) + G0 ( s) = 0 ⇒ real ( p R i ) < 0
kritériumok .
Adott a zárt szabályozási rendszert leíró állapotegyenlet AR állapotmátrixa. Mi a zárt rendszer stabilitásának a feltétele?
Az állapotmátrix minden λi sajátértéke a valós tengely negatív félsíkján legyen. 8.
Definiálja az általános Nyquist stabilitási kritériumot!
Stabilis a WR(s)=W0(s)/[1+W0(s)] eredő átviteli függvénnyel rendelkező zárt szabályozási rendszer, ha a nyitott kör W0(s) =Wc(s)Wp(s) eredő átviteli függvényéhez rendelhető W0(jω) teljes (negatív ω körfrekvenciákra kiterjesztett) frekvencia függvénye (Nyquist diagramja) annyiszor fogja körül az óramutató járásával ellentétes irányban a komplex sík –1+j0 pontját, ahány labilis pólusa van a W0(s) nyitott kör átviteli függvényének (–∞<ω<∞).
9.
Definiálja az egyszerűsített Nyquist stabilitási kritériumot! Mikor alkalmazható ez a kritérium?
Stabilis a WR(s)=W0(s)/[1+W0(s)] eredő átviteli függvénnyel rendelkező zárt szabályozási rendszer, ha a stabilis nyitott kör W0(s) =Wc(s)Wp(s) eredő átviteli függvényéhez rendelhető W0(jω) teljes (negatív körfrekvenciákra kiterjesztett) frekvencia függvénye (Nyquist diagramja) nem fogja körül a komplex sík –1+j0 pontját (–∞<ω<∞). 10. Mit értünk a fázistöbblet kritérium alatt? Stabilis a WR(s)=W0(s)/[1+W0(s)] eredő átviteli függvénnyel rendelkező zárt szabályozási rendszer, ha a stabilis nyitott kör W0(s) =Wc(s)Wp(s) eredő átviteli függvényéhez rendelhető W0(jω) frekvencia függvényének (Nyquist diagramjának) φt(ωc)= π+arcW0(jωc) fázistöbblete (phase margin) pozitív (abs W0(jωc)=1, φt(ωc) >0). 11. Mi a nyitott kör frekvencia függvényének vágási körfrekvenciája? Az a körfrekvencia, ahol a W0(jω) helygörbe az egységsugarú körbe belép, a nyitott kör frekvencia függvényének ωc vágási körfrekvenciája (cut‐off frekvency).
ωc =
[2(1 − 2ξ )] 2
T0
12. Mi a zárt rendszer átmeneti függvényének σ(%) túllendülése, és ez milyen kapcsolatban van a nyitott kör frekvencia függvényének a φt(ωc)= π+φ(ωc) fázistöbbletével?
σ (%) = 100
v R max − v R (∞) v R (∞ ) , nagy fázistöbblet ‐> kis σ
13. A szabályozási rendszer felnyitott körének eredő átviteli függvénye W0 ( s ) =
1 sT0 ( sT0 + 2ξ )
T0 > 0 0 < ξ < 1
Adja meg a zárt rendszer WR(s) eredő átviteli függvényét. Mit értünk az i=1 típusú integrálszabályozás alatt?
WR ( s ) =
W0 ( s ) G0 ( s ) = 1 + W0 ( s ) H 0 ( s ) + G0 ( s )
14. Hogyan lehet felírni a lineáris alaptagokkal definiált zárt szabályozási rendszer eredő állapotegyenletét? Az integrátorok bemenő jeleit válaztjuk állapotváltozónak, ezeket a jeleket és a kimenőket írjuk fel! 15. Milyen előnnyel járhat, ha arányos szabályozás helyett integrálszabályozást alkalmazunk? Állandó alapjel mellett a szabályozó mindaddig változtatja az u kimenő jelét (ami egyben a folyamat bemenő jelét is jelenti), amíg a hibajel zérussá nem válik. Integrálszabályozók teljesmértékű zavarelhárításra képesek, ha aszimptotikusan stabilis a rendszer és i>1. 16. Adja meg a PID szabályozó rendszerjellemző függvényeit!
⎛ sT D 1 Wc ( s ) = K c ⎜⎜1 + + sT I 1 + sT ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
17. Mit értünk a lineáris SISO tag frekvencia függvénye alatt? Mi az amplitúdó menet, és mi a fázismenet? amplitúdó menet: amplitúdó‐körfrekvencia függvény W ( jω) = W (s) s = jω,ω= −∞ ,∞ ampl=|w(jω)| fázis =arc(w(jω)) fázismenet: fázisszög–körfrekvencia függvény 18. Mikor kör a frekvencia függvény Nyquist helygörbéje? Akkor, ha a tag W(jw) frekvenciafüggvéye jw‐nak lineáris törtfüggvénye, vagyis
W ( jw) =
a + b( jw) c + d ( jw)
19. Mit értünk a Bode diagramok aszimptotikus közelítései alatt? Az aszimptotikus Bode diagram amplitúdó menetének töréspontja az ω=1/T=1 körfrekvencia értéknél van, és az amplitúdó menetet a holtidő nem befolyásolja. A φ(ω) fázismenet jelentősen függ a holtidő értékétől.
20. Adja meg a W(s)=kexp(–sTh) átviteli függvényű holtidős tag Nyquist helygörbéjét és Bode diagramjait! Különös fontossággal bír a holtidős tag tulajdonságait leíró W(jω) frekvencia függvény. A W(jω) most is a transzcendens W(s)–ből s=jω helyettesítéssel származtatható:
W ( s ) = e − sTh
⇒
W ( jω ) = e − jωTh
a (ω ) = 1; ϕ (ω ) = −ωTh
A W(jω)=exp(–jωTh) frekvencia függvény egy egységsugarú kör egyenlete, ezért a Nyquist helygörbe:
21. A szabályozás nyitott köre stabilis, minden pólusának valós része negatív. Lehet–e a zárt kör labilis, ha igen, milyen feltételek teljesülése mellett? Stabilis (önbeálló) nyitott kör esetén a k körerősítésének növelésével elveszítheti stabilitási tartalékát, és a zárt kör egy kkrt kritikus körerősítés értéknél labilissá válhat. Labilis (nem önbeálló) nyitott kör a negatív visszacsatolású zárt szabályozással stabilizálható, ekkor általában a k körerősítés növelésével érhető el a zárt rendszer stabilitása. 22. A szabályozás nyitott köre labilis, van pozitív valós részű pólusa. Lehet–e a zárt kör stabilis, ha igen, milyen feltételek teljesülése mellett? Általános Nyquist kritérium alapján! 23. Arányos szabályozás felnyitott körének eredő átviteli függvénye W0(s)=k.exp(–sTh), k>0, Th>0. A körerősítés mekkora értékénél válik labilissá a zárt rendszer?
A negatív visszacsatolású zárt rendszer stabilitásának feltétele (az adott arányos szabályozás mellett): a k körerősítésnek az egységnél kisebbnek kell lennie (k<1). Ezért kmeg≈1/2, és a zavarás hatása a szabályozott jellemzőre zárt körben: Δy=(Δyn)/(1+k)= (Δyn)/(1+0.5)= =2(Δyn)/3. Ez pedig igen „gyenge” zavarelhárítási képességet jelent. 24. Integrál szabályozás felnyitott körének eredő átviteli függvénye W0(s)=kiexp(–sTh)/s, ki>0, Th>0. Adott Th mellett ki integrálási körerősítés mekkora ki60 értékénél van a nyitott kör W0(jω) frekvencia függvényének φt(ωc)=600 fázistöbblete?
a(ω c ) =
π ωc = 2
kp
ω c Ti − ϕt
Th
=1
ϕ t (ω c ) = π −
⇒ Ti =
kp
ωc
=
π 2
− ω c Th
k p Th
π 2
stabilitási határhelyzetben : ω ckrt = 0
60 fázistöbblet mellett :
− ϕt
π 2Th
ω c 60 =
25. Holtidős tag transzcendens átviteli függvénye hogyan közelíthető algebrai törtfüggvénnyel? Pade és Strejc közelítés: W ( s) = e
− sTh
2 − sTh ≅ = 2 + sTh
Th 2 Th 1+ s 2 1− s
W ( s) = e − sTh ≅
1 T (1 + s h ) k k
π 6Th
Tikrt = Ti 60 =
2k p Th
π 6k p Th
π
Szabályozástechnika 3.gyak ellenőrző kérdések 1.
Adja meg az I szabályozó rendszerjellemző függvényeit!
Típus Wc(s)
Bode diagram [ac(dB),φ]
Átmeneti függvény vc
ac(ω)(dB)=–20log(ωTi)
Kc
I
1 sTi
1
‐20 1/Ti
t/Ti
logω
φ(ω)=–π/2
Ti
Név
h0
h1
h2
g0
g1
g2
Differenciálegyenlet
Átviteli függvény [W ( s)] W ( s) = y ( s) / u ( s)
Átmeneti függvény [v(t )]
P
0
0
h2
0
0
g2
I
0
h1
0
0
0
g2
k ki 1 = s sTi
k1(t ) t ki t = Ti
D
0
0
h2
0
g1
0
k d s = sTd
k d δ (t ) = Td δ (t ) nem realizálható
T
0
h1
h2
0
0
g2
h2 y (t ) = g 2 u (t ) dy h1 = g 2u dt du h2 y = g1 dt dy + h2 y = g 2 u h1 dt
Tξ
h0
h1
h2
0
0
g2
PDi
0
0
h2
0
g1
g2
PD
0
h1
h2
0
g1
g2
PI
0
h1
0
0
g1
g2
O
h0
0
h2
0
0
g2
2.
h0
v(t ) = L−1 {W ( s ) / s}
k 1 + sT
d2y dy + h1 + h2 y = g 2 u dt dt 2
k (1 − e ξ
k 1 + 2ξTs + T 2 s 2
du + g 2u dt dy du + h2 y = g1 + g 2u h1 dt dt dy du = g1 + g 2u h1 dt dt d2y h0 2 + h2 y = g 2 u dt h2 y = g1
k[1 +
− t T
1−ξ 2
sin(
1−ξ 2 T
t T
) t − arctg
1−ξ 2 −ξ
)]
k[1 + Td δ (t )] nem realizálható
k (1 + sTd )
t
1 + sTd 1 + sT 1 + sTi k sTi
k (1 +
k
k
e
−
ω0 s + ω 02
Td − T − T e ) Td > T T t k (1 + ) Ti k (1 − cos ω 0 t )
2
A realizálható DT tag szabályozónak miért nem használható?
Wo ( s ) =
sTd 1 + sT
Állandó bemenő jelre, állandósult állapotban zérus jelet szolgáltat. Mindezek miatt a realizálható DT tagot is csak P vagy I taggal párhuzamosan kapcsolt struktúrában lehet (legalábbis a szabályozókban) felhasználni. 3.
Átviteli függvényeivel, és Bode diagramjaival jellemezze a PD szabályozót!
Típus Wc(s)/kc
PD i
Bode diagram [ac(dB),φ] Átmeneti függvény [vc(t)]
1 + sTd π/2
φ(ω) Ideális D csatorna miatt
vc
ac(ω)(dB)
1+Tdδ(t)
1
20 logω
0
1/Ti
t vc ac(ω)(dB)
PD Td>T
1 + sTd 1 + sT
0
0
20
π/2
φ(ω)
Td/T
1/Td
1 1/T
logω
T
t
4.
Adja meg a PID szabályozó lineáris alaptagokból felépített hatásvázlatát!
1
sTD
kc
1 sTi
5.
Milyen szempontok alapján célszerű megválasztani a PIPD szabályozó kc, Ti, Td, és T paramétereit?
Ti ‐vel a folyamat legnagyobb időállandóját(T1)‐, Td ‐vel pedig a második legnagyobb időállandóját(T2) célszerű kompenzálni, kc úgy, hogy a töréspontoktól ωc távol legyen, és a T=Td/10 6.
Mit értünk a szabályozás rendszertechnikai méretezése alatt?
A szabályozás rendszertechnikai tervezése alatt a Wc(s) átviteli függvény meghatározását értjük, amelyet követnie kell egy szerkezeti–áramköri tervezési eljárásnak is. 7.
Mi a kapcsolat a nyitott kör W0(jω) frekvencia függvénye, és a zárt kör alapjelre vonatkozó vR(t) eredő átmeneti függvénye között? ⎧1 ⎫ v(t ) = L−1 ⎨ W ( s )⎬ ⎩s ⎭
8.
Mi a túlvezérlési arány?
ut=u(0)/u(∞) 9.
Mit értünk a nyitott kör W0(jω) frekvencia függvényének fázistöbblete alatt?
A fázistöbblet az a szög, amelynek zérussá válásával a zárt szabályozási rendszer a stabilitás határára kerül.
ϕt (ωc ) = π + arcWo ( jωc )
Ha a fázistöbblet zérussá válik, a zárt szabályozási rendszer a stabilitás~labilitás határhelyzetébe kerül. 10. A nyitott kör W0(jω) frekvencia függvényének ωc vágási körfrekvenciája hogy befolyásolja a TΔ szabályozási időt? 3/ωc
σ (%) = 100
v R max − v R (∞ ) v R (∞ ) , nagy fázistöbblet ‐> kis σ
ρt=60° ‐> túllend.<5% ρt=30° ‐> túllend.<40‐60% ρt=45° ‐> túllend.<30‐50%
13. Mi a jelentősége a MATLAB [at,ft,wt,wc]=margin(a,f,w) függvényének? Megadja az amplitúdó‐, fázistöbbletet és a körfrekvenciákat.
14. A soros kompenzációs szabályozási rendszerben a szabályozott folyamat, és a szabályozó átviteli függvénye:
W p ( s) =
kp (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )
Wc ( s ) = k c
e − sTh
k p = 1 T1 = 100 T2 = 50 T3 = 25 Th = 12.5
(1 + sTi )(1 + sTd ) sTi (1 + sT )
Milyen elvek alapján kell megválasztani a szabályozó kc, Ti, Td, és T paramétereit? ‐
Ti ‐vel a folyamat legnagyobb időállandóját‐, Td ‐vel pedig a második legnagyobb időállandóját célszerű kompenzálni. T=
‐
⎡⎛ π ⎤ ⎞ m tg ⎢⎜ − ϕt ⎟ − ∑ arctg (ωcTp ) − ωcTh ⎥ 2 ⎠ p =3 ⎣⎝ ⎦
ωc
Tut kc = k pT2
15. A Wp(s)=kpexp(–sTh) átviteli függvényű folyamat szabályozásához miért célszerű Wc(s)=1/(sTi) átviteli függvényű integráló szabályozót alkalmazni? Ha a nyitott kör jelkésleltetésében a holtidő a meghatározó, akkor az arányos(P) szabályozó helyett integráló(I) szabályozó alkalmazása a célravezető (az aszimptotikusan stabilis, i≥1 típusú integrálszabályozás ugyanis teljes mértékű zavarelhárításra képes). 16. W0(s)=kexp(–sTh), Th>0. Indokolja meg a visszacsatolt szabályozás azon tulajdonságát, hogy 0
∏ (1 + sTk ) + ke 1
− sTh
1 ≅ ∏ (1 + sTk ) + k T 1 (1 + s h ) m m n
⇒
Th ⎞ ⎛ ⎜⎜1 + s m ⎟⎟ ⎝ ⎠
m
n
∏ (1 + sTk ) + k = 0 1
Ez utóbbi kifejezés s‐nek (n+m) fokszámú polinomja, amelyre a Hurwitz kritérium már alkalmazható. Ha a folyamat kizárólag holtidő okozta jelkésleltetéssel rendelkezik, a kkrt kritikus körerősítés az egység. Annak igazolása, hogy W0(s)=kexp(–sTh) nyitott kör kkrt=1 körerősítésnél négyszögjelet előállító oszcillátorként viselkedik a rendszer időtartományban történő analízise alapján egyszerűen megtehető. A karakterisztikus egyenlet analízise helyett a holtidős rendszerek stabilitásának vizsgálatára a Nyquist stabilitáskritérium alkalmas. Ha W0(jω)=kexp(–jωTh), akkor ennek helygörbéje egy, az origót körbefogó k sugarú kör, ami k>1 esetén végtelen sokszor fogja körül a –1+j0 pontot, miközben – ∞<ω<∞. Ezért ekkor kkrt=1.
17. Az integrálszabályozás nyitott körének eredő átviteli függvénye W0(s)=kiexp(–sTh)/s. A ki integrálási körerősítés mekkora értéke mellett stabilis a zárt szabályozási rendszer?
Ha a nyitott kör jelkésleltetésében a holtidő a meghatározó, akkor az arányos (P) szabályozó helyett integráló (I) szabályozó alkalmazása a célravezető (az aszimptotikusan stabilis, i≥1 típusú integrálszabályozás ugyanis teljes mértékű zavarelhárításra képes).
ua(s)
h(s)
u(s)
1 Wc ( s ) = sTi
W p ( s ) = k p e − sTh
y(s)
Holtidős folyamat integráló szabályozóval
Az i=1 típusú szabályozási rendszer sTi+kpexp(–sTh)=0 karakterisztikus egyenlete transzcendens egyenlet, zérus helyeinek a száma végtelen. Ezért a stabilitás vizsgálatára most a Nyquist kritérium alkalmazása a megfelelő eljárás.
W0 ( s) =
h(s) j
kp sTi
e − sTh
y(s) adb (ω)=20(logkp– ω logω
‐900
–
1
φt ω
φ(ωc ‐180
φ(ω)
0
φt φ(ω)=–π/2–
a(ω)
ω=0
W 0 ( jω ) =
kp jωTi
Nyquist helygörbe
e − jωTh
Bode
18. Mikor alkalmazunk egy adott folyamat szabályozásához PI–, vagy a PD szabályozót? PD: ha a szabályozást gyorsítani akarjuk, PI hibaelhárítás és holtidős
19. Labilis folyamat soros kompenzációja során miért nem szabad a szabályozó zérusával a folyamat labilis pólusát kompenzálni? Legyenek a labilis folyamat, és a hozzá illesztett póluskiejtést megvalósító szabályozó átviteli függvényei és a rendszer hatásvázlata: A szabályozó
ua
h
Wc ( s ) = k c
A labilis folyamat
sTz − 1 sTi
u
W p (s) =
kp sT p − 1
y
– kc>0 Tz=Tp>0 Ti>0
kp>0 Tp>0
A szabályozó ilyen paramétereivel (amikor a folyamat labilis pólusát a szabályozó „labilis” zérusával akarjuk mintegy kiejteni: Tz=Tp) a soros kompenzációt nem szabad megvalósítani! Soros kompenzációs szabályozási rendszer hatásvázlata
20. A folyamat soros kompenzációja során miért nem szabad a szabályozó pólusával a folyamat pozitív valós részű zérusát kompenzálni?
A labilis pólus pozitív valós részű zérussal történő kompenzálásának tilalma általános érvényű szabály. A labilis folyamat szabályozása esetében megvalósítható soros kompenzáció: A szabályozó
ua
h
Wc ( s ) = k c
–
A labilis folyamat
sTz + 1 sTi
kc>0 Tz>0 Ti>0
u
W p ( s) =
kp sT p − 1
y
kp>0 Tp>0
Labilis folyamat soros kompenzációjának hatásvázlata
Lásd tantermi gyakorlatok3 15. 17 oldalak 21. Léptékhelyesen ábrázolja az [(1+10s)/(1+2s)](i–1) átviteli függvényű szabályozó fázismeneteit i=1,2,3,4 esetekre! Írja be a matlabba: n=[10,1]; d=[2,1]; bode(n,d); utána n1=conv(n,n), d1=conv(d,d), bode(n1,d1); stb 22. A folyamat átviteli függvénye Wp(s)=1/(sT)2, T>0. Tervezze meg a szabályozót olyan feltételek alapján, hogy a nyitott kor W0(s) átviteli függvényének típusszáma i=2–, a φt(ωc)= π+φ(ωc) fázistöbblete pedig φt(ωc)= π/4 legyen. 23. Mit értünk a zárt rendszer frekvencia függvényének M(ω) és α(ω) görbéi alatt! A zárt rendszer M(ω)=absWR(jω) és α(ω)=arcWR(jω) görbéi .lásd tgyk3‐ban 24. Mi a jelentősége a szabályozás rendszertechnikai tervezésében az M(ω) görbéknek?
A zárt rendszer frekvencia függvényére alapozott tervezés nehézkes eljáráshoz vezet, ezért a gyakorlati megoldásokban a problémát visszavezetjük a nyitott kör frekvencia függvényének alapján történő tervezésre. Erre az elvi lehetőséget az teremti meg, hogy a WR(jω) és a W0(jω) között egyértelmű függvénykapcsolat van. 25. Az i=1 típusú szabályozás nyitott körének átviteli függvénye: W0 ( s ) =
1 sT0 ( sT0 + 2ξ )
T0 > 0 0 < ξ < 1
Adjuk meg a zárt rendszer pólusait a komplex számsíkon! Adjuk meg a rendszer M(ω) görbéit. F1 példa szt3 24. oldal
Szabályozástechnika 4.gyak ellenőrző kérdések 1. Mit értünk az LTI rendszer állapotirányíthatósága alatt? Mik az állapotirányíthatóság feltételei? Az A, B, C, D paramétermátrixaival leírt n–ed rendű lineáris folyamat állapotirányítható, ha létezik olyan, korlátos–, és szakaszonként folytonos u(t) bemenő jel, amelynek segítségével az állapotváltozók egy x(t0) állapotból, tv–t0>0 véges idő alatt (tv>t0) egy tetszőlegesen előírt x(tv) állapotba átvihetők. Ennek matematikai feltétele, hogy az C0=[B AB …An–1B] irányíthatósági (conrollability) mátrix rangja n(a rendszer rendje) legyen. 2. Mit értünk az LTI rendszer állapotmegfigyelhetősége alatt? Mik az állapotmegfigyelhetőség feltételei? Az A, B, C, D paramétermátrixaival leírt n–ed rendű lineáris folyamat megfigyelhető, ha az u(t) bemenő jel, és az y(t) kimenőjel t0
ua
dx/dt
Bkc
∫
x
y
C
A–BF
9. Az állapotvisszacsatolás megvalósíthatóságának milyen feltételei vannak? Kell, hogy állapotirányítható (a folyamat minden x(t) állapotváltozója az u(t) bemenő jellel befolyásolható legyen) legyen, az x(t) állapotváltozók méréstechnikailag is hozzáférhetőek(megfigyelhetőek) legyenek. 10. Mit értünk az átviteli függvény közvetlen–, és párhuzamos felbontása alatt? Mikor alkalmazható a párhuzamos felbontás? közvetlen: Ha a tag P,I,Σ alaptagokból felépített hatásvázlatát a W(s) polinom/polinom alakjából állítjuk elő. párhuzamos: Ha a tag P,I,Σ alaptagokból felépített hatásvázlatát az átviteli függvény részlettörtes alakjából állítjuk elő. 11. Mi az állapotegyenlet irányíthatósági kanonikus alakja? Mi az állapotegyenlet első kanonikus alakja, és ennek milyen előnyös tulajdonságai vannak? Irányíthatósági kanonikus alak: Azt az alakját, mikor az állapotmátrixának első sora a karakterisztikus polinomjának negatív együtthatóit tartalmazza. Első kanonikus alak: A párhuzamos felbontásból származik. Az A állapotmátrix – a W(s) párhuzamos (a részlettörteken alapuló) felbontásának eredményeként – most diagonális, főátlójában az egymástól különböző pi sajátértékekkel.
12. Az állapotvisszacsatolás tervezéséhez miért előnyös az állapotegyenlet irányíthatósági kanonikus alakjának a használata? Ha a folyamat, illetve a visszacsatolt rendszer állapotegyenletei az irányíthatósági kanonikus alakban állnak rendelkezésünkre, akkor a rendszer méretezési előírásait tartalmazó HR(s)=det[sI–(A–BF)]=0 karakterisztikus egyenlet együtthatóinak követelményrendszeréből az F vektor komponensei meghatározhatók. 13. Az LTI SISO rendszer differenciálegyenlete: d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t ) + a1 + a2 + a 3 y (t ) = 3 dt dt dt 2 3 21 d u (t ) d u (t ) du (t ) = b0 + b1 + b2 + b3 u (t ) dt dt 3 dt 2 a 0 = 1 a1 = 6 a 2 = 11 a3 = 6 a0
b0 = 2 b1 = 8 b2 = −32 b3 = −128
Adja meg a rendszer W(s) átviteli függvényét, és ennek közvetlen felbontásával az állapotegyenletének irányíthatósági kanonikus alakját. Állapotirányíható–e, állapotmegfigyelhető–e a rendszer?
s 3 y (t ) + 6s 2 y (t ) + 11sy (t ) + 6 y (t ) = 2s 3u (t ) + 8s 2u (t ) − 32 su (t ) − 128u (t ) 2s 3 + 8s 2 − 32 s − 128 W ( s) = s 3 + 6s 2 + 11s + 6
14. A W(s)=1/(1+sT) átviteli függvényű egytárolós arányos tagot mekkora f tényezőjű időkésés nélküli arányos taggal kell negatívan visszacsatolni ahhoz, hogy a T időállandó a tizedére csökkenjen? F=9 Az állapotvisszacsatolással a rendszer pR pólusainak száma azonos marad a folyamat p pólusainak a számával, vagyis a folyamat állapotvisszacsatolásával az n rendszám nem változhat meg. A kc tényezővel a rendszer eredő erősítése állítható be. A folyamat dc erősítése (átviteli tényezője) kp=–CA–1B, a rendszer eredő erősítése (átviteli tényezője) kR=–C(A–BF)–1Bkc. Az állapovisszacsatolt SISO rendszer hatásvázlata: ua
dx/dt
∫
Bkc
x
y
C
A–BF 15. Harmadrendű rendszer állapotegyenlete ⎡−6 −11 −6⎤ ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎡1⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 0 0 ⎥ ⎢ x 2 (t )⎥ + ⎢0⎥ u (t ) ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 1 0 ⎦ ⎣ x3 (t ) ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎥ ⎢ y (t ) = [− 4 − 54 − 140] ⎢ x 2 (t )⎥ + 2u (t ) ⎢⎣ x3 (t ) ⎥⎦
⎡ x1 (t ) ⎤ d ⎢ ⎥ x 2 (t )⎥ = dt ⎢ ⎢⎣ x3 (t ) ⎥⎦
Adja meg a rendszer A állapotmátrixának λi sajátértékeit. Állapotvisszacsatolással keletkező rendszer AR állapotmátrixának előírt λRi sajátértékei az A sajátértékeinek kétszeresei (λRi=2λi). Határozza meg az F visszacsatolás vektorát! λ=eig(A); ujlanda=2*Landa; f=acker (A,B,ujlanda); Írja be a matlabba. 16. Mire használható az Ackermann képlet? Pólusáthelyezés
F = [0 0 ... 0 1] C0 −1 H R ( A) 17. Mire használható a MATLAB F=acker(A,B,pR)függvénye? Az F állapotvisszacsatoló vektor meghatározására, ha a rendszer állapotirányítható. 18. Mi jelenik meg a képernyőn az alábbi MATLAB utasítás hatására F=acker(-1,1,-10) F=9 Adja meg a folyamat állapotegyenletét, és karakterisztikus polinomját! dx/dt=‐x+u ????
19. Adja meg az állapotvisszacsatolt rendszer eredő állapotmátrixát! AR=A–BF 20. Az állapotegyenletével leírt LTI rendszer állapotváltozóit az F negatív visszacsatolással a bemenetre visszacsatoljuk. Mi lesz a visszacsatolt rendszer karakterisztikus polinomja?
det[λI–(A–BF)]=HR(λ)= λn+hR1 λn‐1+… +hRi λn‐i+… +hR(n‐1) λ+hRn= = (λ–pR1)( λ–pR2)…(λ–pRi … (λ–pRn) = 0 21. Hogyan kell kiszámítani állapotvisszacsatolás esetében a dc erősítést helyreállító kc átviteli tényezőt? Ha az állapotvisszacsatolt rendszer dc erősítésére meg kívánjuk tartani a folyamat eredeti dc erősítését, akkor – az F meghatározását követően – a kR =–C(A–BF)–1Bkc = –CA–1B= kp feltételből kc meghatározható. 22. Labilis rendszer lehet–e állapotirányítható, és állapotmegfigyelhető? Igen, ha az irányíthatósági tesztmátrix rangja az állapotmátrix méretével azonos. 23. SISO tag átmeneti függvénye alapján milyen csoportokba sorolhatóak a jelátvivő tagok? 24. Az egyenáramú motor jelátviteli viszonyait leíró W p (s) =
kp 1 + sTm + s 2TmTv
=
ωu ( s) u k (s)
átviteli függvény önbeálló tagot jellemez
(kp=10, Tm=20, Tv=1). Állapotvisszacsatolással hogyan lehetne „felgyorsítani” a folyamatot? Lásd géptermi gyakorlat 4 .1 első példa! Az integrálási terület alapján. 25. Az állapotirányítás megoldására milyen esetben kell alkalmazni állapotmegfigyelőt? Mi az állapotmegfigyelő feladata? Állapotirányítást lehet megvalósítani akkor is, ha az állapotváltozók méréstechnikailag nem hozzáférhetők. 26. Adja meg az állapotmegfigyelővel megvalósított állapotirányítás hatásvázlatát!
27. Milyen szempontok alapján kell megválasztani a megfigyelő pólusait? A megfigyelő pM pólusait úgy célszerű megválasztani, hogy ezek a felgyorsított rendszer pR pólusainál is gyorsabb tranzienseket eredményezzenek. 28. A megfigyelő méretezésére hogyan lehet felhasználni az Ackemann formulát? Matematikai tétel értelmében a det[λI–(A–MC)] karakterisztikus polinom pMi gyökei azonosak a det[λI–(AT–CTMT)] polinom gyökeivel, és ez utóbbira az Ackermann képlet, vagy a MATLAB acker függvénye már felhasználható:
MT=[0 0 …0 1][CT ATCT …(AT)n‐1CT]–1[(AT)n + hM1(AT)n–1 +…+hMnI]
29. Az állapotvisszacsatolás esetében mitől függ a túlvezérlési arány?
[
]
n −1 u (0) h p = ut = 1 + F ( A − BF ) −1 B = Rn = ∏ Ri u (∞ ) hn i =1 pi
30. Adjon leírást arról, hogy miket számít ki az alábbi MATLAB program? T0=input(’T0=’);kszip=input(’kszip=’); % T0>0, 0
Szabályozástechnika 5.gyak ellenőrző kérdések 1. Adja meg a hibrid szabályozási rendszer folytonos modelljét!
ua
Wc(s)
e
‐
−s
Ts 2
u Wp(s)
y
2. Adja meg a zérusrendű tartószerv átviteli függvényét!
W (s) =
1 − e − sTs s
3. Hogyan kell megválasztani a hibrid szabályozás Ts mintavételezési idejét a folytonos modell alapján?
Ts =
π Δϕ t , ahol Δϕt a megengedhető fázistöbbletromlás(fok), ωc a folytonos rendszer vágási körfrekvenciája. 90ω c
4. Melyek a hibrid rendszer diszkrét szabályozójának tervezési lépései a folytonos modell alapján? 1. Az adott Wp(s)‐ sel leírt folytonos folyamathoz tervezni kell egy Wc(s)=mc/nc átviteli függvényű folytonos szabályozót. A tervezés során az ωc vágási körfrekvencia is meghatározásra kerül.
2. A folytonos rendszer ωc vágási körfrekvenciájának ismeretében (felvéve a megengedett fázistöbbletromlás értéket) meg kell határozni a Ts mintavételezési időt.
3. Ts és Wc(s) ismeretében meghatározható a szabályozó Wcd(z)=mcd/ncd impulzusátviteli függvénye, ez egyben a diszkrét szabályozó szabályozási algoritmusát is jelenti. MATLAB támogatás: [mcd,ncd]=c2dm(mc,nc,Ts) 4. A méretezés ellenőrzése a zárt szabályozás tulajdonságainak vizsgálatával, a rendszer diszkrét modelljének felhasználásával végezhető el. 5. Mire használható a MATLAB [Gz,Hz]=c2dm(Gs,Hs,Ts,’zoh’) függvénye? A W(s)= Gs/Hs folytonos átviteli függvény és a Ts mintavételezési idő ismeretében zérusrendű tartás mellett kiszámítja a W(z)= Gz/Hz impulzusátviteli függvényt. 6. Az diszkrét tag impulzusátviteli függvényének ismeretében hogyan kell felírni a tag differenciaegyenletét?
⎛ ud ( z) TD z − 1 ⎞ co + c1 z −1 + c 2 z −2 Gcd ( z ) 1 Ts ⎟⎟ = ⎜ = Wcd ( z ) = = K c ⎜1 + + −1 −2 1 hd ( z ) T z T z E H cd ( z ) − − I ⎠ 1 + d1 z + d 2 z ⎝ ud ( k ) = − d1ud ( k − 1) − d 2ud ( k − 2) + co hd ( k ) + c1hd ( k − 1) + c2 hd ( k − 2)
7. Adja meg a hibrid szabályozási rendszer diszkrét modelljét! uad
ud
Wcd(z)
‐
⎧ 1 − e − sTs ⎫ z ⎨ s Wp ( s )⎬ ⎩ ⎭
yd
8. A folytonos folyamat átviteli függvénye Wp(s). Hogyan lehet kiszámítani a folyamat Wp(z) impulzusátviteli függvényét?
W p(z) = Z {W p(s)}
9. A folytonos folyamat Wp(s) átviteli függvényének pólusai p1=–2, p2,3=–1±j . Adja meg a folyamat Wp(z) impulzusátviteli függvényének a zp1 és zp2,3 pólusait? Ts
Ts
Ts
− − − 1 1 1 p1 = − ; p2 = − ; p3 = − ⇒ z1 = e T1 ; z 2 = e T2 ; z 3 = e T3 T1 T2 T3
10. Adja meg a diszkrét integráló tag impulzusátviteli függvényét!
W (z) =
y( z) 1 = u( z) z − 1
11. Diszkrét jelátvivő tag impulzuátviteli függvénye W(z)=10(z–0.9)/(z– 1). Számítsa ki, és ábrázolja a tag v(k)=Z–1{zW(z)/(z–1)} átmeneti mintasorozatát!
⎧ zW ( z ) ⎫ 10( z − 0.9) W ( z) = ⇒ v(k ) = Z −1 ⎨ ⎬ ( z − 1) ⎩ ( z − 1) ⎭
δ [k ] ε [k ]
12. Diszkrét jelátvivő tag impulzusátviteli függvénye W(z)=10(z–0.9)/z. Számítsa ki, és ábrázolja a tag v(k)=Z–1{zW(z)/(z–1)} átmeneti mintasorozatát!
⎧ z 10( z − 0.9) ⎫ −1 ⎧10 z − 9 ⎫ v(k ) = Z ⎨ ⎬=Z ⎨ ⎬ z ⎩ z −1 ⎭ ⎩ ( z − 1) ⎭
X ( z ) = ∑ x[ k ] z − k k =0
2 ⎧ z 10( z − 0.9) ⎫ −1 ⎧ 10 z − 9 z ⎫ v(k ) = Z ⎨ ⎬ ⎬=Z ⎨ 2 ⎩ ( z − 1) ( z − 1) ⎭ ⎩ z − 2 z + 1⎭
⎧ zW ( z ) ⎫ 10( z − 0.9) ⇒ v(k ) = Z −1 ⎨ ⎬ z ⎩ ( z − 1) ⎭
∞
x[k]
−1
W ( z) =
Laplace-transzfomáció Z-transzfomáció
a k ε [k ] A ⋅ k ⋅ a k ε [k ]
ε [ k − r ] ⋅ x[ k − r ]
−1
X(z) 1
1 z = −1 z −1 1− z 1 z = −1 z−a 1 − az −1 A⋅ a ⋅ z A⋅ a ⋅ z = −1 2 (1 − az ) ( z − a) 2 X ( z) ⋅ z −r
13. A diszkrét nyitott kör impulzusátviteli függvénye W0(z). Mi a zárt rendszer stabilitásának a feltétele? Ha az F(z)=1+ W0(z)=0 karakterisztikus egyenletnek kizárólag a komplex sík egységsugarú körének belsejében vannak a gyökei (abs(zi)<1), akkor a rendszer stabilis. 14. Állapotdifferencia egyenletével leírt diszkrét rendszer állapotmátrixa Ad. Mi a rendszer stabilitásának feltétele? A sajátértékek egységkörön belül legyenek. 15. A diszkrét nyitott kör impulzusátviteli függvénye W0(z). Hogyan kell kiszámítani a diszkrét nyitott kör frekvencia függvényét? A szabályozásokat általában ϕt(ωc)=π/3 (600) fázistöbbletre szokás méretezni, mivel ekkor a zárt rendszer átmeneti függvényének a túllendülése 10% alatt várható. A fázistöbblet feltételnek a betartásához szükséges, hogy az ωc vágási körfrekvencián
absW0 d ( e jω c Ts ) = 1
π + arcW0 d ( e jω T ) = ϕt = π / 3 c s
legyen
16. A frekvencia módszer alapján történő méretezéshez az ω körfrekvenciának mekkora intervallumában kell ábrázolni a nyitott kör impulzusátviteli függvényének W0[exp(jωTs)] frekvencia függvényét?
17. Milyen diszkrét szabályozót jellemez az alábbi impulzusátviteli függvény: Wc ( z ) = k c
z − z c1 z − z c 2 z −1 z
Hogyan kell megválasztani a szabályozó zc1 és zc2 zérusainak értékeit? Inpipd szabályozó , zc1=exp( p1*Ts), zc2=exo(p2*Ts), ahol p1 ill p2 a folyosos szakasz pólusai. 18. Mire használható a MATLAB [a,f,w]=dbode(Gz,Hz,Ts) függvénye? Mi a Nyquist körfrekvencia? dbode: a Wd(ejωTs) amlitúdó‐ és fázismenetének kiszámítása és ábrázolása. ωnyquist=π/Ts 19. Mire használható a MATLAB [y,x]=dlsim(Ad,Bd,Cd,Dd,u,x0) függvénye? dlsim: diszkrét renszer adott ud mintasorozatra és x(0) kezdeti feltételre vonatkozó válaszának számítása és ábrázolása.
20. A hibrid szabályozás diszkrét modelljének alapján hogyan lehet meghatározni a hibrid rendszer folytonos folyamatának y(t) szabályozott jellemzőjét?
