SYNTÉZA STAVOVÉHO REGULÁTORU VÝKONU VODNÍ TURBINY NUMERICKOU METODOU WATER TURBINE STATE POWER CONTROLLER SYNTHESIS BY NUMERICAL METHOD

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE

SYNTÉZA STAVOVÉHO REGULÁTORU VÝKONU VODNÍ TURBINY NUMERICKOU METODOU WATER TURBINE STATE POWER CONTROLLER SYNTHESIS BY NUMERICAL METHOD

DIPLOMOVÁ PRÁCE DIPLOMA THESIS

AUTOR PRÁCE

BC. RADEK KUGLER

AUTHOR

VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR

BRNO 2007

ING. ZDENĚK NĚMEC, CSC.

Strana 3

Strana 5

Strana 7

ABSTRAKT Diplomová práce se zabývá optimalizací zpětnovazebních koeficientů stavového regulátoru vodní turbiny numerickou metodou pružných polyedrů. K simulaci regulačního obvodu je použito vývojové prostředí Matlab-Simulink. První část práce obsahuje základní rozbor regulace výkonu vodních turbin. Navazující část se zabývá popisem kritéria kvality regulace a popisem samotného regulačního obvodu, který je vytvořen v prostředí Simulink. Dále je popsána numerická metoda pružných polyedrů a její implementace v prostředí Matlab. V závěru práce jsou zhodnoceny poznatky z řešení a také výhody a nevýhody zadaného způsobu syntézy regulace.

ABSTRACT The dissertation deals with the optimalization of water turbine state power controller’s feedback coefficients by the numerical Nelder-Mead method. The first part of the thesis contains an elementary analysis of a water turbine output regulation. The next part covers the description of controlling quality criteria and an actual description of the controlling system, which is created in the Simulink environment. Following section describes the numerical Nelder-Mead method and its implementation in the Matlab environment. In the closing part, pieces of information regarding solving of the given method used for synthesis of controlling and its advantages and disadvantages are evaluated.

KLÍČOVÁ SLOVA Vodní turbina, stavová regulace, numerická metoda pružných polyedrů, regulace výkonu, regulátor výkonu, Matlab, Simulink.

KEYWORDS Water turbine, state controls, Nelder-Mead method, power controls, power controller, Matlab, Simulink.

Strana 9

Obsah:

1 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Zadání závěrečné práce...................................................................................................3 Licenční smlouva............................................................................................................. 5 Abstrakt............................................................................................................................ 7 Úvod................................................................................................................................ 11 Rozbor problematiky [6]...............................................................................................13 Vývoj oboru regulace vodních turbin ...........................................................................13 Druhy regulací ..............................................................................................................13 Regulace výkonu.......................................................................................................... 14 Vlivy na vlastnosti a kvalitu regulace výkonu ............................................................. 15 Stavová regulace obecně [3]......................................................................................... 16 Stavový popis vodní elektrárny.....................................................................................17

2.6.1 Stavový popis s jedním úsekem potrubí ............................................................................... 17 2.6.2 Stavový popis s dvěma úseky potrubí ................................................................................... 18 2.6.3 Stavový popis s třemi úseky potrubí ..................................................................................... 20

2.7

Stavová regulace výkonu vodní turbiny .......................................................................21

2.7.1 Stavový model pro režim regulace výkonu............................................................................ 21

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Modely použité pro řešení [6]....................................................................................... 25 Úprava stavového popisu pro účely regulace ...............................................................26 Základní varianta regulace ........................................................................................... 27 Hodnocení kvality regulace [7]..................................................................................... 29 Realizace kritéria kvality v prostředí Matlab-Simulink................................................ 31 Celkové schéma regulace výkonu ................................................................................ 34 Popis metody pružných polyedrů.................................................................................. 35

3.6.1 Odvození algoritmu numerické metody pružných polyedrů [4]........................................... 35

3.7 4 4.1 4.2 5 5.1 5.2 5.3 6 6.1 6.2 7

Pracovní prostředí Matlab-Simulink [8, 9]................................................................... 39 Koncepce návrhu řešení................................................................................................ 41 Implementace metody pružných polyedrů na stavový regulátor výkonu turbiny......... 41 Algoritmizace ............................................................................................................... 42 Navržené programové řešení........................................................................................ 45 Funkce simul................................................................................................................. 45 Funkce grafy..................................................................................................................46 Program GenPar_ReVy_Stav.......................................................................................48 Poznatky z řešení .......................................................................................................... 57 Porovnání klasické a stavové regulace..........................................................................60 Poznatky z řešení v prostředí Matlab-Simulink............................................................ 63 Závěr............................................................................................................................... 65 Seznam použité literatury............................................................................................. 67 Seznam příloh................................................................................................................ 69

Strana 11

1

ÚVOD

V dnešní době se energetika stává jedním z nejdůležitějších odvětví v činnosti lidstva, které je stále více závislé na energetických zdrojích, zejména na tom, aby energie byla k dispozici v kteroukoliv dobu a v potřebném množství. S tímto požadavkem souvisí rozvoj dalších odvětví a životní úroveň obyvatelstva. Vodní elektrárny, které se podílejí na plnění těchto energetických potřeb, využívají relativně nevyčerpatelný obnovitelný zdroj energie. Tímto zdrojem je mechanická energie vod v přírodě. Voda ve formě srážek se dostává na vyvýšená místa povrchu země a v důsledku gravitace je nositelem potenciální energie. Oběh vody v přírodě udržuje energie slunce. Prakticky můžeme získat vodní energii buď využitím jejího proudění (energie kinetická), nebo jejího tlaku (energie potenciální). Využít lze také obě energie současně. [2] Přeměna vodní energie na elektrickou se děje s největší účinností ze všech energetických pochodů, (velké turbiny mají účinnost až 92 %), provozní náklady jsou podstatně nižší než u jiných druhů elektráren a většinou nemají negativní vliv na životní prostředí. Využití vodní energie má řadu výhod, jako jsou například značné úspory spotřeby paliv a plná automatizace provozu. V české energetice je podíl hydroenergetických zdrojů relativně malý (činí 17 % z celkového instalovaného výkonu a 4 % z výroby), ale vodní elektrárny a zejména přečerpávací vodní elektrárny mají v elektrizační soustavě zvláštní postavení z důvodu svých výjimečně příznivých vlastností. [6] S rozvojem jaderné energetiky stoupá význam přečerpávacích vodních elektráren. Svými statickými funkcemi zmírňují nerovnoměrnosti denního diagramu zatížení a svými dynamickými funkcemi se podílejí na zvládnutí operativních potřeb v elektrizační soustavě. Výroba vodních turbin má v Československu dlouholetou tradici. V řadě strojírenských podniků bylo dosaženo pozoruhodných výsledků a světových konstrukčních prvenství. Na území ČSR byla roku 1918 vyrobena první Kaplanova turbina na světě. [1] V nedávné minulosti prodělala regulace vodních turbin několik vývojových etap, navzájem se lišících stavem techniky a použitou součástkovou základnou. Funkční možnosti se postupně měnily od pouhé regulace otáček po dnešní elektrohydraulické regulátory s několika druhy samočinně se přepínajících regulací a s částečným řízením automatických pochodů turbiny. Tyto regulátory s analogovou činností dosáhly v současné době svého vrcholu a místo nich se ve vyspělých státech prosazují číslicové regulátory. Tato inovace se netýká zásadnějších koncepčních změn, ale jde spíše o číslicovou náhradu klasických analogových regulátorů. [6] Číslicové řídící systémy pracující na bázi mikropočítačové techniky otevírají nové, dříve těžko realizovatelné možnosti ve zvyšování kvality řízení chodu turbosoustrojí. Tato zlepšení se týkají hlavně optimalizace dynamických pochodů turbosoustrojí, regulace může zahrnovat autodiagnostiku, speciální protihavarijní řízení, apod. Řízení vodních turbin pomocí mikropočítačové techniky představuje speciální oblast aplikace diskrétního automatického řízení. Řízení chodu elektrizační soustavy je velmi obtížnou úlohou automatického řízení. Složitost je dána nutností udržovat trvale a v každém okamžiku rovnováhu mezi úhrnným výkonem zdrojů elektrické energie na jedné straně a proměnlivým příkonem všech spotřebičů na straně druhé. Česká republika je od r.1995 zapojena do systému UCTE. Tento systém propojuje elektrizační soustavy většiny evropských států. Tím výrazně vzrostly požadavky na stabilní a bezporuchový chod naší soustavy a vznikla závazná povinnost spoluúčasti na řešení poruchových situací v celé propojené soustavě. Jakékoliv porušení rovnováhy mezi odběrem a dodávkou vede k rozpadu sítě, což vede k velkým ekonomickým ztrátám. Tyto aspekty

Strana 12

1Úvod

kladou vysoké nároky na kvalitu a operativnost řízení této soustavy na všech úrovních, přičemž největší díl náročnosti se přesouvá na základní úroveň řízení samotných zdrojů elektrické energie. [6] U vodních elektráren je základní úroveň řízení soustředěna do regulace vodní turbiny a generátoru. Nejnáročnější regulací vodní turbiny je regulace otáček a dále regulace výkonu. Na kvalitě těchto regulací závisí využití velmi cenných a žádaných vlastností vodních turbin jako zdrojů elektrické energie pro krytí dynamických služeb. Tato práce se zabývá regulací výkonu vodní turbiny, kde se projevuje nežádoucí efekt tlakového rázu vody v potrubí v podobě podregulování na počátku přechodové charakteristiky. Hlavním cílem syntézy je dosažení co nejmenšího podregulování výkonu na začátku odezvy při skokové změně žádaného výkonu, dalším požadavkem je malý překmit a co nejrychlejší dosažení nové úrovně výkonu.

Obr. 1.1 Přechodová charakteristika při regulaci výkonu.

Strana 13

2

ROZBOR PROBLEMATIKY [6]

2.1

Vývoj oboru regulace vodních turbin

Nejstarší formou automatické regulace byl direktní regulátor, který pracoval na principu odstředivých sil (tzv. Wattův regulátor). Tento regulátor obsahoval čidlo otáček, jehož síly působily na přestavný mechanismus otevření turbiny přímo, tj. bez pomocné energie. Pro složitější soustrojí se ale muselo používat indirektní regulace, kdy čidlo otáček ovládalo otevření turbiny nepřímo pomocí tlakového oleje z akumulátoru tlakové energie (tzv. Větrníku). I dnes se používá výhradně indirektní princip činnosti, vyžadující trvalou přítomnost napájecí energie. Do roku 1970 se v ČSSR vyráběly výhradně mechanickohydraulické regulátory a jsou dodnes využívány v omezeném počtu na menších vodních elektrárnách. Čidlem otáček je zde hydraulický roztěžník. Přenosový charakter regulace je většinou proporcionálně integrační s trvalou odchylkou otáček (PIP). Výhodou mechanickohydraulických regulátorů je robustnost provedení, jednoduchost a dobrá spolehlivost. Nevýhodou je samovolná změna parametrů během provozu, teplotní závislosti, malé citlivosti na změny otáček a řídících veličin, náročná údržba, nutnost přesné výroby a nemožnost změny parametrů regulace. Kolem roku 1970 se začaly prosazovat elektrohydraulické regulátory s elektronickou řídící částí a hydraulickou silovou částí. Řídící část obsahuje veškeré regulační funkce, dále pomocné logické a sekvenční řízení turbosoustrojí. Donedávna se používaly regulátory jen s analogovou činností a s konstantními parametry. Pro regulaci otáček je používán přenos PIDP (proporcionálně integračně derivační s trvalou odchylkou v ustáleném stavu). Elektrohydraulické regulátory dosahují ve srovnání s dřívějšími mechanickohydraulickými podstatně lepších kvalit regulace a navíc zahrnují i řídící funkce, které dříve zajišťovala speciální automatika. Současný a budoucí vývoj oboru spěje k regulátorům s elektrohydraulickým provedením silové části regulace, ale s číslicovou řídící částí. Při takovém řízení se mohou v ještě větší míře kombinovat vlastní regulační funkce s funkcemi logického a sekvenčního řízení. Později lze očekávat i aplikace vyšších forem řízení a umělé inteligence do řídících procesů. 2.2

Druhy regulací

Nejdůležitějšími činnostmi řídicího systému jsou regulace. Rozeznáváme následující regulované veličiny: – Regulace otáček. Má dominantní význam. – Regulace výkonu. Je nejčastějším provozním režimem, žádaná hodnota je často zadávána dálkově z vyšších úrovní řízení. – Regulace otevření. Užívá se při provozu s požadovanou účinností turbiny. – Regulace hladiny vody (probíhá nad nebo pod elektrárnou). Je to nejčastější provozní režim u průtočných vodních elektráren. – Regulace průtoku. Lze ji využít u vodních elektráren v kaskádě, tj. u vodních elektráren s těsnou hydraulickou vazbou. – Speciální regulace. Např. bezenergetická regulace zatěžovacího úhlu generátoru při výskytu havarijního stavu, atd. Turbina je nejdůležitějším objektem celé řízené soustavy. Všechny druhy regulací se uskutečňují změnami otevření turbiny. Otevření je akční veličinou celé regulované soustavy.

Strana 14

2.3

2Rozbor problematiky [6]

Regulace výkonu

Při provozu turbin je nutné měnit jejich výkon podle okamžité potřeby. Regulace výkonu je základním a nejvíce využívaným provozním režimem, kde regulovanou veličinou je činný výkon, měřený na svorkách generátoru. Jalový výkon s regulací turbiny téměř nesouvisí, protože jalový výkon mění napěťové poměry v elektrizační soustavě. Jeho řízení je realizováno samostatným regulátorem buzení generátoru. U regulace výkonu je důležité, aby odchylka otáček od jmenovité hodnoty byla trvale nulová (∆n(t) = 0). státní dispečink

hydraulická soustava

sekundární regulace ΔwpSR wpGo ΔwpPR Δf

wpG žádaný výkon

primární regulace

h regulátor výkonu

yW

silová část regulace

y

turbina (Francis)

q pT = p G výkon generátoru

snímač výkonu

Obr. 2.1 Základní schéma regulace výkonu

Z blokového schématu regulace výkonu na obr.2.1 je žádaná hodnota výkonu wpG většinou součtem tří následujících složek. a) Základní hodnota žádaného výkonu wpGo má po většinu provozní doby hodnotu v rozmezí 0,8 až 0,9, což odpovídá optimálnímu pracovnímu bodu turbiny z hlediska účinnosti, kavitace, atd. Pouze během najíždění a odstavování soustrojí se wpGo mění téměř v celém rozsahu 0 až 1. Tato hodnota je zadána obsluhou elektrárny nebo tzv. skupinovým regulátorem elektrárny. b) Větší vodní elektrárny s výkonem nad desítky MW jsou propojeny se státním dispečinkem, který koriguje výkon turbosoustrojí podle požadavku tzv. sekundární regulace. Tyto změny ΔwpSR umožňují dodržovat plánované předávání výkonů mezi státy, přičemž maximální rychlost změn orientačně odpovídá časové konstantě dvou minut. c) Ve větších elektrárnách by měl každý regulátor turbiny obsahovat obvody pro tzv. primární regulaci. Tato část generuje korekční signál ΔwpPR, který je úměrný odchylce kmitočtu Δf elektrické sítě od jmenovité hodnoty 50 Hz, přičemž konstanta úměrnosti pro ustálené poměry je nastavitelná a nazývá se statika primární regulace. Dotyčná korekce výkonu pomáhá udržovat kmitočet celé propojené elektrizační soustavy na hodnotě 50 Hz i při výskytu poruch (výpadky zdrojů, přenosových vedení, atd.) na území cizích států. Tato regulační služba je nutná nejen technicky, ale je i nezbytnou podmínkou provozu v mezinárodním sdružení UCTE. Z hlediska dynamiky regulace je tento vstup nejdůležitější, protože vyžaduje dobu trvání regulačních pochodů v jednotkách sekund. Právě několikanásobně příznivější dynamika vodních elektráren ve srovnání s tepelnými elektrárnami je žádanou službou v provozu elektrizační soustavy. Úkolem regulačního obvodu je co nejdokonalejší realizace požadovaných změn výkonu. Poruchové veličiny (např. změny hrubého spádu vody), vstupující do regulace výkonu, jsou naopak nevýznamné a můžeme je tedy zanedbat.

2Rozbor problematiky [6]

Strana 15

Proto je rozhodující chování obvodu z hlediska přenosu řízení:

Pro vstup od primární regulace:

GpG,wpG(s) = ΔpG(s) /ΔwpG(s) GpG,wpPR(s) = ΔpG(s) /ΔwpPR(s)

Při regulaci výkonu se markantně projevuje vliv tzv. vodního rázu, což souvisí s fyzikální podstatou setrvačnosti vodního sloupce v potrubí elektrárny. Z regulačního hlediska jde o regulovanou soustavu s neminimální fází a v tomto případě je navíc efekt neminimálnosti ještě závislý na velikosti průtoku vody potrubím, tj. na otevření turbiny. Tomuto problému je věnována hlavní část práce v kap. 5,6. 2.4

Vlivy na vlastnosti a kvalitu regulace výkonu

Dosažitelná kvalita regulace výkonu je v obecném smyslu závislá na vlastnostech regulované soustavy a na použité regulaci. Mezi nejdůležitější vlivy patří: a) Časová konstanta náběhu vody TW. Je dána dispozičním uspořádáním vodní elektrárny, délkou a průřezem stavebních a potrubních objektů pro přívod a odvod vody. b) Typ a vlastnosti vodní turbiny. Do těchto vlivů patří samoregulační součinitel turbiny et, charakteristiky turbiny, závislost provozních veličin na otevření, atd. Uvedené faktory taktéž nelze zpravidla ovlivnit, protože vyplývají z celkového návrhu elektrárny. c) Vlastnosti a parametry silové části regulace. Tyto lze ovlivnit jen částečně. Při větších regulačních změnách se výrazně negativně projevuje omezení přestavné rychlosti servomotorů při otevírání či zavírání turbiny. d) Přesnost a dynamika měření otáček turbosoustrojí. Pro účely primární regulace výkonu je nutné vyhodnocovat kmitočet elektrické sítě (a tím i soustrojí) s absolutní přesností cca 2 mHz, což odpovídá relativní přesnosti 0.004%. Při regulaci otáček sice postačí přesnost menší, ale údaj musí zastupovat „okamžitou“ hodnotu otáček, např. průměr za posledních několik desítek milisekund. Oba požadavky vyžadují náročné vyhodnocovací zařízení. e) Koncepce a vlastnosti řídící části regulátoru otáček. Tyto vlivy jsou naopak volitelné a pozornost je třeba věnovat následujícím faktorům: – přizpůsobování parametrů regulace proměnnému pracovnímu bodu turbiny (otevření turbiny), – přizpůsobování parametrů regulace proměnným parametrům elektrizační soustavy, – kvalita a objem informací, které regulátor zpracovává (počet vstupních veličin regulátoru), – respektování nelinearit v silové části regulace. Bod e) je nejefektivnější cestou ke zvýšení kvality regulace, protože s danou technologií elektrárny umožňuje dosáhnout zlepšení jen za cenu mírného zvýšení nákladů na dokonalejší řídící systém. Lze aplikovat i obráceně - pro určité kvalitativní požadavky můžeme projektovat hydraulickou část elektrárny s větší hodnotou TW a tím snížit investiční náklady na stavební a strojní část elektrárny, nebo můžeme navrhnout menší hodnotu T a a docílit úspor díky nižší nutné hmotnosti rotujících částí generátoru.

Strana 16

2Rozbor problematiky [6]

Z uvedených důvodů je nezbytné soustředit úsilí na zlepšování funkcí a kvality regulace vodní turbiny. Při posuzování jednotlivých variant regulací je nutné kvalitu regulací kvantifikovat vhodným kritériem kvality. Tímto problémem se zabývá kapitola 3.3. 2.5

Stavová regulace obecně [3]

Matematické popisy dynamických systémů většinou vycházejí ze závislosti mezi vstupem a výstupem systému. Jsou to metody vnějšího popisu systému. U těchto metod se nebere v úvahu stav systému, ani jeho vnitřní uspořádání. Tento popis systému vyhovuje pouze pro jednoduché systémy, ale nevyhovuje složitějším systémům s více vstupy a výstupy, či systémům s nenulovými počátečními podmínkami. Z těchto důvodů byl v roce 1960 vypracován matematický model, který pracuje s vnitřním stavem a vnitřním popisem systému. Metoda stavového prostoru je moderní metodou automatického řízení. Umožňuje řešit systémy mnohorozměrové, s časově proměnnými parametry, systémy nelineární a diskrétní. Průběh procesu je u této metody závislý na vstupním působení a na předcházejícím vývoji procesu, který se odráží v okamžitém vnitřním stavu systému. Stav systému vyjadřujeme pomocí veličin, které nazýváme stavovými veličinami. Ty tvoří sloupcový vektor x.

[]

x1 t  x x t = 2 t ... x n t

(2.1)

Stavové veličiny by měly poskytovat minimální informaci o vnitřním stavu systému, která je potřebná k tomu, aby se pomocí ní dalo při známém časovém průběhu vstupních veličin a známých dynamických vlastnostech systému jednoznačně určit průběhy výstupních veličin. Dalším požadavkem, který je kladen na stavové veličiny je, aby znalost hodnot stavových veličin v určitém okamžiku, spolu se znalostí následujících průběhů vstupních veličin a dynamických vlastností systému byla postačující pro jednoznačné určení následujících stavů systému. Stavové veličiny jsou časové funkce, určující jak vnitřní stav systému, tak jeho výstupní veličiny. Jednotlivé stavové proměnné nemusí v systému existovat, nebo nemusí být měřitelné. Mohou to být např. derivace, jejich lineární kombinace, či výstupní veličiny. Je ovšem vhodné, aby některé stavové veličiny odpovídaly skutečným veličinám systému. Podle rovnice 2.1 je vstupní, výstupní i stavový vektor sloupcový. Jeho jednotlivé složky tvoří vstupní, výstupní a stavové veličiny. Vztahy mezi těmito veličinami lze vyjádřit soustavou diferenciálních rovnic 1. řádu a systémem algebraických rovnic, které se dají stručně vyjádřit v maticovém tvaru x ' t= f [ x t ,u t] y ' t= g [ x t  ,u t]

(2.2) (2.3)

2Rozbor problematiky [6]

[]

[]

Strana 17

[]

u 1 t u t= u 2 t ... u r t

x1 t  x x t = 2 t ... x n t

y1 t  y y t= 2 t ... y p t 

vstupní vektor

stavový vektor

výstupní vektor

Rovnice (2.2), (2.3) jsou stavové rovnice nelineárního systému v maticovém tvaru. U lineárních systémů lze použít maticový tvar, který odpovídá rovnicím (2.2), (2.3) u nelineárních systémů:

x'(t)=Ax(t)+Bu(t) matice systému matice výstupu

y(t)=Cx(t)+Du(t)

rovnice dynamiky

(2.4)

rovnice výstupu

(2.5)

matice vstupu

matice přímé vazby výstupu na vstup

Rovnice dynamiky (2.4) a rovnice výstupu (2.5) jsou stavové rovnice spojitého lineárního systému. Tento systém je stacionární a jeho prvky s časem nemění své parametry. Maticemi A, B, C, D je plně určen vnitřní popis lineárního systému. Velmi často je matice přímé vazby vstupu na výstup D = 0. Volbu stavových veličin lze provést několika způsoby, protože stavové veličiny nejsou pro daný systém jednoznačné. 2.6

Stavový popis vodní elektrárny

2.6.1 Stavový popis s jedním úsekem potrubí Tento popis je vhodný pro vodní elektrárny s krátkým potrubím nebo pro případy, u kterých není požadována velká přesnost dotyčného modelu. Použité veličiny odpovídají obr. 2.2, kde jako stavovou veličinu volíme poměrnou změnu spádu DhT(t) a poměrnou změnu průtoku DqVN(t). Vstupní proměnnou je změna průtoku turbíny DqT(t) a výstupní proměnnou je v tomto případě změna spádu DhVN(t). Rovnice dynamiky je totožná s (2.6) a za výstupy popisu volíme stavové veličiny a vstupní veličinu. Veškeré odvození rovnic dynamiky je uvedeno v lit. [6]

Strana 18

2Rozbor problematiky [6]

Potrubí

Turbina

rH(o)

∆ hT ∆ qT

Vodní nádrž lH

∆ hVN

qVN cH

∆q

∆ qVN

rVN(o) ( ≈ 0)

∆h

Obr. 2.2 Model krátkého potrubí

 d∆ hT (t )    dt   0   =   d∆ qVN (t )   − 1    lH dt

1   cH − (rVN (o) + rH (o))   lH 

 − 1  ∆ hT (t )   cH  ⋅ ∆ qT (t ) ⋅ +   0  ∆ qVN (t )  

(2.6)

Hydraulická soustava u(t) = ∆ qT(t)

x (t ) = A ⋅ x(t ) + b ⋅ u (t )

y (t ) = C ⋅ x (t ) + d ⋅ u (t )

vstup x1(t) = ∆ hT(t)

x2(t) = ∆ qVN(t)

y1(t) = ∆ hT(t) y2(t) = ∆ qVN(t)

výstupy

y3(t) = ∆ qT(t) stavové veličiny

Obr. 2.3 Veličiny stavového popisu pro soustavu s jedním úsekem potrubí Zvolíme-li strukturu a veličiny popisu dle obr.2.3, pak pro příslušné matice a vektory platí:   0 A=  −1   lH

   − rH (o) − rVN (o)   lH  1 cH

 1  cH  b=      0  

1   C = 0    0

0   1   0

 0     d =  0      1

(2.7)

Vlastnosti tohoto modelu přesně odpovídají přenosovému modelu 2. řádu, podrobnější popis viz. lit. [6]. Stavový model zohledňuje ztráty třením. 2.6.2 Stavový popis s dvěma úseky potrubí Hydraulickou soustavu je vhodné rozdělit na dva úseky hlavně v případě, když potrubí má ve své délce dvě části, navzájem se lišící např. průměrem, sklonem, materiálem potrubí, atd. Dalším důvodem může být požadavek na přesnější model jinak homogenního potrubí.

2Rozbor problematiky [6]

Strana 19

Pak je výhodné trasu rozdělit na dva stejně dlouhé úseky, protože parametry v obou úsecích budou stejné a budou se snadněji stanovovat. Horní nádrž

x3(t) Δh2(t) 2. úsek

Délka L2 Průřez S2

x1(t) Δh1(t)=ΔhT(t)

1. úsek

Δq2(t)=ΔqVN(t)

x2(t) Dolní nádrž

S1

Délka L1 Průřez S1

Δq1(t) x .. = označení stavové veličiny

u(t)

vstupní veličina

ΔqT(t)

Turbina

x4(t)

Δ… = fyzikální význam

Obr. 2.4 Hydraulická soustava s dvěma úseky potrubí

Hydraulická soustava u(t) = ∆ qT(t)

y1(t) = ∆ hT(t) y2(t) = ∆ q1(t) y3(t) = ∆ h2(t) y4(t) = ∆ qVN(t) y5(t) = ∆ qT(t)

x (t ) = A ⋅ x (t ) + b ⋅ u (t ) y (t ) = C ⋅ x (t ) + d ⋅ u (t )

vstup spády: x1(t) x3(t) x (t) průtoky: 2

x4(t)

výstupy

stavové veličiny

Obr. 2.5 Volba veličin popisu pro soustavu s dvěma úseky potrubí Pro zvolené veličiny a strukturu stavového popisu platí rovnice

  0  −1  lH 1 A=    0    0 

1 cH 1

0

− rH 1(o) lH 1

1 lH 1

−1 cH 2

0

0

−1 lH 2

    0   b=  1  cH 2  − rH 2(o) − rHVN (o)   lH 2  0

 − 1  cH 1       0       0       0   

1   0   C = 0   0    0

(2.8)

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0   0   0   1    0

 0      0     d =  0      0        1

Strana 20

2Rozbor problematiky [6]

2.6.3 Stavový popis s třemi úseky potrubí Hydraulickou soustavu dělíme na tři úseky z obdobných důvodů jako v předchozí kapitole. Toto dělení je tedy potřeba použít v případě výskytu třech rozdílných částí hydraulického potrubí. Rovněž rozdělení na tři stejně dlouhé úseky použijeme i u potrubí neměnných vlastností po celé délce, jestliže požadujeme přesnější výsledky simulací než může poskytnout model jednodušší.

Horní nádrž

x5(t) Δh3(t) x3(t) Δh2(t) x1(t)

S3

2. úsek

x6(t)

S2

Δh1(t)=ΔhT(t)

Δq3(t)=ΔqVN(t)

x4(t) Δq2(t)

1. úsek

Dolní nádrž

S1

u(t) Turbina

3. úsek

ΔqT(t)

x2(t) vstupní veličina

Δq1(t)

x .. = označení stavové veličiny Δ… = fyzikální význam

Obr. 2.6 Hydraulická soustava se třemi úseky potrubí

Hydraulická soustava u(t) = ∆ qT(t)

vstup

x (t ) = A⋅ x(t ) + b ⋅ u (t )

y (t ) = C ⋅ x(t ) + d ⋅ u (t )

spády: x1(t) x3(t) x5(t) průtoky: x2(t) x4(t) x6(t)

y1(t) = ∆ hT(t) y2(t) = ∆ q1(t) y3(t) = ∆ h2(t) y4(t) = ∆ q2(t) y5(t) = ∆ h3(t) y6(t) = ∆ qVN(t) y7(t) = ∆ qT(t)

výstupy

stavové veličiny

Obr. 2.7 Volba veličin popisu pro soustavu s třemi úseky potrubí

2Rozbor problematiky [6]

Strana 21

Pro zvolené veličiny a strukturu stavového popisu platí rovnice:   0  −1   lH 1   0  A=   0    0     0

1 cH 1

0

0

0

− rH 1o lH 1

1 lH 1

0

0

−1 cH 2

0

1 cH 2

0

0

−1 lH 2

− rH 2o lH 2

1 lH 2

0

0

−1 cH 3

0

0

0

0

−1 lH 3

    0     0    0   1  cH 3   − rH 3o − rVNo   lH 3 0

 −1  cH 1       0       0    b=    0       0        0  

1   0   0   C =  0   0   0    0

(2.9)

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0   0   0   0   0   1   0

 0      0      0     d =  0      0      0      1

Teoreticky lze potrubí rozdělit na nekonečně velký počet úseků, ale ve většině vyšetřovaných případů je vhodné tento počet omezit. Omezení je kompromisem mezi požadavkem na velkou přesnost modelu, což vede na velký počet úseků, a mezi požadavkem na ještě přijatelnou rozsáhlost modelu, což naopak vede na malý počet úseků. 2.7

Stavová regulace výkonu vodní turbiny

2.7.1 Stavový model pro režim regulace výkonu V tomto modelu uvažujeme hydraulickou soustavu 2. řádu. Hydraulická trasa je složena pouze z jednoho úseku. Jedná se o model s hydraulickou částí 2. řádu. Jde o provoz do "tvrdé sítě", kdy změny výkonu analyzovaného turbosoustrojí z fyzikálních důvodů nemohou ovlivnit kmitočet sítě a tudíž i otáčky soustavy. Proto trvale platí limity Δn(t)=x4(t)=y4(t) → 0. Vlastnosti elektrizační soustavy se v tomto případě neprojevují. Výchozí vztahy pro rovnice dynamiky lze pak shrnout následovně: x1(t ) = ∆ y (t ) = fy (t ) ⋅ ∆ y (t ) + fw(t ) ⋅ ∆ wy (t ) x 2(t ) = ∆ hT (t ) = − 1 / cH ⋅ Kqy ⋅ ∆ y (t ) − 1 / cH ⋅ Kqh ⋅ ∆ hT (t ) + 1 / cH ⋅ ∆ qVN (t ) x 3(t ) = ∆ qVN (t ) = − 1 / lH ⋅ ∆ hT (t ) + (− rH (o) − rVN (o)) / lH ⋅ ∆ qVN (t )

(2.10)

Vztahy pro rovnice výstupu jsou následující: y1(t ) = y 2(t ) = y 3(t ) = y 4(t ) =

∆ y (t ) ∆ hT (t ) ∆ qT (t ) = Kqy ⋅ ∆ y (t ) + Kqh ⋅ ∆ hT (t ) ∆ pG (t ) = Kpy ⋅ ∆ y (t ) + Kph ⋅ ∆ hT (t ).

(2.11)

Strana 22

2Rozbor problematiky [6]

Maticový stavový zápis: x (t ) = A(t ) ⋅ x(t ) + b(t ) ⋅ u (t ) y (t ) = C (t ) ⋅ x(t ),

(2.12)

Ve fyzikálních veličinách lze vyjádřit následovně:

(2.13)

fy (t ) 0 0  ∆ y (t )     ∆ hT (t )  =  − 1 / cH ⋅ Kqy − 1 / cH ⋅ Kqh( yo )  1 / cH      ∆ qVN (t )  0 − 1 / lH (− rH (o) − rVN (o)) / lH 

 ∆ y (t )   1  ∆ hT (t )   0   =   ∆ qT (t )   Kqy     ∆ pG (t )  Kpy

 ∆ y (t )   fw(t ) ⋅  ∆ hT (t )  +  0  ⋅ ∆ wy (t )  ∆ qVN (t )  0 

0 0  ∆ y (t )  1 0  ⋅ ∆ hT (t )  Kqh( yo) 0    ∆ qVN (t ) Kph( yo) 0 

(2.14)

Parametry turbiny s označením Kqh(yo) až Kph(yo) jsou silně závislé na pracovním bodě, přesněji na otevření turbiny yo. Lze tedy použít zjednodušujících vztahů: Kqy = Kpy = 1, Kqh = 0.5.yo, Kph = 1.5.yo. Tlakové ztráty na vtoku rVN(o) můžeme často zanedbat. Potom platí následující velmi přibližný stavový popis:  ∆ y (t )   fy (t )  ∆ hT (t )  =  − 1 / cH     ∆ qVN (t )  0

0 0  − 1 / cH ⋅ 0,5 ⋅ yo 1 / cH  − 1 / lH − rH (o) / lH 

0  ∆ y (t )   1  ∆ hT (t )   0 1   =   ∆ qT (t )   1 0.5 ⋅ yo     ∆ pG (t )  1 1.5 ⋅ yo

0 0 0  0

 ∆ y (t )  ⋅  ∆ hT (t )   ∆ qVN (t )

 ∆ y (t )   fw(t ) ⋅  ∆ hT (t )  +  0  ⋅ ∆ wy (t )  ∆ qVN (t )  0 

(2.15)

(2.16)

Dále budeme uvažovat ve srovnání s předchozí kapitolou přesnější a univerzálnější řešení modelu. Hydraulická trasa je rozdělena na dva úseky, které mohou mít rozdílné vlastnosti. Jedná se o model s hydraulickou částí 4. řádu. Nadále musíme akceptovat fyzikální realitu uvažováním limity Δn(t) = x6(t) = y4(t) ® 0 . Při vyčíslování parametrů modelu dosazujeme limitní hodnoty pro velkou elektrizační soustavu, KpG,n, Tb ® ∞. Po úpravách dostaneme: (2.17) fy (t ) 0 0 0 0  ∆ y (t )     ∆ y (t )   fw(t )  ∆ hT (t )   − 1 / cH 1 ⋅ Kqy − 1 / cH 1 ⋅ Kqh 1 / cH 1   ∆ hT (t )   0  0 0          ∆ q1(t )  =   ⋅  ∆ q1(t )  +  0  ⋅ ∆ wy (t ) 0 − 1 / lH 1 − rH 1 / lH 1 1 / lH 1 0          0 0 − 1 / cH 2 0 1 / cH 2  ∆ h1(t )     ∆ h1(t )   0   ∆ qVN (t )  0 0 0 − 1 / lH 2 (− rH 2 − rVN ) / lH 2   ∆ qVN (t )  0 

2Rozbor problematiky [6]

0  ∆ y (t )   1  ∆ hT (t )   0 1   =   ∆ qT (t )   Kqy Kqh     ∆ pG (t )  Kpy Kph

 ∆ y (t )  0 0 0  ∆ hT (t )    0 0 0 ⋅  ∆ q1(t )  0 0 0     ∆ h1(t )  0 0 0  ∆ qVN (t )

Strana 23

(2.18)

Strana 25

3

MODELY POUŽITÉ PRO ŘEŠENÍ [6]

Níže uvedené modely pracují v souladu s modely, které jsou uvedené v kap. [6]. Jsou však pozměněny a doplněny pro potřeby numerické metody pružných polyedrů. Stavové řízení obecně a tudíž i jeho konkrétní provedení ve zde uvažované formě regulace výkonu vodní turbiny by mělo dosahovat lepších výsledků než regulace s jinými koncepcemi. To je dáno obecně tím, že při stavovém řízení jsou k dispozici úplné informace o vnitřních stavech, tj. o veličinách, které plně postihují statické a dynamické vlastnosti řízené soustavy. Využití úplných informací v jakémkoliv časovém okamžiku dává teoreticky možnost řízení podle jakýchkoliv pravidel, proto je nejčastěji stavové řízení používáno pro optimální řízení. Zásadní překážkou je neznalost všech stavových veličin, protože zpravidla některé veličiny nelze přímo nebo nepřímo měřit na daném řízeném systému. Je tedy nutné získat chybějící stavy ze speciálního modelu, který se nazývá rekonstruktor. Systém si v rekonstruktoru modeluje řízenou soustavu za účelem získání odhadů stavových veličin, přičemž chod modelu je korigován (odhad stavu je upřesňován) dle dostupných skutečných hodnot měřených veličin soustavy. Druhou nezbytností je volba pravidel řízení. Nejčastěji jsou definovány ve formě integrálního kritéria (funkcionálu), jehož velikost má být při řízení minimální. Kritérium většinou pokutuje výskyt kvadrátů odchylek stavových veličin od jejich požadovaných hodnot a taktéž pokutami zohledňuje velikost akčních zásahů během řízení. Třetí překážkou a systémovou nutností je práce regulátoru jen s odchylkami stavových veličin od svých hodnot pracovního bodu. V případě velkých provozních změn je potřeba řešit problém změn pracovního bodu a s tím spojené problémy s přepočítáváním stavových, výstupních a vstupních veličin. Obecné schéma stavového řízení s rekonstruktorem pro odhad stavu soustavy je na obr. 3.1. Vůči již dříve použitému stavovému popisu s maticemi A, B ,C je zde nově matice L pro korekci od odchylek výstupních veličin a matice K pro realizaci vlastního zákona řízení. Stanovení prvků matice K je hlavním úkolem syntézy řízení, přičemž akční veličiny u jsou lineární kombinací z odhadovaných (rekonstruovaných) stavových veličin xr. Řízená soustava

u

B

x´

x

y

C

Výstupní veličiny

A Rekonstruktor

L B

Akční veličiny

x´r

xr

C

A

Rekonstruované stavové veličiny

K

Realizace zákona řízení

yr

Obr. 3.1 Obecné schéma stavového řízení s rekonstruktorem

Strana 26

3.1

3Modely použité pro řešení [6]

Úprava stavového popisu pro účely regulace

V následující kapitole je popsáno využití stavové regulace pro účely regulace výkonu Francisovy vodní turbiny. V regulované soustavě uvažujeme jeden úsek potrubí s dynamikou 2. řádu dle kap. 2.7.1. S jednodušším modelem potrubí 1. řádu nemá smysl pracovat, protože by se nemohl projevit přínos stavové regulace a naopak složitější model je pro účel ukázky zbytečně komplikovaný a padá v úvahu jen pro náročné aplikace (potrubí s délkou nad stovky metrů, atd.). Základní část samotné regulované soustavy má následující popis rovnic dynamiky: x1(t ) = ∆ y (t ) = fy (t ) ⋅ ∆ y (t ) + fw(t ) ⋅ ∆ wy (t ) x 2(t ) = ∆ hT (t ) = − 1 / cH ⋅ Kqy ⋅ ∆ y (t ) − 1 / cH ⋅ Kqh ⋅ ∆ hT (t ) + 1 / cH ⋅ ∆ qVN (t ) x 3(t ) = ∆ qVN (t ) = − 1 / lH ⋅ ∆ hT (t ) + (− rH (o) − rVN (o)) / lH ⋅ ∆ qVN (t )

(3.1)

S následujícími rovnicemi výstupů: y1(t ) = y 2(t ) = y 3(t ) = y 4(t ) =

∆ y (t ) ∆ hT (t ) ∆ qT (t ) = Kqy ⋅ ∆ y (t ) + Kqh ⋅ ∆ hT (t ) ∆ pG (t ) = Kpy ⋅ ∆ y (t ) + Kph ⋅ ∆ hT (t ).

(3.2)

Pro regulaci je nutné přizpůsobit model pro vstup žádané hodnoty výkonu ΔwpG(t). Dále je vhodné soustavu rozšířit o stavovou veličinu x4(t). Tato veličina bude mít význam integrační složky v regulaci výkonu a tím se zajistí nulová regulační odchylka v ustáleném stavu. Hodnotu integrace odchylky výkonu označíme IepG(t) a použijeme ji taktéž jako výstupní veličinu y5(t). Nové rozšiřující veličiny jsou tedy definovány takto: x4(t) = IepG(t) =

∫ [∆ w

pG

(t ) − ∆ pG (t )] ⋅ dt

y5(t) = x4(t)= IepG(t)

(3.3)

Jelikož pro změnu výkonu platí ΔpG(t) = Kpy · Δy(t) + Kph · ΔhT(t), budou rovnice dynamiky a rovnice výstupu rozšířeny o jeden řádek s tímto obsahem: x 4(t ) = − Kpy ⋅ ∆ y (t ) − Kph ⋅ ∆ hT (t ) + ∆ wpG (t )

y 5(t ) = x 4(t ).

(3.4)

Odpovídající stavový popis v maticové formě zápisu: x (t ) = A(t ) ⋅ x(t ) + B(t ) ⋅ u (t ) y (t ) = C (t ) ⋅ x(t )

(3.5)

3Modely použité pro řešení [6]

Strana 27

A s dosazením fyzikálních veličin pak můžeme vyjádřit následovně: fy (t ) 0 0  ∆ y (t )    ∆ hT (t )   − 1 / cH ⋅ Kqy − 1 / cH ⋅ Kqh( yo) 1 / cH  =   ∆ qVN(t )  0 − 1 / lH (− rH (o) − rVN(o)) / lH     − Kph( yo) 0  IepG(t )   − Kpy  ∆ y (t )   1  ∆ hT (t )   0     ∆ qT (t )  =  Kqy     ∆ pG (t )  Kpy  IepG (t )   0

0 1 Kqh( yo) Kqh( yo) 0

0 0 0 0 0

0 0 0  0 1

(3.6)

0  ∆ y (t )   fw(t ) 0  ∆ hT (t )   0 ⋅ + 0  ∆ qVN (t )  0     0  IepG(t )   0

 ∆ y (t )   ∆ hT (t )   ⋅  ∆ qVN (t )    IepG (t ) 

0 0  ∆ wy (t )  ⋅ 0  ∆ wpG(t )  1

(3.7)

Tento stavový popis je pro zvolenou strukturu modelu regulované soustavy a pro režim regulace výkonu obecně platný. Prvky matic A, B, C jsou časově proměnné a závislé na pracovním bodě turbiny. Pro aplikace s nižší potřebnou přesností regulace můžeme za parametry turbiny dosadit zjednodušující vztahy Kqy=Kpy=1, Kqh=0.5·yo, Kph=1.5·yo, a také můžeme zanedbat tlakové ztráty na vtoku rVN(o). Potom dostaneme přibližný popis ve tvaru (3.8). Pokud by regulace byla uvažována jen pro lineární režim silové části (značně silný předpoklad), pak lze soustavu považovat za časově invariantní, v matici A bychom za prvek fy(t) dosadili konstantní hodnotu -1/TS a v matici B za fw(t) hodnotu 1/TS.  ∆ y (t )   fy (t )  ∆ hT (t )   − 1 / cH   =   ∆ qVN (t )   0      IepG (t )   − 1

0 0 − 1 / cH ⋅ 0.5 ⋅ yo 1 / cH − 1 / lH − rH (o) / lH − 1.5 ⋅ yo 0

0  ∆ y (t )   1  ∆ hT (t )   0 1     ∆ qT (t )  =  1 0.5 ⋅ yo     ∆ pG (t )  1 1.5 ⋅ yo  IepG (t )   0 0 3.2

0 0 0 0 0

0 0 0  0 1

0 0 0  0

 ∆ y (t )   fw(t )  ∆ hT (t )   0 +  ⋅  ∆ qVN (t )  0     IepG (t )   0

0 0 0  1

 ∆ wy (t )  ⋅  (3.8)  ∆ wpG (t )

 ∆ y (t )   ∆ hT (t )   ⋅  ∆ qVN (t )    IepG (t ) 

Základní varianta regulace

K analýze vlastností a přenosů stavové regulace použijeme zjednodušený případ řešení. Zjednodušení spočívá v tom, že: – –

není použit rekonstruktor, stavové veličiny se odebírají přímo z modelu soustavy, jde tedy o ekvivalenci případu s použitím ideálního rekonstruktoru, regulovaná soustava je modelována popisem (3.8), tj. s hydraulickou soustavou 2.řádu.

Strana 28

3Modely použité pro řešení [6]

x1(t

1/TS

x2(t)

B

x3(t) ΔwpG(t) vstup žádaného výkonu

Δy(t)

1

ΔhT(t) ΔqT(t)

1 0.5·yo

x4(t)

1

1

ΔpG(t)

1 1.5·yo

-1/TS

1

-1/cH -1/cH·0.5·yo 1/cH

Δwy(t)

-1/lH

akční zásah

-rH(o)/lH -1

k

A

-1.5·yo

k1 k2 k3 k4

Obr. 3.2 Schéma stavové regulace výkonu

C

regulovaný výkon

IepG(t)

3Modely použité pro řešení [6]

Strana 29

Stavová re gulace výk onu

b11

dw p

x2

1 dhT

x3

1 s

1

x4

1 s

1

pl

1 T o W o rk sp a c e 2

1 s

V stu p žá d a n é h o výko n u

dy

x1

1 s

1 /T s

dqT

0 .5 *y o

S cope

b42

0 1

a11

dpG

-1 /T s

J k= v y sle d e k kv a lity 1

1 .5 *y o

a21 -1 /c H

1

a22 -1 /c H * 0 .5 * y o a23 1 /c H a32 -1 /l H a33 -rH /lH a41 -1 a42 -1 .5 * y o

Re a l iza ce zá ko n a ríze n í

C 1 k1

0

k1 1

0

k2 C 2

2

k2 k3 k3

C 3

k4

C 4

0 3 0

k4 4

Obr. 3.3 Model stavového řízení v prostředí Simulink Jednotlivé konstanty, které obsahují informace o délce L přiváděcího potrubí elektrárny a o době trvání náběhu vody Tw jsou v průběhu hledání optimálních zpětnovazebních koeficientů k1, k2, k3, k4 postupně měněny pro zjištění hodnot a závislosti koeficientů na těchto konstantách. Koeficient k1 má nejmenší vliv na průběh přechodové charakteristiky, koeficient k2 má vliv na začátek otevírání, k3 více tlumí a k4 je základní parametr, který má vliv na překmity. Pro nalezení optimálního nastavení stavového regulátoru je nutné stanovit kritéria, podle nichž se bude optimum hledat a hodnotit výsledky v průběhu optimalizace. Problémem vhodného kritéria kvality se zabývá kap. 3.3. Hydraulická soustava je zde simulována modelem 2. řádu. Ještě přesnějšího řešení bychom dosáhli aplikací modelu 4. a event. 6. řádu, ale tím by se podstatně zvýšila náročnost popisu soustavy a syntézy regulace, přičemž přínos v kvalitě řízení by nebyl adekvátní. 3.3

Hodnocení kvality regulace [7]

Regulace výkonu patří do úloh automatického řízení z energetiky, kde se vyskytuje soustava s neminimální fází. Vstupem je otevření turbiny a přechodová charakteristika obsahuje nežádoucí efekt tlakového rázu vody v potrubí v podobě záporné reakce na počátku přechodové charakteristiky viz. obr (3.4). Předpokládáme použití kritéria pro optimální nastavení regulace, tj. při hledání vektoru k, u kterého dosáhne kritérium své minimální hodnoty. Požadavky na toto kritérium kvality jsou: – Je nutné vyhodnocovat přechodovou charakteristiku řízení, – Největší význam má velikost a doba trvání záporné odchylky výkonu, – Vyhodnocovat dobu trvání k dosažení požadované úrovně výkonu, – Překmit výkonu by měl být malý.

Strana 30

3Modely použité pro řešení [6] otevření turbiny

změna otevření

t

0 výkon oblast záporné

reakce t 0

Obr. 3.4 Přechodová charakteristika regulované soustavy s neminimální fází Podstatou navrženého kritéria je, že hodnota Jk je součtem tří dílčích kritérií: J k =J p r  J n r J u  r  , kde Jp(r) je složka, která hodnotí pozitivní oblast přechodové charakteristiky Jn(r) je složka, která hodnotí negativní oblast přechodové charakteristiky Ju(r) je složka, která hodnotí změny akční veličiny, tj. pokutuje nadměrné regulační změny.

Obr. 3.5 Přechodová charakteristika a definice kritéria kvality Pozitivní oblast Jp(r) je hodnocena podobně jako u standardních kritérií. Je základní částí, proto není v součinu s váhou. Hodnocení pozitivní oblasti Jp(r) začíná až po čase t0, ∞

mp

J p  r =∫ ∣ y ∞− y t ∣ t−t 0 dt t0

kde se mocnina volí nejčastěji mp =2.

(3.9)

3Modely použité pro řešení [6]

Strana 31

Druhá kriteriální složka Jn(r) zohledňuje atypickou negativní oblast přechodové charakteristiky od počátku přechodové charakteristiky do doby t=t0 a to takto: mn

J n r =∣v n∣

t0

∫∣ y t∣m dt n

(3.10)

0

Mocninu obou členů je vhodné volit například mn = 3, čímž se dosáhne vysokého pokutování velkých hodnot pouze v rámci negativní oblasti (čím vyšší hodnota, tím je tento efekt výraznější). Váha vn je volena tak, aby Jn(r) měla srovnatelnou velikost s Jp(r) a tím aby byla dostatečně zdůrazněna negativní oblast charakteristiky jako celek. Třetí kriteriální složka Ju(r) je méně významná, proto ji lze v méně náročných aplikacích vynechat. Při regulaci výkonu vodní turbiny je tato složka zachována. Hodnocení zahrnuje celou dobu přechodového děje. Její tvar je: mu

J u r =∣v u∣

∞ 0

mu

∣ ∣

∫

dut  dt

dt

(3.11)

Mocnina je standardně volena mu = 2. Váha vu se volí s ohledem na míru závažnosti této složky. Pokud například změny velikosti akční veličiny způsobují mechanické pohyby, pak je vhodná větší váha. Pokud naopak velké a četné změny akční veličiny nevadí, pak lze volit malou nebo nulovou váhu. Je patrné, že v kriteriální funkci kvality regulace je dosti volitelných parametrů na to, aby byl optimalizační proces vhodně ovlivněn. Správná volba těchto parametrů vyžaduje určité zkušenosti a analytické schopnosti v posuzování regulačních úloh. Při hledání optimálních koeficientů stavového regulátoru výkonu vodní turbiny byly v kritériu kvality regulace postupně zkoušeny volitelné parametry kritéria, což vedlo ke třem variantám výsledků, pro tři různé váhy pokut negativní oblasti vn. Dále byly zkoumány vlivy mocniny mp u pozitivní oblasti, mocniny mn u negativní oblasti a také mocniny mu u kriteriální složky Ju(r). Dle pokusných zjištění byly tyto hodnoty ponechány na standardních velikostech, i když i při jiných hodnotách byly výsledky optimalizace velmi slušné. 3.4

Realizace kritéria kvality v prostředí Matlab-Simulink

Uvedené kritérium kvality regulace je aplikováno na regulaci výkonu vodní turbiny v simulačním prostředí Simulink, které je nadstavbou vývojového prostředí Matlab od firmy MathWorks. Ke vztahům z kapitoly 3.3 byla v souladu s lit. [6] navržena schémata, která plní funkci vyhodnocování kritéria kvality ve formě modelů. Model je postupně uspořádaný, vyšší úrovně jsou znázorněny na obr. 3.6, nižší úrovně s detailními schématy jsou na obr. 3.7. Na obr. 3.6 je hlavní blok, který má tři vstupy: – pG vstup výkonu generátoru, – e vstup regulační odchylky, – wy vstup akční veličiny a čtyři výstupy: – J výsledek kvality regulace, – Jp složka, která hodnotí pozitivní oblast kritéria, – Jn složka, která hodnotí negativní oblast kritéria, – Ju složka, která hodnotí změny akční veličiny.

Strana 32

3Modely použité pro řešení [6]

Obr. 1

Obr. 3.6 Celkové schéma jako jeden blok

Obr. 3.7 Schéma tří dílčích kritérií

3Modely použité pro řešení [6]

Strana 33

Obr. 3.8 Subsystém pro vyhodnocování kvality regulace pozitivní části přechod. děje

Obr. 3.9 Subsystém pro vyhodnocování kvality regulace negativní části přechod. děje

Obr. 3.10 Subsyst. pro vyhodnocování kvality regulace z hlediska rychlosti akční veličiny

Strana 34

3.5

3Modely použité pro řešení [6]

Celkové schéma regulace výkonu

Je tvořeno základním modelem stavového řízení propojeného s modelem kritéria kvality v prostředí Simulink, viz. obr. 3.11.

Obr. 3.11 Celkové schéma regulace výkonu

3Modely použité pro řešení [6]

3.6

Strana 35

Popis metody pružných polyedrů

Metoda pružných polyedrů, nazývaná též simplexová metoda, či metoda pružných simplexů, je jedna z mnoha variant metod víceparametrové lineární optimalizace, která se zabývá hledáním extrému funkcí více proměnných. Metoda používá pro hledání extrému účelovou funkci. Tato metoda přímého hledání nevyžaduje znalost derivací funkce f  x  , a proto odpadá složitá příprava výrazů pro derivaci před vlastním řešení úlohy, nebo pracné a nepřesné přibližné stanovení derivací v případě, že matematické odvození derivací je příliš složité, nebo že funkce není analyticky zadaná. Obecně u metod přímého hledání volíme pokusné hodnoty, určíme okamžitý nejlepší výsledek a podle vhodné strategie na základě dosavadních výsledků volíme nové pokusné hodnoty. Základem metody je hledání lokálního extrému pomocí simplexů. Simplex je regulární polyedr s N+1 vrcholy, kde N značí počet proměnných. Tedy např. pro dvě proměnné je to rovnostranný trojúhelník, pro tři proměnné čtyřstěn, atd. Při hledání minima účelové funkce N proměnných se postupuje následovně: v každém vrcholu simplexu se určí hodnota účelové funkce, vrchol s nejhorší (maximální) hodnotou funkce se vynechá a zvolí se nový vrchol, obvykle tak, že se promítne vynechávaný vrchol těžištěm zbývajících vrcholů na opačnou stranu. Tím vznikne nový simplex a postup se opakuje. Základní polyedr se zpravidla volí jako pravidelný. Simplex během hledání mění svůj tvar, nebo redukuje svou velikost. Tyto pružné změny zabraňují oscilacím kolem extrému a zrychlují hledání. 3.6.1 Odvození algoritmu numerické metody pružných polyedrů [4] 1

1. Zvolíme jeden vrchol simplexu  x1, x2, ... , xn  a délku hrany simplexu a. Poté sestrojíme simplex tak, že jeho vrcholy budou mít souřadnice x ij =x ijij

(3.12)

kde index j udává pořadí bodu a ij =

{a   N 1N −1}  N  2

pro j=i1

{a   N 1−1}  N  2

pro j ≠i1

ij =

(3.13)

(obr. 3.12 vrcholy 1, 2, 3) 2. Vypočítáme hodnoty účelové funkce ve vrcholech x j simplexu f 1, f 2, ... , f n1 . 3. Najdeme „nejhorší“ vrchol (tj. nejhorší vrchol, ve kterém má účelová funkce nejvyšší hodnotu) x W a „nejlepší“ vrchol (s nejnižší hodnotou účelové funkce) B x .

Strana 36

3Modely použité pro řešení [6]

4. Nový vrchol volíme na spojnici těžiště a vrcholu

x W , jeho souřadnice jsou

x iN 2=1  xti − x W i

(3.14)

(obr. 3.12 vrchol 4) kde x ti je souřadnice těžiště N 1

1 x =  ∑  xij − x Wi  N j=1 t i

(3.15)

a 0 je koeficient (doporučuje se hodnota =1 ). 5. Jestliže f  x N 2  f  x B  , tj. nový vrchol je lepší, krok prodloužíme např. na dvojnásobek (obr. 3.3, vrchol 5). Souřadnice prodlouženého vrcholu jsou N 3

xi

t

=1− x i  x

N 2

(3.16)

=2 . Jestliže f  x N 3 f N 2 , vrchol x W kde 1 doporučuje se nahradíme vrcholem x N 3 , provedla se expanze simplexu, (obr. 3.12 vrchol 5) v opačném případě vrcholem x N 2 , provedla se reflexe simplexu (obr. 3.12 vrchol 4). Dále pokračujeme bodem 7. 6. Jestliže

f  x N 2  f  x B  , vypočítáme souřadnice nového vrcholu x iN 3= bi 1− x ti

;

(3.17)

i=1,.... , N

kde ∈0,1 , doporučuje se =0,5 a bi =x Wi

pro

f  x W  f  X N 2  (3.18)

bi =x

jestliže

N 3 i

pro

f x

N 3

 fb

W

f  x  f  X

N2



(3.19)

sestrojíme nový simplex, redukcí, vrcholy budou mít souřadnice (obr. 3.12 vrcholy 2, 7, 8).  x ij  X BI  2

(3.20)

Jestliže podmínka (3.19) není splněna, bod x W nahradíme bodem x  N 3 , provedeme externí kontrakci simplexu (obr. 3.12 vrcholy 2, 3, 6), nebo interní kontrakci (obr. 3.12 vrcholy 2, 3, 9) v závislosti na (3.18) a pokračujeme od bodu 7. 7. Pokud je splněna přesnost, výpočet ukončíme. V opačném případě pokračujeme od bodu 3.

3Modely použité pro řešení [6]

Strana 37

Pro ukončení hledání použili tvůrci této metody Nelder a Mead jednoduchého kritéria (3.21), [5]. Porovnáním dvou hodnot tohoto kritéria při dvou po sobě jdoucích iteracích se zjistí velikost odchylky a ta se porovná s ε. K ukončení hledání dojde, pokud je odchylka větší než ε.



1 N 1

N 1

∑ [ f  x ki − f  x kN 2 ]2

(3.21)

≤ 

i=1

Ve vývojovém diagramu (obr. 3.13) je toto kritérium označeno jako kr1 a kr2, ε je zvolené malé číslo. Pružné polyedry vytvářené dle výše uvedených pravidel se samy adaptují podle tvaru účelové funkce, v táhlých sklonech se prodlužují, mění směr v zakřivených údolích a zmenšují se v blízkosti minima. To vše zpřesňuje a urychluje výpočet lokálního extrému. Volba koeficientů α, β, γ bývá určitým problémem. Po mnoha experimentech i teoretických výpočtech jsou doporučeny již uvedené hodnoty α=1, β=0,5, γ=2. 3 9 1

5 8

6

4

7 2 Obr. 3.12 Změny tvaru polyedru

Strana 38

3Modely použité pro řešení [6] START N, a, α, β, γ, x1, ε, kr1,kr2

VÝPOČET VRCHOLŮ SIMPLEXU x 2,......., x N+1 VÝPOČET f 1,......., f N+1 ; f i = [x i]

1 ANO

|kr1-kr2|>ε

STOP

NE |kr1-kr2| NALEZENÍ NEJLEPŠÍHO A NEJHORŠÍHO BODU x B , xW VÝPOČET TĚŽIŠTĚ x t xN+2 =(1+α)xit – α xiW ; i=1,...N VÝPOČET f N+2

ANO xiN+3 = (1-γ)xit + γ xiN+2 ;

F expanze xW=x N+3

NE

i=1,....,N

F >f

NE N+3


interní

N+2

externí

b=x N+2

XiN+3 = βbi+(1-β)xit ; i=1,...,N

N+2

reflexe xW=x N+2

VÝPOČET f N+3 ANO

redukce

F N+3>f B

VYTVOŘENÍ NOVÉHO SIMPLEXU

1

ANO W

b=x W

VÝPOČET f N+3

ANO

NE

f N+1 < f B

NE kontrakce x W =x N+3

VÝPOČET kr

Obr. 3.13 Vývojový diagram hledání minima funkce f(x1, x2,...., xn) simplexovou metodou

3Modely použité pro řešení [6]

3.7

Strana 39

Pracovní prostředí Matlab-Simulink [8, 9]

Matlab je integrované vysoce výkonné efektivní prostředí pro vědeckotechnické výpočty, návrhy algoritmů, simulace, modelování, analýzu a prezentaci dat, měření a zpracování signálů, návrhy řídicích a komunikačních systémů. MATLAB je nástroj jak pro interaktivní práci, tak pro vývoj širokého spektra aplikací. Jeho základní datový typ je dvourozměrné, od verze 5 vícerozměrné pole, ve kterém není nutné deklarovat rozměry. Otevřená architektura Matlabu umožňuje rozšiřování o vlastní uživatelské funkce, velký počet dostupných balíků hotových funkcí (tzv. Toolboxů). Základním nástrojem výpočetního systému je uživatelské rozhraní MATLAB Desktop. Programovací jazyk obsahuje všechny nezbytné příkazy pro psaní programů, jako jsou větvicí příkazy, podmíněné příkazy, cykly a podobně. Další významnou předností programovacího jazyka Matlab je jeho těsná integrace s jazykem Java, to však v určitých případech u verzí 7.0 a nižších vytváří komplikace, které jsou spolu s jejich možným řešením uvedeny v kap. 6.2. Kromě modulů jazyka Java je možné k Matlabu připojovat také moduly napsané v jazyce C a ve Fortranu. Simulink je samostatný program pro simulaci a modelování dynamických systémů, který využívá algoritmy Matlabu pro numerické řešení nelineárních diferenciálních rovnic. Umožňuje graficky vytvářet modely dynamických soustav ve formě blokových schémat a získání grafického řešení nelineárních diskrétních diferenciálních rovnic. Simulink, stejně jako Matlab, dovoluje také připojovat funkce napsané uživateli v jazyce C. Uživatelské rozhraní Simulinku je nezávislé na počítačové platformě.

Strana 41

4

KONCEPCE NÁVRHU ŘEŠENÍ

4.1

Implementace metody pružných polyedrů na stavový regulátor výkonu turbiny

Při implementaci numerické metody pružných polyedrů zůstává její princip v celém rozsahu zachován. Při implementaci na stavový regulátor vodní turbiny bylo odzkoušeno několik variant algoritmů této metody. Nejlepší varianta je uvedena ve vývojovém diagramu na obr. 3.4. Optimalizace koeficientů k1, k2, k3, k4 se provádí postupně pro otevření turbiny od 10 do 100%, dále jsou v algoritmu zohledněny následující parametry vodní elektrárny: délka potrubí L=150m, L=500m, L=1500m, doba náběhu vody Tw=1s, Tw=1,5s, Tw=2s a také tři různé váhy pokut negativní oblasti kriteriální funkce vn pro hodnoty vn=28%, 40% a 52% celkové hodnoty kriteriální funkce Jk, která je popsána v kap. 3.3. Výsledky optimalizace stavových koeficientů k1, k2, k3, k4 pro otevření vodní turbiny od 10 do 100% a všechny výše uvedené kombinace parametrů vodní elektrárny jsou během výpočtu ukládány do matice a také automaticky ukládány do jednotlivých souborů, jak ve formátu *.mat (pro možné pozdější použití v prostředí Matlab), tak ve formátu *.txt (pro libovolné zpracování jiným softwarem). Pro ilustraci jsou graficky zobrazeny zpětnovazební koeficienty k1, k2, k3, k4 pro střední hodnoty L, Tw, vn a všechna otevření vodní turbiny. Při obecném popisu metody pružných polyedrů je stanovení délky strany polyedru a volitelné. Při implementaci numerické metody na stavový regulátor výkonu vodní turbiny bylo však nutné stanovit délku strany polyedru a takovou, aby žádný z vrcholů polyedru neležel v nepřípustné oblasti řešení. Regulační obvod musí být stále stabilní. Vzhledem k tomu, že se numerická metoda řídí pomocí kriteriální funkce, (popsané v kap. 3.3), která hodnotí velikost plochy regulační odchylky od požadované hodnoty a přitom se snaží tuto plochu minimalizovat, může numerická metoda hledat minimum kriteriální funkce v nepřípustných oblastech řešení. K tomuto nežádoucímu jevu může docházet zejména při kombinaci hodnot parametrů tw=1 s a L=1500 m. Z výše uvedeného vyplývá, že všechny vrcholy polyedru se nesmí vyskytovat v příliš velké vzdálenosti od heuristicky nalezeného optimálního vrcholu, při kterém je přechodový děj stabilní. Vhodnou velikostí je a=0,01. Otázkou ale zůstává, zda numerická metoda neskončí v lokálním extrému.

Strana 42

4.2

4Koncepce návrhu řešení

Algoritmizace

START N, α, β, γ, x1

3 iL=1, 2, 3

ANO

NE iL=1

ANO L=150

iL=2

NE L=1500

L=150

2 itw=1, 2, 3

itw=1 itw=2 Tw=1

Tw=1,5

l H=Tw cH=(L^2*ro)/(Tw*K)

1 ivn=1, 2, 3

yo=1, 0,9,...,0,1

clc; n=0 rH=0.015*yo

Tw=2

4Koncepce návrhu řešení

Strana 43

yo=1 b=[-0.1 0.1 -0.3 0.3] k1=b(1), k2=b(2) k3=b(3), k4=b(4) vn=0 simulace PocetJ=size(J) Jk=J(PocetJ(1,1),1) Pocetitegral=size(integral) Výpočet integralk ANO vn=28%

NE

ivn=1

ivn=1 ANO

NE

vn=40%

vn=52%

NUM. METODA

Uložení informací o optimalizaci

Resetování kr1,kr2=1

Vytvoření názvu souboru .txt

Soubor .txt

Strana 44

4Koncepce návrhu řešení

Vytvoření názvu souboru .mat

Soubor .mat

ANO

Hw=2 & ivn=2

Výpočet souradnic y pro k1-k4

Vtvoř grafy pro k1-k4

Ulož grafy pro k1-k4

1

2

3 STOP

NE

Strana 45

5

NAVRŽENÉ PROGRAMOVÉ ŘEŠENÍ

Samotné programové řešení numerické metody pružných polyedrů pro nalezení optimálních zpětnovazebních koeficientů je řešeno ve vývojovém prostředí Matlab. Program je rozdělen do tří M-souborů. Dva soubory obsahuji pomocné funkce, jeden obsahuje hlavní program. Funkce v Matlabu umožňují efektivní algoritmizaci úlohy a musejí se vytvářet podle určitých pravidel. První M-soubor obsahuje pomocnou funkci pro spuštění simulace v prostředí Simulink a výpočty proměnných z prostředí Simulink, se kterými je dále pracováno v prostředí Matlab. Soubor má název simul.m. Druhý M-soubor obsahuje pomocnou funkci pro zobrazení a uložení grafů. Jsou zde vykreslovány a uloženy čtyři grafy. První graf zobrazuje závislost zpětnovazebního koeficientu k1 na otevření turbiny yo, druhý graf zobrazuje závislost zpětnovazebního koeficientu k2 na otevření turbiny yo, analogicky platí závislost i pro třetí a čtvrtý graf. Funkce je uložena v souboru s názvem grafy.m Třetí M-soubor obsahuje hlavní algoritmus pro hledání optimálních zpětnovazebních koeficientů. Má název GenPar_ReVy_Stav.m. Kompletní výpis celého programu je v příloze P1. 5.1

Funkce simul Tato funkce, obsažená v souboru simul.m má pět vstupních a dva výstupní parametry. Vstupní parametry jsou: – yo udává míru otevření turbiny – k1,k2,k3,k4 hodnoty zpětnovazebních koeficientů se kterými se provede simulace. Výstupní parametry jsou: – –

f proměnná obsahuje hodnotu výsledku kriteriální funkce Jk pro další zpracování numerickou metodou v GenPar_ReVy_Stav.m, infob je informační matice o rozměru 1 x 8, ve kterém se nacházejí hodnoty yo, k1, k2, k3, k4, pGm, Tok, Jk. Tyto hodnoty jsou dále zpracovány dalšími částmi hlavního programu pro účely vizualizace dat.

Popis lokálních proměnných funkce: – – – – –

PocetJ proměnná obsahuje hodnotu velikosti pole J, Jk zde je uložena hodnota, prvku pole J o souřadnicích PocetJ, 1, což je konečná hodnota pole J, Pocetto proměnná obsahuje hodnotu velikosti pole to, Tok je hodnota prvku pole to o souřadnicích Pocetto, 1, což je konečná hodnota pole to, pGm obsahuje minimální hodnotu pole pG.

Strana 46

5Navržené programové řešení

Výpis zdrojového kódu funkce simul: function [f,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4) % funkce pro zpusteni simulace modelu ReVy_stav sim('ReVy_stav'); PocetJ=size(J); Jk=J(PocetJ(1,1),1); f=Jk; Pocetto=size(to); Tok=to(Pocetto(1,1),1); pGm=min(pG); infob(1,1:8)=[yo,k1,k2,k3,k4,pGm,Tok,Jk]; end 5.2

Funkce grafy Funkce, obsažená v souboru grafy.m má čtyři vstupní parametry: –

–

–

–

infoa je informační matice o rozměru zk x 8, kde zk označuje počet řádků a 8 počet sloupců. V matici jsou uloženy hodnoty veličin yo, k1, k2, k3, k4, pGm, Tok, Jk. Při volání funkce grafy, nabývá proměnná zk hodnotu 10, ivn nabývá velikosti 1, 2, 3. Jde o proměnnou, která kóduje procentuelní velikost váhy negativní oblasti vn pro počítání v cyklu a pro kódování názvu souboru, ve kterém je uložen graf pro zobrazení parametrů, které jsou uložené v matici infoa. Pokud je váha negativní oblasti vn rovna 28%, je proměnná ivn rovna jedné, jestliže je váha vn rovna 40%, je proměnná ivn rovna dvěma a pokud je váha vn rovna 52%, je proměnná ivn rovna třem, itw nabývá velikosti 1, 2, 3. Je to proměnná, která kóduje velikost časové konstanty náběhu vody v potrubí Tw, pro počítání v cyklu a pro kódování názvu souboru, ve kterém je uložen graf pro zobrazení parametrů, které jsou uložené v matici infoa. Pokud je časová konstanta náběhu vody v potrubí rovna jedné sekundě, je proměnná itw rovna jedné, jestliže je doba náběhu vody rovna jedné a půl sekundě, je proměnná itw rovna dvěma a pokud je časová konstanta náběhu vody v potrubí rovna dvěma, je proměnná itw rovna třem, iL nabývá velikosti 1, 2, 3. V této proměnné se kóduje velikost délky potrubí L, pro počítání v cyklu a pro kódování názvu souboru, ve kterém je uložen graf pro zobrazení parametrů, které jsou uložené v infoa. Jestliže je délka potrubí L rovna 150 m, je proměnná iL rovna jedné, pokud je délka potrubí rovna 500 m je proměnná iL rovna dvěma a při délce potrubí 1500 m je iL rovna třem.

Popis funkce: – Na začátku funkce jsou zavřena všechna grafická okna. – Je zadán vektor sx souřadnice x, která udává otevření turbiny yo. Souřadnice x je stejná pro všechny čtyři grafy. – Vektor syk1 souřadnice y obsahuje hodnoty zpětnovazebního koeficientu k1 pro jednotlivá otevření turbiny yo. Vektor je získán z matice infoa, ze sloupce 2 a řádků 1 až 10. Obdobným způsobem jsou definovány i zbývající vektory syk2, sky3, syk4 pro vykreslování koeficientů k2, k3, K4.

5Navržené programové řešení –

–

– – – – –

Strana 47

Body nalezené numerickou metodou jsou v grafech vykreslovány tečkami. Křivka je aproximována polynomem 3. stupně. Aproximace byla provedena pomocí funkce polyfit, která požívá metodu nejmenších čtverců: p=polyfit(sx,syk1,3), kde sx je vektor hodnot nezávisle proměnné, syk1 je vektor hodnot závisle proměnné, 3 je stupeň polynomu, polynomu P(x). Hodnoty polynomu P(x) ve všech prvcích vektoru sx lze zjistit pomocí funkce polyval: aprox=polyval(p,sx), kde p je vektor koeficientů aproximačního polynomu, x je vektor hodnot nezávisle proměnné a aprox je vektor hodnot aproximačního polynomu. Nastavení rozmístění grafů je realizováno pomocí příkazu set(gcf,'position',[x1,y1,x2,y2]), kde x1,y1 je pozice levého dolního rohu grafického okna od levého dolního rohu obrazovky a x2, y2 je šířka a výška grafického okna. Příkazem plot(sx,syk1,'k.') se zobrazí jednotlivé body. Příkazem plot(sx,aprox,'-k') se do stejného vykreslí křivka proložená aproximačním polynomem 3. řádu. V pomocném vektoru pname se ukládá informace pro vypsání polynomu. Pomocný vektor gname slouží pro vytvoření názvu souboru a pro uložení grafu. Příkaz saveas(gcf,gname,'fig') uloží aktuální grafické okno pod názvem, který je obsažen v gname, s příponou *.fig.

Funkce grafy je v programu GenPar_ReVy_Stav volána pouze v případech, kdy proměnné itw, ivn nabývají hodnotu 2 a proměnná iL hodnotu 1, 2, 3. Závislosti zpětnovazebních koeficientů na yo jsou uvedeny v grafech na obr. 6.1 až 6.3. Výpis části zdrojového kódu funkce grafy: function grafy (infoa,ivn,itw,iL) close all; sx=[1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1]; syk1=[infoa(1,2) infoa(2,2) infoa(3,2) infoa(4,2) infoa(5,2) infoa(7,2) infoa(8,2) infoa(9,2) infoa(10,2)]; syk2=[infoa(1,3) infoa(2,3) infoa(3,3) infoa(4,3) infoa(5,3) infoa(7,3) infoa(8,3) infoa(9,3) infoa(10,3)]; syk3=[infoa(1,4) infoa(2,4) infoa(3,4) infoa(4,4) infoa(5,4) infoa(7,4) infoa(8,4) infoa(9,4) infoa(10,4)]; syk4=[infoa(1,5) infoa(2,5) infoa(3,5) infoa(4,5) infoa(5,5) infoa(6,5) infoa(8,5) infoa(9,5) infoa(10,5)]; figure(1); p=polyfit(sx,syk1,3); aprox=polyval(p,sx); set(gcf,'position',[100,430,320,280]); plot(sx,syk1,'k.'); hold on; grid on; plot(sx,aprox,'-k'); pname=['a0=',num2str(p(1,1)),' a1=',num2str(p(1,2)),'

infoa(6,2) infoa(6,3) infoa(6,4) infoa(7,5)

a2=',num2str(p(1,3)),'

Strana 48

5Navržené programové řešení

a3=',num2str(p(1,4))]; text(0.03,infoa(1,2),{'p1=a0+a1*yo+a2*yo^2+a3*yo^3',pname} ,'FontSize',6); xlabel('otevreni yo'); ylabel('koeficient k1'); gname = ['k1',num2str(ivn),num2str(itw),num2str(iL)]; saveas(gcf,gname,'fig'); 5.3

Program GenPar_ReVy_Stav Program začíná generováním parametrů pro model "ReVy_stav: – – –

Ts=0,2 ro=1000 K=2000000000

časová konstanta silové části [s] měrná hmotnost vody [kg/m3] modul objemové pružnosti vody a potrubí [N/m2].

Dále se generují parametry pro optimalizaci koeficientů k1 až k4 stavového řízení, které jsou použity v kritériu kvality regulace: – – – –

mp=2 mn=3 mu=2 vu=1

mocnina regulační odchylky pro pozitivní oblast výkonu mocnina výkonu pro negativní oblast (pro podregulování) mocnina rychlosti akční veličiny váha pokuty rychlosti akční velikosti

Následuje deklarace parametrů pro numerickou metodu pružných polyedrů: – – – – – – – – –

N=4 alpha=1 beta=0.5 gamma=2 a=0,01 ft=0 kr1=2 kr2=1 e=1e-11

konstanta udávající N rozměrný prostor koeficient pro výpočet těžiště koeficient pro výpočet souřadnic nového vrcholu koeficient pro výpočet souřadnic nového vrcholu přepočtový koeficient pro výpočet délky strany polyedru startovací proměnná pro funkci v těžišti polyedru proměnná pro ukončení numerické metody proměnná pro ukončení numerické metody přesnost optimalizace, hodnota 1e-11 byla zjištěna mnohým pozorováním optimalizačního algoritmu pro různé kombinace parametrů vodní turbiny. Při této velikosti je zaručena dostatečná přesnost optimalizace při všech kombinacích parametrů turbiny. Je možné zvolit i e=1e-10.

Po deklaraci těchto parametrů se provádí vnější cyklus for. Tento vnější cyklus v každém svém kroku mění hodnotu parametru L, který simuluje délku potrubí, postupně od malé délky potrubí L=150 m, přes střední délku L=500 m, až po velkou délku L=1500 m. Následně se provádí druhý cyklus for, který v každém svém kroku mění hodnotu parametru Tw, který simuluje časovou konstantu náběhu vody. V prvním kroku je časová konstanta malá Tw=1 s, v druhém kroku je střední Tw=1,5 s a ve třetím kroku se konstanta Tw=2 s. Hned po stanovení velikosti časové konstanty Tw se vypočítají parametry lH=Tw,

5Navržené programové řešení

Strana 49

což je odpor proti zrychlení a cH = L 2⋅ro/Tw⋅K  , kapacita pro potrubí. Tyto parametry jsou závislé na konstantě Tw, proto nemohou být stanoveny dříve. Třetí vnořený cyklus for mění v každém svém kroku hodnotu velikosti váhy pokutování negativní oblasti přechodového děje, která je označena jako vn. V prvním kroku je váha pokuty negativní oblasti malá, velikost složky Jn tvoří 28% z celkové velikosti kriteriální funkce Jk, v druhém kroku je váha pokuty negativní oblasti střední, velikost složky Jn tvoří 40% z celkové velikosti kriteriální funkce a ve třetím kroku je její velikost rovna 52% z celkové velikosti kriteriální funkce Jk. Vzhledem k tomu, že celková velikost kriteriální funkce Jk je závislá mimo jiné na velikosti otevření turbiny yo, musí být velikost otevření turbiny zadána dříve, než dojde k výpočtu váhy negativní oblasti vn. Váha negativní oblasti se počítá pouze pro otevření turbiny 100%, poté zůstává pro všechna další otevření stejná. Je žádoucí, aby pokutování negativní oblasti bylo nejvíce zohledňováno při velkých otevřeních turbiny, kde dochází k velkému podregulování a je proto nutné toto podregulování více pokutovat, než při menších otevřeních, kde je negativní oblast menší. Při menších otevřeních pokutujeme negativní oblast méně a tím více zohledňujeme pozitivní oblast a celkový průběh přechodového děje. Procentuelní vyjádření velikosti váhy negativní oblasti vn se stanoví tak, že se při otevření turbiny yo=100% a zpětnovazebních koeficientech k1= -0,1 k2= 0,1 k3= -0,3 K4= 0,3 simuluje model revy_stav.mdl s vn=0. Tím je zajištěno, že kriteriální funkce Jk je složena pouze ze složek Jp a Ju, viz. popis kap.3.3. J k =J p  r J u r 

Konečná hodnota Jk se stanoví jako hodnota posledního prvku vektoru J: PocetJ=size(J); Jk=J(PocetJ(1,1),1); Hodnota velikosti váhy negativní oblasti se stanoví takto: Pocetitegral=size(integral); integralk=integral(Pocetitegral(1,1),1); Kde integralk je konečná hodnota vektoru integral. Hodnota integral je snímána z modelu na obr. 3.9. a je totožná s hodnotou integrálu v rovnici (3.10). Samotný výpočet hodnoty vn je tento: vn=(x*Jk/integralk)^(1/mn);

Kde x značí hodnotu 0,28 v prvním kroku cyklu ivn, 0,40 v druhém cyklu ivn, 0,52 ve třetím cyklu ivn. Kód pro stanovení hodnoty vn je tento: if yo==1 b=[-0.1 0.1 -0.3 0.3]; k1=b(1); k2=b(2); k3=b(3);

Strana 50

5Navržené programové řešení k4=b(4); vn=0; sim('ReVy_stav'); PocetJ=size(J); Jk=J(PocetJ(1,1),1); Pocetitegral=size(integral); integralk=integral(Pocetitegral(1,1),1); if ivn==1 vn=(0.28*Jk/integralk)^(1/mn); elseif ivn==2 vn=(0.40*Jk/integralk)^(1/mn); elseif ivn==3 vn=(0.52*Jk/integralk)^(1/mn); end end

V další části programu se stanoví souřadnice pro pět vrcholů polyedru: x1=[k1 k2 k3 k4]; d1=(a*(sqrt(N+1)+N-1))/(N*sqrt(2)); d2=(a*(sqrt(N+1)-1))/(N*sqrt(2)); x2=[x1(1)+d1 x1(2)+d2 x1(3)+d2 x1(4)+d2]; x3=[x1(1)+d2 x1(2)+d1 x1(3)+d2 x1(4)+d2]; x4=[x1(1)+d2 x1(2)+d2 x1(3)+d1 x1(4)+d2]; x5=[x1(1)+d2 x1(2)+d2 x1(3)+d2 x1(4)+d1];

Vektory x1, x2, x3, x4, x5 jsou vrcholy polyedru, jejichž souřadnice jsou sestaveny podle rovnice (3.13). Dále se jednotlivým koeficientům k1 až k4 přiřadí hodnoty souřadnic z jednotlivých vrcholů polyedru x1 až x5 a pro každý vrchol se vypočítá hodnota kriteriální funkce f1 až f5: k1=x1(1); k2=x1(2); k3=x1(3); k4=x1(4); [f1]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); k1=x2(1); k2=x2(2); k3=x2(3); k4=x2(4); [f2]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); k1=x3(1); k2=x3(2); k3=x3(3); k4=x3(4); [f3]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); k1=x4(1); k2=x4(2); k3=x4(3); k4=x4(4); [f4]=simul (yo,k1,k2,k3,k4);

5Navržené programové řešení

Strana 51

k1=x5(1); k2=x5(2); k3=x5(3); k4=x5(4); [f5]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); Algoritmus dále pokračuje cyklem while dle vývojového diagramu na obr. 3.13. Jedná se o N etapový proces, kde N není předem dáno, ale závisí na počátečním stavu. Tento cyklus provádí algoritmus numerické metody pružných polyedrů do té doby, než bude splněna podmínka, že rozdíl hodnot kritérií dvou po sobě jdoucích simplexů není větší než hodnota e. Zjištění nejhoršího a nejlepšího bodu simplexu (body, ve kterých kriteriální funkce nabývá největší a nejmenší hodnotu), je řešeno takto: f=[f1,f2,f3,f4,f5]; fw=max(f); fb=min(f); fw je nejhorší bod (z angl. „worst“) a fb je nejlepší bod (z angl. „best“). Dále se podle nejhorší funkce fw zjistí nejhorší bod w a z nejlepší funkce fb nejlepší bod b: if fw==f1 w=x1; elseif fw==f2 w=x2; elseif fw==f3 w=x3; elseif fw==f4 w=x4; elseif fw==f5 w=x5; end if fb==f1 b=x1; elseif fb==f2 b=x2; elseif fb==f3 b=x3; elseif fb==f4 b=x4; elseif fb==f5 b=x5; end Pro další výpočet potřebuje numerická metoda zjistit těžiště xt pro všechny vrcholy polyedru, kromě nejhoršího vrcholu w. Nejde tedy o těžiště celého polyedru, ale o těžiště n-1 vrcholů, kde n je počet vrcholů polyedru. Přes bod xt se potom polyedr překlápí do nového vrcholu x6. V těžišti xt je také nutné vypočítat hodnotu kriteriální funkce ft. Pro ilustraci hledání těžiště xt a bodu x6 je na obr. 5.1. Je zde znázorněn případ pro dvě proměnné.

Strana 52

5Navržené programové řešení

w

xt b

g

x6

Obr. 5.1 Nalezení těžiště polyedru Výpočet těžiště xt a funkce ft probíhá takto: xt=1/N*(((x1)+(x2)+(x3)+(x4)+(x5))-w); k1=xt(1); k2=xt(2); k3=xt(3); k4=xt(4); [ft]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); Výpočet bodu x6 a funkce f6 probíhá takto: x6=(1+alpha)*xt-alpha*w; k1=x6(1); k2=x6(2); k3=x6(3); k4=x6(4); [f6]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); Pokud je hodnota funkce f6
5Navržené programové řešení

if f7
Strana 53

Strana 54

5Navržené programové řešení

k1=x5(1); k2=x5(2); k3=x5(3); k4=x5(4); [f5,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); end end Pokud je hodnota funkce fw>f6, označíme bodem bb bod x6, pokud je kriteriální funkce v nejhorším bodě fwfb, je provedena redukce polyedru podle rovnice (3.20). if fw>f6 bb=x6; else bb=w; end x7=beta*bb+(1-beta)*xt; k1=x7(1); k2=x7(2); k3=x7(3); k4=x7(4); [f7]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); if f7>fb disp('REDUKCE') x1=(x1+b)*0.5; k1=x1(1); k2=x1(2); k3=x1(3); k4=x1(4); [f1,infob]=simul (yo,x1(1),x1(2),x1(3),x1(4)); x2=(x2+b)*0.5; k1=x2(1); k2=x2(2); k3=x2(3); k4=x2(4); [f2,infob]=simul (yo,x2(1),x2(2),x2(3),x2(4)); . . . x5=(x5+b)*0.5; k1=x5(1); k2=x5(2); k3=x5(3); k4=x5(4); [f5,infob]=simul (yo,x5(1),x5(2),x5(3),x5(4)); else

5Navržené programové řešení

Strana 55

if bb==w disp('KONTRAKCE INTERNI') else disp('KONTRAKCE EXTERNI') end if w==x1 x1=x7; k1=x1(1); k2=x1(2); k3=x1(3); k4=x1(4); [f1,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); elseif w==x2 x2=x7; k1=x2(1); k2=x2(2); k3=x2(3); k4=x2(4); [f2,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); . . . elseif w==x5 x5=x7; k1=x5(1); k2=x5(2); k3=x5(3); k4=x5(4); [f5,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); end end end Na konci každé iterace numerické metody se provede výpočet kritéria ukončení hledání kr2, dle rovnice (3.21), poté je ukončen cyklus while. kr2=sqrt(1/(N+1)*((f1-ft)+(f2-ft)+(f3-ft)+(f4-ft)+(f5-ft))^2); Paramtery, které jsou potřeba pro vyhodnocování výsledků, jsou ukládány do matice infob. Při každé modifikaci polyedru numerickou metodou se tyto parametry přepisují podle nejlepšího vrcholu polyedru. Samotné přepsání se provádí ve funkci simul. V matici jsou uloženy na jednom řádku hodnoty parametrů yo, k1, k2, k3, k4, pGm, Tok, Jk. Řádky matice infoa jsou tvořeny z matic infob. Řádky se liší v otevření turbiny od 100% do 10%. Vzhledem k tomu, že algoritmus počítá nejprve s otevřením turbiny 100%, ve tvaru yo=1 (pro výpočet velikosti parametru vn) a potom turbinu zavírá vždy o 10%, ve tvaru yo=0,9 až 0,1, přepočítává se hodnota yo na proměnnou zk tak, aby zk nabývala hodnoty 1 až 10. Číslování řádků v matici infoa je tvořeno vztahem (5.1), kdy proměnná zk nabývá hodnot 1 až 10. Tato hodnota je přepočítána vždy podle otevření turbiny yo.

Strana 56

5Navržené programové řešení

zk =11− yo⋅10

(5.1)

Realizace v Matlabu: zk=round(11-yo*10); infoa(zk,1:8)=[infob]; Poté se resetuje hodnota kritéria kr1 a kr2 a ukončí se cyklus for, který mění parametr yo. Dále vektor se jménem FileName tvoří jméno souboru pro uložení matice infoa ve formátu *.txt a *.mat. fileName = [num2str(ivn),num2str(itw),num2str(iL),'.txt']; eval(['save ', fileName , ' infoa /ascii']); fileName = [num2str(ivn),num2str(itw),num2str(iL),'.mat']; eval(['save ', fileName , ' infoa']); Pokud proměnné itw a ivn mají hodnotu 2, provádí se vykreslení grafů, které jsou uloženy pod jménem obsaženým v proměnné gname. if itw==2 & ivn==2 gname = ['k1',num2str(ivn),num2str(itw),num2str(iL)]; grafy (infoa,ivn,itw,iL); end Následuje ukončení cyklů proměnných ivn, itw a iL.

Strana 57

6

POZNATKY Z ŘEŠENÍ

0 .0 2

0 .2 2

0

0 .2

-0 .0 2

0 .1 8 k o e f ic ie n t k 2

k o e f ic ie n t k 1

Optimální nastavení zpětnovazebních koeficientů k1 až k4 bylo nalezeno pomocí numerické metody pružných polyedrů. Z hlediska velikosti nežádoucího podregulování nepřináší bohužel stavová regulace výrazného zlepšení vůči jiným principům regulací [6]. Výhodou je možnost ovlivnit vazbami k1 až k4 zbývající část přechodového děje, což se projevuje zejména při menších otevřeních turbiny zkrácením doby přechodového děje. Výsledky programu GenPar_ReVy_Stav jsou v podobě tabulek k dispozici v příloze P2. Z nich je možné sledovat zákonitosti mezi kombinacemi parametrů časového náběhu vody tw a délky potrubí iL vodní elektrárny, společně s váhou negativní oblasti vn. Pro ilustraci závislostí koeficientů k1 až k4 na otevření turbiny yo a na délce vodního potrubí iL jsou na obr. (6.1) až (6.3) grafy, kde se na osu x vynáší hodnoty otevření turbiny yo a na osu y koeficienty k1 až k4, pro délky potrubí L=150 m, L=500 m, L=1500 m. Při délce potrubí L=500 m, (obr. 6.2) dochází k jistým nespojitostem, které zřejmě způsobují interference rázů vln v potrubí. Vlna se v potrubí vrací a sčítá se s následující. Při změně délky potrubí na L=560 m dochází k tomuto jevu daleko méně, viz. obr. 6.4.

-0 .0 4

-0 .0 6

0 .1 6

0 .1 4

-0 .0 8

0 .1 2 p 1 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = 1 . 3 5 0 2 e - 0 0 5 a 1 = - 1 .8 3 8 8 e - 0 0 5 a 2 = - 0 . 1 1 8 5 8 a 3 = 0 . 0 3 0 4 4 8

p 2 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = 1 . 1 1 4 4 e - 0 0 5 a 1 = - 2 . 6 5 8 9 e - 0 0 5 a 2 = - 0 .1 1 8 5 6 a 3 = 0 . 2 3 0 4 4

-0 .1

0 .1 0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

0 .8

1

0

-0 .1 8

0 .4 2

-0 .2

0 .4

-0 .2 2

0 .3 8 k o e f ic ie n t k 4

k o e f ic ie n t k 3

0

-0 .2 4

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

0 .8

1

0 .3 6

0 .3 4

-0 .2 6

0 .3 2

-0 .2 8

p 4 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = 2 . 6 5 1 3 e - 0 0 5 a 1 = - 3 . 3 2 0 9 e - 0 0 5 a 2 = - 0 .1 1 8 5 9 a 3 = 0 . 4 3 0 4 5

p 3 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = 4 . 7 2 5 7 e - 0 0 5 a 1 = - 7 . 4 5 8 8 e - 0 0 5 a 2 = - 0 . 1 1 8 5 6 a 3 = - 0 .1 6 9 5 5

0 .3

-0 .3 0

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

0 .8

1

0

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

Obr. 6.1 Závislosti k1 až k4 na yo, pro L=150 m

0 .8

1

6Poznatky z řešení

0 .0 4

0 .1 7

0 .0 2

0 .1 6

0

0 .1 5

-0 .0 2

0 .1 4

k o e f ic ie n t k 2

k o e f ic ie n t k 1

Strana 58

-0 .0 4

-0 .0 6

0 .1 3

0 .1 2

-0 .0 8

0 .1 1 p 1 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = 0 .2 9 6 8 3 a 1 = - 0 .6 2 2 3 1 a 2 = 0 . 2 2 3 4 5 a 3 = 0 . 0 1 0 1 8

p 2 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = - 0 . 2 5 7 3 4 a 1 = 0 . 3 6 3 3 9 a 2 = - 0 . 1 7 5 2 6 a 3 = 0 .1 7 8 4 5

-0 .1

0 .1 0

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

0 .8

1

0

-0 .1 8

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

0 .8

1

0 .8

1

0 .4 4

0 .4 2

-0 .2

0 .4

k o e f ic ie n t k 4

k o e f ic ie n t k 3

-0 .2 2

-0 .2 4

0 .3 8

0 .3 6

-0 .2 6 0 .3 4 -0 .2 8

0 .3 2

p 3 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = 0 .1 4 9 2 5 a 1 = - 0 .3 4 8 5 a 2 = 0 .1 0 6 9 a 3 = - 0 .1 9 8 4 6

p 4 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = 0 . 6 8 7 1 9 a 1 = - 1 . 4 3 2 3 a 2 = 0 . 7 2 7 1 6 a 3 = 0 .3 2 6 3 1

-0 .3

0 .3 0

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

0 .8

1

0

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

Obr. 6.2 Závislosti k1 až k4 na yo, pro L=500 m

-0 .0 4

0 .1 6

-0 .0 5

0 .1 5

-0 .0 6

0 .1 4 k o e f ic ie n t k 2

k o e f ic ie n t k 1

6Poznatky z řešení

-0 .0 7

-0 .0 8

Strana 59

0 .1 3

0 .1 2

-0 .0 9

0 .1 1 p 1 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = 2 .8 5 1 2 e - 0 0 8 a 1 = - 3 . 9 1 0 2 e - 0 0 8 a 2 = - 0 . 0 5 8 4 9 6 a 3 = - 0 . 0 3 5 6 5 5

p 2 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = - 2 .6 5 0 5 e - 0 0 8 a 1 = 3 .6 3 5 e - 0 0 8 a 2 = - 0 .0 5 8 4 9 6 a 3 = 0 .1 6 4 3 5

-0 .1 0

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

0 .8

0 .1

1

0

-0 .2 4

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

0 .8

1

0 .3 2 0 .3

-0 .2 5 0 .2 8 0 .2 6 k o e f ic ie n t k 4

k o e f ic ie n t k 3

-0 .2 6

-0 .2 7

-0 .2 8

0 .2 4 0 .2 2 0 .2 0 .1 8

-0 .2 9 p 3 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = 2 .8 5 1 2 e - 0 0 8 a 1 = - 3 . 9 1 0 2 e - 0 0 8 a 2 = - 0 . 0 5 8 4 9 6 a 3 = - 0 . 2 3 5 6 5

p 4 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = - 1 . 2 2 7 8 e - 0 0 7 a 1 = 1 .6 8 3 9 e - 0 0 7 a 2 = 0 . 1 3 5 9 6 a 3 = 0 . 1 5 0 4 5

0 .1 6

-0 .3 0

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

0 .8

1

0

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

Obr. 6.3 Závislosti k1 až k4 na yo, L=1500 m

0 .8

1

Strana 60

6Poznatky z řešení

0 .0 2

0 .1 9 0 .1 8

0

0 .1 7 0 .1 6 k o e f ic ie n t k 2

k o e f ic ie n t k 1

-0 .0 2

-0 .0 4

-0 .0 6

0 .1 5 0 .1 4 0 .1 3

-0 .0 8 p 1 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = 0 .1 0 1 8 4 a 1 = - 0 .2 1 5 9 3 a 2 = 0 .0 2 3 9 1 a 3 = 0 .0 0 2 2 7 0 8

-0 .1 0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

0 .8

0 .1 1

1

0 .2

-0 .1 9

0 .4

-0 .2

0 .3 9

-0 .2 1

0 .3 8

-0 .2 2

0 .3 7

-0 .2 3

0 .3 6

k o e f ic ie n t k 4

k o e f ic ie n t k 3

0

p 2 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = - 0 .0 8 8 2 0 3 a 1 = 0 .0 9 7 9 5 1 a 2 = - 0 .0 9 1 3 3 1 a 3 = 0 .1 9 2 4 6

0 .1 2

-0 .2 4 -0 .2 5 -0 .2 6

0 .4

0 .6 o te v re n i y o

0 .8

1

0 .3 5 0 .3 4 0 .3 3

-0 .2 7

0 .3 2 2

3

p 3 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo + a 3 * yo a 0 = 0 .1 0 1 7 8 a 1 = - 0 .2 1 5 8 2 a 2 = 0 .0 2 3 8 6 2 a 3 = - 0 .1 9 7 7 3

-0 .2 8

0

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

p 4 = a 0 + a 1 * yo + a 2 * yo 2 + a 3 * yo 3 a 0 = 0 .3 3 9 8 2 a 1 = - 0 .7 6 3 3 4 a 2 = 0 .4 2 9 4 1 a 3 = 0 .3 0 6 3 6

0 .3 1

0 .8

1

0

0 .2

0 .4 0 .6 o te v re n i y o

0 .8

1

Obr. 6.4 Závislosti k1 až k4 na yo, L=560 m

6.1

Porovnání klasické a stavové regulace

Většina stávajících regulátorů vodních turbin v tuzemských i zahraničních vodních elektrárnách byla realizována analogovou technikou. Regulátor výkonu se většinou navrhuje s přenosem integračním [6]. Tím je zajištěna shoda žádaného a skutečného výkonu v ustálených podmínkách. Přenos proporcionálně integrační (PI) je méně vhodný, protože P složka způsobuje více než třínásobně větší pokles výkonu. Velikost poklesu souvisí s rychlostí otevírání turbiny. Naproti tomu u I regulátoru je otevírání turbiny téměř lineárně stoupající. Obecně lze konstatovat, že regulace výkonu s PI přenosem dosahuje sice kratších regulačních dob, ale má zásadní nedostatek ve výskytu značně velkých hodnot výkonu obrácené polarity na počátku přechodové charakteristiky [6]. Nevýhody klasické koncepce regulace výkonu jsou:

6Poznatky z řešení

Strana 61

a) Není zohledněna proměnná dynamika regulované soustavy v závislosti na pracovním bodě turbiny. V důsledku toho je regulace výkonu zbytečně zatlumena po většinu provozní doby. b) Pro návrh regulace je použito málo přesného popisu regulované soustavy. Tento nedostatek je tím závažnější, čím je delší potrubí elektrárny. c) Řízení neřeší výskyt nelineárních režimů při velkých regulačních změnách. Problémy s nestabilitou ale nevznikají, protože systém je silně zatlumen. Pro porovnání kvality regulace byl model revy_stav.mdl spouštěn tak, že zpětnovazební koeficienty byly nastaveny takto: k1=0, k2=0, k3=0, k4=0,23. Tím je zajištěna simulace modelu s hydraulickou soustavu II. řádu klasického I regulátoru, kdy koeficient k4 je volen tak, aby překmit byl kolem 5ti % ze skokové změny požadovaného výkonu. Porovnání regulací proběhlo pro střední hodnoty parametrů tw, iL, střední hodnotu vn a při otevření turbiny yo=90%, yo=40% a yo=10%. Z obr. 6.5 až 6.7 a tab.1 je patrné, že stavová regulace má výrazně lepší regulační schopnosti, než klasická regulace při menších otevřeních turbiny. Požadovaná hodnota výkonu je dosažena rychleji, než při klasické regulaci I regulátorem. Při větších otevřeních turbiny je kvalita stavové regulace také lepší, avšak nevýrazně. Maximální podregulování při stavové regulaci Hodnota kriteriální funkce je vždy menší u stavové regulace. Při velkých otevřeních turbiny nedochází u stavové regulace k výraznému zmenšení plochy negativní oblasti. Konečná hodnota kriteriální funkce se zlepšila o 6,5%. Při otevření turbiny 10% se konečná hodnota kriteriální funkce se zlepšila o 49%.

12

x 10

-3

y o = 0 ,9

∆ pG [%] 10 8 6 4 2 s t a vo vá re g u la c e k la s ic k á re g u la c e

0 -2 0

cas [s] 5

10

Obr. 6.5 Srovnání regulací, yo=0,9

15

Strana 62

6Poznatky z řešení

x 10 10

-3

y o = 0 ,4

∆ pG [%]

8

6

4

2

s t a vo vá re g u la c e k la s ic k á re g u la c e

0

cas [s]

0

5

10

15

Obr. 6.6 Srovnání regulací, yo=0,4

x 10 10

-3

y o = 0 ,1

∆ pG [%]

8

6

4

2

s t a vo vá re g u la c e k la s ic k á re g u la c e

0

cas [s]

0

5

10

Obr. 6.5 Srovnání regulací, yo=0,1

15

6Poznatky z řešení

yo 0,9 0,4 0,1

Strana 63

pGm

to

Jk

Stavová reg.

Stavová reg.

Stavová reg.

Klasická reg.

Klasická reg.

Klasická reg.

-0,00151801

2,17383656

0,00014642

-0,00139902

2,25220392

0,00015594

-0,00033811

1,18015888

0,00011362

-0,00019677

1,22830945

0,00027380

0

0

0,00025064

0

0

0,00049213

Tab.1 Srovnání hodnot pGm, to, Jk 6.2

Poznatky z řešení v prostředí Matlab-Simulink

Jeden z problémů, který musel být při syntéze regulace vyřešen byl, že do verze Matlabu 7.01 (R14SP1) se vyskytuje chyba [10]. Ta se projevuje tak, že když cyklus for obsahuje příkaz sim, program po nějakou dobu běží, poté se zastaví právě na příkazu sim a dál nepokračuje. Chyba není způsobena příkazem sim, ale IQM (Interpreter Queue Manager). Tato chyba může být řešena dvěma způsoby: 1. Instalací Release 14 Service Pack 2 (R14SP2), 2. Spustit Matlab bez načtení Java VM. Matlab má v tomto režimu omezenou funkčnost, (nelze například používat nástroje, které využívají Javu). Pro toto spuštění Matlabu se při spuštění zadává parametr -nojvm.

Strana 65

7

ZÁVĚR

Diplomová práce zahrnuje syntézu stavového regulátoru výkonu vodní turbiny. Úvodní kapitoly práce se věnují teoretickému úvodu do rozsáhlé problematiky regulace výkonu vodních turbin a stavové regulace. Dále následuje popis stavového modelu regulace výkonu vodní turbiny, společně s popisem hodnocení kvality regulace pomocí navrženého kritéria kvality, které mělo za cíl dosažení co nejmenšího podregulování výkonu na začátku odezvy při skokové změně žádaného výkonu. Dalším požadavkem byl malý překmit a co nejrychlejší dosažení nové úrovně výkonu. Ke stanovení optimálních hodnot zpětnovazebních koeficientů byla použita numerická metoda pružných polyedrů. Tato přímá numerická metoda byla implementována ve vývojovém prostředí Matlab-Simulink. Výsledky syntézy regulace v podobě hodnot stavových koeficientů k1 až k4 jsou pro jednotlivá otevření turbiny a pro všechny kombinace vyšetřovaných parametrů uvedeny ve formě tabulek a grafů. Ve výsledcích jsou také uvedeny hodnoty kriteriálních funkcí pro jednotlivé kombinace parametrů, spolu s hodnotami velikostí a časů trvání nežádoucího efektu podregulování. Z výsledků plyne, že z hlediska velikosti nežádoucího efektu podregulování nepřináší stavová regulace zlepšení vůči jiným principům regulací, i při výrazném zohlednění tohoto nežádoucího efektu v kritériu kvality regulace. Výhodou naopak je možnost ovlivnit vazbami koeficientů k1 až k4 zbývající část regulačního pochodu. Pro srovnání stavové regulace výkonu vodní turbiny s klasickou regulací jsou v práci uvedeny grafy, ze kterých je patrné, že stavová regulace je vždy lepší než regulace klasická, její přínos se projevuje zejména při menších otevřeních turbiny v rychlejším dosažení nové úrovně výkonu. Předložené výsledky jsou určeny pro účely stavové regulace výkonu Francisovy vodní turbiny. V regulované soustavě uvažujeme jeden úsek potrubí s dynamikou 2. řádu dle kap. 2.7.1. S jednodušším modelem potrubí 1. řádu nemá smysl pracovat, protože by se nemohl projevit přínos stavové regulace a naopak složitější model je pro daný účel zbytečně komplikovaný a padá v úvahu jen pro náročné aplikace.

Strana 67

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]

Nechleba, M., Druckmüller, M.: Vodní turbíny 1, 1990, Iber, Z.: Elektrárny 1, 1984, Švarc, I,: Automatizace: automatické řízení, 2005, Brunovská, A.: Malá optimalizácia, 1990, Kubík, S., Kotek, Z.: Teorie automatického řízení II, 1982, Němec, Z.: Modely systému a automatického řízení turbosoustrojí vodní elektrárny. Připravovaná habilitační práce, 2007 Němec, Z.: Kritérium kvality regulace pro náročnější případy automatického řízení, konferenční příspěvek na konferenci „TD 2007-DIAGON 2007“, 2007, Matlab – popis produktu [online] (1.4.2007). Dostupné z: http://www.humusoft.cz/matlab/matlab.htm Simulink – popis produktu [online] (1.4.2007). Dostupné z: http://www.humusoft.cz/matlab/simulink.htm MathWorks – helpdesk [online] (10.4.2007). Dostupné z: http://www.mathworks.com/support/solutions/data/1-

QE2U9.html?product=ML&solution=1-QE2U9

Strana 69

SEZNAM PŘÍLOH Příloha P1: Příloha P2: Příloha P3:

Kompletní výpis programu v prostředí Matlab i s pomocnými funkcemi. Kompletní výpis tabulek, se stavovými koeficienty k1 až k4.

CD, které obsahuje zdrojové kódy v Matlabu, modely v Simulinku a elektronickou podobu diplomové práce.

Strana 70

Seznam příloh

Příloha P1 PROGRAM GenPar_ReVy_stav clc; clear all; close all; % --- Generovani parametru pro model "revy_stav" --- pgm % --- Parametry pro regulov. soustavu s 1 usekem potrubi, dle popisu 2.6.1 Ts=0.2; % Casova konstanta silove casti [s], jeden v linearnim rezimu ro=1000; % merna hmotnost vody [kg/m3] K=2000000000; % modul objemove pruznosti vody a potrubi [N*m-2] % Optimalizace koeficientu k1 az k4 stavoveho rizeni % Cíl: co nejmensi podregulovani, maly prekmit a kratka doba regulace mp=2; % mocnina regul. odchylky pro pozitivni oblast vykonu mn=3; % mocnina vykonu pro negativni oblast vykonu (pro podregulovani) mu=2; % mocnina rychlosti akcni veliciny vu=1; % vaha pokuty rychlosti akcni velikosti u=2; % Doporučení: % mp=2, mn=3, vn=40, mu=2, vu=1 pak Tiopt=5.0s (J=0.0003782) % mp=2, mn=4,! vn=90, mu=2, vu=1 pak Tiopt=5.3s (J=0.0004114) N=4; % konstanta udavajici N rozmerny prostor alpha=1; % koeficient pro vypocet teziste beta=0.5; % koeficient pro vypocet souradnic noveho vrcholu gamma=2; % koeficient pro vypocet souradnic noveho vrcholu a=0.01; % prepoctovy koeficient pro vypocet delky strany polyedru ft=0; % startovaci promenna pro fci v tezisti polyedru kr1=2; % startovaci promenna pro ukonceni num. metody kr2=1; % startovaci promenna pro ukonceni num. metody e=1e-11; % presnost optimalizace for iL=1:3 if iL==1 L=150; % mala delka potrubi [m] elseif iL==2 L=500; % standardni delka potrubi [m] elseif iL==3 L=1500; % velka delka potrubi [m] end for itw=1:3 if itw==1 Tw=1; elseif itw==2 Tw=1.5; elseif itw==3 Tw=2; end

% malá casova konstanta nabehu vody [s] % standardni casova konstanta nabehu vody [s] % velka casova konstanta nabehu vody [s]

lH=Tw; % odpor proti zrychleni [s] cH=(L^2*ro)/(Tw*K); % kapacita ch pro potrubi [s] for ivn=1:3 % male, standardni a velke váhy pokut pro % negativni oblast pri ruznych otevrenich turbiny for yo=1:-0.1:0.1 clc; yo n=0; % pocet interaci rH=0.015*yo; % hydraul. ztraty odhadem; 1.5% pro jmen. % prutok %------------vytvoření 1. polyedru------------% Optimum asi: k1=-0.1, k2=0.1, k3=-0.3, k4=0.3 if yo==1 b=[-0.1 0.1 -0.3 0.3]; k1=b(1); % nejmensi vliv na prubeh pr.ch. k2=b(2); % vetsi k2 zpomaluji zacatek otevirani (lze i % 0.2) k3=b(3); % vetsi k3 vice tlumi, zachovat pomer ke k4 k4=b(4); % pri samotne integraci je vhodne k4=0.21

Seznam příloh

Strana 71

vn=0; sim('ReVy_stav'); PocetJ=size(J); % zjištění velikosti pole J => %vektor [pocet rad., 1] Jk=J(PocetJ(1,1),1); % Jk = výsledek = poslední radek J, %1.sloupec Pocetitegral=size(integral); % zjištění velikosti pole % integral => vektor [pocet rad., 1] integralk=integral(Pocetitegral(1,1),1); % integralk = % výsledek = poslední radek integral, 1.sloupec if ivn==1 vn=(0.28*Jk/integralk)^(1/mn); % mala vaha elseif ivn==2 vn=(0.40*Jk/integralk)^(1/mn); % stredni vaha elseif ivn==3 vn=(0.52*Jk/integralk)^(1/mn); % velka vaha end end k1=b(1) % nejmensi vliv na prubeh pr.ch. k2=b(2) % vetsi k2 zpomaluji zacatek otevirani (lze i 0.2) k3=b(3) % vetsi k3 vice tlumi, zachovat pomer ke k4 k4=b(4) % pri samotne integraci je vhodne k4=0.21 x1=[k1 k2 k3 k4]; % vrchol x1 o souradnicich k1 až d1=(a*(sqrt(N+1)+N-1))/(N*sqrt(2)); d2=(a*(sqrt(N+1)-1))/(N*sqrt(2)); x2=[x1(1)+d1 x1(2)+d2 x1(3)+d2 x1(4)+d2]; % vrchol % souradnicích k1+d1 k2+d2 k3+d2 k4+d2 x3=[x1(1)+d2 x1(2)+d1 x1(3)+d2 x1(4)+d2]; % vrchol % souradnicích k1+d2 k2+d1 k3+d2 k4+d2 x4=[x1(1)+d2 x1(2)+d2 x1(3)+d1 x1(4)+d2]; % vrchol % souradnicích k1+d2 k2+d2 k3+d1 k4+d2 x5=[x1(1)+d2 x1(2)+d2 x1(3)+d2 x1(4)+d1]; % vrchol % souradnicích k1+d2 k2+d2 k3+d2 k4+d1

k4 x2 o x3 o x4 o x5 o

% prirazeni koeficientu k jednotlivym vrcholum pro nasledovnou simulaci a vypocet krit. Fce. k1=x1(1); k2=x1(2); k3=x1(3); k4=x1(4); [f1]=simul k1=x2(1); k2=x2(2); k3=x2(3); k4=x2(4); [f2]=simul k1=x3(1); k2=x3(2); k3=x3(3); k4=x3(4); [f3]=simul k1=x4(1); k2=x4(2); k3=x4(3); k4=x4(4); [f4]=simul k1=x5(1); k2=x5(2); k3=x5(3); k4=x5(4); [f5]=simul

(yo,k1,k2,k3,k4);

(yo,k1,k2,k3,k4);

(yo,k1,k2,k3,k4);

(yo,k1,k2,k3,k4);

(yo,k1,k2,k3,k4);

while abs(kr1-kr2)>=e rozdil_kriterii=abs(kr1-kr2) kr1=kr2; n=n+1 % pocet interaci f=[f1,f2,f3,f4,f5]; fw=max(f); % zjistení nejvyssí hodnoty krit. fce. fb=min(f); % Zjisteni nejmensi hodnoty krit. fce. if fw==f1 w=x1; elseif fw==f2 w=x2;

% zjistovani nejhorsiho vrcholu

Strana 72

Seznam příloh elseif fw==f3 w=x3; elseif fw==f4 w=x4; elseif fw==f5 w=x5; end if fb==f1 b=x1; elseif fb==f2 b=x2; elseif fb==f3 b=x3; elseif fb==f4 b=x4; elseif fb==f5 b=x5; end

% zjistovani nejlepsiho vrcholu

xt=1/N*(((x1)+(x2)+(x3)+(x4)+(x5))-w); % nalezeni teziste k1=xt(1); k2=xt(2); k3=xt(3); k4=xt(4); [ft]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); x6=(1+alpha)*xt-alpha*w; k1=x6(1); k2=x6(2); k3=x6(3); k4=x6(4); [f6]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); if f6
Seznam příloh k1=x5(1); k2=x5(2); k3=x5(3); k4=x5(4); [f5,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); end else disp('REFLEX') if w==x1 x1=x6; k1=x1(1); k2=x1(2); k3=x1(3); k4=x1(4); [f1,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); elseif w==x2 x2=x6; k1=x2(1); k2=x2(2); k3=x2(3); k4=x2(4); [f2,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); elseif w==x3 x3=x6; k1=x3(1); k2=x3(2); k3=x3(3); k4=x3(4); [f3,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); elseif w==x4 x4=x6; k1=x4(1); k2=x4(2); k3=x4(3); k4=x4(4); [f4,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); elseif w==x5 x5=x6; k1=x5(1); k2=x5(2); k3=x5(3); k4=x5(4); [f5,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); end end else if fw>f6 bb=x6; else bb=w; end x7=beta*bb+(1-beta)*xt; k1=x7(1); k2=x7(2); k3=x7(3); k4=x7(4); [f7]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); if f7>fb disp('REDUKCE') %---novy simplex----x1=(x1+b)*0.5; k1=x1(1); k2=x1(2); k3=x1(3); k4=x1(4); [f1,infob]=simul (yo,x1(1),x1(2),x1(3),x1(4)); x2=(x2+b)*0.5; k1=x2(1); k2=x2(2); k3=x2(3); k4=x2(4); [f2,infob]=simul (yo,x2(1),x2(2),x2(3),x2(4)); x3=(x3+b)*0.5; k1=x3(1); k2=x3(2); k3=x3(3);

Strana 73

Strana 74

Seznam příloh k4=x3(4); [f3,infob]=simul (yo,x3(1),x3(2),x3(3),x3(4)); x4=(x4+b)*0.5; k1=x4(1); k2=x4(2); k3=x4(3); k4=x4(4); [f4,infob]=simul (yo,x4(1),x4(2),x4(3),x4(4)); x5=(x5+b)*0.5; k1=x5(1); k2=x5(2); k3=x5(3); k4=x5(4); [f5,infob]=simul (yo,x5(1),x5(2),x5(3),x5(4)); else if bb==w disp('KONTRAKCE INTERNI') else disp('KONTRAKCE EXTERNI') end if w==x1 % x1=x7; k1=x1(1); k2=x1(2); k3=x1(3); k4=x1(4); [f1,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); elseif w==x2 x2=x7; k1=x2(1); k2=x2(2); k3=x2(3); k4=x2(4); [f2,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); elseif w==x3 x3=x7; k1=x3(1); k2=x3(2); k3=x3(3); k4=x3(4); [f3,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); elseif w==x4 x4=x7; k1=x4(1); k2=x4(2); k3=x4(3); k4=x4(4); [f4,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); elseif w==x5 x5=x7; k1=x5(1); k2=x5(2); k3=x5(3); k4=x5(4); [f5,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4); end

end end kr2=sqrt(1/(N+1)*((f1-ft)+(f2-ft)+(f3-ft)+(f4-ft)+(f5-ft))^2); end zk=round(11-yo*10); % prepocet a zaokrouhleni cisla radku pro infoa infoa(zk,1:8)=[infob]; % inf. pole o konecnem rozmeru 10x8 kr1=2; kr2=1; end fileName = [num2str(ivn),num2str(itw),num2str(iL),'.txt']; % Promenna pro nazev % souboru .txt eval(['save ', fileName , ' infoa /ascii']); % Prikaz pro ulozeni souboru s % promennym nazvem fileName = [num2str(ivn),num2str(itw),num2str(iL),'.mat']; eval(['save ', fileName , ' infoa']); if itw==2 & ivn==2

Seznam příloh

Strana 75

gname = ['k1',num2str(ivn),num2str(itw),num2str(iL)]; grafy (infoa,ivn,itw,iL); end

end end

end

FUNKCE simul function [f,infob]=simul (yo,k1,k2,k3,k4) % funkce pro zpusteni simulace modelu ReVy_stav sim('revy_stav'); % spuštění simulace a zápis výsledku kvality Jk do workspace PocetJ=size(J); % zjištění velikosti pole J => vektor[pocet rad., 1] Jk=J(PocetJ(1,1),1);% Jk = výsledek = poslední radek J,1.sloupec f=Jk; % přiřazení výstupní hodnotě f konečnou J Pocetto=size(to); % Zjištění velikosti pole to => vektor [pocet rad., 1] Tok=to(Pocetto(1,1),1);

end

% Tok = výsledek = poslední radek to, 1.sloupec

pGm=min(pG); % pGm maximalni podregulovani infob(1,1:8)=[yo,k1,k2,k3,k4,pGm,Tok,Jk]; % informacni pole

FUNKCE grafy function grafy (infoa,ivn,itw,iL) close all; sx=[1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1]; syk1=[infoa(1,2) infoa(7,2) infoa(8,2) infoa(9,2) syk2=[infoa(1,3) infoa(7,3) infoa(8,3) infoa(9,3) syk3=[infoa(1,4) infoa(7,4) infoa(8,4) infoa(9,4) syk4=[infoa(1,5) infoa(7,5) infoa(8,5) infoa(9,5)

infoa(2,2) infoa(3,2) infoa(10,2)]; infoa(2,3) infoa(3,3) infoa(10,3)]; infoa(2,4) infoa(3,4) infoa(10,4)]; infoa(2,5) infoa(3,5) infoa(10,5)];

% souradnice x grafu

infoa(4,2) infoa(5,2) infoa(6,2) infoa(4,3) infoa(5,3) infoa(6,3) infoa(4,4) infoa(5,4) infoa(6,4) infoa(4,5) infoa(5,5) infoa(6,5)

figure(1); p=polyfit(sx,syk1,3); % koeficienty polynomu 3. stupne aprox=polyval(p,sx); % hodnoty polynomu v 'syk1' set(gcf,'position',[100,430,300,260]);% nastaveni velikosti a pozice okna plot(sx,syk1,'k.'); % vykresleni grafu hold on; grid on; plot(sx,aprox,'-k'); pname=['a0=',num2str(p(1,1)),' a1=',num2str(p(1,2)),' a2=',num2str(p(1,3)),' a3=',num2str(p(1,4))]; % nazev polynomu text(0.03,infoa(1,2),{'p1=a0+a1*yo+a2*yo^2+a3*yo^3',pname},'FontSize',6); xlabel('otevreni yo'); ylabel('koeficient k1'); gname = ['k1',num2str(ivn),num2str(itw),num2str(iL)]; saveas(gcf,gname,'fig'); % ulozeni grafu ve formatu fig (figure) figure(2); p=polyfit(sx,syk2,3); % koeficienty polynomu 3. stupne aprox=polyval(p,sx); % hodnoty polynomu v 'syk2' set(gcf,'position',[460,430,300,260]);% nastaveni velikosti a pozice okna plot(sx,syk2,'k.'); % vykresleni grafu hold on; grid on; plot(sx,aprox,'-k'); pname=['a0=',num2str(p(1,1)),' a1=',num2str(p(1,2)),' a2=',num2str(p(1,3)),' a3=',num2str(p(1,4))];

Strana 76

Seznam příloh text(0.03,infoa(1,3),{'p2=a0+a1*yo+a2*yo^2+a3*yo^3',pname} ,'FontSize',6); xlabel('otevreni yo'); ylabel('koeficient k2'); gname = ['k2',num2str(ivn),num2str(itw),num2str(iL)]; saveas(gcf,gname,'fig'); % ulozeni grafu ve formatu fig(figure) figure(3); p=polyfit(sx,syk3,3);% koeficienty polynomu 3. stupne aprox=polyval(p,sx); % hodnoty polynomu v 'syk3' set(gcf,'position',[100,20,320,280]);% nastaveni velikosti a pozice okna plot(sx,syk3,'k.'); % vykresleni grafu hold on; grid on; plot(sx,aprox,'-k'); pname=['a0=',num2str(p(1,1)),' a1=',num2str(p(1,2)),' a2=',num2str(p(1,3)),' a3=',num2str(p(1,4))]; text(0.03,infoa(1,4),{'p3=a0+a1*yo+a2*yo^2+a3*yo^3',pname} ,'FontSize',6); gname = ['k3',num2str(ivn),num2str(itw),num2str(iL)]; xlabel('otevreni yo'); ylabel('koeficient k3'); saveas(gcf,gname,'fig'); % ulozeni grafu ve formatu fig (figure) figure(4); grid on; p=polyfit(sx,syk4,3);% koeficienty polynomu 3. stupne aprox=polyval(p,sx); % hodnoty polynomu v 'syk4' set(gcf,'position',[460,20,320,280]);% nastaveni velikosti a pozice okna plot(sx,syk4,'k.'); % vykresleni grafu hold on; grid on; plot(sx,aprox,'-k'); pname=['a0=',num2str(p(1,1)),' a1=',num2str(p(1,2)),' a2=',num2str(p(1,3)),' a3=',num2str(p(1,4))]; text(0.03,infoa(1,5),{'p4=a0+a1*yo+a2*yo^2+a3*yo^3',pname} ,'FontSize',6,'linestyle','-'); xlabel('otevreni yo'); ylabel('koeficient k4'); gname = ['k4',num2str(ivn),num2str(itw),num2str(iL)]; saveas(gcf,gname,'fig'); % ulozeni grafu ve formatu fig (figure)

end

Seznam příloh

Strana 77

Příloha P2 Tři číselné koeficienty pod každou tabulkou kódují velikost jednotlivých parametrů takto: číslice

označení

1.

2.

3.

vn

tw

iL

velikost

hodnota

1

28%

2

40%

3

52%

1

1s

2

1,5 s

3

2s

1

150 m

2

500 m

3

1500 m

yo 1.0000000e+000 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 111

k1 -9.7814920e-002 -9.5629840e-002 -9.3444760e-002 -9.1259680e-002 -8.9074599e-002 -8.6889519e-002 -8.4704439e-002 -8.2519359e-002 -8.0334279e-002 -8.0334012e-002

k2 1.0218508e-001 1.0437016e-001 1.0655524e-001 1.0874032e-001 1.1092540e-001 1.1311048e-001 1.1529556e-001 1.1748064e-001 1.1966572e-001 1.1966599e-001

k3 -2.9781492e-001 -2.9562984e-001 -2.9344476e-001 -2.9125968e-001 -2.8907460e-001 -2.8688952e-001 -2.8470444e-001 -2.8251936e-001 -2.8033428e-001 -2.8033401e-001

k4 3.0925615e-001 3.1851230e-001 3.2776844e-001 3.3702459e-001 3.4628074e-001 3.5553689e-001 3.6479304e-001 3.7404918e-001 3.8330533e-001 3.8330646e-001

pG_min -1.0606072e-003 -9.5558955e-004 -8.4440145e-004 -7.2768743e-004 -6.0617249e-004 -4.8172430e-004 -3.5414000e-004 -2.2238075e-004 -7.7013954e-005 0.0000000e+000

to 1.5615227e+000 1.4232866e+000 1.2845543e+000 1.1449215e+000 1.0038522e+000 8.6061147e-001 7.1428653e-001 5.6554534e-001 4.1564559e-001 2.8421709e-016

Jk 3.2519205e-004 2.9454145e-004 2.7256323e-004 2.5837518e-004 2.5090197e-004 2.4896429e-004 2.5142889e-004 2.5706375e-004 2.6512457e-004 2.6188620e+000

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 112

k1 -8.8141754e-002 -7.6282661e-002 -6.4424231e-002 -5.2563737e-002 -4.0705491e-002 -2.8845904e-002 -2.2996908e-002 -1.7147337e-002 -1.1297766e-002 -5.4481953e-003

k2 1.1185825e-001 1.2371511e-001 1.3557280e-001 1.4742992e-001 1.5928817e-001 1.7114654e-001 1.7699556e-001 1.8284514e-001 1.8869471e-001 1.9454428e-001

k3 -2.8814175e-001 -2.7628266e-001 -2.6442423e-001 -2.5256283e-001 -2.4070458e-001 -2.2884618e-001 -2.2299600e-001 -2.1714643e-001 -2.1129686e-001 -2.0544728e-001

k4 3.1185846e-001 3.2371739e-001 3.3557598e-001 3.4743720e-001 3.5929566e-001 3.7115503e-001 3.5755859e-001 3.4396273e-001 3.3036686e-001 3.1677100e-001

pG_min -9.3291988e-004 -8.3035568e-004 -6.7291776e-004 -4.9158052e-004 -2.8357580e-004 -4.7639883e-005 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000

to 1.6822663e+000 1.5856046e+000 1.4621426e+000 1.3335862e+000 1.1889760e+000 9.7123325e-001 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 2.9633676e-004 2.5028994e-004 2.1193157e-004 1.8896665e-004 1.8136299e-004 1.9715560e-004 4.3457554e+000 4.2863787e+000 4.2258505e+000 4.1634573e+000

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 113

k1 -8.8141496e-002 -7.6282991e-002 -6.4424450e-002 -5.2565909e-002 -4.0707368e-002 -2.8848826e-002 -1.6990359e-002 -5.1318178e-003 6.7269591e-003 1.8585265e-002

k2 1.1185850e-001 1.2371701e-001 1.3557555e-001 1.4743409e-001 1.5929263e-001 1.7115117e-001 1.8300964e-001 1.9486818e-001 2.0672637e-001 2.1858526e-001

k3 -2.8814150e-001 -2.7628299e-001 -2.6442445e-001 -2.5256591e-001 -2.4070737e-001 -2.2884883e-001 -2.1699036e-001 -2.0513182e-001 -1.9327304e-001 -1.8141474e-001

k4 3.1185853e-001 3.2371706e-001 3.3557560e-001 3.4743415e-001 3.5929269e-001 3.7115123e-001 3.8300975e-001 3.9486829e-001 4.0672696e-001 4.1858537e-001

pG_min 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000

to 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 9.5773553e-004 8.9720630e-004 8.3352439e-004 7.7456612e-004 7.1958777e-004 6.6808626e-004 6.1979605e-004 5.7471232e-004 5.3312984e-004 4.9569759e-004

yo 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 121

k1 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002

k2 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001

k3 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001

k4 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001

pG_min -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003

to 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000

Jk 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 122

k1 -8.8142384e-002 -7.6283394e-002 -6.4424149e-002 -5.2566664e-002 -4.0707770e-002 -2.8848525e-002 2.6927999e-002 3.2917909e-002 3.8767480e-002 4.4617051e-002

k2 1.1185729e-001 1.2371186e-001 1.3556636e-001 1.4743096e-001 1.5928748e-001 1.7114198e-001 1.8103088e-001 1.8687453e-001 1.9272410e-001 1.9857367e-001

k3 -2.8814238e-001 -2.7628339e-001 -2.6442415e-001 -2.5256666e-001 -2.4070777e-001 -2.2884852e-001 -1.4076950e-001 -1.3467603e-001 -1.2882645e-001 -1.2297688e-001

k4 3.1185826e-001 3.2371747e-001 3.3557671e-001 3.4743420e-001 3.5929309e-001 3.7115234e-001 4.8194706e-001 4.6866812e-001 4.5507225e-001 4.4147639e-001

pG_min -1.6420057e-003 -1.5179896e-003 -1.3258363e-003 -1.1097379e-003 -8.6705913e-004 -5.9362549e-004 -3.6077205e-004 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000

to 2.3242841e+000 2.1738236e+000 1.9810708e+000 1.7859015e+000 1.5881123e+000 1.3865630e+000 1.1727462e+000 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 2.1120768e-004 1.8730181e-004 1.6592548e-004 1.5185189e-004 1.4476884e-004 1.4434968e-004 1.0828109e-004 3.9358608e-001 3.8772502e-001 3.8259278e-001

Strana 78

Seznam příloh

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 123. yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 131

k1 -9.4150518e-002 -8.8301037e-002 -8.2451466e-002 -7.6601895e-002 -7.0752324e-002 -6.4902753e-002 -5.9053182e-002 -5.3203611e-002 -4.7354041e-002 -4.1504470e-002

k2 1.0584948e-001 1.1169896e-001 1.1754853e-001 1.2339811e-001 1.2924768e-001 1.3509725e-001 1.4094682e-001 1.4679639e-001 1.5264596e-001 1.5849553e-001

k3 -2.9415052e-001 -2.8830104e-001 -2.8245147e-001 -2.7660189e-001 -2.7075232e-001 -2.6490275e-001 -2.5905318e-001 -2.5320361e-001 -2.4735404e-001 -2.4150447e-001

k4 pG_min 2.8640434e-001 -1.2829270e-004 2.7280868e-001 0.0000000e+000 2.5921282e-001 0.0000000e+000 2.4561695e-001 0.0000000e+000 2.3202109e-001 0.0000000e+000 2.1842522e-001 0.0000000e+000 2.0482936e-001 0.0000000e+000 1.9123349e-001 0.0000000e+000 1.7763762e-001 0.0000000e+000 1.6404176e-001 0.0000000e+000

to 2.7209808e+000 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 4.7777210e-004 1.0313155e+001 9.9512498e+000 9.6017430e+000 9.2538821e+000 8.8991565e+000 8.5304616e+000 8.1416431e+000 7.7271681e+000 7.2817589e+000

k1 -9.4546258e-002 -9.2357037e-002 -8.0321772e-002 -6.8462598e-002 -5.6602539e-002 -4.4743293e-002 -3.2885955e-002 -2.1027013e-002 -9.1676198e-003 2.6909215e-003

k2 7.3114358e-002 7.5311238e-002 8.6133482e-002 9.7990337e-002 1.0984799e-001 1.2170249e-001 1.3356024e-001 1.4541815e-001 1.5727280e-001 1.6913134e-001

k3 -3.5446682e-001 -3.5226220e-001 -3.4022456e-001 -3.2836776e-001 -3.1650889e-001 -3.0464964e-001 -2.9278993e-001 -2.8093218e-001 -2.6907278e-001 -2.5721424e-001

k4 2.9879139e-001 3.0804755e-001 3.2008692e-001 3.3194415e-001 3.4380378e-001 3.5566302e-001 3.6752155e-001 3.7937941e-001 3.9123869e-001 4.0309724e-001

pG_min -2.2999227e-003 -2.1344381e-003 -1.9186032e-003 -1.6766271e-003 -1.4157516e-003 -1.1403017e-003 -8.5610397e-004 -5.7233115e-004 -3.0583074e-004 -6.6777638e-005

to 2.8363375e+000 2.6253957e+000 2.3712825e+000 2.1151872e+000 1.8552214e+000 1.5897139e+000 1.3162053e+000 1.0306882e+000 7.2550025e-001 3.9408320e-001

Jk 2.1461525e-004 1.9425408e-004 1.7477840e-004 1.6209927e-004 1.5598413e-004 1.5607567e-004 1.6184441e-004 1.7291331e-004 1.8964892e-004 2.1338422e-004

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 132

k1 -8.8034876e-002 -8.5848068e-002 -8.3653400e-002 -7.1804825e-002 -5.9943695e-002 -4.8082106e-002 -3.6223724e-002 -2.4365403e-002 -1.8515684e-002 -1.2666113e-002

k2 8.4991705e-002 8.7176511e-002 8.9371066e-002 1.0121721e-001 1.1306716e-001 1.2491006e-001 1.3676791e-001 1.4862620e-001 1.5447591e-001 1.6032548e-001

k3 -3.0434510e-001 -3.0215778e-001 -2.9996311e-001 -2.8811216e-001 -2.7625308e-001 -2.6439209e-001 -2.5253325e-001 -2.4067474e-001 -2.3482502e-001 -2.2897545e-001

k4 2.8099467e-001 2.9025427e-001 2.9951320e-001 3.1137106e-001 3.2323090e-001 3.3509259e-001 3.4695097e-001 3.5880940e-001 3.4521357e-001 3.3161771e-001

pG_min -2.1344970e-003 -1.9775956e-003 -1.7485066e-003 -1.5142136e-003 -1.2533153e-003 -9.6318247e-004 -6.3626992e-004 -2.6324087e-004 0.0000000e+000 0.0000000e+000

to 2.9572949e+000 2.7478016e+000 2.4852064e+000 2.2316714e+000 1.9745079e+000 1.7127834e+000 1.4465885e+000 1.1621791e+000 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 2.1773763e-004 1.9638676e-004 1.7962306e-004 1.6692906e-004 1.6063305e-004 1.6065694e-004 1.6687306e-004 1.8247458e-004 8.9321368e-002 8.7473694e-002

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 133

k1 -9.4150439e-002 -8.8301138e-002 -7.8605469e-002 -7.2755986e-002 -6.6906415e-002 -6.1056844e-002 -5.5207273e-002 -4.9357702e-002 -4.3508131e-002 -3.7658560e-002

k2 1.0584957e-001 1.1169918e-001 8.9015181e-002 9.4865548e-002 1.0071512e-001 1.0656469e-001 1.1241426e-001 1.1826383e-001 1.2411340e-001 1.2996297e-001

k3 -2.9415043e-001 -2.8830082e-001 -3.0408184e-001 -2.9823235e-001 -2.9238278e-001 -2.8653321e-001 -2.8068364e-001 -2.7483407e-001 -2.6898450e-001 -2.6313492e-001

k4 pG_min 2.8640416e-001 -1.0853193e-003 2.7280834e-001 -7.4230092e-004 2.7918540e-001 -3.8614117e-004 2.6558975e-001 0.0000000e+000 2.5199388e-001 0.0000000e+000 2.3839802e-001 0.0000000e+000 2.2480215e-001 0.0000000e+000 2.1120629e-001 0.0000000e+000 1.9761042e-001 0.0000000e+000 1.8401456e-001 0.0000000e+000

to 3.6397286e+000 3.3944544e+000 3.0479847e+000 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 4.1758556e-004 3.2193792e-004 3.2599308e-004 1.5001112e+000 1.4378064e+000 1.3792519e+000 1.3220849e+000 1.2646384e+000 1.2056873e+000 1.1443239e+000

yo 1.0000000e+000 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 211

k1 -9.7814920e-002 -9.5629840e-002 -9.3444760e-002 -9.1259680e-002 -8.9074599e-002 -8.6889519e-002 -8.4704439e-002 -8.2519359e-002 -8.0334279e-002 -7.9241739e-002

k2 1.0218508e-001 1.0437016e-001 1.0655524e-001 1.0874032e-001 1.1092540e-001 1.1311048e-001 1.1529556e-001 1.1748064e-001 1.1966572e-001 1.2075826e-001

k3 -2.9781492e-001 -2.9562984e-001 -2.9344476e-001 -2.9125968e-001 -2.8907460e-001 -2.8688952e-001 -2.8470444e-001 -2.8251936e-001 -2.8033428e-001 -2.7924174e-001

k4 3.0925615e-001 3.1851230e-001 3.2776844e-001 3.3702459e-001 3.4628074e-001 3.5553689e-001 3.6479304e-001 3.7404918e-001 3.8330533e-001 3.8793341e-001

pG_min -1.0606072e-003 -9.5558955e-004 -8.4440145e-004 -7.2768743e-004 -6.0617249e-004 -4.8172430e-004 -3.5414000e-004 -2.2238075e-004 -7.7013954e-005 0.0000000e+000

to 1.5615227e+000 1.4232866e+000 1.2845543e+000 1.1449215e+000 1.0038522e+000 8.6061147e-001 7.1428653e-001 5.6554534e-001 4.1564559e-001 2.8421709e-016

Jk 3.6050173e-004 3.1791302e-004 2.8698471e-004 2.6650182e-004 2.5495188e-004 2.5065473e-004 2.5196053e-004 2.5715938e-004 2.6512691e-004 3.7550863e+000

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 212

k1 -8.8141754e-002 -7.6280131e-002 -6.4421723e-002 -5.2563088e-002 -4.0704359e-002 -2.8846113e-002 -2.2996247e-002 -1.7146676e-002 -1.1297105e-002 -5.4475339e-003

k2 1.1185825e-001 1.2371668e-001 1.3557493e-001 1.4743321e-001 1.5929165e-001 1.7114989e-001 1.7699976e-001 1.8284933e-001 1.8869890e-001 1.9454847e-001

k3 -2.8814175e-001 -2.7627831e-001 -2.6442006e-001 -2.5256179e-001 -2.4070336e-001 -2.2884511e-001 -2.2299525e-001 -2.1714568e-001 -2.1129611e-001 -2.0544654e-001

k4 3.1185846e-001 3.2372174e-001 3.3558004e-001 3.4743868e-001 3.5929741e-001 3.7115587e-001 3.5756008e-001 3.4396422e-001 3.3036835e-001 3.1677249e-001

pG_min -9.3291988e-004 -8.3036792e-004 -6.7292621e-004 -4.9158159e-004 -2.8357669e-004 -4.7640143e-005 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000

to 1.6822663e+000 1.5856060e+000 1.4621434e+000 1.3335858e+000 1.1889755e+000 9.7123287e-001 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 3.3066465e-004 2.7244011e-004 2.2226424e-004 1.9237409e-004 1.8192956e-004 1.9738719e-004 6.2080802e+000 6.1232533e+000 6.0367797e+000 5.9476401e+000

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 213

k1 -8.8141533e-002 -7.6282991e-002 -6.4424450e-002 -5.2565909e-002 -4.0707368e-002 -2.8848900e-002 -1.6990359e-002 -5.1318178e-003 6.7269591e-003 1.8585265e-002

k2 1.1185847e-001 1.2371701e-001 1.3557555e-001 1.4743409e-001 1.5929263e-001 1.7115110e-001 1.8300964e-001 1.9486818e-001 2.0672637e-001 2.1858526e-001

k3 -2.8814153e-001 -2.7628299e-001 -2.6442445e-001 -2.5256591e-001 -2.4070737e-001 -2.2884890e-001 -2.1699036e-001 -2.0513182e-001 -1.9327304e-001 -1.8141474e-001

k4 3.1185852e-001 3.2371706e-001 3.3557560e-001 3.4743415e-001 3.5929269e-001 3.7115121e-001 3.8300975e-001 3.9486829e-001 4.0672696e-001 4.1858537e-001

pG_min 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000

to 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 1.0529957e-003 9.9394283e-004 9.3137688e-004 8.7336529e-004 8.1918180e-004 7.6833896e-004 7.2058554e-004 6.7593381e-004 6.3470400e-004 5.9758245e-004

yo 1.0000000e+000 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 221

k1 -8.8141751e-002 -7.6282948e-002 -6.4424417e-002 -5.2565876e-002 -4.0707421e-002 -2.8846387e-002 -1.6987876e-002 -5.1293545e-003 6.7306825e-003 1.8589175e-002

k2 1.1185844e-001 1.2371681e-001 1.3557534e-001 1.4743388e-001 1.5929219e-001 1.7115042e-001 1.8300885e-001 1.9486728e-001 2.0672304e-001 2.1858154e-001

k3 -2.8814156e-001 -2.7628295e-001 -2.6442450e-001 -2.5256596e-001 -2.4070759e-001 -2.2884334e-001 -2.1698491e-001 -2.0512646e-001 -1.9326673e-001 -1.8140826e-001

k4 3.1185844e-001 3.2371705e-001 3.3557558e-001 3.4743413e-001 3.5929257e-001 3.7115601e-001 3.8301444e-001 3.9487297e-001 4.0673510e-001 4.1859358e-001

pG_min -1.7412351e-003 -1.5850187e-003 -1.4115779e-003 -1.2229571e-003 -1.0215240e-003 -8.1130621e-004 -5.9763719e-004 -3.8872130e-004 -1.9559113e-004 -3.5523188e-006

to 2.2628601e+000 2.0674262e+000 1.8700012e+000 1.6697372e+000 1.4655430e+000 1.2559366e+000 1.0387563e+000 8.1052767e-001 5.6401724e-001 2.8860434e-001

Jk 2.4405351e-004 2.1084860e-004 1.8520029e-004 1.6719643e-004 1.5644123e-004 1.5215346e-004 1.5340391e-004 1.5939303e-004 1.7022030e-004 1.8880586e-004

yo 1.0000000e+000 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 222

k1 -8.8142384e-002 -7.6283363e-002 -6.4421236e-002 -5.2551591e-002 -4.0653545e-002 -2.5910152e-002 -1.4051610e-002 -8.2020395e-003 -2.3524686e-003 3.4971023e-003

k2 1.1185729e-001 1.2371602e-001 1.3557076e-001 1.4742303e-001 1.5915864e-001 1.5445679e-001 1.6631533e-001 1.7216490e-001 1.7801447e-001 1.8386404e-001

k3 -2.8814174e-001 -2.7628325e-001 -2.6441945e-001 -2.5255137e-001 -2.4066060e-001 -2.2591731e-001 -2.1405877e-001 -2.0820920e-001 -2.0235963e-001 -1.9651006e-001

k4 3.1185762e-001 3.2371606e-001 3.3558082e-001 3.4746876e-001 3.5936704e-001 3.7411033e-001 3.8596887e-001 3.7237301e-001 3.5877714e-001 3.4518127e-001

pG_min -1.6625598e-003 -1.4844730e-003 -1.2814587e-003 -1.0512503e-003 -7.9083257e-004 -5.0896245e-004 -1.6472435e-004 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000

to 2.3948679e+000 2.2056685e+000 2.0148742e+000 1.8220523e+000 1.6261805e+000 1.4262047e+000 1.1765766e+000 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 2.3018054e-004 1.9514563e-004 1.6913753e-004 1.5228261e-004 1.4429561e-004 1.4019784e-004 1.5646556e-004 4.8440453e-001 4.7645392e-001 4.6875871e-001

Seznam příloh

Strana 79

yo 1.0000000e+000 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 223

k1 -9.4150482e-002 -8.8300914e-002 -8.2451343e-002 -7.6601772e-002 -7.0752201e-002 -6.4902631e-002 -5.9053060e-002 -5.3203489e-002 -4.7353918e-002 -4.1504347e-002

k2 1.0584962e-001 1.1169919e-001 1.1754876e-001 1.2339834e-001 1.2924791e-001 1.3509748e-001 1.4094705e-001 1.4679662e-001 1.5264619e-001 1.5849576e-001

k3 -2.9415048e-001 -2.8830091e-001 -2.8245134e-001 -2.7660177e-001 -2.7075220e-001 -2.6490263e-001 -2.5905306e-001 -2.5320349e-001 -2.4735392e-001 -2.4150435e-001

k4 pG_min 2.8640436e-001 -1.8988621e-004 2.7280851e-001 0.0000000e+000 2.5921264e-001 0.0000000e+000 2.4561678e-001 0.0000000e+000 2.3202091e-001 0.0000000e+000 2.1842505e-001 0.0000000e+000 2.0482918e-001 0.0000000e+000 1.9123332e-001 0.0000000e+000 1.7763745e-001 0.0000000e+000 1.6404158e-001 0.0000000e+000

to 2.8167977e+000 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 4.8672264e-004 1.5041071e+001 1.4513252e+001 1.4003502e+001 1.3496141e+001 1.2978757e+001 1.2440986e+001 1.1873853e+001 1.1269284e+001 1.0619578e+001

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 231

k1 -9.4147745e-002 -9.0112608e-002 -8.7135209e-002 -7.5277892e-002 -6.3418572e-002 -5.1560272e-002 -3.9702118e-002 -2.7843676e-002 -1.5985061e-002 -4.1265199e-003

k2 1.0583327e-001 1.0012818e-001 1.0189668e-001 1.1375406e-001 1.2560863e-001 1.3747047e-001 1.4932864e-001 1.6118708e-001 1.7304570e-001 1.8490424e-001

k3 -2.9414775e-001 -2.9013203e-001 -2.8717556e-001 -2.7531587e-001 -2.6345655e-001 -2.5159884e-001 -2.3974014e-001 -2.2788175e-001 -2.1602313e-001 -2.0416459e-001

k4 2.8640639e-001 2.9399648e-001 3.0358401e-001 3.1544139e-001 3.2730065e-001 3.3915895e-001 3.5101716e-001 3.6287566e-001 3.7473422e-001 3.8659276e-001

pG_min -2.1741435e-003 -2.0234518e-003 -1.8004103e-003 -1.5748881e-003 -1.3303315e-003 -1.0708736e-003 -8.0270002e-004 -5.3472275e-004 -2.8364175e-004 -6.1927314e-005

to 2.8888215e+000 2.6699885e+000 2.4012429e+000 2.1415397e+000 1.8777536e+000 1.6081780e+000 1.3303031e+000 1.0400927e+000 7.2991010e-001 3.9158429e-001

Jk 2.4239076e-004 2.1464545e-004 1.9190031e-004 1.7564428e-004 1.6656504e-004 1.6434042e-004 1.6839726e-004 1.7827043e-004 1.9422976e-004 2.1777998e-004

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 232

k1 -9.4150429e-002 -8.8301753e-002 -8.6111562e-002 -7.1370536e-002 -5.8069772e-002 -4.5851183e-002 -3.2549867e-002 -2.0682330e-002 -1.4832691e-002 -8.9831201e-003

k2 1.0584957e-001 9.2257558e-002 9.4438200e-002 8.9736176e-002 9.3314762e-002 1.0310379e-001 1.0668237e-001 1.1853968e-001 1.2438908e-001 1.3023865e-001

k3 -2.9415043e-001 -2.8830175e-001 -2.8611394e-001 -2.7136876e-001 -2.5806724e-001 -2.4584745e-001 -2.3254658e-001 -2.2068217e-001 -2.1483262e-001 -2.0898305e-001

k4 2.8640413e-001 2.9225454e-001 3.0151234e-001 3.1625536e-001 3.2955678e-001 3.4177651e-001 3.5507792e-001 3.6694568e-001 3.5334999e-001 3.3975412e-001

pG_min -2.1335664e-003 -1.9870830e-003 -1.7548418e-003 -1.5705766e-003 -1.3228338e-003 -1.0202183e-003 -6.8479000e-004 -2.7805817e-004 0.0000000e+000 0.0000000e+000

to 2.9752264e+000 2.7571310e+000 2.4934373e+000 2.2342083e+000 1.9764585e+000 1.7172251e+000 1.4566070e+000 1.1738029e+000 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 2.4109325e-004 2.0981006e-004 1.8548552e-004 1.6300243e-004 1.5012258e-004 1.4688347e-004 1.4849383e-004 1.6399827e-004 1.2868066e-001 1.2610670e-001

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 233

k1 -9.4150448e-002 -8.8301138e-002 -6.6958767e-002 -6.1107141e-002 -5.5257570e-002 -4.9407999e-002 -4.3558428e-002 -3.7708857e-002 -3.1859286e-002 -2.6009715e-002

k2 1.0584957e-001 1.1169918e-001 4.8189947e-002 5.4059345e-002 5.9908916e-002 6.5758487e-002 7.1608058e-002 7.7457629e-002 8.3307200e-002 8.9156771e-002

k3 -2.9415043e-001 -2.8830082e-001 -3.2735092e-001 -3.2148456e-001 -3.1563499e-001 -3.0978542e-001 -3.0393585e-001 -2.9808628e-001 -2.9223671e-001 -2.8638714e-001

k4 pG_min 2.8640416e-001 -1.0853193e-003 2.7280834e-001 -7.4230092e-004 2.7899303e-001 -4.0434988e-004 2.6539729e-001 0.0000000e+000 2.5180142e-001 0.0000000e+000 2.3820555e-001 0.0000000e+000 2.2460969e-001 0.0000000e+000 2.1101382e-001 0.0000000e+000 1.9741796e-001 0.0000000e+000 1.8382209e-001 0.0000000e+000

to 3.6397286e+000 3.3944544e+000 3.0698917e+000 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 4.5570748e-004 3.3387957e-004 3.1871866e-004 2.1242080e+000 2.0363914e+000 1.9535504e+000 1.8723761e+000 1.7905179e+000 1.7063533e+000 1.6187698e+000

yo 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 1.0000000e+000 311

k1 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002 -9.7814463e-002

k2 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001 1.0218554e-001

k3 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001 -2.9781446e-001

k4 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001 3.0925574e-001

pG_min -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003 -1.0606058e-003

to 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000 1.5615230e+000

Jk 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004 3.2519186e-004

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 312

k1 -8.8142258e-002 -7.6283924e-002 -6.4425766e-002 -5.2567245e-002 -4.0709098e-002 -2.8849958e-002 -2.3000259e-002 -1.7150688e-002 -1.1301117e-002 -5.4515462e-003

k2 1.1186411e-001 1.2372207e-001 1.3558061e-001 1.4743913e-001 1.5929609e-001 1.7115388e-001 1.7700342e-001 1.8285299e-001 1.8870256e-001 1.9455213e-001

k3 -2.8813224e-001 -2.7627391e-001 -2.6441575e-001 -2.5255739e-001 -2.4069908e-001 -2.2883994e-001 -2.2299024e-001 -2.1714067e-001 -2.1129110e-001 -2.0544153e-001

k4 3.1186786e-001 3.2372620e-001 3.3558479e-001 3.4744331e-001 3.5930189e-001 3.7116070e-001 3.5756486e-001 3.4396899e-001 3.3037313e-001 3.1677726e-001

pG_min -9.3294558e-004 -8.3037436e-004 -6.7293118e-004 -4.9158462e-004 -2.8357839e-004 -4.7640477e-005 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000

to 1.6822695e+000 1.5856066e+000 1.4621433e+000 1.3335851e+000 1.1889745e+000 9.7123171e-001 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 3.6498374e-004 2.9459299e-004 2.3259875e-004 1.9577872e-004 1.8249428e-004 1.9761572e-004 8.0704303e+000 7.9601544e+000 7.8477370e+000 7.7318528e+000

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 313

k1 -8.8141533e-002 -7.6282991e-002 -6.4424450e-002 -5.2565983e-002 -4.0707441e-002 -2.8848900e-002 -1.6990359e-002 -5.1318178e-003 6.7269591e-003 1.8585265e-002

k2 1.1185847e-001 1.2371701e-001 1.3557555e-001 1.4743402e-001 1.5929256e-001 1.7115110e-001 1.8300964e-001 1.9486818e-001 2.0672637e-001 2.1858526e-001

k3 -2.8814153e-001 -2.7628299e-001 -2.6442445e-001 -2.5256598e-001 -2.4070744e-001 -2.2884890e-001 -2.1699036e-001 -2.0513182e-001 -1.9327304e-001 -1.8141474e-001

k4 3.1185852e-001 3.2371706e-001 3.3557560e-001 3.4743413e-001 3.5929267e-001 3.7115121e-001 3.8300975e-001 3.9486829e-001 4.0672696e-001 4.1858537e-001

pG_min 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000

to 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 1.1482559e-003 1.0906794e-003 1.0292294e-003 9.7216450e-004 9.1877586e-004 8.6859161e-004 8.2137504e-004 7.7715531e-004 7.3627816e-004 6.9946731e-004

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 321

k1 -8.8142049e-002 -7.6283508e-002 -6.4424672e-002 -5.2566017e-002 -4.0698204e-002 -2.8840295e-002 -1.6981674e-002 -5.1233714e-003 6.7359141e-003 1.8595327e-002

k2 1.1185795e-001 1.2371649e-001 1.3557533e-001 1.4743415e-001 1.5929204e-001 1.7115003e-001 1.8300761e-001 1.9486544e-001 2.0672010e-001 2.1857461e-001

k3 -2.8814205e-001 -2.7628351e-001 -2.6442467e-001 -2.5256585e-001 -2.4070187e-001 -2.2884397e-001 -2.1698535e-001 -2.0512705e-001 -1.9326786e-001 -1.8140854e-001

k4 3.1185838e-001 3.2371692e-001 3.3557554e-001 3.4743415e-001 3.5930201e-001 3.7116039e-001 3.8301906e-001 3.9487753e-001 4.0673671e-001 4.1859601e-001

pG_min -1.6957778e-003 -1.5850174e-003 -1.4115774e-003 -1.2229568e-003 -1.0215610e-003 -8.1131960e-004 -5.9764770e-004 -3.8872810e-004 -1.9559335e-004 -3.5520961e-006

to 2.2216088e+000 2.0674258e+000 1.8700011e+000 1.6697373e+000 1.4655456e+000 1.2559372e+000 1.0387567e+000 8.1052794e-001 5.6401750e-001 2.8860382e-001

Jk 2.7314192e-004 2.3734697e-004 2.0206859e-004 1.7694618e-004 1.6139209e-004 1.5425920e-004 1.5408475e-004 1.5952858e-004 1.7022954e-004 1.8880190e-004

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 322

k1 -8.8148865e-002 -7.6291504e-002 -6.4431930e-002 -5.2573389e-002 -4.0714995e-002 -2.8850524e-002 -1.6997913e-002 -1.1148046e-002 -5.2984755e-003 5.5109534e-004

k2 1.1187056e-001 1.2372792e-001 1.3558749e-001 1.4744603e-001 1.5930443e-001 1.7113092e-001 1.8302151e-001 1.8887137e-001 1.9472095e-001 2.0057052e-001

k3 -2.8812944e-001 -2.7627208e-001 -2.6441251e-001 -2.5255397e-001 -2.4069557e-001 -2.2883110e-001 -2.1697849e-001 -2.1112863e-001 -2.0527905e-001 -1.9942948e-001

k4 3.1185157e-001 3.2370979e-001 3.3556861e-001 3.4742715e-001 3.5928565e-001 3.7114991e-001 3.8300273e-001 3.6940695e-001 3.5581108e-001 3.4221522e-001

pG_min -1.6419449e-003 -1.5179222e-003 -1.3257693e-003 -1.1096939e-003 -8.6702167e-004 -5.9362917e-004 -2.8456438e-004 0.0000000e+000 0.0000000e+000 0.0000000e+000

to 2.3242915e+000 2.1738297e+000 1.9810762e+000 1.7859044e+000 1.5881124e+000 1.3865671e+000 1.1678207e+000 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 2.5951080e-004 2.2232351e-004 1.8652091e-004 1.6229906e-004 1.4895972e-004 1.4542122e-004 1.5258743e-004 6.7764192e-001 6.6644201e-001 6.5555831e-001

Strana 80

Seznam příloh

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 323

k1 -9.4150429e-002 -8.8300858e-002 -8.2451287e-002 -7.6601716e-002 -7.0752146e-002 -6.4902575e-002 -5.9053004e-002 -5.3203433e-002 -4.7353862e-002 -4.1504291e-002

k2 1.0584957e-001 1.1169914e-001 1.1754871e-001 1.2339828e-001 1.2924785e-001 1.3509743e-001 1.4094700e-001 1.4679657e-001 1.5264614e-001 1.5849571e-001

k3 -2.9415043e-001 -2.8830086e-001 -2.8245129e-001 -2.7660172e-001 -2.7075215e-001 -2.6490257e-001 -2.5905300e-001 -2.5320343e-001 -2.4735386e-001 -2.4150429e-001

k4 pG_min 2.8640413e-001 -1.2829263e-004 2.7280827e-001 0.0000000e+000 2.5921240e-001 0.0000000e+000 2.4561654e-001 0.0000000e+000 2.3202067e-001 0.0000000e+000 2.1842481e-001 0.0000000e+000 2.0482894e-001 0.0000000e+000 1.9123308e-001 0.0000000e+000 1.7763721e-001 0.0000000e+000 1.6404134e-001 0.0000000e+000

to 2.7209808e+000 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 5.5817049e-004 1.9152134e+001 1.8480047e+001 1.7830961e+001 1.7184909e+001 1.6526087e+001 1.5841300e+001 1.5119115e+001 1.4349253e+001 1.3521904e+001

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 331

k1 -9.4150443e-002 -9.0131762e-002 -7.5383489e-002 -6.0641490e-002 -4.8782713e-002 -3.6922431e-002 -2.5063256e-002 -1.3204044e-002 -1.3429730e-003 1.0515878e-002

k2 1.0584937e-001 1.0014530e-001 9.5442466e-002 9.0743378e-002 1.0260156e-001 1.1444517e-001 1.2630203e-001 1.3816020e-001 1.5000273e-001 1.6186099e-001

k3 -2.9415044e-001 -2.9014126e-001 -2.7538673e-001 -2.6064336e-001 -2.4878459e-001 -2.3692193e-001 -2.2506513e-001 -2.1320592e-001 -2.0134485e-001 -1.8948600e-001

k4 2.8640441e-001 2.9395834e-001 3.0871080e-001 3.2345125e-001 3.3530992e-001 3.4717247e-001 3.5902970e-001 3.7088853e-001 3.8274977e-001 3.9460846e-001

pG_min -2.1740869e-003 -2.0230758e-003 -1.8735326e-003 -1.6930371e-003 -1.4308087e-003 -1.1529808e-003 -8.6565619e-004 -5.7846263e-004 -3.0851541e-004 -6.6440484e-005

to 2.8888316e+000 2.6699945e+000 2.4030864e+000 2.1349091e+000 1.8722757e+000 1.6039702e+000 1.3275338e+000 1.0389612e+000 7.3064077e-001 3.9617472e-001

Jk 2.6047227e-004 2.2806283e-004 1.9534430e-004 1.6913259e-004 1.5480163e-004 1.4927529e-004 1.5150658e-004 1.6044189e-004 1.7578618e-004 1.9838183e-004

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 332

k1 -9.4149968e-002 -8.8300509e-002 -8.6088895e-002 -7.2784576e-002 -6.0876339e-002 -4.9019829e-002 -3.7155844e-002 -2.5296809e-002 -1.9447590e-002 -1.3598019e-002

k2 1.0584882e-001 9.2254277e-002 9.4428715e-002 9.8015071e-002 1.0961925e-001 1.2145818e-001 1.3328501e-001 1.4514156e-001 1.5099315e-001 1.5684273e-001

k3 -2.9415115e-001 -2.8830172e-001 -2.8609515e-001 -2.7278551e-001 -2.6088662e-001 -2.4902062e-001 -2.3715603e-001 -2.2529699e-001 -2.1944777e-001 -2.1359820e-001

k4 2.8640366e-001 2.9225252e-001 3.0152290e-001 3.1484654e-001 3.2675487e-001 3.3861143e-001 3.5047647e-001 3.6233560e-001 3.4873938e-001 3.3514352e-001

pG_min -2.1335642e-003 -1.9870766e-003 -1.7549694e-003 -1.5440563e-003 -1.2776317e-003 -9.8063241e-004 -6.4683664e-004 -2.6609209e-004 0.0000000e+000 0.0000000e+000

to 2.9752256e+000 2.7571290e+000 2.4934451e+000 2.2364524e+000 1.9787664e+000 1.7165534e+000 1.4496844e+000 1.1638008e+000 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 2.5923447e-004 2.2315511e-004 1.9358764e-004 1.7047383e-004 1.5830755e-004 1.5488712e-004 1.5945661e-004 1.7463317e-004 1.6655250e-001 1.6314667e-001

yo 9.8000000e-001 9.0000000e-001 8.0000000e-001 7.0000000e-001 6.0000000e-001 5.0000000e-001 4.0000000e-001 3.0000000e-001 2.0000000e-001 1.0000000e-001 333

k1 -9.4150442e-002 -8.8300871e-002 -8.4002097e-002 -7.8152331e-002 -7.2302760e-002 -6.6453189e-002 -6.0603618e-002 -5.4754047e-002 -4.8904476e-002 -4.3054905e-002

k2 1.0584957e-001 1.1169914e-001 1.0605483e-001 1.1190399e-001 1.1775356e-001 1.2360313e-001 1.2945270e-001 1.3530228e-001 1.4115185e-001 1.4700142e-001

k3 -2.9415043e-001 -2.8830086e-001 -2.9372421e-001 -2.8787504e-001 -2.8202547e-001 -2.7617590e-001 -2.7032632e-001 -2.6447675e-001 -2.5862718e-001 -2.5277761e-001

k4 pG_min 2.8640415e-001 -1.0853192e-003 2.7280829e-001 -7.4230096e-004 2.7710728e-001 -3.7620222e-004 2.6351139e-001 0.0000000e+000 2.4991552e-001 0.0000000e+000 2.3631966e-001 0.0000000e+000 2.2272379e-001 0.0000000e+000 2.0912793e-001 0.0000000e+000 1.9553206e-001 0.0000000e+000 1.8193620e-001 0.0000000e+000

to 3.6397286e+000 3.3944544e+000 3.0391549e+000 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016 2.8421709e-016

Jk 4.9382881e-004 3.4582131e-004 3.4115980e-004 2.7838123e+000 2.6673787e+000 2.5576949e+000 2.4504111e+000 2.3424714e+000 2.2315903e+000 2.1160146e+000

Seznam příloh

Strana 81