Surakarta

SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UNESA 2015

Solusi Analitik Persamaan Dirac Untuk Potensial Rosen Morse Hiperbolik Terdeformasi-q Pada Kasus Pseudospin Simetri Bagian Radial Menggunakan Metode Iterasi Asimtotik SUBUR PRAMONO1), SUPARMI2,*), CARI3), BETA NUR PRATIWI4) Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret. Jl. Ir. Sutami 36A Kentingan Surakarta, E-mail: [email protected] 2) Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret. Jl. Ir. Sutami 36A Kentingan, Surakarta E-mail: [email protected] 1) Program

*) PENULIS KORESPONDEN

TEL: 085755232959; TEL: 085728251413 ABSTRAK: Persamaan Dirac untuk potensial Rosen Morse Hiperbolik terdeformasi-q pada kasus pseudospin

simetri bagian radial diselesaikan dengan menggunakan Metode Iterasi Asimtotik atau Asymptotic Iteration Method (AIM). Untuk pendekatan sentrifugal digunakan dengan pendekatan Pekeris. Penyelesaian persamaan Dirac dengan menggunakan metode Iterasi Asimtotik dilakukan dengan mereduksi persamaan differensial orde kedua menjadi persamaan differensial tipe Hipergeometri dengan cara substitusi variabel sehingga diperoleh persamaan energi relativistik. Energi relativistik sistem dihitung menggunakan software matlab 2013. Penelitian ini dibatasi untuk kasus pseudospin simetri bagian radial. Kata Kunci:

Persamaan Dirac, Rosen Morse Hiperbolik terdeformasi q, Metode Iterasi Asimtotik, Pendekatan Pekeris, Pseudospin Simetri.

PENDAHULUAN Persamaan Dirac merupakan persamaan gelombang relativistik yang dirumuskan oleh fisikawan berkebangsaan inggris, P.A.M. Dirac pada tahun 1928. Persamaan ini memiliki fungsi yang sama sebagaimana persamaan gelombang yang dirumuskan oleh Erwin Schrödinger, yaitu untuk menemukan solusi fungsi gelombang sistem kuantum yang dapat mendeskripsikan eksistensi suatu partikel pada skala mikroskopik pada kondisi tertentu. Karena persamaan Dirac adalah persamaan gelombang yang sudah mengikutsertakan keadaan relativistik dari partikel dimana v~c, sehingga hasil yang diperoleh dari penyelesaian persamaan Dirac merupakan fungsi gelombang sistem kuantum relativistik dan spektrum energi relativistik(Atkins, 1974). Persamaan Dirac mendeskripsikan tentang perilaku gerak partikel yang memiliki spin

1

2

untuk

- 1 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA

potensial shape invariance sentral maupun non sentral(Greiner, 2000). Penyelesaian persamaan Dirac secara langsung dari sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial yang energi potensialnya adalah fungsi posisi adalah dengan cara mereduksi persamaan Dirac menjadi persamaan differensial orde kedua sehingga didapatkan persamaan energi dan fungsi gelombang(Suparmi, 2011). Pada beberapa tahun akhir ini banyak peneliti yang telah melakukan penelitian terkait persamaan Dirac dengan beberapa potensial dan metode. Beberapa potensial yang telah digunakan dalam penelitian tersebut adalah Hulthen(Soylu, et al, 2007; Suparmi, et al, 2014), Non-sentral Rosen Morse Trigonometri(Suparmi, et al, 2014), Eckart (Soylu, et al, 2008; Resita, et al, 2015), Maning Rosen Trigonometri(Resita, et al, 2015), Pöschl-Teller hiperbolik terdeformasi-q dan non-sentral Scarf trigonometri(Kurniawan, et al, 2015), Coulomb plus NAD(Bakkeshizadeh, 2012),

SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UNESA 2015 dan lain-lain. Metode yang telah digunakan oleh mereka adalah supersymmetry quantum mechanics(Suparmi dan Cari, 2014), polinomial Romanovski(Suparmi, et al, 2014) Nikivorov-Uvarov(Bakkeshizadeh, et al, 2012; Sameer, 2009)), iterasi asimtotik (Soylu et al, 2007, 2008; Kurniawan et al, 2015; Kocak, et al, 2012; Das, 2014; Debnath, 2012). Pada paper ini digunakan metode iterasi asimtoik untuk menentukan energi relativistik dan fungsi gelombang persamaan dirac bagian radial pada kasus pseudospin simetri yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse Hiperbolik terdeformasi-q. Dalam paper ini dibatasi pada kondisi selisih potensial vektor dengan potensial skalar adalah potensial yang mepengaruhi sistem. METODE PENELITIAN Metode Iterasi Asimtotik Metode iterasi asimtotik merupakan suatu metode alternatif yang akurat dan efisien untuk menentukan nilai energi eigen dan fungsi eigen suatu potensial jenis hiperbolik yang dapat diselesaikan secara analitik. Metode iterasi asimtotik juga memeberikan solusi untukmasalah yang dapat diselesaikan secara eksak (Das, 2014). Metode Iterasi Asimtotik digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial linier orde kedua homogen yaitu

yn ( x)  0 ( x) yn ( x)  s0 ( x) yn ( x) (1) Dimana 0 ( x)  0 dan tanda prime menunjukkan turunan terhadap x. Parameter lain yaitu n diartikan sebagai bilangan kuantum radial. Variabel 0 ( x) dan s0 ( x ) adalah variabel yang cukup mudah untuk diturunkan. Untuk memperoleh suatu solusi umum dari persamaan (1), kita harus mendifferensialkan persamaan (1) tersebut terhadap x, sehingga kita peroleh

yn ( x)  1 ( x) yn ( x)  s1 ( x) yn ( x)

(2)

dimana

1 ( x)  0 ( x)  s0 ( x)  02 ( x)

(3)

s1 ( x)  s0 ( x)  s0 ( x)0 ( x)

(4)

s0 ( x ) Dengan dan 0 ( x)  0 merupakan fungsi dari C (koefisien persamaan differensial) Metode iterasi - 2 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA

asimtotik dan dapat diaplikasikan secara langsung pada beberapa permasalahan jika sebuah fungsi gelombang diketahui terlebih dahulu dan memenuhi kondisi batas nol (0) dan tak hingga (∞)[13]. Persamaan (2) dapat diiterasikan dengan mudah sampai (k+1) dan (k+2), k = 1, 2, 3, ... sehingga diperoleh

yn k 1 ( x)  k 1 ( x) yn ( x)  sk 1 ( x) yn ( x) (5) yn k  2 ( x)  k ( x) yn ( x)  sk ( x) yn ( x)

(6)

Dimana

k ( x)  k 1 ( x)  sk 1 ( x)  0 ( x)k 1 ( x) (7)

sk ( x)  sk 1 ( x)  s0 ( x)k 1 ( x)

(8)

Yang mana disebut recurrence relation. Dari rasio (k + 1) dan (k + 2), kita dapatkan yn(k  2) ( z ) d (k 1)  ln  y ( z )   n  dz yn(k 1) ( z ) 

k (z)  yn ( z ) 

 sk (z) f ( z) k (z) 

(9)

   s (z) k 1 (z)  yn ( z )  k 1 f ( z) k 1 (z)   Untuk nilai k yang cukup besar, maka 

sk (z) sk 1 (z)    ( z) k (z) k 1 (z)

(10)

Yang mana adalah aspek metode iterasi asimtotik, kemudian kita subtitusikan

 (z) d ln  yn(k 1) ( z )   k dz k 1 (z)  (z) (k 1)  d ln  yn ( z )   kk1 (z) dz

(11) (12)

  (z)   yn(k 1) ( z )   C1 exp   k dz    k 1 (z)  C1k 1 (z) exp

   ( z)   (z) dz  0

yn ( z)   ( z) f ( z)  C1 exp



yn ( z )  exp    ( z1 ) d z1 z

 C2  C1  exp  z

(13)

   ( z)   (z) dz  0



   (z )  2 ( z ) dz dz 

(14) (15)

z1

0

2

2

2

1

 k ( z )  k (z) sk 1 (z)  k 1 (z) sk (z)  0

(16) k  1, 2, 3, ... Dimana n merepresentasikan bilangan quantum radial [5]. Persamaan (2) merupakan persamaan differensial orde kedua homogen linier yang

SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UNESA 2015 mana dapat diselesaikan dengan membandingkan terlebih dahulu dengan persamaan differensial orde kedua berikut(Kocak, 2012):  az N 1 t 1  wz N (17) y( z )  2  y( z )  y( z)  N 2  1  bz

Dimana

( )n  dan

 z 

(  n) , ( )

1  bz N  2



2t  N  3 (18) N 2

adalah proyeksi momentum anguler pada sumbu z. Bilangan kuantum anguler orbital dan mengacu pada bilangan kuantum spin dan pseudospin. Untuk pemberian bilangan kuantum spin orbital   1, 2,... , momentum anguler total j    12 , momentum anguler orbital dan momentum anguler pseudo-orbital    1 2  1 2 , dan berturut-turut.

   12  12

Dengan

Fungsi gelombang dari persamaan (2), dapat ditentukan mengikuti persamaan (Kocak, 2012): yn ( z)  (1)n C2 (N 2)n ( )n 2 F1 (n,   n; ; bz N 2 ) (20)

mensubtitusikan persamaan (24) ke dalam persamaan (21) maka kita dapat memperoleh secara langsung dua pasangan persamaan differensial biasa untuk bagian radial dari fungsi iegen Dirac sebagai berikut:  d  (25)  F (r )   M  E  V (r )  S (r )   G

HASIL DAN PEMBAHASAN

dan



(2t  1)b  2a ( N  2)b

(19)

Penentuan Energi Relativistik Persamaan Dirac untuk sebuah partikel tunggal dengan massa M yang diengaruhi oleh potensial vektor V(r) dan potensial skalar S(r) dapat diberikan sebagai (dalam satuan ℏ = 𝑐 = 1) (21)  . p    M  S (r )   (r )   E  V (r )  (r ) Dimana p dan E adalah operator momentuum dan energi relativistik toal dari sistem, secara berturut-turut. Operator momentum sudut total Jˆ dan operator matriksspin-orbit komut Jˆ  ˆ.Lˆ 1 dengan Hamiltonian Dirac hanya untuk potensial yg simetris secara spherical.  dan  adalah matriks Dirac 4  4 yaitu 0 p  i,     i

i 

, 0

I

0

    0 I 

(22)

Dimana I adalah matriks identitas 2  2 dan  i  x, y , z adalah matrik Pauli 2  2: 0 1

 0 i  1 0  ,  z    0  0 1

x   ,  y   1 0 i

(23)

Spinor Dirac dapat dituliskan menyesuaikan dengan kondisi upper (besar) f n dan lower (kecil) g n sebagai

 f n  1  Fn (r )Y jm ( ,  )      g n  r  iGn (r )Y jm ( ,  ) 

 n (r )  

(24)

Dimana Y jm ( ,  ) dan Y jm ( ,  ) adalah harmonik bolaspin dan pseudospin. n adalah bilangan kuantum radial dan m - 3 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA

  dr

 r

n





n

n

(26)

 d     Gn (r )   M  En  V (r )  S (r )   Fn  dr r 

Dengan

megeliminasi

Gn dalam

persamaan (20) dan Fn dalam (21), kita peroleh persamaan differensial orde kedua untuk komponen lower dan upper dari persamaan gelombang Dirac sebagai berikut (Soylu, 2007): d   (  1) (27)   ( M  E  (r ))( M  E  (r ))   2

2 r2  dr  d  (d   ) dr dr r   M  En  (r )

n

n

 G (r )  0  n  

dan  d 2  (  1)   dr 2  r 2  ( M  En  (r ))( M  En  (r ))    F (r )  0  d  (d   )  n dr dr r    M  En  (r ) 

(28)

Dimana

(r )  V (r )  S (r ) dan (r )  V (r )  S (r )

Analisis Persamaan Dirac untuk Potensial Rosen Morse Hiperbolik Terdeformasi q pada Kasus Spin Simetri Bagian Radial Persamaan Dirac untuk kasus pseudospin simetri ditandai dengan d   0 dr

dan

(r )  C ps =

konstan,

karena

penjumlahan potensial vektor V(r) dengan potensial skalar S(r) adalah konstan, dan selisih keduanya sama dengan potensial yang mempengaruhi sistem, yang dalam studi ini adalah potensial Rosen Morse Hiperbolik terdeformasi-q. Dengan

SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UNESA 2015 memperhatikan batasan pada kasus ini, maka persamaan (27) dapat dituliskan kembali ke dalam bentuk (29) d   (  1) 2

 dr 2 



r2

 ( M  En   (r ))( M  En  C ps )  Gn (r )  0 

dan, bila (r ) adalah potensial Rosen Morse Hiperbolik terdeformasi q, yang didefinisikan sebagai

  V0 V (r )     V tanh  r  q  cosh 2q  r 1  

(30)

Dimana  adalah screening parameter, yang menentukan rentang potensial Rosen Morse (Soylu, 2008). Sehingga persamaan (29) dapat dituliskan kembali sebagai d   (  1) (31)    M  E   (M  E   C )   2

n

n

ps

2 r2  dr  G (r )  0    n  V0  V tanh  r ( M  E  C )      1 q n ps  2    cosh q  r  

Persamaan (31) tidak dapat diselesaikan secara langsung, dalam kasus ini kita menggunakan pendekatan untuk kasus sentrifugal dengan menggunakan pendekatan Pekeris sebagaimana yang diusulkan oleh Sameer (2009), namun dalam studi ini pendekatan Pekeris yang digunakan adalah sebagai berikut: 2  e2 r   (32) 1 1 e2 r    c  c  c 0 1 2 2 r  r 2 re2  1  qe2 r  1  qe   

dimana 2

 1  q exp(2 re )    8 re c0  1     3  2 re   ,   2 re    1  q exp(2 re )    1  q exp(2 re )   1  q exp(2 re )   c1  2  exp(2 re )  1 3   3  2  r     , e  2 re 2 re      2  1  q exp( 2 re )  c2   exp(2 re )  1   2 re  

2

(33)

  4 re  3  2 re   1  q exp(2 re )  

Dengan mengubah bentuk centrifugal term ke dalam fungsi hiperbolik pada persamaan (32) dan (33), kemudian disubtitusikan ke persamaan (31) maka diperoleh bentuk persamaan (34) d G (r )  2

n 2

dr

  2 2 tanh q  r   2   1 Gn (r )   2 E Gn (r )

Dengan    c1 c   2   M  E  C ps M  E      2 q 2 q     (35)     c c    2 2     1  2    2V1 M  E  C ps      2 q 2q    c2  2 2     1     V0 M  E  C ps   4 

 2 E       c0 

- 4 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA

Dengan

substitusi variabel tanh q r  1  2 z pada persamaan (31)

dengan   z   , didapatkan  2Gn ( z ) G ( z )  (1  2 z ) n z 2 z    1  2   E    2   E        Gn ( z )  0   4 z   4(1  z )    q z (1  z )

(36)

Persamaan (33) meimiliki dua buah titik regular singular di z = 0 dan z = 1 yang mana solusi umum untuk fungsi U adalah (37) Gn ( z )  z  (1  z ) g nr ( z ) Setelah melalui beberapa trik matematis, didapatkan persamaan differensial tipe Hipergeometri kemudian dapat diubah ke dalam persamaan diffferensial orde kedua z (1  z ) g nr ( z )   2  1  z  2  2  2  g nr ( z )

   1           1  g nr ( z )  0 q  

g nr ( z ) 

(38)

 z  2  2  2    2  1 g  ( z ) z (1  z )

nr

   1          1   q    g nr ( z ) z (1  z )

(39)

Persamaan (39) dapat diselesaikan menggunakan metode iterasi asimtotik, dimana telah ditentukan sebelumnya 4 2  2   E  (40) dan 4 2  2   E  (41) Dengan membandingkan persamaan (39) dengan persamaan (1), maka didapatkan 0 ( z ) dan s0 ( z ) , kemudian dapat dihitung nilai k ( z ) dan sk ( z ) dengan menggunakan persamaan (7) dan (8).

0 ( z ) 

z 2  2  2  2  1 z (1  z )

       1  S ( z) 

  1 q

z (1  z )

0

(42)



(43)

  2  1  2  1   A A      2 2  z (1  z ) z (1  z )  (44)   

1 ( z )  

  2  1  2  1      z (1  z )  

2

 A A  S1 ( z )   2   z (1  z )2  (45)  A A    2  1  2  1        z (1  z)   z (1  z )  

SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UNESA 2015 Dengan mensubtitusikan persamaan (4245) ke persamaan (16), diperoleh s0 1  s10  0   0         1

s12  s2 2  0  1      1    2 

(46)

s2 3  s32  0   2      2     3

Dan seterusnya dengan

V0 M  E  C ps    1 c2   2 r 4 q q    

n  



(47)

2 e

Dari persamaan (41) digeneralisasikan manjadi

dapat

 n      (nr  1)       (nr  1)  (48) 2

Atau

 

1

2

 2   2  2    n  14  nr   2

(49)  Dengan nr  0,1, 2,... adalah bilangan kuantum radial, dengan mensubtitusikan persamaan (40) dan (41) ke persamaan (49) maka diperoleh energi eigen yaitu

  2  2  c c   1     n  14  nr     c  c0  1  2  (50) M  E  C ps M  E   2  2  2  2 q 2q  1       n  14  nr    2  

c 

 

parameter deformasi sistem, maka energi sistem akan semakin kecil.

 1 2 e

r

(51)

nr  0,1, 2,... Penghitungan energi relativistik sistem menggunakan software matlab R2013a dilakukan dengan mensubtitusikan beberapa nilai parameter, diantaranya adalah M  5 , C ps  0 ,  2, V0  5,

V1  3, r  2 dan   0, 005 . Berdasarkan tabel 1 energi relativistik sistem nilainya akan semakin besar seiring dengan meningkatnya bilangan kuantum radial. Keadaan yang demikian mengisyaratkan akan berlakunya transisi atomik dari keadaan dasar menuju keadaan tereksitasi dengan cara mengabsorbsi energi dari interaksi dengan partikel lain (misalnya foton). Untuk lebih jelasnya dapat dilihat gambar 1, 2 dan gambar 3 yang mengilustrasikan kurva fungsi energi terhadap bilangan kuantum radial. Hal ini juga berlaku sebaliknya, partikel yang berada dalam keadaan tereksitasi akan melepaskan energi dengan memancarkan radiasi sinar gamma sehingga ia berpindah menuju keadaan dasar. Sebagaimana merujuk pada teori hole (Greiner, 2000), terkait adanya partikel dan antipartikel yang dicirikan dengan energi positif untuk partikel dan energi negatif untuk anti parikel. Dari gambar tabel 1 Juga tampak bahwa semakin tinggi nilai - 5 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA

Tabel 1. Energi Relativistik untuk Potensial Rosen Morse Hiperbolik Terdeformasi-q



nr 0 1 2 3 4

= 0,005 V0 = 5, V1 =3, M = 5, E q=0,5 4,974052671 4,974056613 4,974061429 4,97406637 4,974071351

C ps

E q=1 4,897159591 4,897163154 4,89716799 4,897172993 4,897178044

= 0; l = 2 E q=1,5 4,819020073 4,819023399 4,819028251 4,819033312 4,819038434

4,974075

Energi Relativistik

Dimana

4,97407 4,974065 4,97406 4,974055 4,97405 0

2 4 Bilangan Kuantum Radial nr

Gambar 1. Kurva Spektrum Energi Relativistik untuk q=0,5

6

SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UNESA 2015 KESIMPULAN

Energi Relativistik

4,89718 4,897175 4,89717 4,897165 4,89716 4,897155 0

2 4 Bilangan Kuantum Radial nr

6

Gambar 2. Kurva Spektrum Energi Relativistik untuk q=1

UCAPAN TERIMA KASIH Penelitian ini didukung oleh Hibah Penelitian Utama (PUT UNS) 2015 dari DIKTI dengan Nomor kontrak No. 698/UN27.11/PN/2015.

Energi Relativistik

4,81904 4,819035 4,81903 4,819025 4,81902 4,819015 0

2

4

6

Bilangan Kuantum Radial nr

Gambar 3. Kurva Spektrum Energi Relativistik untuk q=1,5

Untuk fungsi gnr ( z) pada persamaan (37) dapat diselesaikan menggunakan persamaan (20) sehingga gnr ( z) dapat dituliskan kembali ke dalam bentuk:

n n gnr  z    1 r B 1 r  2  1n 2 F1  nr ,2  2  nr  1,2  1, z  (52) r

Yang mana nilai

  2  1

(53)

Dan

  2  2  1

(54)

Persamaan fungsi gelombang Gn ( z ) untuk nilai n r adalah sebagai berikut: n n Gn ( z )  z (1  z )  1 B 1 (55)   2  1n 2 F1  nr , 2  2  nr  1, 2  1, z  dimana B’ adalah konstanta normalisasi. r

r

r

Sehingga fungsi gelombang bagian lower untuk keadaan dasar n r  0 



 1  tanh q  r   1  tanh q  r  Gn ( z )  B     2 2    

(56)

Dan untuk n r  1 



 1  tanh q  r   1  tanh q  r   1  tanh q  r  Gn ( z )  B      2  1   2 2 2      

Persamaan Dirac untuk potensial RosenMorse hiperbolik terdeformasi-q pada kasus pseudospin simetri bagian radial dapat diselesaikan menggunakan metode iterasi asimtotik. Energi relativistik sistem dihitung menggunakan software matlab 2013. Dari kurva tampak bahwa semakin besar nilai n maka energi sistem semakin besar.

(57)

- 2 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA

DAFTAR RUJUKAN Atkis, P.W., 1974. Quanta: A Handbook of Concepts, Oxford: Oxford Universiy Press. Bakkeshizadeh, S., Vahidi, S. 2012. Solution of the Dirac equation for the Coulomb potential plus NAD potential by using the Nikiforov-Uvarov Method. Advance Studies Theoretical Physics, Vol. 6. no. 15, pp. 733-742. Das, T. 2014. Exact Solutions of the KleinGordon Equation for q-Deformed Manning-Rosen Potential via Asymptotic Iteration Method. arXiv:1409.1457v1 [quant-ph]. pp. 1-11. Debnath, S., Biswass, B. 2012. Analytical Solution of the Klein-Gordon Equation for Rosen Morse Potential via Asymptotic Iteration Method. Electronical Journal of Theoretical Physics. EJTP 9, No. 26. pp. 191-198. Greiner, W., 2000. Relativistic Quantum Mechanics Third Edition. New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Kocak, G., Bayrak, O., Boztosun, I. 2012. Supersymmetric solution of Schrodinger equation by using the asymptotic iteration method. Annalen der Physik. (Berlin) 524, No. 6-7. DOI:10.1002/andp. 201200028, pp. 353-359. Kurniawan, A., Suparmi, A., Cari, C. 2015. Approximate analytical solution of the Dirac equation with q-deformed hyperbolic Pöschl-Teller potential and trigonometric Scarf II non-central

SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UNESA 2015 potential. Chinese Physics B Vol. 24, No. 3, DOI: 10.1088/1674-1056/24/3/030302. Resita, Suparmi, Cari. 2015. Solution of Dirac equation for Eckart potential and trigonometric Manning-Rosen potential using asymptotic iteration method. Chinese Physics B, Vol. 24. No. 11, DOI:10.1088/16741056/24/11/110301. Sameer, M. Ikhdair. 2009. Approximate solution of the Dirac equation for the Rosen Morse potential including the spinorbit centrifugal term. arXive:0912.0619v1 [quantum-ph] 3 Dec. pp. 1-23. Soylu, A., Bayrak, O.,Boztosun, I. 2007. An approximate solution of Dirac-Hulthen problem with pseudospin and spin symmetry for any  state. Journal of Mathematical Physics. 082302, pp. 48. Soylu, A. Bayrak, O., Boztosun, I. 2008.  state solutions of the Dirac equation for the Eckart potential with pseudospin and spin symmetry. Journal of Physics A: Mathematical and Theoritical 41 doi: 10.1088/1751-8113/41/6/065308, 065308, pp. 8. Suparmi. 2011. Mekanika Kuantum II. Surakarta: Jurusan Fisika Fakultas MIPA Universitas Sebelas Maret Surakarta. Suparmi dan Cari. 2014. Bouns state solution of Dirac equation for Generalized PöschlTeller plus trigonometric Pöschl-teller Non-central potential using SUSY Quantum Mechanics. J. Math. Fund. Sci., Vol. 46, No. 3. Pp. 205-223 Suparmi, A., Cari, C., Anggraini, L.M. 2014. Bound state solution of Dirac equation for Hulthen plus trigonometric Rosen Morse non-central potential using Romanovski polynomial. AIP Conference Proceedings Vol. 1615, 111, doi: 10.1063/1.4895871.

- 3 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA