SUPER (a,d) EDGE ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA GRAF PETERSEN
RAHMAT CHAIRULLOH
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling pada Graf Petersen adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2014 Rahmat Chairulloh NIM G54100038
ABSTRAK RAHMAT CHAIRULLOH. Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling pada Graf Petersen. Dibimbing oleh MUHAMMAD ILYAS dan TEDUH WULANDARI MASβOED. Karya ilmiah ini membuktikan teorema-teorema untuk memperoleh super (a,d)-edge-antimagic total labeling pada graf Petersen. Pada pelabelan, didefinisikan jumlah label sisi (edge) dan label dua simpul (vertex) yang menempel pada sisi (edge) disebut sebagai bobot sisi (edge-weights). Suatu graf yang memiliki bobot sisi yang berbeda untuk setiap sisi maka graf ini disebut graf dengan antimagic total labeling. Jika semua sisi mempunyai bobot sisi yang berbeda dan himpunan bobot sisi dari semua sisi membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a dan beda (selisih) d maka pelabelan tersebut disebut (a,d)-edge-antimagic total labeling. Kemudian, (a,d)-edge-antimagic total labeling disebut super (a,d)edge-antimagic total labeling jika f(V(G)) = {1, 2, β¦, v} dan f(E(G)) = {v+1, v+2, β¦, v+e}. Terdapat dua pembuktian teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Teorema pertama membuktikan bahwa graf Petersen P(n,m) dengan n β₯ 3 bilangan 5π+5 bulat ganjil dan m = 1, memiliki super ( 2 , 2)-edge-antimagic total labeling. Teorema kedua membuktikan graf Petersen P(n,m) dengan n β₯ 3, 1 β€ m Λ mempunyai sebuah super (4π + 2,1)-edge-antimagic total labeling.
π 2
,
Kata kunci: (a,d)-edge-antimagic total labeling, antimagic total labeling, graf Petersen, super (a,d)-edge-antimagic total labeling
ABSTRACT RAHMAT CHAIRULLOH. Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling of Petersen Graph. Supervised by MUHAMMAD ILYAS and TEDUH WULANDARI MASβOED. This manuscript proves theorems to obtain super (a,d)-edge-antimagic total labeling of generalized Petersen graph. On labeling, edge-weights is defined as the total labeling of edge and its incident vertices. A graph that has different the edgeweights for each edge is called graph with antimagic total labeling. If each edge on a graph has edge-weights in the form of arithmetic progression starting from a and having common difference d, then its labeling is called (a,d)-edge-antimagic total labeling. An (a,d)-edge-antimagic total labeling f is called super (a,d)-edgeantimagic total labeling if f(V(G)) = {1, 2, β¦, v} and f(E(G)) = {v+1, v+2, β¦, v+e}. There are two theorems discussed in this paper. The first theorem proves that generalized Petersen graph P(n,m), n β₯ 3 be an odd integer and m = 1, has a super 5π+5 ( 2 , 2)-edge-antimagic total labelings. The second theorem proves that π
generalized Petersen graph P(n,m), n β₯ 3, 1 β€ m Λ 2 , has a super (4π + 2,1)-edgeantimagic total labeling. Keywords: (a,d)-edge-antimagic total labeling, antimagic total labeling, Petersen graph, super (a,d)-edge-antimagic total labeling
SUPER (a,d) EDGE ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA GRAF PETERSEN
RAHMAT CHAIRULLOH
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
Judul Skripsi : Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling pada Graf Petersen Nama : Rahmat Chairulloh NIM : G54100038
Disetujui oleh
Teduh Wulandari Masβoed, MSi Pembimbing II
Muhammad Ilyas, MSi, MSc Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa taβala atas segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga penelitian ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini ialah Antimagic Total Labeling, dengan judul Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling pada Graf Petersen. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bpk Muhammad Ilyas, MSi, MSc dan Ibu Teduh Wulandari Masβoed, MSi selaku pembimbing. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada almarhum ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Terima kasih juga disampaikan untuk rekan kerja penelitian saya, yaitu Ikhwan Al Amin atas segala saran dan masukan terkait penelitian. Selain itu, tidak lupa rasa terima kasih sebesar-besarnya kepada temanteman di Departemen Matematika IPB angkatan 47. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya dalam bidang matematika dan dapat menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Agusrtus 2014 Rahmat Chairulloh
DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
LANDASAN TEORI
2
Teori Graf
2
Pelabelan Graf
5
PEMBAHASAN
7
SIMPULAN DAN SARAN
36
Simpulan
36
Saran
36
DAFTAR PUSTAKA
36
LAMPIRAN
38
RIWAYAT HIDUP
45
DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Graf G = (V, E) Cycle dengan 3 simpul Graf Teratur Derajat 3 Graf Petersen P(3,1) Graf Cycle C3 (8,2)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3 Super (8,1)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3 Graf Petersen P(5,1) Super (15,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) Super (15,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) Graf Petersen P(5,2) Super (22,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,2) Graf Petersen P(7,1) Super (20,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(7,1) Super (20,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(7,1) Super (14,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(3,1) Graf Petersen P(4,1) Super (18,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(4,1) Super (22,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1)
2 3 4 5 6 7 7 16 17 27 34 35 38 39 40 41 42 43 44
DAFTAR LAMPIRAN 1 Pola dan gambar super (
5π+5 2
, 2)-edge antimagic total labeling pada graf
Petersen P(7,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π1 2 Pola dan gambar super (
ππ+π π
38
, 2)-edge antimagic total labeling pada graf
Petersen P(7,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π2 40 3 Pola dan gambar super (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(3,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π1 41 4 Pola dan gambar super (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(4,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π1 42 5 Pola dan gambar super (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π1 44
PENDAHULUAN Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang cukup penting untuk dipelajari dan dikembangkan. Pada awalnya, teori graf diperkenalkan oleh seorang ahli matematika asal Swiss, Leonhard Euler pada tahun 1736 untuk mencari solusi permasalahan mungkin tidaknya melewati ketujuh jembatan di kota KΓΆnigsberg (sekarang dikenal sebagai Kaliningrad, Rusia) dan kembali ke tempat asal semula tepat satu kali. Kemudian, Leonhard Euler memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika berupa bagan yang terdiri dari simpul dan garis. Simpul mempresentasikan kota yang dihubungkan oleh jembatan dan garis sebagai jembatan yang menghubungkan kota. Model ini kemudian dikenal sebagai βTeori Grafβ. Daya tarik teori graf adalah penerapannya yang sangat luas, mulai dari ilmu komputer, kimia, fisika, biologi, sosiologi, teknik kelistrikan, linguistik, ekonomi, manajemen, pemasaran, hingga pemecahan teka-teki dan permainan asah otak. Walaupun penerapannya sangat banyak, yang menarik adalah bahwa βTeori Grafβ hanya mempelajari simpul dan garis (Wijaya 2011). Salah satu contoh graf yang paling dikenal dan sangat populer adalah graf Petersen. Graf Petersen diambil dari nama Peter Christian Julius Petersen pada tahun 1898 (Wijaya 2011). Salah satu penerapan graf Petersen diantaranya dalam masalah pewarnaan gambar peta, dimana warna setiap daerah pada peta yang berbatasan dibuat berlainan sehingga mudah untuk dibedakan. Hinga saat ini, teori graf masih terus berkembang selaras dengan pemikiran-pemikiran para ahli yang mengembangkannya. Salah satu masalah yang cukup menarik dalam teori graf adalah pelabelan pada graf. Pelabelan pada suatu graf merupakan fungsi injektif yang memetakan setiap unsur himpunan simpul (vertex) dan setiap unsur himpunan sisi (edge) ke bilangan asli yang disebut label (Gallian 2009). Pelabelan pada graf terdiri dari pelabelan simpul, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Pelabelan simpul adalah pelabelan dengan domain himpunan simpul, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan himpunan simpul dan sisi. Terdapat beberapa jenis pelabelan pada graf, antara lain pelabelan gracefull, pelabelan harmoni, pelabelan total tak beraturan, pelabelan ajaib (magic labeling), dan pelabelan antiajaib (antimagic labeling). Antimagic total labeling pada suatu graf merupakan pelabelan total pada simpul dan sisi suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dengan jumlah label sisi dan label dua simpul yang menempel pada sisi disebut sebagai bobot sisi dimana untuk setiap sisi pada graf memiliki bobot sisi yang berbeda. Dalam karya ilmiah ini akan dibuktikan beberapa teorema untuk memperoleh super (a,d)-egdeantimagic total labeling pada graf Petersen. Sumber utama dalam karya ilmiah ini adalah artikel berjudul βOn Magic and Antimagic Total Labelings of Generalized Petersen Graphβ yang ditulis Anak Agung Gede Ngurah dan Edy Tri Baskoro pada tahun 2003.
2
Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah membuktikan teorema-teorema untuk memperoleh super (a,d)-edge-antimagic total labeling pada graf Petersen.
LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Teori Graf Definisi 1 (Graf) Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan G = (V, E). Elemen V disebut simpul (vertex) sedangkan elemen E disebut sisi (edge). Himpunan dari simpul-simpul pada graf G dinotasikan dengan V atau V(G), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf G dinotasikan dengan E atau E(G). (Foulds 1992) Graf yang dimaksud definisi di atas disebut graf tak berarah. Contoh graf dapat dilihat pada Gambar 1 berikut ini. c
e
d a
b
f
g
Gambar 1 Graf G = (V, E) Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar 1 adalah V(G) = {a, b, c, d, e, f, g} E(G) = {ab, bc, cd, ce, de, ef, fg}. Definisi 2 (Order dan Size) Misalkan diberikan graf G. Banyaknya simpul pada graf G disebut order dan banyaknya sisi pada graf G disebut size. Order dari graf G dinotasikan dengan |V(G)| dan size dari graf G dinotasikan dengan |E(G)|. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, nilai dari |V(G)| = 7 dan |E(G)| = 7.
3
Definisi 3 (Incident dan adjacent) Misalkan diberikan graf G. Jika e = uv β E(G) dengan u, v β V(G) maka u dan v dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan u dan v. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, misalkan e = ab β E(G) maka a dan b dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan a dan b. Definisi 4 (Derajat) Derajat (degree) dari suatu simpul v pada graf G adalah banyaknya sisi yang incident dengan v dan dinotasikan dengan deg v. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah deg a = 1, deg b =2, deg c = 3, deg d = 2, dan deg e = 3, deg f = 2 deg g = 1. Definisi 5 (Walk) Suatu walk pada graf G adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G dengan bentuk {v1, v1v2, v2, v2v3, v3, β¦ , vn-1vn, vn} dan dapat dituliskan sebagai {v1, v2, β¦ , vn} atau v1, v2, β¦ , vn. Suatu walk yang menghubungkan v1 dengan vn dikatakan tertutup jika v1 = vn. Jika v1 β vn maka walk tersebut dikatakan terbuka. (Foulds 1992) Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk {a, ab, b, bc, c, ce, e, ef, f, fg, g}. Definisi 6 (Cycle) Cycle pada graf G adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul berbeda. Graf G ber-order n dengan n β₯ 3 yang membentuk sebuah cycle disebut graf Cycle ber-order n, dituliskan Cn. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1 sebelumnya, terdapat Cycle pada graf G yang terdiri atas tiga simpul, yaitu c e
d Gambar 2 Cycle dengan 3 simpul Gambar 2 di atas juga merupakan graf Cycle ber-order 3, dituliskan C3. Definisi 7 (Graf Teratur) Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf Teratur (Regular graphs). Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf Teratur Derajat r (r-Regular graphs). (Chartrand & Oellermann 1993). Pada Gambar 3, terdapat graf Teratur Derajat 3 dengan derajat setiap simpul adalah 3
4
b a
d a c Gambar 3 Graf Teratur Derajat 3 Definisi 8 (Graf Petersen) Graf G disebut graf Petersen, dinotasikan P(n,m), dengan n dan m bilangan π bulat, n β₯ 3, 1 β€ m Λ 2 , jika graf G tersebut merupakan graf Teratur Derajat 3 dengan 2n simpul dan 3n sisi serta himpunan simpul dan sisi adalah V(G) = {u1, u2, β¦, un, v1, v2, β¦, vn} E(G) = {uiui+1, uivi, vivi+m} βi β {1, 2, β¦, n} di mana ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul v lebih besar dari n maka nilai indeks tersebut akan di-modulo-kan dengan n. (Ngurah dan Baskoro 2003) Berikut dijelaskan mengenai contoh graf Petersen berdasarkan Definisi 8 yaitu contoh graf Petersen P(3,1) dengan n = 3 dan m =1. Pada bagian simpul graf Petersen P(3,1) terdapat 6 simpul dengan 3 simpul pertama pada bagian luar yaitu u1, u2, dan u3 serta 3 simpul kedua pada bagian dalam yaitu v1, v2, dan v3 sehingga diperoleh himpunan simpul dari graf Petersen P(3,1) sebagai berikut. V[P(3,1)] = {u1, u2, u3, v1, v2, v3} Kemudian, pada bagian sisi dari graf Petersen P(3,1) terdapat 9 sisi. Tiga sisi pertama pada bagian luar menghubungkan antar simpul-simpul u dari graf Petersen P(3,1) dengan himpunan sisi E [P(3,1)] = {uiui+1} untuk setiap i β {1, 2, 3}. Berikut penjelasan tiga himpunan sisi pertama E [P(3,1)] = {uiui+1} dari graf Petersen P(3,1). ο· Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 1, maka indeks pada simpul u lainnya, yaitu i+1 bernilai 2, sehingga diperoleh sisinya yaitu u1u2. ο· Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 2, maka indeks pada simpul u lainnya, yaitu i+1 bernilai 3, sehingga diperoleh sisinya yaitu u2u3. ο· Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 3, maka indeks pada simpul u lainnya, yaitu i+1 bernilai 4. Karena indeks i+1 > 3, maka nilai i+1 dimodulo-kan 3, yaitu 4 mod 3 = 1. Sehingga indeks i+1 setelah di-modulokan 3 bernilai 1. Akibatnya, diperoleh sisinya yaitu u3u1 bukan u3u4. Himpunan sisi tersebut dituliskan sebagai berikut. E[P(3,1)] = {u1u2, u2u3, u3u1} Selanjutnya, tiga sisi kedua yang menghubungkan setiap simpul u pada bagian luar tepat satu dengan setiap simpul v pada bagian dalam dari graf Petersen P(3,1) dengan himpunan sisi sebagai berikut.
5
E [P(3,1)] ={u1v1, u2v2, u3v3} Terakhir, tiga sisi ketiga pada bagian dalam menghubungkan antar simpulsimpul v dari graf Petersen P(3,1) dengan himpunan sisi E [P(3,1)] = {vivi+m}, dengan m = 1, untuk setiap i β {1, 2, 3}. Dengan cara yang sama seperti tiga sisi pertama pada bagian luar sebelumnya, dapat diperoleh himpunan sisinya sebagai berikut. E[P(3,1)] = {v1v2, v2v3, v3v1} Sehingga himpunan sisi secara keseluruhan dari graf Petersen P(3,1) dapat dituliskan sebagai berikut. E[P(3,1)] = {u1u2, u2u3, u3u1, u1v1, u2,v2, u3v3, v1v2, v2v3, v3v1} Contoh graf Petersen P(3,1) dapat dilihat seperti pada Gambar 4 dengan n =3 dan m = 1 di mana graf Petersen tersebut merupakan graf Teratur Derajat 3 dengan jumlah simpul sebanyak 6 dan jumlah sisi sebanyak 9
u1 v1
u2
v2
v3
u3
Gambar 4 Graf Petersen P(3,1) Himpunan simpul dan himpunan sisi graf Petersen P(3,1) pada Gambar 4 adalah V(G) = {u1, u2, u3, v1, v2, v3} E(G) = {u1u2, u2u3, u3u1, u1v1, u2v2, u3v3, v1v2, v2v3, v3v1}
Pelabelan Graf Karya ilmiah ini membahas suatu antimagic total labeling untuk mencari super (a,d)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen. Berikut dijelaskan beberapa definisi tentang pelabelan graf. Definisi 9 (Total Labeling) Total Labeling pada graf G = (V, E) dengan banyaknya simpul v dan banyaknya sisi e adalah pemetaan satu-satu dari himpunan π (πΊ) βͺ πΈ(πΊ) ke himpunan bilangan bulat positif {1, 2, β¦, v +e} dengan domain pemetaannya simpul dan sisi. (Ngurah dan Baskoro 2003) Definisi 10 (Antimagic Total Labeling) Misalkan G graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E serta penjumlahan label sisi dengan label dua simpul yang menempel pada sisi disebut sebagai bobot sisi (edge-weights). Graf G disebut magic total labeling jika memiliki bobot sisi yang sama untuk setiap sisi di G sedangkan graf G disebut antimagic
6
total labeling jika memiliki bobot sisi yang berbeda untuk setiap sisi di G. (Rahman et al. 2012) Definisi 11 ((a,d)-Edge Antimagic Total Labeling) Misalkan G graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E. (a,d)-edge antimagic total labeling pada graf G adalah pemetaan satu-satu dari himpunan simpul dan himpunan sisi ke himpunan bilangan bulat positif {1, 2, β¦, v+e} sedemikian hingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di G membentuk barisan aritmatika seperti berikut {a, a+d, β¦, a+(e-1)d} dengan suku pertama a dan beda (selisih) d, di mana a β₯ 0 dan d β₯ 0. (Simanjuntak et al. 2000) Definisi 12 (Super (a,d)-Edge Antimagic Total Labeling) Sebuah (a,d)-edge antimagic labeling disebut super (a,d)-edge antimagic total labeling jika f(V(G)) = {1, 2,β¦, v} dan f(E(G)) = {v+1, v+2, β¦, v+e}. (Simanjuntak et al. 2000) Berikut ini diberikan contoh (a,d)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle ber-order 3, yaitu C3, seperti pada Gambar 5. Banyaknya simpul ialah 3 dan banyaknya sisi ialah 3 dengan himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V(C3) = {a, b, c} E(C3) = {e1, e2, e3} serta f(V[C3] βͺ E[C3]) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a
e3
e1
b
e2
c
Gambar 5 Graf Cycle C3 Misalkan simpul-simpul pada graf C3 diberi pelabelan, misalnya f(a) = 1 f(b) = 3 f(c) = 5 kemudian, diberikan pelabelan untuk sisi-sisi pada graf C3, misalnya f(ab) = f(e1) = 4 f(bc) = f(e2) = 2 f(cd) = f(e3) = 6 maka akan diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya: f(a) + f(e1) + f(b) + = 1 + 4 + 3 = 8 f(b) + f(e2) + f(c) + = 3 + 2 + 5 = 10 f(c) + f(e3) + f(a) + = 5 + 6 + 1 = 12 Dari cara pelabelan tersebut diperoleh himpunan bobot sisi dari graf Cycle C3 membentuk barisan aritmatika {8, 10, 12} dengan suku awal a = 8 dan beda (selisih) d = 2 sehingga graf Cycle C3 memiliki (8,2)-edge antimagic total labeling dengan
7
suku pertama a = 8 dan beda (selisih) d = 2. Pelabelan tersebut digambarkan seperti pada Gambar 6. .
1
6
4
5 2 Gambar 6 (8,2)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3 3
Kemudian, diberikan juga contoh super (a,d)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3 seperti pada Gambar 5 sebelumya. Banyaknya simpul ialah 3 dan banyaknya sisi ialah 3 dengan f(V[C3]) = {1, 2, 3} dan f(E[C3]) = {4, 5, 6}. Misalkan simpul-simpul pada graf C3 diberi pelabelan, misalnya f(a) = 1 f(b) = 2 f(c) = 3 kemudian, diberikan pelabelan untuk sisi-sisi pada graf C3, misalnya f(ab) = f(e1) = 5 f(bc) = f(e2) = 4 f(cd) = f(e3) = 6 maka akan diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya: f(a) + f(e1) + f(b) + = 1 + 5 + 2 = 8 f(b) + f(e2) + f(c) + = 2 + 4 + 3 = 9 f(c) + f(e3) + f(a) + = 3 + 6 + 1 = 10 Dari cara pelabelan tersebut diperoleh himpunan bobot sisi dari graf Cycle C3 membentuk barisan aritmatika {8, 9, 10} dengan suku awal a = 8 dan beda (selisih) d = 1 sehingga graf Cycle C3 memiliki super (8,1)-edge antimagic total labeling dengan suku pertama a = 8 dan beda (selisih) d = 1. Pelabelan tersebut digambarkan seperti pada Gambar 7. .
1
5
2
6
3
4 Gambar 7 Super (8,1)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3
8
PEMBAHASAN Karya ilmiah ini membahas teorema-teorema mengenai super (a,d)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(n,m). Permasalahan utama dalam karya ilmiah ini adalah bagaimana mencari pola antimagic total labeling sehingga diperoleh definisi formula (rumus) khusus untuk pola super (a,d)-edge antimagic total labeling dari graf Petersen P(n,m). Antimagic total labeling tidak hanya dilakukan satu kali melainkan dilakukan beberapa kali hingga terlihat beberapa pola pelabelan. Semua pola pelabelan tersebut akan dibentuk menjadi suatu definisi formula (rumus) khusus. Dari definisi formula (rumus) khusus tersebut digunakan untuk mendapatkan super (a,d)-edge antimagic total labeling dari graf Petersen P(n,m). Kajian antimagic total labeling pada graf Petersen P(n,m) akan disajikan dalam bentuk teorema berikut beserta contoh gambar pola pelabelannya. Teorema 1 Graf Petersen yang diperumum P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n β₯ 3) dan m = 1, memiliki super (
5π+5 2
, 2)-edge antimagic total labeling. (Ngurah dan Baskoro 2003)
Bukti : Misalkan P(n,m) adalah graf Petersen yang mempunyai super (a,d)-edge antimagic total labeling karena |V[P(n,m)]| = 2n dan |E[P(n,m)]| = 3n sehingga π: V[P(n,m)] β {1, 2, β¦, 2n} π: E[P(n,m)] β {2n+1, 2n+2, β¦, 5n} Semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n,m) dilabelkan dengan menggunakan definisi formula pelabelan π1 , di mana π1 didefinisikan sebagai pelabelan simpul dan sisi dari graf Petersen P(n,m). Berikut diberikan definisi fomula pelabelan π1 . 1+π , π1 (π’π ) = { 2 π+1+π , 2 3π + π , π1 (π£π ) = { 2 2π + π , 2 π1 (π’π π’π+1 ) = {
2π + 1 + π , 2π + 1 ,
π ππππππ π πππππ π ππππππ π πππππ 1β€ π β€πβ1 π=π
π1 (π’π π£π ) = 3π + π ,
1β€π β€π
π1 (π£π π£π+π ) = 4π + π ,
1β€π β€π
9
misalkan w menyatakan bobot sisi dari graf Petersen P(n,m). Didefinisikan bobot sisi w dari pelabelan total π1 dari sisi-sisi : {π’π π’π+1 , π’π π£π , π£π π£π+π } pada graf Petersen P(n,m) untuk semua i β {1, 2, β¦, n} sebagai berikut. π€ (π’π π’π+1 ) = π1 (π’π ) + π1 (π’π π’π+1 ) + π1 (π’π+1 ) π€(π’π π£π ) = π1 (π’π ) + π1 (π’π π£π ) + π1 (π£π ) π€(π£π π£π+π ) = π1 (π£π ) + π1 (π£π π£π+π ) + π1 (π£π+π ) dengan indeks i+1 dan i+m di-modulo-kan dengan n bila i+1, i+m > n. Dari ketiga persamaan bobot sisi di atas, yaitu π€(π’π π’π+1 ), π€(π’π π£π ), dan ( π€ π£π π£π+1 ) dapat didefinisikan dengan suatu formula bobot sisi dengan cara mensubstitusikan formula pelabelan simpul dan sisi-sisi: {π1 (π’π ), π1 (π£π ), π1 (π’π π£π ), π1 (π£π π£π+π )} ke masing-masing persamaan bobot sisi yang telah didefinisikan sebelumnya. Berikut definisi formula bobot sisi untuk π€(π’π π’π+1 ), π€(π’π π£π ), dan π€(π£π π£π+1 ). a) Definisi formula bobot sisi untuk π€ (π’π π’π+1 ) sebagai berikut. π€(π’π π’π+1 ) = π1 (π’π ) + π1 (π’π π’π+1 ) + π1 (π’π+1 ) 1+π π + 1 + (π + 1) + (2π + 1 + π) + , 2 2 π+1+π 1 + (π + 1) π€(π’π π’π+1 ) = + (2π + 1 + π) + , 2 2 π+1 + (2π + 1) + 1 , { 2
π ππππππ π πππππ π=π
kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut. 5π + 5 + 2π , 2 5π + 5 π€(π’π π’π+1 ) = + 2π , 2 5π + 5 , { 2
π ππππππ π πππππ π=π 5π+5
karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku 2 + 2π untuk 1 β€ i β€ n-1. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi π€(π’π π’π+1 ), yaitu 5π + 5 + 2π, 2 π€ (π’π π’π+1 ) = { 5π + 5 , 2
1β€π β€πβ1 π=π
b) Definisi formula bobot sisi untuk π€ (π’π π£π ) sebagai berikut.
10
π€(π’π π£π ) = π1 (π’π ) + π1 (π’π π£π ) + π1 (π£π ) 1+π 3π + π + (3π + π) + , 2 2 π€(π’π π£π ) = { π+1+π 2π + π + (3π + π) + , 2 2
π ππππππ π πππππ
kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut. 9π + 1 + 2π, π€(π’π π£π ) = { 2 9π + 1 + 2π, 2
π ππππππ π πππππ 9π+1
karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku 2 + 2π untuk 1 β€ i β€ n. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi π€(π’π π£π ), yaitu π€(π’π π£π ) =
9π + 1 + 2π , 2
1β€πβ€π
c) Definisi formula bobot sisi untuk π€ (π£π π£π+π ) sebagai berikut. π€(π£π π£π+π ) = π1 (π£π ) + π1 (π£π π£π+π ) + π1 (π£π+π ) 3π + π 2π + (1 + π) + + (4π + π) , 2 2 ( ) π€ π£π π£π+π = { 2π + π 3π + (1 + π) + + (4π + π ) , 2 2
π ππππππ π πππππ
kemudian definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut. 13π + 1 + 2π, 2 ( ) π€ π£π π£π+π = { 13π + 1 + 2π, 2
π ππππππ π πππππ 13π+5
karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku 2 + 2π untuk 1 β€ i β€ n. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi π€(π£π π£π+π ), yaitu π€(π£π π£π+π ) =
13π + 1 + 2π , 2
1β€πβ€π
selanjutnya, misalkan ππ‘ adalah himpunan bobot sisi di mana π‘ β {1, 2, 3} dengan penjelasan ππ‘ sebagai berikut. ο·
t = 1 β π1 menyatakan himpunan bobot sisi untuk π€ (π’π π’π+1 )
11
t = 2 β π2 menyatakan himpunan bobot sisi untuk π€(π’π π£π ) t = 3 β π3 menyatakan himpunan bobot sisi untuk π€(π£π π£π+π )
ο· ο·
Jadi, definisi formula himpunan bobot sisi terhadap pelabelan total π1 dari sisi-sisi {π’π π’π+1 , π’π π£π , dan π£π π£π+π } dari graf Petersen P(n,m) untuk semua i β {1, 2, β¦, n} adalah sebagai berikut. 5π + 5 + 2π, 1β€π β€πβ1 π1 = {π€ (π’π π’π+1 ); 1 β€ π β€ π} = { 2 5π + 5 , π=π 2 9π + 1 π2 = {π€ (π’π π£π ); 1 β€ π β€ π} = + 2π 2 13π + 1 π3 = {π€(π£π π£π+π ); 1 β€ π β€ π} = + 2π 2 dari semua definisi formula himpunan bobot sisi di atas dapat digabungkan menjadi himpunan bobot sisi keseluruhan untuk pelabelan π1 sehingga akan terbentuk sebuah barisan aritmatika dari himpunan bobot sisi tersebut. Penggabungan semua 5π+5 5π+5 definisi himpunan bobot sisi di atas, yaitu π1 βͺ π2 βͺ π3 = { 2 , 2 + 2π,
9π+1 2
+ 2π,
13π+1 2
+ 2π }, untuk setiap i β {1, 2, β¦,n}.
Rincian pola barisan aritmatika dari penggabungan himpunan bobot sisi di atas adalah sebagai berikut. (i) Untuk himpunan bobot sisi π1 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi π1 adalah 5π + 5 2 Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n-1, maka diperoleh definisi formula bobot sisi π1 sebagai berikut. 5π+5 2
+ 2π = {
5π+5 2
+ 2,
5π+5 2
+ 4,
5π+5 2
+ 6, β¦ ,
5π+5 2
+ 2(π β 1)}
Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi π1 sebagai berikut. π1 = {
5π+5 5π+5 2
,
2
+ 2,
5π+5 2
+ 4,
5π+5 2
+ 6, β¦ ,
5π+5 2
+ 2(π β 1)}
(ii) Untuk himpunan bobot sisi π2 : Perhatikan bahwa definisi formula bobot sisi π2 , yaitu 9π + 1 5π + 5 + 2π = + 2(π β 1 + π) 2 2 ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n, maka diperoleh definisi formula π2 sebagai berikut.
12
5π + 5 + 2(π β 1 + π) 2 ={
5π+5 2
5π+5
+ 2π,
2
+ 2(π + 1),
5π+5 2
+ 2(π + 2), β¦ ,
5π+5 2
+ 2(2π β 1)}
Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi π2 sebagai berikut. π2 5π+5
={
2
+ 2π,
5π+5 2
+ 2(π + 1),
5π+5 2
+ 2(π + 2), β¦ ,
5π+5 2
+ 2(2π β 1)}
(iii) Untuk himpunan bobot sisi π3 : Perhatikan bahwa definisi formula bobot sisi π3 , yaitu 13π + 1 5π + 5 + 2π = + 2(2π β 1 + π) 2 2 ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n, maka diperoleh definisi formula π3 sebagai berikut. 5π + 5 + 2(2π β 1 + π) 2 ={
5π + 5 5π + 5 5π + 5 + 2(2π), + 2(2π + 1), β¦ , + 2(3π β 1)} 2 2 2
Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi π3 sebagai berikut. π3 = {
5π+5 2
+ 2(2π),
5π+5 2
+ 2(2π + 1), β¦ ,
5π+5 2
+ 2(3π β 1)}
dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan bobot sisi π1 , π2 , dan π3 sudah terlihat jelas pola barisan aritmatika yang dibentuk oleh π1 βͺ π2 βͺ π3 sehingga bisa diperoleh bahwa π1 βͺ π2 βͺ π3 ={
5π+5 5π+5 2
,
1), β¦
2 5π+5 2
+ 2,
5π+5 2
+ 4, β¦ ,
+ 2(2π β 1),
5π+5
5π+5 2
2
+ 2(π β 1),
+ 2(2π),
5π+5 2
5π+5 2
+ 2π,
5π+5 2
+ 2(2π + 1), β¦ ,
+ 2 (π +
5π+5 2
+
2(3π β 1)} = {π, π + π, π + 2π, β¦ , π + (π β 1)π, π + ππ, π + (π + 1)π, . . , π + (2π β 1)π, π + 2ππ, π + (2π + 1)π, β¦ , π + (3π β 1)π } pola barisan yang terbentuk dari π1 βͺ π2 βͺ π3 di atas telah membentuk barisan 5π+5 aritmatika dengan suku awal a = 2 dan selisih d = 2, sehingga dengan menggunakan pelabelan total π1 diperoleh bahwa graf Petersen yang diperumum 5π+5 P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n β₯ 3) dan m = 1, memiliki ( 2 , 2)-edge
13
antimagic total labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a = 5π+5 dan selisih d = 2. 2 Kemudian, untuk menunjukkan bahwa ( labeling tersebut adalah super ( dibuktikan bahwa
5π+5 2
5π+5 2
, 2)-edge antimagic total
, 2)-edge antimagic total labeling, akan
π1 (V[P(n,m)]) = {1, 2, β¦, 2n} π1 (E[P(n,m)]) = {2n+1, 2n+2, β¦, 5n} Bukti: Misalkan π1 dan π2 berturut-turut menyatakan himpunan simpul π’π dan himpunan simpul π£π , βi β {1, 2, ..., n} . Dengan menggunakan definisi formula pelabelan simpul π1 (π’π ) dan π1 (π£π ) yang telah diperoleh sebelumnya maka himpunan simpul π1 dan π2 dapat didefinisikan dengan formula sebagai berikut. 1+π , π1 = {π1 (π’π ); 1 β€ π β€ π} = { 2 π+1+π , 2 3π + π , π2 = {π1 (π£π ); 1 β€ π β€ π} = { 2 2π + π , 2
π ππππππ π πππππ π ππππππ π πππππ
dari semua definisi formula himpunan simpul di atas dapat digabungkan menjadi himpunan simpul keseluruhan untuk pelabelan π1 , yaitu π1 βͺ π2 = 1+π π+1+π 3π+π 2π+π { , , 2 , 2 } untuk setiap i β {1, 2, β¦,n}, sehingga penggabungan 2 2 himpunan simpul tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk label simpul dengan penjelasan sebagai berikut. (i) Untuk himpunan simpul π1 : Ketika indeks i bernilai ganjil, dengan i = 1, 3,..n, maka definisi formula himpunan simpul π1 adalah 1+π π+1 } = {1, 2, β¦ , 2 2 Ketika indeks i bernilai genap, dengan i = 2, 4, .., n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan simpul π1 sebagai berikut. π+1+π π+3 π+5 ={ , , β¦ , π} 2 2 2 Sehingga diperoleh himpunan simpul π1 sebagai berikut. π1 = { 1, 2, β¦ ,
π+1 π+3 π+5 , , , β¦ , π} 2 2 2
14
(ii) Untuk himpunan simpul π2 : Ketika indeks i bernilai ganjil, dengan i = 1, 3,..n, maka definisi formula himpunan simpul π2 adalah 3π + π 3π + 1 3π + 3 ={ , , β¦ ,2π} 2 2 2 Ketika indeks i bernilai genap, dengan i = 2, 4, .., n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan simpul π2 sebagai berikut. 2π + π 3π β 1 } = { π + 1, π + 2, β¦ , 2 2 Sehingga diperoleh himpunan simpul π2 sebagai berikut. π2 = { π + 1, π + 2, β¦ ,
3π β 1 3π + 1 3π + 3 , , , β¦ ,2π } 2 2 2
dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan simpul π1 dan π2 sudah terlihat jelas barisan bilangan untuk label simpul yang dibentuk oleh π1 βͺ π2 sehingga bisa diperoleh bahwa π1 βͺ π2 = { 1, 2, β¦ ,
π+1 π+3 3π β 1 3π + 1 , , β¦ , π, π + 1, . . , , , β¦ ,2π} 2 2 2 2
Kemudian, misalkan pula πΈ1 , πΈ2 , dan πΈ3 , berturut-turut menyatakan himpunan sisi (π’π π’π+1 ), (π’π π£π ), dan (π£π π£π+π ), βi β {1, 2, ..., n} . Dengan menggunakan definisi formula pelabelan sisi π1 (π’π π’π+1 ), π1 (π’π π£π ), dan π1 (π£π π£π+π ) yang telah diperoleh sebelumnya maka himpunan sisi πΈ1 , πΈ2 , dan πΈ3 dapat didefinisikan dengan formula sebagai berikut. 2π + 1 + π , 1β€π β€πβ1 πΈ1 = {π1 (π’π π’π+1 ); 1 β€ π β€ π} = { 2π + 1 , π=π πΈ2 = {π1 (π’π π£π ); 1 β€ π β€ π} = 3π + π ,
1β€π β€π
πΈ3 = {π1 (π£π π£π+π ); 1 β€ π β€ π} = 4π + π ,
1β€π β€π
dari semua definisi formula himpunan sisi di atas dapat digabungkan menjadi himpunan sisi keseluruhan untuk pelabelan π1 , yaitu πΈ1 βͺ πΈ2 βͺ πΈ3 = {2π + 1 + π, 2π + 1, 3π + π, 4π + π } untuk setiap i β {1, 2, β¦,n}, sehingga penggabungan himpunan sisi tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk label sisi dengan penjelasan sebagai berikut. (i) Untuk himpunan sisi πΈ1 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan sisi πΈ1 adalah 2π + 1 Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan sisi πΈ1 sebagai berikut. 2π + 1 + π = {2π + 2, 2π + 3, β¦ , 3π}
15
Sehingga diperoleh himpunan simpul πΈ1 sebagai berikut. πΈ1 = {2π + 1, 2π + 2, 2π + 3, β¦ , 3π} (ii) Untuk himpunan sisi πΈ2 : Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n, maka definisi formula himpunan sisi πΈ2 adalah 3π + π = {3π + 1, 3π + 2, β¦ , 4π } Sehingga diperoleh himpunan sisi πΈ2 sebagai berikut. πΈ2 = {3π + 1, 3π + 2, β¦ , 4π } (iii) Untuk himpunan sisi πΈ3 : Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n, maka definisi formula himpunan sisi πΈ3 adalah 4π + π = {4π + 1, 4π + 2, β¦ , 5π } Sehingga diperoleh himpunan sisi πΈ3 sebagai berikut. πΈ3 = {4π + 1, 4π + 2, β¦ , 5π } dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan sisi πΈ1 , πΈ2 , dan πΈ3 sudah terlihat jelas barisan bilangan untuk label sisi yang dibentuk oleh πΈ1 βͺ πΈ2 βͺ πΈ3 sehingga bisa diperoleh bahwa πΈ1 βͺ πΈ2 βͺ πΈ3 = { 2π + 1, 2π + 2, β¦ , 3π, 3π + 1, β¦ , 4π, 4π + 1, β¦ , 5π} Dari penjabaran mengenai barisan bilangan untuk label himpunan simpul dan label himpunan sisi di atas maka dapat disimpulkan bahwa: 1
π1 βͺ π2 = { 1, 2, β¦ ,
π+1 π+3 2
,
2
, β¦ , π, π + 1, . . ,
3πβ1 3π+1 2
,
2
, β¦ ,2π}
sehingga π1 (V[P(n,m)]) = {1, 2, β¦, 2n}. 2
πΈ1 βͺ πΈ2 βͺ πΈ3 = { 2π + 1, 2π + 2, β¦ , 3π, 3π + 1, β¦ , 4π, 4π + 1, β¦ , 5π} sehingga π1 (E[P(n,m)]) = {2n+1, 2n+2, β¦, 5n}.
Sehingga dengan menggunakan pelabelan total π1 , teorema 1 sebeluimnya telah terbukti bahwa untuk graf Petersen yang diperumum P(n,m) dengan n bilangan 5π+5 bulat ganjil (n β₯ 3) dan m = 1, memiliki super ( 2 , 2)-edge antimagic total labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a = d = 2.
5π+5 2
dan selisih β Terbukti
5π+5
Berikut ini diberikan contoh super ( 2 , 2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) seperti pada Gambar 8. Banyaknya simpul ialah 10 dan
16
banyaknya sisi ialah 15, dengan dengan π1 (V[P(5,1)])= {1, 2, β¦, 10} dan π1 (E[P(5,1)]) = {11, 12, β¦, 25} serta himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V[P(5, 1)] = {u1, u2, β¦, u5, v1, v2, β¦, v5} E[P(5, 1)] = {uiui+1, uivi, vivi+1} βi β {1, 2, 3, 4, 5} di mana ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+1 pada simpul v lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut akan di-modulo-kan dengan 5.
u1 e6
e1 u2 e7
e15
e11
v2
v3
e13
u5
e4 v4 e 9
e8 u3
e10
e14 v5
e12 e2
e5
v1
e3
u4
Gambar 8 Graf Petersen P(5,1) Dengan menggunakan definisi formula pelabelan π1 , maka untuk graf Petersen P(5,1) diperoleh label simpul sebagai berikut. π1 (u1) = 1 π1 (v1) = 8 π1 (u2) = 4 π1 (v2) = 6 π1 (u3) = 2 π1 (v3) = 9 π1 (u4) = 5 π1 (v4) = 7 π1 (u5) = 3 π1 (v5) = 10 kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut. π1 (u1 u2) = π1 (e1) = 12 π1 (u1 v1) = π1 (e6) = 16 π1 (v1 v2) = π1 (e11) = 21 π1 (u2 u3) = π1 (e2) = 13 π1 (u2 v2) = π1 (e7) = 17 π1 (v2 v3) = π1 (e12) = 22 π1 (u3 u4) = π1 (e3) = 14 π1 (u3 v3) = π1 (e8) = 18 π1 (v3 v4) = π1 (e13) = 23 π1 (u4 u5) = π1 (e4) = 15 π1 (u4 v4) = π1 (e9) = 19 π1 (v4 v5) = π1 (e14) = 24 π1 (u5 u1) = π1 (e5) = 11 π1 (u5 v5) = π1 (e10) = 20 π1 (v5 v6) = π1 (e15) = 25 sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya seperti berikut. π1 (u1) + π1 (e1) + π1 (u2) = 1 + 12 + 4 = 17 π1 (u2) + π1 (e2) + π1 (u3) = 4 + 13 + 2 = 19 π1 (u3) + π1 (e3)+ π1 (u4) = 2 + 14 + 5 = 21 π1 (u4) + π1 (e4) + π1 (u5) = 5 + 15 + 3 = 23 π1 (u5) + π1 (e5) + π1 (u1) = 3 + 11 + 1 = 15 π1 (u1) + π1 (e6) + π1 (v1) = 1 + 16 + 8 = 25 π1 (u2) + π1 (e7) + π1 (v2) = 4 + 17 + 6 = 27
17
π1 (u3) + π1 (e8) + π1 (v3) = 2 + 18 + 9 = 29 π1 (u4) + π1 (e9) + π1 (v4) = 5 + 19 + 7 = 31 π1 (u5) + π1 (e10)+ π1 (v5) = 3 + 20 + 10 = 33 π1 (v1) + π1 (e11) + π1 (v2) = 8 + 21 + 6 = 35 π1 (v2) + π1 (e12) + π1 (v3) = 6 + 22 + 9 = 37 π1 (v3) + π1 (e13) + π1 (v4) = 9 + 23 + 7 = 39 π1 (v4) + π1 (e14) + π1 (v5) = 7 + 24 +10 = 41 π1 (v5) + π1 (e15) + π1 (v1) = 10 + 25 + 8 = 43 Dari cara pelabelan tersebut diperoleh himpunan bobot sisi dari graf Petersen P(5,1) membentuk barisan aritmatika {15, 17, 19, 21,β¦,39, 41, 43} dengan suku 5(5)+5 awal a = 2 = 15 dan beda (selisih) d = 2 sehingga graf Petersen P(5,1) memiliki super (15,2)-edge antimagic total labeling. Pelabelan graf Petersen P(5,1) dari pelabelan π1 dapat digambarkan sebagai berikut. 1 16
12 4
11 8
21
6
20
25
17 22 13
9 18
24
3
10 15
23 7 19
14 2 5 Gambar 9 Super (15,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) Kemudian, untuk contoh pola dan gambar pelabelan dari graf Petersen P(7,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π1 terlampir pada Lampiran 1. Selain pembuktian teorema 1 sebelumnya dengan menggunakan definisi formula pelabelan π1 , berikut juga diberikan pembuktian alternatif dari teorema 1 dengan menggunakan definisi formula pelabelan lainnya. Alternatif bukti: Misalkan P(n,m) dengan adalah graf Petersen yang mempunyai super (a,d)-edge antimagic total labeling karena |V[P(n,m)]| = 2n dan |E[P(n,m)]| = 3n sehingga π: V[P(n,m)] β {1, 2, β¦, 2n} π: E[P(n,m)] β {2n+1, 2n+2, β¦, 5n} Dengan cara yang sama, semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n,m) dilabelkan dengan menggunakan definisi formula pelabelan π2 , di mana π2 didefinisikan sebagai formula pelabelan simpul dan sisi dari graf Petersen P(n,m). Berikut diberikan definisi fomula pelabelan π2 .
18
1+π , 2 π2 ( π’ π ) = { π + +1 + π , 2 3π + 2 + π , 2 π2 (π£π ) = 2π + 2 + π , 2 { π+1 , π2 (π’π π’π+1 ) = { π2 (π’π π£π ) = { π2 (π£π π£π+π ) = {
2π + 1 + π, 2π + 1 ,
3π + 1 + π, 3π + 1 , 4π + 2 + π, 3π + 2 + π ,
π ππππππ π πππππ π ππππππ π πππππ π=π 1β€π β€πβ1 π=π 1β€ π β€πβ1 π=π 1β€π β€πβ2 π = π β 1, π
Sama seperti pelabelan π1 sebelumnya, misalkan z menyatakan bobot sisi dari graf Petersen P(n,m). Didefinisikan bobot sisi z dari pelabelan total π2 dari sisi-sisi: {π’π π’π+1 , π’π π£π , π£π π£π+π } pada graf Petersen P(n,m) untuk semua i β {1, 2, β¦, n} sebagai berikut. π§ (π’π π’π+1 ) = π2 (π’π ) + π2 (π’π π’π+1 ) + π2 (π’π+1 ) π§(π’π π£π ) = π2 (π’π ) + π2 (π’π π£π ) + π2 (π£π ) π§(π£π π£π+π ) = π2 (π£π ) + π2 (π£π π£π+π ) + π2 (π£π+π ) dengan indeks i+1 dan i+m di-modulo-kan dengan n bila i+1, i+m > n. Dari ketiga persamaan bobot sisi di atas, yaitu π§(π’π π’π+1 ), π§(π’π π£π ), dan ( π§ π£π π£π+1 ) dapat didefinisikan dengan suatu formula bobot sisi dengan cara mensubstitusikan formula pelabelan simpul dan sisi: {π2 (π’π ), π2 (π£π ), π2 (π’π π£π ), ππ (π£π π£π+π )} ke masing-masing persamaan bobot sisi yang telah didefinisikan sebelumnya.Berikut definisi formula bobot sisi untuk π§(π’π π’π+1 ), π§(π’π π£π ), dan π§(π£π π£π+1 ). a) Definisi formula bobot sisi untuk π§(π’π π’π+1 ) sebagai berikut. π§ (π’π π’π+1 ) = π2 (π’π ) + π2 (π’π π’π+1 ) + π2 (π’π+1 ) 1+π π + 1 + (π + 1) + (2π + 1 + π) + , 2 2 π+1+π 1 + (π + 1) π§(π’π π’π+1 ) = + (2π + 1 + π) + , 2 2 1+π + (2π + 1) + 1, { 2
π ππππππ π πππππ π=π
kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut.
19
5π + 5 + 2π , 2 5π + 5 π§(π’π π’π+1 ) = + 2π , 2 5π + 5 , { 2
π ππππππ π πππππ π=π 5π+5
karena formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku 2 + 2π untuk 1 β€ i β€ n-1. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi π§(π’π π’π+1 ), yaitu 5π + 5 + 2π, π§(π’π π’π+1 ) = { 2 5π + 5 , 2
1 β€π β€πβ1 π=π
b) Definisi formula bobot sisi untuk π§(π’π π£π ) sebagai berikut π§(π’π π£π ) = π2 (π’π ) + π2 (π’π π£π ) + π2 (π£π ) 1+π 3π + +1 + (1 + π) + (3π + 1 + π) + , 2 2 π+1+π 2π + 1 + (1 + π ) π§(π’π π£π ) = + (3π + +1 + π) + , 2 2 1+π + (3π + 1) + (π + 1), { 2
π ππππππ π πππππ π=π
kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut. 9π + 5 + 2π, 2 9π + 5 π§(π’π π£π ) = + 2π, 2 9π + 5 , { 2
π ππππππ π πππππ π=π 9π+5
karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku 2 + 2π untuk 1 β€ i β€ n-1. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi π§(π’π π£π ), yaitu 9π + 5 + 2π, 2 π§(π’π π£π ) = { 9π + 5 , 2
1 β€π β€πβ1 π=π
c) Definisi formula bobot sisi untuk π§(π£π π£π+π ) sebagai berikut.
20
π§(π£π π£π+π ) = π2 (π£π ) + π2 (π£π π£π+π ) + π2 (π£π+π ) 3π+2+π 2 3π+1+π
+ (4π + 2 + π) + + (4π + 2 + π) +
2 2π+2+π
π§(π£π π£π+π ) =
2
{
2π++2+(1+π) 2 3π+2+(1+π) 2
,
,
+ (3π + +2 + π ) + π + 1,
(π + 1) + (3π + 2 + π ) +
3π+3 2
π ππππππ π πππππ π =πβ1
,
π=π
kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut. 13π + 9 + 2π, π ππππππ 2 13π + 9 + 2π, π πππππ 2 π§(π£π π£π+π ) = 13π + 5 , π =πβ1 2 13π + 9 , π=π { 2 13π+9
karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku 2 + 2π untuk 1 β€ i β€ n-2. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi π§(π£π π£π+π ), yaitu 13π + 9 + 2π, 2 13π + 5 π§(π£π π£π+π ) = , 2 13π + 9 , { 2
1 β€π β€πβ2 π =πβ1 π=π
selanjutnya, misalkan ππ‘ adalah himpunan bobot sisi di mana π‘ β {1, 2, 3} dengan penjelasan ππ‘ sebagai berikut. ο· ο· ο·
t = 1 β π1 menyatakan himpunan bobot sisi untuk π§(π’π π’π+1 ) t = 2 β π2 menyatakan himpunan bobot sisi untuk π§(π’π π£π ) t = 3 β π3 menyatakan himpunan bobot sisi untuk π§(π£π π£π+π )
Jadi, definisi formula himpunan bobot sisi terhadap pelabelan total π2 dari sisi-sisi π’π π’π+1 , π’π π£π , dan π£π π£π+π dari graf Petersen P(n,m) untuk semua i β {1, 2, β¦, n} adalah sebagai berikut. 5π + 5 + 2π, 2 ( ) π1 = {π§ π’π π’π+1 ; 1 β€ π β€ π} = { 5π + 5 , 2
1β€π β€πβ1 π=π
21
9π + 5 + 2π, π2 = {π§(π’π π£π ); 1 β€ π β€ π} = { 2 9π + 5 , 2 13π + 9 + 2π, 2 13π + 5 π3 = {π§(π£π π£π+π ); 1 β€ π β€ π} = , 2 13π + 9 , { 2
1β€π β€πβ1 π=π 1 β€π β€πβ2 π =πβ1 π=π
dari semua definisi formula himpunan bobot sisi di atas dapat digabungkan menjadi himpunan bobot sisi keseluruhan untuk pelabelan π2 sehingga akan terbentuk sebuah barisan aritmatika dari pelabelan bobot sisi tersebut. Penggabungan semua 5π+5 5π+5 definisi himpunan bobot sisi di atas, yaitu π1 βͺ π2 βͺ π3 = { 2 , 2 + 2π,
9π+5 2
+ 2π,
9π+5 13π+9 2
,
2
+ 2π,
13π+5 13π+9
,
2
2
}, untuk setiap i β {1, 2, β¦,n}.
Rincian tebentuknya pola barisan aritmatika dari penggabungan himpunan bobot sisi di atas adalah sebagai berikut. (i)
Untuk himpunan bobot sisi π1 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi π1 adalah 5π + 5 2 Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n-1, maka diperoleh definisi formula bobot sisi π1 sebagai berikut. 5π+5 2
+ 2π = {
5π+5 2
+ 2,
5π+5 2
+ 4,
5π+5 2
+ 6, β¦ ,
5π+5 2
+ 2(π β 1)}
Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi π1 sebagai berikut. π1 = { (ii)
5π+5 2
,
5π+5 2
+ 2,
5π+5 2
+ 4,
5π+5 2
+ 6, β¦ ,
5π+5 2
+ 2(π β 1)}
Untuk himpunan bobot sisi π2 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi π2 adalah 9π + 5 5π + 5 = + 2π 2 2 untuk indeks i dari 1, 2, β¦, n-1, maka definisi formula bobot sisi π2 sebagai berikut. 9π + 5 5π + 5 + 2π = + 2(π + π) 2 2
22
Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n, maka diperoleh formula dari definisi bobot sisi π2 sebagai berikut. 5π + 5 + 2(π + π ) = 2 {
5π + 5 5π + 5 5π + 5 + 2(π + 1), + 2(π + 2), β¦ , + 2(2π β 1)} 2 2 2
Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi π2 sebagai berikut. π2 ={
5π+5 2
+ 2π,
5π+5 2
+ 2(π + 1),
5π+5 2
+ 2(π + 2), β¦ ,
5π+5 2
+ 2(2π β 1)}
(iii) Untuk himpunan bobot sisi π3 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi π3 adalah 13π + 9 5π + 5 = + 2(2π + 1) 2 2 Ketika indeks i bernilai n-1, maka definisi formula bobot sisi π3 adalah 13π + 5 5π + 5 = + 2(2π) 2 2 untuk indeks i dari 1, 2, β¦, n-2, maka definisi formula bobot sisi π3 sebagai berikut. 13π + 9 5π + 5 + 2π = + 2(2π + 1 + π) 2 2 ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n-2, maka diperoleh formula dari definisi bobot sisi π3 sebagai berikut. 5π + 5 + 2(2π + 1 + π ) = 2 {
5π+5 2
+ 2(2π + 2),
5π+5 2
+ 2(2π + 3), β¦ ,
5π+5 2
+ 2(3π β 1)}
Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi π3 sebagai berikut. π3 = {
5π+5 2
+ 2(2π),
5π+5 2
+ 2(2π + 1), β¦ ,
5π+5 2
+ 2(3π β 1)}
dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan bobot sisi π1 , π2 , dan π3 sudah terlihat jelas pola barisan aritmatika yang dibentuk oleh π1 βͺ π2 βͺ π2 sehingga bisa diperoleh bahwa π1 βͺ π2 βͺ π3
23
={
5π+5 5π+5 2
1), β¦
,
2 5π+5 2
+ 2,
5π+5 2
5π+5
+ 4, β¦ ,
+ 2(2π β 1),
5π+5 2
2
+ 2( π β 1),
+ 2(2π),
5π+5 2
5π+5 2
+ 2π,
5π+5 2
+ 2(2π + 1), β¦ ,
+ 2(π +
5π+5 2
+
2(3π β 1)} = {π, π + π, π + 2π, β¦ , π + (π β 1)π, π + ππ, π + (π + 1)π, . . , π + (2π β 1)π, π + 2ππ, π + (2π + 1)π, β¦ , π + (3π β 1)π } pola barisan yang terbentuk dari π1 βͺ π2 βͺ π3 di atas telah membentuk barisan 5π+5 aritmatika dengan suku awal a = dan selisih d = 2, sehingga dengan 2 menggunakan alternatif pembuktian di atas yaitu menggunakan pelabelan π2 diperoleh bahwa graf Petersen yang diperumum P(n,m) dengan n bilangan bulat 5π+5 ganjil (n β₯ 3) dan m = 1, memiliki ( 2 , 2)-edge antimagic total labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a = Kemudian, untuk menunjukkan bahwa ( labeling tersebut adalah super ( dibuktikan bahwa
5π+5 2
5π+5 2
5π+5 2
dan selisih d = 2.
, 2)-edge antimagic total
, 2)-edge antimagic total labeling, akan
π2 (V[P(n,m)]) = {1, 2, β¦, 2n} π2 (E[P(n,m)]) = {2n+1, 2n+2, β¦, 5n} Bukti: Misalkan πΎ1 dan πΎ2 berturut-turut menyatakan himpunan simpul π’π dan himpunan simpul π£π , βi β {1, 2, ..., n} . Dengan menggunakan definisi formula pelabelan simpul π2 (π’π ) dan π2 (π£π ) yang telah diperoleh sebelumnya maka himpunan simpul πΎ1 dan πΎ2 dapat didefinisikan dengan formula sebagai berikut. 1+π , 2 ( ) πΎ1 = {π2 π’π ; 1 β€ π β€ π} = { π+1+π , 2 3π + 2 + π , 2 πΎ2 = {π2 (π£π ); 1 β€ π β€ π} = 2π + 2 + π , 2 { π + 1,
π ππππππ π πππππ π ππππππ π πππππ π=π
dari semua definisi formula himpunan simpul di atas dapat digabungkan menjadi himpunan simpul keseluruhan untuk pelabelan π2 , yaitu πΎ1 βͺ πΎ2 = 1+π π+1+π 3π+2+π 2π+2+π { , , 2 , 2 , π + 1 } untuk setiap i β {1, 2, β¦,n}, sehingga 2 2 penggabungan himpunan simpul tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk label simpul dengan penjelasan sebagai berikut. (i) Untuk himpunan simpul πΎ1 :
24
Ketika indeks i bernilai ganjil, dengan i = 1, 3,..n, maka definisi formula himpunan simpul πΎ1 adalah 1+π π+1 } = {1, 2, β¦ , 2 2 Ketika indeks i bernilai genap, dengan i = 2, 4, .., n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan simpul πΎ1 sebagai berikut. π+1+π π+3 π+5 ={ , , β¦ , π} 2 2 2 Sehingga diperoleh himpunan simpul πΎ1 sebagai berikut. πΎ1 = { 1, 2, β¦ ,
π+1 π+3 π+5 , , , β¦ , π} 2 2 2
(ii) Untuk himpunan simpul πΎ2 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan simpul πΎ2 adalah π+1 Ketika indeks i bernilai ganjil, dengan i = 1, 3,..n-2, maka definisi formula himpunan simpul πΎ2 adalah 3π + 2 + π 3π + 3 3π + 5 ={ , , β¦ ,2π} 2 2 2 Ketika indeks i bernilai genap, dengan i = 2, 4, .., n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan simpul πΎ2 sebagai berikut. 2π + 2 + π 3π + 1 } = { π + 1, π + 2, β¦ , 2 2 Sehingga diperoleh himpunan simpul πΎ2 sebagai berikut. πΎ2 = { π + 1, π + 2, β¦ ,
3π + 1 3π + 3 3π + 5 , , , β¦ ,2π } 2 2 2
dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan simpul πΎ1 dan πΎ2 sudah terlihat jelas barisan bilangan untuk label simpul yang dibentuk oleh πΎ1 βͺ πΎ2 sehingga bisa diperoleh bahwa πΎ1 βͺ πΎ2 = { 1, 2, β¦ ,
π+1 π+3 3π + 1 3π + 3 , , β¦ , π, π + 1, . . , , , β¦ ,2π} 2 2 2 2
Kemudian, misalkan pula πΏ1 , πΏ2 , dan πΏ3 , berturut-turut menyatakan himpunan sisi (π’π π’π+1 ), (π’π π£π ), dan (π£π π£π+π ), βi β {1, 2, ..., n} . Dengan menggunakan definisi formula pelabelan sisi π2 (π’π π’π+1 ), π2 (π’π π£π ), dan π2 (π£π π£π+π ) yang telah diperoleh sebelumnya maka himpunan sisi πΏ1 , πΏ2 , dan πΏ3 dapat didefinisikan dengan formula sebagai berikut.
25
πΏ1 = {π2 (π’π π’π+1 ); 1 β€ π β€ π} = {
1β€π β€πβ1 π=π
3π + 1 + π, 3π + 1 ,
1β€π β€πβ1 π=π
4π + 2 + π, 3π + 2 + π ,
1 β€π β€πβ2 π = π β 1, π
πΏ2 = {π2 (π’π π£π ); 1 β€ π β€ π} = { πΏ3 = {π2 (π£π π£π+π ); 1 β€ π β€ π} = {
2π + 1 + π, 2π + 1 ,
dari semua definisi formula himpunan sisi di atas dapat digabungkan menjadi himpunan sisi keseluruhan untuk pelabelan π2 , yaitu πΏ1 βͺ πΏ2 βͺ πΏ3 = {2π + 1 + π, 2π + 1, 3π + 1 + π, 3π + 1, 4π + 2 + π, 3π + 2 + π }, untuk setiap i β {1, 2, β¦,n} sehingga penggabungan himpunan sisi tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk label sisi dengan penjelasan sebagai berikut. (i) Untuk himpunan sisi πΏ1 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan sisi πΏ1 adalah 2π + 1 Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan sisi πΏ1 sebagai berikut. 2π + 1 + π = {2π + 2, 2π + 3, β¦ , 3π} Sehingga diperoleh himpunan simpul πΏ1 sebagai berikut. πΏ1 = {2π + 1, 2π + 2, 2π + 3, β¦ , 3π} (ii) Untuk himpunan sisi πΏ2 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan sisi πΏ2 adalah 3π + 1 Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n-1, maka definisi formula himpunan sisi πΏ2 adalah 3π + 1 + π = {3π + 2, 3π + 3, β¦ , 4π } Sehingga diperoleh himpunan sisi πΏ2 sebagai berikut. πΏ2 = {3π + 1, 3π + 2, β¦ , 4π } (iii) Untuk himpunan sisi πΏ3 : Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n-2, maka definisi formula himpunan sisi πΏ3 adalah 4π + 2 + π = {4π + 3, 4π + 4, β¦ , 5π } Ketika indeks i berjalan dari n-1 sampai n, maka definisi formula himpunan sisi πΏ3 adalah 3π + 2 + π = {4π + 1, 4π + 2}
26
Sehingga diperoleh himpunan sisi πΏ3 sebagai berikut. πΏ3 = {4π + 1, 4π + 2, β¦ , 5π } dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan sisi πΏ1 , πΏ2 , dan πΏ3 sudah terlihat jelas barisan bilangan untuk label sisi yang dibentuk oleh πΏ1 βͺ πΏ2 βͺ πΏ3 sehingga bisa diperoleh bahwa πΏ1 βͺ πΏ2 βͺ πΏ3 = { 2π + 1, 2π + 2, β¦ , 3π, 3π + 1, β¦ , 4π, 4π + 1, β¦ , 5π} Dari penjabaran mengenai barisan bilangan untuk label himpunan simpul dan label himpunan sisi di atas maka dapat disimpulkan bahwa: 1
πΎ1 βͺ πΎ2 = { 1, 2, β¦ ,
π+1 π+3 2
,
2
, β¦ , π, π + 1, . . ,
3π+1 3π+3 2
,
2
, β¦ ,2π}
sehingga π2 (V[P(n,m)]) = {1, 2, β¦, 2n}. 2
πΏ1 βͺ πΏ2 βͺ πΏ3 = { 2π + 1, 2π + 2, β¦ , 3π, 3π + 1, β¦ , 4π, 4π + 1, β¦ , 5π} sehingga π2 (E[P(n,m)]) = {2n+1, 2n+2, β¦, 5n}.
Sehingga dengan menggunakan pelabelan alternatif, yaitu pelabelan total π2 , teorema 1 sebeluimnya juga telah terbukti bahwa graf Petersen yang diperumum P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n β₯ 3) dan m = 1, memiliki super (π, π )edge antimagic total labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku 5π+5 awal a = 2 dan selisih d = 2 β Terbukti 5π+5
Berikut ini juga diberikan contoh super ( 2 , 2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) seperti pada Gambar 8 sebelumnya namun dengan pelabelan yang berbeda, yaitu dengan menggunakan pelabelan π2 . Dengan menggunakan definisi formula pelabelan π2 , maka untuk graf Petersen P(5,1) diperoleh label simpul sebagai berikut. π2 (u1) = 1 π2 (v1) = 9 π2 (u2) = 4 π2 (v2) = 7 π2 (u3) = 2 π2 (v3) = 10 π2 (u4) = 5 π2 (v4) = 8 π2 (u5) = 3 π2 (v5) = 6 kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut. π2 (u1 u2) = π2 (e1) = 12 π2 (u1 v1) = π2 (e6) = 17 π2 (v1 v2) = π2 (e11) = 23 π2 (u2 u3) = π2 (e2) = 13 π2 (u2 v2) = π2 (e7) = 18 π2 (v2 v3) = π2 (e12) = 24 π2 (u3 u4) = π2 (e3) = 14 π2 (u3 v3) = π2 (e8) = 19 π2 (v3 v4) = π2 (e13) = 25 π2 (u4 u5) = π2 (e4) = 15 π2 (u4 v4) = π2 (e9) = 20 π2 (v4 v5) = π2 (e14) = 21 π2 (u5 u1) = π2 (e5) = 11 π2 (u5 v5) = π2 (e10) = 16 π2 (v5 v6) = π2 (e15) = 22 sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya seperti berikut. π2 (u1) + π2 (e1) + π2 (u2) = 1 + 12 + 4 = 17
27
π2 (u2) + π2 (e2) + π2 (u3) = 4 + 13 + 2 = 19 π2 (u3) + π2 (e3) + π2 (u4) = 2 + 14 + 5 = 21 π2 (u4) + π2 (e4) + π2 (u5) = 5 + 15 + 3 = 23 π2 (u5) + π2 (e5) + π2 (u1) = 3 + 11 + 1 = 15 π2 (u1) + π2 (e6) + π2 (v1) = π2 (u2) + π2 (e7) + π2 (v2) = π2 (u3) + π2 (e8) + π2 (v3) = π2 (u4) + π2 (e9) + π2 (v4) = π2 (u5) + π2 (e10) + π2 (v5) = π2 (v1) + π2 (e11) + π2 (v2) π2 (v2) + π2 (e12) + π2 (v3) π2 (v3) + π2 (e13) + π2 (v4) π2 (v4) + π2 (e14) + π2 (v5) π2 (v5) + π2 (e15) + π2 (v1)
1 4 2 5 3
+ 17 + 9 = 27 + 18 + 7 = 29 + 19 + 10 = 31 + 20 + 8 = 33 + 16 + 6 = 25
= 9 + 23 + 7 = 39 = 7 + 24 + 10 = 41 = 10 + 25 + 8 = 43 = 8 + 21 + 6 = 35 = 6 + 22 + 9 = 37
Dari cara pelabelan tersebut diperoleh himpunan bobot sisi dari graf Petersen P(5,1) membentuk barisan aritmatika {15, 17, 19, 21,β¦,39, 41, 43} dengan suku 5(5)+5 awal a = 2 = 15 dan beda (selisih) d = 2 sehingga graf Petersen P(5,1) memiliki super (15,2)-edge antimagic total labeling. Pelabelan graf Petersen P(5,1) dari pelabelan π2 di atas dapat digambarkan sebagai berikut. 1 17
12 4
11 9
23
7
16
22
18 24 13
10
21
3
6 15
25 8
20
19
14 2 5 Gambar 10 Super (15,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) Kemudian, untuk contoh pola dan gambar pelabelan dari graf Petersen P(7,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π2 terlampir pada Lampiran 2. Cara pelabelan dengan menggunakan definisi pelabelan π1 dan π2 di atas merupakan ilustrasi pembuktian yang digunakan untuk memperoleh super 5π+5 ( 2 , 2)-edge antimagic labeling pada graf Petersen P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n β₯ 3) dan m = 1. Berikut juga akan dibuktikan teorema 2 untuk memperoleh super (4n + 2,1)-edge antimagic labeling pada graf Petersen P(n,m).
28
Teorema 2 π Setiap graf Petersen yang diperumum P(n, m), (n β₯ 3), 1 β€ m Λ 2 , memiliki sebuah super (4n + 2, 1)-edge antimagic total labeling. (Ngurah dan Baskoro 2003) Bukti : Misalkan P(n,m) dengan adalah graf Petersen yang diperumum yang mempunyai sebuah super (a,d)-edge antimagic total labeling karena |V[P(n,m)]| = 2n dan |E[P(n,m)]| = 3n sehingga π: V[P(n,m)] β {1, 2, β¦, 2n} π: E[P(n,m)] β {2n+1, 2n+2, β¦, 5n} Semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n,m) dilabelkan dengan menggunakan definisi formula pelabelan π1 , di mana π1 didefinisikan sebagai formula pelabelan simpul dan sisi dari graf Petersen P(n, m). Berikut diberikan definisi pelabelan π1 . π1 (π’π ) = π β π + 1 ,
1β€π β€π
π1 (π£π ) = π + π,
1β€π β€π
π1 (π’π π’π+1 ) = {
3π + 1 + π , 3π + 1 ,
π1 (π’π π£π ) = 4π + π ,
1β€π β€πβ1 π=π 1β€π β€π
π1 (π£π π£π+π ) = 3π + 1 β π ,
1β€π β€π
misalkan g menyatakan bobot sisi dari graf Petersen P(n,m). Didefinisikan bobot sisi g dari pelabelan total π1 dari sisi : {π’π π’π+1 , π’π π£π , π£π π£π+π } pada graf Petersen P(n,m) untuk semua i β {1, 2, β¦, n} sebagai berikut. π(π’π π’π+1 ) = π1 (π’π ) + π1 (π’π π’π+1 ) + π1 (π’π+1 ) π(π’π π£π ) = π1 (π’π ) + π1 (π’π π£π ) + π1 (π£π ) π(π£π π£π+π ) = π1 (π£π ) + π1 (π£π π£π+π ) + π1 (π£π+π ) dengan indeks i+1 dan i+m di-modulo-kan dengan n bila i+1, i+m β₯ n. Dari ketiga persamaan bobot sisi di atas, yaitu π(π’π π’π+1 ), π(π’π π£π ), dan π(π£π π£π+1 ) dapat didefinisikan dengan suatu definisi formula bobot sisi dengan cara mensubstitusikan definisi formula pelabelan simpul dan sisi: {π1 (π’π ), π1 (π£π ), π1 (π’π π£π ), dan π1 (π£π π£π+π )} ke masing-masing pesamaan bobot sisi yang telah didefinisikan sebelumnya. Berikut definisi formula bobot sisi untuk π(π’π π’π+1 ), π(π’π π£π ), dan π(π£π π£π+1 ). a) Definisi formula bobot sisi untuk π(π’π π’π+1 ) sebagai berikut. π(π’π π’π+1 ) = π1 (π’π ) + π1 (π’π π’π+1 ) + π1 (π’π+1 ) π(π’π π’π+1 )
29
={
(π + 1 β π ) + (3π + 1 + π ) + (π β (π + 1) + 1), (π + 1 β π ) + (3π + 1) + π),
1β€π β€πβ1 π=π
kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut. 5π + 2 β π, π (π’π π’π+1 ) = { 5π + 2 β π,
1β€π β€πβ1 π=π
karena definisi formula untuk 1 β€ i β€ n-1 sama dengan i = n maka berlaku 5π + 2 β π untuk 1 β€ i β€ n. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi π(π’π π’π+1 ), yaitu π(π’π π’π+1 ) = 5π + 2 β π,
1β€πβ€π
b) Definisi formula bobot sisi untuk π(π’π π£π ) sebagai berikut. π(π’π π£π ) = π1 (π’π ) + π1 (π’π π£π ) + π1 (π£π ) π(π’π π£π ) = (π + 1 β π ) + (4π + π ) + π + π ,
1β€πβ€π
Kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi π (π’π π£π ), yaitu π(π’π π£π ) = 6π + 1 + π ,
1β€πβ€π
c) Definisi formula bobot sisi untuk π(π£π π£π+π ) sebagai berikut. π(π£π π£π+π ) = π1 (π£π ) + π1 (π£π π£π+π ) + π1 (π£π+π ) π(π£π π£π+π ) (π + π ) + (3π + 1 β π ) + (π + (1 + π )), ={ (π + π ) + (3π + 1 β π ) + (π + 1), ,
1β€π β€πβ1 π=π
Kemudian definisi formula di atas dapat disederhanakan sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi π(π£π π£π+π ), yaitu π(π£π π£π+π ) = {
5π + 2 + π, 5π + 2,
1 β€π β€πβ1 π=π
selanjutnya, misalkan πΊπ‘ adalah himpunan bobot sisi di mana π‘ β {1, 2, 3} dengan penjelasan πΊπ‘ sebagai berikut. ο· ο· ο·
t = 1 β πΊ1 menyatakan himpunan bobot sisi untuk π(π’π π’π+1 ) t = 2 β πΊ2 menyatakan himpunan bobot sisi untuk π(π’π π£π ) t = 3 β πΊ3 menyatakan himpunan bobot sisi untuk π(π£π π£π+π )
Jadi, definisi formula himpunan bobot sisi terhadap pelabelan total π1 dari sisi-sisi π’π π’π+1 , π’π π£π , dan π£π π£π+π dari graf Petersen P(n, m) untuk semua i β {1, 2, β¦, n} adalah sebagai berikut. πΊ1 = {π(π’π π’π+1 ); 1 β€ π β€ π} = 5π + 2 β π
30
πΊ2 = {π(π’π π£π ); 1 β€ π β€ π} = 6π + 1 + π 5π + 2 + π, πΊ3 = {π(π£π π£π+π ); 1 β€ π β€ π} = { 5π + 2,
1β€π β€πβ1 π=π
dari semua definisi formula himpunan bobot sisi di atas dapat digabungkan menjadi himpunan bobot sisi keseluruhan untuk pelabelan π1 sehingga akan terbentuk sebuah barisan aritmatika dari pelabelan bobot sisi tersebut. Penggabungan semua definisi himpunan bobot sisi di atas, yaitu πΊ1 βͺ πΊ2 βͺ πΊ3 = {(5π + 2 β π), (6π + 1 + π), (5π + 2 + π),5π + 2)}, untuk setiap i β {1, 2, β¦,n}. Rincian pola barisan aritmatika dari penggabungan himpunan bobot sisi di atas adalah sebagai berikut. (i)
Untuk himpunan bobot sisi πΊ1 : Perhatikan bahwa definisi formula bobot sisi πΊ1untuk 1 β€ i β€ n, yaitu 5π + 2 β π = 4π + 2 + (π β π) Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦,n-2, n-1, n, maka diperoleh definisi formula bobot sisi πΊ1 sebagai berikut. 4π + 2 + (π β π ) ={4π + 2 + [π β (π β [π β 1])], β¦ , 4π + 2 + (π β [π β 2]), 4π + 2 + (π β [π β 1]), 4π + 2 + (π β π)} = {(4π + 2), (4π + 2 + 1), (4π + 2 + 2), β¦ , (4π + 2 + [π β 1])} Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi πΊ1 sebagai berikut. πΊ1 = {(4π + 2), (4π + 2 + 1), (4π + 2 + 2), β¦ , (4π + 2 + [π β 1])}
(ii)
Untuk himpunan bobot sisi πΊ2 : Perhatikan bahwa definisi formula bobot sisi πΊ2 , yaitu 6π + 1 + π = 4π + 1 + (2π + π) ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n, maka diperoleh definisi formula πΊ2 sebagai berikut. 4π + 1 + (2π + π ) = {4π + 1 + (2π + 1), 4π + 2 + (2π + 2), β¦ , 4π + 1 + (2π + π)} = {4π + 2 + (2π), 4π + 2 + (2π + 1), β¦ , 4π + 1 + (2π + π)} = {4π + 2 + (2π), 4π + 2 + (2π + 1), β¦ , 4π + 2 + (3π β 1)} Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi πΊ2 sebagai berikut. πΊ2 = {4π + 2 + 2π, 4π + 2 + (2π + 1), β¦ ,4π + 2 + (3π β 1)}
31
(iii) Untuk himpunan bobot sisi πΊ3 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi πΊ3 adalah 5π + 2 = 4π + 2 + π Perhatikan bahwa definisi formula bobot sisi πΊ3 untuk 1 β€ i β€ n-1, yaitu 5π + 2 + π = 4π + 2 + (π + π) ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n-1, maka diperoleh definisi formula πΊ3 sebagai berikut. 4π + 2 + (π + π ) = {4π + 2 + (π + 1), 4π + 2 + (π + 2), β¦ , 4π + 2 + (π + (π β 1))} = {4π + 2 + (π + 1), 4π + 2 + (π + 2), β¦ , 4π + 2 + (2π β 1)} Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi πΊ3 sebagai berikut. πΊ3 = {4π + 2 + π, 4π + 2 + (π + 1), 4π + 2 + (π + 2), β¦ , 4π + 2 + (2π β 1)} dari rincian yang telah dijabarkan mengenai bobot sisi πΊ1 , πΊ2 , dan πΊ3 sudah terlihat jelas pola barisan aritmatika yang dibentuk oleh πΊ1 βͺ πΊ2 βͺ πΊ3 sehingga bisa diperoleh bahwa πΊ1 βͺ πΊ2 βͺ πΊ3 = {4π + 2, 4π + 2 + 1, 4π + 2 + 2 β¦ , 4π + 2 + (π β 1), 4π + 2 + π, 4 π + 2 + (π + 1), β¦ , 4π + 2 + (2π β 1), 4π + 2 + (2π), 4π + 2 + (2π + 1), β¦ ,4π + 2 + (3π β 1)} = {π, π + π, π + 2π, β¦ , π + (π β 1)π, π + ππ, π + (π + 1)π, . . , π + (2π β 1)π, π + 2ππ, π + (2π + 1)π, β¦ , π + (3π β 1)π } pola barisan yang terbentuk dari πΊ1 βͺ πΊ2 βͺ πΊ3 di atas telah membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a = 4π + 2 dan selisih d = 1, sehingga.dengan menggunakan pelabelan total π1 diperoleh bahwa setiap graf Petersen yang π diperumum P(n,m), (n β₯ 3), 1 β€ m β€ 2 , memiliki sebuah (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a = 4π + 2 dan selisih d = 1. Kemudian, untuk menunjukkan bahwa (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling tersebut adalah super (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling, akan dibuktikan bahwa π1 (V[P(n,m)]) = {1, 2, β¦, 2n} π1 (E[P(n,m)]) = {2n+1, 2n+2, β¦, 5n}
32
Bukti: Misalkan π1 dan π2 berturut-turut menyatakan himpunan simpul π’π dan himpunan simpul π£π , βi β {1, 2, ..., n} . Dengan menggunakan definisi formula pelabelan simpul π1 (π’π ) dan π1 (π£π ) yang telah diperoleh sebelumnya maka himpunan simpul π1 dan π2 dapat didefinisikan dengan formula sebagai berikut. π1 = {π1 (π’π ); 1 β€ π β€ π} = π β π + 1 ,
1β€π β€π
π2 = {π1 (π£π ); 1 β€ π β€ π} = π + π,
1β€π β€π
dari semua definisi formula himpunan simpul di atas dapat digabungkan menjadi himpunan simpul keseluruhan untuk pelabelan π1 , yaitu π1 βͺ π2 = {π β π + 1 , π + π}, untuk setiap i β {1, 2, β¦,n} sehingga penggabungan himpunan simpul tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk label simpul dengan penjelasan sebagai berikut. (i) Untuk himpunan simpul π1 : Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n maka definisi formula himpunan simpul π1 adalah π β π + 1 = {π, π β 1, π β 2, β¦ , 2, 1 } π β π + 1 = {1, 2, β¦ , π β 2, π β 1, π } Sehingga diperoleh himpunan simpul π1 sebagai berikut. π1 = { 1, 2, β¦ , π β 1, π} (ii) Untuk himpunan simpul π2 : Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n, maka definisi formula himpunan simpul π2 adalah π + π = {π + 1, π + 1, β¦ , 2π } Sehingga diperoleh himpunan simpul π2 sebagai berikut. π2 = { π + 1, π + 2, β¦ ,2π } dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan simpul π1 dan π2 sudah terlihat jelas barisan bilangan untuk label simpul yang dibentuk oleh π1 βͺ π2 sehingga bisa diperoleh bahwa π1 βͺ π2 = { 1, 2, β¦ , π, π + 1, π + 2, β¦ ,2π} Kemudian, misalkan pula π
1 , π
2 , dan π
3 , berturut-turut menyatakan himpunan sisi (π’π π’π+1 ), (π’π π£π ), dan (π£π π£π+π ), βi β {1, 2, ..., n} . Dengan menggunakan definisi formula pelabelan sisi π1 (π’π π’π+1 ), π1 (π’π π£π ), dan π1 (π£π π£π+π ) yang telah diperoleh sebelumnya maka himpunan sisi π
1 , π
2 , dan π
3 dapat didefinisikan dengan formula sebagai berikut. π
1 = {π1 (π’π π’π+1 ); 1 β€ π β€ π} = {
3π + 1 + π, 3π + 1 ,
π
2 = {π1 (π’π π£π ); 1 β€ π β€ π} = 4π + π,
1β€ π β€πβ1 π=π 1β€πβ€π
33
π
3 = {π1 (π£π π£π+π ); 1 β€ π β€ π} = 3π + 1 β π,
1β€πβ€π
dari semua definisi formula himpunan sisi di atas dapat digabungkan menjadi himpunan sisi keseluruhan untuk pelabelan π1 , yaitu π
1 βͺ π
2 βͺ π
3 = {3π + 1 + π, 3π + 1, 4π + π, 3π + 1 β π } untuk setiap i β {1, 2, β¦,n}, sehingga penggabungan himpunan sisi tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk label sisi dengan penjelasan sebagai berikut. (i) Untuk himpunan sisi π
1 : Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan sisi π
1 adalah 3π + 1 Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n-1, maka diperoleh definisi formula himpunan sisi π
1 sebagai berikut. 3π + 1 + π = {3π + 2, 3π + 3, β¦ , 4π} Sehingga diperoleh himpunan simpul π
1 sebagai berikut. π
1 = {3π + 1, 3π + 2, 3π + 3, β¦ , 4π, } (ii) Untuk himpunan sisi π
2 : Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n, maka definisi formula himpunan sisi π
2 adalah 4π + π = {4π + 1, 4π + 2, β¦ , 5π } Sehingga diperoleh himpunan sisi π
2 sebagai berikut. π
2 = {4π + 1, 4π + 2, β¦ , 5π } (iii) Untuk himpunan sisi π
3 : Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, β¦, n, maka definisi formula himpunan sisi π
3 adalah 3π + 1 β π = {3π, 3π β 1, 3π β 2, β¦ ,2π + 2, 2π + 1} 3π + 1 β π = {2π + 1, 2π + 2, β¦ ,3π β 1, 3π} Sehingga diperoleh himpunan sisi π
3 sebagai berikut. π
3 = {2π + 1, 2π + 2, β¦ ,3π β 1, 3π} dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan sisi π
1 , π
2 , dan π
3 sudah terlihat jelas barisan bilangan untuk label sisi yang dibentuk oleh π
1 βͺ π
2 βͺ π
3 sehingga bisa diperoleh bahwa π
1 βͺ π
2 βͺ π
3 = { 2π + 1, 2π + 2, β¦ , 3π, 3π + 1, β¦ , 4π, 4π + 1, β¦ , 5π} Dari penjabaran mengenai barisan bilangan untuk label himpunan simpul dan label himpunan sisi di atas maka dapat disimpulkan bahwa: 1
π1 βͺ π2 = { 1, 2, β¦ , π, π + 1, π + 2, β¦ ,2π}
34
sehingga π1 (V[P(n,m)]) = {1, 2, β¦, 2n}. 2
π
1 βͺ π
2 βͺ π
3 = { 2π + 1, 2π + 2, β¦ , 3π, 3π + 1, β¦ , 4π, 4π + 1, β¦ , 5π} sehingga π1 (E[P(n,m)]) = {2n+1, 2n+2, β¦, 5n}.
Sehingga dengan menggunakan pelabelan alternatif, yaitu pelabelan total π1 , teorema 2 sebeluimnya telah terbukti bahwa setiap graf Petersen yang diperumum π P(n,m), (n β₯ 3), 1 β€ m β€ 2 , memiliki sebuah super (4n + 2, 1)-edge antimagic total labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a = 4π + 2 dan selisih d = 1. β Terbukti Berikut ini diberikan contoh super (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,2) seperti pada Gambar 11. Banyaknya simpul ialah 10 dan banyaknya sisi ialah 15, dengan π1 (V[P(5,2)])= {1, 2, β¦, 10} dan π1 (E[P(5,2)]) = {11, 12, β¦, 25} serta himpunan simpul dan sisi sebagai berikut. V[P(5,2)] = {u1, u2, u3, u4, u5, v1, v2, v3, v4, v5} E[P(5,2)] = {uiui+1, uivi, vivi+2} βi β {1, 2, 3, 4, 5} di mana ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+2 pada simpul v lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut akan di-modulo-kan dengan 5. u1 e5
e6
e1
v1 u2 e7
e11
v2
v5
e12 e2
v3 e8
u5
e10
e15 e14
e4
e13 v4
e9
e3 u4 u3 Gambar 11 Graf Petersen P(5,2) Dengan menggunakan definisi formula pelabelan π1 , maka untuk graf Petersen P(5,2) diperoleh label simpul sebagai berikut. π1 (u1) = 5 π1 (v1) = 6 π1 (u2) = 4 π1 (v2) = 7 π1 (u3) = 3 π1 (v3) = 8 π1 (u4) = 2 π1 (v4) = 9 π1 (u5) = 1 π1 (v5) = 10 kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut. π1 (u1 u2) = π1 (e1) = 17 π1 (u1 v1) = π1 (e6) = 21 π1 (v1 v3) = π1 (e11) = 15 π1 (u2 u3) = π1 (e2) = 18 π1 (u2 v2) = π1 (e7) = 22 π1 (v2 v4) = π1 (e12) = 14
35
π1 (u3 u4) = π1 (e3) = 19 π1 (u4 u5) = π1 (e4) = 20 π1 (u5 u1) = π1 (e5) = 16
π1 (u3 v3) = π1 (e8) = 23 π1 (u4 v4) = π1 (e9) = 24 π1 (u5 v5) = π1 (e10) = 25
π1 (v3 v5) = π1 (e13) = 13 π1 (v4 v1) = π1 (e14) = 12 π1 (v5 v2) = π1 (e15) = 11
sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya seperti berikut. π1 (u1) + π1 (e1) + π1 (u2) = 5 + 17 + 4 = 26 π1 (u2) + π1 (e2) + π1 (u3) = 4 + 18 + 3 = 25 π1 (u3) + π1 (e3) + π1 (u4) = 3 + 19 + 2 = 24 π1 (u4) + π1 (e4) + π1 (u5) = 2 + 20 + 1 = 23 π1 (u5) + π1 (e5) + π1 (u1) = 1 + 16 + 5 = 22 π1 (u1) + π1 (e6) + π1 (v1) = π1 (u2) + π1 (e7) + π1 (v2) = π1 (u3) + π1 (e8) + π1 (v3) = π1 (u4) + π1 (e9) + π1 (v4) = π1 (u5) + π1 (e10) + π1 (v5) = π1 (v1) + π1 (e11) + π1 (v3) π1 (v2) + π1 (e12) + π1 (v4) π1 (v3) + π1 (e13) + π1 (v5) π1 (v4) + π1 (e14) + π1 (v1) π1 (v5) + π1 (e15) + π1 (v2)
5 4 3 2 1
+ 21 + 6 = 32 + 22 + 7 = 33 + 23 + 8 = 34 + 24 + 9 = 35 + 25 + 10 = 36
= 6 + 15 + 8 = 29 = 7 + 14 + 9 = 30 = 8 + 13 + 10 = 31 = 9 + 12 + 6 = 27 = 10 + 11 + 7 = 28
Dari cara pelabelan tersebut diperoleh himpunan penjumlahan bobot sisi dari graf Petersen P(5,2) membentuk barisan aritmatika {22, 23, 24, 25,β¦,34, 35, 36} sehingga graf Petersen (5,2) juga memiliki sebuah super (22,1)-edge antimagic total labeling dengan suku awal a = 4 (5) + 2 = 22 dan beda (selisih) d = 1. Pelabelan graf Petersen P(5,2) dari pelabelan π1 di atas dapat digambarkan sebagai berikut. 5 16
21
17
6 4
15
7
22
10
14 18
8 23
1
25
11 12
13
9
20 24
19 3 2 Gambar 12 Super (22,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,2) Kemudian, untuk contoh pola dan gambar pelabelan dari graf Petersen P(3,1), P(4,1), dan P(5,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π1 masingmasing terlampir pada Lampiran 3, Lampiran 4, dan Lampiran 5.
36
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Dalam karya ilmiah ini telah dibuktikan bahwa graf Petersen P(n,m) dengan 5π+5 n bilangan bulat ganjil (n β₯ 3) dan m = 1, memiliki super ( 2 , 2)-edge antimagic total labeling. Pembuktian dilakukan dengan mencari pola pelabelan dengan menggunakan definisi pelabelan simpul dan sisi, yaitu pelabelan π1 sehingga diperoleh definisi formula himpunan bobot sisi di mana penggabungan himpunan bobot sisi tersebut membentuk barisan aritmatika untuk setiap sisi dari graf 5π+5 Petersen tersebut dengan suku awal a = 2 dan beda (selisih) d = 2. Selain menggunakan definisi pelabelan π1 , pembuktian yang sama juga dilakukan dengan mencari pola pelabelan alternatif, yaitu pelabelan alternatif π2 , sehingga diperoleh penggabungan himpunan bobot sisi yang juga membentuk barisan aritmatika yang sama seperti disebutkan sebelumnya. Selain itu, telah dibuktikan pula bahwa setiap graf Petersen P(n,m), (n β₯ 3), π 1 β€ m β€ 2 , memiliki sebuah super (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling. Pembuktian juga dilakukan dengan mencari pola pelabelan dengan menggunakan definisi pelabelan simpul dan sisi, yaitu pelabelan π1 sehingga diperoleh definisi formula himpunan bobot sisi di mana penggabungan himpunan bobot sisi tersebut membentuk barisan aritmatika untuk setiap sisi dari graf Petersen tersebut dengan suku awal a = 4n + 2 dan beda (selisih) d = 1.
Saran Dalam karya ilmiah ini telah dibahas mengenai antimagic total labeling yang pembahasannya difokuskan pada super (a,d)-edge antimagic total labeling pada suatu graf Petersen P(n,m) yang diperumum. Bagi yang berminat membuat karya ilmiah yang berhubungan dengan antimagic total labeling khususnya super (a,d)edge antimagic total labeling dapat mencari pada graf selain graf Petersen yang diperumum, misalnya pada graf cycle, graf wheel, graf complete atau pada graf lainnya.
DAFTAR PUSTAKA Ngurah AAG, Baskoro ET. 2003. On Magic and Antimagic Labeling Generalized of Petersen Graph. Utilitas Math 63: 97-107. Simanjuntak R, Miller M, Bertault F. 2000. Two New (a,d)-Antimagic Graph Labelings. Proceedings of Eleventh AWOCA. hlm 97-107. Rahman A, Narwen, Baqi AI. 2012. Pelabelan Total (a,d)-Sisi Anti Ajaib pada Graf Petersen P(n,2), Untuk n Ganjil, n β₯ 3. Volume ke-1. Padang(ID): Universitas Andalas Limau Manis.
37
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New York: McGraw-Hill. Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York: Spinger-Verlag. Gallian JA. 2009. A dynamic survey of graph labeling. The Electronic Journal Combinatorics 16:7-65. Wijaya WY. 2011. Graf Petersen dan Beberapa Sifat-Sifat yang Berkaitan (Petersen Graph and Some Related Properties) [Skripsi]. Yogyakarta: Universitas Gajah Mada.
38
5π+5
Lampiran 1 Pola dan gambar super ( 2 , 2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(7,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π1 Contoh graf Petersen P(7,1) seperti pada Gambar 13. Banyaknya simpul ialah 14 dan banyaknya sisi ialah 21, dengan dengan π1 (V[P(7,1)])= {1, 2, β¦, 14} dan π1 (E[P(7,1)]) = {15, 16, β¦, 35} u1 e1
v1
u2 e9 e2 u3
e7
e8
v2
e15 e21
e14 v7
u7
e6 e20 v3 e16 e13 e19 v6 e10 e17 u6 e18 v4 v5 e12 e5 e3 e11
e4 u4 u5 Gambar 13 Graf Petersen P(7,1) Dengan menggunakan definisi formula pelabelan π1 , diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya seperti berikut. π1 (u1) + π1 (e1) + π1 (u2) = 1 + 16 + 5 = 22 π1 (u2) + π1 (e2) + π1 (u3) = 5 + 17 + 2 = 24 π1 (u3) + π1 (e3) + π1 (u4) = 2 + 18 + 5 = 26 π1 (u4) + π1 (e4) + π1 (u5) = 6 + 19 + 3 = 28 π1 (u5) + π1 (e5) + π1 (u6) = 3 + 20 + 1 = 30 π1 (u6) + π1 (e6) + π1 (u7) = 7 + 21 + 1 = 32 π1 (u7) + π1 (e7) + π1 (u1) = 4 + 15 + 1 = 20 π1 (u1) + π1 (e8) + π1 (v1) = 1 + 22 + 11 = 34 π1 (u2) + π1 (e9) + π1 (v2) = 5 + 23 + 8 = 36 π1 (u3) + π1 (e10) + π1 (v3) = 2 + 24 + 12 = 38 π1 (u4) + π1 (e11) + π1 (v4) = 6 + 25 + 9 = 40 π1 (u5) + π1 (e12) + π1 (v5) = 3 + 26 + 13 = 42 π1 (u6) + π1 (e13) + π1 (v6) = 7 + 27 + 10 = 44 π1 (u7) + π1 (e14) + π1 (v7) = 4 + 28 + 14 = 46 π1 (v1) + π1 (e15) + π1 (v2) = 11 + 29 + 8 = 48 π1 (v2) + π1 (e16) + π1 (v3) = 8 + 30 + 12 = 50 π1 (v3) + π1 (e17) + π1 (v4) = 12 + 31 + 9 = 52 π1 (v4) + π1 (e18) + π1 (v5) = 9 + 32 + 13 = 54 π1 (v5) + π1 (e19) + π1 (v6) = 13 + 33 + 10 = 56 π1 (v6) + π1 (e20) + π1 (v7) = 10 + 34 + 14 = 58 π1 (v7) + π1 (e21) + π1 (v1) = 14 + 35 + 11 = 60
39
sehingga untuk graf Petersen P(7,1) diperoleh himpunan bobot sisi yang membentuk barisan aritmatika {20, 22, 24, 26,β¦,56, 58, 60} dengan suku awal a = 5(7)+5 = 20 dan beda (selisih) d = 2 sehingga graf Petersen P(7,1) memiliki super 2 (20,2)-edge antimagic total labeling. Pelabelan graf Petersen P(7,1) dari pelabelan π1 dapat digambarkan sebagai berikut. 1 15
16 22
11
5 23 17 12 24
2
8
29
6
e1 14
21
34
31 9 25
18
35
30
4
28
32
33 10
27
13 26 19
7
20 3
Gambar 14 Super (20,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(7,1)
40
5π+5
Lampiran 2 Pola dan gambar super ( 2 , 2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(7,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π2 Dengan menggunakan definisi formula pelabelan π2 diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya seperti berikut. π2 (u1) + π2 (e1) + π2 (u2) = 1 + 16 + 5 = 22 π2 (u2) + π2 (e2) + π2 (u3) = 5 + 17 + 2 = 24 π2 (u3) + π2 (e3) + π2 (u4) = 2 + 18 + 5 = 26 π2 (u4) + π2 (e4) + π2 (u5) = 6 + 19 + 3 = 28 π2 (u5) + π2 (e5) + π2 (u6) = 3 + 20 + 1 = 30 π2 (u6) + π2 (e6) + π2 (u7) = 7 + 21 + 1 = 32 π2 (u7) + π2 (e7) + π2 (u1) = 4 + 15 + 1 = 20 π2 (u1) + π2 (e8) + π2 (v1) = 1 + 23 + 12 = 36 π2 (u2) + π2 (e9) + π2 (v2) = 5 + 24 + 9 = 38 π2 (u3) + π2 (e10) + π2 (v3) = 2 + 25 + 13 = 40 π2 (u4) + π2 (e11) + π2 (v4) = 6 + 26 + 10 = 42 π2 (u5) + π2 (e12) + π2 (v5) = 3 + 27 + 14 = 44 π2 (u6) + π2 (e13) + π2 (v6) = 7 + 28 + 11 = 46 π2 (u7) + π2 (e14) + π2 (v7) = 4 + 22 + 8 = 34 π2 (v1) + π2 (e15) + π2 (v2) = 12 + 31 + 9 = 52 π2 (v2) + π2 (e16) + π2 (v3) = 9 + 32 + 13 = 54 π2 (v3) + π2 (e17) + π2 (v4) = 13 + 33 + 10 = 56 π2 (v4) + π2 (e18) + π2 (v5) = 10 + 34 + 14 = 58 π2 (v5) + π2 (e19) + π2 (v6) = 14 + 35 + 11 = 60 π2 (v6) + π2 (e20) + π2 (v7) = 11 + 29 + 8 = 48 π2 (v7) + π2 (e21) + π2 (v1) = 8 + 30 + 12 = 50 sehingga untuk graf Petersen P(7,1) diperoleh himpunan bobot sisi yang membentuk barisan aritmatika {20, 22, 24, 26,β¦,56, 58, 60} dengan suku awal a = 5(7)+5 = 20 dan beda (selisih) d = 2 sehingga graf Petersen P(7,1) memiliki super 2 (20,2)-edge antimagic total labeling. Pelabelan graf Petersen P(7,1) dari pelabelan π2 dapat digambarkan sebagai berikut. 1 15
16 23 12
5 17
24 13 25
2
9
31
6
e81
21
29
33 10 26
18
30
32
4
22
34
35 11
28
14 27 19
7 20
3
Gambar 15 Super (20,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(7,1)
41
Lampiran 3 Pola dan gambar super (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(3,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π1 Dengan menggunakan definisi pelabelan π1 , diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya : π1 (u1) + π1 (e1) + π1 (u2) + = 3 + 11 + 2 = 16 π1 (u2) + π1 (e2) + π1 (u3) + = 2 + 12 + 1 = 15 π1 (u3) + π1 (e3) + π1 (u1) + = 1 + 10 + 3 = 14 π1 (u1) + π1 (e4) + π1 (v1) + = 3 + 13 + 4 = 20 π1 (u2) + π1 (e5) + π1 (v2) + = 2 + 14 + 5 = 21 π1 (u3) + π1 (e6) + π1 (v3) + = 1 + 15 + 6 = 22 π1 (v1) + π1 (e7) + π1 (v2) + = 4 + 9 + 5 = 18 π1 (v2) + π1 (e8) + π1 (v3) + = 5 + 8 + 6 = 19 π1 (v3) + π1 (e9) + π1 (v1) + = 6 + 7 + 4 = 17 sehingga untuk graf Petersen P(3,1) diperoleh himpunan bobot sisi yang membentuk barisan aritmatika {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22} sehingga graf Petersen P(3,1) memiliki sebuah super (14,1)-edge antimagic total labeling dengan suku pertama a = 4(3) + 2 = 14 dan beda (selisih) d = 1. Pelabelan graf Petersen P(3, 1) dari pelabelan π1 dapat digambarkan sebagai berikut. .
3 13 4 11
14
5
7
9 8
10
6
15
1 12 Gambar 16 Super (14,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(3,1) 2
42
Lampiran 4 Pola dan gambar super (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(4,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π1 Contoh graf Petersen P(4,1) seperti pada Gambar 17. Banyaknya simpul ialah 8 dan banyaknya sisi ialah 12, dengan dengan f1(V[P(4,1)])= {1, 2, β¦, 8} dan f1(E[P(4,1)]) = {9, 10, β¦, 20} e4
u1
u4
v4 e8
e5 v1 e12 e1
e3
e11
e9 e10 v2
v3 e7
e6
u3 e2 Gambar 17 Graf Petersen P(4,1) u2
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan π1 , diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya seperti berikut. π1 (u1) + π1 (e1) + π1 (u2) = 4 + 14 + 3 = 21 π1 (u2) + π1 (e2) + π1 (u3) = 3 + 15 + 2 = 20 π1 (u3) + π1 (e3) + π1 (u4) = 2 + 16 + 1 = 19 π1 (u4) + π1 (e4) + π1 (u1) = 1 + 13 + 4 = 18 π1 (u1) + π1 (e5) + π1 (v1) = 4 + 17 + 5 π1 (u2) + π1 (e6) + π1 (v2) = 3 + 18 + 6 π1 (u3) + π1 (e7) + π1 (v3) = 2 + 19 + 7 π1 (u4) + π1 (e8) + π1 (v4) = 1 + 20 + 8
= = = =
26 27 28 29
π1 (v1) + π1 (e9) + π1 (v2) = 5 + 12 + 6 = 23 π1 (v2) + π1 (e10) + π1 (v3) = 6 + 11 + 7 = 24 π1 (v3) + π1 (e11) + π1 (v4) = 7 + 10 + 8 = 25 π1 (v4) + π1 (e12) + π1 (v1) = 8 + 9 + 5 = 22 sehingga untuk graf Petersen P(4,1) diperoleh himpunan bobot sisi yang membentuk barisan aritmatika {18, 19, 20, 21,β¦,27, 28, 29} } sehingga graf Petersen (4,1) memiliki sebuah super (18,1)-edge antimagic total labeling dengan suku awal a = 4(4) + 2 = 18 dan beda (selisih) d = 1. Pelabelan graf Petersen P(4,1) dari pelabelan π1 dapat digambarkan sebagai berikut.
43
13
4
17 5
1
8 20 9
14
12
16
10 11
6 18
7 19
2 15 Gambar 18 Super (18,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(4,1) 3
44
Lampiran 5 Pola dan gambar super (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1) dengan menggunakan definisi pelabelan π1 Dengan menggunakan definisi pelabelan π1 , diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya seperti berikut. π1 (u1) + π1 (e1) + π1 (u2) = 5 + 17 + 4 = 26 π1 (u2) + π1 (e2) + π1 (u3) = 4 + 18 + 3 = 25 π1 (u3) + π1 (e3) + π1 (u4) = 3 + 19 + 2 = 24 π1 (u4) + π1 (e4) + π1 (u5) = 2 + 20 + 1 = 23 π1 (u5) + π1 (e5) + π1 (u1) = 1 + 16 + 5 = 22 π1 (u1) + π1 (e6) + π1 (v1) = π1 (u2) + π1 (e7) + π1 (v2) = π1 (u3) + π1 (e8) + π1 (v3) = π1 (u4) + π1 (e9) + π1 (v4) = π1 (u5) + π1 (e10) + π1 (v5) =
5 4 3 2 1
+ 21 + 6 = 32 + 22 + 7 = 33 + 23 + 8 = 34 + 24 + 9 = 35 + 25 + 10 = 36
π1 (v1) + π1 (e11) + π1 (v2) = 6 + 15 + 7 = 28 π1 (v2) + π1 (e12) + π1 (v3) = 7 + 14 + 8 = 29 π1 (v3) + π1 (e13) + π1 (v4) = 8 + 13 + 9 = 30 π1 (v4) + π1 (e14) + π1 (v5) = 9 + 12 + 10 = 31 π1 (v5) + π1 (e15) + π1 (v1) = 10 + 11 + 6 = 27 sehingga untuk graf Petersen P(5,1) diperoleh himpunan bobot sisi yang membentuk barisan aritmatika {22, 23, 24, 25,β¦,34, 35, 36} sehingga graf Petersen (5,1) memiliki sebuah super (22,1)-edge antimagic total labeling dengan suku awal a = 4 (5) + 2 = 22 dan beda (selisih) d = 1. Pelabelan graf Petersen P(5,1) dari pelabelan π1 di atas dapat digambarkan sebagai berikut. 5 21
17 4
16 6
15
7
25
11
22 14 18
8 23
12
1
10 20
13 9
24
19 3 2 Gambar 19 Super (22,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1)
45
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 19 Febuari 1992 dari pasangan Almarhum Bapak Sukiman dan Ibu Sriyani. Penulis merupakan putra tunggal dalam keluarga. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 24 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Penelusuran Minat dan Kemampuan (PMDK) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis terdaftar sebagai mahasiswa penerima beasiswa Bidik Misi tahun 2010-2014. Penulis juga aktif sebagai pengajar privat matematika di sekitar wilayah Jakarta pada tahun 2012-2014.
