PELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-sisi ANTIMAGIC PADA GRAF TANGGA PERMATA SKRIPSI. Oleh Laelatus Sya diyah NIM

igliiblib.u g i d i /://d

igliiblib.u g i d i :// /d hthtp ttp:/



d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i ig il /:d //dig

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt



ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i ig ili /:d //dig

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp



c.id

ilib

/dig

j.a .une



d ac.i . j e .un b i l i //dig

c.id

.id

j.ac e n .u

j.a .une

gilib gilib i i d d / / / / : : : http http http PELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-SISI ANTIMAGIC PADA GRAF TANGGA PERMATA


c.idid SKRIPSI uneje.aj.ac. liibli.b.un i g i ://d/dig hthtp ttp:/


Oleh Laelatus Sya’diyah NIM 070210101096




PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA id id


ca.c.id ca.c.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e FAKULTAS ej. nej.KEGURUAN DANiliILMU nPENDIDIKAN nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i l l i i idgigili idgiJEMBER idgigili UNIVERSITAS gili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t p hthttp hthtt2011 hthttp





ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i ig ili /d //dig

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i ig ili ://d //dig
















d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt (a, d)-SISI ANTIMAGIC hhtt PADA PELABELAN TOTAL SUPER GRAF TANGGA PERMATA d i . d cac.i ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp


.cid.id SKRIPSI c ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j a . . . e e e j j n u.n nej .bu.n une une u b i liibli.bu.melengkapi liibli.bmemenuhi l i i i diajukanigguna tugas akhirigdan salah satu syarat i idgigil ig ig //:d //:d //:d d d : : : / / / / / / p p p t t t t t t Studi Pendidikan Matematika tp menyelesaikan Program hhttp hhttp(S1) hhtuntuk dan mencapai gelar Sarjana Pendidikan




d d aj.ca.ci .idNIM 070210101096 ej.aj.ca.ci .id . j e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t tp hthtOleh

Laelatus Sya’diyah

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt




d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i ig i l /:d //dig








i




d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t PERSEMBAHAN t t hhtt hhtt


igliiblib.u g i d i :// /d hthtp ttp:/ d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt

d.id yang Maha Pengasih lagi d.id Penyayang, serta Segala puji bagi Allah, ca.cid.id ca.ciTuhan ca.ciMaha ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e n sholawat dan salam ciptaan-Mu yang paling mulia, nej. nej. terlimpah kepada makhluk nej. nej. .bu.n .bu.semoga .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ig ili idgigili S.A.W. Kupersembahkan idgigilkebahagiaan idgdalam igili /:d /:d /:d /:d / / / Nabi Muhammad secuil penggalan syair : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp



setiap detik perjalanan hidupku teriring rasa terima kasih kepada:

c.idid

c.idid

c.idid

a c. a.ac. dan Ibunda tercinta ej.aj.ac. 1. Orang tuaku tercinta nej. j.adan terkasih : Ayahanda Esbu nej. j(Alm.) n .uune

.uune

.uune

liblib. liiblib. igliiblib. Fatimah, yang senantiasa Sittiyani, Abdur Razak dan digigiAyahanda digIbunda digigme-

:// /di ://://di :////di p hthtngalirkan hthtp hthtp rasa kasih sayang, cinta do’a yang tiada henti, dalam ttp:/ ttpdan ttp:penulisan skripsi ini;

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e 2. Saudara-saudaraku Elen, nej.: Dek Rofiq, Dek Amel,ilibDek nej. Dek Bilqis, Dek Dini,iliDek nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b i l i ili Fawaid, Kak Ridwan,/Mas ili Mbk Titik, Mbk Titin//ddan ili idgigNur idgigAndi, idgigMbk Ufi,//d Kak /:d : : : / / / / / / p p p : : t t t hthIda, hthttpteguran, dan semangat-semangatnya, hthttp ttp terima kasih atas canda tawa, serta untuk segala doa-doanya.;


d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e 3. Bapak Drs. .Dafik, Antonius C.P, M.App.Sc selaku u.n neM.Sc, Ph.D dan BapakilDrs. ne ne .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l i i b i i i idgigil skripsi yang dengan sabar idgtelah idgigil igil memberikan ilmu dan pembimbing /:d :p//:d :p//:d :p/bimbingan / / / / / / p p p t t t t t t h t hhtt hhselama tt menyelesaikan skripsiku;ht


d.id telah memberikan ilmu cdan 4. Para guru dan dosen, .id.idmembimbing dengan c.iyang



ca.cid.id a a a c c . . . j j j a a e e e penuh kesabaran; nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t tp hthBimbimku hthtSusanto, hthttp duku5. tersayang, Moh. Agus A.Md yang telah memberikan ttp ngan positif bagiku dalam setiap hal yang akan dan telah aku lakukan dan se-

idskripsi ini; mangat dalam penulisan .ac.c.id

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j j a . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i l Alfin, Cuy Diana, Ratna idgigil idgigiCuy idgiWon6. Sahabat-sahabat terkonyolku : Wewek Ira, gil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhderland, hhMbah tt tt Puguh, Ndul Nila, Mbok DhehAnggi, htt Pak Dhe Fajar, Berrt Irfan, Mbah Misbah, Biksu Hasan, Beny SEP, dan Om Agunk, terima kasih atas ke-

id

id

:p//:d /dig / t hthtp t

:p//:d /dig / t hthtp t










. c. i d bersamaan, perjuangan, j.a.cac.idsemangat dan keberej.a.ac.canda tawa, ide-ide gila,ebantuan,

un ej

un ej

.un hari adalah kenanganigyang .un samaan iliibli.bsetiap iliibli.btermanis; igkita ii




d d d iii aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil d //:d :p//:d :pYuni, :p//:Laras / / / / / / 7. ttTeman seperjuanganku : Alfin, Ira, Fitriana E.C., Kunti, Devi, dan p p p t t t t hhtt hhtt hhtt









pecinta graf lainnya yang telah membagi ilmu dan pengalaman berharga;

id

id

ca.cid.id a . j e n n nejmeluangkan waktu selama nej lebih empat tahun bersama nej. .bu.telah .bukurang .bu.n u u u b b b . i i i l l l (Mocin) yang i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthbaik hthttp perkuliahan, khayalan-khayalan hthttpkita kadang ttp dalam suka dan duka masa-masa

c.c.id Negara Bakti : Alpin (Flat), c. .id(Bulbul), dan Kiekie 8. Sobat-sobat tergilaku ej.a.aWarga ej.a.acIra juga menjadi inspirasi buatku;

.idid

.idid

.idid

c . ac c. c. j.aj.ca(Pentol), 9. Kakak-kakak terbaikku Mb Ony (On- nej.a j.ac nej. j.a FKIP Matematika : MbneRiris

.uune

.uune

.uune

. Mb Riza, Mas Birul idan iiblib. (Mami), Mb Dini Kerisa, liiblibYeni, libib. del), dMb igiglYiyin digigMb d gigilse-

:// /di :// /di ://://di p thtp hthtmuanya, hthtp ttp:/ terima kasih untuk semangat, ttp:/ dukungan, bimbingan,hdan ttpnasehatnya selama ini;

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j . e e e 10. Warga Matematika dan Non Reguler u’07 ej. berjuang dalam 4 tahun nejReguler nyang nej. .bu.n .b.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili kebersamaan; /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp 11. Teman-teman PPL di SMADA Bondowoso : Aprilia, Listiana, Ayu, Riska, Selvi,

Mb Diah, Ummi, Farid .iddan .iddkebersamaan, kekomd Jadnika, terima kasih untuk

d aj.cac.i aj.cac.i aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n n pakan, canda.utawa, berharga; ne nasehat dan telah membagi ne ne .bu.pengalaman .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t 12. Murid-muridku tersayang : X.3 (Nightmare), X.6 (Arsenolite.com), XI.IPA 1 hhtt hhtt hhtt (Ksatria Muda) dan XI.IPA 5 (Hotel Palm), terimakasih untuk setiap tingkah

id.id konyol kalian, setiapckejutan, kebersamaan .id.id perhatian, canda tawa,c.hangatnya

ca.cid.id a a a c c . . . j j j a a e e e j. satu inspirasi dan buat dan kenangan termanis. nej. Terima kasih udailmenjadi nesalah nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l i i li idgigitersenyum; idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / Miss Ella : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp 13. Teman-temanku di kosan ”Ibu Mamik” dan kosan ”Pak Rais” yang membuatku

id.id mengerti akan asam kosan kita; c.cid.id persahabatan, jagalah selalu .amanis .ac.ckekompakan

ca.cid.id a . j j j a a . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i il idgigil Fakultas Keguruan dan:/Ilmu idgigPendidikan idgigil 14. Almamater Universitas Jember. /:d //:d :p//:d : / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhttp hhttp



















d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t MOTO t hhtt


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e ej. "Pahlawan bukanlah pedangnya nej. nej. orang yang berani nmenetakkan nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ig ili idgigillawan, idgigilisebenarnya ialah://orang idgigili d /:d /:d /:d / / ke tpundak tetapi pahlawan : : / / / //dig / / / p p p : t t hthttp hthttp hthttp yang sanggup menguasai dirinya dikala ia marah.


(Nabi d.id Muhammad SAW)" c.id.id i . c je.aj.ac je.aj.ac e e n n u u n n . . giigliiblib.u giigliiblib.u i i d d / / / / : /d : /d hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ "We-are-never-too-old-to-learn"


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e n ej. nyang nej. semakin murni nej. .bu.n .bu.panas, .bu.n u u u b b b i i i l l l "Seperti emas ditempa dengan i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t di balik kesakitan, tp hthttpdan indah. Yakinlah hthtbahwa hthttp


ada hikmah yang tiada tara."

























iv






igliiblib.u g i d i :// /d hthtp ttp:/ d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t PERNYATAAN t hhtt


Saya yang bertandactangan .id.id di bawah ini:

ca.cid.id ca.cid.id a a a c . . . j j j a e e e n nama nej. Sya’diyah nej. nej. .b:u.Laelatus .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili : 070210101096 idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / NIM : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang berjudul: ”PELABE-

d.idLAN TOTAL SUPER (a,cd)-SISI d.id ANTIMAGIC PADA cGRAF d.id TANGGA PERi i i id . . . c aj.ac MATA” adalah benar-benar aj.ac hasil karya sendiri, kecuali aj.ajika c dalam pengutipan ej.aj.ca.c.id . . . j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i l g il substansi/d disebutkan sumbernya, dan belum pada instansi manapun, ig il idgigidiajukan idgigil /:d :p/://idig :p//:d :p//:d / / //dig / / p p p t t t t t t hhbukan hhtt hhtt dan kebett serta karya jiplakan. Saya bertanggung jawab atas keabsahan naran isinya sesuai dengan sikap ilmiah yang harus dijunjung tinggi.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya, tanpa adanya neej. e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i iibli.bu.un l l l lakai i i i i i i l l l g g g g i i i tekanan dan paksaan dari pihak manapun serta bersedia mendapat sanksi i i i i /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p p t t t t t t t t t h h h demik ht jika ternyata di kemudian hari ht pernyataan ini tidak benar.ht



d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e e n28 ne .bu.n .bu.n u u b b i i Jember, Juni 2011 l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t Yang menyatakan, t t hhtt hhtt



ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p Laelatus Sya’diyah t t hthttp hthttp

















NIM. 070210101096

v














d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t PERSETUJUAN t hhtt


PELABELAN TOTAL c.id.id SUPER (a, d)-SISI ANTIMAGIC c.id.id PADA

je.aj.ac je.aj.ac e e n n u u GRAF TANGGA PERMATA igliibli.b.un igliibli.b.un g g i i d d i i :// /d :// /d thtp hthtp hSKRIPSI ttp:/ ttp:/


d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e diajukan guna memenuhi syarat untuk menyelesaikan ne ne pendidikan Program ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i gigil idgigilSatu Jurusan Pendidikan id idgigil d Sarjana Matematika dan Ilmu Pengetahuan :p//:Strata :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhAlam hhtt tt dengan Program StudihPendidikan htt Matematika pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp Nama Mahasiswa NIM

.cid.id Jurusan ej.a.c a ej nStudi .bu.n u b i l Program i i idgigil :p//:d / / p t t Angkatan Tahun hhtt Daerah Asal

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp: Laelatus Sya’diyah : 070210101096

Pembimbing I,

id

ca.cid.id a . j . e j neMatematika nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l : Pendidikan i i i i idgigil idgigil :p/:/:d :p//:d / / / / p p t t t t 2007 hhtt hhtt : PendidikanejMIPA .a.ca.c.id

: Situbondo

Tempat, Tanggal c.id.idLahir

je.aj.ac e n u igliibli.b.un g i d i :// /d hthtp ttp:/


: Situbondo, 28 Juni c.id.id1990

je.aj.ac e n u igliibli.b.un g i d i :// /doleh: Disetujui hthtp ttp:/



Pembimbing II, .cid.id c ca.cid.id a a . . j j a . . e e nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt

Drs. Dafik, M.Sc, Ph.D d.id NIP. 19680802 199303c1.i004

Drs. Antonius C.P., M.App.Sc NIP. 19690928 c.id.id 199302 1 001












vi




d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t PENGESAHAN t t hhtt hhtt



PADA id.idSkripsi berjudul ”PELABELAN id.id TOTAL SUPER (a, d)-SISI id.ANTIMAGIC . . . d i c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a GRAF TANGGA PERMATA” telah diuji dan disahkan oleh Fakultas Keguruan neej. e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l liibli.bu.un i i i i i i i l l l g g g g i i i i i i i dan Ilmu Pendidikan pada: /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p p t t t t t t t t t h h h hari ht : Kamis ht ht tanggal : 14 Juli 2011

d d d d aj.ca.ci .idtempat : Fakultas Keguruan aj.ca.ci .iddan Ilmu PendidikaneUniversitas aj.ca.ci .id Jember aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil Tim :Penguji /:d //:d //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhttp hhttp


Ketua,

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp Dr. Susanto, M.Pd

Sekretaris,



Drs. Antonius C.P., M.App.Sc

NIP. 19630616 198802 d 1 001

NIP. 19690928 d 199302 1 001


aj.ca.ci .id . j e ne I, .bu.n u b i Anggota l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e Drs. Dafik, M.Sc, Drs. ej. M.Comp.Sc., Ph.D nej. Ph.D. nSlamin, nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i gigili idg19680802 idgigili NIP. 19670420 199201 NIP. 199303 1 004 1/id 001 igili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp


d Mengesahkan d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e Dekan Ilmu neFakultas Keguruan Dan nePendidikan ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i gigil idgigil idJember, idgigil Universitas :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt


ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e ej. nDrs. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i H. Imam Muchtar, S.H., M.Hum idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t NIP. 19540712 hthttp hthttp 198003 1 005










d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne Anggota II, ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt

vii





igliiblib.u g i d i :// /d hthtp ttp:/ d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t RINGKASAN t hhtt


ca.cid.idPelabelan total superj.(a,d)-sisi ca.cid.id antimagic pada grafj.tangga ca.cid.id permata; Laelatus j.aca.cid.id a a a . j e e e e Sya’diyah, 070210101096; nej. nej. 2011: 103 halaman;ilibProgram nej.Studi Pendidikan Matenej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i gigili gigili ig ili idgigiliPendidikan Matematika iddan idFakul/:d /:d /:d /:d / / / matika, Jurusan Ilmu Pengetahuan Alam, : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp tas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Jember.

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n Matematika alat bantu kehidupan ne ne ne dan pelayan bagi ilmune .bu.n .bu.merupakan .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgigil seperti fisika, kimia, biologi, idgigilastronomi, teknik, ekonomi, idgigfar/:d ilmu yang lain, :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhtt masihmaupun matematika sendiri.h Matematika terdiri dari beberapa cabang

ilmu, salah satunya terkait dengan sain komputer yang cukup terkenal yaitu d.id id.id . c ca.cid.idtipe pelabelan graf adalah ca.cipelabelan ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j Teori Graf. Salah satu jenis total super a e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i (a, d)-sisi/d antimagic ig ili idgigili atau super edge :antimagic idgigili total labeling (SEATL). idgiPada gili /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttpditemukan pelabelan total hthsuper grafhthkonektif (tunggal) telah banyak ttp ttp (a, d)sisi antimagic sedangkan pada graf diskonektif (gabungan saling lepas suatu

d d.id yang diketahui mempunyai d d aj.ca.ci .idgraf), hanya sedikit famili aj.ca.cigraf aj.ca.ci .idpelabelan total su- ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne Permasalahannyailiadalah nehal ini melibatkan angka ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n per (a, d)-sisiilantimagic. u u u u b b b b i i i l l i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p pelabelan lebih banyak pada setiap kompenen graf konektif terpisahnya dan t t t t t t hhtt hhtt hhtt tidak ada jaminan jika graf G mempunyai pelabelan total super (a, d)-sisi an-

graf diskonektifnya mempunyai pelabelan .cid.id ca.cid.idtimagic kemudian pada cagabungan ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e total super(a, d)-sisi Dalam penelitian ej. ej.akan diinvestigasi pelanej. nantimagic. nini nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili (a, d)-sisi antimagic pada idggraf idgkonekbelan total super igilitangga permata baikpyang igili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p t t t hthttp diskonektif. hthttp hthttp tif maupun

Graf tangga permata salah satu family dari .cid.id .cid.adalah .cid.idgraf tangga. Graf .ac.cid.id d i c c c a a a . . . jej.a tangga permata adalah jej.sebuah jej.adengan Dl sedangkan nejej.a a e e e n n n graf yang dinotasikan n u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ilib l ilib liibli.bu.un i i i i g g g g i i i i gabungan m /:d dig tangga permata dinotasikan :p//:d :p//:d :p//:d //dig //graf //digdengan mDln dengan />/d2igdan thtp thtp thtp t t t h h h t t t n > 2. Dalam hal ini, m merupakan banyaknya graf tangga permata yang digabung yaitu minimal 2 graf tangga permata sedangkan n merupakan ke-

d.id id ca.cid.idtentuan dari definisi jgraf ca.citangga ca.cidpenelitian ca.cid.id . a a a a . . . . permata. Tujuan dari ini adalah j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i untuk mengetahui ig ili idgigili apakah graf tangga:/permata idgigili memiliki pelabelan total idgsuper igili /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t (a, d)-sisi hthttp antimagic. hthttp hthttp









viii




d d d ix aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deduktif aksiomatik, p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt



yaitu dengan menurunkan teorema yang telah ada, kemudian diterapkan dalam

d)-sisi n dan ca.cid.idpelabelan total super (a, ca.cid.id antimagic pada graf Dl ca.cid.idmDln . Hasil peneli- j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e j. teorema baru mengenai tian ini berupa lemma total super (a, d)ej. nej. nedan npelabelan nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i li ig ili idgigipada idgiDl idgigildigilni dan mDln . Teorema://yang d sisi antimagic graf tangga permata /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttpadalah sebagai berikut: hthttp hthttp hasilkan






.cid.idgraf tangga permata c.cid.id titik (3, 1)-sisi antimagic 1. Lemma 4.5.1 Adaj.a pelabelan j.acpada

ca.cid.id a . j a a . . . e e e n nej nej nej .bu2. .bu.n .bu.n u u u Dln jika inlib≥ b b . i i l l i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhTeorema hhttsuper (12n, 0)-sisi antimagichpada tt 2. 4.5.1 Ada pelabelan total htt graf tangga permata Dln jika n ≥ 2.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j . e e 3. Teorema 4.5.2 +e antimagic pada graf ej. pelabelan total super (4n nAda n4,ej2)-sisi nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgpermata idgigili idgigili tangga igili Dln jika n ≥ 2. p://:d /:d /:d / / : : / / / / / / p p t t t hthttp hthttp hthttp 4. Teorema 4.5.3 Suatu graf Dln mempunyai pelabelan total super (8n + 2, 1)-sisi antimagic untuk n ≥c2. .idid

d d aj.ac. aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne pelabelan titik ( 3m+3 ,i1)-sisi ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l 5. Lemma 4.6.1 Ada antimagic pada gabungan graf i i i i i 2 iggil idgigil idgigil i //:d //:d //:d d : : : / / / / / / p p p t t t t t t hhttp m ≥ 3 dan n ≥ 2. hhttp hhtangga ttp permata mDln jika m ganjil, 6. Teorema 4.6.1 Ada pelabelan total super ( (8n−1)3m+3 , 0)-sisi antimagic pada 2

c.idid

c.idid

ca.cid.id a . j e nej. .bu.une .bu.une .bu.n u b b b i i i l l l i i i li ili ili idgigi4.6.2 idgi(g(8n+3)m+5 idgiggabud /:d /:d /:pada / / / , 2)-sisi antimagic 7. tTeorema Ada pelabelan total super : : : / / / / / / p p p 2 t t hthttp hthttp hthttp

. a c. gabungan grafntangga mDln jika m ganjil, ej.aj.acpermata nej.mj.a≥ 3 dan n ≥ 2. ngan graf tangga permata mDln jika m ganjil, m ≥ 3 dan n ≥ 2.

dd .cid.id total super (8nm+2,1)-sisi 8. Teorema 4.6.3 Adaac pelabelan pada gabuac.ci .iantimagic

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t h terhadap tt Hasil penelitian diharapkan dapat memberikan konstribusi h ber-

je. j.a je. j.a e e n n u u n n . . ngan graf tangga permata mDl jika m ≥ 2 dan n liiblib.u liiblib.u ≥ 2. i i g g i i ://d/dig ://d/dig hthtp hthtp ttp:/ ttp:/

kembangnya pengetahuan baru dalam bidang teori graf, khususnya dalam ru-

.cid.id id bisa digunakan sebagai ca.cid.idang lingkup pelabelanj.graf ca.ciddan caacuan ca.cid.id . a a a a . . . j j j oleh peneliti lain e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i untuk meneliti total super (a, d)-sisi pada graf-grafdkhusus li ig ili idgigipelabelan idgigilantimagic /:d /:d /:d /://idgigili / / / : : : / / //dig / / p p p t t t yang hthlain. hthttp hthttp ttp















d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t PRAKATA t hhtt


Segala puji syukur ke Allah SWT. atas segala dan karuniaid id ca.cid.id ca.cidhadirat ca.cid.berkah ca.cid.id . a a a a . . . . j j j j e e e e j. j. berjudul ”Pelabelan Nya sehingga ipenulis menyelesaikan iskripsi nej. nedapat neyang nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i l l l l i i i i ig ili idg(a,d)-Sisi idgiTangga idgbaik. gili igili igili /:d /:d /:d /:d / / / Total tSuper Antimagic pada Graf Permata ” ini dengan : : : / / / //dig / / / p p p t t hthttp hthttp hthttp Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan penghar-

d d d d aj.ca.ci .idgaan yang sebesar-besarnya aj.ca.ci .idatas bantuan dan bimbingan aj.ca.ci .iddalam penyusunan ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e e skripsi ini, terutama yang terhormat:ib.u.n ne nkepada ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l l i i i i b i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t t h tt hhtIlmu h tt 1. hDekan Fakultas Keguruan dan Pendidikan UniversitashJember;




d did Ilmu Pendidikan 2. Ketua Jurusan Pendidikan ac.i .id MIPA Fakultas Keguruan ac.i .dan je. j.ac e n u n . Universitas Jember; u b idgiigliilib. d / / : / p hthtKetua ttp:/ Program Studi 3.

ca.cid.id a c . . j j a e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t thttp hthttp Matematika Fakultas hKeguruan Pendidikan dan

Ilmu Pendidikan Universitas Jember;

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j . . . e e e 4. Dosen Pembimbing nej I dan Dosen Pembimbing neIIj yang telah meluangkan nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgipikiran, idgipenulisan idgigil waktu, dan perhatian dalam skripsi ini; gil gil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 5. Dosen dan Karyawan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universi-

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e u.n u.n u.n nej. nej. nej. . . . u u u b b b i i i l l l i i i b b b 6. Semua skripsi ini. ig ili gigili idgipihak idterselesaikannya gili yang telah membantu /:d /:d / / : : :p//:d / / /dig / / / p p t t t hthttp hthttp hthtp t tas Jember;

Semoga bantuan, bimbingan, dan dorongan beliau dicatat sebagai amal

d did d id.id balasan yang sesuai Selain itu, aj.ca.ci .idbaik oleh Allah SWTejdan aj.ca.cmendapat aj.ca.ci .dari-Nya. aj.ca.ci .id . . . . j j j e e e u.n penulis juga menerima ne ne segala kritik dan saran nesemua pihak demi kesemne .bu.n .bu.n .bdari .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgigil ini. Akhirnya penulis:/berharap, idgigil semoga skripsi ini :dapat idgigberd /:d /:d //:d purnaan :p//:skripsi / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt h ttp hhttp manfaat, amin yaa robbal alamin. h

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j Jember, Juli 2011 neej. e nej. .bu.n u b i l liibli.bu.un i i i l g g Penulis i i i /:d :p//:d /dig //dig / t hthtp t











x







d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt DAFTAR ISI


ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i ig ili idgigili /:d /:d / : / //dig / p HALAMAN JUDUL t hthttp


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p i t hthttp

d.idHALAMAN PERSEMBAHAN d d i . c aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne HALAMAN MOTO .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t hhtt hhtt HALAMAN PERNYATAAN

ii

d aj.ca.ci .id . j e ne iv .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt v

id.idHALAMAN PERSETUJUAN . c ca.cid.id a a c . . j j a e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l HALAMAN PENGESAHAN i i ig ili idgigili /:d /:d / : / //dig / p t hthttp RINGKASAN


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l vii i idgigili /:d / : / / p t hthttp

d d aj.ca.ci .idPRAKATA aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i DAFTAR ISI ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt DAFTAR GAMBAR


d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i xiii idgigil :p//:d / / p t t hhtt

ca.cid.idDAFTAR TABEL j.aca.cid.id a . j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i ig ili idgigili DAFTAR//LAMPIRAN d /:d : / //dig / p : t hthttp


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i ili idgigxviii /:d / : / / p t hthttp

DAFTAR LAMBANG

vi

viii

x

xvi

xvii

xix

d aj.ca.ci .id1 . j e ne .bu.n u b i l i i ig il /:d //dig

id ca.cid.id ca.cid.id 1 a a . . j j . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i g il il idgigBelakang 1.1 /Latar Masalah . . .//.di.dgi.g.il . . . . . . . . . . . . . /. /d :p/:d :p:// :p:/./id. ig. 1 / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4


1.3

. d PENDAHULUANj.a.c ac.i

d d Batasan Masalah ac.i ..id. . . . . . . . . . . . . . a. c. ..i .i.d. . . . . . . . .

je. j.ac e n u n . u b b. 1.4 Tujuan . idgiigliiliPenelitian d / / : / / p : t hthttp

. .

je. j.ac e n u n . u b . . . . . i.g.ili.ili.b.. . . . . . :p//:d /dig / t hthtp t

. . .

ca.cid.id a . j e u.n nej. . u b i l i b . . . . . i.g . ili 5 :p//:d /dig / t hthtp t 4









xi





d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil /:d :p/Manfaat / / 1.5 Penelitian . p t t hhtt

d d xii aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i digigil digigil . .ttp . t:p .//:.//.d . . . . . . . . . . . . . t.tp.t:p/. /:/./d. . 5 hht hht


2



.

6

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e 2.1 AplikasiuGraf .e.e.j. . . . . . . . . . . . . 6uneej. nej.. . . . . . . . . . . .ili.b..bu.. n n .b.n u u b i l i igliibli.b.un i i l l g g g i i i i i g g d d d i i i / /d 2.2 :/Terminologi Dasar Graf .ttp . :.//. /.d . . . . . . . . . . . . . t.tp. :/. /:/./d. . 14 hthtp hhttp:/ hhttp ttp:/ 2.3

Jenis-jenis Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4

c i c i Graf Khusus ej..aj..ac. .. . . . . . . . . . . . . .e.j.a.j.a. c. . . . . . . . . . . . 25

2.6

.idd

.

ne .bu.n u b i l i i . . . :.//.d/i.dgi.g.il . . . . . hthtp ttp:/

.idd

. . . . .

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i . . . :/. /d ./id.gig . il29 / p : t t hhttp

Pelabelan Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6.1

.id c.cid.id dan Barisan Aritmatika Fungsij.a Bijektif j.ac. c. .i.d. . . . . . . . . 30

2.6.3

Definisi Pelabelan Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

ca.cid.id a . j a a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i 2.6.2 Lemma, Teorema, Konjektur dan Open ili idgigilAksioma, idgigCorollary, idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp Problem . . . . .h.tht. tp . . . . . . . . . . . . . . . h . th . t.tp. . . . 32



DAFTAR ISI

TINJAUAN PUSTAKA

ne .bu.n u b i l i i il idgigtangga 2.5 :/Graf permata /:d / / p t t hhttp



d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n 2.6.4 bPelabelan . . . . . . . . . . b34 ne Total Super (a, d)-sisi ne ne .bu.n .buantimagic .bu.n u u u b . i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p/2.6.5 :p :p//:d / / / / / / p p p t t t Pelabelan Total Super (a,d)-sisi antimagic pada graf tangga t t t hhtt hhtt hhtt permata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.7

id

id

uneej.

uneej.

. n iibli.b.un Graf . . . . . . . . i.g.ili.ib li.b.u. . . . . . . . igilDiskonektif

3

:p//:d /dig / thtp t hMETODE t PENELITIAN 3.1

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u . . . . . i.gi.liib 38 ig li /:d / d : / / p t hthttp

. .c.id Hasil-Hasil Pelabelan pada j.acac.id Total Super (a, d)-Sisi j.acaAntimagic :p//:d /dig / t hthtp t

41

Metode Penelitian .idd. . . . . . . . . . . . . . . . ..id.d. . . . . . . . . 41

je.aj.cac.i je.aj.cac.i e e n n 3.2 Definisi . . . . . . . .ili.bi..bu.u.n. . . . . .un liibli.buOperasional i g i idgigil dig :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt 3.2.1 Pelabelan Total Super hhtt (a, d)-Sisi Antimagic 3.2.2

. . . .

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u . . . . . . i.lib41 i idgigil :p//:d / / p t t h. h. t.t . . . . 42

Graf Tanggad Permata (Dln ) . . . . . . . .d. . . . . . . . . . 42


ca.ci .id ca.ci .id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e j. 3.2.3 ibGabungan (mDln ) . . . ib42 nej. Saling Lepas GrafilibTangga nePermata nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u l l i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttpTeknik Penelitian . . . .h.tht. tp. . . . . . . . . . . . . . . h. th. t.tp. . . . 43 h3.3











d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i ig il /:d //dig 4

d d aj.ca.ci .id DAFTAR ISI aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / HASIL DAN PEMBAHASAN p p t t t t hhtt hhtt


igliiblib.u g i d i :// /d hthtp ttp:/ d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / 46 p t t hhtt xiii

4.1

Jumlah Titik dan Sisi pada Graf Tangga Permata (Dln ) . . . . . . 46

4.2

aj.ac.Sisi pada Gabungan Graf a c. Jumlah Titik neje.dan neje. j.aTangga Permata

c.idid

b.uun

c.idid

b.uun

ili b. ili b. (mDl /digigni)li . . . . . . . . . . . . . /.di.gi.g.ili. . . . . . . . . .

:/ /d hthtp ttp:/ 4.3


:/ /d hthtp ttp:/

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i i . . . . /d . i.gig . il47 / d : / / p : t hthttp

Batas Atas d Graf Tangga Permata (Dln ) . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4

Batas Atas d pada Graf Tangga Permata id c.idGabungan c.idid (mDln ) . . . 48

4.6

Pelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Gabungan Graf

d aj.ac. aj.ac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne Super (a, d)-sisi Antimagic ne pada Graf Tangga ilib.bu.n ne .bu.n .bu.n u u u b b i i 4.5 Pelabelan Total l l i i i i i idgigil idgigil idgigil /:d //:.d /. /:d :p/Permata : : / / / / / / p p p t t t (Dl ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t t t n hhtt hhttp hhttp . . 49




id

id

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i li . . . /. /d . id.gig . i100 : / / p : t hthttp

.c.id n ) . . . . . . . . . . . .a. c. .c. .i.d. . . . . . . . . 59 Tangga Permata j.aca(mDl j a

5

e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i ili Pembahasan . . . .//.di.dgi.g.ili. . . . . . idgigdan 4.7 /Hasil /:d : : / / / p t hthttp hthtp ttp:/

. . . .

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1

103

Kesimpulan j..a.c.c .id ..id. . . . . . . . . . . . . .j.a. c. .c.id.i.d. . . . . . . . . 103

e n ej.a u n . u b . i 5.2 Saran idgiigl il.ib. . . . . . d / / : / / hthtp ttp: DAFTAR PUSTAKA

. . .

e n ej.a u n . u b . i . . . . /.di.gi.igl .ili.b. . . . . . :/ /d hthtp ttp:/

. . .

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i l . . . . /d . .g . i103 :p/://idig p t t hhtt 104





























DAFTAR GAMBAR


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttpGambaran Kota Konigsberg p h2.1 hthtttahun ¨ 1736 . . . . . . . . h . th . t.tp. . . . 6


2.2

¨ Representasi graf pada . . . d permasalahan jembatan Kdonigsberg

2.5

Topologi Jaringan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.8

Contoh graf secara umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9

.aj.cac. vertex . . . . . . . n.e.j.a.j.ca. c. . . . . . . . . . . . 16 nej.aj.cac. Graf dengan nejisolated





7 .ci .id .ci .id c c ca.cid.id a a a . . . j j j a a . . . e e e j dalam rantai makanan 2.3 Representasi .n.e.j . . . . . . . . . . . . ib.8u.n negraf nej .bu.n .bu.n u u u b b i i l l l i i i b i i i idgigil idgigil idgigil d /:d :p/Contoh :p//:lintas :p/. /:d / / / / / / p p p t t t t t t 2.4 pemodelan sistem lalu . . . . . . . . . . . . . . hhtt hhtt hhtt . . 9

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e 2.6 Contoh .representasi graf dalam penyimpanan u.n nej. nej. zat kimia . . . . i.lib13 nej. .bu.n .bu.n u u u b b i i l l i i b idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / 2.7 Representasi graf(setelah dilakukan pewarnaan graf) . . . . . / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp . . 14 .idid

.idid

.bu.une .bu.une b b i i l l i i i i il komplemennya . . .//.di.dgi.g.il . . . . . idgigdan /:d 2.10 :p/Graf : / / / p t t hthtp hhtt ttp:/

. . . . .

d

d

.bu.une b i l i i g . il17 . . p. :/. /d ./id. ig / : t t hhttp

.idid

2.11 Contoh diregular dan non-diregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i i . . . /. /d . i.gig . il19 d : / / p : t hthttp

ca.ci .iddengan 8 titik . . . . .j.a. ca. .c.i .i.d. . . . . . . . . 18 2.12 Contoh sebuah j.agraf

e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili graf dan subgrafnya :.//.di.dgi.g.ili. . . . . . 2.13 /Contoh /:d : / / / p t hthttp hthtp ttp:/

. . . .

2.14 Contoh sebuah graf dan matrik adjacencynya . . . . . . . . . . . . 19 2.15 Contoh graf terpotong c.id.id . . . . . . . . . . . . . c. ..id.i.d. . . . . . . . . 20

je.aj.ac je.aj.ac e e n n u u n n . . 2.16 Keisomorfisan giigliiblib.u graf . . . . . .//.di.gi.igli.ibli.b.u. . . . . i d / / : ://d thtp ttp:p://d h2.17 ttpContoh gabungan graf .h.ht. t . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u . . . . . i.gi.liib 21 i l dig :p//:d / / p t t h. h. t.t . . . . 22

2.18 (a) graf sederhana, .id(b) graf ganda, dan (c) graf semu .id . . . . . . . . 23


cac.id cac.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e j. e nej. nej. .bu.n .bu.n 2.19 Graf itak-berhingga . . . . . . . . .ili.b..bu.. n .n.e. . . . . . . . . . . . i.lib24 u u u b i l idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttpGraf komplit K4 dan K5 h.tht. tp. . . . . . . . . . . . . . . h. th. t.tp. . . . 25 h2.20









xiv




d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil /:d ˆ5 . . . . :p/Graf / / 2.21 kipas K p t t hhtt





d d xv aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i digigil digigil . .ttp . t:p .//:.//.d . . . . . . . . . . . . . t.tp.t:p/. /:/./d. . 26 hht hht

DAFTAR GAMBAR

.

2.22 Graf bintang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

c.idid

c.idid

c.idid

a c. a c. c. graf bipartit lengkapeKj.3,3 .aj.adan 2.23 Graf bipartit (a) neje n ej.a . . . . . . . . . . . 27 neje. j.a

liibli.bu.un i g i /:d 2.24 :/Graf /digwhell W5 / p t hthtp t

. . . . .

liibli.bu.un i g i . . p . :.//.d/.di.g. . . . . hthtttp:/

. . . . . .

liibli.bu.un i g i . . . :/. /:d ./d. ig . 27 / p t hthtp t

2.25 Graf friendship F4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

id id . . e e nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i il idgigladder 2.27 /Graf L5 . . . . . . . . .//.di.gi.g.il . . . . . . . . :p/:d : /d / / p t t hhtt hthtp ttp:/ 2.28 Graf Tangga Permata Dl . . . . . . . . . . . . . .

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i g il . . . /. /d :p:/./id. ig. 29 p t t hhtt . . . . . . . 29

. d . d 2.26 Graf petersenj.a.c ac. ..i . . . . . . . . . . . . . .j.a. ca. c. .i. . . . . . . . . . 28

n

. . . .


ca.cid.id a c c . . . j j j a a . e j. e e n nejfungsi nej. .bu.n .bu.n une (b) fungsi surjektif u u b b i i liibli.bu.injektif, l l i i i 2.30 (a)ig fungsi dan (c) bijektif . . . . 31 idgigili idgigili ig /:d /:d /:d / / / d : : : / / / / / / p p p t t t thttp h2.31 hthttp Sisi (c) Pelabelan total h. th. t.tp. . . . 33 (a) Pelabelan titik (b) pelabelan


2.32 EAV Dl3 . . . . ..id. . . . . . . . . . . . . . . . . ..id. . . . . . . . . . 37



d d 2.29 Graf Tangga Permata ac.i .id Dl4 . . . . . . . . . . . a. c. ..i .i.d. . . . . . . . . 30

d aj.cac.id aj.cac.id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne .un. n. e. . . . . . . . . . . . .ili.b..bu.n .bu.n 2.33 EAV iDl .n.e. . . . . . . . . . . . i.lib37 u u b 3b.u i l i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 3.1 Graf Tangga Permata Dl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 n

3.2

d d Graf Tangga Permata ac.i .id Dl4 . . . . . . . . . . . a. c. ..i .i.d. . . . . . . . . 43

je. j.ac je. j.ac e e n n u u n n . . u u b b 3.3 Gabungan giigl3iili.b.. . . . . . idgiigliilib. Graf Tangga Permata id2D d d / / / / : : / :// thtp h3.4 httptp:/ ttpRancangan Penelitian . . .ht. . . . . . . . . . . . . 4.1

id

. . .

ca.cid.id a . j e u.n nej. . u b i l i b . . . . . i.g . il43 ig i /:d / d : / / p t hthttp

. . . . . . . . . . 45

id

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i . . . :/. /d . id.gig . il52 / / p : t t hhttp . . . . . . . 54

.c.id sisi graf pada Dl dan c.c.4id. . . . . . . . . 47 Jumlah titikedan 3ej.a.aDl j.a.cajumlah

nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil titik (3,1)-sisi antimagic idgipada 4.2 :/Pelabelan gil Dl4 . /:d //:d : / / / / p p t t t t hhttp hhttp 4.3 SEATL graf Dl (Dl ) dengan d = 0 . . . . . . 4

. . . . . . . . . .


ca.cid.id a . . . j j j a a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i 4.5 Pelabelan antimagic (SEAT L) pada Dl4di.gg i idgigili total super (34, 1)-sisi idgigili /:d /:d /://di. il58 / / / : : : / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp









4.4

SEATL graf Dla(Dl c.ci5d.)iddengan d = 2 . . . . . a. c. .c.id.i.d. . . . . . . . . 58




d d d xvi aj.ca.ci .id DAFTAR GAMBARej.aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil /:d :p/Pelabelan :p//:d :p/. /:d / / / / / / 4.6 titik (6,1)-sisi antimagic pada 3Dl . . . . . . . . . p p p t t t 4 t t t hhtt hhtt hhtt . . 65




4.7

Pelabelan total super(141,0)-sisi antimagic pada 3Dl4 . . . . . . . 80

4.8

c. 4 . . . . . . . . 95 ej.aj.ac. Pelabelan n total antimagicnpada ac. eje.aj.super(55,2)-sisi eje.aj.a3Dl n e

c.idid

c.idid

liibli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i d /:d 4.9 :/Pelabelan pada 2Dl5 :p//:antimagic /dig total super(82,1)-sisi /dig / / p t t p t t hthtp h t ht

.

c.idid










































DAFTAR TABEL


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttpHubungan sifat zat kimiahtht. tp. . . . . . . . . . . . . . . h. th. t.tp. . . . 13 h2.1


2.2

Ringkasan dari pelabelan total super (a, d)-edge antimagic pada d d

c.i .id

c.i .id

c.id.id

a c a c a c graf disconnected. neje. j.a . . . . . . . . . . . . . n.e.je. .j.a. . . . . . . . . . . . 38 neje. j.a

liibli.bu.un i g i ://d/dig hthtp ttp:/































xvii




d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil //:d :p//:d :pLAMPIRAN / / / / p p t t DAFTAR t t hhtt hhtt



.c. id ..id . . . . . . . . . . . . . . . . . c..i.d i.d. . . . . . . . . 107 j.aca.cid.id ca.cid.idMATRIK PENELITIAN . a a a c c . . . j j j a a e e e e FORMULIR PENGAJUAN SKRIPSI . . . i108 nej. nej. JUDUL DAN PEMBIMBINGAN nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgSKRIPSI ig ili igili /:d /:d /:d / / LEMBAR KONSULTASI PENYUSUNAN . . . . . . . . . .tp. :.//:.d .d.ig109 : : / / / //dig / / / p p t t hthttp hthttp hthttp

































xviii













d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e DAFTAR LAMBANG ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt Ghhtt = Graf G G(V, E)


= Sebarang graf tak berarah dengan V adalah himpunan tak ko-

d d a a e e j. u.n neke-n nej. .bTitik .bu.n u u b b vn = pada suatu graf i i l l i i idgigili idgigili /:d / :p//:d : / / / / p enhttp = Sisi ke-n dari suatu graf t hthttp htt


i .id titik dan E adalah himpunan .i songjdari .ac.csemua j.ac c.id sisi

V (G)

= Himpunan titik pada graf G dan disebut sebagai order

E(G)

= Himpunan size did .idisisi d pada graf G dan disebut.isebagai

d aj.cac. aj.cac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e Un = .Suku u.n neke-n barisan aritmetika ne ne .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i b i i i idgi= idgigilatau pelabelan titik sisi:/antimagic idgigil gil Edge antimagic vertex :labeling /:d EAVpL://d //:d / / / / / / p p : t t t t t t p hhttpL = Super edge antimagic hhtttotal hhttp super (a,d)SEAT labeling atau pelabelan total sisi antimagic

.idid

.idid

ca.cid.id a . j e nej. .bu.une .bu.une .bu.n u b b b i i i l l l i i i a merupakan suku pertama barisan ili idgi= idgigili idgigbobot gili Bobot sisi terkecil yang /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp sisi pada SEATLhthttp d

aj.cac.barisan bobot sisi padaeSEATL ac c. = Nilai nej.beda n j. j.a

Dln

= Lambang untuk graf tangga permata

mDln

id.id gabungan graf tangga id.id = Lambang .ac.cuntuk .ac.cpermata

zj

= Titik ke-j pada bagian tengah graf Dln

xki

= Titik ke-i.dalam komponen ke-k pada bagian id .id atas graf mDln

jej.a jej.a e e n n u u n n . . xi = Titik ke-i pada bagian atas graf Dl u u b b n . . i i l idgiigl ilib digigilib d / / : / yi ttp:p//://di= Titik ke-i pada bagian bawah graf Dln / hthtp hhtt ttp:


cac.id cac.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e j. dalam komponen ke-k = .Titik pada u.n neke-i nej. bagian bawah grafilmDl nej. .bu.n .bu.nn u u u b b b i i i l l i i b ili pada bagian tengah//graf ili n idgi= idgigke-k idgigmDl gili Titik ke-j dalam komponen d /:d /:d / / : : : / / / / / / p p p : t t t thttp thttp hthttp titik pada bagian atashgraf αph(x = Fungsi bijektif pelabelan Dln i)

yik zjk

αp (yi )

= Fungsi bijektif pelabelan titik pada bagian bawah graf Dln

.id

.id

d aj.ca.ci .id . j e u.n ne bijektif bobot sisi dari ne titik α ne .bFungsi .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i wα = pelabelan i i i p idgigil idgigil idgigil //:d //:d //:d : : : / / / / / / p p p t t t t t t p pada bagian atas graf Dl αph(x hhttsisi hhnttp hitxtpi+1 ) = Fungsi bijektif label αp (zj )

cac.id pelabelan titik pada jbagian c id = Fungsi ej.aj.bijektif e .aj.ac. tengah graf Dln

p

αp (yi yi+1 ) = Fungsi bijektif label sisi pada bagian bawah graf Dln

αp (zj zj+1 ) = Fungsiabijektif c.id.id label sisi pada bagianatengah c.id.id graf Dln

ca.cid.id a c c . . . j j j a a e e e n u.n nej.bijektif bobot total dari nej. total αp nej. W αp =lib.Fungsi .bupelabelan .bu.n u u u b b . i i l l i i i b idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp









xix













BAB 1

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah

d d .cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .idmemiliki banyak peranan aj.capenting . . . Dewasa ini, matematika dalam kehidu- ej.a j j j . e e e ne ne ne nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i pan manusia. Namun, ironisnya masih ada sebagian orang menjadikan matei i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t matika hhtt sebagai suatu hal yang ditakuti hhtt dan dihindari. Rasa takut hhttdan cemas terhadap objek yang berkaitan dengan matematika itu disebut Phobia Mate-

hanya dipandangasebagai ca.cid.idmatika (Mathophobia).j.Matematika ca.cid.id ca.cid.id sebuah kumpu- j.aca.cid.id a a . . j j e e e e ej. u.n nej. nej. angka-angka yangilibtidak nmemiliki nej. .bu.n .bderetan .bu.n .bu.n lan rumus serta makna. Padahal u u u u b b b i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili idgigili d /:d /:d /:yang /:d / / / : : : / / / dibalik itu semua terdapat hal menarik seringkali terlepas dari perhatian. //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Tidak disadari setiap orang senantiasa bertemu dengan konsep dan prin-

d d .cid.id maupun dalam .ac.cid.id aj.ca.ci .idsip matematika, baikejdalam aj.ca.ci .idpembelajaran formal,enon aj.caformal . . . j j jej.a e e n n n n e e Matematika merupakan e u u u u n n n n . . . . kehidupan sehari-hari. alat bantu kehidupan dan pelau u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : / / / yan bagi ilmu-ilmu yang lain, seperti fisika, kimia, biologi, astronomi, teknik, //dig / / / hthtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: ekonomi, farmasi maupun matematika sendiri. Mungkin terdapat suatu per-

d.id ada kalkulator dan komputer id.idtanyaan bukankah saataini isudah id.id sehingga mate. . . c c c ca.cid.id a a a c c c . . . . j j j j a a a . e e e matika sebagai alat bantu berkurang? Memang benar, de-une nej. nej. kehidupan menjadi nej. .bu.n .bu.n .bu.n .b.unej u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ili ig ili idgigili alat bantu tersebut banyak idgigilpersoalan idgigsulit ngan kehadiran kehidupan :yang /:d /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p t t t thttprelatif singkat. Namun, proses tp hthtdiselesaikan hthttp mencipdapat dalam waktu h yang takannya pun juga memerlukan prinsip matematika. Tanpa adanya prinsip-

d d did .cid.id aj.ca.ci .idprinsip dan konsep matematika aj.ca.ci .id kedua alat tersebutejyaitu aj.ca.ci .kalkulator dan kom- ej.a.c . . . j j a e e ne nediciptakan. Begitu pentingnya ne matematika dalamilib nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l puter tidak mungkin kei i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:maka :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hidupan tidak aneh jika pembelajaran matematika mengalami perkemhhtt hhtt hhtt bangan yang pesat dan selalu disesuaikan dengan kebutuhan zaman. Ada

matematika dan bahasa ca.cid.idpepatah ” Siapa yangj.amenguasai ca.cid.id ca.cid.idmaka ia akan me- j.aca.cid.id a a . . j j e e e e ej. u.n nguasai dunia”. untuk berpikir ikrinej. nej. matematika sebagaiilimedia nmelatih nej. .bu.n .Artinya .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i l l l i i i b ig ili idgkreatif, idgmenyelesaikan idgigili igili mandiri, dan mampu igili /:d /:d /:d /:d / / / tis, inovatif, masalah, sedangkan : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp









1





d d d d 2 aj.ca.ci .idBab 1. Pendahuluanej.aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d //:d /ide-ide //:d :sebagai : : / / / //dig / / / bahasa media menyampaikan atau gagasan serta yang ada dap p p t t t t t t hhttp hhttp hhttp lam pikiran manusia.

.cid.idbeberapa cabang ilmu misalnya Matematika terdiri dari ca.cid.id ca ca.cid.id Aljabar, Geometri, j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e n nej. nej. Matematika Aplikasi, nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.Matematika .bu.n Statistika dan Probabilitas, Komputasi, Mateu u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p matika Ekonomi, Matematika Diskrit, Sain Komputer dan lain sebagainya. Cat t t hthttp hthttp hthttp bang matematika terkini terkait dengan sain komputer yang cukup terkenal

graf d.id relatif muda na.cid.idadalah Teori Graf. Teori .cid.idmerupakan pokok bahasan .ciyang c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e j mun memiliki banyak yang sangat luas. Contohnya optimasi jaringan nej neterapan nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgigil komputer, jaringan listrik, idgigmodel idgstruktelepon,:/jaringan papan sirkuit, model igil /:d /:d //:d //:d : : / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhttp kimia dan lain-lain. Graf hhdigunakan hhttp objekttp tur ikatan untuk mempresentasikan objek diskrit dan hubungan antara objek tersebut. Representasi visual dari

id.id ca.cid.idgraf adalah dengan menyatakan ca.cid.id objek sebagai noktah, ca.cbulatan ca.cid.id a a a a . . . . atau titik, sej j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i dangkan hubungan dengan garis atauig sisi.ili gigili ig ili idgigili antara objek tersebut iddinyatakan ig /:d /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p t t t t t p p p t t t hthSalah h h t ht dan mendapat banyak perhatian ht satu topik yang menarik pada teori graf adalah masalah pelabelan graf. Pelabelan graf akhir-akhir ini mu-

d d d d aj.ca.ci .idlai banyak mendapateperhatian aj.ca.ci .id terutama terapannya aj.ca.ci .idjaringan komputer ej.aj.ca.ci .id . . . dalam j j j e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i dan database security. Pelabelan graf G adalah sebuah pemetaan dari elemeni i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t elemen himhhadalah hhtt graf G terhadap bilanganhhbulat tt positif. Jika domainnya tt punan titik G maka pelabelannya disebut pelabelan titik (vertex labeling), se-

d.id id.id himpunan sisi G maka disebut ca.cid.iddangkan jika domainnya ca.adalah ca.cipelabelannya ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j e e e e j. nej. nej. nekedua nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n pelabelan sisiil(edge labeling). Jika domainyailiadalah himpunan tersebut u u u u b b b b i i i l l i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / :p//:d : : / / / makattp pelabelannya disebut pelabelan total (total labeling). //dig / / / p p t t hhtt hthttp hthttp Pelabelan graf pertama kali diperkenalkan oleh Sedl´ acˇek (1964), kemu-

d did Rosa (1970). Hingga saat d.idpemanfaatan teori d aj.ca.ci .iddian Stewart (1966), eKotzig aj.ca.ci .dan aj.ca.ciini aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e ne nedirasakan peranannya, ne pada sektor sistemilikone .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n pelabelan grafilib sangat terutama u u u u b b b i i l l i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :p//:d :pdata / / / munikasi dan transportasi, navigasi geografis, radar, penyimpanan kom//dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt puter, dan pemancar frekuensi radio. Sedl´ acˇek telah mempublikasikan karya

id.idilmiah dengan mengenalkan id.idpelabelan graf tipe yangaclain id.idyang disebut pela. . . c c ca.cid.id a a a c c c . . . . j j j j a a a . . e e e belan magic. Istilah ini dari ide bujur sangkar bi-une nej. nejdimotivasi nej. magic pada teori .bu.n .bu.n .bu.n .b.unej u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ig ili idgigili magic adalah pemetaan idgidari idgigilbilangan. :/Pelabelan pada gili himpunan sisi graf G /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp













d d d d 3 aj.ca.ci .idBab 1. Pendahuluanej.aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d //:d //:d :real : : / / / //dig / / / langan non-negatif, sehingga jumlah label sisi di sekitar titik pada p p p t t t t t t hhttp hhttp hhttp graf G semuanya sama. Pada Definisi Sedl´ acˇek ini memperbolehkan untuk menggu-

hanya bilangan bulat.id id.id id yang digunakan. j.aca.cid.id ca.cid.idnakan bilangan real tetapi ca.cbiasanya cacsaja . a a a . . . j j j e e e e j. Stewart menyebutnya jika himpunan label nej. nesupermagic nej.sisi terdiri dari bilangan nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i gigili ili ig ili idberurutan. idgigili idgighasil bulat yang Selengkapnya :Gallian(2009) menjelaskan tentang /:d /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p t t t p hthttdari hthttp untuk pelabelan gracefulhthdan ttp jenisnya, survey pelabelan graf, diantaranya harmonious labeling, magic labeling, antimagic labeling dan jenis-jenisnya.

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e Terdapat berbagai e salah satunya adalah ne ne jenis tipe pelabelanilidalam ngraf, ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i i i i i ig il idgigilsuper (a, d)-sisi antimagic idg(SEAT), idgigil pelabelan total dimana a bobot sisi terkecil igil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt dan d nilai beda. Pelabelan ini diperkenalkan oleh Simanjutak, Bertault dan

Miller pada tahun 2000 (Dafik, 2007:19). Pada graf konektif telah banyak dite-

ca.cid.idmukan pelabelan totalj.asuper ca.cid.id(a, d)-sisi antimagic sedangkan ca.cid.id pada graf disko- j.aca.cid.id a a . . j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i nektif, hanya famili graf yang diketahui total li ili ig ili idgigsedikit idgigili mempunyai pelabelan idgigisu/:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttd)-sisi p perh(a, antimagic. Permasalahannya adalah hal ini melibatkan hthttp hthttp angka pelabelan lebih banyak pada setiap kompenen graf konektif terpisahnya dan

d ca.cid.iGd mempunyai pelabelanj.atotal ca.cid.idsuper (a, d)-sisi an- j.aca.cid.id aj.ca.ci .idtidak ada jaminan jika ajgraf . . j j . . e e e e n n n n e e gabungan graf diskonektifnya ej mempunyai pelabelan ej. u u u u n n n n . . . . timagic kemudian pada u u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : / / / totalttsuper(a, d)-sisi antimagic. Oleh karena itu masalah ini dianggap cukup //dig / / / hthtp hthtp hhp ttp: ttp: ttp: sulit sehingga memerlukan penelitian berkelanjutan.

Sampai saat ini, pelabelan id pelabelan total j.aca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id graf diskonektif dengan ca.cid.jenis a a a . . . j j j e e e e j. u.n nej. nej. masih sedikit famili neditemukan. nej. .bu.n .bu.n .byang .bu.n super (a, d)-sisi antimagic Baru-baru ini u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / Deviyana, R.(2011: 29) telah mempublikasikan hasil temuannya tentang pela//dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp belan total super(a, d)-sisi antimagic pada graf E, Anggraeni, Y.(2011: 32) ten-

.cid.idtang pelabelan total super(a, .cid.idd)-sisi antimagic pada Generalisasi .cid.id Graf Web Dua .ac.cid.id c c c a a a . . . jej.a Bandul W0 (3, j, 2), nRahmad, jej.a R.R.(2010: 37) tentang jej.a jej.a e e e pelabelan total super(a, d)-une n n u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . . . . i i i i ilib gabungan graf Lobster, ilib igil ilib idgiigl pada idgiiglFuad(2009: idgiigl ilib sisi antimagic 25) tentang:/pelabelan d d d /:d / / / / / : : / / / //dig / / / p tp hthsuper(a, hthtgabungan hthtp ttp: d)-sisi antimagic pada ttp: ttp:Indayani, total graf Triangular Ladder, D.V.(2010: 29) tentang pelabelan total Super (a, d)-sisi antimagic pada gabu-

id.id tentang pelabelan ca.cid.idngan graf Generalizedj.aPetersen ca.cid.id (n, 2), Abidin, Z.(2010: ca.c35) ca.cid.id a a a . . . j j j e e e e ej. nej. nantimagic nej. lepas graf Firecracker, nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l total Super(a, d)-sisi pada gabungan saling i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t danhtBiyadi, bijektif pelabelan antimagic p hthttfungsi hthttp pada http Khud.(2010: 31) tentang













d d d aj.ca.ci .idBab 1. Pendahuluanej.aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / gabungan saling lepas graf Banana Tree. p p t t t t hhtt hhtt

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt 4

Dalam penelitian ini akan dikembangkan penelitian Fuad tentang graf

id.id .cid.id yang lain yaitu tangga Graf tangga ca.cid.idtangga untuk jenis graf catangga ca.permata. ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j e e e e ej. ej. yang belum ditemukan nej. ndengan ngraf nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n permata dinotasikan Dl adalah salah satu u u u u b b b b i i i i n l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p pelabelannya. Gabungan saling lepas graf tangga permata merupakan gat t t hthttp hthttp hthttp bungan diskonektif pada graf tangga permata. Dalam penelitian ini akan dikaji

d)-sisi .cid.idpelabelan total super .(a, .cid.id antimagic pada graf.atangga .cid.id permata baik itu .ac.cid.id c c c a a . jej.a yang tunggal maupun jegabungan jej.a pada penelitian ini nejej.a e e e j.a n n n saling lepasnya sehingga u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ilib l ilib liibli.bu.un i i i i g g g g i i i i penulis :memilih /:d //d ig judul ”Pelabelantttotal //:d dig (a, d)-sisi antimagic :p//:d :ppada //dig //super //diggraf p tp thtp t p://d t t t h h h t t t h h tangga permata ”.

ca.cid.id1.2 Rumusan Masalah ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li ig ili idgigili latar belakang di atas, idgigili dapat dirumuskan masalah idgigida/:d /:d /:d /:d / / / Berdasarkan maka : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp


lam penelitian ini yaitu:

1. apakah Graf Tangga.Permata (Dln ) memiliki pelabelan id d .idd total super (a, d)-

je.aj.cac.i je.aj.cac.i e e n n sisi antimagic? liibli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i ://d/dig ://:d //digTangga Permata p 2. hthtp hthtapakah ttp:/ gabungan saling lepas ttpGraf pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic?

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil d :p//:memiliki / / p t (mDl ) t hhtnt

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. 1.3 Batasan Masalah .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p hthUntuk hthttpermasalahan hthttp yang akan dipecahkan, mattp menghindari meluasnya



ka dalam penelitian ini masalahnya dibatasi pada:

.id

.id

ca.cid.id a . j . e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l dan sisi ganda(paralel); i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t t h tt hhttantimagic pada Graf Tangga hhtPermata 2. hpelabelan total super (a, d)-sisi di-

c c.id mempunyai loop .id 1. graf berhinggaeyang yaitu graf yang j.a.cacsederhana, ej.a.atidak

simbolkan dengan Dln dan mDln dengan m > 2 dan n > 2. Dalam hal

.idd

.idd

.idd

acac.i ac c.i ac c.i ini, m merupakan Graf Tangga Permata nej. j.banyaknya nej. j.a yang digabung yaitu nej. j.a .u ne

.u ne

.u ne

libb.u Tangga Permata sedangkan lib .u liiblib.u minimal digig2iliGraf digigilib n merupakan ketentuan digigdari

:p//://di :p//://di p p t t t t Graf Tangga Permata. hthtdefinisi h t ht

:p//://di t hthtp t











d d aj.ca.ci .idBab 1. Pendahuluanej.aj.ca.ci .id . j e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / 1.4 tTujuan Penelitian p t hhtt





Sesuai dengan rumusan masalah dan latar belakang di atas, maka tujuan

.cid.id berikut: ca.cid.iddari penelitian ini adalah casebagai ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ili ig ili idgmengetahui idgigPermata idgigili 1. untuk apakah Graf Tangga (Dln ) memiliki /pelabelan igili /:d /:d /:d /:d / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp hthtotal hthttpjika ada, maka dicari carahmelabeli ttp super (a, d)-sisi antimagic, Graf


Tangga Permata dengan pelabelan total super (a,d)-sisi antimagic;

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e 2. untuk mengetahui e Graf Tangga Permata ne apakah gabungan ilsaling nlepas ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l i i i i i il d)-sisi antimagic, jika ada, iggil idgig(a, idgmaka (mDl pelabelan total :super igil nd)imemiliki //:d //:d :p//:d : / / / / / / p p p t t t t t t tp lepas Graf Tangga Permata hhdicari hhtsaling hhttp dengan tt cara melabeli gabungan pelabelan total super (a,d)-sisi antimagic.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i 1.5 Manfaat ili ig ili idgigPenelitian idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Manfaat yang diharapkan dari hasil penelitian ini adalah:



d 1. menambah pengetahuan .id.id khususnya dalam ac.i .id baru dalam bidang teori acgraf,

ca.cid.id a c c . . . j j j a a . . . e e e ej npelabelan nej apakah ada pelabelan nej ruang lingkup graf, yaitu mengetahui .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d total super (a, d)-sisi antimagic pada Graf Tangga Permata; ttp://:d / / / / / / p p t t t t hhtt hhttp hhtt

2. memberikan motivasi pada peneliti lain untuk meneliti pelabelan total

id.id .id super (a, d)-sisi antimagic .ac.clain; j.ac c.id pada graf dari jenis jyang

ca.cid.id a . j a a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgidigunakan idgigili 3. hasil penelitian ini diharapkan dapat sebagai pengembangan gili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t p super hthatau hthttp dalam masalah pelabelan hthtttotal ttp perluasan ilmu dan aplikasi (a, d)-sisi antimagic.





























BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Aplikasi Graf

d ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .id a a a . . . . j j j j . . . e e e e Teori Graf merupakan suatu pokok bahasan ej sudah tua usianya nane nej nyang nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i l ig il idgigil banyak terapan bagi idgigil masyarakat sampai idgigiini. mun mempunyai seluruh saat /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhini hhtttahun 1736, yakni ketika Euler hhtt mencoba tt muncul pertama kali pada Teori untuk mencari solusi dari permasalahan yang sangat terkenal yaitu Jembatan

d.id .cid.id dalam berbagai .ac.cid.id ca.cid.idKonigsberg. Aplikasi jteori ca.cigraf cadipakai a a a saat ini sangat luas dan . . . j j jej.a e e e e j. j. j. n n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . Berikut disajikan gambar liilib. dalam kehidupan sehari disiplin ilmu idgiigliilib. idgiigmaupun idgiigliilibhari. idgiigliilib. d d d /:d / / / / / / : : : / // :// thtp ¨ http 2.11htentang tp:// hthtp ttp:/ gambaran kota Konigsberg trepresentasi http dan gambar 2.2 tentang ¨ graf pada permasalahan jembatan Konigsberg.










d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i l idgiGambar idgKigonigsberg idgigil gil ¨i 2.1: GambaranpKota tahun 1736 p://:d :p//:d :p//:d / / / / / / p t t t t t t hhtt hhtt hhttp


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e j. Beberapa contoh graf ditemukan.udalam n neaplikasi nej. ilmu kimia yaitu struknej. .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b idgigili http://matematika-pendidikanstkip.blogspot.com/2011/04/asal-usulidgigili idgigili 1 /:d /:d /:d / / / Sumber gambar: : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp teori-graf.html









6





d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt





.cid.id a Cc . j a e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp A

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttDp


d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil (a) :p//:d / / p t t hhtt

d d aj.Bca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil (b) :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt

7

¨ Gambar 2.2: Representasi graf pada permasalahan jembatan Konigsberg

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j . e e e e j. nej. nerekonstruksi nejAcid nej. tur senyawa karbon, rantai Ribonucleic (RNA) dalam ilmu .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : biologi, struktur hubungan masyarakat dalam ilmu sosiologi, dan pewarnaan / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp graf dalam ilmu pemetaan (kartografi) bahkan dalam bidang ilmu informatika

Berbagai aplikasi teori .cid.iddapat ditemukan aplikasinya .cid.id pada topologi jaringan. .cid.id c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e graf tersebut memberikan peranan penting terhadap perkembangan ilmu penej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i gigil teknologi, khususnya//aplikasi ig il iddan idgigil graf dalam informatika idgiyang ngetahuan gil /:d :p//:d :p:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t t hhtt dan teknologi masa kini.hhDalam hhtberhubugan tt selalu dengan informasi suatu ekologi misalnya, kita dapat menggunakan graf untuk mendeskripsikan kom-

.cid.2i.d ca.cid.idpetisi makanan sebagaimana ca.cid.iddisajikan dalam Gambar ca2.3 ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li ili aplikasi graf dalam /kehidupan ig ili idgiglain idgigili sehari-hari adalah://pada idgigipeContoh d /:d /:d /:d / : : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttp lampu lalu lintas. Pada hthsaat hthttpdari temttp orang menuju dan pulang ngaturan pat aktifitas rutinnya setiap hari, sering terjadi kemacetan lalu lintas. Hal ini

d d.id d d yang hampir bersamaan aj.ca.ci .iddisebabkan karena waktu aj.ca.ciaktifitas aj.ca.ci .id sehingga volume ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e u.n u.n ne ne jalan-jalan di suatu ne meningkat pada waktu ne .bu.n .bmelintasi .bdaerah .bu.n u u u u b b b b i i i i kendaraan yang l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p t t itu.hPadahal belum tentu jalan-jalan pada daerah itu mampu menampung bethtp t t hhtt hhtt tt sarnya volume kendaraan yang melewatinya. Untuk dapat mengetahui apakah

masih ca.cid.idkapasitas maksimumj.jalan-jalan ca.cid.id pada suatu daerah ca.cid.id mampu menam- j.aca.cid.id a a a . . j j e e e e ej. daerah tersebut, maka pung volume kendaraan nej. nej. yang melintasi jalan-jalan npada nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / 2 : : : / / / Sumber gambar: http://suryaafrilian.blogspot.com/2010/10/rantai-makanan.html //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp

























ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e u.n u.n u.n nej. nej. nej. . . . u u u b b b i i i l l l i i i b b b 2.3: Representasi graf idgGambar idgidalam idgigili gili rantai makanan ://d igili /:d /:d / / : : / / / / / / p p p : t t t hthttp hthttp hthttp

8

harus diketahui terlebih dahulu berapa kapasitas maksimum dan volume mak-

d simum kendaraan yang cmelintasi d d d daerah itu. Permasalahannya adalah menaj.ca.ci .id aj.a.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e cari sebanyak mungkin beberapa ne ne arus lalu lintas dari ne arah yang dapatilberne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l i i i i i i i gigil il ig il idgbersamaan idgigkonsisten. id d igil /:d jalan tsecara dengan aman Juga mengenai penga:p//:d :p//:dan :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t hhtt hhtt h tt turanh jalur lampu lintas dalam setiap pertigaan ataupun perempatan. Sebe-

lampu lalu lintas yang harus di gunakan seminimum id.idrapa banyak penggunaan id.id . . c c ca.cid.id ca.cid.id a a a a c c . . . . j j j j a a mungkin untuk mengatasi masalah kemacetan tersebut. e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i gigililintas di perkotaan, daya ili ig ili idlalu idgidukung idgigpengili /:d /:d /:d /:d / / / Pada jalan menjaditpfaktor : : : / / / //dig / / / p p t t ht ttp ht ttp hthttp ting h dalam menentukan lancarnyahlalu lintas. Daya dukung jalan ini meliputi

volume kendaraan yang lewat tiap satuan d.idlebar jalan, kondisi jalan,c.rata-rata d.id d i i id.id . c aj.ac waktu, dan lain-lain.ejPada aj.ac lalu lintas perkotaan, jarak, aj.ca.cmenjadi aj.ca.ci .id . . . . j j j sesuatu yang e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i tidak terlalu Dengan melewati/jalan il memiliki daya dukung ig il idgpenting. idgigyang idgiyang gil igil /:d :p//:d :p/:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhwalaupun hhtt akan membuat kita sampai hhttlebih cepat tt baik, jaraknya lebih panjang, ke tujuan. Lebih cepat, daripada melewati jalan yang berjarak pendek, tapi

.cid.id kendaraan yang lewat id ca.cid.idkondisi jalannya rusak, cavolume ca.cid.besar, ca.cid.id dan lain-lain. a a a a . . . . j j j j . e e e e n nej. nejpemodelan nej.dengan graf gandailbernej. .bu.n .bu.n .bulintas .bu.n u u u u b b b b Berikut adalah contoh sisitem lalu . i i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p arah berbobot. Pada contoh gambar 2.4, misalkan saja A adalah Simpang Pb. t t t hthttp hthttp hthttp













d d d d 9 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / Sudirman, B adalah persimpangan antara Jalan Mawar dan Jalan Kenanga, C p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt adalah persimpangan Jalan Pb. Sudirman dan Jalan Kenanga, D adalah per-

Anggrek ca.cid.idsimpangan antara Jalan ca.cid.id dengan Jalan Pb. Sudirman, ca.cid.id E adalah Perem- j.aca.cid.id a a a . . . j j j . G adalah persimpa-une . e e e j. patan Jalan Madura, dan Pb. Sudirman, nej. neKartini, nFejdan .bu.n .bu.n .bu.n .b.unej u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i gigili masuk dalam pembahasan ili ig ili idtidak idgigilkarena idgigdari ngan yang ini hanya potongan /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthjalan. hthdalam hthttpdilakukan ttp Pemanfaatan teori graf ttp sistem lalu lintas ini dapat suatu






seabagai berikut :




ca.cid.id 7 a . j e u.n nej. . u b i l i b idgi8gili E G://d / / p : t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i ili idgigKeterangan : /:d / : / / p t hthttp


F

8

id

. d Dj.a.c ac.i

e n u nej . u b . i l i b i idgigil 8 8 :p//:d / / p t t hhtt 7

6

C

8

6

.idd

c i e8j.aj.ac.7

nne liibli.bu.uA i g i :p//:d /dig / t hthtp t

5

AC, CD, DE, EF adalah Jalan Pb. Sudirman

id

id

.c.id Anggrek aj.caJalan aj.ca.c.id AD adalah . . j j e e n ne Jalan Mawar ne .bu.adalah .bu.n u u b b i i AB l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p BC adalah Jalan Kenanga t t t t h tt h tt h

B

h

BE adalah Jalan Kartini EG adalah Jalan .id Madura

aj.cac.id . j e n e liibli.bu.un i 5 g i :p//:d /dig / t hthtp t


Gambar 2.4: Contoh pemodelan sistem lalu lintas

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e e nsuatu ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l 1. Simpul dalam graf digunakan untuk menghubungkan suatu peri i i i i i idgigil idgigil idgigil //:d :p//:d :p2.4 :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t simpangan jalan. Pada gambar terdapat 7 buah persimpangan yaitu hhtt hhtt hhtt A, B, C, D, E, F , dan G. Ketujuh persimpangan tersebut diperlakukan se-


ca.cid.id ca.cid.id a a a c . . . j j j a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i 2. Sisi dari jalan.Padadgambar ili graf digunakan untuk ili idgigsuatu idgigmelambangkan /:d /:d /://idgigili / / / : : : / / / / p p p t t t thttp hth2.4 7 buah jalan.hthttp ttpterdapat 7 buah sisi yanghmelambangkan









bagai tujuh buah simpul. c.id.id





d d d d 10 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / 3. ttArah pada sisi merepresentasikan arah jalan yang dapat dilalui. Jadi bila p p p t t t t hhtt hhtt hhtt


terdapat jalan One W ay atau satu arah, arah panah hanya akan menunjuk ke arah tertentu dan.tidak idd sebaliknya.

cac.i ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e j. ne nej. sisi graf merepresentasikan nedaya nej. .bu.n .bu.n u u b b iibli.bu.udari i i l l 4. Bobotig/illabel dukung jalan tersei i idgigili idgigili ig /:d /:d /:d / / / d : : : / / / / / / p p p t t t hthbut. hthttp hthttp ttp

d d d id Dengan pemodelan jalan dapat mengetahui aj.ca.ci .id aj.ca.ini,pengguna aj.ca.ci .id dan menghin- ej.aj.ca.ci .id c.id . . . j j j e e e n e ne nkemungkinan nejalan yang rusak, sehingga ne dari jalan-jalanlib yang besar macet, .bu.n .bu.n .buatau .bu.n u u u u b b b . i i i l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p/jalan :p//:d dapat menghindarinya dan memilih lain yang memiliki daya dukung / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt yang baik.Pemberian bobot / nilai pada suatu jalan didasarkan pada lebar

id.idjalan, kondisi jalan danavolume id.id kendaraan yang lewatactiap id.idjam. . . . c c ca.cid.id a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e 1. Lebar jalan nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgjalan id1gimeter igigili gili diberi nilai 4, antara igili dengan lebar dibawah /:d /:d /:d /:d / / / Untuk 1dmeter : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp




sampai 2 meter diberi nilai 3, lebih dari 2 meter sampai 3 meter diberi nilai 2 dan untuk lebar d jalan lebih dari 3 meter diberid nilai 1.

d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n 2. KondisiilJalan u u u b b b i i i l l i i i i i idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p/jalan / / / / / / Jalan rusak parah diberi nilai 4, jalan rusak ringan diberi nilai 3, baik p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt diberi nilai 2 dan jalan sangat baik diberi nilai 1.

id

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . e e j nelebih nejdiberi nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l Jika volumenya dari 100 kendaraan/jam nilai 5, 81 sampai i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hth100 hthtt4,p 51 sampai 80 kendaraan/jam hthttpdiberi nittp kendaraan/jam diberi nilai

c.c.id lewat tiap jam 3. Volume kendaraan ej.a.ayang

lai 3, 31 sampai 60 kendaraan/jam diberi nilai 2, dan jika volumenya 0 sampai 30 kendaraan/jam c.id.id diberi nilai 1.

d d aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i gigil yang melambangkan bobot il adalah jumlah nilai lebar idtotal idgigsisi idgijalan, gil Bobot :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt jalan dan volume kendaraan hhttyang lewat tiap jam. hhtt kondisi

Jalan yang menghubungkan A ke C dan sebaliknya, d yang menghu- j.ac.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.ijalan a a a . . . j j j . e e e e j. jsebaliknya, j. j.a n n n n e e e e bungkan C ke D.udan juga jalan yang menghubungkan D ke E u u u n n n n . . . u u u u b b b b . ib. ini(dalam hal ini /Jalan lib. idgiigliilib. idgiigliilibdiberi idgiigliiljalan idgiigliiPb. d d d /:d / / dan sebaliknya, nilai 8. Karena pada / / / : : : / / / // hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/













d d d d 11 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p//:d :p/lebar / / / //dig / / / Sudirman) memiliki kondisi yang baik (nilai 1), badan jalan juga (nip p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt lai 2), tapi volume kendaraan yang lewat sangat besar (nilai 5). Untuk pem-

jalan) dapat d.id laindalam hal ini melambangkan ca.cid.idberian bobot pada sisi-sisi ca.ciyang ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j . e e e e dicari dengan langkah sama. Apabila Kita sekarang berada di Simpang nej. nejyang nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ili ig ili idgigili idgike idgigjalan gildaerah Pb. Sudirman(simpul A) dan ingin pergi yang terletak :pada /:d /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p t t t hthmenghubungkan hthttFp , rute terpendek adalah langsung hthttp melettp yang simpul E dan wati jalan yang menghubungkan A dan C, C dan D, D dan E, lalu E dan F .

d d d d aj.ca.ci .idSayangnya rute itu memiliki aj.ca.ci .idbobot yang besar, jadiejmungkin aj.ca.ci .id saja waktu yang ej.aj.ca.ci .id . . . j j e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i dibutuhkan menjadi lama. Rute alternative yang bisa kita gunakan adalah i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t melewati hhtt jalan yang menghubungkan hhtt A dan B, B dan E, lalu E hhdan tt F . Jalan ini memang lebih panjang, tapi karena relatif lebih lancar, jadi kemungkinan

ca.cid.idbesar kita bisa sampaij.tujuan ca.cid.idlebih cepat. ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i Zainalig(2010:7) i graf dalam ilmu informatika gigilteori ig ili idlain idgigili igili menjelaskan aplikasi /:d /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p t t t dapat pada topologi jaringan tp hthtdilihat hthttpkomputer. Topologi jaringan hthttp (network topology) adalah studi mengenai pengaturan atau pemetaan dari elemen-elemen

d sebagainya) sebuah jaringan. aTopologi ca.cid.id ca.cid.id suatu jaringan j.aca.cid.id aj.ca.ci .id(pranala, simpul, dan a . . . j j j . . e e e e j j n n n n e epenghubung edalam ej. u u u u n n n n . . . . didasarkan pada cara sejumlah sentral membentuk suatu u u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : / / / sistem jaringan. Topologi jaringan yang umum dipakai adalah: Mesh, Bintang //dig / / / hthtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: (Star), Bus, Tree, dan Cincin (Ring). Berbagai jenis topologi jaringan tersebut 3

. id.iddapat dilihat pada Gambar id.2.5 . . d i c c ca.cid.id ca.cid.id a a a a c c . . . . j j j j a a . e e e e ej. nej. njaringan nejkomputer, nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n Dalam topologi komunikasi khususnya sentral-sentral u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili d /:d /:d /:ada /:d / / / : : : / / / saling terhubung (interkoneksi) tetapi juga yang tak terhubung. Untuk //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp melakukan interkoneksi, diperlukan alamat dan identifikasi sentral yang berbe-

untuk id.id jaringan. Pem.cid.idda satu dengan lainnya .cid.id kelancaran komunikasi .dalam c c c ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j a a a . . . . e e e e j berian alamat dan identifikasi ini dalam komputer dikenal denganunnej nej nej nebiasanya .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i iibli.b.u l l l ldan i i i i i i i l l l g g g g i i i i i i i IP address. Pemberian alamat dan identifikasi memerlukan label angka /:d :p//:d :p//:d :p//:d //dig //dig //dig //dig tp tp tp t t t t t t h h h t t t h Dalam hal inilah, pelabelanh graf sangat tiap h sentral harus berbeda labelnya.


berperan.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e Salah satu aplikasi yang nej.graf dalam bidang kimia nej.sering kita temui adalah nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili http://www.11h11.com/hugobox/chaku/NetworkTopologies.png idgigili idgigili 3 /:d /:d /:d Sumber gambar: / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp

























12

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e Jaringan nej.Gambar 2.5: Topologi nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttp disini p p hthttpenyimpanan hthttberbahaya. dalam senyawa kimia Teorema yanghdipakai adalah pewarnaan graf (graph colour). Pewarnaan graf sangat bermanfaat dalam

d ca.cid.id berbahaya. Efektifitasj.apewarnaan ca.cid.id ca.cid.id graf tidak diaj.ca.ci .idpenyimpanan senyawa aj.kimia a . . . j j j . . e e e e n ne ne nej ruangan yang dipernej .bu.n .bu.n .bu .bu.n u u u u b b b b ragukan lagi untuk mengetahui berapa banyak minimum . i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:zat :p//:d / / / //dig / / / p p p lukan untuk dapat menyimpan semua kimia dengan aman. Misalkan ada t t t t t t hhtt hhtt hhtt 7 jenis zat kimia yang perlu disimpan di dalam gudang. Beberapa pasang dari

sama, ca.cid.idzat itu tidak dapat disimpan ca.cid.iddi dalam ruangan yang ca.cid.id karena campuran j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e gasnya bersifat eksplosif nej. nej. (mudah meledak).ilib.bu.n nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p Untuk zat yang semacam itu perlu dibangun ruang-ruang terpisah t t t hthttp hthttp hthttp yang dilengkapi ventilasi dan penyedot udara keluar yang berlainan. Jika lebih

d banyak ruang yang dibutuhkan, d berarti lebih banyak ongkos d yang harus dikelud aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e arkan. Karena itu perlu ne ne diketahui berapailibanyak neminimum ruangan yang ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i i i i i gigil dapat menyimpan semua il kimia dengan aman.//Masalah ig il iduntuk idgigzat idgigil /:d diperlukan :p//:d :p//:d :p:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt dalam masalah dalam pewarnaan hhtt hhtt ini masuk graf.

Simpul melambangkan d.id dua zat kimia ca.cid.id ca.cid.idzat kimia, sisi menyatakan ca.cibahwa ca.cid.id a a a a . . . . j j j j . e e e e yang dihubungkannya boleh disimpan bersama-sama.Pada persoalan ini, nej. nejtidak nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i gigili senyawa kimia, yaitu ili C, D, E, F, G. Ketujuh ig ili id idgA, idgigili igB, /:d /:7d /:d /:d terdapat macam macam / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp












d d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t hhtt hhtt Tabel 2.1: Hubungan sifat zat kimia



igliiblib.u g i d i :// /d hthtp ttp:/ d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt 13

Zat kimia

id.idkimia .cid.id dapat disimpan bersama caTidak ca.czat ca.cid.id a a a . . . j j j e e B, D.une nej. nej. nej. .bAu.n .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b ili F, G idgigili B idgD, idgigili A, igE, /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp E, G hthttp C D

A, F, B

ca.cid.id E ej.a . nej .bu.n u b i l i F i idgigil :p//:d / / p t t G hhtt

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i B, D i idgigil :p//:d / / p t t hhtt C, E, B B, C, G


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e j. simpul.Dari gambar senyawa kimia tersebut tujuh nej. nej.diperlakukan sebagai nebuah nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i gigili untuk persoalan di atas, ig ili idbahwa idgigraf idgdalam gili dapat direpresentasikan 2.6, terlihat igili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttpsebuah graf planar. hthttp hthttp bentuk


d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt F




d aj.ca.ci .id . j e B ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt C

A

D

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp E

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t Ghhtt ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

id .cid.id Gambar 2.6: Contoh graf dalam penyimpanan .acrepresentasi .ac.c.id zat kimia

ca.cid.id a . j j j a a . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i il il idgmewarnai idgigidealnya idgigdari igil Untuk graf, terlebihpdahulu pewarnaan dimulai :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p t t t t t t hhttdengan derajat terbanyak hkemudian hhtt htt simpul melanjutkannya ke simpul-simpul

yang bertetangga dengan simpul yang telah diwarnai tersebut. Langkah ini did i . d cac.i ulang hingga semua simpul ca.cid.idtelah diwarnai. Dengan ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j memperhatikan gambar e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i 2.6, maka d ig ili idgigili pewarnaan yang sepatutnya idgigilidilakukan adalah berturut-turut idgigili /:d /:/metode /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / p p p t t t p hthttp simpul B, G, E, C, A, D,hthFtt(urutan hthttp terdapat mewarnai ini tidak tunggal, masih













d d d d 14 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :pdi//:d / / / //dig / / / alternatif lain). Salah satu contoh pewarnaan graf untuk persoalan atas dap p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt




pat dilihat pada gambar 2.7.


ca.cid.id a . j e nej. B .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

F

A


C

D

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt E

id


G


id

ca.cid.id a . j e nej nej nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i li idgigili gambar 2.7, terlihat :bahwa idgigicukup idg igili /:d /:d /:d / / / Perhatikan diperlukan 3 tbuah warna : : / / / / / / p p p t t hthttp hthttp hthttp

c. id graf(setelah dilakukan c.c.id Gambar 2.7: Representasi graf) ej.a.ac. ej.a.apewarnaan

(merah, kuning, hijau) untuk mewarnai graf di atas. Dengan demikian, jum-

lah minimum ruangan yangddibutuhkan untuk menyimpan senyawa-senyawa .cid.id .ci .id .cid.id c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a kimia berbahaya di atas adalah 3 buah ruangan. . . . . e e e e nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigi1l berisi zat B dan C, ://didgigil idgigil /:d • Ruangan //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p : t t t t t t hhttp hhttp hhtt


• Ruangan 2 berisi zat A, F, dan G,

.idd


aj.cacD.i dan E. • Ruangan 3 berisi ej.zat

n e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / p t t t h 2.2 h Terminologi Dasar Graf t


Dalam Kreyszig (1993:481), .cid.id .cid.id secara kasar graf tersusun .cid.idatas titik-titik yang .ac.cid.id c c c a a a . . . jej.a dinamakan verteks,nedan jej.agaris-garis yang menghubungkan jej.a e e titik-titik tersebutunejej.a n n u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ilibNamun secara matematis, l ilib graf G didefinisikan sebagai liibli.b.un i i i i g g g g i i i i dinamakan sisi. suatu /:d :p//:d :p//:d :p//:d //dig //dig //dig //dig tp tp tp t t t t t t h h h t t t pasangan hal ini: h himpunan (V, E), yang dalam h h V = himpunan tak kosong dari semua titik (verteks)={v1 , v2 , ..., vn } dan

id.id menghubungkan sepasang ca.cid.idE = himpunan sisi (edges) ca.cyang ca.cid.idtitik ={e1 , e2 , ..., en } j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ili boleh kosong, sedangkan ig ili idgigdiili atas menyatakan bahwa idVgigtidak idgigiliE Definisi /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthkosong. hthttp hthsisi ttp ttpsatu buah boleh Jadi, sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai













d d d d 15 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / pun,tttetapi titiknya harus ada, minimal satu. Graf yang hanya mempunyai p p p t t t t hhtt hhtt hhtt satu simpul tanpa sebuah sisi pun dinamakan graf trivial (Munir, 2003:291).

asli, atau de.cid.id ca.cid.idTitik pada graf dapatj.dinomori ca.cid.id dengan huruf, dengan cabilangan ca.cid.id a a a a . . . j j j e e e e j. ngan menggunakan vi dan vj adalah n ej. dan angka (bilangan nej. nhuruf neMisalkan nej. .bu.n .bu.n .buasli). .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigiligraf, maka sisi yang menghubungkan idgigili idgigili titik pada suatu titik vi dan vj dinyatakan /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p hthttppasangan (v , v ) atau dengan hthttlambang hthttpdiberikan dengan e1 , e2 , e3 , ..., en .Berikut i j contoh graf pada Gambar 2.8 yang menyatakan komponen umum terbentuknya

d d aj.ca.ci .idsebuah graf. aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtta a ab

ab

ae



.cid.ad id caab.cid.id b ca.cid.id e b b acj.ac a a . . j j a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n bc u u u b b b i i i l l l bc de i i i G2 gi1gili iG idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / d cd d : : : / / / / / / c p p p c t t t hthttp hthttp hthttp


G4 3 d.id d i . c aj.ac aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i Gambar 2.8: Contoh graf secara umum i i idgigil idgigil d d / / / / : : / / / / hthtp hthtp ttp: ttp:

a

G


Misalkan e = (vi , vj ) merupakan sebuah sisi pada graf G, yaitu vi dan vj

.cid.id verteks vi dikatakan adjacent ca.cid.idadalah titik ujung darij.e,acamaka ca.cid.id(berelasi) terhadap j.aca.cid.id a a . . j j e e e j. verteks vj dan edge (terhubung) pada ve ej. vj . Sedangkan derajat nej. ne eincident ni dan nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigiliv pada sebuah graf G://ditulis idgigilidengan deg (v), adalah idgigili d sebuah :verteks jumlah /:d /:d /:d / / : / / / //dig / / / p p p : t t t thttp ht ttp incident (terhubung) hpada hthttp edgehyang v, dengan kata lain jumlah edge yang memuat v sebagai titik ujung (Lipschutz dan Lipson, 2002: 7). Jika semua titik

d .cid.id ca.cid.idgraf G disebut graf j.aca.cid.id aj.ca.ci .idpada graf G mempunyai aj.caderajat/degree ajmaka . . . yang samaen j j j . e e e n n n n e e e ej. u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . . . . i i i i igl ilibmempunyai sisi yang dincident regular n.dJika sebuah titik yang lib igil ilib idgiigl iterdapat idgtidak idgiigl ilib d i /:d / / / / / / : : : / / / //dig / / / p thtp dengannya hthtp hthttitik ttp: atau dengan kata lainhderajat ttp: titik tersebut = 0, maka ttp: tersebut dinamakan (isolated vertex)(Khud, 2010: 9). Perhatikan Gambar 2.9, tampak

id.id v2 , v2 adjacent dengan ca.cid.idbahwa verteks v1 adjacent ca.cdengan ca.cvid.3i,dv3 adjacent dengan j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e ej. nej. nevj.5 ,dst. Selain itu, v8 incident ndengan nej. .bu.n .bu.n .bu.n v4 , v4 adjacentilidengan sisi v4 v8 , v2 v8 , ivli6bv.8u,.n u u u u b b b i i l l i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d //d / / : : / / / dan tvt7pv:p derajat dari v8 adalah 4, sedangkan v merupakan //dig / / / p p 8 :sehingga 9 t t hhtt hthttp hthttp contoh













d d d d 16 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p/vertex :p//:d :p//:d / / / //dig / / / isolated karena tidak ada sisi yang terhubung dengan v . p p p t t t 9 t t t hhtt hhtt hhtt



ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp v1

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigivli4 v2 v/9d / : / / p : t hthttp v3


v8

v5

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne v6 nev7 .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt Gambar 2.9: Graf dengan isolated vertex


.cid.id .cid.id .cid.id ca.cid.id c c c a a a a . . . . j j j j a a a Dalam thesisnya, Slamin (2001 : 12) mengatakan bahwa suatu titik b dalam neej. e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i iibli.bu.un l l l ltitik i i i i i i i l l l g g g g G dikatakan tetangga masuk (in-neighbour) titik a jika (b, a) ² E(G), dan i i i i i i i /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p p t t t t t t t t t h h h t c dikatakan tetangga ke luar (out-neighbour) titik a jika (a, c) ² hE(G). Himht ht punan semua in-neighbour dari titik a disebut in-neighbourhood dan dinotasikan

d d.id d d semua out-neighbour aj.ca.ci .iddengan N − (a) sedangkan aj.ca.cihimpunan aj.ca.ci .iddari titik a disebut ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n e u.n ne nedinotasikan dengan iNlib+.b(a). nDerajad ne .bu.n .bu.dan .bu.n u u u u b b b out-neighbourhood masuk ( in-degree) i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p darihtsebuah titik a adalah banyaknya in-neighbour dari titik itu dan dinotasikan tp t t t t hhtt hhtt htt − dengan d (a) , demikian halnya dengan derajad ke luar (out-degree)nya, yaitu

dari id.idbanyaknya out-neighbour id.idtitik tersebut dan dinotasikan id.iddengan d+ (a) (Hol. . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e j. Dafik (2007 : 11) mengatakan man dan Basby, 1987 nej. n:e98). nej. bahwa jika setiapiltitik nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l i i i ili ig ili idgberarah idgyang idgigterigili G memiliki in-degree igili sama, maka G dikatakan dalam graf /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p htmasuk hthttsedangkan ttp (in-regular). Demikianhthjuga ttp jika setiap titik dalam graf atur h G memiliki derajad ke luar yang sama, maka G dikatakan teratur ke luar (out-

d did .cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .idregular). Graf berarah aj.ca.ci .sekaligus aj.cdan . . . yang teratur kedalam teratur keluar dise- ej.a j j j a . e e e ne ne ne nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i but graf berarah diregular. Contoh, graf berarah G pada Gambar 2.11 adalah 1 ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t grafhh berarah diregular dengan derajad hhtt dua, tetapi G2 non-diregular hhtt karena G2 tt hanya teratur ke luar tetapi tidak teratur masuk (Dafik, 2008 : 20).

.cid.id iddinotasikan G adalah graf ca.cid.id ca.cidG cadengan ca.cid.id . a a a a . . . . j j j j Komplemen dari graf himpunan titik e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i V (G) = V d bila titik u, v bertetangga jika ili ili ig ili idgigdimana idgigili pada G jika dan hanya idgigtitik /:d /:/(G) /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / p p p t t t thttp tetangga pada G. Contohnya tp u, vhtidak hthttp dapat dilihat pada Gambar htht2.10.











d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt b




ca.cid.id a . j e aib.u.n nej. u l i b idgigili /:d / : / / p t hthttp d





ca.cid.id a . j e c nej. ab.u.n u i l i b idgigili /:d / : / / p t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n c u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

b

17

d

d d G aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id G . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil /:d :p//:d :p/dan / / / / p p Gambar 2.10: Graf komplemennya t t t t hhtt hhtt


c.idid

ca.cid.vid a . j e nej. 3 .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp



d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i v v4 i idg2igil d / / : / / hthtp ttp:

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i v2 i idgigil d / / : / / hthtp ttp:

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i v4 i idgigil :p//:d / / p t t hhtt


ca.cid.idv5 ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . v v j j j 1 5 e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp ht ttp Gambar 2.11: Contoh diregular dan non-diregular h

. v3 nej.a j.ac

e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / t hthtp t

v1

d d .cid.id graf, dinotasikan .ac.cid.id Fuad (2009: 7) menjelaskan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id bahwa jalan (walk)edari aj.casuatu . . . j j j jej.a e e e n n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . . . . dengan v v v v ...v adalah barisan titik dan sisi terhingga dan bergantian dari i i i i 0 1g2il 3lib k igil ilib idigi idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : / / / //dig / / / p titik-titik dari thtp hthtp hthtgraf. ttp:dan sisi-sisi dalam suatu ttp: Jalan pada suatu grafhdibentuk ttp: barisan titik dan sisi terhingga dan bergantian dari titik-titik dan sisi-sisi dalam

dan boleh diulang. Panjang d ca.cid.idsuatu graf, dimana titik ca.cid.isisinya ca.cid.id(length) dari sebuah j.aca.cid.id a a a . . . j j j . e e e e jalan adalah banyaknya Jika titik v0 − vk pada nej. nej. sisi pada jalan tersebut. nejsemua nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li ili ig ili idgigberbeda idgigi(path). idgigili /:d /:d /:d /:d jalan tersebut maka disebutplintasan Sebuah lintasan dikatakan / / / : : : / / / //dig / / / p p t t t hthttp hthttp hthttp













d d d d 18 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / tertutup, jika v = v yang biasa disebut siklus (cycle). Pada Gambar 2.12 p p p t t t 0 k t t t hhtt hhtt hhtt v1 v2 v3 v8 v6 v2 v4 v7 v3 adalah jalan yang mempunyai panjang 8 yang bukan lin-

7, dan v5 v6 v7 id.id ca.cid.idtasan, v1 v2 v4 v5 v6 v7 v3 v8j.adalah ca.cid.idlintasan yang mempunyai ca.cpanjang ca.cid.id a a a a . . . j j j e e e v3 v5 adalah siklus 4..une n nej. nej.mempunyai panjangilib nej. nej. .bu.n .bu.yang .bu.n u u u u b b b . i i i l l l i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp v3

v4


d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt v2

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t v7 v8hhtt

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t vh5 htt


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : v1 / / p t hthttp



Gambar 2.12: .cid.id .cid.idContoh sebuah graf dengan .cid.8idtitik c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i Jarak (distance) dari titik a ke titik b/adalah ig il idgigil idgigil panjang dari lintasan:terpendek idgigil /:d //:d :p//:d :p/:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t t b yang diukur dengan jumlah hhtt sisi yang harus dilewatihuntuk darihh a tke http sampai ke b dari a. Sebagai contoh jarak titik v1 ke titik v6 pada Gambar 2.12 adalah

.cid.id jarak maksimum antara id ca.cid.id2. Diameter dari grafj.G caadalah ca.cid.sembarang ca.cid.id dua titik a a a a . . . j j j . e e e e j. n nej. nejgraf neterpendek nej. .bu.n .bu.dari .bu.n .bu.n u u u u pada graf G. Girth G adalah panjang siklus graf G. Sebagai b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p contoh graf pada gambar 2.12 mempunyai diameter 2 dan girth 4. t t t hthttp hthttp hthttp Graf H adalah subgraf dari G jika setiap titik di H adalah titik di G, dan

d d id.idG (V (H) ⊆ V (G) dan E(H) id.idE(H)). Untuk lebih sisi aj.ca.ci .idsetiap sisi di H adalah aj.ca.cdi aj.ca.c⊆ aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e e subgrafnya dapat dilihat e gambar 2.13. ne ndan npada ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u jelasnya contoh graf b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhGraf hhtt berbeda u tt G dikatakan terhubunghhjika tt untuk setiap dua titik yang dan v di G ada lintasan dari u ke v. Misalkan A = (aij ) adalah matiks m × m

ca.cid.iddidefinisikan oleh: j.aca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e e ( ib.u.n nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l l i i i i b gigili vi adjacent terhadap /v/jdigigili ig ili idgigi1li jika {u, v} adalah edge, idyaitu d /:d /:= /:d / / : : : /d a / / ij //dig / / p p t t hthttp hthttp hthtp ttp:/ 0 lainnya





















d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / Gambar 2.13: Contoh graf dan subgrafnya / / p p t t t t hhtt hhtt


19

Maka A disebut matriks adjacenty dari G. Dan misalkan M = (aij ) adalah id.id . d c ca.cid.ioleh: ca.cid.id ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j matiks m × m didefinisikan a e e e e nej. ne(j. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili pada edge ei idgigili 1 verteks vi :incident /:d /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p t t t m = hthttp hthttp hthttp 0 lainnya

incidence dari G (Lipschutz danid 2002:35). Be.cid.idMaka M disebut matriks .cid.id .c.Lipson, d i c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e j dan matrik adjacencynya rikut diberikan contoh nej negraf nejpada gambar 2.14. ilib.bu.n nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt v3 v4



0 1

0 0

0 1

.cid ca.cid.id ca.cid.id 1 0j.a1c 0.id1 0 a a . . j j a e e e nej. n1ej.0 1 0 0 nej. .bu0.n .bu.n vi2b.u.n v5 u u u b b i i l l l i i i b idgigili idAgig=ili 0 0 1 0 0 0 ://didgigili /:d /:d / / : : / / / / / p p t t hthttp hthttp http ttp:/ 0 1 0 0 0 0h v1

v6

1 0 0 0

0

0

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n n ne Contoh sebuah graf idan ne adjacencynya ne .bu.2.14: .bumatrik .bu.n u u u b b b . i i i l l l Gambar i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Misal e adalah sebuah sisi pada graf G maka G − {e} adalah sebuah graf

tidak terhubung id.idyang dihasilkan dari G adengan id.id menghapus sisi e. JikaaGc.−id.i{e} . . d c c ca.cid.id a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e maka e disebut jembatan jika nej. nej. (bridge). Secara umum, nejE. 1 adalah himpunanilisisi nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i li − E1 adalah graf yang ig ili idgigiG idgigili idgigili dalam G//maka dihasilkan dari G dengan menghapus d /:d /:d /:d / / : : : / / / //dig / / / p p p : t t t p E1 . hthttsisi hthttp hthttp semua













d d d d 20 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//graf :p//:d / / / //dig / / / Misal v adalah titik pada sebuah G, dengan G − {v} adalah sebuah p p p : t t t t t t hhtt hhtt hhtt graf yang dihasilkan dari G dengan menghapus titik v dan semua sisi yang ad-

tak terhubung, maka.ivddisebut titik potong id ca.cid.idjacent pada v. Jika G −j.a{v} ca.cid.adalah cac.id ca.cid.id a a a . . . j j j . jika V1 adalah him-une . e e e (cut-vertex) (Chartrand n nej. nej.dan Oellermann, 1993: nejDan .bu.n .bu.n .bu.22). .b.unej u u u b b b b i i i i l l l l i i i i gigiliyang dihasilkan dari G ig ili idgpada idgraf idgigili punan titik dengan igili G maka G − V1 adalah /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p hthttp semua titik pada V dan hthttsemua hthttptitik tersemenghapus sisi yang adjacent pada 1 but. Gambar 2.15 menunjukkan contoh graf G − {e } adalah hasil penghapus

3 d.id d.id i i . . id v6 dari G. c c ca.cid.titik ca.cid.id aj.ac sisi e3 dari G dan graf a a c . . . . Ga − {v }adalah hasil penghapusan j j j j 6 a . . . e e e e ne nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt e hhtt heh3tt




3

v3

v3

v4

v4

v3

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e2 uneej. e2 e2 nej. .beu4.n eib u b 4 .b.un i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp

v2

e6

v2

v5

c.id.id e1

e5neje.a j.ac

e1

liibli.bu.un i g i ://d/dig v1hthtp v6 ttp:/

v1

e6

v5

v2

d aj.ca.ci .ied1 . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t v1 v6 hhtt e5

G − {e3 } ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigraf Gambar 2.15: Contoh gili terpotong /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp G

v4

ca.cid.id a . j ne j. e4ilib.bu.une idgigili /:d / : / / p t hthttp

e6

v5

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt G − {v6 }


Dua buah graf dikatakan isomorfis jika mereka mempunyai struktur yang

d .cid.id titik-titik dan sisi- .ac.cid.id ca.cid.id berbeda cara pemberian aj.ca.ci .idsama dan kebanyakan, ajmereka aj.calabel . . . j j j jej.a . e e e e n n n n e e e u u u u n n n n sisinya, atau cara menggambarkannya. Untuk memperjelas maksud kalimat . . . . u u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : tersebut, kita akan mendefinisikan dua graf G dan G isomorfis jika ada su/ / / 1 2 //dig / / / hthtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: atu fungsi φ : V (G) −→ V (G) sedemikian hingga uv ∈ (G ) ⇐⇒ φ(u)φ(v) ∈ i

d.id dua graf G1 dan id.idE(G2 ). Fungsi φ dinamakan id.id sebuah fungsi isomorfis. iJika . . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j ∼ a a a e e e e G2 isomorfis, maka G1 = G2 .Sampai ej. ej. ini untuk menentukan nej. ndituliskan nsaat nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ili belum ada teori yang ig ili idgigraf idgigtidak idgdapat apakah dua gili G1 dan G2 isomorfis:/atau igili /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp selalu hthttp. Tetapi, jika graf G1 dan G h2thisomorfis, ttp dipakai maka kedua grafhtersebut













d d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / memenuhi 4 syarat sebagai berikut : p p t t t t hhtt hhtt




1. jumlah titik G1 = jumlah titik G2 (jumlah simpul yang sama.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j . e e e j. sama). 2. jumlah garisuG garis G2 (jumlahusisi n1 e=jjumlah neyang nej. .b.n .b.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p 3. jumlah garis yang mempunyai derajat tertentu dalam graf G dan G2 t t t hthttp hthttp hthttp1 sama (mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu).

.id

.id

d aj.ca.ci .id . j e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i l l il idgigisyarat idgigimenjamin idgigisoKeempat tersebut belum :cukup bahwa kedua graf //:d //:d :p//:d : / / / / / / p p p t t t t t t tp graf G dan G isomorfis, hhtt Untuk menunjukkan bahwa hhtkedua hhttpmaka damorfis. 1 2

c c.id 4. Graf G1 dan G2emempunyai yang sama. j.aj.cac.id girth(panjang siklus ej.aj.aterpendek)

pat dilihat dari matriks ketetanggaan kedua graf tersebut sama. Keisomorfisan

d ca.cid.idgraf dapat dilihat padaj.aGambar ca.cid.id 2.16. Graf G1 dan G3j.tidak ca.cid.iisomorfis ca.cid.id a a a karena G . . j j 3 e e e e j. ej. nej. ndengan netidak nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i mengandung siklus panjang 3 sementara G mengandung siklus 1 ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp dengan dari hthttppanjang 3 dan tidak mungkin hthttp mengandung pemetaanhsatu-satu G1 ke G3 .










d d aj.ca.ci .id G2 aj.caG.c3i .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i Gambar 2.16: Keisomorfisan graf i i idgigil idgigil d d / / / / : : / / / / hthtp hthtp ttp: ttp:


G1

Dua buah titik vi dan vj dikatakan terhubung jika terdapat lintasan dari

d ca.cid.idvi ke vj . Sedangkan graf ca.cid.iberarah ca.cid.id (connected graph) j.aca.cid.id tak G disebut graf terhubung a a a . . . j j j e e e e n n nej. nej. titik vi dan vj didalam nej. nej. .bu.n .bupasang .buhimpunan .bu.n u u u u b b b b . . i i i i jika untuk setiap V terdapat lintasan l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t darihtvittke v . Jika tidak, maka G disebut hthttp graf tak terhubung (disconnected hthttp graph). h p j













d d d d 22 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :ptetap :p//:d / / / //dig / / / Graftyang hanya terdiri dari satu titik disebut graf terhubung karena titik p p p t t t t t hhtt hhtt hhtt tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri.

id.id G1 dan G2 dinotasikanadengan Gabungan dari dua ca.cid.id ca.graf ca.cid.id G1 ∪ G2 , didefi- j.aca.cid.id a a c . . . j j j e e e e ej. u.n nej. ndengan nej. V (G1 ) ∪ V (G2 )ildan nej. .bu.n .bgraf .bu.n .bu.n nisikan sebagai himpunan titiknya adalah u u u u b b b b i i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p himpunan sisi E(G ) ∪ E(G ). Pada Gambar 2.17, graf G merupakan gabungan t t t 1 2 hthttp hthttp hthttp graf G1 dan G2 , yaitu G = G1 ∪ G2 . Graf gabungan mG didefinisikan sebagai

buah kopi graf G, atau dapat .cid.idgabungan saling lepas.adari .cid.m .cid.idjuga dikatakan se- .ac.cid.id d i c c c a a . . jej.a bagai graf dengan nmejkomponen, jej.a jej.a e e e n n n dimana setiap komponennya adalah graf G. ej.a u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . . . . i i i i l b giigl...ili= ilimb, dengan G1 = G2 = /G/d3 id= igil ilib idgiilain idg∪iigl G gilibmG = G1 ∪ G2 ∪ G3 :∪//d d Dengan:/kata ... /:d / : / / / //dig / / / p tp: dan q sisi, maka graf mG httptp: htptp hthtmempunyai ttitik ttp: Gm =htG. Misal graf G mempunyai h


mp titik dan mq sisi (Wijaya, 2001:85).





S d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt




Gid id.idG2 . .c.id c c a a Gambar graf c 2.17: Contoh gabungan . . j j a a . . e e j j n e n e liibli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i :p//:d :p//:d /dig /dig / / p t t t t hthtp h t ht


=

G1

2.3 Jenis-jenis Graf

d d d d Graf dapat dikelompokkan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id menjadi beberapaekategori aj.ca.ci .id(jenis) bergantung ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e ne nepengelompokannya. iPengelompokan ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l pada sudut pandang graf dapat dipani i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t dang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan jumlah hhtt hhtt hhtt simpul, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.

.cid.id suatu graf, maka .ac.cid.id ca.cid.id ca.cid.id gelang atau sisi ganda capada a a a Berdasarkan ada tidaknya . . . j j j jej.a e e e e j. j. j. n n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . jenis: iilib.dapat digolongkan menjadi secara umum idgiigliilib. idgiiglgraf idgiigliilibdua idgiigliilib. d d d /:d / / / / / / : : : / / / // p hthtGraf hthtp hthtp ttp:/ sederhana (simple − graph) ttp:/ ttp:/ 1.













d d d d 23 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt







sederhana. G1 pada Gambar 2.18(a) adalah contoh graf sederhana yang

merepresentasikan jaringan komputer. Simpul menyatakan komputer, .idd .idd

cac.i cac.i ca.cid.id a a a . . . j j j e e e sedangkan .sisi saluran telepon untuk ej. u.n nmenyatakan nej. berkomunikasi. Salunej. .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i b li idgigili dapat beroperasi pada idgigiarah. idgigili d ran dua /:telepon /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp

2. Graf tak-sederhana (unsimple − graph)

Graf yang mengandung c.id.idsisi ganda atau gelang dinamakan c.id.id graf tak-seder-

d aj.ac aj.ac aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n e graph). Ada dua macam hana (unsimple n− netak-sederhana, yaituilgraf ne .bu.n .bu.graf .bu.n u u u b b b i i i l l i i i i i il idg(multigraph) idgigil idgiggraf igil ganda dan graf semu (pseudograph). Graf gandatpadalah :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p t t t t t hhtt hhtt hhtt yang mengandung sisi ganda. Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih 2.18(b) adalah d dari dua buah. G2 pada Gambar d

ca.ci .id ca.ci .id ca.cid.id a a a . . . j j j graf-ganda. Sisi ganda pada G2 dapat diandaikan sebagai saluran telepon neej. e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l liibli.bu.un i i i i i l l g g g tambahan apabila beban komunikasi data antar komputer sangat padat. i i i i i :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig / / / p p p t t t t t t t hthtGraf h h t semu adalah graf yang hmengandung t gelang. G3 adalah ht graf semu (termasuk bila memiliki sisi ganda sekalipun). Sisi gelang pada G3 da-

d d ca.cid.id a . j a a . . . e e e j nej dirinya sendiri (mungkin neuntuk nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b komputer dengan tujuan diagnostik). i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil d //:d :p//:d :p//:graf :pgraf / / / / / / p p p Graf semu lebih umum daripada ganda, karena sisi pada semu t t t t t t hhtt hhtt hhtt .i id .ci .id menghubungkan pat dianggap sebagai telelpon tambahan j.ac c.saluran j.acyang

dapat terhubung ke dirinya sendiri.

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i i vidg2igil /:d / : / / p t hthttp id

. d v3 j.ac acv.1i

v1

e n ej. u n . u b . i idgiigl ilib d / / : / / hthtp ttp: v4

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili v2 v2 ://d/idgigili /:d / : / / / p p : t t hthttp hthttp v1.ac.cid jej.a .id e n liibli.bu.un i g i ://d/dig hthtp ttp:/ v3

v4

v4



id 3 ca.cid.id (b)G ca.cid.(c)G ca.cid.id a a a . . . j j j 2 e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i li (a) graf sederhana,//(b) idgigi2.18: idggraf idgigili Gambar d igili ganda, dan (c) grafpsemu /:d /:d / / : : : / / / / / / p p : t t t hthttp hthttp hthttp









(a)G1





d d d d 24 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:suatu :p//:d / / / //dig / / / Berdasarkan jumlah simpul pada graf, maka secara umum graf dap p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt



pat digolongkan menjadi dua jenis:

d 1. Graf berhingga (limited ac.i .idgraph)

ca.cid.id ca.cid.id a a c . . . j j j a e e e ej. u.n nadalah nej. nej. .bu.n .bsimpulnya, .bu.n Graf berhingga graf yang jumlah n, berhingga. Graf u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili d /:d /graf /:d / / / : : : pada Gambar 2.18 adalah contoh yang berhingga. / / / / / / p p p : t t t hthttp hthttp hthttp

2. Graf tak-berhingga (unlimited graph)

.cid.id Graf yang jumlah n, tidak berhingga disebut graf c.cid.id j.asimpulnya, j.acbanyaknya

e j.a n eGraf u n . tak-berhingga. u b . i idgiigl ilib d / / : / / p hthtberhingga. ttp:

pada

ca.cid.id a . j a . . e e u.n nej contoh graf yang tidak nej .badalah .bu.n Gambar 2.19 u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt









Gambar 2.19: Graf tak-berhingga

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e Berdasarkanuorientasi secara nej. nej. arah pada sisi, imaka nej. umum graf dikelomnej. .bu.n .b.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i ig ili idgigili dua jenis: idgigili idgigili pokkan menjadi /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t ht ttp ht ttp hthttp 1. hGraf tak-berarah (undirected h graph) adalah graf yang sisinya tidak mem-


punyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang

c.idid

c.idid

c.idid

aj.aj ,cv.k )=(vk , vj ) adalah sisi ej.aj.ac. c. tidak diperhatikan . Jadi dihubungkannoleh sisi eje.aj.a neje.(v n e

b.uun

liibli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i :/ /d ://d/dig ://d/dig hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/ 2. Graf berarah (directed graph) adalah graf yang setiap sisinya diberikan yang igiigliilib. /dsama.

orientasi arah. Padaidgraf berarah (vj , vk ) dan (vk ,idvj ) menyatakan dua


ca.c.id ca.c.id ca.cid.id a a a . . . j j j . e e buah sisi yang dengan kata lainun(vej e ej. nberbeda, nej. .bu.n .b.un , vj k ) 6= (vk , vj ). Untukilisisi .bu.n u u b b b i i l l i i idgigili vertex) dan titik vk dinamakan idgigili (vj ,//vdk i)gtitik (initial igili vj dinamakan titik asal /:d /:d / / d : : : / / / / / / p p p : t t t hthtitik hthttp hthttp ttp terminal (terminal vertex).













d d d d 25 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p/berarah :p//:d / / / //dig / / / Gambar 2.11 adalah contoh graf sedangkan gambar 2.12 p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt adalah contoh graf tak-berarah.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e 2.4 Graf Khusus nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthDari hthttp terdapat beberapa famili hthgraf, ttp pengertian graf secara umum, ttp diantaranya; graf siklus, graf lengkap, graf dua partisi, graf dua partisi lengkap,

d did friendship, graf roda, cgraf d d aj.ca.ci .idgeneralisasi graf petersen, aj.ca.ci .graf aj.a.ci .idladder, dan masih ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e e khusus. u.n banyak lainnya. ne ne akan dijelaskan beberapa ngraf ne .bu.n .bBerikut .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / 1. ttGraf komplit, dinotasikan dengan K sebanyak n //dig / / / p p p n yang berderajat sama t t t t hhtt hhtt hhtt dimana setiap dua titik berbeda adalah tetangga. Kn adalah graf reguler

dengan derajat r = n−1. .id Gambar 2.20 menunjukkan .idkomplit graf K4 dan


aj.cac.id . j e K5 . n e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / t hthtp t

aj.cac.id . j e n e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / t hthtp t







K5 id id.id . c a aj.ca.c.id c . . j j a . e e j nGambar e e K5 2.20: Graf komplit.uKn dan liibli.bu.un liiblib.u4n i i g g i i :p//:d :p//:d /dig /dig / / p t t t t hthtp h t ht



K4

2. Graf Kipas (f an) ˆ n (n ≥ 3) adalah graf yang didapat dengan menghubungkan Graf kipas K

c.id.id

c.id.id

c.id.id

aj.aclintasan Pn dengan suatu je.graf je.ajtitik je.aj.ac semua titik dari .ac yang disebut pusat.une e e n n u u n n n . . . b u iliibl− iliiblivbn.u ib.1usisi. Misalkan c, v1 , vi2g, ..., Jadi, K ilib. dari n + 1 titik danig2n iˆgniliterdiri

://d/dig ://:d ://d/dig //dig p p hthtadalah hthtpusat, ttp:/ titik pada graf kipashthKtˆp tntpdengan ttp:/ maka c merupakan titik

ˆ n . Untuk contoh, cv1 , cv2 , ..., cvn , v1 v2 , v2 v3 , ..., vn−1 vn adalah sisi-sisi dari K d id.id ˆ n pada perhatikan K 2.21. ac.Gambar ac.i .id


ca.cid.id a c c . . . j j j a a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili 3. Graf Bintang /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t p pohon yang terdiri dari hthGraf hthttgraf htht1tptitik yang ttp bintang Sn , n ≥ 3 adalah













d d d d 26 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :pyang :p//:d / / / //dig / / / berderajat n − 1 dan n − 1 titik berderajat 1. Jadi, graf bintang Sn p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt terdiri dari n titik dan n − 1 sisi. Sebagai ilustrasi perhatikan graf S6 pada Gambar 2.22.










ˆ5 Gambar 2.21: Graf kipas K


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttvp3

v2


v4


d a1j.ca.ci .id . j v e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i gigili ili G dinamakan bipartit//djika idgiggraf idgigVilidapat dipartisi pada dua idbagian /:d /:d 4. Sebuah / / : : : / / / / / / p p p : t t t hthhimpunan hthttVp dan V sedemikian hingga hthttpsetiap sisi ttp yang tidak kosong


d aj5.ca.ci .id . j v e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhttc


Gambar 2.22: Graf bintang

1

2

pada E bergabung dengan titik pada V1 dengan titik V2 . Jika masing-

c.idid

c.idid

c.idid

. . a c. masing titik dalam di V2 , kemu- nej.a ej.aj.actitik-titik j.ac nej. j.aV1 adalah tetangga untuknsemua

b.uune

b.uune

b.uune

. liilib. li b. disimbolkan denganigiKliim,n diandG dikatakan graf bipartit komplit, igiig digiigiliyang d ig lib

:// /d :// /d :// /d p p p hthtdimana htht2.23. ttp:/ m = |V1 | dan n = |Vh2 |.thtSebagai ttp:/ contoh pada Gambar ttp:/


5. Graf whell dinotasikaniddengan Wn dengan jumlah jeruji id sebanyak n adalah









ca.c.id ca.c.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e graf yang mempunyai menghubungkan semua titikuneej. nej. titik x ditengahilyang nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l i igliibli.b.un i i l l g g g i i i i i sebanyak n pada sikel (cycle) (C ) sebagai contoh pada Gambar 2.24. g g d d d n i i i :// /d :// /d :// /d hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/









ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i (a) idgigili idgigili (b) idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp Gambar 2.23: Graf bipartit hth(a) ttp dan graf bipartit lengkaphthKtt3,3p






ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / Gambar 2.24: Graf whell W5 / / p p t t hthttp hthttp






6. Graf f riendship Fn adalah graf yang terdiri dari n segitiga dengan tepat

c.idid

c.idid

c.idid

a c. j.aj.ac. Gambar 2.25 adalah nej.aj.ac. 1 titik persekutuan nej. j.ayang disebut dengan titik nepusat. .uune

.bu.une .bu.une b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//://d :p//:d :p//:d / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 7. Generalisasi graf Petersen dinotasikan P (n, m) dengan n ≥ 3 dan 1 ≤

igliiblibf. riendship. contoh digigraf

m ≤ b n−1 c adalah graf 2 d luar yang berupa id reguler yang terdiri dari n isisi

ca.c.id ca.c.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e siklus, sisi dalam n nej.yang menghubungkan nevj.i vi+m dengan indeksilibdinej. .bu.n .butitik .bu.n u u u b b . i i l l i i ili idgdari idgyang idgigdan ambil d igilimodulo n dan sisi antara igili menghubungkan titik /:d /:d /:luar / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthtitik hthindeks ttp dalam yang mempunyai ttp sama. Catatan bahwahthbxcadalah ttp bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x. Generalisasi graf Petersen

id id ca.cid.id a . j . . . e e e j j j un un,ev0 , v1 , v2 , , vn−1 } danghimpunan une sisi E = {ui ui+1 , ugi vili+1 une bli.bu.n bli.b,-u.n i i {u0 , u1ig , uil2iib ,li,.bu.n−1 l i idigi idigi ig //:d //:d //:d d : : : / / / / / / p p p t t t v v }dengan i = 1, 2, 3....n − 1 dan semua indeks diambil pada modulo t t t hhtitpi+m hhttp hhttp . .id P (n, m), n ≥ 3 jdan c mempunyai titik V = .aca.c1.id≤ m ≤ b n−1 j.acachimpunan 2

n (dalam Slamin, 2001: 289), dimana ui adalah titik bagian luar dari generalisasi graf Petersen .id.id dari generalisasi c.id.iddan vi adalah titik bagiancdalam

je.aj.ac je.aj.ac e e n n graf Petersen. Gambar 2.26 merupakan graf petersen. u u igliibli.b.un igliibli.b.un g g i i d d i i :// /d :// /d hthtp hthtp ttp:/ ttp:/












d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt v8



d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p1//:d / / p v t t hhtt


v2


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili v7 /:d / : / / p t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i v3 c //digigili d : / / p : t hthttp



dv aj.ca.ci .i6d . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n v5 u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt











ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j P (6, 2) e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i ili idgigili idgigpetersen Gambar 2.26://Graf d /:d / : : / / / / p p : t t hthttp hthttp



v4

Gambar 2.25: Graf friendship F4

8. Graf Ladder yang dilambangkan dengan Ln adalah sebuah graf yang

id id ca.cid.id a . j . . . e e e j u.n nieuji+1 , vi vi+1 : 1 ≤ i ≤ nili−b.b1} ne nej .b=u.n .bu.n u u u b b i i dan E(L ) {u ∪ {u v : 1 ≤ i ≤ n} (Sugeng, l l i i n i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t 2005:78). Graf ladder mempunyai 2n titik, dan 3n − 2 sisi. Gambar 2.27 t t t hhtt hhtt hhtt . . d i , vi : 1 ≤ i ≤ n} berpadanan dengan j.acacK.i2d× Pn dengan titik V (Lj.na)ca=c.i{u

menunjukkan satu contoh graf Ladder dengan n = 5.
























Gambar 2.27: Graf ladder L5

29

d d d d aj.ca.ci .id2.5 Graf tangga permata aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgigil permata adalah salah://satu idgigfamily idgtangga d Graf tangga dari graf ladder. Graf igil /:d //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p : t t t t t t hhtt adalah sebuah graf yanghhdinotasikan hhttpV (Dln ) = ttp permata dengan Dln dimana {x , y , z ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ 2n} dan E(Dl ) = {x x

,y y

; 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪

i i j n i i+1 i i+1 id.id id.id . . .cid.id, x z , y z , y z ;- .ac.cid.id c c caz2i−1 a a a c c {x y ; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {z z ; 2 ≤ j ≤ 2n−2 genap} ∪ {x . . . j j j jej.a i i j j+1 i i 2i i 2i−1 i 2i a a e e e e j. j. j. n n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b igliilib. 2.28 merupakan graf igliilib. permata Dln dan pada igliilib. 1 ≤ i ≤ n}.ig Gambar idgiigliilib. idgtangga idgGamd d d i i i /:d / / / / / / d : : : / / // :// thtp barh2.29 contoh graf Dl4 . hthtp hthtp ttpadalah ttp:/ ttp:/





ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i i y/1idgigil /:d / : / p t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i i ... y:2//d/idgigil / p : t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i i yi ://d/idgigil / p : t hthttp

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigilGraf 2.6 Pelabelan /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt



d.id ca.cid.idfungsi bijektif dan barisan ca.ciaritmatika. ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / : : / / //dig / / p p t t hthttp hthttp











x1

z1

z2

...

x2

z3

z4

...

Gambar 2.28: Graf Tangga Permata Dln

xi

zj

Salah satu konsep dasar yang berkaitan dengan pelabelan graf adalah









ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i z6 zi5gili z4 //dig d : / / p : t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i z7 idgigiliz8 /:d / : / / p t hthttp

d d y3 aj.ca.ci .iyd2 aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i Gambar 2.29: Graf Tangga Permata Dl4 idgigil idgigil d d / / / / : : / / / / hthtp hthtp ttp: ttp:



x1

x2

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigzil2i z3 z1 /:d / : / / p t hthttp

x3

y1

2.6.1 Fungsi Bijektif dan Barisan Aritmatika

30

x4

y4

id himpunan A ke himpunan ca.cid.id ca.ciddari ca.cid.idB didefinisikan se- j.aca.cid.id Secara umum, fungsi . a a a . . . j j j e e e e n nej. nej. nej. A(dinamakan sebanej. .bu.n .bu.n .bu .bu.n u u u u b b b b bagai aturan yang memetakan setiap anggota himpunan . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p gaihdomain) kepada anggota himpunan B(dinamakan sebagai kodomain). Ist t t thttp hthttp hthttp tilah ”fungsi”, ”pemetaan”, ”peta”, ”transformasi”, dan ”operator” biasanya

d dipakai secara sinonim. c.id.id d d aj.ca.ci .id aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne yang dipetakan dapat ne apa saja (kata, orang, ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b Anggotailihimpunan berupa i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika t t t t t t hhtt hhtt hhtt seperti bilangan riil. Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi

ca.cid.idberikut. ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i ig ili idgigili /:d /:d / : / //dig / p t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgBigili f:A d /:→ / : / / p t hthttp


Yang artinya bahwa fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A

d did tiga, yaitu fungsi injektif, did d dan bijektif. aj.ca.ci .idkepada B. Jenis-jenisefungsi aj.ca.ci .ada aj.ca.ci .surjektif aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgif:gilA → B disebut fungsi://satu-satu idgigil atau fungsi injektif idgigdan Fungsi jika d /:d //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p : t t t t t t t untuk sebarang a1 danhah2 t∈tpA dengan a1 tidak sama dengan hhtjika hhttp a2 maka hanya berlaku f(a1 ) tidak sama dengan f(a2 ) .

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e Fungsi f: A → Bedisebut fungsi kepada atauufungsi nej. nej. nej. surjektif jika dan hanya nej. .bu.n .bu.n .b.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li ig ili idgigili b dalam kodomain B://terdapat idgigili paling tidak satu a :dalam idgigidojika untuk setiap d /:d /:d /:d / / : / / / //dig / / / p p p : t t t tp hthA hthttp fungsi ttpsehingga berlaku f (a) = hb.thtDengan main kata lain, suatu kodomain












d d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d /:d :p/sama :p//:d / / //dig / / surjektif dengan kisarannya (range). p p t t t t hhtt hhtt


Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut

id.id d surjektif. Gambar 2.30 fungsi j.ac.cid ca.cid.idmerupakan fungsi injektif ca.csekaligus ca.cid.imenunjukkan .id a a a . . . j j j a . . . . e e e e j j j j n e n e n e e u.n injektif, surjektif unbijektif. liibli.bu.un liibli.bdan liibli.bu.un liibli.bu.un i i i i g g g g i i i i /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p t t t t t t t hthtp h h t t ht A B h A B


d aj.ca.ci .id . j e ne .bua.n u b i l i i idgigil b :p//:d / / p t t hhtt c

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e 1 ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l 2 b i i i i idgigil idgigil 2 :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt 3hhtt c 3 1

a

4

d


ca.cid.id a . j e nej.( a ) .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

ca.cid.id a . j e ne(jb. ) .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t Aht ttp B h



1 d.id a i . c ca.cid.id aj.ac b a . . j j . e e ne nej .bu.n .bu.2n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil 3 c :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt



d.id d fungsi bijektif ca.ciinjektif, ca.cid.i(c) ca.cid.id a a a Gambar 2.30: (a) fungsi (b) fungsi surjektif dan . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / Barisan yang dibentuk dengan cara menambah atau mengurangi / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp suku


(c)

sebelumnya dengan suatu bilangan tetap tertentu disebut barisan aritmatika. (a)2, 6, 10, 14, 18, ..a . .c.cid .id

jej.a e n u n . u b . i (b)50, 40, giigl30, ilib20, 10, . . . id d / / : / / p hthtBarisan ttp: (a) mempunyai

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhttb = 4. Barisan (a) disebut hhbarisan tt beda, arit-

metika naik karena nilai suku-sukunya makin besar. Barisan (b) mempunyai

d.id ca.cid.idbeda, b = −10. Barisan ca.cidisebut ca.cid.idkarena nilai suku- j.aca.cid.id a a a . . . (b) barisan aritmetika turun j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i sukunya makin ig ili idgigili kecil. Suatu barisan :U//1d, idUgi2g, iUli3 , . . . disebut barisan :aritmetika idgigili /:d /:d /:d / / : / / / //dig / / / p p p : t t t thttp dua suku yang berurutan jikahselisih hthttpadalah tetap. Nilai untuk hthmenentukan ttp













d d d d 32 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / sukuttke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (a). 2, 6, p p p t t t t hhtt hhtt hhtt 10, 14, 18, . . . . Misalkan U1 , U2 , U3 , . . . adalah barisan aritmetika tersebut maka


ca.cid.id a . j a e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i U2 = 6ig= idgigili igi2li+ 4 = 2 + 4(1) /:d /:d / / d : : / / / / p p t t hthttp ht ttp U3 = 10 = 2 + 4 + 4 = 2 + 4(2)h


d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n ne ne .bu.n .bu.n un1)e u u bli.bu.− b b i i Un = 2g+ilii4(n l l i i i i idig idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhSecara hhtt (U1 ) = a dan beda suku yang hhtt berurutan tt umum, jika suku pertama

U1 = 2 = 2 + 4(0)j.ac.cid .id


...

adalah b maka dari rumus Un = 2 + 4(n − 1) diperoleh 2 adalah a dan 4 adalah

d ca.cid.idb. Oleh sebab itu, sukuj.ake-n ca.cid.idapat ca.cid.id dirumuskan a a . . j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i li − 1) ig ili idgigili Un /= aidg+ igib(n /:d /:d /:d / : : / / //dig / / p p t t hthttp hthttp


Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan arit-

jika negatif disebut barisan .cid.idmetika naik, sedangkan .cid.ibedanya .cid.id aritmetika turun. .ac.cid.id d c c c a a a . . . jej.a U1 , U2 , U3 , . . . , Un−1n, Uenjejdisebut jej.aU2 − U1 = U3 − U2 = nejej.a .a e e barisan aritmatika, jika n n u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ili=b konstanta. l ilib liibli.bu.un i i i i g g g g i i i i . . . = U − U n //d n−1 /:d : /dig ://d/dig ://d/dig //dig hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/ 2.6.2 Aksioma, Lemma, Teorema, Corollary, Konjektur dan Open Problem

ca.cid.id ca.cid.id yang diasumsikan benar. ca.cid.idAksioma tidak me- j.aca.cid.id a a a . . . j j j Aksioma adalah proposisi e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i merlukan/dpembuktian kebenaran lagi. /d Teorema ig ili idgigili idgigili adalah proposisi yang idgsudah igili /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p : : t t t p hthttpbenar. Bentuk khusus dari hthttteorema hthcorolarry ttp terbukti adalah lemma dan (akibat). Lemma adalah teorema sederhana yang digunakan dalam pembuk-

d d.id dd d tidak menarik namun pada pemaj.ca.ci .idtian teorema lain. Lemma aj.ca.cibiasanya aj.ca.ci .iberguna aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n ne ne lebih kompleks, yang nehal ini pembuktian tersene .bu.n .bu.yang .bu.n .bu.n u u u u buktian proposisi dalam b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p buthdapat lebih mudah dimengerti bila menggunakan sederetan lemma, set t thtp t t hhtt hhtt tt tiap lemma dibuktikan secara individual. Corollary (akibat) adalah teorema

atau dapat .cid.id ca.cid.idyang dapat dibentuk langsung ca.cid.id dari teorema yang telah cadibuktikan, ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e dikatakan corollary ej. teorema yang mengikuti nej. nadalah nej.dari teorema lain. Konnej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li ili ig ili idgigsebuah idgigili idgigibejektur adalah proposisi yang dipradugakan sebagai hal yang:/nyata, /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp













d d d d 33 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:asli, :p//:d :p//:d / / / //dig / / / nar, atau sebagian besarnya didasarkan pada landasan inkonklusif p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt (tanpa simpulan). Konjektur bertentangan dengan hipotesis (oleh karenanya berten-

atau prinsip), yang merupakan pernyataan id.id ca.cid.idtangan pula dengan teori, ca.caksioma, ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j . e e e e yang mengandung perjanjian menurut landasan diterima. Di dalam n nej. nej. nejdapat nej. .bu.n .bu.n .bu.yang .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ili ig ili idgikonjektur idgigiltidak idgigmegili matematika, adalah proposisi yang terbuktikan atau:/tidak /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp hthttp bukti atau juga teorema hthyang ttp dianggap pasti benar hadanya. merlukan Open problem (masalah terbuka atau pertanyaan terbuka) adalah beberapa masalah

d d d .cid.id aj.ca.ci .idyang dapat secara akurat aj.cadinyatakan, aj.ca.ci .id (tidak ada solusi ej.aj.ca.ci .id . . . dan belum diselesaikan j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i untuk diketahui). Contoh open problem dalam matematika, yang telah disei i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t lesaikan hhtt dan ditutup oleh penelitihdi hhtt Teorema httakhir abad kedua puluh, adalah Terakhir Fermat dan empat warna teorema peta. Sedangkan open problem

.cid.id ¨ adalah permasalahan Konigsberg. d ca.cid.idyang belum terselesaikan cacontohnya ca.cid.ijembatan ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / :p//:d : : / / / 2.6.3 ttp Definisi Pelabelan Graf //dig / / / p p t t hhtt hthttp hthttp Pelabelan graf G adalah sebuah pemetaan dari elemen-elemen graf G

d d d bulat positif. Jika domainnya adalah him.cid.id aj.ca.ci .id(titik dan sisi) terhadap aj.cabilangan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e e punan titik G imaka disebut pelabelan ne npelabelannya ne titik (vertex labeling),ilibsene .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i l l l i i i i i i i il il G maka pelabelannya ig il idgigdomainnya idgigsisi idgigil d /:d dangkan adalah himpunan disebut :p//:jika :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt hhtt hhtt pelabelan sisi (edge labeling). Jikahdomainya adalah kedua himpunan terse-

Gambar 2.31 id.idbut maka pelabelannyaacdisebut id.id pelabelan total (totalaclabeling). id.id . . . c ca.cid.id a a c c c . . . . j j j j a a a mengilustrasikan pelabelan dan total pada graf. neej. e e e j. nej. nej. titik, pelabelan isisi, nepelabelan .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l liibli.bu.un i i i i i i l l l g g g g i i i i i i i /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p t t t t t t t hthtp h h t ht ht


2

2

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i 4 1igigil d :p//:d / / p t t hhtt

9 d 6 d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i 4 1 7 3 igigil idgigil d :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt

1

4

2

5

8

5


ca.cid.id ca.cid.id3 ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bua.n .bu.n .bu.n u u u b b b c i i i b l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t p pelabelan Sisi (c) Pelabelan 2.31: (a) Pelabelan titik hthGambar hthtt(b) hthttptotal ttp









3





d d d d 34 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / Pada pelabelan titik, jumlah label dua titik yang menempel pada suatu p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt sisi disebut bobot sisi. Jika semua sisi mempunyai bobot sisi yang sama maka

id Jika semua sisi mempunyai ca.cid.iddisebut pelabelan titikj.asisi ca.cid.ajaib. ca.cid.id bobot sisi yang j.aca.cid.id a a . . j j e e e e j. berbeda dan himpunan barisan aritn nej. nej. bobot sisi dari semua nemembentuk nej. .bu.n .bu.n .bu.sisi .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li ig ili idgigilisuku pertama a dan beda idgidgimaka idgigili matika :dengan pelabelan tersebut disebut /:d /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp hthttp titik sisi anti ajaib (edgehantimagic hthttp pelabelan vertex labelling (EAVL)).

Sedangkan dalam pelabelan .cid.id .cid.id total, bobot sisi diartikan .cid.idsebagai jumlah la- .ac.cid.id c c c a a a . . . jej.a bel sisi dan label dua jetitik jej.a sisi. Jika semua sisi nejej.a e e e j.a yang menempel pada n n n suatu u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ilib l ilib liibli.bu.un i i i i g g g g i i i i g mempunyai sisi yang sama maka tersebut disebut:/pelabelan /:d /d ig dig :p//:d :p//:d //dig //dibobot //pelabelan thtp thtp thtp p://d t t t h h h t t t total-sisi-ajaib. Jika semua sisi mempunyai bobot sisi yang berbeda dan himpunan bobot sisi dari semua sisi membentuk barisan aritmetika dengan suku

.cid.id d ca.cid.idpertama a dan beda dj.maka ca.cid.ipelabelan capelabelan ca.cid.id a a a a . . . tersebut disebut total sisi anti j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ajaib (pelabelan ig ili idgigilitotal sisi antimagic) (Dartono, idgigili2006). idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp 2.6.4 Pelabelan Total Super (a, d)-sisi antimagic

d dd ca.cid.id f dari V (G) ke himpunan ca.cid.id aj.ca.ci .id ajsatu-satu aj.ca.ci .ibilangan Sebuah pemetaan bulat {1, 2, ej.a . . . j j j . . e e e e u.n ne ne titik (a, d)-sisi antimagic njika nej .bu.n .bpelabelan .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l 3, . . . , p} disebut himpunan bobot sisinya i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d //:d //:d : : : / / / //dig / / / p p p t t t t t t w(uv) hhttGp adalah {a, a + d, a + 2d, ..., hhatt+p (q − 1)d} hht=tpf (u) + f (v) pada semua sisi untuk a > 0 dan d ≥ 0 keduanya adalah bilangan bulat, sedangkan Pelabelan

.cid.id sebuah pemetaan satu-satu ca.cid.idtotal (a, d)-sisi antimagic caadalah ca.cid.idf dari V (G)∪E(G) j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e j. n nej. ne nej. bobot sisinya w(uv) nej. ke bilangan bulat 2, 3, ...p + q} sehingga lihimpunan = .bu.n .bu.{1, .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili d /:d /:d /:d f (u) t+ f:/(v) + f (uv)pada semua sisittp G:/adalah {a, a + d, a + 2d, ...,tatp+://:(q − 1)d} / / / //dig / / / p t hhttp hhttp hhttp untuk a > 0 dan d ≥ 0 keduanya bilangan bulat. Sebuah pelabelan total (a, d)-

antimagic jika f (v) = .cid.idsisi antimagic disebut.apelabelan .cid.id total super (a, d)-sisi .cid.id c c c ca.cid.id a a a . . . j j j j a a a . . . . e e e e {1, 2, 3, ...p} dan f (E) = {p + 1, p + 2, ...p + q}. nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:super :p//:d Dengan kata lain, pelabelan total (a, d)-sisi antimagicttpada sebuah / / / //dig / / / p p p t t t t hhtt hhtt hhtt graf G = (V, E) adalah pelabelan titik dengan bilangan bulat {1, 2, 3, ...p} dan

+idq} dari sebuah graf id.idpelabelan sisi dengan bilangan id.id bulat {p + 1, p + 2, ...p . . . id c c c ca.cid.id . a a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e G dimana p adalah banyaknya titik dan q adalah banyaknya sisi pada graf G,uneej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i igliibli.b∈.un i i i l l l g g g g i i i i i i i sedemikian hingga himpunan bobot dari sisinya adalah W = {w(x, y)|xy g g g d d d d i i i i /://d :////d :p//://d :// /d tp ttp hthtp hth− tt=p:{a, tt1)d} ttp:/ α(u) E(G)} a + d, a + 2d, ..., a + (q untuk a > 0 dan d ≥ h 0,hdimana













d d d d 35 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p//:d :p/label / / / //dig / / / adalah label dari titik u, α(v) adalah label dari titik v dan α(uv)adalah dari p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt sisi uv. Untuk mencari batas atas nilai beda d pelabelan total super (a, d)-sisi

d.id (dalam Dafik: ca.cid.idantimagic dapat ditentukan ca.cid.iddengan lemma berikutj.ainica.ciseperti ca.cid.id a a a . . . j j j e e e e 2007: 26-27). nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t 3 Lemma sebuah graf (p, hthttp 2.6.1 Jika hthq)ttpadalah pelabelan total superhth(a, ttpd)-sisi an2p+q−5 timagic maka d ≤

q−1

d ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .idBukti. f (V ) = {1, 2,e3,j.aj..., a a . . . j j j . . . e e e 1,upn+ e ne ne p} dan f (E) = {pi+ nej .bu.n .bu.n .b.un 2,j ..., p + q} .bu.n u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i l (p, q) mempunyai pelabelan ig il idgigigraf idgigil total super (a, d)-sisi:/antimagic idgigil Misalkan /:d /:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt pemetaan f : V (G) ∪ E(G) hhtt→ {1, 2, ..., p + q}. Nilai minimum hhttp yang dengan mungkin dari bobot sisi terkecil adalah dengan menjumlahkan dua label titik

.cid.idlabel sisi terkecil (p + 1), .cid.id ca.cid.idterkecil (1 dan 2) dengan casatu casehingga ca.cid.id diperoleh: a a a a . . . . j j j j . e e e e nej. n4.ejDapat nej. nej. .bu.n .bup.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i 1 + (p + 1) + 2 = + ditulis : l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p + 4 ≤hta ttp hthttp hthttp h Sedangkan pada sisi yang lain, nilai maksimum yang mungkin dari bobot sisi

d d d dua label titik cterbesar ca.cid.id aj.ca.ci .idterbesar adalah dengan aj.menjumlahkan aj.a.ci .id ((p − 1) dan p) ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n n dengan satu label ne neterbesar (p + q), sehingga ne ne .bu.n .bu.sisi .budiperoleh: .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i i i i i gigil ig il idg+ id idgigil igiq)l + p = 3p + q − 1. pDari /:d //:d //:d //:d (p − 1) (p sifat bobot SEATL yang tmenyatakan :+ : : / / / //dig / / / p p t t t t t hhttp hhttp hhttp bahwa a + (q − 1)d adalah suku terbesar, maka diperoleh:


d + (q − 1)d ≤ 3p + q − 1 c.id.id ⇔c.cia.id a . j je.aj.ac a . e e j n n e u u nq−1 bli.b3p .u+ igliibli.b.un ⇔ (p + 4) + (q −d1)d iglii≤ g g i i d i i //:/1/d− (p + 4) :// /d 3p + ttpq :− hthtp ttp:/ ⇔ d ≤ hhttp q−1 2p + q − 5 ⇔c.idid ≤ . q−1 ej.a.ac


d (2.1) ca.cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .id a a . . . j j j . . e e e ne nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i 2p+q−5 i i i i gigil q−1 sehingga diperoleh il ig il idgigil (2.1) terbukti bahwa://ddid≤ idgdigdari Dari persamaan /:d //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p : t t t t t t hhtt famili graf. hhttp hhttp berbagai 2

K.A. Sugeng, dkk (2005:169) lema ca.cid.id ca.cid.id mengatakan bahwa ca.cid.idberikut digunakan j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e j. nej. nej. neantimagic nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n untuk menemukan pelabelan total super (a, 1)-sisi pada gabungan u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / :p//:d : : / / / //dig / / / p p grafhtuntuk jumlah sisi ganjil. tp t t hthttp hthttp htt













d d d d 36 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:sebuah :p+//:d / / / //dig / / / 3 Lemma 2.6.2 Misalkan A merupakan himpunan, A = {c, c 1, c + 2, p p p t t t t t t t t t h h h t t t h h h . . . , c + k}, dengan k genap. Maka ada sebuah permutasi Π(A) dari anggota-anggota himpunan A sehingga A + Π(A) = {2c + k2 , 2c + 3k d d ac.ci .id1, 2c + 2 }. ac.ci .id

je. j.a e n u n . u b idgiigliilib. /:d //

k 2

+ 1, 2c +

k 2

+ 2, . . . , 2c +

3k 2

−

ca.cid.id ca.cid.id a a . . . j j j a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i idgigAiliadalah suatu himpunan idgi= ig ili gil{a /:d /:d / / Bukti.tp:Misal A ≤:/i/:d ≤/dkig+ 1} : / / i |ai = c + (i − 1), 1tp / / / p t hthttp hthttp hthttp dan k adalah genap. Definisi dari permutasi adalah Π(A) = {bi |1 ≤ i ≤ k + 1}

dari anggota A berikut: .cid.id c ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a ( . . . . e e e e u.n nej nce+j k + 1−i , jika i adalah nej 1 ≤ k + 1 nej .bu.n .bu.n .bganjil, .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i 2 2 i i i i ig il idgigbiil= idgigil idgigil /:d 2−i :p//:d :pi//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p c + k + , jika adalah genap, 2 ≤ i ≤ k t t t t t t 2 hhtt hhtt hhtt

dengan pembuktian langsung kita dapatkan: id.id id.id . . c c ca.cid.id ca.cid.id a a a a c c . . . . j j j j a a e e e e A + ¦(A) = {ai + bui |1 nej. n≤ejik. + 1} = nej. nej. .bu.n .b.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i k 1−i i li ig ili ig| i iganjil, idgigili 2c + 2 +//d 1 ≤ k + 1} ∪ {2c/+ kigi+ gi2li| i genap, 1 ≤ k} = ://d /:d /:d 2/dig d : : / / //dig / / / p p p : : t t t t p 3k } hth2ctt+ hthttp {2ch+htk2t,p2c + k2 + 1, . . . , 2c + 3k − 1, 2 2 dan kita mendapatkan hasil.

2

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e e ne npelabelan ne dan pelabelan totalilibsune .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n Secara harfiah, total (a, d)-sisi antimagic u u u u b b b i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / per (a, d)-sisi antimagic memuat perluasan gagasan dari total (a,ttd)-sisi magic //dig / / / p p p t t t t hhtt hhtt hhtt dan pelabelan total super (a, d)-sisi magic (Baca dan Miller, 2007:37).

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e j. (a,d)-sisi antimagic.upada j. tangga permata .une 2.6.5 Pelabelan Total n nej. neSuper negraf nej. .bu.n .bu.n u u u u b b b b . . i i i i l l l l i i i i b b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p Pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic pada graf tangga permata ini t t t hthttp hthttp hthttp belum ada yang menemukan sebelumnya. Peneliti akan mencoba menemukan

teknik berikut ini : .idd d pelabelannya dengan menggunakan d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.cac.i aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil EAVL (Edge Antimagic idgiVertex idgigil gil Labelling) pada graf /:d 1. menentukan Tangga :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Permata dengan teknik pattern recognition;


did did 2. dengan melihat pola pada gambar 2.32, selanjutnya ac.i .pelabelan ac.i .langkah









ca.cid.id a c c . . . j j j a a e e e n nej. fungsi bijektif dengan nej. bilangan bulat positif nej. .bu.n .bu.domain .bu.n adalah menentukan u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / 1, 2, 3, . . . , p; / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp



d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt 2




10


6

37


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i 4 1igigili /:d / d : / / p t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i 9 idgigi8li 5 /:d / : / / p t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i 12 diggili :p//://di t hthtp t


d did 7 aj.ca.ci .id aj.ca.ci .11 . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i Gambar 2.32: EAV Dl i i idgigil idgigil 3 :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt






3

3. selanjutnya menghitung bobot edge antimagic vertex labeling (EAVL). Dari

c.idid

c.idid

c.idid

a c. aac.adalah sebagai berikut:ej.aj.ac. gambar 2.33 tampak nej. j.a bahwa barisan bobot sisinya nej. j.(w) n b.uune

b.uune

b.uune

. li . ib. Terlihat bahwa bobotdEAVL 3, 4, d 5,ig . i.igl.ii,l23. barisan aritmatika igiigliilibmembentuk digiigilib

:// /d p hthtdengan ttp:/ beda 1;

:// /d hthtp ttp:/

c.id.id

did d aj.ca.ci .10 aj.ca.ci .id . . j j e e n ne ne .bu16 .bu.n u u b b . i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d 19 22 ttp://:d / / 11 14 / / p t t hhtt hhttp

2 neje.a j.ac 8

liibli.bu.un i g i ://d/dig3 6 hthtp ttp:/ 1

5

4

9

ca.cid.id a . j 4 une7ej. iibli.b.un l i g i g d i 10 :p//://d 3 t hthtp t

:// /d hthtp ttp:/

6

5

13

8

17

9

21

12

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j 15 23 12 e e nej. 20 nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili 18 idgigili /:d /:d 11 / / : : 7 / / / / p p t t hthttp hthttp

Gambar 2.33: EAV Dl3

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i l idgigil label sisi dari Super idgigiAntimagic idgigil 4. menentukan Edge Total Labeling//d :p//:d :p//:d :p:(SEATL) / / / / / / p p p t t t t t t hhuntuk hhPermata tt tt d = 0 pada graf Tangga (Dl3 ). Melengkapi h label htt titik pada Gambar 2.33 dengan melabeli sisi-sisinya sehingga menjadi pelabelan to-













tal.





d d d d 38 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:(a, :p//:d / / / //dig / / / 2.7 tHasil-Hasil Pelabelan Total Super d)-Sisi Antimagic pada Graf p p p t t t t t hhtiftt hhtt hhtt Diskonek-




did Tabel 2.2: dari pelabelan totalc.super idid (a, d)-edge c.iRingkasan

. je.aj.acpada je.aj.ac. e e n n antimagic graf disconnected. u u igliibli.b.un igliibli.b.un g g i i d d i i :// /d :// /d hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ Hasil Graf d Pn ∪ Pn+1

1≤d≤3

(i) d ∈ {1, 3} dan n ≥ 2

d.idd = 2 dan n ≥ 3 adalah ganjil d aj.ca.ci(ii) aj.ca.ci .id . . j j e e n ne ne .bu.n .bu.2005) u u b b (Sudarsana, iet al, i i l l i i i idgigil idgigil :pn//:d :p//:d / / / / p p nP2t∪ P 1 ≤ d ≤ 3 d ∈ {1, 2} dan n ≥2 t t t hhtt hhtt (Sudarsana, et al, 2005)

nP2 ∪ Pn+2

1≤d≤4

∈ {1, 2} dan n ≥ 1 idd.id . c ca.cid.id a a c . . j j a e e (Sudarsana, et al, 2005) nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigilid ≤ 5 idgigili mKn jika dan hanya jika /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hth2} ttpdan n ∈ {2, 3}, (i) d ∈ {0,

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttpOpen Problem

d = 2 untuk genap n

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i igigil //:d /d / p d= 3t:pfor n≥2 t t hht d ∈ {3, 4} untuk n ≥ 1


m ≥ 3 ganjil, atau


d.idd = 1 dan m, n ≥ 2, atau c.id.id aj.ca.ci(ii) . j je.aj.ac e e n n e u u (iii) d ∈ {3, 5} dan n = 2, n n . . giigliiblib.u giigliiblib.u i i d d / / / / m ≥ 2, atau : /d : d thtp tp:// h hthtp ttp:/ t (iv) d = 4 dan n = 2, m ≥ 3 ganjil


ca.cid.idSubmitted, 2008) ca.cid.id a a . . j j . e e nej. (i) jika d = 1 untukilisemua nmejdan .bu≤.n .bu.n u u b b i l mKn,n d 5 n i idgigili idgigili d d / / / / : : / / untuk n = 1 (ii) jikahdtt∈p {0,:/2} hthtp ttp:/ http

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l jika d ∈ {0, 2} untuk i idgigili /:d / : / / p t nh= tht3tpdan m ≥ 3 ganjil


d.id jhj d ∈ {3, 5} untuk n = 1 c.id.id .ci(iii) c a . jej.a je.aj.ac e dan semua m ≥ 2 une n u n n . . b.1udan giigliiblib.u giiglinibli= i i (iv) jhj d = 4 /untuk d d / / / : /d : /d hthtp hthtp ttp:/ ttpm:/ ≥ 3 ganjil semua



ca.cid.idSubmitted) ca.cid.id a a . . j j e j. e n nej. .bu.n mCn d.u≤ 2ne jika setiap u u b b . i i l l i i b ili idgigili idgigm, /:d /:d / / : : (i) d ∈ {0,t2} untuk n ≥ 3 ganjil / / / / p p t hthttp hthttp

(M. Baˇ ca dan C. Barrientos,

dan m ≥ 3 ganjil
















d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p Hasil t t hhtt

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil //:d :pOpen / / p Problem t t hhtt


ca.cid.id n ≥ 3 ca.cid.id a a . . j j e e (Dafik, et al, 2009) nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i mPn ://didgigilid ≤ 5 jika setiap ://didgigili / / p p : :// t hthttp htht3} ttpuntuk (i) d ∈ {1, semua m



d.idd ∈ {0, 2} untuk semua m, nc.id.id aj.ca.ci(ii) . j je.aj.ac e e n n e u u n n . . ganjil giigliiblib.u giigliiblib.u i i d d / / / / : /d : untuk /d semua m dan (iii) d ∈ {4, 5} hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ n=2



id.id (Dafik, et al, 2009) . c ca.cid.id a a . j mKn,n,n d ≤n2ej. j.acd ∈ {0, 1, 2} untuk m ganjil dan e nej. .bu.une .bu.n u b b i i l l i i n sembarang diggili idgigili /:d / : :p//://di / / p t (Dafik, t hthttp hthtp t et al, 2009)


d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p Graph d t t hhtt

(ii) d = 1 untuk semua m ≥ 2 dan

dan n

mKn,n,...n

d≤2

39

d ∈ {0, 1, 2} untuk m, n ganjil


d.id et al, 2006) d aj.ca.ci(Dafik, aj.ca.ci .id . . j j e e mCn ¯ K n d.u≤n 2ne jika setiap ne .bu.n u u b b . i i l l i i b i i il n ≥ 3 ganjil idgigil idgigm, /:d (i) d ∈ {0, 2}:/untuk :p//:d / / / / p p t t t t h ttp m ≥ 2 dan n ≥ 3 hhtt (ii) untukhsemua


d.id .cijika ca.cid.id mPn ∪ µCn d ≤ 2 j.ac setiap a . j a e e nej. (i) d ∈ {0, 2} untukilisetiap nme+j. µ .bu.n .bu.n u u b b i l i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p dan n ganjil t t hthttp hthttp


.cid.id (Dafik, et al, in press) .ac.cid.id c a . mK1,m ∪ K1,n du≤n3ejej.a d ∈ {0, 1, 2, 3} untuk nu+n1ejej.a liibli.b.un liibli.b.un i i g g faktor dari m i i ://d/dig ://d/dig hthtp hthtp ttp:/ ttp:et/ al, in press) (Dafik,




(M.Baˇ ca, et al, in press)

(ii) d = 1 untuk m genap

mK1,m ∪ Sk,1

d≤3


d ∈ {0, 1, 2, 3} untuk m, n sembarang

ca.cid.id (Dafik, et al, in press) j.aca.cid.id a . j e j. d ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5} untuk e n nej. m-caterpilar libd.u≤ 5ne .bu.n u u b . i l i i b idgigili idgigili /:d /:d / / m, n sembarang : : / / / / p p t t hthttp hthttp
























40

mLn

d≤2

∈ {0, 1, 2} untuk m, n ganjil .idid ca.cidd.id a . j je.aj.cac. . e e j n n (M. Fuad, 2009) e u u .un ilibi.b.un iglk,iiblin.bganjil g i d kP(n,2) ://d/idgigil d < 3 d ∈ {0, 1, 2}:untuk i //://d tp t p t hthtp h ttp:/ t h (Indayani.D.V , 2010)

jika d ∈ {0, 2}

mB(n,k)

d≤3

jika d ∈ {0, 2}

d ∈ {0, 1, 2, 3} untuk m ≥ 2, n ≥ 2,

d d aj.ca.ci .id dan k ≥ 4 aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u (K.Biyadi , 2010) b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / mF(n,k) d<4 d ∈ {0, 1,tt2,p3} untuk m ≥ 2, n ≥ 2, p t t hhtt hhtt dan k ≥ 3 id.id (Z.Abidin , 2010) . c ca.cid.id a a c . . j j a e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i m£(i,j ,k ) digigilid < 4 d ∈ {0, 1, 2, 3} d idgigilim ≥ 3, /://d /:/untuk / / : : / p p t t thtjtp= 2, dan k = 1 hthttp 1 ≤ i ≤hn, (R.Raty Rahmad , 2010)



ca.cid.id a . j untuk m genap.une nej. u b . i l i b li idgi1,gi2} jika d:∈ {0, /:d / / / p t hthttpk, n genap untuk d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :pd//:∈d / / • jika p t t hhtt {0, 2} untuk m,n genap dan k ≥ 3 untuk m, n genap

• jika d ∈ {1, 3} untuk

ca.cid.id a . j m ≥ 2 n ganjil dan k≥3 e nej. .bu.n u b i l i • jika d = ili idg3iguntuk /:d / : / / p t hthmtt≥p 3 ganjil dan n ≥ il ≥ 2 genap

d aj.ca.ci .id . j e m ≥ 3 ganjilb.dan u.n ne u i l i b i il idgi2gganjil /:d np≥:/il ≥ / / t t hhttpd ∈ {1, 3} untuk • jika • jika d ∈ {1, 3} untuk

m ≥ 3 genap dan

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. d ∈ {0, 1, 2} untukilm nej. .bu<.n .bu.3n u u b b i i mEn d 4 ≥ ganjil, l i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p n ≥ 3 t t hthttp hthttp

ca.cid.id a . j e j. umne≥ 3 bli.bu.n i • jika d = g 1 iuntuk l idigi /:d / : / / p dan n ≥ t hthttp 3 ganjil

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t tt j, 2) tt untuk m ≥ 3 ganjil dan sWh0h (3, d<3 d ∈ {0,h 1,h2}

(m ≥ 3 dan n ≥ 3) ganjilid

(Riza Deviyana , 2011)

s ganjil

n≥i≥2

• jika d = 3 untuk

ac. .id

j. ac • jika d = 3 untuk uneej. ib. .un

giigl ilnib≥ 3) genap (m ≥/d 3idan tp:/://d

thttpd ∈ {0, 1, 2} untuk •hjika 1 ≤ j ≤ m genap dan



(Yeni Anggraeni , 2011)ac.id c.id . j a . e j n e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / t hthtp t










1 ≤ k ≤ s genap













BAB 3

METODE PENELITIAN 3.1 Metode Penelitian

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id dalam penelitian iniej.adalah aj.ca.ci .iddeduktif aksioma- ej.aj.ca.ci .id . . Metode yang digunakan j j e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i tik, yaitu dengan menurunkan aksioma atau teorema yang telah ada, kemui i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t dian dalam pelabelan hhditerapkan hhtotal hhtt pada graf tt tt super (a, d)-sisi antimagic Tangga Permata baik yang tunggal maupun gabungan saling lepasnya. Dalam

id pada graf Tangga j.aca.cid.id ca.cid.idpenelitian ini, terlebihj.dahulu ca.cid.id akan ditentukan nilai jbeda ca.cid.(d) a a a . . j e e e e j. nej. nenilai nej. pelabelan total super nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n Permata, selanjutnya d tersebut diterapkan dalam u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / (a, d)-sisi antimagic pada graf Tangga Permata. Jika terdapat pelabelan to//dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp tal super (a, d)-sisi antimagic, maka akan dirumuskan bagaimana pola pela-

pada graf Tangga.iPermata tersebut ded.id .cid.idbelan total super (a, d)-sisi .cid.antimagic d i c c c ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j a a a . . . . e e e e ngan menggunakan pendeteksian pola.u(pattern n ej nej nmetode nej recognition) untukilmenej .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l i i i b i i i i l ig il idgigiumumnya. idgigil idgigil nentukan pola /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai beda (d) pada gabungan

saling lepas graf Tangga Permata, selanjutnya nilai d tersebut diterapkan dalam ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e pelabelan total super ej.d)-sisi antimagic padabgabungan nej. n(a, nej. saling lepas graf Tangga nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i i l l l l i i i i li ili ig ili idgigiterdapat idgigili(a, d)-sisi antimagic, maka idgig Permata. Jika pelabelan total akan d /:d /:d /:super /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp bagaimana pola pelabelan hthttp total super (a, d)-sisi antimagic hthttp pada dirumuskan gabungan saling lepas graf Tangga Permata tersebut dengan menggunakan

d d id.id aj.ca.ci .idmetode yang sama untuk aj.ca.cmenentukan aj.ca.ci .id pola umumnya. . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t 3.2 hh Definisi Operasional hhtt tt


Definisi operasional variabel digunakan untuk memberikan gambaran id.id id.id id.id . . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a secara sistematis dalam menghindari terjadinya perbe- neej. e e e nej. nej. penelitian dan untuk nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l liibli.bu.un i i i i i i i l l l g g g g i i i i i i i daan pengertian makna. Definisi operasional variabel yang dimaksud adalah /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p p t t t t t t t t t h h h sebagai ht berikut: ht ht









41





d d d aj.ca.ci .idBab 3. Metodologi Penelitian aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :pAntimagic / / //dig / / 3.2.1 ttp Pelabelan Total Super (a, d)-Sisi p t t hhtt hhtt


Misal p = |V | dan q = |E| maka pelabelan total (a, d)-sisi antimagic adalah

ca.cid.idsebuah pemetaan satu-satu ca.cid.fiddari V (G)∪E(G) ke bilangan ca.cid.idbulat {1, 2, 3 . . . , p+ j.aca.cid.id a a a . . . j j j . e e e e n ejf. (v) + f (w) pada semua nej. nejbobot n+ nej. .bu.n .bu.n .fbu(u) .bu.n q} sehingga himpunan sisinya w(uv) l= u u u u b b b b . i i i i l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili d d /:d /:bilangan / :p//:d :p//:untuk : sisi Gttp adalah {a, a + d, . . . , a + (q − t1)d} a > 0 dan d ≥ 0 adalah / / / //dig / / / p p t t hhtt hhtt hthttp bulat. Sebuah pelabelan total (a, d)- sisi antimagic disebut pelabelan total super

=id 1, p + 2, . . . , p + q}. .cid.id(a,d)-sisi antimagic jika.afc(V.cid.)id= {1, 2, 3 . . . p} dan {f (E) .cp.i+ d c c ca.cid.id a a a . . . j j j j a a a . . . . e e e e nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i gigil Permata (Dln ) ig il idTangga idgigil idgigil 3.2.2 Graf /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Graf Tangga Permata adalah salah satu family dari graf ladder. Graf

id.idTangga Permata adalahasebuah id.id graf yang dinotasikan adengan id.id Dln dimana V (Dln ) = ac.id.id . . . c c c a c 2n} dan E(Dln ) = {xi xei+1 . j.ja≤ je. j.ac {xi , yi , zj ; 1 ≤ i ≤ n,n1ej≤ je. j,.ayicyi+1 ; 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ neje. j.ac e n n e u u u n n n . . . u u u b b b iilib∪. {z z ; 2 ≤ j ≤ 2n−2iggenap} iilib. ∪ {x z , x z , y z i,gyilziibli.b;-u.un liilib. l l i i i g g i i {x y ; 1 ≤ i ≤ n} i i j j+1 i 2i−1 i 2i i 2i−1 /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /digi 2i //dig / / / p p p t t t t t t t t t h h h t n}. Gambar 3.1 merupakanhgraf t Tangga Permata Dln dan pada 1 ≤ ih≤ ht Gambar




3.2 adalah contoh graf Dl4 .

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i 1igigil d :p//:xd / / p t t hhtt

d aj.ca.ci .id . j e n. .e .bu.n u b i . l i i x/2/didgigil : / p t t hhttp:/

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i xi //digigil : /d hthtp ttp:/

... z4 ca.cid.id z3 ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp ... y y


Gambar c.id.id3.1: Graf Tangga Permata cDl.idn.id


z2

z1

2

1

je.aj.ac je.aj.ac e e n n u u n n . . giigliiblib.u giigliiblib.u i i d d / / / / : d : /d p tp:// hthtp hthtTangga tGabungan ttp:/ Permata (mDl 3.2.3 Saling Lepas Graf

n)

zj

yi

Gabungan saling lepas sebagai n ididefinisikan d.id id.id id.idgraf Tangga Permata mDl . . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e gabungan diskonektif Tangga j. sebanyak m copy graf u.n u.n nej. nedari nej. Permata yang memnej. .bu.n .bu.n . . u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i b b gigkili≤ ig ili idgigili titik V (mDln ) = {x:/ki/,dyidikg,igzjkil;i1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ 2n, 1 i≤ punyai himpunan /:d /:d /:d / / d : : / / / //dig / / / p p p : t t t thttphimpunan sisi E(mDl )h=thtt{x tht1, p k xk , yk yk ; 1 ≤ i ≤ nh− tp1 ≤ k ≤ m}hdan n i i+1 i i+1













d d d d 43 aj.ca.ci .idBab 3. Metodologi Penelitian aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idkgigil idgkigkil idgigil /:d :p//:kid :p//:d :p//:d / / / //dig / / / m} ∪ {x y ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m} ∪ {z z ; 2 ≤ j ≤ 2n − 2 genap, 1 ≤k≤ p p p t t t i j j+1 t t t hhtt hhtt hhtt k k k k k k k k m} ∪ {xi z2i−1 , xi z2i , yi z2i−1 , yi z2i ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m}. Dalam penelitian ini

id n untuk m > 2 dan jn.a>ca.ci2.d.idGambar 3.3 adalah j.aca.cid.id ca.cid.idkita akan membatasi pada ca.cid.mDl a a . . j j e e e e j. Tangga Permata dengan gabungan saling.lepas u.n nej. negraf nemj. = 2 dan 1 ≤ i ≤ 3. ilib.bu.n nej. .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp x hthttp ht ttp x3 x4 h x






1

2

d ajz.3ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t y2 hhtt y1 z1

z4

z2

.idd

ze6j.a.c ac.zi7

z5

nej .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t y3 hhtt

Gambar 3.2: Graf Tangga Permata Dl4

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili 1 /:d / : / x1 / p t hthttp z11

z21

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil y11 d / / : / / hthtp ttp: x21

ca.cid.id a . j e u.n nej. . u b i l i b idgigzi12li z22 /:d / : / / p t hthttp y12

c.id.id

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili 1://d x13 / x / p 2 : t hthttp

z31

z41

z51

z61

d aj.ca.ci .id . j e ne 1 .bu.n u b i l i 1 i y3 y2 /digigil :p/://d p t t hhtt x22

x2

y22

y32

3 id ca.c.id a . j . e j une b.un 2 ili lib. 2 g i z32 z i z z62 4ig 5 /:d / d : / / p t hthttp

c.id.id

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i ig il //dig p://d yh 4 tt ttp: h z8

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt

j.aj.acGabungan Graf Tangga je.aj.ac 2D3 Gambar unee3.3: unePermata

liibli.b.un i g i ://ddig tp:// hthtp t 3.3 Teknik Penelitian

liibli.b.un i g i ://d/dig hthtp ttp:/

Penelitian ini dilakukan ca.cid.id ca.cid.id pada graf Tangga Permata ca.cid.idbaik yang tunggal j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e j. n ej. lepasnya, jika pada nej. nsaling netersebut nej. .bu.n .bu.n .bugraf .bu.n maupun gabungan ditemukan pelau u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / :p//:d : : belanttp total super (a, d)-sisi antimagic maka dilanjutkan dengan pendeteksian / / / //dig / / / p p t t hhtt hthttp hthttp pola (pattern recognition). Adapun teknik penelitian adalah sebagai berikut:













d d d d 44 aj.ca.ci .idBab 3. Metodologi Penelitian aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p//:d :p/Dl / / / //dig / / / 1. ttmenghitung jumlah titik p dan sisi q pada graf diamond ladder p p p t t t t hhtt hhtt hhtt n ,





2. menentukan batas atas nilai beda d pada pada graf diamond ladder Dln

id

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili label EAV L (edge-antimagic idgigili vertex labeling) atau:/pelabelan idgigili /:d /:d /:d 3. menentukan / / : : / / / / / / p p p t t t hthtitik(a,d)-sisi htgraf ttp ttp diamond ladder Dl , hthttp antimagic pada h

. d sesuai dengan e Lemma j.a.cac.i2.6.1,

n

d.id did secara heuristik 4. apabila label EAV untuk beberapa graf acL.i berlaku ac.i .baik

ca.cid.id a c c . . . j j j a a . . . e e e nej maka dikatakanilpelabelan nej itu expandable sehingga nej maupunlideterminatik .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i l i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d dilanjutkan menentukan algoritma EAV L pada graf diamond ladder Dln , / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt

5. menentukan fungsi bijektif EAV L pada graf diamond ladder Dln ,

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e 6. melabeli graf Tangga SEAT nej. Permata Dln dengan nej. L (super edge antimagic nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i d)-sisi antimagic dengan ili idgigili atau pelabelan total://super idgigil(a, idgignilai total labeling) d /:d /:d / / : : / / / / / / p p p : t t t hthbeda hthttp hthttp ttp d yang feasible, 7. menentukan fungsicbejektif .idid pelabelan total super (a, id antimagic pada c.idd)-sisi

d aj.ac. aj.ac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e graf diamond ladder ne Dln . ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t h tt hhtt hhtt Untuk gabungan saling lepash graf Tangga Permata juga menggunakan

id.idteknik penelitian sepertiacyang id.idtelah disebutkan di atasanamun id.id diterapkan pada . . . .cid.id c c c a a c c c . . . . j j j j a a a a gabungan saling lepas graf Tangga Permata. Secara umum,langkah-langkah neej. e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l liibli.bu.un i i i i i i i l l l g g g g penelitian di atas dapat juga disajikan dalam bagan diagram alir pada gambar i i i i i i i /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p p t t t t t t t t t h h h 3.4. ht ht ht



















d d aj.ca.ci .idBab 3. Metodologi Penelitian aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt






Menghitung jumlah titik p

45

Menentukan batas atas nilai idid beda d sesuai 2. 61 .ac.c.lemma

ididn dan sisi q pada .ac.c.D

ca.cid.id a . j j j a a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t tp hthttp hthtunexpandable hthttp Menentukan algoritma Menentukan label EAV L fungsi bijektif EAV L

expandable


d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgiMenentukan idgigil gil algoritma fungsi :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt bijektif dari bobot sisi h EAV htt L



ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e n ej. menentukan fungsi b.u.n ndan nej. .busisi Melabeli u u b . i i l l i i b idgigili pada graf diamond ladder idgigili bijektifnya /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttpDn untuk setiap nilai d bersesuaian hthttp




c.idid



Kesimpulan ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n Keterangan: u u b b i i l l i i idgigili : Aliran kegiatan utama idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t p hthttp hthttalgoritma : Aliran pengecekan


je.aj.ac. Menentukan fungsi e n .bu.un L bijektif ilibiSEAT

idgigil :p//:d / / p t t hhtt

Gambar 3.4: Rancangan Penelitian





























BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dijelaskan hasil penelitian tentang pelabelan total super

d id.id id.id ca.cid.id aj.ca.ci .id(a, d)-sisi antimagic epada aj.ca.cgraf aj.ca.chasil . . . Diamon Ladder dengan akhirnya berupa ej.a j j j . e e ne ne ne nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i algoritma pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic pada graf Diamon Ladder. i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t Penelitian nilai d, menentukan EAV hhtt ini diawali dengan menentukan hhtt hhtt dan bobot sisi EAV kemudian menentukan SEAT L dan diakhiri dengan bobot sisi total

.cid.id SEAT L. ca.cid.idSEAT L untuk membuktikan ca.cid.idbahwa gabungan grafj.ini camerupakan ca.cid.id a a a a . . . j j j e e e e u.n u.n u.n nej. nej. nej. nej. .bu.n . . . u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i b b b Hasil iutama terkait dengan pelabelan li gigili dari penelitian yang//akan ig ili idgigidibahas idgigili d /:d /:d /:d / / d : : : / / / //dig / / / p p p : t t t thttp yang p Dl adalah lemma danhteorema total hthsuper hthttgraf ttp (a, d)-sisi antimagic pada diberi tanda ♦. Terdapat 2 (dua) lemma dan 6 (enam) teorema baru yang dite-

d d d d aj.ca.ci .idmukan secara eksperimental aj.ca.ci .iddalam penelitian ini.ejFormat aj.ca.ci .idpenyajian temuan ej.aj.ca.ci .id . . . j j e e n ne neini diawali dengan pernyataan ne lemma atau teoremailib ne .bu.n .bubab .bu.n .bu.n penelitian dalam keu u u u b b b . i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p/dilanjutkan :p//:d :p//:d / / / mudian dengan buktittdan contoh gambar atau ilustrasi sebagai //dig / / / p p p t t t t hhtt hhtt hhtt visualisasi kebenaran pembuktian teorema. Berikut ini akan dijelaskan tahap-

dan menjawab id.idtahap bagaimana lemma id.idteorema tersebut ditemukan id.isekaligus . . . d c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e rumusan masalahuyang nej. nej.telah disajikan sebelumnya. nej. nej. .bu.n .b.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t htJumlah hthttpTangga Permata (Dl ) hthttp ttp Titik dan Sisi pada Graf 4.1 h n

d Penentuan jumlahatitik ca.cid.idp dan jumlah sisi q merupakan ca.cid.idsyarat perlu dalam j.aca.cid.id aj.ca.ci .id a . . . j j j . . e e e e j n n n n e ejmengetahui jumlah titik ejumlah ej. u u u u n n n n . . . . penelitian ini. Dengan dan sisi, maka peneliti u u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : / / / dapat mengetahui seberapa banyak graf Dl mempunyai pelabelan total super //dig / / / hthtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: (a, d)-sisi antimagic. Untuk menentukan jumlah titik dan jumlah sisi graf terse-

but, terlebih dahulu akan .dicari jumlah titik dan jumlah.isisi graf Dl (Dln ) dan ca.cid.id cacid.id cacd.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e j. gabungan graf Dl sebuah ilustrasi n nej. nejn. ). Pada Gambar 4.1iliberikut nedisajikan nej. .bu.n .bu.(mDl .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i ili pada graf Dl (Dln ). //didgigili ig ili idgigili jumlah titik dan jumlah idgigsisi untuk menentukan /:d /:d /:d / / : : : / / / //dig / / p p t t hthttp hthttp hthtp ttp:/









46



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt





x1

id.ixd2 . c a je. j.ac e n u n . u b li . z1 /digiigilizb2 z3 / d : / / : p t hthtp t y1

y2

Jumlah Titik d ca.ci=d.i12 a . j . e Jumlah j = 21 n eSisi

liibli.bu.un i g i ://d/dx ig hthtp ttp:/ 1 z1

x2

z2





x3


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i z4 zi5gigili z6 /:d / d : / / p t hthttp y3

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / x3 / p t t hhtt z4

z3 d ca.ci .id a . j . e j une bli.bu.n i l i g y y2 i i 1ig /:d / d : / / p t Jumlah Titik = 16 hthttp

id.zi7d . c a je. j.ac e n u n . u b idgiigliilyi3b. d / / : / hthtp ttp:/

.idid

.idid

Jumlah Sisi = 29

z5

z6

47

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i digigil x4 ttp://://d hhttp z8

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i y4 idgigili /:d / : / / p t hthttp

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.une .bu.une .bu.n u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p/n,/:d / / / / / / p p p Graf Tangga Permata (Dl ) dimana V (Dl ) = {x , y , z ; 1 ≤ i ≤ 1 ≤j≤ t t t t t t n n i i j hhtt hhtt hhtt

aj.cac. Dl3 dan Dl4 j.aj.cac. titik dan jumlah sisi graf Gambar 4.1:ne Jumlah nej. pada

2n} . Sehingga jumlah titik pada graf Dl (Dln ) adalah 4n.

.cid.ipada d graf Dl (Dln ) merupakan ca.cid.id casisi ca.cid.idjumlah seluruh sisi j.aca.cid.id Sedangkan jumlah a a a . . . j j j . e e e e u.n nej. nejsuatu nej. pada graf tersebut.ilBernej. .bu.n .bu.n .blainnya .bu.n u u u u b b b b yang menghubungkan titik dengan titik i i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili idgigili d /:d /:d /:(Dl /:;d / / / : : : / / / //dig / / / p p p dasarkan definisi sisi Diamond Ladder ), E(Dl ) = {x x , y y 1 ≤i≤ t t t n i i+1 hti tti+1 hthttp hthttp n h p n − 1} ∪ {xi yi ; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {zj zj+1 ; j genap, 2 ≤ j ≤ 2n − 2} ∪ {xi z2i−1 ,-

d x z , y z , y z ; 1 ≤ i ≤dn} terlihat jelas bahwa graf dDl memiliki 8n − 3 d aj.ca.ci .id i 2i i 2i−1 i 2i ej.aj.ca.ci .id aj.ca.ci .idn aj.ca.ci .id . . . j j j e e e sisi. ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 4.2 Jumlah Titik dan Sisi pada Gabungan Graf Tangga Permata (mDln )

.cid.id ca.cid.id ca.cid.id sisi pada mDl dapat cditentukan ca.cid.id a a a a . . . . j j j j Jumlah titik dan jumlah dengan tera e e e n ne j. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.une .bu.n u u u b b b b i i i i l l l l i i i i lebih dahulu definisi gabungan giggraf ili suatu graf. Gabungan ili ig ili idgimencermati idgigpada idm gili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttpPermata Dln yang dinotasikan hthttp mDln didefinisikan sebagai hthttpgabungan Tangga













d d d d 48 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :pTangga :p1//:d / / / //dig / / / saling lepas dari m buah duplikat graf Permata (Dl ) dengan ≤ j≤m p p p t t t n t t t hhtt hhtt hhtt 1 2 3 m , ditulis: Dln ∪ Dln ∪ Dln ∪ ... ∪ Dln . Sehingga jumlah titik graf mDln adalah m

n .dan ca.cid.idkali jumlah titik graf Dl cacid.id jumlah sisi graf mDlnj.adalah ca.cid.id m kali jumlah sisi j.aca.cid.id a a a . . j j . q adalah jumlah sisiune . e e e j. graf Dln . Misalkan jumlah titik graf .mDl u.n nej. np eadalah nnejdan .bu.n .bu.n .b.unej u u u b b b b i i i i l l l l i i i i b gigili ig ili idgigili idgigili graf mDl ,/id maka: /:d /:nd /:d /:d / / / : : : / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp

p = m.(4n) ⇔ p = 4mn dan q = m.(8n − 3) ⇔ q = 8mn − 3m

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n ne neTangga Permata (Dlnil)ib.bu.n ne ne .bu.n .bu.n 4.3 Batas Atas d.buGraf u u u u b b b . i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhBatas hhtt (Dl ) dapat ditentukan hdengan tt atas d graf Tangga Permata htt mengn gunakan Lemma 2.6.1. Diketahui jumlah titik pada graf Dl adalah p = 4n dan

n id.id id.id id.id . . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . jumlah sisi q = 8n−3. Dengan demikian batas atas nilai beda d tersebut adalah: j j j j a a a e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili 2p +:/q/d −idg5igili /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / d ≤ p p p : t t t p1 hthttp hthqtt− hthttp



2(4n) + 8n − 3 − 5 d d 8n − 3 − 1 aj.ca.ci .id 8n + 8n − 8 aj.ca.ci .id . . j j e e = ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i 8n − 4 i i idgigil idgigil :p//:d :p//:8d / / 16n − / / p p t t t t hhtt = hhtt 8n − 4 ≤ 2 =


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthKarena hthmenggunakan hthpositif, bilangan bulat ttp pelabelan dalam SEAT ttp ttp maka

nilai d ≥ 0 dan d bilangan bulat. Sehingga dapat disimpulkan d ∈ {0, 1, 2}.

d d ca.cid.idsuper (a, d)-sisi an- j.aca.cid.id aj.ca.ci .idSelanjutnya akan ditentukan aj.ca.ci .idfungsi bijektif pelabelan aj.total . . . j j j e e e e n n n n e enilai d yang telah ditetapkan. e ej. u u u u n n n n . . . . timagic sesuai dengan u u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : / / / //dig / / / hthtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: 4.4 Batas Atas d pada Gabungan Graf Tangga Permata (mDln )

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e j. d gabungan graf Tangga ej. u.n Sedangkan (mDln ) juga dapat nej. neatas nPermata nej. .bu.n .bbatas .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ili Diketahui jumlah /titik ig ili idg idgig2.6.1. idgipada gili igili menggunakan Lemma /:d /:d /:d /:d / / ditentukan dengan : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp













d d d d 49 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:nd :p//:d :p/demikian / / / //dig / / / graf tmDl adalah p = 4mn dan jumlah sisi q = 8mn − 3m. Dengan p p p t t t t t hhtt hhtt hhtt





batas atas nilai beda d tersebut adalah:

ca.ci≤d.id 2p + q − 5 ca.cid.id a a d . . j j e e q−1 nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i li 3m − 5 idgigili idgigi− 2(4mn) + 8mn /:d /:d / / : : / / = / / p p t t hthttp hth8mn ttp − 3m − 1


8mn + 8mn − 3m − 5 8mn − 3m − 1 .cid.id 16mn c ca.cid.id a a − 3m − 5 . . j j a . . e e nej = 8mn − 3m −il1ib.bu.n nej .bu.n u u b i l i i i gig3il idgigil id− //:d :p//:d :p3m / / / / p p t t t t = 2 − hhtt h8mn htt − 3m − 1


ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e n ej. 3m−3 nej. < 1. Sedemikianilhingga nberlaku: .bu8mn−3m−1 .bu.n Karena 0ili< u u b b . i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp ht ttp 3m − 3 d ≤ h 2−


=

8mn − 3m − 1

⇔idd ≤ 2

d d aj.ca.c.id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhKarena tt pelabelan dalam SEAThmenggunakan bilangan bulathpositif, maka nilai d ≥ 0 dan d bilangan bulat. Sehingga dapat disimpulkan d ∈ {0, 1, 2}.

ca.cid.idSelanjutnya akan ditentukan ca.cid.idfungsi bijektif pelabelan ca.cid.idsuper (a, d)-sisi an- j.aca.cid.id a a a . . . j j j total e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i timagic sesuai nilai d yang telahdditetapkan. ili ig ili idgigdengan idgigili /:d /:d /://idgigili /:d / / / : : : / / //dig / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp

Total Super d)-sisi Antimagic pada Graf .cid.id4.5 Pelabelan .cid.i(a, .cid.id Tangga Permata .ac.cid.id d c c c a a a (Dl ) . . . n jej.a jej.a jej.a jej.a e e e e n n n n u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : Metode dalam menemukan pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic pa/ / / //dig / / / hthtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: da graf Tangga Permata terdiri dari beberapa langkah yang diawali dengan

id.idmenggunakan pendeteksian id.idpola (pattern recognition)auntuk id.idmenentukan pela. . . c c c ca.cid.id a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e belan yang berlaku j eyang ej. dengan batas i dan nej. nsampai nej. telah ditemukan.iliKenej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i li ig ili idgigimenentukan idgigili digunakan fungsi-fungsi idgdalam mudian /untuk pola secara//umum d igili /:d /:d /:d / : : : / / / //dig / / / p p p : t t t thttp bijektif hthttparitmatika untuk menentukan hthttpfungsi bijektifnya. Setelahhfungsi barisan













d d d d 50 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p//:d :p/membuk/ / / //dig / / / diketahui maka harus dibuktikan secara deduktif matematik untuk p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt tikan kebenaran dari lemma atau teorema. Perlu diketahui bahwa lemma atau

yang biimd id adalah bukan lemmaj.aatau ca.cid.idteorema dalam penelitian ca.cidini ca.cid.iteorema ca.cid.id . a a a . . . j j j e e e e plikatif atau karakteristik ej. dilakukan satu arah. nej. nej. sehingga pembuktiannya nhanya nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p Dari hasil penggabungan pola melalui pattern recognition dan konsep barit t t hthttp hthttp hthttp san aritmatika, maka diperoleh beberapa lemma, teorema dan akibat sebagai

dalam penelitian ini.tidak id.id bersifat tunggal .cid.idberikut. Teorema yang.aditemukan .cid.id c c c ca.cid.id a a a c . . . j j j j a a a . . . . e e e e (berkenaan dengan bersifat keberadaan ej ketunggalan) melainkan ej nej nsifat nhanya nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idginot idgigil idgigil gil unique). d (existence /:d :p//:but :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Setelah mengetahui batas atas nilai d, langkah selanjutnya adalah me-

d.id (a, d)-sisi antimagic dengan ca.cid.idnentukan pelabelan total ca.cisuper ca.cid.id terlebih dahulu j.aca.cid.id a a a . . . j j j . (a, 1)-sisi antimagic upada e e e j. Tangga Permata Dl4.u) ne menentukan pelabelan nej. nejtitik negraf nej. .bu.n .bu.n .b.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i b ig ili idgign )ili = {xi , yi , zj ; 1 ≤ i ≤:/n, idgigili gilij ≤ 2n} sekaligus menentukan dimana:/V/d(Dl 1idgi≤ /:d /:d /:d / : / / / //dig / / / p p p : t t t p hthttbijektifnya hthttp pola dan penggunaan konsep hthttp barisan fungsi melalui pengamatan aritmatika. Lemma 4.5.1 adalah lemma yang berkaitan dengan pelabelan titik

d id.id ca.cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .id(a, 1)-sisi Antimagic epada aj.ca.cGraf a . . . Tangga Permata Dle j j j n .j.a . . e e ne ne nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt Permata hhtt 4.5.1 Ada pelabelan titikh(3, 3 Lemma htt1)-sisi antimagic pada graf Tangga Dln jika n ≥ 2.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e Bukti. Labeli titik graf dengan u.n nej. nej. Tangga Permata Dlilinb.b nej. fungsi bijektif α1 , idefinej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i ili maka pelabelan α1 /dapat ig ili idgigili α1 : V (Dln ) → {1,:/2,/d.id.g.ig, 4n} idgigildinisikan :pelabelan /:d /:d /:d / : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttpsebagai berikut: hthttp hthttp tuliskan


d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e in ≤en u.n ne α1 (xi ) = 4i − 2, jikaili1b.≤ .bu.n u u b i l i b i i idgigil idgig1il ≤ i ≤ n α1 (yi ) = 4i t−p:1,//:d jika :p//:d / / / / p t t t tp hhtt hhtj+1 ((−1) + 1) α1 (zj ) = 2j −

2

, jika 2 ≤ j ≤ 2n


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e Dari persamaan ju u.n nej. nedij. atas, dapat dipahami nej.α1 (xi ), α1 (yi ) dan αi1li(z nej. .bu.n .bu.n .bbahwa .b).n u u u u b b b b i i i l l l i i i i ili ig ili idgigbijektif idgnigkeilihimpunan bilangan bulat idg{1, adalah fungsi yang memetakan//Dl d igil2,/:d /:d /:d / / : : : / / / //dig / / / p p p : t t t thttp Jika w didefinisikan sebagai hthttp bobot sisi pelabelan titik hthttαp1 dimana . . . ,h4n}. α 1













d d d d 51 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p//:d :p/titik / / / //dig / / / bobot sisi pelabelan titik diperoleh dari penjumlahan 2 buah label yang p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt bersisian, maka fungsi bijektif wα1 dapat ditentukan melalui pengamatan pola

.cid.id aritmatika sebagai berikut: ca.cid.iddan penggunaan konsep cabarisan ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ig ili idgigwili1 (x x ) = 8i; ://djika idgigi1li ≤ i ≤ n − 1 /:d /:d / : / / i i+1 //dig / / α p p : t t hthttp hthttp 2



1

wα1 (yi yi+1 )

= 8i + 2;

wα3 1 (xi yi )

8i − 3;

wα4 1 (zj zj+1 ) wα5 1 (xi z2i−1 ) wα6 1 (xi z2i )

4j + 1;

.cid.= id c a . jej.a = e n liibli.bu.un i g i = dig :p//:d / / p t t hhtt =

jika 1 ≤ i ≤ n − 1 jika 1 ≤ i ≤ n

c.id.id


j.a.ac− 2 genap jika 2 ≤ unje≤ej2n ib. .un

igiigl i1lib≤ i ≤ n 8i − 5; //djika tp: ://d

ttp jika 1 ≤ i ≤ n 8ih−th2;

wα7 1 (yi z2i−1 ) = 8i − 4;

jika 1 ≤ i ≤ n

.cid.= id 8i − 1; jika 1 ≤ i ≤j.anca.cid.id ca.cid.id )ac wα8 (yi z2i a . . j j a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p 5 t t t thttbobot thttpwα yaitu p bobot sisi EAV hini, sisi terkecil terletak h pada hthBerdasarkan ttp 1

1

8i − 5. Bobot sisi terbesar terletak pada

wα8 1

yaitu 8i − 1. Dengan mensubsti-

d id.id i = n untuk bobot sisiaterbesar, 2c.c dan ca.cid.id sehingga dapat j.aca.cid.id aj.ca.ci .idtusikan nilai i = 1, kej=.aj.S . . j j a . e e e n n n n e e 8 wαt = {3, 4, 5, b e−j 1} terdiri dari bilangan ej. u u u u n n n n . . . . membentuk himpunan . . . , 8n u u u u b b b . . . . i i i i t=1 igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : / / / bulatttberurutan. Dengan demikian α adalah suatu pelabelan titik (3, 1). 2 //dig / / / hthtp hthtp hhp ttp: t1tp: ttp: 1

1

2

3

8

Angka 1, 2, ..., 8 pada wα , wα , wα , . . . , wα bukan merupakan pangkat, id.id . c ca.cid.id w yang mempunyai ca.cid.id batas i dan j yang j.aca.cid.id a a a c . . . j j j melainkan untuk membedakan syarat a α e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li li berbeda-beda. 4.2 merupakan contoh ig ili idgigiGambar idgigilipelabelan titik beserta:/bobot idgigisisi /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t tp1. hthttp (3, 1)-sisi antimagic grafhthTangga ttp Permata (Dl4 ) denganhthdt= EAVLnya 1

1

1

1

1

d did d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .4.5.1 aj.ca.ci .id titik (3, 1)-sisi an- ej.aj.ca.ci .id . . . Berdasarkan Lemma maka diperoleh pelabelan j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i timagic dan dapat ditentukan pelabelan total super (a, 0)-sisi antimagic dengi i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t an h menentukan label sisi dari pelabelan hhtt titik yang telah ditemukan. hhtt Letak lahtt bel sisi ditentukan berdasarkan letak bobot sisi EAVL w dengan urutan yang

sisi w terkecil dilabeli adengan id ca.cid.idberkebalikan. Sehingga ca.cid.dengan ca.cid.id label sisi terbesar j.aca.cid.id a a . . . j j j e e e e nej. nej. dilabeli denganillabel nej.terkecil. Melalui penganej. .bu.n .bwu.n .bu.n .bu.n dan sisi dengan terbesar sisi u u u u b b b b i i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / matan pola dan penggunaan konsep barisan aritmatika, maka dapat //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp diten-











d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt 2 6


x1




x2

8

11 id 5c.c.id a . j a e9 j. 13 1 z1 2 n ne z3 5 b.zu u . i l i b idgigili /:4d / : 7 12 / / p t hthttp y 10 y 6

3


1

2

8

9

7

3

24

x4

ca.cid.13id 27 30 ca.cid.id a a . . j j e z4 17 z5 21.une z8 16 nz6ej.25 z7 29 nej. .bu.n u u b b . i i l l i i b idgigili diggili 23 /:d / : 31 15 tp://://di 20 / 28 / p t t tp p hthtt18 26 yh4ht y3

14

4

x3

16

52

19

22

12

15

11

d dd d ca.cid.id titik (3,1)-sisi antimagic aj.ca.ci .id aj.Pelabelan aj.ca.ci .ipada aj.ca.ci .id Gambar 4.2: Dl4 . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t tukan fungsi bijektifnya. Dari uraian di atas dapat diturunkan teorema 4.5.1: t t t hhtt hhtt hhtt

ca.cid.id3 Teorema 4.5.1 Ada jpelabelan ca.cid.id total super (12n, 0)-sisij.antimagic ca.cid.id pada graf Tangga j.aca.cid.id a a a . . j e e e e n nej. n2.ej. nej. nej. Permata Dln jika n.u.≥ .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp ht ttp Bukti. Labeli titik graf Tangga Permata Dl dengan α (xh ) = α (x ), n

2

i

1

i

j ) = α1 (zj ), definisikan label sisi α2 : E(Dln ) → d.idα2 (yi ) = α1 (yi ) dan α2 (z d.id d.id d i . . c c aj.ac {4n + 1, 4n + 2, . . . , e12n aj.a−ci3}, aj.ca.cipelabelan aj.ca.ci .id . . . . j j j j maka label sisi α untuk total super e e e 2 ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i (a, 0)-sisi/antimagic dirumuskan sebagai berikut:/digigil ig il idgigil pada graf Dln dapat idgigil /:d :p/:d :p//:d :/ /d / / //dig / / p p t t t t hhtt hthtp hhtt ttp:/



α2 (xi xi+1 )

= 12n − 8i,

jika 1 ≤ i ≤ n − 1

d.id 12n − 8i − 2, α2 (yi yi+1 ) c.i=

jika 1 ≤ ci .≤ id.ind− 1

α2 (xi z2i−1 ) = 12n − 8i + 5,

jika 1 ≤ i ≤ n

je.aj.ac e n α (x y ) = u liibl2i.b.ui ni i g i :p//:d /digα2 (zj zj+1 ) = / t hthtp t

ca.cid.id a a c . . j j a e e 12n − 8i + 3, ibjika n1e≤j. i ≤ n nej. .bu.n .bu.n u u b i l l i i id1,gigilijika 2 ≤ j ≤ 2n − 2 genap idgigili d /:d / 12n −tp4j://:− : / / / / p t hthttp hthttp

α2 (xi z2i )

= d.id 12n − 8i + 2, jika 1 ≤ ci .≤id.ind i . c cn je.aj.)ac= 12n − 8i + 4, jikane1je.≤aj.ai ≤ α2 (yinze 2i−1 u u n n . . b.u 1 ≤ i ≤ n giiglαiibl2ib(y.iuz2i ) = 12n − 8i/+ giigliiblijika 1, i i d d / / / : /d : /d hthtp hthtp ttp:/ ttp:/


Jika Wα2 didefinisikan sebagai bobot sisi pelabelan total α2 (xi ), α2 (yi ),

ca.cid.idα2 (zj ), α2 (xi xi+1 ), α2 (yji.yai+1 ca.c),id.iαd2 (xi yi ), α2 (zj zj+1 ), α2 (xji.za2i−1 ca.cid.),idα2 (xi z2i ), α2 (yi z2i−1 ) j.aca.cid.id a . j e e e e nej. nej.dapat diperoleh dengan nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i dan α (y z ) maka W menjumlahkan rumus bobot 2 i 2iig ili α ig ili idgigili idgigili ig /:d /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp wα = wα dan rumus label p j yang sisihEAVL hthttpsisi α2 dengan syarat batas hthittdan 2

1

2













d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / bersesuaian dan dapat dirumuskan sebagai berikut: p p t t t t hhtt hhtt



c c.iixdi+1 ); jika 1 ≤ i ≤ n − 1}j.acac.id Wα12 = {wα1 2e+j.a e j. jα.a2 (x


Wα22 = {wα2 2 + αc 2 (y .idiiydi+1 ); jika 1 ≤ i ≤ n − 1}







.id

.id

n e n e iibli.bu.un iibli.bu.un l l i i g g i i :p//:d /d=ig (8i) + (12n − 8i) ttpt:p//:d /dig / / t hthtp h t ht = 12n

d aj.ac. aj.ca.ci .id . . j j e e e ne .bu.n .bu.n u u b =ilib(8i +n2) + (12n − 8i − 2) i l i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt = 12n Wα32 = {wα3 2 + α2 (xi yi ); jika 1 ≤ i ≤ n}

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e = (8i −e ej.+ (12n − 8i + 3) n3) nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : = 12n / / / / p p t t hthttp hthttp

Wα42 = {wα4 2 + α2 (zj zj+1 ); jika 2 ≤ j ≤ 2n − 2 genap}

id


. .id − 4j − 1) = (4j + 1) j.a+cac(12n

e n ej. u n . u b . i ib idg=iigl il12n d / / : / / hthtp ttp5: 5

Wα2 = {wα2 + α2 (xi z2i−1 ); jika 1 ≤ i ≤ n} = (8i − 5) + .(12n idd − 8i + 5)

cac.i ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n =ilib12n u u b i l i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p 6 6 t t tpα = {wα + α2 (xi z2i ); jika hthtW hthtt1p≤ i ≤ n} 2

2

= (8i − 2) + (12n − 8i + 2)

53

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . . e e = 12n nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i il n} idg=igil{w7 + α (y z ); jika://1d≤ idgiig≤ W:/α7/:d / / 2 i 2i−1 α / / p p : t t t t hhttp hhttp














2

2

= (8i − 4) + (12n − 8i + 4)

= 12n





d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil 8 idgigil /:d /:d /≤ :p/α8/:d : / / //dig / / p p W = {w + α (y z ); jika 1 t t 2 i 2i t t α hhtt hhttp i ≤ n}


2

2


= (8i − 1) + (12n − 8i + 1)

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p 1 2 8 t t t bahwa Wα = Wα h =th·t·t·p= Wα = 12n. Atau dapathth dituliskan sehthTampak ttp ttp S = 12n

2

bagai berikut:

8 t=1

Wαt 2

2

2

= {12n, 12n, . . . , 12n}. Dapat disimpulkan bahwa graf

d d dd super(a, d)-sisi d aj.ca.ci .idTangga Permata Dlnedengan aj.ca.ci .idn ≥ 2, mempunyai pelabelan aj.ca.ci .itotal aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e ne nePermata Dln mempunyai ne .bu.n .bu.an .bu.n .bu.n antimagic dengan =ne 12n dan d = 0, atau graf Tangga u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / Pelabelan Total Super (12n, 0)-sisi antimagic jika n ≥ 2. 2 //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 1

2

8

Angka 1, 2,. . ., 8 pada Wα , Wα , . . . , Wα bukan merupakan pangkat, meid.id . c ca.cid.idW yang mempunyai jsyarat ca.cid.idbatas i, dan k yang j.aca.cid.id a a a c . . . j j lainkan untuk membedakan a α e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li berbeda-beda. 4.3 merupakan /contoh ig ili idgigiGambar idgigili pelabelan total super:(48, idg0)-sisi d igili /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttp (SEAT L) pada graf Tangga hthttpPermata Dl4 . hthttp antimagic



2

2

2

2

2

14

10

6

x3 id x ca.cid.id x4 ca.cid.id 32 40.ac.c.id2 24 a a . . j j j a . . . e e e n ej 13 21 18 42 .unnej 29 26 45 37 34 8 nej .bu.n 9 ilib.u.un12 u 4u b b 5 . i i l l i i b b i i i idgigil z2 39 z3 35 z4 31://dzidg5igi27l idgigil z/8/d/16 z6 23 z7 19 1 z:1//d/43 : / / / / p p p : : : t t t t t t hhttp hhttp hhttp 25 20 36 33 28 17 41 44 x1

y1

38

y2

30

y3

22

y4

ca.cid.id7 ca.cid.id 15 ca.cid.id a a a 11 3 . . . j j j e e e nej.4.3: SEATL graf Dl i(Dl nej. d = 0 nej. .bu.n .bu).n .bu.n u u u b b b i i i l l l Gambar dengan i i idgigili idgigili 4 idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Berdasarkan Lemma 4.5.1 maka diperoleh pelabelan titik (3, 1)-sisi an-

d d id antimagic de- j.aca.cid.id ca.cid.2)-sisi aj.ca.ci .idtimagic dan dapat ditentukan aj.ca.ci .id pelabelan total super aj.(a, . . . j j j e e e e n n n n e e sisi dari pelabelan titik e telah ditemukan. Letak ej. u u u u n n n n ngan menentukan label yang . . . . u u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : labelttsisi ditentukan berdasarkan letak bobot sisi EAVL w dengan urutan yang / / / //dig / / / hhp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: yang sama. Sehingga sisi dengan w terkecil dilabeli dengan label sisi terkecil

dengan label sisi terbesar, d.id id.iddan sisi dengan w terbesar idilabeli id.id dimana E(Dln ) = . . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e {xi xi+1 , yi yi+1 ; 1 ≤ ie≤ n nej. nej.n − 1} ∪ {xi yi ; 1 ≤ iliib≤.bu.n} ne∪j.{zj zj+1 ; j genap, 2 ≤iljib≤ nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b i i l l i i ili , xi z2i , yi z2i−1 , yi z2i ; 1 ≤ ili Melalui pengamatan//pola ili ig ili idgiizg2i−1 idgigdan 2n − 2} ∪ {x iig ≤ign}. d /:d /:d /:d / / d : : : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttp hthttp maka dapat ditentukan hthfungsi ttp bijekpenggunaan konsep barisan aritmatika,












d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / tifnya. Dari uraian di atas dapat diturunkan teorema 4.5.2: p p t t t t hhtt hhtt


ca.cid.id3 Teorema 4.5.2 Ada pelabelan ca.cid.id total super (4n+4, 2)-sisi ca.cid.id pada graf Tangga j.aca.cid.id a a a antimagic . . . j j j e e e e n nej. n2.ej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n Permata Dln jika n.u.≥ u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Bukti. Labeli titik graf Tangga Permata Dln dengan α3 (xi ) = α1 (xi ),

α3 : E(Dln ) → .cid.idα3 (yi ) = α1 (yi ) dan α.a3 (z .cji)d.id= α1 (zj ), definisikan label .cid.sisi d i c c c ca.cid.id a a a . . . j j j j a a a . . . . e e e e {4n + 1, 4n + 2, ..u . .n, n 12n untuk ej − 3}, maka label sisib.αu.3n nej nej pelabelan total super nej .bu.n .bu.n u u u u b b b . i i i i l l l l i i i i b b i i i i ig il idgigil pada graf Tangga:/Permata idgigil Dln dapat dirumuskan idgigil d (a, 2)-sisi sebagai /:d /:d //:d :p//:antimagic : / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhttp hhttp berikut:



d.id 4n + 8i − 2, α3 (xi xi+1 ) c.i=

je.aj.ac e n u iglαiibl3i.b(y.iuyni+1 ) = g i d i = :// /d α3 (xi yi ) hthtp ttp:/ α3 (zj zj+1 )

=

jika 1 ≤ i c≤.id n .id− 1

ca.cid.id a a c . . j j a eeji. ≤ n − 1 e 4n + 8i, jika 1n≤ nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i li idgigijika idgigili /:d /:d / / 4n + t8i − 5, 1≤i≤n : : / / / / p p t ht ttp hthttp 4n +h4j − 1, jika 2 ≤ j ≤ 2n − 2 genap

α3 (xi z2i−1 ) = d 4n + 8i − 7,

jika 1 ≤ i ≤ d n .ci .id .ci .id c c a a . . j) j.a = 4n + 8i − 4, jika n1e≤jeji.a≤ n α3 (xn i ze 2ie u n . u b bli.bu.un . i lαilib(y z ) = 4n + 8i − 6,igiliijika i g i 1≤i≤n 3 i 2i−1 dig dig :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt tt − 3, jika 1 ≤ i ≤ n α3 (yi z2i ) = 4n h +h8i


Jika Wα didefinisikan ca.cid.id ca.cid.idsebagai bobot sisi pelabelan ca.cid.idtotal α3 (xi ), α3 (yi ), j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e α3 (zj ), α3 (xi xi+1b),.uαn ),.uαn nej. nei yj.i+1 ), α3 (xi yi ), α3 (zj zj+1 nei zj.2i−1 ), α3 (xi z2i ), α3 (yiizli2i−1 nej. 3 (y 3 (x .bu.n .bu).n u u u u b b b . . i i i l l l i i i b b gigili menjumlahkan rumus ili W dapat diperoleh ig ili idengan idgbobot dig)igmaka igili /:d /:d /:d dan α3p(y / / / d : : : i/:z//2id α / / //dig / / p p t t t hthttp hthttp ht ttp sisi EAVL w = w dan rumus label sisi α dengan syarat batashi dan j yang


3

3

α1

α3

3

bersesuaian dan dapat dirumuskan sebagai berikut:

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e n n+eα3 (xi xi+1 ); jika 1 ≤ iil≤ n1}e .bu.1n .bnu.− u u b i Wα1 ig=iliib {w α i i l idgigil dig :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt = (8i) + (4n + 8i − 2) 3

3

= 4n + 16i − 2


















d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil 2 idgigil /:d /1/:d :p/α2/:d : / / //dig / / p p W = {w + α (y y ); jika ≤ t t 3 i i+1 t t α hhtt hhttp i ≤ n − 1}







3


3

= (8i + 2) + (4n + 8i)

.idd

ca.cid.id a . j e ne nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i 3 + α3 (xi yi ); jika 1 ≤/diig≤ign} ili W:/α3/d/idg= igil{w α / d : / / / p p : : t t hthttp hthttp


= 4n +e16i j.aj.c+ ac2.i

3

3

= (8i − 3) + (4n + 8i − 5) = 4n + 16i c −.i8d .id

d d aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e u.n n+eα3 (zj zj+1 ); jika 2 ≤ jili≤b.b2n ne2 genap} ne .bu.4n .bu.n u u u b i − {w Wα4 ig=iliib l i α i i i l idgigil idgigil dig :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hh−tt1) hhtt = (4j + 1) + (4n + 4j 3

3

= 4n + 8j

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j 5 e j. e Wα5 = {w u.n n+eα3 (xi z2i−1 ); jika 1 ≤ iili≤ nej. .bu.αn .bn} u u b b i l i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / = (8i − 5) + (4n + 8i − 7) p p t t hthttp hthttp 3


3

= 4n + 16i − 12

.id

d aj.ca.ci .id . j e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idg=igil(8i − 2) + (4n + 8i − 4)://didgigil :p//:d / / / p t t hthtp hhtt ttp:/


c c.iizd2i ); jika 1 ≤ i ≤ n} Wα63 = {wα6 3e+j.a jα.a3 (x = 4n + 16i − 6

Wα73 = {wα7 3 + αc 3 (y .idiizd2i−1 ); jika 1 ≤ i ≤ n}

ca.cid.id . a a c . . j j a e e ej.+ (4n + 8i − 6) n4) nej. .bu.n .bu.n u u b =ilib (8i − i l i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp = 4n + 16i − 10 hthttp


Wα83 = {wα8 3 + α3 (yi z2i ); jika 1 ≤ i ≤ n}

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e = (8i −n1) e + (4n + 8i − 3) ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / = 4n + 16i − 4 / / p p t t t t hhtt hhtt 1

2


3

8

Perhatikan Himpunan bobot sisi Wα = {Wα , Wα ,idWα , . . . , Wα }. Tamid.id id.id . . c c ca.c.id ca.cid.id a a a a c c . . . . 5 j j j j a a e e e pak bahwa bobotun terletak pada Wuαne j. ej. bobot sisi terbesar ternej. neterkecil nej. .bu.n .b.usisi .b.undan .bu.n u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i = 1 pada Wα5 diperoleh gigα8il.i Dengan mensubstitusikan ig ili idW idgigilnilai idgigili letak pada /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp 3

3

3

3

3

3

3

3













d d d d 57 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :pα/5/:d :p/substitusi / / / //dig / / / Wα t= 4n + 4, substitusi i = 2 pada W diperoleh W = 4n + 6,. . . , p p p t t t α t t hhtt hhtt hhtt 8 3

3

3

i = n pada Wα3 diperoleh Wα3 = 20n − 4. Dapat dinyatakan bahwa Wα3 mem-

aritmatika .dengan .cid.id2 (dua), atau dapat .ac.cid.id ca.cid.idbentuk barisan cacid.id suku awal 4n+4 dan cbeda S a a a . . . j j j jej.a 8 a t e e=e{4n e e j. j. + 4, 4n + 6, 4n + 8 . ...u, n20n j. 4}. Dapat disimpulkan dituliskan t=1 W − n n e e αnn u u u n n n . . . u u u u b b b b lib. lib. giigliilib. Permata Dln mempunyai idgiigliilib. idTangga idgiigliipelabelan idgiigliiand d d bahwa graf total super(a, d)-sisi /:d / / / / / / : : : / / // p :// ttp hthtp ttpdengan ttp:/ graf Tangga Permata Dlhnthtmempunyai ttp:/ timagic a = 4n+4 dan d =h2hatau 3

Super (4n + 4, 2)- EAT; n ≥ 2. Sehingga terbukti bahwa pelabelan total α (x ),

3 i d.id d.id d.id d i i i . . . c c c aj.ac α3 (yi ), α3 (zj ), α3 (xi xei+1 aj),.acα3 (yi yi+1 ), α3 (xi yi ), α3 (zej zjj+1 aj.a),cα3 (xi z2i−1 ), α3 (xi z2i ), ej.aj.ca.ci .id . . . j j e n n ne ne ne ne .bu.n .bu(y .busuper .bu.n u u u u b b b b . . i i i i l l l l i i i i α (y z ) dan α z ) adalah pelabelan total (a, 2)-sisi antimagic jika i i i i 3 i 2i−1 ig il 3 i 2i ig il idgigil idgigil /:d dig :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t n ≥h2. 2 hhtt hhtt htt

1 2 8 Angka 1, 2, . . . , 8 pada pangkat, meid.id id.W . . α , Wα , . . . , Wα bukan merupakan d i c c ca.cid.id ca.cid.id a a a a c c . . . . j j j j a a e e e e j. lainkan untuk membedakan Wα yang mempunyai batas i dan j yang nej. nej. nesyarat nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d berbeda-beda. / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp 3

3

3

3

Jika α3 (z) adalah label sisi Dln untuk d = 2 dan α2 (z) adalah label sisi Dln

d untuk d = 0 maka berdasarkan d dsisi yang ditentukan d urutan peletakkan label aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e berdasarkan letak bobot dirumuskan label sisi Dln untuk ne ne sisi EAVL w dapatilib ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d d = 2, pyaitu: :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt


α3 (z) = 2p + q + 1id − α2 (z)

ca.c.id ca.cid.id a a . . j j e e = 2(4n) ne+j. (8n − 3) + 1 − α2 (z) nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgig=ili 16n − 2 − α2 (z) idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp


Gambar 4.4 merupakan contoh pelabelan total super (24, 2)-sisi antimagic

d dd d d Dl5 . aj.ca.ci .id(SEAT L) pada graf eTangga aj.ca.ci .iPermata aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgpelabelan idgiantimagic idgigLadgil Untuk total super (a, d)-sisi pada graf Diamond igil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t t hhtsebuah httn dengan d = 1, penulis hakan htt membuktikannya melalui derhDl teorema yang dikembangkan dari Lemma 2.6.2 yang telah dibuktikan pada bab

.cid.id penulis mengem- .ac.cid.id d ditemukan tersebut, ca.cid.id2. Berdasarkan lemmaj.a ca.cid.itelah camaka a a yang . . j j jej.a e e e e j. j. j. n n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b iilib. bangkan lemma menjadi sebuah teorema b. idgiigliilib. idgiigliilitersebut idgiigliilib. baru untuk menentukan idgiiglpelad d d /:d / / / / / / : : : // :// graf Tangga Permata belan tp:// super (a, d)-sisi antimagic tpn://dengan hthtp hthtp hthtp ttotal ttppada tDl











d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / d = 1. p t t hhtt

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i ig ili /:d 1 z1 //dig


2





14

10

6

d x3 x1 ca.xci4d.id x.2ac.ci .id a . 34 j j 26 42 a . e neej45 u.n nej.32 8 . 21 48 24 40 ilib.u.un u 29 b 37 i l 13 i 9 12 b b 4ig ili 5 i l g i i g g d d i i :// z/d 27 z3 31 z4 35 zt5tp:p39//://d z6 43 z7 47 h23thtp hhtt ttp:/ 2

22

30

25

28

y1

33

38

46

41

36

y2

44

49

y4

58

18

ca.cid.id a . j uneej. 56.b.un 17 53gilib 16 idigili /:d / : / z z8 51 z10 20 / 9 p t hthttp 55 x5

50

54

57

52

y3 y5 .cid.id .cid.id c c ca.cid.id a a a . . . j j j 15 19 a a 7 11 3 . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i il 5 ) dengan d = 2 idgigilGambar 4.4: SEATL graf idgig(Dl idgigil Dl :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt

d n mempunyai pelabelanj.atotal d (8n + 2, 1)-sisi j.ac.cid.id ca.cid.id3 Teorema 4.5.3 Suatuj.agraf ca.cid.iDl ca.cid.isuper a . j e e e e j. j. j. j.a antimagic untuk n.u≥n2. n n n e e e e u u u n n n n . . . u u u u b b b b idgiigliilib. idgiigliilib. idgiigliilib. idgiigliilib. d d d /:d / / / / / / : : : / / // p :// hthtBukti. hthtp hthtnp ttp:/ Sebagaimana tercantum ttpdalam ttp≥:/ 2, pelaLemma 2.6.2, untuk belan titik α1 pada graf Dln dari Lemma 4.5.1 adalah pelabelan (3, 1)-EAV. Misal

d d d ca.cicd.i+d 1, c + 2, . . . , c + k} membentuk aj.ca.ci .idbarisannya adalah Ae=j.aj{c, aj.ca.ci .id himpunan bobot ej.aj.ca.ci .id . . j j . e e n e u.n ne neα1 untuk c = 3 dan kil= n4. ne .bu.n .bu.titik .b8n .bu.n u u u u b b b b i i i i sisi dari pelabelan − Pada Lemma 2.6.1, Π(A) l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil £ ://d/idgigil 8n+2 ¤ d /:d :p//:d 16n−2 p://16n−2 / / //dig / / / p : : tp t t darihtanggotanya A antara lain A + Π(A) − c + = {c + , c + + 1, t t hh¤ ttp 2 2 hhttp 2 htt32n−10 £ 8n+2 . . . , c+

2

. Jika Π(A) − c +

2

adalah label sisi dari Dln maka A+[Π(A)−

8n+2 ] 2

membentuk himpunan id hasil pelabelan j.aca.cid.id ca.cid.idc + ca.cid.id bobot sisi dari Dln , jyang ca.cidmana . a a a . . . j j e e e e total super (8n b +.u 2,n 1)-EAT. 2 nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b . i i i i l l l l i i i i b ig ili idgigili idgigili digigili /:d /:d /:d / / : : / / 14 tp://://d 2 10 //dig / / 6 p p t t hthttp x hthttp ht ttp x3 x4 h x



1

31

2

43

39

40

35

36

32 13 19 8 9 12 d d i i . . d d i i c c ca.cid.id 24 20 . . 28j.az c 26 a z4 z8 16 . z2 e z5 22 z6j.a.ac z7 18 1 z1 30 j 3 a . . e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i 41 25 l 17 45igig29 33 idgig37il 21 idgigil dy i :p//:d :p38//:d :p//:d / / / / / / p p p 34 42 t t t y t t t y y 4 1 2 3 hhtt hhtt hhtt 44

4

5

27

3

7

23

11

15

Gambar 4.5: Pelabelan ctotal (SEAT L) pada Dl4 .id.idsuper (34, 1)-sisi antimagic c.id .id
















d d d d 59 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / 4.6 tPelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Gabungan Graf Tangga p p p t t t t t hhPermata hhtt hhtt tt (mDln )

d d)-sisi antimagic j.ac.cid.id Metode dalam .menemukan pelabelan total super ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.i(a, a a a . . j j j e e e e j. j. j. j.a n n n n e e e e u u u u n n n n . . . . pada gabungan graf Dl terdiri dari beberapa langkah yang diawali dengan u u u u b b b b n idgiigliilib. idgiigliilib. idgiigliilib. idgiigliilib. d d d /:d / / / / / / : : : / pendeteksian pola (pattern / recognition) untuk menentukan / pelamenggunakan // hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/ belan yang berlaku sampai dengan batas i, j dan k yang telah ditemukan. Ke-

secara umum digunakan dalam .cid.idmudian untuk menentukan .cid.ipola .cid.ifungsi-fungsi d d c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e barisan aritmatika n nej nej menentukan fungsiilibijektifnya. nej Setelah fungsi bijektif nej .bu.n .bu.untuk .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil harus dibuktikan secara idgigil idgigil diketahui maka deduktif matematik untuk:/membuk/:d /:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t p hhkebenaran hhttlemma tt htt tikan dari lemma atauhteorema. Perlu diketahui bahwa dan teorema dalam penelitian ini adalah bukan lemma atau teorema yang biim-

.cid.id id ca.cid.idplikatif atau karakteristik casehingga ca.cid.dilakukan ca.cid.id a a a a pembuktiannya hanya satu arah. . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ili ili ig ili idgigilpenggabungan idgigpattern idgigbariDari hasil pola melalui recognition dan konsep /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp thttp hthttp lemma, teorema danhakibat sanharitmatika, maka diperoleh beberapa sebagai berikut. Teorema yang ditemukan dalam penelitian ini tidak bersifat tunggal

d dd .cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .id(berkenaan dengan esifat aj.caketunggalan) aj.ca.ci .ibersifat melainkanehanya keberadaan ej.a . . . j j j . e u.n ne ne ne nej .bu.n .bunique). .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i (existence but not i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t t hhttnilai d, langkah selanjutnya hhtadalah hhSetelah tt mengetahui batas atas menentukan pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic dengan terlebih dahulu

.cid.id ca.cid.idmenentukan pelabelan ca.cid.id(a, 1)-sisi antimagic pada cagabungan ca.cid.id a a a a titik graf Tangga . . . . j j j j e e e e j. nej. nejV. (mD ) = {xk , yk , z kil;i1b.b≤u.n n≤en, nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i Permata mDl dimana i 1 ≤ j ≤ 2n, 1 ≤ k ≤ m} n i i igjgili ig ili idgign ili idgigili i /:d /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p t t t sekaligus hthttp menentukan fungsi bijektifnya hthttp melalui pengamatan pola hthttpdan penggunaan konsep barisan aritmatika. Lemma 4.6.1 adalah lemma yang berkaitan

d d.id Antimagic Gabunganc.Graf d d ca.ci1)-sisi aj.ca.ci .iddengan pelabelan titik aj.(a, aj.aci .id Tangga Permata ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n mDln . u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 3 Lemma 4.6.1 Ada pelabelan titik ( 3m+3 , 1)-sisi antimagic pada gabungan Graf Di2 amond Ladder mDl jika m ganjil, m ≥ 3 dan n ≥ 2. d d n .i d .i d .idd

je.aj.cac.i e n u igliibli.b.un g i d i /://d

cac.i cac.i ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgiLabeli idgigili Permata mDln dengan idgfungsi Bukti. Tangga gili titik gabungan graf igili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t tp → {1, 2,hthttpα4 , untuk 1 ≤ k ≤ m, definisikan hthttp pelabelan α4 : V (mDl hthnt)) bijektif













d d d d 60 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / . . . , 4nm} maka pelabelan α dapat dituliskan sebagai berikut: p p p t t t 4 t t t hhtt hhtt hhtt



 ca.cid.id; (8i−5)m+k a .  j e n  ej.2 n(8i−6)m+k  .bu u b  . i l i  ; idgigili  2  /:d / : / / p t k (8i−4)m−2k+2 hthttpα4 (xi ) = ; 2   (8i−6)m+k+1   ;  2   d  (8i−5)m+k+1 i . j.ac2c.id ;

     

2 (8i−4)m+k+1 ; 2 (8i−3)m+k+1 ; 2 (8i−3)m+k ; 2 (8i−4)m+k ; 2

ca.cid.id = neje.a n j. .bu  u b . i l  i idgigili   /:d  / : /  / p t  hthttp


.c.id  j.ac a . e (4j−4)m+k+1 u.n ; nej 2 .b  u b  i l i  i l g i i  (4j−3)m+k+1 ; ://d/dig   2   hthtp ttp:/  (4j−2)m+k+1  ;   2   (4j−1)m+k+1   ;  2 id  . d  i c . (4j−3)m+k  e a je. j.2ac ; u.n n . α4 (zjk )li= u b (4j−4)m+k ; idgiigilib  d 2 /  / :  / / p :  t (4j−1)m+k  hthttp ;   2   (4j−2)m+k   ;  2   d (4j−2)m−2k+2 i  .   je.aj.ca2c.id ;  e  n 4jm−2k+2 u n . giliblib.u 2 ;


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i genap idgigili /:d / : / / p t hthttp sembarang

b.uun

ili b. jika i/d ≡ig1(mod igili 3) dan k

:/ /d thtp hjika ttpi:/≡ 2(mod 3)

dan k

jika i ≡ 3(mod 3) dan k ganjil

ca.ckid.id ca.cid.id jika i ≡ 3(mod 3) jdan genap a a . . j a . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t  t t t hhtt hhtt (8i−2)m−2k+2 hhtt  ; jika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang 



c.idid

.aj.ack. ganjil jika i ≡ 1(mod n3)ejedan

α4 (yik )

id

idigi :p//:d / / p t t hhtt

jika i ≡ 2(mod 3) dan kdganjil

.ci .id .cid.id c c a a . . j j a a jika i ≡ 2(mod n3)eedan . k genap e nej. .bu.un j .bu.n u b b i i l l i i jika i/d ≡ig3(mod idgigili igili 3) dan k ganjil p://:d / d : / / / / p : t t thttpi ≡ 3(mod 3) dan k genaphthttp hjika d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e jika j ≡ 1(mod 6) nedan k ganjil ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idg1(mod idgigil igil 6) dan k genap p://:d jika ≡ :p/j/:d / / / / p t t t t hhtt h ttp jika j ≡ 2(mod 6) dan k ganjil h jika j ≡ 2(mod 6) dan kd genap

ca.ci .id ca.cid.id a a . . j j jika j ≡ 3(modn6) dan k ganjil e nej. nej. .bu.ue .bu.n u b b i i l l i i jika j/d≡ig3(mod idgigili igili 6) dan k genap p://:d / d : / / / / p : t t thttpj ≡ 4(mod 6) dan k ganjilhthttp hjika jika j ≡ 4(mod 6) dan k genap

d ca.cid.id a . j a . . e e j j u6)nedan k sembarang gilibli.bu.n une bli.bu.n jika j ≡g6(mod i l i idigi idigi :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt k k jika j ≡ 5(mod 6) j.dan ac.cik.idsembarang

Fungsi bijektif pada α4 (xki , α4 (yi ) dan α4 (zj ) dapat direduksi sebagai berikut:    


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b k i l i α4 (xi ) =diggili :p//:/ /di   t hthtp t









k (8i−5)m+k − ( (−1)4 +1 )m; 2 (8i−4)m−2k+2 ; 2 k+1 (8i−5)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m; 2

c.idid

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i dan k sembarang idgigili /:d / : / / p t dan h kthsembarang ttp

jika i ≡n1(mod ej.aj.ac3). dan k sembarang

u.une liiblii.b≡ i jika 2(mod 3) g i ig /:d / d : / / p t hthttp jika i ≡ 3(mod 3)



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt  (8i−2)m−2k+2



α4 (yik )

  

;

  

          



jika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang jika i ≡ 2(modc.3) ididdan k sembarang

je.aj.ac. e n jika bi .≡ 3(mod 3) u liilib.un i g i :p//:d /dig / t hthtp t

k+1 (4j−3)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m; 2 k+1 (4j−1)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m; 2 k (4j−3)m+k − ( (−1)4 +1 )m; 2 (4j−1)m+k (−1)k +1 − ( )m; 2 4 (4j−2)m−2k+2 ; 2 4jm−2k+2 ; 2

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b α4 (zjk ) = i l i i idgigil    :p//:d / / p  t t hhtt       


2 k+1 (8i−3)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m; 2 k (8i−3)m+k − ( (−1)4 +1 )m; 2

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp  =


ca.cid.id a . j e dan k sembarangb.un nej. u . i l i b idgigili /:d / : / / p t hthttp

jika j ≡ 1(mod 6) dan k sembarang jika j ≡ 2(mod .6) id dan k sembarang

d aj.cac.id aj.ca.ci .id . . j j e e jika j.≡ 3(mod u.n ne 6) dan k sembarang ne .bu.n u u b b i i l l i i b i i idgigilj ≡ 4(mod 6) dan k sembarang idgigil jika :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt jika j ≡ 5(mod 6) dan hkhsembarang tt jika j ≡ 6(mod 6) dan k sembarang

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e k uneej. nej. nedij. atas, dapat dipahami nejα. 4 (xki ), α4 (yik ) dan αi4l(z Dari persamaan bahwa .bu.n .bu.n .bu.n u u u j. ).un b b b b i i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili idgigilib d d d /:d / / / / / / : : : adalah fungsi bijektif yang memetakan mDl ke himpunan bilangan bulat / / n / {1, 2,// hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/ . . . , 4nm}. Jika wα4 didefinisikan sebagai bobot sisi pelabelan titik α4 dimana

dari penjumlahan 2 ibuah id.id .cid.idbobot sisi pelabelan titik .diperoleh .cd.id label titik yang .ac.cid.id c c c a a a c . . . jej.a bersisian, maka fungsi jebijektif jemelalui e e e wα dapat ditentukan pengamatan polaunejej.a j.a j.a n n n u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ilibkonsep barisan aritmatika lsebagai liibli.b.un i i i i b i l g g g g i i i i i dan penggunaan berikut: /:d ://d/dig ://d/dig ://d/dig //dig hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/ k k




4

Bobot pada sisi xi xi+1

wα1 4 (xki xki+1 )

15m−k+2 + (i − 1)8m; 2 14m−k+2 + (i − 1)8m; 2 30m−k+3 + (i − 2)8m; 2 31m−k+3 + (i − 2)8m; 2 45m+2k+1 + (i − 3)8m; 2

ca.cid.id a . j e wα2 (xk ixki+1 ) = nej. .bu.n u b i l i id)gigi=li /:d wα3 (xpki :x/ki+1 / / t t tp 4hhtk k =

4 4

wα4 (xi xi+1 )

=

wα5 4 (xki xki+1 )

=

jika i ≡ 1(mod id dan k ganjil c.id3)

je.aj.ac. e n jikab.iu≡ 1(mod 3) liilib.un i g i ig i ≡ 2(mod 3) :p//:d /djika / t hthtp t

ca.cid.id a . j e dan k genap b.un nej. u . i l i b idgigili /:d dan k pganjil / : / / t hthttp

jika i ≡ 2(mod 3) dan k genap

jika i ≡ 3(mod 3) dan k sembarang d.id d d i . c aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n ne ne .bu.n .bu.n u u k b b .unyeik yi+1 i i liibli.busisi l l i i i Bobotig pada i i idgigil idgigil ://d/dig 18m−k+3 :p//:d :p//:d / / / / p p t t 6http ktpk:/ t t hhtt jika i ≡ 1(mod 3) dan hkhganjil wα (y + (i − 1)8m; tt hti yi+1 ) = 2 4

k ) wα7 4 (yik yi+1 8 k k wα4 (yi yi+1 ) k ) wα9 4 (yik yi+1 k ) wα104 (yik yi+1

=

19m−k+3 + (i − 1)8m; 2 33m+2k+1 + (i − 2)8m; 2 51m−k+2 + (i − 3)8m; 2 50m−k+2 + (i − 3)8m; 2


= ca.cid.id a . j e nej. .bu.n = u b i l i idgigili /:d / : / / = p t hthttp

jej.a e n u n . jika i ≡ 3(mod 3) u b igliilib. g i d i :// /d hthtp ttp:/ jika i ≡ 3(mod 3)









id jika i ≡ 2(mod .ac.c3).iddan k sembarang

ca.cid.id a . j ne j. dan k ganjil ilibi.bu.une idgigil :p//:d / / dan kttgenap p hhtt



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d k k :p//:d / //dig / Bobot p t t hhtt pada sisi xi yi 9m−k+2 11 k k wα4 (xi yi ) =





+ (i − 1)8m;

62


2 8m−k+2 + (i − 1)8m; 2 24m−k+3 + (i − 2)8m; 2 25m−k+3 + (i − 2)8m; 2 39m+2k+1 + (i − 3)8m; 2


wα124 (xki yik ) wα134 (xki yik ) wα144 (xki yik ) wα154 (xki yik )


d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e n ne ne ne .bu15m+2k+1 .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i 16 k k l l l i i i i i i wα (zj zj+1 + (j − 2)4m;/dig jikail j ≡ 2(mod 6) dan k sembarang id)gig=il idgigil 2 :p/k/:d :p/://dig :p//:d / / / / p p p t t t 33m−k+2 17 k t t t t hhtt wαh(z + (j − 4)4m; jika j ≡ 4(mod 6) danhkhtganjil htjtzj+1 ) = 2





ca.cid.id a . j e = b.un nej. u . i l i b idg= igili /:d / : / / p t hthttp =

=

jika i ≡ 1(mod c3) .iddan id k genap

ca.cid.id . a a c . . j j a e e n jika ib≡.u2(mod nej. 3) dan k ganjil ilib.bu.n nej. u u . i l i b i idgigiil≡ idgigili /:d /:d jika 2(mod 3) dan k genap / / : : / / / / p p t t thttp hthttp jika i ≡ 3(mod 3) dan khsembarang

.id

k cac.id Bobot pada sisiezjj.ka jz.j+1

4

4

k ) wα184 (zjk zj+1 k wα194 (zjk zj+1 ) 20 k k wα4 (zj zj+1 )

=

32m−k+2 2 48m−k+3 2 49m−k+3 2

+ (j − 4)4m;

jika j ≡ 4(mod 6) dan k genap

id.i(jd − 6)4m; jika j ≡ 6(mod iddan k ganjil = ca.+ ca.cid6) ca.cid.id . a a a c . . . j j j e e e n ej. 6) dan k genap b.u.n nej. + (j − 6)4m; jika n6(mod nej. .bu.n .bu≡ = j u u u b b . i i i l l l i i i b idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Bobot pada sisi xk z k i 2i−1

k wα214 (xki z2i−1 ) k wα224 (xki z2i−1 ) k wα234 (xki z2i−1 ) 24 k k wα4 (xi z2i−1 ) k wα254 (xki z2i−1 )

3m+2k+1 2 21m−k+2 2 20m−k+2 2 36m−k+3 2 37m−k+3 2

d.iddan k sembarang .ci+d.id(i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod .ci3) c c ca.cid.id a a a . . . j j j a a . . . e e e ≡n2(mod =.unnej + (i − 2)8m; jika i.u nej 3) dan k ganjil ilib.bu.n nej u u u b b . . i i l l i i b b i i i gigili ≡ 2(mod 3) dan k genap idgigi=l idjika idgigil + (i − 2)8m; :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt tt htt jika i ≡ 3(mod 3) dan hkhganjil + (i − h 3)8m; = =

=

+ (i − 3)8m;


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e ne j. nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b .unxeki z2ik i i Bobotig pada liibli.busisi l l i i i idgigili idgigili /:d /:d //d ig 9m+2k+1 / / : : / / / / 26 ttp k : k://d p p t t thttp wαh(xtitp + (i − 1)8m; hthttp jika i ≡ 1(mod 3) dan k hsembarang 2 h z2i ) = 4

k wα274 (xki z2i ) 28 k k wα4 (xi z2i ) k wα294 (xki z2i ) k ) wα304 (xki z2i

=

27m−k+2 2 26m−k+2 2 42m−k+3 2 43m−k+3 2

+ (i − 2)8m;


d d +.i(i 3).id id k genap aj.ca aj.ca aj.ca.ci .id c.id− 2)8m; jika i ≡ 2(mod c.dan . . . j j j e e e n =lib.u.n ne + (i − 3)8m; jika iliib≡.bu3(mod ne 3) dan k ganjil ilib.bu.n ne u u u . i b i i i l idgi=gil idgigi i≡ idgigil d :p//:d :p//:jika :p//:d + (i − 3)8m; 3(mod 3) dan k genap / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt =















d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d k k :p//:d / //dig / Bobot p t t hhtt pada sisi yi z2i−1 6m−k+3 31 k k wα4 (yi z2i−1 ) =





+ (i − 1)8m;

2 7m−k+3 + (i − 1)8m; 2 21m+2k+1 + (i − 2)8m; 2 39m−k+2 + (i − 3)8m; 2 38m−k+2 + (i − 3)8m; 2

63



k ) wα324 (yik z2i−1 k wα334 (yik z2i−1 ) k wα344 (yik z2i−1 ) 35 k k wα4 (yi z2i−1 )


d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e un e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i k l l igliibli.12m−k+3 i i b.u2n + (i − 1)8m; djika i i wα36 (yik z2i )dig= i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil g il idgigil :// di 13m−k+3 :p//://idig :p//:d / / p p t t 37 ttp ktpk:// t t hhtt jika i ≡ 1(mod 3) dan khgenap wαh(y + (i − 1)8m; hti z2i ) = htt 2






ca.cid.id a . j e = nej. .bu.n u b i l i ili idgig= /:d / : / / p t hthttp =

=

jika i ≡ 1(mod c.id3)id dan k genap

je.aj.ac. e jikab.iu≡n 2(mod 3) liilib.un i g i ig i ≡ 3(mod 3) :p//:d /djika / t hthtp t jika i ≡ 3(mod 3)

ca.cid.id a . j e dan k sembarang nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d dan k pganjil / : / / t ht ttp dan kh genap

.id

c .id k Bobot pada sisieyj.ika jz.2iac

4

4

k ) wα384 (yik z2i 39 k k wα4 (yi z2i ) k wα404 (yik z2i )

27m+2k+1 + (i − 2)8m; 2 45m−k+2 + (i − 3)8m; 2 44m−k+2 + (i − 3)8m; 2

=

= ca.cid.id a . j e nej. .bu.n = u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

jika i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang

.cid.idan d k ganjil jika i ≡ 3(mod .ac3)

j a e n nej. 3) .bu.3(mod jikailiib≡ u idgigili /:d / : / / p t hthttp

ca.cid.id a . j ne j. dan k genap ilib.bu.une idgigili /:d / : / / p t hthttp

Fungsi bijektif pada wα4 dapat direduksi sebagai berikut:

.cid.untuk Bobot pada sisi x.kiaxcki+1 k sembarang id

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j j a . . . e e e n nej + ( (−1) +1 )m +i(i nej jika i ≡ 1(mod 3)ilib.bu.n nej .bu.1)8m; u14m−k+2 u u bli.bu.n b i − wα1 (xki xki+1 )gili= l i i 2 4 idgigil idgigil di igi 30m−k+3 (−1) +1p://d //:d : k ://:k//d / / / / p : t t wα2h(x ix + ( )m + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod ) = thtp t t hhttp 3) 2 4hhttp ttp i+1 45m+2k+1 3 k k k+1

4

k

4

wα4 (xi xi+1 )

=

2

+ (i − 3)8m;

jika i ≡ 3(mod 3)

cka.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j k e e e Bobot pada.u sisi n nyei jy.i+1 untuk k sembarang nej. nej. .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b li idgi− idgigili k/digigili 18m−k+3 gi1)8m; /:d /:d + ( (−1)4 +1 )m + (i jika i ≡ 1(mod 3) wα4 (ypik y:/i+1 )d = / / : : / / / 2 / / / p p : t t t hthtktypk ) = 33m+2k+1 + (i − 2)8m; hthttp hthttp 3) w5 (y jika i ≡ 2(mod k

4

α4 i i+1 k wα6 4 (yik yi+1 )

2 50m−k+2 2

k+1 +1

+ ( (−1) 4

)m + (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3) d.id d d i . c aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n ne ne .bu.n .bu.n u u b b .unxeki yik untuk k sembarang i i liibli.busisi l l i i i Bobotig pada i i idgigil idgigil ://ddig 8m−k+2 (−1) +1ttp:p//:d :p//:d / / / / p 7 ttp k pk:// t t wαh(x +( )mt + (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod hhtt 3) 2 4 hht htityi ) = =

k+1

4

wα8 4 (xki yik ) =

k 24m−k+3 + ( (−1)4 +1 )m + 2 39m+2k+1 + (i − 3)8m; 2

(i − 2)8m;

jika i ≡ 2(mod 3)

= ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

jika ca.cid.iid≡ 3(mod 3) ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp









wα9 4 (xki yik )





d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d k k :p//:d :p//:d / / //dig / / Bobot pada sisi z z untuk k sembarang p p t t j j+1 t t hhtt hhtt 15m+2k+1 10 k k






wα4 (zj zj+1 ) =

2 32m−k+2 2 48m−k+3 2

+ (j − 2)4m;


jika j ≡ 2(mod 6)

k+1 ( (−1) 4 +1 )m + (j − 4)4m; k ( (−1)4 +1 )m + (j − 6)4m;

id.id ca.+ a c . j e = nej. + .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp k k

k ) wα114 (zjk zj+1 12 k k wα4 (zj zj+1 )

=

Bobot pada sisi xi z2i−1

k wα134 (xki z2i−1 ) =

id.id j ≡ 4(mod 6) ca.jika ca.cid.id a a c . . j j e e nej. jika j ≡ 6(mod 6) ilib.bu.n nej. .bu.n u u b i l i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t ht tp hthttp untuk hktsembarang

3m+2k+1 2 20m−k+2 2 36m−k+3 2

+ (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod 3) d.id(−1) +1 i id.id . . c c ca.cid.id k a a c c . . j j a a ) = neje.a wα14 (xki z2i−1 + ( )m + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) . . . e e 4 nej nej .bu.un j .bu.n .bu.n u u b b b (−1) +1 i i i l l l 15 k k i i i i i i gig−il 3)8m; gigil wα (xi z2i−1 + ( 4 )m/+ jika i ≡ 3(mod idg)igi=l id(i id3) :p//:d :p/:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 4

4

k+1 k

k Bobot pada sisi xki z2i untuk k sembarang

d.id− 1)8m; +.ci(i jika ca ca.cid.idi ≡ 1(mod 3) ca.cid.id a a a . . . j j j e e e k nej.+ ( (−1) 4 +1 )m + (i i− nej.jika i ≡ 2(mod 3) ilib.bu.n nej. .bu.n .bu.n wα17 (xki z2i ) = 2)8m; u u u b b i i l l i ig ili idgigili idgigili d d (−1) +1 /:(i /:3) k :/k/d/dig / / : : / / / / / wα18 (x + ( )m + − 3)8m; jika i ≡ 3(mod z ) = p p p : t t t 4 ht ttp hthtitp2i hthttp h

k wα164 (xki z2i ) = 4 4

9m+2k+1 2 26m−k+2 2 42m−k+3 2

k+1 k

k Bobot pada sisi yik z2i−1 iduntuk k sembarang

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne jika i ≡ 1(mod 3)ilib.bu.n ne .bu.n u u b i l i i i g l idgigil i3) jika i ≡ 2(mod digi :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt htt 3) jika i ≡h3(mod

aj.ca.c.id . j e =.unne blib.u i l i gig= i i d / / : /d hthtp ttp:/ =

k 6m−k+3 + ( (−1)4 +1 )m + (i − 1)8m; 2 21m+2k+1 + (i − 2)8m; 2 k+1 38m−k+2 + ( (−1) 4 +1 )m + (i − 3)8m; 2

k wα194 (yik z2i−1 ) k wα204 (yik z2i−1 ) 21 k k wα4 (yi z2i−1 )

d

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e j. e e u.n nej.jika i ≡ 1(mod 3) ilib.bu.n nej. .bu.n k une + ( (−1) +1 )m + (i − u u b i liibli.12m−k+3 l 1)8m; wα22 (yik z2i ) ig= i i b 2 4 idgigili idgigili /d ig 27m+2k+1 /:d /:d / / : : / / 23 ttp k :/k://d / / p p t t wαh(ytitzp2i ) = + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod hthttp hthttp 3) 2 h

i .id k sembarang k ca.cuntuk Bobot pada sisi yj.ika z2i k

4

4

k wα244 (yik z2i )

=

44m−k+2 2

k+1 +1

+ ( (−1) 4

)m + (i − 3)8m;

jika i ≡ 3(mod 3)

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n Berdasarkan u.n ne ne sisi EAV ini, bobot sisi ne pertama, kedua sampai ne .bu.n .bu.bobot .bterkecil .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgigilterletak pada w21 yaitu idgigil + (i − 1)8m, selanjutnya idgigter3m+2k+1 /:d /:d terkecil :p/kelima :p//:d :p//:d α / / / 2 //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhtt pada w39 letakhpada wα31 yaitu 6m−k+3 + (i −h1)8m. Bobot sisi terbesar terletak α 2


4

4

4

45m−k+2 + (i − 3)8m. Dengan mensubstitusikan nilai i = 1 dan k = 1 2 pada wα214 diperoleh wα4 = 3m+2(1)+1 + (1 − 1)8m = 3m+3 , substitusi i = 1 2 2 3m+2(2)+1 dan k = 2 pada wα214 diperoleh wα4 = + (1 − 1)8m = 3m+5 , sub2 2 3m+2(3)+1 21 stitusi i = 1 dan k = 3 pada wα4 diperoleh wα4 = + (1 − 1)8m = 2

yaitu
















d d d d 65 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil 39 idgigil d /:d /:d 3m+7 /, /:d //:pada /45m−1+2 : : : / / / //dig / / / ,. . . substitusi i = n dan k = 1 w diperoleh w = p p p t t t α α t t t 2 h ttp tp tp 2 + h h t t h h h (16n−3)m+1 4

4

(n − 3)8m =

. Dapat dinyatakan bahwa wα4 membentuk barisan

2

3m+3 aritmatika dengan suku awal id.idS id.id 2 dan beda 1 (satu), id.id dapat dituliskan . . c c ca.catau ca.cid.id a a a a c c . . . . j j j j 40 (16n−3)m+1 3m+3 3m+5 3m+7 a a t e e e ,ne j., 2 , . . . , }. .Sehingga u.n t=1 wα = { b nej. nej. terbukti bahwa pelanej. 2 .uun2e 2 .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i i l l l l i i i i b b i li ig ili idαgi4g(xilkii ), α4 (yik ) dan α4 (zjk ) :adalah idgigilpelabelan diggianbelan titik titik ( 3m+3 , 1)-sisi /:d /:d /:d / / : 2 p://://di / / //dig / / p p t t t thttp hthttpjika m ganjil, m ≥ 3 dan nh≥ hthttp timagic 2. 2 4

d id ca.cid.idwα1 , wα2 , wα3 , . . . , wα40 bukan ca.cid.merupakan ca.cid.id Angka 1, 2, ..., 40j.a pada pangkat, aj.ca.ci .id a a . . . j j j . . . e e e e n ne nej nej syarat batas i, j,ildan nej .bu.n .bu.membedakan .bu.n .bu.n u u u u b b b b melainkan untuk w yang mempunyai i i i i l l l α i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :pberbeda-beda. :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t k yang Gambar 4.6 merupakan contoh pelabelan titik beserta t t t hhtt hhtt hhtt 3m+3 4

4

4

4

4

bobot sisi EAVL (

2

, 1)-sisi antimagic gabungan graf Tangga Permata 3Dl4

ca.cid.iddengan d = 1. ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j 41 e e 5 28 neej. uneej. 181 u nej. nej. .bu.n .bu.n u u 1. .un 1 1 lib. .un b b b i i i l l l x x i i i i x x b b 4 2 ig ili idg1igili 23 idgigili 46 /digigili3 69 /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p : t t t 87ttp hthttp6 15 10 14 32 41 h23thttp 27 55 64 36 37 78 hth




1 z11

z21

14

24 z 1 3

z41

37

50

z51

z61

60

73 z 1 7

z81 46

86

id.id 42 68 59 ca.33 ca.cid.id82 91 ca.cid.id a a a c . . . j j j . . . e e e 1 28ej 51 y4 y21 y11 y31.un n nej 77 nej .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b i i i l id9gigil idgigi32 idgigil 45 19 :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt 4 40hhtt 17 30 19

10

x21

x22

21

x23

47

x24

70

.cid.id 39 22 26 56 65 35.ac.ci39d.id79 88 13 ca30 ca.cid.id a a . . j j j a e e z42 48 z52 61 .unze z82 48 z.22un25 3 z12 12 nezj.32 38 n62ej.74 z72 84 nej. .bu.n u u u b b b . . i i i l l l i i i b b idgig20ili idgi57gili 66 idgigili /:d /:d 92 ://d / / 43 83 11 34 : : / / / / / / p p p : t t t tp hthttp 2 htht52 h2 thttp 2 29 75 2 7

16

12

y1

y2

y3

y4

8

21

31

44

d d d 6 29 aj.ca.ci .i16d3 aj.ca.ci .id 423 aj.ca.ci .id . . . j j j 3 3 e e e x3.unne x4 x1 x2 ne ne .bu.n .bu.n 22 45 71 u u u b b b . i i i l l l i i i b i i i g l idgig17il idgi54gil 63 d 89 ://d/idigi 40 24 ://25 38 80 :p/8/:d 34 15 31 / / 11 / / / p p p : : t t t t t t p h2hztt3 h hhttzp3 47 z 3htt49 z 3 62 z 3 26 z 3 36 z 3 72 z 3 13

1

9

2

18

4

3

35

44

5

6

58

67

85

7

81

8

90


d3 27 ac.i .iyd 76 53 ca.cid.id y43 ca.cid.id a a y13 y33 c . . . 2 j j j a e uneej. 20 uneej. nej. .bu.n u 43 b b 7 ilib.b.un 33.b.un i i l l i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p Gambar 4.6: Pelabelan titik (6,1)-sisi antimagic pada 3Dl t t t hthttp hthttp htht4tp
















Berdasarkan Lemma 4.6.1 maka diperoleh pelabelan titik ( 3m+3 , 1)-sisi an-

2 id.id id.id id.id . . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . timagic dan dapat ditentukan pelabelan total super (a, 0)-sisi antimagic dengan j j j j a a a e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i menentukan ili sisi dari pelabelan titik ili ig ili idgiglabel idgiyang idgiglabel gili telah ditemukan. Letak /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp thttp sisi EAVL w dengan urutan sisihditentukan berdasarkan letak h bobot tp berkehthtyang

balikan. Sehingga sisi dengan w terkecil dilabeli dengan label sisi terbesar dan

d dd d E(mDln ) = ca.cid.id dengan label sisi terkecil, aj.ca.ci .idsisi dengan w terbesar ajdilabeli aj.ca.ci .idimana aj.ca.ci .id . . . . j j j j . e e e e ke k e n − 1, 1 ≤ k ≤ m} ∪b{x ne ne .bu.n .bu.kin .b∪u.n yn ;ib 1 .u ≤.n in≤ {xki xki+1 , yik yi+1 u u u u b b i ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m} i i i l l l l i i i i b i i i i ig il idgigil idgigil k k igkigil k k k ://d /:d /:d / / {zjk zj+1 ;:p2//:d ≤ j ≤ 2n − 2 genap, , 1 ≤ttp k:p/≤ m} ∪ {xi z2i−1 , xki z2i , yik z2i−1 ,py:/ik/zd2i ;1 ≤ //dig / / p p t t t t hhtt hhtt hhtt i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m}. Melalui pengamatan pola dan penggunaan konsep barisan

fungsi bijektifnya. Dari di atas dapat id.idaritmatika, maka dapataditentukan id.id id.iuraian . . . d c c c ca.cid.id a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e diturunkan teorema ej. nej. n4.6.1: nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp


, 0)-sisi antimagic pada gabu3 Teorema 4.6.1 Ada pelabelan total super ( (8n−1)3m+3 2 ngan graf Diamond Ladder mDl id n jika m ganjil, m ≥ 3 dan n ≥ id2.

d aj.ca.c.id aj.ca.c.id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l k i i i i i i Bukti. Tangga α5ig (x )l = idgLabeli idgigil Permata mDln dengan igil titik gabungan graf digi i :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t k k k k k hih),tt α5 (yi ) = α4 (yi ) dan α5 (zhj )ht=t α4 (zj ), untuk 1 ≤ k ≤ hm, α4 (x httdefinisikan label sisi α5 : E(mDln ) → {4nm + 1, 4nm + 2, . . . , 12nm − 3m}, maka label

id.id graf mDln dapat ca.cid.idsisi α5 untuk pelabelan ca.cid.idsuper (a, 0)-sisi antimagic ca.pada ca.cid.id total a a a a c . . . . j j j j e e e e ej. nej. nberikut: nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u dirumuskan sebagai b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp         

(4n−3)6m+k+1

− (i − 1)8m; jika i ≡ 1(modd3) dan k ganjil 2 d.id d d i i . . d i c c . (24n−17)m+k+1 aj.ac aj.ac d− (i − 1)8m; jika i ≡e1(mod aj.ca.ci .i3) aj.ca.ci .id . . . . j j j j dan k genap e e e ne ne2 ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i k k (8n−11)3m+k l l l l i i i i i i i i ggil α5 (xi xi+1/)d= − (i − 2)8m;/digig jika il i ≡ 2(mod 3) dan k ganjil ig il idgigil 2 /:d :p/://idi :p/://d :p//:d / //dig /  p p p t t t (12n−17)2m+k t t t  hhtt hhktt genap  tt − (i −hh 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) dan  2   

(n−2)24m−2k+2 2

− (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3) dan k sembarang















d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt  (8n−7)3m+k        




− (i − 1)8m;

2 (12n−11)2m+k − (i − 1)8m; 2 (2n−3)12m−2k+2 − (i − 2)8m; 2 (12n−27)2m+k+1 − (i − 3)8m; 2 (24n−53)m+k+1 − (i − 3)8m; 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e k α5 (yik yi+1 ) = ib.u.n nej. nej. .bu.n u u b i l l i i  b ig ili idgi gili  /:d /:d /  : / //dig / p  t hthttp   



67


d jika i ≡ 1(mod ac.i .id3) dan k genap

ca.cid.id a c . . j j a e e j. ne2(mod nej. jika ≡ 3) dan k sembarang .bu.in .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : jika i ≡ 3(mod 3) dan k ganjil / / / / p p t t hthttp hthttp jika i ≡ 3(mod 3) dan k genap

.id

.id

.id

 je.aj.cac.id je.aj.cac.id je.aj.cac.id e e e (2n−1)12m+k+1 n n n  n − (i − 1)8m; jika 3) dan k ganjil ilib.bu.un  .u1(mod liibli.bu.un2 liiblii.bu≡  i i g g  i i idgigili  g (24n−11)m+k+1 − (i − 1)8m; g i ≡ 1(mod 3) dan k genap d d d i i / / / / / /  d d : : : / / / jika  / / / 2 hthktp hthtp hthtp ttkp:  (24n−27)m+k ttp: ttp: α5 (xi yi ) = − (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) dan k ganjil 2   (6n−7)4m+k   − (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod.i3) dan k genap  2 id.id .  c ca.cid.id cacd.id ca.cid.id  a a a a c . . . . (4n−7)6m−2k+2  j j j j a e j. e j. − (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod e j. 3) dan k sembarang e j.

n e liibli.bu.un i g i /:d //dig

n e liibli.bu.un2 i g i :p//:d /dig / t hthtp  t (4n−3)6m−2k+2        

n e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / t hthtp t


− (j − 2)4m; jika j ≡ 2(mod 6) dan k sembarang

2 (2n−3)12m+k+1 − (j − 4)4m; 2 (24n−35)m+k+1 − (j − 4)4m; 2 (24n−51)m+k − (j − 6)4m; 2 (6n−13)4m+k − (j − 6)4m; 2

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j k k e e α5 (zj zj+1 ) = ne ne .bu.n .bu.n u u  b b i i l l  i i i i ig il idgi  gil /:d  :p//:d /  //dig / p t  t hhtt 

jika j ≡ 4(mod .idd6) dan k ganjil

d aj.cac.i aj.ca.ci .id . . j j e e jika.ujn≡ ne4(mod 6) dan k genapilib.bu.n ne u u b . i l i b i i il j ≡ 6(mod 6) dan k ganjil idgigjika idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhktt genap jika j ≡ 6(mod 6) dan


ca.cid.id ca.cid.id  a a . . j j (12n−3)2m−2k+2 e j.  − (i − 1)8m; jika ie 3)  ne2j. n≡e1(mod .bu.n .bu.n  u u b b i i l l  i i i i  l l g g (n−1)24m+k+1 i i i i − (i − 2)8m;  :p//:d :p//:d /dig /digjika i ≡ 2(mod 3) 2  / / p t tkhtp t t t h h k (24n−23)m+k+1 ht2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) α5 (xi zt2i−1 )= − (i − 2   (8n−13)3m+k   (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3)  2  d d.− i i  . . d d i i c c ca.cid.id3) (3n−5)8m+k  . aj.ac a a c . . . j j j − (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod a . . e e e n n2j n j

.bu.une b i l i i ig il /:d //dig

.bu.une b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt  (2n−1)12m−2k+2        

.bu.une b i l i i idgigil :p//:d / / p t t h tt − (i −h1)8m; jika i ≡ 1(mod 3)

2 (4n−5)6m+k+1 − (i − 2)8m; 2 (24n−29)m+k+1 − (i − 2)8m; 2 (24n−45)m+k − (i − 3)8m; 2 (12n−23)2m+k − (i − 3)8m; 2

ca.cid.id a . j e dan k sembarang nej. .bu.n u b i l i idgigili d danpk://ganjil / / : t hthttkp genap dan dan k ganjil

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t h tt dan hk sembarang dan k genap

jika i ≡ 2(modd3) dan k ganjil

ca.cid.idα (xk z k ) = ca.cid.id a a . . j j 5 i 2i e e  nej. nej. .bu.n .bu.n  u u b b i i l l  i i gigili ig ili id  /:d /:d  / : /  //dig / p t hthttp 

.ci .id .cid.id c c a a . . j j a a jika i ≡ 2(mod 3) dan k genap e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgijika idgigili gili i ≡ 3(mod 3) dan k ganjil /:d /:d / / : : / / / / p p t t p hthttp jika i ≡ 3(mod 3) danhthkttgenap
















− (i − 1)8m;

2 (12n−5)2m+k − (i − 1)8m; 2 (n−1)24m−2k+2 − (i − 2)8m; 2 (4n−7)6m+k+1 − (i − 3)8m; 2 (24n−41)m+k+1 − (i − 3)8m; 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j k e e α5 (yik z2i−1 )= nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i  l l i i ili ig ili idgig   /:d /:d / :  / //dig / p  t  hthttp 

68


jika i ≡ 1(mod c.idid3) dan k genap

ca.cid.id . a a c . . j j a e e j. jika ≡ 3) dan k sembarang ne2(mod nej. .bu.in .bu.n u u b b i i l l i i ili i ≡ 3(mod 3) dan k /ganjil idgigjika idgigili /:d /:d / : : / / / / p p t t hthttp ht ttp jika i ≡ 3(mod 3) danhk genap


d  ca.cid.id ca.cid.id aj.ca−.ci .(iid− 1)8m; a a (8n−5)3m+k . . . j j j  . . e e e jika iu≡n 1(mod  2 ne  nej .bu.n .b.unej 3) dan k ganjil ilib.bu.n  u u b b i i l l  (3n−2)8m+k i i i i i  idg idgigil − (i − 1)8m; //didg jika igil 2 igil i ≡ 1(mod 3) dan k pgenap  //:d //:d : : : / / / / / / p p : t t t t t t tp hikhzt2iktp) = (4n−5)6m−2k+2 − (i −h2)8m; α5 (y http jika i ≡ 2(mod 3) danhkhtsembarang 2   (n−2)24m+k+1   − (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3) dan k ganjil  2   d d d.id d i i (24n−47)m+k+1  . . d dan k genap ac .i ac .i−d (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod ac.i3) ac.i .id

je. j.ac e n u n . u b idgiigliilib. /:d //


α5

je. j.ac je. j.ac 2 j. j.ac e e e n n n e u u u n n n . . . u u u b b b igliilib. ili b. k k idgbijektif idgkiizglkiilib),. k k kigikgili k k d d d i / / / Fungsi pada α (x x ), α (y y ), α (x y ), α (z z ), α (x / / / d 5 5 5 5 5 : : : i i+1 tp ://i i+1 i i j j+1tp :// i 2i−1 t tp tp:// k k hkthtp hthttp t k k khht (x z ), α (y z ) dan α (y z ) dapat direduksi sebagai berikut:(untuk k i 2i

5

sembarang)

i

5

2i−1

i

2i

d

d

d

ca.ci .id ca.ci .id ca.ci .id  a a a . . . j j j k+1 . . . e e e (24n−17)m+k+1 n ej n ej n ej  .u − ( (−1) 4 +1 )mib  ib .un 2 ib.u.un l l −.u(i.u−n1)8m; jika i ≡ 1(mod l3)

giigilib igi ilib(8n−11)3m+k − ( (−1) +1:)m i− d / / d (i − 2)8m; / / 2 h4thtp ttp: (n−2)24m−2k+2 − (i − 3)8m;

//d)/d=ig α5 (xtkip x:ki+1 t hhttp:/   

k

2

igi ilib

jika i ≡ ://:d //dig3) tp2(mod

ht ttp

jika i h ≡ 3(mod 3)


 ca.cid.id (−1)k +1 ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j (8n−7)3m+k e e  jika i ≡ 1(mod 3) .une  u.n n2ej. − ( 4 )m − (iili−b.b1)8m; nej. nej. .bu.n  u u u b b . i i l l i i b k gigili (2n−3)12m−2k+2 − (i − 2)8m; idgigili idgig3)ili α5 (yik yi+1 )/id= jika i ≡ 2(mod /:d /:d /:d / / / : : : / / 2 / / / p p p  t t t thtk+1 p  tp +1 )m − (i − 3)8m; jika hi th≡tt3(mod hthttp (−1)  (24n−53)m+k+1 − (h 3) 2 4


 ca.cid.id (−1)k+1 +1 ca.cid.id ca.cid.id a a a (24n−11)m+k+1 . . . j j j  . . . e e e −( )m − (iu− jika i ≡ 1(mod 3) unnej  ej 4 b.un ne2 j n1)8m; .b.n u u b k +1 . i i l l liibli.b.u i i i k k (24n−27)m+k (−1) b i i l gigil g g i i i i α5 (xi y/i /)d= − ( )m − (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) 2 4 : /d  (4n−7)6m−2k+2 :p//:d :p//:d //dig //dig tp tp t t  t t hthtp h h ttp:/  t t − (i −h3)8m; jika i ≡h 3(mod 3) 2

 ca.cid.id ca.cid.id− (j − 2)4m; ca.cid.idjika j ≡ 2(mod 6) ca.cid.id (4n−3)6m−2k+2 a a a a  . . . . j j j j  e e  .une une nej. ne2j. nej. nej. .bu.n .bu.n u u u b b b k k (24n−35)m+k+1 (−1) +1 ilib.b.u . i i i l l l i i i b α5 (zj zj+1d −( )m g −li (j − 4)4m; jika j ≡ 4(mod ili ili ig ili idgig6) 2 4 //di igi /:d /:/)/id=gig /:d / / d : : : / /  //dig / / p p p : (−1) +1 (24n−51)m+k t t t  p hthttp − ( h4thttp )m − (j − 6)4m; jika h j th≡tt6(mod 6) 2 k+1

k













d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt 



k )= ca.cid.id α5 (xki z2i−1 ca.cid.id a a . . j j  e e   nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i ig ili idgigili /:d /:d / : / //dig / p t hthttp

ca.cid.idjika i ≡ 2(mod 3) ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b jika i ≡ 3(mod 3) i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp


  

   

(12n−3)2m−2k+2 − (i − 1)8m; 2 k+1 (24n−23)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m − (i − 2)8m; 2 (8n−13)3m+k (−1)k +1 − ( )m − (i − 3)8m; 2 4

jika i ≡ 1(mod 3)

(2n−1)12m−2k+2 − (i − 1)8m; 2 k+1 (24n−29)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m − (i − 2)8m; 2 k (24n−45)m+k − ( (−1)4 +1 )m − (i − 3)8m; 2

d aj.ca.ci .id . j = e ne  .bu.n u b  i l i  i idgigil :p//:d / / p t t hhtt

k α5 (xki z2i )

69



i ≡ 1(mod 3) .cid.ijika d c ca.cid.id a a . . j j a . . e e jika i ≡ 2(mod 3) nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgig3)il jika i ≡ 3(mod :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt

(8n−3)3m+kid  . − ( (−1)4 +1 )m − (i − 1)8m;.ac.cid.idjika i ≡ 1(mod 3)  ca.cid.id ca.cid.id 2.ac c.id  a a . . j j j j a a e e e e k (n−1)24m−2k+2 n nej. nej2. nej. nej. .bu.n .bu.n α5 (yik z2i−1 ) = lib.u − (i − 2)8m; ilib.bu.n jika i ≡ 2(modil3) u u u u b b . i i l i i b ili (24n−41)m+k+1 (−1) //+1 ig ili idgig idgigili idgigili  d /:d /:d /:d  / / : : : / / / − ( )m − (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3) //dig / / / p p p : t t t 2 hthttp hthtt4p hthttp


k

k+1

   

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b k i l i i α5 (yik z2i )d= gil :p//://idig  p t  t hhtt

dd d aj.ca.ci .ijika aj.ca.ci .id . . j j i ≡ 1(mod 3) e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i jika i ≡ 2(mod 3)il idgigil idgig :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t t hhtt jika ih≡ 3) ht3(mod

k (8n−5)3m+k − ( (−1)4 +1 )m − (i − 1)8m; 2 (4n−5)6m−2k+2 − (i − 2)8m; 2 k+1 (24n−47)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m − (i − 3)8m; 2

Jika Wα didefinisikan d α5 (xki ), α5 (yik ),- j.ac.cid.id ca.cid.id ca.cid.idsebagai bobot sisi pelabelan ca.cid.itotal a a a . . . j j j e e . e . e .a j. n e k k k .unnekj k k k k k .unnej k k k k k .u k nnej u n . α (z ), α (x x ), α (y y ), α (x y ), α (z z ), α (x z ), α (x z ), α (y z u u u u 5 5 5 5 5 5 5 5 b b b b j i ii+1 i i jilij+1 i 2i−1 i 2i . ) liilib. i i+1 igliilib. igliiilib2i−1 b. i l g g g g i i i i i g g d d d d i i i i /://d :/k/ z/kd) maka Wα dapat diperoleh :// /ddengan menjumlahkantrumus :// /dbobot dan α (y htht5p hthtp hhtp ttpi:/ 2i ttp:/ ttp:/ 5

5

sisi EAVL wα4 = wα5 dan rumus label sisi α5 dengan syarat batas i, j, dan k

dirumuskan sebagai berikut: .cid.idyang bersesuaian dan .dapat .cid.id c c ca.cid.id a a a . . j j j a a . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n Untuk sisi xki xilki+1 u u u b b b i i i l l i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t k 1 1 k Wαhhtt= {wα + α5 (xi xi+1 ); jika hi h≡tt1(mod 3) dan k ganjil} 5

5

+ (i − 1)8m) + ( (4n−3)6m+k+1 − (i − 1)8m) = ( 15m−k+2 2 2



ca.cid.id a . j e = nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp











(8n−1)3m+3 2




d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt Wα2 h = {wα2 + α5 (xki xki+1 ); jika i h≡ 1(mod 3) dan k genap}




5



5

(24n−17)m+k+1 = ( 14m−k+2 + (i − .1)8m) − (i − 1)8m) idid + ( .idid 2 2

je.aj.cac. je.aj.cac. e e n n (8n−1)3m+3 u u = iglii2bli.b.un igliibli.b.un g g i i d d i i :// d 3 ttpp:// 3 k k tp:p//://d 3) dan k ganjil} Wαh htt= {wα + α5 (xi xi+1 ); jika hi th≡tt2(mod 5

5

+ (i − 2)8m) + ( (8n−11)3m+k − (i − 2)8m) = ( 30m−k+3 2 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . . e e = nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i il dan k genap} idgi4gil+ α (xk xk ); jika i ≡ 2(mod idgig3) //:d Wα4 tp=://:d {w : / / 5 i i+1 / / α p t t t hhttp hhttp (8n−1)3m+3 2

5

5

= ( 31m−k+3 + (i − 2)8m) + ( (12n−17)2m+k − (i − 2)8m) 2 2


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nekj.k nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i 5 5 l l l i i i Wα = /d{w ili dan k sembarang} //didgigili idgiαgil+i α5 (xi xi+1 ); jika i ≡ 3(mod idgig3) /:d / / : : : / / / / / p p : t t tp hthttp 45m+2k+1 htht(n−2)24m−2k+2 hthtp ttp:/ =

(8n−1)3m+3 2

5

5

= (

+ (i − 3)8m) + (

2

2

− (i − 3)8m)

(8n−1)3m+3

= 2 .cid.id c ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j a . . . e e e un ej nej nej .bu.n .bu.n u u k ilkib. .un b b i i l l i i Untuk sisi y y b i i i il ig il idgi igi+1 idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h ≡tt1(mod 3) dan k ganjil} h t k Wα6 ht= {wα6 + α5 (yik yi+1 ); jika i h



5

5

=

( 18m−k+3 2

(8n−7)3m+k + (i − .1)8m) − (i − 1)8m) id + ( 2 .id

aj.cac.id aj.cac.id . . j j e e (8n−1)3m+3 n e n e = lii2bli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i /d ig :p//:d /dig3) dan k genap} 7 ttp:/://d 7 k k / p t t Wαh = {w + α (y y ); jika i ≡ 1(mod p 5 t t h α i i+1 ht ht 5

5

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

+ (i − 1)8m) + ( (12n−11)2m+k − (i − 1)8m) = ( 19m−k+3 2 2

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgi8gil+ α5 (yk yk ); jika i ≡ 2(mod idgig3)il dan k sembarang} ://didgigil Wα8 p=://d {w //:d : α i i+1 / / / / / p : t t t t hhttp hhttp hthtp ttp:/ =

5

(8n−1)3m+3 2 5

= ( 33m+2k+1 + (i − 2)8m) + ( (2n−3)12m−2k+2 − (i − 2)8m) 2 2













=

(8n−1)3m+3 2





d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt k Wα9 h = {wα9 + α5 (yik yi+1 ); jika i h ≡ 3(mod 3) dan k ganjil}


5

5

(12n−27)2m+k+1 = ( 51m−k+2 + (i − .3)8m) − (i −.3)8m) idid + ( idid 2 2

je.aj.cac. je.aj.cac. e e n n (8n−1)3m+3 u u . n = 2lib.u igliib igliibli.b.un g g i i d d i i :// d 10ttpp:// 10 k k tp:p//://d 3) dan k genap} Wαh htt= {wα + α5 (yi yi+1 ); jika hi th≡tt3(mod 5

5

+ (i − 3)8m) + ( (24n−53)m+k+1 − (i − 3)8m) = ( 50m−k+2 2 2

d c.idid aj.ca.ci .id (8n−1)3m+3 j.aac. . j . e e j = 2 .unne ne .bu.n u u b b . i i l l i i b i i ig il ig il /:d :p//:d Untuk sisi xdkiiygik / //dig / p t t hhtt







Wα115 = {wα115 + α5 (xki yik ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil}

id

id

.c.id + ( (2n−1)12m+k+1 − (i .−ac1)8m) . id = ( 9m−k+2 +e(ij.a −.c 2 2 a1)8m) ej .ac.

nej .bu.n u b i l i =//digigili : /d p t h12thttp:/ 12 k k (8n−1)3m+3 2

nej .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

Wα5 = {wα5 + α5 (xi yi ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k genap} (24n−11)m+k+1 + (i −c1)8m) − (i − c 1)8m) = ( 8m−k+2 .idid + ( .idid 2 2

je.aj.ac. je.aj.ac. e e n n (8n−1)3m+3 .uun = liib liibli.bu.un 2lib. i i g g i i ig ://ddig :p//:d //d3) p 13ttpp:// 13 k k t t t t Wαh = {w + α (x y ); jika i ≡ 2(mod dan k ganjil} h t t 5 α i i h h 5

5

+ (i − 2)8m) + ( (24n−27)m+k − (i − 2)8m) = ( 24m−k+3 2 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e = nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i li li idgig idg3) 14i igidan /:d /:d / / Wα14 tp= {w + α5 (xki yik ); jika i ≡ t2(mod k genap} : : / / / / α p hthttp hthttp (6n−7)4m+k 25m−k+3 (8n−1)3m+3 2

5

5

= (

2

+ (i − 2)8m) + (

2

− (i − 2)8m)

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e nek k ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i 15 15 l l l i i i i i i l k sembarang} g il+ α5 (xi yi ); jika i ≡ 3(mod Wα = /d{w idg3) idgigil igidan :p/://idiαg :p//:d :p//:d / / / / p p p t t t t t t t hhtt= ( 39m+2k+1 + (i − 3)8m) h+h(t(4n−7)6m−2k+2 h t − (i − 3)8m) ht 2 2 =

5

(8n−1)3m+3 2 5

=

(8n−1)3m+3 2















d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil k k /:d :p//:d / //dig / Untuk sisi zj zj+1 p t t hhtt









k Wα165 = {wα165 + α5 (zjk zj+1 ); jika j ≡ 2(mod 6) dan k sembarang}

c.idid

c.idid

(4n−3)6m−2k+2 . a c. .aj.a = ( 15m+2k+1 −c2)4m) eje(j 2 2 ne+je.(jj.a− 2)4m) + ( n−

liibli.bu.un i g i = :p//:d /dig / t hthtp t 17 17 k (8n−1)3m+3 2

liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / t hthtp t

k Wα5 = {wα5 + α5 (zj zj+1 ); jika j ≡ 4(mod 6) dan k ganjil}


id.id + ( (2n−3)12m+k+1 id.id = ( 33m−k+2 + (ja− − (ja−c.c 4)4m) c.c4)4m) 2 2

ca.cid.id a . . . j j j a a . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i = (8n−1)3m+3 i i i idgigi2l idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t 18 tt k Wαh ); jika hjh≡tt 4(mod 6) dan k genap} hhtt h = {wα18 + α5 (zjk zj+1 5

5

= ( 32m−k+2 + (j − 4)4m) + ( (24n−35)m+k+1 − (j − 4)4m) 2 2 d d

aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j (8n−1)3m+3 e e n e n e = 2 .u.un liib liibli.bu.un i i b i l g g i i d g //:d 19 p:////di19 k :p6(mod /dig6) dan k ganjil} / Wαh ); jika hjt≡ tp thttt=p: {wα + α5 (zjk zj+1 t ht 5

5


+ (j − 6)4m) + ( (24n−51)m+k − (j − 6)4m) = ( 48m−k+3 2 2

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i 20il k il dan k genap} idgiαg idgig6) idgigil Wα20 = {w + α5 (zjk zj+1 ); jika j ≡ :6(mod //:d //:d :p//:d : / / / / / / p p p t t t t t t hhttp hhttp hhtt 49m−k+3 + (j − 6)4m) + ( (6n−13)4m+k − (j − 6)4m) = ( =

5

(8n−1)3m+3 2 5

2

2

= ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e neej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n k kib.u.un u u u b b b i i i l l l l Untuk sisi x z i i i i b ili ig ili idgiig2i−1 idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t t ttp hthttp 21thttp k Wαh = {wα21 + α5 (xki z2i−1 ); jikahih≡ 1(mod 3) dan k sembarang}


(8n−1)3m+3 2

5

5

(12n−3)2m−2k+2 + (i − 1)8m) − (i − 1)8m) = ( 3m+2k+1 2 2 id + ( id

ca.c.id ca.c.id ca.cid.id a a a . . . j j j . . . e e e un ej = (8n−1)3m+3 nej nej .bu.n .bu.n u u b b b 2 .b.un i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil digigil //:d :p2(mod :p//:d k 22 tp://://d 22 / / / / p p t ); jikahitt≡ 3) dan k ganjil} Wαh thtt=p {wα + α5 (xki z2i−1 t hhtt htt 5

5

= ( 21m−k+2 + (i − 2)8m) + ( (n−1)24m+k+1 − (i − 2)8m) 2 2













=

(8n−1)3m+3 2





d d d d 73 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhtt k Wα23h = {wα23 + α5 (xki z2i−1 ); jika ih≡ 2(mod 3) dan k genap}



5

5


cac. cac. ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n = (8n−1)3m+3 u u u b b b i i i l l l 2 i i i g ili idgigili idgigili /:d /:d / / ://didig : : / / / / p p 24ttpp:// 24 k k t t Wαhhtt= {wα + α5 (xi z2i−1 ); jikahith≡ ttp3(mod 3) dan k ganjil} hthttp 5

5

+ (i − 3)8m) + ( (8n−13)3m+k − (i − 3)8m) = ( 36m−k+3 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j . . . e e e = nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i l l idgig idgigi3) idgigil 25i k k //:d Wα25 tp= {w dan k genap} :p//:d :p3(mod :p//:d / / / / / / α + α5 (xi z2i−1 ); jika itt≡ p p t t t hhtt hhtt hhtt (3n−5)8m+k 37m−k+3 (8n−1)3m+3 2

5

5

= (

2

+ (i − 3)8m) + (

− (i − 3)8m)

2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id = (8n−1)3m+3 a a a a . . . . 2 j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l k k i i i i Untuk sisi xig ig ili idgigili idgigili i iz g2iili /:d /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p t t t ht ttp ht ttp ht ttp k Wα26h = {wα26 + α5 (xki z2i ); jika i ≡h1(mod 3) dan k sembarang} h




5

5

+ (i − − (i − = ( 9m+2k+1 idid + ( (2n−1)12m−2k+2 idid 2 2 c.1)8m) c.1)8m)

je.aj.ac. je.aj.ac. e e n n (8n−1)3m+3 .uun = liib liibli.bu.un 2lib. i i g g i i g ://ddig :p//:d //di3) p 27ttpp:// 27 k k t t t t Wαh = {w + α (x z ); jika i ≡ 2(mod dan k ganjil} h t t 5 α i 2i h h 5

5

+ (i − 2)8m) + ( (4n−5)6m+k+1 − (i − 2)8m) = ( 27m−k+2 2 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e = nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i li idgig idgi3) gildan 28i k /:d /:d / / Wα28 tp= {w + α5 (xki z2i ); jika i ≡tp 2(mod k genap} : : / / / / α hthttp hthttp (24n−29)m+k+1 26m−k+2 (8n−1)3m+3 2

5

5

= (

2

+ (i − 2)8m) + (

2

− (i − 2)8m)

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e nek k ne .bu.n .bu.n u u b b i i 29 29 l l i i i i g il+ α5 (xi z2i ); jika i ≡ 3(mod Wα = /d{w idgi3) gildan k ganjil} :p/://idiαg :p//:d / / p p t t t t hhtt= ( 42m−k+3 + (i − 3)8m) +hh( (24n−45)m+k tt − (i − 3)8m) 2 2 =

5

(8n−1)3m+3 2 5

=

(8n−1)3m+3 2

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt

















d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt k Wα30h = {wα30 + α5 (xki z2i ); jika i ≡h3(mod 3) dan k genap}


(12n−23)2m+k = ( 43m−k+3 + (i − .3)8m) − (i − 3)8m) idid + ( .idid 2 2







5

74

5

je.aj.cac. e n (8n−1)3m+3 u . n = 2lib.u igliib g i d i :p//://dk k hthtp Untuk yi z2i−1 ttsisi

je.aj.cac. e n u igliibli.b.un g i d i :// /d hthtp ttp:/

k Wα315 = {wα315 + α5 (yik z2i−1 ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil}

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j (8n−3)3m+k e e +n(ie− 1)8m) + ( −.u (in−ne 1)8m) = .bu.n 2 u u b b . i i l l i i b i i idgigil idgigil (8n−1)3m+3 :p//:d :p//:d / / = / / p p t t t t 2 hhtt hhtt ( 6m−k+3 2

k ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k genap} Wα325 = {wα325 + α5 (yik z2i−1

.id

.id

a.cac.id = ( 7m−k+3 +e(ij.a −.c − (i e −j.1)8m) c.id + ( (12n−5)2m+k a1)8m) 2 2

nej .bu.n u b i l i =//didgigili : / p t h33thttp:/ 33 k k (8n−1)3m+3 2



Wα5 = {wα5 + α5 (yi z2i−1 ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang}

did + ( (n−1)24m−2k+2 + (i c−.i2)8m) − (i − = ( 21m+2k+1 idid 2 2 c.2)8m)

d aj.ac. aj.ac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b = (8n−1)3m+3 i i i l l l i i i 2 i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t 34 34 k k t t t Wαhhtt= {wα + α5 (yi z2i−1 ); jikahih≡ tt 3(mod 3) dan k ganjil} hhtt 5

5

+ (i − 3)8m) + ( (4n−7)6m+k+1 − (i − 3)8m) = ( 39m−k+2 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e = nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ili idgig idgigili idgigili 35 k k /:d //:d / :p//:d :p3(mod : Wα35ttp= {w 3) dan k genap} / / / / / / p p α + α5 (yi z2i−1 ); jika itt≡ t hhtt hhtt hthttp (24n−41)m+k+1 (8n−1)3m+3 2

5

5

+ (i − 3)8m) + ( = ( 38m−k+2 2

2

− (i − 3)8m)

d d d = (8n−1)3m+3 aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j 2 e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i k k i i i l ig il idgigil Untuk sisi yig /:d di izg2ii :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt W 36h = {w36 + α5 (y k z k ); jika i ≡h1(mod 3) dan k ganjil}


= ( 12m−k+3 + (i − − (i − 1)8m) idid + ( (8n−5)3m+k 2 2 c.1)8m) c.idid

α5

α5

i

2i


je.aj.ac. e n (8n−1)3m+3 u . un = igliib 2lib. g i d i :// /d hthtp ttp:/

je.aj.ac. e n u igliibli.b.un g i d i :// /d hthtp ttp:/














d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt k Wα37h = {wα37 + α5 (yik z2i ); jika i ≡h1(mod 3) dan k genap}







5


5


cac. cac. ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n = (8n−1)3m+3 u u u b b b i i i l l l 2 i i i g ili idgigili idgigili /:d /:d / / ://didig : : / / / / p p 38ttpp:// 38 k k t t Wαhhtt= {wα + α5 (yi z2i ); jika i h≡th2(mod ttp 3) dan k sembarang}hthttp 5

5

+ (i − 2)8m) + ( (4n−5)6m−2k+2 − (i − 2)8m) = ( 27m+2k+1 2 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . . e e = nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i l idgig idgi3) gildan k ganjil} 39i k k Wα39 tp= {w 3(mod :p//:d :p//:d / / / / α + α5 (yi z2i ); jika i ≡ p t t t hhtt hhtt (n−2)24m+k+1 45m−k+2 (8n−1)3m+3 2

5

5

= (

2

+ (i − 3)8m) + (

2

− (i − 3)8m)


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nekj.k nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i 40 40 l l l i i i i α5 (yi z2i ); jika i ≡ 3(mod i k genap} Wα = /d{w idgiαgil+ idgi3) idgigili gildan /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p : t t t hthtt=p ( 44m−k+2 + (i − 3)8m) +hth( (24n−47)m+k+1 hthttp ttp − (i − 3)8m) 2 2 =

(8n−1)3m+3 2

5

5

=

(8n−1)3m+3 2

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgibijektif idgigil sebagai berikut: idgigil gil Fungsi pada Wα5 dapattpdireduksi :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p t t t t t hhtt hhtt hhtt Untuk sisi xk xk i

i+1

k id Wα15 = {wα1 5 + α5 (xki xc . );.idjika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang} i+1 c.id.id

je.aj.ac e n u = (i14m−k+2 li2ibli.b.u+n( (−1) 4 i g :p//:d /dig− 1)8m) / −(i t hthtp t

k+1

=

(8n−1)3m+3 2

ca.cid.id a a c . . j j a e e ej. u.n +1 (−1) +1 b.un n(24n−17)m+k+1 nej. .b+ u u b . i i )m + (i − 1)8m) ( − ( )m l l i i b 2 4 ig ili idgigili /:d /:d / / : : / /dig / / p p t t hthttp hthttp

c.idid

k+1

c.idid

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.une .bu.une .bu.n u b b b i i i l l l i i i i i i gigil + ( (−1) +1 )m + (i −//2)8m) 30m−k+3 idgigil+ ( (8n−11)3m+k − ( (−1) +1 d digigil )m =://d (/id : 2 4 2 4p://://d / / / p p : : t t t t t t hhttp −(i − 2)8m) hhttp hhttp

a.ac. Wα25 = {wα2 5 + αn5 (x ac);. jika i ≡ 2(mod 3) dan ej.kiajx.ki+1 nekj. jsembarang} k

=

(8n−1)3m+3 2

k

















d d d d 76 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt h tt Wα3 h = {wα3 + α5 (xki xki+1 ); jika i h≡ 3(mod 3) dan k sembarang}h





5

5

= ( 45m+2k+1 + (i −.i3)8m) − (i − .3)8m) did + ( (n−2)24m−2k+2 idid 2 2

je.aj.cac. e n (8n−1)3m+3 u = iglii2bli.b.un g i d i :p//://d thtp t h t Untuk sisi y k y k i

i+1



k Wα45 = {wα6 5 + α5 (yik yi+1 .i);ddjika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang} .idd

d aj.cac.i aj.cac.i aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n n ne2 .bu.n = ( 18m−k+3 +ne ( (−1)4 +1 )m + (i − 1)8m) +.bu(.(8n−7)3m+k − ( (−1)4 +1 )m ilib.bu.une u u b b i i l l 2 i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / −(i − 1)8m) / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt k

=

(8n−1)3m+3 2

k

.id

.id

ca.cid.id a . j e u.n u.n u.n nej nej nej. . . . u u u b b b i i i l l l (2n−3)12m−2k+2 i i i b b b 33m+2k+1 gigi2li + (i − 2)8m) + ( //dig2igili − (i − 2)8m) idgigili =//d(id /:d / d : : : / / / / / / p p p : : t t t hthttp (8n−1)3m+3 hthttp hthttp

k kc .id c id Wα55 = {wα5 5 + α5 (y ac); jika i ≡ 2(mod 3) danekj.asembarang} .ac. eji.ay.i+1

=

2

k Wα65 = {wα6 5 + α5 (yik yi+1 c.i);didjika i ≡ 3(mod 3) dan k sembarang} c.idid

d aj.ac. aj.ac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e e e (24n−53)m+k+1 u.n ne .bu.n .b+ .bu.n u u u b b b +n( (−1) 4 +1 )m + (i − 3)8m) (n − ( (−1) 4 +1 )m = ( 50m−k+2 i i i l l l i i i 2 2 i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p −(i − 3)8m) t t t t t t hhtt hhtt hhtt k+1

=

k+1

(8n−1)3m+3 2

ca.cid.idUntuk sisi xk yk ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j i i e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li k sembarang} ig ili idgiα7gil+i α5 (xki yik ); jika i ≡ 1(mod idg3) idgigili igidan Wα7 =://d {w /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttp hthttp hth(−1) ttp +1 (−1) +1 (24n−11)m+k+1 8m−k+2



5

5

= (

2

+(

k+1

4

)m + (i − 1)8m) + (

2

k+1

−(

4

)m

−(i − 1)8m)

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne .unne .bu.n .bu.n = (8n−1)3m+3 u u b b i i i 2bib.u l l l i i i i i idgigil idgigil //digigil //:d //:d : : / / / / 8 ttp: ://d 8 k k p p t t t t ≡h2(mod Wαhhtt=p {wα + α5 (xi yi ); jika i h ttp 3) dan k sembarang} hhttp 5

5

=

( 24m−k+3 2

k

k

+ ( (−1)4 +1 )m + (i − 2)8m) + ( (24n−27)m+k − ( (−1)4 +1 )m 2

id

. d −(i − 2)8m)j.a.c ac.i

e nej .bu.n u b i l i =//digigili : /d p t hthttp:/ (8n−1)3m+3 2















d d d d 77 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt h tt Wα9 h = {wα9 + α5 (xki yik ); jika i ≡h3(mod 3) dan k sembarang} h





5

5

= ( 39m+2k+1 + (i −.i3)8m) − (i − .3)8m) did + ( (4n−7)6m−2k+2 idid 2 2

je.aj.cac. e n (8n−1)3m+3 u = iglii2bli.b.un g i d i :p//://dk k hthtp Untuk zj zj+1 ttsisi




d d d aj.ca.ci .id ac.i .id aj.ca.ci .id . . j j (4n−3)6m−2k+2 ej. j.ac e e n−e(j − 2)4m) = n+e(j − 2)4m) + ( ne .bu.n .bu.n 2 ib.u.un u u b b i i l l l i i i b i i i idgigil idgigil idgigil (8n−1)3m+3 //:d //:d :p//:d : : / / / / / / p p p = t t t t t t 2 hhtt hhttp hhttp ( 15m+2k+1 2

k ); jika j ≡ 4(mod 6) dan k sembarang} Wα115 = {wα115 + α5 (zjk zj+1

.id

.id


aj.cac4.id+1 )m + (j − 4)4m) + (e(24n−35)m+k+1 = ( 32m−k+2 +ej(.(−1) j.aj.cac2.id − ( (−1) 4 2 k+1

.unne


b .u −(j ilib4)4m) igili−

dig :p//:d /(8n−1)3m+3 / t hthtp t= 2

k+1 +1

)m

k Wα125 = {wα125 + α5 (zjk zj+1 d jika j ≡ 6(mod 6) dan k ganjil} i); id

ca.c.id ca.c.id ca.cid.id a a a . . . j j j . . . e e e (−1) +1 (24n−51)m+k (−1) +1 n+ e( j 4 )m + (j − 6)4m)b+.u(n − ( 4 )m ib.u.n = ( 48m−k+3 nej2 nej 2b.u.un u u . i i l l l i i i b b b i i i il 6)4m) idgig− idgigil idgigil −(j :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt (8n−1)3m+3 k

=

k

2

k ca.cid.idUntuk sisi xki z2i−1 ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nekj.k nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i 13 13 i α5 (xi z2i−1 ); jika i ≡ 1(mod li dan k sembarang} //digigili ig ili idgiαgil+ idgigi3) Wα =//d{w /:d /:d / : : : d / / //dig / / p p : t t tp tp:// hthttp 3m+2k+1 hth(12n−3)2m−2k+2 hthtp t t + (i − 1)8m) + ( − (i − 1)8m) = (


5

5

2

=

2

(8n−1)3m+3 2

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n nek k nek sembarang} ne .buα.n .budan .bu.n Wα14 = {wiα14lib+ 3) u u u b b . 5 (xi z2i−1 ); jika i ≡ 2(mod i i l l i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / (−1) +1 (24n−23)m+k+1 ttp(−1) p p 20m−k+2 t t t t hhtt= ( 2 + ( 4 )mh+ht(it − 2)8m) + ( h−h(tt 4 +1 )m 2 5

5

k+1

k+1

−(i − 2)8m)













=

(8n−1)3m+3 2





d d d d 78 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt h tt k Wα15h = {wα15 + α5 (xki z2i−1 ); jika ih≡ 3(mod 3) dan k sembarang}h





5

5

k

k

= ( 36m−k+3 + ( (−1)4.i+1 − ( (−1)4 +1 )m did)m + (i − 3)8m) + ( (8n−13)3m+k 2 2 .idid

je.aj.cac. e n −(i − .3)8m) u igliiblib.un g i d i d 2 :// /(8n−1)3m+3 hthtp tt=p:/ k Untuk sisi xki z2i


.idd

.idd



c .i k .aj.cac.i Wα165 = {wα165 + αn5e (xj.kia jz.2ia);c jika i ≡ 1(mod 3) dannkejsembarang} .bu.une .bu.une b b i i l l i i i i (2n−1)12m−2k+2 gigil + (i − 1)8m) + ( //digigil − (i − 1)8m) = (id9m+2k+1 2 :p//:d : /d2 / / p t t hhtt (8n−1)3m+3 hthtp ttp:/ = 2

k id d Wα175 = {wα175 + α5 (xkia z2i id i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang} c.);.jika ac.i .id

je. j.ac e n u n . 26m−k+2 u b = (igilii2lib. + ( (−1) 4 dig− 2)8m) :p//:d /−(i / t hthtp t

k+1

=

(8n−1)3m+3 2

ca.cid.id a c . . j j a e n ne j. ej. n(24n−29)m+k+1 +1 (−1) +1 b.uune .bu u b . . i i l l )m + (i − 2)8m) + ( − ( )m i i b 2 4ig ili idgigili /:d /:d / / : : / /dig / / p p t t hthttp hthttp k+1

c.idid

c.idid

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.un .bu.un .bu.n u b b b i i i l l l i i i i i i gigil + ( (−1) +1 )m + (i −//3)8m) idgigil+ ( (24n−45)m+k − ( (−1) +1 digigil /)m = (id42m−k+3 :p//:d :p:d / / 2 4 2 4p:/://d / / p p t t t t t t hhtt hhttp hhtt

. .aj.ac. Wα185 = {wα185 + αn5e (xje.kia jz.2ika);c jika i ≡ 3(mod 3) dannkejesembarang} k

k

−(i − 3)8m)

= (8n−1)3m+3 d i 2 . d cac.i ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e . e e k .unnej nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n Untuk sisi yik zil2i−1 u u u u b b b b . i i i i l l l i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t 19t tp k hthttp Wαh ); jikahith≡ ttp1(mod 3) dan k sembarang} ht = {wα19 + α5 (yik z2i−1



5

5

k

k

+ ( (−1)4 +1 )m + (i − 1)8m) + ( (8n−3)3m+k − ( (−1)4 +1 )m = ( 6m−k+3 2 2

.idd

c i −(i − 1)8m) ej.aj.ac.

ne .bu.n u b i l i i idgigil = :p//:d / / p t t hhtt (8n−1)3m+3 2


k ); jika Wα205 = {wα205 + α5 (yik z2i−1

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang}

d.id + ( (n−1)24m−2k+2 id.id = ( 21m+2k+1 + (i c−.i2)8m) − (i − c.2)8m) 2 2

je.aj.ac e n u . .un = (8n−1)3m+3 igliib 2lib g i d i :// /d hthtp ttp:/















d d d d 79 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt h tt k Wα21h = {wα21 + α5 (yik z2i−1 ); jika ih≡ 3(mod 3) dan k sembarang}h 5

k+1




k+1 +1

+1 (−1) = ( 38m−k+2 + ( (−1).4idid )m + (i − 3)8m) + ( (24n−41)m+k+1 .2idid − ( 4 2



5

je.aj.cac. e n −(i − .3)8m) u igliiblib.un g i d i d 2 :// /(8n−1)3m+3 hthtp tt=p:/ k Untuk sisi yik z2i


.idd

)m


.idd

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.une .bu.une .bu.n u b b b i i i l l l i i i i i i (−1) +1 (8n−5)3m+k (−1) +1 gigil + ( idgigil+ ( idgigil d = (id12m−k+3 )m + (i −://1)8m) − ( 4 :/)m /:d 2 4 2 :p//:d / / / / / / p p p : t t t t t t hhtt −(i − 1)8m) hhttp hhttp

kc .i .aj.cac.i Wα225 = {wα225 + αn5e (yji.ka jz.2ia);c jika i ≡ 1(mod 3) dannkejsembarang} k

=

k

(8n−1)3m+3 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e sembarang} e j.k ); jika i ≡ 2(mod 3) dan j. n nej. Wα23 = {wα23lib+.uα (yeik z2i kne .bu.n .bu.n 5n u u u b b . i i l l i i i b idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : (4n−5)6m−2k+2 / / / 27m+2k+1 / / / p p p t t t + (i − 2)8m) h +t (ttp 2 − (i − 2)8m) ht ttp hthtt=p ( 2 h h 5

5

=

(8n−1)3m+3 2

c.idid

c.idid

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.un .bu.n u b b i i l l i i i i l +1 idgigil + ( (24n−47)m+k+1 − ( (−1) igi+1 gi)m /:d )m +p(i:/− 3)8m) //:d : / 2 4/d / / p t t t t hhttp hhttp

. .aj.ac. Wα245 = {wα245 + αn5e (yjei.ka jz.2ika);c jika i ≡ 3(mod 3) dannkejesembarang} liibli.bu.un (−1) i g i 44m−k+2 = ://d/(dig2 + ( 4 hthtp ttp:/−(i − 3)8m)

k+1

=

k+1

(8n−1)3m+3 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i ili idgigbahwa idgigWili40 = (8n−1)3m+3 . Atau:/dapat idgigildi/:d /:d /:d / / Tampak Wα1 = Wα2 = ... = : : / / / α / / / p p p 2 t t t hthttp ht ttp ht ttp S tuliskan sebagai berikut: 40 W t h = { (8n−1)3m+3 , (8n−1)3m+3 , . . .h, (8n−1)3m+3 }. 5

5

t=1

5

α5

2

2

2

Dapat disimpulkan bahwadgabungan graf Tangga Permata mDln dengan m .cid.id .ci .id .cid.id c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a ganjil, m ≥ 3 dan n ≥ 2 mempunyai pelabelan total super(a, d)-sisi antimagic . . . . e e e e nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i (8n−1)3m+3 l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgmDl dengan /a/d=igigil 2 dan d = 0, atau//d graf Tangga Permata igil n /:d :p://d :p:/gabungan :p//:d / / //dig / p p p t t t (8n−1)3m+3 t t t hhtt hhttantimagic jika m ganjil, m h≥h3tt dan n ≥ 2. mempunyai Super ( , 0)-sisi 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e j. e e u.n nej. nej. merupakan pangkat, nej. .bu.n .bu..n .bα40 .bu.n Angka 1,lib2,. .,ne 40 pada Wα1 , Wα2 , . . . ,liW bukan u u u u b b b i i l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / melainkan untuk membedakan W yang mempunyai syarat batas i, j dan k //dig / / / α p p p t t t hthttp hthttp hthttp 5

5

5

5













d d d d 80 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / yangttberbeda-beda. Gambar 4.7 merupakan contoh pelabelan total super (a, 0)p p p t t t t hhtt hhtt hhtt






sisi antimagic (SEAT L) pada gabungan graf Tangga Permata 3Dl4 .

28 ca.cid.i18d1 ca.cid.id 411 ca.cid.id a a a . . . j j j 1 e e x3 uneej. x4 nej. x2 nej. .bu.n .b.un 72 .bu.n 95 118 u u b b b i i i l l l i i i idgi126 idgi86gili 77 36 37 63 87 ://didgigili gili 10 14 109 100 23 ://27 135 d /:d / : / / / / / p p : t t h1thtzt1p1 127 z2 1 117 z31 104 hz41thtt91p z51 81 z61 68 z71 55 hthtp ttzp81:/46 5

x11

131

108

122

1 113 c.id y11 je.aj.ac.iyd2 e n 9 lib.u.un 19 giigilib i d / 4 17 / : /d hthtp ttp:/ x21 x22 120

134

125

99

73

82

59

90 ca.cid.id y31 aj.64 . j e n e 32.u.un b i l i b i idgigi30l :p//:d / / p t t hhtt x23 94 71

26 85 13 111 102 22 2 93 116 z 2 103 z4 z52 80 3

76

50

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n 45 u b i l i i idgigil 40 :p//:d / / p t t 2 tt xh 4 h y41

53

39 62

35 d i 2 . d cac.i ca.cizd.72id 57 ca.cid.id z82 48 z6 .a67 3 129 a a . . j j j e j. e e nej. nej. .bu75.n .bu.n une 107 98 u u bli.bu.n b b i i i 49 84 58 l l l 130 g121 i i i id2igi 112 idgigili2 idgigili /:d /:d /:d / / / 2 2 66 : : : 89 / / / y / / / p p p y y y t t t 4 2 3 hthttp 1 hthttp hthttp

z12

12

z22

8

21

31

44

6

16

29

42

d d d x33 aj.ca.ci .ixd32 aj.70ca.ci .id x34 aj.ca.ci .id . . . 119 96 j j j e e e ne15 110 101 24 25 87ilib.bu78.n n34e 38 61 52 ne .bu11.n .bu.n 133 124 u u u b b i i l l i i i i i idgigil 3 115 3 i3gigil d d/idgigil //:d : / z43ttp92 z13://:128 z2 z/5d z63 69 z73 56 ttpz:83//:/47 z 2ttp 105 79 / / 3 hhttp hhttp hhttp x31

132

123

106

97

83

74

51

60

65 88 y33 id.id . c ca.cid.id 43 ca.cid.id a a a c . . . j j j a 7 20 33 ne j. e e nej. nej. .bu.n .bu.une .bu.n u u b b b i i i l l l i i i li Pelabelan total super(141,0)-sisi Gambar antimagic pada 3Dl idgigi4.7: idgigili 4igigili /:d /:d /:d / / / d : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp

y13

114

y43

y23

Berdasarkan Lemma.4.6.1 ( 3m+3 , 1)-sisi and.id d.id maka diperoleh pelabelan d.titik i i i 2 . . d i c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a . . . . e e e e timagic dan dapat pelabelan total super n ej 2)-sisi antimagic dengan nej nej n(a, nej .bu.n .bu.ditentukan .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il sisi dari pelabelan titik il ig il idgiglabel idgiyang idgiglabel gil telah ditemukan. Letak menentukan /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt yang yang htt htt sisi EAVL w dengan urutan sisihditentukan berdasarkan letakhbobot sama. Sehingga sisi dengan w terkecil dilabeli dengan label sisi terkecil dan

d ca.cid.idsisi dengan w terbesarj.adilabeli ca.cid.id dengan label sisi terbesar, ca.cid.idimana ca.cid.id a a a E(mDl ) = . . . j j j n e e e uneej. nej. nk ;e1j.≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m} nej. .bu.n .bu.kn .b∪u.n u u u k k lib. .un k k b b b i i i l l l i i i i y ; 1 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ k ≤ m} ∪ {x y , y x {x b i i i+1 idii+1 ig ili idgigili i i idgigili /:d /:d /:d // gigil / / : : / / //dig / / p p k k k k k k k k kttp:p://d t t thttp, yi z2ik ; 1 ≤ zj+1 {zj h htt; j genap, 2 ≤ j ≤ 2n − 2, 1h≤thtktp≤ m} ∪ {xi z2i−1 , xi z2i , yi hz2i−1













d d d d 81 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il igigil idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :p//:d /d≤ / / //dig / / / i ≤ n, 1t:p≤ k m}. Melalui pengamatan pola dan penggunaan konsep barisan p p p t t t t t t hht hhtt hhtt aritmatika, maka dapat ditentukan fungsi bijektifnya. Dari uraian di atas dapat

ca.cid.idditurunkan teorema 4.6.2: ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / (8n+3)m+5 //dig / / / p p p t t t 3 Teorema hthttp 4.6.2 Ada pelabelan total hthsuper hthttppada gabuttp ( 2 , 2)-sisi antimagic ngan graf Diamond Ladder mDln jika m ganjil, m ≥ 3 dan n ≥ 2.

d d d ca.cid.id aj.ca.ci .idBukti. Labeli titik egabungan aj.ca.ci .id graf Tangga Permata aj.mDl aj.ca.ci .id . . . . k j j j j e e e dengan α (x ) = n 6 i ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i k k k k k i i i i gigj ),il untuk 1 ≤ k ≤ m, definisikan ig il idgi i)gi=l α4 (yi ) dan α6 (zj ) =://αd4id(z idgigil α4 (xi ), α//6d /:d //:d :p:/(y : / / / //dig / / p p p : t t t t t t tp + 2, . . . , 12nm − 3m}, hmaka hhsisi tt α6 : E(mDln ) → {4nm +h1, label ht4nm http label sisi α6 untuk pelabelan total super (a, 2)-sisi antimagic pada graf mDln dapat diru-

ca.cid.idmuskan sebagai berikut: ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l  i i i i ig ili idgi idgigili idgigili gili(2n+3)4m−k+1 + (i − 1)8m; /:d /:d /:d /:d / / / : : : jika i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil / / /  //dig / / / p p p t t t 2 hthttp  hthttp hthttp    (8n+11)m−k+1


α6 (xki xki+1 )

 

=

+ (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod 3) dan k genap

2 (8n+27)m−k+2 + (i − 2)8m; 2 (2n+7)4m−k+2 + (i − 2)8m; 2 (4n+21)2m+2k + (i − 3)8m; 2

d   aj.ca.ci .id .  j  e   ne .bu.n u  b i l  i i ig il

://d/dig hthtp ttp:/



jika i ≡ 2(modid3) dan k ganjil

ac. .id

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil dan k sembarang :p//:d / / p t t hhtt

je. j.ac 3) dan k genap jika iu≡ ne2(mod

liibli.bi .≡un3(mod 3) i g i jika ://d/dig hthtp ttp:/

(8n+15)m−k+2

 + (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod.id 3) dan k ganjil  id.id 2 c.idid  . c cac.id ca.cid.id  . a a a a c c  . . . . (n+2)8m−k+2 j j j j a a  e e e e  ej. 3) dan k genap b.u.n ib.u.n nej. n2ej. + (i − 1)8m; jika n1(mod nej. .bu.n .biu.≡n u u u u b b i i i l l l l i i i i b b k ig ili idgjika idgigili α6 (yik yi+1 =idgigili(4n+15)2m+2k + (i − 2)8m; igili i ≡ 2(mod 3) dan k psembarang /:d /:)d /:d /:d / / / 2 : : : / / /  //dig / / / p p t t t thttp t tp (n+6)8m−k+1 hthttp    + (i −h3)8m; jika i ≡ 3(mod 3) danhkhtganjil  2 



 

(8n+47)m−k+1 2


d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i  i i i l idgigi(4n+3)2m−k+1 idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d  / / / / / / + (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil p p p  t t t t t t 2 hhtt  hhtt hhtt    (8n+5)m−k+1 α6 (xki yik )

 

=

+ (i − 1)8m;

2 (8n+21)m−k+2 + (i − 2)8m; 2 (4n+11)2m−k+2 + (i − 2)8m; 2 (8n+36)m+2k + (i − 3)8m; 2

 ca.cid.id a  . j  e   nej. .bu.n  u b i  l i ggili di

:p//://di t hthtp t


jika i ≡ 2(mod.i3) d dan k ganjil

cac.id ca.cid.id a a . . j j e e jika i.u≡n2(mod nej. 3) dan k genap ilib.bu.n nej. u u b . i l i b idgjika idgigili igilii ≡ 3(mod 3) dan k psembarang /:d /:d / / : : / / / / p t t hthttp hthttp











d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt  (2n+3)4m+2k        





+ (j − 2)4m;

2 (4n+15)2m−k+1 + (j − 4)4m; 2 (8n+29)m−k+1 + (j − 4)4m; 2 (8n+45)m−k+2 + (j − 6)4m; 2 (4n+23)2m−k+2 + (j − 6)4m; 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e k α6 (zjk zj+1 ) = ib.u.n nej. nej. .bu.n u u b i l l i i  b ig ili idgi gili  /:d /:d /  : / //dig / p  t hthttp   


jika j ≡ 2(mod 6) dan k sembarang

d jika j ≡ 4(mod ac.i .id6) dan k ganjil

ca.cid.id a c . . j j a e e j. ne4(mod nej. jika ≡ 6) dan k genaplib.u.n .buj.n u u b i l i i b idgigili idgigili /:d /:d / / : : jika j ≡ 6(mod 6) dan k ganjil / / / / p p t t hthttp hthttp jika j ≡ 6(mod 6) dan k genap

.id

.id

 je.aj.cac.id je.aj.cac.id e e n n 8nm+2k   iibli.bu.iu≡n 1(mod 3) liibli.bu.u2n + (i − 1)8m; ljika  i i g g  i i (4n+9)2m−k+1  ://d/dig ://d/digjika i ≡ 2(mod 3) + (i −tt2)8m;  2 hkthtp hhp tktp:/  (8n+17)m−k+1 ttp:/ α6 (xi z2i−1 ) = + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) 2   (8n+33)m−k+2   + (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3)  2 id.id .  c ca.cid.id ca.cid.id  a a a c . . . (4n+17)2m−k+2  j j j a e j. e j. e 3(mod j. + (i − 3)8m; jika i ≡ 3)


n e liibli.bu.un 2 i g i :p//:d /dig / t hthtp  t (4n+3)2m+2k        


+ (i − 1)8m;

2 (n+3)8m−k+1 + (i − 2)8m; 2 (8n+23)m−k+1 + (i − 2)8m; 2 (8n+39)m−k+2 + (i − 3)8m; 2 (n+5)8m−k+2 + (i − 3)8m; 2

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j k k e e α6 (xi z2i ) = ne ne .bu.n .bu.n u u  b b i i l l  i i i i ig il idg  igil /:d  :p//:d /  //dig / p t  t hhtt 

       

.i je.aj.cac3) e jika i.u ≡n2(mod liiblib.un i g i ig i ≡ 3(mod 3) ://d/djika hthtp ttp:/ jika i ≡ 3(mod 3)

.bu.une b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt + (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod 3)

2 (4n+5)2m−k+2 + (i − 1)8m; 2 (n+3)8m+2k + (i − 2)8m; 2 (4n+21)2m−k+1 + (i − 3)8m; 2 (8n+41)m−k+1 + (i − 3)8m; 2

dan k genap dan k ganjil

ca.cid.id a . j dan k genap .une nej. u b . i l i b idgigili /:d / : / / p t hthttp

jika i ≡ 2(mod.i3) dddan k ganjil

d aj.ca.ci .id . j e dan k genap ne .bu.n u b i l i i idgigil dan k ganjil :p//:d / / p t t t danhkhtgenap

ca.cid.id ca.cid.id  a a . . j j (8n+3)m−k+2 e  ej. 3) ≡e  ne2 j. + (i − 1)8m; jika n1(mod .bu.n .bui.n  u u b b i i l l  i i ili (2n+1)4m−k+2 + (i − 1)8m; idgig idgijika  gili i ≡ 1(mod 3) /:d /:d  / / : : / / 2  / / p p t t thttp ht ktp ) = (4n+9)2m+2k + (i −h2)8m; α6 (yikhzt2i−1 jika i ≡ 2(mod 3) 2   (8n+36)m−k+1    2  d d.id+ (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod d.i3) i i i  . . . d d i c c c (8n+35)m−k+1  . a c a c j.aj.ac 3) nej. j.a nej2. j.a + (i − 3)8m; jika i n≡e3(mod .bu.une b i l i i idgigil :p//:d / / p t  t hhtt (8n+9)m−k+2

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n dan k sembarang u b i l i i idgigil /:d / danttp k :p/ganjil / hhtt




82

ca.cid.id a . j e dan k ganjil nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d dan kpgenap / : / / t ht ttp dan hk sembarang dan k ganjil

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t h tt dan kh ganjil dan k genap

jika i ≡ 1(mod d 3) dan k genap

ca.cid.id α (yk z k ) = ca.cid.id a a . . j j 6 i 2i e e  nej. nej. .bu.n .bu.n  u u b b i i l l  i i ig ili idg  igili /:d /:d  / : /  //dig / p t hthttp 

.ci .id .cid.id c c a a . . j j a a jika i ≡ne 2(mod . 3) dan k sembarang une . .bu.unej .b.unej b b i i l l i i idgjika idgigili igilii ≡ 3(mod 3) dan k pganjil /:d /:d / / : : / / / / p t t tp hthttp jika i ≡ 3(mod 3) danhkthtgenap













d d d d 83 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil ig il idgkigkil /:d /:d k k kdikg k k k k :p//:d :p6/(y :pα//:6d / / / //dig / / / Fungsi bijektif pada α (x x ), α y ), α (x y ), α (z z ), (x p p p t t t 6 6 6 i i+1 i i+1 i i j j+1 i z2i−1 ), t t t hhtt hhtt hhtt k k k k k k α6 (xi z2i ), α6 (yi z2i−1 ) dan α6 (yi z2i ) dapat direduksi sebagai berikut:(untuk k

ca.cid.idsembarang) ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e .une u.n u.n nej. nej. nej. nej. .bu.n . . u u u u b b b b . i i i i (−1) +1 (8n+11)m−k+1 l l l l i i i i b b b g +li (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod +( )m ili ig ili idgig idgig3)ili  2 4://didigi  /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p : t t t (−1) thkitxtpki+1 ) = (8n+27)m−k+2 + ( h thtt+1 thtt2(mod p )m + (i − 2)8m; jika ih≡ p α6h(x 3) 2 4 


k+1 k

 

(4n+21)2m+2k 2

+ (i − 3)8m;

jika i ≡ 3(mod 3)

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j  neje.a . . . e e u.n (−1) +1 n j nej nej .bu(8n+15)m−k+2 .b− .bu.n  u u u b b b . i i i + ( )m + (i 1)8m; jika i ≡ 1(mod 3) l l l  i i i i i i 2 4 il idgig idgigil idgigil (4n+15)2m+2k :pk//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p t t ) = y α6h(y + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) thtikp t t hhtt hhtt 2 tt i+1   (8n+47)m−k+1 (−1) +1  k

+(

2

k+1

4

)m + (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3)


 je.aj.cac.i (−1)k+1 +1 je.aj.cac.i je.aj.cac.i e e e n n n (8n+5)m−k+1 u u u n +( )m i+ jika i ≡ 1(mod 3)ilib.b.un  iibli.b.un 2 liibl(ii.b−.u1)8m; 4  igl g g i i idgigili k g d d i i /:)m /:d k://k /d (8n+21)m−k+2 (−1) +1 / / d : : / / α6t(x y ) = / / / + ( + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod p p p : t t t i i 2 hhttp ht4ttp hthttp 3)    (8n+36)m+2k + (i − h 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3) 2


ca.ci .id ca.ci .id ca.ci .id  a a a . . . j j j . . . e e e n  + (j − 2)4m; ib.u.n ne2j nej jika j ≡ 2(mod 6) nej .bu.(2n+3)4m+2k .bu.n  u u u b b  i i l l l i i i b i i i idgi6) k k/digigil (8n+29)m−k+1 (−1)k+1 +1 /digigil gil α6 (ztp )d= ( :p/j+1 :/ )md+ (j − 4)4m; jika j ≡ttp4(mod :p//:d / / jz / / : + 4ttpp:// t  t hhtt  httk +1 )m + (j − 6)4m; jika jh≡ht6(mod  (8n+45)m−k+2 + (h(−1) 6) 2 4



.idd

.idd

.idd

d

d

d

 ca.cid.id a . j (4n+9)2m−k+1 e j.  + (i − 2)8m;   une 2 b.un

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e jika i ≡ 2(mod 3) .une nej. nej. .bu.n u u b b . . i i i l l l i i i b b k gigi+li (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod id)m idgig3)ili d α6 (xki z2i−1 )idg= igili (8n+17)m−k+1 /:d /:d + ( (−1)p4://+1 / / : : / / / 2 / / / p p :  t t t thttp p  hthttp ht≡tt3(mod (−1) +1  (8n+33)m−k+2 + (h )m + (i − 3)8m; jika i h 3) k+1 k

2

4

 ca.cid.id a (4n+3)2m+2k . j  . e j + (i − 1)8m;  2  .unne

did ca.cid.id aj.ca.ci .jika a . . j j . e e i ≡ 1(mod 3) unnej ne .bu.n u u b b . i i l l liibli.b.u i i i (8n+23)m−k+1 k k (−1) +1 b i i l gigil g g i i i α6 (xi z/2i/d ) i= + ( )m + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) 2 : /d  (8n+39)m−k+2 :p//:d :p//:d //dig //dig t4p tp t t (−1) +1  t t hthtp h h ttp:/  t t + ( h4 )m + (i − 3)8m; jika i ≡h3(mod 3) 2 k+1 k

   


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b k k i l i )ig= α6 (yi z2i−1 li igi /:d / d : /  / p t  hthttp









ca.cid.idjika i ≡ 1(mod 3) ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i jika i ≡ 2(mod idgigili idgig3)ili /:d /:d / / : : / / / / p p t t p hthttp jika h i th ≡tt3(mod 3)

k (8n+3)m−k+2 + ( (−1)4 +1 )m + (i − 1)8m; 2 (4n+9)2m+2k + (i − 2)8m; 2 k+1 (8n+35)m−k+1 + ( (−1) 4 +1 )m + (i − 3)8m; 2



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt  (8n+9)m−k+2






k + ( (−1)4 +1 )m + (i − 1)8m; 2 (n+3)8m+2k + (i − 2)8m; 2 k+1 (8n+41)m−k+1 + ( (−1) 4 +1 )m + (i − 3)8m; 2

  

84

jika i ≡ 1(mod 3)

id i ≡ 2(mod 3) ca.cid.id ca.cid.jika ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. jika i ≡ 3(mod 3) nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t t (x p hthJika hthttbobot ttp Wα didefinisikan sebagai ttpk ), α6 (yk ),sisi pelabelan total h αh 6

k α6 (yik z2i )

=

  

6 i i k k k k k k k k k k k k k k α6 (zj ), α6 (xi xi+1 ), α6 (yi yi+1 ), α6 (xi yi ), α6 (zj zj+1 ), α6 (xi z2i−1 ), α6 (xi z2i ), α6 (yik z2i−1 ) k ) maka Wα6 dapat diperoleh dengan menjumlahkan rumus bobot dan α6 (yik z2i

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n u.n ne nedan rumus label sisi iαlib ne syarat batas i, j, dan ne .bu.n .buw .bdengan .bku.n u u u u b b b . i i i sisi EAVL w = l l l i i i α α 6 i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t yang bersesuaian dan dapat dirumuskan sebagai berikut: t t t hhtt hhtt hhtt






4

6

Untuk sisi xki xki+1

cka.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j k . e e e = +.uαn6 (x u.n nei jx.i+1 ); jika i ≡ 1(modil3) nkejganjil} nej. .bdan .bu.n u u u b b b . i i i l l i i b gigili id15m−k+2 idgigili idgigili (2n+3)4m−k+1 /:d /:d /:d / / / : : : / / / = ( + (i − 1)8m) + ( + (i − 1)8m) / / / p p p t t t 2 hthttp hthttp 2 hthttp (8n+27)m−2k+3

Wα16

{wα1 6

=

2

+ (i − 1)16m

id

id

k c k . .id c. id Wα26 = {wα2 6 + α6 (x ac); jika i ≡ 1(mod 3) danekj.agenap} .ac. ej.i ax.i+1

nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l (8n+11)m−k+1 i i i i + (i − 1)8m) + ( //d2igigil + (i − 1)8m) =//digigil :p://d : d p t t tp:// hthtp hhtt (8n+25)m−2k+3 t = + (i − 1)16m ( 14m−k+2 2 2


k Wα36 = {wα3 6 + α6 (xki xc i+1 .id);idjika i ≡ 2(mod 3) dan k ganjil} c.idid

ca.cid.id . . a a a c c . . . j j j a a e e . e j. (8n+27)m−k+2.unnej ne nej. .bu.n .bu.n u u u + (i − 2)8m) + ( + (i − 2)8m) = ( 30m−k+3 b b b . i i i l l l i i i 2 2 b idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p (8n+57)m−2k+5 t t t + (i − 2)16m hthtt=p hthttp hthttp 2

Wα46 = {wα4 6 + α6 (xki xki+1 ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k genap}

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a (2n+7)4m−k+2 . . . j j j . . . e e e +ne (ij − 2)8m) + ( (i = n 2 ne−j 2)8m) nej .bu.n .bu+ .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil (8n+59)m−2k+5 //:d //:d : : + (i − 2)16m =://:d / / / / / / p p p 2 t t t t t t hhttp hhttp hhttp 5 5 k k ( 31m−k+3 2

Wα6 = {wα6 + α6 (xi xi+1 ); jika i ≡ 3(mod 3) dan k sembarang}

d

d

.ci .id .id + ( (4n+21)2m+2k = ( 45m+2k+1 +j.(i + (ij.− aca−.ci3)8m) aca3)8m) 2 2

e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i = /digigili + (i − 3)16m /digigili / d : :/ /d / / p : t hthttp hthtp ttp:/ (8n+87)m+4k+1 2












d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil k k /:d :p//:d / //dig / Untuk sisi yi yi+1 p t t hhtt









k Wα66 = {wα6 6 + α6 (yik yi+1 ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil}

c.idid

c.idid

(8n+15)m−k+2 a c. c. = ( 18m−k+3 +ne (ij.−a j.a1)8m) 2 2 n+ej(i. j.−a 1)8m) + (

e e liibli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i = + (i − 1)16m ://d/dig :p//:d /dig / t h7 thtp hthtp t ttp:/ 7 k k (8n+33)m−2k+5 2

Wα6 = {wα6 + α6 (yi yi+1 ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k genap}


id.id + ( (n+2)8m−k+2 + (ia− + (i −a1)8m) = ( 19m−k+3 c.1)8m) c.id.id 2 2

ca.cid.id a c c . . . j j j a a . . . e e e nej+ (i − 1)16m nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l = (8n+35)m−2k+5 i i i i i i idgigil 2 idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t 8 tt k hhtt Wαh ); jika hi h ≡tt2(mod 3) dan k sembarang} h = {wα8 + α6 (yik yi+1 6

6

= ( 33m+2k+1 + (i − 2)8m) + ( (4n+15)2m+2k + (i − 2)8m) 2 2 d d

aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j (8n+63)m+4k+1 e e n e + (i − 2)16m n e = liibli.2bu.un liibli.bu.un i i g g i i 9 p://d 9 k diαg :p//:d /dig3) dan k ganjil} / Wαh + α6 (yik yi+1 ); jika hi t≡ 3(mod tp thttt=p://{w t ht 6

6

+ (i − 3)8m) + (9. (n+6)8m−k+1 + (i − 3)8m) = ( 51m−k+2 2 2


d d d aj.+ca.c(ii .i−d 3)16m aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i 10 10 k k idgiαgil+ α6 (yi yi+1 ); jika i ≡ 3(mod idgig3)il dan k genap} idgigil Wα = {w :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 50m−k+2 + (i − 3)8m) + ( (8n+47)m−k+1 + (i − 3)8m) = ( =

6

(8n+99)m−2k+3 2 6

2

2

(8n+97)m−2k+3 2

= +c.(iid i−d 3)16m ca.cid.id ca.cid.id . a a a c . . . j j j a e e neej. nej. nej. .bu.n .bu.n k kib.u.un u u b b i i Untuk sisi x y l l l i i i b ig ili idgiigiili idgigili /:d /:d /:d / / : : / / //dig / / p p t t 11t ttp ttp 3) dan k ganjil} Wαh h = {wα11 + α6 (xki yik ); jika i h≡th1(mod


85

6

6

(4n+3)2m−k+1 + (i − 1)8m) + (i − 1)8m) = ( 9m−k+2 2 2 d +( d


aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e = ne + (i − 1)16m ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i il idgig idgigil k k 12 12 p://d :p//:d / / p ≡tt1(mod 3) dan k genap} Wαh thttt=p://{w α + α6 (xi yi ); jika i h htt



ca.c(iid.i−d 1)16m ca.cid.id a a . . + j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp










(8n+15)m−2k+3 2 6

6

= ( 8m−k+2 + (i − 1)8m) + ( (8n+5)m−k+1 + (i − 1)8m) 2 2

=

(8n+13)m−2k+3 2





d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt Wα13h = {wα13 + α6 (xki yik ); jika i ≡h2(mod 3) dan k ganjil}


(8n+21)m−k+2 = ( 24m−k+3 + (i − .2)8m) + (i − 2)8m) idid + ( .idid 2 2




6

6

je.aj.cac. je.aj.cac. e e n n (8n+45)m−2k+5 u u = igliibli.2b.un + (i − 2)16m digigliibli.b.un g i d i :// d :p//://di p 14ttpp:// 14 k k t t Wαh = {w + α (x y ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k genap} t t h 6 i i α ht ht 6

6

+ (i − 2)8m) + ( (4n+11)2m−k+2 + (i − 2)8m) = ( 25m−k+3 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j . . . e e e = nej+ (i − 2)16m nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i l l idgig idg3) idgigil 15i k k igidan Wα15 tp= {w k sembarang} tp://:d :p//:d :p//:d / / / / / / α + α6 (xi yi ); jika i ≡tt3(mod p t t hhtt hhtt hhttp (8n+36)m+2k 39m+2k+1 (8n+47)m−2k+5 2

6

6

= (

2

+ (i − 3)8m) + (

2

+ (i − 3)8m)

.c(iid.i−d 3)16m ca.cid.id ca.cid.id = (8n+75)m+4k+1 +c a a a . . . 2 j j j a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l k k i i i Untuk sisi zig ili ig ili idgigili j izg j+1 /:d /:d /:d / / d : : / / //dig / / p p t t h16thttp hthttp 16 k k




86


Wα6 = {wα6 + α6 (zj zj+1 ); jika j ≡ 2(mod 6) dan k sembarang} (2n+3)4m+2k + (j c−.id 2)4m) + (j − c2)4m) = ( 15m+2k+1 .id.id 2 2 .id + (

je.aj.ac je.aj.ac e e n n (8n+27)m+4k+1 u u n n . . = gilib li2b.u + (j − 2)8m //digiigliiblib.u i i g d i / / : /d : ://d tp 17ttptp:/ k ttp4(mod Wαh ); jika hjth≡ 6) dan k ganjil} ht = {wα17 + α6 (zjk zj+1 6

6


+ (j − 4)4m) + ( (4n+15)2m−k+1 + (j − 4)4m) = ( 33m−k+2 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e = nej.+ (j − 4)8m nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ili idgig idgigili idgigili /:d 18 k //:d / :p//:d :p4(mod : / / / Wα18ttp= {w + α6 (zjk zj+1 ); jika jt≡ 6) dan k genap} / / / p p t t α hhtt hhtt hthttp (8n+29)m−k+1 (8n+63)m−2k+3 2

6

6

+ (j − 4)4m) + ( = ( 32m−k+2 2

2

+ (j − 4)4m)

dd d d 4)8m aj.+ca.c(ji .i− aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e nek k ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i 19 19 i i i g il il dan k ganjil} idgig6) idgigil Wα =//d{w //:d :p://idiαg + α6 (zj zj+1 ); jika jt≡ :p6(mod :p//:d / / / / p p p t t t t t hhtt 48m−k+3 h tt hhtt + (j − 6)4m) + h( (8n+45)m−k+2 + (j − 6)4m) = ( =

6

(8n+61)m−2k+3 2 6

2

2

(8n+93)m−2k+5 2


+c.(j id.i− d 6)8m ca.cid.id a a c . . j j a e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp










=





d d d d 87 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhtt k Wα20h = {wα20 + α6 (zjk zj+1 ); jika jh≡ 6(mod 6) dan k genap}






6

6

(4n+23)2m−k+2 = ( 49m−k+3 + (j −.6)4m) + (j − .6)4m) idid + ( idid 2 2

je.aj.cac. je.aj.cac. e e n n (8n+95)m−2k+5 u u = igliibli.2b.un + (j − 6)8m digigliibli.b.un g i d i :p//://dk k :p//://di p p t t t t t t h h Untuk ht sisi xi z2i−1 ht


k Wα216 = {wα216 + α6 (xki z2i−1 ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang}

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j 8nm+2k e e +ne (i − 1)8m) + ( 2 + (i.− 1)8m) = u.n ne .bu.n u u b b i i l l i i b i i idgigil diggil (8n+3)m+4k+1 :p//:d / = + (i − 1)16mttp:p//://di / p t t 2 hhtt hhtt ( 3m+2k+1 2

k ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k ganjil} Wα226 = {wα226 + α6 (xki z2i−1

.id

.id

.id + ( (4n+9)2m−k+1 = ( 21m−k+2 +ej(i +e (ij.−a.c c.id .a.−cac2)8m) a2)8m) 2 2

nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i =//didgigili + (i − 2)16m //didgigili : :p:// / / p : t thtp t h23thttp h t 23 k k (8n+39)m−2k+3 2

Wα6 = {wα6 + α6 (xi z2i−1 ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k genap}



+ (i − + (i − c 2)8m) = ( 20m−k+2 idid + ( (8n+17)m−k+1 .idid 2 2 c.2)8m)

d aj.ac. aj.ac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne + (i − 2)16m ne ne .2bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b = (8n+37)m−2k+3 i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t 24 24 k k t t t Wαhhtt= {wα + α6 (xi z2i−1 ); jikahih≡ tt 3(mod 3) dan k ganjil} hhtt 6

6

+ (i − 3)8m) + ( (8n+33)m−k+2 + (i − 3)8m) = ( 36m−k+3 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e = nej.+ (i − 3)16m nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ili idgig idgigili idgigili 25 k k /:d //:d / :p//:d :p3(mod : Wα25ttp= {w 3) dan k genap} / / / / / / p p α + α6 (xi z2i−1 ); jika itt≡ t hhtt hhtt hthttp (4n+17)2m−k+2 (8n+69)m−2k+5 2

6

6

+ (i − 3)8m) + ( = ( 37m−k+3 2

2

+ (i − 3)8m)

d d d d = (8n+71)m−2k+5 aj.ca.ci .id aj.+ca.c(ii .i−d 3)16m aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j 2 e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i k k i i i i l ig il idgigil idgigil Untuk sisi xig /:d diizg2ii :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt h tt W 26h = {w26 + α6 (xk z k ); jika i ≡h1(mod 3) dan k sembarang} h α6

α6

i 2i

= ( 9m+2k+1 + (i − + (i − 1)8m) idid + ( (4n+3)2m+2k 2 2 c.1)8m) c.idid


je.aj.ac. je.aj.ac. e e n n (8n+15)m+4k+1 u u = igliibli.2b.un + (i − 1)16m digigliibli.b.un g i d i :p//://d :p//://di p t t t t hthtp h t ht














d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt k Wα27h = {wα27 + α6 (xki z2i ); jika i ≡h2(mod 3) dan k ganjil}


(n+3)8m−k+1 = ( 27m−k+2 + (i − .2)8m) + (i − 2)8m) idid + ( .idid 2 2





6

88

6

je.aj.cac. je.aj.cac. e e n n (8n+51)m−2k+3 u u = igliibli.2b.un + (i − 2)16m digigliibli.b.un g i d i :// d :p//://di p 28ttpp:// 28 k k t t Wαh = {w + α (x z ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k genap} t t h 6 i 2i α ht ht 6

6

+ (i − 2)8m) + ( (8n+23)m−k+1 + (i − 2)8m) = ( 26m−k+2 2 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . . e e = nej+ (i − 2)16m nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i l idgig idgi3) gildan k ganjil} 29i k k Wα29 tp= {w 3(mod :p//:d :p//:d / / / / α + α6 (xi z2i ); jika i ≡ p t t t hhtt hhtt (8n+39)m−k+2 42m−k+3 (8n+49)m−2k+3 2

6

6

= (

2

+ (i − 3)8m) + (

2

+ (i − 3)8m)

.c(iid.i−d 3)16m ca.cid.id +c a a . . j j a e e nekj.k nej. .bu.n .bu.n u u b b i i 30 30 l l i i i α6 (xi z2i ); jika i ≡ 3(mod i k genap} Wα = /d{w idgiαgil+ idgi3) gildan /:d / / : : / / / / p p : t t hthtt=p ( 43m−k+3 + (i − 3)8m) +hth( (n+5)8m−k+2 ttp + (i − 3)8m) 2 2 =

6

(8n+81)m−2k+5 2 6


(8n+83)m−2k+5

= + .(iid− 3)16m 2 .cid.id c cac.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a . . . . e e e e k .unnej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n Untuk sisi yik zil2i−1 u u u u b b b b . i i i i l l l i i i b i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t 31 31 k k t t t Wαhhtt= {wα + α6 (yi z2i−1 ); jikahih≡ tt 1(mod 3) dan k ganjil} hhtt



6

6

+ (i − 1)8m) + ( (8n+3)m−k+2 + (i − 1)8m) = ( 6m−k+3 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e j. (i − 1)16m = ne+ nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ili idgig idgigili idgigili 32 k k /:d //:d / :p//:d :p1(mod : Wα32ttp= {w 3) dan k genap} / / / / / / p p α + α6 (yi z2i−1 ); jika itt≡ t hhtt hhtt hthttp (2n+1)4m−k+2 (8n+9)m−2k+5 2

6

6

+ (i − 1)8m) + ( = ( 7m−k+3 2

+ (i − 1)8m)

2

d d d aj.+ca.c(ii .i−d 1)16m aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e nek k ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l 33 33 i i i i i i l dan k sembarang} //digigil g il+ α6 (yi z2i−1 ); jika i ≡ 2(mod Wα = /d{w idgigi3) :p/://idiαg :p//:d : d / / p p t t t t t tp:// hhtt 21m+2k+1 hht(4n+9)2m+2k hthtp t + (i − 2)8m) + ( + (i − 2)8m) = ( =

6

(8n+11)m−2k+5 2 6

2

=

2

(8n+39)m+4k+1 2


+ .(iid− cac.id 2)16m ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp














d d d d 89 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhtt k Wα34h = {wα34 + α6 (yik z2i−1 ); jika ih≡ 3(mod 3) dan k ganjil}


6

6


cac. cac. ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej.+ (i − 3)16m nej. nej. .2bu.n .bu.n .bu.n = (8n+75)m−2k+3 u u u b b b i i i l l l i i i g ili idgigili idgigili /:d /:d / / ://didig : : / / / / p p 35ttpp:// 35 k k t t Wαhhtt= {wα + α6 (yi z2i−1 ); jikahith≡ ttp3(mod 3) dan k genap} hthttp 6

6

+ (i − 3)8m) + ( (8n+35)m−k+1 + (i − 3)8m) = ( 38m−k+2 2 2

d ca.cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .id a a (8n+73)m−2k+3 . . . j j j . . e e e = ne nej+ (i − 3)16m nej .bu.n .2bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il ig kil idgigil /:d :p//:d :p//:d Untuk sisi ydikizg2i / / //dig / / p p t t t t hhtt hhtt






k ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil} Wα366 = {wα366 + α6 (yik z2i

id

id

ca.c.id .id + ( (8n+9)m−k+2 = ( 12m−k+3 +ej(i + (ie− .a.−ca.c1)8m) j.a.1)8m) 2 2

nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i =//digigili + (i − 1)16m //digigili d : : /d / / p : t h37thttp hthtp ttp:/ 37 k k (8n+21)m−2k+5 2

Wα6 = {wα6 + α6 (yi z2i ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k genap} + (i − + (i − c 1)8m) = ( 13m−k+3 idid + ( (4n+5)2m−k+2 .idid 2 2 c.1)8m)

d aj.ac. aj.ac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne + (i − 1)16m ne ne .2bu.n .bu.n .bu.n = (8n+23)m−2k+5 u u u b b b i i i l l l i i i i i i g il idgigil idgigil ://didig :p//:d :p//:d / / / / p p 38ttpp:// 38 k k t t t t Wαhhtt= {wα + α6 (yi z2i ); jika i h≡h2(mod 3) dan k sembarang}hhtt tt 6

6

+ (i − 2)8m) + ( (n+3)8m+2k + (i − 2)8m) = ( 27m+2k+1 2 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e = nej.+ (i − 2)16m nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i li idgig idgi3) gildan 39i k /:d /:d / / Wα39 tp= {w + α6 (yik z2i ); jika i ≡t3(mod k ganjil} : : / / / / α p hthttp hthttp (4n+21)2m−k+1 45m−k+2 (8n+51)m+4k+1 2

6

6

= (

2

+ (i − 3)8m) + (

2

+ (i − 3)8m)



d d d aj.+ca.c(ii .i−d 3)16m aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e nek k ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i 40 40 l l l i i i i i i g il+ α6 (yi z2i ); jika i ≡ 3(mod Wα = /d{w idgi3) idgigil gildan k genap} :p/://idiαg :p//:d :p//:d / / / / p p p t t t t t t hhtt= ( 44m−k+2 + (i − 3)8m) +hh( (8n+41)m−k+1 hhtt tt + (i − 3)8m) 2 2


+ .(iid− 3)16m cac.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgibijektif idgigili sebagai berikut: idgigili gili pada Wα6 dapat direduksi /:d /:d /:d / / / Fungsi : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp









=

6

(8n+87)m−2k+3 2 6

=

(8n+85)m−2k+3 2



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgkigkil /:d :p//:d / //dig / Untuk sisi x p t i xi+1 t hhtt








Wα16 = {wα1 6 + α6 (xki xki+1 ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang}

c.idid

c.idid


(−1) (8n+11)m−k+1 a c. +1 a c. = ( 14m−k+2 + ( (−1) 4 2 n+ej(. j.a 4 )m + (i − 1)8m) +n(ej. j.a2 k+1

.uune

. iiblib 1)8m) igiigl− d+(i

:// /d hthtp tt=p:/ (8n+25)m−2k+3 + ( (−1)

k+1

2

2

e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / p t t t h +1ht )m + (i − 1)16m

k+1 +1

)m

Wα26 = {wα2 6 + α6 (xki xki+1 .id); jika i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang} .id

d aj.cac.id aj.cac.id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e (8n+27)m−k+2 ne 2 ne .un+ne .bu.n = ( 30m−k+3 ( (−1)4 +1 )m + (i − 2)8m)lib+.u(.n + ( (−1)4 +1 )m+ u u b i i 2bib.u l l i i i b i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d (i − 2)8m) / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt (8n+57)m−2k+5 (−1) +1 k

=

2

+(

k

k

2

)m + (i − 2)16m

id

id


k . .id ca.c.id Wα36 = {wα3 6 + α6 (xj.kia xc i+1 ac); jika i ≡ 3(mod 3) dan kj.asembarang}

e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i (4n+21)2m+2k l l i i + (i − 3)8m) + ( /di2gigili + (i − 3)8m) = /digigili / d : :/ /d / / p : t hthttp (8n+87)m+4k+1 hthtp ttp:/ ( 45m+2k+1 2

=

2

+ (i − 3)16m

d d d d k k aj.ca.ci .idUntuk sisi yi yi+1 ej.aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne nek k ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l 4 6 i i i i i i i i g il+ α6 (yi yi+1 ); jika i ≡ 1(mod Wα = /d{w ig il idgig3)il dan k sembarang} ://didgigil /:d :p/://idiαg :p//:d / //dig / p p t t t t thtp t tp+1:// h hhtt= ( 18m−k+3 + ( (−1) +1 )m +hh(it− t (8n+15)m−k+2 (−1) 1)8m) + ( + ( 4 )m+ 2 4 2



6

6

k

k

(i − 1)8m)

d.id ca.ci(−1) ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j +1 . ( 2 )m + (i − 1)16m e e e = nej+ nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili d/idgi5gil+i α (yk yk ); jika i ≡p2(mod /:d /:d / / : : / / Wα5 ttp=:p//:/{w 3) dan k sembarang} / / p 6 i i+1 t t α hhtt hthttp hthttp k

(8n+33)m−2k+5 2

6

6

+ (i − 2)8m) + ( (4n+15)2m+2k + (i − 2)8m) = ( 33m+2k+1 2 2

d d id ca.(i aj+ aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id c.i−d 2)16m . . . j j j . e e e nek k ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i 6 6 i i i g il idgig3)il dan k sembarang} ://didgigil Wα =//d{w :p://idiαg + α6 (yi yi+1 ); jika i t≡tp3(mod :p//:d / / / p t t ttp hhtt 50m−k+2 (−1) +1 hhtt ttp:/ +1 (8n+47)m−k+1 hh(−1) +( )m + (i − 3)8m) + ( +( )m = ( =

6

(8n+63)m+4k+1 2 6

k+1

2

k+1

4

2

+(i − 3)8m)

4


.cid.id .cid.id c c a a . . j j a a . ( (−1) +1 )m + (i − 3)16m e neej+ = (8n+97)m−2k+3 nej. .bu.n 2.u.un 2 u b b i i l l i i b idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp










k+1



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil k k /:d :p//:d / //dig / Untuk sisi xi yi p t t hhtt











Wα76 = {wα7 6 + α6 (xki yik ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang}

id

id

91


+1 (8n+5)m−k+1 (−1) + (j(−1) = ( 8m−k+2 .a.ca4.c.id)m + (i − 1)8m) + ( j.a.ca2 .c.id + ( 4 2 k+1

uneej

bli.b.un (iig−ilii1)8m)

dig :p//:d /(8n+13)m−2k+3 / t hthtp t= + ( (−1) 2 2

j+1

e nej .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t +1 hth)m ttp+ (i − 1)16m

k+1 +1

)m+


d.id d d aj.ca.ci+1 aj.ca.ci .id (−1) +1 aj.ca.ci .id . . . j j j (−1) (8n+21)m−k+2 e e e = +ne ( 4 )m + (i − 2)8m) +.u( nne 2 + ( 4 )m+ .unne .bu.n u u b b . i i l l i i b i i l g− gigil giigliiblib.u i i i i g d d d i / / / (i 2)8m) / / / : /d : /d : /d hthtp hthtp ttp:/ (8n+45)m−2k+5 (−1) +1hthtp ttp:/ ttp:/ ( 24m−k+3 2

=

2

k

+(

k

k

2

)m + (i − 2)16m

d Wα96 = {wα9 6 + α6 (xkia yikc);.cid id i ≡ 3(mod 3) dan k sembarang} .jika ac.ci .id

je. j.a je. j.a e e n n u u n n . . (8n+36)m+2k 39m+2k+1 u u b b = (igilii2lib. + (i − 3)8m) + ( idgiigliilib+. (i − 3)8m) 2 g d d i / / / / d : : / tp:// hthtp hthtp tt=p:/ (8n+75)m+4k+1 t + (i − 3)16m 2


k Untuk sisi zjk zj+1

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n n k nke sembarang} ne .bu .bu.n Wα10 = {wiα10lib+.buα (zejk zj+1 ); jika j ≡ 2(modili6) dan u u u b b 6n . . i l i i i i idgigil idgigil idgigil //:d //:d :=p//:d : : / / / (2n+3)4m+2k / / / 15m+2k+1 p p p t t t t t t + (j − 2)4m)h+h(ttp 2 + (j − 2)4m) hhttp hhtt ( 2 6

6

=

(8n+27)m+4k+1 2

+ (j − 2)8m

c.idid ca.cid.id ca.cid.id a a a k kac. . . . j j j . e e = +uαn6e (zej jz.j+1 ); jika j ≡ 4(mod 6) u n nkejsembarang} nej. .b.un .bdan .bu.n u u b b b . i i i l l l i i i gigili igigili + ( (−1) +1 )m + (j:/− idgigili + ( (8n+29)m−k+1 ( (−1) ://+1 id)m+ d /:d /:d / 4)4m) = (d32m−k+2 : / / / / / / 2 4 + 4 p p p : t t t hthttp hthttp hthttp

Wα116

{wα116

k+1

k+1

(j − 4)4m)

6

(8n+61)m−2k+3 2

k+1

+1 )m + (j − 4)8m d d . aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n nek k nke ganjil} ne .buα.n .bu .bu.n u u u Wα12 = {wiα12lib+ dan b b . i 6 (zj zj+1 ); jika j ≡ 6(modili6) l i i i i idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p/+1 / / / / / / p p p (−1) +1 (8n+45)m−k+2 (−1) 48m−k+3 t t t t t t + h( htt4 )m+ hhtt= ( 2 + ( 4 )m +hh(jtt− 6)4m) + ( 2

=

+c.(i(−1) did 2

6

k

k

(j − 6)4m)


d.id +1 ca.c(i(−1) ca.cid.id a a . . + )m + (j − 6)8m j j e e 2 nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp










=

(8n+93)m−2k+5 2

k



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil k k /:d :p//:d / //dig / Untuk sisi xi z2i−1 p t t hhtt









c.idid

c.idid

(4n+9)2m−k+1 a c. c. = ( 3m+2k+1 +ne (ij.−a j.a2)8m) 2 2 n+ej(i. j.−a 1)8m) + (

e e liibli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i = + (i − 1)16m ://d/dig :p//:d /dig / t h14thtp hthtp t ttp:/ 14 k k (8n+3)m+4k+1 2


Wα6 = {wα6 + α6 (xi z2i−1 ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang}

(8n+17)m−k+1 (−1) d +1 d + ( (−1) = ( 20m−k+2 2 ac.4i .id )m + (i − 2)8m) + ( ac.2i .id + ( 4 k+1

je. j.ac je. j.ac e e n n u u n n . . +(il− 2)8m) giigiiblib.u giigliiblib.u i i d d / / / / d : /(8n+37)m−2k+3 : /d tp + ( (−1) 2 +1 hthtp hth)m tt=p:/ ttp+:/ (i − 2)16m 2 k+1

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt k+1 +1

)m


d.id ca.ci+1 ca.cid.id (−1) +1 ca.cid.id (−1) (8n+33)m−k+2 a a a . . . j j j = +ee ( )m + (i − 3)8m) + ( neej.2 + ( 4 )m+ e n j. 4 nej. .bu.n .bu.un .bu.n u u b b b i i i l l l i i i li (iig− idgigili idgigili igi3)8m) /:d /:d /:d / / / d : : : / / / / / / p p p t t t hthttp (8n+69)m−2k+5 (−1) +1hthttp hthttp = +( )m + (i − 3)16m ( 36m−k+3 2

k

k

k

2

2

k k .cid.idUntuk sisi xi z2i c ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a . . . . e e e e ej nej nekj k nej .bu.n .buα.n .bu.n .bu.n u u u u b b b Wα16 = {wiα16lib+ dan kn sembarang} i i i 6 (xi z2i ); jika i ≡ 1(mod 3) l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p (4n+3)2m+2k t t t 9m+2k+1 t t t hhtt hhtt= ( 2 + (i − 1)8m) +hh( tt 2 + (i − 1)8m)



6

6

=

(8n+15)m+4k+1 2

+ (i − 1)16m

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j k k e j. = +.uαn6e (xei jz.2i ); jika i ≡ 2(mod 3) dan ke n nesembarang} nej. .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b gigili id26m−k+2 idgigili (8n+23)m−k+1 (−1) idg+1igili (−1) +1 /:d /:d /:d / / / : : : + ( )m + (i − 2)8m) + ( + ( )m = ( / / / / / / p p p t t t 2 4 2 hthttp hthttp hthttp 4

Wα176

{wα176

k+1

k+1

+(i − 2)8m)

k+1 +1

d.id 2 +c.(i(−1)

d )m + (i − 2)16m c.id aj.ac aj.ac.id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n k k nesembarang} ne .bu.n .bu.n 18ib.u.une u u b b i i Wα18 = {w + α (x z ); jika i ≡ 3(mod 3) dan k l l l i i i 6 b α i 2i i i i idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p/+1 / / / / / / p p p t t t (−1) +1 (8n+39)m−k+2 (−1) t t t 42m−k+3 hhtt= ( 2 + ( 4 )m +hh(itt− 3)8m) + ( +h ( htt4 )m+ 2 =

6

(8n+49)m−2k+3 2 6

k

k

(i − 3)8m)


d.id +1 ca.c(i(−1) ca.cid.id a a . . j j + )m + (i − 3)16m e e 2 nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp










=

(8n+81)m−2k+5 2

k



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil k k /:d :p//:d / //dig / Untuk sisi yi z2i−1 p t t hhtt








k Wα196 = {wα196 + α6 (yik z2i−1 ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang}

c.idid

c.idid


(−1) (8n+3)m−k+2 (−1) +1 a c+1. a c. = ( 6m−k+3 2 n+e(j. j.a4 )m + (i − 1)8m) + ( nej.2j.a + ( 4 )m+ k

.uune

iliblib. d(iig− igi1)8m)

:// /d hthtp tt=p:/ (8n+9)m−2k+5 + ( (−1) 2

k

2

e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / p t t t h +1 ht )m + (i − 1)16m

k

k Wα206 = {wα206 + α6 (yik z2i−1 .id); jika i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang} .id

je.aj.cac.id j.ac c.id e (4n+9)2m+2k neej.a 21m+2k+1 n .u n+ (i − 2)8m) + ( .u+ (in − 2)8m) = ( lib 2ib.u 2 ilibib.u i l l g g i i i i dig ://d/(8n+39)m+4k+1 ://d/dig + (i − 2)16m hthtp hthtp tt=p:/ ttp:/ 2



ca.cid.id+1 ca.cid.id ca.cid.id (−1) (8n+35)m−k+1 (−1) +1 a a a . . . j j j = +ee ( )m + (i − 3)8m) +n(eej. 2 +( )m neej. 4 n j. 4 .bu.n .bu.un u b b i i iibli.bu.un l l l i i i i i l l g g g +(i − 3)8m) i i i i i :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig / / / p p t t t t t t t hthtp h h t = (8n+73)m−2k+3 + ( (−1) +1h)m t + (i − 3)16m ht ( 38m−k+2 2

k+1

k+1

k+1

2

2

k k .cid.idUntuk sisi yi z2i c ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a . . . . e e e e ej nej nekj k nej .bu.n .buα.n .bu.n .bu.n u u u u b b b Wα22 = {wiα22lib+ dan kn sembarang} i i i 6 (yi z2i ); jika i ≡ 1(mod 3) l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d //didgigil :p//:d :p//:d :p / / //dig / / p p p (−1) +1 (8n+9)m−k+2 (−1) +1:// t t t 12m−k+3 t t t hhtt= ( 2 + ( 4 )m +hh(itt− 1)8m) + ( + (hht4t )m+ 2



6

6

k

k

(i − 1)8m)

d.id +1 ca.c(i(−1) ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . + )m + (i − 1)16m j j j e e e 2 nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i k sembarang} 23ili k idgiαg idgi3) idgigili Wα23 = {w + α6 (yik z2i ); jika i ≡ 2(mod gildan /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t tp hthttp htht(n+3)8m+2k hthttp =

6

k

(8n+21)m−2k+5 2 6

+ (i − 2)8m) + ( = ( 27m+2k+1 2

2

+ (i − 2)8m)

d d d aj.+ca.c(ii .i−d 2)16m aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n k k nesembarang} ne .bu.n .bu.n 24ib.u.une u u b b i i Wα24 = {w + α (y z ); jika i ≡ 3(mod 3) dan k l l l i i i 6 b α i 2i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t (−1) +1 (8n+41)m−k+1 (−1) t t t 44m−k+2 hhtt= ( 2 + ( 4 )mh+ht(it − 3)8m) + ( hh( tt 4 +1 )m + 2 =

6

(8n+51)m+4k+1 2 6

k+1

k+1

+(i − 3)8m)












=

(8n+85)m−2k+3 2

k+1





d d d d 94 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil 1 2 3 idgigil /:d /:d :p//:d :p/W :p/α40/:d / / / //dig / / / Perhatikan Himpunan bobot sisi = {W , W , W , . . . , W }. Tamp p p t t t α α α α t t t hhtt hhtt hhtt 21 6

6

6

6

6

pak bahwa bobot sisi terkecil pertama, kedua sampai kelima terletak pada Wα6 ,

W , sedangkan bobot sisi terbesar id.idselanjutnya terletak pada id.α31 id.idterletak pada Wα37 . . . . d i c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a 21 e e e e Dengan mensubstitusikan ej. Wα diperoleh Wα b= nej. nej. nilai i = 1 dan iklib=.bu.1n npada nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b i i i l l l i i i (8n+3)m+4(1)+1 ig ili iggili idgigWiliα21 digg+ili(1 − 1)16m = (8n+3)m+5 ,dsubstitusi i = 1 dan k = 2:/pada /:d /:d 2 ://://di 2 p://://di / //dig / p p t t t hthttp W = (8n+3)m+4(2)+1 +(1−1)16m hthttp = (8n+3)m+9 , substitusi hthi t=tp1 dan k = diperoleh α 6

6

6

6

6

2

2 (8n+3)m+4(3)+1 diperoleh Wα6 = + (1 − 1)16m = (8n+3)m+13 ,. . . , substi2 2 (8n+23)m=2(2)+5 37 dan k = 2 pada W =α6 diperoleh Wα6 = +(n−1)16m = 2 6

3 pada

Wα216

d d d d aj.ca.ci .idtusi i = n aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n ne ne ne ne .bu.n .bu.dinyatakan .bu.n .bu.n (40n−9)m+1 u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i . Dapat bahwa W membentuk barisan aritmatika dei i i i αig il ig il idgigil idgigil 2 /:d dig :p//:d :p//:d :p//:Sd / / / 40 (8n+3)m+5 //dig / / / p p p t t t t t t ngan dan beda hhsuku hhtt2 (dua), atau dapat dituliskan hhtt t=1 Wαt tt awal 2 6

6

= { (8n+3)m+5 , 2

(8n+3)m+9 (8n+3)m+13 , 2 2

. . . , (40n−9)m+1 }. Dapat disimpulkan bahwa 2

ca.cid.idgabungan graf Tanggaj.aPermata ca.cid.id mDln mempunyai pelabelan ca.cid.id total super(a, d)- j.aca.cid.id a a . . j j e e e e nej. neja. = (8n+3)m+5 nej. gabungan graf Tangga nej. .bu.n .bu.n .bu.n sisi antimagiclidengan dan dlib =.u.2n atau u u u u b b b i i 2 l l i i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili (8n+3)m+5 /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / Permata mDl mempunyai Super ( , 2)EAT; m ganjil, m ≥ 3 dan n≥ //dig / / / n p p p t t t hthttp hthttp 2 hkthttp k k k k 2. Sehingga terbukti bahwa pelabelan total α6 (xi ), α6 (yi ), α6 (zj ), α6 (xi xi+1 ), k k

k k

k k

k k

k k

k k

k k

d.id), α6 (xi z2i−1 ), α6 (xi z2i ), αc6.(y id.iidz2i−1 ) dan α6 (yi z2i ) .cid.idα6 (yi yi+1 ), α6 (xi yi ), α6.a(zcj .czij+1 c ca.cid.id a a a c . . . j j j j a a a . . . . e e e e j adalah pelabelan u (a, 2)-sisi antimagicujika n u.n nej nesuper nemj ganjil, m ≥ 3 dan nil≥ nej .bu.n .btotal .b.n .2. u u u u b b b b . i i i i l l l i i i b i i i i ig il idgigil idgigil idgigil 2 /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Angka 1, 2, . . . , 40 pada Wα16 , Wα26 , . . . , Wα406 bukan merupakan pangkat, me-

d α yang mempunyai syarat id i, j, dan k yang j.aca.cid.id ca.cid.idlainkan untuk membedakan ca.cid.iW ca.cid.batas a a a . . . j j j e e e e n nej. nej.4.8 merupakan contoh nej. total super (a, 2)-sisi nej. .bu.n .bu.n .bupelabelan .bu.n berbeda-beda. Gambar u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / antimagic (SEAT L) pada gabungan graf Tangga Permata 3Dl . p p p t t t 4 hthttp hthttp hthttp 6

Jika α6 (z) adalah labeldsisi mDln untuk d = 2 dan αd5 (z) adalah label sisi .cid.id c ca.ci .id ca.ci .id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a mDl untuk d = 0 maka berdasarkan urutan peletakkan label sisi yang diten. . . . e e e e n nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i gigdapat il ig il idgigil letak bobot sisi EAVL idw idgmDl tukan berdasarkan dirumuskan label /sisi igil n /:d :p//:d :p//:d :p/:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtdt = 2, yaitu: hhtt hhtt untuk


ca.cid.id a . j e n u.n nej + (8nm − 3m) + 1 − nej. .b2(4nm) .bu(z) u u b b . i i l l = α i i idgigili idgigili 5 /:d /:d / / : : / / / / p p t t = 16nm − 3m + 1 − p hthttp hthαt5t(z)










.id

c id α6 (z) = 2p + .a1c.− α5 (z) ejq.a+










.cid.id 41 .cid.id 28 ca.cid.i18d c c a a a . . . j j j a a 1 . e e x13 une x14 x11 nej. x2 nej. .bu.n .b.unej112 .bu.n 66 89 u u b b b i i i l l l i i i idgig58ili idgi98gili 107 36 37 121 130 ://didgigili 49 d 84 23 ://27 /:d / 14 75 : 10 / / / / / p p : t t h1thtzt1p 57 hz1thtt93p z1 hthtp ttzp1:/46 z 1 67 z 1 80 z 1 116 z 1 5

1

2

62

53

4

3

76

d aj.ca.ci .iyd21 . j e n e 9 ilib.u.un 19 b i gigil i d / / 17 : /d4 hthtp ttp:/ x21 x22 64 50

85

71

y11

59

13 73 68 z 2 81 3

5

103

102

129

7

111

120

y31

99

108

8

125 134

d aj.ca.ci .id . j e n e 32.bu.un b i l i i idgigi30l :p//:d / / p t t hhtt x23 113 90 94

82

6


122

131


39 22 26 35 id.id z42 91 z2 104 z2 a117c.izd.2id 127 . c ca.cid.id z82 48 3 55 a a 5 6 j. ac 7 c . . j j a e e neej. n nej. nej. .bu109 .bu.n u u b b . i i 100 126 135 liibli.bu.un 77 86 l l 54 igi63 i i idgigili idgigili ig /:d /:d /:d / / / 2 d : : : 2 72 2 2 95 / / / 118 / / / y p p p y y y t t t 4 t tp 2 3 hthttp 1 hthttp hht 44 8 21 31


d d ca.cid.id x34 x33 aj.ca.ci .ixd32 aj114 aj.ca.ci .id . . . j j j 65 88 . e e e u.n ne 74 83 ne 38 123 132 ne .bu.n .b106 .bu.n u u u b b b 51 60 i i i 97 l l l i i i 24 25 34 15 11 i i i i3gigil /d/idgigil z3 69 z3 79 /d/idgigil :p//:d z43ttp92 z13:p/:/56 z/5d z63 115 z73 128 ttpz:p83/:/47 / 2ttp 105 2 3 hhtt hhtt hhtt


z12

12

z22

6

16

42

29

x31

52

61

78

87

101

110

133

124

70

3 96 119 y33 id.iyd2 . c ca.cid.id 43 ca.cid.id a a a c . . . j j j a 7 33 neej. e e nej. 20 nej. .bu.n .bu.un .bu.n u u b b b i i i l l l i i i i Pelabelan total super(55,2)-sisi i Gambar idgigil4.8: idgigili antimagic pada 3Dl 4 igigil /:d /:d /:d / / / d : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp

y13

y43

Untuk pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic pada gabungan graf Tangga

d d d .cid.i1,d penulis akan membuktikannya aj.ca.ci .idPermata mDln dengan ajd.ca= aj.ca.ci .id melalui sebuah ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne nepada pelabelan titik yang ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n teorema yangildikembangkan dengan tidak imengacu u u u u b b b b i i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:pelabelan :p//:d / / / sudah ditemukan sebelumnya. Dengan titik yang baru tmaka penulis //dig / / / p p p t t t t t hhtt hhtt hhtt mengembangkannya menjadi sebuah teorema baru untuk menentukan pela-

belan total super (a, d)-sisi.antimagic pada gabungan graf.iTangga Permata mDln ca.cid.id cacid.id cacd.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e dengan d = 1. .une nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp













d d d d 96 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:d :p//:gabungan / / / //dig / / / 3 Teorema 4.6.3 Ada pelabelan total super (8nm+2,1)-sisi antimagic pada p p p t t t t t t t hhtt Permata mDl jika m ≥h2htdan hhtt graf Tangga n ≥ 2. n

id.id ca.cid.idBukti. Labeli titik gabungan ca.cid.idgraf Tangga Permata mDl can.cdengan ca.cid.id a a a a fungsi bijektif . . . . j j j j . e e e e ej. nej. nejdefinisikan n nej. .bu.n .bu≤.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i α , untuk 1 ≤ k m, pelabelan α : V (mDl ) → {1, 2, . . . , 4nm} 7 n ig ili idgigili idgigili 7 idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t maka α7 dapat dituliskan berikut: tp tp hthtpelabelan hthtsebagai hthttp


idd α7 (xki ) = m + k + .a(ic.c−.i1)4m;

jika 1 ≤ i ≤ n .dan ca.cidk.idsembarang ca.cid.id a a . j j j a . . . e e e j j n nnedan nej .bu.n .biu.≤ .bu.n α7 (yik ) =ilib2m +nke+ (i − 1)4m; jika 1ili≤ k sembarang u u u b b i l i i i i idgigil idgigil idgigil /:d (4j−3−(−1) ) :pjk/)/:d :p/jika :p//:d / / / / / / = k + ( αt7t(z )m; 2 ≤ j ≤ 2n genap dan k sembarang p p p t t t t 2 hhtt hhtt hhtt j+1

id.kiid), α7 (yik ) dan α7 (zjk ) Dari persamaan di catas, .cid.iddapat dipahami bahwa.aαc7.(x ca.cid.id ca.cid.id a a a c . . . j j j j a a e e e e n ej. memetakan mDln ke adalah fungsi bijektif 2,nej. nyang nej. bilangan bulat {1, nej. .bu.n .bu.n .buhimpunan .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i gigili ig ili id idgbobot idgigili igili sisi pelabelan titikp:α/7/:d /:d /:d /:d / / . . . , 4nm}. Jika wα didefinisikan sebagai dimana : : / / / //dig / / / p p t t t hthttp hthttp hthttp 7

bobot sisi pelabelan titik diperoleh dari penjumlahan 2 buah label titik yang

d.idbersisian, maka fungsi bijektif d.id wα dapat ditentukan melalui d.id pengamatan pola d i i i . . . c c c aj.ac dan penggunaan konsep aj.abarisan aj.ac aj.ca.ci .id c . . . . j j j j aritmatika sebagai berikut: e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil Untuk 1:/≤ kidgi≤ gilm sembarang /:d /:d //:d //:d : : / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhttp hhttp hhttp 1 k k



7

wα7 (xi xi+1 )

= 2k + (4i − 1)2m;

jika 1 ≤ i ≤ n − 1

k wα2 7 (yik yi+1 )

jika 1 .≤idid≤ n − 1 id 2k + 8im; ca.cid= cac.i ca.cid.id . a a a . . . j j j k ek j. e e wα3 .(x = 2k + (8i − 5)m; .unjika u.n iy ni e) nej.1 ≤ i ≤ n nej. .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b b i gigili jika 2 ≤ j ≤ 2n − 2//genap k idgig id1)m; idgigili d d wiα4l (zjk zj+1 ) = 2k + (4j://− /:d / : : / / / / / / p p p : : t t t hthttp ht ttp− 7)m; jika 1 ≤ i ≤ nhthttp w5 (xk z k ) = 2k +h(8i 7 7

α7 i 2i−1 6 k wα7 (xki z2i ) 7 k k wα1 (yi z2i−1 ) k wα8 7 (yik z2i )

= 2k + (2i − 1)4m;

jika 1 ≤ i ≤ n

d.id d id aj.ca.ci= aj.1ca.≤ aj.ca.ci .id c.iid≤ n . . . 2k + (4i − 3)2m; jika j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i = 2k + (8i − 3)m; jika 1 ≤ i ≤ n i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Angka 1, 2, ..., 8 pada wα1 7 , wα2 7 , wα3 7 , . . . , wα8 7 bukan merupakan pangkat,

.cid.id batas i, j dan k .ac.cid.id ca.cid.idmelainkan untuk membedakan ca.cid.id wα yang mempunyai casyarat a a a . . . j j j jej.a e e e e j. j. j. n n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b yang berbeda-beda. idgiigliilib. idgiigliilib. idgiigliilib. idgiigliilib. d d d /:d / / / / / / : : : / / // p p:// − 3}, hthtDefinisikan hthtp ttp:/ ttnp) :/→ {4nm + 1, 4nm + 2, .h.th.t,p tt12nm label sisi α7 : E(Dl 7













d d d d 97 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p//:d :p/pada / / / //dig / / / makattp label sisi α untuk pelabelan total super (a, 1)-sisi antimagic graf p p t t 7 t t hhtt hhtt hhtt mDln dapat dirumuskan sebagai berikut:

ca.cid.idUntuk 1 ≤ k ≤ m sembarang ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e j. uneej. nej. nejika nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u klib k. .un b b b i i i l l l i i i i α (x x ) = (2n − i)4m − k + 1, 1 ≤ i ≤ n − 1 b 7ig i ili+1 ig ili idgigili idgigili igk ki /:d /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttpα7 (yi yi+1 ) = (8n − 4ih−th1)m ttp − k + 1, jika 1 ≤ i ≤hnth− ttp1 α7 (xki yik )



= (3n − i)4m − k + 1,

jika 1 ≤ i ≤ n

.cid.id− j − 1)2m − k + 1, jika =ac(6n ca.c2id.i≤d j ≤ 2n − 2 genap j.aca.cid.id a . . j j a . . e e e j 1≤i≤n n n ej (12n − 4i + 1)m − k b+.u1,.n ejika ej. u u n n n . . = u u u b b . . i i i idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d / / / / / / : : : = (8n − 4i + 1)m − k + 1, jika 1 ≤ i ≤ n / / / / / / hthtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: = (4n − 2i + 1)2m − k + 1, jika 1 ≤ i ≤ n k α7 (zjk zj+1 ) k k α7 (xi z2i−1 ) k α7 (xki z2i ) k ) α7 (yik z2i−1 k k α7 (yi z2i )

= (12n id − 4i − 1)m − k + 1,

jika 1id≤ i ≤ n . d i c ca.c.id ca.cid.id . a a a c . . . j j j a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i li ili pelabelan total α7 (xk/),/dαidg7i(y idgαigididefinisikan idgigsisi giikl),/:d /:d Jika W sebagaipbobot / / i // : : : / / / / p p : t t t ht tp ht tp ht tp (z kh),t α (xk xk ), α (y k y k ), α (xk yhkt), α (z k z k ), α (xk z k ), α (xhktz k ), α (y k z k ) 7

α7

dan

7

7 i i+1 7 i i 7 i i+1 k k α7 (yi z2i ) maka Wα7 dapat diperoleh

j

j j+1

7

i 2i−1

7

i 2i

7

i

2i−1

dengan menjumlahkan rumus bobot

d d d id aj.ca.ci .idsisi EAVL wα dan rumus aj.ca.label aj.ca.ci .ii,d j, dan k yang ber- ej.aj.ca.ci .id c.id sisi α7 dengan syarat . . . j j j batas e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i sesuaian dan dapat dirumuskan sebagai berikut: ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t 1 1 k k hhtt Wαhhtt= {wα + α7 (xi xi+1 ); jika h1h≤tt i ≤ n − 1 dan k sembarang}



7

7

7

= (2k + (4i − 1)2m) + ((2n − i)4m − k + 1)

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e = (4n + 2i −e ej. + k + 1 n1)2m nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili d/idgi2gil+i α (yk yk ); jika 1 ≤p:i/≤ /:d /:d / : / / Wα2 ttp=:p//:/{w n − 1 dan k sembarang} / / p 7 i i+1 t t α hhtt hthttp hthttp 7

7

= (2k + 8im) + ((8n − 4i − 1)m − k + 1)

id

ca.cid.id a . j . e nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i 3 3 k k i i g il Wα =//d{w n ig igil k sembarang} ddan :p://idiαg + α7 (xi yi ); jika 1 ≤ttip≤ :p//:d / / p t t hhtt h tt = (2k + (8i − 5)m) + ((3n −h i)4m − k + 1)

. = (8n + 4i −e1)m j.a.ca+c.kid+ 1

7

7














= (12n + 4i − 5)m c.i+didk + 1





d d d d 98 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhtt k Wα4 h = {wα4 + α7 (zjk zj+1 ); jika 2h≤ j ≤ 2n − 2 genap dan k sembarang}






7

7

= (2k + (4j − 1)m) .id+id((6n − j − 1)2m − k + 1)

cac. ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e j. n e3)m n nej. nej. .bu2j .bu.n .bu.n = (12n + − + k + 1 u u u b b b . i i i l l l i i i g ili idgigili idgigili /:d /:d / / ://didig : : / / / / p p 5 ttpp:// 5 k k t t Wαhhtt= {wα + α7 (xi z2i−1 ); jikah1th≤ ttpi ≤ n dan k sembarang} hthttp 7

7

= (2k + (8i − 7)m) + ((12n − 4i + 1)m − k + 1)

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . . e e = (6n + 2iun ej + k + 1 nej .b.u−n3)2m .bu.n u b b i i l l i i i i idgi6gil+ α (xk z k ); jika 1 ≤ i :≤//dnidgdan igil k sembarang} Wα6 tp=://:d {w / / 7 i 2i / / α p : t t t hhttp hhttp 7


7

= (2k + (2i − 1)4m) + (((8n − 4i + 1)m − k + 1)

d

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e e nek j.k nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i 7 7 l l l i i i Wα = /d{w ili k sembarang} idgiαgil+i α7 (yi z2i−1 ); jika 1 ≤:/i/≤ idgnigdan idgigili d /:d / / : : / / / / / / p p p : : t t t p hthtt=p (2k + (4i − 3)2m) + ((4n hth−tt2i hthttp + 1)2m − k + 1)

.i = (8n + 4i − 3)m j.aca+c.kid+ 1

7

7

= (2n + i − 1)4m + .idk + 1

d aj.cac.id aj.ca.ci .id . . j j e e n n neik z2ik ); jika 1 ≤ i ≤ n dan ne Wα8 = {wα8ilib+.uα k.u.sembarang} 7 (y u u b . i l i b b i i idgigil idgigil //:d :p//:d :p4i / / / / p p t t t t = (2k + (8i − 3)m) + (((12n − − 1)m − k + 1) hhtt hhtt 7


7

= (3n + i − 1)4m + k + 1

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili Himpunan bobot sisi:/W idgig=ili{Wα1 , Wα2 , Wα3 , . . . , W:/α8/d}.idgiTamgili Perhatikan /:d /:d α / : / / / / / / p p p : t t t thttp hthttp kedua sampai keempaththterletak ttp pada pakhbahwa bobot sisi terkecil pertama, 7

7

7

7

7

W 77 , selanjutnya terletak pada W 67 , sedangkan bobot sisi terbesar terletak pada

d.id α8 d.id α did i i . . c c ca.cid.id aj.ac Wα . Dengan mensubstitusikan aj.ac aj.ca.1ci .pada . . nilai i = 1 dan e kj.= Wα7 diperoleh ej.a j j . e e u.n un ej ne ne ne .bu.n .b1)4m .bu.n .b u u u 7 .un b b b b i i i i l l l l i i i i W = (2n + 1 − + 1 + 1 = 8nm + 2, substitusi i = 1 dan k = 2 pada W i i i i α ig il idgigil idgigil idgigil α /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t diperoleh dan hhtt Wα = (2n+1−1)4m+2+1 hhtt= 8nm+3, substitusi i = 1 h httk = 3 pada 7

7

7

7

6

Wα77

diperoleh Wα7 = (2n + 1 − 1)4m + 3 + 1 = 8nm + 4,. . . , substitusi i = n dan

ca.cid.idk = m pada W =8α diperoleh ca.cid.idWα = (3n+n−1)4m+m+1 ca.cid.=id16nm−3m+1. Da- j.aca.cid.id a a a . . . j j j . e e e e n nej. nejW nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.aritmatika .bu.n pat dinyatakan bahwa dengan suku awal α membentuk barisan u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili S8 idgigili t /:d /:d /:d /:d / / : : W = {8nm + 2, 8nm + 3, 8nm t+ 2:/dan beda 1 (satu), atau dapat dituliskan / / / //dig / / / p p p α t=1 t t t hhttp hthttp hthttp 7

7

7

7













d d d d 99 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d //:d :p//:.d :pdisimpulkan :p//:graf / / / //dig / / / 8nm t+ 4, . . , 16nm − 3m + 1}. Dapat bahwa gabungan Diap p p t t t t t hhtt hhtt hhtt mond Ladder mDln mempunyai pelabelan total super(a, d)-sisi antimagic de-

.cid.id mDln mempu- .ac.cid.id id gabungan graf Tangga ca.cid.idngan a = 8nm+2 dan jd.a=ca.1cid.atau caPermata a a . . j j jej.a e e e j. j.EAT; m ≥ 2 dan n ≥ 2.Sehingga j. terbukti bahwa pelanyai Super 8nm .+un 2,e 1)n n n e e e u u u n n n n . . . u u u u b b b b iilikb. i . li . k k k k kdikgigilib k k kilib idgiigliilib. idαgi7igl(x idjgkiziglj+1 d d belan total ), α (y ), α (z ), α (x x ), α (y y ), α (x y ), α (z ), i /:d / / / 7 7 7 7 7 7 / / / i i j i i+1 i i+1 i i d : : : / / / // / / / p p : : : t t tkhtp t t p p p t t t h h h ht α7 (yk z k ) adalah pelabelan ht total super α7 (x ztk ), α7 (xk z k ), α7 (y k z k ) dan i 2i−1

i 2i

i

2i−1

i

2i

(a, 1)-sisi antimagic jika m ≥ 2 dan n ≥ 2.

2

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne n8epada W 1 , W 2 , . . . , Wil8ibbukan nemerupakan pangkat,ilmene .bu.n .b.u..n .bu.n .bu.n u u u u b b b Angka 1, 2, . , i i i l l i i α α α i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d //:d :puntuk :p/mempunyai :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t lainkan membedakan W yang syarat batas i, j, dan t t t α hhtt hhtt hhtt k yang 7

7

7

7

berbeda-beda. Gambar 4.9 merupakan contoh pelabelan total super (a, 1)-sisi

graf Tangga Permata id.id d 5. ca.cid.idantimagic (SEAT L) pada ca.cgabungan ca.cid.i2Dl ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t 27 11 hth3ttp hthttp19 hthttp 35 1 1 1 1 1 x1

x2

72

x3

64

x4

56

x5

48

106 66 id15 9 .cid.id 114 74 7 .c.id 17 98 58 23 25 .a90c.cid.id50 31 33 82 42 c c ca.cid.id a a a . . . 1 1 1 1 .a 1 84 z 1 j j j 1 ej .a z 1 100 z 1 108 92 1 a . . 39 e e e z z z z z 96 9 80 104 2 5 6 un 7 8 nej 1 1 112 nej 4 nej .bu.n .bzu3.n .b.unej 88 .buz.10n u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i l g il ig il idgigil 68 102 idgigi78 86 60://did 44 52 /:d 76 110 94ig //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p : t t t t t t 62 h ttpy 1 54 70 h46 hhy11tt y41 y21 h 3 http y51 13

5

29

21

37

36 4 12 c.idid 20 ca.cid.id ca.c28i2d.id ca.cid.id . a a a a c . . . . j j j j 2 2 2 a 2 e e e x3 x5 uneej. x1 nej. nex2j. nej. x4 71ib.u.n .bu.n .bu55.n 63 47 u u u b b i i l l l i i i igliibl41i.b.un b i i i l l l g g g g i i i i i i i 113 65 89 81 105 49 g g g d d d d 97 73 i i i i 57 /://d 18 34 16 32 :// /8d 10 :p//://d 24 26 :p//://d thtp t2tp thtp t t 2 2 h83 2 40 91 z 2 87 ttp:/z22 107 z32 103 t t z42 99 hzh z92 79 95 z z z10 2 z12 h 111 5 6 7 8 101

67

109

59

51

85

43

77


75

93 d.id 61 d d i . 2 53 45 c y3 y52 aj.ac aj.ca.cyi42.id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne14 ne 30 ne .bu.n .bu.n .bu.n 38 21 u u u b b b 6 i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p Gambar 4.9: Pelabelan total super(82,1)-sisi antimagic pada 2Dl t t t 5 t t t hhtt hhtt hhtt













y12

69

y22



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / 4.7 tHasil dan Pembahasan p t hhtt





Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui batas atas nilai d sehingga

ca.cid.idgraf Tangga Permata j.tunggal ca.cid.id Dln maupun gabungannya ca.cid.idmDln mempunyai j.aca.cid.id a a a . . j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i pelabelan total akan dicari pelabelan ili ig ili idgigilisuper (a, d)-sisi antimagic, idgigselanjutnya idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p pada fungsi bijektifnya. hthgraf hthttkonstruksi hthttpDari hasil ttp tersebut dan menentukan perhitungan diperoleh bahwa nilai d yang mungkin untuk pelabelan total su-

d d d ca.cid.idgraf Tangga Permata tunggal aj.ca.ci .idper (a, d)-sisi antimagic aj.pada aj.ca.ci .idDln maupun gabuej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ned ∈ {0, 1, 2}. Setelahilmenentukan ne nilai d, peneliti menne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n ngannya mDlilnibadalah u u u u b b b i i i l l i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / cari pelabelan sesuai dengan nilai dttyang telah ditentukan tersebut. //dig / / / p p p t t t t hhtt hhtt hhtt Dari hasil penelitian pada beberapa nilai d tersebut di atas, diperoleh 2

baru tentang pelabelan d ca.cid.id(dua) lemma dan 6 (enam) ca.cid.iteorema ca.cid.id graf Tangga Per- j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e n un nej. nej. gabungannya mDl nej. nej. .bu.n .bu.maupun .bu.n mata tunggalilDl u u u u n n., .yaitu: b b b b i i i i l l l i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp




• Lemma 4.5.1 Ada pelabelan titik (3, 1)-sisi antimagic pada graf Tangga Permata Dln jika n ≥ 2.

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n ne pelabelan total super (12n, ne antimagic pada graf Tangga ne .bu.n .bu.0)-sisi .bu.n • Teoremaili4.5.1 Ada u u u b b b i i l l i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / Permata Dl jika n ≥ 2. p p p t t t n t t t hhtt hhtt hhtt • Teorema 4.5.2 Ada pelabelan total super (4n + 4, 2)-sisi antimagic pada graf

id

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i idgigilpelabelan idg1)-sisi igili Dln mempunyai total super (8n:/+/d 2, /:d / : / / / / p p : t t hthttp hthttp

.c.idn ≥ 2. Tangga Permata Dl j.an.cajika

e nej .bu.n u b i l i li Suatu graf idgigi4.5.3 • Teorema /:d / : / / p t hthantimagic ttp untuk n ≥ 2.

3m+3 • Lemma 4.6.1 Ada pelabelan c.id.id titik ( 2 , 1)-sisi antimagic c.id.idpada gabungan Graf

d aj.ac aj.ac aj.ca.ci .id . . . j j j e e e e n jika m ganjil, m ≥ b3 .dan u.n nmDl nne≥ 2. ne DiamondliLadder .bu.n .bu.n u u u b b i i l l i i i b i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p (8n−1)3m+3 t t t t t t h• hTeorema tt tt super ( 4.6.1 Ada pelabelanhh total , 0)-sisi hantimagic pada htt 2 gabungan graf Diamond Ladder mDln jika m ganjil, m ≥ 3 dan n ≥ 2.


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a (8n+3)m+5 . . . j j j . e e e • Teorema 4.6.2 Ada antimagic pada gabunej.pelabelan total super (ilib.bu2.n ne,j2)-sisi nej. .bu.n .bu.n u u u b b i i l l i i li ili m ≥ 3 dan n ≥ 2. //didgigili idgigiDiamond idgig ngan graf Ladder mDln jika m ganjil, /:d /:d / / : : : / / / / / p p t t hthttp hthttp hthtp ttp:/













d d d d 101 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d //:d :p//:d :p/super :ppada / / / //dig / / / • ttTeorema 4.6.3 Ada pelabelan total (8nm+2,1)-sisi antimagic gabup p p t t t t hhtt hhtt hhtt ngan graf Tangga Permata mDln jika m ≥ 2 dan n ≥ 2.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id bahwa untuk se- j.aca.cid.id a a a . . . j j j Berdasarkan hasil penelitian tersebut, dapat diketahui e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i tiap batasdatas nilai a juga berlainan. dNamun ig ili idgigilawal /:d /://idgigildi yang berlainan maka /:d /://idgigili / / / : : : / //dig / p p p t t t thttp baik unhthttp seluruh label titik dan seluruh hthttp label bobot sisi adalah hsama, demikian tuk d = 0, d = 1 maupun untuk d = 2 (kecuali untuk gabungan graf Tangga Per-

d d d id.id dilanjutkan melengkapi aj.ca.ci .idmata pada saat d=1),eyang aj.ca.ckemudian aj.ca.ci .id pelabelan sisinya ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e ne ne ne Permata tunggal ketiga ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n sehingga menjadi pelabelan total. Pada graf Tangga u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d //:d :p//:d :pyang :p2. / / / nilai ttdptersebut berlaku pada syarat sama yaitu untuk n t≥ //dig / / / p p t t t hhtt hhtt hhtt Sedangkan pada gabungan graf Tangga Permata tidak berlaku demikian. Pada saat

d = 0 dan d = 2 berlaku syarat yang sama yaitu m ganjil (m ≥ 3) dan n semca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e barang (n ≥ 2), sedangkan ej. m dan n sembarang nej. nej. pada saat d = 1 iberlaku nsyarat nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i ig ili idgingi≥li 2). Penelitian SEATL://gabungan idgigili graf Tangga Permata idguntuk (m ≥ 2:dan d igili /:d /:d /:d / / : / / / //dig / / / p p p : t t t t ttp tp hthmttpuntuk copy m genap masih hthtbelum d =hh 0 dan d = 2 dengan 1 ≤ k ≤ ditemukan dikarenakan pola pelabelan yang telah ditemukan pada gabungan graf

d d d ca.cid.id m ganjil tidak dapat diterapkan aj.ca.ci .idTangga Permata mDl ajuntuk aj.ca.ci .id pada jenis graf ej.aj.ca.ci .id . . . j j j n . e e e n ne ne m yang genap. Halilibini.bu.berarti ne harus ditemukan ipola ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i yang sama dengan nilai i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d //:d //:d : : : / / / //dig / / / p p p t t t t t t pelabelan tp (a, d)hhttpmenentukan pelabelan total hhtsuper hhttp baru terlebih dahulu untuk sisi antimagic pada gabungan graf Tangga Permata mDln untuk d = 0 dan d =

ca.cid.id2 dengan m genap danj.auntuk ca.cid.idhal tersebut, peneliti mengalami ca.cid.id kesulitan . ca.cid.id a a a . . . j j j e e e e j. n nej. nej.di atas, ditunjukkan nerinci nej. .bu.n .bu.hasil .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i Pada uraian secara fungsi bijektif pelaig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t belan tp super (12n, 0)-sisi antimagic hthttotal hthttp pada graf Tangga Permata hthttpDln , pelabelan total super (4n + 4, 2)-sisi antimagic pada graf Tangga Permata Dln , pela-

.cid.idbelan total super ( (8n−1)3m+3 .id , 0)-sisi antimagic pada.agabungan c ca.cid.id graf Diamond j.aca.cid.id 2 c c.id a a . . j j j a a . . . e e e e n n n n ej ej total super ( (8n+3)m+5 ej antimagic pada gabuej. u u u u n n n n Ladder mDl , pelabelan , 2)-sisi . . . . n u u u u b b b b 2 . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : nganttgraf Tangga Permata mDl dan pelabelan total super (8nm+2,1)-sisi an/ / / n //dig / / / hhp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: timagic pada gabungan graf Diamond Ladder mDl , namun untuk pelabelan n

antimagic pada graf Tangga Permata id.idtotal super (8n + 2, 1)-sisi id.id id.id Dln hanya di. . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e tunjukkan melalui sebuah dari sebuah ej. lemma. Hal tersebut nej. nej. teorema yang lahir n nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i gigili bijektif agar penggunaannya ig ili idgigili memperingkas jumlah idfungsi idgigili dilakukan untuk /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp pelabelan total super (8nm hthttplebih efisien. Sedangkanhuntuk hthttp+ 2, 1)-sisi menjadi













d d d d 102 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / antimagic pada gabungan Graf Tangga Permata mDl dikembangkan dengan p p p t t t n t t t hhtt hhtt hhtt pelabelan titik dan bobot sisi yang berbeda dengan pelabelan titik dan bobot

d= hal ini dikareca.cid.idsisi pada saat d = 0 dan ca.cid.2idyang telah ditemukan sebelumnya, ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e j. bobot sisi baru yang.ditemukan nakan pelabelan.titik dan u.n u.n nej. ne nej. berlaku untuk isemnej. .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i b b ig ili idgignili(m ≥ 2 dan n ≥ 2). ://didgigili idgigili barang :m dan /:d /:d /:d / / : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttp hthttp hthttp Pada bidang teori graf, penentuan nilai kebenaran suatu rumus bijektif

nantinya akan .cid.idditentukan melalui pendeteksian .cid.id pola (pattern recognition) .cid.iyang d c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e menghasilkan suatu Teorema yang ditemukan ej nej nteorema. nej dimulai dengan ipennej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i l l il n yang ditemukan peneliti ig il idgigiyang idg idgigikedeteksian pola berlaku sampai batas migdan /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt baru menentukan fungsi hbijektifnya. hhtttidak menhtt mudian Dalam hal ini, penulis cantumkan cara memperoleh fungsi bijektif tersebut, akan tetapi pembuktian

ca.cid.idkebenaran teorema tersebut ca.cid.idtelah dipaparkan yangj.kemudian ca.cid.id diikuti dengan j.aca.cid.id a a a . . j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i contoh pelabelan kebenaran teorema. gigili ig ili idgigili sebagai visualisasi dari id idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t tp gabuhthTerdapat ht ttp super (a, d)-sisi antimagic hthtpada ttp beberapa pelabelan htotal ngan Graf Tangga Permata mDl yang belum ditemukan oleh peneliti. Berda-

d.id d.id n d d i i . . c c aj.ac sarkan visualisasi contoh-contoh aj.ac aj.ca.ci .idfungsi bijektif hasil ej.aj.ca.ci .id . . . pelabelan dan penerapan j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i penelitian yang telah ditemukan, diharapkan dapat membantu peneliti lain i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t yang ditet hhtbelum hhakan tt melakukan penelitian hsejenis. htt Beberapa pelabelan yang mukan oleh penulis disajikan pada open problem berikut:

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i Open Problem Pelabelan total superd(a, gigili ili antimagic pada mDl//nd, iddengan ig ili idgigil4.7.1 igd)-sisi /:d /:/0/idgdan //:d / :pn; : : / / //dig / / p p p 1 ≤hitt≤ 1 ≤ k ≤ m; m genap untuk d = d = 2. : t t hthttp hthttp htt





























BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

d 5.1 Kesimpulan d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i Berdasarkan hasil dari pembahasan pada bab sebelumnya, dapat disimig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t pulkan hhtt bahwa: hhtt hhtt




1. fungsi bijektif pelabelan titik (a, 1)-sisi antimagic dan pelabelan total su-

c.idid

c.idid

c.idid

.aj.ac. melalui pembuk- nej.aj.ac. per (a, d)-sisinantimagic eje.aj.ac. pada graf Dln telah nejedibahas e

b.uun

b.uun

b.uun

li . tian/d teorema Melalui igiigliilib.yang diberi tanda ¦. /d igiigliilib.pembuktian teorema /tersebut, digiigilib

:/ /d p hthtdisimpulkan ttp:/

p:/ //d

p:/ //d

: hthtpelabelan hthtttpantimagic bahwa terdapat total super (a, d)-sisi ttp:

pada graf Diamond Ladder Dln jika n ≥ 2, dengan d ∈ {0, 1, 2}.

c.id.id

c.id.id

c.id.id

j.aac j.aac eje.aj.ac titik (a, 1)-sisi antimagic 2. fungsi bijektif unpelabelan uneej. dan pelabelan total su-uneej.

lib. .un

lib. .un

lib. .un

i b igiiginlibtelah dibahas melalui//pembukper//(a, digd)-sisi digiigilib igili antimagic pada graf //dmDl

: /d : //d : //d p hthtp hthtp hthttian ttp:/teorema yang diberi tanda tt¦.p:Melalui ttp:tersebut, pembuktian teorema

disimpulkan bahwa terdapat pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic

id

id


. .id n jika n ≥ 2 dan pada gabungan jsaling .aca.c.idlepas graf Tangga Permata j.acacmDl

neej.

u m ≥ 2,gdengan ilibli.b.und ∈ {0, 1, 2}.

idigi /:d / : / / p t hthttp

5.2 Saran

e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

d d .cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .id ajpenelitian aj.catotal aj.ca.ci .id . . . . j j j j Berdasarkan hasil mengenai pelabelan super (a, d)-sisi an. e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il Tangga Permata serta il ig il idgiggraf idgigil idgighasil timagic pada mengacu pada open problem /dari /:d :p//:d :p//:d :p/:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt yang telah ditemukan,hhmaka hhtt pembaca tt peneliti memberikan saran penelitian


dapat melakukan penelitian tentang:

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e eej. e n nen j,.m ≥ 2 genap dan inlib≥.bu.n nej. .bumDl .bu.n • Untuk graf 2,napakah terdapat pelabelan u u u b b . i i l l i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / total super (a, d)-sisi antimagic dengan d ∈ {0, 2}. / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp









103




d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil /:d :p//:d :p/PUSTAKA / / / / p p t t DAFTAR t t hhtt hhtt



id.id Super(a, d)-Sisi Antimagic id Gabungan Saling j.aca.cid.id ca.cid.idAbidin, Z. 2010. Pelabelan ca.cTotal ca.cidpada . a a a . . . j j j e e e e Lepas GrafibFirecracker. (Skripsi). nej. nej. Tidak dipublikasikan nej. Jember: Universitas nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / Jember. : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp



Anggraeni. Y. 2011. Pelabelan Total Super(a, d)-Sisi Antimagic pada Generalisasi-

.id

.id


c id c id Graf Web Dua Bandul ej.a.acW. 0 (3, j, 2). Tidak dipublikasikan ej.a.ac. (Skripsi). Jember: .unnej

b .u Universitas igiliilibJember.


nej .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt

Biyadi, K. 2010. Fungsi Bikektif Pelabelan Antimagic Pada Gabungan Saling Lepas

Graf Banana Tree. Tidak .id dipublikasikan (Skripsi)..idJember: Universitas

cac.id cac.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e Jember. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t p hthttp G, and Oellermann. 1993. hthttApplied hthTheory. Chartrand, and Algoritmic Graph New ttp York: MacGraw-Hill, inc.

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e Dafik. 2007. Structural u.n ne neProperties and Labelingiliof ne Australia : Tidak dipubne .bu.n .bu.n .bGraph. .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i i i i i l ig il idgigi(Tesis). idgigil idgigil /:d likasikan :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Dafik. 2008. Pemodelan Matematika (Buku Diktat Mata Kuliah Pemodelan Matema-

.cid.id ca.cid.id caUniversitas ca.cid.id ca.cid.id tika). Jember : FKIP jember. a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : Dafik, Slamin, Fuad and Rahmad. 2009. Super Edge-antimagic Total Labeling of / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Disjoint Union of Triangular Ladder and Lobster Graphs. Yogyakarta: Procee-

ding of IndoMS International Conference of Mathematics and Applica.cid.id .cid.id .cid.id c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e tions (IICMA) 2009. nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t Deviyana, d)-Sisi Antimagic padahGraf hhtt R. 2011. Pelabelan Total hSuper(a, htt htt E. Tidak dipublikasikan (Skripsi). Jember: Universitas Jember.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e n Fuad, M. 2009. .Pelabelan u.n nej. nej. Total Super (a,d)-Sisi nej. pada Gabungan ilGraf nej. .bu.n .buAntimagic .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l i i i b ig ili idgigiliLadder. Tidak dipublikasikan idgigili (Skripsi). Jember: Universitas idgigili Triangular /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp









104



d d aj.ca.ci .idDaftar Pustaka aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / Jember. p t t hhtt





Gallian, J.A. 2009. A Dynamic Survey of Graph Labelling. [serial on line]. http:id.id . .cid.id c ca.cid.id caAgustus ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j a //www.combinatorics.org/Surveys/ds6.pdf. [17 2010]. e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t Husodo, thttp Kimia hthttp A.Y. 2008. Aplikasi Pewarnaan hthttp Graf dalam PenyimpananhSenyawa Berbahaya [serial on line]. http://webmail.informatika.org/ rinaldi/Mat-

d d d d dis/2008-2009/Makalah2008/Makalah0809-096.pdf. aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id[25 Agustus 2010]. ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil2010. Pelabelan Total Super idgi(a, idgigil Indayani, D.V. gil d)-Sisi Antimagic pada:/Gabungan /:d /:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhGraf hhttp Jember: tt Generalized Petersen (n,h2). htt Tidak dipublikasikan (Skripsi). Universitas Jember.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e n ej. ke-6 Buku 2. Terjemanej. nej.Matematika Teknik Lanjutan nEdisi nej. .bu.n .bu1993. .bu.n .bu.n Kreyszig, Erwin. u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / han oleh Bambang Sumantri. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Lipschutz dan Lipson. 2002. Matematika Diskrit Jilid 2. Jakarta : Salemba

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . Teknika. j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p Munir, R. 2003. Matematika Diskrit: Buku teks ilmu komputer. Bandung: Infort t t t t t hhtt hhtt hhtt matika Bandung.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j Rahmad, R. R. 2010. Total Super(a, d)-Sisi pada Gabungan- neej. e e e j. j. nej. nePelabelan neAntimagic .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l liibli.bu.un i i i i i i i l l l g g g g i i i i i i i Graf Lobster. Tidak dipublikasikan (Skripsi). Jember: Universitas Jember. /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p t t t t t t t hthtp h h t ht ht Slamin. 2001. Diregularity of Digraph Close to Moore Bound . Australia : Tidak

d d d d dipublikasikan ( Tesis). aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i l ig il idgigil 2008. Aplikasi Teori idgigidalam idgigilon Tando, :Marselina. Graf Topologi Jaringan:/[serial /:d /:d //:d //:d : / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhline]. hhttp rinaldi/Matdis/2008-2009/Makalahhhttp ttp http://www.informatika.org/ /MakalahIF 2153-0708-100.pdf. [25 Agustus 2010].

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e j. n nej. ne nej.Ilmiah. Jember: Badan nej. .bu.n .bu.n .bu.Karya .bu.n Universitas Jember. 2007. Pedoman Penulisan u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp












d d d aj.ca.ci .idDaftar Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / Penerbit Universitas Jember. p p t t t t hhtt hhtt


Wijaya, K. 2000. Pelabelan Total Sisi Ajaib. Tidak dipublikasikan (Tesis). Banid.id . c ca.cid.id Bandung. ca.cid.id ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j a dung: Institut Teknologi e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t Wirawan, thttp Berarah hthttp T.P. 2007. Pemodelan Sistem hthttp Lalu Lintas dengan GrafhGanda Berbobot [serial on line]. http://www.informatika.org/ rinaldi/Matdis-

d d dd Agustus 2010]. d /2007- 2008/Makalah/MakalahIF2153-0708-018.pdf. aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .i[18 aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgSeptemhttp://www.11h11.com/hugobox/chaku/NetworkTopologies.png. igil /:d /:d :p//:d :p//:d :p/[21 / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhber hhtt hhtt tt 2010].

ca.cid.idhttp://matematika-pendidikanstkip.blogspot.com/2011/04/asal-usul-teorica.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej.2011]. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n graf.html. [28 Juni u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p hthttp hthttp hthtt[28 http://suryaafrilian.blogspot.com/2010/10/rantai-makanan.html. Juni2011].






































d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt PELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-SISI ANTIMAGIC PADA GRAF ca.cid.id ca.cid.idTANGGA PERMATA ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp



c.idid SKRIPSI uneje.aj.ac. liibli.b.un i g i ://d/dig hthtp ttp:/



Oleh ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i Laelatus Sya’diyah l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t NIM 070210101096 hthttp hthttp






























d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt (a, d)-SISI ANTIMAGIC hhtt PADA PELABELAN TOTAL SUPER GRAF TANGGA PERMATA d i . d cac.i ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp


.cid.id SKRIPSI c ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j a . . . e e e j j n u.n nej .bu.n une une u b i liibli.bu.melengkapi liibli.bmemenuhi l i i i diajukanigguna tugas akhirigdan salah satu syarat i idgigil ig ig //:d //:d //:d d d : : : / / / / / / p p p t t t t t t Studi Pendidikan Matematika tp menyelesaikan Program hhttp hhttp(S1) hhtuntuk dan mencapai gelar Sarjana Pendidikan




d d aj.ca.ci .idNIM 070210101096 ej.aj.ca.ci .id . j e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t tp hthtOleh

Laelatus Sya’diyah













i




d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t PERSEMBAHAN t t hhtt hhtt



d.id yang Maha Pengasih lagi d.id Penyayang, serta Segala puji bagi Allah, ca.cid.id ca.ciTuhan ca.ciMaha ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e n sholawat dan salam ciptaan-Mu yang paling mulia, nej. nej. terlimpah kepada makhluk nej. nej. .bu.n .bu.semoga .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ig ili idgigili S.A.W. Kupersembahkan idgigilkebahagiaan idgdalam igili /:d /:d /:d /:d / / / Nabi Muhammad secuil penggalan syair : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp






setiap detik perjalanan hidupku teriring rasa terima kasih kepada:

c.idid

c.idid

c.idid

a c. a.ac. dan Ibunda tercinta ej.aj.ac. 1. Orang tuaku tercinta nej. j.adan terkasih : Ayahanda Esbu nej. j(Alm.) n .uune

.uune

.uune

b . b liiblib. Sittiyani, Abdur Razak dandIbunda serta kakek dandnenekku igigliilibFatimah, igigliilib. digigAyahanda

:// /di p hthttercinta ttp:/ :

p:////di

p:////di

thtttp: Mbah Pakmi dan MbahhSunawar, thtttp: yang Mbah Zainal, MbahhAksan,

senantiasa mengalirkan rasa kasih sayang, cinta dan do’a yang tiada henti, dalam

id penulisan skripsi ini; .ac.c.id

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j j a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i li Elen, Dek Bilqis, Dek//Dini, ili idgigili idgigiDek idgigDek 2. Saudara-saudaraku : Dek Rofiq, Dek//Amel, d d /:d / : : : / / / / / / p p p : : t t t hthUfi, hthttpMas Andi, Mbk Titik, MbkhthTitin ttp Kak Nur Fawaid, Kak Ridwan, ttp dan Mbk Ida, terima kasih atas canda tawa, teguran, dan semangat-semangatnya, serta

id ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i gigil Dafik, M.Sc, Ph.D dan Bapak il Antonius C.P, M.App.Sc idDrs. idgigDrs. idgselaku igil 3. Bapak :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhttsabar telah memberikan ilmuhdan hhpembimbing tt htt bimbingan skripsi yang dengan . untuk segala doa-doanya.; j.acac.id

selama menyelesaikan skripsiku;

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e ej. yang telah memberikan 4. Para guruibdan ilmu ndosen, nej. dan membimbing dengan nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b i i l l l i i i idg idgigili idgigili igili /:d /:d /:d / / / penuh kesabaran; : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp 5. Bimbimku tersayang, Moh. Agus Susanto, A.Md yang telah memberikan duku-

.cid.idaku lakukan dan sengan positif bagiku c.cid.id setiap hal yang akan dan .adalam .actelah

ca.cid.id a . j j j a a . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n mangat dalam penulisan skripsi ini; u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhSahabat-sahabat hhttRatna Wontt 6. terkonyolku : hWewek htt Ira, Cuy Alfin, Cuy Diana, derland, Ndul Nila, Mbok Dhe Anggi, Pak Dhe Fajar, Berrt Irfan, Mbah Puguh,


ca.cid.id a . j e ej nej nbantuan, nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i bersamaan, perjuangan, canda tawa, ide-ide gila, semangat dan keberl l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttp yang termanis; hthsamaan hthttp ttp kita setiap hari adalah hkenangan









id

id

c.c.id Beny SEP, dan Om Agunk, c. id Mbah Misbah, Biksu ej.a.aHasan, ej.a.ac. terima kasih atas ke-

ii




d d d iii aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil d //:d :p//:d :pYuni, :p//:Laras / / / / / / 7. ttTeman seperjuanganku : Alfin, Ira, Fitriana E.C., Kunti, Devi, dan p p p t t t t hhtt hhtt hhtt









pecinta graf lainnya yang telah membagi ilmu dan pengalaman berharga;

id

id

ca.cid.id a . j e n n nejmeluangkan waktu selama nej lebih empat tahun bersama nej. .bu.telah .bukurang .bu.n u u u b b b . i i i l l l (Mocin) yang i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthbaik hthttp perkuliahan, khayalan-khayalan hthttpkita kadang ttp dalam suka dan duka masa-masa

c.c.id Negara Bakti : Alpin (Flat), c. .id(Bulbul), dan Kiekie 8. Sobat-sobat tergilaku ej.a.aWarga ej.a.acIra juga menjadi inspirasi buatku;

.idid

.idid

.idid

c . ac c. c. j.aj.ca(Pentol), 9. Kakak-kakak terbaikku Mb Ony (On- nej.a j.ac nej. j.a FKIP Matematika : MbneRiris

.uune

.uune

.uune

. Mb Riza, Mas Birul idan iiblib. (Mami), Mb Dini Kerisa, liiblibYeni, libib. del), dMb igiglYiyin digigMb d gigilse-

:// /di :// /di ://://di p thtp hthtmuanya, hthtp ttp:/ terima kasih untuk semangat, ttp:/ dukungan, bimbingan,hdan ttpnasehatnya selama ini;

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j . e e e 10. Warga Matematika dan Non Reguler u’07 ej. berjuang dalam 4 tahun nejReguler nyang nej. .bu.n .b.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili kebersamaan; /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp 11. Teman-teman PPL di SMADA Bondowoso : Aprilia, Listiana, Ayu, Riska, Selvi,

Mb Diah, Ummi, Farid .iddan .iddkebersamaan, kekomd Jadnika, terima kasih untuk

d aj.cac.i aj.cac.i aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n n pakan, canda.utawa, berharga; ne nasehat dan telah membagi ne ne .bu.pengalaman .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t 12. Murid-muridku tersayang : X.3 (Nightmare), X.6 (Arsenolite.com), XI.IPA 1 hhtt hhtt hhtt (Ksatria Muda) dan XI.IPA 5 (Hotel Palm), terimakasih untuk setiap tingkah

id.id konyol kalian, setiapckejutan, kebersamaan .id.id perhatian, canda tawa,c.hangatnya

ca.cid.id a a a c c . . . j j j a a e e e j. satu inspirasi dan buat dan kenangan termanis. nej. Terima kasih udailmenjadi nesalah nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l i i li idgigitersenyum; idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / Miss Ella : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp 13. Teman-temanku di kosan ”Ibu Mamik” dan kosan ”Pak Rais” yang membuatku

id.id mengerti akan asam kosan kita; c.cid.id persahabatan, jagalah selalu .amanis .ac.ckekompakan

ca.cid.id a . j j j a a . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i il idgigil Fakultas Keguruan dan:/Ilmu idgigPendidikan idgigil 14. Almamater Universitas Jember. /:d //:d :p//:d : / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhttp hhttp



















d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t MOTO t hhtt


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e ej. "Pahlawan bukanlah pedangnya nej. nej. orang yang berani nmenetakkan nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ig ili idgigillawan, idgigilisebenarnya ialah://orang idgigili d /:d /:d /:d / / ke tpundak tetapi pahlawan : : / / / //dig / / / p p p : t t hthttp hthttp hthttp



yang sanggup menguasai dirinya dikala ia marah." (Sabda d Nabi Muhammad SAW)

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt dengan panas, semakin hhtt murni "Seperti emas yang ditempa dan indah.

Yakinlah bahwa di balik kesakitan,

id

id

.c.id . ada yang tiada tara." j.acahikmah j.acac.id

uneej.

uneej.

n ibli.b.un Novel ’Jangan gJadi (PipietgilSenja, ilibli.b.uPerempuan



ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i Cengeng’) l i idgigili /:d / : / / p t hthttp


d aj.ac aj.ac aj.ca.ci .id . . . j j j e e e u.n rencana,ib.lakukan rencana, dan ib capailah ne ne mimpi Anda."ilib.bu.n ne .bu.n u u u l l i i b i i i idgigil idgigil idgigil (www.motivasi-islami.com) :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt





















"Bermimpilah, buatlah buatlah id c.id.id tujuan dari mimpi c.id.Anda,

iv






igliiblib.u g i d i :// /d hthtp ttp:/ d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t PERNYATAAN t hhtt


Saya yang bertandactangan .id.id di bawah ini:

ca.cid.id ca.cid.id a a a c . . . j j j a e e e n nama nej. Sya’diyah nej. nej. .b:u.Laelatus .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili : 070210101096 idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / NIM : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang berjudul: ”PELABE-

d.idLAN TOTAL SUPER (a,cd)-SISI d.id ANTIMAGIC PADA cGRAF d.id TANGGA PERi i i id . . . c aj.ac MATA” adalah benar-benar aj.ac hasil karya sendiri, kecuali aj.ajika c dalam pengutipan ej.aj.ca.c.id . . . j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i l g il substansi/d disebutkan sumbernya, dan belum pada instansi manapun, ig il idgigidiajukan idgigil /:d :p/://idig :p//:d :p//:d / / //dig / / p p p t t t t t t hhbukan hhtt hhtt dan kebett serta karya jiplakan. Saya bertanggung jawab atas keabsahan naran isinya sesuai dengan sikap ilmiah yang harus dijunjung tinggi.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya, tanpa adanya neej. e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i iibli.bu.un l l l lakai i i i i i i l l l g g g g i i i tekanan dan paksaan dari pihak manapun serta bersedia mendapat sanksi i i i i /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p p t t t t t t t t t h h h demik ht jika ternyata di kemudian hari ht pernyataan ini tidak benar.ht



d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e e n28 ne .bu.n .bu.n u u b b i i Jember, Juni 2011 l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t Yang menyatakan, t t hhtt hhtt



ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p Laelatus Sya’diyah t t hthttp hthttp

















NIM. 070210101096

v














d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t PERSETUJUAN t hhtt


PELABELAN TOTAL c.id.id SUPER (a, d)-SISI ANTIMAGIC c.id.id PADA

je.aj.ac je.aj.ac e e n n u u GRAF TANGGA PERMATA igliibli.b.un igliibli.b.un g g i i d d i i :// /d :// /d thtp hthtp hSKRIPSI ttp:/ ttp:/


d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e diajukan guna memenuhi syarat untuk menyelesaikan ne ne pendidikan Program ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i gigil idgigilSatu Jurusan Pendidikan id idgigil d Sarjana Matematika dan Ilmu Pengetahuan :p//:Strata :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhAlam hhtt tt dengan Program StudihPendidikan htt Matematika pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp Nama Mahasiswa NIM

.cid.id Jurusan ej.a.c a ej nStudi .bu.n u b i l Program i i idgigil :p//:d / / p t t Angkatan Tahun hhtt Daerah Asal

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp: Laelatus Sya’diyah : 070210101096

Pembimbing I,

id

ca.cid.id a . j . e j neMatematika nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l : Pendidikan i i i i idgigil idgigil :p/:/:d :p//:d / / / / p p t t t t 2007 hhtt hhtt : PendidikanejMIPA .a.ca.c.id

: Situbondo

Tempat, Tanggal c.id.idLahir



: Situbondo, 28 Juni c.id.id1990

je.aj.ac e n u igliibli.b.un g i d i :// /doleh: Disetujui hthtp ttp:/



Pembimbing II, .cid.id c ca.cid.id a a . . j j a . . e e nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt

Drs. Dafik, M.Sc, Ph.D d.id NIP. 19680802 199303c1.i004

Drs. Antonius C.P., M.App.Sc NIP. 19690928 c.id.id 199302 1 001












vi




d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t PENGESAHAN t t hhtt hhtt



PADA id.idSkripsi berjudul ”PELABELAN id.id TOTAL SUPER (a, d)-SISI id.ANTIMAGIC . . . d i c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a GRAF TANGGA PERMATA” telah diuji dan disahkan oleh Fakultas Keguruan neej. e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l liibli.bu.un i i i i i i i l l l g g g g i i i i i i i dan Ilmu Pendidikan pada: /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p p t t t t t t t t t h h h hari ht : Kamis ht ht tanggal : 14 Juli 2011

d d d d aj.ca.ci .idtempat : Fakultas Keguruan aj.ca.ci .iddan Ilmu PendidikaneUniversitas aj.ca.ci .id Jember aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil Tim :Penguji /:d //:d //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhttp hhttp


Ketua,

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp Dr. Susanto, M.Pd

Sekretaris,



Drs. Antonius C.P., M.App.Sc

NIP. 19630616 198802 d 1 001

NIP. 19690928 d 199302 1 001


aj.ca.ci .id . j e ne I, .bu.n u b i Anggota l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e Drs. Dafik, M.Sc, Drs. ej. M.Comp.Sc., Ph.D nej. Ph.D. nSlamin, nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i gigili idg19680802 idgigili NIP. 19670420 199201 NIP. 199303 1 004 1/id 001 igili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp


d Mengesahkan d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e Dekan Ilmu neFakultas Keguruan Dan nePendidikan ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i gigil idgigil idJember, idgigil Universitas :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt


ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e ej. nDrs. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i H. Imam Muchtar, S.H., M.Hum idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t NIP. 19540712 hthttp hthttp 198003 1 005










d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne Anggota II, ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt

vii





igliiblib.u g i d i :// /d hthtp ttp:/ d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t RINGKASAN t hhtt


ca.cid.idPelabelan total superj.(a,d)-sisi ca.cid.id antimagic pada grafj.tangga ca.cid.id permata; Laelatus j.aca.cid.id a a a . j e e e e Sya’diyah, 070210101096; nej. nej. 2011: 103 halaman;ilibProgram nej.Studi Pendidikan Matenej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i gigili gigili ig ili idgigiliPendidikan Matematika iddan idFakul/:d /:d /:d /:d / / / matika, Jurusan Ilmu Pengetahuan Alam, : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp tas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Jember.

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n Matematika alat bantu kehidupan ne ne ne dan pelayan bagi ilmune .bu.n .bu.merupakan .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgigil seperti fisika, kimia, biologi, idgigilastronomi, teknik, ekonomi, idgigfar/:d ilmu yang lain, :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhtt masihmaupun matematika sendiri.h Matematika terdiri dari beberapa cabang

ilmu, salah satunya terkait dengan sain komputer yang cukup terkenal yaitu d.id id.id . c ca.cid.idtipe pelabelan graf adalah ca.cipelabelan ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j Teori Graf. Salah satu jenis total super a e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i (a, d)-sisi/d antimagic ig ili idgigili atau super edge :antimagic idgigili total labeling (SEATL). idgiPada gili /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttpditemukan pelabelan total hthsuper grafhthkonektif (tunggal) telah banyak ttp ttp (a, d)sisi antimagic sedangkan pada graf diskonektif (gabungan saling lepas suatu

d d.id yang diketahui mempunyai d d aj.ca.ci .idgraf), hanya sedikit famili aj.ca.cigraf aj.ca.ci .idpelabelan total su- ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne Permasalahannyailiadalah nehal ini melibatkan angka ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n per (a, d)-sisiilantimagic. u u u u b b b b i i i l l i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p pelabelan lebih banyak pada setiap kompenen graf konektif terpisahnya dan t t t t t t hhtt hhtt hhtt tidak ada jaminan jika graf G mempunyai pelabelan total super (a, d)-sisi an-

graf diskonektifnya mempunyai pelabelan .cid.id ca.cid.idtimagic kemudian pada cagabungan ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e total super(a, d)-sisi Dalam penelitian ej. ej.akan diinvestigasi pelanej. nantimagic. nini nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili (a, d)-sisi antimagic pada idggraf idgkonekbelan total super igilitangga permata baikpyang igili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p t t t hthttp diskonektif. hthttp hthttp tif maupun

Graf tangga permata salah satu family dari .cid.id .cid.adalah .cid.idgraf tangga. Graf .ac.cid.id d i c c c a a a . . . jej.a tangga permata adalah jej.sebuah jej.adengan Dl sedangkan nejej.a a e e e n n n graf yang dinotasikan n u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ilib l ilib liibli.bu.un i i i i g g g g i i i i gabungan m /:d dig tangga permata dinotasikan :p//:d :p//:d :p//:d //dig //graf //digdengan mDln dengan />/d2igdan thtp thtp thtp t t t h h h t t t n > 2. Dalam hal ini, m merupakan banyaknya graf tangga permata yang digabung yaitu minimal 2 graf tangga permata sedangkan n merupakan ke-

d.id id ca.cid.idtentuan dari definisi jgraf ca.citangga ca.cidpenelitian ca.cid.id . a a a a . . . . permata. Tujuan dari ini adalah j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i untuk mengetahui ig ili idgigili apakah graf tangga:/permata idgigili memiliki pelabelan total idgsuper igili /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t (a, d)-sisi hthttp antimagic. hthttp hthttp









viii




d d d ix aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deduktif aksiomatik, p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt



yaitu dengan menurunkan teorema yang telah ada, kemudian diterapkan dalam

d)-sisi n dan ca.cid.idpelabelan total super (a, ca.cid.id antimagic pada graf Dl ca.cid.idmDln . Hasil peneli- j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e j. teorema baru mengenai tian ini berupa lemma total super (a, d)ej. nej. nedan npelabelan nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i li ig ili idgigipada idgiDl idgigildigilni dan mDln . Teorema://yang d sisi antimagic graf tangga permata /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttpadalah sebagai berikut: hthttp hthttp hasilkan






.cid.idgraf tangga permata c.cid.id titik (3, 1)-sisi antimagic 1. Lemma 4.5.1 Adaj.a pelabelan j.acpada

ca.cid.id a . j a a . . . e e e n nej nej nej .bu2. .bu.n .bu.n u u u Dln jika inlib≥ b b . i i l l i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhTeorema hhttsuper (12n, 0)-sisi antimagichpada tt 2. 4.5.1 Ada pelabelan total htt graf tangga permata Dln jika n ≥ 2.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j . e e 3. Teorema 4.5.2 +e antimagic pada graf ej. pelabelan total super (4n nAda n4,ej2)-sisi nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgpermata idgigili idgigili tangga igili Dln jika n ≥ 2. p://:d /:d /:d / / : : / / / / / / p p t t t hthttp hthttp hthttp 4. Teorema 4.5.3 Suatu graf Dln mempunyai pelabelan total super (8n + 2, 1)-sisi antimagic untuk n ≥c2. .idid

d d aj.ac. aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne pelabelan titik ( 3m+3 ,i1)-sisi ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l 5. Lemma 4.6.1 Ada antimagic pada gabungan graf i i i i i 2 iggil idgigil idgigil i //:d //:d //:d d : : : / / / / / / p p p t t t t t t hhttp m ≥ 3 dan n ≥ 2. hhttp hhtangga ttp permata mDln jika m ganjil, 6. Teorema 4.6.1 Ada pelabelan total super ( (8n−1)3m+3 , 0)-sisi antimagic pada 2

c.idid

c.idid

ca.cid.id a . j e nej. .bu.une .bu.une .bu.n u b b b i i i l l l i i i li ili ili idgigi4.6.2 idgi(g(8n+3)m+5 idgiggabud /:d /:d /:pada / / / , 2)-sisi antimagic 7. tTeorema Ada pelabelan total super : : : / / / / / / p p p 2 t t hthttp hthttp hthttp

. a c. gabungan grafntangga mDln jika m ganjil, ej.aj.acpermata nej.mj.a≥ 3 dan n ≥ 2. ngan graf tangga permata mDln jika m ganjil, m ≥ 3 dan n ≥ 2.

dd .cid.id total super (8nm+2,1)-sisi 8. Teorema 4.6.3 Adaac pelabelan pada gabuac.ci .iantimagic

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t h terhadap tt Hasil penelitian diharapkan dapat memberikan konstribusi h ber-

je. j.a je. j.a e e n n u u n n . . ngan graf tangga permata mDl jika m ≥ 2 dan n liiblib.u liiblib.u ≥ 2. i i g g i i ://d/dig ://d/dig hthtp hthtp ttp:/ ttp:/

kembangnya pengetahuan baru dalam bidang teori graf, khususnya dalam ru-

.cid.id id bisa digunakan sebagai ca.cid.idang lingkup pelabelanj.graf ca.ciddan caacuan ca.cid.id . a a a a . . . j j j oleh peneliti lain e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i untuk meneliti total super (a, d)-sisi pada graf-grafdkhusus li ig ili idgigipelabelan idgigilantimagic /:d /:d /:d /://idgigili / / / : : : / / //dig / / p p p t t t yang hthlain. hthttp hthttp ttp















d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t PRAKATA t hhtt


Segala puji syukur ke Allah SWT. atas segala dan karuniaid id ca.cid.id ca.cidhadirat ca.cid.berkah ca.cid.id . a a a a . . . . j j j j e e e e j. j. berjudul ”Pelabelan Nya sehingga ipenulis menyelesaikan iskripsi nej. nedapat neyang nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i l l l l i i i i ig ili idg(a,d)-Sisi idgiTangga idgbaik. gili igili igili /:d /:d /:d /:d / / / Total tSuper Antimagic pada Graf Permata ” ini dengan : : : / / / //dig / / / p p p t t hthttp hthttp hthttp Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan penghar-

d d d d aj.ca.ci .idgaan yang sebesar-besarnya aj.ca.ci .idatas bantuan dan bimbingan aj.ca.ci .iddalam penyusunan ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e e skripsi ini, terutama yang terhormat:ib.u.n ne nkepada ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l l i i i i b i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t t h tt hhtIlmu h tt 1. hDekan Fakultas Keguruan dan Pendidikan UniversitashJember;




d did Ilmu Pendidikan 2. Ketua Jurusan Pendidikan ac.i .id MIPA Fakultas Keguruan ac.i .dan je. j.ac e n u n . Universitas Jember; u b idgiigliilib. d / / : / p hthtKetua ttp:/ Program Studi 3.

ca.cid.id a c . . j j a e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t thttp hthttp Matematika Fakultas hKeguruan Pendidikan dan

Ilmu Pendidikan Universitas Jember;

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j . . . e e e 4. Dosen Pembimbing nej I dan Dosen Pembimbing neIIj yang telah meluangkan nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgipikiran, idgipenulisan idgigil waktu, dan perhatian dalam skripsi ini; gil gil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 5. Dosen dan Karyawan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universi-

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e u.n u.n u.n nej. nej. nej. . . . u u u b b b i i i l l l i i i b b b 6. Semua skripsi ini. ig ili gigili idgipihak idterselesaikannya gili yang telah membantu /:d /:d / / : : :p//:d / / /dig / / / p p t t t hthttp hthttp hthtp t tas Jember;

Semoga bantuan, bimbingan, dan dorongan beliau dicatat sebagai amal

d did d id.id balasan yang sesuai Selain itu, aj.ca.ci .idbaik oleh Allah SWTejdan aj.ca.cmendapat aj.ca.ci .dari-Nya. aj.ca.ci .id . . . . j j j e e e u.n penulis juga menerima ne ne segala kritik dan saran nesemua pihak demi kesemne .bu.n .bu.n .bdari .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgigil ini. Akhirnya penulis:/berharap, idgigil semoga skripsi ini :dapat idgigberd /:d /:d //:d purnaan :p//:skripsi / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt h ttp hhttp manfaat, amin yaa robbal alamin. h

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j Jember, Juli 2011 neej. e nej. .bu.n u b i l liibli.bu.un i i i l g g Penulis i i i /:d :p//:d /dig //dig / t hthtp t











x







d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt DAFTAR ISI


ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i ig ili idgigili /:d /:d / : / //dig / p HALAMAN JUDUL t hthttp


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p i t hthttp

d.idHALAMAN PERSEMBAHAN d d i . c aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne HALAMAN MOTO .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t hhtt hhtt HALAMAN PERNYATAAN

ii

d aj.ca.ci .id . j e ne iv .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt v

id.idHALAMAN PERSETUJUAN . c ca.cid.id a a c . . j j a e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l HALAMAN PENGESAHAN i i ig ili idgigili /:d /:d / : / //dig / p t hthttp RINGKASAN


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l vii i idgigili /:d / : / / p t hthttp

d d aj.ca.ci .idPRAKATA aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i DAFTAR ISI ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt DAFTAR GAMBAR


d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i xiii idgigil :p//:d / / p t t hhtt

ca.cid.idDAFTAR TABEL j.aca.cid.id a . j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i ig ili idgigili DAFTAR//LAMPIRAN d /:d : / //dig / p : t hthttp


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i ili idgigxviii /:d / : / / p t hthttp

DAFTAR LAMBANG

d aj.ca.ci .id1 . j e ne .bu.n u b i l i i ig il /:d //dig

vi

viii

x

xvi

xvii

xix

d d d 1 aj.ca.ci .id PENDAHULUANej.aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e 1.1 Latar Belakang .n.e. . . . . . . . . . . . . b.1un ne Masalah . . . . . .ili.b..bu.. n ne .bu.n u u u b . i i l l i i b i i i idgigil idgigil idgigil /:d :p/Rumusan :p.//:.d :p/. /:d / / / / / / p p p t t t 1.2 Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t t t hhtt hhtt hhtt . . 4 1.3

Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4


ca.cid.id a . j e 1.4 Tujuan Penelitian nej. . . .bu.n u b i l i idgigili /:d / : 1.5 Manfaat Penelitian . / / p t hthttp









. .

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . . . . . . . . . u. n.e.e.j. . . . . . . . . . . . . 5uneej. igliibli.b.un igliibli.b.un g g i i d d i i . .ttp . :.//. /.d . . . . . . . . . . . . . t.tp. :/. /:/./d. . 5 hhttp:/ hhttp xi



d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i ig il /:d //dig 2

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t h2.1 htt Aplikasi Graf . . . .


2.2




ca.cid.id3 a . j e nej. .bu.n u b i l i ig ili /:d //dig



d d xii aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / TINJAUAN PUSTAKA 6 p p t t t t t t . .h.ht. . . . . . . . . . . . . . . . h .h . t. . . . . 6 DAFTAR ISI

Terminologi Dasar .idGraf . . . . . . . . . . . . . ..id. . . . . . . . . . 14

aj.cac.id . j e nne . . . 2.3 Jenis-jenis liibli.bu.uGraf i g i :p//:d /dig / thtp t h2.4 t Graf Khusus . . . . . 2.5


. .

cac.id ca.cid.id a a . . j j e ne j. nej. .bu.n . . . . . . .ili.bi..bu.. u.n.e. . . . . . . . . . . . i.lib22 u idgigil idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t .h.tht. tp . . . . . . . . . . . . . . . h . th . t.tp. . . . 25

Graf tangga permata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e 2.6 Pelabelan Graf .n.e. . . . . . . . . . . . . b29 ne . . . . . . . . . . .ili.b..bu.. n ne .bu.n .bu.n u u u b i i l l i i i i i idgigil idgigil idgigil /:d :p/2.6.1 :p//:d :p/. /:d / / / / / / p p p t t t Fungsi Bijektif dan Barisan Aritmatika . . . . . . . . . t t t hhtt hhtt hhtt . . 30 2.6.2

Aksioma, Lemma, Teorema, Corollary, Konjektur dan Open

id

id


. . Problem j.acac. ..id. . . . . . . . . . . . . .j.a. ca. c. .i.d. . . . . . . . . 32

e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i idgigilDefinisi 2.6.3 Pelabelan Graf//.di.gi.g.ili. . . . . . /:d / : : /d / / p t hthttp hthtp ttp:/ 2.6.4

. . . .

Pelabelan Total Super (a, d)-sisi antimagic . . . . . . . . . . 34

d.id Graf Tangga id.id Super (a,d)-sisi antimagic Pelabelan ac.Total ac.ipada

ca.cid.id a c c . . . j j j a a . . . e e e j nej . . . . . . . . . . .ili.b..bu.. n nej Permata .n.e. . . . . . . . . . . . .lib36 .bu.n .bu.n u u u b i l i i i i i idgigil idgigil idgigil //:d //:d //:d : : : / / / / / / p p p t t t t t t p hhttpSuper (a, d)-Sisi Antimagic hhttpada h2.7 httpHasil-Hasil Pelabelan Total 2.6.5

Graf Diskonektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ca.cid.id METODE PENELITIAN ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j 41 e e ne j. u.n nej. nej. .bPenelitian .bu.n 3.1 Metode . . . . . . . . .ili.b..bu.. u.n.e. . . . . . . . . . . . i.lib41 u u b i l i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttpDefinisi Operasional . .h.tht. tp. . . . . . . . . . . . . . . h. th. t.tp. . . . 41 h3.2 3.2.1

Pelabelan Total Super (a, d)-Sisi Antimagic . . . . . . . . . 42

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e e 3.2.2 bGraf Permata (Dln ) .b..u. n .n.e. . . . . . . . . . . . . b42 nTangga ne .bu.n .bu.n u u u . i i i l l l i i i b i i i idgigil idgigil idgigil /:d :p/3.2.3 :p//:d :p)//:d / / / / / / p p p t t t Gabungan Saling Lepas Graf Tangga Permata (mDl . t t t n hhtt hhtt hhtt . . 42 3.3

Teknik Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ca.cid.id a . j e 4 nej. .bu.n u b i l i ig ili /:d //dig

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e j. HASIL DAN PEMBAHASAN 46 u.n nedan nej. nej. .bTitik .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l 46 4.1 Jumlah Sisi pada Graf Tangga Permata (Dl ) . . . . . . i i i n idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp












d d d xiii aj.ca.ci .id DAFTAR ISI aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p/Jumlah :p/Gabungan :p//:d / / / / / / 4.2 Titik dan Sisi pada Graf Tangga Permata p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt


(mDln ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


4.3

id.id Batas Atas d jGraf Permata (Dln ) . .j.a . c. .c.id .i.d. . . . . . . . . 48 .ac.cTangga

4.5

Pelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Tangga

ca.cid.id a . j a a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i 4.4 Batas Permata (mDln ) /d . i.gig . il48 ili d pada Gabungan /Graf ili idgigAtas idgigTangga /:d /:d / / d : : : / / / / / / p p p : t t t hthttp hthttp hthttp Permata (Dln ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49


d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e 4.6 Pelabelan Total ne Super (a, d)-sisi Antimagic nepada Gabungan Grafilib.bu.n ne .bu.n .bu.n u u u b b i i l l i i i i i idgigil Permata (mDl ) . . :.//.di.dgi.g.il . . . . . . . . . . . . . :/. /d. id.gig. il59 /:d :p/Tangga n / / / / p t t hhtt hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ 4.7

ca.cid.id5 a . j e nej. .bu.n u b i l i ig ili /:d //dig



Hasil dan Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

id ca.cid.KESIMPULAN ca.cid.id ca.cid.id a a a DAN SARAN 103 . . . j j j e e j. e ne.j.. . . . . . . . . . . .ili.b..bu.. n nej. 5.1 Kesimpulan .n.e. . . . . . . . . . . . .li103 .bu.n .bu.n u u u b b i l i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttpSaran . . . . . . . . . . .h.tht. tp. . . . . . . . . . . . . . . h. th. t.tp. . . . 103 h5.2

DAFTAR PUSTAKA

104
































DAFTAR GAMBAR


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttpGambaran Kota Konigsberg p h2.1 hthtttahun ¨ 1736 . . . . . . . . h . th . t.tp. . . . 6


2.2

¨ Representasi graf pada . . . d permasalahan jembatan Kdonigsberg

2.5

Topologi Jaringan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.8

Contoh graf secara umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9

.aj.cac. vertex . . . . . . . n.e.j.a.j.ca. c. . . . . . . . . . . . 16 nej.aj.cac. Graf dengan nejisolated





7 .ci .id .ci .id c c ca.cid.id a a a . . . j j j a a . . . e e e j dalam rantai makanan 2.3 Representasi .n.e.j . . . . . . . . . . . . ib.8u.n negraf nej .bu.n .bu.n u u u b b i i l l l i i i b i i i idgigil idgigil idgigil d /:d :p/Contoh :p//:lintas :p/. /:d / / / / / / p p p t t t t t t 2.4 pemodelan sistem lalu . . . . . . . . . . . . . . hhtt hhtt hhtt . . 9

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e 2.6 Contoh .representasi graf dalam penyimpanan u.n nej. nej. zat kimia . . . . i.lib13 nej. .bu.n .bu.n u u u b b i i l l i i b idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / 2.7 Representasi graf(setelah dilakukan pewarnaan graf) . . . . . / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp . . 14 .idid

.idid

.bu.une .bu.une b b i i l l i i i i il komplemennya . . .//.di.dgi.g.il . . . . . idgigdan /:d 2.10 :p/Graf : / / / p t t hthtp hhtt ttp:/

. . . . .

d

d

.bu.une b i l i i g . il17 . . p. :/. /d ./id. ig / : t t hhttp

.idid

2.11 Contoh diregular dan non-diregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


ca.ci .iddengan 8 titik . . . . .j.a. ca. .c.i .i.d. . . . . . . . . 18 2.12 Contoh sebuah j.agraf

e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili graf dan subgrafnya :.//.di.dgi.g.ili. . . . . . 2.13 /Contoh /:d : / / / p t hthttp hthtp ttp:/

. . . .

2.14 Contoh sebuah graf dan matrik adjacencynya . . . . . . . . . . . . 19 2.15 Contoh graf terpotong c.id.id . . . . . . . . . . . . . c. ..id.i.d. . . . . . . . . 20

je.aj.ac je.aj.ac e e n n u u n n . . 2.16 Keisomorfisan giigliiblib.u graf . . . . . .//.di.gi.igli.ibli.b.u. . . . . i d / / : ://d thtp ttp:p://d h2.17 ttpContoh gabungan graf .h.ht. t . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u . . . . . i.gi.liib 21 i l dig :p//:d / / p t t h. h. t.t . . . . 22

2.18 (a) graf sederhana, .id(b) graf ganda, dan (c) graf semu .id . . . . . . . . 23


cac.id cac.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e j. e nej. nej. .bu.n .bu.n 2.19 Graf itak-berhingga . . . . . . . . .ili.b..bu.. n .n.e. . . . . . . . . . . . i.lib24 u u u b i l idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttpGraf komplit K4 dan K5 h.tht. tp. . . . . . . . . . . . . . . h. th. t.tp. . . . 25 h2.20









xiv




d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil /:d ˆ5 . . . . :p/Graf / / 2.21 kipas K p t t hhtt





d d xv aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i digigil digigil . .ttp . t:p .//:.//.d . . . . . . . . . . . . . t.tp.t:p/. /:/./d. . 26 hht hht

DAFTAR GAMBAR

.

2.22 Graf bintang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

c.idid

c.idid

c.idid

a c. a c. c. graf bipartit lengkapeKj.3,3 .aj.adan 2.23 Graf bipartit (a) neje n ej.a . . . . . . . . . . . 27 neje. j.a

liibli.bu.un i g i /:d 2.24 :/Graf /digwhell W5 / p t hthtp t

. . . . .

liibli.bu.un i g i . . p . :.//.d/.di.g. . . . . hthtttp:/

. . . . . .


2.25 Graf friendship F4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

id id . . e e nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i il idgigladder 2.27 /Graf L5 . . . . . . . . .//.di.gi.g.il . . . . . . . . :p/:d : /d / / p t t hhtt hthtp ttp:/ 2.28 Graf Tangga Permata Dl . . . . . . . . . . . . . .

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i g il . . . /. /d :p:/./id. ig. 29 p t t hhtt . . . . . . . 29

. d . d 2.26 Graf petersenj.a.c ac. ..i . . . . . . . . . . . . . .j.a. ca. c. .i. . . . . . . . . . 28

n

. . . .


ca.cid.id a c c . . . j j j a a . e j. e e n nejfungsi nej. .bu.n .bu.n une (b) fungsi surjektif u u b b i i liibli.bu.injektif, l l i i i 2.30 (a)ig fungsi dan (c) bijektif . . . . 31 idgigili idgigili ig /:d /:d /:d / / / d : : : / / / / / / p p p t t t thttp h2.31 hthttp Sisi (c) Pelabelan total h. th. t.tp. . . . 33 (a) Pelabelan titik (b) pelabelan


2.32 EAV Dl3 . . . . ..id. . . . . . . . . . . . . . . . . ..id. . . . . . . . . . 37



d d 2.29 Graf Tangga Permata ac.i .id Dl4 . . . . . . . . . . . a. c. ..i .i.d. . . . . . . . . 30

d aj.cac.id aj.cac.id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne .un. n. e. . . . . . . . . . . . .ili.b..bu.n .bu.n 2.33 EAV iDl .n.e. . . . . . . . . . . . i.lib37 u u b 3b.u i l i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 3.1 Graf Tangga Permata Dl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 n

3.2

d d Graf Tangga Permata ac.i .id Dl4 . . . . . . . . . . . a. c. ..i .i.d. . . . . . . . . 43

je. j.ac je. j.ac e e n n u u n n . . u u b b 3.3 Gabungan giiglii3lib.. . . . . . idgiigliilib. Graf Tangga Permata id2Dl d d / / / / : : / :// thtp h3.4 httptp:/ ttpRancangan Penelitian . . .ht. . . . . . . . . . . . . 4.1

id

. . .

ca.cid.id a . j e u.n nej. . u b i l i b . . . . . i.g . il43 ig i /:d / d : / / p t hthttp

. . . . . . . . . . 45

id

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i . . . :/. /d . id.gig . il51 / / p : t t hhttp . . . . . . . 54

.c.id sisi graf pada Dl dan c.c.4id. . . . . . . . . 47 Jumlah titikedan 3ej.a.aDl j.a.cajumlah

nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil titik (3,1)-sisi antimagic idgipada 4.2 :/Pelabelan gil Dl4 . /:d //:d : / / / / p p t t t t hhttp hhttp 4.3 SEATL graf Dl (Dl ) dengan d = 0 . . . . . . 4

. . . . . . . . . .


ca.cid.id a . . . j j j a a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i 4.5 Pelabelan antimagic (SEAT L) pada Dl4di.gg i idgigili total super (34, 1)-sisi idgigili /:d /:d /://di. il58 / / / : : : / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp









4.4

SEATL graf Dla(Dl c.ci5d.)iddengan d = 2 . . . . . a. c. .c.id.i.d. . . . . . . . . 58




d d d xvi aj.ca.ci .id DAFTAR GAMBARej.aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil /:d :p/Pelabelan :p//:d :p/. /:d / / / / / / 4.6 titik (6,1)-sisi antimagic pada 3Dl . . . . . . . . . p p p t t t 4 t t t hhtt hhtt hhtt . . 65




4.7

Pelabelan total super(141,0)-sisi antimagic pada 3Dl4 . . . . . . . 80

4.8

c. 4 . . . . . . . . 95 ej.aj.ac. Pelabelan n total antimagicnpada ac. eje.aj.super(55,2)-sisi eje.aj.a3Dl n e

c.idid

c.idid

liibli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i d /:d 4.9 :/Pelabelan pada 2Dl5 :p//:antimagic /dig total super(82,1)-sisi /dig / / p t t p t t hthtp h t ht

.

c.idid










































DAFTAR TABEL


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttpHubungan sifat zat kimiahtht. tp. . . . . . . . . . . . . . . h. th. t.tp. . . . 13 h2.1


2.2

Ringkasan dari pelabelan total super (a, d)-edge antimagic pada d d

c.i .id

c.i .id

c.id.id

a c a c a c graf disconnected. neje. j.a . . . . . . . . . . . . . n.e.je. .j.a. . . . . . . . . . . . 38 neje. j.a
































xvii




d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil //:d :p//:d :pLAMPIRAN / / / / p p t t DAFTAR t t hhtt hhtt



.c. id ..id . . . . . . . . . . . . . . . . . c..i.d i.d. . . . . . . . . 107 j.aca.cid.id ca.cid.idMATRIK PENELITIAN . a a a c c . . . j j j a a e e e e FORMULIR PENGAJUAN SKRIPSI . . . i108 nej. nej. JUDUL DAN PEMBIMBINGAN nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgSKRIPSI ig ili igili /:d /:d /:d / / LEMBAR KONSULTASI PENYUSUNAN . . . . . . . . . .tp. :.//:.d .d.ig109 : : / / / //dig / / / p p t t hthttp hthttp hthttp

































xviii













d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e DAFTAR LAMBANG ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt Ghhtt = Graf G G(V, E)


= Sebarang graf tak berarah dengan V adalah himpunan tak ko-

d d a a e e j. u.n neke-n nej. .bTitik .bu.n u u b b vn = pada suatu graf i i l l i i idgigili idgigili /:d / :p//:d : / / / / p enhttp = Sisi ke-n dari suatu graf t hthttp htt


i .id titik dan E adalah himpunan .i songjdari .ac.csemua j.ac c.id sisi

V (G)

= Himpunan titik pada graf G dan disebut sebagai order

E(G)

= Himpunan size did .idisisi d pada graf G dan disebut.isebagai

d aj.cac. aj.cac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e Un = .Suku u.n neke-n barisan aritmetika ne ne .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i b i i i idgi= idgigilatau pelabelan titik sisi:/antimagic idgigil gil Edge antimagic vertex :labeling /:d EAVpL://d //:d / / / / / / p p : t t t t t t p hhttpL = Super edge antimagic hhtttotal hhttp super (a,d)SEAT labeling atau pelabelan total sisi antimagic

.idid

.idid

ca.cid.id a . j e nej. .bu.une .bu.une .bu.n u b b b i i i l l l i i i a merupakan suku pertama barisan ili idgi= idgigili idgigbobot gili Bobot sisi terkecil yang /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp sisi pada SEATLhthttp d

aj.cac.barisan bobot sisi padaeSEATL ac c. = Nilai nej.beda n j. j.a

Dln

= Lambang untuk graf tangga permata

mDln

id.id gabungan graf tangga id.id = Lambang .ac.cuntuk .ac.cpermata

zj

= Titik ke-j pada bagian tengah graf Dln

xki

= Titik ke-i.dalam komponen ke-k pada bagian id .id atas graf mDln

jej.a jej.a e e n n u u n n . . xi = Titik ke-i pada bagian atas graf Dl u u b b n . . i i l idgiigl ilib digigilib d / / : / yi ttp:p//://di= Titik ke-i pada bagian bawah graf Dln / hthtp hhtt ttp:


cac.id cac.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e j. dalam komponen ke-k = .Titik pada u.n neke-i nej. bagian bawah grafilmDl nej. .bu.n .bu.nn u u u b b b i i i l l i i b ili pada bagian tengah//graf ili n idgi= idgigke-k idgigmDl gili Titik ke-j dalam komponen d /:d /:d / / : : : / / / / / / p p p : t t t thttp thttp hthttp titik pada bagian atashgraf αph(x = Fungsi bijektif pelabelan Dln i)

yik zjk

αp (yi )

= Fungsi bijektif pelabelan titik pada bagian bawah graf Dln

.id

.id

d aj.ca.ci .id . j e u.n ne bijektif bobot sisi dari ne titik α ne .bFungsi .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i wα = pelabelan i i i p idgigil idgigil idgigil //:d //:d //:d : : : / / / / / / p p p t t t t t t p pada bagian atas graf Dl αph(x hhttsisi hhnttp hitxtpi+1 ) = Fungsi bijektif label αp (zj )

cac.id pelabelan titik pada jbagian c id = Fungsi ej.aj.bijektif e .aj.ac. tengah graf Dln

p

αp (yi yi+1 ) = Fungsi bijektif label sisi pada bagian bawah graf Dln

αp (zj zj+1 ) = Fungsiabijektif c.id.id label sisi pada bagianatengah c.id.id graf Dln

ca.cid.id a c c . . . j j j a a e e e n u.n nej.bijektif bobot total dari nej. total αp nej. W αp =lib.Fungsi .bupelabelan .bu.n u u u b b . i i l l i i i b idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp









xix









ca.cid.id ca.cid.id PENDAHULUAN j.aca.cid.id a a . . j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / : : / / //dig / / p p t t 1.1 htLatar http Belakang Masalah hthttp


BAB 1

Dewasa ini, matematika memiliki banyak peranan penting dalam kehidud.id i . c ca.cid.id masih ada sebagianj.aorang ca.cid.idmenjadikan mate- j.aca.cid.id aj.ac pan manusia. Namun, ajironisnya . . j j . . e e e e n n n n e e ej ej. u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . . . . i i i i igl ilib ib hal yang ditakuti/ddan matika sebagai Rasa takut dan lib igil ilib idgiigl ilsuatu idgiigl idihindari. idgcemas d d i /:d / / / / / : : : / / / //dig / / / thtp hthtp hthtp terhadap ttp:objek yang berkaitan dengan ttp: matematika itu disebuthPhobia ttp: Matematika (Mathophobia). Matematika hanya dipandang sebagai sebuah kumpu-

.cid.id yang tidak memiliki ca.cid.idlan rumus serta deretan caangka-angka ca.cid.id makna. Padahal j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e n nej. nej. hal menarik yangiliseringkali nej. terlepas dari perhatian. nej. .bu.n .buterdapat .bu.n .bu.n dibalik itu semua u u u u b b b b . i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp hthTidak hthttpdan prinbertemu dengan konsep ttp disadari setiap orang hsenantiasa sip matematika, baik dalam pembelajaran formal, non formal maupun dalam

d did d merupakan alat bantu dan pelaca.cid.id aj.ca.ci .idkehidupan sehari-hari. ajMatematika aj.ca.ci .kehidupan aj.ca.ci .id . . . . j j j j . e e e e ne ne lain, seperti fisika,ilikimia, nebiologi, astronomi, teknik, ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n yan bagi ilmu-ilmu yang u u u u b b b b i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :p//:d :psuatu / / / //dig / / / ekonomi, farmasi maupun matematika sendiri. Mungkin terdapat perp p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt tanyaan bukankah saat ini sudah ada kalkulator dan komputer sehingga mate-

menjadi berkurang? id.id ca.cid.idmatika sebagai alat bantu ca.ckehidupan ca.cid.idMemang benar, de- j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e ngan kehadiran .alat ej. tersebut banyak bpersoalan u.n nej. nbantu nej. kehidupan yang isulit nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i i l l l l i i i b li ig ili idgigili dalam waktu yang:/relatif idgigisingkat. idgigili dapat diselesaikan Namun, proses mencip/:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp hthttp pun juga memerlukan hprinsip hthttp prinsiptakannya matematika. Tanpa adanya prinsip dan konsep matematika kedua alat tersebut yaitu kalkulator dan kom-

d d .cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .idputer tidak mungkin aj.ca.ci .id aj.camatematika diciptakan. Begitu pentingnya dalam ke- ej.a . . . j j j . e e e ne ne ne nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i hidupan maka tidak aneh jika pembelajaran matematika mengalami perkemi i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t bangan dengan kebutuhanhh zaman. Ada hhtt yang pesat dan selalu disesuaikan hhtt tt pepatah ” Siapa yang menguasai matematika dan bahasa maka ia akan me-

.cid.id sebagai media melatih ca.cid.idnguasai dunia”. Artinya camatematika ca.cid.iduntuk berpikir kri- j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e ej. nej. n nej. masalah, sedangkan nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n tis, inovatif, kreatif, mandiri, dan mampu menyelesaikan u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide atau gagasan serta yang ada da/ / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp









1



d d aj.ca.ci .idBab 1. Pendahuluanej.aj.ca.ci .id . j e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / lam pikiran manusia. p t t hhtt





Matematika terdiri dari beberapa cabang ilmu misalnya Aljabar, Geometri,

d.id Aplikasi, Matematika ca.cid.idStatistika dan Probabilitas, ca.ciMatematika ca.cid.id Komputasi, Mate- j.aca.cid.id a a a . . . j j j . e e e e n nej. nej. nejdan nej. .bu.n .buMatematika .bu.n .bu.n matika Ekonomi, Diskrit, Sain Komputer lain sebagainya. Cau u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p bang matematika terkini terkait dengan sain komputer yang cukup terkenal t t t hthttp hthttp hthttp adalah Teori Graf. Teori graf merupakan pokok bahasan yang relatif muda na-

.cid.idmun memiliki banyak.terapan .cid.id yang sangat luas. Contohnya .cid.id optimasi jaringan .ac.cid.id c c c a a a . . jej.a telepon, jaringan komputer, jej.a jaringan listrik, model jej.a sirkuit, model struk- nejej.a e e e n n n papan u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ilib l ilib liibli.bu.un i i i i g g g g i i i i tur ikatan ig /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig dan lain-lain. Graftdigunakan //dig /kimia //dig untuk mempresentasikan //dobjektp tp thtp t t t t h h h t t t h objek tersebut. Representasi h visual dari objek diskrit dan hubungan antara graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan atau titik, se-

id tersebut dinyatakanj.adengan ca.cid.iddangkan hubungan antara ca.cidobjek ca.cid.id garis atau sisi. ca.cid.id . a a a . . . j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idg idgimendapat idgipada gili gili Salah satu banyak perhatian igili topik yang menarikp:/dan /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p t t t p ht ttp adalah masalah pelabelan hthttgraf. hthttp ini muteorihgraf Pelabelan graf akhir-akhir lai banyak mendapat perhatian terutama terapannya dalam jaringan komputer

d d .cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .iddan database security. aj.ca.ci .id graf G adalah sebuah aj.capemetaan . . . Pelabelan dari elemen- ej.a j j j . e e e ne ne ne nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i elemen graf G terhadap bilangan bulat positif. Jika domainnya adalah himi i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t punan pelabelan titik (vertex sehhlabeling), hhtttitik G maka pelabelannyahhdisebut tt tt dangkan jika domainnya adalah himpunan sisi G maka pelabelannya disebut

ca.cid.idpelabelan sisi (edge labeling). ca.cid.idJika domainya adalah jkedua ca.cid.idhimpunan tersebut j.aca.cid.id a a a . . . j j e e e e nej. nej. pelabelan total i(total nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n maka pelabelannya disebut labeling). u u u u b b b b i i i i l l l l i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp thttp kemugraf pertama kalihdiperkenalkan oleh Sedl´ acˇekh(1964), hthPelabelan ttp dian Stewart (1966), Kotzig dan Rosa (1970). Hingga saat ini pemanfaatan teori

d d .cid.id sektor sistem ko- .ac.cid.id aj.ca.ci .idpelabelan graf sangatejdirasakan aj.ca.ci .id peranannya, terutama aj.capada . . . j j jej.a e e e n n n n e e e penyimpanan data komu u u u n n n n . . . . munikasi dan transportasi, navigasi geografis, radar, u u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : / / / puter, dan pemancar frekuensi radio. Sedl´ a c ˇ ek telah mempublikasikan karya //dig / / / hthtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: ilmiah dengan mengenalkan pelabelan graf tipe yang lain yang disebut pela-

dari ide bujur sangkaridmagic pada teori biid.idbelan magic. Istilah ini adimotivasi id.id . . c c ca.c.id ca.cid.id a a a c c . . . . j j j j a a . e e e langan. Pelabelanumagic sisi graf G pada bi-une n nej. nej. adalah pemetaan dari nej. .bu.n .b.n .buhimpunan .b.unej u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i gigiliG ig ili idgnon-negatif, idglabel idgraf langan :real sehingga jumlah igili igili sisi di sekitar titik pada /:d /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp













d d d d 3 aj.ca.ci .idBab 1. Pendahuluanej.aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d //:d :p//:d :pek :p//:menggu/ / / //dig / / / semuanya sama. Pada Definisi Sedl´ a c ˇ ini memperbolehkan untuk p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt nakan bilangan real tetapi biasanya hanya bilangan bulat saja yang digunakan.

sisi dari bilangan d ca.cid.idStewart menyebutnyaj.supermagic ca.cid.id jika himpunan label ca.cid.iterdiri ca.cid.id a a a a . . . j j j . e e e e j. bulat yang berurutan. Gallian(2009) tentang hasil nej. nejSelengkapnya nemenjelaskan nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgpelabelan idgigilipelabelan graceful dan://jenisnya, idgigili d survey dari graf, diantaranya untuk igili /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p : t t t tp hthttp labeling, magic labeling, hthtantimagic hthttp harmonious labeling dan jenis-jenisnya.

Terdapat berbagai jenis d.id satunya adalah .cid.id .cid.idtipe pelabelan dalam graf, .cisalah c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e pelabelan total super a bobot sisi terkecil ej nej ne(a,j d)-sisi antimagic (SEAT), ndimana nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgbeda. idgigil oleh Simanjutak, Bertault idgigdan dan d nilai igil Pelabelan ini diperkenalkan /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t t hhtpada hhtt Pada graf konektif telah hhbanyak tt Miller tahun 2000 (Dafik, 2007:19). ditemukan pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic sedangkan pada graf disko-

id yang diketahui mempunyai ca.cid.idnektif, hanya sedikit famili ca.cidgraf ca.cid.idpelabelan total su- j.aca.cid.id . a a a . . . j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i per (a, d)-sisi Permasalahannya hal ini melibatkanig angka li ili ig ili idgigantimagic. idgigiadalah igili /:d /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p t t t pelabelan graf konektif terpisahnya dan tp hthttp lebih banyak pada setiap hthtkompenen hthttp tidak ada jaminan jika graf G mempunyai pelabelan total super (a, d)-sisi an-

d d .cid.id .cid.id graf diskonektifnya pelabelan aj.ca.ci .idtimagic kemudian pada aj.cagabungan aj.camempunyai aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e e ne nantimagic. ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n total super(a,ild)-sisi Oleh karena itu masalah ini dianggap cukup u u u u b b b b i i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p/berkelanjutan. :p//:d / / / sulit tsehingga memerlukan penelitian //dig / / / p p p t t t t t hhtt hhtt hhtt Sampai saat ini, pelabelan graf diskonektif dengan jenis pelabelan total

id.id sedikit famili yang ditemukan. Baru-baru ini ca.cid.idsuper (a, d)-sisi antimagic ca.cmasih ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j . e e e e j. n nej. nejtelah netemuannya nej. .bu.n .bu.n .buhasil .bu.n Deviyana, R.(2011: 29) mempublikasikan tentang pelau u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / :p//:d : : / / / belanttp total super(a, d)-sisi antimagic pada graf E, Anggraeni, Y.(2011: 32) ten//dig / / / p p t t hhtt hthttp hthttp tang pelabelan total super(a, d)-sisi antimagic pada Generalisasi Graf Web Dua

.cid.idBandul W0 (3, j, 2), Rahmad, .cid.idR.R.(2010: 37) tentang pelabelan .cid.id total super(a, d)- .ac.cid.id c c c a a a . . . jej.a sisi antimagic padanegabungan jej.a jej.a 25) tentang pelabelan nejej.a e e graf Lobster, Fuad(2009: n n u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ilib antimagic pada gabungan l iligraf liibli.bu.un i i i i b g g g g i i i i total super(a, d)-sisi Triangular Ladder, Indayani, /:d :p//:d :p//:d :p//:d //dig //dig //dig //dig tp tp tp t t t t t t h h h t t t h h Super (a, d)-sisi antimagich pada gabuD.V.(2010: 29) tentang pelabelan total ngan graf Generalized Petersen (n, 2), Abidin, Z.(2010: 35) tentang pelabelan

.cid.id graf Firecracker, .ac.cid.id ca.cid.idtotal Super(a, d)-sisi antimagic ca.cid.id pada gabungan saling calepas a a a . . . j j j jej.a e e e e j. j. j. n n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b dan Biyadi,igKhud.(2010: 31) tentang fungsi igliilib. igliilib. ilib. pelabelan antimagic idgiigliilib. idgiiglibijektif idgipada d d d i /:d / / / / / / d : : : / / / // p gabungan hthtp hthtTree. hthtp ttp:/ saling lepas graf Banana ttp:/ ttp:/













d d d d 4 aj.ca.ci .idBab 1. Pendahuluanej.aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / Dalam penelitian ini akan dikembangkan penelitian Fuad tentang graf p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt tangga untuk jenis graf tangga yang lain yaitu tangga permata. Graf tangga

.cid.id belum ditemukan .ac.cid.id ca.cid.idpermata dinotasikan dengan ca.cid.idDln adalah salah satu graf cayang a a a . . . j j j jej.a . e e e e j. j. saling lepas graf tangga jpermata pelabelannya. Gabungan merupakan gan n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . igliilib. idgiigliilib. idgiigliilib. pada graf tangga permata. idgiigliilibDalam idgdikaji d d d bungan diskonektif penelitian ini akan i /:d / / / / / / : : : / / / // hthtp hthtp hthtp ttp:/total super (a, d)-sisi antimagic ttp:/ pada graf tangga permata ttp:/baik itu pelabelan yang tunggal maupun gabungan saling lepasnya sehingga pada penelitian ini

d did ca.cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .idpenulis memilih judul aj”Pelabelan aj.ca.ci .antimagic . . . total super (a, e d)-sisi pada graf ej.a j j j . . e e u.n ne ne ne nej .bu.n .”. .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i b tangga permata i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 1.2 Rumusan Masalah

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j . . e e e Berdasarkanulatar di atas, maka dapat masalah da-uneej. nej. nejbelakang nejdirumuskan .bu.n .b.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i igliibli.b.un i i i l l l g g g g i i i i i i i lam penelitian ini yaitu: g g g d d d d i i i i /://d :// /d :// /d :// /d hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/


1. apakah Graf Tangga Permata (Dln ) memiliki pelabelan total super (a, d)sisi antimagic?

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e e ne saling lepas Graf iTangga nPermata .bu.n .bu.n 2. apakah ilgabungan u u b b i i l i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic? t t t t hhtt hhtt

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n (mDln ) memiliki u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt

ca.cid.id1.3 Batasan Masalahj.aca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e e ej. nej. nej. meluasnya permasalahan nyang nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i Untuk menghindari akan dipecahkan, maig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t ka dalam pada: tp hthttp penelitian ini masalahnya hthtdibatasi hthttp



1. graf berhingga yang sederhana, yaitu graf yang tidak mempunyai loop

.id

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigiltotal super (a, d)-sisi antimagic idgigil pada Graf Tangga Permata idgigildi2. pelabelan :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt simbolkan dengan Dln dan mDl n dengan m > 2 dan n > 2. Dalam hal

c id dan sisi ganda(paralel); ej.aj.ac.

ini, m merupakan banyaknya Graf Tangga Permata yang digabung yaitu

c.idid

c.idid

c.idid

. je.aj.ac. Permata sedangkannnemerupakan je.aj.ac. minimal 2 Graf ketentuan dari neje.a j.ac neTangga

b.uun



iliilib.Tangga Permata. definisi /digigGraf

:/ /d hthtp ttp:/











d d aj.ca.ci .idBab 1. Pendahuluanej.aj.ca.ci .id . j e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / 1.4 tTujuan Penelitian p t hhtt





Sesuai dengan rumusan masalah dan latar belakang di atas, maka tujuan

.cid.id berikut: ca.cid.iddari penelitian ini adalah casebagai ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ili ig ili idgmengetahui idgigPermata idgigili 1. untuk apakah Graf Tangga (Dln ) memiliki /pelabelan igili /:d /:d /:d /:d / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp hthtotal hthttpjika ada, maka dicari carahmelabeli ttp super (a, d)-sisi antimagic, Graf


Tangga Permata dengan pelabelan total super (a,d)-sisi antimagic;

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e 2. untuk mengetahui e Graf Tangga Permata ne apakah gabungan ilsaling nlepas ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l i i i i i il d)-sisi antimagic, jika ada, iggil idgig(a, idgmaka (mDl pelabelan total :super igil nd)imemiliki //:d //:d :p//:d : / / / / / / p p p t t t t t t tp lepas Graf Tangga Permata hhdicari hhtsaling hhttp dengan tt cara melabeli gabungan pelabelan total super (a,d)-sisi antimagic.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i 1.5 Manfaat ili ig ili idgigPenelitian idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Manfaat yang diharapkan dari hasil penelitian ini adalah:



d 1. menambah pengetahuan .id.id khususnya dalam ac.i .id baru dalam bidang teori acgraf,

ca.cid.id a c c . . . j j j a a . . . e e e ej npelabelan nej apakah ada pelabelan nej ruang lingkup graf, yaitu mengetahui .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d total super (a, d)-sisi antimagic pada Graf Tangga Permata; ttp://:d / / / / / / p p t t t t hhtt hhttp hhtt

2. memberikan motivasi pada peneliti lain untuk meneliti pelabelan total

id.id .id super (a, d)-sisi antimagic .ac.clain; j.ac c.id pada graf dari jenis jyang

ca.cid.id a . j a a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgidigunakan idgigili 3. hasil penelitian ini diharapkan dapat sebagai pengembangan gili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t p super hthatau hthttp dalam masalah pelabelan hthtttotal ttp perluasan ilmu dan aplikasi (a, d)-sisi antimagic.

























d d ca.cid.iTINJAUAN PUSTAKA j.ac.ci .id a . j a e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp 2.1 hth Aplikasi Graf ttp



BAB 2

Teori Graf merupakandsuatu pokok bahasan yang sudah tua usianya na.cid.id .ci .id .cid.id c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a mun mempunyai banyak terapan bagi seluruh masyarakat sampai saat ini. . . . . e e e e nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il yakni ketika Euler//mencoba ig il idgigil pertama kali pada tahun idgig1736, idgigil Teori ini//muncul /:d :p:d :p//:d :p:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t t hhtmencari hhtt yang sangat terkenal yaitu hhtt Jembatan untuk solusi dari permasalahan Konigsberg. Aplikasi teori graf saat ini sangat luas dan dipakai dalam berbagai

ca.cid.iddisiplin ilmu maupunj.dalam ca.cid.idkehidupan sehari hari.j.a ca.cid.id disajikan gambar j.aca.cid.id Berikut a a . j e e e e nej. nej.kota Konigsberg nej.2.2 tentang representasi nej. 1 .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b ¨ 2.1 tentang gambaran dan gambar i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / :p//:d : : / / / //dig / / / p p tp t t ¨ grafhtpada permasalahan jembatan K onigsberg. hthttp hthttp htt










d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ¨ .unne tahun 1736 Gambar 2.1: Gambaran Kota Konigsberg ne ne .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt

Beberapa contoh aplikasi id.id id.id graf ditemukan dalamacilmu id.idkimia yaitu struk. . . c c ca.cid.id a a a c c c . . . . j j j j a a a . . e e e j. tur senyawa karbon, rantai Ribonucleic (RNA) dalam ilmuune nej. nerekonstruksi nejAcid .bu.n .bu.n .bu.n .b.unej u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili http://matematika-pendidikanstkip.blogspot.com/2011/04/asal-usulidgigili idgigili 1 /:d /:d /:d /:d Sumber gambar: / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t teori-graf.html hthttp hthttp hthttp









6










.cid.id a Cc . j a e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp A

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttDp


d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil (a) :p//:d / / p t t hhtt

d d aj.Bca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil (b) :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt

7

¨ Gambar 2.2: Representasi graf pada permasalahan jembatan Konigsberg

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e j. u.n u.n nej. nej. masyarakat dalam nesosiologi, nej. biologi, struktur dan pewarnaan .bu.n .bhubungan .bilmu .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / :p//:d : : graf tdalam ilmu pemetaan (kartografi) bahkan dalam bidang ilmu informatika / / / //dig / / / p p p t t t hhtt hthttp hthttp dapat ditemukan aplikasinya pada topologi jaringan. Berbagai aplikasi teori

penting terhadap perkembangan ilmu ped.id .cid.idgraf tersebut memberikan .ciperanan .cid.id c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e ngetahuan dan teknologi, khususnya aplikasi graf dalam informatika yang nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil dengan informasi:/dan idgiteknologi idgsuatu selalu berhubugan masa kini. Dalam gil igil /:d /:d //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhttp hhttp komhhtt misalnya, kita dapat menggunakan ekologi graf untuk mendeskripsikan petisi makanan sebagaimana disajikan dalam Gambar 2.32 .

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e Contoh lainuaplikasi sehari-hari adalah pada pe-uneej. nej. nej. graf dalam kehidupan nej. .bu.n .b.n .bu.n u u u b b b i i i l l l liibli.b.un i i i igtemi i i l l l g g g g i i i i i i i ngaturan lampu lalu lintas. Pada saat orang menuju dan pulang dari g g g d d d d i i i i /://d :// /d :// /d :// /d thtp thtp thtp ttp:/ rutinnya setiap hari,hsering ttp:/ terjadi kemacetan laluhlintas. ttp:/ Hal ini pathaktifitas disebabkan karena waktu aktifitas yang hampir bersamaan sehingga volume

d d.id d .cid.id di suatu daerah pada waktu aj.ca.ci .idkendaraan yang melintasi aj.ca.cijalan-jalan aj.cameningkat aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne jalan-jalan pada daerah nemampu menampungilib ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i itu. Padahal belum tentu itu bel l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t sarnya volume kendaraan yang melewatinya. Untuk dapat mengetahui apakah t t t hhtt hhtt hhtt kapasitas maksimum jalan-jalan pada suatu daerah masih mampu menam-

id.id tersebut, maka .cid.id melintasi jalan-jalan pada ca.cid.idpung volume kendaraan cayang ca.cdaerah ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e harus diketahuibterlebih maksimum dan volume maknej. nej.dahulu berapa kapasitas nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / 2 : : : / / / Sumber gambar: http://suryaafrilian.blogspot.com/2010/10/rantai-makanan.html //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp

























ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e u.n u.n u.n nej. nej. nej. . . . u u u b b b i i i l l l i i i b b b 2.3: Representasi graf idgGambar idgidalam idgigili gili rantai makanan ://d igili /:d /:d / / : : / / / / / / p p p : t t t hthttp hthttp hthttp

8

simum kendaraan yang melintasi daerah itu. Permasalahannya adalah men-

d cari sebanyak mungkin carus d lalu lintas dari beberapac.arah d yang dapat berd aj.ca.ci .id aj.a.ci .id aj.aci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e jalan secara bersamaan ne ne dengan aman dan ikonsisten. ne Juga mengenai pengane .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i gigil lintas dalam setiap//pertigaan ig il idlampu idgigil ataupun perempatan. idgiSebegil /:d turantp jalur :p//:d :p:d :p//:d / / / //dig / / / p p t t t t t hhtt h tt h tt rapahbanyak penggunaan lampu lalu lintas yang harus di gunakanhseminimum

kemacetan tersebut. id.idmungkin untuk mengatasi idmasalah . . d i c c ca.cid.id ca.cid.id . a a a a c c . . . . j j j j a a e e e e j. perkotaan, daya dukung j. menjadi faktor penPada lalublintas nej. nedi nejalan nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i i l l l l i i i i gigili ig ili idmenentukan idgigiliDaya dukung jalan ini idgigili d d /:d /:d /:lintas. /:meliputi / / / ting dalam lancarnya lalu : : : / / / //dig / / / p p p t t t ht ttp ht ttp hthttp lebarhjalan, kondisi jalan, rata-ratahvolume kendaraan yang lewat tiap satuan

lintas perkotaan, jarak, menjadi sesuatu yang d.idwaktu, dan lain-lain. Pada d.lalu d d i i . . d i c c aj.ac tidak terlalu penting.eDengan aj.ac melewati jalan yang memiliki aj.ca.ci .iddaya dukung yang ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i l baik, walaupun akan kita sampai lebih ig il idgigil jaraknya lebih panjang, idgigimembuat idgicepat gil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhpendek, tt tt ke h tujuan. jalan yang berjarak tapi htt Lebih cepat, daripadahhmelewati kondisi jalannya rusak, volume kendaraan yang lewat besar, dan lain-lain.

ca.cid.idBerikut adalah contohj.apemodelan ca.cid.id ca.cid.id graf ganda ber- j.aca.cid.id sisitem lalu lintas dengan a a . . j j e e e e ej. ej. A adalah Simpang Pb. nej. ncontoh nsaja nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b arah berbobot. Pada gambar 2.4, misalkan i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p Sudirman, B adalah persimpangan antara Jalan Mawar dan Jalan Kenanga, C t t t hthttp hthttp hthttp













d d d d 9 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d //:d //:d :persimpangan : : / / / //dig / / / adalah Jalan Pb. Sudirman dan Jalan Kenanga, D adalah perp p p t t t t t t hhttp hhttp hhttp simpangan antara Jalan Anggrek dengan Jalan Pb. Sudirman, E adalah Perem-

id adalah persimpa- j.aca.cid.id ca.cid.idpatan Jalan Madura, jKartini, ca.cid.id dan Pb. Sudirman, Fj.adan ca.cid.G a a . . j . hanya potongan dariune . e e e ngan yang tidak.umasuk karena n nej. nej. dalam pembahasan nejini .bu.n .bu.n .b.unej u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i b ig ili idgPemanfaatan idg idgigili suatu jalan. teori graf dalam sistem dilakukan igili igili lalu lintas ini dapat /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp berikut : hthttp hthttp seabagai




d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t F hhtt


7

ca.cid.id a . j e E G nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : 8 / / p t hthttp 8

D

ca.cid.id . 8uneje.a .b.un8 j b i l i i diggil 6 7tp:p//:/6/di C t hhtt 8

8

5


ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e Keterangan nej. : nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i ili CD, DE, EF adalah//Jalan idgigAC, idgigili d /:d / : : / / / / p p : t t t p hthttp Pb. Sudirman hhtt AD adalah Jalan Anggrek .cid.id Mawar AB adalah aj.caJalan . j e n ne Jalan Kenanga .bu.adalah u b BC i l i i g l

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idigi idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p BE adalah Jalan Kartini B t t t t hhtt hhtt EG adalah Jalan Madura

7


ca.cid.id 5 ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e A nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t Gambar 2.4: Contoh pemodelan sistem lalu lintas hthttp hthttp hthttp


. .id digunakan untuk menghubungkan c. id 1. Simpul dalam esuatu suatu perj.a.cacgraf ej.a.ac.

id

id

ca.cid.id a . j . e j n nejPada gambar 2.4 terdapat n7 ebuah nej .bujalan. .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i l l l simpangan persimpangan yaitu i i i i i i idgigil idgigil idgigil //:d //:d :pB, :ppersimpangan :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t A, C, D, E, F , dan G. Ketujuh tersebut diperlakukan sehhtt hhtt hhtt bagai tujuh buah simpul.


ac c. ac c. c. j.aj.cadigunakan 2. Sisi dari suatu untuk melambangkan negraf nej. j.a jalan.Pada gambar nej. j.a









.uune

.idid

.uune

.idid


.idid

lib . lib . 2.4 terdapat digigilib7 buah sisi yang melambangkan digigilib 7 buah jalan.

:p//://di t hthtp t

:p//://di t hthtp t





d d d d 10 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / 3. ttArah pada sisi merepresentasikan arah jalan yang dapat dilalui. Jadi bila p p p t t t t hhtt hhtt hhtt


terdapat jalan One W ay atau satu arah, arah panah hanya akan menunjuk ke arah tertentu dan.tidak idd sebaliknya.

cac.i ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e j. ne nej. sisi graf merepresentasikan nedaya nej. .bu.n .bu.n u u b b iibli.bu.udari i i l l 4. Bobotig/illabel dukung jalan tersei i idgigili idgigili ig /:d /:d /:d / / / d : : : / / / / / / p p p t t t hthbut. hthttp hthttp ttp

d d d id Dengan pemodelan jalan dapat mengetahui aj.ca.ci .id aj.ca.ini,pengguna aj.ca.ci .id dan menghin- ej.aj.ca.ci .id c.id . . . j j j e e e n e ne nkemungkinan nejalan yang rusak, sehingga ne dari jalan-jalanlib yang besar macet, .bu.n .bu.n .buatau .bu.n u u u u b b b . i i i l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p/jalan :p//:d dapat menghindarinya dan memilih lain yang memiliki daya dukung / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt yang baik.Pemberian bobot / nilai pada suatu jalan didasarkan pada lebar

id.idjalan, kondisi jalan danavolume id.id kendaraan yang lewatactiap id.idjam. . . . c c ca.cid.id a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e 1. Lebar jalan nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgjalan id1gimeter igigili gili diberi nilai 4, antara igili dengan lebar dibawah /:d /:d /:d /:d / / / Untuk 1dmeter : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp




sampai 2 meter diberi nilai 3, lebih dari 2 meter sampai 3 meter diberi nilai 2 dan untuk lebar d jalan lebih dari 3 meter diberid nilai 1.

d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n 2. KondisiilJalan u u u b b b i i i l l i i i i i idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p/jalan / / / / / / Jalan rusak parah diberi nilai 4, jalan rusak ringan diberi nilai 3, baik p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt diberi nilai 2 dan jalan sangat baik diberi nilai 1.

id

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . e e j nelebih nejdiberi nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l Jika volumenya dari 100 kendaraan/jam nilai 5, 81 sampai i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hth100 hthtt4,p 51 sampai 80 kendaraan/jam hthttpdiberi nittp kendaraan/jam diberi nilai

c.c.id lewat tiap jam 3. Volume kendaraan ej.a.ayang

lai 3, 31 sampai 60 kendaraan/jam diberi nilai 2, dan jika volumenya 0 sampai 30 kendaraan/jam c.id.id diberi nilai 1.

d d aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i gigil yang melambangkan bobot il adalah jumlah nilai lebar idtotal idgigsisi idgijalan, gil Bobot :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt jalan dan volume kendaraan hhttyang lewat tiap jam. hhtt kondisi

Jalan yang menghubungkan A ke C dan sebaliknya, d yang menghu- j.ac.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.ijalan a a a . . . j j j . e e e e j. jsebaliknya, j. j.a n n n n e e e e bungkan C ke D.udan juga jalan yang menghubungkan D ke E u u u n n n n . . . u u u u b b b b . ib. ini(dalam hal ini /Jalan lib. idgiigliilib. idgiigliilibdiberi idgiigliiljalan idgiigliiPb. d d d /:d / / dan sebaliknya, nilai 8. Karena pada / / / : : : / / / // hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/













d d d d 11 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p//:d :p/lebar / / / //dig / / / Sudirman) memiliki kondisi yang baik (nilai 1), badan jalan juga (nip p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt lai 2), tapi volume kendaraan yang lewat sangat besar (nilai 5). Untuk pem-

jalan) dapat d.id laindalam hal ini melambangkan ca.cid.idberian bobot pada sisi-sisi ca.ciyang ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j . e e e e dicari dengan langkah sama. Apabila Kita sekarang berada di Simpang nej. nejyang nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ili ig ili idgigili idgike idgigjalan gildaerah Pb. Sudirman(simpul A) dan ingin pergi yang terletak :pada /:d /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p t t t hthmenghubungkan hthttFp , rute terpendek adalah langsung hthttp melettp yang simpul E dan wati jalan yang menghubungkan A dan C, C dan D, D dan E, lalu E dan F .

d d d d aj.ca.ci .idSayangnya rute itu memiliki aj.ca.ci .idbobot yang besar, jadiejmungkin aj.ca.ci .id saja waktu yang ej.aj.ca.ci .id . . . j j e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i dibutuhkan menjadi lama. Rute alternative yang bisa kita gunakan adalah i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t melewati hhtt jalan yang menghubungkan hhtt A dan B, B dan E, lalu E hhdan tt F . Jalan ini memang lebih panjang, tapi karena relatif lebih lancar, jadi kemungkinan

ca.cid.idbesar kita bisa sampaij.tujuan ca.cid.idlebih cepat. ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i Zainalig(2010:7) i graf dalam ilmu informatika gigilteori ig ili idlain idgigili igili menjelaskan aplikasi /:d /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p t t t dapat pada topologi jaringan tp hthtdilihat hthttpkomputer. Topologi jaringan hthttp (network topology) adalah studi mengenai pengaturan atau pemetaan dari elemen-elemen

d sebagainya) sebuah jaringan. aTopologi ca.cid.id ca.cid.id suatu jaringan j.aca.cid.id aj.ca.ci .id(pranala, simpul, dan a . . . j j j . . e e e e j j n n n n e epenghubung edalam ej. u u u u n n n n . . . . didasarkan pada cara sejumlah sentral membentuk suatu u u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : / / / sistem jaringan. Topologi jaringan yang umum dipakai adalah: Mesh, Bintang //dig / / / hthtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: (Star), Bus, Tree, dan Cincin (Ring). Berbagai jenis topologi jaringan tersebut 3

. id.iddapat dilihat pada Gambar id.2.5 . . d i c c ca.cid.id ca.cid.id a a a a c c . . . . j j j j a a . e e e e ej. nej. njaringan nejkomputer, nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n Dalam topologi komunikasi khususnya sentral-sentral u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili d /:d /:d /:ada /:d / / / : : : / / / saling terhubung (interkoneksi) tetapi juga yang tak terhubung. Untuk //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp melakukan interkoneksi, diperlukan alamat dan identifikasi sentral yang berbe-

untuk id.id jaringan. Pem.cid.idda satu dengan lainnya .cid.id kelancaran komunikasi .dalam c c c ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j a a a . . . . e e e e j berian alamat dan identifikasi ini dalam komputer dikenal denganunnej nej nej nebiasanya .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i iibli.b.u l l l ldan i i i i i i i l l l g g g g i i i i i i i IP address. Pemberian alamat dan identifikasi memerlukan label angka /:d :p//:d :p//:d :p//:d //dig //dig //dig //dig tp tp tp t t t t t t h h h t t t h Dalam hal inilah, pelabelanh graf sangat tiap h sentral harus berbeda labelnya.


berperan.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e Salah satu aplikasi yang nej.graf dalam bidang kimia nej.sering kita temui adalah nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili http://www.11h11.com/hugobox/chaku/NetworkTopologies.png idgigili idgigili 3 /:d /:d /:d Sumber gambar: / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp

























12

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e Jaringan nej.Gambar 2.5: Topologi nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttp disini p p hthttpenyimpanan hthttberbahaya. dalam senyawa kimia Teorema yanghdipakai adalah pewarnaan graf (graph colour). Pewarnaan graf sangat bermanfaat dalam

d ca.cid.id berbahaya. Efektifitasj.apewarnaan ca.cid.id ca.cid.id graf tidak diaj.ca.ci .idpenyimpanan senyawa aj.kimia a . . . j j j . . e e e e n ne ne nej ruangan yang dipernej .bu.n .bu.n .bu .bu.n u u u u b b b b ragukan lagi untuk mengetahui berapa banyak minimum . i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:zat :p//:d / / / //dig / / / p p p lukan untuk dapat menyimpan semua kimia dengan aman. Misalkan ada t t t t t t hhtt hhtt hhtt 7 jenis zat kimia yang perlu disimpan di dalam gudang. Beberapa pasang dari

sama, ca.cid.idzat itu tidak dapat disimpan ca.cid.iddi dalam ruangan yang ca.cid.id karena campuran j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e gasnya bersifat eksplosif nej. nej. (mudah meledak).ilib.bu.n nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p Untuk zat yang semacam itu perlu dibangun ruang-ruang terpisah t t t hthttp hthttp hthttp yang dilengkapi ventilasi dan penyedot udara keluar yang berlainan. Jika lebih

d banyak ruang yang dibutuhkan, d berarti lebih banyak ongkos d yang harus dikelud aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e arkan. Karena itu perlu ne ne diketahui berapailibanyak neminimum ruangan yang ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i i i i i gigil dapat menyimpan semua il kimia dengan aman.//Masalah ig il iduntuk idgigzat idgigil /:d diperlukan :p//:d :p//:d :p:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt dalam masalah dalam pewarnaan hhtt hhtt ini masuk graf.

Simpul melambangkan d.id dua zat kimia ca.cid.id ca.cid.idzat kimia, sisi menyatakan ca.cibahwa ca.cid.id a a a a . . . . j j j j . e e e e yang dihubungkannya boleh disimpan bersama-sama.Pada persoalan ini, nej. nejtidak nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i gigili senyawa kimia, yaitu ili C, D, E, F, G. Ketujuh ig ili id idgA, idgigili igB, /:d /:7d /:d /:d terdapat macam macam / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp












d d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t hhtt hhtt Tabel 2.1: Hubungan sifat zat kimia




Zat kimia

id.idkimia .cid.id dapat disimpan bersama caTidak ca.czat ca.cid.id a a a . . . j j j e e B, D.une nej. nej. nej. .bAu.n .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b ili F, G idgigili B idgD, idgigili A, igE, /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp E, G hthttp C D

A, F, B

ca.cid.id E ej.a . nej .bu.n u b i l i F i idgigil :p//:d / / p t t G hhtt

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i B, D i idgigil :p//:d / / p t t hhtt C, E, B B, C, G


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e j. simpul.Dari gambar senyawa kimia tersebut tujuh nej. nej.diperlakukan sebagai nebuah nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i gigili untuk persoalan di atas, ig ili idbahwa idgigraf idgdalam gili dapat direpresentasikan 2.6, terlihat igili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttpsebuah graf planar. hthttp hthttp bentuk


d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt F




d aj.ca.ci .id . j e B ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt C

A

D

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp E

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t Ghhtt ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

id .cid.id Gambar 2.6: Contoh graf dalam penyimpanan .acrepresentasi .ac.c.id zat kimia

ca.cid.id a . j j j a a . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i il il idgmewarnai idgigidealnya idgigdari igil Untuk graf, terlebihpdahulu pewarnaan dimulai :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p t t t t t t hhttdengan derajat terbanyak hkemudian hhtt htt simpul melanjutkannya ke simpul-simpul

yang bertetangga dengan simpul yang telah diwarnai tersebut. Langkah ini did i . d cac.i ulang hingga semua simpul ca.cid.idtelah diwarnai. Dengan ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j memperhatikan gambar e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i 2.6, maka d ig ili idgigili pewarnaan yang sepatutnya idgigilidilakukan adalah berturut-turut idgigili /:d /:/metode /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / p p p t t t p hthttp simpul B, G, E, C, A, D,hthFtt(urutan hthttp terdapat mewarnai ini tidak tunggal, masih













d d d d 14 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :pdi//:d / / / //dig / / / alternatif lain). Salah satu contoh pewarnaan graf untuk persoalan atas dap p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt




pat dilihat pada gambar 2.7.


ca.cid.id a . j e nej. B .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

F

A


C

D

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt E

id


G


id

ca.cid.id a . j e nej nej nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i li idgigili gambar 2.7, terlihat :bahwa idgigicukup idg igili /:d /:d /:d / / / Perhatikan diperlukan 3 tbuah warna : : / / / / / / p p p t t hthttp hthttp hthttp

c. id graf(setelah dilakukan c.c.id Gambar 2.7: Representasi graf) ej.a.ac. ej.a.apewarnaan

(merah, kuning, hijau) untuk mewarnai graf di atas. Dengan demikian, jum-

lah minimum ruangan yangddibutuhkan untuk menyimpan senyawa-senyawa .cid.id .ci .id .cid.id c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a kimia berbahaya di atas adalah 3 buah ruangan. . . . . e e e e nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigi1l berisi zat B dan C, ://didgigil idgigil /:d • Ruangan //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p : t t t t t t hhttp hhttp hhtt


• Ruangan 2 berisi zat A, F, dan G,

.idd


aj.cacD.i dan E. • Ruangan 3 berisi ej.zat

n e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / p t t t h 2.2 h Terminologi Dasar Graf t


Dalam Kreyszig (1993:481), .cid.id .cid.id secara kasar graf tersusun .cid.idatas titik-titik yang .ac.cid.id c c c a a a . . . jej.a dinamakan verteks,nedan jej.agaris-garis yang menghubungkan jej.a e e titik-titik tersebutunejej.a n n u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ilibNamun secara matematis, l ilib graf G didefinisikan sebagai liibli.b.un i i i i g g g g i i i i dinamakan sisi. suatu /:d :p//:d :p//:d :p//:d //dig //dig //dig //dig tp tp tp t t t t t t h h h t t t pasangan hal ini: h himpunan (V, E), yang dalam h h V = himpunan tak kosong dari semua titik (verteks)={v1 , v2 , ..., vn } dan

id.id menghubungkan sepasang ca.cid.idE = himpunan sisi (edges) ca.cyang ca.cid.idtitik ={e1 , e2 , ..., en } j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ili boleh kosong, sedangkan ig ili idgigdiili atas menyatakan bahwa idVgigtidak idgigiliE Definisi /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthkosong. hthttp hthsisi ttp ttpsatu buah boleh Jadi, sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai













d d d d 15 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / pun,tttetapi titiknya harus ada, minimal satu. Graf yang hanya mempunyai p p p t t t t hhtt hhtt hhtt satu simpul tanpa sebuah sisi pun dinamakan graf trivial (Munir, 2003:291).

asli, atau de.cid.id ca.cid.idTitik pada graf dapatj.dinomori ca.cid.id dengan huruf, dengan cabilangan ca.cid.id a a a a . . . j j j e e e e j. ngan menggunakan vi dan vj adalah n ej. dan angka (bilangan nej. nhuruf neMisalkan nej. .bu.n .bu.n .buasli). .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigiligraf, maka sisi yang menghubungkan idgigili idgigili titik pada suatu titik vi dan vj dinyatakan /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p hthttppasangan (v , v ) atau dengan hthttlambang hthttpdiberikan dengan e1 , e2 , e3 , ..., en .Berikut i j contoh graf pada Gambar 2.8 yang menyatakan komponen umum terbentuknya

d d aj.ca.ci .idsebuah graf. aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtta a ab

ab

ae



.cid.ad id caab.cid.id b ca.cid.id e b b acj.ac a a . . j j a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n bc u u u b b b i i i l l l bc de i i i G2 gi1gili iG idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / d cd d : : : / / / / / / c p p p c t t t hthttp hthttp hthttp


G4 3 d.id d i . c aj.ac aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i Gambar 2.8: Contoh graf secara umum i i idgigil idgigil d d / / / / : : / / / / hthtp hthtp ttp: ttp:

a

G


Misalkan e = (vi , vj ) merupakan sebuah sisi pada graf G, yaitu vi dan vj

.cid.id verteks vi dikatakan adjacent ca.cid.idadalah titik ujung darij.e,acamaka ca.cid.id(berelasi) terhadap j.aca.cid.id a a . . j j e e e j. verteks vj dan edge (terhubung) pada ve ej. vj . Sedangkan derajat nej. ne eincident ni dan nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigiliv pada sebuah graf G://ditulis idgigilidengan deg (v), adalah idgigili d sebuah :verteks jumlah /:d /:d /:d / / : / / / //dig / / / p p p : t t t thttp ht ttp incident (terhubung) hpada hthttp edgehyang v, dengan kata lain jumlah edge yang memuat v sebagai titik ujung (Lipschutz dan Lipson, 2002: 7). Jika semua titik

d .cid.id ca.cid.idgraf G disebut graf j.aca.cid.id aj.ca.ci .idpada graf G mempunyai aj.caderajat/degree ajmaka . . . yang samaen j j j . e e e n n n n e e e ej. u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . . . . i i i i igl ilibmempunyai sisi yang dincident regular n.dJika sebuah titik yang lib igil ilib idgiigl iterdapat idgtidak idgiigl ilib d i /:d / / / / / / : : : / / / //dig / / / p thtp dengannya hthtp hthttitik ttp: atau dengan kata lainhderajat ttp: titik tersebut = 0, maka ttp: tersebut dinamakan (isolated vertex)(Khud, 2010: 9). Perhatikan Gambar 2.9, tampak

id.id v2 , v2 adjacent dengan ca.cid.idbahwa verteks v1 adjacent ca.cdengan ca.cvid.3i,dv3 adjacent dengan j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e ej. nej. nevj.5 ,dst. Selain itu, v8 incident ndengan nej. .bu.n .bu.n .bu.n v4 , v4 adjacentilidengan sisi v4 v8 , v2 v8 , ivli6bv.8u,.n u u u u b b b i i l l i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d //d / / : : / / / dan tvt7pv:p derajat dari v8 adalah 4, sedangkan v merupakan //dig / / / p p 8 :sehingga 9 t t hhtt hthttp hthttp contoh













d d d d 16 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p/vertex :p//:d :p//:d / / / //dig / / / isolated karena tidak ada sisi yang terhubung dengan v . p p p t t t 9 t t t hhtt hhtt hhtt



ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp v1

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigivli4 v2 v/9d / : / / p : t hthttp v3


v8

v5

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne v6 nev7 .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt Gambar 2.9: Graf dengan isolated vertex


.cid.id .cid.id .cid.id ca.cid.id c c c a a a a . . . . j j j j a a a Dalam thesisnya, Slamin (2001 : 12) mengatakan bahwa suatu titik b dalam neej. e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i iibli.bu.un l l l ltitik i i i i i i i l l l g g g g G dikatakan tetangga masuk (in-neighbour) titik a jika (b, a) ² E(G), dan i i i i i i i /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p p t t t t t t t t t h h h t c dikatakan tetangga ke luar (out-neighbour) titik a jika (a, c) ² hE(G). Himht ht punan semua in-neighbour dari titik a disebut in-neighbourhood dan dinotasikan

d d.id d d semua out-neighbour aj.ca.ci .iddengan N − (a) sedangkan aj.ca.cihimpunan aj.ca.ci .iddari titik a disebut ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n e u.n ne nedinotasikan dengan iNlib+.b(a). nDerajad ne .bu.n .bu.dan .bu.n u u u u b b b out-neighbourhood masuk ( in-degree) i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p darihtsebuah titik a adalah banyaknya in-neighbour dari titik itu dan dinotasikan tp t t t t hhtt hhtt htt − dengan d (a) , demikian halnya dengan derajad ke luar (out-degree)nya, yaitu

dari id.idbanyaknya out-neighbour id.idtitik tersebut dan dinotasikan id.iddengan d+ (a) (Hol. . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e j. Dafik (2007 : 11) mengatakan man dan Basby, 1987 nej. n:e98). nej. bahwa jika setiapiltitik nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l i i i ili ig ili idgberarah idgyang idgigterigili G memiliki in-degree igili sama, maka G dikatakan dalam graf /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p htmasuk hthttsedangkan ttp (in-regular). Demikianhthjuga ttp jika setiap titik dalam graf atur h G memiliki derajad ke luar yang sama, maka G dikatakan teratur ke luar (out-

d did .cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .idregular). Graf berarah aj.ca.ci .sekaligus aj.cdan . . . yang teratur kedalam teratur keluar dise- ej.a j j j a . e e e ne ne ne nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i but graf berarah diregular. Contoh, graf berarah G pada Gambar 2.11 adalah 1 ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t grafhh berarah diregular dengan derajad hhtt dua, tetapi G2 non-diregular hhtt karena G2 tt hanya teratur ke luar tetapi tidak teratur masuk (Dafik, 2008 : 20).

.cid.id iddinotasikan G adalah graf ca.cid.id ca.cidG cadengan ca.cid.id . a a a a . . . . j j j j Komplemen dari graf himpunan titik e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i V (G) = V d bila titik u, v bertetangga jika ili ili ig ili idgigdimana idgigili pada G jika dan hanya idgigtitik /:d /:/(G) /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / p p p t t t thttp tetangga pada G. Contohnya tp u, vhtidak hthttp dapat dilihat pada Gambar htht2.10.











d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt b




ca.cid.id a . j e aib.u.n nej. u l i b idgigili /:d / : / / p t hthttp d





ca.cid.id a . j e c nej. ab.u.n u i l i b idgigili /:d / : / / p t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n c u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

b

17

d

d d G aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id G . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil /:d :p//:d :p/dan / / / / p p Gambar 2.10: Graf komplemennya t t t t hhtt hhtt


c.idid

ca.cid.vid a . j e nej. 3 .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp



d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i v v4 i idg2igil d / / : / / hthtp ttp:

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i v2 i idgigil d / / : / / hthtp ttp:

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i v4 i idgigil :p//:d / / p t t hhtt


ca.cid.idv5 ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . v v j j j 1 5 e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp ht ttp Gambar 2.11: Contoh diregular dan non-diregular h

. v3 nej.a j.ac


v1

d d .cid.id graf, dinotasikan .ac.cid.id Fuad (2009: 7) menjelaskan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id bahwa jalan (walk)edari aj.casuatu . . . j j j jej.a e e e n n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . . . . dengan v v v v ...v adalah barisan titik dan sisi terhingga dan bergantian dari i i i i 0 1g2il 3lib k igil ilib idigi idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : / / / //dig / / / p titik-titik dari thtp hthtp hthtgraf. ttp:dan sisi-sisi dalam suatu ttp: Jalan pada suatu grafhdibentuk ttp: barisan titik dan sisi terhingga dan bergantian dari titik-titik dan sisi-sisi dalam

dan boleh diulang. Panjang d ca.cid.idsuatu graf, dimana titik ca.cid.isisinya ca.cid.id(length) dari sebuah j.aca.cid.id a a a . . . j j j . e e e e jalan adalah banyaknya Jika titik v0 − vk pada nej. nej. sisi pada jalan tersebut. nejsemua nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li ili ig ili idgigberbeda idgigi(path). idgigili /:d /:d /:d /:d jalan tersebut maka disebutplintasan Sebuah lintasan dikatakan / / / : : : / / / //dig / / / p p t t t hthttp hthttp hthttp













d d d d 18 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / tertutup, jika v = v yang biasa disebut siklus (cycle). Pada Gambar 2.12 p p p t t t 0 k t t t hhtt hhtt hhtt v1 v2 v3 v8 v6 v2 v4 v7 v3 adalah jalan yang mempunyai panjang 8 yang bukan lin-

7, dan v5 v6 v7 id.id ca.cid.idtasan, v1 v2 v4 v5 v6 v7 v3 v8j.adalah ca.cid.idlintasan yang mempunyai ca.cpanjang ca.cid.id a a a a . . . j j j e e e v3 v5 adalah siklus 4..une n nej. nej.mempunyai panjangilib nej. nej. .bu.n .bu.yang .bu.n u u u u b b b . i i i l l l i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp v3

v4



d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t v7 v8hhtt

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t vh5 htt





Gambar 2.12: .cid.id .cid.idContoh sebuah graf dengan .cid.8idtitik c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i Jarak (distance) dari titik a ke titik b/adalah ig il idgigil idgigil panjang dari lintasan:terpendek idgigil /:d //:d :p//:d :p/:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t t b yang diukur dengan jumlah hhtt sisi yang harus dilewatihuntuk darihh a tke http sampai ke b dari a. Sebagai contoh jarak titik v1 ke titik v6 pada Gambar 2.12 adalah

.cid.id jarak maksimum antara id ca.cid.id2. Diameter dari grafj.G caadalah ca.cid.sembarang ca.cid.id dua titik a a a a . . . j j j . e e e e j. n nej. nejgraf neterpendek nej. .bu.n .bu.dari .bu.n .bu.n u u u u pada graf G. Girth G adalah panjang siklus graf G. Sebagai b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p contoh graf pada gambar 2.12 mempunyai diameter 2 dan girth 4. t t t hthttp hthttp hthttp Graf H adalah subgraf dari G jika setiap titik di H adalah titik di G, dan

d d id.idG (V (H) ⊆ V (G) dan E(H) id.idE(H)). Untuk lebih sisi aj.ca.ci .idsetiap sisi di H adalah aj.ca.cdi aj.ca.c⊆ aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e e subgrafnya dapat dilihat e gambar 2.13. ne ndan npada ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u jelasnya contoh graf b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhGraf hhtt berbeda u tt G dikatakan terhubunghhjika tt untuk setiap dua titik yang dan v di G ada lintasan dari u ke v. Misalkan A = (aij ) adalah matiks m × m

ca.cid.iddidefinisikan oleh: j.aca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e e ( ib.u.n nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l l i i i i b gigili vi adjacent terhadap /v/jdigigili ig ili idgigi1li jika {u, v} adalah edge, idyaitu d /:d /:= /:d / / : : : /d a / / ij //dig / / p p t t hthttp hthttp hthtp ttp:/ 0 lainnya





















d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / Gambar 2.13: Contoh graf dan subgrafnya / / p p t t t t hhtt hhtt


19

Maka A disebut matriks adjacenty dari G. Dan misalkan M = (aij ) adalah id.id . d c ca.cid.ioleh: ca.cid.id ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j matiks m × m didefinisikan a e e e e nej. ne(j. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili pada edge ei idgigili 1 verteks vi :incident /:d /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p t t t m = hthttp hthttp hthttp 0 lainnya

incidence dari G (Lipschutz danid 2002:35). Be.cid.idMaka M disebut matriks .cid.id .c.Lipson, d i c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e j dan matrik adjacencynya rikut diberikan contoh nej negraf nejpada gambar 2.14. ilib.bu.n nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt v3 v4



0 1

0 0

0 1

.cid ca.cid.id ca.cid.id 1 0j.a1c 0.id1 0 a a . . j j a e e e nej. n1ej.0 1 0 0 nej. .bu0.n .bu.n vi2b.u.n v5 u u u b b i i l l l i i i b idgigili idAgig=ili 0 0 1 0 0 0 ://didgigili /:d /:d / / : : / / / / / p p t t hthttp hthttp http ttp:/ 0 1 0 0 0 0h v1

v6

1 0 0 0

0

0

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n n ne Contoh sebuah graf idan ne adjacencynya ne .bu.2.14: .bumatrik .bu.n u u u b b b . i i i l l l Gambar i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Misal e adalah sebuah sisi pada graf G maka G − {e} adalah sebuah graf

tidak terhubung id.idyang dihasilkan dari G adengan id.id menghapus sisi e. JikaaGc.−id.i{e} . . d c c ca.cid.id a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e maka e disebut jembatan jika nej. nej. (bridge). Secara umum, nejE. 1 adalah himpunanilisisi nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i li − E1 adalah graf yang ig ili idgigiG idgigili idgigili dalam G//maka dihasilkan dari G dengan menghapus d /:d /:d /:d / / : : : / / / //dig / / / p p p : t t t p E1 . hthttsisi hthttp hthttp semua













d d d d 20 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//graf :p//:d / / / //dig / / / Misal v adalah titik pada sebuah G, dengan G − {v} adalah sebuah p p p : t t t t t t hhtt hhtt hhtt graf yang dihasilkan dari G dengan menghapus titik v dan semua sisi yang ad-

tak terhubung, maka.ivddisebut titik potong id ca.cid.idjacent pada v. Jika G −j.a{v} ca.cid.adalah cac.id ca.cid.id a a a . . . j j j . jika V1 adalah him-une . e e e (cut-vertex) (Chartrand n nej. nej.dan Oellermann, 1993: nejDan .bu.n .bu.n .bu.22). .b.unej u u u b b b b i i i i l l l l i i i i gigiliyang dihasilkan dari G ig ili idgpada idgraf idgigili punan titik dengan igili G maka G − V1 adalah /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p hthttp semua titik pada V dan hthttsemua hthttptitik tersemenghapus sisi yang adjacent pada 1 but. Gambar 2.15 menunjukkan contoh graf G − {e } adalah hasil penghapus

3 d.id d.id i i . . id v6 dari G. c c ca.cid.titik ca.cid.id aj.ac sisi e3 dari G dan graf a a c . . . . Ga − {v }adalah hasil penghapusan j j j j 6 a . . . e e e e ne nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt e hhtt heh3tt




3

v3

v3

v4

v4

v3

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e2 uneej. e2 e2 nej. .beu4.n eib u b 4 .b.un i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp

v2

e6

v2

v5

c.id.id e1

e5neje.a j.ac

e1

liibli.bu.un i g i ://d/dig v1hthtp v6 ttp:/

v1

e6

v5

v2

d aj.ca.ci .ied1 . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t v1 v6 hhtt e5

G − {e3 } ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigraf Gambar 2.15: Contoh gili terpotong /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp G

v4

ca.cid.id a . j ne j. e4ilib.bu.une idgigili /:d / : / / p t hthttp

e6

v5

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt G − {v6 }


Dua buah graf dikatakan isomorfis jika mereka mempunyai struktur yang

d .cid.id titik-titik dan sisi- .ac.cid.id ca.cid.id berbeda cara pemberian aj.ca.ci .idsama dan kebanyakan, ajmereka aj.calabel . . . j j j jej.a . e e e e n n n n e e e u u u u n n n n sisinya, atau cara menggambarkannya. Untuk memperjelas maksud kalimat . . . . u u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : tersebut, kita akan mendefinisikan dua graf G dan G isomorfis jika ada su/ / / 1 2 //dig / / / hthtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: atu fungsi φ : V (G) −→ V (G) sedemikian hingga uv ∈ (G ) ⇐⇒ φ(u)φ(v) ∈ i

d.id dua graf G1 dan id.idE(G2 ). Fungsi φ dinamakan id.id sebuah fungsi isomorfis. iJika . . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j ∼ a a a e e e e G2 isomorfis, maka G1 = G2 .Sampai ej. ej. ini untuk menentukan nej. ndituliskan nsaat nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ili belum ada teori yang ig ili idgigraf idgigtidak idgdapat apakah dua gili G1 dan G2 isomorfis:/atau igili /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp selalu hthttp. Tetapi, jika graf G1 dan G h2thisomorfis, ttp dipakai maka kedua grafhtersebut













d d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / memenuhi 4 syarat sebagai berikut : p p t t t t hhtt hhtt




1. jumlah titik G1 = jumlah titik G2 (jumlah simpul yang sama.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j . e e e j. sama). 2. jumlah garisuG garis G2 (jumlahusisi n1 e=jjumlah neyang nej. .b.n .b.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p 3. jumlah garis yang mempunyai derajat tertentu dalam graf G dan G2 t t t hthttp hthttp hthttp1 sama (mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu).

.id

.id

d aj.ca.ci .id . j e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i l l il idgigisyarat idgigimenjamin idgigisoKeempat tersebut belum :cukup bahwa kedua graf //:d //:d :p//:d : / / / / / / p p p t t t t t t tp graf G dan G isomorfis, hhtt Untuk menunjukkan bahwa hhtkedua hhttpmaka damorfis. 1 2

c c.id 4. Graf G1 dan G2emempunyai yang sama. j.aj.cac.id girth(panjang siklus ej.aj.aterpendek)

pat dilihat dari matriks ketetanggaan kedua graf tersebut sama. Keisomorfisan

d ca.cid.idgraf dapat dilihat padaj.aGambar ca.cid.id 2.16. Graf G1 dan G3j.tidak ca.cid.iisomorfis ca.cid.id a a a karena G . . j j 3 e e e e j. ej. nej. ndengan netidak nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i mengandung siklus panjang 3 sementara G mengandung siklus 1 ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp dengan dari hthttppanjang 3 dan tidak mungkin hthttp mengandung pemetaanhsatu-satu G1 ke G3 .










d d aj.ca.ci .id G2 aj.caG.c3i .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i Gambar 2.16: Keisomorfisan graf i i idgigil idgigil d d / / / / : : / / / / hthtp hthtp ttp: ttp:


G1

Dua buah titik vi dan vj dikatakan terhubung jika terdapat lintasan dari

d ca.cid.idvi ke vj . Sedangkan graf ca.cid.iberarah ca.cid.id (connected graph) j.aca.cid.id tak G disebut graf terhubung a a a . . . j j j e e e e n n nej. nej. titik vi dan vj didalam nej. nej. .bu.n .bupasang .buhimpunan .bu.n u u u u b b b b . . i i i i jika untuk setiap V terdapat lintasan l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t darihtvittke v . Jika tidak, maka G disebut hthttp graf tak terhubung (disconnected hthttp graph). h p j













d d d d 22 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :ptetap :p//:d / / / //dig / / / Graftyang hanya terdiri dari satu titik disebut graf terhubung karena titik p p p t t t t t hhtt hhtt hhtt tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri.

id.id G1 dan G2 dinotasikanadengan Gabungan dari dua ca.cid.id ca.graf ca.cid.id G1 ∪ G2 , didefi- j.aca.cid.id a a c . . . j j j e e e e ej. u.n nej. ndengan nej. V (G1 ) ∪ V (G2 )ildan nej. .bu.n .bgraf .bu.n .bu.n nisikan sebagai himpunan titiknya adalah u u u u b b b b i i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p himpunan sisi E(G ) ∪ E(G ). Pada Gambar 2.17, graf G merupakan gabungan t t t 1 2 hthttp hthttp hthttp graf G1 dan G2 , yaitu G = G1 ∪ G2 . Graf gabungan mG didefinisikan sebagai

buah kopi graf G, atau dapat .cid.idgabungan saling lepas.adari .cid.m .cid.idjuga dikatakan se- .ac.cid.id d i c c c a a . . jej.a bagai graf dengan nmejkomponen, jej.a jej.a e e e n n n dimana setiap komponennya adalah graf G. ej.a u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . . . . i i i i l b giigl...ili= ilimb, dengan G1 = G2 = /G/d3 id= igil ilib idgiilain idg∪iigl G gilibmG = G1 ∪ G2 ∪ G3 :∪//d d Dengan:/kata ... /:d / : / / / //dig / / / p tp: dan q sisi, maka graf mG httptp: htptp hthtmempunyai ttitik ttp: Gm =htG. Misal graf G mempunyai h


mp titik dan mq sisi (Wijaya, 2001:85).





S d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt




Gid id.idG2 . .c.id c c a a Gambar graf c 2.17: Contoh gabungan . . j j a a . . e e j j n e n e liibli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i :p//:d :p//:d /dig /dig / / p t t t t hthtp h t ht


=

G1

2.3 Jenis-jenis Graf

d d d d Graf dapat dikelompokkan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id menjadi beberapaekategori aj.ca.ci .id(jenis) bergantung ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e ne nepengelompokannya. iPengelompokan ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l pada sudut pandang graf dapat dipani i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t dang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan jumlah hhtt hhtt hhtt simpul, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.

.cid.id suatu graf, maka .ac.cid.id ca.cid.id ca.cid.id gelang atau sisi ganda capada a a a Berdasarkan ada tidaknya . . . j j j jej.a e e e e j. j. j. n n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b . jenis: iilib.dapat digolongkan menjadi secara umum idgiigliilib. idgiiglgraf idgiigliilibdua idgiigliilib. d d d /:d / / / / / / : : : / / / // p hthtGraf hthtp hthtp ttp:/ sederhana (simple − graph) ttp:/ ttp:/ 1.













d d d d 23 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt







sederhana. G1 pada Gambar 2.18(a) adalah contoh graf sederhana yang

merepresentasikan jaringan komputer. Simpul menyatakan komputer, .idd .idd

cac.i cac.i ca.cid.id a a a . . . j j j e e e sedangkan .sisi saluran telepon untuk ej. u.n nmenyatakan nej. berkomunikasi. Salunej. .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i b li idgigili dapat beroperasi pada idgigiarah. idgigili d ran dua /:telepon /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp

2. Graf tak-sederhana (unsimple − graph)

Graf yang mengandung c.id.idsisi ganda atau gelang dinamakan c.id.id graf tak-seder-

d aj.ac aj.ac aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n e graph). Ada dua macam hana (unsimple n− netak-sederhana, yaituilgraf ne .bu.n .bu.graf .bu.n u u u b b b i i i l l i i i i i il idg(multigraph) idgigil idgiggraf igil ganda dan graf semu (pseudograph). Graf gandatpadalah :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p t t t t t hhtt hhtt hhtt yang mengandung sisi ganda. Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih 2.18(b) adalah d dari dua buah. G2 pada Gambar d

ca.ci .id ca.ci .id ca.cid.id a a a . . . j j j graf-ganda. Sisi ganda pada G2 dapat diandaikan sebagai saluran telepon neej. e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l liibli.bu.un i i i i i l l g g g tambahan apabila beban komunikasi data antar komputer sangat padat. i i i i i :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig / / / p p p t t t t t t t hthtGraf h h t semu adalah graf yang hmengandung t gelang. G3 adalah ht graf semu (termasuk bila memiliki sisi ganda sekalipun). Sisi gelang pada G3 da-

d d ca.cid.id a . j a a . . . e e e j nej dirinya sendiri (mungkin neuntuk nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b komputer dengan tujuan diagnostik). i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil d //:d :p//:d :p//:graf :pgraf / / / / / / p p p Graf semu lebih umum daripada ganda, karena sisi pada semu t t t t t t hhtt hhtt hhtt .i id .ci .id menghubungkan pat dianggap sebagai telelpon tambahan j.ac c.saluran j.acyang

dapat terhubung ke dirinya sendiri.

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i i vidg2igil /:d / : / / p t hthttp id

. d v3 j.ac acv.1i

v1

e n ej. u n . u b . i idgiigl ilib d / / : / / hthtp ttp: v4

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili v2 v2 ://d/idgigili /:d / : / / / p p : t t hthttp hthttp v1.ac.cid jej.a .id e n liibli.bu.un i g i ://d/dig hthtp ttp:/ v3

v4

v4



id 3 ca.cid.id (b)G ca.cid.(c)G ca.cid.id a a a . . . j j j 2 e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i li (a) graf sederhana,//(b) idgigi2.18: idggraf idgigili Gambar d igili ganda, dan (c) grafpsemu /:d /:d / / : : : / / / / / / p p : t t t hthttp hthttp hthttp









(a)G1





d d d d 24 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:suatu :p//:d / / / //dig / / / Berdasarkan jumlah simpul pada graf, maka secara umum graf dap p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt



pat digolongkan menjadi dua jenis:

d 1. Graf berhingga (limited ac.i .idgraph)

ca.cid.id ca.cid.id a a c . . . j j j a e e e ej. u.n nadalah nej. nej. .bu.n .bsimpulnya, .bu.n Graf berhingga graf yang jumlah n, berhingga. Graf u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili d /:d /graf /:d / / / : : : pada Gambar 2.18 adalah contoh yang berhingga. / / / / / / p p p : t t t hthttp hthttp hthttp

2. Graf tak-berhingga (unlimited graph)

.cid.id Graf yang jumlah n, tidak berhingga disebut graf c.cid.id j.asimpulnya, j.acbanyaknya

e j.a n eGraf u n . tak-berhingga. u b . i idgiigl ilib d / / : / / p hthtberhingga. ttp:

pada

ca.cid.id a . j a . . e e u.n nej contoh graf yang tidak nej .badalah .bu.n Gambar 2.19 u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt









Gambar 2.19: Graf tak-berhingga

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e Berdasarkanuorientasi secara nej. nej. arah pada sisi, imaka nej. umum graf dikelomnej. .bu.n .b.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i ig ili idgigili dua jenis: idgigili idgigili pokkan menjadi /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t ht ttp ht ttp hthttp 1. hGraf tak-berarah (undirected h graph) adalah graf yang sisinya tidak mem-


punyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang

c.idid

c.idid

c.idid

aj.aj ,cv.k )=(vk , vj ) adalah sisi ej.aj.ac. c. tidak diperhatikan . Jadi dihubungkannoleh sisi eje.aj.a neje.(v n e

b.uun

liibli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i :/ /d ://d/dig ://d/dig hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/ 2. Graf berarah (directed graph) adalah graf yang setiap sisinya diberikan yang igiigliilib. /dsama.

orientasi arah. Padaidgraf berarah (vj , vk ) dan (vk ,idvj ) menyatakan dua


ca.c.id ca.c.id ca.cid.id a a a . . . j j j . e e buah sisi yang dengan kata lainun(vej e ej. nberbeda, nej. .bu.n .b.un , vj k ) 6= (vk , vj ). Untukilisisi .bu.n u u b b b i i l l i i idgigili vertex) dan titik vk dinamakan idgigili (vj ,//vdk i)gtitik (initial igili vj dinamakan titik asal /:d /:d / / d : : : / / / / / / p p p : t t t hthtitik hthttp hthttp ttp terminal (terminal vertex).













d d d d 25 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p/berarah :p//:d / / / //dig / / / Gambar 2.11 adalah contoh graf sedangkan gambar 2.12 p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt adalah contoh graf tak-berarah.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e 2.4 Graf Khusus nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthDari hthttp terdapat beberapa famili hthgraf, ttp pengertian graf secara umum, ttp diantaranya; graf siklus, graf lengkap, graf dua partisi, graf dua partisi lengkap,

d did friendship, graf roda, cgraf d d aj.ca.ci .idgeneralisasi graf petersen, aj.ca.ci .graf aj.a.ci .idladder, dan masih ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e e khusus. u.n banyak lainnya. ne ne akan dijelaskan beberapa ngraf ne .bu.n .bBerikut .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / 1. ttGraf komplit, dinotasikan dengan K sebanyak n //dig / / / p p p n yang berderajat sama t t t t hhtt hhtt hhtt dimana setiap dua titik berbeda adalah tetangga. Kn adalah graf reguler

dengan derajat r = n−1. .id Gambar 2.20 menunjukkan .idkomplit graf K4 dan


aj.cac.id . j e K5 . n e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / t hthtp t

aj.cac.id . j e n e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / t hthtp t







K5 id id.id . c a aj.ca.c.id c . . j j a . e e j nGambar e e K5 2.20: Graf komplit.uKn dan liibli.bu.un liiblib.u4n i i g g i i :p//:d :p//:d /dig /dig / / p t t t t hthtp h t ht



K4

2. Graf Kipas (f an) ˆ n (n ≥ 3) adalah graf yang didapat dengan menghubungkan Graf kipas K

c.id.id

c.id.id

c.id.id

aj.aclintasan Pn dengan suatu je.graf je.ajtitik je.aj.ac semua titik dari .ac yang disebut pusat.une e e n n u u n n n . . . b u iliibl− iliiblivbn.u ib.1usisi. Misalkan c, v1 , vi2g, ..., Jadi, K ilib. dari n + 1 titik danig2n iˆgniliterdiri

://d/dig ://:d ://d/dig //dig p p hthtadalah hthtpusat, ttp:/ titik pada graf kipashthKtˆp tntpdengan ttp:/ maka c merupakan titik

ˆ n . Untuk contoh, cv1 , cv2 , ..., cvn , v1 v2 , v2 v3 , ..., vn−1 vn adalah sisi-sisi dari K d id.id ˆ n pada perhatikan K 2.21. ac.Gambar ac.i .id


ca.cid.id a c c . . . j j j a a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili 3. Graf Bintang /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t p pohon yang terdiri dari hthGraf hthttgraf htht1tptitik yang ttp bintang Sn , n ≥ 3 adalah













d d d d 26 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :pyang :p//:d / / / //dig / / / berderajat n − 1 dan n − 1 titik berderajat 1. Jadi, graf bintang Sn p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt terdiri dari n titik dan n − 1 sisi. Sebagai ilustrasi perhatikan graf S6 pada Gambar 2.22.










ˆ5 Gambar 2.21: Graf kipas K


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttvp3

v2


v4


d a1j.ca.ci .id . j v e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i gigili ili G dinamakan bipartit//djika idgiggraf idgigVilidapat dipartisi pada dua idbagian /:d /:d 4. Sebuah / / : : : / / / / / / p p p : t t t hthhimpunan hthttVp dan V sedemikian hingga hthttpsetiap sisi ttp yang tidak kosong


d aj5.ca.ci .id . j v e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhttc


Gambar 2.22: Graf bintang

1

2

pada E bergabung dengan titik pada V1 dengan titik V2 . Jika masing-

c.idid

c.idid

c.idid

. . a c. masing titik dalam di V2 , kemu- nej.a ej.aj.actitik-titik j.ac nej. j.aV1 adalah tetangga untuknsemua

b.uune

b.uune

b.uune

. liilib. li b. disimbolkan denganigiKliim,n diandG dikatakan graf bipartit komplit, igiig digiigiliyang d ig lib

:// /d :// /d :// /d p p p hthtdimana htht2.23. ttp:/ m = |V1 | dan n = |Vh2 |.thtSebagai ttp:/ contoh pada Gambar ttp:/


5. Graf whell dinotasikaniddengan Wn dengan jumlah jeruji id sebanyak n adalah









ca.c.id ca.c.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e graf yang mempunyai menghubungkan semua titikuneej. nej. titik x ditengahilyang nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l i igliibli.b.un i i l l g g g i i i i i sebanyak n pada sikel (cycle) (C ) sebagai contoh pada Gambar 2.24. g g d d d n i i i :// /d :// /d :// /d hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/









ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i (a) idgigili idgigili (b) idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp Gambar 2.23: Graf bipartit hth(a) ttp dan graf bipartit lengkaphthKtt3,3p






ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / Gambar 2.24: Graf whell W5 / / p p t t hthttp hthttp






6. Graf f riendship Fn adalah graf yang terdiri dari n segitiga dengan tepat

c.idid

c.idid

c.idid

a c. j.aj.ac. Gambar 2.25 adalah nej.aj.ac. 1 titik persekutuan nej. j.ayang disebut dengan titik nepusat. .uune

.bu.une .bu.une b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//://d :p//:d :p//:d / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 7. Generalisasi graf Petersen dinotasikan P (n, m) dengan n ≥ 3 dan 1 ≤

igliiblibf. riendship. contoh digigraf

m ≤ b n−1 c adalah graf 2 d luar yang berupa id reguler yang terdiri dari n isisi

ca.c.id ca.c.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e siklus, sisi dalam n nej.yang menghubungkan nevj.i vi+m dengan indeksilibdinej. .bu.n .butitik .bu.n u u u b b . i i l l i i ili idgdari idgyang idgigdan ambil d igilimodulo n dan sisi antara igili menghubungkan titik /:d /:d /:luar / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthtitik hthindeks ttp dalam yang mempunyai ttp sama. Catatan bahwahthbxcadalah ttp bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x. Generalisasi graf Petersen

id id ca.cid.id a . j . . . e e e j j j un un,ev0 , v1 , v2 , , vn−1 } danghimpunan une sisi E = {ui ui+1 , ugi vili+1 une bli.bu.n bli.b,-u.n i i {u0 , u1ig , uil2iib ,li,.bu.n−1 l i idigi idigi ig //:d //:d //:d d : : : / / / / / / p p p t t t v v }dengan i = 1, 2, 3....n − 1 dan semua indeks diambil pada modulo t t t hhtitpi+m hhttp hhttp . .id P (n, m), n ≥ 3 jdan c mempunyai titik V = .aca.c1.id≤ m ≤ b n−1 j.acachimpunan 2

n (dalam Slamin, 2001: 289), dimana ui adalah titik bagian luar dari generalisasi graf Petersen .id.id dari generalisasi c.id.iddan vi adalah titik bagiancdalam

je.aj.ac je.aj.ac e e n n graf Petersen. Gambar 2.26 merupakan graf petersen. u u igliibli.b.un igliibli.b.un g g i i d d i i :// /d :// /d hthtp hthtp ttp:/ ttp:/












d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt v8



d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p1//:d / / p v t t hhtt


v2


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili v7 /:d / : / / p t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i v3 c //digigili d : / / p : t hthttp



dv aj.ca.ci .i6d . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n v5 u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt











ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j P (6, 2) e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i ili idgigili idgigpetersen Gambar 2.26://Graf d /:d / : : / / / / p p : t t hthttp hthttp



v4

Gambar 2.25: Graf friendship F4

8. Graf Ladder (graf tangga) yang dilambangkan dengan Ln adalah sebuah

id id ca.cid.id a . j . . . e e e n nen )j = {ui ui+1 , vi vi+1 : i1lib≤.bu.in n≤enj − 1} ∪ {ui vi : 1 ≤iliib≤ nej .buE(L .bu.n u u u b . i i ≤ n} dan l i i i i idgigil idgigil idgigil /:d :p/(Sugeng, :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t n} 2005:78). Graf ladder mempunyai 2n titik, dan 3n − 2 sisi. t t t hhtt hhtt hhtt . d ca.c.Vid(Ln ) = {ui , vi : 1 ≤ graf yang berpadanan K2 × Pn denganj.a titik j.acac.idengan

Gambar 2.27 menunjukkan satu contoh graf Ladder dengan n = 5.
























Gambar 2.27: Graf ladder L5

29

d d d d aj.ca.ci .id2.5 Graf tangga permata aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgigil permata adalah salah idg idgigGraf Graf tangga satu igil family dari graf tangga. /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhttpermata adalah sebuah graf hhyang tt dinotasikan dengan Dlhn h tt tangga dimana V (Dln ) = {x , y , z ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ 2n} dan E(Dl ) = {x x

,y y

; 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪

i i j n i i+1 i i+1 id.id id.id . . .cid.id, x z , y z , y z ;- .ac.cid.id c c caz2i−1 a a a c c {x y ; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {z z ; 2 ≤ j ≤ 2n−2 genap} ∪ {x . . . j j j jej.a i i j j+1 i i 2i i 2i−1 i 2i a a e e e e j. j. j. n n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b igliilib. 2.28 merupakan graf igliilib. permata Dln dan pada igliilib. 1 ≤ i ≤ n}.ig Gambar idgiigliilib. idgtangga idgGamd d d i i i /:d / / / / / / d : : : / / // :// thtp barh2.29 contoh graf Dl4 . hthtp hthtp ttpadalah ttp:/ ttp:/





ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i i y/1idgigil /:d / : / p t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i i ... y:2//d/idgigil / p : t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i i yi ://d/idgigil / p : t hthttp

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigilGraf 2.6 Pelabelan /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt



d.id ca.cid.idfungsi bijektif dan barisan ca.ciaritmatika. ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / : : / / //dig / / p p t t hthttp hthttp











x1

z1

z2

...

x2

z3

z4

...

Gambar 2.28: Graf Tangga Permata Dln

xi

zj

Salah satu konsep dasar yang berkaitan dengan pelabelan graf adalah









ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i z6 zi5gili z4 //dig d : / / p : t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i z7 idgigiliz8 /:d / : / / p t hthttp

d d y3 aj.ca.ci .iyd2 aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i Gambar 2.29: Graf Tangga Permata Dl4 idgigil idgigil d d / / / / : : / / / / hthtp hthtp ttp: ttp:



x1

x2

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigzil2i z3 z1 /:d / : / / p t hthttp

x3

y1

2.6.1 Fungsi Bijektif dan Barisan Aritmatika

30

x4

y4

id himpunan A ke himpunan ca.cid.id ca.ciddari ca.cid.idB didefinisikan se- j.aca.cid.id Secara umum, fungsi . a a a . . . j j j e e e e n nej. nej. nej. A(dinamakan sebanej. .bu.n .bu.n .bu .bu.n u u u u b b b b bagai aturan yang memetakan setiap anggota himpunan . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p gaihdomain) kepada anggota himpunan B(dinamakan sebagai kodomain). Ist t t thttp hthttp hthttp tilah ”fungsi”, ”pemetaan”, ”peta”, ”transformasi”, dan ”operator” biasanya

d dipakai secara sinonim. c.id.id d d aj.ca.ci .id aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne yang dipetakan dapat ne apa saja (kata, orang, ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b Anggotailihimpunan berupa i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika t t t t t t hhtt hhtt hhtt seperti bilangan riil. Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi

ca.cid.idberikut. ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i ig ili idgigili /:d /:d / : / //dig / p t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgBigili f:A d /:→ / : / / p t hthttp


Yang artinya bahwa fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A

d did tiga, yaitu fungsi injektif, did d dan bijektif. aj.ca.ci .idkepada B. Jenis-jenisefungsi aj.ca.ci .ada aj.ca.ci .surjektif aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgif:gilA → B disebut fungsi://satu-satu idgigil atau fungsi injektif idgigdan Fungsi jika d /:d //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p : t t t t t t t untuk sebarang a1 danhah2 t∈tpA dengan a1 tidak sama dengan hhtjika hhttp a2 maka hanya berlaku f(a1 ) tidak sama dengan f(a2 ) .

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e Fungsi f: A → Bedisebut fungsi kepada atauufungsi nej. nej. nej. surjektif jika dan hanya nej. .bu.n .bu.n .b.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li ig ili idgigili b dalam kodomain B://terdapat idgigili paling tidak satu a :dalam idgigidojika untuk setiap d /:d /:d /:d / / : / / / //dig / / / p p p : t t t tp hthA hthttp fungsi ttpsehingga berlaku f (a) = hb.thtDengan main kata lain, suatu kodomain












d d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d /:d :p/sama :p//:d / / //dig / / surjektif dengan kisarannya (range). p p t t t t hhtt hhtt


Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut

id.id d surjektif. Gambar 2.30 fungsi j.ac.cid ca.cid.idmerupakan fungsi injektif ca.csekaligus ca.cid.imenunjukkan .id a a a . . . j j j a . . . . e e e e j j j j n e n e n e e u.n injektif, surjektif unbijektif. liibli.bu.un liibli.bdan liibli.bu.un liibli.bu.un i i i i g g g g i i i i /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p t t t t t t t hthtp h h t t ht A B h A B


d aj.ca.ci .id . j e ne .bua.n u b i l i i idgigil b :p//:d / / p t t hhtt c

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e 1 ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l 2 b i i i i idgigil idgigil 2 :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt 3hhtt c 3 1

a

4

d


ca.cid.id a . j e nej.( a ) .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

ca.cid.id a . j e ne(jb. ) .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t Aht ttp B h



1 d.id a i . c ca.cid.id aj.ac b a . . j j . e e ne nej .bu.n .bu.2n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil 3 c :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt



d.id d fungsi bijektif ca.ciinjektif, ca.cid.i(c) ca.cid.id a a a Gambar 2.30: (a) fungsi (b) fungsi surjektif dan . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / Barisan yang dibentuk dengan cara menambah atau mengurangi / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp suku


(c)

sebelumnya dengan suatu bilangan tetap tertentu disebut barisan aritmatika. (a)2, 6, 10, 14, 18, ..a . .c.cid .id

jej.a e n u n . u b . i (b)50, 40, giigl30, ilib20, 10, . . . id d / / : / / p hthtBarisan ttp: (a) mempunyai

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhttb = 4. Barisan (a) disebut hhbarisan tt beda, arit-

metika naik karena nilai suku-sukunya makin besar. Barisan (b) mempunyai

d.id ca.cid.idbeda, b = −10. Barisan ca.cidisebut ca.cid.idkarena nilai suku- j.aca.cid.id a a a . . . (b) barisan aritmetika turun j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i sukunya makin ig ili idgigili kecil. Suatu barisan :U//1d, idUgi2g, iUli3 , . . . disebut barisan :aritmetika idgigili /:d /:d /:d / / : / / / //dig / / / p p p : t t t thttp dua suku yang berurutan jikahselisih hthttpadalah tetap. Nilai untuk hthmenentukan ttp













d d d d 32 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / sukuttke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (a). 2, 6, p p p t t t t hhtt hhtt hhtt 10, 14, 18, . . . . Misalkan U1 , U2 , U3 , . . . adalah barisan aritmetika tersebut maka


ca.cid.id a . j a e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i U2 = 6ig= idgigili igi2li+ 4 = 2 + 4(1) /:d /:d / / d : : / / / / p p t t hthttp ht ttp U3 = 10 = 2 + 4 + 4 = 2 + 4(2)h


d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n ne ne .bu.n .bu.n un1)e u u bli.bu.− b b i i Un = 2g+ilii4(n l l i i i i idig idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhSecara hhtt (U1 ) = a dan beda suku yang hhtt berurutan tt umum, jika suku pertama

U1 = 2 = 2 + 4(0)j.ac.cid .id


...

adalah b maka dari rumus Un = 2 + 4(n − 1) diperoleh 2 adalah a dan 4 adalah

d ca.cid.idb. Oleh sebab itu, sukuj.ake-n ca.cid.idapat ca.cid.id dirumuskan a a . . j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i li − 1) ig ili idgigili Un /= aidg+ igib(n /:d /:d /:d / : : / / //dig / / p p t t hthttp hthttp


Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan arit-

jika negatif disebut barisan .cid.idmetika naik, sedangkan .cid.ibedanya .cid.id aritmetika turun. .ac.cid.id d c c c a a a . . . jej.a U1 , U2 , U3 , . . . , Un−1n, Uenjejdisebut jej.aU2 − U1 = U3 − U2 = nejej.a .a e e barisan aritmatika, jika n n u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ili=b konstanta. l ilib liibli.bu.un i i i i g g g g i i i i . . . = U − U n //d n−1 /:d : /dig ://d/dig ://d/dig //dig hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/ 2.6.2 Aksioma, Lemma, Teorema, Corollary, Konjektur dan Open Problem

ca.cid.id ca.cid.id yang diasumsikan benar. ca.cid.idAksioma tidak me- j.aca.cid.id a a a . . . j j j Aksioma adalah proposisi e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i merlukan/dpembuktian kebenaran lagi. /d Teorema ig ili idgigili idgigili adalah proposisi yang idgsudah igili /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p : : t t t p hthttpbenar. Bentuk khusus dari hthttteorema hthcorolarry ttp terbukti adalah lemma dan (akibat). Lemma adalah teorema sederhana yang digunakan dalam pembuk-

d d.id dd d tidak menarik namun pada pemaj.ca.ci .idtian teorema lain. Lemma aj.ca.cibiasanya aj.ca.ci .iberguna aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n ne ne lebih kompleks, yang nehal ini pembuktian tersene .bu.n .bu.yang .bu.n .bu.n u u u u buktian proposisi dalam b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p buthdapat lebih mudah dimengerti bila menggunakan sederetan lemma, set t thtp t t hhtt hhtt tt tiap lemma dibuktikan secara individual. Corollary (akibat) adalah teorema

atau dapat .cid.id ca.cid.idyang dapat dibentuk langsung ca.cid.id dari teorema yang telah cadibuktikan, ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e dikatakan corollary ej. teorema yang mengikuti nej. nadalah nej.dari teorema lain. Konnej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li ili ig ili idgigsebuah idgigili idgigibejektur adalah proposisi yang dipradugakan sebagai hal yang:/nyata, /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp













d d d d 33 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:asli, :p//:d :p//:d / / / //dig / / / nar, atau sebagian besarnya didasarkan pada landasan inkonklusif p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt (tanpa simpulan). Konjektur bertentangan dengan hipotesis (oleh karenanya berten-

atau prinsip), yang merupakan pernyataan id.id ca.cid.idtangan pula dengan teori, ca.caksioma, ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j . e e e e yang mengandung perjanjian menurut landasan diterima. Di dalam n nej. nej. nejdapat nej. .bu.n .bu.n .bu.yang .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ili ig ili idgikonjektur idgigiltidak idgigmegili matematika, adalah proposisi yang terbuktikan atau:/tidak /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp hthttp bukti atau juga teorema hthyang ttp dianggap pasti benar hadanya. merlukan Open problem (masalah terbuka atau pertanyaan terbuka) adalah beberapa masalah

d d d .cid.id aj.ca.ci .idyang dapat secara akurat aj.cadinyatakan, aj.ca.ci .id (tidak ada solusi ej.aj.ca.ci .id . . . dan belum diselesaikan j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i untuk diketahui). Contoh open problem dalam matematika, yang telah disei i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t lesaikan hhtt dan ditutup oleh penelitihdi hhtt Teorema httakhir abad kedua puluh, adalah Terakhir Fermat dan empat warna teorema peta. Sedangkan open problem

.cid.id ¨ adalah permasalahan Konigsberg. d ca.cid.idyang belum terselesaikan cacontohnya ca.cid.ijembatan ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / :p//:d : : / / / 2.6.3 ttp Definisi Pelabelan Graf //dig / / / p p t t hhtt hthttp hthttp Pelabelan graf G adalah sebuah pemetaan dari himpunan elemen-elemen

d d.id d.id positif. Jika dod sisi) himpunan bilangan aj.ca.ci .idgraf G (titik dan/atau aj.ca.citerhadap aj.ca.cibulat aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e u.n mainnya adalah titik G maka pelabelannya ne ne ne disebut pelabelaniltitik ne .bu.n .bhimpunan .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l i i i i i i i il ig il idgigilsedangkan jika domainnya idgiadalah idgig gil /:d (vertex labeling), himpunan sisi G maka dise:p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt but pelabelan sisi (edge labeling). Jika domainya adalah kedua himpunan terse-

Gambar 2.31 id.idbut maka pelabelannyaacdisebut id.id pelabelan total (totalaclabeling). id.id . . . c ca.cid.id a a c c c . . . . j j j j a a a mengilustrasikan pelabelan dan total pada graf. neej. e e e j. nej. nej. titik, pelabelan isisi, nepelabelan .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l liibli.bu.un i i i i i i l l l g g g g i i i i i i i /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p t t t t t t t hthtp h h t ht ht


2

2

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i 4 1igigil d :p//:d / / p t t hhtt

9 d 6 d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i 4 1 7 3 igigil idgigil d :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt

1

4

2

5

8

5


ca.cid.id ca.cid.id3 ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bua.n .bu.n .bu.n u u u b b b c i i i b l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t p pelabelan Sisi (c) Pelabelan 2.31: (a) Pelabelan titik hthGambar hthtt(b) hthttptotal ttp









3





d d d d 34 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / Pada pelabelan titik, jumlah label dua titik yang menempel pada suatu p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt sisi disebut bobot sisi. Jika semua sisi mempunyai bobot sisi yang sama maka

id Jika semua sisi mempunyai ca.cid.iddisebut pelabelan titikj.asisi ca.cid.ajaib. ca.cid.id bobot sisi yang j.aca.cid.id a a . . j j e e e e j. berbeda dan himpunan barisan aritn nej. nej. bobot sisi dari semua nemembentuk nej. .bu.n .bu.n .bu.sisi .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li ig ili idgigilisuku pertama a dan beda idgidgimaka idgigili matika :dengan pelabelan tersebut disebut /:d /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp hthttp titik sisi anti ajaib (edgehantimagic hthttp pelabelan vertex labelling (EAVL)).

Sedangkan dalam pelabelan .cid.id .cid.id total, bobot sisi diartikan .cid.idsebagai jumlah la- .ac.cid.id c c c a a a . . . jej.a bel sisi dan label dua jetitik jej.a sisi. Jika semua sisi nejej.a e e e j.a yang menempel pada n n n suatu u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ilib l ilib liibli.bu.un i i i i g g g g i i i i g mempunyai sisi yang sama maka tersebut disebut:/pelabelan /:d /d ig dig :p//:d :p//:d //dig //dibobot //pelabelan thtp thtp thtp p://d t t t h h h t t t total-sisi-ajaib. Jika semua sisi mempunyai bobot sisi yang berbeda dan himpunan bobot sisi dari semua sisi membentuk barisan aritmetika dengan suku

.cid.id d ca.cid.idpertama a dan beda dj.maka ca.cid.ipelabelan capelabelan ca.cid.id a a a a . . . tersebut disebut total sisi anti j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ajaib (pelabelan ig ili idgigilitotal sisi antimagic) (Dartono, idgigili2006). idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp 2.6.4 Pelabelan Total Super (a, d)-sisi antimagic

d dd ca.cid.id f dari V (G) ke himpunan ca.cid.id aj.ca.ci .id ajsatu-satu aj.ca.ci .ibilangan Sebuah pemetaan bulat {1, 2, ej.a . . . j j j . . e e e e u.n ne ne titik (a, d)-sisi antimagic njika nej .bu.n .bpelabelan .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l 3, . . . , p} disebut himpunan bobot sisinya i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d //:d //:d : : : / / / //dig / / / p p p t t t t t t w(uv) hhttGp adalah {a, a + d, a + 2d, ..., hhatt+p (q − 1)d} hht=tpf (u) + f (v) pada semua sisi untuk a > 0 dan d ≥ 0 keduanya adalah bilangan bulat, sedangkan Pelabelan

.cid.id sebuah pemetaan satu-satu ca.cid.idtotal (a, d)-sisi antimagic caadalah ca.cid.idf dari V (G)∪E(G) j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e j. n nej. ne nej. bobot sisinya w(uv) nej. ke bilangan bulat 2, 3, ...p + q} sehingga lihimpunan = .bu.n .bu.{1, .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili d /:d /:d /:d f (u) t+ f:/(v) + f (uv)pada semua sisittp G:/adalah {a, a + d, a + 2d, ...,tatp+://:(q − 1)d} / / / //dig / / / p t hhttp hhttp hhttp untuk a > 0 dan d ≥ 0 keduanya bilangan bulat. Sebuah pelabelan total (a, d)-

antimagic jika f (v) = .cid.idsisi antimagic disebut.apelabelan .cid.id total super (a, d)-sisi .cid.id c c c ca.cid.id a a a . . . j j j j a a a . . . . e e e e {1, 2, 3, ...p} dan f (E) = {p + 1, p + 2, ...p + q}. nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:super :p//:d Dengan kata lain, pelabelan total (a, d)-sisi antimagicttpada sebuah / / / //dig / / / p p p t t t t hhtt hhtt hhtt graf G = (V, E) adalah pelabelan titik dengan bilangan bulat {1, 2, 3, ...p} dan

+idq} dari sebuah graf id.idpelabelan sisi dengan bilangan id.id bulat {p + 1, p + 2, ...p . . . id c c c ca.cid.id . a a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e G dimana p adalah banyaknya titik dan q adalah banyaknya sisi pada graf G,uneej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i igliibli.b∈.un i i i l l l g g g g i i i i i i i sedemikian hingga himpunan bobot dari sisinya adalah W = {w(x, y)|xy g g g d d d d i i i i /://d :////d :p//://d :// /d tp ttp hthtp hth− tt=p:{a, tt1)d} ttp:/ α(u) E(G)} a + d, a + 2d, ..., a + (q untuk a > 0 dan d ≥ h 0,hdimana













d d d d 35 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p//:d :p/label / / / //dig / / / adalah label dari titik u, α(v) adalah label dari titik v dan α(uv)adalah dari p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt sisi uv. Untuk mencari batas atas nilai beda d pelabelan total super (a, d)-sisi

d.id (dalam Dafik: ca.cid.idantimagic dapat ditentukan ca.cid.iddengan lemma berikutj.ainica.ciseperti ca.cid.id a a a . . . j j j e e e e 2007: 26-27). nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t 3 Lemma sebuah graf (p, hthttp 2.6.1 Jika hthq)ttpadalah pelabelan total superhth(a, ttpd)-sisi an2p+q−5 timagic maka d ≤

q−1

d ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .idBukti. f (V ) = {1, 2,e3,j.aj..., a a . . . j j j . . . e e e 1,upn+ e ne ne p} dan f (E) = {pi+ nej .bu.n .bu.n .b.un 2,j ..., p + q} .bu.n u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i l (p, q) mempunyai pelabelan ig il idgigigraf idgigil total super (a, d)-sisi:/antimagic idgigil Misalkan /:d /:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt pemetaan f : V (G) ∪ E(G) hhtt→ {1, 2, ..., p + q}. Nilai minimum hhttp yang dengan mungkin dari bobot sisi terkecil adalah dengan menjumlahkan dua label titik

.cid.idlabel sisi terkecil (p + 1), .cid.id ca.cid.idterkecil (1 dan 2) dengan casatu casehingga ca.cid.id diperoleh: a a a a . . . . j j j j . e e e e nej. n4.ejDapat nej. nej. .bu.n .bup.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i 1 + (p + 1) + 2 = + ditulis : l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p + 4 ≤hta ttp hthttp hthttp h Sedangkan pada sisi yang lain, nilai maksimum yang mungkin dari bobot sisi

d d d dua label titik cterbesar ca.cid.id aj.ca.ci .idterbesar adalah dengan aj.menjumlahkan aj.a.ci .id ((p − 1) dan p) ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n n dengan satu label ne neterbesar (p + q), sehingga ne ne .bu.n .bu.sisi .budiperoleh: .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i i i i i gigil ig il idg+ id idgigil igiq)l + p = 3p + q − 1. pDari /:d //:d //:d //:d (p − 1) (p sifat bobot SEATL yang tmenyatakan :+ : : / / / //dig / / / p p t t t t t hhttp hhttp hhttp bahwa a + (q − 1)d adalah suku terbesar, maka diperoleh:


d + (q − 1)d ≤ 3p + q − 1 c.id.id ⇔c.cia.id a . j je.aj.ac a . e e j n n e u u nq−1 bli.b3p .u+ igliibli.b.un ⇔ (p + 4) + (q −d1)d iglii≤ g g i i d i i //:/1/d− (p + 4) :// /d 3p + ttpq :− hthtp ttp:/ ⇔ d ≤ hhttp q−1 2p + q − 5 ⇔c.idid ≤ . q−1 ej.a.ac


d (2.1) ca.cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .id a a . . . j j j . . e e e ne nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i 2p+q−5 i i i i gigil q−1 sehingga diperoleh il ig il idgigil (2.1) terbukti bahwa://ddid≤ idgdigdari Dari persamaan /:d //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p : t t t t t t hhtt famili graf. hhttp hhttp berbagai 2

K.A. Sugeng, dkk (2005:169) lema ca.cid.id ca.cid.id mengatakan bahwa ca.cid.idberikut digunakan j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e j. nej. nej. neantimagic nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n untuk menemukan pelabelan total super (a, 1)-sisi pada gabungan u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / :p//:d : : / / / //dig / / / p p grafhtuntuk jumlah sisi ganjil. tp t t hthttp hthttp htt













d d d d 36 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:sebuah :p+//:d / / / //dig / / / 3 Lemma 2.6.2 Misalkan A merupakan himpunan, A = {c, c 1, c + 2, p p p t t t t t t t t t h h h t t t h h h . . . , c + k}, dengan k genap. Maka ada sebuah permutasi Π(A) dari anggota-anggota himpunan A sehingga A + Π(A) = {2c + k2 , 2c + 3k d d ac.ci .id1, 2c + 2 }. ac.ci .id

je. j.a e n u n . u b idgiigliilib. /:d //

k 2

+ 1, 2c +

k 2

+ 2, . . . , 2c +

3k 2

−

ca.cid.id ca.cid.id a a . . . j j j a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i idgigAiliadalah suatu himpunan idgi= ig ili gil{a /:d /:d / / Bukti.tp:Misal A ≤:/i/:d ≤/dkig+ 1} : / / i |ai = c + (i − 1), 1tp / / / p t hthttp hthttp hthttp dan k adalah genap. Definisi dari permutasi adalah Π(A) = {bi |1 ≤ i ≤ k + 1}

dari anggota A berikut: .cid.id c ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a ( . . . . e e e e u.n nej nce+j k + 1−i , jika i adalah nej 1 ≤ k + 1 nej .bu.n .bu.n .bganjil, .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i 2 2 i i i i ig il idgigbiil= idgigil idgigil /:d 2−i :p//:d :pi//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p c + k + , jika adalah genap, 2 ≤ i ≤ k t t t t t t 2 hhtt hhtt hhtt

dengan pembuktian langsung kita dapatkan: id.id id.id . . c c ca.cid.id ca.cid.id a a a a c c . . . . j j j j a a e e e e A + ¦(A) = {ai + bui |1 nej. n≤ejik. + 1} = nej. nej. .bu.n .b.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i k 1−i i li ig ili ig| i iganjil, idgigili 2c + 2 +//d 1 ≤ k + 1} ∪ {2c/+ kigi+ gi2li| i genap, 1 ≤ k} = ://d /:d /:d 2/dig d : : / / //dig / / / p p p : : t t t t p 3k } hth2ctt+ hthttp {2ch+htk2t,p2c + k2 + 1, . . . , 2c + 3k − 1, 2 2 dan kita mendapatkan hasil.

2

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e e ne npelabelan ne dan pelabelan totalilibsune .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n Secara harfiah, total (a, d)-sisi antimagic u u u u b b b i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / per (a, d)-sisi antimagic memuat perluasan gagasan dari total (a,ttd)-sisi magic //dig / / / p p p t t t t hhtt hhtt hhtt dan pelabelan total super (a, d)-sisi magic (Baca dan Miller, 2007:37).

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e j. (a,d)-sisi antimagic.upada j. Tangga Permata .une 2.6.5 Pelabelan Total n nej. neSuper neGraf nej. .bu.n .bu.n u u u u b b b b . . i i i i l l l l i i i i b b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p Pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic pada Graf Tangga Permata ini t t t hthttp hthttp hthttp belum ada yang menemukan sebelumnya. Peneliti akan mencoba menemukan

teknik berikut ini : .idd d pelabelannya dengan menggunakan d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.cac.i aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil EAVL (Edge Antimagic idgVertex idgigil igil Labelling) pada Graf /:d 1. menentukan Tangga :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Permata dengan teknik pattern recognition;


did did 2. dengan melihat pola pada gambar 2.32, selanjutnya ac.i .pelabelan ac.i .langkah









ca.cid.id a c c . . . j j j a a e e e n nej. fungsi bijektif dengan nej. bilangan bulat positif nej. .bu.n .bu.domain .bu.n adalah menentukan u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / 1, 2, 3, . . . , p; / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp



d d aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt 2




10


6

37


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i 4 1igigili /:d / d : / / p t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i 9 idgigi8li 5 /:d / : / / p t hthttp

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i 12 diggili :p//://di t hthtp t


d did 7 aj.ca.ci .id aj.ca.ci .11 . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i Gambar 2.32: EAV Dl i i idgigil idgigil 3 :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt






3

3. selanjutnya menghitung bobot edge antimagic vertex labeling (EAVL). Dari

c.idid

c.idid

c.idid

a c. aac.adalah sebagai berikut:ej.aj.ac. gambar 2.33 tampak nej. j.a bahwa barisan bobot sisinya nej. j.(w) n b.uune

b.uune

b.uune

. li . ib. Terlihat bahwa bobotdEAVL 3, 4, d 5,ig . i.igl.ii,l23. barisan aritmatika igiigliilibmembentuk digiigilib

:// /d p hthtdengan ttp:/ beda 1;

:// /d hthtp ttp:/

c.id.id

did d aj.ca.ci .10 aj.ca.ci .id . . j j e e n ne ne .bu16 .bu.n u u b b . i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d 19 22 ttp://:d / / 11 14 / / p t t hhtt hhttp

2 neje.a j.ac 8

liibli.bu.un i g i ://d/dig3 6 hthtp ttp:/ 1

5

4

9

ca.cid.id a . j 4 une7ej. iibli.b.un l i g i g d i 10 :p//://d 3 t hthtp t

:// /d hthtp ttp:/

6

5

13

8

17

9

21

12

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j 15 23 12 e e nej. 20 nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili 18 idgigili /:d /:d 11 / / : : 7 / / / / p p t t hthttp hthttp

Gambar 2.33: EAV Dl3

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i l idgigil label sisi dari Super idgigiAntimagic idgigil 4. menentukan Edge Total Labeling//d :p//:d :p//:d :p:(SEATL) / / / / / / p p p t t t t t t hhuntuk hhPermata tt tt d = 0 pada Graf Tangga (Dl3 ). Melengkapi h label htt titik pada Gambar 2.33 dengan melabeli sisi-sisinya sehingga menjadi pelabelan to-













tal.





d d d d 38 aj.ca.ci .idBab 2. Tinjauan Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:(a, :p//:d / / / //dig / / / 2.7 tHasil-Hasil Pelabelan Total Super d)-Sisi Antimagic pada Graf p p p t t t t t hhtiftt hhtt hhtt Diskonek-




did Tabel 2.2: dari pelabelan totalc.super idid (a, d)-edge c.iRingkasan

. je.aj.acpada je.aj.ac. e e n n antimagic graf disconnected. u u igliibli.b.un igliibli.b.un g g i i d d i i :// /d :// /d hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ Hasil Graf d Pn ∪ Pn+1

1≤d≤3

(i) d ∈ {1, 3} dan n ≥ 2

d.idd = 2 dan n ≥ 3 adalah ganjil d aj.ca.ci(ii) aj.ca.ci .id . . j j e e n ne ne .bu.n .bu.2005) u u b b (Sudarsana, iet al, i i l l i i i idgigil idgigil :pn//:d :p//:d / / / / p p nP2t∪ P 1 ≤ d ≤ 3 d ∈ {1, 2} dan n ≥2 t t t hhtt hhtt (Sudarsana, et al, 2005)

nP2 ∪ Pn+2

1≤d≤4

∈ {1, 2} dan n ≥ 1 idd.id . c ca.cid.id a a c . . j j a e e (Sudarsana, et al, 2005) nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigilid ≤ 5 idgigili mKn jika dan hanya jika /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hth2} ttpdan n ∈ {2, 3}, (i) d ∈ {0,

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttpOpen Problem

d = 2 untuk genap n

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i igigil //:d /d / p d= 3t:pfor n≥2 t t hht d ∈ {3, 4} untuk n ≥ 1


m ≥ 3 ganjil, atau


d.idd = 1 dan m, n ≥ 2, atau c.id.id aj.ca.ci(ii) . j je.aj.ac e e n n e u u (iii) d ∈ {3, 5} dan n = 2, n n . . giigliiblib.u giigliiblib.u i i d d / / / / m ≥ 2, atau : /d : d thtp tp:// h hthtp ttp:/ t (iv) d = 4 dan n = 2, m ≥ 3 ganjil


ca.cid.idSubmitted, 2008) ca.cid.id a a . . j j . e e nej. (i) jika d = 1 untukilisemua nmejdan .bu≤.n .bu.n u u b b i l mKn,n d 5 n i idgigili idgigili d d / / / / : : / / untuk n = 1 (ii) jikahdtt∈p {0,:/2} hthtp ttp:/ http

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l jika d ∈ {0, 2} untuk i idgigili /:d / : / / p t nh= tht3tpdan m ≥ 3 ganjil


d.id jhj d ∈ {3, 5} untuk n = 1 c.id.id .ci(iii) c a . jej.a je.aj.ac e dan semua m ≥ 2 une n u n n . . b.1udan giigliiblib.u giiglinibli= i i (iv) jhj d = 4 /untuk d d / / / : /d : /d hthtp hthtp ttp:/ ttpm:/ ≥ 3 ganjil semua



ca.cid.idSubmitted) ca.cid.id a a . . j j e j. e n nej. .bu.n mCn d.u≤ 2ne jika setiap u u b b . i i l l i i b ili idgigili idgigm, /:d /:d / / : : (i) d ∈ {0,t2} untuk n ≥ 3 ganjil / / / / p p t hthttp hthttp


dan m ≥ 3 ganjil



















ca.cid.id n ≥ 3 ca.cid.id a a . . j j e e (Dafik, et al, 2009) nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i mPn ://didgigilid ≤ 5 jika setiap ://didgigili / / p p : :// t hthttp htht3} ttpuntuk (i) d ∈ {1, semua m



d.idd ∈ {0, 2} untuk semua m, nc.id.id aj.ca.ci(ii) . j je.aj.ac e e n n e u u n n . . ganjil giigliiblib.u giigliiblib.u i i d d / / / / : /d : untuk /d semua m dan (iii) d ∈ {4, 5} hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ n=2



id.id (Dafik, et al, 2009) . c ca.cid.id a a . j mKn,n,n d ≤n2ej. j.acd ∈ {0, 1, 2} untuk m ganjil dan e nej. .bu.une .bu.n u b b i i l l i i n sembarang diggili idgigili /:d / : :p//://di / / p t (Dafik, t hthttp hthtp t et al, 2009)



(ii) d = 1 untuk semua m ≥ 2 dan

dan n

mKn,n,...n

d≤2

39

d ∈ {0, 1, 2} untuk m, n ganjil


d.id et al, 2006) d aj.ca.ci(Dafik, aj.ca.ci .id . . j j e e mCn ¯ K n d.u≤n 2ne jika setiap ne .bu.n u u b b . i i l l i i b i i il n ≥ 3 ganjil idgigil idgigm, /:d (i) d ∈ {0, 2}:/untuk :p//:d / / / / p p t t t t h ttp m ≥ 2 dan n ≥ 3 hhtt (ii) untukhsemua


d.id .cijika ca.cid.id mPn ∪ µCn d ≤ 2 j.ac setiap a . j a e e nej. (i) d ∈ {0, 2} untukilisetiap nme+j. µ .bu.n .bu.n u u b b i l i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p dan n ganjil t t hthttp hthttp


.cid.id (Dafik, et al, in press) .ac.cid.id c a . mK1,m ∪ K1,n du≤n3ejej.a d ∈ {0, 1, 2, 3} untuk nu+n1ejej.a liibli.b.un liibli.b.un i i g g faktor dari m i i ://d/dig ://d/dig hthtp hthtp ttp:/ ttp:et/ al, in press) (Dafik,





(ii) d = 1 untuk m genap

mK1,m ∪ Sk,1

d≤3


d ∈ {0, 1, 2, 3} untuk m, n sembarang

ca.cid.id (Dafik, et al, in press) j.aca.cid.id a . j e j. d ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5} untuk e n nej. m-caterpilar libd.u≤ 5ne .bu.n u u b . i l i i b idgigili idgigili /:d /:d / / m, n sembarang : : / / / / p p t t hthttp hthttp
























40

mLn

d≤2

∈ {0, 1, 2} untuk m, n ganjil .idid ca.cidd.id a . j je.aj.cac. . e e j n n (M. Fuad, 2009) e u u .un ilibi.b.un iglk,iiblin.bganjil g i d kP(n,2) ://d/idgigil d < 3 d ∈ {0, 1, 2}:untuk i //://d tp t p t hthtp h ttp:/ t h (Indayani.D.V , 2010)

jika d ∈ {0, 2}

mB(n,k)

d≤3

jika d ∈ {0, 2}

d ∈ {0, 1, 2, 3} untuk m ≥ 2, n ≥ 2,

d d aj.ca.ci .id dan k ≥ 4 aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u (K.Biyadi , 2010) b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / mF(n,k) d<4 d ∈ {0, 1,tt2,p3} untuk m ≥ 2, n ≥ 2, p t t hhtt hhtt dan k ≥ 3 id.id (Z.Abidin , 2010) . c ca.cid.id a a c . . j j a e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i m£(i,j ,k ) digigilid < 4 d ∈ {0, 1, 2, 3} d idgigilim ≥ 3, /://d /:/untuk / / : : / p p t t thtjtp= 2, dan k = 1 hthttp 1 ≤ i ≤hn, (R.Raty Rahmad , 2010)



ca.cid.id a . j untuk m genap.une nej. u b . i l i b li idgi1,gi2} jika d:∈ {0, /:d / / / p t hthttpk, n genap untuk d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :pd//:∈d / / • jika p t t hhtt {0, 2} untuk m,n genap dan k ≥ 3 untuk m, n genap

• jika d ∈ {1, 3} untuk

ca.cid.id a . j m ≥ 2 n ganjil dan k≥3 e nej. .bu.n u b i l i • jika d = ili idg3iguntuk /:d / : / / p t hthmtt≥p 3 ganjil dan n ≥ il ≥ 2 genap

d aj.ca.ci .id . j e m ≥ 3 ganjilb.dan u.n ne u i l i b i il idgi2gganjil /:d np≥:/il ≥ / / t t hhttpd ∈ {1, 3} untuk • jika • jika d ∈ {1, 3} untuk

m ≥ 3 genap dan

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. d ∈ {0, 1, 2} untukilm nej. .bu<.n .bu.3n u u b b i i mEn d 4 ≥ ganjil, l i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p n ≥ 3 t t hthttp hthttp

ca.cid.id a . j e j. umne≥ 3 bli.bu.n i • jika d = g 1 iuntuk l idigi /:d / : / / p dan n ≥ t hthttp 3 ganjil

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t tt j, 2) tt untuk m ≥ 3 ganjil dan sWh0h (3, d<3 d ∈ {0,h 1,h2}

(m ≥ 3 dan n ≥ 3) ganjilid

(Riza Deviyana , 2011)

s ganjil

n≥i≥2

• jika d = 3 untuk

ac. .id

j. ac • jika d = 3 untuk uneej. ib. .un

giigl ilnib≥ 3) genap (m ≥/d 3idan tp:/://d

thttpd ∈ {0, 1, 2} untuk •hjika 1 ≤ j ≤ m genap dan



(Yeni Anggraeni , 2011)ac.id c.id . j a . e j n e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / t hthtp t










1 ≤ k ≤ s genap









d id ca.cid.id ca.cid.METODE PENELITIAN j.ac.ci .id a a . . j j a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ig ili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / : : / / //dig / / p p t t 3.1 htMetode hthttp http Penelitian


BAB 3

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deduktif aksiomad.id d d i . .cid.id c aj.ac tik, yaitu dengan menurunkan aj.ca.ci .id aksioma atau teorema aj.cayang aj.ca.ci .id . . . . j j j j telah ada, kemue e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i dian diterapkan dalam pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic pada Graf ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt Permata baik yang tunggal hhmaupun hhtt Dalam Tangga gabungan saling lepasnya. tt penelitian ini, terlebih dahulu akan ditentukan nilai beda (d) pada Graf Tangga

d.id total super ca.cid.idPermata, selanjutnya jnilai ca.cidd.idtersebut diterapkan dalam ca.cipelabelan ca.cid.id a a a a . . . . j j j e e e e ej. Graf Tangga Permata. ej. terdapat pelabelan btonej. npada nJika nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n (a, d)-sisi antimagic u u u u b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / tal super (a, d)-sisi antimagic, maka akan dirumuskan bagaimana pola p p p t t t hthttp hthttp hthttp pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic pada Graf Tangga Permata tersebut de-

untuk meid.id .cid.idngan menggunakan metode .cid.idpendeteksian pola (pattern .crecognition) c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e nentukan pola umumnya. nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :p//:d :pgabungan / / / //dig / / / Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai beda (d) pada p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt saling lepas Graf Tangga Permata, selanjutnya nilai d tersebut diterapkan dalam

id.id antimagic pada gabungan ca.cid.idpelabelan total superj.(a, ca.d)-sisi ca.cid.id saling lepas Graf j.aca.cid.id a a a c . . j j e e e e j. j. d)-sisi antimagic, maka Tangga Permata..u Jika pelabelan total super n nej. neterdapat ne(a, nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i b ig ili idgigili bagaimana pola pelabelan idgigilitotal super (a, d)-sisi :/antimagic idgigili akan dirumuskan /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t t ttp hthgabungan hthttp mengguttp pada saling lepas Grafhh Tangga Permata tersebut dengan nakan metode yang sama untuk menentukan pola umumnya.

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i 3.2 Definisi Operasional ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Definisi operasional variabel digunakan untuk memberikan gambaran

dan untuk menghindari id.idsecara sistematis dalamacpenelitian id.id id.id terjadinya perbe. . . c c ca.cid.id a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e daan pengertian makna. variabel nej. nej. Definisi operasional nej. yang dimaksud adalah nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili sebagai berikut: /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp









41





d d d aj.ca.ci .idBab 3. Metodologi Penelitian aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :pAntimagic / / //dig / / 3.2.1 ttp Pelabelan Total Super (a, d)-Sisi p t t hhtt hhtt


Misal p = |V | dan q = |E| maka pelabelan total (a, d)-sisi antimagic adalah

ca.cid.idsebuah pemetaan satu-satu ca.cid.fiddari V (G)∪E(G) ke bilangan ca.cid.idbulat {1, 2, 3 . . . , p+ j.aca.cid.id a a a . . . j j j . e e e e n ejf. (v) + f (w) pada semua nej. nejbobot n+ nej. .bu.n .bu.n .fbu(u) .bu.n q} sehingga himpunan sisinya w(uv) l= u u u u b b b b . i i i i l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili d d /:d /:bilangan / :p//:d :p//:untuk : sisi Gttp adalah {a, a + d, . . . , a + (q − t1)d} a > 0 dan d ≥ 0 adalah / / / //dig / / / p p t t hhtt hhtt hthttp bulat. Sebuah pelabelan total (a, d)- sisi antimagic disebut pelabelan total super

=id 1, p + 2, . . . , p + q}. .cid.id(a,d)-sisi antimagic jika.afc(V.cid.)id= {1, 2, 3 . . . p} dan {f (E) .cp.i+ d c c ca.cid.id a a a . . . j j j j a a a . . . . e e e e nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i gigil Permata (Dln ) ig il idTangga idgigil idgigil 3.2.2 Graf /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Graf Tangga Permata adalah salah satu family dari graf tangga. Graf

Dl id.idTangga Permata adalahacgraf id.idyang dinotasikan dengan id.inddimana V (Dln ) = . . . c c ca.cid.id a a a c c c . . . . j j j j a a a {xi , yi , zj ; 1 ≤ i ≤ n,n1e≤ .j ≤ 2n} dan E(Dln ) = {x e e e ix ej,. yi yi+1 ; 1 ≤ i ≤ n − 1}b.∪u.n nej. ni+1 nej. .bu.n .bu.unej .bu.n u u u b b b i i i i l l l l i i i i b gign}ili ∪ {zj zj+1 ; 2 ≤ j ≤ 2n−2 ig ili idggenap} id,gyigi zil2ii ;{xi yi ; 1 ≤//d i i≤ igili ∪ {xi z2i−1 , xi z2i , ypi z:2i−1 /:d /:d /:d / / d : : / / / //dig / / / p p : t t t p Gamtp Tangga Permata Dln dan hthtGraf hthttpada ttpn}. Gambar 3.1 merupakan 1 ≤hith≤




bar 3.2 adalah contoh graf Dl4 .

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i 1igigil d :p//:xd / / p t t hhtt

d aj.ca.ci .id . j e n. .e .bu.n u b i . l i i x/2/didgigil : / p t t hhttp:/

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i xi //digigil : /d hthtp ttp:/

... z4 ca.cid.id z3 ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp ... y y


Gambar c.id.id3.1: Graf Tangga Permata cDl.idn.id


z2

z1

2

1

je.aj.ac je.aj.ac e e n n u u n n . . giigliiblib.u giigliiblib.u i i d d / / / / : d : /d p tp:// hthtp hthtTangga tGabungan ttp:/ Permata (mDl 3.2.3 Saling Lepas Graf

n)

zj

yi

Gabungan saling lepas sebagai n ididefinisikan d.id id.id id.idGraf Tangga Permata mDl . . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e gabungan diskonektif Tangga j. sebanyak m copy Graf u.n u.n nej. nedari nej. Permata yang memnej. .bu.n .bu.n . . u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i b b gigkili≤ ig ili idgigili titik V (mDln ) = {x:/ki/,dyidikg,igzjkil;i1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ 2n, 1 i≤ punyai himpunan /:d /:d /:d / / d : : / / / //dig / / / p p p : t t t thttphimpunan sisi E(mDl )h=thtt{x tht1, p k xk , yk yk ; 1 ≤ i ≤ nh− tp1 ≤ k ≤ m}hdan n i i+1 i i+1













d d d d 43 aj.ca.ci .idBab 3. Metodologi Penelitian aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idkgigil idgkigkil idgigil /:d :p//:kid :p//:d :p//:d / / / //dig / / / m} ∪ {x y ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m} ∪ {z z ; 2 ≤ j ≤ 2n − 2 genap, 1 ≤k≤ p p p t t t i j j+1 t t t hhtt hhtt hhtt k k k k k k k k m} ∪ {xi z2i−1 , xi z2i , yi z2i−1 , yi z2i ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m}. Dalam penelitian ini

id n untuk m > 2 dan jn.a>ca.ci2.d.idGambar 3.3 adalah j.aca.cid.id ca.cid.idkita akan membatasi pada ca.cid.mDl a a . . j j e e e j. Tangga Permata dengan j. = 2 dan 1 ≤ i ≤ 3. .une gabungan saling.lepas u.n nej. neGraf nem nej. .bu.n .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i b b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp x hthttp ht ttp x3 x4 h x






1

2

d ajz.3ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t y2 hhtt y1 z1

z4

z2

.idd

ze6j.a.c ac.zi7

z5

nej .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t y3 hhtt

Gambar 3.2: Graf Tangga Permata Dl4

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili 1 /:d / : / x1 / p t hthttp z11

z21

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil y11 d / / : / / hthtp ttp: x21

ca.cid.id a . j e u.n nej. . u b i l i b idgigzi12li z22 /:d / : / / p t hthttp y12

c.id.id

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili 1://d x13 / x / p 2 : t hthttp

z31

z41

z51

z61

d aj.ca.ci .id . j e ne 1 .bu.n u b i l i 1 i y3 y2 /digigil :p/://d p t t hhtt x22

x2

y22

y32

3 id ca.c.id a . j . e j une b.un 2 ili lib. 2 g i z32 z i z z62 4ig 5 /:d / d : / / p t hthttp

c.id.id

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i ig il //dig p://d yh 4 tt ttp: h z8

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt

j.aj.acGabungan Graf Tangga je.aj.ac 2Dl3 Gambar unee3.3: unePermata

liibli.b.un i g i ://ddig tp:// hthtp t 3.3 Teknik Penelitian

liibli.b.un i g i ://d/dig hthtp ttp:/

Penelitian ini dilakukan ca.cid.id ca.cid.id pada Graf Tangga Permata ca.cid.idbaik yang tunggal j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e j. n ej. lepasnya, jika pada nej. nsaling netersebut nej. .bu.n .bu.n .bugraf .bu.n maupun gabungan ditemukan pelau u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / :p//:d : : belanttp total super (a, d)-sisi antimagic maka dilanjutkan dengan pendeteksian / / / //dig / / / p p t t hhtt hthttp hthttp pola (pattern recognition). Adapun teknik penelitian adalah sebagai berikut:













d d d d 44 aj.ca.ci .idBab 3. Metodologi Penelitian aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:d :p//:Dl / / / //dig / / / 1. ttmenghitung jumlah titik p dan sisi q pada Graf Tangga Permata p p p t t n, t t hhtt hhtt hhtt





2. menentukan batas atas nilai beda d pada pada Graf Tangga Permata Dln

id

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili label EAV L (edge-antimagic idgigili vertex labeling) atau:/pelabelan idgigili /:d /:d /:d 3. menentukan / / : : / / / / / / p p p t t t hthtitik(a,d)-sisi htGraf ttp ttp Tangga Permata Dl , hthttp antimagic pada h

. d sesuai dengan e Lemma j.a.cac.i2.6.1,

n

d.id did secara heuristik 4. apabila label EAV untuk beberapa graf acL.i berlaku ac.i .baik

ca.cid.id a c c . . . j j j a a . . . e e e nej maka dikatakanilpelabelan nej itu expandable sehingga nej maupunlideterminatik .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i l i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d dilanjutkan menentukan algoritma EAV L pada Graf TanggattPermata Dln , / / / / / / p p p t t t t hhtt hhtt hhtt

5. menentukan fungsi bijektif EAV L pada Graf Tangga Permata Dln ,

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e 6. melabeli Graf Tangga SEAT nej. Permata Dln dengan nej. L (super edge antimagic nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i d)-sisi antimagic dengan ili idgigili atau pelabelan total://super idgigil(a, idgignilai total labeling) d /:d /:d / / : : / / / / / / p p p : t t t hthbeda hthttp hthttp ttp d yang feasible, 7. menentukan fungsicbejektif .idid pelabelan total super (a, id antimagic pada c.idd)-sisi

d aj.ac. aj.ac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n Graf Tangga ne Dln . ne ne .bu.Permata .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t h tt hhtt hhtt Untuk gabungan saling lepash Graf Tangga Permata juga menggunakan

id.idteknik penelitian sepertiacyang id.idtelah disebutkan di atasanamun id.id diterapkan pada . . . .cid.id c c c a a c c c . . . . j j j j a a a a gabungan saling lepas Graf Tangga Permata. Secara umum,langkah-langkah neej. e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l liibli.bu.un i i i i i i i l l l g g g g penelitian di atas dapat juga disajikan dalam bagan diagram alir pada gambar i i i i i i i /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p p t t t t t t t t t h h h 3.4. ht ht ht



















d d aj.ca.ci .idBab 3. Metodologi Penelitian aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt






Menghitung jumlah titik p

45

Menentukan batas atas nilai idid beda d sesuai 2. 61 .ac.c.lemma

idid n dan sisi q pada .ac.c.Dl

ca.cid.id a . j j j a a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t tp hthttp hthtunexpandable hthttp Menentukan algoritma Menentukan label EAV L fungsi bijektif EAV L

expandable


d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgiMenentukan idgigil gil algoritma fungsi :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt bijektif dari bobot sisi h EAV htt L



ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e n ej. menentukan fungsi b.u.n ndan nej. .busisi Melabeli u u b . i i l l i i b idgigili pada graf tangga permata idgigili bijektifnya /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttpDln untuk setiap nilai d bersesuaian hthttp




c.idid



Kesimpulan ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n Keterangan: u u b b i i l l i i idgigili : Aliran kegiatan utama idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t p hthttp hthttalgoritma : Aliran pengecekan


je.aj.ac. Menentukan fungsi e n .bu.un L bijektif ilibiSEAT

idgigil :p//:d / / p t t hhtt

Gambar 3.4: Rancangan Penelitian


























BAB 4

ca.cid.id DAN PEMBAHASANj.aca.cid.id ca.cid.id HASIL a a . . j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t thttp p hthPada hthtttotal ttp bab ini akan dijelaskanhhasil penelitian tentang pelabelan super (a, d)-sisi antimagic pada Graf Tangga Permata dengan hasil akhirnya berupa

d d .cid.id .cid.id aj.ca.ci .idfungsi bijektif pelabelan aj.catotal aj.capada aj.ca.ci .id . . . . j j j j super (a, d)-sisi antimagic Graf Tangga Pere e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i mata. Penelitian ini diawali dengan menentukan nilai d, menentukan EAV ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt danhbobot SEAT L dan diakhirihdengan bobot htt sisi EAV kemudian menentukan htt sisi total SEAT L untuk membuktikan bahwa gabungan graf ini merupakan

ca.cid.idSEAT L. ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i Hasildiutama terkait dengan pelabelan li ig ili idgigidibahas idgigili d /:d /://dgigili dari penelitian yang /:akan /:d / / / : : : / / //dig / / p p p t t t thttp yang p Dl adalah lemma danhteorema hthsuper hthttgraf total ttp (a, d)-sisi antimagic pada diberi tanda ♦. Terdapat 2 (dua) lemma dan 6 (enam) teorema baru yang dite-

d d d d aj.ca.ci .idmukan secara eksperimental aj.ca.ci .iddalam penelitian ini.ejFormat aj.ca.ci .idpenyajian temuan ej.aj.ca.ci .id . . . j j e e n ne neini diawali dengan pernyataan ne lemma atau teoremailib ne .bu.n .bubab .bu.n .bu.n penelitian dalam keu u u u b b b . i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p/dilanjutkan :p//:d :p//:d / / / mudian dengan buktittdan contoh gambar atau ilustrasi sebagai //dig / / / p p p t t t t hhtt hhtt hhtt visualisasi kebenaran pembuktian teorema. Berikut ini akan dijelaskan tahap-

tahap bagaimana lemma dan teorema tersebut ditemukan sekaligus menjawab ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e rumusan masalah n nej. nej.telah disajikan sebelumnya. nej. nej. .bu.n .bu.yang .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t htJumlah hthttpTangga Permata (Dl ) hthttp ttp Titik dan Sisi pada Graf 4.1 h n

d d d Penentuan jumlah ca.cid.idp dan jumlah sisi q merupakan aj.ca.ci .id aj.titik aj.ca.ci .idsyarat perlu dalam ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n ne nemengetahui jumlah ititik nejumlah sisi, maka peneliti ne .bu.n .bu.n .bu.dan .bu.n penelitian ini.iliDengan u u u u b b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / dapat mengetahui seberapa banyak graf Dl mempunyai pelabelan total super p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt (a, d)-sisi antimagic. Untuk menentukan jumlah titik dan jumlah sisi graf terse-

d.id graf Dl (Dln ) dan id.id jumlah titik dan jumlah ca.cid.idbut, terlebih dahulu akan ca.cdicari ca.cisisi ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e j. gabungan graf Dl sebuah ilustrasi n nej. nejn. ). Pada Gambar 4.1iliberikut nedisajikan nej. .bu.n .bu.(mDl .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i ili pada graf Dl (Dln ). //didgigili ig ili idgigili jumlah titik dan jumlah idgigsisi untuk menentukan /:d /:d /:d / / : : : / / / //dig / / p p t t hthttp hthttp hthtp ttp:/









46








x1

id.ixd2 . c a je. j.ac e n u n . u b li . z1 /digiigilizb2 z3 / d : / / p : t hthttp y1




x3


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i z4 zi5gigili z6 /:d / d : / / p t hthttp

y2

d.i12 Jumlah Titik d aj.ca=.ci=21 . j e Jumlah Sisi n e

liibli.bu.un i g i ://d/dx ig hthtp ttp:/ 1 z1


x2

z2

y3

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / x3 / p t t hhtt z4

z3 d ca.ci .id a . j . e j une bli.bu.n i l i g y y2 i i 1g i /:d / d : / / p t Jumlah Titik = 16 hthttp

id.zi7d . c a je. j.ac e n u n . u b idgiigliilyi3b. d / / : / hthtp ttp:/

.idd

.idd

Jumlah Sisi = 29

47

z5

z6

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i diggil x4 ttp://://di hhttp z8

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i y4 idgigili /:d / : / / p t hthttp

d aj.ca.ci .id . j e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p/n,/:d / / / / / / p p p Graf Tangga Permata (Dl ) dimana V (Dl ) = {x , y , z ; 1 ≤ i ≤ 1 ≤j≤ t t t n n i i j t t t hhtt hhtt hhtt

c .i Gambar 4.1: e Jumlah j.aj.cac.ititik dan jumlah sisi graf ej.apada j.ac Dl3 dan Dl4

2n} . Sehingga jumlah titik pada graf Dl (Dln ) adalah 4n.

d graf Dln merupakan ca.cid.id ca.cid.ipada ca.cid.id seluruh sisi yang j.aca.cid.id Sedangkan jumlah sisi jumlah a a a . . . j j j e e e e n nej. nej.titik dengan titik lainnya nej. graf tersebut. Berdasarnej. .bu.n .busuatu .bu.n .bu.n u u u u menghubungkan pada b b b b . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p kanhdefinisi sisi Graf Tangga Permata, E(Dl ) = {x x , y y ; 1 ≤ i ≤ n−1} ∪ t t t i i+1 i i+1 ht tp thttp hthttp n ht {xi yi ; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {zj zj+1 ; j genap, 2 ≤ j ≤ 2n−2} ∪ {xi z2i−1 , xi z2i , yi z2i−1 , yi z2i ;-

d 1 ≤ i ≤ n} terlihat jelas bahwa d graf Dln memiliki 8n − 3c.sisi. d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.aci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p tp t t t t 4.2 htJumlah Titik dan Sisi pada Gabungan Graf Tangga Permata (mDl hhtt hhtt n ) htt

Jumlah titik dan jumlah dengan terid.id id.id sisi pada mDln dapatacditentukan id.id . . . c c ca.cid.id a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e lebih dahulu mencermati suatu nej. nej. definisi gabunganilpada nej. graf. Gabungan milgraf nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l i i ig ili idgigili Dln yang dinotasikan idgignilididefinisikan sebagai :gabungan idgigili Tangga Permata mDl /:d /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p t t t thttpTangga Permata (Dl ) dengan tp dari m buah duplikathgraf hthtlepas hthttp1 ≤ j ≤ m saling n













d d d d 48 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il id1gigil 2 idgigil idgigil /:d /:d /:d 3 m :p/Dl :p//:d :p/adalah / / / //dig / / / , ditulis: ∪ Dl ∪ Dl ∪ ... ∪ Dl . Sehingga jumlah titik graf mDl m p p p t t t n n n n n t t t hhtt hhtt hhtt kali jumlah titik graf Dln dan jumlah sisi graf mDln adalah m kali jumlah sisi

ca.cid.idgraf Dln . Misalkan p jadalah ca.cid.idjumlah titik graf mDlnj.adan ca.cid.qidadalah jumlah sisi j.aca.cid.id a a . . j e e e graf mDln , maka:.une nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t tp hthttpp = m.(4n) ⇔ p = 4mn dan hthttqp= m.(8n − 3) ⇔ q = 8mnh−tht3m

d ca.cid.id Permata (Dln ) ca.cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .id4.3 Batas Atas d Graf aTangga a a . . . . j j j j . . . e e e e ne nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i gigil d graf Tangga Permata//(Dl gigil ig il idatas idging)ildapat ditentukan dengan idmengBatas /:d :p//:d :p:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt Lemma 2.6.1. Diketahuihjumlah hhttp = 4n dan htt titik pada graf Dln adalah gunakan




jumlah sisi q = 8n−3. Dengan demikian batas atas nilai beda d tersebut adalah:

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. d ≤ 2p + q − 5ilib.bu.n nej. .bu.n u u b i l i q −/1digigili idgigili /:d / : :p/:+//d8n − 3 − 5 / / p t t thp 2(4n) t hthttp h t = 8n − 3 − 1 8n + 8n − 8 d.id= d i . c aj.ac aj.ca.ci .id . . 8n − 4 j j e e n ne .bu.n 16n − 8 ilib.bu.une u b i l i i i = idgigil idgigil 8ntp−://:4d :p//:d / / / / p t t t p hhtt ≤ h 2 htt



ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i Karena dalam SEAT menggunakan idgipelabelan idgigili bilangan bulat positif, idgmaka gili igili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t p 0 dan d bilangan bulat.hthSehingga p {0, 1, 2}. hthdtt≥ hthdtt∈ nilai dapat disimpulkan ttp Selanjutnya akan ditentukan fungsi bijektif pelabelan total super (a, d)-sisi an-

d d d d nilai aj.ca.ci .idtimagic sesuai dengan aj.ca.ci .didyang telah ditetapkan. aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t tt Atas d pada GabunganhhGraf tt Tangga Permata (mDlnh) htt 4.4 hh Batas

Sedangkan batas atas ca.cid.id ca.cidd.idgabungan graf Tangga Permata ca.cid.id (mDln ) juga dapat j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e ditentukan dengan menggunakan Lemma 2.6.1. Diketahui jumlah titik pada nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ig ili idgigili p = 4mn dan jumlah idgigqil= idgigili /:d /:nd /:d /:d / / / graf mDl adalah sisi 8mn − 3m. Dengan demikian : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp












d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / batasttatas nilai beda d tersebut adalah: p p t t hhtt hhtt




2p + q − 5 id.id q − 1 . c ca.cid.id a a c . . 2(4mn) + 8mn − 3m − 5 j j a e e nej. = nej. .bu.n .bu.1n u u b b i i 8mn − 3m − l l i i ili − 5 idgigili idg− ig3m /:d /:d / / 8mn t+p:8mn : / / / / p t thttp = hthttp h8mn − 3m − 1 16mn − 3m − 5 = d i 3m − 1 . c ca.cid.id aj.ac.id 8mn − 3m a . . j j . e e − 3 un ej ne = 2 − .bu.n u b bli.b1.un i l lii− i i i l g g 8mn − 3m i i i /d ig /d ig


d ≤

:/ /d hthtp ttp:/

Karena 0 <

:/ /d hthtp ttp:/

3m−3 8mn−3m−1

d.id1. Sedemikian hingga berlaku: i< . c ca.cid.id a a c . . j j a e e 3m − nej. d ≤ 2 − nej. .bu.n .bu.3n u u b b i i l l i i i −1 idgigili idgig−il3m 8mn /:d /:d / / : : / / / / p p t t ⇔ d ≤ ht2 ttp hthttp h


d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e e Karena pelabelan bulat positif, maka ne nedalam SEAT menggunakan nbilangan ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i l gigil d bilangan bulat. Sehingga ig il idgigidapat idgi1, gil2}. /:d nilai dp≥ 0/iddan disimpulkan dp∈ {0, :p//:d :p//:d :p//:d / / //dig / / / p t t t t t t h tt h tt hhtt Selanjutnya akan ditentukan fungsih bijektif pelabelan total superh(a, d)-sisi an-

timagic sesuai dengan nilai d yang telah ditetapkan. id.id . c ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j a e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / :p//:d : : / / / 4.5 tPelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Tangga Permata //dig / / / p p p t t t hh(Dl hthttp hthttp tt n )

d d d Metode dalam menemukan antimagic pa.cid.id)-sisi d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id pelabelan total super aj.ca(a, aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n ne ne terdiri dari beberapa ne yang diawali dengan ne da graf Tangga Permata .bu.n .bu.n .bulangkah .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d menggunakan pendeteksian pola (pattern recognition) untuk menentukan pela/ / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt belan yang berlaku sampai dengan batas i dan j yang telah ditemukan. Ke-

secara umum digunakanidfungsi-fungsi dalam id.idmudian untuk menentukan id.ipola . . d c c ca.c.id ca.cid.id a a a a c c . . . . j j j j a a e e e e barisan aritmatikauuntuk nej. nej. menentukan fungsiilibijektifnya. nej. Setelah fungsi bijektif nej. .bu.n .b.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i ig ili idgigiliharus dibuktikan secara idgigili matematik untuk:/membukidgigili diketahui maka deduktif /:d /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp Perlu diketahui bahwa tp hthkebenaran hthtlemma ttp tikan dari lemma atauhteorema. atau













d d d d 50 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d /:d :p//:dalam :p/bukan :p//:d / / / //dig / / / teorema penelitian ini adalah lemma atau teorema yang biimp p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt plikatif atau karakteristik sehingga pembuktiannya hanya dilakukan satu arah.

Dari hasil penggabungan ca.cid.id ca.cid.id pola melalui pattern recognition ca.cid.id dan konsep bari- j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e j. ej. nej. nediperoleh nteorema nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n san aritmatika, maka beberapa lemma, dan akibat sebagai u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p berikut. Teorema yang ditemukan dalam penelitian ini tidak bersifat tunggal t t t hthttp hthttp hthttp (berkenaan dengan sifat ketunggalan) melainkan hanya bersifat keberadaan

.cid.id(existence but not unique). c ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a . . . . e e e e nej nej batas atas nilai d,iliblangkah nej selanjutnya adalahilmenej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u Setelah imengetahui b b b i i i l l i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p nentukan pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic dengan terlebih dahulu t t t t t t hhtt hhtt hhtt menentukan pelabelan titik (a, 1)-sisi antimagic pada graf Tangga Permata Dl4 )

menentukan .cid.id ca.cid.iddimana V (Dln ) = {xji.,aycai ,.czidj.i;d1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ 2n} casekaligus ca.cid.id a a a . . . j j j e e e e n fungsi bijektifnya dan penggunaan konsep barisan nej. nej. pengamatan polailib nej. nej. .bu.n .bu.melalui .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i i ili ig ili idgLemma idgigilberkaitan idgigtitik aritmatika. yang dengan pelabelan igili 4.5.1 adalah lemma /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp Antimagic pada Graf Tangga hthttpPermata Dl . hthttp (a, 1)-sisi n

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e e 3 Lemma 4.5.1 Ada titik (3, 1)-sisi antimagic ne npelabelan ne pada graf Tangga Permata ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i Dln jika n/d ≥g2. il ig il idgigil idgigil /:d :p/://idig :p//:d :p//:d / / //dig / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Bukti. Labeli titik graf Tangga Permata Dln dengan fungsi bijektif α1 , defi-

.cid.idn ) → {1, 2, . . . , 4n} maka .cid.id α1 dapat dica.cid.idnisikan pelabelan α1 j:.aVca(Dl capelabelan ca.cid.id a a a . . . j j j e e e e u.n nej. nej. nej. nej. .bu.n .bberikut: .bu.n .bu.n tuliskan sebagai u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp


α1 (xi ) = 4i − 2, jika 1 ≤ i ≤ n

d ca.cid.id ca.cid.id aj.αca.1ci(y.id a . . ≤j.na j j i ) = 4i − 1, jika 1 ≤ i e . . e e ne nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i j+1 l l l i i i i i i ((−1) + 1) idgigil α (z ) = 2j − idgig,il jika 1 ≤ j ≤ 2n idgigil :p//:d :2p//:d :p//:d 1 j / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Dari persamaan di atas, dapat dipahami bahwa α1 (xi ), α1 (yi ) dan α1 (zj )

id id ca.cid.idadalah fungsi bijektif jyang ca.cidmemetakan ca.cid.bilangan ca.cid.id . Dln ke himpunan bulat {1, 2,a a a a . . . . j j j e e e e j. n nej. nej. nepelabelan nej. .bu.n .bu.n .busisi .bu.n u u u u b b b b . i i i i . . . , 4n}. Jika w didefinisikan sebagai bobot titik α dimana l l l l i i i i α 1 ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t bobot tp pelabelan titik diperoleh tp penjumlahan 2 buah label hthtsisi hthtdari hthttptitik yang 1













d d d d 51 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / bersisian, maka fungsi bijektif w dapat ditentukan melalui pengamatan pola p p p t t t α t t t hhtt hhtt hhtt 1

dan penggunaan konsep barisan aritmatika sebagai berikut:


ca.cid.id a . j 1 neej. w (x x ) = α.u b i l i b.uin i+1 i l g i i g d 2 i :// /d wα (yi yi+1 ) = hthtp ttp:/ 3

ca.cid.id a . j e j. − 1 u.n 8i; jikalib 1 .≤ i n≤en u i b idgigi1li ≤ i ≤ n − 1 :p//:d 8i +tt2; jika / / p hhtt


wα4 1 (zj zj+1 )

4j + 1;

wα5 1 (xi z2i−1 ) wα6 1 (xi z2i ) wα7 1 (yi z2i−1 )

8i − 5;


1

1

wα1 (xi yi )


= 8i − 3;

.cid.= id c a . jej.a = e n liibli.bu.un i g i = dig :p//:d / / p t t hhtt = wα8 1 (yi z2i )

jika 1 ≤ i ≤ n

jika 2 ≤ j ≤ 2n − id2 genap

c. .id

j.aac jika 1 ≤ unie≤enj. ib. .un

igiigl i1lib≤ i ≤ n 8i − 2; //djika tp: ://d

ttp jika 1 ≤ i ≤ n 8ih−th4;

= 8i − 1;

jika 1 ≤ i ≤ n

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e uneej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b 5 ilib.b.un i i i l l l i i i Berdasarkan ili terkecil terletak pada/w ig ili idgigili bobot sisi EAV ini, bobot idgigsisi αigyaitu igili /:d /:d /:d /:d / / d : : : / / / //dig / / / p p p 8 t t t p 8i − hth5.ttpBobot sisi terbesar terletakhthpada hthttmensubstittp wα yaitu 8i − 1. Dengan 1

1

tusikan nilai i = 1, k = 2 dan i = n untuk bobot sisi terbesar, sehingga dapat 8id t d.idmembentuk himpunan S i . dari bilangan id c .idwα1 = {3, 4, 5, . . . , 8n −ac1}.cid.terdiri a c ac.ct=1

je. j.a e n u n . b u idgiigliilib. /:d //

ca.cid.id a . . . j j j a a . . . e e e j u.n nej demikian α1 adalah ne nej .bDengan .bu.n .bu.n bulat berurutan. suatu pelabelan titik (3, 1). ilib2 u u u b b i i l l i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t h 2 tt 3 hhtt hhtt Angka 1, 2, ..., 8 pada wα1 , wαh , wα , . . . , wα8 bukan merupakan pangkat, 1

1

1

1

melainkan untuk membedakan wα yang mempunyai syarat batas i dan j yang d.id d.id id.id . c ca.cimerupakan ca.cititik ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j berbeda-beda. Gambar 4.2 contoh pelabelan beserta bobot sisi a e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i EAVLnya/d(3, (Dl4 ) dengan d = /1.digigili ig ili idgi1)-sisi idgPermata gili antimagic graf Tangga igili /:d /:d / / : : :/ /d / / //dig / / p p : t t hthttp hthttp hthtp ttp:/


1

10 d.id6 d.id 14 d i i . . c c x3 x4 x1 aj.ac x2 aj.24 aj.ca.ci .id c . . . j j j a 8 16 e e e ne ne .unne 11 14 .bu.22n .bu.n u u b b b 19 i i i 6ib.u 27 3 30 l l l i i i i i 13 8 9iggil 12 idgigil 4 idgigil 5 d5i 21 z6 25 z7 29 ttp:pz/8/:d :p1//:d :p//:d 9 z / / / 17 / / / p p z t t z z z 13 16 1 4 t t 2 3 5 hhtt hhtt hhtt 2

7

4

12

20

15 18

23

28

31

26


y y3 ca.cid.idy2 ca.cid.id 4 ca.cid.id a a a . . . j j j e e 15 7 11uneej. 3 nej. nej. .bu.n .b.un .bu.n u u b b b i i i l l l i i i idgigili 4.2: Pelabelan titik:/(3,1)-sisi idgigili antimagic pada Dl4 ://didgigili Gambar /:d /:d / : / / / / / p p t t hthttp hthttp hthtp ttp:/









y1

10








Berdasarkan Lemma 4.5.1 maka diperoleh pelabelan titik (3, 1)-sisi an-

.cid.id ca.cid.idtimagic dan dapat ditentukan ca.cid.id pelabelan total superj.(a, ca0)-sisi ca.cid.id a a a a . . . antimagic dengj j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i an menentukan titik telah ditemukan. Letak i i ig ili idgigililabel sisi dari pelabelan idgigilyang idgigilla/:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttpditentukan berdasarkan letak belhsisi hthttpbobot sisi EAVL w dengan hthurutan ttp yang berkebalikan. Sehingga sisi dengan w terkecil dilabeli dengan label sisi terbesar

d did dengan label sisiaterkecil. ca.cid.id Melalui penga- j.aca.cid.id aj.ca.ci .iddan sisi dengan w terbesar aj.ca.ci .dilabeli . . . j j j . e e e e n n n n e e ej ej. u u u u n n n n . . . . matan pola dan penggunaan konsep barisan aritmatika, maka dapat ditenu u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : / / / tukan fungsi bijektifnya. Dari uraian di atas dapat diturunkan teorema 4.5.1: //dig / / / hthtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp:

ca.cid.id3 Teorema 4.5.1 Ada jpelabelan ca.cid.id total super (12n, 0)-sisij.antimagic ca.cid.id pada graf Tangga j.aca.cid.id a a a . . j e e e e n Permata Dln jika n.u≥ nej. n2.ej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthBukti. hthttpPermata Dln dengan α2h(xthit)tp= α1 (xi ), ttp Labeli titik graf Tangga α2 (yi ) = α1 (yi ) dan α2 (zj ) = α1 (zj ), definisikan label sisi α2 : E(Dln ) →

d d.id d.id .cid.id aj.ca.ci .id{4n + 1, 4n + 2, . . . , e12n aj.ca−.ci3}, aj.ca.cipelabelan maka label sisi α2 untuk total super ej.a.c . . . j j j a e e ne ne graf Dl dapat dirumuskan ne sebagai berikut: ilib.bu.n nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l (a, 0)-sisi antimagic pada i i i n i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt



α2 (xi xi+1 )

= 12n − 8i,

jika 1 ≤ i ≤ n − 1

α2 (yi yi+1 )

= 12n − 8i − 2, jika 1 ≤ i .≤ n−1 ca.cid.id cacid.id ca.cid.id a a a . . . j j j ei )ej. = 12n − 8i + 3, jika e e α2.(x i yn u.n n1e≤j. i ≤ n nej. .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i b idgigαil2i (zj zj+1 ) = 12n − 4j://−did1,gigilijika 2 ≤ j ≤ 2n − 2 genap idgigili /:d /:d / / : : / / / / / / p p p : t t t thttp hthttp hthttp α2 (xi z2i−1 ) = 12nh− 8i + 5, jika 1 ≤ i ≤ n α2 (xi z2i )

= 12n − 8i + 2,

jika 1 ≤ i ≤ n

d id aj.)ca.ci=.id 12n − 8i + 4, jika e1j.≤aj.cai .≤ c.ind α2 (yi ze . j 2i−1 ne n1e≤ i ≤ n .b(yu.n .bu.n u u b b i i l l i i α z ) = 12n − 8i + 1, jika i i 2 i 2i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt


Jika Wα2 didefinisikan sebagai bobot sisi pelabelan total α2 (xi ), α2 (yi ),

ca.cid.idα2 (zj ), α2 (xi xi+1 ), α2 (yji.yai+1 ca.c),id.iαd2 (xi yi ), α2 (zj zj+1 ), α2 (xji.za2i−1 ca.cid.),idα2 (xi z2i ), α2 (yi z2i−1 ) j.aca.cid.id a . j e e e e nej. neα j.dapat diperoleh dengan nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b dan α (y z ) maka W menjumlahkan rumus bobot i i i i 2 i 2i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p sisihEAVL w = w dan rumus label sisi α dengan syarat batas i dan t t t α 2 thttp α hthttp hthttp j yang 2

1

2













d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / bersesuaian dan dapat dirumuskan sebagai berikut: p p t t t t hhtt hhtt



c c.iixdi+1 ); jika 1 ≤ i ≤ n − 1}j.acac.id Wα12 = {wα1 2e+j.a e j. jα.a2 (x


Wα22 = {wα2 2 + αc 2 (y .idiiydi+1 ); jika 1 ≤ i ≤ n − 1}







.id

.id

n e n e iibli.bu.un iibli.bu.un l l i i g g i i :p//:d /d=ig (8i) + (12n − 8i) ttpt:p//:d /dig / / t hthtp h t ht = 12n

d aj.ac. aj.ca.ci .id . . j j e e e ne .bu.n .bu.n u u b =ilib(8i +n2) + (12n − 8i − 2) i l i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt = 12n Wα32 = {wα3 2 + α2 (xi yi ); jika 1 ≤ i ≤ n}

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e = (8i −e ej.+ (12n − 8i + 3) n3) nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : = 12n / / / / p p t t hthttp hthttp

Wα42 = {wα4 2 + α2 (zj zj+1 ); jika 2 ≤ j ≤ 2n − 2 genap}

id


. .id − 4j − 1) = (4j + 1) j.a+cac(12n

e n ej. u n . u b . i ib idg=iigl il12n d / / : / / hthtp ttp5: 5

Wα2 = {wα2 + α2 (xi z2i−1 ); jika 1 ≤ i ≤ n} = (8i − 5) + .(12n idd − 8i + 5)

cac.i ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n =ilib12n u u b i l i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p 6 6 t t tpα = {wα + α2 (xi z2i ); jika hthtW hthtt1p≤ i ≤ n} 2

2

= (8i − 2) + (12n − 8i + 2)

53


ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . . e e = 12n nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i il n} idg=igil{w7 + α (y z ); jika://1d≤ idgiig≤ W:/α7/:d / / 2 i 2i−1 α / / p p : t t t t hhttp hhttp














2

2

= (8i − 4) + (12n − 8i + 4)

= 12n





d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil 8 idgigil /:d /:d /≤ :p/α8/:d : / / //dig / / p p W = {w + α (y z ); jika 1 t t 2 i 2i t t α hhtt hhttp i ≤ n}


2

2


= (8i − 1) + (12n − 8i + 1)

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p 1 2 8 t t t bahwa Wα = Wα h =th·t·t·p= Wα = 12n. Atau dapathth dituliskan sehthTampak ttp ttp S = 12n

2

bagai berikut:

8 t=1

Wαt 2

2

2

= {12n, 12n, . . . , 12n}. Dapat disimpulkan bahwa graf

d d dd super(a, d)-sisi d aj.ca.ci .idTangga Permata Dlnedengan aj.ca.ci .idn ≥ 2, mempunyai pelabelan aj.ca.ci .itotal aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e ne nePermata Dln mempunyai ne .bu.n .bu.an .bu.n .bu.n antimagic dengan =ne 12n dan d = 0, atau graf Tangga u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / Pelabelan Total Super (12n, 0)-sisi antimagic jika n ≥ 2. 2 //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 1

2

8

Angka 1, 2,. . ., 8 pada Wα , Wα , . . . , Wα bukan merupakan pangkat, meid.id . c ca.cid.idW yang mempunyai jsyarat ca.cid.idbatas i, dan k yang j.aca.cid.id a a a c . . . j j lainkan untuk membedakan a α e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li berbeda-beda. 4.3 merupakan /contoh ig ili idgigiGambar idgigili pelabelan total super:(48, idg0)-sisi d igili /:d /:d /:d / / / : : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttp (SEAT L) pada graf Tangga hthttpPermata Dl4 . hthttp antimagic



2

2

2

2

2

14

10

6

x3 id x ca.cid.id x4 ca.cid.id 32 40.ac.c.id2 24 a a . . j j j a . . . e e e n ej 13 21 18 42 .unnej 29 26 45 37 34 8 nej .bu.n 9 ilib.u.un12 u 4u b b 5 . i i l l i i b b i i i idgigil z2 39 z3 35 z4 31://dzidg5igi27l idgigil z/8/d/16 z6 23 z7 19 1 z:1//d/43 : / / / / p p p : : : t t t t t t hhttp hhttp hhttp 25 20 36 33 28 17 41 44 x1

y1

38

y2

30

y3

22

y4

ca.cid.id7 ca.cid.id 15 ca.cid.id a a a 11 3 . . . j j j e e e nej.4.3: SEATL graf Dl i(Dl nej. d = 0 nej. .bu.n .bu).n .bu.n u u u b b b i i i l l l Gambar dengan i i idgigili idgigili 4 idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Berdasarkan Lemma 4.5.1 maka diperoleh pelabelan titik (3, 1)-sisi an-

d d id antimagic de- j.aca.cid.id ca.cid.2)-sisi aj.ca.ci .idtimagic dan dapat ditentukan aj.ca.ci .id pelabelan total super aj.(a, . . . j j j e e e e n n n n e e sisi dari pelabelan titik e telah ditemukan. Letak ej. u u u u n n n n ngan menentukan label yang . . . . u u u u b b b b . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : labelttsisi ditentukan berdasarkan letak bobot sisi EAVL w dengan urutan yang / / / //dig / / / hhp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: yang sama. Sehingga sisi dengan w terkecil dilabeli dengan label sisi terkecil

dengan label sisi terbesar, d.id id.iddan sisi dengan w terbesar idilabeli id.id dimana E(Dln ) = . . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e {xi xi+1 , yi yi+1 ; 1 ≤ ie≤ n nej. nej.n − 1} ∪ {xi yi ; 1 ≤ iliib≤.bu.n} ne∪j.{zj zj+1 ; j genap, 2 ≤iljib≤ nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b i i l l i i ili , xi z2i , yi z2i−1 , yi z2i ; 1 ≤ ili Melalui pengamatan//pola ili ig ili idgiizg2i−1 idgigdan 2n − 2} ∪ {x iig ≤ign}. d /:d /:d /:d / / d : : : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttp hthttp maka dapat ditentukan hthfungsi ttp bijekpenggunaan konsep barisan aritmatika,












d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / tifnya. Dari uraian di atas dapat diturunkan teorema 4.5.2: p p t t t t hhtt hhtt


ca.cid.id3 Teorema 4.5.2 Ada pelabelan ca.cid.id total super (4n+4, 2)-sisi ca.cid.id pada graf Tangga j.aca.cid.id a a a antimagic . . . j j j e e e e n nej. n2.ej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n Permata Dln jika n.u.≥ u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Bukti. Labeli titik graf Tangga Permata Dln dengan α3 (xi ) = α1 (xi ),

α3 : E(Dln ) → .cid.idα3 (yi ) = α1 (yi ) dan α.a3 (z .cji)d.id= α1 (zj ), definisikan label .cid.sisi d i c c c ca.cid.id a a a . . . j j j j a a a . . . . e e e e {4n + 1, 4n + 2, ..u . .n, n 12n untuk ej − 3}, maka label sisib.αu.3n nej nej pelabelan total super nej .bu.n .bu.n u u u u b b b . i i i i l l l l i i i i b b i i i i ig il idgigil pada graf Tangga:/Permata idgigil Dln dapat dirumuskan idgigil d (a, 2)-sisi sebagai /:d /:d //:d :p//:antimagic : / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhttp hhttp berikut:



d.id 4n + 8i − 2, α3 (xi xi+1 ) c.i=

je.aj.ac e n u iglαiibl3i.b(y.iuyni+1 ) = g i d i = :// /d α3 (xi yi ) hthtp ttp:/ α3 (zj zj+1 )

=

jika 1 ≤ i c≤.id n .id− 1

ca.cid.id a a c . . j j a eeji. ≤ n − 1 e 4n + 8i, jika 1n≤ nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i li idgigijika idgigili /:d /:d / / 4n + t8i − 5, 1≤i≤n : : / / / / p p t ht ttp hthttp 4n +h4j − 1, jika 2 ≤ j ≤ 2n − 2 genap

α3 (xi z2i−1 ) = d 4n + 8i − 7,

jika 1 ≤ i ≤ d n .ci .id .ci .id c c a a . . j) j.a = 4n + 8i − 4, jika n1e≤jeji.a≤ n α3 (xn i ze 2ie u n . u b bli.bu.un . i lαilib(y z ) = 4n + 8i − 6,igiliijika i g i 1≤i≤n 3 i 2i−1 dig dig :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt tt − 3, jika 1 ≤ i ≤ n α3 (yi z2i ) = 4n h +h8i


Jika Wα didefinisikan ca.cid.id ca.cid.idsebagai bobot sisi pelabelan ca.cid.idtotal α3 (xi ), α3 (yi ), j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e α3 (zj ), α3 (xi xi+1b),.uαn ),.uαn nej. nei yj.i+1 ), α3 (xi yi ), α3 (zj zj+1 nei zj.2i−1 ), α3 (xi z2i ), α3 (yiizli2i−1 nej. 3 (y 3 (x .bu.n .bu).n u u u u b b b . . i i i l l l i i i b b gigili menjumlahkan rumus ili W dapat diperoleh ig ili idengan idgbobot dig)igmaka igili /:d /:d /:d dan α3p(y / / / d : : : i/:z//2id α / / //dig / / p p t t t hthttp hthttp ht ttp sisi EAVL w = w dan rumus label sisi α dengan syarat batashi dan j yang


3

3

α1

α3

3

bersesuaian dan dapat dirumuskan sebagai berikut:

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e n n+eα3 (xi xi+1 ); jika 1 ≤ iil≤ n1}e .bu.1n .bnu.− u u b i Wα1 ig=iliib {w α i i l idgigil dig :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt = (8i) + (4n + 8i − 2) 3

3

= 4n + 16i − 2


















d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil 2 idgigil /:d /1/:d :p/α2/:d : / / //dig / / p p W = {w + α (y y ); jika ≤ t t 3 i i+1 t t α hhtt hhttp i ≤ n − 1}







3


3

= (8i + 2) + (4n + 8i)

.idd

ca.cid.id a . j e ne nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i 3 + α3 (xi yi ); jika 1 ≤/diig≤ign} ili W:/α3/d/idg= igil{w α / d : / / / p p : : t t hthttp hthttp


= 4n +e16i j.aj.c+ ac2.i

3

3

= (8i − 3) + (4n + 8i − 5) = 4n + 16i c −.i8d .id

d d aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e u.n n+eα3 (zj zj+1 ); jika 2 ≤ jili≤b.b2n ne2 genap} ne .bu.4n .bu.n u u u b i − {w Wα4 ig=iliib l i α i i i l idgigil idgigil dig :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hh−tt1) hhtt = (4j + 1) + (4n + 4j 3

3

= 4n + 8j

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j 5 e j. e Wα5 = {w u.n n+eα3 (xi z2i−1 ); jika 1 ≤ iili≤ nej. .bu.αn .bn} u u b b i l i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / = (8i − 5) + (4n + 8i − 7) p p t t hthttp hthttp 3


3

= 4n + 16i − 12

.id

d aj.ca.ci .id . j e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idg=igil(8i − 2) + (4n + 8i − 4)://didgigil :p//:d / / / p t t hthtp hhtt ttp:/


c c.iizd2i ); jika 1 ≤ i ≤ n} Wα63 = {wα6 3e+j.a jα.a3 (x = 4n + 16i − 6

Wα73 = {wα7 3 + αc 3 (y .idiizd2i−1 ); jika 1 ≤ i ≤ n}

ca.cid.id . a a c . . j j a e e ej.+ (4n + 8i − 6) n4) nej. .bu.n .bu.n u u b =ilib (8i − i l i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp = 4n + 16i − 10 hthttp


Wα83 = {wα8 3 + α3 (yi z2i ); jika 1 ≤ i ≤ n}

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e = (8i −n1) e + (4n + 8i − 3) ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil :p//:d :p//:d / / = 4n + 16i − 4 / / p p t t t t hhtt hhtt 1

2


3

8

Perhatikan Himpunan bobot sisi Wα = {Wα , Wα ,idWα , . . . , Wα }. Tamid.id id.id . . c c ca.c.id ca.cid.id a a a a c c . . . . 5 j j j j a a e e e pak bahwa bobotun terletak pada Wuαne j. ej. bobot sisi terbesar ternej. neterkecil nej. .bu.n .b.usisi .b.undan .bu.n u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i = 1 pada Wα5 diperoleh gigα8il.i Dengan mensubstitusikan ig ili idW idgigilnilai idgigili letak pada /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp 3

3

3

3

3

3

3

3













d d d d 57 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :pα/5/:d :p/substitusi / / / //dig / / / Wα t= 4n + 4, substitusi i = 2 pada W diperoleh W = 4n + 6,. . . , p p p t t t α t t hhtt hhtt hhtt 8 3

3

3

i = n pada Wα3 diperoleh Wα3 = 20n − 4. Dapat dinyatakan bahwa Wα3 mem-

aritmatika .dengan .cid.id2 (dua), atau dapat .ac.cid.id ca.cid.idbentuk barisan cacid.id suku awal 4n+4 dan cbeda S a a a . . . j j j jej.a 8 a t e e=e{4n e e j. j. + 4, 4n + 6, 4n + 8 . ...u, n20n j. 4}. Dapat disimpulkan dituliskan t=1 W − n n e e αnn u u u n n n . . . u u u u b b b b lib. lib. giigliilib. Permata Dln mempunyai idgiigliilib. idTangga idgiigliipelabelan idgiigliiand d d bahwa graf total super(a, d)-sisi /:d / / / / / / : : : / / // p :// ttp hthtp ttpdengan ttp:/ graf Tangga Permata Dlhnthtmempunyai ttp:/ timagic a = 4n+4 dan d =h2hatau 3

Super (4n + 4, 2)- EAT; n ≥ 2. Sehingga terbukti bahwa pelabelan total α (x ),

3 i d.id d.id d.id d i i i . . . c c c aj.ac α3 (yi ), α3 (zj ), α3 (xi xei+1 aj),.acα3 (yi yi+1 ), α3 (xi yi ), α3 (zej zjj+1 aj.a),cα3 (xi z2i−1 ), α3 (xi z2i ), ej.aj.ca.ci .id . . . j j e n n ne ne ne ne .bu.n .bu(y .busuper .bu.n u u u u b b b b . . i i i i l l l l i i i i α (y z ) dan α z ) adalah pelabelan total (a, 2)-sisi antimagic jika i i i i 3 i 2i−1 ig il 3 i 2i ig il idgigil idgigil /:d dig :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t n ≥h2. 2 hhtt hhtt htt

1 2 8 Angka 1, 2, . . . , 8 pada pangkat, meid.id id.W . . α , Wα , . . . , Wα bukan merupakan d i c c ca.cid.id ca.cid.id a a a a c c . . . . j j j j a a e e e e j. lainkan untuk membedakan Wα yang mempunyai batas i dan j yang nej. nej. nesyarat nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d berbeda-beda. / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp 3

3

3

3

Jika α3 (z) adalah label sisi Dln untuk d = 2 dan α2 (z) adalah label sisi Dln

d untuk d = 0 maka berdasarkan d dsisi yang ditentukan d urutan peletakkan label aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e berdasarkan letak bobot dirumuskan label sisi Dln untuk ne ne sisi EAVL w dapatilib ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d d = 2, pyaitu: :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt


α3 (z) = 2p + q + 1id − α2 (z)

ca.c.id ca.cid.id a a . . j j e e = 2(4n) ne+j. (8n − 3) + 1 − α2 (z) nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgig=ili 16n − 2 − α2 (z) idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp


Gambar 4.4 merupakan contoh pelabelan total super (24, 2)-sisi antimagic

d dd d d Dl5 . aj.ca.ci .id(SEAT L) pada graf eTangga aj.ca.ci .iPermata aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il il ig il idgpelabelan idgigantimagic idgigPerUntuk total super (a,:d)-sisi pada graf Tangga igil /:d //:d //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p t t t t t t tp hhDl hhtsebuah tt n dengan d = 1, penulishakan http membuktikannya melalui mata teorema yang dikembangkan dari Lemma 2.6.2 yang telah dibuktikan pada bab

.cid.id penulis mengem- .ac.cid.id d ditemukan tersebut, ca.cid.id2. Berdasarkan lemmaj.a ca.cid.itelah camaka a a yang . . j j jej.a e e e e j. j. j. n n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b iilib. bangkan lemma menjadi sebuah teorema b. idgiigliilib. idgiigliilitersebut idgiigliilib. baru untuk menentukan idgiiglpelad d d /:d / / / / / / : : : / / // p:// graf Dln dengan d =h1.thtp belan total hthtp hthtp ttp:/ super (a, d)-sisi antimagic ttpada ttp:/











d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hh2tt 6 x1

ca.cid.id a . j e nej. 1 z1 .bu.n u b i l i ig ili /:d //dig

x2

26



d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt 10 14


x3

34

42

x4

32 ca.cid.8id 9 37 40 12 13j.a45ca.cid.i48d a . j e ne31ej. z4 35 z5 39 z6b.u43n z2 27 .zu 23 nz7ej. 47 3 un u b . . i i l l i i b b idgigili idgigili /:d /:d / / : 22 tp:25 30 46 49 / / 33 41 38 / / p t thttp hthttp h 36 44 28 21

24

4

5

58

29

y1

y2

y3

y4

3

7

11

15

x5

50

ca.cid.id a . j eej. z8 51 z9 55 10n20 .bu.zn u b i l i idgigili /:d / : 57 / 54 / p t h52thttp 17 53

16

56

y5

19

d d d .cid.id aj.ca.ci .id aj.ca4.4: aj.ca.ci d.id= 2 aj.ca.ci .id . . . . Gambar SEATL graf Dl (Dl5 ) dengan j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :p//:d :p+ / / / //dig / / / p p p t t t 3 Teorema 4.5.3 Suatu graf Dl mempunyai pelabelan total super (8n 2, 1)-sisi t t t n h tt hhtt hhtt h antimagic untuk n ≥ 2.

d.id ca.cid.id ca.citercantum ca.cid.iduntuk n ≥ 2, pela- j.aca.cid.id a a a . . . j j j Bukti. Sebagaimana dalam Lemma 2.6.2, e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i belan titik/dαig pelabelan (3, 1)-EAV. ili ig ili idgigadalah idgMisal 1 ipada gili graf Dln dari Lemma d igili /:d /:4.5.1 /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttp adalah A = {c, c + 1, ch+th2, hthttp bobot ttp. . . , c + k} membentuk himpunan barisannya sisi dari pelabelan titik α1 untuk c = 3 dan k = 8n − 4. Pada Lemma 2.6.1, Π(A) did16n−2 , c + 16n−2 + 1, id.id A + £Π(A) − c + 8n+2 ¤ =ac{c.i+ .cid.iddari anggotanya A antara .clain c c ca.cid.id a a a 2 j. ac. 2 2 . . . j j j a a . . . . e e e e £ ¤ j nnej − c + 8n+2 adalah label un ej unsisi un ej nedari . . . , c+ 32n−10 .ilJika Dln maka A+[Π(A)− ibi.bu.uΠ(A) ilibi.b.un ilibi.b.u ilibi.b.un 2 2

ig il /:d //dig



/digigil

/digigil

/digigil

:/://ddari Dln , yang mana hasil :/://d c +h8n+2 himpunan bobot ://d t2tpt:p]/membentuk httptpsisi httptppelabelan

ht

ht

total super (8n + 2, 1)-EAT.

ht

2

10 ca.cid.id6 ca.cid.id 14 ca.cid.id a a a . . . j j j . e e x3une x4 x1 x2 n43ej. nej. .bu.n .b.unej 35 .bu.n 39 u u b b b i i i l l l i i i gig44 ili ig 23ili 36 12 13 19 32 ://didgigili 40 31id 27 /:d / 8 p://d 9dig : 4 5 / / / / p : t t ttpp:// 24 z hth1 tztp1 30 hzth4 ttp 22 z2 28 z3 26 z6 20 z7 18hhtt z8 16 5 2

41

29

45

25

37

21

17

d.idy d.id 33 y4 d i i . . 38 34 c c y 3 aj.ac 2 aj.ac aj.ca.ci .id . . . j j j e e e un e ne ne .bu.n .bu.n 15 u u 7 11 b b 3 ilib.b.un i i l l i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p Gambar 4.5: Pelabelan total super (34, 1)-sisi antimagic (SEAT L) pada Dl4 t t t t t t hhtt hhtt hhtt y1

42

















d d d d 59 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / 4.6 tPelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Gabungan Graf Tangga p p p t t t t t hhPermata hhtt hhtt tt (mDln )

d d)-sisi antimagic j.ac.cid.id Metode dalam .menemukan pelabelan total super ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.i(a, a a a . . j j j e e e e j. j. j. j.a n n n n e e e e u u u u n n n n . . . . pada gabungan graf Dl terdiri dari beberapa langkah yang diawali dengan u u u u b b b b n idgiigliilib. idgiigliilib. idgiigliilib. idgiigliilib. d d d /:d / / / / / / : : : / pendeteksian pola (pattern / recognition) untuk menentukan / pelamenggunakan // hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/ belan yang berlaku sampai dengan batas i, j dan k yang telah ditemukan. Ke-

secara umum digunakan dalam .cid.idmudian untuk menentukan .cid.ipola .cid.ifungsi-fungsi d d c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e barisan aritmatika n nej nej menentukan fungsiilibijektifnya. nej Setelah fungsi bijektif nej .bu.n .bu.untuk .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i i i i i ig il idgigil harus dibuktikan secara idgigil idgigil diketahui maka deduktif matematik untuk:/membuk/:d /:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t p hhkebenaran hhttlemma tt htt tikan dari lemma atauhteorema. Perlu diketahui bahwa dan teorema dalam penelitian ini adalah bukan lemma atau teorema yang biim-

.cid.id id ca.cid.idplikatif atau karakteristik casehingga ca.cid.dilakukan ca.cid.id a a a a pembuktiannya hanya satu arah. . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i ili ili ig ili idgigilpenggabungan idgigpattern idgigbariDari hasil pola melalui recognition dan konsep /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp thttp hthttp lemma, teorema danhakibat sanharitmatika, maka diperoleh beberapa sebagai berikut. Teorema yang ditemukan dalam penelitian ini tidak bersifat tunggal

d dd .cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .id(berkenaan dengan esifat aj.caketunggalan) aj.ca.ci .ibersifat melainkanehanya keberadaan ej.a . . . j j j . e u.n ne ne ne nej .bu.n .bunique). .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i (existence but not i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t t hhttnilai d, langkah selanjutnya hhtadalah hhSetelah tt mengetahui batas atas menentukan pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic dengan terlebih dahulu

.cid.id ca.cid.idmenentukan pelabelan ca.cid.id(a, 1)-sisi antimagic pada cagabungan ca.cid.id a a a a titik graf Tangga . . . . j j j j e e e e j. nej. nejV. (mD ) = {xk , yk , z kil;i1b.b≤u.n n≤en, nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i i Permata mDl dimana i 1 ≤ j ≤ 2n, 1 ≤ k ≤ m} n i i igjgili ig ili idgign ili idgigili i /:d /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p t t t sekaligus hthttp menentukan fungsi bijektifnya hthttp melalui pengamatan pola hthttpdan penggunaan konsep barisan aritmatika. Lemma 4.6.1 adalah lemma yang berkaitan

d d.id Antimagic Gabunganc.Graf d d ca.ci1)-sisi aj.ca.ci .iddengan pelabelan titik aj.(a, aj.aci .id Tangga Permata ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n mDln . u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 3 Lemma 4.6.1 Ada pelabelan titik ( 3m+3 , 1)-sisi antimagic pada gabungan Graf Tang2 ga Permata mDl jika m ganjil, m ≥ 3 dan n ≥ 2. d d n .i d .i d .idd

je.aj.cac.i e n u igliibli.b.un g i d i /://d

cac.i cac.i ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgiLabeli idgigili Permata mDln dengan idgfungsi Bukti. Tangga gili titik gabungan graf igili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t tp → {1, 2,hthttpα4 , untuk 1 ≤ k ≤ m, definisikan hthttp pelabelan α4 : V (mDl hthnt)) bijektif













d d d d 60 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / . . . , 4nm} maka pelabelan α dapat dituliskan sebagai berikut: p p p t t t 4 t t t hhtt hhtt hhtt



 ca.cid.id; (8i−5)m+k a .  j e n  ej.2 n(8i−6)m+k  .bu u b  . i l i  ; idgigili  2  /:d / : / / p t k (8i−4)m−2k+2 hthttpα4 (xi ) = ; 2   (8i−6)m+k+1   ;  2   d  (8i−5)m+k+1 i . j.ac2c.id ;

     

2 (8i−4)m+k+1 ; 2 (8i−3)m+k+1 ; 2 (8i−3)m+k ; 2 (8i−4)m+k ; 2

ca.cid.id = neje.a n j. .bu  u b . i l  i idgigili   /:d  / : /  / p t  hthttp


.c.id  j.ac a . e (4j−4)m+k+1 u.n ; nej 2 .b  u b  i l i  i l g i i  (4j−3)m+k+1 ; ://d/dig   2   hthtp ttp:/  (4j−2)m+k+1  ;   2   (4j−1)m+k+1   ;  2 id  . d  i c . (4j−3)m+k  e a je. j.2ac ; u.n n . α4 (zjk )li= u b (4j−4)m+k ; idgiigilib  d 2 /  / :  / / p :  t (4j−1)m+k  hthttp ;   2   (4j−2)m+k   ;  2   d (4j−2)m−2k+2 i  .   je.aj.ca2c.id ;  e  n 4jm−2k+2 u n . giliblib.u 2 ;


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i genap idgigili /:d / : / / p t hthttp sembarang

b.uun

ili b. jika i/d ≡ig1(mod igili 3) dan k

:/ /d thtp hjika ttpi:/≡ 2(mod 3)

dan k


ca.ckid.id ca.cid.id jika i ≡ 3(mod 3) jdan genap a a . . j a . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t  t t t hhtt hhtt (8i−2)m−2k+2 hhtt  ; jika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang 



c.idid

.aj.ack. ganjil jika i ≡ 1(mod n3)ejedan

α4 (yik )

id

idigi :p//:d / / p t t hhtt

jika i ≡ 2(mod 3) dan kdganjil

.ci .id .cid.id c c a a . . j j a a jika i ≡ 2(mod n3)eedan . k genap e nej. .bu.un j .bu.n u b b i i l l i i jika i/d ≡ig3(mod idgigili igili 3) dan k ganjil p://:d / d : / / / / p : t t thttpi ≡ 3(mod 3) dan k genaphthttp hjika d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e jika j ≡ 1(mod 6) nedan k ganjil ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idg1(mod idgigil igil 6) dan k genap p://:d jika ≡ :p/j/:d / / / / p t t t t hhtt h ttp jika j ≡ 2(mod 6) dan k ganjil h jika j ≡ 2(mod 6) dan kd genap

ca.ci .id ca.cid.id a a . . j j jika j ≡ 3(modn6) dan k ganjil e nej. nej. .bu.ue .bu.n u b b i i l l i i jika j/d≡ig3(mod idgigili igili 6) dan k genap p://:d / d : / / / / p : t t thttpj ≡ 4(mod 6) dan k ganjilhthttp hjika jika j ≡ 4(mod 6) dan k genap

d ca.cid.id a . j a . . e e j j u6)nedan k sembarang gilibli.bu.n une bli.bu.n jika j ≡g6(mod i l i idigi idigi :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt k k jika j ≡ 5(mod 6) j.dan ac.cik.idsembarang

Fungsi bijektif pada α4 (xki , α4 (yi ) dan α4 (zj ) dapat direduksi sebagai berikut:    


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b k i l i α4 (xi ) =diggili :p//:/ /di   t hthtp t









k (8i−5)m+k − ( (−1)4 +1 )m; 2 (8i−4)m−2k+2 ; 2 k+1 (8i−5)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m; 2

c.idid

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i dan k sembarang idgigili /:d / : / / p t dan h kthsembarang ttp

jika i ≡n1(mod ej.aj.ac3). dan k sembarang

u.une liiblii.b≡ i jika 2(mod 3) g i ig /:d / d : / / p t hthttp jika i ≡ 3(mod 3)



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt  (8i−2)m−2k+2



α4 (yik )

  

;

  

          



jika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang jika i ≡ 2(modc.3) ididdan k sembarang

je.aj.ac. e n jika bi .≡ 3(mod 3) u liilib.un i g i :p//:d /dig / t hthtp t

k+1 (4j−3)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m; 2 k+1 (4j−1)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m; 2 k (4j−3)m+k − ( (−1)4 +1 )m; 2 (4j−1)m+k (−1)k +1 − ( )m; 2 4 (4j−2)m−2k+2 ; 2 4jm−2k+2 ; 2

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b α4 (zjk ) = i l i i idgigil    :p//:d / / p  t t hhtt       


2 k+1 (8i−3)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m; 2 k (8i−3)m+k − ( (−1)4 +1 )m; 2

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp  =


ca.cid.id a . j e dan k sembarangb.un nej. u . i l i b idgigili /:d / : / / p t hthttp

jika j ≡ 1(mod 6) dan k sembarang jika j ≡ 2(mod .6) id dan k sembarang

d aj.cac.id aj.ca.ci .id . . j j e e jika j.≡ 3(mod u.n ne 6) dan k sembarang ne .bu.n u u b b i i l l i i b i i idgigilj ≡ 4(mod 6) dan k sembarang idgigil jika :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt jika j ≡ 5(mod 6) dan hkhsembarang tt jika j ≡ 6(mod 6) dan k sembarang

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e k uneej. nej. nedij. atas, dapat dipahami nejα. 4 (xki ), α4 (yik ) dan αi4l(z Dari persamaan bahwa .bu.n .bu.n .bu.n u u u j. ).un b b b b i i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili idgigilib d d d /:d / / / / / / : : : adalah fungsi bijektif yang memetakan mDl ke himpunan bilangan bulat / / n / {1, 2,// hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/ . . . , 4nm}. Jika wα4 didefinisikan sebagai bobot sisi pelabelan titik α4 dimana

dari penjumlahan 2 ibuah id.id .cid.idbobot sisi pelabelan titik .diperoleh .cd.id label titik yang .ac.cid.id c c c a a a c . . . jej.a bersisian, maka fungsi jebijektif jemelalui e e e wα dapat ditentukan pengamatan polaunejej.a j.a j.a n n n u u u n n n . . . u u u b b b . . . i i i l ilib l ilibkonsep barisan aritmatika lsebagai liibli.b.un i i i i b i l g g g g i i i i i dan penggunaan berikut: /:d ://d/dig ://d/dig ://d/dig //dig hthtp hthtp hthtp ttp:/ ttp:/ ttp:/ k k




4

Bobot pada sisi xi xi+1

wα1 4 (xki xki+1 )

15m−k+2 + (i − 1)8m; 2 14m−k+2 + (i − 1)8m; 2 30m−k+3 + (i − 2)8m; 2 31m−k+3 + (i − 2)8m; 2 45m+2k+1 + (i − 3)8m; 2

ca.cid.id a . j e wα2 (xk ixki+1 ) = nej. .bu.n u b i l i id)gigi=li /:d wα3 (xpki :x/ki+1 / / t t tp 4hhtk k =

4 4

wα4 (xi xi+1 )

=

wα5 4 (xki xki+1 )

=

jika i ≡ 1(mod id dan k ganjil c.id3)

je.aj.ac. e n jikab.iu≡ 1(mod 3) liilib.un i g i ig i ≡ 2(mod 3) :p//:d /djika / t hthtp t

ca.cid.id a . j e dan k genap b.un nej. u . i l i b idgigili /:d dan k pganjil / : / / t hthttp


jika i ≡ 3(mod 3) dan k sembarang d.id d d i . c aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n ne ne .bu.n .bu.n u u k b b .unyeik yi+1 i i liibli.busisi l l i i i Bobotig pada i i idgigil idgigil ://d/dig 18m−k+3 :p//:d :p//:d / / / / p p t t 6http ktpk:/ t t hhtt jika i ≡ 1(mod 3) dan hkhganjil wα (y + (i − 1)8m; tt hti yi+1 ) = 2 4

k ) wα7 4 (yik yi+1 8 k k wα4 (yi yi+1 ) k ) wα9 4 (yik yi+1 k ) wα104 (yik yi+1

=

19m−k+3 + (i − 1)8m; 2 33m+2k+1 + (i − 2)8m; 2 51m−k+2 + (i − 3)8m; 2 50m−k+2 + (i − 3)8m; 2


= ca.cid.id a . j e nej. .bu.n = u b i l i idgigili /:d / : / / = p t hthttp

jej.a e n u n . jika i ≡ 3(mod 3) u b igliilib. g i d i :// /d hthtp ttp:/ jika i ≡ 3(mod 3)









id jika i ≡ 2(mod .ac.c3).iddan k sembarang

ca.cid.id a . j ne j. dan k ganjil ilibi.bu.une idgigil :p//:d / / dan kttgenap p hhtt



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d k k :p//:d / //dig / Bobot p t t hhtt pada sisi xi yi 9m−k+2 11 k k wα4 (xi yi ) =





+ (i − 1)8m;

62


2 8m−k+2 + (i − 1)8m; 2 24m−k+3 + (i − 2)8m; 2 25m−k+3 + (i − 2)8m; 2 39m+2k+1 + (i − 3)8m; 2


wα124 (xki yik ) wα134 (xki yik ) wα144 (xki yik ) wα154 (xki yik )


d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e n ne ne ne .bu15m+2k+1 .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i 16 k k l l l i i i i i i wα (zj zj+1 + (j − 2)4m;/dig jikail j ≡ 2(mod 6) dan k sembarang id)gig=il idgigil 2 :p/k/:d :p/://dig :p//:d / / / / p p p t t t 33m−k+2 17 k t t t t hhtt wαh(z + (j − 4)4m; jika j ≡ 4(mod 6) danhkhtganjil htjtzj+1 ) = 2





ca.cid.id a . j e = b.un nej. u . i l i b idg= igili /:d / : / / p t hthttp =

=

jika i ≡ 1(mod c3) .iddan id k genap

ca.cid.id . a a c . . j j a e e n jika ib≡.u2(mod nej. 3) dan k ganjil ilib.bu.n nej. u u . i l i b i idgigiil≡ idgigili /:d /:d jika 2(mod 3) dan k genap / / : : / / / / p p t t thttp hthttp jika i ≡ 3(mod 3) dan khsembarang

.id

k cac.id Bobot pada sisiezjj.ka jz.j+1

4

4

k ) wα184 (zjk zj+1 k wα194 (zjk zj+1 ) 20 k k wα4 (zj zj+1 )

=

32m−k+2 2 48m−k+3 2 49m−k+3 2

+ (j − 4)4m;

jika j ≡ 4(mod 6) dan k genap

id.i(jd − 6)4m; jika j ≡ 6(mod iddan k ganjil = ca.+ ca.cid6) ca.cid.id . a a a c . . . j j j e e e n ej. 6) dan k genap b.u.n nej. + (j − 6)4m; jika n6(mod nej. .bu.n .bu≡ = j u u u b b . i i i l l l i i i b idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Bobot pada sisi xk z k i 2i−1

k wα214 (xki z2i−1 ) k wα224 (xki z2i−1 ) k wα234 (xki z2i−1 ) 24 k k wα4 (xi z2i−1 ) k wα254 (xki z2i−1 )

3m+2k+1 2 21m−k+2 2 20m−k+2 2 36m−k+3 2 37m−k+3 2

d.iddan k sembarang .ci+d.id(i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod .ci3) c c ca.cid.id a a a . . . j j j a a . . . e e e ≡n2(mod =.unnej + (i − 2)8m; jika i.u nej 3) dan k ganjil ilib.bu.n nej u u u b b . . i i l l i i b b i i i gigili ≡ 2(mod 3) dan k genap idgigi=l idjika idgigil + (i − 2)8m; :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt tt htt jika i ≡ 3(mod 3) dan hkhganjil + (i − h 3)8m; = =

=

+ (i − 3)8m;


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e ne j. nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b .unxeki z2ik i i Bobotig pada liibli.busisi l l i i i idgigili idgigili /:d /:d //d ig 9m+2k+1 / / : : / / / / 26 ttp k : k://d p p t t thttp wαh(xtitp + (i − 1)8m; hthttp jika i ≡ 1(mod 3) dan k hsembarang 2 h z2i ) = 4

k wα274 (xki z2i ) 28 k k wα4 (xi z2i ) k wα294 (xki z2i ) k ) wα304 (xki z2i

=

27m−k+2 2 26m−k+2 2 42m−k+3 2 43m−k+3 2

+ (i − 2)8m;


d d +.i(i 3).id id k genap aj.ca aj.ca aj.ca.ci .id c.id− 2)8m; jika i ≡ 2(mod c.dan . . . j j j e e e n =lib.u.n ne + (i − 3)8m; jika iliib≡.bu3(mod ne 3) dan k ganjil ilib.bu.n ne u u u . i b i i i l idgi=gil idgigi i≡ idgigil d :p//:d :p//:jika :p//:d + (i − 3)8m; 3(mod 3) dan k genap / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt =















d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d k k :p//:d / //dig / Bobot p t t hhtt pada sisi yi z2i−1 6m−k+3 31 k k wα4 (yi z2i−1 ) =





+ (i − 1)8m;

2 7m−k+3 + (i − 1)8m; 2 21m+2k+1 + (i − 2)8m; 2 39m−k+2 + (i − 3)8m; 2 38m−k+2 + (i − 3)8m; 2

63



k ) wα324 (yik z2i−1 k wα334 (yik z2i−1 ) k wα344 (yik z2i−1 ) 35 k k wα4 (yi z2i−1 )


d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e un e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i k l l igliibli.12m−k+3 i i b.u2n + (i − 1)8m; djika i i wα36 (yik z2i )dig= i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil g il idgigil :// di 13m−k+3 :p//://idig :p//:d / / p p t t 37 ttp ktpk:// t t hhtt jika i ≡ 1(mod 3) dan khgenap wαh(y + (i − 1)8m; hti z2i ) = htt 2






ca.cid.id a . j e = nej. .bu.n u b i l i ili idgig= /:d / : / / p t hthttp =

=

jika i ≡ 1(mod c.id3)id dan k genap

je.aj.ac. e jikab.iu≡n 2(mod 3) liilib.un i g i ig i ≡ 3(mod 3) :p//:d /djika / t hthtp t jika i ≡ 3(mod 3)

ca.cid.id a . j e dan k sembarang nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d dan k pganjil / : / / t ht ttp dan kh genap

.id

c .id k Bobot pada sisieyj.ika jz.2iac

4

4

k ) wα384 (yik z2i 39 k k wα4 (yi z2i ) k wα404 (yik z2i )

27m+2k+1 + (i − 2)8m; 2 45m−k+2 + (i − 3)8m; 2 44m−k+2 + (i − 3)8m; 2

=

= ca.cid.id a . j e nej. .bu.n = u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp


.cid.idan d k ganjil jika i ≡ 3(mod .ac3)

j a e n nej. 3) .bu.3(mod jikailiib≡ u idgigili /:d / : / / p t hthttp

ca.cid.id a . j ne j. dan k genap ilib.bu.une idgigili /:d / : / / p t hthttp

Fungsi bijektif pada wα4 dapat direduksi sebagai berikut:

.cid.untuk Bobot pada sisi x.kiaxcki+1 k sembarang id

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j j a . . . e e e n nej + ( (−1) +1 )m +i(i nej jika i ≡ 1(mod 3)ilib.bu.n nej .bu.1)8m; u14m−k+2 u u bli.bu.n b i − wα1 (xki xki+1 )gili= l i i 2 4 idgigil idgigil di igi 30m−k+3 (−1) +1p://d //:d : k ://:k//d / / / / p : t t wα2h(x ix + ( )m + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod ) = thtp t t hhttp 3) 2 4hhttp ttp i+1 45m+2k+1 3 k k k+1

4

k

4

wα4 (xi xi+1 )

=

2

+ (i − 3)8m;

jika i ≡ 3(mod 3)

cka.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j k e e e Bobot pada.u sisi n nyei jy.i+1 untuk k sembarang nej. nej. .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b li idgi− idgigili k/digigili 18m−k+3 gi1)8m; /:d /:d + ( (−1)4 +1 )m + (i jika i ≡ 1(mod 3) wα4 (ypik y:/i+1 )d = / / : : / / / 2 / / / p p : t t t hthtktypk ) = 33m+2k+1 + (i − 2)8m; hthttp hthttp 3) w5 (y jika i ≡ 2(mod k

4

α4 i i+1 k wα6 4 (yik yi+1 )

2 50m−k+2 2

k+1 +1

+ ( (−1) 4

)m + (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3) d.id d d i . c aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n ne ne .bu.n .bu.n u u b b .unxeki yik untuk k sembarang i i liibli.busisi l l i i i Bobotig pada i i idgigil idgigil ://ddig 8m−k+2 (−1) +1ttp:p//:d :p//:d / / / / p 7 ttp k pk:// t t wαh(x +( )mt + (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod hhtt 3) 2 4 hht htityi ) = =

k+1

4

wα8 4 (xki yik ) =

k 24m−k+3 + ( (−1)4 +1 )m + 2 39m+2k+1 + (i − 3)8m; 2

(i − 2)8m;

jika i ≡ 2(mod 3)

= ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

jika ca.cid.iid≡ 3(mod 3) ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp









wα9 4 (xki yik )





d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d k k :p//:d :p//:d / / //dig / / Bobot pada sisi z z untuk k sembarang p p t t j j+1 t t hhtt hhtt 15m+2k+1 10 k k






wα4 (zj zj+1 ) =

2 32m−k+2 2 48m−k+3 2

+ (j − 2)4m;


jika j ≡ 2(mod 6)

k+1 ( (−1) 4 +1 )m + (j − 4)4m; k ( (−1)4 +1 )m + (j − 6)4m;

id.id ca.+ a c . j e = nej. + .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp k k

k ) wα114 (zjk zj+1 12 k k wα4 (zj zj+1 )

=

Bobot pada sisi xi z2i−1

k wα134 (xki z2i−1 ) =

id.id j ≡ 4(mod 6) ca.jika ca.cid.id a a c . . j j e e nej. jika j ≡ 6(mod 6) ilib.bu.n nej. .bu.n u u b i l i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t ht tp hthttp untuk hktsembarang

3m+2k+1 2 20m−k+2 2 36m−k+3 2

+ (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod 3) d.id(−1) +1 i id.id . . c c ca.cid.id k a a c c . . j j a a ) = neje.a wα14 (xki z2i−1 + ( )m + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) . . . e e 4 nej nej .bu.un j .bu.n .bu.n u u b b b (−1) +1 i i i l l l 15 k k i i i i i i gig−il 3)8m; gigil wα (xi z2i−1 + ( 4 )m/+ jika i ≡ 3(mod idg)igi=l id(i id3) :p//:d :p/:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 4

4

k+1 k

k Bobot pada sisi xki z2i untuk k sembarang

d.id− 1)8m; +.ci(i jika ca ca.cid.idi ≡ 1(mod 3) ca.cid.id a a a . . . j j j e e e k nej.+ ( (−1) 4 +1 )m + (i i− nej.jika i ≡ 2(mod 3) ilib.bu.n nej. .bu.n .bu.n wα17 (xki z2i ) = 2)8m; u u u b b i i l l i ig ili idgigili idgigili d d (−1) +1 /:(i /:3) k :/k/d/dig / / : : / / / / / wα18 (x + ( )m + − 3)8m; jika i ≡ 3(mod z ) = p p p : t t t 4 ht ttp hthtitp2i hthttp h

k wα164 (xki z2i ) = 4 4

9m+2k+1 2 26m−k+2 2 42m−k+3 2

k+1 k

k Bobot pada sisi yik z2i−1 iduntuk k sembarang

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne jika i ≡ 1(mod 3)ilib.bu.n ne .bu.n u u b i l i i i g l idgigil i3) jika i ≡ 2(mod digi :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt htt 3) jika i ≡h3(mod

aj.ca.c.id . j e =.unne blib.u i l i gig= i i d / / : /d hthtp ttp:/ =

k 6m−k+3 + ( (−1)4 +1 )m + (i − 1)8m; 2 21m+2k+1 + (i − 2)8m; 2 k+1 38m−k+2 + ( (−1) 4 +1 )m + (i − 3)8m; 2

k wα194 (yik z2i−1 ) k wα204 (yik z2i−1 ) 21 k k wα4 (yi z2i−1 )

d

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e j. e e u.n nej.jika i ≡ 1(mod 3) ilib.bu.n nej. .bu.n k une + ( (−1) +1 )m + (i − u u b i liibli.12m−k+3 l 1)8m; wα22 (yik z2i ) ig= i i b 2 4 idgigili idgigili /d ig 27m+2k+1 /:d /:d / / : : / / 23 ttp k :/k://d / / p p t t wαh(ytitzp2i ) = + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod hthttp hthttp 3) 2 h

i .id k sembarang k ca.cuntuk Bobot pada sisi yj.ika z2i k

4

4

k wα244 (yik z2i )

=

44m−k+2 2

k+1 +1

+ ( (−1) 4

)m + (i − 3)8m;

jika i ≡ 3(mod 3)

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n Berdasarkan u.n ne ne sisi EAV ini, bobot sisi ne pertama, kedua sampai ne .bu.n .bu.bobot .bterkecil .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il ig il idgigilterletak pada w21 yaitu idgigil + (i − 1)8m, selanjutnya idgigter3m+2k+1 /:d /:d terkecil :p/kelima :p//:d :p//:d α / / / 2 //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhtt pada w39 letakhpada wα31 yaitu 6m−k+3 + (i −h1)8m. Bobot sisi terbesar terletak α 2


4

4

4

45m−k+2 + (i − 3)8m. Dengan mensubstitusikan nilai i = 1 dan k = 1 2 pada wα214 diperoleh wα4 = 3m+2(1)+1 + (1 − 1)8m = 3m+3 , substitusi i = 1 2 2 3m+2(2)+1 dan k = 2 pada wα214 diperoleh wα4 = + (1 − 1)8m = 3m+5 , sub2 2 3m+2(3)+1 21 stitusi i = 1 dan k = 3 pada wα4 diperoleh wα4 = + (1 − 1)8m = 2

yaitu
















d d d d 65 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil 39 idgigil d /:d /:d 3m+7 /, /:d //:pada /45m−1+2 : : : / / / //dig / / / ,. . . substitusi i = n dan k = 1 w diperoleh w = p p p t t t α α t t t 2 h ttp tp tp 2 + h h t t h h h (16n−3)m+1 4

4

(n − 3)8m =

. Dapat dinyatakan bahwa wα4 membentuk barisan

2

3m+3 aritmatika dengan suku awal id.idS id.id 2 dan beda 1 (satu), id.id dapat dituliskan . . c c ca.catau ca.cid.id a a a a c c . . . . j j j j 40 (16n−3)m+1 3m+3 3m+5 3m+7 a a t e e e ,ne j., 2 , . . . , }. .Sehingga u.n t=1 wα = { b nej. nej. terbukti bahwa pelanej. 2 .uun2e 2 .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i i l l l l i i i i b b i li ig ili idαgi4g(xilkii ), α4 (yik ) dan α4 (zjk ) :adalah idgigilpelabelan diggianbelan titik titik ( 3m+3 , 1)-sisi /:d /:d /:d / / : 2 p://://di / / //dig / / p p t t t thttp hthttpjika m ganjil, m ≥ 3 dan nh≥ hthttp timagic 2. 2 4

d id ca.cid.idwα1 , wα2 , wα3 , . . . , wα40 bukan ca.cid.merupakan ca.cid.id Angka 1, 2, ..., 40j.a pada pangkat, aj.ca.ci .id a a . . . j j j . . . e e e e n ne nej nej syarat batas i, j,ildan nej .bu.n .bu.membedakan .bu.n .bu.n u u u u b b b b melainkan untuk w yang mempunyai i i i i l l l α i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :pberbeda-beda. :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t k yang Gambar 4.6 merupakan contoh pelabelan titik beserta t t t hhtt hhtt hhtt 3m+3 4

4

4

4

4

bobot sisi EAVL (

2

, 1)-sisi antimagic gabungan graf Tangga Permata 3Dl4

ca.cid.iddengan d = 1. ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j 41 e e 5 28 neej. uneej. 181 u nej. nej. .bu.n .bu.n u u 1. .un 1 1 lib. .un b b b i i i l l l x x i i i i x x b b 4 2 ig ili idg1igili 23 idgigili 46 /digigili3 69 /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p : t t t 87ttp hthttp6 15 10 14 32 41 h23thttp 27 55 64 36 37 78 hth




1 z11

z21

14

24 z 1 3

z41

37

50

z51

z61

60

73 z 1 7

z81 46

86

id.id 42 68 59 ca.33 ca.cid.id82 91 ca.cid.id a a a c . . . j j j . . . e e e 1 28ej 51 y4 y21 y11 y31.un n nej 77 nej .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b i i i l id9gigil idgigi32 idgigil 45 19 :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt 4 40hhtt 17 30 19

10

x21

x22

21

x23

47

x24

70

.cid.id 39 22 26 56 65 35.ac.ci39d.id79 88 13 ca30 ca.cid.id a a . . j j j a e e z42 48 z52 61 .unze z82 48 z.22un25 3 z12 12 nezj.32 38 n62ej.74 z72 84 nej. .bu.n u u u b b b . . i i i l l l i i i b b idgig20ili idgi57gili 66 idgigili /:d /:d 92 ://d / / 43 83 11 34 : : / / / / / / p p p : t t t tp hthttp 2 htht52 h2 thttp 2 29 75 2 7

16

12

y1

y2

y3

y4

8

21

31

44

d d d 6 29 aj.ca.ci .i16d3 aj.ca.ci .id 423 aj.ca.ci .id . . . j j j 3 3 e e e x3.unne x4 x1 x2 ne ne .bu.n .bu.n 22 45 71 u u u b b b . i i i l l l i i i b i i i g l idgig17il idgi54gil 63 d 89 ://d/idigi 40 24 ://25 38 80 :p/8/:d 34 15 31 / / 11 / / / p p p : : t t t t t t p h2hztt3 h hhttzp3 47 z 3htt49 z 3 62 z 3 26 z 3 36 z 3 72 z 3 13

1

9

2

18

4

3

35

44

5

6

58

67

85

7

81

8

90


d3 27 ac.i .iyd 76 53 ca.cid.id y43 ca.cid.id a a y13 y33 c . . . 2 j j j a e uneej. 20 uneej. nej. .bu.n u 43 b b 7 ilib.b.un 33.b.un i i l l i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p Gambar 4.6: Pelabelan titik (6,1)-sisi antimagic pada 3Dl t t t hthttp hthttp htht4tp
















Berdasarkan Lemma 4.6.1 maka diperoleh pelabelan titik ( 3m+3 , 1)-sisi an-

2 id.id id.id id.id . . . c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . timagic dan dapat ditentukan pelabelan total super (a, 0)-sisi antimagic dengan j j j j a a a e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i menentukan ili sisi dari pelabelan titik ili ig ili idgiglabel idgiyang idgiglabel gili telah ditemukan. Letak /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t thttp thttp sisi EAVL w dengan urutan sisihditentukan berdasarkan letak h bobot tp berkehthtyang

balikan. Sehingga sisi dengan w terkecil dilabeli dengan label sisi terbesar dan

d dd d E(mDln ) = ca.cid.id dengan label sisi terkecil, aj.ca.ci .idsisi dengan w terbesar ajdilabeli aj.ca.ci .idimana aj.ca.ci .id . . . . j j j j . e e e e ke k e n − 1, 1 ≤ k ≤ m} ∪b{x ne ne .bu.n .bu.kin .b∪u.n yn ;ib 1 .u ≤.n in≤ {xki xki+1 , yik yi+1 u u u u b b i ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m} i i i l l l l i i i i b i i i i ig il idgigil idgigil k k igkigil k k k ://d /:d /:d / / {zjk zj+1 ;:p2//:d ≤ j ≤ 2n − 2 genap, , 1 ≤ttp k:p/≤ m} ∪ {xi z2i−1 , xki z2i , yik z2i−1 ,py:/ik/zd2i ;1 ≤ //dig / / p p t t t t hhtt hhtt hhtt i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m}. Melalui pengamatan pola dan penggunaan konsep barisan

fungsi bijektifnya. Dari di atas dapat id.idaritmatika, maka dapataditentukan id.id id.iuraian . . . d c c c ca.cid.id a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e diturunkan teorema ej. nej. n4.6.1: nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp


, 0)-sisi antimagic pada gabu3 Teorema 4.6.1 Ada pelabelan total super ( (8n−1)3m+3 2 ngan graf Tangga Permata mDl id n jika m ganjil, m ≥ 3 dan n ≥id2.

d aj.ca.c.id aj.ca.c.id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l k i i i i i i Bukti. Tangga α5ig (x )l = idgLabeli idgigil Permata mDln dengan igil titik gabungan graf digi i :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t k k k k k hih),tt α5 (yi ) = α4 (yi ) dan α5 (zhj )ht=t α4 (zj ), untuk 1 ≤ k ≤ hm, α4 (x httdefinisikan label sisi α5 : E(mDln ) → {4nm + 1, 4nm + 2, . . . , 12nm − 3m}, maka label

id.id graf mDln dapat ca.cid.idsisi α5 untuk pelabelan ca.cid.idsuper (a, 0)-sisi antimagic ca.pada ca.cid.id total a a a a c . . . . j j j j e e e e ej. nej. nberikut: nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u dirumuskan sebagai b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp         

(4n−3)6m+k+1

− (i − 1)8m; jika i ≡ 1(modd3) dan k ganjil 2 d.id d d i i . . d i c c . (24n−17)m+k+1 aj.ac aj.ac d− (i − 1)8m; jika i ≡e1(mod aj.ca.ci .i3) aj.ca.ci .id . . . . j j j j dan k genap e e e ne ne2 ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i k k (8n−11)3m+k l l l l i i i i i i i i ggil α5 (xi xi+1/)d= − (i − 2)8m;/digig jika il i ≡ 2(mod 3) dan k ganjil ig il idgigil 2 /:d :p/://idi :p/://d :p//:d / //dig /  p p p t t t (12n−17)2m+k t t t  hhtt hhktt genap  tt − (i −hh 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) dan  2   

(n−2)24m−2k+2 2

− (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3) dan k sembarang



















− (i − 1)8m;

2 (12n−11)2m+k − (i − 1)8m; 2 (2n−3)12m−2k+2 − (i − 2)8m; 2 (12n−27)2m+k+1 − (i − 3)8m; 2 (24n−53)m+k+1 − (i − 3)8m; 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e k α5 (yik yi+1 ) = ib.u.n nej. nej. .bu.n u u b i l l i i  b ig ili idgi gili  /:d /:d /  : / //dig / p  t hthttp   



67


d jika i ≡ 1(mod ac.i .id3) dan k genap

ca.cid.id a c . . j j a e e j. ne2(mod nej. jika ≡ 3) dan k sembarang .bu.in .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : jika i ≡ 3(mod 3) dan k ganjil / / / / p p t t hthttp hthttp jika i ≡ 3(mod 3) dan k genap

.id

.id

.id

 je.aj.cac.id je.aj.cac.id je.aj.cac.id e e e (2n−1)12m+k+1 n n n  n − (i − 1)8m; jika 3) dan k ganjil ilib.bu.un  .u1(mod liibli.bu.un2 liiblii.bu≡  i i g g  i i idgigili  g (24n−11)m+k+1 − (i − 1)8m; g i ≡ 1(mod 3) dan k genap d d d i i / / / / / /  d d : : : / / / jika  / / / 2 hthktp hthtp hthtp ttkp:  (24n−27)m+k ttp: ttp: α5 (xi yi ) = − (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) dan k ganjil 2   (6n−7)4m+k   − (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod.i3) dan k genap  2 id.id .  c ca.cid.id cacd.id ca.cid.id  a a a a c . . . . (4n−7)6m−2k+2  j j j j a e j. e j. − (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod e j. 3) dan k sembarang e j.


n e liibli.bu.un2 i g i :p//:d /dig / t hthtp  t (4n−3)6m−2k+2        



− (j − 2)4m; jika j ≡ 2(mod 6) dan k sembarang

2 (2n−3)12m+k+1 − (j − 4)4m; 2 (24n−35)m+k+1 − (j − 4)4m; 2 (24n−51)m+k − (j − 6)4m; 2 (6n−13)4m+k − (j − 6)4m; 2

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j k k e e α5 (zj zj+1 ) = ne ne .bu.n .bu.n u u  b b i i l l  i i i i ig il idgi  gil /:d  :p//:d /  //dig / p t  t hhtt 

jika j ≡ 4(mod .idd6) dan k ganjil

d aj.cac.i aj.ca.ci .id . . j j e e jika.ujn≡ ne4(mod 6) dan k genapilib.bu.n ne u u b . i l i b i i il j ≡ 6(mod 6) dan k ganjil idgigjika idgigil :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhktt genap jika j ≡ 6(mod 6) dan


ca.cid.id ca.cid.id  a a . . j j (12n−3)2m−2k+2 e j.  − (i − 1)8m; jika ie 3)  ne2j. n≡e1(mod .bu.n .bu.n  u u b b i i l l  i i i i  l l g g (n−1)24m+k+1 i i i i − (i − 2)8m;  :p//:d :p//:d /dig /digjika i ≡ 2(mod 3) 2  / / p t tkhtp t t t h h k (24n−23)m+k+1 ht2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) α5 (xi zt2i−1 )= − (i − 2   (8n−13)3m+k   (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3)  2  d d.− i i  . . d d i i c c ca.cid.id3) (3n−5)8m+k  . aj.ac a a c . . . j j j − (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod a . . e e e n n2j n j


.bu.une b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt  (2n−1)12m−2k+2        

.bu.une b i l i i idgigil :p//:d / / p t t h tt − (i −h1)8m; jika i ≡ 1(mod 3)

2 (4n−5)6m+k+1 − (i − 2)8m; 2 (24n−29)m+k+1 − (i − 2)8m; 2 (24n−45)m+k − (i − 3)8m; 2 (12n−23)2m+k − (i − 3)8m; 2

ca.cid.id a . j e dan k sembarang nej. .bu.n u b i l i idgigili d danpk://ganjil / / : t hthttkp genap dan dan k ganjil

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t h tt dan hk sembarang dan k genap

jika i ≡ 2(modd3) dan k ganjil

ca.cid.idα (xk z k ) = ca.cid.id a a . . j j 5 i 2i e e  nej. nej. .bu.n .bu.n  u u b b i i l l  i i gigili ig ili id  /:d /:d  / : /  //dig / p t hthttp 

.ci .id .cid.id c c a a . . j j a a jika i ≡ 2(mod 3) dan k genap e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgijika idgigili gili i ≡ 3(mod 3) dan k ganjil /:d /:d / / : : / / / / p p t t p hthttp jika i ≡ 3(mod 3) danhthkttgenap
















− (i − 1)8m;

2 (12n−5)2m+k − (i − 1)8m; 2 (n−1)24m−2k+2 − (i − 2)8m; 2 (4n−7)6m+k+1 − (i − 3)8m; 2 (24n−41)m+k+1 − (i − 3)8m; 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j k e e α5 (yik z2i−1 )= nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i  l l i i ili ig ili idgig   /:d /:d / :  / //dig / p  t  hthttp 

68


jika i ≡ 1(mod c.idid3) dan k genap

ca.cid.id . a a c . . j j a e e j. jika ≡ 3) dan k sembarang ne2(mod nej. .bu.in .bu.n u u b b i i l l i i ili i ≡ 3(mod 3) dan k /ganjil idgigjika idgigili /:d /:d / : : / / / / p p t t hthttp ht ttp jika i ≡ 3(mod 3) danhk genap


d  ca.cid.id ca.cid.id aj.ca−.ci .(iid− 1)8m; a a (8n−5)3m+k . . . j j j  . . e e e jika iu≡n 1(mod  2 ne  nej .bu.n .b.unej 3) dan k ganjil ilib.bu.n  u u b b i i l l  (3n−2)8m+k i i i i i  idg idgigil − (i − 1)8m; //didg jika igil 2 igil i ≡ 1(mod 3) dan k pgenap  //:d //:d : : : / / / / / / p p : t t t t t t tp hikhzt2iktp) = (4n−5)6m−2k+2 − (i −h2)8m; α5 (y http jika i ≡ 2(mod 3) danhkhtsembarang 2   (n−2)24m+k+1   − (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3) dan k ganjil  2   d d d.id d i i (24n−47)m+k+1  . . d dan k genap ac .i ac .i−d (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod ac.i3) ac.i .id

je. j.ac e n u n . u b idgiigliilib. /:d //


α5

je. j.ac je. j.ac 2 j. j.ac e e e n n n e u u u n n n . . . u u u b b b igliilib. ili b. k k idgbijektif idgkiizglkiilib),. k k kigikgili k k d d d i / / / Fungsi pada α (x x ), α (y y ), α (x y ), α (z z ), α (x / / / d 5 5 5 5 5 : : : i i+1 tp ://i i+1 i i j j+1tp :// i 2i−1 t tp tp:// k k hkthtp hthttp t k k khht (x z ), α (y z ) dan α (y z ) dapat direduksi sebagai berikut:(untuk k i 2i

5

sembarang)

i

5

2i−1

i

2i

d

d

d

ca.ci .id ca.ci .id ca.ci .id  a a a . . . j j j k+1 . . . e e e (24n−17)m+k+1 n ej n ej n ej  .u − ( (−1) 4 +1 )mib  ib .un 2 ib.u.un l l −.u(i.u−n1)8m; jika i ≡ 1(mod l3)

giigilib igi ilib(8n−11)3m+k − ( (−1) +1:)m i− d / / d (i − 2)8m; / / 2 h4thtp ttp: (n−2)24m−2k+2 − (i − 3)8m;

//d)/d=ig α5 (xtkip x:ki+1 t hhttp:/   

k

2

igi ilib

jika i ≡ ://:d //dig3) tp2(mod

ht ttp

jika i h ≡ 3(mod 3)


 ca.cid.id (−1)k +1 ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j (8n−7)3m+k e e  jika i ≡ 1(mod 3) .une  u.n n2ej. − ( 4 )m − (iili−b.b1)8m; nej. nej. .bu.n  u u u b b . i i l l i i b k gigili (2n−3)12m−2k+2 − (i − 2)8m; idgigili idgig3)ili α5 (yik yi+1 )/id= jika i ≡ 2(mod /:d /:d /:d / / / : : : / / 2 / / / p p p  t t t thtk+1 p  tp +1 )m − (i − 3)8m; jika hi th≡tt3(mod hthttp (−1)  (24n−53)m+k+1 − (h 3) 2 4


 ca.cid.id (−1)k+1 +1 ca.cid.id ca.cid.id a a a (24n−11)m+k+1 . . . j j j  . . . e e e −( )m − (iu− jika i ≡ 1(mod 3) unnej  ej 4 b.un ne2 j n1)8m; .b.n u u b k +1 . i i l l liibli.b.u i i i k k (24n−27)m+k (−1) b i i l gigil g g i i i i α5 (xi y/i /)d= − ( )m − (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) 2 4 : /d  (4n−7)6m−2k+2 :p//:d :p//:d //dig //dig tp tp t t  t t hthtp h h ttp:/  t t − (i −h3)8m; jika i ≡h 3(mod 3) 2

 ca.cid.id ca.cid.id− (j − 2)4m; ca.cid.idjika j ≡ 2(mod 6) ca.cid.id (4n−3)6m−2k+2 a a a a  . . . . j j j j  e e  .une une nej. ne2j. nej. nej. .bu.n .bu.n u u u b b b k k (24n−35)m+k+1 (−1) +1 ilib.b.u . i i i l l l i i i b α5 (zj zj+1d −( )m g −li (j − 4)4m; jika j ≡ 4(mod ili ili ig ili idgig6) 2 4 //di igi /:d /:/)/id=gig /:d / / d : : : / /  //dig / / p p p : (−1) +1 (24n−51)m+k t t t  p hthttp − ( h4thttp )m − (j − 6)4m; jika h j th≡tt6(mod 6) 2 k+1

k













d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt 



k )= ca.cid.id α5 (xki z2i−1 ca.cid.id a a . . j j  e e   nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i ig ili idgigili /:d /:d / : / //dig / p t hthttp

ca.cid.idjika i ≡ 2(mod 3) ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b jika i ≡ 3(mod 3) i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp


  

   

(12n−3)2m−2k+2 − (i − 1)8m; 2 k+1 (24n−23)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m − (i − 2)8m; 2 (8n−13)3m+k (−1)k +1 − ( )m − (i − 3)8m; 2 4

jika i ≡ 1(mod 3)

(2n−1)12m−2k+2 − (i − 1)8m; 2 k+1 (24n−29)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m − (i − 2)8m; 2 k (24n−45)m+k − ( (−1)4 +1 )m − (i − 3)8m; 2

d aj.ca.ci .id . j = e ne  .bu.n u b  i l i  i idgigil :p//:d / / p t t hhtt

k α5 (xki z2i )

69



i ≡ 1(mod 3) .cid.ijika d c ca.cid.id a a . . j j a . . e e jika i ≡ 2(mod 3) nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgig3)il jika i ≡ 3(mod :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t hhtt hhtt

(8n−3)3m+kid  . − ( (−1)4 +1 )m − (i − 1)8m;.ac.cid.idjika i ≡ 1(mod 3)  ca.cid.id ca.cid.id 2.ac c.id  a a . . j j j j a a e e e e k (n−1)24m−2k+2 n nej. nej2. nej. nej. .bu.n .bu.n α5 (yik z2i−1 ) = lib.u − (i − 2)8m; ilib.bu.n jika i ≡ 2(modil3) u u u u b b . i i l i i b ili (24n−41)m+k+1 (−1) //+1 ig ili idgig idgigili idgigili  d /:d /:d /:d  / / : : : / / / − ( )m − (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3) //dig / / / p p p : t t t 2 hthttp hthtt4p hthttp


k

k+1

   

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b k i l i i α5 (yik z2i )d= gil :p//://idig  p t  t hhtt

dd d aj.ca.ci .ijika aj.ca.ci .id . . j j i ≡ 1(mod 3) e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i jika i ≡ 2(mod 3)il idgigil idgig :p//:d :p//:d / / / / p p t t t t t hhtt jika ih≡ 3) ht3(mod

k (8n−5)3m+k − ( (−1)4 +1 )m − (i − 1)8m; 2 (4n−5)6m−2k+2 − (i − 2)8m; 2 k+1 (24n−47)m+k+1 − ( (−1) 4 +1 )m − (i − 3)8m; 2

Jika Wα didefinisikan d α5 (xki ), α5 (yik ),- j.ac.cid.id ca.cid.id ca.cid.idsebagai bobot sisi pelabelan ca.cid.itotal a a a . . . j j j e e . e . e .a j. n e k k k .unnekj k k k k k .unnej k k k k k .u k nnej u n . α (z ), α (x x ), α (y y ), α (x y ), α (z z ), α (x z ), α (x z ), α (y z u u u u 5 5 5 5 5 5 5 5 b b b b j i ii+1 i i jilij+1 i 2i−1 i 2i . ) liilib. i i+1 igliilib. igliiilib2i−1 b. i l g g g g i i i i i g g d d d d i i i i /://d :/k/ z/kd) maka Wα dapat diperoleh :// /ddengan menjumlahkantrumus :// /dbobot dan α (y htht5p hthtp hhtp ttpi:/ 2i ttp:/ ttp:/ 5

5

sisi EAVL wα4 = wα5 dan rumus label sisi α5 dengan syarat batas i, j, dan k

dirumuskan sebagai berikut: .cid.idyang bersesuaian dan .dapat .cid.id c c ca.cid.id a a a . . j j j a a . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n Untuk sisi xki xilki+1 u u u b b b i i i l l i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t k 1 1 k Wαhhtt= {wα + α5 (xi xi+1 ); jika hi h≡tt1(mod 3) dan k ganjil} 5

5

+ (i − 1)8m) + ( (4n−3)6m+k+1 − (i − 1)8m) = ( 15m−k+2 2 2



ca.cid.id a . j e = nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp











(8n−1)3m+3 2




d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt Wα2 h = {wα2 + α5 (xki xki+1 ); jika i h≡ 1(mod 3) dan k genap}




5



5


je.aj.cac. je.aj.cac. e e n n (8n−1)3m+3 u u = iglii2bli.b.un igliibli.b.un g g i i d d i i :// d 3 ttpp:// 3 k k tp:p//://d 3) dan k ganjil} Wαh htt= {wα + α5 (xi xi+1 ); jika hi th≡tt2(mod 5

5

+ (i − 2)8m) + ( (8n−11)3m+k − (i − 2)8m) = ( 30m−k+3 2 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . . e e = nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i il dan k genap} idgi4gil+ α (xk xk ); jika i ≡ 2(mod idgig3) //:d Wα4 tp=://:d {w : / / 5 i i+1 / / α p t t t hhttp hhttp (8n−1)3m+3 2

5

5

= ( 31m−k+3 + (i − 2)8m) + ( (12n−17)2m+k − (i − 2)8m) 2 2


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nekj.k nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i 5 5 l l l i i i Wα = /d{w ili dan k sembarang} //didgigili idgiαgil+i α5 (xi xi+1 ); jika i ≡ 3(mod idgig3) /:d / / : : : / / / / / p p : t t tp hthttp 45m+2k+1 htht(n−2)24m−2k+2 hthtp ttp:/ =

(8n−1)3m+3 2

5

5

= (

+ (i − 3)8m) + (

2

2

− (i − 3)8m)

(8n−1)3m+3

= 2 .cid.id c ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j a . . . e e e un ej nej nej .bu.n .bu.n u u k ilkib. .un b b i i l l i i Untuk sisi y y b i i i il ig il idgi igi+1 idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h ≡tt1(mod 3) dan k ganjil} h t k Wα6 ht= {wα6 + α5 (yik yi+1 ); jika i h



5

5

=

( 18m−k+3 2

(8n−7)3m+k + (i − .1)8m) − (i − 1)8m) id + ( 2 .id

aj.cac.id aj.cac.id . . j j e e (8n−1)3m+3 n e n e = lii2bli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i /d ig :p//:d /dig3) dan k genap} 7 ttp:/://d 7 k k / p t t Wαh = {w + α (y y ); jika i ≡ 1(mod p 5 t t h α i i+1 ht ht 5

5


+ (i − 1)8m) + ( (12n−11)2m+k − (i − 1)8m) = ( 19m−k+3 2 2

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgi8gil+ α5 (yk yk ); jika i ≡ 2(mod idgig3)il dan k sembarang} ://didgigil Wα8 p=://d {w //:d : α i i+1 / / / / / p : t t t t hhttp hhttp hthtp ttp:/ =

5

(8n−1)3m+3 2 5

= ( 33m+2k+1 + (i − 2)8m) + ( (2n−3)12m−2k+2 − (i − 2)8m) 2 2













=

(8n−1)3m+3 2





d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt k Wα9 h = {wα9 + α5 (yik yi+1 ); jika i h ≡ 3(mod 3) dan k ganjil}


5

5

(12n−27)2m+k+1 = ( 51m−k+2 + (i − .3)8m) − (i −.3)8m) idid + ( idid 2 2

je.aj.cac. je.aj.cac. e e n n (8n−1)3m+3 u u . n = 2lib.u igliib igliibli.b.un g g i i d d i i :// d 10ttpp:// 10 k k tp:p//://d 3) dan k genap} Wαh htt= {wα + α5 (yi yi+1 ); jika hi th≡tt3(mod 5

5

+ (i − 3)8m) + ( (24n−53)m+k+1 − (i − 3)8m) = ( 50m−k+2 2 2

d c.idid aj.ca.ci .id (8n−1)3m+3 j.aac. . j . e e j = 2 .unne ne .bu.n u u b b . i i l l i i b i i ig il ig il /:d :p//:d Untuk sisi xdkiiygik / //dig / p t t hhtt







Wα115 = {wα115 + α5 (xki yik ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil}

id

id

.c.id + ( (2n−1)12m+k+1 − (i .−ac1)8m) . id = ( 9m−k+2 +e(ij.a −.c 2 2 a1)8m) ej .ac.

nej .bu.n u b i l i =//digigili : /d p t h12thttp:/ 12 k k (8n−1)3m+3 2


Wα5 = {wα5 + α5 (xi yi ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k genap} (24n−11)m+k+1 + (i −c1)8m) − (i − c 1)8m) = ( 8m−k+2 .idid + ( .idid 2 2

je.aj.ac. je.aj.ac. e e n n (8n−1)3m+3 .uun = liib liibli.bu.un 2lib. i i g g i i ig ://ddig :p//:d //d3) p 13ttpp:// 13 k k t t t t Wαh = {w + α (x y ); jika i ≡ 2(mod dan k ganjil} h t t 5 α i i h h 5

5

+ (i − 2)8m) + ( (24n−27)m+k − (i − 2)8m) = ( 24m−k+3 2 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e = nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i li li idgig idg3) 14i igidan /:d /:d / / Wα14 tp= {w + α5 (xki yik ); jika i ≡ t2(mod k genap} : : / / / / α p hthttp hthttp (6n−7)4m+k 25m−k+3 (8n−1)3m+3 2

5

5

= (

2

+ (i − 2)8m) + (

2

− (i − 2)8m)

ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e nek k ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i 15 15 l l l i i i i i i l k sembarang} g il+ α5 (xi yi ); jika i ≡ 3(mod Wα = /d{w idg3) idgigil igidan :p/://idiαg :p//:d :p//:d / / / / p p p t t t t t t t hhtt= ( 39m+2k+1 + (i − 3)8m) h+h(t(4n−7)6m−2k+2 h t − (i − 3)8m) ht 2 2 =

5

(8n−1)3m+3 2 5

=

(8n−1)3m+3 2















d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil k k /:d :p//:d / //dig / Untuk sisi zj zj+1 p t t hhtt










c.idid

c.idid

(4n−3)6m−2k+2 . a c. .aj.a = ( 15m+2k+1 −c2)4m) eje(j 2 2 ne+je.(jj.a− 2)4m) + ( n−

liibli.bu.un i g i = :p//:d /dig / t hthtp t 17 17 k (8n−1)3m+3 2


k Wα5 = {wα5 + α5 (zj zj+1 ); jika j ≡ 4(mod 6) dan k ganjil}


id.id + ( (2n−3)12m+k+1 id.id = ( 33m−k+2 + (ja− − (ja−c.c 4)4m) c.c4)4m) 2 2

ca.cid.id a . . . j j j a a . . . e e e nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i = (8n−1)3m+3 i i i idgigi2l idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t 18 tt k Wαh ); jika hjh≡tt 4(mod 6) dan k genap} hhtt h = {wα18 + α5 (zjk zj+1 5

5

= ( 32m−k+2 + (j − 4)4m) + ( (24n−35)m+k+1 − (j − 4)4m) 2 2 d d

aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j (8n−1)3m+3 e e n e n e = 2 .u.un liib liibli.bu.un i i b i l g g i i d g //:d 19 p:////di19 k :p6(mod /dig6) dan k ganjil} / Wαh ); jika hjt≡ tp thttt=p: {wα + α5 (zjk zj+1 t ht 5

5


+ (j − 6)4m) + ( (24n−51)m+k − (j − 6)4m) = ( 48m−k+3 2 2

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i 20il k il dan k genap} idgiαg idgig6) idgigil Wα20 = {w + α5 (zjk zj+1 ); jika j ≡ :6(mod //:d //:d :p//:d : / / / / / / p p p t t t t t t hhttp hhttp hhtt 49m−k+3 + (j − 6)4m) + ( (6n−13)4m+k − (j − 6)4m) = ( =

5

(8n−1)3m+3 2 5

2

2

= ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e neej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n k kib.u.un u u u b b b i i i l l l l Untuk sisi x z i i i i b ili ig ili idgiig2i−1 idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t t ttp hthttp 21thttp k Wαh = {wα21 + α5 (xki z2i−1 ); jikahih≡ 1(mod 3) dan k sembarang}


(8n−1)3m+3 2

5

5

(12n−3)2m−2k+2 + (i − 1)8m) − (i − 1)8m) = ( 3m+2k+1 2 2 id + ( id

ca.c.id ca.c.id ca.cid.id a a a . . . j j j . . . e e e un ej = (8n−1)3m+3 nej nej .bu.n .bu.n u u b b b 2 .b.un i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil digigil //:d :p2(mod :p//:d k 22 tp://://d 22 / / / / p p t ); jikahitt≡ 3) dan k ganjil} Wαh thtt=p {wα + α5 (xki z2i−1 t hhtt htt 5

5

= ( 21m−k+2 + (i − 2)8m) + ( (n−1)24m+k+1 − (i − 2)8m) 2 2













=

(8n−1)3m+3 2





d d d d 73 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhtt k Wα23h = {wα23 + α5 (xki z2i−1 ); jika ih≡ 2(mod 3) dan k genap}



5

5


cac. cac. ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n = (8n−1)3m+3 u u u b b b i i i l l l 2 i i i g ili idgigili idgigili /:d /:d / / ://didig : : / / / / p p 24ttpp:// 24 k k t t Wαhhtt= {wα + α5 (xi z2i−1 ); jikahith≡ ttp3(mod 3) dan k ganjil} hthttp 5

5

+ (i − 3)8m) + ( (8n−13)3m+k − (i − 3)8m) = ( 36m−k+3 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j . . . e e e = nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i l l idgig idgigi3) idgigil 25i k k //:d Wα25 tp= {w dan k genap} :p//:d :p3(mod :p//:d / / / / / / α + α5 (xi z2i−1 ); jika itt≡ p p t t t hhtt hhtt hhtt (3n−5)8m+k 37m−k+3 (8n−1)3m+3 2

5

5

= (

2

+ (i − 3)8m) + (

− (i − 3)8m)

2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id = (8n−1)3m+3 a a a a . . . . 2 j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l k k i i i i Untuk sisi xig ig ili idgigili idgigili i iz g2iili /:d /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p t t t ht ttp ht ttp ht ttp k Wα26h = {wα26 + α5 (xki z2i ); jika i ≡h1(mod 3) dan k sembarang} h




5

5

+ (i − − (i − = ( 9m+2k+1 idid + ( (2n−1)12m−2k+2 idid 2 2 c.1)8m) c.1)8m)

je.aj.ac. je.aj.ac. e e n n (8n−1)3m+3 .uun = liib liibli.bu.un 2lib. i i g g i i g ://ddig :p//:d //di3) p 27ttpp:// 27 k k t t t t Wαh = {w + α (x z ); jika i ≡ 2(mod dan k ganjil} h t t 5 α i 2i h h 5

5

+ (i − 2)8m) + ( (4n−5)6m+k+1 − (i − 2)8m) = ( 27m−k+2 2 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e = nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i li idgig idgi3) gildan 28i k /:d /:d / / Wα28 tp= {w + α5 (xki z2i ); jika i ≡tp 2(mod k genap} : : / / / / α hthttp hthttp (24n−29)m+k+1 26m−k+2 (8n−1)3m+3 2

5

5

= (

2

+ (i − 2)8m) + (

2

− (i − 2)8m)

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e nek k ne .bu.n .bu.n u u b b i i 29 29 l l i i i i g il+ α5 (xi z2i ); jika i ≡ 3(mod Wα = /d{w idgi3) gildan k ganjil} :p/://idiαg :p//:d / / p p t t t t hhtt= ( 42m−k+3 + (i − 3)8m) +hh( (24n−45)m+k tt − (i − 3)8m) 2 2 =

5

(8n−1)3m+3 2 5

=

(8n−1)3m+3 2

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t hthttp d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt

















d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt k Wα30h = {wα30 + α5 (xki z2i ); jika i ≡h3(mod 3) dan k genap}









5

74

5

je.aj.cac. e n (8n−1)3m+3 u . n = 2lib.u igliib g i d i :p//://dk k hthtp Untuk yi z2i−1 ttsisi


k Wα315 = {wα315 + α5 (yik z2i−1 ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil}

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j (8n−3)3m+k e e +n(ie− 1)8m) + ( −.u (in−ne 1)8m) = .bu.n 2 u u b b . i i l l i i b i i idgigil idgigil (8n−1)3m+3 :p//:d :p//:d / / = / / p p t t t t 2 hhtt hhtt ( 6m−k+3 2

k ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k genap} Wα325 = {wα325 + α5 (yik z2i−1

.id

.id

a.cac.id = ( 7m−k+3 +e(ij.a −.c − (i e −j.1)8m) c.id + ( (12n−5)2m+k a1)8m) 2 2

nej .bu.n u b i l i =//didgigili : / p t h33thttp:/ 33 k k (8n−1)3m+3 2



Wα5 = {wα5 + α5 (yi z2i−1 ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang}

did + ( (n−1)24m−2k+2 + (i c−.i2)8m) − (i − = ( 21m+2k+1 idid 2 2 c.2)8m)

d aj.ac. aj.ac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b = (8n−1)3m+3 i i i l l l i i i 2 i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t 34 34 k k t t t Wαhhtt= {wα + α5 (yi z2i−1 ); jikahih≡ tt 3(mod 3) dan k ganjil} hhtt 5

5

+ (i − 3)8m) + ( (4n−7)6m+k+1 − (i − 3)8m) = ( 39m−k+2 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e = nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ili idgig idgigili idgigili 35 k k /:d //:d / :p//:d :p3(mod : Wα35ttp= {w 3) dan k genap} / / / / / / p p α + α5 (yi z2i−1 ); jika itt≡ t hhtt hhtt hthttp (24n−41)m+k+1 (8n−1)3m+3 2

5

5

+ (i − 3)8m) + ( = ( 38m−k+2 2

2

− (i − 3)8m)

d d d = (8n−1)3m+3 aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j 2 e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i k k i i i l ig il idgigil Untuk sisi yig /:d di izg2ii :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt W 36h = {w36 + α5 (y k z k ); jika i ≡h1(mod 3) dan k ganjil}


= ( 12m−k+3 + (i − − (i − 1)8m) idid + ( (8n−5)3m+k 2 2 c.1)8m) c.idid

α5

α5

i

2i


je.aj.ac. e n (8n−1)3m+3 u . un = igliib 2lib. g i d i :// /d hthtp ttp:/















d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt k Wα37h = {wα37 + α5 (yik z2i ); jika i ≡h1(mod 3) dan k genap}







5


5


cac. cac. ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n = (8n−1)3m+3 u u u b b b i i i l l l 2 i i i g ili idgigili idgigili /:d /:d / / ://didig : : / / / / p p 38ttpp:// 38 k k t t Wαhhtt= {wα + α5 (yi z2i ); jika i h≡th2(mod ttp 3) dan k sembarang}hthttp 5

5

+ (i − 2)8m) + ( (4n−5)6m−2k+2 − (i − 2)8m) = ( 27m+2k+1 2 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . . e e = nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i l idgig idgi3) gildan k ganjil} 39i k k Wα39 tp= {w 3(mod :p//:d :p//:d / / / / α + α5 (yi z2i ); jika i ≡ p t t t hhtt hhtt (n−2)24m+k+1 45m−k+2 (8n−1)3m+3 2

5

5

= (

2

+ (i − 3)8m) + (

2

− (i − 3)8m)


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nekj.k nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i 40 40 l l l i i i i α5 (yi z2i ); jika i ≡ 3(mod i k genap} Wα = /d{w idgiαgil+ idgi3) idgigili gildan /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p : t t t hthtt=p ( 44m−k+2 + (i − 3)8m) +hth( (24n−47)m+k+1 hthttp ttp − (i − 3)8m) 2 2 =

(8n−1)3m+3 2

5

5

=

(8n−1)3m+3 2

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i idgibijektif idgigil sebagai berikut: idgigil gil Fungsi pada Wα5 dapattpdireduksi :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p t t t t t hhtt hhtt hhtt Untuk sisi xk xk i

i+1

k id Wα15 = {wα1 5 + α5 (xki xc . );.idjika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang} i+1 c.id.id

je.aj.ac e n u = (i14m−k+2 li2ibli.b.u+n( (−1) 4 i g :p//:d /dig− 1)8m) / −(i t hthtp t

k+1

=

(8n−1)3m+3 2

ca.cid.id a a c . . j j a e e ej. u.n +1 (−1) +1 b.un n(24n−17)m+k+1 nej. .b+ u u b . i i )m + (i − 1)8m) ( − ( )m l l i i b 2 4 ig ili idgigili /:d /:d / / : : / /dig / / p p t t hthttp hthttp

c.idid

k+1

c.idid

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.une .bu.une .bu.n u b b b i i i l l l i i i i i i gigil + ( (−1) +1 )m + (i −//2)8m) 30m−k+3 idgigil+ ( (8n−11)3m+k − ( (−1) +1 d digigil )m =://d (/id : 2 4 2 4p://://d / / / p p : : t t t t t t hhttp −(i − 2)8m) hhttp hhttp

a.ac. Wα25 = {wα2 5 + αn5 (x ac);. jika i ≡ 2(mod 3) dan ej.kiajx.ki+1 nekj. jsembarang} k

=

(8n−1)3m+3 2

k

















d d d d 76 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt h tt Wα3 h = {wα3 + α5 (xki xki+1 ); jika i h≡ 3(mod 3) dan k sembarang}h





5

5

= ( 45m+2k+1 + (i −.i3)8m) − (i − .3)8m) did + ( (n−2)24m−2k+2 idid 2 2

je.aj.cac. e n (8n−1)3m+3 u = iglii2bli.b.un g i d i :p//://d thtp t h t Untuk sisi y k y k i

i+1



k Wα45 = {wα6 5 + α5 (yik yi+1 .i);ddjika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang} .idd

d aj.cac.i aj.cac.i aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n n ne2 .bu.n = ( 18m−k+3 +ne ( (−1)4 +1 )m + (i − 1)8m) +.bu(.(8n−7)3m+k − ( (−1)4 +1 )m ilib.bu.une u u b b i i l l 2 i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / −(i − 1)8m) / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt k

=

(8n−1)3m+3 2

k

.id

.id

ca.cid.id a . j e u.n u.n u.n nej nej nej. . . . u u u b b b i i i l l l (2n−3)12m−2k+2 i i i b b b 33m+2k+1 gigi2li + (i − 2)8m) + ( //dig2igili − (i − 2)8m) idgigili =//d(id /:d / d : : : / / / / / / p p p : : t t t hthttp (8n−1)3m+3 hthttp hthttp

k kc .id c id Wα55 = {wα5 5 + α5 (y ac); jika i ≡ 2(mod 3) danekj.asembarang} .ac. eji.ay.i+1

=

2

k Wα65 = {wα6 5 + α5 (yik yi+1 c.i);didjika i ≡ 3(mod 3) dan k sembarang} c.idid

d aj.ac. aj.ac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e e e (24n−53)m+k+1 u.n ne .bu.n .b+ .bu.n u u u b b b +n( (−1) 4 +1 )m + (i − 3)8m) (n − ( (−1) 4 +1 )m = ( 50m−k+2 i i i l l l i i i 2 2 i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p −(i − 3)8m) t t t t t t hhtt hhtt hhtt k+1

=

k+1

(8n−1)3m+3 2

ca.cid.idUntuk sisi xk yk ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j i i e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i li k sembarang} ig ili idgiα7gil+i α5 (xki yik ); jika i ≡ 1(mod idg3) idgigili igidan Wα7 =://d {w /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p : t t t hthttp hthttp hth(−1) ttp +1 (−1) +1 (24n−11)m+k+1 8m−k+2



5

5

= (

2

+(

k+1

4

)m + (i − 1)8m) + (

2

k+1

−(

4

)m

−(i − 1)8m)

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne .unne .bu.n .bu.n = (8n−1)3m+3 u u b b i i i 2bib.u l l l i i i i i idgigil idgigil //digigil //:d //:d : : / / / / 8 ttp: ://d 8 k k p p t t t t ≡h2(mod Wαhhtt=p {wα + α5 (xi yi ); jika i h ttp 3) dan k sembarang} hhttp 5

5

=

( 24m−k+3 2

k

k

+ ( (−1)4 +1 )m + (i − 2)8m) + ( (24n−27)m+k − ( (−1)4 +1 )m 2

id

. d −(i − 2)8m)j.a.c ac.i

e nej .bu.n u b i l i =//digigili : /d p t hthttp:/ (8n−1)3m+3 2















d d d d 77 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt h tt Wα9 h = {wα9 + α5 (xki yik ); jika i ≡h3(mod 3) dan k sembarang} h





5

5

= ( 39m+2k+1 + (i −.i3)8m) − (i − .3)8m) did + ( (4n−7)6m−2k+2 idid 2 2

je.aj.cac. e n (8n−1)3m+3 u = iglii2bli.b.un g i d i :p//://dk k hthtp Untuk zj zj+1 ttsisi




d d d aj.ca.ci .id ac.i .id aj.ca.ci .id . . j j (4n−3)6m−2k+2 ej. j.ac e e n−e(j − 2)4m) = n+e(j − 2)4m) + ( ne .bu.n .bu.n 2 ib.u.un u u b b i i l l l i i i b i i i idgigil idgigil idgigil (8n−1)3m+3 //:d //:d :p//:d : : / / / / / / p p p = t t t t t t 2 hhtt hhttp hhttp ( 15m+2k+1 2

k ); jika j ≡ 4(mod 6) dan k sembarang} Wα115 = {wα115 + α5 (zjk zj+1

.id

.id


aj.cac4.id+1 )m + (j − 4)4m) + (e(24n−35)m+k+1 = ( 32m−k+2 +ej(.(−1) j.aj.cac2.id − ( (−1) 4 2 k+1

.unne


b .u −(j ilib4)4m) igili−

dig :p//:d /(8n−1)3m+3 / t hthtp t= 2

k+1 +1

)m

k Wα125 = {wα125 + α5 (zjk zj+1 d jika j ≡ 6(mod 6) dan k ganjil} i); id

ca.c.id ca.c.id ca.cid.id a a a . . . j j j . . . e e e (−1) +1 (24n−51)m+k (−1) +1 n+ e( j 4 )m + (j − 6)4m)b+.u(n − ( 4 )m ib.u.n = ( 48m−k+3 nej2 nej 2b.u.un u u . i i l l l i i i b b b i i i il 6)4m) idgig− idgigil idgigil −(j :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt (8n−1)3m+3 k

=

k

2

k ca.cid.idUntuk sisi xki z2i−1 ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nekj.k nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i 13 13 i α5 (xi z2i−1 ); jika i ≡ 1(mod li dan k sembarang} //digigili ig ili idgiαgil+ idgigi3) Wα =//d{w /:d /:d / : : : d / / //dig / / p p : t t tp tp:// hthttp 3m+2k+1 hth(12n−3)2m−2k+2 hthtp t t + (i − 1)8m) + ( − (i − 1)8m) = (


5

5

2

=

2

(8n−1)3m+3 2

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n nek k nek sembarang} ne .buα.n .budan .bu.n Wα14 = {wiα14lib+ 3) u u u b b . 5 (xi z2i−1 ); jika i ≡ 2(mod i i l l i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / (−1) +1 (24n−23)m+k+1 ttp(−1) p p 20m−k+2 t t t t hhtt= ( 2 + ( 4 )mh+ht(it − 2)8m) + ( h−h(tt 4 +1 )m 2 5

5

k+1

k+1

−(i − 2)8m)













=

(8n−1)3m+3 2





d d d d 78 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt h tt k Wα15h = {wα15 + α5 (xki z2i−1 ); jika ih≡ 3(mod 3) dan k sembarang}h





5

5

k

k

= ( 36m−k+3 + ( (−1)4.i+1 − ( (−1)4 +1 )m did)m + (i − 3)8m) + ( (8n−13)3m+k 2 2 .idid

je.aj.cac. e n −(i − .3)8m) u igliiblib.un g i d i d 2 :// /(8n−1)3m+3 hthtp tt=p:/ k Untuk sisi xki z2i


.idd

.idd



c .i k .aj.cac.i Wα165 = {wα165 + αn5e (xj.kia jz.2ia);c jika i ≡ 1(mod 3) dannkejsembarang} .bu.une .bu.une b b i i l l i i i i (2n−1)12m−2k+2 gigil + (i − 1)8m) + ( //digigil − (i − 1)8m) = (id9m+2k+1 2 :p//:d : /d2 / / p t t hhtt (8n−1)3m+3 hthtp ttp:/ = 2

k id d Wα175 = {wα175 + α5 (xkia z2i id i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang} c.);.jika ac.i .id

je. j.ac e n u n . 26m−k+2 u b = (igilii2lib. + ( (−1) 4 dig− 2)8m) :p//:d /−(i / t hthtp t

k+1

=

(8n−1)3m+3 2

ca.cid.id a c . . j j a e n ne j. ej. n(24n−29)m+k+1 +1 (−1) +1 b.uune .bu u b . . i i l l )m + (i − 2)8m) + ( − ( )m i i b 2 4ig ili idgigili /:d /:d / / : : / /dig / / p p t t hthttp hthttp k+1

c.idid

c.idid

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.un .bu.un .bu.n u b b b i i i l l l i i i i i i gigil + ( (−1) +1 )m + (i −//3)8m) idgigil+ ( (24n−45)m+k − ( (−1) +1 digigil /)m = (id42m−k+3 :p//:d :p:d / / 2 4 2 4p:/://d / / p p t t t t t t hhtt hhttp hhtt

. .aj.ac. Wα185 = {wα185 + αn5e (xje.kia jz.2ika);c jika i ≡ 3(mod 3) dannkejesembarang} k

k

−(i − 3)8m)

= (8n−1)3m+3 d i 2 . d cac.i ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e . e e k .unnej nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n Untuk sisi yik zil2i−1 u u u u b b b b . i i i i l l l i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t 19t tp k hthttp Wαh ); jikahith≡ ttp1(mod 3) dan k sembarang} ht = {wα19 + α5 (yik z2i−1



5

5

k

k

+ ( (−1)4 +1 )m + (i − 1)8m) + ( (8n−3)3m+k − ( (−1)4 +1 )m = ( 6m−k+3 2 2

.idd

c i −(i − 1)8m) ej.aj.ac.

ne .bu.n u b i l i i idgigil = :p//:d / / p t t hhtt (8n−1)3m+3 2


k ); jika Wα205 = {wα205 + α5 (yik z2i−1

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang}

d.id + ( (n−1)24m−2k+2 id.id = ( 21m+2k+1 + (i c−.i2)8m) − (i − c.2)8m) 2 2

je.aj.ac e n u . .un = (8n−1)3m+3 igliib 2lib g i d i :// /d hthtp ttp:/















d d d d 79 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt h tt k Wα21h = {wα21 + α5 (yik z2i−1 ); jika ih≡ 3(mod 3) dan k sembarang}h 5

k+1




k+1 +1

+1 (−1) = ( 38m−k+2 + ( (−1).4idid )m + (i − 3)8m) + ( (24n−41)m+k+1 .2idid − ( 4 2



5

je.aj.cac. e n −(i − .3)8m) u igliiblib.un g i d i d 2 :// /(8n−1)3m+3 hthtp tt=p:/ k Untuk sisi yik z2i


.idd

)m


.idd

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.une .bu.une .bu.n u b b b i i i l l l i i i i i i (−1) +1 (8n−5)3m+k (−1) +1 gigil + ( idgigil+ ( idgigil d = (id12m−k+3 )m + (i −://1)8m) − ( 4 :/)m /:d 2 4 2 :p//:d / / / / / / p p p : t t t t t t hhtt −(i − 1)8m) hhttp hhttp

kc .i .aj.cac.i Wα225 = {wα225 + αn5e (yji.ka jz.2ia);c jika i ≡ 1(mod 3) dannkejsembarang} k

=

k

(8n−1)3m+3 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e sembarang} e j.k ); jika i ≡ 2(mod 3) dan j. n nej. Wα23 = {wα23lib+.uα (yeik z2i kne .bu.n .bu.n 5n u u u b b . i i l l i i i b idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : (4n−5)6m−2k+2 / / / 27m+2k+1 / / / p p p t t t + (i − 2)8m) h +t (ttp 2 − (i − 2)8m) ht ttp hthtt=p ( 2 h h 5

5

=

(8n−1)3m+3 2

c.idid

c.idid

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.un .bu.n u b b i i l l i i i i l +1 idgigil + ( (24n−47)m+k+1 − ( (−1) igi+1 gi)m /:d )m +p(i:/− 3)8m) //:d : / 2 4/d / / p t t t t hhttp hhttp

. .aj.ac. Wα245 = {wα245 + αn5e (yjei.ka jz.2ika);c jika i ≡ 3(mod 3) dannkejesembarang} liibli.bu.un (−1) i g i 44m−k+2 = ://d/(dig2 + ( 4 hthtp ttp:/−(i − 3)8m)

k+1

=

k+1

(8n−1)3m+3 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i ili idgigbahwa idgigWili40 = (8n−1)3m+3 . Atau:/dapat idgigildi/:d /:d /:d / / Tampak Wα1 = Wα2 = ... = : : / / / α / / / p p p 2 t t t hthttp ht ttp ht ttp S tuliskan sebagai berikut: 40 W t h = { (8n−1)3m+3 , (8n−1)3m+3 , . . .h, (8n−1)3m+3 }. 5

5

t=1

5

α5

2

2

2

Dapat disimpulkan bahwadgabungan graf Tangga Permata mDln dengan m .cid.id .ci .id .cid.id c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a ganjil, m ≥ 3 dan n ≥ 2 mempunyai pelabelan total super(a, d)-sisi antimagic . . . . e e e e nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i (8n−1)3m+3 l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgmDl dengan /a/d=igigil 2 dan d = 0, atau//d graf Tangga Permata igil n /:d :p://d :p:/gabungan :p//:d / / //dig / p p p t t t (8n−1)3m+3 t t t hhtt hhttantimagic jika m ganjil, m h≥h3tt dan n ≥ 2. mempunyai Super ( , 0)-sisi 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e j. e e u.n nej. nej. merupakan pangkat, nej. .bu.n .bu..n .bα40 .bu.n Angka 1,lib2,. .,ne 40 pada Wα1 , Wα2 , . . . ,liW bukan u u u u b b b i i l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / melainkan untuk membedakan W yang mempunyai syarat batas i, j dan k //dig / / / α p p p t t t hthttp hthttp hthttp 5

5

5

5













d d d d 80 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / yangttberbeda-beda. Gambar 4.7 merupakan contoh pelabelan total super (a, 0)p p p t t t t hhtt hhtt hhtt






sisi antimagic (SEAT L) pada gabungan graf Tangga Permata 3Dl4 .

28 ca.cid.i18d1 ca.cid.id 411 ca.cid.id a a a . . . j j j 1 e e x3 uneej. x4 nej. x2 nej. .bu.n .b.un 72 .bu.n 95 118 u u b b b i i i l l l i i i idgi126 idgi86gili 77 36 37 63 87 ://didgigili gili 10 14 109 100 23 ://27 135 d /:d / : / / / / / p p : t t h1thtzt1p1 127 z2 1 117 z31 104 hz41thtt91p z51 81 z61 68 z71 55 hthtp ttzp81:/46 5

x11

131

108

122

1 113 c.id y11 je.aj.ac.iyd2 e n 9 lib.u.un 19 giigilib i d / 4 17 / : /d hthtp ttp:/ x21 x22 120

134

125

99

73

82

59

90 ca.cid.id y31 aj.64 . j e n e 32.u.un b i l i b i idgigi30l :p//:d / / p t t hhtt x23 94 71

26 85 13 111 102 22 2 93 116 z 2 103 z4 z52 80 3

76

50


53

39 62

35 d i 2 . d cac.i ca.cizd.72id 57 ca.cid.id z82 48 z6 .a67 3 129 a a . . j j j e j. e e nej. nej. .bu75.n .bu.n une 107 98 u u bli.bu.n b b i i i 49 84 58 l l l 130 g121 i i i id2igi 112 idgigili2 idgigili /:d /:d /:d / / / 2 2 66 : : : 89 / / / y / / / p p p y y y t t t 4 2 3 hthttp 1 hthttp hthttp

z12

12

z22

8

21

31

44

6

16

29

42

d d d x33 aj.ca.ci .ixd32 aj.70ca.ci .id x34 aj.ca.ci .id . . . 119 96 j j j e e e ne15 110 101 24 25 87ilib.bu78.n n34e 38 61 52 ne .bu11.n .bu.n 133 124 u u u b b i i l l i i i i i idgigil 3 115 3 i3gigil d d/idgigil //:d : / z43ttp92 z13://:128 z2 z/5d z63 69 z73 56 ttpz:83//:/47 z 2ttp 105 79 / / 3 hhttp hhttp hhttp x31

132

123

106

97

83

74

51

60

65 88 y33 id.id . c ca.cid.id 43 ca.cid.id a a a c . . . j j j a 7 20 33 ne j. e e nej. nej. .bu.n .bu.une .bu.n u u b b b i i i l l l i i i li Pelabelan total super(141,0)-sisi Gambar antimagic pada 3Dl idgigi4.7: idgigili 4igigili /:d /:d /:d / / / d : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp

y13

114

y43

y23

Berdasarkan Lemma.4.6.1 ( 3m+3 , 1)-sisi and.id d.id maka diperoleh pelabelan d.titik i i i 2 . . d i c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a . . . . e e e e timagic dan dapat pelabelan total super n ej 2)-sisi antimagic dengan nej nej n(a, nej .bu.n .bu.ditentukan .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i il sisi dari pelabelan titik il ig il idgiglabel idgiyang idgiglabel gil telah ditemukan. Letak menentukan /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt yang yang htt htt sisi EAVL w dengan urutan sisihditentukan berdasarkan letakhbobot sama. Sehingga sisi dengan w terkecil dilabeli dengan label sisi terkecil dan

d ca.cid.idsisi dengan w terbesarj.adilabeli ca.cid.id dengan label sisi terbesar, ca.cid.idimana ca.cid.id a a a E(mDl ) = . . . j j j n e e e uneej. nej. nk ;e1j.≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m} nej. .bu.n .bu.kn .b∪u.n u u u k k lib. .un k k b b b i i i l l l i i i i y ; 1 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ k ≤ m} ∪ {x y , y x {x b i i i+1 idii+1 ig ili idgigili i i idgigili /:d /:d /:d // gigil / / : : / / //dig / / p p k k k k k k k k kttp:p://d t t thttp, yi z2ik ; 1 ≤ zj+1 {zj h htt; j genap, 2 ≤ j ≤ 2n − 2, 1h≤thtktp≤ m} ∪ {xi z2i−1 , xi z2i , yi hz2i−1













d d d d 81 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il igigil idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :p//:d /d≤ / / //dig / / / i ≤ n, 1t:p≤ k m}. Melalui pengamatan pola dan penggunaan konsep barisan p p p t t t t t t hht hhtt hhtt aritmatika, maka dapat ditentukan fungsi bijektifnya. Dari uraian di atas dapat

ca.cid.idditurunkan teorema 4.6.2: ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / (8n+3)m+5 //dig / / / p p p t t t 3 Teorema hthttp 4.6.2 Ada pelabelan total hthsuper hthttppada gabuttp ( 2 , 2)-sisi antimagic ngan graf Tangga Permata mDln jika m ganjil, m ≥ 3 dan n ≥ 2.

d d d ca.cid.id aj.ca.ci .idBukti. Labeli titik egabungan aj.ca.ci .id graf Tangga Permata aj.mDl aj.ca.ci .id . . . . k j j j j e e e dengan α (x ) = n 6 i ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i k k k k k i i i i gigj ),il untuk 1 ≤ k ≤ m, definisikan ig il idgi i)gi=l α4 (yi ) dan α6 (zj ) =://αd4id(z idgigil α4 (xi ), α//6d /:d //:d :p:/(y : / / / //dig / / p p p : t t t t t t tp + 2, . . . , 12nm − 3m}, hmaka hhsisi tt α6 : E(mDln ) → {4nm +h1, label ht4nm http label sisi α6 untuk pelabelan total super (a, 2)-sisi antimagic pada graf mDln dapat diru-

ca.cid.idmuskan sebagai berikut: ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l  i i i i ig ili idgi idgigili idgigili gili(2n+3)4m−k+1 + (i − 1)8m; /:d /:d /:d /:d / / / : : : jika i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil / / /  //dig / / / p p p t t t 2 hthttp  hthttp hthttp    (8n+11)m−k+1


α6 (xki xki+1 )

 

=


2 (8n+27)m−k+2 + (i − 2)8m; 2 (2n+7)4m−k+2 + (i − 2)8m; 2 (4n+21)2m+2k + (i − 3)8m; 2

d   aj.ca.ci .id .  j  e   ne .bu.n u  b i l  i i ig il




jika i ≡ 2(modid3) dan k ganjil

ac. .id

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil dan k sembarang :p//:d / / p t t hhtt

je. j.ac 3) dan k genap jika iu≡ ne2(mod

liibli.bi .≡un3(mod 3) i g i jika ://d/dig hthtp ttp:/

(8n+15)m−k+2

 + (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod.id 3) dan k ganjil  id.id 2 c.idid  . c cac.id ca.cid.id  . a a a a c c  . . . . (n+2)8m−k+2 j j j j a a  e e e e  ej. 3) dan k genap b.u.n ib.u.n nej. n2ej. + (i − 1)8m; jika n1(mod nej. .bu.n .biu.≡n u u u u b b i i i l l l l i i i i b b k ig ili idgjika idgigili α6 (yik yi+1 =idgigili(4n+15)2m+2k + (i − 2)8m; igili i ≡ 2(mod 3) dan k psembarang /:d /:)d /:d /:d / / / 2 : : : / / /  //dig / / / p p t t t thttp t tp (n+6)8m−k+1 hthttp    + (i −h3)8m; jika i ≡ 3(mod 3) danhkhtganjil  2 



 

(8n+47)m−k+1 2


d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i  i i i l idgigi(4n+3)2m−k+1 idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d  / / / / / / + (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil p p p  t t t t t t 2 hhtt  hhtt hhtt    (8n+5)m−k+1 α6 (xki yik )

 

=

+ (i − 1)8m;

2 (8n+21)m−k+2 + (i − 2)8m; 2 (4n+11)2m−k+2 + (i − 2)8m; 2 (8n+36)m+2k + (i − 3)8m; 2

 ca.cid.id a  . j  e   nej. .bu.n  u b i  l i ggili di

:p//://di t hthtp t


jika i ≡ 2(mod.i3) d dan k ganjil

cac.id ca.cid.id a a . . j j e e jika i.u≡n2(mod nej. 3) dan k genap ilib.bu.n nej. u u b . i l i b idgjika idgigili igilii ≡ 3(mod 3) dan k psembarang /:d /:d / / : : / / / / p t t hthttp hthttp











d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt  (2n+3)4m+2k        





+ (j − 2)4m;

2 (4n+15)2m−k+1 + (j − 4)4m; 2 (8n+29)m−k+1 + (j − 4)4m; 2 (8n+45)m−k+2 + (j − 6)4m; 2 (4n+23)2m−k+2 + (j − 6)4m; 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e k α6 (zjk zj+1 ) = ib.u.n nej. nej. .bu.n u u b i l l i i  b ig ili idgi gili  /:d /:d /  : / //dig / p  t hthttp   


jika j ≡ 2(mod 6) dan k sembarang

d jika j ≡ 4(mod ac.i .id6) dan k ganjil

ca.cid.id a c . . j j a e e j. ne4(mod nej. jika ≡ 6) dan k genaplib.u.n .buj.n u u b i l i i b idgigili idgigili /:d /:d / / : : jika j ≡ 6(mod 6) dan k ganjil / / / / p p t t hthttp hthttp jika j ≡ 6(mod 6) dan k genap

.id

.id

 je.aj.cac.id je.aj.cac.id e e n n 8nm+2k   iibli.bu.iu≡n 1(mod 3) liibli.bu.u2n + (i − 1)8m; ljika  i i g g  i i (4n+9)2m−k+1  ://d/dig ://d/digjika i ≡ 2(mod 3) + (i −tt2)8m;  2 hkthtp hhp tktp:/  (8n+17)m−k+1 ttp:/ α6 (xi z2i−1 ) = + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) 2   (8n+33)m−k+2   + (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3)  2 id.id .  c ca.cid.id ca.cid.id  a a a c . . . (4n+17)2m−k+2  j j j a e j. e j. e 3(mod j. + (i − 3)8m; jika i ≡ 3)


n e liibli.bu.un 2 i g i :p//:d /dig / t hthtp  t (4n+3)2m+2k        


+ (i − 1)8m;

2 (n+3)8m−k+1 + (i − 2)8m; 2 (8n+23)m−k+1 + (i − 2)8m; 2 (8n+39)m−k+2 + (i − 3)8m; 2 (n+5)8m−k+2 + (i − 3)8m; 2

d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j k k e e α6 (xi z2i ) = ne ne .bu.n .bu.n u u  b b i i l l  i i i i ig il idg  igil /:d  :p//:d /  //dig / p t  t hhtt 

       

.i je.aj.cac3) e jika i.u ≡n2(mod liiblib.un i g i ig i ≡ 3(mod 3) ://d/djika hthtp ttp:/ jika i ≡ 3(mod 3)

.bu.une b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt + (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod 3)

2 (4n+5)2m−k+2 + (i − 1)8m; 2 (n+3)8m+2k + (i − 2)8m; 2 (4n+21)2m−k+1 + (i − 3)8m; 2 (8n+41)m−k+1 + (i − 3)8m; 2

dan k genap dan k ganjil

ca.cid.id a . j dan k genap .une nej. u b . i l i b idgigili /:d / : / / p t hthttp

jika i ≡ 2(mod.i3) dddan k ganjil

d aj.ca.ci .id . j e dan k genap ne .bu.n u b i l i i idgigil dan k ganjil :p//:d / / p t t t danhkhtgenap

ca.cid.id ca.cid.id  a a . . j j (8n+3)m−k+2 e  ej. 3) ≡e  ne2 j. + (i − 1)8m; jika n1(mod .bu.n .bui.n  u u b b i i l l  i i ili (2n+1)4m−k+2 + (i − 1)8m; idgig idgijika  gili i ≡ 1(mod 3) /:d /:d  / / : : / / 2  / / p p t t thttp ht ktp ) = (4n+9)2m+2k + (i −h2)8m; α6 (yikhzt2i−1 jika i ≡ 2(mod 3) 2   (8n+36)m−k+1    2  d d.id+ (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod d.i3) i i i  . . . d d i c c c (8n+35)m−k+1  . a c a c j.aj.ac 3) nej. j.a nej2. j.a + (i − 3)8m; jika i n≡e3(mod .bu.une b i l i i idgigil :p//:d / / p t  t hhtt (8n+9)m−k+2

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n dan k sembarang u b i l i i idgigil /:d / danttp k :p/ganjil / hhtt




82

ca.cid.id a . j e dan k ganjil nej. .bu.n u b i l i idgigili /:d dan kpgenap / : / / t ht ttp dan hk sembarang dan k ganjil

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t h tt dan kh ganjil dan k genap

jika i ≡ 1(mod d 3) dan k genap

ca.cid.id α (yk z k ) = ca.cid.id a a . . j j 6 i 2i e e  nej. nej. .bu.n .bu.n  u u b b i i l l  i i ig ili idg  igili /:d /:d  / : /  //dig / p t hthttp 

.ci .id .cid.id c c a a . . j j a a jika i ≡ne 2(mod . 3) dan k sembarang une . .bu.unej .b.unej b b i i l l i i idgjika idgigili igilii ≡ 3(mod 3) dan k pganjil /:d /:d / / : : / / / / p t t tp hthttp jika i ≡ 3(mod 3) danhkthtgenap













d d d d 83 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil ig il idgkigkil /:d /:d k k kdikg k k k k :p//:d :p6/(y :pα//:6d / / / //dig / / / Fungsi bijektif pada α (x x ), α y ), α (x y ), α (z z ), (x p p p t t t 6 6 6 i i+1 i i+1 i i j j+1 i z2i−1 ), t t t hhtt hhtt hhtt k k k k k k α6 (xi z2i ), α6 (yi z2i−1 ) dan α6 (yi z2i ) dapat direduksi sebagai berikut:(untuk k

ca.cid.idsembarang) ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e .une u.n u.n nej. nej. nej. nej. .bu.n . . u u u u b b b b . i i i i (−1) +1 (8n+11)m−k+1 l l l l i i i i b b b g +li (i − 1)8m; jika i ≡ 1(mod +( )m ili ig ili idgig idgig3)ili  2 4://didigi  /:d /:d /:d / / : : / / / //dig / / / p p p : t t t (−1) thkitxtpki+1 ) = (8n+27)m−k+2 + ( h thtt+1 thtt2(mod p )m + (i − 2)8m; jika ih≡ p α6h(x 3) 2 4 


k+1 k

 

(4n+21)2m+2k 2

+ (i − 3)8m;

jika i ≡ 3(mod 3)

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j  neje.a . . . e e u.n (−1) +1 n j nej nej .bu(8n+15)m−k+2 .b− .bu.n  u u u b b b . i i i + ( )m + (i 1)8m; jika i ≡ 1(mod 3) l l l  i i i i i i 2 4 il idgig idgigil idgigil (4n+15)2m+2k :pk//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p t t ) = y α6h(y + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) thtikp t t hhtt hhtt 2 tt i+1   (8n+47)m−k+1 (−1) +1  k

+(

2

k+1

4

)m + (i − 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3)


 je.aj.cac.i (−1)k+1 +1 je.aj.cac.i je.aj.cac.i e e e n n n (8n+5)m−k+1 u u u n +( )m i+ jika i ≡ 1(mod 3)ilib.b.un  iibli.b.un 2 liibl(ii.b−.u1)8m; 4  igl g g i i idgigili k g d d i i /:)m /:d k://k /d (8n+21)m−k+2 (−1) +1 / / d : : / / α6t(x y ) = / / / + ( + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod p p p : t t t i i 2 hhttp ht4ttp hthttp 3)    (8n+36)m+2k + (i − h 3)8m; jika i ≡ 3(mod 3) 2


ca.ci .id ca.ci .id ca.ci .id  a a a . . . j j j . . . e e e n  + (j − 2)4m; ib.u.n ne2j nej jika j ≡ 2(mod 6) nej .bu.(2n+3)4m+2k .bu.n  u u u b b  i i l l l i i i b i i i idgi6) k k/digigil (8n+29)m−k+1 (−1)k+1 +1 /digigil gil α6 (ztp )d= ( :p/j+1 :/ )md+ (j − 4)4m; jika j ≡ttp4(mod :p//:d / / jz / / : + 4ttpp:// t  t hhtt  httk +1 )m + (j − 6)4m; jika jh≡ht6(mod  (8n+45)m−k+2 + (h(−1) 6) 2 4



.idd

.idd

.idd

d

d

d

 ca.cid.id a . j (4n+9)2m−k+1 e j.  + (i − 2)8m;   une 2 b.un

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e jika i ≡ 2(mod 3) .une nej. nej. .bu.n u u b b . . i i i l l l i i i b b k gigi+li (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod id)m idgig3)ili d α6 (xki z2i−1 )idg= igili (8n+17)m−k+1 /:d /:d + ( (−1)p4://+1 / / : : / / / 2 / / / p p :  t t t thttp p  hthttp ht≡tt3(mod (−1) +1  (8n+33)m−k+2 + (h )m + (i − 3)8m; jika i h 3) k+1 k

2

4

 ca.cid.id a (4n+3)2m+2k . j  . e j + (i − 1)8m;  2  .unne

did ca.cid.id aj.ca.ci .jika a . . j j . e e i ≡ 1(mod 3) unnej ne .bu.n u u b b . i i l l liibli.b.u i i i (8n+23)m−k+1 k k (−1) +1 b i i l gigil g g i i i α6 (xi z/2i/d ) i= + ( )m + (i − 2)8m; jika i ≡ 2(mod 3) 2 : /d  (8n+39)m−k+2 :p//:d :p//:d //dig //dig t4p tp t t (−1) +1  t t hthtp h h ttp:/  t t + ( h4 )m + (i − 3)8m; jika i ≡h3(mod 3) 2 k+1 k

   


ca.cid.id a . j e nej. .bu.n u b k k i l i )ig= α6 (yi z2i−1 li igi /:d / d : /  / p t  hthttp









ca.cid.idjika i ≡ 1(mod 3) ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i jika i ≡ 2(mod idgigili idgig3)ili /:d /:d / / : : / / / / p p t t p hthttp jika h i th ≡tt3(mod 3)

k (8n+3)m−k+2 + ( (−1)4 +1 )m + (i − 1)8m; 2 (4n+9)2m+2k + (i − 2)8m; 2 k+1 (8n+35)m−k+1 + ( (−1) 4 +1 )m + (i − 3)8m; 2



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / p t t hhtt  (8n+9)m−k+2






k + ( (−1)4 +1 )m + (i − 1)8m; 2 (n+3)8m+2k + (i − 2)8m; 2 k+1 (8n+41)m−k+1 + ( (−1) 4 +1 )m + (i − 3)8m; 2

  

84

jika i ≡ 1(mod 3)

id i ≡ 2(mod 3) ca.cid.id ca.cid.jika ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. jika i ≡ 3(mod 3) nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t t (x p hthJika hthttbobot ttp Wα didefinisikan sebagai ttpk ), α6 (yk ),sisi pelabelan total h αh 6

k α6 (yik z2i )

=

  

6 i i k k k k k k k k k k k k k k α6 (zj ), α6 (xi xi+1 ), α6 (yi yi+1 ), α6 (xi yi ), α6 (zj zj+1 ), α6 (xi z2i−1 ), α6 (xi z2i ), α6 (yik z2i−1 ) k ) maka Wα6 dapat diperoleh dengan menjumlahkan rumus bobot dan α6 (yik z2i

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n u.n ne nedan rumus label sisi iαlib ne syarat batas i, j, dan ne .bu.n .buw .bdengan .bku.n u u u u b b b . i i i sisi EAVL w = l l l i i i α α 6 i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t yang bersesuaian dan dapat dirumuskan sebagai berikut: t t t hhtt hhtt hhtt






4

6

Untuk sisi xki xki+1

cka.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j k . e e e = +.uαn6 (x u.n nei jx.i+1 ); jika i ≡ 1(modil3) nkejganjil} nej. .bdan .bu.n u u u b b b . i i i l l i i b gigili id15m−k+2 idgigili idgigili (2n+3)4m−k+1 /:d /:d /:d / / / : : : / / / = ( + (i − 1)8m) + ( + (i − 1)8m) / / / p p p t t t 2 hthttp hthttp 2 hthttp (8n+27)m−2k+3

Wα16

{wα1 6

=

2

+ (i − 1)16m

id

id

k c k . .id c. id Wα26 = {wα2 6 + α6 (x ac); jika i ≡ 1(mod 3) danekj.agenap} .ac. ej.i ax.i+1

nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l (8n+11)m−k+1 i i i i + (i − 1)8m) + ( //d2igigil + (i − 1)8m) =//digigil :p://d : d p t t tp:// hthtp hhtt (8n+25)m−2k+3 t = + (i − 1)16m ( 14m−k+2 2 2


k Wα36 = {wα3 6 + α6 (xki xc i+1 .id);idjika i ≡ 2(mod 3) dan k ganjil} c.idid

ca.cid.id . . a a a c c . . . j j j a a e e . e j. (8n+27)m−k+2.unnej ne nej. .bu.n .bu.n u u u + (i − 2)8m) + ( + (i − 2)8m) = ( 30m−k+3 b b b . i i i l l l i i i 2 2 b idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p (8n+57)m−2k+5 t t t + (i − 2)16m hthtt=p hthttp hthttp 2

Wα46 = {wα4 6 + α6 (xki xki+1 ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k genap}

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a (2n+7)4m−k+2 . . . j j j . . . e e e +ne (ij − 2)8m) + ( (i = n 2 ne−j 2)8m) nej .bu.n .bu+ .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil (8n+59)m−2k+5 //:d //:d : : + (i − 2)16m =://:d / / / / / / p p p 2 t t t t t t hhttp hhttp hhttp 5 5 k k ( 31m−k+3 2

Wα6 = {wα6 + α6 (xi xi+1 ); jika i ≡ 3(mod 3) dan k sembarang}

d

d

.ci .id .id + ( (4n+21)2m+2k = ( 45m+2k+1 +j.(i + (ij.− aca−.ci3)8m) aca3)8m) 2 2

e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i = /digigili + (i − 3)16m /digigili / d : :/ /d / / p : t hthttp hthtp ttp:/ (8n+87)m+4k+1 2












d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil k k /:d :p//:d / //dig / Untuk sisi yi yi+1 p t t hhtt









k Wα66 = {wα6 6 + α6 (yik yi+1 ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil}

c.idid

c.idid

(8n+15)m−k+2 a c. c. = ( 18m−k+3 +ne (ij.−a j.a1)8m) 2 2 n+ej(i. j.−a 1)8m) + (

e e liibli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i = + (i − 1)16m ://d/dig :p//:d /dig / t h7 thtp hthtp t ttp:/ 7 k k (8n+33)m−2k+5 2

Wα6 = {wα6 + α6 (yi yi+1 ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k genap}


id.id + ( (n+2)8m−k+2 + (ia− + (i −a1)8m) = ( 19m−k+3 c.1)8m) c.id.id 2 2

ca.cid.id a c c . . . j j j a a . . . e e e nej+ (i − 1)16m nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l = (8n+35)m−2k+5 i i i i i i idgigil 2 idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t 8 tt k hhtt Wαh ); jika hi h ≡tt2(mod 3) dan k sembarang} h = {wα8 + α6 (yik yi+1 6

6

= ( 33m+2k+1 + (i − 2)8m) + ( (4n+15)2m+2k + (i − 2)8m) 2 2 d d

aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j (8n+63)m+4k+1 e e n e + (i − 2)16m n e = liibli.2bu.un liibli.bu.un i i g g i i 9 p://d 9 k diαg :p//:d /dig3) dan k ganjil} / Wαh + α6 (yik yi+1 ); jika hi t≡ 3(mod tp thttt=p://{w t ht 6

6

+ (i − 3)8m) + (9. (n+6)8m−k+1 + (i − 3)8m) = ( 51m−k+2 2 2


d d d aj.+ca.c(ii .i−d 3)16m aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i 10 10 k k idgiαgil+ α6 (yi yi+1 ); jika i ≡ 3(mod idgig3)il dan k genap} idgigil Wα = {w :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 50m−k+2 + (i − 3)8m) + ( (8n+47)m−k+1 + (i − 3)8m) = ( =

6

(8n+99)m−2k+3 2 6

2

2

(8n+97)m−2k+3 2

= +c.(iid i−d 3)16m ca.cid.id ca.cid.id . a a a c . . . j j j a e e neej. nej. nej. .bu.n .bu.n k kib.u.un u u b b i i Untuk sisi x y l l l i i i b ig ili idgiigiili idgigili /:d /:d /:d / / : : / / //dig / / p p t t 11t ttp ttp 3) dan k ganjil} Wαh h = {wα11 + α6 (xki yik ); jika i h≡th1(mod


85

6

6

(4n+3)2m−k+1 + (i − 1)8m) + (i − 1)8m) = ( 9m−k+2 2 2 d +( d


aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e = ne + (i − 1)16m ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i il idgig idgigil k k 12 12 p://d :p//:d / / p ≡tt1(mod 3) dan k genap} Wαh thttt=p://{w α + α6 (xi yi ); jika i h htt



ca.c(iid.i−d 1)16m ca.cid.id a a . . + j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp










(8n+15)m−2k+3 2 6

6

= ( 8m−k+2 + (i − 1)8m) + ( (8n+5)m−k+1 + (i − 1)8m) 2 2

=

(8n+13)m−2k+3 2





d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt Wα13h = {wα13 + α6 (xki yik ); jika i ≡h2(mod 3) dan k ganjil}






6

6

je.aj.cac. je.aj.cac. e e n n (8n+45)m−2k+5 u u = igliibli.2b.un + (i − 2)16m digigliibli.b.un g i d i :// d :p//://di p 14ttpp:// 14 k k t t Wαh = {w + α (x y ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k genap} t t h 6 i i α ht ht 6

6

+ (i − 2)8m) + ( (4n+11)2m−k+2 + (i − 2)8m) = ( 25m−k+3 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j . . . e e e = nej+ (i − 2)16m nej nej .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i l l idgig idg3) idgigil 15i k k igidan Wα15 tp= {w k sembarang} tp://:d :p//:d :p//:d / / / / / / α + α6 (xi yi ); jika i ≡tt3(mod p t t hhtt hhtt hhttp (8n+36)m+2k 39m+2k+1 (8n+47)m−2k+5 2

6

6

= (

2

+ (i − 3)8m) + (

2

+ (i − 3)8m)

.c(iid.i−d 3)16m ca.cid.id ca.cid.id = (8n+75)m+4k+1 +c a a a . . . 2 j j j a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l k k i i i Untuk sisi zig ili ig ili idgigili j izg j+1 /:d /:d /:d / / d : : / / //dig / / p p t t h16thttp hthttp 16 k k




86


Wα6 = {wα6 + α6 (zj zj+1 ); jika j ≡ 2(mod 6) dan k sembarang} (2n+3)4m+2k + (j c−.id 2)4m) + (j − c2)4m) = ( 15m+2k+1 .id.id 2 2 .id + (

je.aj.ac je.aj.ac e e n n (8n+27)m+4k+1 u u n n . . = gilib li2b.u + (j − 2)8m //digiigliiblib.u i i g d i / / : /d : ://d tp 17ttptp:/ k ttp4(mod Wαh ); jika hjth≡ 6) dan k ganjil} ht = {wα17 + α6 (zjk zj+1 6

6


+ (j − 4)4m) + ( (4n+15)2m−k+1 + (j − 4)4m) = ( 33m−k+2 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e = nej.+ (j − 4)8m nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ili idgig idgigili idgigili /:d 18 k //:d / :p//:d :p4(mod : / / / Wα18ttp= {w + α6 (zjk zj+1 ); jika jt≡ 6) dan k genap} / / / p p t t α hhtt hhtt hthttp (8n+29)m−k+1 (8n+63)m−2k+3 2

6

6

+ (j − 4)4m) + ( = ( 32m−k+2 2

2

+ (j − 4)4m)

dd d d 4)8m aj.+ca.c(ji .i− aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e nek k ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i 19 19 i i i g il il dan k ganjil} idgig6) idgigil Wα =//d{w //:d :p://idiαg + α6 (zj zj+1 ); jika jt≡ :p6(mod :p//:d / / / / p p p t t t t t hhtt 48m−k+3 h tt hhtt + (j − 6)4m) + h( (8n+45)m−k+2 + (j − 6)4m) = ( =

6

(8n+61)m−2k+3 2 6

2

2

(8n+93)m−2k+5 2


+c.(j id.i− d 6)8m ca.cid.id a a c . . j j a e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp










=





d d d d 87 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhtt k Wα20h = {wα20 + α6 (zjk zj+1 ); jika jh≡ 6(mod 6) dan k genap}






6

6

(4n+23)2m−k+2 = ( 49m−k+3 + (j −.6)4m) + (j − .6)4m) idid + ( idid 2 2

je.aj.cac. je.aj.cac. e e n n (8n+95)m−2k+5 u u = igliibli.2b.un + (j − 6)8m digigliibli.b.un g i d i :p//://dk k :p//://di p p t t t t t t h h Untuk ht sisi xi z2i−1 ht



d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j 8nm+2k e e +ne (i − 1)8m) + ( 2 + (i.− 1)8m) = u.n ne .bu.n u u b b i i l l i i b i i idgigil diggil (8n+3)m+4k+1 :p//:d / = + (i − 1)16mttp:p//://di / p t t 2 hhtt hhtt ( 3m+2k+1 2

k ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k ganjil} Wα226 = {wα226 + α6 (xki z2i−1

.id

.id

.id + ( (4n+9)2m−k+1 = ( 21m−k+2 +ej(i +e (ij.−a.c c.id .a.−cac2)8m) a2)8m) 2 2

nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i =//didgigili + (i − 2)16m //didgigili : :p:// / / p : t thtp t h23thttp h t 23 k k (8n+39)m−2k+3 2

Wα6 = {wα6 + α6 (xi z2i−1 ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k genap}



+ (i − + (i − c 2)8m) = ( 20m−k+2 idid + ( (8n+17)m−k+1 .idid 2 2 c.2)8m)

d aj.ac. aj.ac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne + (i − 2)16m ne ne .2bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b = (8n+37)m−2k+3 i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t 24 24 k k t t t Wαhhtt= {wα + α6 (xi z2i−1 ); jikahih≡ tt 3(mod 3) dan k ganjil} hhtt 6

6

+ (i − 3)8m) + ( (8n+33)m−k+2 + (i − 3)8m) = ( 36m−k+3 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e = nej.+ (i − 3)16m nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ili idgig idgigili idgigili 25 k k /:d //:d / :p//:d :p3(mod : Wα25ttp= {w 3) dan k genap} / / / / / / p p α + α6 (xi z2i−1 ); jika itt≡ t hhtt hhtt hthttp (4n+17)2m−k+2 (8n+69)m−2k+5 2

6

6

+ (i − 3)8m) + ( = ( 37m−k+3 2

2

+ (i − 3)8m)

d d d d = (8n+71)m−2k+5 aj.ca.ci .id aj.+ca.c(ii .i−d 3)16m aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j 2 e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i k k i i i i l ig il idgigil idgigil Untuk sisi xig /:d diizg2ii :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt h tt W 26h = {w26 + α6 (xk z k ); jika i ≡h1(mod 3) dan k sembarang} h α6

α6

i 2i

= ( 9m+2k+1 + (i − + (i − 1)8m) idid + ( (4n+3)2m+2k 2 2 c.1)8m) c.idid


je.aj.ac. je.aj.ac. e e n n (8n+15)m+4k+1 u u = igliibli.2b.un + (i − 1)16m digigliibli.b.un g i d i :p//://d :p//://di p t t t t hthtp h t ht














d d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / p p t t t t h tt h tt k Wα27h = {wα27 + α6 (xki z2i ); jika i ≡h2(mod 3) dan k ganjil}


(n+3)8m−k+1 = ( 27m−k+2 + (i − .2)8m) + (i − 2)8m) idid + ( .idid 2 2





6

88

6

je.aj.cac. je.aj.cac. e e n n (8n+51)m−2k+3 u u = igliibli.2b.un + (i − 2)16m digigliibli.b.un g i d i :// d :p//://di p 28ttpp:// 28 k k t t Wαh = {w + α (x z ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k genap} t t h 6 i 2i α ht ht 6

6

+ (i − 2)8m) + ( (8n+23)m−k+1 + (i − 2)8m) = ( 26m−k+2 2 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . . e e = nej+ (i − 2)16m nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i l idgig idgi3) gildan k ganjil} 29i k k Wα29 tp= {w 3(mod :p//:d :p//:d / / / / α + α6 (xi z2i ); jika i ≡ p t t t hhtt hhtt (8n+39)m−k+2 42m−k+3 (8n+49)m−2k+3 2

6

6

= (

2

+ (i − 3)8m) + (

2

+ (i − 3)8m)

.c(iid.i−d 3)16m ca.cid.id +c a a . . j j a e e nekj.k nej. .bu.n .bu.n u u b b i i 30 30 l l i i i α6 (xi z2i ); jika i ≡ 3(mod i k genap} Wα = /d{w idgiαgil+ idgi3) gildan /:d / / : : / / / / p p : t t hthtt=p ( 43m−k+3 + (i − 3)8m) +hth( (n+5)8m−k+2 ttp + (i − 3)8m) 2 2 =

6

(8n+81)m−2k+5 2 6


(8n+83)m−2k+5

= + .(iid− 3)16m 2 .cid.id c cac.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a . . . . e e e e k .unnej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n Untuk sisi yik zil2i−1 u u u u b b b b . i i i i l l l i i i b i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t 31 31 k k t t t Wαhhtt= {wα + α6 (yi z2i−1 ); jikahih≡ tt 1(mod 3) dan k ganjil} hhtt



6

6

+ (i − 1)8m) + ( (8n+3)m−k+2 + (i − 1)8m) = ( 6m−k+3 2 2

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e j. (i − 1)16m = ne+ nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i ili idgig idgigili idgigili 32 k k /:d //:d / :p//:d :p1(mod : Wα32ttp= {w 3) dan k genap} / / / / / / p p α + α6 (yi z2i−1 ); jika itt≡ t hhtt hhtt hthttp (2n+1)4m−k+2 (8n+9)m−2k+5 2

6

6

+ (i − 1)8m) + ( = ( 7m−k+3 2

+ (i − 1)8m)

2

d d d aj.+ca.c(ii .i−d 1)16m aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e nek k ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l 33 33 i i i i i i l dan k sembarang} //digigil g il+ α6 (yi z2i−1 ); jika i ≡ 2(mod Wα = /d{w idgigi3) :p/://idiαg :p//:d : d / / p p t t t t t tp:// hhtt 21m+2k+1 hht(4n+9)2m+2k hthtp t + (i − 2)8m) + ( + (i − 2)8m) = ( =

6

(8n+11)m−2k+5 2 6

2

=

2

(8n+39)m+4k+1 2


+ .(iid− cac.id 2)16m ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp














d d d d 89 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhtt k Wα34h = {wα34 + α6 (yik z2i−1 ); jika ih≡ 3(mod 3) dan k ganjil}


6

6


cac. cac. ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej.+ (i − 3)16m nej. nej. .2bu.n .bu.n .bu.n = (8n+75)m−2k+3 u u u b b b i i i l l l i i i g ili idgigili idgigili /:d /:d / / ://didig : : / / / / p p 35ttpp:// 35 k k t t Wαhhtt= {wα + α6 (yi z2i−1 ); jikahith≡ ttp3(mod 3) dan k genap} hthttp 6

6

+ (i − 3)8m) + ( (8n+35)m−k+1 + (i − 3)8m) = ( 38m−k+2 2 2

d ca.cid.id ca.cid.id aj.ca.ci .id a a (8n+73)m−2k+3 . . . j j j . . e e e = ne nej+ (i − 3)16m nej .bu.n .2bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il ig kil idgigil /:d :p//:d :p//:d Untuk sisi ydikizg2i / / //dig / / p p t t t t hhtt hhtt






k ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k ganjil} Wα366 = {wα366 + α6 (yik z2i

id

id

ca.c.id .id + ( (8n+9)m−k+2 = ( 12m−k+3 +ej(i + (ie− .a.−ca.c1)8m) j.a.1)8m) 2 2

nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i =//digigili + (i − 1)16m //digigili d : : /d / / p : t h37thttp hthtp ttp:/ 37 k k (8n+21)m−2k+5 2

Wα6 = {wα6 + α6 (yi z2i ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k genap} + (i − + (i − c 1)8m) = ( 13m−k+3 idid + ( (4n+5)2m−k+2 .idid 2 2 c.1)8m)

d aj.ac. aj.ac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne + (i − 1)16m ne ne .2bu.n .bu.n .bu.n = (8n+23)m−2k+5 u u u b b b i i i l l l i i i i i i g il idgigil idgigil ://didig :p//:d :p//:d / / / / p p 38ttpp:// 38 k k t t t t Wαhhtt= {wα + α6 (yi z2i ); jika i h≡h2(mod 3) dan k sembarang}hhtt tt 6

6

+ (i − 2)8m) + ( (n+3)8m+2k + (i − 2)8m) = ( 27m+2k+1 2 2

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e = nej.+ (i − 2)16m nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i li idgig idgi3) gildan 39i k /:d /:d / / Wα39 tp= {w + α6 (yik z2i ); jika i ≡t3(mod k ganjil} : : / / / / α p hthttp hthttp (4n+21)2m−k+1 45m−k+2 (8n+51)m+4k+1 2

6

6

= (

2

+ (i − 3)8m) + (

2

+ (i − 3)8m)



d d d aj.+ca.c(ii .i−d 3)16m aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e nek k ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i 40 40 l l l i i i i i i g il+ α6 (yi z2i ); jika i ≡ 3(mod Wα = /d{w idgi3) idgigil gildan k genap} :p/://idiαg :p//:d :p//:d / / / / p p p t t t t t t hhtt= ( 44m−k+2 + (i − 3)8m) +hh( (8n+41)m−k+1 hhtt tt + (i − 3)8m) 2 2


+ .(iid− 3)16m cac.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgibijektif idgigili sebagai berikut: idgigili gili pada Wα6 dapat direduksi /:d /:d /:d / / / Fungsi : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp









=

6

(8n+87)m−2k+3 2 6

=

(8n+85)m−2k+3 2



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgkigkil /:d :p//:d / //dig / Untuk sisi x p t i xi+1 t hhtt








Wα16 = {wα1 6 + α6 (xki xki+1 ); jika i ≡ 1(mod 3) dan k sembarang}

c.idid

c.idid


(−1) (8n+11)m−k+1 a c. +1 a c. = ( 14m−k+2 + ( (−1) 4 2 n+ej(. j.a 4 )m + (i − 1)8m) +n(ej. j.a2 k+1

.uune

. iiblib 1)8m) igiigl− d+(i

:// /d hthtp tt=p:/ (8n+25)m−2k+3 + ( (−1)

k+1

2

2

e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / p t t t h +1ht )m + (i − 1)16m

k+1 +1

)m

Wα26 = {wα2 6 + α6 (xki xki+1 .id); jika i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang} .id

d aj.cac.id aj.cac.id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e (8n+27)m−k+2 ne 2 ne .un+ne .bu.n = ( 30m−k+3 ( (−1)4 +1 )m + (i − 2)8m)lib+.u(.n + ( (−1)4 +1 )m+ u u b i i 2bib.u l l i i i b i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d (i − 2)8m) / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt (8n+57)m−2k+5 (−1) +1 k

=

2

+(

k

k

2

)m + (i − 2)16m

id

id


k . .id ca.c.id Wα36 = {wα3 6 + α6 (xj.kia xc i+1 ac); jika i ≡ 3(mod 3) dan kj.asembarang}

e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i (4n+21)2m+2k l l i i + (i − 3)8m) + ( /di2gigili + (i − 3)8m) = /digigili / d : :/ /d / / p : t hthttp (8n+87)m+4k+1 hthtp ttp:/ ( 45m+2k+1 2

=

2

+ (i − 3)16m

d d d d k k aj.ca.ci .idUntuk sisi yi yi+1 ej.aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne nek k ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l 4 6 i i i i i i i i g il+ α6 (yi yi+1 ); jika i ≡ 1(mod Wα = /d{w ig il idgig3)il dan k sembarang} ://didgigil /:d :p/://idiαg :p//:d / //dig / p p t t t t thtp t tp+1:// h hhtt= ( 18m−k+3 + ( (−1) +1 )m +hh(it− t (8n+15)m−k+2 (−1) 1)8m) + ( + ( 4 )m+ 2 4 2



6

6

k

k

(i − 1)8m)

d.id ca.ci(−1) ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j +1 . ( 2 )m + (i − 1)16m e e e = nej+ nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili d/idgi5gil+i α (yk yk ); jika i ≡p2(mod /:d /:d / / : : / / Wα5 ttp=:p//:/{w 3) dan k sembarang} / / p 6 i i+1 t t α hhtt hthttp hthttp k

(8n+33)m−2k+5 2

6

6

+ (i − 2)8m) + ( (4n+15)2m+2k + (i − 2)8m) = ( 33m+2k+1 2 2

d d id ca.(i aj+ aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id c.i−d 2)16m . . . j j j . e e e nek k ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i 6 6 i i i g il idgig3)il dan k sembarang} ://didgigil Wα =//d{w :p://idiαg + α6 (yi yi+1 ); jika i t≡tp3(mod :p//:d / / / p t t ttp hhtt 50m−k+2 (−1) +1 hhtt ttp:/ +1 (8n+47)m−k+1 hh(−1) +( )m + (i − 3)8m) + ( +( )m = ( =

6

(8n+63)m+4k+1 2 6

k+1

2

k+1

4

2

+(i − 3)8m)

4


.cid.id .cid.id c c a a . . j j a a . ( (−1) +1 )m + (i − 3)16m e neej+ = (8n+97)m−2k+3 nej. .bu.n 2.u.un 2 u b b i i l l i i b idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp










k+1



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil k k /:d :p//:d / //dig / Untuk sisi xi yi p t t hhtt












id

id

91


+1 (8n+5)m−k+1 (−1) + (j(−1) = ( 8m−k+2 .a.ca4.c.id)m + (i − 1)8m) + ( j.a.ca2 .c.id + ( 4 2 k+1

uneej

bli.b.un (iig−ilii1)8m)

dig :p//:d /(8n+13)m−2k+3 / t hthtp t= + ( (−1) 2 2

j+1

e nej .bu.n u b i l i idgigili /:d / : / / p t +1 hth)m ttp+ (i − 1)16m

k+1 +1

)m+


d.id d d aj.ca.ci+1 aj.ca.ci .id (−1) +1 aj.ca.ci .id . . . j j j (−1) (8n+21)m−k+2 e e e = +ne ( 4 )m + (i − 2)8m) +.u( nne 2 + ( 4 )m+ .unne .bu.n u u b b . i i l l i i b i i l g− gigil giigliiblib.u i i i i g d d d i / / / (i 2)8m) / / / : /d : /d : /d hthtp hthtp ttp:/ (8n+45)m−2k+5 (−1) +1hthtp ttp:/ ttp:/ ( 24m−k+3 2

=

2

k

+(

k

k

2

)m + (i − 2)16m

d Wα96 = {wα9 6 + α6 (xkia yikc);.cid id i ≡ 3(mod 3) dan k sembarang} .jika ac.ci .id

je. j.a je. j.a e e n n u u n n . . (8n+36)m+2k 39m+2k+1 u u b b = (igilii2lib. + (i − 3)8m) + ( idgiigliilib+. (i − 3)8m) 2 g d d i / / / / d : : / tp:// hthtp hthtp tt=p:/ (8n+75)m+4k+1 t + (i − 3)16m 2


k Untuk sisi zjk zj+1

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n n k nke sembarang} ne .bu .bu.n Wα10 = {wiα10lib+.buα (zejk zj+1 ); jika j ≡ 2(modili6) dan u u u b b 6n . . i l i i i i idgigil idgigil idgigil //:d //:d :=p//:d : : / / / (2n+3)4m+2k / / / 15m+2k+1 p p p t t t t t t + (j − 2)4m)h+h(ttp 2 + (j − 2)4m) hhttp hhtt ( 2 6

6

=

(8n+27)m+4k+1 2

+ (j − 2)8m

c.idid ca.cid.id ca.cid.id a a a k kac. . . . j j j . e e = +uαn6e (zej jz.j+1 ); jika j ≡ 4(mod 6) u n nkejsembarang} nej. .b.un .bdan .bu.n u u b b b . i i i l l l i i i gigili igigili + ( (−1) +1 )m + (j:/− idgigili + ( (8n+29)m−k+1 ( (−1) ://+1 id)m+ d /:d /:d / 4)4m) = (d32m−k+2 : / / / / / / 2 4 + 4 p p p : t t t hthttp hthttp hthttp

Wα116

{wα116

k+1

k+1

(j − 4)4m)

6

(8n+61)m−2k+3 2

k+1

+1 )m + (j − 4)8m d d . aj.ac aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n nek k nke ganjil} ne .buα.n .bu .bu.n u u u Wα12 = {wiα12lib+ dan b b . i 6 (zj zj+1 ); jika j ≡ 6(modili6) l i i i i idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p/+1 / / / / / / p p p (−1) +1 (8n+45)m−k+2 (−1) 48m−k+3 t t t t t t + h( htt4 )m+ hhtt= ( 2 + ( 4 )m +hh(jtt− 6)4m) + ( 2

=

+c.(i(−1) did 2

6

k

k

(j − 6)4m)


d.id +1 ca.c(i(−1) ca.cid.id a a . . + )m + (j − 6)8m j j e e 2 nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp










=

(8n+93)m−2k+5 2

k



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil k k /:d :p//:d / //dig / Untuk sisi xi z2i−1 p t t hhtt









c.idid

c.idid

(4n+9)2m−k+1 a c. c. = ( 3m+2k+1 +ne (ij.−a j.a2)8m) 2 2 n+ej(i. j.−a 1)8m) + (

e e liibli.bu.un liibli.bu.un i i g g i i = + (i − 1)16m ://d/dig :p//:d /dig / t h14thtp hthtp t ttp:/ 14 k k (8n+3)m+4k+1 2


Wα6 = {wα6 + α6 (xi z2i−1 ); jika i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang}

(8n+17)m−k+1 (−1) d +1 d + ( (−1) = ( 20m−k+2 2 ac.4i .id )m + (i − 2)8m) + ( ac.2i .id + ( 4 k+1

je. j.ac je. j.ac e e n n u u n n . . +(il− 2)8m) giigiiblib.u giigliiblib.u i i d d / / / / d : /(8n+37)m−2k+3 : /d tp + ( (−1) 2 +1 hthtp hth)m tt=p:/ ttp+:/ (i − 2)16m 2 k+1

d aj.ca.ci .id . j e ne .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt k+1 +1

)m


d.id ca.ci+1 ca.cid.id (−1) +1 ca.cid.id (−1) (8n+33)m−k+2 a a a . . . j j j = +ee ( )m + (i − 3)8m) + ( neej.2 + ( 4 )m+ e n j. 4 nej. .bu.n .bu.un .bu.n u u b b b i i i l l l i i i li (iig− idgigili idgigili igi3)8m) /:d /:d /:d / / / d : : : / / / / / / p p p t t t hthttp (8n+69)m−2k+5 (−1) +1hthttp hthttp = +( )m + (i − 3)16m ( 36m−k+3 2

k

k

k

2

2

k k .cid.idUntuk sisi xi z2i c ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a . . . . e e e e ej nej nekj k nej .bu.n .buα.n .bu.n .bu.n u u u u b b b Wα16 = {wiα16lib+ dan kn sembarang} i i i 6 (xi z2i ); jika i ≡ 1(mod 3) l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p (4n+3)2m+2k t t t 9m+2k+1 t t t hhtt hhtt= ( 2 + (i − 1)8m) +hh( tt 2 + (i − 1)8m)



6

6

=

(8n+15)m+4k+1 2

+ (i − 1)16m

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j k k e j. = +.uαn6e (xei jz.2i ); jika i ≡ 2(mod 3) dan ke n nesembarang} nej. .bu.n .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b gigili id26m−k+2 idgigili (8n+23)m−k+1 (−1) idg+1igili (−1) +1 /:d /:d /:d / / / : : : + ( )m + (i − 2)8m) + ( + ( )m = ( / / / / / / p p p t t t 2 4 2 hthttp hthttp hthttp 4

Wα176

{wα176

k+1

k+1

+(i − 2)8m)

k+1 +1

d.id 2 +c.(i(−1)

d )m + (i − 2)16m c.id aj.ac aj.ac.id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n k k nesembarang} ne .bu.n .bu.n 18ib.u.une u u b b i i Wα18 = {w + α (x z ); jika i ≡ 3(mod 3) dan k l l l i i i 6 b α i 2i i i i idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p/+1 / / / / / / p p p t t t (−1) +1 (8n+39)m−k+2 (−1) t t t 42m−k+3 hhtt= ( 2 + ( 4 )m +hh(itt− 3)8m) + ( +h ( htt4 )m+ 2 =

6

(8n+49)m−2k+3 2 6

k

k

(i − 3)8m)












=

(8n+81)m−2k+5 2

k



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil k k /:d :p//:d / //dig / Untuk sisi yi z2i−1 p t t hhtt









c.idid

c.idid


(−1) (8n+3)m−k+2 (−1) +1 a c+1. a c. = ( 6m−k+3 2 n+e(j. j.a4 )m + (i − 1)8m) + ( nej.2j.a + ( 4 )m+ k

.uune

iliblib. d(iig− igi1)8m)

:// /d hthtp tt=p:/ (8n+9)m−2k+5 + ( (−1) 2

k

2

e liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / p t t t h +1 ht )m + (i − 1)16m

k

k Wα206 = {wα206 + α6 (yik z2i−1 .id); jika i ≡ 2(mod 3) dan k sembarang} .id

je.aj.cac.id j.ac c.id e (4n+9)2m+2k neej.a 21m+2k+1 n .u n+ (i − 2)8m) + ( .u+ (in − 2)8m) = ( lib 2ib.u 2 ilibib.u i l l g g i i i i dig ://d/(8n+39)m+4k+1 ://d/dig + (i − 2)16m hthtp hthtp tt=p:/ ttp:/ 2



ca.cid.id+1 ca.cid.id ca.cid.id (−1) (8n+35)m−k+1 (−1) +1 a a a . . . j j j = +ee ( )m + (i − 3)8m) +n(eej. 2 +( )m neej. 4 n j. 4 .bu.n .bu.un u b b i i iibli.bu.un l l l i i i i i l l g g g +(i − 3)8m) i i i i i :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig / / / p p t t t t t t t hthtp h h t = (8n+73)m−2k+3 + ( (−1) +1h)m t + (i − 3)16m ht ( 38m−k+2 2

k+1

k+1

k+1

2

2

k k .cid.idUntuk sisi yi z2i c ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a . . . . e e e e ej nej nekj k nej .bu.n .buα.n .bu.n .bu.n u u u u b b b Wα22 = {wiα22lib+ dan kn sembarang} i i i 6 (yi z2i ); jika i ≡ 1(mod 3) l l l i i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d //didgigil :p//:d :p//:d :p / / //dig / / p p p (−1) +1 (8n+9)m−k+2 (−1) +1:// t t t 12m−k+3 t t t hhtt= ( 2 + ( 4 )m +hh(itt− 1)8m) + ( + (hht4t )m+ 2



6

6

k

k

(i − 1)8m)

d.id +1 ca.c(i(−1) ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . + )m + (i − 1)16m j j j e e e 2 nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i k sembarang} 23ili k idgiαg idgi3) idgigili Wα23 = {w + α6 (yik z2i ); jika i ≡ 2(mod gildan /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t tp hthttp htht(n+3)8m+2k hthttp =

6

k

(8n+21)m−2k+5 2 6

+ (i − 2)8m) + ( = ( 27m+2k+1 2

2

+ (i − 2)8m)

d d d aj.+ca.c(ii .i−d 2)16m aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n k k nesembarang} ne .bu.n .bu.n 24ib.u.une u u b b i i Wα24 = {w + α (y z ); jika i ≡ 3(mod 3) dan k l l l i i i 6 b α i 2i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t (−1) +1 (8n+41)m−k+1 (−1) t t t 44m−k+2 hhtt= ( 2 + ( 4 )mh+ht(it − 3)8m) + ( hh( tt 4 +1 )m + 2 =

6

(8n+51)m+4k+1 2 6

k+1

k+1

+(i − 3)8m)












=

(8n+85)m−2k+3 2

k+1





d d d d 94 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil 1 2 3 idgigil /:d /:d :p//:d :p/W :p/α40/:d / / / //dig / / / Perhatikan Himpunan bobot sisi = {W , W , W , . . . , W }. Tamp p p t t t α α α α t t t hhtt hhtt hhtt 21 6

6

6

6

6

pak bahwa bobot sisi terkecil pertama, kedua sampai kelima terletak pada Wα6 ,

W , sedangkan bobot sisi terbesar id.idselanjutnya terletak pada id.α31 id.idterletak pada Wα37 . . . . d i c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a 21 e e e e Dengan mensubstitusikan ej. Wα diperoleh Wα b= nej. nej. nilai i = 1 dan iklib=.bu.1n npada nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b i i i l l l i i i (8n+3)m+4(1)+1 ig ili iggili idgigWiliα21 digg+ili(1 − 1)16m = (8n+3)m+5 ,dsubstitusi i = 1 dan k = 2:/pada /:d /:d 2 ://://di 2 p://://di / //dig / p p t t t hthttp W = (8n+3)m+4(2)+1 +(1−1)16m hthttp = (8n+3)m+9 , substitusi hthi t=tp1 dan k = diperoleh α 6

6

6

6

6

2

2 (8n+3)m+4(3)+1 diperoleh Wα6 = + (1 − 1)16m = (8n+3)m+13 ,. . . , substi2 2 (8n+23)m=2(2)+5 37 dan k = 2 pada W =α6 diperoleh Wα6 = +(n−1)16m = 2 6

3 pada

Wα216

d d d d aj.ca.ci .idtusi i = n aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n ne ne ne ne .bu.n .bu.dinyatakan .bu.n .bu.n (40n−9)m+1 u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i . Dapat bahwa W membentuk barisan aritmatika dei i i i αig il ig il idgigil idgigil 2 /:d dig :p//:d :p//:d :p//:Sd / / / 40 (8n+3)m+5 //dig / / / p p p t t t t t t ngan dan beda hhsuku hhtt2 (dua), atau dapat dituliskan hhtt t=1 Wαt tt awal 2 6

6

= { (8n+3)m+5 , 2

(8n+3)m+9 (8n+3)m+13 , 2 2

. . . , (40n−9)m+1 }. Dapat disimpulkan bahwa 2

ca.cid.idgabungan graf Tanggaj.aPermata ca.cid.id mDln mempunyai pelabelan ca.cid.id total super(a, d)- j.aca.cid.id a a . . j j e e e e nej. neja. = (8n+3)m+5 nej. gabungan graf Tangga nej. .bu.n .bu.n .bu.n sisi antimagiclidengan dan dlib =.u.2n atau u u u u b b b i i 2 l l i i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili (8n+3)m+5 /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / Permata mDl mempunyai Super ( , 2)EAT; m ganjil, m ≥ 3 dan n≥ //dig / / / n p p p t t t hthttp hthttp 2 hkthttp k k k k 2. Sehingga terbukti bahwa pelabelan total α6 (xi ), α6 (yi ), α6 (zj ), α6 (xi xi+1 ), k k

k k

k k

k k

k k

k k

k k

d.id), α6 (xi z2i−1 ), α6 (xi z2i ), αc6.(y id.iidz2i−1 ) dan α6 (yi z2i ) .cid.idα6 (yi yi+1 ), α6 (xi yi ), α6.a(zcj .czij+1 c ca.cid.id a a a c . . . j j j j a a a . . . . e e e e j adalah pelabelan u (a, 2)-sisi antimagicujika n u.n nej nesuper nemj ganjil, m ≥ 3 dan nil≥ nej .bu.n .btotal .b.n .2. u u u u b b b b . i i i i l l l i i i b i i i i ig il idgigil idgigil idgigil 2 /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Angka 1, 2, . . . , 40 pada Wα16 , Wα26 , . . . , Wα406 bukan merupakan pangkat, me-

d α yang mempunyai syarat id i, j, dan k yang j.aca.cid.id ca.cid.idlainkan untuk membedakan ca.cid.iW ca.cid.batas a a a . . . j j j e e e e n nej. nej.4.8 merupakan contoh nej. total super (a, 2)-sisi nej. .bu.n .bu.n .bupelabelan .bu.n berbeda-beda. Gambar u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / antimagic (SEAT L) pada gabungan graf Tangga Permata 3Dl . p p p t t t 4 hthttp hthttp hthttp 6

Jika α6 (z) adalah labeldsisi mDln untuk d = 2 dan αd5 (z) adalah label sisi .cid.id c ca.ci .id ca.ci .id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a mDl untuk d = 0 maka berdasarkan urutan peletakkan label sisi yang diten. . . . e e e e n nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i gigdapat il ig il idgigil letak bobot sisi EAVL idw idgmDl tukan berdasarkan dirumuskan label /sisi igil n /:d :p//:d :p//:d :p/:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtdt = 2, yaitu: hhtt hhtt untuk


ca.cid.id a . j e n u.n nej + (8nm − 3m) + 1 − nej. .b2(4nm) .bu(z) u u b b . i i l l = α i i idgigili idgigili 5 /:d /:d / / : : / / / / p p t t = 16nm − 3m + 1 − p hthttp hthαt5t(z)










.id

c id α6 (z) = 2p + .a1c.− α5 (z) ejq.a+










.cid.id 41 .cid.id 28 ca.cid.i18d c c a a a . . . j j j a a 1 . e e x13 une x14 x11 nej. x2 nej. .bu.n .b.unej112 .bu.n 66 89 u u b b b i i i l l l i i i idgig58ili idgi98gili 107 36 37 121 130 ://didgigili 49 d 84 23 ://27 /:d / 14 75 : 10 / / / / / p p : t t h1thtzt1p 57 hz1thtt93p z1 hthtp ttzp1:/46 z 1 67 z 1 80 z 1 116 z 1 5

1

2

62

53

4

3

76

d aj.ca.ci .iyd21 . j e n e 9 ilib.u.un 19 b i gigil i d / / 17 : /d4 hthtp ttp:/ x21 x22 64 50

85

71

y11

59

13 73 68 z 2 81 3

5

103

102

129

7

111

120

y31

99

108

8

125 134

d aj.ca.ci .id . j e n e 32.bu.un b i l i i idgigi30l :p//:d / / p t t hhtt x23 113 90 94

82

6


122

131


39 22 26 35 id.id z42 91 z2 104 z2 a117c.izd.2id 127 . c ca.cid.id z82 48 3 55 a a 5 6 j. ac 7 c . . j j a e e neej. n nej. nej. .bu109 .bu.n u u b b . i i 100 126 135 liibli.bu.un 77 86 l l 54 igi63 i i idgigili idgigili ig /:d /:d /:d / / / 2 d : : : 2 72 2 2 95 / / / 118 / / / y p p p y y y t t t 4 t tp 2 3 hthttp 1 hthttp hht 44 8 21 31


d d ca.cid.id x34 x33 aj.ca.ci .ixd32 aj114 aj.ca.ci .id . . . j j j 65 88 . e e e u.n ne 74 83 ne 38 123 132 ne .bu.n .b106 .bu.n u u u b b b 51 60 i i i 97 l l l i i i 24 25 34 15 11 i i i i3gigil /d/idgigil z3 69 z3 79 /d/idgigil :p//:d z43ttp92 z13:p/:/56 z/5d z63 115 z73 128 ttpz:p83/:/47 / 2ttp 105 2 3 hhtt hhtt hhtt


z12

12

z22

6

16

42

29

x31

52

61

78

87

101

110

133

124

70

3 96 119 y33 id.iyd2 . c ca.cid.id 43 ca.cid.id a a a c . . . j j j a 7 33 neej. e e nej. 20 nej. .bu.n .bu.un .bu.n u u b b b i i i l l l i i i i Pelabelan total super(55,2)-sisi i Gambar idgigil4.8: idgigili antimagic pada 3Dl 4 igigil /:d /:d /:d / / / d : : : / / / / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp

y13

y43

Untuk pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic pada gabungan graf Tang-

d d d d melalui seaj.ca.ci .idga Permata mDln dengan aj.ca.cid.id= 1, penulis akan membuktikannya aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n buah teoremailyang dikembangkan dengan tidak mengacu pada pelabelaniltitik u u u u b b b b i i i i l l i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p//:d :pDengan :p//:d / / / yangttsudah ditemukan sebelumnya. pelabelan titik yang baru maka //dig / / / p p p t t t t hhtt hhtt hhtt penulis mengembangkannya menjadi sebuah teorema baru untuk menentukan

pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic pada gabungan graf Tangga Permata ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e mDln dengan d = nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.1.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp













d d d d 96 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :p//:d :p//:gabungan / / / //dig / / / 3 Teorema 4.6.3 Ada pelabelan total super (8nm+2,1)-sisi antimagic pada p p p t t t t t t t hhtt Permata mDl jika m ≥h2htdan hhtt graf Tangga n ≥ 2. n

id.id ca.cid.idBukti. Labeli titik gabungan ca.cid.idgraf Tangga Permata mDl can.cdengan ca.cid.id a a a a fungsi bijektif . . . . j j j j . e e e e ej. nej. nejdefinisikan n nej. .bu.n .bu≤.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i α , untuk 1 ≤ k m, pelabelan α : V (mDl ) → {1, 2, . . . , 4nm} 7 n ig ili idgigili idgigili 7 idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t maka α7 dapat dituliskan berikut: tp tp hthtpelabelan hthtsebagai hthttp


idd α7 (xki ) = m + k + .a(ic.c−.i1)4m;

jika 1 ≤ i ≤ n .dan ca.cidk.idsembarang ca.cid.id a a . j j j a . . . e e e j j n nnedan nej .bu.n .biu.≤ .bu.n α7 (yik ) =ilib2m +nke+ (i − 1)4m; jika 1ili≤ k sembarang u u u b b i l i i i i idgigil idgigil idgigil /:d (4j−3−(−1) ) :pjk/)/:d :p/jika :p//:d / / / / / / = k + ( αt7t(z )m; 1 ≤ j ≤ 2n dan k sembarang p p p t t t t 2 hhtt hhtt hhtt j+1

id.kiid), α7 (yik ) dan α7 (zjk ) Dari persamaan di catas, .cid.iddapat dipahami bahwa.aαc7.(x ca.cid.id ca.cid.id a a a c . . . j j j j a a e e e e n ej. memetakan mDln ke adalah fungsi bijektif 2,nej. nyang nej. bilangan bulat {1, nej. .bu.n .bu.n .buhimpunan .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i gigili ig ili id idgbobot idgigili igili sisi pelabelan titikp:α/7/:d /:d /:d /:d / / . . . , 4nm}. Jika wα didefinisikan sebagai dimana : : / / / //dig / / / p p t t t hthttp hthttp hthttp 7

bobot sisi pelabelan titik diperoleh dari penjumlahan 2 buah label titik yang

d.idbersisian, maka fungsi bijektif d.id wα dapat ditentukan melalui d.id pengamatan pola d i i i . . . c c c aj.ac dan penggunaan konsep aj.abarisan aj.ac aj.ca.ci .id c . . . . j j j j aritmatika sebagai berikut: e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil Untuk 1:/≤ kidgi≤ gilm sembarang /:d /:d //:d //:d : : / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhttp hhttp hhttp 1 k k



7

wα7 (xi xi+1 )

= 2k + (4i − 1)2m;

jika 1 ≤ i ≤ n − 1

k wα2 7 (yik yi+1 )

jika 1 .≤idid≤ n − 1 id 2k + 8im; ca.cid= cac.i ca.cid.id . a a a . . . j j j k ek j. e e wα3 .(x = 2k + (8i − 5)m; .unjika u.n iy ni e) nej.1 ≤ i ≤ n nej. .bu.n u u u b b b . i i i l l l i i i b b i gigili jika 2 ≤ j ≤ 2n − 2//genap k idgig id1)m; idgigili d d wiα4l (zjk zj+1 ) = 2k + (4j://− /:d / : : / / / / / / p p p : : t t t hthttp ht ttp− 7)m; jika 1 ≤ i ≤ nhthttp w5 (xk z k ) = 2k +h(8i 7 7

α7 i 2i−1 6 k wα7 (xki z2i ) 7 k k wα1 (yi z2i−1 ) k wα8 7 (yik z2i )

= 2k + (2i − 1)4m;

jika 1 ≤ i ≤ n

d.id d id aj.ca.ci= aj.1ca.≤ aj.ca.ci .id c.iid≤ n . . . 2k + (4i − 3)2m; jika j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i = 2k + (8i − 3)m; jika 1 ≤ i ≤ n i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Angka 1, 2, ..., 8 pada wα1 7 , wα2 7 , wα3 7 , . . . , wα8 7 bukan merupakan pangkat,

.cid.id batas i, j dan k .ac.cid.id ca.cid.idmelainkan untuk membedakan ca.cid.id wα yang mempunyai casyarat a a a . . . j j j jej.a e e e e j. j. j. n n n n e e e u u u u n n n n . . . . u u u u b b b b yang berbeda-beda. idgiigliilib. idgiigliilib. idgiigliilib. idgiigliilib. d d d /:d / / / / / / : : : / / // p p:// − 3}, hthtDefinisikan hthtp ttp:/ ttnp) :/→ {4nm + 1, 4nm + 2, .h.th.t,p tt12nm label sisi α7 : E(Dl 7













d d d d 97 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d :p//:d :p//:d :p/pada / / / //dig / / / makattp label sisi α untuk pelabelan total super (a, 1)-sisi antimagic graf p p t t 7 t t hhtt hhtt hhtt mDln dapat dirumuskan sebagai berikut:

ca.cid.idUntuk 1 ≤ k ≤ m sembarang ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e j. uneej. nej. nejika nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u klib k. .un b b b i i i l l l i i i i α (x x ) = (2n − i)4m − k + 1, 1 ≤ i ≤ n − 1 b 7ig i ili+1 ig ili idgigili idgigili igk ki /:d /:d /:d /:d / / / d : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttpα7 (yi yi+1 ) = (8n − 4ih−th1)m ttp − k + 1, jika 1 ≤ i ≤hnth− ttp1 α7 (xki yik )



= (3n − i)4m − k + 1,

jika 1 ≤ i ≤ n

.cid.id− j − 1)2m − k + 1, jika =ac(6n ca.c2id.i≤d j ≤ 2n − 2 genap j.aca.cid.id a . . j j a . . e e e j 1≤i≤n n n ej (12n − 4i + 1)m − k b+.u1,.n ejika ej. u u n n n . . = u u u b b . . i i i idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d / / / / / / : : : = (8n − 4i + 1)m − k + 1, jika 1 ≤ i ≤ n / / / / / / hthtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: = (4n − 2i + 1)2m − k + 1, jika 1 ≤ i ≤ n k α7 (zjk zj+1 ) k k α7 (xi z2i−1 ) k α7 (xki z2i ) k ) α7 (yik z2i−1 k k α7 (yi z2i )

= (12n id − 4i − 1)m − k + 1,

jika 1id≤ i ≤ n . d i c ca.c.id ca.cid.id . a a a c . . . j j j a e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i li ili pelabelan total α7 (xk/),/dαidg7i(y idgαigididefinisikan idgigsisi giikl),/:d /:d Jika W sebagaipbobot / / i // : : : / / / / p p : t t t ht tp ht tp ht tp (z kh),t α (xk xk ), α (y k y k ), α (xk yhkt), α (z k z k ), α (xk z k ), α (xhktz k ), α (y k z k ) 7

α7

dan

7

7 i i+1 7 i i 7 i i+1 k k α7 (yi z2i ) maka Wα7 dapat diperoleh

j

j j+1

7

i 2i−1

7

i 2i

7

i

2i−1

dengan menjumlahkan rumus bobot

d d d id aj.ca.ci .idsisi EAVL wα dan rumus aj.ca.label aj.ca.ci .ii,d j, dan k yang ber- ej.aj.ca.ci .id c.id sisi α7 dengan syarat . . . j j j batas e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i sesuaian dan dapat dirumuskan sebagai berikut: ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t 1 1 k k hhtt Wαhhtt= {wα + α7 (xi xi+1 ); jika h1h≤tt i ≤ n − 1 dan k sembarang}



7

7

7

= (2k + (4i − 1)2m) + ((2n − i)4m − k + 1)

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e = (4n + 2i −e ej. + k + 1 n1)2m nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili d/idgi2gil+i α (yk yk ); jika 1 ≤p:i/≤ /:d /:d / : / / Wα2 ttp=:p//:/{w n − 1 dan k sembarang} / / p 7 i i+1 t t α hhtt hthttp hthttp 7

7

= (2k + 8im) + ((8n − 4i − 1)m − k + 1)

id

ca.cid.id a . j . e nej nej .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i 3 3 k k i i g il Wα =//d{w n ig igil k sembarang} ddan :p://idiαg + α7 (xi yi ); jika 1 ≤ttip≤ :p//:d / / p t t hhtt h tt = (2k + (8i − 5)m) + ((3n −h i)4m − k + 1)

. = (8n + 4i −e1)m j.a.ca+c.kid+ 1

7

7














= (12n + 4i − 5)m c.i+didk + 1





d d d d 98 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t h tt h tt hhtt k Wα4 h = {wα4 + α7 (zjk zj+1 ); jika 2h≤ j ≤ 2n − 2 genap dan k sembarang}






7

7

= (2k + (4j − 1)m) .id+id((6n − j − 1)2m − k + 1)

cac. ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e j. n e3)m n nej. nej. .bu2j .bu.n .bu.n = (12n + − + k + 1 u u u b b b . i i i l l l i i i g ili idgigili idgigili /:d /:d / / ://didig : : / / / / p p 5 ttpp:// 5 k k t t Wαhhtt= {wα + α7 (xi z2i−1 ); jikah1th≤ ttpi ≤ n dan k sembarang} hthttp 7

7

= (2k + (8i − 7)m) + ((12n − 4i + 1)m − k + 1)

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j . . e e = (6n + 2iun ej + k + 1 nej .b.u−n3)2m .bu.n u b b i i l l i i i i idgi6gil+ α (xk z k ); jika 1 ≤ i :≤//dnidgdan igil k sembarang} Wα6 tp=://:d {w / / 7 i 2i / / α p : t t t hhttp hhttp 7


7

= (2k + (2i − 1)4m) + (((8n − 4i + 1)m − k + 1)

d

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e e nek j.k nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i 7 7 l l l i i i Wα = /d{w ili k sembarang} idgiαgil+i α7 (yi z2i−1 ); jika 1 ≤:/i/≤ idgnigdan idgigili d /:d / / : : / / / / / / p p p : : t t t p hthtt=p (2k + (4i − 3)2m) + ((4n hth−tt2i hthttp + 1)2m − k + 1)

.i = (8n + 4i − 3)m j.aca+c.kid+ 1

7

7

= (2n + i − 1)4m + .idk + 1

d aj.cac.id aj.ca.ci .id . . j j e e n n neik z2ik ); jika 1 ≤ i ≤ n dan ne Wα8 = {wα8ilib+.uα k.u.sembarang} 7 (y u u b . i l i b b i i idgigil idgigil //:d :p//:d :p4i / / / / p p t t t t = (2k + (8i − 3)m) + (((12n − − 1)m − k + 1) hhtt hhtt 7


7

= (3n + i − 1)4m + k + 1

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili Himpunan bobot sisi:/W idgig=ili{Wα1 , Wα2 , Wα3 , . . . , W:/α8/d}.idgiTamgili Perhatikan /:d /:d α / : / / / / / / p p p : t t t thttp hthttp kedua sampai keempaththterletak ttp pada pakhbahwa bobot sisi terkecil pertama, 7

7

7

7

7

W 77 , selanjutnya terletak pada W 67 , sedangkan bobot sisi terbesar terletak pada

d.id α8 d.id α did i i . . c c ca.cid.id aj.ac Wα . Dengan mensubstitusikan aj.ac aj.ca.1ci .pada . . nilai i = 1 dan e kj.= Wα7 diperoleh ej.a j j . e e u.n un ej ne ne ne .bu.n .b1)4m .bu.n .b u u u 7 .un b b b b i i i i l l l l i i i i W = (2n + 1 − + 1 + 1 = 8nm + 2, substitusi i = 1 dan k = 2 pada W i i i i α ig il idgigil idgigil idgigil α /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t diperoleh dan hhtt Wα = (2n+1−1)4m+2+1 hhtt= 8nm+3, substitusi i = 1 h httk = 3 pada 7

7

7

7

6

Wα77

diperoleh Wα7 = (2n + 1 − 1)4m + 3 + 1 = 8nm + 4,. . . , substitusi i = n dan

ca.cid.idk = m pada W =8α diperoleh ca.cid.idWα = (3n+n−1)4m+m+1 ca.cid.=id16nm−3m+1. Da- j.aca.cid.id a a a . . . j j j . e e e e n nej. nejW nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.aritmatika .bu.n pat dinyatakan bahwa dengan suku awal α membentuk barisan u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili S8 idgigili t /:d /:d /:d /:d / / : : W = {8nm + 2, 8nm + 3, 8nm t+ 2:/dan beda 1 (satu), atau dapat dituliskan / / / //dig / / / p p p α t=1 t t t hhttp hthttp hthttp 7

7

7

7













d d d d 99 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p/./:.d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / 8nm+4, . , 16nm−3m+1}. Dapat disimpulkan bahwa gabungan graf Tangga p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Permata mDln mempunyai pelabelan total super(a, d)-sisi antimagic dengan

graf Tangga Permata d ca.cid.ida = 8nm + 2 dan d = 1j.aatau ca.cid.igabungan ca.cid.idmDln mempunyai j.aca.cid.id a a . . j j e e e e Super (8nm + 2,.1)ej. m ≥ 2 dan n ≥ 2.b.Sehingga u.n u.n nej. nEAT; nej. terbukti bahwa pelanej. .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i i l l l l i i i i b b kggili k kili ig ili idαgi7g(xiliki ), α7 (yik ), α7 (zjk ), α7 (x idjgkizgj+1 belan total x/id ), α7 (xki yik ), :α//7d (z ), i ), α7 (yik yi+1 /:d /:d /:kid / / i+1 : : / / //dig / / / p p p : t t t tkhtktp t t p p t t h h h ht α7 (yk z k ) adalah pelabelan ht total super α7 (x z ), α7 (xk z k ), α7 (y k z k ) dan i 2i−1

i 2i

i

2i−1

i

2i

(a, 1)-sisi antimagic jika m ≥ 2 dan n ≥ 2.

2

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne n8epada W 1 , W 2 , . . . , Wil8ibbukan nemerupakan pangkat,ilmene .bu.n .b.u..n .bu.n .bu.n u u u u b b b Angka 1, 2, . , i i i l l i i α α α i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d //:d :puntuk :p/mempunyai :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t lainkan membedakan W yang syarat batas i, j, dan t t t α hhtt hhtt hhtt k yang 7

7

7

7

berbeda-beda. Gambar 4.9 merupakan contoh pelabelan total super (a, 1)-sisi

graf Tangga Permata id.id d 5. ca.cid.idantimagic (SEAT L) pada ca.cgabungan ca.cid.i2Dl ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t 27 11 hth3ttp hthttp19 hthttp 35 1 1 1 1 1 x1

x2

72

x3

64

x4

56

x5

48

106 66 id15 9 .cid.id 114 74 7 .c.id 17 98 58 23 25 .a90c.cid.id50 31 33 82 42 c c ca.cid.id a a a . . . 1 1 1 1 .a 1 84 z 1 j j j 1 ej .a z 1 100 z 1 108 92 1 a . . 39 e e e z z z z z 96 9 80 104 2 5 6 un 7 8 nej 1 1 112 nej 4 nej .bu.n .bzu3.n .b.unej 88 .buz.10n u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i l g il ig il idgigil 68 102 idgigi78 86 60://did 44 52 /:d 76 110 94ig //:d :p//:d : / / / //dig / / / p p p : t t t t t t 62 h ttpy 1 54 70 h46 hhy11tt y41 y21 h 3 http y51 13

5

29

21

37

36 4 12 c.idid 20 ca.cid.id ca.c28i2d.id ca.cid.id . a a a a c . . . . j j j j 2 2 2 a 2 e e e x3 x5 uneej. x1 nej. nex2j. nej. x4 71ib.u.n .bu.n .bu55.n 63 47 u u u b b i i l l l i i i igliibl41i.b.un b i i i l l l g g g g i i i i i i i 113 65 89 81 105 49 g g g d d d d 97 73 i i i i 57 /://d 18 34 16 32 :// /8d 10 :p//://d 24 26 :p//://d thtp t2tp thtp t t 2 2 h83 2 40 91 z 2 87 ttp:/z22 107 z32 103 t t z42 99 hzh z92 79 95 z z z10 2 z12 h 111 5 6 7 8 101

67

109

59

51

85

43

77


75

93 d.id 61 d d i . 2 53 45 c y3 y52 aj.ac aj.ca.cyi42.id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne14 ne 30 ne .bu.n .bu.n .bu.n 38 21 u u u b b b 6 i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p Gambar 4.9: Pelabelan total super(82,1)-sisi antimagic pada 2Dl t t t 5 t t t hhtt hhtt hhtt













y12

69

y22



d d aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / 4.7 tHasil dan Pembahasan p t hhtt





Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui batas atas nilai d sehingga

ca.cid.idgraf Tangga Permata j.tunggal ca.cid.id Dln maupun gabungannya ca.cid.idmDln mempunyai j.aca.cid.id a a a . . j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i pelabelan total akan dicari pelabelan ili ig ili idgigilisuper (a, d)-sisi antimagic, idgigselanjutnya idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p pada fungsi bijektifnya. hthgraf hthttkonstruksi hthttpDari hasil ttp tersebut dan menentukan perhitungan diperoleh bahwa nilai d yang mungkin untuk pelabelan total su-

d d d ca.cid.idgraf Tangga Permata tunggal aj.ca.ci .idper (a, d)-sisi antimagic aj.pada aj.ca.ci .idDln maupun gabuej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ned ∈ {0, 1, 2}. Setelahilmenentukan ne nilai d, peneliti menne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n ngannya mDlilnibadalah u u u u b b b i i i l l i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / cari pelabelan sesuai dengan nilai dttyang telah ditentukan tersebut. //dig / / / p p p t t t t hhtt hhtt hhtt Dari hasil penelitian pada beberapa nilai d tersebut di atas, diperoleh 2

baru tentang pelabelan d ca.cid.id(dua) lemma dan 6 (enam) ca.cid.iteorema ca.cid.id graf Tangga Per- j.aca.cid.id a a a . . . j j j e e e e n un nej. nej. gabungannya mDl nej. nej. .bu.n .bu.maupun .bu.n mata tunggalilDl u u u u n n., .yaitu: b b b b i i i i l l l i i i b ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp




• Lemma 4.5.1 Ada pelabelan titik (3, 1)-sisi antimagic pada graf Tangga Permata Dln jika n ≥ 2.

d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e n ne pelabelan total super (12n, ne antimagic pada graf Tangga ne .bu.n .bu.0)-sisi .bu.n • Teoremaili4.5.1 Ada u u u b b b i i l l i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / Permata Dl jika n ≥ 2. p p p t t t n t t t hhtt hhtt hhtt • Teorema 4.5.2 Ada pelabelan total super (4n + 4, 2)-sisi antimagic pada graf

id

ca.cid.id ca.cid.id a a . . j j e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i idgigilpelabelan idg1)-sisi igili Dln mempunyai total super (8n:/+/d 2, /:d / : / / / / p p : t t hthttp hthttp

.c.idn ≥ 2. Tangga Permata Dl j.an.cajika

e nej .bu.n u b i l i li Suatu graf idgigi4.5.3 • Teorema /:d / : / / p t hthantimagic ttp untuk n ≥ 2.

3m+3 • Lemma 4.6.1 Ada pelabelan c.id.id titik ( 2 , 1)-sisi antimagic c.id.idpada gabungan Graf

d aj.ac aj.ac aj.ca.ci .id . . . j j j e e e e n jika m ganjil, m ≥ 3bdan nmDl ne≥ 2. ne Tangga Permata .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b i i i l l l i i i i i i idgigil idgigil idgigil :p//:d :p//:d :p//:d / / / / / / p p p (8n−1)3m+3 t t t t t t h• hTeorema tt tt super ( 4.6.1 Ada pelabelanhh total , 0)-sisi hantimagic pada htt 2 gabungan graf Tangga Permata mDln jika m ganjil, m ≥ 3 dan n ≥ 2.


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a (8n+3)m+5 . . . j j j . e e e • Teorema 4.6.2 Ada antimagic pada gabunej.pelabelan total super (ilib.bu2.n ne,j2)-sisi nej. .bu.n .bu.n u u u b b i i l l i i li idgigiTangga idgigili ngan graf Permata mDln jika midgiganjil, gili m ≥ 3 dan n ≥ 2. ://d /:d /:d / / : : / / / / / / p p p : t t t hthttp hthttp hthttp













d d d d 101 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d /:d //:d :p//:d :p/super :ppada / / / //dig / / / • ttTeorema 4.6.3 Ada pelabelan total (8nm+2,1)-sisi antimagic gabup p p t t t t hhtt hhtt hhtt ngan graf Tangga Permata mDln jika m ≥ 2 dan n ≥ 2.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id bahwa untuk se- j.aca.cid.id a a a . . . j j j Berdasarkan hasil penelitian tersebut, dapat diketahui e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i tiap batasdatas nilai a juga berlainan. dNamun ig ili idgigilawal /:d /://idgigildi yang berlainan maka /:d /://idgigili / / / : : : / //dig / p p p t t t thttp baik unhthttp seluruh label titik dan seluruh hthttp label bobot sisi adalah hsama, demikian tuk d = 0, d = 1 maupun untuk d = 2 (kecuali untuk gabungan graf Tangga Per-

d d d id.id dilanjutkan melengkapi aj.ca.ci .idmata pada saat d=1),eyang aj.ca.ckemudian aj.ca.ci .id pelabelan sisinya ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e ne ne ne Permata tunggal ketiga ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n sehingga menjadi pelabelan total. Pada graf Tangga u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d //:d :p//:d :pyang :p2. / / / nilai ttdptersebut berlaku pada syarat sama yaitu untuk n t≥ //dig / / / p p t t t hhtt hhtt hhtt Sedangkan pada gabungan graf Tangga Permata tidak berlaku demikian. Pada saat

d = 0 dan d = 2 berlaku syarat yang sama yaitu m ganjil (m ≥ 3) dan n semca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e barang (n ≥ 2), sedangkan ej. m dan n sembarang nej. nej. pada saat d = 1 iberlaku nsyarat nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i ig ili idgingi≥li 2). Penelitian SEATL://gabungan idgigili graf Tangga Permata idguntuk (m ≥ 2:dan d igili /:d /:d /:d / / : / / / //dig / / / p p p : t t t t ttp tp hthmttpuntuk copy m genap masih hthtbelum d =hh 0 dan d = 2 dengan 1 ≤ k ≤ ditemukan dikarenakan pola pelabelan yang telah ditemukan pada gabungan graf

d d d ca.cid.id m ganjil tidak dapat diterapkan aj.ca.ci .idTangga Permata mDl ajuntuk aj.ca.ci .id pada jenis graf ej.aj.ca.ci .id . . . j j j n . e e e n ne ne m yang genap. Halilibini.bu.berarti ne harus ditemukan ipola ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l i i yang sama dengan nilai i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d //:d //:d : : : / / / //dig / / / p p p t t t t t t pelabelan tp (a, d)hhttpmenentukan pelabelan total hhtsuper hhttp baru terlebih dahulu untuk sisi antimagic pada gabungan graf Tangga Permata mDln untuk d = 0 dan d =

ca.cid.id2 dengan m genap danj.auntuk ca.cid.idhal tersebut, peneliti mengalami ca.cid.id kesulitan . ca.cid.id a a a . . . j j j e e e e j. n nej. nej.di atas, ditunjukkan nerinci nej. .bu.n .bu.hasil .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i Pada uraian secara fungsi bijektif pelaig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t belan tp super (12n, 0)-sisi antimagic hthttotal hthttp pada graf Tangga Permata hthttpDln , pelabelan total super (4n + 4, 2)-sisi antimagic pada graf Tangga Permata Dln , pela-

.cid.idbelan total super ( (8n−1)3m+3 .id, 0)-sisi antimagic pada gabungan c ca.cid.id graf Tangga Per- j.aca.cid.id 2ac c.id a a . . . j j j a a . . . e e e e j j (8n+3)m+5 n n n n ej etotal eantimagic ej. u u u u n n n n mata mDl , pelabelan super ( , 2)-sisi pada gabungan . . . . n u u u u b b b b 2 . . . . i i i i igil ilib idgiigl ilib idgiigl ilib idgiigl ilib d d d /:d / / / / / / : : : graf tTangga Permata mDl dan pelabelan total super (8nm+2,1)-sisi antimagic / / / n //dig / / / hhtp hthtp hthtp ttp: ttp: ttp: pada gabungan graf Tangga Permata mDl , namun untuk pelabelan total sun

graf Tangga Permata Dl id.idper (8n + 2, 1)-sisi antimagic id.ipada id.nidhanya ditunjukkan . . . d c c c ca.cid.id a a a a c c c . . . . j j j j a a a e e e e melalui sebuah teorema u.n nej. nej.yang lahir dari sebuah nej. Hal tersebut dilakukan nej. .bu.n .bu.n .blemma. .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ili penggunaannya menjadi ili ig ili idgigili idgigagar idgig untuk memperingkas jumlah fungsi bijektif lebih /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttpSedangkan untuk pelabelan hthtotal hthttp pada ttp super (8nm + 2, 1)-sisi antimagic efisien.













d d d d 102 aj.ca.ci .idBab 4. Hasil dan Pembahasan aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil d /:d :p//:d :pn//:dikembangkan :p//:d / / / //dig / / / gabungan Graf Tangga Permata mDl dengan pelabelan titik p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt dan bobot sisi yang berbeda dengan pelabelan titik dan bobot sisi pada saat

sebelumnya, hal.iini d ca.cid.idd = 0 dan d = 2 yangj.telah ca.cid.iditemukan cacd.iddikarenakan pela- j.aca.cid.id a a a . . j j e e e e j. baru yang ditemukan belan titik dan bobot berlaku m nej. nesisi nej. untuk sembarang nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ili n ≥ 2). ig ili idg2igdan idgigili idgigili d dan n (m /:d /:≥ /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Pada bidang teori graf, penentuan nilai kebenaran suatu rumus bijektif

nantinya akan .cid.idditentukan melalui pendeteksian .cid.id pola (pattern recognition) .cid.iyang d c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e menghasilkan suatu Teorema yang ditemukan ej nej nteorema. nej dimulai dengan ipennej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i l l il n yang ditemukan peneliti ig il idgigiyang idg idgigikedeteksian pola berlaku sampai batas migdan /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt baru menentukan fungsi hbijektifnya. hhtttidak menhtt mudian Dalam hal ini, penulis cantumkan cara memperoleh fungsi bijektif tersebut, akan tetapi pembuktian

ca.cid.idkebenaran teorema tersebut ca.cid.idtelah dipaparkan yangj.kemudian ca.cid.id diikuti dengan j.aca.cid.id a a a . . j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i contoh pelabelan kebenaran teorema. gigili ig ili idgigili sebagai visualisasi dari id idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t tp gabuhthTerdapat ht ttp super (a, d)-sisi antimagic hthtpada ttp beberapa pelabelan htotal ngan Graf Tangga Permata mDl yang belum ditemukan oleh peneliti. Berda-

d.id d.id n d d i i . . c c aj.ac sarkan visualisasi contoh-contoh aj.ac aj.ca.ci .idfungsi bijektif hasil ej.aj.ca.ci .id . . . pelabelan dan penerapan j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i penelitian yang telah ditemukan, diharapkan dapat membantu peneliti lain i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t yang ditet hhtbelum hhakan tt melakukan penelitian hsejenis. htt Beberapa pelabelan yang mukan oleh penulis disajikan pada open problem berikut:

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i Open Problem Pelabelan total superd(a, gigili ili antimagic pada mDl//nd, iddengan ig ili idgigil4.7.1 igd)-sisi /:d /:/0/idgdan //:d / :pn; : : / / //dig / / p p p 1 ≤hitt≤ 1 ≤ k ≤ m; m genap untuk d = d = 2. : t t hthttp hthttp htt

























d ca.cid.id KESIMPULAN DAN SARANj.ac.ci .id a . j a e e nej. nej. .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i idgigili idgigili /:d /:d / / : : / / / / p p t t hthttp hthttp



BAB 5

5.1 Kesimpulan

d d d ca.cid.idpembahasan pada bab jsebelumnya, aj.ca.ci .id aj.dari aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j Berdasarkan hasil dapat disime e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i pulkan bahwa: ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt 1. fungsi bijektif pelabelan titik (a, 1)-sisi antimagic dan pelabelan total su-

per (a, d)-sisi antimagic .id pada graf Dln telah dibahas .id melalui pembuk-


cac.id cac.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e tian teorema yang teorema tersebut, n nej.diberi tanda ¦. Melalui nej. nej. .bu.n .bu.pembuktian .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili bahwa terdapat pelabelan idgigilitotal super (a, d)-sisi :/antimagic idgigili disimpulkan /:d /:d /:d / / : : / / / / / / p p p t t t thttp tp n ≥ 2, dengan d ∈ {0, 1,h2}. hthpada hthn tjika ttp graf Tangga Permata Dl


2. fungsi bijektif pelabelan .ididpelabelan total suc.idid titik (a, 1)-sisi antimagiccdan


pada gabungan saling lepas graf Tangga Permata mDln jika n ≥ 2 dan

d aj.ac. aj.ac. aj.ca.ci .id . . . j j j e e e per (a, d)-sisi antimagic pada graf mDlnb.telah u.n ne nedibahas melalui pembukne .bu.n .bu.n u u u b b i i i l l l i i i b i i i idgigil yang diberi tanda ¦.://d idgigil pembuktian teorema://tersebut, idgigil d tian teorema Melalui :p//:d / / / / / / p p p : : t t t t t t h ttp hhttp hhtt disimpulkan bahwa terdapathpelabelan total super (a, d)-sisi antimagic c.idid

a c. m ≥ 2, dengan nedje.∈j.a{0, 1, 2}.

liibli.bu.un i g i :p//:d /dig / tp t t h t 5.2 h Saran



d d d super (a, d)-sisi and Berdasarkan hasil penelitian mengenai pelabelan c total aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.a.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e n e open problem dari hasil timagic pada graf ne ne Permata serta mengacu npada ne .bu.n .bu.Tangga .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil telah ditemukan, maka idgigil memberikan saran://pembaca idgigil d /:d penelitian yang peneliti :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p : t t t t t t hhtt hhtt hhttp dapat melakukan penelitian tentang:


ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a . . . j j j • Untuk graf mDl 2,eapakah terdapat pelabelan neej. e nen j,.m ≥ 2 genap dan inlib≥.bu.n nej. .bu.n u u b i l liibli.bu.un i i i i l l g g g i i i i i total super (a, d)-sisi antimagic dengan d ∈ {0, 2}. :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig / / / p p t t t t t t t hthtp h h t ht ht









103




d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i idgigil idgigil /:d :p//:d :p/PUSTAKA / / / / p p t t DAFTAR t t hhtt hhtt



id.id Super(a, d)-Sisi Antimagic id Gabungan Saling j.aca.cid.id ca.cid.idAbidin, Z. 2010. Pelabelan ca.cTotal ca.cidpada . a a a . . . j j j e e e e Lepas GrafibFirecracker. (Skripsi). nej. nej. Tidak dipublikasikan nej. Jember: Universitas nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / Jember. : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp



Anggraeni. Y. 2011. Pelabelan Total Super(a, d)-Sisi Antimagic pada Generalisasi-

.id

.id


c id c id Graf Web Dua Bandul ej.a.acW. 0 (3, j, 2). Tidak dipublikasikan ej.a.ac. (Skripsi). Jember: .unnej

b .u Universitas igiliilibJember.


nej .bu.n u b i l i i idgigil :p//:d / / p t t hhtt

Biyadi, K. 2010. Fungsi Bikektif Pelabelan Antimagic Pada Gabungan Saling Lepas

Graf Banana Tree. Tidak .id dipublikasikan (Skripsi)..idJember: Universitas

cac.id cac.id ca.cid.id a a a . . . j j j e e e Jember. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d / / / : : : / / / / / / p p p t t t p hthttp G, and Oellermann. 1993. hthttApplied hthTheory. Chartrand, and Algoritmic Graph New ttp York: MacGraw-Hill, inc.

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e Dafik. 2007. Structural u.n ne neProperties and Labelingiliof ne Australia : Tidak dipubne .bu.n .bu.n .bGraph. .bu.n u u u u b b b b i i i l l l i i i i i i i l ig il idgigi(Tesis). idgigil idgigil /:d likasikan :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhtt hhtt hhtt Dafik. 2008. Pemodelan Matematika (Buku Diktat Mata Kuliah Pemodelan Matema-

.cid.id ca.cid.id caUniversitas ca.cid.id ca.cid.id tika). Jember : FKIP jember. a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : Dafik, Slamin, Fuad and Rahmad. 2009. Super Edge-antimagic Total Labeling of / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Disjoint Union of Triangular Ladder and Lobster Graphs. Yogyakarta: Procee-

ding of IndoMS International Conference of Mathematics and Applica.cid.id .cid.id .cid.id c c c ca.cid.id a a a a . . . . j j j j a a a . . . . e e e e tions (IICMA) 2009. nej nej nej nej .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t Deviyana, d)-Sisi Antimagic padahGraf hhtt R. 2011. Pelabelan Total hSuper(a, htt htt E. Tidak dipublikasikan (Skripsi). Jember: Universitas Jember.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e n Fuad, M. 2009. .Pelabelan u.n nej. nej. Total Super (a,d)-Sisi nej. pada Gabungan ilGraf nej. .bu.n .buAntimagic .bu.n u u u u b b b b . i i i i l l l i i i b ig ili idgigiliLadder. Tidak dipublikasikan idgigili (Skripsi). Jember: Universitas idgigili Triangular /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp









104



d d aj.ca.ci .idDaftar Pustaka aj.ca.ci .id . . j j e e ne ne .bu.n .bu.n u u b b i i l l i i i i ig il idgigil /:d :p//:d / //dig / Jember. p t t hhtt





Gallian, J.A. 2009. A Dynamic Survey of Graph Labelling. [serial on line]. http:id.id . .cid.id c ca.cid.id caAgustus ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j a //www.combinatorics.org/Surveys/ds6.pdf. [17 2010]. e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t Husodo, thttp Kimia hthttp A.Y. 2008. Aplikasi Pewarnaan hthttp Graf dalam PenyimpananhSenyawa Berbahaya [serial on line]. http://webmail.informatika.org/ rinaldi/Mat-

d d d d dis/2008-2009/Makalah2008/Makalah0809-096.pdf. aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id[25 Agustus 2010]. ej.aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil2010. Pelabelan Total Super idgi(a, idgigil Indayani, D.V. gil d)-Sisi Antimagic pada:/Gabungan /:d /:d :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhGraf hhttp Jember: tt Generalized Petersen (n,h2). htt Tidak dipublikasikan (Skripsi). Universitas Jember.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e n ej. ke-6 Buku 2. Terjemanej. nej.Matematika Teknik Lanjutan nEdisi nej. .bu.n .bu1993. .bu.n .bu.n Kreyszig, Erwin. u u u u b b b b . i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / han oleh Bambang Sumantri. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp Lipschutz dan Lipson. 2002. Matematika Diskrit Jilid 2. Jakarta : Salemba

d d d d aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . Teknika. j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgigil /:d //:d :p :p//:d :p//:d / / / //dig / / / p p p Munir, R. 2003. Matematika Diskrit: Buku teks ilmu komputer. Bandung: Infort t t t t t hhtt hhtt hhtt matika Bandung.

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j Rahmad, R. R. 2010. Total Super(a, d)-Sisi pada Gabungan- neej. e e e j. j. nej. nePelabelan neAntimagic .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l liibli.bu.un i i i i i i i l l l g g g g i i i i i i i Graf Lobster. Tidak dipublikasikan (Skripsi). Jember: Universitas Jember. /:d :p//:d :p//:d :p//:d /dig /dig /dig //dig / / / p p t t t t t t t hthtp h h t ht ht Slamin. 2001. Diregularity of Digraph Close to Moore Bound . Australia : Tidak

d d d d dipublikasikan ( Tesis). aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i l ig il idgigil 2008. Aplikasi Teori idgigidalam idgigilon Tando, :Marselina. Graf Topologi Jaringan:/[serial /:d /:d //:d //:d : / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhline]. hhttp rinaldi/Matdis/2008-2009/Makalahhhttp ttp http://www.informatika.org/ /MakalahIF 2153-0708-100.pdf. [25 Agustus 2010].

ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e j. n nej. ne nej.Ilmiah. Jember: Badan nej. .bu.n .bu.n .bu.Karya .bu.n Universitas Jember. 2007. Pedoman Penulisan u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t hthttp hthttp hthttp












d d d aj.ca.ci .idDaftar Pustaka aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id . . . j j j e e e ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n u u u b b b i i i l l l i i i i i i ig il idgigil idgigil /:d :p//:d :p//:d / / //dig / / Penerbit Universitas Jember. p p t t t t hhtt hhtt


Wijaya, K. 2000. Pelabelan Total Sisi Ajaib. Tidak dipublikasikan (Tesis). Banid.id . c ca.cid.id Bandung. ca.cid.id ca.cid.id a a a a c . . . . j j j j a dung: Institut Teknologi e e e e nej. nej. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t Wirawan, thttp Berarah hthttp T.P. 2007. Pemodelan Sistem hthttp Lalu Lintas dengan GrafhGanda Berbobot [serial on line]. http://www.informatika.org/ rinaldi/Matdis-

d d dd Agustus 2010]. d /2007- 2008/Makalah/MakalahIF2153-0708-018.pdf. aj.ca.ci .id aj.ca.ci .id aj.ca.ci .i[18 aj.ca.ci .id . . . . j j j j e e e e ne ne ne ne .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i i i i i ig il idgigil idgigil idgSeptemhttp://www.11h11.com/hugobox/chaku/NetworkTopologies.png. igil /:d /:d :p//:d :p//:d :p/[21 / / / //dig / / / p p p t t t t t t hhber hhtt hhtt tt 2010].

ca.cid.idhttp://matematika-pendidikanstkip.blogspot.com/2011/04/asal-usul-teorica.cid.id ca.cid.id ca.cid.id a a a a . . . . j j j j e e e e nej. nej.2011]. nej. nej. .bu.n .bu.n .bu.n .bu.n graf.html. [28 Juni u u u u b b b b i i i i l l l l i i i i ig ili idgigili idgigili idgigili /:d /:d /:d /:d / / / : : : / / / //dig / / / p p p t t t p hthttp hthttp hthtt[28 http://suryaafrilian.blogspot.com/2010/10/rantai-makanan.html. Juni2011].

























PELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-sisi ANTIMAGIC PADA GRAF TANGGA PERMATA SKRIPSI. Oleh Laelatus Sya diyah NIM

Recommend Documents